Full text of "Allgemeine Krystallbeschreibung auf Grund einer vereinfachten Methode des ..."

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Allgemeine Krystallbesehreibu: 



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Allgemeine 

Krystallbesehreibung 

auf Grnnd einer vereinfachten 

Methode des Krystallzeichnens 

bearbeitet 
und mit einer Anleitung zur Anfertigung 

der Krystallnetze und Krystallmodelle 

herausgegeben 
Dr. AUG. NIES, Professor. 

Mit 182 Originalzeichnungen im Texte. 



Stuttgart. 

E. Schweizerbart'sche Verlagsbuchhandlung (E. Koch). 

1895. 

Dniitizc-ctvCioogle 



Druck von Cai 



.öbyGoogle 



Vorwort. 



Mit der Herausgabe der vorliegenden Schrift beabsiclitigt der 
Verfasser in erster Linie seinen Facligenossea ein Hilfsmittel, das 
ihm selbst bei der Einführung in die Kenntnis der Krystall- 
gestalten seit mehr als zehn Jahren gute Dienste geleistet hat, 
allgemeiner und gründlicher als dies durch kurze Vorträge auf Ver- 
sammlungen oder Aufsätze in Zeitschriften möglich war, bekanat zu 
geben und ihnen zugleich einen Leitfaden fUr den Unterricht 
zu liefern. 

Es ist zweifeUos, dass eine gründlichere Kenntnis der Elemente 
der Krystallographie, wie dies schon Hermann Kopp in seiner im Jahre 
1849 herausgegebenen „Einleitung in die Krystallographie" bemerkt 
hat, für den Anfänger nur durch Selbstthätigkeit, namentlich durch 
Uebungen im Zeichnen und im Bestimmen an Modellen und 
wirklichen Krystallen möglich ist Mun ist aber das Zeichnen der 
Krystallformen, wenigstens wenn man von den aUereinfachsten ab- 
sieht, nach den bisher üblichen Methoden, selbst der vereinfachten 
Kopp'scben, viel zu umständlich und zeitraubend und erfordert, wenn 
schone Resultate erzielt werden sollen, so grosse Sorgfalt und Fertig- 
keit, dass es vielfach ganz aus dem Unterricht verschwunden ist 
oder doch auf die Darstellung einiger weniger Formen beschränkt 
wurde. 

Das Wesentliche der neuen Methode des Krystallzeichnens, durch 
welche der Verfasser die Hauptschwierigkeiten beseitigen zu können 
glaubt, besteht nun darin, dass sie die Eckpunkte der Krystallformen 
auf elementare Weise analytisch-geometrisch durch deren Koordinaten 

Dniitizc-ctvCioogle 



150507 



— VI — 

bestimmt und üass sie sich, um die Länge und Richtung der letzteren 
leicht finden zu können, des quadrierten Papieres bedient. 

Eben so leicht wie man die Axenabschnitte, durch welche die 
Lage der Flachen bestimmt wird, beziehungsweise die Ableitungs- 
zahlen zur Bildung eines Zeichens für die Formen, welche alle 
Flächen von ähnlicher Lage umfassen, benutzt, kann man mit Hilfe 
derselben Zahlen die Koordinaten der Schnittpunkte der Kanten und 
der Flächen an diesen Formen auf elementarste Weise ableiten. 

Die dabei gefundenen Ausdrücke lassen sich einfach mit Hilfe 
von aus den reciproken Ableitungszahlen gebildeten Determit^anten 
zweiten, beziehungsweise dritten Grades finden. Die Form der Deter- 
minante ist daher auch in der vorliegenden Arbeit oft beibehalten, 
doch ist abgesehen von der mechanischen Ausrechnung der Deter- 
minanten und der Subdeterminanten, die gezeigt wird, keine Kenntnis 
der Determinantentheorie erforderlich. Auch die Zonengleichung 
enthält eine Determinante, 

Da die Naumann'sche Bezeichnungsweise, die für den Anfänger 
wegen ihier unmittelbaren Verständlichkeit und Anschaulichkeit allen 
übrigen vorzuziehen ist, nur für die ganzen Formen gilt, so wurde 
zur Bezeichnung der einzelnen Flächen in allen Systemen {mit einer 
Aenderung im hexagonalen System) eine Form gewählt, aus der das 
Axenverhältnis und die Lage der Fläche unmittelbar zu ersehen ist. 
So bedeutet z. B. An B, C. „ die Fläche, welche in dem betreffenden 
System die nach vom gestellte Axe vorn in der «-fachen, die von 
links nach rechts gestellte Axe rechts in der einfachen und die Ver- 
tikalase unten in der m-fachen Entfernung schneidet. Die Fläche 
gehölt je nach dem System zu der Form mP,n, — mP«, mi^ji, 
mPn oder mOn oder auch zu einem von diesen Formen abgeleiteten 
Halbflächner oder Viertelflächner. 

Die Lage der Ecken ist nicht nur von dem Axenverhältnis der 
Flächen, sondern auch von ihrer Centraldistanz abhängig. Bei der 
Ableitung der einzelnen Formen (S. 10—69) ist diese stets so 
gewählt, dass jede Fläche eine Axe in der einfachen Entfernung 
schneidet, und dann diese Centraldistanz gleich 1 gesetzt. 



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— vu — 

Bei verzerrten Formen und Kombinationen ist die Central- 
distanz der verschiedenen Flächen verschieden und davon der wech- 
selnde Habitus der Krystalle abhängig {S. 69 — 118). Zur ge- 
naueren Bezeichnung der Form wurde deshalb bei Kombinationen 
stets hinter der Bezeichnung der einzelnen Formen ihre Central- 
distanz in Klammem zugefügt 

Als Beispiele für Kombinationen wurden an vierzig der häufig- 
sten und wichtigsten Mineralien vorkommende ausgewählt. Durch 
Aendemng in den Centraldistanzen lassen sich daraus leicht beliebig 
viele andere einfach zu zeichnende Beispiele ableiten. 

Ein besonderes Kapitel behandelt die regelmässigen Verwach- 
sungen, Hierbei wurden die Beispiele vorwiegend aus den Systemen 
mit rechtwiniiligen Axen gewählt, weil für diese eine elementare Be- 
rechnung der Lage der Ecken, Flächen und Axen der Krystalle in 
der Zwillingsstellung ohne Anwendung von Trigonometrie möglich 
ist. Dass übrigens auch Zwillinge des hexagonalen und monoklinen 
Systems und Viellinge mit hinreichender Deutlichkeit und in kürzester 
Zeit mit Hilfe der neuen Methode gezeichnet werden können, werden 
die Figuren 161 — 171 beweisen. 

Was die Anordnung des Stolfes anlangt, so sind im ersten 
Kapitel nach der Feststellung der Begriffe Axe, Parameter, Ableitungs- 
zahlen und Krystallform, die verschiedenen Krystallsysteme auf Grund 
des verschiedenen Grades von Symmetrie in ähnlicher Weise abge- 
leitet, wie dies von P. Groth in den beiden ersten Auflagen seiner 
vortrefflichen physikalischen Krystallographie geschehen ist. Diese 
Art der Ableitung der verschiedenen Systeme hat pädagogisch so 
grosse Vorzüge, dass der Verfasser für den Anfangsunterricht in der 
Krystallheschreibung an derselben auch dann festgehalten hätte, wenn 
ihm die erst nach Druck des grössten Teiles dieses Werkes erschienene 
nene Auflage des Groth'schen Werkes früher bekannt geworden wäre, 
so sehr er bedauert, die nun von Groth selbst aufgegebenen Bezeich- 
nungen asymmetrisch und monosymmetrisch neben triklin und mono- 
khn beibehalten zu haben. 

Die Zusammenfassung je einer Anzahl von der 32 möglichen 

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— VIII — 

Klassen in den bisher angenommenen Krystallsystemen und die Ab-! 
leitung der hemiedrischen, hemimorphen und tetartoedriscben Formen 
von dea holoedrischen, ist für den Anfilnger eine ausserordentliche 
Erleichterung und naturgemäss, weil morphologisch auch solche Sub- 
stanzen, welche auf Grund ihrer physikalischen Eigenschaften als 
hemiedriscli, tetartoedrisch oder hemimorph anzusehen sind, so lange 
nur gewisse Formen an ihnen aufgefunden sind — im regulären 
System z. B. Würfel und Rhombendodekaeder — ebenso gut als 
holoedrisch aufgefasst werden liönnen. Ueberdies genügen die Be- 
griffe Holoedrie, Hemiedrie, Tetartoedrie und Hemimorphie zur Auf- 
findung der 32 möglichen Klassen auch auf der Stufe mathematischer 
Ausbildung^ wo der Beweis nach Eravais, Gadolin, Curi6 oder Minni- 
gerode noch nicht verstanden werden kann. 

Ist einmal die Reihe der einfachen Formen abgeleitet, so können 
auch dem AnfUnger die Begriffe einfache und zusammengesetzte 
Symmetrie, Centi-um der Symmetrie, zwei-, drei-, vier- und sechs- 
zählige Symmetrieaxe an den Figuren und Modellen klar gemacht 
werden. 

Bei der Ableitung der Formen fängt man am besten auch dann, 
wenn man nicht die 32 Klassen aus der asymmetrischen durch Ein- 
führung der möglichen Symmetrieelemente nach und nach ableiten 
will, wie dies Groth in der neuesten Auflage thut, mit dem triklineii 
System an und gelangt von einfachen Flächenpaaren allmählich zu 
den komplizierten Formen des regulären Systems. Die Formen der 
einzelnen Systeme lassen sich dann am leichtesten aus der Form, 
welche den allgemeinsten Fall darstellt, also im regulären System 
vom Achtundvierzigflächner, ableiten. 

Bei den Kombinationen ist dagegen, wenn man den pädagogisch 
richtigen Weg vom leichteren zum schwereren einhalten will, mit 
den regulären zweizähligen Kombinationen zu beginnen und bei den 
formenreichen triklinen Kombinationen aufzuhören. Der gleiche Gang 
ist bei den Zwillingsverwachsungen beizubehalten. 

Ein besonderes Kapitel hat der Verfasser der Anleitung zur 
Fertigung der Krystallnetze und Modelle gewidmet. Wenn 



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— IX — 

zum Zweck der Zeichnung einer Form die Koordinaten ihrer Ecken 
berechnet sind, so findet man daraus sehr leicht die Länge der 
Kanten und Diagonalen der Flächen und kann damit diese letzteren 
konstruieren. Die Konstruktion der Netze ist an dem Beispiel der 
regulären Formen gezeigt. Die Anfertigung der Modelle ist für alle, 
die einige Handfertigkeit besitzen, sehr leicht. Den Lehrern des 
Handfertigkeitsunterrichts hofft der Verfasser daher mit der ge- 
gebenen Anleitung einen Dienst geleistet zu haben. 

Die Krystallbeschreibung umfasst auch die Angabe der 
Winkel, welche Flächen und Kanten der Krystalle bilden, wenn auch 
die Benutzung derselben zur Auffindung der Elemente der Grund- 
formen und Ableitungszahlen Gegenstand der Krystallherechnung 
ist, die einer höheren Stufe des Unterrichts in der Krystallographie 
vorbehalten bleiben muss. Im Anhang ist daher der Versuch ge- 
macht, so elementar wie möglich, d. h. nur mit den Anfangsgründen 
der Trigonometrie, die Abhängigkeit der Winkel von den Ableitungs- 
zahlen wenigstens für das reguläre System zu zeigen. 

Die Beziehung zwischen den Koordinaten der Ecken der regu- 
lären Krystallformen und dem Inhalt und der Oberfläche derselben 
bei gleiclier Gentraldistanz der Flächen ist eine so einfache, dass es 
sich lohnt darauf aufmerksam zu machen. Der letzte Abschnitt 
bringt den Nachweis, dass das reguläre Dodekaeder und Ikosaeder 
-als Krystallformen unmöglich sind. 

Dadurch, dass alle Bemerkungen und Berechnungen, die sich 
nur auf die Ausführung der Zeichnungen beziehen, durch kleineren 
Druck kenntlich gemacht sind, hofft der Verfasser das Buch auch 
für diejenigen brauchbar gemacht zu liaben, welche sich der hier 
benutzten Methode des Krystallzeichnens nicht bedienen wollen. Die 
Zeichnung der Krystalle ist mit Hilfe der Koordinaten der Eckpunkte 
auch bei Konstruktion der Axenkreuze nach jeder anderen Methode 
möglich, wenn auch zeitraubend. 

Die Originale der Zeichnungen sind alle auf das vom Verfasser 
auch beim Unterricht benutzte Papier, das in Quadrate von 4 mm 
Seitenlänge geteilt ist, gezeichnet und meistens auf die Hälfte oder 

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— X - 

ein Drittel verkleinert, um Raum zu sparen. Zur sauberen Aus- 
fuhrung der Zeichnungen empfiehlt es sich, die Ecken auf quadriertem 
Papier aufzusuchen und durch Durchstechen auf weisses Papier zu 
übertragen. Im Untenicht zeichnet der Verfasser auf eine mit roten 
Linien in Quadrate von 3 cm Seitenlänge geteilte Wandtafel. 

Möge es dem Verfasser gelungen sein, ein Werk zu liefern, 
das für die Zwecke, für ^ie es bestimmt ist, anch wirklich brauch- 
bar ist. 

Mainz, im August 1895. 

Dr. Aug. Nies. 



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Inhalt. 



Einleltnng 1 

I. Kapitel. A. Axen und Axenebenen 2 

§ I. Die Lage eines Punktes, Koordinaten 2 

§ 2. Die Lage einer Geraden, Axenab schnitte 2 

§ 3. Die Lage einer Ebene, Central distanz, Ableitangszahleu . 3 

b. Eryatatllonnen und KryatallBysteme 5 

§ 4. Das trikline (asymmetriaclie) und monokline (monosymme- 

trische) System « 

§ 5. Das rhombiache Sygtem S 

§ 6, Das tetragonale (quadratische) System « 

§ 7. Das hexagonale System 7 

§ S. Das reguläre (tesserale) System 8 

§ 9. Die Grundformen 9 

§ 10. Die Elemente der Grundformen, Isomorphie 9 

II. Kapitel. Das triklinB (asTininetrische) System 10 

g 11. Die Pyramidenflächen 10 

§ 13. Die Prismenäächen und Domenfläcben 11 

§ 13. Die Pinakoide oder Endflächen 12 

§ 14. Übersicht der triklinen (asymmetrischen) Formen ... 13 

§ 15. Beispiele Ton triklinen Kombinationen 13 

III. Kapitel. Das monokline (monosymmetriache) Syetem .... 14 

§ 16. Das monoklioe Axenkreuz 14 

§ 17. Zeichnen in ParallelperspektiTe 15 

§ 18. Die Hemipyramiden 16 

§ 19. Die Prismen und Domen 16 

§ 20. Übersicht der nionoklinen {monosymmetrischen) Fonnea . 17 

§ 21. Monokline Kombinationen 17 

IV. Kapitel Das rbombiBobe System , 18 

g 22. Das rhombische Axenkreuz 18 

§ 23. Die rhombischen Kry stallformen 19 

V. Kapitel. Das tetragonale (quadratische) System 21 

g 24. Die ditetiagonalen (acbtseitigen) Pyramiden 21 

g 25. Die Pyramiden erster Ordnung .23 

§ 26. Die Pyramiden zveiter Ordnung 23 

§ 27. Die tetragonalen Prismen 23 



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— xn — 

§ 28. Übersicht der tetragonalen Formen 2i 

§ 29. Das Zeichnen der tetragonalen Formen 24 

YI. Kapitel. Dtw bexagonale STstem 26 

§ 30. Das hexagosale Axenkreuz 26 

§ 31. Die dihexagonalen (zvölfseitigen) Pyramiden . . . . 37 

§ 82. Das Zeidineu der heiagonalen Formen 28 

§ 33. Die hexagonaleD Fjramideu erster Ordnung 28 

§ 34. Die hei^onalen Pyramiden zweiter Ordnung 29 

§ 35. Die hexagonalen Prismen 29 

§ 86. Übersicht der bexagonalen Formen 30 

VII. Kapitel. Das reguläre Syetem 31 

§ 37. Die Achtundrierzigflachner (Hexakisoktaeder) 31 

§ 38. Die Ikoaitetraeder 33 

§ 39. Die TriakiBoktaeder (Pyramidenoktaeder) ....... 33 

§ 40. Die Tetrakishexaeder (PyramidenwUrfelJ ....... 34 

§ 41. Das Rhombendodekaeder 34 

§ 42, Das Oktaeder 35 

§ 43. Das Hexaeder (Würfel) 35 

§ 44. Übersicht der regulären Formen 36 

VIII. Kapitel. Die halbn&ohigea (bemiedriscben) Formen .... 37 

§ 45. Halbfiächner (Hemiedrie) 37 

§ 46. TeUrtoedrie 37 

§ 47. Hemimorphie 37 

§ 48. Die Hemiedrie des rhombischen Systems 38 

§ 49, Die Hemiedrien des tetragonalen Systems 39 

§ 50. Die pyramidale oder parallelflächige Hemiedrie , . , , 39 

§ 51. Die Bkalenoedriscke (sphenoidische) oder gene^flächige 

Hemiedrie 40 

§ 52. Die tetragonalen Spbenoide 42 

§ 53. Die trapezoedrische Hemiedrie 43 

§ 64. Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen von 

gleicher Centraldistanz , . . 44 

§ 55. Die trapezoedrischen Ecken 45 

§ 56. Die Hemiedrien des hexagonalen Systems 46 

§ 57. Die pyramidale oder parallelflächige Hemiedrie .... 46 

§ 56. Die skalenoedrische oder rhomboedrische Hemiedrie . . 48 

§ 69. Die Rhomboeder 49 

§ 60. Rhomboeder der Mittelkanten. Das rhomboedrische oder 

trigonale System 50 

g 61. Die hexagonalen Trapezoeder 51 

§ 62. Die ditrigonale Hemiedrie 52 

§ 68. Die Hemiedrien des regulären Systems 53 

§ 64. Die pentagonale (parallelflachige) Hemiedrie. Die Dyakis- 

dodekaeder 54 

§ 65. Die Pentagondodekaeder 55 

§ 66. Die tetraedrische (geneiglflächige) Hemiedrie. Die Hexakis- 

tetraeder 56 



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— XIII — 

S«ite 

§ 67. Die Trigondodekaeder oder PyiEtmidentetraeder .... 57 

§ 68. Die Deltoiddodekaeder 57 

§ 69. Das Tetraeder 58 

§ 70. Die plagiedrische (gyroedrische) Heniiedrie 56 

IX. Kapitel. Die viertelflSehigea (teturtoedrüchen) Formen . . 60 

§ 71. Die tetartoedrigchen Formen des tetrogonalen Systems . 60 

§ 72. Die sphenoidisclie Tetarioedrie 61 

§ 73. Die tetartoedri sehen Formen des bexagonalen Systems . 63 

§ 74. Die trapezoedrisclie Tetartoedrie 63 

§ 75. Die rhomboedrisclie Tetartoedrie 65 

§ 76. Die trigonale Tetartoedrie 67 

g 77. Die Tetartoedrie des regulären Systems ...... 67 

X. Kapitel. Kombinationeii von Flächen mit nngleieher Central- 

distanz 69 

§ 78, Ungleiche Centraldistanz gleichwertiger Flächen. Verzerrte 

Formen. Steinsalz. Magneteieen 69 

§ 79. Schnittpunkt zveier Geraden, deren AxenverhältniB und 

Central distanz gegeben ist 71 

§ 80. Schnittpunkt von drei Ebenen, deren AxenrerhältDis nnd 

Centraldistanz gegeben ist 72 

g 81. Offene und geschlossene Formen 72 

§ 89. Abstumpfni^ der Ecken 72 

§ 83. Abstumpfung der Kanten 74 

§ 84. Zonen, Zonenaxe, Zonengleichung 76 

§ 85. Zuschärfung der Kanten 77 

§ 86. Zuspitzung der Ecken 78 

§ 87. Zuschärfung der Ecken 80 

XI. Kapitel. Kombinationen an regulären KrysUllen 83 

§ 88. Zweizählige Kombinationen an holoedrischen Krystallen. 

Kombination secken 83 

§ 89. Mittelkrystalle 85 

§ 90. Habitus der holoedrischen regulären Kombinationen. Be- 
stimmung der Centraldistanz. KobaJtnickelkies , Blei- 
glanz, Flussspat, Analcim 86 

g 91. Mehrzählige holoedrische Kombinationen des regulären 

Systems, Granat 87 

§ 92. Bestimmung der Ableitnngszahlen ans den Zonen ... 88 

§ 93. Pentagonal-hemiedrische Kombinationen, Eisenkies ... 91 

§ 94. Tetraedrisch-hemiedrische Kombinationen, Fahlerz ... 93 

XII. Kapitel. Kombinationen an hexa^onalen Krystallen .... 98 

§ 95, Holoedrische hesagonale Formen 98 

Beryll, Normalprojektion 99 

g 96. Pyramidal-hemiedriBche hesagonale Formen, Apatit , . 99 
§ 97. Skalenoedrisch-rhomboedriache Formen. Rhomboeder der 
längeren und der korzeren Polkanten. Kalkspat, Cha- 

basit, Eisenglanz K^l 

g 98. Trapezoedrisch-tetartoedrische Krystalle. Qnarz ... 105 



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— XIV — 

§ 99. RhomboedriBch-tetartoedriBclie ErjEtalle. Dloptas . . 106 

§ 100, Uemimorpbie an hexagonalen Kryaullen. Turmalin . . 107 

XIII. Kapitel. Tetragonale KrrstaUe 108 

g 101. EoloedriGche tetragonale Krystalle. Zinnerz, Zirkon . 108 

§ 102. PyTamidal-hemie^riache Formen. Scheelit, Wulfenit . . 110 

§ 103. Sphenoidisch-heiniedriBcbe Formen. Eapferkiee ... 111 

XIV. Kapitel. Kombinationen an Krystallen ohne Haaptftze . . . 112 

g 104. Holoedrische Formen des rhombischen Systems. Olivin 112 

§ 105. HemiedriBche rhombische Krystalle. Bittersalz . . . llü 

g 106. Hemimorphie, Struvit 113 

g 107. Monokline Krystalle. Gips 114 

Kalifeldspat, Angit 115 

Hemiedrie tind Hemimorphie im monoklinen System . . 116 

§ 108. Trikline Krystalle. Kupfervitriol Uli 

Hemiedrie des trikUnen Systems, Centrum der Symmetrie 118 

§ 109. Übersicht der Klassen nach den Symmetrieelementen . 118 

XV. Kapitel. RegelmäBuge Venraohenng von Errstallen .... 121 

§ 110. Parallele Verwachsung 131 

§ 111. Symmetrische Verwachsong zweier Krystalle. Zwillinge, 

Zwillingsgesetz, Zwillingsaxe, Zwillingsebene ... 122 
§ 112. Spinellgesetz, Berahrangszwiltinge , Magneteisen, Zink- 
blende, Bleiglanz, Durchkreuzungszwillinge, Fltttsspat 122 
§ 113. Zwillinge von hemiedrischen Krystallen. Diamant, Eisen- 
kies 124 

§ 114. Hexagonale Zwillinge. Kalkspat 125 . 

§ 115. Lage der Ecken der Krystalle in der Zwillingsstellung . 126 
Bestimmung des Abstandes einer Flache vom Schnittpunkt 

der Axea 127 

§ 116. Tetragonale Zwillinge. Zinnerz, Euül 129 

§ 117. Kbombische Zwillinge. Aragonit (Zwillingalamelle), Argen- 

kies, StauTolith 131 

§ 118. Lagen der Flachen der Krystalle in der Zwillingsstellung 132 

§ 119. Monokline Zwillinge 135 

Augit, Gips, Karlsbader Zwillinge 136 

§ 120. Trikline Zwillinge. Albit 137 

§ 121. Wiederholte Zwillingsbildung, Drillinge, Vierlinge, poly- 

synthetische Verwachsung, Harmotom, Phillipsit . . 137 

Mimesie 137 

XVL Kapitel Kryatallnetze und Modelle 141 

§ 122. Lange der Kanten 141 

g 123. Konstruktion der Flachen 142 

§ 124. Krystallnetze, Modelle 142 

g 125. Die Kanten der Achtundvierzigfiachner 143 

§ 126. Netze der TOilflächigen Vierundzwanaigflschner .... 145 

g 127. Rhombendodekaeder, Oktaeder, Würfel 146 

g 138. Die pentagona! hemiedrischen Formen 146 

§ 129. Die tetraedrisch- hemiedrischen Formen 149 



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— , XV — 

S 130. Die Plagieder 151 

g 131. Hexagonale Pyramiden l&ä 

§ 132. Skalenoeder und Rliomboeder 153 

g 188. Hexagonale Trapezoeder 154 

§ 134. Tetragonale Formen 154 

§ 135. Rhombiscbe Formen 155 

Grundformen des monoklinen und triktinen SystemB . . 155 

§ 136. Die GombisBlioiigkanten 155 

§ 137. Netze der Kombinationen 156 

Anhang. 

Die geometriaobeii Eigensclialteii der regulären KrTstaUIormen . . 157 

§ 138. Die Inhalte der holoedrischen regulären Körper ... 157 

§ 139, Die Inhalte der pentagonal-bemiedrischen Körper . . . 158 

g 140, Die Inhalte der tetraedrisch-he mied tischen KOrper . . 159 

§ 141. Der Inhalt eines Plagieders 160 

§ 142. Die Oberflftche der regulären Formen 161 

§ 143. Der Flächenwinkel zweier Ebenen 163 

g 144. Die Flächenwinkel der holoedrischen regulären Formen 164 

§ 145. Die Flächeniriukel der pentagonal-hemiedrischen Formen 165 

§ 146. Die Flächenwinkel der tetraedriachen Formen .... 166 

g 147. Die Flachenwinkel der Plagieder 167 

§ 148. Die Kantenwinkel der holoedrischen regulären Formen . 167 

§ 149. Die Kantenwinkel der pentagonalen Formen 168 

§ 150. Die Kantenwinkel der tetraedrischen Formen .... 170 

§ 161. Die Kantenwinkel eines Plagieders , 170 

§ 152, Die Winkel an Kombi nationskanten 171 

§ 153, Die regolären Polyeder als Krystallfonnen 172 



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D.,.Ei.ct,Googlc 



Einleitung. 



Wenn flüssige oder gasfönni^ Körper den festen Aggregat- 
zustand annehmen, so legen sich ihre kleinsten Teile entweder regel- 
los oder nach ganz bestimmten Gesetzen nebeneinander. Das letztere 
findet nur statt bei den Körpern von bestimmter chemischer Zusammen- 
setzung. Eine Folge der gesetzmässigen Lagerung ist einerseits, 
dass die hierbei entstehenden Individuen in gleichen Richtungen gleiche, 
in verschiedenen Richtungen im allgemeinen verschiedene physikalische 
Eigenschaften zeigen und andererseits, dass dieselben bei ungestörter 
Ausbildung von ebenen Flächen begrenzte, mehr oder vreniger sym- 
metrische Formen annehmen d. h. Krystalle werden. 

Die Krystallographie oder die Lehre von den Krystallen zer- 
^t in drei Teile. Die Krystallographie im engeren Sinne 
oder Morphologie der Srystalle beschäftigt sich ausschliesslich mit 
den geometrischen Eigenschaften der Krystalle. Die chemische 
Krystallographie behandelt die Beziehungen, welche zwischen diesen 
und der chemischen Zusammensetzung der Körper bestehen, und die 
physikalische Krystallographie untersucht inwiefern die geo- 
metrischen und physikalischen Eigenschaften zusammenhängen. 

Die Krystallographie im engeren Sinne ist hiernach eine rein 
mathematische Disziplin und zerfällt in die Krystallbeschreibung und 
die Krystallbereclmung. Die erstere, auf welche wir uns hier im 
Wesentlichen beschränken, erfordert zum vollen Yerständnis die Be- 
kanntschaft mit einigen geometrischen Sätzen, welche vir voraus- 
schicken wollen. 



Nlei, Sr7itaUbeichTeibniig. 1 ^ 

DigmzedbyGoOgle 



I. Kapitel. 
Azen und Azenebenen. 

§ 1. Die Lage eines Punktes A auf einer Geraden ist 

bestimmt durch den Abstand von einem gegebenen Punkt auf 

derselben, also durch den Abschnitt OA (Fig. I). 

Die Lage eines Punktes Q in einer Ebene wird bestimmt mit 

Hilfe zweier in derselben liegenden Geraden (Axen), indem man durch 
denselben zu jeder dieser Geraden eine Parallele 
zieht. Ist die Länge dieser Linien BQ und GQ 
(Koordinaten) bekannt, so lässt sich der Punkt Q 
aufeuchen, wenn ausserdem noch die Richtung, 
in welcher der Funkt von den Axen aus liegt, 
bemerkt ist 

Die Lage eines Punktes P im Raum lässt 
sieb mit Hilfe von 3 nicht in einer Ebene 
liegenden Geraden (Axen) und den durch die- 
selben gelegten Axenebenen besümmen, indem 
man die Abstände desselben in der Richtung 
der 3 Axen (Koordinaten) misst und sich merkt, 

ob man dabei nach vom oder hinten, oben oder unten, rechts oder 

links in der Richtung der Axen gegangen ist 

Diese Beachtung der Richtungen ist notwendig, weil auf jeder 

Geraden von einem Punkt aus zwei Punkte in gleichem Abstand, 

aber auf verschiedenen Seiten liegen, in einer 

Ebene je 4 Punkte mit gleichen Abständen von 

den Axen und im Raum je 8 Punkte mit gleichen 

Ent femungeu von den Axenebenen. vi 

Bei der Bezeichnung der Richtungen 

pflegt man deshalb die Richtungen nach vom, "' 

rechts und oben als positiv, diejenigen nach ' 

hinten, links und unten als negativ zu bezeichnen. 

§ 2. Die Lage einer Geraden G' ist bestimmt durch die 

Lage von 2 Punkten auf derselben, also z. B. durch die liage der 

beiden Punkte A' und S", in denen sie zwei Axen schneidet, folglich 

durch die zwei Abschnitte OA' und OB". 

Liegt ein Punkt P auf der Geraden G', bo gilt fUr seine Koordinaten x 

vind y folgende Gleichung 



Fig. l. 




Fig.2 . 



.öbyGoogle 



Beweis: Die Parallele durch F zu ÄO* treffe in B„, die zu OB* in A:^. 
AuB der Ähnlichkeit der DHiecke ffSyP und B'OA' folgt die Proportion: 
ByP:OA' = ByB':OB' 



nnd 



OB' 



1 oder, wenn ■ 
= 4, gesetzt 



wird: 



aj!e + 5,y = 1. 
Liegt der Funkt P zugleich auf einer Geraden &"■ mit den AieDabscbnitten 
OA" und -OB", so gilt fOr ilm auch die Gleichung: 

o,ar + 6,y = 1, 
nnd es lassen sich die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden O' 
nnd G" bestinunen, es ist: 



Den gemeinsamen Nenner a, i, — "i ^i kann man auch finden, wenn man 
die Eoefficienten von x nnd ff in den beiden Oleichnngen unter einander schreibt: 

I ", *, I 
und sie dann OberB Eretiz multipliziert (mit a anfangend) und das zweite Produkt 
vom ersten abzieht. Man nennt diesen Nenner die g Determinante" der Eoefficienten. 
Der Zfthler von x wird dadurch gefiinden, daaa man in der Detemunante die 
Eoefficienten von x gleich 1 setzt, der Zähler von y, indem man dasselbe mit 
den Eoefficienten von y thut. 

§ 3. Die Lage einer Ebene J? 
im Raum (Fig. 3) ist bestimmt durch 
S nicht in einer Geraden liegende Funkte 
derselben also etwa die 3 Punkte Ä, 
B und C, in denen die Ebene 3 sich 
schneidende Geraden (Äxen) trifft, folglich 
durch die Abschnitte OA, OB und 00. 
Die Ebene schneidet die 3 Axenebenen 
in den Geraden AB^ BC und AC und 
das Dreieck ABC ist ein Teil der- 
selben. 

Eine mit der Ebene E parallele Ebene £*, schneidet die 
Axenebenen in den Geraden A'B", B'O und A'C, welche zu den 
entsprechenden Geraden AB, BC und AC parallel sind; Hieraus 
ergiebt sich auch die Gleichheit der Verhältnisse -^j-, -^^ und -^ 
und die Proportion 

OA' : OB- lOC- = OA-.OB: OC. 




.öbyGoogle 



— 4 — 



Bei einer parallelen Verschiebung einer Ebene verändert sieb 
also, nur ihr Abstand vom Schnittpunkt der Axen, die sogenannte 
Gentraldistanz, dagegen bleibt das Verhältnis der Axenabschnitte 
unverändert. Man nennt die Axenabschnitte auch Parameter und 
das Verhältnis derselben zu einander, wodurch die Lage der Flächen 
bestimmt wird, das Farameterverhältnis der Flächen. 




Liegt ein Punkt auf einer Ebene £| mit den AxenabBchnitten 0J„ 
und 0C^, bo gilt für Beine Koordinaten x, y, z folgende Gleichung: 



: + -; 



= 1) 



Beweis: Legt man dnrch einen beliebigen Punkt F (Fig. 4) in der Ebene £^, 
und die Axe OC, eine Ebene 0C,£, so gilt fUr die Eootdinaten des PnukteB P 
in dieBer Ebene folgende Gleichung {vergL § 3j: 

OE "^ 0C,~ 
oder da SP = ET und nP= z ist, 

ov ^ 

OB ^ OC, ~ 
Ist OS pmsl gröBser als OU, so sind die Koordinaten von B px und py, 
und es besteht die Gleichung: 

— . PV . :, * , y 1 ÖC 



Setzt man diesen Wert i^ 



in die Torige Gleichung ein, go erb&lt 
= 1, waa zu beweisen war. 



.öbyGooglc 



— JS _ 

Ist eine Fläche ABC durch ihre Axenabachnitte OA- = o, 
OB = h und 00 = c gegeben, wobei gewöhnlich 6 = 1 gesetzt 
wird, so genügen zur Bezeichnung der Lage einer anderen Fläche 
zwei weitere Werte. 

Eine Fläche Ap Bq Cr, welche die Äsen in der j)-facben bezw. 
S-fachen und r-fachen Entfernung schneidet, lasst sich parallel so' 
verschieben, dass sie eine Axe in der einfachen Entfernung schneidet, 
sie verwandelt sich dabei etwa in die Fläche A^ Ba C^, oder 

wenn -^ = « und — = m gesetzt wird, in eine Fläche A^ B» Cm., 
Die Weite m und n, durch die also die Lage der Fläche bestimmt 
ist, heissen die Äbleitungszablen der Fläche, sie sind erfahrungs- 
mässig bei Krystallen stets einfache rationale Zahlen (Gesetz der 
Rationalität der Ableitungszahlen). 

§ 4. Krystallfornten und Erystallsysteme. Asym- 
metrisches und Monosymmetrisches System. Legt pian durch 
je 2 von 3 beliebigen, sich in einem Punkte schneidenden Geraden 
(Axen) Ebenen (Axenebenen), so entstehen an dem Schnittpunkt 8 drei- 
seitige Ecken (Oktanten), Zwei in einer Ebene zusammenstossende 
Ecken nennt man anliegende, zwei, welche sich nur in einer Geraden 
berühren, nennt man gegenüberliegende und zwei, welche nur 
den Scheitelpunkt gemein haben, entgegengesetzte Ecken. Ecken 
sind gleich, wenn ihre Flächen- und Kantenwinkel gleich sind. Dies 
ist stets der Fall bei den entgegengesetzten Ecken. Sollen zwei an- 
liegende Ecken gleich werden, 80 muss eine der Geraden auf den beiden 
anderen senkrecht stehen, weil gleiche Nebenwinkel rechte Winkel 
sind. Dann ist aber auch ein Teil der gegenflberliegenden Ecken 
gleich (als entgegengesetzte Ecken der anliegenden), und es giebt 
dann nur noch zweierlei Ecken, welche symmetrisch auf beiden Seiten 
der Eben« der zwei Geraden, aufweichen die dritte senkrecht steht, liegen. 
Es ist nun eine Eigentümlichkeit aller Krystalle, dass eine 
Fläche, deren Abschnitte auf einem durch die Mitte des Krystalls 
gelegten Axenkreuz in einem bestimmten Verhältnis stehen, sich in allen 
gleichen Ecken mit demselben Verhältnis wiederholt, also z. B. stets 
in der entgegengesetzten Ecke.*) Die GesamÜieit dieser Flächen 
gehört derselben Krystallform an. Es sind mit anderen Worten 
an den Erystallen die Flächen einer Krystallform, wenn es deren mehr 
als zwei sind, symmetrisch zu beiden Seiten einer Ebene verteilt. Diese 



*) Eine Ausnahme bildet die Hemiedrie nnd Hemimorpliie § 46 ff. 

DigmzedbyGoOgle 




Fig. 5. 



teilt dann den Krystall in zwei Hälften, die sich verhalten, wie ein 
Gegenstand zu seinem Bild im Spiegel. Eine solche Ebene nennt 
man eine Symmetrieebene und eine darauf senkrechte Linie eine 
Symmetriease. Mau wird hiernach in Erystalle, welche nur eine 
Symmetrieebene besitzen, ein Axenkreuz hineinzudenken haben, von 
dem eine Axe als Sjmmetrieaxe genommen wird, während die beiden 
anderen in die Symmetrieebeue fallen. 

Die Gesamtheit aller Krystallformen, welche denselben Grad 
von Symmetrie haben, denen also dasselbe Axenkreuz zu Grunde gelegt 
werden kann, bildet ein Krystallsystem. 

Alle Kiystallformen ohne Symmetrieebene gehören zum asym- 
metrischen System, solche mit nur 
einer Symmetrieebeue zum monosymme- 
trischen Krystallsystem. 

§ 5, Rhombisches System. 
Wiederholt sich eine Fläche in allen 
Oktanten, so setzt das ein Axenkreuz 
voraus, bei dem alle 8 Ecken gleich sind, 
was nur dann der Fall ist, wenn alle 
Axen und Axenebenen senkrecht aufeinander stehen. Jede Axe ist 
dann Symmetrieaxe und jede Axenebene Symmetrieebene. 

Schneidet in diesem Fall eine Fläche ABC eines Krystalls 
die Axen so, dass die Parameterrerhältnisse a:h:c irrational sind, 
so ist dies auch bei allen Parameterverhältnissen der übrigen an dem 
Erystall möglichen Flächen der Fall. 

Eine Krystallform muss hiemach in diesem System im allgememen 
8 Flächen umfassen, die bei gleicher Centraldistanz die 3 Axenebenen 
in Rhomben schneiden (Fig. 5) (da die Diagonalen auf einander senk- 
recht stehen und ungleich lang sind). Man nennt deshalb dieses 
System das rhombische Systenu 

§ 6. Tetragonales oder Quadratisches 
System. Schneidet dagegen eine Kiystaüfläche 
ein rechtwinkliges Axenkreuz so, dass das Ver- 
hältnis zweier Parameter rational ist, so wird bei 
einem bestimmten rationalen Eoefficienten na = h 
= 1 werden, und an Stelle eines rhombischen 
Querschnitts ein Quadrat entstehen (Fig. 6). Eine 
/ Krystallform von quadratischem Querschnitt ist 

^^' ' aber nicht bloss symmetrisch zu den Axenebenen 

ÄOG und JSOC, sondern auch zu den Ebenen, die durch die C-Axe 

DigmzedbyGoOgle 






und die die Winkel der Diagonalen und die Seiten des Quadrats 
halbierenden Geraden Biy und EE' gelegt werden. Diese werden 
selbst zu Symmetrieaxen dieser neu hiozuhommenden Symmetrie- 
ebenen, da sie auf denselben und auf einander senkrecht stehen. 
Den Krystallfonnen, welche diesen höheren Grad von Symmetrie zeigen, 
legt man einfacher ein Axenkreuz zu Grund, bei dem a und h gleich 1 
sind, während a : c irrational bleibt. Die ^-Äze und £-Axe lassen 
sich hierbei vertauschen, ohne dass sich an den Formen etwas ändert; 
man nennt solche Axen gleichwertig. Auch die den Winkel dieser 
Axen halbierenden sogenannten Zwischenaxen sind gleichwertig. 

Der höhere Grad von Symmetrie zeigt sich in dem Vorhanden- 
sein von Ebenen, in welche mehrere Symmetrieaxen fallen. Solche 
Ebenen nennt man Haüptsymmetrieebenen und die zugehörigen 
Symmetrieaxen Hauptsymmetrieaxen oder kurz Hauptaxen. 

Die Formen dieses Systems, welches man das tetragonale 
oder quadratische nennt, zeigen also fünf Symmetrieebenen, eine 
Hauptsymmetrieebene und vier gewöhnliche, eineHauptaxe, welche 
vertikal gestellt zu werden pflegt und vier ge- 
wöhnliche Symmetrieaxen, von denen man eine 
von vorn nach hinten und eine von links nach 
rechts stellt nndNebenaxen nennt Diebeiden 
andern Aien (Zwischenaxen) stehen dann schief 
von vorn nach hinten. 

§ 7. Hexagonales System. Wird in 
einem Rhombus der spitze Winkel 60 ", so bilden 
die Verbindungslinien der Mitten der Gegenseiten 
mit den kürzeren Diagonalen des Khombus gleich- 
falls Winkel von 60". Denkt man dann durch jede Fig. 7. 
dieser 3 Linien und die auf der Ebene derselben senkrechte Axe Ebenen 
gelegt, so wird durch diese 4 Ebenen der Raum in 12 gleiche Teile 
geteilt. Eine Fläche muss sich demnach auch I2mal wiederholen. 

An Stelle des rhombischen Querschnitts erscheint dann ein regel- 
mässiges Sechseck. In einer solchen Form sind aber nicht blos die 
Diagonalen BB", BD' (Fig. 7), sondern auch die Verbindungslinien 
der Mitten der Gegenseiten gleichwertige Symmetrieaxen zu den durch 
diese Linien und die auf dem Querschnitt, der zur Hauptsymmetrie- 
ebene wird, senkrechten Axe (Hauptaxe) gelegten Symmetrieebenen. 

Die Krystallfonnen, welche diesen Grad von Symmetrie besitzen, 
bilden ein besonderes KrystaÜsystem, das hexagonale, und legt 
man ihnen nicht das rhombische Äxenkreuz zu Grunde, sondern ein 




D.g.tizecbvGoOgle 



TOD 4 Axen gebüdetes, indem man statt der ^-Äxe und der B-Axe 
die 3 Diagonalen des Sechsecke nimmt, also statt der A-Axe die 
zwei Geraden, welche mit der B-Axe Winkel von 60 " einschliessen. 
Im Gegensatz zu diesen Axen, die man auch Nebenaxen nennt, heissen 
die 3 die Winkel dieser Axen halbierenden Geraden, zu denen auch 
die ^-Axe gehört, Zwischenaxen. 

Durch die im hexagonalen System vorhandenen 7 Symmetrie- 
ebenen wird der Baum in 24 gleiche Teile geteilt, am Schnittpunkte 
der 7 Axen entstehen 24 
gleiche Ecken, und eine 
Flache wird sich in diesem 
System also im allgemei- 
nen viemndzwanzigmal 
wiederholen. 

§ 8, Reguläres 
System. Werden end- 
lich auch die Verhältnisse 
a : c und b : c rational, so 
tritt ein noch höhererGrad 
von Symmetrie ein; es 
werden dann auch die 
Ebenen ÄOG und BOG 
zu Hauptsymmetrieebe- 
nen und die J.-Axe und 
S'Axe zu Hauptaxen. Es 
sind also im ganzen nenn 
Symmetrieebenen vorhanden, nämlich 3 Hauptsymmetrieebenen und 6 ge- 
wöhnliche Symmetrieebenen und dem entsprechend auch 3 Hauptaxen 
und 6 gewöhnliche Symmetrieasen oder Zwischenaxen, nämlich in jeder 
Hauptsymmetrieebene deren zwei. Die gewöhnlichen Sjmmetrieebenen 
schneiden sich ausser in den Hauptaxen auch noch in 4 Geraden, 'welche 
keine Symmetrieaxen sind und trigonale Axen genannt werden. 
Sie sind der geometrische Ort aller Punkte, welche von den 3 Axen- 
ebenen gleichen Abstand haben. Durch die 9 Ebenen wird der Raum 
in 48 gleiche Teile geteilt. Die 13 sich in einem Punkt schneidenden 
Axen sind die Kanten von 48 gleichen Ecken, sodass in diesem 
System, das den böchstmöglichen Grad von Symmetrie besitzt, und 
deshalb das reguläre genannt wird, eine Fläche sich im altgemeinen 
48mal wiederholt. Fig. 8 zeigt eine -Form, welche dem regulären 
System zugehört, mit allen Symmetrieebenen und Axen. 




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§ 9. Grtindformeii. Alle Krystallgestaltcn einer Mineral- 
species zeigen (abgesehen von den UnTollkonunenlLeiten in der Aus- 
bildung, die mit Störungen im Wachstum zusammenhängen) nicht allein 
stets denselben Grad von Symmetrie und gehören deshalb zu dem- 
selben Krystallsystem , sondern es kommen an denselben stets nur 
solche Flächen und Formen vor, deren Axenverhältnisse sich von 
einander nur durch rationale Ableitungszahlen m und n unterscheiden, 
und zwar werden diese Zahlen um so einfacher, je zwectmässiger 
man das Axenkreuz wählt, welches man allen Formen zu Grunde 
legt. Est also von Wichtigkeit, welche Flächen man als Flächen der 
Grundform annimmt, bei welcher m und » gleich 1 zu setzen ist. 
Die relative Länge der Axenabschnitte und die Grösse der Winkel 
der Axen sind dann fiir das betreffende Mineral wesentliche Kenn- 
zeichen, sie bilden die Elemente der Grundform, die man kennen 
muss, um alle flbrigen Formen des betreffenden Minerals ableiten und 
darstellen zu können. Dies gilt ebenso für die Darstellung im 
Modell wie für die Abbildung nach irgend einer Zeichenmethode. 
Während jedoch im Modell die Elemente nach ihrer wirklichen Grösse 
erschemen, sind die Axenlängen im Bild mehr oder weniger verkürzt, 
die Winkel sämtlich oder doch teilweise grösser oder kleiner, je nach 
der Richtung, von der aus man den dargestellten Körper betrachtet 
und auf eine Ebene projiciert. 

Am leichtesten wird die Darstellung nach einer Methode, die 
gestattet, die einmal gewählte Richtung und Länge der Äsen zu 
erkennen, und somit ermöglicht, die Koordinaten leicht und richtig 
abzutragen. Zu diesem Zweck ist bei den folgenden Zeichnungen 
das quadrierte Papier gewählt. 

§10. Elemente der Grundformen. Isomorphie. Mineralien, 
deren Formen sich auf Grundformen mit denselben Elementen zurück- 
führen lassen, die aber in ihren übrigen Eigenschaften verschieden 
sind, heissen gleichgestaltet oder isomorph. Da im regulären System 
die Winkel und Axen alle gleichwertig sind, so sind auch alle in . 
diesem System krystallisierten Körper isomorph, und die Mannig- 
faltigkeit der Formen wird nur durch die verschiedenen Werte von m 
und H bedingt. Im quadratischen und hexagonalen System unter- 
scheiden sich die Grundformen nur durch das Verhältnis der Länge 
der Nehenaxen zur Hauptaxe, also die Grösse o : c, im rhombischen 
System sind zwei Grössen veränderlich a:b und 6;c; im monosym- 
metrischen System ist ausserdem noch ein Winkel veränderlich, also 
im ganzen 3 Elemente. Im asymmetrischen System, das den äll- 



.öbyGoogle 



— 10 — 

gemeinsten Fall darstellt, sind ausser a : h und b : c noch 3 Winkel, 
also im ganzen 5 Elemente veränderlich. Die Bestimmung dieser 
Elemente aus den Winkeln, welche die Flächen der Grundform unter- 
einander oder mit anderen Flächen bilden, ist eine Hauptaufgabe der 
Erystallberecbnung. Je eine Winkelmessung ermöglicht hierbei 
die Bestimmung eines Elementes oder auch, wenn diese bestimmt 
sind, einer der Ableitungszahlen m und n. 



n. Kapitel. 

Die yollständigen einfachen Formen. Kombinationen 

von Flächen, deren Centraldistaoz gleich 1 ist. 

I. Das asymmetrische oder trikline System. 
§ 11. Fyramidenflächen. In Fig. 9 ist ein Oktant dargestellt, 
der von den 3 positiven Axenabschnitten eines schiefwinkeligen Axen- 
kreuzes gebildet wird. Jede derFlächen 
AB,C„ Ä,B,C,, A,B,C„ ÄjB.C^, 
AiB^C,, Aj jB, Gj schneidet die 3 Axen 
in endlicher Entfernung und kann als 
Fläche der Grundform angesehen wer- 
den. DerartigeFlächen heissen Pyra- 
midenflächen. 

