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Librairie J.-B. BAILLIÈRE et Fils, 19, rue Fautefeuille. ù
(Suite)
Etude expérimentale sur les propriétés attribuées à
la tuberculine de M. Koch, faite au laboratoire
e medecine expérimentale et comparée de la
Faculté de Médecine, par M. le professeur Anr-
LOING, M. le D' Roper, agreve, et M. le D' Cour-
MONT, aurésé, avec 4 plane hes en couleurs.
(Fasc. 141) 56 40 tr.
Histologie comparée des Ebénacées dans ses rap-
ports avec la florphologie et l’histoire généalogique
de ces plantes, par Paul PARMENTIER, professeur
de l’Université, avec 4 planches hors texte.
(Fasc. 12) : è ET PR re & fr.
Recherches sur la production et la localisation du
Tanin chez les fruits comestibles fournis par la
famille des Pomacées, par Mlle A. MAayoux, élève
de la Faculté des Sciences, 2 planches hors texte.
CHOSCALO) PR De NO M CR Ole
Etude surle Bilharzia hæmatobia et la Bilnarziose,
par M. Lorrer, doyen de la Faculté de médecine,
et M. VracLeron, professeur à la Faculté de me-
decine de l’Université de Montpellier, 8 plan-
ches hors texte et 8 figures dans le texte.
CHGSCALO) PARENT SENTE 40 fr.
Monographie de la Faune lacustre de l'Eocène
moyen. par Frédéric Roman, docteur es sciences.
préparat. de géologie à l’Université de Lyon, avec
3 fig, et3 pl. hors texte. (I, Fusc. 1er) Dir.
Etudes sur le Polymorphisme des Champignons, in-
fluence du milieu,par Jean B&AUvVERIE, docteur ès
sciences, prépar.de botan.Faculté des Sciences de
Lyon,avecTogr.dausletexte.(I, Fasc. 3). 7 tr.50
L'Homme dquaternaire dans le Bassin du Rhône,
Etude géologique et anthropologique, par
Ernest CHANTRE, docteur ès sciences, sous-
directeur du Museum, avec T4 figures dans le
restos CNT) ER E RP R GET:
La Botanique à Lyon avant la Révolution et l’histoire
du Jardin botanique municipal de cette ville, par
M GÉrarp, professeur à la Faculté des Sciences,
avec 9 fig. dans le texte et 1 pl. hors texte.
(Hasc 25e D PE 3 fr. 50
Physiologie comparée de la Marmotte. par le Dr Ra-
phaël Dupois, professeur à la Facultédes Sciences.
avec 119 figures et 125 planches hors texte,
(Easc-,25)" RATER 45 fr.
Etudes sur les terrains tertiaires du Dauphiné, de
la Savoie, et de la Suisse occidentale, par
H. Douxami, docteur ès sciences, professeur au
Lycée de Lyon, avec 6 planches hors texte et
DANUOUTES ASC AT) RE A GE
Recherches physiologiques sur l’appareil respiratoire
des oiseaux, par J.-M. Soum, docteur ès sciences.
professeur au Lycée de Bordeaux, avec 40 figures
dans le texte. (Fasc. 28) . © 3 fr. 50
Résultats scientifiques de la campagne du « Caudan»
dans le golfe de Gascogne (août-septembre 1895),
par R. KœxLer, professeur de zoologie à la
Faculté des Sciences. (Fasc. 26).
Fascicule I. 1 vol. in-80 avec 6 pl. . . . , 6 fr.
Lyon. — Imprimerie A. KEY, 4, rue Geutil. — 36427
Fascicule II. 1 vol. in-80 avec 11
Fascicule III. 1 vol. in-8° avec 21 pl.
Anstomie pathologique du système …
dans la sphère des néoplasmes mal
D' C. Recaup, chef des travaux, et le D)
JON, préparateur d'anatomie générale
logie a ja Faculté de médecine (Memoire
par l’Académie de médecine), avec
texte. (Fasc. 33) . : A PAERE
Recherches stratigraphiques et er.
dans le Bas-Languedoc, par Frédér
docteur ès sciences, préparateur de
Faculté, avec 40 figures dans le texte et She,
ches hors texte. (Fasc. 34). * M
Étude du champ électrique de l’atmos
Georges Le Capxr, docteur ès science
à l'Observatoire de Lyon, 3 fig. et 10
texte (Mas CHS D) NOM MONS
Les formes épitoques et l’Évolution des |
par Maurice CAULLERY, maître de con
Faculté des Sciences, et Kélix MESN
Laboratoire à l’Institut Fe 6 pl
(Fasc. 39): É
Etude géologique et + du.
inférieur du Mâconnais, par A. VArRiE
en ÉDÉCIRÉ et docteur ès pose av
Contributions à l'Embryologie des Néma
A. ConTE, docteur ès sciences, prép
logie à l'Université de Lyon. (1,
Contributions à l'étude des larves et de
phoses des diptères, par C. VAnEy,
sciences, agregé des sciences naturel
travaux de Zoologie à l'Univers
(BYFRASCHO)E ER CRT
Contribution à l'étude de la classe des yn
par J.-B.-J, CHIFFLOT, doteur és sci
relles, licencié és sciences physiqi
Travaux de Botanique à la Faculté di
sous-directeur du Jardin botanique
avec 214 figures intercalées dans
(CHA c TONER “ie
Monographie géologique et paléontologi
bières orientales, par Louis Don
ès sciences, Collaborateur auxiliair.
la carte géologique de France,
dans le texte, 7 planches hors te
géologique. (I, Fasc. 11) . .
Contribution à l’étude des composés dia
Louis Meunier, docteur ès sciences
versité de Lyon. (I, Fasc. 13)
Etude stratigraphique et paléontolog
Zone à Lioceras concavum du Mont.
par Attale Rice, docteur ès S
d’un cours complémentaire de G
culté des sciences de l’Université
7 figures dans le texte et 11 pl
(COPIE) à :
1e
INPAMBESSDEMLUNIVERSITÉ DE LYON
! NOUVELLE SÉRIE
. QUELQUES CONSIDÉRATIONS
S GROUPES D'ORDRE FINI
S GROUPES FINIS CONTINUS
RaymMonD LE VAVASSEUR
aitre de conférences de mathématiques à la Faculté des sciences
*: de l'Université de Lyon,
LYON | PARIS
PRIMEUR-ÉDITEUR LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS
Rue Gentil, 4 59, Quai des Grands: Auguslins
E ES 1904
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dicats professionnels; justification de cette loi;
réformes possibles. Etude de législation indus-
trielle, par R. Gonnarp,docteuren droit, licencié
ès lettres, secrétaire à la Société d'Economie Po-
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comte I. Rocca, ministre des finances du duc de
Parme, et publiées d'après le manuscrit du collège
de S. Lazaro Alberoni, par Emile BourGexois,
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portrait et deux fac-similés.(Fasc. 8) 40 fr.
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science contemporaine, par Arthur HANNEQUIN,
profes. à la Faculté des Lettres (Fasc. 14) 7 fr. 50
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rences à la Faculté des Lettres de Lyon, profes
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Relation de la Cour d'Angleterre em
le même auteur, publié avec un index.
par Emile BourGgois, maître de co:
l'Ecole Normale supérieure, professeur.
libre des sciences politiques. (II, Fasc5)}
Histoire de l'Enseignement secondaire Le on
de 1789 à 1900, par CHaBor, professeur di@l
de l’éducation à l'Université de Lyon, et
LÉTY, maître de Conférences à |
Lettr. de l'Université de Lyon. (IT, Fasc
Bibliographie critique de l'Histoire
les origines jusqu’à 4789, par Sébastie
professeur adjoint à la Faculté des lett
versité de Lyon. (II, Fasc. 9)
Bibliographie critique de l’histoire
4789 jusqu'à nos jours, par Sebas
professeur adjoint à la Faculté
l'Université de Lyon. (II, Fasc. 1
QUELQUES CONSIDÉRATIONS
SUR
LES GROUPES D'ORDRE FINI
T
| LES GROUPES FINIS CONTINUS
Lyon. — A. REY, Imprimeur de l'Université, 4, rue Gentil. — 36530.
EMPLAIRE N°
ANNALES DE L'UNIVERSITÉ DE LYON
NOUVELLE SÉRIE
I. Sciences, Médecine. — Fascicule 45.
————
QUELQUES CONSIDÉRATIONS
LES GROUPES D'ORDRE FINI
LES GROUPES FINS CONTINUS
PAR
Raymonp LE VAVASSEUR
Maitre de conférences de mathématiques à la Faculté des sciences
de l'Université de Lyon.
| LYON | PARIS
| A. REY, IMPRIMEUR-EÉDITEUR LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS
| . Rue Gentil, 4 | 55, Quai des Grands- Auguslins
1904
d :
QUELQUES CONSIDÉRATIONS
SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI
LES GROUPES FINIS CONTINUS.
J'ai réuni dans ce travail des résultats non encore publiés
de mes recherches sur les groupes d'ordre fini. Ce Mémoire
est divisé en six Parties. -
Dans la première Partie, j’expose un mode de formation
dune table de muluplication pour un groupe régulier quel-
conque. Je définis des nombres dont la loi de multiplication
correspond au même groupe régulier et j’ébauche les pre-
huères propositions de la théorie de tels nombres, théorie qui
revient à celle de certaines transformations linéaires spéciales.
Dans la deuxième Partie, je montre comment d’un groupe
d'ordre fini on peut déduire des groupes finis continus, soit
en considérant le groupe lui-même, soit en envisageant le
groupe de ses isomorphismes.
J'ai donné de nombreux exemples en vérifiant chaque fois
que les équations obtenues définissent bien un groupe, et en
| nie servant en particulier, pour les obtenir, des groupes d’iso-
| Morphismes des groupes d'ordre p' (p étant un nombre pre-
| muer plus grand que 3).
ba troisième Partie a trait aux groupes d'ordre 32.
Leur énumération est chose faite; aussi je me suis contenté
Univ. pre Lyon. — Le VAvassEeURr. J
22 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
de donner, en ne considérant que les plus intéressants de ces
groupes, quelques-unes de leurs propriétés : nombre d’opé-
rations d'ordre donné, groupe des isomorphismes cogré-
dients, faisceaux, substitutions génératrices du groupe régu-
lier correspondant.
La quatrième Partie donne les propriétés de quelques
groupes d'ordre 2”. La méthode que j'ai utilisée pour énu-
mérer les groupes d'ordre 2° s'applique à l’'énumération des
groupes d'ordre 2”, et permet de la pousser aussi loin que
l’on veut.
Je publie quelques-uns des résultats que j'ai ainsi obtenus:
Dans la cinquième Partie, 1l s'agit des groupes d’ordre p°l
(p > 3) (p est.un nombre premier). Considérant l’énumé-M
ration comme faite, je me suis occupé surtout d'indiquer briè
vement les congruences dont la discussion conduit, non seu
lement à trouver les groupes d'ordre p°, mais, avec quelques : n
légères modifications, à obtenir tous leurs isomorphismes. AM
chaque système de congruences ainsi donné correspond un
ou plusieurs groupes dont on ne saura déterminer les isomorà
phismes. On pourrait en déduire, comme je l’ai montré dans
la deuxième Partie, toute une série de groupes finis continus!
La sixième Partie est consacrée aux groupes d'ordre 3°, el
rédigée dans le même ordre d'idées.
J'avertis le lecteur qu'il est possible qu'un même groupen
se présente, plusieurs fois, avec des équations de définition,
différentes. Je me suis efforcé d'éviter ces répétitions. Mag
je ne suis pas certain d’y être complètement parvenu. 1
Je prends la liberté de rappeler que, dans sa séance di
3 août 1896, l'Académie des Sciences a accepté sous I
n° 5287 un pli cacheté où j'avais consigné les résultats qui
j'avais obtenus pour l’énumération des groupes d’ordre p°.J4
me proposais de revoir tous mes calculs avant de les publier| |
lorsque l'apparition du Mémoire de M. Bagnera m'en
détourné.
——ts—— —
CHAPITRE PREMIER.
TABLE DE MULTIPLICATION.
1. J'imagine un tableau carré contenant # lignes et 7
colonnes, numérotées 1, 2, ..., », de sorte que chaque case
est déterminée par deux nombres, «& et 6, & étant le rang de
là ligne et 8 celui de la colonne auxquelles la case appartient.
Choisissons 7 cases du tableau en nous assujettissant sim-
plement à prendre une case et une seule dans chaque ligne et
dans chaque colonne.
Supposons que la case de cite ligne soit dans la colonne
,; nous avons ainsi déterminé une substitution
Réciproquement : à toute substitution telle que s on peut
faire correspondre sans ambiguïté un système de 7 cases du
tableau tel qu'il y ait une case et une seule dans chaque ligne
ét dans chaque colonne.
Pour abréger le langage, nous appellerons file de cases, ou
Simplement ile, un système de » cases tel qu'il y ait une case
et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.
La file dont les cases sont toutes sur la diagonale principale
du tableau (celle qui descend de la gauche vers la droite)
correspond à la substitution identique.
2. Deux cases «a et b, rangées dans l’ordre @, b, sont dites
consécutives si la colonne où se trouve la case a, et la ligne
où se trouve la case b se croisent sur la diagonale principale.
SUR LES GROUPES’ D'ORDRE FINI.
ES
On voit immédiatement que la recherche des cases consé=
cutives d’une file revient à la recherche des cycles de la sub-
stitulion qui correspond à la file.
3. Soient s et { deux files représentant deux substitutions
S et T. La file s£ qui correspond à la substitution ST s’ob=
tient comme 1l suit : soient a, b deux cases consécutives
prises dans l’ordre @, b, a faisant partie de la file s, b faisant
parte de la file 4 : la case qui est dans la même ligne que a;
et dans la même colonne que b, fait partie de la file s4.
4. Soit G un groupe d'ordre », dont les opérations sont
di — 1, d, ..., @,. Formons un tableau carré de 7 lignes de
n colonnes. |
Écrivons dans chaque case du tableau une opération de G
d’après la loi suivante : l'opération à;; écrite dans la ligne de
rang # et dans la colonne de rang j satisfera à l'égalité
did;; — dj.
La table ainsi obtenue s’appellera table de mulliplicatior
de G.
On a
lily — Lo (i)e
Laissons fixe l'indice k, et faisons ? = 1,2, ..., n, on aurd
Ar = ont) = 2, ox(2) — + + : — An, or(n):
4 G(().
5. Définitions des nombres A.
(1)-Bunxsibk, Theory of groups of finite order, n° 20, p. 22.
he
CHAPITRE PREMIER. — TABLE DE MULTIPLICATION. D
Je considère les opérations &,, ..., a, du groupe G
d'ordre »#, comme des signes.
Soit & un nombre. Pour l'affecter du signe @,, j'écrirai
Soit & a, soit a,x indifféremment.
J'appelle nombre À tout nombre de la forme
A — ay A+. or Cap Cp (C1 M),
4, ..., », sont dits les termes de A.
æemple. — Soient «a et b deux sienes tels qu'on ait
Exempl Soient tbhd £ tels q
DO=UP = ab — ba?.
A0 + Ba+yo? +oôb+eab+Cab—(u, 6, y, 5, e, ©)
Sera un nombre À correspondant au groupe symétrique de
trois lettres.
6. Egalité. — Deux nombres À,
AE fo lo), Bts Br)
Sont dits égaux et l’on écrit À = B si l’on a :
= yo des =
Le nombre (0, ..., o) s’écrira simplement o.
À + B sera par définition (x, + 6,, ..., a, +6).
D obtuoulupher \=(c;,.".0,.)parB=(b,,...,6,).
Par définition, ex tenant compte de l’ordre dans lequel
on écrit les facteurs,
AB EN Ne Cana
p=1q=1
aa, sera égal à l’un des signes &
PPIdelEUIterS Per; on
6 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
aura ki:
AB #00) bi) avec Vo = pique + + + Apr Bqm
Pis ..) Pm el UE ..) Ÿ mn
représentent des permutations des nombres 1, 2, ..., m.
On aura aussi :
Vi Ba Hi. + a, Pom
ee. torse ses ese
nm En 6; 00 oo en Oro
Ris ass Ni OR SRE SCT AUSSI RITES
liims c..3 limm SON des permutations des nombres 1, ...,
On en déduit l'égalité :
Pr os ma (Chr ec) (éue. SUR Bm)-
ni !
in général AB et BA seront des nombres À différents.
