£r:
■ ■ - m -i?., --jmm
**V'-* **>
■ •• iV-S 2 - -. i'Sk ! •-•■‘••i
■ -.Iv' 4^ v^. " "'••••••
> v- >K ijSfc •' ■
C : '■^.«:WS5P?:'i •,«•'■* *
•■•••• :•••*?*•' ;>•• ••.••<
ii $%*$$&£'■
■V.V=- : V '*'■
p 'J'
'i v : ■.
• - 3 '; “.‘4 • / •
’ ■ I ' ''
: ;V :;/v v'-.V .'V'
.
'• f' ^ ■>
t.
•if J '•
' . ...*■«■*<»$
(.W rSf^ /f^b- "'M
3 *
feMiN
';%; I ■ ?a& - ; <*-
■ a ■•-•• '- '
*v?
. -■•' ' V '
/fgr H S.:
««Sgis
; -• % v ..-.
^««§r¥sa^pit;v
S-
The Dibner Library
of the History of
Science and Technology
SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES
»
t
.
?
t
■
4
.
■
)
/
/
f
V «
\ '
. \
' *
)
j:
\
.
1
/
I
,
. v
2
t
'
\
\
I
t
/
z'
}i:
•V
■k
' T ' ■ ' \
i
V, J
; i ■
, v >>
: ' i.
ALBERTVS
DVRERVS N V-
REMBERGENSIS PICTOR HVIVS
itatis celeberrimus, verfus e Germanica lingua in Lati¬
nam , Pidoribus, Fabris aerariis ac lignariis, Lapicidis,
Statuariis,& vniuerfis demum qui circino,gnomone, li *
bella,aut alioquicerta menfura opera fua examinant,
prope neceflarius:adeo exade |Quatuor his fuaru
Inftitutionum Geometricarum libris,lineas,fu-
perficies $£ folida corpora tradauit,ad-
hibitis defignationibus ad eam
rem accommoda^
tiffimis.
Denuo ad fcripti exemplaris fidem omnia diligenter
recognita,emendatius iam in lucem exeunt.
P ARISIIS
Ex officina Chriftiani Wecheli }
fub fcuto Bafilienfi®
M.D.XXXV, “
L B E R T V S DVRER VS B I L I BA L D O
BircKeymerho Domino St amico fuo prarcipuo S.D*
N Germania noftra, Bilibalde excelletiflime,adhibiti funt hadenus
arti pi&urg adolefcentes felicis ingenii multi,qui fine omni artisfun-
dameto,led quotidiana folu exercitatione inftituti, in ignoratia fua,
velut arbor imputata adoleuerunt,quanquam aliqui ipforum ex lon¬
go vfu manum affecuti funt exercitatam, fic vt opera fua prompte fed inconfi-
derate,& pro fuo tantum arbitrio perfecerint. Quum vero magni St ingenioli
artifices,eorum tam inepta opera perfpexerunt, hon immerito talium hominu
rifemnt cgcitatemrquu fanumiudicium nihil «que ac piHufa, nullo artificio,
-etfi magna fedulitate,ac diligentia confe<5fa,abhorreat.Qudd vero huiufmodi
piciofes fuumerrorem non deprghenderin tholum in caufa fuit f <g geometriam
non didicerunt, fine qua nemo ahfoiutusartifex fieri aut effe potdhquod tame
praceptoribus ipforum imputandum eft, qui hanc artem iplimet ignorarunt.
Sed quum ipfa fit verum totius graphices fundamentum,vifum eft,ftudiofis ty
ronibusrudimenta qu«dam confcribere, quo ipfis anfam praebeam circino St
regula vtendi,& inde veritatem ante oculos contemplandi,vt non folum auidi
ad artes fiant, fed etiam ad maiorem St verum earum intelle&um peruemre
queant.Iametfi noftro tempore,apud nos ars pi&urg a quibufdam male audiat,
qndd fomite ad idolatria miniftrare dicatur, homo tamen Ghriftianus per pi-
duras,aut effigies,non magisad fuperftitionem, quam vir bonus gladio acein-
dtus ad latrocinium allicitur. Effet certe infulfus homo,qui piduras,ligoa,aut
lapides adorare vellet.Qiiare pidura gdificat magis,6£ commodat quam offici
at reichriftian«,modo honefte,artificiofe St bene fit fa&a.Quo autem honore
ac dignitatehgc ars apud Gracos St Romanos antiquitus habita fit, veteres li¬
bri fatis reflantur: quanquam poftea penitus deperdita St vitra mille annos la¬
tuerit,ac nunc tandem ante ducentos annos,per aliquot Italos rurfum in lucem
prodierit.Na facile omnino artes amittuntur ac pereut-.difficulter vero ac logo
tempore vix recuperantur. Quo circa fpero neminem fapientem hunc meum
laborem calumniaturum, quum ex bono animo St in gratiam omniu ingenu¬
as artes amantiu mihi fit fufceptus-.nec foliimpi&oribus,fed St aurifabns 5 (la-
tuariis,lapicidis,fabris lignariis, St breuiter omnibus q circino,tegula,8£ men-
fura vtuntutjVtilis fit futurus. Neque vero cogitur quifquam in his meis prae¬
ceptionibus perperam bonas horas collocare,quanq haud ignore quicikg in ip¬
fis exercitatus fuerit,non tantum artis fug principia,fed quotidiana exercitati
one exaduruinde iudicinm percipiet, altiora inuefttgabit,& longe plura inue
niet,quam ego commonftraui,Quum vero,vir eximie,luce clarius fit,te omniu
bonarum artium quafi afylurn quoddam effe, tibi ex lingulati quodam erga te
amore librum hunc dicare placuit, non quod tibi magni quidpiatn praeftitiffe
videri cupiam: fed quod inde propenfum meum erga te animum cognofcere
queas: quum^ mea opera tibi minus gratificari poflim, animo fakem parato
beneficia,qugin mcconfers,rependam .Vale.
- * ■ a ii
i
i
D. ER ASMI ROTERODAMI IVDICI-
umdeALBERTO DVREROcxdialogoilIius,Dere
dalatini Gracitj Termonis pronunciatione infcripto,
.. excerptum.
PERSONAE
VRSVS ET LEO.
LEO,
E feribendo videor mihi propemodum Tatisinftrudhis.V R 5. Vn5
illud addam,hac ita tradeda pueris, vt Te ludere putent,non ftudere.
Quidam enim hac tanta docent acerbitate ,vt pueri prius difeant
odifleliteras,quam nolle.Adhaciuuabit ad pi&urainterim nonni¬
hil exerceri puerum :ad eam artem plerique fua Tponte feruntur, dum gaudent
& exprimere quod agnoTcunt,& agnoTcere quod ab aliis expreflum eft. Vt aute
ui muficcs periti iunt,redius pronunciant etiam non cantantes,ita qui ducea
is in omnem formam lineis digitos habet exercitatos, mollius ac felicius pm«
getliteras.SiquidTuperhisreqrasfubtiliusexadius^extatliber A L B E R-
T 1 D V R E R 1,Germanice quidem,federuditiffimeTcriptuSjin quo pri*
fcos huius artis heroas imitatus, nominatim Pamphilu natione Macedonem
quuommu literarum,tum Geometrices 8C Arithmeticesegregieperitum (Na
fine hisdifciplinis artem abfoluipoflenegabat) ad hac Apellem qui&ipfe ad
Perfeum difcipulum de arte Tua conTcripiit,multa praclare tradit de myfteriu
graphices,ex Mathematicorum petita difciplinis: & in his non pauca de figu-
riselementorum ac du&ibus proportione^literarum. L E O . Duteri nomen
iam olim noui, inter pingendi artifices prima celebritatis. Quidam appellant
horum temporu A pellem. V RS.Equidem arbitror fi nunc viueret A pelles, vt
erat ingenuus & candidus,Albertonoftroceflurumhuius palma gloriam.L.
Qui pcteftctedifV R S . Fateor Apellem fuifleeius artisprincipe,cui nihil ob
iici potuit a exteris artificibus,nifi quod neTciret manum tollere de tabula.Spe-
ciofa reprahenfio. At Apelles coloribus,licet paucioribus,minus^ ambitiofis,
tamen coloribus adiuuabatnr.Durerus quanqua & alias admirandusjinmono-
chromatisjhoc eft,nigris lineis,quid non exprimit*’vmbras,lumen, fpledorem*
emmentias,depreffione$:ad hac, ex litu rei vnius non vnam ipeciem fefe ocu¬
lis lhtuentium offeretem.Obferuatexadle fymmetrias & harmonias. Quin ille
pingit & qua?pingi non pofTunt, ignem,radios, tonitrua,fulgetra,fulgura, vel
nebulas,vt aiunt,in pariete, TenTus,affe<ftus omnes,deniqj totum hominisant-
mum in habitu corporis relucentem,ac pene vocem ipTam. Hac fcheiffimts li¬
neis iiTquenigrisficponit ob oculos, vt fi colorem illinas, iuiuriam facias operi
An hoc mirabiIius,abTquecolorumIenociniopraftare,quod Apellesprafti-
tit colorum prafidioJX EO.Non arbitrabar efictatum eruditionisfnartepin
gendi,que nunc vix alit artificem. V R S , Non rouum hoc eft, infignesartifi-
ces tenui re efle. At olim inter artes liberales numerabatur graphice, nec hanc
difeere licuit niti claris,mox honcftis,caterum vetitum ne Teruitiis traderetur*
Principum eft ignominia,non artis/i caret Tuisprxmiis.&c.
VIRO BONARVM ARTIVM CVLTV ET
omni virtutum genere ornato,non tantum matorum imaginibus claro,
ALMARICO BOVCHARDO Santonum prxfidif
FRANCISCI VALESII Gal harum regis chri-
ftianiflimi a libellis &c*Chriftianus Wechelus S.P.D. •
Abet quidem natura rerum,vir prxftantiflime, plurima qu^ adniita
tionem fui apud homines mereantur,verum mihi aliquando condi¬
tionem eius contemplanti fuccurrit ante alia mirari caufas vidfR.tfi-
dinis tam varix in rebus ac ingeniis mortaliu m^fertilitate fterilttare,
pace bello,humanitate immanitate,reliquis,nunc apud hor,modo apud ilBsTe
dem collocantibus 8£ ordine quodam mira vniuerfum orbeiir peruadeiltifeus,
Vt certa quadam lege quemadmodum lucis ac tenebrarum ita bonorum quocj
ac malorum omnium omnes ex xquo participesfacereinftitdtam;fibtiiiitdWut,
more communis ac magnx omnium matris,de cuius erga omnes xquaSihfite
nemo nili immerito conqueri poffit.Neque vero veteres illi ccelorum aftroruq*
rimatores, rerum fenfui expolitarum du<flu vim vniuerfi perferutantes fine fin
guiari dei numine fiderum lationibusacradiationibus eunda obnoxia cen
fuerunt,nc diis quidem fuis aut Iouefaltem illo Optimo Maximo a lege fatali
Parcarum^ flamine exemptis, quum digniorem aliam fubftantiam , cuius im
perio & imperferutabili voluntatifupenora cum inferioribus fubderentur,hu¬
mano intelle&u afiequi no valerent, admifll ad diuina quatenus pertingere po
tuit imbecillitas humana-.quorum opinio licet a noftrx religiomsaffertoribus
vt impiat Chrifti difcipulo indigna reficiatur, idem tamen iter cum Paulo
ad confilia diuina nitenti aut certe non ita diuerfum ingreffos dicas, ac cum
eodem exclamaturos nifi lux illa xterna llloru m mentibus nondum affulfiffet,
fed qux deinceps reflabant augufliora, magnitudine fua illoru modo ingenia
obruiflent. Vt autem fateamur nos certas illas leges fiue fiderum reuo!unonis %
§ O X J -~ —i * J 4
IJS^OVT* sytoytVtoffK&p 'ou $ H p.tr i$ a q <£!/VitoV \sip> ocAX ort roTq 5cv^cotto/§ tp r,“ rovrorup <xchvxrup
tsip ) euentus fane omnibus paulum modo attendentibus planus ac in prom-
ptu cft-Nam qu£ nationes multis iam fxculis ob immanem feritatem immun-
diciemqj nihil pene obtinere humani prxter effigiem ac formam creditx funt,
iis prxfertim qui fe vnos arcem 8t domicilium humanitatis tenere profitentur
ac ob id barbarorum illis nomen indiderunt, ita fua ftudia paucis annis in di¬
uerfum traducere coepere vt ditionum permutatio inter Barbariem Humanita
temqj interccffifle videatur,adeo iam paffim mundidei artibufque melioribus
incumbitur,non i Grxce latinecg ftudiofis tantum,quin &T ab artificibus medi¬
aque e plebe hominibus, qui vernacule verfa quxeunque pene fiue a Grxcis,fi-
ue latims feriptoribus Iiterismandatafunt,tanta diligentia excutiunt,vt iadu-
dum nonnulla veteribus no animaduerfa,neqj ea fane vulgaria,annotare ccepe
*int:ex quibus quum inter Germanos quenda Albertum Dureru miris laudi¬
bus
ALMARICO BOVCHARDO.
bus abhinc fere triennium non apud fuos tantum vehi audirem,ob graphices
geometricarumque rerum peritiam, neque deeffent qui vehemeter inflarent,vt
latine gaihceij vertendu curarem quicquid illius viri extaret r vifum eft ab his
rudimentisgeometricisexordiri,qu5E plurimos videbam admirari nommefru
&us,quetnomne genus artificibusex iis percipere promptum effet.Nunc quan
do fimilia fimiiibus libenter aggregantur,vt eft in prouerbio,eximio artifici pri
mx notae qua:reduserat patronus,in cuius tutela & beneuola confuetudine ac-
quiefceret,cui quum vel fuo iudicio fi vocem adere daretur,nullum tuo patro-'
cinio optatius cotingere queat,manu noftra emiflum tua: clietei^ tradidimus,
proxcnum futurum apud te fauoris erga me tui & beneuolentiae,indicemqj ex
quo iudicium facere poffis, num excitatam iamdudu de Porportione humana
teliquifij fuis fcriptis,quorum editionem adornamus,expe&ationem fuftinerc
pofut. Vale Pariliis o&auo idus Augufti.
ALBERTI DVRERI
PICTORIS PRAESTANTISS. INSTITVTIO-
num Geometricarum Liber Primus,qui eft de lineis.
E VCLIDES undccuncji dottijpmus confcripfitGeometria elementa , qu* fi quis rette intcUigit traditio^
tiibus meis non opus habet juieiuucnibus folum , CT.ijs quibus nano dius ejipraeceptor t xdit£ funt. "
Rimo quidem Geometriam docentem difcipulosinftituerede-
cet,quod fit commenfurationis fundamentu ,ex quo metimur,
& quomodo rem propofitam fiue nuper inuenta, fiue a pnede*
cefloribus monftratam, menfuraredebeant:tria igiturfuntdi-
menfionum genera: Vnum eft longitudo,fine latitudine^ pro-
funditate-.deinde longitudo,qua etiamlatitudinem habetiter-
tio longitudoqua: SC latitudinem & profunditatem habet. Harum quantitatu
omnium principiu & finis punda funtdedpundus eft res qua: neque latitudi-
ne,neq* longitudine, aut profunditate habet,quare eriaindiuifibihseft,8docu
non occupat. Poffumus tamen in animo noftro pundum locare qubcunq? vo-
luerimuSjaut imaginanipfum moueri furfum aut deorfum, vel in quamcunqj
parte placuerit,quo tamen ipfi corpore noftro peruenire non poffumus. Sed vt
iuuenes in praxi exercitatiores fiant proponam ipfis pundum in forma not£ ca
lanio depidae, & adferibam didionem,pundum,qua ipfum fignificatur.
Pundu
Quum vero pundu illud a primo fuo loco ad aliu trahitur,relinquit poft fe ve-
ftigiu quodda,quod linea vocatur:& hgc linea logitudo eft fine latitudine & g
funditate, &poteft protrahi quantu libuerit:hac linea hic reprarientabo tradu
redo & oblongo,calamo fado,cu nomine linea, Linea : j
vt inuifibilislinea tradu illo redo animo intelligatur. In hunc enim modum
internus intelledus fignificatur peropus externum. Quare omnia quacunque
in his libris deferibam , figuris etiam declarabo, vt qua: ego trado,iuuenes ante
oculos videant, quo redius capere ea & imaginari poffint. Iam notandum eft,
quod linea: variis modis feribi queunt, SC praxipue triplices funt linea: ex qui¬
bus multa fieri poliunt. Primo eft linea reda:deinde circumferentia,poftremo
linea quazdam tortuofa,qua: forte fortuna manu,aut de pundo in pundum tra
hitur ( vt artes qugdam docent) ex quo magna: diueffitates proueniunt . Has
lineas vt commodius intelligantur,hic fubfcripfi cum nominibus ipfarum.
Linea reda. Circumferentia. Linea tortuofa.
ALBERTI DVRERI
||Otadum eft,quod tres i\\x pradi&as lineae poffunt feribi pro arbitrio,
|aut breues aut longae. Et fi iocus & tempus permitterent,poflct linea
reda protrahi in perpetuum,nihil tamen obftat quin eam intclle&u
noftro producamus in infinitum. Ea etiam licet vti tribus modis,per
pendiculariter.tranfuerfe 8C oblique. Sed circuferentia licet vti integra vel par
tc ipfius,ncc poteft produci longius,quam a pundo vnde exire capit,donec ad
idcrurfus reuertatur:quod fi vitra protraheretur, incurreret priore circuitum:
hgc circumferetia poteft effe aut crafla,aut tenuis, quse fi refledatur furfum aut
deorfum,fit cx ea linea tortuofa quam poflumus infinitismodis variare, atque
cx ca conficere res mirabiles,in longum,latum,altum,& profundum.Et quem¬
admodum certum eft, multas res arduas abfolui poffe vna tantum linea,quod
quidem ii qui linearum proprietates non perpendunt, ignorant,atqj hic etiam
parum de eis tradetur,ita facile diiudicandu erit,quid duabus,tribus aut plu¬
ribus lineis fieri poffit-.praefertim cum tria illa linearum genera,cum fuis diffe-
rentiisconcurrant-.nammultaetiam lineaefunt, quae non nifi aliarum admini
culo fieri poffunt .Sciendum quoque eft,quod lineae parallelae funt,quae femper
equidiftanter currunt,fiuc ducatur direde,circulariter,aut tortuofe.Item lineae
qua: no aequidiftanter ducuntur, conucniunt tandem, & faciunt angulu acutu*
Quare dux lineae perpendiculares non erunt parallel^,eo quod protractg, ad ce
tru vniuerfi tande concurrant.Sic faciut omnes linc£,qug no parallclicc currut
aut enim cx vna parte coniuguntur,aut verfus alteram magis quoque aperiun
tur:vt prius dictum eft.Qiiod autem nos lineis perpendicularibus pro xquidi-
Itantibusvtimur, in caufaeft, quod ha: tam longe, ad centrum videlicet terras
currant, antequam coueniant-.quocirca propter intcrualli magnitudine diuer-
fitas nobis videtur infenfibilis. Atqui h^c linearum genera hic protraxi,
scquidiftatesrcdg.gqd. circulares. gqdift.tortuofa:. perpendiculares.
Vum intclligamus nuc quid linea: fint,3£in qbus differat,dica dein
ceps de earu 16gitudine,quasctiamlatitudinem habet, femper cum
ipfa linea currentem,fiue red:e,fiue curue linea ducatur. Ea igitur li
nea quae longitudinem & latitudinem habet,planum dicitur, cuius
etiam diuerfa fiunt genera, quemadmodu poftea dicctur.Poflemus planu ima
ginari,quod ex omni parte fine non haberet,at de illo hic n5 tra&abimus, fed
dehisfolum quxprincipiu & finem habent,& lineis circundantur,vt formam
aliquam
DSI
GEOMETRI AE
L I B. I.
aliquam recipiat,quorum genera multa funt,cxquibus pauca quazdam indica-
bo.Primum igiturfuperficies plana eft,cuius media ab extremis non fubfultat.
Deinde eftfuperficies globofa, in modum hemifph«rii. Tertio eft fuperficies
concaua,quemadmodum ahenum. Quarto eft fu perficies tuberofa, locis quibuf
dameleuata,reliquis dep refla .Sunt etiam fuperficies quemadmodum latus cir¬
culus, tortuofas ,diuerforum generum . Nam omnibushis rebus poflumus pro
vtilitate in opibus noftris vti, quod fi non fadu fuerit,!ruftra obtudimus caput.
Nunc primum defcribam fuperficiem planam, 8C quadratam in hunc modum,
Duco lineam tranfuerfam a b.eam moueo deorium tantum, quantum ipfa lon¬
ga eft,eritqj quadratum perfedum.Sed fuperficiem planam circuli fic facio: Sit
linea a b.cuius terminum a.relinquo immobilemib.vero alterum terminum cir
cumago,donec iterum redeat ad pundum , vndemoueri ccepit, SC defcribet li¬
gnum b.circumferentiam plani circularis,quodfecitlinea a b.& manebitpum
dum a.in medio,a quo diftantia ad circumferentiam vbiqj eft «qualis/Haec om
nia hic etiam protraxi.
1 Supficies fupficies fupficies fupficies fupficies fupficies
quadrata. plana circuli, globofa. cocaua. curua. tuberofa.
Vid longitudo 8C latitudo,hoc eft,fuperficies fit,iam didum eftmunc
de longitudine,latitudine,atq? profunditate, hoc eft, corporibus age-
mus,ex quibus,quopadoaliquafiant,docebimus.Primumigituracci
pe quadratum a.b.b.a.quod pauloante fecimus, 8C eleua illud redifli-
me tantum,quanta latitudo ipfius eft, fietcg cubus «quilaterus, & «quiangulus.
Poftea reuertere ad planam circuli fuperficiem prius defcriptam,in qua femidi-
ametrumb.a.protrahe indiredum per totum circulum vfqj ad circuferentia,
quam vbi attigerit,fac fignu c.SC erit b.a.c.diameter circuli, cuiusparte finiftra
nota pundo d.dextra veropundo e.Circa axem igitur b.c.immobilem, volua-
tur fuperficies b.e.c.d.a pundo d.vfij ad e.facietqj circumferentia b.e.c.d.glo-
bum abfolutiffmum,a cuius fupficie,ab omni parte «quale interuallu eft ad ce-
trum a .SC fic habes duo corpora folida,cubum fcilicet 8C globum . At inter om¬
nia corpora non eft perfediusgiobo.H^c duo corpora fic oculis fubiecL
A ii
i
A L B E R T I DVXEXI
Corpus quadratum,fiue Cubus. Globus,fiuc Sphgra.
2 .
A
/
A denus offendimus quid linea,fuperficies, 8C corpus fit, qu* omnia (i
ue parua,fiue maga (infarte menfurari pofluntmam meufura contin
git ea, qua; prope & longe funt.Nunc iterum incipiam lineas quafda
menfuratas ducere,qu;e in multis operibus vtiles erunt. Notum eft
quod vnalinea,variis modis protrada, diuerias formas repradentat: Primum
igitur circino defcribam lineam inuolutam in fuperficie plana (nam plano fre
quenter vtendum erit, fi ue lineas, fiue corpora defignarevelimus)eamfic pro
traho.Lineam duco perpendicularem,cuius terminus fuperior fit a.inferior ve
ro b.eam diuidotribus notis qu* fint c.d.e.in quatuor partes aquales ,& linea
d.e.feco etiam ad fignumf.in duoaqua fpacia, deinde fcribo ad line* latus fi-
niftrumliteramg.& ad dextrum literamh.Iam centro d,& interuallo d.a.ver-
fusfignumh. defcribo femicirculum a.h.b : iterum cetrof. interuallo vero f.c,
duco aiiu femicirculu verfusg.qui fit c.g.b.Poftea facio nota d.cetru.& ad qua
titatem d.c.verfus h.duco femicirculum c.e.Nunccetrof.fpacio verof.d.ver-
fus g.duco femicirculum a d. vfqjin e. Tandem pono vnum pedem circini fu-
per lineam a.bdn medio inter d.&f.& alterum in pundum d. fcnbo^vltimu
femicirculum di.inlatere,vbi eft h.At$ ficlineaiftaabfolutaerit, qu*quide
vtilis eft ad multa opera perficienda:quod vt melius intelligatur,prodhxi infra
ex pundis a. & c.binaslineas tranfuerfas,& inuicem parellelas,ab lpfa lifcea in-
tioluta verfus manum finiftram vt hic videri licet.
Linea inuoluta circino defcripta.
GEOMETRIAE
?
Vnc alia arte lineam fpito aut cocleae in modum innolutafti deferi-
bemus ,quo ad diuerfa opera erit vtilis,& procedentis loco vti ea pof
fumus,multaqj arcana ex eius dudu difeuntur.Principium ipfius fii
mitur a medio quodam pundo, circa quod reuolues longitudo eius*
extenditur in immenfu/paciu tamen inter reuolutiones femper manet gquale,
proter§ in prima*Hanc volutam fiuecocleo linea,fic facio:ego ponopudum a»
fup quod deferibo circuferentia tanto quatitatis,qtum cum linea futura txcut
rere lubet,eam circumferentiam diuidoper duodecim punda,in totidem intet
ualla £qualia.Poftea ex centro a.duc oli neam redam furfum, vfq? ad cirCumfe^
rentiam,cuius terminus fit b.atque ibidem fcribo* 2 .& ordinem pundoru
mero,verfus finiftram $.&c.quoufcg redeo ad u.Sed lineam redam a.b.
per viginti tria punda in 24 .partes aquales, 8C a figno a.fupputare incipio t.s.j *
&c.verfus b. Dei ude accipio regulam rectam,& tranffero in eam diuifiones prg
didoline^ a.b. quas etiam figno
numeris arithmeticis, & pono
terminum regulp.vbi numerus
incipit,fuper a. centrum circuli
& terminum b . pono fuper cir¬
cumferentiam ad numerum *. &
vbi fignum *.regul£ cadit,illic fa
cio etia notam t ,8C fic fixo a. ter¬
mino regulo fuper a. centro cir¬
cumago partem regulg b. ad om
nes diuifiones circumferet^, no¬
tando cafus diuifionum regulo,
indicabunt partitiones regulg
omnia puncta fpiralis lineo, per
quo duceda erit. Quare fi dilige-
ter obferuaueris numeru non po
teriserrare. Sed cum linea duas -
reuolutiones continuet,& circu¬
ferentia duodecim folum, regula
vero currens vigintitres habeat -
diuifiones: animaduerte ,vt re
gulo numerus ordine procedat:
nam numero circumferentio t.
correfpondebunt. 15. 2 , 14 . 3 , 15 * 4 *
15,5 ,17.6.18. 7 , Ip. 8 } 20. 9 . 21 10 22. II * ^
Hoc linea poteft multiplices cir¬
cuitiones facere.Quare qui his o
pus habet,multiplicet diuifiones
regulo,& punda circumferentia
relinquat intada*.Ia coueniet circfiferentia eu regula diuifa,8£ omnitusfuis mi
A iii ineris
s
ALBERTI DVRERI
meris,per qua: linea ad cocle£ fimiiitudinemduda eft, deponere, & finere eam
fotam, vt abfolute videri poffit.Quo pado igitur linea ad inftar cocleg protra¬
hi debeat,qu^rq* ipfius forma fit protrad^jinfra defcripfimus:& ad lineam ipfa
abfolutam d uxi verfus finiftram, binas lineas tranfuerfales& ^quidiftantes, fiu
periorem quidem contingentem pundum b.terminum fcilicet exteriore lineae
fpiralis,inferiore vero contingente pundu , vbi prima volut£ reuolutiofinitur.
Has aute parallelas j)traxi,quo differentia huius cum prgccdete clarior fieret.
vt - t ■ - , .... p
Am iterum volo prsedidam volutam immutare per regulam ab.di-
uifam,per quam voluta ipfa ducenda erit: eam regula coueniet aliter
diuidere,quam prius fecimus,quod fieri poteft per binas lineas, curua
fcilicet & redam,qux fe contingunt,& vna per altera metitur,vt iam
dicetur.Duco lineam perpendicularem, fecundum longitudinem regula: , per
quam volutam delimare conftitui-.eius linea: perpendicularis terminus inferior
fit a. fuperior vero b.poftea protraho lineam tranfuerfalem c.a.d. qua: cum li¬
nea a b . prius duda, faciat vtrinq* angulos redos, deinde feribo lineam obli¬
quam b d. Tandem pofito vno circini pede iq pundo d.altcro vero in a.de-
feribo arcum a pundo a.verfus lineam b d.quaih vbi arcus ille iecat, pono lite-
ram e.Nunc diuido arcum a e.per ij.punda iia 24. xqualiainterualla, & pono
regulam fuper d centrum,& fingulas diuifiones arcus a e.atqjfediones regula,
& linea: a b.noto pundis, quibus etiam adiicio numeros arithmeticos incipien
do a termino b.ad a.vfqj continuando. Ex hoc clarum eft partes linea: a b. efle
ina:quales,& maioresquidem verfus b.minores vero verfus a: eas fic ad regula
transfero, qua in operando vti volo. Notandum interim quod lute linea non
currit equidiftanter quemadmodum praecedens ,& multa ex ea fieri poliunt*
quorum hic hon fit mentio.Iftiufmodi pra:parationes hic etiam protraxi:
I autem vis {pacia exteriora voluta huius futura: adhuc ampliora fa¬
cere,^ interiofa ardiora,tunc reclina lineam a b.fiiperne cum termi¬
no b.verfus c.& duc iterum lineam obliquam b d. & erit arcus a e.brc
uior .Poftea diuideomnia quemadmodum prius, & inueniesinope-
re magnam variationem,hoc etiam vtcunqj ex fuperiore figura patet. Quum
autem variata illa linea a b. cum fuis pundis tranflata fuerit in regulam, 1 deferi
be circulum ,ad cuius centrum applicetur terminus a. regul^ a b. & circum¬
ferentia:
7
geometriae lib. l
ferenti^ applicetur terminus b.&Tcribe fupra pudum b ,n M operare vt in vo
luta praecedente docuimus,praeterquam quod illam a centro verfus circumferen
tiamextraxiftirhaec a circumferentia verfus centrum inducenda erit.Quocirca
progredere cum numero pundorum in circumferentia,numerando 4.ver¬
fus latus dextrum,& videbis differentiam inter hanc SC praecederem,qua:<£ ip*
{arum pulchrior fit. Haec omnia hic,vt in antecedente,bis deliniaui,
Voluta variata cum lineametis neceffariis, Voluta variata libera.
Tem fi fuper voluta ad omnes pundoru numeros, redas lineas apti
erigere vo!ueris,accipe regulam,quam primo applica terminis volu¬
tae a 8 t b. fic quod media regula: pars cadat fuper pundum a. quod
cum fadum fuerit,tranfibit regula per volutae punda ii.n.24,.i8.8£
quibuspundisomnibus fecundum reditudinem regulae duc verfus partem ex¬
teriorem lineolas.Pofteaimmoto medio regulg fuper centro a.circuage extremi
tates ad reliqua voluta: aut circumferenti^ punda,& femper adiumento regulg
ad omnes ipfius & volutg fediones, erige lineolas redas,vt hic vides.
Quemad modum lineae fuper helicam pingendg fint.
s
ALBERTIDVRERI
Vo pado autem inuenire debeas longitudinem vniufcuiufcg redoli
nex quae fuper volutam ponitur, in hunc modum operare . Accipe
circinum,cuiusvnum pedem pone in pudum ii.vbi eft litera b, & al
terum in pundum i.a quo duc arcum furfu: deinde vno pede in pun*
do i.fito, reliquo ex figno u.fcribe etiam arcum verfus partem fuperiorem, 8C
vbi illi duo arcus fe interfecant adiiceliteramc. Sicfac inter omnia nqmcrpru
punda ipfius volutae,vt inter i.8£a.inter 2 .Se j.&c.Et figna fuperne fediones ar
cuum literis alphabeti,vtd^e.f-g.atcg ita deincepsper totum alphabetum,quo-
kd extendi poteft. Quum verd producis lineas cd.d e.ef.& fg.&c f fie|j per to¬
tum circuitum literarum,abfcindutur lineolae redae,quae protradgfuntex pun
dis i.i. 5 . 4 . 8lc. ac reliquis numeris omnibus: Quod fi folia illaqU^er' arcus
hos fada funt,comode per lineas in termedias diuidere volueris,protrahe primu
ex pundo c.deindeex d.e.f.g.&c.& fic ex reliquis literis,redas lin|^s ; virfiasce-
tru a.vfq* ad voluta. Atq* fic ifta omnia ordine fiunt,queadmodu hie\del| paui;
Quam longitudinem debeant habere lineae eredae fuper helicam.
a \,v. ,
Vnc volo volutam fimplice facere, 8C a circuferentiain centru a.du
cere } atcp etia folia fug ipla ponefe-.at lineae redg quaeg folia tranfeut
aliter ftabunt quam in procedente. Et primum quidem ex centro a.
defctibe circulum,quem etiam diuide, 3C pundis diuifionuni adiicc
numeros,quemadmodum in priore fecifti. Lineam verd credam a b. quam cir¬
cumagis , partire vndecim pundis in duodecim aequalia interualla, &C circumi
cum ea,vt iam pridem edodus es,punda volut£ notando vfcg ad centrum a. In
hunc igitur modum,quem dixi, debet hochnea fieri, quae quidem ad diuerfa
opera vtilis erit, 8t praecipue ad pedum epifcopale, ad quod abfoluendum duc
ex pundo circumferentiae «.linea redam deorfum,8£ vtere medietate circumfe
rentiae
9
GEOMETRIAE L I B. s I.
rentiae,quae lignata eft numeris maioribus,vna cum voluta, reliqua autem pen-
pherise medietatem numerominore diftindam omitte. Polle a accipe circinum,
cuius vnum pedem pone in pundum circumferentia^. & alterum m pundu 7 .
eiufdem circumferentia:,a quo educ arcum circuli,demde repone vnum pedem
in pundu altero protrahe arcu ex pundo 9. & vbi illi duo arcus Te interfe-
cat,illic fciribe Iitera c.atcg ex pundo circuitus . duc lineam vfcg ad c. Eodem
miodo fac inter ligna 9 . SC 11 .& fedione fupne nota d . Sed deincepspofito vno
circini pede in pudo circuferenng 11.altero jxluc ex ligno volu ta: 1. arcu circu¬
li,ac iteru vno pede manente in pundo voluta: i.altero duc arcum e pondo cir
cumferentiaeii.furfum,& ad fedionem illorum arcuum fcribelitera e. Pari eti¬
am modo agendu eftfuper voluta inter punda 1 . 8 C 3 J.SC sjSC 7 . 73 C 9 . 9 .S(ii. & ilv
diones arcuum fuperne ligna literis fig.h.i.K.fuo ordine. Quo fado trahe per
folia volutae lineas redas e i*« f r.g 4 ,h c. i s. K10 : Tandem remanet adhuc por¬
tio quaedam volutae,inter n .&i centrum a . cuifuperfcribe etia duos arcus quo¬
rum fedioliti.Eorum quae fupra tradita fijnt,hic duas figuras feci,Prima cum
omnibus fms lineamentis neceffariis, ex quibus conficitur.Secundam nudam.
volutarum defcriptiones ad multa opera defignadafunt vtiles, atqueinte*
-rim etiam addeliniandum ramale,quod SC hic poftremo protraxi.
Hsec linea feruit ad defignancjum pedum epifcopale.
IO
A LBERTI DVKERI
Linea pedi epi-
fcopalis nuda.
Ad deliman¬
das frondes.
II
GEOMETRIAE LIB. L
Ocandum eft,quod circumferentia circuli,per quam voluta defoibi-
tur,in totpartesdiuidipoteft,in quot voluerimus . quo enim plures
fuerint partes,eo ardius menfurandum erit,& in quot partes circum
ferentia diuifa fuerit,in tot partes erit 8 C regula diuidenda,pcr quam
volutam fimplicem facere vis.Si aute eam bis,ter,aut quater,circumducerefta-
tuifti,tum multiplica etiam punda regula: per duo,tria,aut quatuor:& circum
curretotiescumea,quotiespunda multiplicafti,inueniesqj poftulatum . Quod
fi times,quu partes regulae multiplicascircumcurrcndo percircuferentiam,pro
pter numeros inaequales,tepoffeerrare,fac fic. Q^ium circuferentia tuam diui-
fifti (quod fit exepli gratia) in duodecim partes,& vis voluta bis,ter aut quater
circumducere,partire regulam in quot volueris punda,quibus adferibe nume¬
ros arithmeticos. '.L.j.&Cc . vfquead n. poftea rurfusincipe, numerare i.».j,&c.
vfquead la.atcgiterum eodem modo femper poft.u. repetendo c.quoad
perueneris ad finem vfque regul^.Et applica regulam fic circufererentiie,vteir-
cucundo numerus regula: fepercorrefpondeat numero circuferentia: eo enim
modo non poteris errare, lam vero cum voluta in fuperficie plana fit deferipta,
confequenter eam e plano fuo in altum eleuare docebo Certum autem eft cum
quippia cofiruere volumus,primu fundamentu ipfius ftatuendu efle,flue fit gdi
ficiu aliquod,fiue quateuej alia rcs:eadem ratione voluta noftra furfum duci no
poteft,mli ipfa prius,vt fundametu, in plano fit polita.Qiiarc ^ptrahe primum
pro fundamento,nudam illam procedente voluta,vni cum circumferentia fua
ex qua fadaeft,omiffis omnibus foliismumeros tamen in ea coueniet, in hunc
modum mutare. Ciim per ambitum circuifti ab i.vfcg ad 12.1‘ntras cum reliquis
pundiscircuium peripfam volutam,illic iterum numeras i/M,&c:id quod mu
tandum eft,nam pro i.fcribenda funt ij.pro 1.14. pro fic deinceps conti¬
nuando numerum vfque ad *$. procedendum eft.Iado fic fundamento, expun¬
cto 6.duc lineam redam, furfum per centrum a.&f fignum ii.tant^logitudinis,
quanta opus habes, & ad terminum fuperiorem fcnbe literam a. quod pundus
ille directe ftet fupra centrum a. Deinde abfeinde perpediculare a a.per lineam
traniuerfam c d.inferne ad pundum b.Quo fado,dmidelineam a bduperiore
per 23. punda in viginti quatuor partes oquales.Ego tamen hic ordine prolon¬
gabo ipaciaiuperiora, quemadmodum pauloante procepi-.quare eundem mo-
du iteru repeto,niti quod duas literas trafpono,na a.pono fuperne,S£ b.inferne,
atep puncta diuilionu 1 3.&c incipio numerare in parte inferiore.Nunc quum
linea ab.hoc pado diuifa cu luis pundis & numeris, ftet in mediofundameti
ereda, ,pduco linea ex pudo fundameti 1. furffi fecante ipfa linea obliqua c d.
deinde ex pudo t.lineg a b.duco linea tranfuerfa,verfus ia protrada linea ere-
da:& vbi du£ lllg line£ faciut angulu,illicferibo i.atqjhic eft primus pudusq
incipit afeedere in voluta eleuata,tiuecoclea.Sic facio j> omnia puda & nume¬
ros fundameti depreffi,&’ ereda: line£ a b.in vtraqj parte.Hoc enim modo fin-
gula coclexpunda notantur,ab infimo figno b.vfq? ad fupremu a.poftea coti-
nuolineam tortuofam,ab vnopundoad aliud . Item quando per hanc lineam
coclea in tedum alicuius turris fit, debet infimus gradus multo longior effe
fupremo
ALBEETIDVRERI
fupremo, &L fic ordine perpetuo debet femper inferior fuperiore & fibi incum¬
bente longior effeipari ratione quanto quifquegradus altioreft in coclea,tanto
debet etiam efle craffior, quae omnia bic diligenter protraxi.Et primum quide
cocleae fundamentum, fuper quod & cocleam ipfam, cum omnibus lineis luis
quibus defignataeft:deinde& cocleae lineam nudam tortuofe in altum eue&a.