Wählt man die Fläche A^ B, 0^ 
als Fläche der Grundform, so hat sie 
das Axenverhältnis a:b:c und wird 
mit P bezeichnet Für die übrigen 
Flächen ergeben sich dann, wenn man 
]7j_ g_ die Zahl m für die C-Axe (Vertikal- 

axe) und w für die kürzere A-Axe 
(Brachydiagonale oder Brachyaxe) oder die längere ^Äxe (Makro- 
diagonale oder Makroaxe) nimmt und zur näheren Bezeichnung der 
beiden letzteren das Zeichen der Kürze - oder Länge — beifügt und 
m stets vor und « nach P setzt, folgende Bezeichnungen: 
A^B^O^ = a:b:me = mP Vertitalpyramidenfläche, 
A^B^C^ = ainbic = Pn Makropyramidenfläche, 
A^B^C^ = «o:6:c = Pn Brachypyramidenfläche, 
AiB^C^ = a:nb:mc ^ mPn Makropyramidenfläche, 
A^B, Cj = na:l>:mc = mPn Brachypyramidenfläche. 
Diese Bezeichnungen würden sich auch nicht ändern, wenn m 

DigmzedbyGoOgle 



— 11 — 

beliebige grössere Werte als 1 und n irgend eine andere grössere Zahl 
als 1 väre, statt wie im hicrgewählten Beispiel m — - 2 und n = 2. 
Wäre statt der Fläche A^B^G^ etwa die Fläche ^,S,C, als Grund- 
form P gewählt, so würden sämtliche Bezeichnungen zu ändern sein, es 
würde z. B. A,B, 0, das Axenverhältnis %a : 6 : '/sc oder was dasselbe 
wäre (damit n > 1 wird) a:2b:c erhalten, also eine Makropyramiden- 
fläche J*» werden, A^B^O^ hätte das Axenverhältnis '/ia:2&:c oder 
a : 46 ; 2c, und wäre als mPn oder 2P4 zu bezeichnen. 

Zn jeder Fläche gehört bei einer vollständigen (holoedrischen) 
Form notwendig die parallele Gegenfläche, dagegen ist dieses Flächen- 
paar TOQ den Flachen mit gleichem Axenverhältnis in den übrigen 
Oktanten, da diese andere Winkel haben, un- 
abhängig. Will man dies hervorheben, so be- 
zeichnet man die Lage in einem der Oktanten 
durch einen beigefügten Strich an der betreffen- 
den Stelle. Es würde also z. B. P* die Fläche 
der Grundform in dem Oktant vom, rechts, 
oben und die parallele Gegenfläche bedeuten. 
Man nennt ein solches Flächenpaar auch ane 
Viertelpyramide. Da durch ein Flächenpaar 
der Raum nicht allseitig begrenzt werden kann, p. ,» 

so nennt man eine solche Form eine „offene", 
sie kann für sich allein nicht vorkommen. Fig. 10, welche die Grund- 
form mit sämtlichen 8 Flächen darstellt, ist dagegen eine gesciilossene 
Form. Fällt von den 4 Flächenpaaren eines, etwa i", weg, so bilden 
die übrigen drei Viertelpyramiden doch noch eine geschlossene Form. 
Die Flächen der 3 anliegenden Oktanten schneiden sich dann in der 
neuen Ecke P mit den Koordinaten x = y = z ;= 1 und die ent- 
stehende Figur, welche eine Kombination der 3 Formen 'P, P„ ^P 
darstellt, wird von 6 Parallelogrammen begrenzt. 

§ 12. Prismen und Domen. Eine Pyramidenfläche bekommt 
eine um so steilere Lage, je grösser m wird (vergl, die Flächen 
A^B,C^ und A^B.Cj Fig. 9). Nimmt m den Wert c» (anendlich) 
an, so heisst das, die Fläche A^BiCa^ geht mit der C-Axe parallel, 
und föllt, da + 00 und — co gleichbedeutend sind, mit der an- 
stossenden Fläche A^B^C^ in eine Ebene. Solche mit einer Axe 
parallele Flächen heissen Prismenflächen (Vertikalprismenflächen), 
wenn die Axe die Vertikalase ist; Domenflächen (von 6mtta Dach) 
(Quer- oder Längaprismenflächen), wenn sie mit einer der anderen 
Axen parallel geben, also wenn n =: oo wird. 



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— 12 — 

Während es bei Pyramidenflächen je 4 Flächenpaare mit gleichem 
Axenverhältnis gibt, gehören bei den prismatischen Formen stets 
nur zwei Flächeupaare (Hemiprismen und Hemidomen) zusammen, 
sind aber ebenso wie die Pyramidenflä^henpaare von einander unab- 
hängig. Sie begrenzen den Baum auch dann nicht vollständig, wenn 
sie zusammen vorkommen, sind vielmehr bei den Vertikalprismen 
oben und unten, bei den Brachydomen oder Längsprismen vom \ind 
hinten und bei den Makrodomen oder Querprismen links und rechts 
offen. Da bei den Vertikalprismeu sich n auf die Brachy-Axe oder 
die Makro- Axe bezieben kann oder auch gleich 1 werden kann, so 
ergeben sich 3 Arten von Prismen 

b:oDc = oo'P oder oop Prismäres Prisma, 
6:aoc = cß'Pn oder (xP» Brachyprisma, 
«ft : cdc = oo'Pn oder odJ"» Makroprisma. 

Die Bezeichnung der Domen ist: 
ooa : 6 : c =: ,P' co oder 'P, co oder auch bloss P'oo und 'Px , 
a>a:b:mc = mP-x> oder m'Piß Brachydomen (oder Hemibrachy- 
domen) und 

o : co6 : c = 'Pco oder ,P, a> oder einfach F'<x> und JP,« , 

a: oo6 : «w := mP* oo oder mP, oo Makrodomen (oder Hemimakro- 
domen). 

§ 13. Pinakoide oder Endflächen. Ist eine Fläche zu 
zwei Axen parallel, so heisst sie eine Endfläche oder ein Pinakoid. 
Hierbei sind 3 Fälle möglich: 

Die Fläche geht mit der Vertikalaxe und der Brachyaxe parallel, 
oder mit der Vertikalaxe und der Makroaxe oder endlich mit der 
Brachyaxe und der Makroaxe, In jedem Fall besteht die Form aus 
nur einem Flächenpaar. 

oDaib: cdc = ooi^oo das Brachypinakoid oder die Längs- 
fläche entsteht aus einem Brachyprisma, indem n = co wird, oder 
auch aus einem Brachydoma, indem nt = co wird, in beiden Fällen 
fallenjezweiFlächen dieser Formenin eineEbene. a: oa6 ;(»c = ooPoo 
das Makropinakoid oder die Querfläche entsteht in ähnlicher 
Weise aus dem Makroprisma oder dem Makrodoma. 

ixa : CO 6 ; c oder indem man durch oo dividiert o : 6 : — c 
= a:h:Oe = QP das basische Pinakoid oder km*z die Basis 
auch Geradendääche genannt, kann sowohl ans den Domen, indem 
tn = OD wird, als auch aus den Pyramiden, 'indem m = wird, ab- 
geleitet werden. Die Pinakoide sind parallel zu den Axenebenen, die 



Dniitizc-ctvCioogle 



13 



man in diesem System als brachydiagonalen , makrodiagonalen und 
basischen Hauptschnitt unterscheidet. 

§ 14. Uebersicht der asymmetrischen Formen. Das 
folgende Schema umfasst sämtliche Formen des asymmetrischen oder 
triklinen Systems. 




»P. 



«o'Fk 



»'P' 



-:Fk 



Das Dreieck lunschliesst alle Pyramiden, die sämtlich in Yiertel- 
pyramiden zerfallen, sie gehen, indem m = x> -wird, über in die 
Prismen und" zwar die Brachypjrramiden in Bracbyprismen, die Makro- 
pyramiden in Makroprismen, die wiederum in rechte und linke Hemi- 
prismen zerfallen. Wird n = oo , so gehen die Pyramiden Über in 
Domen und zwar die BrfM^hypyramiden in Brachydomen oder Längs- 
prismen und die Makropyramiden in Makrodomen. 

§ 15. Beispiele von Kom- 
binationen. In den Fig. 11, 12 
und 13 sind weitere Beispiele für 
die Kombination von je 3 Flächen- 
paaren zu geschlossenen Formen ge- 
geben. Während bei Fig. 10 der 
Kombination von 3 Paar Pyramiden- 
flachen dieÄxen je zwei gegenüber- 
liegende Ecken verbinden, gehen 
bei Fig. 11 der Kombmation der 3 
Pinakoide, dem sog. Pinakoidal- 
körper, die Axen durch die Mitte 
der Flächen. ^'B- "• 

[Die Ecken haben die Eooidinat«!) x = a y = b x = c bezieliuDgB weise 
jB=o y = 6 » = — eiLi. w.] 



:,Ckiog[e 



— u — 

Ib Fig. 12 ist die Kombination zweier PrismenSächen mit einem 
Pinakoid dargestellt. Da hierbei die beiden Prismenfläehen dasselbe 
Axcnverhältnis haben, gehen zwei Axen durch die mit der YertUcal- 
axe parallelen Kanteo, während diese letztere die Mitten der Grund- 
flächen verbindet. In Fig. 13 ist die Kombination zweier verschiedenen 
Prismenflächen mit der Basia dargestellt. Die Lage der Ecke, in 
der die drei Flächen sich treffen, ergiebt sich, wie aus der Figur 



Fig. 12. Fig. 13. 

ersichtlich ist, durch den Schnitt zweier Kanten in der Endfläche, 

von denen die eine die beiden Axen in der einfachen, die andere die 

eine in der einen, die andere in der «fachen Entfernung schneidet 

Die Berechnung der Koordinaten geechielit mit ]Slfe der Det^rminaDt« 

1 c irt — *» — *< ^ "i^'h 



Die Zeichnnsg der entsprechenden Kombinationen mit DomenfiAcben ergiebt 
aich von selbst. Ein schiefwinkeligeB ParEtUelepipedon in Terschiedenen Stellungen 
Termittelt die Anschaumig. 



m. Kapitel 

Das monosymmetrische oder monokline System. 

§ 16. Das Axenkreuz. Während im asymmetrischen System 
die drei Hauptschnitte der Grundform Rhomboide sind und jeder 
deraelben sowohl brachydiagonaler als makrodiagonaler oder basischer 
Hauptschnitt sein kann, sind im monosynimetrischen oder monoklinen 



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— 15 — 

System zwei der Hauptschnitte Rhomben, der dritte, in welchen die 
beiden schiefwinkeligen Axen fallen, dagegen ein Rhomboid. Dieses 
letztere ist die Symmetrieebene und man bezeichnet sie als klino- 
diagonalen Hauptschnitt. Wählt man eine der beiden schiefen Axen 
zur Vertikalaxe oder C-Äxe, so wird die andere als ^-Axe oder 
KUnodiagonale oder Klinoaxe bezeichnet, während für die dritte auf 
beiden anderen Axen senkrechte Axe, welche zugleich die Symmetrie- 
aie ist, die Bezeichnung Orthodiagonale oder Orthoaxe (JB-Axe) ein- 
geführt ist. 

§ 17. Zeichnen in Farallelperspektive. Für die Zeichnung 
empfiehlt es sich nun, damit der wichtige Winkel ß der beiden 
schiefen Axen seiner wahren Grösse nach erscheint, die Symmetrie- 
ebene zugleich als Projektionsebene zu wählen. Die beiden in dieselben 
fallenden Axen erscheinen dabei zugleich in ihrer wirklichen Länge, 
wobei man am besten eine der Axen, etwa die Klinoaxe mit einer 
horizontalen Linie des quadrierten Papieres zusammenfallen lässt. 

Die Lage der Orthoaxe in der Zeichnung hängt dann davon ab, 
von welchem Punkt aus man das Axenkreuz betrachtet, also von 
einer Uebereinkunft.. In den folgenden Zeichnungen ist derselbe 
stets so gewählt, wie in Fig. 14, d. h. derart, dass die Richtung der 



Fig. 14. 

Linie OB von der oberen rechten Ecke eines Quadrats nach der 
linken unteren Ecke des dritten Quadrats links geht. Die Ver- 
kürzung dieser Linie ist dann so, dass die Entfernung OB = 6 in 

der Richtung der Axe Ä gleich 9 Quadratseiten wäre, also -^Q—, 
so dass in Fig. 14 « = */» 6 ist Dieselbe Verkürzung ist dann bei 
allen Linien in dieser ftichtung (die Koordinaten x) beizubehalten. 



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— 16 — 

§ 18. Die Hemipyramiden. Die Ableitung der Formen im 
monosymmetrischen System erfolgt ebenso wie im asymmetrischen 
System aus der Grundform. Diese (Fig. 14) zerfallt nicht in vier 
Flächenpaare (Viertelpyramiden), sondern, da je zwei an der 
Symmetrieebene anliegende Oktanten gleich werden, in zwei sog. 
Hemipyramiden, die von einander unabhängig sind und fOr sich an 
zwei Seiten offene prismatische Bäume darstellen, die sich von den 
eigentlichen Prismen und Domen nur dadurch unterscheiden, das& 
sie nicht mit einer Axe parallel sind, sondern mit den kürzeren 
oder den längeren in den künodiagonalen Haupt&chnitt fallenden 
Kanten der Grundform. Im ersteren Fall bilden die vier dem 
spitzen Winkel der schiefen Axen gegenüberliegenden Flächen die 
positiv genannte Hemipyramide -}-JP, die vier anderen, dem 
Stampferen Winket gegenüberliegende Flächen die negative Hemi- 
pyramide — JP. 

Ganz in derselben Weise zerfallen alle übrigen Pyramiden in 
Hemipyramiden. Man unterscheidet auch in diesem System drei 
Arten, nämlich: 

a: b:mc = +mP Vertikalpyramiden, 
na: h:me = +mPn, Klinopyramiden, 
wobei durch den schiefen Strich durch P angedeutet wird, dass die 
schiefe Klinoaxe in der «fachen Entfernung geschnitten wird, wStoend 
ein wagrechter Strich durch P auf die Orthoaxe hinweist, also: 
a:nb:mc = +mPw Orthopyramiden. 
§ 19. Die Prismen und Domen. Bei den prismatischen 
Formen unterscheidet man ebenso; 

a: fi : CO c = OD P das primäre Prisma, 
na: b:<xc = »P» das Kiinoprisma, 
o:w6:ooc = ojP« das Orthoprisma. 
Diese Prismen zerfallen jedoch nicht in Hemiprismen, vielmehr 
erfordert die Symmetrie, dass, wenn die rechte vordere Prismenfläche 
mit ihrer Gegenfläche vorhanden ist, auch die linke, welche den 
gleichen Winkeln gegenüberliegt, nicht fehlt Ein Gleiches gilt für; 

cca; b:mc =mP(x> die Klinodomen, 
wobei ebenfalls die Flächen zu beiden Seiten der Symmetrieebene 
sich gegenseitig bedingen. Dagegen zerfallen: 

a : 00 & : mc = «iP cc die -Orthodomen 
in zwei Hemiorthodomen: 

-f-mPoo und — »iPa^ 



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— 17 



von denen das erstere Flächenpaar dem spitzen Winkel der schiefen 
Axen gegenüberliegt und aus +»tP« entsteht, indem « = cd -wird, 
während das letztere dem stumpfen Winkel gegenüherliegt, beide 
senkrecht zur Symmetrieebene. 

Bei den Pinakoiden endlich ist nur Brachy- mit Klino- und 
Makro- mit Ortho-Pinakoid zu vertauschen, also: 
»6: c = OP Basis, 
6 : Ol c = OD P (» Klinopjnakoid, 
o:cc6:coc = QoPoo Orthopinakoid. 
§ 20, Übersicht der monosymmetrischen Formen. Das 
Schema, welches alle Flächen des monosymmetrischen oder moao- 
klinen Systems umfasst, erfährt nur wenige Änderungen: 
op 




. 21. Monosymmetrische Kombinationen: Die Fig. 14 
ze^ die Grundform + P und zugleich die beiden Hemipyramiden 



I, KrfEtBllbeicbnibiniB. 



D.,.Ei.ct,Googlc 



— 18 — 

durch die Basis geschlossen. Zur Zeichaung der übrigen Pyramiden 
sind nur die Längen der Axen entsprechend zu lindem. Fig. 15 
entspricht der Fig. 12 und ist eine Kombination der beiden Formen 



Fig. 16. Fig. 17. 

c»P2 undOP(o:6 = 0,666:1). In Fig. 16 ist das Klinodoma fNPoo 
mit dem Orthoplnakoid coPco und in Fig. 17 die dreizählige Kom- 
bination +w^co , — »^B und coPoo dargestellt mit (a:6 = 0,888:1). 



IV. Kapitel. 
Das rhombische System. 

§ 22. Das rhombische Axenkreuz. Von den drei auf ein- 
ander senkrecht stehenden Axen, welche den Krystallgestalten des 
rhombischen Systems zu Grunde gelegt werden , kann jede als 
Vertikalaxe oder C-Axe aufrecht gestellt werden. Die kürzere 
der beiden anderen Axen wird dann als Brachyaxe oder ^-Axe 
von vom nach hinten, die längere als Makroaxe oder B-Axe von 
Imks nach rechts gestellt. Die drei Axenebenen, welche zugleich 
Symmetrieebenen sind, teilen den Kaum in acht gleiche Teile. Jede 
Fläche, die in einem Oktant vorkommt, erscheint demgemäss aucli 
in jedem anderen. Daher wird die Grandfonn und jede andere 
rhombische Pyramide von acht Flächen begrenzt und zerfällt nicht 
in Viertel- oder Hemipyramiden. Alle acht Flächen sind kongruente 
oder symmetrische, ungleichseitige Dreiecke. Die drei Arten von 
Kanten kann man als makrodiagonale und brachydiagonale Polkanten 



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19 — 



(die Punkte auf der C-Axe werden Pole und die dahin führenden Kanten 
Polkanten genannt) und als Basiskanten oder Grundkanten bezeichnen, 
je nachdem sie in den einen oder anderen Hauptschnitt fallen. 

§ 23. Die rhombischen Erystallformen. Man unterscheidet 
auch in diesem System drei Arten von Pyramiden, gleich denen des 
asymmetrischen oder triklinen Systems: 

b:mc = mP Vertikalpyramiden, 
h:mc = mPn Brachypyramiden, 
nb:me = mf» Makropyramiden. 
Alle prismatische Formen werden von vier Flächen unvollständig 
begrenzt: 

6 : a> c = 00 P Primäres Prisma, 

6 : <» c = 00 P« Brachyprismen, 

«6:a>c = coP« Makroprismen, 

6:fflc^f»pQD Brachydomen, 

0D&: mc = ffiPce Makrodomen. 

Es giebt also weder Hemiprismen noch Hemidomen. Die Pina- 

koide heissen auch hier: 

»6: c= OP Basis, 

6: cdc = oaPoa Brachypinakoid, 
»J: Qoc = »Poo Makropinakoid. 
F^. 18 zeigt die rhombische Grundform mit dem Axenverhältnis 
o;i;c = 0,666:1:1,333 [während dieses Verhältnis bei den Krystallen 
irrational ist, ist es für die Zeichnung durchweg durch ein rationales 



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— 20 — 

zu ersetzen]. Nimmt man als AzenverhältDis der Grundform a:b:o 
= 0,666:1:0,333, so Tv&rde die Zeichnung die Vertikalpyramide 
mP = 4P darstellen, die mit der Grundform die Basiskanten gemein 
hat In gleicherweise hat jede Brachypyramide mPn mit der Vertikal- 
pyramide mJP bei gleichem m auch gleiche makrodiagonale Folkanten. 
Wird m = 00 , so fallen je zwei Polkanten in eine gerade Linie, 
ebenso bei « = ■» je zwei Basiskanten und je zwei makrodiagonale 



Fig. 21. 

und braehydiagonale Polkanten, je nach- 
dem es ein Makrodoma Fig. 19 oder ein 
Brachydoma Fig. 20 ist. In Fig. 19 
sind zwei Makrodomen zusammengestellt, 
ein steileres und ein flacheres, ebenso 
in Fig. 20 zwei Brachydomen. Je grösser 
m ist, desto steiler wird das Dach (Swfia), 
Die Brachydomen sind durch das Makro- 
pinakoid, die Makrodomen durch das 
Bracbypinakoid geschlossen. 

Fig. 21 zeigt den basiBchea Hanptschnitt 
durch die rhombischeo Pyramiden und Prismen. 
Die Sasiskanten einei Makropframide mPn und 
einer Brachjpjramide mftt, aclineiden sich dabei 
in vier Pnnkten, deren Lage sich aUB der 



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wie in der Fig. 21 angenommen ist, ^ '/»*> V = t^ ^ = '/*'■ Man findet 

also die vier Schnittpunkte in der Zeichnung, indem man ir = Vi o —'ä'^ 
^ 8 Einheiten nach oben und unten und y ^ ^|^ b ^ ^l^•S ^: 6 Vi Einheiten nach 
rechts und linke geht. Die Fig. 31 zeigt, wie kleine Ungenauigkeiten in der 
Fühmng der Linien Verschiebungen des Schnittpunktes bewirken, die durch 
Abzählen der Koordinaten zu vermeiden sind. 

Fig. 22 Tereioigt zwei Eombinationen, eioe Bracbypyramide und 
eine Makropyramide mit gleichem m und Brachyprisma, Makroprisma 
und Sasis. Die Basiskanten ändern sich nicht, wenn sich m allein 
ändert. Je zwei Pyramidenflächen fallen hei m = o) in eine Ebene. 



V. Kapitel. 

Das quadratische oder tetragonale System. 

§ 24. Die ditetragonale Pyramide. Das quadratische 
oder tetragonale System unterscheidet sich vom rhombischen dadurch, 
dass die ^-Axe und B-Axe gleichwertig 
sind und vertauscht werden können, ohne 
dass das Äxenverhältnis der Flächen sich 
ändert, derart, dass die Fläche Ai B„ G„ 
und Ä» B, C« Flächen derselben Form 
sind, während es im rhombischen System 
Makro- und Brachypjrramidenfläehen sind, 
wie in Fig. 22. Die Bezeichnung als 
A-kat und .B-Axe wird daher nur zur 
Unterscheidung der Eichtung nach vom 
oder hinten, und links oder rechts beibe- 
halten. Jede Fläche hat in jedem Oktant 
noch eine zugehörige Fläche mit gleichem p. g» 

Äxenverhältnis, so dass der allgemeinste 

Fall in diesem System dargestellt wird durch eine von 16 Flächen 
begrenzte achtseitige oder ditetragonale Pyramide mit dem 
Äxenverhältnis a:na:mc = mPn (Fig. 23). Diese 16 Flächen 
schneiden sich in 21 Kanten, von denen je acht untereinander 
gleich sind. Die acht in den basischen Hauptscbnitt fallenden Kanten 
sehneiden sich in acht Ecken. Von diesen liegen vier auf den im 



Dniitizc-ctvCioogle 



_ 22 — 

Gegensatz zur Haup^tate G Nebenaxen genannten gleichwertigen 
Axen und werden primäre Basiseeken genannt, während die 
Tier anderen Ecken, welche auf den den Winkel der Nebenaxen 
halbierenden sog. ZwischenaxeD liegen, sekundäre Basisecken 
oder Zwischenecken heissen. Die acht, Kanten, welche die Foleckeii 
auf der (7-Äxe mit den primären Basisecken, also den Endpunkten 
der Nebenaxen, verbinden, werden primäre Polkanten, die acht 
Kanten, welche die sekundären Basisecken oder Zwischenecken mit 
den Folecken verbinden, sekundäre Polkanten genannt. Ebenso 



Fig. 24. 

unterscheidet man zwei primäre und zwei sekundäre HauptschnittCi 
von denen die ersteren diü-ch die Hauptaxe und eine Nebenaxe, die 
letzteren durch die Hauptaxe und eine Zwischenaxe gelegt sind. 
Der basische Hauptschnitt ist Hauptsymmetrieebene, die primären 
und sekundären Hauptschnitte gewöhnliche Symmetrieebenen. Durch 
die fünf Symmetriebenen wird der Baum in 16 gleiche Raumteile 
geteilt, von denen jeder durch je einen von den drei Arten von 
Hauptschnitten begrenzt wird. 

Aus den ditetragonalen Pyramiden mTn lassen sich die tibrigen 
Formen des Systems ableiten, indem man untersucht, in welchen 
Fällen zwei oder mehr Flächen in eine Ebene fallen. Hierbei sind 
drei Fälle zu unterscheiden, nämlich 1) » = 1, 2) w = «, 3) »i = c». 



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— 23 — 

§ 25. Pyramiden erster Ordnung. 1) Wird » = 1, so 
fällt eine Fläche .4, KCL mit An'B^G„ in eine Fläche ^£,G» zu- 
sammen, und es entsteht eine Form, die in jedem Oktanten nur eine 
Tläche zeigt, bei der die sekundären Basisecken und Polkanten weg- 
fallen, und nur die primären Basisecken und Polkanten bleiben. Eine 
solche tetragonale Pyramide mit dem Axenverhältnis a : a : mc = mP 
heisst eine primäre Pyramide oder Pyramide erster Ordnung 
(Fig. 25). Von diesen Pyramiden stellt die Grundform P den speziellen 
Fall dar, in dem m = 1 ist 



Fig. 25. Fig. 26. 

§ 26. Pyramiden zweiter Ordnung. 2) Wird « = oo, so 
fallen die Flächen J,£„C« und .4i-B_„C«, die in einer primären 
Polkante zusammenstossen, in eine Fläche .4,5qo (^„(+00= — 00). 
Die primären Basisecken und Polkanten fallen dabei weg, und es 
bleiben nur die sekundären Basisecken und Polkanten übrig. Hierbei 
entstehen die sekundären tetragonalen Pyramiden oder Pyra- 
miden zweiter Ordnung {Fig. 26) mit dem Asenverbältnis 
o: 00 a:mc = mPoo . Die entsprechenden rhombischen Formen sind 
die Domen; die von acht gleichschenkligen Dreiecken begrenzten 
Formen gleichen einer Kombination eines Makrodomas mF cd mit einem 
Bracbydoma mP cd mit gleichem m. 

§ 27. Die tetragonalen Prismen. 3) Wird m = c», so 
fallen je zwei in einer Basiskante zusammenstossende Flächen in eine 
Ebene, z. B. AiRiC„ und A^B^C-m in die Fläche Ä^B^C^, und 
die Pyramide verwandelt sich damit in ein Prisma. Aus den dite- 



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— 24 — 

tragonalen Pyramiden mFn entstehen ditetragonale oder acht- 
seitige Prismen oa-P» t= a : «a : eoc (Fig. 27), aus den primären 
Pyramiden mP wird das primäre Prisma 
oder Prisma erster Ordnung aoP 
= a:a:<xc (Fig. 25) und aus den sekun- 
dären Pyramiden mPoo das Prisma 
zweiter Ordnung ooPoo = a:cca:ooC, 
von dessen Flächen zwei wie das Brachy- 
pinakoid coPco und zwei wie das Makro- 
pinakoid <x>Pao hegen (Fig. 26). 

Wird m = 0, 80 fallen alle Pyra- 

midenflächeD in den basischen Haupt- 

schüitt. Die zu diesem parallelen 

Flächen mit dem Axenverhältnis a : a : c 

= ooo: ooa:c = OP heissen auch hier 

Fig.37. Basis oder basisches Pinakoid. 

(Vergl. Fig. 25, 26, 27.) 

§ 28. Uebersicht der tetragonalen Formen. Diese 

sieben Formen des tetragonalen Systems vereinigt folgendes Schema: 




In der Mitte steht die ditetragonale Pyramide, aus der sich alle 
übrigen Formen ableiten lassen, an der linken Seite sind die primären 
Pyramiden, rechts die sekundären Pyramiden und an der Basis des 
Dreiecks die daraus bei m = <x entstehenden Prismen, an der Spitze 
endhch steht das Pinakoid. 

§ 29. Zeichnen der tetragonalen Formen. Fig. 23 zeigt 
eine ditetragonale Pyramide mP2, die P2 ist, wenn a:c = 1 : 1,333 
ist, dagegen 2P2, wenn a:c = 1:0,666 angenommen würde. 



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Die sekundären Basiseckea haben im allgemeinen die Eoordinaten x = y 

In |l -^1 

= ^ — -r — , -nie sich aus der Determinante , ableiten l&BSt, bei der 

1 + 1 « + 1 |A i| 

a, — a,^h, — b, =s 1 durch die Determinante = 1 ^ geteilt ^ 

" . »' 1 + i 

^ — -. — Biebt, OB ist abo = —- — r-- (^ sei die sekundäre BasiBeclce.) 

»+1 j+i. 

Die primären und sekundären Folkanten sind ungleich lang. 

Beweis: Wären die Polkuiten gleich, so müBSten auch dieNebenazen OA 
und ZwiBchenaxen OR gleich sein, da die Dreiecke COA und COB kongruent 
wären. Eb wäre OÄ' = 2a:' = J' = 1, mithin: 

„ = |.„a.__L^ = yi-™d» = ,^ = V2+i, 

also eine irrationale GrOese, was dem erBt«n krystallographischen Gnmdgesetz 
widerspricht ädb demselben Grund kann auch der basische Hauptschnitt kein 
regelmäBBiges Achteck sein. Ist n > V2 -{■ 1, so smd die sekundären Polkanten 
länger als die primären, bei n <] V^2 -|- 1 ist es umgekehrt 

Fig. 27 zeigt die Kombination des ditetragonalen Prismas <3°PV) °i't ^ 
Basis OP. Die Polkanten verwandeln sich dabei in Seitenkanten. 

Der Winkel an den sekundären Seitenkanten ist stumpfer, als der an den 
primären Seitenkanten; bei n]>V2-|-l wäre es umgekehrt. 

Fig. 25 vereiDJgt eine stumpfe und eine spitze Pyramide erster 
Ordnung und die Kombination des Prismas erster Ordnung mit der Basis. 
Die primären Polkanten werden um so länger und steiler, je grösser 
das Verhältnis e:a und die Abieitungszabl nt ist Wird »t = oo, 
BO verwandeln sich die Polkanten in primäre Seitenkanten. Der 
basische Hauptschnitt ist in allen Fällen ein Quadrat Die Pyramiden- 
flächen sind gleichschenkelige Dreiecke. Die Pyramiden heiasen 
Btumpf, wenn die Polkanten kleiner als die Basiskanten und der 
Winkel an der Spitze grösser als 60' ist, im entgegengesetzten 
Falle spitz. Zwischen beiden steht die Grundform des regulären 
Systems, das Oktaeder, bei dem die drei Axen gleich lang sind. 

Fig. 26 vereinigt eine stumpfe und eine spitze Pyramide zweiter 
Ordnung und die Kombination des Prismas zweiter Ordnung mit der 
Basis. Polkanten ' und Seitenkanten sind sekundär, wie die Basis- 
eckea, deren Koordinaten x := y =^ 1 sind. Der basische Haupt- 
schnitt ist auch hier ein Quadrat, doch liegen die Ecken auf den 
Zwischenasen und die Nebenaxen gehen durch die Mitten der Seiten. 



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VI. Kapitel. 

Das hezagonale System. 

§ 30. Das hexagonale Axenkreuz. Die Ableitung der 
Formen des hexagonalen Systems erfolgt in ganz ähnlicher Weise, 
wie bei den tetragonalen Formen. Da durch die eigentümlichen 



F^. 38. 

Symmetrieverhältnisse sieh die Wahl von vier Axen empfiehlt, von 
denen drei gleichwertig sind (Nebenaxen), während die vierte (Hanpt- 
axe) länger oder kürzer ist, so aclmeidet!|eine 
' Fläche im allgemeinen vier Axen. Gleichwohl 
genügen auch hier zur Bezeichnung zweier ver- 
schiedenen Flächen nur zwei Ableitungszahlen, 
da wenn man die Entfernung, in der eine der 
Nebenaxen geschnitten wird, 0Ä= l setzt, 
die der zweiten OÄ' = n, auch die der dritten 
OA" = s damit bestimmt ist. Trägt man 
OA = 1 auf OA' und OÄ" von aus ah und verbindet die ge- 
fundenen Punkte mit A, so ergiebt sich die Proportion: 




Fig. 29. 



- 1 , also « = - 



-1' 



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so dass also das Axenverhaltnis einer Fläche im hexagonalen System 
im allgemeinen heisst: 

"■ "*■ «_i "■'"''» 
wofür abgekürzt das Zeichen mPn durchaus verständlich ist. Auch 
für die Aufsuchung der Eckpunkte "braucht man stets nur drei Axen, 
ebenso zur Bezeichnung der einzelnen Flächen, wobei man eine der 
Nebenaxen als ^-Axe, eine andere als B-Axe bezeichnet. 

§ 31. Die zwölfseitige (dihexagonale) Pyramide. In jedem 
Raumzwölftel (Dodekant) giebt es im allgemeinen zwei Flächen, im 
ganzen also 24. Die zwölf oberen heissen: Ä,B^C^, A^B^C^^ 
A^S^C^, A_,B^C^, A_^B,C^, A_^B_,C^, A_^B_^C„^ 
A_„B_^0^, A_^B_^C^, A,B_^C^, A„B_,C„. AA^-, 
wobei s immer = ^ zu setzen ist. Bei den 12 unteren Flächen 
ist C mit C_ zu vertauschen. Diese 24 Flächen, welche die 
dihexagonale oder 12seitigeDoppel- 
pyramide (Fig. 29) begrenzen, sind 
ungleichseitige Dreiecke. Auch hier 
unterscheidet man dreierlei Haupt- 
scbnitte. Der basische Hauptschnitt 
(Fig. 28) ist die Hauptsymmetrie- 
ebene, ein symmetrisches, aber nicht 
regelmässiges Zwölfeck mit 1 2 Basis- 
kanten und mit 6 primären und 
6 sekundären Basisecken, welche 
letzteren auf den die Winkel der 
Nebenaxen halbierenden Zwischen- 
axen, welche wie jene Symmetrie- 
axen auf den 6 gewöhnlichen Sym- 
metrieebenen sind, liegen (und wie 
im quadratischen System die Koor- 
dinaten X = y = ^ -r- haben). 

" "•" Fig. 29. 

Durch die Nebenaxen und die Haupt- 

axe gehen die 3 primären Hauptschnitte, in welche die 12 primären 
Polkanten fallen. Durch die Zwischenaxen und die Hauptaxe gehen 
die 3 sekundären Hauptschnitte mit den 12 sekundären Polkanten, 
welche die Endpunkte der Zwischenaxen mit den Polen, den End- 
punkten der Hauptaxe, verbinden. 



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§ S2. Zeichnen der hexagonalen Fortneo. 

Zur richtigen Zeichnung des hexagonalen Axenkreiues nnd damit aller 
hesagonalen Formen empfiehlt es sich, die Länge der ZwiBchenaxen als Einheit 
zu wählen, also die nach vom gehende Zwischenase (im Querschnitt ^ 9 Quadrat- 
seiten) in demselben Funkte endigen zu laasen, wie im quadratischen System 
Aus dieser Länge der Höhe des gleichseit^en Dreiecks berechnet sich die Seite 

a = — ^ — = 10,36 . . ., also beinahe lO'/s- Geht raan von dem Endpunkt der 

einen Zwischenaxe (B in Fig. 30) 5% nach links und rechts, so findet man die 
Endpunkte der beiden schiefen Nebenaxen. Etwas weniger einfach ist die Aof- 
suchong der Endpunkte der Zwischenaxen. Bei n := '/, wie in Fig. 29 sind 

die Koordinaten a- := y s= — -— p ^ -^. Der Punkt B wird gefunden — ■ 10-^ 

+ -s ■ ^'k = '"öT Quadrataeiten nach rechts und -r nach unten. Der Punkt S" 

3 2 3 14 3 

wird gefunden — ■ 10— + x ' ^ k' ~ ^^'^K '^'^^ rechts und -^ nach oben. Der 

Punkt S' IHSBt sich einfach finden, da man die Richtung der Zwischenaxe kennt, 
welche die der Diagonale des von den beiden schiefen Nebenaxen gebildeten 

Parallelogramms ist, indem man von dieser */g nimmt, also — •6^3'/^, und 

demnach Aber die Ecke des dritten Quadrats links noch '/* hinaus, oder was 
dasselbe ist, 3'/t ^oo^^'^biüttpunktderAxenausnBch links und 1'/, nach unten gebt. 
§ 33. Hexagonale Pyramiden erster Ordnung. Aus der 
zwölfseitigen Doppelpyramide leitet 
man die übrigen Formen ab, indem 
man 1) n = 1 oder 2) w = 2 oder 
3) m = cc setzt. 

1) Wird « = 1, so fallen je 
zwei in einer sekundären Polkante 
zusammenstossende Flächen in eine 
Ebene, z. B.: 

A[B^G^ und A^B,C„ in A^B^C^. 
Hierdurch entsteht die primäre hexa- 
gonale Pyramide oder Pyramide er- 
ster Ordnung: 
Fig. 30. 

mP = a:na:>xa:mc 

(Fig. 30), begrenzt von 12 gleichschenkligen Dreiecken mit 6 Basis- 
kanten, 12 primären Polkanten, 6 primären Basisecken und zwei 
Polecken. 

Zu den primären Pyramiden gehört auch die Grundform P. 



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— 29 — 

§ 34. Die hexagonaleo Pyramiden zweiter Ordnung. 

2) Wird n = 2, so wird auch s = ^ = 2, und es fallen 
je zwei in einer primären Polkante zusammenstossende Flächen in 
eine Ebene, z. B. A^B^C^ und A^B^C^ in die Fläche A^B^C^ 
Hierbei fallen die primären Basisecken und Polkanten weg, und es 
entsteht eine sekundäre Pyramide oder Pyramide zweiter Ordnung 
mjP2 = a:2a:2a:mc (Fig. 31), welche nur sekundäre Basisecken 
und Polkanten besitzt und sich im übrigen von einer Pyramide erster 
Ordnung nur durch die Stellung unterscheidet. 



Fig. 81. Fig. 32. 

Die BaaiBkanten Btehen anf den Nebenaxeu Benkiecht, die Basiaecken 

beltonunen die Koordinaten « = y = -— und Bind sehr leicht aufzufinden. Die 

vordere R, indem man die Zwischenaie bis zur yierten Linie Terlängert, die 
anderen B', indem man von den Endpunkten der von links nach rechts gehenden 
Nebenaxen in der Richtung nach vom nnd hinten \ der Einheit der Axen geht, 
also zwei Quadratfieiten nach links und rechts nnd '/, nach unten und oben. 
Diese leicht za findenden Punkte benutzt man immer, wenn man nur die Richtung 
der Zwischenaxen sucht. 

§ 35. Die hexagonalen Prismen. 

3) Wird »I ^ 00, so fallen je zwei in einer Basiskante zusammen- 
stossende Flächen in eine Ebene, A^B^G^ und A^B^G_^ in die 
Fläche AjB^C^ lind die Pyramiden verwandeln sich in Prismen. 
Es giebt dreierlei Prismen: goP«= o:«o:— ^a: «c, die dihexa- 
gonale oder zwölfseitige Prismen (Fig. 32) mit 6 primären und 
6 sekundären Seitenkanten, •xF= a:a:aja:<xc, das primäre Prisma 



DigmzedbyGoOgle 



30 



oder Prisma erster Ordnung (Fig. 33) mit 6 primären Seitenkanten, 
und <kP2 = a : 2a : 2a : ooc das sekundäre Prisma oder Prisma 
zweiter Ordnung mit 6 sekundären Seitenkanten (Fig. 34). 

Hierzu kommt dann noch das basische Finakold OP 
= cod : cca : Goa : c oder a:a:a:Oc 



Fig. 33. Fig. 34. 

§ 36. Übersicht der hexagonalen Formen. Das folgende 
Schema vereinigt die sieben Arten von Formen des hexagonalen 




Der einzige Unterschied gegenüber der Bezeichnung der tetra- 
gonalen Formen besteht darin, dass bei den Pyramiden und Prismen 
zweiter Ordnung hier w = 2, dort n = cc ist. 



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VII. Kapitel. 

Das reguläre System. 

§ 37. Die Aclitundvierzigflächner. Durch die neun 
Symmetrieebenen, welche sich hei den Erystallformen, denen man 
drei gleichwertige Axen, von denen jede auf den beiden anderen 
senkrecht steht, zu Grunde legen kann, ergeben, wird der Raum 



Fig. 35. 

in 48 gleiche Teile geteilt. Eine Fläche, welche in einem solchen 
Banmteil erscheint, wird der Symmetrie entsprechend also im ganzen 
48 mal auftreten, und zwar in jedem Oktanten sechsmal Diesen 
allgemeinen Fall stellt eine Fläche dar mit dem Axenverhältnis 
a:na: ma. Die sechs Flächen in dem Oktanten Tom, rechts, oben 
heissen dann, wenn wir zur Bezeichnung der Richtungen die Buch- 
staben Ä, B und C wie im rhombischen System beibehalten, A^BnCn^ 
ASn>G„, A,£,G„, A^B^C„, A^B„C, und ^„B^O,. In Fig. 35 
sind diese sechs Flächen mit ihren Schnittlinien gezeichnet. Hierbei 
zeigen sich dreierlei Ecken, in denen die Kanten zusammenstossen. 
Die Punkte auf den Hauptaxen werden oktaedrische Ecken 
genannt. In jeder der Axenebenen fallt in der Zeichnung eine Ecke 
auf die den Winkel der Hauptaxe halbierende Zwischenaxe, ent- 
sprechend den sekundären Basisecken im quadratischen System (und 



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32 



wie diese mit den Koordinaten x = y ^= ■ - , ä = oder wie bei R' 

™' !< = » = -J^ = T^T = 1'^= »)• 

Diese Ecken werden rhombische Ecken genannt, in jede 
Äxenebene fallen 4 derselben, im ganzen giebt es also deren 12. 

Endlich schneiden sich sämtliche Schnittlinien von je zwei Ebenen 
auf der durch die Mitte des Oktanten führenden sog. trigonalen 
Zwischenase in einer trigonalen oder hexaedrischen Ecke, deren 
es also im ganzen 6 giebt. 

Die Koordinaten dieser Ecke, als deB SchnittpunkteB der Linien AiB'" 
und Ä^If berechnet man ans der aus den reciproken Entferoungen der Ettd- 
pnnkte dieser Linien gebildeten Determinante. 

Die Entfernung OR' = .5-X — ist die des Quadrats mit der Seite • 

B'" ist dei Schnittpunkt Ton BnCm und BniC», dessen Koordinaten ans der 

Determinante "7 '>erechnet, gleich -^ ^ = -j j- = — — — sind, also ist 

OB"' = ^^. 

Die Determinante heiast also: 



»-Va 



iB sich foi die Koordinate x nach der Formel 



"'(" + l)-("' + ") 



«(„ + 1)_M(M + «) «„ + « + « 

-Vi «-Vi 
1 
in anderer Form , , i _i_ i ergiebt 

Die Koordinaten y und * sind ebenso gross. 

In Fig. 36 ist die vollständige von 
48 ungleichseitigen Dreiecken begrenzte 
Form mit dem Axenverhältnis: 

a:na: ma = o : '/j » ^ 3 a, 
ftlr welche man abgekürzt das Zeichen 

mOn= 30'/, 
schreibt, dargestellt. (Q ist die Ab- 
kürzung für die Grundform des regu- 



Fig. 86. 



lären Systems, das Oktaeder.) 



DigmzedbyGoOglt, 



— 33 — 

Die heiaedrische Ecke Z* hat bei m =s 3, n = '/^ die. Kooidinaten 
X = y = g ^ —, friid also geftinden 4'/] Quadrfttseiten nach oben, 4'/} iMch 
rechte and l'/j in der Richtung nach totd, d. h. l'/i nach link«, ■/: nach nnten. 
S" hat die Koordinaten y = z = >/„ abo — • 9 = &y nach oben, 5*/, nach rechts. 
Die Koordinaten aller übrigen Ecken werden durch Vertansdiaog der Yorzeichen 
erhalten. 

Die Krystallfonn mOn, welche Achtundvierzigflächner 
(Hexakisoktaeder) heisst, hat dreierlei Kanten, 24 mittlere oder 
oktaedrische verbinden die oktaedrischen Ecken mit den rhombischen, 
24 kürzere oder hexaedrische verbinden die rhombischen Ecken mit 
den hexaedrischen und 24 längere oder dodekaedrische Kanten ver- 
binden die hexaedrischen Ecken mit den oktaedrischen. Die am 
häufigsten vorkommenden Achtundvierzigflächner sind 3 7ii 402 
und 5 078. 

Aus den Achtondvierzigfläcbaem, welche den allgemeinsten Fall 
darstellen, entstehen besondere Formen, wenn zwei oder mehr Flächen 
in eine Ebene fallen. 

Hierbei sind folgende drei HauptföUe zu unterscheiden; 1) m 
= H 2) « = 1 3) »t = 00. 

§ 38, Die Ikositetraeder. Bei 
m^ n fallen je zwei in einer längeren 
(dodekaedrischen) Kante zusammenstos- 
sende Flächen in eine Ebene, z. B. A^ B^C„ 
und^,^(7„in die Fläche ;4iBmCL(vergl. 
Fig. 35). Hierbei fallen die längerenKan- 
ten weg, und statt sechs ungleichseitigen 
Dreiecken erseheinen drei Deltoide (Vier- 
ecke mit zwei Paar gleichen Seiten). Diese 
neue Form mit dem Axenverhältnis: Fig! 37. 

a:ma'.ma =: mOm 
heisst Ikositetraeder (Vierundzwanzigflächner) Fig. 37, hat zweierlei 
-Kanten, je 24 oktaedrische und hexaedrische und 26 Ecken (6+8 + 12). 

Die Formel für die rhombischen Ecken wird — ^TT ^^ ^ ^^ hexa- 

edriechen Ecken ,""" . = — ^-— . 

mm + m + m m + S" 

Die am häufigsten vorkommenden Ikositetraeder sind 2 02 
(Leucitoeder) und 303 (Leucitoid). 

§ 39. Die Triakisoktaeder. Bei » = 1 fallen je zwei in 
einer ktlrzeren (hexaedrischen) Kante zusammenstossende Flächen in 

Niei, KiyatallbBichnfbnng, 3 



Dniitizc-ctvCioogle 



— 34 — 

eine Ebene, z. B. J., £, C„ und A, B^ G„ in ^^ £, Cm. Die hesaedriscben 
Kanten und rhombischen Ecken verschwinden, und je zwei oktaedrische 
Kanten bilden eine Gerade (^,P, und A„B, = ^£,), so dass nur 
36 Kanten, 24 dodekaedrische und 12 oktaedrische, und 14 Ecken 
(6 achtflächige oktaedrische und 8 dreiflächige hexaedrische Ecken) 
bleiben. Diese neue, von 24 gleichschenkligen Dreiecken begrenzte 
Form mit dem Äxenverhältnis a:a:nta = mO heisst Triakis- 
oktaeder oder Pyramidenoktaeder (Fig. 38). 



Die Formel für die hezaedrischeii Eckea veretnfacht sich und wird x = g = x 
= 2 — j^. Die gewAhtüichaten Formen sind '/jO, 20 und 30. 

§ 40. Die Tetrakishexaeder. Wird m = cf>, so" fallen je 
zwei in einer mittleren oder oktaedrischen Kante zusammenstossende 
Flächen in eine Ebene, z. B. A^ B„ C„ und .4,XC__« in die Fläche 
A^B^Coo- Dabei fallen die oktaedrischen Kanten und die rhom- 
bischen Ecken weg, und je zwei hexaedrische Kanten in eine mit 
einer der 3 Axen parallele Gerade. Diese Form wird ebenfalls von 
24 gleichschenkUgen Dreiecken begrenzt, hat 36 Kanten (12 hexa- 
edrische und 24 dodekaedrische) und 14 Ecken (6 vierflächige okta- 
edrische und 8 sechsflächige hexaedrische Ecken) und heisst Tetra- 
kishexaeder oder Pyramiden Würfel a:na:(xa =(xOn (Fig. 39). 

Die gewShnlichsteD Arten sind ooOVii ""C^ '"'^ cd03. Die hexaedrischen 
Ecken haben die Koordinaten « = y s= z = — XT" 

Treten zwei von den drei hier besprochenen Hauptfällen zu- 
gleich ein, so entstehen gleichfalls neue Formen. 

§ 41. Das Rhombendodekaeder. h^I, m = co. Je 
vier in einer rhombischen Ecke zusammenstossende Flächen fallen 
in eine Ebene, A^B^Cm, AnB^C„, AnB^C—m und J,,B„C_« in die 



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— 35 — 

Fläche A,B,CaD, hierbei fallen (m = 1) alle hexaedrischen und 
(»1 = oo) alle oktaedrischen Kanten weg, und es giebt eine von 
12 Khomben begrenzte Form mit 24 i 
dodekaedrigchen Kanten und 14 Ecken ' 
(6 yierflächige, oktaedrische und 8 drei- 
flächige, hexaedrische Ecken). Diese 
Form (Fig. 40) mit dem Axenverhältnis; 

heisst Bhombendodekaeder (Zwölffläch- 
ner) und hat keine Varietäten. Die dode- 
kaedrischen Kanten haben von dieser 
Form ihren Namen. Fig. 40. 

Die hezaedriBchea Eoken bekommen die Koordinaten x = y = z= -^. 

§ 42. Das Oktaeder, m = m = 1. Sämtliche 6 Flächen, 
welche in einer hexaedrischen Ecke zosammenstossen und demselben 
Oktanten angehören, fallen in eine Ebene, A^B^C^^ Ä^B^G^, A^B^C^ 
u. s. w. in die Fläche A^B^Cj, Die hexaedrischen Kanten (« =: 1) 
und dodekaedrischen Kanten (m = ») fallen weg, und nur die oktaedri- 



Fig. 41. Fig. 42. 

sehen Kanten, von denen je zwei in eine Gerade fallen, bleiben. 
Bhombische und trigonale Ecken verschwinden, und es entsteht die 
Grundform des regulären Systems, das Oktaeder (Fig. 41) a:a:a=^0, 
von dem die oktaedrischen Ecken und Kanten ihre Bezeichnung haben. 
Die 8 Dreiecke sind gleichseitig. 