Exemple :
A affa +ya? +ôb+eab + Cab
a b—1, ab — b@
A'—4'+ Sa +y'a + 0b +e'ab + Tab ; )
Alors
AAZ=o"+f'a+ "a +0" b+e" ab +t'ab
avec
aa Per REPORTER
B'— 48° + Bal + yy + + ed + Ce",
NC ne PR ER Et ee Ko.
d— ad + BC + ye + dx + es + Cy",
eo + 8Ô' + JO + y! + ea + CB’,
EAU + Ge + 0 +8 + ay! + La.
Ici, outre l'égalité
(fnene 6" J- "+ De eine (Ga)
Cm nent Ce) UE ose),
CHAPITRE PREMIER, — TABLE DE MULTIPLICATION. 7
ON à :
(æ" = 8" YA 0!! sl! €”)
—(a+B+y—0—T—<)(a+p+y 0 —T—:)
ln RS. CI
Je. déterminant: | :.. :.. ... | s’appellera la » de.
Ln Ciara
(2. 2).
On le désignera par 2(A). La condition pour que de
Pégalité AA’= AA’ on puisse conclure A’= A” est que la »
de À soit différente de O.
Si la » de À était nulle, on pourrait trouver un nombre À
autre que o, soit À’, tel que AA’ fût nul.
Si, au contraire, on n'envisage que des nombres À dont
la x» n’est pas nulle, un produit de deux nombres À ne peut
être nul que si Pun des facteurs est nul.
Le déterminant (A) a été obtenu en multipliant À à
droite par A’. En multipliant À à gauche par À’, le déter-
minant correspondant obtenu, formé des éléments de A,
S'appellera la »’ de A et sera désigné par 7’( A). Ce que nous
avons dit pour la 7 de À peut se répéter pour la »’ de A.
Ainsi, lorsque À — & + Ba + ya? + db + sab + Ua*b,
" Ô © à SR #
MR OMR NRER "CE cn CM ENAAIC
ERA OENTE à He CO ME
cp 00 NC MACOMNE Ye e € 0
Î = D)
n(A) = à CLATAON)—=
à Pre Re LOI
© BNCIEICNANN ON CEA CIE
6 CONOCNENTRE" EU LE NC OS
COMME MON MOTO NE ME ALL
10. L'ensemble des nombres À forme un corps.
Les nombres &,, ..., a, forment une base de ce corps.
BOIS a, +... 0o,c,.
On a
NA Get Cris
At An = tes 4, me
nEnt
8 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Donc l'équation
bre es Lys Core
a, Es ns ap,
ns (A) — Lo Lo io — 9
En ne 2 e Che S
sehaerhée parlenompre A (ce RP)
Le produit des racines de l'équation n,(A) =o es
me 2 (ON) ON
A vérifie aussi identiquement l'équation 7! (A) = 0.
Réprenons le déterminant
co La SRE Lin
X}: A. do 0 Œy,,
n (A) — 21 22 2m :
Ha Ua D'une e br
Multiplions les éléments de la première colonne par 4,
ceux de la deuxième par a., ..., ceux dela ri colonn
par @&,; ajoutons les (77 — 1) dernières colonnes à la pre
mière.
Comme 4, —=1,ona
Aa, Li, OS Te
TONI LEONE EEE à
AG» hi Re one
Donc
n(A) AA,
À est un nombre À dont les termes sont des fonction
entières et homogènes des termes de A.
Par exemple, si les termes de A sont des nombres extiers
les termes de A, comme le nombre 2(A), sont des nombre
entiers.
CHAPITRE PREMIER. — TABLE DE MULTIPLICATION. 9
On aura de même
PUICAN) == ANA?
avec les mêmes remarques sur les termes de A.
MAO = BY Onta en posant NX —(%,..,x,),
| =(Y; 2) BCE 0.0 00 Br),
dy = Gr, Vic: Gore Êr d'un
Lt E a
PR Bin) 1 mno or Pme) mn -
- Le déterminant de cette transformation linéaire est 2(B).
HD” Soit
F—AX, a) Po oo)
— AX définit une transformation linéaire dont le détermi-
nant est 2(A). Mais on a
H=AX X=BY, donc F—ABY.
Le déterminant de cette dernière fonction linéaire est
n(AB) et l’on a, comme on sait,
n(AB)= 7(A)n(B)
bd'après la théorie des transformations linéaires |.
De même :
n'(AB)= n7'(A)n'(B)
D15. Sinl'on écrit 7 (A), et que, à la place de a, , a, ...,
D on mette a,, ..., 4, ou, d'une façon générale, a, à la
ce de tous les éléments du déterminant #(A) égaux à
.., 4, à la place de tous les éléments égaux à 4,,, on a
à Pable de multiplication du groupe.
f
,
10
Ainsi
SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
I a a b ab «ab
a J a ab «æb b
a? a 1 a DR DEN aD)
b ab @b 1 a? a
GONG ON D a [ a?
ob b ab @& a 1
est la Table de multiplication du groupe G;,
GE HIT ab = ba,
CHAPITRE LL.
14. Supposons que le groupe G soit engendré par les
opérations &,, ..., &,, de telle sorte qu’on ait toutes les
opérations du groupe en prenant l'expression
HG. . ar, avec OEM —I, are 0
On aura
URLS É Du (x, & RON
ra a stea—a ee aie)
et La transformation
D (0 nr do... an) (mod mn;) (D 0)
correspondra à l'opération a%...a% de telle sorte que le
sroupe des transformations æ,—=9;(x,«) (modm;) et le
eroupe des opérations donné seront simplement isomorphes.
Or j'ai constaté que les équations x; = 9;(r,a)(i—1,...,n),
où Je considère les x comme des paramètres, sont les équa-
tions de définition d’un groupe fini continu. J’ai trouvé éga-
lement des groupes finis continus en usant du même procédé
à l'égard du groupe des isomorphismes du groupe G.
Pour s'expliquer comment on obtient des groupes conti-
nus, on peut observer que les équations de définition du
groupe Cr, qui sert de point de départ, peuvent se séparer en
deux catégories, dont la première sera
RU —— PIN pe —
RE Er GER
12 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
la deuxième catégorie comprenant toutes les autres équations
de définition. |
Or les congruences que l’on obtient s’établissent par des
calculs qui n’utilisent que les équations de la deuxième caté-
gorie. Ces congruences ont lieu respectivement suivant IesM
modules m,, ..,, m,, et leurs coefficients sont également
pris chacun suivant l’un de ces modules.
Donnons à 7»,, ..., m, divers systèmes de valeurs, sans,
changer les équations de définition de la deuxième catégorie.
La forme du système de congruences obtenues ne changera”
pas. Seuls les modules changeront. Dès lors ceci explique
que, en considérant les coeflicients comme des paramètres
quelconques et les congruences comme des équations, on ait
défini un groupe fini continu.
Je vais donner maintenant quelques exemples.
1
pq?
CAD b = 00)
15. Commençons par le groupe G
p et q sont premiers, p est plus grand que g, # appartient à
l’'exposant g (mod p).
On a
aZ br ar br — ee LA
D'où il suit qu’à l'opération & D" correspond la transfor-
mation |
æ'= œ + hay (modp)
Y=J +H (mod q).
Les isomorphismes sont donnés par la formule
a ab 1 d
. \ av s) == Ju È à
J,, change a*b” en
De
CHAPITRE IE. L:
A l’isomorphisme J;, correspond la transformation
1— 47Y
N'=\TANE LL Rai ( mod p)
Y=y (mod).
V
Voici maintenant les groupes finis continus correspon-
dants :
« désignant une constante fixe quelconque, À et 11 étant
deux paramètres, le premier groupe sera défini par
GP = GP ET
onde
En effet, si
DT} Ty y ui
on trouve
= Ge SN Me DCE
avec >
NI SENNcEn = y +.
Le deuxième groupe sera défini par
5 [
; I1— aYŸ
LI — NT + LEE
; I — (C4
MY
Si l’on pose, en effet,
ll ax D Ca)
L'=Nx'+ ul = pee uv!
Ü,— G1
Ha —
ÿ =ÿ =);
on a
NUM, W=\u+.
DOS cimmointenant le sroupe Ge (ar =D Sr,
ab = ba, = désignant une opération conjuguée d’elle-
même ).
On à
CO ER M) ONE can re
Le groupe fini continu correspondant à cette loi de multi-
14 SUR LES GROUPES D'ORDRE. FINI.
?
plication est défini par les équations
TI ZE. C1
J = Y SE P
23 +Y—2y
EL = 2
Et, si l’on pose
= Rial, Vie (ere: of =!" — CHENE V— Gas
puis
il vient
fl ee ! PUIENNn A! AL « = !
A Un mL
Mais cherchons les groupes des isomorphismes de G: e
de G°
p°°
Si l’on part des équations de définition
(CRE
NS
a Se DP= 7: ab = ba", GP; az = Sa,
b,
et l’on pose
avec
n(u — 8°) 0 (modp),
en écrivant que l’on a
a =", : ab = ba”,
on irouve
me ; D +1
1 = Br day + af PP )
PP —1) (mod p)
nwæ=uw(xs — a).
CHAPITRE IF. 19
Nous supposerons p > 2. Pour m faisons
ni æ—ZxZ—0, WW — PI,
nil Vicnc |
MC) è = 0, 5e= donc ee
Les isomorphismes sont donnés par la formule
À a b =
Ÿ ADP ONDE EE
Un tel isomorphisme change ab 5% en
a(r—))
>
au Br+y, yr+ty+as-af
b 3
Assurons-nous que les équations
a *
T Dj]
SD Op 25 = 46 (æ )
2
Pour cela posons
x"— 2! x'— C4 TL
je 6’ z'+ }'— Our + y
[2 !
AOMTEN—ENT
VUE C'y! = CA A 281 ( = )
LT — 7
AE ER EEE TCCAER ( = }
n trouve
a" — ax!
rap +8
16 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
PounG(222)/*on
p°
“ —
LD —10), PE 0; CT —
Î
1;
donc
n= 2e — f$pù (modp).
Les isomorphismes sont donnés par la formule
GE b CS ‘ a |
as bBSY abist. gacp5 ENG ae — Bd Æ 0 (mod).
\
Un tel isomorphisme change a*b'55 en
= = a (a —1 s (71 >
œr+0) , fr+ey _ yr+fy+(as—fB5s—xf TN Be
b ds À É D, D 0!
02 .
De là, le groupe fini continu
x'—= 4x —+ dy É
mec)
A CODE
x" — xx! + Bo’,
De ON TO ENT
B —2$ +,
0! — 9%) + ed!
1 =
Bt (ae = 8101) ap ptot ta(a APE (En)
( 3
; )
LU Ou ee 800) 0e Po MCD lee (Ce)
17. Appliquons encore notre méthode à quelques groupe
d'ordre p".
Partons des équations
SUNSET LE = CPE, SEE;
wo.
1
CHAPITRE I. 0: 17
k 1 (at pi Do ar ju) = O no p
Écrivons que l'on a
Le CS
Zu HUy= au + gr
MN ay sn PT
1e Love Cader (mod p).
VIP + ÀS = (ac — Ge) |
“TIRE PTE #5 — 5 (at Be)
Pour le groupe G},;
ns
1, ==, t—{—0, Z—X—0,
W—W—I, S—5s—0.
On trouve
«= a, À = 0, 2=0, = &, WU = O0,
l'où l’isomorphisme
LR RENE A
\osclgre cSno 2 ex)
Dan. È re ES EEE
VS: È 2x pBr+ty GYxtny+as CEA EMI
par C 50 RH e
\ NIV. DE LyYox. — Le Vavasseun. 2
18 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Voici le groupe fini continu correspondant
LIT)
v'=Bxz +,
D —yr EnpAi as,
T(x—1)
d'—Ôx+ ty +act— af
et le groupe des paramètres
CCE
g= Bat t'8,
t{"— a:
[AC LA pee: {/
PC SE Pi 00
VERRE: FE
d = ER 0
d'—0d'a+uB+oxt'— x'B'la(x— 1),
QE PU pl,
Maintenant le groupe G est défini par les équations
DIE; GA), SPORE, be — cb0
-(les opérations 5 et 0 sont conjuguées d’elles-mêèmes).
Faisons, dans les congruences précédentes,
+
WU, == 0) BE ©) GP
=, SES 10:
Il vient
De là l’isomorphisme
b ® SG 0
DOPENOMONCÉENNN END 7 GE
qui change
; Se eut _e Tir
br cY 350 en brcbrttr Sven guet 0 FRERE 8 =—
CHAPITRE 1H.
et le groupe fini continu
LT)
J'—=ÊPz+ Cr,
PURES {LH NY LS)
x Œ(æ—1
l'—Ôx +iy Hz +T— >,
qui donne
7 g" = g' nes ge,
Q—= CCE
TEEN
y = y se
0! — à! + RL _ 8 +,
UC ln ertlre
18. Partons maintenant des équations
GENE DRE0 Sr, QE ab — bar.
Posons
a — a* bBOY,
D = aù LE 0
0 — (04;
ee (ue — 5) < 0 (mod p).
Ici l’on a
—= 4e — 0 (modp),
nZ—ax+f6y+yp
(mod p?).
nY—Ôr re) Ep
3
Pour le groupe G,,,
Fe ' n D 0)
le sorte que y et € sont nuls (modp).
(AE = PE bo = ba),
19)
20 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
De là les isomorphismes
a b (à
at bBOYr, ab:65P 6x8?
avec a — 69 0;
; a bY 67
devient MDI
a (x —1) SAVE
QE —
-2 2e
- Bôar )p+las— Bo) s
.
at +Èr bBr+ey a RE
On en déduit la transformation
(mod p}),
Y=Pz +ey
= (get a PI por) pa (ee — 60)
(mod p?).
Pour le groupe fini continu correspondant, nous prendrons
les équations de définition que voici :
z'=2x +Ôy,
V'= fx +e<Yy,
(æ—1) = y
) N GS)
d=yz+ty ai" CE dm fèay + (as — 80) 6
qui donnent
a — ax! + Gÿ/,
= y Se EX
0! — da + sù!,
son, Na
pra VB tata PI B(E— 87 y (6e = F2) = 2100
e 48 —1)af— 45 (e —1)5 ne ue NT
D — |, Ve, = ©
CHAPITRE I ; 21
Oupe Gr, 0 b— 6? — 1, ab —"baÿr);tonia
a =" (mod p),_ 5—=0o (modp), = (mod p),
d'où, en posant a? —0, 0? = 3, SP — 1, l'isomorphisme
a b Dim; LASER
at bBOTSÈ bSr 023% S2)° en
Il transforme
} Ë à a (a et)
at br 6:31! en at br GYe +45 S dé rm o
le groupe fini continu correspondant est défini par les
= 0r)
P=ÿ RE
A PCIe
LOT À ET RE,
> qui donne
Re
BR +af,
VAT Eve
D —da+ NB +yy+ ad — Laa8,
NN ie Âd
19. Soit, maintenant, pour finir,
CHIEN OLESE CDS be — cba, ab — ba3",
His : ; AC CAT, Er;
sons
3 D — at 38,
b— a bc,
e — ab) c'>*
=
Ha (à =— €) 0 (mod p).
\
22 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
En exprimant que l’on a
il vient
INDE Mos
At =ti + u0,
NO = 0
B= qea + que + qe + r(10— 3) 0 D
LCR CR
2 2 2
\r= ace 7),
àq =a(q!+r8),
tout cela (mod p).
Pour le groupe G;,
CRU == ne be = cha. ab — bas, AC = C@,
faisons
HU —0, {=t=o, r=r==1, 1=g =:
il vient
0 — 0, OU 2, DCE 0) À = dt
2
Les isomorphismes de G,, sont, par suite, donnés par l'ex
pression
a b C
anbPc Si acier
Si
Sa
tu
[S72
19 Ÿ
©:
le]
0
De”
Le groupe fini continu correspondant est, en changean
les notations (j'ai mis æ, B, y, à, e, €, n, 0 à la plae
2
| CHAPITRE IL 29
S u ;
Vs 0 €; @ 1; SM 4) :
— Ba + ŒY + 25 — ES 1)
= !
l=nrz — — fer + ôy +0: + fut
1e ue 37 (By —
D ou
Een) En). à RE (Ce)
= 28 y Yon = 0
ét il donne
Eee BR (pu),
cr +efr,
Best n4(8— 1) — B'ce! + On + B2n'0
D Lam BB 1) — Lam BB ape La 88 Ba BB — 1)
DDR) TCB) prBlerel
rc Er BTE 1)]
ra PP y — SByCR—)l.