Haec linea poteft ar&e fuper feipfam incurrere,vel ftatim in altum extendi pro¬
ut linea a b.fuerit prolixa ? eritque ad multa vtilis opera. Triagulum etiam a b
c.cum arcu fuo b e.ex quo linig a b.partes fuperiores prolongaui,
hic defcripfi,cum reliquis lineis & numerisneceflTariis.
Ifle coclearum lineae poliunt etiam fieri angulares,fi
inter duopun&afiue numeros femper vnus
omitatur:vt fi in coclea eleuata tra¬
heres ex pun&o b. vfque ad lineam rectam
cx J ,in4.ex4-in6.&c.acita
deinceps vfque ad a.
GEOMETRIAE L IB.
I.
«
Cochlea ex fuda
meto protra&a
cum omnibus li
neament is necef
•v -t ■
fartis ex quibus
fafta eft.
.<4* *, U
*
V'
B
i4
LBEKll D VRERI
Hic vides cochlea
nudam.
Ex hoc triangulo
a b c . di uda c O:
linei cochleg a b.
GhGMh THIAE LIB. I. i 5
Dhuc alia cochleo linea poteft fieri ex fola circuli circuferetia , qua-
etiam lapicida in conftituendis cochleis vtuntur,qug tame com mo¬
dius cocliogramme vocatur, fed vtcunque appelletur, lineahoc eft
vtiliffima,quare eam quoque duceredocebo:& qui inueftigare volet,
multa poteft peream inuenire.P rimiim itaque deferibe circulum, vt in proce¬
dentibus didum eft,ex centro a.eum diuide per lineam perpendicularem tran-
feuntem per centrum a. in duas partes oquales,& adfuperiorem fedionemcir.
cumfernti£ & perpendicularis lineg feribe n. ad inferiorem vero <s. deinde pro¬
traho lineam <s.n in redum verfus partem fuperiorem quantum opus fuerit, cu
ius terminus fupremus fit a.Poftea abfeindelineam a a.mferne, prope pudum
n. per lineam tranfuerfalem c d . ad angulos redos,fitcg fedio illa b.iam diuide
circumferentiam circuli in 12. ^qualespartes, & adiicepundis diuifionum fuos
numeros,incipiendo numerare ^.j.&c.in pundo,qui proximus eft 22.donec ite
rum redeas ad i2,Sed deincepsoportet numerum progredi,& quo vfqj opus fue¬
rit,vnum fuper alium conftituere: venient itaque i 3 .fuper *.& i 4 .fuper 2.&c.fic
poteft numerus ter,quater aut quinquies, & quoties opus poftulat fuper feipfu
currere,prout cochlea alta fuerit coftruenda. Abfolutoiam fundamento,diuide
lineam a b.in quot volueris’partes,& appone fingulis fuos numeros incipiendo
c pundo b.verfus a.furfum numerare 1.2.3. &c.Hoc fado duc lineam a pundo
| circumferentia: ufurfum per lineam tranfuerfalem c d.deinde ex pundo i.line^
\ a b.trahe lineam tranfuerfalem verfus iam protradam lineam eredam, & vbi
duo illo lineg faciunt angulum,feribe i.Sic fac per omnes numeros lineg a b,&
f fundamenti,atqueetiam in numero fupercurrente. Qiium ia cochleo linea fic
fit per pundadefignata,protrahe eam manu ab vno pundo ad aliud, quemad¬
modum me feciffe hic vides.Hg lineg poflunt a pundo ad pundum, angulares
protrahi.Talis quoq* cochlea poteft fieri duplex in circuitu fuo. Primum qui.
de fit coluna qug per media cochleam erigitur reda & teres: deinde poteft etia
fieri tortuofa,fie vt a fummo vfque ad imum per eam poflfumus videre:id quod
lapicido in fuisprotradionibusfeire debent, & per motionem afferum funda-
metalium operi applicare.Ex prodida linea fiuntcochleg vno, duobus,tribus
aut quatuor circuitibus &c. quibus molesfortes 8 C grauespoffut dimoueri, vt
etiam miraculo fimile fit.
V: _ : B ii \\
ALBERTI DVRERI
GEOMETRIAE LIB.
I.
17
1 Vnc firnplicem quandam voluta protrahere docebo,& alia etiam via
iquam prius fecimus,in hunc modum.Defcribe quadrantem circuli a
b c.&fitb.cetrum,a.vero angulus (uperior^.c.angulus ac latus,de-
inde diuide quartam illam circumferentiae a c.vndecim pudis,in du.
odecim partes gquales-.quas numera a c.verius a.&. trahe a lingulis diuilionum
pundis lineas parallelas,inlineam tranfuerfam b c.cui etia adfcnbe numeros,
quemadmodum in quarta circumfereti^,incipiendo a pudo diuilioms c.prox
imo,& ficeft linea c b.diui(a,ex arcu circuli c a quod primum eft fundamen¬
tum.Sub eo nunc defcribe femicirculu,ex centro c.cuius femidiameterlit^qua
lis lateri quadratis b c.& lit diameter illa fuperne a.inferne vero b.Deinde par
tirefemicirculum ab.in duodecim partes aquales,quibus etiam adiice fuosnu
meros ab a.verfus b.numerando,& duc lineas redas a numeroru pundis in ce¬
tra c.Quo fado accipe circinuj&poneeum vnopedein centrum quadrantis b.
SC altero in pundum ulmea: tranfuerfalis c b.& tranffer interuallum iftud in fe
micirculum,in cuius centrum c.pofito vno pede circini, reliquo fub a.in linea
a c.aqua vfquead lineam 'C.duc arcum,ad cuius finem, fi potes fcribe etiam t.
Nunc iterum accipe circinum 5 t pone eum vno pede in centrum quadrantis b*
& altero in pundum 2 .line£ tranfuerfalis c b. & feruata illa apertura ex centro
c.femicirculi fcribe arcum a linea i c.vfqj ad lineam c. vbi etia,fi fpacium ha.
bes,pone numerum 2 .Sic operare inter omnes dimidii circuli femidiametros.
Quum autem omnia pratdida interualla ex quadrantis linea c b. fumis,eaque
transfers in femidiametros dimidii circuli, & adfcri
bis pundis illis fuos numeros,oftenditur tibi quo pa-
do ambitum voluta: a fignoa.circumferentia: per fi-
gnata punda ad centru c.induceredebeas.Poteseti¬
am mobili pede circini femper arcum continuare a
linea a c.vfquead femidiametru deftinatam, & hoc
repradentat aliquid lingulare,vt hic vides.
* ALBERTI DVRERI
aliter quoqjfacia voluta in hunc modu,qui (equitur.Primopo-
jj|H Isnocetruma.ex quodefcribo circulum,quem, vt prius,diuidom duo-
if ggdecim oqualiainterualla,& a lingulis diuilionibus duco lineas ad ce*
&:^2L^t r um a.quibus etiam adfcribo numeros arithmeticos,ponendo adfu-
premam diuilionem n.a quibus numero \^.3.SCc. donec iterum redeo ad^ .Po
ftea diuido lineam n .a. trigintaquinqj pundis in trigintafex partes aquales, SC
incipio numerare fuperne a pundo n.delcendedo verius centrum a.Hoc fado,
pono vnum. pedem circini in centru a.&aliam in lineam ^.a. in pundu x.^ppe"
ie.SC duco inde arcum,vfcj ad femidiametrum * .a.Eodem modo relinquo dein
c eps circinu vno pede in cetro a.& alium coftringo vfq? ad pundu 2.in linea 12.
a.S^fcribo arcum a linea u vfque ad lineam 2,a.Sic conftringo femper mobilem
circinipedempervnum gradu in linea * ,a.& protraho arcus ordine inter om¬
nes femidiametros donec ter circuiuero . Quu hec omnia circinopfeci,incipio
iterum a pundo circuferentiaz n»SC induco voluta ab vno pundo ad aliud,quo
vfq? in tertia reuolutioneperuenero vfq? ad centru a.quod hic defcripli cu om¬
nibus lineis neceflariis per quas voluta defcribitur,deinde volutam etia nuda.
Roducam adhuc aliam volutam,fic. Defcribo ex centro a.circulum,'
eum partior fex pundis in totidem partes gquales, ac pundis illis ad-
iicionumeros ita quod eveniant in fupremu diuifionis pundum,8£
a lingulis diuilionibus circumferenti^ duco lineas ad cetrum a. Dein
de diuido lineam c.a.in odo partes aquales, SC pergo operari vt prius,conftitu-
endo vnum pedem circini in centrum a . SC alium in punda 1.2.3. &c,lineg<\a*
SC trasferendo femper illas diftantias in femidiametros circuli donec ad pun-
dum 7.ventum fuerit,vt in procedente didum eft, atque hic etiam protraxi cu
omnibus lineamentis,quibus indigeo,vna cum voluta fola.
LIB. I.
GEOMETRIAE
*9
Tileefl:,lineam propofitam,fiue breuem,fiue longam,fcire in tres par*
tes Quales diuidere, quod quidem in hunc modum commodiffime
abfoluefur.Linea propofitaiit ab.eam ftatue perpendiculariterfuper
lineam tranfueriam c f.deinde accipe cirrino,minus quam medietate
ex linea a b . ctiius vnum. pedem pone in.pundum f. a quo meniura liirfum
ter aperturam circini,8£ per punda illa duc lineam redam,qua: iit parallela ip«
fi a b.fitqj ea linea iuperne e.inferne vero f.& duobuspundisintermediis adiice
numeros arithmeticos *.\Et protrahe a termino e.per terminum a.lineam obli¬
quam vique ad lineam c f. quam vbi contingis {cribeliteram g . ab eo cotadti
trahe duas lineas redas ad punda fecabitur linea propofita a b. per du¬
as obliquas g.u SC g ? .in tres partes aquales. Si vis adhuc aliter linea reda in tres
partes aquales diuidere, (cnbe quatuor lineas tranfuerfasac parallel as fignatas
numeris i.whqup cotineattna aqualia interualla, poftea accipe linea tua a b.
propofita,reclina ea extremitate a.ad linea extremitateb.ad linea <k8C di-
uident lineae ?.intermedia: lineam a b.iii tres partesgquales.Iam antequam
vitra progrediar,docebo lineam per medium fecare, in huncmodum.Sit linea
propofita tranfuerfa a b. accipio igitur circinu, cuius vnu pede pono in termi¬
num a.&altero ex termino b.duco arcum in vtramque partem ipfiusb.quan¬
tum opus habeo.Iterum immota ci rcini apertura, relinquo vnum pedem in b,
& altero ex a.duco arcum furfum & deorfum, qui fecabit arcum priore in duo¬
bus locisfin quibusfcribo literas c.SC d.quasconiungo duda linea c d.quxip*
fam a b.propofitam fecat, in pundo e. per medium , Qui vero lineam redam
20
ALBERTI DVRERI
fuper circumferentia: portionem volet confiituere, is faciat omnino vt iara di-
dum eftjponatq; a e b.arcum, & lineam redam.ee. Item in concauitate arcus,
eodem modo erigemus redam lineam.Nam fit arcus datus a f b. in cuius parte
cocauaeft deferipta c f.linea,ipfiarcui propofito ad angulos aquales.ttecom-
mainfra protraxi.
Am lineam facere docebo, qua: redeformatoouofimilis fit,hunc ia
modum.Protrahe redam linea tranfuerfalem,cuius principium fit a.
& finis b.eam diuide nouem pundis in decem aqualia interualla,de-
mdecentro<.interualloaute5.?.aut . defcnbecirculum.Poftcapo*
firo vno pede circini in pundum b,altero ex pundo ^.duc arcum verfus partem
in feriorem iterum vno pede polito in pundo a.reliquo duc ex pundo 7. ad¬
huc alium arcum,verfusprgdidampartem inferiorem , &vbi illi duo arcus fe
inreriecant, fcnbe literam e.quofado, protrahe lineam contingentem circulu
in parte inferiore,qua: fit parallela ipfi a b.linea:,& vbiilla linea caditin arcus e,
e. .illic icnbefub .literam c.& fub .d.nunc trahe lineam,ex figno^.adfe
dionem c.& vbi linea se.fecat lineam cd.fcnbe io. Porro diuide quartas circu¬
li ! <v.& o.-.permedium,illam quidem in pundof.hanc veroin pundog.&fi*
to vno circini pede in pundo f.altero ex d.duc arcu verfus e.Iteru ex altera par
te,pofitovnopedein pundum g.8C altero in c.duc arcum ex c.deorfum, per li¬
neam
L
GEOMETRIAE L I B.
ti
neam c.k\& in fedione iliorum arcuum in linea.s.c.adnccpundum h .hoc ab-
fol u to parti re 1 inea m h. io r ad fig n u m i in d uo fpacia aqualia,& i bidcm polito
vnopede circini,alterum extende in arcum c h.in eum pundum,quiproximuj
eft fignoi.& duc inde arcum per lineam ih.vfqjad d h.eritqueouaiislin^aab*
folu ta,quam infra cum omnibus ftiis lineamentis per qus fit,at<j etiam nudam
protraxi.
P^MjEceffarium erit arcui circuli fuum inueniri centrum, quod quidcco-
■ moao expeditur ? quolinea fucer arcum erigitur, id quod etiam
% n * n ' -
.'lutcmonftratum eft*Dato igitur arcu circuli a b.accipc circinum,cu
lusvnum pedem pone in pudum a* & alterum extende paululum in
aicurn a b.& duc lineam curmm furfum BC deorfum^quantum opus eft: deinde
i e vnum pedem m pundum ,^uem linea illa curua fecitinarcu a b.8£ altero
cx a.protrahe item arcum fur i uni ^ deorfum, quoad illi duo arcus iam deferi-
pti iecabunt e in duobus loctSjper q*£ lineam trahito redam deorfum, quata
opus habes:] ta facies quoque circa extremitatem b.& iecabunt fein parte infc
riore bina: lllg Imcac recta: in pundo vbicentrumeft,ad quod fcnbc lueramc.
^ic igitur centrum b, amentum eft,quod & hic videre eft.
f
tl
A L BERTI DVKERI
Z
¥
y
«>
ctia fcire qua-
do vnu triu pudor u extra
reda lineam ponitur,per
omnia tria circuferetiam
circuli trahere, quod fit hoc modo.
Tria punda. fint data a b c. ea con-
iuge duabus lineis redis a b. & b c.
SC fac quemadmodu in«. figura di-
du eft: quaerepuda media vtriufqj
lineae a b.& b c.SC duc lineas illas
redas ( quaediuidunt ipfasa b.& b
c.pcr medium) deorfum donec co-
currant ad pundum d. Deinde fi¬
ge pedem circini in fedionem d.&
alium in pundum a. & feribe circu
ferentiam, quae tranfibit per omnia tria punda a b c.vt hic vides.
Vando magni circuli arcus cotingit lineam reda & prae acie angufta
anguloru.vix poflumus loeu contingendae percipere, hoc pado euoi
inueftigare debemus.Sit arcus circuli ab. qui contingat linea redant
c d.iam pone vnum circinipedem in extremitatem c.SC alium exten
de parum verfus d. & duc arcum tranfeuntem per lineam c d.quam vbi fecat
fcribe e.rurfus immoto circino fifte pedem v>ium in e.& alio arcum liniato per
c. fecantem priorem in duabus pundis,fiperne quidem ad literam f.inferne ve
road g.eapunda coniunge, duda linea/g . qug abfeindit c d.ad fignum h.&
arcum a b. in pundo *. a quo protrahe ipfi c d. aequidiflantem, quae vbi in-
terfecat arcum a b prope b.illic feribe K. Nunc transfer diftantiam i K.in linea
c d. ponendo terminu i.in pundum h.cadetque terminus K. verfus d.adfignu
l.quod
/
'V "
2J
GEOMETRIAE LIB. I.
I.quod coniunge cum K.produda linea IK. eritcg quadrangulum £quilaterurti
h I K i.Quum autem cupisfcirepun&um vbi arcus ab.contingit lineam c d.
fige vnum pedem circini in pundum J.ac reliquo arcum circinatoex hXurfum
SL deorfum,quantum opus elbicerum non variato circino,ex centro h.duc aliu
arcum tranfeuntem per angulum I.priorem fecantem in duobus locis (vt mon-
flratum eft in^figura)&adfedionem fuperiorem adiice m. ad inferiorem ve^
ro n.& trahe lineam m n.ac vbi eadiuidit c d.adfcribitoliteram o.ad quamar
cus a b.tangit lineam cd. quod in hac figura liquido apparet.
Zf
x4 ALBERTI DVRERI
Erumeft, quod dux lineae, quae in aliquo pundo angulo faciunt acu¬
tum,perpetuo ardius ducipoffunt, nec conuenient tamen vnquam.
Sint monftrandigratia,dua: lineae a b.& c d.xquidiftantes, quarum
extremitates b &C d.prolongentur,aut faltem imaginentur prolongati
in infinitum:^ linea a b.fecetur continue in partes qualefcunque,& pundis fe-
dionu adiicianturnumeri,ordine fuo naturali,tunc fi ^pducatur ab extremita¬
te c,l i nepcd.l in ea obliqua ad notam ulineae ab .facient dux c.\SCc d.angulnm
acutum.Deinde protrahe femper a figno c.lineas obliquas,adomnesnumeros,
lineae a b.fietque fubinde poftrema linea obliqua ipfi c d. linea propinquior, &
efficiet angulum acutiorem,nec tamen eam continget vnquam, vt hicmanife-
fie videtur.
^p^PPjOteft excogitari linea indefinitg quantitatis, quae perpetuo ad quo
ffl M§S dam centrum incurrit, 8£ ex alia parte tantundem in latum extendi-
0 jfi3|diror >nunquam tamen ad aliquem terminum peruenit. Ha:c linea
fcSkQipropter anguftiam & magnitudinem eius infinitam, manu defcribi
non poteffinam principium & finisipfiuscum non lint, inueniri non poflunt,
quod folus capit intelledus.Sed inferius cum extremitatibus fuis eam, quantu
id poffibile eft,indicabo . Incipio igitur a quodam pundo a.& induco eam ad
fpirg modum ac fi ad quoddam centrum fluere tandem deberet,& quotiescir-
cuitum incurrendo facit,demo de fpacio inter lineam medietatem.Eodem mo
do ago etiam circunducens lineam a pundo a . in latum, nam quotiescum ea
circumeo,toties addointeruallo medietatem.Hoc ergo pado,quol6gius, tanto
ardiusintrorfum abit:8£ quanto magis, tanto etiam latius ad exteriora excur¬
rit hxc linea,neque intra neque extra finem vllum attingit in aeternum, quod
vtexadius intelligeretur,hic vtcunque deliniaui.
GEOMETRIAE
LIB. I.
wu ijuuu<uiiwyiv lavviiw.j. j-ixaiuj^uui ucicnue unca craiueriam C a
ea diuide 9 pudis in *o.fpacia aqualia, & ad pudu intermedium 5 .eri-
gclinea ad angulosredos,qusfitfupernea.inferneautemb. hancli-
neam a b.partirenouendecimpundis in «unterualla squa,& incipe numerare
inferne afcendendo 1.2.3. Sic. deinde accipe regulam SC transfer in eam longitu¬
dinem b d.quametia ligna literis e f.Hac longitudine notatur omnia huiuscur
u x lineae punda,per qus ducenda erit. Poftea fume quinta parte ex b d & diui
de eam in tres partes aquales,& vna ex illis tertiisprolonga accepta quintam,&
aperi circinum ad quantitate prolongatae
quinta?,feruataqj ea apertura pone vnum
pedem in d .pundum,&alio duc arcum
in parte fuperiore.quofado applica regu
lx terminum e,pundoi.Iinep a b.& ter¬
minum f. applica arcui, quem nuper pro
traxilti, ac ligno cotadus adferibe quoqj
nota i.In qua iterum polito vnopede cir-
cini/eliquo arcum producito verfus par
tem fuperiorem, 8 £ iunge regulae extremi
tatem e.ad 2. in linea a b. SC pundum f.
ad iam protradum arcu, SC vbi eum con¬
tingit , illic adiice notam 2. Sic facies per
omnes numeros afcendendo quatum po¬
tes. Poftremo protrahe lineam tuam cur-
ue de pudo ad pundu,qucmadmodu bi¬
faria me feciffehic vides:Primdper line¬
am e f.deinde per e g .breuiore, cx tamen
fuperne propius currunt quam inferne.
Am protrada linea etia in huc
modu abfoluitur. Primo coue-
iiit linea e f. per q futura linea
curua defignanda eft,in feptede
cim partes aquales diuidere Si lingulis
motionibus ipli vnam de illis decem SC
feptem partibus auferre.Sed hac partes li¬
nea: e f.non debent elfe squales:nam qua:
funt verfus e. fiet maiores, qus vero ver¬
fus f.minores, Ad hanc igitur graduu in- c x z 3 4 $ & 7 3 9
squalitatem,in regula tuam transferendam,oportet deferibere triangulu a b d?
cu arcu b d (vt in odaua figura didu eft)terminu tamen a.lines a b.declinato
maxime ab arcu b d.in finifira. Quucg arcus b d.in feptedecim partes aquales
diuifus,& ex pundo c.lineae redg per diuifiones arcus b d. |>dudp fuerint vfcp
C ad
26
ALRERTI DVRERI
ad lineam a b . erunt fpatia in linea a b. verius a.niagna.& verius b.patua,vbi
etiam numeri initium fument,quo fadotransfer lineam a b.fic diuifam,in regu
lam e f.applicando a.ipfi e.8C cadet b fuper f.quemadmodu prariens figura an¬
te oculos ponit.
D producendam fecundam
hanc lineam curuam,opus eft
priori illa, paulo ante protra-
da, cum ereda a b.& obliqua
e f.in hunc modu.Primb vtere perpen¬
diculari a b.vfque ad 17 . pundum,fimi-
liter quoque curua, SC vt obliqua e f.per
numeros prius afceditficeam relinqui-
to.Quum vero nuper diuifam lineam e
f.ab imo verfus fuperiora, fup prius di¬
das obliquas afeendere facis, auferipfi
femper quoties de gradu in gradu mo-
uetur, vnam parte de extremitate fido-
nec lineg e f.ad fupremu numerum redg
a b.S<r curuli?. nihil amplius fuperfit.
Deinde duc nouahanc linea de pudo
ad pundu & videbis quam habeat diffe
rentiam cum priore. Harum rerum h«c
eft figura.
Nterim fciendu eft,quod hax
linea curua diuerfismodis po
eft variari, ex quibus omni-
l busvnum mihi deligam,pcr
quem eam adhuc femel mutabo hocpa
do. Lineam perpendicularem a b .fac
quarta parte breuiore, quam prius fuit ^
Sl diuide eam rurfus in viginti partes,
fed partes illg inter diuifiones debent m
ferne apud minores numeros ampliores efle,&fuperneapud maiorcsftridioresj
certo tamen ordine.Huiufmodi partitionem linea: ab.pete ex fupradido trian
gulo a b c.odaua: figurg.Pro arcu autem circuli ac. vtemurbreui linea reda a
b.fic. Accipe iuftam longitudineeredg lincg a b diuifarin viginti fpacia «qua¬
lia
1itu (+
<£ ■ • ■ ■ 1 1 y i i ■ 1 ■ ii "" f-
GEOMETRIAE
UB. I.
27
lia,ac pone eam ad angulos re&os fuper b c.tranfuerfalem,acfac b e. tranfuerfa
vnafexta longiorem quam ere&am ab.fic quod a b. quin que fextas habeat ip-
fius b c.deinde duc obliquam a c.& applica extremitatem b. t u as'breujis faex a
b.angulo b.& alteram extiremitatem a.reclina in lineam a c. Quoiado prptra
heex omnibuspartitionibuslongas linea: a b.re&as lineas veriusangulum c.&
vbi obliquas has lineaffecant lineam breucm a b.illic fcribe numeros lpfius lon¬
ga: a b.Sic igitur eft linea ab.breuisdiuifain partes inaqualesper asquales ipfi-
us a bdongas.Notandum etiam eft,quo quis gradus ipfius a b. inferne vult face
re maiores & fupcrne minores,tato longiores debent effe lineas a c.& b c.& po¬
terit linea a b.termino a.magis declinare verfus c.angulum.Si tamen opus po-
ftulat,conuenit lineam a b.quasin diuifione varianda eft,longiorem au tbreui
orem facere,vtpoflit obliquam a c.contingere. Hunc prasdidum triangulum
cum variata linea a b. hic dcfcripfi.
*
i
ALBERTI DYRE&I
jVandonunc breuishacc linea a b. abfolutacft, erige eam loco prids
Jdeferiptat linea: ab.ex qua primam lineam curuam produxifti,& vtc
Jre omnibus prgfcriptis menfuratidnibus in numeris, longitudine„al*
'titudine ,& latitudine, vtin fequenti figura apparet. Haec linea fluit
arcuatimlongc fupra perpendicularem a b. Vtilis autem eft,tum ad alia opera
multa perficienda, tum etiam ad pampinos deliniandos, & te&um turris, fu,
perne ad i4,gradum, ad quod hic quoque oftendi craflitudinem muri per inte¬
riorem lineam curuam-.vti manifeftum fiat quanto murus fuperne debeat effe
tenuior quam inferne, quod h^c linea de feripta declarat.
[Otandum eft lapicidis,quomodo femicircumferentiam,aut arcum cir
culi in longum extendendere debeant,vtprimg altitudini,ac per om¬
nia iimilis maneat,propter conftituendos fornices.Hocexpediemus
'lic comodiflime.Defcribe quadrangulum in duplo longius quamal
tu,quod fit fuperne a b.& inferne cd.cuins latus cd.diuiaein puftoe.per mc
dium, ac polito vno pede circini in figno e. alio ex c.duc arcum per fuperiorem
partem vfqj ad d.contingetq* hic arcus lineam a b.Deinde partire lineam c d.
in ^.partes aquales,& ex lingulis diuifionibus ^ptrahe parallelas furfum,in nu¬
per deferiptum arcum.Iam fac iuxta quadrangulu a b c d.adhuc aliud quadra-
gulum,aqualis altitudinis omnino, fed longitudinis quanta: volueris,quod fit
fuperne
I.
2<j
GEOMETRIAE LIB.
fuperne f g.inferne vero h i.&feca id quoqj vndecim lineis xquidiftantibus,ac
eredis in duodecim partes a:quales,vt prius-.poftea producito ex fingulis inter-
fedionibus prioris arcus,quae per ^.lineas eredas fadae iunt,parallelas tranfuer-
fales per omnes perpendiculareslongioris quadranguli, SC per fediones illas lo-
giorem parallelorum arcum, produc lineam arcualem de pundoinpundum,
incipiendo in angulo h.& finiendo in i:vt hic eft videre.
i
c i Zj
sj r
4 7 8 3 1011
/i
!
3
1 2 - J 4 ? S 6~ 7 § j) io. h J
Eteres nobis monftrauerut tres pyramidis fediones quae inter fe dif¬
ferunt , nec tamen habent fimilem cum bafi pyramidis circumferen-
tiam:alias poflet etiam pyramis per medium fecari, fieretq? fedio ip-
fi pyramidi fimilis, quod non curatunat qualibet aliarum trium fe-
dionum, facit fingularem lineam, quas defignare docebo,Prima igitur fedio
vocatur Elipfisca fecat pyram idem oblique, & bafi nihil aufert, eft tamen ei
vna parte propior,altera vero remotior .Secuda fedio eft parallela vni lateri py¬
ramidis,^ nucupatur a dodisParabola.Tertia eft xquidiftans axi pyramidis,
eam appellant Hyperbolen Jam volens linea defignateelepfis,primu defcribo
pyramidem in qua fedionem oftendoifimiliter etiam fundamen tu fub ipfa py-
ramidein hunc modum.Pyramidis conus fuperne fit a M bafis inferne b c d e.
ex cono autem a. defcendat linea perpendicularis in bafim , qua: repraJentet
axem pyramidis:iedio vero elipfis fit linea obliqua, fuperne f. SC inferneg.hac
fedionem f g.diuido vndecim pundis in i 2 . partes aquales,quas numero ab f.
verfus g .Direde fub hac pyramide delinio fundamentum eius, eritque a.cen¬
trum SC b c d e.circumferentia,quod eredapyramis indicat.Quum iam ex om
nibus partitionibus linea: f g.cadunt perpendiculares in fundamentum, fiunt
fediones in circulo,eas etiam noto literis SC numeris fuis, quo fado fumo cifci-
num& pono vnu pedein axem pyramidis a.in ea altitudine qua eft nota *.in
linea fg.& alium pedem pono in latus a d.in aequali altitudine,&trasfero eam
diftantiain fundamen tu b c d e.vbi alteru pedem circini ponoin centrum sl.SC
alterum ad lineam redam i.a qua verfus d.duco arcum vftg ad eandem lineam
ex alia parte: deinde figo iterum circini pedem in axem pyramidis a.in altitu¬
dine not^ 2 ,in linea f g.St alterum in lineam a d.in eadem altitudine,^ hoc in-
terualiu transferorurfus in circulu,in quo fito pede vno in centro a.altero a per
pediculari 2 . fcribo arcum verfus d .donec iteru venio ad linea 2 .Sic operari per¬
go vfcg ad 4 .Proinde ad altitudinem i . verto vnu circini pedem ad latus a b. 8 C
ea diftantia feruata, produco ex centro fundamenti a.arcum a linea 5 ad eande
vitra d.ita facio per omnes numeros, trasferendo fpacia ex pyramide in funda-
C iii mentum
‘s ALBERII DVKERI
mentum eius. Poftea defigno ex hoc fundamento nudam lineam elipfim fic.
Ego duco lineam perpendicularem f g.tantae longitudinis,quanta eft fedio py¬
ramidis f g.hanc lineam feco,vt prius,inn.partes quales, & per lingulas diuili
ones traho parallelas tranfuerfalesin vtranqg partem lineg eredp fg.&latitudi
nem accipioexfundamento, primo quidem in linea nuam quantu eiusexcin-
dit intimus arcus circuli,tantum transfero in parallelam r.in vtranqj partem ip
husf g.Non aliter ago in reliquis numeris.Q^ium auteomnia pundainequi-
diftantibus per circuitum funt notata,duco lineam elipfim de pudo in pundu,
quemadmodum hgc figura manifdle declarat.
Sedio elipfis.
Linea chpfis,
Fundamentum
^ pyramidis.
GEO METUIAE LIB. i, ?
Arabola eo ferine modo quo elipfis fit . P rimo protraho pyramidem
a b c d e,atqj in ea axem a. deinde fecopyramidem a fummo deorfum
per bafim eius, ita quod haec fedio fit parallela lateri pyramidis a b,
vocetunj fupernef. Si inlerne g h . Poftea partior fg h . in 1 \fpada
aqualia Si duco lineas tranfuerfas per omnia pundaiplius fg h. ac per illa pun
da quzfunt verfus illud latus a d traho tranfuerfas abcreda a . vlque ad idem
latus. Sed per illa quae fiunt ex altero latere duco trafueiias ab axe a .ad latus py
ramidis a b:his ab foiutis facio fundamentum pyramidis diredefii bea,cuius ce
trum fit a.& circumferentia b c d c.di fino ex omnibus diuifionibus fedionis f
gh.lineas perpendiculares cadere deorfum per rotundum fundam en tu, in quo
lpfisetiamadiiciofiuosnumeros, quemadmodum prius in lundamento elipfis
fadum eft.Iam vt etiam in elipfi edocuimus, aperto circino ad quantitatem li¬
neae tranfuerfg i .in pyramide,pono pedem in centrum a.fundamenti, & alium
in lineam perpendicularem, Si inde fieribo arcum verfus d.& vitra ipfium vfiqj
ad eandem lineam 1 .Sic procedo per omnes lineas notatas numerodonecadg
h.venio videbiturcg ilico parabolae fedio in fundameto depreffo.Quo fado de-
fignabo parabolam exiam protracto fundamento,hoc pado. primo duco linea
tranfuerfale,cui erigo ad angulos redos lineam quae fit fuperne f. tant£ quanti-
tatisquanta eft fediofg h.in pyramide. Deinceps accipio ex fundamento lati¬
tudine g h.& traduco ea in linea tranfuerfam,fic quod creda f.ftet in medio, 8i
extremitates vtrinqg ligno literis g h,diuidocjj ereda fiin duodecim partes £qua
les,qbus fuos numeros adiicio fupne incipiedo, fub f .Si per lingulas diuifiones
^duco lineas tranfuerfas,tantg longitudinis,quataopus eft,& transfero exfun
damento omnia interualla inter fediones arcuum Si redam lineam b d.conte-
ta,ad perpendicularem f. ex cuius vtroque latere ligno tranfuerfas:Deinde tra¬
ho lineam parabolae de pundo ad pundum quemadmodu hic etiam deliniaui.
ALBE RTI DVRERI
-P Seflio pa-
Linea parabola
,/h
/
/
4 /
fh
\
A
\
\
Fundamentum
pyramidis*
od fi ex prardi&a Parabola: linea fpeculum vfiorium conficere vo¬
lueris,fac pyramidem,ex qua parabolam vis facere, tantce altitudinis
quanta bafis eft latitudinis . vel quod omnino fit triangulus asquila-
terus . Quumque parabolam in hanc pyramidem fcindis, & accipis
modius tntelligatur,fdendum eft,quod omne quod in fpeculo apparet,quemad
modum incidit,Gcrefultat,& tame intus videtur in loco illius rei qug foriseft:
quare Gniftru fit dextru,& e cotrarioiquod vt melius capi poffit,hocpa<fio ofte
dam.Defcribo linea trafuerfam a b.qus repnfeotat ipeculu plano aut aqua,in
qua defpicis,& in vno latere pono lumen c .in loco adito, 8C ex aduerfoin alio
latere
GEO ME TRIAB
LI B.
I.
latere pono homucione in fpeculu aut aquam refpiciehte,huius oculus fit d.cui
lumec.non apparebit,donec angulus radii ce.& aliter lineg vifualis d e fuerint
aquales,qcP fic pcipitur.Quu ex pudo e.in quoreflexio fit,linea ppedicularefur
fu ducis,& polito circini pede in ftgno e.& altero femicirculu ^ptrahis a linea a
b.furfu,donec iteru eaattingis,ac metiedoinucnis,quddradius luminisce.&li
nea vifiialisd e..^qualiter diftat a linea ppediculari,tuc linea d e.jDtradaoften-
det tibi locu in quo lume ab oculo rede videri poteft. Quare cu linea cua vifua-
lisper fpeculu fiue aqua penetrat SC alia a lumine c cadit perpediculapter ,dn-
teriecabut fe dug ill^ line£ in loco vbi lume apparet fitqj illas f.Cofimiliter reper
cutiutur radii folares in fpeculo,quod ex parabolas linea fadu efixxcidut enim
omnes,ad vnucg pundu conueniut,vbi fortiter vrut .Huius rei ratione monftra
rut mathematici,q volet,apud eos legat.Qu| fupra dixi prgfens figura oftedit*
54 ALBERTI DVRERI
ros,& protraho cx omnibus diuifionibus eredg fg h.lineas trafuerfas & gquidi
ftantes.tantx longitudinis,quanta opus fuerit,& fcribo etiain latere linea per¬
pendicula rem,delcen dente per omnes tranfuerfales,fitq$ ea fupernt f.Poftea fa¬
cio fundamentum rotundum diredtefub pyramide,cuius centrum fit a.5 1 cir-
circumferentia b c d e.& fino fedionef g h.etiam hoc fundamentum fecare,cui
fcdioni adferibo literas g f h. quemadmodum fe ex pyramide in fundamen tu
tranfponunt :accipioqj circinu,cum quo fumo latitudine femipyramidis in fin
gulislineistranfuerfis,& tjransfero eam in fundamentum rotundum,in quo po
lito vno pede circini in centrum a.altero produco verfus d.arcus qui abfeindu
tur per linea perpendiculare g f h.& adferibo ipfis fuos numeros:deinde accipi
to latitudines ex linea g f h,fudameti,qug vtrincg per arcus circuli diuiditur in
«.partes, trasferoqj eas ad linea f.ereda & figno latitudines ex vtraqj parte ip-
fius f.line^.in traiuerfalibus iifde numeris notatis,a fuprema i.vfq? aa infima g
h.Hoc fado,duco hyperbole de pudo ad pudu,queadmodu hoc inferne ta cla
re ^traxi, vt fi nulla adc;ffet feriptura, credere ex folo afpedu manifeftu fieri.
Sedio hygbolg. Linea hypbolx.
Fundamentum
pyramidis*
C
GEOMETRIAE LIB.
I.
35
Vrfus aliam produco lineam,qua in multis rebus vtendu erit,eam fa*
ciofic. Ego defcribo lineam tranfuerfam a b . in qua pono ledecim
,!punda,xqualiter diftantia,quibus adiicio fuos numeros, incipiendo
^ab extremitate a. SC relinquo portionem quaedam pro arbitriointer
terminum b.& vlnmumpundum :<5.quam neque pundis neque numerisnoto.
Deinde erigo ex pundo ^.lineam perpendicularem,tant 2 e longitudinis, quan¬
ta eftipfa a i<s. quam etiam diftinguo iifdem fededm pundis, numeri initium
fumendo in parte inferiore . Et accipio regulam in quam transfero longitudi¬
nem ab.eam applico vno terminopundo >.in linea tranfuerfa,& alterum eleuo.
donec regula contingit pundumsline^ perpendicularis,^ vbi alter illetermi-
nus cadit,illic figno etiam notam i, Poftca pono vnam regula extremitatem in
fignum i.ipfiusa b.tranfuerfalis,&fubleuoregulam ad pundu?.lineg ; eredg SC
cafu alterius reguta extremitatis noto numeror Sic operor per fingulosnume-
ros trafuerf^ a b . & ipfius ppendicularis vfqj ad vltimu ie.quofado duco linea
curua de pudo ad pundu, queadmodu infra vides.Haec lineavane duci poteft,
Linea curua.
ijr 14 IJ IZ U 10 CJ s 7 6 s ^3 i i w
D nuper defignatam lineam potcft inftrumetum fieri per quod ea fa¬
cile defcribitur,in hunc nempe modum. Praepareturlignu quadran
gulum tantae longitudinis, quanta opus erit,per tranfuerfum, cuius
^principium fit a.& finis b.In eius fuperficiefuprema fac canale, tam»
profiidam vt per eam rotula quaedam vitro citroque agi commode queat, SC
diuide lignum illud in tot partes quot volueris,inchoando numerum in extre¬
mitate a.Porro in medioligni huius oblongi erige in vtraque canalis parte re¬
gulam modic^ fpiffitudinis,longitudinis vero tanta» quantae eft lignum vel ca¬
nalis tranfuerfa,diftentcg inter fc illae regula?, vt lanceola quadam libere inter
5 « ALBERT-I DVRERI
eas eleuari atque deprimi poflit, & alteram carum nota tot pun&is acnumeris
quot canalem trafuerfum ab interiore parte verfus fuperiorem afcendendo.De-
inde fac haftulam quandam,pro arbitrio logam, cui in parte pofteriore annedc
rotulam volubilem, tam crafiam, vt facile per prius fadam fcotiam fiuecanale
volui poflit.Quo fado trafmitte liberam haftilis extremitatem inter regulas,8£
age eam verfus b.donec rotulas centrum applicetur notg i.quas eft prope a.Ha-
ftulam quoqj inter regulas pone ad pun&um u & quantum centro rotulg appro
pinquas extremitati b.tantu eleua lanceolam inter regulas donec tua rotula in¬
ferne regulas traiiueris,atcg ad b.vfqj j>ueneris:tucenim laceac cufpis, defcribet
tibi linea hac,quemadmodum ducenda eft. Hanc mea opinione infra defcripfi.
GEOME TRI AE LIB.
I.
3?
Vnc per lineamenta qusdam,pedibus aranei fimilia,lineam defcribe
| re volo,quam propterea aranei vocabo: eam perduplice modum hoc
pado protraham. Duco lineam perpendicularem,qux fit inferne a, 8C
iuperneb.huicannedo in extremitate b.aliam quandam b cJam ex¬
tremitatem a.linea:ab.relinquoimmobilem,extremitatem vero b circumago
circulariter , cui etiam per circuitum in omnibus ftationibusliteram b adieci.