§ 43. Das Hexaeder, t» =: « = oo. SämtUehe 8 Flächen, 
welche in einer oktaedrischen Ecke zusammenstossen, fallen in eine 
mit zwei Axen parallele Ebene, z. B. A^B^C^. Die Form gleicht 
dem Pinakoidalkörper des rhombbchen Systems, hat keine oktaedrische 



DigmzedbyGoOgle 



— 36 — 

(m = oc) und keine dodekaedriscbe (m = n), sondern nur hexaedmche 
Kanten, von denen je zwei in eine Gerade fallen. Die von 6 Quadraten 
begrenzte Form heisst Wörfel oder Hexaeder (Fig. 42) a:<xa:<xa 

=; txOco, 

Die hexaedrischen Ecken, die wie die hezaedriachen Kanten luch dieaer 
Form beu&nnt sind, haben die Koordinaten x= y = z = i. 

§ 44. Uebersicht der regulären Formen. B 
Scbema vereinigt die 7 Formen des regulären Systems: 




aoOn 

An den Seiten des Dreiecks stehen die 3 Arten von Vierund- 
zwanzigflächner, tou denen es verschiedene giebt. Die Deltoidikosi- 
tetraeder nähern sich in der Form, wenn m klein wird, dem Oktaeder, 
wenn es gross wird, dem Würfel, die Pyramidenoktaeder stehen in 
ähnlicher Weise zwischen Oktaeder und Khombendodekaeder. Man 
ziehe z. B. die längeren Diagonalen in den Rhomben. 

Die PTramiden, welche den Flächen des Oktaeders bei mO 
aufsitzen, werden um so flacher, je kleiner m wü*d, und ihre Spitze 
^llt in die Grundfläche, wenn m = 1 wird. Die Pyramidenwürfel 
stehen zwischen Würfel und Rhombendodekaeder. Die Spitze der 
den Würfelflächen aufsitzenden Pyramiden fällt in die Basis bei n = <». 
Das Rhombendodekaeder erweist sich als eine Art Pyramidenwürfel, 
wenn man die kürzeren Diagonalen der Rhomben zieht. 

Jedem Vierundzwanzigflächner fehlt die Art von Kanten, welche 
nach der Form, welche an der gegenüberliegenden Ecke steht, benannt 
ist, also fehlen z. B. den Pyramidenwfirfeln die oktaedrischen Kanten. 
An den Ecken stehen die Zeichen der drei Formen, welche emzig 
in ihrer Art sind. 



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VIII. Kapitel. 
Die halbflächigen (hemiedrischen) Formen. 

§ 45. Halbflächner. Im Gegensatz zu den Tollflächigen 
(holoedrischen) Krystallfonnen, die tod der Gesamtheit aller Flächen 
mit gleichem Aienverhältnis, die in gleichen Raiunteilen liegen, be- 
grenzt Verden, zeigen sich bei gewissen Mineralien auch solche Formen, 
bei denen nur die Häl^ dieser Flächen erscheint. Von den durch 
die Symmetrieebenen gebildeten Baumteilen gehört nur die eine Hälfte 
zu einer Form, die Mdere Hälfte zu der unabhängig von dieser vor- 
kommenden Gegenform. Dabei erscheinen an den Enden gleicher 
Symmetrieaxen stets gleich viel Flächen, welche mit einander und 
mit den Axen beiderseits gleiche Winkel einschliessen. In den 
Systemen, bei welchen mehr als drei Symmetrieebenen vorhanden 
sind, kann die Zerlegung der holoedrischen Formen In Halbflächner 
auf mehrfache Weise erfolgen, wobei unter Wegfall einer kleineren 
oder grosseren Zahl von Symmetrieehenen der Grad der Symmetrie 
mehr oder weniger verringert wird. 

§ 46. Tetartoedrie. In denjenigen Systemen, in denen 
mehrere Arten von Hemiedrie möglich sind, kann ein Halbflächner 
nach der einen Art nochmals nach einem anderen Gesetz zerlegt 
werden, so dass Formen entstehen, welche nur den vierten Teil der 
holoedrischen Form zeigen. Man bezeichnet diese Erscheinung als 
Tetartoedrie. 

§ 47. Hemimorphie. Während bei der Hemiedrie und Tetar- 
toedrie die von geschlossenen Formen abgeleiteten Halbflächner und 
Viertelflächner ebenfalls geschlossene Formen sind, zeigt sich bei 
der Erscheinung, welche man Hemimorphie nennt, ein Zerfallen 
der holoedrischen, hemiedrischen und tetartoedrischen Formen in 
der Weise, dass die Flächen an dem einen Ende einer Symmetrie- 
axe alle bleiben, während die Flächen am anderen Ende dieser Axe 
sämtlich verschwinden. Die betreffende Symmetrieaxe wird auch 
Ase der Hemimorphie genannt 

Von den 32 verschiedenen Fällen der Holoedrie, Hemiedrie, 



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_ 38 — 

Tetartoedrie und Hemimorphie, welche möglich sind, wenngleich für 
einige derselben Beispiele in der Natur noch nicht gefunden sind, 
wollen im Folgenden nur die beschrieben werden, welche geschlossene 
Formen liefern. 

§ 48. Die Hemiedrie des rhombischen Systems. Denkt 
man sich von den 8 Flächen einer rhombischen Pyramide, welche 
den allgemeinsten Fall einer rhombischen Form darstellt, die Hälfte 
80 ausgewählt, dass an dem Ende jeder Äse statt vier Flächen 
nur zwei erscheinen, so ist jeder Oktant, in welchem eine Fläche 
bleibt, Ton drei Oktanten umgeben, in denen die Flächen weg- 
fallen und umgekehrt. Da, wo eine Fläche weg^t, treffen die drei 
anliegenden Flächen in einer neuen Ecke zusammen, welche einer 
£cke des Pinakoidalkörpers ent£pricht. Es entsteht hierbei eine von 
vier ungleichseitigen Dreiecken begrenzte keilähnliche Form (Fig. 43), 
welche man deshalb ein rhombisches Sphenoid nennt, dieselbe 
hat vier Ecken (z. B. S mit den Koordinaten x = — o, y =b,s=c) 




und sechs Kanten, welche in die Pinakoide fallen. Man bezeichnet 



diese Formen mit H 



mPn 



^, wenn die Fläche in 



dem Oktanten vom, oben rechts daran ist, die Gegenformen mit dem 
Vorzeiclien — . Die Prismen, Domen imd Pinakoide erleiden bei 
dieser Hemiedrie keine Veränderung, doch sind sowohl die Prismen, 
als die Domen hierbei als Arten von Sphenoiden anzusehen, bei denen 
m oder » den Grenzwert oo Migenommen hat. Bei den Sphenoiden 
sind alle drei Symmetrieebenen weggefallen. Zu jeder fläche fehlt 



DigmzedbyGoOgle 



die parallele Gegenfläcbe. Man nennt deshalb auch die sphenoidisehe 
Hemiedrie eine geneigtflächige Hemiedrie. 

§ 49. Die Hemiedrieeu des tetragonalen Systems. 
Im tetragonalen System sind drei Arten von Hemiedrie möglich, wie 
man leicht an einer ditetragonalen Pyramide nachweisen kann. Von 
je vier in einer sekundären Basisecke zosammenstossenden Flächen 
lassen sich nämlich je zwei nur auf die drei in den Fig. 44, 45 und 
46 dargestellten Arten auswählen. Entweder stossen je zwei Flächen 
in einer Basiskante, oder in einer sekundären Folkante oder in gar 
keiner Kante zusammen. Im ersten Fall bleibt nur die Haupt- 



Fig. 44. Fig. 45. Fig. 46. 

symmetrieebene als Symmetneebene besteben, im zweiten Fall bleiben 
die beiden sekundären Hauptschnitte Symmetrieebenen und im dritten 
Fall hört jede Symmetrie auf. 

§ 50. Die pyramidale oder parallelflächige Hemiedrie. 
Wenn je zwei in einer Baaiskante zusammenstossende Flächen einer 
ditetragonalen Pyramide wachsen oder versehwinden, so entstehen 
in den ausfallenden von je einem primären und einem sekundären 
Hauptschnitt begrenzten Raumviertel auf den Verlängerungen je zweier 
Basiskanten neue Ecken (vergl. Fig. 24), die man als Zwischenecken 
bezeichnen kann. 

Ea schneiden sich in einer solchen z. B. die Kauten A B_,viidA,BK. 



AuB der Determinante 





ieb 


liich« 


= 




n 


-±^ , 


ir 


-1 




»' 


' + !'' 


+ 1 


n 


= 


2 x = 


6 


_ 2 


•on 


IUI sich 


durch 


Ter- 



«bjGooglc 



— 40 — 

t&DBchen TOD « und y und deren Vorzeicheu die Koocdin&Ua der übrigen Ecken 
ebenfalla ergeben. 

Diese Punkte sind die Ecken eines Quadrats. Die YerbinduDg 
derselben mit den beiden Folecken liefert die Polkanten einer tetca- 
gonalen Pyramide dritter Ordnung oder einer Pyramide der 
Zwiscbensteltung, die sich von den Pyramiden erster nnd zweiter 
Ordnung nur durch diese Stellung unterscheidet und dadurch, dass 
die Nebeniaeu weder durch die Ecken noch durch die Mitten der 
Basiskanten gehen. 

Die von der Gesamtform abgeleiteten beiden Halbflächner kann 
man als ~ -^5-^ und — -^^-^ (Fig. 47} bezeichnen, je nachdem von 
den Flächen der einzelnen Oktanten oben die rechte oder die linke 
ausgebildet ist. Wird m = qd, so fallen 
je zwei in einer Basiskante zusammen- 
stossende Flächen in eine Ebene und es 
entsteht ein tetragonales Prisma der 
Zwischenstellung oder dritter Ord- 
nung: 

-^^-und--^-, 

dessen Kanten durch die Ecken der P}Ta- 
miden dritter Ordnung mit gleichem n 
gehen. 

Wird « = 1 , so wird a; = 1 und 

Fig. 47. y = 0, d. h. die Zwischenecke fällt mit 

der primären Basisecke zusammen, und 

die hemiedrische Form ist also mit der holoedrischen Pyramide erster 

Ordnimg Übereinstimmend. Das gleiche gilt für das Prisma erster 

Ordnung. 

Wird « = Qo, so wird x = -i = 1 und y = -, =— 1, 

d. h. die Zwischenecke fallt mit der sekundären Basisecke der Pj'ra- 
miden zweiter Ordnung zusammen, so dass auch diese Formen und 
das Prisma zweiter Ordnung bei dieser Art von Hemiedrie nicht ver- 
ändert werden. Dasselbe gilt für die Basis, die man als Pyramide 
mit der Ableitungszahl t» = ansehen kann. 

§ 51. Dieskalenoedriscbe (sphenoidische) oder geneigt, 
flächige Hemiedrie. Bei der zweiten Art von Hemiedrie wachsen 
oder verschwinden abwechselnd je zwei in einer sekundären Polkante 



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— 41 — 

zusammenstossende Flächen der ditetragonalen Pyramide (Fig. 45). 
In dem Oktaaten, in welchem die Flächen wegfallen, entsteht eine 
neue (sphenoidische) Ecke. 

Dieee ephenoidiBclie Ecke ist der Schnittpunkt einer sekund&ren Polkante 
mit der Sclmittlinie von den zwei den ausfallenden Flächen anliegenden Flächen 
(4jB_jjC_„ und ^_j,Bj C_jj,Fig.94), welche ebenfalls in den sekundärenHaupt- 
schnitt ftllt und von einer Polecke (C_^ nach einem Punkte auf der Zwischen- 

axe mit den Koordinaten x = y = — — — - führt. Die Koordinaten des Schnitt- 
pnnktes, bezogen auf die C-Ase und die Znischenajce OR ergeben sich denmach 



1 ("-'> 



Die Koordinate in der Richtung der 



C-Ase wird 2 = , die in der Richtung der Zwischenaxe OR wird = Vi, 

d. h. die Eoordinat«n x und ;r sind gleich 1. Die sphenoidischen Ecken (S) 
liegen also abwechselnd unter oder über den Basisecken der Pyramiden zweiter 

Ordnung im Abstand . 

Verbindet man die vier sphenoidisehen Ecken unter einander 
durch sog. Mittelkanten und mit den Polecken, so erhält man (Fig. 48) 
einevonachtungleichseitigenDrei- 
ecken begrenzte Form, bei der die 
Mittelkanten nicht in einer Ebene 
liegen, wie die Basiskanten der 
Pyramide, und die darnach den Na- 
men Skalenoeder (von uKaXjiröt 
uneben) erhalten hat. Während 
die Tier Mittelkanten gleich sind, 
ist dies bei den Polkanten nicht 
der Fall. In jeder Folecke stossen 
vier Kanten zusammen, von denen 
zwei den sekundären Polkanten der 
holoedrischen Form entsprechen 
und stumpfere heissen, weil die ^'8- *8- 

Flächen an ihnen stuqipfere Winkel 

bilden, während die beiden anderen mit jenen abwechselnde schärfere 
Kanten bilden. In den vier sphenoidisehen Ecken stossen je vier 
Kanten zusammen, von denen immer nur zwei, die Mittelkanten, 
gleich sind. Die Basisecken fallen ganz weg, beziehungsweise in die 
Mitte der Mittelkanten oder auf die stumpferen Polkanten. Aus jeder 
Gesamtform lassen sieb zwei tetragonale Skalenoeder ableiten, die 



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man als + ~2~ "" sT 

in dem Oktaoten vorn, rechts, oben dabei ausgebildet sind oder 
fehlen. Die eine Form erscheint gegen die andere einfach um 90 • 
um die Hauptaxe gedreht, sie enthält die zu den Flächen der Gegen- 
form parallelen Flächen. 

§ 52. Die tetragonalen Sphenoide. Wird n = 1, wie 
bei den Pyramiden erster Ordnung, so fallen je zwei in einer sekundären 
Polkante zusammenstossende Flächen des tetragoualea Skalenoeders 
in eine Ebene. Die sekundären Polkanten fallen weg, und je zwei 
der schärferen Polkanten fallen in eine Gerade, die durch die Haupt- 
axe halbiert wird. Polecken sind nicht da. 

Die 8 pheDoidischea Ecken bekommen die Eoordmaten3:=y=+I, z=+mc. 



Fig. 60. 

Hierbei entstehenvonje vier gleichschenkligenDreiecken begrenzte 
Sphenoide + -^; Fig. 49 zeigt ein solches, bei dem die Polkanten 
stumpfer ^nd als die Mittelkanten und welches deshalb ein stumpfes 
genannt wird. Fig. 49 stellt ein spitzes Sphenoid in der Stellung 
der Gegenform dar, es ist im Gegensatz zu dem ersteren ein von 
einer spitzen Pyramide abgeleiteter Halbflächner. 

Die übrigen Formen des tetragonalen Systems erleiden bei dieser 
Art von Hemjedrie keinerlei Veränderung. Wird m = oo , so wird 
e = 0, und die sphenoidische Ek;ke föUt mit der Basisecke der holoe- 
drischen Pyramide zweiter Ordnung zusammen. Wird m = od , so 
fallen <lie sphenoidischen Ecken in das Unendliche, d. h. die Mittel- 
jkanten und die stumpferen Polkanten verwandeln sich in die zu der 



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(7-Äxe parallelen Seitenkanten der Prismen. Jede Prismenfiäche, jede 
Flache der Pyramiden zweiter Ordnung und der Basis gehört zwei 
oder vier Oktanten zugleich an, und fällt deshalb auch dann nicht 
fort, wenn die Flächen der einzelnen Oktanten wegfallen. 

§ 53. Die trapezoedrische Hemiedrie. Wenn, wie in 
Fig. 46, die in einzelnen von den Symmetrieebenen gebildeten Baum- 
sechzehDtel fallenden Flächen abwechselnd wachsen oder verschwinden, 
derart, dass jede verschwindende Fläche von drei wachsenden umgeben 
ist, so bilden diese drei in dem betreffenden Raumteil eine neue Ecke, 
die in keine Synunetrieebene ^t. Es giebt acht solche (trapezoe- 
drische) Ecken; verbindet man dieselben unter sich und mit den Pol- 
ecken, so entstehen Formen, welche von acht Trapezoiden begrenzt 



werden und d^hfüb Trapezoeder genannt werden. Man kann diese, 
Fig. 51 und 52, als rechte und linke r — „— und I - " ■ „ - " - unterscheiden, 
je nachdem die Flächen auf der rechten oder der Unken Seite der 
primären Polkanten (von der Basisecke ans gesehen) zur Ausbildung 
gelangen. {Anm.: In der Fig. 51 und 52 sind die Bezeichnungen 
verwechselt). 

Die Trapezoeder haben acht gleiche Polkanten und acht auf- 
und absteigende Mittelkanten, von denen vier durch die primären 
fiasisecken und vier durch die sekundären Basisecken der ditetra- 
gonalen Pyramide halbiert werden und deshalb als primäre und sekun- 
däre Mittelkanten unterschieden werden können. Die primären Mittel- 
kanten gehen bei den linken Trapezoedem von links unten nach rechts 
oben, die sekundären von links oben nach rechts unten, bei den 
rechten Trapezoedem ist es un^kehrt. Die beiden Trapezoeder 



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— 44 — 

lassen sich daher auch durch Drehung nicht ineinander aberfOhren 
und besitzen keine Symmetrieebene. Man nennt derartige hemiedriache 
Formen enantiomorph. Da bei allen Übrigen tetragonalen Formen 
die einzelnen Flächen mehr als einem einzelnen Baumsechzentel an- 
gehören, so können sie auch bei dieser Art von Hemiedrie eine 
Veränderung nicht erfahren. 

§ 54. Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier 
Ebenen von gleicher Centraldistanz. 

Da die in einer trapezoedrischen Ecke zasammenstoBseDden Kanten nicht 
in die Aienebenen fallen, und die Koordinaten dieser Edcen also auch mclit in 
der Weiae, wie bei den übrigen bis hierher Torlconunenden Ecken aus den Axen- 
abschnitten zweier dieselben Äxen schneidenden Qeraden bestimmt werden können, 
so liegt es nahe eine allgemein giltige Lösimg der Aufgabe, die EoordiiLaten 
des Schnittpunktes dreier sich schneidenden Ebenen zu bestimmen, zn suchen. 

Nach § 4 gilt fllr die Koordinaten eines Punktes, der auf einer Ebene 
AiBiCi mit den Äienabschnitten OÄ^, OB,, OC, liegt, die Gleichung: 

OAi ^ OB, ^ OC, ~ 
Setzt man fOr die redproken Werte der Axenabschnitte die Werte 

a, = - - b. = -pTS- Ci = „„ , 80 heisBt diese Gleichung: 

U^l OJSi OC, 

Liegt der Punkt zugleich auf zwei anderen Ebenen AjBjCf und ^,£, C„ 
80 gelten anch die Gleichungen: 

a,« + b,y + c,i = l 
nnd a,« + I^j' + c,z= L 

Die Auflösung dieser drei Gleichungen ergiebt die drei unhekaonten 
Koordinaten: 

__ bjC, — b, Ct -f *^ < 'i ~ ^ 1 *^ + \'^i — ^1^1 

aihjCj — a,b,Cj -{-AjhfCi — aib[C, -|-a,b|C] — a,b}C, 
_ ^Cj.— »t<^|.+ «iCi — ftiCi + a , c , — a|C, 

'i*'j <V — *i "1 "^i + ^ W "i — *j ''i *^ + *i t*! '^1 — *t *•) ''t 
_ ajbi — a , bi 4* ^\ — »iN + ^1**! — ^ 1 ^1 
~ a,biC, — ii,b,c, -|-a,bjCi. — ajb,C) + a,b,Ci — a,b,c, 
Der Nenner iBt in allen drei Äusdrackea derselbe und eoth&lt alle sechs mög- 
lichen Frodokte ans drei Faktoren, von denen jeder aus einer anderen der drei 
Gleichungen und jeder der Koeffident einer anderen ünbekannteD ist. Von diesen 
Produkten sind diejenigen positiv, bei denen die Indices in der richtigen Reihoi- 
folge 12312 stehen, und die anderen negativ, also-l-aibic, und — atb^Cj. 

Man nennt einen solchen Ausdruck eine Determinante dritten Grades und 
schreibt sie (vergL § 2): 

I a, b, q I 
a,b,c,| = Z±a,bic, 
|ft.b,c, I 
Den Z&hler von x findet man, wenn man in dem Nenner alle Elemente der 
ersten Kolonne, also alle a gleich 1 setzt, den Zahler von y und s, wenn man 



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dasselbe mit den Elementen der zweiten und dritten Kolonne tbut Dabei erscheinen 
in den Zählern je drei Differenzen von zwei Produkten, welche in dem Nenner 
mit demselben Faktor moltipliciert vorkommen. Man nennt diese Differenzen die 
Snbdeterminanten. So gehOrt z. B. zn dem Element % die Subdetemünante 
b,c, — bjCi 

zn a, gehört . * ** = r±b,c, = o, u. b. w. 
Hiernach lassen sich die Ausdrucke wesentlich einfacher schreiben; 

X = "< + "> + "i _ »r + «1 + "i 
jr+:a,b,c, a, B, + ajn, + a^a^ 

i±a,bjc, 

,_ ri+n + r» 
r±a,b,c, 

Multipliciert man von den drei Gleichungen für die drei Ebenen die erste 
mit a„ die zweite mit a, und die dritte mit «, und addiert dieselben, bo heben 
sich alle Glieder mit y und s auf und man erhält nach Heraussetzen des Faktors x 
nnd Division durch seinen KoefGcienten den obigen Wert für x, und auf ähnliche 
Weise die Werte für y nnd 2. 

§ 55. Die trapezoedrischea Ecken. 

Als Beispiel für die Anwendung obiger Gleichungen möge die Berechnung 
der Koordinaten des Schnittpunktes der drei in einer trapezoedrischen Ecke 
(E in Fig. 52) zusammenstossenden Ebenen AiB—nCm,AnB^Cm und AiBnC^m 
diaien. Die Detetminante der reciproken Axenabschnitte heisst dann: 

/ 

O, Sj Uf 



^ 2(>. + l) 



Daraus ergiebt sich x=l. (Um die Subdeterminanten ft, ft und 



fii zu finden, schreibe man die erste Kolonne hinter die dritte nnd verfahre w 
«„"„«.). A= -r-: + ~—, h = -—T~^^fi* = —irr - 



daraus 


y 


— 


^ 


(" + !) ~ 


« + 






Ti 


= 


1 
1? 


-1,7,= 


1 

n 


1 




* 


= 


- 


«- - I) 


ffiC 




daraut 








.H 


.(.+« 


»+r 



«bjGooglc 



— 46 — 

In Fig. 62, wo » = Vt iuiK«Himiiien ist, wird demoach der Punkt E ge- 
funden , wenn man vom vorderen Endpunkt der Axe (o; = 1) — der Axenlftnge, 
also -^ Qnadrataeiten nach rechte nnd -rr- der Länge tne = 12, also P/j Qua- 
drataeiten, nach oben geht. 

Bei « = 1 wird y und * = d. h. die trapezoedmche Eclce fällt mit der 
primären BaBisecke zusammen. Bei n ^ ao wird y ^ x = 1 und < ^ 0, d. h. die 
Ecke fällt mit der sekundären Baaisecke zusammen. Bei mc ^= ro wird « = od 
d. h. die Kanten sind zu der C-Aie parallel (vei^l. § 50). 

Anm.: Eine vierte Art von Hemiedrie des tetragonalen SystemB scheint 
möglich zu sein, bei der je zwei in einer primären Falkante lusammenstosBende 
Flächen der ditetragonalen PTramide wachsen oder verschwinden. Da mau aber 
die Nebenaxen nnd Zwischenaxen in diesem System beliebig umtauschen kann, 
so ist diese Art von Hemiedrie mit der sphenoidischen ttbereinstimmeud. 

§ 56. Die Hemiedrien des hexagonalen Systems, Die 
Hemiedrieo des hexagonalen Systems eDteprecheo vollkommen denen 
des tetragonalen Systems. Aach hier lassen sich von den vier in 
einer sekundären Basisecke zusammenstossenden Flücben der znölf- 
seitigen Doppelpyramide je zwei auf drei Terschiedene Arten aus- 
wählen. Entweder stossen zwei Flächen in einer Basiskante, oder in 
einer sekundären Folkante oder nur in der Ecke zusammen. Im 
ersteren Fall erhält man die parallelflächige oder pyramidale, im 
zweiten Fall die skalenoedrische (rhomboedrische) und im dritten Fall 
die trapezoedrische Hemiedrie, dabei bleibt nur die Hauptsymmetrie- 
ehene als Symmetrieebene oder die drei sekundäl'en Hauptschnitte 
bleiben Symmetrieehenen oder alle Symmetrie verschwindet. 

§ 67. Die pyramidale oder parallelflächige Hemiedrie. 
Wenn je zwei in einer Basiskante zusammenstossende Flächen der 
dihexagonalen Pyramide wachsen, so entstehen in der Verlängerung 
dieser Kante neue Ecken (vergl. Fig. 28), die weder auf den Neben- 
axen noch auf den Zwischenaxen liegen. 

Eine solche Ecke ist z. B. der Schnittpunkt einer Linie AmB, mit einer 

14 > I 

anderen AiBt, hat also die aus der Detenuinanle 1 ^_^ | zu berechnenden 
Koordinaten: I ■ I 

!e = + —^ — : — = + !L . „ = + _J! = + .^yi — iL 

-«-i j -«'-n + 1''' -i^ii_, - «i-M + l 

Für « = % wgieht sich * = + — , y = + — . Der Punkt E in Fig. 53 

bat X = -=; g = -=-, und wird gefunden, wenn man in der Richtung der einen 
Axe % nnd von da ab in der Richtui^ der anderen '/i ^^^ Länge geht. Wird 



.öbyGoogle 



— 47 — 

die F^or, wie es hier der Fall ist, in '/, der Grösse der anderen Figuren ge- 
zeicluet, so vereinfacht sich die Zeichnimg bedeutend, indem man von dem End- 
punkt einer Axe aus die halbe Länge der aaderen Axe abträgt. Die Kante 
schneidet dann natürlich auch die Kebenaxen in '/^ der einfachen Entfernui^, also 

W = -/..■ 

Durch Verbindung der sechs Zwischenecken mit den Polecken 
erhält man eine Pyramide der Zwischenstellung oder eine 
Pyramide dritter Ordnung, welche sich von den hexagonalen 
Pyramiden erster und zweiter Ordnung nur durch die Stellung unter- 
scheidet. Die aus einer Gesamtform abgeleiteten Halbflächner werden 
auch in diesem System als — " " und y —„—unterschieden. Py- 



Fig. 53. Fig. 54. 

ramiden dritter Ordnung können für sich allein nie vorkommen, sondern 
würden in diesem Fall als Pyramiden ' erster oder zweiter Ordnung 
aufeufaseen sein, da sie denselben Grad von Symmetrie besitzen, wie 
diese. Kommen sie aber mit anderen Formen zusammen vor, so ver- 
schwinden alle Symmetrieebenen mit Ausnahme der Hauptsymmetrie- 
ebene. Dasselbe gilt auch für die Pyramiden und Prismen dritter 
Ordnung im tetragonalen System. 

Wird m = CO, so fallen auch hier je zwei in einer Basiskante 
zusammenstossende Flächen in eine Ebene, und es entsteht ein Prisma 
dritter Ordnung oder ein Prisma der Zwischenstellung 
(Fig. 54 in '/a der gewöhnlichen Grösse), — ^— und y —^■ 



.öbyGoogle 



- 48 — 

Alle übrigen bexagonalen Formen bleiben bei dieser Art von 
Hemiedrie onverändert Bei m = 1 wird a: = 1 und y = 0, d. h. die 
Zwiscbenecke iailt mit einer primären Basisecke der Pyramiden erster 
Ordnung zusammen. Bei n = 2 wird x := y = -ö-, d. h. die Zwischea- 
ecke fällt mit der sekundären Basisecke der Pyramiden zweiter Ordnung 
zusammen. Die Flächen aller Formen mit Ausnabme der dihexa- 
goaalen, gehören wenigstens zwei der durch die gewöhnlichen Sym- 
metriebenen gebildeten Raumsecbstel an und werden deshalb durch 
diese Hemiedrie nicht verändert. 

§ 58. Die skalenoedrische oder rhomboedrische 
Hemiedrie. Wenn je zwei in einer sekundären Polkante zusammen- 
stossende Flächen der dihexagonalen Pyramide wachsen oder ver- 
schwinden, so entstehen sechs neue (rhomboedrische) Ecken, in denen 
Flächen aus drei einem ausfallenden Dodekanten (Raumzwölftel) 
anliegenden Dodekanten zusammenstosaen. 

Die Koordinaten der in einen sekundären Hauptaclmitt ftüleaden Ecke kann 
man in abnUcher Weise, wie dies mit den entsprechendeu Ecken im tetragonalen 
System geschali, beredmeD, oder nach der ia § 51 an- 
gegebenen Methode. Ee treffen z. B. in £ (Fig. 65) die 
Flächen J,B, Cm, A,B,Go A^BnC-m nnd AnS^C-m 
zusammen. Die für drei von diesen aus den reciproken 
AxenabachnittengebitdeteDetenniaantewardeetwalftulen: 



1 -- 



^ 3(n-I) 



Fig. 56. 



Fttr alle Punkte auf dem sekundären Hauptschnitt 
2 (n — 11 
itt x = !/. Da a, 4- "j + «"i = — ^ ' 8" "i"^ 

also a; =.y = — , d. b. die Ecke liegt wie im tetra- 
gonalen System über oder unter der sekundftten Basis- 
ecke der Pyramiden zweiter Ordnung und zwar, da 

Verbindet man die sechs rhomboedrischen Ecken tmtereinander 
durch auf- und absteigende Mittelkanten und mit den Polecken durch 
sechs schärfere und sechs stumpfere Polkanten, so erhält man von 
zwölf ungleichseitigen Dreiecken begrenzte Skalenoeder, die man 
als -j- -n — und — *"„" unterscheiden kann, von denen das eine 
gegen das andere um 180" verdreht erscheint 

DigmzedbyGoOgle 



Das in Fig. 55 gezeichnete Skalenoeder ist g— = — ■ — ^-^ in ^em 

halben MassBtab a rc = 5,2:4,5 = 1:0,866. Die ganze Länge mc = 13 '/r 
Sie rhomboedriscben Ecken liegen !■/] über oder unter den sekundären BaaiB- 
ecken, von denen die vordere da liegt, iro die zwdte Linie links von der nach 
vom gehenden Zwisclienaxe getroffen vird. 

§ 59. Die Rhomboeder. Wird « = 1, so fallen je zwei in 
einer stumpferen Kante zusammenstossende Fläclien der Skalenoeder 
in eine Ebene, und es entsteht als Halbflächner der Pyramiden erster 
Ordnung eine Ton secbs Rhomben begrenzte 
Form, die man Rbomboeder nennt (Fig. 56 
und 57). 

Die rhomboedrifictien Ecken bekoromen die 
Koordinaten a: = y ^ '/,,« = + —^. 

Die Rbomboeder beissen stumpf, wenn Fig. 66. 

der von den Polkanten gebildete Winkel es 
Ist, wie bei dem in Fig. B6 dai^estellten Rbom- 
boeder — 11=: — -5-1 dagegen spitz, wenn 
die Polkanten einen spitzen Winkel einschliessen, 
Fig. 57 bei 3 ii = + ^. 

Beide Zeicknungen sind wie Fig. 55 in halbem 
MaasBtab und auf dieselben Axen bezogen (Kalkspat 
a:c = l: 0,854 hier 1 : 0,866). 

Zwei von derselben Pyramide als Ge- 
samtform abgeleiteten Rbomboeder unterschei- 
den sieb nur durch die Stellung, doch pflegt 
man dasjenige Rbomboeder als positiv zu be- 
zeichnen, parallel zu dessen Flächen die voll- p- g, 
kommenste Spaltbarkeit vorbanden ist 

Unter Spaltbarkeit versteht man die Eigenschaft kristallisierter EOrper 
parallel au gewissen EiTStallflächen sich leichter teilen zu lassen. Senkrecht 
zu diesen Flächen ist die Kohftsion am geringsten. Im Gegensatz zd den in 
krjBtallographisch bestimmbarer L^e entstehenden ebenen Spaltnngsfl&chen 
sind die Bruchflftchen in nnregelmässiger Lage und nneben. 

Die hexagonalen Pyramiden zweiter Ordnung verändern sich 
bei der skalenoedrischen Hemiedrie nicht, weil jede Fläche zwei be- 
nachbarten Oktanten zugleich angehört. 

Die rhomboedrische Ecke ffüt mit der sekundären Baeisecke der FTra- 
mide zweiter Ordnung zusammen; fQr » ^ 3 wird die Koordinate 

Hiea, Sc;gtaUli«Bebieibimg. 4 

DigmzedbyGoOgle 



— 60 — 

Ebenso bleiben sämtliche prismatische Formen unverändert, weil 
jede Fläche derselben zwei in der Hauptsjmmetrieebene an einander 
stossenden Dodekanten angehört. 

§ 60. Bhomboeder der Mittelkanten. Das Bhomhoeder, 
dessen rbomboedrische Ecken mit denen eines Skalenoeders zusammen- 
fallen, und das deshalb auch die Mittelkanten mit diesem gemein bat, 
beisst das Bhomboeder der Mittelkanten dieses Skalenoeders. 

Das letztere wird aus ihm abgeleitet, indem man die Haopt- 
axe verlängert (vgl. Fig. 58). 

Ist m, Jt das Bhomboeder der Mittelkanten von — . — , so besteht die 
Gleichung _ m^e _ mc (3 — n) 



^ »»(2- 



; folglich iet E das Bhomboeder der Mittelkanten Ton 
— ^-^, dessen Tertikaiachse dreimal so gross ist. 
Man bezeichnet deshalb dieses Skalenoeder mit if,. 
Ist die allgemeine Bezeichnung der Skalenoeder 

«ii Rh, ^ — ö~~i wobei n, den Zahlenwert der Ver- 
TJelftltignug der Haaptsxe bedentet, also n, = — , so 

ergebt sich sus der obigen Gleichung », = — = ^ — 

2». 
der Wert f ür n = ■ ' - , 

~ n, P - "'- 
demnach bedentet + m, lU, so Tiel als + ' ' *■ + ' 



Fig. 58. 

Die Formen der skalenoedrischen oder rhomboedrischen He- 
miedrie, sowie die davon abgeleiteten tetartoedrischen und hemi- 
morphen Formen werden in der neneren Zeit vielfach in ein besonderes 
Krystallsystem, das rbomboedrische oder trigonale System, 



Während bei den eigentlichen hexagonalen Formen jede Fläche 
bei einer Drehung von 60 * um die Hauptaxe mit einer gleichartigen 
Fläche zusammenfallt, also bei einer vollen Umdrehong von 360' 
sechsmal, weshalb diese Axe eine sechszählige Symmetrieaxe*) 



*) In diesem Sinne heisst Sjmmetrieaxe jede Linie, um welche sich ein 
Polyeder um einen von 860' abweichenden Winkel so drehen l&Bst, dass jede 



.öbyGooglc 



— 51 — 

genannt wird, ist dies bei den skalenoedrischen und rhomboedrischen 
und den davon abgeleiteten Formen erst bei einer Drehung von 120 * 
der Fall, also dreimal bei einer vollen .Umdrehung, and die Haupt- 
axe nur dreizäblig (trigoaal). Bei einer Umdrehung um 60* 
verwandelte sich ein Skalenoeder oder Kbomboeder in die Gegenfonn, 
die man auch als Spiegelbild in einem parallel zu dem basischen Haupt- 
schnitt gehaltenen Spiegel erblickt. Durch Drehung um 60* und 
gleichzeitige Spiegelung nach der zur Axe senkrechten Ebene (Dreh- 
Spiegelung) kommt hiernach eine Skalenoeder- oder Bhomboederfläche 
ebenfalls in die Lage einer gleichwertigen Fläche. Man nennt in 
diesem Fall die Axe eine (sechszähl- 
ige) Axe der zusammengesetzten 
Symmetrie und die Ebene parallel 
der Basis, welche bei der skalenoedri- 
schen Hemiedrie nicht mehr Symmetrie- 
ebene im gewöhnlichen Sinne des Wortes 
ist, eine Ebene der zusammenge- 
setzten Symmetrie. 

§61. DiehexagonalenTrape- 
zoeder. Bei der trapezoedrischen He- 
miedrie wachsen die einzelnen Flächen, 
welche einem Raumvierundzwanzigstel 
angehören, das von einem primären, 
einem sekundären und dem basischen 
Hauptschnitt begrenzt wird, während die 
anstossenden Flächen verschwinden und 
umgekehrt. An Stelle jeder verschwin- 
denden F^be der zwölfseitigen Doppel- 
pyramide, der einzigen Form, welche 
bei dieser Art von Hemiedrie verändert 
wird, entsteht hierbei eine neue („tra- _. 

pezoedrische") Ecke. 

Die an Stelle von J, B« Qm tretende Ecke hat die Koordinaten 
,__2_ ^_ 2(n-l) mc(?—n)(n~ l) 

«+1'" n + 1 • n(n-)-l) 

Fläche desaelben in die L&ge einer anderen gleichwertigen Fläche gelai^t. Je 
nachdem dies bei einer vollen Umdrehung zwei-, drei-, vier- oder Bechsmal, also 
bei einem Winkel von resp. 180", 120", 90" oder ÖO* der Fall ist, heisst dum 
da> Faljeder symmetrisch nach einer zwei-, drei-, vier- oder sechszähligen 
Symmetrieaxe. 



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— 52 — 

Verbindet man die benachbarten trapezoedriscben Ecken unter 
einander und mit den zunächst gelegenen Polecken, so erhält mui 
12 Trapezoide, welche die darnach benannten hexagonalen Tra- 
pezoeder begrenzen. Von den 24 Kanten derselben sind 12 gleiche 
Polkanten und je 6 längere und kürzere trapezoedrische Mittelkanten, 
die abwechseln und entweder von den Nebenaxen oder den Zwischen- 

Die ZeicbnuDK (Fig. 59) stellt r " \ " dar, dabei wird « = -|-, y = -i, 
s = -^. Nimmt man, wie hier, den Magsstab = -s- der gewöhnlichen Grösse, 

fio Mit der Endpankt der nach vom gehenden Zwiechenaxe in den unteren Eck- 
punkt des dritten Quadrats links, wie bei der Pyramide erster Ordnong. Geht 

man von da -^•-7- = -zr d«c halben Axenlünge also -»--S'/t = l^-^r nach links 
8 a 15 

nnd rechts und von da -r^ . ^ . 27 = -^ nach oben und unten , so hat man die 

tiapezoed riachen Eckpunkte. Die fkbrigen findet man ia ähnlicher Weise, indem 
man auf den anderen fiasiskanten der Pyramide erster Ordnung von der Mitte 

ans Va ihrer Länge nach beiden Seiten abträgt. Selbstrerständlich ist auch die 
Aze c auf -^ zu verkflrzen, also bei a:e = 10,4 : 9 für m =? 8, mc = 27 ist 

dieselbe — ^ — = 22Vi. Die Figur soll nur eine in manchen Fällen praktische 
Vereinfachni^ beim Zeichnen erläutern, kann natorlich aber auch in jeder an- 
deren Grösse gezeichnet werden. Die Wahl der Axeneinheit ist vollkommen 
willkürlich, wird aber doch immer so zu wählen sein, dass die Zeichnung, die ja 
doch mit die Anschaaimg vermitteln soll, möglichst leicht zu stand zn bringen ist. 

Die beiden Trapezoeder lassen sich auch durch Drehung nicht 
in einander überführen und sind also „enantiomorph". 

Alle übrigen Formen bleiben bei dieser Art Ton Hemiedrie 
völlig unverändert, da bei allen die Flächen mehreren Raumvier- 
undzwanzigstel zugleich angehören. 

Dasselbe ergiebt sich aus einer Betrachtung der Formeln fflr die Koordi- 
naten der trapezoedriscben Ecken; denn bei n = 1 nirda; = 1, y und« = 0, bei 

» ■= 2 wird X = if =s — , z ^ 0, d. h. die Ecken fallen mit den primären oder se- 
kundären Basisecken zusammen. Bei m ^ 00 wird auch z = a>, und die Mittel- 
kanten verwandeln sich in primäre und sekundäre Seitenkanten. 

§ 62. Die ditrigouale Hemiedrie. Ausser den hier be- 
sprochenen drei Arten von Hemiedrien ist noch eine vierte Art 
möglich, von der jedoch Beispiele in der Natur bis jetzt noch nicht 
aufgefunden sind. Denkt man sich, dass an einer dihexagonalen 
Pyramide je vier an einer primären Basisecke zusammenstossende 



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_ 53 — 

Flächen wachsen, die an der folgenden gleichen Ecke verschwinden, 
in welchem Fall dann auch an dem einen Ende einer Nebenaxe die 
Flächen waclisen, während sie an dem entgegengesetzten Ende der- 
selben verschwinden, so entsteht .eine ditrigonale Pyramide, deren 
Querschnitt ein gleichseitiges Sechseck mit abwechselnd grösseren 
und kleineren Winkeln ist, dessen Eckpunkte auf den Kebenaxen 
einerseits in der einfachen Entfernung, andererseits in der nfachen 
Entfernung vom Mittelpunkt liegen. Die durch die Zwischenaxen 
gelegten Ebenen hören dabei auf Symmetrieebenen zu sein. Wird 
n = l, so wird der Halbflächner gleich der holoedrichen Form iiti*, 
wird » = 2, so entsteht eine trigonale Pyramide, deren Querechnitt 
ein gleichseitiges Dreieck ist, dessen Eckpunkte auf die 'Nebfnaxen 
und zwar in die Entfernung 2 a vom Mittelpunkt fallen. Bei iw =; oo 
verwandeln sich die Pyramiden in ditrigonale und trigonale Prismen. 
Das Prisma erster Ordnung bleibt unverändert, ebenso die Basis. 
Formen von dieser Art von Hemiedrie würden wie die der skale- 
noedrischen Hemiedrie zum trig'onalen System zu rechnen sein. 

Der Fall, dass an einer sekundären Basisecke sämtliche Flächen 
wachsen resp. verschwinden, stimmt mit dem eben Besprochenen über- 
ein, da die Zwischenaxen bei einer Drehung imi 30* zu Nebenaxen 
gemacht werden können. Die Bezeichnung aller übrigen Formen 
müsste alsdann entsprechend geändert werden. 

§ 63. Die Hemiedrien des regulären Systems. Auch 
im regulären System sind drei Arten von Hemiedrie möglich. 



F«. 60. Fig. 61. Fig. 62. 

Von den 48 durch die Symmetrieebenen gebildeten Kaumteilen 
lässt sich eine Hälfte so ausw^len, dass je zwei in einer Haupt- 
symmetrieebene (Fig. 60), oder je zwei in einer gewölinlichen Sym- 
metrieebene zusammenstossende Raumteile (Fig. 61) zu derselben 
Form gehören, oder auch so, dass alle nicht einander anliegende 



DigmzeäbyGoOgle 



— 54 — 

Raumteile (Fig. 62) zu derselben Form gehören. Im ersteren Fall 
bleiben die Hauptschnitte SymmetrieebeDen, im zweiten Fall bleiben 
die gewöhnlichen Symmetrieebenen als solche bestehen, und im dritten 
Fall fallen alle Symmetrieebeoen weg. Die erstere Art liefert parallel- 
flächige Formen und entspricht der pyramidalen Hemiedrie, bei der 
zweiten wachsen oder verschwinden alle Flächen, welche demselben 
Oktanten angehören, und es entstehen geneigtflächige Formen, wie 
bei der skalenoedrischen oder sphenoidischen Hemiedrie, und die 
dritte Art liefert enantiomorphe Formen, wie die trapezoedrische 
Hemiedrie des tetragonalen und hexagonalen Systems. 

§ 64. Die pentagonale (parallelflächige) Hemiedrie. 

Die Dyakisdodekaeder. Wenn von den Flächen der Achtund- 

vierzigflächner, die den allgemeinsten Fall im regulären System dar- 

stellen, je zwei in einer Hauptsymmetrieebene, also in einer okta- 

edrischen Kante, zusammenstossende 

Flächen wachsen oder verschwinden, so 

entstehen in der Verlängerung dieser 

Kanten neue „pentagonale" Ecken F 

(Fig. 63) (vgl. Pi, Pa, P» in Fig. 35), in 

denen je 4 Flächen zusammentreffen, 

z. B. J..B,a., A, £.G-„, A™£, Cn 

und A«S^ C-n. 

Die Kanten ^ Bn nnd ^»B, schneiden 
rieh in dem Pankt mit den Koordinaten 
F.,. 63. . = "J;-;' , V = iij^. 

In jeder Azenebene liegen vier derartige Punkte, im ganzen 
12, die an Stelle der rhombischen Ecken, welche wegfallen, treten. 
Verbindet man diese Punkte mit den Endpunkten der Hauptaxe und 
den trigonalen Ecken, so entstehen 24 Trapezoide, welche die 
Dyakisdodekaeder (Zweimalzwölfflächner), auch Diploeder genannte 
Formen begrenzen. 

Man bezeichnet dieselben mit -|- I ""g " und — — g — 
oder auch + -^— •= -^{a:na: ma). 

Die Dyakisdodekaeder haben dreierlei Kanten, 12 längere, 12 
kürzere und 24 mittlere „pentagonale" Kanten. Das Dyakisdodeka- 
eder in der Stellung wie Fig. 63 wird auch als das linke, die Gegen- 
form als das rechte bezeichnet; bei dem ersteren ist von den beiden 



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_ 55 — 

oberes Fläcfaen im vorderes, rechten, oberen Oktant des Achtund- 
vierzigflächners die Unke, bei dem letzteren die rechte Fläche zur 
Ausbildung gelangt. Bei gewissen Dyakisdodekaedem verwandeln 
sich die Trapezoide in Trapeze. 

In diesem Fall mOsBen die penUgonale Ecke und die heiftedriache Ecke, 
welche auf der zoi l&ngeren pentagonalen Kante parallelen Linie liegen, gleichen 

Abstand Ton der Aienebene kaben, d. h. es musa x ^ ■ — ^ =: ■ - - — 



§ 65. Die Fentagondodekaeder, Bei m = n wird x =^ y 
= " , " ^ = -^ , d. h. die pentagonale Ecke fällt mit der rhom- 
bischen zusammen. Deshalb ist mOm und "■ g - und (nOca und 
^=^ dieselbe Form. Wird « = 1, so ist « = 0, y = 1; d. h. die 
Ecke fällt mit der oktaedrischen Ecke zusammen bei a> 0, mO 
und 0. Demnach bleiben nur noch die Halbflächner der Pyramiden- 
Würfel 00 On. Da bei m = 03 je 
zwei in einer oktaedrischen Kante zu- 
sammenstossende Flächen in eine Ebene 
ftülen, so entsteht ein ZwöMächner, 
bei dem die längeren pentagonalen 
Kanten fehlen. Je zwei kürzere Kan- 
ten, z. B. A, C™ und A^ C_ „ (allen 
in eine Gerade. Statt der Trapezoide 
entstehen symmetrische Fünfecke (Pen- 
tagone). Damach heissen diese Halb- 
flächner Pentagondodekaeder pj .^ 
(Fig. 64). Ihre Bezeichnimg ist 

H — -g — und ~. Welches von den Dyakisdodekaedem oder 

Pentagondodekaedem als positiv bezeichnet wird, ist an und für sich 
willkürlich, doch ist einmal die Stellung flir das eine bestimmt, so 
ist sie auch für alle übrigen gegeben. Die positiven Formen er- 
scheinen gegen die negativen um 90 ' verdreht Das Pentagondode- 
kaeder in der Stellung wie Fig. 64 wird auch als ein linkes, die 
Gegenform als ein rechtes Pentagondodekaeder bezeichnet. Eme 
genauere Bezeichnung wit etwa -j- f — i^- 1 oder — °°jP"- ist über- 
flüssig, da es nur eine Art von Halbflächner von oo On giebt 



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Die pentagonale Ecke P in Fig. 64 hat die Koordinaten x = = — 

y = 1, Ä = 0. 

§ 66. Die tetraedrische (geceigtAäcbige) Hemiedrie. Die 
Hexakistetraeder. Wenn bei einem Achtandvierzigfläclmer die 
Hälfte der Flächen derart Busgenählt wird, dass jede Fläche mit der 
ihr in einer gewöhnlichen Symmetrieebene anliegenden Fläche zu- 
gleich wächst oder verschwindet, so wachsen oder verschwinden zu- 
gleich alle Flächen, welche demselben Oktanten ai^ehören. In dem 
Oktanten, in dem das letztere der Fall ist, entsteht alsdann eine 
nene sechsflächige „tetraedrische" Ecke, in der aus den drei an- 
liegenden Oktanten je zwei Flächen zusammentrefFen. 

Die Ecke fftllt auf die trigonale ZKiBchenaie und iBt z. B. der Schnitt- 
punkt der verlängerten hexaedriachen Kante, in der ^, B. <7» imd AnB^ Cm 
zuaammenstoBaen, und der Schnittlinie von den am Punkt C— i liegenden Fl&chen 
AnB—„C—i und A—»BnC—i. ErBtere Linie schneidet also die Tertikalaxe 

in der Entfernung m und die Zwiachenaxe in der Entfernung — ^r—t '^'^ '^'^ 

«1« ^^^ 
tere die C-kia in der Entfernui^ — i und die Zwiachenase in der Entfernung — i- 



welche sich aua der Determinante 



Schnit^nnkte werden mit Hilfe der Determinante 



ergiebt. Die Koordinaten der 



— mit -t-m M — i_i_' ' ■'^'^ Koordinaten der tetraedrischen Ecke sind 

alle drei gleich dieaem Wert. Das Yorzeichen 
ist immer entsprechend zu indem. 

