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ACTA
MATHEMATICA
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ACTA MATHEMATICA
ZEITSCHRIFT
JOURNAL
HERAUSGEGEBEN REDIGE
VON PAR
G. MITTAG-LEFFLER
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STOCKHOLM
BEIJERS BOKFÜRLAGSAKTIEBOLAG,
'"D 1
BE R Ll N 1903.
MAYER & MÜLLER. =
PRINZ LOUIS FERDINANDBSTRARNX 2. CENTRALTRYCKERIET. STOCKHOLM,
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PARIS
A. HERMANN.
DE bà SORBONNE,
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REDACTION
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A. LiNDsTEDT, Stockholm.
G. MrrrAc-LEFFLER, »
E. PHRAGMÉN,
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L. Svrow, »
DANMARK:
J. PETERSEN, Kjóbenhavn.
H. G. ZEUTHEN, »
FIN «i»:
L. LiwpErór, Helsingfors.
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NIELS HENRIK ABEL
IN MEMORIAM
ITA HISAGH Ad
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INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES.
BAND 27. — 1908. — TOME 27%.
BAKER, H. F. On a system of differential equations leading
LE EE MST OT RS RER cte oc e TT DIOC
BENDIXSON, IVAR. Détermination des équations résolubles
algébriquement ............
BERRY, ARTHUR. A generalisation of a theorem of M. Picard
with regard to integrals of the first kind of total differentials .........
BOREL, EMILE. Sur les périodes des intégrales abéliennes et
sur un nouveau probléme trés général...
BURNSIDE, W. On soluble irreducible groups of linear sub-
stitutions in a prime number of variables...
FREDHOLM, IVAR. Sur une classe d'équations fonctionnelles
GOURSAT, E. Sur un probléme d'inversion résolu par Abel...
GRAM, J.-P. Note sur les zéros de la fonction ¢(s) de Riemann
HADAMARD. Deux théorémes d'Abel sur la convergence des
RATIO „a. à
HOBSON, E. W. On the integration of series .................
KAPTEYN, W. Sur l'intégration des différentielles binómes ...
Seite. Pages
135—156
317—328
157—162
313—316
217—224
365—390
129—134
289—304
177—184
209—216
320—338
Inhaltsverzeichniss. — "Table des matiéres.
KOCH, HELGE von. Sur le prolongement analytique d'une
série de Taylor.
LERCH, M. Sur un point de la théorie des fonctions généra-
trices d'Abel .............
LINDELÓF, ERNST. Sur une formule sommatoire générale ...
LIOUVILLE, R. Sur une équation différentielle du premier ordre
MANSION, P. Sur la méthode d'Abel pour l’inversion de la
première intégrale elliptique, dans le cas où le module a une valeur
imaginaire complexey 3... A Amm E duerme be ee cose
PAINLEVÉ, P. Sur les fonctions qui admettent un théoréme
SCHOTTKY, F. Uber die Moduln der Thetafunctionen ............
STACKEL, PAUL. Beweis eines Satzes von Abel über die
Gleichung £* [Ayr mE Nope E ER EE ee ERE
STÓRMER, C. Quelques propriétés arithmétiques des intégrales
elliptiques et leurs applieations à la theorie des fonctions entiéres
transcéndantes 2 54 NT ALMA EUM eee SE TE IEEE CEN TE
VOLTERRA, VITO. Sur la stratification d'une masse fluide en
WEBER, HEINRICH. Über Abel’s Summation endlicher Diffe-
femzenmreihen: 8: PME MER estate at tad TE EE
WIMAN, A. Über die metacyklischen Gleiehungen von Prim-
zuhlegrad..... 56e E T EIE EQ ee S
Fac-similé d'une lettre. d'Abel ee
t
Seite, Pages.
79—104
939—352
305 —312
55— 78
358—964
1— 54
235—-288
125—128
185—208
105—124
295—934
163—176
391
SUR LES FONCTIONS QUI ADMETTENT UN THÉOREME D'ADDITION
PAR
PAUL PAINLEVÉ
à PARIS.
1. Comme point de départ de sa doctrine des fonctions elliptiques,
Weierstrass a pris le théorème suivant: Toule fonction x — e(u) qui
admet un théorème d'addition se ramène algébriquement à une fonction uni-
forme, méromorphe et doublement périodique de u, ou à une dégénérescence
d'une telle fonction. Autrement dit, ¢(w) est une fonction algébrique de
P(U, g,, 9,) ou de &" ou de u.
En tête de sa théorie des fonctions abéliennes, WEIERSTRASS a inserit
une proposition analogue:
Tout systeme de m fonctions (indépendantes ) à m variables qui admet
un theoreme d’addition est une combinaison algébrique de n fonctions abéliennes
(ou dégénérescences) à m arguments et aux mêmes périodes.
Cette proposition, qui a été souvent invoquée par les élèves de WErEn-
STRASS, n'a pas seulement une importance considérable dans la théorie des
fonctions abéliennes; elle intervient encore dans de nombreuses questions
intéressant les surfaces algébriques, les équations différentielles, ete.
Malheureusement, la démonstration de l'illustre géomètre allemand
n'a été ni enseignée” ni publiée; il n'en subsiste aucune trace dans ses
manuscrits, elle est aujourd'hui perdue.
' J'entends par là que les » fonctions ne sont liées par aucune relation identique.
* Dans le seul de ses cours (cours manuscrit) où il soit fait allusion à cette dé-
monstration, WEIERSTRASS précise le théoréme et annonce qu'il l'établira dans les lecons
suivantes, Mais le manuscrit porte alors que WEIERSTRASS, malade, a interrompu son
cours; quand il le reprend quelques semaines plus tard, il poursuit le développement
de la théorie des fonctions abéliennes, sans revenir sur le théorème en question.
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 2 aoüt 1902. 1
9 Paul Painlevé.
L'importance et la beauté de ce théorème rendaient bien désirable
qu'il füt enfin établi. Mais, si, dans le cas d'une variable indépendante,
la démonstration en est aisée, elle présente, dès que le nombre des variables
est égal à 2, de très profondes difficultés. Celle que j'ai développée dans
mes lecons de Stockholm (pages 292—340) est rigoureuse, mais longue et
compliquée; depuis lors, sans en changer le principe, je suis parvenu à
l'alléver très notablement. Cest cette démonstration, sous sa forme nou-
velle, qui fait l'objet du présent mémoire. J’espére qu'elle paraitra claire
et élémentaire. Je ne crois pas d'ailleurs qu'elle soit susceptible de sim-
plifications importantes.
2. Enoncé du théorème d'addition. Je commencerai par préciser l'énoncé
méme du théoréme.
D'après la définition de WzrERSTRASS, un système de deux fonctions
(indépendantes) de deux variables, soit « = e(w,v), y= d(u, v), admet un
théorème d’addition, si les valeurs de æ , y pour u =u, +u,, v — v, 4- v,
s'expriment algébriquement à l'aide des valeurs (z,, y,) et (z,, y,) de (v, y)
pour 4 — 4, v — v, d'une part, et w= uw, v — v, d'autre part.
D'une facon plus explicite, les fonctions «= o(u, v), y — d(w , v) étant
queleonques, si on pose
D ri e (wu, st: uU, , 0, zh vi), yc d (wu, + U,, % + vi),
Ty — €, ?.); Y = AUF Vo)
T gu, » 9j), y, = du, ; Vi)
il est loisible de tirer «,, v,, «,, v, des quatre dernières équations et de
porter dans les deux premiéres. Soit:
© = A(1T,, 9. D) Yi) ys B(x, Yor % > y)
les expressions ainsi trouvées. Le couple de fonctions e(w, v), du, v)
admet un théorème d'addition si A et B sont algébriques en x, , y, . , , y,.
La définition est la méme pour x fonctions de x variables.
3. Rappel de quelques propriétés des fonctions abéliennes. Considérons
un système de (n + 1) séries 9 à m arguments 9, ,...,w, et aux mêmes
périodes (d'ailleurs arbitraires). Les quotients de » de ces séries @ par la
Sur les fonctions qui admettent un théorème d'addition. 9
(n + 1)" définissent » fonctions à # variables, méromorphes et 27 fois pério-
diques, et on peut toujours choisir les séries 0 de manière que ces n fonc-
tions z,(u, , .... %) 3 2205 mmu, ss, %,), soient indépendantes. Ces » fonc-
tions (où on a au préalable effectué sur les 4 une substitution linéaire
quelconque) formeront, par définition, un systeme fondamental de fonctions
abeliennes' à n variables; les périodes y sont laissées quelconques; * quand
on les choisit telles que le nombre des systèmes (distincts) de périodes soit
moindre que 2n, les fonctions z,(w, , ..., 94,) , ... Zul s.s, %,) forment
un système de fonctions abéliennes dégénéré.
Toute fonction méromorphe X(w,, ..., *,) à 2n systèmes de périodes
distincts s'exprime algébriquement a l'aide des fonctions z,,..., v, d'un
système de fonctions abéliennes aux mêmes périodes. C'est ce qui résulte
des travaux de Werersrrass, de MM. Picarp, PoiscAnÉ et (dans le cas
de deux variables) d'une belle méthode synthétique de M. ArrErr.*
On sait enfin que tout système de fonctions abéliennes (dégénéré ou
non) admet um théoréme d'addition et qu'il vérifie un systeme différentiel
de la forme:
(1) du, = Pla ,..., 2,)dz, + las.) + E Tien, ..., mde,
Bu n)
où les P;. ..., T; sont algébriques en #,,...,#,, et où les seconds membres
sont des différentielles totales exactes. Si les fonctions abéliennes forment
un système fondamental à périodes quelconques, le système (1) dépend al-
gébriquement d'un nombre de constantes (modules) égal au nombre des pé-
riodes arbitraires. Pour des valeurs arbitraires de ces modules, les » inté-
grales f. P,dx, + Q;dz, + ...+ T;dr, admettent 25 systèmes de périodes
distincts; pour des valeurs exceptionnelles des modules. ce nombre s'abaisse
et les fonctions correspondantes 2,(u,,..., €), ... 5 æ,(u,,....4u,) sont
des fonctions abéliennes dégénérées.
! On sait que, pour n > 4, ces fonctions sont plus générales que celles qui sont
définies par l'inversion jacobienne dans la théorie des courbes algébriques.
* Ces périodes satisfont toujours aux conditions classiques de RıEMANN.
* J'ai fait connaitre récemment une démonstration trés directe et trés élémentaire
de ce théoréme (Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 14
avril 1902). 2
4 Paul Painlevé.
Ces remarques faites, le théorème de Wetrersrrass prend la forme
précise qui suit:
Si n fonctions de n variables admettent un theoreme d’addition, ce sont
des combinaisons algébriques des m fonctions d'un système fondamental de
fonctions abéliennes (dégénéré ow non).
Pour abréger, je développerai la démonstration du théoréme dans le
cas de deux variables. Mais elle s'étend d'elle-même à un nombre quel-
conque de variables.
4. Cas de deux variables. Dans le cas de deux variables # , v, les
systèmes dégénérés de fonctions abéliennes peuvent (moyennant une sub-
stitution linéaire convenable effectuée sur # , v) recevoir la forme suivante,
ainsi qu'il ressort de la dégénérescence des séries @ (à deux arguments):
st zc past si) te arbitrai
tg“), y TE a (a c arbitraire)
zs=p(u), y=v+ec(u), (.=o ou 1)
pe. y —'6
TU, y = €",
T—U, Y =!
On sait d’ailleurs que les fonctions abéliennes de deux variables se
confondent avec les fonctions hyperelliptiques de genre 2. Autrement dit,
on peut prendre, comme couple fondamental de fonctions abéliennes a (wu, v),
y(w, v), les fonctions:
z=e+n, y = &,
où €, 9 vérifient le systeme:
Re JU rM
VE (2 : : k
p TT | R(£)za,€ + a Et +... + a.
Oe in
vR(£) VR(n)
Le théorème de WkrERSTRASS, dans le cas de deux variables, se laisse
done énoncer ainsi:
Si un couple de fonctions X(u,v), Y(u,v) admet un théorème d'addi-
tion, X et Y sont des combinaisons algébriques soit de deux fonctions hyper-
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 5
elliptiques non dégénérées (aux mêmes périodes), soit d'un des couples x, y
définis par le tableau (2), où les arguments u,v ont subi une transformation
linéaire convenable.
Rappelons enfin que les fonctions hyperelliptiques définies par (3) dé-
génèrent dans le cas (et seulement dans le cas) où R(£) a des racines
égales ou est de degré inférieur a 5. ' .
Introduction Wun systeme de différentielles totales.
5. Je vais établir maintenant la relation étroite qui existe entre le
théorème de Werrersrrass et le probléme de linversion des systèmes de
différentielles totales (algébriques).
Soit e(w,v),d(w, v) un couple de fonctions analytiques * indépen-
dantes qui admet un théoréme d'addition, et soit:
(4) z =g(u+tu,v+,), y = d(u-J-w,v-rw)
% = eu, » Vo) LOS du, » Vo).
On a:
(5) x = A(x, , YU, v), LE B(x, , Y; € , v),
A et B désignant des fonctions algébriques de x, , y
(5) et les égalités:
," Mi entre les égalités
ou
; Ox oy , Oy
Suicide — = Ai, == B. PUE = B,
ov ou ov
on élimine z,, y,, on forme un système différentiel:
= p(r.g.uw.t) PE qe y sus v)
2u , ’ , * 2v , . , H
(6) 27 Oy
[29 — pe, y uL 0) a, 7 lh y ws),
! Voir les n° 36—37.
* Il n'est pas nécessaire de supposer les fonctions analytiques. Si @(u , v), du , v)
sont des fonctions continues, à dérivées premières continues, des variables réelles (u , v),
et admettent (pour u, v, w,, v, réels) un théorème d'addition, elles sont sûrement ana-
lytiques, d'aprés le raisonnement méme qui suit.
6 Paul Paiulevé
x , . bu , 2?
où p.q.p,, qd, sont algébriques en x,y, et dont l'intégrale générale est
)
donnée par (5). Mais, d'autre part, on serait parvenu au méme systéme
\
(6) en éliminant u,, v,, et par suite # , v, entre les équations (4) et les
, : RC: ; N 3
équations dérivées al (u +u,, v 4- v), ete. Les fonctions p,q, p,, 9;
sont done indépendantes de u,v. Comme enfin, du systeme (6), on peut
2y
Ou Ou dv Ov Ou ov
—,—,-—,-=, à savoir: — = —
0x ? oy” da’ dy’ 0x | O0r90y a
9u2v QvQu
tirer etc., il est loisible de
donner à ce systeme la forme:
(7) du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, dv = P(x, y)dx + Q,(a, y)dy,
où les seconds membres sont des différentielles totales exactes (algébriques).
Inversement, donnons-nous a priori un tel systeme (7), et supposons
que l'intégrale générale x(w, v), y(u, v) de ce système dépende algébriquement
des deux constantes d'intégration, soit a, b. Il est clair que les fonctions
z(u,v), y(u, v) admettent un théorème d'addition. Substituons, en effet,
à a,b les valeurs x,y, de z,y pour # = o, v — o, valeurs qui dé-
pendent algébriquement de a, b; nous avons:
a= A(2,,y,, €, ), y = B(x,,y,, 4, 0),
A et B étant algébriques en z,, y,. Mais d'autre part si x = ¢(u, v),
y = d(w, v) est une solution particulière du système (7), l'intégrale géné-
rale est donnée par x = eu 4- u,,v + v), y = d(u + u,, v + v); d'où
il suit (en remarquant que w,v et u,, v, jouent un rôle symétrique) que
les fonctions ¢ , d admettent un théorème d'addition. '
D'après cela, le théorème de Werersrrass peut être remplacé par le
suivant: quand l'intégrale générale x(u,v),y(u,v) d'un systeme (7) dépend
algébriquement des constantes initiales x, , y,, ces fonctions se ramènent algé-
briquement à un couple de fonctions hyperelliptiques (aux mêmes périodes),
dégénéré ou non.
' Tl est clair d’après cela que si x(w, v), y(w, v) admettent un théoréme d'addi-
tion, il en va de méme pour les fonctions obtenues en effectuant sur u, v une substi-
tution linéaire.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 7
6. Substitution au théorème de Weierstrass d'un théorème équivalent.
Précisons encore cette équivalence. Puisque la fonction z(w,v) dépend
algébriquement des constantes x, , Y,, elle vérifie une relation:
HR go, v)m Ee. Rn, 9,,9,)—0
0/0)
où les R sont rationnels en r,, y,, analytiques en €, v. Je dis que les
R sont des fonctions méromorphes de u,v. En effet, supposons que les
li admettent une singularité non polaire u = a, v = fj; ce sera une sin-
gularité d'une quelconque des fonctions x(w, v) définies par le systeme (7);
la fonction e=e(u+u,,v+v,) admettrait done, quels que fussent u, , v,,
la singularité fixe # — a, v — ß, ce qui est absurde.
La fonction r(w, v) est done une fonction à un nombre fini, soit m,
., T, désignent ses m branches, posons:
1
de branches (m <n); si z,, 2,, ..
p, = (ud uy, o4 u)-d ... + murus, v d v)
— (1, , D 4,0) 42.29, 9, v);
p, est une fonction méromorphe des u,v qui dépend des deux constantes
arbitraires x, , y, (ou w,, v,) et peut recevoir les deux formes:
p, = F(a ,%,¥, vy =Gu+u,vt+,);
F dépendant algébriquement de x, , y,-
La méme remarque s'applique aux autres fonctions symétriques de
V Y
1 Né emm 3o v3
Oe 3 «ny fm = D Gy Da)
ainsi qu'aux fonctions symétriques analogues rj(r,, y,, u,v) des branches de
y(u, v). Parmi ces fonctions symétriques p;,7;, il y en a deux au moins,
soit X(r,, y,, u,v) et Y(r,, y,, 4, v), qui sont deux fonctions distinctes '
de z,,9,. Si, entre z,y, X, Y, on élimine a, y,, on voit que ©, y
se trouvent exprimés algébriquement à l'aide de X, Y, les variables wu, v
figurant analytiquement. Mais on serait arrivó aux mémes expressions en
, (c'est à dire « + ww, v + v) entre z, y, X, Y: il suit
de là que x et y d'expriment algébriquement à l'aide de X, Y, sans que
éliminant w,, v
u, v figurent.
! Autrement, z et y ne dependraient que d'une seule constante arbitraire.
8 Paul Painlevé.
Moyennant une transformation algébrique convenable effectuée sur z , y,
il est donc loisible de supposer que les fonctions x(w, v), y(w, v) sont uni-
formes et méromorphes.
7. Enfin, dans les équations (7), on peut, comme il est bien connu,
exprimer rationnellement P, Q, P,, Q, à l'aide de x, y et d'une irration-
nelle unique z(r, y), définie par une relation algébrique
(8) S(@,y, 2) =9,
cela de telle facon qu'inversement z s'exprime rationnellement en x, y, P, Q,
ou Aq. - 0x 0% OY 9
P,, Q,. Comme P ou — se déduit rationnellement de — , —, 24 j LN
ez au Ov Mm OV
ainsi que Q, P,, Q,, la fonction z(u, v) est uniforme et méromorphe en
méme temps que z(w,v),y(w, v) De plus, soit x, y,, z, les valeurs
de «,y, 2 pour 4 — O, v = Oo, valeurs liées par la condition:
(9) S(& , Yo » 20) = 9;
à un systeme #, Yu, 20, 4, v correspond une détermination unique des
fonctions a (u » 0, Wo) Yo ) 20) ) y (u ; U , Y. ) Yo , 2) ) z(u »VU,%, Yo ) 20)» et
puisque «,y, 2 sont des fonctions algébriques de a, y,, ce sont des fonc-
tions rationnelles des constantes X, , y, , 2, liées par (9).
Nous sommes amenés ainsi à considérer les systemes (7) de la forme:
| du = P(x,y,z2dx + Q(x,y,2)dy,
(10)
| dv — Pix, y, ade + Qr, y, aay,
dont les seconds membres sont des différentielles totales attachées à la sur-
face algébrique S, et tels que les fonctions z(w, v) , y(w, v) , z(u, v), définies
par (10), soient des fonctions méromorphes de u, v, rationnelles en %, , y, , zy.
D'ailleurs, si l'intégrale générale z(u, v), ylu,v), z(u,v) d'un systeme
(10) renferme rationnellement les constantes 2, Yo, 2, [liées par S(r,, Yo, 2) —0],
il résulte aussitót du raisonnement de la page 7 que ce sont des fonctions
méromorphes de w,v. Le probléme qui se pose est done le suivant:
Etudier. les fonctions inverses de deux intégrales de différentielles totales
attachées à une surface algébrique S(x,y,2) = o, dans l'hypothèse où ces
fonctions dépendent rationnellement des constantes initiales x, , y, . z, [liées par
la condition S(r, ,4,,2) = oJ.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 9
8. Difficulté du nouveau probleme. Un premier cas qui se trouve
dés maintenant élucidé d'après les résultats classiques, est celui où les inté-
grales I = [Pax + Qdy, J = fP,dx + Q,dy admettent au moins quatre
couples (distincts) de périodes.” Les fonctions inverses z(u,v), y(w, v), si
elles sont uniformes et méromorphes, sont alors quatre fois périodiques, et
se confondent nécessairement avec un couple de fonctions hyperelliptiques
de u,v.
Le seul cas qui reste à discuter est celui où les intégrales
T= [Par + Qdy, J = [Pde + Q,dy
ont moins de quatre couples de périodes distincts.
Avant d'aller plus loin, insistons sur quelques remarques qui feront
mieux comprendre la difficulté du problème.
Si les fonctions z(u, v) , y(u, v) renferment rationnellement (r, , y, , 4,),
nous savons qu'elles sont à coup stir uniformes et méromorphes. Meis il
faut bien se garder de croire que la réciproque est vraie.
Tout d'abord, alors méme que le nombre des couples de périodes n'est
pas inférieur à 4, les fonctions z(w, v), y(w, v) peuvent être uniformes
sans étre méromorphes. Pour s'en convaincre, il suffit de jeter les veux
sur l'exemple:
dx dy Alm + 0,2) dx
EL e dy = -——À—— —— E .
Var’ — ge — 9, V4y' — ny — 7, VAv! — gx — g,
Représentons par (4) la fonction 9 de WEIERSTRASS qui correspond aux
invariants 4,, g,; par $, celle qui correspond aux invariants 7,, 7,; par
20,, 2w, les périodes de yw, par 2«;, 2«; celles de y,. Les fonctions
x(u,v), y(u, v) définies par (11) se déduisent (en augmentant w, v de con-
stantes arbitraires) du couple:
x — o(u), y = 9,[v + Ayu — Ao, C(w)],
fonctions de vu, v qui sont uniformes mais admettent une infinité de points
' Tl est aisé de monirer directement que deux fonctions uniformes de u, v (in-
dépendantes) ne peuvent admettre plus de quatre couples de périodes (distincts) sans étre
des constantes; le théoréme s'établit comme le théoréme analogue dans le cas d'une
senle variable, mais il résulte aussitót de ce qui suit.
Acla malhemalica. 26 bis. Imprimé le 1 août 1902.
10 Paul Painlevé.
essentiels correspondant aux pôles de €(w). Les quatre couples de périodes
sont ici:
20 5, © 20, 5. ©
) ,
Ou; 2a} ‚MA, 204
et si €, @,, @,, €5, A sont quelconques, ces périodes ne satisfont pas a
la condition de RIEMANN.
9. Au moins, du moment que le nombre des couples de périodes
n'est pas inférieur à 4, les fonctions z(w, v), y(u, v) ne peuvent être mé-
romorphes sans étre hyperelliptiques, et par suite sans renfermer rationnelle-
ment les constantes (#,, 4%, 2). Il n'en va plus de même quand le nombre
des couples de périodes est moindre que 4: tout d'abord, les fonctions
x(u,v), y(u,v) peuvent encore être uniformes sans être méromorphes; mais,
de plus, elles peuvent étre méromorphes et renfermer sous forme transcendante
les constantes (r,,9,,2,). C'est ce qui apparaît aussitôt sur les deux
exemples:
/ , _ de | dy da
(12) du — -—, d peace: d
(13) du — do = 39 — qs;
le premier systeme est vérifié par le couple
vd ——
(14) c= e, Cie E
le second par le couple
(15) med, y-—6£0;
le couple (14) présente des singularités essentielles; le couple (15) est mé-
romorphe mais l'intéerale générale correspondante s'écrit:
> 5
u wv + 2y(e"—1)
= 2,6", y = Ye
sous forme transcendente. Pour les systémes (12) et (13)
est biuniforme mais non birationnelle:
et renferme m,
la correspondance entre ©, et æ,, y,
le nombre des couples de périodes est égal à 2.
Ces remarques font nettement comprendre pourquoi il sera indispensable,
par la suite, de supposer non seulement que rz, y, sont des fonctions
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 11
uniformes et méromorphes de u,v mais encore qu'elles renferment rationnelle-
ment (a, , y, , 2,).
D'une façon précise, le théorème de WEIERSTRASS sera établi si nous
établissons cette proposition ':
»Soit u= I(r,y,z, v = J(r,y,z) deux intégrales de différentielles
totales attachées à la surface algébrique S(x,y, 2) — o et qui possèdent au
plus trois couples de périodes. Si les fonctions inverses z(u,v), y(u,v), z(u, v)
renferment rationnellement les constantes initiales (x, ,y,,2,), ce sont des fonc-
tions hyperelliptiques dégénérées; autrement dit, ce sont des combinaisons
rationnelles d'un des 5 systémes:
papse ri icio Agee KW Mg al AY
a(V)
X=U+a(V), Y=(V), Z=9(),
Ze MC L.= 0,
x = Ui, aoe 0;
RU, ME is,
ou U, V désignent deux combinaisons linéaires convenables de w, v.»
Ce théorème cesse d'être exact si les fonctions cz(w, v) , y(w, v) sont
uniformes et méme méromorphes, mais sont des fonctions franscendantes
(uniformes mais non rationnelles) de (7, , y, , 2):
Pour démontrer ce théoréme, je commencerai par établir que les in-
tégrales u = I, v = J qu'il nous faut considérer présentent au moins une
courbe polaire.
! Dans ses mémorables travaux sur les fonctions algébriques de deux variables,
qui ont donné un tel essor aux recherches de toute nature intéressant les surfaces algé-
briques, M. Picarp (Mémoire couronné, p. 99—116) a indiqué une démonstration de ce
théoréme. C'est méme, à ma connaissance, la seule démonstration qui ait été tentée du
théorème de WEIERSTRASS, (ou plus exactement, d'une proposition équivalente). Mais l'ana-
lyse de l'illustre géomètre Français présente des lacunes qui ne me semblent pouvoir être
comblées sans une discussion analogue à celle qu'on trouvera développée aux pages
25— 38; or c'est cette discussion qui constitue toute la difficulté de la démonstration
que je propose.
13 Paul Painlevé.
Des courbes polaires des integrales
I= [ Pdx + Qdy, J = f P,dz + Q dy.
10. Rappel de quelques définitions. Soit 1— Paz + Qdy une inté-
grale de différentielle totale attachée à la surface algébrique:
(16) S(r,y,2)-o.
Par définition, P et Q sont rationnels en 2,5, 2, et quand, dans P, Q,
on remplace z en z, y, l'expression Pdx + Qdy est une différentielle exacte.
Les diverses déterminations de la quantité:
zy
I — ij P(w,y,z)da + Q(x, y, z)dy
20, Vos 7o
qui correspondent à un point (r,jy,z) de S ne different que par des con-
stantes d'addition, qui sont les périodes de l'intégrale.
On appelle courbe polaire de l'intégrale toute courbe tracée sur S telle
que / devienne infinie en un point arbitraire de cette courbe: une courbe
polaire est nécessairement algébrique. Par définition, l'intégrale 7 admet
une courbe polaire à l'infini si, après une transformation homographique
arbitraire effectuée sur S, l'intégrale admet une courbe polaire que le retour
aux premières variables rejette à l'infini.
D'après cela, si 7 possède une courbe polaire C, il est loisible de la
supposer à distance finie: soit (r,y,z)-— Oo une surface algébrique dont
l'intersection avec S contient la courbe C. La transformation X = R(x, y,2)
fait correspondre à S une surface S,(X, y, z) = 0, et, si les axes Or, Oy, Oz
ont été choisis quelconques, la correspondance entre S et S, est birationnelle.'
Moyennant une transformation birationnelle effectuée sur S, on peut done
toujours faire en sorte que la courbe polaire considérée soit située dans le plan
v=o (sans se réduire à une parallèle à Oz), et toute branche de l'intégrale
' Il suffit, en effet, que pour une valeur arbitraire (non exceptionuelle) X, de X,
la courbe X, = R(x,y,z) de S n'ait pas une infinité de cordes parallèles à Ox: si
done on ne choisit pas les axes Oxyz d'une façon exceptionnelle, à un point y, 2 de la
courbe S,(X,, y, z) — O, autrement dit à un point (X, y, z) de la surface S,, cor-
respond une seule valeur de z.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 13
I qui devient infini sur cette courbe sera développable, dans le voisinage
de la eourbe polaire, sous la forme:
(17) po A) AO Lu. op Pe a log KH AL) + Aen (X 4-5
avec
ge = X:
1, m sont deux entiers (J >0, m 7 0), les A des fonctions algébriques de
y; a une constante numérique. Pour y = y, {abstraction faite d'un nombre
fini de valeurs exceptionnelles y,|, les A sont holomorphes, et la série (17)
converge pour |X| suffisamment petit.
La courbe polaire est dite logarithmique si a + O, non- -logarithmique
si 4— 0; a est le résidu de l'intégrale relatif à la courbe polaire X 0;
la période 2iza de I est dite période polaire. Enfin, la somme des résidus
des diverses branches de J relatifs à toutes les courbes polaires (a distance
finie ou infinie) est nulle.
Quand l'intégrale I n'admet de courbes polaires ni à distance finie,
ni à l'infini, l'intégrale abélienne [P@,%, Aan, attachée à la courbe
S(r,9y,,2)- Oo, est une intégrale de première espèce, (du moment que
la valeur y, n'est pas choisie d'une manière exceptionnelle). Il suit de la
(comme il est bien connu) que cette intégrale a au moins deux périodes
dont le rapport est imaginaire. Une remarque analogue s'applique à l'inté-
grale abélienne f. Q(x, y, z)dy. L'intégrale I a, dans ce cas, au moins
deux périodes de rapport imaginaire.
ir. De l'existence d'une courbe polaire pour les intégrales I,J. Ceci
rappelé, soit T= f Pdx + Qdy, J — [Pax + Q, dy deux intégrales de diffé-
rentielles totales attachées à S et possédant au plus trois couples de périodes
distincts. Je dis qu'une au moins des deux intégrales admet une courbe
polaire.”
Il est loisible (en combinant linéairement J et J) de faire en sorte
qu ‘une au moins des périodes de J et une des périodes de J soient nulles.
La démonstration supposera toutefois que les deux intégrales J, J ne sont pas
fonetions l'une de l'autre, autrement dit que PQ, — Q, P n'est pas identiquement nul:
mais le cas PQ, — (, P — O ne nous intéresse pas ici.
2
? A moins toutefois que toutes les périodes d'une combinaison al+ J ne soient
nulles; mais «J+J serait alors rationnelle en x, y ,z et admettrait une courbe polaire.
14 Paul Painlevé.
Supposons maintenant que J n'admette pas de courbe polaire (à distance
finie ou infinie). D'après une remarque précédente, Z (qui a au plus deux
périodes) a sûrement deux périodes de rapport imaginaire, soit 2@
ND
posons
X=pl(u, 20,,20,), | u— I = [ Pdx + Qdy;
X est une fonction uniforme de (x,y, 2), qui, pour y, pris au hasard,
est une fonction algébrique de a, (puisque j^ P(x, y,,2)dx est une inté-
grale abélienne de premiére espéce), et qui, pour z, pris au hasard, est
une fonction algébrique de y; X est done une fonction rationnelle de x,y, 2,
qu'il est loisible, par une transformation birationnelle' effectuée sur S, de
faire coineider avec ©. Pour la même raison, soit 26; , 2«; les périodes
de J, et soit
= p(v, 26), 20;) = 9, v = f P,dz + Q, dy;
Y est une fonction rationnelle? de z,y,z, qu'il est loisible de faire coin-
cider avee y. Une transformation birationnelle effectuée sur S raméne done
I et J à la forme:
dy
Mitre cres MM TE
V4" — 9,2 — 9; vV4y* — giy — gs
systeme à quatre couples de périodes distincts, à savoir les périodes:
20.) 20, "OU SO "Pagar Ws
O |, 14/04 3 2p, 205% pours:
résultat absurde, puisque, par hypothèse 7, admettent au plus trois
couples le périodes.
Une au moins des intégrales I, J, dont il nous faut étudier l'inversion,
possède done des courbes polaires (à distance finie ou infinie). C'est l'examen
approfondi de ces courbes polaires qui va nous conduire au but que nous
poursuivons. Mais avant d'entrer dans cette discussion, je traiterai au
préalable l'inversion de 7,4 dans deux cas particuliers très simples.
' Voir la note 1 de la page 12.
? Cette fonction ne se réduit pas à une simple fonction de x, car autrement les
intégrales /(r,y,2), J(æ, y, 2) seraient fonctions l'une de l'autre.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 15
Examen d'un premier cas particulier,
12. Je traiterai en premier lieu le probléme suivant:
Déterminer tous les cas où les fonctions a(u , v) , y(u , v) , z(u, v) définies
par le systéme
=f P(z,y, z)du + Q(x,y,z)dy- I(v,y, 2),
(18) | o — f Pix, y, z)dz + Q(t, y, 2z)dyz J(v,y, 2),
S(z,1,2)— 0,
sont rationnelles en u el uniformes en v.
Kerivons le systéme (18) sous la forme:
or a SyrER ,
(19) au AG. y.) ar B(&,y, 2),
Ox oy
(20) ap = A(t 2), a, ^ B(&,y, 2);
et cherchons à satisfaire d'abord aux équations (19) en y remplaçant x,y,2
par des fonctions rationnelles de # d'un certain degré g. Pour une valeur
convenable de g, les conditions ainsi trouvées sont, par hypothèse, com-
patibles, et l'intégrale générale de (19) se met sous la forme:
(21) z- R(u—a, b), y = R,(u—a, b), z= Ri (u — a,b),
les fractions rationnelles R, R,, R, de (w — a) dépendant algébriquement
d'une seconde! arbitraire 5.
Il reste à déterminer a, b (fonctions inconnues de v) de façon que
les deux équations (20) soient aussi vérifiées. Or des équations (21) on
peut tirer:
(22) u—a(r)=G(e,y), bi) = H(z, y)
G , H désignant des fonctions algébriques de x,y. Si on pose: y, = H(x, y),
"On peut disposer de a,b de façon que, pour w — O, z, y et z prennent les
valeurs arbitraires z,, y, , z,, liées par la condition S(r, , y, , 2,) = 0.
16 Pail Painlevé.
la seconde équation (22) donne: v — d (y,), d'ou dv = d'(y,)dy,, d'(y,) étant
,- Comme la fonction y,(v), par hypothèse
n'admet qu'une nombre fini de branches, elle est (d'après un théorème
classique) algébrique en v, ou en e", ou en (x, 9,, 9), [95 Io»
stantes numériques et inversement une des trois expressions 7, €^,
nécessairement algébrique en y
9, con-
9(v,9g,, 9,) est algébrique en y,, c'est-à-dire en z, y. Si on veut encore,
1° ou bien l'intégrale v = J(x,y,2) n'a pas de périodes; J est alors
rationnelle en 2,9 ,z, soit J = R(x, y, 2);
o
2° ou bien J n'a qu'une période,’ soit 2«,, qu'il est loisible (en mul-
n". Im ? Sp ges ) ; : :
tipliant v par —) de supposer égale à 2iz, et l'expression e' (qui est uni-
e i
1
forme en x,y,2) est algébrique en x, y; e’ est donc rationnelle en c, y , 2,
soib € = p(x, 9,28)
3? ou bien enfin J est dénué de courbes polaires et n'a que deux *
périodes 2, , 2, (dont le rapport est imaginaire); la fonction (J, 2w,, 2@,),
uniforme en 2,y,2, est algébrique en x,y, done rationnelle en x ,y,2,
soit 9 = p(x, y, 2).
' Il ne fant pas oublier que les périodes des intégrales 7, J, attachées à la surface
3, c ‘ mt essentie j'à s cycles ^s 8 . Soi X
S, correspondent essentiellement à des cycles fermés sur S. Soit par exemple,
du = de + Yydy, dy =, S zy — sz = 0.
L'intégrale v = J, attachée à S, a comme période Air el non 2iz, car il faut que y
tourne deux fois autour du point y =O pour que z reprenne la méme valeur. Les fonc-
3v
tions uniformes desse dt | y =e" admettent le couple de périodes 2« —O (pour u),
20, = 4ir (pour v), (et non pas 2e, = 2in).
Le système de périodes 2c, , 2, est bien entendu supposé primitif. La re-
marque de la note I s'applique encore. Par exemple, soit:
dy
du = de + Vy —e,dy, dv = —————— À—————
\ 2(y im ey Xu TW e,XY = e,)
S= 2 — Vy—e, — vay — eXu — e,Xy — €) = 9,
(6, + 6&4, + e, — 0);
si 2w,, 2m, sont les périodes de la fonction (o(v, e, , e, , e,), les périodes de J sont
2«, et 40, (et non pas 26, , 20).
Sur les fonctions qui admettent un théorème d'addition. 17
J'ajoute qu'en posant Y = p(x, y, 2), on peut, moyennant une trans-
formation birationnelle,' effectuée sur S, supposer que p coïncide avec Y;
la différentielle d» est alors une des trois différentielles suivantes:
dv — dy, dv ="? dv = ———————
y VAy* — 9.9 — Is
dans le dernier cas, /4y*—g,y — g, Sexprime rationnellement en z,y,z.
Diseutons ees trois hypothéses, en remarquant immédiatement que les
intégrales w= 1, v — J ne sauraient admettre de couple de périodes de la
forme (209, o), puisque les fonctions z,5,2 de w, v sont rationnelles en w.
13. Premier sous-cas: dv — dy. D'après la remarque précédente, u
doit être sans période; c'est donc (comme v) une fonction rationnelle de
à la fois wniformes
et algébriques, sont rationnelles. a surface S correspond birationnellement
(w,y,2). Inversement, les fonctions #,y,z2 de u,v,
à un plan.
a di
14. Deuxième sous-cas: =. En remplaçant « par u — av, (a
1
désignant une constante convenable) on peut faire en sorte que 7,4 ad-
mettent le couple de périodes (o, 2iz): les fonctions 7,y, 2 de w,v sont
alors uniformes en e'. De plus, J n'a plus de périodes; car si I, J possédaient
le couple de périodes (20, 2miz), ils posséderaient aussi le couple (26 , 0).
L'intégrale u= I est done (comme € rationnelle en (x,y,2), et réci-
v
proquement les fonctions uniformes x,y,2 de w,e’ sont rationnelles en
w,€ — 0. La surface 5 correspond birationnellement à un plan.
mee dy E
15. Troisième sous-cas: dv = —————. Je représente par
Vay" — 9, — 9
2m, 2w' deux périodes de # — I qui correspondent aux périodes de 2«,,
2€, de J, et je considère l'expression. a{(v) + fv, où les constantes a, A
sont choisies de facon que (ay, + fo) et (ay, + fw,) soient égaux respec-
tivement à w et e'. Je pose ensuite
u, — wu — af(v) — pv,
-
' Voir la note I, p. 12.
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 4 août 1902, 3
18 Paul Painlevé.
c'est-à-dire:
du, = du + [ag(v) — £|dv = Pda + Qdy + — LANE | [ay — £].
V4y" — 934 — 9s
Les deux intégrales w, = 7,, v — J sont encore attachées à la surface S
(puisque V/4y* — g,y — q, est rationnel en z,y,2z) et elles admettent les
deux couples de périodes:
© ;, NO NDOUI eg u
„205. (POULET.
Les fonctions #,y,2 de u, , v sont encore rationnelles en u,, uniformes en
Tu
v, et elles ne changent pas quand on augmente v de 2c, ou de 2a,.
,
1
soit (22, 2mm, + 2nw,), elles admettent aussi le couple (22, 0), ce qui
Enfin, si les intégrales J, , J admettent un troisième couple de périodes,
exige que 2% soit nul. L'intégrale u, = I, est done (comme g»(v)) ration-
nelle en (x,y, 2). Inversement, les fonctions 7, y,z2 de u,v, uniformes et
algébriques en u,, p(v), p'(v), sont rationnelles en wu, , p(v) , p'(v). La
surface S correspond birationnellement au cylindre Z* = 4 Y* — g, Y — g,
de l'espace (X, Y , 2).
En substituant # — fv à u, et en divisant ensuite # par a (si a + O),
on fait f — o et « — 1. On voit done qu'après une substitution linéaire
convenable effectuée sur wu, les fonctions x,y,z de u,v sont rationnelles
)
en (v), p'(v) et en U=u+eC(v), (s = 0 ou 1), et cela de telle facon
qu'inversement (v), o'(v) et U s'expriment rationnellement en (x, y, 2).
16. Conclusions. a discussion précédente se résume ainsi:
Quand les fonctions æ(w,v), y(w, v) , z(u, v) définies par un systeme
(18) sont rationnelles en w et uniformes en v, une transformation biration-
nelle effectuée sur S et la substitution à w d'une combinaison linéaire en
u,v, ramenent le système (18) à une des trois formes:
(I) du = dx, dv = dy, 2 —90,
l
(IT) du da. adv = a L| m6).
| 1
(IIT) du = dx + ey dy dv =‘ E. 2! —a4y!—9, — 94:
’
a z
(2, 9,, 9, constantes numériques, ¢ = O ou 1).
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 19
Les fonctions x,y,2 sont rationnelles en 4, v dans le cas (I), en u, e”
dans le cas (II), en fu — e¢(v)}, 9(v) , (v) dans le cas (III). Elles dé-
pendent d’ailleurs rationnellement des constantes initiales (z, , y, , 2,);
chose est évidente dans les deux premiers cas; dans le troisième, il suffit
de vérifier" que les fonctions
(LV) y= pv), 2 =u—e€(v)
admettent un théorème d'addition. Or posons
7 =a2utu,vty%), W-—J(v-cw»,» 9-—x(W«.*w. Yo =Y(%);
Ry) = 4y* — 9,9 — Is;
on trouve:
VR(y) (y) — V R(y, |,
n - —9 0 +i] "ym
2 [VEG] — VEG
vt - - vay Yo
Ti = (x + Ly) oz 2 | gg? „zu :
Enfin, la surface S correspond birationnellement, dans les cas (I), (II)
à un plan et dans le cas (III) au cylindre z* = 4y* — g,y — g,.
Examen d'un second cas particulier.
17. Le second problème que je traiterai maintenant s’énonce ainsi:
Determiner tous les cas où les fonctions (u,v), y(u,v), z(u, v), dé
finies par le systéme
|" = [P(&, y, z)dz + Q(r,y, z)dy — I,
(18) e— [P (x ,y,z)dz + Q(x, y, z)dy =,
| S(x,y52)— ©
sont rationnelles en e" et méromorphes en v. L'intégrale J est supposée de-
nuée de courbes d
* Cette 2M est inutile, si on se ETE que les fonctions av) sont les
quotients de trois séries O(u , v) dégénérées [voir le n? 4].
20 Paul Painlevé.
Il est loisible d'admettre (et c'est ce que nous ferons) que 2iz est la
plus petite période des fonctions æ(u,v,), y(u, v,) , z(u, v). Autrement,
on multiplierait # par un entier convenable.
Eerivons le systeme (18) sous la forme (19), (20) [page 15], posons
( =e", et cherchons à satisfaire aux deux premières équations:
Oy
(23) = (2, y, 2), t=, = Bix, y, 2)
en y remplaçant ©,y,2 par des fractions rationnelles en ¢ d'un certain
degré g. Pour une valeur convenable de qg, les conditions ainsi formées
sont compatibles et donnent pour l'intégrale générale de (23) les expressions:
(24) x = Rat, 5), y = R,(at, 5), — R,(at, 0),
u
les fonctions rationnelles R, R,, R, de at dépendant algébriquement d'une
seconde indéterminée b. Il reste à disposer des fonctions a(v), b(v) de
facon à satisfaire aux équations (20). Or des égalités (24), on tire:
(25) a(v) = G(x,y), b(v)-— H(x,y) |[@, H algébriques en x, y].
D'aprés le raisonnement. des pages 16, 17, la seconde égalité (25) montre
que l'intégrale J(r,y,z), qui, par hypothèse, n'a pas de courbe polaire,
coincide, moyennant une transformation birationnelle effectuée sur S, avec
A 2 AE ^ dy > pum Hs P MA :
l'intégrale sllipigne. | UR EET le radical /4y? — g,y — g, sexprime
D 2 3
rationnellement en 7,9y,2.
18. Soit 20,2o' deux périodes de «= I qui correspondent aux
deux périodes 2@,, 2@, de J. Considérons la fonction elliptique de se-
\ OU — a 95 . . . .
conde espèce ae = €^", et d@terminons' [ce qui est toujours possible] a et
g(v x
B de facon que les multiplicateurs de cette fonction soient e~**, e"; sa
dérivée logarithmique est:
I [ ^ oo(v)
(o — a) — (0) + =) [TSAO],
Posons:
du, = du + {¢(v — a) — ¢(v) + Aldo,
' Si o — 9 — 0, a et # sont nuls, et la fonction de seconde espèce se réduit à l'unité,
Sur les fonctions qui admettent uu théoréme d'addition. 2
c'est-à-dire:
o(v — 4) 5
EL a man
1 : a(v) - ( :
La différentielle:
du, = f Pdx + (dy + DT B—€(a) + Lg (a) +V4y 924 — Is
va’ — 9. — 9; 2 y --g(a)
est encore attachée à la surface S, et les intégrales w, = I, ? = J ad-
mettent les eouples de périodes:
Oc our xj.
2€, , 20, pour J.
Les fonctions z,y,z de w,, v sont rationnelles! en f, — e^, méromorphes
en v, et ne changent pas quand on augmente v de 2@, ou de 20,; elles
sont donc rationnelles en t, , (v) , g'(v). De plus, tout couple de périodes
de u,,v est de la forme (20, 2mo, + 2no,), et, par suite, si on veut,
de la forme (20, 0); ce qui exige que 2@ soit un multiple de 2i7. Il
suit de là que /, est (comme (v) et $»(v)) une fonction rationnelle de
1
x,y, 2; car f, est à la fois uniforme et algébrique en z,y,2z.
19. Nous arrivons done à la conclusion suivante:
L'intégrale v = J du système (18) étant dénuée de courbe polaire, les
fonctions x ,y,2 de u,v définies par ce systeme, — si elles sont ration-
nelles en e“ et méromorphes en o —, sont des combinaisons rationnelles de
g(v) , e'(v), et U se entem x E
stantes numériques, ainsi que les invariants g,, 9, de y(v)|. Inversement
y(v), g(v) et U s'expriment rationnellement en (x, y , 2).
Si on veut encore, une transformation birationnelle effectuée sur 5 et
la substitution à # d'une combinaison linéaire en w, v, ramènent le système
(18) à la forme:
da "di I o'(a) +2 di
fau —— 2 &a) + $627], dv =~,
(18) E 2 2 @(a) — y 2
2 3 :
| a = 4y == Got —— 95,5
du
la première équation, pour a — o, se réduit à du = —.
x
, [r désigne un entier, a, 8 des con-
! Par hypothèse, 2iz est la plus petite période des fonctions e(w, v,) , y(u, vj),
z(w, v,); il en est de méme évidemment quand on remplace u par w, + P(v,).
Paul Painlevé.
to
to
La surface S est une transformée birationnelle du cylindre:
= 4y° — 9, — 5-
Enfin, il est aisé de voir que, dans le cas que nous venons de traiter,
les fonctions z(u,v) , y(u,v), z(u,v) renferment rationnellement les constantes
initiales (x,, y,, z,). Il suffit de vérifier! que les fonctions
admettent un théorème d’addition.” Or appelons »,, y, ce que deviennent
ces fonctions quand on y remplace w, v par (uw +u,), (v 4- v,), et appelons
de méme z,,y, les valeurs de x,y pour w—w,,v— v,. On trouve aussitôt
[en posant R(y) = 4y° — 9,y — 9,):
en | VEG) - EG) pi |
co = — =.
1 26(a)|(y— yy —pla) (y—y\y — pla) [y — pla)ly, — p(a) j^
Natali
y — 49,
AC
h =—I—% ro LE
1 Voir la note I p. 19.
* On aurait traité aussi facilement le probléme qui fait l'objet de ce chapitre sans
supposer que l'integrale v = J soit dénuée de courbes polaires. Il aurait fallu considérer,
en outre du cas étudié plus haut (p. 20), les deux cas [n?* 13, 14] où on à:
dv = dy, ou ady=—-
On trouve aussitót qu'une transformation birationnelle effectuée sur S et une substitution
linéaire effectuée sur w,v ramènent le système (18) [quand les fonctions v, y , 2 de
u,v dont méromorphes| à une des deux formes:
uta MCA TD v+b=y,
u+a=loga+ ra: +. +, LIIS .+ y", v+b=logy,
y i=
a,b constantes arbitraires, ] , m , » entiers > O.
Mais si on veut de plus que z(w, v), y(w , v) admettent un théorème d'addition, il faut
que l'expression de u + a se réduise à log; w et y sont alors des fonctions rationnelles
soit de e", v, soit de e", e".
Sur les fonctions qui admettent un tcéoréme d'addition. 23
Ces deux cas particuliers traitós, je vais passer à la discussion du cas
général. Pour alléger cette discussion, j'en détacherai deux lemmes presque
intuitifs concernant les fonctions méromorphes.
Deux lemmes relatifs aux fonctions meromorphes.
4
20. Lemme A. Soit « = c(u, v) une fonction méromorphe ' de u, v,
telle que le changement de variable » — R,(w, v,) |, algébrique en w, v, |,
la transforme en une fonction @,(u,v,) algébrique en w. Supposons de
plus qu'il existe une seconde transformation analogue v — ft,(w, v,), telle
que « = e,(w, v,) soit aussi algébrique en w: les deux transformations sont
seulement assujetties à la restriction que de l'égalité: R,(w,v,) = R,(u,v,)
on puisse tirer 4, soit #—p(v, , v,), p ne se réduisant pas à une constante.
Dans ces conditions, je dis que z(u, v) est une fonction rationnelle de u, v.
Il me suffit évidemment de démontrer que la fonction «= d(v, , v,)
est algébrique, car je reviendrai à la fonction z = c(w, v) en remplaçant,
dans dé, les variables v, et v, par deux fonctions algébriques de w, v. Or
dans la fonction ¢,(w,v,), algébrique en w, remplacons # par p(v,, v,);
puisque o est algébrique, le résultat x — d(v, , v,) est algébrique en v,. En
permutant le rôle de v,, v,, on verrait de méme que d est algébrique en »,.
e Qo EI:
En particulier, considérons la transformation
n—1 i+1 i
(29) v=a(u+ hy + Blu +R)" +... + +R)" +ww+ ny"
(m,m,i entiers, m 0, 4 20, n2 i),
où h est une constante arbitraire dont peuvent dépendre a, f, ..., À;
admettons que, pour h quelconque, cette transformation change © = e(w, v)
en une fonction « = (uw, w) algébrique en u: il suffit de donner à h deux
valeurs particulières arbitraires h,,h,, de poser w— v, pour h—/,, w — v,
pour 7 — /,, et d'appliquer la proposition précédente pour voir que z(w, v)
est rationnel en w,v. Il n'y a d'exception que si l'égalité:
> = x :
m sf: Ww m " m-
au + h)" +... E Que h,)” = a,(u + h)" +... +, (u + h,)
! Si w(w, v) est une fonction quelconque, le lemme subsiste, à condition de rem-
lacer dans l'énoncé le mot rationnelle par le mot algébrique.
4 1
24 Paul Painlevé.
ne définit pas # en fonction de v,, v,; autrement dit, si la valeur
us
u+h,\"
OPERA Le
uth,
n i-1 itl
n
nm
a,(u + h,)™ +... + AQ h,)™ —a,(u+ hys —...—A(u+ hy)”
ie
(u+h,)™
ne dépend pas de w. Ce cas exceptionnel ne saurait évidemment se pré-
senter que si à est mul, m egal à 1 et a indépendant de h; en particulier,
si » — m, l'exception ne se présente que dans le cas où la transformation
(29) se réduit à la suivante: '
(30) v — a(u + 1) + uw, (a numérique).
Nous aboutissons done à ce lemme:
Lemme A. Si une fonction méromorphe x = e(u,v) devient, aprés une
transformation (29) où h est arlatraire, une fonction (uw) algébrique en
u, cest une fonction rationnelle de u,v, sauf peut-être dans le cas où à est
nul. Si, dans la transformation (29), n est au plus égal à m, e(u,v) est
rationnelle en u,v, à moins que la transformation (29) ne se réduise a la
transformation. (30).
21. Lemme B. Si une fonction # = ¢(w), uniforme dans le domaine
d'un point # = a, s'exprime par une combinaison algébrique de plusieurs
fonctions e,(w) , ..., ¢,(w), algébroides? pour #— a, e(w) est holomorphe
pour 4 — a ou admet u — a comme pôle.
! Si la transformation v = au + v, change g(w, v) en une fonction @,(u, v,)
algébrique en w, il en est de même évidemment de la transformation v = alu + A) 4- v,,
qui substitue à v, l'expression (ah + v,); la présence de h est, dans ce cas, purement
parasite.
* On sait qu'une fonction f(w) est dite algébroïde pour u=a si elle est develop-
1
.. . B . n
pable, dans le voisinage de wa, suivant les puissances croissantes de (w — a),
(n entier > O), les premières puissances pouvant être négatives; f(w) est fractionnaire
ou méromorphe pour u=a si u=a est un pôle de /(u). On dit que /(u) est alge-
broïde pour u=& si la fonction f,(w,)= ra) est algébroide pour u, = O.
u
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 25
En particulier, si ¢(w) est méromorphe dans tout le plan et s'erprime
algébriquement à l'aide de plusieurs fonctions g,(u) , ..., ¢,(u), algébroides
pour u — co, e(u) est une fraction rationnelle.
Ce lemme est évident; « = a ne peut être qu'un point algébrique —
done un point régulier ou un pôle — de la fonction ¢g(w) uniforme dans
le voisinage de u = 4.
Examen d'une courbe polaire non logarithinique.
22. Nous allons aborder maintenant l'étude générale du cas oü les
fonctions inverses a(u, v) , y(w,v) , z(u, v) des différentielles totales
uw-— 1% ;4,2) 0 — J(z,y,2)
renferment rationnellement les constantes x, ,y,, z,, en supposant seulement
qu'une au moins des intégrales I,J admet (à distance finie ou infinie)
une courbe polaire. 3
C'est la discussion des intégrales I, J dans le voisinage d'une courbe
polaire qui constituera toute la difficulté de cette étude.” Nous pouvons,
moyennant une transformation birationnelle effectuée sur S, faire en sorte
[voir le n? 10] que la courbe polaire considérée 7’ soit située à distance
finie dans le plan z — o, sans se réduire à une droite parallèle à oz.
Plaçons-nous d'abord dans le cas ot JZ’ est une courbe polaire non-loga-
rithmique pour une détermination (J,, J,) du couple d'intégrales (I, J).
! Comme on peut augmenter 4, v de constantes arbitraires, il est loisible (et c'est ce
que nous ferons, pour simplifier l'écriture) de supposer, que w — O, v =O sont des valeurs
quelconques; autrement dit, nous admettrons qu'on a préalablement remplacé u,v par
uta, v+b, les constantes a,b étant arbitrairement choisies (et non exceptionnelles).
Dans ces conditions, les fonctions z(u,v), y(w, v) , z(u,v) pour v—0, ne se réduisent
pas toutes trois à des constantes, et la méme remarque s'applique à w=o. De plus, on sait
que z(w + h,v + k) s'exprime rationnellement à l'aide de U,(w)— (wu, k), U,(u)—y (wu, k),
U,(u)=2(u,k) et de Vi(v) 22(h, v), V,(v) (A, v), V,(v)=2(h, v); soit
z(u-4-h,y 4 k -- R(U,, U,, U,, Vi, Vy, V5);
pour h=k=o et w,v arbitraires, les valeurs de U,, U,, U,, V,, V,, V, ne donnent
Oo
pas à R la forme = et la méme remarque s'applique à y, 2.
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 26 aoüt 1902. 4
26 Paul Painlevé.
Les deux branches en question de I,J sont développables sous la
forme:
A,(7) (y)
ing RUD LÉ ie REED ae A EE
B (4) B (y) Be ex
SD EM ee PUT BM
(a) m
a = X' (l entier > 1);
les A, B sont des fonctions algébriques de y, holomorphes pour une valeur
quelconque (non exceptionnelle) y, de y, et les développements (31), (32),
pour y — y,, convergent quand || est suffisamment petit; m et n sont
deux entiers positifs dont un au moins n'est pas nul; il est loisible de
supposer m >n et m > Oo.
Ceci posé, éliminons X entre les équations (31) et (32). Posons:
1
=(u+h)", (h constante arbitraire); le développement de u, peut s'écrire:
N 4 a (y) + a (y) X +,
et en remplacant X en fonction de w, dans l'égalité (32), il vient:
; 1
(33) v = a(y)ui + B(y)ur^ +... + »(y)u, + o(y) + = EE
la série (pour y = y,) convergeant si |w,| est suffisamment grand.
Deur cas sont à distinguer suivant que dans le développement (33) tous
les coefficients a, B,... jusqu'à @ inclusivement sont ou non indépendants de y.
Premier cas.
23. Supposons que les coefficients a(? (y),..., G(y) ne soient
2 I y) ; PY); , GN
pas tous des constantes; soit A le premier de ces coefficients qui dépende
effectivement de y, et soit A(y)wi le terme correspondant de la série (33).
Posons:
= —h+u", v-—au-4d pup +...+wu, (ko)
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 27
Les fonctions z,y,2 de w,v deviennent des fonctions méromorphes de
u,, w qui vérifient (pour les grandes valeurs de w,) les relations:
(34) u,— 5 + a (y) + a (y) X +, w = À(y) + ^ +..., [X(y)+ol.
(y)
u,
Soit y, une valeur arbitraire de y (valeur pour laquelle les fonctions algé-
briques a,(y) , a(y) , ..., A(y) , n(y) , --. sont holomorphes et a; différent
de zéro); pour u = co et y — y,, w prend la valeur w, = A(y,), variable
^ [ |
avec y,. Pour plus de clarté, remplaçons w, par =; le systeme
1
a,(y)
w-Xx| + b(y)X +b, (y)X? + | w= À(y) + n(y)w +...
définit un couple de fonctions X(w', w), y(u',w) qui pour w' =o, ww,
sont holomorphes et prennent les valeurs X — o, y=y,. Les fonctions
méromorphes « = X’ et y de (w,, w) sont done rationnelles en u,.
Ceci revient à dire que la transformation:
n n—1
(29) v — a(u + n + Blu + ne +... + w(u + h)‘
(m>n>k>o, h constante arbitraire)
change les fonctions méromorphes x,y de w,v en deux fonctions de u, w
qui sont algébriques en u. Il résulte alors du lemme A que z et y (par
suite z) sont rationnelles en w,v, à moins que la transformation (29) ne
se réduise à la forme: v = alu + h) + w, (x constante numérique). Il
suffit alors de remplacer l'intégrale J par la combinaison w — 7 — «J pour
que les fonctions x,y,z soient rationnelles en u. D'oü cette conclusion:
Dans le cas qui nous occupe, les fonctions ©, y, 2 sont rationnelles en
u, aprés qu'on a remplacé v par une combinaison linéaire convenable de u , v.
Deuxiéme cas.
24. Supposons maintenant que dans le développement (33) tous les
coëfficients a, g,... jusqu'à & inclusivement soient indépendants de y.
Posons encore:
u=—h+u, 0 = aut + Bur +... + yu ow.
28 Paul Painlevé.
Si je montre que les fonctions méromorphes x , y, 2 de u, , w sont ration-
nelles en &, rien n'est changé à la conclusion précédente. Or les fonctions
ro— c(u,v) y = (u,v) admettant un théorème d'addition, les fonctions
x = o(uy—h,ai+...+ w)=¢,(u,, w)
et
y = du —h, au +... + w)zdq(u,w
s'expriment algébriquement ' à l'aide des quatre fonctions méromorphes à une
variable:
U(u,) = e(ur , aui 4- ... o vu,), U,(u,) = d(ur , aut +...+ vu),
V,(w) = e(h, w), Vi(w) = dh, w).
Pour que e, et d, soient rationnels en u,, il faut et il suffit que U,, U,
le soient: c'est ce que je vais établir.
Remarquons d'abord qu'inversement U,, U, peuvent s'exprimer algé-
briquement à l'aide de V,,V, et de x — e,, y — d,. Ceci posé, soit
o(y) le premier des coefficients G,o,... du développement (33) qui dé-
pend effectivement de y, et soit oy) le terme de (33) correspondant.*
Uy
Faisons la substitution:
w
u, ui
Les égalités (31), (32) équivalent alors aux suivantes:
m= + NEU = e(y) + nalen +..., le'(y) + 0),
et ce dernier système définit un couple de fonctions X(u, , w), y(u, , w)
qui, pour u, = ©, w = wi) (wy arbitraire), sont holomorphes et prennent
les valeurs X—0, y=y,. D'autre part, V,, V, deviennent des fonctions
Wu, w) — V, (^. ... 7), Wu , w)z V, de +. E qui admet-
u, u,
' Voir la note I, p. 25.
* Un tel terme existe toujours; autrement, v serait fonction de w,, et PQ, — QP,
identiquement nul.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 29
tent 4, = co comme point régulier ou comme pôle. Les fonctions méro-
morphes U, (1) , U,(w,) apparaissent ainsi comme des combinaisons algébriques
de quatre fonctions W,, W,,x,y de (u,, w') qui (w' étant quelconque) sont
algébroides pour w, = co: d'après le lemme (B), U, et U, sont ration-
nelles en w,. 6, RR:
La conclusion, dans le second cas, est la méme que dans le premier.
Si donc il existe une courbe polaire non logarithmique, les fonctions x , y, 2
sont rationnelles en u, aprés qu'on a remplacé v par une combinaison li-
néaire convenable de u, v.
Examen d'une courbe polaire logarithmique.
25. Placons-nous maintenant dans lhypothéses oü la courbe polaire
x=o est logarithmique pour une au moins des deux branches J, con-
sidérées. Les résidus correspondants a, f de I, ne sont pas nuls tous
, : d JL.
deux, soit 8 + o; en substituant 9I — aJ à I et 7 à J, on peut supposer
D
& — Oo, f — 1. Dans ces conditions, le couple J, J se développe sous la
forme suivante [voir le n? 10]
A, BAR A
(35) u = IT", y, 2) — yu + xua b X + A, + Any: X +.
B B Dr
(36) udJ(us.9.2)— Lb bud X + log X+ B,+ B,,,X+....
Dans ces conditions, les fonctions méromorphes #,y,z de w,v ne
changent pas quand on augmente v de 2iz, et sont, par suite, des fonc-
tions uniformes de 0 =e", fonctions dont les seules singularités essentielles
possibles, dans le champ des 6, sont 0 = o, 0 — ©.
Je représenterai systématiquement, dans ce qui suit, par c(w, v), (wu, v)
les fonctions x,y de (w,v), par e,(w, 6), &,(«, 0) les fonctions x, y de
(u, 0); on a:
eu, 6) = glu, log), — dw, 6) = d(u, logé)
30 Paul Painlevé.
Je représenterai’ par V,(v), V,(v) les fonctions ç(o,v), (o, v), et par
T.(6), T,(0) les fonctions uniformes V (log 0), V,(log 0). D'après le théorème
d'addition, e(w, v) et J(u, v) s'expriment algébriquement à l'aide de c (w, o),
d(u,o) et de V,(v), V,(v); pour démontrer que x et y sont des fonctions
rationnelles de @ =e", il suffit de démontrer que 7,, T, sont rationnelles
en 0. Mais le théoréme d'addition définit encore algébriquement
Eu + n, 5 00), d ty , 0)
a l'aide de ¢,(u, 60), d,(u, 0) , 9,(u,, 0,) , dl, 0,); en particulier, si on
fait 4 — u, = o, on voit que 7\(4%) , T,(#6,) s'expriment algébriquement à
l'aide de T,(0) , TAB), T(8,), T,(0,); il en résulte notamment que 7' (5).
1
Ps (5) s'expriment algébriquement à l'aide de 7,(0), T,(#). Si done T,, T,
2
n'admettent pas la valeur 6 = o comme singularité essentielle, il en va de
méme pour la valeur 6 — co. Autrement dit, si les fonctions T,(8), T,(0)
sont méromorphes, elles sont nécessairement rationnelles. D'où cette con-
clusion:
Pour établir que les fonctions x , y de u, 6 = e" sont rationnelles en 6,
il suffit de prouver que T,(#), T,(8) sont méromorphes.
Ceci posé, distinguons deux cas suivant que l'entier m est positif ou nul.
Premier cas: nm > o.
1
26. Posons a, = (u + h)", tirons X de l'équation (35) et portons
dans l'équation (36), en remarquant que
Li: a 5 125 a(y) , %(y)
tog Ae mo dE ace Meere ar DE
(4,,0,, 4,,... algébriques en y).
! Voir la note I, p. 25. A la valeur v — O, correspond la valeur 0— t. Les
I p
fonctions V,(v), V,(v) ne sont pas toutes deux des constantes, et ne peuvent, par suite,
se réduire simultanément à des fractions rationnelles.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 31
Il vient
(37) v= qui + pul +... + vu, —logu + & + LE +...
Je dis d'abord que tous les coéfficients a(y), B(y), ..., »(y) sont des con-
stantes.
Supposons en effet qu'il en soit autrement; soit A le premier des
coéfficients a, ß,...,» qui dépend effectivement de y, et soit Au, le
terme correspondant du développement (37). Faisons le changement de
variables:
u= um —h, v» = aw pul? +...+ wu (k>1);
je vais montrer que les fonctions méromorphes x,y,z de u,, w sont (pour
w queleonque) rationnelles en u,; le lemme A conduit dés lors a cette con-
clusion absurde ' que les fonctions ©, 5,2 de u, v sont rationnelles.
A cet effet, substituons à la variable w la variable v, définie par
l'égalité:
v = aut + guy +... + ui — log u,,
ce qui entraine
et posons’: x = M(u,,v,), y — '(u,, v,); les égalités (35) et (36) prennent
la forme:
b , 1 1
uw =D (Ext. on —3Ag)H- 9) uu Wy) *o),
et si c désigne la valeur (arbitraire) A(y,), les deux dernières équations dé-
finissent un couple X(w,,v), y(w,, v) qui pour 4, = co, v, — c est holo-
morphe et prend les valeurs X — o, y — »,. Les fonctions @, 4" sont
' Les fonctions «,y,2 de u,v ne changent pas quand on augmente v de 2iz,
et ne peuvent étre rationnelles en v sans étre indépendantes de v.
* ® et % sont uniformes mais peuvent admettre u, = ©, u, —O, v, = co comme
points essentiels.
DI;
32
Paul Painleve.
done holomorphes pour u, — co, v, —c, et quand on donne à w, de grandes
valeurs, à v, des valeurs voisines de c, ® et ¥ diffèrent très peu de o et y,.
Revenons maintenant à la variable w, et soit z — 0, (u, ,w), y — V (u, , w);
on a:
log u,
0, = O(u,,w + i. )= Q(u, , w + &),
: H
, I x
s tendant vers zero! avec —. Donnons à w la valeur constante c; la
À
1
fonction ®,(u,,h) = d(u,,h + e) diffère trés peu de zéro quand »w, tend
arbitrairement vers l'infini; elle est donc holomorphe pour u = CO, et,
comme elle est méromorphe, c'est une fonction rationnelle de w,. La
méme conclusion s'applique à y, done à z, résultat absurde.
C. .Q.. FE. TI»
27. Ce point établi, je vais montrer que, (moyennant une transforma-
tion linéaire effectuée sur w,v), x,y, 2 sont, dans le cas qui nous occupe,
rationnelles en u et 0 — e.
Puisque a,ß,...,» sont des constantes, posons:
(38) v=auj+ fur "+... +vu, + log c A(u,) + log v, u=u; — h;
zr — ce(u,v) et y — d(u,v) deviennent des fonctions uniformes de w,, c
dont les seules singularités essentielles possibles sont uw, — ©, 7— 0, T= CO,
et qui, en vertu du théorème d'addition, s'expriment algébriquement* à
l'aide des quatre fonctions:
U, = g[w — h, H(wu,)], U, TX dur — h, H(u,)|,
Ti(r) = ¢(0, logz), T(r) = ¢(0, log).
* Les fonctions ®, (u, w), V,(w,w) sont uniformes; il est donc loisible, dans
log u o 2i. Dame : :
—,--, de prendre la détermination de log w, telle que sa partie imaginaire soit comprise
Uy
entre O et 27.
* Ces expressions algébriques en U,, U,, T,, T, ne sauraient étre de la forme
o
23 du moment que les valeurs w —O, v=O sont quelconques (voir la note I, p. 25).
La méme remarque s'applique à tous les raisonnements analogues.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 33
Inversement, 7,(?), T,(r) s'expriment algébriquement a l'aide de z(u, , 7),
y(u,, v) (et de U,, U,). Les fonctions T,(c), T,(z) sont done méromor-
phes (et par suite rationnelles) si les fonctions z(w, , t) , y(u, , 7) sont méro-
morphes; à ces dernières, substituons les fonctions x(/ , 7) , y(¢, +) obtenues
en posant »w, — -, fonctions qui ne sauraient présenter de singularités
1
essentielles en dehors de = co, 7— 0, c— ©. Je dis que c — o n'est
pas un point essentiel de ces fonctions, ou, si on veut, en remplacant 7
t : F - j 2 ;
par --, que w, — co est un point régulier ou un pôle des fonctions x(u, , t),
1
y(u,,t). Pour nous en rendre compte, changeons logr en logé — log u,
dans l'équation (38): on voit que z(w, , £) , y(u, , ¢) s'expriment algébrique-
ment à l'aide de T,(£), T,(£) , U}, U;, si U;, U, désignent les fonctions
déduites de U,, U, en y remplaçant H(w,) par H(u,)— log u,; à savoir:
U; = e[ur — h, H(u,) — log u, |, U; = dut — h , H(u,) — log u, |.
Tout revient done à démontrer que w, — co west pas un point essentiel de
Ui(u), U;(w.).
Admettons, pour un instant, ce résultat. Alors, 7,(f), T,(f) sont
nécessairement rationnels, et comme U,, U, s'expriment algébriquement à
l'aide de U}, U}, T,(w,), T,(w,), les fonctions méromorphes U,(w,), U,(u,)
sont aussi rationnelles. Il suit de là que les fonctions «(u, , c), y(u, , 7)
sont rationnelles en w,, 7; par conséquent, r(w, v), y(w,v) deviennent des
fonctions algébriques de w quand on y fait le changement de variables
n n—1 1
v — a(u + h)" + Buta” 4p... »(u +)" + w;
mais, d’après le lemme A, ceci exige que x,7y,2 soient rationnels en «, v
(résultat absurde), à moins que la relation entre v et w ne soit de la forme:
v — qu -- w. En substituant à v la combinaison v — au, on voit que les
fonctions x ,y,2 de (u,v) sont rationnelles en u et en 0 — e.
(0s B. D.
* Si les fonctions a(t, 2) , y(t, c) , z(E, 7) sont méromorphes, il en est de méme
sûrement des fonctions obtenues en remplaçant £ par ,r.
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 26 aoüt 1902,
ox
34 Paul Painlevé.
28. Il nous reste done seulement à démontrer que Uj(m), Uj(w)
sont holomorphes ou rationnels pour w, — co. Or écrivons les relations
entre X,y,u,,t, déduites des équations (35), (36), (37); ces relations
sont de la forme:
EE
y)
| «oM TE
[epi + +224 (8 = o),
soit x(y) le premier des coefficients 9,7,... qui dépende effectivement de
¥
(Qr) ;
— le terme correspondant du développement (39). Faisons un
Wy
dernier changement de variables:
y et soit
N Ü x
t=0d+2+4..+5, (0 + 0);
Uy Wa
les relations:
; AC)
u, =a R(y)d-b)X..., Pay pussy &W#O)
nous montrent, d’après un raisonnement déjà fait, que les fonctions ©, y
de (x, , t sont holomorphes pour w, — co; mais ces fonctions s'expriment
algébriquement à l'aide de U}, U;, et des fonctions T°, T; de u, ob-
tenues en remplaçant dans 7,, T, la variable ¢ par l'expression
$4» lE
í—80-4--—-...4-—5
a J
1 Uy
T! et T; sont holomorphes (ou fractionnaires) pour w, = ©; car l'argu-
1 2 1 ) 5
ment ¢ pour u, = co (et ¢’ quelconque) s'y réduit! a d= o. Inversement,
d'ailleurs, U} et U; s'expriment algébriquement à l'aide des quatre fone-
tions z(w, , 0) , y(u,, 7) , 15, T;, toutes quatre algébroides pour u, = co;
le point u, — co west donc pas un point essentiel de Uj(uj), U;(u,) La
discussion du cas m > Oo est achevée.
1 Si j — 0, autrement dit si ó'(y)2EO, t coincide avec ¢’ et 1';, T; ne dépendent
que de f£.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 35
Deuxième cas: m — o.
29. Supposons d'abord que m soit mul en méme temps que m, (autre-
ment dit que J,J ne deviennent infinies que logarithmiquement sur la
+
courbe polaire). Eerivons les deux égalités:
(40) u=A,(y) + À,(y)X + AQ) X* + ...,
(41) v = log X+ B,(y) + B, (y) X + ....
Posons 0 — €', et montrons que x,y, 2 sont des fonctions méromorphes de
u, 0, par suite [n° 25] des fonctions rationnelles de 0. L'équation (41) devient:
(42) = X[e(y) + (y) X -e(y) X° -...], eze"?:zo;
en portant dans (40) la valeur de X tirée de (42), on trouve:
u — a(y) + B(y)0 +... +Iy)® +...
Soit À le premier des coéfficients a, B, ..., 4, ... qui dépende effectivement
de y. La transformation:
u=—atfpot+...+ 4,0’
conduit aux relations suivantes entre w,, 0, X, y:
u — Xy) + n(y)8 -»(y)8 -...., 06—X(e-eX-...] Q(v)so],
et d'aprés un raisonnement déjà employé, ces équations sont vérifiées par
un couple: X(w,, 0), y(u,, 6), holomorphe pour u, — wj, 0 — o. Les fonc-
tions z(w,, 0), y(u,, 0), sont done holomorphes pour #4 — 0; mais d'autre
part, elles s'expriment algébriquement' à l'aide des quatre fonctions:
U, — e(a + fO+...+4u,6’, 0), U, — d(a+ pO+...+ 4,0’, 0),
T, = ¢(0, log 6), T, = ¢(0, log 6),
et inversement T7,, T, s'expriment algébriquement à l'aide des fonctions
U, , U,, æ(u,, 0), y(u,, 0) qui toutes les quatre? sont holomorphes ou frac-
* Voir la note 1, p. 25.
? La chose est évidente pour U,, U, puisque les fonctions z — c(u, v), y — d¢(u,v
p 1 Ua puisq AU, : e
sont méromorphes.
36 Paul Painlevé.
tionnaires pour 0 — o. Les fonctions uniformes 7,(0), T,(0) ne sauraient
done admettre 0 — o comme point essentiel, et sont des fonctions méro-
morphes (par suite rationnelles) de 4. Il en est donc de même des fonc-
tions 7,y,2 de uw, 6. (A 1/2 à >
30. Je vais établir maintenant que le cas précédent est le seul pos-
sible si m est nul, autrement dit que n est nécessairement nul avec m.
Admettons en effet qu'il en soit autrement et voyons que l'hypothése est
absurde.
Soit done m — o, n2 0o. Nous distinguerons ce cas en deux sous-cas
suivant que A,(y) est ou non une constante.
Premier sous-cas: m — O, n>0, Aj(y) £0.
Ecrivons les deux égalités
(43) u — A,(y) + Ai(9) X + A(y) X! + ..., [4 (y) =O],
B oY) (v)
(44) p — X^ E xm +: ds pee Am
Ba a)
+ log X + B, (y) + Bi y)X t
(n 2 0);
soit y, une valeur quelconque (non exceptionnelle) de y, et a, la valeur cor-
respondante de 4; si nous donnons à u, dans (43), la valeur (arbitraire)
4;, nous pouvons en tirer y sous la forme:
Y= Yo +9X +hX*+...,
et en portant dans (44) il vient:
B C Cu Y
La gat bop tog X + OO aX.
quand X tend vers zéro arbitrairement, v tend vers l'infini arbitrairement '
* Posons w = Ban = p (cos © + à sin w), X = r(cos y + à sin g), log X= log r+ig,
‘yg restant compris expressément entre O et 37); dans ces conditions, ¢ tend vers zéro
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 37
d'après l'égalité (45); done si, pour w — w,, v tend arbitrairement vers
l'infini, la fonction uniforme z — X'(u,, v) tend vers zéro, y tend vers y.
Les fonctions méromorphes x,7,2 de u,v seraient done rationnelles en v,
ce qui est absurde. C. Q.
Second sous-cas: m — O, n O0, Aj(y) =o.
31. Il est loisible d'admettre que la valeur constante A, est nulle
(en augmentant « d'une constante) et d'écrire:
nie usu y) + XA, a(y) +...}, q 0,
(46)
B.( l Te
|[»-X AD p.p FED p log X + B,(y)+ Bras (y) X 4...
Si nous remplacons w par wj, et si nous tirons X de la première équation
46), il vient [en remarquant que logw, — log X + a,(y) + a, (y) X + ...]:
(47) ++. sr: ~ + log + 8 + pu,
1 1
Soit À le es des coéfficients a, 8,..., 0,... qui dépend effectivement
de y, et soit — le terme correspondant du développement (47), (k>o ou
ui
<o ou =o). Posons:
(48) v — logu, + geen bom =, (k>00u — 0 ou <0);
Uy ur u,
*
avec X; d'une façon précise, 7 désignant une quantité positive prise d'avance aussi petite
quon veut, on a: |se| « y, dés que | X] est inférieur à une certaine quantité p, et
par suite:
w = ~ (cos ng — i sin ng)A(cos a+ i sin a), avec I—2 X AE 10$, -y<snasy;
si done æ varie de x à O et yg de O à 37, on voit que w coincide avec tous les points
Icy
,
extérieurs à un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal.à
n
Me
v coincide avec tous les points dont le module dépasse | B,( wes x
38 Paul Painlevé.
on peut éerire
DL
(1 +8),
a
"n
Wy
e tendant vers zéro (pour w= w,) quand w, tend vers l'infini sur une di-
rection quelconque, et (d'après la note 1 de la page 36), quand wu, tend
vers zéro arbitrairement, v tend arbitrairement vers l'infini.
D'autre part, X,y,%,,w vérifient deux relations de la forme:
u = X[C, (y) + (y) X-€G,(y) X' -...]; (G= YA, etc)
w — A(y) + puy) + wiv(y) +... (y) = 0,
et, d'après un raisonnement constamment employé, ces relations montrent
que les fonctions r — X' et y de w,,? sont holomorphes pour w, = 0,
W = Wy.
Mais les fonctions «,y de w,,w s'expriment algébriquement à l'aide
des quatre fonctions: U, — e(uj,0), U,=—¢(uj, 0), et Vi, V;, si Vi, V;
désignent les fonctions V, — € (0,v), V,—4d(o,v), où on a remplacé
* a w PE
v par l'expression v = log, + " +...+ "I réciproquement Vj, V; s'ex-
1 1
priment algébriquement à l'aide des fonctions U,, U,, v(u, , w) , ya, , w)
qui sont toutes les quatre, holomorphes ou fractionnaires pour w,—0;
V; et V; sont done aussi holomorphes ou fractionnaires pour w,— 0. Or,
, . a, . .
quand w, tend vers zéro, la variable v — —(1-- s) tend vers l'infini arbi-
Uy
trairement; les fonctions méromorphes V,(v), V,(v) sont done bien détermi-
nées quand v croit indéfiniment; ce sont, par suite, des fractions ration-
nelles de v; résultat absurde. C. 9. 812
Conséquences de la double discussion précédente.
Theoreme définitif.
32. Les conclusions des n^ 23, 24, 27, 29, 30 et 31 se résument
ainsi:
Après une transformation linéaire convenable effectuée sur u,v,
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 39
1° ou bien les fonctions x ,y,2 de u,v sont rationnelles en u;
2° ou bien les fonctions x,y,z sont rationnelles en e“, et les intégrales
1, J ne peuvent devenir infinies que logarithmiquement.
Le cas 1° a été étudié aux n® 12—16.
Dans le cas 2°, I et J admettent le couple de périodes polaires (2/7, 0).
Si J ne présente pas de courbes polaires, on rentre dans l'hypothèse qui
fait l'objet des n^ 17— 19. Si J présente une courbe polaire, cette courbe
est nécessairement logarithmique, et si le couple de résidus correspondants
, . v. a v
est a, f, (8 -F 0), il suffit de remplacer # par w— ;v et v par > pour que
D t
I et J admettent les deux couples de périodes polaires (2iz, 0) et (o , 2iz).
v
Cr.
Dans ces conditions, æ,y,2 sont rationnelles en t =e", 0 —
Inversement, ¢ et # sont algébriques en x,y,z. Je dis qu'on peut
toujours faire en sorte que ¢ et 0 soient rationnelles en x,y, 2. Tout d'abord,
les résidus de J (et de J) sont réels et commensurables, et en multipliant
I (ou J) par un certain entier, on peut les supposer entiers, premiers entre
eux: la plus petite période de J (et aussi de J) est alors 2iz. A la période 2iz
de J correspond une période 2miz de J; en remplaçant J par J, — J — ml,
on annule m; seulement, la plus petite période de J, peut n'étre plus
2iz, mais 2izk, (k entier); l'entier % entre alors en facteur dans tous les
í j Ja s : 5
résidus de J,, soit J, = i à la période 2iz de J, correspond une période
v
2izl de I; je remplace I par I, — I—lJ,, et les intégrales [,, J, ad-
mettent les couples primitifs de périodes:
Xr AS.
. ,
OQ. .- 27
€^ et e^ sont rationnels en 2,y,z2. Autrement dit, aprés une substitution
linéaire convenable effectuée sur u,v, les quantités e", e' sont rationnelles en
x,y,2, et inversement les fonctions uniformes x ,y,2 de e',e sont ration-
nelles en e“,e’.
Dans le dernier cas que nous venons d'élucider, la surface S(x,7y,2) — o
correspond birationnellement à un plan.
33. Théorème définitif. Le théorème que nous avions en vue se trouve
dès lors complètement démontré. Nous l'énoncerons ainsi:
40 Paul Painlevé.
Considérons deux intégrales de différentielles totales, qui ne soient point
fonctions l'une de l'autre, attachées à une surface algébrique S(x, y, z) — o,
et dont une au moins admet une courbe polaire; soit:
pu JP, ddr d Qi y, ody = 12,9, 2)
| v = f Ps, y, dx + Q,(r,y,2)dy = J(x, y, 2).
Si les fonctions x(u,v),y(u,v), z(uw,v) définies par l'inversion du systeme
(E) renferment rationnellement les constantes initiales x), Yo, z, (liées par la
condition S(z,,w,,z,) — 0), ces fonctions, moyennant une substitution linéaire
convenable effectuée sur u,v, sont des combinaisons rationnelles d'un des
systèmes de fonctions qui suivent:
a, i. ESO
x AE, 4—0,
(T) j ie Kr js Mc Où
X-u-—sQ(v, Y=gi(r), ani Au sions
ea) 492,93 constantes nu-
Xe elo), ” Y=p(), Z=g'(v), | mériques.
Comme les intégrales I,J présentent sürement une courbe polaire
[voir le n° 11] quand le nombre des périodes est inférieur à 4, on voit
que le théorème peut s'énoncer encore ainsi:
Quand les fonctions x,y,z de u,v définies par l'inversion de deux
intégrales (distinctes) de différentielles totales attachées à S renferment ration-
nellement les constantes initiales x, y, , z,, ce sont des fonctions hyperelliptiques
(aux mêmes périodes) dégénérées! ou non.
C'est le théoréme auquel nous avons ramené celui de WEIERSTRASS
[n° 7].
De plus, X, Y,Z s'expriment rationnellement en fonction de x,y, 2.
La surface S correspond birationnellement à un plan dans les trois premiers
cas [où Z — 0), et au cylindre Z? = 4Y°— 9, Y — 9, dans les deux derniers.
Les systémes de fonctions qui figurent dans le tableau (T) sont des quotients
de fonctions # (à deux variables) dégénérées [voir le n? 4].
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 41
Remarquons que les coordonnées X, Y, Z de ce cylindre se laissent
mettre de trois manières distinctes sous la forme de fonctions hyperelliptiques
dégénérées, à savoir:
Y — g(v), Z — g'(v)
avec
Fr a\v — a)
ou X—#—6{{(0),; ou Z=e- I;
o(v)
à chacune de ces reprósentations correspond un groupe permutable à deux
paramétres de transformations birationnelles de la surface en elle-méme,
groupe obtenu en augmentant #,v de constantes arbitraires.
Enfin, donnons une dernière forme aux conclusions auxquelles nous
venons de parvenir:
Quand les fonctions x,y,z de u,v définies par l'inversion de deux
intégrales de différentielles totales quelconques attachées à S renferment ration-
nellement les constantes x), yy, z, et admettent au plus trois couples de périodes
distincts, le systeme (X), moyennant une transformation birationnelle effectuée
sur la surface S et une substitution linéaire effectuée sur w,v, se ramène
)
à une des formes:
dU= dX, AT, 2 =o.
dU = aX, dV=T, Z =o,
au=", wW=F, Z —o,
(o)
dU— dX-E e 7, dYV—*7, Z!—4Y'— 9, Y—g,,
»(a)+Z dY
ee er
=| @dV=—, Z’=4Y'*—g,Y—4g,,
2{o(a)—Y])’ BAe Tey hi
(s =0 ou 1; 9,,9,, « constantes numériques).
Quand « tend vers zéro, le dernier systeme (e) tend vers le suivant:
dX dY
dU =—, dy = —— - :
(49) x v4Y° — 9,} — 9s
Acta mathematica, 26 bis, Imprimé le 27 août 1902, 6
42 Paul Painlevé.
34. Comparaisons avec les fonctions inverses des intégrales hyperellip-
tiques.
Les fonctions hvperelliptiques de genre 2, soit (u,v), z(u,v) , Clu,v
n ] | | Le] ) , 8 , , ) 5)
se laissent définir par le systeme:
= JS $45,
VH(é,) V H(&)
(7) 1& dé
dp ES A
VH(&) VH(E,)
avec:
[ HE) = QE +a6+...+ 46+,
| E=6, + &,, 4 = §&; Go VH(&) + VH(E,).
Le systeme (7) dégénère quand le coefficient a, de // s'annule ou quand H
a des racines multiples. D’apres le théorème précédent, une transformation
birationnelle effectuée sur x,5,z et une transformation linéaire effectuée
sur 4, ramènent alors (+) à une des formes (5). Démontrons rapidement
la réciproque: c'est-à-dire que fout systeme (a) est réductible à un système
(z) dégénéré.
Tout d'abord, il suffit de faire H=1, pus Hf(2) = £? puis
H(z) = £(£— 1), pour obtenir trois systèmes (z) qui équivalent respective-
ment aux trois premiers systèmes (o).
Quant au quatrième, il ne saurait correspondre qu'à un systeme (7)
formé d'intégrales elliptiques de première et de seconde espèce. Considérons
done le svstéme:
E, dé. &,dE x x
du E d = 23, R(&) = 4¢ 48 — Js)
2e V R(&) VR(E,)
7) ;
dé, dz, " - re - je - Sn AS Dre
di m tee He DE TEN RE E
Vy RE, V R(&)
Il est clair que v(x,y,2) admet les périodes 2«, , 2@,;' mais allons voir
dans un instant que ces périodes sont primitives. — Posons:
1 vt n1), Sy — e v,), ) § | v) — etn, + v,),
' Puisque le point (£, 7, €) décrit un cycle fermé quand &, et Vit (&) reprennent
les mêmes valeurs, &, et YR(£,) ne variant pas.
2
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 43
d'où:
1(&) E
re)
/ I | /R(&) — V
Y — —(& +E) - | a
( 1 + 2) Hg EEE £,
Si
OECD rationnel);
VR(Y) = g'(r, + v,) s'exprime de méme rationnellement en ¢, 7, €. Ona
ensuite:
; 1[ JRE) — VR(E
u = —([¢(v,) + £(v,)] + const. — — E(v) + > | LES ES \ 2 | + const.
= Si Se
La transformation rationnelle:
| JR(&)— VR(E,) = - z 72
I va Ec a = 0,(5,7, €), y——6t-X
1 72
ramène done (7,) au systeme:
-
(mq) du=dX+ ST s do — CHI avec. ols... 6) —'0.
VR(Y) VR(Y)
toutes les périodes de v derivent sürement des périodes 2«, , 2@,, puisque
Y et /K(Y) reprennent les mêmes valeurs quand le point (2, 7, ¢) déerit
un cycle fermé. Il suit de là que £,7, € sont uniformes, donc rationnels,
en X, F, VR(Y)., Une transformation birationnelle ramène ainsi (z,) à (o)
et la surface! S' au cylindre Z? = 4Y* — 9,Y —9,, si 8’ désigne la surface
que définissent dans l'espace (£, 7, €) les égalités:
£—6 +é, 7 = 666, C= Vai — 928: — ga + VAE — nb — gs
Remarquons qu'en remplaçant # par z et X par = on ramene (7,)
a la forme:
aYdY dY
1 p JJ. RE I D
(a) du — dX X —;7-, du = 7, ZR),
système qui comprend en particulier (pour a — 0) le quatrième système (a)
où -o. Mais pour «4 — o la transformation de passage de (o') à 7,
[0]
devient illusoire. Le quatrieme système (c) où s est nul ne correspond
done à aucun système (7,), mais il dégénère d'un transformé birationnel de z,.
1 Ce résultat a déjà été établi par M. Picarp, Mém. couronné Sur les fonctions
algébriques de deux variables [p. 101—104].
14 Paul Painlevé.
35. Passons au dernier systeme (9) qui ne peut correspondre qu'à
un système (7) formé d'intégrales elliptiques de première et de troisième
espèce. Considérons done le systeme:
En (A) dé, p'(A)dE,
E-paA)yReE) [&—g(3J] y R(&)'
R(E) = 48 —9,£— 9,
(z,)
dé dé, 4 x > er
p. 5o, 4 MORE —
[a \ RE) | VR tin 9 = 65 EVEN
Posons, comme tout-à-l'heure,
&—e(n) &—p(w, Y—g()—p(-v) —VRE)— e);
Y et /R(Y) sont encore rationnels en £,7,4. On a ensuite:
\ 4
u __ OY, — A OY, — A) ara +)
er Ce P Ed)
— gti» e(v) e(v, — Now, — A)o(v, + v, + 24) — git» _o(v) (os, vy)
o(v+ 24) av, + Now, + Aolv, + v,) o(v eye
zy désignant une fonction elliptique (symétrique) de 7,,v,, aux périodes
20,, 2@,, c'est-à-dire une fonction rationnelle de (5,7, €), soit y =p, (&, 7, €).
La transformation rationnelle: X = o,(£,», €), Y — p(5, x, €) ramène done
(7) au systeme:
dX ; dY
du = — + f2€(4) + €(v) — C(v + 22) da, dv = —,
EI + Ve + > el 4 J VR(Y)
ou, si on veut, en posant a — — 2A et en remplaçant w par u, — 2v¢(A),
à la forme
dx CIAM a'(a) + VR(Y) dY
(c) du, = => cal (a) ga) VINCE , dv = ——,
OES Rn) don 2[o(«) — Y] - VR(Y)
c'est-à-dire. au cinquième système (a). Le raisonnement fait au numéro
précédent montre que 2@,, 2@, sont des périodes primitives de l'intégrale
v(£,2,€), et que, par suite, €, 7, € sont rationnels en X, Y, /R(Y). Le
systeme (7,) est ainsi ramené birationnellement au dernier système (a) le
plus général, à cela prés que pour a=o-+ période, (c'est-à-dire pour
NE période), la transformation de passage entre (r,) et (oe) devient
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 45
illusoire. Le systeme (49) n'est done équivalent à aucun systeme (z,), mais
il dégénère d'un transformé birationnel de (7,).
La transformation de passage de (s") à (z,) nous fait connaitre une
nouvelle correspondance birationnelle entre le cylindre Z^ = R(Y) et la
surface S'.
36. Discussion d'une methode de démonstration proposée par M. Picard.
M. Picarp a indiqué! du théorème de WEIERSTRASS une démonstra-
tion qui repose sur les principes intuitifs suivants:
Considérons trois fonctions uniformes a(w, v), y(w, v) , z(u,v) définies
-
par l'inversion de deux intégrales de différentielles totales u — I, v
)
attachées à la surface algébrique S(r,y,2)-— 0; soit
(50) du— P(r,y,z)dz + Q(v,y,z)dy, dv = P,(x,y,2)dx + Q, (x,y, z)dy.
Introduisons deux autres intégrales de différentielles totales attachées a la
surface 2(&,7,¢) = 0, soit
[a= f 6,7, Ode + K(E, 4, ¢)dy,
(51)
| = sme, 7,€)d6 + K(£,7, C)dy,
telles que chacun de leurs couples de périodes soit égal à un couple de pé-
riodes des deux premières. Les fonctions x, y, z de £, 7, £ obtenues en rem-
plaçant u et v par J, et J, sont évidemment des fonctions uniformes du point
(E,7,¢) de 2; quand, de plus, les fonctions z(u, v), y(u, v) , z(u, v) sont
méromorphes, les singularités essentielles des fonctions æ,y,4 de (£,%, €)
(s'il en existe) sont nécessairement distribuées suivant les courbes polaires
de I,,J,. Enfin, quand les fonctions £,7, 7 de w,v, obtenues en posant
u = I, v — J,, sont elles-mêmes uniformes et quand les couples de périodes
sont les mêmes pour (/, J) et pour (7, , J,), la correspondance entre (z, y, 2)
et (F, 4, €) est biuniforme.
Ceci posé, placons-nous dans l'hvpothése où les fonctions æ(#, v), y(w, v),
z(u,v), définies par le système (50), non seulement sont méromorphes, mais
renferment rationnellement les constantes d'intégration (z,,5,,2,. M. PICARD
se propose d'établir qu'on peut choisir pour systeme (51) un systeme hy-
perelliptique, tel que la correspondance entre (r,y,z) et (£,5*, 7) soit non
seulement biuniforme mais birationnelle. La démonstration (voir le n° 8)
! Voir la note I, pag. II.
pag
16 Paul Painlevé.
n'a besoin d'être faite que dans le cas où les fonctions x(u, v), y(u, v),
ziu,v) ont au plus trois couples de périodes distincts.
37. Lrillustre géomètre distingue deux cas principaux, suivant qu'il
existe ou non des périodes polaires. Pour plus de clarté, discutons le premier
cas dans l'hypothèse particulièrement simple où les couples de périodes se
réduisent à deux, tous deux logarithmiques, soit les couples 9i à s )
O... 2m
correspondant respectivement à deux courbes polaires C, et C,.
M. Pıcarp introduit alors le systeme (7) dégénéré, |loe. cit. p. 113,
114]:
adz,
du = : : = ~ Ê = & 4&5; 4 = 665;
(&, — a^) ye (& — a^) VE
(52)
bdé hd =
dip’ SE a ee ae
(&£ — b*)Vé, (£ — b ) v6,
Les fonction suniformes de r,95,2 de & £ ne sauraient admettre de singu-
J) ) ) Ss
larités essentielles en dehors des quatre courbes polaires & — a’, & = b?,
,-— a*, &£ — b. M. Picarp admet! que le point (r,y,z) tend vers un
dy
je
point determine de la courbe polaire C,, quand &, tend vers a’, VE, ayant
un certain signe, (=, et J£, étant invariables et quelconques). En s'appuyant
sur le fait que (m,,5,,2, figurent rationnellement dans ax(u, v) , y(w, v)
z(u,v), il montre ensuite qu'il en va de méme pour l'autre signe de y£,
et il en conclut que les fonctions x ,y,2 de £,7,£ sont dénuées de sin-
gularités essentielles et par suite rationnelles.
En réalité, ce qui est quasi-évident c'est que le point (x, y, 2) est très
voisin d'une courbe polaire de S dés que £, est voisin de a*, mais il n'en
résulle nullement que (x,y, 2) tende vers un point déterminé. Prenons, par
exemple, le systéme:
da
(53) du = +
: :
: dv = = + dal — ] |
' M. Picarp se borne à dire (A la notation prés) [loc. cit. p. 107 et 114] que,
si 5, tend vers a” (le radical J£, ayant un signe convenable), la période polaire est
pour u égale à 27i. »Done quand €, tend vers a’, VE, ayant un certain signe, quels
que soient d'ailleurs £, et V&, le point (zr, y, 2) tendra vers un point de la courbe
gu ( | 0
] garithmi jue 1"?
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 47
qui définit les fonctions méromorphes: cz — €", y — €'*^** ^; les relations
)
entre «,y et £,, & sont ici:
(VE, — a)(vF, — a) ma VE — nié, xp] Zu
( JE. + a)! é, + a)’ d ( 4 by (a + n
VS: ? \ [2 vs
(c, c' constantes arbitraires); :
x tend vers O ou co suivant que yz, tend vers +a ou — 4, mais, dans
l'un et l'autre cas, y(€,, &) est complétement indéterminée.
Il est done indispensable de démontrer que (x,y,2) tend vsrs un
point déterminé quand V£ tend vers une des valeurs a, — a, et celte dé-
monstration ne peut être faite sans invoquer l'hypothèse que x{u,v), yw, v)
renferment rationnellement (x), Yo, z,). !
La méme objection s'applique au raisonnement [loe. cit. p. 106, 108,
qui concerne le cas où un seul des trois couples de périodes est supposé
polaire.
48. Quand il n'existe pas de périodes polaires, M. PicAmD s'appuie
seulement sur l'hypothèse que les fonctions c(w,v), y(w, v), z(w, v) sont
méromorphes et il arrive à cette conclusion [p. 110—114] que ce sont
alors des fonctions hyperelliptiques dégénérées. Or l'exemple:
1 d 22
(54) du =", dv — : =
vA = ty — 9
qui engendre les fonctions méromorphes
X ME
suffit à mettre cette conclusion en défaut.
(VE PE a)(Vé, es a) Y (V& >= b)(Vé, ER b)
! La transformation X = : = - ramene
(Ve, + a)(vé + a) (VE, + b(VE, + )
- ‘ dX dY 4
le systéme (52) à la forme: du = X dv = Wo Le raisonnement de M. Prcarp
^
revient à admeltre que (un couple de résidus de I, étant +1 et O) la valeur X=O
est un point non essentiel pour les fonctions uniformes z , y,2 de X, Y, et à démontrer
qu'il en va de méme pour X = cc. Or la discussion qui fait l'objet des n° 25— 31
n'a d'autre but que d'établir le fait admis ici.
48 Paul Painlevé.
Tout d'abord, la discussion de la courbe polaire non logarithmique
(telle qu'elle est exposée aux pages 112—113) prête à la méme objection
que je viens de mettre en évidence pour une courbe logarithmique. Mais
de plus cette discussion repose essentiellement sur le lemme suivant
qu'énonee tout d'abord M. Picarp (p. 110 et 112): »Quand les fonctions
r(u,v),y(u,v) sont uniformes (sans toutefois être algébriques), toute courbe
polaire non logarithmique laisse finie une combinaison linéaire de w, v.»
Or dans l'exemple (54), où w(w,v), y(w, v) sont méromorphes, aucune com-
binaison linéaire de w,v ne reste finie pour z — o. Pour démontrer ce
lemme, il est nécessaire de s'appuyer sur le fait que les constantes (x, , y, , zj)
figurent rationnellement dans v(uw, v) , y(u,v) , z(u, v), et cette démonstration
me parait exiger une discussion entièrement identique à celle des n° 22— 24.
En définitive, — et sans insister sur d'autres objections qui com-
pliqueraient encore le raisonnement — la méthode de M. Picarp, si in-
téressante qu'elle soit en elle-même, soulève (en outre de difficultés nou-
velles; les mêmes difficultés qui ont exigé plus haut la discussion des n°*
22— 31, la seule partie un pet délicate de notre démonstration.
Sur le cas oit les fonctions xu, v), y(w, v), zu, v) sont uniformes
sans renfermer rationnellement les constantes (x, , y, , z,).
39. Il est impossible, après les considérations précédentes, de ne pas
se poser ce probléme:
Quand les fonctions inverses x(u,v), y(u,v), z(u,v) de deux intégrales
de différentielles totales sont uniformes, quelle est la nature de ces fonctions?
Ce difficile probléme se rattache évidemment à l'étude des équations
différentielles à intégrale générale uniforme. Je me bornerai à énoncer
ici les résultats auxquels conduit la méthode que j'ai appliquée aux équa-
tions du second ordre.!
Par hypothèse, les constantes 7), Yo, z, figurent sous forme transcendante
dans z(w,v) y(w,v),z(w,v) Mais je montre (et c'est là toute la difficulté
' Voir le Bulletin de la soc. math. de France (tome 28, p. 201—211) et
les Acta mathematica (tome 25, p. 1-80).
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 49
de la question) qu'on peut toujours choisir les deux constantes arbitraires
de façon qu'une d'elles entre algébriquement dans x ,y, 2. Il est dès lors
aisé d'élueider la nature des transcendantes z,5,2 de (u,v) et même de
traiter ce probléme plus général:
Quand les fonctions æ(u , v), y(u, v), engendrées par l'inversion de deux
intégrales de différentielles totales, n'ont qu'un nombre fini de branches et
dépendent algébriquement d'une des constantes d'intégration (convenablement
choisies), quelle est la nature de ces fonctions?
La réponse s'énonce ainsi: Une transformation algébrique effectuée sur
x,y et une substitution linéaire effectuée sur u,v, ramènent les deux diffé-
rentielles totales à une des formes: !
(1) do — dy,
ou
lé dy
(I1) dv — Dx
ou
dy
III dv = —————————
V4y* — 9,4 — 9
avec!
(IV) du = © + H(y)ay,
ou | (H algébrique).
(V) du A TAN
v4z* Tu
Les fonctions x,y de (u, v) correspondantes sont:
Peavy N y=e, ou y = $(v, 9,5 93)
avec:
(VI) x = eX tke) |
ou K(v)= — [ H(y(v)] a dv,
(VID) 2=9,(u+ K()), dez aput
! Je suppose bien entendu qu'on écarte le cas (déjà traité) où les deux constantes,
convenablement choisies, figurent algébriquement dans =, y.
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 27 aoüt 1902.
50 Paul Painlevé.
Il faut que e*™ (dans le cas VI), et g,[K(v)] (dans le cas VII)
soient des fonctions de v à wn nombre fimi de valeurs. Ceci revient à dire
que l'intégrale abélienne SH), [en dehors de la (ou des deux) périodes
qui correspondent à la (ou aux deux) périodes de v] ne doit admettre que
2070 = 2mo, + 2nw,
7 (dans le cas VI) et — —, —- (dans le cas
VID: 7,m,n sont des entiers, et 2c; , 2; les périodes de ¢,.
des périodes de la forme
Dans le cas (VIT), les fonctions x, y de (u, v) sont 4 fois périodiques et
présentent des singularités essentielles à distance finie, du moment que
[Hy)ay n'est pas de première espece." Les quatre couples de périodes
ne satisfont pas en général à la condition de Riemann.
Dans le cas (VI), les fonctions z(u, v), y(u, v) peuvent n'admettre
comme singularités essentielles que 4 — co et v — co. Pour qu'il en soit
ainsi, il faut d'abord que v vérifie une des équations I ou II (mais non
l'équation III); il faut ensuite (et il suffit) que [Hay ne devienne in-
fini que logarithmiquement en dehors du point y — co dans le cas I, et
des points y — 0, y — oc dans le cas II. Quand ces conditions ne sont pas
remplies, æ(u,v) présente des points singuliers essentiels à distance finie
dans le champ des v.
Quelques applications du théorème de Weierstrass.
40. Je voudrais signaler rapidement quelques applications du théorème
de WEIERSTRASS.
Une premiere application est relative aux transformations birationnelles
des surfaces algébriques.
Au sujet de ces transformations, M. Picarp? a établi ce théorème
qui a une importance considérable dans la théorie des surfaces algébriques:
! Quand f" y)dy est de premiere espèce, on rentre dans le cas où les constantes
figurent algébriquement dans z, y.
' Loc. cit. p. 65— 99; voir aussi mes Leçons de Stockholm, p. 255—288, et les
récentes recherches de MM. Casrernuoro et EwmquEs (Math. Annalen, 1899, et
Comptes-Rendus de l'Académie des Se. do Paris, 5 novembre 1990).
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d'addition. 51
»Quand une surface algébrique S admet un faisceau continu de trans-
formations birationnelles, ou bien elle renferme une famille de courbes de
genre O ou 1, ou bien elle possède deux intégrales de différentielles totales
o [Pax + Qdy, v= [Pde + Q,dy,
telles. que les fonctions inverses x(u,v), ylu,v), z(u,v) soient uniformes et
dépendent rationnellement des constantes initiales (my, Yo, 2).
4
Occupons-nous seulement de ce dernier cas: le théorème de Wetgr-
STRASS énoncé au n° 33, nous montre que la surface S est alors une sur-
face hyperelliptique, dégénérée ou non.
41. Une autre application du théorème de WEIERSTRASS se rencontre
dans l'étude analytique des équations différentielles. J'ai montré notamment '
qu'il joue un róle essentiel dans la théorie des équations du second ordre
dont l'intégrale générale renferme algébriquement les deux constantes.
Limitons-nous, pour le faire comprendre, à un beau résultat établi
par M. Picarp.
de d'x
Soit Sm, Te
> du? du’
où la variable indépendante w ne figure pas explicitement. Quand l'inté-
grale generale x(w) de cette équation dépend rationnellement des constantes
initiales z,, ©, x, [liées par la relation S(2,,2,,2,) — o], M. Picarp a
)-o une équation (algébrique) du second ordre,
montré que deux cas sont possibles:
1° ou bien æ(w) est une fonction rationnelle soit de x, soit de e",
soit de $o(w,9,, 9,) , (Ws 9,5 9.) (9, 9,, 9, constantes numériques];
2° ou bien, si on pose: y—x, 2— €", la surface S(z,y,2)—0
possède deux intégrales de différentielles totales telles qu'en égalant la pre-
mitre à «--a, la seconde à une constante D, la fonction x(u--a, b) ainsi
définie soit précisément l'intégrale générale de l'équation donnée.
Le théoréme du n? 33 exprime dés lors que, dans le eas 2?, la
fonction x(u) s'obtient en remplaçant, dans une certaine fonction hyperellip-
tique (dégénérée ou non), un des arguments par u + à et le second par une
constante b; le cas 1° rentre, en particulier, dans ce mode de génération.
1 Leçons de Stockholm, p. 351—394.
! Loc. cit. p. I29—142.
52 Paul Painlevé.
Plus généralement, considérons un système différentiel: x, = H(x, y),
y, — Kir,y, où H et K sont algébriques en x , y et indépendants de u:
quand l'intégrale generale x(u), y(u) de ce système dépend algébriquement
des deux constantes, jai montré! que x et y sont des combinaisons algébriques
des deux fonctions obtenues en remplacant dans deux fonctions hyperelliptiques
dégénérées ou non (aux mémes périodes) un des arguments par (u + a) et
l'autre par b.
42. Complément au théorème de Weierstrass. Ces applications suffisent
à faire comprendre l'importance du théorème de WEIERSTRASS en dehors
méme de la théorie des fonctions abéliennes. Je me servirai seulement
du dernier résultat énoncé pour compléter, sur un point, le théorème méme
de Werersrrass. Dans l'énoncé de ce théorème (n° 2), nous avons supposé
que les deux fonctions z(w,v), y(w, v) étaient distinctes. — Qw'advient-il
quand il en est autrement?
Soit dene g(w,v), du, v) deux fonctions de «,v dont le jacobien est
nul, et qui admettent un théoréme d’addition. Je vais montrer que ¢ et d
sont des combinaisons algébriques des deux fonctions obtenues en remplaçant
dans un couple de fonctions hyperelliptiques (aux mémes périodes), un des ar-
guments par au + fv, et l'autre par zéro: les fonctions hyperelliptiques
peuvent d'ailleurs étre dégénérées.
Posons, comme. au n? 5, z— e(u 4-u, ,9 4- 9,), y — d(u -- «, , 9 4-9),
et z,— g(u,, Vo), Yo = d(w,, v). Par hypothèse, on a: y = F(x); et d'autre
part, d'après le théorème d'addition, æ et y s'expriment algébriquement a
l'aide de z,,y,, soit:
(55) «= A(X, Yo, U,V) = Alm, F(x), u,v), [A algébrique en &, y,].
De cette équation, on tire aussitöt: ?
9x ox 9A A or Oa
- ow [FP +ere |= =
ou 9 br QT, 2% ou, + ou,
Ox Ox 94 9A 19x On, ?
Mec. E + P'(z,) | — eh
av 9v, 9c, oY, "J 9v, av,
! Lecons de Stockholm, p. 351—360.
9A 94 eB eB
* Il est loisible d'admettre qu'une des expressions — + — PF'(z,) — + —— F (a,
; q P oa, + E] À ( 0, az, + 2, ( n
; : ; : : à 9r Or OY 01 :
n'est pas identiquement nul, (soit la première); sinon, A A Se ME seraient nuls, et æ, y
du’ dv’ du’ dv
raient des constantes.
Sur les fonctions qui admettent un théoréme d addition. 53
Ou
ou : ^ : Tm
le rapport — est done indépendent de u,v; autrement dit, c(w, v) vérifie
av
2 . 9c oy "um / :
l'équation: 4—-— 4-7 — o (x, 3 numériques); e(w,v) est donc une simple
| T ow ov ( ) I | Jr ¢ ( ) ) 1 E 1 e
fonction: de au + fv; il en est de méme par suite de (uw, v) — F(c). U
est loisible, en remplaçant « par aw + fv, de supposer a= 1, f — o.
Ceci posé, reprenons les égalités:
t= e (u ds tto) m A(x, ) Yo u), y E du SX M) = D (a, , Yo; it),
et Gliminons z,, y, entre les équations: «= A, y= D, cz; = = = =
il vient:
da dy " 7 ee
(56) = — H(r,y,wu) = K(r,y,w) (H, Kalgébriques en z, y),
Les fonctions 2 = e(u + u), y — du + w) vérifient, en particulier, ce
systeme; il existe done au moins un couple de fonctions y(z), z(y) tel
que les solutions du systeme différentiel:
du = y(x)dx = c(y)dy
appartiennent au systeme (56). Si les fonctions (x) , c(y) qui jouissent de
cette propriété dépendent au moins d'une constante arbitraire, 4 ne figure
pas dans H, K; si non, y et r se déduisent algébriquement du système
(56) et sont, par suite, algébriques respectivement en «2, y. Dans le pre-
mier cas, le théoréme qui termine le n? 41: s'applique au systéme (56);
dans le second cas, æ(#) est une fonction algébrique de jw, g,, 4,) ou
de €" ou de u, et de méme y est une fonction algébrique de a, (uw, 7, , rs),
ou de &" ou de #. Dans l’un et l'autre cas, x et y sont des combinaisons
algébriques de deux fonctions obtenues en remplagant, dans un couple (dé-
généré ou non) de fonctions hyperelliptiques, un des arguments par w et
l'autre par o. CLOUD:
Extension aux fonctions de n variables.
43. Le théorème de Weterstrass se démontre pour les fonctions
de n variables par une méthode absolument identique à celle que nous
54 Paul Painlevé.
avons développée plus haut. Toute la difficulté revient à démontrer ce
théorème :
Si n intégrales distinctes” de différentielles totales, soit
u = {Bla Way o, Eng By F Yan, Way. Pl
+ Ta; «++ 5 Gngs) My y
attachées à la surface algébrique [à (n + 1) dimensions] S(x,, ..., x,,,) — 0,
engendrent par leur inversion des fonctions uniformes (u , ..., w,) ...,
Tou, ..., 4), qui renferment rationnellement les constantes a, ..., Ya,
ces fonctions forment wn systeme (dégénéré ou non) de fonctions abéliennes
aux mémes périodes.
Le théorème est démontré pour n = 1 et m= 2. On admet qu'il
est vrai pour # — ı et on l'établit pour ». A cet effet, on s'appuie sur un
lemme entièrement analogue au lemme A du n° 20, et la discussion d'une
multiplicité polaire (logarithmique ou non), soit x, — O, des intégrales w,,
conduite comme aux n? 22—32, montre que, moyennant une substitution
linéaire convenable effectuée sur les #, les fonctions $,, ..., %,,, sont toutes
u
rationnelles soit en w,, soit en e^; dès lors, en raisonnant comme aux
11
n" 12—19, on est aussitôt ramené au cas de (n — 1) variables.
Paris, le 15 février 1902.
J'entends par là que les » fonctions u +; Un de x ..,*, sont distinctes,
> m
LP Qe rua
autrement dit que le déterminant CDS .....| n'est pas identiquement nul.
| Pr (In ... ju
SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE
PAR
R. LIOUVILLE
a PARIS.
ABEL a consacré quelques pages (Oeuvres, tome 2, n? s). à l'étude
5 Y ) , 234»
des cas dans lesquels on sait intégrer l'équation suivante,
d
(1) (y + ST + p + ay t ny? — o,
où p,qg,7, 8 désignent des fonctions de x.
Ce type d’équations différentielles, le plus simple de tous ceux du
premier ordre, après celui de Riccari, présente, pour cette raison, un vé-
ritable intérêt et, depuis les travaux d’Ager, il a été, à plusieurs reprises
et sous des formes diverses, l'objet d'assez nombreuses recherches.
On peut, en ce qui le concerne, se placer à deux points de vue bien
différents et presque opposés, selon que l'on s'attache à reconnaitre s'il
existe une intégrale, dépendant de y d'une facon indiquée, par exemple
algébrique, ou bien à trouver les caractères essentiels de la relation établie,
d'après la nature méme de l'équation proposée, entre lineonnue y et la
constante arbitraire qui s'y trouve impliquée, abstraction faite d'ailleurs du
choix adopté pour la variable x.
Voici comment on peut concevoir ce qu'il y a d'essentiel dans une
relation de cette espèce: il est clair que, si la formule
(1) y — f(& , c),
définit, quel que soit c, une solution de l'équation (1), il est permis de
substituer à ce paramètre une fonction @(c), quelconque, ne renfermant
pas ©; aprés cette substitution, l'inconnue, y, conserve certaines propriétés
Acla mathematica, 26 bis. Imprimé le 27 aoüt 1902.
56 R. Lionville.
inaltérées, paree que c'est en fait une fonction de deux variables; ces
propriétés doivent être regardées comme des caractères propres au type
d'équations différentielles qu'on étudie; ils sont visiblement liés à la nature
de ses invariants, mais, pour découvrir cette liaison si cachée, les moyens
dont on dispose ne possèdent jusqu'à présent aucune généralité. Tout se
réduit done encore à la discussion de quelques cas particuliers, les plus
nombreux et variés que l'on sache construire, afin de préparer des vues plus
étendues sur la question.
C'est ainsi que, dans le Mémoire cité, ABeL déduit d'hypothéses di-
verses, relatives au multiplicateur, des cas d'intégration, qui semblent méme
d'abord former une suite indéfinie. J'aurai l’occasion de donner un peu
plus de précision à ces résultats.
D'autres, dépendant d'une analyse toute différente, ont été signalés
dans des travaux plus récents ou le seront dans cet article.
Je m'attacherai surtout a faire ressortir ce qui est spécial au type
d'équations différentielles dont il s'agit.
Enfin, j'aurai quelques remarques à présenter au sujet d'une de ces
équations, dont l'intégrale n'est pas connue et ne peut être algébrique,
bien que l'on en sache trouver une propriété simple et entierement explicite.
8 1. Invariants et forme canonique. .
Au sujet de l'équation générale (1), Aspen démontre d'abord qu'elle
peut étre réduite à la suivante
zdz
(2) de rH M 6 D
ou à celle-ci
dz
(2^) (p + g2)> +2=0,
p et q étant des fonctions de la seule variable z. Dans ce qui va suivre,
nous adopterons une forme un peu différente. Si l'on établit entre l'in-
connue définie par l'équation (1), et une autre inconnue, 2, cette relation
1
(3) y+s=-,
Sur une équation différentielle du premier ordre. 57
on reconnait sans peine que la fonction z est déterminée par une équation
de cette espéce,
(4) q; + 4 + 34,2" + 30,2 + a, = 0,
dans laquelle a,,a,,..., a, ne dépendent que de x; c'est à cette forme
que nous nous arréterons d'ordinaire, mais il va de soi que cette manière
de représenter les équations différentielles dont il s'agit n'est d'aueune im-
portanee.
Le type (4) se conserve
arbitraire, la nouvelle, x
1? quand on change la variable d'une facon
p étant liée à l’ancienne par la relation
2° lorsqu'on remplace l'inconnue, z, par une autre, z,, qui lui est liée par
la formule,
(2) 2 ag +
€ et d étant des fonctions quelconques de x. J'ai montré déjà (Comptes
Rendus de l’Académie des Sciences, 6 septembre 1886), que, pendant
ces transformations, l'expression
(6) 5 = 4,0, — aa, + ala, — 30,0,0, + 203
est un invariant relatif, de poids 3, c'est à dire se reproduit, multiplide
3
par (f) et ne contient pas d; en outre, si $,, , représente un invariant,
de poids 2m — 1, il en existe un autre, donné par l'expression
(7) S5m41 = San — (2m = 1)[a; zs 3 (a CEA 405)] $25. .
Celui-ci est de poids 2m + 1 et il est clair que les relations (6) et (7)
permettent de construire des invariants absolus, en nombre aussi grand que
l'on veut et de définir ainsi les caractères essentiels de chaque équation
analogue à (4), par une relation entre deux de ces invariants, (Comptes
Rendus de l'Académie des Sciences, 12 septembre 1887).
En reprenant ces recherches pour l'équation (4) et les étendant à
d'autres types moins particuliers, M* Arrrrr adoptait le méme point de
vue dans son Mémoire Sur les invariants de quelques équations différentielles,
Acta mathematica 26 bis. Imprimé le 7 août 1902, 8
R. Liouville.
oo
LA
o
(Journal de Mathématiques, tome 5, 1889). Il donnait alors le moyen
x
de réduire l'équation proposée à la forme canonique,
(8) AX Y* + JR),
dont le seul coefficient variable, J, est un invariant absolu.
Toutefois ce n'est point ce que j'ai appelé un invariant proprement dit,
je veux dire qu'il ne se déduit pas de a,,a,,...,a, par de simples opéra-
tions algébriques et différentielles; il exige au contraire une quadrature.
Par suite, quand les coefficients de l'équation proposée, (4), sont des fone-
tions algébriques de v, sa représentante, (8), ne jouit pas, en général, de
cette propriété. C’est pour éviter cet inconvénient que nous emploierons
une autre équation canonique; voici comment on y parvient.
Soit {= sis’, un invariant absolu, qui sera pris pour la nouvelle
variable et soit z,, une inconnue liée à z par la relation
(9) run a
Un caleul des plus simples donne, pour l'équation différentielle transformée
de (4), la suivante,
dz, It 1— 7 I
dans laquelle,
: | 3888; — 58;
(11) = E 5
est un invariant absolu. L'équation (10) est canonique, puisque ses coeffi-
cients sont des invariants absolus et il est clair qu'entre T et ¢ il existe
une relation, caractéristique pour chaque équation différentielle du type (4).
A ce théorème, qui apparait d'abord sur l'équation (10), équivaut celui
que M* ArrELL a démontré dans son Mémoire déjà cité.
Il y a des cas où la forme (10) ne peut être adoptée; il se présentent
si /—0, t— co ou T — o. Dans la dernière hypothèse,
(12) 24,0, == bos
Sur une équation différentielle du premier ordre. 59
et, d'après l'identité (7), ceci signifie que
3% _ 5%
(13) er
)
c'est à dire = Constante; quant aux premières hypothèses (/ — o , f= oo),
elles sont des cas partieuliers de la précédente. J'ai montré ailleurs
(C. R de 1’Ac. des Se., 6 sept. 1886), comment alors l'équation (4)
doit être traitée; la propriété essentielle de son intégrale s'exprime, si l'on
veut, de cette manière curieuse.
Si l'on introduit une inconnue nouvelle, Y, ainsi définie,
dY
(14) a= 7 (x),
après un choix convenable de ge, il y a entre Y et x, une équation de
cette espèce
(15) aff, Y) + fe, Y) + f(x, Y) = 0;
€,, C3, €, sont des constantes arbitraires qui n'entrent pas dans /,, PR À
et, par suite, figurent toutes trois, au premier degré seulement, dans l'inté-
grale, (loc. cit., 6 sept. 1886).
J'indiquerai, à la fin de ce Mémoire, $ 4, toute une série de cas
présentant une grande analogie avec celui qui vient d'être indiqué.
82. Cas d'intégration.
Les exemples traités par ABEL sont tous obtenus par une étude du
multiplicateur. On suppose que l'équation différentielle,
(16) zz + p + qg2 = 0,
admette un multiplicateur, #, dont le logarithme soit une fonction entière
de z, les coefficients de cette dernière pouvant d'ailleurs renfermer x.
Les conditions auxquelles cette fonction se trouve ainsi assujettie, quel que
soit son degré, sont calculées sans peine et l'on semble posséder par ce
moyen une série indéfinie de cas d'intégration. En fait, c'est pour le
second degré seulement que la forme explicite de l'équation (16) a été in-
60 R. Liouville.
diquée par ABEL. En prenant q = 1, chose permise si la variable inde-
m : : 1
pendante est choisie comme il convient et posant z out on trouve que
l'équation (16) équivaut alors à la suivante,
y 2
"7 a - zs
(17) Ya sits 98
Ses invariants ¢ et T' s'expriment ainsi,
247 — Ne D coms Fi 2
is augue uta p He —2Y270w — 452" — 242 Y) —
REIN: (darge
5
et sont lies par une relation qui caractérise l'équation (17); la courbe,
dont ¢ et T sont les coordonnées cartésiennes, sera dite attachée à l'équa-
tion différentielle proposée; on voit qu'elle est unicursale et du degré to.
Quand log» est un polynôme cubique en z, soit
(19) a -- az -- ag + a,2°,
&,0,, ..., 4%, sont définies par le systeme
$a o, ^ Sela) RM LM
(20) a
a sU 2pa, = O,
où j'ai fait gq = — 1. On en déduit
(21) p + 6kap? + 3kp° = o,
la constante A étant arbitraire et l'équation (16) est ainsi donnée d'une
facon explicite, si l'on sait obtenir p.
J'ai donné ailleurs le moyen d'y parvenir (C. R. de l’Ac. des Se,
12 sept. 1887). Soit en effet, Y' = p: Y est déterminée par l'équation
suivante
d’x a de
(22) iy 9 y —
3k = 0;
dérivée d'une équation de RıccArı fort simple,
d
d
t
—
to
3
sr
y — 3kx? — 3k Y — 3h — o.
Sur une équation différentielle du premier ordre. 61
Celle-ci se ramène à l'équation linéaire
d'u
2 Jv ku(kY +h) =o
(24) ipi + gku(k¥ + h) — o,
dont les solutions s'expriment, comme il est bien connu, par des intégrales
définies.
L'équation d’ABer peut alors être représentée ainsi qu'il suit
4 dy I 3 I du* au | I m
(25) SNC ^ae | ax) — var | Wi coo
m Ge)
avec la relation (24) pour déterminer w et la courbe qui lui est attachée
est manifestement transcendante.
Quant à l'équation auxiliaire (21), ses invariants ¢ et 7' sont des fone-
tions rationnelles de k?z?; il est facile de les calculer et la courbe attachée
est unicursale et du degré 8.
Si l'on voulait poursuivre ces recherches, il faudrait d'abord imaginer
que logs est un polynôme du 4? degré en z; on trouverait alors, pour
définir p, une équation différentielle, du second ordre, non linéaire et bien
plus compliquée que l'équation (16). On ne peut done obtenir explicite-
ment aucune des équations du type (16), auxquelles appartient un multi-
plieateur de la nature indiquée. Les cas suivants sont plus complexes
encore, en sorte que les équations différentielles (17) et (25) doivent étre
regardées comme représentant toutes celles qu'il est possible d'étudier dans
la série indiquée.
Les autres hypothéses, faites par ABEL au sujet du multiplicateur,
lui donnent encore deux cas d'intégration; ils correspondent à ces équations,
2 8 2 2 3
(26) ae __ 4y i UN a o, N Ha)artier?],
dans lesquelles c désigne une constante arbitraire. Leurs invariants s'ex-
priment par des fonctions rationnelles de x et le degré de la courbe attachée,
toujours algébrique et unicursale, est assez élevé.
J'ajoute un cas analogue à celui de l'équation (21). Considérons
l'équation différentielle
(27) y + (3mz? + 4m°x + m,)y’ + 3xy* = o,
62 R. Liouville.
dans laquelle m et m, sont des constantes à volonté. Si l'on introduit
une inconnue nouvelle, Y, en posant
dY :
de — 9
on change l'équation précédente en une autre, du second ordre, qui peut
ainsi s’eerire
d’x dz 2 2
28 —— — 38 2 — (amr m*r + m,) = 0;
(28) dY?* 3 dY (3 + 4 RE 1) )
or elle est visiblement identique à celle-ci,
22
. d [dz 32° ^ dz 3%
(29) ay ay = 2ma | + 2m iy ^ gS Tena aaa
)
dont l'intégration s'aperçoit d'abord: elle est donnée par la formule,
da 32? yrs ian Se
(30) dY 2 doi 2m !
la transformation
2 d log u m
PRE = = =
m A e 1
change l'équation précédente en une autre, linéaire et du second ordre,
„au
(11) rcc js En Ee (o + m,) = o,
dv 2m?
d'étude facile, qui définit des transcendantes spéciales.
A l'équation différentielle (27) est attachée une courbe unicursale, du
degré 25.
Dans son Mémoire déjà rappelé, M* Arperr a signalé un nouveau
mode d'intégration; le procédé employé par M* Arrzrr consistait à permuter
la variable et l'inconnue dans une équation différentielle du type (1’) et
à la ramener ensuite à la forme (4), adoptée dans ce travail, à l'aide de
la substitution (3). Quand la permutation indiquée est faite dans une équa-
tion du type (21), par exemple, l'intégration est immédiate et c'est ainsi
que se trouve résolue l'équation différentielle,
a laquelle est attachée une courbe unicursale du 10° degré.
Sur une équation différentielle du premier ordre. 63
Enfin, dans deux communications à l'Académie des Sciences,
HALPHEN a étudié l'équation
dy 3y(y + 1) — 4a
(33) ro "ES as
et montré comment elle s'intègre, soit à l'aide des fonctions elliptiques,
soit méme sous forme algébrique. Les rapports de cette équation avec la
multiplication de l’argument dans les fonctions elliptiques et l'élégante
discussion d'HareuEN lui donnent un intérêt tout particulier. Ce sont
ces rapports méme qui fournissent les éléments nécessaires à son étude.
Il est facile de lui donner la forme (4), en posant
(34) 4x — 3y(y + 1) ==,
ce qui implique
dz
(35) ay — 99 + 3)(8y — Ne — 2(7y + )8* = o.
on
La eourbe attachée est unicursale, du degré 25.
Une importante propriété de l'équation d'HALPHEN consiste en ceci,
c'est qu'elle se change en elle-méme par une infinité de substitutions ra-
tionnelles.
A ce point de vue, on en peut rapprocher une équation que jai
signalée ailleurs et qui mérite, semble-t-il, une étude plus complete; le pa-
ragraphe suivant lui est consacré.
83. Examen d'une équation particulière, admettant une
transformation rationnelle en elle-méme, mais
aucune intégrale algebrique,
L’équation dont je veux parler est la suivante, où »,, ”,, sont des
paramétres arbitraires,
6 dy 2j" (nix? — nix) 3njy^ — O.
9 ) de ) »5 au
64 R. Liouville.
— : : ‘ ee se : dY
Si lon introduit une inconnue nouvelle, Y, d'après l'équation d: ee
elle devient celle-ci,
dx dz
(37) d: ol ae 2 (m? — nix) — o
)
du second ordre et d'une catégorie pour laquelle a été indiquée une trans-
formation spéciale, (Swr les invariants de certaines équations. différentielles,
Journal de l'Ecole Polytechnique, 59 cahier, 1890). Soit en effet,
x,, une variable nouvelle ainsi définie,
1?
de 2 : Be
(38) dY + NT —mn-— 2mm,
on trouve d'abord
da,
(39) dy sm (nm + n,)x,,
et, comme conséquence,
d’x dx DES 5
(40) dy* mus ou iY — 2 (niai — nz) = o.
CER I
Ayant done pris jy ^,» on en conclura
e Un
( dy, au (n? a3 2 aes
41) am b yino — NT) 3n, = 0,
vdd
ce qui est, sauf les notations, l'équation proposée elle-méme. On en déduit
ce théoréme:
L'équation
d
A. + ay (uia! — njz) + any’ = o
se change en elle-méme par la transformation,
I I
„2 --—— wm om e ya
(42) onyx — 10 = and, — = n«-+n,,
Y 9g
qui détermine, pour x et y, des fonctions rationnelles de v, , y, , ....
Cette propriété engage à rechercher si l'équation (36), dont la solu-
tion n'est pas jusqu'à présent connue, admet une intégrale algébrique.
C'est ce point que je vais maintenant étudier.
Sur une équation différentielle du premier ordre. 65
Il est clair d'abord qu'une telle intégrale, si elle existe, peut être
5 , » I
regardée comme rationnelle en xz et y. J’omets les preuves de cette proposi-
B 1 I pro}
tion, car elles dépendent de principes qui sont bien connus.
Soit done
R ‘
— = constante
(43) ; ante,
cette intégrale, R et S étant des polynómes entiers en z et y. L'équa-
tion différentielle, à laquelle elle satisfait, possede une homogénéité parti-
euliere: lorsqu'on y remplace y par ky, x par k ‘x, », par n,k, sans toucher
à nm, elle demeure inaltérée. Il est alors manifeste que R et S peuvent
être choisis de manière à présenter la méme homogénéité. J'écrirai, pour
abréger,
an = — u
et, d’après ce qui précède, R et S peuvent être développés selon les puis-
sances entières et positives de a, de cette manière
(44) R=R+Rat..., S$-8,4 Saj...;
R,,..., 8S,,... sont encore des polynómes entiers en x et y. Pour dé-
terminer les premiers termes de ces développements, je remplace y par zéro
dans l'équation (36), qui devient ainsi la suivante
dy
(45) ana? + any? = o.
Celle-ci sintegre sans peine; il suffit de poser
(46) N,LY = 2
et l'on trouve ainsi
*(22 — 1)
(47) a € — constante C.
MIR
MONT. he jah qii
Par suite ;* dépend uniquement de l'expression
A
0
a(2z — 1)
ae]?
homogène et de degré égal à 1; ce doit en être une simple puissance,
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 7 août 1902, 9
66 R. Liouville.
P ] n M : N
puisque p doit être, nous l'avons vu, rationnelle en x et z et homogene.
0
Ainsi
R, oxN(22—3XyN
(48) FEE zN(a — IN ?
0
N étant un nombre entier, qu'on peut toujours supposer positif. Mais
R,, S,, sont des polynómes entiers en æ et y, de sorte que
(49) RQ—a"(2z— 1)", Sy = e" (a — 1).
Comme R — o doit donner une solution particulière de l'équation (36),
y - 2
(36") — — y'(nz? + ana) + 3n? = o,
une identité semblable a celle-ci,
aR , oR :
(50) a; T a, na? + ania) — 3m,y'] = AR,
est vérifiée, À et A représentant des polynómes entiers en 5. Le premier
membre de cette équation est, à l'égard de y, de degré plus élevé que le
second, d'une unité et l'on en conclut que le développement
A=A+Apt+...
se réduit à ses deux premiers termes, c'est à dire à À, + Aj; de plus, À
est homogene et du degré N; les deux membres de l'équation (50) sont
aussi homogènes et du degré N + 1; il en résulte que À lui-même est
homogene et du premier degré. Comme d'ailleurs
oh, oR
ex iz
E L 255 2 ; 2 NN 2N
(51) 5, [may — 369] = AR, avec R, = z"(22— 1)",
on en déduit
_ Nz — 1)
E
(52) À =
Un ealeul semblable, fait au moyen de S,, ne fait que confirmer cette
expression.
Sur une équation différentielle du premier ordre. 61
Quant à l'équation différentielle proposée, en y introduisant z à la
place de y, elle devient
l pe”
8 pU agit
(53) ae +] + 32 — à = O.
2
D'après cela, voici l'équation satisfaite par un terme S, quelconque, du
développement de 5,
aS 2(2 — 1)(22 — 1) 99, 2 298,1
ETE — V EULA. —— — y S
(54) da Tr x 92 nl 9 à S, + A Ss.
De plus, à cause de l'homogénéité,
2 "
(55) Re. o AU
et A,, e, ne dépendent plus que de z. Ainsi done
96, 2° 90,—
(56) 2(@— 1)(22— 1) — [IN(22 — 1)? — 2n]o, — Aio. a + = =0
02 n5 9
Si S, , est le dernier terme de S, e, est nulle et il reste
90,— n5 4,
2 ——~ = 0.
(57) On—102 2°
3
. SS 2°00, j ~ 2 Ay a
Or e, , est une fonction entière de z et, comme ——“—, d'apres l'égalité
n—1 ) oz ) >
n—1
précédente, est encore un polynóme, il ne peut y avoir, dans oe, ,, aucun
autre facteur que 2 lui-même. Soit done o, ; = a, 12", &,., étant une
certaine constante et n’, un nombre entier positif; nous en devrons conclure
(58) A mme
Voici maintenant l'équation différentielle satisfaite par A,
> ET Y22 —: R a -
(59) on, -H zu — EE IJ? S eats om, = AR, zz À, R,.
Ou , e dz n; 92
Le degré d'homogénéité de À, étant — (N + 2), je puis le représenter ainsi,
(60) R, uA pe,
68 R. Liouville.
p, ne dépendant que de z. Cette dernière fonction satisfait à l'équation
suivante
(61) z(2 — 1)(22— 1) — p N (22 — 1) — (N+ 2)]
E = ew 4Nz* NN 1
= A,(22— 1) = (281)
dont tous les termes sont divisibles par 27 — 1, excepté le produit (N + 2)p,,
au premier membre.
I] faut done admettre que o, est divisible par une certaine puissance
de 22 — 1; soit
Or = eia(22 — 1),
a, désignant un nombre entier positif. L'équation (61) devient ainsi
= + (22— 1)^p, [2a 2(z — 1) — N(22— 1)" - N+ 2]
va 11 90
62) a(z (22—1)^*!-
(62) z( 1)(2 1) Hi
ET. __ 1MN-A m. 1]
ee [Ce der |
Cela étant, si a, était supérieur à 2N— 71, tout serait, dans l'identité
divisible par (22— 1)" et, la division faite, 22— 1 resterait en facteur
dans tous les termes du premier membre; il n'en pourrait étre ainsi pour
le second. Si a, était inférieur à 2 N — 1, après division des deux membres
par (22— 1)^, il faudrait conclure que
Pal 2a,2(2 — 1) — N(22 — 1)? + N+ 2]
est encore divisible par 22— 1, ce qui est impossible, puisque 22 — 1 ne
divise plus p,, et, pour a, c 2N — t, ne peut non plus diviser le trinóme
entre parenthèses. La conséquence est
a —2N — 1,
ce qui change l'équation (62) en celle-ci,
90 Na?
(63) 2(z— 1)(22— 1) A — 20,4 (2^ — 2 — 1) = (22— 1) A, —! au
z n;
On en déduit
H(2» — 1y
(04) Pılsuzar;:
Sur une équation différentielle du premier ordre. 69
avec
(65) 7, RER ES NES
(22 — I) nj (22 — 1)?
Soit, pour un instant
: I
Z—42 de $ ;
de sorte que
I 7 1 Bus
2? — - 3’ — —)(2°% +
4 "245 N ( 4 ( >) »
(66) H = ze A,dz rn - 2° PT — de .
La premiere des deux intégrales qui entrent dans cette formule s'exprime
encore ainsi, À, 4j, ... désignant les dérivées successives de 4,,
I À; À, s
s [ass tien + " (A)
Or
AUN dz Ay I n Avi Nek I "roo tlt ds
CRUE Den de Ce ve de ler ira
Le logarithme, s'il y en avait un dans H, proviendrait du dernier terme
de l'équation précédent, où il aurait pour coefficient
I (m de
(68) 2° (a ae
et de la seconde intégrale que contient H, où il entrerait multiplié par
Ten" Aucun logarithme ne pouvant subsister, tous caleuls faits, dans H,
T 2
il faut que
pr. HN. |
(69) (A eg 0) "ui n t
. : - = , " 2n
Mais, A, étant donné par la formule (58), A" — o, Ay’ = Ts en sorte que
15
n' = 2N, c'est à dire
(70) 4 2N2° 1
ni
10 R. Liouville.
Ceci permet de simplifier l'équation (65), qui devient
2g — 1y 2*m3 e
I YS
à == )[Z +) dz
2N [ 22 — ı)d N (: Y 5)
"OPE = ve ide — 4
DS
L'intésration en est immédiate et introduit une constante arbitraire; l'ex-
pression de H, qui en résulte, multipliée par
doit donner le polynôme entier, p,,. Or on reconnait sans peine que le
produit de z? par l'intégrale
est un polynóme que ne divise pas aces ce qui implique contradiction.
L'équation différentielle proposée n'admet done aucune intégrale algé-
brique. La courbe qui lui est attachée est une des moins compliquées
qui se soient rencontrées jusqu'ici.
; I , Ps ;
Lorsqu'on y prend T et z =, pour les coordonnées cartésiennes, c'est
une eubique unicursale, définie, si l'on veut, par les équations
On u” " Iu* + 8niu — 8ni
(72) T UT 1 2 2
p (u + n)*? 7 7(w + n
)
ou par celle qui en résulte, après l'élimination de w. Cette dernière est
facile à construire d’après les propriétés mises en évidence par les rela-
tions (72).
dy i: ns " ‘
7, + 2y (na? — nào) + 3n,y? =O offre cet intérêt, c'est
ar
qu'on en connait une propriété simple, celle de n'être point altérée par
L'équation
les substitutions rationnelles (42); cependant son intégrale ne peut être
algébrique, en sorte qu'elle définit une transcendante, vraisemblablement
nouvelle.
Sur une équation différentielle du premier ordre. 71
Ses seuls points critiques correspondent aux valeurs infinies de z et
aux valeurs, z,, de cette méme variable, qui rendent l'une des solutions,
y, infinie. Auprès des dernières, deux solutions présentent cette singularité;
1
leurs produits par (x—x,) sont des séries, d'abord convergentes, dévelop-
pées selon les puissances entières et positives de 2 — m,.
Les formules (42), ott l'on regarde x
, et y, comme les variables pri-
mitives, montrent que tous les points critiques à distance finie correspondent,
. x . 5 N . . .
soit à c, — O, soit à x — — ^. Leur distribution dans le plan, pour
7
1
1
chaque solution partieuliere, est ainsi rattachée par des formules commodes
aux valeurs que reçoit, en un point ordinaire, une autre solution, liée à la
premiere d'une facon connue.
On peut rapprocher du cas précédent celui d'une équation du second
ordre, qui se change aussi en elle-méme par des substitutions qu'on sait
calculer.
Voici d'une facon précise, la proposition dont il s'agit, que je me
borne à énoncer.
»L'équation différentielle
y a" 7a"
1 Chaar ai | pet ee = : — ©
y y 8 Zr )
quelle que soit la fonction de x désignée par a, se reproduit, si l'on remplace
y par une nouvelle inconnue
UE
ainsi. définie,
: 1
, at 7 ay 9 2
1 + SS) -F — = ya .»
Y V2 y 6a Yı
Il est manifeste que la méthode employée dans ce paragraphe est
susceptible de s'appliquer, sans modifications essentielles, à des exemples
très variés.
Je lai employée notamment pour étudier ce qui correspond à l'une
des relations les plus simples qu'on puisse établir entre T et c, (exception
faite de T — o, déjà traitée), je veux dire le cas défini par l'égalité
(73) T — ar
72 R. Liouville.
a désignant une constante. L'équation différentielle est alors celle-ci
2 /
(74) CHAT a le VEI
= 3 y x . . , ,
En v substituant = et —, au lieu de x et y, on voit d'abord qu'elle peut
s’Gerire
di
/
(75) gan’, — [39° + (n — 3am) ay + 3p^v] = 0;
le paramètre y joue ici le méme rôle que dans l'équation (36') et permet
une analyse toute semblable. Malgré la simplicité apparente de la relation
(73), jai pu me convaincre ainsi qu'il n'existe pour l'équation (74) aucune
intégrale algébrique. J'omets, pour abréger, les preuves de cette proposition.
Quant à la recherche des transformations telles que (42), elle est
analogue à celle des intégrales algébriques, mais constitue en général un
probléme plus compliqué, que je ne veux point aborder dans ce travail.
8 4. Nouvelles intégrations, — Liens qui existent, entre les équa-
tions différentielles proposées et certains systemes linéaires.
L'un des eas remarqués d'abord dans l'étude de l'équation différentielle
» dy 3 2
(76) d; t UY d 36 + 34,y + a, — 0,
est, on l'a vu, celui qui correspond à l'hypothèse / — constante, ou bien,
ce qui est la même chose, T — o. L'intégration résulte alors des relations
que présente l'équation proposée avec un systeme d'équations linéaires qui
in fine).
Les cas, auxquels est consacré ce paragraphe, doivent étre rapprochés
lui est associé, (S 1,
de celui-là, mais leur complication est beaucoup plus grande. Voici com-
ment on y parvient:
Soit z une fonction de deux variables, x et y et, d'une facon générale
Qitks
SE) — 1
Ir! 2,4 I
«
Sur une équation différentielle du premier ordre. 73
lune queleonque de ses dérivées partielles. Je considére trois équations
linéaires, aux dérivées partielles du troisième ordre,
a) + Pace? + 2, 2” I0:
(iE)
(77) ++ west) — 0,
(i+k==2)
22) + pie Que > Dii a’) — o,
(+k=2)
ayant 7 solutions communes distinctes, tous les coefficients p,;, ..., Diss sess
Dio,..., dépendant uniquement de la variable z. Si j'établis entre cette
variable et y une relation quelconque, z, 2°, z^", ..., deviennent des
fonctions de z, entre lesquelles sont établies en particulier les équations
) I 1
suivantes,
dz) — 22% qy — dy = o, dg?) Dr — 20) dy = o,
ad qd? 409 — 20.0 Id’x — Xt Yd S, oa 3) S 2 —
(78) J dy + +, $647 ,
d? 490 — 400925 — 20992, == IR mu 3) i- 2 Eia ACB Ee O.
(i+iZ=
après qu'on a posé, pour abréger,
P q pose, |
| BR, = — dy? + 2p, dxdy + p; dx? , TE ii idi + p, dx’,
(79) S, 0 = Psody” + 2p5,dz dy + py, dx
| Sei = Pedy? + 2p, dx dy + pj; dz;
tant que la liaison entre x et y reste arbitraire, il n'existe, entre z, 2,
2°” et leurs différentielles des deux premiers ordres, aucune relation qui
ne contienne aussi 2°"; mais le contraire est vrai pour un choix con-
venable de la liaison supposée entre r et y; 4, , 2
des multiplicateurs, déterminés de cette maniére,
35 Ps Pa représentant
a, (S55 — da) + a, Hi, — B, dx = o,
(80) a, ($14 — dy) + a, (Bü, — d'a) — f, dy — Ada = o,
| ay Soo + a, (E. — d°Y) — Ady= o, a, 85, + a, Ry. — O,
Acta mathematica. 25 bis. Imprimé le 18 aoüt 1902. 10
74 R. Liouville.
il est satisfait à cette équation,
(81) RZ) + a, d? z^? + Bde” + g, dz + 27 8 (dyes cras Se — QI
(E
qui est bien de l'espèce demandée. Comme d'ailleurs les équations (80)
sont homogénes et linéaires, il en résulte
(82) (R, dy + S, da)(da d^y — dyd’x) + (Ev S, s — Fs S3,0) dy?
+ (6, Sa — Ry S2.0) 22 dy + (R3,0 92.0 — Roo $,,)dx* = o,
ce qui est, pour y, une équation différentielle, du second ordre. On voit,
d’après (79), qu'elle exprime drd^y — dyd^x par une fraction rationnelle,
dont le numérateur est un polynôme, du 6° degré, homogene, en dr, dy et
le dénominateur, un polynóme du 3° degré.
L'équation (82) se réduit évidemment au premier ordre, si l'on éerit
dy
d. Cette substitution faite, sil arrive que le dénominateur divise
ax
exactement le numérateur, tous deux étant regardés comme des fonctions
entières de v, cette inconnue se trouve définie par une équation du type
(76). Nous allons voir comment sa signification même en fait connaitre
un mode d'intégration.
‚
Et, d'abord, le système (77) s'intègre sans peine. Solent P,;, Pi;, ...,
des quantités définies par les relations
, > , , 4
£i Pio Pra + Pers — PosPRi — PiaPes = 0,
Q^ Ir , > T K 1
(53) Diol ki — Dao ri == S EE Diii — Pr—1.i — Poor
EE (Pb. — Dia) Pra + (DR — Ms = 0;
les trois équations aux dérivées partielles dont il s'agit, ayant 7 solutions
communes, équivalent au systeme suivant d'équations différentielles totales
linéaires,
| da^ + [Pi02”” zs EN Piz da [Paz ap h» P, 2? ]dy AM
(+4 =2) (HZ)
de 4e [ois f? + 2 „pie de + 89 + tar] =o,
5 i+ k=?) 19
(iE T3)
| dz *| p, 4^" +2 Peal? |e +] Pao zn? Toà bi? Wy — o,
(iic
—
Sur une équation différentielle du premier ordre. 5
(84) { At paf Jis — 1° dy = o,
(Hk?)
dz) — 20905 — 4*Dqy = o.
dz) — 2» da — 209 dy = o,
dz — 2" da; — 2 qy = o.
Imaginons que ces équations soient ajoutées, aprés multiplication par des
facteurs, A), Ay, ..., 4, Où n'entre pas y. Ceux-ci peuvent être choisis de
maniere à vérifier l'identité,
9 log mot... 1 (02 : (
(85) TE [4,279 2 2, 279 HET -E 2,2099 -E 2,209 4E 2, 27" +2,2] + m — 0,
dans laquelle m est une constante. Il s'ensuit, à cause de (34), les identités,
[Pears aly as deeb“ NOUS. À
(86) À, Py, + Adio + spo + Ms — À = 0,
| AP, + Àypo + Aso + mà; = 0,
qui font connaitre, non pas les quantités À, ,..., A, mais leurs rapports
à l'une d'elles. Celle-ci méme est déterminée, si l'on veut que la condition
9 N s
(87) 5; Le? + %2 2.0) A, Aya? + Az „(0.2 +42 a Ask gon + À 2] : —o,
soit remplie; de cette dernière il résulte en effet
d d;
(88) = = À Pa + opio + ÀsDso- Aso, -- - > =A, Pe Ape + Age Po;
dx
Or le systeme proposé, (77), ayant sept solutions distinctes, il est clair
qu'il peut être satisfait à la io aux équations (85) et (87), en sorte que
les relations, entre P,;, ..., pi, et leurs dérivées, déduites de cet ensemble,
sont précisément celles qui assurent l'intégrabilité de ce systeme.
Soient
m* + m! P,, + m! P,, + mP,, + P, = M",
np + MPs + mpi, + pi = M,
m’p + m*p,, + MPio + py = M;
16 R. Liouville.
les équations (86) ont pour conséquence celle-ci,
M" - M M
(89) Pos ; Matm , Do»
|
| , , 2
| mP,, + Por, mpi pa, m^ + mpa + pa |
I
o
qui est aleebrique en m et du septieme degré. Le coefficient de la puis-
sance la plus élevée de m est l'unité; tous les autres doivent étre aussi
des constantes, d'ailleurs arbitraires, ce qui donne sept équations; sept
autres s'obtiennent d'une facon semblable, en substituant, dans les relations
94, 9.
2 Apri i
stantes qui s'introduisent ont les mémes valeurs que les précédentes et l'on
(86), différentiées, les expressions (88) de Les nouvelles con-
a par ce moyen toutes les conditions d'intégrabilité du systéme (77), sous
une forme qui présente des avantages particuliers.
La conclusion de cette analyse est que l'inconnue 2 s'exprime par
une formule de cette espéce,
^ miu
(€ ) — E L
Te) 2 DC OL :
m,,m,,... étant les racines de l'équation (89), les & des fonctions qu'on
sait construire, et les c; des constantes arbitraires; 2°”, ..., 2%) sont
données par des formules analogues, qui s'en déduisent. Je suppose
maintenant que les équations (77) ne soient pas données, mais seulement
l'équation différentielle (82), qui leur est associée. Celle-ci ne changerait
pas, si z était multipliée par une fonction donnée quelconque, c'est un
point que met en lumiére sa définition méme. ” Je puis- done faire que le
^
déterminant, 9, des solutions du système (84) soit une constante et, comme
(91) dlog2 + (Ps, + pao + Pia + P032) dt + (Py + Pis + Pos) dy = 0,
c'est établir les deux équations
(92) Ps + pos + Pia + Pis = 0, P39 + Pia + Dos = 0;
elles remplacent, avec l'hypothèse d'après laquelle dé s'évanouit, l'une des
sept premiers conditions d'int'grabilité, Mais cells-ci, jointes aux deux
relations précédentes, permettent de calculer P,,, Po, Pj, et pui. Diis Peis
pour ? + k inférieur ou égal à z, étant donnés les coefficients qui figurent
Sur une équation différentielle du premier ordre. 77
dans l'équation (82), si par exemple p,, pj, pj’, sont déjà nuls, ce que je
vals supposer.
Il est ainsi associé, à l'équation (82), un systeme linéaire (77), dont
la détermination est complete. Il reste à vérifier les dernières conditions
d'intégrabilité, dont le nombre est réduit à six par les hypothèses faites
sur py, Do Di.
Cela fait, je dis que l'équation (82) peut être intégrée sans peine.
Elle implique en effet la relation (81), dans laquelle 2°, 2°” et z sont
maintenant connues et représentées par des formules analogues à (90).
Celle-ci constitue donc, entre x,y et ses deux premières dérivées, une
équation contenant, d'une facon linéaire et homogene, sept constantes arbi-
traires. Elle comprend toutes les solutions de l'équation différentielle pro-
2
xe
+ , , x y DEN ^ . ‘
posée et l'on peut d'abord, à l'aide de cette dernière, en éliminer m
ax”
B : c E dy 1.5 > TRE
reste ainsi rationnelle à l'égard de dr mais l'équation dont l'agissait est
1 ea ;
H . ^ . . . di
celle, du premier ordre, qui se déduit de (82) par la substitution » Le
rs
L'intégrale de celle-ci résulte des considérations précédentes. Il suffit en
effet de différentier cinq fois l'équation (81) et d'en faire disparaitre les
dérivées de y, d'ordre supérieur à l'unité, à l'aide de l'équation différentielle
elle-même, (82). On a ainsi construit un système de six équations linéaires
et homogènes entre les sept quantités c;e""; leurs coefficients sont des
fonctions de x et de v, rationnelles pour cette dernière variable et, comme
l'expression ki
- om d ad mx [ei € gens om
miy
est une simple. constante, il suffit d'y remplacer les facteurs c;e"", dont
les rapports seuls y figurent, par les valeurs proportionnelles, qui fait
connaitre le système indiqué, pour obtenir l'intégrale cherchée. Le cas où
lune des racines m est égale à zéro ne fait pas exception et n'exige méme
en général aucune modification essentielle des calculs précédents.
Si les différences de trois racines m; sont des nombres rationnels,
lintégrale obtenue est algébrique à l'égard de l'inconnue v, mais son degré
est d'ordinaire fort élevé.
J'ajute qu'il est facile de former effectivement des équations diffé-
rentielles de l'espèce qui vient d'étre étudiée, car il est visiblement possible
78 R. Liouville.
de former des systemes, tels que (77), ayant 7 solutions communes distinces
et nous avons montré comment s'en déduit l'équation (82).
Quant à celles du type proposé,
10
(93) + av’ + 3a,v* + 34,v + a, — 0,
nous les avons vues apparaître quand l'expression R,,dy + S,,dx divise
exactement celle-ci,
(94) (R3.0 90.2 — Ro2 93.0) dy? + (B, 8, — By 1 85.0) dz dy + (Ra 0 93.0 — Rao Ss oda”;
Mais il reste à voir comment, l'équation (93) étant donnée, on y peut
rattacher une équation (82), remplissant s'il est possible les conditions déjà
mentionnées.
(50, sss, a, étant des fonctions connues de x, tous les coefficients
Diis Pixs Pis dans lesquels à + k est égal à 2, sont exprimés, par suite de
la divisibilité supposée, au moyen de p,,, Pio, Pan. Ces derniers coeffi-
cients, en méme temps, qu'une relation invariante entre d,, 4,, ..., 4%,
rósultent des conditions d'intégrabilité auxquelles le systeme (77) est assujetti
et l'équation (82) est ainsi déterminée d'une facon compléte. On peut done
toujours vérifier si une équation différentielle donnée, du type (93), corres-
pond à un systeme (77) intégrable et construire, lorsqu'il en est ainsi,
l'expression
(95) R, ody + S, dx,
sorte de multiplicateur qui permet de lui donner la forme (82) et, comme
conséquence, de lintéprer.
Des considérations semblables s'appliquent, sans difficultés nouvelles,
a toute une série de cas, dont le précédent est le plus simple; mais les
ealeuls qu'ils exigent sont trop longs pour présenter une utilité véritable;
leur existence est, pour la théorie des équations différentielles du type (4),
le seul point qu'il importe de connaitre.
S' Mandé, le 30 décembre 1901.
19
SUR LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE D'UNE SÉRIE DE TAYLOR
PAR
HELGE von KOCH
a STOCKHOLM.
La question de trouver une expression générale pour le prolongement
analytique d'une série de TayLor en dehors de son cercle de convergence,
abordée en 1896 par M. Borer à l'aide de sa méthode de sommation
exponentielle, a fait dans les dernières années des progrès considérables !,
grâce surtout aux recherches de M. MrrrAG-LErrrzn *.
Le théorème fondamental démontré par M. MrrrAG-LEFFLER, qui est
le résultat le plus complet obtenu jusqu' à présent sur ce sujet, peut
s'énoneer de la manière suivante.
Soit
P(2| a) — e, + e (z— a) 4- e, (e— a) +...
une série de TAYLOR convergente dans le voisinage de 2 — a; on peut
former avec les coefficients ce — et cela de plusieurs manières différentes
— une série de polynómes S(z) qui à l'intérieur de l'étoile principale A
appartenant aux coefficients c? converge et représente la branche uniforme
! On trouve un exposé des principaux travaux se rapportant à ce sujet dans les
livres suivants:
BoREL, Leçons sur les séries divergentes; Paris, Gauthier-Villars, 1901;
HapAMARD, La série de Taylor et son prolongement analytique; Paris, C. Naud, 1901.
? Sur la représentation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogéne:
Acta Mathem.; t. 23, p. 43; t. 24, p. 183 et 205.
* Pour la définition de /'éfoile, voir le mem. cité de M. Mrrrac-LrrrrER (voir
notamment Acta Math. t. 23, p. 47 ou t. 24, p. 183 et t. 24, p. 200).
Un point z est, par définition, situé à l'intérieur de A si le prolongement ana-
lytique de 3Mz|a) obtenu en suivant le chemin rectiligne entre les points a et z est
holomorphe tout le long de ce chemin.
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 15 aoüt 1902.
80 Helge von Koch.
fiz) de fonction analytique définie par l'élément $(z|a) et par son pro-
longement analytique à lintérieur de A.