Item linea b c.debet etiam immobilis manere b.fuo termino,fed terminus c.cir
cumducenduseft ,■ Quum igitur linea a b.& ei adieda b e.quadibet proprium
faciat circuitum,defcnbet terminus c. lineam quandam fingularem. Quo aute
hsec linea certe duci pofiit, pono vnum pedem circini in pundum a . 8C alium
extendo aliquantum verfus b . ac delinio circulum , quem diuido in aliquot
partes ,St pundis diuifionu addo numeros vt linea a b.rede progrediatur.Con
fimiliter facio in pundo b.& quoties lineam a b.moueoper vnam partem,toti¬
es etiam moueo lineam b c.per vnam parte in circulo b. & oftenditexeremitas
c.puda per qug linea continuaridebet:ea vbiqjnotauiliterac,vt hic eft videre.
4o
12
€
Ct
Vncinftrumentum conficiam, quo in diuerfis locis alte,humiliter,
ad latera,ante & poft linea ferpetina notari ac protrahi poteft. Hoc
inftrumentum in perticarum extremitatibus dedetur atcg circum¬
agetur , & in ipfarum iunduris, rotg efle debent,in quarum centris
D flexus
58
ALBEE.TI DVRERI
flexus fiunt per quos circumagitur inftrumentum: vna pertica poteft in ante¬
riorem , alia in pofteriorem vel in quamcunque partem impelli, aut omnes ii-
mul in vnamquampiam , & fic conftrudas effe conuenit vt quamcunque velis
de gradu in gradum queas prolongare autrurfus contrahere. Item inrot^cen
trocircumagere, in quamcunq? partem respofiulet. Licet etiam perticas^ ro
tas facereplures vel pauciores, prout vfusinftrumenti exigit.Porro pertica in¬
fima erigenda eft indiredum Sparte interiori figenda firmiter. Nam circa
eam oportet reliquas omne? volui. Jpfa etiam circa clauum,quo rotae affigitur,,
poteft circumagiad fingulos rot2 gradus. Verum vth^cexadius intelligantur,
hocpadoexplicabo .Egofacio quatuorperticas,quibus fingulisinfuprema
fui parte lingulas fubiungo rotas, in quartum centris ipfae fi eduntur: rotae ve¬
ro debent in circumferentia fua gradibus 3 C numeriseffediftindae,atqueearum
minima acum fiueoftenforem habeat oblongum,iufta tamen craffitudine, qui
fiiper centrum circumagatur & lineae dudum offendat. Hic oftenforetiam ita
fit conftrudus,vt breuior aut longior,!! opus fit,fieri poffit. Inftrumentum prae-
didum poteft fecundu diuerfos vfus multifariam mutari,& aut magnum aut
paruum fieri.In primis tamen curandu eft,quod perticae & rotae fecundu certa
proportione maiores aut minores fiant :na poftrema debet maxima effe, SC pri¬
ma minima , fic quod haec omnia forma,robore & podere apta fint,quod in mo
dum fequetem fieri poteft . Primo conftrue rotarum magnitudines tali ordine:
Defcnbe quadratum b c d e.tantx quantitatis, quantam rotam maximam fic
ri cupis,in cuius medium pone pudum a.fuper quod fcribe circulum,qui om¬
nia quadrati latera contingat,hic circulus repraefentat latitudinem maxime ro
tae:deindeducbinaslineasredas a c.&a d.&annede triangulo a cd. in parte
exteriore lpfius c d adhuc talem triangulu,cuius angulus redus fit f.Eft igitur
a c f d quadratum fecundum,in cuius medio, vt in medio pundo linea: diago
nalis c d qug fit g.fige pedem circini, & reliquo defcnbe circuferentiam tagen
tem omnia latera ipiius quadrati a c f' d.H^ceft magnitudofecundgrotae.Po-
ftea pone pundum h . in medio lineae b c . & duc lineas redas a h.& a g di
erit quadratum h c g a.cuius diagonalem a c.partirepudo i.permcdiu,& po
fito circinipedein figno i.altero protrahe circumferentiam attingentem latera
quadrati h c ga.qug amplitudo erit tertig rot£. Poftremd ^ptrahe linea reda i
h.hahebiscptriangulu h i c . cui adhuc tale adiuge ad latus h c.eritqj angulus
redus additi trianguli K.& fiet quadratum h K c i, cuius diagonalem h c.feco
per mediu in pundo 1.cui applico pede circini vnu,& alio,circino circulum co
tmgente quatuor latera quadrati h K c i.qug magmtudoeft minim£ rotg.Ifta
re cie funt proportionatamam prima rota in duplo maior eft fecunda,& fecun¬
da m duplo maior quam tertia,& tertia dupla eft quartg. lam qualibet pertica
quater debet continere diametru rot£ qu£ ipfi imponitur,ex quo fequitur,quod
omnis longitudo harum quatuor perticarum fumi poteft ex diametris quadra-
toru,quacpaulo ante vnum ex alio deduximus,id quod fatis ample oftefum eft
in rotaru quadratis.ltem perticaru latitudines etia conueniet ex quadratis ac-
cipere,hoc modo.Primam & maximam perticam fac latam,vnam decimam fe-
ptimam
GEOMETRIAE., L I B; L 3*
ptimam de longitudinefua, a quafepara fuperne lineatranfuerfa quadratuni;:
a cuius punfto medio duc binas lineas redas in duos angulos, vni lateri adiace-
tes,&habebis medietatem minoris quadrati,cui adiice& alteram medietatem
eritque quadraturo in duplo minus priore: deinde accipe latitudinem fecunda:
perticg ex lamfa&o quadrato, qua: etiam continebit vnam decimam feptimam
fualongitudinis. Confimiliter age cum tertio & quarto quadratis, aut ii plura
vnum ex alio deducere placuerit, excipe femper ex ipiis pertioe latitudinem,
qug quidem fecundum ipfus menfuram iufla erit, fic quod vna iimilis hetalte-
ri.Porro perticaeipfas g variatione quadratoru,fepaulatim leunat at<j erigunt
8£ extremitates ipfarum denotant lineam volutam. Et ii in illas perticarum ara
plitudines quippia ornatus quis addere voluerit , id commode poterit ex pras-
dicbs partirr.nam per ea fiant parerga magna & parua,fecundum proportione
pertic^.Qui hoc inftrumentum componere voluerit,diligenter obleruet ne per
tica quapiam circuitum impediat alterius:figat quoqj quamlibet perticam vni
rotae ad dextram, alteri ad iiniftram, dC pertica debent in parte inferiore cir¬
cumagi per rotas gradus 8^ in medio extendi atque contrahi,vt longiores SC bre
uiores cum negotium pofluiet, fiant. Multg funt huiufmodi inftrumentorum
vtilitates,nam'iisdiuerfis artifices in operibus arduis vtutur.Qua vero arte co-
ftruantur infra quoque protraxi. Vfus autem huius inftrumenti varius eft,pro
cuiufque arbitrio qui eo libi vtendutn putabit.
\
+» ALBERTI DVRERI
f
GEOMETRIAE LIB. III.
Incaere&ae varie omnino inter fe fecundum longitudinem funtpro-
portionatae:earum differentiam partim indicabo, quod ad multa vti-
les fint,nam diueria opera per ipfam perficiuntunquum non femper
delineis folum agendum fit, fcd per flexus circuitufqtie earum,fuper-
ficies,atque integra corpora poflumus repnefetare: id quod operum neceffitas
exigit,ex quo res pulchrx & ardug inueniend^.Primo aliquot lineas fecando or¬
dine prolongabo,quod ad hunc modum intelligedum eft. Applica binas lineas
D iii re$as
f
*■'* ALBHRTI DV R ERI,
asre&asab.& b c.fic quod b.fiatre&us angulus, & duc lineam obliquam a c.
deinde partire b c.quatuor pun&is, in quinque interualla aqualia ,SC protrahe
ex illis i.3.3.4,pun&is lineas parallelas furfum vfque ad obliquam a c,habebunt
que quatuor illae lineae certam inter fe fimilitudinem,poterut <5 ex eis,aut fuper
ficies,aut corpora fiert.Hoc linearum genus fimpliciffimum eft, mire tamen in
operibus vtile,quare id oculis hicfpe&andum fubieci.
Lio modo praedicta tamen induftria,lineas diuerfae inter fc Iogitudi-
nis protraha,per mutatione pun&oru,hoc pa<fto. Duc lineam tran£
uerfam a b.incertae longitudinis, in qua pone quatuor pun&a, quo*
rum primum i.fac prope terminum b. alterum vero *.Fac ab eodem bj
diftanspro arbitrio,&:tertium .feiungemagisa^.qua 1 diftat ab linter?, quoq*
&4,fitfpacium*.?. duplicatum . Talia puncfta poflumus notare quot volueri-
mus,&f fpacia inter ea pro voluntate variare,quumque punfta funt notata, eri¬
ge ex ipiis lineas atquidiftantes,at^ logas quantu opus eft ,&fcribe fuperne ad
lineami c.litera,8£ ad * d.ad je,8c ad 4 f.hocfa&o duc ex pun&oc linea obii
qua per omnes perpendiculares verfus f.quse eas fecans,vnafacit longiore, alia
Vero breuiore,certa tamen menfura Jam fi fuperficics aut corpora ex ipfis defig
nare placuerit, inuenitur amplitudo & craflities earum,fi a fingularu extremi¬
tatibus fuperne, quas linea obliqua b f.facit, fingul* ducuntur tranfuerfx ver-
fus ere&am a f.qux & ipfg fua inter fe habebunt menfura, vt hic videri poteft.
I
I.
GEOMETRIAE LIB.
i Vrfus aliter per arcum circuli lineas defcribam,certotg ordine vnam
(alia longiorem faciam,hoc modo. Ex centro a .circinabo quartam cir
^^^circumferenti^b c,& ducameredaa b .SC aliam tranfuerfam a c.fic
quod a . fiat angulus redus: deinde partior a c. quatuor pundis in
quinque fpacia aequalia,atque ex illis quatuor pundis producam lineas eredas
in arcum circuli b c,& vbi eum attingit, illic fupra i noto d.fupra 2 , e, fupra 3 f.
& fupra 4 g. quatuor line*e lingulare quendam inter fe habent habitu. Nuc
quadrantem circuli cum fuis literis ita verto quod b a.tranfuerfa,& a c,perpen
dicularisfiatj&^ducolineaseredasex pundis circumferentised e fg . deorfum
in tranfuerfam ab.habebuntq>& ifbe line£,nouam inter fe fimilitudinem.No
tandu quoq? q? per illas longitudines,omnes earum latitudines SC fpiflitudines
fe offeryt, & quemadmodu fe quadibet erga qualibet habeat, velut hic fubieci.
Einceps per concauum circuli arcum,linearum augmenta atque defe
dus oftendam, quamcg faciem in plano aut corpore induant, vbi ea¬
rum amplitudo craflitudoquepro fualongitudine requiritur, quod
hoc modo abfoluam.Primo defcribam quadrangulum redangulum
eredu,quod fit fuperne a b.& inferne c d.deincepspono circinu vnopede in pu
dum a.& reliquo ex b.protraho arcum per quadrangulum vfquead latus a d.
deinde partior latus c d.in quinqj partes £quas,& a pundis partitionu duco qua
tuor lineas perpendicularesfurfum vfque ad arcus conucxum,quod vbi attin¬
gunt depingo literas,e fupra *.ffupra *.g fupra 3 .& h fupra 4. Iam vides quomo
dofelineg illae inter fe habeant, & fifuperne a qualibet ad proximam longiore
trahantur tranfuerfas, continuo manifeftnm erit,qualem confequantur latitu-
dine,qualeq corpus . Qijumetu quadragulu iftud in latus reclino , ita quod d
a.fuperne 3c bc. inferne veniant, &expundis ef g h . ipGus arcus lineas per-
pediculares deduco vfqj ad trafuerfalem
44 1
ALBERTIDVRER 1
uerfalemb c.tunc apparebit quomodo inter fe fecundum longitudine fint pro-
por tionatas. Et fiex fignis h gf e.tranfuerfis lineas fcribo ad vicinaslongiores,
continuo videtur quale planum aut corpus habituras fint, quas rotunda aut qua
drangula fieri poffunt. Ifta hoc pado deliniaui.
4jii
Lius modus lineas inter fe logiorcs producedi,Gmilis ferme prasccdc
ti.Defcribe quadratcm circuli,cuius centrum fit a.& arcusb c, quem
quatuorpundis partire in quinque fpacia «qualia,deinde ex pundis
fedionum protrahe lineas direde deorfum in lineam quanda tranC*
uerfam, & inuenies qualiter fe lineas illg inter fe habeant. Item altitudinem 8C
craflitudinem earu faciendi aliquid ex ipfis, quod hic cofequentcr defignaui.
GEOMETRI Afi L I B.
I.
45
N fumma omnes eredas lineas, quae ordine aliquo, aequali fiue inae¬
quali diftantia inter fe,fuper linea tranfuerfa Ifatuuntur,triplici mo
doabfcindi poliunt, per concauum atqueconuexum circuli arcum,
& per lineam obliquam, longa fiue breue-.habebitqj quodlibec fuam
peculiarem faciem . Et quanquam hasc omnia prius indicauimus, nunc tamen
adhuc clarius intelliges.Duc lineam traniuerfam a b,&erige fuper eam quatu
or lineas redas,nGtis numeroru I.2.3.4. fignatas,& protrahe ab extremitate a,li-
neam perpendicularem iurfum, in qua vno circini pede polito,reliquo inferne
ab eade iineaduc arcu per omnes quatuor eredas,qu;c per eu redo ordine feca-
cur.Quod fi eafdem lineas breuiores inter fe abfeindere voles, extende circinu
adhuc magis & fige vnum pedem in ereda a. Altius quam antea,& alterum in
ferne,in locum priorem,ac feribe arcum per reliquas eredas,qu£ hoc modo bre
uiores erunt.Sic fiunt lineas per arcum circuli concauu in^quales . Sed per con¬
uexum abfeinde eas hoc pado.Protrahe per extremitates b.lincam perpendicu
larem furfum Sl deorfum , in quam pone inferne alteru circini pedem,alterum
vero in pundu a.tranfuerfe, a quo feribe arcu per quatuor eredas, quas abfein¬
dere cupis.Sin aute perfediones,logiores inter fefefacere velles,afcede paru cir¬
cini pede immobilyn linea perpediculari,& alio ex priore pundo a.duc rurfus
arcu per pr^didas lineas,qu£ abfeifle logiores inrer fe erunt.Quod vero circini
pede femper figo in iifde redis lineis a. aut b.hoc fit ,ppter maiore comoditate.
Na Euclides in tertio fuo Geo.elemen.libro.Theoremate ic.Proporfione n.do-
cet.Si circulus circulu introrfum contingat.erut centra vtriufcg femper in linea
reda,qug ei etiam tranfitper loeu vbi circuli fe coniungunt:quod fic intelligc.
Defcribe ex quopiam centro a.circulum 1.2.3.intra cuius circumferentiam po¬
ne pundumb.vbi volueris,deindeaccipecircinu, que fifte vno pede in pundu
b.& alio ex circumferentia 1.2.3 .feribe circulum minorem quantumcunque: fi
iam ex centro a.per centrum b.redam lineam duxeris, ad circumferentia vfqj
*. 2 .3 .oftendet tibi femper reda illa linea pundum in quo circuli fe inuicem tan
gunt.Tali modo vterciniam monftratis linearum interfedionibus,quanquam
circinus aliter etiam figi poffit,fed fic aptius.Porro linea reda polfunt etia qua
tuor illaspropolitas commode fecari, ita quod plus vel minus inter fe differant:
hoc nota fic. Pone fignum ex quo linea procedat,per quam reliquasabfeindere
ftatuiftijin extremitate a.a qua produc lineas obliquasper quatuor eredas, alte
vel demifle,prout eredas multum vel parum inter fe differre delideras.Hasc om
niahicdefignaui.
4<s
ALBERTIDVRiRI
48
z
Inearumre&aru quocertofeexcedunt exceflu,tria funt genera, quo
rum duo per numeros proceduat.Primum per numerum parem,cu¬
ius radix eft *. fecundum per numerum imparem, cuius radix eft ?.
Deinde ita fe habent lineo inter fe,vt proportio earum numero enu-
ciari non poff!t:h§c (ic intelligenda funt: Sratue quatuor lineas ordine, vnam
iuxta aliam,& vtere in multiplicatione numero pari-.prima igitur continebit?,
fecunda 4.tertia 8.& quarta is.fed quatuor reliquarum imparium linearum pri¬
ma valet 3. fecunda 9. tertia quarta 8t . Iam numerus par & impar in vtroq?
linearum genere.poteft multipiicari,&: diminui,& non femper duplum inter (e
conftitui aut triplum,id quod facile quiuis qui in numeris vel mediocriter ver-
fatus eft,percipiet. Per numerum quocp fimplice poflumus etiam in lineis afee-
dere. At quopado lineo quas per numeros difcerni non queunt, diftmgui
debeant,in procedente figura monftratum eft.Duo autem numerorum genera,
quibus in lineis vtimur,infra jatraxbquoetia lapicidis, in produdiombus (uis
vtiles erunt.Licet pr^terea huiufmodi lineas inferne longius protrahere in qua
dam lin eam tranfuerfam,& rurfus alia erit inter eas comparatio.
I.
GEOMETRIAE LIB.
z
Te quado duas lineas,altera longam, altera vero breue habes,& defi-
deras vnam tertiam illis breuiorem,proprortionalem tamen,ita quod
quemadmodum fe illa: dua: inter fe habent,fic fe habeat illa tertia in-
uenta atque minima ad mediocrem , tum adhunc modum opera-
rc.Coniunge duas illas fecundum longitudinem, ita quod ex eis vnafiat tranf*
uerfa,quam figna literis a b c.&pone a.in extremitate maioris,b.vero in loco
iun&ur£,8£,c.in fine minoris: deinde accipe logitudinembreuiorem bc.8£ ap¬
plica eam termino fuob. extremitati a. 6 C termino c. declina eam plurimum
verfus traniuerfam ab c,8£ duc ab extremitate c . declinatae lineam obii-
quam 5 ad pundum b.in tranfuerfa:ha:c obliqua includit triangulum a b c ^ Ia
praediatam declinaram lineam b c. produc aliquantum vitra c. in continuum
& re&um atque ex pun<fio c.tranfuerfae duc parallelam ipfi b c.obliquae,& vbi
ea iecat prologata,illicferibelitera d.Eritigiturlinea breuisc d.proportiona¬
lis ipfi a b.& b c.longioribus } 8 L fic fe habebit ad b c . mediocrem vtfehabet
ipfa b c.ad a b.maximanr.nam a:quidiftantes c d. &C b c.abicindunthas lineas
ptoportionaliter.Hgcfunt digna cognitu, 8£ ad multa vtilia.
48 albertj dvreri
To
Dhuc cx linea reda efl: diuidenda curua,pcr curuam,hoc modo. De-
feribe arcum circuliab.& coniungea b.per lineamredam,quam per
duo punda i.& ^.partire in tria aequalia interualla:quofado,figc vnu
circini pedem in pundo b.& altero per a.ducarcum-.deinde conftrin
ge circinum parum, 8£ relinque pedem immobilem in b.8£ reliquo ex fignou
protrahe arcum,ipfum a b . arcum fecantem. Ita fac etiam cum nota * .mane-
bitep b. centrum ad omnes tres arcus, quemadmodum inferne protraxi .Ifta
quoque diuifio ad multa vtilis eft.
Aftenus linearum aliquot gcneradefcripfi, atq,etia oculisfubieci
Verum reflaret adhuc infinita pene ad diuerfos humang vite vfui
sxquibus opera ftupenda fieri poflent.fed qui bgc.qug ego monftr
r n ^ u i,re<Se perpenderit,atque in manusfumpferit.indefuumpercipie
rruaum,& longealtiora inueftigabit. r
finis Primi Libri»
ALBERTI
4 s>
PICTORIS EXCELLENTISSIMI INSTITV-
tionum Geometricam Liber Secundusqui elide fuperficiebus.
Oftquamin procedenti libromonftratumeft } quopado line¬
as quafdam ducereconueniat, reuertar nunc,quemadmodum
in principiopollicitus fum ad fuperficies planas,quarum ex in
finitis aliquot falte defignare docebo.Sed vt intelligatur, quid
fuperficies fiueplanu fit,id primo diffiniam. Eli igitur fuperfici
'es plana, res quo per lineas clauditur atque feparatur, ne<j ad¬
huc corpuscotinet:huiufmodi fuperficies, feu figur^partim redis,partim cur-
uis, partim etiam redis St curuis lineis defcributur.Et vt lineo,fupcrficiem,fic
fuperficies includut corpus.Nunc per Euclide certu efi,q> du£ lineo redo,fupfi
cie nofaciut, quare ne<| figuram :nam nihil poffunt ex omni parte circudarerfi
ducatur iquidiftanter, remanet in vtraque parte apertura:fi vero protrahan tur
x quod ex altera parte con¬
currant, tunc patent in
0 reliqua, quod hic often-
- di per duas lineas paralle¬
las a b, St c d , atque eti¬
am e f, St g h, quo in vna
parte angulum efficiunt.
Vum vero duo lineo curuo a St b,feinuicem refpiciunt concauita-
tibus fu is,eo protradg claudet figuram:fed egdem lineo figuram eti
am efficient fi conuexitas vmus applicetur concauitati alterius,at<j
hoc figura fimilis eritnoug luno.Pari ratione, fi curua d,protrahatur
*bp cr rc< ^am c.comprehedet fuperficiem.Item linea curua,quofuperficiem in¬
tra fc continet, non habebit angulos fi altera parte longior ducatur. Rur-
fus planum,
quod redis li
neis circum-
fcnbitur
ncangu
fe no poteft.
Confimiliter
fieri neccfle
cft etiam in
integris cor-
poribu s.
Hoc oculit
ad latus hic
fubieci*
5o
ALBERTI DVRERI
Orrdpriufquam figuras defignare incipiam,de angulis nonnulla pr^
fabor .Primo igitur notandum eft quod angulus prominens & finua-
cus aquales habent lineas,dilcrimen tamen eorum in opere huiufmo
_ di eft,fi acutiem confideraueris externe,dicetur angulus porre&ior: fi
vero profunditatem interne,finuatus vocabitur:quod inferne hocpa&o ^ptraxi
ad angulum prominentem fcripfi a,in concauum autem fiue finuatum pofui b.
IjJNguli quoque tripliccsfunt,eft enim redus,obtu
fus & acutus, qui hoc modo facile defcribuntur:
pro angulo redo defignado, duc binas lineas pro
arbitrio,fe interfecantes ad fignuma,in quopofi-
to cir cini pede protrahe arcum per tres illaru linearum ter¬
minos, 8C vbi abfcinduntur,illic adiice b c d,literas,deinde
coniunge b c & c d, dudis lineis b c & c d,eritquc angulus
b c d,redus.Quo fado continua lineam d c vfque ad e,& inclinalineam b c ex
tremitatc b verfus d,habebiscp duos angulos b c c obtufum,& b c d acutum:na
quod vni aufertur,alii adiungitur.hoc fic deliniaui.
3
<n
A
i i i i •;
e-
%
•i
Vando linea fuper lineam cadit perpendi culariter,tunc fiunt quatu*
or anguli redi:fi vero vna fuper aliam ceciderit oblique, erunt angu¬
li contra fe politi gquales, fiue fuerint obtuli fiue acuti, vt hic videre
licet.
redi
anguli
>
Ria illa angulorum genera etiam delignari poliunt lineis curuis, 8£
hocdiuerfis modis, vt cum arcus fefc refpiciunt finibus fuis, veluti
duo circuli fe inuicem fecaret:dcindc quandofe refpiciunt conucxi-
tatibus, vt quum dux pyramides fc in vno punito tangunt , efficiunt
GEOMETRIAE
LIB. II.
tales angulos duos. Variatio etiam exiftit in magnis 8t paruis circulorum arcu
bus,quum ex eis anguli fiunt. Anguli quoque defcribikurarcubus'circuli,quo-
rum conuexitas vnius afpicit concauitatem alterius qui formam inducunt de¬
tis apri, qui etiam poflunt aqualibus aut inxqualibus arcubus lignari.Tadem
angulos claudunt,curuae SC redae lineae,& poteft curua linea redg opponi con-
uexitate vel concauitate.Huiufmodi angulos hic aliquot fubieci.
H Orro clarum eft,quod nulla fuperficies redi linea paucioribus quam
tribus redis lineis circumfcribi poteft: nam ad minimum claudunt
tres lineae redae figuram triangularem. Triangulorum vero rediline
orum tria funt genera.Primo eft triangulus qui tria aqualia habet la
tera,atqj tres angulos inuicem aequales. Deinde eft triangulus duorum aequalifl
laterum,& vnius inaequalis illis duobus,qui etiam continet duos angulos aequa
Ies,& tertium inaequale.In poftremo triangulo funt tria in^qualia latera,& tres
inaequales anguli.Triplicesilli trianguli poflunt etiam curuisdefignari lineis,
vetfus interiorem vel exteriorem partem flexis.Item lineis tortuolis.Fiun t prg
terea figurae,quae nullum habent acutum angulum, eae circulorum arcubus auc
lineis tortuofis fignatur,quemadmodum inferne protraxi.
ALEERT1 DV&EKl
Am fciendum eft, quando quatuot* linea: reda:, qua: omnes habent
eandem longitudinem,applicantur ad angulos redos, efficiunt qua¬
dratum quod fit a.Deinde funt etiam alia: figura: quadragul^at n6
aequalium laterum: vna fcilicet eft quatuor aqualium anguloru,fed
duo latera oppofitafunt longiora reliquis duobus,haeceftob.Tertium quadra
gulum habet quatuor latera aqualia,& duos angulos oppofitos,aquales inter fe:
duobu s vero reliquis oppofitis inaequales,qualis eft figura c. Quartum quadra-
gulum eft fimileei de quo iam diximus,fed habet duo latera oppofita longiora
aliis duobus oppofitis vt eft quadrangulum d.Qujntum quadrangulum habet
duos angulos redos , duo latera aequalia, SC duos angulos ingquales ac reliqua
duo latera vnutn maius altero,veluti in quadrangulo e,apparet.In Texto quadra
gulo eft angulus rcdus,duo latera a:qua, duo reliqua inaequalia duobus priori-
bus,fed aqualia inter Te, ea poflumus aut breuiora aut longiora facere duobui
aliis redum angulum continentibus-.hocquadragulum vno redo,duobus acu-
tis,quarto obtufo abToluitur angulis, quemadmodum in f,videre licet.Rurfus
eft quadragulum vnius anguli redi,trium gqualium laterum,& iterum in gqua
lium angulorum vt manifeftum fit in figura g . Poftrcmdcft quadrangulum
quatuor inaequaliumlaterum,& angulorum ,fitq} illudh. Huiufmodi quadran
gula multifariam fieri queunt vtpotclineis curuis, in interiorem vel exteriore
E artem fi exis, quemadmodum inferne diuerfis modis deliniaui fecundo alpha**
eti ordinem.
-
GEOMETRIAE LIB, II.
IVnc monfirabo quopado in fuperficie
planafiguro «quiangulg defignan queat,
quales (unt tnagule 5 quadranguj^petago
l nix & hexagoni a: .Primo delcn.be hexa-
gonii,quod ipfum circinus perie vna-apertura prae¬
beat. Accipe igitur etreinu &C pone eum vno pede in
quoddam centrum a 5 & alio deliniatocircumferetia
quantg volueris quantitatis-,deinde immoto circino f
metire circumferentiam,habebis fex partes, eas no¬
ta numeris 1,2,?, Sdr.quofado continuapunda n y ^
34, 5 cc.ductis redis lineis, 8 £fiet hexagonu abfolutu.
Nec poteris hallucinarimam a centro ad cireumfere
tiaell vna fexta. Item quodlibet hexagonilatus in¬
ter duo pudaetiam fexta eft,velut hicfubieci.
jRoximefequitur vt per hexagonum intra
circumferetiam triangulum defendamus,
jin huc modum. Sume priorem peripheri¬
cam cumfuisfexpundis,ex quibuscoiun-
5 $
IO
ge 8 C " ? 5 i }J p tradis lineis redis,contingetque
vt triangulus circumferentiam tangat, 8 C lit «quila-
terus ac «quiagulus,quemadmodum hic eft videre.
Am ex prodido trigono eius circum fe
rentia communi quadam via, quapro¬
pter breuitare in operibus vtimur,hepta-
gonu deltgnaboiic. Ex centro a in nota \
duco linea reda, 8 t fec-abitur latus trigonii 3 per me-
diu,illic feribo b, 16 gitudo igitur i b,circuibit fepti-
es quemadmodu in procedenti figura oftendi atque
etiam hic deiiniaui.
Offumusfacile ex heptagono iam deferi-
pto figura deducere quatuordecim aqua¬
lium laterum, atque angulorum , in hunc
modum . Accipe arcum circuli heptago-
ni inter 1 ac diuide eum bipartito, cum hac lon¬
gitudine metire circumferentiam, fientque in ea x \
quatuordecim punda, quo per lineas redas coniun-iz
ge, 8 C habebis figuram quatuordecim «qualium
laterumangulorum, vthicmanifefte apparet . TI
Ex hac fuperficie per predidam artem potefl: fieri 10
alia' 3 laterum atque angulorum «qualium.
: ... • ’ E iii
/-.i I'
I
54 ALBERTI DVRERJ
Efcribo nunc intra circinationislineam quadratum hoc pado. Ex a
centro duco circumferentiam,atque per idem centrum a,traho diame
trum tranfuerfam,& vbi ea contingit in vtraqj parte peripheriam, il-
licadiiciob 8C c. Deinde ago rurfus per centrum a aliam diametrum
perpendicularem,fecantem priorem ad angulos redos, & vbi pofterior dimeti¬
ens fcindit rotudationislineam fuperne, afcriboiiteram d, 8t inferne e,poftre-
mo continuo punda b d,d c,c e, & e b, praedidis redis lineis.Hoc quadratum
applicatur circunferentig ex omni parte aequaliter,vt hic eft videre.
Am commodum eft, vt odogonum aequilaterum atque aequiangulu
defignemus,quod in hunc ferme modum fieri poteft, repete praedida
circunferentiam b c d e,in qua tibi fumitolatus quadrati b d,cuius at
cum feca per medium in pundo f, deinde protrahe lineam f d, ea erit
latus odogoni aequilateri intra circinationis lineam defcribendi. Exhocodo-
gono facile deducetur figura fexdecim aqualium laterum & angulorummam fi
diuidamus arcum f d bipartitoin fignog,atqj trahamus lineam gd,dabit ea la¬
tus fuperficiei {exdecim laterum aequaliu, quae fi rotudationis lineae applicetur,
erunt & anguli aequales, qucmadmodu jpximae tres figurae ponunt ante oculos.
Equitur nunc monftrare quo pado pentagonus intra circulum defi-
gnari poflit,quod fic expediemus. Ex quodam centro a,deferibito cir
cumferentiam, in qua diametrum duc tranfuerfam, qu£ vbi fecat in
vtraque parte peripheriam,adiicito b & c.Deinde trahito quoque di
metientem perpendiculare ipfi tranfuerfo ad angulos redos,& fcdione illiusfu
perne cu linea rotudationis,nota litera d .Poftea partire a c femidiametru p me
dium
GEOMETRIAE LIB. II.
diu,fitq$pudus partitionis e.Ia centro e,interualIo vero e d,liniato arcu a figno
d,vfque ad lineam a b,quam vbi abfcindit,fac notam f, eam continuato cum d,
produda linea f d.Hsc longitudo fd,erit latus pentagoni intra circinationisli
neam ftatuendi.Item f a,latus dabit decagoni gquilateri & aquianguli.Si nunc
ex ligno e,linea excitaretur vfij ad arcum d c,ipfi a d parallela, haberetur fepti-
ma circumferentis pars mechanice,vt hic videri poteft.
Am pentagonum conftruere docebo vna circini apertura,hoc qui f e .
quiturmodo.Efto linea a b,vnum pentagoni latus,cuius extremitate
a,facio centrum SC ad interuallum a b , deferibo circulurmrurfus cen
tro b,fpacio vero b a, delinio alium circulum fecantem priorem, fu-
perne quidem ad c, inferne vero ad d, qus duo punda linea reda coniungo,
Nuncfuper centro d,protendo arcum,per vtriufque circuli centra SC circunfete
tias,quas vbi abfeindit noto per e f,item fedioni ipfius SC lines c d,adiicio g li-
teram.His perfedis cotinuo lineam eg,vetfusg,vfque in peripheriam a^f d,di
vbi eam contingit,illic fcriboh.Confimiliter etiam produco lineam f g, donec
cadat in circinationis lineam b c e d, 8C locum contadus figno litera i.Deinde
duco lineas a i,& b h,habeoqj tria pentagoni latera,reliqua duo applico perpen
diculari d c prolongat ^,SC terminis i SC h,quo fado erit pentagonus abfolutus,
velut hic defignaui.
X hoc pentagono ,SC adminiculo fupradeferipti trianguli,commode
3 deducitur quindecagonus squilaterus SC squiangulus,hoc pado.Ex
centro a , protrahe circumferentiam, cui applica latus trianguli,
quod fit fuperne b,8£ inferne c,deinde fume longitudinem lateris pen
tagoni, quam pone vna extremitate fuper b pundum, SC aliam iunge periphe-
56
ALBERTI DVRERI
rise,inter b Si c, ac locum contadus lignato litera d, quo fado remanet inter c
& d,arctis quidam,quem diuideper aqualia in pundo e.Iam fi ed, punda coti-
nuaueris per lineam reda,habebis latus quindecagoni intra circulum defignan-
dijquemadmodumhic delmiaui.
Onagonus per triangulum inuenitur, hoc fermemodo.Defcribeex
centro a,circulu fatis amplum,in quo defigna circino inuariato tres
pifcium veficas,quarum fupremie terminus in circumferentia eftob,
[ 11^ 121^ 1reliquarum ad latera fint c d.Hoc fado protrahe lineam redam a b,
eam diuideperpunda Si 2 ,in tria fpacia^qualia,fic quod dit propius ipfia:per
hoc lignum ^,age lineam tranfuerfam ipfi a b perpendiculari ad angulos redos,
8C vbi hac tranfuerfa linea vcficae in vtraque parte abfcindit,illic nota e Si f. Ia
fume circinum,cuius locato pede vnoin cetro a,alio ex fignoe,peripfumf, duc
rotundationis lineam,circuibitque longitudo ef, nouics intra hanc peripheria
quod hic etiam lubieci.
X ; : ..... »;■ ...
GEOMETRIAE
LIB- W
Vum promptehendecagonum intra circulum defignare cupio,fumo
quartam diametri partem cui adiungo odauam eiufdem quartx&
cum hac longitudinecircumcointra circumferentiam,quam fic pra¬
eite admodum metior, ita quod mechanice non autem demoftratiue
id quod propofitum erat, inueniatur.Qijod fi circulo figura tredecim laterum
atque angulorum aqualium inferibenda fuerit,tunc ex quodam centroa,circii
lum feriboin quo excito femidiametrum a b,quam per medium fccoin pundo
d , quo fado vtor longitudine d c, qua trcdecies intra peripheriam circumeo,
fcd hoc quoque mechanice , & non demonftratiue verum efle credendum eft.
Vemlibet circuli arcum, qui mihi proponitur ,diuido in tres partes*
hoc pado. Arcus ille efto a b, cuius extremitates fint coniund^ reda
linea,qua vt Cupra docui,Ceco duobus pundis c & d,in tria interualla
aqualia,deinde pono circini pedem in fignum a,& alio protendo ex c,
lineam curuam K vfque in arcum a b, quem vbi abfeindo,illic feribo literam e.
Poftea centro b, interuallo vero b d,arcum delinio vfque in ipfum a e b.arcu,
& vbi is fecatur,adiiciof.Hocfado erigo duas lineaspcrpendicularcs,expudis
c & d, quae vbi cadunt in arcum e f.noto g St h. Sic erunt longitudines a e,g h,
& f b,in dato arcu a b,aequales ,St remanent duofegmeta cg SC h f« Iam circini
pede fixo in a,alio duco arcum ex g,in lineam c d,& vbi ea fecatur,pingo i lite
ram.Rurfus ex centro b,excito arcum perh & redam i d, SC ei Ccdioni in linea
i d,adfcribo K.His perfedis partior c i,& K d,in tria fpacia aqualia,& pede circi
ni fito in a,reliquo ex pundo, qui propior eft ipfi i, arcum circino vfque ad te -
gmentum e g,vbi figno fedionem litcra 1. Poftremo facio b centrum,ac ex diui
fione,qu£ eft proximior ipfi K,arcum delinio verfush f,inter quae ad terminum
cius arcus feribo m. Hac arte datus arcus a b,parti tus eft per puda 1 SC m,in tria
aequa in terualla,quemadmodum hic oculis fubicci.Sed qui hoc exadius expc«
dire voiCt,qu|rat demonfiatioaem.
r
58
Alberti dvke&i
C1/J fi**
I quis in pauimentis aut parietibus figuris vellet vti circularibus,eas
duobus modis inter fe poterit applicare: Primo quidem per quadra¬
ta, deinde etiam per rhombos. Perquadratum hocferme agendum
erit modo.Defcribe quadratum a?qudaterum atque gquiangulum,8£
(eca id duobus perpendicularibus, ac totidem tranfuerfis in nouem quadrata
aqualia,m quibus lingulis qua?rc pundum medium,in quo polito circini pede,
alterum extende tantum,vt omnia omnium quadratorum latera queat contin¬
gere,ac fic delinia in lingulis quadratis cirumferetias,ipforum latera tangentes,
atqjita vnus circulus quatuor alios attinget.Remanent quoque inter quoflibet
quatuor circulos figura? quadam quadrangulares,quarum latera verius interi¬
orem partem funt flexa.Porro circuli quoque in rhomborum modum coniun-
guntur,&’tuncrefidua? erunt inter quoflibet tres circulos fuperficies triangu-
lareSjlatera habentes flexa verius,partem inferiorem.Hoc ita expedire couenit.