Verbindet man die vier tetraedri- 
schen Ecken unter sich und mit den 
benachbarten oktaedrischen Ecken, so 
erhält man 24 nngleichseitige Dreiecke, 
welche ein Hexakistetraeder (Sechs- 
malvierflächner (Fig. 65) -\- ^-^-^ und 

2~ ~ "2" (<* ■ *"^ ■ "•*) umschlies- 

Pig. 65. sen. Von den 36 Kanten sind 12 kür- 

zere gleich den längeren dodekaedri- 
schen Kanten der Gesamtform, 12 längere sind verlängerte hexa- 
edrische' Kanten und 12 mittlere tetraedrische Kanten verbinden die 



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— 57 — 

tetraedriscben Ecken mit den oktaedrischen. Die Anzahl der Ecken 
ist 14 (4 sechsflächige hezaedriacbe, 4 sechsflächige tetraedrische 
und 6 vierflächige oktaedrische). Die beiden von derselben Gesamt* 
form abgeleiteten Halbflächner unterscheiden sich nur durch ihre 
Stellung. In den Oktanten, in denen bei -\ — :^-~ hexaedrische Ecken 
sind, liegen bei — ^y^ tetraedrische und umgekehrt. 

§ 67. Die Trigondodekaeder oder Pyramidentetra- 
eder. Da bei m = n je zwei in einer dodekaedrischen Kante zu- 
sammenstossende Flächen in eine 
Ebene fallen (§ 35), so faUen 
diese Kanten weg, je zwei tetra- 
edrische Kanten fallen in eine 
Gerade unter Wegfall der okta- 
edrischen Ecken, und es entsteht 
als Halbflächner der Ikositetra- 
eder, ein von 12 gleichschenk- 
ligen Dreiecken (Trigone) be- 
grenztes Trigondodekaeder, auch 
Pyramidentetraeder genannt(Fig. 

66). + IL|i „„d - -L^. •■'«■ «• 

Von den 8 Ecken Sind vier dreiflächige, hexaedrische die der Ge- 
samtform. 

Die vier sechBflächigen tetraedriscben Ecken haben wie die des Würfels 
äie Koordinaten x = ff = x = a'+m " -^ =1. 

§ 68. Die Deltoiddodekaeder. 
Da bei « = 1 die in einer hexaedri- 
schen Kante zusammenstossenden Flä- 
chen in eine Ebene fallen (§ 36), so 
fallen diese Kanten weg, und es tritt 
an Stelle von je zwei ungleichseitigen 
Dreiecken der Hexakistetraeder ein 
Deitoid. Die von 12Deltoiden begrenz- 
ten Formen heissen darnach Deltoid- 
dodekaeder + ~, Fig. 67, sie sind die , ^''^- ^^■ 
Halbflächner der Triakisoktaeder. Von den 14 Ecken sind 4 dreiflächige 
hexaedrische, 4 dreiflächige tetraedrische (x = y = 0= a^'^i ) 



Dniitizc-ctvCioogle 



und 6 vierflächige oktaedrische. Von den Kantea sind 12 dodeka- 
edrische und 12 tetraedrische. 

§ 69. Das Tetraeder. Da bei m = as stete zwei oder 
mehr in anliegenden Oktanten liegende Flächen in eine Ebene fallen, 
80 werden diese Formen durch 
die tetraedrische Hemiedrie nicht 
verändert derart, dass ccOn, 
<x>0, OD 00 sowohl holoedri- 
sche, als hemiedrische Formen 
sein können. Es bleibt daher 
nur noch der Halbflächner des 
Oktaeders + -g , das Tetra- 
eder oder der Vierflächner, 
Fig. 68, begrenzt von 4 gleich- 
p. gg seitigen Dreiecken, sonst ähnlich 

den Sphenoiden. Die 4 „tetra- 
edrischen" Ecken liegen wie die abwechselnden Ecken des Würfels, 
die 6 „tetraedriscben" Kanten entsprechen den Diagonalen der 
Wtirfelflächen. Das Tetraeder ist die einzige hemiedrische Form, 
von der es keine verschiedene Arten giebt. 

§ 70. Die plagiedrische Hemiedrie. Werden von den 
48 Baumteilen, welche durch die 9 Symmetrieebenen der regulären 



Formen gebildet werden, je 24 so ausgewählt, dass keiner dem an- 
deren anliegt, so entstehen aus jedem Achtundvierzigflächner, der 



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59 



eiDzigen Form, welche bei dieser Art von Hemiedrie eine Veränderung 
erfährt, zwei Flagieder oder Gyroeder Vienrndzwanzigflächoer, 
welche von Fönfecken begrenzt werden, Fig. 69 und 70). An Stelle 
jeder ausfallenden Fläche entsteht eine neue „plagiedrische" Ecke, 
die hexaedriaehen und oktaedrischen Ecken bleiben unverändert, die 
rhombischen Ecken fallen weg. Von den drei verschiedenen Arten 
von Kanten verbinden 24 die plagiedriscben Ecken mit oktaedrischen 
(£,), 12 die plagiedriscben Ecken unter sich (%,) und 24 die pla- 
giedrischen Ecken mit den hexaedriscben (J,). Von der zweiten Art 
ist an jedem Fünfeck nur je eine vorhanden, durch deren Mitte die 
rhombische Zwischenaxe .geht. Vergleicht man die beiden von der- 
selben Gesamtform abgeleiteten Halbfläcbner, so sieht man, dass bei 
dem einen (Fig. 69) die Kanten ft, -ij it, sich bei jeder Flüche folgen, 
wenn man nach links geht, während bei dem anderen die Kanten in 
derselben Reihenfolge erscheinen, wenn man nach rechts, also im 
Sinne des Uhrzeigers geht. Die erstere Form nennt man das linke 
Flagieder l ~ä— , die letztere das rechte r — 5—. Die beiden For- 
men sind enantiomorph, wie die Trapezoeder. Bei dem ersteren sind 
in den positiven Oktanten die Flächen dieselben wie bei dem linken 
Dyakisdodekaeder, bei dem letzteren dieselben wie bei dem rechten. 

Die Koordinaten der pUgiedriBclien Ecke berechnet man mit Hilfe der ans 
den leciproken Ableitungazahlen dreier einander nicht anliegenden Fl&chen, z. B. 
AHB^Cm, ÄiBmCn, AiBnC-m gebildeten Determinante; für SOVi erh&lt 



* = J/4, y = */„ , z= %t. Die Figuren 69 nnd 70 Bind in V» der gewöhn- 
ücbcn GrfisBe gezeichnet, dann wird x = 1, 1/ = —, z = —. 

Alle übrigen Formen des regulären Systems erleiden bei der 
plagiedriscben Hemiedrie keine Veränderung, weil jede Fläche der- 
selben mehr als einem Kamnachtundvierzigstel angehört. 



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IX. Kapitel. 

Die Tiertelflächigen (tetartoetrischen) Fonnen. 

§ 71. Die tetartoedrischen Formen des tetragonalen 
Systems. Da die Tetartoedrie (§ 46) nur da vorkommea kann, wo 
mindestens zwei verschiedene Arten von Hemiedrie möglich sind, so 
sind im triklinen, monoklineu und rhombischen System tetvtoedrische 
Formen überhaupt ausgeschlossen. Im tetragonalen System wären 
bei den drei möglichen Arten der Hemiedrie bei gleichzeitiger An- 
wendung von je zwei derselben auch drei Arten von Tetartoedrie 
denkbar. Von diesen fallen jedoch zwei Arten weg, weil sie der &a: 
alle hemiedrische Formen geltenden Bedingung nicht genügen, wo- 
nach' an den Enden gleicher Axen stets gleichviel Flächen erscheinen, 
weiche mit einander und mit den Axen beiderseits gleiche Winkel 
einschUessen (§ 45). Bezeichnet man die 16 Flächen der ditetra- 
gonalen Pyramide oben und unten mit den Zahlen 1 bis 8, so würde 
12 3 4 5 6 7 8 
12 3 4 5 6 7 8 
die holoedrische Form bezeichnen. Bei der sphenoidischen He- 
miedrie zerfällt dieselbe in 

12. .56.. ,..34.-78 
. . 3 4 . . 7 8 """^ 1 2 . . 5 6 . . 
bei der pyramidalen Hemiedrie in 

1.3.6.7. ..2.4.6.8 
1 . 3 . 5 . 7 . °'"' . 2 . 4 . 6 , 8 
und bei der trapezoedrischen Hemiedrie in 

1.3.6.7. ,.2.4.6.8 
. 2 . 4 . 6 . 7 ""■' 1 . 3 . 6 . 7 . 
Werden nun zwei Arten von Hemiedrie gleichzeitig angewandt, so 
fallen alle Flächen weg, an deren Stelle bei der einen oder anderen 
Hemiedrie Punkte statt Zahlen stehen. Bei Anwendung der pyra- 
midalen und der trapezoedrischen Hemiedrie bleiben dann entweder 
vier Flächen der oberen oder vier Flächen der unteren Hälfte der 
holoedrischen Form übrig. Es würden also an dem einen Ende der 
Hauptaxe vier Flächen der Pyramide IIL Ordnung oder eines Tra- 



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— 61 — , 

pezoeders erscheinen, während an dem anderen Ende dieser Ase die 
entsprechenden Flächen ganz fehlten. Es wäre dies aber keine 
Tetartoedrie, sondern Hemimorphie einer hemiedrischen Form (vgl. 
§47). 

Bei Anwendung der sphenoidischen und trapezoedrischen He- 
miedrie bleiben die Flächen 
1 ... 5 , 



oder auch 



oder 



und 



Bei dem ersten Vierflächner lieisaen die Flächen ^, P, C», 
A-iB-nC„, A-iBnC-„ und ^,.B_.C„„, wie die Flächen 

eines rhombischen Sphenoids -f- ^g^i der zweite Vierflächner ent- 
spricht + ^^ , der dritte — ^!|^ und der vierte — '"^". In 

jedem Fall wären die gleichwertigen Nebenaxen in verschiedenen 
Entfernungen und unter verschiedenen Winkeln geschnitten, was der 
für alle Halb- und Viertelfläctmer geltenden Bedingung widerspricht 
§ 72. Die sphenoidische Tetartoedrie. Wendet man die 
sphenoidiscbe und pyramidale Hemiedrie gleichzeitig an, so bleiben 
die Flächen 

.1 . . . 5 . . . , .. 2 . . . 6 . . 
... 3. . .7. •"*«•■ . . .4. . .8 
oder auch 

..3. ..7. , ...4. ..8 
1 . : . 5. . .'"'' . 2. . .6 : . 
Jede ditetragonaJe Pyramide zerfällt hiemach in vier verschiedene 
Viertelflächner. Jeder derselben ist ein Halbflächner einer Pyra- 
mide dritter Ordnung , wobei* deren einzelne Flächen wachsen oder 
verschwinden. Dabei müssen wie bei der- sphenoidischen Hemiedrie 
einer Pyramide erster Ordnung Sphenoide entstehen, welche von den 
in § 52 (Fig. 49 und Fig. 50) besprochenen sich nur durch die 
Stellung unterscheiden, indem deren Mittelkanten nicht durch die 
primären Basiseckeo, sondern durch die Zwischenecken gehen. Man 
bezeichnet diese Formen als Sphenoide der Zwischenstellang 
oder Sphenoide dritter Ordnung mit den Zeichen + —^ r, 

D„.„ab,GoOglc 



Der erste Vierflächner wird gebildet von A, B, C7« , A^i B-n Cm, 
Ä-nSi C-m und A^B-\C-,n. Wird n = 1, so erhält man daraus 
die vier Flächen, welche ein Sphenoid ^ begrenzen, d. h. die Te- 
tartoedrie der Pyramide erster Ordnung ist mit der Hemiedrie der- 
selben übereinstimmend. Wird n ^ co , so entsprechen die vier 
Flächen den abwechselnden Flächen einer Pyramide zweiter Ordnung, 
bei deren Wachstum ein von vier gleichschenkligen Dreiecken be- 
grenztes Sphenoid entsteht, das sich von ^ nur durch die Stellung 
unterscheidet und als Sphenoid zweiter Ordnung bezeichnet 
werden kann. 

Koordinaten der Ecken sind 1, 0, mc. 

Das ditetragonale Prisma zerfäUt in zwei Prismen dritter Ord- 
nung, wie bei der pyramidalen Hemiedrie allein. Prisma erster Ord- 
nung, Prisma zweiter Ordnung und die Basis bleiben unverändert, 
wie bei der sphenoidischen und der pyramidalen Hemiedrie. 

§ 73. Die tetartoedrischen Formen des hexagonalen 
Systems. Die zwölfseitige Doppelpyramide, welche den allgemein- 
sten Fall einer hexagonalen Form darstellt, zerltillt bei den 3 Arten 
von Hemiedrie in folgender Weise: Bei der rhomboedrischen 
Hemiedrie sind die beiden Halbflächner 
1 2 . . 5 6 . . 9 10 . . . 3 4 . . 7 8 . . 11 X2 

. . 3 4 . . 7 8 . . 11 12 1 2 . . 5 6 ; . 9 10 . . 

bei der pyramidalen Hemiedrie 

1 . 3 . B . 7 . 9 . 11 . . 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 

1 ■ 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . . 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 

bei der trapezoedrischen Hemiedrie 

1.3. 5. 7. 9. 11. .2.4. 6. 8. 10. 12 

. 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 

Auch hier würden bei gleichzeitiger Anwendung der pyramidalen 
und der trapezoedrischen Hemiedrie stets nur sechs Flächen an dem 
oberen oder an dem unteren Ende der Axe G übrig bleiben, so dass 
also iKese Art von Tetartoedrie unmöglich ist, oder vielmehr als 
Hemimorphie der hemiedrischen Formen aufzufassen wäre. 
Bei gleichzeitiger Anwendung der rhomboedrischen und pyramidalen 
Hemiedrie oder der rhomboedrischen und trapezoedrischen Hemiedrie 
erhält man dagegen mögliche Arten von Tetartoedrie. 



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§ 74. Die trapezoedrische Tetartoedrie. Bei gleichzei- 
tiger Anwendung der rbomboedrischen und trapezoedrischen Hemiedrie 
bleiben folgende vier Tetartoeder: 

1...5...9. . . .2. ..6. ..10. . 

... 4 ... 8 . . .12 ' .. 3 ... 7 ... 11 . 



12 ... 3 ... 7 ... 11 
und 



1 ... 5 ... 9 . . . . 2 ... 6 ... 10 . . 

die man auch mit -\ ^— r, -\ — -j— i, ^- r und 7— ( 

bezeichnen kann. Je drei Flächen stossen in einer Ecke zusammen, 
in E in Fig. 71 z. B. die Flächen .4,5,0., A,B,C^m und 

Die Koordinaten dieser Ecke sind x = -- (2 — »), y = -g- (2n — 1), 
* = -|^(3-n)(2«~l). 

Man erhält sechs solche Ecken, drei oben und drei imten. 
Verbindet man diese unter sich durch drei schärfere nnd drei stum- 
pfere Mittelkanten, von denen die 
letzteren die verlängerten Mittel- 
kanten des Skalenoeders sind, und 
mit den Poiecken durch 6 gleich 
lange Polkanten, so entsteht ein 
von 6 Trapezoiden begrenztes sogen. 
trigonalesTrapezoeder(Fig. 71 
ist -|- '' ''' Z). Die rechten und 
Unken Formen sind enantiomorph, 
die entsprechenden positiven und 
negativen Formen nur durch die 
Stellung verschieden. _ 

Welche Veränderungen die 
übrigen holoedrischen Formen bei dieser Art von Tetartoedrie er- 
fahren, lässt sich am einfachsten aus der Lage der Eckpunkte in 
den Spezialfällen » ^ 1, n := 2 und m ^ oo ersehen. 

Bei « = 1 würd x = y = -^, s =^; d. b. die Ecke fällt 
mit der rbomboedrischen Ecke zusammen, und die tetartoedrische 
Form der Pyramide erster Ordnung mP stimmt mit der hemiedrischen 
Form mB vollkommen Überein. Das Gleiche gilt für die Tetartoedrie 
des Prismas erster Ordnung, die man vfie die Hemiedrie mit a>B 
bezeichnen kann. 



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_ 64 — 

Bei » = 2 wird x = 0, y = 2, « = 0; d. h. es fallen je zwei 
trapezoedrische Ecken in einem auf einer Nebenaxe gelegenen Punkt 
zusammen, nämlich dem Punkt, in dem sich zwei nicht benachbarte 



Fig. 73. , Fig. 73. 

Basiskanten der Pyramide zweiter Ordnung schneiden, es entstehen 
hierbei zwei sogen, trigonale Pyramiden mit drei gleichen Basis- 
kanten und sechs ebenfalls gleichen Polkanten, welche mit den in 
g 61 besprochenen Formen übereinstimmen. Man kann dieselben 
mit ^^-T— r und ^^ l (Fig, 72 und 73 in halber Grösse) bezeichnen. 
Wird m = CO , so verwandeln sich die 6 Mittelkanten der trigonalen 
Trapezoeder in 6 mit der Hauptaxe parallele Seitenkanten, welche 



Fig. 74. Fig. 75. 

die Nebenaxen abwechselnd in den Entfernungen 1 und n schneiden 
(vergl. Fig. 28); hierbei entstehen die ditrigonalen Prismen 
— j— l und — T— r, Fig. 74. Die stumpferen Winkel stimmen mit 
entsprechenden Winkeln an den primären Seitenkanten der zwölf- 
seitigen Prismen überein. 



DigmzedbyGoOgle 



— 65 — 

Wird m = QO und « = 2 , so verwandelt sich das ditrigonale 
Prisma in ein trigonales Prisma^^ l oder ^j— r, Fig. 75, das 
also die tetartoedrische Form des Prismas zweiter Ordnung darstellt 
und aus der trigonalen Pyramide entsteht, wenn m = oo ist. 

Das hexagonale Prisma erster Ordnung bleibt bei dieser Art 
von Tetartoedrie völlig unverändert, da aus jedem zwischen den pri- 
mären Hauptschnitten liegenden Baumteil eine Fläche bleibt. Auch 
die Basis bleibt unverändert. 

Eine besondere Eigentümhchkeit der trapezoedrisch-tetartoedri- 
schen Formen besteht darin, dass die Mebenaxen an ihren beiden 
Enden in verschiedenen Entfernungen und unter verschiedenen Win- 
keln von Flächen geschnitten werden können, bei dem trigonalen 
Prisma beispielsweise an dem einen Ende von einer Fläche recht- 
winklig, an dem anderen Ende in doppelter Entfernung von zwei 
Flächen unter Winkehi von 30 '. Die Formen sind also in der Bich- 
tung der Nebenaxen hemimorph. 

Da die Hauptaxe bei diesen tetartoedriscben Formen ebenso 
wie bei den rhomboedrischen, von denen sie abgeleitet sind, eine 
dreizählige Symmetrieaxe ist (vgl. § 60), so sind diese Formen, wenn 
man ein besonderes trigonales System annimmt, ebenfalls demselben 
zuzurechnen. 

§ 75, Die rhomboedrische Tetartoedrie. Bei gleichzei- 
tiger Anwendung der rhomboedrischen und der pyramidalen Hemiedrie 
entstehen folgende vier Formen: 

1...5...9.. . .2. ..6. ..10.. 



1...5...9... ' .2. ..6. ..10.. 

Man kann diese Yiertelfläcbner entweder von den Skalenoedem ab- 
leiten, indem man von den Fläcbenpaaren derselben oben die linken 
und unten die rechten Flächen wachsen oder verschwinden läast, oder 
auch von den Pyramiden dritter Ordnung, indem man die abwech- 
selnden Flächen derselben wachsen oder verschwinden lässt. Hierbei 
muss sich, da die Pyramiden dritter Ordnung von denen erster Ord- 
nung nur durch die Stellung verschieden sind, jedesmal ein Rhombo- 
eder ergeben, das sich von einem lUiomboeder mR nur durch die 
Stellung unterscheiden kann. 

Niea, KrjatKUbsichTelbiuiB. 5 



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— 66 — 

Je drei Flächen Bchneiden sicli dabei in einer rbomboedrischen Zwisclien- 

ecke, die Flächen Ä^B^Cm, AnB-,C-^, 4.B, C-m z. B. in dem Punkt B 

2« (2» — 1) 2« (3 — n) me 

Fig. 76 mit den Koordinaten x=^ („.^^ ij- ^ = 3(„t_B.|-i) ' ' = —3'. 

Da bei tt = 4 « = 4-, y = -s- wird, ist die Zeichnung der Vereinfachung halber 

in -^ der eigentlichen Grösse gezeichnet, so dass « = 1, y = -j- wird, z ist immer 

-^ der hier irilllfürlich anzunehmenden Axe e. 



Die von der zwölfseitigen Pyramide abzuleiteBden vier Rhom- 
boeder dritter Ordnung kann man bezeichnen mit -J — -j 

mPn r mPn l 



Wird w = 1, so wird a; = y = -g-, « = 5-, wie bei der 

hemiedriscben Form mB,. Es fallen aber bei » = 1 ein linkes und 
ein rechtes Rhomboeder dritter Ordnung mit dem Rhomboeder erster 
Ordnung -zusammen. 

Wird M = 2, so wird a: = y, y = 0, ^= — ^, d. h. die 
rhomboedrischen Zwischenecken fallen in die primären Hauptschnitte, 
statt wie dies bei den Rhomboedern erster Ordnung der Fall ist, in 
die sekundären Hauptschnitte. Man erhält so als tetartoedriscbe 
Form der holoedrischen Pyramide zweiter Ordnung oder auch als 
Halbflächner der bemiedrischen Pyramide zweiter Ordnung, die mit 
der holoedrischen Übereinstimmt, zwei Rhomboeder zweiter Ord- 
nung ^r^ — und -V- y (Fig. 77 in | der gewöhnlichen Grösse). 



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— 67 — 

Daa Vorkommen zweier Rhomboeder verschiedeDer Ordnung genügt 
zum Erkennen des tetartoedrischen Charakters einer Krystallform. 

Die tetartoedrischen Formen, welche von den zwölfseitigen 
Prismen abzuleiten sind, stimmen mit den Prismen dritter Ordnung, 
also der pyramidalen Hemiedrie tiberein, das eine wird von den un- 
geraden, das andere von den geraden Flächen begrenzt. Das Prisma 
erster Ordnung und ebenso das Prisma zweiter Ordnung werden bei 
der Tetartoedrie ebenso wenig wie bei der Hemiedrie verändert; 
dasselbe gilt auch für die Basis. 

Die rhomboedrisch-tetartoedrischen Formen gehören zum tri- 
gonalen System. 

§ 76. Trigonale Tetartoedrie. Eine andere Unterabteilung 
dieses Systems, welche aber in der Natur bis jetzt nicht nachgewiesen 
werden konnte, würde als Tetartoedrie bei gleichzeitiger Anwendung 
der ditrigonalen und der pyramidalen Hemiedrie aufzufassen sein. 
Bei der ersteren bleiben z, B. folgende Flächen 

1.. 45. .89. .12 

1 . . 4 5 . . 8 9 . . 12 
bei der letzteren dagegen 

1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 

1.3.5. 7.9. 11. 
bei gleichzeitiger Anwendung beider also 

I ... 5 ... 9 .. . 
1...6...9... 
Diese Flächen bilden eine trigonale Doppelpyramide, welche sich von 
den in Fig. 72 und 73 abgebildeten nur durch die Stellung unter- 
scheidet, und als trigonale Pyramide der Zwischenstellung oder dritter 
Ordnung zu bezeichnen wäre. Bei « = 1 geht dieselbe in eine tri- 
gonale Pyramide erster Ordnung über, deren Basisecken auf 
den Zwischenaxen (a; = 1, y = 1) liegen. Bei « = 2 erhält man 
die trigonale Pyramide zweiter Ordnung (Fig. 72). Bei t» = oo 
entsteht aus jeder trigonalen Pyramide das entsprechende trigonale 
Prisma. Die Basis bleibt unverändert 

§ 77, Die Tetartoedrie des regulären Systems. Da es 
auch im regulären System drei verschiedene Arten von Hemiedrie 
giebt, so ist anzunehmen, dass auch tetartoedrische Formen möglich 
sind. Vergleicht man nun die in den Figuren 60, 61 imd 62 dar- 
gestellten 48-Flächner unter einander, so ergiebt sich leicht, dass 
einerlei, welche von den drei Arten von Hemiedrie gleichzeitig zur 



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Anweadung kommeD, stets dieselben 13 Flächen \veiss bleiben, d. h. 
zur Ausbildung gelangen. Bei der plagiedriscben Hemiedrie sind in 
vier Oktanten dieselben Flächen weiss, wie bei der pentagonalen 
Hemiedrie, in den vier übrigen aber sind die Flächen schwarz, die 
hier weiss sind. Das gleiche ist bei der tetraedrischen Hemiedrie 
der Fall. Von den 24 Flächen der Flagieder und Dyakisdodekaeder 
bleiben die Flächen in vier Oktanten, während die in den vier an- 
deren ausfallen. In jedem Fall erhält man eine von 12 Flächen 
beerenzte Form, die man am einfachsten aus einem Hexakistetraeder 
ableitet, indem man die einzelnen Flächen desselben wachsen oder 
verschwinden lässt, derart, dass jede wachsende Fläche von drei ver- 
schwindenden umgeben ist. 

An Stelle jeder TcrBchwindenden Fläche ensteht hierbei eine neue „tetarto- 
edriBche" Ecke an Stelle von A, B» Cm, die von den Flächen A, £« Cn, AnB^ C^ 

und ^i B—m CL-B gebildete Ecke mit den Koordinaten x = 1, y ^ ^^ - 

, also bei — ~ a; = l,y = — , z = — 



. — ^^ '-. nlan bM Li 



Verbindet man diese 12 Ecken 
paarweise durch Kanten, weiche durch 
die oktaedrischen Ecken gehen und mit 
je einer hexaedrischen Ecke und einer 
tetraedrischen Ecke, so erhält man ein 
von 12 Fünfecken begrenztes „tetarto- 
edrisches Pentagondodekaeder" Fig. 78. 
Von der Gesamtform erhält man vier 
Tetartoeder, die man als + ^r^ »■' 
Flg. 78. + ^ ,, _ ?ü^ , „„d - ^»-^ l 

unterscheiden kann. Das rechte positive und das linke posisive und 
ebenso das rechte negative und linke negative Pentagondodekaeder 
sind enantiomorph , dagegen unterscheiden sich die beiden rechten 
und die beiden linken Tetartoeder nur durch ihre Stellung. 

Jedes tetartoedrische Pentagondodekaeder hat ausser den 12 
tetartoedrischen F^ken, an denen je 3 ungleiche Kanten zusammen- 
stossen, noch 4 dreikantige hexaedrische Ecken des entsprechenden 
Dyakisdodekaeders und 4 dreikantige tetraedrische Ecken, die ihrer 
Lage nach mit den tetraedrischen Ecken des entsprechenden Hexa- 
kistetraeders übereinstimmen. Kanten sind 6 + 12 + 12 = 30 vor- 
banden. 



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— 69 — 
Bei den übrigea regulären Formen stimmen die tetartaedrischen 
Formen mit den hemiedrischen Überein, es ist also ""j — = ^s— ein 
-Trigondodekaeder, -^ = -^ ein Deltoiddodekaeder, -^^-^ = ^^ 
ein Pentagondodekaeder, -r = -g ein Tetraeder, und Bhombendo- 
dekaeder und Würfel werden bei der Tetartoedrie ebenso wenig ver- 
ändert, wie bei den Hemiedrien. 



X. Kapitel. 

Kombinationen von Flächen mit ungleicher 

Centraldistanz. 

§ 78. Ungleiche Centraldistanz gleichwertiger Flächen. 
Alle im Vorhergehenden beschriebenen Formen stellen dadurch, dass 
für alle an denselben auftretenden Flächen dieselbe Centraldistanz 
angenommen wurde, gleichsam Idealgestalten dar, die in der Natur 
nur ausnahmsweise vorkommen. Bei den natürlichen Krystallen zeigen 
vielmehr auch die Flächen der einfachen Formen zwar gleiches Axen- 
verhältnis, aber sehr verschiedene Centraldistanz. Dabei bleiben zwar 
die Winkel, welche die einzelnen Flächen mit einander bilden, kon- 
sUmt, die Form dieser Flächen aber und die Mnge und Anzahl der 
Kanten, sowie Art und Zahl der Ecken ist sehr veränderlich, und 
erscheinen deshalb die natürlichen Krjstalle sehr liäuiig als ver- 
zerrte Formen. Einige Beispiele an 
Formen des regulären Systems mögen dies 
erläutern. 

Das .Hexaeder co <c ist in der 
Natur nur ganz ausnahmsweise gleich dem 
Würfel der Stereometrie von 6 Quadraten 
begrenzt, vielmehr gewöhnlich von drei 
Paaren verschiedener Kechtecke. Spaltet 
man von einem Würfel von Steinsalz be- Fig. 79. 

liebige Stücke durch Spaltungsflächen, 

welche bei diesem Mineral stets mit den Würfelflächen parallel sind, 
ab (vergl. Fig. 79), so bleibt jedes der Stücke krystallographisch ein 
Würfel, weil man in jedes derselben ein reguläres Axenkreuz hinein- 



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— 70 — 

denken kann, derart, dass jede Fläche mit zwei Axen parallel geht 
und die dritte schneidet Nur die Centraldistanz der Flächen ist 
verschieden. 

Ganz ähnlich ist es bei dem Oktaeder. Während ein Oktaeder 
der Stereometrie stets von 8 gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird, 
ist dies an Krystallen nur ausnahmsweise der Fall und es treten Tra- 
peze und Sechsecke an die Stelle der gleichseitigen Dreiecke, sobald die 
Centraldistanz der Flächen verschieden ist. In Fig. 80 hat die Fläche 
vom rechts unten die Centraldistanz bekommen, die zwischen ihr und 
der parallelen Fläche liegenden Kanten sind bei der parallelen Ver- 
schiebung alle im gleichen Verhältnis (auf die Hälfte) verkürzt worden, 



Fig. 80. Fig. 81. 

dabei sind drei Trapeze und ein Sechseck an die Stelle von ebenso 
viel gleichseitigen Dreiecken getreten. Auch die Anzahl der £cken 
hat sich geändert, indem an die Stelle von drei vierseitigen okta- 
edrischen Ecken sechs dreiseitige neue Ecken getreten sind. Noch 
grösser erscheint die Veränderung, wenn wie in Fig. 81 zwei paral- 
lele Flächen gleichzeitig verschoben werden (Centraldistanz = 7»)* 
Man sieht derartige Formen, Oktaeder ohne gleichseitige Dreiecke, 
sehr häufig z. B. an Magneteisen oder Alaunkrystallen. Die eine 
trigonale Axe erscheint in diesem Falle (auf J) verkürzt, das 
Wachstum in dieser Kichtung behindert, wie bei Krystallen, die mit 
einer Oktaederfläche auf dem Boden eines Gefässes aufliegend weiter- 
wachsen, während ganz frei aufgehängte BJrystalle auch der Ideal- 
gestalt näherkommen. 

Fig. 82 stellt ein verzerrtes Oktaeder dar, bei dem eine rhom- 
bische (zweizählige) Zwischenase auf | der ursprünglichen Länge 
vergrössert ist, oder bei der vier Flächen die Centraldistanz f statt 
1 haben. Die Symmetrie der Form wird hierbei geringer und zwar 



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— 71 — 

wie die eines rhombischen Krystalls, von dem sich ein Ery^tall dieser 
Form äusserlich nur dadurch unterscheidet, dass alle Flächen gleiche 
Beschaffenheit haben. Während bei der VerläDgerui^ in der Richtung 
der rhombischen Zwischenaxe der Erystall rhombischen Habitus be- 
kommt, entstehen bei Verlängerung einer trigonalen Axe, wie sie die 
Fig. 83 für das Rhombendodekaeder "cd darstellt, verzerrte Formen, 
welche hexagonalen, rhomboedrischen oder trigonalen Habitus zeigen. 
Die trigonale Axe entspricht dabei einer Hauptaxe. 



In Fig. 83 sind 3 Flachen in den Abstand 3 statt 1 geruckt, dadurch, 
dasB man 6 parallele Kanten doppelt bo groBS gezeichnet hat Geht man Ton 
der Mitte der Form aus, bo erscheinen 6 Fl&chen im Abstand -| statt 1. 

§ 79. Schnittpunkt zweier Geraden, deren Axenver- 
verhältnis und Centraldistanz gegeben ist. 

Wird eine Gerade <>', welche die ^-Äxe in Ä*- und die £-Axe in B* 
schneidet, in die d, fache Entfernnng von gerückt (vergl. Fig. 2 S. 2), bo 
schneidet sie die Azen in den Entfernungen d, . OÄ^ und d, OB^ und gilt fur 
die Koordinaten eines auf derselben liegenden Punktes die Gleichung: 

ebenso für die Gerade G^ in der CentraldiBtanz d, die Gleichung: 



??_? j 



: 1. 



Die Koordinaten des Schnittpunktes heissen dann (vergl. § 3) 

- "^i i^ i _ h ^i — '>i ^1 

a, ij Oj 6, a^ b^ — dj £, 

_ a^ ajdy 



.öbyGoogle 



_ 72 — 

§ 80. Schnittpunkt von 3 Ebenen, deren Axenverhält- 
nis und Centraldistanz gegeben ist. 

In gleicher Weise, vie sich in der Gleichung, welche flür die Koordinaten 
der knf einer Geraden liegenden Punkte gilt, die Koefficienten der Unbekannte 
ändern, ändern sich dieselben auch in den im § 54 aufgeatelltea Gleichungen 
für die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen. Multipliciert man, um die 
hierbei auftretenden Brüche wegzuschaffen, alle Glieder im Zähler und Nenner 
der Auadracke für x, y and z mit d, dj d, dem Produkt aus den Centraldistanzen 
der drei Ebenen, so heissra die vereinfachten Ausdrucke 

^l%_+ f^i "i + *j "i d, g,+ l?i «I -j- <f| a, 

ff . ''~ i'±0|*lCl ~ 0,01 + 01*1 + «,«,' 

' „ - ^.ih±hh±hh. ^ - ^Ul+iiJVt^ü 

§ 81. Offene und geschlossene Formen. Offene Formen, 
wie Prismen, Domen und Pinakoide oder die Formen des mono- 
kliaen und triklinen Systems können nur in Kombination mit anderen 
Formen einen Krystali allseitig begrenzen. Vergl. die Figuren 10 — 20, 
25 — 27, 32 — 34, Die Centraldistanz aller hierbei auftretenden 
Flächen kann gleich 1 sein. Auch geschlossene Formen, wie z. B. 
rhombische Makro- und Brachy-Pyramiden, können in Kombination 
mit einander treten, ohne dass die Centraldistanz der Flächen der- 
selben grösser oder kleiner als 1 werden musa (vergl. Fig. 22). Viele 
andere Formen können dagegen an demselben Krystali in Kombi- 
nation nur dann auftreten, wenn die Centraldistanz der Flächen der 
einen Form kleiner oder grösser als 1 geworden ist. In diesen 
Fällen werden die Ecken oder Kanten der einen Form durch die 
Flächen der anderen auf verschiedene Weise verändert, und zwar 
werden die Ecken abgestumpft, zugeschärft oder zugespitzt, die 
Kanten abgestumpft oder zugescbärft. 

§ 82. Abstumpfung der Ecken. Eine Ecke heisst abge- 
stumpft, wenn an ihrer Stelle eine Fläche erscheint. 

Die 3 Pinakoide sind bei einer rhombischen Pyramide zu den 
3 Hauptsetmitten parallel und würden hei der Centraldistanz 1 durch 
die Ecken der Grundform gehen. Denkt man sich nun eine Pina- 
koidfläche parallel gegen die Mitte zu verschoben, so wird die Spitze 
der Pyramide auf dieser Seite abgestumpft. Die Kanten werden bei 
- dieser Parallelverschiebung in demselben Verhältnis verkürzt, und 
umgekehrt erhält man eine Fläche in paralleler Lage, wenn man die 
Kanten, wie dies in Fig. 84 geschehen ist, in gleichem Verhältnis 
verkürzt. Die Polecken sind hier durch die Basis in der Central- 



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— 73 — 

distaoz |, die brachydiftgonalen Basisecken durch das Makropinakoid 
(d = -l") abgestumpft, 

Gleiche Ecken werden durch Flächen derselben Form abge- 
stumpft, ungleiche durch Flächen verschiedener Formen. So werden 
also z. B. die 4 gleichen Basisecken einer tetragonalen Pyramide 
#mP durch die 4 Flächen des Prismas zweiter Ordnung odPoo ab- 
gestumpft, diePoleeken durch die Basis OP. Die 6 gleichen Ecken 



Fig. 84. Fig. 85. 

des Oktaeders werden dagegen durch eine sechsflächige reguläre 
Form, den Würfel cdO», abgestumpft (Fig. 85). Die Centraldistanz 
aller Flächen des Würfels kann hierbei gleich sein (in Fig. 85 
d = ^), oder auch verschieden, aber stets kleiner als 1, Je näher 
an 1 die Centraldistanz ist, desto kleiner die abstumpfende Fläche 



Fig. 86. Flg. 87. 

und desto vorherrschender die Form des Oktaeders. Wird für 
QoO» (J= J, wie in Fig. 86, so fallen die Oktaederkanten ganz 
weg, und es entsteht ein sogenannter Mittelkrystall, der nur Eom- 
binationskanten hat, die die Mitten der ursprünglichen Oktaeder- 
kanten (« = 4., y = ^, e = 0) unter einander verbinden. Wird 
andererseits die Centraldistanz für die Oktaederflächen zwei- bis drei- 
mal so gross als die des Würfels, so herrscht die letztere Form vor, 



DigmzedbyGoOgle 



— 74 — 

und die Ecken derselben werden inelir oder weniger stark durch die 
8 Flächen von abgestumpft (Fig. 87). 

Die Kanten des Würfels werden hierbei an jeder Ecke in gleichem Ver- 
h&ItuiB Terkürzt, an Terachiedenen bei ungleicher Centraldistanss verachieden, bei 
der Centraldiatanz d = S für bleibt eme Ecke unverändert, da die Koordinaten 
der Mitte einer Oktaederfl&che '/i der ÄienläDge beträgt. 

Bei Formen mit verschiedenen Ecken, wie z. B. bei oo 0, dem 
Ehombendodekaeder, werden nicht notwendigerweise alle Ecken zu- 
gleich abgestumpft, sondern die oktaedrischen durch »Ooo, die tri- 
gonalen durch 0. 

Im ersteren Falle {Fig. 88) kann man oo als den Pyramiden- 
Würfel X Ott ansehen, bei dem « = I geworden ist, und es erscheinen 



. Fig. 88. Fig. 89. 

dann die Spitzen der Pyramiden desselben abgestumpft Im zweiten 
Fall, Fig. 89, kann man oo als das Triakisoktaeder mO ansehen, 
bei dem m = oo geworden ist, und es werden dann die Spitzen der 
Pyramiden des Pyramidenoktaeders abgestumpft. In beiden Fällen 
werden die Kanten an jeder Ecke in gleichem Verhältnis verkürzt. 

§ 83. Abstumpfung der Kanten. Eine Kante heisst ab- 
gestumpft, wenn an ihrer Stelle eine Fläche erscheint 

In Fig. 18 S. 19 erscheint eine rhombische Pyramide in einer 
Kombination des Primas qoP mit der Basis OP eingeschlossen. 

In gleicher Weise, wie nun hei Verkleinerung der Central- 
distanz der Basis die Polecken abgestumpft werden, wird bei Ver- 
kleinerung der Centraldistanz der Prismenfläche eine andere Verän- 
derung an der Pyramide eintreten, die Basiskanten fallen weg, an 
ihre Stelle treten die Prismenflächen, und die Polkanten werden, wie 
dies Fig. 90 zeigt, durch die Seitenkanten des Prismas verkürzt. 
Die Kombinationskanten zwischen den Prismen- und Pyramideoflächen 



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— 75 — 

sind zu den ursprOoglicIien Basiskanten parallel. Je kleiner die 
Centraldistanz der Frismenflitchen, desto mehr erhält die KombinatioQ 
ein prismatisches Aussehen (Habitus). In ähnlicher Weise, me die 
Basiskanten durch Prismen, werden die Polkanten durch Domen ab- 
gestumpft, und zwar die brachydiagonalen Polkanten durch ein Makro- 



Fig, 90. Fig. 91. 

doma (Fig. 91), die roakrodiagonalen Polkanten durch ein Bracby- 
doma. 

Eb ist fllr das Ausaehen der Kombination einerlei, ob die CentraldiBtanz 
der einen Form verkleinert oder die der anderen vergrSBsert wird. In Fig. 91 
ist für das Doma die Centraldistanz l beibehalten, dagegen die Centraldistans 



Fig. 92. Fig. 9S. 

der Pyramidenflächen za -J angenommen und die Zeichnung auf einfachste Weise 
dadurch zn stände gekommen, dass die beiden Hälften der Pyramide gleichsam 
anseinandergezogen wurden. Je länger dabei die horizontalen Kanten des Domas 
gemacht werden, desto grösser ist die Centraldistanz der Pyraniidenfl&chen. 

Kanten werden stets abgestumpft durch Flächen, deren Axen- 
Terhaltnis in zwei von den drei Werten mit dem der Flächen der 



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anderen Form übereinstimmt, oder solche Flächen, die bei der Central- 
distanz 1 durch die Punkte gehen, welche die abzustumpfende Kante 
verbiadet. Es werden also die Kanten einer Brachypyramide tnFn nur 
durch das Brachyprisma x Pn von gleichem n, oder das Makro- und 
Brachydoma mPoo und wi^oo von gleichem m abgestumpft. Die 
kantenabstumpfende Form muss soviel Flächen haben, als Kanten 
der betreibenden Art vorhanden sind, 
darf aber selbst nicht Kanten dieser Art 
haben. So werden die 12 oktaedrischen 
Kanten des Oktaeders (Fig. 93) und 
der Pyramidenoktaeder mO und ebenso 
die 12 hexaedrischen Kanten desWürfels 
»0 Qo (Fig. 92) und der Pyramidenwürfel 
00 On durch die 12 Flächen des Rhom- 
bendodekaeders oo abgestumpft, die 

24 dodekaedrischen Kanten von «> 

Fig. 94. aber durch einen Vierundzwanzigflächner, 

der keine dodekaedrischen Kanten hat 
(s. § 38), also das Ikositetraeder mOm = 2 02, dessen trigonale 
Ecke mit der von co zusammenfällt (a: = y =^ n = '/j) Fig. 94. 

Fig. 93 nnterBcbeidet sich von Fig. 88 diu dadurch, daBS die Centnldistanz 
von doOoo nur -|, statt », genommen und die Kanten umf , statt um ^, ver- 
kOrzt varden. Ebenso ist in Fig. 93 die Centraldistanz van ^, statt wie in 
Fig. 89 = ^ , nnd die YerkUrzung der Kanten J , statt ^ Fig. »4 wird er- 
halten, indem man an 2 03 (Fig. 37) alle Eant«n um | ihrer L&nge verkürzt. 

§ 84. Zonen. Die Kombinationskanten, welche bei der Ab- 
stumpfung von Kanten auftreten; sind stets unter sich und zu diesen 
parallel. Dies ist das Kennzeichen dattir, dass Flächen derselben 
„Zone" angehören. Unter einer Zone versteht man nämlich die 
Gesamtheit aller -Flächen, welche zu derselben Linie (Zonenaxe) 
parallel sind. Derartige Flächen schneiden sich in parallelen Kanten, 
deren Schnittpunkt also im Unendhchen liegt, d. h. dessen Koordi- 
naten = OD werden. 

Dies geschieht ofTenhar, wenn in den Ausdrücken (g 79) ftlr diese Koor- 
dinaten der Nenner = wird. Dieser Kenner ist aber die aus den reciproken 
Axenabschnitten dreier Flächen gebildete Determinante f + ai £, c, und von der 
CentialdiBtanz der Flächen unabhängig. Die Gleichung £±(i,5,c,=0 ist also 
die Zonengleichung. 

Mit Hilfe dieser Zonengleichting l&sst sich leicht die Fläche bestimmen, 
welche eine Kante abstumpft. Es sei z. B. zu bestimmen, wie gross das m des 
Ikositetraeders mOm ist, durch welche die Kante zwischen zwei Flachen von 
taO, etwa ^,B,Cao und AiBviCi abgestumpft wird (Fig. 94). Die Determi- 



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DMite ans den redproken AbleitiiiigBz«hleu dieser Fliehen oDd der abstompfindcn 
Fl&cbe A,BmCm wird =0 gesetzt. 



1 1 





1 





1 ^ 


m 



Die AaflöBnng der DeterminaDte giebt die Gleiclmng 

1 — — — — = 0, also m z= 2. 

§ 85. Zuschärfung der Kanten. Eine Kante heisst zuge- 
schärft, wenn an ihrer Stelle eine andere Kante erscheint, in der 
zwei Flächen unter stumpferem Winkel zusammenstossen. Die vier 
Flächen müssen, weil in parallelen Kanten zusammenstossend, der- 
selben Zone angehören. So werden z. B. die Kanten eines Prismas 
dnrch die Flächen eines anderen zugeschärft, die Basiskanten einer 
Pyramide durch die Flächen einer spitzeren derselben Art (Fig. 95), 



Fig. 95. 



Fig. 93. 



die brachydiagonalen Polkanten durch die Flächen einer Makropyra- 
mide. Im regulären System werden die Würfelkanten durch einen 
Pyramidenwürfel coOw Fig. 96, die Oktaederkanten durch ein Pyra- 
midenoktaeder mO, die Tetraederkanten durch ein Pyramidentetra- 
eder — s— , die Kanten des Rhombendodekaeders durch die Flächen 
eines Hexakisoktaeders, der das allgemeine Zeichen mO — " -y hat, 
also z. B. 30*/» zugeschärft. 

Das letztere ergiebt sich ans der dnrch die Zoae gegebenen Gleichung 



= oder 1 - 



= 0: 



denn darnach ist n = — -■ 

Fig. 95 stellt die rhombische Pyramide P(a :b:c = 0,606 : 1 :0,555. d = -J) 
mit der Pyramide mp= 3P (d= l) dar. Die Koordinaten des Schnittpunktes 



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— 78 — 

der makrodiagonalea Polkanten ^i (^ {d, = 1) und B, C, (dj = p ergeben sich 
nach § 79 aus den Ausdrücken 

c,d,—c,d, , S.dj— 6jil, 

W = T-^ r— ^ und Z = '-' i"'— ä. 

Oi c, — 0, «i 0, Cj — Ol e, 

1.1-4t 4 1.4-1.1 s 



Der Punkt liegt also -^ , 9 Quadratseiten nach rechts und ^ , 5 = Quadratseiten 
{b:e = 9:5) nach oben. Der Schnittpunkt auf den biachydiagoualea Polkantea 
hat die Koordinaten a = -t- der yerkürzten Ä-Axe und s = 3 Quadratseiten 
nach oben. Fig. 99 zeigt den Würfel in der Centraldistanz 1 und den Pyra- 
midenwürfel »03 ^rf = -^\, die dodekaedrischen Kanten erscheinen dabei auf ^ 
ihrer Länge verkorzt Von den Koordinaten der neuen Ecke ist eine = 1 , die 
beiden anderen = -^. Die trigonale Ecke hat die Koordinaten at = y = 2 = — . 

§ 86. Zuspitzung der Ecken. Eine Ecke heisst zuge- 
spitzt, wenn an ihrer Stelle eine neue Ecke erscheint, welche von 
-der gleichen oder doppelten Anzahl von Flächen, die sich unter 



Fig. 97. Fig. 98. 

stumpferen Winkeln schneiden, gebildet wird. Denkt man sich die 
stumpfere Pyramide in Fig. 95 in grössere Centraldistanz gerückt, 
■wodurch die spitzere Pyramide zur vorherrschenden Form wird, wie 
in Fig. 97, so erscheint die Polecke dieser letzteren zugespitzt, und 
zwar sind in diesem Fall die Flächen auf den Flächen aufgesetzt 
In andern Fällen erscheinen auch die Zuspitzungsflächen auf den 
Kanten aufgesetzt, wie in Fig. 98, welche eine tetragonale Pyramide 
erster Ordnung mit durch eine stumpfere Pyramide zweiter Ordnung 
zugespitzten Polecken darstellt Eine Zuspitzung der ersteren Art 
erfolgt durch Formen, welche die gleiche Art Kanten hat, die letz- 
tere durch Formen, welchen die Art Kanten, auf denen die Zu- 



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gpitzungsfonnen aufgesetzt sind, in diesem Fall die primären Fol- 
kanten, fehlen. Durch eine ditetragonale Pyramide würden entweder 
die Basisecken vieräächig oder die Folecken acbtflächig zugespitzt, 
das erstere durch eine spitzere, das letztere durch eine stumpfere 
P}Tamide. 

Die Eombination zveier beliebiger Formen des tetragooalen Systems hat 
im allgemeinen zweierlei Kombinations ecken, welche dreierlei Lagen haben können. 
Entweder fallen dieselben als Schnittpunkt zweier Basiskanten in den bamachen 
Hanptscluiitt oder als Schnittpunkte zweier primären oder zweier Bektmdftren 
Folkanten in den primären oder den sekundären Haoptschnitt. Die Koordinaten 
dieser Ecken lassen sich auf folgende Weise berechnen. (n,Pn, mit der Central- 
dlstanz d^ und m^Pn^ mit der Centraldistanz d, haben im basischen Haupt- 
schnitt die Kanten -^^,5^,«, und ^^Bamt- ^'* Determinante der reciproken 
Eoefficienten bt 



, daraus ergiebt sich (s. § 2), du o = d = I, 



Die beiden Formen haben im primären Haoptschnitt die Eanten A-^Cg^^ und 
^d.^dM.- ^'^ Determinante heisst also 

, daher findet man 



2) . 