L'étoile principale étant un continuum limité (sauf dans le cas parti-
eulier où la série Piz a) converge pour toute valeur de l'argument) et les
expressions S(z) de M. MrrraAG-LErFFLER cessant, en général, de converger
ou de représenter f(z) sur la limite de A, on doit se proposer, pour les
points appartenant à cette limite, une question analogue a celle qu'a
proposé ABEL (Journal de Crelle, t. 2; Oeuvres complètes, Edition
Sylow-Lie, t. 1, p. 618), concernant la valeur que prend f(z) en un
point appartenant au cercle de convergence de la série Plz) a).
La question que nous avons en vue peut se formuler de la manière
suivante:
Quelle valeur prend la branche f(z) en un point appartenant à la limite
de l'étoile principale?
L'objet du présent travail est de résoudre cette question pour une
partie L de cette limite qui sera définie au § 3.
Le résultat final auquel nous arrivons au § 3 peut s'énoncer ainsi:
On peut former avec les coefficients c wne expression qui converge et
représente f(z) mon seulement à l'intérieur de l'étoile principale, mais aussi
en tout point de L on f(x) est holomorphe.
Pour éclaireir dés maintenant cet énoncé par un exemple, considérons
le cas où f(z) est méromorphe dans tout le plan; dans ce cas L n'est
autre que la limite compléte de A, et notre expression fournit la valeur
de f(z) dans toute l'étendue du plan (les pôles étant seuls exclus).
Dans le dernier paragraphe, nous montrons comment les expressions
obtenues s'appliquent à la recherche des points singuliers situés dans le
domaine considéré.
8 1. Démonstration d'une formule fondamentale.
1. La méthode que nous allons employer repose sur la propriété
suivante de la fonction exponentielle: si z et s sont des nombres réels et
positifs on a
I
lim ate" | yee
‘=n | €
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 81
selon que æ est différent de un ou égal à un; plus généralement, si a et 7
désignent des polynómes en s prenant des valeurs positives dés que s est
suffisamment grand, la fonction
0,5—1*
E(r,s)- 1%
jouit de la propriété
; Oo
(2) lim E(x,s) = p
selon que
"onis
—
et pour les dérivées de cette fonction par rapport à x on a aussi
toS PES
lim
ARR He
=o
(3) z E(x, Sac 200: (k=1,2,3,...)
pourvu que
“= 1;
quant aux valeurs que prennent ces dérivées pour «= I nous n'en aurons
besoin que dans un cas particulier qui sera étudié plus tard.
A côté de ces propriétés, nous aurons besoin de la remarque suivante:
si s est réel et positif et que z désigne une variable complexe, on a
lim's'e-* =o
s=@
et plus généralement
lim E(2,s)—0o
$— o0
tant que
[aj
Dans tout ce qui va suivre, la lettre s désignera un nombre entier
et posilif. Si w est une fonction de s, le symbole
lim u
désignera toujours la limite vers laquelle tend « quand s augmente indé-
finiment en parcourant la suite des nombres entiers et positifs. Enfin,
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 18 aoüt 1902, 11
82 Helge von Koch.
v et + désigneront deux polynómes donnés en s assujettis à la seule con-
dition d'être égaux à des nombres positifs entiers quand s est positif et
entier.
2. Considérons une série de TaAvron
> n 2
(4) CELLULE
eonvergente dans le voisinage de l'origine; il existe toujours un nombre
positif R tel que la fonction f(z) définie dans le cercle |z| = R par pro-
longement analytique. de la série proposée, jouisse des deux propriétés
suivantes:
1° f(z) est meromorphe à Vintérieur du domaine
5) l| <R;
o
2° tous les points singuliers de f(z) dans ce domaine sont situés sur
la partie positive de l'axe réel. |
Dans certains cas, la valeur maximum qu'on peut donner à R coincide
avec la valeur du rayon de convergence de la série donnée; c’est ainsi,
par exemple, de la fonction log (1 —z) qui cesse d’être uniforme dans le
= r. Dans d'autres cas, au contraire, R peut avoir des
valeurs plus grandes; par exemple, si la fonetion définie par la série (4)
iu
voisinage de
n'a d'autres singularités que des pôles situés sur la partie positive de l'axe
réel, le nombre R peut étre pris aussi grand que l'on veut.
Quoiquil en soit, il résulte des hypothéses faites que si f(z) a des
points singuliers à l’intérieur du cercle (5) et qu'on désigne ces points par
on a
Qe Et (k-1, 9,..., m)
et f(z) peut, dans le voisinage de z — «,, être représenté par une expres-
sion de la forme suivante:
A a es ates
182) = GL) + Pa (2-— a4),
r í I Tu ^ I N -" 4 « 4 P
G ( ) désignant un polynóme en et q,(2 —a,) étant une série
AT Lm à X Ak
de TAyLor en 2— a,, convergente dans le voisinage de z= a,.
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 83
3. Soit maintenant = un point régulier de f(z) situé sur laxe réel
entre o et A, désignons par À, un nombre plus petit que R mais plus
grand que z et les a;:
oc r«E <R; o«a,« R,« HR;
4
décrivons de l'origine comme centre avec le rayon li un cercle C, et
considérons l'intégrale suivante, prise dans le sens positif le long de C':
[= | fa) EC, s) dz
B —
'
C,
E désignant la fonction définie plus haut.
Comme on a, pour tout point z de e
18€) ae)
et que
lim e = + co
il en résulte que
lim 7 — o.
s ue
D'autre part, comme la fonction sous le signe d'intéeration est uni-
lorme et n'admet à l'intérieur de C, qu'un nombre fini de points singuliers,
savoir les points
Jd oM
(ef (0) (x) =! (ax)
(0), (x), (a) désignant des petits cercles décrits respectivement des points
O,cT,d, comme centres et tels que, à l'intérieur de chacun d'eux, le centre
soit le seul point singulier de la fonction
(6) fer (2,5).
Le résidu de cette fonction pour z — x étant égal à e-'f(x) on a
f — 27zi.6 f(x).
(x)
34 Helge von Koch.
¢
Pour calculer le résidu correspondant a un pôle quelconque z= 4;,
désignons pour abréger ce pôle par a et remarquons q'on peut écrire,
dans un certain voisinage de z= a:
f(z) d Sei
s—z, ¢—a ' (g—
at. oe a ee
= 7 ap
étant l'ordre du pôle considéré, les A étant indépendants de z et 33 étant
holomorphe pour 2 — «. Le résidu cherché est done égal
4, E(2,s) -- A, s, B(2,s)+..+ 45 El, s)
ce qui nous permet d'écrire
\ @ di /
fier A A] Ra (age
(a) y=1 Ij
Or comme à peut être, selon les cas, soit inférieur à 1, soit supérieur à 1
mais n'est égal à 1 pour aucun des pôles a, il résulte de ce qui a été
dit plus haut concernant la fonction E et ses dérivées, que l'expression
obtenue tend vers zéro quand s eroit indéfiniment. Nous avons done:
m
us li
ADS
Il reste à considérer l'intégrale (ie En convenant de designer géné-
©)
ralement par |F(z)) ^ le coefficient de z^ dans le développement d'une
fonction F en série de LAURENT dans le voisinage de z — O, nous avons
[= if
(0)
Combinant les résultats obtenus nous obtenons done enfin
e^ f(z) =— ME m ies ule
EN
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 85
Pour calculer cette expression, remarquons que l'on a, dans le voisinage
de 2 —0
f(2) € (6 Tt 62, Great. +62" , ]
Be Im Qr eng giis 1 eiua }
Te esa EC es
Le coefficient de z^' dans le développement dont il s'agit est done
égal à
So es
(7) — y (C At 6 T + [C + CRE f Sp
»=0
4. Il est facile de voir que, quel que soit s, cette série converge
pour toute valeur de x et représente une fonction entière de cette variable.
En effet, désignons par o un nombre positif inférieur au rayon de con-
vergence de la série (4). Pour toute valeur (réelle ou complexe) de x
remplissant la condition
i&) LEM
l'expression
(9) ULP reo Get à
est, en valeur absolue, moindre qu'une certaine constante g ce qui montre
que la série (7) converge uniformément dans le domaine (8). D'ailleurs on
a, d’après un théorème bien connu
le| S go
g désignant la valeur maximum de | æ)| pour tous des points du domaine
(8). Par là il résulte facilement que, pour toute valeur de x du domaine
suivant
(10) [z|=e
l'expression (9) est inférieure en valeur absolue à lexpression
ey
(o+22).9.|”
86 Helge von Koch.
ce qui prouve que la série (7) converge uniformément dans le domaine
K>|x|>p
K étant aussi grand qu’on le veut.
Par conséquent, la série étant uniformément convergente à l'intérieur
de tout domaine fini, représente nécessairement, comme nous l'avons dit,
une fonction entière de x.
Le résultat auquel nous sommes ainsi conduits peut s'énoncer de la
manière suivante:
Théorème I. Soit
(4) e d 62462 +...
une série de TAYLOR convergente dans le voisinage de z — O; soient o et c
deux polynômes en s prenant des valeurs entières et positives toutes les fois
que s est égal à un entier positif et formons la fonction entière
> c. (—1} craie
(11) Hi (Gees) e Y == (e, + CT +. 4 Cana” JE
v=0 | <
Pour toute valeur réelle et positive x telle que la fonction f(z), définie
par prolongement analytique de la série (4) à l'intérieur du cercle
(12) l2 & s,
n'admet en dedans ou sur la limite de ce cercle d'autres singularités que
des poles réels, positifs et inférieurs à x on aura
(13) f(x) — lim F(a, s).
$£-—00
s. Parmi les diverses valeurs qu'on peut choisir pour o et r, les
- |
lus simples sont
] I
(14) 0 — 4 Cure — S.
pour ces valeurs la formule obtenue prend la forme suivante:
, é UE) 27 ma
xs f(x) = elim Y P (e, + er + + eua att).
' _— v
D ys
Sur le prolongement analytique d'une &rie de Taylor. 81
Mais nous verrons plus tard’ qu'il y a avantage à remplacer les valeurs
(14) par les suivantes
(16) o=s',t=8
ce qui fournit la formule
8
: 20x (1)
(17) (ey eim SF (e, 4- € & 4- .. te...)
LE =0 ut
v
valable, comme les précédentes, pour les valeurs positives de x définies
dans le théorème I.
Pour abréger, nous désignerons la série figurant au second membre
de (17) par le nom de fonction associée de la série de Tavron (4) et nous
emploierons la notation
AV D s » a+ vs—
Ass 2 cs LIC 7 E (e, + ea .. Fois 1)
y=0 -
6. La fonction associée jouit de quelques propriétés simples qu'on
vérifie immédiatement et dont nous aurons besoin dans la suite. Nous
nous bornerons à les @noncer:
Si f(z) est une série de Tayror donnée et K une constante quel-
conque on a
Ass. K f(z) = K Ass. f(z);
si f,(2), f(2),--, /m(2) sont des séries de 'Avron données et K,, K,,.., K,
des constantes queleonques on a
m
Ass. (A, f, (2) +.. + Kufu(z)) = Z K, Ass. f,(2).
Pour
! Voir la note à la fin du n:o 16.
Ss Helge von Koch.
si k est un entier positif on a
1 lade p — eat the”
(1 — 2y**! k da* I—¢ :
Ass.
plus généralement, si a est une constante on a
I a
Ass. —
—z a—z
Ol
= e a
I I d* :)
Ass. SEI => 3 E E = E
(a — 2)** k dx a — 2
82. Remarques diverses.
-—
7. Il est facile de transformer les expressions obtenues en des séries
de
de polynómes. Nous nous bornerons à le montrer pour le cas de l'ex-
pression (17).
Remarquons à cet effet que l'on a, d'après ce qui a été dit plus haut
concernant l'expression (9)
E ; 2 a\ sts
> = ss vs — o
le, + ca 4r 2 + Cogn ys— 4 |<s + als +»s)(=)
x désignant un nombre positif quelconque et g et o avant la méme signi-
g g et p a g
fication que plus haut. Par là s'obtient facilement, m désignant un entier
positif. quelconque,
ox
NS - | 4- € T +. + + HAT EC UE
v=m |
| 18) < ge 4 gs Eva x (:) | ( x ds S^
m m — 1 \p \ ay à
Or, m étant d'un ordre de grandeur supérieur à celui de m"e^", on
voit que, si l'on prend m 5', le second membre de (18) tend certainement
vers zéro quand s augmente indéfiniment. Il en résulte que si l'on pose
Sur le prolongement analytique d'une série de "Taylor. 89
y = (— 1)" stvs—|
(19) (x, s)=e. Bis CAG aes te Cu)
y=0 ¥
s \
D) ^N (e 1) ss+vs—1
(20) P(r,s)— e.» —— (CARS QE PPS CPP |
y
ved i *
on aura, quel que soit z:
lim F(a, s) —lmP(z, s).
$00 on
Nous obtenons donc le théorème suivant:
Théorème IL Si l'on forme le polynôme P(v,s) défini par la formule
(20) la fonction f(x) est représentée par l'expression
(21) f(x) = hm P(7 s)
s—n
pour toute valeur réelle et positive x telle que f(z) soit méromorphe en dedans
et sur la limite du cercle
ee
et que cette fonction n'admet dans ce cercle que des poles réels situés entre
o el x.
Comme on peut éerire
Eu Pis s m Pl, 1) + >
yz2
(Pix, y) — P(x, y—1 )
$—o0
on obtient par là un développement de f(a) en série de polynómes, valable
pour les valeurs réelles et positives de + qui viennent d'être définies.
8. Nous nous sommes borné, dans ce qui précède, à considérer des
valeurs réelles et positives de la variable x. Pour trouver des formules
valables aussi pour des valeurs négatives, on n'a qu'à remplacer, dans les
formules (13), (15), (17), (21), le nombre s par 2s, s étant toujours
Acta mathematica. 26 bis, Imprimé le 21 août 1902, 12
90 Helge von Koch.
un nombre entier et positif. Pour le voir, il suffit de remarquer que la
fonction E(x,s) introduite plus haut satisfait aux conditions
: ’ o
lim E(x, 2s) > "e
e
zx |
selon que le nombre réel (positif ou négatif) x est différent de 1 ou égal
à 1 et que l'on a
k
lim 74 E(x, 25) =o (E — 1,2,...)
pourvu que le nombre réel x soit distinct de 1.
Les développements ainsi obtenus convergent et représentent f(x) en
tout point réel x tel que f(z) est holomorphe dans le voisinage des
et n’admet, à l'intérieur ou sur la limite du cercle
lel — Hz]
d'autres singularités que des póles réels.
Plus généralement, on parvient par un raisonnement analogue à l'énoncé
suivant:
Théorème III. Si dans les formules (13), (15), (17), (21) on remplace
s par ns, n désignant un entier positif queleonque, ces formules seront
valables pour toute valeur de x de la forme
2kri
ct =Ven
k étant un nombre queleonque de la suite
2.,..,5 — 1
)
et r étant un nombre positif et réel satisfaisant à la condition suivante:
f(z) est holomorphe dans le voisinage de z = x et n'admet à l'intérieur
ou sur la limite du cercle
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 91
tels que
la « ||, a= |«; |".
Supposons, par exemple, que la série proposée (4) représente une
fonction f(z) méromorphe dans tout le plan et que tous les pôles a,
de cette fonction satisfassent à la condition
apa,
n étant un entier positif donné.
Les coupures définissant dans ce cas l'étoile principale de M. Mirrac-
LEFFLER sont des demi-droites issues des pôles les plus voisins de l'origine
et faisant avec l'axe réel des angles respectivement egaux à
ORE bye p ET EN
n 1:41
Les expressions de M. MırraG-LerFter fournissent la valeur de f(z)
dans tout le plan, sauf sur les coupures.
L'expression au contraire que l'on obtient en remplaçant s par ns
dans la formule (21), représente (en dehors du cercle de convergence de
la série (4)) la fonction f(z) seulement sur les coupures dont il s'agit.
83. Prolongement analytique à l'intérieur de l'étoile méromorphe.
9. Soit
(22) Bale) — e, + e (2 — a) +c,(z-—- a) +...
une série de TAYLOR convergente dans le voisinage de z= a. Rappelons
comment on définit, d'apres M. MrirraAc-LErrrnEn, léfoile principale corres-
pondant aux constantes c.
Considérons une ligne droite /, issue du point z == a et faisant un
angle 0 avec laxe réel; formons le prolongement analytique de la série
W(z|a) en suivant cette droite. Il pourra se faire qu'on arrive à un point
au delà duquel le prolongement analytique est impossible; si un tel point
existe nous le désignerons par P, et nous désignerons par /; la demi-droite
obtenue en prolongeant indéfiniment /, au delà du point Pa:
92 Helge von Koch.
Enfin, # variant depuis 0 — o jusqu'à 0 = 27, nous ferons corre-
spondre à chaque valeur de 0 une coupure savoir la demi-droite /, qui
vient d'être définie (dans le cas où P, est infiniment éloigné de z = 4, il
n'y aura pas de coupure correspondante).
Ce qui reste du plan aprés qu'on a fait toutes ces coupures est l'étoile
principale introduite par M. MrrTAG-LEFFLER.
C'est un domaine simplement connexe A, à l'intérieur duquel la série
R(zla) et son prolongement analytique définissent une branche uniforme
d'une fonction analytique.
Dans ce qui suit nous désignerons cette branche par f(2).
Les points P, sont appelés par M. Mrrrac-LerrLer des sommeís de
l'étoile A. Le sommet correspondant à une valeur déterminé @ n'est done
autre chose que le premier point singulier de la branche f(z) qu'on ren-
contre en parcourant la demi-droite /,.
Les expressions découvertes par M. MrrrAG-LErrnEn fournissent, comme
on sait, la valeur de f(z) dans tout le plan sauf sur les coupures /j. Ce
qui reste à faire, c'est de chercher la valeur de /(z2) quand la variable z,
en suivant un chemin intérieur à l'étoile A, se rapproche d'un point
appartenant à une coupure.
Considérons un sommet quelconque /'; si ce sommet n'est qu'un pole
de f(z) il pourra arriver qu'en partant de P, et parcourant la coupure
|j, on ne rencontre jamais d'autres singularités de f(z) que des poles; dans
ce cas nous désignerons la coupure /; par //. Dans le cas cont “aire, on
rencontre, en parcourant /j. un premier point singulier de /(z) qui ne
soit pas un pöle. Nous désignerons le segment entre ce point et le point
P, par lj.
L'ensemble des segments /; qu'on obtient ainsi en faisant varier 6
de o jusqu'à 27, sera désigné par L.
Nous nous proposons de former des expressions qui représentent /(2)
non seulement à l'intérieur de A mais aussi pour les points appartenant
à L.
Si à l’ensemble des points intérieurs à l'étoile A on joint l'ensemble
L, on obtient une étoile nouvelle M qui pourra s'appeler l'éfoile méro-
morphe appartenant aux constantes © puisque c'est l'étoile la plus étendue
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 93
à l'intérieur de laquelle f(z) est meromorphe'. Pour en distinguer l'étoile À,
on pourrait appeler celle-ci l'étoile holomorphe appartenant aux constantes c.
En adoptant cette terminologie, le probléme que nous nous proposons
à résoudre peut se formuler ainsi:
Former une expression de f(z) valable en tout point régulier z à l'in-
terieur de l'étoile méromorphe M.
10. Pour ramener ce probléme au cas étudié au & 1, nous allons
nous servir de la méthode de representation conforme employée par M.
MrrrAG-LEFFLER dans la troisième note (Acta mathematica, t. 24,
p. 205). Cette méthode dépend d'une fonction dite »fonction génératrice
qui peut être définie d'une infinité de manières différentes. Pour notre
but, la fonction génératrice la plus commode parait être celle introduite
et employée par M. Frepnorm?’. Cette fonction est définie par l'égalité
(23) e(u, B) = ——————
où 3 est un nombre réel assujetti aux conditions
(24) O<B<1,
et jouit des propriétés suivantes:
Quand u décrit la circonférence
(25) Ju| = 1
dans le sens positif, £ décrit dans le méme sens un contour fermé S,
comprenant dans son intérieur le segment o — ı de l'axe réel; aux valeurs
' Un point z est à considérer comme intérieur à l'étoile M si on peut décrire
autour du segment rectiligne joignant les points a et z un contour fermé 7 tel que
f(2) soit méromorphe à l’intérieur de T.
® Öfversigt af Kongl. Vet. Ak. Förh. 1901, p. 203. Voir aussi une note de
M. MrrraG-LErFLER: Sur une formule de M. Fredholm, Comptes rendus (Paris) le 25
Mars 1901.
94 Helge von Koch.
correspondent respectivement les valeurs
c —cim j € EE
et à une valeur réelle 4 entre o et r correspond une valeur de ¢ entre
O et 1; pour £— o le contour S se réduit à une circonférence décrite de
l'origine comme centre avec un rayon égal à un; enfin, quand # tend vers
la valeur un, le contour S; devient de plus en plus mince et se confond,
à la limite, avec le segment o — r.
Ceci rappelé, désignons par r un point à l'intérieur de l'étoile méro-
morphe M dans le voisinage duquel /(z) est holomorphe. Posons
aa
(26) = ¢(u, p);
T— a
la fonction z de w définie par cette formule réalise la représentation con-
forme du cercle (25) sur un contour 5; semblable à S; et jouissant des
propriétés suivantes: aux valeurs
HOUR
correspondent les valeurs
B—= 4,8 — 4%;
quand 4 décrit le segment o — 1, 2 décrit le segment a — x; pour 8 — o
5; se réduit à la circonférence
le— «| 2 |» — «|
et quand # tend vers l'unité, S; s'aplatit et se raccourcit indéfiniment et
se confond, à la limite, avec le segment a — x.
Or 7(z) étant méromorphe tout le long du segment a — x et holo-
morphe aux extrémités z — «a et z — r, on en conclut qu'il existe un
nombre positif B — 1 tel que, pour toute valeur de j£ satisfaisant aux
conditions
(27) BB,
f(z) soit méromorphe à l'intérieur du contour 5; et sur ce contour et que,
en outre, tous les pôles de f(z) appartenant à ce domaine solent situés
sur le segment rectiligne joignant les points «a et x.
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 95
Done, par le changement de variable (26) (où jf est assujetti aux
conditions (27)), f(z) se transforme en une fonction f,(#) méromorphe à
l'intérieur et sur la limite du cercle
Iul
et n'admettant dans ce domaine que des pôles réels situés entre u — o
er —
11. Les résultats obtenus au § 1 sont donc applicables à cette
fonction f, (w).
D'après la formule de M. FREDHOLM (loc. cit. p. 205), le développe-
ment de f,(4) en série de Taytor dans le voisinage de # — © peut s'écrire
sous la forme symbolique trés simple
oo
in Bruxz— ad Gas 2—ad fu )
RN YU H da\ H | ee N
où lon a posé
H = — log (1 — B);
les coefficients
d"
[v da» (0) mus
qui y figurent sont identiques aux coefficients définissant la série donnée (22).
Comme z se réduit à x pour # — 1 on a
f(a) = Ff, (2)
! En posant
A EEE tr) nma od pleas eua
le produit symbolique
z—ad (ce —ad 2 — ad |
A pris lei TEE Æ;, )
Bab nut) Cg att ) ha
peut étre remplacé par le polynóme
y(n) au
X—a
IEC H x
n) nil x — a)"
TAMEN »—1. ea (3g) ES m. ty. ( H )
96 Helge von Koch.
et il suffit done à appliquer à f,(1) les développements des paragraphes
précédents pour avoir l'expression. cherchee de f(x) dans toute l'étoile
méromorphe.
En posant pour abréger:
[^ (x ) P) ET (a),
(28) QG x— a à /x—ad ie aad
Y (ip BY tee fee Pp E.
|, 8) IH sd VES PIRE Jem Haat "—*) Ma)
on a, en employant la notation introduite au n:o 6,
)
Ass. u de IC L.C. de ser Qe UE RE
v=0 =
Mettant w — 1 et appliquant le théorème I nous obtenons done le
théorème suivant:
Théorème IV. Si l'on choisit un nombre positif B d'après les condi-
tions (27) et qu'on forme la fonction suivante:
17 ce. (— 1)’ Y ' 1
(29) F(x, 8,5 =e. V. f - (HG Ee e+ Gua)
v=0 [=
où les C sont des polynômes en x définis par les formules (28), on aura
(30) f(x) = lim F(z, B, 9)
v étant un point régulier de f(z) à l'intérieur de l'étoile méromorphe M.
Le point x étant fixé, le nombre 8 doit être supérieur à un certain
nombre B qui dépend, en général, de x; si l'on fixe la valeur de f, la
formule (30) n'est valable que dans un certain domaine M’ intérieur à M.
Mais nous savons d'après ce qui précède que, quand f croit indéfiniment
vers la valeur wn, le domaine JZ’ s'étend de plus en plus et se confond,
à la limite, avee (M. Il en résulte que l'expression
lim lim F(a, B, s)
A=1 r5
converge et représente la valeur de /(z) en tout point régulier x à l'in-
térieur de étoile méromorphe.
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 91
12. On peut simplifier la formule ainsi obtenue:
(31) f(x) = lim lim F(z, f, s)
B2l1 so
de la manière suivante.
Soit x en point régulier fixe de f(z) à l'intérieur de l'étoile méro-
morphe et soit E un nombre positif aussi petit qu'on le veut; d'après ce
que nous avons vu, on peut faire correspondre à tout nombre f$ remplis-
sant (27) un nombre positif s' tel que l'on ait
(32) Lx) — F(x, B,s)|<
dés que:
E
2
SEIS
Soit p, un nombre positif inférieur au rayon de convergence de la
série (22) et désignons par G le maximum du module de cette série à
l'intérieur du domaine
(33) le— «|Xn-
Soit o un nombre positif tel que, pour toute valeur de « du domaine
(34) «|<
la valeur correspondante de z, définie par l'égalité (26), satisfasse à la
condition
|z—a|<p,.
Comme on a
|f(2)|<G@
quand z appartient au domaine (33), on a
Ie] ge e
tant que « reste dans le domaine (34).
Il en résulte que les coefficients C,(r, 8) figurant dans le développe-
ment
fu) = Y Ox, Bw
v=0
satisfont à la condition suivante:
IC (r1 Go"
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 20 aoüt 1902, 13
98 Helge von Koch.
d'où résulte, par le méme raisonnement qui nous a conduit à l'inégalité
(18), que l'on a
on
PA - 1c, == C, +..+ Oe eat
-y=m | d
Ge Gs 1\sstms (IN / 3
NE Fee 20) (1 ti)
i étant un entier positif quelconque.
Or, le second membre dans cette formule tendant vers zéro avec
si l'on prend
ms,
on aura, en posant
35 = IT Y \ Y
(35) Pia,ß,s)=e. Es Fur Ca, B) + € (m, B) +. + Cus a(t, p)
l'inégalité suivante:
(36) | Fív, 8,5) — P(z, 8, | <=
dés que
g > e"
où s" est un nombre positif suffisamment grand.
Il résulte alors des formules (32) et (35) que l'on a
|f(r) — P(v,B,s)| « E
tant que l'entier positif s est supérieur as’ et à s".
NI "Hr. + , x RAS
Nous pouvons, par conséquent, énoncer le théorème suivant:
Théorème V. Soit
€, + Cle — a) + e,(a — a)! + .
une série de TAYLOR convergente dans le voisinage de z — a et désignons
par f(z) la branche uniforme de fonction analytique définie par cette série
el son prolongement analytique à l'intérieur de l'étoile méromorphe M appar-
tenant aux constantes ce. Si l'on définit les polynómes C, par la formule (28)
es le polynôme P(x, B, 8) par l'égalité (35) on aura
37) f(x) = lim lim P(x, ß, s)
fel s=0
en tout point régulier de f(x) à Vinterieur de Vétoile M.
Sur le prolongement analytique d'une série de ‘Taylor. 99
On peut en déduire facilement que f(x) est représentable à l'intérieur
de JZ par une série de polynómes.
13. Par définition, l'étoile M est un domaine continu comprenant
d'une part tous les points appartenant à l'étoile holomorphe (ou principale) A,
d'autre part la partie des coupures /; que nous avons désignée par I.
Soit X un domaine compris tout entier en dedans de A; il résulte
facilement des formules précédentes que le développement (37) converge
uniformément dans X. | |
Soit d'autré part L, un segment d'une coupure quelconque appartenant
à L tel quil n'y a sur ce segment (y compris les points qui le limitent)
aucun point singulier de f(x). La formule (37) non seulement a lieu le
long de Z,, mais le second membre converge uniformément sur ce segment.
Au contraire, dans une aire embrassant un tel segment L, , l'expression
ne converge pas uniformément puisque le nombre B (n:o 10) tend vers
l'unité quand x se rapproche de Z'.
14. Dans le cas particulier où tous les pôles de f(x) à l'intérieur
de l'étoile méromorphe sont situés sur une ligne droite / issue du point a,
il suffit, pour avoir une expression de f(x) valable sur /, de mettre dans
)
les formules précédentes # — O ce qui donne
ie
; ee ye "ia à
(OP (C 7E p)-—-— ig ete (a x9
P(x, B,s)= Pie Y (e + e (c—2) +... + corse — a)"*" 7)
=0
et enfin
f(x) =e. lim > SC V 6, (@— a) +... + 6. — a)" 1)
8-00 »—0 A.
pour tout point régulier situé sur /.
La formule générale (37) se réduit done, dans le eas envisagé, à celle
que nous avons obtenu au § 2.
! D'ailleurs, d'après une remarque que je dois à M. PHRAGMÉN, aucune série de poly-
nómes représentant f(z) dans M ne saurait converger uniformément dans une telle aire.
100 Helge von Koch.
15. Comme application du résultat obtenu, considérons le cas ott la
série (22) définit une fonction f(z) méromorphe dans tout domaine fini.
Dans ce cas, l'étoile méromorphe M embrasse tout le plan et nous avons
le résultat suivant: l'expression:
lim lim P(z, B, s)
Bl.
définie plus haut converge et représente f(x) en tout point régulier du plan.
84. Recherche des points singuliers. — Conclusion.
16. Dans ce qui précède nous avons formé des expressions de f(x)
ralables en tout point régulier de f(x) à l'intérieur de l'étoile méro-
morphe M.
Une question qui se pose nécessairement est donc la suivante: étant
donné un point & à l'intérieur de l'étoile 77, décider si € est un point
régulier ou un point singulier pour f(x).
Pour étudier cette question, il convient d'employer les notations in-
troduites au n:o 6.
Supposons qu'un point donné £ à l'intérieur de l'étoile M soit un
point singulier de f(z); comme /(z) est méromorphe dans le voisinage de
2= € nous pouvons écrire
(38) f(z) ==! =F =
Ge menm
en désignant par a l'ordre du pôle €, par A certaines constantes et par P
une fonction holomorphe au point z= €.
Par la transformation
7 log (1 — fu
(39) 2—a= (EF — a) Te E
employée plus haut f(z) se transforme en une fonction /,(w); d'après ce
qui précède, il y a un nombre positif B «€ 1 tel que, pour toute valeur
de ff remplissant les conditions
40) B<B<1,
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 101
cette fonction f,(w) soit méromorphe à l'intérieur et sur le contour du cercle
(41) Ju] 2 1
et que tous les pôles de f,(w) dans ce domaine soient réels ‘et positifs.
Comme les points z — £, w — 1 se correspondent, le point « — | est un
pôle de f,(w) et l'on peut écrire
B,
trat ta
I—u (I—
(42) f,(u) = TB
—tu p
les B étant des constantes qui s'expriment linéairement par rapport aux
‘A et 3 étant holomorphe pour # = 1.
Il nous faut maintenant caleuler la valeur de la fonction associée de
fí(u) pour uw — 1 c’est-à-dire la valeur de la fonction F{x,f,s), définie
par la formule (29), au point correspondant x — é.
En vertu des propriétés de la fonction associée (n:o 6) on a
a—1
(43) Ass. f(u) = Ass X (u— 1) + Yo Beer As. Gen
à k=0
a—1
Bia d* li eultte Lil
= Ass. (i, — 1) + > = —-
Bi Ik du, 1 —u
k=0 |
où l'on a posé s?=o pour abréger.
p
Or comme
aa u Fur =e x ^u (1 up u 4 u^ "E .+ up trek 1)
y=0 =
pom
on peut écrire
dt 1 —ew*tve" s > CIR D
dw | Y—u )
L dw 1 —u
y=0 I
et il suffit done de calculer la valeur de la fonction
dé np ut o vs
dw 1—«u
103 Helge von Koch.
pour 4 -— t. <A cet effet, remarquons que l'on a, m désignant un entier
positif. queleonque,
/ de 1 — uktm "TE ; : m(m + 1)..(m 4 k)
| dui SUI le p »(y — ı)..v—k+1)= SE
Il en résulte
( d* 1 —euktee -) "A b C1) (o + vsXo + vs + 1)..(o + vs +h)
ul "er
dW ı—y dv k +1
l—
Li € / dtt utter)
Ek + 1 \dukt! uz
quel que soit l'entier positif k. (Pour k =o, il faut supprimer l'opération
k
dui devant la fraction dans le premier membre.)
En formant, d'après la formule classique, la dérivée 5"* du produit
des deux fonctions
utr NE a
on obtient, pour 4 — 1, une expression de la forme suivante:
( dl u oou 0 ( 8)
ITE e c
quete" 3 c LE.
où 6, désigne un polynôme entier de degré k-- 1 en ce et s dans lequel
le coefficient de ot’ est égal à e' Pour + — s', on obtient, done un
polynôme 6,(s',s) dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de s,
2k 2 1
savoir s"*?, est égal à e’'.
Nous pouvons done écrire
'd* 1 — euktee=" Sec
er E cm ) = Em
les termes omis du second membre étant de degré inférieur à 24 4+ 2 par
rapport à s.
Portant ces valeurs dans la formule (43) et mettant « — 1 on obtient,
en se rappelant la relation
(Ass. (U) = FE, P, 8),
Sur le prolongement analytique d'une série de Taylor. 103
la formule suivante
B
7 / fe a 2%
(44) Fé, f,s)= K, + E Ule:
les termes omis étant linéaires et homogènes par rapport à £5, ,... D, et
de degré moindre que 2« — 1 par rapport à s; K, désigne la valeur que
prend la fonetion
Ass. 98, (u — 1)
pour € = I.
Comme %,(w— 1) est holomorphe au point w — 1 on a d'après le
théoréme I,
lim K, — $3 (0).
Le nombre 9 ayant une valeur fixe satisfaisant aux conditions (40)
et A, désignant par hypothése le coefficient de la plus haute puissance
négative de £ — z dans le développement de f(z), on voit sans difficulté
que PB, est une quantité différente de zéro.
La formule (44) montre, par suite, que le pôle € satisfait nécessaire-
ment à la condition !
(45) lim | F(£, 8, s)| = co.
==
17. Ce résultat fournit déjà un critère pour décider si € est singulier
ou régulier. Mais on peut le simplifier en remplaçant F' par le polynôme
P défini par la formule (35).
En effet, 5 étant un nombre satisfaisant aux conditions (40) et &
étant un point quelconque à l'intérieur de l'étoile méromorphe, nous savons,
d'aprés ce qui a été démontré au n:o r2 que l'on a
(46) lim (FE, 8, s) — P(E, 8,3) = o
d'où l'on voit que la condition
Im PT B. S) | — ©
' Si au lieu des valeurs (16) de o et r nous avions choisi les valeurs plus simples
(14), c'est-à-dire si nous nous étions servi de z'e * comme facteur de discontinuité au
lieu de z"^e 7, la formule (45) n'aurait pas eu lieu en général.
104 Helge von Koch.
est nécessaire pour que € soit un pôle de f(z). Cette condition est
d'ailleurs suffisante aussi, car pour un point régulier £ légalité (45) ne
peut pas avoir lieu puisque nous savons que l'on a
lim P(E, 8,8) = f(&)
dans ce cas.
On peut ajouter que, une fois décidé si & est un pôle ou non, les
formules précédentes permettent d'évaluer les valeurs des coefficients A
figurant dans le développement (38).
Dans ee qui précède, je me suis borné à former et à étudier le
prolongement analytique d'une série de TAvron à l'intérieur de son étoile
meromorphe.‘ Mais par la considération de certains exemples, j'ai trouvé
que les formules obtenues restent vraies dans des domaines encore plus
étendus. Et il me parait probable que les méthodes employées doivent
pouvoir s'étendre à la solution de ce probléme général:
Former le prolongement analytique de f(z) à l'intérieur de son étoile
uniforme, c'est-à-dire dans l'étoile la plus étendue de centre « à lintérieur
de laquelle f(z) reste uniforme.
Mais cette nouvelle question m'entrainerait trop loin et je me borne
à la signaler."
' Un résumé de cette recherche a été publié précédemment dans ma note » Applica-
tions nouvelles de la fonction exponentielle» (Bib. till K. Svenska Vet.-Ak. Fórh.,
12 Février 1902).
* Pendant limpression du présent travail j'ai eu connaissance d'une note trés in-
téressante que vient de publier M. PAINLEVÉ sur le méme sujet (Comptes rendus, 7 Juillet
1902). Par une méthode entièrement différente de la nôtre M. PAINLEVÉ arrive à des
résultats qui ont beaucoup de rapport aux précédents et parvient méme, dans certains cas,
à une représentation de la fonction à l'extérieur de l'étoile uniforme. Cependant il me
semble que les formules que jai obtenues présentent, dans leur domaine de validité,
certains avantages. Dans la recherche des singularités, par exemple, elles ne sauraient
être remplacées par les formules de M. ParNLEVÉ, car celles-ci n’indiquent pas, semble-t-il,
si un point dn domaine considéré est singulier où non.
105
SUR LA STRATIFICATION D'UNE MASSE FLUIDE EN ÉQUILIBRE
PAR
VITO VOLTERRA
à ROME.
1. ABEL a été amené par un problème de mécanique à envisager
pour la première fois la question de l'inversion des intégrales définies. En
effet c'est le probléme des tautochrones généralisé qui l'a conduit, par un
vrai coup de génie, à sa célébre formule d'inversion qui se trouve dans le
mémoire qu'il a publié en 1823 sous le titre: Solution de quelques pro-
blémes à l'aide d'intégrales définies”. Cette formule qui correspond à un
cas trés-particulier d'inversion a reçu bien d'applications dans beaucoup de
questions de physique mathématique, de mécanique et d'analyse. Lrovvirnk
peu de temps aprés AsrL, et sans connaître son résultat, a tâché de ré-
soudre une classe intéressante de questions par l'invention d'un nouveau
calcul qu'il appelait des différentielles à indices quelconques.
Mais les formules de LiovviLuz ne sont que des transformations de
celle d'ABEL.
On a donné après un grand nombre de démonstrations du résultat
trouvé par Ager, et on en a multiplié les applications; cependant rien de
réellement nouveau n'a été fait, par rapport à la question de linversion,
jusqu'à l'année 1884 M. SowiwE a donné dans les Acta Mathematica une
! Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang I, Bind 2, Christiania 1823. —
Oeuvres, Christiania 1881, T. 1° page 11.
Voir aussi le Mémoire: Resolution d'un probléme de Mécanique. Journ. f. d. reine
und ang. Math. her. v. CRELLE, Bd. 1, Berlin 1826. — Oeuvres, Christiania 1881.
T. 1°" page 97.
Acta mathematica, 26 bis. Imprimé le 21 août 1902, 14
106 Vito Volterra.
nouvelle formule. M. SowrNE envisage aussi un cas particulier d’inversion,
mais sa formule n'est pas une transformation de celle qui avait été donnée
par ABEL, mais c'est une vraie généralisation de cette formule.
Dans quelques travaux que j'ai publiés en 1896 et 1897 ' j'ai donné
la solution de la question générale de linversion des intégrales définies.
Cette solution peut s'obtenir en supposant seulement certaines conditions
peu restrictives sur la continuité et sur l'ordre d’infini des fonctions qui
paraissent dans les caleuls.
Cependant il y a des cas pratiques dans lesquels ces conditions ne
sont pas vérifiées, et il faut alors recourir à des artifices particuliers,
quelque fois trés-pénibles pour arriver au but. Dans cette Note j'envisage
précisément un de ces cas qui ressort d'une question de mécanique céleste.
Le probléme se réduit à la détermination d'une fonction inconnue qui
parait sous une intégrale définie, tout à fait comme dans le probléme des
courbes tautochrones étudié par Apert. Mais, si lon veut résoudre ce cas
dans toute sa généralité, il faut imaginer des méthodes nouvelles.
2. Je vais maintenant éclaireir en quelques mots la question de
mécanique céleste à laquelle je me rapporte.
Le probléme de l'équilibre d'une masse fluide hétérogéne qui tourne
autour d'un axe avec une vitesse uniforme, joue un róle trés-important dans
l'astronomie théorique, parce que c’est le fondement du caleul de la figure
des corps célestes.
Un examen approfondi des stratifications qui sont compatibles avee
l'équilibre n'est pas très-avancé, et presque tous les résultats rigoureux qu'on
a là-dessus sont des résultats négatifs. Cependant même des résultats né-
gatifs ont un grand intérét dans ce genre de recherches. Pour mettre cela
en pleine lumière, il suffit de remarquer que, méme dans le cas des fluides
homogènes, on ne possède pas des méthodes directes par lesquelles on peut
* Sulla inversione degli integrali definiti. Nota I, II, III, IV, Atti della R. Ac-
cademia delle Scienze di Torino 1896.
Sulla inversione degli integrali definiti. Rend. della R. Accademia dei Lincei,
Roma 1896.
Sulla. inversione degli integrali multipli. Thid. 1896.
Sopra aleune questioni di inversioni di integrali definiti. Annali di Matematica
Milano 1897.
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 107
déterminer des figures d'équilibre. Les caleuls classiques de Mac-Laurin
et de Jaconi, par exemple, ne sont que des vérifications que les ellipsoides
peuvent être des figures d'équilibre. C’est pourquoi il y a un vrai intérêt
à établir que certaines formes ou certaines stratifications sont impossibles,
Mais dans la plupart des cas ces propositions négatives ne s'obtiennent
qu'avee beaucoup d'effort.
Entre toutes ces propositions il y en a une qu'il est intéressant de
mettre hors de doute d'une manière rigoureuse et compléte. Rapportons
nous aux méthodes de Mac Laurin et de Jacogr. Leurs succès ressort de la
forme extrémement simple du potentiel d'un ellipsoide homogene. Or l'ex-
pression du potentiel reste aussi simple lorsque l'ellipsoide étant hétérogène
est stratifié par couches homothétiques et concentriques. Il s'agit done de
vérifier s'il y a des figures d'équilibre des fluides ainsi stratifiés.
Au premier abord cette question semble déja tranchée d'une manière
négative par les remarquables résultats de M. Henry et de M. Poincaré;
mais puisque ces auteurs se rapportent à une masse discontinue, on com-
prend, si on regarde plus de prés, que la proposition n'est pas encore
complete '.
Le but de ce mémoire est d'établir d'une maniere générale cette pro-
position négative. C’est la généralité qu'on laisse à la densité qui engendre
la difficulté de la question *. En effet on ne peut pas employer les procédés
de M. Henry et de M. PorwcanÉ, et dés qu'on impose à la densité la
seule condition d'étre une fonction intégrable, on tombe sur un probléme
d'inversion qui n'est soluble que par des méthodes nouvelles.
Nous partagerons notre recherche en trois parties. Dans le premier §
nous établirons la relation (A) fondamentale entre deux fonctions inconnues.
En utilisant cette relation nous envisagerons dans le second § le cas de
l'ellipsoide de révolution, et dans le troisième § celui de l'ellipsoide à trois
axes inégaux.
! Voir la i*'* Note à la fin du Mémoire.
* Voir la II!me et la III?"* Note à la fin du Mémoire.
108 Vito Volterra.
ub;
1. Soient 2a, 2b, 2c les axes d'un ellipsoide. Si on le rapporte a
ses axes principaux, son équation sera
x? y* x?
(1) gs E= p Mr a = I.
Chaque ellipsoide interne homothétique et concentrique aura pour équation
2 2 Pg
(2) A esee purge (ore d)
Si la matière qui remplit l'ellipsoide est stratifiée par couches homo-
thétiques et concentriques, la densité p sera une fonction de h. Nous
supposerons que o(A) soit une fonction positive finie et intégrable. Dans
cette hypothèse, l'ensemble des valeurs de h pour lesquelles p(h) est con-
tinue, est condensé dans toute partie du domaine (o, r).
A cause de la définition de la densité, on a que la masse d'une portion
queleonque de l'ellipsoide, et sa fonction potentielle ne changeront pas en
changeant les valeurs de p(h) dans les points où cette fonction n'est pas
continue, pourvu qu'elle reste toujours intégrable.
C'est pourquoi nous pourrons changer d'une manière arbitraire les
valeurs données de la densité o(h) dans les points où elle est discontinue
en conservant pour cette fonction la propriété d’être intégrable, et on pourra
remplacer la primitive expression de la densité par la nouvelle expression.
Cela posé, il est connu que la fonction potentielle dans tout point
æ,y,2 qui fait partie de la masse de l'ellipsoide est donnée par
ides di
i sale | ga)
0
où
(3) je ER D = (a + 2)(b° -- Ac? + A)
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre 109
2. Supposons maintenant que l'ellipsoide tourne avec une vitesse
angulaire constante w autour de l'axe z. II faut distinguer deux cas: celui
où l'on peut trouver deux nombres A, et h, tels que
OA MS 1
p(h) étant constant pour toutes les valeurs de A comprises entre 4, et ,,
et le cas où cette condition n'est pas verifiée.
Dans le premier cas on peut démontrer que l'équilibre de la masse
fluide n'est pas possible, en réduisant ce cas à celui envisagé par M.
Poincaré. En effet, si l'équilibre était possible, il subsisterait même en
retranchant la portion de fluide comprise entre la surface libre et l'ellipsoide
qui correspond au paramètre /. Alors on trouverait un fluide dont la
partie externe est homogene et en méme temps est comprise entre deux
ellipsoides qui ne sont pas homofocaux. Cette condition est incompatible
avec l'équilibre !.
3. Nous allons done envisager le second cas. La fonction potentielle
de l'attraction newtonienne et de la force centrifuge est donnée par
2
e 9
w = V+ ; € y)
Pour l'équilibre il faut que W soit constante sur les surfaces où la densité
est constante. Il faudra done que l'on ait
W = gh),
c'est pourquoi on aura l'équation
(A) rae | ein) BR ah tgp) ohh).
VD :
0
4. Il est facile de démontrer que si w So l'éllipsoide ne peut pas
se réduire à une sphére.
En effet pour a = b — c, on aurait
x oy? +x ot a + y + 2
er e ari 4. 251 =
c'est pourquoi V et ¢ seraient des fonctions de a? + y? + 2’.
1 Journal de Mathématiques fondé par J. Lıiouvırze. IV Série. T. VI,
1890, page 69.
110 Vito Volterra.
Kerivons maintenant l'équation (A) sous la forme
o?
V — D -—-——(x- y).
g > (€ y)
Cette équation serait absurde si V — ¢ était une fonction de z?-- y" +2.
Il faut done envisager deux cas:
TIE
1. Soit a — b. En posant z* + y’ =?’ nous aurons
r? x?
[emi tam are
(1)
2 x?
NES d ne
À (a? — c*)à 5
e+ A — a*(a! 4 Xe BE yr er 5%
RZ
L'équation (A) s’derira
©
A E Mile AAG Ses p ca ri^) dÀ a” à f
des feos su xXe-3 To i P Y
0
et si nous dérivons par rapport à 7’, on aura puisque p est intégrable,
ER À (a? — c?)À E (a? —c*)A mus
ne (la a* (a! + Xe" 3-3)! tai T2 Dr + Xe? Fam 2°
Posons
(2) Tcp =X,
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 111
l'équation précédente deviendra
? Ad} E a
(3) E eet ET er, À
(a? + N’ (e* + jj
0
y est une fonction positive. On en tire
a>c,
c'est à dire l'axe de rotation est le petit axe de l'éllipsoide.
2. En posant
2 2
r %
(4) Et Le oe Sy ine wat eRe = 6
on aura
u=1-—8E
( LER, Le oe Ls 94 .— :
5) De 6° or? (a? + 2) 0” ax? — (c + AO’
Prenons dans le premier membre de l'équation (3) pour variable d'in-
fe
tégration € au lieu de A; cette équation s'éerira
À oe
di = 2(a* — c*)'
7é (1 Is £) us
(a? + 4) (c + APO
0
Si nous dérivons par rapport à 7 et à 2 en remarquant que la quantité
sous l'intégrale s'annule à la limite supérieure, non aurons
ate
à a
(6) xa LI ren Ir
(a? + A (e? + 28
0
9 À
(6) xa — 6) | Pe em DB —o
(a? + Ne + 28
112 Vito Volterra.
Or, par des caleuls qui ne présentent pas de diffieultés, on trouve, ayant
égard aux relations (5),
9 2
| 5 iR
(a? + D’(e? + 2*8
À I 3 À I
| 3 | 8 2 Re 307 5
(a? + Ne? + 2) O | (a? + 2} (a? + Ay (e! + 2? 8 (a? + 2? 0
2 À i
3il ul
(a? + Ale? + 338
’
e
m9
9 À I 3 À I
= >| En Ge Far Du ER Lgs
_(a? + 2 (e? + APO D (a? + 2? (a? + Ale + APO (a? + APO
En remplacant dans les équations (6) et (6’) les premiers membres des
équations précédentes par les seconds membres, et en faisant des inté-
grations par parties, on peut écrire les équations (6) et (6') sous la forme
a a
T aS à 10
(6,) feng mecs.
(a? + Me? + 2? 8.
Le
0
E
1 aT à x
(6!) | Dr 38 ilia
(a? + De? + 2° 8
où lon a posé
€
- I 3 » I
(74) (VS e Sas eS dé.
(a* + 4? (a? + 220
0
Supposons maintenant z — oO, et posons
w
-_=f — =—¢,
a! J35
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 113
En vertu des équations (4) nous aurons
24— 6 = of ) ; 23 — 5 a*y
A= cS : a Aa EC + À — a? =
5
et par suite les relations (6"), (67) et (7,) deviendront, pour z — o
y
(£9 y—€ Je
(6) B ue
(y — e€)?
0
y
ve UD N
(6;) ING ae „de = O0,
(y — ec
0
AR TPE N
(7v) f(&) = ET —e6e& + = x0 EE dE | i:
ü ay
ou méme
d
(E y S =
(6) N Er A
(y — e£»
0
y
= 9 1 — Ë -
(6:) P(E). — de = o,
À (y — e£
0
3 £ 1
(73) D(E) = x7 DE zZ) + f xa— Sa:
Il est évident que d'(£) et y(1— S) sont des fonctions continues pour les
^ -
mêmes valeurs de 4.
A
Cela posé derivons l'équation. (6,) par rapport à y.
9I
étant une valeur de y pour laquelle /(y) est continue, on aura
I » -
— d(y) 4— „+ | Pe — ———— men
ue 0 d
leta mathematica. 26 bis. Imprimé le 21 octobre 1902, 15
114 Vito Volterra.
Ajoutons cette équation à l'équation (6,) après l'avoir multipliée par —
[D]
On trouvera
y
LI
A I = D Y(T—E) ,,
ee | $0) 220 — dé =o,
= > LE AN
g^ (r— ey 0 (y — sé)
dot
5 I 1 *
(8) = em f D (E) — —, dt.
y?(1— 0 (y— cé)
y
? 9
L'expression | Pe) —— d& est une fonction continue de la variable y
"
0 Uy — e$)
pour toute valeur y comprise entre o et 1. Done en vertu de la relation
(8) on pourra rendre continue la fonction c&(y) en changeant ses valeurs
dans les points de discontinuité. On ne pourra avoir d'exception que pour
la valeur y = o.
De méme, à cause des relations (7.) et (2), y(1 — &) et p(1 — €) de-
viendront des fonctions continues (excepté tout au plus pour ¢ — 0) en
changeant leurs valeurs dans les points de discontinuité. Par suite, en
prenant garde à ce que nous avons remarqué au 1° S, nous pouvons sup-
poser que p(t — é), ylı £j et £(€) solent des fonctions continues. Tout
au plus elles pourraient n'avoir pas une valeur déterminée pour £ — o.
; I : m À I
5. La fonction ; croit lorsqu'on fait croître £ entre Oo et y;
(y — ee
7 9 I Me i :
par conséquent TE ; est positive. C'est pourquot
"(y — sé)
y u >
) 9 I - à I » I (I sy
| IE) = dé — d, | i ; d£ = d — :
ae > ms) D X)
' yu ee)? - (y — s&) \2 wt - eX
en désignant par d, une valeur comprise entre la limite supérieure et la
limite inférieure des valeurs de @(£), $ étant comprise entre O et y.
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 115
Liéquation (8) deviendra done
(y) TA I — (1 E
Il est facile de démontrer que cette équation ne peut être vérifiée
que si les valeurs d(y) sont nulles.
En effet, si ¢(y) n'est pas nul, on tire de l'équation. précédente
/
(y) / 9
PM = ro—(r—ey.
1
wo
Le second membre étant positif, on peut remplacer d(y) et d^, par
leurs valeurs absolues, et l'on a
Soit M la limite supérieure des valeurs absolues de diy), y étant
comprise entre O et 1.
On aura
; 5
ACD) :
i «1-—(1— €).
M = \
Mais &(y) peut s'approcher de M autant que lon veut, de sorte que
le premier membre étant proche de l'unité autant que l'on veut, l'équation
précédente est absurde.
6. d(&£) étant nul, on tire de l'équation (7
AN TA
1
ty | Go
x est done une fonction dérivable par rapport à £ pour o (F< 1. Par
la dérivation on trouve
y(i1— §) =o
d'où lon déduit que y et , sont constantes. Cette condition est incom-
patible avec l'hétérogénéité de l'ellipsoide, et cela démontre que lorsque
lellipsoide est un ellipsoide hétérogène de révolution, par rapport à l'axe
de rotation, l'équilibre n'est pas possible,
L16 Vito Volterra.
B
1. Envisageons maintenant le cas ott a5 5. En posant r' — z* + y^,
on aura, à cause de l'équation (2) du 1 Article,
2 aub wr. EN
Tz ltr),
2 ab i fr? E |
ee nee 3,
et par suite, en vertu de la formule (3),
,
(I) A | —
À 5 a^b* ] I I a
da m <r — RUPTA TM em RD RS
(a? + Ab? + À) (a? + AXb* + 4) À À AN ]e*
CLE arc ICE
N c a b
Dérivons maintenant la relation (A) par rapport à z'. On trouvera, à
cause de l'équation précédente,
E
‚ dh I 1
e'(n) = fi ——— —\ =
" VD 4 4 4
0 x d [tees s)
Supposons que c ne soit pas la plus petite des trois quantités a, 5, c.
Puisque A est une quantité positive, on aurait
to
I I
rw XL RN ot
e$ (xg)
cest à dire
I I
T qum
c Qu b*
Tous les facteurs qui paraissent sous la dernière intégrale seraient done des
quantités positives et par suite l'équation (2) ne serait pas possible. Il
faut done que € soit plus petite que a et D. L'ellipsoide sera à trois axes
inégaux, et lon pourra arranger les trois quantités a,b,e par ordre de
grandeur en écrivant
a>b>e,
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre.
117
2. Derivons maintenant l'équation (A) par rapport à »*. En prenant
garde à l'équation (1) nous aurons
m Adı P.
(3) zabe | e'(p) : ; (=e |
0 (a? + A (b* + AP (e? + 7}
Posons
x? :B y T x? r id
a+ ba RES UE D
» »
En regardant À comme une fonction de €,2°, i, 2
3, * )
)
précédente, on trouvera
aA I À I À 1 ry I
où l'on suppose
x y z
= (a? + 2)? Ei (b? qe AY: + (e? us ANC
2
2
Pour calculer l'intégrale qui parait dans l'équation (3), prenons £
variable d'intégration au lieu de A, nous aurons
x? yt x?
at! i" ga
2) i L À tom d
P [x09 pe BR = ape
: (a? + AF + ARC? + APL
étant
x(1 — €) = zabeg'(p).
Dérivons l'équation (3' par rapport à 2^,5^,2. Puisque à la
supérieure de l'intégrale on a À — O, nous trouverons
a NAH. PS à m: T
(4) | XU = 6) 453 ds == ©}, | y\ı er ISO
° 0
ay
ape
définie par l'équation
ie gg 9z* (a + AQ? ey! (B® + DQ’ ax? (&* + AG
comme
limite
115
ayant posé
Or
oH _ 9
or o£
aH
ay? |^ 9F
oH 9
9x” i £
C'est pourquoi les équations (4) s'écriront,
(41)
À 1 3
3 1 3 2
— uen (a? +2}?
A > I
5 1 | 3
DE 2» (e? ES AQ (a* 4- AY
| / I
UD 3
(6? + Me? + En (a? + dp
Vito Volterra.
À
Ss
3
(a? + AP (b? + N (e* + A? 9
on trouve par des calculs très-simples,
À
to |
ty |G
3
(b* + Ay (e* + 2)
3
(a? + Ab? + 2) (e* + 2)? 9
=
À
3
IE a
a? b? €
NS À "
| fes i i lugo
0 (a? + Ab? + AP (e + 299
ata
ER; À £
AGE 5 1 )® =O,
u (b* + AP (c* + AQ.
s s te
ATO À T
ro (- 3 3 as — ©,
9 (b? + A (ce? + 2? Q
x 1 E -
10 &) nt E a
(a? + 22 : (a? + 2 Q
3. Supposons maintenant y — 2 — O, et posons
1 ah"
1 ^ a? ,
ni
3
20
dé.
(a* 4- A? ©
I
à - 5
(a? +2) 9
.
par des intégrations par parties,
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 119
Il viendra
N u— Ë q ot à » 14 — EC A 4 ou —&,7
Az mee rd Axa: Gt A gts
$ & d 5
22
au?
et les équations (4,) s'éeriront
u
B 2 = ^ -
AP Y? u XS =
@ (stall a iae c.
5 (u — e, S* (w — e, 6)?_
u
€ à
" a UNS fo
(4) | 9 (8) 55 5 1 de—o,
0 _(u— e, f (u — e, £*
u
a E
- u — Ë £
451 | e NS) cal 5 : 344 — o,
t 5s y ES ENS
0 (u — e, 6? (u — €, €)?
où
3 ty 3 1
zi | f 2 I e =) Je
(5) Hs) = y ge + f x —52ae.
T0
Dérivons (4" par rapport à w.
^ étant un point de continuité de ¢, on aura
I
9 — — 9 (u) ; :
u*(r = e (1 — ey
u
a of , a I =
Ju 3 u I UWS =
+ {222 PES 3 TRE 5 TE 3 dé
A _ - > = BA9 fT EO 2 B9 /- ANO
ji (u— e, E (u— e, £* (u— s, €)? (u — e, £Y* (u — e, EP (u — e, £*
Ajoutons (4") et (4"') après avoir multiplié par * et = respectivement.
On obtiendra
y
^
I EC I "
(6) du) = p IEC : r | dé
er 4 9 = a\) =
(ue) —e}t 9 (u—<, 6) (u — €,§)°
120 Vito Volterra.
En répétant la discussion. que nous avons faite dans l'Art. pré-
cédant, on trouve qu'on peut toujours supposer que les fontions z(1 — £),
p(1 —&), d(€£) soient continues pour o € £«r1.
Ln
Or 3 -, est une fonction croissante par rapport à
2
1
étant o €& E<u; par suite l'équation (6) s'écrira
^
I 9 I 3
d'(u) = a — d, | JE — Ds 1 dé,
2 = Y: ANT PRE £2 c £y
IDE) Al E 0 | (u — e 6) (0 Es)
où d, est une valeur comprise entre la limite LPS et la limite in-
férieure des valeurs de @(£), étant o<E<w.
On tire de là
3 1
2
(wu) = ^l 1 —(1 — eyf(1r— ej)
Il n'y a maintenant qu'à répéter les considérations faites à la fin de l'Art.
II pour voir que d(u) — oO, et par suite 9 est une quantité constante.
Done, même si l'ellipsoide est à trois axes inégaux l'équilibre n'est
pas possible lorsqu'il est heterogene.
Note Iere,
On peut montrer d'une manière tres-simple que les raisonnements
qu'on fait dans le eas de l'ellipsoide discontinu, c'est à dire formé par un
nombre fini de couches homogenes de densités différentes superposées les
unes aux autres, ne peuvent pas s'appliquer, en général, au cas de l'ellip-
soide continu. Pour cela nous allons donner une démonstration direete,
fort-simple, de la proposition qu'un ellipsoide discontinu formé par »
couches homogènes limitées par des ellipsoides homothétiques et concen-
triques, ne peut pas être en équilibre lorsqu'il tourne avec une vitesse
constante autour d'une axe. On verra tout de suite que cette démonstra-
tion élémentaire ne peut pas s'étendre au cas où le nombre des couches
augmente indéfiniment jusqu'à former un ellipsoide continu.
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 121
On peut réduire le eas général où l'on a # couches au cas où l'ellip-
soide n'est formé que de deux couches. En effet supposons qu'il y ait
équilibre pour l'ellipsoide à » couches. Il y aura toujours équilibre en
retranchant un nombre queleonque de couches extérieures, ear ces couches
n’exercent aucune attraction à l'intérieur. |
Il y aura done équilibre si l'ellipsoide est réduit aux deux couches
les plus internes ou méme au noyau central. Mais le noyau étant en équi-
libre, l'équilibre subsisterait méme si les deux couches avaient la méme
densité du noyau. Il faudrait done que la fonction potentielle d'une masse
remplissant la couche extérieure avec une densité égale à la différence des
densités des deux couches füt constante sur la surface externe. Or cela est
contraire aux propriétés de la fonction potentielle des couches ellipsoidiques.
Note IIeme,
Lorsqu'on suppose que la densité, à partir d'une certaine profondeur
jusqu'au centre de l'ellipsoide, va toujours en croissant ou en décroissant,
alors les développements analytiques que nous avons donnés auparavant ne
sont plus nécessaires pour la démonstration. Par des calculs très-simples
on peut arriver au but. On peut méme l’atteindre sans recourir à des
calculs, mais par une discussion élémentaire.
En effet il suffit de remarquer que la masse fluide se maintient en
équilibre en retranchant toute la partie extérieure et en gardant seulement
celle renfermée à l’intérieur d'un ellipsoide E concentrique et homothétique
à l'ellipsoide primitif, ot la densité croit ou décroit toujours du centre
jusqu'à la périphérie.
Cela posé décomposons cette masse M, par un ellipsoide homothétique
et concentrique E' en deux parties. Celle interne M’ se maintient d'elle-
méme en équilibre par la rotation ©. Or on voit tout de suite qu'en
prenant une masse M" homothétique à JA de sorte que M’ et J" aient
la méme densité aux points qui se correspondent par homothétie, cette
masse sera en équilibre en tournant avec la même vitesse angulaire ©
autour de l'axe qui correspond par homothétie à l'axe de rotation MW’, Si
nous prenons maintenant JM" de manière qu'elle occupe l’espace renfermé
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 22 octobre 1902. 16
122 Vito Volterra.
^
dans un ellipsoide E" égal à E, nous aurons les deux masses M et M"
qui sont renfermées à l'intéreur de deux ellipsoides égaux et sont en
équilibre en tournant avec la méme vitesse angulaire autour de deux axes
correspondants.
Si nous prenons une troisième ellipsoide E"' égale à E et à E" et y
renfermons une masse J7" dont la densité en chaque point soit la diffé-
rence des densités correspondantes de M et de JM', cette masse sera en
équilibre d'elle-même étant en repos. Or la masse M'" a en tout point
une densité positive, c'est pourquoi on voit aisément que l'équilibre n'est
pas possible.
Note III?me,
Je vais exposer une nouvelle démonstration de l'incompatibilité de
l'équilibre d'une masse tournant uniformément, avec sa stratification par
ellipsoides homothétiques et concentriques. Je dirai aprés pourquoi je
ne l'ai pas préférée à celle que j'ai donnée dans le cours du travail
précédent.
Partons de l'équation (A) (Art. I") qu'on peut écrire
V— —" (y) 4),
d'ou l'on tire
(B) #7 — 2 ee 99 As
; A’V’ = — 20 T A +, AU,
étant
hene aeq ed)
— ee Sr =) d oy + 9x] '
Or par le théorème de Potsson
A’V = — 4np(h),
et à cause de l'équation (2) du 1" Article
Ah — 4(S gn +),
Ath=—2(a+ x +5)
Sur la stratification d'une masse fluide en équilibre. 123
Done, afin que l'équation (DB) soit satisfaite, il faut que
od
a = 0
d'où l'on tire, en vertu de l'équation (B), que la densité doit être constante.
Cette démonstration est très-simple; mais elle suppose que le théorème
de Porsson soit vérifié et pour cela il ne suffit pas que la densité soit
une fonction intégrable. C'est pourquoi nous avons préféré la démonstration
que nous avons donnée précédemment, quoique plus compliquée, à celle que
nous venons d'exposer.
Cependant il faut remarquer qu'en suivant cette vole, on peut arriver
à une conclusion plus générale.
En effet, par cette méthode, on peut démontrer le théorème suivant:
Soit une masse fluide d'une forme et d'une constitution quelconque, pourvu
que la densité soit telle que le theoreme de Poisson soit applicable. Si dans
le domaine dun point où le fluide est heterogene et continu, les surfaces où
la densité a des valeurs constantes sont des parties de quadriques homothétiques
et concentriques, ou des parties de quadriques homofocales, la masse fluide ne
sera pas en équilibre si elle tourne uniformément autour d'un axe quelconque.
Note IVeme,
Nous avons supposé dans le 1" § que la rotation de l'ellipsoide eût
lieu autour de l'un des axes. Il est aisé de prouver que cette hypothèse
n'est pas une restriction, car si l'axe de rotation aurait pour équation
ET 7e wur I Be
a B r
Vito Volterra.
124
a,,7 tant les cosinus de direction de l'axe, il faudrait remplacer dans
l'équation (A), le terme = (x? + y") par
2
_- (xz — 2 (8 + 7) + (y — y) (r^ 4- «) + (€— 4) (à + PF)
— 2 (y — yo (« — 20) Br — 2 (2 — 20) — Ro) ya — 2 (x — Sy —Y)apy -
Or puisque le premier membre de l'équation (A) et (Ah) ne changent pas,
en changeant le signe des quantités æ,7y,2, il faut que l'on ait
oue d ce
7 B Y
et que deux des cosinus a, ,y soient nuls.
BEWEIS EINES SATZES VON ABEL
ÜBER DIE GLEICHUNG x" + y" + 2"=0
VON
P. STACK EL
in KIEL
Dass ABEL sich mit der Gleichung x" + y" + 2" — o beschäftigt hat,
zeigt ein Brief von ihm an HOLMBOE aus dem August 1823 (Oeuvres,
Nouv. éd. t. II. S. 254—255). Ein darauf bezüglicher Satz, den er in
dem Briefe mitteilt, ohne anzugeben, wie er ihn hergeleitet hatte, soll
in dem Folgenden bewiesen werden.
Wenn n eine positive ungerade Zahl bedeutet, so ist w"-- v" durch
u + v algebraisch teilbar, und da der Quotient in « und v symmetrisch ist,
lässt er sich als ganze rationale Function von «+» und wv darstellen,
es besteht also eine Identitit der Form:
— — == À, (u + v)" + Aw . (uw + v)" ? + A,(ur)?.(u + v) +
n—8 n—1
toc des (uv) * .(u + v)? + A, a (wv)? .
>
Im Besonderen ist der letzte Coefficient
wie man sofort erkennt, indem man # — / + x, v = —¢ setzt und dann zur
Grenze für «=o übergeht. Mithin gilt die Congruenz:
n—1 n—1
u" v" > p
EDU (— 1) ? .n(uv) ? (mod. (u + v)?).
u+v M
Acta mathematica. 26 bis. Imprimé le 22 octobre 1902.
*
126 P. Stäckel.
Bezeichnen nunmehr w,y,2 von Null verschiedene, positive oder
negative ganze Zahlen, die paarweise relativ prim sind, und besteht zwischen
ihnen die Gleichung:
x" + y" + ee = O,
in der n eine ungerade Primzahl bedeuten soll, so ergiebt sich mittels der
soeben bewiesenen Formel die Congruenz:
en — (—1)? .n(yz) * | (mod. (y + z)),
n+1 n—]
bei der die linke Seite eine ganze Zahl ist.
Man zerlege y + z in Primfactoren. Es sei p eine Primzahl, die in
y + 2 genau k mal enthalten ist. Da sich z" durch y + z teilen lässt, so
muss p auch Primfactor von x sein, und ist p in x genau a mal enthalten,
so muss
k < an
sein. Fe
Ist k — an, so enthält der Quotient = noch den Primfactor p,
n—1
folglich ist auch n(yz)? durch p teilbar. Wenn aber y und z relativ
prim sind, so gilt dasselbe von y+z und yz, mithin muss » durch p
teilbar und daher p — » sein. Demnach kann die Annahme k < an nur
dann erfüllt sein, wenn y+ 2 durch » teilbar ist. Dann ist es yz nicht,
. a
und daher, zufolge der Congruenz, der Quotient Je Du durch » selbst,
aber durch keine höhere Potenz von » teilbar, also
k = an —1.
Hieraus ergiebt sich, dass für p 2 m notwendig
k — an
ist und dass nur folgende zwei Möglichkeiten vorhanden sind:
Erstens: Es ist y + 2 nicht durch » teilbar. Dann lässt es sich als
te
n" Potenz einer ganzen Zahl u darstellen:
y+t3s=u,
und es wird gleichzeitig
Über die Gleichung 2” + y^ + 2" =o. 127
,
wo die ganzen Zahlen # und w' relativ prim sind. Zweitens: Es ist
y +2 durch n teilbar, dann lässt es sich in der Form darstellen:
yte=—n"'u",
und es wird gleichzeitig
s=nu.U,
wo nu und « relativ prim sind.
Entsprechende Gleichungen gelten, wenn y oder z bevorzugt wird.
Es ist also entweder gleichzeitig
2-d-c—v" und y=vw,
wo v und »' relativ prim sind, oder
2-pxz-mwv und y-mw,
wo nv und »’ relativ prim sind, und entweder gleichzeitig
r--y-w' und z=w.w,
wo w und w' relativ prim sind, oder
1,,n
w'" und z=nw.w,
yy."
wo nw und w' relativ prim sind.
Da die Zahlen z, y, 2 paarweise relativ prim sein sollten, kann
höchstens eine von ihnen durch » teilbar sein, und es ergeben sich daher
durch Combination der Möglichkeiten nur zwei wesentlich verschiedene
Fälle. Entweder ist keine der Zahlen y+2, z-- x, r-4-y durch n
teilbar und daher
ytz=u", En x +y= 0",
oder es ist eine von ihnen durch # teilbar, während es die anderen nicht
sind. Da alle drei Zahlen x, y, z in der Gleichung
«"+y"+z"=o
dieselbe Rolle spielen, darf man unbeschadet der Allgemeinheit annehmen,
dass y + 2 durch x teilbar sei, und erhält dann die Gleichungen:
y + z= ntn 2 + c= v", Y + y = w".
138 P. Stiickel.
Auf diese Weise ergiebt sich schliesslich ein Satz, der mit dem von ABEL
angegebenen im Wesentlichen identisch ist und folgendermassen ausge-
sprochen werden kann:
Sind =, y,2 von Null verschiedene, positive oder negative ganze
Zahlen, die paarweise relativ prim sind, und besteht für sie die Gleichung
vg d£ = 0,
in der n eine ungerade Primzahl bedeutet, so sind nur zwei Fälle möglich.
Erstens: x, y,2 lassen sich in je zwei teilerfremde Factoren zerlegen:
We = ON Z—S9SD.',
wo w,T,1 nicht durch x teilbar sind, in der Weise, dass gleichzeitig:
— u" + vo? + wr u” — vr + u" u" + v" — w"
ee UE BE = —————
2 : 2 2
ist. Zweitens: x ,y,2 lassen sich in je zwei teilerfremde Factoren zerlegen:
CT —nW.w, y 0.9. 2 —30.W'
wo v und w nicht durch n teilbar sind, in der Weise, dass gleichzeitig:
— qw? ov? + wr
E :
n" lon — v" + wr
Y == 2 - — ; —
n^ lyon + v" — w"
T —
2
ist, oder es gelten die durch Vertauschung von æ,y,2 mit einander her-
vorgehenden Relationen.
129
SUR UN PROBLEME D'INVERSION RÉSOLU PAR ABEL
PAR
E. GOURSAT
à PARIS.
En cherchant à déterminer une courbe située dans un plan vertical,
de telle facon que le temps mis par un mobile À, soumis à l’action de la
pesanteur et assujetti à se mouvoir sur cette courbe, pour parvenir d'un
point de départ queleonque D à un point donné A, soit une fonction
donnée g(a) de la hauteur verticale a de la chute, ABEL a été conduit
à résoudre une équation qui peut s’écrire
a
(1) g(a) = | Ls
0
où f(x) est la fonction à déterminer. En réfléchissant à la méthode
employée pour résoudre cette équation et l'équation plus générale
(2) g(a) = | ETT
où n est un exposant positif quelconque inférieur à l'unité, il m'a semblé
que la marche suivie par ABEL devenait presque intuitive, en rattachant
le probléme à une certaine intégrale double.
1. La fonction g(a) étant donnée, pour déterminer la fonction f(x)
au moyen de l'équation (2), admettons d'abord que cette fonction f(x)
Acta mathematica. 27. Imprimé le 8 janvler 1903. 17
130 E. Goursat.
peut être représentée par une expression analogue a celle de g(a), et
posons
T
; _ [ d andy.
(3) fe) MESSE
0
n' étant un nouvel exposant positif inférieur a l'unité, et d (y) une nouvelle
fonction inconnue. La formule (2) peut s'écrire, en posant xz = az’,
1
g(a) = ur
(1— ay?
0
et de la formule (3) on tire
ar
ou encore, en posant y — ay’,
A m Y day’) dy
(an) = ra. |
j J (z—y»y
0
et la valeur de g(a) devient, en remplaçant f(ar') par cette expression,
1 x
gc m dx $ d(ay’)dy’
(7 ^ — rt _ ——.
4) € (a) a » (1 == zr | (a == y»
0 0
Mais le second membre de cette égalité n'est autre chose que
l'intégrale double de la fonction
ann dy)
(1 — zy (z' — y)"
,
étendue à l'aire du triangle formé par les droites y — o, y' =a’, æ — r.
En intervertissant l'ordre des intégrations, on a done aussi
1 1
>
^
3 , da’
(a) sa "S" | b (ay!) du SENE" D NEGRA IC)
€ F e u ) Y : (1 e d "(ax ie y \n
0 y
Sur un probléme d'inversion résolu par Abel. 131
or la premiere intégration nous donne, en posant z' = w' + (1 — y')f,
1
1
i dz’ ‘\1—n—n’ —n' —n
| acm tn fee — ire
M
Few (ru)
- = (m ah 1—n—n'
I'(2 — n — n) y) :
et par suite
ra — n)I(1 — n)
g(a) = ———-
I'(2—n-—n)
1
ee i= y)" ob (ay’) dy’ ;
0
en revenant à la variable y — ay’, on a encore
ra —n)ra—n) f
65 a Ti — »)(r ”) (a — yy" d(y)dy.
0
(Ce
On satisfait facilement à cette condition en prenant pour l'exposant 7’,
qui est resté indéterminé jusqu'ici, la valeur 1 —n, ce qui donne
E , : z (f
(6) g(a) = P(n)T' (1 — n) f 9(y)dy = . d(y)dy;
7 sin ei
on ne peut trouver de fonction d(y) vérifiant la relation précédente que
si la fonction e(a) est nulle pour a= o, et, s'il en est ainsi, on a im-
médiatement, en prenaut les dérivées par rapport à la variable a,
sin NT ,
(7) d (a) — ——-— e'(a),
et la fonction inconnue f(x) a pour expression
I
(8) f(x) = E nn
2. Cette expression de f(x) n'est valable que si la fonction g(a) est
nulle pour « — o. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, la fonction f(x) ne peut
être continue pour # = o, comme le montre immédiatement la formule (1).
Dans ce eas, nous prendrons pour f(x) une expression de la forme
E 7
(9) f(x) =: | EI;
(x — 9g)-^
132 E. Goursat.
par une suite de transformations tout-a-fait pareilles aux précédentes, on
trouve que g(a) peut s'écrire
1 1
a” , , dz’
(10) g(a) = Fear f — ayr(z'—)»-
0 y
La première intégrale peut être calculée, car si si l'on pose
,
Tm y
(0 I-c(y —0t
elle devient .
1
a
à —— ACY Cet oz
yi t—(1— ty yrs ^. ein nz
0
et la formule qui donne g(a) devient
1
LI
us ^ (ay) dy'
(i) ee Me
4 sin nz. y
0
ou, en revenant a la variable y = ay’,
a
M ^»
T UE)
(12) a"g(a) ==— | AY ay.
sin NT ) y LE
Les deux membres de l'égalité (12) s'annullent pour a= 0; il suffira
done que leurs dérivées soient égales, ce qui donne
‚sin nz
d (a) = [ag'(a) + ng(a))
et l'expression cherchée de f(x) est
sin nz ('ug(y) + ng(y)
12 TL) = — "T TT CINE "
(13) f( vr) mx | (x —y)'-* di
Sur un probléme d'inversion résolu par Abel. 133
Cette expression de f(a) coincide avec la première lorsque e(o) = o,
car on peut l'écrire
= z£
sin JE — xp (y) + ne(y sin nr i c'(y)dy
)
- dy + —— = :
— — 4;)i—n u T (m l—n 4
TX (2 — y 2 J (@—y)
0 n
La première partie est égale à
sin nz,,. Fr sin Nz, sin nz g(0)
a a (a =i) e(y); = p T eto) = = gi?
et la formule (13) prend la forme plus simple
r
sin nz€(O) , sin nz i € (y)dy
I i — — , ,
( 4) fí ) = an zi z (x — y)"
6
3. Pour vérifier l'identité de la solution précédente avec la solution
d'ABEL, remarquons qu'en posant y == tx l'expression (13) de f(x) devient
1
fla) = sin = [eee + SE AEE ag
TT
(1 B. din
0
et le second membre est la dérivée par rapport à x de l'intégrale
1 =
sin nz [ z'c(zÜdt — sin nz r e(y)dy
GS soe (eye
0 0
TT
“Si done on pose ds = f(x)dr, la formule (13) eonduit à la formule
méme d’ABEL
T
sin uz (" e(y)dy
Su J (x — yy
0
Py. ae JV
"4. si alie oA umibion au" 8. |
HER UE, A erm deae
A Avi visis
vu Ty a je jani zu
A my he sy | Y M ça
fine: FR ih us si P diste" = LI 4 uad 5
a v An u rh Le fiu a em "ui
aq inip NY heel al Tesi qe
*
N
LAT + qw are v que on {un
j . | mw VE |
re > Fig’ - n) =
[] —— md ES
í Mtm V UT"
rotule al atr Ajar bnvitag wein wl uly olet ll iei Fr
imi» ued las ug wise Ana spp evo gern
i
LA e
"Y "di ah € svi: sey wd
amanda P Li BEE a Y
bien M ro Wile na mw ni»
ree me > =e ren vs
dures sb guae a à almurtol " in VÀ om || eq; um wun Ae
seem hee hh l'égalité ioe saan ülianf. pour "
we met yid on, Ot w Mout
dis mi
‘= Ny - 1,7 pi + ;
$a iae Ca eot ame
- @
= A nd fol re
s a mt imt tts
tj pe! s Beno, à
135
ON A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS LEADING TO
PERIODIC FUNCTIONS
BY
H. F. BAKER
of CAMBRIDGE (Engl.).
The present paper contains an elementary algebraic deduction of a
system of differential equations satisfied by all the hyperelliptic sigma
funetions which, as is believed, were first stated, but without demonstration,
in the Proceedings of the Cambridge Philosophical Soeiety, Vol.
IX, Part IX, 1898, p. 513. In that note will be found indications of
a method of solution of the equations in connexion with the theory,
considered by Picarp, of integrals of total differentials, and of a method
of obtaining from them the expansion of any sigma function, and of
their use, in case p = 2, for expressing the geometry of Kuwwzn's sixteen
nodal quartic surface. The establishment of a theory of the sigma fune-
tions directly from these differential equations would appear likely to be
of the greatest suggestiveness for the development of the theory of func-
tions of several variables. It is from this general point of view that the
equations appear to the present writer to be of peculiar interest; though
their simplicity would also recommend them merely as a contribution to
the theory of the hyperelliptie functions.
Acta mathematia, 27. Imprimé le 3 janvier 1905,
136 H. F. Baker.
in
Let (x,y,)...(x,y,) be pairs satisfying the equation
ÿ = f(x) = 4P(x)Q(x),
where
P(z) = (x —2,)...(x — a), Q(x) = (x—^0e)...(x — e(xv — e);
let
F(z)—(z—2)...& —2), F(a) =4 F(a),
and, €,,€,,€,,... being undetermined quantities, let
Yr — __AiTA;
A Be (e; — z,)F(z,)’ a= ei — ej ?
' so that
(e, SG We ve ri (e, “Th &)A,, zs (e, Fry e,)A,, +
(e; "WI e; e, s 6)^,,4,, zt (6; TY e; e, PE e,) A;, A,
+ (a €; (e, = e)A,A,, 2-40
put further
f(e) =
Fey *
and
9, = (e — ey A$ —9— €;
also let
Yale) = rt yar ya =, ET
so that
2) = xP? vi(2,) + qvam.) +... + Ys (905
h. being the sum of the homogeneous products of z,...z,, without
p?
repetitions, r together.
On a system of differential equations leading to periodic functions. 131
We assume in this paper that w,...w, are arbitrary variables, and
that the pairs (z,9,)...(r,y,) are determined from them by the p equations
where the lower limits denote p pairs satisfying the equation # = f(x),
to be chosen arbitrarily and kept the same throughout the following in-
vestigation. It is further assumed that any rational symmetric function
of the pairs (z,9,)...(r,y,) is a single valued analytic function of u,...u,.
Such a function has in fact no essential singularities for finite values
of w,... «,.
lt is proved at onee that
and therefore
Oxi Yi " (2
au. = Far G9 mx PALACE
we put further
p
ST 9 à]
el di:
= ou,
Now consider the expression
7 9 » [ ( a) — ( "Ce \Q( 4)— ( O( e.)
H = 1 F*(e,) P (o) At — ER) PEG | T8098) — FIO).
€, — €, € — €
it is easily seen to vanish when e, is replaced by z,; it is therefore an
integral polynomial in e, and e, dividing identically by 7(e,)F(e,).
5 nc À 1 .
Take a symmetrical system of - p(p + 1) constants c,,, of arbitrary
values, and put
Fler, €) = 4[P(e)Q(6) + P(e)Q() — aa — ey X Lee,
J=1lu=1
so that the expression
f(e €) az (e e yX " @, eg f(e,) Fe) fKe,) Fe,
15 €» 4\eı er VAR C16 eg Vo CS TEE F(e,)
Acta mathematica, 27. Imprimé le 3 janvier 1908 15
138 H. F. Baker.
is equal to
4[F(e,)P(e,) Fi F(e,) P(e, ILE (6) Q(¢s) Æ F(e,) Q(e,)] -
F(e,) l'(e,) :
then the quantity
Y 3 C
VA] FO Re |
X F 3 € €,
F(e,) (e,) d=) p=1 Àpn 7l 2
is equal to
I F(e,)
a F(e,)
e | fe: , &,) u fí € ) F(e,) fe) res )
I
- F(e,)F(e) Aj, + ——
F(a) Fle) AL +
which is therefore a rational symmetric polynomial in e, and e,, of degree
(p— 1) in each, of which the coefficients are rational symmetric functions
of the p pairs (z,yi) . . . (2,9).
: I d MESS :
We may therefore define - p(p + 1) single-valued analytic functions
of the variables w,...w,, without essential singularity for finite values of
s
these variables, by putting
p p
== Pa(u)e es.
AIRE
rq » . I 4
These functions depend on the -p(p + 1) arbitrary constants ¢,,, but only
additively; and they depend on the p arbitrary fixed places denoted above
by m,...m,, of which the alteration is equi valent only to the addition
of constants to the arguments w,...w,; moreover they satisfy the equations
pi
Pap (u ) = Pral u ) :
We shall put
= OP inv (u )
Ur
\ 9Gan(u )
au, §? ruvp ( uw) =
,
and it will be found to be an incidental consequence of the following
work that in all the functions $,,(4) , 9;,,(4), the order of the suffixes
is indifferent, or 9,,(u) = (o, (w); ete.
The definition of the functions @,,(#) is equivalent with
P p
4(e, — ey 2 2 lu). ey es — fle, , 6) F(e,)F(e) Q4,
A
On a system of differential equations leading to periodic functions. 139
where, as before,
Q4 = (a — 6) Ab — gi — v.
To this equation we apply the operator
Recalling the values of 87,|9w, and 3y,|8w, we find easily
I I ^N .
à, F (e) FEY Ee F(e,) ^if eT 2¢,A,,;
I
F(e,)
with some calculation, of which the details are given below, we find
I à E I (e, — 2) Nis <= (6, = €,) Ass
—— 0,A,, = = we NB
F(e,) aS IED e, — e,
gi m + €. E + Pa
2(e,—eXe —e). Ze, Te), —e,) : 2(e, —e Xe, —e,)’
which gives
erates 0,[|9,, F(e,) F(e 2)]
1,2,8
x i eeu (Gi — €) Ais — (e — 6) As + (à — & oe 2(6,— e,Xe EX
— 29, A, — 29,A,, — (Als + A,)[(e — ej A — Vic £4,
and in virtue of
(e LX €;) A» + (es s. €) Ag + (e — e)A, = 0
this reduces to
E 8,12, Fle)Fle) _
+ le €) 9s As + Nele 69A
e
— €.)
= AA Ay, + Sess
123
where
O15, = (e, Je e,)(e, — €):
We thus deduce that the expression
p
p p
à A obl 2—1:9—1
FHF Zi ZZ Pole oa"
140 H. F. Baker.
is, for all values of e,, €,, @,, equal to the expression on the right side
of the last written equation. As this is symmetrical in e,, e, , e, it follows
that in @,,(#) the order of the suffixes is indifferent. It is not possible
to express the functions jo, (4) rationally in terms of the functions @,,(#);
it is a consequence of what follows that the squares and products
AU (u), $25, "i u ) Po: „(u u)
can be so expressed. We proceed therefore to further apply the operator
to obtain the expressions for $5, (uw).
Before doing this we give the caleulation referred to above to find
the expression for
we have
9 Uk I E) ; Yk 9 LE" (a,
—|— — -- 2 | m (3,
au, real 2 Far 2) [F" (zy))* ou, ' E )
1 f(x) . vo oe : io o
2 [F (m)p 47 \ 9) FG | F apr o9 2 a — d
Yi 1
EI P'(a) Xp—r (i) ET
DE — a
;
() . : 3 ; 4 x s ;
where X is a summation from which the term for i = k is omitted,
i=1
so that
P. (b) iR I FF),
a a — 8 2 FF (ae)
therefore
9 Ur I f(a) 1 f(x) F" (ax) ;
ITE cs M (a naX p-r Ty) TO DE PUES Ie) 4 (Lx)
ou, | F(a) 2 | F’(xx)| 2 [F'(z))
+ S» Yi rm).
F'(zy) = F'(z)z—2!
On a system of differential equations leading to periodic functions. 141
hence
I a[.9 |] ifGOoFm)—fG)P'm), € w^ yo
F(e,) , F' (xx) 2 (e, — 2) F"(xx)|* A e (e,— 2,4, — 2) F' (2)
while
: (e, — ay) F' (xy) (Ca ay) (e, — axy)|£P' (zy )}? €, — t 3 F(z) ,
wherefore
I S
F(e;) HOT ^£ A [e nn]
zl iiri tyr à ras (D. asa.
£2 (€, — Xe — IF) '(-—2a)(,—2z)r)' |
p p
TE yk V (E) Yi .
== (e, — x) F' (zx) con "rss xix. — 2) P (z4)?
herein the second term of the right side, arising in a form consisting of
p(p— 1) terms, is in fact a sum of E p(p — 1) terms, namely equal to
"Y : (0 Ykÿi (e, — «y Xe,— xi) — (e, — Lie, — xx)
(e, — aye, — ax) P (xx Xe, — aie, — a) Fa)" dy — $i
wherein k + i, and therefore equal to
A (e — e) ykyi
YY
, — ine, — ay) P (re, — mie, — Ei) (21)
or
p 2 p
! ES Yk f(%«)
Nic | XN (e, — ze, — ox) F' = 2 (e, — a) (e, — 2)" [F" (xx)? |
Thus
rne Hd :
yo): za 9058
3/
p ; BE
I | (zx) P (ae) — Fr)” (ae) (e, +e, —2zx)f(xx) — |
35 2 » | (e, — xe, = ay) LP (zx)? + (e, — zy) (e, -- ay) [FP (zy) f
142 H. F. Baker.
which is the same as
p
I = ar f (2x)
ee Jul, Lu 2e
2 (6s e) i 2 F'(z T Te 2) F' (ay) |”
This gives
>
I POSS S (e, — e) Ass
F(e,) F 2 Go.
a I à I 9 f(x) :
vM F' (zy) 9% (e, LEC, — Erle, — ay) P' (a) |"
now if R(w) be a rational function of æ not becoming infinite or zero
for «= ,, it is easy to prove that the coefficient of (x — x,)~' in the
expansion of A(x)||F(z)* is equal to
ee Me, R(24)].
F' (a) day mean;
thus, applying the well known partial fraction. theorem
fone dr] — =
ke — ze, — «Xe, — «)[F(x)]? al und ?
we find, finally, as stated above, that
(e, — e,) Ais — (6 6) A y :
| =; RAT
1,2;
yi a c en.
(e, ae — €)
E
I
Ag;
7352 €,
Proceeding now to apply the operator
to the equation before proved
n p
à u 5s ej EN
en ul) - eie
F(e,) F'(e,) P(e,) ) net Perl "x g cs
1,2,3
I
= AwAs 43; + = >> gi (e = 63) As;
035
we have at once, by use of the equations
à, F(e,) — EL F(e,)F(e,) A, die, = 2Fi\e,)e, A4
1,2,4
| (e, — e)Au— Ce, — e) Au DP d.
Ay — ' Fle &)| e, = a
On a system of differential equations leading to periodic functions. 143
the result that
p
A—1 51—1 5y—1 go—1
— Fey FG) FG) cepe Pa) m e n
is equal to
1,3,8 1,2,8
E ND: As Au) Ards Arts Y giles) An +5 X cie, —e) Aor Ary
I |I — e,)As—(e,—e,) Ax pd
[A Ais + m eie —e)| | = : EA As ab oy €; — €3) G4
123
Gace à,
Nie
| (e, — e)A& — (e, — e)An I Y (e,
= É eg |
€, — €, 051,
1,2,4
I e, — e)A1, — (e, —e) A2 I c
+ An An + pe) || DA Gé) Au — Z(e — ee, |;
123 =
(ES (D
+i[asa, +, 5 os (e, —e, |
124
by means of the identity
(e; — &) An + (& — €) Au + (6 — 6) Aj = 0
the right side, multiplied by — 2, reduces to
A,A,A,A, 3 AG AMAA 7 A,A,A,A,
1,2,3,4
say e| __Avdu Ari Ai Au C
— (e — eXen— ex) | (ex — een —e) | (en — eiXen — e)
1,2,3,4
ES PaQi + PP
(e: — ee: — exXen — ejXen — ex)
If now we put
M = (e, — e, (e, — e, (e, — e, Xe, — e, Ye, —e,\e, —e.), Àj = (& — ey A;
and use the identities
1,2,3,4 1,2,8
2 (e, — 4), — 6,) &,,4,, Dr b» (e, —e,)A,,=
we find that the expression above, multiplied by M, can be written as
the sum of three expressions of the form
(e, — e e, — €,)|44,24; Aue + 4) — A (Go + $s) — (ee, + 9,9)]
144 H. F. Baker.
which is equal to
V. — e; Ke, 9 51 Le,
thus, with
Q, — Ay CRE €; X €;,
we finally have the formula
8(e,— e, Ye, — e, (e, — e, (e, —e, Xe, —e,(e,—e,) 22 & ZX » uso (à) ek ez op
A-lu-2lv»-1
> DEM
= (e — ese, — e,)| fle 5 e) )— 4(6& EL a 2 LÍ (Pin (U LH e|
p p
banum ir M
p p
p (e, nr CAM —e]re. 6) 4 (eos E à à Pan ( u ar ret |
» p 1
| fte, ) e,) et (e, iw e) Z Z p,(u)e ter |
p p
al
f(e, , €) — 4(e — ey & 3 p(u)ei te dius
A-1pgp
el
p P
| He, ) es) "e 4(e, ie €) lI Z ex (we er |
which, to save repetitions, we shall refer to as the fundamental formula.
It is clear from it that the functions 9,,,(#) have values independent of
the order of the suffixes 2, 5, v», o. It is also clear that the arbitrariness
in the lower limits of the integrals by which x,...#, were initially de-
termined from w,...w,, equivalent as it is only to arbitrary additive
constants for the arguments wj... ",, is of no importance, and that,
similarly, the arbitrariness of the coefficients c;, in the definition of the
polynomial f(x, z), eancelled as it is by corresponding arbitrary additive
constants for the functions $2,,(4), is of no importance.
The above work has been carried out on the hypothesis that the
hyperelliptie equation y’ = f(x) has no term in z"**, By putting
A id A ^ A (¢ — aie
T = — = In N y ——— =:
EP i & Lg" i a —a" 4 H y
On a system of differential equations leading to periodic functions. 145
where A and a are arbitrary, and, with 4,,, arbitrary,
H° = — 40. ..4,0...0,C| Ass,
we easily find the corresponding results for an equation
y —AE—a(t—a)...(—a)E—pDp(€—7)..-(E—r)
I have carried through the work, which, though long, is not difficult.
It will be sufficient to state the result, which may therefore be reckoned
equivalent with the former, or can be directly proved in the same way.
Let
y = Ay sP(r)Q(v) = f(x)
where
P(x) = (&—a)(x — a)...(x—a,), Q(x) = (x —cx — 0)... (w—e,);
let w,...", be arbitrary variables, and x, ...x, be thence determined by
means of
* ' ar da
XL J E y IND n r=1..p
and put
R(x) — (x — az —2)...(z— ,), O(x) = f(x) |(R(x)/,
m Yk
Vu ES = (e = Zi) Ca — gy) R' (a) Gr)?
further, taking 5 p(p +1) arbitrary constant coefficients c;,, define, for
undetermined quantities e,, e,, the function f(e,, e,) by means of
1?
p p
f(e, , &) = Aya P(6,) Q(6;) + P(e,)Q(e je lee) = Ze, eer.
then, if we define SP p(p + 1) functions jj,(w) by means of the equation
p p
4(e — ey x Z Pulu)ei ey — fleı , &) "
D RETE — — = (e — ey Vi — Da) — (es),
we shall arrive at an equation having precisely the same form as the
previously dedueed fundamental formula.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 5 janvier 1903. 19
146 H. F. Baker.
This second equation being regarded as deducible from the former
by the transformation suggested, the functions %,,(#) occurring in it are
not identical with but linear functions of the former.
It is easy to see, as is well known, that the polynomial f(x, 2)
satisfies the two conditions (1) of being a rational polynomial in v and z,
of degree p + I in each, and symmetrical in regard to them, (2) of re-
ducing to 2f{x) when z — v, (3) of being such that
ez dz ^?
pie?) _ df(z)
the condition (3) being a consequence of (1) and (2); and that conversely
any expression satisfying these is included in our form above by suitably
choosing the constants c;,. This is so whether f(x) is of order 2p + 2
or 2p+ 1. If we write f(x) symbolically in the form a*’**, one possible
form for f(x, z), considered by Prof. KLEIN, is 2a7^'a**'. Another form
(suggested by an identity due to ABEL, see the present writer's Abelian
Functions, p. 195) though not invariantive, appears to possess great sim-
2p+2
licity for purposes of calculation, namely putting f(z)— 224,7 we may
À ) 2 o oo %
p+l
take f(x, 2) = Z z'zZ[2À, + Avia. (© + 2), with ,,:—0. It will save re
petitions to refer to this as AnEL's form for f(r, 2).
If we suppose À,,,— O, Apr = 4, and take this form for f(z, 2),
the equations which express (7,5,).. - (2,y,) in terms of &,...u, are given
at once in a simple form by the formulae above. From the definition
formula for the functions @,,(w), dividing by e*! putting e, = co, and
Màn /3 > 2 2 ) = 2 »
then e, — z,, we find that 2,...a, are the roots of the equation
a? — a! opp (M) — X" p pu) — ... — hit) = 0;
while, taking the formula
P La p
TTA p Aa fis (w)er ei e
Ajwlpe=lv=1
1,2,3
> a —
= Fi e) Fe) F(s)| As Aus + YE a. |
On a system of differential equations leading to periodic functions. 147
we obtain, for the right side, after dividing by €! and putting e, = oc,
the value
4 (ei) Biles) i a5
if we now divide by ej" and put e, — co, and afterwards put e, = x,
we find that
V, = XV Pppp(U) + Yt. Qo p p-A(4) Ft --- Ppp (%).
The fact we have proved, that (?,,(4) = $5, (4), shews that
ga(u)du, +... + guu(u)du,, = —dG(u), say,
is a perfect differential; in the present order of development the study of
the character of the functions &(w) is subsequent to that of the differen-
tial equations. From
(u)
ou,
Qu)
au,
= — 9,(u)=
follows that
G(u)du, +... + ¢(u)du,
is also a perfect differential. If we write it equal to dlog G(w) it will
be found that the differential equations naturally suggest the consideration
of G(w) as a dependent variable, and that they are satisfied by the hypo-
thesis that G(«) is an integral function.
Note. ‘The formula for the functions (?;,(4) which is made the basis of this paper
was first given by Borza, Gott. Nachr., 1894, p. 270. A deduction from the theory
of algebraic integrals was given by him, Amer. J. of Math., XVII (1895), and, inde-
pendently, by the present writer (Abel. Functions, Cambridge, L897, p. 329); see also
Baker, On the hyperelliptic sigma functions, Amer. J. of Math., XX, 1898, p. 378,
and Math. Annal., L, 1898, p. 462. For the equations of this paper, without de-
monstration, but with indications of their application, see Camb. Phil. Proc., Vol. IX,
Pt. IX, p. 513, September 1898. The expression for tbe functions &(#) in terms of
algebraic integrals are given in the writers Abelian Functions (pp. 321 and 195). The
present development is complete in itself, and requires no previous study of the associated
RIEMANN surface, if the simple case of JacoBrs theorem of inversion which is utilised
be assumed. But, if we allow the formula which expresses a theta function of any
characteristic, not necessarily half-integral, by the addition of certain constants (parts of
the period system) to the arguments of a theta function with zero characteristic, we see
that the equations are satisfied by sigma functions of quite arbitrary characteristic.
148 H. F. Baker.
LE
We consider now, as next in logical order, the algebraie problem of
forming the explicit differential equations from the fundamental formula
above established, obtaining them by way of example for p — 2 and p — 3.
The method followed can be regarded only as provisional. Not only is
the question how far some of these equations are deducible from the others
left unconsidered; but the isobarie character of the equations, remarked be-
low, whieh promises a general rule for writing down the equations for
any value of p, remains not utilised. The present deduction has however
great simplicity and some algebraic interest.
The following notation is employed:
The quantities before denoted by e,,e,,e,,e, are denoted respectively
by 2,9y,2,t, and so
)
M = (y — z)(z — «yx — y)(t— «yt — y)(t — 2);
a summation extending to these four letters is denoted by 5; so that
for instance
S(y — zy (t — «y. = (y — zf (t — 2)? + (« — xy (t—yyy + (x — yy (t — 2)’;
further we denote the symmetric function S(z*w'z1") by (afd), and the
sum of the homogeneous products of «,y, 2, ¢, including repetitions,
so that for instance H, = Sx’? + Syz or H, = (2000)
+ (1100); and we denote by |afyé| the determinant
a)
a together, by H,
| «30 | Ls H; VE bs H,
where H, = ı and, when » is negative, H, — o; similarly in what follows
quantities usually arising with positive suffixes are to be put zero when
the general rules would give negative suffixes;
On a system of differential equations leading to periodic functions. 149
we shall need to consider the coefficients (a) arising in the product
N N N+1 N+1
De, y) = (x — y) (v , y) = (x —y) Z 2 a T^y? = — lj 2 (af) ^w,
wherein @(x, y) is any rational polynomial symmetric in x and y so that
Aug = 4;,, and
(af) = a, 5.1 — 4, 1,5;
for which (a) = — (fa), (a8) — o; and shall meet with the Pfaffian forms
(ar2 = (aß)(ro) — (ay)( B8) + (a3) By);
it is easy to see that when the polynomial (x, y) is the Abelian form
r+l
2 AY [222 + Agi (c + y)]
all the quantities (a3) are zero in which the difference of 4 and f is not
I or 2, and that
(aora nr) (zu dE e) TEEN
similarly from two such rational symmetrie polynomials
N N N N
Day) = X X ax", Q'(r,y) — X: X a,ry
a=08=0 a=08=0
we shall form the quantities
(ar 9') = (aB)(r à") — (ayY( B9") + (ad)(3’7’) + (ya)(a' B") — (Baya'y) + (By)la’0’)
reducing, when 4;,— a,,, to 2[2fy0); in particular when the first poly-
nomial is the Abelian form above and the second is
p—1 p—1
(xv — y} Z Z Point ctu,
a=0 f=(
that is
pipi
E 2, (Pu—1,941 — 294,8 + $9221, 0^ V^,
then (aß) is as before and
(a B") = — (Pas, 541 or 3Pa—1, 8 — 3a, 5—1 — Q1 pits) :
functions @,, with negative suffixes being, as explained above, put zero.
y Ape 5 =)
150 H. F. Baker.
The forms just explained arise naturally in the problem of expressing
the quotient
Tm uk |
= S(y — z)(t — x) d(y , z) dit, x),
which is an integral symmetric polynomial in z,5,7,/; it is equal to
|,
UOTE t) — 9,(x , 2) 0, (y, t) + 9 (x , 00, (y, 2
and contains the term
I a 313 uy 40 ^
yr ?t {afro},
and is therefore equal to the sum, for all combinations four together of
the unequal numbers a, 8,7, 06 chosen from the set 0...(N + 1), of
the expressions
I
we „@ JB I dE N
xi" v © 2% wr? ,,
UT WANT
BEE EEE
oe d
that is, as is well known, of the expressions
SIC ON
| «572 | { 570}.
In precisely the same way the expression
Din . | : ; / 7 E
n S(y — at — x) y, z)d'(t,xr) + Dt, x)d'(y, z)|
is equal to the sum of all possible expressions arising of the form
lar? | (a5; oe}:
Returning now to our differential equations, and writing for brevity
f,-— f(r,w) ete, the suffixes 1,2,3,4 being respectively associated
with æ,y,2,t, and f(x,y) denoting as before a rational polynomial
symmetrical in z, y, of degree p + 1 in each, for which f(x, x) = 2f(x),
and writing further
p—l p—1
Py = 2 > uaa qa 2^ y^
a=08=0
On a system of differential equations leading to periodic functions. 151
the differential equations can be put into the form
1...p
IE (—1,4—1,»—1,p— Ule, — 2 (Pan + 94$, + Pig 9,)]
À, p, vp
I + \2 D
= 3r 99 — 2t — 9)fs fa X3 f S(y — z)(t — x)|f,, (t —) P aie 2) Pl
6
+ HS( — 2t — 2) P, P.
wherein
S(y — 2) (t — x) = (2200) — (2110) + 6(1111)
and the summation on the left extends to every combination of four of
the numbers A— I, a —I,v—1,9— 1 from the set 0...(p— 1). We
are to express the right side in terms of the symmetric functions (af)
and equate coefficients of these on the two sides. The form of the
fundamental formula here taken is recommended, not only by the simpli-
city of the right side, but also by the fact that if we put
2
Pr = — = Ye G(w), 6,
eti cold = ?6(u) __ 9'6(u)
au,au, ©
neigen
! Ou; ? D 9u;0u;?
the expression
< I
Op TE Piuvo ET 2( Pn, Pip EE: $27 on + ru VP ov) The g? (GG, xx) 2.6, 6,,, zt: 26, Gi}
involves only 6? in its denominator; when it is proved, as indeed follows
from the differential equations, that G(w) is an integral function, it will
be permissable to say that (,,, is a function whose (unessential) singula-
rities are such that G6'(w)Q,,,(w) is an integral function. We remark
moreover that if
= 2 ae
1-1 ou ou;
then
I ,
(Pr, (8) = — zu A,G(u )G(u Je
I ,
An (%) = ~~ 26%) A, A, A,A,6(u )G\ u),
where, after differentiation, uw; is to be replaced by w;.
152 H. F. Baker.
On consideration of the forms arising in the fundamental formula it
is immediately clear that if we reckon g,,(u) as of weight A+ p, $5, (4)
as of weight À + p + » + p, and, in
p-lp-l
(a, y) = ZE Z as yé,
0 0
reckon 4,, as of weight a+, then the coefficient of the symmetric
af
function (4370) on each side of the formula is isobarically of weight
a+8+y+¢+4. Thus the expression to be obtained for ,,,,(u) is
isobarically of weight A+y-+»-+ 5; for instance the function {,,,,(#)
ean only contain terms of weight 4, and therefore, however great p may
be, eannot have more than a limited number of terms. While further,
the form of g,,,(w#) being obtained for any value of p, its form for any
lower value, p,, of p, is obtainable by the mere omission of coefficients
4,; Which contain suffixes a or # greater then p, + 1 and of functions
af
w,,l#) which contain suffixes À or p greater then p,. As before terms to
which the general rules give negative suffixes are throughout to be omitted.
We content ourselves here with forming the equations for p — 3.
In every form |afgyé|, or {afro}, we suppose a < 8 < y < 9; the only forms
|a? | arising for p— 3, with their values in terms of the symmetric
functions (afd), are
Jor23}=1; |o124]= (1000), |o134| = (1100),
lo234| — (1110), [1234] = (1111);
lo125| = (2000) + (1100), |or35| = (2100) + 2(1110),
lo235| = (2119) + 3(1111), . [o145| = (2200) + (2110) + 2(1111)
| = (2210) + 2(2111), |0345| = (2220) + (2211),
|1235| 2 (2111), |1245| 2 (2211), [1345| — (2221), [2345] — (2222).
With the help of these equations we can arrange the expression
: i ; : N ^
M S(y — zt — x)f(y , aft, x) = 2 |aro|(afy2)
where
4 4
flix , y) — 2. 25 (5:0 ^,
0 0
On a system of differential equations leading to periodic functions.
153
in terms of the symmetric functions (0000)...(2222); for the expression
— at Sy —a(t—2)P,,P,, = X |efrölfapyoY,
where
3d
P = x Y f9231,8419 V^,
only one term arises, namely
o123|(o123)' = (01) (23) — (o2)' (13)' + (o3) (12)',
wherein
^ 2
(aß) c $2541,8 — $22,841»
so that the term is equal to
which we shall denote by — A.
For instance by equating the coefficients of (0112) on the two sides
of the fundamental formula we obtain the equation
f
921525 — 49129793 —
Nase
299927134 — —
,
— (so io — £n 22 + Pi — PP)
— {0145}
+ 41023'5) + 4{014'5'} + 16(or23y';
it will be sufficient to denote the right side of the equation by
— {0235} — (0145) + 4(..") — 164,
and so for the others, and the left side by [1223
the set of equations is as follows, the left column giving the symmetrical
]
J
With these notations
function (2870) of which the other terms in the same horizontal line are
the coefficients: —
(2222); |
3
(2221); [3332] = —
3
(2220); |
more (8345, +
=— {0345} +
4
{1345} + 4.
4
arn: [3
(2210); [3321] = —
Acta mathematica. 27.
Imprimé le 5 janvier 1903.
f
\
f
\
f
Af
f
\!
f
| 1
on
-—
RA
——
=
24:
E mn
{0245} T4 J
20
154 H. F. Baker.
(2200); [3311] 2 — (0145) + 4. ") + 16A
(2111); [3222] = — 210245) — (1235) + 44...)
(2110); [32231] 2 — (0235) — (0145) + 4." ) — 16A
(2100; [3211] 2 — {0135} + 4{.."}
(2000; [3111] 2 — {o125\+ 4..")
(i111); [2222] 2 — (1234) — 3(0235) — 2(0145) + 4..") + 96A
(1110); [2221] 2 — (0234) — 210135) + 4.)
(1109; [2211] 2 — (o134) — (0125) + 44...)
(1000; [2111] = — {o124\+ 44. ."}
(0000; [1111] — (or23) + 4f.."}.
To calculate now explicit values for the quantities {430} we limit
ourselves to the hypothesis that f(x, y) is of the socalled Abelian form
4 4
fle, y) = Z La'y'[2d + Aui + y),
where A, — o, the corresponding results for other forms of f(x, y) being
obtainable by adding a suitable constant to each of the functions §,,(2).
Then with the equations, remarked before, (x, a+ 1) — 244, (a, a+2)=Ayrı,
we obtain, for the forms {430} which arise when p — 3,
í E ET MN ey Wes í jo í A se
(0123) = 44,4, —Ad,; (0124; = 21,4, {0134} = 4ÀAÀ,, 10234} =2A,A,,
í Ratt é
OG hi 4A, — Ad;
a HEX = f = foraches
[o125)— 0, {o135}— 244, 10235)— AA, {0145} —444,
eV Ze ale í vn
10345) =O), {1235} -7 2A,4,, 1245, = 4h
Sauren) Í od ferae 1
1345) = 24,4, 02345; = 4A, — Ah:
To calculate the quantities {4879} we require the values of the
quantities
(a B) = — (a par — 3Pa-1,8 T 3894,51 — f0a41,5—2)
On a system of differential equations leading to periodic functions. 155
those which enter are found to be given by
[o3 )—o (6 2)—o (0'3')=9,, (0'4')=9,, (0'5')=9,,
(1'2'‘)=—39,, (1'3')=—2¢,, (14) 4,,— 34,4, (1'5)— 9,
(2/3) 249,,—3$4,, (2/4) —29,, 2) 0,
(3'4')= — 383; (3'5')=0
From these we easily calculate the fifteen quantities {o012’3'}...{234'5
for instance
(012'3') = (o1)(2'3') — (02)(1'3’) + (03)(1'2’) + (23)(0'1’) — (1 3)(o'2") + (12)(0'3/)
= 24, (49, — 3944) + 24 9, + 24,911-
When all these are substituted we find the following differential equations
9 I E e
Wars — 095; ar As + 8 Id HI Pat 4732+ A ( 4231 — 34222)
I I A
Passe — 99723 9s +3 ss + 56230 + 5 [395 — $223) + 239
qu
Pa — 99731 Pas = ka — 5 Hat + Au
b | I I "
Pan 49) — — ?f?mf/ss — —5 As Te 2:82» + oAÀs94— 2 Pa — 2^
I I
3321 — 2 $212 9337 — 4 §723 913 = — ri Aids a > Asa
2 I
fiu — pi 1 —291u955—- —; Ads + 2A
a I I 1^2 ; 3.
Wa — 09292; zen 2 AAs 4 bo 2 938 + A46932 + A531 — 2^$u
I Is
Pan — 491223 — 29:393 = — 5 A — 5 Rods A985—24
I I
Pau — 49712713 — 24211 223 = — p" ode + 2 As)
I
Pau 691 Pat = Ad — 2 Asa + ba
156 H. F. Baker.
9 I 1
(22223 — 09 EP US AoA; + 8 À; — : AA; — Ada — 3229933 + 258232
+ La + 4s 93i — 34571 + 124
| 1 3 aT
§ 2221 — 99701 922 Sa 4 Ad — E Àj; — > $n + soa + Ai — 2 APs
2 I I I
Pau 49127" 22 P11 = —75 Ads — 24 (33 — 3 ^f + fa + 5 As 921
I I
Pan 91 12 — — 2 Ads — 24,4235 + 3 À (34231 — 922) + Jo 2i
2 I I
Pr — 09% 75 Ay + 8 hs + Ao(44231 — 34222) + A Pa + Pun
wherein
A = 92x — P12 + $931 — Pau:
Of these the last five equations give the proper equations for p — 2,
by putting therein À — À — O and {23 = 995 = 4 —0; while the last
equation gives the proper equation for p= 1.
These equations put a problem: To obtain a theory of differential
equations which shall shew from them why, if we assume
(u) = — À log 6(u) | du, du, ,
the function G(w) has the properties which a priori we know it to possess,
and how far the forms of the equations are essential to these properties.
It must suffice for the present to have stated the problem.
Cambridge (Engl.), 14 February, 1902.
[15 August. In illustration of the remarks as to weight (p. 152), it may be
i111 is true for any value of p, and that the
equations for the preceding four functions (,,,, 5 (99115 Paası » (asso are true for any
added that the equation given above for 4
value of p if we add to the right sides the respective terms,
for @,,,, the term 34,6,,,
for 9,,,, the terms A(259,, + $,,) + Lai
for @,,,, the terms
: TK : 3
A9. + 394, — 3934) + a 15 ae = vu) + lp,
and for ,,,, the terms
A (Ag), = 3944) + A (A83, - 3834) ar 4À $93, + 1291194 — 8138534]
A GENERALISATION OF A THEOREM OF M. PICARD WITH REGARD TO
INTEGRALS OF THE FIRST KIND OF TOTAL DIFFERENTIALS
BY
ARTHUR BERRY,
of CAMBRIDGE (Engl.).
To the integrals connected with a plane curve, which are associated
with the name of ABEL, correspond two distinct classes of integrals con-
nected with an algebraic surface, viz. double integrals and integrals of
total differentials. The latter were introduced into mathematical science
by M. Picarp and a large part of what is at present known about them
is due to him’.
If a surface of order n,
(1) div du 10%
admits of an integral of the first kind, it is necessary that four homo-
geneous polynomials, 6,, 6,, 0,, 0,, of order n — 3, should exist, which
satisfy the identity
(2) B fob Ar;
and that the determinants of order » — 2, belonging to the array
8; B. 8,, 8,
is 9. n qd
‘ M. Picarp's first important memoir on the subject appeared in LioUVILLE's
Journal, sér. IV, t. 1 (1885); the chief results are to be found in the Théorie des fonctions
algébriques de deux variables indépendantes, which he published in 1897 in conjunction
with M. Simarr. All the results which I use are contained in chapter V of this book.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 5 janvier 1903.
158 Arthur Berry.
should vanish at every singular point of the surface. They must also
satisfy further conditions, at present imperfectly known, at points of higher
multiplicity.
It is also known that, if an integral of the first kind exists, the
surface must have at least one singular point. The object of this note
is to generalize this result.
Let us take two points (P, Q) in space with coordinates (A, p, » , @)
and (A, y',»', ©’); then if we avoid special positions we can take cot
positions of PQ such that the tangent planes through PQ touch the sur-
face in n’ distinct points, which do not lie on any singular line or at
any singular points of the surface; »' is then the class of the surface.
The coordinates of these n’ points satisfy the equations
(4) iR tb + L + fs =
(5) Mie tile? do fe == ©
as well as
(6) nf = xf, + yf, + 2f, + vf, = 0.
Also, by hypothesis, f,, f,, f., f, do not all vanish at these points; hence
eliminating these differential coefficients between (4), (5), (6) and the iden-
tical relation (2), we have:
(7) F =| 6; , 6, ,8,, 0,)/=0
pa. BEST
Ki, uo, opto
À: ; we : v». ©
This is a surface of order » — 2, on which the n’. points also lie.
Thus the »' points lie on each of the surfaces (4), (5), (7); but these
surfaces cannot meet in more than (nm — 1)'(n — 2) points, unless they have
a common curve,
If possible let these three surfaces have a common curve; then if this
curve also lie on f=o it follows from (4) and (5) that the tangent plane
at every point of it passes through PQ, which is impossible unless it be
Integrals of total differentials. 159
a double (or multiple) curve on f/— o. We may therefore assume that
along this curve, assumed not to be a multiple curve on f — o,
(8) vf, + yf, + 2f, + wf, =k,
where k= o, except at a finite number of points where the curve meets
f —2.
Solving for f, from (2), (4), (5) and (8) we have
f, fF =k 8, 0: 0,
Au NU
Aera yr
But / =o along the curve, therefore also along it
(9) Bp eben | exo!
Ashe dau
A wn. y
Thus the curve in question is some part of the intersection of the
surfaces (5) and (9); but these are independent of ©, so that the curve
remains fixed as @ varies continuously; accordingly it lies on all the sur-
faces given by (4) as @ varies continuously; hence it lies on f, — o.
Similarly it lies on f; — 0, f, — 0, f; — 0; it is therefore a double curve
on fO.
Again, since F is a linear combination of the determinants (3), the
surface PF -— o passes, with a certain multiplicity, through the multiple
points and curves of f— o; let us suppose that these singularities absorb q
of the intersections of (4), (5), (7), so that the remaining points of inter-
section are diminished to
(n — 1) (n — 2) — q.
We have thus the inequality
(10) n' € (n — 1 (n— 2) — q.
160 Arthur Berry.
But for a non singular surface
n' — (n — yn,
so that there must be enough singularities to diminish the class of the
surface by at least
2 (n — 1} +g.
We ean obtain a second inequality of a similar character by consi-
dering the number of points of intersection of one of the polars, say (4),
with /—0, /- o. By similar reasoning we can shew that these three
surfaces can have no common curve other than a multiple curve on f= 0,
so that the number of points of intersection distinct from singularities is
n(n—1)(n—2)— r, where r is the number of intersections of the three
surfaces absorbed by the singularities of f= o. We thus obtain
(11) nn An Se) Tr,
so that there must be enough singularities to diminish the class by at least
Nin— 1) +r.
In the case of the simplest kinds of singular points and singular lines
the numbers 4 and r can be calculated without difficulty; but in the
more complicated cases I do not know of any methods that are generally
applicable. Accordingly I only illustrate these inequalities by some very
simple cases.
If any multiple point of f=o is equi valent to the same number
of intersections of f'— o with two polars on the one hand, and with one
polar and F=o on the other hand, its presence effects both sides of (11)
equally. This is the case with an ordinary conical point of order 2,
whieh diminishes the class by 2, and with a biplanar point of the
simplest kind, which diminishes the class by 3 and also counts triply as
an intersection of F=o with f=o and a polar, since it can easily be
shewn that F— o, like a polar, has a tangent plane passing through the
intersection of the two tangent planes to the surface at the biplanar point.
It follows that if the only singularities of the surface are double points of
these two species, the inequality (11) is impossible. We thus get the result:
Integrals of total differentials. 161
a surface, the only singularities of which are double points which di-
minish the class by 2 or 3, can have no integral of the first kind of a
total differential. Í
Let us next suppose that the only singularity is a nodal double curve,
reducible or otherwise, of order », with h apparent double points and /
actual triple points; then if there are no further singularities on the curve,
other than those which result necessarily from these characteristics, it is
known! that the curve diminishes the class of f— o by
m(7n — 4m — 8) + 8h + of.
Also since F =o and the two polars pass through this curve it absorbs
at least
q = m(n—1 +n—1 +n—2—m—1)+ 2h
of the points of intersection of the three surfaces’.
Similarly the curve absorbs at least
r = min + 2(n — 1) + 2(n — 2) — 2m — 2Y 4- 4h
of the points of intersection of 7-— o, a polar and f— o.
Substituting in (10) and (11) we have the inequalities
(12) m(4n — 3m — 3) + 6h + 9t > 2(n — 1)
and
(13) 2m(n — m) + 4h + 9t 2 n(n — 1).
These formule may be illustrated by the cases of quartic and quintie surfaces.
In the case of a quartic surface (m — 4), if m> 2, the surface is
rational or reducible; rejecting these cases we see that the only admissible
solution of these inequalities is given by
IDEO si. 2 0:
The nodal eurve accordingly consists of two non-intersecting straight
lines; and it is known that this quartie does admit of an integral of the
first kind.
* Sarmon’s Geometry of three Dimensions, § 94. I follow the notation of 8 386,
which is different from that of this article.
210. 84386;
Acta mathematica, 27. Imprimé le 5 janvier 1908. 21
162 Arthur Berry.
In the case of a quintie surface (4 — 5), we can exclude for the same
reason as before the cases of m> 5; the inequalities reduce to
m(17 — 3m) + 6h + of > 32
and
m(10— 2m) + 4h + of 7 20.
The inequalities obviously cannot be satisfied by m — 1 or m= 2.
IE m— 3, then
6h + of > 8, 4h+ 9t> 8,
whence
Re, «oniówp Zus.
In the former case we have a conie and a straight line, or three
straight lines which are not coplanar, and in either case it is easily shewn
that the surface is rational or reducible; in the latter case we have three
straight lines meeting in a point.
If m— 4, then
6h + 9t — 12, 4h + 9t 2 12,
whence
A23, Of cap tz, ORE DEED
It is easy to verify that in all these cases the quintie must be
rational or reducible.
If m=;5, then
whence
W> Gy Or ME SEE ye vor TES SIND
It is again easy to verify that in all cases except the first the
quintie must be rational or redueible if it ean exist at all; and that we
have left the case in which the double curve is an irreducible quintie
with 5 apparent double points. I have verified by other methods that
such a quintie effectively possesses an integral of the first kind.
Cambridge, Jan. 1902.
163
ÜBER DIE METACYKLISCHEN GLEICHUNGEN VON PRIMZAHLGRAD
VON
A. WIMAN
in UPSALA.
8 1. Referat über die Arbeiten von Abel, Kronecker und
Herrn Weber.
Wie lebhaft sich Aser für das Problem der algebraischen Auflösung
der Gleichungen interessiert hat, ist aus wiederholten Ausserungen in seinen
Briefen ersichtlich." Zunächst war es ihm gelungen den ersten vollstän-
digen Beweis zu erbringen, dass die allgemeinen Gleichungen von höherem
als dem vierten Grade nicht durch Radikale auflósbar oder, wie wir mit
Herrn Weser sagen wollen, nicht metacyklisch sind. Durch eine Ver-
tiefung der hierbei angewandten Methode wollte er alsdann zeigen, wie man
alle metacyklischen Gleichungen aufstellen kann.” Seine diesbezüglichen
Untersuchungen waren leider bei seinem frühzeitigen Tode unvollendet. So
hat er die wichtigen Sätze, vermittelst deren die Aufgabe auf primitive
metacyklische Gleichungen von Primzahlpotenzgrad reduziert wird, ohne
Beweis hinterlassen (Oeuvres II, p. 222). Bezüglich der metacyklischen
Gleichungen vom 5. Grade hat er in einem Briefe an Crezze (Oeuvres
II, p. 266) die allgemeine Gestalt der Wurzeln angegeben. Eine ent-
sprechende Darstellung für die Wurzeln einer metacyklischen Gleichung
' In einem Briefe an Hozmrox (Oeuvres II, p. 260) bezeichnet er diese Aufgabe
als sein »Thème favori».
* Hier lassen wir unerórtert die wichtigen Klassen von speciellem metacyklischen
Gleichungen, welche AmBEr entdeckt hat, wie die nach ihm benannten ABEL'schen, sowie
die damit verwandten Gleichungen der komplexen Multiplikation.
Acta mathematia, 27. Imprimé le 5 janvier 1905,
164 A. Wiman.
von einem beliebigen Primzahlgrade p wurde von Kronecker bei seiner
Wiederaufnahme des Problems gegeben." Hierbei treten als Endradikale die
p" Wurzeln aus gewissen Grössen r auf, welche ihrerseits einer cyklischen
Gleichung vom Grade n genügen, wobei n einen Teiler von p — 1 bedeutet.
In seiner spüteren Note gab Kronecker für diese Gróssen r explicite Aus-
drücke durch Kreisteilungsgrössen, wobei er den freilich erst in neuerer
Zeit von den Herren Weser und Hırserr bewiesenen Satz benutzte, dass
alle im absoluten Rationalitätsbereiche Asxr'schen Körper Kreisteilungs-
körper sind. Es war aber noch kein Beweis gegeben, dass die Wurzeln
einer metacyklischen Gleichung von Primzahlgrad sich wirklich in der an-
gegebenen Weise darstellen lassen. Ein solcher wurde erst von Herrn
Weser erbracht.” Die Form der Wurzeln, um welche es sich bei diesem
Beweise handelt, ist jedoch in gewissen Fällen nicht als die eigentlich
naturgemässe zu betrachten. In der Tat hatte schon Kronecker, wie oben
angedeutet wurde, eine Fallunterscheidung eingeführt. Die verschiedenen
Fälle beziehen sich, wie wir hier zeigen wollen, in ziemlich komplizierter
Weise einerseits auf die Gruppe der Gleichung, anderseits auf die ver-
schiedenen Möglichkeiten betreffend den gemeinsamen Unterkörper des durch
die Wurzeln der Gleichung gebildeten Körpers und des Körpers der y"
Einheitswurzeln.
82. Die Gruppe des Körpers R(x, s).
Es sei mit R der zu Grunde gelegte Rationalitätsbereich bezeichnet.
Die Wurzeln z,,2,, ... m, , der Gleichung bestimmen einen Körper R(x)
ten
über À. Werden hierzu noch die p‘” Einheitswurzeln adjungiert, so er-
hält man einen Körper A(zr,&).
Die am Ende des vorigen Paragraphen besprochenen Verhältnisse be-
ruhen nun darauf, das die einzelnen Radikale, welche in den Ausdrücken
für die Wurzeln auftreten, nicht dem Körper R(x), sondern erst dem
Körper A(r,s) angehören. Da es sich also um Grössen in diesem Körper
' Berl. Ber. 1853, p. 365; 1856, p. 203. Doch ist es, nach den unvollständigen
Notizen zu urteilen, welche aus dem Nachlasse ABEL's hierüber publiziert worden sind
(Oeuvres II, p. 233—243), höchst wahrscheinlich, dass schon ABEL die fragliche Dar-
stellung gekannt hat.
Marb. Ber. 1892, p. 3; Algebra I, Abschn. 18.
Über die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 165
handelt, so ist zunächst die zugehörige Gruppe zu bestimmen. Da die
Gleichung irreduktibel sein soll, so lassen sich die Wurzeln in solcher
Weise ordnen, dass für
(S) T, = Li:
(T) “=f
ig* 120,1, ...,p—1)
die Gruppe @ des Körpers R(x) durch die Substitutionen S und T erzeugt
wird,’ wobei die Indices nach dem Modul p genommen werden sollen, g
eine Primitivzahl nach p, und e einen Teiler von p — ı bedeutet. Die
Gruppe @ hat dann die Gradzahl zn
2zi
Die Grösse s =e? bestimmt bekanntlich über den Körper der ratio-
nalen Zahlen einen Körper k(¢) vom Grade p — 1, dessen Gruppe durch
die Substitution U = (e: s") erzeugt wird. Der Einfachheit halber machen
wir, falls nicht ausdrücklich anderes vorausgesetzt wird, die Annahme, im
Rationalitätsbereiche A sei kein höherer Unterkörper von k(e) als der
Körper der rationalen Zahlen enthalten. Der Körper R(e) über À hat
dann ebenfalls den Grad p — 1r, und die Gruppe JZ’ dieses Körpers lässt
sich durch U erzeugen.
Den gemeinsamen Unterkörper, welchen die über R aufgebauten Körper
R(x) und R(s) gemein haben, bezeichnen wir mit (a), wo e eine den Körper
bestimmende Grósse bedeutet. Dieser Kórper muss zu ausgezeichneten Unter-
gruppen von sowohl G als J’ gehóren, welche je von gleichem Index sein
sollen. Die ausgezeichneten Untergruppen von @ sind nun den Teilern
1 - EN 3 :
von ——— - zugeordnet, so dass zu jedem solchen Teiler e, eine durch S und
z i
T^ erzeugte Gruppe gehört. Den gleichen Index e, besitzt die dureh U^
erzeugte Untergruppe von J’. Sowohl durch 7 als dureh U wird offenbar
die Reihe der zu o conjugierten Grössen à, 6, , ..., 9; eyklisch verschoben,
und es giebt für e, > 1 immer eine Operation U’, wo / eine relative Prim-
zahl gegen e, sein muss, welche dieselbe Verschiebung wie 7’ bewirkt.
Die Gruppe A des Körpers R(x, ¢) lässt sich durch die Substitutionen
ausdrücken, denen bei ihr die den Körper bestimmenden Grössen x und €
unterworfen werden. Wie sofort ersichtlich, dürfen bei A nur solche Sub-
! Vergl. GALOIS, oeuvr., p. 47.
166 A. Wiman.
stitutionen in R(x) und Z(s) gleichzeitig ausgeführt werden, bei denen
die Grösse o in dieselbe conjugierte Grösse übergeführt wird. Umgekehrt
muss auch A alle Operationen von dieser Eigenschaft enthalten, denn
; 1 3 —ı
anderenfalls wäre der Grad von A nicht ? mal so gross als der
:
1
Grad von @. Dies muss aber der Fall sein, weil der Körper R(x, ¢) in
A — 1 : >
Bezug auf R(x) den Relativgrad P — ^ besitzt, welche Tatsache aus dem
1
Umstande folgt, dass R(x) keinen höheren Unterkörper von R(e) als R(e)
vom Grade e, enthalten darf. Bezeichnen 2 bez. 2X, die beiden oben
besprochenen ausgezeichneten Untergruppen von G bez. I’, so lassen sich
4 (p — 1)? ; T C
die £P —- Operationen von A in der folgenden Weise darstellen:
ee,
(1) (Ep); (LES U); "EIU AP pz DE DE),
wo die Substitutionen von & und 2X, auf alle möglichen Weisen kom-
biniert werden. '
83. Die Resolventen.
Vermittelst der symmetrischen Funktion
Lo + Li +... + Ti = À
und der sogenannten LaGrange'schen Resolventen
(ef, cz) =a FER +... pe wa
giebt man bekanntlich die Wurzeln der Gleichung in der Gestalt:
i=p—l -
I
(2) X. — [4 — > ear E. x)
p i -
Man hat also in diesen Ausdrücken die p"" Wurzeln aus den Grössen
a= (e*, T)
1 In dem allgemeineren Falle, wo R einen Unterkörper von k(¢) vom Grade à
— 1 4 f p—ı
— als Grad von R(e). Es muss dann e, auch Teiler von ——.——
0 0
I
enthält, hat man I
1 pip — D
sein, und die Gruppe A besitzt den Gra x
ee, à
Über die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 167
zu ziehen. Wir wollen nun zunächst die Gruppe des durch diese Grössen p
bestimmten Körpers R(o) ermitteln und dann nachweisen, wie die Radikale
(s',z) dureh ein einziges von ihnen und Grössen im Körper R(p) sich
rational ausdrücken lassen.
Erstere Aufgabe erledigen wir, indem wir untersuchen, welchen Ein-
fluss die Substitutionen von A auf diese Grössen p ausüben. Bleiben
, welehe innerhalb A
nämlich alle Grössen po bei einer Untergruppe A,
ausgezeichnet sein muss, invariant, so ist die fragliche Gruppe als Faktor-
A a . : ; : :
gruppe &- zu charakterisieren. Hierbei haben wir, da S offenbar keine
1
Vertauschung unter den 5 bewirkt, nur Substitutionen von der Gestalt
T’U* in Betracht zu ziehen. Eine solche Operation führt
(3) icm [to m ze Del
in
(3’) [Lo + DENT = [% + P2] eG |? = f ig^ —e
über. Nehmen wir noch auf den später zu beweisenden Satz Bezug, dass [für
[1 — eA = o(mod p— 1)) wenigstens zwei Grössen 9, und p,,,— von einander
verschieden sind, so kónnen wir jetzt den Satz aussprechen, dass die Gruppe
EST
von R(p) cyklisch ist und den Grad "—— besitzt, wo e, den grössten Teiler
2
von p— I bedeutet, welcher bei jeder zulässigen Kombination von pound À
in p — ei aufgeht. Nach (1) ist p — kl 4- ke, A— k 4p Ke, also un — ei
—k(l— e) + ke, — k,ee,, wo die ganzen Zahlen k,k, und 4, nach den
Ui it p— 1 Lot N
bezüglichen Moduln e, , / ze und —- beliebig genommen werden können.
1 ee,
Hieraus ersieht man, dass e, den grössten gemeinsamen Teiler von e, und
e—lI darstellen muss. Die Grössen p zerlegen sich in e, Systeme von je
p» = |
2
mal zu demselben Systeme gehören, wobei natürlich die Indices i, ig”, ...
conjugierten Grössen, so dass die Grössen p,, pie, + - » Pigr—i—e jedes-
nach dem Modul p zu nehmen sind.
Bei der Auflósung einer metacyklischen Gleichung vom Grade p sind
also von Bedeutung:
l pp E
€
Set 1) à D : :
1) die. Gradzah — der Gruppe der Gleichung; hier giebt es so
viele Möglichkeiten, wie p—1 Teiler besitzt;
168 A. Wiman.
2) der Grad e, des gemeinsamen Unterkörpers von R(x) und £Z(s);
die Anzahl der Möglichkeiten ist hier gleich der Anzahl der verschiedenen
^ ET à
Teiler von
3) für e, > 1 der Exponent / in der Operation 7'U', welche in der
Gruppe des Körpers R(w, ¢) auftritt; da / nach dem Modul e,, und zwar
als relative Primzahl, zu nehmen ist, so giebt es hier ¢(e,) Möglichkeiten.
Ist eine Grósse p — 0, so verschwinden nach den Grundsätzen der
Gatois’schen Gleichungstheorie auch die übrigen Grössen o, welche dem-
selben conjugierten Systeme angehören. Es muss aber mindestens ein
System von Grössen o geben, dessen Glieder nicht identisch verschwinden;
anderenfalls wären ja nach (2) die Wurzeln x gleich gross und rational.
Es lässt sich immer durch geeignete Wahl der Indices der Wurzeln er-
reichen, das o, = (s, x)” nicht verschwindet.
Wir wollen jetzt beweisen, dass die nicht verschwindende Grösse p, bei
keiner Operation von A, welche in A, nicht enthalten ist, ungeändert
bleiben kann, also eine primitive Grösse in dem zu A, gehörigen Unter.
körper von R(x,z) darstellt, so dass alle Grössen des fraglichen Unterkörpers
sich rational durch o, ausdrücken lassen.
Nach (3) und (3') genügt es für unseren Beweis, falls wir nachweisen
kónnen, dass p, von jeder anderen Grósse p, verschieden sein muss. Nun
bleibt der Ausdruck
(4) | D
sowohl bei S als bei jeder Operation von der Gestalt 7’U”, also bei allen
in A, enthaltenen Operationen, invariant. Es gelten mithin Relationen
von der Gestalt
(5) (8545) e mle, m)
wo die 7, solche Grössen des Körpers R(x, =) bedeuten, welche die Opera-
tionen von A, zulassen. Wäre nun für ein besonderes ;
so hätten wir eine Relation
woraus nach (5)
Über die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 169
Da
i Æ 1 (mod y)
so lassen sich die ganzen Zahlen k und k, so bestimmen, dass
k(i — 1) — 1 + kp.
Aus der Relation
würde man dann erhalten
(s, 2) — pr ^re.
Man hätte also für (s, z) einen Ausdruck, dessen sämmtliche Faktoren bei
der Operation S ungeündert bleiben sollten. Dasselbe würde dann auf
Grund der Relationen (5) für sämmtliche Resolventen (s', x) gelten, und
mithin nach (2) für die Wurzeln x. Wir sind also durch unsere Annahme
p; = p, auf die Ungereimtheit gestossen, dass die Wurzeln x die Operation
S zulassen sollten.
Nach der jetzt bewiesenen Eigenschaft der Grösse p,, dass sie eine
primitive Grösse des zur Gruppe A, gehörigen Unterkórpers von Rr, ¢)
liefert, kónnen wir den Relationen (5) die folgende Form geben:
(6) (e, 2) = fie) , ©)‘,
wo die f, rationale Funktionen bedeuten. Führt man in einer Relation (6)
die Substitutionen von A aus, so erhält man
(7) (à) = fip) (7^ , &) 6 Senos, ek nn
und zwar hat man p— 2 solche Systeme von Relationen (7), da man in
(6) für à irgend eine von den Zahlen 2,3,...,p— 2 setzen kann.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 5 janvier 1908. 92
110 A. Wiman.
84. Die Wurzelformen.
Die folgenden Relationen erhült man direkt aus (6) und (7), indem
man die Bezeichnungsweise etwas iindert:
(e? ) x)(e ) mre SZ ky;
(8) (e? ^. ye?" a) =k;
(e, x)(E *, ay" — k,
Hierbei ist, wenn ky = k(p,) gesetzt wird,
k; — k (pie),
so dass die A, ein System von conjugierten Grössen des Körpers R(>) bilden.
Wenn wir diese Funktionen A,,4,,...,Àk, ,— 1 der Reihe nach zu
eo
p—1—e, p—1—2e,
(d ,... I erheben und dann multiplizieren, so
heben sich im Produkt der linken Seite von (S) alle Resolventen mit Aus-
nahme von (s, 7) heraus, und man bekommt
den Potenzen g
\1—gP—1 = .gP—1— és ,gp—1—2e; 7
(9) (€, 2) = i? ke’ Ky
Wir wählen g, was immer möglich ist, so, dass
g^ —1rz:—p (mod p).
Es sei niimlich für eine besondere Primitivzahl g, nach p
p-l- - — 2
9 1=lp (mod p).
Wir setzen dann
g 9, mp,
so dass
go —1mg '— 1 + m(p— lg p=(l— mg" *)p (mod p’),
und es lässt sich immer eine ganze Zahl m so bestimmen, dass die Kon-
gruenz
Im’ = — 1 (mod p)
befriedigt wird.
Über die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 171
Nachdem wir durch die Relationen:
1—g'=p—hp’;9 — pq, +r,,0<r,<p (=0,1,...,p—1)
die ganzen Zahlen A, g, und r, ermittelt haben, setzen wir
(e , 0 kie-i-ekio-1736 . .. — Ky(p,).
Es geht dann (9) in
(10) (e, 2) — [A (o:)) kehrte... E
über.
Es lässt sich beweisen, dass die Grössen k, primitive Grössen des Kór-
pers R(p) darstellen, so dass keine zwei unter ihnen einander gleich sein
können. @Gehörten nämlich diese Grössen schon zu einem Unterkörper von
R(p) vom etwaigen Index = — so würden sie die Substitution (p, : 2,,)
zulassen. Man hätte also
k, E Ee LEE LTEM UD ATE LE E
€2
35
wo wir i € e, annehmen wollen. In (9) wäre mithin A, zu der Potenz
FUE SG + gh tt + e + gn
erhoben. Diese Summe ist aber durch p teilbar. Es sind ja die betreffenden
p—ı
— Glieder Wurzeln der Kongruenz
273
p—1 (¢s—1) (p—1)
qs = 4 fs
(mod p).
Offenbar ist dann auch die Summe der zugehórigen Reste
Fo ie E LES ET FE une An V'ese—ies
dureh p teilbar. Man würde also, falls man in (10) beiderseits die p“”
Wurzeln auszieht, für (e, 2) einen rationalen Ausdruck durch e und Grössen
des Körpers R(o) erhalten. Wir hatten aber schon im vorigen Para-
graphen Gelegenheit, den Widerspruch bei einer solchen Folgerung hervor-
zuheben.
172 A. Wiman.
Werden in (ro) die Substitutionen von A ausgeführt, so erhilt man
p—1 A
PT __; neue Relationen:
(11) (ed, Dre D (ope) |n tH n E (v= ry ej, aea
y—1 ) ) )
vl e,
. . —H
wo die Indices y + ; nach dem Modul À „ genommen werden.
2
Schreiben wir zur Abkürzung
2
(12) nA,
so ergiebt sich aus (10), indem man rechts und links die p^" Wurzeln
auszieht,
= Sn ; à "p—1—e, "p—1— 2e,
(13) (c, c) = AK(p)t,^ "t ce Tr
GE
In entsprechender Weise erhalten wir aus (11)
grez PT "p—1—es ^" p—1—2es T — Dr
(14) (e? ^, ©) = Ky (pyrex) 7, RE TEN (yi She Den Pe
wo die Radikale 7, in derselben Weise genommen werden können wie in
v
(13). Nach (8) hat man ja
gez rS .ge2 joe
Man ersieht aber aus den in diesem Paragraphen gegebenen Relationen
leicht, dass diese Identität nicht bestehen würde, falls bei der obigen
Wahl der 7, auf der rechten Seite von (r4) noch eine Potenz von € als
Faktor hinzuküme.
Einen ähnlichen Ausdruck erhält man für jede Resolvente (sz, x).
Zunächst lässt sich setzen
Se.
il
, i —
g^*"* (mod p) OS = Cn, CENTS : e
. t i
Aus den Relationen (6), (7), (13) und (14) erschliesst man dann, dass
Identitäten von der Gestalt
(15) (e?" = ©) = K, (pv) 7? eh pet, ,, TH
» y yl v—1
Uber die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 115
bestehen müssen, wo eine gegenseitige Abhüngigkeit zwischen den e, Funk-
tionen K,, K,,..., A, , nicht stattfindet. Der Wurzelausdruck (2) nimmt
jetzt die folgende Gestalt an:
fred ve FT (a
; 3 f | = = p—I—(i +1) 00+ fe
(16) Ace DR AE ps) appoint Pen
p Bu v0 i-0
Es ist unmittelbar ersichtlich, dass (16) in einen Ausdruck von der-
selben Schreibweise übergeht, falls man irgend eine Operation der Gruppe
A ausführt. Man findet auch, dass der Ausdruck nur p Werte annehmen
1
kann, wie man auch die Radikale A? — +, bestimmen mag. In der Tat,
zen
multipliziert man das Radikal z, mit dem Faktor e" , so hat dies dieselbe
2kzi
Wirkung, als ob man dem Radikale z, den Faktor a hinzufügt.
Man erhält mithin alle möglichen Werte von (16), indem man unter beliebiger
Fixierung der übrigen Radikale dem Radikal +, seine p verschiedenen Werte beilegt.
Bei seiner Herleitung der Wurzelform betrachtet Herr WEBER zu-
nächst #),%,,..., r, , als unabhängige Variable. Erst nachdem die nötigen
Sätze über die LaGranGgeE’schen Resolventen entwickelt worden sind, macht
er die Festsetzung, dass die Variablen x die Wurzeln einer irreduktibeln
metacyklischen Gleichung vom Grade p sein sollen. In soleher Weise er-
hält er eine in allen Fällen gültige, von der Rolle, welche die p*" Einheits-
wurzeln gegenüber dem Körper R(x) spielen, unabhängige Wurzelform,
und zwar von der Gestalt (16) für den speciellen Fall e, — 1. Diese Ver-
schiedenheit in den Endresultaten darf natürlich nur scheinbar sein. Bei
Herrn Weser sind die p— 1 Grössen k,,k,,...,A,_, die Wurzeln einer
cyklischen Gleichung. Diese Gleichung braucht aber nicht irreduktibel zu
sein, sondern kann in e, verschiedene Faktoren zerfallen, wo e, einen be-
liebigen Teiler von p— 1 bedeuten kann. Der Körper, welchem die
Grössen k, angehören, besitzt mithin den Grad P— ". Wollte man nun
:
die in der Wurzelform des Herrn WEBER auftretenden Grössen /, und X,
durch ein conjugiertes System von PT! Grössen des fraglichen Körpers
darstellen, so würde man eben auf unsere Fallunterscheidungen gelangen,
so weit sie in (16) ihren Ausdruck finden.
174 A. Wiman.
Es drängt sich noch die Frage auf, wie man, wenn die Grössen k;,
oder p, gegeben sind, also aus der Beschaffenheit einer Wurzelform (16),
die Eigenschaften des zugehörigen Körpers R(x) ablesen kann. In erster
) — |.
que
€
um den Grad e, des gemeinsamen Unterkórpers R(o) von R(x) und R(e).
Die Erledigung dieser Fragen beruht auf zweierlei Erwägungen. Zu-
nächst lässt sich beweisen, dass der gemeinsame Unterkörper R(y) von
Br : s ) :
Linie handelt es sich dabei um den Gra - der Gruppe G, sowie
ee . . .
Rip) und R(e) den Grad = besitzt. In der Tat muss jede Operation
2
derjenigen Untergruppe A, von A, zu welcher der Körper R(y) gehört,
sich durch Kombination zweier Operationen erzeugen lassen, von denen
eine auf die Grössen in R(p), die andere auf die Grössen in R(e) keinen
Einfluss übt. Hieraus erschliesst man, dass A, sich durch Kombination von
ES x ee
A, und 7^ erzeugen lässt und folglich als Untergruppe von A den Index =
2
besitzen muss. Diesen Umstand können wir benutzen, um das Produkt ee,
zu ermitteln.
Als Unterkörper von R(o) gehört R(y) zu der durch die Substitution
(A, : Pa) erzeugten Gruppe. Nun wissen wir aus S 3, dass eine Operation
T^U*, welche ja ¢ dureh s"' ersetzt, o, in pa überführt. In Bezug auf
die Grössen des Körpers R(y) ist also die Operation nur dann mit (5, :p,x)
äquivalent, wenn A durch e, teilbar ist. Dann soll aber e, ebenfalls Teiler
von # sein, und wir haben, um e, zu bestimmen, nur darauf Rücksicht
* E ? e = T
zu nehmen, dass die Operationen (#,:/,.) und (e:s*) dieselbe Umordnung
unter den Grössen des Körpers R(y) bewirken, und dass es für 9 < e; kein
Paar in solcher Weise üquivalenter Operationen (9,:9,) und (s: s") giebt.!
85. Rationale Transformation der Wurzeln.
Wir können die KA, und A4, als ganze Funktionen der jedesmal zu-
gehörigen Grösse po annehmen; nach bekannten Methoden kann man ja die
Nenner rational machen. Etwaige Faktoren, welche zur p"" Potenz in den
k, auftreten, lassen sich aus dem Wurzelzeichen entfernen und den Funk-
tionen K, zufügen. Allerdings erreicht man hiermit nicht immer eine ein-
' Vergl. Kronecker, Berl. Ber. (1856), p. 214.
Uber die metacyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. 175
zige bestimmte Normalform für die Funktionen k,, wie Verhältnisse bei
v)
Zahlkórpern lehren, welche ausser Hauptidealen noch Nebenideale besitzen.
,
x "A . > )—- I e A
Da die Grössen p eine Gleichung von Grade ^ — befriedigen, so kann
£
3
: ; s = ) — 1
man die Funktionen KA, und #, als höchstens vom Grade PT — 1 hetrachten.
e
2
Die e, Funktionen X, enthalten also als Koefficienten der Potenzen der
bezüglichen Grössen p insgesammt p — ı rationale Parameter.
Unterwirft man nun die Wurzeln x einer rationalen Transformation
(17) y —4a,d- a2 4 Lir ay 10,
so ersieht man ohne Schwierigkeit, dass die y sich in eben derselben Ge-
stalt (16) wie die x ausdrücken lassen, doch so, dass bei ungeändert ge-
bliebenen %, die A, in andere Funktionen übergeführt werden. Da die
Transformation (17) p rationale Parameter enthält, so kann man dem Aus-
druck, in welchen (16) übergeht, p Bedingungen auferlegen, z. B.:
(18) Open Rhy Sei. —X —0;
In der Tat hat man, um diese Bedingungen zu erfüllen, nur ein System
von p linearen Gleichungen für a,,@,,...,q,_, aufzulösen, und die Deter-
minante dieses Systems darf nicht verschwinden, weil dann eine Wurzel x
einer Relation von niedrigerem als dem p“" Grade genügen sollte. Da
also die metacyklischen Körper von Primzahlgrad nur von der Art abhängen,
wie das conjugierte System von Funktionen k, gewählt wird, welche ihrerseits
zu cyklischen Körpern niedrigeren Grades gehören, so haben wir hier ein ge-
eignetes Mittel, um alle metacyklischen Zahlkörper von Primzahlgrad aufzustellen
und zu klassifizieren, sowie die Kompositionseigenschaften zweier Körper zu
studieren, welche in Bezug auf einen gemeinsamen Unterkórper relativ- ABEL sch
sind. Bei Benutzung dieses Ausgangspunktes wird man ohne Zweifel die
schönen Resultate verallgemeinern können, welche zuerst von KRONECKER
und dann von den Herren Weser und Hivperr über die ABEL schen Zahl-
kórper gegeben worden sind.
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pue. Hum Arp al TOTAM E
DEUX THEOREMES D'ABEL SUR LA CONVERGENCE DES SERIES
PAR
M. HADAMARD
à PARIS.
On sait comment Aspen a fait entrer l'étude de la convergence des
séries dans une voie nouvelle en montrant! l'impossibilité d'obtenir, par
une régle unique, une condition nécessaire et suffisante de convergence.
Le résultat qu'il a établi peut s'énoneer ainsi:
I. Etant donnée la série
(1) Uy HU +... fut...
à termes positifs et divergentee, on peut toujours trouver une suite de
nombres positifs
(2) JO EN 0e
tendant vers zéro, par lesquels on peut multiplier respectivement les termes
de cette série, sans que la nouvelle série ainsi obtenue
(1’) Foy + 5i, + Cc at El, a5 + dee
soit convergente.
Inversement, d'ailleurs,
II. Etant donnée une série convergente a termes positifs, on peut
toujours trouver une suite de nombres positifs indéfiniment croissants par
lesquels on peut multiplier respectivement les termes de cette série sans la
rendre divergente.
' Note sur le mémoire n° 4 du second tome du journal de M. Crelle, ayant pour
titre » Remarques sur les séries infinies et leur convergence», — Oeuvres, tome I, pp.
111—113 de la premiere édition.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 7 janvier 1908. 2
178 M. Hadamard.
Et ces deux propositions admettent à leur tour la réciproque commune
III. A toute suite
LAT,
e
(2)
de nombres positifs qui croissent indéfiniment, on peut faire correspondre une
2291 Sia OMS cee
suite de nombres positifs 4, ?;, ..., U,,.-., tels que la série #, + 4, + ...
+ u, +... soit eonvergente et la série Eu, + Eu, + ... + Eu, +...
divergente.
Il est d'ailleurs clair que ceci resterait vrai lors même qu'une partie
seulement de = irait en croissant indéfiniment, les autres restant finis.
. + PL 1 go y Of ^ x N
Je me suis occupé précédemment" de généraliser ces résultats à l'aide
de ceux qu'a obtenus pv Bors-Rrymonp; et l'on sait que, depuis, M. Boren
on * als á Diii S rade B
a repris avec succès cet ordre de recherches. Je ne sais s'il a été remarqué
que la question peut recevoir une extension de nature différente. Si, en
effet, on remarque que la convergence absolue de la série
(1) U ++... Buc...
entraine celle de la série (1') lorsque les € sont finis, on voit que la pro-
position III peut s’@noncer ainsi:
La condition nécessaire et suffisante que doivent remplir les nombres
pes Spy sss pour que la convergence absolue de la série (1) entraine
nécessairement celle de la série (1'), est que tous ces nombres =, soient in-
férieurs en valeur absolue à une limite fixe.
Cette proposition conduit dés lors à poser la question suivante:
Comment doit étre choisie la suite
(2) Eo TR
, . ,
pour que toute série (1) convergente (absolument ou non) donne, lorsqu'on
multiplie ses termes respectivement par £,, $,..., £,,... une série (1)
également convergente?
! Acta Mathematica, tome 18; 1894.
* Indépendamment des résultats que M. Boren avait obtenus dans ses travaux
précédents, ses récentes Leçons sur les séries à termes posilifs contiennent un ensemble
de vues nouvelles et importantes sur ces questions.
Deux théorémes d'Abel sur la convergence des séries. 179
Or un autre théorème bien connu d'Ansrr, le théorème III de ses
mim — 1)
"x "n 9
Recherches sur la série 1 + it — a +
12 1.24
mim I X7n - Zi s 1
CU MID iu
montre immédiatement la catégorie des suites (2) qui jouissent de la pro-
priété en question comme bien plus étendue qu'on n'aurait pu le supposer
au premier abord. Il fait voir, en effet, que la convergence est toujours
conservée si les multiplieateurs (2) sont des nombres positifs décroissants;
et la méme transformation qui conduit Anrr a ce résultat montre? que
cette propriété subsiste dès que la série
(3) Ey + (Ei ET &) = (5 — &;) T RU Es (£a x xd + nr.
est absolument convergente.
Au reste, il faut remarquer que ce résultat n'est pas essentiellement
distinct de celui d'Anrp; car si la série (3) est absolument convergente, la
quantité =, (supposée réelle) peut se mettre sous la forme
l n I
(4) Sors Sa Ss
LE
où =, d'une part, £/ de l'autre, désignent des nombres positifs décroissants
pendant que A est une constante.
Je dis que la condition ainsi trouvée comme suffisante est en méme temps
nécessaire.
Supposons, en effet, qu'elle ne soit pas remplie et que la série (3) ne
soit pas absolument convergente. Nous pouvons, néanmoins, admettre que
£, reste fini (sans quoi nous savons que la suite (2) ne possèderait pas la
propriété qui nous intéresse, méme pour les séries à termes positifs). Alors,
si nous désignons par 7, d'une manière générale, les valeurs de » pour
lesquelles £,,, — £, est positif, et par % celles pour lesquelles cette même
quantité est négative, la série à termes positifs
01-8)
et la série à termes négatifs
I (Feu Ex ej
* Oeuvres, tome I, page 69 de la première édition; page 222 de l'édition SyLow
et Lie.
* DiRICHLET-DEDEKIND, Vorlesungen über Zahlentheorie, 3° édition, suppl.
IX, 8 143. — Voir PRINGSHEIM, Encyclopädie der Mathem. Wissenschaften,
LAS, p. 94.
180 M. Hadamard.
seront divergentes. D’apres le théorème I, nous pourrons, sans les rendre
convergentes, multiplier les termes de la premiere par des quantités posi-
tives /; qui tendent vers zéro, et les termes de la seconde par des quantités
négatives /, qui tendent également vers zéro. Dans ces conditions, la
somme
(& e Et == (& "ES £t == Ao E (o1 c £95
augmentera indéfiniment avec m.
Or par la transformation d’AbrL, cette somme s'écrit
sr Sus + allen ES t,) + E ES t,) + mise + A == t,,) + Fas ate
et l'on peut y faire abstraction du premier terme ainsi que du dernier,
puisque =, est fini et f, infiniment petit. Il apparait alors que la suite
(2) ne répond pas à la question, puisque la série (t, , —-{,) est con-
vergente et la série > €,(¢,_, —t,) divergente.
Donc la condition nécessaire et suffisante cherchée est que la série (3)
soit absolument convergente.
Rien n'est d'ailleurs changé à cette conclusion si l'on suppose &,
imaginaire, soit
5. = Fn cbn6 -
D'une part, en effet, la convergence absolue de la série D(E,,, — &,) en-
traine celle des séries $(y,,1 — 7), > (Gi — G)-
D'autre part, lorsqu'on
suppose les x réels, la convergence de la série Y$,w, exige celle des séries
Yu, XEu,, de sorte que la suite des z, et celle des $ doivent satis-
faire séparément à la condition qui vient d'être trouvée.
En demandant que la convergence de la série (1) entraine celle de la
série (1'] on peut aussi demander, en outre, que, réciproquement, la con-
vergence de celle-ci entraîne celle de la série (1). Alors, à la condition
que la série (3) soit absolument convergente, il faudra évidemment ajouter
celle que sa somme soit différente de zéro. La double condition ainsi ob-
tenue est d'ailleurs suffisante, car, si lim £,+ 0, la convergence absolue
de la série (3) entraine la convergence absolue de la série
NS EN = nt
= = À
Sn+l Sn —- $n$n41
Deux théorémes d'Abel sur la convergence des séries. 181
(D'une manière générale, si la fonction ¢(¢, x, £) admet des dérivées finies,
la convergence absolue des séries »7(£,,, — £, , Zu — 7, Lin — €)
entraine, en vertu de la formule des accroissements finis, celle de la série
LH le (Ext: 75:135 31) — PEs RN:
Considérons, par exemple, la série qu'a formée Apes dans son Mémoire
sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes! et qui a été étudiée
par HarrurN dans le tome 18 du Bulletin de la Société Mathématique de
France.?
Harpnen constate (au n° 3 de son Mémoire) que le terme général de
zt : Bum, : er
cette série est de la forme (4 +-+ 1) u,, Où A est indépendant de n
"n n^
et où 4, reste fini, les nombres A et D étant d'ailleurs fonctions de la
variable x; et il en déduit que la série Xu, est nécessairement convergente
si la serie d’Ager converge pour deux valeurs de z qui donnent au rapport
3 ar
à des valeurs différentes.