Enge quadrangulum v^.4.altum,quatuor triangulorum a?quilateroru, qui la¬
teribus 8t conis rede vnus fuper alium flent: latum vero trium talium trigono¬
rum,qui angulisfe inuicem tangant, fic quod totum quadrangulum contineat
vigintiquatuor triangulos integros,ex integris & dimidiis colledos:at integro¬
rum quidem angulos nota literis Alphabeti vfque ad r,quo fado, pone circi¬
num vno pede m punda literis lignata, & alium diftende per dimidium triagu
li latus 8C feribe circulos,& femicirculos quotquot poteris, habebifque feptem
integros dC ^.dimidiatos, qui omnes faciunt duodecim integros.Et vbi huiuf-
modi circuli multi applicantur,vnus alii,coniungut femper fex feptimum.Pof
fumus etiam circinationes multifariam inter fe SC diuerfa opera ex eis coficere:
harum aliquot fed eiufdem forma? defignabo , ex quibus multa alia deduci
queant.Ex centro a deferibo peripheria,ea diftribuo in duodecim partes pqua-
les,8£ ex lingulis partitionum -pundis inuartato circino circumferentiam linio
tranfeuntqj duodecim illi circuli perdecimitertii centru a, ex quo rurfusextra
primu circulum per fediones(qua?funt c d e)duodecim alioru ^traho adhuc
quatuor circulosmaiores. Qui in circulo ftella fex radiorum voluerit defigna-
re,is immoto circino id hocpado expedire poterit.Ex centro a,excitetur circu
ferentia in qua ad lignum b, figatur circinus vno pede,reliquo protendatur
arcus per centrum a in vtranque partem peripherig, quam vbifecuerit,fcriba-
tur h $£ c .Deinde fadocentro g,ducatur ex b arcus per a centru,vfque in alte-,
ram circumferentia partem, vbi notetur f. Poftea locato circini pede in c,alio
protrahito ex b arcum per ipfum a, ad rotundationis lineam in qua fignetur
d.Con-
UB, 11
G £ O M E THIAE
d.Confequenterex centro d, feribaturper cSC a, arcus vfq? ad circinationisli-
neam,vbi ponatur e.Nunc ex e,ducatur arcusf a d.Poftremo ex centro f, feri-
bendus eft arcus g a e,5£ erit ftella hac abfoluta.Potes tamen (i libet, circinu pa
rum conftringere, SC paruos circuloru arcusinter literasdefignare.Item aliter:
ex centro a deicnbe circulum, eum diuide quatuor pundis b c d e, in totidem
aqua interualla, ita quod b fuperne,& c inferne,d e vero ad latera veniant. De¬
inde diuide quartam bd,per pundumo,& beper q,&ecperpundump, item
cd per r,quamlibet bipartito. Quo fado fume circinum quem pone pede vno
in b,8£ alio duc arcum f a g, iterum fige circini pedem in c,8£ reliquo protrahe
arcum h a i.Poftea ex centro e, arcum delimato m a n.Tandem fixo altero cir.
emi pede in d,altero excita arcu K a 1. Iam locandus eft circini pes in o lignum,
SC altero producendus eft arcus per a centrum ,in vtranquecircunferentixpar-
tem,in quibus inter b SC m,fcribeda eft litera s.&T inter d SC h,t litera:facito nuc
pundum p. centrum,& trahe pera, circinationis arcum, in ambas peripheti as
partes,quasnotainterl SC c.litera v, & inter g& e, litera x. Pone porro circini
pedem in r & reliquo per a centrum protenditoarcum per totam circuli fuper-
ficiem,& fediones in rotundationis linea fignato, eam quae eft inter f SC d,cha-
raderey : alia vero qux eft inter cSC n litera z.Nunc ex centro q,producito ar¬
cum per a ,in circumferenti^ partem,& vbi eas contigerit,illic vtrinqj inter K8£
b, fcribe a i, & inter e 8c i a *. His perfedis excitato in lingulis foliis acutis,
quse per circulorum arcus fada funt,binos arculos hac arte,6ifte circini pedem
in pudum g dC altero liniato arculu a centro a,per folium quod eft fub K ai, de¬
inde pone vnum circini pedem in fignum x, SC reliquo duc ex centro a, fecun¬
dum arculumin eodem folio.Sic operare per fingulaodo folia acuta, SC quare
horum arculorum centra in extremitatibus arcuum qui folia claudunt.Sunt
quoque duo ftellarum genera delinianda,quorum alterum ex pentagono, alte¬
rum ex heptagono procedit in modum qui fequitur. Defcribe circulum circa
pentagonum atque etiam heptagonum,deinde applica pedem circini vni angij
loru qui in circumferentia funt, & alium extede in proximos angulos qui funt
in vtraqj parte,quos per arcum con tinuato.fic circumi per omnes angulos pen-
tagoni 3C heptagoni, et videbis q|ales ftellas hg protradiones defignent. Ea
quaefupra dida funt, proximg figur^ ponunt ante oculos,anfainqj praebent in-
ueftigandi altioramamcx circulis S£ arcubus carum,rerum diuerfarum inueni-
untur proportiones.
ALBERTJ DVRERI
O
GEOMETRIAE LIB. II. 4
Vnc figurarum aliquot angularium in pauimentis docebo difpofiti
onem,8£ quanquam in procedente de triangulis inter circulos fuerit
pertradatu,tamen in fequentibuseosextracircumferentias defigna
bo,& alio modo inter feconiungam,nempe hoc.Ego applico fex tri
angulos fuis conis cuidam centro a, deinde ncdo ad latera exteriora , lingulis
fex triangulis adhuc talem trigonum,quibus iuterpono rurfus alios duos,& lic
deinceps producendo triangulorum latera,& erunt noui trianguli.
Aliter poliunt adhuc trianguli inter fe difponi,ita quod nullum fpatium inter
eos relinquatur, quum fcilicet angulus vnius triangulimedio applicatur lateri
alterius trianguli.Qjiando fex trigoni fuis angulis coniunguntur,tunc efficiut
hexagonum,cui polfumus addere,fi lubet,adhuc alios triangulos.
F
&
tr«i
ALBERTI D VR ER)
V\
yv
/V
\A
\ A
\/ x
A/
|Tem quando quadrata ^quilatera &L srquiangula intcrfecomponutfi
tur,ea fcmper eandem ferme faciem habebunt, nifi quod oblique vnfi
jafii applicari queat,ad inftar rctisiquinetiam angulus vnius poteft di-
moueri ab angulo alterius, quemadmodum lapicida quadrat os fuos
claudunt lapides.
1
Hombi vero qui duos angulos oppofitos acutos,reliquosduosobtu-
fos habent, duplici modo inter feconiunguntur. Primo feparantur
hoc pa&o plures licet difponere.Quando odo rhombi angulis fuis acutis iun-
guntur,tunc efficient fteilx formam, quae per fex quoque & quinqj fieri poteft^
velut hic eft videre.
<
II.
GEOMETRIAE LIB.
t
N fequentibus quo pado pentagoni, hexagoni, heptagoni, & odogo-
ni,inter fe finguli difponendi fint tradam,diuerlis tamen modis. Pri¬
mo igitur, monftrandi gratia,pone tres pentagonos lateribus fuis fu -
per lineam quandam tranfuerfam,fic quddfe inuicefuis angulis con¬
tingant,deinde fuppone tribus illis totide alios, ita quoque quod lateribus fuis
applicentur lateribus priorum,fintqj omnes in vna linea trafuerfa locati,quare
SC hi fe angulis fuis inuicem tangent, quo fit vt inter pentagonos illos rhombi
relinquantur oblongi . Huiufmodipentagonorumordinem compone adhuc
vnum cuius vertices finibus immitte prioris:hiceftprimus modus, atque ardif-
fima pentagonoru compofitio.Iam compone tales ordines duos quemadmodu
prius fadum eft,& coniunge eos angulis fuis,ita quod quilibet pentagonus,vno
latere SC tribus angulis quatuor alios tangat pentagonos,remanebuntque inter
pentagonos illos,duplices Rhombi,eredi admodu longi, & trafuerfi breuiores,
fed latiores. Hgc copofitio extendi etiam potefl: quatum voluerimus. Porro
pentagonos in hunc quoq$ modu componere licebit. Primo fiftepentagonum
vnum,cui iunge ad lingula latera aliumpentagonum aequalem, deinde applica
qumq} illis pentagonis,cuilibet ad duo latera extrema adhuc duos pentagonos,
& fient inter pentagonos illos quincg rhobi fatis tenues. P oftea impone penta¬
gonos linibus,qui fadi funt in circuitu, fic quod verticibus fuis tangant rhom¬
bos illos tenues,qui prius formati fut:fic facere perge quoad opus fuerit. Potes
etiam quinq? rofas ex pentagonis conficere,qug omnes cohaereant, deinde alias
quinqj inuertere,& prioribus adiugere,atq* ita deinceps cotinuare & fpacia in¬
ter eas parergis qbufcuqj libuerit implere ifta omnia hic funt defignata.
ALBERTI DVRBRI
e4
I
}
'i
f
GEOMETRIAE LIB. IU *s
Temhexagonos tribus modis componere docebo.Primo eos fic im-
f\ plico,vt omnia latera, atque etiam anguli feinuicem tangant & n i-
'0^: hil fpatii inter cos remaneat. Deinde eos compono, vt folum anguli
• £e inuicem contingant,&: fic relinquentur triaguli inter hexagonos.
Tandem compingo eos vt quilibet duobus lateribus,ac totidem angulis, circi-
nos quatuor contingat ,SC tunc rhombi inter eos erunt vacui: lfta fic deliniaui.
B pFfEptagonos duobus modis inter fe compingam: primo vt angulis fo
m Ilum inuicem fc tangant,& fic relinquenturtrianguli,'8d ftellac qi&tu
|| gPor radiorum inter ipfos.in eis ftellis iblent fierfquadrangula, qus lu-
^is angulis attingunt angulos heptagonorumivel lines ducuntur obii
qua: qusfe in medio ftells interlecant.Poftea applico duolatera, deinde duos
angulos,direfte vnum fuper alium, S£ quando tales ordines vnum iuxta alium
pono, tunc fino angulos, qui ad latera funt, fe inuicem tangere, manebuntque
quadrangula 8£ priores fiells inter heptagonos. Item quando beptagom lu¬
is lateribus funguntur, ita quod femper duo anguli extra & vnus intra promi¬
neat,tunc circuitum conficiunt in modum circuli, fed non complent eum, ic
faciunt etiam pentagoni. ^ _
ALBERTI DVRERI
Vnc octagonos triplcitercompona,Prim6 quod angulis fms,& du¬
obus lateribus fe inuicem cotingant,& manebunt trianguli inter eos
vacui. Secundo eos (ic coniungo vt quilibet quatuor lateribus Tu¬
is quatuor alios tangaf.ac dire&e fupra & iuxta alios,fecundum du¬
as lineas, qup fe ad angulos re<flos fecant, confiftat:tunc relinquutur inter eos
quadrata flantia oblique. Tertio vnum alii applico oblique,reflat inter eos
figura quadrat^ perpendicularkercretfl^tifta omnia inferne deliniaui.
Huiufmodi figuris licebit vti io pdificioru imo qlo, & pauiffietisdtcmnos
poffumus diuerfa praedi&arum figurarum genera certo in Te ordine difponere,
& areas qii£ inter eas remanet,vacuae egregiis quibuTdam lineameris exornare.
Sunt
GEOMETRIAE LI B. II. ^
Sunt etiam qui irregulares quafcam figuras qu^ inasqualia habet latera pul¬
chre inter fe diftnbuant, ex quo ornamenta multa fumuntur, Saspe vfu venit,
vt triangulcs,quadrata,pentagonos, at<g alias iftiufmodi figuras per fe ipfas di
ducamus,& angulos vnius per latera alterius^ptninere finamus, cuius rei infer¬
ne fex fchemata fubieci. Aliquando figura circa,aut intra aliam locatur, quod
commodiffimefit quum figura parium angulorum aliisetiam parium angulo
rum applicantur vel e contrario . Poftremo figuras paruorum angulorum
plures poffunt circulo infcribi, quam polygonias,quodhas feipfas impediant,
Qug fupra di&a funt in hunc modum protraxi.
ALBERTI DVRERl
Qflumus innumeras figurasinaequaliumlaterum defcribere,qu£fu-
is angulis circumferentiam attingere nequeut,ex quibus egregia co-
pofitiones fieri fclent . In plano quoque varia:figura comunguntur,
veiut trianguli,quadrata,pentagoni,hexagoni,heptagom SC odogo-
ni,ex quibus ardua opera multa in pauimentis coelis imis perficiuntur,vtdi-
dumeftprius.Item regulares SC irregularesfigur^ fimuletiam compinguntur,
quserurius pulchram conftituunt conftrudionem, vnde vari£& excellentes
proueniuntdedudiones.Si lfta omniaindicare conarer, fieret liber nimis pro-
lixus:quocirca fibi quilibet de his rebus fumat cogitationem,
lam dignum cognitu eft fcire,quo pado diuerfa figura in capacitate, fibi inui-
cem fiant aquales,vt fi tnagulus aliquis proponatur, cui aquale quadratum fic
conftituendum , fic quod quadratum tantum contineat , quantum datus tri¬
gonus,quod SC de aliis figuris regularis cenfendum eft,hoc in hunc modum ex
peditur.efto triangulus a b c,cuius latus a c diuide bipartito in pundo d,& duc
Irneam b d,quae triangulum a b c fecat per medium, tunc fi medietas a b d, in-
uertatur atqj applicetur alteri medietati b c d, erit a b c d quadratu altera parte
longius, quod tantum comprehendit, quantum a b c datus triangulus. Nunc
potes ex parallelogrammoilio redangulo quadratum conficere,quod fit aqua¬
le triangulo primitus propofito:id ficabfolue. Accipe de quadrangulo a b c d
duo latera,maius 8 t minus, ea applica direde ac nota tria eius punda e f g, de¬
inde pone m medio lineae e f g, punduh,in quo lito circinipedealio protrahe
arcum ab e vfcp ad g,quo fadoenge ex pundo f lineam perpendicularem, qua:
circumferentiam tangat ad fignum i. Si nunc quatuor lineas aquales ipfifi, ad
angulos redosconiungeres, fieret ex eis quadratum aquale tetragono longo a
b d c,atcg etiam trigono a b c.Triangulus etiam hoc modo breuitatis caufa qua
drato comparatur: diftnbue latus quadrati in duas partes, qualium tres fume
pro latere trigoni.H^c omnia hic oculis fubieci.
I quadrangulum altera parte longius proponatur, vt aliud fit confti¬
tuendum , aut minus aut maius, fimile tamen,hoc ita inueniendum
eft. Defcnbe parallelogrammum redangulum, fuperne a b, inferne
vero c d, in eo duc diagonalem c b, quam protrahe vitra b quantum
opusfuerit:3£ bafim c d,continuato etiam vitra d quoad faris videbitur.Qiium
iam quadrangulum vis tacere minus,pone in tranfuerfa c d fignum e,ab ipfod
diftans pro arbitrio,& erige ab hoc pundo e,perpendiculare vfq? ad c b diame¬
trum vbi f notato, a quo lpfi a b trahe parallelam ad a c vfque,quem locum fi-
gnato
GEOMETRIAE
LIB.
II.
gnatoliteraghabebit^tetragonus longusfg ce, fimilem menfura ipfiabccl.
Qyod fi parallelogrammum maius con It ruere velles quam fit a b cd,id eo mo¬
do extra datum quadrangulum abfolues quo prius abfoluifti intra, velut hic
quoque defignaui.
-m' r P
Vod fiprirdidaquadrangula qua? femper manent eiufdem fimilitu-
dinis velles augere, vt in duplo, triplo aut quadruplo plus caperent
quam antea,hoe modo pro e lendum eflet. Defignato quadrangula
3)1 oblongum a bc d, vel ut in procedente di dum eft, id pone fecundum
longitudinem tranluerfe.DemdeEicduosadhuc talestetragonos longos,acap-
plica eos vtrinque ad latera primi: atque angulos iftius longi parailegrami no¬
tato (upernee f, limiliter etiam inferne. Quofadodiuidefuperiuslatusei:,in
pundogper medium, & fige circinum vnopedein pundum g,acaltero ex an-
guloe,producitofemicirculum per partem fuperiorem vfque in f. Poftea pro¬
trahe lineam c bfurfum, donec contingat femicircumferentiam ad fignum h.
Ha?c linea bh longitudoeft quadranguli,quod duplum erit ad quadrangulum
a b c d.Sed ad inueniendurn huic longitudini debitam latitudinem,vt quadra-
gulum fimile fiat priori,faciendum erit qntmadmodu in przcedente iuflimus.
Scribe in tetragono a b c d diagonale d b,quam vitra b prolongato quantu pla¬
cuerit. His pfedb accipe finea b h,.<& applica ea in vno termino pudo d , 8e vbi
alius cadit inter e &'F,in ipfa linea d f,illic adiicelitetam i,inde trahe linea per¬
pendicularem furfum vfque ad diametrum d b,qUam vhi fetat nota K, i quo
duc ipii e f,a?quidiftantem vfque ad lineam d a prolongatam,& vbi eam abfein
dit illic adfcribitoliteram 7 1. Et rontinebir quadrangulum 1 K i d in duplo plus,
qua quadrangulum a b cd,& funt fimilia inter fe.Sin autem quadrangulum a
b c d triplandum fuerit,tuncadiunge adhuc tale quadrangulum fecundum io
gitudinem tribus prioribus, & erunt quatuoranguli iftius oblongi parallelo-
grammi eme m:iam filte circini pedem in pundum b lineae ni fuperiori$,& al
tera liniato arcu ex ligno e per partem fuperiore vfqj in m,ac ptrahito lineam f
f furfu donec cadat in nuper deferiptu arcu,cui loco adde litera mifta linea f a
eritlogitudo quadraguli triplicati,q ponefup hnea e f applicado vna extremi¬
tate figno d,S£ vbi reliqua ceciderit vitra i,illic pingeolitera. Ex hoc figno o age
linea direde furfu ad prgdid<Uiagonale>acfedioatslQcu figaato charadere p,
AIBERTI DVRERI
a quo protrahe lineam tranfuerfalem atque parallelam ipfi o d lateri, vfque ad
lineam eredam qug ex d b furfum producitur,& angulum,quem duae illae lineg
efHeiunt,notato litera q . Quadratum igitur oblongum q p o d ter capit qua*
drangulum a b c d, & habet fimilem quoque proportionem,propter obliquam
diametrum.Hoc ergo pado,quo monftratum eft,poffumus huiufmodi paralie
logramma aut augere aut diminuerepro arbitriOjquotieslibueritjquemadmo-
dum infra defignaui.Per hanc artem poffunt multg res arduae expediri.
T exadius intelligantur ea quae hadenus didafunt, propter ingente
eorum commoditatem multiplicaboadhuc quadratum redagulum,'
atque aequilaterum feptics,quod hoc pado abfoluam.Ego ftatuo qua
dratu a b c d .cuius vnum latus odies in reda linea repeto,eius aggre¬
gati principium fit d,& finis e, deindediuido d.c. per pundum fbipartito
pono circini pedem inf,& alioducofemicirculum d e,atque latuscb quadrati
abed produco vitra b, in continuu SC redum vfque ad arcum d e, & vbi eum
contingit illic fcriboglitcramdi iamex quatuorlateribus,quorum quodlibet
fit aquale ipfi cg, quadratum conftruo,continebit ipfum lepties tantum quan¬
tum quadratum a b c d, velut hic deliniaui.
e
Ii.
GEOMETRIAE LIB.
yi
Itriagulumin^qualium lateru ad quadratum reducere velles, quod
ipfi triangulo fit £quale,fic operare.hfto triangulus datus ab c cuius
latus a c iit tranfuerfum ac longiffimum, & angulusb iit eredus,ex
quo in tranfuerfum ac, duc lineam perpendicularem, &vbieafecat
ac^illic fcnbe d literam.Deinde partire b d,per medium in pundo e,& a b in f,
& c b ing,& trahe per feg lineam redam, tanta? longitudinis, quanta eft a c,
ateg ex pundis a & c erige binas perpendiculares,qua? cadant in lineam f g traf
uerfam,& loca fedionum fignato literis,illum quidem qui exiftit fupra a litera
i,eum vero qui eft fupra c nota h,& continebit quadrangulum i h ca,tantum
quantum triangulus ab c. Sed fi huic parallelogrammoaquale quadratum co-
ftruendumefTet,id per circulum velut ante monftratum eft expediri poffit.
Item aliter poffumus etiam quod fupra didum eft efficere:fac triangulum inae¬
qualium laterum a b c, & include cum in quadraguium redangulum a b c d e,
ita quod trianguli latus maximum a b etiam latus longum fit lpfius parallelo*
grammi circumfcripti,& latus quadranguli e d fuperne tangat trigoni angulfi
c amphffimum: fic circumdatur triangulus a b c om nino a quadrangulo a b d
c,& capit trigonus parallelogrammi medietatem pnecif&quocirca quadrangii
lum a b d e,altera parte longius,fcindito per lineam f g in duo xqua parallelo-
gramma, eritque quadrangulum a g f e azquale trigono a b c.Poftremo conue-
nithuic tetragono longo sequale quadratum conftituereper iam repetitam ar*
tem,hac omnia hic defignaui.
i
ALBERTI DVRERI
7^
Ic animaduerte quomodo quadrangulum fit faciendum, quod tan¬
tum capiat quantum hexagonustoperare hoc modo.Defcribe hexa¬
gonum aequilaterum Si £equiangulum,intra circuli circuferentiam:
10 eo produc tres diametros a d, b e,& c f.Hae tres diametri oftendut
vnum centrum g,& efficiunt fex trigonosgquilateros Si aequiangulos.Deinde
extende lineam tranfuerfam Si pone fuper eam ex hexagono tres triangulos, q
feinuicem angulis luis contingant y Si (uper verticeseorum protrahe etiam li¬
neam redam, & fient quinque trianguli aequilateri, qui fe inuicem includunt,
cui aggregato applica ad latera duos dimidiatos trigonos.eritq? ex illo hexago
110 quadratu altera parte logius, aequale tamen ipfi hexagono:hunc tetragonu
longum reducito poftea ad quadratum,quemadmodum prius edodus esrquad
tantum continebit quantum hexagonus,vt in fequenti figura videre eft.Ita po¬
tes trahere omnes regulares figuras quotquot angulos habuerint.
Per^prccium effet fcire qua¬
dratura circuli, hoc eff, qua¬
dratu conftituere, propofito
circulo aequale . Sed hoc a
philcfophis mathematice adhuc non
demonftratu eft . At in hunc modu id
expediri poteft verifimiliter, ita quod
in opere paru aut nihil fallat. Defcribe
quadratum Si diuide diametru eius in
dece partes aquales,ex quibus odo fu-
me^diametro circuli,veiuthic^traxi.
Vando triangulus defignatur inaequalium lateru,qui tamen redum
habet angulum,tunc qualefcunque figur£fiant exiliis lateribus in fe
fe dudis,continebit femper figura que producitur ex latere, angulo
redooppofito,tantum quantu reliqug dux.Huiufmodi figuras pro¬
traxi inferne duas ? primo triagulum a b c, ex cuius lateribus trigonos deduxi,
deinde triagulum de f,cuius latera in feipfa duxi quadratim,quemadmodum
hic apparet.
GEOMETRIAE LIB.
II,
gigp^Vum. duo circuli arcusconcauitatibus fuis fe inuice refpicmt, atque
l 4 .<1x4\« c ]audut,i t a vt fpatium inter eos relinquatur longu & ardum,tunc ii
id Ipatium partiri commode voluerimus per lineas tranfuerfas, hoc
pado operandu erit.Defcribelinea perpendiculare (uperne a,&£ in¬
ferne b, cui duc aha tranfuerfam , quadpfam a b fecct ad angulos redos,& po¬
ne m irnea tranfuerfa verfus finiftra pundum c,diftans a perpendiculari a b, < p-
arbitriodn eadem diftantia,locato etia verfus dextra pundu d,in linea tranfuer
fa:quo fado fige circini pedem in fignu c,& alio ex a,produc arcu veri us b,con-
iimiliter fac etia ex pundo d. Deinde liniato duos circulos paruos,prim 5 fupra
tranfuerfam,& fecundu infra,ita tame, quod vterq? contingat linea trafuerlam
& ambos circuli arcus. Poftea duc duas lineastranfuerfales,vna contingentem
fupremam partem luperioris circuli,altera vero infima inferioris:iterum produ
cuo duos minorescirculos,alterum fupra &C alteru infra eos quos lam defigna-
uimus,quoru vterqj attingat circulu maiorem,& concauitate amborum arcuiu
item his minoribus circulis adde etiam fuas tranfuerfas,quas eos contingat, fic
deinceps progredere,quatum potes,& redo (e ordine omia habebut,veluti infer
ne oculis fubieci.Ex huiufmodi partitionibus multa egregia opera deducutur.
r
ALBERTI DVRERI
PICTORIS EXCEL LENTISSIMI
Ifrftitutionum Geometricarum Liber Tertius,
quieft de corporibus folidis.
Vum in procedente libro de fu perficiebus planis nonnihil dix¬
erimus , reftat nunc de folidis corporibus pauca quodam per-
ftringere,quo quidem hoc modo ex figuris planisprimodedu-
cam . Efto circulus b c d e,cuius centrum fit a,eum circulu
in altitudinem eleuo quantum libuerit,fietq? ex veftigio relido
columna rotuda . Deinde accipio fuperficiem triangularem,
fimiliter quadratam,pentagoneam,& hexagoneam,cum quibus afcendofur
fum quoad placuerit,velutiam didum eft de circulo,& relinquentur rurfus tri
angulares,quadrangulares,pentagoneo,& hexagoneo columna.hem qua-
do angulares illo figuro in fundamento a priftinofuo loco parum dimo
ucntur,ita quod anguli procurrentes vnus per latera promineat alte*
rius , atque ficin altum tolluntur ,tunciterum formantur pul¬
chro columno.Poftremo fundamentis illis columnarum po¬
teris facere angulos quotquot volueris, atque edu-
? cendo furfum ea circumagere tantum quantum
afcenditur,vel per medietatem,aut plus
n aut minus,quemadmodum hic
vtrum<jdefignaui.
GEOMETRIAE LIB. III.
MODVS PYRAMIDES CONFICIENDI.
A m ex prcedidis fundamentis furfum afcendo quantum placuerit ad
quendam verticem acutum ,SC fient pyramides triangulares,quadran
gulares,petagoneac & hexagonex, quas redas aut in modum cocleas
lnuolutasfacerepofiumus^tque angulis vti quot voluerimuSjquem-
admodum in procedenti de columnis didum eft,& hic quoque protraxi.
- , G ii
r
ALB ERTI D V RERI
Vando ha: pyramides iufta
menfura ponuntur fuper pri¬
us fa&as columnas, tunc tur¬
ris oftendunt corpus,quod ta
men ornametisaliqutbusdecorare con-
ucnit. Porro triplices funt pyramides,
prima habet conum fuumdiretfefupra
medium bafispun&um.
Secunda conus eft fupra extremitate ba
iisiquocirca in ea tuc agulus erit rc&us.
Conus tertia: pyramidis prninct vitra
fua bafim, quemadmodu hic deliniaui.
77
GEOMETRIAE L I B- IU.
Vum in praecedentibus a columnislibru aufpicati fimus,iam eas pro
lixius paulo pertractabimus.Nam multifariam omnino colunx con
ftrui folent,& fecundum onus, quod ipfis imponetur,earum fumeda
eftproportio.Sunt qui. columnis ipiras& capitula faciat,alii vero fo-
lum fcaposex fundamento erigunt:in fummitateaute propter fornicum arcus
diducuntur in partes,aut fcapi in altu continuantur,vt lingularia quaedam ar¬
cuum ornamenta in ipfisfieri queant, velutfiftria aliqua per canalem tranfeat
oblique,vel contrarium quiddam per alterum producatur:quando ifta certo fi¬
unt ordine, tunc reddunt opus infolens atque venuftum valde, quod ingenioli
archite&i obferuare folet diligenter.In huiufmodi fcapis licet diuerfis vti mu¬
tationibus in ftriis,ftrigibus,fafciis,angulis & trochilis.Sed hax: omnia in fuda
mento proportion ali ter defign are conuenit, atque deinceps in opus deducere.
Caterum fiquatuor fcapi ciufdem magnitudis vnus iuxta alium ponatur,quo¬
rum quilibet in fundamento proprios habeat ornatus, quando hi diducantur
in arcus,vt fornice coftituant,erit conftru&io mirabilis atqj elegans.Qui hifce
rebus deled:etur,pro arbitrio ipfis vti poterit. Porro cum plures fint,q magno¬
pere ament peregrinas quafdam arcuum coniun&ionesin claudedisfornicibus
propter earum venuftatem, inferne exemplar oculis fubiiciam,item aliquot fca
porum fundameta,quibus vti licebit,fi cui placent,interimetiam cymatia qug-
dam addam prominentia,qux ad fcaporum bafes pertinent humiliter fiue alt^
apauimento , In iftis proportionem quilibet facile animaduertet, nam fi om-
niafcribi deberent,fieret liber nimis prolixus. Tandem fundamenta quaefim-
plicibus lineis defignata funt nihilominus iuftam craflitiem atque amplitudi¬
nem exigunt,quemadmodum protra&a cymatia deinceps monftrabunt.Poflu-
mus etiam columnas facere diuerfis angulis atque ornariientis quibufcunque.
ili
i
?§
Ide tota architectura aut partibus eius differendi! fuerit, nemine ex«
celletem architedum latere exiftimo, quam iogeniofeartificiofeqj an
tiquus ille Romanus Vitruuius in libris £uis,de firmitate,vtilitate at
que ornamentis aedificiorum confcripferic: quapropter ipfius in pri¬
mis dodrinam fequendam effe ccnfeo.
Quum vero pro exercenda iuucntute columnam vnam aut alteram conftruere
conor,Germanorum mihi fubit animus, qui quum noui aliquid aedificare vo¬
lunt , nouum etiam ^dificii genus habere cupiut,qubd ante vifum non fit :quo~
circa peregrinum quiddam facere docebo, ex quoquilibet quod (ibi placet,fu-
mat atque pro arbitrio applicet. In terim etiam monftrabo quae ornamenta, do-
lobra,& torno fieri queant,rationem^ reddam vbi ea maiora ateg minora effe
conueniat.Ornatus ifti ad redas teretesqj res pertinent. Primo igitur columna
parato ? cuius altitudocraflitudinem imifeapi feptiescontineat, cum dimidia
eius parte,fed fafciamodaua parte craffiorem condrue ipfa columna,atque la¬
tam vnam odauameiufdem columnasfpiffitudmis,&fupeniecontrahe colli¬
nam ad feptem odauas: fafeia tamen Si annulus tantum promineant, quantus
eftimusfcapus, fitegiata ad proidur^ quantitatem : columna fic defignata Si
fundamento eius rotundo ex centro a protrado,inuolutis quibufdam parergis
eam exornato , ad quod quidem vti poteriscocleaelineaprimi libri, ac pnmo
quidem circuitibus verfus altera folum partem produdis, vel etiam in vtranc^,
vt iefe oblique interfecentifed in columna licet eiufmodi circuitionibus ad mi
nusodo verfus eandem partem protrahere:earum principia fumuntur ex cir¬
cumferentia depreffi fundamenti, quae in aqualesdiuiditur partes,a quibus li¬
neae redgducutur in colunafurfum.Qubd fitortuofgillsreuolutiones in par¬
tes diuerfas produdg fuerint,tunc ab odo fundamenti pundis fexdecim exeut
lineae fleduofae.Tales fpiras poffumus per totam columnam protrahere,vel in¬
ferne in tertia eiuspartd finire:veriim reoolutionesifi^ multis modis variatur,
Si plures excogitari queunt,atque arde vna fuper aliam £ eftatim in altum d u
cuntur,item in imo ardiores,3£ verfus fummu diftantiof s quoq? ^ptrahuntur,
per triangulum a b c decimaefext^ figura: primi libri, fliufmodi ^tradio-
nibus vti poteris in columnis qualibufcunque fine fuerim in medio ampliores
quam in imo Si fuperne fiue vbique gquales,aut inferne habuerint adiedionem
infummo vero contraduram,modo prodimenfionc columna lineamentorum
principia diuidantur. Porro prgdida coclcg linea ad coli mna diuidenda hoc
pado vteris. Difiribue primo fundametum rotundum in quot volueris partes,
quibus adiicefuos numeros,incipiendo a diametro tranfqerfa, ex his numeris
educere fpirasin columna 8£in ea aequaliter protrahere oportet,hoc qui fequi-
tur modo. Afcede cum lineis redis ex fingulispartitionibusdepreifi fundame-
ti,furfum vfqj ad imum fcapi, ea punda illic notato quemadmodum in funda¬
mento fuerunt rotundo : eodem ingenio, diuideetiam columnam fuperne,vbi
ftridiffima eftin partes cofimiies,quas numera vt inferius fadu eft. Deinde li¬
neis redis continuato punda fuperiora & inferiora in ipfo fcapo,cuius longitu
eline deinceps partirequatuordecimlineis tranfuerfis in quindecim interualla
8o ALBERTI BV11ERI
aqualia & incipe numerare abafi verfus eapitulumu?.?.&c. atcgfic totus fcapus
erit reticulatus. Ex illo multa fieri poflunt vtiliflima,fed huc propterea pofui,
vt reuolutiones circa columnam commodius duci queant.Nunc inchoatoin-
ferne/upra fafeiam a perpendiculari linea duc lineam tortuofam in colum
na oblique vfqj ad angulum perpedicularis*.& tranfuerfa: ^.Deinde ex aduerfo
protrahe furfum aliam tortuofam oblique a pun&o linea perpendicularis - vf-
que ad angulum tranfuerfg &L perpendicularis i.Hoc modo operare cum lingu¬
lis numeris omnium quadrangulorum quaefunt in columna. Aut delinia fpi-
ras illas verfus alteram Colum partem,vtfenon interCecent SC hoc in infima ter¬
tia duntaxat , SC producito lineas perpendiculares furfum per totum fcapum*.
aut ne hoc quidem,nili parum vitra infimam tertiam Jn Cumma his lingulis po
teris vti feparatim,liue aliquot eoru,aut omnibus limul. Ite fiue ducantur tranf
uerfa^fiuenon, poflumus tame multas res pulchras ex huiufmodi protra&ioni
bus facere,quod rede mtelliget qui periculum fecerit.
Pro hac columna capitulum fex modis parato quod centies,G opus fuerit,varia¬
ri poffit.Fac igitur quadratum quoddam tantg craffitudinis, quatusefi: fcapus
fu perne fub fuo annulo, altitudinis vero dimidia craflitudinis parte , fuper id
quadratum pone plinthum , qua habeat tertiam partem fpiifitudinis capituli,
fitq* redagula atcg quatuor aqualium lateru,lata vt poflit fuis lateribus capitu
li fupremam fafeiam prominentem contingere,quanta vero capituli proie&ura
efle debeat,ftatim dicetur.Plinthushaco&ogonafieri poteft, quemadmodum
paulo ante didum eft,at fi quadrata fuerit,latera eius ad circinu licexcauari po
terunt,producantur in ea duas linea* fefecantes ad angulos redos in pundo a,
atque diuidentes plinthum in quatuor quadrata aqualia ,SC continuato quam¬
libet linearum in vtranque partem quantum opus fuerit,ac terminis earum ad-
fcnbitob ede, quo fado,aperi circinum ad quantitatem lateris plinthi, ac fi-
fte pedem in quatuor illas literas, & reliquo arcus defigna in plinthi lateribus,
& quoflibet duos arcus, vbi ex plinthi lateribus procurrunt, linea tranfuerfa
extra plinthi angulos abfcinde.Cateru in,plinthi craffitudineres dmerfgfcul
pi poflunt vt fafcia,ftria, canaliculi,& alia huiufmodi ornamenta. At qui ea
quae Cupra feripta funt variare volet, is faciat femper fuperioribus conuerfu in
hunc modum .Primo fculpe plinthum fic:diuide craffitudinem eius bipartito
& fuperiorem medietatem rurfusin duas partes,quod dupliciterinuerte,ex fu-
prema parte fac vnam fafeiam,ex fecunda vero fcotiam,tam profundam quam
eft alta.Deindeex inferiore medietate facito fafeiam profundam fua altitudi-
niSjVel pro fcotia fiat quadrans tori,quorum vtrunque li inuertatur,vt inferior
pars veniat fuperne,alia erit coftitutio. Aliud:diftribuaturplinthuspermediu
& dabit fuperior medietas tori quarta parte,inferior vero fafcia,aut pone quod
inferiuseft luperne, &habebit iteru alia facie. Aliud:fiatexfuperiore medieta¬
te quarta pars tori,3£ inferior pars excauetur,fecundu altitudinis qtitate. Ali¬
ud rptirecraflitudme in tres partes,fuprema maneat vna fafeia,inferiores dugad
etreinu concauetur g fpiffitudinis qtitate:inuertatur hoc,& rurfus fe aliter ha¬
bebit,aut partiatur altitudo in duas partes,ex inferiore fiat fcotia,qug abfcedat
lecundum
GEOMETRIAE L I B.
III.
fecundum altitudinefuam,fuperior pars iterum diuidatur bipartitd,fiatqtie ex
inferiore medietate fafcia,ex fuprema autem abfceffus. Aliud:feca ctaflitudine
in fex partes,ex fuprema fac fafciam, ex duabus fequentibus fcotiam,tam pro-
fundam,quameft alta:ex infimis duabus trochilum, cjuod inuerfiim iterum ali
ter erit. Item fubfafcia licet cymatium conficere, vel e contrario:autfupernt*
facere paruam fcotiam,in medio eorum ,St inferne magnamfcotiam ,fed quod
fupra St infra torum dugtamig maneant.Huiufmodi variationes infintas funt.
Q[uare hsc no propterea huc fcribo,qubd neceftario fic fieri oporteat,fed quod
aliquid ex eis fumi poflit,& quilibet admoneatur,quid noui adhuc inueniendu
reftetmam in talibus partitionibus no fatis eft vti vna quapiam dimenfione,fed
diuerfis,fi quisnouerit:quapropter femper aliquid inueftigandum,quemadmo-
dum Vitruuius ille excellentiffimus, St alii inueftigarunt,atque res vtiles in-
ueneruntifed non idcirco nihil aliud,quod etiam fit bonum,excogitari potent,
St prscipuein rebus quas probare nemo poteft eas effefa&as optime.
His perfe&is capitulum fimplicifiime defctibam, atq? quadrato precipue vtar
abfque omni ornatu,poftea tamen oportet id exornare parergis aliquibus maxi
me cum opus eft magnum : poflumus etiam fafcias,trochilos,ftrias, St reliquas
res omnes fingulariterornare, aliquid egregiiimponendo,autiofcu!pendoad
huc fert modu .Diuide altitudinecapituli,quinqj notis in fex partes aquales,ex
fuprema lexta facito fafciam plana , eam producito vna fexta de altitudine ca-
pitulndeinde pun&um notato fub fafcia,abfcedes ab extremitate eius, m edicta
tecralficudinis-.ex hoc pudo cum linea perpediculan defcende per tres fextas,
hoc magna erit fafcia plana:fed ex infimis duabus fextis,fac ex fuperiore fcoti-
am,tam profundam quam alta eft,fic remanet fupra inferiorem fafciam produ
dio quadam, St capitulum paruam habebit contraduranr.Secundd fic facito:
Supremam fafciam,eodem modo vt fupra didum eft relinque,^diuifa capitu¬
li altitudine in fex partes,notam pone in medio quarta? fexta, ex qua linea per
capitulum ducito tranfuerfam,& fpacium illud ardu,quod fupra infimas duas
fextas remanet tgniam dabit, prominerem fecundum craffitudinem fuam:duae
infima fexta ita maneant velut collum quoddam planum, fed quod fuperne re
linquitur,ad circuli arcum rotudetur,atque inclinetur fupremgfafcia,fic quod
fafcia per medietatem fua amplitudinis promineat.Tertib fiat fafcia p roiedu-
ra vt prius,de qua medietas folum detur craflitudinimihil aliud in hoc capitii*
Io faciendu nui quod reliquum eius excauetur ad circuli, arcum,vfq? ad prddu-
dionem fuperne fafcia,fic quod fub ea cymatium proueniat.Deinde conficito
in reliquis tribus capitulis fafcias fimiles prioribus, St fe&a altitudine capituli
vti fupra fcripcum eft in fextas, producito fub tertia fexta per capitulu lineam
tranfuerfam,inter qua St fafcia facit fcotia magna, qustame amplitudini capi
tuli concauitate fua nihil auferatiexhoc muenitur prominentia acutiei in iatn
procrafta linea tran(uerfa.Poftea trahe per medium quarti fpatii linea tranfuer
fam,ex quo interuallo fiat parua fcotia,ita quod profunditaseius,capituli tan¬
gat fpiilttudinem , tu circumferentia inferiori tran fueris fu am dabit menfura
quantu extare debeat. Deinceps infima fexta partita duobuspun<ftisin tres par
tes
s* ALBERTI D V R ERf
tes atquas,ex quibus infimam linea tranfuerfa a reliquis fepara, atcp ex ea tini¬
am facito prominetem quanta altitudo eius eft,ex reliquof oru effice cuius am-
bg decliuitates capituli latus tangant,rotundatio vero no magis emineat quam
acutiesfcotix,qua: ipfi incumbit. Quinta fuprema fcotia magna facieda eft vt
prius,& inferior capituli pars duabus trafuerfis diuidenda eft in tres partes, ex
fuperioribus duabus fiantdua: fcotia:,& infima maneat fafcia. 5exto partiatur
capitulu a fuprema fafcia vftj in imum tripartito, fiantcj dua: partes fuprema:
trochilus, infima itide trochilo relinquatur, fic tamen quod vtriufque trochili
^pfunditas de capituli craflitudine nihil demat.Q^u iam hxc capitula perfeda
fuerint, licet ea exornare diuerfis modis,pro arbitrio cuiuflibet,id quod vtruqj
monftrabo, Sume plinthum de qua fnpra di&um eft, & primo o<ftogonam,ac
impone eam primo capitulo,&fub quolibet angulo fac deticulum quadratum,
ea tamen parte, qua capitulo iungitur, crafliorennhuius proie&ura fit quarta
pars craffitudinis capituli. Deticulus autecam habeatfpiffitudine,quam plin¬
thus odogona.Item quando capitulu aliquod ornare volueris,tuncadiice craf
fitudini tantum quantum pro conficiendis ornamentis fatis videbitur. Secun¬
do capitulo impone plinthum quadratum,& ex fafcia capituli,in duobus lateri
bus conficito volutas,parergis tamen aliquibusornatas.Tertio capitulb impo-
natur plinthus quadrangula excau ata,cui fub angulis pro ornamentis fafiendg
funt proie&urg quadratae, quxfint quarta pars craffitudinis capituli atque craf-
fiores plintho,vna quarta eiufd em. Deinde conftituenda funt ornamenta totur
da in excauatis plinthi lateribus,tam craffa quam plinthus eft^atque prominen
tia,vtlatera plinthi,fi adhuc quadrata eflet,tangant.Poftremd quum quadran¬
gula pro ornamentis parata funt, tunc aliquid pulchri in ipfis fculpitur ^ vt ra¬
malia aut folia qugdam fingularia,vel animalium capita,aut aliquid de auibus,
aut rebus aliis quibufcunque,pro orbitrio eorum,qui talia operantur.Cgterum
capitula abfoluta imponuntur fcapis,& dabit vnum alteri decorem.