Im sekundären Hauptscbnitt tritt an Stelle der Nebenaxe eine Zwischen- 



axe, der AbBchnitt OH, auf derselben ist - 



i + i 



1 + i 



Die zur Berechnung der Koordinaten dienende Determinaute ist daher 



d,m. 



DigmzedbyGoOgle 



daraus lieBtimmen sich die Werte r (Länge in der Richtung OS) 



1+ 


— 


1 + 


^ IH 


i,<(,«, 


n ä„I,m 


Vä . 




rfi 


«= 




y = 








+i 


1+: 






m. 


m, 






'+ir 




i + ;r 




i,V2 


~ 


i,Vi 




'+^7 




'+i 



" i+~ T-+~ 

d, rfj ,», Vi Ä, rfj m, V^ m, ~ IM, 

Fig. 97 ist eine Kombination von P (o : S : e = 0,666 : 1 : 1,666, d, = 1) mit 
I / 7\ 

-Q P \'*^~'3 )' IJ' 8 Koordinaten berechnet man mit der Formel unter 2), die 

auch für die Folkanten rhombischer Pyramiden gilt a; = — a, y = 0, * = -g- c, 
und 1 = 0, yz=^6, j = |.c. 

Fig. 98 ist eine Kombination von P (a:c=l: 0,777, Ä, = 1) mit f P qo 
(dj = yj. Daher findet man för die Koordinaten der Ecken auf den pri- 
mären Folkanten nach Formel 2) a; = — , y = 0, s = ^ c und für die Koor- 
dinaten auf den sekundären Polkanten nach Formel S) x = i/ = ^, z = :rj^ c. 

§ 87. Zaschärfung der Ecken. Eine Ecke heisst zuge- 
schärft, wenn an ihrer Stelle eine Kante erscheint, in der zwei 
Flächen zusammenstossen, die einer Form an- 
gehören, welche die betreffende Art von Ecten 
nicht hat, aber doppelt so viel Flächen als Ecken 
der gleichen Art zugeschärft werden. Es wer- 
den z. B. die Ecken der rhombischen Pyrami- 
den, die stets paarweise vorhanden sind, durch 
Prismen oder Domen zugeschärft, und zwar die 
brachydiagonalen Basisecken durch steile Makro- 
domen oder Makroprismen, je nachdem die an 
Fig. 99. Stelle der Ecke tretende Kante horizontal 

(Fig. 99) oder vertikal ist, die makrodiagonalen 
Basiseeken durch Brachydomen oder Brachyprismen, die Poleckeo 
dagegen durch flache Makro- oder Brachydomen, je nachdem die 
Kante zu der B-Axe oder der Ä-Axe parallel ist. 



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— 8X — 

Die primären Basiseckec tetragonaler Pyramiden werden durch 
die Flächen von spitzen Pyramiden zweiter Ordnung (Fig. 100), die 
seltundären Basisecken durch die Flächen von Pyramiden erster Ord- 
nung zugeschärft (Fig. 101). Die Figuren zeigen zugleich die Ah-, 
stumpfung der Polkanten der Pyramiden zweiter Ordnung durch die 
Flächen einer Pyramide erster Ordnung und umgekehrt. 



Fig. 100. Fig. 101. 

Im regul&ren System werden nur die oktaedrischen und die» 
rhombischen Ecken zugeschärft, die ersteren durch ein Pentagon- 
dodekaeder (Fig. 102), die letzteren durch Pyramidenwurfel oder 
Fyramidenoktaeder, je nachdem die 
Kante in eine Hauptsymmetrieebene 
fallt oder in eine gewöhnliche. An drei- 
oder sechsflächigen Ecken giebt es keine 
Zuschärfung. 

Fig. 99 ist eine Korabtnation der Pyra- 
mideF(o:i:c = 0,666: l:l,666,<i, = l)mit 
'/s PoD (dj = 2), Die Ecke auf den makro- 
diagonäleu Polkaoten hat nach Formel 2) die 
Koordinaten y s= — , s ^ — . Für die Koor- 
dinaten der Ecke im brachydiagonalen Haupt- -pia i03. 
schnitt, die im allgemeinen der Schnittpunkt 
Ton .i^B,Crf,„| und -^djBjC^,,^ ist, ergiebt sich mit Hilfe der Determinante 



Nlei, ETyettUbeicliieiltiiis. g 

D„.„ab,GoOglc 



_ 82 — 
also hier x = -r- a, t = -r- c. Fig. 99 zeigt ausBerdem die Kombination mit 
2PaD (dj =x)' ^>B ^coi^dinaten im baBischen Hauptschnitt sind nach Formel 1) 
* = — a, y = — , di^enigen auf der Polkante nach Foimd 2) « = — ^ * r= — . 

Fig. 100 ist Kombination von P (a:c= 1:0,777 d, = 1) mit SPoo 
idj = -öY Die Koordinaten der Ecken im basiBchen Hauplschnitt nach Fonnel 1) 
2 = -g- 1 y ^ •g-- I^e Koordinaten der Ecken im primärrai Haaptschnitt sind nach 
Formel 2) * = -3. « = «- 

Fig. 101 ist Kombination van F (d, = -^) mit Peo (i, = 1), daher fOr 
die Ecken im basiBchen Hauptschrntt (nach Fonnel 1) x ■= l, y =~^, for die 
Ecken im sekundären Hauptschnitt (nach 3) « = y ^ — , Die Abstmmpfimg der 
Polkanteu einer primären Pyramide m P erfolgt durch die Flächen einer sekun- 
dären Pyramide m'Pai, wobei m' = m ist, da in diesem Fall die Determinante 
ans den reciproken AbleitnngBzahlen der Flächen A^ B^ C„, A^ B_^ C„ ond 
A^ -BoD ^m' glei"!!» wird. 



= 0, was man schon daran erkennen kann, dasa, «enn 



m' = m gesetzt wird, in zwei Reihen der Determinante die 8 Elemente «nan- 
der gleich werden, in welchem Fall dieselbe stets den Wert hat Die Ab- 
stumpfung der Folkanten einer Pjramide zweiter Ordnung mPts erfolgt dagegen 
durch die Flächen einer primären Pyramide tn' P, wobei a^ =s -^ m, wie cUe 
Auflösung der ans den reciproken Ableitongszahlen der Flächen Ä^ B^ C„, 
-^00 ^1 ^Bi '^^ ^' B' ^m- gebildeten Determinante 



1 



: ergiebt; es ist darnach nämlich 



: 0, also tn = 2i« 



Fig. 102 ist die Kombinadoa (d, = -j-) und ^-^ (Ä, = 1). Die Ecken, 
welche die Spitzen der kleinen gleichschenkligen Dreiecke bilden, haben die mit 
Fonnel 1) zu berechnenden Koordinaten x ^—, y = —. Die Ecken an der 
Basis dieser Dreiecke haben die nach Formel 2) zu berechnenden Koordinaten 
. ._ 1 



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XL Kapitel. 
Kombinationen an regulären Krystallen. 

§ 88. Zweizählige Eombin&tionen an holoedrischen 
Krystallen. Kombinationsecken, Die Kombinationsecken von 
zwei holoedrischen, nicht mzarten regulären Formen m, 0»^ (Central- 
distanz = ^) und m, On, (d,) Hegen entweder auf einer oktaedrischen 
oder auf einer hexaedrisdien oder auf einer dodekaedrischen Kante. 

Im ersterHi Fall weiekn die Koordinaten dendben nach Formel 1) 
(§ 86), im Eirdten Fall luuk Formel 3) bertehnet IH« dodAaediiBclie 
Kante ist bei der Centasldiatanz d^ = l, bei mOn A^B'•' (i. Fig. 35), wobei 

■tu VT VT 

Öfi"' = ^ . „ = "i — T (B™ ist Bchnittponkt Ton B, C„ mit B„ C„). 

Zwei entBprecbende Kanten 
Ecken, deren Koordinaten am 



on ni) On, und m.j Ort, schneiden sich daher in 
folgender Determinante za berechnen ist: 



d.VT 



djVa 



Man erhftlt luerbei die Werte 



6) 3 



".(i+ii-Mi+i) 



Die beiden anderen Koordinaten werden auB dem Wert r, der Parallelen zu OB"', 
durch Division mit V^2 erhalten (als Seiten des Qoadiats, in dem r Di^ooale ist), 

a-i)-(i+a 

Beispiele. 402 (1) mit 0{{) (Fig. 103). Die in Klammem 
beigefügten Zahlen sollen hier und im Folgenden stets die Central- 
distanz bedeuten. 

OK: (Abkürzung fOr Kombinationsecken auf oktaedriachen Kanten nach 
Formel 1) « = ^, y = — . 

DK: (AbkOrtting flkr Kombinationsecken auf dodekaedriscben Kanten nach 
Formel 5) a;=-^,y = s=l. 



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— 84 — 

Die Ecken des vorberrschenden Oktaeders werden achtflächig 
zugespitzt Fig. 104: 2 02 (I), oo (Y). 

0K:, = 1,J,= |. 

HE: (AbkOrznng fUr Eomblnfttlonsecben auf hexaedriachen Kanten nach 
Formel S) « = y = -jg-, s = — . 



£.Fig. 103. Fig. 104. 

Das Bhombendodekaeder stumpft die rhombischen Ecken des 
Ikositetraeders ab (yergl. Fig. 94). Während in den beiden vor- 
stehenden Beispielen zweierlei Kombinationsecken vorhanden sind, 
zeigen die folgenden Figuren nur eine Art Eombinationsecken. 



Fig. 105. Fig. 106. 

Fig. 105: mOoo (1), 2 02 (f). 

HK:. = y = l,,= |. 

Das Dtositetraeder spitzt die Ecken des Würfels zu. 

Die trigonale Ecke Ton 2 2 liat die Koordinaten x = y = z= -ä-'ä' 



pigmzedbyGoOgle 



Rg. 106: 00 (1), »02 (|). 

7 2 

Der Pj-ramidenwürfel spitzt die oktaedrischeii Ecken des Bhom- 
bendodekaeders zu. 

Die oktaedriBche Ecke liat die Koordinaten x = l.-^, y = t = 0. 
Fig. 107: (1), 202 (|). 

Das Ikositetraeder spitzt die Ecken 
des Oktaeders zu. 

§ 89. Mittelkrystalle. Fallen 
zwei Kombinationsecken auf einer Kante 
zusammen, so entstehen die sog. Mittel- 
krystalle. 

Für die Ecken auf den oktaedriachen Ean- Fig. lOT. 

ten tritt dieser Fall offenbar ein, wenn in For- 
mel 1) die Werte für x nnd y gleich werden, also die Z&hler der gleichnamigen 
Brüche 

« — = "h — «». 

mitbin bei d, = i — , also in Fig. 103 bei dj = -5- d„ in Fig. 105 bei 

d, =-ö-<i, oder ^1 = -q- ■'ji "> F'B- 107 bei 1^ = -j-d, oderd, =-^ d,. 

Der Mittelkrystall von Würfel und Ikositetraeder wird erhalten, 
wenn man die rhombischen Ecken des letzteren unter einander ver- 
bindet und die oktaedrischen Kanten veg- 
lässt. Der Mittelkrystall von Oktaeder und 
Ikositetraeder wird gefunden, wenn man 
dieselben Ecken unter einander verbindet 
lind die hexaedrischen Kanten weglässt 
Wird die Centraldistanz des Oktaeders 
grösser als -=- , so stumpft das Oktaeder die 
trigonalen Ecken des Ikositetraeders ab, und 
die Kombinationsecken liegen auf den hexa- Fig. 108. 

edrischen Kanten. 

Diese letzteren fallen weg, wenn r in Formel 8 (S. 80) gleich wird, was 
ebenfalls bei d, (1 + -;^) = ^, (1 + -;^) eintritt. , 



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Dieser Mittelkrystall ist von 32 Dreiecken begrenzt (8 gleich- 
seitig, 24 gleichschenklig). 

Fig. 108 zeigt einen Mittelkrystall ccOoo, 3O4 (J). 

Die Zahl -s- ergiebt eich aus der Gleichang d, = ^—^ = - , .. • 

8 1 _j_ J. 1 + " 

HK: a' = y = 'l, « = 0. 

Ist lij < j — , 80 ist der Würfel Torlierrschend, und Beine tngo- 

nalen Ecken werden zngeBpitzt: ist dagegen d, "> ; — , so ist der Acht- 

i + ilr 

undTierzig6achDer TorheiTsdiend, tind seine oktaedriaclien Ecken werden abge- 
Btnmpft 

§ 90. Habitus der holoedrischen regulären Kombina- 
tionen. Bestimmung der Centraldistanz. Das Aussehen der 
regulären Krystalle, ihr ,, Habitus", hängt hauptsächlich von der vor- 
herrschenden Form ab and ist verschieden bei verschiedenen Mine- 
ralien und auch bei demselben Mineral bei verschiedenen Vorkommen 
und Fundorten. Zur Bezeichnung des Habitus genügt aber nicht die 
blosse Angabe der an den Kombinationen auftretenden Formen, son- 
dern diese Bezeichnung wird erst vollkommen deutlich, wenn auch 
noch die Centraldistanz der Formen angegeben vrird. Hierbei handelt 
es sich aber für gewöhnlich nur darum, welche Form die grössere 
Centraldistanz hat, oder zwischen welchen Grenzwerten dieselbe liegt. 
So hat z, B. die Kombination 0, 00 00 oktaedrischen Habitus, 
wenn für 00 00 wie in Fig. 85 d > -J^, bei d = f sind die Okta- 
ederflächen reguläre Sechsecke. Bei Kobaltnickelkies z. B. ist d 
stets grösser als */b, beim Bleiglanz gewöhnlich kleiner, oft 7> 
(Mittelkrystall, Fig. 86). Bei Flussspat ist der würfelförmige Habitus, 
der eintritt, wenn die Centraldistanz von mehr als doppelt so gross 
ist,- wie bei » Ooo (Fig. 87) die Kegel, der oktaedrische Habitus 
für wenige Fundorte charakteristisch mit durch oo abgestumpften 
Oktaederkanten (Bemer Oberland). Tritt die Kombination 00 co , 
mOm Fig. 105 an Flussspat auf, so ist mOm stets untergeordnet, 
also d > I, während es am Analdm vorherrschend ist, d. h. d< f 
(Fassathal) oder auch d = | Mittelkrystall (Cyklopeninsel). 

Die GrüBse der CentraldiBtanz Msst Bicli beatimmen, wenn eine Koordinate 
der Eombinationaecke bekannt ist. Da wo ee dcb, wie bei AbBtumpfuitgen \oa 



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- 87 — 

Ecken oder Kanten, um VerkUrsnug von Kanten handelt, l&Bst räch eine Koor- 
dinate leicht finden. Ut z. B. wie in Fig. 89 eine Dodekaederkante nm ^ ihrer 
Länge YerkOrat, so ist die Koordinate x = -^, nAmlich -|- (Koordinate der tri- 

gonalen Ecke = ^i) + -j- [ 1 (Koordinate der Oktaederecke = x,) ^ ] 

oder ai = z, -)- o (a^ — z,), Ist die Verkürzung » = — , wie in Fig. 93, so ist 

die Koordinate " =^ -ä -\' "t (} s) ~ T- ^^* '"'"' ^^^ Werte in die 

Formel 8) § 88, M erhftlt man -f- = ' " +"l';\"t) - = 2-«?», «^ =t 
oder liei x= —, -^ = 2 — d,, also ä, = -|-. Ist, wie in Fig. 94, die okta- 
edrische Elante verkürzt , so bestimmt man eine Koordinate in ähnlicher 
Weise wie oben und setzt den Wert in Gleichung I) (§ 86) ein, also hier 

■5- = -j j- = — j — und ij = -5^. Derselbe Wert wird erhalten, wemi 

"i 1 "ä" 

man eine Koordinal« anf der hexaedrischen Kante bestimint; und zwar ist 
g = c .z, also hier = 'F - "l" ~ ~V- ^^^^ "^^ diesen Wert in Gleichnis 3) 
ein, so erhält man 

1 = ^^^^^^^+-^=-^^) + ^. 



§ 91. Mehrzählige holoedrische Kombinationen des 
regulären Systems. Treten mehrere Formen an demselben K17- 
stall auf, so nennt man die Kombination mehrzählig. Hierbei werden 
z. B. gleichzeitig Ecken und Kanten abgestumpft, oder die verschie- 
denen Ecken oder Kanten durch Terschiedene Formen abgestumpft, 
zugeschärft oder zugespitzt. Die Anzahl der Kombinationskanten 
und Ecken wird dabei oft nicht grösser. Man zeichnet z. B. die 
Kombination 0, cc 0, 00 x , indem man bei Fig. 88 die Kombi- 
nationsecken statt mit der trigonalen Ecke, wie in Fig 93, direkt 
unter einander verbindet. Die Kombination hat nur eine Art Ecken. 
Die gleiche Form wird durch Verbindung von Fig. 89 und 92 er- 
halten, nur ist der Habitus mehr würfelartig. Verbindet man bei 
Fig. 94 oder 104 die Kombinationsecken auf den oktaedrischen 
Kanten und ebenso die auf den hexaedrischen Kanten unter sich, so 
erhält man die vierzählige Kombination 00 0, 2 02, oo Ooo, 0. 

In vielen Fällen wird eine Kombination bei Hinzutreten einer 
weiteren Form in der Weise verändert, dass eine schiefe Ab- 



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stumpfnng der KombinatiODSkaDten entsteht. Eine Kante' heisst 
schief oder unsymmetrisch abgestumpft, wenn die an ihrer Stelle 
erscheinende Fläche mit den anstossenden Flächen verschiedene 
Winkel bildet In Fig. 109 z. B. stumpfen die Flächen von 2 2 (1) 
die Kombinationskanten von (f ) und oo <x> (|) schief ab (Bleiglanz). 
Eine ähnliche Form erhält man durch 
Abstumpfung der oktaedrischen Ecken 
in der Kombination 0, 5 2 Fig. 107 
oder der trigonalen Ecke von ot> qo , 
2 2 in Fig. 105 (Flussspat von Stol- 
berg), doch mit verschiedenem Habitus. 
Die Kombinationskanten von 2 02, oo O 
(Fig. 94) werden durch ein Hexakis- 

oktaeder mO ;-, also z. B. 3 0'L 

Fig. 109. """^ 

schief abgestumpft (Granat). Die Kom- 
binationskanten bei 0, ooO (Fig. 93) werden durch Pyramidenokta- 
eder mO schief abgestumpft (Bleiglanz von Neudorf). 

§ 92. Bestimmung der Ableitungszahlen aus dea 
Zonen. 

Bei mehrzähligen Eombinationen lassen sicli die S]rmbole der FlAchen 
häufig aus den Zonen ableiten. Idau kann zwar aus der Zahl und Lage der 
Flächen leicht sehen, ob man Flächen yom Oktaeder, Würfel oder Bbombendodeka- 
eder vor sich bat, kann auch wohl erkennen, ob die Flächen einem Ikositetra- 
eder, FjramidenwUrfel oder Achtundvierzigfiächner zugehören, kann aber nicht 
sehen, welchen speziellen Wert in diesen Fällen m und n haben. Liegt nun 
eine Fläche mit zwei bekannten Flächen in derselben Zone (ist „tautozonal"), so ist 
durch die Determinante aus den reciproken Ableitungszahlen der drei Flächen eine 
Gleichung (Zonengleichung § 84) gegeben, aus der sich eine unbekannte, die darin 
vorkommt, bestimmen lässt. Nehmen wir aber z. B. die drei Flächen A, B^^ C^^ , 
A^Bt C, nnd A, B„ C^ in Fig. 109, welche tautozonal sind, so wird die Deter- 



1 1 1 

1 — — 



ii jedem Wert von m gleich 0, und man erhält gar 



keine Bestimmungsgleichung, Jedes beliebige Ikoeitetraeder m Otn stumpft die 
Kombinationskante zwischen und ooOos ab. Nehmen wir dagegen den in 
§ 64 besprochenen Fall der Abstumpfung der Kanten von ca 0, so sehen wir, 
daSB unter umständen auch das Symbol einer Fläche ans einer Zone sich be- 
rechnen lässL Stets ist dies aber der Fall, wenn eine Fläche zugleich in zwei 
Zonen liegt Bezeichnen wir die letzte der drei oben genannten Flächen allge- 
mein als Ai Bn Cm, so giebt die Determinante die eine Gleichung m =:n, so 
dasB noch eine weitere Gleichui^ zur Bestimmung des Axenverhältnisses der 
Form genügt. 



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In Fig. 110 erkennt man leicht als vorherrschende FormMi das Oktaeder 
(P,i*) und das die Kanten desBelben abstumpfenden Dodekaeder <oO {tn,m'). 
Ebenso ergiebt dch schon aus Lage und Zahl der Fliehen, daas 7 nnd y einem 
Pyramidenwürfel ooO« und ß und f einem Ikoeitetraeder mOm angehören und 
t und t' einem Eexakisoktaeder m On. Da y mit m' und P" in einer Zone liegt, 



so ergiebt weh für die 8 Flachen A^Ba) Ch, A^B^Co) and ^,B_iCi die De- 
terminante 



E= 0, mithin die Gleichung 



also n = 2. 

Der Wert von m in mOm wird, da ß' mit denselben Flachen in einer 
Zone liegt, aus der Determinante 



= 0, also der Gleichung 



bestimmt, und zwar ist m = 3. 

Die Fl&che t = A,BmCn stellt den allgemeinsten Fall dar, sie liegt in 
zwei Zonen, mitP = ^i£tC, und }> = ^i^oo ^i und mit m = .1, £,0 Ci und 
/^ = ^, £, C^. Dadurch ergeben sich die beiden Determinanten 



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111 =0 nnd 101 =0, 

also die beiden GleichoDgen 

T-^ + -^-4- = *'' °^" -=- = T + äl? 

and f+(nr'~'8^ + '^ = **' "*" "i" "= ^ ~ ^! 

daher ist -j- + = - = 1 — — , folglich nt = 5 und n = — . 

Saniftch ist Fig. 110 die Eotnbinatioo 

0, 00 0, a>02, 3 03, 5 0f. 

Die CentraldiBtanz der Fl^hea ist anf die Zonen ohne EinflusB, musa je- 
doch vor AnfertiEnng der Zeichnung bekannt sein, weil sich darnach die Lage 
der Eckpunkte richtet In der Torliegendec Figur handelt es sich nur nm die 
Lage der 4 Ecken von t". Die in die Hanptsjmmetrieebenen fallenden Punkte 
haben, wie bei den in die Ebene BC fallenden Punkten direkt abzuzählen bt, 
die Koordinaten x = -^, i/ = -j, z = 0, d. h. fOr coO ist die Centraldistaiu 
^(§86.1) und für 50V, = 55. 

Zur Berechnung der Koordinaten der in die gewöhnlichen Synmetrieebenen 
fallenden Ecke dient die Formel 5 (§ 88) für den Schnittpunkt einer Fl&che von 
3 03(1) und zwei Flächen von 5 0'/, (^)- Darnach ist i = -^, y = s = -j. 
Dieselbe Formel dient dann auch zur Berechnung der Centraldistanz Ton 0. 
Nach der Gleichung ist — = '_ , , also dj ^ — . Vollständig würde dem- 
nach die Kombination bezeichnet werden als: 

(-f), »0 (-Ü.), «02(1), 303(1), 50V, (-f)- 

Die Koordinaten des Schnittpunktes von ß" y' t' werden nach § 80 aus 
der Determinante 

^ T 4 

1-1-0 und den Wertend, = 1, lii = 1, d, = ^ 



bestitniiit: x=i —, y = —, z = -^. 

Die Koordinaten des Schnittpunktes t 
Determinante 



md P erh&it man aus der 



and den Werten ä^ = 



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— 91 — 

Durch Vornahme aller möglichen Vertanschnngen erhält man alle flbrigen 
Ecken der Form. Setzt man in allen F&llen « = 0, so erhSlt man ein Pro- 
Jektionabild auf die Ebene BC, in dem s&mtliche Ecken mit Ecken der 
Quadrate zusammenfallen. 

§93. Pentagona! -bemiedrisclie KombinationeD. Der 
pentagonal-hemiedrische Habitus tritt in Kombinationeo nur dann 
hervor, wenn Dyakisdodekaeder und Pentagondodekaeder mit einander 
(Fig. 111) oder mit anderen Formen zusammen vorkommen (Fig. 102). 
In diesen Kombinationen ist häuäg der Würfel vorherrschend, dessen 
Kanten durch die Pentagondodekaederflächen schief abgestumpft wer- 
den, und dessen Ecken die Dyakisdodekaeder =^ z. B. =5= mit & 
Trapezen, die übrigen Dyakisdodekaeder mit 3 Trapezoiden zuspitzen. 



Fig. 111. Fig. 112. 

Die häufig sichtbare Streifung der Würfelflächen (Eisenkies) hJüigt mit 
dem Auftreten der Pentagondodekaederflächen zusammen, die in sehr 
schmalen Streifen mit den Würfelflächen abwechseln („oscillatorisch"). 
Ist das Oktaeder vorherrschend, so werden die Ecken desselben durch 
die Pentagondodekaederflächen zugeschärft (Fig. 102), wobei die an ihre 
Stelle tretenden Kanten häufig durch Würfelfläcben abgestumpft wer- 
den. In Kombination mit einem Dyakisdodekaeder werden die Ecken 
durch ungleichseitige Dreiecke zugespitzt. ' Durch direkte Verbindung 
der pentagonalen Ecken unter einander erhält man den Mittelkryatall 
«02 (1), (I) Fig. 112. Herrscht das Pentagondodekaeder vor, 
so werden die durch die oktaedrischen Ek^en gehenden Kanten durch 
den Würfel abgestumpft, durch Pentagondodekaeder (mit grösserem n) 
zugeschärft. Die trigonalen Ecken werden durch abgestumpft, die 
pentagonalen Ecken durch 00 0, wenn der Winkel der beiden an 



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— 92 — 

tleraelben Kante abstumpfenden Flächen 90* beträgt, durch ooO« 
(mit kleinerem «), -wenn dieser Winkel kleiner als 90", durch eio 

Pentagondodekaeder in verwendeter Stellung meist ~3~i weno 

der Winkel grösser ist als 90 ', Die trigonalen Ecken werden häufig 
dreiflächig zugespitzt. Fügt man in Fig. 111 noch 8 trigonale Ecken 
.mit den Koordinaten x ^ i/ = e =: -^ bei und verbindet jede mit 
den drei benachbarten pentagonalen Ecken, so erhält man die Kom- 
bination ^a (1) — Ä^ (7) als Mittelkrystall der beiden Formen. 
Bei grösserer Centraldistanz werden die mittleren pentagonalen Kanten 
mehr oder weniger verkürzt. Die Zuspitzungsflächen sind gleich- 
schenklige Dreiecke. Eine ähnliche Zuspitzung ist für -^^— durch 

jedes Dyakisdodekaeder ■■«■"*" ■ möglieh. 

Die Bedingung dafür ist die, dasB die eine EaoTdinate der pentagonaleo 
Ecke des Djakisdodekaeders zu der anderen in demselben YerhlUtniH stellt, wie 
die Koordinaten der Ecken des Pentagondodekaeders zn einander stehen, also 
bei ^ im Verhältnis 1:2 = "J^Zi '■ "^Z~l^ > ^^^^^ ** = ^- ^' ^ 
Ttlrde die Zuspitzung in dieser Weise durch ^^ erfolgen. Für jedes " "' dnrcli 
"* " , wenn die Bedingung 

. , («,-l):n.=m(fl-l):»(m-l) 

erfOllt isi; abo wenn 

_ _ n («. - 1) 



Fig. 111) oder Trapezoide (202). Das erstere ist dann der Fall, 
wenn die mittleren Kanten zu den längeren parallel smd, also wenn 

= die vorherrschende 
Form und die längeren pentagonalen Kanten desselben sind durch 
die Flächen von „ abgestumpft. Während bei den vorbeigehen- 
den Kombinationen die Centraldistanz einer der Formen gleich 1 
gewählt wurde, ist hier, um einen allgemeinen Fall darzustellen, 
die Centraldistanz in beiden Fällen > 1 gewählt und zwar für 

■4 02 , -I r- »02 , 13 
=^d,= '|., für ^-2- d, = 32- 

Die trigonale Ecke bekommt hierbei die Koordinaten 



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93 



Ton den Ecken einer FUche von — ^ — «nd zwei die Schnittpunkte zweier 
kürzeren pentagonalen Kanten und werden mit Formel 2 (g 86] beatimmt: 
* = —^, # = — ; eine Ecke ist der Schnittpunkt einer korzeren nnd einer 
längeren pentagonalen Kante von -^4«,^^, mit A^B^,,. 
1 1 






ergiebt sich dum 



Die beiden anderen Ecken liegen auf den mittleren pentagonalea Kanten 
und sind ihre Koordinaten mit Hilfe der allgemein für den Schnittpunkt dreier 
Flächen gegebenen Formeln {§ SO) zu berechnen. Der Schnittpunkt von Ä, B, Cg^ , 



J,S,C4 und A^B,C^ hat darnach die aus 1 



und den Werten 



r zu bestimmenden Werte xs= -^ (wie bei der tri- 
= -^ (wie bei dem Schnittpunkt auf den kuizerea 



gonalen Ecke), y ■= —^ 
pentj^nalen Kanten). 

§94. Tetraedrisch-hemiedrische Kombinationen. Tetra- 
edrisch-hemiedrische Kombinationen unterscheiden sich von den holo- 
edriscben dadurch, dass statt Hexakisokta- 
oder Hexakistetraeder, statt Ikositetraeder 
Trigondodekaeder, statt Triakisoktaeder 
Deltoiddodekaeder und statt Oktaeder 
Tetraeder auftreten, während Pyramiden- 
würfel, Rbomhendodekaeder und Würfel 
gerade so auftreten, wie in holoedrischen 
Kombinationen. Eine Kombination der 
beiden letzteren Formen wäre demnach Fig. 113. 

als hemiedrisch gar nicht zu erkennen, 

wenn nicht etwa, wie in Fig. 113 nur die Hälfte der trigonalen Ecken 
al)gestumpft wären (vergl. Fig. 89). In ahnlicher Weise würde 



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mO 



nur vier abwechselnde Ecken zuspitzen. 

Am deutUchsten tritt der tetraedrisch-hemiedrische Habitus 
hervor, wenn die vier oben genannten Halbflächner allein in den 
Kombinationen auftreten, oder doch vorherrschen. Die Kombinations- 
ecken liegen dann entweder auch auf den dodekaedrischen Kanten 
(Formel 5) oder den (verlängerten) hesaedrischen Kanten (Formel 3) 
oder auch auf den tetraedrischen Kanten. 

In einer aolchen Kante schneiden aicb beispielsweiee die Flftchen A^B^C^ 
«nd -4, B_„C_„. Diese Kante führt also von A^ nach dem Schnittpunkt tob 
B^ C^ und B_„C_„, der auf der rhombischen Zwischenase liegt und die ans 



1 



abzuleitenden Werte 



hat Der Schnittpunkt zweier tetraedischer Kanten wOrde mitBerOcksichtigung 
verBchiedener Centraldistanzen die aus 



d^ d^Y^ 



1^ « ^ 



zn berechnenden Werte 



ätdtVz did,V2 






a,d. 



a-^)-{^-^) 



Die folgenden Zeichnungen stellen die gewöhnlichsten Kombina- 
tionen mit vorherrschendem Tetraeder dar. 

Fig. 114 zeigt das Tetraeder + ^ mit durch das Gegentetra- 
«der — Y in der Centraldistanz 2 abgestumpften EkAen. Die Form 



DigmzedbyGoOgle 



würde ebenso gut ein verzerrtea Oktaeder darstellen, falls nicht etwa 
die Flächen — -^ durch andere Beschaffenheit, etwa Kauheit oder 
Glanz, sich von den Flächen + -^ unterschieden. Die Kanten von 

Y sind von den Ecken aus in glei- 
chem Verhältnis (auf |) verkürzt. 

Fig. 115 zeigt die Kombina- 
tion »Ooo (1) mit +^ (J). Der 
Würfel stumpft die Kanten des 
Tetraeders ab, seine Kanten sind 
durch das Tetraeder auf -s- verkürzt. 

Fig. 116 ist die Kombination 
+ ^(l)mt + -J (i). D.B ^^,„ 

Pyramidentetraeder schärft die Kan- 
ten des Tetraeders zu. Das letztere stumpft die trigonalen Ecken 
des erster^ ab und verkürzt seine bexaedrischen Kanten auf die 
Hälfte. 

1 T + (- ^) 
Die EooTdinate z wird dabei = j-, nämlich 5 . Setzt man 

diesen Wert in Formel 3 (§ 86) ein, so erhUt man den Wert für d, = %. Bei 

2 4 

Fig. 115 ist 2 = — s- und deslialb d, = -5-. 



Fig. 115. Fig. 116. 

Fig. 117 ißt die Kombination 0= ö (1) mit + y (y). Das 
Khombendodekaeder spitzt die Ecken des Tetraeders dreiflächig zu. 
Daasrfbe wurde durch Deltoiddodekaeder — ^ geschehen , doch 
wären die Winkel andere. 

DigmzedbyGoOgle 



Die Eombinationsecken auf den Tetraederlunten haben die Koordinatea 
TK: nach Formel 7) « = -5-, y = -j-t ' = — ö- I*'^ Kanten des Dodekaeders 
und auf -^ TerkQrzt., 

Fig. 118 ist ein Beispiel einer mehrzähligen Kombination, näm- 
Ucli + ~ (1), 0=0 {-|-), ^ (^). Dass das Trigondodekaeder 



lele Kombinationskanten bat, also tautozonal ist. Dasselbe gilt für 
—g- und das seine Kanten abstumpfende Deltoiddodekaeder. 



. 1 1,1/1 1 \ . 1 1 



Fig. 117. Flg. 118. 

Die Fl&chen ^( S, C,, ^, £, C^ und A^ B, Cm li^n in einer Zone, folg- 
licb ist 

' 4 T 
T > T 
1 1 4- 

und m = |. 

Die trigonalen Ecken der Eombiuation haben die Eoordin&ten: x = y = 
23 3 23 j. . , j , ^ 3 13 

' - 18 ■ T= 48- '" «»««l'i«'*«» » = » = -' =T - T = T- 
TK: . = l,y = -. =i, DK, , = -1-, , = . = A, 

Die 24 Obrigen Ecken sind solche, in denen Ton jeder der 3 Formen je 
eine Ftftche auftritt, beispielEweiae^BjC,, A,B, C^j wii A, B,.C>/,; sie haben 

die nach der allgemeinen Formel (§ 80) berechneten Koordinaten x =-^, 

y = -5-, * = -ö- Würde man diese drei Werte auf alle Artflu umstellen, so 

wOrde man die Koordinaten von 48 Ecken erbalten, von diesen kommen jedoch 



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— 97 - 

nur die 24 Ecken in der Figur vor, welche in die Oktanten fallen, welche man 
als negativ bezeichnen kann; das Produkt auB den drei Werten musB immer nega- 
tiv bleiben. Ebenso müBsen die Umstellungen für die tlbrigen Ecken immer nur 
BO gemacht werden, dass daa Produkt sein Vorzeichen behftlt, also fOr die trigo- 
nalen Ecken und die EombinationBecken auf den dodekaedtischen Kanten positiv, 
for die Übrigen negativ ist 

Für eine fiftchenreichere Kombination (Fahlerz von Dillenburg, Naumann- 
Zirkel, Mineralogie, Fig. 9) möge hier statt Zeichnung nur die Anweisung dazu 

„, , 202 /35\ , „ /5\ ,/7\ 202/4-. 
folgen: l ^ ^- (—j , f= ^ 0:.{^) . . =a>0{-^), r = (-j, 

s = oo 3 (1). Zur Bezeichnung der'Ecken genügt die Angabe von drei in den- 
selben zusammenstossenden Flächen, zur Bezeichnung der Kanten die Neben- 
einandersl eilung der zwei zu verbindenden Ecken: 



Ecken 


' 


y 


■' 


Anzahl 


1) r.r.r 


1_ 


z_ 


f 


4 


2) f-o 


io 


-nr 


w 


12 


S) ro. 


4- 


f 


-s- 


24 


i) .Ol 


T 


i 


w 


24 


6) ..M 


A 


T 


T 


12 


6) ,lf 


i- 


T 


i 


24 


7) ;(. 


1 


Tir 


i 


12 


8) Itt 


-S- 


-fi 


-f- 


4 



Kanten rrr — rro also 1—2, femer 2 — 3, 8 — 4, 3 — B, 4 — 6, 5 — 6, 
4 — 7, 7 — 8, 6 — 6 [Verbindung der gleichen Ecken in gegenOberliegenden Ok- 
tanten). Im ganzen 116 Ecken und 180 Kanten bei66FI&chen {e -{- f = k -^ 2). 
Eb empfiehlt sich, die Ecken bei dem Aufsuchen gleich wie oben zu nummerieren. 
Die Figur stellt den Erjstall um 90 " verdreht dar, weil dabei die meisten Flächen 
gut sichtbar werden. Bei anderer Stellung sind sämtliche Vorzeichen umzukehren. 



DigmzedbyGoOgte 



XII. Kapitel. 
Kombinationen an hezagonalen Erystallen. 

§ 95, Holoedrische Formen. Der Habitus der hexagonalen 
Kristalle ist pyramidal oder prismatisch, d. h. säulen- und nadeiförmig 
oder tafelartjg, je nachdem Pyramiden oder Prlsmea oder die Flächen 
des basischen Pinakoides vorherrschen, welches letztere dann der Fall 
ist, wenn die Centraldistanz dieser Flächen gegenüber der der an- 
deren Formen sehr klein ist. 

Die Eombinationsecken fallen entweder in den b&siscben oder einen pri- 
mären oder sekund&ren Hauptschnitt nnd sind dann mit Hilfe der Formeln 1, 2 
und 3 (§ 86) zu berechnen (wobei der in den Determinanten ursprOngUch vorkom- 
mende, bei den Koordinaten Belbet aber wegfallende Faktor V^ wegen des Win- 
kels von 60" durch VT zn ersetzen ist), oder es sind Zwischenecken, welche mit 
Hilfe der allgemeinen Formel (§ 80) berechnet werden, wobei die Bezeicbnung der 
Flächen wie in den abrigen Systemen dnrch nor drei Axenabschnitte genagt. 

Eine Linie, die bei der Auswahl von zwei Axen als A^ Bn bezeichnet wird, 
ist bei VertauBobong einer Ase mit der dritten als Ä^ B, oder alB An B, zn be- 
zeichnen und dementsprechend ändern sich die Werte der Koordinaten der Schnitt- 
punkte. Sind diese bei der ersten Auswahl der Axen x und y, so sind die Werte 
im zweiten Fall x, = *-|-yi Vi = — y. im dritten Fall Xj = x-^-y, y, = r. 
Es hat z. B. in Fig. 120 der Schnittpunkt von o^, s" und q" die Koordinaten 
J' = I. y = s o<ler «1 = 3f yi = 3 oder «3 r= J, y, = -|, je nach Wahl 
der Axea. 

Eine grosse Mannigfaltigkeit in den Formen entsteht dadurch, 
dass für jedes Mineral das Verhältnis a : c einen besonderen Wert 
hat, also bei verschiedenen hexagonal krystalhsierten Mineralien im 
allgemeinen verschieden ist. Ist es für zwei Mineralien von ver- 
schiedener Zusammensetzung gleich, so nemit man die Mineralien 
isomorph, gleichgestaltet. Da das Verhältnis a:c stets irrational 
ist, so lässt sich die Länge der Äxen durch Messen nicht absolut 
genau, wohl aber beliebig genau angeben. 

Bei den Kombinationen ist wie bei den einfachen Formen stets die Lange 
der Zwischenaxe = 1 (= 9 Quadratseiten) gesetzt und demnach Ci = — ^ — 
(= 10,4 Quadratseiten), und c, = — ^— c. 

Dniitizc-ctvCioogle 



Id Fig. 119 ist eine fiächenreiche Kombination am Beryll 



dargestellt und zwar m = oo P(l), 

3-P-rC^)- Das durch Winkelmes- 
sung bestimmte Verhältnis a:c ist 
1 : 0,4999. 

SeUt man, wie dies in der Fignr 
geschehen ist, die L^ge dec Hauptaxe 
gleich 5, so w&rde das Yerh&ltnis a:c = 
10,4 : 5 = 1 : 0,481, was eine DifEarenz er- 
giebt, welche kleiner ist, als die beim 
Zeichnen ohnehin gemachten Fehler. Die 
Lage der Ecken ergiebt sich aus der fol- 
genden ZosammeDstellung , die Fl&chen 
sind mit Bachetaben, wie in der in Fig. 130 
dargestellten Nonnalprojelc^on bezeichnet. 



»' = 2P(S), » = P(3), 



Ecken 


X 


y 


» 


,..■ 





l- 


Ji 


oo'S' 





r 


T 


,-.^ 





f 


15- 


5'.'o' 


i 


f 


ai 

-TT 


ä-.o' 


i 


-5- 


Sa 


0^8'»! 


l_ 


i 


17 


«s-w 







w 



Fig. ISO. 



Bei der Normalprojektion hexagonaler Erystalle kommt das 
Verhältnis a : c nicht in Betracht. Die Prismenflächen projicieren 
sich als gerade Linien, die parallelen Kanten bleiben aach in der 
Projektion parallel, so dass das Kennzeichen der Zonen erhalten 
bleibt. In dem gewählten Beispiel liegt jede Fläche in zwei oder 
drei Zonen, weshalb sich aus dem Axenverhältnis einer der Pyramiden- 
flächen die Bezeichnung aller übrigen Formen berechnen lässt. 

§ 96. Pyramidat-hemiedrische hexagonale Formen. 
Der pyramidal-hemiedrische Charakter einer Form tritt nur dann 
her\or, wenn Pyramiden oder Prismen der Zwischenstellung daran 



/'irjr i\fiC,oog\Q 



auftreten. Als Beispiel möge die am Apatit beobaclitete Kombi- 
nation Fig. 121 dienen: F = oP(^), a = P2 (f ), x = P(-!f), 
s = 2P2(^), .i=3P|-(l), 
. = 2P(f), e=„P2(Jl), 

»=»-Pt(-S-). ■»'=«P(1). 

Die Wahl einzelner Sucbstaben zur 
Bezeichnung bestimniter Flächen an Stelle 
des Symbols in Zeichnungen ist allgemein 
üblich , doch werden von verschiedenen 
ForBchem Terschiedene Buchstaben ge- 
wählt {Fig, 120 nach Groth, Fig. 121 nach 
Naumann u. a.). Die Bezeichnung der 
Fig. 121. Ecken wird dadurch sehi erleichtert. Bei 

der Berechnung der Koordinaten derselben 
empfiehlt es sich, eine Reihenfolge zu wUilen, wie im folgenden, in welchem Fall 
man unter die Determinante aus den reciproken Ableitungszahlen der drei ersten 
Flächen meistens nur die aus den reciproken Ableitungszahlen der folgenden 
Fläche gebildete Reihe zuzusetzen hat, dann die nächste u. b. w. 





Ecken 


X 


y 


z 


1. Poa; 


--k 


T 


|- 


2. 


a^. 


~ii 


5S 


lü 
T 


3. 


.». 


17 


B 


\ 


4. 


geM 


-■ir 


1 


i- 


5. 


sMu 


2 

-T 


1 


T 


6. 


Mae 


1 
-T 


1 


-3- 


7. 


uec 


18 


i- 


|- 


8. 


cuM^ 


2 
B 


i 


T 


9. 


«Jtf, «, 


a 


1- 


s 

1- 


10. 


„*.«, 


■T 


A 


T 


u. 


«^.« 


SS 

»0 


W 


88 


12. 


.,.« 


1 

15 


47 
00 


10 


13. 


«1 aP 


h 


IS 
3Ö 


T 



D.,.Ei.ct,Googlc 



— 101 — 

In Fig. 121 sind nur die voa Tornsichtbarea Punkte und Kanten 
gezeichnet. Auch bei dieser Kombination ergeben sich die Symbole 
aller Formen aus dem Zonenverband, wenn eine der Pyramidenflächen 
bekannt ist. Das Prisma dritter Ordnung stumpft die Kombinations- 
kante zwischen den Prismen erster und zweiter Ordnung schief ab, 



bildet dagegen mit « = =i 

i = 4 und i 



-■ horizontale Komhinationskanten, hat 



§ 97. Skalenoedrisch-rhomboedrische Formen. Unter 
den Kombinationen von Skalenodem mit Rhomboedern haben beson- 
deres Interesse diejenigen, bei welchen die Kanten von Rhomboedern 



Fig. 122. 



Fig. 123. 



durch die Flächen von Skalenoedem zugeschärft werden. Es schärft 
jedes Skalenoeder die Mittelkanten seines „Rhomboeders der 
Mittelkanten" zu, für welches m, = — — -^ gefunden wurde 
(§ 60, Fig. 58). Ausserdem scMrft jedes Skalenoeder noch die Pol- 
kanten von zwei Rhomboedern zu, welche man als „Rhomboeder 
der längeren und der kürzeren Polkanten" zu bezeichnen 
pflegt. 

Du Zeichen des Rhomboedere der längeren Folkanten, Fig. 121, Iftsst Bich 
mit der aua den reciproken AbleitimgszahUn von J, BnCm, AnBiCm und 
AiS^Cm, den in einer solchen Kante EasammenstOBsenden Flächen, gebildeten 
Determinante als Zonengleichung berechnen: 



1 



i(' 



-'ST?+ 



-il — —\ und t«, = »I /l + ii, also bei 

■D,i,.„ab,GoOglc 



— ~- ist m, = 5; es ist daher — 6A das Rhomboeder der längeren Polkanten 
von Ä, = — 2-, 

In einer kürzeren Polkante des Skalenoedera (Fig. 123) Btosaen z. B. die 
Flächen ÄnB,Cm, A-hB„ C„ und -4,B, C™, zusammen. Daher: 



= 0. Die Auflösung der Gleichung ergiebt 
, also ist z. B. 4B das Rhomboeder der kürzeren Eaoten 



8f f 



von £, = 

Die Längen der Hauptaxen der drei einem Skalenoeder einzu- 
schreibenden Rhomboeder verhalten sich wie 

2— rt:2»— 1;«+1 
d. h.; Die Hauptase des Rhomboeders der längeren Polkanten ist so 
gross wie die beiden Hauptaxen der Rhomboeder der kürzeren Pol- 
kanten und der Mittelkanteo zusammen genommen, so dass, wenn 
zwei der Hauptaxea bekannt sind, die dritte sich leicht berechnen 
lässt 

Fig. 132 zeigt das Rhomboeder — 5if in der Centraldistanz ^, Fig. 123 
die Kombination von R, (1) mit 4 B (1) mit dem Verh&KniB a:c= 1: 0,866 (bei 
Kalkspat 1:0,310) in der Hälfte des gewöhnlichen Maaastabes. 

Eine Abstumpfung der Mittelecken der Skalenoeder wird auch 
durch das Prisma erster Ordnung bewirkt. 

Die Koordinaten der Kokpunkte auf den Polkanten werden in diesem Fall 
wie bei Fig. 123 berechnet, und zwar die Funkte auf den längeren Folkanten 

wie bei den holoedrischen Formen nach Formel 3 (§ 86): a: ^ y = -^, s = — , 

1 3 3 

bezw. X = j/ = 1, z= — . Die kürzeren Polkanten führen von einer Polecke 

nach dem Schnittpunkt zweier durch einen dazwischenliegenden Sextanten ge- 
trennter Basiskanten, z. B. A, Ba und AtB^, der anf der Zwiacheniute liegt, und 



a der Determinante 



i"" 

Die von der entgegengesetzten Polecke ausgehende längere Polkante schnei- 

det diese Zwischenaie in der Entfernung — - — — . Die Koordinaten des Schnitt- 
'+^ 



ponktes lassea sich aus der Determinante unter BerOCküchtigimg der Central- 
diataDzen berechneo: 






für — H-^(l) ind i»P(l) dagegen « = y = -„-, 2 = — 1. Die abBtnmpfenden 
Flächen sind in beiden Fällen Deltoide. 

Das Prisma zweiter OrdnUDg, welches bei der rhomboedrischen 
Hemiedrie nicht verändert wird, erscheint in Kombination mit den 
Skalenoedem derart, dass es die Mittelkanten derselben abstumpft. 

Die Zeichnung einer Bolchen Kombination kommt am einfachsten so zastand, 
dasB mau durch alle Mittelecken des Skalenoedere (Fig. 58) mit der Hauptaxe 
parallele, unter dch gleich lange PriBmenkanten zieht, und die untere Folecke am 
dieselbe Strecke weiter nach unten setzt. Beträgt diese Strecke, wie bei Fig. 58, 

drei Quadrataeiteu, so erhält man die Kombination R3 (-0-) .a>P2 (]). 

Als Beispiel einer Kombina- 
tion von stumpferen und spitzeren 
Rhomboedern in verschiedener Stel- 
lung möge der in Fig. 124 dar- 
gestellte Chabasitkrystall in der 
ForaP = +Ji(l),r = -|iJ(«), 
n = — 2 B (I) dienen. Das Rhom- 
boeder ( — ^E), welches die Pol- 
kanten (von + E) gerade abstumpft, 
heisst das erste stumpfere, das- 
jenige, dessen Kanten durch das Fig. 124. 
Rhomboeder (+ Ä) abgestumpft 
werden ( — 2R), das erste spitzere Rhomboeder. 

Das erste stumpfere Rhomboeder ist stets das Rhomboeder in 
entgegengesetzter Stellung, dessen Hauptaxe halb so gross ist, das 
erste spitzere dasjenige in entgegengesetzter Stellung, dessen Haupt- 
axe die doppelte Länge hat. 