4
Nous voyons qu'une telle restriction est inutile. La série
Ce a em (e FS)
étant absolument convergente, la convergence de la série donnée ne pourra
avoir lieu pour aucune valeur de x n'annulant pas A (c'est à dire, ici,
pour aucune valeur de x différente de zéro), si la série Xu, n'est pas con-
vergente. Comme la particularité À — o qui se présente pour zr — O est
due à ce que tous les termes de la série d'AnEr (à l'exception du premier)
contiennent æ en facteur, si nous supprimons ce facteur, nous voyons que
la série converge alors pour toutes les valeurs données à x ou ne converge
pour aucune.
Nous sommes d'ailleurs à méme d'indiquer tous les cas où la série
^
de polynómes
E
25 a, P. (x)
nul
(dans laquelle les P, sont des polynómes déterminés et les a, des con-
stantes arbitraires) possède cette propriété de la série d’Asen: je veux dire
Oeuvres, tome II, p. 82 de la 1* édition; p. 73 de la 2*,
* p. 67 et suiv.; 1882,
182 M. Hadamard.
où, pour tout choix des «a,, il y a nécessairement, soit convergence pour
n
toute valeur de a, soit divergence pour toute valeur de x. C’est ce qui
aura lieu lorsque la série dont le terme général est
team) JE y
(4 Pug) | P, (a)
sera absolument convergente, quels que soient x et a’. Il est évidemment
nécessaire, pour cela, que P,(r) puisse se mettre sous la forme
n
D JE he es m.(
PAG) =f, pt),
k=1
les y, étant des constantes quelconques et
py(z) + px) +... + pile) +...
une série de polynómes absolument convergente dans tout le plan et dont la
somme ne s'annulle jamais. Cette condition est, d'ailleurs, suffisante. Car,
d'après une remarque faite plus haut, la convergence absolue des séries
Z[P,,:(x) — P,(«)], 2: [P,..(2') — P,(x')) (les sommes de ces séries étant
différentes de zéro) entraine la convergence absolue de la série (4).
Quoiqu'il soit, comme- on le voit, bien aisé d'obtenir la forme générale
des polynómes P,, ceux-ci présenteraient peut-être quelques propriétés in-
x M P,(a’) Pele
téressantes: le fait que — a une limite semble, par exemple, montrer
BE)
que leurs zéros vont, en général, en augmentant tous indéfiniment, ainsi
qu'il arrive pour la série d'Anzr.
On peut remarquer que, si les quantités réelles £, tendent vers une
limite £, on peut toujours les ranger dans un ordre tel que la série (en — &)
soit absolument convergente. Cela est évident si les &, tendent vers & par
valeurs toutes inférieures ou toutes supérieures; dans le cas contraire, il
suffira (£ étant supposé égal à zéro pour simplifier le langage) de ranger
par ordre de grandeur déeroissante les termes positifs, par ordre de grandeur
croissante les termes négatifs et de ne passer de l'un des groupes à l'autre
qu'à des intervalles assez éloignés pour que la série formée par les termes
de passage soit absolument convergente.
Il en est tout autrement dans le domaine complexe. Soient, par
exemple, E,, E,,..., E,,... les termes (constamment décroissants) d'une
Deux théorémes d'Abel sur la convergence des séries. 183
serie divergente à termes positifs. — Déerivons, d'un méme point comme
centre, des cercles C, , C,, ..., uncis
et, dans le cercle C,, inscrivons un polygone régulier d'un nombre de côtés
de rayons respectifs E,, E,, ..., Baie.
assez grand pour que chaque côté soit inférieur à la plus petite des différences
"ACA cy ar re ar
E,,—E,,E,— E,. Alors, si nous désignons par &,4,:.
les sommets de ces différents polygones, rangés dans un ordre quelconque,
toute ligne brisée assujettie à la condition de passer par tous ces points
devra avoir une longueur supérieure à la somme des périmètres des polygones,
laquelle croît indéfiniment.
Par contre, il peut se faire que, pour n'importe quel ordre assigné
aux ¢, la série (3) soit absolument convergente. C'est ce qui aura lieu
évidemment si la série > (2 — &,) converge absolument, et dans ce cas seulement.
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185
QUELQUES PROPRIÉTÉS ARITHMÉTIQUES DES INTÉGRALES
ELLIPTIQUES ET LEURS APPLICATIONS A LA THÉORIE
DES FONCTIONS ENTIERES TRANSCENDANTES
PAR
CARL STÓRMER
à CHRISTIANIA.
Dans plusieurs recherches des mathématiques modernes concernant la
théorie des fonctions, la théorie des équations différentielles, méme la
géométrie et la mécanique on est souvent arrété par des difficultés con-
sidérables provenant de questions d'une nature purement arithmétique qui
paraissent au premier abord tout-a-fait étrangères au sujet.
Il est aisé d'en donner des exemples. Le plus célébre est ce probléme
géométrique de la quadrature du cercle dont la solution définitive fut
donnée en 1882 par la démonstration de la transcendance du nombre z,
question d'une nature exclusivement arithmétique.
Pour en rappeler d'autres, citons le probleme de la réduction des
intégrales abéliennes, problème abordé par Aser' et traité depuis par
plusieurs des mathématiciens les plus célèbres, et dont l'importance est
bien mise en évidence p. ex. dans les recherches modernes sur les équations
différentielles. — Ainsi on y revient” quand on cherche la condition pour
que l'intégrale d'une équation différentielle algébrique du premier ordre
B 2). — 0
! Journal de Crelle, T. I., 1826.
* Voir PaINLEvÉ: Cours professé à Stockholm, p. 138
IA4I.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 31 décembre 1902, 24
186 Carl Stórmer.
où la variable x ne figure pas explicitement, soit une fonction de x à un
nombre fini, non donné de déterminations. D'après M. PaiNLEVÉ', ce
problème est bien loin d'être résolu; on est arrêté ici par des obstacles
insurmontables, dus à des questions d'une nature arithmétique et c'est
seulement dans les cas très particuliers traités par Tonéeycnerr* et ZoLo-
TAREFF *
De même la question de décider si une équation différentielle admet
, qu'on a réussi à en triompher.
des solutions périodiques, question qui se pose p. ex. dans les recherches
de la mécanique céleste (Problèmes des trois corps ete.) revient à des con-
sidérations analogues. Pour voir comment s'introduisent ici des recherches
arithmétiques il suffit de renvoyer au mémoire de M. Ivan Benprxson:
Sur les équations différentielles à solutions périodiques*.
On doit à M. Borer plusieurs exemples qui mettent en évidence le
róle que peuvent jouer les constantes d'une nature arithmétique particuliére.
Ainsi, l'équation aux dérivées partielles
: 2
= E " = fix y)
où fir,w) est une certaine fonction analytique de x et de y et où a est
un nombre transcendant convenablement choisi, peut avoir cette propriété
remarquable, qu'elle n'admet qu'une seule solution périodique w et cette
solution est une fonction non analytique? de x et de y.
La théorie de la convergence des séries, p. ex. la théorie du déve-
loppement des fonctions méromorphes en série de fonctions rationnelles,
donne naissance à des considérations analogues”.
En tout cas, l'étude des nombres incommensurables surtout au point
de vue de leur transcendance forme une des branches les plus difficiles mais
! Voir 1. c. p. II et I4t.
* Journal de Liouville 1884.
* Bulletin des Sciences mathématiques 1879, p. 475—478.
* Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akad. Fórhandlingar 1896. Stockholm.
* Voir diverses notes de M. BomEr dans les Comptes Rendus 1895 et 1899, et
aussi E. Picarp: Sur le développement depuis un siècle de quelques théories fondamentales
dans Vanalyse mathématique Paris 1900, p. 22.
® Voir Hapamarp: L'inlermédiaire des mathématiciens 1900, p. 32, et BOREL:
Contribution à l'étude des fonctions méromorphes, Annales de l'École Normale 1901,
P. 234 etc.
Quelques propriétés arithmétique des intégrales elliptiques ete. 187
aussi des plus attrayantes de l'arithmétique moderne. Dans ce qui suit
nous allons donner une petite contribution à cette théorie en développant
quelques propriétés arithmétiques des fonctions et des intégrales elliptiques.
1. Limite supérieure de l'expression ld, | dans la théorie de la fonction
elliptique ((4) de Weierstrass. :
Considérons la fonction (uw) — y de Weierstrass, définie par l'équation
différentielle
du SC Pra,
(1) (qu) = 4 —99 —Is
avec la condition initiale y — co pour u — o.
Comme on le sait, la formule de multiplication de l'argument donne,
pour » entier, y(nu) comme fonction rationnelle aux coefficients commen-
surables de (o(w), g, et g,. En effet, on a’
n1 . re 1
2
(2) $a (nu) — $2 (wu) =
Pn
où les expressions & sont définies par les relations récurrentes
UEM n 2 po)
d^, = p» [Prr2Pi1— d, 2 541
=f 3 3
(3) Danzı E RER UM dua da
jointes aux relations initiales
d Ur d = —p
Ps = 3p! — 69;p' — 39sp — 9»
d, = — p'[2p* — 10g; p* — 10g,p' — 1092" p' — 2929sP — 93 — 29°
où nous avons mis pour abréger:
M. dç(u) , 9. ;
g(u) — p, E 55 Ug.
bo "
On voit par ces formules que T et d^, sont des polynómes à
coefficients entiers de p, gi et gy.
* Voir p. ex. HALPHEN: Traite des fonctions elliptiques I, chapitre IV.
P 1 P
188 Car] Stórmer.
Supposons que @, g, et 9, aient des valeurs finies données et cherchons
une limite supérieure pour le module lo, | de c,
Appelons z, le plus grand des nombres
LABEL
et soit d'abord p' différent de zéro. Alors les formules (3) donnent immé-
diatement
ii 3-4
oes | OPI ue MTS AXES
où À est une constante indépendante de x. On en tire que mu < AT CAE
d'où en remplaçant n par # +1 et en prenant les logarithmes népériens
(4) log tangs < log à + 4 log tas.
Dans le cas où p’=0, tous les d,, seront nuls et l'inégalité [dal S 2
conduit au méme résultat.
Cela posé, soit
2n E 3«nza"-- 7
m étant entier positif. L'inégalité (4) donne successivement
log Tm43 < 10g À + 4 l0g t-143
log Tynta3 < log À + 4 log 2:4;
log 7, < log À + 4 log z,.
En multipliant ces inégalités respectivement par 1, 4, 4°, TR ER
ajoutant on obtient
4" I 3 m , m
log 2,5% 2 P log À + 4" log u < AK. 2^",
A étant indépendant de m.
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques ete. 189
Mais
et
2°" E 4n 2
ce qui donne l'inégalité cherchée
(5) [| = Th < et
a étant une constante qui ne dépend que des valeurs données à p, g, et g,
et non de ».
2. Limites supérieures et inférieures de | pinu) |, quand 4, , g, et plu) sont
des nombres algébriques donnés.
Supposons que g,, 9, et g(u) soient des nombres algébriques donnés,
racines d'équations algébriques à coefficients entiers. Comme on le sait’,
il est toujours possible d'assigner un nombre algébrique auxiliaire J” tel que
92, 94 et 9(u) soient des fonctions rationnelles à coefficients entiers de VF.
Comme d'ailleurs tout nombre algébrique devient un nombre entier algé-
brique en le multipliant par un nombre entier convenable*, on voit facile-
ment qu'on peut supposer:
gi —9 — 4 (M+ Mp + Mag +... + M ap)
(6) g, = 3; (Mo + Mip + Mig +... + Map)
pl) = UN + Np + Mp? +... + Nae)
où les M,, M,... N, , sont des nombres entiers ou nuls, où 17 est un
nombre entier positif et où o est un nombre entier algébrique racine d'une
équation irréductible à coefficients entiers
(7) a" JF az" p a7? 4 ...4-a 124-8, — 0.
! Voir p. ex.: Prcarp: Traité d'Analyse III, p. 436.
* Voir p. ex.: LEJEUNE-DiRIcHLET: Zahlentheorie (1894), p. 525.
190 Carl Stórmer.
Reprenons la formule (2):
(nu) = Ef ees =
do
Tn
D'après les propriétés connues des d&,, les fonctions pé; — d,,,d
n—l
et d; sont des polynómes à coefficients entiers de p,9g; et g,, homogènes
1 1
et de degré m" et n’— 1 respectivement en p, g;” et gj. Par conséquent,
si l'on introduit pour 9,9, et p les expressions (6), les nombres
M* (pd; "I s. ideal — U,
et
M*.g1— V,
n n
seront des nombres entiers algébriques appartenant au corps algébrique
construit sur la racine p de l'équation (7).
Cherchons des limites supérieures de |U,| et | V,|. En appliquant
l'inégalité (5) on voit tout de suite qu'on peut assigner un nombre positif À
indépendant de n et tel que
[IG «e
(8
l|Vij<e"
et cela quelqu'une des r racines p qu'on choisisse dans les expressions (6).
Il est facile d'en tirer des limites inférieures de | U,| et de | V, | dans
les cas ott ils ne sont pas nuls. En effet, supposons que U, ne soit pas
nul et désignons par UW, UP,... UT " ses r expressions conjuguées
obtenues en substituant dans les expressions (6) pour o les r— 1 autres
racines de l'équation (7). On aura
Mais le dénominateur est la norme de U, et comme U, est un nombre
entier algébrique différent de zéro, le module de ce norme sera > 1°.
En appliquant les inégalités (8) on aura done
I
U,
' Voir p. ex. DrgrcunET, Zahlentheorie (1894), p. 535
(r—1) An?
«e
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques etc. 191
c'est à dire
| | pen
(9) |
et de méme, si V, n'est pas nul
V. eget
X étant un nombre positif indépendant de 2.
Comme
n
(10) oUMmYMJ —
d V.
on en tire immédiatement le résultat suivant:
Supposons que wu), 9, et g, sont des nombres algébriques donnés.
Alors, si go(nu) m'est pas infini on aura
| o (au) | € e^
et si golnu) west pas nul, on aura
| p(nu)| >e*™
om A et X sont des constantes positives indépendantes de n.
3. Limites supérieures et inférieures du module d'une fonction algébrique de
goim,u, + n,u, +... o n,u,).
Le résultat trouvé dans la section précédente est susceptible d'une
généralisation trés étendue, que nous allons développer rapidement.
Soit 4(w) une fonction algébrique de ya(w), définie par une relation
algébrique
(11) F (A(u), 9(u)) =o
où F est un polynôme de Alu) et de p(w), dont les coefficients sont
des nombres algébriques données. En éliminant ces coefficients entre
l'équation (11) et les équations qui les définissent comme des nombres
algébriques on en déduit une relation algébrique
(12) F,(A(u), 9(u) =o
192 Carl Stórmer.
où PF, est un polynôme de A(w) et de o(w), dont les coefficients sont
des nombres entiers.
Posons
u — nu, + nu, +... E n,u,
où ,, 4,,..., 4, sont des variables indépendantes, et où m, 5»,,..., n, sont
entiers ou nuls (non nuls tous à la fois).
D'après le théorème d'addition de p(w), il existe une relation algé-
brique à coefficients entiers entre jo(u) , (nu) , ..., (nu), g, et 9,.
Supposons que 5, et g, soient des nombres algébriques donnés. En éli-
minant g, et g, entre la relation ci-dessus et les équations qui les définissent
comme nombres algébriques on obtient une relation algébrique
(13) F,(plu) , g(nu), ..., (nu) = o
où F, est un polynôme à coefficients entiers de (u), pn, u), ... , 2n u,).
Enfin, l'élimination de y(w) entre les équations (12) et (13) donne
(14) F(A(u) , (nu) ,..., (n,u)) — o
où F est un polynôme à coefficients entiers de Alu), (nw), ... , (nu),
et où
u — nu, + nu, +... +nu,.
Les coefficients de F et son degré en chacune des variables A(z),
2.3
Cela posé, appliquons la formule de multiplication (2) et posons:
y(n,u,),..., go(n,u,) sont naturellement indépendants de »,, n, , ... n,.
nu) = iiie
Qu (Ua)
où
P, (u;) = pe, = 0 du |
pour 4 — wu.
Q, (wi) = 9 |
En substituant ces valeurs et en chassant les dénominateurs Q,,(w,)
l'équation (14) peut s'écrire:
(15) R, A(uy + R A(uy^! 4-...-- BR, =o
où les R sont des polynômes à coefficients entiers des quantités
P (14) , Vn, | Us iyo 55 P, (u,) j Qn, (Uy) .
n
Quelques propriétés arithmétiques des integrales elliptiques etc. 193
Supposons maintenant qu'on donne aux variables 5," de
d Wurde
telles valeurs que ga(u,),..., @(u,) soient égaux à des nombres algébriques
donnés. Comme il en est de même de g, et g, d'après l'hypothèse faite
plus haut, on comprend qu'on peut supposer comme auparavant:
g — 9 — gr (M, - Mp +...+ Msp)
9, — gg (Mot Mip +... + Mr apr)
(16)
et
I ri) Thi (i) r—
plu,) = x cTONToT..LNPQoU
M se 2h 13 enter 1)
où les M,, M ,..., N, sont des nombres entiers ou nuls, où M est
entier positif et où p est un nombre entier algébrique racine d'une
équation irréductible a coefficients entiers
oe +t+aa*+...+a_,¢+4,=0.
Considérons une des branches de la fonction algébrique Alu) et
supposons qu'elle prend une valeur finie A, pour les valeurs de g,, 9, ,
g(u,),...,çg(u,) données plus haut. Cette valeur A sera racine de l'équation
(15), quand on substitue pour g,, 7, , $2(*,) etc. les valeurs en question.
Cherehons d'abord des limites supérieures et inférieures du module d'un
coefficient quelconque À, de cette équation.
En se rappelant la définition des R, et en appliquant les résultats
de la section précédente, on voit que
Ani dont. + À n?
poveri R
sera un nombre entier algébrique appartenant au corps algébrique construit
sur la racine o, pourvu qu'on choisisse les nombres entiers À, qui sont
indépendants de n,,..., ”,, assez grands. En désignant par n? le plus
grand des nombres nj, ”;,..., 2, on voit que
R; = M*" . R, 1$20,1,2,...,q)
sera entier algébrique, 2’ étant un nombre entier indépendant de n et de s.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 31 décembre 1902. 25
194 Carl Stórmer.
Cela posé, en appliquant les inégalités (8), on aura d'abord
(17) nee".
À étant indépendant de x et de s, et si &, n'est pas nul, on trouve comme
auparavant pour le nombre entier algébrique A; que
|R; |» e*
c'est à dire
(18) | Ap e
jt étant indépendant de » et de s.
Cela fait, il est facile de trouver une limite supérieure de | A|. En
effet, comme A, qui est supposé fini, est racine de l'équation (15), il faut
Hh
le premier de ces coefficients qui n'est pas nul.
que l'un des coefficients R,, R,,..., A, , soit différent de zero; soit R,
Alors une formule connue! donne
HR
A I
a= ay
où R est le plus grand des nombres |R,|,...,|#,|. En appliquant les
inégalités (17) et (18) on en déduit
| A} CONT LE
KA étant indépendant de n.
Dans le eas où A n'est pas nul, on trouve de la méme manière pour
K'n°
| A| une limite inférieure de la forme e^*", A" étant indépendant de n.
Nous avons ainsi le théoréme:
Théoréme 1.
Soit (iu) la fonction elliplique de Weierstrass construite avec des in-
variants g, et g, qui sont des nombres algébriques donnés, et soit A(u) une
fonction algébrique de lu), liée à celle-là par une équation algébrique
F(A(u), glu)) = o,
dont les coefjicients sont des nombres algébriques.
Voir p. ex. SERRET: Cours d'Algèbre supérieure I, chapitre III.
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques ete. 195
Enfin soient u,,u,,..., u, des valeurs de u telles que p(u,), (wu), ...,
w(u,) ont des valeurs algébriques (finies) données, et soient m, , n, , ... , n,
des nombres entiers, qui ne sont pas tous nuls; désignons enfin par n° le
plus grand des nombres nj ,n;,..., mi.
Cela posé, si A(n,u, +... +n,u,) nest pas infini on aura -
(19) | A(n,u, + nu, +...+nu)|<e"
et si celle quantité west pas nulle, on aura
ten) | A(n,u, + nyu, +... nu) e"
où A et X sont des constantes positives indépendantes de n°.
Comme on le sait, toute fonction analytique qui possede wn théoréme
daddition algébrique, est une fonction algébrique de la fonction (o(u), corres-
pondant à des invariants g,, g, convenablement choisis. On conçoit alors
comment le théorème I peut être appliqué à de telles fonctions.
Dans le cas beaucoup plus simple où A(w) est une fonction algé-
brique de sin 4, cas qui peut être regardé comme cas particulier du cas
général, la méme méthode donne aisément le résultat plus simple:
Soit Alu) une fonction algébrique de sin u, liée à cette fonction par une
équation algébrique dont les coefficients sont des nombres algébriques donnés.
Soient de plus wu, , ..., w, des valeurs de u, telles que sin u,, sin 4, ,... , sin %,
sont égaux à des nombres algébriques donnés. Enfin, soient m,,...,m, des
nombres entiers non tous nuls et désignons par n le plus grand des nombres
I enl. iss 8
Alors, si A(n,u, + n,u, +... +n,u,) n'est pas infini, on aura
(21) | A(n,u, + nu, + ...n,u,)| < e'"
' On pourrait sans doute appliquer ce théoréme aux recherches arithmétiques des
courbes algébriques, commencées par M. Poincaré. (Journal des Mathématiques
pures et appliquées, 1901).
196 Carl Stórmer.
et si cette quantité nest. pas nulle, on aura
(22) | A(n,u, + mu, +... + mu) e
où À et À' sont des constantes indépendantes de n.
4. Application aux intégrales elliptiques et abeliennes.
Considérons l'intégrale elliptique correspondant à 2 — pa):
o6
[ dy
Wo ER
J) N4J* — 949 — 9
l'intégrale étant prise le long d'un chemin d'intégration allant du point za
l'infini et évitant les points critiques, racines de l'équation 45* — g,y — 9, — 0.
Supposons de plus que le chemin d'intégration n'entoure ces points critiques
qu'un nombre fini de fois.
Alors, comme on le sait, l'intégrale sera finie pour toutes les valeurs de z.
D'un autre côté, 4 — o est un pôle de second ordre pour la fonction
glu), et dans le voisinage de «=O, on aura
I
=atE,,
E, tendant vers zéro avec w. On en tire
I
ve u s 2 E)
I 7
(23) u = —(1 + KF) =
où E/ tend vers zéro avec u, et où la racine carrée est choisie avec une
détermination convenable.
Cela posé, supposons que g, et g, soient des nombres algébriques
donnés ainsi que 4,4, 25,25, ... , Z,, 2,, et Considérons la somme
, " sy
, "de "de "de
I EE 2x tec] 5
L V i « V * V i
2, y
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques etc. 197
En posant
| dz : (s
uM : gio
J VR J VR
on aura
U=nu,— nut+...+nuw— nui.
Supposons que #%,,%,..., ”, solent des nombres entiers, non tous nuls, et
soit n’ la plus grande des quantités nj, 3,..., >. Cherchons une limite
inférieure de | U[ dans le cas où U n'est pas nul. Alors pour U assez
petit, on aura d'aprés l'équation (23):
| U| ae = à
IoC) |?
K étant une constante finie > o.
Mais en choisissant dans le théorème 1, Alu) = ga(u) on a
| (mu, — nu; +... + nu, — n,u})|<e™
ce qui donne
n?
wi»
|U|> Ke
et nous avons ainsi démontré le théorème:
Théoréme 2.
Soient 94,95, 21, 21, 22, 2,---,2,, 2%, des nombres algébriques donnés,
parmi lesquels un ou plusieurs des nombres 2,, 2,,..., 2, peuvent être infinis,
et soit
R=42?— 9,2 —9,.
Considérons la somme
198 Carl Stórmer.
OÙ ",,T,, ..., n, sont des nombres entiers. Si cette somme n'est pas nulle,
on aura
2 zs 2)
° de 'dz "ds :
(24) n, | +n, ern Sea
vk J VE J VE
Zn 29 2,
où mw? désigne le plus grand des nombres n?,n?,...,n? et où À est inde-
pendant de n.
En appliquant le théorème correspondant sur la fonction sin 4, on
obtient de méme le
Théoréme 3.
z,, à, des nombres algébriques, et soient
, VL
= Pu ,
Soientisapy d, ME, eiut
9) ,".,..., n, des nombres entiers. Alors
sil m'est pas mul; m désigne le plus grand des nombres |m,], |m;], ... , |w,]
et À est indépendant de n.
En appliquant le théorème général I on pourrait étendre ces théorèmes
aux intégrales abéliennes dont la fonction inverse admet un théorème d'addi-
tion algébrique. Comme une fonction analytique admettant un théorème
d'addition algébrique n'aura qu'un nombre fini de déterminations dans tout
le plan et comme elle est liée avec sa dérivée par une équation algébrique
à coefficients constants, on voit quelle liaison intéressante il y a entre ces
questions et le probléme sur l'équation différentielle algébrique
F(y,y)=0
dont nous avons parlé dans l'introduction.
Cependant, nous omettons iei ces recherches, qui nous entraineraient
trop loin.
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques ete. 199
Des théorèmes 2 et 3 on peut tirer des conséquences intéressantes
pour de erandes classes de nombres incommensurables.
On en tire en effet:
Corollaire 1:
Soit a un nombre réel et incommensurable défini comme rapport de
deux intégrales elliptiques:
ah
ZA
| dz
* V42* — g,£ — 9,
POET MAE sas
,
“2
[ dz
v42° — gi? — 9s
t
OÙ (a, Js, 21, 21, 22,2, sont des nombres algébriques donnés, 4 — co et z, — co
y compris. Soient de plus m, et n, deux nombres entiers qui ne sont pas nuls
tous les deux et désignons par n° le plus grand de leurs carrés mj et wj.
Alors on aura
\ " j —An?
(26) |r,2— n,|> e
À étant une constante indépendante de n.
La méme inégalité subsiste si
XA
A
— dz ——
1 V(t — z?Xr — £z?)
Ar Per =
29
| dz
J var — zr — ke?)
23
21, 2%, 2, 2) et k étant des nombres algébriques.
Du théorème 3 on tire de la méme manière:
Corollaire 2:
Si a est un nombre réel et incommensurable défini comme le rapport
entre deur arcs dont les simus sont des nombres algébriques donnés, om a,
200 Carl Stórmer.
n, et m, étant des nombres entiers non nuls tous les deux et n désignant le
plus grand des modules |n,| et |n,|, que
(27) |na— ne",
À étant une constante indépendante de n.
On en tire aisément que la même inégalité subsiste quand «a est le
rapport entre deux logarithmes de nombres algébriques, en particulier si «
est le logarithme vulgaire d'un nombre algébrique”.
En général, on pourrait étendre les résultats des deux corollaires à
toutes les intégrales abéliennes définies plus haut.
Dans cet ordre d'idées, rappelons le résultat dû à LiouvirLe?, que
si a est un nombre réel racine d'une équation irréductible de degré +
(rz 1) à coefficients entiers, on a l'inégalité
À
(28) | ma — t. eio
n(>o) désignant le plus grand des modules des nombres entiers », et n,
et À étant indépendant de n.
D'après les indications de M. BonEL?, il sera possible d'établir des
inégalités analogues quand 4 est racine d'une équation algébrique dont les
coefficients sont des polynómes à coefficients entiers en e ou bien en €, p
étant algébrique. De méme, si « est le logarithme népérien d'un nombre
algébrique p. ex. si a — z etc.*
Les inégalités (26) et (27) donnent tout de suite des théorèmes analogues
sur le développement de « en fraction continue
! Voir mon mémoire: Sur une propriété arithmétique des logarithmes des nombres
algébriqnes. Bulletin de la Société Mathématique de France 1900.
? Voir p. ex. Boren: Lecons sur la Théorie des Fonctions, p. 27.
' Voir les Comptes Rendus, 6 mars 1899 et le mémoire précédemment cité,
dans les Annales de l'École Normale 1901, p. 236.
* Voir aussi diverses notes de M. E. Mater dans les Comptes Rendus,
1900— 1901.
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques etc. 201
En effet, en posant
I
a, —= à
n n + (n4 dz T
et
u — aM 2 = )
P. => a, , T Qaa, EIS I BLUE ANT RP: X G, 1 P, a + Pie
Qu , Q, — a, , CN eA aT oS Q,; = A, 10, i+ Qa, * 23
on a comme on le sait:
On 1 I
a, < An +
Qn QQ«—2.|
On en déduit que si le nombre incommensurable 4 est 1? racine d'une
équation irréductible de degré v à coefficients entiers, ou 2° défini par le
corollaire 2 ou bien 3? defini par le corollaire 1, on a respectivement les
inégalités suivantes, dont la première est due à LiouvirLe':
CAO a,<e&@ et a,<ed®
n )
A,X et 2” étant des constantes indépendantes de #. On en tire pour
les nombres transcendants des conséquences analogues à celles dans mon
mémoire précédemment cité *.
5. Application à la théorie des fonctions entières transcendantes à distri-
bution ordinaire des zéros.
Dans un mémoire recent‘, M. Borer a introduit pour les fonctions
entières transcendantes une notation importante. Soit F(z) une telle fonc-
tion, de genre fini, et soient 4,,4,,...,4,,... ses zéros, pour plus de
simplieité supposés simples et rangés dans l'ordre des modules croissants.
Soit o l'ordre réel de la fonction F(z), c'est à dire un nombre
positif tel que la série
S I
> [a.p
Journal de Liouville t. XVI.
= Voir-l cp. 156,
* Contribution à l'étude des fonctions méromorphes. Annales de l'Ecole Nor-
male 1COI, p. 221 etc.
Acla mathematica. 27. Imprimé le 2 janvier 1903, 26
202 Carl Stórmer.
est convergente, tandis que la série
x I
— | à. less
est divergente quelque petit que soit e.
Posons pour abréger la, — r,. Alors M. Boren dit, par definition,
que la distribution des zéros est ordinaire, si l'on a
(29) | F'(a,) | er"
quelque petit que soit le nombre positif e, à partir du moins d'une cer-
taine valeur de n!. Dans le cas où une telle inégalité n'aura pas lieu,
la distribution est dite extraordinaire.
D'après M. Borer la distribution des zéros est ordinaire pour toutes les
fonctions entières usuelles. Cependant la fonction trés simple sin zz. sin azz
aura une distribution ordinaire ou extraordinaire selon /a nature arithmétique
de la constante a, comme il le fait voir par des exemples.
Nous nous permettons de citer les passages suivants qui terminent le
mémoire de M. Boren et qui mettent en évidence l'utilité des recherches
arithmétiques pour ce genre de questions:
» Parmi les sujets de recherches suggérés naturellement par ce qui
précède il en est un sur lequel je n'insisterai pas, à cause de sa difficulté:
la distribution des zéros est-elle ordinaire pour le produit de fonctions
usuelles, par exemple pour le produit de deux fonctions 6 correspondant
toutes les deux à des invariantes g, et g, qui solent des nombres rationnels
ou algébriques ?»
Nous allons appliquer les résultats précédents pour aborder du moins
des cas assez généraux de ce dernier problème.
Considérons en effet la fonction
F(2) = 642) . G)(2)
où nous avons posé:
OG, (2) = o(z €, , €)
Gaz) = O(z| s, ws)
' Dans le cas, où a, est un zéro de multiplicité m, on aura seulement à remplacer
dans l'inégalité F'(a») par Z"(a,). (Boren).
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques etc. 203
la fonction entière transcendante 6 de M. WxgrEnsTRASS étant définie comme
d'ordinaire !.
Pour plus de simplicité supposons que
,
e) [0]
2 2
—+ = ae == f .
[OR (0,
soient réels.
Nous allons trouver des conditions suffisantes pour que la distribution
des zéros de la fonction F(z) soit ordinaire. Comme nous allons le voir,
ces conditions s'expriment exclusivement par des propriétés arithmétiques des
nombres a et f.
Comme tous les zéros de la fonction 6 sont simples, les zéros de F(z)
seront simples s'ils ne sont pas communs à G,,(z) et 6,,(2) et doubles dans
le cas contraire. Par conséquent, on aura pour un zéro simple z= a:
(30,1) F'(a) = 6(,(a).6,(a) ou bien = G4,(a)6;, (a)
et pour un zéro double
(30,2) F“(a) — 204a). 66a).
Considérons d'abord la fonction 6,,(2). On a comme on le sait:
(31) Ge 20) — ert e)
en posant
(32)
| 0, = Ma, + no;
- ,
| 7i = muy, + m,
où 7, et 7; sont les valeurs de la dérivée logarithmique de 6,,(2) pour
2 — ©, et z — «e, respectivement, et où m, et n, sont entiers ou nuls. Comme
on le sait tous les zéros de 6,,(2) s'obtiennent en donnant à m, et x,
toutes les valeurs entières ou nulles. On en tire, puisque 6/,(0) = 1, que
6 1,(2@,) — + ena,
m ; 4 PN = |? 2 2
Posons 26, = ati, p et » étant réels, d'où | 20, | = u* +". En
1 2: P oO,
substituant pour 2@,, sa valeur tirée de (32) et en remarquant que — a
wo
1
‘ Voir p. ex. HALPHEN: Traité des fonctions elliptiques I, p. 378.
204 Carl Stórmer.
sa partie purement imaginaire différente de zéro, on voit qu'on peut trouver
pour m, et n, des expressions
| m, = pn + 4v,
(33)
| ^, — pph-- qv
p.q,p et q' étant finis.
Considérons maintenant 27,60,. En y substituant les valeurs de 7, et ©,
tirées des équations (32) et en appliquant les relations (33) on voit que
la partie réelle de 27,0, aura la forme Ap! + Bp» + Cv*, A, B et C
étant indépendants de y et de » et finis. Comme d'autre part le quotient:
|A + B + O?| | Ag - Bp» + 0
qe meer
pour toutes les valeurs réelles de y et » ne surpasse pas une quantité fixe,
on aura
(34) | 66, (20, )| == gir Br OF > eid Meus
K, désignant un nombre fixe indépendant du zéro 26, choisi '.
De la méme manière on trouve, si 20, désigne un zéro de 6,(2):
| G6 (203)| rer Moll
I2]
on
—
KA, étant indépendant du zéro 2o, choisi.
On en tire immédiatement que la distribution des zéros doubles de F\ 2)
est ordinaire. En effet soit a, = 260, — 20, un zéro double et posons
a,| — r, alors la formule (30,2) donne
LS i. xnl Ts
| "(a,)| 9 e En > e
quelque petit que soit e, du moins à partir d'une certaine valeur de n.
Comme d'autre part l'ordre réel de F(z) est égal à l'ordre réel de 6, c'est
à dire à 2, l'énoncé se trouve démontré.
Considérons maintenant les zéros simples et cherchons une limite
inférieure. des modules [Ga (26,)| et |6,.(2@,)|. Prenons la fonction 6,2)
et posons
20, = 2M,W, + 2N,W, = 2m, + 2N\w, + €
' On tire de l'inégalité (34) le résultat indiqué par M. Borrt, que la distribution
des zéros de la fonction 6 est ordinaire.
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques etc. 205
où m,,m,,n, et m, sont entiers ou nuls et où e est différent de zéro
parceque 2@, est supposé zéro simple de F(z). Introduisons les notations
e, »
| MM = gm, Em
1
(36) à .
oO, ; te
n, d n —n,gp—n —e,
ce qui donne:
em _ e un
€ — 204€, + 26,€,
La formule (31) nous donne
Gy) (2@5) — ct ette ,g. (e).
Or, « et 98 étant supposés réels, les nombres entiers m, et », peuvent
Î ) 1 1
Par conséquent le
Nie
étre choisis tels que ls, | et le,| ne surpassent pas
Joint e ne sortira pas du paralleloeramme dont les sommets sont les points
] ] 8
+ ©, + oi et par suite on peut écrire:
6s) > M.|e|
JM étant une constante indépendante de
a)
,
, Lov AO) . . . . m’
D'un autre cóté, — ayant sa partie purement imaginaire différente
e) - :
de zéro, on voit aisément que
a)
le| 5 mM’. 5
x
où M’ est indépendant de s et où e’ désigne la plus grande des quantités
le,,| et Je,|.
Enfin en tenant compte des relations (33) et (36) on trouve comme
auparavant
fente] e ET
A’ étant indépendant du zéro 2&, choisi.
En résumant ces résultats, il vient
(37) [6.5(28,)| > e alt, er,
H, étant une constante indépendante du zéro 20, choisi.
206 Carl Stormer.
Nous aurons à diseuter trois eas différents:
1°. a et f8 sont commensurables tous les deux.
Alors le,,| et |e, | sont nuls ou plus grands qu'un nombre fixe. Comme
2@, est supposé zéro simple de F(z), ils ne sont pas nuls tous les deux
et par conséquent ¢’ sera plus grand qu'un nombre fixe y, et
|6,,(26,)| > p .e "ar
et de méme on trouve
ISO) e EISE
si 2@, est un zéro simple de F(z) appartenant à 6,,(2). En combinant
ces inégalités avec les inégalités (34) et (35) on aura, si &, est un zéro
simple de F(z) que
| F'(a,)| ern
quelque petit que soit le nombre positif e, du moins à partir d'une cer-
tame valeur de n.
Dans ce cas, la distribution des zéros de F(z) sera par conséquent
ordinaire.
27. L'un des nombres a, B, p. ex. f est commensurable, l'autre in-
commensurable.
Supposons que le nombre incommensurable 4 satisfasse à la condition
|m,a — m, |> e-*
où m est le plus grand des nombres |m,| et |m,| et où 6(m) est une
fonction positive non décroissante de m(m> 0). Comme e, peut être nul
on aura en tout cas
D'un autre cóté, les formules (32), (33) et (36) font voir que le rapport
n
25, | ne surpasse pas une limite fixe À de manière que
wo
2
A(m) < A(Ar)
en désignant |20,| par r. Cela donne
|6n(20,)|> enr)
Quelques propriétés arithmétiques des intégrales elliptiques ete. 207
et pour o,(2,) une inégalité pareille. Par conséquent si @(m)< Am?
où A est une constante positive, on voit en combinant ces inégalités avec
les inégalités (34) et (35) que la fonction F(z) aura une distribution
ordinaire de ses zéros.
‘
no
3°. Enfin soient a et 8 incommensurables tous les deux, et soit 8, (m)
et @,(m) les fonctions correspondantes, de manière que
: — (m)
[m,a— m, |> e^
|m,8 — m, |> et,
Alors on trouve sans difficulté que F(z) aura une distribution ordi-
naire des zéros, si l'une des fonctions (m) < Am’, A étant une constante
positive.
* Par ces calculs, qui sont trés simples en principe mais qui ont exigé
des développements peut-être fatigants, nous sommes arrivés au théorème
suivant:
Théoréme 4.
Considérons le produit de deux fonctions 6 de WEIERSTRASS
F(z) = 6(2|@, , wj). 6(z|om, , ox)
on les rapports
(0, Ws
——g e == /
[OR wo,
sont supposés réels et finis.
La distribution des zéros de F(z) sera ordinaire:
A. Si a et B sont commensurables.
B. Si lun des nombres a, f, p. ex. B est commensurable et l'autre x
incommensurable de manière que
(38) |n a—n,| 2 27
pour toutes les valeurs entières n, , n, qui ne sont pas nuls à la
fois, n désignant le plus grand des nombres |n,| et |n,| et 2
désignant un nombre indépendant de n.
C. Si a et B sont incommensurables tous les deux et l'un d'eux, p. ex.
a, satisfait à l'inégalité (38).
208 Carl Stormer.
En appliquant les résultats des sections précédentes on aura ainsi le
Corollaire 3:
La distribution des zéros de la fonction F(z) sera ordinaire, si l'un des
nombres a, f, p. ex. a est incommensurable et
1? égal à un nombre algébrique,
2? égal au rapport de deux logarithmes de nombres algébriques, en
particulier egal au logarithme vulgaire d'un nombre algébrique,
3° égal au rapport de deux arcs dont les simus ou les tangentes sont
algébriques,
4° égal au rapport de deux intégrales elliptiques
EI ts
P
| «n m | d:
v4e—ge—g, J Var — ge — 9.
*
2
3,23, 9 et 9, étant des nombres algebriques, parmi lesquels 2, et 25
peuvent aussi etre infinis.
Les cas 2° et 3° peuvent étre regardés comme cas particuliers du cas 4°.
En appliquant un résultat dà à Hermire sur la fonction exponentielle ',
jai pu suppléer les eas précédents par les suivants
5° égal au logarithme népérien d'un nombre commensurable,
6° égal à €, p étant commensurable;
cependant, cela m'entrainerait trop loin d'en donner les démonstrations.
En appliquant les recherches bien connues sur la fonction exponentielle de
Hermire, de LINDEMANN et d'autres et en suivant un procédé indiqué par
M. Boren? on arriverait sans doute à compléter les cas 5° et 6° par
d'autres cas trés généraux.
On voit nettement iei quel róle joue la nature arithmétique des
constantes a et ß.
! Cours lithographié, IV* édition, p. 73.
? Comptes Rendus, 6 mars 1899.
209
ON THE INTEGRATION OF SERIES
BY
E. W. HOBSON
of CAMBRIDGE (England).
Since ABEL's researches in the theory of infinite series, some of the
most important investigations on the subject have been concerned with
the uniformity and non-uniformity of the convergence of such series. [t
was first pointed out by Semen, and by Stores independently, that a
discontinuity in the sum of a convergent series, of which the terms are
continuous functions of a real variable, is due to the non-uniform converg-
ence of the series in the neighbourhood of points at which such discon-
tinuity exists. It is further known that non-uniformity in the convergence
of such a series does not necessarily involve discontinuity in the sum.
The theory is of special importance in connection with the question re-
garding the conditions under which the series may be integrated term by
term so that the series arising from such integration may have for its
sum the integral of the sum of the original series.
If
nee) + au(x) +... + w(z)-4...
is a series which converges everywhere in an interval (a,b) of the real
variable x, and if w,(x), w(r),..., w,(r)... are each continuous through-
out the interval, it is well known that a sufficient condition that the sum
of the integrals of the terms of the series taken through (a, 6), or through
an interval which is part of (a, 5), may be represented by the integral
of the sum-function s(r) taken through the same interval, is that the
series be uniformly convergent through the interval of integration. It
Acta mathematica, 27. Imprimé le 5 janvier 1903, 21
I J at
210 E. W. Hobson.
has been, however, shewn by Oscoop,' that in the case in which the
sum-function s(x) is continuous through the interval (r, , 7,) of integration,
a sufficient condition for term by term integration is that there should
be in the interval (r,, r,) no point at which the measure of non-uniform
convergence is indefinitely great.
It has been shewn by Batrn? that the sum-function s(r) is at most
a point-wise discontinuous function. In the present communication the
properties of the remainder-function R,(x) = s(x) — s,(r), are considered
on the lines of BAIRES memoir, and the results are applied to prove that
for the most general function s(x) which is the sum of a series of the
above type, the series may be integrated term by term and gives a series
of which the sum is the integral of s(x), provided (1) that s(r) is inte-
erable through the interval of integration, and (2) that in that interval
there is no point at which the measure of non-uniform convergence is
indefinitely great.
R,(x) as functions of æ and y,
; I ;
If » —-, we may consider 5,(x) )
y
defined for all values of x in the interval (a, 5) and for values of y
3
which are the reciprocals of any positive integer m. Following Baıke's
procedure, the functions may be defined for values of y intermediate
I I
between the values y,, = —, and ; — —— , so that writing s(x, y), R(x, y)
Um m? 3 m4 m E I ) =) ) y , mu/
for s, (a) ) R, (x),
VU Um —
s(a , qii E dole 8(x , Ym+1) E PESE i SUE, Ym)
Ym+1 EZ Um+1 = Um
y FR Um Ym+1 El
Rix , y) = —— R(x, Yası) —————— R(@ , Ym).
NS 3 n1 — Ym dii rth Ym+1 — Ym Y SE
If we further define s(r, o), R(x, o) to be s(x), and zero respect-
ively, the two functions s(r, y), R(x,
y) are defined for every point in-
side and on the boundary of the rectangle contained by the four straight
lines 2 == a, ¢=— 5,0 y = 1,
The function s(r, y) is everywhere continuous with regard to y,
and is continuous with respect to x, everywhere except upon the bound-
)
American Journal of Mathematics, Vol. NIX, 1897.
? See Annali di Math. (3) IIT, 1899.
On the integration of series. 211
ary y — 0. Batre has shewn that this function is at most a point-wise
discontinuous function with respect to (x, y), on any continuous curve within
the rectangle, and in particular on the boundary y = o. We shall here
consider the function R(x,y), which does not come under Batke’s general
"use, as although it is everywhere continuous with regard to s» it is in
general a point-wise discontinuous function of x, for any constant value
of y between o and 1, the value y = o excepted, for which the function
vanishes.
At any point P(x, y), let a straight line of length 29 be drawn
with P as middle point, and parallel to the y axis, and let w(p) be the
fluctuation (Schwankung) of the function R(x, y) in the line 29; the
function @(p) is a continuous function of p, and corresponding to an
arbitrarily assigned positive number a, let a,(x , y) be the upper limit of
the values of o which are such that cw(o) < e; if P is in the boundary
y =o, it will be sufficient to take the straight line of length p within
the rectangle. The function «(r, y) is thus defined for every point in
the rectangle and is an essentially positive function. Moreover since
R(x, y) = s(x) — s(x, y), and since s(x) is independent of y, the func-
tion a,(r, y) is the same as the corresponding function introduced by
Batre for the function s(x, y).
It has been shewn by Batre that a,(r, y) is a semi-continuous func-
tion, that is, that corresponding to an arbitrarily assigned positive number &,
a neighbourhood of the point P can be found such that for all points P’
in this neighbourhood a,(P') < «,( P) + e.
If P be a point (r, 0) in the boundary y = o, and a semi-circle of
radius o, and centre P, be drawn within the rectangle, the lower limit
of | Ria , y)| in this semi-circle is zero, and the upper limit may be de-
noted by (>). The limit of 3(>) when p is indefinitely diminished may
be called the measure of the non-uniform convergence of the given series
at the point P; if this limit is zero, the convergence of the series at P
is uniform. If we divided the semi-eirele into quadrants by means of a
radius, the limits when » = o, of the upper limits of | R(r, y)| in the
two quadrants, may be called the measures of non-uniform convergence
at P, on the right and on the left, respectively; these two measures are
equivalent to Oscoop's indices of the point P, of which he gives a differ-
rent definition. The measure of non-uniform convergence of the given
212 E. W. Hobson.
series is in accordance with the above definition, the saltus (Sprung) of
the function |A(r, y)| at the point P(x, o) with respect to the conti-
)
nuum (x, y).
The minimum of a,@,y) at the point P(x, 0), of the boundary
)
y = 0, with respect to that boundary, is the limit when 9 diminishes to
Oo, æ + 0) of
the point P. If this minimum at the point P is positive, a neighbour-
zero, of the lower limit of 4, in the neighbourhood (x
hood of P in the continuum (x, y) can be found, such that the fluctua-
tion (Schwankung) of A(x, y) m that neighbourhood is < 25, and hence
the saltus of | R(x , y)| at P is < 26. To prove this we observe that a
neighbourhood pp’ of P can be found such that A, at every point in pp’
is greater than a fixed number 7 which is less than the minimum of £f,
at P. Let X, Y be any two points in the rectangle whose base is pp’
)
and height z, and let Xm, Ym' be perpendicular to the boundary. We
have then
| R(X) — Ri Az | R(X) = R(m)| + | R( Y) — R(m')|
= 20
thus the required neighbourhood has been found.
It follows that if the saltus of | R(x, y)| at P, is greater than 2c,
the minimum of a,(P) at P, must be zero.
Now it has been shewn by Batre that in every sub-interval of the
boundary y = Oo, points exist at which the minimum of «,(P) with re-
spect to the straight line is positive, and this is the case however small
s may be.
It thus appears that in the interval (a , b) the points at which the
given series is uniformly convergent are everywhere dense, and thus that
On the integration of series. 213
the function | R(x , | is on the boundary y = 0, a point-wise disconti-
nuous function with respect to the continuum (r, y). It follows that the
points of (a,b) at which the measure of non-uniform convergence of the
given series exceeds an arbitrarily fixed positive number form a closed
and non-dense ageregate,
59 "m .
Let it now be assumed that the point-wise discontinuous function s(r)
z
is an integrable function. The condition that the series & [u,(a)da con-
t
a
verges to the value [s(x)dx, is that a value y, of y, can be found
To
> ,
T,
corresponding to a given positive number &, such that f R(a , y)da|<e
To
for any fixed value of y which is < y,.
It will be proved that this condition is satisfied, provided there is
no point in the interval (r,, #,) at which the saltus of IR, „|, the
(CET
measure of non-uniform convergence, is indefinitely great. If the saltus
of |R(x,y)| is at every point finite, then | (zr, y)| has a finite upper
limit for every point within the fundamental rectangle; this follows from
the fact proved above, that the points on y — o, at which the saltus of
| (x, y)| exceeds a fixed number, form a closed aggregate, and thus if
DOT NDA UE
at a converging series of points x, , x the values of this
1)
saltus formed a sequence of increasing numbers which had no finite upper
limit, the saltus at the limiting point Lx
n=
would be indefinitely great.
n?)
Let A be a fixed positive number, then the aggregate @ of points
at whieh the saltus of | (m n y)| exceeds A, is closed and non-dense. It
is well known that the aggregate G consists of the extremities of an
1,504, 0,,..., together with the
limiting points of these extremities. Let Z be the content of @, then if
l=a, — 2, 1— I is the limit of 0, + 0, + 0, +...
A number y can be found corresponding to any fixed arbitrarily small
number &,, such that 0, + 0, -- ... -F 6,5 01— I — es, and is </— I.
Inside each of the intervals @, take an interval @’, this can be done so
enumerable aggregate of sub-intervals 6
is an arbitrarily assigned positive number.
, and |i— I— €
2) 2
n I
that Lo — $0 — g,, where €
1
The sum 2@' lies between / — 1 — e, — s,
1 2 3"
214 E. W. Hobson.
Let the interval / be devided into y + s sub-intervals of which y
consist of the intervals 6’, and the other s are ¢,,¢,,¢,,..., ¢; thus
— 2Lt-- 220; all the points of G are in the intervals £.
1 1
We first consider the integral taken through the intervals 6’; on 6;
as base a rectangle of height y, can be drawn so that in that rectangle,
| Ric, y)|< A+ y, when 7 is an arbitrarily small prescribed number.
For if this is not the case, there would be points of the z-axis in #;, such
that the fluctuation of | R(x, y)| in areas containing them are > A, how-
ever small y may be taken, contrary to the hypothesis that at every point
of @ the saltus of | R(x, y)| is < A, hence y, can be found corresponding
to a given y; if y is the greatest of the y numbers y, , y, , ..., y,, then
if y — y, for every x in the intervals 9, | Rx, y)| £ A -F xy. It thus
nz
appears that [Rw ‚y)dx|, taken through the intervals 9, is <(A+y)20
or «(l— I—e,)(A-+ 7), provided y<y. The numbers y, y converge
to zero together.
555
Next consider the s intervals f,,4,.. ,; for any point x of G,
there is a value of y such that for it and all smaller values, | R(x, y) | < v,
where s is a fixed positive number which we take < A; this arises from
the continuity of R(x, y) with respect to y, at the point (r, o). Take
y, a value of y, and let G, be the aggregate of points belonging to G,
such that | R(x : »)| < s, provided y — y,. The points of G, may be put
‚7, where 3c « I, + 9,
I, denoting the content of G,, and 9 an arbitrarily chosen positive
into a finite number of intervals 7,,7,...
number. The complementary intervals whose sum is It — X contain
only such points of G as do not belong to G,. Since there are by hypo-
thesis no points of G at which the upper limit of the fluctuation of
(x,y) in (x,y) is not finite, and this upper limit is everywhere less
than some fixed finite number, there exists a finite upper limit of | R(x, y)|
for all values of x which are in the intervals ¢ but not in the intervals 7;
let this be B. The integral taken through those parts of the intervals ¢
which are not in the cz, is not greater than B(Zt— 27) or is
< BUI + ¢,+¢,—I/,); B cannot increase as y is diminished.
It now remains to consider the integral taken through the intervals 7;
since Rx, y) or s(r)— s(x, y) is integrable in (a, , %,), these intervals 7
,
nnm
On the integration of series. 215
may be divided into a finite number of sub-intervals such that the sum
of those sub-intervals in which the fluctuation of R is > an assigned
number, is as small as we please. It thus appears that the intervals 7
can be further sub-divided so that Lz — Le + Le’, where z are inter-
vals in which the fluctuation of A for a fixed y, is >a, and the 7’ are
intervals in which the fluctuation is < 4, where 4 is an arbitrarily chosen
number; this ean be done so that Ir is arbitrarily small, Let 4 + 6 < A,
then | Rix, adu through the intervals +, is not greater than BIT.
Of the intervals 7’, some contain points of G,, and others may not do so;
let x be the sum of the latter, then through these intervals the integral
is not greater than xD. For any interval 7’ which contains a point of G,,
| R(x, y)| is everywhere less than o + 4, where y — y,; hence the inte-
eral through these intervals z' is <(r + a)&r’< AXcz'. It has now
been shewn that
| f Rw ; ne < ((— I — &y(A + y) + BUI — I + 4, + &)
+ Br’ + x) + AT"
where A,y,,y are fixed, and €, is arbitrarily small; y is <y, where y,
is the smaller of the numbers y , y.
is
Thus the value of | D R(x , y)dx
< (A + x(L— 1-4 Er") + B— 1L, + 8) + B(Xz +2)
or, since 2c is arbitrarily small,
« (A + nl! — I -4- X2) + B — IL, + es) + Bx
« (A + y)(2l — I) + B(I — I, + sı + Bx.
Now it has been shewn by OsGoop, that y, may be chosen so small
that / — I, < à, where À is arbitrarily small; we have then also, x <A.
The integral is < (A + x)?! + B(2A + ¢,); let 4 < e and choose y so
that xz — —, and y, so that 2bBA<r,, and let the @ intervals be so chosen
1
al
216 E. W. Hobson.
that Be, — s, where p,q, 7, s are positive numbers such that —
p+qg+n+s—e We now see that y, can be found. such that —
if y <4; it has thus been established that the erm =
E 3
|n enn] QE)
* term integration of the series gives the same result as the E 2
of the sum s(r) provided s(x) is integrable through the interval of inte
eration, and also the measure of non-uniform convergence is everywhere |
te
finite in. that interval.
v
bo
—
-
ON SOLUBLE IRREDUCIBLE GROUPS OF LINEAR SUBSTITUTIONS
IN A PRIME NUMBER OF VARIABLES
BY
W. BURNSIDE
of GREENWICH, England.
It is well known that if a transitive permutation group of prime
degree is soluble it must be cyclical or metacyclical; so that if the degree
be p, the order of the group is pr, where r is equal to or is a factor
of p —- 1.
I propose here to consider the corresponding question for an irre-
ducible group of linear substitutions in a prime number of variables; and
in particular to determine the numbers which may be the order of such
a group when it is soluble.
1. A group of linear substitutions in p variables is called irreducible
when it is impossible to find g(-— p) linear functions of the variables which
are transformed among themselves by every operation of the group. It
has recently been shown by Herr Frosenius' that if a group G, of finite
order, is isomorphic (simply or multiply) with an irreducible group of
linear substitutions in p variables, then p must be a factor of the order of 6.
A group of linear substitutions in p symbols, which is of finite order
and ABELIAN, is always completely reducible?; i. e., a set of p independent
! Berliner Sitzungsberichte, 1896, p. 1382.
* I am not aware whether a separate proof of this statement has been published;
but it is contained as a special case in Herr FROBENIUS’S investigations in the Berliner
Silxungsberichie on the representation of a group by means of linear substitutions.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 5 janvier 1903. JN
218 W. Burnside.
linear functions of the variables can always be found each of which is
changed into a multiple of itself by every operation of the group.
If an irreducible group @ in p variables, where p is a prime, has a
self-conjugate subgroup H, then H must be either irreducible or ABELIAN.
In fact, if H is reducible, new variables may be chosen which are trans-
formed among themselves in sets of 5»;,9-,,..., n, by H, where
oc Ny EE SIL.
Since / is a self-conjugate subgroup of G, every operation of G must
replace the variables of one of these sets by linear functions either of them-
selves or of the variables of another set; and since G is irreducible, it must
contain operations replacing the variables of any one set by linear functions
of those of any other set. Hence n,,n,...,n, must all be equal, and since
p is prime they are all therefore unity; in other words H must be ABELIAN.
2. Suppose now that G is a soluble irreducible group in p variables,
where p is a prime. Let J denote the self-conjugate subgroup of G which
is constituted of its self-conjugate operations. Every operation of J re-
places each variable by the same multiple of itself; and J is therefore
necessarily cyclical. If n is its order, any one of its operations may be
represented by
(wz, , we, -.. y ©,)
where & is an n™ root of unity.
Let J be the greatest sell-conjugate ABELIAN subgroup of G, so that
J contains /, and suppose first that J contains operations which do not
belong to I. Choose new variables so that J is represented as completely
reduced, and let
be any operation of J, which does not belong to J; so that &,, &,, ..., &
are roots of unity which are not all the same. If, for every operation of J,
while ¢,,,(s — 1,2,...p — r) is not equal to e, for every operation, then
every operation of @ must either transform 2,,2,,...,2, linearly among
themselves, or must change them into linear functions of another distinet
On soluble irreducible groups of linear substitutions in a prime number of variables. 219
set of r z's. Since p is a prime and @ is irreducible, this is impossible
if r is greater than unity. Hence no two e's are the same for every
operation of J. There is therefore no linear functions of the z's, except
the p z's themselves, which is changed into a multiple of itself by every
operation of J. Every operation of G must therefore permute the z's
among themselves, at the same time multiplying them by certain constant
factors. If S and T7 are two operations of G which, apart from these
factors, give the same permutation of the z's, then $7'' replaces each z
by a multiple of itself and therefore belongs to J. Hence the factor
a
eroup G is simply isomorphic with a permutation group of the p z's.
Since G is irreducible this permutation group must be transitive; and since
G is soluble the permutation group must be soluble. It is therefore a
cyclical or a metacyclical group of degree p. If the order of J be m,
the order of G is prm, while r is equal to or is a factor of p— t.
Also, if G is transformed so that J shall be completely reduced,
every operation of G is of the form
a! —
9j — WiKai4s,
(i AE ME e)
where the «'s are roots of unity, and the suffixes are reduced, mod. p.
A group of linear substitutions in which every operation replaces each
symbol by a multiple of itself or of another symbol, I call a permutation
group with factors. The result of the present section then is that when
I is not the greatest self-conjugate ABELIAN subgroup of @, it is possible to
represent G as a cyclical or metacyclical permutation group with factors.
3. It remains to consider the case in which the group J, formed of
the self-conjugate operations of G, is the greatest ABELIAN self-conjugate
subgroup contained in @. Of the self-conjugate subgroups of G which
contain J, let H be one whose order is as small as possible. The order
of H I is then a power of a prime. Since by supposition // is not
ABELIAN, it must be irreducible. The order of H J being a power of a
prime, it must have self-conjugate operations other than identity. Hence
H must have an Ape tan self-conjugate subgroup containing and of greater
order than J. Let J be the subgroup of greatest order of this kind con-
tained in H. "Phe operations of J cannot all multiply each z by the same
220 W. Burnside.
factor, for they would then all be self-conjugate in @. Hence the operations
of J are not all self-conjugate in /7; and therefore H is an actual sub-
group of, and is not identical with, 6.
Since H is irreducible and has an Asenıan self-conjugate subgroup J,
whose operations are not all self-conjugate, it can be represented as a cyclical
or metacyclical permutation group with factors; and since the order of H 1
is the power of a prime, that of /7 |J, which is at once a factor of p(p — 1)
and of the order of H 7, must be p. Hence H can be represented as a
cyclical permutation group with factors.
Now G can certainly not be so represented. For in such a group
the totality of the operations which replace each symbol by a multiple of
itself constitute an Aprrıan self-conjugate subgroup; and if every one of
these operations replaces each symbol by the same multiple of itself, 6
would not be irreducible. Hence since H, which is a self-conjugate sub-
group of G, can be represented as a permutation group with factors while
G cannot, it must be possible to represent H in more than one way as
such a group.
Let (ei ERNEST MEET)
represent any operation P of J which does not belong to /, so that
$,,8,,..., €, are roots of unity which are not all equal to each other.
Further let
(0124, le Pay ces ec),
be an operation S of //, not belonging to J. It may be assumed without
loss of generality that 4, , 4 ,...,4, , are all unity; for this is equivalent
to taking 2,,09,7,,0,052,, ... as variables in the place of 23,,%,%,:..;
and does not affect the form of the operations of J. The operation S
may therefore be written in the form
Let
be one of a second set of p linear funetions of the z's which are permuted
among themselves with factors by //. When the operation 7 is carried
out on the z's, € becomes
,
On soluble irreducible groups of linear substitutions in a prime number of variables. 221
and this is not a multiple of ¢. Hence when all the operations of J are
“arried out on the variables the number of distinct linear functions which
arise from ¢, no one of which is a multiple of any other, is equal to the
order of J J. This is a power of p in any case, and must be equal to
p M, as supposed, // can be represented as a permutation group with factors
in the £'s.
Since the order of J J is p, the p" power of P must belong to /.
Hence P must be of the form
Tug, -— Ads ZU ds
(e1a^ta, , ea Gant ces enel" A),
where 4 is a p" root of unity.
Further PS PS must for the same reason belong to /, and there-
fore d,,, — «; is independent of ;. The operation P is therefore of the
form
ed cie 20 2 Aha)
(E70, , 6102, era 8e. . er 2).
The p linear functions that arise from ¢ by the operations of J are
therefore
BON AD U)
( N)
These must be permuted among themselves with factors by 5S. They are
also permuted by 7; and therefore it must be possible to determine m so
that SP” changes one of the 7s, and therefore all of them, into a multiple
of itself. The conditions that 7 may be changed into a multiple of itself
by SP" are
gm . a Bp Qum lii „m
—m 7 We ry = ame |
Pa Ps Pp—1 Pp
When m is assigned these equations determine the ratios of the #s
uniquely, and give
—mi(i—1)
2
= a” TUA
222 W. Burnside.
Henee if
iz DS itl) dort
= Lii 2 E P^
2i — 2 7j Si412)
i-0
each of the p sets of p linear functions
= ^ 5
*m,0» >m,1y “°°: *m,p—l»
(M=0,1,...,9—1)
is such that // can be represented as a permutation group with factors in
terms of them. Further, these and the 2’s themselves are the only sets
of linear functions of the z's in respect of which 77 can be so represented.
There are therefore just p + 1 sets of linear functions in terms of which
H can be represented as a permutation group with factors.
Since the j" powers of both S and P belong to J, the factor group
H I is a non-eycheal group of order p'. H has therefore p + 1 self-
conjugate ABELIAN subgroups of index p containing J; and the p + 1 sets
of linear functions give the variables in terms of which each of these
subgroups can be represented in completely reduced form.
4. ‘To every operation of G there corresponds an isomorphism of H,
and therefore also of H I. The totality of the operations of G, which
give the identical isomorphism of // J, constitute a self-conjugate subgroup
K of G; and I have shown elsewhere! that the order of AK H is a power
of p. But J is a self-conjugate subgroup of A, and from § 2 it follows
that the order of K J is equal to or is a factor of p(p — 1). More-
over the order of H J has been shewn to be p. Hence A must be
identical with //, and therefore the only operations of @ which give
the identical isomorphism of H J are those of 7. The factor group G H
is therefore simply isomorphic with a (soluble) subgroup of the group of
isomorphisms of a non-cyclical ABELIAN group, order p’. Moreover this
group of isomorphisms can leave no subgroup of order p of the ABELIAN
group, order p°, invariant; for if it did, // would have a subgroup of
index p, containing /, and self-conjugate in 6G, which is not the case.
Hence the group of isomorphisms, with which 6 H is simply isomorphie,
must contain at least one operation which permutes the p + 1 subgroups
' Theory of Groups of finite order (Cambridge), p. 253.
| CE
On soluble irreducible groups of linear snbstitutions in a prime number of variables. 223
of order p of the ABëLiaN group, order jp", regularly. Now the operations
of the group of isomorphisms of a non-eyelical ABELIAN group of order p’,
may be divided into sets which (1) permute the p + 1 subgroups of order
p regularly, (11) leave one such subgroup invariant and permute the remaining
p cyclically, (rr) leave every operation of one subgroup invariant, change
every operation of a second subgroup into a power of itself and permute
the remaining subgroups cyclically; and (rv) change every operation into
its Z2" (r—1,2,...,9 — I) power.
GiynsTER' s! discussion of the modular group shows that no group
containing operations from sets (1) and (11) can be soluble. Hence, since
G H contains operations belonging to (1), it can have none belonging to
(11). Suppose now that G has an operation A, given by
Pp
,
i 22,2, (i=1,2,...,P)
which gives rise to an isomorphism of H J belonging to (m). We may
then suppose that
APA. PER,
ABA Sh,
where À and R belong to /. The resulting conditions for the coefficients
in A are found to be
a, (a^? — ka’) = o,
a, ; lai 443 AO
where & and / are the same for all ;/s and 7's. These conditions are in-
consistent, unless x is unity; in which case the isomorphism is the identical
isomorphism. Again if A gives rise to an isomorphism belonging to set (1v),
we have
Agee A p
ADO STR.
and the resulting conditions for the a,,'s are
a,,(a' — ka’) = o,
lage =O.
' Math. Ann. Vol. XVIII, pp. 319—365.
DO
bo
=
W. Burnside.
These again are inconsistent unless r' — 1, mod. p. Hence @ H con-
tains no operation of set (rr) and the only operation it can contain of
set (rv) is the one which replaces every operation by its inverse. Finally
therefore every operation of G H must either permute the p+ 1 subgroups
of order p regularly, or must leave them all invariant; and the subgroup of
G H which leaves them all invariant consists either of the identical
operation only or is of order two. The order of G H is therefore a factor
of 2(p-- 1). The order of G itself is then p’sn, where s is a factor of
2(p+ 1) and » is the order of the subgroup constituted by the self-
conjugate operations of 6G. It should be noticed that n is necessarily
divisible by p, since P^ S PS, which multiplies each z by a, belongs to J.
5. (Summary). Soluble irreducible groups of linear substitutions in
a prime number of variables may, from the preceding investigation, be
divided into two classes according as they do or do not contain self-
conjugate ABELIAN subgroups other than that formed of their self-conjugate
operations.
Those of the first class are multiply isomorphic with a cyclical or
metacyclical permutation group of prime degree in respect of the self-
conjugate ABELIAN subgroup of greatest order which they contain. The
order of such a group is prm, where p is the number of variables, r a
factor of p— 1 and m the order of the greatest self-conjugate ABELIAN
subgroup. It can be represented as a cyclical or metacyclical permutation
group with factors. A group with no self-conjugate operations, except
identity, necessarily belongs to this class.
Those of the second class are multiply isomorphic, in respect of the
subgroup formed of their self-conjugate operations, with a soluble subgroup
of the holomorph of a non-eyelical ABELIAN group, order p°. The order
of such a group is p's&; where p is the number of variables, s a factor
of 2(p<+ 1), and » (which must be divisible by p) is the order of the
subgroup formed of the self-conjugate operations. Such a group cannot
be represented as a permutation group with factors.
bo
ou
UBER ABEL’S SUMMATION ENDLICHER DIFFERENZENREIHEN.
VON
HEINRICH WEBER
in STRASSBURG.
In der Abhandlung L'intégrale finie Z"e(x) exprimée par une inté-
grale définie simple (Bd II, N° VII der Horueor'schen Ausgabe von
AnEL'*s Werken, Bd I, 8. 34 der neuen Ausgabe) giebt ABEL einen häufig
angewandten sehr eleganten Ausdruck für das Integral einer Differenzen-
gleichung. Er benutzt bei der Ableitung dieser Formel gewisse bestimmte
Integrale über reelle Variable. Aber schon die äussere Form des Resultates
weisst uns auf die Integration über complexe Variable hin, und in der
That erhält man auf diesem Wege die Anrr'sche Formel fast unmittelbar.
Dieser Weg soll hier eingeschlagen und dann noch einige Anwendungen
des Resultates hinzugefügt werden.
ih
Die Aufgabe, um die es sich handelt, lässt sich so aussprechen:
Es soll eine Function f(x) der Variablen x gefunden werden, die, wenn
g(x) eine gegebene Function derselben Variablen ist, der Gleichung
(1) f(a + 1) — fix) = g(a)
genügt.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 8 janvier 1908 29
n2
19
=>
Heinrich Weber.
Wenn man z durch © +1,02 4-2,..., z-4- n — 1 ersetzt und dann
die Summe aller so gebildeten Gleichungen nimmt, so erhält man aus (1)
n—1
(2) f(x + n) — f(x) = Z g(a +»).
Jede der Bedingung (1) genügende Function f(x) heisst ein Integral
der Differenzengleichung (1). Ist f(x) ein solches Integral, und P(x) eine
willkürliche periodische Function mit der Periode 1, so ist fix) + P(x)
das allgemeinste Integral dieser Gleichung.
Mit Hilfe des Cavcnv'sehen Satzes über die Integration auf einem
geschlossenen Wege lässt sich nun ein solches Integral f(x) leicht bilden.
Man markire in der Ebene einer complexen Variablen z den Punkt,
der dem Werthe x, der auch complex sein kann, entspricht, und die
Punkte +1,x+2,t+3,..., die alle auf einer zur reellen Axe
parallelen Geraden liegen, die ich die Linie X nennen will. Durch diese
Linie X wird die Ebene z in zwei Halbebenen getheilt, die ich die nega-
tive und die positive nennen will, jenachdem sie die negativ oder die
positiv unendlichen imaginären Werthe von z enthält.
Nun kann man auf folgende Weise ein Integral f(x) bilden: Man
nehme einen Punkt « auf der negativen, einen Punkt ) auf der positiven
Seite von X an, und verbinde diese beiden Punkte durch irgend einen
Weg, der die Linie X in einem Punkt c schneidet, der zwischen x und
T — 1 liegt. Dann ist
b
T " e(z)dz
Man erhält daraus /(x + 1) wenn man denselben Integranden auf einem
anderen Weg nimmt, der die Linie X in einem zwischen x und x + 1 ge-
legenen Punkt c' schneidet, und für f(r + 1) — f(x) erhält man dann ein
Integral, über einen geschlossenen. Weg, der von den Polen des Integranden
nur den einen, «, umschliesst, das also nach dem Cauvcny'schen Satze den
Werth @(x) hat, vorausgesetzt natürlich, dass man sich auf ein Gebiet
der z-Ebene beschränkt, in dem e(x) stetig ist.
Wenn man in der Formel (3) die Punkte a,b verändert, ohne sie
die Linie X überschreiten. zu lassen, so ündert sich die Function (3) nur
um eine periodische Function P(x),
bo
19
-1
Über Abel's Summation endlicher Differenzenreihen.
LE
Von dem gewonnenen hesultat soll zunüchst eine Anwendung auf die
Bestimmung der Gauss’schen Summen aus der Kreistheilungstheorie gemacht
werden, die sich daraus in sehr einfacher Weise ableiten lässt.
Wenn es die Convergenz des Integrals gestattet, so kónnen wir in (3)
die Grenzen a und b nach der negativen und positiven Seite ins Unend-
liche hinaus rücken lassen, und erhalten
Ti
LI LN 2
viec uam. o(z)dz
(4) Ie) | p eres?
;
—in
worin der Integrationsweg immer noch zwischen den Punkten # und x — 1
hindurehgehen muss, während z, mit endlichem reellem Theil nach der
Seite des positiven und negativen Imaginiiren ins Unendliche geht. Für
^ be] >
f(x + 1) erhält man dieselbe Form, nur dass der Integrationsweg zwischen
æ und x + 1 hindurchgeht.
Macht man in dem Integral für f(x) die Substitution
5
£—2--—i
und in dem für f(x + 1) die Substitution
so erhült man
+»
Aa pe eg f wees
et — grt )
—n
wobei aber die Integration nach ¢ nicht auf reellem Wege genommen
werden darf, weil sie sonst über den Pol ¢ = o führen würde, sondern
sie geht über eine Linie in der /-Ebene, die mit endlichem imaginärem
228 Heinrich Weber.
Theil von negativ unendlichen zu positiv unendlichen reellen Werthen
führt, und dabei dem Nullpunkt nach der Seite der positiv imaginären
Werthe ausweicht.
Nun ist aber nach (1)
2f(«) = f(x) + f(x + 1) — ¢(x),
und man erhält also aus (4):
+ o0
(5) fi) = — jte) +5 | 5598322 N,
Cy,
—
und da hierin der Punkt / — o nicht mehr Pol des Integranden
ist, so
darf die Integration jetzt auf reellem Wege von — co nach + co gehen.
Die Anwendung von (2) ergiebt, wenn » eine ganze Zahl ist:
(6) X e(») = —(e(n) — e(0)
7
+
Setzen wir hierin
—xiz*
g(z) =e",
so folet unter der Voraussetzung dass n eine gerade Zahl ist:
5 >
n—1 —riv? +a zit?
2 — —i f e" dt,
und durch die Substitution von nt für ¢:
n—1 —riv? + 0
í ee a rit?
(7) Ze in f e" dt,
worin v» positiv zu nehmen ist.
Um das Integral, was hier noch steht, zu bestimmen, brauchen wir
nur n= 2 zu nehmen, und erhalten
+ .
if edt = pom
Über Abel's Summation endlicher Differenzenreihen. 229
woraus sich also
D E phe MET
(8) Ze” —— Ven
ergiebt.
Aus diesem speciellen Fall lässt sich der allgemeine Fall der @auss’schen
2hzi ,
Summe e
NM. der s ein volles Restsystem nach dem Modul » durch-
läuft und » eine beliebige gerade oder ungerade Zahl ist, wie Dinrenrkr
gezeigt hat, durch elementare Hilfsmittel ableiten (Drricuzer's Werke,
Bd I, S. 477, Drucuzer-DepekiNp, Vorlesungen über Zahlentheorie, Supple-
ment I). Zu bemerken ist noch, dass sich schon Kronecker der Integra-
tion auf complexem Wege bedient hat, um den Werth der Gauss’schen
Summe zu ermitteln (Crelle's Journal, Bd 105, S. 167).
LEE.
Der Ubergane zu unendlichen Grenzen, von dem im Vorhergehenden
Gebrauch gemacht ist, ist in der Formel (3) nur unter ganz besonderen
Voraussetzungen über die Function ¢(x) gestattet, die in dem vorigen
Beispiel erfüllt sind. Zu einer viel allgemeineren Anwendbarkeit dieses
Verfahrens gelangt man aber durch eine kleine Umformung.
Ist wie früher ¢ der Durchschnittspunkt des Integrationsweges mit
der Linie X, so kónnen wir den Ausdruck (3) so zerlegen:
c
ae : 4 __g(z)dz o(x)dz
f(a ) = | g(z)dz 3d | I UM -z) 5r N, 1 — e?riz—2) ?
a
und wir ändern nun f(x) nur um eine additive Constante, wenn wir in
dem ersten dieser drei Integrale die untere Grenze a durch einen beliebigen
anderen festen Werth ersetzen. Dann können wir in den beiden anderen
Integralen @ nach — ico, b nach + ico wachsen lassen, selbst dann noch
wenn die Function c(z) mit unendlich wachsendem 2 wie irgend eine
Potenz von z unendlich wird. Wir erhalten dann, wenn wir in dem ersten
230 Heinrich Weber.
Integral die untere Grenze, als ganz beliebig, in der Bezeichnung weg-
lassen:
€ c
ede M e (2)de E
(2) = E (2)dz - ie pe) T er LL Zr) ?
LA e
—in
oder wenn wir im zweiten und dritten Integral 2 — x = — it und z — x
— if substituieren:
c E
(9) fiiy fein — | Pes jf gr + id
err T grt
i(c—x) —i(c—x) '
Um /i(x-- 1) zu erhalten, haben wir den Punkt c durch den Punkt €’ zu
ersetzen, der zwischen x und z + 1 liegt. Es hindert uns aber nichts,
€— $ — $ —c€ d. h. c und c' gleich weit von « entfernt anzunehmen.
Dadurch ergiebt sich
e 2 %
(10) fix + 1) = | o(z)dz — à f ? un es 2 ADU
—i(c—z) i(c—x)
c
und wenn man wieder f(x + 1) + f(x) = 2f(x) + e(«) setzt, so ergiebt sich
2f(v) = — e(c) + f eic 2)da Te (z)dz
o( t)— o(a—it Nee t
"e TER = Dai f: e(x na es “i at
e) —i(c—z)
und hierin kann man nun, da / = o wieder kein Pol der Integranden ist,
c und folglich auch €’ mit x zusammenfallen lassen. So erhält man
X i h NE le
(11) f(x) = — 5 g(x) E | g(x)du +i ps nae ibas PE cnt Ur
I — ert
LA LA
0
Dies ist die von ApEL gegebene Formel. Von ihren zahlreichen An-
wendungen sollen nur einige hier angeführt werden.
Über Abel's Summation endlicher Differenzenreiben. 231
Macht man die Annahme ¢(#) = e", so wird nach (2)
one
vx © I
f (ac EE n) — f(a) Lu 2 +
und aus (11) folet:
k sin vidé _1e+1 ns
e —1 4e—1 2»v'
0
Dieses von Caucuy auf anderem Wege abgeleitete Integral ist für Aner
der Ausgangspunkt des Beweises.
Die Entwicklung nach dem Tayror’schen Lehrsatz ergiebt:
\ x . c Qn—1) 2n—1
ie (v + it) — e(a — it) — 2% (— Js re
II(n—1)
worin 2 die Reihe der natürlichen Zahlen 1,2,3,4,... durchläuft
Wenn man also noch
5
T2) [ QR gp p
7 nam 77
Je le An
u
setzt, so folgt aus (11)
c On (x)
Y y I » » a n—1]» 7
(13) fix) = —;e£(x) +f ¢(x)dz + Y. ı) 58 Te
£ (2n)
Diese Reihe ist freilich im allgemeinen divergent, da die Bernowill? schen
Zahlen B,, für die man aus (12) auch den Ausdruck
__ 2IT(2n) Y I
n (2zy" ms hen
D
Qa
findet, mit unendlich wachsenden 2 wie 2IT (2n)(2z unendlich werden.
Will man also die Reihe (13) benutzen, so muss man sich auf eine end-
liche Anzahl von Gliedern beschränken und den dabei begangenen Fehler
abschätzen, was für jede Function ç(x) besonders geschehen muss.
In dem besonderen Fall aber, wenn g(x) eine ganze rationale Function
von æ ist, ist die Formel (13) genau richtig, denn die Reihe bricht dann,
wenn der Grad von g(x) ist, ab, sobald 2n — 1 > m wird.
232 Heinrich Weber.
Setzt man g(a) = x", so ergiebt sich aus (11) und (13) ein Polynom
(m + 1)" Grades S,(x), das nach (2) für ein ganzzahliges x den Werth
Sa) 1% Fame en. rai =)" Seo)
darstellt :
n
I qnl é E (a + it)" zat (a — it)”
(14) S,(r)— —= a" + — + 4 | —————_____—_ dt
4 Dm 2 ie: I — e^t
*
0
I am 4-1 M (mn)
— ea + NECS ge SE = ye Isi B ann
2 m +I H(2n)[ (wo —2n +1) " :
worin die Summe so weit fortzusetzen ist, als m —- 2n + 1 nicht negativ
wird. Es ist daher
S,(o) =o für ein gerades m
(15) S,(0) —:—— B,,, für ein ungerades mk.
€
Aus der Formel
Er (x == 1) Pa S (a) = mpm
ergiebt sich, wenn man x = o setzt, S,(1) = S,(o) und folglich aus (14)
Pe
^ II (on I I
| 16) > ‘= Lei ) T "uS 5 DORE a
"x IT (2n) IL (m — 2n + 1) 245 Mise I
worin aber die Summe nur so weit auszudehnen ist, als m — 2n + 1
positiv bleibt, also im Falle eines ungerades m das Glied 22» = m + 1
weezulassen ist.
Hieraus ergeben sich, wenn man m = 2» oder = 2» + 1 annimmt,
für jedes » zwei lineare. Relationen zwischen den Bernourui'schen Zahlen
Bis Dur tte
aus denen man diese Zahlen successive berechnen. kann, und zwar jedes-
mal zwei neue aus den schon gefundenen. Beispielsweise für m — 4 und
m= 5:
2B, Pa = 3 D, — D, = E
10" 15’
Über Abel's Summation endlicher Differenzenreihen. 233
woraus man erhält:
I I
Biz, Be
Wenn man in der Formel (13) e(x) = log x setzt, so erhält man die
SrIRLING'sche Reihe .
JH [ (2) = I or d , or — -— Es Bs re
(17) log Ma) = — zlog,_ + v(log à +> ( I) 2n(2n — 1) gi:
worin die additive periodische Function aus dem Verhalten von /(7) im
Unendlichen bestimmt wird.
Eine allgemeinere Entwicklung erhält man aus (11), wenn man
g(x) = log (x + c) setzt, worin c eine willkürliche Constante bedeutet,
und dann nach fallenden Potenzen von x entwickelt.
Man erhält so zunächst
f(x) = — log (r + c) + (x + cy (log (a + c) — 1)
men | 2 ((e + it)" — (e — ity")
— NX"
0
und dies giebt nach (14)
Arp — — jlog (r + c) + (v + c\(log (vr + €) — 1)
—Y TT (8.0) +5 —
— ne"
enl
n +1/
Wenn man aber noch log (x + c) nach fallenden Potenzen von x entwickelt
und ein additive Constante aus x = oo bestimmt, so folet endlich:
(18) log {x + c) = — log UE + (© + ¢) log x — x — NS (>i? S, (c).
27 — nz"
Die Abschätzung des Restes dieser Entwicklung, wenn man bei irgend
einem Gliede abbricht, ist von Hermirr gegeben (Crelle's Journal,
Bd. 1 15).
Strassburg, Weihnachten 1901.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 10 janvier 1903. 30
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13) amen! m dien OF dw. duisiadda
ra dime alm close Zhu cic E. "lw E
haweıl i»! kin
damineal Walls
in ne " icu ege ‘tune HAT JT
2 (091 nii
-
n I Dy, mts '
"TTE UE CLOS
ÜBER DIE MODULN DER THETAFUNCTIONEN
VON
F. SCHOTTKY
in MARBURG.
Die Anrr'sehen Functionen von p Variabeln, welehe durch die Theta-
functionen definirt werden, hängen ausser von den Variabeln ab von
1 — d
;0(9 +1) Parametern, den Periodicitätsmoduln. Die Aper’schen Func-
tionen der RrEMANN'sechen "Theorie enthalten nur 39 — 3 wesentliche Para-
meter. Sie sind demnach, sobald o den Werth 3 übersteigt, specieller
Natur, und damit der Rırmann’sche Fall eintritt, müssen zwischen den
Periodieitätsmoduln eine Anzahl von Gleichungen stattfinden.
Für o — 4 besteht eine solche Relation. Diese habe ich in einer
früheren Arbeit aufgestellt (CnELLE's Journal, Bd. 102). Auf einem andern
Wege ist Herr PorNcAnÉ zu ihr gelangt (Journal de Math., (5) D, so-
dass für die merkwürdige Formel zwei Beweise vorliegen. — Es ist natür-
lich eine transeendente Relation zwischen den 10 Periodicitiitsmoduln, aber
sie erscheint als algebraische Gleichung zwischen den Anfangswerthen von
24 geraden Thetafunctionen. Da diese 24 Functionen auf sehr ver-
schiedene Arten gewählt werden können, so ist damit ein System von sehr
vielen Gleichungen zwischen den Anfangswerthen der geraden Theta ge-
geben, charakteristisch für den Riemany’schen Fall der ApEr'schen Func-
tionen von vier Variabeln.
Zunächst erwartete ich, nach der Analogie der Fälle p — 2 und p= 3,
dass sich dieses Gleichungssystem würde auflósen lassen, dass sich für die
einzelnen Moduln algebraische Ausdrücke aufstellen lassen würden, die das
System identiseh befriedigen. Diese Erwartung wurde nicht ohne weiteres
Acta mathematia, 27. Imprimé le 10 janvier 1903.
236 F. Schottky.
erfüllt, Um das Problem nicht ungelóst zulassen, war ich genóthigt, die
Anzahl der unbestimmten Gróssen zu vermehren, und nicht nur jedem ge-
raden 6,, eine bestimmte Constante c, zuzuordnen — das Anfangsglied in
der Entwiekelung von 6, nach homogenen Functionen der Variabeln —,
sondern ebenso auch jedem ungeraden Theta eine Constante w,. Diese
Constante w, ist gleichfalls das Anfangsglied in der Entwickelung der un-
geraden Function 6,, aber es ist der Werth dieser linearen Function für
specielle Werthe der vier Variabeln. Diese vier Werthe lassen sich so
wählen, dass zwischen den c einerseits und den « andrerseits ein Gleichungs-
system besteht, scheinbar complicirter als das, welches die c allein unter
sich verbindet, für das sich aber eine algebraische Lösung ungezwungen
darbietet. Allerdings werden die # und die c nicht durch unabhängige
Hülfsgrössen ausgedrückt, aber sie werden in Verbindung gesetzt mit einem
System von zehn Punkten im Raume, die durch eine geometriseh über-
sichtliche Bedingung verknüpft sind.
Es zeigen sich bei diesen Betrachtungen so viele Analogien mit den
AnEL'schen Functionen von zwei und drei Variabeln, sogar mit den ellip-
tischen, dass ieh es für richtig halte, die ganze Untersuchung im vollen
Zusammenhange mit den Theorien der Functionen von weniger als vier
Variabeln zu führen, auch wenn ich dadurch vielfach auf bekanntes Gebiet
komme.
D
uf.
Für das System der geraden und ungeraden Theta, die einer Klasse
Apev’scher Functionen zugeordnet sind, ist charakteristisch, dass in den
Hälften der Perioden zugleich eine Gruppe von Permutationen der Grössen
des Systems gegeben ist. Vermehrt man das Argument # — ich verstehe
darunter das System der o Variabeln — um eine ganze Periode 2@, so
geht jede Thetafunction in sich selbst über, multiplieirt mit einem Ex-
ponentialfaetor. Vermehrt man aber # nur eine halbe Periode ©, so entsteht
eine Permutation. Da bei einer Addition mehrerer halben Perioden die Rei.
henfolge gleichgültig ist, da ferner die Addition zweier gleichen halben Pe-
rioden eine ganze Periode hervorbringt, so ist auch bei der Zusammensetzung
der Permutationen die Reihenfolge gleichgültig, und die Wiederholung der-
selben Permutation führt zur ursprünglichen Gruppirung zurück.
Über die Moduln der Thetafunctionen. 297
Wir müssen mit diesen Permutationen so rechnen, als ob es (Grössen
wären. Die Grundgesetze sind sehr einfach. Es ist xA= Az, ferner xz = 0,
wenn mit dem Symbol o bezeichnet wird, dass keine Anderung eintritt.
Ist xàg = 0, so ist x = Au, À — xp, ete. Wenn wir die Permutation »0»
mit einrechnen, so ist die Anzahl der Permutationen ebenso gross, wie
die der Theta.
Nun findet aber eine Complication statt, die daher rührt, dass die
Thetafunctionen theils gerade theils ungerade sind. Es werde, wenn z
das Zeichen für eine beliebige Permutation, und 6, irgend eins der 4^
Theta ist, mit 6,, dasjenige Theta bezeichnet, das aus 6, durch die Per-
mutation x hervorgeht. Der Quotient
ist dann eine gerade oder ungerade Function von u, aber keine ABEL'sche
Function der Klasse — abgesehen natürlich von dem Falle x — o. Da-
gegen gehört, wenn À eine neue Permutation bedeutet, und man
gia
Oar
SY f
bildet, der Quotient beider f:
REA NICO
zu den Functionen der Klasse. Ob diese Anrr'sche Function c, gerade
oder ungerade ist, hängt ab von den beiden Permutationen x, À, aber nicht
von der gewählten Function @,. Denn bildet man ebenso:
so entspringt ¢; aus c, durch Vermehrung des Arguments um eine halbe
Periode. Es geht aber offenbar durch Vermehrung von # um eine halbe
Periode eine gerade Function wieder in eine gerade über, und eine un-
gerade in eine ungerade.
Zwei Permutationen können sich demnach verschieden zu einander
verhalten; wir führen das Zeichen
(x, a) = (A, x)
238 F. Schottky.
ein, welehes + 1 oder — 1 sein soll, jenachdem die oben gebildeten
Quotienten ¢,,¢; gerade oder ungerade Functionen sind, und nennen im
ersten Falle, mit Frobenius, die Permutationen x, À syzygetisch, im andern
azygetisch.
Das Zeichen (x, 4) entscheidet noch eine andre Frage. Es sei c die
halbe Periode, die der Permutation A entspricht. Es ist dann, bis auf
einen constanten Faktor, f, mit f,(4 + e) identisch. Aus der Gleichung
e,(— wu) = (x, A)e.(%)
folet demnach:
fa(— u) = je fa(u) —
fat— w + ov) OU failure a)
Da andrerseits offenbar
fol—) shui)
ccu + w) he (at — e)
ist, so ergiebt sich:
f,(u + 20) = (x, Af. (u).
Dies sagt aus: Bei der Vermehrung um eine ganze Periode bleibt der
Quotient
Dex
0,
ungeündert oder er wechselt sein Zeichen, je nachdem die Hälfte dieser
ganzen Periode, oder die entsprechende Permutation, sich syzygetisch oder
azygetisch zur Permutation x verhält. Hieraus ziehen wir zwei Folgerungen:
Erstens dass, wenn x, A, drei Permutationen sind,
(x, p)(A, p) = (xà, p)
ist. Wir kónnen hinzufügen, dass auch
(x, A)(x, pu) = (x, Au)
*
ist, da ja (2,4) mit (A, x) identisch ist. Allgemein, wenn @, w’ irgend-
welehe Combinationen gegebener Permutationen sind, ist:
Du
lo, w') II (x, x’),
Über die Moduln der Thetafunctionen. 239
wobei sich das Product erstreckt über alle Elemente z von w und z' von w’.
Ferner ist offenbar stets
[oa es DELE! Y
wenn oO wieder das Zeichen für die identische Permutation bedeutet.
Eine zweite Folgerung ist die, dass die identische Permutation o die
einzige ist, die sich zu allen andern syzygetisch verhält. Denn ist x von
O verschieden, so ist der Quotient f, keine ABEr'sche Function der Klasse
und es muss daher ganze Perioden geben, die f, in — f, überführen.
Es seien x,, x,, ..., x, die Zeichen für eine Reihe von Permutationen
oder halben Perioden. lügen wir zu dieser Reihe noch alle aus ihnen
combinirten Permutationen hinzu: x,x,, x,x,, x,*,x, ete., und ausserdem,
ter
als Combination o'* Ordnung, die Permutation o oder die ganze Periode,
so erhalten wir eine Gruppe. Die gegebene Reihe z,, x,, ..
abhüngig heissen, wenn die 2" Combinationen lauter verschiedene Permu-
., X, Soll un-
tationen darstellen; x ist dann die Ordnung der Gruppe, und z,, x,, ..., x,
eine Basis.
Wir kónnen so für die ganze Gruppe der 4^ Permutationen eine Basis
aufstellen. Wenn wir dann eine beliebige Permutation © nehmen, und
das Verhalten von © zu den Elementen der Basis feststellen durch die
Werthe der 20 Vorzeichen
(en , x) m (a—1, 2, ..., 2p)
so ist umgekehrt « eindeutig fixirt durch die Angabe dieser 20 Vorzeichen.
Denn wäre «' eine zweite Permutation, die derselben Gleichungen genügt,
so wäre offenbar ww’ syzygetisch zu allen Elementen der Basis und somit
zu allen 4^ Permutationen überhaupt. Dann muss aber nach dem letzten
Satz in § 1 ww’ =o, d.h. @ — © sein. Es folgt hieraus, dass auch
jeder Wahl der 25 Vorzeichen ¢ immer eine und nur eine Permutation c
entsprechen muss.
240 F. Schottky
Nehmen wir jetzt eine unabhängige Reihe, die aus weniger als 29
Elementen besteht:
Lotus (n < 2p).
Wenn wir dann die n Gleichungen aufstellen:
(ORAL — UCM (a=1,2,...,n)
in denen die € beliebig gewählte Vorzeichen bedeuten sollen, so giebt es
genau 27-7" Permutationen, die diesen n Bedingungen genügen. Denn
wenn wir die gegebene Reihe durch Hinzufügung von 20 — » neuen Ele-
menten z,,,,..., X, zu einer Basis des ganzen Systems vervollständigen,
so können wir über die 29 — » hinzutretenden Vorzeichen (c, x,) will-
kürlich verfügen.
Speciell giebt es hiernach genau 2*^" Permutationen, die sich zur
ter
Basis einer gegebenen Gruppe 5/"' Ordnung, und damit zu dieser ganzen
Gruppe G, syzygetisch verhalten. Diese bilden ihrerseits wieder eine Gruppe
@, und offenbar steht @ zu G' in derselben Beziehung, wie G' zu G.
Wenn alle Elemente einer Gruppe G sich gegenseitig syzygetisch ver-
halten, so nennt man sie eine syzygetische oder GóPEr'sehe Gruppe. Da-
zu genügt offenbar, dass die Elemente der Basis sich paarweise syzygetisch
verhalten :
er
Die Ordnung einer solehen Gruppe kann nicht grösser als p sein. Denn
wir haben gesehen: es giebt genau 2°" Permutationen, die zu allen Ele-
menten von G syzygetisch sind. Dazu gehóren aber die Elemente von G
selbst. Folglich ist 2"« 277", d. h. n<p. Wenn n « p ist, so giebt es
Permutationen, die zu allen Elementen von G syzygetisch sind, ohne in
dieser Gruppe selbst enthalten zu sein. Folglich lässt sich jede Görer'sche
ten ten
Gruppe von niedrigerer als der o"" Ordnung zu einer Gruppe von der p
Ordnung ergünzen.
Denken wir uns wieder eine beliebige Reihe von Permutationen: x,,
Hee ves gegeben. Wenn je zwei Glieder dieser Reihe sich syzygetisch
X
"n
verhalten, so entspringt hieraus eine GóPEL'sche Gruppe. Nehmen wir aber
jetzt im Gegentheil an, dass je zwei der Glieder sich azygetisch verhalten:
(x,, %) = — 1 (asp),
dann wollen wir die Reihe eine azygetische nennen. — Wir fügen noch
Über die Moduln der Thetafunctionen. 241
eine Definition hinzu. Wenn durch die Zusammensetzung der einzelnen
Permutationen z,, x,,...,x, die identische Permutation entsteht, also
X,X,... X, — O ist, soll die Reihe eine geschlossene heissen.
Fragen wir uns zunächst, ob eine azygetische Reihe x, , x,, ..., x,
zugleich eine geschlossene sein kann. Dann muss
und deshalb
(us H 22) x (x ) (2a; =] p c (ange ) Ke)
sein. Nun ist aber (x,,x,) = 1, während alle Faktoren der rechten Seite
gleich — 1 sind. Es ergiebt sich also:
CA n—1
I =(—1)",
d. h.: » muss eine ungerade Zahl sein. Umgekehrt ist leicht zu sehen,
dass solche geschlossene Reihen wirklich existiren. Denn nehmen wir an
dass eine gerade Zahl von Permutationen: xz, , x,,..., x, , gegeben ist,
die sich gegenseitig azygetisch verhalten. Fügen wir der Reihe hinzu:
X, — X,X,...X,.,, 80 verhält sich offenbar x, azygetisch zu x,, x x
Pipe? 3 Sale
Es sei jetzt x,,x,,..., x, eine geschlossene azygetische Reihe, und
o eine beliebige Permutation. Da z,z,...x, — O ist, so ist
(e , x)(m, x)... (v, x) = 1.
Da » eine ungerade Zahl ist, so kónnen nicht alle Factoren der linken
Seite — 1 sein; es giebt demnach keine Permutation ©, die sich gleich-
zeitig zu %,%,,...,%, azygetisch verhält. Mit andern Worten: Eine
geschlossene azygetische Reihe kann nicht erweitert werden. Es folgt hier-
aus weiter, dass eine nicht geschlossene azygetische Reihe nothwendig un-
abhängige ist. Denn wäre das nieht der Fall, so müsste sich aus einer
Anzahl ihrer Glieder eine geschlossene Reihe bilden lassen, und dies ist
unmöglich, weil eine geschlossene azygetische Reihe nicht erweitert werden
kann.
Eine nicht geschlossene azygetische Reihe kann dagegen stets erweitert
werden. Wenn n= 29 ist, kann allerdings nur noch das Glied
Xoo 4-1 ES X1 X3 ... XI
hinzugefügt werden, wodurch sie zu einer geschlossenen azygetischen Reihe
Acla mathematica. 27. Imprimé Ie 9 janvier 1903.
31
242 F. Schottky.
ergänzt wird. Ist aber » < 29, so giebt es 277" Permutationen o, die
Zu Z,,X,,..., X, azygetisch sind, also mindestens 2, und somit auch sicher
eine, die von z,x,...x, verschieden ist.
Man kann demnach azygetische Reihen aufstellen, die aus 29 Gliedern
bestehen, und die eine Basis bilden für die ganze Gruppe der 4^ Permu-
tationen. Jede solche Reihe lässt sich durch Hinzufügung eines letzten
Gliedes noch zu einer geschlossenen azygetischen Reihe ergänzen. Jede
beliebige Permutation wird dann durch zwei complementäre Combinationen
der Elemente x,, x,, ..., x41 dargestellt.
Denken wir uns wieder eine beliebige unabhängige Reihe x, , x; , ..., X,
gegeben und bilden die Reihe der Thetafunktionen, die aus einer, @,,
durch die Reihe dieser Permutationen hervorgehn:
0, , 8: Je uri Gye,
so gilt zunüchst der Satz: Die Function 6, kann so gewiihlt werden, dass
alle Glieder dieser Reihe gleichartige, d. h. entweder sämmtlich gerade
oder siimmtlich ungerade Functionen sind.
Denn nehmen wir an, die Glieder seien nicht gleichartig. Wir ver-
stehen dann unter e, den Werth + 1 oder — ı, je nachdem die Fune-
tion mit dem Index az, gleichartig oder ungleichartig ist mit 6,, und be-
stimmen eine Permutation w, die den » Bedingungen
(e ; X,) — €, (21,2, ..., 9)
genügt. Alsdann ist der Quotient
(v=1,2,..,V)
Baw aux,
gerade oder ungerade, jenachdem +, gleich + 1 oder — 1 ist. Deshalb
v
muss 6) in jedem Falle denselben Charakter haben wie 6,,.
"mx
v
Ist %,, x,,..., x, eine geschlossene Reihe von Permutationen, und 2
eine ungerade Zahl, so nennen wir auch die Reihe der »-F 1 Funetionen:
8,, Fars +s) Fars
ax, )
eine geschlossene. Sie ist dadureh charakterisirt, dass der Quotient den
wir enthalten, wenn wir die Hälfte dieser Funetionen als Faktoren in den
Zähler, die andere Hälfte in den Nenner aufnehmen, immer eine ABEL'sche
Function der Klasse ist.
Über die Moduln der Thetafunctionen, 243
Die Reihe 9,, 4,,, 8, wird geschlossen durch 6,,,, und ebenso gehórt
zu jeder ungeraden Anzahl von Thetafunctionen ein bestimmtes Theta, das
die Reihe schliesst.
Wir wollen mit 4,;, dasjenige Theta bezeichnen, das die Reihe 6,
0,, 0, schliesst, ebenso mit 0,,;. das Schlussglied zu 6, , 8; , 0.,.0;, 0., etc.
Jede Combination ungerader Ordnung von Theta-Indices bezeichnet auf
diese Weise wieder ein "Theta. Dagegen bezeichnen die geraden Combina-
tionen dieser Indices Permutationen. af ist diejenige Permutation, die 8,
in 0, überführt, afyO die, welche sich aus 42 und r2 zusammensetzt, u. s. f.
Wir sagen ferner: die drei Functionen B, , 0;, 0. verhalten sich syzygetisch
oder azygetiseh, je nachdem die AnEL'sche Function
6, 0;
6, 8,5,
gerade oder ungerade ist, und von einer Anzahl von Funetionen
07187 ON OF eta.
sagen wir, dass sie eine azygetisehe Reihe bilden, wenn je drei Glieder
sich azygetisch verhalten.
Es ist leicht zu sehen, dass, wenn x, À, etc. eine azygetische Reihe
von Permutationen ist, dann
0,,0 0 Hate:
a) ax)
eine azygetische Reihe von Functionen darstellt. Falls die Reihe nicht
geschlossen ist, ist sie auch unabhängig; wir können daher @, so wählen
dass alle diese Functionen denselben Charakter haben. Daraus folgt dass
sich die Thetafunctionen des ganzen Systems in folgender Weise anordnen
lassen: Es kann zuniichst eine azygetische Reihe von 29 + 1 gleichartigen
Theta aufgestellt werden:
Bai Os serials erin ent
Alle übrigen Theta werden dann bezeichnet durch die Combinationen un-
gerader Ordnung der Zahlen 4,2 12318: 20:-: 3-10 Da B, B,, 0, ‘sich
azygetisch verhalten, so ist der Quotient
8:6,
B5 815;
244 F. Schottky.
eine ungerade Function; folglich hat @,,, den enteegengesetzten Charakter
wie 6,, 0,, 0, ete. Alle Funetionen, die dureh dreigliedrige Iudices be-
zeichnet sind, haben demnach unter einander denselben, aber zu denen der
Hauptreihe entgegengesetzten Charakter. Ebenso schliesst man, dass die
Theta mit fiinfgliedrigem Index wieder denselben Charakter haben, wie
die der Hauptreihe, u. s. f. Am gróssten ist die Anzahl der Combina-
tionen von der mittleren Ordnung: p oder p + 1. Diese müssen gerade
Funetionen bezeichnen, da die Anzahl der geraden überwiegt; demnach
sind gerade alle Functionen 6,,, bei denen die Ordnung der Combination
m congruent o oder e + 1 mod.4 ist, ungerade die übrigen.
Die Functionen der Hauptreihe sind gerade, wenn 1 — p oder
— p + 1 mod.4 ist, d. h. für o = o und =1 mod. 4; in den andern
Fällen sind sie ungerade.
Statt der nicht geschlossenen azygetischen Reihe kann man auch die
geschlossene Reihe der Bezeichnung zu Grunde legen, die man erhält,
wenn man der Hauptreihe noch als letztes Glied die Function
06,513 P 0s; op 1
hinzufügt. Jedes Theta wird dann durch zwei complementäre Combina-
tionen der Zahlen ı, 2 20 + 2 bezeichnet. Indess kann hier insofern
hes
eine Unregelmässigkeit eintreten, als 6,,,, nicht nothwendig von derselben
Art ist, wie 6,, 0,,..., 0,,,. Wenn p gerade ist, so haben alle 2p + 2
denselben Charakter, weil dann 29 + 1 = 1 mod.4 ist; wenn aber p un
gerade ist, so ist 6,,,, von entgegengesetzter Art.
Js kann allerdings auch in diesem letzteren Falle die volle Symmetrie
in Bezug auf die Indices 1,2,..., 20 + 2 gewahrt werden, wenn man
eine leichte. Modification der Bezeichnung eintreten lässt. Durch die Reihe
06,, 0,,..., 0,4, ist die Bezeichnung der Permutationen festgelegt; jeder
Permutation entsprechen zwei complementüre Combinationen gerader Ord-
nung der Zahlen 1,2,...,20 +2. Nun bevorzugen wir die Function
B indem wir sie ohne Index lassen, und allen übrigen geben wir den
2p-2»
Index derjenigen Permutation, durch die sie aus @ hervorgehen. Dann
ist leicht zu sehen, dass Combinationen derselben Ordnung auch wieder
Functionen von gleichem Charakter bezeichnen. Nehmen wir z. B. p — 1.
Die geraden elliptischen Theta würden bei dieser Festsetzung zu bezeichnen
Über die Moduln der Thetafunctionen. 245
oder 6,,, 06,, oder 9
12 34? 13
Theta ist. Für o = 3 würden
sein als @ a, ete, während 6 — 6,,,, das ungerade
Dia ler eoe.
in
die 28 ungeraden, 0 und 6,4, — Oy. ete. die geraden Functionen sein.
Die Existenz der gleichartigen azygetischen Reihen war schon Riemann
bekannt. Es ist noch ein Punkt zu besprechen, der für unsere algebraische
Untersuchung von grosser Wichtigkeit ist, und auf den Norruer und Fro-
BENIUS aufmerksam gemacht haben. Nehmen wir eine Görer'sche Gruppe
@, und bilden die Produkte
jedes dieser Produkte erstreckt über die 2" Elemente von @. Die Mehr-
zahl dieser Produkte enthält gerade und ungerade Faktoren gemischt, und
zwar sind dann jedesmal soviel gerade wie ungerade Faktoren vorhanden.
Denn nehmen wir an, dass ein Faktor 0,, existirt, der von entgegenge-
setzter Art ist wie 6,,
bedeutet, auch 6,, und 9
axx
dann müssen, wenn 6,, irgend einen andern Faktor
ex
von entgegengesetzter Art sein, weil der Quotient
9, 0,»
6, Bos
eine gerade Function ist. Die Faktoren von P, lassen sich also paarweise
zusammenfassen, sodass immer der eine gerade, der andere ungerade ist.
Wiiren nur solehe Produkte vorhanden, so wiire die Anzahl der ge-
"den Theta gleich der der ungeraden, was nicht der Fall ist.
Beschränken wir uns jetzt auf diejenigen P,, welche nur gleichartige
Faktoren enthalten, so haben wir ein System, das, was die Gruppierung an-
betrifft, genau analog ist dem System der Thetafunctionen von p — — &
Variabeln.
(Gehört x der Gruppe G an, so ist P,, = P,. Eine solche Permuta-
tion ist demnach für unser System als identische anzusehen.
a
4)
Damit P,,, ebenso wie P,, ein Produkt gleichartiger Faktoren sei, ist
offenbar nothwendig und hinreichend, dass À sich zur ganzen Gruppe @
syzygetisch verhält. Dieser Bedingung genügt eine Gruppe von 27" Per-
mutationen, unter denen aber die der Gruppe @ mit enthalten sind. Wir
können also eine zweite Gruppe y’ definiren, von der Ordnung 20 — 2n = 26,
246 F. Schottky.
in der Weise, dass jede zur Gruppe G syzygetische Permutation sich dar-
stellt in der Form xd, wo x der Gruppe @, À der Gruppe G' angehört.
Die Permutationen der Gruppe G sind dann die einzigen,
welche sy-
zygetisch sind zu beiden Gruppen G und G'. Folglich giebt es in der
Gruppe G' ausser der Permutation © keine andere, die zu allen Elementen
von G' syzygetisch wäre.
Damit sind für das System derjenigen P,, die Produkte von lauter
gleichartigen Theta sind, dieselben Grundlagen aufgestellt, von denen wir
ausgegangen sind bei der Gruppierung der 4^ Functionen Theta. Die An-
zahl der P, betrügt 4^, und es giebt zwei Arten der P,: Produkte gerader,
und Produkte ungerader Theta. Wir können sagen, dass drei Produkte P,,
P,, P. sich syzygetisch oder azygetisch verhalten, jenachdem der Quotient
0, 05
6,60;
gerade oder ungerade ist. Wir können dann geschlossene azygetische Reihen
der J aufstellen, die immer aus einer geraden Anzahl von Gliedern be-
stehen, und speziell für die Bezeichnung der P eine Hauptreihe |
>
DP ae
zu Grunde legen, die aus P-Functionen der gleichen Art besteht, während
D Le
Py, Pins ete.
von der entgegengesetzten Art sind wie die Functionen der Hauptreihe.
ADN os T
Nehmen wir z. B. 5» — 0 —1 ;
so besteht das System
der P aus vier Grössen: P,, P,, P, und P,,; die drei ersten sind Pro-
dukte gerader, das letzte ein Produkt ungerader Theta.
Für » = p — 2 existiren 16 Functionen P. Die sechs Produkte un-
D
gerader Theta bilden eine geschlossene azygetische Reihe:
D > PER:
Pis ec Ber}
die Produkte gerader sind dann:
Pay = P, Pin = Py, ete.
56)
Für » = po reduzirt sich das System der P auf eine einzige Function,
und diese ist ein Produkt gerader Theta.
bo
pen
-)
Über die Moduln der Thetafunetionen.
^
2:
ur.
Die Aufstellung der quadratischen Relationen unter den Thetafune-
tionen beruht auf sehr einfachen Sätzen.
Erstens: Von den Quadraten der Theta sind nur 2^ Iinear-unabhängie.
/weitens: Auch von den Produkten
T 4,0
a a ax)
die zu einer bestimmten Permutation oder halben Periode x gehören, sind
nur 2^ linear-unabhiingig. Diese Produkte sind aber theils gerade, theils
ungerade Functionen, Beschränkt man sich auf die geraden, so sind nur
2’ unabhängig; dasselbe gilt von den ungeraden.
Drittens: Jede der Gleichungen, die sich hiernach zwischen den Theta-
funetionen ergiebt, bleibt richtig, abgesehen von den Vorzeichen der ein-
zelnen Glieder, bei sümmtlichen 4^ Permutationen des Systems. Aus
2 (4,6!) — o
folet demnach
2 (+ 4,65) = o,
und aus:
BR) #0;
RÉ ABP 4), — 0:
Auf die Vorzeichen wollen wir im folgenden wenig Riicksicht nehmen, um
die Untersuchung nicht zu complicieren.
Wir bezeiehnen durchweg mit c, den constanten Werth, den eine
a
gerade Function 0, für « = o annimmt, und wenn 6, ungerade ist, mit
a
u, ihr lineares Anfangselied.
Fangen wir an mit dem Falle p = 1. Hier existieren drei gerade
Theta: 6,,6,,6,. Sie bilden eine azygetische Reihe, die geschlossen
wird dureh Hinzufügung des ungeraden Theta. Letzteres kann ohne Index
bleiben,
248 F. Schottky.
Zwischen den Quadraten von je drei der Theta besteht eine lineare
telation, deren Coeffieienten sicht leicht bestimmen lassen. Nehmen wir z. B.:
A,@? + 4,0? + 4,0; — o.
Dies wird durch die Permutation 12 übergeführt in:
4,0; + 4,0; + AG = o.
Daraus folet, wenn man u — © setzt:
t
AR BE ALG
0. die Form
Hiernach erhält die Gleichung zwischen 6, , 0,, 6,
3
p (CEG. 0, 0,
a=1
(1)
und daraus wiederum ergiebt sich für « — o die bekannte Constanten-
relation:
3
(2) 2 ES 0,
&—1
Für o = 2 haben wir 6 ungerade und 10 gerade Theta. In den 6
ungeraden:
B. m an HE
liegt eine geschlossene azygetische Reihe vor. | 0,,, = 0,5, ete. sind die 10
geraden Functionen.
7 m n
Die übrigen sechsgliedrigen azygetischen Reihen gehen aus der Reihe
der ungeraden hervor durch die 15 Permutationen 12, 13,..., 56. Sie
enthalten jedesmal vier gerade und zwei ungerade Funetionen; z. B.:
0,5 ; Base ) 05; ) 0,56; 0; , 64.
Aus den geraden Theta allein lassen sich demnach 15 verschiedene vier-
gliedrige azygetische Reihen bilden.
Zwischen den Quadraten von je fünf Thetafunctionen besteht eine
lineare Gleichung. Ist aber eins dieser fünf Theta gerade, die übrigen
ungerade, so muss offenbar der Coefficient des geraden Theta gleich o sein.
Es besteht also z. B. eine Gleichung:
4
Z (A, 6°) = o.
a=1
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 249
Wendet man hier die Permutation 34 — 1256 an, und setzt dann # — o
,
so folet :
Hiernach bestimmen sich die Coefficienten A,; es ereiebt sich:
Wir kónnen sagen, dass hiermit die Relation gegeben ist, die zwischen vier
ungeraden ‘Theta besteht, oder auch, allgemeiner, zwischen irgend vier
Theta, die eine azygetische Reihe bilden; sie hat die Form
2 (+ 6,8?) — o,
wo x diejenige Permutation bedeutet, durch die alle vier Theta in gerade
übergeführt werden.
Nehmen wir speciell die vier Functionen als gerade an, so haben wir:
(3) 25 CE c2 Sito:
und für «w = o:
(4) DE ctp ror
Diese viergliedrige Gleichung stellt ein System von 15 verschiedenen Re-
lationen zwischen den Anfangsgliedern der 10 geraden Theta dar, da sich
aus den geraden Theta 15 verschiedene viergliedrige azygetische Reihen
bilden lassen.
Gehen wir jetzt über zu den Produkten
Ip — 6, Ons
die zu einer der 15 halben Perioden gehören. Unter diesen acht Pro-
dukten giebt es vier, deren Faktoren gleichartig sind, und zwar drei Pro-
dukte gerader, ein Produkt ungerader Theta. Zwischen je drei dieser vier
Fanetionen besteht eine lineare Gleichung; alle vier bilden eine geschlossene
azygetische Reihe. Nennen wir, allerdings abweichend von der zuerst
gewählten Bezeichnung der Theta, P,, P,, P, die drei Produkte erster
Art, so kónnen wir, da die Verhiiltnisse genau so liegen, wie bei den
Acta mathematica. 27. Imprimé le 10 janvier 1903. 32
250 F. Schottky.
Quadraten der Thetafunetionen von einer Variabeln, die beiden Formeln
aufstellen:
3
(s) X (pP) — o,
3
(6) 27 (3: 92) = 0;
wo p, den Werth von P, für # — o bedeutet.
Kehren wir zurück zur ursprünglichen Bezeichnung und wählen etwa
für x die Permutation 56. Es sind dann
06; bic ) 0,4; Hoi ) 05; Hoi
die drei zugehórigen Produkte gerader Theta. Somit bestehen die Rela-
tionen:
3
2 (+ Co45 C246 0, G46) 0;
3
Z(t Crus 246) == {9},
Aus der ersten dieser beiden Gleichungen ziehn wir eine weitere Folgerung.
Wir wenden die Permutation 46 an, wodurch 0,, in 0,, 9,4; in 0,,, über-
geführt wird, und beschränken uns auf die Anfangsglieder. So ergiebt sich:
3
> (+ Coss Case Case Ma) == 0),
a=1
Wir kénnen dieser Gleichung auch die Form geben:
8
2 (HEC, Cay Casa) — 0;
uml
z,A und zA bedeuten hier diejenigen drei Permutationen, die gleichzeitig
06,, 0,, 0, in gerade Functionen überführen.
drei der sechs ungeraden Functionen sein können, so ist hiermit allgemein
Da 0,, 0, und 6, irgend
die Beziehung zwischen den Anfangseliedern dreier ungeraden Theta dar-
cestellt.
Bilden wir jetzt die entsprechenden Gleichungen für o = 3. Zunächst
kann man sagen, dass zwischen den Quadraten von neun Thetafunetionen
immer eine lineare Gleiehung bestehen muss. Es gilt aber der Satz, dass
Über die Moduln der Thetafunctionen. 251
schon sechs Theta durch eine solche Gleichung verbunden sind, falls sie
eine geschlossene azygetische Reihe bilden. Wenn dies zugleich lauter
gerade Functionen sind, so hat die Relation die einfache Form:
6
(8) 2, (3.0183) = o. .
a=1
Um dies zu beweisen, denken wir uns zunächst für die Bezeichnung
der 64 Theta eine azygetische Reihe ©, , 0,, .... 0; von lauter ungeraden
Theta zu Grunde gelegt. Die Functionen 6,;, sind dann gerade, 0
af apyd=z
wiederum ungerade, der Combination 12...7 entspricht eine gerade Func-
tion. Wir fügen diese letztere, als @,, der Hauptreihe hinzu. Eine drei-
gliedrige Combination, die das Element 8 enthält, bezeichnet dann nicht
eine gerade, sondern eine ungerade Function.
Nehmen wir nun die acht Functionen der Hauptreihe und ausserdem
irgend eine andere Function, etwa 6,4. Wir können dann die Gleichung
aufstellen:
Da 6, die einzige gerade Function ist, die in dieser Gleichung vorkommt,
so muss der Coefficient A, gleich o sein. Dasselbe gilt von A, und 4,;
denn dureh die Permutationen 68,78 gehen alle Functionen in ungerade
über, ausgenommen das eine Mal 6,, das andre Mal £;. Demnach lautet
die Gleichung. so:
5
2 2
A65, = % (A, 6).
a=
Wendet man die Permutation 18 an, und setzt dann « — o, so ergiebt sich:
2 rac 2
Ac; = + Ai.
Hiernach bestimmen sich die Coefficienten folgendermassen :
und dies ist in Übereinstimmung mit dem aufgestellten Satze. Denn 6,,
0,,..., 0; und 6,4 = 60 bilden eine geschlossene azygetische Reihe,
und 67 ist diejenigen Permutation, die alle sechs Functionen in gerade
überführt.
252 F. Schottky.
Der Satz ist damit auch alleemein bewiesen. Denn nehmen wir an,
es liege eine geschlossene azygetische Reihe von sechs Theta vor. Wenn
wir das letzte Glied fortlassen, so können die fünf übrigen zu einer sieben-
gliedrigen azygetischen Reihe ergänzt werden, und es giebt eine Permuta-
tion, die diese sieben "Theta in lauter ungerade überführt.
(sehen wir zu den Produkten
P = gg
ux
über, die einem bestimmten x entsprechen. Unter diesen sind 16 gerade
Funetionen, davon 6 Produkte ungerader Theta. Die letzteren bilden
wieder eine geschlossene azygetische Reihe. Ausserdem sind von den 16
P, nur 2^7—4 linear-unabhüngig. Hiernach ist klar, dass zwischen ihnen
genau dieselben Relationen bestehen wie zwischen den Quadraten der 16
Thetafunctionen von zwei Variabeln. Sind speciell P,, P,, P,, P, vier
der 16 Funetionen, die eine nicht geschlossene azygetische Reihe bilden,
so muss
(9) 2 few ea) = 9)
sein, wobei A diejenige Permutation bedeutet, die alle vier Functionen in
Produkte gerader Theta überführt. p,, bedeutet, wie früher, den Werth
VOD ET für, 10)
Nehmen wir jetzt eine Görer'sche Gruppe zweiter Ordnung: (0, x, À, xd),
und bilden die Produkte
Qa = 04 0x Dax Dax +
Es existieren drei solehe Produkte — nennen wir sie Q,, Q,, Q, —, die
aus lauter geraden Faktoren bestehen, und ein Produkt ungerader Fak-
toren, @,,,. Die Werthe der drei ersteren für # — Oo bezeichnen wir mit
qi , (a 5 d;
So gehört zu jeder Görer'schen Gruppe zweiter Ordnung ein System
von drei Constanten. Diese sind jedesmal durch eine Gleichung
3
(10) Z(+9)=0
a=1
verbunden, welche entspricht der Gleichung
Über die Moduln der Thetafunctionen. 253
für o — 2, und der Gleichung
38
X (+c) =o
a=
für o = 1. Die Formel ist leicht zu beweisen, wenn man die’ Produkte
Q auos m PP, PIPB,
und sie verhalten sich azygetisch; man kann noch ein viertes Produkt
)
qu Y
sene azygetische Reihe bilden. Alsdann besteht die Gleichung:
P, sind dann drei Produkte gerader Theta,
gerader Theta P, hinzufügen, sodass P P,, P, eine nieht geschlos-
4
= (EI 0,
a= 1
und aus ihr folgt:
4
Z CE Pa) 29;
Nun kann @, nicht aus lauter geraden Faktoren bestehen; P, verschwindet
demnach für # = o, und wir erhalten:
3
Eu COPA — 61
a=)
oder:
= ( ge) = o.
Die Anfangselieder «, der ungeraden Theta sind homogene lineare
Oo © a o D
Functionen von drei unabhängigen Veränderlichen und es muss deshalb
zwischen je vier dieser Grössen #, eine lineare Gleichung bestehen. In
einfacher Form lassen sich diese linearen Gleichungen nur dann darstellen,
wenn die vier entsprechenden Functionen eine azygetische Reihe bilden.
Aber diese speciellen linearen Relationen, die man azygetische nennen kónnte,
genügen vollständig, um sämmtliche 28 «, durch drei unter ihnen aus-
a
zudrücken.
Nehmen wir demnach irgend vier ungerade Theta an: 6,,6,,6,, 6,
die sich gegenseitig azygetisch verhalten. Wir kónnen dann diese Reihe
durch Hinzufügung dreier neuen ungeraden Functionen: 6,,6,, 4; zu
einer Hauptreihe ergiinzen.
254 F. Schottky.
Stellen wir die Ausárücke auf
[^ Pro (a=1,2,3,4)
456 ^ a51
Dies sind Produkte gerader Theta, gehörig zur Permutation x — 67. Es
besteht also zwischen ihnen die Gleichung:
4
2 (Gs Cas C
mq
a51
6,56 6,57) 3907
welehe durch die Permutation 56 übergeführt wird in:
4
> (+ Caso C. 6, 6.67) = 0,
‘ani ©
“a=1
und hieraus folgt, wenn wir uns auf die Anfangsglieder beschränken:
451
4
Z (+ Case Cast 45; Ua) = O.
PES
Die Gleichung hat die Form:
4
(1 1) rf (& Cas Car axi) GE o,
wo x,À und xà die Permutationen 56, 57, 67 bedeuten, die gleichzeitig
alle vier ungeraden Functionen 6,, 0,, 0, und 0, in gerade überführen.
Es sind dies nicht die einzigen Permutationen welche diese Eigenschaft
haben; es gehórt dazu auch noch die Permutation 1234. Wir müssen
daher sagen: Zwischen den Anfangsgliedern von vier ungeraden Theta,
die sich zu einander azygetisch verhalten, besteht die Gleichung (11), in
der x,A und xÀ die drei von 1234 verschiedenen Permutationen bedeuten,
die @,, 6,, 0, und 6, in gerade Functionen überführen.
Alles dies sind Identitäten. Es giebt aber, schon für o — 3, Systeme
von nicht-identischen Gleichungen, die auf der Rırmann’schen Theorie
beruhn und doch in sehr enger Beziehung zu den hier entwickelten Iden-
titäten stehn.
Betrachten wir einen Augenblick die Assr'schen Functionen von p
Variabeln in der Rremann’schen Theorie. Sie werden ausgedrückt als ra-
tionale symmetrische Functionen von >» Werthepaaren
(Te y Ya)s (a91,2,...,0)
Über die Moduln der Thetafunctionen. 255
die alle derselben Gleichung G(r,y)-— o vom Range oder Geschlechte po
geniigen; ihre Klasse ist identiseh mit der Gesammtheit dieser rationalen
Funetionen. Die Variabeln und damit auch die Anfangselieder x, der
ungeraden Theta werden, gleichfalls symmetrisch, ausgedrückt durch Inte-
erale erster Gattung, und zwar in der Form: :
AS
2, Ny
U, = Y ya II (o , y)dx.
' y—1
Offenbar müssen die F, denselben linearen Gleichungen genügen wie die
u,, ausserdem aber einer Anzahl nicht-linearer Gleichungen, da sie alge-
braische Funetionen einer Variabeln sind.
Setzt man specieller:
zy
«— f Hale, Hae,
indem man beide Grenzen als variabel ansieht, so gehen die ABeL'schen
Functionen über in rationale Functionen von (z,y) und (z',y), die ge-
raden in symmetrische, die ungeraden in alternirende. Der Quotient zweier
ungeraden Theta aber wird ein Produkt zweier Faktoren, von denen der
eine nur von (r,)) abhängt, der andere dieselbe Function von (z', y’) ist.
Die Faktoren bestimmen sich, indem man beide Punkte zusammenfallen
lisst; man findet leicht:
Bu) VHale , y) Vale’, y)
Blu) - Vaz, y) VAE, y)
Daraus geht hervor, dass man im Geltungsbereich der Rızmanx’schen
Theorie — die aber, wenn p > 3 ist, nicht die allgemeinen AnEL'schen
Funetionen umfasst — den Thetarelationen geniigen kann, indem man für
jedes ungerade Theta setzt:
0, = €. VH, (x 1 y) VH. , y)
oder, wenn wir die //, mit #, und x! bezeichnen:
0, = Ou Wa Vus.
Zwischen diesen 4, bestehen dieselben linearen Relationen wie zwischen
a
UT
256 F. Schottky.
den Anfangsgliedern der ungeraden Theta. Die Aufgabe ist jetzt, die
nicht-linearen homogenen Gleichungen zwischen den 4, zu finden.
Für o = 3 existirt im Wesentlichen nur eine solche Gleichung, die
vom vierten Grade ist. Wenn wir sie in einer grossen Anzahl verschie-
dener Formen aufstellen, so müssen aus einer alle übrigen folgen, indem
man die linearen Gleichungen zwischen den 4, und den €, zu Hilfe nimmt.
Wir stützen uns auf einen bekannten algebraischen Satz. Sind g,,
T,,..., T, lineare homogene Functionen von n Veründerlichen, welche
identisch einer Gleichung
2n
5
2, (g,23) — o
a=1
genügen, und ist
1 n+1
>> (A, 2.) —O
a=1
die Gleichung, durch die z,, 7,,..., z,,, verbunden sind, so ist noth-
wendig:
nid
ir LO.
a=1 \ Ja
Ist ferner
2:(B,m,) — o |
5
die Gleichung, welche x, , z,, ..., x, und z,,, verbindet, so ist auch |
n
2o ien |
me Ja
Diesen Satz kónnen wir anwenden auf die Relationen zwischen den Pro-
dukten P, -— 0,0,. Es giebt sechs P,, die Produkte ungerader Theta
sind; nennen wir sie P,, P,,..., P,. Durch die Permutation 56 werden
die ersten vier in Produkte
2
gerader Theta übergeführt. Es besteht also
die Gleichung
4
2 (+ pr) 0:
ab6
Den Gleichungen wird genügt, wenn wir 6, dureh Yu. ya. , also P, dureh
V Wa Vwi ersetzen, wo
Über die Moduln der Thetafunctionen. 257
ist, und w/ dieselbe Function von x’, y bedeutet. Dies giebt:
4
x + Paso VWa vw.) aC
Hieraus folgt, dass die vier Grössen yw, , Vw, , Vw, , vw, dureh zwei li-
neare Gleichungen verbunden sind, und dass, wenn wir
m (A, V Wa) —= O
a=1
setzen, nothwendig
ey Aa \
2. ei Ri
a=1
sein muss.
Wir sind offenbar berechtigt, in dieser Gleichung die Combination 56
auch durch 45 oder 46 zu ersetzen. Somit haben wir drei Gleichungen,
die mehr als ausreichen, um die Verhältnisse von Aj, A; und 4; zu be-
stimmen. Sie werden erfüllt, wenn man 4% proportional
Pats Pass Pass (a=1,2,3)
annimmt; denn es besteht die Gleichung:
3
= (E Pass Dass) 10),
math a
die zur Kategorie der Formeln & (+ 4,) — o gehört. Wir erhalten demnach:
3
(12) p (+ pais Pass Pass We) = O-
. . . . 2
' Eigentlich folgt aus unsern Formeln nur, dass diese Produkte proportional + 4;
. 2 . . . r
sind. „Dass A, = + Pais Pate Pass gesetzt werden darf, ergiebt sich daraus, dass die Vor-
zeichen in der Gleichung
3
om (et Pass Pass) —= O
us |
übereinstimmen mit den drei ersten Vorzeichen der Gleichung
4
> (GE Pase a) = o,
acl
was leicht zu beweisen ist.
Acta mathematica, 27. Imprimé le 10 janvier 1905. 33
258 F. Schottky.
Vergleichen wir dies mit Formel (7). Wir sehen dann, dass die Rela-
tionen zwischen den sechs Wurzelfunctionen
ey mors
MN Vttattax
genau dieselben sind wie die, welche für p — 2 zwischen den Anfangs-
gliedern der ungeraden Theta bestehen, nur dass an die Stelle der c, die
Quadratwurzeln
VPa > Vea Cax
treten. Aber diese Grössen yp, sind auch ihrerseits durch dieselben Gleich-
ungen verbunden, wie die 10 Gróssen c, im Falle p = 2.
Da die 4, lineare Funetionen von drei Variabeln sind, so haben wir
hier, in verschiedenen irrationalen Formen, die Gleichung einer Curve
vierten Grades. Die Anzahl der verschiedenen Formen betrügt 63 . 20,
als Coefficienten treten auf die Werthe, welche die geraden Theta und
die Ableitungen der ungeraden für # — o annehmen.
S.
Für die AnErschen Funetionen von vier Variabeln besteht unsre
Autgabe vorliufiv nur darin, diejenigen Gleichunessysteme aufzustellen, die
> > ) Al D > y )
den für p — 3 gefnndenen genau analog sind.
Die Relationen zwischen den Quadraten der Theta übergehen wir und
cehen bald zu den Produkten
Py = Gar
a
über. Halten wir x fest; dann existiren 64 solche Produkte, welche ge-
rade Funetionen sind, und von diesen sind nur 2^^ = 8 linear unabhängig.
Hieraus allein folet schon, dass zwischen den 7’, genau dieselben Rela-
tionen bestehen, wie zwischen den Quadraten der "lhetafunetionen von drei
Variabeln, Speciell gilt also der Satz:
Zwischen je sechs Functionen 7, die eine geschlossene azygetische
Reihe bilden, besteht die Gleichung
(13) X (p, P.) — o,
a=1
Uber die Modulu der Thetafunctionen. 259
wo À diejenige Permutation bedeutet, die alle 6 Functionen in Produkte
gerader Theta überführt.
Die Beziehungen zwischen den 136 Constanten c lassen sich in fol-
gender Weise zusammenfassen. Wir nehmen eine GOrEL'sche Gruppe
(O,x,A,xà) und denken uns die Produkte gebildet: .
Q, = 6, Oe 6. Bax R
Es giebt 16 solche Produkte, die lauter gleichartige Faktoren enthalten,
davon 10 Produkte gerader Theta. Die Werthe, welche diese letzteren
annehmen für # — o, bezeichnen wir mit 4,.
Aus diesen 10 Grössen 4, lassen sich auf 15 verschiedene Arten vier
auswählen, die eine azygetische Reihe bilden; diese vier sind jedesmal durch
eine Gleichung
(14) Z(+ 4) = 0
verbunden, Es ist dies dasselbe Gleichungssystem welches besteht zwischen
den ro Grössen p; für o = 3, und den cj für p = 2.
RUE C 5 m CF Ns 51 ay c P
Der Beweis ist leicht zu führen. Sei 4,,4,,4,, 4, eine der 15 azy-
getischen Reihen. Wir kónnen
E ) >
Q, = i aa (a=1, 2, 3,4)
setzen. P,, P,, P,, P, sind dann Produkte gerader Theta, die ebenfalls
eine azygetische Reihe bilden. Ergänzen wir diese zu einer geschlossenen
durch Hinzufügung zweier Glieder P;, P,, die auch Produkte gerader Theta
sein sollen. Dann besteht die Gleichung:
6
(+ pF) — O,
4-1
und daraus folgt:
6
= GE Pa Ph) == 12:
Dies giebt für # — o:
4
= (+ DD.) E O,
a=1
260 F. Schottky.
oder:
denn @, und @, können nicht Produkte von 4 geraden Theta sein.
Von jetzt ab machen wir die Voraussetzung, dass es sich nicht um
die alleememen Aser'schen Functionen von vier Variabeln handle, sondern
um die, welche der RrgMANN'schen Theorie entsprechen. Wir können
dann, genau wie im Falle p — 3, sagen: Es muss möglich sein, den siimmt-
lichen Thetarelationen zu genügen, indem man für jedes ungerade Theta
den Ausdruck
6, RT © 2 Vs Vus
substituirt. Dabei bedeuten die #, lineare Functionen von vier Variabeln,
die, was ihre Coefficienten anbetrifit, übereinstimmen mit den Anfangs-
gliedern der entsprechenden Theta. Aber die Variabeln sind nicht un-
abhängig, sondern proportional algebraischen Functionen einer Veränder-
lichen x, sodass zwei verschiedene homogene aber nicht lineare Gleichungen
bestehn. Die 4 sind dieselben Functionen von einer
a
zwischen den w
a
,
zweiten Variabeln 2’.
An die Stelle von P, tritt, wenn P, das Produkt zweier ungeraden
Theta ist:
P, = 9". ws wa;
wo
W, — uu
a. «x
ist. Nun nehmen wir an, wir hitten eine sechsgliedrige geschlossene azy-
getische Reihe von Produkten ungerader Theta:
Pee PLUS Ph
À sei diejenige Permutation, die alle sechs Grössen in Produkte gerader
Theta verwandelt. Aus der Gleichung
6
Z (+ pa Pi) = o
a=1
folgt dann:
6
Y (+ Dar V wa Vwe) — 0.
Über die Moduln der Thetafunctionen. 261
Da die wi, von einer andern Variabeln abhängen, als die w,, so müssen
wir ‚hieraus schliessen, dass je vier der sechs Grössen yw, durch eine li-
neare Gleichung verbunden sind. Setzen wir demnach an:
4
E (4, vw.) — C Y
&-—1
so folgt aus dem algebraischen Hülfssatz den wir im vorigen Paragraph
aufgestellt haben, dass die Coefficienten A, die Bedingung erfüllen müssen
A;
> ELS Jg.
D. die Coefficienten derjenigen Gleichung sind,
b
3?
Wenn, ferner B, , B,,
die zwischen yw, , Vw,, yw, und yw, besteht, so muss
Y (e
on d
sein.
Die 64 Gróssen P, verhalten sich so, wie die Thetafunctionen von drei
Argumenten. Denken wir uns nur P,, P,, P,, P, gegeben, so können
wir diese Reihe durch Hinzufügung von drei neuen Produkten ungerader
Theta: P,, P, und P,, zu einer Hauptreihe ergänzen. Verstehen wir dann
unter P. die Function P
D n?
sechs Functionen P,, P,,..., P, in Produkte gerader Theta überführt.
so ist A = yo diejenige Permutation, die alle
Ebenso kónnen wir aber P, und P, für P, nehmen. Zur Bestimmung der
Coefficienten in der Relation
HU A
haben wir demnach die drei Gleichungen:
4^ 5 2
A
kis oo a 5 (A=, np, vp)
a=1 Par)
Diese Gleichungen werden erfüllt, indem man
1
2
4; —- Papy Panp Pavp
' In Bezug auf die Vorzeichen gilt hier dasselbe wie in der entsprechenden Be-
trachtung fiir p = 3.
262 F. Schottky.
setzt; denn die Formel
4
(EP) 55519
a=1
œehôrt in die Kategorie der Gleichungen
2 (t g) = 0.
Die Gleichung zwischen den vier Wurzelgréssen lautet demnach:
4
Es sind dabei p», go und vo diejenigen drei von 1234 verschiedenen Per-
7m
=
on
st
mutationen, die gleichzeitig P,, P,, P, und P, in Produkte gerader Theta
überführen. Vergleicht man dies mit der Formel (11) im vorigen Para-
graphen, so sieht man:
Zwischen den 28 Wiurzelgróssen Vw, — Vv,»,,, die zu einer halben
Periode z gehóren, bestehn genau dieselben linearen Relationen, wie zwischen
den Anfangsgliedern der 28 ungeraden Thetafunctionen von drei Vari-
abeln; allerdings mit der Modification, dass an Stelle von c, überall yp, zu
setzen ist.
Die Frage ist jetzt: Sind die 36 Grössen yp, auch genau durch die-
selben Gleichungen verbunden, wie die c, für o = 3? Dass dies der Fall
ist, geht ebenfalls aus unsern Betrachtungen hervor.
Denken wir uns eine Hauptreihe gewählt:
| pe ee
7
und bezeichnen mit A die Coefficienten der Gleichung, die zwischen ÿw,,
Vw, vw, und yw, besteht, mit B die der Gleichung, die besteht zwischen
den drei ersten Grössen und ÿw,. Diese Coefficienten sind uns bekannt:
A, = € Vase Das: Dat: ; (a=1,2,3,4)
B,— + Dass Pair Pos? - (a=1,2,8, 5)
Nun ist aber:
8
D^ P
Dao:
ael
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 263
denn 67 ist diejenige Permutation, welche die geschlossene Reihe
) J
p 23 **
P,
D 5)
>
+ 12345
in Produkte gerader Theta überführt. Daher folet:
3
2 Er VPat6 Past Puss Past) EO:
Wenn man hier die Grössen yp durch € ersetzt, so bekommt man eine
der Relationen X Yu) = O, die für p — 3 bestehen. Dass hier die q, zu
der speciellen syzygetischen Gruppe (0, 45, 67,4567) gehören, ist un-
wesentlich; denn man kann für p — 3 die Hauptreihe 6,, 6,,..., 6; so
wählen, dass 60, in 6,, und ebenso 6, in 0, durch vorgeschriebene Per-
mutationen A, übergehn, vorausgesetzt nur, dass A, p sich syzygetisch
verhalten. Demnach können wir sagen dass für p = 4 im RremMann’schen
Falle zwischen den Grössen yy genau dieselben Relationen bestehen, wie
im Falle p — 3 zwischen den c.
Lösen wir jetzt die Produkte p, auf in c,c
Satz:
Wenn @ irgend eine GüpeL'sche Gruppe dritter Ordnung ist, so
so haben wir folgenden
anh»
existiren drei zugehórige Produkte
R, — I1(6,,)
= (a=1,2 3)
(erstreckt über die 8 Elemente x von 6G), die lauter gerade Faktoren ent-
halten, und somit drei Constanten r,, r,, r,, die Werthe der R, für 4 — o.
Diese drei Constanten sind stets durch eine Gleichung
(16) WEEE n B n — 9
verbunden.
Wir haben demnach ein System von so vielen Gleichungen, als ver-
schiedene Górrr sche Gruppen dritter Ordnung existiren, d. h.
4
(4* — 1) (4? — 1)(4* — I) = 240975.
Sie sind nieht erfüllt bei willkürlichen Werthen der 10 Periodieitätsmoduln,
stellen aber nur eine Beziehung zwischen ihnen dar, sodass eine einzige
solehe Gleiehung mit Nothwendigkeit alle übrigen nach sich zieht.
264 F. Schottky.
Diese Gleichung
8
Z (+ Vra) = 0
entspricht den Gleichungen
3
» (+ 4.) = 90 für p= e
3
L(t p)=o für p=2,
3
I (+)=o für p—r.
Wir wollen die vier Gleichungen zusammenfassen. Bezeichnen wir die
vierten Potenzen der Moduln durchweg mit C,. Es sei jetzt, bei belie-
bigem >, eine GOrEL'sche Gruppe von der Ordnung 9 — 1 gegeben.
Wenn wir uns dann die Produkte gebildet denken
— Il(&)
erstreckt über die 2^' Elemente von G, so giebt es darunter genau drei,
die aus lauter geraden Faktoren bestehn. Diesen entsprechen drei Con-
stanten:
z, = II(C,,) (a=1,9,8)
und zwischen diesen drei Constanten besteht, für p = 1, p — 2, p= 3,
und für p — 4 im RrEMANN'schen Falle, die Gleichung:
3
X(t vm) = 0.
Wir haben gesehen, dass zwischen den 28 Wurzelfunctionen yw,, die
zu einem bestimmten zx gehören, genau dieselben Relationen bestehen, wie
zwischen den Anfangsgliedern der 28 ungeraden Thetafunctionen von drei
Variabeln, mit dem Unterschied, dass an die Stelle von c, überall yp,
tritt. Aber diese 36 Grössen yp, genügen ebenfalls genau denselben Gleich-
ungen wie die c,.
Nun hatten wir für o — 3 ein System nicht linearer Gleichungen auf-
gestellt, repriisentirt durch die Formel
3
Y (+ V pots Pars Pasa Wa) d
a
Über die Moduln der Thetafunctionen. 265
Dies sind 20.63 Gleichungen, da wir einerseits die Indices 1,2,...,
beliebig vertauschen kónnen, andrerseits x eine beliebige von 63 Permuta-
tionen bedeutet. Aber alle diesen Formeln stellen, wenn wir uns die li-
nearen Beziehungen zwischen den «, gegeben denken, im Wesentlichen
a
nur eine hinzutretende neue Beziehung dar; eine einzige zieht alle übrigen
mit Nothwendigkeit nach sich.
Stellen wir nun die entsprechende Formel auf für o — 4. Wir wählen
eine Permutation A, die zu x syzygetisch ist, und setzen
Da = Ca Cox,
Va — Pa Par E Cy Cax Car Caxà .
Entsprechend:
We tha;
T, ZW Wa Ug u Ln VU) 2
ax
Zur Gruppe (0,%,A, A) gehören 16 Produkte gleichartiger Theta,
wovon 6 lauter ungerade, 10 lauter gerade Theta enthalten. Die 6 ersteren
mögen durch Q,, Q,, ..., Q, bezeichnet werden. Wenn wir dann die Gleich-
ung aufstellen:
3
(1 7) 2 (+ Gass Jose Qa56 x.) = o
und damit zugleich alle die ins Auge fassen, die aus ihr entstehen ein mal
durch Vertauschung der Indices 1,2,...,6, zweitens dadurch, dass wir
zwar x festhalten, aber A variiren, dann können wir sagen, dass eine dieser
Gleichungen alle übrigen nach sich zieht. Da nun der Ausdruck links
völlig symmetrisch von x und À abhängt, so muss für die Variation von
x dasselbe gelten. Wenn wir demnach das Gleichungssystem (17) gelten
lassen für jede Görer'sche Gruppe (0,x,A,x4), so tritt damit zu den
" "n.
beiden Gleichungen zwischen den Variabeln «, w', w", uw", die durch die
Relationen zwischen den Wurzelfunctionen definirt werden, nur eine neue
Gleichung hinzu. Allerdings sind die #, dann nicht mehr lineare Fune-
tionen von vier unabhüngigen Gróssen, und auch nieht mehr algebraische
Functionen einer Veränderlichen, sondern Constanten. Wir haben damit
auch jedem ungeraden Theta eine bestimmte Constante, #,, zugeordnet.
Acla mathematica, 27. Imprimé le 10 janvier 1903. 34
266 F. Schottky.
Bezeichnen wir diese constanten Gréssen der Gleichmässigkeit wegen
ebenfalls mit c,, so nimmt die Gleichung (17) die Form an:
a)
3
> GE Vds dass dase dase) S125
a=1
Da jedes 4 ein Produkt von vier Gróssen c ist, so haben wir hier eine
Relation von der Gestalt
in x d qa 8.
Die drei s sind Produkte von je 16 Faktoren, die zu einer und der-
selben Gruppe mit der Basis
(A, 455-40)
gehéren. Diese Gruppe ist nicht rein syzygetisch, da die Permutationen
45, 46 sich azygetisch verhalten.
Die Anzahl dieser Gleichungen beträgt:
(4* — 1)(4° — 1). 20 = 321300.
p
Se
Ehe wir zur Auflósung der Modulgleichungen übergehen, wollen wir
einen Satz aufstellen, aus dem sich die Möglichkeit einer vereinfachenden
Transformation ergiebt.
Wenn wir irgend eine der Thetafunctionen ins Auge fassen, so lassen
sich die Permutationen scheiden in solche, die den Charakter der Fune-
tion ündern, und solche, die ihn nicht ündern; von den ersteren sagen
wir, dass sie kritisch sind für das betreffende Theta. Hiernach giebt es
für jede ungerade Thetafunction von p Argumenten
I p : p
zW E 2^,
für jede gerade
kritische Permutationen.
bo
2»
-T2
Über die Moduln der Thetafunctionen.
Es sei nun G eine beliebige Gruppe. Wir bilden das Produkt
p — IA)
erstreckt über alle Elemente von @. Durch eine Permutation © geht P,
über 1n
je — II NOS:
x
Wenn «o sich syzygetisch verhält zur ganzen Gruppe @, so ist © kritisch
für alle Faktoren von P, oder für keinen. Denn der Quotient
0, 0% zen
0, 0, xu
ist dann eine gerade Function; wenn also 0, und @,, entgegengesetzten
Charakter haben, so muss von 6,, und 6,,, dasselbe gelten.
Wenn sich aber c nicht zu allen Elementen von G syzygetisch verhält,
so ist « kritisch genau für die Hälfte der Faktoren von P,. Denn an-
genommen, x sei ein Element von @, das sich zu « azygetisch verhält.
Alsdann ist der Quotient c eine ungerade Function. Daraus folgt, dass
w kritisch ist für einen der beiden Faktoren 6,, 6,,, für den andern nicht,
und dasselbe gilt offenbar für je zwei Faktoren von P,, die durch die
Permutation x in einander übergeführt werden.
Davon machen wir folgende Anwendung. Es sei ein System von 4^
Gróssen C gegeben, die den einzelnen Thetafunctionen zugeordnet sind.
Mit diesen setzen wir in Verbindung ein zweites System von 4^— 1
Gróssen e, die den einzelnen Permutationen entsprechen, und einen Faktor
r, indem wir setzen
CI.
Das Produkt soll erstreckt werden über alle Permutationen p, die für 6,
kritisch sind. Wir haben so ein System von 4^ Gleichungen; die Faktoren
€ sind nicht rational dureh die C bestimmt. Wenn wir uns aber nicht
nur die C, sondern auch die Werthe ihrer Logarithmen gegeben denken,
so kónnen wir das Gleichungssystem durch ein lineares zwischen den Lo-
garithmen ersetzen und auf diese Weise die e eindeutig bestimmen.
Bilden wir jetzt das Produkt
Am = II [rs im
268 F. Schottky.
erstreckt über die Elemente x einer Gruppe n“* Ordnung, und denken uns
für jedes C,, seinen Ausdruck eingesetzt. 7, wird dann zunächst den
Faktor r in der 2"ten Potenz enthalten. Wenn ferner y eine Permutation
ist, die nicht zur ganzen Gruppe syzygetisch ist, so ist j genau für die
Hälfte der 2" Functionen 6,, kritisch; infolge dessen wird der Faktor e,
2" mal in z, vorkommen. Ist endlich y syzygetisch für die ganze Gruppe,
so ist jp kritisch für alle Functionen 6,,, oder für keine: im ersten Fall
kommt e, vor in der Potenz 2", im zweiten gar nicht. Das Resultat ist
demnach :
EL
im — 1
Ie) ner,
wo das eine Produkt sich erstreckt über alle Permutationen v», die nicht
zur ganzen Gruppe syzygetisch sind, das andre über die Permutationen p,
die zu allen 2" Functionen 9,, kritisch sind.
Indem wir
T VIe) = R
setzen, kónnen wir das Resultat so darstellen:
Vin = Ril(e,).
Der Faktor R hängt zwar ab von der Wahl der Gruppe, aber nicht
von dem speciellen Index m; er füllt also fort bei homogenen Relationen
zwischen den 7,, die zu derselben Gruppe gehört. Das Produkt //(e,)
enthält um so weniger Faktoren, je grösser die Ordnung der Gruppe ist.
Damit ist zugleich die Auflósung des Gleichungssystems gewonnen.
Es sei e, irgend einer der Faktoren e. Wir wählen zunächst zwei Func-
tionen 6,,, 6, in der Weise, dass p kritisch ist für 6
4,. Dann bilden wir die Produkte:
nicht kritisch für
m)
Im = (Cx), USE II(C,.,),
erstreckt über die Gruppe derjenigen Permutationen x, die zu y syzygetisch
sind. Diese Gruppe ist von der Ordnung 20 — 1. Kritisch für sümmt-
liche Funetionen 6,, oder sämmtliche @,, kann nur eine Permutation sein,
die zur ganzen Gruppe syzygetisch ist, also nur y; nun ist # kritisch für
4,,, aber nicht für 6,; folglich erhalten wir:
92p—1,— 2 930—1 =
V Zn = OC; Yan Py
Über die Moduln der Thetafunctionen. 269
oder:
230—1 /
e, Tr
3 Tn
$6
Wir wollen die elliptischen Functionen nicht übergehen. Unter €,,
€,, €, verstehen wir wie früher die Anfangswerthe der geraden Theta; der
ungeraden Function 6 ordnen wir gleichfalls eine Constante c zu, die will-
kürlich gewählt sein kann. Die Faktoren e, definiren wir dann durch die
Gleichungen:
€, = lé, C = Yes; C3 = V€g,
C! = Typ €, $n.
In der letzten Formel kommen drei Faktoren e vor, weil für das ungerade
"Theta alle drei Permutationen kritisch sind.
Die Gleichung ej +5 + € =o geht dadurch über in
C03 C3, =E yo = O.
Dies zeigt, dass man für die e, substituiren kann die Differenzen dreier
T tI "a .
Werthe e, , 60, 5 6:
Cig — + (€, — 6, ete.
€,, €,, €, selbst dürfen als unabhängige Werthe angesehen werden.
Sondert man von den Thetafunctionen die Constanten c ab, indem man
FLE c CNE.
a" a)
setzt, so nehmen die Relationen zwischen den Quadraten der o die ein-
fache Form an:
(e, — €3) 01 az (es — ej)ei + (& — €) e; — 0,
e, — 2; + (e, — e)0' — o.
Schärfer treten diese Verhältnisse hervor im Falle 9 — 2. Zehn Con-
stanten, die Anfangswerthe der geraden Theta, sind unmittelbar gegeben;
den sechs ungeraden Functionen @,,®,,..., 4, ordnen wir ebenfalls be-
stimmte Constanten ¢;,¢),...,¢; zu, und zwar sollen dies die Werthe der
210 F. Schottky.
linearen Anfangsglieder sein für irgend welche beliebig gewählte constante
Werthe w,, «, der beiden Variabeln « , w’.
Wir haben dann ein System von 16 Constanten c; diese sind durch
ein System von 20 Gleichungen verbunden, das reprüsentirt wird durch
die Formel:
3
li (GE Ca Cass Case Case) OO:
Diesen 16 Constanten c stellen wir 15 Faktoren e, gegenüber, die den
15 Permutationen 12, 13,..., 56 entsprechen, indem wir allgemein setzen:
4 ni
Cm = II (e,),
wobei das Produkt zu erstrecken ist über die für 6,, kritischen Permuta-
m
tionen. Danach ist z. B.
4 ^
Ci = Ve; 694... C565
4 T
C193 — C6 — 1,3 €13 Enz €45 Ca C56 -
Dadureh verwandelt sich die Gleichung zwischen den c in die viel ein-
fachere:
€; b C31 4 Ex = ©.
Denn 23 ist offenbar die einzige Permutation, welche für die vier Fak-
toren des Produkts
0, I Bac 6,5
kritisch ist.
Die Bedeutung der Relation zwischen den e,; ist ohne weiteres klar:
sie sagt aus, dass die e,, nichts andres sind als die 15 Differenzen von
sechs Grössen 6,,6,,..., €:
Cag = + (e — ej).
Es ist bekannt dass sich auch hier die Thetarelationen sehr verein-
fachen, wenn man von den einzelnen Functionen die entsprechenden Fak-
toren € absondert. Setzen wir allgemein
0, = Cn " Om en
Die Gleichung zwischen vier ungeraden Theta:
2, NEE Con 4") — 0
a]
Über die Moduln der Thetafunctionen. 271
geht über in
4
> (+ Ce 6,0;) 0
a=]
oder:
2 2
Eng €34,63, 0 th... À Cyn Cys 64 04 = O, .
da 23,24,34 und 56 die einzigen Permutationen sind, die gleichzeitig
für 6,4, und 6, kritisch sind.
In ähnlicher Weise geht die Gleichung:
ps (+ Cass Case 0,5; 6) = @
aal. >
iiber in:
Eos 0, 0155 C5 Où 0955 À 612 O3 035; — O;
denn kritisch für die vier Functionen
Is ’ 06, ) [m ) 0,
ist nur die Permutation 23.
Endlich geht die Gleichung zwischen vier geraden und zwei ungeraden
Functionen:
Cus Cia Os Boxe 7$ ji C45 C»46 Biss Os = Es C355 C346 6; 6,
über in:
0345 F246 — O45 0146 = E E12 634 05 0%,
wie ebenfalls ohne jede Rechnung zu erkennen ist.
Für o = 3 tritt die Schwierigkeit ein, dass man zunächst im Zweifel
ist, welehes System von Constanten man den ungeraden Theta zuordnen
soll. Wir beschrünken uns zuniichst auf die Relationen zwischen den An-
fangswerthen der geraden Theta.
Legen wir eine Hauptreihe
B cud
der Bezeichnung zu Grunde. Wir müssen dann eigentlich die übrigen
Theta bezeichnen dureh die Combinationen dritter, fünfter und siebenter
Ordnung der Zahlen 1,2,...,7. Statt dessen lassen wir die Thetafune-
tion, die eigentlich der Combination aller sieben Zahlen entspricht, ohne
212 F. Schottky.
Index und ersetzen jede Combination von hóherer als der dritten Ordnung
dureh die complementüre. Es sind dann 6,, 6,,..., 0;, 6,,... 0,; die 28
ungeraden Functionen; die übrigen: 60,,...0;,; und @ sind gerade. Die
567
Indices der Theta können wir auch zur Bezeichnung der Permutationen
verwenden; die Permutation m ist diejenige, welche @ in @, überführt.
Die Relationen zwischen den 36 Grössen c sind gegeben durch den
Satz: Zu jeder GórErL'schen Gruppe (0, x, A, x4) gehören drei Produkte
6, Or 6,; 6
üxÀ
die aus lauter geraden Faktoren bestehen; die Werthe dieser Produkte für
n vot Y J
u =o genügen der Gleichung:
Y (+ 4) = o.
Nehmen wir speciell die Gruppe (0, 56,7, 567). Die drei Constanten q
sind hier:
C145 C146 C235 C236 ;
C245 Core € 3153165
C345 C346 C125 C126*
Die Summe dieser Produkte ist also gleich o. Wir kónnen der Gleichung
eine einfachere Form geben, nümlich:
D; Dir eh Din Du: sk Du Dy; =i,
wenn wir die Bezeichnung:
OY T C
aBy M aB0 “ay
C
^Byà
20
xÀn
einführen; «,,7,9 sollen hierbei irgend vier der Zahlen 1r,2,...,7 be-
deuten, x, À, die drei übrigen.
Die Gleichung zwischen den Grössen D sagt offenbar aus, dass sie
sich als Determinanten darstellen lassen müssen. Wir kónnen sieben Werth-
systeme (A,, B,, C,) aufstellen, sodass allgemein:
4, B, C,
|
D, | A, D, C,
A FPE
Über die Moduln der Thetafunctionen. 273
ist. Damit wir es nur mit unabhängigen Grössen zu thun haben, sondern
wir von jedem Werthsystem (4,, D,, C,) einen Faktor /, ab und schreiben
demnach :
a, b
D, = a Lll (t; b, C, .
[FE su, gn
7 n
Wir stellen uns die Aufgabe, siimmtliche Grössen ¢ auszudrücken als Func-
tionen der Werthsysteme (a,b, ec), die wir als homogene Coordinaten von
sieben. Punkten der Ebene auffassen kónnen
Die Determinante
bezeichnen wir mit f,,, sodass
> a à > es
€ of Caso € ayo Cara =) [, I, l, fade
ist. Wir stellen zuniichst eine Gleichung auf, bei der die Faktoren / eli-
minirt sind:
Cus Cv ao Co35 “x36 TIT fus fans
Caa5 C246 C185 Cise Par lis
Beriicksichtigt man, dass die Zahlen 1,2,...,7 beliebig unter einander
vertauscht werden kónnen, so ist damit ein Gleichungssystem gegeben zur
Bestimmung der Grössen c. Allerdings sind die c dadurch allein noch
nicht vóllig bestimmt. Wenn wir allgemein
a V V, Capy
Cas durch 7
"V
ersetzen, wo r,,r$,...,7; beliebig gewählte Faktoren bedeuten, so bleiben
die Gleichungen bestehn. Dies ist aber die einzige Unbestimmtheit, welche
übrige bleibt.
Die Lósung des Gleichungssystems liegt nahe, wenn man die Indices
der Grössen C und f berücksichtigt, die auf beiden Seiten vorkommen.