Nunc ad columnae bafim accedamus,quae quidem in hunc,qui {equitur,mo¬
dum expeditunquam craffus imus eft (capus, ex dimidio eius fiat bafisfiuefpi
rat altitudo, atque in vtraque parte a fafcia deducantur lineae perpendiculares
vfqj ad fine bafis, qug diuidaturduabus lineis tranfuerfis in tres partes,ex qua¬
rum infima fiat plinthus quadrangu]a,eaproie&:urahabeat quanta eiuscraffitu
do eft.Sed proie&ura fiue produdio rei 5 alicuiusprominentia eft a proprio cor¬
pore cui adhgretideinde fecada eft media tertia in tres partes,quarum fuprema
fafcia maneat plana, at ex reliquis duabus pars fiat tori, ficififte circini pede in
fuperiorem tranfuerfam plinthi,atque perpendicularem lateris,& reliquum in
angulum fafcia: iam formatg,ac fcribe circinationis arcum a bafis latere in par¬
tem exteriorem,vfque ad plinthi fuperiorem tranfuerfam. Poftea diuidaturfu¬
prema tertia in tres partes,quarum infima detur fafcia:,qug excedat eam cui in¬
cumbit per medietatem altitudinisfuat, reliqua: dux relinquantur toro qui vi¬
tra fafciam, cui fuperiacet producatur quatum dimidius rotundationis arcus
excurrit,(i principium eius fumatur in angulo prxdidx fafcig.
Iam locanda eft hgc tota columna cum capitulo 8C fpira fuper ftylobatam qui
- hoc
GEOMETRIAE LIB. III. n
hocpado faciendus eft. Primo quadrangulum paretur altitudinis quadrantis
totius columna cum capitulo & bafi,amplitudinis vero quanta eft infima plin
thus bafis:hic ftylobata in fundamentum ponendus eft quadragulus,deinde ab
eo fuperne fecanda eft vna decimaquarta, per lineam tranfuerfam,ea tantunde
a perpendiculari lateris producenda erit,atque fegmetum iftud rurfum per me¬
dium diuidendum eft linea tranfuerfali,ac fuperior pars fafciamaneat,inferior
autem quadrans fiat tori,qui in angulo haereat,& ad dimidiam proieduram fa«
fciaeprocurrat,hocfadoabfc&nde inferneabhoc ftylobata feptimam partem
quam tantundem vitra latera eius producito, atque ab eadem feparato fuper¬
ne ynam quintam ex qua fafcia fiat,produda pro altitudinis quantitate, & an¬
gulus ipfius fuperne ad circinum rotundetur: iam quod reliquum eft fub hac
tafcia diuidaturbipartito,per lineam tranfuerfam,atque ex inferiorefegmento
fafcia fiat,cuius proiedura vfque ad perpendicularem lateris fecetur lineis ere¬
dis in partes tres:atque a termino fupenoris fafcia vfque in fafciam inferiorem
circuli arcus ducatur quidimidiumiaciet torum , ita tamen, quod prominen¬
tia infimae fafciae,torum illum excedat vna tertia. Stylobata hic diuerfis modis
exornari poteft: ied ea quae fupra (cripta funt, inferne cum fuis fundamentis
defignaui.
Verum vt intelligatur,quae fint ornamenta, quae dolabra SC torno fieri queant,
notandum eft fex effe res praecipuas,quibus haec ornamenta conftent.Prima igi
tur eft fafcia plana,fecunda fcotia fiue trochilus,tertia torus,quarta angulus / p-
mincns,quinta angulus cocauus, fexta cymatium eft,tortuofum pro cuiuflibec
arbitrio:his rebus vtilicet omnibus fimul, vel aliquibus folum,atqj fieri pofluc
couex^ fiue concauae,plang vel pminentes,amplae aut ftridae, acut£ fiue obtufp,
magnae autparuae inter fe,latg vel ard£, aut quocuqj tandem modo placuerit:
fed lymmetria debita quilibet operarius vti debet,vt operibus magnis orname-
ta magna, St paruis parua adiiciat :h^c infra duabusfafciis loga 8C breue iuxta
fefe pofitis monftrabomam cuiuilibet hominis intelledus facile percipit,qudd
res longa merito craflior effe debeat,quam breuis fui generis:quocirca fi archi-
tedus cymatia autprothyrides,aut aliud quiddam fimile conficere velit,debet
exteriora, quae longius currunt ampliora facere, quam interiora qu£ breuiora
funt. Si huic conuerfum fiat erit deforme, quod hoc pado accipitoifafcia efto
ereda,inter duas lineas contenta, eam abfcinde fuperne per lineam tranfirerfa
atq? angulosillos nota literis a &l b,deinceps pone forte fortuna iuxta medium
falciae pundum c,& duc duas lineasobliquas a c & b c.Poftca notato interiore
fafciam qu£ breuior fieri debet linea reda iuxta a b,tantum ab ipfa a b diftante,
quam latum tympanum effe velis, & vbiea linea obliquam a c tangit,illic fcri-
be d, a quo duc tranfuerfam vfqj ad aliam obliquam b c,& pundum contadus
nota charadere e,ex eo trahe perpendicularem deorfum,& habebit d e,redam
proportionem ad a b,quemadmodum hoc vna cum fupra didis fex rebus, quae
adornameta pertineo t, a tcg colunis,capitulis,bafibus, & ftylobatis,inferneom
nia oculis fubieci. A c veluti cum fafciis iam poftremb adum eft, fic agendum
erit cum reliquis rebus omnibus.
ALBERTJ DVRERI
III.
85
GEOMETRIAE LIB.
ALBERTI DVRERI
8<s
Vi fupra defcript£ coi una: ventrem fine adiedionefacere velit,id du*
obus modis expedire poterit. P rimo fecetur columna: longitudo in
tres partes quarum infimam linea tranfuerfa couenit a rehquisdiftin
guere,acin eodem loco fcopus tam cra (Tus fiat, quam fafciaefi inferi
or, deinceps notetur tnapundain columna: lateribus .Supremum quidem fub
falcia fiiperiori,infimum fupra inferiorem , & tertium ad eum lo:u vbi fcapus
effcraffiflimus.Perhacpundta arcus circuli ^ptendatur veluti vigefima quarta
figura primi libri docuit, exeo nancifcetur columna circa medium additione
venufiam:$ecundb (capi adiedionem fic abfoluito, diuideeum,vt prius tripar
tranfuerfam,c]ua infimam tertiam abfcindit prioris ftatualogitudinis,
ac fpacii iftud,quod extra perpendicularecolutnn^ larus adiicitur in vtroqj la¬
tere,partiatur in quartas.Deinde diftribue duas tertias fupenores,tribus tranf-
ueriis in quatuor parcesxonfimiluer etiam infima tertia in cjuartas fecato.Por-
ro maxima additio colung fiat in tertia infima,a qua furfum & deorfum recede
do,aufer a tra{uerfis,vnam ex illis paruis quartis,demcepsduas,poftea tres,tau
dem omnes quatuor, atque ita adiedio formam habebit elegantem. Si iam co¬
lumnam ornare placuentpd expedire licebit Irneis redis perpendicularibus.fi-
ue in modum cochlea: tortuofis,quarum rerum principia ex fundamento fumu
tur depreffo.-quo circa hoc in primis conftituedum erit pro (capi craffitudine,
quo fadofundametum diuidatur in trig nta duas partes ex quibus alternatim
nunc ftriges fiant,ad femicirculuraexcauata:nuncftri^,in medio harum bacu*
lum erigito craffum ex dimidia flna:parte.lam fic columna per ambitum obii
que firtandofuerit circuitibusfirnplicibus,vel duplicibus interfefe concurren¬
tibus , tunc partes furfum vbi circuitiones fe interfecant prolongato, cWrfum
vero cotrahe,quod aptiffune fieri poteff per triagulum a c b, ex arcus centro c }
cpa arte ante quoque vfifumu$,atque hic dehniauimus.
GEOMETRIAE LIB.
£8
ALB ERTI
3 VRERI
Olumna: prgcedenti,qu£ additionem in medio habet,hocpa<fi:o con-
iftruito capitulum.Primdid tam altum SC craffum facito, quam eft fu
Iprema fcapi craffitudo,ab hac capituli,altitudine fepara fuperne plin
fcapi craffitudo } abhac capituli,akitudinefeparafuperneplin
thum,quaditfexta eiufdem capituli pars, ea proiiciatur ex dimidia
amplitudinis capituli, reliquum capituli in fex partes diftribuatur, ex quibus
fuprema detur fafcias cum cymatio,eafafcia habeat fpiffitudinem ex quarta
craffitudinis piinthi,atque producatur ad dimidiam proie&uram eiufdem.De
inde fac fub cymatio tertiani graciliorem vna tertia,quam fuperiorfitfafcia,&
proiedura eius ex quinta fiat parte prominenti^ plinthi,ab hac t£nia,caua quse
dam rotundatio procedat,ad capitulilatus,& habebit inferior capituli pars for
mam cyathi ampli,qui cum lance,qua ipfiin cumbit,venuftatem referret egregi
am.lam poteris capitulum exornare floribus,animalibus,aut aliis parergis pro
tuo arbitrio.Et fi quid ornameti,fub quatuor plinthi angulis adiicere placeret,
id pervolutas fub cyathi t^nia commodeabfolues, & hoc quadratum poteris
coftituere tam magnum,quam plinthus eft craffa, prominens ad duas quartas
proie&urg plinthi,licet quoquelancis illius formam,& eam partem qua? eft in¬
ter plinthi angulos,& volutas,ornatu aliquo decorare .Item fi plinthustibi plus
extare videtur quam par effet, tunc ad circinum fcotias in ea excauato profun*
dius,8£ refeca angulos eius quoad fatis fuerit.velut hic protraxi.
i z$4f
GEOMETRIAE LIB. III.
8&
N fcquentibus quandam aliam teretem columnam conficere docebo,
quae Angulari quodam modo infleditur atque diftorquetur, ea pro or
namento vti poffumus, ac ftatuam ipfi ad memoriam rei alicuius im¬
ponere,quas hoc modo abfoluitur. Quam craffitudinem imus colum
nae fcapus habet, ea pro totius fcapi altitudine nouies repetatur, contrahaturqj
fuperne ex Texta fcapi imi craffitudinis parte,& annulus ibidem tantum profi¬
ciatur,quanta inferne fpifiitudo eft columnae, 3L fiat craffus ad proieduras men
furam:ea ornatus altitudo duabus tranfuerfis diuidatur in tres partes aequales,
in quarumfuprema annulus maneat,in mediofafeiae,cuius prominentia termi¬
natur inter annulum & fupremum fcapum,infima tertia cymatio detur,quod
in fupremo finitur fcapo. At fafeia quae fcapofupponitur,eius craffitudinem fu
perabit ex vna feptima,dehac craflitudine (exta pars tribuatur altitudini, qua
in tres partes fecato, earumq? fupremam linea tranfuerfa ab inferioribus diftin»
gue,ac facito ex ea cymatium, quod a fcapi extremitate procedat ad fafeia quas
ex reliquis duabus tertiis perficiatur. Sed priufqua ftilobata di capitulum con-
ftruantur,debet repeti columna reda,ac primum quidem fundametum locetur,
ex quo fcapus nofter fledendus erit.ftaq* columna reda defignata fecundum li
neas extremas,ducatur per medium eius linea perpendicularis , quas fit inferne
a,& fuperne b,hasc linea a b,in cochleg modum diftorquenda erit ex fundame
to quodam,quod hoc pado expeditur.Pone centrum a,ex quo circulum deferi
be tantas quantitatis,quanta craflitudo imi fcapi, in eo circulo diametrum du¬
cito perpendicularem,cuius fuperiorem medietatem pundo c partire per medi
um:hoc fado ponatur in inferiori femidiametrocentru d,ex quo ducatur circi
nationis linea quas fuperne tranfeatper pundum c,inferne vero tangat circufe-
rentia prius deferiptam,deinde diuide portionem diametri a c, bipartito in li¬
gno e,eo centro ad interuallum e c,fiue e a,protrahatur peripheria. His perfedis
diuidentur tres illi circuli in partes fexaginta , quibus adiiciantur fui numeri
qui exordium fumant interne ad pundum a, a quo in circulo intimo numera
ab vno vfquead fex,quas locum habebunt in figno c,deinceps 7.8,9. &c.vfcg ad
18 feribio media in circumferentia, qua eius medietatem occupabunt. Cum 1 »
poftea exi in maximam peripheriam, quam circui totam, fic vt 4 ?- veniant ad
pundum *s, hoc eft ad circulorum diametrum . Deinde introito rurfuscum
4 ; in mediocrem rotundationis lineam donec cum 54 veneris ad lignum c.Por¬
ro 55 , 3i qui eum fequutur numeri feribito in circulum minimum,quoad cum eo
attigeris pundum a.Hos numeros licebit ducere in quam partem volueris, per
eos autem oportebit axem ered^ column^ torquere. Igitur abfoluto ifthoc fun¬
damento diftribuatur columna ereda in fexaginta partes,ted eo quo iam dice¬
tur ingenio.Protrahe lineam,qug fcapum inferne a cymatio feparet,in continu
um 3C redum tranfuerfe in duplo longiore quam columnas ibidem craffitudo
exiftat,cuius finem nota f litera,a qua ducatur linea obiiqua,vfqj ad finem fcapi
fupremi, ac fifte circinum vno pede in pundum f,& alium prope fcapum ad li¬
gnum h,in linea tranfuerfa,a quo ad obliqua arcum liniato, quam vbi attingit
feribe charaderem g.Hunc arcum g h, feca in fexaginta partes asquales Si tra-
H iii hcex
he ex pundo f,per omnes eas parteslincas redas ad fcapum vfque, in quo pun¬
ita illa notato manifefie,& ab eis lineas producito tranfuerfales,percolumnam
eredam,quibus adiice numeros depreffi fundamenti, qui in columna 8t arcu h
g,debent inferne incipere. Ex hoc apparet quomodo portiones in columna ere
da afcendendo Eant longiores.
Kurfus ducito linea perpendicularem a b,qua colurtfng axem repr^fentet, cum
omnibusfuis tranfuerfis ac numeris, 6c fumpto circino perge ad fundametum
rotundum,per quod punda axis dimoueri flediq*debent,pone femperpede
in diametrum perpendicularem rotundi fundamenti,qug circulos per medium
diuidit,& quemadmodum punda numerorum fem per m ter fe fucced u t,ita pe¬
de reliquo minimam eorum apradida diametro diftantiam fume tranfuerfe
ac defer eam in colum ng axetn a b,locando circini pedem in ipfum axem,in li¬
nea tranfuerfa qua: lignataeft eo numero,cuius diftantiamm fundamento ac-
cepifii,8t altero pede imprime notam in eadem linea tranfuerfa,vbi variatus pu
dus tortuoli axis liare debet.'5ic operare per iingulos n umeros in vtroque late¬
re rotundi fundamenti St axis eredi a b 5 atque lineis tranfuerfis,defignantur
punda flexuofi axis retorta coluna, qualorigior ipfa reda,propter flexus quos
facit,nec tamen altior fiet.Poltea defer circino ab axe 8^ tranf uerfis ereda colu
nacraffitudmem finuofa ad axem eiufdem , vbi circulos defcribitoex quibus
tui fcapi inuenies fpilTitudinem:nam meminifie oportet qudd-ex rotunda colu
na in omnibus lineis tranluerfis, medioq* pundo globus excindjpptefl;. Item
quocuncpglobu locaueris mouerisqj in partes d iu erfas, n i h ilpmid u s fem per ver
fus te poterit plano aliquo per medium fecari. Quum igitur coluna rotundavi
tro citroque dedatur,manebunt femper in ea h u i u fm od i gl obi irn aginan di,q ui
per pradidas fediones fcinduntur in omnibus pundismediis,quotquot volue
rimus. Porro cogita omnem pundum in axe tortuofa columna efle eiufmodi
globi centrum,quare ex eo in eadem linea tranfuerfa,in qua pundum axis acci
pitur,circulum defignato,tam magnum quam craffa in eodem loco ereda colu
na elhatq? hoc faciendo efl: per omnia axis punda columna flexg:& dehabebi¬
tur eius craflitudoper fingulos flexusrdefcriptis his ci rcufis pmnibus,linea co-
tinuato conuexitates ipforum ,& apparebunt columnaflextis.
Si vero per omnes circumferentias, qua fediones in globoreprgfentant ac cen¬
trum fiue axis pundum lineas duxeris tranfuerfas veluti prius duda funt,& in
curua columna peripheriam fignificant^ ac per earum extremitates in vtraque
parte per totam curuam columnam in omnibus circumferentfisfecunduifi lon
gitudmem lineas traxeris,videbis quomodo linea in flexibus propter, circuitus
columna contrahuntur atque abbreuiantur. At cum in coluna reda tranfuer-
fales linea omnes rotunda plana defignet,ac direde vnum fu per alium flet, ta¬
men linea hg in circuitu flexgcolung non amplius manebut vna redefuper ali
am,fed declinant, pendent QC vertunt fe vitro citroqj ,furfum & deorfum acin
omnia latera ,St fient obliqu£,oblonga,rotundx linea ex eis. Hac omnia infer
ne vtcunque deliniaui.
G EO METRIAE LIB, III. »»
AL B£&Ti D V RE RI
9 3
GEOMETRIAE LIB. III,
Ort-uofae huic columna huiufmodi facitobafim. Primo quadrangu¬
lum de feri bito in triplo longius quam fit altum, at<$ altitudo rudus
tripla fit ad altitudine fafei^r, qua efi fub imo fcapoud quadragulum
lineis tranfuerfis per hferas alphabeti fignatishocpadodiftnbue.Su
perius quadranguli latus tranfuerfum fit a & mferiusb.Deindepartirea b,du
abus tranfuerfis c, di d in tria aqualia interualla, &. a c tranfuerfa c per medi¬
um,Poftea fecatoae quatuor punctis in quinqjpartes,quarum fuprema abahis
feparato linea f,& ec tribus pudis difpefice inlpacia quatuor, ex quibus infimu
a reliquis diftingue linea g.C^terum e g partire in quartas,ac fupremam tranf¬
uerfa h ab aliis reiecato.Porro d b in fex partes diuidito, quarum infimas duas
linea i, afuperionbusabfcinde:fupremam vero ab inferioribus linea K.Quum
iamdine^tranfuerfe pro ornamentis,qug intercas faciendaerunt,defcnptgfint
omnes, pergito ad perpendiculares in quibus ornamentorum amplitudines fini
ri debent, a tepeas fi in viso tantum latere produxeris, feruiet tibi & in reliquo.
Latus ergo perpendiculare quadraguli efto linea qug a fcapifafcia per qua
drangulum defeendit fit mmuncl rn per lineam n fecetur in medio, hgc linea
inter c d magnam terminat fafeiam, in mediobaiis conftitutam, quofado di-
ftrtbue fpacium m n per lineam o in duas partes,finietq? hac linea toru, qui eft
inter e f . Sed o m feca in duo interualla per lineam p,in qua terminantur dux
tgni^altera inter a f fupra torum,altera autem intere h fub toro. Item fpacium
n o per lineam qfecandu eft bipartito,vt ad ea proficiatur tama inter c g,at fco
tia qua inter g h in ppendiculari m finitur. His perfedis ^pducatur fafcia inter
d K.vltra n tatum,quata fpiffitudo eius eft, fed fafcia infima porrigitur vfcg ad
lineam 1,trochilus autem inter fafeias illas ta ngit lineam n. Atqui ex fuperiori
fafcia & trochilo licet fcotiam vnam conficere & fic deperditur pr^dida fuperi
or fafcia,quemadmodum hic omnia prgter poftremum illud defignauu
\\
1 Apitulum autem pro tortuofa columna duobus modis conftruitur*
P rimo eius corpus in quadrato fuperne efcapi craffitudinefumpto
ftatuendum eft vti fupra docuimus. Plinthi vero quadratae amplitu¬
dinem atqj craffitudme,8£ in eo locovbi prius,expedito:nam proie-
dura eius plurimum prominet propter columng flexus, vt capitulo conferat vc
nuftatem
*4 ALBERTI DVRERI
nuftatem.Item fupremam fafciam fub plintho,cum latitudine BC ,pie<ftura fua
conficito,velut de procedente capitulo dictum eft:in medio inter hanc fafciam
& imum capitulum linea ducito tranfuerfam, at<j ab eo fpacio t]uod inteream
fafciam eft (eparato rurfus alia tranfuerfa tertiani infimam-.eo fado trahe line
am obliquam a termino fupremo fafciae ad imum capituli, in qua fifte circini
pedem,& alio a fafciae extremitate in fpacio illo ampliffimo circinationis ar¬
cum defcribe verfus capituli latus fic quod femicirculusinferne proxima tranf¬
uerfam tagat: 81 fecabithicarcusibidemtrochili acutie,quantu extare debeat,
fietq? fcotia magna,deinde inter anguftiores duas tranfuerfas circulum delinia
to,qui vtram<j earum tagat,vna cum capituli latere aclmea obliqua,exeo pro-
uemet icotia parua,quae fuam acutiem ipfamet prominetem indicat,a qua vftg
ad capituli latus iterum paruarn defignatofcotiam.Quum iam capitulum ex¬
ornare ftatuifti, fac fub plinthi anguli^ ornatus in fuis quadratis eius craflitu-
dinis,cuius magna eft fcotia,& proiice eos paulo amplius quam ex media capi¬
tuli craffitudine:in minori fcotia potes ramu ftatuere,a quo fe folia furfum eri¬
gant,at in cauo plinthi latere rolam aut aliud quidda egregii facere licet.Secfi
do capitulu hoc modo variatur. Plinthus cu fafciafub ea vtprius relinquitur,
fed paoxima fexta fub eademplintholinea tranfuerfafeparatur,acdiuiditur ia
duas partes,quaru fuperior fcotig detur profundg, qug capituli latus tagatrpo-
ftea diftnbuitur & inferior medietas bipartito per lineam tranfuerfam,atqj ex il
lis fegmentisbin^ fiunt rgniae,quarum inferior proie&uram habeat fubduplam
ad proie&utam fafcig,quae fub plintho eft:at fuperior tantum retrahatur quam
crafla eft.Porro fexta,quas tertio iam fequitur in duas partes fecanda eft per li¬
neam tranfuerfam,ac in fuperiore quidem parte cymatium conftruetur proor-
nameto,quod oriatur i ub infima fafcia,in ea prominetia qua eft fuperior tgnia:
id cymatiu fupernefledatur verfus partem exteriorem,& inferne verfus interi
orem,atque delinat in medio inter exordium fuum & capituli latus.Ex angulo
autem qui iam fadus eft protendito arcum deorfum vfq? ad capituli finem, cu¬
ius medium non amplius extet quam proxima acuties iuperne. Caeteru ornatu
fub quatuor plinthi angulis in fuis quadratis craflum conftitue ex vna (exta 8C
dimidia,& proiice eum ex media capituli craflitudine. Item in concauis plin¬
thi lateribus quadrata quoque perfice pro ornamentismagnaautparua . Hoc
iubeoin quadratisfieriproptereos qui in lapidibusautlignis operantur. Iam
plinthi cralfitudo in hunc modum exornanda eft. Altitudo eius in tres par¬
tes fecetur,quarum fuprema,fafcia fiat,reliqux duae cymatio relinquatur,cuius
concauitasinferne verfus parte exteriore definat, ac fuperne quidem id cyma¬
tium tantum poft extremitatem fafciaeincipiat, quam fafcia eft alta . Tandem
plinthi latera ad circinum fic folent excauari. Ducantur per plinthi fuperficie
bing lineae quaefe in medio eius interfecentad angulos re<ftos,ita vt ex plintho
quatuor fiant quadrata,eas lineas protrahe vitra plinthi latera,quantuTatis eft*
His perfe&is defignentur fundamenta pro vtroque capitulo in fuis quadraturis
ac fumatur circino praeter vnam maxima circulorum diameter:ea diftantia in-
uariato circino trasferatur ad lineas jplongatas vitra quadraturam, fic: figatur
circini
*
GEOMETRIAE LIB. III.
circini pes vnusin circumferentia, cuius dimetientem accepifti in eo loco vbi
linea tranlit tranfuerfa,& alius pes extendatur verfus fidem eiufdem linep, atcg
pundus isfignetur litera a, ita qugrantur etia reliqua tria pundaqua? notentur
b cd charaderibus,deinceps feruato prioreinteruailo fifte circinuin figna a bc
d,ac delinia arcus per plinthi latera,poftea defignaetiam circino exiifde cetris
a b c d quantu parerga abfcedere debeat in plinthi craflttudine. Poftremo aero
terium guod capitulo imponitur,eiufdem capituli habeat craffitudinem,cuius
quarta pars detur altitudini,id fcabellum aftragalis quibufdam decoretur.Sta-
tua autem,qua? fuper columnam locatur fit in duplo altior quam capitulu cum
fuo acroterio,Hgc capitula cum tuis fundamentis inferius oculis fubieci.
i
96
A LB E RT I DVRERI
Vumiam abfoluta fuerit columna cum bafe& capitulo fuo,tun e fty
lobatam ipfi parato,ac primo quidem quadrangulum oblongum co-
ficito,idque eredum, tantae latitudinis quanta elb infima balis fafeia,
altum vero ex amplitudine duplicatadubhocquadraguloftatuerur-
fus lapidem itidem quadrangulum, qui fit altus ex quarta eredi altitudine qua¬
dranguli,quiqueex omni parte promineat ad quantitate crafiitudinis eredi qua
dranguli, ac ab eodem eredo quadrangulo, inferne diftingue linea tranfuerfa
vnam quartam a cuius altitudine linea defeendat obliqua ad mediam quadra¬
ti lapidis proieduram 5 atqj fuper obliqua illam fcalaeconftruantur quatuorgra-
dibus,qui fuperne promineant ex Tuae diametri quantitate, habeantqueibidem
fafeiam latam ex quarta gradus altitudine, fub qua contradura ad fcotia: fiat
fimilitudinem.Deinde refecato peroneam tranfuerfam,fuperne vnamodaua
ab eredo quadrangulo, id Tegmentum produc ad altitudinis quantitatem, 8t a
fuprema Tegmentiproicdura,ad infimam Tuam tranfuerfam trahito linea obli¬
quam .Poftea dmide hoc Tegmentum linea tranTuerTali per medium,ac cxfupe-
riore medietate fuperne feceturvna Texta, quae fafeiae tribuatur , cuius inferior
angulus excedat deTcendentem obliqua.Ex reliquo fiat toti medietas,cuius co-
uexitas vitra obliquam producatur,licquddarcus in ea fuperne incipiat,atque
delinat inferne in eadem ad lineam tranfuerfam .Csterum medietas inferior bi
partito diuidenda eft,ac Tuperior pars rurfusin quartasfecanda,quarum fupre-
ma fiat fafeia,cuius inferior angulus currat vitra obliquam , reliquae tresfeotix
relinquantur profunda’,qua: acutie inferiore obliquam tangat lineam. Befidua
medietas inferne diuidatur in partes quatuor,ex fuprema & infima taeniae fiant
extantes a quadrato eredo, quam altae Tunt:ex mediis vero duabus torus expe¬
diatur,qui vitra taeniasproiiciatur,pauldplusfuodimidiocirculo.Nuncdimi
dium torum fuperne ramulis quibufdam exornare licet.Item inferiora ftiloba-
tae parergis quibufdam pro arbitrio cuiuflibet.Qiiatuor autem quadrati latera
hiftoriis8t epitaphiis decorare decet.Prius tamen in eis tympana conftituatur,
quorum fafeiae fiant latae,ex duodecima amplitudinis ftilobatae, Ted fafeiarum
abfceflio in interiorem partem ex dimedia fafeiae latitudine abfoluatur.Porro
ad quatuor Tcalarum angulos ornatus gratia, totidem viros locato pro cuftodi-
bus. At fuperne Tuper quatuor ftilobatae angulos quatuor fiatuitocercopithe¬
cos . Iufta huius columnae magnitudo hoc pado fumitur:quando homo Tuper
magno illo lapide quadrato ftat ante ftylobatam ? debct capitis vertex ad medi¬
um ftylobatae pertingere.Quae fupri tradidi, hic etiam deiiniauiut fundamen¬
tum quum facile fit,omili.
GE OME TRI AE L IB. III.
97
autem volueris,licet fcalas in prxdi&aftilobata omittere, haliter
^^^fgexornare quam prius, in hunc modum: conftituc altitudinem eredi
^^QiMquadranguliduplam ad fuamamplitudinem:fpiraveroaltafiatex
^^^^ dimidia quadranguli craffitudine,eaque tantundem jpiiciatur,a quo
proie&ura termino inferiore ,ad angulum ei oppofitum in quadranguli latere
perpendiculari linea ducatur obliqua, quxmenfuram dabit produ&ionibus.
Hxc fpira: altitudo in tres diuidatur partes,ex quarum infima plinthus fiat qua
drangula,medix infima,tertia fafcix detur,rcl iqux dug trochilo relinquantur;
fedfuprema tertia per medium fecctur,atqj inferior medietas rurfusin tres par
tes,quarum infima maneat fafcia,cui fcotia fuperponatur, vclutpriusiin (upe*
riore medietate dux tgnix conftituantur, in quarum medio totus cflo tantum
occupans,quatu tgni^ambg.Porro altitudo capituli exdabusafoluaturfpirx
tertiis,qux tantundem etiam producatur, eaque altitudo diuida da eft in tres
partes xqualiter,cx quarum fuprema fiant dux t£ni£,fed fuperiorpaulo ampli¬
or, inter quas mediet cymatium quod craffitudinem vtriufquehabeat txnix,
quodque fupern e in interiorem partem, inferne vero in exteriorem fle&atur.
Poftremd ex inferioribus duabus tertiis totidem fcottx perficiantur,atque infe
riori fafeia incumbat admodum gracilis,quemadmodum hic protraxi.
I
t
53 ALBERTI DVRERI
Aepe accidit quado in bello exercitus vincitur,vt in eo loco ad me¬
moriam columna erigatur, fignificans qui fuerint,qui fuperati exti-
terunt:quod fi potentes,poteft de apparatu eorum bellico, huiufmo-
di colunaextrui. Primo locetur ftrueslapidu quadrata fuper aliquo
colle,quas omnia,quae ei imponuntur fuftinere queat,cuius quodlibet quatuor
laterum viginti 8C odo pedes in amplitudine contineat, extetque nouem fuper
terram,illis quatuor angulisfuperponepilasbombardicas,altasfefquipedem,&
in media hac cogerie quatuor gradus facito,tribus pedibus altos,eoruminfimus
habeat altitudinem vilius pedis cu quadrate,reliqui tres certo ordine difiribu-
antur, fic vt fupremus fiat humilimus, ac medii duo proportionales ertremis
velut in fine primilibri de lineis moftratum eft.Gradus infimus longus efto vi-
gintiquatuor pedes, at fupremus viginti 8C vnum, fuper hos quatuor angu¬
los doliola locato pulueri apta bobardico, altas duos pedes cum dimidio:dia-
meter vero media fit duoru tantu. Porro graduu angulos linea abfcindito obii
qua . His perfedis erige fuper mediam fcalam lapidem quadrangulum oblo-
gum duodecim pedes altum ,&o&olatum.Cuius produ&iofuperior per tres
quartas pedis promineat, eamcg habeat craflitudinem,in cuius quarta fuprema
fiat
r
99
GEOMETRIAE LIB. IIL
fiat fafcia, fimiliter 8c in infima,fedha:c minor & tantum extans quam alta eft,
in harum medio cymatiu conftituatur,quod fuperne in inferiorem,inferne ve¬
ro in exteriorem fledatur partem. Verum ornatus in lapide hoc inferne proli¬
ciatur in quolibet latere ad duos pedes , ac infima fafcia fiat alta pede vno.
Deinde in lapide eredo alte ad vnum pedem lupra fafciam lineam ducito traf
uerfamiatqueex eius Tegmenti in fima tertia quadram facito, qua: ad vnum pe¬
dem extra quadranguli latera promineat,& ex reliquis duabus tertiis trochilus
fiat,cuius fuperior acutiesper tertiam pedis partem a quadranguli latere extet.
Ceterum fuper eredu hunc lapide totum tormetum fiue machina ponatur,qua
cum globi in altum torquentur,qua: cum fuo apparatu latitudinem habet odo
pedum>ea cum apparatu cui incumbit alta fiat decem pedum,ac circa os prop¬
ter firmitatem & decorem amplitudo efto quinque,at corporis eius quatuor cu
quadrante:annuli autem &reliqna ornamenta extare a corpore parumper de¬
bent.Item in eo loco vbi foramen eft incendii,diameter habeat tres pedes, cum
quarta eiufdem.Super hac machina bombardam erigito magnam 8C fortem,cu
ius longitudo fit viginti SC vnius pedis, amplitudo autem pofterior trium , an¬
terior vero duorum,globi,quem emittit,diameter efto vnius pedis.Os aute bom
barda: fit firmiflimum-.nam ornatus in anteriore & pofteriore parte debet bom-
barda: corpus proportione certa excedere, id quod ingenioli bombardarum co
flatores exade folent obferuare. Poftremo huic bombarda: fuperponatur tinti
nabulum , fic vt anfa:eius, bombarda: ori inferantur, fitqj amplum tres pedes,
SC altum duos: fuper eo locentur duo afferes inter fefe tranfuerfi, fuper quibus
erigantur quatuor virorum armaqug dorfa inter fe coiungat,ita vt in quatuor
locis fuper afferes tibiarum dependeant arma:id totu habeat altitudinem qua¬
tuor pedum. Sed galearum criftas potes in altum erigere ac diducere in latum
quantum placuerit:at afferem vnum fac longum fex pedum , quemadmodum
hic defignaui. Verum quando ifta omnia magno fiunt in opere, tunc fingula
exornare decet.
I u
. A L B E R TI DVRERI
GEOMETRIAE LIB. III.
I quis vi<fioriaerigerevellet,quod feditiofosagriculasdeuicerit,ishu
iufcemodi rebus vti poterit,quas deinceps dicam. Primo locetur la¬
pis quadrangulusjcuiusquodlibet quatuor laterum fit longum dece
pedes, & altum quatuonis plintho cuidam incumbat,quas latera ha¬
beat viginti pedes longa, alta autem vnum,fitcg fita in colle aliquo: fuper quatu¬
or eius angulosponantur vaccg,oues, porci,atcg alia pecora ligata, fed fuper an¬
gulos quatuor lapidis quadranguli,totide ponantur corbes,pleni cafeo,butyro,
ouis,c£pis,herbis,aut quicquidtibiin mente venerit.Super huc lapide,alius ad¬
huc coftituatur itide quadragulus,q latera loga habeat feptepedes,8£ alta vnu,
in eius medio locetur capfa auenaria, cuius altitudo fit quatuor pedes, ac in¬
ferne vnu latus longu fex cu dimidio,at fuperne vbi leraefl: folu fex,fuper oper
culum autelogitudo fiat quatuor,cui impone ahenu inuerfum, tres cu dimidio
pedes amplum:fed in fundo fuperne folu tres, huic rurfus gabata in qua cafeus
formari folet imponatur,alta dimidio pedis,fupne duobus pedibttsapla,at.in fu
do folu vno cu dimidio, ea orbiculo cooperiadmodu crallb, quiqj fatis ^pmi-
neatiin medio huius orbiculi vas locato in quobutyru recondi cofueuit altitu¬
dinis trium pedu,& in fundo vnius & dimidii, fuperne vero vnius amplum, ro
ftrum tameper quod effundimus atq? anfaaliquantulu proficiatur. Deinde vr-
ceus bene formatus ftatuatur,in quo lac reponi folet,cuius altitudo fit duoru pe
du cu dimidio,in vetre aute amplitudo vnius,& fuperne dimidii, at bafim eius
inferne largiore facitoiin eo vrceo erige quatuor raftros, q^bus carbones corradi
tur,qui longi fint quinqj pedes & dimidiu,circu quosligatofrumetifafciculum
altu pedes quinq?,fic raftri fuperne extet per dimidiufilli rufticorum appede
inftrumeta,ligones,palas,furcas,flagella,& aliahuiufmodi.Tade^pminentibus
raftris fupponatur gallinam cauea, huic rurfus fidelia butyri inuerfa,cui rufti-
cus triftis atq$ gladio perfoffus infideat:queadmodu inferne defignaui. Horni
ni ebriolo poffet aliquis hocpaclofup monumentu memoria coftruere .Primo
fepulchru efiftatuatur cu epitaphio,quod voluptate ironice laudet.Deinde fu¬
per fepulchrum erigatur dolium vinarium,quod alea fupertegatur.Poftealoce
tur dux patina? quarum vna fuper alteram fit inuerfa,ex gulam continebuntua
fuperiori patinx imponatur cantharus humilis, fed admodnm capax, duabus
anfis,qui orbe coopiatur,{uj> queinuertaturpoculu vitreu amplilfimmcuiusfu
do infideat corbisplen? pane, cafeo, butyro, SC aliisefculetis.Cofimiliterex aliis
rebus pollemus diuerfis modis fecundu vita cuiflibet,{epulchru eius exornare.
Hxc infoletix caufa indicare placuit, ac vna cum exteris columnis deliniare.
M*
ALBERTI DVRE&I
xC
a.
GEO METRIAE
LI R*
ni.
*7
IO?
L-CCP——- • ■ - • •• • • —CEO-—|
——
*
1
:
I
1 a i i h -:
. ■ % ' . 1 , -.'fj • * ■
. . ;.4
.. V, ) ;V 4 4. P ll,' • ■ • * -i 1
. .
■
.. i].-'.!;;;: ":;.'
4 j i J : i/ V
- i ' v ► *S “ ' “
: 2. : jiJ.J
II V'
.fll*
r*“
I
-=I
i
-■■■., ' . ! -
s
T i‘
rw ll!
^T^Anno ♦DqmjNIi l*f, 5 *0
!,
c
•- ; >V ■ ■ '■ . j. . ty, r; irr. n " /■
!