Pour le groupe Gÿ,
24 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Les isomorphismes sont donnés par l'expression %
a D AC SN :
bn Ei) Res = SA CE ;
az 2 CO ÉCNTUC EE 9 4
Q 4 IN
Remplaçons y, 0,e, €, n, x, para, B,#0,e. 10
On trouve, pour le groupe fini correspondant, les équa=
ions de définition que voici :
M FI,
JR
AT +
LU —— f:x +- E(B—1)+ôy+ts+pe
Rp A ,7 / Di 23 re D,
qui donnent
B’— 6",
HE EE go?
a — A + die el + ane D
HR a(B a) + GB 1) 2e PO y OR à BIEN
+ un + La88 — 5 Bay B > BB Y(B—s) 2 PRIE
{
/ 1 #Q!
CORENEE one Ce
6
E. m4 CHAPITRE D 25
Prenons enfin le groupe G;,
ch SP 1, DES bc—= cha, ab — ba, AC=ICAE
faut, dans les congruences précédentes, faire les hypo-
ses suivantes :
IN
Ô
Pi B—=y+ (it).
. Changeons y, On C5 Do D PGM ER ACIES CE
L'isomorphisme général à pour expression "
a b C Si
Pere) it & ‘
GiSS NE HAE CEE
Il donne le groupe fini continu à 5 paramètres que voicr :
cg = Br +ay+os
=
LE
1 — 5 ÿ ==" l , Z0= PRE (EE D)
d =|#+ « )|e+ ME Ez EDG en”
D
ci CE 1),
CHAPITRE HT.
SUR LES GROUPES D'ORDRE 2.
20. Plusieurs auteurs (MM. Bagnéra, Miller) se sont
occupés de l’énumération des groupes d'ordre p°. Je la consi-
dère comme acquise. Je ferai simplement quelques remarques
sur les groupes obtenus.
Prenons d’abord les groupes d’ordre 32 :
a. Le groupe
a
8 » » 8
4 » » 4
3 » » 2
Le groupe des isomorphismes cogrédients est d'ordre 4:
Les isomorphismes qui l’'engendrent sont
7 &b HE: a+ te
(EF)
as b a+ bb
Le groupe régulier correspondant est engendré par les!
substitutions
16
2 Me
a — l Lez Th,2 +. ie) b= l Leruzs os).
h=1 A=1
IL y à 3 faisceaux d'ordre 16
Fiat, F,=iabl, F,=\e, bl.
CHAPITRE IT. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. 27
- Ces 3 faisceaux d'ordre 16 ont en commun le sous-groupe
conjugué de lui-même, d'ordre 8,
15 |.
D Pesroupe (a — =, D 0, Sr, ab = ba)
(= et 0 étant des opérations conjuguées d’elles-mêmes), à
16 opérations d'ordre 8
12 » ONU
3 » ». 9
Les isomorphismes cogrédients sont donnés par
J bhab. ne Dar
a — ) Db = .
bat OR D at
beur groupe est d'ordre 4.
Il y a 3 faisceaux d'ordre 16,
Fi—ia,0!, Fi—iab,0, Fi, 5!
4
Ils ont en commun le sous-groupe conjugué de lui-même
Les opérations génératrices du groupe régulier corres-
pondant sont
8
b= Ï | (Tr LhoTnal hr);
.
(== I ] (Li Dosr lan Lisp T5 kL6,3k 95, k Dar -a).
=
2. c. Le groupe (a°— 5, b—S— 01, ab — bab) (
à 16 opérations d'ordre 8, $ d'ordre 4, 7 d’ idee D
si
a) Une fois pour toutes, les opérations désignées par les lettres
... sont conjugués d’elles-mêmes.
28 © SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Le groupe régulier correspondant est engendré par Îles
opérations L
% 8
a— LLC. Do Che) = Il (Tir Tor) (sir),
h=1 k—1
D— (rit) (riodis) (ist) (rideau
X (di5d35) (Li Las) (dis Lis) (dis dis) (Zn du)
X (Lo Le) (Las dis) (dar d3) (Los Lys) (do6 L36) (Las ir) (Hs La):
Les isomorphismes cogrédients sont engendrés par
E at bS OU | _ a bBSAGE \,
ee. À QU+1 JL Fi or, Cas ÉRounE
Leur groupe est d'ordre 4.
Il y a 3 faisceaux d'ordre 16,
F—ia,0, F,—iab; 0, F—\6,5,0!.
Ils ont en commun le sous-groupe d'ordre 8 conjugué de
lui-même
23. d. Le groupe (a2—=S, bp 0, SR, Gb ba
a 16 opérations d'ordre 8, done 4, 5 d'ordre 2.
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres
pondant sont
k
a= [tu oo 6249) b= [ (ti, kLo,5k—4 L3,k Ty +540)
KA REA
Le groupe associé (groupe des isomorphismes cogrédients M
est engendré par
À at DE QE | = a b8 308 10e
2. : }; AL : ) (a B om)
ax bSX204 ; abBSi+2qt
Il y a 5 faisceaux d'ordre 16
Po, O1 A0) ie Ep;
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. 29.
- 24. e. Le groupe (UN DIE SNS ba —'al
à 2/4 opérations d'ordre 8, 4 d’ ordre 4, 3 d'ordre 2
Les substitutions génératrices du groupe Robes corres-
F D dant sont
A 10 go ie
AE
He)
el 1 AN DU La hl y. Tli,k+8 lo, D I ko).
DATA
Le groupe associé est engendré par les 2 Rhin
(D SE) CE NDS)" (ab; ab} 3?2)\(ab}, si
… (02. b222) (ab°, ab°Z) (65, BE) (ES, LS)
Th ab ES) (ab S tab) (b2 SN b2S;) . GER),
- b—. (a, ab?, aS?, ab°S?) (ab, ab3, ab5?, ab33?)
X (TNAENCER, ab?) (ab 5, al8S, ab3 , ab?s?).
Il y à 4 faisceaux d'ordre 8,
| 4, PNG RE =NTUAIT NA
et un faisceau d'ordre 16
25. f. Le groupe a. ON = SU)
ä 8 opérations d'ordre 8, 20 d'ordre #, 3 d'ordre :
Le groupe associé est engendré par les 2 an
a— (b, b30) (b?, b°6) (ab, ab36)(ab?, ab°6)
x (abÿ, Ho b3635)(b°3, b?358)
< (ab3, ab350) (ab?3, ab?30) (ab?3, ab36)(B3, b38),
D (a, ab”, a%, ab?6) (ab, ab*, ab0, ab50)
x (a3, ab°5, an, ab?50) (ab35, ab?35,ab350, ab).
30 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Les substitutions génératrices du groupe associé sont
4 8
DE== | À (2210000775) a — | ER)
= RL
Il y à un faisceau d’ordre 16,
FENDNET
et 4 faisceaux d’ordre 8,
F,—{a,0}, Fi—iab,0!, F,—iab?,0,, F,—|abt, 6).
26 5. Le groupe (a =S; bi SE be
a 8 opérations d'ordre 8, 20 d'ordre 4, 3 d’ordre 2.
Son groupe associé est engendré par les isomorphismes
a— (b, b)(b?, b0)(ab, ab )(ab?, ab?0)
X (b0, 56) (ab0, ab#0)(b3, b33)(b?3, b?2350)
X (abS,ab#5)(ab?3, ab?350)(b56, b350) (ab30, ab),
b— (a, ab?0, aû, ab?)(ab, ab°0, ab0, abt)
X (a3, ab°05, a6%, ab?3)(ba%, ab°07, ab0%, abÿ3).
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
pondant sont
n 8
b — | k Creer): 4 = Ï ] (Tir Le,sk 2 La,h Ti,ater)e
h=1 k=1
On a un faisceau d'ordre 16,
=D, 5,
et 4 faisceaux d’ordre 8, |
Fa abs, 0] = D O ):
27. h. Le groupe
LS DESIRE SR RESTE ab = bah
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. 51
On prendra pour les substitutions génér ratrices du Soue
Po oulier correspondant
8
4 — | j (ZT Th Thu)
=
(Li Loi Dan Los) (Lio Loi Lao Der) (ao Pr Lio Ds) (Ls2 LL d'a)
X (Lis Los Las Lys) (La Ds Las Los) (Los Lio Tor Lan) (Lie ra Los T'as).
Le groupe associé est d'ordre 4. Il est engendré par les
“u— (bd, b0)(ab, ab6)(bS, b30) (abS, ab50)
X (0S!, b0S) (abS!, ab5'0) (b3S", bSS'0) (ab SS!, ab33'0),
D— (a, ab)(ab, ab4)(aS, aS0)(ab5,.ab50) |
x (a3', a3'4)(ab3', ab3'0)(a%3", a53'0) (ab33!, ab T0S"' ).
Il y a trois faisceaux
LS ! SEE œ 0) REA œ ©!)
ra El 0), NDS AUS HS Gb NS EN E
Le groupe
,. Para er ac— cas, be—=cbT?, ab = bacS
46 opérations d'ordre 8, 16 d'ordre 4, 7 d'ordre 2.
Le groupe associé est d'ordre 8. Il est engendré par
= oc) (ab, abeS) (c; c5?)\(ac,‘ac5?)
X (0%, bc)(ab2?, abc) (b3, bc?)
(abs, abc) (CS, ct) (ac Sacs) (bSbc) (ab abc),
(etai) as ac) (as ac sas acS?)
le co), co) (ab abc) (abS; abeS?)
(Gb abeS)(abS abc) (bc) be) (bc becs),
MO, a)(aS, aSt)(b, bS°)(bS, bS:)
cac) (ac acs) (bc) bc (bCS be).
Les faisceaux sont
la}, fac}, {8,3}, fbc, 3], lab, 3]
32 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Voici les substitutions génératrices du groupe régulier
correspondant
Te PSN CE ODA. NO)
OT 8 T0 20 21022 20 2) PE 6. 27, 28, 29, 30, 31, 32)
b— (1, 9){2, 28) (3, 11) (4, 3o) (5, 13) (6, 32) (7, 15) (8, 26)
X (10, 2/4} (12, 18)(14, 20) (16, 22) (17, 25) (19, 27) (21, 29) (23, 31)»
e— (1117)(2: 22) (3 19) (4 24) (5, 21) (6, 18) (7, 23) (8, 20)
LE A(o eau a Fe 31) (12,28) (13, 25) (14, 30) (15; 25) (6:82)
29 We Percroupe
=, D'À ba — ab?3, TT
a 8 opérations d'ordre 8, 20 d'ordre 4, 3 d’ordre 2.
Le groupe associé, d'ordre 8, est engendré par les iso
morphismes
a— (b,bS)(b?, b°6) (ab, ab?S) (ab?, ab°6)
X (08, b3358) (825, b?56)(ab6, ab338) (ab?S, ab?56).
b— (a, ab°58, a, ab?3) (ab, ab*36, ab, ab?3)
X (ab?, a3, ab°?6, a30)(ab*, ae ab30, ab).
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres
pondant sont
ee == LL: This. .Lhs);
AA
a — (CATEATRETE ETS) (Tia Lys Don Lys) (Lis Car Las Cor) (Lis Lio Las Lo) De
X (Di5 Lys Las Lys) (Lie Lis Log L38) (Tir La3 dar Li3) (ra Ta] !
Enfin voici les faisceaux :
F\6, 5 (ordre 16),
puis 4 faisceaux d'ordre 8,
Earl Fab ei Fm 0 NO NE 72 2}. N :
GUAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. 33
30. À. Le groupe
REP NC Er tac = cal bc= cb aab—"bac)
&— (b, be, b0, bcb)(é, c0) (ab, abc, abb, abë0)
x (ac, ac0)(a°b, abc, a? b0, a? bch) (a*c, a?c0)
x (ab, abc, a? b0, a’bc0)(a’c, a*c0),
(a, ac)(a?, a?0)(a*, ac0)(ab, abc)(a?b, a? b0)
X (ab, abch)(a?c, a?c0) (a?bce, a?bc0) (al, ac0) (ab0, abc),
G— (a, a0)(a’, a0) (ab, ab0)(ab, a*b0)
D icc FC C, CAN abc0) (a* bc, & bc0).
Les S dtutions génératrices du groupe régulier corres-
ondant sont
a — j j rieur)
h=1
D — SRE : _. D na
ab (ritn tdi dis Dos Pass) (Lio Log Log Los Li Lis La as)
X (Lg Dar La Lys Dir Log Lan Lys) (Li Log Las L26 Li8 Lu Laye Lao )e
On a
CORTE CNT CNET,
b'= 03e, ANDEDIQ ab DE
Do. ROP=UEEN DE= ND G a b'?= ba,
DO = DONNE OO GOT PS
CHOPSNTGN POP DOG, DO De
… 1 y a six faisceaux :
1, @ Da D a 0, 420; a?0), F,= (1, ab, a c0, abc, 0, ab0, &c, &bc8),
0, 4 €, be, co, bc0), Re Hu ab, a?c0, abc, 0, ab0, & c, abc),
, 0, a? DO, c, a? be, c0, a bc0), = Ce &0, « 3cD, D, acb, NAN)
L)
Univ. px LYox. — LE Aa 0
SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
(St)
—
31. /. Le groupe
(ai PDA ac — cat be CDR aDE De)
a 16 opérations d'ordre 8, 4 d'ordre 4, 9 d'ordre 2.
Le groupe associé est d'ordre 16, les isomorphismes qui
l’'engendrent sont
a— (b, bc, b0, bcÜ) (ab, abc, ab0, abc0)(a?b, abc, a°b6, a? bc@)
X (ab, abc, a°b0, a*bc@)(c, c0) (ac, ac0) (a?e, a?c0) (ac, a*cb),
b— (a, ac)(a?, a?0) (a, ac0) (ah, abc)(ab, & b0)
X (ab, a*bch) (ab, ac0) (æe, a?c0)(ab6, abc0) (abc, a? bc),
c— (a, a0)(a, a0) (ab, ab0) (ab, a3b6)
x (ac, ac0)(aÿc, a?c8) (abc, abcA) (a* bc, a bch).
Le groupe régulier correspondant est engendré par les
substitutions
k
G = Ï l (Lnieee ns),
=
fra Lies , 0
Ld'—ab— (titan ty Lu dis os das Lis) (Lio Les Tag Los Li6 Lis Lao Log)
X (Li 3 Dos Las Cyr Lis Las Dar Los) (Lis Lio Las ro L'i8 T6 Lay T'og)e
Les faisceaux sont :
101 Nb = ab, ac; a bel} abt" act} a 0)
Fi— ab (ab ac, abe; ta bdiNercthabent)"
Ft 0er PACE El) RÉ 0 4 CODES).
Far bo abat
32. m. Le groupe
QE UE EE CO UO=Cb, dote)
a 20 opérations d'ordre 4, 11 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé
R 5 5
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. 35
lequel est d'ordre 16, sont :
= (b, be, bo, bcO)(ab, abc, ab0, abc0)(a?b, a’ bc, a? b0, a? bc6)
\
x (ab, aïbe, a%b6, a*bc0)(ce, cO) (ac, acb)(a?c, a?c0)(aÿc, ach),
D— (a, ac)(ab, ac0)(a?, a?0)(a, a*c0)(ab, abc)
x (ab0, abch)(a?b, a?b0) (ab, añbe0)(a?ce, a?c4)(a?be, a’bc0).
6— (a, ab)(a, a’0)(ab, ab0)(a’b, a*b6)
nr _<(ac, ach)(ac, ach) (abc, abc0) (a be, abcb).
Le groupe régulier est engendré par les substitutions
A— (Tant tsln) (dial Li Las) (Li La3L53 Dr) (dis Lis L'yo Lo)
X (Loi Lis Loi Las) (Lao Lys Lo ra) (Las Lun Los Lai ) (Los yo To Las),
8 4 %
Do — Î ] (Lyilrlh3l he); C— [II (Litace=1),k Lon,k)-
h=1 H=NN IA
Voici les faisceaux :
= (ee CN CORTE ON)
ra ca ct) a 0 c0Nazchl);
F;,= (1, ab, a?c0, abc, 6, ab0, ac, abc),
= Coma)
Fi (1, 1ab, ac, abc, 0, a*b0, a?c0, abc),
rrac a0 ac M0 Nact; a ac), |
= (a OEM)
33. a. Le groupe
CDI CENT CLS)
16 opérations d'ordre 8,
8 » » 4,
7 » » me
S10
- Le groupe associé est d'ordre 4; il est engendré par les
30 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
s
2 isomorphismes
b— (c, cô)(bc, bed) (cS, c56)(bcS, bc)
x (c3?, c320) (bc 92, bcS20)(c8?, cS0) (bc, bc#0) (b— 3),
c— (b, b0)(bce, bc0)(b3, b56)(bcS, bc50)
x (b5?, b%20)(bc3?, bcS°0) (053, b330)(bcZ?, bcS0).