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— 104 — 

Die Kante der Flächen A,BiCm uai A-iB^Cm, also diePolkaote von 
mB, wird abgestumpft durch die tautozonale Fläche -^^x-^i ''"•ii welche in dem- 
selben Raumteil liegt, irie die abgestumpfte Haute. Aus der Determinante der 
reciproken Ableitungszahlen 



I 1 ^- 

— 10-^ 

1 -L 



: 0, folgt — = 0, also fl 



Far den Chabasit ist a : c = 1,0858 (darnach wftre c in der Zeichnung 
= 11,284, wofür 11,25 genommen wurde). Die Koordinaten der vier verschiedenen 
Ecken sind: für die Polecke rr»-: 0,0, 4^: für rrP: 4-.-^.4r; rPn: 



Die Mittelecken der Ehomboeder werden durch die spitzeren 
Rhomboeder in entgegengesetzter Stellung abgestumpft; durch das 
erste spitzere Rhomboeder in der Weise, dass die in der Ecke zu- 
sammenstossenden Kanten in demselben Ver- 
hältnis verkürzt werden. 

Die Polecken werden durch die Basis ab- 
gestumpft. Besonders häufig sind die Kombi- 
nationen ffl R (1), R (~) bei denen die Basis 
durch die Mittelecken geht, z. B. Kalkspat 
— 4B(1), oB(J) und Manganspat 4fi(l), 

Die' Abstumpfung der Mittelkanten erfolgt 
Fig. 125. wie bei den Skalenoedem durch das Prisma 

zweiter Ordnung qo P2. 
Auch die Pyramiden zweiter Ordnung werden bei der rhombo- 
edrischen Hemiedrie nicht verändert und treten in der vollen Flächen- 
zahl auf. Als Beispiel diene die am Eisenglanz häufige Kombination 
Fig. 125. ^P2(l), R(l), ^B(3). Die Mittelecken werden durch 
die Pyramide zweiter Ordnung zugeschärft, die Polecke durch die 
stumpfere Pyramide zugespitzt, 

unter den Kombinationsecken sind die sechs primären BasiseckeD. 
Hierzu kommen auf den sekundären Polkanten die Ecken mit den Koordinaten 
-^, -^, — ^ und y T ' — ¥' U™ *'° richtiges Bild eines Eisenglanzkrjstalla 
zu erhalten, muss man a:e möglichst gleich 1: 1,359 wählen, also als Einheit 
der C-Axe 14, statt 18, was einem Asenverhältnis 1 : 1,732 entspricht. 



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— 105 — 

§ 98. Trapezoedrisch-tetartoedrische Krystalle. Wäh- 
rend trapezoedrisch-hemiedrische Formen bis jetzt nur an zwei künst- 
lich dargestellten Salzen (Rechtsweinsaures Antimonyl — Baryuni + 
salpetersaures Kalium und das analoge Bleisalz) aufgefunden wurde, 
giebt es einige trapezoedrisch-tetartoedrische Substanzen, darunter 
der Zinnober und der Quarz. Ein Krystall des letzteren möge als 
Beispiel dieser Art von Tetartoedrie dienen 
(Fig. 126). Der tetartoedrische Habitus zeigt 
sich au diesen Krystallen äusserlich nur bei 
dem Auftreten von Flachen der zwölfseitigen 
FjTainiden und der Pyramiden zweiter Ord- 
nung, welche dann nur mit je sechs Flächen, 
als tetartoedrische Trapezoeder — x^ bezw. 
trigonale Pyramiden — s — erscheinen. Dabei 
erscheinen an einem Krystall nie rechte und 
linke Trapezoeder - und trigonale Pyramiden 
derselben Art, sondern nur rechte positive 



mit linken negativen und umgekehrt. Dar- pjg, i26. 

nach unterscheidet man überhaupt rechte 

Krystalle, wie Fig. 126, bei denen die Trapezoeder und trigonalen 
Pyramidenflächen rechts von -\- R liegen, und linke, bei denen sie 
links davon liegen. 

Die häufig, aber stets untergeordnet, vorkommende trigonale 
Pyramide ist s = —j — , wie aus den parallelen Kombinationskanten 
mit P = -f- B und r = oa P folgt Die Trapezoederflächen liegen 
mit — ^ — und z = — JJ und oo P in einer Zone und gehören dar- 
nach allgemein zu den Trapezoedem mP- ^. , von denen x = ß-Py 
am häufigsten auftritt. + R und — R treten nur selten mit gleicher 
Centraldistanz auf. Die Kante P . r wird durch 3 R oder i It, die 
Kante e . r durch — IR oder —IIB abgestumpft. Die abwechseln- 
den Prismenkanten werden zuweilen (Cörrara) durch schmale Flächen 
des trigonalen Prismas ^ — abgestumpft. 

Fig. 126 ist die Kombination r = qoP(1), P = + B (|), 
. = -^(l),» = Mi(l),. = i£i(§),»:»^l:.,.5a2) 
statt 1 : 1,0999. 

D„.„ab,GoOglc 



Ecken 


^ 


y 


« 


PPP 








T 


PPz 


-T 


T 


T 


PzS 


-T 


lö 


17 
20 


Pax 


ii 


w 




B.r 


"Isö 


1 


ir 


.rr 





1 


T 


xrP 


i_ 


i_ 


T 


s.r 


~"2Ö" 


1 


9 

T 


zrP 


_ S 


1 


^ 


rPr 


' 





T 



§ 99. Rhomboedrisch-tetartoedrische Krystalle. Ehom- 
boedrisch-tetartoedrische Krystalle werden als solche daran erkaniit, 
dass Rhomboeder verschiedener Ordnung 
an ihnen auftreten. Derartige Kry- 
stalle, die Rhomboeder dritter Ordnung 

-^ = ~T^^ (™g'- § 6*>) 
' neben dem Rhomboeder erster Ordnung 
— 2 B zeigen, welche erstere die Hälfte 
der Kombinationskanten zwischen den 
letzteren und dem Prisma zweiter Ord- 
nung CD P 2 abstumpfen und sich da- 
durch als Halbflächner der Skalenoeder 
erkennen lassen, finden sich am Dioptas 
Fig. 127. 



Fig. 127. 
liat folgende Ecken: 



Die Kombination m = 
— 2Ä{2), s = 2^: 



oP2(l), r = 



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Ecken 


" 


y 


- 


.„• 








4 


rr, 


-j- 


1 
T 


3 


r.» 


2» 


W 


i»- 


.»» 


|. 


i 


Sl 


™„. 


2 

T 


i 


— ^ 


»"■ 


f 


1 


-X 



§ 100. Hemimorphie an hexagonalen Krystallen. Als 
Beispiel einer hexagonalen hemimorphen Substanz diene ein Krystall 
von Turmalin, Fig, 128, welches Mineral von einer Eigenschaft, die 
allen hemimorphen Substanzen zukommt, dass sie nämlicli beim Er- 
wärmen polar elektrisch werden vor 200 
Jahren schon den Namen Aschenzieher be- 
kommen hat. Man nennt das Ende der Äxe, 
welches beim Erwärmen positive Elektrizität 
zeigt, den „analogen" Fol, dasjenige welches 
dabei negativ elektrisch wird, den „anti- 
logen" Pol. (Beim Abkühlen wird der 
erstere negativ, der letztere positiv elek- 
trisch). 

Da der Turmalin rhomboedrisch krystal- 
lisiert, treten bei der Hemimorphie das di- Fig. 128. 

faexagonale Prisma und das primäre Prisma 

nur mit der Hälfte ihrer Flächen, also als ditrigonale und trigonale 
Prismen auf, weil von den 12 bezw. 6 Flächen, welche jene Formen 
auch bei der Hemiedrie zeigen, die eine Hälfte dem oberen und die 
andere Hälfte dem unteren Ende des Krystalls angehört. Das Prisma 
zweiter Ordnung tritt dagegen vollflächig auf. Der analoge Pol ist 
der Pol an dem + B, auf die Flächen des trigonalen Prismas auf- 
gesetzt ist (unten in Fig. 128) und nicht auf die Kanten. 

Die Kombination ist s = <»P2(1), p = xP-|^(^), l = 
<»P(1), P = -i-B(3), = — 2B (nur am antilogen Pol), r = 
— i ij (-y-) (nur am analogen Pol), a:c = 1 : 0,4474 (in der Zeich- 
nung e = 4 1 also a:c = l: 0,4487). 



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Ecken 


. 


y 


^ 


1. PPP 








8 


2. PPo 


s 
T 




18 


3. Pol 


s 


f 


T 


4. Pps 


T 




13 

— 


5. «sP 


e 


-1- 


Y 


ß. ssr 


s 
s 


1 


^f- 


7. «fP 


17 


ir 


_ <fl 


8. Plp 


T 




— 2 


9. rPr 


f 


1 

T 


_ 19 


10. rrr 








~"H" 



Bei den Ecken 4, G, 6, 7 sind die Koordinaten auf andere Axen bezogen 
{TCrgl. § 95). 

Da bei den trapezoedrisch-tetartoedrischen Substanzen in den 
Richtungen der Nebenaxen HemimorpMe vorhanden ist, so ist zu er- 
warten, dass z. B. bei Quarz die Nebenaxen die elektrischen Axen 
sind. In der That fUllt bei diesem Mineral der analoge Fol stets 
an die Kante, an der die Trapezoeder und trigonalen Pyramiden 
erscheinen. 

Die Fluren 122 — 128 zeigen Krystalle von trigonalem Cha- 
rakter. 



XIIL Kapitel. 
Tetragonale Krystalle. 



§ 101. Holoedrische tetragonale Krystalle. Die tetra- 
gonalen Krystalle sind wie die hexagonalen pyramidal, prismatisch 
oder tafelartig, je nachdem die Pyramiden und Prismen oder die 
Basis vorherrscht. Als Beispiele der ersten Art können die in den 
Fig. 98, 100 und 101 abgebildeten Kombinationen dienen. Prisma- 



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— 109 — 

tische Krystalle zeigen oft nur ein Prisma, das durch die Basis oder 
eine Pyramide geschlossen ist. Ist die letztere von gleicher Ord- 
nung, so sitzen die Flächen derselben auf den Flächen des Prismas 
auf, ist sie anderer Ordnung auf den Kanten desselben, und kann 
dann die Kombination einem Bhombendodekaeder ähnlich werden. 
Ist die Basis vorherrschend, d. h. ist die Centraldistanz von o P re- 
lativ klein, so werden Krystalle tafelartig. 

Als Beispiele Säcbenreicherer Kombinationen mögen Fig. 129 
und Fig. 130 dienen. Fig. 139 stellt eine Kombination des Zinn- 



Fig. 129. Fig. 130. 

erzea dar: «P(^), coPoc (1), «PS (^), P(-^), Po. (2), a:e = 
1:0,666 (statt 1:0,672). Das ditetragonale Prisma ooP 3 stumpft 
die Komhinationskante zwischen dem primären und sekundären Prisma 
schief, die Pyramide zweiter Ordnung Pcc die Polkanten der Pyra- 
mide erster Ordnung P gerade ab. 

Ausser der Polecke (0, 0, 2 c) sind noch dreierlei Kombinations- 
ecken vorhanden: 

Fig. 130 zeigt eine Kombination des Zirkones a>P(|-), '»■P«' (f). 
3P3(Ji),i>a),3i.(^). 

Die ditetragonale Pyramide schärft die Polkanten der pri- 
mären Pyramide von gleichem i» zu, also 3 P3 die Kante von 3 P; 
dagegen schärft dieselbe Pyramide die Polkanten derjenigen sekun- 
dären Pyramide zu, deren m halb so gross ist, also 3 P3 die Kanten 
von I-Poo, Die Grösse von n in mPn lässt sich in diesem Fall 
aus der Lage in der Zone von P und ooPco bestimmen, in der alle 
mPn liegen bei denen m ^ « ist. 

DigmzedbyGoOgle 



— 110 — 

§ 102. Pyramidal-hemiedrische Formen. Der pyramidal- 
hemiedrische Charakter tritt an Krystallen nur dann hervor, wenn 
Prismen oder Pyramiden der Zwischenstellung nehen Pyramiden und 
Prismen erster oder zweiter Ordnung auftreten. Als Beispiel kann 
Fig. 131 dienen, welche einen Krystall des Scheelit (Wolframsaurer 
Kalk) in einer Stellung wiedergiebt, bei der die vorherrschende Pyra- 
mide eine solche zweiter Ordnung ist, während die untergeordnete 
Pyramide P als erster Ordnung gewählt ist, weil parallel zu ihren 
Flächen deutliche Spaltbarkeit vorhanden ist. Die Fig. 131 zeigt 
digt die Kombination e = P<x{\}, h = y -^ (sf)' " ~ "^{"9")' 
s = -''-. ^^ (^^^y, a:c=l: 1,555 statt 1 : 1,536. ^ liegt links, 
— „— rechts von F, alle drei Flächen mit Pi» in einer Zone. 



Fig. 131. Fig. 132. 

Die Eombinationsecken in Fig. 131 haben folgende Koordinaten: Die Ecken 
im basischen Hauptachnitt (e, e, h) 1, -|-, 0; (h,h, o) -^, ~, 0; {o, o, s) -|-, 
■j|-, 0; (g, «, e) — , 1, 0; die Ecke im aekundären Hauptschnitt (e, e, A) 
T' T' T ' **'* ZwiBchenecken (e, A, o) — , -^, -j— , und (o, e, s) —, -j^-, -^. 

In Fig. 132 ist die Kombination der Pyramide P mit dem Prisma 
dritter Ordnung — n — ( ög ) dargestellt, welche sieh am "Wulfenit, 
(Molybdänsaures Blei) oft noch mit hinzutretender Basis, findet.. Das 
Prisma stumpft die Basisecken schief ab. Da die oberen Pyramiden- 
und Basisflächen hierbei gewöhnlich eine andere OberflächenbeschafTen- 
heit zeigen, als die unteren, auch zuweilen an dem unteren Ende 
noch andere Formen hinzutreten, so bietet der Wulfenit ein Beispiel 
von Hemimorphie im tetragonalen System. 



DigmzedbyGoOgle 



— 111 — 

Aadere Beispiele sind kOnstlich dargestellte Yerbindimgen, wie das gleicb- 
falls hemimorph-hemiedriBcke Rechtsveinsaure Äntimon;l-Baryum und das bemi- 
morph boloedriBclie Succiqjodimit und Fenta-ErythriL 

Die Kombinationsecken auf den Polkaaten Fig. 132 baben die Koordinaten 
d' **' i)' ^'™ basischen Hauptschnitt (||, --A., o) und (i-, |-, o), 
a : c ist ebenfalls 1 ; 1,555 statt 1 : 1,677. 

§ 103. Sphenoidisch-hemiedrische Formen. Als Beispiel 
einer sphenoidisch-hemiedrischen Substanz kann der Kupferkies 
dienen. Derselbe zeigt nahezu reguläre Dimensionen a:c = 1 : 0,986, 
80 dass, wenn die beiden Sphenoide mit gleicher Centraldistanz auf- 
treten, eine Form erscheint, die sich von einem Oktaeder nur da- 
durch unterscheiden lässt, dass die Flächen von -|- -^ gewöhnlich 



Fig. 133. Fig. 1S4. 

rauh oder gestreift die von — -s- glatt zu sein pflegen. Fig. 133 
zeigt die beiden Sphenoide — -^ 0)^ + T" ^^^ ™**' *^®™ Prisma 

zweiter Ordnung ao Poo (»). Fig. 134 ist die Korabination s- (1), 

+ -f- (1), P 00 (-ll), 2Poo(-^), oP(~'j und zeigt bei gleicher 
Centraldistanz von t}- — und — -^ holoedrischen Charakter. 

In Fig. 133 sind nur zweierlei Ecken, vier mit den Koordinaten x = -^, 
y = -ö", 2—1, und 16 mit den Koordinaten (-^, -^, -;1, In Fig. 134 sind 
dreierlei Ecken, je 16 mit den Koordinaten/ - , ----, —\, (-^, -, --l und 



a.|.«)- 



«bjGooglc 



— 112 — 

Beispiele von trapezoedrisch-hemiedrischen tetragonalen 
MiDeralieo sind bis jetzt in der Natur nicht aufgefunden. Einige 
künstlich dargestellte Verbindungen, welche äusserlich holoedrisch 
krystallisiert zu sein scheinen, sind als hierher gehörig teils an sog. 
Aetzögureu, teils an der Cirkularpolarisation , welche nur enantio- 
morphen Substanzen zukommt, erkannt worden. Beispiele davon sind 
u. Ä. das achwefelsaure Nickel und das schwefelsaure Strychnin. 



XIV. Kapitel. 

Komtimationen an Erystallea ohne Hanptaze. 

g 104, Holoedrische Formen des rhombischen Systems. 
Die Mannigfaltigkeit der Formen ist im rhombischen System ausser- 
ordentlich gross und zwar nicht bloss wegen der grossen Zahl der 
Pyramiden, Prismen und Domen, sondern 
auch wegen der Verschiedenheit der 
Grundform selbst bei den rhombischen 
Mineralien, und der Möglichkeit verschie- 
dener Aufstellung desselben Krystalls, 
Auch die Anzahl der rhombisch krystal- 
lisierten Mineralien ist ausserordentlich 
gross. Es möge gentigen, einen Krystall 
darzustellen, an dem die verschiedenen 
Arten von Formen vertreten sind. Fig. 1 85 
ist die Kombination cc P cc (J), oo ^oo (|), 
^'^" ^^^' 0P(2), ^Pii), P(|), Po^a), 2i*»{4), 

bei der das Axenverhältnis a:b:c = 0,5:1:0,556 angenommen ist 
(Oüvin o : 6 : c = 0,466 ; 1 : 0,5866). 

Die drei Arten von Ecken haben die Koordinaten (x ■= -^ a , y = ~, 

—). (4-. |. •).(!«. |.-)- 

Hierbei treten die drei wichtigsten Zonen, die Zone der Prismen, 
der Makrodomen und der Brachydomen hervor. Die Makroprismen 
würden an der Form die Kombinationskante des primären Prismas 
xP und Makropinakoides odPco, die Brachyprismen dagegen die 



.öbyGoogle 



— 113 — 

Kante zwischen oo P und x JP a> abstumpfen. Die Kombinations- 
k^ten in der Zone der Makrodomen wdrden durch steilere und 
flachere Makrodomen abgestumpft, spitzere Pyramiden würden die 
Kanten zwischen P und co P abstumpfen, Makropyramiden die Kanten 
zwischen P und Poo, Brachypyramiden diejenigen von P und P -x.. 
Die Ecken der Form würden durch stumpfe Vertikalpyramiden bezw. 
durcli spitze Makro- und Brachypyramiden abgestumpft werden. 

§ 105, Hemiedrische rhombische Krystalle. Als ein 
Beispi el hemiedrischer Ausbildung kann das Bittersalz dienen, 
dessen Krystalle gewöhnlich die in Fig. 136 ab- 
gebildete Kombination «> P, + -s- zeigen, wobei das 
Prisma bei dem Axenverhältnis der Grundform a:h:c 
^ 0,9901 : I ; 0,6709 nahezu quadratisch ist, was 
zu einer Aufstellung veranlassen kann, bei der die 
Prismenflächen als Pinakoide erscheinen. In diesem 
Fall würden die Sphenoidflächen auf der einen Seite 
als Makrodoma, auf der anderen als Brachydoma 
erscheinen. ^'B- ^^^■ 

la der Zeichnung ist a := d = 1 und <: ^ -J angenommen, ccPC-^-) und 
-|- -^ (■§). Der Schnittpunkt der Axen liegt in der Figur in der Mitte zvi- 
schen zwei Linien, so dass die Endpunkte der Vertikalaxe in der Entfemnng 
f c in Eckpunkte fallen. Die Koordinaten der Ewei Arten von Ecken sind 
« = -J, y = 0, ^ = c und X = "i, y = -J, z = -1 c. 

§ 106. Hemimorphie, Auch im 
rhombischen System giebt es mehrere hemi- 
morphe , Substanzen. Die . Fig. 137 stellt 
eine derselben, den Struvit, in der Kom- 
bination xPai (I), Pa> (1), 4Pa>(ii), 
PoD (f) (diese 3 Formen nur am oberen 
antilogen Pol), jPoo (1), 0P(^), die bei- Fig. 137. 

den letzteren Formen nur am unteren, ana- 
logen Pol, dar. Die Ase der Hemimorphie wählt man als Vertikalaxe. 

DasAxenverhUtniBderOnrndforndeBStruTitiBt a:&:c = 0,5636 : 1 : 0,9168, 
wofllr hier 0,555 : 1 : 1 gewählt wurde. Die Ecken haben die Koordinaten 

V> a' '■) \ 9' 18' 9/ \ 9' »' «) \'' 8' V \t' fl' ar 



DigmzedbyGoOgle 



— 114 — 

§ 107. MonokUne Krystalle. Im monoklinen System ge- 
hören zur genauen Bezeichnung der Grundform eines bestimmten 
Minerals drei Angaben, nämlich ausser dem Verhältnis' a:b:c noch 
die Grösse des schiefen Winkels ß, den die jl-Axe mit der C-Äxe 
bildet, und es ist deshalb die Möglichkeit verschiedener Aufstellung 
eine noch grössere als bei rhombischen Krystallen. 

Die Bichtung der echiefpu Axe kann ausser darch die Grösse des Winkels 
auch durch das konstante Terh&ltnis bezeiclmet werden, welches zwischen den 
beiden rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes derselben besteht (Tangente des 
Winkels). In den folgenden Zeichnnngen ist die Klinoaxe horizontal, die Tertikalaxe 
schief gezeichnet. Als Beispiele kOnnen die in den Fig. 138, 139 und 140 dar- 
gestellten Formen dienen, die sich häufig am Oips finden. Das Verh&ltniB, welches 



Fig. 138. Fig. 139. Fig. 140. 

die Sichtung der Yertikalase bezeichnet, ist hier 7:1 angenommen, was einem 
Winkel von 81 ° 5' (ig fi = "}) entspricht, wahrend dieser durch Messui^; 81 " 52* 
gefunden wird. Nimmt man als Endpunkt der Tertikalaxe den Funkt, der 8'/, 
Qnadratseiten nach oben und '/i nach rechts liegt, so entspricht das einer Lange 
von I V'^'l' ■ ¥ = 0,893, wahrend sie 0,416 betragen sollte, a : b ist 0,666 : 1 
statt 0,689 : 1 angenommen. Das dem Winkel der Aien entsprechende VerhUtnis 
findet man mit hinreichender Genauigkeit, wenn man den Winkel mit dem Trans- 
porteur auf quadriertem Papier so auftragt, dass der Scheitel in einen Schnitt- 
punkt Mit und ein Schenkel horizontal liegt. Der andere Schenkel wird dann 
genau oder doch annUiemd durch einen anderen Schnittpunkt gehen. 

Fig. 138 Stent die Kombination — P(l), coP(l), aoP(»(|) 
dar, die häufig an eingewachsenen Krystallen des Gipses vor- 
kommt. Die Flächen der Hemipyramiden bilden einen stompferen 
Winkel, als die des Prismas und lassen sich dadurch von diesen 
unterscheiden. [Ecken sind; (1, 0, 0), (^, -f, 0), (— 4, |, 1), (— 1, 0, 2)]. 
Bei Fig. 139 tritt zu den Formen in Fig. 138 noch die Basis OP(l). 
Die Ecke ( — 1, 0, 2) wird abgestumpft, und es treten als neue Ecken 
(0, 0, 1) und ( — 1, 0, 1) hinzu. Statt der Basis erscheinen auch 
Hemiorthodomenflächen, die ganze Kombination oft mit abgerundeten 
Kanten und Flächen (die sog. Linsen). An aufgewachsenen Kry- 



.öbyGoogle 



— 115 — 

stallen erscheint zuweilen auch die positive Hemipyramide + P. 
Fig. 140 ist die Kombination — P(l), +P(1), <oJ'(V), «PooCJ) 
mit den Ecken (0, 0, 1), (0, i, |), Ü, i, \), Ü, 0, i). 

Bei dem Kalifeldspat Fig. 141 und Fig. 142 ist das Axen- 
verhältnis a:h:e = 0,695 ; 1 : 0,B65, ß — 63" 57. 

In Fig. 141 und Fig. 142 ist c oll Hypotenuse eines Dreiecks genommen, 
dessen eine Kathede (S) doppelt bd gross ist als die andere (2'/,), was einent 
Winkel von 6So 26' eutspriclit und eioei L&nge von 0,631 statt 0,555 i^.a-.h 
= 0,666": 1. 

Fig. 141 zeigt die am Adular gewöhnliche Kombination ooP(l), 
0P(1), +P=»(l)mitdenEcken(l,0,l), (0,1,1), (1,0,0). Fig. 142 



Fig. 141. Fig. 142. Fig. 14S. 

ist von Fig. 141 abgeleitet; indem man die Prismenkanten an dieser 
Figur alle um c verlängert, bekommt P die Centraldistanz |. Ver- 
bindet man die Ecken (0, 1, 1) statt mit (— 1, 0, 0) mit (— 1, 0, — 1), 
so erhält man statt + -Poo(l) das steilere Hemiorthodoma + 2 Poo(|). 
Verkürzt man dann die Kombinationskanten des Prismas mit der 
Basis und dem Hemidoma imd die Kante zwischen diesen letzteren 
Flächen auf die Hälfte ihrer Länge und verbindet diese Punkte, so 
erhält man das Klinopinakoid oo P co (j). Der monosymmetnsche 
Habitus tritt an monoklinen Krystalleu mit Hemipyramiden auch dann 
deutlieh hervor, wenn der Winkel ß nahezu ein Rechter ist, wie das 
beim Augit der Fall ist ß = 89° 38'. Die Zeichnung erfolgt dann 
ganz wie bei rhombischen Krystallen. Fig. 143 ist die an dem Augit 
häufigste Kombination — iP(3), aP(l), ooPoo(^), qoPoo(b). 

Das Äxenverhältnis für Augit ist a : ä : c = 1,058 : 1 : 0,694, wofür 
1,055 : 1 : 0,592, also a = 9 ^, c = 5 1 Quadrataeiten genommen wurde. 

E.i.»dnd (_A,o.4) (4,0.4) (-4,4,4) (4,4,.) 



«bjGooglc 



— 116 — 

Die Hemiedrie des monoklinen Systems, welche dario 
besteht, dass tod den den aUgemeinsten Fall einer Form dieses Sy- 
stems darstellenden Flächen einer Hemipyramide zwei in der Sym- 
Dietrieebene aneinanderstossende Flachen wachsen, während die 
parallelen Gegenflächen verschwinden ist bis jetzt an Mineralien noch 
nicht nachgewiesen, dagegen bilden das Tetratbionsaure Kalium und 
der Faratoluidoisobuttersäurester Beispiele hierher gehöriger darge- 
stellter Substanzen. Die Basis, das Orthopinakoid und die Hemiort- 
hodomen erscheinen dabei als einzelne von den Gegenflächen unab- 
hängige Flächen , die Elinodomen und die Pyramiden in Gestalt 
zweier in der Symmetrieebene anliegender Flachen und nur das 
Elinopinakoid bleibt unverändert. 

Die Hemimorphie zeigt sich im monoklinen System in 
der Weise, dass die Flächen einer Form an dem einen Ende der 
Symmetrieaxe unabhängig von den zugehörigen am anderen Ende 
dieser Äxe vorkommen und die Symmetrieebene damit als solche 
wegfällt, die Synunetrieaxe aber eine elektrische Äxe wird. Wäh- 
rend üatürliche Verbindungen dieser Art bis jetzt nicht gefunden 
wurden, gehören hierher neben dem schwefelsauren Lithium eine An- 
zahl wichtiger organischer Verbindungen, unter anderen die Kechts- 
weinsäure und die Linksweinsäure, das rechtsweinsaure Kalium, 
-Ammonium und -Strontium, Rohrzucker und Milchzucker, 

§ 108. Trikline KrystaÜe. Da im trikliuen System alle 
Formen nur als Flächenpaare auftreten, so kann an und für sich 
jeder Krystall jede beliebige Stellung 
erhalten; doch pflegt man als Axen die 
Zonenaxen der flächenreichsten Zonen 
zu nehmen, oder die Stellung zu wählen, 
bei der die Bezeichnung der Flächen 
eine besonders einfache wird. Häufig 
treten auch Prismen oder Domen voll- 
flächig auf, und ist einer der Winkel 
nahezu 90°, so dass die Aufstellung 
wie bei monoklinen Krystallen nahe 
liegt. Dies gilt z. B. auch für die tri- 
klmen Feldspate, die in ihrem Habitus 
Fig. 144. ^^'^ Orthoklas oder Kalifeldspat sehr 

ähnlich sind, und als triklin nur daran 
erkannt werden, dass Basis und Orthodoma bezw. Makrodoma auf 
dem Klinopinakoid bezw. Brachypinakoid nicht senkrecht stehen 



Dniitizc-ctvCioogle 



117 



und die PjTamiden- und Brachydomen als Viertelpyrainiden und 
Hemidomen auftreten. 

Fig. 144 kann als ein Beispiel einer flächenreichen trilUinen 
Kombination gelten, wie sie z. B. der Kupfervitriol zeigt. Die 
Kombination ist a = ooPoo(l), b = co?a)(l), c = oP(|), 
p' = oo'P(l), p = aoP'(f), q = ,^co(^), q' = 'P, cc (2), 
3"= 2'P, 00(1), o = P,(|), (/ — SP, 3(1). 

Das gewählte Axeakreuz ist aus. der Figur zu ersehen, nur die 
C-Axe erscheint in natürlicher Grösse, die beiden anderen Axen er- 
scheinen ebenso wie die drei schiefen Winkel derselben verzerrt 
Bei dem Kupfervitriol ist a:h:c = 0,5656 : 1 : 0,5499, a = 97 "39', 
ß = 106 '49', j' = 77" 37', wenn die entspreehetide Aufstellung ge- 
wählt wird. 

Die Kordinaten der Ecken, die vrie die Flächen stets nur paar- 
weise vorhanden sind, zeigt folgende Zusammenstellung: 



Ecken 






* 


. l) «p» 









. 2) po«' 









. 3) •>» 






\ 


.4) ,4, 






4 


>-5) ijo 






4 


^ 8) toc 






■ 4 


/^ 7) ocg- 


-1- 




4 


i 8) s-s-o 


T 




2 


_ 9) 8-.0' 


4 




-4 


^10) sej. 


-1 


4 


5 

E . 


t U) «j,« 




T 


4 


12) «s'p' 







2 


»-13) «p'c 







-4 



«bjGooglc 



— 118 — 

Eine üemiedrie des triklinen Systems, weiche darin be- 
steht, dass alle Flächen statt paarweise einzeln auftreten oder doch 
bei gleichzeitigem Auftreten der parallelen Fläche verschiedene Be- 
schaffenheit haben, ist an Mineralien bis jetzt nicht nachgewiesen, 
wohl aber am unterschwefltgsauren Calcium, am sauren rechtswein- 
sauren Strontium und anderen organischen Verbindungen. 

Bei Formen dieser Art verschwindet die letzte Spur von Sym- 
metrie, welche bei den holoedrischen triklinen Erystallen noch darin 
zu finden ist, dass sie ein sog. Centrum der Symmetrie besitzen, 
d. h. dass bei gleicher Centraldistanz der Flächen mit gleichem Axen- 
Verhältnis der Schnittpunkt der Axen nicht bloss diese, sondern alle 
durch denselben gebende Geraden, welche zwei Punkte der Oberfläche 
verbinden, halbiert. Ein derartiges Centmm der Symmetrie besitzen 
alle holoedrischen Formen, dagegen fetalt es allen geneigtflächig- 
hemiedrischen und allen bemimorplien Formen. 

§ 109. Uebersieht der Klassen nach den Symmetrie- 
elementen. Mit Berücksichtigung der Holoedrie, Hemiedrie, Tetar- 
toedrie und Hemimorphie kann man alle Formen in folgende 32 
Klassen einteilen: 

t Begnlärea System. 

1. Holoedrisch-reguläre Klasse mit 3 Hauptsymmetrie- 
ebenen (II 00 od) und 6 (gewöhnlichen) Nebensymmetrieebenen 
(II cx>0). Die 3 Hauptaxen sind vlerzählige, die 6 rhombischen 
Zwischenaxen zweizählige und die 4 trigonalen Zwischenaxen drei- 
zählige Symmetrieaxen, Das Centrum der Symmetrie ist vorhanden. 

2. Fentagonal-hemiedrische Klasse, mit 3 Nebensym- 
metrieebenen ( 1 1 co cd). Die 3 Hauptaxen sind nur noch zweizählige, 
die rhombischen Zwischenaxen fallen als Symmetrieaxen weg, 4 drei- 
zaMge (trigonale) Axen und das Centrum der Symmetrie bleiben. 

3. Tetraedrisch-hemiedrische Klasse mit 6 Nebensym- 
metrieebenen (|| <x>0). Die 3 Hauptaxen werden zweizählige Sym- 
metrieaxen, die 4 dreizähligen (trigonalen) Axen bleiben, die rhombi- 
schen Zwischenaxen fallen als Symmetrieaxen weg, auch das Centrum 
der Symmetrie fehlt. 

4. Plagiedrisch-hemiedrische Klasse ohne Symmetrieebeae. 
Die Symmetrieaxen sind wie bei der holoedrischen Klasse. Das 
Centrum der Symmetrie fehlt 



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— 119 — 

5. Tetartoedrtsche Klasse ohne Symmetrieebene. Die Sym- 
metrieaxen sind wie in. der tetraedrigch-Iiemiedrischen Klasse. Das 
Centram der Symmetrie fehlt. 

Ha. Hexagonales System. 

6. Holoedrisch-hexagonale Klasse mit einer Hanptsym- 
metrieebene (||oP) und 6 Nebensymmetrieebenen (3 || oof und 
3 1 1 00 P 2). Die Hauptaxe ist eine sechszäblige, die 3 Nebeoaxen 
und die 3 Zvischenaxen zweizählige Synunetrieaxen. Das Centrum 
der Symmetrie ist vorbanden. 

7. Hemimorph-holoedrißche hexagonale Klasse mit 6 
Nebensymmetrieebenen (3 1 1 oo P und 3 1 1 oo Pg) und einer sechszähligen 
Symmetrieaxe (Hauptaxe). Die Hauptsymmetrieebene, die zweizähligeu 
Symmetrieaxen und das Centrum der Symmetrie sind weggefallen. 

8. Pyramidal-bemiedrische hexagonale Klasse mit einer 
Hauptsynunetrieebene (||oi^, einer sechszähligen Symmetrieaxe und 
einem Centrum der Symmetrie. 

9. Trapezoedrisch-hemiedrische hexagonale Klasse 
ohne Symmetrieebene, mit einer sechszähligen (Hauptaxe) und 6 
zweizähligen (Neben- und Zwischenaxen) Symmetrieaxen. Das Centrum 
der Symmetrie fehlt. 

10. Hemimorph-hemiedriscbe hexagonale Klasse ohne 
Symmetrieebene und Centrum der Symmetrie, mit einer sechsz^ligen 
Symmetrieaxe. 

Wb. TrigonaleB System. 

11. Ditrigonal-pyramidal-hemiedriscbe Klasse mit 
einer Hauptsymmetrieebene und 3 Nebensymmetrieebenen (||coP), 
einer dreizäbligen (Hauptaxe) und 3 zweizähligen Symmetrieaxen und 
einem Centrum der Symmetrie. 

12. Bhomboedrisch-bemiedrische Klasse mit 3 Neben- 
symmetrieebenen (I I oo P2), einer dreizäbligen Symmetrieaxe (zugleich 
sechszäblige Axe der zusammengesetzten Symmetrie), 3 zweizähügen 
Symmetrieaxen (Nebenaxen) und einem Centrum der Symmetrie. 

13. Hemimorph-hemiedrische trigonale Klasse mit 3 
Nebensymmetrieebenen (|| «jP) und emer dreizäbligen Symmetrieaxe, 
ohne Centrum der Symmetrie. 

14. Trigonal-tetartoedriscbe Klasse mit einer Hauptsym- 
metrieebene (|| oP) und einer dreizäbligen Symmetrieaxe, ebne Cen- 
trum der Symmetrie. 



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— 120 — 

15. Kbomboedrisch-tetartoedrische Klasse ohne Sym- 
metrieebene, mit einer dreizähligen Symmetrieaxe und elDem Centrum 
der Symmetrie. 

16. Trapezoedrisch-tetartoedrische Klasse ohne Sym- 
metrieebene, mit einer dreizäUigen und 3 zweizäfal^en Symmetrie- 
axen, ohne Centrum der Symmetrie. 

17. Hemimorpb-tetartoedriscbe Klasse ohne Symmetrie- 
ebene, mit einer dreizähljgen Symmetrieaxe und ohne Centrum der 
Symmetrie. 

m. Tatragonalea System. 

18. Holoedrische tetragonale Klasse mit einer Hauptsym- 
metrieebene {] 1 JP), 4 Nebenaymmetrieebenen (2 1 1 os P und 2 1 1 co P oo), 
einer vierzähligen (Hauptaxe) und 4 zveizähligen (2 Nebenaxen und 
2 Zwl&cbenaxen) Symmetrieaxen und einem Gentrum der Symmetrie. 

19. Hemimorph-holoedrische tetragonale Klasse mit 4 
Nebensymmetrieebenen (wie 18) und einer vierzäbligen Symmetrieaxe, 
ohne Centrum der Symmetrie. 

20. Fjramidal-hemiedrische tetragonale Klasse mit einer 
Hauptsymmetrieebene (]|(>P), einer vierzähligen Symmetrieaxe und 
einem Centrum der Symmetrie. 

21. Sphenoidisch-hemiedrische Klasse mit 2 Nebensym- 
metrieebenen (|| ooP) und 3 zweizähligen Symmetrieaxen (die Haupt- 
axe und 2 Nebenaxen), ohne Centrum der Symmetrie. 

22. Trapezoedrisch-hemiedrische tetragonale Klasse 
ohne Symmetrieebene, mit einer vierzähligen (Hauptaxe) imd 4 zwei- 
zähligen Symmetrieaxen (2 Nebenaxen und 2 Zwischenaxen). 

23. Hemimorph-hemiedrische tetragonale Klasse 
ohne Symmetrieebene, mit einer vierzähligen Symmetrieaxe, ohne 
Centrum der Symmetrie. 

24. Tetartoedrisch-tetragonale Klasse ohne Symmetrie- 
ebene, mit einer zweizähligen Symmetrieaxe (Hauptaxe), ohne Centrum 
der Symmetrie. 

IV. BhombiBches System. 

25. Holoedrisch-rhombische Klasse mit 3 verschiedenen 
Symmetrieebenen (Axenebenen) und 3 verschiedenen zweizähligen 
Symmetrieaxen (Axen) und einem Centrum der Symmetrie. 



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— 121 — 

26. Hemimorph-rhombische Klasse mit 2 verschiedenen 
Symmetrieebenen und einer zweizähligen Sjnunetrieaxe, ohne Centnim 
der Symmetrie. 

27. Hemiedrisch-rhombische Klasse ohne Symmetrieebene, 
mit 3 verschiedenen Symmetrieaxen, ohne Centrum der Symmetrie. 

Y. HonoklinoB System. 

28. Holoedrisch-monokline Klasse mit einer Symmetrie- 
ebene (||aoPoo), einer zweizähligen Symmetrieaxe (Orthoaxe) and 
einem Centrum der Symmetrie. 

29. Hemimorph-monoklitie Klasse ohne Symmetrieebene, 
mit einer zweizähligen Symmetrie^e (Orthoaxe), ohne Centrum der 
Symmetrie. 

30. Hemiedrisch-monokline Klasse mit einer Symmetrie- 
ebene (||ooPoo) ohne Symmetrieaxe und ohne Centrum der Sym- 
metrie. 

TL TriUineB System. 

31. Holoedrlsch-trihline Klasse ohne Symmetrieebenen und 
Symmetrieaxen mit einem Centrum der Symmetrie. 

32. Hemiedrisch-trikline oder asymmetrische Klasse 
ohne alle Symmetrieelemente, auch ohne Centrum der Symmetrie. 



XT. Eapitel. 

Regelmässige Yerwachsnng von Krystallen. 

§ 110. Parallele Verwachsung. Grössere Krystalle zeigen 
sich hänfig aus kleinen Kryställchen (Subindividuen) in paralleler 
Stellung zusammengesetzt, und zwar sind diese letzteren von der 
gleichen Form, wie die ersteren oder auch von anderer Form. 
Grössere Bhomboeder von Eisenspat, Manganspat, Kalkspat sind oft 
zusammengesetzt aus Subindividuen derselben Fonn. Sind die letz- 
teren nicht in vollkommen paralleler Stellung, so erscheinen sattel- 
förmig gekrümmte Flächen und kugelige Formen (Sphaerosiderit) 
oder garbenähnliche Gestalten (Manganspat). In anderen Fällen 
zeigen die Subindividuen auch andere Gestalt, so sind z. B. Fluss- 



es byCoogle 



— 122 — 

Spatoktaeder zasanunengesetzt aus kleinen Würfeln (Zinnvald) und 
die Beschaffenheit der Oktaederfläctaen, die im Gegensatz zu den 
glatten Wärfeiflächen an diesem Mineral stets rauh sind, rührt von 
dieser Zusammensetzung aus kleinen Würfeln, deren Ecken auf den 
Oktaederflächen vorstehen, hei*. 

§ 111. Symmetrische Verwachsung zweier Krystalle. 
Zwillinge. Zwei Krystalle sind häufig mit einander derart regel- 
mässig verwachsen, dass sie eine Krystallfläche gemein haben und 
zu dieser symmetrisch liegen. Die Krystallfläche, die dabei zur 
Symmetrieebene wird, was sie vorher nicht war, muss dabei an den 
Krystallen selbst gar nicht als Fläche vorhanden sein. Dieses 
Gesetz der symmetrischen Verwachsung (Zwillingsgesetz), lässt 
sich auch so aussprechen; Von zwei Krystallen, die ursprünglich in 
paralleler Stellung zu denken sind, ist der eine um eine Axe 
(Zwillingsaxe), welche auf einer Krystallfläche {Zwillingsebene) 
senkrecht steht, um 180' zu drehen. Die Zwillingsebene ist stets 
eine krystallographisch-m5gliche Ebene (mit rationalen Ableitungs- 
zahlen) oder eine zu einer möglichen Kante, welche Zwillingsaxe ist, 
senkrechte Ebene. 

§ 112. Spinellgesetz. An Magneteisen und anderen 
Spineilen finden sich häufig Zwillinge, wie Fig. 145, bei denen 
zwei Oktaeder nach dem Gesetz, Zwillingsebene eine Oktaederfläche, 



Fig. 145. Fig. 146. 

Zwillingsaxe eine trigonale Axe, verwachsen sind. Denke man sich 
ein Oktaeder, wie in Fig. 80, mitten durchschnitten durch die zu 
der Oktaederfläche (vom, rechts, unten) parallele Zwillingsebene und 
die vordere Hälfte um 180* gedreht, so wird die Mitte des Dreiecks 
(rechts, unten) als der Endpunkt der trigonalen Axe (^, |, — J) und 
ebenso die Höhen des Dreicks, ihre Lage beibehalten, während die 
Ecken auf die entgegengesetzte Seite in gleichen Abstand von der 



DigmzedbyGoOgle 



— 123 — 

Mitte kommen. Es entstehen hierbei CiestaUen mit „eiaspringen- 
den" Winkeln, an denen sie sich als Zwillinge erkennen lassen. 
Doch zeigen nicht alle Zwillinge derartige einspringende Winkel 
Haben die beiden verwachsenen Krystalle die Fonn des Dodekaders 
OD 0, Bo entstehen nach demselben Gesetz Zwillinge ohne einspringende 
Winkel,' Fig. 146. Die Verwachsungsfläche zeigt auch in diesem . 
Fall die Gestalt eines regelmässigen Secheecks, und schneidet von 
den 6 zu der als Zwilliugsaze auftretenden trigonalen Aze parallelen 
Kanten abwechselnd | and | ihrer Länge ab. Nach der Drehung 
entstehen dann 6 Trapeze mit längeren Grundlinien, welche ^ der 
Länge and kürzeren, welche | der Länge der Dodekaederkanten 



Fig. 147. Fig. U8. 

haben. Wären die Dodekaederflächen etwa längs der längeren Dia- 
gonale gestreift, so wärden diese Trapeze federartig gestreift er- 
scheinen. Die Seiten des Sechsecks treten auch ohne derartige 
Streifung als sog. „Zwillingsnaht" oft deutlich hervor. (Zinkblende). 
Man findet die Ecken des Eiyatalla in der Zwischenstellung, indem man 
die Kanten des Dodekaeders abwechselnd nm ^ verlängert oder verkQrzt, was 
sehr leicht geht, da jede Kante durch die vertikalen Linien des quadrierten Pa- 
piers in S gleiche Teile geteilt wird. 

Haben die Einzelkrystalle die Form des Mlttelkrystalls 0,ooOct> 
Fig. 86, so zeigen die Zwillinge (Fig. 147) ebenfalls keine ein- 
springenden Winkel. (Bleiglanz). 

Fig. 147 wird von Fig. 145 abgeleitet, indem man die Mitten der nicht 
durchschnittenen Oktaederkanten mit je zwei Ecken der Zwillingsebeue verbindet 

Während die in den Figuren 145, 146 und 147 dargestellten 
Zwillinge sog. Berührungszwillinge (Kontaktzwillinge) darstellen, 
bei denen die beiden Einzelkrystalle an der Zwillingsebene verwachsen 
sind und daran endigen, ist in Fig. 148 ein sog. Durchkreuzungs- 



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— 124 — 

Zwilling dargestellt, bei dem die beiden Würfel nach dem Spinell- 
gesetz verwachsen sind, d. h. eine Oktaederfläche und die zugehörige 
trigonale Axe gemein haben, bei dem aber der eine Krystall durch 
den anderen gleichaam hindurch gewachsen ist, sodass über jeder 
Fläche des einen Kristalls eine Ecke des anderen hervorragt. (Fluss- 
spat). 

liTur ganz ausnahmsweise zeigen natürliche Krystalle, solche 
modellähnlicfae Gestalten, gewöhnlich sieht man dagegen auf grösseren 
Krystallen kleinere in. dieser Zwillingsstellung aufgewachsen, und die 
Ecken derselben aus den Flächen jener hervorragen. 

Die Lage der Ecken des Krystalls in der Zwülingestelliing (in Fig. 148) 
findet man ganz ähnlich wie in Fig. 145, indem man eich die Ecken als Eck- 
ponlcte gleichseitiger Dreiecke (Tetraederfl&chen) nm die Endpunkte der trigo- 
nalen Zvillingsase mit den Koordinaten i-^, -^, — -j-| und ( — -^, — j-, -=-l 
in gleichem Abstand hemmgedreht denkt. Punkt P, der von diesem Eckpunkt 
10 nach rechts und 4Vj nach unten liegt, kommt dabei nach P', der von dem- 
selben Punkt 10 Quadratseiten links und 4'/t nach oben liegt. Ist ttbrigens die 
Lage einer Ecke bestimmt, so ergiebt sich die der ftbrigen, indem man TOn ihr 
aus die Kanten durch die Mitte der Kanten des Würfels In der normalen Stellung 
zieht und aber die Schnittpunkte um die gleiche Länge verlängert und die 
Parallelogramme fertig konstruiert. 

§ 113. Zwillinge von hemiedrischen Krystallen. Da 
nach dem allgeineinen Zwillingsgesetz die Zwillingsehene eine Sym- 
metrieebene nicht sein kann, so sind im regulären System Zwillinge, 
bei denen die Zwillingsebene eine Würfelfläche oder Rhomb^ndode- 
kaederfläche wäre, an holoedrischen Krystallen unmöglich. Da aber 
bei der tetraedrischen Hemiedrie die Hanptsymmetrieebenen als solche 
wegfallen, so sind bei tetraedrischen Krystallen auch Zwillinge mög- 
lich, bei denen die Zwillingsebene eine Würfelftäche ist. 
Denkt man sich (Fig. 149) em Tetraeder + -„- etwa am die von linlts 
nach rechts gehende Hauptaxe um 180* gedreht, so kommt die 
obere horizontale Kante unten in die Lage einer Kante des Gegen- 
tetraeders — 2"' ""^ ^^ gleiche geschieht mit allen übrigen Kanten 
des Tetraeders. Die Gestalt, welche aussieht wie zwei Tetraeder 
in Gegenstellung, welche sich durchdringen, ist also aufzufassen als 
ein Durchkreozungszwilling zweier gleichen Tetraeder, wobei eine 
Würfelfläche Zwillingsehene ist Die Kanten an den einspringenden 
Winkeln sind die Kanten des Oktaeders, auf dessen Flächen je ein 
Tetraeder aufzusitzen scheint. Denkt man sich die Ecken derselben 



.öbyGoogle 



stark abgestumpft, so erhält man Zwillinge der Kombination +-5-. 

2" f^'S- ^^^)' '*^' denen die einspringenden Winkel nur wie 

schmale Einkerbungen an Stelle der Kanten des Oktaeders erscheinen 
(Diamant). 

Fig. 150 erscheint wie eine Durchdringung zweier Pentagon- 
dodekaeder 4~ 2 " ' 2 — ' '®' ^^^' aufzufassen als ein Zwilling 

von zwei Pentagondodekaedem gleicher Stellung, welche eine Fläche 
des Rhombendodekaeders 00 als Zwillingsebene gemeinsam 



Fig. 149. Fig. 150. 

haben und um die zugehörige rhombische Axe als ZwilUngsase gegen 
einander um 180* verdreht sind. Während hei dem einzelnen Penta- 
gondodekaeder, wie überhaupt bei pentagonal-hemiedrischen Formen, 
die gewöhnlichen Symmetrieebenen (|| oo 0) in Wegfall kommen, 
treten sie bei diesen Zwillingen wieder als solche auf, sodass auch 
bei diesen, wie bei den vorher besprochenen Zwillingen der tetra- 
edrisch-hemiedrischen Formen, der Grad der Symmetrie wieder der- 
selbe ist, wie bei den holoedrischen Formen. Zwillinge wie in Fig. 
150, oft noch mit Abstumpfung der längeren pentagonalen Kanten 
durch odOco, zeigt häufig der Eisenkies. Man nennt dieselben 
auch wohl Zwilhnge des eisernen Kreuzes. Die Kanten in den ein- 
springenden Winkeln sind die Kanten des Pyramidenwürfels. 