147 und 237 sind Permutationen, welche kritisch sind für die Faktoren
des Produkts
Biss Bus Hs P; >
Acta mathematica, 27, Imprimé le 12 janvier 1909. 35
274 F. Schottky.
Dasselbe kann man sagen von den Permutationen r4 und 23, aber von
keiner andern. Daraus allein. folgt, dass die Gleichungen erfüllt werden,
wenn man setzt:
C4, = rll(e,),
das Produkt erstreckt "über die für 6, kritischen Permutationen y, und
dabei unter e, den Ausdruck f,. versteht wenn p eine dreigliedrige Com-
bination af ist, dagegen den Werth 1, wenn p ein zweigliedriger Index
aß ist. Die Werthe der e mit eingliedrigem Index: e,,6,,...,6;, sind
vorläufig willkürlich. Darin ist die allgemeine Lösung des Gleichungs-
system enthalten, und es bleiben nur &,®,...,e, als Functionen der
Werthsysteme a, b, c zu bestimmen.
Wir kónnen die Gleichung
CH)
auch gelten lassen für den Anfangswerth c der Function ohne Index, da
wir die Grössen &,,&,...,e; noch mit einem Faktor multipliciren können.
Sie lautet für diesen Fall offenbar:
CI eren.
Fassen wir jetzt allgemein die Gleichung
=
ins Auge, die zu einer beliebigen GóPEU'schen Gruppe (0, x, A, x4) gehört.
Die drei Grössen 4,,4,,, entsprechen drei Produkten gerader Theta:
Q,, Q,, Q,. Zu derselben Gruppe gehört noch ein Produkt ungerader
Theta: dieses ist (Q,,,. Kritisch für die Faktoren von @, sind nur die-
jenigen Permutationen, die Q, in Q,,, oder, was dasselbe ist, die Q, in
(), überführen. Die Gleichung erhält demnach durch Einführung der Fak-
toren e die Gestalt:
A+ 5B+0=0,
wo A, B
tritt insofern ein, als ein Theil der Faktoren e den Werth 1 hat,
C Produkte von je vier Grössen e sind. Eine Vereinfachung
)
Nehmen wir jetzt die specielle Gruppe:
(0 4405,67 9 1.28)
Über die Moduln der Thetafunctionen. 215
Die zugehörigen Produkte gerader Theta sind:
0,4 G56 8,4 8,5; $ (a=1,2,3)
Die Permutationen die das zweite Produkt in das dritte überfahren sind:
.
23, 2345 = 167 , 2367 — 145 , 1.
Da e,, = 1 ist, so erhalten wir:
^» (+ €, ET funi) = ©.
a=l
Nehmen wir ferner die Gruppe:
(0,127 3475 502);
oder:
(9359456 12507, 1234):
Die drei Functionen @ sind:
v6 245)
0,,,0,41,0,5, 0,45;
9 dr:
Damit sind auch ohne weiteres die Permutationen gegeben, welche die drei
Produkte in einander überführen. Wenn wir berücksichtigen, dass e,,,e,,
und e,, gleich 1 sind, so können wir die Formel hinschreiben :
us Piso lian fase laas Æ ss loss lise lias s €:
oder:
fiss fias lise lide |
(ass luc fase haus
Diese Gleichung definirt die Faktoren e, ,e
Werthsysteme (a, b, c); offenbar ist e, diejenige quadratische Determinante,
Be
33,6, als Functionen der
welche verschwindet, wenn die sechs von (a) verschiedenen Punkte auf
einem Kegelschnitt liegen.
Damit sind jetzt die Grössen c und c,, dargestellt als Functionen
as)
unabhüngiger Parameter. Abgesehen vom Faktor 7, sind die vierten Po-
tenzen der c ganze homogene Functionen der sieben Werthsysteme @,, 5,, ¢,.
216 F. Schottky.
Ordnen wir jetzt auch jeder ungeraden Function 6, eine Constante
m
€, zu, indem wir die Formel
m
Cm = rIl(e,)
auch fiir diesen Fall gelten lassen. Wenn wir an Stelle der Theta wieder
o-Functionen einführen, indem wir setzen
8. = Cn On ’
so treten in den o-Relationen nur die Faktoren f,
Opy
und e, als Coefficienten
auf. Wir wollen uns aber darauf beschrünken, die Relationen zwischen
den Anfangseliedern der ungeraden Sigma, und die zwischen den Wurzel-
funetionen aufzustellen.
Zwischen den Anfangsgliedern von vier ungeraden "Theta hatten wir
die Gleichung aufgestellt:
4
2 (4 Case Cast Cae U,) = (x
Voraussetzung war dabei, dass 4, , 6,, 6, , 0, eine azygetische Reihe bilden,
und dass 0,., 0,, 0, diese Reihe ergünzen. Wir setzen
Uy = €, - Vas
sodass jetzt v, das Anfangselied einer Sigmafunction ist. Um die ent-
sprechende Gleichung zwischen v, , v in ihrer reducirten Form dar-
My» Vas 9, , 9,
zustellen, handelt es sich nur darum, die kritischen Permutationen der
Produkte
v
0, 0, ,,6,,. 0
156 167 167) etc.
festzustellen. Kritisch für das hingeschriebne Produkt sind nur diese:
1,23,24,34,234 und 567.
Da wir den Faktor e,,, fortlassen können, so erhalten wir als Coefficienten
von 2:
ê Cas €34 C54 Cy 54°
Entsprechende Werthe haben die Coefficienten von v,, v,, v,. Es bleibt
2 ,
nur noch die Bedeutung der einzelnen Indices festzustellen.
23,24 und 34 sind die Permutationen die die drei Functionen 6,,
78,, 0, in einander überführen. 1 und 234 sind diejenigen, welche 6, in
Über die Moduln der Thetafunctionen. 277
0 und in 6... überführen. In welcher Beziehung stehen 6 und ®,,, zu
567
der Reihe 6,,6,,0,,0,? Es sind dies die einzigen geraden Functionen,
die der Reihe hinzugefügt werden kónnen, ohne dass sie ihren azygetischen
Charakter verliert, und sie ergänzen die Reihe zu einer geschlossenen. Dem-
nach kónnen wir sagen: ,
Um die Relation zwischen den Anfangsgliedern von vier ungeraden
Sigmafunetionen: @,,@,;, 6.
;, 95, die eine azygetische Reihe bilden, aufzu-
stellen, ergiinze man diese Reihe zu einer geschlossenen durch Hinzufügung
zweier geraden Functionen o,, a. Die gesuchte Relation lautet alsdann:
5,655 Cra Cox Car Va E =: EC
u ‘af € es; Ex 62103 — O.
ay
Es ist bei dieser Formel durchaus nicht nóthig, dass die vier Functionen
der Hauptreihe angehóren. Wenn dies aber der Fall ist, so vereinfacht
sie sich bedeutend. Die Faktoren e,,,6,,,...,e,; erhalten den Werth 1.
Ferner sind @ und 6,,, die beiden Functionen 6, und 6;,. Wir erhalten
daher in diesem Falle:
€, fard Va Here E 05 fis, V3 = O.
bya
Diese Gleichung sagt folgendes aus:
Durch eine lineare Transformation der Variabeln w, w', wv” kann man
bewirken, dass
eV, = a,u+b,wW + c,w (a=1,2,...,7)
wird.
Nehmen wir statt 0, , 9,, 0,, 0, die folgende Reihe
Gia O10, Wunden
45°
In diesem Falle sind 6,,, und 6,,. die beiden geraden Functionen, durch
welche die Reihe ergänzt werden kann. Demnach ergiebt sich:
€, €; Vas = + fase fs; fois P545 ? + NT + frag fis; has foas Us.
Aus diesen Formeln geht die Richtigkeit unsrer früheren Behauptung
bee} >
deutlich hervor, dass die azygetischen Relationen zwischen den 28 Anfangs-
gliedern ausreichen, um alle durch drei unter ihnen auszudrücken.
Viel einfacher gestalten sich die Relationen zwischen den Wurzel-
funetionen. Wir hatten diese zunächst so dargestellt: Zu jedem x gehören
> n Le
278 F. Schottky.
sechs Wurzelfunctionen qw, = v»,»,,; Je drei unter ihnen sind durch eine
Gleichung:
uf; vo, Es A; Vu; 2n Ay Vw, = 8
verbunden, und die Coefficienten haben die Werthe:
A, = ar VParp Pod Pop etc.,
wenn A, #,» die Indices der drei übrigen Wurzelfunctionen sind.
Ersetzt man 4, durch c,v,, so tritt zu A, noch der Faktor yp, = vers,
hinzu. Die Gleichung nimmt dann die Form an:
[5 | [OS OTI —
Vra Va Vax E rg vg vg, E Ir, v, v, — O,
wo die r Produkte bedeuten aus je 8 Grössen e, gehörig zu der Gruppe
mit der Basis (x, Aw, Av).
Jetzt ist es leicht, die Coefficienten durch die Gróssen e auszudrücken.
Kritisch für die Faktoren von r, sind nur die Permutationen, die 6,43,
in 0,.6,, überführen, also fy und fx. Daher ergiebt sich:
Corny V Va Vax ar got Bie Cup Casx \ Vy Vyx = O.
C5.
PY |
Speciell werden diese Relationen zum Theil äusserst einfach. Nehmen
wir z. B. die drei Wurzelfunctionen
A In /
VU, ?; > VUos Ug, 5. N34 Vis
die zu x — 1234 gehören. Hier sind alle Coefficienten gleich +1. Denn
es geht z. B. die zweite in die dritte über durch die Permutationen 23
und 14; es ist aber e
33, OY "S
Ahnlich sind in der Gleichung zwischen
VU, Vos 9 VU, V. » VU io
die Coefficienten einfach: e, ,e, und e,. Denn die zweite geht in die dritte
über dureh die Permutation 1 und 23.
Zwischen
besteht die Gleichung:
las: vo, Uis Hg fair \ vy Vs; cit ha \ Vs Us; = ©,
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 27
Endlich: zwischen den Wurzelerössen, die x — 1234 eehören:
Vis US > Nas Via > VU Do
können wir die Relation aufstellen:
J Ju UT . * r - “= pel /
c s VU, Vos «E hiss las; \ Vos Vis — VaR Vor y
Denn die zweite geht in die dritte über durch die Permutationen 235 und
145, die erste aber in die zweite durch die Permutationen 12 und 34;
es sind aber e,, und e,, gleich 1.
An die beiden letzten Formeln knüpft sich die Bemerkung, dass man
die Gróssen y», oder y», selbst in ühnlicher Weise darstellen kann, wie
die Constanten c,. Indem man
) = or
0105... 0, 7,
Tr 1
V Va V8 Ug3 = F 2,
TU, y
V SUHH G, )
Vin Us
vz Oe = H
a
setzt, kann man die erste Gleichung so schreiben:
Fay Ot REESE f. P. = 0,
317 37
die zweite aber in die beiden Formen setzen:
b 13,7 24 DS nA
Ge Trieb : . ^ ^ ;
Nsstois loss Aas
^y
HF Gy, G;, G5, Ga
5 ‘or PT fe
hiss lass loss hias
Die erste Gleichung zeigt, dass man:
EN D:
FE, Tr d a, b, Ca
a b (
280 F. Schottky.
setzen kann, wonach 7; ausgedrückt ist als lineare Function von drei
(Grössen z,9y,2. F,,;=0 ist die Bedingung, dass der Punkt x,y,2z auf
der Geraden liegt, die durch (a) und (8) hindurchgeht.
Die zweite sagt aus, dass G,; diejenige quadratische Function von
T,3,Z ist, welche in allen sieben Punkten ausser (4) und (3) verschwindet.
Die dritte endlich definirt 77 als kubische Function, die in allen sieben
Punkten verschwindet, und zwar im Punkte (4) von der zweiten Ordnung.
x,y,z sind selbst durch eme Gleichung sechsten Grades L = o ver-
bunden. Diese kann man in sehr vielen Formen darstellen, z. B.:
)
> | Y , À
I 03 I5 Gr G5; =. I ay 9 Bà G,
Gs = ©.
Dies ergiebt sich unmittelbar, wenn man berücksichtigt, dass
Pop _ Yap
Gag Va |
ist. Es ist leicht zu sehen, dass diese verschiedenen Gleichungen auf die |
eine geometrische Bedingung hinaus kommen: Die Curve LZ =o ist der
geometrische Ort der Doppelpunkte aller Curven dritten Grades, die durch
sieben. feste Punkte hindurchgehn und einen Doppelpunkt besitzen.
Für p — 4 sind analoge Resultate noch nicht bekannt, ausser in dem
speciellen Falle, wo eins der c gleich o ist.
Sn
718
Wir versuchen jetzt auch bei den AnErschen Functionen von vier
Variabeln die 136 Constanten c in Beziehung zu setzen mit einem Punkt-
system der Geometrie. Den allgemeinen Fall, wo 10 unabhängige Para-
meter vorhanden sind, müssen wir allerdings beiseite lassen; es handelt
sich nur um den Rremann’schen Specialfall, der durch die Gleiehung
FE. PE A ll
VrRENM EUR o
charakterisirt ist. Wir gehen aber nicht von diesem Gleichungssystem aus,
sondern von dem, das am Schluss von $ 4 aufgestellt war:
Vs, + \ 8 + \ 8, = O.
Über die Moduln der Thetafunctionen. 28]
Zu jeder Görer'schen Gruppe zweiter Ordnung gehörten 20 solche
Gleichungen. Wenn man zunächst die Reihe der Funetionen Q aufstellt:
Q0 0.7.5;
6?
die Produkte ungerader Theta sind, so sind
Qs = Qo, Q4, = so, elc.
die 10 Produkte gerader Theta, die zu der gegebenen Gruppe gehören.
Jeder der 256 Functionen 6 entspricht eine bestimmte Constante e, jeder
Function Q somit ein constanter Werth g, und die 20 Gleichungen, welche
zwischen den 16 Constanten
q, ) a PS | de ) Vas ete.
bestehen, kénnen durch die eine Formel
3
2 (+ qu 045 (246 qusc) A
repräsentirt werden.
Da hier jedem Theta eine bestimmte Constante zugeordnet ist, so
kónnen wir nach der Methode von § 5 verfahren. Den vierten Potenzen
der c, — als den Gróssen C, — stellen wir ein System von Faktoren
e, gegenüber, die den Permutationen entsprechen und die mit den c ver-
bunden sind dureh die Gleichungen
Ca = ril(e,),
wo sich das Produkt erstreckt über alle für 4, kritischen Permutationen y.
Alsdann geht unsre Gleichung über in:
E, + E, + E, =o,
wo E, wiederum ein Produkt //(e,) bedeutet, aber nur erstreckt über die-
jenigen Permutationen y, die für sämmtliche 16 Faktoren des Ausdrucks
Q Quas Qu Os
kritisch sind. Eine solehe Permutation muss @, in ein Produkt gerader
Theta, Qs, Que und Q,,, in Produkte ungerader Theta überführen. Die
einzigen Permutationen, welche diese Eigenschaft haben, sind 4; und die
Acta mathematica, 27. Imprimé le 12 janvier 1903. 36
282 F. Schottky.
welche aus 57 entstehen durch Hinzufügung eines Elements der gegebenen
Görer'schen Gruppe. Das Resultat ist demnach
T. b Tu À 740,
wo
z, = AI (e,,)
x
ist, das Produkt erstreckt über die vier Elemente der gegebenen Gruppe.
Nachdem soweit die Untersuchung allgemein. geführt ist, legen wir
von jetzt ab für die Bezeichnung der Theta eine geschlossene azygetische
Heihe von 10 gleichartigen Functionen:
B npo: OF Fund Ww
A] 0
zu Grunde. Alle Combinationen ungerader Ordnung der Zahlen 1,2,...,
9,0 bezeichnen Functionen, die von gerader Ordnung dagegen Permuta-
tionen. Da zwei complementüre Combinationen jedesmal dasselbe Theta
oder dieselbe Permutation bezeichnen, so kónnen wir uns für die Theta
auf die Combinationen erster, dritter und fünfter Ordnung beschränken,
für die Permutationen auf die Combinationen zweiter und vierter Ordnung.
Die Functionen 6, der Hauptreihe sind gerade, 06,. ist eine ungerade,
Basie
Gróssen e,; und e,;;.
03
a
wiederum eine gerade Function. Das System der e, zerfällt in die
Wir haben hier nicht mehr die volle Symmetrie der Voraussetzungen,
da 10 Functionen vor den übrigen bevorzugt sind. Aber es muss jede
Gleichung die wir zwischen den e,; und e,.; aufstellen, richtig bleiben,
"
wenn wir die Zahlen ı,2,3 ete. beliebig unter einander vertauschen.
)
Deshalb genügt es, einzelne Typen aufzustellen. Die Anzahl dieser Typen
beträgt sechs, und da sie ohne Zweifel ein interessantes Gleichungssystem
bilden, so wollen wir diese "Typen vollständig angeben.
Zunüchst ist leicht zu sehen, dass es nur drei Typen giebt für die
Görer'sche Gruppe zweiter Ordnung. Es dürfen nämlich zwei Combina-
tionen, die in der Gruppe vorkommen, immer nur eine gerade Anzahl von
Elementen gemeinsam haben. Diese drei Typen sind:
L, (O55 73.4890... 7800).
LT... (0.9.0 2 342556 7.100),
J
LET. (O 5690 , 7990).
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 985
Für jede der definirten Gruppen haben wir eine Reihe von 6 Fune-
tionen (9 aufzustellen, die Produkte ungerader Theta sind.
Dies sind für die erste Gruppe:
Vins ) Bars ) W375 , Qi. ) W575 ) Qo:
fiir die zweite:
(io ) Qi ) Us 40 , Q;so ) Q.so à Yi 80)
fiir die dritte:
V se ) ies ) Lam ) Ge ; Qo J vo
Dei der ersten Gruppe ist es gleichgiiltig, welche der drei Glieder
wir auswählen. Nehmen wir die drei ersten:
Mir ) ren ) N
(),;, geht in @,-, über durch die Permutationen:
23, 2378, 2390 , 237890 — 1456.
Wir haben demnach die Gleichung:
(a) 2, (E 65565556 82320 iss) = O*
Die Summe auf der linken Seite besteht aus drei Gliedern; das zweite
und dritte entstehen aus dem hingeschriebenen durch Vertauschung der
r
Zahlen 1,2, 3.
Bei der zweiten Gruppe sind zwei Typen aufzustellen. Wir können
entweder auswählen:
Quo ) Qd ) (APRES
Q
"o 1 i] à" VE 1o Joy atı ar *
ds geht in Q,,, über durch die Permutationen:
23, 14, 2390, 1490.
Dies führt zu der Gleichung:
(b) 2 (X 635 14 200 €1490) = O-
Oder wir kónnen wiihlen:
Qiu ) Qi ) IAM
284 F. Schottky.
Da Q,,, in @,,, übergeht dureh die Permutationen
2356 , 2378, 1456, 1478,
so erhalten wir eine Gleichung, der wir die Form geben können:
Case ras © 356 1578
(c) = F € la 61550 €, 450-
€ € € €
2456 72478 2356 2378
Die dritte Gruppe liefert drei verschiedne "Typen, je nachdem wir aus der
Reihe der sechs Functionen @ auswählen:
Qi ) [5 js I Que
oder:
rem ) Qs; ) Qo
oder endlich:
Ass ) Q; > Qi:
Diese drei Gleichungen sind:
(d) 2 (+ Cay Vues ee) = 0)
(e) Cio 3456 %3 178 3490 — 2 (+ C1679 689 A Ar
f sro 681580 — Cisso 1570
( ) Ess ers Ego 284 — E
€io:5Cios0 1689 "1670
Von den Formeln dieses Systems ist zuniichst die zweite, (b), die
wichtigste. Sie lässt sich noch vereinfachen. Wenn man statt der 6,5;
einführt:
Cas Cay Cad Cay €5; en Capya a afyo)
so geht sie iiber in:
2» (4D, 9D 3) 5:0;
150,9 223 2390
und dies zeigt, dass die D,,, Determinanten sind. Es müssen sich zehn
Werthsysteme
(dar Be Ou, D.) (41,2, ..., 0)
oder besser:
(laa ; da da , luc, , lud.)
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 285
angeben lassen, sodass allgemein:
Deg = Lll,
apya
TR WE OR TE
0
ist. Die 10 Werthsysteme (a,,b,,e,, d,) fassen wir auf als die Coor-
4
dinaten von 10 Punkten im Raume, und setzen jetzt:
Cag Coy Dc €, €,872 = L, I; L I; fiy =
fig. ist dann diejenige lineare Determinante, deren Verschwinden ausdrückt,
dass vier der 10 Punkte in einer Ebene liegen.
Man kann nun in sämmtlichen Gleichungen die Faktoren e,;, durch
die neu eingeführten Grössen f,,; ausdrücken. Die Gleichungen enthalten
dann ausser den f noch die Grössen e,; und /,. Es ist vortheilhaft, auch
diese durch andere zu ersetzen.
Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein:
Mit e soll das Produkt aller 45 Grössen €,; bezeichnet werden;
mit e, das Produkt derjenigen neun, deren Index die Zahl 4 enthält
(sodass, z. B. &, =.6,,&3 .....€,, 18b);
endlich mit / das Produkt der 10 Grössen J, , /,, ..., 4.
Wir setzen dann:
7
2 lh,
e. = ^T , (a=1,2,...,9,0)
eu
3_3
f. on l Ca 28
Cia a BA i à: (a, 8=1,2,...,9,0; af)
e Lo lglag
Am leichtesten lassen sich diese Substitutionen durchführen bei den
Gleichungen (a) und (d). Sie gehen über, wie man ohne Mühe erkennt, in:
(a) e (E St fu fis fis lave Po lacs) = ©
und:
(d^) 5 (+ Giles frase fias fan) — O0:
12,9
286 F. Schottky.
Die letztere Gleichung ist leicht zu deuten. Wir kónnen sie zunüchst
so schreiben:
a gt Fa ban ln Forse lun) = Os
indem wir berücksichtigen, dass f,,, eine lineare Function der Coordinaten
des Punktes (a) ist, welche verschwindet, wenn dieser Punkt mit (x), (A)
oder (z) zusammenfällt. Alle diese Gleichungen haben die Form:
= (+ se) pee a AR Ae d,)) —0,
a.
wo H(x,y,2,t) eine Function dritten Grades bedeutet, die im Punkte (x)
von der dritten Ordnung verschwindet. Es ist leicht zu sehen, dass diese
Formel selten muss, welche besondere derartige Function wir auch für H
nehmen mögen. Denken wir uns nun, 77-0 sei die Gleichung einer
Kegeltläche dritten Grades, deren Spitze im Punkte (x) liegt und die durch
8 der übrigen Grundpunkte hindurchgeht; dann zeigt die Formel, dass
auch der letzte Punkt auf diesem Kegel liegt. Wir kónnen daher unser
System von 10 Punkten in folgender Weise geometrisch charakterisiren:
Zieht man von irgend einem der 10 Punkte aus Strahlen nach den
neun übrigen, so bilden diese neun Geraden immer den vollständigen
Durchschnitt zweier Kegel dritten Grades.
Es giebt auch eine geometrische Relation, welehe die gegenseitige Lage
von acht der zehn Punkte charakterisirt. Nehmen wir die Gleichung (f)
unsres Systems und drücken auch in dieser die Grössen e,,; und e,; durch
fino, fog und die £, aus. Nach einer kleiner Rechnung ergiebt sich:
b isis fisso Pisas fisso
(P) =;
l 1879/1080 P 680 "TIT. pner ae
Der Ausdruck links ist hier nichts andres als diejenige aus den Werth-
systemen (v, b, e, d) gebildete quadratische Determinante, deren Verschwinden
anzeigt, dass ein Kegel zweiten Grades existirt, mit der Spitze im Punkt
(1), der dureh die Punkte 5,6,7,8,9,0 hindurchgeht. Für diese Func-
tion wählen wir die Bezeichnung
Jass,1*
(2), (3) und (4) sind diejenigen Punkte, deren Coordinaten in dem
Uber die Moduln der Thetafunctionen. 287
Ausdruck nicht vorkommen. Wir haben dann die eigenthümliche Re-
lation:
2 esi 12 fa fu hen
welche natürlich bestehen bleibt bei jeder Vertauschung der 10 Zahlen.
Durch sie ist ein Mittel gegeben, auch die Faktoren f,; und £, aus-
zudrücken als Functionen der Werthsysteme (a,b,c,d). Aber sie giebt
zugleich die Möglichkeit, eine Relation zwischen je acht der 10 Punkte
aufzustellen. Diese Relation ist:
I115,292415,3 315.1 — Ua, 115,27 145,8 -
In ihr kommen die Coordinaten der Punkte (4) und (5) nicht vor, und
man sieht ohne weiteres, dass sie richtig ist, wenn man vermöge der obigen
Formel 9,;,,; dureh /,;, ausdrückt.
Es ist dies eine Relation zwischen acht Punkten, die ich schon in
einer [rüheren Arbeit (CrELLE' Journal, Bd. 105, 8. 273) besprochen
habe; sie sagt aus, dass eine Fläche vierten Grades existirt, welche die
acht Punkte zu Doppelpunkten hat. Eine solche Fläche kann noch zwei
weitere Doppelpunkte besitzen: dies müssen offenbar die beiden übrigen
Punkte sein. Daher lässt sich das System der zehn Punkte charakterisiren
als das der zehn Doppelpunkte einer Fläche vierten Grades.
Es hat vielleicht noch ein gewisses Interesse, die Gleichungen
Paper gear ek
umzusetzen in Relationen zwischen den e oder den f.
Es ist klar, dass für die Faktoren von r, nur die Permutationen
kritisch sind, die r, in r, überführen. Die Gleichung geht daher über in
Ray 431 IR — ©;
wo z,, ein Produkt von acht Faktoren e bedeutet, nämlich:
zm ee ED or)
es erstreckt sich über alle Elemente x der GórEL'schen Gruppe dritter
Ordnung, die der Gleichung zu Grunde liegt.
Demnach sind diese Gleichungen zwischen den e weniger einfach als
die vorhin betrachteten. Erleiehtert wird allerdings ihre Aufstellung da-
988 F. Schottky.
durch, dass für die GorEr'sche Gruppe dritter Ordnung nur zwei Typen
existieren, nämlich:
(0, 56, 78, 90, 5678, 5690, 7890, 1234),
und :
(o, 1234, 1256, 127 78, 3450, 3478, 5678, 90).
Für die erste der beiden Gruppen sind
0
14579? BS ) 34579
drei gerade "Theta, die gerade bleiben bei den sämmtlichen Permutationen
der Gruppe; für die zweite haben
6, ) 8. 579) (FREE
dieselbe Eigenschaft. Dies führt zu den beiden Gleichungen:
PCT €; ; € 4 C235 6 €1456 02378 01478 €2390 € 499) = o,
und:
C1357 C- 467 C1458 C1268 C1457 1367 Viso C1acs
e, 2 €s 1°; ce 8 s €1290 €; 1490 C5690 “7890 a +
2]
[62257 €2467 2458 €2368 €o451 €2361 63358 Cees
Wenn man nun in diesen beiden Gleichungen die Faktoren e,; und e,;;
ausdrückt durch die entsprechenden Grössen f,; und f,,,, so ergiebt sich das
tesultat dass für die f genau dieselben Gleichungen bestehen, wie für die e.
Daraus ist der Schluss zu ziehen, dass die Ausdrücke für die Anfangs-
werthe der 136 geraden Theta
ot pesca
Cm y rIl(e,)
richtig bleiben, wenn man jeden Faktor e durch das entsprechende f er-
setzt. Wir kónnen die Gleichungen aufstellen:
RITU
das Produkt erstreckt sich jedesmal über alle 120 Permutationen jr, die
A, in eine ungerade Function überführen. Damit sind die Grössen €,
m
aus-
gedriickt durch Produkte von Faktoren, deren Haupttheil dureh die li-
nearen Determinanten / gebildet wird.
apyı
289
NOTE SUR LES ZEROS DE LA FONCTION cis) DE RIEMANN
PAR
J.P. GRAM
à COPENHAGUE.
Le génie d'ABEL se manifesta non seulement dans la force gigantique
qu'il sût appliquer pour approfondir les problèmes qu'il prit pour objets
de ses recherches, mais aussi bien dans l'intuition remarquable qui lui fit
saisir précisement ces problèmes dont la solution devait conduire à des
résultats féconds pour l'avenir. Il ne doit done pas nous étonner de
trouver ABEL dans la liste des analystes qui ont préparé la terre pour
la théorie de la fonction Zeta, une des plus remarquables acquisitions de
l'analyse moderne.
A la vérité les Oeuvres d'Anrr renferment plusieurs mémoires con-
cernant cette matière, surtout ceux qui portent les numéros II et IV
du Tome 1, et I du Tome 2 de l'édition nouvelle contiennent assez de
choses dignes d'intérét. Sans entrer dans des détails je rappellerai parti-
eulierement l'attention sur deux formules fondamentales qu'on y trouve.
La première est l'égalité qui sous sa forme moderne s'écrit comme suit:
©
: as
(I) TAE Ta E — | Dosen da ,
e
0
sur laquelle Anrr est conduit en cherchant une expression des nombres
de BERNOULLI au moyen d'intégrales définies. Comme on sait, c'est cette
intégrale que Rınmann a prise pour départ de sa théorie générale et plus
Acta mathematica, 27. Imprimé le 14 janvier 1903. 31
290 J.-P. Gram.
tard feu M. Hermire' montra comment on en peut déduire une expression
qui conserve sa validité sur le plan tout entier. Il suffit de faire la
oc 1 0
décomposition f= [+ | pour établir la formule générale:
0 0 1
I I } I : I
I'(s)Q(s) = —— — — Büasbr Sere. —-...
E 8 — I 2s 2 sS-ri1 Ne En
* de C sg? , a
tuvo 3 (x) +...) de- IA.
1
D,, D,,... désignant les nombres de Brnwovrr; J, et J, les parties
correspondantes à chaque intégrale respectivement.
L'integrale (I) n'a aucun sens que quand la partie réelle de s surpasse
l'unité positive. Quand o < R(s) < 1 l'intégrale
Ne I 1
reste finie et a la valeur J, — En méme temps J, ie ; peut
s écrire
^, I i
Le —— - Jat dz
e= I r
1
done
TT io s IN in
(I) fils Gs) (= -— ar "dt, pour Gi< Hs) < me
ea ar E,
Également
I'(s)C(s) = | ie = ES ta, pour — 1 « A(s) <0,
=
tN
ete.
' Comptes rendus 1885, p. 112.
Note sur les zéros de la fonction f(s) de Riemann. 291
Evidemment cette transposition simple qui nous a donné l'extension
de la formule (I) est d'une plus grande portée. Appliquée à la fonction Is)
elle nous donne:
ao
I(s)-— f(e*— 1)& dx (—1 < Ris) <0), *
e
ey | (e 21 | dr (— 2 « R(s) « — 1),
et ainsi de suite.
Une autre formule de grande valeur pour la théorie de la fonetion
Zéta et qui tout-à-fait appartient à ABEL est la formule remarquable de
sommation quil écrit ainsi:
p
» I * "dt ola + ti) — ¢(a — ti)
(IT) Ie(x) = f eu) aec) + 2 | m (0 gc t A 1 1 a
0
gt — 1 2i
En posant g(a“) = x ‘(s > 1) et en prenant la somme de 7 =n à x — co,
on en déduit
(w+ 1)7 + (+ 2)7 +...
Zn 2i ;
= fa "dun" + 2
n
f I di (n+ &)-: — (n — ti):
o
la forme particulière de (II) qu'il faut appliquer dans la recherche de £(s).
En outre, la valeur principale de cette formule consiste en ce qu'elle donne
le moyen pour évaluer la reste dans la formule générale de sommation de
Eurer et MACLAURIN, qui fournit le procédé le plus expéditif pour le
'aleul de ¢(s).
Il ne semble done pas mal à propos dans ce volume des Acta
Mathematica, déstiné à honorer le nom immortel de Anzrr, d'insérer la
note suivante qui certainement touche un des problémes les plus intricats
du jour mais dont la méthode se rattache assez étroitement aux recherches
292 J.-P. Gram.
d'AsBEL lui-même. Le mémoire qui suit a été présenté a l'Académie de
Copenhague le 7 février de cette année et est inséré dans le premier fascicule
du Bulletin de cette Académie pour 1902.
Malgré les nombreuses études qui ont paru dans ces dernières années sur
la fonction ¢(s) de Rırmann, la question de ses racines imaginaires attend
toujours une solution. Les difficultés qu'elle présente, et qui proviennent
de ce fait qu'on ne possede pas une expression pratique, explicite ou
implieite, pouvant. étre prise comme point de départ d'une étude appro-
fondie générale de la dite fonetion, ont été jusqu'ici presque insur-
montables.
Pour obtenir des résultats qui puissent au moins servir à donner des
renseignements utiles pour guider dans les recherches théoriques, je me
suis occupé depuis quelque temps des caleuls numériques dont le but
principal était de créer une table numérique donnant les valeurs de la
fonetion ¢(f) pour une série de valeurs réelles de l'argument.
J'ai publié en 1895'
les valeurs numériques des coefficients qui
entrent dans les séries représentant les fonctions £(f) et ¢(s), et j'en ai tiré
quelques conclusions préalables sur les plus petites racines « de £(f) — o,
qui furent déterminées ainsi:
a, = 14.135, à; — 20.0£; ü. = 25.1.
Mais quoique les coefficients eussent été caleulés avec 16 décimales,
ce calcul ne suffit pas à déterminer les 4 avec une exactitude satisfaisante
pour des usages ultérieurs. Afin d'obtenir au moins 4, plus correctement,
T t 1
jai done repris le travail en commençant par calculer directement € (3.
a I P I Pe 1 ' "Ea ^ 1 ED
e 3)» C$ z) avec 28 décimales correctes. Cela m'a donné §(0) et £"(0)
et ensuite (D? log £(/) , avee la même approximation. Enfin j'ai calculé
2n + I
2
log (it) pour { — +: n< 15, me procurant ainsi le moyen d'établir
5 } n s , 23 "
une interpolation qui m'a donné successivement les coefficients supérieurs
Note sur le caleul de la fonction Es) de Riemann. Bulletin de l'Académie de
Copenhague 1895, p. 303.
Note zur les zéros de la fonction T(s) de Riemann. 293
dans la série de log,£(/). Pour la méthode, je me bornerai à renvoyer
au mémoire cité, le résultat obtenu fut la série suivante:
arty:
— log, &(t) = 0.6989’ 2226" 7945"' 3314'" 1529" 8362" 0204"" 81
AN IR AO, 078 8932 85.1 773r 7*
+ 1858" 6299’ 6426'" 3484" 28
+ 4"8057"'9771'* 3365" 663 2
+ 165" 7579'" 2006! 235 b
+ ^ 6427'"3282"993 U^
+ 26'"4615"5724" dius
+ 112970460" 5 sk
+ 4793322 he
+ 2206 er
Mais ces coeffieients plus exacts ne permettent pas encore une deter-
mination de a, essentiellement meilleure que celle qui avait été obtenue
précédemment, soit parce qu'on ne peut pas se fier absolument aux deux
derniers chiffres des coefficients trouvés, soit parcequ'il serait nécessaire
pour le caleul de 4, au moyen des fonctions symétriques La" d'avoir
24 " pour une valeur de » plus grande encore, ou au moins d'avoir une
connaissance provisoire des valeurs de «
ha, "eun
Ces difficultés m'ayant paru insurmontables à moins de caleuls immenses,
jabandonnai ces recherches en espérant qu'un autre trouverait quelque
méthode pouvant servir soit au calcul des coefficients de €(¢) soit au caleul
direct des racines a. Mais, autant que je sache, aucune méthode de ce
genre n'a encore été publiée.
Quant aux a, il me restait toujours à essayer de calculer directement
les racines de ¢(s) — o, autrement dit de déterminer les valeurs de ¢
" : . , I .\ "y
réelles ou imaginaires qui donnent E + ti) =o. Toutefois cette entre-
prise me sembla inutile parce que je doutais que la formule approximative
qu'il faudrait appliquer donnät des développements assez convergents pour
les calculs dont il s'agit ici. Néanmoins l'automne dernier je me suis
décidé à faire cet essai, et j'ai été frappé de la facilité avec laquelle il a
réussi. Certainement la détermination d'une racine « demande bien des
efforts, mais théoriquement il n'y a pas de difficulté et la méthode permet
Sc E
294 J.-P. Gram.
pour ainsi dire de caleuler autant de racines qu'on le veut, de facon à rendre
possible le caleul de £(s) pour toute valeur de s, pourvu que ce calcul
soit pratiquement exigible.
En partant de la définition
n tes
5 n
GS) — Lin | Z«— it
: 1
n-: I "EO $
wn
la partie réelle de s étant supposée > o, et en caleulant la somme Ln
n
au moyen de la formule générale de sommation, on obtient la formule
connue:
= nl—: I
8
= Le A
1) An or e B, n^
15) 1 nen 2 + Io
s(s + ı)(s + 2) er
Au 2 se
923944 E
D,, D,,... représentant les nombres de Bersouruı. Cette formule est :
généralement semiconvergente, et donne pour s réelle une exactitude
d'autant plus grande que n est supposé plus grand. Par exemple n = 20 |
(ai DIE
donne (2) correctement avec plus de 30 décimales.
Mais comment se comporte cette formule pour des valeurs complexes 1
de s?
En léerivant sous la forme
P ile c oin m ]
&(s) ln n FRE on (B + À) |,
on voit qu'il s'agit en premier lieu d'estimer la grandeur du reste A, où
s 8 2 s Ys ya )
Bo, SEPT pe TE RSR EE
3 94... a Sec dion MC OT 5
Considérons séparément les facteurs
ips re ee) A EPS ERU
1 3.4:n! : 57.6."
JC. ,
dont l'introduction permet d'écrire:
R— A, Bit 4,440, +4, AL AjB + i:
Note sur les zéros de la fonction £(s) de Riemann. 295
et posons: s — r J- yi. Alors on obtient:
1
y+ — (+25) — iver +4 0
A, = - \
(29 + ı)(2u + 2)n*
I] est évident qu'on pourra toujours choisir pour n un nombre si
grand que les premiers A auront leurs parties réelles comme leurs parties
imaginaires égales à des fractions propres, et que les produits successifs
des mémes A formeront alors une série décroissante.
La propriété caractéristique des séries semiconvergentes subsiste done
pour la série R et par conséquent aussi pour la série qui représente ¢(s).
Aer, I 4
Dans le eas actuel il s'agit de calculer la valeur de e U).
Dou = m on:
(e + :) — 4v* — Avli
y ue mw irc ALES
: (2v + 1)(2y + 2)n? ^
d'où, en posant PI Ta:
yore (T — 4) — 4ti
1 PALM 7°
(E19) = 84
4, = TH oa TR
pelo) IH
A; er ea y
La formule définitive sera alors:
1
(cos {log n — i sin t log n) — n? (cost log n — i sin f log n)
"2p =
(2) e(t) En
x E cus a Le I ie, + A,B, + A,4,B +. |
= C(t) + iS(t),
en désignant respectivement par C(/) et S(t) la partie réelle et la partie
imaginaire.
296 J.-P. Gram.
Pour calculer au moyen de (2) Ske + ti) avec au moins 7 décimales
correctes, il suffit de prendre » — 20, quand ¢ ne surpasse pas 50. Afin
d'appliquer cette formule au calcul des racines 4, on commence par dresser
à : I : v c
une petite table des valeurs successives de e + ti), pour voir s'il y aura
des valeurs de £ qui semblent pouvoir annuler simultanément C(t) et S(t).
Ayant trouvé ainsi des limites assez vagues, on a en premier lieu à cal-
euler € pour quelques valeurs intermédiaires telles qu'on puisse obtenir par
interpolation linéaire une approximation meilleure à la racine cherchée.
En se servant des tables logarithmiques à 5 décimales on peut obtenir au
moins 4 décimales correctes de a. Et si l'on avait trouvé qu'une « est
située entre deux valeurs /, et /, ne différant que par ro *, un calcul
réitéré avec 7 décimales donnerait les deux chiffres suivants presque exacte-
ment, à moins que l'accumulation des fautes dans les derniers chiffres ne
s'y opposät. Quant aux valeurs maxima de C(/) et de S(t) elles ne s'élèvent
qu'à peu d'unités.
On trouve par ex.:
e + 14.1 347i) = + 0.0000033 — 0.00001997
I : |
dt + 14.1348i) = — 0.0000092 + 0.0000587i,
4
et si l'on pose a, = 14.1347 +%k. 10 *, on trouve par interpolation:
= 9.204 9 — ae = 10,253.
De ces deux valeurs de la correction, 4, est la meilleure; un calcul
fait avee 8 décimales m'a donné a, = 14.1347251; mais le dernier chiffre
est douteux.
Comme on le voit, la détermination d'une raeine exige certainement
bien des ealeuls, mais grâce à l’aide qu'a bien voulu me prêter M. H. 5.
NiELSEN pour le caleul final, je suis parvenu à déterminer les 10 premières
racines de l'équation £(/) — o, dont voici les valeurs en 8 chiffres:
H
Note sur les zéros de la fonction f(s) de Riemann. 291
a) 14.134725
da — 21.022040
25010880
a, — 30.424878
Qs — 32.935057
Gq —— 37.580170
a; = 40.918720
Gy) —74/915 270
Le dernier chiffre seulement est un peu:incertain; du reste la déter-
mination double au moyen de C(t) et de S(t) donne une bonne preuve
du caleul. Les racines trouvées sont toutes celles qui sont inférieures a 50;
les plus proches seront d'environ les valeurs suivantes:
aı = 52.8,0,, — 56.4 , My = 59:4 , ay — 61.0, a, = 65.0.
Elles fournissent un contrôle au caleul des coefficients de log £(f)
donnés plus haut. Car on trouve respectivement:
10
Za," = 15876950 La, = 158776934344,
10 ac
zur 7902 Bao 5 Age
10 o6
Da = 39'4647"16, Lat = 39'4657"6,
d'où l'on peut inférer que les coefficients de log £(/) donnés plus haut sont
corrects aux deux derniers chiffres prés.
On peut conclure de notre calcul que les quinze premières racines de
E(t) = o sont réelles, sans quoi, leurs parties imaginaires seraient trés in-
signifiantes. Que ces racines sont véritablement réelles, c'est ce que nous
prouverons ci-dessous. On ne voit pas de raison pour que les racines
. . v ca e^
suivantes se comporterment autrement. En plus des renseignements que le
Acta mathematica. 27. Imprime le 12 janvier 1905. 38
908 J.-P. Gram.
caleul achevé m'a fournis sur la variation de la fonction «(+ ti), il rend
aussi possible le caleul de log &(f) pour # < 50 au moyen de la série donnée
plus haut et des valeurs trouvées pour les premières racines. Enfin la
connaissance de ces racines donne le moyen d'aborder l'étude des termes
périodiques dans les formules analytiques exprimant des fonctions des
nombres premiers.
Mais le résultat le plus intéressant qu'ait donné ce calcul consiste en
ce quil révèle Virrégularité qui se trouve dans la série des a. Il est très
probable que ces racines sont liées intimement aux nombres premiers. La
recherche de cette dépendance, c'est-à-dire de la manière dont une 4 donnée
est exprimée au moyen des nombres premiers, sera l'objet d'études ultérieures.
A côté des valeurs des 4, mon calcul m'a fournis des renseignements
sur un autre point digne d'intérêt. C'est qu'il se trouve aussi des valeurs
réelles de ¢ qui font annuler soit la partie réelle soit la partie imaginaire
de de +ti), mais différentes des 4 qui font annuler simultanément les
deux parties.
Posons
(3) eia) = C(t) + iS(t) = me,
m étant le module pris avec un signe convenable, C(t) et S(t) des fonctions
réelles de ¢. Pour avoir simultanément C — o et S — o, il faut que
m =o. En outre C — o quand cosg — o, S — o quand sine — o. Il
n'est pas difficile d'exprimer ¢ en fonction de f.
L/équation fonctionelle de Riemann
$ 1—s I
& » * S -— ” L =
z ’T(2)&o)= = FAI } ea —s)
2) > 2
peut s écrire:
2 1—s 8 TS 7 2 \
¢(1 —s) = 275008 = F's) €(s).
Done:
‘ 7S qs
(4) 221-2008 JS),
2
Note sur les zéros de lu fonction f(s) de Riemann. 299
et pour s — - + ti:
c(2—«) i E a T Lc
(5) ; = er 2* Tz ?. „cos (5 + ji) rc "E.
qx) SAVE :
Pour trouver @ on n'a done qu'à chercher le logarithme du second
Tm E 2 u) r( E ui)
Wee, I 2 /
' I A ;
T (;—«)
membre, ce qui donne:
; : I
— 29i = — ti log 2z + = log — — + -log
2 "i2 2
cos | - — - 4&4
ir 2 )
Mais
I - =
pie = Ed ti
MU Ej E poc ati log ( 3) ne 2
c2 dog Br BU AOE ur rog ENS
"hem d j -~+y—ti
2 ud
* + > I t —
= — iaretg 2t +i bd ‘log (1 +!) aretg —
1 1 y
His
Cr y t
— i Lim | tlog(@ + 1) — X arcte jq 9.
=
oe ce,
Ainsi on aura:
T
(6) — 29 = —tlog 27 LL iem +.
300 J.-P. Gram.
La quantité désignée par v peut être calculée approximativement au
moyen de la formule générale de sommation:
Lf») = ff(»)d» —2(f(e) — flo)
B, Y "{ A) B, "n LLL
wc Co A ee ken) er: (o)) +...
Mais
. t 1) t t 4 D?
us dy — (o + = | arctg Mites + 5 log( À + (o + ;)
IR egt
Dr xp, xul
— 5 aretg 2? — = log ( + ‘) s
f(e),f'(o),f" (e) ... sannuleront pour © = co; les autres termes con-
tenant « se réduisent done à:
t log (© + 1) — (o 4 3) arctg ——— i leg (^ EJ (o + jJ)
OE
dont la limite pour © — co sera égale à — f. Alors on obtient ensuite:
m 1 2 1 sl 1 B, t t a
RE See pane
4 4
et
l 2 I ne, 7 I t
(7) —29(t)=- log (v + :) — ((1 + log 27) + arctg e”" — - — — —————,
2 4 | 4 12 (e + =
4
en négligeant les termes d'ordres inférieures à
On voit que g(t) = — e(—1),e(o) —0. Du reste la petite table
suivante donne les meilleurs renseignements sur la variation de c(/):
Note sur les zéros de la fonction €(s) de Riemann. 301
10 e(t) = 0.000
5 + 3.460
10 + 3.067
15 + 17365
20 — 1.187
25 par SEN)
30 — 8.058
35 — 12.164
40 — 16.628
45 — 21.405
50 — 26.461
55 N} age 706
60 — 37.300
Pour des valeurs de ¢ pas trop petites, ce sont les premiers termes
de (7) qui en premier lieu font déterminer la grandeur de g(t). En se
> : A N l :
bornant à ces termes et en substituant log £ à - log (e 3e s on obtient
approximativement:
T
— 2@(t) — t log t — t(1 + log am aes
ou bien
AU t t ne
(8) — £0 — © (log —1)—;
T 27 8?
k I
l’erreur commise étant de l'ordre ze
y
Cela suffit pour déterminer les racines propres de C(/) — o et de
S(f) — o. En rappellant que
e + ti) = C(t) + iS(t) = me,
on voit que C(t) — o comporte cos ¢(t) — o, c'est a dire:
ÉD Ru
+ e(t) = 5 ,
302 J.-P. Gram.
tandisque S(t) — o exige que
+ g(t) = nz,
n étant un nombre entier positif ou négatif ou bien zéro.
Si l'on désigne par # les racines de C(t) = o, par 7 celles de S(t) — o,
et qui sont différentes des 4, on aura done, avec une grande approximation,
pour les racines positives:
g g I 2n +I
i pe eer) ee eee
0 le) à
i ii I
(10) — (log P — i) —= —N.
20 ET 8
Considérons particulièrement les 7; alors on trouve:
n= 3.5 pour & — — I,
n= 96 » m-——I,
Ya. Lo) 3», no,
Jya7 23.2 >» N—=I.
Les 7 suivantes correspondent aux nombres successifs n — 2, 3, 4 ete.
On voit par là que le nombre des racines 7 qui sont inférieures à une
limite donnée N et plus grandes que ro sera exprimé à peu prés par le
plus grand nombre entier contenu dans l'expression:
N N 7
d
Toutes les racines 7 ainsi que les # seront évidemment réelles.
Rappelons que M. v. Maweorpr a démontré que le nombre des racines
a dont la partie réelle ne surpasse pas N est représenté par l'expression
ZT
CAN 5
= (log — 1) + "big
ou
[D]
< 0.34 (log N) + 1.34 log N+ 1.33; il suit de la que les 7 et
les a (ou les parties réelles de celles-ci) se suivent de très prés. — Pour
les quinze premières 4 il arrive que toutes les a sont séparées par les
valeurs des 7, mais non par les valeurs des #. Il va sans dire que les A
et les 7 se suivent alternativement,
Note sur les zéros de la fonction €(s) de Riemann. 303
Aprés avoir ainsi trouvé toutes les valeurs de / qui annulent une des
fonctions C(t) et S(/) seulement, il est clair que toute autre valeur de ¢
qui fait annuler ou C(f) ou S(t) doit annuler m et sera done une racine
a qui donne aussi bien C(a) — o que S(a)— 9. Notre calcul prouve
sans contredit qu'il y à des valeurs de ¢ réelles différentes des ; et qui
font changer le signe de S(f). Ces valeurs font done annuler S(t) et
seront des racines véritables de $(/)— o. Il est done certain que les
premieres 4 sont réelles.
De l'identité
€ -- iS = e'*(C — iS)
on obtient par différentiation par rapport à ¢:
(r1) C' + iS’ = e *(C' — iS’) + 2ig' (C — iS)e"*.
Quand C= S— 0, on aura done:
C' (a) + iS' (a) = e"* (C' (a) — iS'(a)),
d'où:
S'(a)
(12) O(a) e,
formule qui m'a fourni un moyen de contróle sur mon calcul.
Quand C— 0, SZo, e"* — — r, on trouve d'après (11):
(13) C'(B) = — e'(B) sp),
tandisque S — 0, CZo, e*? — 1 donne:
(14) S'(r) = ¢'(7)C(7).
Quand ¢>7, g(t) est toujours négatif, on a done pour les racines
correspondantes le théoréme suivant:
C'(B) a toujours le méme signe que S(B); S'(y) a le signe opposé à
celui de C(r).
Si done C(r) conserve le méme signe pour deux valeurs consécutives
de 7, savoir 7, et 7,4,, S'(r,,,) aura elle-même le méme signe que S'(r). Mais
comme S(ry,) = S(r,,,) — o, il faut done que S(£) ait passé par la valeur zéro
304 J.-P. Gram.
un nombre impair de fois dans cet intervalle. Autrement dit il se trou-
vera alors un nombre impair de racines réelles 4 entre 7, et 7,,,; il y en
aura done au moins une comprise dans ces limites.
Ce théorème peut rendre de bons services dans la recherche numérique.
Pour l'utiliser aussi dans la théorie, il faudrait d'abord trouver une méthode
pour déterminer le signe de C(7) sans caleul numérique, mais pour le
moment cela parait assez difficile. Pour les 7 dans l'intervalle de 10 à 65,
C(r) est toujours positif. Cela tient probablement à ce fait que C(f) dans
les plus grandes parties du dit intervalle est positif. Sans doute la raison
n 1
en est que le premier terme de la somme In
1
* cos (flog n), savoir l'unité
positive, produit un surplus en faveur des termes positifs. Si cela est juste,
on peut inlérer que l'équilibre ne s'établira que peu à peu, de sorte que
la méme règle sur la répartition des a par rapport aux 7 se maintiendra
aussi pour les 4 suivantes les plus rapprochées de 4.
305
SUR UNE FORMULE SOMMATOIRE GENERALE
PAR
ERNST LINDELÓF
à HELSINGFORS.
1. Dans son Mémoire: Solution de quelques problèmes à l'aide d'inté-
grales définies, daté de 1823, ABez a établi la formule suivante’:
2
(1) XZe(z) = f e(z)dx —7 ¢(a) + [et Bey nre) A
2i eint — 1
0
où Zoœ(x) désigne »l'intégrale finie» de la fonction g(a), c'est à dire la
solution de l'équation fonctionnelle: fir + 1) — f(x) — g(x). Après y être
arrivé, ABEL continue en ces termes: »Cette expression de l'intéerale finie
d'une fonction quelconque me parait trés remarquable, et je ne crois pas
quelle ait été trouvée auparavant.» — En fait, l'expression. en question
avait déjà été trouvée par Pana en 1820”.
En 1825 Apert est revenu sur la formule (1) et en a donné une
nouvelle démonstration, dans un Mémoire intitulé: L'intégrale finie X"¢(a)
exprimée par une intégrale définie simple?. Mais cette démonstration n'in-
dique pas, non plus que la première, les conditions dans lesquelles est
applicable la formule dont il sagit.
Il est assez curieux que le remarquable résultat découvert par PrawA
et AnrL ait dû attendre une démonstration rigoureuse jusqu'en 1889, date
* Oeuvres complètes d'Abel (édition Synow-Lre), t. I, p. 23.
* Voir ibid., t. II, p. 29o.
Tod (lun. 35:
Acta mathematica. 27. Imprimé le 13 janvier 1909. 39
306 Ernst Lindelof.
à laquelle a paru le Mémoire de Kronecker: Demerkungen über die Dar-
stellung von Reihen durch Integrale!, où la formule (1) se trouve enfin rat-
tachée à la théorie des résidus de Caucny qui en constitue l'origine naturelle.
Plus tard M. J. PrrEnsEN" a fait connaitre quelques applications intéressantes
de cette méme formule.
Dans un Mémoire, intitulé: Quelques applications d'une formule som-
matoire générale, qui sera inséré dans le tome XXXI des Acta societatis scien-
tiarum Fennice, nous avons développé quelques applications nouvelles de
la formule (1), à laquelle nous avions d'ailleurs été conduit indépendamment
des travaux mentionnés ei-dessus. Sur l'invitation de M. Mrrraa-Lrrrrgn,
nous indiquerons brievement ici quelques-uns des résultats auxquels nous
sommes arrivós, renvoyant pour les démonstrations et pour les développe-
ments ultérieurs au Mémoire cité.
2. Parmi les applications que comporte la formule (1), il y en a une
qui nous parait particulièrement intéressante et qui concerne le prolongement
analvtique des séries de TaxLor
F(a) = 2 e(n)a",
0
où ¢ est une fonction analytique de son argument.
Posons «= re^, 2 — c -- it — pe", o(t+ it) = plz, t) x: ig(c, t), et ad-
mettons relativement à la fonction ¢(z) les hypothèses suivantes:
1? e(z) est holomorphe pour toute valeur x telle que 77 0.
2° le nombre positif = étant donné arbitrairement petit, on peut trouver
un autre nombre positif R tel que, pour —- « à € ^, p 7 RB, on ait
e(z)| € e.
Ces conditions supposées remplies, la lonetion. F(r) peut se mettre
sous la forme
I(x) - ,£(9) + H(x) + J(x),
! Journal de Crelle, t. 105, pp. 345—354.
? Vorlesungen über Funktionentheorie (Copenhague 1598).
4
i
Sur une formule somumatoire générale. 301
où
Hg) = — 2 f (p(o t) sin (£ log x) + q(o , £) cos (t log x)! at
i) = 2. U , t) sin og x q(O , t) cos og x), AMI
0
J (x) = [elz)ardz, 7
0
et de ces expressions on peut tirer successivement les conclusions suivantes:
(a) La fonction H(x) est holomorphe pour — 27 —0-2z,r70.
(b) La fonction J(x) reste holomorphe dans tout le plan, excepté l'ori-
gine, à condition que le point x ne vienne pas traverser le segment 1... 0
du rayon d'argument 0 — o, ni se confondre avec un point de ce segment.
(c) La fonction F(a) est holomorphe à l'intérieur du domaine T, formé
du plan entier où l'on aura tracé la coupure + Y... + eo suivant l'axe réel.
Ce résultat avait déjà été établi par M. Le Roy’, mais par une voie beau-
coup moins directe.
(d) La fonction F(x) tend vers zéro lorsque le point x tend vers l'infini
avec un argument déterminé, en restant intérieur au domaine T.
(e) La différence entre une branche quelconque de la fonction Fi x vet
sa branche principale (celle dont il est question dans le théorème (c)) peut
s'exprimer par la somme d'un nombre fini de termes dont chacun est un
multiple entier, positif ou négatif, d'une branche de la fonction J(x). Les
singularités de (x) sont done toutes comprises parmi celles de J(x).
Nous allons citer encore un théorème assez général et comportant
plusieurs applications intéressantes, dont nous avons développé quelques-
unes dans notre Mémoire.
Supposons vérifiées les hypothèses suivantes:
1° e(z) est holomorphe pour toute valeur 2 telle que 70;
2° quelque grand que soit l'angle d, on peut trouver un nombre positif
I tel que e(z) soit holomorphe pour — d € & € ds, p R (sauf peut-être
à l'infini);
! Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un développement de Taylor
(Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2° Série, Tome LI, 1900).
308 Ernst Lindelóf.
3° quelque grand que soit d, et quelque petit que soit £, on a
le(z)| <<? pour — d € 9 € 4,
dés que p dépassera une certaine limite.
Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction F(x) ne peut ad-
mettre d'autres points singuliers que 0, ı et co (le point o étant en général
point singulier pour toute branche de F(x) autre que la branche principale).
3. Nous dirons en second lieu quelques mots sur l'application de la
formule (1) à la fonction ¢(s) de Riemann. Comme conséquence immédiate,
cette formule entraine l'égalité
dt
" 2 32. nent. hdi a.
+ a +) "sin (sarctg t) 34»
I I
CE
2 SUMI
et par une petite modification, on en déduit
o
| >.
CNE | P + r sin (s arcte 2t) -
Sa
[E
dt
mE
0
Ces expressions définissent la fonction ¢(s) dans tout le plan et en met-
tent en évidence plusieurs propriétés intéressantes.
Par une autre modification de la formule (1)
, on arrive a l'égalité
E
; SATA "dt
&(s) L— ROS bs) | pine sag
d'où résulte immédiatement le théorème fondamental de RIEMANN suivant
lequel l'expression
(2) y(s) =r"r(‘) €(s)
ne change pas de valeur lorsqu'on y substitue 1—s à s.
Nous insisterons un peu plus sur l'égalité
I I ni-:
++
2n* $—I
Hs) TR Lec
P '
oF DE t\ dt
+ 2n | (1 + =) sin (sarete) my
(n — 1}
Sur une formule sommatoire générale. 309
qui se déduit également de la formule (1). En développant le dernier
: : I
terme suivant les puissances de -, on trouve
n
k
I I I nis m
(3) SM er .À = r— + +ZT, +,
2 a I) 2n S — I 1 .
avec
m Bests > Ts Ls 2y 2) I
T,— hr 2 + À D
2y I.2...(2y— 1) hij:
ème
D, désignant, comme d'ordinaire, le v^"* nombre de Berxovrut. On voit
que cette dernière expression de (s) est précisément celle que fournit la
formule sommatoire d'Eurrm, et le reste R, peut done se présenter p. ex.
sous la forme
a:
| es __s(s + 0)... (s s 2k + 1) ieee
ESKG-3 dz ;
n
Py...(t) désignant la fonction périodique à la période 1 qui, pour o € 7 € 1,
se confond avec le polynôme de BrnwNoULL::
ipa) epa pst). p,
2k--2
r(4) > „2k—2
Coprs Bat ee:
En tenant compte des propriétés bien connues de ce polynóme, et en posant
s — r -- iy, on peut tirer de l'expression ci-dessus, pour le module du reste
R,, la limite supérieure suivante:
} I I
Rp es-EOEERDI————EMES
(4) | «| [s+ b+ Dac az mised
La formule (3) est intéressante sous plusieurs rapports, et surtout
parce quelle fournit le seul moyen vraiment pratique pour le calcul
numérique des valeurs de la fonction £(s). En particulier, on peut s'en
servir pour chercher les zéros de €(s) qui sont compris sur la droite D
I é !
-, et a cet effet on
paralléle à laxe imaginaire et passant par le point s =
)
peut profiter de la remarque trés simple que voici:
Du théorème de RIEMANN, on peut conclure que la fonction y(s), dé-
finie par l'expression. (2), prend des valeurs réelles sur la droite D. Pour
310 Ernst Lindelôf,
un point queleonque s de cette droite, le reste suivant le module 27 de
la quantité
E]
= S
Q-—anz?-F arg P(*) + arg ¢(s)
f
est done égal à o ou à 7, suivant que y(s) est positif ou négatif. Comme
7/5) ne change évidemment de signe qu'en s’annulant, et comme cette
fonction, d'autre part, présente sur la droite en question précisément les
mêmes Zéros que ¢(s), on voit dès lors que, pour séparer les zéros de la
fonction ¢(s) compris sur un segment donné de la droite D, on n'aura
qu'à calculer, avec une erreur moindre que =, la valeur de la quantité 9
pour une suite de points suffisamment rapprochés de ce segment.
Nous nous permettrons de publier ici les résultats numériques ! que
nous avait fournis un caleul de quelques jours entrepris au commencement
de l'année, résultats qui sont certes beaucoup moins précis que ceux qu'a
fait connaître dernièrement M., Gram’, mais qui suffisent cependant pour
illustrer la méthode que nous venons d'esquisser.
Dans le tableau qui suit, &(y) et x(y) désignent respectivement les
; > . . . O4 I . zs
parties réelle et imaginaire de la quantité ge + iv), et w désigne le reste
suivant le module 27 (converti en degrés) de la valeur approchée qu'a
fournie notre caleul pour la quantité 2. Les valeurs de £(y) et de y(y)
ont été calculées à l'aide de la formule (3), en y faisant m= 10, k — 1 et
en négligeant le reste.
' Nous avions communiqué ces résultats à M. MrrrAG-LEFFLER dans une lettre
datée du 22 janvier 1902.
? Note sur les xéros de la fonction Es) de Riemann (présentée à l'Académie des
Sciences de Copenhague le 7 février 1902; réimprimée ci-dessus, p. 289).
I E / '
nV n4
Sur une formule sommatoire générale. 311
y ey) zn) 2 y (y) 7(y) 2
12 1.016 0.744 180? 1 32 0,86 — 0,20 180
13 0.444 0,656 180° 3’ 34 0, 52 1.62 0?.2
14 0.021 0,104 179° 19' 36 2.35 17,19 + 0?.4
14.25 0.012 0.092 o? 47’ 38 0.47 0,56 177
15 0.148 0.706 — 0° 1’ 40 0.83 - 1.03 181°
18 22,33% 0,187 0972 2 1.02 0.42 2
20 0.427 1.062 dol 44 0.05 117.37 182°.3
22 0.718 0.665 X70 IG 46 3.29 1.46 179°.
24 0.958 0.585 180? o' 47 0.24 — 1.95 177°.6
26 0.504 1. 344 — o? 2° 48 0.07 0.05 50
28 25712 0.679 — o? 2' 49 0.65 0.31 8°.
30 0.12 — 0,598 (set 50 —— 0.16 0.42 186°,
A l'aide de l'inégalité (4), on s'assure facilement que la valeur exacte
de la quantité désignée par 2, pour l'un quelconque des arguments y in-
diqués dans le tableau (excepté y — 48), est bien égale à celle des quantités
0° et 180? qui s'écarte le moins de la valeur calculée de w. Par suite,
les chiffres qui précédent nous permettent d'énoncer ce résultat que
le segment de la droite D qui correspond à l'intervalle 12—50 de l'ordonnée
y, renferme certainement dix zéros de la fonction €(s) dont les ordonnées sont
respectivement comprises entre les limites:
I4—14.25, 20—22, 24—26, 30—32, 32—34,
36—38, 40—42, 42—44, 47—49, 49—50.
Les zéros une fois séparés, on pourra les caleuler avec telle approxi-
mation qu'on désire, en prenant dans la formule (3) l'entier » suffisamment
grand, et en choisissant convenablement l'entier 4.
4 M
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313
SUR LES PERIODES DES INTEGRALES ABELIENNES ET SUR UN
NOUVEAU PROBLEME TRES GENERAL
PAR
EMILE BOREL
À PARIS.
1. Beaucoup de problémes d'Analyse peuvent ¢tre ramenós au pro-
bléme de la détermination des relations linéaires à coefficients entiers qui
peuvent exister entre des nombres transcendants; par exemple entre les
périodes de certaines intégrales elliptiques ou abéliennes. C’est ainsi que
M. PaAINLEVÉ a ramené plusieurs problèmes de la théorie des équations
différentielles au suivant: reconnaitre si une certaine intégrale abélienne
n'a que deux périodes.'
Je ne prétends pas indiquer ici une solution à cette difficile question,
qui restera sans doute longtemps eneore au dessus des movens de l'analyse;
je voudrais seulement chercher à attirer l'attention des géomètres sur quel-
ques réflexions simples qui sont peut étre de nature à suggérer une
méthode nouvelle pour aborder toute une classe de problémes comprenant
celui-ci comme cas trés particulier.
2. Faisons d'abord quelques remarques générales. Il est évidemment
nécessaire que les coefficients constants dont dépendent les périodes con-
sidérées soient définis d'une manière précise et non pas connus seulement
avee quelque approximation. Or, les seuls nombres connus primitivement
d'une manière précise sont les nombres entiers; par une infinité de pro-
cédés de nature algébrique ou transcendante, on peut, à l'aide des nombres
* Voir par exemple ses Leçons de Stockholm.
Acta mathematica. 27. Imprime le 13 janvier 1903. 40
314 Emile Borel.
entiers, définir une infinité d'autres nombres, qui seront, eux aussi, connus
' Nous supposerons que l'on a fait un choix entre
d'une maniére précise.
ces divers procédés, c'est à dire que l'on en a conservé un nombre limité
à l'exclusion des autres. De plus, nous supposerons que l'on a choisi un
nombre entier N auquel on supposera inférieurs tous les nombres entiers
introduits dans les caleuls, et tel de plus que le nombre des opérations
d'une nature queleonque que l'on suppose effectuées sur ces nombres entiers,
soit inférieur à N. Par exemple, si l'on veut introduire un nombre algé-
brique, les coefficients et le degré de l'équation qui le définit, seront in-
férieurs à N, ete.
3. N est clair que l'on définit ainsi un nombre limité de nombres;
avec ces nombres choisis comme coefficients, on peut former un nombre
limité d'intéerales elliptiques de première espèce
| ar Sn eee
va,z* + 4a, a! + 6a,2* + 4a,v + a, :
D
et chaeune de ces intégrales a seulement deux périodes principales, c'est
à dire périodes primitives de module minimum.* Supposons qu entre
plusieurs de ces périodes convenablement choisies, @,, @,,..., €
IAN
ait des relations linéaires à coefficients entiers de la forme:
(1) mic, + m,o, + mo, +... + m,o, — o.
Nous pouvons toujours supposer que, parmi les relations linéaires où
figurent effectivement c, , @,, ..., €, la relation (1) est celle pour laquelle
la somme
A=m+m+...+m
a la plus petite valeur. Il y aura ainsi au plus autant de valeurs pour
A quil y a de manières d’associer les périodes q à q, q étant arbitraire.
' Par exemple, on peut définir les nombres e et x par les relations
1 e
bel ss | dz _ tz pa
à VI - © 4 zo
Nous donnons ces exemples simplement à titre d'indication.
* Voir, par exemple, JonpAN, Cours d'Analyse, 2"" édition, tome IT, p. 338.
Sur les périodes des iutégrales et sur un nouveau probléme. 315
Dès lors il est clair, que le nombre N étant donné il y a un nombre
limité de valeurs pour A; nous désignerons la plus grande d'entre elles
par ¢(.N); on aura ainsi
(2) A < e(N).
Si la fonction e(N) était connue, le probléme qui consiste à reconnaitre
sil peut exister une relation telle que (1) entre des périodes c, , e, , ..., €»,
se trouverait décomposé en un nombre /imifé de problèmes plus simples:
reconnaitre si la relation (1) est vérifiée, les nombres entiers m,, m,, ..., m,
; e, étant définis par des conditions
étant donnés, et les nombres w NDS
NL
transcendantes.
4. Si, en caleulant avec approximation le premier membre de la
relation (1) on trouve que sa valeur est sürement différente de zéro, on
est certain que la relation. (1) n'a pas lieu; il n'y a doute que si l'on
trouve une valeur de plus en plus voisine de zéro à mesure que l'on
pousse plus loin l'approximation.
Il est bien certam que, si la quantité
(3) mao, +... + mo,
est différente de zéro, on s'en aperceyra sürement au bout d'un nombre
limité d'opérations; mais ce nombre limité ne peut pas étre fixé d'avance.
Voiei ce que l'on peut dire à ce sujet; considérons toujours les
quantités ©, en nombre limité, que nous avons définies, et choisissons de
toutes les manières possibles les entiers positifs ou négatifs m,, tels que
A soit inférieur à e(N),; nous définissons ainsi un nombre limité de
quantités (3); si nous désignons par ¢(.V) le module de la plus petite
d'entre elles, en excluant celles qui sont nulles, on aura sürement
ro, +... + mo > ¢(N)
dans le cas où la relation (1) n'est pas satisfaite. Done la connaissance
des deux fonctions e(N) et G(N) permettrait de résoudre surement le pro-
bleme qui nous occupe, par un nombre limité d'opérations, fixé d'avance.
5. Je ne suis malheureusement pas en état de proposer une méthode
qui permette d'obtenir ces deux fonctions; de sorte que les remarques
précédentes substituent simplement à un probléme très difficile un autre
316 Emile Borel.
probleme qui ne parait pas moins difficile. Mais ce nouveau probléme
me parait présenter un trés grand intérêt en lui même et avoir une portée
trés générale; c'est ce que je voudrais indiquer ici très brièvement, en
omettant les généralisations pour ainsi dire illimitées que l'on pourrait
ajouter aux considérations. précédentes.
6. Lorsque lon définit un nombre entier determine au moyen de
nombres entiers en nombre fini et d'opérations arithmétiques, il est toujours
possible de fixer d'avance une limite supérieure du nombre défini en fone-
tion de ceux qui servent à le définir; on peut exprimer ce fait en disant
que la puissance des opérations arithmétiques est connue et limitée.
Il en est de méme pour certains procédés algébriques de nature bien
plus compliquée; par exemple si un nombre entier est défini comme étant
le quotient incomplet de rang déterminé du développement en fraction
continue d'un nombre algébrique donné, on sait limiter ce nombre au
moyen des données; à savoir: les coefficients de l'équation qui définit le
nombre algébrique, le degré de cette équation et le rang du quotient
incomplet.
Ceci peut être étendu, comme je lai montré, au cas on l'on adjoint
le nombre e au domaine de rationalité.”
Dans ees divers cas, il est d'ailleurs évident que l'on doit toujours
s'arranger pour définir un nombre unique ou tout au moins des nombres
en nombre limité; peu importe, d'ailleurs, le procédé plus ou moins arti-
ficiel par lequel cette limitation est obtenue.
Le principe général sur lequel je voudrais attirer l'attention et qui
est évident d'après les considérations précédentes, c'est que les divers pro-
eédés transeendants par lesquels on peut définir des nombres entiers ont
aussi une puissance limitée; c'est ainsi que lon peut traduire le fait de
existence de la fonction e(N); il faudrait déterminer cette fonction pour
limiter effectivement cette puissance; c'est là le probléme que je tenais a
signaler à cause de son caractère très général et de l'importance qu'il me
parait avoir au point de vue des principes.
Paris, janvier 1902.
' Comptes rendus, t. CXXVIII, p. 596 (6 mars 1899).
DÉTERMINATION DES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGEBRIQUEMENT '
PAR
IVAR BENDIXSON
à STOCKHOLM.
Le but du travail est de montrer que l'on peut parvenir à la dé-
termination des conditions nécessaires et suffisantes, pour qu'une équation
algébrique soit résoluble par radicaux, sans avoir recours à la théorie des
substitutions, introduite dans l'Aleébre par Garors. On peut en effet dé-
terminer les dites conditions par une extension trés facile à effectuer des
considérations employées par ABEL dans ses deux Mémoires: Mémoire sur
une classe particuliére d'équations résolubles algébriquement et Sur la résolution
algébrique des équations.
Nous étudierons à cette fin les équations telles que chaque racine
puisse s'exprimer en fonction rationnelle de l'une d'entre elles, chaque équa-
tion pouvant en effet étre róduite à une telle équation. Par une fonction
rationnelle de x, nous entendons toujours ici une fonction formée par de
seules opérations arithmétiques de x et des quantités R’,..., R° définissant
le domaine de rationalité donné.
Soit
(1) F(x) =o
une telle équation, irréductible dans le domaine de rationalité donné.
Ses racines peuvent alors s'écrire
ie
Ti , Ox, aai D
" . —1 A
dau Tite is rm s
H H Vi tthe) FE Ew
2 n—1 P
Wm 08, hy een 0* Fe
q—1
! Ce mémoire est une reproduction d'un travail publié en suédois dans les Ofver-
sigt af Kougl. Vetenskaps-Akademiens Fórhandlingar; 1891. N° 3, Stockholm,
dont un résumé a été publié dans les Annales de la Faculté de Toulouse, Tome 7.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 13 janvier 1903,
318 Ivar Bendixson.
les fonctions @, désignant des fonctions rationnelles de x, et 6 satisfaisant
en outre à
Do OMe
Dp 0" x, —X. (v—1,2,...)
Posons
"deg == ^ ow 9 a fon — Ar 2i
f(x) = (x—v,yv—46,)...(r—0" x).
D'après un théorème, démontré par Aser dans le premier des mémoires
cités, les coefficients de f(x) peuvent alors s'exprimer en fonctions ration-
nelles de la quantité
d (E, 2,) = (t— x, t— 02,). ..( 2 ge)
t désignant une constante arbitraire, et cette quantité d satisfait à une
équation de degré q à coefficients rationnels
(2) E(x’) = [x — dl, z,))e — dl, 6,2,)]... [a — dl, 0, ,2)] = o.
L'équation (1) de degré gn est done réduite à une équation de degré q
(3) F(x') =O;
qui est irréductible (ce que nous prouverons tout à l'heure), et à une équa-
tion. abélienne
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de lune des racines de
l'équation F, — o.
Afin de prouver que l'équation (3) est irréductible, il suffit d'observer
que, si
[a’ — P(t, 6,2.)][v — P(t, 6,2)] .. [v — d (6, 8,x:)],
où s <q, était une fonction rationnelle, on pourrait en conclure que
d(t, 0,2) P(t, 06,2) ... (t, 06,2)
serait aussi une fonetion rationnelle dans le domaine de rationalité donné,
et cette dernière fonction est un diviseur de Z(f) qui était supposée irré-
duetible.
Si lon savait maintenant, que l'une des racines de I’, = o pouvait
s'exprimer en fonetion rationnelle d'une autre de ses racines, celles-ei pour-
raient s'écrire
Détermination des équations résolubles algébriquement. 319
JP , In,—1 pr!
I, Ax; 3r 5 $23 A Vi
Qi Ag ET LAS In
(qi = qi,
a ! "Lis pt
DES PRG ADM. PASA -
où À est une fonction rationnelle telle que l'on ait A"z; —x;. On pourrait
alors, de la même manière que nous l'avons fait pour /'— 0, réduire
7 * , Q ,
F, =o à une équation de degré q,
fe eO. E
Fa") = 0
et une équation abélienne du degré »,
f(x) = (a' —ay(z — Ax)... (x — A) =O
)
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de l’une des racines
de F,.
Dans ce cas il existe done une fonction rationnelle 6, telle que
P(t, 0,2) = Ad (t, 2,),
ce qui nous donne
P(t, 0,0x,) = Ad (t, 0x
Mais / étant une quantité indéterminée les facteurs du membre gauche
seront identiques à ceux du membre droit, ce qui fait voir qu'il existe un
nombre entier « tel que l'on ait
(4) 0,8, = 6" 0,2.
De l'autre côté, on voit que, si cette dernière équation a lieu, on en tire
P(t, 0,0x,) = P(t, 0,2. ).
Or l'équation. (1) étant irréductible on en conelut que
d (t, 0,0 2,) = P(t, 0,0 x) 221,374
ee qui nous donne
P(t, 0,0'x,) = P(t, 0%). 1:98;
330 Ivar Bendixson.
L'équation
dt, 0,2,) = - - [ot (£, 6,24) + P(t, 0,02,) +... + P(t, 0,0""x,)],
nous prouve alors que d(f, 0,7,) est une fonction symétrique de
=i
2.3 xs sitas Otis
CD
c'est à dire est une fonction rationnelle de &(/, 7,). La condition néces-
saire et suffisante pour que lune des racines de
Fs)
puisse ¢tre exprimée en fonction rationnelle d'une autre de ces racines, c'est
done qu'il existe un tel nombre 4 que l'on ait
0,0x, = 0* 0,2,.
Supposons maintenant que l'équation (4) soit satisfaite. On saura done que
d (t, 0,2,) == Ad (t, v) (ou Ar, =a)
L'irréluctibilité de l'équation (1) nous donnera aussi
dit , 017) = p(t ) qi)
et en général
d (t, 019,) = Xt, m).
On en conclut que
d, Ova.) = dt a)
ou que
ES ages k = nombre entier <n
ce qui est done encore une conséquence de l'équation (4).
Envisageons maintenant l'équation (2). Si l'équation (4) a lieu, cette
équation peut se réduire à une équation abélienne de degré n,
f(a’) = [x — dit, ))x' — Alt, 4,2,)]... [a — dl, 0 7 2)] =0
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de
= (t, — aı)ltı — x)... (4 — A)
= [n — dt, mf — Pl, Aa]. pe, a] = d ta),
Détermination des équations résolubles algébriquement 321
laquelle expression est elle-méme racine d'une équation
7 n
(5) F(x") = 0
de degré q, à coefficients rationnels.
Les autres racines de l'équation (5) seront alors données par les fonc-
tions ¢,(¢,, t, 0,2).
La condition nécessaire, pour qu'une autre racine de l'équation (5) soit
une fonction rationnelle p(z;) de xj', est done qu'il existe une fonction 4,7,
telle que
(5, 6, 0,2.) = nd (t , t, %),
ce qui nous donne
f(t, ‚Et, 0,07,) = pd, (t, , t, 02).
A l'aide de l'équation (4) on prouve aisément que
P(t, I t, 01.) I P(t, ) t, 2,)
d'où l'on conclut que
9, (t, ) 6 0,01.) = 9, (t, ) b, 6,2, ).
Or la quantité /, étant complètement indéterminée, il s'en suit que la fonction
d (t, 0,0%, )
sera égale à l'une des fonctions
(Et, dm), D, la), 92% , (t, 0% 02).
Soit, pour fixer les idées,
(t, 0,0%) = P(t, 050,2).
Le fait que / est une quantité indéterminée, met alors en évidence que
0,0%,
sera égal à l'une des quantités
047, , 0050,57, , ..., 0 050,2.
On en conclut enfin, qu'il existe un nombre a, tel que
(6) 0,07, = 000,7.
Acta mathematica, 27, Imprimé le 14 janvier 1903, 41
c2
bo
Tvar Bendixson.
Mais de l'autre cóté on aura aussi
9,( , t, 0,0,2,) = n9 (t, 5, 0,0,
= ud, (5, t ,
m dl, ,t, oe
et cette équation nous conduit, par des considérations tout analogues à celles
développées ci-dessus, à une relation
(6^) 0,0,2, = 0':01:0,2,.
Dans les équations (6) et (6’) nous avons done obtenu les conditions ne-
cessaires, poe qu'une racine de l'équation (5) soit une fonction ration-
nelle de x;
Afin de prouver que ces deux équations a en même temps
les conditions suffisantes, pour que cela ait lieu, nous envisageons de nouveau
la fonction d,(f, , t , 0,,).
Les équations (6) et (6°) conduisent évidemment à
d.h, t, 0,01) == y(t, TU 0: 070,2.)
3,
= dil, 1, 07:0,%,)
= d^ (t €, 02%).
On en conclut qu'on aura en général
P(t, 6, 0,0 2,) = Gh, t, 0,0779) (v—1,2,8,...)
ou que
d (t , €, 0,0 2,) = dif, t, dati). (v91,2, 8...)
En appliquant le théorème déjà cité d'ABEL on sait alors que
d^ (f , 1, 03%) = R(P(E, 9),
R désignant une fonetion rationnelle.
De la même manière on prouve aussi que
h^ , P 0,0,1,) x d^ , { , 0,7,),
Détermination des équations résolubles algébriquement. 325
ce qui nous donne
Ret , 0,7,)) = R(q«( , 2)
4 ^
et en général
R(g(t, 6:2) = B(gt , a).
On en conclut que la fonction
1
dılt t, 0,0) = — [R(L(t, m) + R(d(t, 0,7) +... + RYE, 097 2)
"E
est une fonction symétrique de d(f,c,) , (t, x), ..., P(E, ON ,), c'est
à dire une fonction rationnelle de d,(f,, £, x). e d... d.
En continuant ainsi on parvient au théorème que voici:
Etant donnée une équation dont chaque racine peut s'erprimer en fonc-
tion rationnelle 0,v, de l'une d'entre elles x,, si entre les fonctions 0,v, les
relations suivantes ont lieu
0,2, = ^ 0,7,,
0,07, = 0^ 8^ 0,27, t
2 QP:
0,0,x, =i 2 231,
a, D k
(7) 0 0r, — pU ds
0.0.0, — 0*0... 0 0,
on gl p
04, u Su 0 : 6 À a 0, GU
l'équation donnée se réduit alors à une suite d'équations abéliennes, et elle
est par conséquent résoluble par radicaux
Inversement, si l'équation donnée se réduit à une suite d'équations abé-
liennes, ses racines sont nécessairement liées entre elles par un système d'équa-
tions de la forme (7).
324 Ivar Bendixson.
Jusqu'ici nous n'avons employé que les considérations dont s'est servi
ABEL dans le premier des Mémoires mentionnés, et l'on voit que l'on trouve
par ces considérations seules, la classe la plus générale d'équations qui
peuvent se réduire à une suite d'équations abéliennes.
Il nous reste à prouver que l'ensemble des équations (7) forme la con-
dition nécessaire pour que l'équation (1) soit résoluble par radicaux.
Afin d'y parvenir, nous ferons usage des considérations du second Mé-
moire cité d'ABEL.
Nous avons supposé de l'équation (1) qu elle soit résoluble algébrique-
ment. Une de ses racines peut alors s'éerire
zx = e(R, ENTE Po);
ot R,..., E^ désignent les quantités qui définissent le domaine de ratio-
nalité donné, et où les quantités V, satisfont aux équations suivantes
yh —e(R, Jio R‘) I
&— 9,(Bi,..., RB, V) — 0,
V5 — e, (N , NA Fe E. QUON s V1) = 0,
les c,,..., €,, € désignant des fonctions rationnelles de R’, ..., R', et
des fonetions entiéres rationnelles de V,,..., V, de degré p, — 1,..., p,— 1.
Je suppose ici, que l'on ait adjoint au domaine de rationalitó donné les
quantités «&,, ..., e, qui satisfont à
atr 005: 12. 7.0.0, 200 0% (v71,2, 9)
que l'équation
y
ys — p,(R, ERU HR, Vis Sr MS] V,_,) =0
soit irréductible dans le domaine de rationalité R’,..., R', Vy, ..., Via,
et que les p, soient des nombres premiers.
En mettant w,V, en c au lieu de V,, on obtient une nouvelle racine,
q 9)
ce qui nous donne
e (Fc RODA,
q—»
di; V.) s Bo" y Army, Kis eens Re ER
et en général
g(R Aa Big Viso Vua er Eu)
7
Détermination des équations résolubles algébriquement. 325
Observons que l'on a
0" x, —m-
et lormons maintenant
gi, x)= ((—2)t— 62), ...,((L—607 2) — Ht, R&,..., &,V,,..., V,
.
où nous supposons pour plus de simplicité, que V,_, soit réellement con-
tenue en A.
En mettant c», ,V, , au lieu de V, , dans les équations ci-dessus, la
fonction E, se change en V, et l'on obtient une racine
Ty = e(k, all V. ett) 0, Vin; Vj)
q
de l'équation (1).
On aura alors
, ds DE T7 v p]; = D us
COR eer EE on PE T Pl Gata
Comme
ditum.) AC, IR. nse, Vy eee) Opa Va)
est different de &(t, x,), il faut que x, soit une racine différente de tous
les #x,. Ecrivons donc
x, = 0,%,.
En mettant
NH RN. Lets SEAT hr y = I DT:
chaque fonction cyclique de y,,..., Yp, , est indépendante de V,_,. L'équation
(y — 9, y —15)-..(y—9,.) = ©
sera done une équation abélienne dans le domaine de rationalité R’,..., £P,
V,,..., V,, ee qui nous permet d'affirmer que
(8) y — SER UR Set i B25),
À désignant une fonction rationnelle.
Mais l'équation
Aid pt V ies Veo
y "ig
est évidemment irréductible dans le domaine de rationalité A, ..., R',
Vi, ..., V, ,, ce que l'on prouve aisément, en observant que V7* — e, est
336 Ivar Bendixson.
irréductible dans ce domaine, et que p, est un nombre premier. L’&qua-
tion (8), qui peut être écrite
d (t, 0,20.) Ale), Rcs te cca
a done pour conséquence
b(t, 6,08.) = Alpe, 01), BR, ..., RB, Vy, Federer)
De cette derniére relation on conclut enfin que lon a
0,0r, = 0"0,2,.
Les développements de la page 320 nous permettent alors d'affirmer que
9( 0,2) — Ad t, a),
À désignant une fonction rationnelle de R,...,R',t,x,. De l'équation
UE rx (y)
on conclut en outre que
Js (y)
et ainsi de suite, de sorte que l’on obtient
A (y,) S55
ce qui nous donne
e(t, Ot zy) TS P(t, a.)
ou que
gor 04, k = nombre entier.
Mettons maintenant ©, ,V, , au lieu de V, , dans les expressions de ¢ et
de H. La fonction V, , se change en y, ,, x, en x, et l'équation
1
F(t, Be, ..., B, V, es Vo, un iV e) Aig LO i ee
se change en
HE, Bi, nr cenis
= AH, Rs a, BG y s dE y
= Ad(t, x,)
= dt, 0,x,)
Vea 0,3 Ke 1)
Détermination des équations résolubles algébriquement. 327
On aura de la méme maniére
DU mL. OU a P, o; 0, V ons)
HO RA a. x ALLIES b eua Pa; ©, UY o—1)]
12 =
= A(t, x5) ,
= e(t, Or)
et en général
It, MR, "NP n. V, y.) Op E. oT, =) — P(t, 01c,).
Formons enfin la fonction
í — av . ! Pa—i—1 4.
g,(t,, ,2,) — [6 — 9(6, m 4, — d, 4x, ]...[é — D. (5, 007 2]
OURS er Me)
où nous supposerons pour plus de simplicité, que la fonction V, , soit
réellement contenue dans Z4.
On aura alors
dle Goes Rau, Elle vos le.)
Les fonctions d(6,, f, x,) et d,(£ , t, x,) n'étant alors pas identiques, il
s'en suit que x, est une racine différente de tous les
0'0ix,, a4, 2 désignant des nombres entiers.
Mettons
LT, = 0, Ti
et envisageons une fonction cyclique des quantités
iovis din Ela, Res I, Vy 50 50 Ob g Veg), 9-09, 1,..- B, 3— t,
on sait qu'une telle fonction est une fonction rationnelle de R’, ..., R',
V,,..., V; 4, ce qui fait voir que les quantites (^, t, 60;7,) sont les ra-
eines d'une équation abélienne à coefficients rationnelles en 4, ..., R,
r r
I Haare epic?’ q—3°
On aura done
(9) TRC ETT A) al CoS el Se AR)
# désignant une fonction rationnelle.
328 Ivar Bendixson.
r
Or chaque fonction H(¢, Rf’, .:., 8, V, ,-..,@
dans le domainet Rim. AO aV, rm E,
q—1»
V
,-1) étant irréductible
on conclut que la fonction
Ci
Pa 1
II at, By EB m o oh Vi Eee ur RM ee
est irréductible dans le domaine de rationalité R’,..., I, V,,..., V, ,.
L'équation (9) est par conséquent satisfaite si l'on y remplace x, par l'une
quelconque des racines Hin.
On aura alors
d 6,0,02,) — nda s to Er) SR cS Vale ae)
— U dd.
D'une manière analogue on obtient
Det OR) lane os Hec
Ces deux équations mettent en évidence que les équations (6) et (6^)
ont lieu.
Les autres relations (7) se démontrent d'une manière analogue, et l'on
peut enfin affirmer qu'elles constituent les conditions nécessaires et sufli-
santes pour que (x) soit résoluble algébriquement.
Ces équations (7) sont évidemment identiques à celles que l'on obtient
par la méthode de (ALOIS.
329
SUR L'INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES BINÓMES
PAR
W. KAPTEYN
a UTRECHT.
En désignant par y une fonction algébrique de la variable x, définie
par l'équation algébrique irréductible
g(x,y) EO
ABEL a démontré que, si l'intégrale [var est elle-méme une fonction
algébrique de x, elle est exprimable par une fonction entière en y dont
les coefficients sont des fonctions rationnelles de x. Dans les pages sui-
vantes nous nous proposons de faire une application de ce théoréme re-
marquable qui compte avee quelques autres théorémes de l'éminent mathé-
matieien Norwégien, parmi les sources les plus fertiles du caleul intégral.
1. Supposons que l'équation g(x,y) =o se réduise à la forme
(1) y! = F(a)
q étant un nombre entier et F(x) une fonction rationnelle de x; dans ce
cas le théorème cité nous apprend que, si l'intégrale f ydx est une fonction
algébrique, on aura
(2) fydx — yf(x) + const.
où f(x) représente une fonction rationnelle de x. Evidemment l'équation
(2) ne sera pas remplie si l'on choisit pour F(x) la fonction rationnelle
Acla mathematica. 27. Imprimé le 22 janvier 1903. 42
330 W. Kapteyn.
la plus générale. Cherchons donc la forme la plus générale de F(x) qui
s'accorde avec la condition (2). Pour y parvenir, différentions les équa-
6 : Dex o d os :
tions (1) et (2) et eliminons =. De cette maniére on obtient
5 (: ef Fe) dF (a)
da {we dæ
(3) f Fe)
ou
EN I Id ; ;
Posons, dans cette équation pour f(x)" F{x) la fonction rationnelle la plus
générale
f(zyF(z)- B(x —a,)"(x — a,)”.. (0 — a)"
où B,4a,,4,,..,@ représentent des constantes arbitraires et a,, a,,.., a,
des nombres entiers positifs ou négatifs. En substituant cette valeur dans
l'équation (3) celle-ci se réduira à
qui fera connaître la forme la plus générale de f(x) s'accordant avee la
forme adoptée pour f(z)'F(x). Cela posé, l'équation (3) donne la forme
cherchée de la fonction (zc).
En effet, on aura
i=l
d 3 A; d EN Ai
qa P(e) 2». er
qu
3 .
ou, par intégration
i=l q i=l
Tq Y A
1e o( Er) II (r — a),
(al
C" désignant une constante arbitraire,
Sur l'intégration des différentielles binômes, 331
De cette discussion il résulte que si y satisfait à une équation de la
forme (1) et si la fonction fyde est algébrique, y doit admettre la forme
i=l
Pl
(4) Y = C = = H (Ga a;)^
(el II E
où q4; représente un nombre entier.
Cette condition nécessaire est aussi suffisante, car si y admet la forme
précédente, on aura
i-l
(5) fydx —Cil@— a).
i=1
2. D'après les considérations précédentes, pour savoir si l'intégrale
fyde, ou y satisfait a une équation (1), est algébrique, on n’a qu’a exa-
miner si y est réductible A la forme (4) ou non.
C'est ce que nous allons faire pour l'expression binôme
(6) y=(@— a)"(B+ 7x +..+ Aa")?
en supposant
1° que l'équation
(7) P+r%+..+k"=o
n'admet que des racines inégales alga, dk;
2? que « est une constante différente de ces racines;
3* que m et n sont des nombres entiers, dont le dernier est positif ;
4^ que p est un nombre fractionnaire, dont le dénominateur est le
nombre entier g.
D'aprés ces suppositions on voit que l'expression (6) satisfait à une
équation de la forme (1).
Comme les quantités a; dans la formule (4) sont toutes différentes,
supposons qu'ils contiennent les racines de l'équation (7) et encore une
Série 0,,:, 04,5, .., a, d'autres.
En identifiant maintenant la fonction (6) avec
T A, A, Ay Au A;
c(; —a, T = — a, T Paar: + z — ur AE e — z)
X (x — a)" — a,)* . (x — a,)**(x — a, y^" (2 — a)"
332 W. Kapteyn.
il est évident que cette expression doit rester invariable quand on permute
les racines 4,, 4,, .., a, de toutes les manières possibles.
Il s'ensuit qu'on doit avoir
A, =A, =..=A,.
Or, parce que
Brat... +d" = A(x — ax — 8,) . (x — 4,
on aura
+—— +. £4 = “le (B+ rt b .. +72");
€ — a, % — a, E
par suite la forme précédente se réduira à
(6 r+ 20x +.. + mx"! An41
ju 1
B+ 7e +..+ Ar” © — Ang RCE m
X (B -- yz 4- .. + Mm) — ayy)" ..(z— a)".
Cette forme ne saurait étre identique avee la fonction (6) à moins que
4A, — 1 4 p.
En effet, on voit d'abord que A, doit étre différent de zéro, parce que
dans le cas contraire les deux membres de l'identité supposée ne pré-
senteraient pas les mémes points critiques. On trouvera done
G | y + 20r +... + na"! An41
1
D gens grs
(x a) —- JA c
Bye. cA fcu +]
X (B 4- rz +. + àv")! — a, 44)". (z— a)".
Remarquons ensuite ue le premier membre de cette é uation est indé-
q , q
endant de a ‚a mar cule Tau done que l'ordre A, —p—1 des zéros
p 1 2) 3:23 «q
ou des poles a,, a du second membre soit aussi zéro. En intro-
gis) Sry ty
duisant cette égalité, l'éroation précédente s'éerit
; + 20x Frick nda") Anzı
Bore pum © — An+]
C
(x — a)” = [li Ep) t. +]
X (Pt re +. + 0) — yy)". (o a)".
Sur lintégration des différentielles binômes. 333
Le premier membre étant ici une fonction rationnelle, les quantités
À,41,-., À, doivent représenter des nombres entiers; et comme le premier
membre admet un zéro ou un póle d'ordre m, selon que m est un nombre
positif ou négatif, il faut que le second membre présente le méme caractère,
Posons, pour satisfaire à la derniére condition .
Anzı a
et
Au = O:
Dans cette supposition on aura
A,.;— =m.
Si, au contraire 4,,, — o, le second membre ne saurait admettre le point
a comme póle, tandis qu'un zéro d'ordre m ne serait pas impossible. Il
faut donc distinguer deux cas et examiner sous quelles conditions les iden-
tités suivantes peuvent exister.
m 0 7+ 20k uu dar! I+m Ant A, |
(o S AP i nij P ye. 2" i En T— «4 ax 2 — nae Sae T—U
X (B + rz + .. +) — a)(x — a, ,,)^7** . (x — a)"
et
; Ic + muss 20s + .. + nr"
Are À;
I) (z—a-— IT o.
(II) (© — a) RE gs 5B gum spisso Is
jit+P
X (E + ye +. + Ar) —a,,,)4*.. (a —a,)#
m étant un nombre positif dans la dernière de ces équations. Comme les
premiers membres de ces équations ne présentent plus de zéros ou de
pôles dans les points a,,,...,q,, il faut que l'ordre des zéros ou des póles
4,,5,.., 4, dans les seconds membres soit aussi zéro.
Par suite
Aus Dx nomma, Slo.
Si done on pose
(t—4,,,)..(c—a) = 25 + A; zi +. + A,
334 W. Kapteyn.
les équations (I) et (II) se réduisent aux suivantes
C
: j y+ 20x +... + nian! I+ m
(8) I =F | (1 S) a
B + ye t.. AU © — 4
dat + (£— 1) Aya? +..+ “+ |
a + Aja EE 4%
X (B 4- yx +... + Ax")(x — a)(x' + Aim? +..+ A)
et
7 + 204 +... + nix"!
B+ye+..+ da"
(9) (T — a)" = hes |o + p)
ver TG m ap E x]
e+ Ad 4 .. + A;
X (B+ yx +. HAN) + Aa +... + A)).
La discussion précédente suppose que le polynôme # + Aa '+..+ 4;
n'admet que des racines simples a,,.,.., a, différentes de a, , a, , .., a, et
a. Or, l'équation (8) ne saurait être remplie par un polynôme
di + Ag l+..+ 4;
à racines multiples. En effet pour une telle racine ce polynôme et sa dé-
rivée s'évanouissant simultanément, le second membre se réduirait à zéro ce
qui serait absurde.
De méme ce polynôme ne saurait admettre une racine simple @,, dy, .., @,.
Quant à l'équation (9) il est également impossible que le polynôme ad-
mettrait une racine multiple différente de a, ou les racines simples @,, @,, .., d,
On conclura done que l'intégrale f ydx étant algébrique, il doit être
possible de satisfaire à une des équations (8) ou (9) par un polynôme
a+ Ag 4- ..+ A; ne contenant point de racine a.
Réciproquement, si la condition (8) est vérifiée, l'intégrale s'écrit
d'après (5)
J C " ;
(10) Jydx — sr P + e+... +") Pa — a) +" (xt + Aa +... + 4)
Sur l'intégration des différentielles binómes. 335
et, si la condition (9) est remplie
C | |
(11) fyde = nich 7e +... +) + A a7 +... + A).
3. En appliquant la méthode précédente au cas ordinaire
y = x" (a + bx"
on obtiendra aisément les résultats suivants.
L'intégrale fuis sera seulement algébrique dans les deux cas suivants
n> 8i
m + I
+p=—I dd Geo.)
et alors
if jus LT (a + bz") YAT zn mans
y nam FRE "m+1+(r—ı)n m +1+na’"
2n ru br—1 :
RS CT = ‚n(r—1)
ee ang roi
929 si
m + I
—ı +7 (r=0,1,2, ..)
n
et alors
nz Sa — (a + ba")! *7| a" — — etc apte
: nit + p t r)b f p+r b
f — I r a? I 2 Tr af
p
(r—2) — M » = hcc
Pekan poe Ree geh ee re nl
4. En supposant
= "(a + bx" + cx")?
on trouvera que l'intégrale est seulement algébrique en trois cas. Les
résultats sont ici plus compliqués et se présentent sous les formes suivantes.
Y9 US
m + I
= - + 2) = —2 —r (r=1,2,3,..)
336 | W. Kapteyn.
et si les r + 1 équations linéaires à 7 inconnues
ncA, +(1 + p)nb =o, |
2ncA,, + (2 + p)nb A, — (1 + m + rn)a = o,
3ncA,, + (3 + p)nbA,, — [1 + m 4- (r — 1)n]aA, — o,
rncA,, + (r + p)nbA, ,, — (1 + m + 2n)aA, on = 0,
(1 +r + p)nb A,, — (1 + m + n)aA in = 0
sont compatibles, on aura
fyde -—. Tm 5 = (a + bg" + ex) Pgh em (arr + A, afr Der AL
2°25 ESI
m + I
n
— 2-17 (r=1,2,8, .:)
et si les r + 1 équations linéaires à 7 inconnues
(2p 4- r -- 1)e4, +(p+r+1)b =0,
(2p + r)eAs, + (p + 7)bA, + ra = o,
(2p + r — 1)cA;, + (p + r — 1)dA,, + (r — 1)aA, = o,
(2p + 2)cA,, + (p+ 2)bAG ayn + 2046 on = 0,
(p RE 1)5A,,, Ar QA. aC)
sont compatibles, on aura
[vds — (2p +r 2: + 2)n (a Tw ca”) t? (an + Ayaan dq d A.)
a S
p——-— 5 (k=1,2,3,..)
m=kn—1, (y = 1, 2, oy 24)
y= 2k —1]
Sur l'intégration des différentielles binömes. 3
on aura
à |
[var = t (a + bz" 1° ean (gr^ au A, oo" 3c i EE À,,)
C
où les quantités Son À, ; Am, .., A4, satisfont aux r + 1 équations li-
néaires, dont tous les seconds membres à l'exception d'un seul, sont zéro
=
cd, + 50 — 9;
=
Ez 2cA,, = ( jos 1 0A, Sr ra — O,
m acd, E C = 2)bA,. ee
cl+p
—(r—k, = 2) CA (—2,49)n Sis (-: Ar k, = t JbAc mein Sr k, GÀ, ky. — TRE )
Fa rcA,. 4 xA ar 1)bA r—1)n ar 20A r—2)n — O
2 (r—1) (r—2) ,
r
X25 bA,, <= ad, DE Te o.
Pour plus de détails nous renverrons à notre mémoire sur ce sujet, inséré
dans les Comptes Rendus de l'Académie des sciences d'Amster-
dam, 2* série, t. 17, p. 92.
Acla mathematica. 27. Imprimé le 22 janvier 1908. 43
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SUR UN POINT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES D'ABEL
PAR
M. LERCH
à FRIBOURG (SUISSE),
Dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin pour l'année 1885
Werersrrass a démontré un théorème auquel on attribue une grande im-
portance, à savoir que toute fonction continue d'une variable réelle peut,
pour toutes les valeurs de cette variable contenues dans un intervalle fini,
étre représentée par une série uniformément convergente dont les termes
sont des fonctions entieres.
Présenté sous sa forme la plus simple ce théorème n'a apporté rien
de nouveau à ceux qui avaient accepté sans critique la méthode d'inter-
polation pour les fonctions arbitraires. Mais cette dernière méthode n étant
pas établie avec une rigueur suffisante, le théorème de WsrEnsTRAss signifie
un grand progrés dans la théorie de la représentation analytique des fonc-
tions, malgré la cireonstance que sa méthode parait échapper à la pratique.
Dans deux notes qui ont paru dans les mémoires de l'Académie de
Prague' j'ai fait usage du théorème de Werersrrass pour établir un
théorème fondamental de la théorie des fonctions génératrices d'ABEr, de-
finies par les intégrales de la forme
(1) Ka) = f'e-g(z)dz,
!' Rozpravy ¢eské Akademie, 2° classe, T. I, n? 33 (1892) et T. II, n° 9
(1893).
Acta mathematica. 27. Imprimé le 22 janvier 1909,
340 M. Lerch.
la fonction (déterminante) ¢(a) étant supposée indépendante de la quantité «a.
Dans son mémoire posthume’ le grand géométre ne s'est pas borné à cette
forme spéciale des fonctions génératrices, mais c'est cependant elle qui avait
surtout attiré l'attention des géométres. Nous verrons qu'à une fonction
génératrice donnée ne corresponde pas toujours une fonction déterminante,
mais notre attention est consacrée surtout à la question si, lorsque la dé-
terminante existe, elle soit unique. C'est en effet cette question qui parait
la plus importante pour les applications et nous avons démontré, dans les
notes citées, que la réponse est affirmative.
Mais l'équation en question
x on
(2) f € “ei(x)dx =] € ** o,(x)dx
0 0
revenant à la suivante
0 = az „al m\Am —
(29 fe e(z)dz — o
0
où g(x) = e,(r)— ¢.(#), nous sommes amenés à la question quand l'in-
tégrale J(a) s'annule. Nous verrons que si l'équation J(a) — O est satis-
faite par une infinité de valeurs positives de « qui forment une suite
arithmétique « — b + km (m — 0,1,2,...), on aura en général g(a) — o,
une exception ne pouvant se présenter que pour des valeurs de x qui
constituent un certain ensemble intégrable. C'est de ce théorème général
que résulte l'impossibilité de mettre sous la forme (1) les fonctions
sin ka , cos ka, (k 2 0),
1
Ib — ka)’
car elles possèdent une infinité de zéros positifs qui forment des séries
arithmétiques.
' Oeuvres, édition SyLow et Lik, p. 67 et suiv.
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. 341
le
Je commence l'exposition des résultats annoncés par une démonstration
élémentaire du théorème de Wrrersrrass. Celle que j'avais adoptée en 1892
consiste en ce qu'on inscrit à la courbe qui représente géométriquement
la fonction y — f(x) une ligne brisée polygonale à des arrétes suffisamment
petites et qu'on développe la fonetion définie par l'ordonnée de cette ligne
polygonale d’après le théorème de Fourrrr. Mais le point de vue sous lequel
je me place aujourdhui est que le théorème de Werersrrass est d'une nature
plus élémentaire que les raisonnements classiques par lesquels LEJEUNE-
Driricuier avait établi le développement de Fourier et que, dans un enseigne-
ment convenablement arrangé, on peut pour les applications analytiques les
plus élégantes substituer au théorème de Fourier un autre plus particulier et
plus facile à établir. L'espace me manque pour en parler davantage et je
me borne à indiquer succinctement la démonstration que j'ai en vue.
Au moyen des formules
et
9 I 20S 20TZX \
Me GERS be na MORE E).
2
A pn
on vérifie aisément que sous les hypothèses O < x, < x, < 1 l'expression
suivante
| Xx I = in 2 ) in 2
= N ; y, sin 2yz(z — 2z,) — y, sin 2vz(z —&,
(3) L(x )- 3 (7, — y) + Yo) + x mr
I| Yo y=1 ie
o
CETT cos 2yz(z — x,) — cos 2yz(x — z,)
22, — 2, de yx
représente la fonction linéaire
yy E (m — zy)
L]
342 M. Lerch.
lorsque la variable x est intérieure à l'intervalle (x, ... 2;), tandis qu'elle se
réduit à zéro pour les points qui lui sont extérieurs en restant intérieurs à
l'intervalle (o... 1). La représentation géométrique de la fonction (3) se
compose done du segment de droite AZ, M, qui joint les points M, (x, , y;) et
M,(r,,y,;) et de deux segments de l'axe des abscisses (O ... a) et (x, ... 1).
Cela étant, soient x, r,, 14, ..., 2, des quantités réelles qui satisfont
aux inégalités
O € f, f, £y €... X
et faisons-leur correspondre des quantités réelles choisies à volonté w,, Yı,
Yo, ..., Ja. On aura de la sorte dans le plan n+ 1 points M, aux co-
ordonnées respectives x, et y, (x —0, 1, 2, ..., n), lesquels définissent
une ligne brisée polygonale M,M,M,... M, que je désigne par L. La
somme suivante des quantités telles que (3)
n—! x
“a a+1
y—LL (« )
2 YoYa+i
est, en général, égale à l'ordonnée du point de la ligne Z correspondant
à labseisse z. Une exception pourra avoir lieu pour les points des inter-
\ Ori t
valles (0...x,) et (x,...1) où la quantité y s'annule, et aux sommets
M,M,... M, de la ligne Z.
DERI cc Cs
L (« )
Yor gs Yn
Je désigne par
cette quantité y et j'observe que l'on a
PAIE ete I |
Liz => X (Ya + yeux — La)
Diui vU. a=0
m Y Yo Sin 2yz(z — v.) — Yn sin 2yz(z — %n)
vn
ve]
ub n—1
I =~ 1, | m |” -
es 2 > Yarı 9^ (cog 2yzr(gz — a, ,,) — cos 2vz (x — z,)].
2 v’n’ =, Ta+1 — La
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. 543
Ici évidemment le second membre reste continu tant que x, <x <x,, d’où
|
il suit que la quantité ZE " | donne l'ordonnée de la ligne L même
Yo ++: Ya
aux points M,M,... M, ,. Sous P’hypothöse x, < x < r, on peut effectuer
la sommation de la premiere série et il vient ‘
(Dee d.
(4) L (« )- ( — + Te) Yo + e e "an r) Yn
YoYı = ++ Yn j T
n—1
I
== b» (Ya E Vai) uua zx d)
2 a=0
+ : > LE P ae [eos 2yz (y — x, ,,) — eos 2»z(r — c,)] .
a=0
Je prendrai désormais ©,—=0,2,= 1, de sorte que la ligne L recouvre
tout l'intervalle (©... 1) et j'observe que le second membre reste continu
dans tout cet intervalle sans exception. Cette expression (4) sera alors
partout égale à l'ordonnée de la ligne L.
Ce point établi, la démonstration du théorème de WEIERSTRAss s'achéve
comme dans ma note de 1892. Soit en effet f(x) une fonction continue,
définie dans l'intervalle (o... 1), choisissons sur la ligne qui représente
cette fonetion un nombre assez grand de points suffisamment approchés
M,M,... M, , et soient zr, €& x, € ... € zx, , leurs abscisses, en supposant
2,2 0,7, , X I. En prenant encore x, = O et x, = 1 et posant y, = f(x),
la quantité (4) formée au moyen de ces valeurs-là sera telle que la différence
. Lol ... Ly
f(x) — L\x
‚YoYı «Vs
. , "y pO , '
sera en valeur absolue plus petite qu'une quantité à donnée d'avance.
Cela étant, arrêtons la série infinie qui figure au second membre de (4) et
qui est uniformément convergente, à un nombre fini k de termes, dont on
dispose de la sorte que le reste de la série qu'on obtient ainsi soit en valeur
^
absolue plus petit que ^; en désignant par Z,(x) la quantité qui résulte
p p sagi g l q q
de (4) en supprimant le reste en question, on aura done
|Z6)— L| «2
344 M. Lerch.
et l'inégalité précédente
; D
| f(a) —L(a)|< -
3
permet de conclure
If) —L,(a)| <=.
La quantité Z,(r) est une expression finie de la forme
k
PIE (fo) — f(1 )C— x) + A, + X (4, cos aurz + B,sin 2»zz)
y=1
et on a par conséquent ce théorème que toute fonction continue dans
l'intervalle (o...1) peut être représentée, avec l'approximation donnée, par
une expression telle que L,(r). Sans m'arréter à des applications qui ont
quelque importance méthodique je me borne à observer que L,(x) étant
une fonction transcendante entiére, on pourra arréter son développement
par la série de Mac Laurin à un certain nombre de termes de la sorte
F Ó
que le reste sera, pour o C z- r, plus petit en valeur absolue que - .
RI
La fonction L,(r) sera ainsi remplacée par la fonction rationnelle entière
G(x) telle que
| L, (2) — G(n)|<*
et il s'ensuit
| f(a) — G(x)| A0:
Done, f(x) étant continue dans tout l'intervalle (0 ... 1), on pourra prendre,
le long de cet intervalle, G(x) comme la valeur approchée de f(x), l'erreur
étant dans tout cet intervalle plus petite que 2, c'est à dire qu'une
quantité donnée d'avance. C'est le théorème de WxrkRsTRASS sous sa forme
la plus simple.’
£j.
' Je me réserve de revenir sur le rôle que jouit la fonction L{x! ‘
Ms Yn
la théorie de la représentation des fonctions discontinues,
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel o45
|I.
Soit maintenant ç(r) une fonction réelle de la variable réelle #, dé-
finie dans tout l'intervalle (o... co) et telle que l'intégrale
(5) J(a) — Je e "= o(x)de
existe pour une certaine valeur a — c. Je vérifie d'abord qu'elle existe
alors pour toute valeur de a plus grande que c. En effet, J(a) est la
limite pour w infini de la quantité
w
J(a, w) = f &*e(x)dz,
D
et en posant a — c 4- a, 4à' 2 O, puis
r
p(x) = f e"g(z)dz,
0
d(x) sera finie et continue et la limite pour # infini est, par hypothèse,
une quantité bien déterminée (ce). On en conclut en intégrant par parties
l'équation
w
J(a ,w) = Hlw)e"" + a f dir)e7 de
d'où pour ? infini
oc
(5°) J(a) = (a— o) f e- h(a) der,
0
ce qui démontre l'existence de J(«).
Si la fonction J(a@) s'évanouit pour une infinité de valeurs positives
formant une suite arithmétique a — b + pa (p — 1,2,3,...), il résulte
de (5°) que l'intégrale
x
f o-**b(«)ae
0
Acla mathematica, 27. Imprimé le 26 janvier 1908, {4
346 M. Lerch.
s'évanouira pour les valeurs a’ — b — € + pa également en suite arithmétique
et l'on aura
on
—paxz p—(b—c)x ‚fi Er
fe ae CE f (m) de = o wer,
0
équation qui après la substitution 67“ =z prend la forme
1
(6) fered —90, (ic 1282)
0
en posant pour abréger
b—
T loge I I
AN a hrs loc i) 3
x\ ) if (: SR
Cette fonction est évidemment finie et continue dans l'intervalle (©... 1)
puisqu'elle est infiniment petite avec z, c'est à dire pour # infini, si l'on
suppose, ce qui est permis, que b> c.
Cela étant, choisissons une constante 2 d'une petitesse arbitraire et
formons la fonction rationnelle entière G(z) dont l'existence a été établie
plus haut, c'est à dire telle que l'on ait
le) — Gla) |<;
posant
G(z) = ay + az + a2 +. + One”,
écrivons l'inégalité précédente sous la forme
| G(z) = y(z) — 80, (— 1 € 8 € 1),
[5
/
où 4 est évidemment une fonction continue.
Cela étant, on tire de l'équation (6) en y faisant successivement
p—1,2,...,m - 1 et ajoutant après avoir multiplié par «, , 4, , Mo, ..., Ay,
l'équation suivante
1
fx (06(2)dz — o.
0
Faisant usage de la valeur (7), j'en tire
[yi 2)d2— 60 [Ay (2) dz
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d’Abel. o4
d'oü enfin
1 1
J x (ade « à f |y(z) | dz.
0 0
Cette inégalité devient impossible, si 7(2) n'étant pas identiquement nulle,
on prend pour 2 une quantité plus petite que le quotient
foa: f | (e) pe.
0
Il faut done que l'on ait partout y(2) — 0, ce qui donne dx) — o, c'est
à dire
fe "ed: E
pour chaque valeur positive de x. Cela exige que lon ait, tout au plus à
l'exception d'un certain ensemble intégrable, partout c(r)— 0.
On vient de démontrer le théorème d'importance capitale annoncé plus
haut, et qui s'exprime:
»Si l'intégrale définie
J(a) = fe “p(x)dx
correspondant à une fonction déterminante (uv) intégrable, continue
ou discontinue, existe pour une certaine valeur de «, elle existera
pour toute valeur plus grande. Elle ne peut pas sannuler pour une
infinité de valeurs positives de a qui forment une suite arithmétique
sans que l'on ait identiquement J(a) =o et, en général, e(x) = 0.»
Soit maintenant f(a) une fonction de la variable réelle et positive 4,
qui à partir d'une certaine limite reste finie pour chaque valeur finie de a
sans être identiquement nulle. Alors les produits
f( a) sin ka, f(a) cos ka , Pg
formés à l'aide d'une constante positive 5, ne pourront pas étre mis sous
la forme de l'intégrale (5) pour a variable et illimité, car ces fonctions de
a possedent une infinité de zéros formant une suite arithmétique,
348 M. Lerch.
Soit maintenant J(a) l'intégrale (5), je dis que si l'équation
(a + ryJ(a) = k
peut étre satisfaite pour une infinité de valeurs de «& formant une suite
arithmétique, &,r,s étant des constantes dont la dernière soit positive, on
aura nécessairement
, NA
o(t)—= 6e "2.
g(x) T(s)
Car en effet notre équation s'écrit
o L
d , k 3
Je e(x)dx — pa ota da
J Is)»
et le reste de la démonstration est évident.
Il y a des propositions analogues au sujet des expressions
(f+ 0)J(a), (a + MC
et plusieures autres.
LII.
Les applications du théorème fondamental qu'on vient d'établir sont
nombreuses, mais l'espace manquant, je me borne à une seule. Je veux
obtenir la valeur de l'intégrale
(ru sa ada
due | sin (> + eur VR
n
pour s — +1, # étant réel et positif, tandis que s peut être complexe, mais
sa partie réelle restant positive et ne dépassant pas deux.
Pour ce but je considère la fonction génératrice
x
- Diu)e “du
D
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel,
qui à pour valeur, comme cela se voit aisément, l'intégrale définie
e
LI
sT
J = € cos — /
2
LE
0
(a*
349
suivante
x’ da ET zl de
Zar s asın 7 ; *N °.
+ ox?Xa + ox? n 2 4 (a? + xr + 2?)
<
En faisant usage de l'identité
I
I 1 IE
Free Fa):
puis employant les formules
n L
gr-!dz zd i: x" dx zo
ET ; sz? ot a? sx
e 2 sin 2 cos —
0 2 0 2
pour c — « et pour € — I, nous aurons
7 1
J — -.-,—— [a+ e) — (1 + ga)
zac e + s) — (x + ea]
ou bien
uz I ICE
nn
2\a—e a?—1
Dans le eas où € — — 1 on a
Lx TE
J=- == a e "e dy.
2a+ 1 2:
ce qui démontre la formule de Caveny
^
à ns—1 7
: : ST a1 da T
(8) sin UT); = -e", (uo).
2 I+2? 2 ;
donne le résultat un peu plus compliqué
c I GE
_ _ — — 2 IT —
2 NO —— I &— Tt
x
a I I
angle ZAG
350 M. Lerch.
et il sensuit la formule que nous avons obtenue dans le second mémoire
cité plus haut
x
>
asda
3 u SE
(9) | sin (= + ur), een UY IT
t
0
W |
En ajoutant et retranchant avec la formule précédente on obtient
oo
*
DSL cos UT .-
2 sin {a dx = zeoshypu— z5
2 1+x
0
=
ST Sin ir .
2 cos — | 52" dx = zsin hyp u— zS
2 IC :
o6
S UN Y^ Stes ees:
v
2 [(2v+3—8)
En prenant les dérivées par rapport à s des deux membres dans les
équations précédentes et en posant s — 1 ou s = 2, on obtient les formules
que SCHLOEMILCH a données au sujet du logarithme intégral.
En mettant @ au lieu de 2 — 5 et faisant pour un moment
2 v
^ iw) = X T e ==
Pie) ue Tat vta
on aura évidemment
ule(u) + e(—1);
1 | =
cela étant, la fonction ¢(w) peut se transformer au moyen de la formule
d’EvurLer plusieurs fois retrouvée
(— 1}u’
I u
£u) = May: 2. va +»
d'où lon tire
Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. 351
Changeant done s en s+ 1 nos formules deviendront
a
| ST | x cos ux
LIE Pas ^ dr = zeos hypu
Saray ferne et f enda,
2 sin ^7 Se OW a sin hyp x
| IUE QU 0 70 JP
ris zig [e* fe a dr + ef ea dr).
"
I ip 7 ri |
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E
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J-— Vi;
353
SUR LA MÉTHODE D'ABEL POUR L'INVERSION DE LA PREMIERE
INTEGRALE ELLIPTIQUE, DANS LE CAS 0U LE MODULE A UNE
VALEUR IMAGINAIRE COMPLEXE
PAR
P. MANSION
h GAND
1. Objet de cette Note. La méthode d’Asen pour opérer l'inversion
de la première intégrale elliptique de LeGENDRE et établir les propriétés
fondamentales de la fonction inverse est, croyons-nous, l'une des plus simples
et des plus naturelles qui aient été proposées dans ce but.
En général, ABEL n'a considéré dans ses Mémoires que des intégrales
ou des fonctions elliptiques de module réel. Mais il a fait remarquer que
les résultats auxquels il arrive s'appliquent le plus souvent au cas où le
module est imaginaire. »Ce théorème, dit-il, en parlant de la double péri-
odicité, a lieu généralement quelles que soient les quantités e et c, réelles
ou imaginaires. Je l'ai démontré pour le cas où e* est négatif et c posi-
tif dans le mémoire précédent. Les quantités ©, ©’ sont toujours dans un
rapport imaginaire» (Oeuvres, tome I, premiere édition, p. 254; 2° édition,
p. 404—405). Ailleurs »Les formules présentées dans ce qui précède ont
lieu, avec quelques restrictions, le module ¢ étant quelconque, réel ou imagi-
naire» (/bid., première édition, p. 335; 2° édition, p. 528).'
' Les derniers éditeurs d’ABEL disent à ce propos: »Nous avons cherché en vain,
dans les manuscrits d'ABEL une indication de la méthode dont il comptait se servir
pour étendre ses résultats aux modules imaginaires» (Oeuvres, t. II, p. 319).
Acta mathematica. 27. Imprimé le 30 mars 1903, 45
354 P. Mansion.
Nous nous proposons de montrer, dans cette Note', que l'on peut
étendre, d'une maniére naturelle, la méthode d'exposition des principes de
la théorie des fonctions elliptiques d’Ager au cas où le module est une
quantité imaginaire complexe. Pour abréger, nous supposerons le module
ai
Lh de la forme pe", o étant positif et «a compris entre o et z. Si a était
compris entre z et 27, le module complémentaire 5^ = 1 — A^ serait de la
forme p’e’', po’ étant positif et a’ compris entre © et z. On peut done
faire, par rapport à £^, tous les raisonnements que nous allons faire par
rapport à 4", dans les intégrales dont il est question dans les n^ 2 et 3.
On trouve, en effet, en posant f£, = [s’:(1 + s?)),
t s
à à
| dt T | ds
: Vi — tz Vire i wi se s? VI + psi
0
Sic > i?
et, de méme, en faisant s? =
1-—112
t
a a
| e | ds : | dt
reve) rey ee
L
0 0
Nous n'employons, dans les démonstrations qui suivent, que des prin-
eipes tous connus d’ApeL et démontrés dans le Cours d'analyse de Caveuv
(1821) ou, pour le théorème du n? 6, V, dans le Mémoire sur les inté-
grales définies prises entre des limites imaginaires (Paris, De Bure, 1825),
du même géomètre.
2. Théorème I. La courbe représentée, en coordonnées rectangulaires,
par l'équation t
ety = ü
0
dt
fey
Nous avons donné une esquisse du présent travail (n° 2 et 3, premiers alinéas et les
remarques du n° 4) dans les Annales de la société scientifique de Bruxelles, 1898, t. XXI,
1ère partie, pp. 90—9I, mais sans prouver que sn, en, dn sont des fonctions bien dé-
terminées. — Dans le méme recueil, 1900, t. XXIII, 1° partie, pp. 55-57, nous
avons traité le cas où Á' est réel, mais non compris entre O et 1. — Nous avons annoncé
les résultats établis ici dans les thèses 16, 17 et 18 annexées à notre dissertation in-
augurale: Théorie de la multiplication et de la transformation des fonctions elliptiques (Paris,
Ganthier- Villars, 1870).
Sur linversion de la premiere intégrale elliptique. 355
on k* = pe", p étant positif, a compris entre © et z, t variant de o à l'unité
en restant réel et les radicaux ayant l'unité pour valeur initiale, est comprise
dans l'angle ;(T— a) compté à partir de l'axe des x et n'a aucun point double.
Liargument de Æ* et, par suite, celui de 4^ étant a, celui de — 4^?
sera — z J- a; celui de 1 — À^ sera compris entre o et
z+a. L'argu-
= à I I
ment de Vi —k*? sera compris entre o et — - 7 + , 2, ou entre ces mémes
quantitées augmentées de z; mais on devra choisir la première valeur, car
pour / tendant vers zéro, l'argument de y: — x*;* doit tendre vers largu-
ment de 1; or, dans la seconde hypothèse, l'argument de Yı — x??? tendrait
vers z, C'est-à-dire vers l’argument de — 1. L'argument de y: — %?1? étant
compris entre oO et — E ap celui de (1 "ur. — K*12) est compris entre
I I
o et -z—-a.
2 2
L'intégrale # + yi est la limite de la somme d'expressions (1 : 1 4/7),
multipliées par des quantités positives (dt: /1— 1*); l'argument de cette somme
. mI , . . I
et, par suite, de l'intégrale est done aussi compris entre O et 27 a.
(z— a) compté a
l|
La courbe est done comprise toute entiére dans l'angle
partir de l'axe des x.
Posons cz + yi = ref, r étant positif. Je dis que f et r croissent en même
temps que /. En effet, la valeur absolue de l'argument de ı — £^? croit
de o à z—a quand ¢ varie de o à co, comme on le voit en construisant
le parallélogramme ayant pour cótés 1 et — 4°, la valeur absolue de
l’argument de yi x? ou la valeur de l'argument de (1:y1 — x?t?) croit
ta A) I :
de o à Tata quand ¢ varie de o à co. L'argument de la somme des
éléments de l'intégrale et, par suite, celui de l'intégrale elle-même croit
done avec f.
La valeur de r va aussi en croissant avec /, parce que le module de
la somme de deux ou plusieurs quantités complexes dont les arguments
DUNS 3 I T: ;
diffèrent de moins de „= est supérieure au module de chacune d'elles. A
mesure que l'on considère un plus grand nombre d'éléments de l'intégrale,
le module de leur somme et, par suite, celui de l'intégrale augmente.
356 P. Mansion.
Soit
VIRE — m + ni ou 1 — pt! cosa — ip sina = m* — n° + 2mni,
d'où il résulte que
AD m —pÜsina
2mm = — ot sin a, SSS SS SS
n 2n
On aura
t
t m ni dx . da M — ni
cui [ = dt, a "Ane
J vr — ?(m* +n’) dt di Vi — i" (m? + n?)
0
da m pl sin a
— = — — =! — > O
dy n 2n°
Done x croit en même que y — rsinf, quand £ croit de o à 1.
La courbe z + yi — re? est donc telle que z,y,r,jf croissent avec f
et cette courbe n'a aucun point double quand ¢ varie de zéro à l'unité.
3. Théoréme IL La courbe représentée en coordonnées rectangulaires
par l'équation
p q :
EJ
ds
ve tyi=i |
J Viper = es’
0
o k? = pe", p étant positif, a compris entre o et z, s variant de o à + co
en restant réel et les radicaux ayant l'unité pour valeur initiale, est comprise
í I sis : , ,
dans l'angle -a compté à partir de l'axe des y, dans l'angle des x et des y
PAIRE
positifs, et n'a aucun point double.
L'argument de A? et, par suite, celui de k’s’ étant a, celui de 1 + A*s*
: , ere : I
est compris entre o et a; celui de 1 + %*s? est compris entre o et 3%
ou entre ces quantités augmentées de 7; mais on doit choisir la première
valeur, parce que, pour s tendant vers zéro, l'argument de y: + k*s? doit
tendre vers l'argument de 1; or, dans la seconde hypothèse, l'argument de
ce radical tendrait vers 7, c'est-à-dire vers l'argument de — 1. L'argument
4 1 ,
de Ji + ks? étant compris entre o et >a, celui de (1:y1 + &*s*) est com-
I A . - I I I
* ntre Mae Xt ce x 1*7 2.2) entre - EE, E
pris entre o et za et celui de (i:y1 + 4°s*) entre „a et „ar — za.
Sur Vinversion de la premiere intégrale elliptique. 357
l
L'intégrale x’ + y'i est la limite de la somme d'expressions (/: 1 + k? s?)
multipliées par des quantités positives (ds: 4/1 + s?); l'argument de la somme
j , dp , - I
et, par suite, celui de l'intégrale sera done aussi compris entre .7 et
I 1 = I
IR ZU: La courbe est done comprise toute entière dans l'angle | a
compté à partir de l'axe des y.
Posons z' + yi — re‘, r étant positif. Je dis que f décroit et que r'
croit quand s croit. En effet, l'argument de 1+ k’s’ croit de o à a,
t : 7 A J
celui de V1 +42s? de o à za quand s varie de O à co, comme on le voit
en construisant le parallélogramme ayant pour côtés 1 et k°s*: la valeur
; Mu eie E pos I
de l'argument de (i:V1 + ks?) décroit done de ;z à ;z— 4 dans les
mémes circonstances. Il en résulte. immédiatement que largument de la
somme des éléments de l'intégrale et, par suite, celui de l'intégrale elle-
méme deeroit quand s croit.
La valeur de »' va en croissant avec s, parce que le module de
la somme de deux ou plusieurs quantités complexes dont les arguments
VN x I FA "
différent de moins de ;7 est supérieur au module de chacune d'elles. A
mesure que lon considére un plus grand nombre d'éléments de l'intégrale,
le module de leur somme et, par suite, celui de l'intégrale augmente.
Soit
vI + es? =m' + ni ou 1 + ps'cosa + ips’ sin a = m" — n^ + 2m/n'i,
d'où il résulte que
m ps’ sin a
LE) ee nat
2m'n’ = ps’ sina, a
,
n 2n
On aura
; at : m — ni da’ . dy mi+n
LE EN ON | : — — — ds, ci vanum = - [
Jo VT s?(m? +n) ds ds VI s?(m^? +n?)
n
di m’ s° sin 4
4 = — = ie — > O
dx n 2n"?
Done y’ croit en méme temps que æ =?’ cos ' quand s croit de o à eo.
La courbe a’ + yi=r’e est donc telle que x’, y, »', — ff croissent
avec s et cette courbe n'a aucun point double quand s varie de o à l'infini.
P. Mansion.
vo
on
Rn
4. Théorème III. Si l’on fait glisser parallèlement à elle-meme la pre-
mière courbe (x,y) de manière que son point initial (o, o) décrive la seconde
(m, y’), ou, inversement, la seconde (x', y') de manière que son point initial (o, o)
décrive la première (x, y), chacune des deux courbes, dans son mouvement,
balayera la surface d'un parallélogramme curviligne, en ne passant qu'une
seule fois par chacun de ses points.
Posons
1 oe
a? >
> dt m. j Is
h = " Ki=i| = : :
vı—?yı — Pe Vi + s? V1 Rs
*
0
D'après la définition du parallélogramme curviligne, ses points sob-
tiennent en faisant varier / de o à 1, s de o à co, de manière que x +yi
K+ Ki
varie de o à K,z'-- yi de o à Ki, x,y,x,y' allant d'ailleurs sans cesse
en croissant, comme on l'a vu dans les théorémes I et II. Un point queleonque
de ce parallélogramme sera done représenté par æ + yi+ a + yt.
Je dis qu'il est impossible que le méme point soit représenté par une
expression de méme forme X + Yi + X' + Yi, X + Yi étant un point de
la premiere courbe correspondant à une valeur 7 de la limite supérieure
de la première intégrale, X + Yi étant un point de la seconde courbe
correspondant à une valeur 5 de la limite supérieure de la seconde intégrale.
En effet, l'égalité
ectyite’t+yi=X4+h4+xX4+ Vi,
ou
t 4, T 8
à it ef 1 = it one d
| 0 +i| ds B | A + | | S ch
J Vi-@yt-#? — J yr MPVITES NT PNR Ts I-A st
0 0 0 0
Sur l'inversion de la première intégrale elliptique. 359
peut s'éerire
| dt Sh | ds
Vi— 2 vi — Pe VI s* V1 + k2s?
t 8
Or cette dernière égalité est impossible; car, on a vu, dans l'étude des deux
courbes, que, à z pres, l'argument de la premiere intégrale est compris entre
I I : Ht. > I I I
O et -z— -a, celui de la seconde multipliée par 4, entre - x — -a et -z.
2 2 2 2 2
Remarques. I. Il n'est pas sans intérêt d'observer que si l'on pose
Ren v= yer
on a
I HUP: I
zb Zuge ger PFO
et, par suite,
Il en résulte que
Ki Heat zen: R AR.
== (B'—B)i __ 1 nn
=—e = — cos (B' — B) + i —sin(B' — B).
K R R sir R (
Le coefficient de i, dans la valeur de (K'i: K), est done positif.
II. Dans le cas ot a est compris entre z et 2z, et, par suite, a'
entre O et z, on trouve aisément que l'on a
1 LA I , I [A
LOS EL Ent LE pcm
, )
Ba : a
et le coefficient de i est encore positif.
5. Inversion. 1. Posons, dans l'intégrale du n? 2, / — sin g,2=x+yi.
Nous aurons
360 P. Mansion.
Si nous écrivons, comme dans le cas où A" est positif et inférieur à 1,
g — amz, í — sing = sinamz — snz, 1 —# = cosy = cosam z — enz,
VI — I? = J/1— I? sing = Ag = Aamz = dnz,
les fonetions snz, enz, dnz seront des fonetions bien déterminées de z,
puisque la courbe (x,7) n'a pas de point double, et cela, pour toutes les
"un
'aleurs de e, de o à mi
Mais rien n'empêche de faire croître ¢ indéfiniment ou de lui donner
des valeurs négatives, le radical Yı — 1? de l'intégrale primitive ayant tou-
jours le signe de cosg. La variable z prendra des valeurs bien déterminées
de o à K d'abord, puis de K à 2K, de 2K à 3K, etc. et de méme de
O à —nK, n étant aussi grand qu'on le veut; la courbe (m, y) correspon-
dante s'étendra jusqu'à l'infini dans les deux sens, sans avoir de point double.
Nous tirons immédiatement de là, comme dans le cas où Æ* est positif
et inférieur à l'unité, les propriétés fondamentales de sn, en, dn, quand sn
est réel, mais non le théorème de l'addition:
(1) Bn 24 coe 11, K?sn* 2 + dn? 2— 1;
(2) Dsnz=cnzdnzg, Denz=-—snednz, Ddnz= — k’snzenz;
(3) sn (—2) = —snz, en (— 2) = en2, dn (— 2) = dnz;
(4) SL O!-—40, enosrT, dno m:
(5) En a Oe ca kK =o; dn A =k’;
(7) sn(z+ 2K)=—snz, en@+2K)=—cenz, dn(<-+ 2K) = dnz.
II. Si l'on fait / — sj, dans la premiere intégrale, elle se transforme
dans la seconde, considérée au n? 3, savoir:
, ^
| dt | ds
= 1 .
: VI ER) VI ht? \ 1 + s? VI + es?
Dans celle-ci on peut faire varier sans inconvénient s de O à ^o.
Sur l'inversion de la premiére intégrale elliptique. 361
Posons
21—2% ya, C aim u — sin d,
il viendra
5, u | "
a css dla "te d$... As zs f LOT =p dé
Vi + V1 + ks? J Vi — ut V1 — k?u? vi —k? sin? d
0 0 0
On a immédiatement, d'après 5, I, en mettant le module k’ en évidence,
sind = sn (z', k'), cos f = en (z', k’) Vi — X? sin?d = dn (z, k).
)
On a aussi
1
E uy mmm / / Sa iE
(8) ( — $i — itang 9, She orn epi unt
ex VI EE sin? d
cos dà
yı — — VI + ks?
les signes des expressions en étant déterminées par la valeur initiale des
radicaux. Si l'on pose
URBI (2i a k), yı Lem (un (2^2, k), VI — kp? = dn (22, k),
les fonctions sn (zi, k) , en (zi, k), dn (zi, k) seront des fonctions bien déter-
minées de 27, puisque la courbe (a, 5) n'a pas de point double, pour
x
1 I
toutes les valeurs de s de o à co, ou de g de o à =z.
Les relations (8) donneront d'ailleurs, comme dans le cas où A? est
positif et inférieur à l'unité, les formules de la transformation imaginaire
d'Agez et de Jaconr:
: . Su (v , K^)
ST if k — zi A. u un
(9) sn (zi, k) = à en (z', ^)? en (x', #)?
. dn (+, X
dn (2, k) = = a)
Rien n'empéche de faire croitre d indéfiniment ou de lui donner des
valeurs négatives, les radicaux J/i—— 6, /1— ARE ayant toujours le signe
de cosd. La variable z'i prendra des valeurs bien déterminées de o à A’
d'abord, de Mi à 2K'i, de 24i à 3X, ete., et, de méme, de zéro à —nK'i,
Acta mathematica. 27. Imprimé le 30 mars 1903. 46
362 P. Mansion.
n étant aussi grand qu'on le veut; la courbe correspondante (x, y’) s'étendra
de o à eco, dans les deux sens, sans avoir de point double.
Nous tirons sans peine de ce qui précède, pour la variable zi, les
propriétés fondamentales exprimées par les équations (1), (2), (3) et, de
plus, les suivantes:
(10) sn Ri CON entis — do, dn K'i = k.co;
(11) sn (2 + 2 K^) = sn, en (zi + 2 Ki) = — enzi,
dn (zi + 2A) = — dnzi.
Dans ces formules, snz'j est purement imaginaire.
III. Soit £—2z-4- zi, z étant une valeur quelconque considérée au
° s, I, z; une valeur quelconque considérée au n? s, IL. Par définition,
n
nous poserons (comme ABEL l'a fait dans le cas où A” est positif et inférieur
à l'unité),
. Snzenzidnzx4--snxicnzadna
(12) Sn =
9 + '
I — k? sn? z sn? 44
. enzsenxi— snzsn#tdnz dn#i
GHI Se SE
I — k? sn? % sn? + :
In £ dn + dn x? — k? sn + sn xi en + en +2
HUE ee er à ——
I — k? sn? x sn? x2
On déduit de là, comme dans le cas ot A? est positif et inférieur
à 1, pour la variable générale £, les propriétés (1), (2), (3), (7), (11), (9);
de plus, les suivantes:
(13) sn (A+ Ki) ==, en (K + Ai) dn (K + Æ'i) — o.
(14) sn (5 + 2K + 2A i) = —sn£, en (E+ 2 + 2 Ai) = eng,
dn (+ 2 K + 2X7) = — dn £,
et beaucoup d'autres, en particulier, celles-ci:
Pr I = + vie
(15) Sn (Ai ceu) ss); en (Kt + Le pay
4 k
dn (A — u) = —.
dnw
Sur linversion de la premiere intégrale elliptique. 265
La variable € considérée ici est quelconque. D'après sa définition même,
on peut la mettre sous la forme 2pK + 2p'Ki+£, p et p' étant des
nombres entiers positifs ou négatifs; &£ — 2, + 2/i correspond à un point
du parallélogramme eurviligne du n? 4, dont les coordonnées sont æ, + x,
Vi E M, EZ, — a, + yi représente un point de la première courbe, z; — 2; + yii
un point de la seconde. Puisque £, ne peut étre égal à une somme de la
forme z, + z;? que d'une manière (n? 4), les fonctions sné, cn £, dné sont
bien déterminées.
6. Infinis, zéros, périodes de sn , cn, dn; théorème de l'addition: sn peut
prendre toute valeur.
I. Des formules (1) et (12), il résulte (comme Aser, l'a montré, quand
k* est positif et inférieur à l'unité), que sné,ené,dné ne sont infinis que
Si sn2 — O,snz'; — co, ce qui donne 2pK + (2p' + 1) Ai pour les infinis
de ces fonctions, p et p' étant des nombres entiers positifs ou négatifs.
II. D'après les formules (15), pour que sn (Kö — w) , en (K 4- K'i — u),
dn(K— u) s'annulent, il faut et il suffit que «= 2pK + (2p + 1) K'i.
Cette remarque donne immédiatement les zéros des fonctions sn £, en £, dn £.
III. Ces fonctions, par suite, ne peuvent avoir pour périodes que
2K, 2K% ou leurs multiples; car si elles en avaient d'autres, elles auraient
d'autres zéros et d'autres infinis que ceux que nous venons de déterminer.
IV. Le théorème de l'addition peut s'établir, dans le cas actuel,
comme l'a fait ABEL, quand k? est positif et inférieur à l'unité. Mais il
peut aussi être démontré algébriquement comme il suit: Quand A? est
positif et inférieur à l'unité, on a identiquement, si S— a TBg£cTr442,
erg oo (a + B) en (r + 2) dn(y + 2) + sn(r + 2) en (« + B) dn (a + 9)
à I — k* sn? (a + (3) sn? (y + 0)
sn (4 + y)en(? + 0) dn(f$ + 0) + sn(f + 0) en(a + p) dn (a +7)
+ Ti. 1 — E? sn? (a + 7) sn? (8 + à) i
et de méme pour en S, dn S, pourvu que l'on exprime les deux fractions
au moyen des fonctions sn, cn, dn de 4, 8,; et 9. Les mêmes identités
algébriques subsistent si A" est imaginaire complexe, quand 4 et f sont
des expressions de la forme z considérées au n? s, I, 7 et 9 des expressions
de la forme 2’ considérée au n° s, IL. Ces identités expriment évidem-
ment alors le théorème de l'addition pour sn (& 4- £j) , en (5 + £j, dn (& + £j),
si §=aty7,a4=—Pt+a,
364 P. Mansion.
V. Enfin, la fonction sn £ peut prendre une valeur quelconque A+ pi.
En effet, posons
Api
>
di
n V1— P y1— Ee
0
l'intégrale étant prise le long d'une courbe continue qui ne passe par aucun
I I
I
de l'intégrale par une expression & de la forme z+ 27, z variant de o à
Z=2pK+Z,, zi de o à 2p Kit Zi, p et p étant des entiers positifs
ou négatifs, Z, correspondant à un point de la courbe du n° 2, Zi à un
des points Hc On pourra représenter chacune des valeurs
l ,
point de la courbe du n? 3. — On a identiquement, en posant sné — f,
I sn /
I à = a
I jj JE | dsné dt
= | WH = a EE I pu
E enfdné jJ Vi —#2 4/1 — ge
0
Les deux intégrales en ¢, l'une de o à A+ pi, l'autre de o à sn J, sont
égales quelque rapproché que lon suppose A+ yu de Oo; autrement dit,
l'intégrale de l'expression en /, le long d'un chemin convenable, de À + pi
à sn/ est nulle quelque rapproché que A+ pi soit de o. Cela suppose
que lon ait A-4- ji — sné, dans le voisinage de zéro, puis partout, de
proche en proche, comme il est aisé de le voir.
SUR UNE CLASSE D'ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
PAR
IVAR FREDHOLM
à STOCKHOLM.
Dans quelques travaux’ ABEL s'est occupé avec le problème de dé-
terminer une fonction g(x) de manière qu'elle satisfasse à l'équation fone-
tionnelle
(a) JFG, v) eu)dy = g(x)
f(x,y) et d(x) étant des fonctions données. ABEL a résolu quelques cas
particuliers de cette équation fonctionnelle dont il parait avoir reconnu
le premier l'importance, C’est pour cela que je propose d'appeler l'équa-
tion fonctionnelle (a) une équation fonctionnelle abélienne.
Dans cette note je ne m'occupe pas en premier lieu de l'équation
abélienne mais de l'équation fonctionnelle
(b) g(a) + fra, ve(y)dy = de),
qui est étroitement liée à l'équation abélienne.
En effet, si on introduit au lieu de f(a, y) et (x), 3 f(x, y) et ; d (x),
l'équation (b) s'écrit
(c) de(æ) + f fic, y)e(y)dy = qv),
équation qui se transforme en l'équation (a) en posant À — o. Ainsi la
solution de l'équation (a) peut être considérée comme implicitement con-
tenue dans la solution de l'équation (b).
! Magazin for Naturvidenskaberne, Kristiania 1823 et Oeuvres com-
plétes.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 30 mars 1903,
366 Ivar Fredholm.
Quant à l'équation (b) elle me parait mériter l'attention particulière
des géométres, car la plupart des problémes de la Physique mathématique
qui conduisent à des équations différentielles linéaires se traduisent par des
équations fonctionnelles de la forme (b) ou de la forme
€ (2,...2,) + jj ‚Ste a a en Gr ae er Ulm
Pour le voir on n'a qu'à rappeler le probleme de DiricaLer dans le
‘as ott l'on cherche à représenter le potentiel inconnu par le potentiel de
double couche, des problémes analogues de la théorie du magnétisme et de
la théorie de l'élasticité.
Le premier essai de résoudre une équation (b) a été fait par NEUMANN.
En effet, la méthode célèbre de NEUMANN pour la résolution du probleme
de Diricnter consiste en le développement de ç(x) suivant les puissances
: I 4 1
croissantes du paramètre i Mais le développement de NEUMANN, tout
en convergeant dans le cas du probléme de DiriCHLET, ne peut pas con-
verger dans le cas général.
Dans un travail important! la méthode de Neumann a été appliquée
avec succès par M. VOLTERRA à l'équation fonctionnelle
(c) ez) + frs. (y)dy = px).
Dans le méme travail M. Vourerra a aussi mis en évidence le rapport
intime entre l'équation (c) et l'équation abélienne
zr
ib f (x : y)e(y )dy = dx .
0
L'équation que je me propose à étudier dans le present travail com-
prend comme cas particulier l'équation de M. VoLTERRA, car en supposant,
dans l'équation (b) que f(r, y) soit nul pour y 2 z, on obtient immédiate-
ment l'équation (c).
Dans ce qui suit la fonction f(x, y) sera soumise à quelques restric-
tions. Je suppose que /(r, y) soit telle que, « étant inférieur à l'unité,
(x — y'f(r,y) soit une fonction finie et intégrable. Ainsi je ne vais
! Annali di Matematica, 1896.
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 361
pas traiter l'équation (b) dans toute sa généralité. Mais les restrictions
que j'ai imposées à la fonction sont justifióes par les applications de l'équa-
tion (b) à la Physique mathématique auxquelles je me réserve de revenir
dans un autre travail.
8 1. Sur la formation et les propriétés du déterminant
de Véquaton fonctionnelle fondamentale,
1. Supposons que f(x,y) soit une fonction finie et intégrable soit
par rapport à une seule ou par rapport aux deux variables réelles æ et y
qui, pour fixer les idées, seront supposées positives et moindres que l'unité.
Dans ce eas il existe une quantité D, qui joue par rapport à l'équa-
tion fonetionnelle (b) le méme róle que joue le déterminant par rapport
à un systeme d'équation linéaires.
Pour définir D; j'introduis la notation abrégée
PG, ed en hes Mas netu LE: s Ma)
(^ EE EN à 2) = fs). Tan), » HE 99)
Yi » M», Da e Yn
fe, , y) f(x, ) Yo) Xs aio f(x, , Yn) |
1 1
: 2 I T , T,
(2) D; = 1 + ffs, æ)dx + 2 if ; Jar dr, CER
Dj ER y.
0 0
1 1
oo
I (5 clip. Pres NE
EM Meee r( head à "\de,da,... dz,
n=0 |n Ti , T. TE MONT) Xn
0 0
2. Pour démontrer la légitimité de cette expression nous n'avons
que rappeler un théorème de M. Hapamann.'
Le dit théorème nous apprend que la valeur absolue d'un déterminant
donné est au plus égale à la racine carrée du terme principal dans le dé-
! Bulletin des sciences mathématiques, 1893, p. 242.
368 Ivar Fredholm.
terminant obtenu en multipliant le déterminant donné avec son détermi-
nant imaginaire conjugué.
Par conséquent, si /^ est la limite supérieure de f(r, y) on a
i. MU < mr"
4,593, 5 Yas |
Ainsi la serie D, eonverge comme la serie entiere
= Pr
Ss vn je
Im i
me
n=0
3. Il n'est pas sans intérêt de noter que la convergence s'améliore
2 ] ^
E " . \ . °17
si on suppose chez f(x,y) une certaine espèce de continuité.
En effet, supposons qu'il existe une limite supérieure A des valeurs
du quotient
f@, y) — fla, 2)
(y — 2)
Alors on peut évidemment écrire
Bi. «Ae, T NN s
(d ERA) (m3 — m.) memes
po ee 277
Or, le premier membre étant une fonction symétrique des variables 2,...2c
À | 1
^n
il suffit évidemment pour en trouver le maximum de considérer celles qui
remplissent les conditions
d i >t, unb
Dans ce eas la valeur maxima du produit
(v, — 2, (x, — 24,) .. (G4 1 — %)
est égale à
I
n"
Par conséquent
1 1
LU EJ 1 e
I Ur T. n ny?
— / dx, de, < : As
n Tr, X. n
* ‘
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 369
De la méme manière que nous avons démontré la légitimité de
4.
l'expression de D, on démontre celle des expressions suivantes que j'appelle
les mineurs de D,.
Je pose
niea ) *
f
y
n ^ € JE es ) T
)+ r( ir
2i-::-715, ©
(3)
0
1 1
1 ESTEE I cue EN À
"L5 ( Ne: dx dz, +...
=e MEERE es
0 0
1 1
ST Cx Eu pcd
= D: = Sa LA dz, ...dz,.
— f "
oe | } DET ie Reet
0 0
Les mineurs satisfont à des relations importantes que nous allons
5:
déduire maintenant.
Développant le déterminant
Zar RER :
«e DET 277 Bg)
ssi Na Le «Mins By TO
suivant les éléments de la premiere ligne on trouve
= Je Le "
P MP Nasen)
VE PARCS
N» Po) SAT
a 3 E C T, af ^ = T3 ds Uy. OT,
re 1 ; re my P NIA i1 )+
Mas ns DERE? My Nes Mus Bos B
JA ^ & TA ya vU,
zem mule nt 3t: )
3h 7-0 À v,
We Nn—ı 5 An. À
Mo TT oise: )
7 s - ii , Yn Kur 305 —1
47
Acta mathematica, 28. Imprimé le 30 mars 1908.
Ivar Fredholm.
wv... dx, et in-
370
Multiplions les deux membres de cette identité par dx
téorons entre les limites o et 1, nous aurons la formule
0 0
1 1
E É atq
Ss . >
= len.) qu. ( : ae ae, dx,
t "y/ VE Tin » EZ x,
ü 0
1 1
Cis X v,
dx, dx, +
1 1
= = a
a [| 73 $934: n5 94 4,3
=f TAE ar 20 eda, ‘dx, .
: x Ms Bec Ay Dao weg.’
0 0
et faisant la somme depuis » = o jusqu'à
Multipliant ensuite par
oo on arrive à la formule trés-importante
y =
1
(4) »(* mE cw) ie f(& , nl BEER "ir
TERRE D N» Ta Ts
En commencant par développer le déterminant suivant les éléments
de la première colonne on trouve de la même maniere la formule
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 71
Dans le cas n = 1 ces deux formules deviennent
n
(4) D) E f'(& , 2 DT is —f(E,)D,,
;
(5) p(*)4- re, DD) = re aD,
Le
0
6. Introduisant dans D} au lieu de f(x, y), Af(x, y) nous trouvons
que D,, peut se développer suivant les puissances croissantes de À dans une
série qui, à cause du lemme de M. HADAMARD, converge pour toute valeur
de À. Ainsi D,, est une fonction entière de A.
En se rappelant les définitions de D, et de ses mineurs on trouve
immédiatement les relations
1 1
Sy WD ap dee ctr
(6) EG fs 3 [ri ; ande, dr:
d à" r r
T iie. D,
0 ü
qui subsistent pour n = 1,2, 3, ete.
Ces relations nous permettent de parvenir à un résultat important.
En effet, D,, étant une fonction entière de A chaque racine de l'équation
D;; = O
a nécessairement une multiplicité finie.
Par conséquent, on ne peut pas trouver de valeur de A pour laquelle
D,, et toutes ses dérivées soient nulles.
En particulier si, pour A=1, D,,— D,— 0, on peut toujours trouver
un premier mineur de D, qui n'est pas identiquement nul,
C9
I
bo
Ivar Fredholm.
§ 2. Sur une classe de transformations fonctionnelles et leur
inversion.
7. Considérons maintenant une équation fonctionnelle
(7) g(a) + ff, s)e(s)ds = d(x),
où c(r) est une fonction inconnue et ¢(#) une fonction finie et intégrable.
En considérant l'équation (7) comme transformant la fonction ç(x
/
en une nouvelle fonction d(x) j'écris cette méme équation
(7) B,g(z) = PR),
et je dis que la transformation S, appartient à la fonction f(x, y).
Les transformations (7) forment une groupe. En effet, considérons une
autre transformation S, appartenant à la fonction g(#, y) qui remplit les
mémes conditions d'intégrabilité ete. que f(x, y).
Alors on trouve facilement qu'on peut poser
S,d (v) = S,8,g(v) = S,g(«)
ou
Fie, y) e g(v, y) + fév, y) + J ax, ore, yd.
Quant à l'inversion de l'équation (7) deux cas sont possibles: JD, est
différent de zéro ou D, = o.
8. Supposons d'abord que le déterminant D; soit diflérent de zéro
et posons
Alors on trouve à cause de l'équation (5,) que Æ est identiquement nulle.
Par conséquent, l'équation identique
S, S,d(x) = d (xv)
one
Yin
Sur une classe d'équations fonctionnelles.
ansformation inverse de S,. Ainsi, s'il existe une
ayant lieu, 5,
L— S, o (x).
S, est la tr
solution de l'équation (7) elle est unique et donnée par l'équation
y(t) =
2
7) au lieu de v(x) S,d(x)
D'autre côté, introduisons dans l'équation |
S,g(x) = S,S,(z) = S,d(x)
à zéro.
€
nous obtenons
où P, à cause de l'équation (4,) est encore égale
Par conséquent, nous pouvons énoncer le théorème:
Si le déterminant D, d'une équation fonctionnelle de la forme
1
g(x) + ff (x ‚s)e(s)ds = d(«),
ou f(a, s) et d(x) sont des fonctions finies et intégrables, est different de
zero, il existe une et une seule fonction ç(x) satisfaisant à cette équation.
nm fe
y
—p, Phy) ay.
Cette fonction est donnée par l'équation:
e(2) = Pie) —
Considérons maintenant le cas ot D, est nul.
Nous avons vu, dans ce cas, qu'il existe un premier mineur de D, qui
9.
nest pas identiquement nul.
Soit
C Cu
3h s
ce mineur. Paree que les mineurs d'ordre inférieur sont nuls, la formule
(4) s'écrit
1
= - ” Le fm
EEE T s aU Lie
»( ) Ir AG , sn dr — o.
YA 9n 415 Va An
0
Ivar Fredholm.
211
o =
i, ae
Cest a dire
g(r) = »(
7h» Pac: Un
est une solution de l'équation homogène
1
(7) g(x) + [ fie, Wely)dy = o.
ù
Pour en trouver toutes les solutions, désignons par S, la transforma-
tion appartenant à f et soit ¢ une solution de l'équation
PRE
S,e(x) = o.
Apellons S, la transformation pseudo-inverse de Sj, si
pi 5 vasto z
Ie ARE
fe a 2) :
Ic ,y=—
DINE
les paramètres €,7 étant choisis de manière que le dénominateur soit
différent de zéro, ce qui, par hypothese, est toujours possible.
Alors
S,S,g(v) = S,g(v) = o,
où
^
F(v,y)-f(v,v)-F9(x,vy- | g(a, t)f(z, y)dr.
0
Or à cause de l'équation (5) on a
(9) F(z, y)
Lire cates e Rmi EE
Be re »»( PEN )-r&.n»( "19
Dj(* se 2 1 "> *Tn 7h » Ma» 9s: An
D N
(ES /n/
" EN c
LC (— I)" f(&, : nl 1 )
Ti * 0n
ou bien, en employant une notation abrégée
P(e ,y) = — XE, Wale).
(10)
Sur une classe d'équations fonctionnelles.
Or, ¢(a) satisfait à l'équation
S,€ (x) a O,
par conséquent on a
1
(11) g(a) = — f Fle,Wely)dy = ye (2) fre, Weln)du
= x A, ®,(x).
v=1
On vérifie immédiatement que cette expression satisfait à l'équation
S;g(x) = o
quelles que soient les coefficients A,.
Les » fonctions 4... ®, sont linéairement indépendantes, car la for-
mule (4) nous apprend que
fre edu? n t
I
Sl À-— p.
Cela posé, l'hypothèse qu'il existe une relation linéaire entre les fonctions
®, soit
«0, +...+4,9, — o,
conduit à la contradiction
1
Za,f(&,, x). 2a, D,(x)dx = La? =o.
0
Ainsi, non seulement les fonctions ®, mais encore les fonctions f(£ , v)
sont linéairement indépendantes.
Nous pouvons résumer les résultats obtenus en @noncant le théorème:
La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une solution diffe-
rente de zéro de l'équation
S;p(x) = o
c'est que D, — o. Si n est l'ordre du premier mineur de D, qui soit diffé-
rent de zéro, l'équation. donnée possède n solutions linéairement indépendantes.
Tvar Fredholm.
2
-ı
QU
Cherehons maintenant les conditions de l'existence d'une solution de
Se(x) = (a)
l'équation
dans l'hypothèse que 2D, — o et les mineurs d'ordre inférieur à n soient nuls.
Parce que la fonction
D'abord il faut démontrer une formule.
a AE
dr »(, À 2
AV 2
satisfait à l'équation
S,a(v) = 0,
En se rappelant que
a(r) est une fonction linéaire des fonctions ®,(x)
a(x) satisfait aussi à l'équation
CIC ENS
où bien à l'équation
1
a(x) = — f Flaw, ya(y)dy
0
on obtient immédiatement pour a (1) l'expression
(12)
on parvient à l'expression
(13) Pix) —
où nous avons posé pour abréger
D; m fr =)
Vim) = »( E 3
C»
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 377
et ainsi de suite. On voit que ces fonctions V sont lincairement in-
dépendantes.