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
pondant sont
!,
#
DD Î Core rs)
h=1
DS (ait did L is dos Dis da) (die Don Di Log D16 Log Lis Las )
X (Lis Lu Las Los Las Lis Cr L'or) (Lso Lyo Dur Lg Lac Luc Las Lus )»
C— (Titi) (Lis Las) (Li 33) (Lis Las)
X (Li5L35) (Li Ds) (Lis Lar) (is Las) (Lu)
X (lard i6) (Los Lys) (Las Lis) (Los Les) (Lr6 Duo) (Lars Lis) (Lis Tu )-
Les faisceaux sont :
34:00. Le groupe
(CN I DUT Ge cab, te = eb)
a 24 opérations d'ordre 4 et 7 d'ordre 2.
OP
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
= cO}(ac, ac4)(be, bc0)(abc, abch)
X (eT, c30)(ac3, ac30) (bc, bcG8) (abc3, abc),
c— (a, ab)(ab, ab0)(ac, acô)(abc, abc)
X (a3, a50)(ab3, ab) (ac3, ac30) (abc, abc A).
Le groupe régulier correspondant est éng'endré par Les
SLOUR )
CHAPITRE I. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. 37
opérations ’
> %
= I! (CANTAL AE ETES) (Ts a L,3x2 Lrx Le,3k 0)
: 3 : [ ! ; ‘
1 = |
= Ce rr) (dial sa Die ds) (Lan Log Los Léo) (Lo d'é Los Le3)
X (Lys Lo Lys Pre) (Lago Las La Lan) (Lo Les Las Léo) (Lio aid las)
C—. (Tnt) (Tisdss) (Li3 T5) (dis ds)
X (Lai L3) (LroD6s ) (Los Len) (Los d'é2) (Loi Li) (dso dr
12)
X (Ts Lis) (Dar Dis) (dus Lan) (Lio Las) (Les Tes) (du Ts)
Il y a 3 faisceaux d'ordre 16 :
(1, 0,0, 00, c, be, ch, bc0, 5, 65, 50, 030, c%, be, c0, be SD),
B=(1,4,5,a%, b, ab, b3,ab5,0, a0, 30, a 50, 0, «00, b30, ab30),
ÆF,—(1, ac, 50, ac50, b, abc, b50, abc, 0, ac0, 5, acS, b0, abc0, bS).
3». p. Le groupe :
AE 0 INC — 0) Pen
TD Da Ra CAS) NEC
a 28 opérations d'ordre 4 et 5 d’ordre 2.
- Le croupe associé, qui est d'ordre 8, est engendré par
D | 7 , 5
les 3 isomorphismes
1 — ‘(b, bÜ) (ab, abô)(c, c30)
l X (ac, ac306) (be, be3) (abc, abc3) (b3, b30)
X (ab3, ab50) (c3, cô) (ac, acd) (bc0, bcS0) (abc0, abc),
b= (a, a0) (ab, ab6) (ce, c30)
X (ac, ac%) (bc, bc306) (abc, abc3) (a3, a50)
X (ab3, ab%0) (c3, c0) (ac, ac30) (be%, bcÜ) (abcb, abc36),
D (TG 20) (b; bS0) (ac, ac 20) (bc, bcS0)
—<(aS, ai) (LS, b0) (acT, ac0) (beS, bc).
. Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
38 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
LI
pondant sont
AU 0 6 7 8) 0 Loeb)
< (17, 18,19, 20) (21,22; 23,24) (5; 26,27 28)20- 30.81 32)
DEP) MC O) EME ne) (A, 10, 12,8)
*< (17, 21,20, 29) (18, 30,26, 22) (10,23, 27 51)1(20, 32; 28/2108
CN ar 27) (2528 12 M8) 10 10 20) T0 0 20)
(0 91,410) 21) (6, 2410, 80) (06 29 13 2) C2 22)
Voici les faisceaux
ra Sr a SO SUIE
ER 0 0 00e 0S SE
a [ C0, CS, cJ,0, ch ab, abc ao ba be
Fe ab3, abc, ab0, abc0 |
5)
= ac Sacs Mac ES Nece ni
= bc 0 DCE M0 SRE MCE
36. g. Le groupe
I
PR CU) Go GS, (te = ch )
28 opérations d'ordre 4,
3 » » 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont!
ab, 00) (ab, ab8)(c, C5)
X (be, bc30) (abc, abc30) (ac, ac3) (b3, b30)
x (ab3, ab36)(c0, c30)(ac0, ac30)(bceS, bc0) (abc3, abcb);|
DAT) (ab, ab0) (ac, ac0) (abc, abc0)
x (a3, a30) (abS, ab%6) (ac, ac%0) (abcT, abc30).
c— (a. aS)(ab, ab35) (ac, ac3) (abc, abc3)
X (an, a30) (ab0. ab76) (ac0, acT6) (abc, abcTU).
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres|
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. 39
pondant sont
2 0 1): 06/7 8)(9;/10, 11,012) (13014, 10,116)
x (17, 18, 19, 20) (21, 22, 23, 24) (25, 26, 27, 28) (29, 30, 31, 32),
©: 9, 19) (2, 14, 10, ON Pr Mo) TT EL0 12,18)
220,29) (18: 80,26, 22) (10,23,27,31).(20, 32, 28, 24),
a 7 0 10) 204, 18) (05221, 7, 29)1(6, 24, 8,122)
or ut 27)i(10,28, 1220)(13, 20) 210} 310)1(14,32,1 16, 30):
Voici les faisceaux
Pa Se 0!, RE DAI CSS RE) m0) SR (II
a
Bac, SHARE F;
37. r. Le groupe
MS D; C2 50, 52024, ab — bal) ac —ca be cb)
à 28 opérations d'ordre 4 et 3 d'ordre 2.
- Le croupe associé, d'ordre 4, est engendré par les isomor-
5 ) b 5 P
a— (b, b0) (ab, ab0) (be, bc0) (abc, abc)
x (05,030) (abS, ab30) (bcS, bcS0) (abc, abcS0),
D'=NNCA a) (ab, ab0) (ac, acô) (abc, abch)
X (aS,a30)(ab3, ab30) (ac, ac30) (abc3, abc30).
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
ondant sont
a— 25 (0:10 0 2) (0 10 ar, 12) (13 14 m0 16)
UPS, 10.20) (20.022,29, 24) (20,20, 27, 28) (29, 30,31, 32),
0 09, 13) (2,14, 10, 6) (3, 7, 11, 19) (116, 12, 8)
212020) (18,30: 20,22) (19, 23, 27,31) (20, 92, 28:24),
Mu 27) 02181228) (3; 19; 9 29)1( 4520; 10, 26)
BOND 10 01) (6:22, 10, 92)1(7, 2913.29) (8, 24; 14.30).
Voici les faisceaux
ENS, cl; RPC Ne
A0 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
38. s. Le groupe
(RES, bc = ab balai = CURE
a 24 opérations d'ordre 4, et 7 opérations d’ordre 2
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
à!
— (bb, b6) (ab, ab6) (ce, c50)
X (ac, ac30) (be, bc) (abc, abc3) (b3, 530)
X (ab%, ab%0) (c3, c0) (ac3, acû) (bc0, bc36) (abc0, abci3), M
Db— (a, ab) (ab, abô) (ce, c30)
x (ac, ac) (bc, bc306) (abc, abcS) (a3, a3t) |
X (ab, ab36) (c%, c0) (ac, ac39) (bc3, bc) (abc0, abc36),
c— (a, aS6)(b, bS6) (ac, ac58)
X (bc, bc50) (a, a6) (b3, b6) (acT, ac) (bcT, bch).
Voici les substitutions génératrices du groupe réguliérn
correspondant .
D NOIRE ES (OSEO TC)
(0 Mo De T2) TT 0 MO) TR TS TO 20)
<(20 220009 20) (2020 27 20)I20 60m)
D A NON CES 14, 10, 6)
X (3,7, 11, 19) (4, 16, 12, 8) (17, 21, 25, 29)
<I1(18,80,126 22)N(10 23270) 00 Re 2600)
c— \ (1. 17) (2, 28) (3,19) (4,26)
x (9, 31) (6, 22) (7, 29) (8, 24) (9, 25) |
X (10, 20) (11, 27) (12, 18) (13, 23) (14, 30) (15, 21) (16, 32):
Les faisceaux sont
File 0) VEN SO NNNTR PCR
{
(
bc) * DE NCNA UNE \
39. £. Le groupe (af—=$S, b= SE ab = Va
à 8 opérations d'ordre 8, 12 d'ordre 4, 11 d'ordre 2
CHAPITRE IT. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. A1
. Le groupe associé est engendré par les 2 isomorphismes
a— (6,400, 05, &b30) (ab, a°b0, ab%, a°b30)
X (00, a°b, b36, a? b35) (ab0, ab, abS0, a 03),
b— (a, a°0) (a, &°5) (ab, a’ 00) (a*b, a b5)
x (aS, 350) a 50) (abS, ab30) (a b0, a?b30).
* Les substitutions génératrices du groupe associé sont
02 5 0 206,7, S)(9. 10, 11, 12, 13, 14, 19, 16). 1
AOC 0 20 21,022. 23, 21) (20, 20,27, 28, 29, 30,81, 32);
b — PRO 7. 20)102/28 18. 12) 155010. 10,.310)1(4;,26,20 110)
D (19 210 29) (6.52; 22, 16)1(7, 11,23, 27) (8, 30, 24, 14).
Voici les faisceaux
P =\4, 0), (MR, —1\ab, 3,0),
F,= 0, S,0) 1 Ne EN)
A0 7 Le groupe (a — b°— 0, 02°, ab — Lu
8 opérations d'ordre 16, î d'ordre 8, 18 d'ordre 4, 1 opé-
ration d’ordre 2.
Les MupoSne qui “Renan le SOUPE associé sont
2 ANTON NN po a bv
CS Et pe Di mu N'ELU ;
. Voici les substitutions génératrices du groupe régulier
c correspondant
a— (1,2, .… oo. -, 32);
D 05 0,22) (2,532, 10,24) (3, 31, 11,23) (4, 30, 12, 221)
Mb20 1%, 21)1(0 28,14, 20)(7, 27 19,19) (8, 26,10, 18):
- Les faisceaux sont
E— a) (ordre 16)
et 5 faisceaux d'ordre 4,
D TA — ‘
= AU) C0; 12, C7).
42 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
41. 6. Le groupe (a — 0, b?= 0?— 1, ab = ba’) a 8 opék
rations d'ordre 16, 4 d'ordre 8, 10 d'ordre 4, 9 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
_. a} bk- se ax by
Fe ne GE a by y
Le groupe régulier correspondant est engendré par les
substitutions
CENT) TAN ESS en)
De NO DIE)
X (5,29) (6,20) (7,27) (8,18) (9,25) (10,32)
<(1r,23) (12,30) (3,21) (14,28) (9,19) (16,20)°
Il y à un faisceau d'ordre 16,
1 2)
et 8 faisceaux d'ordre 4,
Fa ab); Rire O0; 1, 2,13))-
42. 1%. Le groupe (a — 0 DEN ab ba)
8 opérations d'ordre 16, 4 d'ordre 8, 2 d'ordre 4, 15
d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
ge a) b = a bb
= À 9 D— < °
ar? | Fe .
Le groupe régulier correspondant a pour substitution
génératrices
2 16 =
a [Tux ces Lh,16) = ft Lo,k)-
h=1 = 1
|
|
|
|
|
|
Il y a un faisceau d'ordre 16,
PRES |
PNA)
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. 43
ét 8 d'ordre 4,
» 43... Le groupe
ONE CN ob ba ac—"cal) bc —"cb0 01)
4,8 opérations d'ordre 8, 16 d'ordre 4, 7 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
= (D; ab, b0, a? b0)
X (ab, ab, ab0, a*b0) (ce, c0) (ac, ac0)
X (ac, a*c0) (be, abc0, bc0, abc) (abc, a’ bc0, abct, bc),
(a, a) (a?, a?0) (ab, ab) (a?b, a*b0) (c, ct)
X (ac, ac0) (bc, bc0) (abc, abc0) (ab, a$0) (ab0, a b0),
(a, ab) (ai, a?0) (b, b0) (a°b, a?b0)
D (ac, ach)\(a°c\a?ct) (bc, bc0) (abc, a’ bc).
— Le groupe régulier correspondant est engendré par Îles
M 9) (9 10, 10) (718,27 24)(20,20, 5132),
D (1, 9)(2, 12) (3, 15)(4, 10) (5, 13) (6, 16) (7, 12)(B, 14)(17. 25)
(18,28) (19, 31) (20, 26) (21, 29) (22, 32) (23, 27) (24, 30),
(a, 7) (2, 22) (3, 19) (4, 24) (5, 21) (6, 18) (7. 23) (8, 20) (9, 29)
… (ro, 26) (11, 31) (12, 28) (13, 25) (14, 30) (15, 27) (16, 32).
Il y à 6 faisceaux d'ordre 8
ENTAS He ac Fab; cl"
à =NGRUOS DS 22c 0)" Fc; 120)
44. y. Le groupe
RDC ab — bartNac— ca bc — ci)
45 operations d'ordre 8, 12 d'ordre 4, 11 d'ordre 2.
44 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé son
a— (b, a 00, b0, a2b)(ab, a*b0, ab6, &b)
x (be, a?bc0, bc, a?bc)(abc, a? bc6, abc0, a bc),
br (a, a0)(a?, a°6)(ab, a)(ab, a’ b6) (ab, a b6)(& b, ab6)
X (ce, ch}(ac, ac) (bc, bch) (abc, abc) (ach, a*c8) (abc0, abcU)M
€ — (b, bB) (ab, ab6)(a?b, a? b6)(ab, a*b6) |
x (be, bc0) (abc, abch)(a? bc, a? bc4) (a bc, a’ bc0).
Le groupe régulier correspondant a pour opérations géné
ratrices
a —=1(n250. 8)(9; Lo 20 17) (Go TS CE) (5e 0 PR |
b— (119) (2, 16) (3,15) (4:10) (6,13) (62) (ro) (20)
X (18, 32)(19, 31) (20, 30)(21, 29) (22, 28) (23, 27) (24, 26),
c— QG u) bu) C6"r9) (420) (6 21) 22) 6 25) 2H)I(0; 29)!
x (10, 30)(11, 31) (12,32) (13, 25) (14, 26) (05-27) (16; 28):
Il y à un faisceau d'ordre 16
F— a, c
et 4 d'ordre 8
TPE A0) (2 0,1,2,3).
PNR NS :
45. =. Le groupe
(AN = CP ab = ba Nac—tca Bb = CD)
a 8 opérations d'ordre 8, 8 d'ordre 4, 15 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
a— (b, ab, b6, a2b6)(ab, a°b, ab6, a*b6)
X (ce, ch)(ac, ach)(a?c, ac) (ac, a’cb)
x (be, a bcb, bc. a bc)(abc, abc, abct, abc),
b— (a, a)(a?, a 0)(ab, ab)
Ia b tabl) (ac a c)(a2c\a2 ci abat)
x (a?be, a?bc0h)(a0, a*0)(ab0, a3b6)(ac0, acô) (abc, a’ bc0
c— (a,ab)(a, a 0)(ab, ab0)(a’b, a b0) ‘|
x (ac, ac0)(ac, a3c0) (abc, abcô) (a be, a ben).
CHAPITRE II. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. 19
Le groupe régulier correspondant à pour substitutions
ur inéra Lrices
>
2 ©) (9) 10,10) (7:08; 2)((20; Fo
== (1, 9) (2, 12) (3, 15) (4, 10) (5, 13) (6, 16) (7, 11) (8.1
(18, 28) (19, 31)(20, 26) (21. 29)(22, 32) (23, 27)
(920) (nur) (2122)(8, 19) (4, 24), 21) (6, 18) (7, 23) (8, 20)
Éo 0) Qu 257)(r12; 32) (13,20) (14, 26) (15; 31) (16, 28):
IL y a 4 faisceaux d'ordre 8 et 4 d'ordre 4 |
ET), Fo ac | Re DE Le) ve Uk
2 0 — 00,0), F/— abc, 0, F,—\abc, 01.
— T, D SER de 12) TON = 0e = C0E)
1 E opérations d'ordre 4 et 16 d’ordre 2
Les isomorphismes the engendrent Le groupe associé sont
5 =MNQX b50) (ab, ab30)(c, c3)(ac, ac3)
X (bc, bc0) (abc, abc0)(b0, b3)(ab0, ab3)
X (c0, c30)(ac0, ac50)(bc3, bc30) (abc3, abc30),
5 = MATE 30) (ab, ab30)(c. c3)(ac, acb)
x (bc, bc3) (abc, abc0)(ab, a3)(ab0, ab3)
x (c0, cS0)(acS, ac30)(bc0, bcS0)(abcS, abcS0),
: = (ATEN ONEN( acS)(be, be)
x (ab, a50)(b0, b30) (act, ac 30) (bch, bc30).