• 1 '■<. t
.rricnorhi
1 aV
IxC
•n
Oftquam in procedentibus de corporibus longis nonnihil procepi-
mus,iam turrim rotundam,firmamqj facere docebo,at folum corpus
abfque omni ornatu,qualem fi quis conftruere volet,is eam pro arbi¬
trio exornet.Hoc turris in ciuitatis loco aedificetur valde oportuno,
atqueforo medio,vt ex ea fuper totam ciuitatem profpicere liceat, ac peregri-
niin omnibus vicis ad eam fe dirigere queat.Forum id ad minimum tam am¬
plii effe debet,vt vnum latus fuae quadraturo quingentos cdtineat pedes:in me
dio eiusfcalas locato per circuitum decem pedes altas, gradibus autem odode
cim,quorum finguli fiant lati vnum pedem, eruntc^ eorum collocationes tem¬
peratae.Caeteru diameter infimigradus,vbi fcalae funt latiflima2,centu coftitu-
atur pedum,& remanebut dimetienti fupremi gradus pedes fexaginta fex. Sca¬
lae iftae vtiles erunt,vt ab eis videatur quicqd in toto foro fiat ac quo res ibi fint
vaenales, Porro in fcalarum medio turrim extruito,cuius amplitudo inferne cu
muro fit pedu quadraginta,atqj ibidem muri craffitudo pedu efto dece, & relin
quentur diametro concauitatis pedes viginti,eam concauitatem direde ducito
in altum ad deambulatorium vfque, quod faciendu eritpoftea,vbi murus craf-
fitudinem habeat folum quinque pedumiinclinabitqj muri exterior fuperficies
fuperne verfus partem interiorem, ac turris ibidem fiet quarta parte anguftior,
quam inferne,quod elegantem reddit turrim,atque fortemieius autem altitudo
ab imo vfque ad tedum pedes habere debet ducentos-.quinquies igitur contine
bit infimam amplitudinem. Et intra turrim fac per circuitum cocleam non ita
multum decliuem ad deambulatorium vfque, ita vt fi opus fuerit per eam pof-
fimus etiam equitare: ad hanc cocleam ea vtere linea, quo in decimafeptima
figura primi libri habetur. His perfedis circa turrim deambulatorium extrua-
tur admodum ardum,cuius ora fuprema in ea fit altitudine qua murus definit,
quodque cum totaprodudione non amplius defeendat pedibus odo,ac tres fo
lum extra murum promineat,eius tamen fupercilium fuperius paulo vitra,fi lu
bet proiici poteft.Poftea muro turris tedum fuperponatur lapideum,cuius ex¬
terior forma contrahatur per lineam trigefimae figur^ primi libri, interior vero
per circinationis arcum, & fiet tedi murus fuperne tenuis magis quam inferne.
Hoc tedum quinquaginta pedes habeat in altitudine vfque ad lpfum campana
rium, quod quinque pedes efto amplum,altu vero decem,eius medietasfuperi-
or inter proieduras aperta fiat,infertis vbique columnis-.tedum quoque quod ei
incumbit conftituatur decem pedum,&forma eius fuperne conftringitur duo¬
bus circuli arcubus in exteriorem partem flexis.Poftremo perticam, nodum ac
vexillum fimul alta facito decem pedibus.Habitationem autem vigilisintra te¬
dum effe conuenit, vt profpicere, figna dare, ac horologium corrigere queat.
Hanc turrim hic defignaui.
GEOMETRIAE LIB. III.
106
ALBERTIDVRERI
Ontingit aliquando vtquifpiam fcire cupiat alicuius turris altitu¬
dinem, ad quod quidem expediendum multa funt inftrumenta,ve •
|lyt aftrolabium,& eius quadrans, baculus Iacob,& alianonnultajled
hic facilem quendam modum indicabo. Qiiando turris altitudinem
capere vis,tunc ligna eam fupern e b,inferne vero c & oculus tuus fit a, quem ab
ea fige quam longe placuerit,at in ea altitudine qua c eft:deindefumito norma
iuftam cui in vna parte affigatur regula quasdam, it avt in clauoquo affixa eft,
circumagi, atque in alia parte eleuari ac deprimi queat : eam normam locato
in lineam a c, fic vt angulus eius redus turris bafim refpiciat, & oculus tuus
fit in parte pofteriore vbi mobilis regula circa clauum verfatunquo fado erige
regulam anreriore parte ad altitudinem b, quam vbi rede notaueris,facito lig¬
num in norma ad eum pundum quem anterior regulas pars oftendit, atque lic
firmetur regula.Poftea inclinanda eft in eodem loco norma cum regula inuari-
ata in horizontisplaniciem,^ veniet turris altitudo in planum, quam lignato
charadere d,fiantque duo trianguli £quales,eredus ad turris altitudinem a b c
8C a c d,qui in planicie iacet,funtque altitudo b c ac longitudo c d in plano in-
uicem asquales.H^c menfuratio certa eft,fed tibi eft adhibenda diligentia,ne er
torem committasdfta hoc padodeliniaui.
4»'
GEOMETRIAE L I B- III.
_„ _ J
/
alberti dvreri
Tile eft architedis,lapicidis ac pidoribus,vt in turribus, n luris & pa
rictibus vulgare horologiu defignare queant: quocirca in f equetibus
de his rebus pauca quadam tranabo, qu^ mgeniofo cuique magis
neceffaria effe videntur: horologium itaque duodecim hc»rarum,a
meridie di media node incipientium deliniare docebo.Primo igitur a dato pu
do fupra lineam tranfuerfam difce aliam ducere perpendicularem, vejut prius
in libro de lineis quoque fcriptum eft: fed vt redius intelligatur,hoc pado ope
rare.Protrahe lineam a b,fupra quam notato pundu c,in quo polito circim pe'
de,reliquodefcribe circinationis arcum tranfeuntem per lineam a b,quam vhi
interfecat lignato d e:deinde locato circini vno pede in pundum d,alterum ex¬
tende pro arbitrio,ac ducito arcum per lineam a b,furfum di deorfum:confimi
liter etiam fac ex pundo e,circino inuariatoiat vbi duo illi arcus fe inuicem ab
fcindunt,illic fcnbe fuperne f,& infernegrhis perfedis cotinuentur punda c f
di g,per lineam redam,ac vbi a b fecatur,illic adiiciaturh,eritq? linea c h g,per¬
pendicularis ipfi a b. His igitur pro conficiedis horologiis in primisopuseft,vt
intelligatur quid linea fit perpendicularis,velut hic quoque protraxi.
Vnc quadrantem circuli defcribe cuius cdrum lita di arcus eius b c:
que in nonaginta partes diuide axjuales,ac primo qde in tres, 8i qua¬
libet tertiam rurfus in tres,& fient nouem fegmenta , quat lingula fe-
centur per mediu,eruntq$ Ipacia ododecim, quoru quodlibet diuida
tur in quinqj interualla a^qua,8£ habetur in tota quarta circuferentias nonagin¬
ta partes Iiuegradus . Deinde latus quadrantis a Cerigatur,a b vero in horizote
iaceat plano,ac gradus quidem a b numerandi funt furfum verfus c.Porro fi in
aliqua auitate horologium lolare conficiendum fuerit,primo per inftrumentu
fiuetabulasaftronomicas ad id paratas inueftigandum eft,quatum polus mun¬
di in eo loco fupra horizontem eleuetur: velut JMutemberga: ardici poli alti¬
tudo eft quadraginta di nouem graduum, eos ab fupputafurfum vfque ad fine
quadragefiminoni gradus vbi d locandum eft, quod cum aconiungetur per li¬
nea redam a d,quaraxe reprafentatmundima circa eum verfari mundum ima
ginamur. Hisperfedis ducatur ex pundo d linea perpendicularis ( v t in pro¬
cedente
GEOMETRIAE LIB. III.
ciente figura monftratum eft ( ad lineam a b cui incidit in pundo e ad angulos
redos:hgc linea d e muralis a quibufdam nucupatur, q? ex ea horologia foiaria
in muris eredis fieri confueuerint.Ceterum ex fignoV, linea trahatur reda ipfi
a d ad angulos aequales,per dodriuam procedentis,^vbi ea fecat a d axem, il-
licfcribe fliteram-.linea igitur e f oquinodialemcknotat,qui mundi axem per
medium diuidit orthogonaliter. Hoc liniamentapro parallelo tranfeunte per
Nurembergam folumconftitutaTunt,ex quibus ad prodidu clim a folares qua
drantes fieri queunt. At circuli quarta iam defcripta eam debet habere quanti¬
tatem vt horologium commode ex ea deduci poffit,nam vt plurimu ipfa vten-
dum erit.Triangulus quoqj a e d ex metallo aut ligno fieri debet vt eius admi-
niculoftilusfeugnomon infigi poffitrin parietibus itaque infigitur extremitas
d & a polum refpicit antardicum fub terra-.in plano autem figitur terminus a
& d erigitur verius polum ardicum*Pofl:remd quando e d plano applicatur ho
rizontis, tunc oftendit d a altitudinem oquatoris . Hoc omnia hic deiignaui.
Z I
ffi|Vnc incipito horologium defignare, in hunc modum . Duc lin
W ^ Z' t • | • 1 > • /^ 1 Ii t /
neam
eam
ex
tis
g v wv iu nui vlygi Ulli u Vi ugAirt i v ^ i u jiiUiJiv iijuuuui •
n tranfuerfam g h, item aliam 1 k ipfi g h perpendicularem qugcg^.
Kr^^ifecet per medium, cui pundo adfcrjbito m. Deinde circino fume
quadrante in procedente figura defignatOj femidiametrum oquato
,hoc eft,lineam e f,atque circino inuariato ex centro m defcribe circumfere-
tiam,quo per lineas g h Sl K1 prius dudas diuiditur in quatuor quadrantes, ac -
vbi peripheria ablcindit perpedicularem K1,illic notato n St o, per quo duo pu
da lineas ^trahito trafuerfas pq& r s gquidiftates ipfi g h. Poftea partire qua¬
libet oquatoris quartam in fex interualla oqualia & fient in toto circuitu lpa-
cia vigintiquatuor . Hoc fado excitentur per quaelibet duo punda oppofita in
K equiuo
119
AL BERTI DVRERI
aequinodiali \inex redg tranfeuntes per centrum m, SC cotinuentur in vtramcg
partem vfque ad lineas p q &rs. Ha:c omnia inferne deliniaui. Porro quando-
cunque tibi folare horologium eft conficiedum numera diligenter in quarta cir
culi altitudinem poli eius regionis pro qua folarium paras.
v
WiY
< 4 . te
rt ori 3ou c
Vddiam fecimus horologium locandum erit verfus aquatorem ateg
meridiem,hoc eft, in fuperficiem circuli hora; fexta:,acftilus quidem
ex centro m erigatur rede verfus a:quinodialem, ficquod m plana
eiusiaceat fuperficie,habeat^ logitudinem m n fiuemofemidiame-
tri xquatoris.Item gnomones verfus orientem aut occidentem fimiliter fumen
di funt ex femidimetiente fui gquatoris.
At nunc de horologiis agendum eft,qua; fiunt in plano atque parietibus verfus
meridiem,ac primo quidem de his qu£ defignantur in muro refpiciente meridi
em .Accipe igitur circino ex fupra feripto triangulolongitudinem d e, ac eius
pedem lifte in lignum n,& alium in linea l K,verfus b,quem locum not ato lite-
ra vxentro igitur v,defcribatur circumferentia tranfiens per pundum n.Dein¬
de trahito ex eodem centro v,lineas redas ad lingula punda linea: p q.His per-
fedisex triangulo a d e,fumatur circino quantitas lineg a e,acea circini apertu
ra feruata figatur vnus pes in pundum o, SC reliquus applicetur line*e 1 K,vbi x
pingatur litera,a qua linea: excitentur redg ad lingula punda tranfuerf^ r s. Po
ftea centro x & interuallo xo,peripheria circinetur.C^erum circulus fuperior
fumptus ex trianguli linea d e, pertinet ad parietem eredum qui meridiem re-
fpicitifed inferior,qui fadus eft ad quatitatem a e,folarium erit in fuperficie ho*
rizontis,fiue plano.Qii£ omnia inferne oculis fubiecimus,ex quibus etiam ho
rologia ad quafcunque fuperficics fumuntur.
GEOMETRIAE LIB. III.
III
23
Hoc congruit credo parieti
Ante meridiem
Verfus oc¬
cidentem. <5
I
Poft Meridiem,
1
y
r
\
\
A
\
ilZi
Horizonti aut plano hoc ac¬
commodatur.
er
Ante meridiem.
Poft meridiem.
Verfus
orientem
Rohuiufcemodi horologiis poflunt fieri cubi diucrforum angulo.
rum,in quorum lateribus varia quoque defignantur folertia, fed hi«
vulgarem quendam modum per cubu indicabo, cui anguli quidam
refecantur,atqueiis fuperficiebus horologia inferibuntur, quas fol fu
is radiis contingit,quod hoc pa&o expeditur. Vnum cubi latus fignatoin qua-
tuor angulis chara&eribusKlmnacinmediolaterisponitofignumcexquo
circulum liniato, quatuor contingentem cubi latera,is duabus diametris inter
fefe tranfuerfis diuidatur in quatuor quadrantes, ita quod trafuerfa a c b hori-
zontem nobisrepraefentet 8C d e perpendicularis fupernefit zenith capitis, in¬
ferne vero pu&us pedumtdeinde feca quamlibet quartam in nonaginta partes
aequales,velut prius di&u eft, SC numera a b furfum verfus d,gradus quibus in
regione eleuatur polusfat eius altitudo hic Nurebergae, vt antea nominauimus
eft quadraginta & noue partium ) ac vbi gradus illi finiutqr illic lignato litera
f.His perferis protrahe lineam f c, quam continuato vitra c ad circumferen¬
tia vfque,cui gadfcribito-.haec linea axem mundi fignificat, circa quem firma¬
mentum verfatur, atque fecundum eum debent gnomones folariorum parieti¬
bus infigi, quanquam etiam verfus gquatorem aut pun&um verticis,pr^fertim
K ii in muris
i* ALBERTI D VSERI
in murisdeclinantibusaut fuperficiebus planis dirigi queant.Stili autem qua
tuor horologiorum in squatore circulo debent linguli in (uo campo erigi ad ar,
gulos ^quales.Qteriim per centrum c excitetur dimetiensh i ipfi f g axi orthc
gonalis,qui gquinodialis indicat fuperficiem. Quum itacj linea xquatoris mu-
di axem fecet ad angulos redo$ s quantum polus feleuatur tantum deprim itur
aquator h atque alius polusg,confimiliter facit pundus gquatoris ioppofi-
tus ipfi h:nam quod polo additur hoc aufertur gquino&iali: erunt ergo in ilin-
gulis quartis quadraginta nouem gradus,hoc eft 5 akitudo poli Nurembergg‘,8£
Quadraginta 8£ visusgradus refidiui vfque ad pun&um noftri verticis aquales
funt maxima: difiantia: ^quatorisab horizonte. Eo modo cofequitur cubi qua
dratum latus K1 m n odo angulos,qudd fic commodiffime abfoluitur. P rodu-
cantur linea: f g & h i in vtramque partem vfque ad extremitatem lateris,atquc
arte iam fgpe repetita trahantur ex pundis f & g lines parallel^ ipfih i gqua-
tori .Item ex pundis h i ducantur gquidiftantes axi fgifecundum has paralle¬
las refcinde quatuor cubi angulos, & fient in eo odo fuperfides quadrangula:
oblonga,per quarum omnium medium linea fcribitur meridiana. Reliqua duo
cubi latera odo habebunt angulos, fed inaequales. Porro corpus hoc angulare
opponitur latere ita defignato ortui (olis y $l a meridiei,b vero medis nodhfta-
tuunturque folaria in omnibuslateribus, qug fol afpicere poteft * quemadmo¬
dum inferne quoque deiiniaui.
GEOMETRIAE LIB. III.
Zenith
Contra polum an =
Urtticu fub terra
Septentrio
Meridies
i>
c rienlate
Contra dtcpiino*
dialem fub terra
Verfus
Meridiem
Cofitr4
po\ MI»
aifticwn
Vcrfm
fepten*
trionem
L VJ
ALBERTI DVRERI
01 anum quod fe-
quiturftatuc ver-
fus aquatore fub
terraad mediano
dem*
2
i
"7 0
' Q
4
6
———— — -
r g 4 $
a b longitudo eft ftili,
a fignum ex quo ftilus erigitur.
Tem addefignada folariain quolibet pariete quocunquedeclinet,eti
am fi horizonti non fuerit perpedicularis, notandi funt abfceffus per
duas lineas redas a a & b b, quarum prima lineae feruit tranfuerf^, al¬
tera vero perpendiculari, in his radii fiunt longiores atque breuiores,
ac fpacia inter cos amphora & ardiora,velut hic defignaui.
GEOMETRIAE LI B. III. n<
T quanquam varia adhuc fint horologia,in quibus lingulis horis vi¬
dere eft lignum afcendens, dierum augmentum atquedecrementum,
locum folis,horam planetarum,& alia huiufmodijtamen volui dun-
taxat indicare horas vulgares,& hoc breuiffime,quum ha:c horarum
traditio non lit inftitutinoI!ri,fedpotius digreffio quadam. 5a:pe feriptura ia
columnis, turribus, aut parietibus alcis fingenda eft, quocirca qui alte aliquid
cokribere velit,ita quod liter^ fupremi verfus tam mag nx appareant quam in¬
fimi,is luperioresinferioribus ampliores faciat, eo qui fequitur modo:fifte vifu
tuum in altitudine atq$ diftantia a turri quanta volueris,ficcp ille pundlus c: de¬
inde fume triangulum decimafexta: figura primi libri,& imaginare a b elle al¬
titudinem turris^autparietemjin quo fcnbere ftatuifti, arcum vero b e in arqua
verfuum & fpaciorum diuide interualla, per qu^ex epundo vifus ducito line¬
as redlas ad turrim fiue parietem a b,ex his notis in pariete trahito lineas tranf-
uerfas atque inter fefe arquidiftantes inter quas locanda erit feriptura . Exeo,
manifefte videtur quantum verfus fuperiores inferioribus debeant effe maiores.
Ceterum fi lineam breuem fecundum longam a b fecare placeret, tunc diuifio-
nes ab continuandas effent vfque ad c per lineas redas, qug perpendiculari fg
abfcindedg erunt £pe c:diuiditurq$ f g ad fimilitudine a b cui parall eia exiftit.
His vti poflumus in parietibus,decliuibus,aut prominentibus, ad res maiores
aut minores faciendas.Sic omnes lineg fecundum alias diuidi queunt in partes
asquales,autinasquales, 3C eas quas nominare non poflumus .Porro partitiones
huiufmodi non foliim feruiunt pro defignadis literis,fed aliis etiam rebus qui-
bufeunque ,&prxcipue quando turrisaltaopere ftatuarioeft exornanda,ita
quodftatuas fuperiores inferioribus appareant asquales: id hac arte abfoluitur,
quemadmodum inferne deliniauimus.
ALBERTI DVRERI
Vum itaque architedi, {iuepidores,8£ alii aliquando fcripturam ad
altiores parietes effingere foleant,oper^precium erit,vt rite deformet
hteras.Quamobrem hic aliquantulum de hac te volo oftendereipri-
mum alphabetum latinum pr^fcribara,deinde textuale,quibus duo¬
bus generibus literarum maxime in talibus rebus vti confueuimus.
In primis ad literas romanas lingulas fac quadratum a?quum in quo continea¬
tur vnaqux9 litera. At quando in eo ducislitera? tradum maiorem, hunc fac
latum parte decima lateris quadrati:& minorem tertia parte latioris,id^ obfer
ua per omnes literas alphabeti.
Primo fac A,hoc podo.Defigna eius quadrati angulos literis a b c d,ide fac in
,omnibus reliquis literis,& diuide quadratum per duas lineas ad angulos redos
fefe fecantes-.eredam e f, tranfuerfam g h , deinde pone duo punda i K inferne
iuxtac d,decima parte diftantiaintrorfum ab c & d,& ducito tradum tenui¬
orem furfum ab i, ad quadratunv.inde deducito latiorem tradudeorfum,itavt
amborum
LIB. III.
GEOMETRIAE
«7
amborum latitudines exteriores cotingant punda i &'h, tunc relinquatur in me
dio triangulus^ pundusecadetfupeuiisin rrjsdiaml itera m, deinde ca i/unge
ambos tradus (ub linea tranfuerfa SC hic tradus tertiam partem latitudinis ha
beatmaions tractus.Deincepspermittearcutn circuliadfupenorcm &Texteri¬
orem partem maioris tradus fupra quadratum egredi , ac amputa liceram fu pe¬
ri us per lineam ferpentinam ieu curuam,itavtlinuscauatusad fubtilioremtra
dum declinet ,SI acuevtrunqueliter^ tradum infernis vtrinque,ita vt quadra¬
ti angulos c d contingatrhoc facies arcu circuli, cuius femidiameter feptimam
partem lateris quadrati continet. Sed inferiores finus libi mutuo oppohtosfini-
toegredi tantum quanta fuerintdua? tertia maioristradus,idc:ffiCiesperar-
cum circuli,cuiusdiamcterft squalis latitudini tradus maioris.
Item ipfam literam A poterisetiamfuperne per quadrati latus redum amputa¬
re^ literam acuere vtracg ex parte, ticut inferiores pedes, ita tamen vt longior
egreffio (it ante. Sed tunc oportet h tradus fuperius aliquantulo propiuscon-
iungere.ltem ipfum A potens & alio modo defcribere,nempe fuperius acutum,
BC tunc inclinant fe tradus fuperne ad fe inmcem propmsideinde deprime pau
luium tradum rranfuerfum , &duplica latitudinem fuam . Poffes & tradum
fuperneobeuie abfeindere , vel ante exacuere. His tribus formis te aCuefacias
oportet, autei qu£ maxime placuerit.Et obferua fim ili ter, quo pado haec litera
fuperne,ac inferneexacuttur,eodem modo reliquas,quarum oblique tradusdu
difuntjexcauendaselTejVcfuntvxyjquanquam paululum immutantur 5 vt in¬
fra audies, Literg formam exaratam dedi hic fubiundam.
ALBERTI DVRERI
Orro & b in fuo quadrato exarato fic. Imprimis diuide quadratum
per lineam tranfuerfam ef in duas partes, deinde diuide lineas a e &
b f per lineam g h item in duas partes.Poftea locabis primum eredu
ac latum tramitem liter#,tantum ab latere a c quadrati diftante,qua
ta eius fuerit latitudo, deinde erige lineam i K poft hunc tradum liter#,verius
medium intus decima parte longitudinis lateris quadrati,& vbi fecat lineam g
h ponatur 1.Deinceps duc tramites anguftiores ac tranfuerfos a tramite eredo
liter# a, quibus ducuntur ventres rotundi ad lineam credam vfque,qu£eft ij(,
fuperne quidem fub linea ab & fupra lineam e f,atque inferne fupra lineam cd.
Ponatur poftea pes circini in pundo 1 & defcribe femicirculum intus a trami¬
tibus tranfuerfis,ita vt ambg extremitateslineg circularis in linea i h ereda fub
a b,& fuper ef,breues illos tradus tranfuerfos contingant.Deinde partire lati¬
tudinem dudus angufti,atque tranfuerfi, qui eft fuper lineam e f in linea i K per
pundum medium m.Deinde pone latitudinem liter# fuper lineam g h in pun
do n poft lineam circularem, & poftea duc ex pundo m fupra e f lineam tranf¬
uerfam breuem verfusf quantula fuerit opus . Deinde duc femicirculum, qui
hanc lineam,^ pundum n SC fuperne latus a b contingat,& per n tranfeat ere*
da linea.H#c omnia contingunt inferne concauum ventris,quemadmodu fu¬
perne conuexum ventris contingunt.Deinde produc tradum tranfuerfum fu¬
pra c d intantum verfus d quanto erit opus,illic ponatur opus q:deinde diuide
m q per tranfuerfam op in duas partes,& vbi fecuerit lineam n ponatur r,dein.
de duc femicirculum contingentem tranfuerfam e f,pundum r & qideinde po
ne latitudinem liter# tradus per pundum s poft r fupra lineam o p,& defcribe
femicirculum contingentem lineam m, pundum s,& latus c d.ita remaneat in
litera tres anguli,infimus autem excauetur per circularem lineam cuius femidi
ameter contineat duas tertiasdelatitudinetramitisliter#lati. Sed exteriores
egreffiones exacue per circularem lineam,cuius femidiameter latitudinem illi¬
us tradus contineat.
Aut fac b hocpado. Diuidatur quadrati latus a c in partes nouem,& amputa
partes quatuor fuperius per lineam tranfuerfam e f, deinde erige tramitem ere¬
dum, ficut ante deferiptum eft: ac fuperiorem ventre efficies inter a b 8C e f,in¬
feriorem vero inter ef& c d . Deinde diuide a b in partes nouem,& abfeinde
quatuor partes verfus b in pudog, deinde diuide c d in partes quincg dC proxi¬
ma verfus d,abfeinde in pundo h,& ducito lineam gh: h#c contingat necefle
eft foris ventre fuperiore & inferiore: qui quide ventres fingulari quada forma
funt defcribendi:& circinus ad dudus circulares faciendos in diagonalibus li¬
neis tranfponendus.Diagonales illas duas fic inuenies, diuide a c in partes qua
tuor,proxima fupra e figna pundo i.Signetur etiam jDxima quinta pars fupra
c pundo ,deinde duc redas ab i in b & ab K in f,fuper his lineis moue atqj tranf
pone circinum, quo ventres vtrofquedefcribis, eruotcg ita fuperius latiores
quam inferius, ficut & calamus id efficere folet, ideoque ventres non erunt cir-
cuIariterrotundi:quiaoportettecircinum fuper diagonalibustranfponete, &
nihilominus manus dudu adiuuare, quemadmodum feci in proxima pleura.
SgpTii M
EpsgbS jEutjr
1|||L
':' ; J ' 1 ;*f1| •_■ • Ii T
.-
Oftea fac literam C ita in fuo quadrato.Duc tranfuerfam e f,per me¬
dium quadrati, 8C ponepundtum i in medio linea; e f,ex quo defcribe
circulum,qui quadrati a b c d latera quatuor cotingat. Deinde poft-
pone pedem circini inuariati fupra lineam e f,tantum poft i, quanta
fuerit latitudo litera tragus latioris in pundlum k 5 & circumfcnbe quoque cir¬
culum , is tranfibit lineam b d, SC dabit a fronte in rotunditate liter^ (uam iu-
ftam latitudinem.Deindeerigelineamg h, decima parte diftantem ab d b in¬
terne,h^c abfcindet literam c inferne 3£ fupernt^eo modo quo antiqui funt vfi.
Sed volo inferiorem tradlum abfcindere in medio ioco inter g h 8d b d.Deinde
ducito tra&us fubtiliores atq^ rotudiores intra literam fuperne atq? inferne vbi
circuli fefefecat:ad pfedione quoqjliterae ducito rotunditates,fu perne atq? in¬
ferne ad quadrati latera a b & c d.PorrainferiuSjVbi litera pede vno trafit linea
g h, illicfub circulari linea paulo incuruatioremefficies formam, ita tamen vt
cufpidefui termini iterum circulare contingat. Similiter & fuperiusreddepe-
dem interius magis cauatum,quam circulus fecerat,ita du£ circulares linegfere
totam litera formam obfoluunt. Secundo ita poteris literam c formare* Duc
in quadrato diametrum c b, & pone pedem circini in medio pundlo i, & alte¬
ro pede defcribe exteriorem circulum ficut prius, fuperne terminatum in dia¬
metro c b,fed inferne finito circularem paulo vlterius tranfire quam prius.De¬
inde pone pedem circini inuariati tantum fupra i 5 quanta efi: latitudo tramitis
litera; fuper diametrum ,SC fcribeinteriorem circulum,& fiet tradius fecundum
calamum inferne latior quam fuperne:reliqua manu protrahito,& abfcifiiones
terminorum litera; fiant fuperne furfum,inferne vero deorfum quemadmodum
fubfcripfi formas.
120
ALBERTJ DVRERI
I teram D ita facies. Diuide eius quadratum per lineam perpendicu¬
larem feu eredam g h,8£ pertranfuerfam e f,in quatuor quadrata par
ua :& vbi fe fecant,pone i,deinde duc dudum latiorem liter£ a latere
abdeorfum,ad latus vfquec d,& tam latum poftlatus a c quanta eft
eiufdem dudus latitudo: & exacue dudum fuperne & inferne vfque in angu¬
los a & c,vt prius in B fcriptum eft,eodem modo vtere in omnibus redis dudi-
bus fequentium literarum.Deinde producito ab hocdudu duos tradus fubti-
liores tranfuerfos,a quibus cicumducatur arcus litera: circularisfubtuslineam A
a b,& fupra lineam c d,vfque ad eredam g h.poftea circino coiungegfh.Dein-
de pone latitudinem literg tradus maioris fuper lineam e f, per pundum h an¬
te f:deinde comprime circinum tantum quanta fuerit literae dida latitudo, SC
pone eius alterum pedem in k,alterum vero in linea e f, atq? illic ponepundul,
in hoc cofiftat pes circini immobilis:altero vero ex k circufcribe interne ad fub
tiliores tradustranfuerfos,arcum contingentem vtrofque:& iuperiorem angti
lum finito acutum, inferiorem vero excauato per circularem arculum eadem
quantitate qua tradus ante exadus fuit. , Rotundum dudum ipfius D,eti
am aliter facies quam prius, nempe vt calamum imitetur, fuperne latior quam
inferne. Ad hoc duc diametru c b,8£fcribe exteriorem arcu vtprius.Sedadin-
ternum defcribendum pone pundum m infra i,tantu diftans quanta eft latitu¬
do tradusmaioris,fuper diametrum cb,& circumfcribeinuariato circino in¬
ternam lineam . At vbi tradus fieri debet fubtilior, ibi manu erit ducendas in¬
ferne & fuperne:quemadmodum fubfcriptum eft.
GEOMETRIAE LIB.
Literam in fuo quadrato ita formabis. Duc lineam tranfuerfam e f
«3 per medium a b c d,deinde duc literas tradum magnum & eredum a
£3 fronte,eo modo quo in dfcriptumeft.Deinde duc etiam fupremum
^ trafuerfum fubtiliorem dudu fub linea a b ita vt terminus eius con¬
tineat fex decimas minus tamen vna tertia vnius decimaspartis,& egreflionem
huius fac deorfum defcendere,in fine continentem decimam partem a b:tanta
etiam fit diameter circuli,quo egrefllio illaexcauaturinternetdeinde duc medi¬
um tradum fubtilem tranfuerfum fuper mediam lineam e f, ita vt breuior fiat
fupremo tradu parte decima a b:ad finem tamen in duplo illo latior, &exca-
uetur per circularem arcum cuius diameter contineat fextam ef. Sed infimum
dudum fupra lineam c d fac, vt infimo angulo excedat tradum fupre¬
mum longitudine decimas partis c d, cufpidem tamen vitra hunc locum tran-
fire facies per duas tertias vnius decimg partis,erigesqj furfum eum per vnam fe
xtam longitudinis c d, & excauabis eundem per circulum cuius femidiameter
fit fexta quoque c d .Item infimum angulum in litera excauabis per arcum qiuf
dem circuli,quo medium tradu tranfuerfum excauabas, reliquos angulos per¬
mitte acutos vt hic fubfcriptum eft.
L
ALBERTI DVRERI
Literam eodem pado formabis , quo E, nifi quod infimum tradum
omittes tatum, SC excauabis literam in yno latere inferni vt ante in
altero, vt hoc fubfcripfi.
Tem literam G facies fimiliter atque C prius defcriptum eft,duntax
at hoc excepto,q> ante linea g h erigitur dudus latus literg a rotundi
tate furfum ad lineam e f & fupern e exacuitur ficut pri s didum eft,
fed inferne remanent anguli ambo. Vel G hoc pado formabis in di¬
do quadrato pr^diuifo,duces diametrum c b,& pones circinum pede altero in
pudo i & altero pede duces arcu ex e vfqj ad mediu locu c d, ibi pones pundu
l,ita quoque duces arcum furfum ad lineam a b vfque in eredamg h, atque ibi
dem pones 3. Deinde locabis fuper lineam g h pundum m in parte decima lon-
gitudinisg b,& coniunge i & m manu circulariter mota. Deinde educito ex 3 li
neamfur{um,quantaefl: traduslatitudoliter« ,fed obliquam ac inclinatam in
medio inter circularem SC eradam gh, ab extremitate huius manu ducito li¬
neam rotundam vfque ad lineam a b,vbi circularis eandem tangit. Poftea ab*
fcindeg h inferne in parte tertia, idcg in pundo n, atque tantum afcendat tra-
dus latus ab meredus furfum : fiant^ eius egreffiones fuperne in duplo latio¬
res ipib dudu.Poft hoc pone pedem circini fuper diametru c b.tantum fupra i,
quanta fuerit tradus literg latitudo & circumfcribe diftatia e i fumpta arcum,
qui exteriorem fuperne tangat:inferne verofinitur fupra 1, hinc manu duces
lineam ad tradum redum iuxta altitudinem m.Idem fac fuperne ducendo tra
dum fubtilioremliterf,vt fubfequitur, formatum.
GEOMETRIAE LIB. III,
17 $
f
Literaformabitur ex duobus latis magnis atqj eredis dudibus,quan
tafuerit altitudo quadrati, ita vt eorum egrefliones exteriores angu¬
los quatuor quadrati a c&bd contingat. Et quonam pado latiorem
litcrarum duduum exacuentur inferne ac fuperne vtrinque proiedu
rse,fuperius edodus es. Nam quaelibet litera in quolibet dudu latiore & eredo
fuperne & inferne in fuis ^pieduris triplo latior eft,quam circa mediu:modo no
iungatur tradus fubtilior. Cum ifta fuerit perada, tunc duc tradum tranfuer-
fum fubtiliorem inter eredos in mediofuper lineam e f, quemadmodum fub-
feriptum eft.
Litcram efficies vnico tradu latiore eredo in medio fui quadrati, v*
id fuperne atque inferne contingat: hunc fuperne atque inferni
vtrinque exacue egreffum feu proiedum,vt hic fubfcriptum eft.
Pfius K tradum priorem eredum facies eodem modo,quo in Hprius
fecifti, deinde duc alterum dudum fubtiliorem de dudu latiore cre¬
do , ita vt hic dudus tranfuerfam lineam e f,in vna fui parte contin¬
gat oblique acfurfum in dextram afcendatvfquein ab , atqueparal
lelusfiat re<% diametro. Sed huius proieduras fupcrne fac vtrinque ad lineam
a b,partem decimam linea: a b continentes fingulas.Proieduram anterioreex-
cauabis per arcum circuli,cuius diameter non excedat latitudinem tradus exi-
lions,fed alterius arcus diametrum quo pofteriorem proiedura excauas fac du¬
plo maiorem diametro arcuum, quibus procedentes proieduras duduum ere
dorum atque latorum excauare cofueuifti,deinde deiftodu&u exilioreducal-
terumlatum deorium , vt etiam parallelus fiat diametro quadrathatquehuius
initium fumatur ex angulo acuto, quem facit dudus exilior cum dudu eredo
&lato:ducacurquehic cum proiedura in angulu d,ita tamen,ponepunda duo
ante d,hoc pado,vt prius pundum parte decima linex c d diliet ab d, tantun-
de& alterum a priore,ducatur itaque didus ille tradus in fpacium,quodeftiri
ter punda duo,lineis coeas & occultis. Sed poflea addesproieduram quam fa¬
cies hoc modo. Pone ante f in linea e f pundum g,non plus abf diftans, quam
quanta fuerit latitudo tradus exilioris. In hoc pundo ponatur pes circini vnus
ac alter extedatur in angulum d ,ex quo reducatur per latum dudumocultum
& coecum:tunc exibit rotunditas inferior ipliuscaud^.Sedfuperiorem conca-
uationem qustrehoc pado:partire f d, per pundum hmediu,in quo ponatur cir
cini pes vnus,altero deferibe arcum egredientem ex d,vfquc ad dudum latum.
Aut hoc modo efficies k Jn primis finito dudum eredum, & fuperiorem exile
permanere,quemadmodum lam deferipti funt-.nifi quod exilioris dudus,angu
lus interior ad lineam a b relinquitur, fed exterior verfus b excauatur, vt iam
didum eft.Deinde ducaturdudus inferior & latior obliquus ex angulo,quem
concludit linea ef,& duduseredus:defcendatq* vfque ad latus c d,ita interda
dudum dudus latitudo relinquatur vacua,& anterior angulus relinquatur,po-
iterior vero verfus d,paulum excauetur,ficut fubfcriptum eft.
III.
GEOMETRIAE LIB'
Aeterum ipfu L efficies ex duabus literis procedentibus fimul iudis,
nempe facies priorem tradum eredu,& latum,' t ficut prius in i fcriptu
eft. Ad hunc iunge pedem inferne prius formata literx E :ita defor¬
matum L fubfcriptum eft.
Duobus modis in fuo quadrato formabis. Primo duc litene tradum
exiliorem eredum poft a c, parte decima ab diftantem, fac alterum
dudum latiore ante latus b d,decima quoq? parte diftantem,ita vtip
fi fuperne atque inferne quadratum continganf.deinde partire inter
duos hos dudus lineam cd per squalia in pundoe, 8£ duc tradum latum ab
angulo anteriore exilioris tradus deorfum in pundum e, deinde dudum exile
furfum ab e,in angulum etiam anteriorem tradus latioris eredi, anguloscj tra-
duumfuperiores & interiores non cauabis,fed acutos fines:fed exteriores,fimi-
literambctrum duduumeredorum inferiores confuetisproieduris,vt in praece
dentibus 1 iteris fecifti,ornabis vtrinqj.Notabis quoque,quando ha: literx cala¬
mo defignando eflent,vnico dudu forent perfcribendie. At in tuam gratia qud
teinftitueitem,eftliterah£C ita vt prazdidum eft,fubfcripta.
Altero modo fic.Diuide latus quadrati a b in fex £qua fpacia,& abfcinde duo
fpaciaexti rema vtrinque per duo pundafg, duc interiorem tradumlatiorem
cum cufpi de fuo e, vt fupra:& huic furfum exiliorem ita vt inter f h relinqua¬
tur vnum fpacium vacuum,& fic amplius literafefeprodinat.Deinderelinqui
to tradus oredos ad latera,priorem exilem,& pofteriorem craffum,fu perne qui
dem vt prfus/ed inferne extende eofdem in duos angulos c drtandem adde / p-
ieduras vi: in priore M es edodus.Sed proiedura excedit inferne quadratum iu
xta d & c :aut facito N fuperne cum angulis acutis,tunc magis fe acclinant tra¬
dus later,' ilesraut amputa eofdem obtufe,atque eo modo, qui placebit maxime,
vtaris,qm miadmodum & hic fubfcriptum vides.
L iii
Tem literam N facies in fiio quadrato ita. Primo duces duos du&us
eredos exiles, vt fuperne atque inferne quadratum tangant:^ eorum
proiedurg, prioris quidem inferne, pofterioris vero fuperne, angulos
quoque b c con tingant.Deinde per latum tradum SC obliquum con
iunge illos duos, ex angulo a defeendetem in pundum e,quo pofierior tradus
a tergo notatur, vbi angulu acutu elTe permitte,fed fuperne hunc tradum,an¬
te angulum a potredum excauabis foras ad quintam partem longitudinis ab.
Hxc proiedura debet incuruari deorfum, quanta efi: pars decimaquinta longi¬
tudinis a b,duobus arcubus ex«irata:fuperne quide paruo,inferne maiore. Ad
arcum igitur minorem fumatur pro diametro circuli pars quinta longitudinis
a b,& ponatur centrum extra quadratum, ita vt pes circini,contingat: finem ^p-
iedurg, & angulum a-.deinde aperi paululum pedes circini,& mutato cetro do
nec arcus tangat finem quoque proiedurae,& obliquum latumque dud lum lite*
rx in pundo medio, inter latus ac SC dudum exiliorem eredum atqmepriore.
Aut perficies literam N ita,vt anterior atq$ fuperioreius proiedura in itra qua¬
dratu remaneat:aut efficies ex eo angulu acutu, queadmodu fubfcrif >tum eft.