§ 114. Hexagonale Zwillinge. Als Beispiel eines Zwitlings- 
gesetzes im hexagonalen System möge das nur an hemiedrischen 
Krystallen mögliche und am Kalkspat häufige Gesetz dienen, wonach 
die Basis Zwillingsebene und die Hauptaxe Zwillingsaxe ist. Fig. 161 



.öbyGoogle 



— 126 — 

zeigt zwei symmetriscli zur Basis verwachsene Skalenoeder des Kalk- 
spats, das untere in der Stellung von — R, (Fig. 55), das obere 
in der Stellung von -|- B^ (Fig. 58). Die Verwachsungsfläche ist 
das Zwölfeck, welches den basischen Hauptscfanitt der holoedrischen 
Form 3 P| darstellt (Fig. 29 im halben Massstab). In Fig. 153 
sind zwei Khomboeder, welche nach demselben Gesetz mit einander 
verwachsen sind. Die Verwachsungsfläche ist in diesem Fall der 
basische Hauptachnitt der Pyramiden erster Ordnung. Derartige 



Fig. 151. Fig. 152. Fig. 153. 

Zwillinge lassen sich öfters an Spaltungsstücken (Auerbach a. d. 
Bergstrasse) beobachten, bei weiterem Abspalten verschwinden die 
einspringenden Winkel und man erhält eine scheinbar trigonale 
Pyramide. 

Bei Kombinationen mit Prismen entstehen, da diese bei der 
rhomboedrischen Hemiedrie unverändert bleiben, keine einspringenden 
Winkel, und lässt sich dann der Zwillingscharakter ausser an der 
meist sichtbaren Zwillingsnaht nur daran erkennen, dass die gleich- 
artigen Polkanten der Skalenoeder und die der Bhomboeder einander 
gegenftberliegen. Dies zeigt der in Fig. 153 dargestellte Zwilling 
der Kombination ooP, B, (vergl. § 95). 

§ 116. Lage der Ecken der Krystalle in der Zwillings- 
stellung. 

a) Punkte auf der Zwillingsebene. Ist die Zwillingsebene, 
wie in den bisher besprochenen Zwillingen eine zu einer Krystall- 
fläche parallele Ebene, welche durch die Mitte des Krystalls, also 



.öbyGoogle 



— 127 — 

den Schnittpunkt der Axen geht, so ändern bei einer Drehung | 
um 180° die Koordinaten aller in diese Ebene fallenden Punkte nur i 
ihre Vorzeichen, der Funkt 0, um den die Drehung erfolgt, behält \ 
allein seine Lage bei, 

b) Punkte auf der Znillingsaxe. Die ZvilUngsaxe ist der 
geometrische Ort aller Punkte, welche bei der Drehung ihre Lage 
nicht ändern, es ist die gerade Linie, welche auf der Krystallfläche, 
zu der die ZwilUngsebeue parallel ist, senkrecht steht. 

c) Punkte ausserh^b der Zwillingsebene ändern bei der Drehung 
weder ihren Abstand von der Zwillin^ebene noch von der Zwillings- 
axe, oder, was dasselbe ist, von dem Punkt, in dem die Zwülingsaxe 
die zu der Zwillingsebene parallele Fläche trifTt. 

Unter der VorauSBetzung rechtwinkliger Axen und Koordinaten l&SBt Bich 
der Abstand ^ ^ OF einer beliebigen Flftche ABC TOm Schnittpunkt der Axen 
wie folgt berechnen: F ist (Fig. 151] der Schnittpunkt der 8 Höben von ABC, 
OF die Schnittlinie der 8 zn den Axenebenen senkrechten Ebenen OAS, OB T 
und OCS, in welche auch die Koordinaten x, y und z f&Uen.*) 

Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke OFE nnd OCR folgt 
OR . 00 



OF: ORzzi OC: CR also OF = - 



VR 



Ans der Ähnlichkeit der rechtwink%en Dreiecke OÄR nnd OAB folgt ebenso 
OB : OA = OS : AB; setzt man hierfür die Werte ein, eo erb&lt man 



CA' = Oä' + c' = ^. , .7 , 

o' T ji T c. 



*) Errichtet man OB X AB, so ist AB senkrecht zur Ebene COR, denn 
esstebtsenkrechtauf OJf und it^if der Parallelen zu OC in der Ebene COR, die 
wie OC auf der Ebene ABO und also auch anfallen in der Ebene durch ihren 
Fnsspunkt R gezogenen Geraden senkrecht steht. Ist aber AB senkrecht zur 
Ebene COR, so ist es auch senkrecht auf der Geraden CR nnd diese also eine 
Höhe des Dreiecks ABC. Dasselbe gilt für AS undBT*, wenn OSXBC nnd 
OT±.AC. Da die Ebenen COR, AOS nnd BOT auf der Ebene ABC als 
Neigungsebenen dieser Ebene zn deu Axenebenen senkrecht stehen, so steht 
auch ihr DnrchBchoitt OF auf ^SC senkrecht. 



DigmzedbyGoOgle 



Die Höhen der ähnlichen Dreiecke OFB und OCB yerhalten sich wie die 
Grundlinien, aUo ist 

0*'. OS .._, ,. 



z.OF= OS 
OS.OC , 



;,CR oder x = 
OB'. 



s^j— und nach Gleichung 1) 
= = — . Auf gleiche Weise findet man a; = ■£- und y = ^. 

Jedem Punkt auf der Ebene ABC entspricht ein Punlct auf der Zwil- 
lingiebene, den man findet, wenn man von ihm eine Senkrechte auf diese fällt. 
Die Differenz der EooTdinaten dieser einander entsprechenden Punkte ist für 




Fig.. 154. 

alle Punkte derselben Ebene gleich den Koordinaten des Punktes F auf der 
Zwillingsaxe. Hat ein beliebiger Punkt P im Räume die Koordinaten x, y, a, 
so lässt sich durch ihn eine Ebene parallel zu ABC legen, welche die Central- 
distauz d hat. Der in diese Ebene fallende Punkt auf der ZwilUngsaxe hat dann 

die Koordinaten — '—, — j 



. Die Koordinaten des entsprechenden Punk- 



tes auf der Zvillingsebene sind dann 



Der Punkt P hat uch mitgedreht, ohne dasB sich sein Abstand tod der Zwitlings- 
ebene geändert hat, und seine Koordinaten sind vor wie nach um die Koordinaten 
des Punktes auf der Zwillingsaxe grösser, als die des entsprechenden Punktes 
auf der Zwillingeebene, also 

_ 2d.g'' _ 2d.e* _2d.^^ 



^' ist für alle Punkte gleich, d dagegen für die verschiedenen Funkle ii 



all- 



.öbyGoogle 



— 129 — 

gemeinen TerBchieden, nnd nar für die Punkte gleich, welche in derselben zu 

der Fläche ABC par&Ueleti Ebene liegen, nnd viid gefunden ans der Oleichoug 

f + y + y = d (-»ergl. § i), 

wobei X, y, z die Koordinaten des Punktes P und a, b, c die Parameter der 
KryBtallflikche sind, mit welcher die Zwillii^ebene parallel ist. 

Beispiel. -Spineilgesetz. Fig. 145 Zwillingsebene parallel A^ 8,0—1, also 

« = 1, 6 = 1, c = — 1. p* = , , , I - t-i— .-^— y =■ -«-■ Die Zwilliagsebene 

a' 0^ -\- a' t' •\- o' c' 3 

geht durch die Mitte von S Okt&ederkanten, der Funkt (o, -^, -y) mit zusam- 
men mit (o, — -, ^Y Die Endpunkte der Aien vl,,B,,C, Terfindera 

hre Lage, d ist in diesem Fall gleich I. Der Punkt A, = (1, 0, 0) bekommt 

,. „ ... 2d.o= 2,12 2 

die Koordinaten x, = — ^ a: = -g — 1 = — -^, yi = -g-, s, = ^. 

B, = (0, ,, 0) „d (1 ,-->-,_ I) , c, = (0, 0, _ I) wd (1, 1, i). 

Punkt P in Fig.' 148 = (— 1 , 1 , — 1) gelangt bei der Deckung nach P, 
/5 1 1\ 



§ 116. Tetragonale Zwillinge. Als 
Beispiel eines Zwillingsgesetzes im tetragona- 
len System möge das, wonach die am Zinnerz 
(und Rutil) sehr häufig auftretenden Zwillinge 
gebildet sind, dienen. Zwillingsebene ist hier- 
bei eine Fläche der Pyramide zweiter Ordnung 
f OD, Fig. 155 zeigt einen Krystall von der 
Kombination oo P (1), «Pro (|), P (2), 
Po. (A) a:c = l: 0,666 (vergl. Fig. 129) ^'^- '^^■ 

durch die Zwillingsebene mitten durchschnitten, und die untere Hälfte 
um 180" gedreht. 

Die einfache Form zeigt drei Arten von Ecken ^0, 0, -j- c\, (—, -j-, A , 
(~, -|-, -|c). DieZwillingsebene .iaoB, tX-linderCenmidistanzOschneidetdie 
Prismenflacben in den Punkten (|, \, -1 c), (|, - y, - 1 c), (|, |, | o) , 

(—, — ^, ^c) nnd den entgegengesetzten Punkten, in deren Lage diese 

Punkte bei der Umdrehnng kommen ( ^, ~, ~ e), ( — |-, -J"' T *) ' 

In der Formel o' = ■ , ,, ■ . — ,,,.,. = —. ; =- hat man, da 

,1 -p 1,1 -r (. 
Joo B, C—i id = 0) Zirillingsebene und a:6:tf = l:l;|i8t,a = oo,i = l, 

Ni«i, ET^Bt&llbesohTelbang. 9 



Dui.tizc-ctvGoogle 



c = — * s 



. setzen und erhfilt dum ^' = - 



In der folgenden 



+ 1 + } 

Tabelle und unter x, y, z die Koordinaten der Ecken vor der Drehung, unter 
^i< yit 'i ^'^ Koordinaten dersellwn nach der Drehung, unter d die Central- 
diatanz der durch die Ecke gelegten Fliehe Jgo £, ^— i eingetragen. 



d 


' 


y 


' 


«, 


y. 


-, 


-i 


1 


-\ 


-, 


1 


73 


w 


i 


--«■ 


-T 


-. 


4 


"78"" 


w 


T 


T 


-4 


-« 


5 


53 


- w 


-; 


-T 


-4 


-. 


4 


--ä 


i 


1 


4 


-. 


8" 


■f- 


_il 


i 


-4 


4 


-' 


4 


■S" 


-K 




4 


-4 


5 
3 * 


-4 


85 
-78- 


32 


->■ 


I 

e 


-4 


-4' 


1 


Ä 


32 
117 


i' 




5 

T 


-« 


-4 


23 

■78" 


Kl_ 


T 


-i 


4 


-« 


4 


^ 


40 
39 




i 


4 


-4' 


- 4 


ES 
M" 


-S 




--i- 


4 


5 
"3 


■i- 


25 


~ U7 


T 








-j" 





W 


-w 



In Fig. 156 ist ein Zwilling nach demselben Gesetz, wie Fig, 
155 dargestellt, doch geht hier die Zwülingaebene nicht durch die 
Mitte eines Krystalls, sondern die Verwachsungsfläche ist eine zu 
AqoB, *^--if parallele Fläche in der Centraldistanz \. Die Figur 
zeigt die beiden Krystalle vor der Drehung (mit parallelen Axen, 
punktiert) und nach der Drehung. 

Denkt man sich das Axenkreuz bo verschoben, dass der Schnittpunkt des- 
selben in dieHitte der Verwachsungsflftclie fällt, so ftndem sich die Koordinaten 
aller Punkte um die Koordinaten dieses Punktes, also in diesem Fall Um ;v =^ 0, 

17 11 

y = -5-1 « = — v-c, es bekommt also z. B. die untere Folecke (0, 0, — s- c) die 



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Koordinaten a: = 0,y = ^, * = — 3e, nnd 
nach der ümdrehnng die Koordinaten ^ = 0, 






§ in. Rhombische Zwillinge. 
Der in Fig. 157 dargestellte Zwilling des 
Aragonits zeigt als Zwillingsebene eine 
Fläche paraUel od P {^„, B, C^). 
Die Kombination ist a>P(l), ^»(1), 
a> P(xs{^) bei dem Axenverhältnis a:b:c = 
0,6228 : 1 : 0,7207). 

Die Punkte auf der Zwilliiigse1>ene haben die Koordinaten ^ = 31 y = 31 
s = I , die man für den Schnittpunkt von A^ B, Coo Wi = i) 1 -^ _ i ^i f^oo 
(d, = 0) und -Iq-, B, C, (d, = — 1) berechnet; daraus erh&lt man durch Ver- 
tauBchung die drei anderen Punkte (a.ii— Di (— sj— iiS)i ( — h — h — S)- 
Zur Zeicimiing des Zwillings genOgt die Bestinunnng der Lage von 3 Funkten. 



Fig. 156. 
0,666 : 1 : 0,733 (statt 





- 3 


' 


' 


' l + i " 




d 


X 


y 


- 


*1 


Vi 


«. 


1 


-. 





• 




■5- 


-^ 


■ 


s 


1 




M 

117 


■^ 


~ 's*^ 


1 

! 


-T" 


~ T 


B 
8 


m" 


■n- 


a , 
- T" 



Die Zwillingsbildung nach diesem Gesetz ist häufig eine wieder- 
holte; indem eine Fläche mit grösserer Centraldistanz als zweite 
ZwUlingsebene auftritt, entsteht zwischen dieser und der ersten eine 
„Zwillingslamelle", deren Dicke der Differenz der Centraldistanzen 
der beiden Flächen entspricht. Oft sind mehrere solche Zwillings- 
lamellen vorhanden; sind dieselben sehr dünn, so zeigt sich diese 
wiederholte Zwillingsbildung nur in emer Streifung der Domenflächen 
parallel einer Kombinationskante mit dem Prisma, 



DigmzedbyGoOgle 



— 132 — 

Als einfachee Beispiel eines Durcbkreuzungszwillings kann der 
in Fig. 158 dargestellte Zwilling des Arsenkieses dienen, der zwei 
Krystalle der Kombination «-P(l), \ P'x (1) (gestreift) parallel Poo 
(-4-1 5 Qo Ci) verwachsen zeigt 



Fig. 157. F^. isa 

Das AxenvethUtiiia iata:b:e=i 0,6666 : 1 : 1,188S (statt 0,«851 : 1 : 1,1859). 
Der Punkt (a, 0, -~ c) bei dem d = — ~ erhftlt die Koordinaten {■— , 0, 
— isw) ' ""^ ***^ Pnokt (a, 0, — x ") ' ^'^ T'elchen rf = — -j-, wird zu dem 
Punkt (^, 0, -^); e'= jgi-. 

Am Staurolith finden sich Zwillinge, bei denen sich die ein- 
zelnen Krystalle unter rechtem Winkel zu kreuzen scheinen (Fig. 
159). In Wirklichkeit sind es Zwillinge nach 
einer Fläche des Brachydomes f^oo; da 
aber das Äxenverhältnis der Grundform des 
StauroUths a:b:c = 0,4803 ; 1 : 0,6761 ist, 
also b:c fast 1: |, so vertauschen sich bei 
der Drehung nur die Axen b und c, woraus 
sich die Zeichnung derartiger Zwillinge von 
selbst ergiebt. 

Flg. 159. ^^ ^gj. Kombination ooPCI), «P»(i), ÖP(1) 

Bind nur zwei Arten »on Ecken (1, 0, 1) und 
(f 1 ^1 l)i '""il' ^^ Umdrehung (1, 1, 0) und {— -|, 1, j). Die Kanten, in denen 
sich die beiden Krystalle schneiden, begrenzen iwei Sechseck«, welche den 
DomenflELchen f P <» (0) entsprechen. (a:b:c ist gleich 0,5 : 1 : 0,666 ange- 
nommen). 

§ 118. Lage der Flächen der Krystalle in der Zwillings- 
stellung. Ist die Lage der Ecken der Krystalle in der Zwillings- 
stellung bestimmt, so kann man aus den Koordinaten von drei in 
einer Ebene liegenden Punkten auch das Axenverh&ltnis dieser Ebene 
berechnen. 

DigmzedbyGoOgle 



— 133 — 

ht atbtc das ÄxenverhUtais der Omndfonn, bo hat eine Ecke im all- 
gemeinen die Koordinaten xa, yb, ze. Liegen drei Punkte P, (», a, y, h, 2, e), 
f, (lEja, y,*, «j«) und P, (a^o, y,J, 2,e) in einer Kbene ApE^ Cr, Bo gelten 
folgende drei Gleichungen (vergL § 54): 

1 



r--V~ = 1 oder — -«1 + — •y, + — «, = 1 
und— -.«, + — -.y,+ -—z, = 1 nnd —--iE, + — -.yj + — -e, = 



Die Auflösung dieser Gleichungen etgiebt: 

J_ = {. + h -t- f. J_ ^ i. +ii+t, _L ^ c+Ci+c, 

P ^i£i + a:jfi+a^Ej ' q ■ J±aT,yiS, ' r Z + ar.yjS, ' 

wobei f„ f„ ^3 die Subdeteiminanten von x^, x^, «„ tJ^, <)„ ^j die Subdetenninanten 
voiiy,,yi,y, und^nCtiC, die von «„«„^ in der ans den Koordintiten der drei Punkte 

gebildeten Detenoinante sind. Da n = — nnd »t >= — gesetzt werden kann, 
80 folgt daraas: 

„ _ ni+tt + 1i und Bi — ''' + '' » + 1' 

ii+h + h t+f, + f) 

Da diese Werte für » und m rationale Zahlen sind, so ist da- 
mit der Satz bewiesen, dass an symmetrischen Zwillingen jede 
mögliche Fläche des einen Krystalls 
auch eine mögliche Fläche an dem 
Krystall in der Zwillingsstellung ist 

Als Beispiel möge der in Fig. 160 
abgebildete Zwilling des Stauroliths die- 
nen, bei dem die Fläche A>i, B^ C-'i, der 
Braehypyramide ^F\ Zwillingsebene ist. 
Die Kombination ist «)P{1), qo Pco (|), 
öP(|-), das Axenverhältnis a:b:c = 0,5 : 
1 : 0,666. 

Ist die Zwillingsfl&che statt ^£C ^„£,C», Fig. 160. 
so ist die Formel für (^ (§ 115) entsprechend um- 
zugestalten in p' = — j j — . Die Koordinaten von F sind — , 

V ~mc' 

Sind xa, yb, zc die Koordinaten eines Punktes P aof der zu A^By Cm 
parallelen Ebene mit der Centraldistanz ä, so sind die Koordinaten des Pnnktes 
P, nach der Drehung: 

_ 2d.e^ __ _ Zd. Q* _ 

S«*-?' ,1-, ,, 2rf.o' 



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Der Punkt P (Fig. 160) hat die Koordinaten xa = la, i/b = 0, tc = 
- — c, — - + ~ — |- - — = d oder h y + — = ^ 'st die Formel zur Be- 



rechnimg der Centroldiatanz d, sie ist fur den Pnnkt F = 

1 a 2J 

Daher iBt x, = -p 



1-+»+: 



i-i*'"*"»-« 



Die folgende Tabelle giebt die Koordinaten der 6 Ecken der unteren BasiB- 
fläche vor and nach der Drehung nnd die Centraldistanzen. Bei Umkehrung aller 
Vorzeichen erh&lt man die 6 anderen Punkte. 





d 


X 


y 


- 


-. 


yi 


., 


1. 


5 
3 


1 





~ T 


23 

n 


15 
17 


l7" 


2. 


IS 
9 


T 


1 

T 


s 


94 


31 


"t 


3. 


IT 


T 


-T 


-T 


■BT 


4r 


■i- 


4. 


2_ 


z 


1 
T 


— ä" 


98 
51 


7^ 


84 


5. 


T 


-T 


-T 


_ i 


IT 


SS 


if 


6. 


1 


— 1 


, 


3 

a 


25 
17 


Tt" 


-S- 



AuB den Koordinaten von je drei Punkten kann man nun die Parameter 
der Flache bestimmen, in Teiche sie fallen. Die rechte Brachypinakoidfl&che 
enthält die Funkte 2, 4 und den en^gengesetzten Punkt zu 3. Die Determi- 
nante der Koordinaten heiset: 



Da die gleichen Nenner der Brüche in den ÄuadrOcken für n und m sich 
wegheben lassen, so braucht man nur die Determinante aua den ZBhlem zu bilden 
und deren Subdeterminanten zu snchen, welche faeiasen: 



102' ] 81 196 1 



102" "196 14 I 



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Die BTachypinakoidfläche ^oo-^i^co ^^ ^^^ >° ^^ Fläche ApBqCr 

uk ^- Tsk •- ük = T '-'^-T' "• "' •"» ■"• ™*» 

-^*ß_i *-Li der Brachypyriiniide ffP| geworden, ihre Centraldistauz ist ans 
den Koordinaten eines der drei Punkte zu berechnen mit Hufe der Gleichung: 
a;, ^1 _ 94 . 8 31 3.3 _ 17 

" - « +*<-|- „ - 51.4 51 34.4 - 24" 

Auf gleiche Weise findet man durch Rechnung aus den Koordinaten der 
Punkte I, 2 und den entgegen gesetzten von 5, dass die PrismenäOche ^(B, Cqo 

sich in AieB, C s eine Fläche dei Brachypyramide jj^i'-p in der Zentral- 

T ~ TT' 
difitanz -^, und ans den Koordinaten der Punkte 4, 6 und den entgegengesetzten 
Ton 1, dass die Priamenfläche .,1 — 1 ß, Cgo sich in ^32_B— i Cis einenächeder 

BrachTpjramide -^P— in der Centraldistanz -^, verwandelt. Die Basis wird 

zur Fl&che der Brachypyramide f| J*"!" -ds Bi Cot im Abstand "-. 
'2 16 

Nachdem auf diese Weise die Lage der Flächen bestimmt ist, lassen sich 
nun auch die Koordinaten der Punkte berechnen, in denen die Prismenkanten 
des einen Krystalls die Fl&cben des anderen schneiden, es sind dies die Pnnkte 
/, „l\/26 7 29\/2 1 25 \ ./ 1 1 5\ 

§119. Monokline Zwillinge. Im monoklinen System können 
alle Flächen mit Ausnahme des EUnopinakoids als Zwillingsebenen 
auftreten, am häufigsten Bind jedoch Zwillinge parallel zu dem Ortho- 
pinakoid oder einer Orthodomafläche. 

Fig. 161 stellt einen Zwilling des Augits von der in Fig. 143 
abgebildeten Kombination parallel coPco dar, wobei auch hier der 
Winkel ß statt 89' 38' als ein rechter Winkel angenommen, wodurch 
die Zeichnung ausserordentlich einfach wird, ohne wesentlich von der 
genauen Form verschieden zu werden. 

Bei dem in Fig. 162 wiedergegebenen Zwilling des Gipses 
von der in Fig. 138 abgebildeten Kombination, aber mit vorherr- 
schendem Prisma, ist die vordere Hälfte um die auf co P 00 senk- 
rechte Axe um 180" verdreht. Die Prismenkanten behalten dabei 
ihre Richtung, die Ecken auf denselben werden erhalten, indem man 
Senkrechte in jeder Ecke auf den Kanten der hinteren Hälfte er- 
richtet. Während derartige Zwillinge an den aufgewachsenen Gips- 
krystallen sehr häufig sind, zeigen die eingewachsenen Krystalle 
meist Zwillinge parallel — P<». Fig. 163 zeigt einen solchen, von 



.öbyGoogle 



— 136 — 

der Kombination ooP» (|), — P(l), '»-P(l), oP(i) mit Hilfe von 
Senkrechten zur Fyramidenkante konstruiert. Hat die Basis grössere 
Centraldistanz, so kann der einspringende Winkel unten ganz ver- 



Fig. 161. Fig. 162. Fig. 163. 

schwinden und die vier Prismenflächen bilden dann scheinbar eine 
rhombische Pyramide. Das andere Ende zeigt statt der Basis beider- 
seits gerundete Flächen (vergl. zu Fig. 139). 

luFig. 164istdasamgemeinen Feldspat (Orthoklas) ausser- 
ordentlich häufige sog. Karlsbader Zwillingagesetz erläutert. Der vor- 
dere Krystallzeigtdie Kombination oaP(l), coPoo(^), oP(|), 2Pqo(1) 
(vergl. Fig. 142) in der gewöhnlichen 
Stellung und, mit punktierten Linien, 
denselben Eryatall in der ZwUlingsstel- 
lung, d. h. um eine zum Orthopinakoid 
odPcd senkrechte Axe um 180' verdreht. 
In dieselbe Stellung konunt der Kry- 
stall auch, wenn man ihn um die Ver- 
tikalaxe um 180" dreht, dann ist die 
dazu senkrechte Ebene (siebe Figur) 
keine krystallonomisch mögliche Fläche, 
aber senkrecht zu einer möglichen Kante. 
Fig. 164. Der Krystall in der Zwillingsstellung ist 

nun nach links (im Bild hinten) verschoben, 
so dass sich die beiden Krystalle mit ihren linken Klinopinakoidflächen 
berühren; wäre der Krystall nach rechts verschoben, so würden sich 
die rechten Klinopinakoidflächen berühren (rechte und linke Zwillinge). 
Die Konstruktion bedarf keiner weiteren Erläuterung, während die 
Richtung der Vertikalaxe und der damit parallelen Kanten gefunden 
wird, indem man nach rechts halb so weit geht, als nach oben, wird 



.öbyGoogle 



— 137 — 

die BichtUDg der SenkrecliteB äazü gefunden, indem man umgekehrt 
nach rechts doppelt so weit g^ebt, als nach unten, oder nach links 
doppelt so weit, als nach oben. 

§ 120. Trikline Zwillinge. Im triklinen System bann jede 
Krystallfläche ZwUlingsebene werden, da keine eine Symmetrieebene 
ist. Als ein Beispiel von Zwillingsverwachsungen in diesem System 
möge die in Fig. 165 dargestellte wiederholte Zwil- 
lingsbildung dienen, die bei den triklinen Feldspaten 
(A.lbit) sehr häufig ist, und durch die diese sich 
selbst in kleinen Bruchstäcken imd Spaltungsstuckeu 
nach der Basis als trikhn erkennen lassen. Als 
Folge der häufig wiederholten Zwillingsverwachsung 
parallel zu oo Pce entstehen dünne Zwillingslamellen, 
die auf der Spaltungsfläche als scharfe IJnien und pj- ^^5, 

Streifen parallel zn der Kante c zu b, der Basis 
zum Brachypinaboid hervortreten. Der Winkel c:6 ist 86" 24'. Bei 
einer einmaligen Drehung entsteht oben ein einspringender Winkel 
von 172" 48'. 

§ 121. Wiederholte Zwillingsbildung, Drillinge, Viel- 
linge, polysynthetische Verwachsung. Durch Zwillingsbildungen 
werden oft Formeu hervorgebracht, die scheinbar anderen Systemen 
angehören. Ein Zwilling des Albits sieht von der einen Seite be- 
trachtet monoklin, ein Gipskrystall oder Augitkrystall (Fig. 162 und 
161) rhombisch aus. Besonders bei Durchkreuzungszwillingen, bei 
denen die sonst gewöhnlich sichtbaren einspringenden Winkel weg- 
fallen, kann der Charakter der Erystalle sehr zweifelhaft werden. 
So sind z. B. die KrystaUe des Harmotoms imd Phillipsits von 
den verschiedenen Forschern für monoklin, rhombisch und tetragonal 
gehalten worden und die Symmetrieverhältnisse mancher Viellinge 
sind sogar die des regulären Systems. Derartige scheinbare Ueber> 
gänge in>andere Systeme (Mimesie) treten besonders dann auf, wenn 
die Winkel einer Form nahezu so gross werden, wie sie bei Formen 
des anderen Systems sein mfissten. So werden z. fi. schon einfache 
Kombinationen des rhombischen Systems hexagonal erscheinen, wenn der 
Winkel des Prismas oder der Basiskanten der Pyramiden nahezu 120° 
ist, und zu dem Prisma das Brachypinaboid, zu der Pyramide das ent- 
sprechende Brachydoma hmzutritt (Witherit, Kupferglffliz). Auch durch 
wiederholte ZwUlingsbildung parallel zu dem Prisma werden dann an- 
scheinend hexagonale Formen hervorgebracht (Aragonit, Weissbleierz). 



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— 138 — 

Als Beispiele für derartige wiederholte Zwilliogsbildungen können 
die folgenden Formen dienen, die für den Harmotom und Phillipsit 
unter Annahme solcher Axenverhältnisse und Winkel gezeichnet sind, 
das3 dabei schliesslich wirklich reguläre Formen herauskommen. Bei 
Fig. 166 ist der einfache Krystall von monoklinem Habitus dar- 
gestellt, der allen folgenden Formen zu Grund liegt, ß = 64" 44' 



Fig. 166. 

(tg = Y2) Statt 56" 10', a:b = 0,7071 : 1 (i : ^ j statt 0,7031 : 1. 

Die Centraldistanzen der Flächen sind im Uebrigen so gewählt, dass 
die Entfernung aa' in Fig. 166 gleich cc' in Fig. 168, der Abstand 
der Flächen der Basis oP in Fig. 166 gleich der Breite von g' 



CO P 00 doppelt so gross = V^" ist. Die Flächen von co P und co P oo 
sind parallel zu der Kombinationskante gestreift. 

Fig. 167 zeigt nun den Zwilling von rhombischem Habitus. 
Die mit co P und co P cr> bezeichneten Teile sind in der ursprünglichen 
Stellung und wie Fig. 166 gestreift, die mit (coP) und (ooPoo) be- 



Fig, 167. 

zeichneten Teile erscheinen dagegen parallel zu der Basis oder auch 
parallel zu der darauf senkrechten Ebene beziehungsweise um die 
auf diesen Flächen senkrechten Äxen um 180" verdreht. Auf dem 
Klinopinakoid entsteht dabei eine federförmige Streifung, deren Rich- 
tung auf beiden Seiten entgegengesetzt ist. 

Fig. 168 zeigt die häufigste Form des Hannotoms, bei der 
zwei anscheinend rhombische Krystalle (Fig. 167) sich unter einem 



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Fig. 168. 

"Winkel von nahezu 90" durchkreuzen (Kreuzstein), Die Flächen P 
und P' fallen dabei nicht (wie in der Zeichnung) genau in eine 
Ebene, sondern bilden einen Winkel von 179''23'. Die Flächen PP* 



sind federartig gestreift. Die scheinbaren Zwillinge sind also eigent- 
lich Doppelzwillinge; die letzte Verwachsung ist nach einem Klino- 



.öbyGoogle 



— 140 — 

doma, dessen Kanteawinkel nahezu 90* beträgt. Denkt man sich 
die Centraldistanzen der Pinakoide so gewählt, dass Breite und Dicke 
der einfachen Krystalle gleich ist, so würden bei diesem Doppel- 
zwilling die Fugen {ä^ttos Fuge), von denen der Uarmotom seinen 
Namen bat, ganz wegfallen, o und o' würden verschwinden, und 
es entstünde ein tetragonales Prisma qg" mit auf den Kanten auf- 
gesetzter Pyramide entgegengesetzter Ordnung. 

Fig. 169 zeigt zwei solche scheinbar tetragonale Erystalle 
wiederum zwillingsartig nach Pc» (tetragonal) bezw. ooP (monoklin) 



Fig. 170. 

verwachsen, wie dies am Phillipsit öfter vorkommt. Werden die ein- 
fachen Krystalle als monoklin aufgefasst, so wären derartige Krystalle 
Achtlinge und Bildungen, wie die in Fig. 170 dargestellte Zw öl f- 
linge. Hierbei sind vollkommen reguläre Symmetrieverhältnisse; und 
in der That würde bei Verkürzung der Prismen ein Rhombendode- 
kaeder erhalten werden (Annerod b. Giessen, Stempel b. Marburg). 

Fig. 171 zeigt einen Zwölfhng des Harmotoms von Andreas- 
berg nach denselben Gesetzen wie Fig. 170 mit vollkommen regulären 
Symmetrieverhältnissen. 

Was das Zeichnen der Figuren 168—171 anlangt, so ist dasselbe höchst 
einfach, wenn man dabei von dem Hhombendodekaeder ausgeht. Bei Fig. 168 
entsteht bei Verlängerung der Kanten P mit q ein in der Sichtung der Vertikal- 



Dniitizc-ctvCiOOglc 



ue in die Länge gezogenes Rhombendodek&eder , daher die Koordinaten der 
Ecken: (O, 0, f), (^, -J, l), (i, 0, l) und (J, i, |). In Figur 169 ist das 
Rhombendodekaeder mit halber Azenlftuge nach oben und unten ond ebenso nach 



Fig.171. 

linke und rechts auseinandergezogen, bei Fig. 170 anch nach vom und hinten. 
Die Koordinaten der Ecken, Bind in diesem Fall: (0, 0, 2), {\, |, |), (-f, 0, |), 
(O, ^, i) nud (1, i, \). In Fig. 171 endlich sind die Koordinaten : (0, 0, 2), 
ih h I), (h 0, I), (I, h i), (I, h l)> (i, 0, i) und (i, i, i). 



XVI. Kapitel. 
Erystallnetze und Modelle. 

§ 121. Länge der Kanteu. Sind die rechtwinkligen Koor- 
dinaten zweier £cken eines Körpers gegeben, so lässt sich deren 
Entfernung berechnen. Sind P, mit den Koordinaten x,y y,, 2^ 
und P, mit den Koordinaten ;r,, y,, .?, die beiden gegebenen 
Punkte, so ist F^Ff = p die Projektion der Kante P, P, auf die 
Ebene XF ans dem rechtwinkligen Dreieck EFiF, (Fig. 172) zu 
bestimmen, und zwar ist 



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Zieht man P, G parallel F, i^^, so ist in dem rechtwinkligen Drei- 
eck GP.P, 

p.i»,' = }c^ = pi + (g^-e^) = (_a,^^x,y-\-(^,-y,y + i^,-0,y 
also h = V~(^^^)^qr(^,;i:r^;;p"qr(^;z:r^ 



Fig. 172. 

Durch Konstruktion wird £ gefunden, indem man die Differenzen 
der Koordinaten (a;, — a;,) und (y, — y,) als Katheden eines recht- 
winkligen Dreiecks aufträgt und aus der Hypotenuse dieses Dreiecks 
und der Differenz (^^ — «,) als Katheden ein neues rechtwinkliges 
Dreieck konstruiert, dessen Hypotenuse dann = Ä ist 

§ 123. Konstruktion der Flächen. Sind die Ecken eines 
Körpers durch ihre rechtwinkligen Koordinaten gegeben, so lassen 
sich auch die Polygone konstruieren, welche von den Kanten des 
Körpers begrenzt werden. Da wo die Länge der Kanten zur Kon- 
struktion nicht ausreicht, also im allgemeinen bei allen Vielecken, 
wird noch die Länge einer oder mehrerer Diagonalen bestimmt. Da 
an Krystallen die Koordinaten der Ecken aus den Elementen der 
Grundform und dem Axenverhältnis der Flächen bestimmt werden 
können und daraus die Gestalt der begrenzenden Flächen, also auch 
deren Winkel, so ist damit auch bewiesen, dass die ebenen Winkel 
an Krystallen bei gegebener Grundform durch das Axenverhältnis 
der Fläche, also durch m und n bestimmt sind. 

§ 124. Krystallnetze. Hat man die Gestalt der einzelnen 
Mächen eines Krystalls bestimmt, so kann man durch richtiges An- 
einanderlegen derselben ein sogenanntes Krystallnetz erhalten, 
welches die ganze Oberfläche des Krystalls in eine Ebene gelegt 
■darstellt In diesem Netz hängen je zwei Flächen mit der Kante, 
welche sie zusammen bilden, an einander oder stossen doch bei dem 
Zusammenbiegen in derselben zusammen. Da die Summe der ebenen 



Dniitizc-ctvCioogle 



— 143 



Wiokel an einer Ecke nie 4 Rechte erreicht, so bleibt, wenn man 
die Flächen an einer Ecke um einen Punkt herum anträgt, stets 
noch ein mehr oder weniger grosser Winkel frei. Ist ein Krystall- 
netz richtig konstruiert und etwa auf Karton übeitragen, und werden 
dann die äussersten Linien ganz durchschnitten, die inneren, in denen 
die Flächen zusammenhängen, dagegen nur geritzt, so erhält man 
bei dem Zusammenbiegen eine vollständig begrenzte Form, ein 
Modell des KrystaUs. 

§ 125. Die Kanten der Achtundvierzigflächner. Die 
Konstruktion der Kanten geschieht am einfachsten mit Benutzung 
des quadrierten Papieres, welches das 
direkte Äbtragen der Koordinaten mit 
hinreichender Genauigkeit gestattet. 
Um das Netz eines Ächtundvierzig- 
flächners etwa 3 f (Fig. 36) zeich- 
nen zu können, braucht man drei 
Kanten. Die oktaedrische Kante, welche 
die oktaedrische Ecke C (0, 0, 1) mit 
der rhombischen iJ (0, ^, -%) verbindet, 
ist auch in der perspektivischen Zeich- 
nung in der richtigen Grösse wieder 
gegeben, sie wird (Fig. 173) gefun- 
den als Hypotenuse des rechtwink- 
ligen Dreiecks CHK, in dem CH = 1 — \ = \ (3% Quadratseiten) 
und HE = I (5 */b Quadratseiten). (Das Vorzeichen der Diffe- 
renzen kann stets positiv genommen werden). Die hexaedrische 
Kante i>i^, welche die rhombische Ecke (0, |, ^) mit der trigonalen 
Ecke (ic := y = « = -J-) verbindet, wird gefunden aus dem Dreieck 
D FT, in welchem TF = TB die Hypotenuse des gleiclischenklig- 
rechtwinkligen Dreiecks ist, dessen Kathede = ^ — i = tV ist und 
DT= ^. Die dodekaedrisehe Kante B G endlich, welche die okta- 
edrische Ecke (0, 0, 1) mit der trigonalen Ecke (i, ^, |) verbindet, ist 
die Hypotenuse des Dreiecks ODG, dessen eine Kathede OG = OT 
Hypotenuse des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks D T, dessen 
Katheden — ^ sind, ist und dessen andere Kathede B eben- 
falls = I ist. 

Aus den 3 Kanten CR, BF und B G lässt sich das Netz von 
3 0| mit Hilfe von 3 Zirkel auf folgende Weise konstruieren: Man 
schlage um einen Punkt (o in Fig. 174) zwei koncentrische Kreise 




Fig. 173. 



■Dui.tizc-ctvCioogle 



— 144 



mit der längeren und mittleren Kante. Mit der kürzeren Kante 
schlägt man von einem beliebigen Funkt a des einen Kreises an- 
fangend einen Bogen nach dem anderen Kreis, von dem Schnittpunkt 
aus veiter nach dem ersten Kreis und so fort bis man bei dem 
achtenmal wieder bei einem Funkt (a,) des ersten Kreises anlangt. 
Verbindet man die benachbarten Funkte auf den Kreisen unter sich 




Fig. 174. 

und mit dem Mittelpunkt, so erhält man die 8 an einer oktaedrischen 
Ecke zusammenstossenden Dreiecke. Der Winkel aoüi giebt an um 
wieviel die Summe der Winkel an dieser Ecke von 360" verschieden 
ist. Die Funkte auf dem kleineren Kreis sind die rhombischen Ecken, 
die auf dem grösseren Kreis trigonale Ecken. Schlägt man von 
einer rhombischen Ecke mit der mittleren Kante und von der be- 
nachbarten trigonalen Ecke mit der längeren Kante Bogen, so ist 
der Schnittpunkt wieder eine oktaedrische Ecke. Verfährt man auf 
diese Weise an vier abwechselnden kürzeren Kanten, so erhält man 
die 4 Funkte l, h, r, v, um welche man ebenso wie um o koncentrische 
Kreise zieht und je 8 Dreiecke konstruiert. An das vierte oder 
fünfte Dreieck in einem der Kreise trägt man wieder ein Dreieck 



Dniitizc-ctvCioogle 



— 145 — 



an und findet so die letzte oktaedrische Ecke (u). Die Kanten, ia 
«eichen je zwei Flächen zusanunenst«s&en und welche nur geritzt 
werden sollen, sind mit dünneren Linien, diejenigen, welche ganz 
durchschnitten werden sollen, mit stärkeren Linien zu zeichnen. 

§ 126. Die vollflächigen Yierundzwanzigflächner. Die 
Netze der Ikositetraeder werden genau wie die der Hexakia- 
oktaeder konstruiert, nur werden die längeren Badien nicht als 
Kanten gezeichnet, so dass an jeder oktaedrischen Ecke an Stelle von 




Fig. 175. 

8 Dreiecken 4 Beltoide erhalte werden. Bei 2 Q2 bleibt der lüigere 
Radius derselbe {DG Fig. 178) wie in Fig. 174, da die trigonale 
Ecke diesdben Koordinaten hat, die mittlere Kante wird = BN 
(Fig. 173) Hypotenuse des Dreiecks BMN, in welchem BM =1 — |^ 
und MN = I- ist. Die kürzere Kante ist MK = Hypotenuse des 
Dreiecks MNK, in welchem NK = NT Hypotenuse des gleich- 
schenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathede |- — ^ ^ ^ ist. 
Bei den Pyramidenwürfeln zieht man um einen Funkt, der 
zur oktaedrischen Ecke werden soll, nur einen Kreis mit der okta- 
edrischen Kante. Auf der Peripherie trägt man viermal die hexa- 
edrische Kante, die beioo0 2 z.B. gleich 2 Jf ^ (12 Quadratseiten) 

Nie«, KiyMallbesohielbimg. 10 



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— 146 — 

ist, ab und erhält so je 4 gleicbscbenklige Dreiecke. Die dode- 
kaedrische Kante ist bei oo 2 = V(i)* + {|)* + (|)* = 1 (0 C in 
Fig. 173). 

Bei den Triakisoktaedern «i ist die oktaedrische Kante 
(die doppelte mittlere Kante) gleich BG — V^ die dodekaedrische 
Kante ist für 2 gleich HJ (Fig. 173) der Hypotenuse des Drei- 
ecks CSJ in dem CJ = CR = V"(l — |)' + (0 — i)' imd 
<7 £"= -I Katheden sind, da die trigonale Ecke die Koordinaten 
a; = y = « ^ f hat . 

Bei der Konstruktion des Netzes (Fig. 175) zeichnet man mit 
Hilfe zweier koncentrischer Kreise (Radien B C und MN) 8 gleich- 
schenklige Dreiecke an einer oktaedrischen Ecke (o). Die vier Punkte 
auf dem kleineren Kreis sind vier trigonale Ecken (1 — 4). An je 
einem Schenkel von vier nicht aneinanderstossenden Dreiecken trägt 
man ein weiteres an imd hat dann z. B. die 12 oberen Dreiecke. 
Trägt man an die Basis der zuletzt gezeichneten Dreiecke je ein wei- 
teres an, so sind die Spitzen dieser die vier anderen trigonalen E^ken 
(I— IV), an denen man noch je zwei Dreiecke wie bei I antragen mu^.'*') 

§127. Rhombendodekaeder, Oktaeder, Würfel. Beider 
Konstruktion des Netzes des Rbombendodekaeders verfährt man 
ganz ähnlich wie bei Fig. 175, nur nimmt man die dodekaedrische 
Kante D G (Fig, 173) als Radius der kleinen Kreise, fängt mit dem 
Abtragen statt bei r bei 1 an und lässt die Radien des grossen 
Kreises (BC) (die längeren Diagonalen) weg. Bei I — IV trägt man 
je einen Rhombus an. 

Das Netz des Oktaeders ist von 8 gleichseitigen Dreiecken 
von der Seitenlänge B C gebildet. Man trägt vier dieser Dreiecke 
um einen Funkt herum auf, trägt an eine freie Seite ein fünftes an 
und um die Spitze desselben herum noch drei andere. 

Das Netz des Würfels wird von 6 Quadraten gebildet, deren 
Seite = 2 C = 2 ist. Vier solche Quadrate trägt man an den 
Seiten eines Quadrats an, an der äusseren Seite eines derselben fiigt 
man das sechste hinzu. 

§ 128. Pentagonal'hemiedrische Formen. Die längeren 
und kürzeren pentagonalen Kanten (vergl. § 64) der Dyadisdode- 
kaeder BP und CP (Fig. 176) sind auch in der Zeichnung (Fig. 



*) Der Leser wird den Fehlet in der Zeichnung bei v und IV bemerkeit 

und verbessern. 



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"^ 


2t 




-L^ =.-,8^ 


cL^ ,"--31 


^"^'■t tc 


^-a*r jX 


"rZ'^L^_Hj^ 




Q j^ (H - a] ij \X 1 


j^ . / \ s/vS, 1 


i ^ ' -^ 1a v ' 


y S "C/v^ k ' 


~^--:f5"5" 


I 



Flg. 17& 

63) iß der^ richtigen Grösse enthalten, die mittleren pentagonalen 
Kanten MN werdenJfBr =gÄ als Hypotenuse des Dreiecks MNT, 




Fig. 177. 

dessen eine Kathede NT = l und dessen andere MT = FT 
Hypotenuse des Dreiecks HTP ist, dessen eine Kathede ET = 
GT— GH =^ — | und dessen andere Pir=P./ — ff J'=e—^ 
ist. Die Diagonale der Trapezoide, welche zur Konstruktion eben- 



DigmzedbyGoOgle 



— 148 — 

falls nötig wird, ist (? S die dodekaedrische Kante von 3 1 (vergl. 
auch D G Fig. 173). 

Bei der Konstruktion des Netzes (Fig. 177) geht man z. B. 
von einer längeren Kante 0P= J?P (Fig. 176) aus, alsdann ist 
T, der Schnittpunkt des Kreises mit dem Radius T^ = 6^ jS um o, 
und des Kreises mit dem Radiiis PT^ = MN um P. P, ist der 
Schnittpunkt des Kreises mit dem Radius P, T, = Jf ^ um T^ und 
des Kreises mit dem Radius 0P, = GP (Fig. 176) um 0. Damit 
ist zugleich das der längeren Kante anliegende Trapezoid gefunden. 
Um das der kürzeren Kante OP, anliegende Trapezoid zu finden, 




Fig. 178. 

sucht man zunächst T, als Schnittpunkt des Kreises mit 2" = MN 
um 0, der schon gezogen war, mit dem Kreis mit dem Radius 
PiT= MN um P,, und findet dann P^ als Schnittpunkt der um 
und T, gezogenen Kreise mit der längeren und mittleren Kante. 
In ähnlicher Weise findet man die den mittleren Kanten anliegenden 
Trapeze. Das Netz (Fig. 177) enthält die eine, obere Hälfte der 24 
Flächen des Dyakisdodekaeders =2^-. 

Die Pentagondodekaeder haben zwei Arten von Kanten. 
Je zwei kürzere pentagonale Kanten fallen in dne Gerade, bei — — 
gleich 1 {OB Fig. 176), die längeren Polkanten fallen weg, die 



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1*9 — 



mittleren werden ftbnlich wie bei den OjakisdQdelaiedet'Q gefunden, 
für —■ „ - sind sie = BB (Fig. 176), der Hypotenuse des Dreiecks 
^e^, dessen eine Kathede BQ= OS—OQ = 1— | und dessen 
andere ^athede QB = QL Hypotenuse des Dreiecks QLN, dessen 
eine Kathede NQ =bOQ — 0^=| — ^, «nd dessen andere Kathede 
X Jf =3: 1 ist. Zur Konstruktion der Fünfecke ist noch eine Diagonale 
nötig. Bei -^ — ist die Verbindungslinie zweier pentagonalen Ecken 
(l, 0, 1) und (0, -J-, 1) gleich FN der Hypotenuse des Dreiecks BFN, 
dessen eine Kathede BN= ^ und dessen andere Kathede BF= BG 
Hypotenuse des Dreiecks OBG ist, dessen eine Kathede gleich 
OB = 1 und dessen andere OG = ^ ist. 

In dem Netz des Pentagondodekaeders-—— Fig. 178 ist P, 
die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis P, P, = 1 
und dessen Schenkel P,P, und P,P, = FN, T, und T, sind die 
Spitzen gleichschenkliger Dreiecke, deren Schenkel die mittlere pen- 
tagonale Kante BB (Fig. 176) ist. Das Netz enthält nur 6 von 
den 12 Flächen des Dodekaeders. 

§ 129. Die tetraedrisch-hemiedrischen Formen. Die 
kürzeren Kanten der Hexakistetraeder sind die dodekaedrischen der 
vollflächigen Form (GS Fig. 176 
und D G Fig. 173). Die miti> 
leren, tetraedrischen Kanten ver- 
binden die oktaedriscben Ecken 
mit den tetraedrischen, also z. B, 

bei ^^ die Ecken (1, 0, 0) und 
(|, f , — I) und zwar findet man 
die Kante BF (Fig. 179) als 
Hypotenuse des Dreiecks BBF^ 
dessen eine Kathede gleich BB 
= OB—OD=\ — \ und 
dessen andere Kathede DP" = Fig. 179. 