à j 2 8 LA fe on œ QE Er
= 4, 0, =) 0c, 0 DANONE Re ce
Les isomorphismes qui engendrent le groupe régulier
+209
\» ,
46 SUR LES GROUPES D ORDRE FINI.
correspondant sont
ar 2,3; 4); 067 8)\otro nr 12) (SRE AO)
X (17, 18, 19, 20) (21, 22, 29, 24) (29, 26,-27,.28) (20, 30; 31-521
b— (1, 5)(2, 24)(8, 7) (4, 22)(6, 20) (8, 18) (9, 13) (10, 32) (11, 15)
X (12, 30)(14, 28)(16, 26) (17, 21) (19, 23) (25, 29) (27, 31),
c— (1, 9)(2, 12) (8, 11)(4, 10) (5, 15) (6, 14) (7, 13) (8, 16) (17. 25)
<(8, 28) (19, 27) (20,26) (21, 31)\C2;/60) (29/20) 107020
47. 8. Le groupe
Ca SN DC 2 ab = bas Nac Ca Mb
a 20 opérations d'ordre 4 et 11 d'ordre 2.
Voici les isomorphismes qui engendrent ici le groupe
associé
a— (b, b50)(ab, ab%)(c, c%0)
x (ac, ac56)(b6, bS)(ab06, ab3)(c0, c3) (ac, ac3).
b— (a, aS6)(ab, ab56)(c, ch)(ac, acS)
X (bc, bcô)(abc, abc3)(ab, a3)(ab3, ab6)
X (c3, c36) (ac0, ac36)(bcS, bc) (abc0, abc36),
c— (a, aSb)(b, b6) (ab, abS) (ac, acSb)
x (be, bcô) (abc, abc3) (af, a3)(bS, bS6)
X (ab6, ab38) (act, ac) (bc, bcG8) (abch, abc).
IL y a un faisceau d'ordre 16 et 4 faisceaux d'ordre 8
EF = \a, bc, EF) 40 a, Face
RDS" 0 PC A
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres
pondant sont
D (io 85h) (6 Ce 7 8)(9; 10, 11 52)(r5; 040, 10)
X (17, 18, 19, 20) (21, 22, 23,24) (20, 26,:27,:28). (20, 90,018)
b— (1,5) (2, 24) (3, 7) (4, 22) (6, 20) (8, 18)(9/ 13) (0, 32)
x (12, 30) (14, 28) (16, 26) (17, 21) (19, 23) (25, 29) (27, 1),
c — (1, 9) (2, 28) (3, 11) (4, 26) 6, 29) (6, 16) 30)" (8, 14)tro 0)
x< (12, 18) (13, 21) (0, 23) (17,20) (19, 27) (2/52) br boI
CHAPITRE HI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 2”. 47
18... Le sroupe
GC — 7, al — bas, ac —=tcat bc "cb0)
12 Opérations d'ordre 4,
19 » » 2.
. Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
«a— (b, bS)(ab, abS)(c, ch) (ac, ach)
X (bc, bc36) (abc, abc50)(b6, b36) (ab0, ab36)
X (CSr c30) (acS, ac36) (bc, bc6) (abcS, abc),
b— (a, a3)(ab, ab3)(c, cô) (ac, ac30)
X (be, bcô) (abc, abc36) (ab, a 36) (ab4, ab38)
X (eS, c30) (acS. acb) (bc, bc50) (abcb, abcS),
E— (a, ab)(b, b6)(ac, acô) (bc, bc)
X (a5, a30)(b3, bS4) (acS, ac36) (bc3, bcS0).
Il y à un faisceau d'ordre 16 et 4 faisceaux d'ordre 8
FACE AO = \C, 0 Rice, Of,
F.— |bc, S!, F'— D, S, 01.
. Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
pondant sont
M0 00)1(010, 7, 8) (9; 10, r1, 12) (13/14; 119, 16)
DAS 019, 20)(21, 22,23, 24) (20, 26, 27, .28)1(29, 30, 31,32),
(1, 5)(2, 8 )(3, 7) (4, 6 ) (9, 13) (10, 16) (11, 19) (1 12; 14) (17,21)
X (18, 24) (19, 23) (20, 22) (25, 29) (26, 32) (27, 31)(28, 30),
On (1, 9)(2, 26) (3, 11) (4, 28) (5, 29) (6, 14)(7, 31) (8, 16) (10, 18)
bb} 20) (418; 21) (10,23) (17, 29)1(r9, 27) (22, 30) (2%, 32):
- 19. ©. Le groupe
(@—S, b2— c2— S2— 02 — 1, ab — baS, ac — cab, bc == cbb)
‘0 ; ; :
4 20 opérations d'ordre 4 et re d'ordre 2
18 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Voici les isomorphismes qui engendrent le groupe associé
a = (b, b30) (ab, ab36)(c, cO)(ac, acÜ)(bc, bc3)(abc, abc3)
X (b3, b0)(ab0, ab3)(c3, c30) (ac, ac30) (bc0, bc3B)(abch, abe
b— (a, a30)(ab, ab30)(c, cô)(ae, ac3)(be, bcO) (abc, abc3)
X (ab, a3)(ab0, ab3)(c3, c30) (acd, ac30) (be, bc30) (abc0, abc
(@, an)(6. b0) (ac ac) (be, bcb)
ee a30)(b3, b30)(ac3, ac50)(bc3, bc58). N
[
Il ya r faisceau d'ordre 16 et n faisceaux d'ordre 8
Fab) Me
F,=— | bc, 5, Fi
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres
pondant sont
Gr (1e, 3)(5, 07 0) Loue 12)(13, 14, 19, 10)
X (17; 18, 19); 20)(21, 22, 23, 24) (25, 26, 275 28) (29, 30, J1, 32 ),
b— (1, 5)(2, 21) (8, 7) (4, 22) (6, 20) (8, 18) (9, 13) (10, 82) (ur, 19)
(12,30) (1428)1@0, 20) 47,210) {0 23) 2529) er Enr
e— (1,9), 26)(8 11) (4, 28)(G, 29) (6, 14) (7: 31) (8, 16) (10, 18)
| x (12, 20) (13, »1) (15, 23) (17, 25) (19, 27) (22, 80) (24, 32).
MPG Po = br, ac =ca3, be — cb0)
a 12 opérations d'ordre 4 et 19 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé ésont
a— (D; bS5) (ab abc; CA) (ac acs)
X (D, b30)(ab0, ab30)(c0, c 30) (ac0, ac 30),
b — (a, a5)(ab, ab3)(c, c0) (ac, ac50) (bc, bcO)(abe, abc 30)
X (al, a30)(ab0, «b30)(c%, c30) (ac0, ac5) (be, beS8) (abc3, a 0),
AN CS) (0 00) (Gb ab30) (ac, ac3)(bc, bc0) (abc, abc30)
x (40, a30) (0%, 030) (ab0, ab3) (ac0, ac 30) (bc3, bc30) (abc®, à
CHAPITRE I. —— SUR LES GROUPES D'ORDRE 2°. A9
Il y a un faisceau d’ordre 16 et 4 faisceaux d'ordre 8
D bc)" SEA 20, 50
He NS NO H—tec SUE
…— Le groupe régulier correspondant à pour substitutions
vénératrices
D 025 /)66,78)\(9; ro, 12) 8406; 16)
APS. 110, 20) (21,22:29, 20) 252627 28) 0/30,31,32),
RE (7, 5) (2,8) (3; 7), 6) (9, 13) (ro, 16) (11, 25) (12, 14) (17, 21)
X (18, 24) (19, 23) (20, 22) (25, 29) (26, 32) (27, 31) (28, 30),
C—— (1, 9) (2, 12) (3, 11) (4, 10) (5, 29) (6, 32) (7, 31) (8, 30) (13, 21)
x (14, 24) (15, 23) (16, 22) (17, 25) (18, 28) (19, 27) (20, 26).
51. €. Le groupe
(a S, b—0, c—S—6—1, ab — bal, ac — cal, bc —cbÈ)
à 2/, opérations d'ordre 4 et 7 d'ordre 2.
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
a— (b, b6) (ab, abô) (c, cô) (ac, acb)
AUS EDS abs ce cac acSt),
b— (a, ab)(ab, ab6)(c, cS) (ac, acS)
X (be, bc3) (abc, abc30) (a%, a 50) (ab3, ab30)
X (c0, c30) (ac0, ac) (bc, bc30) (abc0, abc),
c— (a, ab)(b, bS) (ab, ab%0) (ac, act)
x (be, bc3) (abc, abc 50) (a3, a 50) (b3, b30)
: X(ab0, ab3)(acS, ac30)(bc0, bc30) (abc0, abc).
- Il y a un faisceau d'ordre 16 et 4 faisceaux d'ordre 8 :
F = Ce MEET F;— ab, 0},
A —— | l = œ l
EE ac 0}; HNCNEAUNE
Le groupe régulier correspondant admet pour substitu-
… Univ. px Lyon. — Le VAvasseur. 4
50 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
tions génératrices :
a—= (2134) oN7. S)(o ro ere) EDP)
< (17,18,19, 20) (21, 22,23; 21)1(25;,226 27 28)(20; 00 Rire
DM OMC Ao) CM umo) (E 16, 12, 8)
(17,21, 29, 29) (18,30, 20, 22)(19: 29 2720 02 052
c—, (1,19) (2, 26) (3, 19) (4, 28) (5, 23) (6, 32) (7, 21) (8, 30) (9, 20)
(Lo, 18) (ni, 2042.20) (13, 80) 20e) 0 220)
2. 1. Le groupe
===), = co ba, ac — ca
ad = da, be—=cb6, bd = db, cd= dc8
20 opérations d'ordre 4,
II » » 2%
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
a— (b, bB)(ab, ab8)(c, c6) (ac, ac8)
X (d, d6) (ad, ad) (bcd, bcd8) (abcd, abcdh),
b— (ec, cô)(be, bc0)(d, d6ô)(bd, bdô).
X (a, aô) (ab, ab) (acd, acd) (abcd, abcdn),
c— (d, dB)(cd, cd6)(a, ab) (ac, ac)
X (b, b8) (bc, bch) (abd, abd8) (abcd, abcd),
d— (a, aô)(ad, ad6)(b, b6) (bd, bd0)
x (ec, cô) (cd, cdû) (abc, abc) (abcd, abcdA).
Il y a 15 faisceaux d'ordre 8
Re, do; 1e va) EF; —}\a, CA OT ITR
= le co NCA, TN, Co), F; — |c, ai
HN vai Ed a be Rd ae: F,;— | d, bel]
M CA ME Cr D = or), Le |.
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres
2 0 1) 0 0 A8)(o ro, 11. 12) 119014. 10, 10)
AUS 10 20) (210 22,23,2/1)1(20:20,27,28)129 30, 37, 32),
Dh (1, 5, 3,7) (2, 8; 4,6) (9,13, 21, 15) (10, 16, 12, 14)
ÉD PO, 22) (018,24, 20, 22)1(25, 20, 27, 81) (20, 22,28, 80),
en) He; u0)0, 10,17, 13) (014 8,10)
Po 0 27), 28,20, 26) (21, 31: 23:29) (22,130, 24,132),
PL MO) 20 1 18)1(05023; 07, 20)1(6, 22118021)
RO ae 0)IO, 2612, 28) (13, 20, 12, 31) 02, 1030).
CHAPITRE IV.
SUR QUELQUES GROUPES D'ORDRE 27.
53. Le groupe
MP Robe to (re >é)]
a "opérations d'ordre 2 a4(x=r,2 tr) CtRI0pE
rations d'ordre 2.
Le groupe régulier correspondant est engendré par les
substitutions
2
= [El ((rridret ; Thon),
=
an —1
b— À l (Li,R T2 (27—2+4)#an 2).
RL
ne :
Le groupe associé (d'ordre 4) est engendré par les isomor-
phismes
cr a) b 2 a2}+1 pt
Ge ee nl = Fu en) 5
Il y a 3 faisceaux
F—ljal, Fab, F—|b,5|,
ayant en commun le sous-groupe conjugué de lui-même
151.
54. Soit le groupe
CM Re Go = br, 0 >)
CHAPITRE IV. — SUR QUELQUES GROUPES D'ORDRE 2”. 3
Les substitutions génératrices du groupe régulier corres-
pondant sont é
an—2
d—= [El (Thil noLh3L pu)
a
QE ] l (Tin Losn-2L3,k Li,3h-2e » : Dont pVon—2,3h—2).
R=i
Le groupe contient
DM OpERATIONS ONE "st GA 2 EE),
l » » 4,
3 » » 2%
Il y a 5 faisceaux d'ordre 2°"
F—ia,0), F—jab,0l, F,—\b, 51.
- 55. Le groupe
LPS, PTE CLANES)
DE Nopérations ordre 275,
onu 2. 5 » an—a—3 Go ee ne 01),
ÿ » » 2°
. Le groupe régulier est engendré par les substitutions
* (CAT (Lo Lo) (as Lis) (das das) + 2 à (do ans 4 Dion) (don ds ion).
51 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Les isomorphismes générateurs du groupe associé sont
12 a* bS 64 # ab8 So
qu. at b SX pu+1 ? b— abBS out, (æ, 8=— 0, 1).
Il y a 3 faisceaux d'ordre 2"!
Dh, —) f| l PM l | œ l
Fran Rav tk ETC SU
56. Le groupe
RS ND SR GO DS >]
d
2-1 opérations d'ordre 2*-? (aS? 04, ab 064),
pn—x-? ÿ » pr—x--3 0 10 Co) |
Ü » D (Bb, bO, bSn-+, bOGe—i),
3 » » D) (0, En, Sn—+),
Les substitutions du groupe régulier correspondant sont
4
= [El (Tri dre D CRE Thon);
DES
am—2?
De ] l (Li, Rd, 442" —)4en 5 D RD (an )p ons).
k=1
Le groupe associé est engendré par les isomorphismes
= J a*b>0 = _ ab! Bi pu L
a — atb>+2"-igu )? = À Lpsontr qu (as == on
On a 3 faisceaux d'ordre 2°!
Re, DESSUS te ba — ab50 (=) |
CHAPITRE IV. — SUR QUELQUES GROUPES D'ORDRE 2” D
oi opérations d'ordre 2-2 (aS\, ab, ab?S}, ab),
DURS ? » DR (Go 200 Der)
4 » SRE
ne » » h,
3 » . » 2,
ant sont
E. ons
= ] il (Ti La e -: Th),
je *
&
(— | ] CO Lindarh 6 da,k dir à + « Lo Tan 7h 6
È A
2 Di,148 Da,1k—2 Da, Li,7k—2 + © + Do 4, +4 Tan 7 ko)
2)
. Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé
; at bEX 04. a*% DS 64, a bo
a ! (a —"0;1);
at DS OU+1, ap? SAgU+HI, at b SX pu+1
de abBSA 0
5 | ) (É=0,15)58)
abB+25À 6
Il y à 4 faisceaux d'ordre 2”?
"
; CN Eee) 20);
08. Le groupe
la=5, PME PENSE LV CPE M
Qt
©
SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
2
Pa]
2-1 opérations d'ordre 2" (GPS = 0 Tr 200)
Dre » » DCE (a = OMS)
48 » » Go
12 » » 4,
3 » » 2
Les isomorphismes qui engendrent le groupe associé sont
sé ee ab SE, nn |
FT \aponge ap, arpoiS
U ab8 6} Sv 3
D = abB+20} 4 (0; I, 2, JE
Les substitutions génératrices du groupe régulier GONE por
dant sont
Qn—3
= l 1] (ThiTroe .. Zhs))
b=A
U—= l (Tin TaTk Lan Li 186 Lans 1, R Dans 7x6 )-
k=1
Il y a un faisceau d'ordre 2",
et 4 faisceaux d'ordre 2*?,
F\— | ab), 6] Ci 8)
59. Le groupe
CL CARO = 1, Ca = ci)
a le même nombre d'opérations d’ordre donné que le grd
précédent.
. CHAPITRE IV. — SUR QUELQUES GROUPES D'ORDRE 2”.
- Le groupe associé est engendré par les isomorphismes
£ atbOSE, atb20S4, atb30SU
==
a bOSE, abri atbOSe )?
ss abBO} SE
| 6 .
abB+20 St:
dant sont
g1—8
b= [Truc . Zhs))
be"
8
d— [El (COPCAR TEL ENTER ce Tan x Lors 3x 2).
k=1
| y a un faisceau d'ordre 2"-",
FN ENS
1 4 faisceaux d'ordre 2°?