GEOMETRIAE LIB. Illi
Vero perficies ita in fuo quadrato.Ducito in quadrato diametrum e
b,& diuide illam in medio per pudum e, 8C pone liter* maiorem craf
fitudinem circa e, ita vt e fit in medio duorum pundoru fg:qu* fine
duo centra, & ex vtroque ducatur circulus qui bina quadrati latera
tangat,& vbi circuli (e fecant,illic manu ducas latitudinem exiliorem literalis
tragus iufta forma^ficut fubfcriptum eft.
Facies in fuo quadrato ita.Diuide quadratum a b c d per lineam e £
tranfuerfam per medium,deinde diuide a e & b f per aqualia per line
am g h,deinde duc tradum primum eredum ac latum ipfius P hmi-
iem ei qui ante eft in K,deinde erige lineam i K tantundem poft Hunc
tradum eredum,quantam idem habet craffitudinem ( hoc hic obleruandtrm
eft femper, quod in quadrato, in quo fteterit litera, vocamus angulum a ante
feu ad finiftra,& b pdft fcu ad dextram) .Porro vbi linea i K fecat g h, ibi pona-
ns r ALBERTI D VRERI
turi,deinde duc du&us exiliores tranfuerfos fupernefub a b,& fupra e f,a lato
& ere&o du&u vfque in lineam i k, 8t pone alterum pedem circini in pun&ol,
& alterum extende vfque ad inferiorem partem inferioris tranfuerfi tradusiu
xta * ,8c inde duc arcum per lineam g h,vfque ad alterum tradum tranfuerfum
exilem ipfius P,&ad interfedionem g h ponatur m .Deinde poft m ponaturli
terae latitudo maior fuper lineam g h,& tantum circinus aperiatur vt pede vno
cotingatlineam ab,& pundum n.Deinde dimitte circini pedem vnum in n,&
alterum pone fuper lineam g h, ad dextra in pundoo, in quo ftare permittatur
pes ifte immobilis } alteroque defcnbatur arcus tranfiens per pundum n,atque li
neas a b & e f contingens. Aut literas huius vncum formabis hoc pado,pone pe
dem circini fub tranfuerfa g h, in linea i k in medio loco inter lineam e f ' } &C in¬
feriorem partem fuperioris tranfuerfi tradus exiliorisin pundo p, & defcribe
arcum vt prius tranfeuntem per m, &fic vncus erit inferne acutus-.cuius quide
acies terminetur in medio loco inter lineam i K,& tradum eredum literas acia
tum Aut fac ipfum P in dudu rotundo per tranfpofitionem circini fuper
diametro,ita vt dudusille fuperne latior fiatiuxta calamum,quemadmodum
in fequenti alphabeto fubfcnbetur.
Fac in fuo quadratacodem modo quo prius Oeft perfcriptum. Sed
adde ei caudam fic.Ducquadrati diametrum ad,fub quo a rotundo
tradu incipe dudum cauda: prolixae educere per angulum d,ita
q> angulus d fit in media craffitudine caudae: vbi cauda incipit, fiat
paulo angufiior^quam in angulo d, vbi veram fuam obtinere debet craflitudi-
nem:deinde educatur vitra angulum d, ad totius diametri longitudinem vfqj
& deorfum,ita vtcuruetur dum obliquatur,& vt terminus eius non plus tertia
lateris parte fub latus imum defcendat atque paulatim in acutiorem aciem ten
dat faftigiata,ac tandem exilis multum finiatur. Aut caudam C^breuiorem
reddes,fic videlicet.Cape circino longitudinem c d, 8C educ ipfius caudam a ro
tunditate literae,per pundum d arcum priorem tantum quantum fuerit c d, SC
vt cauda furfum fefledat,donec iteru ad altitudinem c d furrexit,& nota pun¬
dum per h,deinde tranfpone circinum, & altero pede iterum a rotunditate li-
teras educito arcum fubtus d, donec iterum redeat in h,ita cauda in fuo initio
maximam habebit craffitudinem, ficut id in fequenti figura dupliciter efi; fub-
fcriptum*
III.
GEOMETRIAE LJB.
—i
Raterea R fac ita in fuo quadrato vt P defcriptum eft,deinde erige r
dam lineam q r per medium quadratum, SC vbi fecat exteriorem ar¬
cum tradus rotundi ponatur s,a quo deorfum verfus atigulu d. duca
tur tradus lacus, aqualis fere illi qui eu fupra in literam h,hic tamen
introrfum aliquantulum eft fledendus ideoqj manu ducendus eft, & acumen
cius bene formatum vfcp in angulu d ducendtfm.Aut ita fac R, vt dudus eius
rotundus iuxta calamum fuperne latior,infetfneexilior fiat. Ad hoc faciendum
erit tranfponendus circinus fuper diametro q e, neque rotundus eredum tra-
tum continget,quemadmodum in P defcriptum eft.Praterea obliquus tradus
a rotundo paululo incuruatior eft4ucendus,ficut id fubfcripfi.
!*> ALBERTI DVRERI
literam S fic facies in fuo quadrato a b c d. Primo duc lineam e
Ili IW tran ^ uer f am > mec li am 9^ ereda g h,& vbi hsefe in medio fccant,po
ffigl l|||aatur m,deinde cape lireras craffitudine maiore & ea pone fuper line-
^^ am g h,ita vt pundum m tertiam parte craflfitudinisfub fc abfeindat,
deinde pone literae craflitudinem minore fuperne fubtus g,pcr puelum i,infer¬
ne fuprah,per K,& nota craflitudinem literae fuperne per n,inferne per l.Dein
de pone pedem circini fuper lineam g h in medio inter i n,ac altero pede duc cir
culum per i n,deinde quoque fuper lineam g h pone circinum in medio inter g
1,8£ deferibe circulum per gl,deinde iterum fuper eandem lineam g h pone cir¬
cinum in medio mter n h & circumfcribc circulum per n h,ac tadem in medio
inter 1K polito pedc,defcribatur altero circulus per eadem puda 1K,deinde ab-
fcinde huius literae fuperiorem tradum erede,ita vthgc amputatio in extremi
tate contineat maximam craflitudinem literg, & infuper tertiam partem: & vt
acumen tantum defcendat,vt cctro circuli i n aequaliter ad latus flet,propterea
acumen illud ad dextrum a circulo i n recedit vfque in prima tertiam inter mi¬
norem & maiorem circulum .Deinde praefeinde literam a finiftris inferne per li
neam eredam,per medium duoru circulorum,& vt hasc amputatio quarta par¬
te latior fit fuperiore ac pofteriore, SC vt acumen eius afeendat ad aequalitatem
cetri circuli n h. Aliter facies S litera .Pone in medio quadrati a b c d,fuper
lineam tranfuerfam e fpundum m,deinde pone circini pedem vnum in medio
g m,8£ altero pede deferibe linea circularem verius a e, per m g,deinde pone cir
cinum in medio m h,& deferibe circularem lineam per m h,verfus f d. Hi duo
arcus contingut fuperne ante,inferne pdft, curuaturas ipfius S literg exteriores,
deinde duc diametrum c b per m, in medio eius pone craflitudinem maiorem
literg duobus pundis p q,ex quibus ducantur dux redg lineasfurfum ac deorffi
ad duos arcus illos vfqj,deinde duc duas parallelas ex duobus pundisp q,lineis
circularibus,intra eas tamen,vfque ad altitudinem 8C depreflionem amborum
centrorum earundem circularium.Deindc figna fubtus g,& fuprah minorem
craffttudmem literg,hinc manu dabisformam literae introrfum fuperne ac in¬
ferne,^ produci to tradum S fuperne verfus b,&praefeinde eum vt acumen in-
feriuscirculare tangat,& quod prgeifio furfum decima contineat partem a b,&
quod circularis acumen amputatum excedat,deinde pone credam linea r spoft
e c partem quintam cd:vbi haec diametrum fecat,illic ponet,atque in illu angii
lum duc extremitatem literae, & fac praecifione tertia parte latiorem fuperiore:
ideo<$ oportebit te paululum vitra t procedere,ficut continenter fcripli.
GEOMETRIAE LIB. III.
Literam ftatue in medio fui quadrati eredam,exacueq? inferne vtra
que proieduram,quemadmodum prius literam Ifecifti,deinde pone
duo punda,lingula per partem decimam longitudinis a b poft a e^an
te b f,tantx longitudinis fiat dudus literam trafuerfus fub lineam a b,
extremitates autem huius tranfuerfi dudus ^ieduras habebunt, & oblique ab-
fcindentur,& fuperne linea a b excedent proiedurarum acumina verfuscg fini-
ftra dependentia, SC lineas has obliquasproieduraru fac longas parte quinta a
b, deinde proiduras excauabis per duos diuerfos circulos,in minore angulo vtc
re diametro duas tertias latitudinis maioris cotinente.Sed in angulo maiore fu
me diametru,quantum fuerit latus quadrati inter tradu latu & eredu Si angu-
lu a velb. AutfacitaT in fuo quadrato.Pone pundu e vtpriusa,&pr£fcinde
tranfuerfum tradurn per diametrum vt prius.Sed vt ^iedura dimidiata fit ad
priore,& vt fuperne fimplex angulus maneat,idem quoq^in altera extremitate.
Sed pundum f in dupla propius ponatur ad b,& abfciffio paulo eredior 81 lati
or fiat anteriore,alioqui omnia relinquantur vt prius,quemadmodu fubfcripfi.
ALBERTI D V R ERI
Ita fac in fuo quadrato.Diuide c d pudo medio e,deinde pone pun-
dumf decima parte lineas a b poft a,tantundem ponaturg ante b, de¬
inde duc tradum latiorem deorfum ab f in e cum fuo acumine,&in¬
de duc furfum tradum exiliore ad g & fu perne adde proieduras du-
dibus ambobus, quales ante in A inferne fecifti, quemadmodum hoc fubfcri-
ptumeft.
ha formabis. Erige duas lineas e f & g h decima parte lateris a b poft
SC ante latera a c & b d.Deinde duc duos tradus (e ad crucis formam
interfecates, latu ita vt fuperne $C ante tangat e,atque inferne ,SC poft
tangat h,fed exilem,ita vt fuperne poft tangat g,& inferne ante f. De
inde adde proieduras, quatuor angulos a b c d taduras fuperne atqj inferne,
8C fac femidiametrum maioris circuli latam quintam partem ab,atqueeo exca
uabis quatuor maiores angulos:fed minoris circuli diametrum fac longum du¬
as tertias latitudinis latioris dudus.
Aut variabis X ita. Omnia relinquantur vt prius praetertradum fubtiliorem,
quem fuperne per medietatem lati tradus erediorem faci es, & fic fuperior pars
literae erit minor atque anguftior quam inferiorac aliter apparebit, licut fub-
icriptum eft.
Perficies in medio quadrati fui in medietate inferiore ficut prius Ide
feriptum eft. Sed fuperiorem litera: partem finde ita vt anterior pars
contineat duas tertias,& pofterior vnam tertiam latioris tradus, in¬
clinent^ feipfas ad latus vtrunq?,ita vt proiedune earum duos angu¬
los
GEOMETRIAE LIB. III.
los a St b contingant,^ maiores circuli ,quo obtufos feu maioris angulos exea
uabiSjfac deametrum quantum fuerit fpacium quadrati iuxta Iitera,ficutin T
didu eft.Diametros vero circuloru ad angulos acutos St minores fac vtrafquc
longiores quam dudus latitudo fit ex eadem parte,ficut fubfcriptum eft.
Erficies Z ita in fuo quadrato .Pone fuper vtrumgue latus fubtus St
poft angulum a,duo punda e f decima parte longitudinis a b,ita po¬
ne etiam alia duo punda g h,ante St fupra angulum d,& lineis redis
iunge e f St g h:deinde duc tradum fubtiliorem tranfuerfbrft fub a b
ab f retrorfum in angulum b vfq? .Inde duc latum dudum obliquum vfque in
c,deinde duc exiliorem ex c in g,deinde manu excauabis duo acumina e h.
Aut ita facies Z.Abfcinde quadratum a b c d per lineam eredam ef,8C duc li
teram Z iterum in hanc,vt prius,fed ita vt duo dudus tranfuerfi fuperne ante
St inferne poft per eredas a t 8t e f abfeindantur ,ficut fubfcriptum eft.
94 ALBERTI DVRERI
TComnes alias prius formatas literaspoflumusexnouelatitudim-
bus altas efficere,quemadmodum & iam dcfcript* liter* decem lati¬
tudinibus longa: funt ac ait*,& eodem modo iuxta fuam proportio
nem ac menfuram ex noucm partibus in fuis quadratis a b c d diui
detur,vt prioris ex decem partibus,& vt hoc melius intclligatur, volui tales eti¬
am literas fubfcribcre. Fiunt etiam h* liter* quinque altitudinum ait* cum
minufcul*,& manu fcribuntur.In hac feriptura fiunt liter* maiufcul*,fcu ver
fales eodem modo atque men fura,fed parte tertia maiores,quam communis li¬
nea literarum fuerit.
GEOMETRI AE
M ii
&
* 1
ijS
ALBBRTIDVRERi
Iteras quas vocant tcxtualesfeu quadratas,aliquando ita feribi foli-
tum fuit, quanquam nunc alia arte confcribantur, quam etiam fub-
feribam. Quanquam Alphabetum ab A feribi incipiat,ego tame m
primis litera I nec fine caufa nitar effingere,vel hac praecipua, quod
fere omnes aliae liter* per hanc litejram finguntur, quam uis femper aliquid aut
addatur,aut diminuatur. f
Primo 1 fac ex sequis quadratis, qujorum tria rede fuperponantur,& fupremi
latus item fupremu diuide, /& imi imu per duo punda,quodlibet in partes tres
seqiiastdcinde ponesequu quadratu oblique,diametro eius ereda, & angulo eius
in primo pudolateris quadrati, Sic excedet quadratum hoc obliquum angulis
fuisplusant^,quaihp6ft. Deinde duc furfum vtrinque fecundum quadrata fu-
perpofita redas vfq? ad latera oblique pofiti quadrati. Deinde inferne fimiliter
facies atq* fuperne, nifi quod angulu obliqui quadrati ponis ad fecundum pu-
dum
\ __
dum,aut pofterius inferioris lateris quadrati ,SC demitte lineas vtrinquead qua
dratum tranfpofitum,ita perfedum erit I,fupra quod defcribe exili calamo mi¬
nutulam ac dimidiatam lunulam.
Item N facies ex duobus dudibus ipfius I,ita vt eorum fummi atque imi angu
li (einuicem contingant.Sicfpacium inter duos dudus erit angufiius,quam la
titudo vniusdudusried non amplius facies lunulas fupra literas,& breues litc-
rasomnes fac eiufdem lougitudinis pertocum Alphabetum.
Jtem M fac ex tribus dudibus,ficut N ex duobusfecifti.
R fac vt Ijfolummodo fuperne pone quadratu aquum a dextris,^ oblique, vt
angulo fuo angulum tangat. Retiam hoc modo facies:pedem relinque in¬
ferne vt prius,fed fuperne fuperpone duo quadrata tranfpofita,qua angulis fh-
is,fefe tangant in medio eredi dudus, &duc vtrum^ latus plene furfum vf<j
ad quadratum.
Vtrifariam fit.Primum fimplex fiat vt N,folumodo in dudu pofteriore omiN
te fuperne quadratum obliquum, & pro eo fac lineam obliqua,ita vt fiant duo
anguli in hoc dudu,quorum pofterior fit in ea altitudine qua eft angulus fupre
mus quadrati obliqui in tradu priore, fed anterior angulus fit in eade altitudi¬
ne cum angulo fibi proximo in priore tradu.
V fecundum,quo vtimur in initio didionum . fac ita, Dudum priorem facies
vt Ijfolummodo inferne quadratum obliquum trude paulo plus ad dextram,
ita vt angulus anterior non excedat latus eredi tradus, fed fit in linea eade dc-
fcendete. Deinde pone fecundum dudum pofthunc, & inferne eum abfeinde
per lineam obliquam qua ducatur ab imo angulo ad dextram vfq* ad altitudi¬
nem mediam imi quadrati ex tribus fuperpolitis.
Deinde fac W duplex,ficut V fimplex,modo praeponas ei dudum literae I,
B fac vt fecundum & fimplex V. Sed in priore dudu omitte fupremum qua*
dratum obliqu um, &Tfuperpone adhuc alia tria quadrata tribus inferioribus,
fed feptimum per diametrum ante prafeinde.
Item quando inuertitur hoc B,vt fummum eius fiat imum,tunc erit
X facies ex I. Appende a dextris fuperne aquum obliquum quadratum, vt in
priore R,& inferne ducito acutam caudam in finiftram ab obliquo quadrato,&
in medio duc tradum tranfuerfum per eredunl,ita vt is ante & poft per diame^
trum abfcindatur:anguhis anterior atque inferior terminetur tantum ante ere¬
dum,quanta fuerit femidiameter ante abfeindens, fuperne tamen tradum ere¬
dum tangat diameter illa , fed a dextrisegrediatur vfqj ad eum locum qui eft
fubtus angulum obliqui quadrati fuperne quidem, hinc amputetur per lineam
obliquam anteriori obliqua parallelam.
C fic facies ex I.Remoue fupremum obliquum quadratum,& erigatur linea h
terales vfque ad iuftam litera altitudinem, 8C prafeinde angulum anteriorem
per diametrum, deinde duc tradum latum tranfuerfum fuperne tantum poft
eredum,quanta fuerit eredi craffitudo,& abfeinde hunc per diametrum,ita vt
inferior proiedura fit dimidia ad fuperiorem.
Dudu eredii ad E facie$,vt in C, fed defuper defeendat in dextra tradus latus
i46 ALBERTI DVRERI
ex anteriore diametro ad angulos redos vnius quadrati & eius tertia parte logi
tudinis,ducaturq*linea parua & obliqua ab angulo inferioread dudu eredum.
T fiet fimiliter acC,nifi quod huic in diametro fuperne aliquid adiicitur , per
quod acquirit in fummo aciem,atcg fimile ante ad finiftram ad latu dudu, ficut
in fummo:ideoq 3 elegantius eft T fuperne,q C,necj? ita incuruum videtur.
L fac inferne vt I,fed quadrata fex fuperponatur: & feptimum ante pradcinde
per diametrum,fic remanebit literas acies fuperne ad dextram.
Literam S fac ficut L,ni fi quod fuperne ad dexteram ducendus eft tradus latus
in longitudinem diametri,quem poft abfcindes per linea parallela anteriori.
F facies vtS, tantummodo adde ei dudum tranfuerfum in altitudine breuioru
literarum,duplo longiorem q latiorem,ita vt acies ante SC infra excedat tantu
quanta fuerit eiufdem media latitudo,vt dux abfciffionesobliqux fibi inuicem
fiant xquidiftantes.
Priorem tradum literae H,fac fimilem L ,& pofteriorem adiuge fuperne in loco
fuo parem ipfi I.Sed inferne pro obliquo quadrato perfice eredum quadratum
quartum,& quintum imum abfcindepdft per diametrum.
K priorem tradum fac vt L,ad dextram appende quadratum obliquum ad tr£~
dum,& ab angulo infimo procedat linea obliqua vfque ad tradum illum ere¬
dum, a qua deinceps oblique educatur tradus latus:& hunc inferne amputa¬
bis per diametrum,ita vt inferne ipacium inter duo acumina non amplius fit
quadrati vnius diametro.
E) in medietate fua inferiore fac vt B, fed anterior tradus fuperne afeendat fur
fum ad literarum altitudinem,^ angulum anteriorem per diametru refeca, de¬
inde fuperpone adhuc dimidium quadrati fuper alia tria quadrata pofterioris
tradus ,SC iterum fac hic eodem modo,ficut inferne, & tradus hiefradus incu¬
bat fuper angulum tradus anterioris,atqj hunc excedat vf9 ad finem eredi an¬
terioris dudus:ita paulo minusq tria quadratacouiuda habebit,nam iuxta an¬
teriorem tradum eredum,fradus ille ad angulos redos eft abfeindendus.
O inferne vt D,fimiliter hoc fuperne fac vt idem inferne,ac fi inuerfum fit.
Anteriorem tradum P fac fimilem L inuerfo, fed pofteriorem fimilem eredol,
inferne tamen non addes obliquum quadratum, fed amputa tradum per dia¬
metrum, & duc inferne tradu tranfuerfu latu,qui item per diametrum abfein-
datur,vt inferne acies excedat in finiftram,quanta fuerit media tradus latitudo.
Item A in medietate inferiore fac fimile N,fed anterioris tradus eredi in medio
quadrato per diametru angulum priore abfeinde, pofterioris vero fine tria qua¬
drata confiftere fupcrpofita,& inclina fuperioreparte quadrati magisfiniftror-
fum,ita vt fi adhuc iungatur illi dimidium quadrati,tunc altitudine literae con '
tingat:& quadratum oblique pr^feinde, vt tamen inferior acies latius excedat
quam fuperior.Inde circumfcribe circulum in finiftra atqj deorfum, ita vt eius
quantitas diftantiam anterioris tradus contingat.
Z fit trifariam,Primo pone quadratum obliquu quod altitudinem literxcon
tingatrdeinde adde alterum fimile ad dextram iundis lateribus, ex quibus fiet
quadrangulum defuper in dextram dependesrdcinde quadratum obliquum po
ne
GEOMETRIAE L I B-
III.
i4i
V
ne rede fubtus quadratum fuprenium, tantum ab inferiore diftans,quanta £ue«
rit diameter eiusiab hoc duc lineam obliquam ab angulo fcilicet huius ad an¬
gulum alterius,aut fac tradum rotundum ad quadratum vfque lnferius.Sed a
iamdido quadrato infimo deorfum atq? dextrorfum educito rotunda proie-
duram per diuerfos circulos,qua: inferne longitudine literxcontmgat,& acie,
acutaac tenuisfiniftrorfum vergat:aut hanceffice per tres lineas obliquas vna
fupra alteram 8C duc diametrum per eas quae in dextram declinet.
Alteru Z fac ita, vt tria obliqua quadrata libi inuice fuperponantur,& imum
quadratum habeat proiduram rotundam ficut prius.
Priorem tradum G , fac inferne(imile I, SC fubiungeinferne alterum quadratu
obliquum iundis angulis.Superne vero huius tradus pofteriorem aciem exalta
furfum vfque ad altitudinem liter£,ex hac acie duc diametrum deorfum ad li-
niftram, vfque ad priorem angulum primi quadrati eredi ex fuper fepofitis tri¬
bu s.Deinde, duc pofteriorem dudum eredum totum tantae longitudinis quan
tafuerit prior dudus, SC duc inferne diametrum ab angulo imi quadrati obli¬
qui vfque ad finem pofterioris tradus anguli, SC demitte interius latus in aciem
deorfum vfque ad diametrurmad hanc quoque per vnam lineam iunge quadra
tum imum SC anterius, deinde duc tradum fu perne tranfuerfum, latumque ab
prioris tradus eredi dorfb per pofieriorem eredum vitra hunc tantum,qua-
ta eft eiufdem latitudo, quem tandem abfcindes poft per obliquam lineam pa¬
rallelam priori. -
Y fac vt Njfolummodo omittatur inferne pofterius quadratum obliquum,pro
quo fiat quadratum eredum fub aliistribus fuperpolitis:S£ quintum quadratu
difleca per diametrum, vt acies ante fiat,a qua diameter egrediatur in longitu¬
dinem vnius lateris quadrati. l~r\
5 rotundum fiue breue ita facito. In medio altitudinis lit.eraziuxta fe ponatur
iundis angulis duo quadrata obliqua, a priore quadrato erige dudum eredum
6 latum vfq? ad altitudine liter£e,ita a pofteriore demitte deorfum, pariter atq$
I fuperne atque inferne formatum eftfhos ambos dudus abfcinde fuperne in ¬
ferne per diametros, ita vtambg acies relinquantur verfus medium.Deinde du
cantur duo tradus lati a fuperiore quidem acie dpxtrorfum, atque deorfum,fi-
militer ab inferiore acie finiftrorfum, atque furfumiin latitudinem dudus fur¬
fum S£ deorfum,fed non latius vtrincg educantur,quam quantum lati dudus i
fe inuicem dift ant:deindc duc diametrum defuper a dextris in finiftram,8£ per
eam abfeindes ambos tradus obliquos. Ad eandem etiam adducito latera qua¬
dratorum in medio pofitoru.Talia ego in albis per lineas,& in nigro,ordine re¬
do fubfcripfi.H^c vt pr^didu eft antiqua literaru forma eft. At hoc tepore ele-
gantior fit textura, &C obliquu quadratu ponitur in medio loco lateris quadrati
eredi,ita vt lineg literaru non tantu curuetur:& fiut quida dudus adiundiateg
diffiflbfuperponutur etiam quadrata tria SC femis,fiuntq? fpacia inter duos du
dus tata quantafuerit ipfius duduslatitudo. Tales etia literasfubfcripfi , vna
culiteris maiufculis^quas vocat verfales, q> ab initio verfus poni cofueuerint:
qus etia tertia parte altiores fieri debet reliqs in feriptura breuioribus literis.
AL BERTI DVRERI
ifrt
<x>o
GEOMAETRIAE
LIB. III.
T un T) T I nVRF/RI
ALBERTI DVRERI
PICTORIS E X C E L L E N T IS S 1 M I
Inftitutionum Geometricarum
Liber Quartus.
N menfura triplicia funt corpora,qu a aut circino,aut regula fi¬
unt. Quaedam tendunt in aequalem longitudinemiex his fiunt
columna,turres, & reliqua fimtlia . Alia in aciem tendunt, ex
h i s fi u n t py ram ides,q u an qu am & ex h is coi u mn a fieri poffu n t,
cum acies multumdiftiteritin altum. Attamen talis acies cer¬
ta menfura eft amputanda . Hinceft, quod columnis in aciem
tendentibus non altius onus imponitur ferendum, quam acies earum triangu¬
li contingit.Tertio funt corpora,qua vndiquaqj aqua funt,fuperficiebus,angu
lis,& lateribus,qua Euclides vocat regularia corpora,quorum quin<j defcribit,
<j> non plura efte
poflint:qu£ in ca
uo globo conteta
vndiq? tanganr.
Hac quiaadplu
rima cotingunt,
hic fubftgnabo.
In primis eft cor¬
pus triangulare,
cotinet hoctrian
gula res fupficies
quatuor gquas g-
quiangulas^,ha-
betquoq? quatu¬
or aquos , trigo-
noscg angulos, &
lex gqua latera a-
cuta,quemadmo
dum hoc patefa-
dum in folo pofi
tum : deindeque
iterum edudura
fubfcripfi.
N
145 ALBERTI DVRERI
Fcundum corpus eft fimile cufpidi feu pun$o adamantis,gquiangu-
lum , fex equorum quadrangulorum angulorum, 8C duodecim acu¬
torum laterum,quemadmodum St illud omnino patefadum,deinde
claufum,ad folum depolitum, 8C deinde edudum,reuolutum,ad alte
rum latus collocatum fubfcrjpfi.
. L . "ii
GEOMETRIAE LIB.
IIII.
i4 7
Vartnm corpus eftfimile quadratae tefler*, habet<jr fexquad ratas
retfangulas fuperficies,&odo refios triangulos angulos, aeduode-
cim acuta latera:quemadmodu illud expanfum, deinde comparium
& in fundum locatum,# iterum edudum,omnia fubfcripii.
N ii
*43
i —j _i
ALBERTI DVRERI
G E OM E TRI AE LIBJ IIII. g
- f~. . mj m | b
Pharraautglobusquandopermeridianaslineasdiffecattir, &' in pla¬
no collocatur,formam pe&lnis accidi , quemadmodum id fphance
& apertum fubfcnpli.
N lii
ALBERTI DVRERI
Aec corpora omnibus fuis a n
gulis cocauatum globum co-
cingunt,ficut & eundem glo¬
bum iam prahcripii.Hax eti¬
am corpora poteris in eadem quantita¬
te dupliciter inter ie componere, ita vt
femper angulus vnius per alterius lupet
ficiem planam egrediatur,^ elegantem
formam in aedificiis habebunt.
In his etiam corporibus fug fingulas fu
perficies planas poteris ftatuere pundu
acutum,altu,aut depreffum facere, tot
quidem angulorum quot fuerint angu
li in fuperficie luper quamfteterit pun
dus. Eadem arte vti licebit SC in corpo
ribus irregularibus,vbiinfph^ra vndi-
quaque contingunt.Quodlibet corpus
quod redisfuperficiebuscocluditur,nc
ceffarid habebit angulos, & latera acu¬
ta. Voco autem latus acutum,vbi duae
fuperficies coeunt,fiue fuerint in angu¬
lo angufto,fiue obtufo,atque lato.
Quodhbet orbiculare angulis caret, fi¬
ue fuerit oblongum,fiue rotundu.Sunt
prgterea & alia corpora pulchra facien
da
r
_L
3
\
GEOMETRIAE LIB. IUI. t&
U^quse etiam omnibus fuis angulis concauitate fph^ra: contingunt/ed fuper-
ficies eorum no funt pares.Haec partim fubfcribam,^ omnino apertabo quif.
que ea claudere poffit.Si quis igitur ea componere velit,is accipiat duo Folia pa
t>yri,bitumine s aut pafta cohaerentia, & corpora illa Fuper eadem ita deferibat,
vt acuto cultello alterum foliorum fecundum lineas du&asfcindatur, &cum
omnia reliqua ex reliduo papyri fuerint foluta } tunc facile complicabiturin du
dibus &:fcifluris.Ideo^ aduertendum eft adfequentem du&ionem,nam talia
Ecundum corpus irregulare habet fex odangulas, & odo triangulas
fupficies. Cum hoc corpus vt apertum deferiptum eft, coniungitur,
habebit angulos quatuor& viginti 3 S(Iatera acuta fex & triginta»
ALBERTI DVRERI
Ertium irregulare corpus habet fex quadrangulas, 8C o&o triangulas
fuperficies:cum illud ccmplicatur,vt apertum eft,continebit angulos
duodecim,& acuta latera quatuor & viginti.
GEOMETRIAE LIB. IIII,
ficies,cu copingitur coprehendic corpus hoc angulos latera acutaps
-v# /i***.
ALBERTI DVRERI
Vintum corpus cumeft apertum , habet t8 quadratas ,s triangulas
fuperficies: cum ex his concluditur corpus, poffiidebit angulos H 8C
acuta latera quadragintao&o.
IIII.
GEOMETRIAE LIB.
155
Extum corpus cum efi: apertum, habet fex quadratas St p triangu*
ias fuperficies: cum vero plicatum eft , habet angulos, 8d <s latera
acuta.
Eptimum & fequens corpus ] cum aperitur habet fex odhngulas, &
8 fexangulas,& duodecim quadrangulas fuperficies,& cum plicatur
continet 48 angulos,& 7 * acuta latera.
alberti dvreri
GEOMETRIAE LIB. IIII. .»
■i _
3 Ctauum corpus fac ex fex duodecagulis fuperficiebus, inter quas fac
] 3 2 duos triangulos } quinon habent omnia latera «qualia,quemadmo
1 dum id fubfcriptum eft apertum.
Vando fex refta quadrata ad fe compofueris, & duodecim triangu-
losjquorum quilibet tantam habeat altitudinem,quantum fuerit la¬
tus quadrati,& h«c omnia compofueris, fiet corpus quale hic aper¬
tum eft fubfcriptum.
?s3 AL B IRTI D VKER I
Vando ab his corporibus per
& deinde anguli remanentes
multiplicia ex his corpora.
pars earum tranfponitur inter fe,id quod adexcifionem ftatuarum St
columnarum earumc^ ornatu conducit.Quemadmodu vrbis Athenaru femel
pefte infedx ciues Apollinem confulebant,quopado morbo Uberarentur. Re-
fpondit Apollo liberatu iri, quando altare eius decuffarent.Itaqj accepto ora-
culo,iapidem para nt eiufdem cum altari quantitatis,atqj eum fuper altare col¬
locant. Quum vero peftis non ceffaret, denuo Apollinem confulunt,rogantes
quid in caufa fit,cur minus ceffit peftis,quum ipfi dido paruiffent. Refpondit
eos non ita exeeutos effe,quemadmodum ipfe praeceperat,fed altare multo ma¬
ius fecifle quam duplu.Cum vero architedi eoru inuenire non poffent, quona
pado id efficerent,confidebat de hac re dodos,& pr^cipue philofophu Plato-
nem:hiceos docebat,qua arte inuenirepoffent ad duaslineas impares datas,du
as alias lineas qux fe ^portionaliterhaberet.Nam per tale arte poffent cubum
(quodeft corpus quadratu,vt teffera)& omnia alia duplicare,triplicare ,SC con
fequeter multiplicare,atqj augmetare. Poftqua hxc tam vtilis accomodacg ars
eft omnibus opificibus,qua a dodis inter arcana conferuatur abfcondita,vo
lo ego hanc in lucem gdere,ac docere-.quonia per hanc arte etiam bombardaru,
campanarumqj conflatio difcitur,qu£ augentur aut duplicantur pro fuforis ar
bitrio,ac nihilominus femper fuum pondus, fuamq? proportionem feruat.Simi
liter per eandem dolia,arcg,menfura,rota,carpenta,fl:atua£,& quicquid lubeat
augentur & multiplicatur.Ideo quilibet artifex animaduertat ad eam qux( vt
reor)hadenus nunquam in lingua,falte vernacula deferipta fuit.Primo iunge-
duos cubos a b c,hanc longitudinem a c eredam pone fuper tranfuerfam line¬
am d e ad angulos redos,& circumfcribe femicirculum d a e ex centro c,dein¬
de ex e duc redam per b vfq* ad circumferentiam vbi ponatur f v deinde accipe
regula,feu baculu anguftu,& in mgdio eius figna pundu ab hoc verfus vtramcg
extre-
planas abfcifliones anguli amputatur
quoqj abfeinduntur, fic poterunt fieri
Ex his rebus varia fieri poffunt.ciim
GEOMETRIAE LIB. IIII.
extremitatem diuide, & cifras adpone in
vna parte,ficut SC in altera vt pundus me
dius principiu vnitatis fit verfus vtramq?
partem,quoniam per motu regulg quires
primam lineam,per qua fecunda inueni-
tur ad duplicatu cubu , deinde pone iam
fadam regula cum vna parte fuper pun-
dum d,in quo femper haereat, fiue regula
furfum,fiue deorfum moueatur.Sed cum
alteram regula parte moues, maneat fem
per pudus medius fuper lineam a b c, &
tatifper moue regula,donec inuenias me¬
dium locu inter linea e f 3C circumferetia,
& vbi mobilis regula fecat linea e f, illic
poneg,8^ vbi fecat lineam ab c ,ibi pone
h,& vbi circumferentia fecatur, ibi loce¬
tur i.Ita erunt g h &h i du£ logitudines
aequale s,tunc erit h c prima inueta linea
per quam inueniendum eft latus duplica
ti cubi,deinde compone lineam h c,& la
tus fimplicis cubi a b trafuerfe ad fe inui
cem,ex quibus fiet linea a h c,& pone pe¬
dem circini in medio linea; ac,&defcnbe femicirculum a c, deinde erige per¬
pendiculare cxh vfque ad circumferentiam,ibierit h ihxc linea K h dabit tibi
latus ad duplicatum cubum quemadmodum hocfubfcripfi.
Vod fi voles cubum triplicare, aut quadruplicare, aut quouis modo
multiplicare,id efficies per viam pr^didam . Sed vtfequitur .Primo
cape longitudines trium cuborum a b c d,ac iunge eafdem:& pr^du-
dam lineam a d,erige fuper tranfuerfam f e ad angulos redos 8C duc
femicirculum f a e ex centro d,deinde duc oblique lineam redam ex eper linea
a d,&'pgr eam abfcinde infimam tertiam parte,hoc eft longitudinem vnius fim
plicis cubi,illic pone b.5ed vbi linea obliqua ex e duda ad circumferentiam ta
git,hic pone g,deinde colloca regulam per gradus diuifam cum altera fua par¬
te fuper pundum f in quo permaneat :cum altera vero parte moue regulam, SC
quaere in linea ereda ad locum medium interlineameg &peripheriam eaf,
& quado regula ita fuerit fita,& linea fecundum eam duda fecuerit lineam e g
ibi ponatur h,vbi vero eredam a d fecat,illic i,& vbi peripheria,iftic h locetur.
Ita erunt h i &i K eiufdem longitudinis,^ per hoc erit i d prima longitudo per
quam inuenienda eft fecunda longitudo lateris triplicati cubi, Confequenter
’ f ‘ J< " ' >t * " .’ .. . O ii cape
«o ALBERTI DVRERI
cape lineam i d pro longitudine lineas tranfuerfas 81 adiunge eidem longitudi
nem lateris cubi fimplicis a b,& pone circinuminmediolinegconiund£ab8i
i d& ducfemicirculum a d,deinde erige perpendicularem bl,hasc linea blern
latus triplicati cubi ad cubum a b quemadmodum fubfcriptum eft.
4S
oro
$ c v
Oftea coniunge quatuor longitudines fimplicis cubi a b & fiet ab c d
Me, hanc lineam a e erige perpendiculariter fuper tranfuerfam g f,dein
deduc lineam exfg & abicindecum ea quarta partem inferioreip*
fius a e,8£ vbi h asc linea peripheriam fupra g tangit,ibi locetur i: de¬
inde cape regulam tuam graduatanh, 6c pundum eius medium pone fuper cre¬
dam a e, St alteram extremitatem fuper g,& qugre medium in a einterlineami
f & periphena, SC vbi f ifecabitur,pone k:& vbi a e,ibi ponel:& vbi circularis
inter a f tangitur,illic mpone,fic erunt K 1 & 1 m asqualium longitudinum. Ex
hoc inuemtur quod 1 e prima eft longitudo, per quam inuenitur latus quadru¬
plicis cubi,hoc qugre vt iam didum eft.Coniunge longitudineml e & lateris 16
gitudinera fimplicis cubi a b ,& pone pedem circini in medio inter a e ,SC altero
pede duc femicirculum a e.Deinde erige perpendicularem ex 1 in peripheriam
vfque tangentem,ibi^ pone n.Sic erit n 1 longitudo lateris quadruplicati cubi ?
quemadmodum id fubfcripfi.
f
GEOMETRIAE LIB.
--a
Vm itaque nunc quatuor hos cubos per viam procedentem effeceris»
poteris alterum cubum maiorem qui tibi proponitur fecundum pri¬
mos pari modo multiplicare,dupliciter,tripliciter, aut quadruplici-
ter.
Augulum re&um conftitue 5 cuius angulus fite,lineaere&a f& linea i tranfuer-
fa,& pone cubum fimplicem,duplicem,triplicem,& quadruplicem in defcripti
one omnes ad locum vnum,ita vt cuiuflibet cubi & angulus in angulo e,& duo
latera fuper duas lineas f i permaneant i 8C defigna quatuor cuborum angulos
in linea i fecudum cuiuflibet cubi capacitatem e i,e^e ?,e 4,& duc diametrum,
feu lineam obliquam e h per quatuor angulos quatuor cuborum, deinde fur-
fiimeducito quatuor cuborum latera, quaefignatafuntpcrei,e*,e3,e4, fupra
obliquam e h oquidiftanter prolongata, quantum fuerit opus. Cum tibi nunc
propofita fit longitudo maior alicuiuscubi,quem iuxta priores cubos vis mul
tiplicare,tunc colloca propofitam longitudinem ered:am fuper lineam i fim-
plicis cubi,vt inferne tangat trafuerfam e i,& vbi fuperne finit,illic pone a, de-
O iii inde
ALBERT1 DV&ERI
inde duc obliquam lineam ex e per a,& per omnes eremas lineas 7,4 & huius
obliqug extremitas fitg,vbi tunc eredac linejfe .7 ,4 in tcrfecan tu r,pone b c d: fic
erit a < latus fimplicis,b duplicis.c 3 triplicis, d 4 vero latus quadruplicis cubi'
8 i funt in eadem proportione ad fe inuiccm, in quafunt cubi minores.Hoc ad
plurima eft vtile.Nam per hgc omnia poffunt multiplicari rite,vt fuamfemper
obtineant proportionem,quemadmodum tale vides fubfcriptum.