Revenons maintenant à l'équation proposée et intégrons-la après l'avoir
multipliée par
nous trouvons
1 1
f D Gy, 05. 0, do 7 » "o E Noa Ind
x) D, dx y)yr (x , 4 T
J Fee niveis odo 2 OT PN, de x, mg y
1
+ PR SM: 2
= x)D ix.
f «o e Peale
a cause de l'équation (4) on trouve que le premier membre est
Or
nul quelle que soit la fonction ç(x).
)
’ar conséquent d&(z) doit satisfaire à l'équation
1
| [URN NBN
(15) d(z)D4| ” "de =
29. * D. UN Ds
0
quels que soient les paramétres a et b. Le nombre de conditions parait
être infini, mais a cause de l'équation (13) le nombre se réduit à n à savoir
les n équations
(15/7) Sy) D(x)de = 0. ve1...n)
Supposons ces conditions vérifiées et cherchons s'il existe, dans ce cas, une
solution de l’&quation (7).
Appliquons pour ce but la transformation S, aux deux membres de
l'équation (7) nous aurons
Or,
Acla mathematica. 27. Imprimé le 20 mars 190% IS
318 Ivar Fredholm.
Ainsi
e(2) = S,d(x) + 2:4, 0,7).
Cherehons maintenant si la valeur trouvée satisfait à l'équation (7).
Pour cela il suffit de voir si ç(x) = S,d(x) satisfait à l'équation (7) car
l'autre terme est une solution de l'équation homogene et peut être rejété.
On a
Sig (x) = SS, (x) = Sohle)
où à cause de l'équation (4) et de la définition des fonctions V, on a
G(x, y) = — Ze, FW).
Par conséquent on trouve à cause de l'équation (15)
1
JG,» (y) =o
et par suite
So(x) = dv)
et
Sg(x) = dla).
Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation
S;e(x) = f(x)
ait une solution s'expriment par les » équations (15).
10. Le systeme d'équations
1
(16) g,(v) + | re, ye,(y)dy = di(x) tea)
0
peut être ramené à une seule équation du type précédent.
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 319
Pour le montrer, définissons une fonction F(r,y) pour des valeurs
entre © et » par les »* conditions
T—À+I
Fc, y)=fut—À+1,y—v+1), pour o< i ¥
ir eet
et une fonction % par les n conditions ;
V(x) = d,(x —À- 1) pour o<z—i+ı<ı.
Si alors le déterminant de l'équation
(17) O(2) + f Fle, y)Oly)dy = V)
0
est different de zéro on en obtient une solution (x) et une seule. Dé-
finissant ensuite les fonctions @,(x) par les conditions
Q(r)-— e,(r—À-4- 1) pour o<z—A+ı<ı
on voit que ces fonctions satisfont au systeme proposé.
On voit aussi que c'est la seule solution qui puisse satisfaire au système
donné car autrement il en résulterait une autre fonction (zr) satisfaisant
à l'équation (17), ce qui n'est pas possible.
§ 3 Sur la première variation du déterminant D;.
r1. Calculons d'abord la première variation de
Si nous désignons par la notation
dude s Td 25
la suite des valeurs a, , z,...c, à l'exception de x,, nous pouvons écrire
Di D >? mcm sd.
o( 1 ) 2 (— Da | 1 ( : yr (x, el
adve vd T eee eon. ex) :
n : 1 n
Ape
0 Ivar Fredholm.
oo
BI
|
Multiplions les deux membres par dx, ... dx, et intégrons entre les limites
o et r. En observant que la notation des variables est indifférente nous
TE ER 1 “Va. . dz,
I: Spee en TL
+f. fil ‘are, a)d« da, dx, ,
QUOND en
1 1
y : T; eee To :
— nn — 1) |... ( pr (x, y)dxdydx, . . dv, s.
2 US a, tofs Ty
0 0
IUD I : : : ^
Multipliant par — et faisant la somme depuis » = 1 jusquà © nous
àD, = f part (a, «)dx — [foe pre. y)dx dy
ZU W
à log D, SC x) dx — {fs f(a, y)dady.
On a évidemment
aurons évidemment
obtenons
ou
P-
Et )
Of (x ; y) — —— df(t, y)dt = S; of (x ; y).
0
Par conséquent on peut aussi écrire
18) à log D, = f [ST 0f (x , y)],., de.
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 381
En introduisant pour la transformation
(2) + [rw ,æ)e(y)dy
la notation
T,
on obtient une autre expression de la variation logarithmique de D, à savoir
1
(18 bis) à log D, = J Ur! afi » 9)];-, ds.
0
§ 4. Le théorème de multiplication.
12. Pour arriver au théorème de multiplication considérons deux
transformations
Sg(x) = p(x) + file, y)dy,
1
S,g(v) = o(x) + f sw, Wei) @.
0
Posons le produit de ces deux transformations
S,S, = S,
nous aurons
1
Fe, y) =f, + ge, N+ Jr, dat, pdt.
0
Considérant de méme les transformations
T,g(x) = eG) fr, z)e(y)dy,
T,e(x) = g(x) + fay, “ge (ydy
nous aurons
L4 4] y
T,T, — S,
Ivar Fredholm.
NE)
oo
to
G(r, y) = f(u,v) + 94, » fry , 0g(t, a)dt = F(y, 2).
Nous avons trouvé
1 1
^. » a
| (n
é log D, = J ?F( , &)dx — E OF (x , y)dxdy
0 F
0 0
formule qui peut s'écrire aussi (18)
(19) 0 log D, = ISSN "OF, y)].-, dc
ö
ou encore
(20) 9 log D, = (i [TN FG, yy] dz
Or
OF (x,y) = of(v,w) + dg(x, y) + / [f(w, thag(t, y) +a(t, yjof (x, t)]at
= T, Of (x ) y) = S,0g (t ) y).
par conséquent en introduisant cette expression dans (19) et (20) on trouve
1
log D, = f (T, T^ T,f (v , y) + (8,8) Sag (a, y]. dx
— if [T7 0f (v , y) + 8; dg(a, y)).-, de
ou
9 log D, = ólog D, + 0 log D,.
I] s'ensuit que
log D, — log D, — log D,
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 383
ne dépend point des fonctions f et g. Alors, parce que pour f— g =o
on a D, = D, = D, = 1, on arrive au théorème
,
(21) DYSWpp.
85. Développements divers.
13. Nous avons vu que la fonction
ec, 7) Pn
satisfait à. l'équation
1
(4,) ee) + [fe Delr, mt = F(E, 7).
0
Cherchons un développement de la fonction c(5,7) de la forme
(22) PE, 7) = 9,(€, 9) — AE, 7) + LE, 7) +...
où c,(5,») soit de dimension » par rapport à f.
Introduisant cette série dans l'équation (4,) on trouve, en égalant
à zéro la somme des termes de la méme dimension par rapport à f, les
équations
"PS
—
[ar]
Ss
——
=)
m
fiv
-
sr
6
|
7
a
S
ST
=
—
i
22
L3
d'où il vient
1 1
e. (€, x) — fU CNE ES «st fte de, v. CHE
0 0
Le développement ainsi trouvé converge pourvu que la limite supérieure
de f soit assez petite.
Rappelons maintenant la formule (6) que nous pouvons écrire pour
n
384 Ivar Fredholm,
nous aurons, en introduisant pour @(£, £4) l'expression (22), la formule
log D,, = af te, x de —— Effi ‚fly, x)dxdy + etc.
= — NS MR 5 A Ea a La) (Lo , La) x. Fs. es cw all (Bp PR a) dar, x,
log D, = = DE Us fr (m , Sf (Gaye uo f(x 'n— 15 TUE, , 4) )da,.. dr n*
§ 6. Le cas où f(x, y) devient infini de telle manière que
(v — y) (+, y) reste fini.
14. Soit f(x,y) une fonction finie et intégrable, ;(z , y) une fonction
2 a fra " 1 nt A cer: ~ s * N ni
telle que («—y)*i(v,y) soit fini et intégrable. Supposons que D, soit
nul ainsi que ses mineurs jusqu'à l'ordre #. Soit de plus
5,8, = 8,8,
on a évidemment
(23) S; 6,(r) = Dre , (2), Q.-1, sm)
(m)... D, (x) étant les » solutions linéairement indépendantes de l'équation
S;e(x) = o.
Soit
Tre (a) = (x) + f fy, 2) ¢(y)ay
nous aurons
n
(24) T.U, (m) = p qi, (+) A=l...,n)
V. (7)... V, (x) étant les x solutions linéairement indépendantes de l'équation
T, (a) =
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 385
Je dis que le déterminant des coefficients p,, est égal à celui des coeffi-
cients q;,.
Je le démontre en supposant que le déterminant des quantités
1
ej, = [ 9,(x) V(x) dx
0
soit différent de zero, un simple raisonnement par continuité permettant
évidemment d'étendre la proposition au cas ot le déterminant est nul.
Observant qu'on a identiquement
1 1
f ¥(2)8;,0(a)da = f O(a) T, V (x)dz
0 0
on obtient en tenant compte des équations (23) et (24)
n n
> Cyn Pry = p Cy nv (pom, s m
d'où résulte immédiatement le résultat cherché.
15. Désignons par i(r,y) une fonction a laquelle appartient la
transformation $,. Nous allons chercher les conditions dans lesquelles il
existe une transformation inverse de S, en supposant que i(#, y) devient
infini de telle manière que (x — y)'i(r, y) reste fini, a étant un nombre in-
férieur à l'unité.
Posons
1 1
i, (x , y) =f... fie, tit, 6). y)dth. dt.
0 0
et
k(z,y) = —i(v,y) +4,(v,y)—..- + (— 1) (x, y)
nous aurons
f(z,y) — (— 1) (@, y).
Si on a choisi n tel que
I
n>
L—«
i,(@,y) ne devient plus infini.
Acta mathematica. 27. Imprimé le 3 avril 1903. 19
386 Ivar Fredholm.
Pour le démontrer observons qu'on peut écrire
1
ded ase Ya, B)
Left P Te up
(25)
où ¥"(a, A) est une fonction finie tant que
Geant, Uap), «aap RT.
L'inégalité (25) se démontre facilement en faisant dans l'intégrale le change-
ment de variable
t— c4 (y — x)s.
L'application répétée de l'inégalité (25) par rapport à l'inégalité
= a
li, y)| < 277
conduit facilement au résultat que
ay
5c, y)| < [«— pen
tant que
ya—vy-+i1<o
c'est à dire tant que
Soit
nous aurons
1
y a _,a.dt
Ji, (a : y)| < | jx ry era A Ca
0
De cette inégalité il vient qu'il existe une limite supérieure finie pour
$c, y).
Sur une classe d’équations fonctionnelles. 387
16. Les résultats ainsi obtenus s'étendent prèsque immédiatement à
des transformations plus générales
1 1
S;e(x,...c,) = e(m ...m,) nd as Al S TU. ply. Muy. dus
0 uU
en admettant que i(r,...2,; y,...),) devient infini de manière que
reste fini, a étant un nombre convenablement choisi, inférieur à n, et r la
distance des points dont les coordonnées cartésiennes sont æ,...7, et y... y,
respectivement.
On a en effet
X (zr, —y)? >nV (x — )*
yzl 1
v=)
ou
1
a _
r > vn Hs-—s.r.
Par conséquent il existe un nombre «a tel que
a
kls n a
II|z, — wl"
v=]
Nous définissons de la méme manière qu'auparavant les fonctions i,,
c'est à dire nous posons
1 1
esset E Coe RE a cei A C
D D
Par un raisonnement analogue à celui employé dans le cas précédent nous
arrivons à l'inégalité
a,
op m, Yi = vs He) | < 1 T
{Ia — ye p"
et de cette inégalité nous tirons le résultat que 7, ne devient infini si
I
A>
388 Ivar Fredholm.
17. Pour montrer comment ces résultats s'appliquent à la résolution
d'une équation
Sex) = dr)
je me restreins, pour abréger l'écriture, au cas où 7 ne dépend que de deux
variables.
Appliquant aux deux membres de l'équation proposée la transforma-
tion S,, nous aurons
^ i y a | \ Y f
S, S;g(z) = Srg(z) = 5,9 (a).
Ici f et S,d(r) sont des fonctions finies et évidemment aussi inté-
grables. Par suite nous pouvons appliquer à l'équation
(26) S,g(z) = S,d (x)
les procédés exposés dans le paragraphe 2.
Supposons, pour nous placer dans lhypothése la plus générale, que
D, soit nul ainsi que ses mineurs jusqu'à lordre » et employons les no-
tations du S 2.
Nous avons en appliquant aux deux membres de l'équation (7) la
transformation pseudo-inverse de S,
S,S;e(x) = S,g(x) = S,S8,0(x)
ou
g(x) = S,S,2(x) + p> e, Q, (a).
S'il existe une solution de l'équation proposée on peut déterminer les
coefficients c, de manière que S;¢(a#) soit égale à d(x).
18. Parmi les cas où cette détermination est possible il y a un qui
me parait mériter l'attention. C'est le cas où l'équation
S;p(x) = 0
n'admet que la solution
Nous avons évidemment
Sur une classe d'équations fonctionnelles. 389
Par conséquent
S; 0$, (x) —— 2 Pin $, (x)
nz
où le déterminant des coefficients p,, est différent de zéro, les fonctions
®, étant linéairement indépendantes et l'équation
S:o(z) = o
n'admettant que la solution e(x) = o.
Le déterminant des p,, n'étant pas nul le déterminant des g,, est
aussi différent de zéro. "Il s'ensuit que l'équation
Te(a) = o
n'admet que la solution e(x) = o et que l'on a
S, ®,(x) = o, |
(27) n |
T. En) ==",
Cela posé, mettant
nous aurons
Spe, (a) zu S,S, S. (x) — S, S, f(x)
= S,d(x) ENS f(x; 22 f $2) SB (de.
y=1 0
Or on a identiquement
1
Ja (2) S. (z)dz = f (v) T. d, (n)dx = o.
0
Par suite
S,e,(z) — S,d(x) = o
ou
S,(S;g, (v) E d(x)) a
d'où on conclut
Sol = dla) + Xa d,(x)
les a, étant des nombres connus.
390 Ivar Fredholm.
Posant maintenant
g(z) = g(x) + Xe, (x)
on obtient
S;o(x) = d(x) + 2a, ®,(x) + Z 2 Pre D, (2).
Or, le déterminant des coefficients p,, n'étant pas nul on peut évidem-
ment déterminer les c, de manière que l'on ait
C. Q. ED
Fac-similé d'une lettre d'Abel.
Nous publions ici en fac-similé la dernière page d'un manuscrit d'ABEL
composé de quatre pages et contenant le mémoire: Notes sur quelques for-
mules elliptiques (voir CRELLE, t. 4, p. 85—93, HoLMBoE, t. I, p. 299—308,
Svrnow et Lin, t. 1, p. 466—477).
La lettre est absolument inédite. Les annotations d'une écriture qui
n'est pas celle d'Anrr sont de la main de CRELLE.
Le manuscrit de méme que celui que nous avons publié au tome 26
de ce journal fait partie de la collection Maszowt. Dans le catalogue de
vente, il porte le numéro 3 et il y est indiqué qu'il a appartenu à la
colleetion Libri. La date 25 septembre 1828 a été supprimée par CRELLE.
La raison a dû en être que le § 1 du second mémoire Recherches sur les
fonctions elliptiques, publié sous le titre Théorèmes sur les fonctions ellip-
tiques et portant la date 27 aoüt 1828, n'a paru que dans le cahier qui
suit celui où ont paru les Notes. La lettre semble d'un trés grand intérét
en raison de ses indications sur les derniers mois de la vie d’ABEL,
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ACTA
MATHEMATICA
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ACTA MATHEMATICA
LEITSCHRIFT JOURNAL
HERAUSGEGEBEN
VON
G. MITTAG-LEFFLER
STOCKHOLM
BEIJERS BOKFORLAGSAKTIEBOLAG.
BERLIN 1904
MAYER & MÜLLER.
Lot r INANnE sax 2
PARIS
A. HERMANN
CENTRALTRYCKERIET, STOCKHOLM
REDACTION
SVERIGE:
A. V. BACELUND, Lund.
A. LINDSTEDT, Stockholm.
G. MrrraAcG-LEFFLER, »
E. PHRAGMÉN, »
NORGE:
Errıns Horst, Christiania.
L. Svrow, »
DANMARK:
J. PETERSEN, Kjóbenhavn.
H. G. ZEUTHEN. )
FINLAND:
L. LiwpErór, Helsingfors.
NIELS HENRIK ABEL
IN MEMORIAM
IIEÉDEAOCTION
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INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES.
BAND 28. — 1904. — TOME 28.
BOUTROUX, P. Sur quelques propriétés des fonctions entiéres
BRODÉN, T. Sur l'emploi d'un théoréme d'Abel dans la théorie
de l'intégrale de Diriehlet
BURNSIDE, W. On the reduction of a group of homogeneous
linear substitutions of finite order
GEGENBAUER, LEOPOLD. Note über die symmetrischen Fune-
tionen der zwei algebraischen Gleichungen gemeinsamen Wurzeln...
MARKOFF, A. Recherches sur les valeurs extrémes des inté-
grales et sur Pinterpolation..... eee emm mmn
MELLIN, HJ. Die Dirichlet’schen Reihen, die zahlentheore-
tischen Funktionen und die unendlichen Produkte von endlichem
Geschlecht
PHRAGMÉN, E. Sur une extension d'un théoréme classique
de la théorie des fonctions ........... MM MUR EE
PINCHERLE, S. Sur une série d'Abel ........... e teeer teeter ees
PRINGSHEIM, ALFRED. Über den Divergenz-Charakter ge-
wisser Potenzreihen an der Convergenzgreuze
SCHEFFERS, GEORG. Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche
Theorem über Translationsflächen
Seite. Pages
97 — 224
93— 96
369—388
31—- 36
243—302
37— 04
65— 99
Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres.
Seite Pages.
STOLZ, O. Die Bedeutung der Abel’schen Abhandlung über
die binomische Reihe für die Functionentheorie ........................ 908—306
TEIXEIRA, F. GOMES. Notes sur deux travaux d'Abel rela-
tifs a l'intégration des différences finies... 235-242
VESSIOT, E. Sur l'intégration des systèmes différentiels qui
admettent des groupes continus de transformations ................«... 907—350
Bibliogtaphienn. ee eU n rA umo de 389—394
ÜBER DEN DIVERGENZ-CHARAKTER GEWISSER POTENZREIHEN
AN DER CONVERGENZGRENZE
VON
ALFRED PRINGSHEIM
In MUNCHEN.
Bedeutet Lc, eine convergente, Ld, eine divergente Reihe mit beliebigen
(d. h. complexen) Gliedern von der Beschaffenheit, dass:
1. V— Yu
lim le, | = t, lim y[4,| = 1,
veo yo
so besitzen die Potenzreihen Xc,z', Xd,x’ allemal den Convergenz-Radius
|x| = 1. Versteht man sodann unter p eine positive Veränderliche < 1,
so besagt zunächst ein von Aven’ bewiesener Fundamentalsatz, dass:
(I) lim % cp = V: c.
pei t3 TE
ABEL hat aber auch bereits das Verhalten von lim V? d,p' in den Kreis
pel TG
! Journ. f. Math., Bd. 1 (1826), p. 314, Lehrsatz IV = Oeuvres, Éd. Svrow-
Liz, T. 1, p. 223. Ich habe schon bei früherer Gelegenheit (Münch. Sitz.-Ber.,
Bd. 27 [1897], p. 344) hervorgehoben, dass der betreffende AnpEL'sche Beweis, in Wahrheit
einfacher ist und das Wesen der Sache deutlicher hervortreten lässt, als der auf Liov-
VILLE's Veranlassung von DiRICHLET (Journ. de Math. (2), T. 7 [1863], p. 253) mit-
getheilte Beweis. ABEL beweist nämlich nicht nur, wie Drricurer, die Existenz der
Beziehung (D, also die Stetigkeit der Reihensumme für o < I, sondern geradezu die
gleichmüssige Convergenz der Reihe für p — I.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 25 juillet 1903. 1
2 Alfred Pringsheim.
seiner Betrachtungen gezogen, wie das folgende von ihm im 2'^ Bande
des Crelle'sehen Journals (1827)! gestellte Problem zeigt:
»En supposant la série:
f(o) = a, + a.p + ap* +...”
convergente pour toute valeur positive moindre que la quantité po-
sitive a, on propose de trouver la limite vers laquelle converge la
valeur de la fonction f(p) en faisant converger p vers la limite a.»
Da nämlich der Fall a,a’ = c, durch den Satz (I) schon vollkommen
erledigt ist, so kann sich das vorliegende Problem nur noch auf die An-
nahme a,a’ = d, beziehen. ABEL selbst hat dasselbe späterhin für den
Fall reeller positiver d, in soweit erledigt, als er in einer aus seinem Nach-
lasse publicierten Note? gezeigt, dass:
(II) lim Y d,p' = -- co (d,>0, zum mindesten für » > x),
p=1 5
ein Resultat, das sich leicht in folgender Weise verallgemeinern lässt *:
Es ist
(IIT) i| Y d,p)| = + ©,
0
p=1
falls die Reihe Xd, = Z(a, + fi) eigentlich, d. h. falls mindestens eine
der beiden Reihen La, , Ip, nach + co oder — co divergirt.
Es entsteht nun bei schärferer Auffassung der obigen ABEL'schen
Fragestellung und im Anschlusse an das in den Gleichungen (II), (LIT)
enthaltene Ergebniss die weitere Aufgabe: Wie lässt sich das Bildungs-
gesetz der d,, bezw. die Art ihres Verhaltens für limy = co verwerthen,
um über die Art des Unendlichwerdens von limf(p) oder, wie ich es be-
pel
oo
zeichnen will, über den Divergenz-Charakter von lim V» d,p' genauere Aus-
pel TT
! A. a. O. p. 286 = Oeuvres, T. 1, p. 618.
* Bei ABEL steht = statt o. (Ich schreibe p, um die nóthige Übereinstimmung
mit den sonst hier gewählten Bezeichnungen zu erzielen.)
* Oeuvres, T. 2, p. 203.
‘ Münch. Sitz.-Ber., Bd. 30 (1900), p. 39.
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 3
sagen zu machen?' Diese Aufgabe soll für gewisse Fille und zwar mit
einer sogleich noch näher anzugebenden, nicht unwesentlichen Verallge-
meinerung des betreffenden Grenzüberganges im folgenden beantwortet
werden. Es wird sich zeigen, dass unter geeigneten Voraussetzungen
zwischen jenem Divergenz-Charakter und dem Divergenz-Maasse von X,
d. h. der Art des Unendlichwerdens von Ya, für lim nm = co, ausser-
0
ordentlich einfache und praegnante Beziehungen bestehen.
1. Wie Herr Srorz zuerst gezeigt hat," lässt sich der ABEL’sche
Satz (I) dahin verallgemeinern, dass:
(La) lim $ ¢,2” = y Gy
0
wird, auch wenn z nicht, wie die Fassung (I) verlangt, auf der reellen
Axe, sondern auf einem beliebigen, dem Innern des Einheitskreises ange-
hórigen Strahle, bezw. — was im wesentlichen auf dasselbe hinausläuft —
auf einer beliebigen, den Kreis nicht tangirenden Curve? der Stelle ı zustrebt;
oder, noch etwas anders ausgesprochen, dass die Reihe 22c,7" gleichmässig
1 Eine andere aus der ABEL'schen Fragestellung erwachsende und wohl sicherlich
auch schon von ABEL (etwa im Anschlusse an das viel citirte, klassische Beispiel:
I
im Ye (— 1yp" ==> ausdriicklich dabei in’s Auge gefasste Aufgabe ist die folgende:
p=1
„Wann existirt im Falle uneigentlicher Divergenz von Xd, eine bestimmte Zahl lim f(p) und
p=1
wie kann dieselbe als Function der d, dargestellt oder zum mindesten aus den d, numerisch
berechnet werden?» Theilweise Lösungen dieser Aufgabe geben der bekannte Satz von
FnosENIUS (Journ. f. Math. Bd. 89 [1880], p. 262) und dessen Verallgemeinerungen
durch Hortper (Math. Ann, Bd. 20 [1882], p. 535), sowie BoREL's »limite généra-
lisée» (Journ. de Math. (4), T. 12 [1896], p. 103).
2 Zeitschr. f. Math. u. Phys, Jahrg. 20 [1875], p. 379; desgl. Jahrg. 29
(1884), p. 127.
* Picarp, Traité d'Analyse, T. 2 (1893), p. 73.
4 Alfred Pringsheim.
convergirt im Innern und auf der Begrenzung jedes durch den Punkt ı
und zwei beliebige Innenpunkte des Einheitskreises gelegten Dreiecks.’
Die Grundlage für eine derartige Verallgemeinerung des Satzes (I),
wie auch ähnlicher auf Reihen der Form Xd,z' bezüglicher Grenzwerth-
sütze, wird am zweckmässigsten durch das folgende Lemma geschaffen: ?
Lemma. Setzt man:
0
Ceo ee
^
und beschränkt 6 auf das Intervall: o < 9 € cose, wo: |e| € e, «5 so
hat man stets:
Ir—2'| 2
(1) le ec 2
(anders geschrieben:
^ i D)
(1 a) [apes TE?
wo:
n : , d. h. eine bestimmte positive Zahl.
cos Y,
Beweis. Man hat:
Jo’ |? = 1 + 6° — 28.cose,
also: 4
1 — |«'|* = d(2 cos e — 0)
> .cosg (wegen: à < cose)
>|1—a'|.cosg (wegen: 0 — [1 — '|
und daher:
TT q. e. d.
! Münch. Sitz.-Ber., Bd. 27 (1897), p. 347.
* Vgl. Münch. Sitz.-Ber., Bd. 31 (1901), p. 514.
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 5
Der in dem vorstehenden Lemma definirte Bereich von Werthen x’
soll im folgenden stets schlechthin als der Bereich x = x’ oder (z') be-
zeichnet werden. Geometrisch gesprochen wird derselbe begrenzt durch
die Hiilften der beiden Sehnen, welche mit der reellen Axe im Punkte 1
den Winkel e, bilden, und durch den dazwischen liegenden Bogen eines
beschriebenen Kreises.
D | ==
um den Punkt = mit dem Radius
2. Versucht man jetzt den Satz (II) in analoger Weise zu verallge-
meinern, so zeigt sich, dass die Gleichung:
ac
(IT a) lim | V d,"
, —
z=1 0
- ©
keineswegs allgemein richtig ist, selbst wenn man sich, wie bei (II), zu-
nächst auf den Fall reeller positiver d, beschränkt. Um dies zu erkennen,
betrachte man z. B. die Potenzreihe:
c B(x »
welche offenbar durchweg positive Coefficienten besitzt. Man hat dann
zunüchst für reelle r — p:
1
lim B(o) = lim Jc» — + ©,
p=1 p=1—0
woraus mit Sicherheit folgt, dass die aus lauter positiven Gliedern be-
stehende Reihe (1) divergiren muss und somit qr) in der That dem
Typus 2Xd,2” (d,> 0) angehört. Sodann ist aber:
1
3 cos2¢
=e
und daher:
i T
= 1 für: ¢ Fa
lim | 8 (2") | ^ L
ii [= 0 für ler
"
6 Alfred Pringsheim.
Dass es aber andererseits auch Reihen Xd,z* giebt, welche jener erweiterten
Grenzbeziehung (IIa) genügen, wird unmittelbar ersichtlich, wenn man
Ungl. (1) folgendermassen schreibt:
V x"
(2) Lau ele
Sole $^
0
oo
sodass also hier in der That die Beziehung lim V» |z'| — oo ohne weiteres
* , —
z=1 9
auch die folgende nach sich zieht:
wo
= ME
i| dee co.
X
Das analoge wird offenbar auf Grund des Satzes (III) allemal dann statt-
finden, wenn Xd, eigentlich divergirt und &d,x” der folgenden, Ungl. (2)
nachgebildeten Bedingung genügt:
(A) Le Zum
(zum mindesten für alle z' einer gewissen Umgebung der Stelle r).
Es erscheint zweckmiissig, die durch Ungl. (A) definirte Eigenschaft
der Reihe &d,x” durch einen besonderen Ausdruck zu bezeichnen, etwa:
die Reihe Xd,x’ gehe im Bereiche x = x' bei x' = 1 gleichmässig zur Di-
vergenz über, oder kürzer, wenn auch weniger correct, die Reihe Id,c” di-
vergire bei x' = 1 gleichmässig.
Auf Grund dieser Definition ergiebt sich unmittelbar:
Ist:
(B) lim | ———_—_| = a > 0,
zel zu
V, d,| x’ |
0
so divergirt 22d,z" bei x' = 1 gleichmässig.
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 7
3. Solche gleichmässig divergente Potenzreihen Xd,x’ können als Ver-
gleichsreihen benützt werden, um über die Convergenz und den Divergenz-
Charakter anderer Potenzreihen bestimmte Aussagen zu machen. Dabei
will ich mich hier auf die Annahme 4, > o beschränken." Alsdann gilt
zunächst der folgende Satz:
Ist Zd,x (wo d,>o) für |v| « 1 convergent, bei x = x —1 gleich-
mässig divergent und besitzt La, das g-fache Divergenz-Maass der Reihe
Za,, d. h. ist:
n
(3) lim ——- =g (g eine beliebige complexe Zahl incl. 0),
n=» Y, d,
Ld
so convergirt auch La,x’ für x] € 1 und divergirt bei x = x’ = 1 gleich-
mässig. Dabei ist:
(4) lim
beweis. Setzt man zur Abkürzung:
ins Y a, = A,,
0
0
! Man kann diese Beschränkung ohne weiteres fallen lassen, wenn man statt der
Bedingung (A) die folgende einführt:
(vgl. E. Lasker, Uber Reihen auf der Convergenzgrenze, Lond. Phil. Transactions,
Vol. 196 [1901], p. 433). Übrigens genügt es selbstverstándlich zur Ableitung der im
Texte angegebenen Resultate, wenn die Bedingung d, > O erst von einer bestimmten
Stelle y > » anfangend erfüllt ist, da die Beschaffenheit einer beliebigen endlichen An-
zahl von Anfangsgliedern bei der fraglichen Art von Betrachtungen ohne Belang ist.
(Vgl. Nr. 6)
8 Alfred Pringsheim.
so convergirt zunüchst gleichzeitig mit der Reihe 2d, auch die Reihe
oo eo
amie ; ; "E ' : =
ID,r für [x] < 1 (wegen: TG Yd = > Dr), folelich auf Grund
0 0
der Voraussetzung (3) auch 24,2” und somit schliesslich auch Xa,z"
oo o6
(wegen: (I —). Y. Aaa Y a,x”).
0 0
Man hat sodann, wenn m eine beliebige natürliche Zahl bedeutet:
m—1
*
V a,x” = (1 — 2’) ). 4, x” + a4. c. :
1
also:
: [SS ; |
Y» a, est-il. V, Ax" tps
— —
0 || 0 m |
Es werde nun zunächst angenommen, dass g = o. Bringt man alsdann
| A4,| auf die Form:
y)
A,
I41=12]-2,==:2
so haben, wegen lim—=o0, die gs, fürv=m,m-+ 1,... in inf. eine
D, M y
obere Grenze £,, welche durch Wahl von m beliebig klein gemacht werden
m)
kann, und man hat:
oo eol | m—1 o |
2a « |[1—z|. > A,r” Dede '
A m
Andererseits hat man nach i, (A), sofern man z' auf eine passend ge-
wählte Umgebung der Stelle 1 einschränkt:
Nas = Gh. 4. Iz = a.(1 — |o D. Y» D,.|2’[
0
o6
= [ra LE >: D,.|2’ |’ (nach Ungl. (1))
und daher:
J =
Svan” V y A m"
— ren
; - <
—— RE ee NE + En ,
=,
e ily
Dax" DE | |
0 n
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 9
o
somit — wegen lim >» D, | x ig — + ©:
r-1 9
womit zunächst die Behauptung (4) für den Fall g — o bewiesen ist.
Ist jetzt g von o verschieden und schreibt man die Voraussetzung (3)
folgendermaassen:
Y (a, — g. d,)
(SETS ee ee
n
nx
Y d,
—
0
O
)
so folgt unmittelbar aus dem eben bewiesenen Satze, dass:
Y (a, — g . d) . e"
lim — =
a
Zl
D d,x”
O,
also:
Acta mathematica. 28. Imprimé le 25 juillet 1908. 9
10 Alfred Pringsheim.
Zusatz. Nach dem Caucny-Srouz’schen Grenzwerthsatze ! hat man:
e.
lim n = 8;
allemal wenn:
Ta;
Ist also diese letztere (engere) Bedingung erfüllt, so besteht gleichfalls die
Relation (4) (wie übrigens auch ganz analog, wie oben, direct bewiesen
werden könnte).
4. Um den Satz von Nr. 3 wirklich anwenden zu können, hat man
sich vor allem geeignete Vergleichsreihen von dem dort mit Zd,x be-
zeichneten Typus zu verschaffen. Mit Hülfe der für |x|< 1 gültigen bino-
mischen Entwickelung:
(1—a)* = Y (p+ »—31).z,
0
wo für v= o:
(p — D
und für » > 1:
; ( 1). (D — I)
MERE gum eu ig oa
20, wenn p>o,
gewinnt man, nach Analogie von Ungl. (2), durch Erhebung von Ungl. (t)
in die (— p)*^ Potenz die Beziehung:
Sp +y—I1).2”
(6) VS pase
| IV? |
Yo tv— dy. |p
0
Da andererseits:
n
Y (pt »—1,— 1-2 p, (p 1), 4... (p n—1),
— (p 4- ").
' Srorz, Math. Ann, Bd. 14 (1879), p. 232. Vorl. über allgem. Arithm.
Bd; Ip 1731
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 11
(wegen: 1 +p, =(p+ 1) und (p 4- E), 4- (p 4- E), — (p 4- k 4- 1),,4), so
erhült man durch Anwendung des Satzes von Nr. 3 den folgenden Satz:
Man hat:
: lim (1 — x}. » om
(7) mrs a res rg
wenn:
(8) 22a, (p + n),.g bezw. a,=(p + n — 1),.g.!
Mit Berücksichtigung der bekannten Beziehung:
lim EE — T(p + 1)
n=
kann man dann die Relationen (7), (8) auch durch die folgenden ersetzen:
(9) lim (1 — 2). V a,z" = I'(p + 1).g, wenn: Va =g.n |
z'=1 —— -—
. : (p o).
Y |
0
(10) lim(1—zf. *va,z'" = I'(p).g, wenn: CET Nat
z'=1
Satz (10) für reelle positive x und a, rührt bekanntlich von Herrn Ar-
PELL her.?
5. Es werde nun vorläufig mit À (y — 0, 1, 2,...) eine unbegrenzt
fortsetzbare Folge positiver Zahlen bezeichnet, welche gleichzeitig mit » mo-
noton (zum mindestens für » >) in's Unendliche wachsen und zwar schliess-
1 Eine Relation von der Form:
A = g.B,
bedeutet:
T A. _
wed
(Vergl. Encykl. der Math. Wiss. Bd. I, p. 75, Gl. (13)).
* Comptes rendus, T. 87 (1878), p. 689. Vgl. im übrigen: Minch. Sitz.-
Ber., Bd. 31 (1901), p. 522.
12 Alfred Pringsheim.
lich langsamer, als (v + 1) für jedes noch so kleine << o. Dies besagt:
jedem s > o lässt sich eine gewisse natürliche Zahl », so zuordnen, dass:
: À y +I
(11) D E
4,—1 y
) für v>n..
Da man jedenfalls von vornherein ¢ € ı annehmen kann, so hat man also:
joueur De Maps
Ay —1 y
und daher:
(12 a) O<À—À 1 <E.-—<e.
für jedes positive s < 1 und » 2 »,. Durch Division mit A,.A,_, folgt
sodann, dass analog:
fes
(12 b) OM Sy erg
sodass man also setzen kann:
Ay
(13 a) AA en
bezw.: wo: €,>0, lim e, — o.
FN y=
| s— Fast A
(13 b) ID en 5
Wir wollen nunmehr, von der ursprünglich zur Charakterisirung der
À,, eingeführten (engeren) Bedingung (11) absehend, unter À, (y —0, 1, 2,...)
eine positive Zahlenfolge verstehen, welche der Bedingung (13a) bezw.
d j F À i
(13b) genügt, mit dem Zusatze, dass lim À = co und =, zum mindesten
1 x v
veo
von einem gewissen Werthe » anfangend, monoton gegen Null abnimmt. '
! Diese Bedingung ist gleichfalls in der ursprünglichen Bedingung (II) enthalten.
Denn darnach hütte man, zum mindesten von einem bestimmten v ab:
À y 1
AA => y j
y
EE
also in der That:
A^, Ac
Über den Divergenz-Charakter gewisser. Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 13
Bedeutet dann r eine sfetige positive Veründerliche, so soll unter A(r)
eine positive monotone Function verstanden werden, die im übrigen le-
diglich der Bedingung zu genügen hat:
(14) À(») = À.
Substituirt man jetzt in (13a) der Reihe naeh v=(n-+ ı), (n + 2)... pn
(wo p eine beliebige natürliche Zahl), so folgt durch Addition:
Av
A: à, ==, Y E . m
n+1
Die e, haben für » = (n+ 1), (n + 2),... in inf. eine obere Grenze ¢,,,,
welche, wegen lim e, — o, durch Wahl von n beliebig klein gemacht werden
Y= ©
kann. Man hat nun:
he Ay < Suge DD
also:
d. h. schliesslich:
(14) n ol
Bedeutet dann » die grósste in r enthaltene ganze Zahl, so hat man:
Aon A(pr) < Ap(n+1)
Anta A(T) An :
anders geschrieben:
2" Aor ACpr) A p(n4-1) AL
decl, dios Mia A. Adulte: :
Da aber aus (13a) folgt, dass:
14 Alfred Pringsheim.
so ergiebt sich mit Berücksichtigung von Gl. (14):
Apr) _
ir)
(15)
r= ©
Man hat nun ferner:
lim AR S m = ai ,
r= A(r) r=» it) (a 4
g/ q
sodass mit Benützung von Gl. (15) die Beziehung resultirt:
... A(kr)
(16) lim) = Its
r-oo
zunächst für jedes rationale k > o und schliesslich, wegen der Monotonie
von A(kr), für jedes beliebige positive k.
6. Als einfachste divergente Reihe mit dem Divergenz-Maasse À, er-
giebt sich vermöge der Identität:
n
à = 1, + (0, — A)
no+1
die Reihe X(4 — A ,. Dabei wollen wir im folgenden der Bequemlich-
keit halber stets n, — O setzen und zwar in dem Sinne, dass wir den
Zahlen A, schon von v» — o ab die Eigenschaft beilegen, positiv zu sein
und niemals abzunehmen. Sollten etwa die A, in Folge ihrer Definition
durch irgend einen bestimmten arithmetischen Ausdruck (z. B. A, = lg, v)
jene Eigenschaft erst für » > n, besitzen, so mag unter A, für » < n, eben
nicht jener arithmetische Ausdruck verstanden, sondern etwa A, = A, für
y» — 0, 1,...,n, gesetzt werden. Die Allgemeinheit der hier in Frage
kommenden Resultate erleidet hierdurch offenbar keinerlei Einschränkung,
Lj
. . . LI A | , EM , *
da es in jeder Relation von der Form lim F(z'). V d,x” = c ohne weiteres
z'=0 ^
freisteht, eine beliebige endliehe Anzahl von Anfangsgliedern wegzulassen
bezw. in beliebiger Weise abzuündern.
In Folge der Divergenz von &(A —A_,) und der aus Gl. (13a)
resultirenden Beziehung: lim (A, — 4, ,) = © besitzt die Potenzreihe
vo
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 15
2 (4, — 4, ,). ' den Convergenz-Radius 1. Um ihr Verhalten bei z — z' — 1
zu untersuchen, erscheint es zweckmiissig, die Substitution:
zu machen. Setzt man alsdann:
y—p.e"*,
so ist die Reihe:
; - I
(17) Fy) = X + 0, —3 9. (1—;)
1 zin
convergent, wenn:
| ys ad D
Pp
also:
(18) p.cosg = (y) >; (wo R(y) den reellen Theil von y bedeutet).
Darnaeh muss cose > 0, also [e| <= sein. Setzt man etwa fest, dass
lel € e <=, und versteht unter y' diejenigen y, welche der Bedingung
genügen: ls cose, so hat man nach Ungl. (1a):
| :
1 I 5
(19 1—-|<1— =| (wo: -— —— 0).
119) ‚| lry 7
Die Reihe (17) convergirt also rechts von der parallel zur Ordinaten-Axe
verlaufenden Geraden R(y) =; . Sie genügt überdies der Bedingung (18)
in dem Bereiche:
(20) |y'|.cosg>1, wo: ete,
d. h. im Innern und auf den Grenzlinien desjenigen Ebenenstückes, welches
rechts von der Geraden 9t(y') = 1 liegt und ausserdem begrenzt wird von
den Schenkeln der beiden Winkel ¢ = + c,. Dieser sich in’s Unendliche
erstreckende Bereich werde als der Bereich y = y’ bezeichnet und der
Grenzübergang lim allemal so verstanden, dass y dem Bereiche (y’) an-
y-»
gehört und lim |y'| = co.
16 Alfred Pringsheim.
7. Dies vorausgeschickt gilt zunächst der Satz:
Es ist:
(21) lim A(|y [] ? (gy!) = 1-
y =
Beweis. Bezeichnet man mit n irgend eine natürliche Zahl und sub-
trahirt die Identität:
„=h+ Y uo 4,1)
1
von der Gleichung:
F,(y) = À + Y 0, rie (: —;);
so folgt:
Fi). = TE NE TESTER M
m p | \( 3 JI Ji |
Man hat nun:
(1!) =f p=. wo: LX ER RE
) il "a? 2 y ,
* Nach einem von G. DarBoux (Journ. de Mathém. (2), T. 2 [1876], p. 293)
und P. Manston (Ann. de la soc. scient. de Bruxelles, 1885 — 86, p. 36) bewiesenen
Satze hat man für eine differenzirbare Function f(a) der compleren Veründerlichen z:
re) (oy-E Ew fa).
| AI ese us o « «I.
Hiernach ergiebt sich:
(1 — zy = 1 — k.vz.(1 — 92)!
— 1 — k UE,
|] = pH pnr — op
SUR,
wenn:
Ji —#l< ı,
also sicher, wenn:
I1 —.zI|<ı.
17
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze
und somit, wenn man noch Gl. (13a) berücksichtigt:
À, IN*
,.—([1 >
d Y,
Bedeutet jetzt wiederum ¢ die obere Grenze von € ci
J n+l n+19 n+2)
0)
n ao
5 I - —
F,(y) —4,=-. he. A+ >
Late n | e
in inf.,
so hat man:
1 / I = An = 1 |”
Ii) — Ad] ea + Fenn De i—;|
nl
und, wenn man jetzt y auf den Bereich (y) einschränkt, mit Berück-
sichtigung von Ungl. (19):
hx - a6 E
x / d.
(I
n+1°
a x
(m
x
e
S
a |
|
Des
NS
also:
I) "ES srl
AT rm: he 7 ln
2. = |y UAR Tf n
n
Be ^ : Enr
lim — - W £4, = lim- p S EE
1
neo N Ay
ss O,
n
so folet, dass - M gA dureh Wahl einer passenden unteren Schranke
An mt
1
für n beliebig klein gemacht werden kann. Dasselbe gilt bezüglich der
Zahl £,,,, sodass man also setzen kann:
(m
n
I ® ;
- 2 e, À «s und: €,,, <e etwa für n n'.
Nhe À
Acta mathematica. 28. Imprimé le 30 juillet 1905.
18 Alfred Pringsheim.
Nimmt man jetzt |y'| >’ und setzt » — [y'], wo [y] die grösste in ||
enthaltene ganze Zahl bedeutet, so wird:
Li Aon — 1] e. (n ;
also:
lim 41. Fly) = 1
und schliesslich, wegen: lim Ap |) 5) — 1, wie behauptet:
(21) lim A([y/ |) Fay’) — 1.
8. Setzt man jetzt:
F(.—.)— Bz) 4h. *(9—4-3X0—23.v,
1 2 (
so nimmt zuniichst die Relation (21) die Form an:
22 lim Man n ; =
(22) im Tay) AR
Daraus ergiebt sich speciell, wenn man «’ = |o" | setzt:
(23) lim (— E am |a |) = 1:
z'el
Nun ist aber mit Berücksichtigung von Ungl. (1):
I
I I I
planet” piper
also:
und daher nach Gl. (16):
(24) lim - mui. i | Em
Uber den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 19
Darnach lässt sich aber Gl. (23) auch durch die folgende ersetzen:
lim al) Bll")
z'-]
sodass in Verbindung mit Gl. (22) folgt:
Pa (2^)
en im ge "^
d. h. (s. Nr. 2, am Ende):
Die Reihe ®,(x') divergirt bei x' = 1 gleichmassig.
Da andererseits R,(1) das Divergenz-Maass A, besitzt, so gewinnt man
mit Beniitzung des in Nr. 3 angegebenen Vergleichungs-Princips den fol-
genden Satz:
Besitzt die Reihe L'a, das Divergenz-Maass gà,, so convergirt Za,x für
x] < 1 und divergirt bei x = x = 1 gleichmässig, derart dass:
oo
(26) lim i — T. "ac"
m xw] |: dos a 1i—a| 0
Dabei ist die auf La, bezügliche Voraussetzung allemal erfüllt, wenn:
2
(26 a) G4 = g(À, — Ana):
Br) =A + Y, — AJ.»
1
—1 — x). Y A.a",
0
so lüsst sich. Gl. (22) auch folgendermaassen schreiben:
1
(27) lim (1 — x’). Xr | NE — 1.
r-1 ji — «| de
20 Alfred Pringsheim.
Wir zeigen nun zunächst, dass die ähnlich gebildete Reihe: VA x
0
welche offenbar gleichfalls für |z| < ı convergirt, für x — 1 divergirt, einer
)
ganz analogen Relation genügt. Man hat für || < 1:
v )—1, __ F
(28) Dar. Mx c= yk,
0 0
ZU
wenn gesetzt wird:
—1
k, = EE Ay. À, =F À : = Sr: Jar A ho À, . À m
Daraus folgt zunächst:
2 je ds (Ap +. A, +... tf An)
Pisas (terre... RE)
und daher:
(n. + = Ya
n +I n
Rita E
(n + 1). a sud
Nach dem Caucuy-Srouz’schen Satze ist aber:
n tl
1 xn
(29) lim —— My At} = lim — - —
n=o (n + Ly FE D n— o (N + D) A = FAT
I *
= lim a Gl. (13a), (13 b)),
n- o En
— T,
sodass sich ergiebt:
li LY CIBUS A
= uo Ay ee .
und somit nach Gl. (10):
zul
e
. , y —
lim (1 — 2’)?. N, hao
Ó n
Uber den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 21
P
. . . a) ‘y E .
Ersetzt man in dieser Gleichung % 4, z^ durch das gleichgeltende Reihen-
— =
0
Product (28) und schreibt die so resultirende Gleichung folgendermaassen :
im [G A) Ae ft mz) ea
dus |
so ergiebt sich mit Berücksichtigung von Gl. (27) die gesuchte Relation:
/ : ; I oo
(31) lim (1 — 2) Mpa) Er = 1.
+ —1
10. Durch Zusammenfassung der Beziehungen (27) und (30) ergiebt
sich, wenn man noch des folgenden wegen den unteren Summations-Index
O durch 1: ersetzt:
(31) lim (1 aA a DIS E UE, wüskghcs-i
z=]
Daraus folgt in's besondere, dass 2242.2" bei x’ — 1 gleichmässig di-
vergirt, da:
(er)
und: lim——————--— 1:1 (Gl.
I
r I À
=a)
Jr — + |
Um nun aus der Beziehung (31) eine allgemeinere abzuleiten, combiniren
wir sie mit der folgenden (aus Gl. (10) resultirenden):
(32) lim (1 — 2’) Bx VD) (p > 0).
z'=1
Durch Multiplication mit Gl. (31) ergiebt sich alsdann:
(33) lim (1 — a^y*!, Mese 5) Se hx’! = Ip),
rel Sodio x
wenn gesetzt wird:
(34) =." ILS. — 1)? te, Pa,
22 Alfred Pringsheim.
Dabei ist, wie zunächst gezeigt werden soll:
(35) oM
Durch partielle Summation folgt nämlich aus (34):
h, = (4 — 4) .n? "+ (AG A((n —1y^ 4 n?!) +...
+ (A2, — 22) (2771 en) + 2: (1*7 2? ten)
a.
y
und hieraus, da die Differenzen A; , — X, gleichgültig ob a = + 1, jeden-
falls gleiches Vorzeichen haben:
(36) |A, — At. Y y |—|üat—25.»74 (43 — Klin — resta a dy
1
+ (2.4 — Ale +... +].
Sei nun zunächst p > 1, also (y + 1}! > yP!, lim y^ — co. Aus (36)
folgt alsdann:
(37) h, — 3. Y vr? | « [üt Rt + Q5 — X). 2*7 +...
1
+ (42., — X). (n — 1).n?|
n
= x X—n.X
EUM
und durch Division mit 7’. A*:
h I = I 2
3 = — y pol * y At —
(38) - 3 ) v sie Fa 2 À, I
a
n^ * Án n 7
Da aber:
. I ; I Y ,
lm =. » yt: (nach dem Cavcnv-Srorz'sche Satze)
n = n! a: p k
(39) .
I - Be
lim — . 2 À —=ı (desgl.; s. übrigens Gl. (29)),
u=o N./y 1
so ergiebt sich, wie behauptet (Gl. (35)):
Uber den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 2:
=
Ist jetzt p < 1, also (v + 1)!'<y?', so hat man:
n?-! + (n — 1y7! +... (n —» + 1y7 € v. (n — yy?
(v=1,2,...,(m—1)) »
und wenn man auf beiden Seiten den Ausdruck
y(n? + (n — 1)y7 +..+n — y + if)
addirt:
(v + 1). In + (n — it +. + (n —» + 1y7j
< yn? + (n — 1)'7 +...+ (n — yy,
also:
nr + (n — IP +... + (n — v + 1) < n?-1 le BR Tec — y)p-1
y y + I :
Durch successive Anwendung dieser Relation für » = 1,2,...,(» — 1)
findet man:
ne] qul m —1y- mP—! n — 1}ÿ—! Aes I! I
EE E Nt
I 2 n T"
sodass mit Benützung dieser Ungleichungen aus Gl. (36) sich ergiebt:
"n
h, — 2. Sv yr «( Yo) (AS — 22) + 2 02 — A2) +...
1 1
+ (n — 1).02 1 — 22)|
n n
I
= = (3. > | » x—n.X
Pi zi
und, wenn man wiederum noch durch »".A; dividirt:
24 Alfred Pringsheim.
Für den noch übrig bleibenden Fall p = 1, für ‚welchen nach Gl. (34):
m Y 7g
1
findet man unmittelbar aus der zweiten Gleichung (39):
sodass also die Gültigkeit der Beziehung (35) nunmehr für jedes p > o
erwiesen ist.
11. Beachtet man noch, dass Gl. (33) offenbar wieder die gleich-
müssige Divergenz der betreffenden Potenzreihe anzeigt, so liefert der Zu-
satz von Nr. 3 und das soeben bezüglich der h, gewonnene Resultat die
foleende Beziehung:
oo
= „\p+1 I e p ja ty 1
(40) lim (1 — x)". re] Me y? 22.0" — p. T'(p)
z-l EXE IE i
— I'(p-- 1) (p>o, a— x 1),
und, wenn man den Factor (1 — x’) unter das Summenzeichen zieht:
I —a = >
J D » 1 3 ,
(41) lim (1 —ay.( ——À3 ) Se (ve ae (y — SEE (p+ 1).
r—1 | —1& | —
Diese unter der Voraussetzung p > 0, a — + ı abgeleitete Gleichung gilt
offenbar auch für p>o, « — o, da sie alsdann bereits in Gl. (9) ent-
halten ist; desgl. für p — o, a = + 1, in welchem Falle sie auf Gl. (22
führt. Da andererseits Gl. (41) wiederum die gleichmdssige Divergenz der
\ D © a
Potenzreihe bei «2 = 1 erkennen lässt, und da ausserdem die für a = 1
resultirende Reihe das Divergenz-Maass m".A; besitzt, so lässt sich unter
nochmaliger Anwendung des Satzes von Nr. 3 das Gesammtresultat dieser
Untersuchung in folgender Weise formuliren:
Hauptsatz (Erste Form). Besitzt die Reihe La, das Divergenz- Maass:
| wo: 920, a= +1 oder o,
gn.
loder: p — o, a — +1,
Uber den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 25
so convergirt die Reihe Lax’ für |«] « 1 und divergirt bei x = x — 1
gleichmässig mit dem Divergenz Charakter :
(p + 1).9. (, = =). eee
d. h. man hat: y
1 Zei
2 lim (1 — ay Ar) vam" — D 1).g.
(42) ER fra? (p+ 1)
Die Voraussetzung dieses Satzes, nümlich:
n
> a, & g.n". Xt,
0 .
ist dann nach dem Cavcnv-Srorz'schen Satze oder auch direct im Anschlusse
an Gl. (41) wiederum sicher erfüllt, wenn:
(43) a, = g(n". X — (n — 1)y'. à y).
Ist nun p > o, so hat man für a= + 1:
nA. — (n — 1). SSL) = (n? — (n — 1)).À; + (n — 1)". (AZ — X),
also:
P * (t pP <a , , a m
n.A,—(n—1).A,. DN 1\P An — In
een (1—(1—-) )+ (1 —:) un. = ——
n FA \ LN n, "us
1\? IP ,
2 (Nr t — es (GL (baa) (03 b))
n n
und daher:
ROLES aem
lim —— —
p—1 u ,
n=» it «Sn
anders geschrieben:
(44) n*.À; — (n — 1)? AR p.nr !.X,
eine Formel, die offenbar auch im Falle « — o richtig bleibt, sodass also
für p > o die für die Gültigkeit von Gl. (42) ausreichende Bedingung (43)
auch durch die folgende einfachere ersetzt werden kann:
(45) a, 9$ p.g.n*^!. 05.
Acta mathematica. 25. Imprimé le 19 aoüt 1903. 4
26 Alfred Pringsheim.
Ist dagegen p — o, so versagt die eben durchgeführte "Transformation,
sodass es also in diesem Falle bei der Bedingung (43), d. h. (wegen a = + I,
wenn p = O):
(49) a, = g(À, Er À, i)
sein Bewenden hat und lediglich das schon durch Gl. (26), (26a) aus-
gesprochene Resultat wieder zum Vorschein kommt.
Ersetzt man jetzt schliesslich noch in Gl. (45) 9 durch 7, sodass
I'(p+1).g auf der rechten Seite von Gl. (42) in /(p).g übergeht, so
gewinnt man die folgende
Zweite Form des Hauptsatzes. Es ist La,x’ für |r| & 1 convergent,
bei x — x — 1 gleichmässig divergent und genügt der Grenz-Beziehung:
(a lim(1 EN
z'=1 |
I au E N
== ) raus" = I(p).9,
0
wenn: a = g.m*.32. (p20, a=+t oder 0o)
(47) n
A A S I = = 1) c
(b lim [re] D ax — g, wenn: a, =g(À, — À,_).
r'-1 E 0
Obschon die a, hier specielleren Bedingungen genügen müssen, als
zuvor für die Gültigkeit von Gl. (42) erforderlich waren, so besitzt doch
der Satz in dieser neuen Formulirung, ja sogar schon der in Gl. (47a)
enthaltene Theil desselben in Wahrheit keine geringere Tragweite, als der
Hauptsatz I — d. h. man kann von Gl. (47a) aus auch wiederum zu @l.
(42), ja sogar mit noch etwas erweiterter Gültigkeits-Bedingung zurück
gelangen. Ersetzt man nämlich in (47a) a, durch s, und setzt sodann
y
n
à
qu » a, so ergiebt sich zunächst:
0
I — u
lim (1 — a’. A(7 £ ) Vs sz" = I(p).9,
rel | I= & | Ee
"n
N, mn & p-] ja
wenn "»a,=g.n”'i und p > o.
—
0
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 27
Da aber:
= I o
d
: [777 Pe : IV
» 5,% = cd . v, qo,
0 0
so folgt, wenn man noch p + 1 statt p schreibt:
: ir —a c.
(48 lim (1 — x'}. Ar +) > uae — BApe-27).g,
49) es ) er] = 1 q
n
wenn: Ya = g.n*. X, p+tı>o,
0
in voller Ubereinstimmung mit Gl. (42), nur mit dem Unterschiede, dass
an die Stelle der Gültigkeits-Bedingung p 0 jetzt die folgende: p 2 — 1
tritt. Dabei ist aber hervorzuheben, dass für p « o und auch schon in
dem (oben ausdrücklich ausgeschlossenen) Falle: p —0, «— — 1 die Reihe
oo
Ys nicht mehr divergirt, sondern convergirt und zwar gegen die Summe
0
I Na
Null, wie ja auch andererseits der Factor (1 — AT) dann
nicht mehr den Grenzwerth o, sondern den Grenzwerth oo besitzt. Die
Relation. (48) macht also in diesem Falle eine Aussage über den Zusam-
menhang des Convergenz-Charakters der Potenzreihe V. a,x” bei z' — 1 und
0
des Convergenz-Maasses der Reihe Ÿ a. Man bemerke noch, dass alsdann
m
0
die Festhaltung des unteren Summations-Index », also bei der hier ge-
wählten Formulirung: » — o, für die Gültigkeit der Gleichung (48) durch-
aus wesentlich ist, während derselbe in dem bisher ausschliesslich — be-
trachteten Falle der Divergenz von La,, wie bereits oben bemerkt wurde
(s. Nr. 6), durchaus willkürlieh bleibt.
Die zuletzt gemachten Bemerkungen gelten auch für die Relation:
oo n
: : I E : NECEM
(49) lim (1 ay. Ai 1) | T qm" E VE wenn: y Cy xs Án Aca
rl Ir— 2| 0 0
welche sich durch die eben benützte Transformation aus Gl. (47 b) er-
eben würde.
oo
-^
28 Alfred Pringsheim.
12. Die Function A(r) war bisher keiner anderen Beschränkung unter-
worfen, als dass sie monoton zunehmen und der Beziehung A(v) = À, ge-
nügen sollte. Nimmt man jetzt A(r) als stetig und differenzirbar an, so
wird an die Stelle der Bedingung (122) die folgende treten:
; a) :
(50) SIC e Iur y
: A(T) er : :
mit dem Zusatze, dass —— und 4(r) von einem gewissen r ab monoton
5 >
abnehmen. Alsdann wird nämlıch:
Ar) — Ar — h) = A(r — 8h).h
« X rohs c N
also speciell:
i(v)
iv) — Aw — 1) € e.,
übereinstimmend mit Ungl. (12a).
Man erkennt nun unmittelbar, dass jeder Ausdruck von der Form:
(5 I ) Ar) = (le, nf (eas ne. 2 (los EUR
wo: m>ı, q>0, Q,(v—r1,2,...,k) beliebig reell, incl. 0,
den soeben in Bezug auf A(r), A'(r) statuirten Bedingungen genügen, und
dass sodann, im Falle q € o, A(r) dem "Typus À(r) " angehört.
Beachtet man noch, dass:
5 ] ret! ‘ lor pi
[ee bc E Tn ee
I
rao IT vs ler
also
I I
| ESTY lg, Z
‘ 1 — 2x ' "ULT
(52) lim - 1 und allgemein: lim — = 1,
r=} r'&l
lg lg ——,
QT EL e s
wobei man etwa, um eine eindeutige Festsetzung zu treffen, unter lg y
den Haupt-Logarithmus, also unter lg, y = lg(lg y) den Haupt- Logarithmus
vom Haupt-Logarithmus u. s. f. verstehen mag (was im übrigen für die
Über den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. 29
Gültigkeit von (52) belanglos ist), so liefert der Hauptsatz I für A(r)' = At»)
das folgende Resultat:
Besitzt die Reihe 32a, das Divergenz- Maass:
a | wo: A (n ) = (le, ne Up ny" Ser (le, E ny" $
gn .A\n ? Tnt
| p > o und im Falle p=o:g >70,
so hat man:
ti ( , 1] I : . ty Y
(53) lim (1 — zy. A —) . 2 a,z" = I'(p + 1).g.
==] bs 0
13. Die Substitution A(r)* = A(r) würde unmittelbar ein analoges
Ergebniss aus der Gleichung (472) liefern. Um aber für die beiden Rela-
tionen (47a), (47 b) eine in Bezug auf die Normirung der a, möglichst
einheitlich gestaltete Fassung zu gewinnen, verfahren wir folgendermaassen.
Es werde gesetzt:
(54) 715) NENNE ler ca T P or
wo q € t, die übrigen q, beliebig reell, eventuell auch Null.
Alsdann wird:
ees undc ane ce]
4() AO) gr. enr Pog n pin A. wen
also für + = co:
a d A(r)
(55) diem I ur be
! ——
— (1 — 9) p, i(r).ügur)-lga*'r)h... Ügmpar)®”
wo:
(56) Lir) =r Jgr:..lg@ (nu) und speciell: Z,(r) = r.
Führt man in Gl. (47 b) A(r) = A(r) ein, so kann die Bedingung:
a, = g(A(n) — An — 1)
mit Hülfe der Relation:
An) — A(n — 1) = An — 9) = A(n),
30 Alfred Pringsheim.
und falls man schliesslich noch a statt g schreibt, durch die folgende
ersetzt werden:
I
~ J = iis ed ^ ; =
DN C I—]4' din) = g^ Lan). (gm). (1gg 41n)^... (Ig 4 0)”
(q < 1).
Setzt man dann noch die zu Gl. (47a) gehórige Bedingung in die Form:
ey n? n >
m q.—— = 9.
SUE "ais z Lg a(n).(lgn my... (lgm4 0) (9 S D»
so liefern die beiden Beziehungen (47) den folgende Satz: '
Ist:
e = —— =)
n 4: Im (r). dgmn)t. (Igm44m)t... (1g cm)? m =
so hat man, falls p > 0, qS 1:
2 I \ / I \@ / I n I qk
pn |
lim (1 — x) ZA, = z)Ig ; =) deat ——) : lan)
ze] \
x > a2” — ign
0
dagegen für p — o, in welchem Falle dann allemal q < 1 sein muss: *
00
: 1 q—1 I "n (WAT qk 9
Iım lo I . le —— Ne. : 2 ar” = ———
"y Sm Tees Sm+1 I-— x mm-4ck wer - v I q
ze
München, Januar 1902.
1 Für reelle « bei E. Lasker, a. a. O. p. 453. Die dort benützte Methode
versagt für complexe w'.
? Für q > I, wäre ja La, convergent.
NOTE ÜBER DIE SYMMETRISCHEN FUNCTIONEN
DER ZWEI ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN GEMEINSAMEN WURZELN
(Auszug aus einem Briefe an den Herausgeber)
VON
LEOPOLD GEGENBAUER
in WIEN
Unter den kleineren Arbeiten AnEr's befindet sich ein Aufsatz, der
dadurch von besonderem Interesse ist, dass er, wenigstens für einen be-
sonderen Fall, die Theorie des grössten gemeinsamen Theilers zweier ganzen
Funetionen auf die Theorie der symmetrischen Functionen direct zurück-
führt. Es ist dies die im 17. Bande von Gerconnr’s Annales de Ma-
thématiques pures et appliquées erschienene Arbeit Recherches de la
quantité qui satisfait à deux équations algébriques données, welche lange Zeit
in Vergessenheit geraten war — wurde sie doch erst in die zweite Auflage
von ABEL's Oeuvres completes aufgenommen — und auch heute noch
zu wenig beachtet zu werden scheint. Daselbst wird für eine rationale
F'(z,)
: ( :
Function GG) der den ganzen Funetionen
rv,
f(x) = (x — xx — z,)...(x— v)
und g(#) gemeinsamen Wurzel z, unter der Voraussetzung, dass diese
Funetionen nur einfache Wurzeln besitzen und dass sie nur diese eine
Wurzel gemein haben, der Ausdruck
A=
ya, )R
rn UAR) g(z), fiir ; x)
Lu L
ca G (25)
^ n
= O(a) Roce), fit :x3)
Acta mathematica. 28. Imprimé le 19 août 1603.
32 Leopold Gegenbauer.
aufgestellt, in welchem @(x) eine beliebige rationale Function von x ist,
welche für keine der Grössen x, unendlich und für x, nicht Null wird,
Rs die Resultante der Gleichungen g(x) = 0, h(a) =o und
f(x)
(GE (D, 003. eene AD) - :
f. Ay an) Ln (a — e (ar um a) ...(& — tu)
ist. Aus derselben folgt für den grössten gemeinsamen Theiler z —#,
der beiden Functionen die Darstellung
Jen
Ww X PN
= (@ — 2) O(a) Rocz), fo; xp
A=n
NT TZ
Les 0(25) Kata ), fir ; xy)
Auf die Bedeutung dieser Aser'schen Form des grössten gemeinsamen
Theilers hat Kronecker in seinen algebraischen Vorlesungen wiederholt
hingewiesen und zugleich eine Ausdehnung derselben für den Fall gegeben,
dass dieser Theiler von einem beliebigen Grade ist, wobei er allerdings die
angegebene Beschränkung bezüglich der Wurzeln der beiden Functionen
beibehielt. Für denselben stellte er den Ausdruck
giu — eum) Bots) faeit t)
ALAS AERE , di N
"A
A RA. Hc), frin in) ers rà
auf und fiir das Vorhandensein eines gróssten gemeinsamen Theiles vom
Grade r erhielt er als notwendige und hinreichende Bedingungen die Re-
lationen
A=n
2] "M (1) —
Fo. fo) Oo, Boos ra) l Tt fo inj) zd ) EU LM]
(r—1) =
Bota) iM Boy, yr Ty TAS rr The Ü O,
ir) —
Rare = Rois), f nin, thy TIR o
As sey Ar
wo die Summationen in der k-fachen Summe bezüglich der Grössen A,
1,2, wo
)
A,,-..,% über alle Combinationen A" Classe der Zahlen
ohne Wiederholung auszudehnen sind.
Über symmetrische Funktionen gemeinsamer Wurzeln. 33
Ich habe in meiner in der zweiten Abtheilung des 110. Bandes
der Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
Classe der kais. Akademie der Wissenschaften in Wien enschiene-
nen Mittheilung Über die Abel’sche Darstellung des grössten gemeinsamen
Theilers zweier ganzen Functionen gezeigt, dass die Kronecker’schen Be-
dingungen und seine Darstellung des Theilers unter gewissen Bedingungen
auch noch beim Vorhandensein mehrfacher Wurzeln bestehen bleiben und
weiters bewiesen, dass die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
dafür, dass eine ganze Function f(x) vom Grade n genau r <n unter ein-
ander verschiedene Wurzeln besitzt darin bestehen, dass die (m —r + 1)"
von den symmetrischen Functionen der Wurzeln 2,, ,, ..., y, von f(r)
A n
== UT =
Dy | [Site RER N Dc E [3:42 6. 0,1,2, ...,n—2) l Dro x)?
(2) == ==
Die = li Dy ez) m) z Isis, lee a 0,1,2;...,n—3) 9
122 Y
in denen 2,, die Discriminante von h(a), und s, die A Potenzsumme
der Grössen x, ist, die erste nieht versehwindende ist, und dass diese dann
dies Produkt aus den Ordnungszahlen der unter eimander verschiedenen
Wurzeln von f(r) und der Diseriminante jener Gleichung (Stammgleichung)
ist, der diese genügen. Für den grössten gemeinsamen Theiler von f(x)
und /'(r) gab ich den Ausdruck
I FRE e. @ — 24,2) | E Nen ‘|
Ans Aay u, nr : - Z mi og (í,k—0,1,2 n—r
[i+
an, in welchem mit s?"»~'? die zc Potenzsumme der von z, , v, , ..., v,
verschiedenen r Wurzeln bezeichnet ist. In die Reihe der Grössen 7, , $,, .... T,
ist in den einzelnen Formeln jede Wurzel so oft aufzunehmen, als ihre
Ordnungszahl angibt.
Der grösste gemeinsame Theiler von zwei ganzen Functionen ist eine
symmetrische Function der den zwei Functionen gemeinsamen Wurzeln; die
eben angeführten Resultate lassen sich auch, wie man aus meinen a. a. O.
gegebenen Auseinandersetzungen ersieht, auf dem von mir eingeschlagenen
Wege sofort dahin erweitern, dass sie die Darstellung irgend einer ratio-
nalen symmetrischen Function der » den Gleichungen f(x) — o und g(r) —0
Acta mathematica. 28. Imprimé le 19 aoüt 1908 D
34 Leopold Gegenbauer.
gemeinsamen Wurzeln z, , 2, ., x, liefern. Man erhält für eine solche
bx d
Function S(z,, z,,..., z,) die Darstellung
NS aJ > : A >
à it ; S (a, » Vay se. %),) S, (22, , [7 À 29) Ro(2), f, rin) ns)
hy Ae, ne Ar r
T6 . as MAS
À c „San Mays ee es Ure) Raten ng.)
as Aa ey ^r 2
wo S,(r,, 7, ,..., %,) eine beliebige rationale symmetrische Function ist,
welche für keines der in betracht kommenden Wertsysteme unendlich und
für das Wertsystem 2, , 2,, ..., %, nicht Null wird.
Ist
(m ee MES)
S(@,,%,,---,%,)=_ 2"
(m, , 22 : ?) GE 2e Te
wo P(z,7,,...,29, und G(zr,,2,,...,7,) ganze symmetrische Fune-
tionen sind und setzt man
HS
S, (0), 2, -- +) %,) = Gt, ©,
so erhält man die Beziehung
2 F(a, y» ues
RE 2
SQ) = and _
ry (D EE
43,434, s Ar ^
>
&j,) Ra), CIEL MEET
(1) Sm piss )
-
»
x.) li g(x), f (x: Fy Ag ti)
Für eine symmetrische Function der den Gleichungen f(x) — o und f'(r) — o
r,, ergeben sich die Darstellungen
gemeinsamen Wurzeln 2,, $,, ..., 9,,
"/ ums S (an LZ TEXT ©) Sn; S). æ,) ee |
S(z, ,2,,...,2) = : :
| sisal
(i, £—0,1,2,..., 9p—1)
; M own F(zi ti, + a) | see n
(2 S(%,,",,...,%,) = — Ee E | epp (i, £—0,1,2, ...,9—1)
| DEN G (Ways Bay 24.) "Seek
Um eine Anwendung dieser allgemeinen Formeln zu liefern, will ich zu-
nüchst die Bedingungen dafür ermitteln, dass die drei ganzen Functionen
f(x), gir), h(x) einen grössten gemeinsamen Theiler vom Grade s<r be-
sitzen, wenn die ersten zwei einen solchen vom Grade » besitzen.
Uber symmetrische Funktionen gemeinsamer Wurzeln. 35
Aus der Formel (1) ergiebt sich unmittelbar die Relation
2. RY R
vim A(z), (z— 2x) )(x —24 rx TE) PRI C 230 > RAT
ke ll OY, SE Ay de PAZ ny ty en)
h(x), Gr — x )(x— 0)... (r— Ir) = =
-— Voz), f Az: £3.21, 421)
Dyy Agy ce Ar gx) fr rigen Fr
(a) )
Et), g(x). f(a)
>, " €———
—
>
: Roce), f, (n; len X2)
Ang... À
und daher hat man den Satz:
Ist von den symmetrischen Funetionen
(1) (2)
Fco ro) , R R : f(x)»
a(x), f(r) » 'g(x),
die (r + 1)" und von den symmetrischen Functionen
(1) (2)
Fo o(2)sf(2) ) H R
h(x), g(r), f(x) » A(x), g(x), f(x) ,
die (s+ 1)". die erste nicht verschwindende, so hat der grösste gemein-
same Theiler der drei ganzen Functionen f(x), g(x), h(r) den Grad s,
wührend die zwei Functionen f(r) und g(x) einen solehen vom Grade
r>s besitzen.
Als Anwendung der Formel (2) sollen die Bedingungen aufgestellt
werden, unter denen eine ganze Function f(x) vom Grade nr unter ein-
ander verschiedene Wurzeln x
LT ., X, besitzt, von denen r-— s (s <r)
1 PIU
einfach sind.
Aus (2) folgt die Relation
NS ics Dew Ays cory nr
_ 8; " Sur
Pit °i+k
Do? rl einen uten U
+ (—2x))(x—2s)...(x—2Xp) = TREE TES IB
\ LAS ( p | Si+e|
(4, £—0, 1,2, ..., r—1; 1, 44 —0,1,2, ..., n—p 1)
wo mit z,,$,,..., t, alle den Gleichungen f(x) — o und f'(z) — o ge-
meinsamen Wurzeln bezeichnet sind, so dass sie also die Grössen m, , 23, ..., T,
jede so oft geschrieben als ihre Ordnungszahl anzeigt, sind, und mit s^
die z^ Potenzsumme der Grössen z,, %,, -.-, 2x, , bezeichnet ist.
Man hat daher den Satz:
Ist unter den symmetrischen Functionen der » Wurzeln #, , 2, , ..., v,
der Gleichung f(x) =o
[8:42 iae nsn: 15:21 eoran 1) Isid 0,1,2,n—3) »
36
die (n — r + 1)" und
Ede
RER
ss
Payer eunt
JR
SR
Ay day es Àn-r
die (s--1)* die erste nicht verschwindende, so besitzt f(x)r unter
unter den
Leopold Gegenbauer.
n [psi dan.
jm || set xu kr. 1105
d (Cre eee e
à il Sa 2 liso...
symmetrischen Functionen
verschiedene Wurzeln, von denen 7 — s einfach sind.
li, 4,=0,1,2,.. ,n—p—3) >
{ D
PT}, -0,1,2,.., 2—9—8) *
cr; ty, 14 —0,1,2,..., n—9—1) >
‘
à
E
À
*
E
DIE DIRICHLET'SCHEN REIHEN, DIE ZAHLENTHEORETISCHEN
FUNKTIONEN UND DIE UNENDLICHEN PRODUKTE
VON ENDLICHEM GESCHLECHT
VON
HJ. MELLIN
in HELSINGFORS.
Sr
Die von Apert in der Abhandlung Solution de quelques problèmes à
l'aide d'intégrales définies entwickelten reciproken Formeln
ds sinnz , bla
d(a) -— | (a ge Be ae 2 | (1 ds Na d
haben bekanntlich eine ganze Reihe von bemerkenswerthen Untersuchungen
veranlasst. Diese Formeln liefern in den Füllen, wo das fragliche Inte-
gral eine der obigen Formen besitz und die gegebene Function gewisse
Voraussetzungen erfüllt, die Lösung einer sehr ausdehnbaren Aufgabe, welche
als Umkehrung (Inversion) eines bestimmten Integrals bezeichnet worden
ist. Je nach den Voraussetzungen, welche über die Form der Integrale
und über die Eigenschaften der Functionen gemacht werden, ist man für
die Lösung der Aufgabe im allgemeinen gezwungen recht verschiedene
Wege einzuschlagen. Ein für Untersuchungen dieser Art gemeinsames
Ergebniss ist indess eine bemerkenswerthe Reeiprocität zwischen den jedes-
mal in Betracht kommenden Funktionsklassen resp. Integralklassen.
Im Nachstehenden werde ich zunächst zwei solche reciproke Integral-
klassen (I) und (II) charakterisiren. In den folgenden Paragraphen be-
Acta mathematica. 28. Imprimé le 19 aoüt 1903,
38 Hj. Mellin.
absichtige ich sodann, den Zusammenhang zwischen den in der Uberschrift
dieser Arbeit erwähnten Begriffen mit Hilfe von Integralen der Klasse (I)
von einer Seite zu beleuchten, welche bereits in meiner Arbeit’ über un-
endliche Produkte von endlichem Geschlecht theilweise zur Sprache ge-
kommen ist. Als neu dürften die allgemeinen Formeln angesehen werden
kónnen, welche ich für summatorische Funktionen zahlentheoretischer Funk-
tionen erhalte, sowie der innige Zusammenhang, in welehen gewisse der
genannten Produkte mit der analytischen Zahlentheorie gebracht werden.
Bezeichnet F(z) eine von z= w + iv abhängige Funktion, welche
sich regulär verhält in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innern
und auf der Begrenzung eines gewissen, zur imaginären Axe parallelen
Streifens 4 <u € $ und für unendlich grosse, demselben Streifen an-
gehörige Werthe von z auf die Form
(1) | (zy | = eilt f.m)
derart gebracht werden kann, dass $ eine von Null verschiedene positive
Constante, während f eine Veränderliche ist, welche bei wachsendem |v end-
lich bleibt oder wenigstens nach Multiplikation mit e" diese Eigenschaft
bekommt, wie klein auch die positive Constante € angenommen werden
mag, so convergirt das Integral
atic
(I) J(x ; a) = = Dn F(2z)x "de a<a<fP
a—io
leichmässig in jedem endlichen Theile * des durch die Ungleichheiten
c — (8 — 2e) < 0 < + (8 — 28)
definirten Gebietes von x r e" und befriedigt daselbst zugleich die
fundamentale Ungleichheit
(3) J (x 5 a)| < Cla, e) | Y | *;
wo C eine von x unabhängige Grösse ist.
Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht.
Acta Soc. Se. Fennicae. T. 29. Der Anfang dieser Arbeit ist auch in Bd. 25
dieser Zeitschrift veröffentlicht worden.
? Eine kleine Umgebung der Stelle + = © ist eventuell auszuschliessen.
Die Dirichlet'schen Reihen ete. 39
Das Integral (I) stellt also im Bereiche (2) eine analytische, daselbst
überall (die Punkte x = o und z = co eventuell ausgeschlossen) regulär
sich verhaltende Funktion von z dar. Mit Hülfe des Caucny’schen Satzes
findet man zugleich, dass es für alle die Bedingung « < « «€ f$ erfüllenden
Werthe von « eine und dieselbe analytische Function (x) darstellt. In
der Ungleichheit (3) kann hiernach C bei endlicher Breite des Parallel-
streifens als eine bloss von ¢ abhüngige Constante aufgefasst werden.
Setzt man in (3) das eine Mal a — 2, das andere Mal a= A, so er-
geben sich die beiden, für den Bereich (2) gültigen Formeln
(4) lim z* P(x) = o, lim z* P(x) — o,
xr=0 r=0
wo k eine beliebige die Bedingung a < k < #.erfiillende Constante be-
deutet. Umgekehrt kann auch eine für den Bereich (2) gültige Ungleich-
heit |d(z)| X C|v|*, «a «a € f, aus diesen Formeln gefolgert werden.
Zur vollstindigen Kenntniss der Integrale (2) gehórt überdies der
innige Zusammenhang, in welchem sie mit einer anderen allgemeinen
Gattung von Integralen der Form
(D) [ (xa ax
*
0
stehen. Bezeichnet nämlich hier (x) die durch das Integral (I) definirte
Funktion, so zeigt sich, dass dieses Integral (II) für jeden innerhalb des
Streifens (a < w < f) gelegenen Werth von z — u + iv nicht nur einen
bestimmten Sinn besitzt sondern auch gleich der ursprünglichen Funktion
F(z) ist. Man hat also die beiden Formeln
afin
O(a) == f F(2)a-*de, sec ee que
(5) | Ps as gs À
F(z) = f (x) dz, a «€ X(z) « f.
Soll ®(x) die fundamentale Ungleichheit (3) befriedigen, so muss x
im allgemeinen auf den engeren Bereich (2) beschränkt werden, wo s eine
zwar beliebig kleine aber constante Grösse bezeichnet. Dies ist ein wichtiger,
bei allen weiteren Specialisirung zu beachtender Umstand.
40 Hj. Mellin.
Zwischen den Formeln (5) besteht zugleich eine vollständige Reciprocität,
d. h. aus der letzteren kann auch die erstere gefolgert werden, wenn man
von (x) Folgendes annimmt: In dem durch die Ungleichheiten (2) de-
finirten Bereich verhält sich (zr) überall (die Punkte z — o und w= co
eventuell ausgenommen) regulär und besitzt bei beliebiger, innerhalb des-
selben Bereiches stattfindender Annäherung von x an die Stellen x = o
und xz = co die beiden Eigenschaften (4).
Die aus (5) sich ergebenden Formeln
atio E
( zm I k 2 Is 2 mi!
Wt) = Zu | t *dz i D(x)x ‘dr,
(6) E
À a ges atin
=f ath — “(2\a*dz
0
bilden offenbar für die oben charakterisirten Funktionen (xr) und F(z)
das Analogon zur Fourrpr’schen Integralformel für Funktionen einer reellen
Veränderlichen. Durch passende Substitutionen ist auch em näherer Zu-
sammenhang nachweisbar.
Die bisher in der analytischen Zahlentheorie verwendeten Integrale,
welche ebenfalls die alleemeine Form (I) besitzen, wie z. B.
atin
i ~ €(2) a
- LA
| = 2. wen
27 G(2) 2
«
a— iso
dürfen mit den oben charakterisirten Integralen (I) jedoch nicht verwechselt
werden. Aus den weiteren Darlegungen wird sich ohne Mühe ergeben,
dass die ersteren aus Integralen der Gattung (I) als Grenzfälle erhalten
werden können.
Die obigen Beziehungen zwischen den beiden allgemeinen Integralklassen
(D und (II) sind zuerst vom Verfasser in der Arbeit Über die fundamentale
Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der
hypergeometrischen Funktionen (S 14 und § 29, Acta Fenn. T. 21) ent-
wiekelt worden. Eine vollständige Herleitung derselben findet sich auch
in $ 7 meiner Arbeit Über den Zusammenhang zwischen den linearen Diffe-
rential- und Differenzengleichungen (Acta Mathematica Bd. 25), sowie
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 41
eine Ausdehnung derselben auf Funktionen mehrerer Veränderlichen in
Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter. Integrale (Acta Fenn,
m
t3
2).
Von den Dirtcunpr’schen Reihen
von denen die Rede sein wird, wollen wir annehmen, dass die Gróssen a,
reelle positive mit n monoton ins Unendliche wachsende Zahlen sind. Es
giebt bekanntlich ' eine reelle Zahl 7, welche dadurch eindeutig bestimmt
ist, dass die Reihe convergirt oder divergirt, je nachdem (2) algebraisch
grösser oder kleiner als / ist. Diese Grösse / nennen wir den Convergenz-
erponenten? von S(z). Herr Canen zeigt (l. c.), dass die Reihe (7) gleich-
mässig convergirt in jedem endlichen Bereiche, welcher dem Innern der
Halbebene 3t(2) >! angehört. In dieser Halbebene stellt sie mithin eine
eindeutige analytische Funktion von z dar. Beschränkt man z auf die
Halbebene Rz) > 0 + ¢, unter s eine beliebig kleine positive Zahl ver-
Sang : : : :
standen, so bleibt iz S(2)) unter einer endlichen Grenze. Dies wird von
Herrn CAHEN nicht ausdrücklich hervorgehoben, geht aber aus § 4 seiner
Arbeit ohne Mühe hervor. Das Gebiet der unbedingten Convergenz ist
ebenfalls eine Halbebene 9t(z)2 À, welche in der Halbebene (4) >! ent-
halten ist oder mit dieser zusammenfällt: 7 < A. Die Grössen / und À
sind, falls sie >o sind, von Herrn Cauen folgenderweise bestimmt worden:
p toe | x= fo) : log 29, | f(v)
¢=hm sup =", An fus =
n= ee log an n= x log a,
! Cf. Canen: Sur la fonction €(s) de Riemann. Annales de l'école norm.
3* Série. T. 9. 1894.
* Die analoge Benennung »Convergenzexponent eines unendlichen Produktes von
endlichem Geschlecht» kommt schon früher vor in Herrn v. SCHAPERS Dissertation:
Über die Theorie der Hadamard’schen Funktionen, Göttingen, 1898.
e
Acta mathematica. 28. Imprimé le 20 aoüt 1903,
49 Hj. Mellin.
Man scheint aber bisher nicht bemerkt zu haben, dass diese Grössen,
falls sie > o sind, auch so charakterisirt werden können: /, resp. À, ist
gleich der unteren Grenze derjenigen Werthe von x, für welche die obere
Grenze von
| n | n
Xf zZiro)|
a, resp. —— ———, ei) er P
Ay An
endlich ist. Auf den Beweis dieses Satzes muss ich hier verzichten.
In meiner oben eitirten in Acta Fenn. T. 29 publicirten Arbeit
habe ich mit Benutzung einer im letzten Paragraphen der vorliegenden
Arbeit anzugebenden Formel nachgewiesen, dass es sehr ausgedehnte Gat-
tungen Drrıcnter'scher Reihen mit den nachfolgenden Eigenschaften giebt.
Die durch eine Reihe der betreffenden Art definirte Funktion S(z) existirt
in der ganzen z-Ebene, wo sie sich überall im Endlichen wie eine rationale
Funktion verhält, und besitzt überdies die beiden folgenden Eigenschaften:
1) in jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite findet
sich höchstens nur eine endliche Anzahl Pole von S(z), 2) in jedem solchen
Streifen nähert sich S(z)e bei wachsendem |z der Null, wie klein auch
die positive Constante ¢ angenommen werden mag. — Die hierdurch cha-
rakterisirten Diricnter'schen Reihen sollen bei den nachfolgenden Erörter-
ungen vorzugsweise berücksichtigt werden. Die einfachste unter denselben
ist die für die Zahlentheorie fundamentale Funktion ¢(2).
Die Bedeutung dieser Funktionen bei der Ermittelung von gewissen
asymptotischen Formeln soll zunüchst angegeben werden.
Bezeichnen (x) und F(z) zwei reciproke Funktionen der in § 1
angegebenen Art so ergeben sich mit Benutzung von (s) die Formeln
V(r)-— — f F(a)S(2)a*de, 3 <6 = we
F(z2)8(z) = f Yx)a "da,
0
wo S durch (7), resp. 7 durch die Reihe
(9) V'(z) = X f(n) D(a,x)
nel
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 43
definirt ist. Zur Gültigkeit der Formeln (8) ist indess erforderlich, dass
die in (5) angegebene Parallelstreifen a < 9t(z) < 8 und die Halbebene
R(2) > l einen gemeinsamen Theil haben. Auf diesen Theil hat man die
Veründerliche z des zweiten Integrals sowie den Integrationsweg des ersten
zu beschränken. Durch die Annahme (xr) = e*, F(z) = l'(z) ergeben
sich die gewöhnlichsten in (8) enthaltenen Specialfille. :
Die erstere Formel (8) ist nun besonders bemerkenzwerth. Ihr haupt-
süchlichstes Interesse erhält sie wegen der überaus grossen Menge asym-
totischer Formeln, welche daraus für Reihen der Form (9) herfliesst. Es
bezeichne S(z) eine DrnrennET'sche Reihe der soeben angegebenen Art.
Verhält sich nun auch die Funktion F(z) in jedem zur imaginären Axe
parallelen Streifen von endlicher Breite ähnlich wie S, während sie für
unendlich grosse, dem betreffenden Streifen angehörige Werthe z= # + iv
auf die Form
F(z) = e-*Vlf(u, v),
gebracht werden kann, wo # und f die in § ı angegebene Bedeutung
haben, so kann der Integrationsweg des ersteren Integrals unter Berück-
sichtigung des Caucuy’schen Satzes beliebig weit in der negativen Richtung
der reellen Axe verschoben werden, ohne dass das Integral aufhört, in
jedem endlichen Theile des durch die Ungleichheiten
een
definirten Bereiches von x = |x|e” gleichmässig zu convergiren. Die Summe
der zu den passirten Polen des Integranden gehörigen Residuen stellt als-
dann die Reihe (9) für kleine Werthe von x asymptotisch dar, während
das Integral mit dem neuen Integrationswege das Restglied repräsentirt.
Das Verhalten dieses Gliedes bei abnehmendem |x| kann auf Grund der
fundamentalen Ungleichheit (3) beurtheilt werden.
Im folgenden Paragraphen wird eines der bemerkenswerthesten in (8)
enthaltenen Integrale besonders erörtert.
>
S 3.
In diesem und in den Paragraphen 4, 5 und 6 werde ich den Zu-
sammenhang besprechen, in welchen gewisse der in § 1 charakterisirten
44 Hj. Mellin.
Intesrale mit einer der interessantesten Aufgaben der analvtisehen Zahlen-
5 5 À
theorie gebracht werden kónnen, mit der Aufgabe, einen asymptotischen
Ausdruck für die summatorische Funktion
F(n) = f(1) + f(2) +... + f(n)
einer gegebenen Zahlentheoretischen Function f(x) zu finden.
In meiner Arbeit in Acta Math. Bd. 25 habe ich mit Hülfe der
leicht zu bestütigenden Formel
atin
x a? grt! I t 2
(10) log (1 Tru (—1) aiti mill a — + — — de,
sin zz 2
ET
—z«06«-Ez, prı<a<p+tz
für die Logarithmen unendlicher Produkte von endlichem Geschlecht (p):
= ba (co : E (- 1 (x V y)
(11) I(x) = I] I ae: ar = +2(=) eC Dr? () |
er | \ dy |
die folgende Formel enthalten:
^ : av+1 1 T a
+) or "m as —— PS / — —— (2 - é
(12) log II(z) = (— 1} S(p + seid | x S(2) —da,
p+i<a<p+2,
wo
(13) S(z) = y —.
Hierbei muss vorausgesetzt werden, dass es sich um solche Produkte II(a)
handelt, in denen die Gróssen a e die Bedingung erfüllen
n
=| 8;
(14) —mz5«—40(4—0,--9-«-rz = 1, 2 re
unter 9 eine reelle nicht negative Zahl verstanden, welche kleiner als x
ist. Unter dieser Voraussetzung (14) stellt alsdann die obige Formel (12)
in dem durch die Ungleichheiten
(15) — (z— 8) « 0 «€ + (z— 9)
charakterisirten Bereiche von x — |x e" den Logarithmus von (a) dar.
^
Die Dirichlet' schen Reihen ete. 45
Setzen wir weiterhin, wie es bei den in der Zahlentheorie auftreten-
den Diricuzer’schen Reihen meistens der Fall ist, die Grössen «, als reelle
positive Zahlen voraus, so ist # — o, d. h. der Convergenzbereich des Inte-
grals (12) wird alsdann durch die ganze x-Ebene, mit Ausschluss der nega-
tiven Hälfte der reellen Axe, geometrisch dargestellt.
Die Formel (12) vermittelt nun offenbar einen bemerkenswerthen Zu-
sammenhang zwischen den Drricuter'schen Reihen (13) und den unend-
liehen Produkten von endlichem Geschlecht (11). Ihr hauptsächliehstes
Interesse erhält sie — ähnlich wie die erstere Formel (8) — wegen der
unzähligen asymptotischen Formeln, welche daraus erhalten werden können.
(tehört nämlich S(z) der allgemeinen, in § 2 charakterisirten Gattung
soleher Diricnter'schen Reihen an, welche ausserhalb ihrer Convergenz-
bereiche analytisch fortgesetzt werden können und die übrigen in $ 2 an-
gegebenen Eigenschaften besitzen, so kann der Integrationsweg von (12)
unter Berücksichtigung des Cavcnv'schen Satzes in negativer Richtung be-
liebig weit verschoben werden. Die Summe der zu den passirten Polen
des Integranden gehörigen Residuen stellt dann den Logarithmus von Il)
für grosse Werthe von x asymptotisch dar, während das Integral mit dem
neuen Integrationswege das Zestglied reprüsentirt. Das Verhalten dieses
Gliedes bei wachsendem |x) giebt die im Bereiche — (z — ¢) € 0 € + (z — ¢)
gültige fundamentale Ungleichheit
(16) |J(x ; 5)| < Cb, e) | i-a
an, wo J(x;b) das betreffende Integral bedeutet, während s eine zwar be-
liebig kleine aber constante positive Grösse bezeichnet. Das Verhalten des
Produktes II(r) im Unendlichen hängt also ab von dem Verhalten der
Funktion S(z) ausserhalb des Convergenzbereiches der Reihe (13).
Die soeben angegebenen Bedeutung der Formel (12) ist schon in meiner
früheren Arbeit (Acta Math. Bd. 25; Acta Fenn. T. 29) umständlich
besprochen worden. Ich gehe nunmehr zur zahlentheoretischen Bedeutung
derselben über.
Ich setze voraus, dass S(z) eine Reihe der oben angegebenen Art
bezeichnet. Durch Verschiebung des Integrationsweges in negativer Richt-
ung ergiebt sich eine Gleichung der Form
(17) log II(z) = R(x) + J(v ; d), b «a,
46 Hj. Mellin.
wo R(x) die Summe der Residuen bezeichnet, welche zu den zwischen
den Integrationswegen N(z) = a und R(z) = D gelegenen Polen des Inte-
granden gehören. Es verdient besonders beachtet zu werden, dass J(x ; b)
bei wachsendem x! von kleinerer Ordnung ist als die sämmtlichen Glieder
der Summe A(x). Man findet nämlich leicht, dass jedes Glied von R(x)
eine Potenz von x enthält, deren Exponent’ grösser ist als 5; während
J(r;b) nach der fundamentalen Ungleichheit (16) von kleinerer Ordnung
ist als |x |^.
Die reellen positiven Grössen a, seien so geordnet, dass 4, < a,,;,
n — 1,2,...,C0. Substituirt man in (17) das eine Mal x = pe", das
andere Mal z = pe", so ergiebt sich durch Subtraktion eine Gleichung,
deren einzelne Theile bei abnehmendem ¢ gegen bestimmte endliche Grenz-
werthe convergiren. Nehmen wir nämlich o zwischen a, und a,,, an,
so ist
lim log MU = elf) + f(2) +... + rm],
E—0 II (pe
während R(pe*~*") — R(pe ^-*") sich ebenfalls einer endlichen Grenze
nähert, für welche ein mathematischer Ausdruck 27ir(p) stets ohne Mühe
erhalten werden kann. Hieraus schliessen wir, dass sich auch der Ausdruck
b+io
J (pe'"—**) E J (pe "9 = |
b—io
See
sin zz
einer bestimmten endlichen Grenze 2zig(p) nähern muss. Auf diese Weise
ergiebt sich durch Grenzübergang
(18) X f(v) = r(p) + g(p), a, < 0 <a;
v=
wo r(p) eine aus Potenzen von p und logy gebildete endliche Summe
bedeutet, welche nach der Formel
; R (pe) — R(pe-™)
(19) rn
27
' Diese Exponenten sind reelle Zahlen, falls die Pole von S(z) alle auf der reellen
Axe liegen, was in der That mit den oben beabsichtigten DinicurEr'schen Reihen der
Fall ist.
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 47
berechnet werden kann, während g(p) bloss als Grenzwerth definirt ist
bd ix
: ; I Ense à, <
(20 g(p) = lim — ee TAN
Jp
£20 27 Sin T4 zZ
b—in
Da indess J(x;b), wie oben gezeigt wurde, von geringerer Ordnung als
R(x) ist, so wird man zu der ganz natürlichen Vermutung veranlasst, dass
auch die Grenzwerthe g(o) und r(p) in derselben Beziehung zu einander
stehen, dass also g(p) bei wachsendem p wahrscheinlich von geringerer Ord-
nung als r(o) ist. — Man stösst indess schon in einzelnen Füllen auf
grosse Schwierigkeiten, wenn man die Richtigkeit dieser Vermutung streng
zu beweisen versucht.
Die hier dargelegte heuristische' Methode zur Ermittelung eines asym-
totisehen Ausdrucks für die summatorische Funktion einer gegebenen zahlen-
theoretischen Funktion hat vor der verwandten Methode von HALPHEX ?
den Vorzug, dass unsere Betrachtungen von dem Umstande unabhingig
sind, ob das Integral
brio b+ih
I = 2 : z
T | S(z)*- dz = lim | S(z)*- dz
271 A sé z
b—is b—ih
einen bestimmten Sinn hat oder nicht, während die Erörterungen von
HALPHEN nur dann stichhaltig sind, wenn dieses Integral einen bestimmten
Sinn besitzt, was indess ausserhalb des Convergenzbereiches von S(z) nur
ausnahmsweise der Fall sein kann. Zu Gunsten unserer Methode spricht
noeh die Aussicht, dass die Formel (20) als Ausgangspunkt für weitere,
die Ordnung von g(p) betreffende Untersuchungen vielleicht dienen kann.
! Siehe BACHMANN, Anal. Zahlentheorie. S. 468.
* Comptes Rendus. T. 96, p. 634.
48 Hj. Mellin.
$ 4.
Als Beispiele zu den Erörterungen des vorigen Paragraphen betrachten
wir die beiden Produkte
(22) n5) = TE [( e 2e N“
n=1
wo T(n) die Anzahl und S(n) die Summe aller Theiler von x bezeichnet.
Nach der allgemeinen Formel (12) und auf Grund der bekannten
Formeln
= T(n) =, S( n)
Sm, SD eo
n=1 n=1
hat man, falls der Integrationsweg zwischen p und p + 1 verlegt wird:
atin
I S :
\ T 2o
(23) loe II (x) = — | : "(2)| = de = J (x: a); Ta 25
9 D | 2m sin zz ^ ] z E. d
a—in
atin
I KR wv » P e* a
( : cm acm —— €(z2)€(z2 — 1)— de = J. (a ; a) 2 c
(24) log II, (x) > | dada e( 2 ) 3
t
a—ix
Hieraus ergeben sich unter Berücksichtigung des Caucay'schen Satzes die
asymtotischen Entwiekelungen:
(25) log II, (z) = R (re) + J (e;a, —2k—1<a<2k+1,
(26) log IT, (a) = R,(x) + J, (a; a), —co <a<o,
Die Dirichlet'sehen Reihen ete. 19
Wo
I D u
(27) R,(z) = Rd log? æ + (1 — 2E)xlog x + (1 + 2 E)x
I A. /B,\°x-@-1)
" " " s € = z e E
+; log T -{- log /2z 33 E -Y(G) ae;
vol £
TE 1 x £ 1
) > Lor pe m 21 is 77 | E
28) Ri (v) T log a +, [ea — o 25 +5 «log x
i viai I pur I Ij. — I ,,
+ | log y2z E + z E |x + 24 loe x + 2108 Var ae jl
In diesen Formeln bezeichnet E die Evrer’sche Constante.
Während die Anzahl der Glieder in /(x) von der Lage des Integra-
tionsweges abhängt, so ist diese Anzahl in R,(x) constant, sobald nur der
Integrationsweg in der Halbebene R(z) — O gelegen ist. Dies rührt davon
her, dass diese Halbebene infolge ¢(—n— 1)¢(—n) — o, n — 1,2,...,co
) ) )
keinen Pol des Integranden von J,(r;a) enthält. Der Werth dieses Rest-
inteerals ist mithin von der Lage des Integrationsweges in der genannten
Halbebene unabhängig. Hieraus folgt weiter mit Benutzung der funda-
mentalen Ungleichheit (16), dass der Ausdruck
a" [log IL, (x ) u, Ri «| = and, (a 5 a),
obwohl die Anzahl der Glieder von R,(x) constant ist, die sehr bemerkens-
werthe Eigenschaft besitzt, bei wachsendem | sich der Grenze Null zu
nähern, wie gross auch die positive Zahl m angenommen werden mag.
Wendet man nun die allgemeinen Formeln (18), (19), (20) auf die
gegenwärtigen Fülle an, so folgt:
n
rm I
(29) lY T(v) = plog o + (2E — 1)p Te wie)
NS miras
= cz. 1 I
(30) si) = "Til LU 2n + 9, (p).
vel “ z id
Acta mathematica. 28. Imprimé le 25 août 1905.
50 Hj. Mellin.
Vereleichen wir diese mit den aus der Zahlentheorie bekannten
Formeln
Z T(v) = log n + (2E — 1)n + O(Vn),
n 2
\ Tr \
2 > n° + O(n log n),
y=1
so bestätigt die erstere hinsichtlich der Ordnung von g,() die im vorigen
Paragraphen motivirte Vermutung, während die letztere damit nicht in
Widerspruch steht, da O(nlogn) eine Grósse bezeichnet, welche höchstens
von der Ordnung » log 2 ist. Unsere Formel (30) deutet aber an, dass
sie wahrscheinlich nur von der Ordnung 7 ist.
ur.
Sic
Wir kehren wieder zu der allgemeinen Aufgabe zurück, einen Aus-
druck für die summatorische Funktion einer gegebenen Zahlentheoretischen
Funktion zu ermitteln. Diese Aufgabe ist durch die Formeln (18), (19),
(20) wenigstens theoretisch gelöst worden, obwohl die sehr wesentliche
Frage nach der Ordnung von g(p) künftiger Untersuchungen bedürftig ist.
Eben deshalb dürfte der Umstand ein gewisses Interesse beanspruchen
kónnen, dass diese Formeln keineswegs alleinstehend sind, sondern dass es
vielmehr unendlich viele Integrale der in S 1 charakterisirten Art giebt,
von denen g(p) als Grenzwerth dargestellt werden kann.
Zur Erzeugung soleher Integrale eignen sich besonders die hyper-
geometrischen Integrale:
ad iw
E i" I'( — p,)...L'(@ — p,)z "de,
I fpe
= { D —p,)...T(e—p,)T(o, — 9)... Io, — 2)2 "de.
Bei dieser Gelegenheit werden wir nur das einfachste unter ihnen
I aM ix
(31) J(r;d)- — | F(zm-'de
a-ix
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 51
verwenden. Mit Hülfe desselben kónnen wir unendlich viele discontinuir-
liche Faktoren erzeugen, je nachdem wir den Integrationsweg in verschiedene
Theile der z-Ebene verlegen.
Ist erstens a > 0, so ist J(r;a) = e und mithin
ao S fan \” atin .
(32) I fine C) — u l'(z)S(mz)z"dz, a>0o, ma>l,
wo m eine so grosse reelle positive Zahl bezeichnet, dass ma grösser ist
als der Convergenzexponent / von
^ f(n)
(33) S(z) = =
1 An
n
Durch eine einfache Substitution erhält die rechte Seite von (32) die Form
a+io
P , an" E] T
(34) Y rine C) - Jj r( tIsc. a>l,
wo a grösser als der Convergenzexponent 7 von S(z) sein muss.
Lassen wir jetzt m ohne Ende wachsen, so ergiebt sich mit Berück-
sichtigung des discontinuirlichen Faktors
| ig gd
x 2
(35) lime 7 = Je! or,
| Ove,
die Formel '
ai
: PER en » re ‚da ad
= — A (at —|D(2)L — ;
(36) Ef) ai 27 | r( + 5.)8( kai:
er A < aon
Wird durch die Reihe S(z) eine Funktion definirt, welche ausserhalb
des Convergenzbereiches dieser Reihe existirt und die übrigen in § 2 an-
gegebenen Eigenschaften besitzt, so kann der Integrationsweg vor dem Greiz-
übergange unter Berücksichtigung des Caucny’schen Satzes in negativer
' Der genauere Beweis, dass die linke Seite von (36) der Grenzwerth der linken
Seite von (32) ist, wird dem Leser überlassen.
52 Hj. Mellin.
Richtung verschoben werden. Durch Wiederholung der in § 3 ange-
stellten Erórterungen gelangt man auch jetzt zu der Formel
(37) li f(v») = r(x) + g(a), ma ec Rg
wo r(r) eine aus Potenzen von z und logz gebildete endliche Summe
bezeichnet, während g(a) bloss als Grenzwerth definirt ist:
b-4 ix
d AU I R 4 ZW , dz
(38) gi ) = a af J| (1 + isis à , bel.
b—iw
Die Vermutung, dass g(a) wahrscheinlich von geringerer Ordnung als r(x)
ist, kann ähnlich wie in § 3 motivirt werden.
Da aus den bei der Herleitung von (37) anzustellenden Erörterungen
die Existenz des Grenzwerthes (38) unmittelbar einleuchtet, so sind die-
selben von dem Umstande unabhängig, ob das Integral
bie b+ih
Li
1 RUE de ur ee TRU
S(z)z" — = lim — S(z)z' —
27 í z haw 24 4 : 2
b—in b—ih
einen Sinn hat oder nicht.
Es verdient beachtet zu werden, dass die Berechnung des Ausdruckes
r(x) sich hier einfacher gestaltet als in § 3, weil der Integrand in (34)
bei hinreichend grossem m keine anderen Pole zwischen den Integrations-
ER ; DA Cheat A pt
wegen R(z) — a und R(z) = à besitzt als diejenigen des Ausdruckes — S(z):
Es lässt sich ohne Mühe zeigen, dass r(r) einfach gleich der Summe der
tesiduen ist, welche zu den zwischen den genannten Geraden gelegenen Polen
dieses Ausdruckes gehören. — Hiermit vergleiche man die verwandte Me-
thode von HALPHEN.
SK
6.
Nehmen wir zweitens an, dass a in dem Integrale (31) einen zwischen
den negativen ganzen Zahlen —k und — (k + 1) gelegenen Werth besitzt,
so ist
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 53
I udin ao \v k
" (— 2 mM D
z" / l(2)x "da = ) m e*- di ;
ui vek-+l E: 0
atin
le — x) —z = = 2 t
(39) E | | — +6 len I) — f (a7 de,
(8%) y=0 = E ofa
—(k+1)<a<—k,
so ist
lim E,(r) = o, lm E,(z) = 1,
r-0 r-—o
k D
: 7 fi A es es LY | a:
lim E(x) = (— 1) CE > à | e
Da — k — a > 0, so erhalten wir mit Benutzung von (39):
| k atin
EI
(40) Ym Bl |-c» Lf 1 (s)8(—mk—ma)a-" ds,
—(k+1)<a<—hk,
wo S(z) durch (33) definirt ist und m so gross sein muss, dass (— k — a)
grösser ist als der Convergenzexponent von N(2).
Lassen wir jetzt m ohne Ende wachsen, so ergiebt sich mit Berück-
sichtigung des discontinuirlichen Faktors
Odone T.
(41) Hm inam —NG nn]
| im. un
die Formel
= |) == k—1 | a M S(— mk — zur mk—me lz
(42) ro) lim ( 1) = (a I'(z)S(— mk — maja (
a, «dc es —(k-4-1)«a«—k.
54 Hj. Mellin.
Die rechte Seite von (40) besitzt offenbar die Eigenschaft, dass sie
sich der Grenze. Null nühert, falls der Integrationsweg ohne Ende in ne-
gativer Richtung verschoben wird. Mit Hülfe des Caucny’schen Satzes
ergiebt sich also für (40) eine neue Reihenentwicklung. Setzt man die-
selbe in (42) ein, so hat man die Formel
S: f(») = lim
yzl
Ce :
+
ios)
lI
m= x
(= Tn"
k OCT "iem T I gm)
<< MET
Der einfachste Fall tritt ein, wenn k = o angenommen wird. Die
obigen Formeln (40), (42), (43) nehmen alsdann die folgenden Formen an:
(44) Ole — € GR etian e f r(sc- m2)x "da,
n=1 ag a—ia
n I a+io 1
(45) ZT) = — pu = a I'(z)S(— mz)z "dz,
I AO) Oe GE run
n ö o6 Sry" Dv 1
(46) 2 f(v) — Jim 7 "8 -S(my)z" a, LT « 0,411.
‘= n -— v=l Ls
Die letzte Formel ist als Herrn HELGE von Koch zugehörig anzu-
sehen. In seiner Arbeit Sur la distribution des nombres premiers (Acta
Math. Bd. 24) wendet er nämlich mit bemerkenswerthem Erfolg einige
Specialfälle von (46) an. Dass die Methode, wodurch er dieselben erhält,
auch zu der allgemeinen Formel (46) führt, kann Herrn von Koch na-
türlich nieht entgangen sein, obgleich er die Allgemeinheit seiner Methode
nicht Ausdrücklich hervorhebt. Die Übereinstimmung der beiden in (44)
und (46) vorkommenden Reihenentwicklungen kann in der That auch ohne
Zuhülfenahme des obigen Integrals erwiesen werden, worauf sich die Formel
(46) ergiebt, indem man m — oo setzt; und dies ist eben die Methode
des Herren von Koch.
Der oben hervorgebrachte Zusammenhang dieser und aller vorangehen-
den Entwicklungen mit den betreffenden Integralen scheint vor allem des-
halb nieht unwichtig zu sein, weil sich hierdurch die Aussicht eróffnet,
Die Dirichlet’schen Reihen ete. 55
die Erforschung der Zahlentheoretischen Gesetze den Methoden der Caucuy’-
schen Integraltheorie zugänglich zu machen.
Mit Hülfe der Formel (45) ist man im Stande, einen interessanten
Zusammenhang zu entdecken zwischen den Formeln des Herrn von Koch
und denjenigen, welche Herr von MaxcGorpr (Crelles Journ. Bd. 114)
im Anschluss an RIEMANN zum ersten Male streng bewiesen hat. Nimmt
D
6 (2)
C(a)
Man gelangt zu den erstgenannten oder letztgenannten Formeln, je nachdem
man niimlich S(z) gleich an, so ist das Schlussergebniss folgendes.
der Integrationsweg des Integrals (44) in negativer oder in positiver Richt-
ung verschoben wird und sodann m — oco gesetzt resp. hinreichend gross
angenommen wird,
SK
“I
Setzt man
| \ . f(n)
S(s ) — Bien E
S(s , w js TV
F(n) = f(1) + f(2) +... + f(n),
FT es RUN
— (w + n) ;
n=1
so ist T(s,w + 1) — T(s, w) = —S(s, w). Zwischen den beiden Reihen
bestehen auch andere interessante Beziehungen.
In diesem Paragraphen werde ich eine Methode entwickeln, nach
welcher man einen asymtotischen Ausdruck für die Summe
m—1
3 S(s , w + »)
n=1
in allen Fällen erhalten kann, wo die durch die Reihe S definirte Funk-
tion ausserhalb des Convergenzbereiches der Reihe existirt und die übrigen
in $ 2 angegebenen Eigenschaften besitzt. Gleichzeitig mit dem asym-
totischen Ausdrucke ergiebt sich auch für die Reihe
(47) Ys, w + y) = T(s, w)
eine neue Entwicklung, welche ihre analytische Fortsetzung darstellt.
56 Hj. Mellin.
Mit Benutzung der leicht zu bestütigenden Formel
a ix
Ds) I vasa) a)
8) — = — + —— dz qs a
(48 / (x E y) 271 ij qi: ye N ) > = o,
a—ix
ergiebt sich zuniichst die Formel
atin
I 06,
a IS Pe Dot; E $ rs rds VY 3NQ ~ ^
F(s)S(s, w) = — | <=” P(z)8(z)de
a—in
a>0, 4h. Ris) oa
wo S(z) = S(z, 0), und mit ihrer Hiilfe
Es, w + ») — Xs6, w + y) — Ese, w+ m + »)
= T(s, w) — no > E | er I'(z)8(z)dz
atin
— T(s, w) — = | DS Es —z,w+m)I(2)S(z)dz
(910, 18 il, US) >.a 2,
wo | den Convergenzexponenten von N(z) bezeichnet und
ARE) ED es ei e
CELO aD emere
v=0
In der obigen Formel muss s zuniichst auf die durch die Ungleichheiten
definirte Halbebene beschränkt werden. (Gehört aber S(z) wieder der in
$ 2 charakterisirten, umfassenden Klasse soleher Diricuter’schen Reihen
an, welche ausserhalb ihrer Convergenzbereiche analytisch fortgesetzt werden
kónnen und die übrigen in § 2 angegebenen Eigenschaften besitzen, so
kann der Integrationsweg Jt(z) — a unter Berücksichtigung des Caucuy’-
ot
~
Die Dirichlet'sehen Reihen ete.
schen Satzes beliebig weit in negativer Richtung verschoben werden, wo-
dureh sich ergiebt:
m-—1
(49) Y S(s , t +») — T,(s, w) — R(s, w + m; a) — I(s, w + m ; a),
9t(s) 2 a+ 1, :
wo AR die Summe der zu den passirten Polen des Integranden gehörigen
Hesiduen bezeichnet, wührend J das Integral mit dem neuen Integrations-
wege bedeutet. Gleichzeitig mit dieser Verschiebung hat sich aber auch in
derselben Richtung die Halbebene SR(s) > a + ı erweitert, in welcher das
Integral I eine eindeutige und regulár sich verhaltende Funktion von s darstellt.
Da 3t(s— z) 2 1, so ist lim (s — 2, w + m) — o. Hieraus folgt leicht
m -— «o
lim I(s, w-+ m; a) — o. Die Formel (49) stellt also die Summe zur
m
Linken für grosse Werthe von m asymtotisch dar, wobei s einen beliebigen
Werth in der Halbebene 39t(s) > @ + 1 besitzen darf.
Die Formel (49) kann aber auch von einem anderen Gesichtspunkte
aus aufgefasst werden. Dadurch wird nämlich T(s, w) zugleich folgender-
weise als Grenzwerth dargestellt:
=
(50) T, (s, w) ius [Es ‚w+»)+ R(s, w 4- m; a)
und zwar gilt diese Darstellung für die Halbebene 3t(s) > à + r. Die
Anzahl der in ZA vorkommenden Glieder ist bei wachsendem m constant
aber von a abhängig. Mit Benutzung von (50) lässt sich T(s, w) weiter
in der Form einer Reihe darstellen:
(51) T(s, w)
= R(s,0;a) + Y s, w+m)+ HR(s,w 4- m 4 1; a) — R(s,ww + m ; a},
und zwar convergirt die rechte Seite gleichmiissig in jedem endlichen
Theile der Halbebene 3t(s) > a + 1, welcher keine Pole der Glieder dieser
Reihe enthält. Indem man (a) hinreichend gross annimmt kann man be-
wirken, dass die rechte Seite die analytische Fortsetzung der linken Seite
in einem beliebigen Theile der s-Ebene darstellt. Vergleicht man (51) mit
Acta mathematica. 25. Imprimé le 25 août 1903. 5
oo
5 Hj. Mellin.
der Darstellung (47) welche einen beschränkteren Gültigkeitsbereich besitzt,
so ist die Analogie mit dem neueren MirrAG-LEFFLER'schen Satze auffallend.
Ohne noch zu den im folgenden Paragraphen zu besprechenden viel-
fachen Integralen die Zuflucht zu nehmen, kann man die Untersuchung
der durch die Reihe
R(s,u + v) =
Hg)
TTA la Qu + p? + bw + yy
definirten Funktion auf eine Discussion des nachstehenden Integrals zu-
rückführen
c4 i»
n ı f^ I(s— 2) (2)
T'(s)R(s,u,v) =>, "i a 5
c—ix
Sas — az, u) T (fz, v)dz
,
l l
c>o,c>-, R(s)>c+-,
B > a
wo S und T durch die Reihen
: = fu) ; = g(v)
sed tl. rene Yat,
p=1 ^ v=1
definirt sind, deren Convergenzexponenten mit / und /' bezeichnet sind.
Diese Integralformel ist ebenfalls eine unmittelbare Folge von (48) und
giebt zu Untersuchungen Veranlassung, welche den vorangehenden ähnlich,
zugleich aber allgemeiner als dieselben sind.
SN
8.
Aus den nachfolgenden Auseinandersetzungen wird sich ergeben,
welcher umfassenden Verallgemeinerung die im vorangehenden Paragraphen
angewandte Methode noch fähig ist. Die erweiterte Methode hat zum Ziele,
nicht nur die Existenz der analytischen Fortsetzung einer durch eine Dı-
RICHLET'sche Reihe definirten Funktion unter gewissen allgemeinen Voraus-
setzungen nachzuweisen, sondern auch das Verhalten dieser Fortsetzung im
Unendlichen sowohl als im Endlichen genau festzustellen.
Bei dieser Gelegenheit muss ich mich auf einige Andeutungen all-
vemeiner Art beschränken und den Leser für das nähere hierüber auf meine
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 59
Arbeit Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von end-
licher Geschlecht (Acta Fenn. T. 29) verweisen, wo die fragliche Methode
ausführlich entwiekelt worden ist.
Es handelt sich zunächst um die Herleitung einer fundamentalen
Transformationsformel, mittels deren die betreffenden DiricuLer’schen Rei-
hen auf einfachere Formen zurückgeführt werden. j
Zu dem Ende ersetze man in der Formel (48) y durch y + v und
wende unter dem Integralzeichen dieseibe Formel (48) an. Durch wieder-
holte Anwendung dieses Verfahrens ergiebt sich die folgende Verallge-
meinerung von (48):
(52) o)
52
w -- W, +... wp)
ay ix ap ix
iE : VOUS di ot 99) Cap) Een)
-— = ER UU AA Loue da... d,
271 . 1 Wo Ww Wp
a,—i» Ap— in
8,2 0,»—1,25,1..,p, Rs)Saq Fa, -F...-F at 7 0,
Durch eine nähere Erwägung überzeugt man sich, dass diese Formel we-
nigstens dann gültig ist, wenn die reellen Theile der (Grössen # positiv sind.
Bezeichnet nun /i(v,,v,,..., v,) eine beliebige ganze rationale Funk-
tion von v,,...,%, oder, noch allgemeiner, ein Polynom der Form
? N /
à (1) £0) (n)
(53) TA RECO ARMES NS Z Cu vv,
ioe 2 n
wo die Exponenten £A reelle nicht negative Zahlen bezeichnen, so erhält
man mit Hülfe von (52) die Formel:
I'(s)
(54) [R(v, was... v9]
ay i» aptin
"d ( I M x f L(L) Te) —I(a)de .… des
271 | Pte a ch C? eee os v? ^ v 3
60 Hj. Mellin.
wo
(= RE,
1, = kKY\(s—a—...—4) + WT... Aa
PAP?
L, = k(s — 2, —...— 2) + Ka +... + AN.
Diese Formel hat wenigstens dann einen bestimmten Sinn, wenn die reellen
Theile der Coefficienten C sowie die Gróssen v positiv sind.
Nunmehr stelle man sich die Grössen v als positive unstetige Ver-
änderliche vor, von denen jede unabhängig von den übrigen eine solche
Folge unbeschränkt wachsender Werthe durchläuft, dass die bezüglichen
Reihen
1 1\ v, ) «Jj n( Un)
(56) St Daa TIT S,(s) = Y. *— ;
(e)
unter c,(v,) eine nur von v, abhängige Grösse verstanden, für hinreichend
grosse Werthe von ts) unbedingt convergiren. Da die reellen "Theile
der Coefficienten C als positiv vorausgesetzt sind, so ergiebt sich ohne
Mühe — und zwar am schnellsten mit Hülfe von (54) — dass auch
die Reihe
(57 S(s) = Pats) a Ya) se Pe UR)
7) PAST a Ir RJ
(vy, ..., On) 1 3 d
wo v, genau dieselben Werthe durchläuft wie in S,(s), in einer gewissen
» e v ) >
Halbebene unbedingt convergirt. Mit Benutzung dieser Bezeichnungen
ergiebt sich nun schliesslich aus (54) die Transformationsformel
(58) I'(s)S(s)
a, i (tp doo
NE j uu yd) IRICEN) oe d
= “ih —° AN S (LL): SL da CB
ie) | | Qu umm 0% (4) n(l) de ?
wo die positiven Grössen a und der reelle Theil von s solche Werthe be:
sitzen müssen, dass die /, in den Convergenzbereichen der bezüglichen
Reihen S, bleiben. Es wird zugleich wie früher angenommen, dass die
reellen Theile der Coefficienten € positiv sind.
Die Dirichlet'schen Reihen etc. 61
Bezeichnet man die Werthe, welche v, in den obigen Formeln durch-
läuft mit a, A=0,1,...,%, sowie die entsprechenden Werthe von
g,(v,) mit f(A), so können die Reihen (56) und (57) auch folgenderweise
geschrieben werden
(59) S (s) >= VN AS) ) F M , N, (s) = Y. B |
fzi lai) £z lai]
(60) S(s) = M» ROA)» RC)
[R(a® ‚a 2 : oe PT"
In meiner oben citirten Arbeit ist nun die durch die Reihe N(s) de-
finirte Funktion unter den folgenden Voraussetzungen in Bezug auf die
durch die Reihen S,(s) definirten Funktionen ausführlich erörtert worden.
Von diesen Funktionen 8, wurde nämlich angenommen, dass sie in der
ganzen s-Ebene existirende eindeutige Funktionen sind, welche sich an jeder
endlichen Stelle wie rationale Funktionen verhalten und überdies die beiden
folgenden Eigenschaften besitzen: 1) in jedem zur imaginären Axe parallelen
Streifen von endlicher Breite giebt es höchstens nur eine endliche Anzahl
Pole der S,, 2) im jedem solchen Streifen convergiren die 8,, nach Multiplika-
tion mit e", bei wachsendem |s| gegen die Null, wie klein auch die positive
Zahl e angenommen werden mag. Unter diesen Voraussetzungen wurde ge-
zeigt, dass das Produkt I'(s)S(s) ebenfulls eine in der ganzen s- Ebene ewisti-
rende eindeutige Funktion ist, welche zugleich die beiden anderen Eigenschaften
der S, besitzt. Liegen die Pole der S, alle auf der reellen Axe, so gilt das-
selben auch von den Polen von S. Sind die Coefficienten C insbesondere
reelle positive Zahlen, so besitzt nicht nur das Produkt I'(s)S(s) sondern
auch die Funktion S(s) alle oben genannten Eigenschaften.
Sieht man von gewissen mit dem Problem der Primzahlen unmittelbar
oder mittelbar zusammenhängenden Reihen ab, so dürften die meisten übrigen
Dinicuter’schen Reihen, welche für die Zahlentheorie von Interesse sind
oder voraussichtlich sein werden, in der soeben charakterisirten allgemeinen
Klasse enthalten sein. Es unterliegt wohl keinem Zweifel, dass das Ver-
halten der durch die betreffenden Reihen definirten Funktionen im Un-
endlichen noch genauer dahin pricisirt werden kann, dass sie, schon nach
Multiplikation mit einer passenden Potenz von s, bei wachsendem || sich
der Grenze Null nähern, falls s zugleich auf einen beliebigen Streifen der
62 Hj. Mellin.
oben angegebenen Art beschränkt ist. Eine nähere Begründung der letzteren
Behauptung hängt mit dem Umstande zusammen, dass die Funktion ¢(s, w),
welche bekanntlich in der analytischen Zahlentheorie eine fundamentale
Rolle spielt, die letztgenannte Eigenschaft besitzt, falls w reell und positiv
ist. Hierbei beachte man auch die nachfolgenden Specialisirungen der obigen
Transformationsformel.
Setzt man beispielsweise aj? —w, +2 und f,(A)= 1 für À— 0, 1, ..., oo,
so wird
a6
1 I
Ss) = > (u, Ban ees Ue (1,2, )
A=0
d I
SL y LITT
( ) 5 [R(w, + A, »-.., Wa + An]
Da die Funktion £(s, w) alle von den S, angenommen Eigenschaften besitzt,
so ist der folgende Satz nur ein einfaches Corollarium aus dem Obigen:
Bezeichnet R(w, , ..., w,) eine beliebige ganze rationale Funktion oder
allgemeiner ein Polynom der Form (53), dessen Coefficienten die Dedingung
erfüllen, dass ihre reellen Theile positiv sind, in welchem Ivalle die Reihe
S(s) einen durch eine gewisse Halbebene darstellbaren Convergenzbereich besitzt,
so wird durch diese Reihe eine in der ganzen s-Ebene existirende eindeutige
Funktion definirt, welche sich an jeder endlichen Stelle wie eine rationale
Funktion verhält. Die Pole dieser Funktion liegen alle auf der reellen Axe.
Beschränkt man die Veränderliche s auf einen beliebigen, zur imaginären Axe
parallelen Streifen von endlicher Breite, so nähert sich e * * I'(s)S(s) bei
wachsendem |s\ der grenze Null, wie klein auch die positive Grösse = ange-
nommen werden mag. Sind die Coefficienten C reelle positive Zahlen, so
besitzt nicht nur e" ['(s)S(s) sondern auch e *"S(s) die letztgenannte
Eigenschaft.
Identificiren wir die Reihen (59) mit den bei der Bestimmung der
Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen auftretenden Reihen
(61)
so besitzen die dureh die entsprechenden Reihen (60) definirten Funktionen
ebenfalls alle soeben genannten Eigenschaften. Aus der Abhandlung des
Die Dirichlet’schen Reihen etc. 63
Herrn Hunwrrz: Einige Eigenschaften der Dirichlet’schen Funktionen etc.
(Zeitschrift für Mathematik und Physik, Jahrgang 27, S. 86) geht
nämlich hervor, dass die Reihen (61) im wesentlichen linear durch Reihen
der Form £(s, w) darstellbar sind und somit die für die Gültigkeit des
obigen Satzes erforderlichen Eigenschaften besitzen. Die Reihen (61) machen
einen Theil von denjenigen aus, welche Dirrenner in der Arbeit über die
arithmetische Progression gebraucht hat und Herr Lirscurrz in seiner Arbeit
Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen (Crelles
Journal, Bd. 105) einer eingehenden Erörterung unterworfen hat. Identi-
ficirt man die S, mit diesen allgemeineren Reihen, so erführt auch die
Klasse der Reihen (60), welche die Transformationsformel (58) auf die S,
zurückführt, eine entsprechende Erweiterung. '
! Der in S I charakterisirten, bisher wenig beachteten Klasse (I) von bestimmten
Integralen habe ich schon früher gróssere oder kleinere Theile der folgenden Arbeiten
gewidmet: Om definita integraler, hvilka hafva till gränser hypergeometriska funktioner af
sürskilda ordningar, 1893. Acta Societatis Scientiarum Fennicae, T. 20. — Uber
die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der
hypergeometrischen Functionen. Acta Fenn. T. 21. — Zur Theorie zweier allgemeinen
Klassen bestimmter Integrale. Acta Fenn. T. 22. — Uber eine Verallgemeinerung der
Riemann’schen Function &s). Acta Fenn. T. 24. — Eine Formel für den Logarithmus
transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht. Acta Fenn. T. 29 und Acta Math.
Bd. 25. — Uber den Zusammenhang zwischen den linearen Differential- und Differenzen-
gleichungen. Acta Math. Bd. 25.
In diesen Arbeiten habe ich es nicht unterlassen, auf die neue und einfache, zu-
gleich aber recht allgemeine Methode zur Herleitung von asymptotischen Formeln auf-
merksam zu machen, welche aus der Anwendung des Residuenkalküls auf die betreffenden
Integrale hervorgeht. (Cf. 8 2 und $ 3 der vorliegenden Arbeit.) Herr E. W. Bar-
NES hat nun neuerdings, nachdem er im Jahre 1899 auf ein briefliches Ersuchen nebst
anderen meiner Arbeiten auch diejenigen Uber eine Verallgemeinerung der Rieman schen
Function C(s) erhalten hatte, in seinen Arbeiten The Theory of the Gamma Function
(Messenger of Math. Bd. 29) und The Theory of the Double Gamma Function (Phil.
Trans. Bd. 196) dieselbe Methode zur Herleitung der SriRLiNG'schen und einer ana-
logen Formel angewandt, ohne dabei die Beziehung dieser Herleitungen zu meiner Arbeit
deutlich anzugeben. Dies veranlüsst mich hervorzuheben, dass die SriRLING'sche Formel
in meiner genannten Arbeit zum ersten Male nach der betreffenden neuen Methode her-
ln - de c did e d
64 | Hj. Mellin. 6
geleitet worden ist, und dass ich daselbst ($ 12) ausdrücklich angegeben habe, dass.
dieselbe Methode auch in anderen Fallen anwendbar ist, um für unendliche Prodi
von endlichem Geschlecht der SrrRLING'schen analoge Formeln zu erhalten. Die all-
gemeine Formel (12) in $ 3 der vorliegenden Arbeit, von welcher alle diese Fo ae
erhalten werden kónnen, kommt bisher nur in meinen Arbeiten vor. :
|
p Ó
4
DAS ABEL’SCHE THEOREM UND DAS LIE'SCHE THEOREM
ÜBER TRANSLATIONSFLACHEN
VON
GEORG SCHEFFERS
in DARMSTADT.
Bei der hundertsten Wiederkehr von ABet’s Geburtstag gedenkt man
unwillkürlich auch seines Landsmannes Soruus Liz. Wenn auch im Ganzen
die Forschungen beider auf verschiedenen Gebieten stattfanden, so treffen
sie sich doch an einigen Punkten. Eine besondere Genugthuung empfand
Lig, als es ihm nach mühevollen Ansützen gelang, ein rein geometrisches
Problem, das der Translationsflächen mit mehrfacher Erzeugung, in einen
höchst
5)
6)
merkwürdigen Zusammenhang mit dem Abel’schen Theorem zu bringen.
Die Abhandlungen von Sopaus Lir, die hier in Betracht kommen, sind folgende:
Kurzes Resumé mehrerer neuer Theorien. Christ. Forh. 1872, S. 27, Zeile 1—4.
Synthetisch-analytische Untersuchungen über Minimalflüchen. 1. Über reelle alge-
braische Minimalflüchen. Archiv for Math. Bd. 2, 1877, S. 157—198.
Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. I. und II. Math. Annalen Bd.
14 und 15, 1879, S. 331—416 bez. 465—506.
Bestimmung aller in eine algebraische Developpabele eingeschriebenen algebraischen
Integralflächen der Differentialgleichung s — 0. Archiv for Math. Bd. 4,
1879, S. 334— 344.
Weitere Untersuchungen über Minimalflächen. Archiv for Math. Bd. 4, 1880,
S. 477 —506.
Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacher Weise durch Translationsbewegung
einer Curve erzeugt werden. Archiv for Math. Bd. 7, 1882, S. 155—176.
Sur une interprétation nouvelle du théorème d' Abel. Comptes Rendus T. 114,
1892, S. 277—280.
Sur une application de la théorie des groupes continus à la théorie des fonctions.
Comptes Rendus T. 114, 1892, S. 334 - 337.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 25 aoüt 1903, 9
56 Georg Scheffers.
Die Art, wie Lie das Problem lóste, ist für seine Forschungsweise
charakteristisch: Zuerst, von 1869 an, fand er durch Benutzung von Ab-
bildungen eines Raumes auf einen andern Beispiele von solchen Flächen,
die mindestens vier Scharen von je einfach unendlich vielen congruenten
und gleichgestellten Curven enthalten. Diese Flächen waren im allgemeinen
transcendent. Er bemerkte aber, dass zu jeder von ihnen eine gewisse
ebene algebraische Curve in enger Beziehung stand. Es zeigte sich näm-
lich, dass die Tangenten jener vier Curvenscharen die unendlich ferne
Ebene in den Punkten einer Curve vierter Ordnung schnitten. Aber den
inneren Grund für diese nachträglich festgestellte Erscheinung konnte er
lange nicht erkennen, weshalb er von 1881 bis 1889 wiederholt gesprächs-
weise die Aufmerksamkeit anderer Mathematiker darauf hinlenkte. Dabei
gab er auch der Vermutung Ausdruck, dass diese Erscheinung mit dem
ABEL'schen Theorem in Zusammenhang stehen dürfte. Durch sehr umständ-
liche Rechnungen gelang es ihm 1882, alle Translationsflächen mit mehr-
facher Erzeugung zu bestimmen.
Im Winter 1891 bis 92 fand er dann, dass das ABEL'sche Theorem,
angewandt auf den Schnitt einer Curve vierter Ordnung mit einer ver-
änderlichen Geraden, bei zweckmässiger Deutung eine ausgedehnte Familie
von Translationsflächen mit mehrfacher Erzeugung lieferte. Ja, es zeigte
sich, dass sich diese Flüchenfamilie in ihrem Umfang mit der von ihm
gefundenen deckte. Und so wurde er zu dem letzten Schritt geführt,
direct zu beweisen, dass das ABEL’sche Theorem alle Flächen von der ge-
suchten Art liefert. Dabei kam es darauf an, die Integrabilitütsbeding-
ungen eines Systems von zwei homogenen partiellen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung zu discutieren. Zunächst ergaben sich drei Bedingungen;
vor ihrer directen Aufstellung schreckte er jedoch zurück, da sie nach seiner
9) Untersuchungen über Translationsflächen. Leipziger Berichte 1892, S, 447
—472, $59—579.
10) Die Theorie der Translationsflächen und das Abel'sche Theorem. Leipziger Be-
richte 1896, S. 141—198.
11) Geometrie der Berührungstransformalionen. 1. Bd. Dargestellt von Lie und
SCHEFFERS, Leipzig 1896, S. 404—411.
12) Das Abel'ehe Theorem und die Translationsmannigfaltigkeiten Leipziger Be-
richte 1897, S. 181—248.
Siehe die 6. in der vorigen Anmerkung genannte Arbeit.
Das Abelsche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflichen. 61
Meinung »fast unausführbare Rechnungen» erforderte.' Es gelang ihm
aber in äusserst scharfsinniger Weise durch seine bewährte Methode, näm-
lich durch das Herbeiziehen begrifflicher geometrischer Überlegungen, diese
analytischen Schwierigkeiten zu umgehen und zu erkennen, dass sich alle
drei Bedingungen auf eine einzige reducieren, die er, ohne die Rechnungen
auszuführen, dennoch vollständig genau aufstellen konnte. Von da bis
zum Endergebnis war es nur ein leichter Schritt.
Nachdem Liz das Problem gelöst hat, wird man versuchen dürfen,
eine einheitliche Methode bei der Behandlung einzuführen, d. h. den
Wechsel zwischen rein analytischen und rein geometrischen Schlüssen
zu vermeiden, Man wird wünschen, den analytischen Ansatz, den Lie
selbst gegeben hat, auch auf rein analytischem Wege bis zum Schluss-
ergebnis durchzuführen. Es gelingt in der That durch eine leichte Ab-
änderung der analytischen Fassung, jene »fast unausführbaren Rechnungen:
einfach zu gestalten; ja es zeigt sich, dass die wichtige Integrabilitäts-
bedingung in einer viel bequemeren Form hervorgeht, als es die von Lie
selbst gefundene ist. Die Lie’sche Formel war so wenig handlich, dass er
sich genötigt sah, bei ihrer geometrischen Deutung wieder andersartige
Überlegungen heranzuziehen, nämlich die letzten Schlüsse auf Abzählungen
zu stützen. Benutzt man dagegen die Integrabilitätsbedingung in jener
wirklich überraschend einfachen Gestalt, die der rechnerische Weg liefert,
so führt ihre Deutung von selbst, ohne dass man etwas vom Endergebnis
zu wissen braucht, zur Curve vierter Ordnung und damit zum AsEr'schen
Theorem.?
Ich glaube daher, diesem Berichte über den Zusammenhang zwischen
dem AnBEL'schen Theorem und dem Lir’schen Translationsflächen-Theorem
einen selbständigen Wert geben zu können, indem ich, ausgehend von dem
Lieschen Ansatze, aber auf anderem, nämlich rein analytischem Wege,
das Problem der Translationsflächen bis zu dem Lie'schen Ergebnis verfolge.
Nachher wurde ich daran einige Bemerkungen über die geometrischen
Deutungen des Ergebnisses und über die Verallgemeinerungen anschliessen.
' Siehe die Io. in der ersten Anmerkung genannte Arbeit, S. 190. In dieser
Arbeit berichtet Lie selbst ausführlich über die Geschichte seines Problems.
* Vgl. im Folgenden 8 6 und $ 8.
68 Georg Scheffers.
8 1. Allgemeines über Translationsflächen.
Ehe wir an das Problem herangehen, ist der Begriff der Translations-
fläche zu erértern.’
Wird eine starr gedachte Curve, etwa die durch die Gleiehungen
(1) x — A,(u,), yos Dt); g — Cu)
mit dem Parameter uw, dargestellte, ohne Anderung ihrer Stellung im
Raume, also mittels Schiebungen oder Translationen stetig in neue Lagen
übergeführt, so erzeugt sie eine Schiebungs- oder Translaticnsfldche. Die
Fläche enthält daher unendlich viele congruente und gleichgestellte Curven ;
durch jeden Punkt der Fläche geht eine von ihnen.
Da alle Punkte der Curve (1) bei diesen stetigen Schiebungen be-
ständig congruente und gleichgestellte Bahnen durchlaufen, so enthält die
Fläche noch eine zweite Schar von eongruenten und gleichgestellten Curven.
Durch jeden Punkt der Fläche geht eine Curve der ersten und eine Curve
der zweiten Schar.
Demnach gestattet die Translationsfläche noch eine zweite Erzeugung:
Durch stetige Schiebungen kann man eine Curve der zweiten Art über
die Fläche hinwegführen.
Jede Translationsfläche gestattet demnach zwei Arten der Erzeugung
durch stetige Translationen von Curven.
Zum Uberfluss zeigt dies ihre analytische Darstellung: Wollen wir
den Punkten (7, y, 2) der Curve (1) stetige Schiebungen erteilen, so haben
wir zu ihren Coordinaten Functionen einer Veränderlichen #, zu addieren,
etwa die Functionen A4,(w,), B,(u,), C,(w,), sodass die Curve (1) die Trans-
lationsfläche erzeugt:
(2) w=A,(u,)+ A,(u,), y=B(u)+B(u,), z=C(uw)+ C,(u,).
Auf dieser Fläche sind «, und w, Gaussische Parameter; sowohl die Pa-
' Wir reproducieren hier Betrachtungen aus Liz's 10. Abhandlung, S. 162— 164.
Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 69
rametereurven 4, — Const. als auch die Parametercurven u, = Const. sind
einander congruent und gleichgestellt.
Die Tangenten der durch die Punkte einer Curve u, = Const. gehen
den oo! Curven uw, = Const. haben Richtungscosinus proportional der Gróssen:
Ai (1), Bi (wu), Cu), .
die von u, frei sind, d. h. alle jene cot Tangenten sind einander parallel
1
und bilden daher einen Cylinder, der die Translationsfläche (2) längs der
betrachteten Curve 4, — Const. umhüllt. Hieraus folgt:
Die beiden Curvenschaaren u, = Const. und u, = Const. auf der Trans-
lationsfläche (2) sind zu einander im Dupin'schen Sinne conjugiert.
Es folgt dies auch daraus, dass die zweiten Ableitungen 7,,,,, Yu, s Harn,
der Functionen (2) gleich Null sind.
Da alle Curven w, = Const. einander congruent und gleichgestellt sind,
sind die Richtungen der Tangenten einer von ihnen dieselben wie die der
Tangenten aller andern. Legen wir z. B durch den Anfangspunkt die
Parallelen zu allen Tangenten einer Curve u, — Const., so entsteht ein
Richtungskegel, dessen Erzeugende auch den Tangenten aller anderen Curven
u, — Const. parallel sind. Ebenso gehört zu den Curven #, — Const. ein
gemeinsamer Richtungskegel.
Denken wir uns das Unendlichferne wie in der projectiven Geometrie
als eine Ebene, so kónnen wir auch so sagen: Jene beiden Richtungskegel
treffen die unendlich ferne Ebene in zwei Curven 7, und 7,. Alle Tan-
genten aller Curven u, = Const. treffen die unendlich ferne Ebene in den
Punkten der einen Curve y, und alle Tangenten aller Curven u, = Const.
treffen sie in den Punkten der anderen Curve 7,.
Analytisch kann man die beiden unendlich fernen Curven so festlegen:
Wenn wir diejenige Richtung, auf der z,jy,z um dr,dy,dz wachsen,
dureh die beiden Bestimmungsstiicke
pode dy
(3) fe vane An rcs
ausdrücken, sodass ihre Cosinus proportional
$,951
70 Georg Scheffers.
sind, so können wir zugleich £, 7 als Coordinaten desjenigen Punktes in
der unendlich fernen Ebene deuten, in dem alle Geraden von dieser Richt-
ung die unendlich ferne Ebene treffen. Für die Richtungen der Tan-
genten der Curven #, — Const. bei denen w, veränderlich ist, wollen wir
und 7 mit dem Index 1 versehen. Alsdann giebt (2), wenn wir nur uw,
ändern:
£,:m SA = Aya) 1): Cu).
Dies sind zwei Gleichungen, aus denen wir uns #, eliminiert denken:
£1 (6, » 3,) = o.
Dies ist alsdann die zwischen den Richtungen des ersten Richtungskegels
bestehende Beziehung oder auch die Gleichung der unendlich fernen Curve
7,- Analog folgt aus:
£114: 1 =4;(u,): B;(u,): Cy (us)
2
durch Elimination von u, die Gleichung
2
e, (6, ) 73) EO
der unendlich fernen Curve y,.
82. Die partielle Differentialgleichung der Translationsflächen.'
Es seien jetzt umgekehrt irgend zwei Curven 7, und 7, in der un-
endlich fernen Ebene gegeben, etwa durch die Gleichungen:
(4) AG 4) = ©; £4 (5, » Ya) = 0.
Dann ist es leicht, eine partielle Differentialgleichung aufzustellen, der jede
solehe Translationsfliche genügen muss, bei der die Tangenten der einen
Curvenschar nach ;, und die Tangenten der anderen Curvenschar nach
7, gehen.
Ist nämlich (z,5,z2) ein Punkt einer solehen Translationsfläche, die
wir uns analytisch in der Form
:— fir, y)
AS «a TOL SIE LOB:
Das Abel'sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. (Pl
ausgedrückt denken, und bezeichnen wir wie üblich die Ableitungen von
Z SO:
"x 22 wes 02
1 0x ? 9 :
ae 072 "es 9*z | 9s
du?’ | 0x9y" aye
so ist für jede Fortschreitung (dr:dy:dz) auf der Fläche vom Punkte
(r,9,2) aus:
Oo
pdx + qdy —dz —
oder, wenn dr:dz und dy:dz wie in (3) mit & und 7 bezeichnet werden:
(5) ps cq = 1.
Dass die Gleichung linear in & und 7 ist, entspricht dem Umstande,
dass die Tangentenebene des Flächenpunktes (x, y, 2) die unendlich ferne
Ebene in einer Geraden schneidet.
Nun soll durch den Punkt (x, y, 2) der Fläche eine Curve », — Const.
und eine Curve wu, = Const. gehen, und es ist vorgeschrieben, dass die
Tangenten dieser beiden Curven nach den durch (4) gegebenen unendlich
fernen Curven 7, und 7, laufen. Mithin werden die Bestimmungsstücke
&,,7, der Tangente der einen Curve durch die beiden Gleichungen
(6) e (& , 71) E ps, sip — 1
und die Bestimmungsstücke £,, 4, der Tangente der andern Curve durch
die beiden Gleichungen:
(7) e4(£, , 7) Eh PS, 9% =1
gegeben. Beide Richtungen aber sollen nach dem Früheren zu einander
conjugiert sein. Da x und y längs der einen nach (3) um solche Grössen
wachsen, die & , 7, proportional sind, und längs der anderen um solche,
die £,, proportional sind, so drückt sich das Conjugiertsein nach be-
kannter Regel so aus:
(8) AA T ($7 23 £71)5 Tu = o.
=1
n2
Georg Scheffers.
Setzen wir hierin die aus (6) und (7) folgenden Werte von & , 7,
und £,,7,, die Functionen von p und 4 sind, ein, so geht eine homogene
partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung hervor, die die Form hat:
D(p, g)r + X(p, q)s + V(p, q)t — o,
und ihr müssen die zu den gegebenen unendlich fernen Curven oder Richt-
rehérigen Translationsflächen
oO
>
ungskegeln (4)
2 (5,0)
genügen.
Es ist sofort klar, dass die partielle Differentialgleichung auch von
denjenigen oo* Flächen erfüllt wird, die aus einer ihr genügenden Fläche
durch alle eo? Schiebungen oder durch ähnliche Vergrössung hervorgehen,
da sich dabei p,q,r:s:£ nicht ändern. Aus einer Translationsfläche
gehen auf diese Weise offenbar immer wieder Translationsflächen hervor.
Die Differentialeleiehung hat also, sobald sie eine Translationsfläche als
Lösung zulässt, sicher unendlich viele Lösungen, die Translationsflächen vor-
stellen. Es ist leicht einzusehen, dass jede Lösung der Differentialgleichung
eine "ranslationsfliche ist, sobald sie nicht abwickelbar ist. Doch brauchen
wir hierauf an dieser Stelle nicht näher einzugehen.
83. Das Problem und sein Ansatz.
Das Lie’sche Problem ist nun dies:
Es sollen alle diejenigen Translationsflächen bestimmt werden, die in mehr-
facher Weise als Translationsflächen aufzufassen sind. Da jede Translations-
fläche an sich schon, wie wir sahen, zwei Erzeugungen durch stetige
Schiebungen zulässt, so ist dies natürlich so gemeint:
Wir fragen nach denjenigen Flächen, die vier Scharen von je co! con-
gruenten und gleichgestellten Curven enthalten, sodass durch jeden Punkt der
c
] 9,79 C,
liche vier Erzeugungen zulässt, einmal dum erschie ( ‘ings
Flücl Erzeugung lässt, einmal dureh Verschieben von e, lings
Fläche je eine Curve c Chis von jeder Schar geht, indem dann die
c, (wobei ein bestimmter Punkt von e, längs €, hinliuft), dann durch
Verschieben von €, längs e,, drittens durch Verschieben von €, lings c,
und viertens dureh Verschieben von €, längs ¢,.
Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche Theorem über 'Translationsflüchen. 13
Zu dem Curvenpaar €, , c, gehören als Orter der Schnittpunkte ihrer
langenten mit der unendlich fernen Ebene zwei Curven 7, , 7,. Ebenso
gehören zu dem Curvenpaar c, , €,
die auf die Tangenten von c, und £,, 7, die auf die Tangenten von v,
c, zwei Curven 7,,7,- Dabei seien £,, 7,
beziiglichen Bestimmungsstücke (3) der Richtungen. :
Zu y, und 7, könnten wir, wenn wir ihre Gleichungen analog (4) ge-
geben hätten, ebenfalls die partielle Differentialeleichung analog (8) auf-
stellen. Die gesuchten 'Translationsflächen müssten beiden partiellen Diffe-
rentialgleichungen genügen. Demnach stellen wir uns zunächst das ana-
St
lytische Problem:
Man soll vier Gleichungen:
(9) £(8 , m) =O, e« (8, , 7) 9 9, (5, , 7) — 9) g,(5, 11)
so bestimmen, dass die beiden partiellen Differentialgleichungen für z:
(10) [5&r + (S + £71)5 + Mt = 0,
SAT era TE Em) + Tail = 0,
in denen €,, 9» &» Mas Cu: 3» as 7, die durch (9) und durch
(11) Atmen, tm, ps +am—=1, ve, tay, =
bestimmten Functionen der ersten Ableitungen p,q bedeuten, wenigstens eine
gemeinsame Integralfläche
2 — f (v, y)
haben."
Wir werden nun die beiden Differentialgleichungen (10) ein wenig
umformen, indem wir
7A — 7 RM Ns — 7 Be
(12) AS, Eu = — fg AUS 4
Si E S3 m
' So hat Lie selbst das Problem formuliert, siehe a. a. O., S. 167. Von hier
ab verlassen wir den von Lie eingeschlagenen Weg, indem wir zunächst den Ansatz ein
wenig abändern und darauf im nächsten Paragraphen an die analytische Lösung gehen.
Acta mathematica, 28. Impriné le 25 aoüt 1903. 10
14 Georg Scheffers.
einführen, wodurch sie die Formen annehmen:
r 4 (7, +7,)s+ 7,754 — 0,
r+(z, + 7,)s + 7,7! = 0.
Die aus (12) folgenden Werte von 7, , 7, , 7, , 7, setzen wir in (9) und (11)
ein. Die Gleichungen (9) gehen dann in Gleichungen zwischen den £; und
7 (j— 1,2,3, 4) über, sodass folgendes Problem vorliegt:
Man soll vier Gleichungen:
(1 3) b,(E, ) T, ) = O, d,(é, , 25) E o, p.(E, ) ta) = o, be, ) t) — (9)
so bestimmen, dass die beiden partiellen Differentialgleichungen für z:
{7 + (7, +7,)s+7,7,f=0,
[ + (nns + 77,2 =09,
in denen z,, 7,, 7,, 7, die durch (13) und durch:
(14)
í Z a = = — = Se mE J on
(15) po gs, uo, PS, 95,74 = 1; DES T als PE, rag
bestimmten Functionen der ersten Ableitungen p,q bedeuten, wenigstens eine
gemeinsame Integralfläche
[s f(a, y)
haben.
Von den abwickelbaren Flächen wollen wir dabei absehen. Denn es ist
nicht schwer einzusehen, dass eine abwickelbare Fläche nur dann Transla-
tionsfläche ist, wenn sie eine Cylinder ist. Ein Cylinder aber kann auf
unendlich viele Weisen durch Schiebung einen Curve erzeugt werden; man
wähle nämlich irgend eine Curve auf dem Cylinder aus.
Ist nun aber die fragliche gemeinsame Integralfliiche
2 — f(x, y)
nicht abwickelbar, so sind bekanntlich
von einander unabhüngige Functionen von x und y. Daher können wir auf
der Fläche p und q statt x und y als unabhängige Verdnderliche benutzen.
Das Abel'sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsfláchen.
84. Die Integrabilitätsbedingung.
Nach (14) muss auf der fraglichen Fläche:
| 2 ANA Cs t dr 2
23%
1,0, — 1,1,
> Maat | 3 4
(16)
lie ERI Aa
ER Tai
sein. Auch müssen r,s,/ die Bedingungen erfüllen:
or | 9s 9s ot
ay 0x ay da’
die wir, wenn wir p und 4 als Veränderliche statt x, benutzen wollen,
so schreiben werden:
ar Op 0r0q ‘9s Op ET 95 9q
0p0y ' 9q9y Pax ' dqgdxu’
9sop , Osdq db dp , dt dq
0p0y ' 0407 0p0x | 949%
oder, da
en LA TA Smee
Ba’ oy 9x 2 oy
ist, so
or or 9s 9s
| aiment
(17) |
SF el gw 0
s + ag! = ap? ag
Hierin wollen wir die Werte (16) von r und ¢ einführen. Es empfiehlt
sich, dabei zur Abkürzung die in (16) rechts auftretenden Factoren von s
mit U und V zu bezeichnen:
(18) (t, + Tu — (t + Tan ee. Birke: = -— m CA MR y.
Tita — Tata TT, — TU
sodass nach (16):
16 Georg Scheffers.
ist. Setzen wir diese Werte in (17) für r und £ ein, so kommt:
9lgs V,- UV, Oleg Lee UP AT
ap imp 94 v Au Un,
Kine Function s von p und 4 giebt es hiernach nur dann, wenn:
9 V, 3 QU. oe Sols zi US
(19) 9d 1— UV pn 1-— UV
ist.
Mithin ist (19) eine nofwendige Bedingung; wir werden später sehen,
dass sie auch hinreicht.'
85. Ausrechnung der Bedingung.
Zur Ausrechnung der Bedingung bedürfen wir vorerst der Ableitungen
von U und V nach p und g. Nach (18) sind U und V Functionen der
7; und diese sind nach (r3) und (rs) Functionen von p und g. Nach
(13) sind z. B. £, und 7, von einander abhängig, und nach (15) ist:
CARRE SCT E Ed
WE) ge que gr esum
9g, „ OT, =
(pt 9%) 50 du SS zx SUA
Multipliciren wir diese beiden. Gleichungen. mit
und addiren wir sie dann, so kommt mit Rücksicht auf die Abhüngigkeit
von &, und 7:
' Lie stellt drei Integrationsbedingungen auf, die höhere Differentialquotienten
nach p und q, nümlich vierte, enthalten, wührend unsere Bedingung (19) nur erste und
zweite enthält. Lie beweist, dass seine drei Bedingungen auf eine zurückkommen.
Diesen Nachweis brauchen wir garnicht zu führen. Unsere Bedingung wird, wie wir
sehen werden, gerade jene eine LrE'sche liefern.
Das Abel'sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 77
rt het OF «
So ist überhaupt allgemein:
Or; Fi ae
= u: (1 ,2,8,4)
(20) oq “fap
Im Folgenden soll zur Abkürzung der Bezeichnung der Accent die Diffe-
rentiation nach p andeuten, sodass
OT; Be)
ap = Tfi (i=1,2, 3,4)
und nach (20):
Cie 1
(21) T ET (i=1,2,3, 4)
ist.
Nach der zweiten Gleichung (18) ist nun:
(n5—52)'Y,— | (n—9(»—)5-4(1—9)/(10—7)2
der kürzer:
2 ,
(22) (nx — zu) V, = a7 + Gt + 0575 + 0474,
wenn wir nämlich für den Augenblick
$758
( a u)=
(n — 5X8 — 5) = %,
Ce Ty) =
( ) t) =
z
(23)
WN Gi
(
qct) ter 9,
setzen. Infolge von (21) ergiebt sich aus (22) sofort noch:
(n5 — 5S 5) V, = ant + 000 + 05775 + UAT,
sodass hieraus und aus (22) folgt:
4
2 E nl
(5 $3173 A Wa fr UV,) Xo «c + U)%.
1
Aber nach (18) ist
78 Georg Scheffers.
und ähnliche Werte gehen für „+ U, z, + U, 7, + U hervor, sodass
wir schliesslich wegen der Werte (23) erhalten:
\
und hieraus ziehen wir nach (21) sofort den Schluss:
- y 2 I - I
(n7, — 757) U, = — ya un —...,
wo es genügt, das erste der vier Glieder hinzuschreiben. Beide Formeln
geben:
(2,7, — 7,7) (U, + VU) = —a za n(14-zV)ui-—....
Weil aber nach (18):
1+7V=—
u. s. w. ist, so folgt hieraus wegen der Werte (23):
(ar, — 7,7,) (U, + VU,) = (v, — %)(t% — zn, — %)(% — %)
X [n (0 + $5) —n5(5 + zul
Nach (18) ist ferner:
(7,7, —7,7,) (1 — UV) = (z, — (v, — u); — «(n — %)-
Daher giebt (24) und (25):
„+ UV, und na8—us—uu
1— UV T,T, — Ts. í
U, zi VU, zy ari Tu TUA n + Ti)
1— UV TiTa — ut,
Hiermit sind die in der auszuwertenden Bedingung (19) auftretenden Quo-
tienten berechnet, sodass die Bedingung so geschrieben werden kann:
(2€ 9 07, + Tite — THT — ar 9 «n(n-u-—nuam- c0)
26) Ar u er
3 ?q it, — ser op GE oem
Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsfláchen. 19
Um nun die noch erforderlichen partiellen Differentiationen nach 4
und p auszuführen, haben wir zu bedenken, dass der Accent die Differen-
tiation nach p bedeutet. Aus (21) schliessen wir, dass
or; 9*ci 29 9)
m opeq m
ist. Bei der Ausführung der Differentiationen in (26) haben wir hiernach
die folgenden vier Regeln zu beachten:
Cer ri m
ap "5 ag 476
Or; - Che) 12 mall
ap RUD er mn üt
Wenn wir hiernach die Differentiation nach q bez. p in (26) ausführen,
so finden wir ein überraschend einfaches Ergebnis. Es zeigt sich nämlich,
dass alle Glieder bis auf vier einander gegenseitig fortheben, indem ein-
fach bleibt:
(27) ob ty + oy! + a! =o.
Dies also ist die zu discutirende Bedingung.'
! Bei Lip ergiebt sich a. a. O., S. 193, diese Bedingung:
Dass dies nichts anderes als die Gleichung (27) oben ist, erkennt man leicht, wenn man
die Relationen
und
&p + %iq = 1, Ep + m9 = — &, Ep + yg = — 26;
benutzt, insbesondere auch die aus den drei letzten folgende Gleichung:
=
Si 7l I
, ,
Si Yi xs n = O
RF 44 CH
S Mi —26i
80 Georg Scheffers.
86. Die Curve vierter Ordnung.
Wir gehen jetzt an die Deutung dieser Bedingung (27). Da die
Accente die Differentiation nach p andeuten, so sagt sie aus, dass die Summe
der 7, linear in p ist:
(28) > 7. =
wo a und # Functionen von q sind. Aber hieraus können wir noch mehr
schliessen. — Differenzieren wir nämlich diese Formel nach 4, so folgt
wegen (21):
Weil aber der Strich die Differentiation nach p andeutet, so ist die linke
Seite der halbe Differentialquotient von 2X? nach p. Also folgt hieraus,
dass die Summe der 7; quadratisch in p ist. Wenden wir auf sie nochmals
dasselbe Verfahren an, so ergiebt sich mit Hülfe von (21), dass die Summe
der 7; vom dritten Grade in p ist. Ebenso ist die Summe der c! vom
vierten Grade in p. Dabei sind die Coefficienten Functionen von g.