1
60. Le groupe
l = S, DP=S 27 — SP, ab = ba (n > 4)l
2-1 opérations d'ordre 2-3 (CESSE che),
porc? » D ONCE (CO = 5)
10
nat ste ab SE
à at bS\S'LQv+1 7 eur (æ, b= 0, )}E
a 3 faisceaux
DE a, S'; 0!, = Nb SON tre:
Les substitutions génératrices du groupe régulier correspon-
HG RS SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Les substitutions génératrices du groupe régulier correspon=
dant sont
CREER On RES)
SCORE TOME pe, re)
x (222 + ie on? D pe ol—2 GPS)
X (272 + DR RE, DR TRE D DS) :d
ae (o2-1 + 14 ou! + Se DER a on3)
De (on-1 CURE ES 1, oi LE 2n—3 DR QUI + DE?)
x (art NE? 1, pn=1 Le a? DRE Del DRE 22 DE—®)
x (DES L 92 ju LI, go on 2 Dê—S = De Pets D):
Ensuite, à l'opération a*b8®25v0 je fais correspondre le
nombre Fa |
1+a + 2h + Boni uon-2 LE nt,
alors
ER |
1H a+ 2h H(B Hi) 228 + on 2 LE (v+Ha)an ti |.
61. Le groupe
PAS NDS 0 a = TT OR (n> 4)]
:
DH opérations d'ordre 2-3 (a30b, ab704)
DEEE » DNS) DIE (LOT EN ))
48 ; » » S 4
12 » DL
3 es 5 » 2
Les substitutions génératrices du groupe régulier correspon
dant sont
213
c : b =— È ] (Lames , Le) € .
=
8
Œ— [El (CANNES Lt Uy,5k=n ee ans ,p Dons, Je
R=A
CHAPITRE IV. — SUR QUELQUES GROUPES D'ORDRE 2". 9
xroupe associé est engendré par les 2 isomorphismes
2pSNDE EE DB 04
| = “its À »—( pas ) (=, 1).
GED = NO EE abB= qu
l
isCeaux sont
HN ONE RS 0 10 RTE
CHAPITRE V.
SUR LES GROUPES D'ORDRE pi
(P PREMIER, PLUS GRAND QUE 3).
62. Dans ce qui va suivre, les lettres 6, S, 3, 0’, … dés
gneront des opérations conjuguées d’elles-mêmes.
G,; QU 1) a
PA(p=1)\opérauons d'ordre PAG 02 5,10)
63. G,:G, a
P*(p — 1) opérations d'ordre p4 GPS TH):
p°—1 » D»
61. G,(G,ÿ a
p*(p —1) opérations d'ordre p#,
PAPEEn) » » IDÉES
Di » » P:
65. GG; a
p*(p —:1) opérations d'ordre p#,
P°(P°— 1) » » De
Ji » D 700
66.Leproupe (ar =, SE br ab ba) EN d
_type(S) (1).
| _ CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 00 Gt
Il à
p*(p — 1) opérations d'ordre p? (2900),
p°—1 ». D No
/
R67. Le groupe _. SON SMENPE 1, Gb = Le)
Hebype (2, 1)(1,1),a
p*(p —1) opérations d'ordre p*,
p°(p°— 1) » DT)
p°—1 » > ado
68. Le groupe (a/—S, S#—b?—07—1, ab = bal)
Hype (2, 1) (1, 1)] a
p'(p — 1) opérations d'ordre p#,
PU UN ON » p'
p°— I ; » » Æ
69. Le SROUpe (GA, DEN SP ab ban)
Bype (2, 1) (x,1)] a
p'(p —1) opérations d’ordre p*,
p?(p?—1) » DOM
nt » » 2:
70. Le groupe décomposable
RS SE bp 621, ab — bas?) Ltype (2, 1) G,1)]
p*(p — 1) opérations d'ordre p°,
P(p —1) » D DE:
Pi— I » » P:
71. Pour Les groupes
| COR DER ECO MN 2 |]
62 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
detype (1) (1,1) (1,1), on a la formule
p (p+1)
: À
(a) DU) — bb? a es
On en déduit que ces groupes ont
p'(p—1) opérations d'ordre p*,
PAC ra) »
pi »
pp+n,
(p +ap?) +4
D wapæn—a p|
» P?,
D De
lorsque l’on suppose p > 3.
72. Le groupe
(CENTRE RS = te) | STE an(s 1
d
pi(p?— 1) opérations d'ordre p?,
j? = ÿ » » P:
73. Le groupe décomposable
(ARE D NA DEE D 0e)
a le même nombre d'opérations d'ordre donné que les préc
dents.
74. Le groupe (G,;)?G, a aussi le même nombre d'opéra
tions d'ordre donné que les précédents. |
ll
75. Partons des équations de définition
Do CT DO OCT ne Do = COS DE À.
On a
DU —1)
abt= bracrS 2,
puits
2 es . (1)
op pe —2p} =
a bb = ba cvs
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE DE 0.
ee
: nt : D2—1
ÈS, hp PE pou ET pu PE pus y DE |
—
MB) — DUP a}? c
. Je pose
= ee
D'— bSce SPP
ol = (GENE
À(oo — 0) < 0 (mod p).
Sp — Sip
Exprimons que
DE CTENr DICO EE AD= DOCS
il vient
t=0, A8! = Ô)5 + eu, he! = evo, V = )o,
puis
Ÿ = dhp —- evo — nn 6} — = Ep — eu
Le groupe (pour p > 3) a
p'(p — 1) opérations d'ordre p*,
p° (P DT. 1) > ) De
px nn) » P:
_ Des congruences précédentes on conclut &—#?e, ce qui
montre que [e, p} est un invariant. De plus € et e’ sont, en
ième temps, résidus ou non résidus quadratiques (mod p).
. Nous avons ici 3 groupes :
M2 CT ac — ca, l'bc— cb5) ab = bac),
D C2 GC N, ac — ca, be — cb3"P, ab — bac, (2) =—1 |:
1 à
0 CE ac — Cap) bc— cb, ab = bac),
ont les congruences qui précédent permettraient de trouver
ès isomorphismes.
64 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
76. Si nous partons des équations
TPS), DRE} SPIP CRETE
ac = ca, bc — cb0, ab — bac,
On à
Posons (en supposant p > 3)
a'— aXbb:c", SG 4,
b'= a? b5c?, 0! — GP05,
c'— cSYAT
el exprimons que
alce-ciabes DENT ab bla tele
il vient
pù = 0, cs 0! — Ôhv + uv (mod p),
pe —=0, ge! — dou + uv (mod p),
Ù — À5— pu, Ÿ —=o,
T —= d(Àp — vo) + e(uo — vo)
= Qe NC) ma) — €} GE) =) a du et) rm) = 80 BB) .
2 2 2 \ 2
Les gToupes correspondants ont
p°(p?—1) opérations d'ordre p?,
pt » » P-
La discussion des congruences précédentes donne les …
groupes x |
CPE = SE CN = eo, ab= bat),
Mr ===, ac—tcal, M bc=Cb; ab Vbac),
u
[ur=5, D SE = e=co ab = bre, (==
CHAPITRE: V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE D”. 65
dont on peut, en même temps, déterminer les groupes d’iso-
morphismes.
77. Partons des équations de définition
DE CPP re cal, tbe— ch ab — bac.
Alors
P(PHN À A1) P(PHA) - PE) à pip+1
AU — — OÙ — 0? £AU L (2 D +1) —3
(alDU)e — bare ? 6 LE DE ONE rer ASE es
Posons
è a'—= ax bb c0%, DES NE
b'— bPcsOBSTY, =,
c'— bTcv0?SŸ,
et exprimons que l’on à
a'c'= c'a'0", b'e'= c'b'0€, a'b'= b'a'c!,
il vient
7 =0, n9 = 0, Ed = do + euv (mod p),
1 =0, Ce! = co», Ÿ=o, Ù =),
@ — dÀI — Evo — Ô9
N ÀA(X — 1) EP mnt))
2
rt EUG — EU,
On a alors
p*(p —1) opérations d'ordre p?,
jp = » » P:
La discussion des congruences donne 2 groupes du
type (1,1)(1) (1,1)
PERLE CUS Pr ac — Ca, tb CON ab — bac).
RÉEL GP SRE 02 r, ac— cal) bc cb; ab —"Vac);
plus un groupe décomposable du type (1,1,1)(1,1).
Les mêmes congruences serviront à trouver les isomor-
phismes.
Univ. pe Lyox. — Le Vavasseur. D
66 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
78. Soil, maintenant,
GER DD = Ge ab — baSèr,
ac — Ca SE?, be — cbr,
d'où
à " PE
(akbuc"ye— ce pue eg PET AE NP TT
Posons
a'— ax bc"
b'— bPce5S?r SEX
c'— bc°SŸr
Ecrivons que
AID DIS PE HA—=GG SEP, DICCIDIS ILE
On trouve
A0 = do + eho + C(uo — vo) (mod p),
Xe! = ÔÀx + eho + E(puo — vr)
et
À = E(ov — 07) (mod p).
La discussion des congruences donne le groupe
(SP — bP—cP—;, bc—cbSr"), type (3)(r,1),
qui à |
p*(p — 1) opérations d'ordre p*,
p°(p —1) » VS P’;
À — I » » P-
FJAISoOE
CIS), D} SE I6PE SPC Sr;
ab — ba, ac — cal’, be — cb,
d'où
(OU + EÀV + UV) = — g _
(ah bcY)P — c'e be aÀ6 0
Posons
a — a\bbc", S'— S04,
D'= Der Ge (0e;
c' — c°35?0Ÿ.
4}
- Exprimons que
db bad?
p°—1 »
80. Soit
BD AP)
| a — a bb cY0?,
DEUTALEE
AC EME
el exprimons que
a b! — b! PAR
DOC TIE
cd = eÂt + ds + É(ut — vo)
9€ = echo + Cu, =
ac = cal,
. (ak bc)? = c'P btp a}?
atci— ca i0ls
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE P”.
\ov < 0 (mod p),
DCI CDINICE
(mod p),.
(mod p).-
p*(p?— 1) opérations d'ordre p?,
» P .
M=S, === =",
bc — cb,
p(p+1)
(ÔXU.+ edv + Cv) =
b'e'—c! b'0!6,
type (2, 1) (55)
67
68 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Il vient
ho + Ehs + É(au — vo) (mod p),
WE — dÀ= EEE C(LEENE }
WE = E (où — ro).
€
S
Il
La discussion de ces congruences ne donne que des groupes
décomposables.
81. Partons des équations de définition
ADS, DRE CSP
ac-— caZY, be —ch0°, ab —"baSt
Alors
PIPHND IE?
se AU+YAY) (OAV + EU + TU) EE —
bo) cbr mrs PT 2 0 ÿ
Posons
a'= abc S'— Th p4 à
b'— aPbS cr, NSP o(Às — uw) 0 (mod p).
EE ON
Exprimons que
die Cid Abo b'e'—=c'b'0€, QD ba IS PIE
Il vient
Xy + pd = Yh, uy! + où = ho + euv,
pe = you, = 090 + ec, =,
PP HA = YO — 07) + do — pp,
Hu = Ô(Àt— pv) He(ru — vo) + E(As — po).
La discussion de ces congruences donne les groupes
ISO 0, SL == Gi, 0e = ca, Lo CO Go bas
Cid D) Ne OO CO CON, 0e = Ch, Go= mal
| [2 valeurs de y associées, telles que leur produit soit congru
à 1 (mod p}), donnent le même groupe]
GR OO = Cu oct, co be),
CE OO Re Ch ao=vr)-
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE D”. 69
82. Soit
= =. Dr Te
aC—ica te, ba CO ON = UE,
_ de sorte que
À CAT LE EN (pi):
_ Posons
a — aXbbc", ÉTIENNE
D= LENS 0e EU:
C'— as bte).
Exprimons que
DCE COLSNNOVC ECS AMD bia ISIN
Il vient DER \
DD Tu, 00 = Ô(hu — ov) + eue — vr) HÉ(iT— po),
Se = — 52, LE! — evo — Ces,
= 9 —À, LE = Elo — evo — v.
La discussion de ces congruences donne les groupes
= rc 0, ac — ca bc chN?, ab= bas
x valeurs de e, associées, donnent le même groupe
) [type G,1)(1,1,r)].
83. Soit
| GE ENNAIEREEENNLES ES ac — cal,
be—cbO, ab = bas.
Posons DATE JA
@ = CMP AUSSI
D bPooSrB, SD, © -
c'= bre SY0Y..
Exprimons que
22
CC GA D'ei==1ctpAtlE DO ENO EE
70 | SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Il vient
dv + e(puo — vo) + Er,
E
eZ
Il
ss
a
Æ)
o
Il
0, ne E(boco)
WE +À=), nQ = ds + e(us — vo) + lo,
qui donnent les groupes
OT or ue = co, oo =).
Do
NS GE oi to C0, ob = TE).
plus un groupe décomposable.
84. Soit maintenant
al 0, OUbP— ct dr 00 ab bac ac ci ad Ga
bc — cb0}, cd — del, bd db, (=), (p>3):
_Alorsona
DD
Catbidrÿ= d"e(alb? Pc 2
<) RE ( nb+nt— EE — 2 )+vnm PE pm20-+1)- perle ER) CE D —
Donc
(a! b' dr cP = gl,
Soil
ad — atb"? d” CP,
b'— b'ds ct,
c'— be dS c° 0, =,
d' = bd? cY6Y,
et exprimons que a'b'= b'a'c',a'c'= cad", a d' = d'av",
on à
o—= dr +0(ms— nr)
puis une congruence qui donne $, et que je n’écris point;
puis
= Elo + }mvo —vno,
Ur = Ô(nr— mo),
puis une congruence qui donne y’ et que je n'éeris point;
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE p°. 71
puis
LV = ro —vsv,
lV'=— ro + vor,
00 = Ô(7'o — ST),
ST) véto —st)
89 + lu'= X(rd — 47) + u(r
(EN LE )
2
2
VOTE Dre *
+ }9 (s Lei D este — a).
Voici les groupes correspondants
COM RECL=LENOPE Nr, ab == bac, ac = cal
( ad — da, be cb0, cd — deb, bd — dbc }
D aP— 0, DE CRETENRENN ab = bachtac—tca
( ad Ida \be=1cb0 cd dc\bd—"dbce )
al —=0, bP—cPr—d'—(6P—1, ab= bac, ac=ca
( ad = da, be= cb0, cd = dc, bd = dbc )
J
n'a
ad = da, be=cb0, cd = de, bA = dbt
GE =, SEE EAU .
Mr bP—= cP= dP—0P—=1, ab —= bac, Fos
q ?
ad=— da, bc = cb", cd — de, bd = dù6, (=
GP =D cP— dr — De = DacNac= ca
ad = dad, be— cb0, cd = de, bd — db 4
CON CR PENPEeab = bac acc
2
ad = dat, be=cb0", cd = de, bd = db, (2) = ÿ
ENS PDP CP x ac — ca bc— "CLS, ab — Lab),
plus des groupes décomposables.
85. Soit
GiD =} DC PPT; ab = balx, CICR
M dat bc — ch: bd = dbc, cd — de.
72
SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Alors
Spa Peeil [op + 1) a your?
(DES)? — 5 Hat sy
Posons
a'—= a bic'df,
b! = b5cTd 6”,
c'— bEcidni?, p— 0}
(P>Z 3),
d' = bc? dY09.
Exprimons que a'b'= b'a'0*, ..….
Il vient
= oŸ — w, Xy!= 56 — 00, A0 = ÔVE— y, .
D'(CDESE VUE
n=5(r © 0e 1)
: L(0 10)
++) + pa = +),
PS = pH,
D pt,
Na — he + Bo + y (pOur) t
< 2 2
+R ii D) eg) +0),
ES ES D)
D (D — | 0 —
LC 1) EU = D ge) +40 8).
Voici les groupes que donne la discussion de ces congruences
ADD Nbr CP — GP? ab —badlacIca
ad = da, be= cb, bd = dbc, cd = dci
(SP GP CP dP= 1, bc —=CcbSP bd = dc cd de):
86. Soit
DIN CP GP ==), ab — bac, ac = ca,
ad — dan, be = cb, bd = db, cd — de.
Alors
D LEE)
Cal br e" di} — (er de (at pr eg PE,
pe x
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE p°. 73
Posons
a — ab" ce? dT(%,
b'— at b'c dt,
= ON,
d'=— af b5 ct dE 0,
Q— p0, LV.