Tem alia forma,qua cubos continuo in duplo vel maiores,velmino-
res facere poteris, vbi prius habueris duos cubos, quorum vnus alte¬
rum in duplo contineat,fac ita. .
---—-Pone lineam credam ab,in ejua ponantur dirorum cuborum latera,
vt fe contingant,& vt maior fupra minorem collocetur cubum, fuperiores an¬
guli duo anteriores ad lineam a b ftantes fint c e,pofteriores vero fint d f.Inferi¬
oris vero cubi minoris angulos duos ad lineam a b anteriores figna g.i,& polie
riores h K,tunc coniungc duos angulos f K per redam lineam,deinde eande duc
furfum quantum volueris,atqueilIic poner, deinde deorfum vfque ad lineam
a b,ibi pone j.Cumita^ exangulo d ducas lineam eredam in pundum ?,ea feca
bitinferiora duo latere cuborum. Cum vero cum eadem obliqua furlum ten¬
das vfque ad finem x, exhac fumitur cubi maioratio,fed inferne deorfum mi¬
noratio.Id facies ad hunc modum.Primo educito latus tranfuerlum cubic d
fuperne vfque ad lineam obliquam 3 r,ibi ponito 1 ,deinde alcendito cum linea
GEOMETRIAE LIB. IIII.
ere&a cx l,furfum ad lineam ? x,ibiqueponito m,deinde concludito cubu c 1 m
n,is continebit in duplo cubum c d e f.Idem toties in duplo afcedit quoties for
mare poteris, hocque certum ateg re&um reperies. Sed deorfum cubus femper
in duplo redditur minor,ldquefit ferme vfque in cufpidem ? &C hoc eodem rao
dodefeendendo efficitur,quo alterum afcendendo,hoccg ita facies. Vbi Imeax
3 interfecat infimi cubi latus i K ibi pones o, ex quo duc deorfum lineam ere&a
ad obliquam 3 r,ibi ponep.lnde duerrafuerfam ad angulos redos, vfque ad erc-
&aab,hicfigeq.Siccontinebithiccubusiopq in duplo minus, quam cubus
fuperior g h i K,eodempaito vlterius vti poteris fere ad punftu vfque,tale fub-
fcripfi inferius.
Oteris quoqj in aliis imparibus numeris per id maiorem aut minore
reddere, vt cum prius duos habueris cubos,quorum ad alterum alter
triplus fit,tunc fac eodem modo qui iam praferiptus eft,quicunque
fuerint numeri:vt fi quando duos cubos habeas, quorum prior conti
neat vnum,pofterior tria,quemadmodum & id fubfignatum eft.
£4 ALBERTI DVRERI
Rastcrca vtilc fuerit ei qui cubum augere aut multiplicare volet, fcire
quonam pado inter duas lineas impares datas, inuenirepoffit duas
alias,quas fe «qualiter ad illas habeant,ita vt omnes quatuor propor-
tionaliter inter fe habeant,hoc qugre ita,
Prim x dux lineas datas impares fint e b,& b g,has duas iunge in pundo b ad an
gulum redum,deinde duc ambas lineas vitra angulum b quantum fuerit necef
fariu vfque ad d & c, deinde coftitue duos angulos orthogonos g c d cuius an-
gulus redus fit c,alterum vero triangulum ede, cuius redus fit d, per quod in-
ftrumentum id fieri debeat,poflea feribetur.
Nunc probat Euclidis libro fexto,propofitioneodaua, lineae b effe proporti¬
onalem inter d b & b g,& lineam d b effe proportionaleinter c b, & b e,ideo g b
ad c b fe h abet,ficut c b ad d b,& ita quoqj d b ad e b,& per confequens inuentas
funt dug lineas proportionales b c & b d ad duas datas impares fcilicet b g & b
e.Prasdidos vero triagulos g c d 3 d c d e fac ita.Cape regulam refcngulam r p
q,cuius redus angulus fit p,& regula latus p q excauabis, &C in medio rimulas c
locabis regulam redam t s,quas cum latere p q femper faciet angulum redum vt
cunque furfum fiue deorfum moueatur, & vt femper t s vere parallela maneat
adlatus p r regulg redangulp r p q . Quando h^c omnia ruerin t ita abfoluta,
tuefuperpone latus p ripfius regnl&ita vt tangat pundum g, & vt angulus re¬
dus p fitus fit fuper lineam e c, & vt alterum regule latus p q iaceat fuper line¬
am
\
IIII.
GEOMETRIAE LIB.
i^5
am d bjhiEmoue regulam t s donec angulus s fit fuper lineam d b & regula s t
tangat pundum e,8£ cum totum hoc ita fuerit perfe&um, 8 C defignatum,tunc
erit p r ficut c g:& p s ficut c d,& s t ficut d e ,SC ex hoc patet quod duo triangu
ligcd &cd edefcripti funt ficut ab initio fuerant propofiti, quemadmodum
id in fequeti figura fupfcribtum vides*
Orro prasdi&am formam poteris aliter facere finepradcripto inftru-
mentOjfeu regula angulari,idqueita. Datas dux Imx a b 8£ b g item
conueniantin angulum re&utn b,deinde concludatur quadrangulu
in b d,cuius diagonalis linea fit a g,quam per aqualia diuide in pun-
do e,atque duo latera d a & d g prolonga quantum fuerit opus,deinde pone re¬
gulam fuper pundum b, ita vt moueripoffit .huc atque illuc donec abfcindat
d h SC d 3,ea quidem menfura,qua lineg e 3 81 e h fiant pares, & vt regula femper
fuper b iaceat dum vtramque abfcindit,idcg oftendit circularis linea. Cofequen
ter duc perpendicularee t fug linea d g, ita diuidetur d g per gqualia per fecun¬
dam propofitionem libri fexti Euclidis. Hinc fequitur quod figura redangula
quadragula qu£ fit ex 13 J&C 3 g cu quadrato line£ g t £qua eft quadrato,quod fit
ext3.Vtriqj etiaaddatur quadratu,quodfitext e.Prgterea quadraguluquodfit
ex d 3 &5 g cu quadrato e g,gquu eft quadrato quod fit ex e 3 .Si militer quadran
gulu quod fit lineis d h 8 C h a cu quadrato ex a e facio, atquu eft quadrato quod
fit ex linea e h .Cum nuc,vt ia oftefu eft,dug lineg e h 8£ e 3 gqug fut,fimiliter etia
dux lineat e a & e g asquas.Ex hoc fequitur quod figura quatuor re$orum angu-
lorum( quam quadrangulam vocamus) quas fit ex 1 3, SC 3 g aequa eft in areas
fpacio
1&6
ALBERTI D V RE R I
fpacio re&anguhe figur£, qug fit ex lineis d Ii, IU h a. Id ita eft intelligendum.
Linea d h pro lateribus quadranguli longioribus, 8 £ h a pro breuioribus la teri-
bus fumuntu^pariter 1 3 linea ad longiora 8C5 g ad breuiora latera alterius qua¬
dranguli fumuntur.Sictantundemin fe continebit quadrangulum d ha atque
quadrangulum d 3 g.
Ad hoc amplius probandum,fac hasc quadrangula ad vera quadrata,ficut ante
in libello planorum in figura 31 oftenfum eft.
Sed quod primum ita fe habeat demonftra turper decimamquintampropofitio
nem fexti libri Euclidis, quod fcilicet linea d 3 ad linea d h fe habet, vt linea g
h a ad lineam g 3:& vt linea d 3 ad d h habet,ita fe quoq^ habet linea g 3 ad linea
h:eodem etiam modo linea ab ad h a, deinceps per quartam libri fexti Eucli¬
dis linea a b fe habet ad lineam ah,ficut linea a h ad g?, & ita quoque linea g $
adlineamgb . Etfic patet quod inter duas lineas ab ,& bginuentgfuntdug
medias proportionales, qu£ funt a h 8 C g 3 quemadmodum id fikfcriptum eft.
Item differentia inter quadratum & quadragulum eft, quod quadratum habet
quatuor re&os angulos,& gqua latera,quadrangulu vero habet duo latera logi
ora,& duo breuiora,attame quatuor quoqj angulosredos, ficut inte di<ftu eft.
GEOMETRIAE LJB,
167
llll.
Vum igitur per dodrinam iam deferiptam 8c demonftratam, cubum
datum voles duplicare,tunc latus ^ppofiti cubi duplabis,& inter hoc
latus duplicatum y SC inter prius fimplex cubi per didam artem con-
iunda debes inuenire duas veras medias proportionales lineas:& fi ex
minore inuentarutn linearum cubum erexeris,is 111 duplo fe habebit ad cubum
datum.
Sic etiam datum cubum triplicare licebit.Nam quoties inter dati cubi latus, 8 C
inter latus in triploprolongatum duas mediasinuencris,& iterum ex minore
cubum feceris,isin triplo fe habebit ad datum cubum.Ita toties cubus multipli
cari poterit,quoties latus auxeris prolongando. Exemplum his fubiungam ad
pondera ita.
Quando habuerisglobumasreum bombardas,vnius libras grauem,poteris eun¬
dem cotinuo per prasdidam viam grauiorc i reddere delibra ad libram. Nam
proportio in limili metallo,fimilia podera prodit .Cum9 deinde globum in cu¬
bo fignaueris,& deinceps cubu in duplo,triplo,quadruplo maiorem feceris, ac
tandem iterum globos in his omnibus fignaueris,tunc pondera quoque quas fe
eundum hos fuerint fufa, ad fe inuicem in duplo, triplo, quadruplo habebunt
quemadmodum id fubfcripfi.Idem etiamad centum libras perducere potes.
Vm iam ante corpora varia, quo pa$o fierent, declarauerim, nunc
quoque docebo quonam po&o fa&a eadem & vifa in pi&uram veni-
ant,atque ad id fumam fimpliciflfimu corpus,vteft teflera,pro exem
pio, fimul oftenfurus cum reliquis omnibus corporibus pariter opc-
radum effe.C^terum & de lumine 8 C vmbra quippiam commemorabo, ac vno
cum altero vtendum effe. Nam quod in confpe&:um venire debet, id anteftet
neceffe eft,8£ oculo videbitur.Adhoc etiam lumine opus erit,cum tenebra: om
nia occukent:pmerea& mediam qiiandam xntercapedinemefleopuseft inter
oculum, &C rem vilam,vt fubfequitur
Lumen
GEOMETRIAE L IB. IIII.
I6p
€* ?
Lumen omne redas extendit lineas, quantum radii eius fele extendere poffut:
quando verares opaca lumini obftiterit, tunc radii in eam rem impingent, dl
vmbra cadet in tantum,quantum lineae radioruiplius luminis detinetur,quod
in lignaturis fubfcribam. Propterea in primis parato frontem planam,qua¬
drangulam,aequiangulamqjefg h.In hac planicie locetur teflera, hax: dabit in
fundo quadratam formammam quatuor anguli fupenores decidet ad quatuor
inferiores,ideocg quilibet angulus dupliciter lignabitur .Inferiores quatuor an¬
guli funt a b c d . Sed fuperiores quatuor lunt yp^.Igitur vmetur a ?,b ?,c ,d 4
fimul.Sic abfoluta erit hgc frons plana.
Deinde luperficiem hanc quadratam 8 C telleram qugin ea eft,conuenit eleuare
quemadmodum architectus fundamentum fuum e plano ducit in altum: quod
fic abfoluitur.Trahe fupra quadratum e fg h,lineam parallelam ipli quadrato,
atque eiufdem longitudinis cum quadrati latere,cuius principium lit e h, li¬
nis fg.H^c linea repraefentat planum inferius e fg h ideo extremitates eius
bis liint fignatat. Iam ex fundamento plano tefferaeai,b *, c ?,d 4 , afcende fur-
lum cum lineis redis per trafuerfam e h f g,in eam altitudinem,qua teffera ere**
da finire debet,inueniesq? locum teffera fiue cubi,qui fupra praedida tranfuer-
fam ftatuenduseft : ita erit inferius teffera iatus,quod tranfuerf^ e h f g incum-
bitad b c, fed fuperius latus lignabitur i 4 8 C ^ y fic quatuor anguli eredi cubi
mamfeftefunt fupnfundamentum defignati. His perfedis lumen locandu eft:
verum vt duo funt fada fundameta, alterum planum,alterum eredum,ita pro
fingulis fundamentis lingula erunt figenda lumina: ad fundamentum eredum
luminis obferuo altitudinem vel humilitatem,ad deprelfum vero,partem de¬
clinationis a fundamento. At hic pono ad fundamentum eredum lumen o, in
ea qua placuerit altitudine atq? diftantia,& ad fundamentum in plano figo alte¬
rum lumen p,ad quod latus voluero,modo vtruncg lume aequaliter a fudamen-
to in plano SC teffera ereda diftent fecundum latitudinem. Nunc ex pundo o
luminis protrahe binos radios redos per teffera ered£ ftiperiores angulos
ac vbi hi cadunt in tranfuerfam e h fgpllie feribe literasi 8 C K, tantum proten¬
ditur vmbra.Poftea ex lignop luminis inferioris,excitato lineas per angulos fu
dameti plani,qui lignati lunt fe^,&d 4 ,ac<$ eas lineai cotinuato quantu opus
fuerit-.fi iam ex pundis i &.K lineae defcendantperpendiculares per tres illas ob¬
liquas inferioris luminis,tunc fediones radiorum cum perpendicularibus ter¬
minant vmbrae longitudinem ateg latitudinem: quare notanda lunt literis 1 m
n quas redis lineis coniunge.Conlimiliter etiain continuato b 2 1 ,& d 4 n,habe
bisq? integrum vmbr£ circuitum . Poftremo fciedum eft,duo illa lumina vnicu
folum ligmficare: item tranfuerfam e h fg idem effe cum quadrata fuperfi-
cieefg h, vtdidum eft prius: pari ratione cubum in plano SC eredum eundem
effe.In fumma,vtrumq$ fundamentum vtruqj lumen idem funt,fed propter
faciliorem d elignationem feparata,vt infra deliniaui.
P
ALBERTI DVRERI
GEOMAETRIAE LIB. Illi
Vumiarn prsedidu cubum in fuperficiefuaquadra
vna cum lumine St vmbra pidura vis repradentare,
tria prius notanda erunt:primo pundus oculi, dein¬
de res qu£ videnda eft ex aduerfo,,fiue in altera parte,
poftremo lumen fine quo nihil videri potelhvelut fupra didum
eft . Oculus folum per lineas redas,non autem per curuas videt
eas res,qua: ante eum funt: quocirca quando duarres opaca: atcg
arquales in linea ponuntur reda qua: ab oculo procedit,tunc an
terior folum St non poftcrior ab eodem perfpicitur: quare fi res
multa: videnda:fuerint,debentea:dem inter fefe difiunda: effe,
vt oculorum radii eas contingere queant. Item mediocrem opor
tet efie intercapedinem in ter oculum 8drem qua: videnda eft:
nam fi ea oculo propius admoueatur, tum obtegit eum St vifus
impeditur. Neque res ab oculo nimis fit remota,nevifui dilper-
datunquando enim res ab oculo longe diftat, tunc radii vifua-
les prope oculum tam arde conftringuntur,vt oculus hoc par-
uum intcruallu,<juod eft inter eos,percipere no poffit:ifta infer¬
ne hoc modo demonftrantur.Pundus a efto oculus,prope eum
trahatur linea b c,a cuius vtraque extremitate ducatur linea: ad
oculum a,qui fic omnino erit coopertus: hoc fado aufer lineam
b c & trahe aliam d e mediocriter ab oculo a remotam, qui cum
dc extremitatibus continuetur per lineas redas,hanc\ineam d
e oculus commode videre poteft. Iam depone St lineam d e, ac
feribe tertiam f g admodum longe ab oculo a diftantem, a quo
itide ad terminos f g protrahantur radii vifuales,a f St ag, eritq*
prope a oculum fpacium tam ardum,vt id vifus vix amplius co
prehendere queat:vnde fi homo longius cofpiciatur, vifus prop¬
ter debilitatem eum cognofcere non poteft:ideo res qua: tam ac¬
curate contemplanda: erunt, in debitafint ab oculo diftantia
oportet. Porro ad pingendas regiones, per quas fex autfepte vi¬
demus paffuum milia,rurfus propria eft {ymmetria.
\
t
P ii
I
17«.
ALBERII DVRERI
Otato nunc quod inter oculu SC rem vifam radii,qui cx oculo in eam
prorumpunt,per planum quodda abfcindi poffunt prope oculu aut
lotige ab eo,ac proxime rem videndamtquod fi prope vifum id planu
fiatuatur, tunc pidura in id cadet arda:fi vero planum hoc longe ab
oculo temoueatur,ac prope rem vi Tam,tunc piatura in id incidet amplior,quod
fic intelligito . Applica binas lineasfuis extremitatibus ita vt angulum con-
ftituant acutum,qui fit a,& earum reliqui duo termini fint b c, inter eas duas li¬
neas a b & a c, protrahentur duas alia; lineas eredg,quarum qua; magis diftat ab
a eft o d e,propior vero f g e,ex his duabus quantas inter c a & b a obliquas com¬
prehenduntur,duo efficito quadrata,fietq? d c quadratum ab a remotius maius
e f minus vna cum omnibus lineametis, quas in id cadut,velut hic deliniaui.
Vod inter duas lineas tranfuerfas ab & ac cadit,atq* ea* vtinq* tan¬
git,Guc hoc fit prope,fiue longe,eredum, obliquum aut cut uum,ocu¬
lo a in eadem apparebit quantitate, quemadmodum hic defignaui.
G E O M E T R I AE L I
IIII.
Am proxime aggredior fumocg mihi (upra defcriptu cubum, quem -
admodum ftat in fuperiicie fua quadrata vnacum lumine & vmbra,
quam iacit in depreflum atque eredum fundamentum,vt paulo ante
deliniaui :is igitur quum videtur, qualis vifui apparear, in hunc mo¬
dum indicabimus. Vifum in radiosdiuidemus diuerfos, velut vnica res prius
in duas partes, depreflum fcilicet & eredum fundamentum feda eft, & ad no¬
tanda vifuspunda oculos pingam,quos a duobus fundamentis ad latus remo¬
neo pro arbitrio,duco^ per eos lineam ereda qu£ aequidiftans iit lateri deprefli
fundam en ti.Caeteriim vifus pundum ad eredumfundamentum in ea Irnea ele
uo,vel deprimo prout rem afpicere volo,ex eoqjpundo altitudine, hum ilitate,
profunditatem,atque diftantiam metior. Reliquus oculusfigitur quoq? in pvx
dida lineafub oculo fuperiore ad quamcunque partem plani fundamenti libu
erit, vel etiam verfus medium :ex oculo hocmenfuram capio amplitudinis in
vtroque latere,longe & prope. -His perfedis lineas protraho ex fuperiorepu
do vifus ad omnes cubi partes qua’videntur, qugqj literis aut notisanmethicis
funt lignata. Primam lineam vifualem ex oculo iuxta eredum fundamentum
produco ad pundum luminis o,'fecundum inferiuspauload finem circuli lu-
minis,deinde traho duos radios fuperne ad quatuor cubi angulos-.itidem facio
etia inferne.Poftea excito duaslineas ad-punda i & K.Tandem duas alias du¬
co ad extremitates line£ tranfuerfg cui teflera incumbit,ea quadratum repr^fe-
tar,fdeo<j termini eius fignati funt bis, ante quidem g f, & pdft e h : ita funda¬
mentum eredum ex oculo lineis vifualibus vt oportebat notatum eft.Porro ex
pundo vifus, qui iuxta planum ftmdamentum ponitur protrahantur radii vi-
iuales ad omnia fignafundamenti in plano: ac primo quidem ducantur linea?
ad quatuor angulos quadrata: fuperfidei f g h e,poftea ad quatuor angulos fun¬
damenti cubi qui odo denotat,quare ante b ^ & c 3 ac poft d 4 & a ifignati funt,
Poftremo ducito tres adhuc radios ad tres angulos 1 m n vmbrx cubi, eruntq?
lineg vifuales ad vtrunque fundamentum abfoluta? quotquot earum opus fue¬
rit. Qu-um iam oculus per radios vifu ales contingat id quod videt, atque hoc
ipfum per piduram repra?fentandum fit, conftituenda erit fuperficies pellu ei¬
da Vti fupraferiptum eft, qua: omnes lineas vifuales interfecetihxcfuperficies
fiue planum in noftra defignatione lineaerit rea igitur inter punda vifus SC
fundamenta protrahatur cubis ipfis parallela, prope rem qua? vedetur quo res
viia appareat maior,vt ante didumeftun hac fuperficie fiue linea locentur duo
vifus punda,in ea altitudine quafunt duo pofteriora. Poflemus quoq?,fi opus
effet,hanc lineam fiuefuperficiem obliqua? ftatuere, vt declinet in anteriorem
vel pofteriorem partemiat vtcunque fituetur hoc planum,abfeindit omnes ra
dios vifuales:oculos pra?terea pofteriores cum anterioribus per lineas tranfuer-
fas coniungito» At omnes quatuor folum vnum fignificant vifum, verum fepa
ratio haec facilitatem praebet in opere,vt fubieda oftendit figura.
P iii
Ea
ALBERTI DVRERI
176
Vum iam ante oculos videas, atque rede percipias ea quas modo de-
monftrauimus,fumeaIiam chartam in qua producito duas lineas fe-
fe ad angulos redos fecantes,3£in fignofedionis locato pundum vi
ius,qui hic loco quatuor oculorum figura procedentis ponitunad eu
pundum referenda funt omnes altitudines,profunditates &litudines,qug
per priores radios vifuales notantur. Accipito igitur, quo errorem facilius de-
uites,duos circinos, quorum altero metire ea quasin cubo eredo, altero autem
quae m plano cubi fundamento proueniunt. Ac primo quidem cape circinum,
quo vti decreuifti aa jredum fundamentum , & pone eum pede vnoin lineam
perpendicularem praecedentis figurae,quae planum repr^fentat perfpicuum, in
punctum vifus cubi eredi, St reliquum pedem fige in eadem linea in radium vi
iualem,qui ex remotiore oculo ad lumen o protenditur, eamcg feruatodifianti
am.Deinde repete alium circinum, quem fifte in lineam fiqe fuperficiem pellu¬
cidam,in oculum qui pertinet ad fundametum in piano,&alterum pedem po¬
ne rurfus in eadem linea,in eum punctum,vbi radius vifualis ab oculo remotio
re atqj inferiore tranfit ad lumen p: deinceps transfer illa duo infernalia ambo¬
bus circinis ad lineas binas qug fefe ad pundu vifusfecant tranfuerfe,oftendet-
queprimum quam alte lumen o fupra oculum cadat,fecundum vero quantum
lumen p ad latus declinetihazc duo lumina ad idem venient pundum,quod li¬
teris fignato po. Pari ratione operare cum fingulisradiis vifualibus,qui linea tu
am perpendicularem interfecant,ac fume vt iam faspe iuffimus, primo circino
omnes altitudines & depreffiones a fuperiore oculoiconfimiliter examina reli¬
quo circino in perfpicua linea ad inferiorem oculum amplitudines radiorum,
quantum ab oculo ad latera declinent: atque ea intemalla defer ad fignum vi¬
fus,quod eft in fedione duarum linearum vbi femper duo diftantiarum punda
qua:ex linea perpendiculari,apud vtrumque oculum eredi atqiie depreflifun¬
damenti funt accepta,ad idem concident ngnurquod quam alte,humiliter,atqj
late debeat ab oculo effe remotum, ipfummet indicat, cui fuas adfcribito li~
teras,& notas numerorum . Porro vbi delinea loquor perfpicua aut perpendi¬
culari,intelligendum femper eft de ea linea fiue fuperficie plana atque pelluci¬
da , quas protrada eft iuxta vtrumque cubi fundamentum perpendiculariter.
Tandem punda continuato ftgnata per lineas redas,videbifque effedu tui ope
ris ,ac vbi quilibet angulus cuiuflibet rei ftare debeat, atq? ea quas oculo videri
nequeut,occultis lineis notata funt,quemadmodu inferneid curiofe defignaui.
At^ hac eft vera fundamenti defignandi ratio in piduras fcientia. Casterum
docendi gratia,ea folum quae videntur, vna cum vmbra,lumine,& oculo hic fe
paratim depinxi.
i/8
ALBERTIDVRERI
Vae huc vfque deliniauimus, in fequentibus brcuiore facilioreqj via
defignare docebo,in hunc nepemodum.Ducatur linea tranfuerfafg
tantae longitudinis,quantg eft e h fg,qu£ quadratam fignificat fuper-
ficiem ad fundamentum cubi eredi, ac iuxtaf,eius lineae extremita¬
tem , fatis alte ftatuatur oculus, fimili ratione qua in procedente vifus fignum
pofitum eft in linearum fedione. His perfedis trahantur ex oculo iam lignato
bino lineg redg ad vtrumq? terminum tranfuerfof g,eo inferne duos efficiunt
angulos,atcg quadrati,quod deftinatur,latera tria. Coteru quopado latus quar
tumfit^trahendu fle inueftigemus.Fige aliu adhuc oculu in ea altitudine qua
prior eft,verum ab eodem remotum ad quantitatem eorum,qui funt adfupra-
fcripta fundamenta pofteriores:ex illo igitur fcribe duos radios ad extremitates
lineo f gideinde excitato perpendicularem lineam aabb,quo angulum anterio
rem contingat,ac vbi ea feca t lineam vifualem 'qu£ ex oculo remotiore ad angu
lum acutum procedit, illip adiice cc. Ab hoc cc ligno protrahe parallelam ip-
ft f g,per duos radios vifuales qui defcendunt a propinquiore oculo ad terminos
f & g,& vbi hi radii per gquidiftantem abfcinduntur,illic duo fiunt anguli lite¬
ris e & h fignandi.Sic igitur planu hoc quadratum redepidura eft exprejTum,
quemadmodum & procedens: quocirca SC eius quatuor anguli eifdem funtno¬
tati literis e f g h , vt in aliis fadum eft:ifta omnia inferne oculis funt fubieda.
LIB. Illi.
""n
i 79
cpicta quadrata illa fuperficie c f g h, cubus fuo locofuper cam fta-
tuatur,quemadmodu eum paulo ante in plano defignauimus:id hoc
pado expeditur . Sume longitudinem lateris cubi ex fundamento in
plano iam dudum fado,ac pone eam duobus pundis x & y i^per la¬
tus fg depidi quadrati,in ea diftantia ab angulo f,quantum cubus in plinofu-
damento diftat a fuperficiei latere e f:deinde ex oculo ducito binaslincas vifua
lesadpundax&y, inter quas cubus infimo fuo latere quadrato locandus erit:
fcd quantum a latere i g debeat diftare hoc modo difce. Quum in iam fsepe di¬
do plano fundamento icribis lineam e g diagonalem, erit ea quocp diameter cu
bi in plano:nam ea tranfit per angulos x a 8£ ;c:quod cum fic fe habeat, trahe 8C
dimetientem e g in pr^fenti plano e fg h,ac vbi is difpefcit radios vifuales x 8t
y,illic ad radium x fcnbe a,& c ad radium y.Hoc fado trahe duas tranfuerfas a
pundis a 8C c ac fedionem tranfuerfg a cum radio y fignato litera d:at vbi traf-
uerfa c tagit radium x, illic fcnbe b:fic cubi latus a b c d redeefl:formatum atq*
fuo loco in defignata fuperficie quadrata e fg h, quemadmodum etiam in prat-
cedentibus.Nunc ex angulis a b c d erige quatuor lineasperpendiculares,& an
teriores duas tam altas fac quam longa cfl; c b tranfuerfa,atque in ea altitudine
tranfuerfam protrahe ab vna ad aliam,& ad eos angulos fcribe fupra b numeri,
charadereim,&' fupra c notam r.tandem excita duos radios ex oculo ad angu¬
los xx & 3 ,ac vbi ipii abfcind unt eredas a & d,illic adiice notas,fupra a quidem i
& fupra d "hltaxubus rede defignatur in fuo plano,quod & hic priufq ad reli¬
qua pergerem, volui deliniare.
y - •
GEOMETRIAE LIB. IIII
Epida quadrata illa fuperficie c f g h, cubus fuo loco fuper cam fta*
tuatur,quemadmodu eum paulo ante in plano defignauimus:id hoc
pado expeditur . Sume longitudinem lateris cubi ex fundamento in
plano iam dudum fado,ac pone eam duobus pundis x & y i^per la¬
tus fg depi di quadrati,in ea diftantia ab angulo f,quantum cubus in plano fu-
damento diftat a fuperficici latere efidemdeex oculo ducito binas lineas vifua
lesadpundax&y, inter quas cubus infimo fuo latere quadrato locandus erit:
fed quantum a latete f g debeat diftarc hoc modo difce. Quum in iam fatpc di¬
do plano fundamento icribis lineam e g diagonalem, erit ea quoqj diameter cu
bi in planomam ea tranfit per angulos i a & ;c:quod cum fic fe habeat, trahe 8C
dimetientem eg in prafenti planoefg h,ac vbi is difpefcit radios vifuales x 3C
y,illic ad radium x fcnbe a,8^ c ad radium y .Hoc fado trahe duas tranfuerias a
pundis a SC c ac fedionem tranfuerig a cum radio y fignatolitera d:at vbi traf-
uerfa c tagit radium x, illic fcnbe b:fic cubi latus a b c d rede cft formatum atq$
fuo loco in defignata fuperficie quadrata efg h, quem admodum etiam inprsc-
cedentibus. Nu nc ex angulis a b c d erige qu atuor lineas perpendiculares, 8C an
terioresduastam altas fac quam longa cfi c btranfuerfa,atque in ea altitudine
tranfuerfam protrahe ab vna ad aliam,& ad eos angulosfcribe fupra b numeri,
chatadererm,& fupra c notam 3 *.tandem excita duos radios ex oculo ad angu¬
los 2 & ?,ac vbi ipfi abfcind unt eredas a & d,illic adiice notas,fupra a quidem i
& fupra d "kltacubus rededefignatur in fuo plano,quod & hic priufq ad reli¬
qua pergerem,volui deliniare.
I
*8o ALBERTI DVRERI
Vum iam cubus fit defignatus in fuperficie fua plana fige lumen, ac
delinia in plano cubi vmbram ,quod fic comodiflime abfoluitur.Si-
fte lumen alte fupra oculjfi ad quam parte volueris,fitq? illud o in eo
ferme loco vbi prius fuit,deinde ex lumine o trahatur deorfu linea
perpendicularis : in qua locetur pun&usp, qui inferiorem repraefentetlucem.
Quod fi lumen a cubo multum libeat remouere,tunc pundum o altius pone in
perpendiculari p o:fi vero propius adhibere lumen placeat, tunc p fignuma
gis deprime,at hic forte id conftitue in ea diftantia a cubo qua in praecedetibus
fuit:pofitis itacp p o luminum pundis,ducantur tres lineo redo ex o lumine per
tres cubi angulos fuperiores 2 ,?,4,atcg eae lineae continuentur deorfu quoad opus
fuerit.Poftea itidem protrahe tres radios ex lumine p,per tres cubi angulos in¬
feriores b c d,ac vbihi interfecant fuperiores illos, illic fcribel m n.His perfc-
dis coniungantur punda b 1,1 m,m n,& n d per lineas redas: atcg ita cubi vm-
bra bene defignata erit. Verum vt quae prodiximus clarius intelligerentur, hic
omnia oculis fubieci,eft<j conftitutio prior.
Porro ea quae ad piduram pertinent, feparatim deliniaui exciufis lineametis fu
peruacuis^vt manifeftius viderentur.
y?
GEOMETRIAE LIB, IIII.
GEOMETRI AE
——J . _ ji _ J
.. *1
m ALBEKTIDVRER1
... ' V-
Vemadmodum cubum pidura defignaui, ita poflumusommia cor¬
pora qua: in planum fundamentum deprimi, atcg in eredum eleuari
queunt,lineamentis repr^fentare-.fed nunc quopado quod per vitra
confpicitur deliniandum fit, monftrabo.
S:ergo per vitrum rem quampiam vifam defignare volueris , para prius huiu-
fcemodiinftrumentu.Comprehede vitrum pellucidum ac planu impage^n mo
dum feneftra compada,dei^deconfice aflerem eius amplitudinis, qua eft impa
go,fed longiorem,ac impagi ^qidem affige circa extremitatem vnius lateris in-
terneduos quafi cardines^uos^um aflere duobus clauis fic coniunge ) vtimpa-
go in ipfisfacile eleuari ac depriisf queat ad inftar tabula: luforia:, quo vicru fi
opus fit in aflerem demitti St recondi poffit. Ceterum circa medium afleris in
vtraque parte figantur duo claui qui pro capitellis annulos habeant,in quos bi¬
ni baeflli ferrei ad catena: fimilitudinem ingrediantur,atque in ipfis moucatur,
at baculi tant^fint longitudinis,vt fi feneftra ad angulum redum ab aflere eri¬
gatur,eam mediam in vtraque parte contingant, St in anteriore parte,bacilli fi»
ant plani,ac foramen in eis,poft quod vncus figatur mobilis.Pcftea fige quoque
in impagis vtraque parte aut vbiplang bacilloru extremitates eam attingu^cla
nos ferreos capitibus perforatis, quibus fi applicentur foramina in planis bacu¬
lorum terminis,atque vnci obdentur,impago cum vitro flet firmiter,His petfe-
disjfumelignumquadrangulum longius paulo quam affer fit amplus, cuius
ynum latus pro afferis excindito latitudine,vttamen eius ligni dua: extremita-
tes maneant integrer,ac afleris latitudinem excedant, St applica exemptum li¬
gni latus tranfuerfefuper aflerem, fiue tabulam , ita vt facile, fi opus fit,fuper
ea verfus vitru vel ab eodem dimoueri queat: idlignu rurfus fupeme excauato
fecudu longitudinequadrate,non tame ad exremitates vfq* laterum Jam duola
rera extrema pforato rotunde,ac per foramina illa immitte cocleam longa qua:
tamen in rotundis foraminibus circuitus non habeat,fed inter ea foliim: dein¬
de aliud lignu parato, longu ex dimedia impagis parte quod eredu intret pre-
cife cum parte inferiore,in quadrangulam tranfuerfi ligni concauitatcmqac mi
pleat eam fecundum latitudine,fupra quam etiam parum in vtraque parte pro
ducatur, St produdio illa tranfuerfo ligno iufte incumbat, vt lignum illud
ftans ad angulos redos, fic commode in concauitate i acentis vitro citroqj traf.
uerfe agi poffit. Hocfado,peream eredi partem qua: in concauitate tranfuerfi
eotinetur,foramen terebrato ex quo matricem coclea: pradidas conficito. Nuc
cocleam anteriori parte inferito foramini rotundo ligni tranfuerfi, deinceps SC
matrici qua: in ligno eft eredo,donec per alterum foramen tandem exeat.Sic li
cebitcoclea eredum lignum facileac firmiter in vtramuis partem agere , porto
foramen facito rotundum per medium ligni eredi fecundum longitudinem St
vnum ligni latus parum excinde ad foramen vfque, atque in eius excifionis
vna parte multas lecato crenas. Poftea baculum ad tomum rotundato qui prg-
cife introeat forame eredi ligni,habeatqi inferne denticulutmeumbacului cum
denticulo affixo foramini immitte ligni perpendicularis, ita vt denticulus
per ipfam
* i •? -I-
GEOMETRIAE LI B* IIII. m
per ipfam incilionem defcendat. Quando hunc baculum per vnum gradum fi-
ue crenam eleuas,ac firmiter fic manere cupis, tunc pone denticulum in crena.
Sic baculus ifte in altum tolli aut deprimi pro arbitrio facile poteft,ih eius fum
mitate tabellam affige paruam atque aptam,in cuiusmedioforamen fit ar$um
admodum,vt altero folutn oculo perid atque vitrum in impage perfpicere cer¬
tius queas.Quod ergo fic vides penicillo protrahe in vitro ,id cum fa<5ium erit,
ex vitro tranffer hoc ipfum in materiam fuper quam pingere ftafuifti.HaecvaE
de funt vtilia illis qui alique ad viuum deliniare volunt,cum tamen in arte pin
gedi minus fint periti.Quocirca fi aliquem hoc pa&o depingere voles, fu ffulci-
to caput eius quo teneat firmiter,donec prxcipua quaeqj duxeris lineameta,qui
bus defignatiSjColonbus vti Iicebit:at lumen adhibendumeft clarum.
Poftremo fi afferi prazdi&o cuiadh^ret impago, du£ affigantur infernefubfcu
des per tranfuerfum,atque bina in fingulis terebrentur foramina, quibuspedes
inferantur inferne,ferreis cufpidibus muniti. His omnibus apte compa&is pro
menfa ad hos vfuscommodiflima vti poteris, ea etiam fi placuerit diffoluitur,
vt aptior quo volueris fiat ad portandum. Qiisc fupra praecepimus hic oculis
funt fubfrd-a.
& ALBERTI DVRERI
Qua via res quaslibet quae videtur, 81 non multum a vifu remota
per tria fila fit metienda,atq? ita in piduram tranfferenda.
Er tria fila poflumus quamlibet rem,quas per ea contingitur,! n pidu
ra trasferre, quod fic expeditur . Si in aliqua aula aut officina fueris,
fige clauiculum aliquem capite perforato in parietem, (it^ille vice
taculi,per quem trahe filum forte, SC appende ei pondus quodda plu-
beum: deinde pone menfam fiue tabulam a fixo clauo difiantem pro arbitrio,
fuper eam tabulam erige tranfuerfe ad oculum fiue didum clauum impagem
quadrangulam,alte vel humiliter,& ad quod latus placuerit,habeat^ ea impa¬
ge valuam quas claudi SC aperiri queat,atqui ea valua tabula efto in qua delini
are ftatuifti rem propofitam,poftea parato alia duo fila, quorum alteru cara af¬
fige fuperiori SC inferiori impagis marginibus,alterum vero eredis intr&(j par¬
te regulis,fiue marginibus eiufdem impagis incasrato tranfuerfe.
Nunc conficito ffilum quemdam ferreum cum foramine in fummitate, cui fi¬
lum quoque annede quod tranfit per clauum inpanete,hunc ftilu cum filolon
go trahe per impagis feneftram,ac dato alicui focio tenendum,tu autem obfer-
uafila duo qu^ inter fe tranfuerfe exten(a funt in impage,
lam hisqtias fecifti hoc modo vtete.Locato hemifphasrium fiue teftudinem aut
fi quid aliud malueris fuper menfam, ab impage quantum libeat remotum,idcg
maneat quamdiu opus habueris immobih'ter,tunciube focio tuo filum cum fti
Io extendere ad prgeipua iacentis hemifpba:rii punda, SC quoties extenfa filo
aliquod eorum oftendit, fila moueto in im page,donec fefe interfcccnt in eo lo-
to ybi filum longum tranfit-.hoc fado dic focio vt filum remittat,tu vero clau¬
des valuam,ac defignabis in ea fignutn fedionis filorum in impage.
Poftea rurfusaperi valuam,& notato punda velut prius,quoaa omnia neceffa^
riateftudinispuda in tua valua defignaueris:eatunclineis cotinuato,videbis<|
quid ex eis fiac.Sic potes etiam alias res deliniarc,qucmadmodum hic depinxi.
Am ,Bilibaldcprgftantiflimc amiciffimecg, fcribendi finem faciam,
atcg deo cptimo maximo fauente ad eos libros^uos de humana pro¬
portione confcripfi ) & alios «juofdam ad idem fpe&antes ededos fuo
tempore me accingam *
Deo omnipotenti fit laus 8C gloria imperpetuum»
FINIS.
w
\
1
V
/
I
I
*
\
-•
\
*
9
r~-
\
1
4
■4
f
\
\ ' * . ■ ;
' •
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11