Nun erfüllen 7, , z,, 7,, z, die biquadratische Gleichung für c:
(c— q)(c— «yr ne e£) == (Oh:
Ordnen wir sie nach Potenzen von 7:
TI I 2 - Ly
7. — 0,1. -]- G47, — 4,7 1 816—500;
so sind die Coefficienten a, ,a,,a,,a, symmetrische Functionen von 7, 7,,
n
3, 7 Bekanntlich lassen sich die Summen der Potenzen von 7; durch
sie wie folet ausdrücken:
Zr, =a,
puce ag
Tj = A, — 205,
Zri a — 34,4, + 34,
Dri = ai — gata, + 40,0, + 201 — 44,.
Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 81
Da nun, wie wir sahen, die linken Seiten vom r., 2., 3. bez. 4. Grade
in p sind, so lehrt die erste Gleichung, dass a, linear in p ist, die zweite
alsdann, dass a, vom 2. Grade, die dritte, dass a, vom 3. Grade und die
vierte, dass a, vom vierten Grade in p ist.
Also erfüllen c, , ,, c, , v, eine biquadratische Gleichung:
E 3 at at
tT —G4,t HAT —a,7+ 4,—= 9;
in der a,,a,,a,,.a, ganze Funclionen von p sind, deren Grade durch die
Indices angegeben werden. Die Coefficienten dieser Functionen sind Func-
lionen von q.
Nun war allgemein, vel. (12), das Zeichen z für 7: 4 gebraucht worden.
Jedes Wertepaar €,, 7, erfüllt also die Gleichung in ¢ und 7:
4 3£E 2£2 23 4
7 —ané+a,né —an + 4,6 =0.
Ferner ist nach (11):
p— qno
st
pc
Setzen wir aber in den Functionen a, ,a,,a,,a, für p den Wert
Iced
S
ein, so heben sich die Nenner & fort, da a, mit 5$, a, mit £*. a, mit &
und a, mit £* behaftet ist. Also geht alsdann eine Gleichung vierten
Grades zwischen € und 7 hervor, deren Coefficienten nur noch von q ab-
hängen.
Le
-
Alle vier Wertepaare £,, x; erfüllen somit eine in & und v, biquadratische
Gleichung, deren Coefficienten mur noch von q abhängen.
Da diese Gleichung von dem Wertepaare £,,», z. B. erfüllt wird,
andererseits aber nach (9) und (11) die Grössen & , 7, zwei Gleichungen:
AG , 7i) a OF 1a al 4! Com.
erfüllen sollen, so muss jene Gleichung, gebildet für €,, x,, eine Folge von
diesen beiden sein. Weil sie aber von p frei ist, kann sie nur eine Folge
der ersten, e, — o, allein sein, d. h. sie ist auch von 4 frei.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 aoüt 1903 Ti
82 : Georg Scheffers.
Somit hat sich ergeben:
Alle vier Wertepaare &., x, erfüllen eine in E und n biquadratische
3 fj q
Gleichung mit constanten Coefficienten.
Anders ausgesprochen :
py ,. . WET) = ‘as » .
Alle vier unendlich fernen Curven y, , fs, y, , y, gehören ein und der-
selben Curve vierter Ordnung an.'
Wenn es also Translationsflächen giebt, die vier Scharen von je &'
coneruenten und gleichgestellten Curven enthalten, so müssen die Tangenten
aller vier Scharen die unendlich ferne Ebene in ein und derselben Curve
vierter Ordnung schneiden.
§ 7. Anwendung des Abel’schen Theorems.
Unser Problem kommt hiernach auf folgendes hinaus:
In der unendlich fernen Ebene ist eine Curve vierter Ordnung gegeben.
Gefragt wird, ob es eine Fläche giebt, die vier Scharen von je co! congru-
enten und gleichgestellten Curven enthält, deren Tangenten sämtlich jene Curve
vierter Ordnung treffen.
Nun liefert uns das AnEL'sehe Theorem, angewandt auf die Schnitte
jener Curve vierten Ordnung mit einer veränderlichen Geraden, in der That
derartige Flächen.’
Ist nämlich
FE ) 7) Ed
eine Gleiehung vierten Grades in & und y, also F eine ganze Function
‘ Lıe schliesst dies aus seiner in der letzten Anmerkung angegebenen Bedingung
a. a. O., S. 194—196, so: Nach einem Satze von Rzrss ist die Bedingung für die
Schnitte einer Curve vierter Ordnung mit einer beweglichen Geraden erfüllt | Anderer-
seits kann man durch Abzühlung erkennen, dass die Bedingung nur von co‘ Curven
erfüllt sein kann. Es giebt aber gerade co'* ebene Curven vierter Ordnung; also
giebt die Bedingung gerade und nur alle Curven vierter Ordnung.
? Dies erkannte Liz 1891—92. Siehe die 7. oben erwähnte Abhandlung.
Das Abel'sche Theorem und das Lie’sche Theorem über Translationsflächen. 83
=
vierten Grades von € und 7, so ist, wenn die durch /’=o dargestellte
Curve vierter Ordnung durch die veränderliche Gerade
pË + 97 = 1
-
in den vier Punkten (&,,75,) , (&, 7,) , (&,, 73) » (&,, 7,4) geschnitten wird;
nach dem AnEr'schen "Theorem:
"Ede '&. dé "E,dé, "Ede
VG M N b c cc
7 T2 73 e m
Pe be a ee
'd£, "d£, “dé, “dé,
ls + pe + | F, i P, 5!
sobald die Grenzen der Integrale die zu zwei Lagen der Geraden gehórigen
Schnittpunktscoordinaten &, , £,, £,, 4, sind. Hierbei bedeutet natürlich
F,
74
die partielle Ableitung vom (5,7; nach 7,. Aus allen Integralen
hat man sich die 7 mittels der Gleichungen
F(&, 7i) E (i=1, 2,3, 4)
entfernt zu denken, sodass unter den Integralen nur die Veränderlichen
COSE AA vorkommen. Bildet man nun die Gleichungen:
r & dé, E 2 dé,
(an F,, ,
Ll 2 ~
pi Ai | dé, dé,
(1 9) Y E p ü + ' )
v 7 ry 72
so ist nach den obigen Formeln des AnErr'schen Theorems auch:
v 7a 04
(20) ioe 746, mas,
5 y d 7 1 ,
[i I,
à ” - N
84 Georg Scheffers.
Nun stellen aber die Gleichungen (19) eine Fliche mit den Gaussischen
Parameter £,, £, und die Gleichungen (20) also dieselbe Fläche, aber mit
den Gaussischen Parameter £,, £j, dar. Da jedesmal jede der Coordinaten
eine Summe von zwei Functionen ist, von denen die eine nur den einen
Parameter, die andere nur den anderen Parameter enthält, so haben die
Gleichungen (19) und (20) die für Translationsfliichen charakteristische all-
gemeine Form (2).
Mithin haben wir eine Flüche erhalten, die sich in zwei Arten, (19)
und (20), als Translationsfläche darstellen lässt. Beide Darstellungen sind
wesentlich von einander verschieden, denn die durch den Punkt (z, y, 2)
der Fläche gehenden Parameterlinien £, — Const. und &, = Const. haben
dort Tangenten, deren Richtungscosinus proportional
ea bez
sind, während die Parameterlinien &, = Const. und £, = Const. dort Tan-
genten haben, deren Richtungscosinus proportional
£57, EIOS Der, aa
sind. Weil nun für alle Wertepaare &;, 7, die Gleichung
PE + 97 = 1
besteht, so gehen die vier Tangentenrichtungen in der Tangentenebene des
Punktes (r, y, 2) nach denjenigen vier unendlich fernen Punkten (£,, 7)
der Curve vierter Ordnung
Tse 4) = 09,
in denen sie von der unendlich fernen Geraden
pe + an —1
geschnitten wird, und sind daher für einen allgemein gewählten Punkt
x,y, 2) der Fläche von einander verschieden.
In der That also stellen die Gleichungen (19) oder (20) eine Fläche dar,
die vier Scharen von je co!
congruenten und gleichgestellten Curven enthält
derart, dass in einem allgemein gewählten Punkte der Fläche die Richtungen
der vier hindurchgehenden Curven von einander verschieden sind.
Das Abel'che Theorem und das Lie'sehe Theorem über Translationsflächen. 85
85. Die allgemeinste Lósung des Problems.
Hat uns somit das ABeL'sche Theorem, angewandt auf den Schnitt
der gefundenen unendlich fernen Curve vierter Ordnung mit einer ver-
änderlichen Geraden, eine Lösung des gestellten Problems gegeben, so ist
es schliesslich auch leicht, nnabhängig hiervon die allgemeinste Lösung
abzuleiten.
Denn wenn wieder
E($,7)59
eine gegebene unendlich ferne Curve vierter Ordnung ist, so handelt es
sich darum, eine Translationsfläche zu finden, deren erzeugende Curven
solche "l'angenten haben, die diese Curve treffen. Da nach (3) längs einer
Richtung (dx : dy:dz) die Proportion:
dz:dy:da = £:*:1
besteht, so wird die allgemeinste Curve, deren Tangenten nach jener un-
endlich fernen Curve / — o hingehen, gegeben durch:
% = foëdé, y = fondé, a= [pdé,
wo po eine zunächst beliebige Function von ¢ bedeutet und unter 7 die
durch
Fé, 1) — O
bestimmte Function von $ zu verstehen ist, sodass lings der Curve € die
Veründerliche ist. Ist nun auf der fraglichen Flüche
92 ez
—Én ———Ó fl
a cilc d,
so müssen die Tangenten der vier durch den Punkt (r,5,2) der Fläche
! Lig begnügt sich damit, zu zeigen, dass die Curve vierter Ordnung mittels des
AnEL'schen Theorems Translationsflächen mit mehrfacher Erzeugung liefert. Aber na-
türlich muss noch gezeigt werden, dass die Curve vierter Ordnung sonst keine (ausser
ähnlich vergrösserten) ergiebt. Diesen übrigens sehr leichten Nachweis deuten wir im
gegenwärtigen Paragraphen an.
86 Georg Scheffers.
1
gvehenden Curven der vier Scharen von je CO” congruenten Curven die un-
endlich ferne Ebene in den vier Schnittpunkten (¢,, 7,) der Geraden
Dci qu
mit der Curve F=o treffen. Demnach muss die Fläche, wenn €,, 7,
= r , uro n E
und &,,%, zu dem ersten Curvenpaar und £,,7, und £,, 7, zu dem
zweiten Curvenpaar gehóren, sowohl in der Form:
| x = fp, 6, d&, + fp, 6,d6,,
(21) y = fo,m 4, + [pn.d8,,
| 2 fodé, + fp.de,
als auch in der Form:
w= fo,ë, de + f o,£,£,,
y = fo,n.de, + fondé,
2— fodé, + fo,dé,
darstellbar sein, wobei p,,9,,0,,0, bezüglich Functionen von &,, £,, &, £,
Na qa ale rm T 1 Le RE 10 .
bedeuten. Es muss also, wenn wir o,, c, mit —,, —p, bezeichnen:
S64, + f p,E,d&, + fp, &,d&, + f'o,&,d&, = o,
Sond, + fonde, + fond, + fondé, = 0,
fos fedt + fede, +fod =0
sein, vorausgesetzt, dass die Integrale wieder erstreckt sind zwischen zwei
Lagen der Geraden
-
pe + qn —1
in der unendlich fernen Ebene. Indem man die sich durch totale Diffe-
rentiation ergebenden Formeln:
pd£; + qdn;, = — §,dp — »,dq i=1,2, 8,4)
und
F, dé, + F, dy; — 0 (i 1,9,8,4)
Das Abel'sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 87
benutzt, um hierin und ebenso in den früheren drei Formeln des ABEL’schen
Theorems (S. 83) die Differentiale dz, , d£, , dZ, , d£, durch dp und dq aus-
zudrücken, ist es leicht, durch Vergleichung zu erkennen, dass p, , 9, , p, f,
proportional
I I 1 1
LA à FE, : F,, i Fy,
sein müssen. Da nun p, nur von £,, p, nur von €, u. s. W. abhängt, so
folgt, dass allgemein:
^
pi =F
7i
ist, wo e eine für alle vier o; gemeinsame Constante bedeutet. Setzen wir
nun die Werte:
c c
fo ye? Sey
in (21) ein, so finden wir wieder die Werte (19) von #,y, 2, aber multi-
pliciert mit einer Constanten c. Die allgemeinste Fläche also, die vier
Scharen von je oo! congruentem und gleichgestellten Curven enthält, geht aus
der Fläche (19) durch ähnliche Vergrössung hervor.
Natürlich liefert auch jede Schiebung der Fläche (19) wieder eine
Lösung, aber alle diese "Lösungen sind schon in (19) enthalten, da die
unteren Grenzen der Integrale verschieden gewählt werden können, indem
die Anfangslage der Geraden
Dat gy
willkürlich ist.
89. Formulierung des Lie'schen Theorens.
Wir sind zu Ende mit der Lósung des Problems und kónnen das
Ergebnis formulieren: '
Jede nicht abwickelbare Fläche, die vier Scharen von je oo! congruenten
und gleichgestellten Curven enthält, sodass die durch einen allgemein gewählten
Punkt der Fläche gehenden Curven verschiedene Tangenten haben, ergiebt sich
! Siehe die 10. der oben genannten LrkE'schen Abhandlungen, S. 197.
88 Georg Scheffers.
so: Man stellt die Gleichung einer beliebigen algebraischen Curve vierter
Ordnung in = und n auf:
F(£,7)—0
und bildet die drei Abel'schen. Integrale erster Gattung:
= "Edé - d£ dé
o(é)= |, xS = fre, 2(£) = TUR
Sind e(£), y(&) , £(&) @=1, 2, 3, 4) diese Integrale, hinerstreckt zwischen
den vier Schnittpunkten einer festen Geraden und den vier Schnittpunkten
(£;, y) einer veränderlichen Geraden
u RE
mit der Curve vierter Ordnung F(E,*) = 0, so sind:
=
(= c[o(é) zb 2(&,)],
y = e[x(&) +x(&)],
z = e[d(&) + 9(&)]
die Gleichung einer Fläche von der gesuchten Art; sie lässt sich auch so
darstellen :
a = —.cle(&)+ ¢(&,)],
y = —e[x(&)-F x (El:
EE c[9 (&;) + P(E, )].
Dabei bedeutet c eine beliebige Constante. So findet man alle Flächen von der
gewünschten Art.
8 10. Zur Anwendung des Lie'schen Theorems.
Wir haben, um das Wesentliche der Folgerungen hervortreten zu
lassen, einige nebensächliche Punkte mit Stillsehweigen übergangen, die
Lie ausführlich hervorgehoben hat. Mit einigen Worten seien sie hier
erwähnt:
Das Abel'sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 80
Ist die Curve vierter Ordnung irreducibel, so bilden alle vier Scharen
von je co' congruenten und gleichgestellten Curven auf der zugehörigen
Fläche im Grunde genommen eine einzige irreducible Schar. Sie ist aber
so beschaffen, dass durch jeden allgemein gewühlten Punkt P der Fliiche
vier verschiedene Curven ¢,, €,, c,, c, der Schar gehen. Sie sind alle vier
einander congruent und gleichgestellt, aber der Punkt P ist natürlich nicht
auf den vier Curven überall der homologe Punkt. Wenn man c, mit
einem ihrer Punkte längs c, stetig hinschiebt, geht die Fläche hervor;
ebenso umgekehrt, wenn €, mit einem ihrer Punkte längs c, stetig hin-
geschoben wird. Ebenso liefern €, und €, zwei Erzeugungsarten.
Ist die Curve vierter Ordnung reducibel, so darf sie nicht etwa aus
zwei zusammenfallenden Curven zweiter Ordnung bestehen, vielmehr muss
immer noch eine allgemein gewählte Gerade sie in vier verschiedenen Punkten
treffen.
Die Curve vierter Ordnung kann in zwei verschiedene Kegelschnitte
zerfallen. Dies giebt Anlass zu zwei wesentlich verschiedenen Flächenarten.
Man kann nämlich, wenn man die Curve durch eine Gerade schneidet, als
Punkte (£,,7,) und (£,, x,) entweder Punkte auf demselben Kegelschnitt
oder Punkte auf verschiedenen Kegelschnitten wählen. Im ersteren Falle
hat die Fläche eine höchst merkwürdige Eigenschaft; Lie hat gezeigt, dass
die beiden Kegelschnitte durch irgend ein Paar von Kegelschnitten des-
jenigen Büschels ersetzt werden dürfen, das von jenen beiden Kegelschnitten
bestimmt wird. D. h. alsdann gestattet die Fläche unendlich viele Er-
zeugungen durch Translation von Curven. Wenn insbesondere der eine Kegel-
schnitt der Kugelkreis ist, so gehen Minimalflächen hervor. Unter anderen
tritt hier die Scuerk’sche Minimalfläche und die Minimalschraubenfläche auf.
Im Fall des Büschels von Kegelschnitten hat die Fläche mindestens
eine Schar von ebenen Erzeugenden, da das Büschel mindestens einen in
Geraden zerfallenden Kegelschnitt enthält.
Auch wenn die Curve vierter Ordnung in eine Curve dritter Ordnung
und eine Gerade zerfällt, hat die Fläche eine Schar von co! congruenten
gleichgestellten ebenen Curven. Ist die Gerade eine Wendetangente der
! Unter Leitung des Verfassers hat R. Kummer (siehe seine Dissertation, Leipzig
1894) Modelle der Translationsflächen mit unendlich vielen Erzeugungen hergestellt, die
Eigentum des mathem. Instituts an der Universität Leipzig sind.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 26 août 1903, 12
90 Georg Scheffers.
Curve dritter Ordnung, so sind diese Curven Parabeln, und nur in diesem
Fall treten. Parabeln als erzeugende Curven auf.'
Die grosse Zahl verschiedenartiger Typen von Translationsflächen, die
sich aus dem LiE'sehen Theorem ergeben, ist bisher, so viel ich weiss,
noeh nieht genauer untersucht worden, obgleich ihre Betrachtung wegen
des innigen Zusammenhanges mit dem ABeL'schen Theorem sowohl in
oeometrischer als aueh in analytischer Hinsicht gewiss sehr lohnend sein
würde.
8 11. Verallgemeinerungen und andere Beweise des Lie'schen
Theorems.
Dass sich das Theorem über die Translationstlächen mit mehrfacher
Erzeugung auf Räume höherer Dimensionenzahl verallgemeinern lässt, hat
Lir selbst schon erkannt und zum Teil in seinen Schriften mitgeteilt.”
So hat er ausführlich gezeigt, dass das Ager'sche Theorem alle dreifach
ausgedehnten Mannigfaltigkeiten des Raumes von vier Dimensionen liefert,
die in mehrfache Weise als Translationsmannigfaltigkeiten aufgefasst werden
können. Auf diese Verallgemeinerungen gedenke ich jedoch nicht ein-
zugehen; meine Absicht war es nur, dem Wunsche zu entsprechen, im
gegenwärtigen Aufsatze das Lie’sche Theorem für die Translationsflächen
des gewöhnlichen Raumes so abzuleiten, dass auch denjenigen, die den
Lin’schen Ideenkreisen ferner stehen oder den von Lie mit so grosser
Meisterschaft gehandhabten Wechsel zwischen analytischen und synthetischen
Betrachtungen nicht lieben, ein Einblick in den Beweis und das Wesen
des Lir’schen Theorems gegeben wird. Schliesslich möchte ich noch er-
wähnen, dass Poincaré zwei andere Beweise des Lir'schen Theorems ge-
liefert hat, von denen der zweite sozusagen intuitiv und ohne, dass man
die Lir’schen partiellen Differentialgleichungen braucht, zum Ziele führt.“
Von G. WiEGNER (siehe seine Dissertation, Leipzig 1893, auch Archiv for
Math. Bd. 14) sind hierzu Modelle hergestellt worden, die sich ebenfalls im Leipziger
math. Institut befinden.
^
* Vgl. die 7. und I2. der oben angegebenen Abhandlungen.
Remarques diverses sur les functions abeliennes, Journal de Math. pures et
appl. 5. série t. 1 (1895), S. 219—314, und: Sur les surfaces de translation et les
fonclions abéliennes, Bulletin de la Société math. t. 29 (1901). S. 61— 86,
Das Abel’sche Theorem und das Lie'sche Theorem über Translationsflächen. 91
Er beruht wesentlich auf Continuitätsbetrachtungen und ist von PorxcAn£
selbst auf höhere Dimensionenzahlen ausgedehnt worden. Lie's eigener Weg
darf gewiss nicht als intuitiv bezeichnet werden, was aus den Bemerkungen
in der Einleitung und in den Anmerkungen, in denen ich den oben ein-
geschlagenen Weg mit dem Lir'schen verglichen habe, wohl zur Geniige
erhellt. Man darf aber nicht vergessen, dass es etwas ganz anderes ist,
ob man ein neues Theorem zum ersten Mal entdeckt und beweist oder
ob man nachträglich einen anderen Zugang zu ihm sucht. Wer den von
Lie selbst gegebenen Beweis in den Leipziger Berichten von 1896
verfolgt, wird vielmehr dem Scharfsinn, mit dem er in langen Jahren das
neue 'lheorem allmählich auffand und bewies, die grösste Bewunderung
zollen und sich freuen, dass seine eigenartige Methode der Wissenschaft
diesen höchst merkwürdigen Zusammenhang zwischen seinem rein geome-
trischen Problem und dem Theorem von ABer geschenkt hat.
Darmstadt, 8. Febr. 1902.
= Pi
a
m Be IT, tt tent Stetina ament aded.
Metri imu he Tode dosi ento dte la:
Sarre ar ed ovuul dun M P
wana aiu aly iM; PRE NN PPL: Aare hie "m
ale dto deat fet ea of ean del nf A see
vadat hiec Fe ow Ee mb e gt ios! vl dial fro qe
Pi ero een ordeo sona C mtn Dm LOL
oia dire hme télé Rf rt ie ei ae LI
np wile tal ince intl ua va). mash ome mos choi tuted sur à
IG prey as) oleae reque anb et NET rd LI
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P Sins ur vui wre c bM
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J oc AU ee CA,
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b
La cw. aL, z ere B ^ud
93
SUR L'EMPLOI D'UN THEOREME D'ABEL DANS LA THÉORIE
DE L'INTÉGRALE DE DIRICHLET
PAR
T. BRODEN
à LUND.
1. Le théorème III du mémoire d'ABEL sur la série du binôme !
permet des applications importantes à la théorie de l'intégrale de Dirichter.
Dans les lignes suivantes, l'auteur se propose d'examiner de plus prés ce
3 , I l
fait, tout en se rapportant à un de ses travaux antérieurs. Nous avons
, l
voulu ainsi contribuer un peu à éelaireir Vapplicabilité très étendue des
travaux mathématiques d' ABEL.
2. La question de l'admissibilité de l'équation de DrricHLer
2
() — 00
: * s Sin ox T
lim J f(x) En dx = = f(+ 0) (o « a « a)
0
{où f(x) signifie une fonction finie intégrable avec valeur déterminée de
f(+ 0)) se laisse réduire à la méme question pour la relation
x
w=n w=o
(1) Inge — lim | fi qom om? dy (oO «a. I)
0
où f(+ 0) = 0."
! Journal de Crelle, t. I, p. 314; Oeuvres complètes de N. H. ABEL,
édition Syrow-Lie, t. I, p. 222.
? Über das Dirichlet'sche Integral, Math. Annalen, t. 52, p. 177—227. Dans
le suivant ce travail sera désigné par D. I.
* Vor DEI, p. 178, 220—2T.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 aoüt 1903.
94 T. Brodén.
Soit a(@) une fonction positive de © pour laquelle lim a(c«) = o.
«9 — o
Alors lintégrale
a(w)
"» .
sın em:
Jr. = | f(z)——— dx
x
0
tend vers la limite zéro, non seulement dans le cas ot
(2) lim 9.4 — 0
mais encore aussitót que
(3) lim g(a) .log (wa) = o,
où g(a) signifie la limite supérieure de |/fiz)| dans l'intervalle 0... a
(et, par conséquent, si limg.«.4 disparait sans que cela arrive pour
lim wm .a); et la fonction «(«) se laisse toujours déterminer de manière à
remplir la condition (3) quoique lim © . 4 — ©." Cela posé, nous choisis-
sons une fonction 4 quelconque qui remplisse la condition (2) ou (3) et
une quantité constante arbitraire # entre © et 1, et puis nous considérons
la valeur limite
Z m—1 APE Pas
(4) lim | dx. De [i " ul (c i voi] | ,
"ue oe | x + 2i a+2i+ |
où les nombres entiers k et m sont déterminés de la manière suivante:
et 2k ; 2 2m 2m + 2
a(w)<— €a(o) t -, LE «———
a = 0
et où lon ne fait entrer en ligne de compte que les c pour lesquels
m — 1 sera 2 b, ce qui doit arriver toujours pour des c suffisamment
grands, à cause de la supposition lim « — o. Alors il se laisse prouver
d'abord que (4) sera indépendante du choix de la fonction « et de la
quantité €, et puis que lim J disparaîtra, si f(x) est de nature à faire
disparaitre (4).*
' D. I. p. 179 —80. — Une troisième condition suffisante, un peu plus compliquée,
pour que lim J, disparaisse se trouve mentionnée D. I. p. 183.
TOES TE, qi tct
Sur l'emploi d'un théorème d'Abel dans la théorie de l'intégrale de Dirichlet. 95
Cette condition très étendue pour la validité de (1) — elle contient,
en effet, comme eas spéciaux toutes ou presque toutes les conditions posées
jusqu'ici! — peut en premier lieu se spécialiser dans le sens que la valeur
numérique de la somme
m-—1
GE OL {x 2+ 1I
(5) [ia A s] I; E e ) |
— ee: z+2i+1 |
pour une fonction «(@) de l'espèce mentionnée ci-dessus et sous la condi-
tion o «& z <1 se rapproche uniformément, quand croit w, de la valeur
» 2 . . = 5
zéro,” ce qui a lieu dans ce eas indépendamment de ez.
Nous supposons maintenant que pour une certaine fonction a(@)
{remplissant la condition (2) ou (3)| et une certaine valeur €
p :
/ ax m (n if x LA U
(6) — Ge Ur(Z4- 2) «a
(avee O Lx «I, mais entre ces limites indépendamment de x) aussitôt que
,
ches pes om
où G signifie une certaine quantité positive finie. Je dis que, dans ce
gas inm — o
Si l'on applique le théorème d'ABEL mentionné ci-dessus aux sommes
% figurant dans les inégalités (6), on reconnait immédiatement que la
valeur numérique de la somme (5) est moindre que
G
x + 2k"
Done, si nous supposons d'abord que lim & . 4 — co, et, par conséquent,
lim # = co, un rapprochement uniforme de la somme (5) vers la valeur
zéro a lieu, et, selon ce que nous venons de constater, lim 7 — o. Si, au
contraire, lim @.« est fini (> O), nous prenons une fonction a(@) pour
laquelle lim w.a, — co (ce qui est possible, voir ci-dessus). Pour les @
‘ Ofr. D. I. p. 185—86, 191— 92.
* ou, plus généralement, d'une fonction O(a) de la nature caractérisée en D. I.
p. 192--93 (»Satz 4» et »Satz 5»).
96 T. Brodén.
suffisamment grands sera alors a,(c) > a(@), et k, >k, où k, a la méme
relation à a, que k à a. On a done
p p 2k,—1
DH, =D peto RC
i=2#, i-9k i=2k
où, pour le moment, 7; signifie l'expression sous le signe X dans (6);
partant, en tout cas,
p
T 360 € 2 20.
i=2k,
Comme lim © . a, = co, il s'ensuit maintenant, tout comme ci-dessus, que
lim / — o. — On doit remarquer que la condition ainsi obtenue, pour
que lim J = 0, n'est pas indépendante ni de a ni de e: si a,(c) < &(w),
€, « & elle peut être remplie pour «= a5, mais non pour «=, et
pour € — €,, non pour € = e,.
De cette proposition on obtient trés aisément comme cas spécial la
condition de DIRICHLET bien connue.!
De l'autre côté on peut donner à la proposition démontrée une inté-
ressante interprétation géometrique.?
3. Dans le domaine dont il est question, le théorème d’ABEL est
important aussi sous un autre point de vue. Une conséquence de ce
théorème est, comme on sait, le théorème du caleul intégral indiqué par
WEIERSTRASS et publié par Du Bois-ReYmoxD (Journal de Crelle t. 69,
p. 78; voir aussi Dir, Fondamenti ete. § 204) que l'on désigne souvent
par »zweiter Mittelwerthsatz». Et à l'aide de ce théorème, on obtient
aisément, si la fonction fix) est donnée sous la forme d'un produit,
f(x) = F(zx). (c),
certaines conditions pour la validité de l'équation de Drricuzer relatives
aux deux facteurs /^ et @. A cet égard nous renvoyons le lecteur à D. 1.
p. 216—18 et au livre de M. Diwr, Serie di Fourier etc. (Pisa 1880).
VOIR En LOO!
? D. I. p. 218—20. Toute cette suite d'idées se trouve d'ailleurs dans certains
rapports à l'article de Kronecker Über das Dirichlet'sche Integral (»Sitzungsberichte»
de l'académie de Berlin 1885); voir D. I. p. 181, 19I etc.
97
SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ENTIÈRES
PAR
P. BOUTROUX
à PARIS.
Introduction.
L'éude directe des développement en série, à laquelle ABEL a su donner
une si brillante impulsion, et qu'il a appelée »la partie la plus essentielle
des mathématiques», a occupé, dans les travaux de ses successeurs, une
place prépondérante Le moment est venu maintenant de considérer en
eux-mémes et d'analyser avec quelques détails les types généraux de fone-
tions dont la science a été ainsi enrichie. Or il faut bien reconnaitre que
les propriétés d'une fonction n'apparaissent que rarement sur un développe-
ment infini. (C'est pourquoi il sera souvent avantageux de substituer à
l'étude d'un développement celle de caractéres moins précis mais plus in-
tuitifs, aptes à servir de marque aux fonctions d'une classe déterminée, en
permettant de les distinguer des fonctions voisines et de les reconnaitre
lorsqu'elles sont définies par une équation différentielle ou de toute autre
maniere.
Le mode de croissance, objet des beaux travaux de MM. Hapamarp
et Bore, parait être, pour les fonctions entières, un tel caractère. ‘Toute-
fois, si l'on veut que la connaissance de ce mode de croissance puisse, dans
une étude ultérieure, tenir lieu de celle de la fonetion, il est nécessaire de
le déterminer avec plus de précision qu'on ne l'a fait encore. C'est la tâche
que je me suis proposée dans ce mémoire.
MM. Hapamarp et Borer ont montré! que le module d'une fone-
iéme
tion entière dépend étroitement de celui du n zéro. Toutefois l'on avait
! Des généralisations des théorèmes de MM. HapamarD et Bore viennent d’être
tout récemment indiquées par M. E. LiNDELÓF qui a établi des propositions voisines de
celles qui sont exposées dans la première partie de ce travail. M. LiwpELÓF a égale-
ment obtenu, de son cóté, un exemple de fonction de genre zéro se trouvant la somme
de deux fonctions de genre un. (Voir page 141.)
Acta mathematica. 28. Imprimé le 8 octobre 1903, 13
98 P. Boutroux.
lieu de craindre que ce rapprochement ne ptt être poussé très loin et
quil Fallüt pour arriver a un résultat un peu précis tenir compte des ar-
guments des zéros. Je montre quil n'en est rien en général, et j'obtiens
alors une représentation asymptotique du module maximum pour |z| — 7
d'une fonction entière de genre fini. Ce résultat me permet d'étudier en
détail le cas resté obseur où le module maximum d'une fonction de genre
p se comporte approximativement comme €”, Je constate que dans ce cas
la fonction peut exceptionnellement perdre tous les caractéres qui la distin-
guent des fonctions de genre p—-1. D'ailleurs dans ce cas encore, les
propriétés fondamentales de la fonction résultent de son mode de croissance
qui apparait alors comme plus important que le genre; wwe telle fonction
de genre p peut en effet etre la somme de deux fonctions de genre p — 1.
Ce fait vient contredire l'opinion générale qui était, comme on sait, que
la somme de deux fonetions de genre p est toujours de genre p au plus.
Les conclusions de ma premiére partie me conduisent à faire ressortir
de nouveau l'importance toute speciale des fonctions à croissance régulière
signalées par M. Bore, c'est à dire des fonctions dont le module maxi-
mum M(r) satisfait à partir d'une certaine valeur de > à la double inégalité
ees dM (Un eco d
Toutefois j'ai pensé qu'il y avait intérét à ne pas se borner à ces fonctions
précisément afin d'avoir un moyen de les reconnaitre lorsqu'on les rencontre
dans une application: j'ai done cherché à ne faire que les hypothéses stricte-
ment indispensables pour rendre possible un résultat précis. Dans le méme
.,
ordre d'idées j'ai défini ainsi une classe assez étendue de fonctions dont
n
le module maximum pour H =r est égal à &", n étant le nombre des
zéros dont le module est inférieur à r, et / un nombre positif fini.
La seconde partie de ce travail est consacrée à la dérivée logarithmique
d'une fonction entiere de genre fini. On sait déjà que le module maximum
d'une fonction entiére est comparable à celui de sa dérivée. Mais j'ai pu
obtenir un résultat beaucoup plus précis. Si lon exclut du champ de la
variable certaines aires fermées entourant les póles, aires dont la somme
peut étre rendue négligeable, la dérivée logarithmique d'une fonetion de
cenre fini reste comparable, partout ailleurs, à une puissance finie de la
variable; jetudie alors, dans le champ conservé, son module maximum
pour BH r. La méthode suivie s'applique, sans modifications, à des
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 99
fonctions méromorphes d'un type plus général, et l'on obtient alors, au
sujet de ces fonctions, une théorie de tous points analogue a celle qui a
servi de base à l'étude des fonctions entieres.
Je donne une application de cette théorie en étudiant la croissance
des fonetions méromorphes récemment découvertes par M. P. PAINLEVE
au cours de ses recherches sur les équations différentielles du second ordre
à points critiques fixes. M. PAINLEVÉ a signalé trois types d'équations
dont les intégrales sont des fonctions méromorphes nouvelles. Je montre
que les intégrales des deux premiers types se definissent a l'aide de fonc-
tions entieres de genre 2 ou 3 dont le module maximum croit comme
d'ou, “a.
Dans la troisième partie, je cherche à étendre les résultats des deux
premières au cas des fonctions de genre infini, et j'étudie le troisième type
d'équations à intégrales méromorphes nouvelles signalé par M. ParNLEVÉ.
Je constate que les fonctions entières correspondantes croissent comme
4
-r
el et
er ou e
J'ai abordé dans la quatrième partie un probleme un peu différent en
cherchant à préciser les résultats obtenus par MM. Borer et LixpELOF
sur la croissance des intégrales d'une équation différentielle algébrique du
premier ordre et j'ai été conduit ainsi à définir une classe d'équations
dont les intégrales ont un mode de croissance trés analogue à celui des
fonctions entières de genre fini. J'indique, pour terminer, la conclusion
qui me semble devoir étre tiróe de ces divers résultats. La relation re-
marquable qui existe entre la croissance d'une fonction entiére et sa nature
analytique (en particulier, avec le nombre des branches de la fonction in-
verse) ne nous parait pas tenir à des circonstances fortuites ou spéciales:
elle n'est vraisemblablement que la manifestation d'une propriété plus ge-
nérale des fonctions analytiques.
100 P. Boutroux.
PREMIERE PARTIE.
Je vais me borner, pour commencer, à l'étude des fonctions entiéres
de genre fini; me réservant de montrer, dans une partie postérieure, com-
ment la méthode employée pour ces fonetions peut étre appliquée aux
fonctions de genre infini.
1. Désignons par F(z) une fonction entière de genre fini p. Soit
M(r) son module maximum pour |z| — r, 7; le module de son #" zéro,
enfin » le nombre des zéros de F(z) dont le module est inférieur à v.
MM. Hapamarp et ScHOU ! ont donné une limite supérieure du nombre
n. Ils ont montré que l'inégalité
(1) Mr) gre
supposée satisfaite pour toute valeur de r, entraine
(2) n < GV(r),
C étant une constante finie.
La réciproque du théorème de M. Hapawanp est-elle vraie? On
n'a pas encore complètement répondu à cette question, et c’est elle qui
doit nous préoceuper tout d'abord.
Bien entendu, la question n'aura un sens que si /(z) est un produit
de faeteurs primaires: si cette fonction contenait un facteur exponentiel
£"?. son ordre de grandeur pourrait être absolument indépendant du nombre
n; c'est done le produit de facteurs primaires, @(z), contenu dans F(z)
que je vais me proposer d'étudier. Les résultats que j'obtiendrai ne s'en
appliqueront pas moins au cas le plus général; soit en effet
F(2) = G(a)e",
p. 763.
HADAMARD, Journ. de Math., 1893. Sonou, Comptes rendus, t. 125,
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 101
// est inférieur ou
j'ai le droit de supposer que l'ordre de grandeur de +
égal à celui de @(z); car, si cette condition n'était pas réalisée pour #(2),
elle le serait certainement pour F(z) —a, quel que soit a (sauf pour une
valeur de « au plus).'
Considérons done le produit infini G(2). M. Borer s'est proposé de
lui trouver une limite supérieure (pour [2] = »), et il a démontré la pro-
position suivante: *
Soit o un nombre positif tel que l'on ait, quelque petit que soit 4,
à partir d'une certaine valeur de »
1
(3) y Pte,
On aura, quel que soit ¢, a partir d’une certaine valeur de 7,
y yrs
(4) IG) «e
M. Borer a appelé ordre de G(z) le plus petit nombre 9 satisfaisant
" - am war ER
à la condition (3). Ce nombre est tel que la série V^. soit divergente
fo: Js
ak x .
et la serie D. "IT convergente, quel que soit a.
n
>. Voulant donner du module maximum pour |z|=7, M(r), une
représentation asymptotique aussi exacte que possible, je dois chercher avant
tout si l'on ne peut pas obtenir une limite supérieure de M(r) plus précise
que la limite (4).
Quelque naturelle que semble cette recherche, on a pu se demander
sil y avait lieu de l'entreprendre. Nous ne savons pas en effet, à priori,
jusqu'où va la relation observée entre la croissance de Mír) et le nombre
n défini plus haut: or sil fallait pour déterminer M(r) avec quelque pré-
cision faire intervenir des éléments nouveaux comme, par exemple, les
arguments des zéros, les difficultés du problème seraient singulièrement
accrues,
! Cela résulte de la généralisation du théorème classique de M. Picarp sur les
fonctions entières. Voir Boren, Sur les zéros des fonctions entières. (Acta Math. 1896.)
* Acta Math. 1896 (Art. cité); Leçons sur les fonctions entières, p. O1.
102 P. Boutroux.
Il semble précisément à premiere vue que cette circonstance défa-
vorable se présente. Considérons, en effet, avec M. Borer,’ les deux
fonctions sin zz et WC Leurs zéros ont mémes modules 1,2,3,...
et cependant leurs modules maxima sont respectivement proportionnels a
e et ar”. M. Borer fut tenté de conclure quil faut ou tenir compte
des arguments des zéros ou se contenter de la limite (4).
Fort heureusement il se trouve que les deux fonctions signalées par
M. Borer rentrent dans un cas d'exception: nous constaterons qu'on a
en général le droit de faire abstraction des arguments des zéros. C'est là
ce qui permet de préciser notablement les résultats de MM. HADAMARD
et Boren.
Une représentation exacte de M(r) aura surtout son intérêt lorsque
l'on étudièra la classe, fondamentale en pratique, des fonctions à croissance
régulière définies par M. Boren (voir Introduction) Mais il convient
peut-être de s'attacher, pour commencer, à des types de fonctions plus
généraux, il est utile, en effet, de connaitre des propositions applicables à
des fonctions dont on ne sait pas encore si elles sont à croissance régulière.
On aura précisément ainsi un moyen de démontrer, s'il y a lieu, que
leur croissance est bien régulière. :
3. Pour établir les résultats que j'ai en vue, j'aurai à évaluer certaines
intégrales définies où figure la fonction 7; ou une fonction ¢(7) comparable
à r,. Cette évaluation ne sera évidemment possible que si l'on fait certaines
hypothéses sur la croissance de cette fonction d(7); mais des hypothèses
trés générales suffiront. C’est ainsi qu'il n'est pas nécessaire de supposer
que &(7) est à croissance régulière (la definition de M. Borer étant étendue
aux fonctions croissantes qui restent comparables à une puissance finie de
la variable). En d'autres termes, nos calculs pourront porter sur des fonc-
tions d(x) qui ne satisfont pas nécessairement, à partir d'une certaine valeur
de x, à une double inégalité de la forme
ar < (c) <x'*° (s arbitrairement petit).
L'analyse n'a pas eru devoir s'occuper jusqu'ici de semblables fonctions: il
Lecons sur les fonctions entières. p. 99.
Sur quelques propriétés des fonctions entières, 103
est cependant possible d'effectuer sur elles des caleuls preeis, moyennant
des hypothèses assez lares sur leur mode de croissance.
Evalution de certaines intégrales définies.
4. G@(z) étant un produit de facteurs primaires de genre p, je suppose
ses zéros rangés par ordre de modules croissants suivant la règle de Werer-
STRASS, en sorte que l'on a
ri < Vis
si l'on désigne par 7; le module du zéro de rang ?.
Les r, étant connus, il est toujours possible de former une fonction
de x holomorphe, réelle et positive qui, pour æ entier et égal à /, prenne
la valeur r;. J'appelle œ(x) une telle fonction.
On peut définir la fonction e(xr) au moyen d'une formule d'interpola-
tion quelconque; mais je supposerai, ce qui est évidemment légitime, qu'elle
ne cesse pas de croître lorsque x varie de o à + co.
Cela posé, désignant par m,n deux entiers positifs finis (m < ») et
par A un nombre positif, proposons-nous de déterminer une limite su-
périeure d'une somme de la forme
i=n oo
7A En
P LOIRE 2» Leone
Nous augmentons évidemment ces sommes en les remplaçant par les
intégrales définies
f (o (2) ^ar, ff [o(z)] "dx.
Tout revient done à trouver des limites supérieures de ces intégrales. Pour
y parvenir, je substituerai à w(a#) une fonction d(x) qui, pour x réel et
positif, soit elle-méme réelle, positive et inférieure à w(x), cette fonction
d(x) étant choisie de telle manière que l'on sache caleuler les intégrales
7
> =f [(r)] “de, EL — [4 (x)] à dr
dont la seconde est supposée avoir une limite.
Il nous faut chercher quelles hypothèses il convient de faire a priori
sur d(x) pour obtenir aisément une limite de ces intégrales définies
104 : P. Boutroux.
La solution la plus simple consisterait à prendre pour d(x) une puis-
sance de x. J'ai rappelé qu'il existe un nombre p (ordre de la fonction
entière) tel que l'on ait à partir d'une certaine valeur de à
1
(3) n> i
quelque petit que soit a. On peut done faire
1
d(x) = a^**.
Ce choix nous ramènerait à la méthode qu'a suivie M. Boren, dans les
travaux cités plus haut, pour évaluer le module maximum du produit @(2).
Mais on sait qu'il peut exister un écart considérable entre la fonction
1
w(x) et la puissance de x, z^*^. C'est la une conséquence de l'existence
des fonctions à croissance irréguliére.! — D'autre part, dans le cas méme où
l'ordre d'infinité de 7, est déterminé (d’après la définition de M. Boret),
il est souvent possible d'assigner au module 7; une limite inférieure plus
précise que la limite (3). On aura par exemple
1 1
Y. > qete (log i)*
r étant un nombre fim. Il est à prévoir que l'on obtiendra des limites
1
plus exactes si l'on peut, dans les divers calculs effectués, remplacer z^**
par une fonction (x) plus voisine de œ(x).
Laissons done de côté, pour un moment, la fonction w(x) et faisons
à priori certaines hypothèses sur d(x), en montrant que ces hypothèses
rendront possible la limitation des intégrales définies J et J,.
5. Faisant d'abord varier x entre m et n, supposons qu'il existe deux
hs ; : eh [U : :
nombres positifs p et v tels que les fonctions — et ^ soient croissantes ou
e x
du moins ne décroissent pas lorsque m<a<n. Nous distinguerons alors
divers cas suivant la valeur qu'a A dans l'intégrale J.
Voir dans lI Introduction, la définition de M. Borer. M. Borer a montré qu'il
est facile de former des fonctions à croissance irréguliére.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 105
Premier cas. Jj, est inférieur à
Exprimons que les dérivées logarithmiques des deux fonctions => et
m
gt i^
; sont positives: nous obtenons
æ
dur?
Av dx in
— <——— < ar
r= ÿ —2
et nous en déduisons la double inégalité
; bh ;
(1—3)47 € 9? + eB «(1 — xg?
où ! — An et 1 -—— Av sont des nombres positifs.
D'oü, en intégrant:
I yan . yA 1 hin feel La
ee du ee
Par suite, on peut poser
(5) fe dx = en[d(n)]”
m
es : : I
et ¢ conserve une valeur finie lorsque » augmente indéfiniment | ¢ Se i!
— /u,
= er e
6. Deuxième cas. » est superieur à
En procédant exactement comme dans le premier cas, nous aboutissons
cette fois à l'inégalité
h— d —À
(Av iO <— -— (mur)
= de
où l'on a Y¥—1>0.
Si l'on intégre, on pourra poser
: fe de = em[d (m)]^
m
et c restera fini lorsque » augmentera indéfiniment.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 9 octobre 1908. 14
1606 P. Bontroux.
B
Si done les conditions impossées à (x) ne cessent pas d'être vérifiés
pour X > m, on aura
x
Sy dx = c,m[d(m)]”
m
^, étant une constante positive finie, et par suite (si l'on remplace » par
n, en se reportant aux notations du $ 4)
Lt PY
Ter CAC s
7. Troisième cas. Supposons maintenant que l'on ne puisse trouver
I ' 3 TET GAS
jo ni un nombre » supérieur à i satisfaisant
dans l'intervalle mn aux conditions énoncées ce qu'on peut exprimer
ni un nombre p inférieur à
erossierement en disant que, dans cet intervalle, Q^ croit approximative-
I v ANT .
ment eomme -. Nous sommes alors conduits à imposer au choix de d (c)
«€
une condition supplémentaire. Je supposerai qu'il existe deux nombres pi,
et » tels que les fonetions
æ (log a)! dq?
inet e
d^ æ (log PAZ
soient croissantes ou du moins ne décroissent pas dans l'intervalle mn.
La dérivée logarithmique de & ^ satisfera, pour m < x — » aux inégalités
de}
1 Vi da I I
a Ga " log a = d ^ Lm "n x log x i
lei encore, suivant les valeurs de y, et », diverses circonstances pour-
ront se présenter.
Soit d'abord y, <1. On aura
I^
d
t mn. )d Le 3; 9 ^q log r).
On pourra, par suite, poser, lorsque » devient très grand
n
(7) [ed ‘de = en log n[d(n)] * (e nombre fini).
*
m
log r représente iei la valeur arithmétique du logarithme.
Sur quelques propriétés des fonctions entières, 101
Soit maintenant y, > 1. On aura
‘ : I
(, — 14^ € — 1 (9 *zloge)
ce qui permettra de poser
8 | ^d = cm loe mIdc(m)] *,
(8) fs gm
m
où c reste fini lorsque m augmente indéfiniment.
Soit enfin p, — 1, », « 1. On peut exprimer ce fait en disant que
dans l'intervalle mr (ou du moins dans un intervalle intérieur à mn), la
fonction d ^ se comporte à la facon de Je ne puis rien dire alors
I
x log à
sur la valeur des intégrales précédentes, à moins de faire une hypothèse
plus précise sur la croissance de la fonction d(xr).
Posant, d'une manière générale,
log, x — log log x, lg,z-loglog,z, ...,
et désignant par y, un nombre quelconque inférieur à 1, par y, un nombre
quelconque supérieur à 1, je supposerai que l'un des deux rapports
æ log æ . . . (logx æ)* dh
d^ : wloga... (loge x)”
soit croissant (ou du moins ne décroisse pas), lorsque / dépasse un certain
entier fini.
Dans le premier cas, l'intégrale
| d' ‘da
«
m
est divergente et a une valeur de la forme
(9) I — cd *nlogn.log,n...log,n (c positif fini).
Dans le second cas, la méme intégrale est convergente, et nous ob-
tenons pour elle une valeur de la forme
ed ^mlogm...log,m (c positif fini).
108 P. Boutroux.
Si lon fait croître » jusqu'à + oo et que l'on change m et », en
se reportant aux notations du § 4, on pourra éerire l'égalité
(10) I, = 064 ^nlogn...(log, n)
où c, conserve, lorsque » augmente, une valeur positive finie.
8. On constate ainsi que les hypothèses faites sur (x) permettent
bien d'assigner, pour les grandes valeurs de x, une limite supérieure aux
integrales' I et 1.
Il est à remarquer d'ailleurs que les raisonnements précédents n'exigent
nullement que A, 4 et » soient positifs. Soit, d'une manière générale, une
fonction réelle et positive f(x), satisfaisant aux conditions suivantes: il
existe deux nombres positifs ou négatifs, y et v, tels que les fonctions
x F(æ)
f(z) 9 =
exceptionnel où y < — 1 <», nous pourrons affirmer que l'intégrale in-
définie de f(x) devient infinie comme xf(x).
L'hypothèse faite sur f(x) revient, d'ailleurs, à supposer que la dé-
c ; Ju ac a P P
rivée de f(x) devient infinie comme a) Nous avons done démontré
x
que de cette propriété de la dérivée, on a le droit de conclure à celle de
l'intégrale. Nous constatons ainsi que la croissance de f(x) est tout-a-fait
analogue à celle d'une puissance de x.
solent croissantes. Si nous écartons, pour simplifier, le cas
! Dans une note insérée aux Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences
le 4 février I9OI, j'ai obtenu les mêmes résultats en suivant une voie un peu différente,
mais en imposant à (=) des conditions équivalentes à celles que j'ai énoncées ici. Ces
conditions étaient les suivantes:
Si p + p, l'on pose
1
et l'on suppose ¢,(a@) tel que la fonction
€ log x — log ¢,
; Fa . )
soit positive et croissante lorsque ep < I e ,(æ) sera par exemple de la forme
(log Jr (log?) . ...
| 1
Si p était égal à p, on isolerait dans la fonction 4^ le produit z^ (log x)".
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 109
9. Revenons maintenant au produit de facteurs primaires ((z) dont
nous supposons les zéros connus, et voyons comment nous pourrons former
la fonction d(z).
Le cas ot l'on obtiendra les résultats les plus précis est évidemment
celui où la fonction w(x) définie au § 4 satisfait elle-même aux conditions
imposées à (x). On peut alors substituer cw à d dans tous les calculs
précédents.
Si lon introduit dans l'énoneé le genre p et lordre p du produit
G(z), cette classe sera définie par les caractères suivants (on suppose p + 0):
o
I Lorsque l'ordre o n'est pas entier, il existe un nombre p inférieur
"E. zi
a - et un nombre v, tels que les rapports — — ,
Pp aea)
d'une certaine valeur de x.
w(x) . : : .
soient croissants à partir
c"
On a alors l'égalité (5) pour 4<p et l'égalité (6) pour A> p.
Parmi les classes de fonctions pour lesquelles la condition énoncée est
réalisée, il en est une qui doit surtout attirer notre attention: elle comprend
les fonetions dont les zéros sont répartis de telle sorte que les deux rapports
solent croissants à partir d'une certaine valeur de 7, quel que soit le nombre
Cette classe de fonctions rentre dans celle des fonctions à croissance
régulière qu'a définie M. Borex; elle comprend toutes les fonctions qui ont
"
été étudiées jusqu'ici par l'analyse.
[07
Les caleuls précédents nous permettront d'ailleurs de subdiviser cette
classe en faisant sur la croissance de +, des hypothèses de plus en plus
i
précises.
Mais nous n'épuiserons pas ainsi la famille de fonctions que définissent
les conditions imposées plus haut à w(x). Cette famille comprend des
fonctions qui ne sont pas à croissance régulière, au sens adopté par M. Borel,
1
mais pour lesquelles le module r, pourra osciller, lorsque i croit, entre 1°
1
==
et i? (e.a nombres positifs arbitrairement petits). Nous obtiendrons né-
anmoins sur ces fonctions des résultats aussi précis que sur les précédentes.
110 P. Boutroux.
10. 2°. Lorsque p =p, la classe de fonctions considérée est définie
par ce fait qu'outre le nombre v défini plus haut, il existe un nombre a in-
1
a
Ferieur à = tel que le rapport * " soit croissant à partir d'une certaine
valeur de a. (La fonction w se UM alors satisfaire aux conditions du
S 7 avec a, <1, et lon a, pour À — p, l'égalité (7); l'égalité (5) reste
d'ailleurs vérifiée pour À <p, l'égalité (6) pour À > p).
S'il weriste pas de tel nombre à il existe du moins un entier fini. k et
un nombre a inférieur à : lel que le rapport
l 1
z^ (log a)" . . . (logs +)”
[0]
soit croissant à partir. d'une. enrtaine valeur der. (On aura alors, pour
À — p, l'inégalité (9)).
So
3°. Lorsque p = p + 1, nous supposerons qu / existe (outre le nombre
p défini au S 9) wn entier fini k et un nombre à supérieur à ey tels que
le rapport
[0]
Juss mem IN ^ La)
„pr! (log TIL (log, a)?
soit croissant a partir: d'une. certaine valeur dev, On aura alors, pour
À= p +1, l'inégalité (10).
11. Considérons maintenant le cas général où @(.) n'appartient pas
a la classe définie par les hypothèses du paragraphe précédent, mais est
une fonction croissante satisfaisant simplement aux conditions du § 4. La
fonction g(a), inférieure ou égale a w(x) que l'on doit faire figurer dans
les intégrales / et /, afin de les rendre calculables par la méthode exposée
ci-dessus, ne peut plus alors coincider avee w(x). Cherehons dans quelle
mesure elle pourra s'en rapprocher.
Je vais considérer, tout d'abord, le cas où l'ordre o n'est pas entier,
et montrer qu'on pourra faire coincider d et w pour des valeurs de x in-
définiment croissantes.
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 111
: : I I ; M Lo.
Soit y un nombre compris entre et -. Il résulte de la definition
P Hn
A x . . ge : And =
même de l'ordre que la fonction m prend des valeurs indéfiniment crois-
[OR
santes. On peut, en effet, poser
; I
u = (1 + €) avec F «p, & > O.
Si done il existait un nombre ¢ tel que lon ait, à partir d'une certaine
valeur de x
as 2f. . HT E
la série V — serait convergente, ce qui na pas lieu.
— 3
Hn
Ti
Considérons alors la courbe
On peut tracer une courbe repré-
eaa)
sentant une fonction toujours croissante, ou du moins, ne décroissant jamais,
. : ve Sn
qui reste toujours au-dessus de la courbe ma la touche en une infinité
Y (ea
. ys . RUE toe er
de points s'éloignant indéfiniment de l'origine. Nous prendrons pour — )
(AU
la plus petite fonction représentée par une telle courbe, et d(x), qui co-
incidera avec w(x) pour des valeurs de x indéfiniment éloignées, satisfera
bien, entre m et », aux conditions énoncées au $ 5 (premier cas).
D'autre part, lorsque « varie de » à + co, on sait que, si m est
ea) a
po et, par suite,
mete gers
assez grand, le rapport dévient supérieur à tout
nombre donné, quelque petit que soit e.
Il en résulte que (pour une infinité de valeurs de x figurant parmi les
précédentes), ce rapport prend une série de valeurs plus petites que toutes les
du )
~~ toujours croissante qui coincidera
were
suivantes. Formons une fonction
@ n « > ‘ "Tn un P
avec pour ces valeurs de xz. La fonction d ainsi définie satisfera bien
gts
aux conditions voulues pour T > ».
112 P. Boutroux.
12. Lorsque l'ordre o est entier il faut distinguer divers cas.
Soit » = p, et supposons qu'il existe un entier k et un nombre à in-
eia "m
Jérieur à tel que le rapport
P
1
rad co Uke fer te)
[0]
admette des valeurs indéfiniment croissantes. On pourra alors former, dans
l'intervalle mn, une fonction croissante (ou, du moins, ne décroissant jamais)
qui ne soit jamais inférieure au rapport considéré et lui soit égale pour
des valeurs de x s'éloignant indéfiniment. Cela permettra de faire coincider
w et d pour des valeurs de æ indéfiniment croissantes.
Lorsqu'il n'existe pas d'entier / satisfaisant à la condition indiquée,
on remarquera qu'on pourra toujours satisfaire à cette condition quel que
soit A, pourvu que l'on remplace © par w(log,x) *, où ¢ est un nombre
positif arbitrairement petit. Si non il faudrait admettre qu'on peut trouver
un nombre positif ¢ tel que le rapport
1 1
y? (log a we
v? .. (log, a)
e)
reste, A partir d'une certaine valeur de x, inférieur à un nombre fixe, ce
E . ait N^ I : 3
qui rendrait convergente la série » —, laquelle diverge par hypothése.
— x
Ti
On peut done affirmer que l'on pourra, en fout cas, choisir la fonction &
- ow s « Sr Ys Ber -
de facon. que le rapport — soit (entre m et n) inferieur à (log, c) pour des
7
valeurs de x indéfiniment croissantes.
On se trouve d'ailleurs placé, pour r2», dans les mêmes conditions
que lorsque o n'était pas entier.
Supposons enfin que p soi égal à p+ 1.
Sil existe un entier / et un nombre s supérieur à ry tel que le
P
rapport
e
l
pP*!,, (logie)
reste, à partir d'une certaine valeur de x, supérieur à tout nombre donné,
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 113
on pourra faire coincider les fonctions w et d pour des valeurs de x in-
définiment croissantes.
Mais s'il n'existe pas de tel entier 4, les calculs précédents ne nous
, , 2 e y
fourniront aucun renseignement précis sur la valeur du rapport |. J'étu-
e
dierai par une méthode directe, au § 19, les fonctions entières pour les-
quelles cette circonstance se présente.
Le module maximum d'une fonction entière d'ordre non entier.
13. Pour déterminer le mode de croissance d'une fonction entière,
je m'efforcerai de suivre la voie la plus naturelle; partant du développe-
ment d'une telle fonction en produit infini, je considérerai ce produit sur
une circonférence ayant pour centre l'origine, et je chercherai une limite
supérieure et une limite inférieure de son module en un point queleonque
de la circonférence. Je constaterai ensuite que dans des cas étendus ces
deux limites coincident: toutes les propriétés du module maximum de la
fonction se trouveront alors résumées par une seule formule.
Soit F(z) une fonction entière de genre fini, @(z) le produit de
facteurs primaires contenu dans F(z), en sorte que l'on a
F(z = t (z)e7.
A(s)
F(z) étant de genre fim, le facteur exponentiel e"? s'étudie trés simple-
ment. C’est done à l'étude du produit de facteurs primaires, 67(2) que je
dois m'attacher: cette étude suffit méme au point de vue théorique en
vertu du théorème de M. Pıcarn dont je rappelais au S 1 la généralisation.
14. Soit G(z) de genre p et de la forme
Rien ne serait changé aux raisonnements qui vont suivre si ce produit
était multiplié par une puissance finie de z, c'est-à-dire si l'origine était
un zéro de @(z2).
Formons une fonction (x) satisfaisant aux conditions énoncées au
4. Nous aurons vr; > d (i) (r; = |a;|.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 10 octobre 1903, 15
Sr
114 P. Boutronx.
Suivant alors une méthode analogue à celle qu'a employée M. Boren,
je définirai l'entier » par l'égalité
r — dn).
où 7 est une constante positive finie. Je supposerai d'ailleurs r assez
grand pour que l'on ait n> m.
On sait qu'on peut trouver’ un nombre positif 6 tel que le i*"*
| | N HE —
facteur de G(z) soit, en module inférieur, à e "^^ . Le produit des facteurs
à » est done, en module, inférieur à
de rang supérieur i
drr+l Sn!
E > pl .
n+1 fi
D'autre part
n
1
n 2 T. N
| | (1 ee
\ ai
1
On a, par suite
n 1 p ü I = I
— r
logg|G(z)| <2r I +... +- Y tot) us
ead US PLU
Si nous supposons m choisi de telle sorte que d(m) soit plus grand
que 1 (ce qui est légitime, puisque d(r) est une fonction croissante), on
aura à fortiori
n n
* da
| Gn * + "oda pP ("de pp! :
og | H(z)|\<m + 2) | Jur hae d | m » pri
m
(11)
4 étant, de méme que ^, une constante positive finie.
15.
d'abord que l'ordre p du produit G(z) n'est pas entier.
Nous plaçant alors, par ie choix de g(a), dans le premier cas du § 5,
Pour évaluer le second membre de l'inégalité (11), je supposerai
nous pouvons remplacer les intégrales définies qui figurent dans l'iné-
galité (11) par les valeurs obtenues dans ce paragraphe. Faisons, pour
Asp
' Voir en particulier Bore, Lec. sur les fone. ent., p. SI.
I i 5
Sur quelques propriétés des fonctions entieres. 115
il de }
V - CT, H.
v.
n
Le nombre ¢, sera fini! en vertu de l'égalité (5) du $ 5 et nous savons
en ealeuler une limite supérieure.
De méme
Cox étant un nombre fini.
Liinégalité (11) devient done
log | 6(2)| <a" + 9," (9, nombre fini)
ou
(12) GAL,"
h étant un nombre fini; car nous supposons ici 0 > p, en sorte que le
n 5 SERAIS À
rapport — devient infiniment grand en méme temps que y.
La démonstration précédente serait en défaut si @(z) était de genre
zéro. On poserait dans ce eas z= wu’, q étant un entier assez grand pour
que la fonction de w, G(w") soit de genre un. La proposition du § 15
s'applique à G(w*), ce qui montre que l'on a bien encore l'inégalité (12).
16. De l'inégalité (12), on peut tirer diverses conséquences. Suppo-
sons qu'il existe des nombres a, , 0,, ..., 0 telle que Von ait à partir d'une
certaine valeur de i
r? > i(log i)” ... (log, 2)".
On prendra
1 a [7
(a) = x? (logz)^ . . . (log, x)?
D'où
r^ = nn (log n)^ . . . (log, n)^.
! Lorsque je dirai, dans le cours de ce travail, qu'un nombre est fini, j’entendrai
par là qu'il reste inférieur à un nombre fixe lorsque r on x augmente indéfiniment
116 P. Boutroux.
Il en résulte évidemment
n « nr’ (logr) ^...(log,r) ^ (m, constante positive finie)
et Ton obtient pour |G(z)|, à partir d'une certaine valeur de r, la limite
supérieure
Keen EE dl e er
h restant, lorsque 7 augmente indéfiniment, inférieur à un nombre fixe.
Ainsi se trouve précisé le théorème de M. Boren que j'ai rappelé au § 1.
17. Pour voir quelle précision il convient d'attendre de l'inégalité
(12) dans le cas le plus général où l'ordre o est supposé non entier, je
dois compléter le résultat précédent en donnant une limite inférieure du
module maximum M(r) pour [2| =r.
On pourrait déduire cette limite des théorèmes de MM. Hapamann
et Scuov. On l'obtiendra plus rapidement de la facon suivante.
Désignons par # le nombre des zéros de G(z) dont le module est
, et posons
Nie
inférieur à xr, 7 étant un nombre inférieur à
G(2) = G,(2) II ( -- a
1 1
: ; ; , 2 — dj
Lorsque i « w', la partie réelle de log ——
ay
a une valeur finie su-
"E . I 27 ,
périeure à log ——^. D'où
7
IL -4)>*,
h étant un nombre positif fini.
Considérons, d'autre part, l'intégrale
en désignant par C le contour du cerele de rayon > ayant son centre à
l'origine, Cette intégrale est égale à l'unité. Il est done certain que le
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 117
module |6,(2)| est supérieur à w» sur une infinité d'ares de la circonférence
C. On a sur ces ares '
(13) [G(2)1 > £e.
WET : ] à
Dans cette inégalité on peut donner à / la valeur log (- 1). Faisons
7
en particulier 7 s LORI pourra alors remplacer l'inégalité (13) par
e+I 3
l'inégalité
| G(z)| > e.
Si, au lieu de @(z), on considérait une fonction entiere quelconque
F(z), il faudrait substituer à l'inégalité (13) l'inégalité
| F(2)| > | F(9)| e".
Remarquons enfin que le résultat subsiste si l'on remplace la circon-
férence C par un contour quelconque de longueur /, (/ fini), dont tous
les points sont à une distance de l'origine égale à kr (k, fini).
18. Il nous faut maintenant, pour compléter les résultats des para-
graphes précédents, comparer les limites (12) et (13). Nous avons vu au
& 11 que, si l'ordre o n'est pas entier, on peut toujours choisir la fonction
d(x) de facon que les fonctions « et ¢ coincident pour une infinité de
valeurs de z indéfiniment croissantes. Done, pour une infinité de valeurs
de r, le nombre » est déterminé par l'égalité r — zr,, x étant fini et, si
n?
j PN S SM - a ,
l'on veut, inférieur à DE On a pour ces valeurs # = n.
Mais il pourra arriver que pour certaines fonctions et pour certaines
valeurs de + le nombre » soit notablement inférieur à ». On voit, en
se reportant à la définition de », qu'il en sera ainsi si la valeur de din)
est elle-même trés petite par rapport au module 7,, c'est-à-dire si la fone-
tion e(r) prenant la valeur 7; pour rz — i ne satisfait pas aux con-
ditions imposées à g(x). Il y aurait done lieu de rendre plus exactes
encore les deux limites assignées à M(r) afin d'amener, s'il est possible,
' La démonstration sera valable encore si le produit G(z) est de genre infini,
Mais, dans ce cas il y aura intérét à compléter la proposition en donnant à 7 une
valeur voisine de l'unité. J’indiquerai dans la troisième partie cette généralisation qui
n'a point ici d'utilité.
118 P. Boutroux.
ces limites à coincider. ‘Toutefois de telles recherches ne semblent offrir
au point de vue pratique que peu d'intérét: on n'a jamais rencontré dans
les applications et on ne rencontrera vraisemblablement d'iei à longtemps
que des fonctions pour lesquelles les nombres » et » sont égaux. Il nous
suffira done d'avoir obtenu sur ces fonctions un résultat tout-a-fait précis.
Pour savoir dans quel cas on aura le droit d'identifier les nombres »
et a, il suffit d'ailleurs de se reporter au § 9, en considérant à nouveau
la fonction ez) définie au § 4. S'il existe un nombre positif à tel que
L v . . 3 . , 5
les. rapports — 5» --— sont croissants à partir d'une certaine. valeur de
e
r nous pouvons dans tous nos calculs remplacer d par ©. En particulier,
le nombre » sera défini par l'égalité
, e , S . I
7 étant un nombre fini queleonque que l'on peut prendre inférieur à 3:
On parviendra ainsi, lorsque w(x), c'est à dire »,, satisfait à la con-
dition qui vient d'être énoncée, à la proposition suivante:
Si lon désigne par le nombre des zéros dont le module est inférieur
> I : . , A
a xr (z < =)? on pourra, à partir d'une certaine valeur de r, poser
(14) Mir) = EL
)
h étant un nombre positif fini. Cette inégalité restera vraie pour toute
valeur der.
L'égalité (14) exprime en résumé toutes les propriétés du module Mi»).
19. Parmi les fonctions satisfaisant aux conditions énoncées, nous
signalerons en partieulier celles pour lesquelles il existe deux rapports erois-
sants de la forme
jo ce ate
i? (log;? ... (loge?) ? ri
Y, 1 AE
Ces fonctions sont à croissance régulière.
Sur quelques propriétés des fonctions entières, 119
Si l'on considère les puissances de la variable comme les types les
plus réguliers de croissance, on pourra dire que la croissance de la fonction
G(z) est parfaitement régulière lorsque les nombres 4, , 4,,... sont tous
nuls. On énoncera alors le théorème suivant:
Si Pon a à partir d'une certaine valeur de i
1
r; — hi? (h positif fini)
on aura (pour toute valeur de r) à partir d'une certaine valeur de r
' p DEN S
M(r) =e" (M positif fini).
Helativement aux fonetions à croissance réguliére, les inégalités (12) et (13)
permettront d’énoncer, d'une manière générale, la proposition suivante:
Si l'on a à partir d'une certaine valeur de i
1 L1 M—E 1 0 HE
i^ (log i)? ...(log,i) ^ <r,<i’ (log i)^ ... (log, i) ?
k étant wn entier, et € un nombre arbitrairement petit, l'on aura, à partir
d'une certaine valeur de r
pr? (log ry)... (Voge r)?* © < M (vr) = er? (log r^... (logs r)?* AS ;
20. Je vais maintenant compléter les résultats précédents en dé-
montrant la réciproque du théoréme énoncé au § 19.
Cette réciproque a été, en partie, établie par M. Borer qui a montré
que lorsque G(z) est un produit de facteurs primaires, la double inégalite
p
et = Mir) «et
entraine, quel que soit e, à partir d'une certaine valeur de ;
1 1
AS. vet
Le <P ae
On complète aisément cette proposition en s'appuyant sur l'inégalité (12).
Désignant par n la fonction inverse d'une certaine fonction dh),
nous allons montrer que l'égalité
(15) M(r)— &" (h positif fini)
120 P. Boutroux.
supposée satisfaite à partir d'une certaine valeur de r entraîne à partir d'une
certaine valeur de i
y, — h'h(i) (À' positif fini).
Nous savons déjà que cette égalité est satisfaite pour des valeurs de
i indéfiniment eroissantes, et de plus que l'on a à partir d'une certaine
valeur de 4
r; (i).
Il s'agit de remplacer cette inégalité par une égalité.
Supposons d'abord que la fonction d(x) soit de la forme
Si la proposition énoncée était inexacte, il faudrait admettre que,
quelque grand que soit le nombre KA, (comparable par exemple à log, 7)
on a, pour des valeurs #, de À indéfiniment croissantes
ru c AD n
Le théorème du § 14 va nous conduire alors à une contradiction.
Faisons-y, en effet
f= Ko(m)-(n).
D'après la définition de d, on aura lorsque ?», sera assez grand l'inégalité
n, « (1 4- a) Kin,
où « est un nombre positif qui deviendra, avee — , inférieur à tout nombre
)
ni
donné.
Déterminons d'autre part le nombre », par la condition
d(n,) = Ko (n)
d'où résulte l'inégalité
2
n, « (1 J- a,).K^n,
wen I
(a, devenant, comme a, arbitrairement petit avee - ).
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres 121
Nous allons nous reporter a l'inégalité fondamentale du & 14, où
nous remplacerons » par »,. Elle devient
ny ni
A P I oe I
log |@(z)| = 27), Ti Li ad T. E là Urt 23 „pr! :
1 1 i
mb:
Lorsque i < »,, on a r; > h'(i).
Done, si À est un nombre inférieur a p, on a (S 5)
/
ni
: I ?
"m » q4« 6"
Saget
n = oye Eye
"m 1 ji — c Kin, (e, constante positive finie).
LPM) ,
D'autre part
Ng
I yrt!
DYl ae Du Cp41 Wp-r—ı :
7 bz c « (1 + a) K?*' K n
2 p+i
nl Ti T4
pour i>n,, nous nous servons de nouveau de l'inégalité r; > Jd (i), et
nous avons
I N
D Ed api 2 : p+1 Rp
: > pH 6n [gn a pros ue Roc oae
n;p1 T i PU
Posons alors
j| E Mee:
f étant un nombre positif inférieur à 1. On aura
Kin, « KO) (1 + ayn, Kr Resa, < KE: +E a)
et par suite, si l'on se reporte à l'inégalité qui limite log|@(z)|
M(r) « eK *n,
v étant un nombre positif fini.
Puisque K est arbitrairement grand, cette derniere inégalité est en
contradiction avec l'inégalité (15). L'hypothèse faite sur ;, est done in-
admissible, ce qu'il fallait démontrer.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 12 octobre 1905. 16
122 P. Boutroux.
On parviendrait au méme résultat en faisant sur la fonction (x)
des hypothèses plus générales. — Ainsi, l'on démontre! sans peine que le
théorème précédent subsiste intégralement si l'on suppose simplement que
la fonction &(x) satisfait aur conditions du § 9, et que l'on a de plus
ral I
— — TE =, (» I —-
v ft P I us H ;
p et » étant les deux nombres (compris entre le genre p et l'ordre p) que
nous avons définis au § 9, et A wn nombre positif inférieur à 1.
21. J'ai supposé dans ce qui précède que Æ était un nombre pouvant
dépasser tout nombre donné. Mais rien n'empeche, dans le raisonnement
précédent, de faire de A une fonction croissante de r.
Soit par exemple
Kilos);
c étant un nombre arbitrairement petit. La démonstration précédente
établit que s'il existait des valeurs n, de À indéfiniment croissantes, telles
que l'on ait
r, = (log,r) (n)
on aurait, pour des valeurs de 7 indéfiniment croissantes
M r ) = cogn r)—*¢n à
D'où le théorème suivant:
Si, quelque petit que soit le nombre &, la double incqalité
e >> M(r) > pom n) Sin
' Si A est un nombre positif plus grand que I, on a
(Aw)
A".
f(x) >
ics
1
L'égalité K,d(n,) = d(n) entraîne done n, < Ay ln, et légalité e(n,) = K¢(n,)
1
suppose 7, < k* ni.
Tous les calculs faits plus haut subsistent alors, o étant remplacé par l'un des
I
deux nombres
"n v
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 123
ne cesse pas d'être vérifiée, à partir d'une certaine valeur de r, M en sera
de méme, de la double inégalité
h'p(i) < r, < (log, r)* (1)
à partir d'une certaine valeur de v, (quelque petit que soit ¢).
Ce théorème, joint à celui du § 17, nous permet en particulier
d'énoncer la réciproque de la proposition démontrée à la fin du § 19 re-
lativement aux fonctions à croissance régulière.
Un cas particulièrement intéressant où le théorème trouve à s'appliquer
sous sa première forme est celui où la fonction étudiée est à croissance
parfaitement régulière, suivant le sens que jai donné à cette expression
au & r9. On a alors le théorème suivant:
La condition nécessaire et suffisante pour que le module maximum M(x)
soit, quel que soit r, égal. à l'exponentielle &"" on h est un nombre fini, est
r^
que le rapport = soit fini, quel que soit n.
Nous constatons ainsi que, au point de vue qui nous occupe, les
inégalités (12) et (13) donnent des renseignements suffisamment précis sur
la croissance de M(r), lorsque l'ordre p du produit G(z) n'est pas entier.
Elles conduisent à cette conclusion ? que l'ordre de grandeur de M(r) est
déterminé par le nombre des zéros contenus dans le cercle de rayon +
ayant pour centre l'origine. Ainsi se poursuit l’analogie déja observée
entre une fonction entiere et un polynóme.
Je complèterai les résultats précédents dans la seconde partie de ce
travail en étudiant les dérivées successives de G(z). Mais je dois aupara-
vant m'occuper du cas particulier que j'ai laissé de côté: celui où l'ordre
p de G(z) est entier. Je serai ainsi amené à aborder le probléme de la
détermination du genre d'une fonction entiére. Je me proposerai, en par-
tieulier, de déterminer dans les cas restés donteux, le genre de la somme
de deux fonetions entiéres.
La présence dans la fonction entière étudiée d'un facteur exponentiel e^? ne
modifierait rien aux résultats obtenus, puisque o est supposé non entier.
124 P. Boutroux.
Les fonctions d'ordre entier et la determination du genre.
22. Supposons que l'ordre a du produit de facteurs primaires ((2)
soit entier et égal à p. La proposition du $ 17 subsistera sans modifica-
tions et l'on aura encore
M(r) > e" (h fini).
Au contraire, si nous cherchons à assigner à M(r) une limite supérieure,
nous rencontrerons des difficultés qui ne se présentaient pas lorsque p
n'était pas entier.
Considérons de: nouveau l'inégalité (11) obtenue au § r4. Nous
voyons que si o — p, toutes les intégrales du second membre de cette
inégalité auront la méme limite que dans le cas général, excepté l'intégrale
a
dy
J ver
m
=
Nous pourrons donc, en tout cas, poser
rl
|G(z)|< a i T
h étant fini et x étant le nombre défini au § 14.
n
i iris : I
Pour obtenir une limite supérieure de la somme Y , nous allons
—
in
être amenés à faire sur la fonction d(x) une hypothèse supplémentaire;
nous la supposerons choisie de telle sorte qu'il existe un nombre p, su-
périeur à p tel que le rapport
1
ave (log we) Pı
[0]
soit croissant à partir d'une certaine valeur de x.
Nous aurons alors, en appliquant les résultats du S 5
y)
y | = « cnlogm (c positif fini).
VAL
m
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 125
D'oü
1 hr" + hn log SE . ©
(19) 1G (2) | « graines (h, h, positifs finis).
Pour comparer les nombres » et #', nous suivons la discussion du $ 12:
1°. S'il. existe un nombre a inférieur à — tel que le rapport
P
1
«P (log a)"
e
admette des valeurs indéfiniment croissantes, on est assuré que les nombres
n et »' coincident pour des valeurs de r indéfiniment croissantes.
2°. S'il n'existe pas de tel nombre ce, soit ¢ un nombre arbitraire-
^ » 7 ~ Yer = =
ment petit: nous sommes certains que le rapport 7 Sera inférieur à (log n)‘,
L
pour des valeurs de r indéfiniment croissantes; cela résulte immédiatement
en 4 A oO 3 ed ~
du fait que le rapport des fonctions inverses | est lui-même inférieur à
CU)
(log x)‘ pour des valeurs de x indéfiniment croissantes i$ 12), puisque d(x)
reste compris entre deux puissances positives de x.
On peut, lorsque l'on y a intérét, pousser plus loin l'approximation
en faisant sur la fonction @(x) une hypothèse plus précise. On pourra
alors remplacer linégalité (19) par une égalité de la forme
(20) |G(z)| < elir? t nlogn ... logen
,
h et h, étant des constantes positives finies et k un entier quelconque.
n l N Soe Re i ;
Le rapport peut être alors, dans le cas le plus général, inférieur à (log, n)*.
23. Si p, au lieu d'étre égal à p, était égal à p + 1, on obtiendrait
des résultats analogues. Ce serait alors l'intégrale
E
"oda
J
n
qui fournirait une limite exceptionnellement élevée.
126 P. Boutroux.
Supposons la fonction d choisie de telle sorte qu'il existe un nombre
p, inférieur à p + 1 tel que le rapport
[0]
_
pt (log a)n
soit croissant à partir d'une certaine valeur de x. On aura dans ce cas,
Vinégalité (19). Il pourra étre avantageux dans certains cas, de faire sur
d(x) une hypothèse plus précise. On pourra remplacer alors l'inégalité
(19) par l'inégalité (20).
On comparera n et # à l'aide des résultats du § 12. S'il existe un
entier / et un nombre e supérieur à aes tel que le rapport
php
e
1
cnp logra)
surpasse tout nombre donné lorsque 7 est assez grand, on pourra faire
coincider » et »;' pour des valeurs de x indéfiniment croissantes.
Lorsqu'il n'existe pas de tel entier /, nous ne savons pas quelle
précision. nous pouvons attendre de la méthode de sommation exposée au
& 7. Dans ce cas, nous emploierons pour obtenir une limite supérieure
de |@(z)| le théorème ' démontré en 1883 par M. Porwcank:
Quelque petit que soit le nombre a, on a à partir d'une certaine va-
leur der
, arl +1
lé vene
o
1 x Ite
qnl. (loge eee!
Dans le cas où nous nous placons maintenant, le rapport
est, pour des valeurs de x indéfiniment croissantes, inférieur à un nombre
fini (quelque petit que soit e£). On a done, pour des valeurs de »' indé-
finiment croissantes
Zen (le)... (ON)
[1 en résulte que si l'on adopte pour log|G(z)|, la limite supérieure
ar"*', le rapport de cette limite à w»'(log»)...(log,w') sera inférieur à
(log, »'* pour des valeurs de r indéfiniment croissantes.
' Bulletin de la Société Mathématique, 1883.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 127
24. On voit combien le résultat est moins précis que celui auquel
nous étions parvenus en supposant g non entier. Il nous est impossible
maintenant de faire coincider la limite supérieure et la limite inférieure
du module maximum .M(r) On pourrait supposer que ces limites sont
mauvaises. Il n'en est rien puisque nous connaissons des fonctions dont
le module maximum reste trés voisin soit de l'une soit de l'autre. Ainsi,
pour reprendre l'exemple que je signalais en commencant, le module maxi-
mum de la fonction ,;— est, pour toute valeur de e, égal à &""*"*, Au
I'(2) 2
« . . «2 x
contraire celui de sin est comparable à e".
. . « 74 , ie
Pour les fonctions sin — et l’ordre est égal au genre (ici à
I
l'unité). On peut trés facilement former des fonctions de genre p et d'ordre
p +1 qui présentent les mêmes particularités. Par exemple, si p est pair
et si les zéros sont deux à deux égaux et de signes contraires G(z) est
une fonction de 2° dont l'ordre n'est pas entier: on lui appliquera la pro-
position du $ 14 et l'on pourra conserver, pour le module |@(z)| la limite
supérieure (12). Au contraire, si les zéros sont tous réels et positifs, l'in-
o6
D
da: T >
tégrale | - se rapproche beaucoup de la limite que nous lui avons
grt!
"
assignée. Considérons par exemple la fonction de genre zéro qui a pour
zéros les points réels i(log7)’, 7 prenant toutes les valeurs entières positives.
Désignons par » le nombre des zéros dont le module est inférieur à 27.
On aura pour z réel et négatif.
o5
^- dz
hr ——— =,
" / o À J x (log r)*
| | (1 mm > I | | ( = > > e n > ein logn
aj 2 \ a; )
1 n+1
h et h, étant des constantes finies. On salt en effet que si est in-
SHE | 1
férieur à -, on peut poser
2
(+
gy étant un nombre positif fini.
2 ) of |
— p 19i
ay à
‘On a, si OMa<-, log(I +a)>a-
Nie
128 P. Bontronx.
Nous reconnaissons ainsi que, lorsque l'ordre p est entier, les argu-
ments des Zéros peuvent avoir une influence appréciable sur la croissance
de @(z). La considération de ces arguments peut seule nous permettre
de ehoisir entre la limite (12) et la limite (20). Il est vrai que la limite
(20) donne déjà sur la croissance de M(r) un renseignement assez précis;
mais elle ne permet pas de répondre à une question que l'on semblait en
droit de se poser: nous ne savons pas, jusqu'ici, si le mode de croissance
d'une fonction entiere suffit toujours à caractériser son genre.
Il ne faudrait pas croire cependant que l'intervention des arguments
des zéros doive nous priver de toute proposition générale à l'endroit des
fonctions d'ordre entier. Mais, pour approfondir cette question, il nous
faut d'abord étudier un probléme qui fut posé pour la premiere fois par
M. Hapamarp: ce probléme a rapport au module minimum du produit
de facteurs primaires G(z) sur une infinité de cercles, de rayon indéfini-
ment croissants, ayant leur centre à l'origine.
25. M. Hapamarp a comparé le module minimum de G(z) à une
5 d PTE
exponentielle de la forme e-'^
Po" ^,
Je me propose de préciser son théoréme
comme je l'ai fait plus haut pour d'autres propositions du méme genre.
Considérons de nouveau la fonction d(x) qui nous a déjà servi au
S 14 et déterminons le nombre » par l'égalité
xr = d(n)
7 étant un nombre fini supérieure à 2. On peut déterminer un nombre
positif 6 tel que l'on ait pour 42»
b étant un nombre fini. On en déduit, en raisonnant comme au § 14,
n ©
n n .
1 zr 1 ae en dx bre ht fi de
ta tet = x T = E ru m gr rf $0) br . Foyer
1 1 ar E 2 one
(2 I) e I I (à ITAL | eu pal > e m n j
à (t;
n4-1
g et m étant des nombres finis (m entier).
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 129
Si o n'est pas entier, le second membre de cette inégalité sera su-
périeur a
hn
h étant un nombre fini.
Si o était entier nous choisirions la fonction dir) comme au $ 18 et
le second membre de (21) serait alors en tout cas supérieur à une ex-
pression de la forme
e hr? — Jin log n … loge n
k étant un nombre entier, h et /, des constantes positives finies.
26. Il nous faut maintenant chercher une limite inférieure du produit
n
II -;)-
1
Ce produit est, en module, supérieur à
n FR
I (r; = |e;]).
Considérons d'abord les facteurs relatifs aux zéros pour lesquels on a
. r . 13 ptg
soit —>1+a, soit —«1-—-a (a positif).
Vi Vi
;loga
Leur produit est évidemment supérieur à + Le produit des facteurs
restants est de la forme
n z |
(22) | | sz [m <i Be
i
Pour étudier ce dernier produit, considérons sur une demi-droite issue
de l'origine un segment égal à zr, et marquons sur ce segment les points
ry.) +++) 1». Décomposons notre segment en petits segments égaux en
nombre supérieur à 4»', et soient s, s,, ..., Sy, ... les segments ainsi
définis. Je vais marquer d'un signe convenu certains de ces segments en
procédant de la manière suivante. Soit s; un segment qui contient q points
vers la droite et les
ys
q segments qui le précédent à gauche. Si l'un des segments ainsi marqués,
je marque s,
; puis les q segments qui suivent s,
Acta mathematica. 28. Imprimé le 12 octobre 1903, 17
130 P. Boutronx.
s,, contient à son tour q' points r;, je marquerai encore les q’ segments
qui suivent s;,, et les g' seements qui précèdent s; et ainsi de suite.
| 7 > 1-9)
Lorsque l'opération est achevée, le nombre des segments marqués est
3” au plus. Il existe done, en vertu des hypothèses faites, au moins 7
segments non marqués. En particulier, il existe des segments non marqués
dont les points sont à une distance de A et de PD proportionnelle à r.
Ainsi lorsque 7’ appartient à l'un de ces seements, on a bien
| > H
; T
pour ; «& m => I+a
1
: jJ ;
et pour ? > m = < I—4
i
(a et a’ positif fini).
Soit maintenant r, le premier zéro situé à gauche du point ;'. On aura
i
Vues etum M cS NE
An An
, > I , > y
(pol M A eno RÀ Less M We
k fi An ? k-i+1 {| 4n
27.
Il va être facile, maintenant, d'obtenir pour r — 7" une limite
inférieure du produit (22). Soit en effet
n' —k-4wv.
On aura, évidemment
y—1
—9»—vlogn + 22 log i
II (5) >e m
g étant positif fini, ou
t=y — bs — y—vlog n' 4 J (og) dz
II (“+-) >e i Le N
2
i=! *
Or, puisque » < »', on a
par suite
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 131
h étant un nombre positif. De méme
4
ist , —gk klogn + [Gogr)dr
| | ( - > 1 ,—hn
I — >: > :
Ti
iem
Finalement, on pourra poser
n
II:—2»e"
1
et h restera inférieur à un nombre fixe lorsque r augmentera indéfiniment.
Nous pourrons par suite énoncer le théoréme suivant: Si l'ordre p n'est
pas entier, on a sur une infinité de cercles C de rayons indéfiniment crois-
sants !
(23) Ie (sre
n étant le nombre défini au § 21, et h restant inférieur à un nombre fire.
' On pourrait déterminer avec plus de précision la situation des cercles € et se
demander s'ils forment des couronnes de quelque épaisseur. Le raisonnement du $ 26
prouverait que dans un cercle € de rayon r, les couronnes où l'inégalité (23) est satis-
faite forment une portion finie de l'aire totale C. Mais il est facile d'aller beaucoup
plus loin si l'on remplace h par une fonction croissante quelconque de n, par exemple
par log». Considérons à part dans le produit (22) tous les facteurs pour lesquels la
x aes Ei -
difference r — +; est, en module, supérieure à —. Le produit de ces facteurs est su-
n
périeur à
g-^n logn A
Les valeurs de 7; laissées de cóté se trouvent toutes sur un segment ss,, propor-
> * Ua : "AN . 1 . " .
tionnel à - qui sera infiniment petit par rapport à r, lorsque r augmentera indéfiniment.
n
Le nombre » des points r; situés sur un tel segment sera donc infiniment petit par
rapport à n, sauf peut-être pour un nombre négligeable de segments ss,. Raisonnons
1 ) 8 26, en r - 7. Nous le déc
alors sur le segment ss, comme au S 26, en remplaçant 7 par ~. Nous le decom-
: n
poserons en n parties et nous pouvons affirmer que le nombre des intervalles partiels
dans lesquels on n'a pas
y i
, ]
TE a xao PEE me” ES
est infiniment petit par rapport à ss, (puisque ce nombre est proportionnel à »).
On en déduit que dans le cercle C de rayon r, les couronnes on lon m'a pas
| G(z)| > e—hnlogn
forment lorsque r augmente indéfiniment une aire infiniment petite par rapport à l'aire totale C.
132 P. Boutroux.
Si p était entier, la limite inférieure de | G(z)| serait, sur des cercles
de rayons indéfiniments croissants, celle du second membre de (21).
Ce théorème fait pendant à celui du § 13. Nous pouvons en tirer
le résultat suivant qui correspond au théorème de M. Poincaré:
Si F(z) est une fonction entière quelconque de genre p il existe une
infinite de cercles de rayons indéfiniment croissants sur lesquels on a
| F(z) | p y
quelque petit que soit le nombre ©.
28. Le théorème précédent va nous permettre de compléter les ré-
sultats que nous avons obtenus sur la croissance des fonctions d'ordre entier.
: I :
La série 2 ? étant divergente, le nombre »' des zéros de module
i
inférieur à r sera en général, pour une infinité de valeurs de 7, supérieur
à cr’, c étant une constante finie. Le module maximum M(r) sera alors,
pour ces valeurs de > supérieur à
re
[
(h positif et fini).
Cette propriété peut servir à caractériser les fonctions de genre égal
ou supérieur à p. Nous savons, en effet, qu'elle ne peut pas appartenir à
une fonction de genre p — 1.
Mais il est possible, lorsque o — p, que les nombres »' et » restent,
à partir d'une certaine valeur de 7, inférieurs à er”, quelque petit que soit
[07
Il en sera ainsi, par exemple, pour la fonetion de genre 1 qui admet
pour Zéros les points log.1...21982.. 31082. (on fera dans ce cas
d (x) = x log x).
Considérons une telle fonction. Elle sera, dans le cas le plus général,
de la forme
Fey Sem aa)
4
G(z) étant un produit de facteurs primaires et H(z) un polynóme de
degré p — 1; nous poserons
n
H (2) Acn ir D
F(g) =e S US
(24)
n étant toujours le nombre défini au § 14.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 133
(Dr SEL 1»
Soit V —,-— D. En général le nombre A+ DB sera supérieur en
"5204
module à un nombre positif fini ^, pour des valeurs de » indéfiniment
croissantes. Soit r la valeur de |z| correspondant à l'une de ces valeurs
de n. A l'intérieur de la couronne limitée par les cercles de rayons r et
zr (x nombre positif fini) ayant leur centre à l'origine, on aura dans
certains angles
e ] e. > exer.
Appliquons, d'autre part, à la fonction G,(z)e” le théorème du § 27;
nous pouvons affirmer, en conservant les notations de ce paragraphe, que
lon a sur une infinité de cercles compris dans la couronne
, , A(z) —hiyn AT ET T fa x
[Gi (s)e* D SS s (h, positif fini).
Done, puisque nous supposons ici que
IRENE te
on aura en certains points de ces cercles
| ry» en.
Cette inégalité est satisfaite pour des valeurs de > indéfiniments crois-
sants. C'est bien là encore une propriété caractéristique des fonctions de
genre p.
29. Mais le raisonnement précédent serait en défaut si la somme
n
Sad PA uu : : »
A+ N er était infiniment petite. Or cette circonstance peut se présenter.
—
1 poi
En disant que Pí(z) est de genre p, nous avons supposé, sans doute, que
as I , A :
la serie 25 p n est pas absolument convergente : mals il peut arriver que
di
cette série soit semi-convergente (les a; étant rangés par ordre de modules
croissants) et ait pour somme — A. Il se peut alors que l'on ait à partir
d'une certaine valeur de »
n
1
Mile) al aeg
"4 Pas
quelque petit que soit e.
134 P. Boutroux.
D'ailleurs, en vertu de l'inégalité (12), on aura toujours, à partir
d'une certaine valeur de 7
[Gees Ler (h positif. fini).
Si done, comme nous continuons à le supposer, /(z) est tel que l'on
puisse choisir la fonction ¢ de façon que
n «sy
(à partir d'une certaine valeur de +, quelque petit que soit s) l'inégalité
n I
mn ^ ^ . * .
uS EN ,« s entrainera, (en vertu de (24)) à partir d'une certaine va-
—
1 pai
leur de x
(25) FAC) Pers
où € est arbitrairement petit.
Dans ce cas exceptionnel le module maximum de F(z) perd tous les
caractères qui distinguaient cette fonction de genre p des fonctions de genre
inférieur.
La fonction (2) peut croître moins vite que certaines fonctions de
genre p — 1. Supposons par exemple qu'elle soit un produit de facteurs
primaires admettant pour zéros les points réels
a; = d (i) = +ilogi.log,i
(j prenant toutes les valeurs entières positives) F(z) satisfera, dans ces
conditions, à l'inégalité (12) du § 13 et l'on aura à partir d'une certaine
valeur de r
[2 (a) | < eise ea u)
Or nous avons vu au & 24 que la fonction de genre zéro qui admet
pour zéros les points i(logz)' (/ prenant toutes les valeurs entières po-
sitives) a son module maximum comparable a
pin logn ;
n désignant le nombre des zéros de module inférieur à 27, c'est-à-dire à
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 155
Cette fonction de genre zero croit done plus vite que la fonction de genre
nu (2). Le cas exceptionnel qui vient d'être signalé présente par suite,
au point de vue de la recherche du genre, des difficultés spéciales, et son
étude va nous conduire à des résultats inattendus.
30. M. Hanamarp a, le premier, déterminé le genre d'une somme
de deux fonctions entiéres, lorsque ces fonctions ne sont pas d'ordre entier.
Il a démontré que, dans ce cas, la somme de deur fonctions de genre p est,
au plus, de genre p. Cette proposition n'a pas pu, jusqu'ici, être étendue
aux fonetions d'ordre entier. Cependant l'avis commun des auteurs qui
ont écrit sur ce sujet, était que, suivant toute vraisemblance, elle devait
subsister pour ces fonctions. Je vais montrer qu'il en est bien ainsi en
général, mais que la proposition peut cependant être en défaut dans
certains cas exceptionnels.
Soit /,(z) une fonction de genre p a laquelle nous ajoutons une
fonction f,(2) de genre inférieur à p. Si fj(2) ne présente pas les ano-
malies signalées au § 29, on a sur une infinité de cercles
I) men, — dtp xe,
h étant fini et ¢ arbitrairement petit, par suite
IG) + AG) > e",
ce qui prouve que la somme /,(z) + f,(z) est de genre p.
f(z) ne peut donc pas être la somme de deux fonctions de genre in-
Jérieur à p. Ce résultat équivaut à celui qu'a obtenu M. Hapamarp
dans le cas des fonctions d'ordre non entier.
Mais les choses ne se passeront plus ainsi si /,(z) satisfait à l'inégalité
(25). On aura, dans ce cas, à partir d'une certaine valeur de +
(26 IG) + (Le 7",
s étant arbitrairement petit, ce qui ne permet pas d'affirmer que la somme
f, +f, est de genre p. Supposons que cette somme soit la fonction f(z)
du § 28, et appelons a, ses zéros. L’inégalité (26) prouve que la série
-
) - est semi-convergente et a pour somme — À. Mais elle ne prouve
a;
136 P. Boutroux.
: d TIT
pas que la série des modules V soit divergente. Or de ce que cette
— Jail? =
condition est satisfaite pour f(z) il ne résulte pas qu'elle le soit pour F(z).
En d'autres termes, si lon ajoute, par exemple. à la fonction F(z)
définie au $ 19 une fonction du genre zéro croissant plus vite que F(z).
rien ne parait s'opposer à ce que la somme soit elle-même de genre zéro.
Il existe ainsi un cas exceptionnel où la somme de deux fonctions de
genre p parait se comporter comme une fonction de genre p + 1. Je
vais montrer par un exemple que cette circonstance se présente en effet.
31. Soit f(z) un produit de facteurs primaires de genre zéro, ayant
tous ses zéros a; réels et positifs. On sait que |/,(z)| prend la méme valeur
lorsque lon donne à la variable z deux valeurs imaginaires conjuguées.
Cherchons comment se comporte f(z) lorsque z est au-dessus de l'axe des
quantités réelles, en supposant que 4; satisfasse, à partir d'une certaine
valeur de ;, à la double inégalité
i (log 2 *^* < a, € 4 (log i) **,
a étant un nombre positif plus petit que un et 7 arbitrairement petit.
Nous supposerons par exemple que Von ait
Ar «1-—a.
Appelons — ¢ la partie réelle de z et supposons-la d'abord negative. Déter-
minons ensuite le nombre n par l'égalité
\l4a _
(27) n (log #) = 7,
7, étant un nombre plws grand que 2. Nous avons, lorsque ¢> 0
*x
= 1
II—2)|»3 et a PE ) e
aj a;
1 + 7 nl
(k étant un nombre positif), car on a |z—a,| > £+a. Or
S I ; da n log n
how (1; " | r(logga)*^ an (log nte
n! '
n
=
-1
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 1:
Posons z — re", On a = —rcos0. Il en résulte que
72
ey! A - "ng . ini
(uo hn log n |eos 6| (4, fini)
m'
et l'on a
(28) Ir (2)| > grulogrlsosfl (h positif. fini).
Soit alors P un nombre arbitrairement petit supérieur à 7. Tant
que l'on a
I
— eos 0 >
(log 7375
on a, en vertu de (27),
1-a+ß
(29) |f (a) | > ernten? > enwen-
Supposons maintenant que la partie réelle —¢ de z soit positive.
ya
Posant encore z= re montrons que tant que cos @ satisfera à l'inégalité
I
COS 0 > TEES
(log 7)
l'on aura
(30) | i? (2) | ae hn (log n) e A^, r(logr) zd A
h' et hy étant des nombres positifs finis.
Pour établir cette inégalité, il suffit de remarquer que l'ordre de la
fonction de z* f(z)f(— z) n'étant pas entier, on peut appliquer à cette
fonction le théorème du § 14. On a done
> „her (logr) —1 -a+7 SL PL:
(31) I (e)&C 3 < « (h, positif fini).
Or puisque 7 < f, cette inégalité ne peut être compatible avec l'inégalité
(29) que si l'on a au point —z l'inégalité (30).
32. Désignons maintenant par /;(z) un produit de facteurs primaires
ayant tous ses zéros D; réels et négatifs, et supposons que l'on ait
i (log i) *47 < — b; < i(log i) *^
a’ étant un nombre positif quelconque et 7 un nombre arbitrairement petit
Acta mathematica. 28. Imprimé le 13 octobre 1903. 18
138 P. Boutroux.
inférieur à f. En raisonnant comme au paragraphe précédent, on constate
que dans la région du plan où l’on a l'inégalité (29), on aura
gr (log r) —1—a' +f
(32) I] <e (g positif. fini).
De méme on aura, en méme temps que l'inégalité (28), l'inégalité
( | "(2 „gr logr) —@ cos].
(33) IA (2) 9 € r(le [cos I.
on aura, par suite, dans les régions du plan, où l'inégalité (30) est vérifiée;
l--a' +3
(34) LAC Sree (g positif. fini).
Considérons alors la somme
F(z) = f(z) + fı(2).
Elle ne peut s'annuler pour |z| — r qu'à l'intérieur d'un angle dont la
bissectrice est l'axe des quantités imaginaires et dont la moitió a un sinus
I
(log 1)"
valeurs imaginaires conjuguées. Désignons ces zéros par c
D'ailleurs les zéros de F(z) ont deux à deux des
ceo. dis
I3 2»
inférieur a
vais montrer que F(z) est une fonction du genre un.
Séparant dans c; la partie réelle de la partie imaginaire, posons
CER PRIN
C; — pi + V— 1 0;.
Si nous supposons que /7'(2) est de genre zéro, nous aurons
T 27i PT
FU) elle eee
(2) all Arte
Appelant plus particulièrement 4 le plus petit des deux nombres
x et a’, nous obtiendrons le module maximum M(x) de F(z) en faisant
z=—r. f,(z) satisfait alors à l'inégalité (28), où cosd= r, et f,(2)
vérifie l'inégalité (32). On a, par suite
’ r (lo —a eye . .
F(—r) > en (h positif. fini).
D'ailleurs le théorème général du $ 22, appliqué à f(z) nous donne
F(—r) < eh rtesr ae (h' positif. fini)
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 139
d'où il résulte (§ 17) que l'on a à partir d'une certaine valeur de 7
r; > hyi(log?)? (hj positif fini).
Cela posé, supposons que /'(2) soit de genre zéro, on aura certaine-
ment pour des valeurs », de ; indéfiniment croissantes
r,-— Kg(n,) avec (i)-—i(lgi)"" et K=(logn,)",
y, étant égal ou inférieur à 1—24-4- 7, ce qui permet de prendre, par
exemple 7, > 57 (puisque nous avons supposé que 47 < ! — 4).
Reprenons les notations du § 20, et faisons
r —K'-'d(n)-d?(n) (^ < 3l
Nous obtiendrons en nous reportant aux calculs du § 20 (où nous
ferons À — E mE).
2
1 NS
iU MIS um; er 2 }; Has BL.
II:—2) Ce ul uum c de (e=° E uem h positif fini).
D’autre part, puisque
b
|< - zen
| ri | (log 7)! —4
nous aurons
x 1 w :
e 5 2A,r(log r) 7! +, D» = +hyr? DE 4
I] ( Eee ips ie (4, positif fini).
1
nti
=
Dour Sralaemnlalıs E I Worouddmnsbü + ER
our évaluer la somme ? —, nous procéderons comme nous avons
— 2)
"
m+l't
oo
^ I oe
fait au S 20 pour la somme 7’?! en faisant p Ver UE
3 Loot „p+1? p
n1 fi
Nous obtenons
y = ENT Re!
— y
nr!
140 P. Boutroux.
i ; ; I 3
D'autre part, puisque la série Y- est supposée convergente, nous
i
avons
C^ I NEE
r (log r)*5 V^ — < kr (log )-'*^ (k positif. fini).
p /
i
mnt41
Nous aboutissons done finalement à cette conclusion que M(7) est
inférieur à la plus grande des deux expressions
* A—a—ycHty
„r (log r) nct
| one - ir (log r) —1+8
€ (c positif fini), g'rüogr)- TE
T : ‘ I ; :
D'ailleurs, puisque lon a Dm et 7j, Sy, on a nécessairement
: I à
y— yc < © et, d'autre part on aura, lorsque - et par suite A seront assez
=
petits
a LI — B.
Les inégalités précédentes se trouvent done en contradiction avec les ré-
sultats obtenus plus haut sur le module maximum de F(2).
On en conclut que l'hypothèse d'après laquelle F(z) serait de genre
zéro n'est pas admissible.
Nous aurions pu parvenir au méme résultat en procédant un peu
différemment. Le produit F(z) F(—z), considéré comme fonction de 2’
est une fonction de genre zéro et d'ordre non entier. Or il résulte des
inégalités obtenues aux $$ 31 et 32 que cette fonction a méme module
maximum (pour |2| — ») que le produit 7(z). On peut done lui appliquer
le théorème du § 21, qui conduit au résultat cherché. La méthode suivie
plus haut semble cependant préférable, parce qu'elle manifeste mieux l'in-
fluence exercée par les arguments des zéros de F(z) sur la croissance de
son module.
Nous pouvons énoncer maintenant la proposition suivante:
Soit f,(2) une fonction de genre zéra ayant tous ses zéros réels et positifs
et tels que l'on ait à partir d'une certaine valeur de à
i (log i) **7 < a, « $ (log) **,
a étant un nombre positif plus petit que un et y arbitrairement petit. Soit
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 141
d'autre part fi(2) une fonction. dont tous les zéros sont réels et négatifs et
tels que l'on ait à partir d'une certaine valeur de i
i (log pe " a b; = i (log Pes
a’ étant un nombre positif quelconque (7 arbitrairement petit). La somme
f(z) + £,(2) est une fonction de genre un.
Un eas particulier intéressant est celui où f,(z) = f,(— 2). On voit que
si f,(2) satisfait aux conditions indiquées plus haut, la somme f,(2) + f, ( — 2)
sera une fonction de genre un. M. E. LixpELOr | vient de faire connaitre
un résultat équivalent qu'il a obtenu de son cóté et qui rentre dans ce cas
particulier. — Posant
ta - III: a! avec I <a< 2
M. Lisperör établit directement que la somme f(z) + f (— 2) est de genre un.
Faisons une dernière remarque au sujet de la proposition qui vient
d'être établie. Si elle s'applique à deux fonctions fj(2), f,(z), elle s'ap-
pliquera également à la somme
f(z) + ef, (2)
v étant une constante quelconque.
DEUXIEME PARTIE.
Pour rendre applicables à l'étude des équations différentielles les ré-
sultats obtenus sur la croissance d'une fonction entiére, il nous faut con-
sidérer maintenant la dérivée de la fonetion et déterminer, en particulier,
l'ordre de grandeur de cette dérivée par rapport à la fonction elle-même.
' Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 30 décembre 1901.
142 P. Boutroux.
La dérivée logarithmique d'une fonction entière.
1. Les nouveaux résultats que j'ai en vue ne peuvent évidemment
pas étre des conséquences des inégalités obtenues plus haut: car on sait
qu'en général on n'a pas le droit de dériver une égalité asymptotique.
C'est en faisant de nouveau intervenir ici le fait que la fonetion consi-
dérée, F(z), est entière que je pourrai obtenir sur /"'(z) des renseignements
beaucoup plus précis qu'on ne l'avait fait encore.’
L'étude de la dérivée logarithmique d'une fonction entiére a déjà été
? Mais aucune
tentée par LAGUERRE et avec plus de détails par M. Vivanvt.
proposition complète n'a encore été démontrée à son sujet et, d'ailleurs,
quelques-uns des résultats énoncés par M. VivANTI demandent à être pré-
cisés. C'est pourquoi certaines propositions tirées par lui de ses théorèmes
ne se trouvent pas être entièrement exactes, entre autres celle-ci que la
somme de deux fonations entières de genre p est toujours de genre p au plus.
Nous avons vu plus haut que cette proposition comporte un cas d'ex-
ception.
* Dans son mémoire sur les zéros des fonctions entières, M. BoREL a donné une
limite supérieure du module de F(z). Posant
F(z)=a,+a,s+a,s +...
M(r) — |a,| + |a,|r +...
M'(r) 2 |a,| 2|]a,|r +...
M. BonEL a montré que l'on a, quel que soit ¢, à partir d'une certaine valeur de r
M'(r) < [M(r)|**.
* Giornale di Baltaglini, 1884 et 1885, F(z) étant une fonction de genre p,
| F'(2)|
M. Vivantr dit que dans certains angles le rapport =
F Fi r? | F(2)]|
tend vers zéro, tandis que
| F'(2)]
r?—! | F(z)]
proposition fût vraie il serait nécessaire de faire des hypothèses très particulières sur
le rapport augmente indéfiniment. Mais pour que la première partie de cette
les arguments des zéros. Quant à la seconde partie, elle n'est en tout cas pas exacte,
comme nous le constaterons un peu plus loin.
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 143
2. Soit G(z) un produit de facteurs primaires de genre p
E Zz at t 5
a(e)= TQ J) pai
On a
250 = Pw. S | E vs I Se n. a | > =
= G(z) » —
Étudier la variation du module [v(2)|; comme nous l'avons fait pour
|o (2)|, lorsque le module |z| augmente indéfiniment, semble une question
dépourvue de sens, puisque la fonction g(z) a à distance finie une infinité
de pôles. Mais si l'on exclut du champ observé le voisinage des pôles,
ce qui revient à considérer g(z) dans certaines régions ou en certains
points, on constatera que le module de croissance de g(z) est bien, ce-
pendant, une propriété caractéristique de la fonction: il résulte, comme
celui de @(z), de la distribution des points «,.
3. Proposons-nous, d'abord, de trouver, en certains points, une limite
>
supérieure du module |g(z)].
Je traiterai pour commencer, un cas particulier, celui qui donnera
lieu aux résultats les plus complets. Je supposerai qu'il existe un angle 7
ayant pour sommet l'origine et ne contenant aucun des points a;.
Posons |;|— v, |a;|— v; et désignons par z un point situé dans
l'angle 4 de méme bissectrice que 7. Je vais déterminer en ce point une
limite supérieure de
— ai(z — aj)
Les formules élémentaires relatives au triangle oza, donnent immé-
diatement
jz—a|>~r sin? et |z—a,|> „sind.
2
De là nous allons déduire la limite cherchée.
général où l'ordre » de la fonction entière
>
G(z) n'est pas un nombre entier, et formons de nouveau la fonction d(z)
Considérons d'abord le eas
144 P. Boutroux.
qui a été définie dans la premiére partie, au S 9. Elle est telle que l'on
ait, pour 2 2 m, r; 2 gli). Définissens, alors, le nombre » par l'égalité
7 étant un nombre positif fini.
On a
n
^ I dl ea I yp—1 da
T Ae MB a 7 v P—1 aro eai
É > p = > de u js [d (a)| P?
H e JI
^1 ais — a,) sin y rl
c étant un nombre fini. L'intégrale définie qui figure dans le dernier
rot , . . x C1 .
membre, est d'ailleurs, comme on l'a vu plus haut," inférieure à ^7 (¢, fini).
=
On obtient donc, dans ce cas:
h restant inférieur à un nombre fixe.
D'autre part
Ins ; >
I y? da n ee
p M = Be = j
; > 7 his | Gore </> (A, fini
r
n
puisque o est supposé différent de p + r.
Nous avons done, finalement
x m LL er est
(1) lg(z)|<h . (h positif fini).
4. Cette inégalité peut être mise sous une autre forme. Désignons
par g(r) la fonction inverse de d(z). Cette fonction satisfait aux condi-
tions énoncées au S 8 de la première partie: on a done
g(r) =k go) (k nombre positif fini).
ra
Première partie, $ 15.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 145
Nous avons établi, plus haut, l'inégalité
log | 6 (2)] « her).
Nous eonstatons, maintenant, qu'au point z, on a le droit de dériver cette
inégalité; c'est-à-dire que l'on a
| G (2) < h,e‘(r),
G(z)
h, étant, de méme que / inférieur à un nombre fixe.
On voit immédiatement que la proposition subsiste dans le cas ott la
"^29. dont l'ex-
fonction entiere étudiée contient un facteur exponentiel e
posant est un polynöme de degré p au plus. Mais elle pourrait cesser
d'étre exacte, si l'ordre p du produit de facteurs primaires G(z) était égal
à p ou à p+1. On choisirait alors la fonction (x) comme il a été fait
au § 22 ou au § 23 de la première partie et l'on remplacerait l'inégalité
(1) par une inégalité de la forme ! '
nlogn...logn
glz)| <hr? LR
1
—
to
—
k étant dans cette inégalité un entier fini, et les nombres 4, 4, restant
inférieurs à un nombre fixe lorsque r augmente indéfiniment.
D'ailleurs de l'inégalité
0 =
|a(z)| < hr? N - +hr? NL :
LE
Fo 5.
npr "^4
il résulte immédiatement que l'on a nécessairement
(2’) lo(z)| « sr",
e tendant vers zéro avec
! On constaterait aisément que dans certains cas exceptionnels, bien que G(z
soit de genre p, on pourra avoir dans l'angle 7 à partir d'une certaine valeur de r
une inégalité telle que
Au contraire on aura toujours, lorsque r est assez grand, l’inegalite (2^.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 14 octobre 1905. 19
146 P. Boutronx.
5. Ces résultats font exactement pendant à ceux que nous avons
obtenus relativement a | o (2)]. Nous les compléterons tout à l heure en
démontrant la réciproque de la proposition précédente. Mais il convient
auparavant d'examiner le cas où il n'existerait pas d'angle ; satisfaisant à
la condition énoncée plus haut.
Nous allons constater qu'il suffit, dans ce cas, de multiplier la limite
(1) par le facteur log?» pour être assuré que le module |4(2)| lui reste
inférieur, du moins en certains points ou sur certaines lignes.
Pour parvenir à ce résultat nous ferons appel à des considérations ana-
logues à celles qui nous ont servi à étudier le module minimum d'une
fonction entière.
Soit toujours 7 un angle fini ayant pour sommet l'origine et dans
lequel se trouve le point z. Nous supposerons plus particulièrement que
2 soit dans un angle 7’ intérieur et proportionnel à 7, les côtés de 7’
faisant avec ceux de 7 des angles qui sont eux-mêmes proportionnels à 7.
(Les rapports de ; à ces angles sont des nombres finis.)
gt ^ * ^ M , y
La somme y; pe m étendue. à tous les póles situés hors de l'angle
vri|z —ai
y à évidemment la méme limite supérieure que dans le cas précédent.
Parmi les poles restants, considérons d'abord ceux pour lesquels on a
;
——1--9 ou ->1+#'0,
à étant un nombre positif. De ces inégalités, il résulte, dans le premier cas
lz— a,| > kr,
dans le second cas
lz— «| hy,
k et k, étant des nombres finis indépendants de vr. La méthode du § 3
S'appliquera done encore à la somme Y relative à ces pôles, et cette somme
sera inférieure à la limite (1), ou du moins (lorsque p est entier) à la limite (2).
6. Nous n'avons pas encore épuisé les termes de Y. Pour obtenir
une limite supérieure de la somme restante, je raisonnerai comme au S 26
de la première partie,
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 117
Soit v le nombre des pôles que nous avons encore à considérer, et
soit 7’ l'arc intercepté par l'angle 7 sur la eirconferenee de rayon + avant
pour centre l'origine. J'appellerai a; le point où cet are est rencontré par
la droite Oa,, les points a, étant numérotés dans l'ordre où nous les ren-
controns, lorsque nous parcourons /' dans le sens positif.
Décomposons lare 2’ en N ares égaux, N étant supérieur à qu (m
désigne le nombre total des pôles de module inférieur à r), et appelons
HUE i... Bs les ates ainsi définis. En raisonnant comme dans la pre-
mière partie (§ 26), je constaterai qu'il existe plus de N — 3»' ares f$
jouissant des propriétés suivantes: si 2 est un point de l'un d'eux, la
distance de z aux deux extrémités de l'arc J’ sera du méme ordre de
grandeur que 7, soient, d'autre part, a, et a,,, les points « situés de part
et d'autre de z sur lare 75; on aura
7? L
are (Ha 2) > x... are (42) o» E
p i
arc (2—a) > yo are (ain — 2) > Iw
On en déduit aisément les inégalités
v
S <IN NN: ! & N logy,
/ S r
sin (2 — wi) i
y étant un nombre positif fini.
Nous pouvons alors caleuler au point 2 une limite supérieure de la
rs ; : E T,
somme > —1———4 étendue aux points a; considérés. Le rapport — étant
ri : ri
- p 0, N hN1
r — ù N log v
(3) Z— <a) — ——.< ,
- ri|* — ail ry &— sin (2 — di) 7 D
h étant intérieur à un nombre fixe.
148 P. -Boutroux.
En nous reportant maintenant aux résultats obtenus plus haut, nous
constatons que lon a au point z
h/u' log n'
n ^ be n
[»(2)] <h + Bern (h, À' nombre positifs finis).
: Fr
Nous pouvons done énoncer la proposition suivante:
Si Tordre p west pas entier, il existe, quel que soit r, une infinité
d'arguments @ tels que l'on ait
= hn log n
l2 (e| « An ings,
r
h étant une constante finie et n le nombre défini au S 14 (Premiere Partie).
Si l'ordre o du produit G(z) était entier, on choisirait la fonction d
comme il a été fait aux SS 22 ou 23 de la premiere partie, et on pourrait
être amené à remplacer l'inégalité précédente par une inégalité de la forme
= hnlogn... log, n
lg(re™*)| < hr? + 2 = =
=
où k est un entier, / et /, des nombres positifs finis.
Dans tous les cas, on aura en vertu de (2')
fi 5
gre Me
lg(re peg aes
; I
s tendant vers zéro avec ..
7
7. Insistons un peu sur l'inégalité obtenue dans le cas où l'ordre
p n'est pas entier. Il est clair que les ares sur lesquels cette inégalité
est vérifiée sont d'autant plus grands que la constante / est elle-même
plus grande. Si l'on remplacait 7 par une fonction croissante de n, par
exemple loglogn, on pourrait affirmer que les ares du cercle C de rayon
r sur lesquels l'inégalité
n log n log, n
lg(à)| « ————
=
nest pas vérifiée ont une somme infiniment. petite par rapport à la longueur
totale du cercle €,
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 149
Supposons en effet que l'angle 7 considéré plus haut, au lieu d'être
fini, ait pour sinus , et considérons d'abord tous les poles situés en
08, 2
dehors de cet angle et tous ceux pour lesquels on a
ri log, n r log, n
La somme X relative à tous ces pôles est évidemment inférieur a la limite
(4) puisque la seule modification apportée aux caleuls des SS 3 et 5 consiste
: Los 1
à remplacer les constantes finies —, k et k, par des nombres proportion-
sin 7
nels à log,». Faisons maintenant, au § 6, N — ». Il est clair que,
quelle que soit la situation de l'are J” sur le cercle €, le nombre » de-
viendra, lorsque r augmente, infiniment petit par rapport a N, excepté
peut-être pour un nombre limité d'ares J” (c'est-à-dire d'angles 7) dont la
somme est infiniment petite par rapport à la longueur totale du cercle €.
ey : : XL ES
D'autre part, si w est très petit le rapport à 7° de la somme des arcs
partiels 5 sur lesquels on a l'inégalité (3) tend vers l'unité. L’inegalite
I
equivalant maintenant our 7 =
(3) | E (p / log, "
, N=n) à linégalité (4), la
proposition énoncée est bien établie.
8. On obtiendrait des résultats analogues si l'on posait le méme
probléme d'une facon un peu différente.
Proposons-nous de déterminer une limite supérieure de |g(z)| en tous
les points de certaines circonférences ayant leur centre à l'origine.
On a, en posant [«a,| = 7,
Eee
TD r? (2 — mj) zm r? | Lm |
LA . ^ r ri E.
La somme X relative aux pôles pour lesquels — > 1 + 9 ou = >1+0
= =
se calcule comme au S s.
Supposons d'autre part que 7 soit situé dans l'un des intervalles dé-
finis au $ 26 de la première partie. On aura en conservant les notations
de ce paragraphe, lorsque
Mh sea
150 : P. Boutroux.
les inégalités
1 N I N
—— kn «X
TED EAN, ) l'e.d ? (2
I N 1 N
LE Ke 0 == Le
MELLE 4 PRET ET ir
Si done nous considérons tous les pôles (au nombre de v) pour lesquels
r T 1 Se TE. *
—«1-F8 ou -« 1 4-2, la somme XY correspondante sera inférieure à
>
ri
N
li M. logy,
h étant un nombre positif fini.
Le résultat subsistant tant que V> 4w' et » étant inférieur a m et
à 4, nous pouvons Enoncer la proposition suivante:
Si l'ordre o west pas entier, il existe une infinite de cercles ayant. leur
centre à l'origine et des rayons indefiniments croissants tels que l'on ait en
chacun de leurs points
n log 1
loca) <h
- )
?
h étant une constante positive finie et n le nombre défini au S 14 de la
premiere partie.
Si l'ordre p de G(z) était entier on remplacerait, comme plus haut,
l'inégalité précédente par
nu log n...logn
lulz). < hr’ d jy
r
(k entier, 1, h, finis).
Nous bornant an cas où p west pas entier nous généraliserons la pro-
position précédente comme celle du $ 6. Si nous considérons sur l'axe
des r un segment de longueur r, nous pouvons affirmer que les points
rv’ de ce segment tels que l'on n'ait pas sur tout le cercle de rayon 7 l'iné-
galité
hn log n log, n
(4) thee
forment des segments dont la somme est infiniment petite par rapport au
segment total.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 151
Rapprochant ce résultat de celui du $ 7, nous énoncerons la propo-
sition suivante:
Soit une aire A proportionnelle à 7°, par exemple le cercle C de
centre O et de rayon r. Les régions de ce cercle où l'inégalité (4) west
pas vérifiée forment une aire infiniment petite par rapport à l'aire totale A.
9. Ainsi, si l'on prend la précaution d'exclure du champ de la va-
riable le voisinage immédiat des pôles, on peut limiter le module de 9(z)
exactement comme on a fait pour celui de la fonction entière ((2).
On obtient d'ailleurs immédiatement une réciproque du théorème dé-
montré au paragraphe précédent.
Supposons que le long d'une circonférence C de rayon r, on ait
|s(2)| < on).
Soit # le nombre des pôles de g(z) dont le module est inférieur à
y On a
qr [ a(2)dz,
"
n'
-<höl i)
1
h étant un nombre positif fini.
Si, quel que soit r, il existe une cireonférence. de rayon xr (y fini)
jouissant de la propriété indiquée, on peut affirmer. que l'inégalité (5) est
vérifiée pour toute valeur de v.
Les nombres n et »' qui figurent dans les inégalités (2), (4) et (5)
sont ceux que nous avons déjà rencontrés dans la première partie. Nous
avons vu que, lorsque l'ordre o n'est pas entier, ces nombres sont süre-
ment égaux pour une infinité de valeurs de + indéfiniment croissantes,
Nous avons de plus défini au $ 18 les cas où ils coincident pour tonte
valeur de r. La comparaison de ces deux nombres, dans le cas où p est
entier, a été faite aux SS 22 et 23.
Le voisinage des póles ayant été exclu du champ de la variable, comme
il a été dit au S 8, désignons par m(r) le module maximum (pour [2] =»)
159 P. Bontroux.
de g(z) dans les régions restantes. Nous déduirons en particulier du thé-
oreme du § 8 et de l'inégalité (5) que si, à partir d'une certaine. valeur
Pp
de r, le rapport — reste compris, quel que soit 4, entre deux nombres finis,
L
mí) m . . AM, ae à
le rapport — ; sera Supérieur à un nombre fire et inférieur à log r.
= ? 3 p
Si lon reprend l'expression employée pour les fonctions entières, on
peut dire que, dans ce cas, la croissance de la fonetion g(z) est parfaite-
ment régulière. Mais la fonction-type à laquelle on compare le module de
((2) est, cette fois, une puissance finie de 7, au lieu d’être une exponentielle.
Plus généralement, s l'on a, à partir d'une certaine valeur de i, quel-
que petit que soit €
he]
1
je LT € i? h
on aura, à partir d'une certaine valeur de y,
PRISE MT) ENT ee
7 I
lendant vers zéro avec
(9)
Y
10. ll nous reste à démontrer un théorème correspondant à celui du
ur.
20 de la premiere partie.
Supposons que l'on ait, à partir d'une certaine valeur de +
TOV EE
mr) = - (h positif. fini),
n étant l'inverse de la fonction
1 a
Ük
p
r= d(n) =n? (logn)^ ... (log, m^,
l'ordre p n'étant pas entier.
Je dis que Ton a, à partir d'une certaine valeur de i
1; 1
hike TA < h''(log ij^ (4, 1 positifs finis).
gt ‘
Supposons, en effet, que l'on ait, pour des valeurs », de 7 indéfini-
ment eroissantes
r, = Kd (ny(logn),
Sur quelques propriétés des fonetions entiéres. 153
K dépassant, lorsque 7, augmente indéfiniment, tout nombre assigné
d'avance.
Faisons
1
«— K1—8 : p q SOE GEN PERS TEE
) K'~* b(n, \(log n) (B positif, inférieur à 1)
On aura, d'aprés les caleuls effectués au § 20 de la premiere partie
2m pp! en zur? Ê n
D —— « K~‘(logn,)? -, > — <K '(lomm,)^ -,
— yd ^ 1/ T PI > 5 1 r
"m Vi n,+1°1
v étant un nombre positif.
D'ailleurs le nombre 7’ des pôles de module inférieur à + est inférieur
à », et l'on a
n'log n'« gK- UP.
On aura done, dans les régions définies au SS 7 et 8
lo(z)| € K ^n (c, positif),
ce qui est en contradiction avec les données. L'hypothèse faite sur », est
done inadmissible; ce qu'il fallait démontrer.
En particulier, si la croissance de g(2) est parfaitement régulière, c'est-
à-dire si m(r) est proportionnel à 7’~', à partir d'une certaine valeur de
r, on aura, à partir dune certaine valeur de à
y?
M cU cay logi (, I positifs finis).
[2
11. L'étude de la fonetion méromorphe g(z) conduit, on le voit, à
des résultats qui rappellent de trés prés ceux que nous avons obtenus re-
lativement aux fonctions entieres. Afin de mettre mieux encore cette con-
nexion en lumière, je vais maintenant comparer la croissance de g(z) à
celle de la fonetion entière G(z).
leta mathematica, 28. Imprimé le 14 octobre 1905 20
154 P. Bontronx.
Désignons par w le nombre des points 4, dont le module est inférieur
à xr, 9 lant. Ini-meme inférieur a. Je dis qu'en une infinite de points 2
de modules indéfiniment croissants, on a simultanément les inégalités
|G(z)| => TC la(2)] > h, =
h et h, étant des nombres positifs finis.
Posons comme au § 14 de la premiére partie
n
Ge) G2) J] (1-2)
1
On a, quel que soit z sur le cercle ( de rayon » ayant son centre
à l'origine,
(7) I] ( —-)|»e" (h positif et fini).
1 a;
n
^ . . . T I
On calculera de méme une limite inférieure de | —— -|. Par exemple
eu z— i
1
si z est réel, et égal à € (£ — 7), on aura pour i.v
>
jet arte:
Rea $ 1 +71
D'où
(8) R|Y |>4E (post fini).
Donnons maintenant à 7 une valeur particulière »,. uel que soit
1
r,, M existe sur le cercle € de rayon », des ares le long desquels la partie
réelle
li [log €, (2)]
est positive. (Première partie § 17.) Parmi les rayons issus de l'origine
et aboutissant aux divers points de ces ares, il en est une infinité sur
lesquels la fonction flog G,(z)] est continue ainsi que sa dérivée. Nous
avons toujours le droit de supposer, aprés avoir fait, si cela est nécessaire,
le changement de variable z' — ze^"* que l'axe réelle est l'un de ces rayons,
et nous aurons alors pour z — & r, l'inéoalité
1 1 5
Iit [Tog @ (2, ] 2 0.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 155
On peut d'ailleurs disposer de la nouvelle variable z' de façon que ¢, soit
arbitrairement grand, et par suite, (si £, est un point donné de l'axe réelle
(5, <¢,), et i la valeur correspondante de 5j) de façon que lon ait
r| Ar
IS Ri log €7 i A )],
0
(9) kn) low
fr
k, étant un nombre inférieur à k. Nous concluons de la qu'il existe entre
5, et £ des points £ tels que l'on ait
d log G (8) n,
(10) Zi an | > h x
dz - e
en effet, sil n'en était pas ainsi, l'intégration du premier membre de & à
5, donnerait
Blog G,(é, ] = It [log €, (£,)] k,n, log 7 <o,
0
y Fy
ce qui est contraire à nos hypothèses.
Nous pouvons affirmer en outre qu'il existe des points € où l'on a
simultanément l'inégalité (10) et l'inégalité
I [log G,(£)] > o.
Supposons en effet que cette dernière inégalité ne soit pas satisfaite
aux points € définis plus haut; comme elle l'est au point £ , il existera sûre-
ment entre & et 5, des points # où la fonction [log G,(¢)] sera positive
est croissante: l'inégalité (10) sera done satisfaite en ces points, qu'il est
loisible d'appeler ¢.
D'ailleurs les inégalités (7) et (8) sont toujours vérifiées en £, et l'on
a n,X€w (puisque £7 £). Il en résulte que l'on a simultanément les
inégalités
ng lt [log @(&)] > hn’, ii| | > (E— &)7.,
h et k— kh, étant des nombres positifs finis, ce qu'il fallait démontrer,
156 P. Boutroux.
I 2
2. En supposant l'ordre p de G(5) non entier, nous pouvons com-
pléter encore le résultat précédent. Nous avons vu que pour une infinité '
de valeurs de + indéfiniment croissantes, on a
|o (8| « e^" et de méme |G,(£)| € e^" (A, potitif fini),
w ayant la méme signification qu'au S 11.
Supposons, en particulier, ces inégalités satisfaites pour z réel est égal
à £. Nous voyons alors qu'une condition suffisante pour que l'inégalité
(9) soit vérifiée est que l'on ait
ky lore SE NUE,
ou
ce qui laissera fini le rapport
So
Sachant que ce rapport est fini, nous constatons d'abord, (d'aprés le
théoréme fondamental démontré dans la premiere partie), qu'en tout point
€ compris entre & et £, l'on a” comme en &,
|G,(&)| ecu (h, positif. fini).
D'autre part, nous savons (S 8) que l'on a, dans une infinité d'inter-
valles partiels compris entre &, et £, l'inégalité
G'(&y n' log n° lo tos
(12) zl Gs | < ik, aan (k, positif fini).
Je dis qu'en une infinite de points € cette inegalite sera satisfaite
méme temps que les inégalités (11).
Supposons en effet qu'en un point &’ ees dernières inégalités soient
seules satisfaites, et donnons maintenant à »' une valeur fixe proportionnelle
à mj. Appelons §; la premiére valeur de £ supérieure à $' pour laquelle
our toutes, si Ja croissance de G(z) est régulière.
I , g
pour 7 f, comme pour v £, le rapport de »' au nombre » du $ 3 est fini.
Sur quelques propriétés des fonctions entieres. 157
-
on ait l'inégalité (12) (€{ peut être cette fois plus grand que £,, mais le
dir
rapport 7 est fini, en vertu du théorème du $ 8). Au point =; l'on a
|
)
n[" log GE | 1: n' log n°
1 - |! "
dé et
et en méme temps
R[log 6(51)] > An’,
puisque la fonction Rflog G(5)] n'a pas cessé de croître dans l'intervalle
,
£. D'ailleurs, le rapport 7' étant fini, on aura toujours
0
[G(&)] < e^".
=
*
13. Si nous revenons maintenant à la variable z et si nous rempla-
cons € par sa valeur 7, nous pourrons interpréter comme il suit les iné-
galités précédentes.
Si @(z) est une fonction entière d'ordre non entier et »' le nombre
défini au S 11, on aura simultanément pour une infinité de valeurs de z
s'éloignant indéfiniment de l'origine, légalité
eG (a) pS. en
(h étant un nombre positif fini et « un angle compris entre O et 27) ef
l'égalité
R[e'^G'(z)] = pe em
p étant un nombre positif supérieur à un nombre fini et inférieur à log.
Cette proposition permet d'étudier la croissance de la fonction 5» de
r, lorsque le produit @(z) est défini par une équation différentielle du
premier ordre à laquelle il est supposé satisfaire. On substituera dans
l'équation aux expressions e^6G(z) et R[e”@’(z)] les valeurs qui viennent
d’être données, et l'on ealeulera »' en égalant le résultat à zero.
14. Les propositions précédentes ne fournissent, certes, que des ren-
seignements très vagues sur l'allure générale de la fonction g(z). Mais
elles mettent en évidence l'existence de certaines régions qui offrent quel-
que intérêt au point de vue théorique. Dans ces régions l'influence per-
turbatrice exercée par les pôles sur la croissance de la fonetion est la même:
155 P. Boutroux.
que si la distribution de ces pôles était uniforme: C'est ce qu'expriment
les inégalités (3). Il existe par suite des portions étendues du plan (par
rapport auxquelles toutes les autres seront négligeables si l'on se contente
de l'inégalité (4)) où l'influence des pôles sur l'ordre de grandeur de la
fonction est, elle aussi, négligeable. Cet ordre de grandeur dépend. wnique-
ment de la nature de la singularité essentielle dont on s'approche, exactement
comme il arrivait pour les fonctions entières. On voit par là que le mode
de croissance de g(z) est bien un élément fondamental de cette fonction,
indépendant de la situation particulière des pôles.
Des considérations de cette nature sont nécessaires pour justifier l'étude
de la croissance lorsque l'on a à faire à des fonctions méromorphes. Elles
sappliquent en revanche à des classes de fonctions beaucoup plus étendues
que celle des fonctions g(2).
Considérons par exemple une fonction méromorphe qui n'ait que des
pôles simples, /es résidus correspondants: étant des nombres. finis. Il est
facile d'étendre la notion de genre à de telles fonctions. Si lon a une
fonction de la forme
A ^ b;ar
(13) f(z2)= > X — + MHz),
)
I a} (z — (4)
H(z) étant un polynôme de degré p——1 au plus, et la somme X étant
absolument convergente dans tout le plan, excepté aux points singuliers
1
(;,, on pourra dire que la fonction ' f(2) est de genre p.
Les nombres D; étant tous finis, il est clair que /(2) satisfait, dans
les mêmes conditions que 4(z), aux inégalités (1), (2) ou (4).
Si lon voulait généraliser encore ce résultat, il faudrait supposer que
une fonction croissante de l'entier
b, au lieu de rester fini est, comme «;,
i. La méthode des paragraphes précédents s'appliquerait encore à ce cas.
' Si lon adopte, pour les fonctions méromorphes, cette définition du genre, les
fonctions méromorphes de genre p ne seront qu'une catégorie trés particulière de la
classe des fonctions qui s'expriment par le quotient de deux fonctions entiéres de genre
p. La plupart de ces derniéres fonctions seront, à notre point de vue, de genre infini;
car leurs résidus deviennent généralement infiniment grands avec r. On rencontre de
graves diftieultös lorsqu'on essaye de développer de telles fonctions sous la forme (13).
Cette forme de développement a été étudiée par M. Borer dans un important mémoire
publié en 1901 dans les Annales de l'Ecole Normale Supérieure,
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 159
Les dérivées successives de quz.
15. Pour rendre les résultats précédents applicables à l'étude des
équations différentielles algébriques d'ordre supérieur au premier, il faut
étendre nos considérations aux dérivées successives de la fonction g(2).
La proposition du $ 3 se laisse aisément généraliser. On a
; zP 1 zP
qa) = |» ==
— a! (z — aj) at(a — aj)
Nous bornant au cas où l'ordre o du produit infini (7(z) n'est pas
entier, supposons qu'il existe un angle fini ; ayant son sommet à l'origine
et ne contenant aucun des points 4,, on aura, lorsque z est dans l'angle
t de méme bissectrice:
lz— af > rl a. [2.7
et par suite
r
; ‘ IU ^ I
OP d X e
sin 3
2)
Or nous avons déterminé au § 3 une limite supérieure de la somme
qui figure dans le second membre. Si nous introduisons de nouveau la
fonction (xr) de ce paragraphe, et si nous posons
d (n) = vr (y fini)
nous aurons
Wi) < Ie neto),
h et h, étant des nombres finis, et e(r) désignant comme au-8 3 la fone-
tion inverse de d(/).
Le méme raisonnement s'appliquant a une dérivée quelconque de
qz), on aura
i
dto) «As = gto
rat! 17
160 P. Boutroux.
h et h, étant finis En d'autres termes, on a le droit de dériver autant
de fois quon le veut l'inégalité (1). Cela n'était, comme on sait, nulle-
ment évident à priori.
16. Ces résultats si simples ne subsistent malheureusement pas dans
le cas général ct il n'existe pas d'angle fini 7 ne contenant aucun pôle
de la fonction. Nous allons, pour étudier ce cas général, faire appel à des
considérations analogues à celles du § 6. La difficulté du probléme pro-
vient, ici encore, des póles qui sont voisins du point z ot l'on considére
la fonction. Nous pouvons done, pour un instant, faire abstraction des
autres póles.
Soit À une aire proportionnelle à //*;* et contenant le point z. La
forme de cette aire n'important pas ici, je supposerai qu'elle est un carré
de côté égal a Hr. Soit » le nombre des pôles de g(z) contenus dans
ce carré, et soit N un entier tel que l'on ait, par exemple N° > 32».
Décomposons le carré A en N° petits carrés tous égaux ayant leurs côtés
paralléles. Nous désignerons ces carrés par
A chaque pole a;
1
contenu dans <A je vais faire correspondre un
certain nombre de carrés D que jexclurai du champ de la variable z.
Cette correspondance satisfera à la condition suivante: si z est un point
quelconque du champ conservé, l'un au moins des carrés correspondant à
a, aura tous ses points plus voisins du point 7 que n'en est a,. Pour
établir une telle correspondance entre les pôles a, et les carrés b, je pro-
cèderai comme il suit, ombrant au fur et à mesure les carres choisis.
Soit a, un pôle situé dans le carré 5,: nous ombrerons, s'ils ne le
sont pas déjà, le carré b,, et les huit carrés, 5j... 5j, qui l'entourent.
Si quelques-uns de ces carrés, par exemple 5j, 65, 65, sont déjà ombrés,
nous ombrerons tous les carrós (en nombre inférieur à 16) qui touchent
à la figure formée par D, 0j, 5;, bj. Mais il se pourra que dans certaines
direetions les carrés qui avoisinent immédiatement cette figure soient eux-
mêmes déjà ombrés: voici alors comment on operera. Menons par 4, les
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 161
parallèles aux côtés du carré À, et divisons chacun des quatre angles
droits ainsi formés en quatre angles égaux; nous formons ainsi seize angles
dont je considérai l'un en particulier, l'angle wa; par exemple. "lracons
ensuite des cercles J’ de centre a; et de rayons croissants, et soit /j le
premier de ces cercles qui touche, dans l'angle wa;w', à un carré non
encore ombré, J’, détermine dans l'angle w«;w' un secteur c,a,c, tout
entier extérieur au carré 5b,. Si alors z est un point quelconque situé
dans une région non ombrée de l'angle wa;"', il est clair que tout point
de 5, est moins éloigné de z que le point «;. Désignons en effet par Ir
la distance de a; à z, par r le rayon a;c, et par p le côté de b,. f étant
un point quelconque du carré 5,, nous pouvons remplacer le chemin /?
par un chemin, plus long, ainsi composé: un segment fe, paralléle à l'un
des cótés de 5,, dont la longueur est inférieur à p, un are ed de la eir-
conférence de centre a; passant par e, are dont la longueur est inférieure
PLN / H 4 > '
à wg r <r’<r-+ p), enfin un segment dz du rayon a;z, égal à KR — »*.
Le chemin total est inférieur a
R— rs — ) + ©
/
[o2]
et par suite à A, du moins si > > 2p. Or lorsque + < 29 nous retombons
dans le eas simple traité plus haut où certains carrés avoisinant immédiate-
ment soit 5,,, soit les huit carrés qui l'entourent ne sont pas encore ombrés.
Ecartant ce cas particulier, nous voyons que si dans chacun des seize angles
qui entourent 4,, nous faisons correspondre à ce pôle un carré tel que b,,
la correspondance ainsi établie satisfera bien aux conditions voulues.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 15 octobre 1905. 21
162 P. Boutroux.
plusieurs carrés jouissent de la méme propriété que 5,, on choisira
l'un quelconque d'entre eux. Si a, est un pole multiple on. recommencera
l'opération précédente en supposant ombré le carré 5,
17. Cette suite d'opérations fait correspondre à chaque póle a; 16
2 : B ‘ : N?
carrés 6 au plus. Si done N?> 32», il restera finalement plus de
carrés non ombrés. Il y en aura done, parmi ceux-ci, dont tous les points
seront à une distance du contour de l'aire A supérieur à „Hr, 7 étant
un nombre fini. Soit z un point d'un tel carré. Ce point jouit des pro-
priétés suivantes: les pôles les plus rapprochés de z en sont à une distance
= Ha; , ; :
supérieure à > et ils sont au nombre de 8 au plus; d'une manière géné-
: : BG x jr
rale, le nombre des pôles dont la distance à 2 est inférieure à H i: est
inférieur au nombre des carrés 5 dont les points sont à une distance de z
égale ou plus petite; ce nombre est done inférieur à 47(7 + 1). Modifions
alors la disposition ordinaire des indices des pôles situés dans l'aire A et
classons ces pôles d’après leur éloignement du point 2. Nous aurons
Bares TP |z— «|» HS:
le— a; 4 | > ee ink © |2— aay vel z Hc
^ : = £ > jr ,
le nombre des pôles dont la distance à z est comparée a HT étant égal
à 8j. Jj croit de 1 à y et l'on a 2u<yv.
On déduit de là les inégalités
I N, N*
zs |^ Ys B ec
= Z— yd ,
^ I N° rg
(14) H?\ E ;« > 8s. <a it F3 log n (k nombre fini)
2 a
n ra rs
a DORE ur uie x Lu (k, nombre fini)
$e daz Qi mtt
et ainsi de suite.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 163
On peut interpréter simplement ces inégalités en disant qu'au point
2 les sommes précédentes ne peuvent dépasser la valeur qu'elles prendraient
si la distribution des pôles «a, était uniforme, c'est-à-dire si chacun des
carrés D sauf ceux (au nombre de 9) qui avoisinent immédiatement z con-
tenait un póle et un seul.
18. Ces divers résultats étant acquis nous pouvons calculer au point
2 une limite supérieure des modules de g'(z) et de ses dérivées.
Considérons la somme
= zh
— al (a ai)
est fini.
Y" « pot 2
Lorsque 4, est dans l'aire A définie plus haut, le rapport B
t
La somme XN correspondant aux pôles situés dans 4A est done inférieure,
-
x
en module, à
hN* ER
Hip? log n (h positif. fini).
Vie 3
» étant le nombre défini au § 5, le rapport yr sera sürement inférieur à
L
un nombre fixe, si lon prend, par exemple, pour N: le plus petit carré
de nombre entier supérieur à 32». Si alors nous supposons fini ' le nombre
H, le module de la somme Z sera inférieur (puisque 25 < y) à
n' log n'
1 r?
h (h^, positif fini).
Considérons maintenant les pôles restants et d'abord ceux (en nombre »;)
dont le module est inférieur à r. Pour chacun de ces póles, on a
|z—a,| > kr (k positif fini).
Par suite, si lon suppose que l'ordre p du produit de facteurs pri-
maires G(z) n'est pas entier, on aura
n Ar
I MES SA cn dc ife.
rey - ar X es pp (c positif. fini).
zur rijz—a,| i my r7
n étant toujours le nombre défini au § 3.
' On obtiendrait d'autres théorèmes si l'on supposait que le nombre H croit in-
définiment avec r. Cf. 8 I9 et § 26.
164 P. Boutroux.
Pour les pôles de module supérieur à r, qui sont extérieurs à l'aire
A, on aura
|2—2«;| > kr, (k positif. fini).
3
La somme X correspondante sera donc inférieure, en module, à
Pl I 1 en en
Bis ou à - (c, positit fini).
Tm “en n'
—— <h- 2th, (h, h, positifs finis).
a0, 2 (2 — aj* r
D'ailleurs la somme
égale à |
est sürement, au point z, inférieure au second membre de
cette inégalité.
Nous pouvons alors énoncer le théoréme suivant:
l'ordre de G(z) west pas entier, il existe une infinite d'aires indé-
finiment éloignées de l'origine, où l'on a
n E n
(15) lg (| « ^
h restant inférieur a un nombre fixe, et n ayant la méme. signification
qu'au S 3.
Si l'ordre o était entier, on déterminerait le nombre » comme au § 22
ou au S 23 de la premiere partie, et l'on remplacerait l'inégalité (15) par
b 3 , t x
une inégalité de la forme
h, nw loge n
lg (2) | < m7 + = = (k entier, ^, h, positifs finis).
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 165
On vérifie d'ailleurs aisément en se reportant aux sommations précé-
dentes que l'on a dans tous les cas
, '
og n
g'(z)| <h La. Du d ee
y
, I
s tendant vers zéro avec
19. Insistons maintenant sur le cas où l'ordre p n'est pas entier.
à , . : , " N AS
Il résulte de la démonstration du § 18 que si le rapport - est fini, (nous
N
avons vu qu'on peut prendre en tout cas N° proportionnel à 32»), la somme
des carrés partiels dans lesquels l'inégalité (15) est satisfaite est dans un
rapport fini avec l'aire totale A. Si l'on remplacait la constante h par
une fonction croissante de », par exemple par loglog», on pourrait aller
plus loin. Considérons par exemple le cercle € de rayon > ayant son centre
à l'origine. Je vais montrer que les régions de l'aire C dans lesquelles
l'inégalité
n log n . log, n
2
(16) |y'(az)| <
)
west pas vérifiée ont une somme infiniment petite par rapport à l'aire totale €.
Supposons en effet que le côté du carré A soit égal à ar, le nombre
a étant arbitrairement petit avec =. Pour tout pôle a, situé en dehors de
l'aire A on aura les deux inégalités
|z—a;| > ar, |z—a,| > afr; (k, positif fini).
Si done dans le paragraphe précédent on fait 5 — ak, on constatera que
la somme X correspondant à ces divers pôles est inférieure à A (c positif
fini). Faisons d'autre part au S 17 N — », H — 2. La seconde inégalité
(14) nous montre que l'on a dans certaines régions de .1
v 2
I hn? log Y ONES
— a — (h positif fini).
oD sae CT |
12(2]
On vérifie de méme que, dans les régions considérées le rapport
=
166 P. Boutroux.
est inférieur au second membre de cette inégalité. Il en est par suite de
méme ! de |s'(2) .
Faisons en particulier 4 =~ ; l'inégalité (16) se trouve satisfaite
vlog, n
dans certaines régions de l'aire A. Or il est clair que quelle que soit la
situation du carré A dans le cercle €, le nombre v des pôles qu'il contient
deviendra, lorsque r croitra, infiniment petit par rapport à N: il ne pourra
en être autrement que pour un nombre limité de carrés À dont la somme
est elle-même infiniment petite (avec -) par rapport à l'aire totale du
;
cercle C. — D'autre part, si i est très petit, le rapport a À de la somme
des carrés partiels d où l'on a les inégalités (14) tend vers l'unité. C'est
bien le résultat que j'avais annoncé.
20. Une méthode identique permettra d'étudier la fonction g'"(2) et
ses dérivées successives. Nous pouvons done, sans reprendre la suite des
raisonnements précédents, énoncer les résultats suivants qui résultent des
inégalités (14).
Il existe des aires indéfiniment éloignées de l'origine où Pon a, en meme
temps que l'inégalité (15) les inégalités
e
(17) |2"(2)| <A, -Y = lo" (2)| € ^, = 2
3
h, et h, étant. des constantes positives finies.
De méme, en raisonnant comme au § 19, on constatera que dans des
régions du cercle € dont la somme a avec l'aire totale € un rapport tendant
vers l'unité, on aura en méme temps que l'inégalité (16) les inégalités
' Si l'ordre p était entier, il faudrait également diviser par a’ la limite obtenue
au $ 18. On a, en tout cas, dans certaines régions du carré A de côté ar l'inégalité
hn? log v
c
f AN - xy
Ig (ol < ar Ta ,
I
: tendant vers zéro avec
?
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 167
a 3
»
= (log 1)"
(18) lg" (z)| < petenda" (n |
n" (log, n)*
p
log,» peut d'ailleurs être remplacé par log, », ou par une fonction de »
croissant moins vite encore.
La méthode qui vient d'étre employée est susceptible d'autres applica-
tions encore. On peut l'employer pour déterminer une limite supérieure du
module de la fonction g(z) elle-même et l'on obtiendra ainsi une limite
plus précise que celle à laquelle nous sommes parvenus plus haut, (dans
des régions moins étendues il est vrai).
Il résulte en effet de la premiere inégalité (14) que s; l'ordre p du produit
de facteurs primaires G(z) west pas entier l'on a en méme temps que
l'inégalité (15) l'inégalité
lo(2| «^^. — (4 positif fini).
Cette limite est particulièrement intéressante lorsque la fonction g(z) est
à croissance régulière. Designons par #,(r) le module maximum (pour
|| ^») de g(z) dans les régions où l'on a l'inégalité (15). Nous pouvons
p
^ “ye ^ à . . T
compléter la proposition énoncée au § 10 en disant que si le rapport. —
"n
reste, quel que soit vr, inférieur à un nombre fini, il en sera de méme du
.p—1
m.(r) ©
rapport
21. La notion de croissance régulière s'étend immédiatement à la
fonction g'(z) et à ses dérivées. Considérons par exemple, la fonction g'(z).
Appelons m,(r) son module maximum (pour || — 7), dans les régions où
m,(r)
le
les inégalités (17) sont satisfaites et supposons que le rapport reste
à partir d'une certaine valeur de +, compris entre deux nombres finis.
On peut dire alors que la croissance de $'(z) est parfaitement régulière.
Dans ce eas, nous démontrerons, en raisonnant comme au § 10, que
l'on a à partir d'une certaine valeur de à
"ieMlogi (h’ positif fini).
L
1658 P. Boutroux.
22. Les divers résultats que nous venons d'obtenir s'étendraient
. RE x ^ . ^ ELA. d
immédiatement à des fonctions méromorphes plus générales que la fone-
tion g(z) et ses dérivées. Considérons comme au § 11 la fonction méro-
morphe que l'on pourrait appeler fonction de genre p
E bz? /
{em Sg CANTI
a} (z — aj)
H(z) étant un polynôme de degré p — 1, et les b; étant tous des nombres finis.
Nous avons vu que le module [f(z)| a méme limite supérieure que |g(z)|. On
constaterait de méme que Ir z)| : Abe) le ... Satisfont dans les mémes con-
ditions que |g'(z)], |g"(z)| ; ... aux inégalités (15) et (17) ou (16) et (18).
23. Le module des fonctions g'(2), g"(2) , ... atteint-il effectivement
la limite supérieure que nous lui avons assignée? Il est certain que ce
module prendra des valeurs arbitrairement grandes si l'on approche suffisam-
ment d'un pôle. Mais, si l'on entoure chaque pôle d'un petit cercle |5'(2)|
pourra-t-il atteindre sa limite supérieure en dehors des petites aires ainsi
formées? Pour répondre à cette question, nous remarquerons que la pro-
position du § 9 se généralise trés facilement.
On a
horn) p Mes LL Pl)
> .)2 2 3 APE D —2
(2 — ai) a; a at
Considérons alors l'intégrale définie
| eg (z)dz,
en désignant par € le contour d'un cercle ( de rayon r sur lequel la fone-
tion g'(z) est continue, et soit # le nombre des pôles de g(2) contenus
dans ce cercle. Ces pôles sont aussi ceux de la fonction — zg'(z) et les
résidus correspondants sont égaux à l'unité. On a done
/ ag'(a2)da — w'.
'
"n
D'où nous eoneluons qu'en certains points de la circonférence € on a
rl q'( :)| > nN,
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 169
La méme méthode s appliquerait évidemment à une dérivée quelconque
on prouverait qu'en
,
de g(z). Ainsi, en considérant l'intégrale J 2*9? (z)dz
J
certains points du cercle €, on a
n°
\g) =
lo (z)| > rath:
Au lieu d'intégrer la fonction — zg'(2) le long du cercle €, on pourrait
l'intégrer le long d'un contour fermé quelconque sur lequel cette fonction
est continue. Si la longueur du contour est yr, le nombre des zéros en-
veloppés z,»', z et 7, étant des nombres finis, on aura en une infinité de
1
points du contour considéré
(19) Ire)»
Cette inégalitó est satisfaite le long de lignes telles que tout contour
satisfaisant aux conditions précédentes soit traversé par une infinité d'entre
elles. Ces lignes ne peuvent donc pas être contenues tout entières à l'in-
térieur de petits cercles entourant les póles. L’inégalité (19) est bien carac-
téristique de la fonction méromorphe g'(2). L'application suivante va nous
permettre d'ailleurs de nous en rendre mieux compte.
24. Posons
— 92) — yy
et Supposons que jy satisfasse à une équation différentielle de la forme
y"
= 2y? +u
4 étant une fonction quelconque de z, connue ou inconnue, qui s’efface
devant les deux premiers termes de l'équation lorsque z s'approche d'un
pole de y. En d'autres termes la fonction w est telle que le rapport E
tende vers zéro, lorsque z tend à se confondre avee l'un des póles de y.
Je vais chercher à déterminer les rayons des cercles dont il faut
entourer les póles pour que la perturbation apportée par eux dans la crois-
sance de y ne se fasse plus sentir en dehors de ces cercles, c'est-à-dire
pour que les grandes valeurs de y ne dépendent plus, dans la région respectée,
que des théorémes généraux.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 16 octobre 1909 9:
to
170 2 P. Boutroux.
Étudions la fonction y au voisinage de l'un de ses pôles sans nous
préoccuper d'ailleurs de savoir dans quelle mesure ce pôle est isolé. Ex-
eluant du domaine étudié l'entourage immédiat du pöle, désignons, d'une
maniére précise, par @ et A deux nombres positifs (qui pourront, en méme
temps que > dépasser tout nombre donné), et tels que les inégalités
(20) ly| > & et (21) |y| < ar
entrainent autour’ d'un point z, où elles sont satisfaites, l'inégalité
Jul<ely|’,
= étant un nombre positif donné, arbitrairement petit.
Considérons un chemin z,2, dont la longueur soit à un facteur fini
prés égale à |, — 2|, le long duquel les inégalités (20) et (21) seront
supposées satisfaites. On a, le long de ce chemin
y” $ ‘
— = I o avec (Bl) =
Fl 1°]
D'où, par intégration
I I
Je hie = 2) eal T.
le rapport — étant fini.
Cela posé, étudions y au voisinage d'un point z, où l'on ait
y, = GA,
| A| étant compris entre un nombre fixe supérieur à 1 et un nombre erois-
l ' I as <
sant /, tel que le rapport 7 devienne avee - inlérieur à tout nombre donné,
P"
Faisons
‘
a —8, =
| 2
c'est-à-dire le long d'un chemin quelconque issu de z,, tant que les inégalités
20) et (21) seront satisfaites sur ce chemin.
Sur quelques propriétés des fonctions entieres. 171
et supposons que les inégalités (20) et (21) ne cessent pas d'étre vérifiées
le long du chemin 2,2. On aura en z,
I (t +ö)T+ 1
= ;
vY VYo
Le numérateur du second membre aura un module fini (non infiniment
petit) si r est, dans son plan, en dehors d'un cercle de rayon fini ayant
son centre au point —1. Il faut pour cela que z soit en dehors d'un
1 : I 4 : h
cercle 7 qui a son centre au point z, — _ — et son rayon égal à =",
57 * & m
“VM va ||
CUS I .
(h positif fini; par exemple A <-, de sorte que le point z, est en dehors
du cercle 7).
Soit alors z en dehors de 7 et à une distance de son centre égale a
"
k ; ty! -
la [ii (k positif). On déduit de (22) les inégalités
V OLA
)
ou
alil
(23) I»| < Gap
et
| e| ze
(24) lvl = ü 3 eye f fini).
Pour que les inégalités (23) et (24) soient vérifiées le long d'un chemin
ne traversant pas 7, il suffit que les inégalités (20) et (21) ne cessent pas
d'être vérifiées le long de ce chemin. Or, d'après les hypothèses faites
sur A l'inégalité (23) entraine nécessairement l'inégalité (21) lorsque » est
assez grand. D'autre part, l'inégalité (20) est une conséquence de l'iné-
galité (24) tant que l'on a
(1 + €})7k? « [A].
I
(re)
Le long d'un chemin 4,2 (ne pénétrant pas dans y) intérieur à a, les
inégalités (23) et (24) entrainent (20) et (21), et d'autre part ces inégalités,
Considérons alors un cercle à de centre z, et de rayon égal a
172 P. Boutroux.
satisfaites en z,, ne peuvent cesser d'être vérifiées avant (20) et (21). Elles
sont done satisfaites dans toute la portion du cercle e extérieure au cercle 7.
Désignons maintenant par @ un nombre positif qui croitra indéfini-
: à : este l
ment avec 7, mais moins vite que /, (c'est-à-dire tel que le rapport +
a
croisse aussi indéfiniment), et tracons à l'intérieur de & un cercle concen-
2 : I s
trique à ayant pour rayon x V F-—. Je remplacerai ce cercle, pour
/ ) / ,
7 (1 €,) Vo
simplifier, par le plus petit cercle c de centre z, qui le contient, cercle
En hes I € Ed
dont le rayon est manifestement supérieur à duc i (= fini). Lorsque
= I—Ee,)Vaw €, .
2 est sur le contour du cercle c, on a
b> Vfl,
— Ds; a
On aura par suite sur ce contour, en vertu de (23), l'inégalité
(25) lu] < «o.
Si maintenant nous sortons du cercle ¢ pour nous rapprocher du contour
de v, le nombre % qui figure dans l'inégalité (23) continuera à croître, et
l'inégalité (25) ne cessera pas d’être vérifiée. Elle est done vérifiée dans
toute la couronne comprise entre ¢ et a.