Exprimons que
a'b'= b'a'c', a'c'—= c'a' dE, PE
Il vient |
u = be — mq ( modp),
= n Cl — + g) + Es — qu)
m(m —1) )
NÉ SRS NES AS
+ BG sr) +2 (4 à
“es (m0, 2) + À(ms—nr)+àAmr(qg — 0).
WE = Elu +imu, mp= cl,
bil= n(le — 5e) CV po)
| + pOme Rs) + (UN UD)
sc les
+ Em EN —) + (mr —on)+Amao(p—|l),
o\ = Ëqu + ru, rp = g9, ho + Co —0.
= (qe — 0e) + Eye — 5e)
à + ets (RE)
+ (REED UD) ice
2
4
S5) + Àra(p —q).
La discussion de ces congruences donne les groupes
aP— bP—= cP— dP—60P— 1, ab —= bac,
ac — cal, ad — da, bc— cb, bd = db0, cd = de k
EE GES ab bas tac—cal;, be—cb),
plus des groupes décomposables.
7 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
87. Si l’on part des équations de définition
=, CHER DIS ==, ab — ba3 À,
ac = cal, be = cb0:,
que l’on pose 4
a'—= abc", DEN,
c'— af b5cT, = (ES,
b'— bS?0Ÿ, ;
et que l’on exprime que
ADIDAS ICI
il vient
T+v =, p+ÀÈ = ÔÀ0— Ev,
VE = À5 — Lu, VE pv = 0, CU = Ézo — 5,
Âe'= 8 (7 — vo) + C(uz — vo) + d(Xs — pu).
On en conclut, par exemple,
(Q — Cu?) = 0(9' — dv) (ÔE— Ld!v).
Les groupes correspondants auront
p(p?—1) opérations d'ordre p?,
p 1 » » P:-
Voici ces groupes
| a=S, c—0, bP—Sr— =: |
1 17
Pœn)
ac—ca, bc = cbS®, ab = baSû Co, à
CRM NE Mr Greco tes, dec)
MST MIE PES Gb = besrt)
(CR Sete ) doe= bas ch= ts)
QD SMND I MS ETC
ac— cab, ab— ba, cb—bcS", =:
88. Soit
CHER COR SON =, ab = ba30°, aC— cale
be = ch0.
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE D”. 79
Posons ;
a = ab, 0— 0wST,
b'— ap Do SY, NS SA
Cci—\albricr,
el exprimons que
Do = AO ETOES DC = CONTES
On trouve
rETDE= À — ou,
wW0/ = Ô(À5 — ou),
te! : —}Àm — pl,
we/ = cn +0(Am— nul) + un,
tr! = pm — cl,
oe = son +Ô0(om—ol) +on.
Le groupe contient
p*(p —1} opérations d'ordre p?,
p*—1 » » P-
Il est défini par les équations
(=, Eee re ac — cab, DE CLS IN ab bo)"
89. Soit
DIE ===, ab = bab®, ac= cal,
ad = da, cd — deb}, o= bi, - He= ae
_ Posons
F d — aTbhrcenr d',
b'— bTcr 4:05,
CACHE; PÆ=,.
d'= bz"cY"ds"0?
et exprimons que
a b'= b!a! (CA ace = cl'a! a",
76 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Il vient
r
ra —=n(ax + f6y He) + À (ms — ny) +u(az — ls) +v(ly = mx)
R = r(ax + 8y + yz)+A(mz — ny) + p(nx — Is!) + v(ly! — mx'),
my =m(ax"+ By"+ 3") HA (mz"— ny") + p(ax"— 137) + v(ly" — maxis
a = (y's"— 3 y") <p(zx"— 23) + vx y" — y'x"), ; 4
au À(y'z —5"y) +u(s"x — xs) +<v(z'y —7y'x),
rv = }(y3! —2y') +u(zx —xz'\ +v(xy' — yx').
Le groupe correspondant
HN MON CN TO), Ce =CS.
ad = da, cd = de, bd = db, be == cb
da c
p'(p — 1) opérations d'ordre p?,
p'—1 nn 0) » P:
El
90. Soit
AUORE=NR TA EN aa; = a ja; 0% Gr = ij).
Posons
a! = Aju ape dy din Oi, = 0e À
alors ; Re
Denie Ua ne £
a;a; = a;a;0i |
donne Ë
WA; ; = > Lui Dix je :
k,
On déduit de là
D (dos Lie + Lun dos Mots) (Lndadysdu)
X (Leg y E sy Loi + Lio Las Me
ne : 5 gene )
Le groupe contiendra p°— 1 opérations d’ordre p.
On a ainsi
Ft DRE) = da), de = CAN Le a LES 1]
DB à ) |
ad = da, cd dc, db = bd, be=cb … ) LE ch
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE De TT
91. Prenons comme point de départ les équations sui-
vantes :
== RESTE cb —0, ab — ba, ac = cab,
dc—cad, ad—dabÿt;, bd = db où, be = ch0”.
Posons ARS
el — d'cralb", 4
a'= d'a bt6?, OO
bi dar bot,
d'= das b?0%
et exprimons que l’on a
a b'=—= b'a', a'c—= c'ab',:
On trouve
T(T —1)
VONT +Y 0,
MCE T
OT _— — A + ET + d n,
g = vÔ(n0 —hm)+e(unr—Xl) Me.
— NO ke
+ (u D Dee Cu) D) + ve + en 1)
2 2 : 2
XD — 1) sfr 1)
+ vor + vè
6 2 2
ee D) ne En),
6 FLO)
| ONESN
rd —= ds), 9 + ne = VOL + Es Ce)
Tv 0 = }rvo, nv = vr(Ôn +T).
. La discussion de ces congruences conduit aux groupes sui-
78 SUR LES GROUPES D ORDRE FINI.
vants :
DONNE GE = =) co = Lo, oc = Ab:
de—=cda, ad = dab, bd = db, bc = cbd 6
Bb = RSS ro = Gr vec, de = Cle.
ad—= dabi;Nod= dE be CORTE RE REED
Ces groupes sont du type (r)(1)(1)(1, 1).
(GPS Nb CR SR Pr Trac tcal\ab—=bactbe= cb) Mbyipe CINE
(AP SN CES Eh ac ca ab = bactboc=cbe) [type (1,1) (x) (
| avec ad = dat, bc—= cb,
Ch ou avec ad= dat, bc = cb, (2) = — 1;
DONNR CN =; P
ac—cab, de — cad, | ou avec ad—dad, be —cbt", (2) —=— 1;
bd— db, P
- . — w —- Y & Æ — ge
[type (1) @) G) (x, 9], ouavec ad—=dal", bc = cb, (£)= ns (i)
PMouavec cc ad— da be =TchE
_ = O == re = co),
TOUTE, Vo Co El
107
) [type (1, 1) (1), 1)]-
92, Soit
AP DP— CP = OP 1, dP=— 0, ab = ba, ac = cab,
de = cda, ad = da, bd = db, be = cb0.
Le groupe contient
p'(p —1) opérations d'ordre p?,
PA » » P-
Posons
a! — a! br c! 0%,
D'— ar b5 cb, CAT OPA
C— AT bic
d'— a? bc d?.
Ecrivons que lon a
a'b'= b'a/, a'c'= cab",
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE D’. 79.
On trouve
7
2
7
_
—
NEA
v
c=r, Q = (mr +
Tr —1)
A
VE) m=rE+ où
a=eo(l— 7) + \vE 2 +vr(n —rË)
ES ee ON Le 1)
F(r—1). r(r—1 ï
— er + vr(m-- tr) —vro = —r( 2 — ro).
e =el, = 6/°V, orls 0 (mod p).
On trouve les groupes
a = bP— cP— Pi, DIT
ac — cab, de—=cda, ad=— dat, bd = db 4
À be = cb0
be = cb0",
u étant tel que la congruence vr°— 4 (mod p) admet des
solutions, alors que la congruence vr#—1 (mod p) n’en
admet point ;
DEC NP EN ab ba;
en. de — cda, ad = da, bd = db }’
«
be = ch0
be = cb0%,
w étant un nombre tel que la congruence vr?= u admet des
solutions, alors que la congruence vr*=—1 (mod p) n’en
C2 PP 1?) ac — cas, de —cda, ad — dal).
80 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
8 SUR LES GROUPES D
93. Soit
AD DCE LEE ab — ba, ac — cab,
de = cda, CHINE: bd = db, be = cb”.
Ici, toutes les opérations sont d'ordre p.
Posons
CN EC GES
b'— aîb'cs dt6à,
c' = af bic; d?6, 0 — 9%,
d'— af b5 cd‘
et écrivons que l’on a
ANDEDIA RRN OICIECLANDE d'e=c'd'a
On trouve
TS = 0) d'où lr£ow Z 0 (mod p),
E(E— 1)
r=l, 8 —=evl + vl = + vÉm
L= RE, De er)
2
ne
À (Et — js as
Cp = (Po)
ne A Re (E EN
(9) 2 2
we = eË, wy'= yiË3.
Voici les groupes que donne la discussion de ces con-
gruences :
IS ISO OL avec ad = daÿ,
ac— cab, de —=cda, bd= db; bc= cb | puis avec ad — da
TPS = Gr Go oc, deco.
: DIE; C0) ab = ba,
cb — bca, ac = can,
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE De 81
- Il yaura
p(p?—1) opérations d'ordre p?,
p° AT 5 » » P:
Posons
a = a!520Ÿ, = OU}
b! — bp ct a, 0! = SO,
Ci— OT ca":
Écrivons que
CDN DIGIEN 0/2", : DID Cr a
On trouve
rd = m(l—1), go = Ôlm + n(el—1),
= mq—nr, qe = l(eg +), r(e —{) = 0,
m(m —1) MUC 1)
p = Mu —TÀ + q à >
Ÿ = D(m mn) + 20m y) + (me
+ (qe — CE) enq(m—T).
g(g—3) __n(n—:1)
ri)
2
2
Les groupes que donne la discussion de ces congruences
sont définis par les équations
APS, bP—"6, COS ab = bac,
cb = bc,
Ca — acS ou cb — bc,
| IC = Let), (=:
CO— AC 0, E ÉI, cb — bei
deux valeurs de &, associées (mod p), donnent le même
groupe].
Univ. pe Lyon. — LE Vavasseur. 6
82 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
95. Soit
DSP (= Fe CLR D}; ac = caf,
ab — baS, cb — bca.
On a alors
p(p?—1) opérations d'ordre p?,
p—1 » » P:
Posons
= RENNN
fire À ©
b'—=bmer al) | SI Sa,
CD UClar p! — Snprr,
Écrivons que
Ab bla Spor CID bic la Les
On trouve
nd = Îm — 4, mÔ — dm +eln—7r,
> RE,
Y—=Ô(mu--T)) +e(nu — Àq) + e(m nn — — 2)
+ 2 ee n _— 2) +enq(m—7),
ne = Ur, me = dlr + elq.
On a ainsi les groupes
D (= NNO=Ér =, ce = cal},
ab=—= bas) {cb — ba (eo EN DE) -
puis les 3 groupes suivants :
avec ca = ach,
(72
ou avec ca ac", (É)==:
x
ab—bac, cb—bcS | ou avec ca — ac.
09 Si PE )
===,
CHAPITRE V. — SUR LES GROUPES D'ORDRE Die 83
96. Soit a’=br—Sr—0P— 1, ©, ac—=cal,
ab = baS®, cb — bca.
Posons
= dois
DAT ECC IEC
CR OO HICHOE = (0
Exprimons que a c—c'a 0", a b'=b'a'S'0", c'b— b'c'a..
Il vient
m = 0, q=0, we = elr, r = lt, WÔ' = dE (mod p)}),
= o=t(l+r) —r
CEE) Brie)
Y—er(l—s)+Ôt(l+r) — =
D'où l’on conclut les groupes
GS; bP— cP—SPr—6P—1, ca — ac, COLE), D = OC),
RE DCR SP Ca act, \co — bc, Nab=Ybac):
RS ON SE CS Nbr (ac — cab,
ab = bas 26, cb — cha, (o = NT.
Posons
a — a!5?6Ÿ,
b— brcra), Si SU
TER DENT 2 L f EC
C— OU CT JS tr,
Bénvons quete DialSEbRE CID" bictai,
On trouve
; nd = u(lm—q}), md +ur= {l(en +ôm),
{= mq—n7, e=u(me—rl)+u(q En
\
= dm — M) + e(re— ga) + ef ÉD IN)
2
à mL(m —1) DE)
MAT Es +eng(m—T),
ne = ulr me = ÔÙr + <lq (mod p).
84 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Si — 2 #0, n 0, les congruences sont incompatibles.
Si 2—0, r=—=0, on a les groupes
APT NN bDP NC SPP TN ca — act tab — batch be)
ï u ?
E—10; 1) 2, DS, = | =—=i
17
puis
CO SN),
Dene(pe, avec ca — ac
(2
ADE=tbac CL "bc Moutavec ca aie (£ = —1
: 10
(:) ESA À ou avec ca — ac
12
98 Entin, sat 0 CP Nb ae cus
ab = baS"@Ÿ, cb — bca, en posant
a'— al bmS0Y,
DAS DIS AE Sn eo (voyez n° 96).
c'— arb1c"0%, 0 — 00,
on trouve les groupes
aP=— 3, avec CO bc SUP: (2) = — }
bP cb — SP 02 1, A
ca=act ab bacon ec chEbCSe =) =
. CHAPITRE VI.
SUR LES GROUPES D'ORDRE 35 — 2435.
99. L’énumération des groupes d’ordre p° exige que les
Cas p — 2, p = à soient examinés à part. Nous avons déjà
parlé des groupes d’ordre 32.
. Je vais dire quelques mots des groupes d'ordre 3° — 243,
en m'arrêtant de préférence, en général, aux groupes parti-
culiers au nombre 3.
Citons cependant, en ne donnant que leurs équations de
définition, les groupes suivants (je laisse de côté les groupes
décomposables ).:
(a—S, S7— b—1, ab = bas),
(a—S, b—0, S—W—r, ab — bad),
(PSE === co = 00),
(a=S, Pet, = Pa TE"),
(= Er to dre Te)
(PSE RE == er, wo 00)
avec ac=ca, be=cb, ab — bac
D— Se
OTENEC Co = CT LC Go NO = ae
bic — mi
ouavec ac—=caz, be==cb, ab = bac
avec ac—ca, bce—cb0
GS,
«. , Ouavec ac — cab, bc—1cb
ER CD — bac
ou avec ac—cab?, be = cb
DS 0 CS — 8 — 7, avec Ge = C0 UC =
ab = bac | ou avec ac—cal, bc—cb }
(CHERE NE TCLEN)
(HENRI tac cal).
80 SUR LES GROUPES D ORDRE FINI.
. CÉSIN Se en |
)
DO ONMOD= TE (c=O) 1, ©)
\ avec AC— Ca be — CO Mab= LAS
| ou avec ac—=caS0, bc—=cb8, ab—baT |),
ouavec ac—=cad, bc—=cb, ab—=ba3
2
bc —=cb0%, ab —= ba (4 —0, 1,
( GS { avec AC —Ca} bC-—1C0N} ne,
2
DC SRE l ou avec ac—caû, be—cb, ab = ba3
Oo = ON = 0 — CT
2)
DENC = ONE er, Ve = cos
( ab = baS0, a —1, 2 |
CD NT CN NO = IS
( be—Tcb) ab = }
(0, b—0—S—1, ab — baS),
ue PASS = = r, pe
1
Ti ten COVER Ge, 2
DENT (Pro co co, co=to):
PO = COUV, AC Ce, = Co
( cd = dc, bd = db, bc = cb : h
é DIT ab Dal ao canad= …
cd = dct, bd = db, be—= cb
100. Partons maintenant des équations de définition :
=), b3— 08, Care ab — bac, ac — caf},
ad — dan, be — cb6À, bd — db c°0, cd — deb.
Alors
(a! ben dr(64 ) — QU+Brr+èp mE+CmE+C ln p+0Smp+2k Une.
Posons
a'—\ aber dr01: d'= a"bs ct d“ 6°,
b'— al'bn'cn'dr'04, Q! — Q/+fmHpn+E mt +0Clmp-+0mp?+211m? — GA,
Cl Nb ICQ UE
Etrécrnivons quel = act aie claire
CHAPITRE VI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 3°=— 243. 87
On trouve
t= Um — l'm+0(mp—pm') (mod3),
Bip +p)+n(p pl) tn nt) + (mp —p'm)
+ 8 (m EU Le PEN) )
2
- m(m'—1) , M(Mm—\1)
+ 0 (P ENT Le
A / PRNENN
nn (r mm — 1) em (m 2)
2 2
(2 JET AE LA
+ (on Es Lt }- (mn! — nm!)