DPT die Hypotenuse des Drei- 
ecks ODE ist, dessen Katheden gleich f sind. Die längeren 
Kanten der Hexakistetraeder sind verlängerte hexaedrische Kanten 
der vollflächigen Form und verbinden die trigonale Ecke eines Ok- 
tanten z. B. die Ecke {\, \, — ^) mit der tetraedrischen Ecke im 
anstossenden Oktanten (f, f , f). Diese Kante G wird gefunden 





























- 


;- 


- 


^ 


P 


f 




z 


^_ 


















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«bjGooglc 



— 150 — 



alfl HypoteuBSe des Dreiecks OGJ, dessen eine Kathede ÖJ=^ 
und dessen andere Kathede GJ= H.J Hypotenuse des Dreiecks 
BSJ ist, dessen Katbeden gleich \ sind. 

Das Netz des Hexakistetraeders —^ (Fig. 180) erhält man, 
indem man zunächst die 6 in einer trigonalen Ecke zusammenstossen- 
den Dreiecke konstruiert (HT, = OG, rT. = GS (Fig. 176) und 
Hr = BF), dann die drei anderen trigonalen Ecken sucht (z. B. 




Fig. 180. 

Tii durch Bogen um H mit OG und nm r mit G S) und um diese 
je 6 Dreiecke wie um T, anträgt. Das Netz enthält die Hälfte der 
Flächen. Die trigonale Ecke ist am flachsten, die oktaedrische Ecke 
etwas spitzer und die tetraedrische Ecke noch spitzer, wie man dies 
an der Grösse der von 360" übrig bleibenden Winkel bei T,, r 
und H sehen kann. 

Die Trigondodekaeder haben zweierlei Kanten. Die längeren 
Grundlinien der gleichschenkligen Dreiecke sind gleich den Diago- 
nalen der Würfelflächen, also = 2 B C = 2 Y2, die kürzeren Sehenkel 
dieser Dreiecke sind bei den verschiedenen Trigondodekaedem ver- 
schieden, bei — g— (Fig. 66) sind es die Linien, welche die trigonalen 
Ecken (^, ^, \) mit den tetraedrischen (1, 1, — 1) verbinden. Eine 



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— 151 — 

solche ist 8 U (Fig. 176), die Hypotenuse des Dreiecks 08 U, dessen 
eine Kathede OU = -| ist und dessen andere Kathede OS = OT 
Hypotenuse des gleichschenkligen Dreiecks NT ist, dessen Kathe- 
den = I sind. 

Um das Netz eines Trigondodekaeders zn erhalten, verßlhrt 
man ähnlich wie bei Fig. 176 und trügt die zwölf gleichschenkligen 
Dreiecke, je 3 an vier trigonalen Ecken z. B. 1, 4, 3 und IV, an. 

Ton den Kanten der Deltoiddodekaeder sind zwölf dode- 
kaedrische, wie am Vollflächner (fttr -^ = fl J" {Fig. 173) die zwölf 
anderen sind tetraedrische und verbinden z. B. bei —^ die oktaedri- 
schen Ecken (1,0,0) mit tetraedrischen (f, |, |). In diesem beson- 
deren Fall wird diese Kante = V(J)' + (|)' + (|)' = 1 {OB). 

Das Netz der Deltoiddodekaeder ist ganz ähnlich wie Fig. 
180, nur fallen die längeren Kanten (HT,) weg. Zur Konstruktion 
hat man dieselben jedoch nötig, sie sind für 

also gleich der Hypotenuse des gleichschenkligen Dreiecks, dessen 
Katheden gleich ^ sind. Statt dieser Diagonale kann man auch die 
andere Diagonale der Deltoide nehmen, die für alle Deltoiddode- 
kaeder gleich der Kante des Oktaeders ist = B C = yf. Die Dia- 
gonalen der Deltoide von -^ verhalten sich hiemach zu einander 
wie 4:5. 

Die Kanten des Tetraeders sind die Diagonalen der Würfel- 
flachen also = 2 Y2 = 2BC. Das Netz des Tetraeders ist ein 
gleichseitiges Dreieck, dessen Seite = 4 Y2 ist. Die Mitten je zweier 
anstossenden Seiten sind zu verbinden, so dass vier gleichseitige 
Dreiecke mit der Seitenlänge 2 Yz entstehen. 

§ 130. Die Plagieder. Die Plagieder werden von Fünfecken 
begrenzt, welche dreierlei Seiten haben. Die in Fig. 181 wie in den 
Figuren 69 und 70 mit K^ bezeichneten Kanten verbinden die ok- 
taedrischen Ecken (Koordinaten : 1, 0, 0) mit den plagiedrischen 

(t' To"' aö) ^^^ ^^ daher gleich It8 (Figur 179) = 
Die mit K^ bezeichneten Kanten verbinden zwei plagiedrische Ecken 



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d' W' jr-"'l'l-- w) »"'' »"ä »■» 8'=» ^i = 

V^("ff)'+ (w)'+ (w)'- "'' ''*'' *^ '^'°'™ ■'^ verbindet 
die trigonalen Ecken (7 ' »^ > 'ö') "^^ plagiedrischen und ist daher 

gleich Mlf = V(|)"+ (1)'+ (i)'. 

Zur EonstruktiOD der Fünfecke eind aoch zwei Diagonalen zu 
bestimmen, von denen die eine (0 7 Fig. 181) die dodekaedrische 




Fig. 181. 

Kante der holoedrischen Form (D G in Fig. 173) ist, während die 
andere (0 P, Fig. 181) eine oktaedrische Ecke (1, 0, 0) mit einer 
nicht benachbarten plagiedrischen Ecke (gir. -t' ~^ verbindet und 
deshalb gleich AB (Fig. 179) =\/(g)'+ (|)°+ Q' ist. 

Bei der Konstrulition des Netzes der Plagieder (Fig. 181) 
kann man um einen Punkt, der zur oktaedrischen Ecke werden soll, 
drei koncentrische Kreise ziehen; auf dem kleinsten mit dem Radius 
K, liegen zwei plagiedrisclie Ecken, auf dem mittleren mit dem 
Radius OT = DG liegt die trigonale Ecke und auf dem dritten 
mit dem Radius OP^ = All liegt die dritte plagiedrische Ecke. 
Die Entfernung der Punkte auf dem kleineren Kreis von den Punkten 

Dniitizc-ctvCioogle 



— 153 — 

auf dem mitUerea Kreis ist gleich Kt, die der Punkte auf dem 
erateren von den Punkten auf dem grössten Kreis gleich Ki. Wäh- 
rend bei allen flbr^en hemiedrischen Formen das Netz einer Form 
zugleich das der Gegenform ist, sind die Netze des rechten und 
linken Plagieders insofern Terschieden, als bei dem ersteren die 
Kanten Ki^ Ka, Ks sich in dieser Reihe folgen, ytenn man rechts 
herum geht (im Sinne der Uhrzeiger), bei dem letzteren flg. 69 und 
Fig. 181, venu man links herumgeht Fig. 181 enthält die Hälfte der 
Flächen des linken Plagieders. 

§ 131. Hexagonale Pyramiden. Die Basiskanten der hexa- 
gonalen Pyramiden sind in dem Querschnitt (Fig. 28) in richtiger 
Grösse enthalten, die primären Polkanten auch in der perspektivischen 
Ansicht, als die Kanten, welche die Enden der von links nach rechts 
gehenden. Axe mit den Polecken verbunden. Die sekundären Pol- 
kanten findet man, wenn man die auf der, im Querschnitt vertikal 
gezeichneten Zvischenaxe gelegenen sekundären Basisecken mit dem 
Punkt verbindet, welchen man erhält, wenn man der von links nach 
rechts gehenden Nebenaxe die Länge der Vertikalaxe (mc) giebt. 
Zur Konstruktion der Polkanteu der Pyramiden dritter Ordnung trägt * 
man die im Querschnitt enthaltene Entfernung der Zwischenecken 
vom Schnittpunkt der Axen als eine Kathede auf und die Hauptaxe 
als andere, und konstruiert die Hypotenuse. 

Das Netz der Pyramiden zeichnet man derart, dass man um 
eine Ecke als Polecke einen Kreis oder zwei Kreise (bei den zwölf- 
seitigen Pyramiden) mit den Polkanten als Radien zieht und darauf 
die Basiskanten abträgt An einer Basiskante konstruiert man ein 
kongruentes Dreieck an und findet so die zweite- Polecke, bei der 
man wie bei der ersten verfährt. 

§ 132. Skalenoeder und Rhomboeder. Da die skaleno- 
edrisehen Ecken abwechselnd über und unter den sekundären Basis- 
ecken der Pyramiden zweiter Ordnung liegen (vergl. § 58), so findet 
man bei den Skalenoedern und Rhomhoedern die Mittelkanten 
als Hypotenusen von Dreiecken, deren eine Kathede die Basiskante 
der Pyramiden zweiter Ordnung (12 Quadratseiten) und deren andere 
Kathede der doppelte Abstand der Ecken von dem basischen Haupt- 
schnitt ist, also 2 ^ = ""^( —n) ^ g^j ^^^ Rhomhoedern ist dies 
stets I der Hauptaxe. Die Polkanten findet man als Hypotenusen 
von Dreiecken, deren eine Kathede die sekundäre Zwischenaxe der Pyra- 



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miden zweiter Ordnung, also ebenfalls die Basiskante dieser Foi-m 
ist, und dessen andere Kathede = mc (Hauptaxe) + '"''3„~ 'st. 

Wird der Abstand e zur Veitikalaxe addiert, so erhält man 
die längere, wird er subtrahiert die kürzere Folkante. Die Eon- 
stniktion des Netzes kann ebenso wie bei den Pyramiden gemacht 
werden. Da bei den Khomboedem die kürzeren Polkanten gleich 
den Mittelkanten sind, braucht man ausser diesen nur die Diagonalen 
der Rhomben, welche den längeren Polkanten entsprechen. 

§133. Hexagonale Trapezoeder. Die Trapezoeder (§ 61) 
haben dreierlei Kanten, längere und kürzere Mittelkanten und Pol- 
kanten. Durch Aufeuchen der Ecken (drei genügen) mit den Koordi- 
naten X = - ^, y , tf = -■ 1^" ~ auf dem Querschnitt (Fig- 28), und 
Verbinden von je zwei in dasselbe Raumäechstel fallenden Ecken, 
erhält man die Projektion der Mittetkanten auf die Horizontalebene. 
Die Mittelkanten sind dann die Hypotenusen der Dreiecke, in 
denen ihre Projektion als die eine Kathede und der doppelte Ab- 
. stand 2 ^ = '"'^ 74-11 *'^ andere Kathede genommen ist. 

Die Polkanten werden gefunden als Hypotenusen von Dreiecken, deren 
eine Kathede der Abstand der im Querschnitt gefondguen Punkte 
von dem Schnittpunkt .der Axen ist und deren andere Eathede 
mc — z ist Nimmt man als andere Kathede mc-\~z, so ist die 
Hypotenuse die Diagonale der Trapeze, welche man zur Konstruktion 
des Netzes, welches ganz ähnlich ist wie bei den Pyramiden, eben- 
falls nötig hat. Diß Netze der beiden Trapezoeder, welche von der- 
selben Grundform abgeleitet sind, unterscheiden sich durch die Art, 
wie sich die Kanten folgen, die Trapeze sind nicht kongruent, son- 
dern symmetrisch wie die Fü9fecke der beiden Plagieder, 

§ 134. Tetragonale Formen. Die Basiskanten der Pyra- 
miden werden auch in diesem System direkt aus dem Querschnitt 
(Fig. 24) entnommen, die Polkanten aus den Dreiecken, deren Kathe- 
den die Hauptaxe und eine Nebenaxe, beziehungsweise Zwischenaxe 
ist, deren Länge ebenfalls aus dem Querschnitt zu entnehmen ist. 
Bei den Pyramiden dritter Ordnung ist die eine Kathede der Abstand 
der Zwischenecke vom Schnittpunkt der Axen. Bei den tetragonalen 
Skalenoederu und Sphenoiden ist die Mittelkante, welche durch den 
Endpunkt der nach vom gehenden Nebenaxe geht, in der Zeichnung 
(Fig. 48 und 49) in der richtigen Grösse enthalten. Die Polkanten 



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— 155 — 

werden aus Dreiecken gefunden, deren eine Kathede = "^2 die 
Zwischenaxe der Pyramiden zweiter Ordnung, ist, und deren andere 

Kathede mc — — = mc(\ — — \ oder mc (l -\ ) ist. Bei den 

Sphenoiden ist die Polkante stets = 2 V"2, gleich der Diagonale des 
Quadrats mit der Seite = 2. Von den Mittelkanten der Trapeze ist 
die eioe (voni) iu den Zeichnungen (Fig. 61 und 52) in richtiger 
Grösse enthalten, sie ist die Hypotenose des Dreiecks, dessen 
eine Kathede = 2y = 2 ■ — ^, - und dessen andere Kathede 2« 
= 2 ■ "~, . -^ ist. Die andere Mittelkante wird gefunden, wenn 
man als eine Kathede die Hypotenuse des gleichschenkligen Dreiecks 
nimmt, dessen Kathede 1 — "pj - ist. Bei der Bestimmung der Pol- 
kanten und der Diagonale der Trapeze nimmt man als eine Kathede 
die Hypotenuse des Dreiecks mit den Katheden 1 und -~^j, als 
andere Kathede mc — -^ ■ -^^f oder mc + -^ . -~ -j-- 

§ 135. Bhomhische Formen. Die einzigen geschlossenen 
Formen im rhombischen System sind die Pyramiden und Sphenoide. 
Die Kanten der Pyramiden ergeben sich aus den drei Hauptschnitten, 
von denen der makrodiagonale In den Zeichnungen richtig enthalten 
ist. Die Kanten des Sphenoids, welches von der Grundform abge- 
leitet ist, entsprechen den Diagonalen der Rechtecke, von denen der 
Pinakoidalkörper begrenzt ist. 

Die Kanten der Grundformen des monoklinen und triklinen 
Systems ergeben sich gleichfalls aus den Hauptschnitten, ihre Länge 
ist auch von den Winkeln der Axen abhängig. Die Flächen der 
Pinakoidalkörper haben die Winkel der Axen als Winkel und die 
doppelten Axen als Seiten. 

§ 1S6. Die Kombinationskanten. Die Kombinationskanten 
lassen sich aus den Koordinaten der Ecken, welche sie verbinden, 
ableiten (§ 121). Im hexagonalen System empfiehlt sich die Pro- 
jektion auf den basischen Hauptsehnitt (vergl. Fig. 120). Die Pro- 
jektionen der Kanten nimmt man dann als eine Kathede, die Diffe- 
renz der Koordinaten in der Richtung der Yertikalaxe e\e — z^c als 
andere Kathede, und findet dann die Länge der wirklichen Kante 
als Hypotenuse dieses Dreiecks. Alle horizontalen Kanten haben 
gleiche Grösse, wie ihre Projektionen. Im monoklinen System 



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— 156 — 

projiciert man auf den klinodiagonalen Hauptacbnitt, und benutzt 
die Differenzen yi — yt als zweite Katbeden. 

§ 137. Netze der Kombinationen. Die Netze der Kom- 
binationen werden wie die der einfachen Formen konstruiert, wobei 
man zunächst die Flächen der TOrherrschendeo Form berücksichtigt; 



Fig. 182. 

und dann die kleinereu Flächeu an gehöriger Stelle anbringt. Dabei 
empfiehlt es sich Flächeu, welche derselben Zone augehören, mög- 
lichst zusammenhängen zu lassen. Auch hei der Konstruktion der 
Netze lässt sich das quadrierte Papier mit Vorteil verwenden, wie 
die Fig. 182 zeigt, welche die Hälfte des Netzes zu der in Fig. 135 
abgebildeten rhombischen Kombination darstellt. 

Die Strecken AE und BC sind direkt aus der Fig. 185 su entnehmen. 
AB = AP ist H^rpoteunBe des Dreiecks APU, dessen eine EAthede PU = 
^a — ^a = -J-" = "i, nnd dessen andere Kathede AU = ^ — ^ = ^ ist. 
BQ = 2-^a = |. EG = EF ist Hjpotenuse des Dreiecks EFH, dessen 
«ne Eathede EH = c = ^ , und dessen andere Kathede FH = ^ o — ^ a 
= la = \ ist, AK = EG. BK = CT = CO Hypotenuse des Dreiecks 
COR, dessen eine Kathede OR = PV = J und dessen andere Eathede CR 
= CS Hypotenuse des Dreiecks CVS ist, dessen eine Kathede CV = c und 
dessen andere Kathede SV = Aü = ^ ist. BM = p'u = ^-y BL = BK, 
-^ BML ein rechter Winkel, iJV = 2-i« = J = GJ. 



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Anhang. 



Die geometrischen Eigenschaften der regulären 
Erystallfonnen. 

§ 138. Die Inhalte der holoedrischen regulären Körper. 
Der Körper mOiiy der alle regulären Formen umfasst, wird durch 
die 9 Synunetrieebenen bei gleicher Centraldistanz aller Flächen in 
48 gleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt. Die Grundfläche einer 
solchen Pyramide {ÄOBT) ist das von einer Halbaxe = a, einer 
Zwischenaxe und einer oktaedriscben Kante begrenzte Dreieck (A OE). 
Nimmt man die Halbaxe a als Grundlinie, so ist die zugehörige 
Höhe die Koordinate der rhombischen Zwischenecke B also gleich 
;- und der Inhalt des Dreiecks G = — -, r^. Die Höhe A 

der Pyramiden ist die Koordinate der trigonalen Ecke T, also gleich 
^ — j- (s. p, 32) and folglich der Inhalt der Pyramiden 

j = ü^ = , , . f°' , Der Inhalt von 3 0| ist 

' (l + i-)0 + T + v) 

hiernach = -^ o' von 4 02 = -^ o". Für mOm findet man 
rl^^ ^, daher der Inhalt von-202 = So' von 303 = 

—-a^. Für mO findet man ;- und daraus den Inhalt von 4 

2 + i 

gleich 40', von 20= lo" und von 30 gleich -^a*. Für a>0» 
andet man , '*' „ für «02= Äa" und für oo03 = A«'- 

Für 00 findet man 2 a', für = f a", für oo oo = 8 a', wobei 
a stets die halbe Axe ist. 

Allgemein findet man nach der Formel den Inhalt jedes holo- 
edrischen regulären Körpers, wenn man den Inhalt des umschriebenen 



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— 158 — 

Würfels mit dem Produkt aus einer Koordinate einer trigonalen Ecke 
mit der halben Summe der Koordinaten einer rhombischen Ecke 
multipliziert. 

§ 139. Die Inhalte der pentagonal-hemiedriscben 
Körper. Legt man durch je zwei pentagonale Ecken und den 
Schnittpunkt der Äxen Ebenen, so erhält man in jedem Oktant 
drei dreiseitige Pyramiden wie APiP^O und ausserdem einen Körper, 
der aus zwei Pyramiden zusammengesetzt ist, deren gemeinsame Basis 
das gleichseitige Dreieck PiPiPs ist, und deren Höhen zusammen 
gleich OT der trigonalen Axe sind. 

Die Pyramide AP^PiO hat als Grundfläche das Dreieck APiO, 
dessen Grundlinie .^0=1 und dessen Höhe gleich der längeren 







Inhalt also 
■ist gleich 


0-- 

der 


1 — -^ 


a' ist. Die Höhe der F^^amide APiPiO 
jordinate der pentagonalen Ecke Pa 


Memerea K. 


h - "("- 




'-:_1°- 


Daher ist der Inhalt der 24 Pyramiden 


24.0* 
8 

PiP. 


4 

ist 


als Verbindungslinie der Punkte mit den Koordinaten 


Xf = j 


E«' 


•'■ '-i-. 


a, 0, = und ar, = ~a, y, = 0, 




\~a 


zu bestimmen, 


und zwar ist darnach 



Daher ist der Inhalt des gleichseitigen Dreiecks PiPsPt 

''■=i^-[a-i)'+('-i)"+(-^)'] 

und der Inhalt der 8 aus je zwei dreiseitigen Pyramiden zusammen- 
gesetzten Körper, da deren Höhe zusammen h^ = ■ — * — — ist, 

DigmzedbyGoOgle 



J = 



8..>. ^ra-i)'+c-i)'+('-^)'J ■ 

» (i-;by(' + ^ + i) 

Der Inhalt der Dyakisdodekaeder ^^-^ ist also: 



40-^)('-^)('+^+^)+a+^+'-ih;-^-^)]- 

*0~V~^)"' . . 80 1 18 a , . 4 02 160 , 

: Pentaf 



Der Inhalt der Pentagondodekaeder — =— ist auszudrücken 
durch die Formel: 



Aus der obigen allgemeinen Formel ergiebt sich, dass man den 
Inhalt der pentagonal-hemiedrischen Formen findet, wenn man den 
Inhalt des umschriebenen Würfels mit dem Produkt aus einer Koor- 
dinate der trigonalen Ecke und der halben Summe der Koordinaten 
der pentagonalen Ecke multipliziert. 

§ 140. Die Inhalte der tetraedrisch-hemiedriscben 
Körper. Bei den tetraedrisch-hemiedriscben Formen treten in vier 
Oktanten an die Stelle der trigonalen Ecken tetraedrische. Die 
Pyramiden, welche durch die Symmetrieebenen erhalten werden, haben 

in diesen Oktanten die grössere Höhe ^ — j-. Demnach ist der 

Inhalt der Hexakistetraeder: " "' 



DigmzedbyGoOgle 



■'('+4— ^+'+T+-^)"' 
Der Inhalt derTrigondodekaeder "* „ *" ist = -p — ^— r-, fiir 



303 



('+-)' 



^ = 4a', fUr- _ 

Der Inhalt der Deltoiddodekaeder mO ist = ^-^~, für 

#09.,. 20 32. ^ — i;^ 

Das Tetraeder hat deo Inhalt §a^ 
Da sich die Inhalte der Körper verhalten wie die Guben der 
Kanten und die Kante des Tetraeders o, ä 2 o Y^ ist, so findet man 

den Inhalt des Tetraeders, wenn man für a = -- ^^ - und a* = " ' 

, iY2 16 VT 

setzt J"( = •j2^-V2'-a'i- 

Nach der allgemeinen Formel findet man den Inhalt jeder 
tetraedrisch-hemiedrischen Form, wenn man den Inhalt des umschrie- 
benen Würfels mit dem Produkt einer Koordinate der trigonalen 
Ecke und einer Koordinate der tetraedrischen Ecke multipliziert. 

§ 141. Der Inhalt eines Flagieders. Bei der plagie- 
drischen Hemiedrie entsteht dadurch, dass die H&lfte der Flib:hen 
wächst, die andere verschwindet, über jeder verschwindenden Fläche 
eine neue Ecke, die Spitze einer dreiseitigen Pyramide über einer 

Flache des Achtundvierzigflticlmers. Bei — g^ (Fig. 70) hat diese 

Ecke die Koordinaten a: = -f, y = ^, ■p = A; ^i^ durch diesen 
Punkt gelegte Flache, parallel zu J( B^C„, hat die Centraldistanz 

<* = ¥ + ! + y = t + ^+4 = W (§1^2). Die Höhe 

der kleinen Pyramide ist also -^ q. 

Da der Inhalt des ganzen Achtundvierzigfiächners 3 f gleich 
^a', derjenige der kleinen Pyramiden, in die derselbe durch die 



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Symmetrieebenen zerlegt wird, al&o = -^o*. so ist der lubalt der 
Pyramiden von gleicher Grundfläche, aber einer Höhe, welche nur 
-^ der Höhe der anderen Pyramiden beträgt, gleich ^«'- Da es 
24 solcher Pyramiden giebt, so betriigt die Vergrösserung des Volu- 
mens ^o' = -^o' und ist also der Inhalt des Plagieders 

r-^odtll—^ = -5-«' + -25-«'= 25-«- 

Die Vergrösserung des Volumens beträgt, wenn man die Werte m 
und n statt der speziellen Werte 3 und |- in die Rechnung einstellt, 



woraus man auch erkennen kann, dass, da dieser Ausdruck bei 
m = n, n ^ 1 und m = co den Wert hat, alle Formen mit Aus- 
nahme der Achtunclvierzigfläcbner mOn bei der plagiedrischen He- 
raiedrie eine Veränderung nicht erfahren. Bei m = «*, also z. B. 
bei 402 vereinfacht sieh der Ausdruck durch Wegfall des zweiten 
Gliedes im Nenoer. Der Inhalt der Phigieder r — a— oder l — ö~ 

- i. j 1. 64 . , 1 64 a 1408 , 

ist darnach = gT** + WsT" "UT^ ■ 

g 142, Die Oberfläche der regulären Formen. Der Ab- 
stand der Flächen einer regulären Form mOn lässt sich aus der all- 
gemeinen Formel (vergl. § 115) ableiten. 

p = — ,,■■■■ "■ — -. — — wird für eine Fläche A, BnC„ von 

mOn, bei der o ^ 1, 6 = «, c = m zu setzen ist, sich in folgende 
Formel verwandeln : o = - — , — " . ^. 

Da der Inhalt der 48 dreiseitigen Pyramiden, in welche der 
Achtundvierzigflächner mOn durch die Symmetrieebenen zerlegt wird, 
J = -; r<T ' ^ - . — -TT ist, so ist der Inhalt der einzelnen Pyramide 

Dieser Inhalt lässt sich auch aus dem 



Dreieck ABT (ein Stuck von A, B^0„) und der zugehörige Höhe 

N]«g, EiTBeitUlHichnlbuiig. U/^ ~ i 

D,„t,z.ctvCjOogle 



11 ausdrücken: i = — 0-^1 daher ist das Dreieck ABT = — 
Vl + Jr + J 



2(1+9 ('+^+y 



a* und die Oberfläche des Achtund- 



^*Vi + -r + —. 
Tierzigflächners = -^^ oder ^ »' - 



_('+^)('+-;-+i) 

bei 3 0| = — 5— Vu, bei 402 = -^,—1^21. 

Darnach ist die Oberfläche der Ikositetraeder: 



«iOi» = 



('+i)('+i) ' 

bei 202=4o»V6, bei 303 = — 5- Vn. 
Die Oberfläche der Triakisoktaeder mO ist 



=(^+i) - 


2 + -!- 


' 


bei|0 = -^V22, 


bei 20 = 


86 
5 


a*. 


Die OberBäche der PyramidenwUrfel 


ooO 


w ist 




«02 = 


lea» 


V6. 


Die Oberfläche des Rhomben 


dodekaeders 


ist 


24o'V'2' 
2.2.1 


60' V-2 






Die Oberfläche des Oktaeders ist 






24«>V'3 


= 4i."V3 







Die Oberfläche des Hexaeders ist 
= 24 a*. 

Nimmt man als Einheit die ganze Axenläoge a, ^ 2 a, so findet 
man die Oberfläche des Hexaeders, indem man o = 4- , also a* = 
^ setzt, 0, = — y— =60,' gleich der Summe der 6 Quadrate 
mit der Kantenlänge = a,. _^ • 

Dui.tizc-ctvGoogle 



— 163 — 

Die Oberfläche der Dyakisdodekaeder ==^= ist; 

— (s. § 139) = — ' , , . 7 — -, — ^V^-^ o", 

bei ifi = 1?^ Vf4, bei i|L = ii5! V21. 
Die Oberfläche der Pentagondodekaeder ist; 
12(2— !-)VT+Jv 



Die Oberfläche der Hexakistetraeder 
2*V' + i + i 



= ßa'Y5. 



(. + l- + i){' + |-i) ' 
bei -ji = 3 0- Vl4, bei -^- = -p- V21. 
Die Oberfläche der Trigondodekaeder ist: 

5 — (t\ 

' + i 
,as für -5^ 6 »' V"^ und für ^ ^/-l ^H gibt 
Die Oberfläche der Deltoiddodekaeder ist: 

24V'a + ~ 

4 — -^ 
also bei ^^ gleich -^^22 und bei -^ gleich -^a*. 
Die Oberfläche des Tetraeders ist: 8 0*^3. 
Die Oberfläche des Plagieders r — ^ oder l — ^ ist 

^VTJ von r oder i^ = ^5-a-V2-l. 

§ 143. Der Flächenwinkel zweier Ebeneo. Der Nei- 
gungswinkel (Flächenwinkel) zweier Ebenen ABC und A^ B^ C, ist 
der Supplementwinkel zu dem Winkel J'Oi^,, welchen die Normalen 
c und c, miteinander bilden. Die Koordinaten von F sind a; = — , 



DigmzedbyGoOgle 



— 164 — 

y = -|- , « = -^ , die von P, ßtod ar, = ^, y, = ^, *, = ■^. 
Verschiebt man die Fläcfae AiBiCi parallel, bis sie ebenfalls den 
Abstand «i bekommt, so ändern äicb die Koordinaten des Fusspuahtes 
um den Faktor — und sind also ^^, ^-^, ^^ die Koordinaten 

?l a. 0| C| 

eines Punktes ff, dessen Abstand Off = OF = ß ist. Das Dreieck 
fffO ist gleichschenklig. Das Verhältnis der halben Grundlinie 
zum Schenkel -s — ist der Cosinus des halben Supplementwinkels to, 
also ~ = cos -J-. Die Entfernung FG ist (s. § 121) 

V(-i-t)'+(i-i^)-+{^-fr, 

g 144. Die Flächenwinkel der holoedrischen regulären 
Formen. Da bei allen einfachen Formen e und ^i gleich sind, so 
gilt für diese die Formel: . 



also ist 

cos^ 



lV(4-i)V(i-i)V(4-i)- 

die Flächen des Hesakisoktae 



Welche Winkel bilden hiemach die Flächen des Hexakisoktaeders 
ffiO«? Für alle Flächen ist; 



|j — — y- , ajou Mve ■=- ^i y ■ i:: — — 

Y^ + ^ + i- :. 2Vl + i- + i 

Die beiden in der hexaedrischen Kante zusammenstossende 
Flächen AiBnCm und ^»f, (7« bilden einen Winkel, der sich hier- 
nach aus folgender Formel berechnen lasst: 



-^^W - 



V('-^)'+('-i)' 






D„.„ab,GoOglc 



— 165 — 

Die in der oktaedriscfaeo Kante zusanunenatossenden Flächen 
A^BnCm und A,BnC-m bilden einen WtAk^, für welchen die 
Formel gilt; , 

™2M, 



^yi+i+i »V'+i-+^ 



Die in einer dodekaedrischeD Kante zasammenstossenden 
Flächen A^BnCm und jl,jBmG. bilden einen Winkel, welchen man 
mit folgender Formel beetinunt: 

cos — i-^ =^ - 



Beispiel; 3 0f. 

' V2(l + 4 + i) 

also ist der Winkel an der hexaedrischen Kante = 158*12' 48". 

ms -^ = ^ = -i^ = cos 74'30'4", 

also ist der Winkel an der oktaedrischen Kante = 149°0'8". 

co8^= ^ -^ = — ^ = COS 79»e'24". 

Der Winkel an den dodekaedrlschen Kanten ist demnach bei 
30| ebenso gross, wie an den hexaedrischen Kanten = I58''12'48". 
Die Bedingung hierfür ist allgemein, wie aus den Formeln zu ersehen 
ist, 1 = , also w = ■ "■ -, was auch für 50|^ passt, 

§ 146. DieFläcbenwinkelderpentagonal-hemiedrischen 
Formen. Bei den Dyakisdodekaedern "a" stossen in einer 
längeren peutagonalen Kante die Flächen A^BnCn, und J^^hCL» 
zusammen, der Winkel ist also derselbe, wie an der oktaedrischen 
Kante von mOn. In einer karzeren pentagoualen Kante stossen die 
Fischen .4, J?„C™ ond A^B-nC„ zusammen, deren Winkel also 
durch folgende Formel zu bestimmen ist: 

cos ^^^ - 1 

cos — g— — -— 7— — y- ^^^ - 

DigmzedbyGoOgle 



ÄQ einer mittleren pentagonalen Kante stossen die Flächen 
AiBnGm und A„B, C» zusammen, daher: 

Für die Fentagpndodekaeder würden sich diese Formeln vereinfachen in : 



Bei^iel: 



also ißt der Winkel w(Tcp) = 126''52'U" 



daher der Winkel an der mittleren pentagonalen Kante w(»»p) = 
11 3 "34' 46". 

§ 146. Die Flächenwinkel der tetraedrischen Formen. Bei 
den Hexakistetraedern "■" sind die Winkel an den dodekae- 
drischen und hexaedrischen (verlängerten) Kauten dieselben wie an 
der vollflächigen Form. In einer tetraedrischen Kante stossen die 
Flächen ^,5« (7« und .4, B_„(7_„ zusammen, also ist der Winkel 
an derselben zu bestimmen aus: 

Bei — ^ ist der Winkel an der tetraedrischen Kante 
hiemach, da cos g = , - ,^ = cos 55" 27' 47" i^t, gleich 

Die Flächen des Tetraeders bilden einen Winkel von 
= VT = '^^ 35 "15' 47" ist. 

DigmzedbyGoOgle 



— 167 — 

§ 147. Die Fläehenwinkel der Plagieder. An den Pia* 
giedern sind dreierlei Winkel. An der Kante Ki {Fig. 69) stossen 
die Flächen Ai BnCm und A, B„G-m zusammen, daher ist; 



'"(h) . 



V(^-i)'+(^- 



^V' + ^^ + i V 2(l+Jr + i) 



^/-, 



An der Kante Ki stossen die Flächen ^, B„ C„ und A„ B^ C- „ 
zusammen, daher ist: 

An der Kante Zs stossen dieselben Flächen A^^'BnC„ und 
A^B^ Cn zusammen, wie bei dem Dyakisdodekaeder^ der Winkel ist 
also derselbe = w{mp). 

% 148. Die Kantenwinkel der holoedrischen regulären 
Formen. Da die Oberfiäche eines Achtundvierzigflächners (§ 142) 

24Vi + A- + -T- 
= —. — , ■ . ; i-T- a', so ist, wenn o als Masseinheit = 1 ge- 

setzt wird, der Inhalt eines der Dreiecke 

Vn-^+^ 1 



2(i+^-)(i + ^ + l) 2e(n--l-)(i + -L + i_y 
Die kleinere Seite sei A, die mittlere o und die längere eL, der 
- = r (Koordinate der rhombischen Ecke), der Faktor 

_ - = i (Koordinate der trigonalen Ecke), dann ist (s. § 121): 



Ä= V"2(r — f)* + (' 
= V(l-r)= + r' 

d = Y(i — ty + 2f 

der Inhalt des Dreiecks J = ^ . 

Das Produkt einer Seite eines Dreiecks mit der zugehörigen 
Höhe desselben ist gleich dem doppelten Inhalt. Die Höhe ist ein 
Produkt einer zweiten Seite und dem Sinus des zwischen den beiden 



DigmzedbyGoOgle 



— 168 — 

Sriten liegenden Winltels, also ist der doppelte Inhalt eines Dreiecks 
gleich dem Frodulct zweier Seiten desselben mit dem Sinus des von 
den beiden Seiten eii^escbloseenen Winkels, der Sinus des Winkels 
aber gleich dem doppelten Inhalt des Dreiecks, dividiert durch das 
Produkt der beiden den Winkel einsehliesaenden Seiten. Dividiert 
man den doppeHen Inhalt des Dreiecks = ~ durch das Produkt der 
drei Seiten h.o.d, so findet man den Sinus eines Winkels, indem 
man diesen Quotienten Q mit der gegenüberliegenden Seite multi- 
pliziert. 

Der Quotient Q ist — ; - ' -■■ ■■■ und also 

sinH= Q.h, sinO = Q.o, sinD = Q.d. 

Beispiel: 30|, r = |-, ( = |, * = -^ ^3, o ^ | Vlä; 

sinH= Q.A = ^^!^ = at» 36*49', 
sinO = e.o = |-yi4 =w»66''15', 
sinD= Q.d = -^^^546:= sin 86" 56'. 

Bei mOm, ^aOn und » O ist der Winkel an der oktaedrischen 
Ecke = 2 fl", bei m m, »i und oo der Winke! an der trigonalen 
Ecke = 2 0. 

§ 149. Die Kantenwinkel der pentagonalen Formen. 
Zieht man in einem der Trapezoide, von denen die Dyakisdodekaeder 
begrenzt sind, die Diagonale, welche die beiden pentagonalen Ecken 
Pi und Fi verbindet, so wird es in zwei Dreiecke zerlegt nnd zwar 
in das gleichschenklige Dreieck PiPiT und das Dreieck ÄPiPt, 
welches man als Grundfläche der im § 139 bei der Berechnung des 
Inhalts der Dyakisdodekaeder benutzten Pyramide APiPiO ansehen 

kann. Der Inhalt dieser Pyramide ist ■ 'a' - - = ■ ? -■■■- . \t'' ■■' 

und daler AP,P, = i "-"■ , „■■' . 

Setzt man die kleinere pentagonale Kante APi = h, die längere 
pentagonale Kante APi =: 2, die mittlere pentagonale Kante Pi T 
und p2T= s, die Diagonale fiPa = äi und bezeichnet man die 



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grössere Koordinate d^ peDtagoualen Ecken ^ mit pi, die 

l__L 1-^ 

kleinere Koordinate dieser Eclien j- otitp^, so ist der Quotient; 



kld ~ g.k.l.d 

und BinA = Q.äi 

sinK = Q.h 

sm L := Q,l. 
Der Winkel Pi TPa = T wird aus dem gleichschenkligen Drei- 
eck PiP»r berechnet, und zwar ist; 



Der Winkel AP,I = Pi ist = ^ + 90"— -=-, der Winkel ^PiT 

T 

= Pi ist £ + 90" — -=-. 

Die Linien h, l, tJi und s werden aus den Koordinaten der 
Ecken, welche sie verbindeu, berechnet und zwar ist; 

* = V(1 -!>■)'+?>■ 
!= V(l-J»)"+y." 

A = V(y« — 1»)' +pi' +J»' = Va (pi' +i»' — iny.) 
s=V(y— ()■ + (!»-')• + <'. 
Beispiel; i|i. p. = |-, y = A ( = y, e = ^ViT, 
* = i Vio; ! = iVä? A = I V6, s = i V^3, C = 7 V,^. 

sin^ = Q.di = 3 Y ^ = «i« 79" 54', 
«» JK = e. J = Y -^ = sin 25M', 
sin L = 0.1= V ^ = si» 76" 2', 

sin |- = ^ = Y'i = "'" '•>^' 3'. r = 116" 6', 

Pi = X+90" |^ = 67"r, 

P, = i + 90" — -^ = 106" 59', 
j4 + P. + P, + r = 360". 

D„.„ab,GoOglc 



— 170 — 

§ 150. Die Kantenwinkel der tetraedrischen Formen. 
Aus der Oberfläche der Hexakistetraeder (§ 142) findet man den 

Inhalt eines der begrenzenden Dreiecke = - . - - — 

also A -4 i* J*! = — ^-^, wobei t die Koordinate der trigonalen Ecke 
and h die Koordinate der tetraedrischen Ecke ist. Die kürzere Kante 
ist die dodekaedrische der holoedrischen Form: 



die 


verlängerte 
tetraedrische 
: Quotient 


<i = V(l-<)' + C, 
liexaedriscbe Kante: 


die 


: Kante: 


-<)' + (i. + 0", 


Dei 


> = V(i- 

_ 2ATT, _ 


211, 



Man findet also den der Seite ki gegenüberliegenden Winkel 
an der oktaedrischen Ecke aus der Formel: 

sinA — Q.hi, 
den Winkel an der trigonalen Ecke aus: 

sinT ~ Q.e, 
und den Winkel an der tetraedrischen Ecke aus: 

sinTi = Q.d. 

Beispiele 1^1 ^ _ 1^ ^^ _ l^ p _ _^yn, d = 1 Vä; 

sinA= Q.hi = -^^YTÖS = 82''23', 

sinT = Q.e = -^ ^18 = 56" 15', 

sinTi = Q.d ^ ~yT9B = 41''22', 

A+ 2'+ Ti = 180". 

§151. Die Kantenwinkel eines Plagieders. Die Kanten- 
winkel aller Formen lassen sich aus den Kanten in allen Fällen auch 
mit Hilfe der einfachsten trigonometrischen Formeln berechnen. Als 
Beispiel kann die Berechnung der Winkel eine^ Fünfecks des Pla- 



DigmzedbyGoOgle 



gieders —5— dienen. Die Kante OPi = ^i [aus den Koordinaten 
der Ecke (Fig. 182) = (1, 0, 0) und der Ecke Pi = (f, ^, A) 
zu berechnen] ist = ^ Vn^i ^^ Kante PtPa = üi = -^^ V^i ^^ 
Kante PiT = Zs = iVs, die Diagonale PiPi = ^1 t= ^^^6 
und die Diagonale di = PiPa = -^^ Vs. Durch die Diagonalen wird 
das Fünfeck in zwei gleichschenklige Dreiecke PiPsO und PiPiT 
und ein ungleichseitiges Dreieck PiPiPs zerlegt. 

Ans Dreieck PiPaO findet man: •> 

. POP. dj 3 . „aOA^j 

sin ■ — H-^ = n ; ■ = ,^^ = stn 38"4o% , 
2 2 i, Y^ ' 

also2lPOP8 = 77''26'and4OPiPa = 2tOP»Pi = 90''— 38"43' 

= 51' 17'. 

Aus Dreieck PiPiT findet man: 1 

. p, rf I _ d, _ 8V2" 



S-fcj 



«58' 3', 



also 4Pi2'P» = U6''6'gleich2'a: 

= 4PiPir= 90' — 58"3' = 31'57'' 

In dem Dreieck PiPiPs lässt sich aus den drei Seiten di, di, 
k2 ein Winkel mit Hilfe des Cosinussatzes berechnen, es ist darnach: 

.»«■ (», = 2JP.P.A) = '^'ty„7'''' = y=- = «»«•2'. 
Hieraas findet man unter Anwendung des Sinussatzes: 
sinSt(8t = 2iPiPiP») = -^^^ifA := siMöi . V|"= si»61'53', 
s^«^ (j. — ifPiPtPs) = - - j --- = — ■ „ - — = St« 43" 5', 

Der ganze Winkel OPiT= OPiPa + ?• + P»Pi 2"= 126' 19'. Der 
Winkel OPaPi ist gleich OPsPi -\-8i = 126" 19', also ebenso gross 
wie OP,T. Der Winkel PgPaT ist gleich P.Pi2'+öa = 93" 50'. 
Die Summe der fünf Winkel muss 6ß sein, was man zur Kontrolle 
der Rechnung benutzen kann. 

§152. Die Winkel an Kombinationskanten. Der Winkel, 
welchen ii^end zwei Flächen an Kombinationen bilden, lässt sich nach 
der im § 143 abgeleiteten allgemeinen Formel bestimmen: 

«f=lV(f-i;r+(i-?T)'+(i-?:)' 

D„.„ab,GoOglc 



— 172 — 

Beispiel: Es soll der Winkel an der Eombinationshante einer 
Pentagondodekaederfläche und einer Oktaederfläche beatimmt wer- 
den (Fig. 110). Die zwei Flächen seien A, B„(7x und Ä^B^C,, 
dann ist o = 1 , b — n, c = «> , «[ = l , J, = 1 , c, = 1, 
. 1^ _ 1 _ 1 I 

Daher wird: 

'< = TV(v7=y - vry+(vr^-^)'+(7r7 

daher w = 140' 46'. 

§ 153. Die regulären Polyeder als Erystallformen. 
Reguläre Polyeder sind solche, deren Kanten und Winkel, und zwar 
l'Uiehenwinkel (unter einander) und Kantenwinkel gleich sind. Von 
den fünf möglichen regulären Polyedern sind Oktaeder, Hexaeder 
und Tetraeder mit den so genannten Erystallfonnen 0, x «x und 
-^übereinstimmend. Das von regulären Fünfecken begrenzte Dode- 
kaeder kann man als Pentagondodekaeder — „ — - auffassen, wobei 
n so gross ist, dass die Kanten gleich gross werden, also die dop- 
pelte kürzere pentagonale Kante gleich der mittleren pentagonalen 
Kante, oder: 

2(''-l) ^ ^"*?;"] + ^ , daher «* + «= + l =4(«'' — 1)^ 
oder «* + «*-f- 1 = 4w* — 8n* + *i daher: 
3«* — 9«'-f-3 = oder n* — 3«*-^- 1 = 0. 
Zerlegt man diesem Ausdruck in Faktoren, so erhält man: 

(«'— 1)'— b' = (n' + w — 1)(«' — tt — 1) = 
und daraus die beiden Gleichungen: 

«'-}-«— 1 = und M* — « — 1 =0, 

DigmzedbyGoOgle 



— 173 — 

welche beide denselben Wert « = — =^ — geben. Da ~„ - ■■ ■ als 
negative Grösse nicht in Betracht kommt, so ist n = — „ - der 
Wert, bei welchem das Fentagondodekaeder ein reguläres Polyeder 
wird. Da dieser Wert irrational ist, so ist das reguläre Polyeder 

als Erystallform unmöglich. Ist n > — ^tJi — ^ gj, gin,j yj^ Seiten 

des Fünfecks kleiner als die fünfte; ist « < — ■ „ -- ■, so ist die letz- 
tere Seite kleiner. 

Der Wert « = —^- — "^^^ ^i^h gefiinden, wenn man die im 
§ 145 abgeleiteten Werte für die Flächenwjnkel: 

2 ~ ViÖ^l 2 - V 2(»» + l) 

gleich setzt, dann ist: 

B» _f_ rt -|_ 1 = 2 

and also ebenfalls w = - -„* ■ — . 

Setzt man diesen Wert für n in die Formel cos -^ = , ^ 

ein, so erhält man cos-h- = ■■■ , ■ ■ ■ ■ _ - = cos 58" 17'. 
^ V 10 + 2 V'S 

Der Flächenwinkel des regulären Dodekaeders ist aieo: 

w = 116" 34'. 
Der Inhalt des Dodekaeders ist nach der Formel (§ 139) 

l + T 

J = (6 V5 — 10) «•. 
Der ßadius der eingeschriebenen Kngel: 

i-Vso + io^r. 



Der Radius der umscliriebenen Kngel B ist gleich der trigonalen Äxe 



1+i 1+v^ ■ 

= i:Jfet=_U 
0= eo'Vzso — iioyT. 



Die Oberfäche = — ist = 3('' Vi'-'») _ „. ^er vereinfacht 
' AVso+ioVs 



D„.„ab,GoOglc 



— 174 — 

Dasikosaeder nilrde als Er^stallform eine KombinatioD eines 
I'entagondodekaeders — 0— mit dem Oktaeder sein, ein Mittel- 
krystall ähnlich dem in Fig. 112 abgebildeten, al>er mit 20 gleich- 
seitigen Dreiecken. Die gleichschenkligen Dreiecke an dieser Kom- 
bination verwandeln sich in gleichseitige, wenn die Kombinationskante, 
welche zwei pentagonale Ecken (l, 0, ^~ —\ und ( "" , 1, Ol ver- 
bindet, gleich der Kante des Pentagondodekaeders wird, also: 



•vo 



oder anch wenn die Flächenwiukel gleich werden, also: 

w(kp) ^ 



-"™°"^^ = T(' + 7#=Tr> 

Beide Gleichungen fahren entsprechend vereinfacht zur Gleichung: 

«»— 3n + l = 0, 

wonach n = "^^^ ist, da «t = ^ ~ - ^ - , weil kleiner als 1, 
nicht in Betracht kommt. Da der Wert für n irrational ist, so ist 
auch das Ikosaeder als Krystallform unmöglich. 
Die Oktaederäächen haben die Gentraldistanz : 

1 + ^ = ^^^. 

Das Ikosaeder ist also die Kombination: 

Daraus lassen sich alle Übrigen Werte bestimmen: 

C (der Radius der eingeschriebenen Kugel) ist gleich der trigo- 
nalen Axe von in der Gentraldistanz — ^~- — , also: 
t = ^y^«V3 = |(V3 + Vl6). 

B (der Badius der umgeschriebenen Kugel) ist der Abstand der 
pentagonalen Ecke vom Mittelpunkt und als Hypotenuse eines Drei- 
ecks, dessen eine Kathede 1-a und dessen andere Kathede = 



DigmzedbyGoOgle 



-~-a ist gleich a\ 


+(^ 


^)' = 


fViö^ 


-■' 


Vs" 




Die Kante a. ist gleich -^ 


~-^a = 


(\/5- 


-1)«. 








Der Inhalt einer Fläche 
ganze Oberfläche ist also: 


4 


= T 


(3V3- 


V' 


15), 


die 



0== 10fl*(3Y3 — VlB). 
und der Inhalt des Ikosaeders: 

/=^ = 15„'.(3V3-Vi5)(V3 + VT6) = J5-^(V5-^l). 
Der Flächenwinkel des Ikosaeders findet man aus der Formel; 



2 - v;;i+i - "" "^ " ' 
daher cos w = 138' 12'. 
Da es in der Stereometrie üblich ist, die Inhalte, Oberflächen 
und die Radien der ein- und umgeschriebenen KugeUi aus den Kanten 
zu berechnen, so sind die obigen Formeln entsprechend umzufarmeii, 
indem man die Kanten ai aus der Halbaxe a berechnet 
Bei dem Tetraeder ist ai = 2(1^2, also: 

., _ ., n „,_.,■ ,_ vvT 

iVt ~ 4 .» — g.»— 32 > 

daher: VoL = -| o" = -^ ai" V2, 

Oberfl. = 8 o' Vä = oi* Vs, 

B = (trigonale Axe des Würfels) a Vs = -^- y"6. 
Bei dem Oktaeder ist ai = "V^. also: 

a = -l-8,V2, »= = ^a.', <•• = !».■ V2. 

Oberfl. = 4o'Vä = 2oi"V3, 
«■ = -3»V3 = |«.V6, 

D„.„ab,GoOglc 



«bjGooglc
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