Cela posé, considérons la couronne D limitée par les cercles de rayon
r, et zr, (9 nombre fini plus grand que 1, par exemple 7 = 2) ayant leur
centre à l'origine. Je supposerai que l'on sache déjà (par exemple en vertu
du théorème du S 18) que l'on ne peut pas avoir dans toute la couronne D
ll > o1.
Si l'inégalité (25) n'est pas satisfaite dans toute la couronne, on pourra
sûrement trouver à son intérieur un point z, où l'on aura
ao € |y| < o.
A ce point correspondront un cerele 7,, un cercle v,, de rayon supérieur
' Le rayon de c deviendra infiniment petit par rapport au rayon de c lorsque r
et a augmenteront indéfiniment,
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 173
UI
à =, entourant z, et 7, et un cercle s, entourant ¢,. Sur le contour
vao
de e, on aura l'inégalité (25).
Supposons encore qu'en dehors du cercle ¢,, l'inégalité (25) cesse d'être
vérifiée en certains points de la couronne D. Joignons l'un de ces points,
>, au contour de e, par un chemin (extérieur à c,) sur lequel y est con-
"13 1
tinu. Il existe nécessairement sur ce chemin un point z, ou |»] est compris
entre a@ et @l,, nous construirons alors comme plus haut un cercle e, de
rayon supérieur à entourant z;, et sur le contour duquel on aura
I
vao
l'inégalité (25). Ce cercle est tout entier extérieur au cercle c, ; en effet,
d'après ce qui précède, le point z, ne peut se trouver à l'intérieur du cercle
s, , concentrique à ¢,; or le rapport du rayon de o, à celui de c
1) aug-
mente indéfiniment avec r.
1
Nous répéterons la méme opération autant de fois qu'il sera nécessaire.
S'il existe ‘dans D, en dehors des cercles ¢ déjà tracés, un point z, où
l'on n'ait pas l'inégalité (25), nous on conclurons (en joignant z, au contour
d'un cercle c) qu'il existe encore (dans D) en dehors des cercles e, un point
où |y| est compris entre a@ et àX,; nous entourerons alors ce point d'un
nouveau cercle c, qui est extérieur à tous les autres, et sur le contour
duquel on aura l'inégalité (25). Lorsque l'opération aura été répétée un
certain nombre ' fini de fois il n'existera certainement plus de point z, en
dehors des cercles c; en effet nous avons une limite inférieure des rayons
de ces cercles, et nous savons d'autre part, qu'ils sont tous intérieurs les
uns aux autres; le nombre des cercles ¢ que peut contenir la couronne 1)
est done nécessairement fini. Ainsi lorsque nous aurons achevé la construc-
tion des cercles c, nous pourrons affirmer que l'inégalité (25) est satisfaite
en tout point de la couronne D intérieur à ces cercles.
Appliquons maintenant à la fonction y le théorème du § 23. Pour
cela, tracons dans la couronne D une courbe fermée /' entourant l'origine
qui sera assujettie aux deux conditions suivantes: elle ne traversera aucun
a Eh Se x 2
' Tous ces cercles e, sont contenus à l'intérieur d'une aire égale à z7'*r; ( fini),
x
et l'aire de chacun d'eux est supérieure à Le nombre des cercles c est donc plus
aeo
petit que 7°a@r;.
174 P. Boutroux.
cercle c et sa longueur sera proportionnelle à »,. Pour constituire la
courbe 7’, nous tracerons par exemple un cercle C ayant son centre à
l’origine et son rayon égal à yr, (1 €», «€ et si ce cercle rencontre
5 5 JY» 1 ,
un cercle c; aux points «a,b;, nous substituerons à lare a;b; de € le plus
petit are a,b, de ¢,. Les cercles ¢ étant tous intérieurs les uns aux autres,
la longueur du contour /' ainsi formé sera inférieure à y,z’r.
t 1 1
D'aprés la proposition du § 23, on aura, en une infinité de points
] b D) )
du contour I’
Dn
| > —
A 7T
n° désignant le nombre des pôles dont le module est inférieur à r,. Nous
en concluons que l'on a
n LT IS
ce qui est le résultat que j'avais en vue.
J'ai supposé, dans ce qui précède, que la couronne /) contenait des
points où |y| > «o. S'il n'en était pas ainsi, c'est que l'on aurait l'iné-
galité (25) dans toute la couronne, et lon arriverait alors immédiatement
au résultat précédent.
Je vais appliquer ce résultat aux fonctions méromorphes récemment
découvertes par M. PaiNLEVÉ. La méme méthode s'appliquerait évidem-
ment à des équations différentielles plus compliquées que celle dont nous
sommes partis. Elle consiste à distinguer parmi les grandes valeurs d'une
intégrale celles qui s'expliquent par le voisinage d'un póle et celles qui dé-
pendent de la nature analytique de la fonction, caractérisée ici par son ordre,
Application aux fonctions entières de M. Painleré.
25. M. PaINLEVÉ a déterminé récemment toutes les équations diffé-
rentielles de la forme
DU ee),
où f est rationnel en y’, algébrique en x et y, qui ont leurs points eriti-
ques fixes. Parmi ces équations il en est de particulièrement intéressantes:
ce sont celles dont les intégrales sont des fonctions méromorphes nouvelles
qui ne sont réductibles à aucune transcendante connue. Une trausformation
Sur quelques propriétés des fonctions entières 115
rationnelle en y et algébrique en x ramène ces équations a trois types
canoniques très simples dont je considérai d'abord les deux premiers, ré-
servant le dernier pour la troisième partie. Cos deux premiers types sont
(26) y' —6y! +2
et
y" = 2y^ + zy t c.
M. ParNLEVÉ a démontré que les intégrales de ces équations sont des
fonetions méromorphes: on les rattache trés aisément à des fonetions en-
titres vérifiant une équation différentielle du troisième ordre. On a en
effet pour l'équation (25)
où # est encore une fonction entière. Ces résultats étant acquis, l'étude
complète des transcendantes nouvelles y et w doit commencer par la dé-
termination de leur mode de croissance. De cette croissance dépendent en
effet et l'approximation avec laquelle # sera donnée par un développement
en série limitée, et la répartition des zéros et le genre de cette fonction.
Or les propositions générales que j'ai obtenues plus haut sur la fone-
tion g(z) vont faciliter l'étude de la croissance des fonctions y et w. Cette
étude peut d'ailleurs être faite directement, comme l'a fait savoir M. Paty-
LEVÉ dans deux notes insérées aux Comptes rendus de l'Académie des
Sciences.
26. Considérons d'abord les intégrales de l'équation (26) et posons
(27) y= —g3 (co) la)
g(z) étant la dérivée logarithmique d'un produit de facteurs primaires G(z)
et /(z) une fonction entière. Nous d^signerons par 7’ le nombre des pôles
de g(z) dont le module est inférieur à r.
116 P. Boutroux.
Je vais d'abord démontrer que l'on a à partir d'une certaine valeur de r
(28) n «y
(v)
@(r) désignant une fonction croissante quelconque de 7 qui croitra, par
exemple, comme log,r (q entier) ou moins vite encore.
L'équation (26) équivaut à la suivante
2 *
(29) — = 2y' + ey — f (2), f(z) = | yde.
Considérons 2 à l'intérieur de la couronne D comprise entre les cercles
de rayons zr, et r, (7 > r, par exemple 7 — 2) et désignons par p un
nombre qui sera fixe dans cette couronne, mais qui deviendra infiniment
grand en méme temps que 7,. Soit d'autre part ¢ un nombre donné, ar-
. . . . TT « I
bitrairement petit, inférieur par exemple à —
VA
Si l'on a
(30) Iv| > pvr,
3
\ 35.2
(31) | f(z) | < se’r!
l'équation (29) se présente sous la forme
y^
(32) P = r-pó ave [él <e.
D'ailleurs, si en un point z, on a les inégalités
(31°) |/(2)| < £ ur
et
(33) || < = a vr, (k positif)
l'inégalité (31) sera satisfaite sur tout chemin continu issu de z, et de
longueur inférieur à 7», le long duquel on a l'inégalité (33).
“
Appliquons alors à y les résultats du § 24, en y faisant
E [= 2
© — n yr,, Lem en.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 177
Nous appellerons @ et /, deux nombres compris entre 1 et ey’, tels
l en” x t t ust
que les rapports ' et T- de méme que @, croissent indéfiniment avec 7,.
a
1
Cela posé, admettons pour un instant qu'il existe dans la couronne
D un point z, où l'on ait à la fois
3
apr, < || «lur, et |/(2)] oa kl, pr? ,
2
7 10 . CNP x . enu
k étant un nombre positif fini, inférieur par exemple à l'expression L
3
(qui augmente indéfiniment avec r,). d
Lorsqu'on s'éloigne de z,, il suffit, pour que l'équation (29) conserve
m 0* )
la forme (32) que les inégalités (30) et (31), par suite que les inégalités
(30) et (33) restent satisfaites. Nous nous trouvons donc bien dans les
conditions prévues au & 24, et nous pouvons entourer z, d'une cercle 6,
(dans lequel (30) et (33) sont partout vérifiées, sauf à l'intérieur d'un
petit cercle 7 que lon peut toujours contourner), qui a son rayon pro-
1 1
portionnel à (ay) * 7, '
, et sur le contour duquel on aura
(34) lvl < any.
En intégrant y à partir de z,, on voit que l'on aura sur le méme
contour
3
fa) < (4 + ı)lwi,
car on peut joindre z, à un point quelconque de v, par un chemin de
longueur inférieur à 7.
Comme au § 24, on pourra entourer c, d'un cercle a, concentrique
de rayon m fois plus grand (m croissant indéfiniment avec 7,) sur le con-
tour duquel on aura les mêmes inégalités.
, et qu'il existe dans D, en dehors
Supposons construit le cerele v,
de v, un point où l'on ait les mêmes inégalités qu'en z, (A pouvant avoir
une valeur plus grande qu'en z,, mais toujours finie et inférieure, par
0?
AE . : "E =
exemple, a ai ): nous entourons ce point d'un cercle 6, extérieur à G, eL
x
de méme grandeur sur le contour duquel on aura encore l'inégalité (34),
et ainsi de suite. Nous avons vu au § 24 que le nombre des cercles c
tous extérieurs les uns aux autres que lon peut ainsi construire est né-
Acta mathematica. 28. Imprimé le 16 octobre 1905, 93
118 P. Boutroux.
cessairement fini pour une valeur donnée de 7, (bien entendu, ce nombre
augmentera indéfiniment avec c,). Imaginons alors que ces cercles soient
tous construits: je dis que l'inégalité (34) est satisfaite dans toute la portion
de la couronne D extérieure aux cercles c.
Supposons en effet qu'elle ne le soit pas en un point z,; joignons 4,
au contour de e, par un chemin proportionnel ' ar, erlérieur à tous les
1 1)
cercles e et sur lequel y soit continu. Il existe nécessairement sur ce chemin
- 1 : N N à "q ^ ) FR RE do p! N " ay
des points où |y| est compris entre anyr, et /,pyr,. Soit 2 le premier
point rencontré (à partir du concour de cj) où il en soit ainsi; |y| ne
cessant pas d'être inférieur à /,gyr, entre le contour de v, et zj, on a
nécessairement en ce point
If(2)] < klar;
|
(k, positif fini, inférieur à Se).
Or, par hypothèse, ces circonstances ne peuvent pas se présenter si
z, est extérieur à tous les cercles ¢. Nous en conclurons que l'inégalité
(34) est nécessairement vérifiée au point z,, extérieur à ces cercles. Nous
pouvons, par suite, appliquer à y les résultats du & 24, et nous constatons
que l’on a
E
n' «& hapr (h positif. fini)
c'est a dire l'inégalité (28), où l'on fait
)
0 = hap.
Pour établir ce résultat, j'ai admis qu'il existait, dans la couronne D,
au moins un point z, où les inégalités
3
j
ap dr, €|v| € hay, et |f) « Hi, (Ex)
étaient satisfaites en méme temps. Je vais montrer qu'il eriste toujours
un tel point z,, à moins que l'on nait dans toute la couronne. D
Ivl< env
est toujours possible de construire un tel chemin contournant un nombre
!' Tl est tfoujoi ible d t tel el tournant un nombre
quelconque de cereles e; voir fin du S 24 et note de la page 180.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 119
Il me suffira, pour cela, de reprendre le raisonnement précédent, en
l'appliquant cette fois à tout le cercle € de rayon yr,, qui a son centre
à l'origine.
Le cerele € peut être décomposé en une série de couronnes DI, D, ...
concentriques à D. Si nous excluons de € un cercle fini entourant l'ori-
gine, les couronnes // seront limitées par les cercles de rayons 7r, 75, ..., 7/3,
r, ayant une valeur finie, et les nombres 75, /5, ... étant déterminés par
les égalités
n-gu nom,
(x a la valeur fixe supérieure à 1, définie plus haut).
Soit, dans la couronne //, un point où l'on ait
3
ap yr € |y| € ln vr, | f(z) | < Hu
(r =|z]; « et p ayant les valeurs définies plus haut par rapport à »,).
On aura, a fortiori, en ce point
3
apv <|y| < have; [f(2)| < nmi?
en posant
3
Url.
On pourra done entourer z d'un cercle &' de rayon proportionnel a
(ag) *r; *, sur le contour duquel on aura
Ly] < au vri
et, a fortiori
Jy | < any.
En procédant alors dans chacune des couronnes D’ comme nous
l'avons fait dans la couronne D, nous pouvons construire dans C des
cercles €’ (en nombre fini pour une valeur donnée de r,), extérieurs les
uns aux autres, et tels que les inégalités
3
apr «€ |v| « lnvr, | f(z) | < Mu?
ne puissent étre satisfaites en méme temps en aucun point de € extérieur
à ees cercles,
150 P. Boutroux.
Cela posé, les nombres «. et y (qui croissent indéfiniment avec 7)
peuvent toujours étre pris assez grands pour que l'on ait en un point fixe
queleonque Z,
ly|< (tft v | Z, |. 1A G)] < ap|Z,| .
Eloignons nous alors de l'origine, et considérons un chemin ! Ad
proportionnel à r(= l2]) et, ne traversant aucun des cercles c’. Le rai-
sonnement déjà employé plus haut nous montre que lo» a nécessaire-
ment en 2
(34) ly] < an vr.
Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi nous appellerons Z le premier
point du chemin considéré où l'inégalité (34) cesse d'être vérifiée; on a au
point Z
|y] = au vr,
et par intégration de Z, a Z
t2] es
[fa] <hr’, (k, positif fini),
1
par suite, a fortiori, si 7 est assez grand
Aa) «tur,
: I, T x EN
puisque le rapport — est suppose croître indéfiniment avec r. Or par hy-
(t *
pothèse ces circonstances ne peuvent pas se présenter si 2 est extérieur
aux cercles €’. Nous en concluons que l'inégalité (34) est satisfaite au
point 2.
Ce résultat, appliqué bien à la couronne D nous conduit à la con-
clusion suivante: ow l'inégalité (34) est satisfaite dans toute la couronne : ou
il existe dans D des cercles € et, par suite, des points 2, répondant aux
conditions énoncées.
C'est bien là ce que j'avais annoncé et l'inégalité (28) est maintenant
complètement établie.
! Pour construire ce chemin, on peut procéder comme à la fin du 8 24. On
mène la droite Z,z, et chaque fois que cette droite coupe un cercle c’ aux points a;b;,
on remplace la corde par la plus petit are ajhj.
Sur quelques propriétés des fonctions entieres, 18]
De l'inégalité (28) nous déduisons aisément que /(z) se réduit a une
constante, ‘Tout d'abord la fonction entière /(2) ne peut être qu'un poly-
nome, En effet, S'il n'en était pas ainsi, on aurait, en certains points du
contour 7' défini au & 24,
|/(2)] rp, (m pouvant dépasser tout nombre donné),
en méme temps que l'inégalité (34), ee qui entrainerait nécessairement
(=) lm m"
ly'(z)| -— ri ,
où m’ peut dépasser (avec 7,) tout nombre assigné d'avance.
Appliquons maintenant a g‘(z) le théorème du S 19 en donnant au
nombre // du & 16 la valeur r * (q positif). Les cétés des petits carrés
p—1+1
b définis au S 16 seront inférieurs à Van? et il en résulte que l'on peut
faire jouer aux cercles ¢ le róle des petites aires dont nous avions au S 16
entouré les pôles de la fonction 5'(2): en effet, dans l'un quelconque de
ces cercles on ne peut rencontrer des pôles qu'à l'intérieur du cercle 7
correspondant; les carrés 5 ombrés autour de ces pôles sont done tous
s OE S nore
contenus dans un cercle concentrique à 7 et de rayon inférieur à Jia
(k positif fini), cercle qui est certainement intérieur au cercle € si q est
assez grand.
On déduit de la (§ 19), en tenant compte de la valeur de 7, que
l'on a l'inégalité
late | e
en tout point de la couronne D extérieur aux cercles e. La fonction /(2)
est done bien un polynóme.
Cela posé, le théoréme du & 18 nous montre plus précisément que,
pour des valeurs de 7, indéfiniment croissantes, on aura en une infinité de
1
points de la couronne D extérieurs aux cercles € l'inégalité
|o) < n' (log a du VA 2 | < Vr, (log F. \1+a
ri
— "E ? I
(a positif arbitrairement petit avec =)
1
182 P. Boutroux.
On voit que cette égalité n'est compatible avec l'inégalité (34) que si /(2)
est une constante.
27. l(z) se réduisant à une constante, l'inégalité (28) exprime, par
definition, que l'ordre de la fonction entière # est au plus égal à 2. Il
r
est aisé de vérifier que eet ordre est précisément
I résulte du 8 18 que l'on a dans une infinité de régions du plan de
la variable z
n' log n’
‚2
eu ay l2" (2| < ho
l2 (2| «^
h étant un nombre positif fini. Le module [y — 65?| sera donc inférieur
(puisque /(2) est une constante) à l'expression
h? n^ (log n?*.
r* 2
en d'autres termes, l'on aura
n? (log n^) 5
. viue \ UT, " > = em
re sc ou X >hr*(logr)' (k positif fin).
Nous pouvons affirmer de plus, qu'à partir d'une certaine valeur de
r cette inégalité est satisfaite quel que soit r. En effet il résulte des
inégalités obtenues au & 20 que s'il n'en était pas ainsi, on aurait dans
une infinité de régions du plan
1
, = 2 "ii à —
lg (ey «en; lg" (2) < e
s étant arbitrairement petit, inégalités incompatibles avec l'égalité (26).
28. On a done, à partir d'une certaine valeur de »
5 5
hr log 1) <n ir Or)
où Ak est un nombre fini et @(7) une fonction croissant aussi lentement
que l'on veut.
Cette double inégalité montre que le module du »""" pôle de y ou
2
ième
du » zéro de la fonction entière # croit approximativement comme 7°
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 153
L'ordre de la fonetion w est
w lin
, son genre est 2. De plus le module maxi-
mum (pour |:| =r) Mír) de w satisfait, à partir d'une certaine. valeur de
r à la double inégalité
el 2 (Yog r)-! < Mir) < pr^ 00).
La fonction entière est done, si lon adopte la terminologie de
M. Boren, à croissance régulière.
29. L'étude du second type d'équations à intégrales méromorphes
signalé par M. PAINLEVÉ conduira à des résultats analogues.
Considérons l'équation
(36) y" = ay? + zy 4r 6.
L'intégrale générale de cette équation satisfait, avons-nous dit, à l'égalité
‚2 "
2 UT —UU
UN az
U
où « est une fonction entière. On a done
y! = —g'(2) + (2)
g(z) étant la dérivée logarithmique d'un produit de facteurs primaires G(z)
et /(z) une fonction entière. #' désignant toujours le nombre des pôles de
module inférieur à 7, je vais d'abord démontrer que l'on a à partir d'une
certaine valeur de +
(37) n' «rti r)
d(r) désignant une fonction croissante quelconque de 7.
L'équation (36) équivaut à la suivante
(38) y? — * + acy + zy! — f(z), f(z) = fy'ds.
Restant placés dans la couronne /) définie au & 26, nous voyons que
si l'on a simultanément les inégalités
(39) lo!» wr,
(40) Irc] < eni
184 P. Boutroux.
(pg. étant arbitrairement grand avee r,, ¢ arbitrairement petit, comparable
x I 7 » 4 ) ^ u
par exemple 9j TJ; l équation (38) se présentera sous la forme
Vu
2
y I dy? = x ^
ez = I avec €.
yo Cs | ded Ilis
D'ailleurs, si en un point z, on a les inégalités
de
(40’) Ifc) < zai
et
(41) |] « air,
l'inégalité (40) sera satisfaite sur tout chemin continu issu de z, et
nz LAE ac ae
longueur inférieur à —! le long duquel on a l'inégalité (41).
z £
e
Appliquons à y* les résultats du § 24 en y faisant
à — Mm, l= ey
et en appelant a.et /, deux nombres, compris entre 1 et ep, tels que les
enu 7 . . » .
I de méme que «a, croissent indéfiniment avec r,.
1
Cela posé, tous les
at
rapports = et
raisonnements faits sur la fonction y du § 24
s'appliquent iei à
| la fonction y”, avec cette seule différence que y», est
remplacé par 7.
Sil existe dans la couronne /) des points 2, où l'on ait à la fois
*
2 (2 ea
apr, € |y! | «& pr, et [fle < Mari
bh ay lhpilte * pee x EL:
(k positif fini, inférieur par exemple à =
3
t
on les entourera de cereles de rayon proportionnel à (ayır,) * tous ex-
térieurs les uns aux autres et en dehors desquels on aura
I| < apr, .
On en conelura ($ 24) que l'on a
Ww < hap.
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 155
Considérons d'autre part tout le cercle C de rayon zr, qui a son centre
à l'origine. Dans ce cercle nous pouvons construire des cercles c^ (en
nombre fini pour une valeur donnée de r,), extérieurs les uns aux autres,
et tels que les inégalités
aur < |e] «lw, |/(2)| < Mu? (r = |z|)
ne puissent être satisfaites au méme temps en aucun point de (extérieur
à ces cercles. On en conclut qu'il existe nécessairement dans la couronne
D des points z, satisfaisant aux conditions énoncées plus haut. L’inégalité
(37) se trouve ainsi complètemant établie.
De l'inégalité (37) nous déduisons que la fonction entière /(z) est un
polynöme du premier degré au plus.
On vérifie en effet comme au § 26 que cette fonction ne peut étre
qu'un polynôme. D'autre part, le théorème du § 18 montre que pour
des valeurs de >, indéfiniment croissantes, on a, en une infinité de points
de la couronne / extérieur aux cercles C, l'inégalité
n' (log n") **
l2 (2| «- ;—— ou |g'(z)| <1, (log)
ri
I+a
(a positif. arbitrairement petit).
Or cette inégalité n'est compatible avec l'inégalité
2 .
Ih «am,
satisfaite par hypothèse en dehors des cercles e, que si /(2) est du premier
degré au plus.
30. Les résultats du paragraphe précédent nous prouvent que l'ordre
de la fonction entière w est au plus égal à 3. Nous allons maintenant
constater que cet ordre est précisément 3 et, de plus, que le genre de
u est 3.
Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi. Le polynôme /(z) se
réduira à une constante, et l'on aura pour des valeurs >, indéfiniment
croissantes
: , r?
n'logn' < —,
= tt
ye étant une fonction croissante de 1’, égale par exemple à log, 7’.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 17 octobre 1903 24
186 P. Boutroux.
Donnons à r lune de ces valeurs 7,, et considérons la couronne D
8
définie plus haut. Cette couronne contient (S 18), une infinité de points
où lon a simultanément les inégalités
2 . if <2
Ig: eos Ie) seis
5 I» 4 : l.c RE
e, tendant vers zéro avee — (je supposerai que e, 2 -). Considérons plus
Y ^ 4
1
partieulierement, dans D, un cercle quelconque s de rayon ar,, a étant
€ , 1
un nombre tel que le rapport =, tende vers zéro avec —. Nous savons
a Li
1
($ 19, note) qu'il existe à l'intérieur de e des régions où l'on a
9 j * € /
(42) letter t cet, IR ee
à I
(s; tendent vers zéro avec =):
1
^v3 un pôle situé dans D. Nous mènerons
Cela posé, soit a;= (je
Gea
2
: ae mp ; 2 4 : fj
par a; la droite L qui fait avec laxe réel un angle égal à =, et nous
prendrons pour cercle s le cercle de rayon ar tangent à L au point aj,
et situé par rapport à L du côté où la partie réelle de 7 va en croissant.
Considérons dans ce cercle o la région déterminée par l'angle droit
de sommet 4, qui a pour bisseetriee un diamètre. Nous pouvons tou-
jours trouver dans cette région un point z, où lon ait les inégalités (42).
Suivons alors la fonction y le long de la droite 2,4.
y satisfait par hypothèse à l'équation (38) qui donne pour y une
double valeur: je supposerai que lon parte de z, avee la détermination !
e (2)
(43) y —y Vor + ; +2- as
Tl
Je vais montrer que si nos hypothèses se trouvaient satisfaites, les
fonctions y’ et /(z) vérifieraient entre z, et 4, des inégalités de la forme
(42°) |» | XA Lue | f(2)| Zen alee tendant vers O avee - )
1
' Pour appliquer le méme raisonnement au cas où le radical serait précédé du
sigue —, il suffirait de prendre le cercle & de l'autre côté de la droite lh.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 151
ce qui est manifestement absurde, puisque le point a, est un póle de ces
fonctions.
D
Pour parvenir à ce résultat prenons s supérieur à 24 et y2e, et
appelons z, le premier point rencontré sur 2,4; où l'on ait
(44) |y? | — en.
1 : :
On a entre 4, et 2, |» | <er,, et par suite (puisque la longueur du che-
min 2,2, est inférieure à 4/,)
If(2))| & eiri + aeri m eri.
On conclut de là qu'au point z, l'équation (43) se présente sous la forme
(45) ^ = wa, (1 + 9) (l2] proportionnel à «).
Or il résulte de la position du cercle a et du point z, dans s que, si
l'on désigne par dz l'accroissement de z suivant 2,4;, le segment yz, dz fait
avec l'axe réel un angle compris entre z et =. L'égalité (45) prouve
done qu'au point z, (dans la direction z,4), la partie réelle de logy est
décroissante.
On en conclut que le module UM ne peut atteindre en z, la valeur
(44); s'il l'atteignait, en effet, il devrait croitre en ce point, ou du moins
passer par un maximum, ce qui, comme on vient de voir, ne peut avoir
lieu. Les inégalités (42’) seront done vérifiées entre z, et a;. Cette con-
clusion étant absurde, nous reconnaissons que notre hypothèse initiale
n'était pas légitime. La fonction entiere w est done bien de genre 3, ce
qu'il fallait démontrer.
0; +4
! L'argument de Va est égal à as: 4 étant proportionnel à a; l'argument
, z— 7 z — 0b; T ,
de dz est compris entre md -+- et OI + = . L'argument de yz,dz est donc
^
= 37% a
compris entre ra da Baus ET
ISS P. Boutroux.
TROISIEME PARTIE.
Le module maximum d'une fonction de genre infini.
1. L'étude des fonctions entières les plus générales ne peut évidem-
ment pas conduire à des résultats aussi précis que celle des fonctions de
genre fini. Il n'est, cependant pas inutile de remarquer que les méthodes
employées dans ce travail s'appliquent encore aux fonctions de genre infini.
Nous constaterons ainsi, qu'on peut toujours déduire les propriétés fonda-
mentales d'une fonction entiére de son développement en produit infini.
Ce développement se préte aussi bien à une étude systématique que le
développement en série de puissances, qui, a été comme on sait, le prin-
cipal objet des travaux de M. Hapamarp.
Soit F(z) une fonction entière quelconque, r; le module de son ;*"*
zéro. Cherchons d'abord si l'on pourra, sans passer par l'intermédiaire du
développement en série obtenir un résultat équivalant au théoréme fonda-
mental de M. Hapamarp sur la limite inférieure du module 7;. Le
théorème de M. Scnov et la proposition équivalente que j'ai établie au
S 14 de la premiere partie s'appliquent aux fonctions de genre infini,
mais donnent dans ce cas des limites beaucoup trop basses. Heureusement
un procédé trés simple va nous permettre de compléter les résultats obtenus
dans la premiére partie.
2. Désignons par 7’ le nombre des zéros de F(z) dont le module
est inférieur à 5 * ; (a positif). Nous avons démontré (premiere partie,
$ 17) que l'on a sur une infinité d'ares du cercle € de rayon r ayant son
centre à l'origine l'inégalité
(1) | F(2)| SE"
h étant égal à log(ı + a). C'est cette proposition que je me propose de
préciser,
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 159
Appliquons-la, dans ce but, à la fonetion
Au AN EI ie -
F (2) = Fla) F(—a),
i désignant le nombre des zéros de F,(z*) dont le module est inférieur a
TII c'est-à-dire le nombre des zéros de F(z) dont le module est inferieur
"^ n
2 P»
D rri On. aura
V2 + a
| F 2*)| xs e^
pour une infinité de valews r'e^"^ de 2°. On a done, lorsque z* prend
l'une de ces valeurs l'une des deux inégalités
a, h
(2) IF@)|> e, |F—3|» e"
en d'autres termes, on a l'inégalité (2) sur une infinité d'ares du cercle €.
Appliquons maintenant ce résultat à la fonction F,(z*) Nous en dé-
duisons pour | /(z2)| une nouvelle limite et ainsi de suite indéfiniment.
Nous constatons finalement que l'on a, quel que soit g, en une in-
finité de points du cercle €
Ny:
(3) [F(2)] > e^
n, désignant le nombre des zéros de F(z) dont le module est inférieur à
EI
r(2 +)”.
Soit 9 un nombre inférieur à 1. Quel que soit r, on peut trouver
un entier q tel que l'on ait
AS i ( I HT },
et par suite
Désignons alors par &(r) le nombre des zéros de module inférieur à
r: on pourra énoncer la proposition suivante:
On a, en une infinité de points du cercle de rayon r, l'inégalité
(4) |Hi)|»e"* ^, (Ah positif fini),
190 P. Boutroux.
n. désignant le nombre des zéros de F(z) dont le module est inférieur à
^»
à I TOM
r(1— e) et e tendant vers zéro avec — plus vite que la fonction
T
oh
— |
Tw}
1—(2+ „ie
On peut se débarrasser de l'exposant 1 — 4 en posant m ^ = n,.,
et le nombre e, déeroit alors d'autant plus rapidement que la croissance
de la fonction @(7) est elle-même plus rapide. Supposons, pour fixer les
idées, que l'on ait
e I
= DEEE B <=.
0 ( ) ! 2
On aura
og eM" e) jet artes sj
y As p° Se‘ ;
par suite
WS Sn ay Ol ngog (Le 288 Ae
Si ». croissait plus vite qu'une fonction formée d'un nombre quel-
conque d'exponentielles supérieures, il en serait de méme de l'inverse de ¢,.
Nous voyons qu'il était indispensable de préciser ainsi la proposition
établie dans la première partie. En effet, si /’(z) est de genre infini, le
rapport de ». au nombre »' qui figurait dans la limite assignée aux fone-
tions de genre fini, peut dépasser tout nombre donné d'avance.
3. Abordons maintenant la question inverse et cherchons à déter-
miner une limite supérieure du module maximum (pour |:| = y) d'un produit
de facteurs primaires de genre infini, Soit
i 1
À 2 \ Fe
Ge) II (: —— Je Pi ()
di /
un tel produit, M(r) son module maximum. L'étude de ce produit pré-
sente une difficulté. Si l'on se donne la suite de zéros a,, on peut former
d'une infinité de manières le produit convergent @(z), puisque les o; sont
des entiers queleonques, choisis seulement de telle facon que la série
> (- |
— Vr;
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 191
soit absolument convergente. Il est bien certain alors que la croissance
de G(z) pourra dépendre essentiellement du choix des nombres p, au lieu
d'être déterminée par la densité des zéros a,, comme il arrivait pour les
produits de genre fini. Mais est-il possible de choisir les nombres >; de
manière à obtenir une limite supérieure se rapprochant de la limite in-
férieure assignée à Mir) au paragraphe précédent?
Dans son mémoire sur les zéros des fonctions entières, M. Borer a fait
remarquer que la valeur À de o, indiquée par WEIERSTRASS était beaucoup
trop élevée. Se proposant d'étudier les fonctions à croissance très rapide,
fonctions telles que l'on ait pour une infinité de valeurs de 7 indéfiniment
croissantes l'inégalité
re Or
quelque grand que soit le nombre k, M. Borer pose
MZ (log i)?
puis déterminant le nombre » par l'égalité
I
y—y,——
1 —
+ (log n)*
où a est un nombre plus petit que 1, il montre que le module maximum
M(r) est celui d'une fonction d'ordre p,. En d'autres termes, l'on a
(log n)*
on
mt
Mtr) < e
Le résultat subsisterait d'ailleurs si l'on remplacait 2 par un autre nombre
plus grand que 1.
Cette limite différe de celle que nous avions obtenue pour les fonctions
de genre fini. Il importe done de se demander s'il n'est pas possible de
len rapprocher. Mais pour parvenir à des inégalités un peu précises,
jéviterai de me placer dans le cas le plus général. J'insisterai au contraire
sur les types de fonctions qui nous apparaissent comme les plus simples
aprés les fonctions de genre fini; leur étude semble être en effet le point de
4 , , . ^ * * “x . . B
départ naturel d'une théorie complete des fonctions entieres de genre infini.
4. Les résultats que je viens de rappeler suggérent une premiere
remarque. En faisant p; = (log ij*^, nous donnons encore à p; une valeur
199 P. Boutroux.
beaucoup plus grande qu'il n'est nécessaire pour assurer la convergence de
pi
Pr — (TM S odds
la série V (—) . H suffirait évidemment de prendre
— \Ti
(1 + pec
Tem a) ——
7 log v;
Mais il ne faudrait pas conclure de là que le module maximum M(r)
croîtra moins vite si l'on donne à >, cette valeur plutót qu'une valeur
plus élevée. C'est, chose curieuse, précisément le contraire qui arrivera.
Mais, ici, une distinction s'impose entre les diverses fonctions de genre infini.
Considérons tout d'abord la classe des fonctions entiéres définies par
la propriété suivante: il existe un nombre positif 7 tel que l'on ait à partir
d'une certaine valeur de à
1
(6) r, > (log i)" .
Cette classe de fonctions est celle qui se rapproche le plus de la classe
des fonctions de genre fini, et elle mérite une étude spéciale; nous la ren-
contrerons tout à l'heure dans une application. J’appellerai fonctions de
type exponentiel simple les fonctions pour lesquelles l'inégalité (6) est satis-
faite, et je dirai que o est l'ordre exponentiel de la fonction, en supposant
que le nombre o ait été pris aussi petit que possible.
5. Cela posé, désignons par N le nombre des zéros de @(z) dont le
module est inférieur à r(1 + A), (k positif fini).
P, représentant le facteur primaire relatif au zére «a, on sait, d'après
WEIERSTRASS, que l'on a, pour 7 > N
ai ee A0 (b positif fini).
Lorsque 4 < N, on a, Sr >”
|
2l Pore blog pi "TE
| Pa cen "epo F (b positif fini),
et, m v, <r
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 193
Il résulte de là que
r Pi n
blog py z(z) +b DL log ps
(7) M(r) «e 1 ! RE
Si done l'on a l'inégalité (6) en même temps que
Dre
p; € (log
logo, sera inférieure à o(1 + a)logr;, et l'on aura évidemment, à partir
d'une certaine valeur de 7, l'inégalité
M(r) « e : (h positif fini).
6. Si G(z) est un produit de type exponentiel simple et d'ordre ex-
ponentiel s, je prendrai pour p; l'entier le plus voisin de alogi. Nous
allons constater que ce choix est particulièrement favorable. Supposons
que 7; satisfasse à partir d'une certaine valeur m de 7 à l'inégalité
1
1, > A(log i)?
À et o étant des nombres positifs.
Nous aurons
Y «zx
— Ti
en posant
PR |
og i (fon ~- - log;i)
6
x(t) =e
Déterminons alors les nombres », et n, par les égalités
l T I | 7 a
og - — - log, =
SM DIDA I PE
er ni — 2
og -—- los. n, = —-
Ba nage Ise »
a et a’ ¢tant des nombres positifs d'ailleurs arbitrairement petits.
Lorsque 22», on a
zc) —- (vlog — log, a 1) <= — It@ »
i 2a i
Acla mathematica. 28. Imprimé le 19 octobre 1903. 25
194 P. Boutroux.
D'ou a'y(i) < — [x (i) a ir]
0o I nic
; / 2
z)de << =n, y(n,) = =.
T x(z)dz < 4 n,y(n,) — —z
T^
D'autre part, si ? « »,, on a à partir d'une certaine valeur m de i
1) etes
ER? WTEC HE:
D'où ay(i) < y(i) + iy'(i)
ny I nid
, ARS 1
(x)dx Y yn.) =
[rad & zn y(n) —
m
Les valeurs de ö comprises entre », et n, sont en nombre inférieur à 7,
et pour ces valeurs de 7, l'on a
IY) < (n).
Nous aurons done finalement, en supposant a et a’ du même ordre de
grandeur
où h est un nombre positif fini. #, et », auront une signification très
Ss».
simple si 7; croit précisément comme (log 7)". On a dans ee eas
. . CM
log r — log r,, = — zd
a
log r — log r,, = =)
n, représente done le nombre des zéros a; dont le module est inférieur a
a a
e r
, ^», le nombre des zéros de module inférieur à e^r, a et a’ étant
arbitrairement petits.
Dans le eas général, on aura
Snr quelques propriétés des fonctions entiéres. 195
Or il est manifeste que, quelque petit que soit s, on peut toujours
déterminer deux nombres a et a’, égaux ou du méme ordre de grandeur,
tels que l'on ait
: AN?
e* + ae — () loga<1i1+e
à partir d'une certaine valeur de r. On peut dès lors énoncer la propo-
sition suivante: '
Quelque petit que soit le nombre €, on a, à partir d'une certaine va-
leur de r
(8) M(r) = 019) ;
7. En suivant la méthode employée dans la première partie, on peut
généraliser encore cette proposition. Soit ¢(7) une fonction holomorphe,
hi
réelle et positive telle que le rapport set soit croissant à partir d'une
(log i)”
certaine valeur de ; et telle que l'on ait
r; > (i).
On posera
/ y ]jelogi
x09 = c]
et l'on déterminera les nombres », et », par les égalités
T a
log ; — log d(n,) = 2
D ; a
log ; — log (n) Fe
' Si Von avait donné à p; une valeur moins élevée, par exemple la valeur
log à gp ;
(I + A : , qui suffit à assurer la convergence de la série by ts ) , la valeur de à
og Ti = \r;
partir de la quelle cette série eût décrir aussi vite que 221" eût été très supérieure
= =
| n,, et la limite supérieure de cette série se fût trouvée augmentée.
196 P. Boutroux.
On obtiendra alors, comme au paragraphe précédent, les inégalités
h i 145
[nz]
y er < hn, y (n,), M(r) «e
8. Nous allons maintenant compléter la proposition du § 6, en dé-
montrant un théoréme analogue à celui du § 20 de la premiere partie.
Considérons le produit G(z) du § 5, pour lequel on a
1
r; > A(log i)’ .
Je dis que si Von a
o
(9) M(r)> ANS)
on a, à partir d'une certaine valeur de r
1
(10) r; «€ (1 + e)A(log i)"
s tendant vers zéro avec
Posons en effet
1
d (1) = A(log 2)’
et supposons que l'on ait, pour des valeurs », de ? indéfiniment croissantes
r, = Kd(n), KOSS Jte
Nous poserons
= Ui) dn o<ß<ı
et
d(n,) = Kg(n).
Si l'on se reporte aux caleuls du S 4, on voit, qu'il suffit, pour que
r et », prennent ces valeurs, que l'on ait fait
a — (1 — f)elog K, a’ = fa log K.
D'ailleurs
1—,)eo „da
n= Mn! j n, — ni
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 197
On a, par suite, les inégalités suivantes:
n, la
r\ rs ny ate 3^ / "e
‘ ( ) < «qut. (7 fini)
— \r; a a
m
= nr l—a ' '
E TP No PEUT c
91 ( ) <a rp eae) i (7, fini)
— un a a
nol
r a
Ne - "2 olog|— (l—a’)e
Sty y \ X (~) Hu ? dii.
- i ) _— (n, fini),
Dane) «ae ea Vin
m+l \* nl
: Fs
puisque elog-- =
ny
Or on vérifie sans peine que, quelque petits que soient a et a’, on
peut trouver un nombre positif ¢ tel que les seconds membres de ces iné-
galités soient tous trois inférieurs à »'~*, à partir d'une certaine valeur
de »; l'inégalité (7) du $ 5 nous montre alors que l'inégalité (9) ne peut
plus être satisfaite. Ainsi l'hypothèse faite sur 7, conduit bien à une
contradiction, ce qu'il fallait démontrer.
9. Les fonctions de type exponentiel simple ne constituent encore
qu'une classe trés particuliere parmi les fonctions de genre infini. Mais
la méthode précédente permettra d'étudier tout aussi aisément des fonctions
eroissant de plus en plus rapidement.
Sans insister sur les cas intermédiaires supposons qu'il existe un
nombre fini o tel que l'on ait à partir d'une certaine valeur de 7
1
r; > (log, i)"
et prenons pour p; l'entier le plus voisin de logilog,?. Posant, cette fois
. ; 1 :
clogilog;i (108 == logy i)
y(t) =e
nous aurons encore
P pi]l4s
(EG) ] |
f -—— ,
Mr <= eb (s tendant vers zéro avec _ )
et
198 P. Boutroux.
Nous déterminerons les nombres n, et », par les égalités
I \ a
(1 + log, n, (log r— 7 log, n, ) = s!
log, n,)(logr — 51 =—*
(1 + log, nj 98 Nuno da. Mri mnia
a et a’ étant deux nombres arbitrairement petits, du méme ordre de grandeur.
On a lorsque ? > n,
Z(t) r-log,* 1 + a
- o log r — log, ? <<
2% ( o ) À )
^ Miei
f x (odi « $4 yx n).
No
De méme
ny I
/ x (di « sax n).
m
Nous aurons done finalement
TN eh
= -n,y(n,)
X (3 «utn
h étant un nombre positif fini. Or on a
„eat logam) 42,7790 log,m) _
Deo ne :
2 ) 1
On déduit aisément de là que le module maximum .M(») satisfait à l'iné-
galité
o
(14 2)r
€
M(r) « e*
s tendant vers zéro avec
=
Ainsi la méthode de sommation qui vient d'être exposée a une portée
aor 12 n p. TN "
générale et elle permet d'étudier la série YG , par suite le module
— Un
M(r), quelque lentement que eroisse le module +; du zéro de rang à.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 199
La dérivée logarithmique d'une fonction de genre infini.
10. La dérivée logarithmique du produit infini @(z) défini plus haut
9(2) = yid (£j
a; Z— ai
a pour expression
Proposons-nous d'étudier le module maximum de g(z) dans des régions
convenablement choisies du plan de la variable z.
Si lon désigne par » le nombre des points a; dont le module est
inférieur à r, on peut affirmer que l'on a sur une infinité d'ares du cercle
C de rayon +
|a(z)| = >,
La démonstration qui nous avait permis d'établir ces inégalités dans le cas
des fonctions de genre fini subsiste ici, en effet sans modification. Les
conséquences que nous avions tirées de ces inégalités (au § 24) resteront
vraies également.
11. Cherchons maintenant à limiter la croissance de g(z), en suppo-
sant que G(z) soit de type exponentiel simple. Considérons dans ce but
une aire proportionnelle à +’, par exemple’ un carré A de côté Hr. A
l'intérieur de ce carré se trouvent une infinité de régions (Deuxieme Partie
4 3 . Hr
$ 17) par exemple des cercles de rayon proportionnel à ——, dans lesquels on a
yu
» 2 i I Ihn’ (h positif fini)
—— | «€ — ositif fini
E Z2 — dj Hr’ I ;
la somme 2X étant étendue aux divers pôles contenus dans l'aire A.
D'ailleurs la somme des régions en question est avec l'aire totale A dans
un rapport fini.
Dans les mémes conditions, la somme
py I
l2— al’
a |^
a;
! La forme de l'aire A n'importe pas ici. Remarquons qu'elle peut être contenue
I 1 I
tout entière à l'intérieur d'un angle fini w ayant pour sommet l'origine.
> y
200 P. Boutroux.
2 ^ . : . hn log n’
étendue aux pôles contenus dans A est inférieur à > la somme
2.
I g |^
— |lz—«[ a;
ha! Vn°
Hi
Ces divers résultats, obtenus dans la seconde partie, s'appliquent en
est inférieure à , et ainsi de suite.
effet à la dérivée logarithmique d'une fonction entière quelconque, de genre
fini ou infini.
Soit maintenant a; l'un quelconque des pôles de g(z) situés en dehors
du carré A: on aura
lz—«|» he (k positif fini).
Le module de la somme © relative à ces divers pôles est done, pour la
dérivée logarithmique, inférieur à
k Dj
E
Cette série est celle dont nous avons évalué la somme aux paragraphes
précédents. Sa limite supérieure sera
he(r) Mer :
a h positif fini
Hr vat
si lon désigne par e*^? la limite assignée au module maximum M(r) de
G (2).
Si e(r) croit plus vite qu'une puissance quelconque de > on peut
. , ^ in , . .
prendre comme aire A un carré de côté — (m étant arbitrairement grand,
m
lorsque r est lui-même assez grand). Tous les points situés dans ce carré
sont à une distance de l'origine compris entre > et r(1 + ¢), et l'on a
n "n enge
Be
I
= et =’ tendant vers zéro avec
:
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 201
Supposons alors, en particulier, que @(z) soit de type exponentiel
simple et que l'on ait à partir d'une certaine valeur de ;
x
r, > À(logi) (A et e positifs finis);
nous pouvons énoncer la proposition suivante:
Quelque petit que soit e, on a, dans une infinité de régions s'éloignant
indéfiniment de l'origine
LA
lo) < PG) ;
on constaterait de méme que lon a, dans les mémes régions
12^ (2)] < +90) 3
p étant un nombre positif proportionnel à r" (m fini).
Nous ajouterons qu'un angle quelconque © dont le sinus est compa-
if | E en : :
rable à „m, en d'autres termes un angle arbitrairement petit contient une
infinité de régions jouissant des propriétés énoncées.
12. On peut compléter cette proposition comme nous l'avons fait
au § 8 pour celle du § 6.
Désignons par m(r) le module maximum de g(z) dans les régions
définies plus haut. —L'inégalité
"
(;)
m(r) > e
entraîne, à partir d'une certaine valeur de r
6
(1—z) 2
"e ()
quelque petit que soit €.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 20 octobre 1903. 26
202 P. Boutroux.
En d'autres termes, nous pouvons affirmer que si cette derniére iné-
galité cessait d'être vérifié pour des valeurs indéfiniment croissantes de 7,
on aurait dans des régions indéfiniment ¢loignées
m(r) < or ; (é 2-0)
On peut aussi agrandir les régions ot les résultats précédents sont
valables en multipliant les limites supérieures assignées à |g(2)|, |g(2)], - - -
par une fonction croissante de 7, par exemple, par log» ou loglog»'.
Les nouvelles régions seraient alors telles que le rapport de leur somme à
l'aire totale A tende vers l'unité quand + augmente indéfiniment.
Ajoutons enfin que l'on obtiendrait les mémes limites supérieures si
lon remplacait la fonction g(z) et ses dérivées par une fonction méro-
morphe d'un type plus général:
Fa — Y c Y + He)
; wm (z—aj)* \a; :
les nombres D; étant tous finis ainsi que l'entier 5, et H(z) étant une
fonction entiere dont le module maximum est supposé ne pas croitre plus
vite que le module de la somme X.
13. Ces divers propositions donneront lieu aux mémes applications
que celles de la seconde partie. Ils vont nous servir à étudier le troisième
type d'équations différentielles à intégrales méromorphes qu'a signalé
M. PaiNLEVÉ. Ce type est le suivant
(11) y=" + e(ay* +B) + enr zm )
y
les constantes a, 2, a, 0 ayant les valeurs
y-——1, Ó — I1, a, quelconques,
ou ;=—I, d=0, B= 2d. a quelconques,
Ou 0, 00 a=—1, p=
M. PaiNLEVÉ a démontré que les intégrales de l'équation (11) sont
des fonetions méromorphes dans tout le plan. La transcendante y s'ex-
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 203
2 . D " 5 PIN sn
prime par le quotient À de deux fonctions entières v et wu vérifiant les
équations simultanées
u” u? I ve: (ye’v fa
u "UC u u a),
(12)
v" v"? we: (de u
v ua v ( v ah P).
14. Pour étudier les intégrales de l'équation (r1) je ferai le change-
ment de variable
Y = EHE
L'équation (11) devient
(Fr "ad —2 (t = eo [05-922 #2 2) 2z —3: #3 de :
er —2¢ +¢) =e = + eae ¢, FA) FETE cT
> >
ou
(13) C" — C + aC + pet + Be” + der.
L'avantage de cette nouvelle équation est qu'elle met en évidence la facon
dont se comporte la fonction méromorphe fau voisinage de l'un de ses pôles.
Si r—0, a= — 1, les termes prépondérants au voisinage d'un pôle
quelconque situé à distance finie sont
poet
et il est aisé alors de vérifier que tous les póles sont du second ordre et
tous les résidus égaux à 2.
Si au contraire y — — 1, CC" devient infini comme qua €* et xen
rósulte que les póles sont du premier ordre, le rósidu correspondant étant
égal à Æ /—1.
D'ailleurs, si nous désignons par f(z) la dérivée logarithmique de la
fonction entière w, la premiere équation (12) deviendra
(12!) f'($) = — rt!—act.
Nous sommes ainsi amenés à distinguer deux cas suivant la valeur
de la constante 7.
204 P. Boutroux.
Considérons d'abord le cas où 7-— 0. On a alors, avons-nous dit
à —0, a — — I, f — 1 et l'équation (13) devient
(14) q"-Q—CLGS C= (2).
Proposons-nous d’étudier la croissance des intégrales méromorphes de cette
équation.
15. Nous poserons
C = 29'(2) + H(z)
g(z) tant la dérivée logarithmique d'un produit de facteurs primaires, et
H(z) une fonction entière. Nous désignerons par n’ le nombre des pôles de
g(z) dont le module est inférieur à 7, par v’ le nombre des zéros de H(z)
31 À I
de module inférieur à zr en supposant que ;
a 7 ppose jue 7< ERE
Un ealeul analogue à celui de § 24 de la seconde partie va nous
donner d'abord une limite supérieure de »'.
Remarquons d'abord que toute intégrale de (14) satisfait aux équa-
tions suivantes
^ Inm " e? 22
(15) grandi mutui eb ©
* Ss o -
* gr p!
(16) [Sd fedet,
/ >
>
t
[^
obtenues en multipliant les deux membres de (14) soit par +, soit par
xv
»22)
»
et en intégrant: on a par suite aussi
(17) sre awe open (da =
Cela posé, placons-nous à l'intérieur du cerele € de rayon 7, ayant
son centre à l'origine, et désignons par # un nombre! qui croitra indé-
finiment avec 7,, d'ailleurs arbitrairement lentement.
' p a, dans les calculs qui suivent, une valeur fixe dépendant de 7,.
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 205
Je dis d'abord qu'en tout póle a; de module 7; situé dans C, on a
i i
Vinégalité
5
(18) | Z(z)|= | de < 267^,
t
Suivons en effet le rayon Oa; à partir d'un point fixe z,. Je dis que
lon ne peut avoir simultanément en aucun point de 4,4;:
(19) kal=ier; |4(2) | > 2e’**.
On peut toujours prendre y assez grand pour que cette condition soit
satisfaite en 2. Supposons alors qu'elle cesse de l'étre en un point z,:
je vais montrer que l'on aura en ce point
22
(zo treat <| feae| Pd
L'égalité (17), où l'on fait |¢| = | C | =e”, donnera par suite pour E une
1
CAT TH ^b 1; 4 5 Uti) ; a
limite supérieure proportionnelle à e* , et l'on en conclura que l'iné-
galité (18) est vérifiée au point z,, ce qui nous conduit à une contradiction.
Pour caleuler une limite supérieure de |f(z)| le long de 2%, ob-
servons d'abord que dans les intervalles partiels où | 4| < &'*^, la variation
de |f(z)| est plus petite que celle de e”**. Soit maintenant z' un point
où |£|=e”**. Puisque, d'après nos hypothèses, les relations (19) ne
sont jamais satisfaites pour r, <r<r,, l'inégalité (18) sera nécessairement
vérifiée au voisinage de 2', tant que ||» e". L'équation (15) donnera
alors, pour |£| > e”
pr a
RE 20.7 : I
~-|<(2+aje’ (a>0, arbitrairement petit avec =)
e |
Done
I I (rt) = ;
On en conclut que l'inégalité |¢]>e" est satisfaite, autour de >’, dans un
us
supérieur à he ? | h positif. fini). Or, dans cet inter-
,
)
intervalle 7,7,
206 P. Boutroux.
valle, la variation de |J(z)| est plus petite que celles de e", la variation
pr
>
de est elle-même inferieure,' (d’après (15)) à
=
(2 + ee” + 2(e^ — e")
et, par suite,’ (si l'on tient compte de la valeur de r, — r,) à he
or
[ey
(h, inférieur à un nombre fixe). Nous obtenons done finalement, (d’aprés
er
(16)), pour la variation | I(z) IM la limite supérieure (h, + ios On
voit ainsi que l'on peut toujours prendre y assez grand pour que l'on ait
en z, l'inégalité (20) et, par suite, l'inéealité (18).
Ce point établi, appelons z; le point de Oa; le plus voisin du pôle
Entre z; et a;, | I(z)| croît moins vite que e”;
l'inégalité (18) ne peut done cesser d'être vérifiée, ce qu'il fallait démontrer.
r
a;, où lon ait Ion :
1)
16. Partons maintenant du pôle a,, et éloignons-nous en sur un
chemin de longueur finie: tant que z sera assez près de a; pour que l'on ait
(21) [Ce ee NE 78 20,
on aura certainement l'égalité (18), et l'équation (15) se présentera sous
la forme
pr?
16 , MW
lE I 0'—0; O|<e (e comparable à e^—^),
oa }
D'où, par intégration
(22) a =v2lt+4lle—ah Ial<s — (ni)
faisons alors
On a, en effet, l'inégalité
"
"a
S x “4
LE « (4 * ee" + 4|11@)]];
- xi
I au
s tendant vers zéro avec -. La variation de |=-| est inférieur à la racine carré du
7 C
second membre.
' r n "
6° here ? < he? e" (v, —1,) < he? e" (er«- — I).
2
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 201
= : Sur Ü 2 uf
|| étant compris entre deux nombres finis, et — augmentant indéfiniment
{1
LI
avec 7,. En portant cette valeur dans l'égalité (22), nous constatons
d'abord que l'on a
cette inégalité entrainera, si 7, est assez grand, l'inégalité (21), ce qui
montre que les caleuls effectués sont bien legitimes entre a; et 2.
D'autre part, nous constatons que, lorsque | z| augmente a partir de
O, I] va en diminuant: lorsque 7 dépassera un certain nombre fini /, on
aura en 2
(23) [él « &e^*^ — (k positif fini).
Nous en concluons que l’on peut entowrer chaque pôle a; d'un cercle
e, de rayon proportionnel à E ne contenant aucun autre pôle, et sur le
contour duquel on aura l'inégalité (23).
Il serait d'ailleurs possible d'entourer a; d'un rayon 7 fois plus grand
(y arbitrairement grand) jouissant de la méme propriété, et l'on en conclut
comme dans la seconde partie que tous les cercles v; sont extérieurs les uns
aux autres. Des lors le cercle € de rayon r,, ayant son centre à l'origine,
ne peut contenir plus de »ie^*^ cercles c;, et par conséquent plus de
rie^*" pôles.
Il en résulte que l'on aura, à partir d'une certaine valeur de y
(24) n < pr 9o) +2 log r
O(r) étant une fonction croissante de 7, croissant aussi lentement que
l'on veut.
D'ailleurs, puisque chacun des cercles c; ne contient qu'un pôle 4;, on
voit que ces cercles constituent précisément les petites aires proportion-
a
N T . Y
nelles à — que nous devrions d’après le $ 9 exclure du cercle €, pour y
Lu =
pouvoir limiter le module de g(z) et de ses dérivées successives. Construi-
sons alors la couronne D limitée par le cercle € et par un cercle con-
centrique de rayon x'7, (nous ferons y < 7 < 1, 7 étant toujours inférieur
208 P. Boutroux.
RT : i 3 :
aem Nous pouvons affirmer que Von a,’ dans toutes les portions de la
€
couronne D extérieure aux cercles €;
Sate)
Wy) er CI ees PEN 14.
(25) lg (2)| « giten. 12" (2)| x e? : 1o" (2)] < eX teri
I
e, tendant vers zéro avec ==.
1
17. Je dis maintenant que l'on a, à partir d'une certaine valeur de r
(26) y' « (1 + e)r,.
En effet s'il n'en était pas ainsi, nous constaterions (en raisonnant
comme au § 24 de la seconde partie), que l'on peut tracer dans la cou-
ronne /) une courbe fermée J’ entourant l'origine et ne rencontrant aueun
cercle c; telle que l'on ait en une infinité de ses points
(27) H(2) > he” > eter,
On aura d'ailleurs
EMC Pres PEN besten | 1" (2)| < | H(e)|**
a tendant vers zero avec B: Dés lors, si l'inégalité (27) était satisfaite en
méme temps que les inégalités (25), le terme ¢* ne pourrait être détruit
par aucun autre dans l'équation (14), quand », dépasserait un certain
nombre. On a done bien linégalité (26) à partir d'une certaine valeur de r,
18. Cherchons maintenant des limites inférieures de » et v'. Nous
considérons dans ce but un angle c ayant pour sommet l'origine et con-
, , EE I . , .
tenant l'axe réel, © pouvant déeroitre avec - plus vite qu'une puissance
*
I I j : : :
quelconque — de ,: Supposons que lon ait pour des valeurs de 7 in-
:
définiment croissantes l'inégalité
(28) Jupe eni Gas, Q.
' On a, en particulier, les inégalités (25) dans certaines portions de la couronne
Murs : I
D, limitée par les cercles de rayons r, et r,(I — £), ¢ tendant vers zéro avec -
m
1
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 209
Nous pourrons alors appliquer le théoréme du & 12 dans les portions de
l'angle @ intérieures à des couronnes D, s'éloignant indéfiniment de l'origine,
et limitées respectivement par des cercles de rayon r,, r,(1 — €), (e tendant
vers zéro comme @).
Dans l'une queleonque A, de ces portions d'angles, il existe des cercles
d de rayon supérieur à = (A fonction décroissante quelconque de r
Venta 1)
où l'on a!
(28°) |g'(2) | < enü—e). |g""(z)| < Pi he
a, étant un nombre positif, par rapport auquel À devient infiniment petit
lorsque r, augmente indéfiniment.
Je dis que pour la valeur r, de r considérée, le module maximum
M(r) de la fonction H(z) satisfait nécessairement à l'inégalité
(29) M(r) > et,
IE : :
s' devenant (avec 2) infiniment petit par rapport à a.
En effet, on peut choisir A de manière que les cercles d couvrent par
exemple, plus de la moitié de la région A. Il existe alors (Seconde Partie,
S 8) dans A,, des cercles d où l'on a
H(z)
H(s)
ar
GES
A”
|< pu, | E:
H(z)
^ I . | > .
e, tendant vers zéro avec —. Des lors, si | /Z7(z)| n'était pas, dans un tel
7"
1
cercle d, supérieur a la limite (29), on y aurait évidemment
(29) RAS pa a T "95
)
$C" et C? se trouveraient être négligeable par rapport à Le”
(14) se présenterait sous la forme
et l'équation
€t + (1 + d)ge* — o,
' En se reportant au $ 8, on voit que si l'inégalité (28) est vérifiée pour r=r
les inégalités (28’) seront satisfaites pour r = r, = z,(1 + a)’, (a > O, b > O).
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 octobre 1903. 27
2?
210 P. Boutroux.
? I ‘
0! tendant vers zéro avec —. Or on constate aisément que l'on ne
=
1
saurait avoir cette équation dans tout un cercle d; supposons en effet
qu'elle soit satisfaite dans un tel cercle le long d'une droite 2,2 joignant
1
4 E z = =, QA BER: 7 2 :
deux points de distance égale à e * , les inégalités (29’) étant satisfaites
en z,; l'expression
IE) — VEG) |
nt eria
serait proportionnelle à e ? , ce qui ne peut avoir lieu, puisque la
première inégalité (29’) est par hypothèse satisfaite en z.
L’hypothése faite sur M(r) était done inadmissible: ou n'est, pour
r — r,, supérieur à la limite (28), ou l'on a l'inégalité (29).
19. Des divers résultats qui précédent, nous pouvons tirer les con-
séquences suivantes:
Considérons le module maximum m(r) de la fonction méromorphe €
dans le champ défini au $ 10, (les pôles a; étant entourés de petites aires
b; que l'on a exclues de ce champ): m(r) satisfera dans les régions restantes
à la double inégalité
eR cer ecc Aue
Les modules maxima de f(z) et de log — f f(o)de satisferont dans
les mémes régions aux mémes inégalités.
Considérons maintenant la fonction entière
N G(z)e™,
Si on a l'inégalité (28) pour une valeur 7, de r les inégalités (28’) et
(29) seront satisfaites pour r=r =7,(1 +4)’, (b>0). Il en résulte,
)
puisque // — A", que le module maximum ! M,(r) de A(z) est, lui-même,
supérieur, dans la couronne D, à 6e", Désignons alors par A(r) la
et soit
plus grande valeur positive de la partie réelle de A pour r — ,,
! D'après les théorèmes de la seconde partie, on peut toujours tracer dans la
, 4
couronne /), un cercle sur lequel on a
H(z)
K(z)
wy , I
|< er y tendant vers zéro avec —.
r
1
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 211
n=nlıta”=r—p, (0,5020) Il résulte d'un théorème de
M. BonEL' que l'on a, (quel que soit o), à partir d'une certaine valeur de 7,
POUR 8r;, A(r,)
M,(r!) < 1 MO
: 5 I E,
Si nous faisons, par exemple, o = = (q arbitrairement grand, on
voit que l'on aura certainement à partir d'une certaine valeur de 7,
na-e(i £)
8 A( pi) >e n
Cette inégalité, jointe au théoréme du § 2, nous montre que le mo-
dule maximum de w satisfera, lorsque 7 sera assez grand
QUU Mae.
quelque petit que soit e.
20. Il n'est pas nécessaire d'insister pour montrer que la méthode
précédente s'applique, tout aussi aisément, au cas laissé de côté où la con-
stante 7 de l'équation (13) est différente de zéro. On a alors, avons-nous
dit l'une des deux équations
(31) ae a + HO — Ge =e eee + et:
(32) i heat! El Le
avec
(33) C7 —at= f'(2)
f(z) étant, en vertu de l'équation (12’), la dérivée logarithmique d'une
fonction entière. Nous poserons comme plus haut
f(2) =g(2) + H(z)
g(z) étant la dérivée logarithmique d'un produit de facteurs primaires.
! Sur les zéros des fonctions entières, p. 365.
z P. Bontroux.
21. ‘Toute intégrale de (31) satisfait aux deux équations
x reo e e? "LE : (Ber et
(33) 271 = 22 2 P " m ET dr 2 IT " ra) dz,
> > 2*9 3 - -
=
a de ?: g^
(34) = fat ey [ T ze
> i - S- /
La
fe étant un nombre qui croit indéfiniment avec 7,, je dis d'abord
qu'en tout pôle a,, (| af = n) contenu dans le cercle € de rayon 7,, on
a linégalité
z
c ,
(35) I1 - | | (E yas < 26747.
>
t
Pour le démontrer, on établira d'abord que l'on ne peut avoir si
multanément en aucun point de Oa;
(36) Ka [ese dn SO [teers
Supposons, en effet que cette condition, satisfaite en z,, cesse de l'étre en
0)
z,. On vérifiera alors, en raisonnant comme au $ 15, que l'on a en z,
Z DER
ADI | fe — ac)dz
D'ailleurs on aura, (en combinant (33) et (34))
1022 pal. £ e? 42
-2 2 LE K
- — 2 —- — — — £y 2
2 (3 al P c 2t 2f (2,)
“se So 2 so “So
et l'on en conclura, (d'après (34)), que l'inégalité (35) est satisfaite au
point z, et, par suite, au pôle «;.
Si maintenant nous nous éloignons du pôle «,, on voit que tant que
l'on aura
[essere n NOE;
l'équation (33) se présentera sous la forme
the I I
—+1+0—=0o (lol tendant vers zero avec - et ——)
¢ ) fp
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 213
ou encore sous la forme
--,+1+¢0=0, TAE A
On en conclut (comme au § 16) que à l'intérieur du cercle C on
I
— —(2r +0)
peut entourer les pôles a; de cercles de rayon proportionnel à e * :
(dy), ne contenant chacun qu'un pôle, tous extérieurs les uns aux
autres, et sur le contour desquels on a l'inégalité
[ew] < &e?*?.
On constate alors, — en désignant par »' le nombre des zéros de
dco je I : "
H(z) dont le module est inférieur à xr (v =): — que l'on a, à
partir d'une certaine valeur de 7, les inégalités
Wie BER OR DO qudm ym
y. I
e tendant vers zéro avec 2:
22. Soit d'autre part M(r) le module maximum de H(z) pour |z| =r.
Si l'inégalité
HELENE a>o
se trouve vérifiée pour des valeurs 7, de 7 indéfiniment croissantes, on aura
dans certaines régions de la partie commune à la couronne D, et à l'angle
© définis au § 18
| (2) | < ene). 12" (2)] — entra), (a, > 0).
On constate alors que dans la couronne D,, Mr) est supérieur à £7 7,
s tendant vers zéro avec > car, sil n'en était pas ainsi l'équation (31)
1 .
: gern
donnerait dans un cercle de rayon proportionnel à e * l'égalité
; we"? + (1 + due = o, ue
I a SACS ST e.
|| tendant vers zéro avec = ce qui conduit à une contradiction ($ 18).
1
214 P. Boutroux.
Si l'on pose
hes G(z)eX®,
le module maximum de A(z) satisfait dans la couronne D, à la même
inégalité que M(r), et l'on en conclut, en désignant par M(r) le module
maximum de u que
?r(1—&) Arcs)
e C eWr)ee ”,
, I
e tendant vers zéro avec =. :
23. Toute intégrale de l'équation (32) satisfait aux deux équations
-:2 "m2 n». 3. gu
I e? e*:
^ c» ue Er. > x
(37) 2t: "E SES SLE » +2 | >a,
- > v *
e 2 2z
(38) —— f (ac— C*)dz + | € dz.
p étant un nombre qui croit indéfiniment avec 7,, on constate que
l'on a en tout point pôle «a; contenu dans le cercle € de rayon r,, l'inégalité
a»
E pe
tales aby
On voit alors qu'au voisinage d'un pôle a,, tant que l'on a
2
lrc4gu x
- „3
IST »« (4, > p),
l'équation (37) se présente sous la forme
pa
m +(1+dC%=0 || « s,
e tendant vers zéro avec
Conservant toutes les notations du paragraphe précédent, nous déduirons
de là les inégalités
HELOE 2logr
n'«e ! y' «ra + €),
: 1 " Tes
e tendant vers zéro avec -, et A(r) croissant arbitrairement lentement,
T;
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 215
D'autre part, on a à partir d'une certaine valeur de r l'une au moins
des deux inégalités
4 4
r(1— £z) r(l—e)
n' e x M(r)>e°
On en conclut que le module maximum de la fonction entière, satisfait
aux inégalités
e tendant vers zéro avec
QUATRIEME PARTIE.
1. Les résultats qui m'ont permis plus haut d'étudier les fonctions
entières découvertes par M. PAINLEVÉ ont une portée générale: on pourra
les appliquer à l'étude d'une fonction entiere queleonque satisfaisant à une
équation différentielle donnée. On ne connait encore, il est vrai, que très
peu d'équations dont les intégrales soient entières. Mais il est probable
que les profondes méthodes de M. PAINLEVÉ, appliquées aux ordres supé-
rieures, permettront bientót d'en former de nouvelles. On saura alors vrai-
semblablement étudier leur croissance et évaluer leur ordre de grandeur.
Il est naturel de se demander si, dans les recherches de ce genre,
l'hypothèse d'après laquelle l'intégrale étudiée est une fonction entière est
une condition indispensable de la précision des résultats. En fait, si l'on
est en présence de certaines classes simples d'équations, on saura étudier
la croissance de leurs intégrales, sans faire aucune hypothèse sur la nature
de ces intégrales. Il convient d'examiner jusqu'où peut conduire une sem-
blable méthode.
Je me bornerai iei aux équations algébriques du premier ordre. Elles
ont été étudiées au point de vue de la croissance par M. Borer, et, après
lui, par M. LipELOr.'
' Boren, Mémoire sur les séries divergentes (Anu. Ec. Norm. Sup. 1899). Lin-
pELÓF, Bull. de la Soc. math. de France 1800.
216 P. Boutroux.
Considérons une intégrale réelle que nous supposons continue lorsque
x est réel et varie de o à + cc. M. Borer a démontré que l'intégrale
. JAN D ve oie
y est à partir d'une certaine valeur de x, inférieure à e* . Précisant ce
résultat, M. LinpeLör désigne par m le degré de l'équation par rapport
à a, et il montre que l'on a, à partir d'une valeur x, de #
lvl P poe
C étant une constante finie.
Il pourra arriver cependant que |y| reste trés inférieur à cette limite,
comme le montre la proposition suivante à laquelle est parvenu M. LiNDELÓF:
Ou bien l'intégrale y est du type exponentiel et reste comparable à une
c
fonction croissante de la forme e* (c nombre fini); ou bien y reste compris,
z* 2
à partir d'une certaine valeur de x entre e~* et e* , quelque petit que soit &.
Les recherches de M. LiwpELÓF nous ont ainsi révélé l'existenee de
deux types d'intégrales fort différents. Mais elles ne nous ont pas appris
à reconnaitre si une équation donnée admet des intégrales de l'un ou de
l'autre type. D'autre part la méthode de M. LiwpELÓF qui repose sur
une application du théorème de RorrE suppose x réel. Elle exige de plus
que y soit continu sur tout l'axe réel: or nous ne savons pas reconnaitre, -
a priori, si cette condition est réalisée, et l'étude de la croissance de y
devrait précisément avoir pour premier but de nous renseigner sur ce point.
C'est pourquoi je n'ai pas cru inutile de revenir sur le méme pro-
blème, en prenant pour point de comparaison la théorie des fonetions en-
titres. On va voir que le probléme comporte une solution assez précise.
2. Les résultats obtenus dans la seconde partie de ce travail nous
montrent immédiatement quelle doit être la forme d'une équation algé-
brique du premier ordre pour qu'elle puisse admettre une ou plusieurs
intégrales entières (de genre fini) Il faut que cette équation contienne
plusieurs termes de degré supérieur par rapport à y et y’. En effet, lorsque
le terme de plus haut degré en y et y' est unique, il suffit de se re-
porter aux inégalités du § 13 de la seconde partie, pour voir qu'il ne
pourrait être détruit par aucun autre, si y était une fonction entière. Dans
ce eas, si y est une fonetion uniforme ayant une singularité essentielle à
Sur quelques propriétés des fonctions entières. 217
l'infini, elle sera nécessairement, au voisinage de cette singularité, une fone-
tion méromorphe semblable à celles que j'ai étudiées dans la seconde partie
de ce travail; elle restera comparable, (si l'on exclut du champ de la va-
riable le voisinage immédiat de ses pôles) à une puissance finie de x.
Nous sommes ainsi conduits à répartir les équations algébriques entre
deux classes, suivant qu'elles contiennent ou ne contiennent pas deux ou
plusieurs termes de degré supérieur par rapport à y et à y. Cette distine-
tion va nous permettre de compléter les résultats de M. LixpELOr.
3. Considérons, pour commencer, une équation résolue par rapport à y’
(1) y Q(r,y) — P(x, y) = 0
P et @ étant des polynómes en x et y.
Je dis que si cette équation est de la seconde classe, toutes ses inté-
grales appartiennent au second type signalé par M. LixprELOr. Plus pré-
cisément, si l'on suppose encore que l'intégrale y est réelle, continue et
croissante sur l'axe réel, cette intégrale croitra moins vite qu'une puissance
Jinie de la variable x.
Il suffit, pour le vérifier, de reprendre le raisonnement employé par
M. Borer dans son mémoire Sur les séries divergentes, en y apportant une
légère modification.
y étant une fonction quelconque de & satisfaisant aux conditions qui
viennent d'étre énoncées, M. Boren a montré que si l'on ne peut pas
trouver de nombre €, tel que l'on ait, pour £ > £,
y<e
il existe sûrement des valeurs indéfiniment croissantes de $ pour lesquelles
on a à la fois
^d , I €
nest NW > ety:
De plus, parmi ces valeurs, il en est d'aussi grandes que l'on veut pour
lesquelles on a, en méme temps que les inégalités précédentes, l’inégalité
u < ys.
Il est clair que ces résultats subsistent si l'on remplace $ par la fonction
croissante de x loglogeg(x). Supposons alors que ¢(#) croisse moins vite
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 octobre 1903. 28
218 P. Boutroux.
qu'une puissance! finie de x. Nous pouvons affirmer que si l'on n'a pas,
à partir d'une certaine valeur de x, l'inégalité
y <g(x),
on aura simultanément, pour des valeurs x, de æ indéfiniment croissantes
dy dy ge) N 2 Pu 8,
y > g(x), Te e (s, positif fini)
Ces inégalités limitent la croissance de l'intégrale jy. Designons en
particulier par m un nombre supérieur aux degrés par rapport à x des
polynômes P et @. Nous constatons que ¢(a) sera nécessairement in-
férieur a z" si la différence des degrés p et q de P et de Q par rapport à
y west pas égale à l'unité.
En effet, s'il n'en était pas ainsi, tous les termes de l'équation (1)
seraient, pour 2 — z,, négligeables par rapport au terme en j^ ou au terme
en j/y^: le premier membre de l'équation ne pourrait done s'annuler.
Ainsi, si p—— q est different de 1, comme nous le supposons ici, on
aura, à partir d'une certaine valeur de x
(2) y < x”.
Le résultat serait le même si l'équation étudiée n'était pas résolue
par rapport à y': soit dans ce cas
A(x)y*y'?
le terme de degré supérieur en y et y', terme qui est supposé unique: si
l'on avait par l'inégalité (2), ce terme ne pourrait être détruit par aucun
autre (pour certaines valeurs +, de x).
x" eo
Je suppose qu'il existe des nombres s, s, tels que les rapports — et — soient
9 win
^ : : Tow 25
croissants à partir d'une certaine valeur de x. On a alors — <= < -.
x x
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 219
Considérons maintenant le cas où p—q-— t. L'équation (1) prend
alors la forme
, p—1) __
(3) Ya, Fay +... + ay?) — 5, +... +5,y"
les a et les b étant des polynómes en x.
Deux cas sont encore a distinguer suivant que le degré de a, est
supérieur, ou au contraire inférieur ou égal à celui de b,.
Lorsque le degré de a, est supérieur a celui de b,, Vintégrale y (supposée
réelle, continue et croissante) satisfait, à partir d'une certaine valeur de x à
l'inégalité (2). En effet, s'il n'en était pas ainsi, on aurait pour certaines
raleurs de x
a ona SU "EFE
y 2 c" (m arbitraire grand) et y > — (positif fini),
et le terme a,y'y’' de l'équation (3) ne pourrait alors être détruit par
aucun autre,
Ainsi se trouvent définies deux classes d'équations (1), dont les inté-
grales satisfont, à partir d'une certaine valeur de x, à l'inégalité (2). On
voit que ces intégrales ne peuvent pas croitre comme des exponentielles,
mais restent comparables à une puissance finie de la variable z. Elles
appartiennent au second type signalé par M. LtwDELÓOF.
Lorsque y est complexe, on doit former les équations auxquelles satis-
font sa partie réelle d'une part, sa partie imaginaire d'autre part, et étudier
ces équations séparément. Mais pour parvenir à des résultats pratique-
ment utilisables, il faudrait savoir déterminer les lignes sur lesquelles le
module de y est croissant. Or cette détermination semble présenter de
grandes difficultés.
4. Si nous considérons au contraire les équations (3) pour lesquelles
est inférieur ou egal à celui de b,, nous pourrons faire une
le degré de a,
étude descriptive assez précise de leurs intégrales. On peut observer que
dans le eas où nous nous placons (p— q = 1), les intégrales de l'équation
(1) sont à un certain point de vue comparables à des fonctions entières.
Ces intégrales ne peuvent en effet devenir infinies en aucun point non
singulier essentiel. Supposons en effet que y devienne infini comme x
(m > 0). On aurait au voisinage du point singulier
Lo ES (c fini),
220 P. Boutroux.
inégalité que ne peut vérifier aucune intégrale de (1) en un point non
singulier pour les coefficients. Nous allons voir se poursuivre l'analogie
entre les fonctions entières et les intégrales des équations (3) considérées,
en étudiant la eroissance du module Is] lorsque x approche du point sin-
eulier transcendant situé à l'infini.
5. Posons
y = wv
et faisons
Nous supposerons que le degré de 6, surpasse celui de a, de p unités.
Placons-nous en dehors d'un cercle contenant les zéros de b, et ceux de
a,. Sur une infinité de rayons /t issus de l'origine et situés dans p+ 1
, E «m , ERA wii ao 5 .
angles égaux à (1 —a) Fr (a étant un nombre positif fini, arbitrairement
7
: À rl x CCR
petit), « est comparable à e'V! | £ étant un nombre positif fini.
D'autre part, on a
(4) x b, +... p by uP oP — q'(aiv +. ec (e C ee pae
: aia IB Jr apu? vp
Cherchons une limite supérieure du module |z'| sur un rayon À. !
Désignons dans ce but par a un nombre supérieur aux dégrés de tous
les polynómes a. Si lon a, à partir d'une certaine valeur de |x|
(5) Juv] > hla’,
h étant un nombre fixe, tous les termes du dénominateur s’effaceront devant
le dernier, lorsque |x| croitra; en particulier, si |x| dépasse un certain
nombre r,, ce dénominateur sera, en module, supérieur à
0?
h, | a,u*p*^ (h, positif fini).
' Je me contente de dire que les nombres a, 4, , a, sont finis, n'ayant pas besoin
de plus de précision. Mais on pourrait facilement les calculer. Ainsi, désignons par
7 ct r, les degrés de a,_ı et de by_;. a est le plus grand des nombres 7, et pr.
bo
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 2
D'autre part le module du numérateur de v’ est inférieur à
h, |u* 9 io^ |. (h, et a, nombres finis).
On a, par suite sur le rayon /? considéré
3? 2
(6) |» | <h, er (h,, 9, positifs finis).
Posons alors kals-r; et soit v, la valeur que prend v (sur le rayon
Ii) au point de module r,. Nous pouvons, avons-nous dit, trouver un nombre
positif % tel que l'on ait, sur le rayon #2 considéré (pour r > r,)
LEM
Nous aurons évidemment à partir d'une certaine valeur de 7
À
DANCE 7
| e| A ,
U
0
k, étant un nombre positif inférieur ak.
Il en résulte que '
|] « (c inférieur à un nombre fixe)
et
viti
le np em
Si done la valeur initiale |v,| satisfait à l'inégalité
; ‚ati
5 |n] cem
la valeur de |v| en x sera elle-même finie et supérieure à ¢,.
Pour parvenir à ce résultat, nous avons dû supposer que l'inégalité
(5) était vérifiée pour r2 r,. Cette supposition est sans conséquences si
l'inégalité (7) est satisfaite au point r,. Imaginons en effet que l'inégalité
! On a en effet
ni
*
J ni M L
f ow ipa f in + Dhrtechr
ro
[E Ia
< ero — e-—hr .
222 P. Boutroux.
(5) vérifiée pour r, <r<r, cesse de l'être au point r,: il faudra que
l'inégalité
(8) lv] > c
cesse elle-même d'être satisfaite en un point r, situé entre r, et 7,: con-
clusion absurde, puisque nous avons démontré que l'inégalité (5) satisfaite
pour r, <r € r, entraine l'inégalité (8) dans tout l'intervalle r,7,.
Nous constatons ainsi que l'inégalité (7) entraîne l'inégalité (8) le
long du rayon R. Il en serait évidemment de méme le long d'une droite
quelconque sur laquelle |x] croît comme yr (7 fini). et, par suite, dans
tout l'angle A ayant pour sommet l'origine dans lequel on a
I| e
Dans tout cet angle (pour |x| > vj), y ne présente ni zéros mi pôles,
et l'on a
|| - emt"
À étant. compris entre deux nombres positifs fixes.
On peut interpréter comme il suit ce résultat: il est possible de mettre
l'intégrale y de l'équation (3) sous la forme
(9) y = Cu + g(a, C),
C étant une constante arbitraire, de telle façon que le second terme de
l'égalité (9) s’efface devant le premier dans l'angle A, à moins que C
n'approehe de la valeur particuliere zéro. Cu est alors une valeur prin-
cipale de y dans l'angle A.
On obtiendrait les mêmes résultats dans les a + 1 angles où le mo-
j j Ge . b
dule de w est croissant. Supposons en particulier que le quotient pi se
p
réduise à une constante. C'est alors dans tout un demi-plan que |y | serait
comparable à e^"!, (A> o).
6. Pour parvenir à ce résultat, il n'est pas nécessaire de supposer
"o 1» 0, ... sont des
polynômes. Supposons que sur un rayon / issu de l'origine, tous les a
que dans l'équation (3) les fonctions de z,«,, a,, ..., 5, !
et b soient à partir d'une certaine valeur 7, de r inférieurs à une puis-
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres, 223
a
sance finie de 7,7’; Supposons de plus que sur ce rayon, lon ait, pour
BT, e
R
Hep a
et
[| = r^|w],
k et o étant des nombres positifs finis. Tous les résultats du paragraphe
précédent s'appliqueront sur le rayon A au produit y — wr.
Les fonctions a, , «,, ..., 0, , 6, pourront être par exemple, des fonc-
tions méromorphes semblables à celles que j'ai étudiées dans la seconde
partie de ce travail, ou des fonctions algébriques. La méthode précédente
permettra d'étudier tous ces cas en détail, quoique leur diversité nous em-
pêche d'énoncer à leur sujet des propositions générales,
7. L'étude des intégrales de l'équation (3) conduit done, au point
de vue de la croissance, à des résultats particulierement intéressants. Dans
les w+ 1 angles définis plus haut, nous savons évaluer le module d'une
intégrale: ce module croit comme celui d'une fonction entiére de genre fini.
Les résultats précédents permettront encore d'étudier l'équation (1),
dans le cas considéré au § 4, ot elle contient un seul terme de degré
supérieur par rapport à y et y. Désignons en effet par X une intégrale
particulière de l'équation (1), et posons
I
i yo
La fonction Y satisfera à une équation de la forme (3). Pour s'en rendre
compte, il suffirait de remarquer qu'une intégrale y, différente de £, ne
peut être égale à ¢ en aucun point non transcendant pour l'équation;
dans le cas contraire, en effet, on aurait en méme temps, y' — C, et les
deux intégrales coincideraient dans tout le plan. La fonction Y ne pré-
sente done, en dehors des points singuliers transcendants de l'équation,
aucune singularité polaire. Elle est de méme nature que celle qui a été
étudiée dans les paragraphes précédents.
Supposons en partieulier que l'équation (1) admette une integrale ra-
tionnelle qui sera celle que nous appelons £. Dans l'équation (3) à laquelle
satisfait Y, les fonctions a, , à, , ..., 0,, b,, ... seront alors des polynómes,
et l'on pourra appliquer à la fonction Y les résultats du & 5 si le degré
224 P. Boutroux.
de a, est inférieur ou égal à celui de 5,. Nous constatons alors que dans
les zz + 1 angles définis plus haut, l'intégrale générale y se rapproche indé-
Jiniment, lorsque |x| croît, de l'intégrale rationnelle €. La différence y — €
est égale, d'après ce qui précède, à p À restant compris entre deux
nombres positifs fixes.
On pourrait chercher à généraliser ces résultats en étudiant des équa-
tions plus compliquées. Ils peuvent sans doute donner lieu à diverses
applieations pratiques, puisque la méthode qui vient d'étre développée ne
permet pas seulement de limiter le module d'une intégrale, mais aussi
d'évaluer ce module dans des régions étendues du plan.
Mais il n'est nécessaire de multiplier les exemples précédents pour
conclure que la croissance de certains types fort généraux de fonctions obéit
à des lois trés simples et trés précises. Il serait intéressant de rechercher
dans quelle mesure la grandeur d'une fonction en est une propriété carac-
téristique et, jusqu'à quel point la connaissance de sa croissance renseigne
sur la nature analytique de la fonction. On a vu que l'ordre de grandeur
d'une fonction entiere dépend étroitement de la densité de ses zéros; c'est
dire qu'il est déterminé par la grandeur des éléments composant l'ensemble
des déterminations de la fonction inverse. Mise sous cette forme, la pro-
position est susceptible d'étre étendue à des classes de fonctions beaucoup
plus vastes que celle des fonctions entiéres, et il est trés vraisemblable
qu'elle peut l'étre.
Ainsi la relation que nous avons observée dans le cas des fonctions
entieres n'est peut-étre que la manifestation d'une propriété appartenant à
des fonctions plus générales. C'est pourquoi il n'était peut-être pas inutile
de la mettre en lumière, comme je me suis proposé de le faire dans ce
travail.
SUR UNE SERIE-D’ABEL
PAR
S. PINCHERLE
à BOLOGNE.
1. Dans le mémoire posthume d’ABEL: »Sur les fonctions généra-
1
trices et leurs déterminantes»,' on trouve, à la page 73, une formule trés
remarquable; c'est la suivante:
; dpi Tu de(z + f) a(a — 2,3) d'e(x + 25)
(a) ec +to)=elz)+a aaa DmOXE aD 4
NOL ee SC a pU)
12209. 0m dx"
Ce développement est obtenu par l' Auteur en appliquant la méthode des
fonctions génératrices ou, comme on dit à présent, la transformation de
LAPLACE au développement donné par L&GENDRE: ?
/ 5 ; = 2
ENE = 28) p? ef" + We Zs EE
IM DM
(b) e" — 1 + ave? +
La formule (a) semble avoir appelé l'attention d'Anrr d'une facon parti-
culière; un autre de ses travaux ^ renferme, en effet, la démonstration de
la formule pour le cas où @(x) — x", d'où résulte immédiatement la méme
formule pour tout polynóme entier. Dans ce cas, il n'y a rien à remarquer
sur notre formule; mais dans des cas plus généraux, elle peut parfaitement
' Mém. XI du t. II de l'édition de Svrow et Lin, p. 67.
* Exercices de calcul intégral, t. 2, p. 234. On obtient sans peine cette série
comme application de la série de LAGRANGE.
* Mém. X du t. I de l'édition citée, p. 102.
Acta mathematica. 25. Imprimé le 29 octobre 1908. 29
226 S. Pincherle.
ne pas étre exacte, car le second membre, méme s'il est convergent, peut
ne pas avoir pour somme le premier membre. C'est là une conséquence
de l'application pure et simple de la transformation de LAPLACE, qui
échappait naturellement au temps d'Anrr, étant données les connaissances
qu'on avait alors sur la théorie des fonctions. En particulier, comme on
l'a remarqué depuis longtemps, l'application faite par Aten de la formule
à la fonction log z est inexacte.
HALPHEN a repris l'étude de la série d'ABEL dans un intéressant
mémoire ' où il donne les conditions sous lesquelles la formule (a) est exacte.
La méthode tenue par HALPHEN pour établir cette formule diffère complète-
ment de celle d'AnsEL; il s'attache, en effet, à l'étude du système de po-
lynómes
(e) P,(a) = ala — nf)
/
et cherche les conditions de convergence d'une série ordonnée suivant ces
polynômes et les propriétés des fonctions représentées par de semblables
séries. Un autre auteur, M. PARETO,* a repris la question par la méthode
d'AnEL, c'est à dire en partant de la transformation de LAPLACE, mais en
précisant les conditions d'application de cette transformation selon des idées
plus modernes sur la théorie des fonctions; de cette facon il retrouve, pour
la validité de la formule (a), les conditions données par HALPHEN.
2. Le présent travail se propose de reprendre l'étude de la série
d'ABEL à un autre point de vue. Au lieu de considérer comme éléments
principaux de ce développement les polynómes (c), ainsi que l'a fait Har.
PHEN, je donne le plus d'importance, en chaque terme de la série, au facteur
d'g(z + nf)
dx"
(d)
’
où je considère ¢(#) comme une fonction analytique arbitrairement va-
riable dans une certaine classe, ou, comme je dis aussi, dans un certain
champ fonctionnel. Je regarde ce facteur comme le résultat de l'opération
' Sur une série d'Abel. Bulletin de la Soc. Math. de France, T. X, p.
67, 1882.
' Sur les fonctions génératrices d'Abel. Crelle, t. 110, p. 290, 1892.
Sur une série d'Abel. 227
de er + P
=
dae J
donne quelques propriétés et des conditions de convergence des opérations
V", appliquée à la fonction g(a), où Ve) est l'opération
représentées par des séries de puissances de V à coefficients quelconques;
enfin je passe au cas particulier d’une de ces opérations qui, dans une
partie de son champ fonctionnel de convergence, représente g(x + a) et
j'obtiens ainsi la série d'ABEL comme spécialisation des opérations susdites.
3. Soit un système de constantes
tel que la série
(1) 0.27
n=0
ait un rayon o de convergence fini ou infini, mais non nul. Nous allons
nous occuper de l'opération représentée par la série
(2) A(g) = 22 a, V"(g).
L'ensemble des branches de fonctions analytiques monogenes qui, substituées
a g(a) dans cette série, la rendent uniformément convergente dans une
aire du plan x, constitue ce que j'appelle le champ de convergence de la
série. Pour toute fonction appartenant à ce champ, l'opération (2) donne
comme résultat une branche de fonction analytique. En outre, cette opéra-
tion jouit évidemment de la propriété d'être distributive, et d'être permu-
table avec lopération de derivation.
Il est facile de montrer qu'il existe deux classes distinctes de branches
de fonetions, n'ayant pas d'éléments communs, et appartenant l'une et
lautre au champ de convergence de la série (2).
a) J'indique par SIT l'ensemble des fonctions entières
(3) g(a) = > bed x"
dont les séries associées! &%,x" ont un rayon de convergence non nul.
' Au sens de M. Boren. V. p. ex. Acta math., t. 21, p. 243.
298 S. Pincherle.
Je considère une fonction (3), et soit 7 le rayon de convergence de sa
série associée; si r, est un nombre positif moindre que 7, il existe un
nombre positif y tel que
|r, | = Ei (n=0,1,2,...)
T1
et on en conclut immédiatement que si 5 — [8], |r| — t, on a
lol: 3 fin
rte ee a
x T]
par suite, il suffit de la condition
b
(4) e" « rp
pour que la fonction e(x) appartienne au champ de convergence de la
série (2). La valeur de x ne figure pas dans cette condition, en sorte que
Ag) est une fonction entière. Nous pouvons done énoncer le résultat
suivant:
b
I. Etant donnés b — || et o, l'équation e" — ro donne pour r une
racine positive unique v. Les fonctions de l'ensemble DL pour lesquelles on
ar<r constituent un ensemble linéaire OT, qui appartient tout entier au
champ de convergence de A(¢).
En particulier, si a — co, tout l'ensemble SIU appartient à ce champ
de convergence, quel que soit 5.
b) J'indique maintenant par 9C l'ensemble des branches de fonctions
analytiques régulières dans un domaine de z — oo, et représentées par
conséquent par des séries de puissances entières négatives de =. Soit g(x)
un élément de cet ensemble:
i k I
O(a) SR einge pes
soit r le rayon du cercle à lextérieur duquel la série converge; si 7, est
un nombre positif plus grand que r, il existe un nombre positif zu tel
que, pour toute valeur de », on a
| k, | < un.
Sur une série d'Abel. 229
Soit maintenant » un nombre entier tel que mf soit extérieur au cercle
de rayon r; il en sera de méme de nf pour n> m; et si lon prend un
nombre positif ¢ tel que l'on ait
t <= mb—r
où b =|], pour tout x tel que
(5) t<|z|<mb—r
et pour » 2 m, les inégalités
| x + uf m |«| >r
se trouvent vérifiées.
Les séries
d'e(r + nf) L : u Ze]: I: \
de" AE (o + n2 (x + up en NG + 1/3)? aie .J
(6)
sont done convergentes pour toutes les valeurs de x sus indiquées; en
substituant aux valeurs absolues des termes de la série (5) les nombres
positifs respectivement supérieurs
n
HY |
xd REX
tro |l»
on trouve sans peine que l'expression asymptotique en » des fonctions (6)
n'est pas supérieure à
où e est la base de logarithmes, et où 7, tend, pour » — co, à une valeur finie.
Cela posé, reprenons la série A(¢) dont nous négligerons les m pre-
miers termes dont la présence n'a actuellement aucune importance. En
indiquant encore par o le rayon de convergence de la série (1), les re-
marques précédentes permettent de conclure immédiatement que
II. La série, où « est un élément quelconque de l'ensemble DT
e '] ]
230 S. Pincherle.
est convergente uniformément pour toutes les valeurs de x données par (5)
pourvu que lon ait
I
pc
III. Il en est de méme pour
A.
SC
si l'on ajoute la condition que la série
D
Y
soit. convergente.
Dans les deux cas, tout l'ensemble 9C appartient done au champ de
convergence de A(¢).
IV. Si la série g(a) est convergente dans tout le plan excepté x = 0,
sous les conditions des théorèmes II et III la convergence uniforme de la série
Alp) s'étend à toutes les valeurs de x, en excluant du plan de la variable
les points — nf par des aires renfermant chacune un de ces points et aussi
petites qu'on voudra.
4. L'opération V étant permutable avec la dérivation et ayant la
même racine que celle-ci, c’est à dire la constante, toute opération per-
mutable avec la dérivation et n'admettant pas cette racine pourra, par les
principes généraux de la théorie des opérations distributives,’ s'exprimer
par un développement en série de puissances de V à coefficients constants,
c'est à dire de la forme (2). Ce développement sera certainement valable
pour un ensemble de fonctions, plus ou moins restreint, mais auquel ap-
partiennent les éléments r,z,2*,.... En outre, les coefficients du dé-
veloppement s'obtiennent par la méthode des coefficients indéterminés, en
y faisant successivement @ = 1 ,#,x°,...; chacun de ces éléments æ" étant
racine de V" et non des puissances précédentes de V.
1 V, mon ouvrage Le operazioni distributive ecc, in collaborazione on U, AMALD!,
p. 45. Bologna, Zanichelli, 1901.
D
Sur une série d'Abel. 231
Appliquons cette méthode à la recherche du développement en série
de puissances de V de l'opération que j'indique par 0^, et qui consiste à
remplacer, dans une fonction donnée, r par «+a. On aura
0"(g) — «er eV(eg) c eV*'(e) -...;
et en faisant ici la fonction & successivement égale à ı,2,x°,..., on
obtient immédiatement
a(a — 2f) ala — 3/3)?
€, — I, € — a, €, = — a ; C, =- —
ry 12244
En supposant alors démontrée la formule
a (a — nf
ee
n [n
jusqu'à une certaine valeur de », on l'étend à la valeur suivante » + 1
en s'appuyant sur la formule d'analyse combinatoire
m"—* (m — 1)(m — 2)...(m — k+ 1) — mm — 1)"-* (m — 2)(m — 3)...(m — k)
) | | 3)
== (2) — 2)"-*(m — 3)(m— 4)...(m — k — 1) — ...
+ (— ı)"* (ee — 1(k—2)...2.1—0
Y:
dont la démonstration n'offre pas de difficultés.
Nous avons ainsi obtenu la série d’Aser, dont les coefficients, c'est à
dire les polynómes (c) se sont présentés de la facon la plus naturelle.
La méthode suivie enseigne que la formule sera valable, c'est à dire que
le second membre sera une série convergente dont la somme sera égale au
premier membre, pour un certain ensemble fonctionnel renfermant les fonc-
tions 1,æ,æ*,.... Quant à l'extension de cet ensemble, c’est le théorème
I (8 3) qui va nous permettre de l'évaluer: il s'agit seulement de trouver
la valeur de p.
Or, l'expression asymptotique des coefficients (c) s'obtient sans diffi-
eulté; elle est donnée par
(7) (eben;
259 S. Pincherle.
on déduit de là que
et par suite, en appliquant le théorème I, on obtient le résultat suivant:
IV. Sir est la racine positive de l'équation
b -41
pr =
ENT.
toutes les fonctions de l'ensemble MC pour lesquelles on ar < r appartiennent
au champ de validité de la formule d’ Abel."
s. Si lon indique par A(g) la série d'Anzr, c’est à dire le second
membre de la formule (a), les coefficients de la série A(¢) donnent, comme
, I eye 07 , x
on l'a vu, p — —;; les conditions exigées par le théorème III sont en outre
eo
vérifiées, comme le montre l'expression asymptotique (7) des coefficients.
On en conclut:
V. L'ensemble IT appartient tout entier au champ de convergence de
la série A(c).
Cependant, pour les fonctions de cet ensemble, la série A(g) ne re-
x
présente pas e(x + a), c'est à dire la formule (a) n'est pas valable: l'exemple
I Jen - [4 ^ . ^
de g(z) —-, déjà considéré par HarPHEN, suffit à le prouver. Il n'y
a pas là de contradiction, puisque r, r,z*,... n'appartiennent pas à l'en-
semble 9X.
6. Bien que la série A(g), appliquée à une fonction de 9C, ne
donne pas comme résultat g(#-+ a), cette série nous donne une fonction
d(r,«) qui vérifie l'équation fonctionnelle
0U(x, a + B) dIW(e+t+ Pf, a)
(8) 2x 9a
propriété qui est vérifiée, en particulier, par les fonctions de x+a. En
' C'est là la condition obtenue par HALPHEN, loc. cit., p. 78, et par PARETO,
loc. cit., p. 307.
Sur une série d'Abel. 233
particulier, si g(x) est une fonction entière de —, la fonction d(x, a) est
LA
une fonction uniforme de x et de a, entière en a, ayant par rapport à x
les points singuliers — nf, et qui vérifie l'équation (8).
D'autres séries de puissances de V, en outre de la série d'ABEL,
donnent .naissance à des fonctions qui vérifient l'équation (8). Ce sont
les séries
P2 Pula) y^
— in
où les coefficients p,(a) satisfont à l'équation aux différences mêlées
dph(a)
dum np, 1 (a — f).
(9)
La solution la plus générale de cette équation est donnée par
P, (a) EX c P, = nc, Ps = (Clare A CC: a= RC, a P, 3r Cn
où 0,0, , ..., €, sont des constantes arbitraires et P, sont les polynómes
-1
P, = ala — nf)"
qui figurent dans la formule d'Ankr,
Aela mathematica, 28. Imprimé le 26 noveml re 1909 30
tti un
M! 4 Im + A 118 d | aM Hori
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NOTES SUR DEUX TRAVAUX D'ABEL RELATIFS A L'INTÉGRATION
DES DIFFÉRENCES FINIES
PAR
F. GOMES TEIXEIRA
à PORTO — PORTUGAL.
E
1. Le premier des travaux d’ABEL que nous allons considérer fut
publié dans le Magazin for Naturvidenskaberne (Christiania, t. 2,
1823). Dans la troisième partie de ce travail (Oeuvres complètes, 1881,
t. 1, p. 21) présente le grand analyste la formule suivante:
(1) Xg(z) = fe(z)dz —;e(x)
sa t A / i i j |
v (i)-](0—:) uis
am > * == . — + ( '
21 e^ — I
0
où Ze(x) représente l'intégrale finie de g(x) et € une constante arbitraire,
et en fait application à la détermination de quelques intégrales définies,
qui avait été considérées par LEGENDRE dans ses Ewercices de Caleul inte-
gral, parmi lesquelles se trouve la suivante:
Æ
,. ul
sin — dt 1 :
2 WOES Sob 4. I :
(2) em — | e“— I tha
Agia mathematica, 28, Imprimé le 26 novembre 1903,
236 F. Gomes Teixeira.
C'est de cette formule (1) que nous allons premierement nous occuper,
pour en faire une nouvelle application, en démontrant au moyen d'elle et
de (2) la formule qui donne l'expression de la dérivée d'ordre queleonque
des fonctions de e*, connue par le nom de formule d'Herschell.
Appliquons, pour cela, la formule (1) à la fonction ex”, » étant
un nombre entier positif et » un nombre queleonque, et remarquons que,
au moyen de l'intégration par parties, on trouve
gor!)
war Ve Au’
e" 1 GUT
= eig?” us
et par conséquent
Yep? — g
e"
a (er I \ Atze]
2n—1 2n^ q?^—3 1
Q = 2n a edes) TU WR
on trouve
Y "lt ut) dt
Psin — + Q eos — | ———
| ( 2 BRAS 2Je"—ı
LE
0
a eu A + e" d AT =
— — T5 p aye — ne
e" I e I RU sh T — I
2n 245 ,2n—1 ? 5
a 2n® 1:424 24 Ts 4
[ee | te +
Lu n? earl 2
Les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de cette
identité doivent être égals. En considérant premièrement ceux de z^", on
trouve l'égalité
Notes sur deux travaux d'Abel relatifs à l'intégration des différences finies 257
qui, à cause de la formule (2), fait voir qu'est € — o. Et en y posant
ensuite «=o, il vient
»
ut
LU" sin = dt
eu \ 24—1 = Dt
a Qn Qn n+1 24 EBEN
—( : ) Ag |- 02» 2 CUI
e" — 1,
En appliquant la formule (1) à la fonction z"—'e" on trouve de la
même manière
o
t
12^—! cos a dt
2 2211 pu + e" He pet
— = (— 1)"— Ao" — A'o^"
a — T ( (e* — 1)° BL I +
t
0
/ e* 2n—2 , ï , = Ir 2 3 ((27,.—- I.)
At o?-1 = (= Á n an
is " oo ) \ ) wn
Mais, d'un autre côté, en derivant les deux membres de l'égalité (2),
par rapport à u, 2» — 1 et 2n fois, on trouve
e
Fa
at
f2n—1 cos dt 3 À : Ew. |
— = (— yiii 1.2... ee NT s e I
ent — u q,2^ dum :
t
ü
a
LH ud
£^" sin — dt :
2 IN 2... 2n d?"(e, — 1)-1
= ( aT yc 5?" = +, \
untl du?" :
De ces deux égalités et des deux antérieures on tire la suivante:
fou. — —1 o a / eu m-—1
d (e zb». e | Aon — ^^ Aloe" +... (==) A"o" |.
du” (e“ — 1)?
Maintenant il n'a qu'un pas à donner pour obtenir la dérivée d'ordre m
de y —f(e") par rapport à wu. Il suffit qu'on forme quelques dérivées
successives de f(e*) pour remarquer qu'on a
y = f'(e")e" + Af"(e*)e™ + Bf'"(e")e** +... + f" (e")e"",
238 F. Gomes Teixeira.
A,B,... étant des nombres, qui ne dépendent pas de la fonction con-
sidérée, et qu'on peut, par conséquent, obtenir au moyen d'une fonction
particulière. En appliquant, pour cela, cette formule à la fonction (e* — 1)“,
on trouve
S e" x u > u 2
!/ ine: b= hued ee — je
e" m-—1
zn 2...m( ) |
[ae I
On voit done qu'est
I 20m > I 3m Y T 4 -m
A = — A°o", B No ( —— A’o", . ,
"Te 1 pan $2
et par conséquent
JO Ye. Ira Oi
PES f"(e Vest —- = = FE Ne + m + f" (ec)
y E f'(e") et +
qui est la formule d' Herschell.
2. Le second travail d'ABEL que nous allons considérer, fut publié
pour la première fois aprés sa mort, et se trouve dans le tome 2, p. 1
des Oeuvres complètes. Il y donne la représentation de l'intégrale
Scr NT ER … NAS
finie 4 — par une intégrale définie, au moyen de laquelle il l'étudie.
— i i <
[ci nous allons étudier la méme fonction en prenant pour point de depart
une série qui la représente, et en appliquant les méthodes de la théorie
des fonctions analytiques.
Considérons la série
D
lI I I
1) =
( "ei me (m + a)?
où a représente un nombre positif quelconque, laquelle contient comme
cas particulier quelqu'unes qu'on trouve dans la théorie de la fonetion
l(r), qui correspondent aux valeurs entières de a, et supposons que m“
"
représente une quelconque des valeurs que prend 2’, quand z — m, et
Notes sur deux travaux d'Abel relatifs à l'intégration des différences finies. 239
qu'on détermine (m + «)* par la condition de se reduire à la valeur choisie
pour m^, quand «=o.
Cela posé, nous allons démontrer que la série considérée est wniforme-
ment convergente dans une aire A, limitée par un contour quelconque,
laquelle ne contienne aucun des points d'affixes I,—2, —3,
Pour cela nous remarquerons premièrement que, si n est le premier
nombre entier supérieur à la plus grande des valeurs que prend le module
de a dans l'aire A, il suffit qu'on démontre qu'est uniformément con-
vergente dans cette aire la série
oo
I I
— im^ (m + ay}
m=n-+1
ou
E a a
m“ (+2) —1]
m |
m^(m + x) 1
m=n+1
ou
oo a: \ a—1
at + 0—)
m
m(m + x)“ à
m-n-4l
oni" zo .
Or il est facile de voir qu'il existe un nombre M que le module de
a\4 1 , : "
he (1 + 0”) ne peut pas surpasser, quand x varie, sans sortir de l'aire
m
A, et m prend les valeurs n+1,”-+2,.... En effet, si est «> 1, on a
a—1
æ [et — x E
eei] < dz] ud d
quand m>n et |x| €»; et, si a<ı, on a
tite l—a
3 m at > 1 0 AÁ > 1 it
) =
m m n 4t
et par conséquent
»[a—1
+ <n+1.
240 F. Gomes Teixeira.
Nous avons done
" a a—]
ie eg ez) | M M M
mm+ | mm ele mm [ele * (m — yt
Mais la série
I
PER
est convergente. La série (1) est done uniformement convergente dans l'aire
considérée A, et elle définit, par conséquent, une fonction ZL,(r), que nous
allons étudier.
3. Soit zr, l'affixe d'un point quelconque de l'aire A. Chaqu’un des
termes de la série (r) peut étre développé en série ordonnée suivant les
puissances entières et positives de æ—x,, convergente à l'intérieur d'un
cercle dont le centre soit le point d'affixe x, et dont le rayon A soit égal
ou inférieur à la distance de ce point à celui des points d'affixes — r,
—2,-—353,... qu'en est plus prochain. Mais, d'un autre côté, la série
(1) est uniformement convergente dans tout cercle de centre x, et de rayon
inférieur à 2. En appliquant un théorème de WEIERSTRASS bien connu,
on voit done que la fonction définie par la série (1) peut être développée
en série ordonnée suivant les puissances de x — x,, convergente à l'intérieur
du cercle de rayon R, et que, par conséquent elle est régulière en tous les
points différents de — 1, —2, —3,.... ll convient encore remarquer
que — r, —2, —3,... sont des points critiques de la fonction consi-
dérée et qu'on a
I
L (2) = ——— P(x +n), (n2 —1,—2,—8,...)
N) (æ + n) x "5
Pix + n) représentant un développement ordonné suivant les puissances de
T + n» quil est facile d'obtenir, et que cette égalité a lieu pour toutes les
valeurs de a représentées par les points de l'intérieur d'un cercle dont le
centre est le point d'affixe — » et dont le rayon est égal à l'unité.
4. En développant L,(x) en série ordonnée suivant les puissances de
x, on trouve le résultat
c | a(a +1), 4 ala + 1Xa + 2), 3
L(x) a^, ad 2 1.2 S490 E 1.2.3 Saga EU
Notes sur deux travaux d’Abel relatifs à l'intégration des différences finies. 241
en posant
HAE er SS
laquelle est convergente à l'intérieur de la circonférence de centre o et de
rayon égale à l'unité.
On tire de cette égalité les suivantes:
L;(o) = as sr, L;'(o) = — a(a + 1)5,,,,
dont nous allons faire usage en cherchant le développement de la même
^ e . e x
fonction en série ordonnée suivant les puissances de :
+2
Pour cela, remarquons, en premier lieu, que la droite tirée par le
point d’affixe — ı, perpendieulairement à l'axe des abscisses, divise le plan
de représentation de x en deux demiplans et que, dans celui qui contient
le point d'affixe o, la fonction L,(#) est holomorphe. En appliquant
maintenant un théoréme que nous avons démontré dans le Journal de
Crelle (t. 122, p. 98), on conclut que la fonction L,(z) peut être dé-
veloppée en série de la forme
oo
L,(2)= Y A):
n=0
convergente dans ce demiplan. On détermine A, au moyen de la formule
rer er ICE
qe PET TO
qui donne
A, = 21;(0) + (n — 1) — Li (o) + C m ) — Ut toy
2
ou
2"
tia Sets
Acta mathematica, 28. Imprimé le 28 novembre 1903, 31
249 F. Gomes Teixeira.
5. En dérivant » fois la série (1) par rapport à x, il vient
LY (x) = (— 1)y-7a(a 4 1)...(a 4- n — 1) M T
m-1 r
Done entre la dérivée d'ordre x de L,(x,a) et la fonction L,(z,« +n)
existe la relation
LP (x , à) = (— 1)'a(a + 1)...(a + u— Le, a + |
m=1
6. Nous avons supposé jusqu'ici que les binómes qui entrent dans
la série (1) sont des branches quelconques des fonctions qu'ils représentent.
En nous placant maintenant dans un point de vue plus particulier, nous
supposerons qu'on choisit les valeurs des quantités 1^, 2^, 3°, ..., qui
entrent dans cette série, de maniére qu'elles coincident avec celles que
prend, dans les points d'affixes 1, 2, 3, ..., une branche uniforme de la
fonction z^, déterminée par une certaine valeur initialle et par une coupure,
qui part du point d'affixe o et que zr ne puisse traverser, et qu'on prend
pour valeurs des binómes (1 + x)*, (2 4-z)', (3+ z)^, ..., dans chaque
point, celles que prend la méme branche de z^ dans les points 1 + @,
2+2,3-+2,.... Alors si l’on change dans la série (1) z en z 4r 1
et si lon représente par K, et A; les sommes des « premiers termes des
deux séries, on a
I I
EI he = IE OUR a ee
et, par conséquent, en posant « — co,
I
Fale eit crap
La fonction L,(x) représente donc l'intégrale finie de uu ou L(æ— 1)
celle de =. La fonction L,(@— 1) coincide done, dans le cas particulier
a
maintenant considéré, avec la fonction L(x) de ABEL.
243
RECHERCHES SUR LES VALEURS EXTRÉMES DES INTÉGRALES
ET SUR LINTERPOLATION
PAR
A. MARKOFF
à S:t PETERSBOURG.
Dans ce mémoire j'ai en vue de donner la plus grande généralité aux
résultats, obtenus auparavant, de compléter les démonstrations et enfin
d'expliquer la connexion entre mes recherches et les recherches des autres
góométres. '
Les recherehes sur les maxima et les minima peuvent étre divisées
en trois parties.
La premiére partie consiste dans la déductions des équations, par
lesquelles se déterminent le maximum ou le minimum cherché et les autres
inconnus liés à celui-ci. La seconde partie consiste dans la solution des
équations obtenues ou, au moins, dans l'éclaireissement, que ces équations
sont compatibles et déterminent les inconnus. Enfin la troisième partie
consiste dans la démonstration, que les équations établies correspondent
effectivement au maximum ou minimum cherché.
! A. MARKOFF, Sur quelques applications des fractions continues algébriques, (en russe),
1884. Sur une question de maximum et de minimum, (Acta mathematica, 1886).
Nouvelles applications des fractions continues, (Mathematische Annalen, B. 47).
TcH£BYCHEF, Sur linterpolation dans le cas dun grand nombre de données, (Mé-
moires de l’Acad. de Sciences de St Petersb., VII série, I, 1859).
A. KonkKiNE et G. ZOLOTAREF, Sur un certain minimum, (Nouvelles An-
nales, 1873).
STIELTIES, Jets over de benaderde voorstelling van eene functie door eene andere,
(Delft, 1876).
Acta mathematica, 28. Imprimé le 28 novembre 1903,
244 A. Markoff.
Bien que plusieurs recherches de cette espéce se bornent à la premiere
partie, mais le défaut de la seconde et de la troisieme partie peut dénuer
ces recherches de toute importance. On ne saurait justifier ce défaut par
une affirmation mal fondée, qu'il est évident, que la question posée doit
avoir une solution.
Au contraire, en développant convenablement la seconde et la troi-
sieme partie, nous pouvons supprimer la premiere, s'il est possible de de-
viner le résultat cherché.
Dans nos recherches il s'agit justement des questions, dont nous
pouvons deviner la résolution au moyen de lanalogie à la résolution des
autres questions discutées. (C’est pourquoi nous tenons pour superflu de
nous arréter à la premiere partie.
S Tr. Soit
À,(z) ) À, (2) 9! PA à, (2) ) À ai (Z) ,
une série de fonctions satisfaisantes aux inégalités
|i (2) , A(z), Ar (2)
A; (2) , Ai (4) | E^ |
A (ane ayy anos 20, 1a(2), Ale) , à (2) | 90, 25
Àj(2) , (2) TI TE
A; (2) , A3(2) , 3 (2)
(es Ae (Be ee)
pour toutes les valeurs de z comprises entre «a et b.
(a € z € 0).
Pour nos recherches il est important de démontrer la proposition
suivante.
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 245
Theoreme |,
Si
quw «Wc... uu, nya SO,
le déterminant
AEQ AN Sta) elut A Cte Y eo su)
Be, Alt) Al) Ag (Mors)
MWe i A ia Al) Ag (thy 1)
Angi (ts) , An+1(%,) nee, du) , Anzı (04.41)
est un nombre positif.
Démonstration.
Dans le cas de # =o le théorème est évident, car dans ce cas il ne
donne que linégalité posée
A, (2) > 0.
Cela étant, nons supposons, que ce théoréme est juste pour » fonc-
tions A et pour » valeurs #, satisfaisantes à nos conditions, et nous
allons démontrer que le méme théorème sera aussi juste pour x + 1 fonc-
tions A et pour n+ 1 valeurs w.
Pour cet effet présentons le déterminant considéré
| A, (44,): 0509095) 4 AM oye eye Av) y Ape)! |
Alle la) MIA). ure oda). rte) |
Alte Aio. HE) o. Es DAR.) "A (06,34)
detected a eem ecc md o ana NOM |
A 0) opus), Tea). ss Anas (ta) 5 Aui (nar)
comme le produit de l'expression
Ay (0) Ay (45) à (tes) «Ay (ten) Ay (ttn 41)
246 ‘ u A. Markoff.
et de l'autre déterminant
hol) Alm) Anus) — Aus) Aa (un43) __ Aa(un)
Alu) Alm) ° Aus) An (a)? A (Ung) A0)
As(u2) _ Alan) Asa) À3 (ug) (As (Un) À3(un)
Ay (us) or (a) s? Oca (ug) pas (es) ten Qa) CELL
Angi(U2) — Angi(Ui) Angi(tts) — Anga(2) Ang i(Ung1) — Ang1( Un)
A (12) An) ? Aus) Ay (2) PE TUS Ay (Un41) Ay (tn)
lequel est égal a un produit de la forme
SD] am. ABS] a0... [sento
et l'on désigne par
Ui Oe) eee Yl
des valeurs indéterminées satisfaisantes aux inégalités
WU, S E D, ME APERUIT e ELTE
Les fonetions nouvelles A, semblablement à A, satisfont aux conditions
| Ai(2) , Ai(2) , di (2)
20, |4s(2) , 4(2), 4 (2) 2 6, --.
As(2) , Aa), Ay (2)
| Az), Alle)
A,(2) > 0, .
A,(2) , A;(2)
E Lo CC OC—CS;73;7;7;7;
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation.
I
pour a € z € b, car le déterminant
br 2p PAC) vom ASIE)
Ale}, (2) , As’ (2)... 477r]
Az), Aie), Al (2)... A7 (2)
ne différe du déterminant
Ale m Als) oss Aa)
DIE A) S AR 2)
| A41(2) RARE) sus A(z) |
247
que par le diviseur {A,(z)/*", ce qu'il est facile de manifister par des trans-
formations simples au moyen de la formule de Lerpniz
A) = zc AMA) H+ D (55) Mle) + EET (5
AO, 1.2
z) A+.
Il en résulte conformément à notre supposition, que le déterminant
BIO ALU, AU)
AU CUR), (UE)
est un nombre positif, et par conséquent le déterminant
A) , Au) 222.5 Ass) |
Al) Ali) 3, Ab (tenga)
Anzı (tt) ) nei (Uy) IE s Asi (9654.1) |
doit étre aussi un nombre positif en vertu des égalités précédentes.
248 A. Markoff.
Cela suffit pour la démonstration de notre théoréme.
De ce théoréme découlent plusieurs corollaires importants.
Corollaire 1. Si dans le systeme des inégalités
Uy « Uy << Ug e.c. e S Ea
nous remplacerons certains des signes < par =, n'égalisant cependant
aucuns trois nombres voisins de notre systéme
Uy y eee, Un, M,
et si conformément à chaque égalité
u; = Ui41
nous remplacerons dans le déterminant
| Aw) , À (1) ttt) Ay (ui) |
A, (a) AQU) (351 TALS) |
À aal M) , A. x19.) yeas LO) A a3 Cr
la colonne
Ay (43) » Aa (43) |. Aa (Migr)
par
u), A5 (0) , ..., Ana)
le déterminant obtenu de cette maniére sera aussi un nombre positif.
On peut atteindre ce résultat en divisant le déterminant primitif par
les différences »;,,— u; et en diminuant ces différences jusqu'à limite zéro.
Il en résulte que le déterminant nouveau ne peut étre un nombre
négatif, mais, il reste en doute, s'il ne puisse pas être égal à zéro.
On éeartera ce doute, en exprimant le déterminant obtenu par le
produit d'une quantité, qui différe de zéro, et d'un déterminant
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 249
A,(0) ’ A,(U,) PLACAS S A,(U,)
BA AT) 58.5 Al)
|A, (TU) ) A,(U,) , , A,(U,)
oü l'on a comme auparavant
ene dif Ae) _ a f 4()1 d f An+ı(z) |
4,4) — 5,12) [^ ABl A (2) = dz| 2, (2) IE
ee
Examinons par exemple le determinant
Alu), Al), Aus)
Au) ) A (04) ) Ay (5)
Ag (ty) , As(16) , Asus)
En transformant ce déterminant nous trouvons successivement
; Ai (a)
À (us) , A06) , Js (s) Aiea"
" As (uy A 1 PACA
ACORN COREA EENCHLACHLACH ES, en: rn
Alt), Alu), As(*s) Aj aun AS
| An) ; A (3) t (us)
AQ) — AQ)
A (x) 2 A du
= 2, (u )À (u, )A (a)
PONT A)
2 A CL EN AU)
AU,) , A,(U,)
= A (1,)2, (14) A, (u,) (, — u, } E Ac
EH De VERS à A,(U,) , A,(U,)
oü lon a
DRE Ou,
Acta mathematica. 28. Imprimé le 21 décembre 1905, 32
— X9
n2
ot
e
A. Markoff.
Corollaire 2. Si nous remplacerons les éléments
A (as) , Aa (i) » Ana (Max)
de chaque colonne paire du déterminant
Weit) Aven M o c a ae Weed)
par
À (uaa) ARTE, À, (sr),
le déterminant obtenu de cette maniére restera un nombre positif pour
toutes les valeurs des nombres
u
3 S a
8) FA 93163
pourvu qu'elles soient différentes et comprises entre a et b.
Ce corollaire découle du corollaire précédent.
Remarque. Il est évident, que dans notre théorème et dans ces co-
rollaires la fonction A,,,(z) peut être remplacée par chaque autre fonction
Q(z), satisfaisante à l'inégalité
2, (2) , 2, (2) IR 2 A (2)
22) , Q'(2) , vie, Qa)
pour l'intervalle de z — a jusqu'à z= 5 entier.
On peut admettre aussi que l'inégalité dernière parfois se réduit à
l'égalité, mais alors il faut compter parmi les nombres positifs le zéro.
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation.
Corollaire 3. Si la fonction Q(z) satisfait à l'inégalité
Aula), Aa), 2.3 202) |
Q(z), Q(z), ..., Q(z)|
pour l'intervalle de z= a jusqu'à z — entier et les coefficients
21525; Bee 4n
de l'expression
O(2) = p,A,(2) + pj (2) +... + pa (a)
sont déterminés par les équations
pA (wu) + pA 0) aU DC + pA Q0) 3e £ (n),
DA, (Uy) + Ag (tty) + ...+ pA (Me) = Q(u),
Cie ONG, Los RANGER ley LOR a ee el die a ne aflamaı.u, wa aa) ide eR ce
où l'on a
acu, = U, KS CAC < Un—1 <u, <b,
cette expression @(z) doit satisfaire aux inégalités
O(2)< Q(z) pour u, <2<b ,
$(e))2Q9(2) » w.«scwu ,
O(z)< Q(z) » w,.,«a«Nw,
(— 1) O(2) > (—1)9(e) pour u, <z<u,,
=
(= 1) M2) <(— 1 (2) >» a «z«u.
or
252
PN, Cu
A. Markoff.
On obtient ce corollaire en remarquant la formule
&
à
2.
LA (a); A (0) ) 3 A (us)
Re US
(4) , A, (tz) , , A, (tn)
Ajoutons maintenant aux fonctions
AB) mtt
) An(2) , An+ı(2),
satisfaisantes aux conditions précédentes, une fonction Q(z), laquelle satis-
fait aux inégalités
DEI S M Ole Le tete a Rute a CP OI ES EUR AIRES ICE
Aa (2) , Anzı(2) ,
Q(z) , Q(z), 9"(2) , ...,
pour toutes les valeurs de z, comprises entre a et b.
Nous pouvons établir la proposition suivante.
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 253
Théorème 2.
Si les fonctions
AB) A By 22: AE) TAL (2) Qa)
satisfont aux inégalités indiquées ci-dessus et si les k+l=n-+ ı nombres
"uds wai bit, dy, 15 0, yn ss ba, D,
satisfont aux inégalités
ala <<... <a €b, «b, «... «b «b,
la fonction
(2) = p,À (2) + P4 (2) +. + Pea),
dont les coefficients
Py > Pos +++) Par
se déterminent par les équations
DiA (Ge) -pÀA(«) -...-5AG) + Pag idngr(e) = 2(ay) ,
Palais) + Pada (045) +... uA (013) + Pants) = 2(G),
PA (G)) + Peds) +--+ 5A(G + Posidrngr(G) = Aa) ,
Ph) -cpA() +... Hp) cTPEnAe0) = 0 ,
Ph) -pA(b) +... HP) Eíaka5) = O0 ,
Wee Or Ge este ANOS. BG vu MR NRI a x x xa a nie ©: © XAQNLOM » 6 Ye 9^ 9 © As lave v 9 ©
PA) -Fp»A(b) +... + p5.A (5) T PA) = 0 ,
254 ! A. Markoff.
doit satisfaire aux inégalités
«9
>) * a Xs <a,
«9
(— 1)" Q(z) pour a, € z € a5,
(— 1) Q(z) » a <z<a,
)
a>
xo » ae
=
Oy eas us
Démonstration.
Ce théoréme a été déjà démontré dans mon mémoire Sur une question
de maximum et de minimum; or nous allons donner une autre démonstration.
Nous remarquons d'abord que le théoréme est évidemment juste dans
le cas de k =o, car dans ce cas la fonction @(z) se réduit à zéro.
Tl est facile de vérifier ce théorème et dans le cas, où l'on a
k=ı et l=o.
En effet dans ce cas on obtient
x À, (z)
(2) = 2%) (a)
et par conséquent la différence
$(z) — Q(z),
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur l'nterpolation
se réduit à
255
— I
STA)
A (a), A,(2)
%a,), (2)!
Il en résulte que cette différence est un nombre positif pour a<z<a,
et au contraire — négatif pour a, Cz € b; or on a
$(z)2 0
pour toutes les valeurs considérées de 2.
Cela étant, admettons que notre théorème est établi pour tous les cas,
où au lieu du nombre # + 1 on a x.
Formons les expressions
$,(z) = pi (2) T X32) -- --- + piA,(2)
et
$,(2) = mA(2) + p3A(2) +... + pA (2);
en déterminant les coefficients
Diy Bry s Dus Pi» Pay os Pr
par les équations
Du) = 9(a,) ,
Py(%1) = 2(a,);
ee D et silo iv Raw «xai. m tal ye, 9. wre, 9) =
T CU 4M XM
256 ; A. Markoff.
Ces fonctions ®,(2) et 0, (z), conformément à notre supposition, doivent
satisfaire aux inégalités
(—1) 0, (2) € (—1) Q(z) pour a<z<a,, (—1)*'@,(a,) € (—1)— Q(a;),
(—1F- &,(z) et (—1) @, (2) <(—1) Q(z) pour a, €&z € a5,
» s ^ 6 s» * » » * e à» w fd. «T4 ya wits) x I". Go RETURN VEMM
®,(z) et ®,(2)> 9(z) pour a, <z<a,,
d,(2) et O(z)< Q(z) » a, «2«b,
Q,(2) et &,(z) —. 0 > & <2<b,,
®,(z) et O(z)<0 in Oy Seb,
(— 1)" @, (2) et (— 1)" $,(2) 2 0 pour db, € 25,
(— 1) 1 ,(b,) 20, (— 1) 6,(2) 20 pour b, <z<b.
D'autre part, il est facile de voir, que la fonction ®(z) déterminée
par les conditions du théorème est liée avec les fonctions ®,(z) et ®,(z)
par les formules
Abi)
et
= 5 Aı(z)
d(z) = d,(z) + (9(a,) — P,(a,)} Kay
ou l'on a
Ay (a) DAT $79 A (a) ) A (b) N 4s A, (0,4) ) A (2)
Aa) 5-05 Ag (Oy) 3, Al) 1 A0) , AR)
Aa) dg. 0 28 Oy REN RES ES
UP Lege ei te sv Ce eee Pw ed i uo Je, iw V VU D as) vov S EM
Angi (%) fa An41( 4) ) Angi ( 0) Fes | A ibi) ) Anyi (2)
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 257
et
À (4), (4) ; 5 AU). (0) 4.» A0) |
A,(2) , (a) dt: A(a4) ) À, (5) > r9 À(b,) |
N IT TEE a Nat el ce a Mat an 164 X ot de ja <a le Ye u^ W^ ie sn
An41(2) 5 Anzı(&-) , +, Aai(01) ddr), +, 4,41)
C'est pourquoi nous pouvons, en vertu du théorème 1 établir les
inégalités
(— 1)* 6(2) € (— 1) D,(2) <(— 1) 9(z) pour a<z<a,
(— 1) (2) € (— 1) @,(2) < (— 1) 9(z) pour a, «2€ a, 5,
O(z) > D,(z) > 9(z) pour a, <2z<a,,
$(z)« 0,(z2)< Q(z) >» a «zb,
D(z)> Pd, (z)>o » a «2€,
$(z) < 0,(z) <o so Au Ve Dus
(— 1) (z) > (— 1) &,(z2) 2 0 pour b&, «z« b.
De cette manière nous avons obtenu les inégalités du théorème 2,
en supposant A et / différents de zéro.
Dans le cas de / =o la fonction ®,(z) perd le sens.
Il en reste la seule fonction auxiliaire @,(z), laquelle peut servir
pour démontrer l'inégalité
d(z)>o
pour a, <2<b. |
Quant aux autres inégalités, elles sont une suite immédiate du co-
rollaire troisième.
Ces considérations suffisent pour reconnaître notre théorème.
Ac'a mathematica. 28. Imprimé le 21 décembre 1908. 33
A. Markoff.
bo
or
o0
Abordons maintenant le probléme suivant.
Etant donnés les nombres a, b,c, C et les valeurs des intégrales
b
§ 3.
4 Jf f. (2)de = au;
daB N
a
b b
JFGA (a) = a, freale
il s'agit de trouver les valeurs extrêmes de l'intégrale
b
fre) (e)de,
a
à la condition
c< fle) <0.
Or nous supposons que les fonctions À satisfont aux conditions établies
auparavant.
- Le probléme posé est une généralisation du probléme résolu dans mon
mémoire Nouvelles applications des fractions continues.
Si les nombres
Oh NG, fe Us SE
sont donnés arbitrairement, les conditions de notre probléme peuvent étre
incompatibles.
, % se déterminent par les égalités
On peut écarter toute incompatibilité en supposant que les nombres
6 b b
a = fFOAQd, «-—J/[F()(G9ds,..., a, — f Fle)ale)ds,
c F(z)«c.
où la fonction donnée F(z) satisfait aux inégalités
Nous excluons cependant les fonctions F(z), pour lesquelles l'intervalle
b se divise en n, ou en un nombre plus petit de
de z=a jusquà z=
parties de telle manière que dans chaque de ces parties la fonction F(z)
conserve une seule valeur e ou €.
Pour les fonctions 7(z) excluées les égalités
b b b b
f fà, (ed = | F(s)à(z)de , ..., 7 f(e) à, (z) dz = f F(24,()dz
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 259
_ conjointement avec les inégalités
c£f(z)<C
trainent après elles
b
fne f(2)à i (2)da = f F(z)à, (2)de.
a
Sous la restriction indiquée la solution de notre probléme se réduit
aux égalités que nous allons donner.
Abordons en premier lieu les deux cas les plus simples:
ZN DDR —I12-
Pour résoudre le probléme dans le cas de » — 1 il faut déterminer
deux nombres y et 5 par les conditions
c fat) 2 eft) 2)dz = a, = cf Gas + © f'2,(2)de
Ces conditions sont exéeutables et déterminent effectivement les nombres
et £; car si le nombre x croit continuellement de a jusqu'à 5, la somme
7 ) ] )
€ f 4 (aye + e fa (ds
croît aussi continuellement
E b
de cfA(z)d jusqu'à Cf d,(2)dz
et la somme
cf (de + Of 4 (yis
déeroit
h b
de C f À,(z)dz jusqu'à c f A (z)dz
et outre cela on a
c f A (2)dz « f FG (OS < c fA)
260 | 1 A. Markoff.
Au moyen de ces nombres 7 et € formons deux fonctions f,, et
f,;, du nombre variable z:
fae 5C pour een, fmin = C pour 7<2<b
et
fmax = € pour a «&2«£, fa 0 pour € «e.
Les intégrales ,
b ? ù
S fo In(2)de = C f A (2)de + e [A (a) de
P à 2
et
Hero = ef Alalas + C f Alz)de
a a A E
seront les valeurs extrêmes cherchées de l'intégrale
J fe). (ede,
ce qu'il est clair des formules
b
Sf fA,()de — f fain 2 (2) dz = f (i) — fain }Aa(2) de
a
et
f fA. ()de — f fuas às (i) dz = f (e) — fanz} a)de
a
; A (8) , A(2)
= iJ Ut = fase) à
En abordant le eas
n = 2
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 261
introduisons dans nos considérations un nombre variable 7" borné par les
inégalités
ac «m,
7 étant le nombre déterminé auparavant.
A chaque valeur de 7” corresponde une valeur déterminée d'un autre
variable 5", satisfaisant aux inégalités
noce cp
et à l'équation
C fA (aye + ef Ale) + € f'2,(2)de = a.
=
L’existence d'un tel nombre £” se manifeste de la recherche précédente,
car on trouvera au moyen de ce nombre 5$" la valeur maximum de l'in-
tégrale
* 7"
aux conditions
e<f(z) &C et [fle)A(e we fan )de,
où l'on a
fa = C pour 2" «2«7 et fun —c pour „<z<b.
=
En vertu de la liaison établie entre &
" (ede an = A (7’)dy”,
en désignant par d$" et dz" les différentiels de ces variables.
ll en résulte que 7” et £” croissent et décroissent simultanément.
ll est facile de voir aussi, qu'aux valeurs a et 7 du nombre 7” corres-
pondent les valeurs £ et b du nombre £".
Aprés ces remarques formons l'expression
et 7”, on aura
c fus ve + ef wee € [ai z)dz—a,,
laquelle nous désignons par 7(7’’).
262 A. Markoff.
Si 7” croit de a jusqu'à 7, la fonction z(z") decroit, car on a
À (7") , AE")
NET)
A Ls = (e— C) A), LE")
AO!
Or il est facile de conclure, au moyen de la solution de notre problème
pour le cas de n—1, que 7(a) est un nombre positif et y(7) au con-
traire est un nombre négatif:
(a) (a) c fale )dz + c fase) d — [ F(e)A,(2)ds > o,
m) = cf (ds te fae de — f Fe) z)dz « o.
Par conséquent, il existe dans l'intervalle
de 7” =a jusqu'à 7” —7
une seule valeur de 7”, pour laquelle 7(7”) se réduit à zéro.
a nous persuadons ainsi, quil existe un seul ensemble de valeurs
de 7” et £”, satisfaisant aux deux conditions
C f 4,(z) ve + e [ale de + c fat =a,
et
c fie) (dere fil LEE = a.
A cet ensemble correspond la fonction f,,, du nombre variable z, de-
terminée par les formules f,,,— c pour x" «& z « £" et fa, — C pour toutes
autres valeurs de z. La fonction f,,, donne pour l'intégrale
fn» f(2)À,(2)da
sa valeur maximum
f fes in.
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 263
En effet, au moyen des égalités
f f(2)A(2)de = f fos Ai (2) dz
et
fr(e)ag(e)de = f f. (0)àe
il est faeile d'obtenir la suivante
/ f(2)A,(2)de — = fnaz A (2)dz
d'où il est évident que la différence
b
f rix os — [meh (e)de
a
ne peut étre un nombre positif.
De la méme manière il est facile de se convaincre, qu'il existe deux
autres nombres £', z' satisfaisant aux équations,
fat LE eMe e fale z)dz = à,
«fae tee C fA ede + ef ie —
et aux inégalités
d<E<E, n<7' <b.
Et si l'on pose
fan = € pour & <z<py et fun — pour toutes les autres valeurs de z,
"v
304 A. Markoff.
à cette fonction f,, corresponde la valeur minimum de l'intégrale
J f. (edz,
comme il est facile de conclure au moyen de la formule
b
frate — f found 2) de
a
À
{f(2) — fu) | (9) 5 2,7), A (2) | de
=== y A,(E') , À, i P A, (2)
A sso.
Après avoir examiné le cas de m= 2, on peut passer au cas de n= 3;
mais nous allons considérer le passage générale d'une valeur de x à la
valeur suivante: de » — k à m = k- 1.
$ 4. Supposons que notre probléme est résolue pour le cas des 2m
données:
b
ff@aAlede=a,, ..., f für) (2)de = Arm;
a
à savoir supposons, que les fonctions f,,, et nn, correspondantes à la
valeur la plus grande et à la valeur la plus petite de l'intégrale considérée
b
y f(2)33,41(2)dz,
se déterminent par les formules
faaz=C pour a«s«-,65/ «8« sn, mare
d Lead , P» are [27 Pr ER
—0 » M SOE a SK SSE pes T SEEN
fh, =EC » <tc mi, «zm, 6, LAC)
min = € a a«z« en y. <2< CARRE er ee y OPERE
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur linterpolation. 265
ott lon a sans doute
Qum cce emet E cx cca «D
et
Du m He e n ce c nC D.
Introduisons ensuite un nombre variable z", compris entre a et £j,
et pour chaque valeur de ce nombre variable déterminons les nombres
1
” " " Hn :
Yi » % » Ya Tan ol or
de telle manière, que la fonction f(z), conservant la valeur constante €' pour
a <acyl!, a <2<yl,..., 2 <a <y!, 2! <a<b
m )
et la valeur ¢ pour
U eeu ca Mc aeu rr dee a au
^m
donne la valeur la plus grande à l'intégrale
b
J fà (2)d2
aux conditions
c<flz)<€
et
b b
J f) (2)dz = ff (2) de,
ott l'on a
Dar 7*2m;
et fun désigne la fonction indiquée plus haut.
En d'autres termes, nous déterminons les nombres
ng
m
"n ’ " 233 ,
Ya Di, Ya Uo MEC PE:
par les équations
” "
r n
e f X (z)d: + Ef A(z)dz 4- ... + c f i (de — ee
a
en posant
DI) 2:5 99322.
Acta mathematica. 25. Imprimé le 28 décembre 1907, 34
266 A. Markoff.
En différentiant ces équations on obtient
LL
A (z")dz" — A(yi)dyi + (xs day —... + Alan)den = o,
à étant Epal à 1,2,3,..., 2m.
Par conséquent, les différentiels
11
da. dui, diy c dy y ce (de
sont proportionnels aux déterminants des systèmes de (2m)’ éléments,
obtenus de la seule systeme suivante
A, (&”) ) A(yi) ) la); e wo A (yin) ) A, (Tu)
Ax") , AG) , AG) s ASQ) s AQ)
1, Hn
5 "n " ]
Aa (£ ) , Aon fi ) Ch OG qct Dee. LA Or ceo , An (Yee) , Aaa (25)
lorsqu'on supprime la colonne premiere, seconde ete.
Cela étant, il est facile de se convaincre au moyen du théorème 1,
que tous les nombres
„
mr mr " ur
Yr 5 Voy Yo yee t Ym y Um
croissent continuellement, lorsque le nombre x’ croît continuellement.
D'autre part, pour z" =a on a
| LA '"! RH 11 t "| 1, n" PB,
Yı id 1» I IS 10 Ya VE 3422743 Yn. = Zn» aM ies |
et pour z" = & on a
"1- , "v , , ,t , LEA
Ji19 01590 a Ja =o +++) Um = Gms x, = b.
Done, en posant
on aura les inégalités
{44
m y «y, LU €«&,m «yw Xm, Em Stn <b.
Formons maintenant la somme
zi u 1
e fdamsr(2)de zs cf Ai (£)d2 +... + of Army (2) de,
a x” Im
en la désignant par 7(z").
Recherches sur les valeurs extréines des intégrales et sur l'interpolation. 267
Il est clair de la formule
Aus) + Al) »..., Alan)
[37774 UNI Alte) ur, Alan) PRA
aed d EX xU à MN aile, dq DE od
Aa fi) 5 Aon (1) » +++ Ann (5s) |
Aya (X) ) dam y 1) ARE ON dom (Em)
Los a") JURE E Cian TP LATE LS , Aom i5.) |
que cette somme décroit continuellement, lorsque x” croit continuellement
de z'2-g jusqu'à z" = &.
Or, nous avons
b
z (a) == jL ec > Dom
et
b
x (8) EIS Jes Aym+ı(2)d2 « Omni:
En vertu de cela, il existe dans l'intervalle
de 2” =a jusqu'à z" — 6;
une seule valeur de x”, pour laquelle la valeur correspondante de 7(r")
est égale à &,,,.
Done, il existe un seul système de nombres
LA
x" ) WM; Ty ) yis T. ENS] Du , Un „ Tu;
déterminés par les inégalités
ALL EMULE LU LE, es Yn Yu Um s Em S Lin SH
268 ' A. Markoff.
et par les équations
= n a," h
cJ A,(2)da + C f A(z)dz + c f (z)dz + ...+C f'a(z)dz a,
= = n za
i ‘étant egal à 1,2,3,..., 2m, 2m ET.
Or, si l'on désigne par f,,, la fonetion du nombre 2, qui a la valeur
C pour
p" «a omi gs. oiv psa ENS ee
qm m
et la valeur € pour
a«a«z', y, aX nr. Mui ER ANS SUED
la valeur correspondante
b
f fo) (2) d
a
sera le maximum cherché de l'intégrale considérée
b
f f(2)4amsa(2) da,
“u
car on a
AG) , A) aces AA
A") , AU) ,-.., fe), At) | J Edit) |
|
|. stefan dar a olg ae le i mm
Aia) ) Joma (Yr) RA uti ) Aym+ı (Um)
| Mim d(@ 7)", Armas (a) 5-5 Asma 250) 9 Am +2 (2)
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur l'interpolation. 269
De la méme manière on peut trouver le minimum de la méme integrale
b
J Fl2)danga(2) de.
A savoir il est facile de se convaincre, qu'il existe des nombres
, , ast , , '
UN Gar + 25 Un 5 Le : P)
déterminés par les inégalités
DIE
Oy) Se m o ; Im
acy «o. amo uncus, 7m <Ym € b
et par les équations
c f'Aayas + e fake) ye c fuo ade ..\-Fe tig z)dz = a,,
Yon
5 Gtant egal à 1, 2,3,...52M ol.
Et si l'on ns par fun la fonction du nombre z, qui est égale
à € pour
"xg cw. X cO DE, or. da eS dS y.
)
et à c pour
Dae que que drm, uuu etta cta ATA DS
cette fonction donnera le minimum cherché de l'intégrale
h
JE) An s (2) de.
a
Les considérations précédentes établissent aussi les inégalités
HIER AES til MCN ee Ue ie Le et
Em S a ES <2
et
MX cg cu y tg cS rrr Ss du s Mm Mn ol."
De la méme manière on peut passer du cas, où l'on a » — 2k + 1,
au cas de n= 2k + 2
Done, nous pouvons énoncer la proposition suivante.
" — Br
210 A. Markoff.
Etant données les égalités
h
[f(A()de— am, — ff(a)(G)de a ,..., f f()4 (0) —
et la condition
eX f(z) &C,
les valeurs extrémes de l'intégrale
b
f foa a (dz
a
correspondent aux fonctions
f(2) = fas et f(2) == Jain
lesquelles dans l'intervalle de 2 — a jusqu'à 2 — 0 n'ont que deux valeurs
C et c et changent la valeur justement x fois.
Or, la fonction f,,,, donnant le maximum de l'intégrale
J fA. (2) de,
est égale à ( pour les valeurs de z voisines à 5, et la fonction fu;
donnant le minimum de la méme intégrale, est au contraire égale à c
pour les valeurs de z voisines à ^.
S 5. En abordant un autre probléme ajoutons aux nombres a et b
un nombre intermédiaire v (a « v € 5b) et aux fonctions
(2), A2), «s Ale)
ajoutons aussi une fonction Q(z), satisfaisant. aux inégalités
Ala), (2), ..., Ae)
pour l'intervalle entier de 2 — « jusqu'à z — ^.
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur l'interpolation. 271
Notre second probléme consiste dans la détermination des valeurs ex-
trémes de l'intégrale
f fle) (oye
aux mémes conditions qu'auparavant
h
b b
f f(2)à,(2)de = à, J f), (2)de =a,,..., [fle)A.(z)dz= a,,
*
a
e «f(z) € C.
Pour éclaircir notre solution, posons
en nous restreignant à la recherche de la valeur la plus petite de l'intégrale
examinée.
Désignons par
[77 1 ng , , ,
T Nn E 415 Li, Yi,
les nombres satisfaisant aux inégalités
geom OT, Se qs quy co
et aux égalités
vy" b
C fite + € Td TC f A(z)de +e fii 2)d2 = a,
c f'A(z)de de C f'ate)dz Te f A2) de + C f Xz)de —14};
i étant égal à 1,2, 3.
L'existence de ces nombres est démontrée par les considérations précé-
dentes.
Cela étant nous distinguons deux cas par rapport à v:
1) v est compris entre a et x” ou entre x; et 2’;
2) v est compris entre x” et v; ou entre a’ et b.
Considérons d'abord le cas premier.
Dans ce eas, en désignant par x le nombre variable compris entre 4
et vr" déterminons les fonctions
Y,%,Yı
212 A. Markoff.
de ce nombre par les conditions
cf le tc flo )dz4-c fale de+ fA )dz $e fu z)dz—a;
pour i—1,2, 3.
Si æ croit de a jusqu'à ©”, le nombre x, croît de a jusqu'à x’.
Par conséquent il existe une telle valeur de x, pour laquelle on a
CS OU Tu. m:
Et si l'on donne à x cette valeur et on pose
fete) =1c pour a<e «agg aem uy SD
et f.(2) = € pour les autres valeurs de z, l'intégrale correspondante
f.) (ode
sera la valeur la plus petite de l'intégrale considérée
Cette assertion sera évidente dans le cas, où l'on a «a & vr & z^, car
dans ce eas on aura
Sr.) Q(z)dz = "E Q(z) de.
En supposant ensuite
miu.
formons l'expression
(2) = mA) + A 2) + nA C), :
en déterminant les coefficients
Dy > Pos Ps
par les conditions
D(x) = Q(x), D(y) = 9(y), @(y,) = o.
bo
-J
e
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur l'interpolation.
En vertu du théoréme 2 on aura
$(z) € Q(z) pour a<z<r,
O(2)> Q(z) » x «ey,
D(a) << Ale), > y «aco =,
0(2)70 > m <2<y,
$(2)«o y, <2<b,
et ensuite, l'inégalité
ff) Q(2)dz < frz) Q(2)dz
découle immédiatement de la formule
ff) Q(2)de _ ff (2) Q(2)de
= Arte) — Fe) Q(z) — O(e)}de— f.) —F(2)} Ole) de.
Supposons maintenant
qu DIS D onlay HA!
Dans ce cas, en désignant par y un nombre variable compris entre «
et y, déterminons les fonctions
T ) UM ) qi
de ce nombre par les conditions
v T uu zi b
C f A(z)dz4- e f A(z)dz4- € f X(2)dz4- ef A(z)dz-- € f A;(z)dz=a,,
a y T Yı =
i étant égal à 1, 2, 3.
Lorsque y croît continuellement de « jusqu'à y', les nombres x et z,
croissent aussi continuellement: le premier de z" jusqu'à z' et le second
de aj’ jusqu'à 5.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 28 décembre 1908, 35
A. Markoff.
bo
1
pe
Il en résulte, que l’un des deux nombres
Dire,
peut étre égalisé à v.
En disposant de y de telle manière qu'on aura
x —'U «oun,
posons
f.(2)=C pour acs«y,s«s«y,c <3<b,
et
f,(2)=c¢ pour y<2a<z,y, €t,
Alors, l'intégrale
f f.(2)dz
a
présentera la valeur la plus petite de l'intégrale considérée
ffo) Q(2)dz.
a
Nous nous persuadons de cela au moyen de la formule
f f)9()dz — f f(z) (2)de
= fit — rete) — Hal} f to) — roy Ole) Ae
a
où l'on a
D(z) = pA) + p, (2) +p, A, e),
en déterminant les coefficients p, , p,. p, par les équations
Oy) = 9(y, O(x) = Q(x) et (y) = 2m)
dans le eas de m, — v et par les équations
O(y) = 9(y), d(y,) = 0(7,) = 0,
silonar=t.
— nnd
Recherches sur les valeurs extrémes des iutögrales et sur l'interpolation. 215
De la méme manière on peut trouver la valeur la plus grande de la
méme intégrale
ff 2) 9(z)dz.
"
Abordons les considérations générales.
§ 6. En nous arrétant pour fixer les idées à la recherche du maxi-
mum de l'intégrale
f fé) Q(2)dz,
nous posons
n= 2M.
Quant à © nous distinguons deux cas en conservant les désignations
du S 4:
1) r est compris entre
a et ny’, ou yı et x, ou m et 7;',..., ou entre y, et 5;
2) r est compris entre
7, et mi, ou m et 7,,..., ou entre », et Nm.
En abordant le premier cas désignons par y un nombre variable,
compris entre @ et x; et par
Ti , Un , TZ. , Un yy) Ral US Ts); Ym
les fonctions de ce variable, déterminées par les équations
Um
C f A(2)dz Te fy: +...+ € f ()dz + ef A(2)d: — 4},
gu lud 3 4€1.3.3,..., 2m.
L'existence de ces fonctions est démontrée par les raisonnements du & 4.
Il est faeile aussi de se convaincre, que les nombres
y, , Ya > tes Um
croissent en même temps que y croit; à savoir y, croit de x; jusqu'à 7%,
4,— de x; jusqu'à x; ete. lorsque y croît de a jusqu'à xj.
276 A. Markoff.
Par conséquent on peut disposer du nombre y ainsi, que l'un des
nombres
Y,Yı,%» 283 Ym
sera égal à v.
Alors, en posant
fí(s)-—OC pour a «s €y,w, 2 ys m Bue y oe RCUR
et
f(s)-cpour y<2<2,, 4, SET), Sa mou)
on obtiendra le maximum cherché |
v
ff. Q(2)dz
a
de l'intégrale considérée.
Soit en effet
VE Ye:
Posons
$(z) = pz ) SEA „(2 IE. ob Am (2 2)
en déterminant les coefficients
y^ ) Ps; are] Pn
par les équations
Oy) = 9(y, (m)— 9(m) Oy) An), -.., Oe) = (2),
$(z,,,-—0, Ó(yu4)-0,..., 0(0,)—0, OYm) = 0.
En vertu du théorème 2, la fonction @(z) satisfait a l'inégalité
@(z) < Q(z),
lorsque z est compris dans l'un des intervalles
(a 594) (3591) + as Yo) (rs Ya),
et au contraire
d(z) > Q(z),
lorsque 2 est compris dans l'un des intervalles
(y , 2) , (9, , 24) ’ (yy, als td «| (Ye 19 a).
5n OH
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation.
En vertu du théorème, on aura aussi
0(2)20
lorsque 2 est compris dans l'un des intervalles
(y, 9,41) , (Yırı ) T, +3) MeL] WAR b),
et au contraire
(2) <o,
lorsque z est compris dans l'un des intervalles
(Gi: , Vra ) (2 ) Vera) Cur (m, , Yn):
D'aprés cela, la formule
J fol) Q(2)dze — frz) &(2)de
= fo) —rocí)-— O(2)}de — f Us) — f(2); O(2) dz
donne l'inégalité
LJ
f f) 22) z)dz > f (2) Q(z) dz
a
En passant au second cas prenons le systéme de nombres variables
Dy Ys Lis Vos Los ee Un » Ym
déterminé par les inégalités
bo
a<ze<H,m SU SW, & SU < É2 2 < Ya < Ba sus leg Ger CSD
et les équations
c fA ote + € fat) )de + c Sit )de + . EC fale )de = a
HUC LO 3 Bias By 2. 7. 20,2.
Conformément à ce que nous avons expliqué dans le & 4, lorsque
croit continuellement de a jusqu'à £j, les variables
4 5955-5 Ym
:roissent aussi continuellement: y, de 7; jusqu'à 7;, y, de 7, jusqu'à 7, ete.
278 A. Markoff.
Il en résulte que l'un des nombres
Vy Ya; u Yn
peut être égalisé à v.
Cela faisant, posons
f(8) = C pour m2), „2 SEEN NDS Sag aa
et
f(z)—c pour a €&z € z, y, 6 d, qi, oif ae Smau Vae TRE
La valeur
fr) Q(z)dz
obtenue de cette manière sera le minimum cherché de l'intégrale examinée
f f(z) Q(e)dz,
a
ce quil est facile de démontrer par la méthode expliquée ci-dessus.
Done nous pouvons énoncer la proposition suivante.
Etant données les égalités
ffi sm m, ffs, .…, [md =
et la condition
les valeurs extrêmes de l'intégrale
fri) yas
correspondent aux telles fonctions f(z), lesquelles dans l'intervalle de z= a
jusqu'à z= n'ont que deux valeurs € et ¢ et changent la valeur juste-
ment # + 1 fois.
Or l'une de ces deux fonctions, donnant le maximum de l'intégrale
f ri) (yas,
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 219
Eg
satisfait aux conditions
fw— €) = @ vet f(u+e) = 0,
et l’autre, donnant le minimum de la même intégrale, satisfait aux con-
ditions
le nombre = étant infiniment petit.
En résolvant notre probleme nous avons supposé que » différe de
toutes les valeurs de 2, qui séparent les valeurs € et ¢ de la fonction
f,,0u de la fonction fyn-
Mais il est facile de se convainere, que dans les cas, oü v coincide
avec l'une ou l'autre de ces valeurs, le maximum ou le minimum de l'inté-
orale examinée
v
[ft Q(z) dz
a
se réduit a
Ul v
dris Q(z)dz ou a f f. 9(2)d2.
a a
Quant aux fonctions
Aka), Ante) Sat -6 Ale) a per, (a),
nous avons supposé, qu'elles sont continues et ont des dérivées de certains
ordres.
Mais ees suppositions ne sont pas indispensables et il est faeile de
voir que les résultats obtenues concernent toutes les fonetions
Aal, AUS trs das Ans), BCA),
pour lesquelles les expressions
: | A, (u,), A (0) , A (9)
A, (a) ; A, (1) ;
A (06) , ; (Au), A, (0) , A,(u,)| ete.
A,(u,) , A0) |
A 0) , Àj (Uy) , A0) |
280 A. Markoff.
sont toujours positives et les expressions
A, (94) ,- A, (9,) ; A (%,)
; 4A. 0) , A, (06) , AL (0,) |. ete.
Q(u,) , Q(u,) , Q(u,)
| À Q4) » À, (14)
eu), |
Q(u,), 2(u,)
ne peuvent être négatives, où
UNS RENI EL 7 PE
désignent des nombres arbitraires assujettis seulement aux inégalités
GS Ww SW, <<... Sui SS
Outre cela, nous avons supposé, que les nombres
sont finis.
La solution de notre probléme dans le cas, où l'on a
7 == 0, C=+%,
a été donnée dans le mémoire Sur une question de maximum et de minimum.
Nous y avons supposé sans démonstration, qu'il existe des maxima et
des minima cherchés.
Mais il est facile de remplir cette lacune au moyen de considérations
tout à fait analogues à celles, que nous avons employées plus haut.
~
$ 7. En rapprochant maintenant nos recherches des questions sur
l'interpolation, traitées par les autres géométres, posons
C= —1, C= =e, F(2)=0
et par conséquent
Alors le maximum de l'intéerale
b
LA) (2) de
ne se distingue du minimum que par le signe +.
—
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation.
Cela étant, la question sur les valeurs extrêmes de l'intégrale
b
f fth. (de
aux conditions
et
se réduit aux équations
^ & b
| f (0d: — f A (e)de +...+(— 3e] À,(z)dz = o,
f (2d: — f (d: +...+(—1)" fa, (ede EO
ou lon a
queer e reb.
| Le maximum de l'intégrale
| She Vansal2
sera égal dans ce cas a la somme
b En n-1
Sur (2)de— J Anyi (2)dz + ih Angi (2)dz +... + (— 1)" | À 4i (2)dz
on En e: a
que nous désignons, à l'exemple de 'l'enégvcugr, par le symbole
Sf ^),
n
Acta mathematica, 28. Imprimé le 12 janvier 1904. 36
281
282 A. Markoff.
en posant
5
1 -
fol) = f'e(z)dz — Je (z)dz +...4(— 1)" f'o(z)dz
on Ent
pour chaque fonction w(2).
fot, folz), fol), TN
2
Aux symboles
nous ajoutons, aussi à l'exemple de TcHEgvcHEr, le symbole
fol),
en désignant ainsi l'intégrale
Il faut retenir que les symboles
Sr), f AG) fA),
0 1 2
désignent des nombres positifs: le premier désigne le maximum de l'intégrale
b
f fa)a(2)dz
a la condition
—l «f(z) X I,
le second désigne le maximum de l'intégrale
b
J f(a)à a)d
a
aux conditions
—1<f(z)< 1 et f FG (e)de zi
le troisième désigne le maximum de l'intégrale
b
Sf f(2)a(2)de
a
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 28:
aux conditions
b
b
f F(2)a(2)de E f rina a)dz = O
et
—1<f(z)<1
ete.
Au contraire, l'expression
f 4, (2)
n
doit se réduire a zéro chaque fois, lorsque on a
n>m,
f (5) —o
n
et par conséquent on aura
pour chaque expression
D(z) = pA) + p,2,(2) +... + p. A (2),
dont les coefficients
Pı» Pos very Da
sont des nombres constants.
Cela étant établi, désignons par (2) une fonction quelconque, satis-
faisant seulement à la condition
Ale), Alt en. ATUS); A (1,41) |
Alt) 5 Ag S) , -..: Aus), Any)
20,
Ants SA ne Ca) A AL (thy a)
2(u,), Q(u,) , ..., Q(u,), Q(u,,)
quels que soient les nombres
63714 coss
assujettis aux inégalités
ALU, «Ww So. SS tag xb,
284 A. Markoff.
dans le mémoire Jets over de benaderde voorstelling van eene functie door
eene. andere 'T. STIELTIES a traité le pobléme suivant.
ee Mh
Trouver les coefficients
y » Da) cs Pu
de l'expression
O(2) = p,2,(2) + pA) + pA)
à condition que la valeur de l'intégrale
f [2(0— D(z))dz
soit la plus petite, en désignant par [w(z)] la valeur absolue de w(2).
Or, dans le mémoire Sur un certain minimum M. A. KonkINE et
G. ZOLOTAREFF ont traité, beaucoup plus tôt que T. STIELTIES, le cas
particulier du même problème, où l'on a
As) ty ug) PAS) er UE
Les raisonnements de M. A. KonkINE et G. ZOLOTAREFF sont tout
à fait complets et indiscutables, mais il n'est pas possible de reconnaitre
le méme par rapport aux raisonnements de T. STIELTJEs.
Nous allons donner la résolution de ce probléme sous la forme du
théoréme.
Théoreme 3.
L'intégrale
atteint son minimum
lorsque les coefficients p, , p, , ..., p, de l'expression
(2) = p, (2) + p,2,(2) +... + np, (2)
uq" ——
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation.
sont déterminés par le systeme d'équations
PAG) + 2,4,(4) + oo + DAG) = ie)
PANG) TRAGE) 4- T 24A (6)
ll
pie) + pA.) + tp + pA (5) — 2),
où
Ciudad ét Ob ", Q(z)
n
ont les significations susindiquées.
Démonstration.
Posons, que l'expression
(2) = p,À (2) -»A((G) +... + pA)
se réduit à ¢(z) dans le cas, où les coefficients
Py) Pas P
sont déterminés conformément aux conditions du théorème:
qu’on aura
p(G)= 26), 9G) = 2%), -- +> Gn) = 2(4).
Cela étant, en vertu du corollaire 3 du théorème 1, la différence
Q(z) — e(2)
doit étre un nombre positif. pour
L * pe La ^
noce eae Qus
*n—2 ""—ig***
et au contraire — un nombre négatif, lorsqu'on a
- ^
Ge ot , D Ec LA E s PUER RC
Done
b
Ste) — g(2)]de= f (212) e(2))= | Q(z),
a n n
985
sorte
286 A. Markoff.
car
Sea = 20:
Or pour toute autre expression
(2) = p,A,(2) + pA) +... + pA)
on a
f t) — Dalle > f (96) — 00) = f 9(2.
Les recherches de $$ 5 et 6 peuvent aussi étre lióes à un probleme
sur la représentation approximative des fonctions, si l'on posera comme
auparavant
Sa <f(z)< + I,
ai oO, LION, Ln, m0
Posons, que l'expression
D(z) = pA (2) + AL) +... + pA)
doit représenter approximativement une fonction (2) dans l'intervalle de
z— a jusqu'à z =v et zéro dans l'intervalle de 2 — v jusqu'à 2 — 5.
En mesurant l'erreur de cette représentation par la somme
ftc) — d(2)]de + u [0(2)]d:
nous parvenons au problème: trouver les coefficients p, , p, , ..., p, de
l'expression
D(2) = nA(2) + A) +... + pA)
de telle maniére, que la somme
r b
f [9(2) — 0(2)]dz + J [O(2)]de
E
a
soit la plus petite,
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 281
Nous allons donner la solution de ce probléme sous la forme du
théoréme suivant pour le eas, oü les expressions
| ; A, (u), A, (0) , A, (0)
A, (6) , (94) LÉ dp
Qiu.) , : ; |A,(2,) , A (8) , A,(w,)| ete.
Q(u), Q(u)! |
| 2(",) , 2(u,) , Q(u,)
n'obtiennent pas des valeurs négatives, quels que soient les nombres
ub CS | 1, 1;
assujettis aux inégalités
Qu US LES. Sy uuu. b.
Théorème 4.
Si v ne se confond avec aucun des nombres susdits
P LUI d æ
910302919790 v1*:3/ ony
il existe d'autres nombres
satisfaisant aux inégalités
qe d SEAL SHIT 0 STE SU
et aux équations
4. [711
E
a : :
f 4(z)de — |J A(z)dz +... + f A(z)de* f Ale)dz...+ J A(2)dz = o,
Un On
m Ona Er 5, Ne
Or, la somme considérée
f (2) — d(z)]dz + Ftotz]dz
atteint le minimum dans le cas, où les coefficients 9, , p,, -
pression
D(z) = p,2,(2) + p,A(G) +... + PuAn(2)
., Pa de l'ex-
288 A. Markoff.
sont déterminés par les équations
PA): LM ee BAUM ESSI
DPiA (Os) -F5A(06;) + ) 2
DAO) Sr pas (0,) B Beers + pA, (Ax) = 2(0,),
Pi (0,43) um Pods (8,1) ap tt + Pain (8,41) — O0,
DA, (On) + p22(0,) SE eue zi PrAn(O,) xs Oo;
ce minimum est égal à
0
fete fà 4. ih alas.
ffy Ha a
Et lorsqu'on a
QE
l'expression. cherchée
O(z) = p,A,(2) + 9,4, (2) +... FA),
donnant à la somme
f't2t)— $(z)]dz + f [9())d:
la plus petite valeur
= *
=
f (dz — f 2t) T.eT(— 17 f 9(z)dz,
se détermine par les équations
6(6)— Q(Q) d(6)= 9(0), ..., di) SG a)
p,—0, OG4)=0, PDG) —=0,..., 0(6) —0.
S 8. Passons enfin à une généralisation de la méthode d'interpolation
h 3 )
donnée par '"l'enÉsvenEF dans son mémoire Sur l'interpolation dans le cas
dun grand nombre de données fournies par les observations.
Recherches sur les valeurs extrêmes des intégrales et sur l'interpolation. 289
Pour ce but, nous introduisons dans nos recherches les fonctions
di(2) = A(z),
d»(2) = do (2) + 91,,Aı(2),
f(z) = As(2) + 93,47) (2) ae 91,341 (2),
EI Ut Cle elle AURA ae ea ae a: a! ve * lai 9 € « je
en déterminant les coefficients
In=i,n ) Jn—2,n PATEAT Jain , in
par les équations
POP =O), és. 11/00) >0
0 1 n—2
Ces équations se réduisent à celles-ei
Jante) + gun f A0) 0,
Ja) TOUS Pate) Sa See frs) = O,
ful?) + 9s f A) + +: + an f Ale) = 0,
Sitz) ee ute y qe REGES J^) + in frle) ZO
0
les nombres
fale), fase), fale), fAQG
n—2 n—8
étant différents de zéro.
La fonction ¢,(z) satisfait à l'équation
Jan (a) =0
m
pour toutes les valeurs du nombre entier m, excepté m — » — 1.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 5 janvier 1904, 31
290 : A. Markoff.
Quant a
J 4.2
il est facile de se eonvainere, que ce symbole représente le maximum de
l'intégrale
J f(9. (de
aux conditions
—i<f(z)< == !.
fre 2), (2)d = f fete d... [fie \b,a(2)de Lc
et aussi dans le cas, où l'on a ajouté à ces conditions les suivantes
o- fne dual (2)dz = f F(2)Puso(2)de=...-
Supposons maintenant, que pour une fonction de la forme
®(2) = pa) =p ue A, (2 2) +. + Pad (2 2),
dont les coefficients p, , p, , ..., p, restent inconnus, nous pouvons évaluer
assez exactement l'intégrale
quels que soient les nombres & et 7 compris entre a et 0.
Alors, en représentant cette fonction sous la forme
O(2) = q.d. (2) + qhalz) +... + a (e),
nous pouvons déterminer les coefficients q, , dq, , +++, q, par les formules
suivantes
i.) $0 =f 90)
da j dale) — f (2),
1 1
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 291
En généralisant de cette manière la méthode d'interpolation, donné
par Teu£svcuEr dans le mémoire Sur l'interpolation dans le cas d'un grand
nombre de données, nous parvenons à la formule
4.2) 1} $5) Ks y EL d») ff ,(2)
Zn "M M $i
dont chaque membre se détermine indépendamment des autres.
Dans le cas traité par Tou£svcukF on a
a (az. A2) 2; ATTE as EE es
o(2) =
Par exemple, posons
dio, Di;
Ale), A(2) = — cosz, A,(2) = cos 27, 2,(2) = — cos 32 ete.
Il est facile de se convaincre, que ces fonctions A(z) satisfont aux
nos conditions.
ll est clair aussi, que le maximum de l'intégrale
re) cos 2dz
à la condition
correspond au cas, oü l'on a
7
+ 1 pour es!
z 37
— I » as OR
37 5z
+ I > rar
n—1 (2n — 3)z (2n — Iz
(— 1) pour AD «ae on ,
(2n — ı)r
(— 1)' pour eel «em.
[
292 A. Markoff. 1
[
Dans le méme cas on a
Fr - - (
[r(z)dz = o, [r(z) cos2dz — o peas JF (a) eos (n — 1)2dz = o,
0 0 0
en vertu de la formule : |
x ar |
2n 2n x |
1 cos mz dz — il cos mzdz + ... + (—1)" a cos mz dz
0 - (2n—1)z
2n 2n
2 . MT : mi > MT
AN I snm ihe" ah
. (2n — I)mr
ups E
qn \ 2n 2n 2n PE 2n
En effet, il est évident de cette formule, que la somme algébrique
- 3x
T
2n 2n
"i cos mzdz — d cos mzdz +... + (— 1)" il cos mz dz
0 - (2n—1)x
an | 2n
se réduit a zéro pour toutes les valeurs positives de m, excepté
m emn 9n, ...;
or, on aura
- 3x
2n 2n T M m—n
J cos mz dz — a cosmzdz +... + (— 1)" vi cos mzdz = = (—1)^,
0 ua (2n—1)z
2n 2n
. m ° . *
si — est un nombre entier impair.
N
Par conséquent, la somme
- ac
?n 2n -T
f cos nzdz — H eos nzdz +... + (— 1)" J cos n2 dz,
0 * (2n—1)x
2n 2n
égale à 2, représente aussi le maximum de l'intégrale
f f (2) cos nzdz
D
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 293
dans le cas où outre les inégalités
= Ms f(t) 1,
on a les égalités
f(z2)dz = | f(z)coszdz = 2)cos (n — 1)2d2 = o.
J Fle) fre = ff ) cos (n — 1)
Done, nous pouvons poser
Li ar
2n 2n m
fo =) w(2)dz— i (2)dz+...+ X e
n 0 T T D
en multipliant notre symbole par +1.
Cela étant, on aura
d COS mz = O
pour toutes les valeurs considérées de m, excepté
Ti SIN 390355 , pe. ;
or, on aura
m-—n
2n Ec
[cos ie DE
n
. 1 cj : C
sin est un nombre entier impair.
Enfin
us -
faa z et [ cosmedz = o
0 0
quel que soit le nombre entier m.
Passons aux fonctions
d. (2) = I,
d.(2) = e082 + His, .
d,(z) = cos 22 + 9, COS 2 + 91,5;
ea ES ve. D Tel OR. LU dio« Ea Erreger Wer TR €
PUS DENON DL TO Sd Oe ee LE ee RN Ver HT xu. oro € ow 9a BER DER Zr Dee
204 A. Markoff.
dont les coefficients
Gia, 2,5» 91,3 5 93,4» Ina» Pa +++
doivent être déterminés conformément aux conditions
oe went = Shure )= [Hnle) = et E Stute) =
En considérant les cas particuliers les plus simples, on trouvera
d,(z) — 1, (2) = eosz, - d,(2) = cos22, dz) = cos 32 + 308?
(2) = cos42, d(z) = cos 52 — : cosz, d.(2)— cos 62 + „cos 22
d,(2) = cos 72 + C082, d,(2) =cos8z, ,,(2) = cosgz + „cos 32
d,,(2) = cos 102— = cos 22, d,,(2) = cos 112 + E ete.
Quant au eas général, on peut établir la formule
Purıl2) = m = > cos", ,
en désignant par »' tous les diviseurs impairs du nombre 7, sans facteurs
carrés, et par h le nombre des facteurs premiers de 7’ de la forme 4h + 1.
Pour le démontrer il faut et il suffit établir que la somme
— Dy nz
> cst. ik COS —
n SOR
LE
m
se réduit à zéro, si l'on a
MEN, 258, 1 spe
R n :
Dans le cas de m=o et dans le cas, où le rapport — ne se réduit
à aucun nombre entier impair, toutes les expressions
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 295
sont égales à zéro et par conséquent l'égalité
le h " 4
( I) nz
b - cos — = O
n
— n
'
m
est évidente.
. N. « . . . . ats
Or, si le rapport = est égal à un nombre entier impair, il est facile
(
de réduire notre somme
à
(— 1)" nz
) m COS —-
LU n
m
à celle-ci
2m n—mn'
= > (— 1)" — 1) 2mn'
N
ER ; ue "n : =
en désignant par # tous les diviseurs de — sans facteurs carrés.
m
D'autre part on aura
n—mn n—m n'—1 n—m
(— 1) ?" = (— 1) ?m (— 1) 2 = (— 1) 2m (—1)",
en désignant par h, le nombre des diviseurs premiers de 7’ de la forme
- 1
4k + 3.
Il en résulte, que +, est égal au nombre de tous les diviseurs
premiers de 7’, et par conséquent on a
(— tu nz ue 2m -
) —, cos— = (— 1) *" — (N, — N,),
n n | 7
m
NE E 13. n ER
en designant par N, le nombre des diviseurs de | » composés d'un nombre
"n
C : ; = Seed n
pair de facteurs premiers, et par N, le nombre des diviseurs de —, com-
m
posés d'un nombre impair de faeteurs premiers.
Il est important de retenir, que nous ne comptons pas lunité au
nombre des facteurs premiers et que conformément à cela le nombre des
facteurs premiers de l'unité est égal à zéro.
En posant m=, on trouve
296 A. Markoff.
et par conséquent
E NIE nz
Yt on = 35
dans tous les autres eas on aura
N — N, — o.
De cette maniére, nous nous avons persuadé que la somme
— 1f nz
s? CD [ cos —
N 9.
*
m
se réduit à zéro dans tous les cas, excepté le cas de m — », lorsque cette
somme est égale à 2.
Done, on peut poser
(— 1)! nz
daz) = ^» gr 7 Fer
et ensuite
20(z) == 9,(2) f. O(2) + di) f. Ole) +... + dala) S 9c)
quelle que soit la fonction
Q(z) =p, +p, cosz + p, cos 22 +... +p, cos (n — 1).
Par exemple dans le cas de m= 4 on aura
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 201
En faisant maintenant
a= 0, Di 7
nous pouvons prendre aussi
À(z)-— sine, A,(2)=—sin2z, A,(z)=sin3z, A,(z)— —sin4,
Dans ce cas, lequel au moyen de la substitution
h cos z = x
)
se réduit au cas traité par 'TCHEBYCHEr, il n'est pas difficile d'établir les
formules
EI ES =
fala=f w(z)dz— yi o(z)d +... + (— 1) f o(z)de,
n 9 - nz
n+1 n+1
: 2m n . . :
sin nz = —, lorsque „ est un nombre entier impair,
n U
ji sin #2 — o dans tous les autres cas
m—1
et enfin
en désignant par w' tous les diviseurs impairs de n sans facteurs carrés et
par À le nombre des facteurs premiers de m’.
§ 9. Dans tous nos recherches, le systéme des fonctions
A (2) ,. A(2) , Aa), . +
a été assujetti à certaines inégalités.
Cependant on peut étendre plusieurs de nos résultats à certains cas,
où les inégalités mentionnées ci-dessus n'ont pas lieu.
En posant par exemple
T0, DE 27
Lo]
>
u
r
[e]
o
FA
t3
tà
À(2)— 1, A(e)=sinz, A(2)=cosz, A,(2)=sin 2
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 janvier 1904. 38
UT CT BN AWO WK-—-——uaunmg
298 | A. Markoff.
et en général
Ay (2) — Sin. ka, Ass (2) — COR Ka,
il est facile de voir, que le maximum de l'intégrale
f fle) sin keds
à la condition
—1&f(2) X 1
correspond à la fonction f(z) maintenant les valeurs constantes:
ae pour eee,
7 27
— I » p S99 Spo
2
+ 1 1» «rei,
cdm 2k — 1
T uM Ede) Be ey
k k
(2k —1)z
— I » m —«2-« 27
En déterminant de cette manière la fonction f(z), on aura en méme
temps
ox
js f(z) cos mzdz = 0,
0
quel que soit le nombre entier m, et
27 Ak
f f(z) sin mzdz = a
0
. m . . .
sl + est un nombre entier impair, et enfin
2z
" f(z) sin mzdz — o
0
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation. 299
. m ,
dans tous les autres cas, lorsque m est un nombre entier et 7 nest aucun
2
nombre entier impair.
Par conséquent, la somme
x = Im
k E Qn
J sin kedz — ji sin kedz + f sin kzdz — ...— fl sin kzdz,
0 Qus
PE T k
égale à 4, sera aussi le maximum de l'intégrale
27
J f(z) sin kede
0
dans le cas, où la fonction f(z) est assujettie non seulement aux inégalités
Ex HS eet
mais aussi aux égalités
ar 27
f fa (de = f. F(2)d,(2)de = .. = fno Aux l2)da — 0:
v
Pareillement, il est facile de se convaincre, que la somme
Rz Ir
fcosked:— feste. .+ ji cos kzdz ,
(4k—1)
2k
égale à 4, est le maximum de l'intégrale
f rte) cos kzdz
aux conditions
300 , : A. Markoff.
En posant conformément à cela
0 0
= an
k k 2x
e(z) — f o(z)dz— f w(2)ds+...— — f wle)dz,
21—1 0 = (2£—1)z
k k
= sz
E 2k 2k 2x
fol) =f o(z)dz— f o(a)de+...+ f e(z)de,
2k 0 = SEDE
on aura
J sin mz = o, [ cos mz = o,
2k 2t—1
quels que soient les nombres entiers positifs m,
; hk MINE
f sinma = * et J eos ma = (— 1) au 4°,
"m. m
2k—1 2k
est un entier impair, et enfin
3
| È
[sin mz = J eos mz —0
2k—1 2k
. m
dans les autres cas, lorsque m est un nombre entier et 3 n'est aueun
nombre entier impair.
Cela étant etabli, nous posons
hy A
dua (2) = n SEES LOT ,
en désignant par A' les diviseurs impairs de k sans facteurs carrés, par g
le nombre des facteurs premiers de #', et enfin par 5 le nombre des
facteurs premiers de 4 de la forme 4i + 1.
Recherches sur les valeurs extrémes des intégrales et sur l'interpolation 301
Alors on aura
f ¢.(2)=4
et tous les autres symboles
fale) L fal) : J d«(0)
seront égals à zéro.
Il en résulte que pour chaque fonction ®(z) de la forme
D(z) = p, +p, sing + p, cosz + p, sin22 + ...,
nous pouvons établir la formule
2) = ds (2) f O(2) + 9. (2) f Oz) + 4,0) f Ole) +,
(2)
dont tous les membres se déterminent indépendamment l'un de l'autre.
Voilà les premiers membres de cette formule
2x
$(z) = al oris + sine f D(z (ef te z)dz
2 | @(2)dz— f d(z)dz + f O(2)dz
0 —
: 2
Qu
—
=
Sed
N
—
—
u
—
&
Ur
a f 92) ND :)dz + f/ d(z)dz
0
wl ae
[ O(2)dz + Mew
4
fat [ oe iir dt d(z)dz — |
k 24 5z
etc.
bn Lot ae
niet sexes
[3 "Wd
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303
DIE BEDEUTUNG DER ABEL’SCHEN ABHANDLUNG
ÜBER DIE BINOMISCHE REIHE' FÜR DIE FUNCTIONENTHEORIE
VON
O. STOLZ
in INNSBRUCK.
Cavcuy hat in Cours d'Analyse (1821) Ch. VIII, S 5, die folgende
Aufgabe gelóst.
(T). »Es seien alle für jeden Wert der reellen Veränderlichen ¢ ein-
deutigen und stetigen complexen Functionen f(£) zu ermitteln, wofür
erstens bei beliebigen reellen Werten £, 7 das Additionstheorem
(1) F(E). f(4) = f(E-F»)
besteht, und zweitens f(1) gleich einer gegebenen, von Null verschiedenen
complexen Zahl
(2) a= A(sin a + isin a) (420, —r<a<rx)
ist.» Die verlangten Functionen sind in der Formel
f(£) = A'(eos E(a + 2kz) + isin £(a + 2kz))
enthalten, worin 4 jede beliebige, jedoch feste ganze Zahl sein darf.
Ersetzen wir in dieser Aufgabe die reelle Veründerliche € durch die
aller complexen Werte fühige Veränderliche x und entsprechend in der
Beziehung (1) 5$,» bezw. durch die beliebigen complexen Zahlen x, y,
so erhalten wir eine ähnliche Aufgabe (ID) auf die Caucay a. a. O. nicht
eingegangen ist. Ihre Lösung gibt ABEL in der im Titel genannten Ab-
handlung vom Jahre 1826,’
' Oeuvres de N. H. ABEL, nouv. édit. par Svrow et Lie. I. S. 219 f.
* Vgl. Oeuvres L, S. 229 f. Die Formel (3) findet sich S. 234 unter (13).
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 janvier 1904.
304 O. Stolz.
Sie lautet, wenn wir x — &- ip setzen
(3) f(x) = Af{cos £(a + 2kz) + isin £(a + 2kz))
x B’feosn(ß + 2lz) + isinz(B + 2lz))
unter A, / beliebige, jedoch feste ganze Zahlen, unter B eine willkürliche
positive und unter A eine willkürliche reelle Constante verstanden. Da
somit auf der rechten Seite der Formel (3) zwei willkürliche Constante
B, vorkommen, so hat die Aufgabe (II) an sich wenig Bedeutung.
Um die Constanten B und A’ = f 4- 2/7 zu bestimmen, legt man der
Function f(x) die weitere Bedingung auf, dass sie eine analytische sein soll.
Demnach gelangen wir zur Aufgabe:
(III. »Es seien alle analytischen (ein- oder mehrdeutigen) Functionen
f(x) der complexen Veränderlichen x zu ermitteln, wofür erstens bei be-
liebigen complexen Werten x, y, wenn nur f(z), f(y), f(x 4- y) erklärt sind,
die Gleichung
(4) f(x). f(y) = f(x v)
besteht und zweitens f(1) die gegebene, von Null verschiedene Zahl a
ist» Lassen wir die Potenzreihe
€, + e (x— 6e) + e(r— o) 4...
absolut convergent für alle Werte von x, wofür |z— e| kleiner als eine
gewisse Constante A ist, das Element sein für eine der gesuchten Func-
tionen f(x), so finden wir aus der Gleichung (4) durch die Annahme
G=C, y=2—C
f(z — e) = f(x): f(e) = 1 + b(x —c) + b,(x — 6) +... (Ix —c| « R).
Schreiben wir hier x an Stelle von æ—c, so folgt, dass wenn nur
|x| E Lb Tir
(5) f(x)= 1 +bx + br +...
sein muss. Legt man die auf der rechten Seite von (5) befindliche Potenz-
reihe von x als Element der in Rede stehenden Function f(x) zu Grunde,
so ergibt sich in bekannter Weise (s. u.), dass f(a) eine der eindeutigen
Functionen
(6) ^r (La — 1A + (a + 2kz)i)
Die Bedeutung der Abel’schen Abhandlung über die binomische Reihe. 305
ist, wobei A jede beliebige, jedoch feste ganze Zahl sein darf. Aus der
Formel (3) wird die Funetion (6) durch die Annahme
(7) Bere. HB. — 14
erhalten.
ABEL bestimmt a. a. O. die vier Constanten in (3): A, a+ 2kz,
D, f durch die Forderung, dass f(x) die Summe der binomischen Reihe
a(a — I)
X 2 1
(8) bcp — Moon
|x| kleiner als 1 vorausgesetzt, sein soll. In dieser Weise ist es ihm
zum ersten Male gelungen, die binomische Reihe (8) bei complexen x zu
summiren. Und zwar fand er als Summe derselben den gewöhnlich als
Hauptwert bezeichneten Wert der Potenz 1 +u hoch x, der jetzt unter
dem Zeichen (1 + w)' verstanden wird.
Die soeben erwähnte Bedingung Asger's schliesst in sich die, wie wir
gesehen haben, auch bei der Lösung der Aufgabe (III) auftretende Forder-
ung, dass f(x) die Summe einer convergenten ganzen Potenzreihe von x
sein soll; denn die binomische Reihe (8) lässt sich für jeden Wert von x
in eine solche Potenzreihe verwandeln.” Aser schränkt aber diese For-
derung in der Art ein, dass fü: f(x) bloss die Summe einer bestimmten
solehen Reihe verlangt wird. Er hat somit in der in Rede stehenden
Arbeit zugleich die Aufgabe (III) bei der Annahme « — 1 + x gelöst,
allerdings unter der gerade angegebenen Beschränkung der Function f(x).
Die directe Behandlung und allgemeine Lösung der Aufgabe (III)
findet man im 2. Bande von M. Oum’s Versuch eines vollkommen conse-
quenten Systems der Mathematik (1822). Die in den Formeln (7) vor-
liegende Bestimmung der Constanten BD, # lässt sich ferner mit Hilfe des
von RIEMANN zu Grunde gelegten Begriffes der Function einer complexen
Veränderlichen + erweisen.*
' Bei Apel stehen a. a. O. an Stelle von «, u bezw. m, z.
* Cavenuy, C. d'Analyse, S. 545 Oeuvres 2. sér. III. T. S. 447.
30 Vo1:42:4B., 2 Ant (1520) S: 31348;
* Vgl. des Verfassers Grundzüge d. Differential u. Integralrechnung, YI. B., S. 90.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 janvier 1904. 239
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301
SUR L'INTÉGRATION DES SYSTEMES DIFFÉRENTIELS
QUI ADMETTENT DES GROUPES CONTINUS DE TRANSFORMATIONS
PAR
E. VESSIOT
à LYON.
Introduction.
1. On doit à ABEL l'étude des équations algébriques telles que, si
x est racine d'une telle équation, #(x) en est aussi racine, # étant une
fonction rationnelle connue. Par cette étude, ABEL a ouvert une voie
nouvelle, non seulement a la théorie des équations algébriques, mais a
toute l'analyse mathématique. La propriété que nous venons de rappeler
peut en effet s’@noncer ainsi: les équations algébriques considérées sont
celles qui admettent des transformations rationnelles connues: x’ = 6r.
De sorte que lorsque SorHus Lie fondait, un demi-siècle plus tard, la
théorie des systemes différentiels qui admettent des groupes continus de
transformations, il était, dans un champ plus vaste, le continuateur de la
pensée de son illustre compatriote.
Le présent travail est une contribution à cette théorie de Sornvs Lir.
ll a en vue la question suivante: » Définir et étudier les divers problèmes
d'intégration auxquels peut conduire l'application de la théorie de Lir?»
Cette question peut être considérée comme résolue ' dans le cas où le
systeme différentiel (A) considéré est un systeme d'équations différentielles
ordinaires, ou un de ces systémes d'équations aux dérivées partielles dont
! Voir S. Liz. Math. Annalen. Tome XXV.
E. Vesstor. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Tomes
VII, H; X, C. Comptes Rendus, 13 décembre 1897.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 26 janvier 1904.
308 E. Vessiot.
l'intégrale générale ne dépend que de constantes et non de fonctions ar-
bitraires: les systemes auxiliaires dont l'intégration entraine celle du systeme
donné sont alors, ou bien des équations différentielles ordinaires linéaires;
ou des systèmes d'équations différentielles ordinaires qui sont absolument
générales, tant que le systeme (A) n'a pas de propriété autre que d'ad-
mettre le groupe (6G) considéré, qui est un groupe fini.
Pour le cas général d'un systéme différentiel (A) dépendant d'un
nombre queleonque de variables dépendantes ou indépendantes, d'ordre et
de degré d'indétermination quelconque, et dont on sait seulement qu'il
admet un groupe continu (G), fini ou infini, mais connu,' la question
posée est bien moins élucidée.
Dans un mémoire fondamental, Lir a indiqué, sur des exemples par-
ticuliers, la marche à suivre pour décomposer l'intégration du systeme (A)
en deux parties distinctes: 1°) intégration d'un système résolvant (H) qui
n'admet plus de groupe de transformations; 2°) intégration d'un systeme
différentiel (S) dont toutes les solutions se déduisent les unes des autres
par les transformations du groupe donné (6). Cela revient à décomposer
l'ensemble des solutions de (A) en familles de solutions telles que les so-
lutions de chaque famille se déduisent les unes des autres par les trans-
formations de (G); il est bien remarquable que c'est la méme réduction
qu'opérait déjà ABez sur les équations algébriques dont nous parlions
plus haut.
Dans les exemples traités par Lie, ot il n'y a que deux variables
indépendantes, les systèmes (S) s'intégrent, par la méthode de DarBoux,
au moyen d'équations différentielles ordinaires. Mais il ne parait pas facile
de généraliser cette méthode de manière à pouvoir l'appliquer au cas d'un
nombre queleonque de variables indépendantes.
2. Nous avons repris la méme décomposition du probléme par une
méthode nouvelle dont l'avantage est de conduire, pour les systémes dé-
finitifs (S), à des systémes automorphes. Nous proposons d'appeler ainsi
' Si le système (A) est donné, les équations de définition du plus grand groupe
que ce système admette sont par lä-m&me connues.
? Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentiaigleichungen beliebiger Ordnung.
(Leipziger Berichte, 1395.)
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 309
tout systeme différentiel dont les solutions se déduisent les unes des autres
par les transformations d'un groupe ponctuel (G), effectuées sur les variables
dépendantes; (G) sera dit le groupe associó au systéme, ou simplement le
groupe du systeme.
Nous pouvons alors appliquer à ces systèmes automorphes les mé-
thodes de réduction indiquées par Lin, '
et qui permettent d'en remplacer
l'intégration par celle d'une suite de systèmes automorphes, dont les
groupes soient simples et primitifs. Pour les seuls types de groupes con-
nus, satisfaisant à cette double condition, les systemes automorphes corres-
pondants s'intégrent au moyen d'équations différentielles ordinaires, qui
sont linéaires si le groupe est fini.
Quant au systeme résolvant (AR), comme il donne seulement la dé-
composition des solutions de (A) en familles de solutions homologues re-
lativement au groupe (@), il est évident que la difficulté de son intégration
ne peut être en aucune facon limitée par la nature de ce groupe (fr), et
on peut dire qu'elle est arbitraire.
On voit done que, si l'on ne trouve pas de groupes continus infinis
simples d'une nature nouvelle, l'application de la théorie de Lin ne pourra
conduire qu'à des systèmes différentiels dont la difficulté d'intégration est
tout-à-fait indéterminée, et à des systèmes différentiels s’intégrant par des
équations différentielles ordinaires. Telle est done la réponse que l'on peut
faire à la question que nous nous étions posée? On voit que celle-ci ne
pourra être entièrement résolue que lorsqu'on connaitra tous les types de
groupes simples.
Il resterait aussi à perfectionner l'étude des systèmes résolvants (R).
Ces systèmes sont, au fond, les mêmes dans la méthode de Lie et dans la
notre, et ils ne se présentent pas d'eux-mémes sous une forme entiere-
ment arbitraire, car ils comprennent des équations dont la forme dépend
encore, en une certaine manière, du groupe (6G).
Dans les exemples qu'il a traités, Liz a indiqué une relation simple
entre le degré d'indétermination du systeme (4), celui du système ré-
solvant (i), et celui du système des équations de définition du groupe
(G). Il y aurait lieu de chercher à généraliser ces résultats, et même a
en compléter la démonstration dans les cas traités par Lie.
/.-* Verwerthung des Gruppenbegriffes für Differentialgleichungen (Leipziger Berichte,
1895).
310 E. Vessiot.
3. Notre travail est divisé en deux chapitres. Dans le premier,
nous étudions la détermination des systémes automorphes, qui correspondent
à un groupe, donné par les équations de definition de ses transformations
finies. Leur forme résulte, à vrai dire, de la théorie générale des in-
variants différentiels; mais il était utile de préciser les divers cas qui
pourraient se présenter; et, de plus, notre travail contient ainsi une mé-
thode complete, et nouvelle,’ pour la détermination des invariants diffé-
rentiels et des systémes différentiels invariants qui correspondent à un
groupe donné, tout en ne supposant connus que les principes fondamentaux
relatifs aux équations de définition des groupes continus.
Nous rappelons ensuite, en les précisant et les complétant sur divers
points, les méthodes de Lin, servant à réduire l'intégration de ces systémes;
et nous étudions les systémes types auxquels on est ainsi ramené.
Dans le second chapitre, nous étudions la formation des systémes
différentiels les plus généraux, qui admettent un groupe, donné par les
équations de définition de ses transformations finies. Le procédé indiqué
nous fournit immédiatement, sous une forme précise et élégante, la ré-
duction d'un systeme donné (A), admettant le groupe considéré (G), à un
systeme résolvant (A) et à un systeme automorphe.
Nous avons traité d'abord deux exemples. L'un est emprunté au
mémoire de Lie; l'avantage de notre méthode y est mis en évidence, car
nous pouvons préciser la nature des intégrations indispensables plus que
ne le fait Lie.
Dans la théorie générale, nous avons eu surtout en vue le cas qu'on
peut considérer comme le cas général dans la formation des systémes diffé-
rentiels admettant un groupe donné. Mais l'applieation de notre méthode
aux cas exceptionnels ne nécessiterait que des modifications de détail, comme
on s'en rend compte dans les deux exemples partieuliers que nous avons
complètement traités.
' Cette méthode présente, néanmoins, des analogies inévitables avec celles que l'on
doit à Lig et à M. TRESSE.
7
|
|
|
|
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 311
CHAPITRE PREMIER.
Sur la forme et l'intégration des systémes différentiels
automorphes.
SL Forme générale des systèmes automorphes.
1. Nous appelons systeme différentiel automorphe tout système diffé.
rentiel (S), dépendant d'un nombre quelconque # de fonctions inconnues:
T3... T,, et d'un nombre quelconque m de variables indépendantes
"Ua or
déduisent de l'une quelconque d'entre elles
,f,. qui jouit de la propriété suivante: Ses diverses solutions se
(a) T: = asl» te; Xu pa) (321,2, ...,n
par les diverses transformations d'un groupe ponctuel (6), à » variables,
effectuées sur 2,,..., r,. De sorte que, si l'une quelconque des trans-
formations de (6) est
(T) ap Tr, -—4fma;2,52), (i1, 2,..., 0)
l'une quelconque des solutions de (5) est définie par les équations
(To) acabo ate cet (21, 2,...,0)
Nous étudierons d'abord comment on peut former tous ces systèmes
automorphes, correspondant à un groupe (6) donné par les équations de
définition de ses transformations finies.
Le cas le plus simple est celui où m — 7, et où les fonctions a,,..., 2,
constituent un systeme de fonctions indépendantes: il est clair que, si cela
a lieu pour une solution, cela a lieu pour toutes. Considérons alors la
solution (g), et imaginons qu'on fasse dans (S) le changement de variables
indépendantes
t= a, "T. (£9 1,2, .... n
Lj
Le nouveau systeme admettra la solution
312 E. Vessiot.
et les autres solutions, s'en déduisant toujours par les transformations de
(G), seront définies par les divers systemes d'équations
Spy re cet goce (—1,2,..,8)
qui définissent les diverses transformations de (6).
Le systeme (S) sera done devenu le systéme des équations de dé-
finition du groupe (G), e.-à-d. sera de la forme ?
if (ky... An ,
Ü alts Sue sas xt, ERICH x : P .. 3) = e(t; ttt Eu)» (@=1,2,...,P)
y et ghi + En % Y
( T, se eG | tk, ] ?
S C15 Meca iC] a
oü les fonctions U, forment un systeme complet d'invariants fondamentaux
du groupe (6), qui est connu par hypothése.
Revenons maintenant aux variables primitives. On sait * qu'un change-
ment de variables indépendantes, effectué dans les U,, les change en des
fonctions qui ne dépendent que des U, et des variables indépendantes
nouvelles; et, d'une manière plus précise, qui sont de la forme:
L,(. DA CARRE A ee ae) M
où les 2-1"
et les a désignent des dérivées quelconques, des x, et
, b.
Le systeme (S) s'obtient done en égalant ces fonctions L, aux fone-
des a;, prises par rapport à £,, ...
tionat.de. 7, sk Sa:
Axa d oras (s=1,2...,7)
et pourra s'écrire enfin. en résolvant les équations ainsi obtenues par
rapport aux U,:*
| UG Mim oes DEO NET MT NE (121,2,..,9)
wots)
^ (remitte)
ath... at)
' due à Lie. Voir, par exemple, notre mémoire Sur la theorie générale des groupes:
N? 6. (Annales de l'École normale, 1903.)
* Voir le mémoire cité: N° 7.
* Pour la possibilité de cette résolution, voir encore le mémoire cité: NS
Sur l'intégration des systèmes différentiel etc. 313
Le raisonnement précédent, repris en sens inverse, montrerait facilement
que tout systeme de cette forme, qui n'est pas impossible, satisfait à la
question. La forme générale des fonctions 6, s'obtient sans peine en
écrivant que le système a une solution arbitraire donnée.
Les systémes canoniques ainsi obtenus s'offrent d'eux-mémes, dans la
théorie de la similitude des groupes.” Nous les appellerons, pour abréger,
des systèmes automorphes de première espèce.
2. Supposons encore m—=n, mais supposons que les fonctions a,,..., 2,
ne soient plus indépendantes; il y en aura, par exemple m’ — » d'entre
elles qui seront indépendantes, tandis que les » — m’ autres seront fonc-
tions de celles-là. Imaginons que nous prenions comme variables nouvelles
ñ,...,2», ces m’ fonctions a; indépendantes, en méme temps que » — m’
autres fonctions quelconques de /,,...,/, pour les autres variables indé-
pendantes z,,,,...,2,. Parmi les équations du systeme (5), transformées
par ce changement de variables, figureraient évidemment les équations
On;
OZ m'4j
= ©, (21,2,...,n—m'; t=), 2, ...,n)
Et, en revenant aux variables primitives, on voit que le système (5) com-
prend, parmi ses équations, celles d'un système complet, dont z,, ... , Z,, con-
stituent une solution; et dont z,,..., z, sont des intégrales.
Des équations de ce systéme complet, on peut tirer les dérivées des
x; par rapport à n— m’ des variables; par exemple, par rapport à £,,,,, ..., £,.
Et, par suite, on peut faire disparaitre des autres équations de (5) toute
différentiation par rapport à l'une quelconque de ces variables.
Done le système (S) se compose alors: 1°) du système complet en
question, dont z,,...,, sont des intégrales; 2°) d'un système automorphe
(S,), relatif au groupe (6), mais où /,,...,/£, interviennent seules comme
variables indépendantes; /,/,,,...,£, n'y jouent plus que le rôle de para-
mètres.
Inversement, dans cette hypothèse, le système complet peut être
choisi arbitrairement mais le système (5,) doit admettre les transformations
infinitésimales ayant pour symboles les premiers membres des équations du
systeme complet. On le verrait en raisonnant comme nous l'avons fait,
! Voir le mémoire cité § IX.
Acta mathematica, 28. Imprimé le 5 février 1504 10
314 E. Vessiot.
pour un cas analogue, dans un autre travail;! nous y avons indiqué aussi
comment ce fait donne les conditions auxiliaires auxquelles doivent satis-
faire les arbitraires qui figurent, en général, dans les équations de (S)),
pour que (5,) et le système complet constituent, dans leur ensemble, un
systeme différentiel compatible. On pourra, du reste, toujours déterminer
ces arbitraires, en méme temps que le systéme complet, en se donnant
l'une quelconque des solutions (9) du systeme (5) que l'on veut former.
3. Une réduction analogue se présente toujours si m>n; de sorte
que ce cas se ramène toujours, par la séparation d'un certain systeme
complet, au cas où m est au plus égal à », et où, parmi les fonctions a;,
il y en a m dindépendantes. Au point de vue de l'intégration de (5),
on peut aussi intégrer d'abord le systeme complet qui se sépare de (5),
et prendre pour nouvelles variables indépendantes un systéme fondamental
d'intégrales distinctes de ce systeme complet; et l'on sera ramené au cas où
il v a autant de fonctions a; indépendantes que de variables f,.
On voit done, qu'en dehors du eas des systémes automorphes de
premiere espèce, il ne reste comme cas intéressant que celui où m est in-
férieur à »; et, en raisonnant de méme, on voit qu'on peut méme supposer
qu'il y a, parmi les a;, exactement m fonctions de f,,..., f, indépendantes.
Nous allons examiner ce dernier cas.
4. Supposons d'abord le groupe (6) transitif; les points (z,, ... , %,)
qui font exception a la fransitirité, — (e.-a-d. qui ne peuvent pas venir
coincider avec un point arbitraire, par au moins une transformation de
(@)) — satisfont, s'il en existe, à certaines relations (/) en z,, ..., ,, de
forme déterminée, qui s'obtiennent en diseutant le degré d'indétermination,
c-a-d. la résolubilité des équations de définition de (6). On peut d'abord
supposer que ces relations (/?) ne font pas partie des équations du sy-
steme (5).
Considérons alors la solution (9) comme représentant une multiplicité à
m dimensions, de l’espace z,,..., ,. En lui appliquant une transformation
de (6), convenablement choisie, on en déduira une autre solution (Te),
représentant une multiplicité nouvelle, passant par un point arbitraire, Il
' Sur la théorie de Galois et ses généralisations. N° 31 et 33 (Annales de
l'École normale, 1904)
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 315
existe done des familles de solutions de (S), dépendant de »-— m para-
mètres, c.-a-d. de la forme
(2) 2; = ai(t,, are rure Us mls (21,2, ..., 9
telles que l'on puisse résoudre leurs équations (2) par rapport à £,, ..., ty,
7 ENTIA D D
Imaginons alors le systeme automorphe de première espèce (S,), relatif
au groupe (6), et admettant la solution (2), considérée comme fonction des
n variables /,...,45,, 4,,..., v, ,. Ses solutions, si on y considère
0,,..., 4, , comme des paramètres ayant des valeurs constantes déterminées,
e.-a-d. si l'on les considère comme fonctions de /,, ..., £,, seulement, seront
les mêmes que celles de (S). Done ce systeme (S,) contiendra un certain
nombre d'équations ne dépendant de «,,...,«, ,, ni directement, ni par
celles des dérivées des x, où figure, parmi les indices de dérivation, au
moins une fois l'une des lettres a,,..., @,_„; et l'ensemble de celles de ces
équations, conséquences des équations (S,), et telles que toutes les analogues
puissent s'en déduire par des différentiations et des éliminations, pourra
étre pris pour définir le systeme (5).
Imaginons toujours le systéme (S,) formé, et cherchons à en déduire
toutes les conséquences jusqu'à un ordre p quelconque qui satisfassent aux
deux conditions énoncées, c.-à-d. ne contiennent ni des dérivées autres que
les dérivées par rapport aux /j, ni les paramètres *,,..., v, ,. Je dis que
la premiére condition entraine la seconde.
En effet, supposons formées toutes les conséquences de (S,), jusqu'à
l'ordre y, satisfaisant à la première condition seulement; il faut prouver
que 4,,...,, , en disparaissent d'eux-mêmes. Sans cela, en effet, on
pourrait peut-être éliminer 4,,..., v, ,, d'un certain nombre d'entre elles;
mais il en resterait un certain nombre A qu'on pourrait résoudre par
rapport à 4,,..., «,, par exemple. Considérons les équations
lin ^ Am) |
a, = I (gees sh Devin: OE sl, da OU, «y C m]; (^1,2, ..., £)
(3)
FA +... + Fm zi N
CM nl
Xi AC Qc ace Eds
\ à ot .. p)
ainsi obtenues. Si on y effectue une transformation quelconque de (6G),
elles doivent visiblement rester invariantes, et par conséquent les seconds
316 E. Vessiot.
membres sont des invariants différentiels de (6). Exprimons alors que ce
systeme admet la solution (2): cette solution s'obtient, par définition, en
effectuant, dans une multiplicité déterminée,
(4) Mi d = a; (hs Jj orae in), (21,2, ..., n)
la transformation générale d'une certaine famille de transformations de
(G), de la forme
- ^ (y " =
(5) Clim Ie S lo An (i21,2,..., m
Or, si nous faisons dans les équations (3) la transformation (5), elles
deviennent, puisque les 7, sont des invariants,
SF) fg TRU mU. o, «+ Bm) | | :
a, — V. (os, PART V, CLOS | di vos 9 1 4, Q BL ln As y ECL 31 ais) (A152; 25, 0)
et il reste à remplacer les x} par leurs valeurs (4), ce qui ne peut in-
troduire dans les V^ les arbitraires 4,,...,«,. Il est donc impossible que
les conditions obtenues soient réalisées identiquement.
5. La méthode à suivre pour former les systèmes (S) avec un nombre
m<n de variables indépendantes sera done la suivante. On écrira le
systeme (S,), sous la forme (1), en laissant les 4, indéterminés dans le
second membre. Et on cherchera à en déduire des conséquences où ne
figurent que des dérivées par rapport à /,, ..., ¢,,; pour cela, on pourra être
obligé de différentier d'abord les équations (1). On devra pousser les caleuls
jusqu'à ce qu'ils ne puissent plus donner d'équations nouvelles, qui ne
soient des conséquences de celles déjà obtenues. Dans le systéme ainsi
obtenu figureront certaines combinaisons des 6; et de leurs dérivées: on
les remplacera par des fonctions indéterminées de ¢,, ..., 7, seuls. Ces fone-
tions indéterminées devront pouvoir être déterminées en écrivant que le
système admet une solution arbitraire (s); de sorte que le système sera
formé d'équations dont les seconds membres seront ces fonctions indé-
terminées, et les premiers des invariants différentiels de forme entièrement
connue.
Si on laisse les seconds membres indéterminés, on devra les supposer
liés par des relations de condition, obtenues en écrivant que le système
est completement intégrable.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc, 317
Il est à remarquer que, le calcul précédent étant un ealeul d'élimina-
tions, on pourra être amené, dans le courant de ces éliminations, à supposer
que certains déterminants fonctionnels sont différents de zéro. On devra
done, dans ce cas, reprendre le calcul à nouveau, en faisant l'hypothèse
contraire, e.-a-d. en introduisant, dans les équations du systeme (5), celles
que l'on obtient en égalant à zéro ces mêmes déterminants, et où ne
figureront plus de fonctions indéterminées. De sorte qu'un méme groupe
(G) peut donner, pour un méme nombre de variables indépendantes, divers
types de systèmes automorphes,
Comme exemple, nous nous bornerons à citer celui du groupe des
mouvements euclidiens (n — 3), en supposant m — 1, c.-à-d. que les multi-
plicités considérées sont des courbes. Les équations de définition du groupe,
mises sous forme complétement intégrable, sont du premier et du second
ordre. On trouve deux types de systemes automorphes, contenant des
équations du premier, du second et du troisième ordre. Ce sont, en dé-
signant par x, ¥, 2 les fonctions inconnues, par / la variable indépendante,
par €,7,¢ les dérivées de w,y, 2 par rapport à cette variable; et par
des lettres accentuées les dérivées de £,7, ¢;
LC = A(t), (A + 0)
(6) IE” = Bit),
ze) = C(t);
et
Eso
(7 ne = J(t).€,
possel a tup.
= NS ZS Hy j
Le second convient à des familles de courbes minima; il faut joindre aux
équations écrites celles qu'on en déduit par différentiations (jusqu'au troi-
sième ordre, c.-à-d. au second par rapport à £,75, €).
6. Revenons sur l'hypothèse faite au début du N° 4, en supposant
qu'au contraire on impose aux fonctions 7,,...,”, de satisfaire aux rela-
tions (2). En vertu de ces relations, on pourra alors exprimer #,,...,#
/ ) 1 "n
318 E. Vessiot.
au moyen d'un moindre nombre # de fonctions inconnues, qui seront
transformées par un groupe (6), isomorphe à (6), et ne dépendant que
de »' variables; de sorte qu'on sera ramené à chercher les systemes auto-
morphes relatifs à (6).
Une réduction tout semblable se produira si le groupe ((7) n'est pas
transitif, les invariants de (6), d'ordre zero, établissant encore des relations,
de forme connue, entre #,,...,x,. Nous pouvons done considérer comme
résolue la question de la construction des divers types de systemes auto-
morphes, relatifs au groupe (6), donné par les équations de définition de
ses transformations finies.
Les résultats obtenus sont, bien entendu, des cas particuliers de ré-
sultats connus sur les invariants différentiels et l'équivalenee des multipli-
cités par rapport à un groupe connu. Mais il était intéressant de les
obtenir sous une forme aussi précise que possible, et sans rien supposer
connu si ce n'est les notions fondamentales sur les équations de définition
des groupes.
8 II. De l'intégration des systèmes automorphes,
7. Lie a montré! que l'intégration d'un systeme automorphe, dont
le groupe associé (67) n'est pas simple, peut toujours se remplacer par
l'intégration successive de systèmes automorphes simples, c.-à-d. dont les
groupes associés sont simples.
Nous ne reviendrons pas sur la démonstration de ce théorème fonda-
mental. Remarquons seulement que, pour l'appliquer, il faut déterminer
une suite normale de sous-groupes du groupe (67) associé au système donné,
c.-a-d. une suite de sous-groupes tels que chacun d'eux soit un sous-groupe
invariant maximum du précédent. C’est la un problème auxiliaire que
nous avons étudié, incidemment, dans un autre mémoire”: nous y avons
montré qu'en dehors de simples caleuls algébriques, la solution en peut
nécessiter, tout-au-plus, l'intégration d'équations différentielles ordinaires.
! Leipziger Berichte 1895, pages 285 et ss.
2
1903.
Sur la théorie des groupes continus, § 7. Annales de l'Ecole normale,
Sur l'intégration des systémes différentiels ete. 319
8. Une seconde réduction dans l'intégration d'un système automorphe
se présente, si le groupe (67), associé au système, est imprimitif, Supposons,
pour plus de simplicité, qu'il soit simple; ce qui, d'après ce qui précède,
n'est pas une restriction.
Soient z,,..., r, les variables dépendantes. Les fonctions de ces va-
riables, que le groupe échange entre elles, constituent les solutions de divers
systemes complets, invariants par le groupe, et qui, par suite, se construisent
sans intégration. Supposons que l'on ait formé lun d'eux, qu'on l'ait
intégré, et que l'on ait fait le changement de variables dépendantes né-
cessaire pour que certaines de ces variables: #,,..., $,, par exemple, en con-
stituent une solution. Elles sont alors échangées par un groupe (67), iso-
morphe holoédriquement à (6), puisque (6) est simple par hypothese.
Dans les équations du systeme automorphe donné (5), transformé par
le changement de variables dépendantes indiqué, isolons alors les équations
où ne figurent que les seules variables dépendantes 2,, ..., 2,5 elles forment
un système automorphe (S’), ayant (67) pour groupe associé. Si de plus
on a choisi un système complet invariant donnant pour »' la plus petite
valeur possible, (67) est primitif.
Supposons (S’) intégré: à chacune de ses solutions ne peut correspondre,
à cause de l'isomorphisme holoédrique de (6) et (6"), qu'une seule solution
de (S): c'est dire que z,,,,..., v, se caleulent, sans intégration, au moyen
des équations de (5), en fonction de z,,..., Zw.
Done l'intégration de (S) est ramenée à celle de (S7).
En résumé, l'intégration de tout système automorphe se ramène à celle
de systèmes automorphes à groupes simples et primitifs. Cette réduction
nécessite, au plus, l'intégration d'équations différentielles ordinaires.
9. Il peut arriver que, même pour des systèmes automorphes à groupes
simples et primitifs, on puisse obtenir encore une simplification. Supposons
en effet qu'il existe un groupe (G^) isomorphe holoédriquement au groupe
(G) du système donné, et transformant des variables y,,..., y, en nombre
moindre que celui des variables 7,,..., r, que transforme (6). Par hypo-
- ~
thèse ! il existe un troisième groupe (@,), transformant des variables 2, ...,%,
' Cela résulte de la définition de l'isomorphisme, telle que nous l'avons donnée
dans notre mémoire, déjà cité, sur la théorie des groupes continus (8 IX).
320 E. Vessiot.
et tel que (G) exprime la loi de transformation, par ce groupe (@,), de
certaines fonctions de 2,,...,2,; tandis que (G^) exprime la loi de trans-
formation, par ce méme groupe (6,), d'autres fonctions de 2,,...,2,. Comme,
du reste, le type de (@’) importe seul, et que l'on peut par suite le rem-
placer, ainsi que (@,), par un groupe quelconque qui lui soit semblable;
comme, de plus, nous supposons, pour simplifier, (6) et (G’) primitifs,
ce que nous pouvons faire, d'aprés ce qui précéde; il nous est loisible
d'admettre que z,,...,z, soient certaines des variables z,,...,2,, tandis que
Yi,-..,% sont un autre groupe des mêmes variables. Nous appellerons
Z,,...,2, celles des variables 2,,...,2, qui n'appartiennent, ni à l'un, ni
à l'autre de ces deux groupes.
En vertu de ce qui a été dit, au numéro précédent, sur les systemes
automorphes à groupes imprimitifs, tout système automorphe, ayant ((7,)
pour groupe associé, et qui comprend, parmi ses équations, celles du sy-
stème donné (S), ne contient, en plus, que des équations qui fournissent
explicitement 5,,...,9,, 2,,..., 2, en fonction de x,,...,x,, des variables in-
des dérivées de z,, ..., v,, et des fonctions de f, ...,f
P AS o»
dépendantes /,, ..., tn,
encore indéterminées, qui constituent les seconds membres de ces équations.
Il en résulte qu'elles ne peuvent entrainer aucune condition d'intégrabilité,
qui ne soit déjà condition d'intégrabilité de (S); et que, par suite, on y
peut choisir arbitrairement les fonctions indéterminées qui figurent dans
leurs seconds membres. La construction d'un tel systéme suppose done
seulement qu'on connait les équations de définition de (G,), ce que nous
admettons en effet. Soit done (Sj un tel système.
D'aprés ee que nous avons vu au numéro précédent, l'intégration de
(S), qui entraine celle de (S), se ramène à celle du système réduit (5")
qui définit seulement y,,...,9,. Donc l'intégration de (5) se trouve ainsi
remplacée par celle de (S’), où figure un moins grand nombre de fonctions
inconnues. |
Done tout systeme automorphe, dont le groupe associé (G) est simple et
primitif, est équivalent a un autre systeme automorphe, que l'on peut former,
relatif à un groupe quelconque isomorphe holoédriquement à (6).
' Les développements que nous venons de donner nous paraissent l'explication
d'un passage trös-pen explicite du mémoire déjà cité de S. Lie. (Leipziger Be-
richte, 1895, p. 290.)
Sur l'intégration des systèmes différentiel etc. 321
Ce nouveau théorème permet de n'introduire, en définitive, que des
systémes automorphes à groupes simples, primitifs, et dépendant, pour une
structure donnée, du nombre minimum de variables.
10. Pour achever la théorie de l'intégration des systemes automorphes,
il resterait à examiner séparément les systémes correspondant aux divers
types de groupes simples primitifs. Car si l'on a affaire à un groupe (6)
semblable à l'un de ces groupes types (7), on pourra chercher d'abord
une transformation qui change (6) en (1°), ce qui nécessite, comme nous
lavons montré dans notre mémoire sur la theorie des groupes continus
(S IX),' l'intégration d'un système automorphe de première espèce, ayant
(P) pour groupe associé.
Remarquons qu'il n'y a pas à se préoccuper des groupes finis; car un
systeme automorphe a groupe fini se ramène à un système automorphe
d'équations différentielles ordinaires du premier ordre. On est done dans
le cas de ces systèmes dont nous avons prouvé autrefois * qu'ils s'intégrent
au moyen d'équations différentielles ordinaires linéaires.
Bornons-nous done aux groupes infinis, simples et primitifs. Lie en a
trouvé quatre grandes classes, et M. KowALEWSKI a montré qu'il n'y en a
pas d'autres, pour »; € 5. Il nous sera done impossible d'épuiser la question,
pour 7> 5. Nous dirons seulement quelques mots pour chacune des quatre
classes de groupes simples trouvées par Lie.
1°) groupes ponctuels généraux. Les systèmes automorphes corres-
pondants sont ceux qui définissent un système fondamental d'intégrales
d'une équation linéaire aux dérivées partielles
n+1 of
(8) DORT PL eas)
i=l
———0
9t; 3
ou d'un systeme complet d'équations de la méme forme: il n'y a done
rien de particulier à dire sur l'intégration de ces systemes, qui revient à
celle d'équations différentielles ordinaires, qui peuvent être tout-a-fait
générales.
' Annales de l'École normale, 1903.
* Annales de Toulouse, T. VIII, H; T. X, C.
Acta mathematica, 28, Imprimé le 9 févirer 1901 41
322 E. Vessiot.
2°) groupes ponctuels les plus généraux, n'altérant pas les volumes.
L'équation de définition unique d'un tel groupe est
AZ ie Sent) N
D neta q
Il n'y a pas de systeme automorphe correspondant, qui dépende de moins
de » variables indépendantes. Les systèmes automorphes de première
espéce ont la forme
D(&, ,...,%n) —
Dit, mh: x tn) = f (t JS bi).
Pour intégrer un tel systéme, on peut se donner arbitrairement les fone-
tions inconnues 2,,...,, , et x, se determine par une quadrature.
Quant aux systèmes automorphes, dépendant de plus de n variables
indépendantes, ce ne sont autre chose que des équations linéaires de la
forme (8), ou des systemes complets de telles équations, admettant un
multiplicateur de JAcomi connu. La théorie de leur intégration est done
bien connue.
3°) groupes généraux de transformations de contact. Appelons, pour
plus de netteté, 2, 2, ..., 2,. p, +, les fonctions inconnues; et considérons
d'abord un système automorphe de première espèce; soient f,, by, -.. , toni les
variables indépendantes. D'aprés la théorie de la similitude des groupes,’
une solution de ce systéme peut ¢tre considérée comme définissant une |
transformation qui change le groupe général des transformations de contact
en un autre groupe, qui lui est semblable; cette transformation change
l'équation
(9) dz — Z p,dx; = o |
en une autre équation de PFAFF
(10) 258g DE 0!
k=1
Les diverses autres solutions se déduisent de la premiere en y effectuant,
sur 2,25,...,2,, i, p,, les diverses transformations de contact, c.-à-d. les
1 Voir notre mémoire: Sur la théorie des groupes continus, S IX. Annales de
l'École normale, 1903.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 323
diverses transformations laissant l'équation (9) invariante. Elles définiront
done à leur tour les diverses transformations qui changent (9) en (10).
Le probléme de l'intégration du systeme automorphe considéré est donc
identique à «celui qui consiste à ramener l'équation de Prarr (10) à la
forme canonique (9) c.-à-d. se ramène au probléme classique de Prarr.
L'intégration des systèmes automorphes à plus de 2» + 1 variables
indépendantes, d'aprés ce que nous avons vu au n? 3, se raméne au cas
précédent.
Mais il y a en outre à considérer des systèmes automorphes dépendant
de moins de 2» + 1 variables indépendantes. Leur intégration se rattache
encore à la théorie du probléme de Prarr: mais leur étude nécessiterait
d'assez lóngs développements, que nous réserverons pour une autre travail.
4°) groupes généraux de transformations de contact en 2j, ...,€q, pi, 2, Pr:
Le systeme automorphe de premiere espéce définit (on le verrait en raison-
nant comme plus haut) toutes les transformations qui changent une ex-
pression de PFAFF
2n
(11) z Bellies wheat
en une expression de la forme
n
(12) X p;dx, + dU,
1-1
U étant une fonction arbitraire des variables indépendantes. La recherche
de ces transformations se rattache à la théorie du probléme de Prarr.
Il en est de méme pour l'intégration des systèmes automorphes, relatifs
au méme groupe, et dépendant de moins de 2” variables indépendantes.
C’est encore un point sur lequel nous nous réservons de revenir dans une
autre occasion.
324 E. Vessiot.
CHA PIRE IE
Sur l'intégration des systèmes différentiels, qui admettent
des groupes de transformations.
8 I. Un exemple de Lie.
1. Nous allons exposer une méthode générale, dont le but est de
ramener l'intégration de tous les systèmes différentiels, admettant des groupes
continus de transformations, à l'intégration de systemes automorphes.
Nous traiterons d'abord, suivant cette méthode, l'un des exemples
étudiés par Lie." Il nous sera plus facile ensuite de l'exposer dans toute
sa généralité.
Le probléme traité par Lie est le suivant:
Exposer une theorie generale d'intégration pour les équations aux dé-
rivées partielles du second ordre, définissant une fonction inconnue 2 des
deux variables indépendantes x, y; et admettant le groupe infini dont la
transformation infinitésimale générale est de la forme:
fe of =r 9 1
(1) Ex) — &(z). a2,
E étant une fonction arbitraire.
Liz ramène la solution de ce probléme à l'intégration d'un système
en involution; c.-à-d. à l'emploi de la méthode de M. DarBoux. Notre
solution sera toute autre, et conduira à prévoir quelques simplifications
de plus.
2. Étudions d'abord le groupe considéré, que nous appellerons le
groupe (6). Sa transformation finie générale est
(2) w= X(t), den’
où X(x) est une fonction arbitraire.
Leipziger Berichte, 1895, pages 116 et ss.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 325
Les équations de définition de ses transformations finies s'en déduisent
sans peine. On en a d'abord une premiere forme évidente:
dx , 9
(3) ET o, E r2
Mettons-les sous la forme de Lie, en appliquant la méthode générale que
nous avons exposée dans un autre travail.'
Nous introduisons deux variables indépendantes w et w, non trans-
formées; et nous cherchons les relations entre les dérivées de x, z et de
v',z par rapport à ces variables. Pour savoir jusqu'à quel ordre il faudra
pousser les calculs, nous devons mettre les équations (3) sous forme com-
pletement intégrable; nous obtenons les équations, du 1 ordre seulement,
CFA =" CFA 2 02’ he
(4) CUT) CNE: o2 cz
D'oü les relations
CFA 2 0% Oar’ 2 9%
(5) en, =
ou z ou ow 2 ow
et
02 Oz Ow z 92 92 90% z 02
Ou Oa Ou 2 Qu! ow 9æ 0w | z2w
Il faut éliminer les dérivées de z', # par rapport à x, 2; ce qui donne,
d'abord les relations (5), et la relation
2x
% — a' Oz du [92 z 92
(6) Ou zou Ou E Re s]:
ow
Il est inutile de continuer a employer la méthode générale, car on voit de
suite que ces équations sécrivent:
"192. „dx ‚oe ow
Qu Mm’ E aw Ow’
ox Ou
I dam Ye Ou 195 Ios Ou.
z9u z9w 0€ zou 20w Or
ow ow
Sur la theorie des groupes continus, n° 6. (Ann. de l'Éc. norm., 1903.)
326 E. Vessiot.
et la dernière peut se remplacer, en tenant compte des premières, par
D(@,2) D(e,z)
D(u,w) D(u,w)
Ainsi se trouvent calculés les invariants différentiels fondamentaux
( 7) 2 92 2 9% D z 2)
L “au? “aw? Diu,w)
Les équations de definition de (G), ramenées à la forme de Lie, sont
par suite
ACE» Hoz De , 8
(8) dic wc cx mE.
3. Nous devons maintenant considérer z comme une fonction de x
et y, et chercher les équations différentielles correspondantes, qui ad-
mettent le groupe (G). Nous emploierons à cet effet une méthode nouvelle,
analogue à celles qui ont été données par M. Tresse, dans sa thése:'
cette méthode est la base de la méthode d'intégration que nous exposerons
ensuite.
Employons, pour plus de commodité, le langage géométrique. Nous
avons à considérer une surface c, et les surfaces qui lui sont homologues
par rapport au groupe (6G); c.-à.d. qui en proviennent par les transforma-
tions de ce groupe; et à chercher les relations en 2, p, q,T,S,£, ...
qui peuvent convenir à la fois à toutes ces surfaces.
Imaginons à cet effet que la surface à soit donnée par trois équations
de la forme:
(a) x — f(u; 2), y = 9(u, v), g'-—hw:w)
Les homologues seront données, sous une forme analogue, par les solutions
d'un systeme automorphe, dont le groupe associé s'obtiendra en adjoignant
l'équation y — y' à celles des diverses transformations de (6) (puisque celles-
ci ne transforment pas y).
Plus simplement encore, nous servant de cette circonstance que y
n'est pas transformé, il nous suffira de supposer o définie par deux équa-
tions de la forme
(9) qw) g — g(u, y);
' Sur les invariants différentiels. Paris, 1893.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 327
et les homologues de à seront définies d'une manière toute semblable par
les solutions d'un système automorphe, relatif au groupe (67), qui sera de
la forme
Ou 92 D(x , 2)
= 4, fay pk ome Th
(10) u Da » 1)
où a, f,7 sont certaines fonctions de # et y, satisfaisant à la condition
d'intégrabilité du système (10),
sa _28
(11) aus *°
et dont l'expression s'obtiendrait en exprimant que les équations (9) dé-
finissent une solution du systéme (10).
Il n'y aura done qu'à chercher les relations entre 2, p, q, 7
qui sont des conséquences de ces équations (10), et de l'hypothèse que z
est fonction de æ et y. Cette hypothèse s'exprimera du reste par les re-
lations
dr — cas du + = dy,
dz = pdx + qdy,
dp = rdz + sdy,
dq = sdx + tdy ,
où du et dy sont arbitraires.
4. Cherchons d'abord les relations du premier ordre. On a à joindre,
aux équations (10), les relations
: og 28 Ais 92 men k
(13) u Ow’ oy oy 1»
ee qui donne les équations résolues
ovr a ov
| au ey c.
(14) "
92 a 92 f
-—p-; ——p
| A LL “Figs
328 E. Vessiot.
et l'équation de condition:
(15) qa — yz — o.
On n'en pourrait rien tirer, si « — ; — o, ce qui réduirait les équations
(10) à 2 — 0. Cette surface particulière est invariante par toutes les trans-
formations de (6)
/
Nous pouvons la laisser de cóté.
Alors a est nécessairement différent de zéro, sans quoi, à cause de
(15), on retomberait sur le cas précédent. On peut done écrire (15) sous
la forme
(16) ilL
ce qui montre que 2 est wn variant. différentiel du 17 ordre pour la fa-
A
mille de surfaces considérée.
On vérifierait facilement que, sous cette condition (16), le système (14)
est complètement intégrable, de sorte qu'en le différentiant on n'obtiendra
jamais de relation, indépendante des dérivées de x et z par rapport à w
et y, qui ne soit une conséquence de (16), et des relations qu'on en peut
déduire par différentiations successives.
Nous allons montrer que ces relations se déduiront les unes des autres
par l'emploi répété de deux paramètres differentiels.
Supposons en effet l'une d'elles, qui est, par hypothése, de la forme
(17) J (G5 5, EDG) ER)
Nous aurons à la différentier par rapport à w et y; ce qui donnera, en
tenant compte des relations (14), et employant les notations usuelles de
différentiation totale,
dj a 0H dJ 8, dJ ^H
)
dz 2 du dæ z dy 9y'
d'où l'on tire:
1dJ roH dj oH feH
ure) ss amu dy cog sabe
Les deux membres de ces relations définissent les paramètres différentiels
;
annoneés, sous leur double forme.
Sur l'intégration des systèmes différentiels etc. 329
Nous obtiendrons par conséquent ainsi une série illimitée d'invariants
différentiels, avec leurs expressions au moyen de a, f, et de leurs dé-
rivées successives, en se servant de l'identité (11), on pourra méme ne
laisser dans ces expressions que a, f et leurs dérivées successives.
Si, jusqu'à un certain ordre », on a obtenu les relations distinctes:
(19) Jí(2,y,2,p,q,v,..) — Hy, a, B, = : pe), Gus
tous les systèmes différentiels dont nous cherchions la forme générale ré-
sulteront de l'élimination de w et de y entre les équations (19), où a et A
auront été remplacées par des fonctions de w et de y. Bien entendu, il
se pourra qu'ils ne contiennent qu'une partie des relations provenant de
cette élimination.
Le cas oü ils les contiennent toutes est celui oü toutes les solutions
du systeme différentiel en z,y,2,p,q,r,... se déduisent de l'une
queleonque d'entre elles par les diverses transformations de (67); de sorte
qu'on pourrait dire encore qu'un tel systeme est automorphe; mais il nous
parait préférable de n'employer ce mot que dans le sens plus restreint oü
nous l'avons employé jusqu'ici. On sait que, dans ce cas, l'ordre du sy-
steme est limité; c.-à-d. qu'il existe un certain ordre m, tel que les équa-
tions d'ordre supérieur sont des conséquences des équations d'ordre égal
ou inférieur à m,.
5. Tout système différentiel, de l’espece considérée, sera done de
la forme:
(20) JAN COLERE OE (h 91,2, ...,p)
Et, réciproquement, tout systeme différentiel de cette forme, pourvu qu'il
soit complétement intégrable, satisfait évidemment à la question,
A ce système on pourra associer le système résolvant
(21) F,(H, ; TE LACE THE) = O, (a=1,2,...,p)
qui sera de lui-même complètement intégrable; et l'intégration du système
donné se décomposera en: 1°) l'intégration du système résolrant (21); 2°) lin-
tégration du système automorphe (10).
Acta mathematica, 28, Imprimé le 10 févirer 1904, 42
330 E. Vessiot.
Telle est, en deux mots, la méthode d'intégration annoncée. L'idée
qui nous a guidé est de répartir l'ensemble des solutions du système donné
en familles formées de solutions provenant les unes des autres par les
transformations de (6). C'est aussi cette idée qui est, au fond, le principe
de la méthode de Liz; mais l'introduction des systèmes automorphes nous
permettra de préciser davantage la nature des intégrations auxquelles nous
allons étre conduits.
Il nous reste en effet à étudier, de plus prés, les deux problémes
types auxquels nous nous trouvons ramenés.
6. Occupons-nous d'abord de l'intégration du systeme automorphe
(10). On voit immédiatement qu'elle se réduit à celle de l'équation
ges 0x B
22 ie ic
(2) lou : oy :
car on a ensuite
a Bat
2 2) LS
(25 ax. Oa
Qu 9j |
et la troisième équation (10), est une conséquence de celles-la, en vertu de
la condition (10).
Done tout se réduit à l'intégration de l'équation différentielle ordi-
naire, à deux variables,
(24) adu + Bdy = o.
7. Etudions maintenant le systeme (21). Remarquons d'abord que
la forme de J, ne peut dépendre du choix de la variable indépendante w,
qui a été supposée figurer dans les formules (9), définissant l'une des sur-
faces cherchées. Done les H, sont invariants' par l'ensemble des trans-
formations
(25) w = gt , y), y=y;
auxquelles s'associent
,99 ,9€ i
(26) A == => tbt a
' Une idée analogue se trouve dans le mémoire de LrE Sur les invariants intégraux.
Leipziger Berichte, 1897, pages 379 et ss.
Sur l'intégration des systèmes différentiel etc, 331
obtenues en écrivant que le systeme
9x Ou m Dix
d — —
e DIT a’ DE II B, 7 T77T« T
ou ? ay! D(u', y) /
est équivalent au systeme (10).
ea
a”
invariante par le groupe [(25), (26)], ne dépend pas des paramètres choisis
Reciproquement, toute fonction différentielle en w,y,a2,f,
pour représenter la surface s; de sorte que, quand on y aura remplacé 4
elle
RER:
: - 1 Qa
et f, au moyen des formules (10), en fonction de z,y,z, 2
u
ne pourra dépendra que des dérivées de z par rapport à x et y; c.-a-d.
qu'elle sera devenue un invariant J.
Done le système (21) est caractérisé par cette propriété d'être invariant
par le groupe [(25), (26)].
Il pourrait sembler que l'on est ramené à un probléme de la méme
nature que le premier, et par suite que l'on va se trouver dans un cercle
vicieux. Mais, ici, nous n'avons pas besoin de connaitre toutes les solu-
tions; il ne nous en faut au contraire qu'une seule, dans chaque série de
solutions provenant les unes des autres par les transformations du groupe
[25), (26)]. Tl faut done chercher à faire ce choix, pour n'avoir pas
d'intégrations superflues.
Cela revient à chercher une forme canonique de ce systeme, satis-
faisant à la condition précédente. On y arrive en se donnant, pour les
expressions de deux invariants, une forme déterminée. Comme celle de
l'invariant y est forcée, on se donnera celle du premier invariant: :
Posons, par exemple,
(27) PET RE EN
a a
Les deux premiers invariants suivants deviendront, en se servant des para-
mètres différentiels trouvés plus haut,
E oat) 2
— à
a du 7 oy a ou a
332 E. Vessiot.
On aurait done pu choisir les invariants du second ordre de maniére qu'ils
se réduisent, dans l'hypothèse (27) à «a et #. On verra de même ! que,
par un choix convenable, les suivants se réduiraient à trois des dérivées |
aa da of
au? dy? ay’
ainsi de suite.
la quatrieme étant lióe aux autres par la relation (27). Et
Le systeme (21) sera done remplacé par un systeme complétement
intégrable, qui pourra étre le plus général de ceux qui forment, avec (27)
et les équations qu'on en déduit par différentiations, un systeme compléte-
ment intégrable. Il sera de la forme
9a
(28) o,(H, u, 2,855) ps — (0r (A—1,2,...,p)
et de l'ordre »— 1, si le systeme (21) est d'ordre m.
Cette partie du calcul conduit du reste à un système auxiliaire identique
à celui que donne Lir; il est facile de vérifier en effet que Lie fait la
méme suite de caleuls, avec une autre interprétation seulement.
8. Bornons-nous, pour terminer, au cas d'une équation invariante
du second ordre. Le système (28) se réduira à une équation ?
(y, w,a, B) — 0;
1
d'où l'on pourra tirer $, par exemple,
(29) B xa," , y).
On sera done ramené à une équation du premier ordre linéaire |
ou 27 da 07
uh SA EN — al = O,
oy 0a 0" ou
' Cela résulte, sans calcul, d'une propriété générale des invariants différentiels:
voir S. Liz, Leipziger Berichte, 1895, page 118.
* Le système (20) se réduit à une équation de la forme
as—pq t q'
re itg ue
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 333
c.-a-d. à un système d'équations différentielles ordinaires
du da
(30) dy- — 2 =
= et at
su
On verrait que l'intégration se simplifie, si l'équation (29) est homogene
en a et f, car alors le systeme [(27), (29)] admet le groupe à un paramètre
Gi mm (is PF = cp.
L'intégration se ramène alors a celle d'une équation différentielle ordinaire
du premier ordre, et à une quadrature.
Remarque. Si le systeme donné avait pour conséquence une relation
de la forme il
(31) 2 — l'y)
ead,
= fly);
l'équation (27) serait impossible. Les formules (18) montrent qu’alors tous
les invariants sont fonctions de y seul.
Cela prouve qu'il serait impossible, dans ce cas, de fixer la position
d'un point sur une surface intégrale par les valeurs de deux invariants;
et, par conséquent, impossible d'avoir une correspondance univoque entre
deux surfaces intégrales homologues. Il y a donc une infinité de trans-
formations de (6) qui transforment l'une des surfaces dans lautre, et
chaeune d'elles admet un sous-groupe du groupe (6). La réciproque est
vraie, sauf dans le cas oü la surface est telle que tous ses points soient
invariants par les transformations de (G) qu'elle admet.
Vérifions ces prévisions: une surface de l'espèce considérée est de la
forme
a = d(x).x(y),
et admet le sous-groupe à un paramètre dont la transformation infinité-
simale est
1 aF | WC) ‚ar
(x) dx Ya)? 02
334 E. Vessiot.
Quant à l'intégration de (21), elle se réduira à celle d'une équation diffé-
rentielle ordinaire donnant la fonction f(y). On pourra satisfaire ensuite à
E ^.
= fly)
en prenant, par exemple
[row
p, qe ;
et les équations (10) donneront
; fin) di
r= fu), edu) = of ^t
e.-a-d. puisque 6(w) est arbitraire
z= P(x). LES
Il serait, bien entendu, immédiat d'intégrer
q 5
à = f),
mais il était intéressant de montrer que la méthode n'est en défaut que
quant à la simplification du système résolvant (21).
8 II. Autre exemple.
9. Nous considérerons encore le groupe (6), dont la transformation
infinitésimale générale est '
a, of uL napoli af
£(x) 35 + (= SOL Fw + S (x)y "D
et dont la transformation finie générale est
, rif , yf ees : X"(x)
g'- X(x), y —yX(z), 2 = +9 FT)"
Et nous voulons étudier les équations aux dérivées partielles en #, y, 2,
»p,4,r,..., et les systèmes de telles équations, qui admettent ce groupe (6).
Appliquons la même marche que dans l'exemple précédent.
' Ce groupe a été considéré par M. MeporaGnr, Annali di Matematica,
1898, page 229.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 335
Nous cherehons d'abord a définir l'ensemble des surfaces homologues
d'une surface déterminée, supposée définie par trois équations
q fu, 1), y — g(u , v), e=hlu, v).
Cela revient à chercher les systèmes automorphes correspondants. Nous
déterminons d'abord les invariants différentiels de (67), en considérant r,5,7
comme fonctions des deux variables 4,» non transformées. On trouve
u
TOT "0x 31 [2 or I E ox
— -—- — eS À o:
you? yov’ y Lou oul? y ov 1:9» |"
I [55 ,2) 2 Di, y) | :
y LD(u , v) y D(u , v)
et ceux qui s'en déduisent par différentiations successives. La forme des
systtmes automorphes correspondants sera done
192 — JE: 5 |= 9
you bs y Lou ou op P
2 1 Ow : I [oy 9r Hr
2 -— —= 4 = NE
(32) y 9v + y F 9v hd
I Die, 2) 2 De, yc
yD(u,v) y D(u,v) rn
UT N ;
ce qui s'écrit, en résolvant
Ow oy 2
- = a — = 1
Qu ay, au ylaz zi P)
Ow ! 91 , ,
— = 44 —== y (az
(33) s; «5 gp yet P
92 , 0% ; ?
— —Q -— = — Pa’): ;
* v du hap, at:
et on trouve, comme conditions d'intéerabilité,
04 Oa’ op f
E 2-9 4 — fa — o,
(34) ov ou p se D^ ov ou
336 E. Vessiot.
10. Nous caleulons maintenant les équations invariantes cherchées, en
adjoignant aux équations (33) les suivantes
98, . 0%, oy 92 9 2)
sy c RM 4p o Fa:
c.-à-d
oz E s 92 ,
(35) a = Yla(p + qe) + Bal, à = vla o + 42) + Pa]
Eliminant les dérivées par rapport à # et v; et, écartant le cas singulier
ou @f — fa’ serait nul,’ il vient
; DLE dings
(36) Were ag — Ba’
Et on montrerait, comme dans l'exemple précédent, que tous les autres
invariants différentiels doivent s'en déduire par différentiations successives,
au moyen de paramètres différentiels. Caleulons ces paramètres différentiels:
nous partons à cet effet de l'identité
J(r,9, 5,01 en),
, 2u )*
et, en la différentiant, nous obtenons
dJ dd oH
ay + y(az + B agi es"
T. dj »H.
ay. + y (ae ae As =
d'où on tire les paramètres différentiels équivalents
eH eH
/dJ qi We oU "oe 0}
va; "d iy) coe — Ra A(H),
(37)
oH ,eH
dj | e ow
y ipe ix ce iw B(H).
D(x, y)
' Dans ce cas, on aurait, d’après les équations (32), — O, et ce serait
, } 1 \
Du , v)
en contradiction avec lhypothése que z et y sont deux variables indépendantes,
9°
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 337
Les seconds membres des relations ainsi obtenues sont aussi des invariants
différentiels. Kn effet, ils ne doivent pas changer de valeur quand on fait
sur 4 et v un changement de variables queleonque
(38) u = e(u, v), v= du, v).
Or, par ce changement de variables, le systeme (32) garde sa forme, les
seconds membres étant remplacés respectivement par les fonctions 4, à,
a,%,7 de u,v, définies par les formules
a , —09 — ONS — QU = 0;
Sou T ue à Sont A ap hok
zia. ue ga: as Son p
(39) "Pon th au P, Bo, Nag a de
Diy, 4) _
D(u, v) p
On a done à considérer le groupe [(38), (39)]. Ses invariants différentiels
jusqu'au premier ordre sont
ı [9a da’ 1 [98 4 I. :
Oo = tee -|[I—I— - (aß — Ba’);
(40) r Lov «| an ou | EN po
c.-a-d. les expressions qui interviennent seules dans les conditions d'inté-
grabilité (34), et la valeur de l'invariant (36). Il était du reste évident
que les conditions d'intégrabilité de (32) devaient étre invariantes par le
groupe [(38), (39)].
Nous supposerons que l'on remplace partout ; par sa valeur, tirée
de (34) I
9j 9
9v m’
On pourra alors abandonner la dernière des équations (39); et les in-
variants différentiels seront seulement
aa’ da da’ o
( 1) au Qv Qu ov.
4 af — pa’ af — Ba!
— [dont le premier est égal à un, d'aprés (36); tandis que le second est
l'équivalent de l'invariant (qy — z)] —; et ceux qui s'en déduisent par l'emploi
des paramétres différentiels qui sont les seconds membres de (37). Nous
Acta mathematica, 28. Imprimé le 11 février 1904. 43
338 E. Vessiot.
n'aurons à considérer que ceux qui proviennent ainsi du second des in
variants (41), les autres étant tous identiquement nuls dans la question.
11. Nous obtenons done une suite d'identités de la forme
( , M 96
(42) Js zs podus) Hiis Ba’, Hess),
dont (36) est la premiere. Tout systeme répondant à la question sera de
la forme
(4 3) FJ, ; JE D J,) ==®; (h=J,2,...,¥)
Et pour l'intégrer, nous le remplacerons par le système résolvant formé
de la premiere des équations (34), et du systeme
(44) FA, C Hors H,) — ©. (hA=1 2,...,»)
Ce système résolvant intégré, on devra intégrer ensuite le système auto-
morphe (46).
La réduction de l'intégration du système résolvant se fera suivant la
oO fw
méthode suivie au n° 7. Nous poserons, par exemple, pour le premier
des H,
oj og
(ac) ou eme I
45) a3 —BfBa. .
et les suivants se réduiront alors a
Comme on le voit en appliquant à l'identité (45) les opérations A(F) et
DB(F). Nous poserons alors
,
a
(46) =
meum
aff — Ba :
de sorte que deux des invariants H,, de l'ordre suivant, se réduiront à
—— a
af — Ba ' af — Ba,
On voit done que quatre des invariants se réduisent, en vertu des hypo-
théses (45) et (46), à quatre fonctions de uy pra indépendantes, On
Sur l'intégration des systèmes différentiels etc. 359
aurait done pu les remplacer par des combinaisons de ces invariants qui
se seraient réduites précisément à a, ,4',/$; et les suivants se réduiraient
à des combinaisons de 4,/,4',/g et de leurs dérivées, d'où pourraient
se tirer toutes ces dérivées. Le systeme résolvant sera ainsi réduit aux
équations
Batt oi + af 3 =o
au ou B Pe ime
oj of , '
(47) Boer eins u (af — fa’) = (6)
a’ + v(af — Pa’) = o,
jointes à un système qui peut être le plus général de ceux qui, associés
à ces équations (41), constituent un systéme complétement intégrable. Un
tel systeme n'admet plus aucune transformation en a,,a', g,w,v. Il
ne présente done plus rien de particulier, au point de vue de la théorie
des groupes.
10. Il nous reste à étudier l'intégration du systeme (33). Elle est
immédiate: x se détermine d'abord par l'équation
e.-a-d. en intégrant l'équation différentielle ordinaire
adu + a' dv =o.
On a ensuite, sans intégration nouvelle,
19x I 9% I[t9y | If toy
y= A; a =|) Sao eee | — — | -— — al
y — dou a av” sj Beo: | a E |
13. Considérons, par exemple, le cas d’une seule équation du second
ordre
(48) F(qy — 2 , (sy — p)y + ty’2, ty’) = o.
On obtiendra, pour adjoindre aux équations (47), la seule équation
F(x ux v) 0
\ af — ja }
340 E. Vessiot.
d'où on tirera
(49) P. f(u, v\(af — Ba) — o.
On trouve alors, par un calcul facile,
p diftus s . Fe, v) I
f= a p= ee + 7
La seconde des équations (47) se réduit à une relation de la forme
q (
I
g(u , v)a + h(u, v)a' —— — o,
d'où on tirera, par exemple, a’ en fonction linéaire de a, qui sera, par
conséquent, déterminé par une équation linéaire
da
av
+ Mu 0) — Pin, rja— Qu, v) = o
:
c.-à-d. par l'intégration du systéme
gui ta da
M(u,v) Plu, va + Q(u,v)
(50) dv =
On a done à intégrer une équation différentielle ordinaire à deux variables,
u et v; puis à effectuer deux quadratures.
Remarque. Dans certains cas particuliers, il deviendrait impossible
de poser des équations de condition analogues à (45) et (46). C'est dans
le eas ott les surfaces cherchées vérifient une relation de la forme
(51) qu — 2 = constante,
ou deux relations de la forme
| (sy — p)y + ty’z = F(qu — à),
(52)
| ty?’ = G(qy — 2).
Dans le second cas, on peut encore faire le changement de variables partiel
tel que l'on ait l'identité (45). Et les équations (52) donneront
G (wn)
P: ? Mu)’ fp
G (n) ee
li F(u) Fu)’
Sur l'intégration des systémes différentiels ete. 341
et, en portant ces valeurs dans (45), il vient, en écartant la solution
a’ — O, qui raménerait à l'autre cas singulier,
—G+uk+ FG' —GF' =o,
qui est la condition d'intégrabilité du système (52); a et =’ sont done
assujettis à la seule condition
24 Qu’ a
Lc iE OF
av ou ia P
Comme le choix de la variable » est encore arbitraire, ou prendra, par
"du "du
; JF
Mi Ve , a=y(ujer ', ((u) arbitraire),
exemple
et l'intégration du systeme (33) se réduira à celle de
vdv + y (u)du =o
c.-à-d. à une quadrature.
Quant à l’autre cas singulier, l'intégration est immédiate.
Les singularités précédentes tiennent encore à la nature méme des
choses, et non à la méthode employée. Les intégrales du systéme (52)
admettent chacune un sous-groupe de (6), à un paramétre; et celles de
l'équation (51) admettent un sous-groupe à deux paramétres.
S III. Méthode générale d'intégration.
14. Le caractère général des raisonnements faits dans les exemples
précédents est manifeste. Nous allons exposer maintenant comment ils
constituent en effet le principe d'une méthode générale d'intégration des
systèmes differentiels admettant des groupes, finis ou infinis, de trans-
formations.
Soient 2x,,...
inconnues; a systeme donné; e r) le groupe que ce syste admet.
connues; (A) la syst lo t (G) le g systeme admet
x, les variables indépendantes, 2,,...,2, les fonctions
) m
Les équations (4) dépendent de z,,...,z,, de 2,,... et des dérivées
te
) "9
gt am) __ Oar aaa
i a
Qupd oru
342 E. Vessiot.
Le groupe (G) transforme entre elles toutes les variables 2, ..., 2,4, 2, ..., 29:
Nous indiquerons plus loin les simplifieations à apporter à la méthode si
certaines de ces variables étaient invariantes par le groupe (G), mais, méme
dans ce cas, ce que nous allons dire s'appliquerait encore.
Chacune des solutions de (A) représente une multiplicité M, à m
dimensions, de l'espace à m+ q — » dimensions. Designons, pour plus de
netteté, par y,...5,, les coordonnées d'un point quelconque: cela revient
à poser, par exemple,
(53) Me AEN OO OUR Ue GA ER EEUU OUO gy ch, UT
La multiplicité M peut être représentée aussi par des équations
(54) i= Br Gal are
où /,,...,£, sont des variables nouvelles, que nous supposerons n'être pas
transformées par le groupe (6); et nous représenterons les dérivées des y,
par rapport aux ¢, par la notation
SAH EIER Ux
AA 4
(Bi: Em)
US Bm) — re
À A NET
Nous allons chercher à répartir les solutions M de (4) en familles de
multiplieités homologues les unes des autres par rapport aux diverses
transformations de (6). Une telle famille de multiplieités M, supposées
définies par des équations de la forme (54), est donnée, dans le cas général,
comme on là vu au chapitre précédent, par un système automorphe
(55) U (y, TEE TED Hees), e N = 0, (t, DE sta) (33 ep)
Les premiers membres de ces équations (54) sont entièrement connus, car
ils se déduisent des équations de définition des transformations finies du
groupe (6), équations qui se déduisent elles-mêmes sans peine des équa-
tions (A) données; les seconds membres seuls dépendent du systéme par-
tieulier de multiplicités M défini par les équations (55). Ce sont done
ces fonctions 0, que nous allons prendre pour inconnues auxiliaires.
Elles satisfont d'abord aux conditions d’intégrabilité du système (55). Soit
; a,
(56) V. 0, , PORTE trt y 9! 4 zu Li: (91,2, .... p)
\ k
Sur l'intégration des systèmes différentiels ete. 345
ces conditions d'intégrabilité. A ces équations se joindront celles qui pro-
viendront des équations (A) données.
Pour les former, nous nous servons de ce que, dans le cas général,
ces équations (A) sont des relations entre des invariants différentiels de
(G). Soit done
(57) Ho c MEET NCI MES oux)
un tel invariant différentiel. Imaginons qu'on y fasse le changement de
variables défini par les équations (53) et (54): il prendra la forme, entiére-
ment explicite,
" (a, ... &m) EX (B... Ams) :
cL EU el flee uf cio iron aedis Lr) ms TF (Mis aa tag «y MEI ry aan)
et, si on suppose ensuite qu'on y remplace y,,..., 9, par une solution du
système (55), cette fonction J deviendra une fonction y(f,,..., £,) bien dé-
terminée. Or J est un invariant de (@), dans les mêmes conditions que
les U,;
4)
de sorte que l'équation
(59) Hu uiui ore ren, te):
admet non seulement la solution M de (55) considérée, mais toutes celles
qui s'en déduisent par les transformations de (@), ¢.-a-d. toutes les solu-
tions du systéme (55).
Cotte équation (59) est done une conséquence algébrique des équa-
tions (55) et de celles qui s'en déduisent par différentiations (si J est
d'ordre supérieur aux Uj. Donc, en se servant du théorème général d'al-
gébre qui nous a déjà servi dans un autre travail," on voit que 7 se cal-
eulera ratiónnellement en fonction des 6, et de leurs dérivées, sans avoir
à connaître les expressions de ces fonctions; ¢.-a.d. qu'on obtiendra, dans
les conditions supposées, une identité
Ay... Qm) (y, «+» Ym
(Gau Drm dd. hoc eem wri H(0; oe 0, 400779, -..),
où on pose, pour abréger,
o? dw) ees Qn i» 0, |
5 = =
on... 01
Sur la théorie de Galois et des diverses généralisations. N° 5. Annales de
l'Ecole normale, 1904.
344 E. Vessiot.
En faisant ce caleul pour les divers invariants 4, , J,,..., J, qui figurent
dans les équations (A), on obtiendra done des fonctions équivalentes
H,, H,,..., H,, et les équations (A) seront transformées, par là-méme, en un
systeme (D) de relations entre H,, H,, ..., H,. Les équations de ce systeme,
jointes aux conditions d'intégrabilité (56), constituent le systeme résolvant
(C) que nous nous proposions d'obtenir.
15. Étudions ce système résolvant (C). Il présente, tel que nous
l'avons formé, cet inconvénient, qu'une méme famille de multiplieités M
homologues sera donnée par une infinité de solutions du système (C).
Cherchons, en effet, la condition nécessaire et suffisante pour que deux
systèmes (55) définissent la méme famille de multiplicités M; écrivons,
pour plus de netteté, le second de ces systémes
(61 ) U, (y, yuan VELIE as .) — 0; (f Jae tn) 6=1,2,...,P)
en changeant le nom des variables indépendantes. Les équations (54)
étant celles d'une solution de (55); il devra y avoir une solution
(62) Ur RR qua (1,8, ..., m)
de (61), qui représente la méme multiplicité M; et cela suffira, puisque
les autres multiplicités intégrales de (55), ou de (61), se déduisent de
celle-là par les transformations de (G). Or la condition d'identité des multi-
plicités (54) et (62) est qu'il existe une transformation
(63) 5 -—vwh,.. 7 À (i21,2,..., m)
qui change les fonctions (62) dans les fonctions (54), respectivement. Mais
cette méme transformation change alors toute homologue de (62) en une
homologue de (54), puisque les transformations de (6?) ne portent que sur
Voss, UV, et non sur les paramètres /; de sorte que la condition cherchée
est quil existe une transformation (63) par laquelle le systéme (61) de-
vienne le systéme (55).
Ce premier point aequis, raisonnons comme au n? 7 de notre mémoire
sur la théorie des groupes.’ Les fonctions U, sont des intégrales d'un
,
! Sur la theorie des groupes continus. Annales de l'Ecole normale, 1903.
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 345
système complet, dont les équations ont pour premiers membres les pro-
longements de certaines transformations infinitésimales de la forme
n
of
6 = Yi, +++) Un) ="
( 4) (Ua » Un) yi
k=1
Ce systeme complet admet par conséquent toute transformation infinité-
simale de la forme
m of
(65) DER
i21
prolongée dans les mémes conditions; puisque le crochet des transforma-
tions (64) et (65) est évidemment nul. Ce qui revient à dire que le sy-
steme complet considéré admet toute transformation de la forme (63).
Done, par cette transformation, en posant, pour abréger l'écriture,
f. By... Bm)
C—O ey ce Yee. > (s=1, 2, ...; p)
on aura des identités de la forme
vie Pew) U
s gp?) = 3 (s=1,2,..., p)
ot, suivant nos notations,
FEN 5 (ik one. Fs oi
^ Oh... ott"
La condition pour que les systemes (55) et (61) definissent la méme fa-
mille de multiplicités M homologues est done que les fonctions 0; soient
liées aux fonctions 0, par les relations
(66) a og OUO re ; OPEN (121,2, ..., p)
associées aux relations (63); les g; étant des fonctions quelconques. Les
équations [(63), (66)] définissent un groupe infini, isomorphe au groupe
ponctuel général à variables: on connait l'importance de tels groupes
dans la théorie générale des groupes de transformations.
! Voir, par exemple, le mémoire cité N° 7, où on trouvera les indications biblio-
graphiques sur ce sujet.
Acta mathematica. 28. Imprimé le 18 avril 1904. 44
346 E. Vessiot.
Le systeme (C) est done un systeme invariant par ce groupe infini
[(63), (66)]; et une méme famille de multiplicités M homologues est donnée
par les diverses multiplicités 6
(67) 0, = 9. (t, RATS l4); (171,2, ..., p)
qui sont elles-mémes homologues par rapport à ce groupe [(63), (66)].
16. Nous allons essayer de ne prendre qu'une seule multiplicité 8
dans chacune des familles de multiplicités 60 homologues, données par le
système (C). Si nous réussissons, la répartition des multiplicités M en
familles de multiplicités homologues sera obtenue.
Considérons une multiplicité M, représentée par les équations (54).
Par le moyen de ees équations (54), tout invariant J de (6) devient une
fonction y(t,,...,¢,,), et l'identité (60) lui fait correspondre une équation
(68) Ve CR SR EL e ac CE ETE
à laquelle conduiraient aussi, comme nous l'avons vu, toutes les multipli-
cités homologues de M. Du reste H, provenant de l'invariant J, qui
est indépendant du choix des paramètres ¢, est un invariant du groupe
[(63), (66)]. Si done on fait un changement de paramètres /, la relation
(68) se transformera en celle qu'on obtient en faisant simplement ce change-
ment de paramétres dans la fonction 7.
Si done l’invariant J n'est pas une constante (en vertu des équations
(4), on peut choisir les paramètres de manière que le second membre de
(68) soit une fonction arbitraire de ¢,,...,¢ Et, plus généralement, si
m*
on peut trouver A invariants J,
relation (en vertu des équations (A)), on pourra supposer les paramétres
,U. sss, J;, qui ne solent liés par aucune
tellement choisis que les fonctions H, , H, ,..., H,, équivalentes à ces in-
variants par le calcul du N° 14, soient égales à A fonctions arbitraires,
indépendantes, de t,,..., tn.
Le cas le plus avantageux est celui où A=m. On pourra alors
associer au systeme (C), en vertu du raisonnement précédent, les équations
nouvelles
(69) He
PS Sr By aq) ES (i 1,2, ..., m)
Sur l'intégration des systèmes différentiel etc. 347
et, comme leurs premiers membres sont invariants par le groupe [(63), (66)],
il est visible qu'elles n'en admettent plus aucune transformation.
Done deux solutions du système résolvant [(C), (69)] donneront
toujours des systémes automorphes (55) fournissant deux familles, diffé-
rentes de multiplicités M homologues. La séparation de ces familles de
multiplicités est ainsi obtenue. On pourrait, naturellement, remplacer les
seconds membres des équations (69) par m fonctions indépendantes quel-
conques de /,, ...,£,: cela serait sans influence sur la nature des intégrations.
Le systeme [(C), (69)] n'offre plus rien maintenant de particulier si
ce n'est de contenir les conditions d’intégrabilité du système (55) et les
équations (69).
Dans le cas où A est inférieur à m, on ne pourra écrire que A m
équations de la forme (69); et la méthode n'est plus aussi avantageuse.
Mais on prévoit, par ce qui s'est présenté dans les exemples précédents,
qu'il se produira, dans ce cas, d'autres simplifications pour lesquelles il
parait diffieile de donner des régles générales et précises. On devra chercher
‚gie.
qui achevent de déterminer le choix des paramétres, pour chaque multi-
des équations différentielles auxiliaires nouvelles en /,, ..., £,,, 0,5...
plicité M; de manière à réduire au minimum le degré d'indétermination
du systeme résolvant, comme nous pouvions le faire d'emblée dans le cas
A=m.
17. Nous concluons, en resume, que notre méthode fournit, au moins
dans le cas général, la réduction de l'intégration du système (A) aux deur
problèmes suivants successifs.
1°) integration du système résolvant [(C), (69)]. Comme il définit les
familles de multiplicités M homologues, la difficulté de l'intégration de ce
systeme peut être quelconque, (A) étant l'un quelconque des systèmes diffé-
rentiels de l'espèce considérée.
2°) intégration du systeme automorphe (55). Nous avons rappelé au
chapitre précédent, les diverses réductions possibles, pour de tels systèmes.
Remarquons que nous avons écarté le cas où le système (4) con-
tiendrait des équations invariantes, qui ne seraient pas des relations entre
invariants; il est visible que, dans ce qu'elle a d'essentiel, la marche géné-
rale indiquée s'appliquerait encore à de pareils systèmes. Il n'y a, en
réalité, de changé que la forme du systéme automorphe à introduire.
348 E. Vessiot.
18. Les calculs, nécessaires pour former le système résolvant (€),
seront simplifiés, comme on l'a vu dans les exemples traités, par la re-
cherche générale des invariants équivalents du groupe (G) et du groupe
[(63), (66)]. La méthode à suivre sera la suivante:
Nous partons des équations (55), et nous leur adjoignons les relations
identiques, fournies par les régles du caleul différentiel, entre les dérivées
des z par rapport aux © et les dérivées des y par rapport aux /: ces rela-
tions devant être prises jusqu'à l'ordre maximum des dérivées figurant
dans les équations (35). Soit (A) ce système de relations. Si entre les
équations (55) et les équations (A) on peut éliminer toutes les dérivées
par rapport à /, les équations résultant de cette élimination seront séparé-
ment invariantes par rapport au groupe (6) et au groupe [(63), (66)];
elles seront done des relations entre certains invariants de ces deux groupes.
Comme, du reste, on ne doit pouvoir en tirer aucune relation, non iden-
tique, entre des invariants d'un seul de ces groupes, elles pourront se
mettre sous la forme
(FO) Sy CAS CN REDE CLER E (ds En
oü les premiers et les seconds membres sont des invariants des deux
groupes considérées, respectivement.
Si l'on faisait les mêmes calculs, en adjoignant aux équations (35)
celles qui en résultent par différentiation jusqu'à un ordre quelconque,
ce qui précède subsisterait, sauf qu'on pourrait, en plus de relations de la
forme (70), trouver des relations où ne figureraient que des invariants du
groupe [(63), (66)] (et qui appartiendraient aux conditions d'intégrabilité
du systeme (35)); et méme des relations, qui seraient des équations in-
variantes pour ce groupe (et qui seraient encore des conditions d'intégra-
bilité).
Il résulte des raisonnements faits au n? r4 que l'on obtiendra par
cette voie tous les invariants du groupe (G), avec leur expression équi-
valente en invariants du groupe [(63), (66)].
On trouvera aussi tous les invariants de ce dernier groupe; car, quand
on transforme un tel invariant, en y remplaçant les 4, par les valeurs (35),
on obtient un invariant de (6), qui ne dépend pas du choix des f, c.-à-d.
qui est une fonction de 2,,...,24,2,,..., 2, ..., 4179, ...), à moins qu'il se
réduise à une constante. Dans le premier eas, linvariant considéré, étant
Sur l'intégration des systémes différentiels etc. 349
l'équivalent d'un invariant de (6), de la forme considérée, s'obtient, d'après
ce qui précède, par le caleul indiqué. Dans le second cas, on a obtenu
)
une condition d'intégrabilité du système (35), et le caleul indiqué doit
encore la fournir.
19. On pourra aussi simplifier les caleuls par l'emploi de paramétres
différentiels.
Soit À l'ordre minimum jusqu'auquel il faille différentier les équations
(35) pour obtenir effectivement des relations de la forme (70). Et soit
gu ieu Im NH...)
l'une quelconque de ces relations, de l'ordre À, ou d'un ordre supérieur:
c'est toujours une conséquence des équations (35) différentiées et des équa-
tions (A), poussées jusqu'à l'ordre nécessaire. Et il en est de méme des
relations qu'on en déduit par différentiation
m
vus Melun
i21 da; 9t, 7a dt; i (£21,2, ..., m)
Jointes aux équations (A), et (35), différentiées jusqu'a l'ordre 2, ces rela-
tions fourniront, en plus de formules d'équivalence des invariants d'ordre
À, m relations de la forme
A dJ ay
(71) NEE NE et ee
1H dH
— 9 m) n er
= Alt, ..., 6 / zc dt. ) eoa) (121,2, ..., m)
qui donneront, sous leur double forme équivalente, les paramétres diffé-
rentiels annoncés.
b m P _ p B I *
> eae
Que 1 ‚ein elsüaw Hi bien ae M 48
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Trink Paese OT Pup. »Dink- fe Jurrgura yarn, crete GM ri igit
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m Ma^ fra ma AT ET TC :
“i A 4 a" | wy = m "à 4 " = ulus
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M m
=
mesi Crow remos ut urne poo bna T. abisousoid lle s Gan tem
«nino bre ex y HT po zu oe Sain
Shigeru eb tend UE. duree stiri pe zur
ue vty veine «ital albeit” ter ee rat
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Mr, e^ A Ar MAT hem P Edo a EA:
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5
MJ > #
us PN , pP
B d
P '
351
SUR UNE EXTENSION D'UN THÉOREME CLASSIQUE
DE LA THÉORIE DES FONCTIONS
PAR
E. PHRAGMÉN
à STOCKHOLM.
On sait le rdle fondamental que joue, dans la théorie élémentaire des
fonctions analytiques, le théoréme qui dit qu'une fonction entiére est né-
cessairement une constante, si, en valeur absolue, elle reste partout in-
férieure à une quantité donnée.
En me servant des propriétés de l'expression analytique bien connue
indiquée par LarLAcE et ABEL, et appliquée avec tant de succès par
M. Poincaré et M. Borer à l'étude de plusieurs problèmes difficiles, je
suis arrivé à une extension assez remarquable de ce théorème.
Pour faciliter l'exposé de mon résultat je démontrerai successivement
six théorèmes. Le premier de ces théorèmes s’Enonce ainsi:
Théorème I. Soit F(x) une fonction entière satisfaisant aux deux con-
ditions suivantes:
1° |F(z)| & Cell pour les points x situés à l'intérieur d'un certain
angle, l'exposant k et le grandeur a de l'angle étant assujettis à la condition
ka < 7;
2° |F(z)|« C, pour tous les autres points x (C, et C, désignant
deux constantes).
Cette fonction F(a) sera nécessairement une constante.
Pour la démonstration nous pourrons supposer que l'angle considéré
ait son sommet à l'origine et qu'il soit orienté de manière que l'axe réel
Acta mathematica. 28, Imprimé le 18 avril 1904.
352 E. Phragmén.
des x coincide avec sa bissectrice. Choisissons alors k, > k mais tel qu'on
ait encore
ka<z;
et considérons l'intégrale
pees
(1) D(x) = | rx),
0
laxe réel positif étant pris pour chemin d'intégration.
La convergence de cette intégrale étant meilleure que celle de l'in-
tégrale
(2) C
[al
g a—a ,|z|* d
ou de l’integrale
(3) C, f |e-*da],
0
il est évident que notre intégrale converge uniformément dans tout domaine
fini et que, par conséquent, elle représente une fonction entiére de z.
Or, on démontre aisément que cette fonction entitre reste partout
inférieure, en valeur absolue, à une certaine constante.
Remarquons, en effet, qu'on peut, sans changer la valeur de l'inté-
grale, choisir pour chemin d'intégration au lieu de l'axe réel positif, une
demi-droite infinie queleonque issue de l'origine et faisant avec l'axe positif
un angle aigu. En effet, cela se démontre immédiatement en comparant
avec les intégrales (2) et (3).
En posant maintenant
Em UU
c= re", a= pe
on aura
1 1 ( yi
i x eh
a^ Un — ro e h À
. m . 7
et on pourra aisément choisir # de manière que |#]<- et que, en méme
() : | pis 2 u^ MUR 3.
temps, g +; soit, en valeur absolue, supérieur ou égal à a, € est-à-dire
1
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 353
1
de manière que le point ax ne soit pas situé à l'intérieur de l'angle
donné. En effet, si
= <|¢lsz,
on fera 6 — o, et si lel<; on choisira # de méme signe que ¢ et tel
que le| — & (2—lel): On aura alors
ABO»!
[eG o) e e
et par conséquent
C,
kya B
cos ——
| (2| <0, f 1e dal <
La fonction (x) sera done nécessairement une constante.
Or, on en conclut immédiatement que la fonction F(x) est elle-même
une constante.
En effet, puisque l'intégrale (1) converge uniformément en tout do-
maine fini, on sait que, en écrivant
F(x) = 2, Fo?
et en faisant
0, = F, | a^ e-* da,
on à
D(x) = 22, 0,2".
Or, puisque nous avons démontré que 4,— 0o pour A=1,2,3,..- il
s'ensuit F,— o pour A=1,2,3,...; et par suite
F(a) = F, =.
cq. f d.
Pour mieux apprécier la portée du théoréme que nous venons de dé-
montrer, il se recommande de le transformer dans le théoréme suivant:
Acta mathematica. 28. Imprimé le 18 avril 1904. 45
354 E. Phragmén.
Théorème IL Soit Fir) une fonction entière satisfaisant aux deux
conditions suivantes :
ı° | F(v)| € CAT pour tous les points x appartenant à un certain
angle A de grandeur a, Vexposant k satisfaisant à la condition ka < z.
2° |PF(x)|« €, pour tous les points x appartenant à l'un ou l'autre
de deux angles DB, et D, contigus de côté et d'autre à l'angle A,
(C, et €, désignant deux constantes).
Cela posé, on aura nécessairement, tant que x reste compris dans
l'angle A
linee ^
Iz1-= (log ©)”
l'erposant f étant choisi supérieur à l'unité. Cette expression convergera
uniformément vers sa valeur limite.
Pour démontrer ce nouveau théorème il suffira d'étudier l'intégrale
(4) = jee dz
z — x (log 2)”
L
Nous formerons le chemin d'intégration des parties infinies de deux demi-
droites issues du sommet des angles A, B,, D, — nous supposerons que
ce soit l'origine — et comprises dans l'intérieur des angles P, et D, respec-
tivement, et d'une partie de circonférence les reunissant.
L
Il est clair que cette intégrale converge quel que soit x pourvu seule-
ment que x ne soit pas situé sur le chemin d'intégration. Il est clair
aussi que la valeur de notre intégrale ne varie pas si on change le chemin
d'intégration, pourvu que ce chemin reste conforme aux indications données
ci-dessus, et que le point x reste toujours du même côté du chemin d'in-
teeration.
Gr
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 35
Notre intégrale définit done deux fonctions analytiques, soit Fix)
et F,(x), selon que x est situé du même côté que l'origine ou de l'autre
côté par rapport au chemin d'intégration L.
On a done, pour z situé à l'intérieur de l'angle formé par la réunion
des trois angles A, B,, D,,
Re f £0,
z — x (log zy
hy
à = ' F(z) dz
Fix) = | Sen (log 27
Ly
si l'are de circonférence qui entre dans le chemin L, a un rayon supérieur
à |x| et celui qui entre dans L, un rayon inférieur à |x].
Il s'ensuit, si x appartient à l’intérieur de l'angle (b, + 4 + B,)
: PN ER * F(z) dz
E(z)—R(e)— | ue
K
K étant le chemin d'intégration indiqué dans la figure
K
c'est-à-dire
Tn F(z)
(5) F2) — F9) = Gog a)
La fonction F,(x) est régulière dans tout domaine fini. ("est done
une fonction entière.
Or, cette fonction satisfait aux conditions posées dans le théorème I,
si l'angle nommé dans ce théorème est formé de deux demi-droites situées
dans les angles D, et D, respectivement, et choisies de maniere que l'angle
a, inclus par elles satisfasse à la condition
ka, <r.
356 E. Phragmén.
On a évidemment, en effet,
(6) lim Jo (a — 0
IH
)
tant que x reste extérieur à cet angle ou même à un angle un peu
moindre, et
4
-
>
lim F,(x) =o
Il
tant que |x| reste intérieur au méme angle ou même à un angle un peu
plus grand. Cette dernière propriété, combinée avec la formule (5), montre
que la fonction Æ(x) possède la propriété exigée sous 1° du théorème I.
On a done, en appliquant ce théorème,
F(x) = const.
ou bien, en vertu de (6)
T (@)y= 0;
ce qui donne, d'aprés (5),
HOME
og Far),
identité qui persiste dans langle (B, + À + B,) et qui, en vertu de la
formule (7), contient le résultat que nous voulions démontrer.
Nous ajouterons encore le théoréme suivant qui constitue une géné-
ralisation du théorème I.
Théorème III. Soit F(x) une fonction entière satisfaisant aux condi-
tions suivantes:
ID Dey « c, a (k—1,2,...) quand x reste compris dans un
certain angle A, de grandeur a,, les quantités k, et a, étant assujetties aux
inégalités
kya, <7,
2° | F(z)| < C quand x reste extérieur à tous les angles A;.
Parmi les angles A, il wy a pas deux qui soient contigus. C, et €
désignent des constantes.
Cela posé, la fonction F(x) sera nécessairement une constante,
-
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 357
En effet, d'après le second théorème, on conclut qu'on a, sans re-
striction,
à F(x)
lim 7; = 0
lzl=» (log 7)
et cela uniformément dans toutes les directions. On en conclut aisé-
ment que
F(x) = const.
Les fonctions
étudiées par M. MrrraAc-LErFFLER, nous donnent l'exemple de fonctions
qui restent finies à l'extérieur d'un angle de grandeur «, et qui, dans cet
angle, deviennent infinies comme
Par conséquent, nous ne pouvons pas, dans nos théorèmes, échanger la
condition
ka «m
contre cette autre condition
ka «m.
D'un autre côté on peut dire que nos théorèmes font ressortir les fonctions
E,(r) de M. MrrraG-LerrLer comme les fonctions les plus simples de
leur espéce, en ce sens que, parmi les fonctions devenant infinies seule-
ment dans un angle de grandeur a, il n'y en a pas dont l'ordre de crois
sance soit essentiellement inférieur à celui de £E,(z).
On peut démontrer des théorémes analogues aux précédents, se ratta-
chant à d'autres classes de fonctions étudiées par M. Mrrrac-LEFFLER,
et dont je dois la connaissance à une communication personelle de l'auteur.
La fonction entière
358 E. Phragmén.
ne devient infini pour x infini que lorsque la partie réelle de x est po-
sitive et la partie imaginaire de x comprise entre
ZART
DIN
À étant un nombre entier quelconque. Or, il est facile de former une
nouvelle fonction qui devient infinie de la méme maniére que cette fonc-
tion, mais seulement lorsque la partie imaginaire de x est comprise entre
la partie réelle étant positive. Il suffit de former l'intégrale
le chemin d'intégration étant composé de deux droites parallèles à l'axe
des x, infinies dans le sens positif de cet axe et situées de cóté à d'autre
de lui à une distance intermédiaire entre ^ et ar Ces deux droites sont
réunies à l'aide d'une droite orthogonale à l'axe réel, comme l'indique la
figure.
Cette intégrale représente deux fonctions analytiques différentes, soit &,(x)
et &,(x), selon que le point x est situé du méme côté par rapport au
contour d'intégration que les points réels négatifs infiniment distants, ou
du côté opposé. D'ailleurs le chemin d'intégration peut être choisi arbi-
trairement dans les limites indiquées sans que la valeur de l'intégrale soit
changée. Il s'ensuit immédiatement que la fonction &,(x) est une fone-
tion entiére, et que les deux fonetions sont réunies par l'identité
:
©,(%) — e.) = ¢
La fonction G,(r) est par conséquent, elle aussi, une fonction entière.
LL A u u
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 359
Tant que la partie réelle de x reste positive et la partie imaginaire
; "ise entre deux limites choisies arbitrairem 37 37
comprise entre deux limites choisies arbitrairement entre — et +—,
2 2
on conclut de la représentation
e lat I ef J
6,(x) = = | : za
L
que
(8) lim &,(x) =o.
De méme on a
(9) lim 6,(x) =o
quand la partie réelle de x est positive ou nulle, ou quand, cette partie
réelle étant négative, la partie imaginaire reste extérieure à deux limites
choisies arbitrairement de maniére à embrasser l'intervalle de m a+ =
La manière dont se comporte la fonction 6,(x) à l'infini est complete-
ment caractérisée par les deux formules (8) et (9), si on se rappelle que
i e VIRES ex e
&,(r) — € +8,(2).
Passons maintenant aux théorèmes analogues aux théorèmes précédents
qui se rattachent à cette fonction.
Théorème IV. Soit F(x) une fonction entière satisfaisant aux deux
conditions suivantes
1° [F(x)[< €, d tant que la partie réelle de x reste positive et la
partie imaginaire comprise entre deux parallèles à l'axe réel dont la distance
mutuelle est a, k et a remplissant la condition ka — zx,
2° |F(z)|« €, pour toutes les autres valeurs de x.
(C, et C, désignant deux constantes.)
Cette fonction F(a) sera nécessairement une constante.
Choisissons en effet A, > mais de manière qu'on ait encore
ka<z,
360 E. Phragmén.
et formons l'intéerale
oc
(10) | F\ - loga + JL Caan
t
0
La convergence de cette intégrale étant comparable à celle de l'une ou
lautre des deux intégrales
ou
CG fl e *da|
0
PA . 21: o ," 2 . ^
on s'assure immédiatement, 1? que l'intégrale converge uniformément quand
reste compris dans un domaine fini queleonque, le chemin d'intégration
x fr
étant une demi-droite issue de l'origine et faisant avec l'axe réel un angle
aigu, et 2? que la valeur de l'intégrale est la méme indépendamment de
la manière dont on choisit le chemin d'intégration dans les limites indiquées.
=
Il s'ensuit que l'intégrale (10) représente une fonction entière de €.
Mais il s'ensuit aussi que cette fonction est une constante, car on démontre
facilement, en choisissant le chemin d'intégration de manière que „log a+é
11 s
appartient au domaine où la fonction (x) reste inférieure à C, en valeur
absolue, qu'elle reste partout finie.
Pour conclure que la fonction (zr) est elle aussi une constante, il
faut connaître un théorème qui vient d'être démontré par M. Lexcn au
tome 27 de ce journal.’ Indépendamment de M. Lercn, j'ai démontré
moi-méme le méme théoréme dans une conférence faite à l'université de
Stockholm, il y a quelques années.
Voici l'énoncé de ce théorème:
Si l'intégrale
g(x) = f f a)e ** da
*
LL
! Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d' Abel.
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 361
converge pour «>a, (x, étant réel), ef si on a
£(r,4-»)-—0 pour v=1,2,3,..-
c désignant une constante positive, on aura nécessairement
f(a) —o
pour toutes les valeurs positives de a.
Je donnerai ici ma propre démonstration qui consiste dans une simple
application du facteur de discontinuité employé par M. vow Koch dans
ses recherches sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite
donnée (ce journal, t. 24, p. 159).
Si on fait
f f()e7da
0
=
2o
l
on sait, d'après l'hypothèse, que F(a) reste inférieur en valeur absolue à
une certaine constante C. D'ailleurs on a
g(x, +) = f Fa)e "da
= t f F(a)e7"da.
En —
f(t) = f Fla)e "da
0
on aura done
=
et par suite, en vertu de Thypothese,
d (ve) = ©. (v=1,2, 3, ...)
Acta mathematica. 28. Imprimé le 21 avril 1904, 46
362 E. Phragmén.
Soit maintenant « une quantité positive ou nulle et considérons la
série infinie
(the — + (2t) + a Plates Lem.
|3
Cette série converge absolument pour les valeurs positives de £, et uniformé-
I
I
ment pour toutes les valeurs de ¢ supérieures à une limite positive quel-
conque.
On a, en effet,
Ke Aat
rene < | | F(a)]e* da^
: bes
e eat
— qu
Il s'ensuit qu'on peut écrire
d (De — D) + — g (ate —...
= F a etes > SE pra) I1 exe alt — TT da
i ( | paf an fg ,
0
ou encore
d (t)e* — » d (2t) e^ + D (3009 — NE f F (o1 = eda.
[E imd 0
On en tire aisément
: | \ „at I Nat I 3at | : 7 s
) — — 2 — 3 ME e — MW.
(11) lim d (t)e ^ o (210)e* + [3 d (3t)e | E y F(a)da
Em 2 |3. J
En effet, on voit immédiatement que
t= ©
lim / F(a)[1 — eda = J: F(a)da;
Sur une extension d'un théorème classique de la théorie des fonctions.
et puisque
f Fay: — dal < € [f (1 — eda)
on à encore
Faisons maintenant
on aura d'après l'hypothèse
e(t)e* —[ b(n +...=0;
en effet chaque terme sera nul.
Il s'ensuit done de la formule (11) que l'on a
f Fia)da =o
indépendamment de la valeur, supposée positive, de a.
On a done nécessairement aussi
F(a) = o,
c'est-à-dire
f taeda E
pour toutes les valeurs positives de «, et enfin
f(a) — o
pour les mémes valeurs.
363
364 E. Phragmén.
Pour appliquer ce résultat à la question qui nous occupe, faisons
dans la formule
oo
Er es
| I (log a + Jr “da = const.
E
.
0
x I I t
STE log -. On aura, en désignant la constante par C,
oo
* (yk
| FU log “) e-*da- C
1
0
ou encore, pour æ positif,
formule qui peut s'éerire
(n z log a) — oy = O.
VU
Il s'ensuit, en vertu du théorème de M. Lerch, que
oo
t
0
F( log a) — C
1 /
pour les valeurs positives de a. Or, F(a) est une fonction entière; on a
done identiquement
Er) =. €. ae
En partant du théorème que nous venons de démontrer, on arrive
facilement au théoréme suivant.
Théorème V. Soit Fix) une fonction entière satisfaisant aux deux
conditions suivantes :
1° [F{(x)| < oe" tant que la partie réelle de x reste positive et sa
. . . . . a a . y OP
partie imaginaire comprise entre —- et +=, k et a remplissant l'inégalité
- À
Has
TO
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 365
2° | F(ax)|<C, tant que la partie réelle de x reste positive et sa partie
. . ; 4 R [74 a - a a :
imaginaire comprise soit entre —-— à et — = soit entre - et = + 9, 9 dé-
is 5 2 2 2 Le
signant une quantité positive arbitrairement donnée.
(C, et C, désignant deux constantes.)
Cette fonction F(x) satisfera, pour toutes les valeurs de x indiquées sous
1°, à la condition
Plz)...
z«. (loge à
et cette expression tendra vers sa limite uniformément pour toutes les valeurs
en question (B désigne une quantité réelle supérieure à l'unité).
Ce théoréme se démontre à l'aide de l'intégrale
LI
1 (F(z) ds
2m, z — x z (log zŸ
L
le chemin d'intégration étant composée de deux droites parallèles à l'axe
réel, infinies dans le sens positif et situées de côté et d'autre de cet axe
x
. . ie [ZA a , .
à une distance intermédiaire entre 5 et Peur à, et d'une droite orthogonale
à l'axe réel joignant ces deux droites.
Cette intégrale définira deux fonctions analytiques différentes f(x)
et F,(x), dont l'une F\(x) est une fonction entière et l'autre est liée à
cette fonction par l'identité
: P(x)
F,(x) —F,(2) = zogzy :
On démontre comme plus haut que
T (m) -—o
de sorte qu'on a identiquement
Fais lm
x (log x)? Zu F,(x)
et on conclut de là que
owe Jo pi
d ga — ©
366 E. Phragmén.
pour toutes les valeurs de x dont la partie réelle est positive et la partie
t E : Ael A E a :
imaginaire comprise entre deux limites, comprises elles-mémes entre Exc
a
et - +0.
zii
On peut résumer tous les résultats obtenus jusqu'ici dans le théorème
suivant:
Théoréme VI. Soit F(x) une fonction entiere satisfaisant aux conditions
suivantes :
k
1° [F(z)| « Ge * dans certains angles de grandeur a, (k, a, étant «z)
29 | F(z)| «o, dl dans certaines bandes limitées par deux droites
parallèles et une droite qui les coupe, k, étant choisi de manière que k,x
soit réel sur la droite médiane de la bande et la largeur de la bande a, sa-
tisfaisant à l'inégalité 1%, [a < 7.
3° | F(x)|<C pour toutes les autres valeurs de x.
C,, 0,, C sont des constantes, et on suppose que parmi les angles et
bandes considérés il wy ait pas deux qui soient contigus.
Cela posé, la fonction F(x) sera nécessairement une constante.
La démonstration de ce théorème est intuitive.
Avant de finir nous avons encore une remarque à ajouter.
Tous les théorémes que nous venons de démontrer sont susceptibles
d'une généralisation assez importante, qu'il suffira de formuler par rapport
au théoréme I.
Théorème Ia. Soit F(x) une fonction analytique uniforme et réguliére
à l'extérieur d'un cercle K donné. Supposons qu'on ne sache pas si cette
Jonction est régulière à l'infini ou non, mais qu'on connaisse chez elle les
deux propriétés suivantes :
1° [F(x)|< CAT pour les points x situés à l'extérieur de K et à
l'intérieur d'un certain angle, Vexposant k et la grandeur a de l'angle étant
assujettis à la condition ka < 7:
2° |F(x)|<C, pour tous les autres points extérieurs à K (C, et C,
désignant deux constantes).
Cette fonction F(x) sera nécessairement régulière à l'infini.
s
-
Sur une extension d'un théoréme classique de la théorie des fonctions. 367
En effet, désignons par A’ une circonférence extérieure a A, et con-
sidérons l'intégrale
Cette intégrale représente deux fonctions analytiques différentes f(x) et
F(a), selon que x est intérieur ou extérieur à K'. D'ailleurs la valeur
de l'intégrale est indépendante de la manière dont on choisit A’ pourvu
que cette circonférence reste extérieure à A. On en conclut l'identité
F (#2) — F,(z) = F(a).
Or F(a) est évidemment une fonction entière, et Æ,(x) est régulière a
l'infini. Par conséquent F\(x) est une constante, en vertu du théorème I.
La fonction F(x) est done bien, comme nous l'avons avancé, régulière a
l'infini.
Ajoutons encore un mot sur le principe de démonstration employé
tant de fois dans ce qui précède. Ce principe est au fond identique a
celui qui a guidé M. Cousin dans ses recherches si remarquables sur les
fonctions de plusieurs variables. Pour se convaincre plus facilement de
cette identité il convient de transformer un peu l'exposition de cet auteur.
Voici done comment se présente, dans le cas le plus simple, son théorème
fondamental dans notre méthode d'exposition.
Théorème de M. Cousin. Soient A et B deux domaines continus possé-
dant une partie commune C, constituant un seul domaine contimu. Soient
g(x) une fonction analytique définie à l'intérieur et sur le bord de A, et
dx) une fonction analytique définie a l'intérieure et sur le bord de B.
Supposons enfin que la difference e(x)— d(x) soit régulière à l'intérieur et
sur le bord de C.
Cela posé, il existe une fonction analytique f (x) définie à l'intérieur
et sur le bord du domaine formé par la réunion des deux domaines A et
B, et telles que, à l'intérieur et sur le bord de A, la différence f(x) —e(x),
et à l'intérieur et sur le bord de B, la différence f(x) — d(x) sont des
fonctions réqulières.
En effet, soit A’ un domaine renfermant le domaine A à son intérieur
et choisi de manière que la fonction g(x) soit encore définie à l'intérieur
368 E. Phragmén.
et sur le bord de 4', et soit 5’ un domaine possédant la méme propriété
par rapport au domaine B et la fonction d(x). Soient PRY et QSP les
deux contours suffisamment indiqués par la figure.
p
(D
P
Posons
© (x) — I Pn UN 7
$1 = RE
PRQ
dt = 5 [2-20 à.
asp
La fonction e,(r) est régulière à l'intérieur et sur le bord du domaine
A, De méme la fonction d,(x) est régulière à l'intérieur et sur le bord
du domaine PB. A l'intérieur et sur le bord de C on a, en vertu du
théorème de CAUCHY,
gi(z) — dx) = p(x) — g(a),
ce qui peut s' écrire
el) — e (x) = (x) — g(x).
La fonction d(x)— (x) qui est définie à l’intérieur et sur le bord du
domaine B est par conséquent la continuation analytique de la fonction
c€(r)-—e,(r) qui est définie à l'intérieur et sur le bord du domaine A.
Nous avons done réussi à définir une fonction qui satisfait à toutes
les conditions voulues.
C'est de cette manière que je professe la belle théorie de M. Coustn,
dans mes leçons à l'université de Stockholm, dès l'apparition de son travail.
Certes, il n'y a pas, entre ce mode d'exposition et celui qu'à employé
M. Coustn lui-même, de différence très profonde. Mais j'ai trouvé que,
surtout pour l'enseignement, la méthode esquissée ci-dessus possède certains
avantages.
369
ON THE REDUCTION OF A GROUP OF HOMOGENEOUS
LINEAR SUBSTITUTIONS OF FINITE ORDER
BY
W. BURNSIDE
of GREENWICH.
Although the conception of a group does not occur explicitly in
ABEL's published writings it is ineontestible that, from the point of
view of the present time, the idea underlies the whole of his wonderful
investigations into the theory of algebraically soluble equations. More
than one passage in these investigations suggests strongly that the idea
was present in the writers mind though it has not found direct expression
in his mode of presenting his results. It will not then appear improper
that a memoir dealing with some of the recent results obtained in the
theory of groups of linear substitutions of finite order should appear in
this volume which commemorates the great mathematician.
In the course of the last five or six years great advances have been
made in this theory. The appearance of two memoirs by Herr FROBENIUS
Uber Gruppencharactere and Uber die Primfactoren der Gruppendeterminante
(Berliner Sitzungsberichte, 1896, pp. 985—1021 and pp. 1343—1382),
which have been followed by a series of others developing and extending
the same ideas, marks a new departure of great importance in this con-
nection. Later in date than Herr Frosentus, but independently as regards
method, I have considered the theory of the factors of the group-deter-
minant and the corresponding theory of the representation of a group of
Acta mathematica. 28. Imprimé le 21 avril 1904. 47
310 W. Burnside.
finite order as an irreducible group of linear substitutions; basing my in-
vestigation on a certain continuous group which is completely defined by
any given abstract group of finite order.'
So far as I am aware the only proof hitherto given of what is de-
fined below as the »complete reducibility» of a reducible group of finite
order of homogeneous linear substitutions, other than that due to Herr
FROBENIUS, is contained in a memoir by Herr Mascuxe.? The number
of distinct representations of a group of finite order as an irreducible
group of homogeneous linear substitutions has hitherto been determined
only by the processes, both of them indirect, of which Herr Fropentus and
I have made use.
My prineipal object in the present memoir is to establish these two
results by direct and comparatively simple methods, based on a repeated use
of the theorem that, for every group of homogeneous linear substitutions
of finite order, there is at least one invariant Hermitian form.
As the phraseology of the subject has not yet become uniform, I
define here the sense in which certain phrases will be used.
A group of homogeneous linear substitutions is spoken of as reducible
or irreducible according. as it is or is not possible to find a set of linear
funetions of the variables, less in number than the variables, which are
transformed among themselves by every operation of the group.
A. reducible group of homogeneous linear substitution s is called »com-
pletely reducible» when it is possible to choose the variables in such a
way that (r) they fall into sets, each set of variables being transformed
among themselves by every operation of the group, while (it) the group
in each separate set is irreducible. In this sense the first result to be
proved is that a group of linear homogeneous substitutions of finite order
is either irreducible or eompletely reducible.
' Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. 29, pp. 207
— 224; pp. 546—565, (1898); Vol. 35, pp. 206—220, (1902).
* Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen. Substitutionsgruppen, in welchen
einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind. Math. Ann.
Vol. 52, pp. 363—368, 1899.
Since this paper was written Herr Loewy in a memoir Uber die Reducibilitüt der
Gruppen linearer homogener Substitutionen (Transactions of the American Mathe-
matical Society, Vol. 4, pp. 44—64, 1903) has obtained a more general result of
which the theorem in question is a particular case.
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 371
If
SP A]
1^ 9»*t**)
Sy
are the operations of an abstract group @ of finite order N; and
jen
, "
Pare À dk; (e 1,2,.. ,n)
51; Sa » tery SN;
such that if
Y Y Y
5, 5, == A) ry
then
Sp 8a A Su
for all sets of suffixes, the group of linear substitutions is said to give a
»representation» of the abstract group @. The one-to-one correspondence
of the operations of the group and the substitutions is an essential part
of the representation. Thus a second representation in the same number
of variables
j=n
Yi = I Bort (i—1,2,..,, n)
(er a. N)
is spoken of as »distinet» or not distinct from the former according as it
is not or is possible to find a linear substitution
DUI Y Vy%;, (i=1,2,...,n)
(1—1,2, ...,n)
into
y= Y Bay
It is thus to be noticed that it may very well be possible to transform
HUS W. Burnside.
the one group of substitutions into the other while at the same time
they give distinct representations of G. In particular the two groups
may consist of the same set of substitutions and yet may give distinct
representations of G. Two representations which are not distinct will be
:alled equivalent.
When the word »distinet representation» is used in this sense, the
second result proved here is that the number of distinct irreducible re-
presentations of a group of finite order is equal to the number of separate
conjugate sets of operations which the group contains.
1. A group of homogeneous linear substitutions in » variables, if of
finite order, has at least one invariant Hermitian form of non-vanishing
determinant in the n variables and their conjugates; and by a suitable
transformation of the variables one such form may always be taken to be
LT, EX: Ee.
This theorem, due to Prof. A. Lorwv! and to Prof. E. H. Moore,’ is
of fundamental importance in the theory of groups of finite order.
The step-by-step process, by which any Hermitian form of non-
vanishing determinant is brought to the form quoted, must break off at
some step before the last when the determinant of the form vanishes.
Hence a form in the » variables and their conjugates, whose determinant
vanishes can always be reduced to the form
Vy, + vd e ys (s « n),
where 5,, y,, ..., y, are s linearly independent functions of the original
variables.
Suppose now that for a group 6 of linear substitutions in the variables
an Hermitian form f or
WY, ap YoY =~ “rare + YU
of vanishing determinant is invariant. Choose new variables of which
Comptes Rendus, Vol. 123, pp. 168—171 (1896).
Mathematische Annalen, Vol. 50, pp. 213—219 (1898).
2
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 373
Vas Ss, Y, are the first s; and in these variables, let the substitutions
of the group be
Jn
yi — Z Gi Mj, (i=1, 2, ..., m)
SE ME MEM
where N is the order of the group, and the different operations correspond
to different values of the suffix 4.
For any substitution of the group f becomes
2 (= ant) (= Aij Yi):
The coefficient of y,y, in this is
Z Qj aj,
and if / s, this is zero. Hence
Ln = o,
if
d 8:
Every operation of the group therefore transforms y, , y,. ..., y, among
themselves. If then a group of linear substitutions in » variables, of finite
order, has an invariant form of zero determinant, the group is reducible.
Suppose now that the operations of a group @ of finite order in
r-- s variables are of the form
Li, = DC TU (u=1,2,...,r)
v=1
ver w=s
ee = X Bug. == 2 ra Lt) (u=1,2,...,8)
i= 2
so that the symbols &,,%,,..., v, are transformed among themselves by
every operation of the group. The equations
,
Trru X & anten: (u21,2,...,4)
LL
314 W. Burnside.
eonstitute a group of finite order, with which the given group is iso-
morphie; as also do the equations
v—r
,
T, = li Auok T,. (u=1,2,..,r)
Suppose further that both these groups are irreducible; and that the latter
has been so transformed, if necessary, that
0,0, +, +... te
is an invariant Hermitian form for it; the same transformation of the
first r æ's being carried out also in the last s equations of @.
Let now À
fetes a; %;%,
be an invariant positive Hermitian form, of non-vanishing determinant,
of G. If a and f are arbitrary constants, each of the set of forms
af + ff’
is invariant for @. If D is tbe determinant of f, the determinant of
af + Bf' is
D
a" D + a + nn Teo
9 aD
9a,
Or
Fes
Now ES is the determinant of the form that results from f on making
Gi
x, zero. This is a positive form of non-vanishing determinant in the
remaining n— 1 symbols and their conjugates, and its determinant therefore
is a positive (non-zero) number. Hence the coefficient of a" 'f in the
determinant of af+ ff’ is different from zero, and therefore the determinant
must vanish, when f is suitably chosen, for some finite value of a.
It follows that f' is not the only Hermitian form of vanishing de-
terminant which is invariant for @; or in order words, the set of symbols
BR ec
among themselves by every operation of the group. By hypothesis the
x, is not the only set, less than r + s, which are transformed
substitutions on the first 7 x's form an irreducible group, and therefore
the other set of symbols which are transformed among themselves cannot
be functions of the first r z's alone. Let
i=r+s
y,— à bm,
$21
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 375
be one symbol of the set. Since by hypothesis the equations
Trru = Z Tuer Tre (u=m1,2,...,3)
"m
constitute an irreducible group, the functions that arise from y, by the
substitutions of @, when considered as functions of the last s z's alone,
must be s linearly independant functions. If, on the other hand, more
than s linearly independent functions of all the z's so arise, the last s
x's could be eliminated among them, and a linear function of the first r
z's expressed in terms of the y’s. Since the substitutions on the first 7
x's form an irreducible group, this would mean that the set of y’s contained
r + s independent functions, which is not the case. Hence just s linearly
independent functions
Vy Yar +++, Us
arise from y, by the substitutions of the group; and this set of func-
tions are transformed among themselves by every operation of the group.
Moreover the last s z's can be expressed in terms of the y's and the
first r x's.
By a suitable choice of new variables for the last s z's, the equa-
tions of G can therefore be given a form in which the variables are
divided into two sets, of r and s, those of each set being transformed
among themselves by the group.
Let G now be any group of linear substitutions, of finite order, in
n variables. If @ is reducible it must be possible to find a set of n° (<n)
linear functions of the variables which are transformed among themselves
by every operation of @. If the group in the » variables is reducible
the process may be repeated. At last a set of, say m,, linear functions
of the original variables must be arrived at such that the group in these
variables is irreducible. Take these », functions for the first », of a set
of new variables. ‘Then every operation of the group has the form
von,
,
T, == Z Œuvx Le; (u—1,2,..., My)
v=
eon "w-n—mn,
"4 = / »n
Un tu D Z Bu EISE Y Turk Un, +r - (w= 1,2, ...,n—m)
t= w
The last n—n, equations still define a group of finite order G’, iso-
316 W. Burnside.
., T7, are made zero. If this
group is reducible, a set of », linear functions of z,,,, 4,4, ..., 2, may
be found such that they are transformed among themselves by every
operation. of G', while the group of substitutions in these », variables is
irreducible. If these linear functions are represented by
morphic with G, when in them z,,z,,.
915955 ves Ym
and are taken for new variables, the substitutions of G may be written
in the form
v—n
X, = 2. Ge Uy y (121,2, ..., m)
v=1
v=n v=n,
,
inm 2 Buvk T, ar » Tuvk Yv> (u=1,2, ..., ig)
w-n-—n,—n.,
9, tng bu 2 f(x, y) AE 2 Ovor TINTE (u—1,2, ...,n—n,—n5)
where f(x,y) represents a linear function of z,, z,, ..., $,,, 9,4 5 Ya» +, Ym:
Here again the last » — n, —n, equations still define a group of finite
order G", isomorphic with G, when in them 2,,2;,..., 9,,, Vv, Yas +» Yn,
are made zero. If G" is reducible the same process may be repeated,
till an irreducible group is arrived at for the group that remains when
all preceding sets of variables are made zero. Let the third set of variables
thus introduced be denoted by
&15 £9 5 «5 Zn,
and so on till all the variables are accounted for.
Consider now the group that has been called G', so far as it affects
the y's and the zs. (This is equivalent to supposing that the variables
are divided by the above process into three sets, but it will be seen that
the argument will apply equally well whatever the number of sets.) By the
result of the previous paragraph the z's may be replaced by linear functions
of themselves and the y's, so that the equations of G' have the form
van,
,
Yu = Y Lurk Yes (u21,2,..., My)
ve
von
El UT ie
ho Y Over So: (u 51,2, 00.5 3)
t
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 377
With the as, ys and C's as variables the equations of G take the form
von,
n! pe m
T, u Y Quek T v)
v
v-n von,
, ^
Um = l [m T L] T Z Tuvk Ye, (u51,2,..., 93)
(= v 3
von, vn,
EE = Y o
€ Z Turk T. sr Z Ovvk Sn* (u21,2, ..., n3)
v= Te
A second precisely similar application of the result of the previous para-
graph, enables us to replace the y’s by n, linear functions of themselves
and the z's, and the fs by n, linear functions of themselves and the z's,
so that with these new variables, the variables of each set are transformed
among themselves by every operation of the group. Hence:
Theorem. If a group of homogeneous linear substitutions, of finite
order, is reducible, new variables may be chosen so that (1) the variables
fall into sets, those. of each set being transformed among themselves by
every operation of the group, while (11) the group of linear substitutions
in each separate set is irreducible.
2. If a group of linear substitutions of finite order has two distinct
invariant Hermitian forms f and f' then every form of the set af + ff’
is invariant. Now a and jf may be chosen so that the determinant of
af + Bf' is zero without the form being identically zero; and the group is
then, as shewn in S 1, reducible. An irreducible group has therefore only
one invariant Hermitian form.
Suppose now that when a group @ has been completely reduced,
the two sets of variables
ui > 8),
33595 es Us,
are transformed, each among themselves, irreducibly. Let f be an invariant
Hermitian form in these ++ s variables of non-vanishing determinant.
When in f we make y, =y,=...=y,=0, f must reduce to a Her-
mitian form f, in the z's, invariant for the transformation of the z's; and
Acta mathematica. 28. Imprimé le 23 avril 1904 48
378 W. Burnside.
therefore of non-vanishing determinant in the 7 variables and their con-
jugates. Hence f may be expressed in the form
EE +66+... +6647",
where
&— X; Y;
X,, X,,..., X, are r linearly independent functions of the z's; Y,,
Y,,..., Y, are r linear functions of the y's; and f’ is a form in the y's
alone, of non-vanishing determinant as regards them. Since the y's are
transformed among themselves by the group, there must be a Hermitian
form f" in the y’s alone which is invariant. Hence
a(& & 35 m == oun Ste £,&) ui af” ar BF”
is invariant for the group. Now, since the determinant of f", regarded as
a form in the y's alone, is not zero, a non-zero value of « may be found
so that the determinant of af’ + f", regarded as a form in the y's alone,
and therefore of af + ff", regarded as a forme in the z's and y,
vanishes. For this value af' 4- Bf" must vanish identically; since &,, &,, ..., £,
are linearly independent as regards the x's, while the y’s are transformed
irreducibly among themselves. Hence &,, £,, ..., £, are transformed among
E
themselves by every operation of the group. It follows that
r
CONT ee
and
undergo, each set among themselves, the same substitution for every opera-
tion of the group. If r<s, this is impossible since the group in the
y's is irreducible. If r — s, it must be possible to transform the group
of the y’s, so that for each operation of the group the z's and y's
undergo the same substitution.
The form f can therefore only have terms containing the product
of an z by a y, when the number of z's and y’s are equal, while the
group in one set can be so transformed that the substitutions in the two
sets, corresponding to each operation of the group, are identical.
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order.
319
Suppose next that in the completely reduced form of 6G, there are
just s sets of r variables each
Dia le cc LET
such that (1) the variables of each set are transformed irreducibly among
themselves, and (m) the group in each set can be so transformed that the
substitution on its variables, corresponding to each operation of (, is ident-
ical with the corresponding substitution on the variables of the first set.
Let these transformations be carried ont, and further transform all
‘the sets, if necessary, so that for each the invariant Hermitian form is
Sama À v3X5--...-- Vip Vp
When thus transformed the operations of the group will give for each
set the substitutions
2
Lip — D Apa Lig) (p=1,2,
eee ND.
Let
f= Ta, Vip T.
^f)
be an invariant form for the group. On transformation by any operation
of the group f becomes
u=r ver
i = 24084 Z Souk Liu lil Ark T .
Hence
Qin, jv = > ip, jq ouk Dove
Dn
for each k. These relations express that
ry Qin, je T, T.
u,v
is an invariant Hermitian form for the group
q-r
,
t= Z ange Ta. (p=1,2,.
=
wf)
380 W. Burnside.
But, by supposition, the only invariant form for this group is
DID ETAT up este pL TEE
Hence
d,j =O, if pq
and
Ü ip, jp = Uis, jas
for all suffixes p and q.
If then
Qin jp = Lj;
the most general invariant Hermitian form in the rs variables is
De Tea
ip ud MP,
This form contains just s* arbitrary coefficients; it is in fact a linear
combination of the s? forms
Yr. Z; à are es
$ ip “ip G 3)
2 (n, Ty + Vip Bp); | i,j = 1,2,...,8
Y. — 1 (Lip $5, — Lip Typ), | i+)
Combining the last two results, the number of linearly independant in-
variant Hermitian forms which a group possesses is given by the following.
statement.
Theorem. If, when a group of finite order has been completely
reduced, the variables are divided into », sets of », each, v, sets of m,
ach, ... such that the groups transforming each of the »; sets of m,
variables are equivalent to each other, and are distinet from those trans-
forming each of the v», sets of », variables (7 + 7), then the number of
linearly independent invariant Hermitian forms for the group is
„+v+..+v-+....
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 381
3. The nature of the complete reduction of a group 6, of finite
order .N, when represented as a group of regular permutations of N
symbols
Lot
will next be investigated.
Suppose that when the reduction has been completely effected, the
variables fall into », sets of », each, v, sets of n, each, ..., »,, sets of n,
1 2
each, such that (1) the groups transforming each of the v, sets of m,
are equivalent to each other, while (n), if y + ; the group of substitutions
of one of the v, sets is distinct from that of one of the », sets. The
irreducible substitution group in any one of the sets will be spoken of
as an irreducible component of G; and the condition (11) of the preceding
sentence will be expressed by saying that the irreducible component given
by one of the »,; sets is distinct from that given by one of the y», sets.
The number of distinct irreducible components of G, when represented as
a regular permutation group in N symbols is then denoted by m.
The only linear function of the x’s which is invariant for every
operation of @ is their sum. This necessarily occurs as one of the sets
of variables transformed among themselves in the completely reduced form.
Henee we may and shall take
the corresponding reduced variable being the: sum of the z's. Further
since the z's can be expressed in terms of the new variables
When z, is expressed in terms of the new variables whieh effect the
complete reduction of G, it will, in respect of the » sets of » each
Tips Vig +++) Vin
WR vinci M)
)
which all undergo the same substitutions, contaim the terms
tv
PM (az. + az. "ouest ay Lin)
i-1
382 W. Burnside,
If » is greater than n, not more than x of the linear functions
ax, + az, +... + az,
t= I ) 2; =: RD)
can be linearly independent; and therefore the terms in question can be
expressed as the sum of not more than » linear functions of the form
a En + a£, S EB en
where
But for each à,
L4 =
Si» Si2y +++ Sin
undergo the same substitution as
Vi Vigy +, Vins
Hence the reduced variables may be chosen so that of the v» sets, the
n sets of £s form a part. When so chosen, the remaining » — » sets do
not appear at all in #,; and therefore do not appear at all in the ex-
A
pressions of any of the original variables. But this is impossible since the
N original variables, by supposition independent, would then be expressed
in terms of N — »(v — ») reduced variables. Hence no v can be greater
than the corresponding n.
The invariant Hermitian forms of G are next to be considered. Their
number is N. In fact every invariant Hermitian form for @ will arise
on carrying out the permutations of @ in
i
iN n
Z ax, aT;,
t=1 1
ve
where the a's are arbitrary coefficients and summing the resulting ex-
pressions. There can therefore be no forms linearly independent of those
that arise from
2,9 , 2,2; + 9%, §—1(%,X;,— Lit)
zx 2, 35:05, IN)
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 383
as leading terms. If @ contains a permutation which changes x, into
a, and x, into z,, the form that arises from 2,x, + 2,2, is distinct from
all the rest, while that which arises from \—1(#,2;— 7,7;) is identically
zero. If the permutation of @, which changes x, into z,, changes x, into
%,, then 3%, +22, and /—1(#,%,—4,x,) give rise to the same pair of
forms as 2,2%, +28, and y— r(z,z, — 2,%,). The total number of linearly
independant Hermitian forms for G is therefore N. Now by considering
the completely reduced form of @, it has been shown in § 2, that this
iem
number is 22}.
i=l
)
Hence
ti=m
Lvi— N;
i=1
and combining this with
=m
Zn, = N,
i=1
and
it follows that
for each 7. Hence:
Theorem. In the completely reduced form of a regular permutation
group, the number of times that each distinct irreducible component of the
group occurs is equal to the number of variables which it transforms
among themselves.
4. Any linear substitution on the original variables which is per-
mutable with every operation of the regular permutation group G must,
when expressed in terms of thereduced variables, transform among them-
selves for each i, the nj variables contained in the n, sets of n, each. This
is the consequence of the groups in the different sets being »distinct».
Suppose now that it were possible to form » independent linear functions
of
384 W. Burnside.
such that the symbols in these two lines undergo identical substitutions
for each operation of @. Then
— — - ? I
Lis = &, Vig = Sq re foo vs Lin 17 Wy
would be permutable with every operation of the group of linear substi-
tution in
Ti ) T9 A J aod OO In:
Since this group is irredueible there can be no substitution permutable
with every one of its substitutions except
, = , — a , >. =
% = AT, Vig = Qva, ey Lin = €.
Hence the only linear functions of the »^ variables, of which the set
considered is one set of x, which undergo for every operation of @, the
same substitution as
Pas das as eo ea
are those given by
Yan , Yam, OS) Yam.
A substitution which is permutable with every operation of G must therefore,
so far as it affects these 5^" variables, be of the form
MTM
Now it is well known that there is a group G'
permutations in the N symbols
, of order N, of regular
m yb vt, S
which is simply isomorphic with 6G, while every one of its operations is
permutable with every operation of 6. Combining this fact with the
previously determined form of any limear substitution which is permutable
with every operation of G, it follows that for the variables in the scheme,
Du, Ty, » Tiny
V Mada By Aan
Ti , Tro , , Cun:
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 385
(1) every operation of @ gives the same transformation of the set of
variables in each line; (11) every operation of G’ gives the same transforma-
tion of the set of variables in each column, and (ri) the group of transforma-
tions of the variables in each line corresponding to the operations of @ and
of the variables in each column corresponding to 6" are both irreducible.
From the last result it is an immediate corollary that for the group (6, G^]
the n° variables undergo an irreducible group of linear substitutions.
The group of permutations (6 , @’} therefore, when completely reduced,
N,
°) m
transforms the N variables among themselves in m sets of nj, nm, ..
each such that the group in each separate set is irreducible and distinct
from all the others. Hence there are just m linearly independent invariant
Hermitian forms for (G , G’}.
The number of such forms can again be determined directly. Suppose
that when {G, G') is represented as a permutation group in the N original
variables, the subgroup which leaves x, unchanged permutes 7,,2,,..., T,
jt
transitively among themselves. Then of the N invariant Hermitian forms
of G, those containing the terms z,2;, r7, , ..., T, 7, will be permuted among
themselves by {@,@’}, and their sum only will be invariant for the
latter group. The total number of independent invariant forms for (6, G^)
is therefore equal to the number of transitive sets in which the subgroup
of (G, G'), which leaves x, unchanged, permutes the symbols; including
of course x, as one of the sets. This number is known to be equal to
the number of distinct sets of conjugate operations contained in G. Hence:
Theorem. When a group G of finite order N, containing m distinct
conjugate sets of operations, and represented as a regular permutation group
in .N symbols is completely reduced, the number of its distinct irreducible
components is m.
5. If there are one or more linear relations among the variables
Meses us
Gr, %
"n
affected by a group of linear homogeneous substitutions, the group must
be reducible. Suppose in fact that the variables are conneeted by just /
independent linear relations
La x; = o,
(CIO ome Nub):
)
! Theory of groups of finite order, p. 146. (Cambridge 1897.)
Acta mathematica. 28. Imprimé le 25 avril 1904, 49
386 W. Burnside.
Then if
Di TU Se, p
are the transformed variables for any operation of the group
Laux =o
is true, for each k, in virtue of the preceding relations. Hence if new
variables are chosen of which the first ¢ are defined by
À
LA,
DIN Th
the variables
31995 |
are transformed among themselves by every operation of the group. For
an irreducible group of linear homogeneous substitutions the variables are
therefore necessarily independent; the only non-independent set which
undergo formally the operations of the group being a set of zeroes.
Suppose now that
j=n
,
i lI itn; y (91,2, ..., 0)
(ace ant: + pa
)
is any representation of a group 6 of finite order N as a group of linear
substitutions. Let y, be any arbitrarily chosen linear function of the 2’s,
1
and let
1:955 YN
be the N linear functions that arise from y, by the substitutions of the
group. When the z's undergo the substitutions of the group, the N y’s
undergo the permutations of the regular permutation-group in N symbols
which is always one form of representation of G. The y’s may or may
not be linearly independent; in particular cases a number of them, when
regarded as functions of the x's
, may be actually identical.
Form now from the N y’s, the »; sets of n, symbols each (i— t, 2, ..., 7)
in terms of which the regular form of @ is completely reduced. Each
set of 5»; are transformed irreducibly among themselves by every operation
On the reduction of a group of homogeneous linear substitutions of finite order. 387
of G. Hence when these variables are expressed in terms of the original
x's, those given by any one set must either be linearly independent, or
must all identieally vanish. Further for any two sets which do not iden-
tically vanish, the variables of each set must either be independent of
those of the other, or those of each set must be expressible linearly in
terms of those of the other. The latter alternative is possible only when
the irreducible components corresponding to the two sets are not distinct.
In this way a certain number of linearly independent sets of linear
functions of the original z's are formed such that each set are transformed
linearly and irreducibly among themselves, the corresponding group being
one that arises in the complete reduction of the regular form of G. If
the original z's can be expressed in terms of the N y's, the complete
reduction is thus arrived at. If not, let z, be a linear function of the
r's which is linearly independent of the y's. Then if
215; Bay ce. Eu
are the linear functions of the z's that arise from z, by the operations of
the group, the z’s may be dealt with as the y’s have been; and a further
number of sets of linear functions of the z's obtained each of which are
transformed irreducibly among themselves, the corresponding groups being
again those that arise from the reduction of the regular form of @. This
process may be continued till the z's have been replaced by an equal
number of reduced variables linearly independent of each other. Hence:
Theorem. The only distinct irreducible groups of linear substitutions
with which an abstract group G, of finite order, is simply or multiply
isomorphie are the »» distinet irreducible components that arise from the
complete reduction of the regular form of 6G.
Dec. 6, 1902.
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mément différentiables. Propriétés générales des fonctions uniformément diffé-
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Ulrico Hoepli.
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Berti, E., Opere matematiche. Pubbl. per cura della R. Accademia des
Linsen Lu.
Elenco dei lavori scientifici di E. Betti. Sopra la determinazione analitica
dell' efflusso dei liquidi per una piccolissima apertura. Sopra la risolubilità per
radicali delle equazioni algebriche irriduttibili di grado primo. Un teorema sulle
risolventi delle equazioni risolubili per radicali. Estratto di una lettera al prof.
B. Tortolini. Sulla risoluzione delle equazioni algebriche. Sopra l'abassamento
delle equazioni modulari delle funzioni ellittiche. Un teorema sulle risoluzione
analitica delle equazioni algebriche. Sopra la teoria delle sostituzioni. Estratto
di una lettera al prof. J. J. Sylvester. Sopra la più generale funzione algebrica che
pud soddisfare una equazione il grado della quale & potenza di un numero primo.
Sopra le forme omogenee a due indeterminate. Sopra le serie doppie ricorrenti.
Sur les fonctions symétriques des racines des équations. Sopra l'equazioni al-
gebriche con più incognite, Sopra i covarianti delle forme binarie. Sopra le
funzioni simmetriche delle soluzioni comuni a piü equazioni algebriche. Sopra le
funzioni simmetriche delle radici di una equazione. Sopra i combinanti. Sur la
résolution par radicaux des équations dont le degré est une puissance d’un nombre
premier. Estratto di una lettera al sig. C. Hermite. Fondamenti di una teoria
generale delle funzioni di una variabile complessa. La teoria delle funzioni
ellittiche. Indice alfabetico dei nomi ricordati in questo volume. — XI + 412 p.
4. L. 25—.
Massı, G. A., Prineipii di stereodinamica. Corso sulla formazione, l'inter-
pretazione e l'integrazione delle equazioni del movimento dei solidi.
Il teorema di d' Alembert. Il teorema di Hamilton. Il teorema di Jacobi.
XI + 262 p. 8. L. 7,50.
m
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MancornowGo, R., Teoria matematica dello equilibrio dei corpi elastici.
Le funzioni armoniche e poliarmoniche ed i teoremi di Green. Le funzioni
potenziali newtoniane. Prineipii della meccanica dei corpi continui. Le equazioni
dell’ equilibrio e del moto dei corpi elastici isotropi. Le equazioni dell’ elasticità
per i corpi anisotropi. Teoremi generali sulle equazioni dell’ equilibrio dei corpi
isotropi. Metodo d' integrazione del Betti. Il problema di Boussinesq e Cerruti.
La deformazione di una sfera isotropa. Il problema di Saint-Venant sulla de-
formazione delle aste cilindriche. Deformazione delle piastre cilindriche o pro-
blema complementare di Saint-Venant. I problemi del prof. Voigt e la determi-
nazione delle costanti elastiche dei cristalli. — Manuali Hoepli 348—349. XIV
+ 366 p. 16. L. 3—.
Pascar, E., I gruppi continui di trasformazioni. (Parte generale della
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Teoria generale dei gruppi di trasformazioni. Teoria generale dell’ invari-
antività rispetto ad un gruppo di trasformazioni. Proprietà relative alla costitu-
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PascAL, E., Lezioni di calcolo infinitesimale. Ed. 2. P. 2.
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totali di primo ordine e di primo grado. Geometria integrale. Equazioni diffe-
renziali. — Manuali Hoepli 180—181. "VIII + 329 p. 16. L. 3—.
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N. W. Bugajew und P. A. Nekrassow in Zusammenhang mit meinen
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Abhandlungen III. Mit Bildniss des Verfassers. VIII + 362 p. 4.
In Orig.-Halbfranzband M. 27—. Auf Schreibpapier. Broschirt. M.
32—. Auf Büttenpapier. Broschirt. M. 41—. (Exemplare auf Schretb-
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und Büttenpapier werden nur bei Subscription auf alle erscheinenden
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