+ d(np'— n'p}) + EC(m'p?— mp?) +mm'(l— 0,
AU = Et + hmt — dpt,
ls! — rm = (ps — mu'),
An = n(lu—7r'p) +C(—r'n) +u(mu —s'p)
ns 24e ED D BP) )
2 2
ES (» s'(s'— 1) sur en
2 2
[2 !
en Ce n s'(s' — 1) )
2 2
r'(r!— 1) , L(l—5)
HEC ( =: = )
p?s'—u?m)+Xms'(r"— 0),
AU= Gl't+m't— pt, AOC CEu — Ciri—= N\ts!,
d'é—=l's —r'm'+è(u m—p's!),
Au +dp—= dCt(u+p')+n(dlu—rp)+E(lt—rn!)
+u(m'u — spl) + def me =D D — 5! (Eh?) 2)
2
! ! ! !
5 (e & _— PL (m 2)
2
LES (r HN RO) )
2 2
Dr ee CE
+ Ge — s' _— }-kçm'e— ns)
+ (nu L'p') + SE(p?s — um!) + ms (r— 1")
(mod 3).
+
38 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
La discussion de ces congruences donne les groupes
LD = D IC PL ab bac tac—cai ad du
( bc = cb0, bd=dbc, cd = de, Er, 2 h
CP ON IN de, Ge = CA
( ad= da, be= cbô, bd = dbc, cd = dc0 }
DOC ES Cole ce, cû = da
( bc — cb, bd— dbc, cd = dctÿ, Gi, }
RP = === Go=bda, ae = CA
ad— dat, be—=cb6, bd = dbc, cd = dc
J
CN ROC NO UTC, Co=e0
ad— da, be—cb6, bd = dbe, cd = de c
é PANO=P == cbL= brie, ae = ei
2
be Ch ad= da bd = dede )
PIN CP = ob = Tee, ii)
]
ad = da, be—=cb, bd = dbc, cd = dcd
CC Pb = Va, ae —=ce
ad = da, be= cb, bd= dbc, cd = dc
CU Ci CNP IN COUT, 00 =
ad = da, be=cb0, bd = dbc, cd = de
Pb C == = COL, Ge —=cA
( ad= da, bc—cb, bd= db, cd = de h
avec ad— dal, bd = dbS8
ou avec ad—dal, bd— db
ou avec ad—=da, bd—=db3t
ouavec ad—da, bd=db3
DO, Co— 0e, us
2
y
a D;
P=PE=SR= 1
ab = baS
2
be = cb0, bd = db, cd = de, ad = db9
TN PE, mo = 0GS
( bd = db, ad = dan }
= Pi =N=Sr =», CR
( bd = db6, ad = da
D MU GNT GO = UTe, Ge = où
( be —cb0, bd = db, cd = de, ad = da h
sn DRE Te Fa vi)
ac = ca, be = cb
2
/
CHAPITRE VI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 3°— 243. 89
101. Partons des équations de définition suivantes
GO} Peer, ab = bal, ac = Ca,
ad — dat, bc = cb, bd — dbe, cd — deb.
Posons
DR OPCECIANE
DNOTe CNE
RP Sie
= CUS CARE
Do ere
Alors
(a! brcr dP0 P= Q{+Ypm°+ù mp? :
on posera |
Q!— Q/+Ypm+Ômp?
En exprimant que b'd'= d'b'c',..., il vient
+ yp'm?+ôm'p?= 0 (mod3),
LE ne
+ yqu!s"? + ds'u/? 10;
mp'— pm = 0,
m'(nv —1 mm —1
Ge ypmt + 0mpha = (Ip —pl)+ (r 2 2
+ Sp CRUE m'EP0) + a(lm'— ml)
+Gnn— nm) + G0[p'(n — mp')— p(n'—nmp)],
t(ôp—ym) = 0, Ôp—ym= 0, s'p— mu = 0,
s'(s —1) ur mm (m — 2)
2 2
QE y pr? + dmp?)R = (lu —pr')+ 7 (e
WAR Lun
+ (ne — —) + a(ls —r'm)
+ (nt — sn) +ô[u (nr — mu)— p(t—s'p)],
(yprè+ ômphy=ymi—ipt, t=mu—sp,
nv (m—1) me 2)
pou + pl\=8B(r'p— lu) | u!
P GE ( 5
| 4 p'( pl'—1 N =)
+ Ô (EE = mn) +a(r'm!— ls")
2
+ (sn — m'v)+ô[p'(—s p)—u (nr — m'u)],
(l+ pm? + dmp?)à = du t—ys"e.
90 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
La discussion de ces congruences donne les groupes
A — ND CP Nr ab CaiNac— ca
ad = da, bc—cb, bd—dbc, cd—dc0 }?
CRT OC = Ce), co = Ces)
102. Soit
DDC EE ab = bas AC CAN,
be — cbr.
Faisons le changement d'opérations génératrices que voici
a — alb"enr 0x8,
b'— al ben 02 SP, D — pYSÈ
0
Ce a brnennne TB", S — pyS?
Écrivons que a'b'— b'a'3, ...; il vient
d = Üm'— ml', y=a(lr'— nl) + p(mn— nm),
èn = Um'— ml, . ya =n(lr"— nl") + (mn'— nm"),
du = l'm'— l'm/, yu=n(ln"— ln) + p(n'n"— m'n).
Leur discussion donne le groupe
(RE Sr ab bas ac = Ca be ch)
plus un groupe décomposable.
103. Partons des équations de définition que voici
a — 0, b3— (B, PR P—= 7, be —CbS,
ab = bac, ac = caf.
Alors
(a! ben Sp 07)3 — Q+Bm+eml 2m
Faisons le changement d'opérations génératrices suivant
5
DORE,
Da tbr CAS PAG IR SI PSY
c! = a!” bn" cn" œ
1
Sp" p4” ñ
CHAPITRE VI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 3° — 243. OI
On en déduit les congruences
B'(L+ Bm +emE) =l'+ $m'+eml? _ (mod 3),
In°fB'=l'm"?, l'+ Bm'+ EME = 0; Um'—=0,
Um ml'=0,
DEA 1072) 2
® + (n° ao == ln!) = «(nr A) fe"
, M (m — 1)
?
D 2
— nm + l'm'm”"
Y+
4
y, N'(m!—1)
2
4
—
— nm" l'm'm",
n'= lm'— ml,
m(m —1) m (mm — 1)
RENE) AN LR A
a
( SERRE 2
qg'=e(ln — nb }-+e{m I m' en
im?e!= mn",
p'= nun' (li) + mn'— nn + ll — Î
e'(l+ Bm+emle) =— Een".
La discussion de ces congruences donne les groupes
7 DONC SRE be — ch ab — bac
( ac = cal* Go) }?
GREC 0 be — CbO
| ( GO= VIe, Ce= CUS }
CS 0 ac — cal) ab —'bac, be — co)
( At à }
‘3 P=CSER=PSX He
ab —= bac, ac = cal
PES, b3 — 08, COUR ab = bac,
ac = cal, COL
(a! bep 02)3 — Sl(1+m2) QBm+emti+ôtune
O2 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
Posons
PES AT e
a'= atb"c?5P 61,
b'— a! bm'cr'Sp'67", 9! == OSY,
c'— c' SP" 09", SG — Sl(1+m) Qôm+emt+btme
on a les congruences (mod3)
n'= lm'— mul!, WB=l(1+m?),
! !
nm (mm —1 m(m —1
p'= nm — mn+l = ) l 5 - mm (ll — 1),
o8/= Brn'+ em'l?+ 0lm"?,
(: m'(m'—1) 7 Me)
q ==) = =
; FIAT LES Es
+ € ( PE) m' =")
2 2
+e(ln'— nl) + à(nm'— mn) + Gmm(l— 1),
Ve! + mn'= 0, we = eln"—Ô0mn/,
d V+l(i+m)=m'n",
(mod3),
do + Bm +eml + 0m =Ôdmm'—eln"
on obtient ainsi les groupes
== PS = Prec, co =
1
( ab — bac CC = Oo 1)
puis
==,
==
(le cas a — 8 — o donne un groupe décomposable)
105. Notons encore les groupes
POP ice GA, cb= .
s 9
GPS
ab — bac (Our 2 =, 1)
D SN bi CS ac — cale ch bel ab— bu
( (== 0) (GONE)
ac = ca, cb = beS0Ë, ab — 1
}:
CHAPITRE VI. — SUR LES GROUPES D'ORDRE 3°— 243. 99
106. Partons enfin des équations de définition
DS, bi— 268, CRE 5, bc = chTOY,
ab = bac, ac = cal,
1
d’où
(a! bcr Sp (a )3 — Sl-2m+2lm° (jfmæ+emt+2yhn.
ISIN —T, posons alors
pee Sp
a'= alb"c"5r 0,
D'=a 07 CPE
c'— e%" Gr" Gal.
On trouve
; n'= Un — l'in,
HE / pans ,
p'=mn — mn + (e HO) TE _ 2) +(l— l)mm,
F2 TUE NE m'(m'—1)
g = r(e USE TES
RES ! fes
+a(n 1) jm 2).
2 2
£
+ (nn! — nm!) + ment (l— 1) +e(ln — nl),
+ om + 2m? + JIl+ TH o(m+m) +2 + l'm?)] = mn",
m+eml+o)lm?
nm om + e(ml+ ml?) + 24(lm°+ lim ]=ym'nl+el'n",
el[me + m'+e(ml+ ml?) +o; (Im + lm?)]= ymn"+eln".
_2° Si l’on part des équations de définition
OP =) PS =, VEChENL
ab — bac, AC CAD
il vient
.
Posons
9
(a! bre Sr(6g == Qlm+2lmS@Eml?t2y tm?
ee (e = PSS 249 2 2 a,
ad — a'bnecrSP 07, Q— Sent yon fjlétmts ton û
b—= al bn on! Sp! (pal, SG — S%0Ÿ
1e
Se? Sp" 02”,
2]
94 SUR LES GROUPES D'ORDRE FINI.
On à
eml+oylm=eml?+ 27lm"?,
l+m+olm = l+m +olm?,
n'= lm'— ml,
m(m —1) m' (nm —1)
g'=mn — nm +l l =: + (l!— l)mm),
UC r) EN ATEN)
TT TIRE AREAS
+e(m Duc Li)
2 D)
+ (mn nm) + ymm(l— TT) +e(in — nl),
dy/+l+m+olm=m'n",
gy +eml+oyim =;mn'+eln",
de! = mn,
ve'= ymn" +eln'.
1° Si 8 — 1 on obtient les groupes
. DSC ER a
ab — bac, ac = cad (a 190)
2° Si = 0 on obtient un groupe décomposable.
TABLE DES MATIÈRES.
É. Pages.
ENTRODUCTION: cc. PODOL OPA To DRE ONE TS FONDU I
CHAPITRE [. — Table de multiplication ........ A At RUE 3
Re Un PR A ER IR a 11
—Surles groupes d'ordre 25.................. 26
. — Sur quelques groupes d’ordre 22............. ACTES 52
MOUDIES 2TOUpes dondrebps. Lee NUE IN PETERPEUE 60
. — Sur les groupes d'ordre 35 = 243................... 85
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,
35498 Quai des Grands-Augustins, 55.
icon Taciteum, par Ph. Faëra, professeur
lologie classique à la Faculté des Lettres
wersité de Lyon. (11, Fasc. 4) 45 fr.
imemnon » d'Eschyle, texte, traduction et
ientaires, par Paul REGNAUD, professeur à
ersite deLyon. ({T, Fuse. 6) . G fr.
Cocritiques sur quelques Traductions allemandes
Doèmes français au moyen âge, par J. Fir-
professeur de Litiérature étrangere à l'Uni-
télde Lyon. (I, Fasc. 8) . . . 5 fr.
uemhistorique et comparée du sançerit et
; par P. REGNAUD, professeur à la Faculté
ttres, (Fasc. 19) . : 5 fr.
nd'un Mythe. Açvins et Dioscures, par
IMles RENEL, maître de conférences à la Faculté
eltres de Besancon. (Fasc. 24) . G fr.
rédiques et post védiques, par Paul ReoNacuD,
Seurde sanscrit et de grammaire coniparée
érsité de Lyon.{Fusce. 38). 7 tr. 50
héorie des équations différentielles du
hordre et du premier degré, par Léon
lONNE;ingéuieur des Ponts et Chaussées, chargé
sa la Faculté des Sciences. (Fusc. 6) 9 fr.
iessur l'équation personnelle dans les
xations astronomiques de passages. par
NNESSIAT, aide-Astronome à l'Observatoire,
dlun… Cours complémentaire à la Faculté
EnCes((Rase. 7) .:. : 5 fr.
es sur quelques dérivés surchlorés du
“etmdu benzène, par Etieune BarRaL, prof.
à a Faculté de médecine.(Fasc. 17) 5 fr.
représentation des courbes gauches algé-
par LB, AUTONNE, ingénieur des Ponts et
ssées, maître de conférences à la Faculté
iciences. (Fase. 20) 3 fr.
résidu électrique des condensateurs, par
MEVIGUE, maîlre de confér. à la Faculté
HÉROS C 02) 0 Sur.
e d'aldéhydes et d’acétones dans la série du
talène au moyen du chlorure &’aluminium, par
Ssen, docteur ès sciences, chef des trav.
lié vgénér. à la Faculté des Sciences.
PR Un UN Sfr.
expérimentales sur quelques actino-
ectro-chimiques, par H. RiGoLLor, doc-
natomiques et expérimentales sur la
imorphose des Amphibiens anoures, par
\MAILLON, professeur à la Faculté des Scien-
niversité de Dijon, avec 6 pl. hors
A UT. A fr,
EL
et Physiologie comparées de la Pholade
tructure, locomotion, tact, olfaction,
action dermatoptique, photogénie, avec
rie générale des sensations, par le
aël Dusors, professeur à la Faculté des
_ fig. dans le texte et 15 pl. hors
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Librairie A. FONTEMOING, 4, rue Le Gof.
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Sculpture en Attique avant la ruine de l'Acro-
pole lors de l'invasion de Xerxés, par Henri
Licrar, ancien Membre de l'Ecole d'Athénes,
chargé de cours à l'Université de Lyon,
avec A1 fixures dans le texte et 3 planches hors
texte (Il, Fasc. 10) . 8 fr.
Cultes militaires de Rome. Les Enseignes, par
Ch. ReNEL, professeur adjoint à la Faculté des
Lettres de Lyon. avec 61 gravures dans le texte.
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théâtre, texte sanscrit, avec les variantes tirées
de quatre manuscrits, une table analytique et des
notes par Joanny Gross£r, ancien hours er d'études
près la Faculté des Lettres (Fase. 40). 45 fr.
Recherches sur l’Origine de l’Idée de Dieu, d'après le
Rig-Véda, par A. Guerinor, docteur es letires.
CHR OS CS) er EE EME 7 TRE Q
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teur ès sciences, chef des travaux de physique à
la Faculté des Sciences. (Fase. 29). 5 fr
Be la constitution des alcaloïdes végétaux, pa
X. Causse, docteur ès sciences, chef des Travaux
de Chimie organique à la Faculté de Médecina
de l'Université de Lyon. (I, Fase. 2) . 3 fr,
Etude sur les occultations d’amas d'étoiles par la
lune, avec un catalogue normal des pléiades, par
Joanny LAGRuLA, docteur ès sciences, préparateur
d'astronomie à la Faculté des Sciences de Lyon.
(urasc. 5) à 5 fr.
Sur les combinaisons organomagnésiennes mixtes et
leur application à des synthèses d'acides, d’al-
cools et d'hydrocarbures, par Victor Gricnanrp.
docteur ès sciences. (1, asc. 6) . 3 {r. 50
Sur la décomposition d’une substitution linéaire, réelle
et orthogonale en ur produit d'inversions, par Léon
AUTONNE, ingénieur des Ponts et Chaussées, maître
de conférences de mathématiques à l'Université
HOMMES CS) SRE E 6 fr.
Quelques considérations sur les groupes d'ordre fini
et les groupes finis continus, par LE Vavasseur,
maître de conférences de mathématiques à la Fa-
culté des sciences de l’Universilé de Iyon (I,
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Fils, 19, rae Hautefeuille.
Sur le pneumogastrique des oiseaux, par E. Cou-
VREUR, docteur ès sciences, chef des travaux de
physiologie à la Faculté des Sciences, avec 3 pl.
hors texte et 40 fig. dans le texte (Fasc. 4). Æ& fr.
Recherches sur la valeur morphologique des ap-
pendices superstaminaux de la fleur des Aris-
toloches, par Me A. Maxoux, élève de la Faculte .
des Sciences, avec 3 pl. horstexte. (Fuse. 5). Æ fr.
Etude stratigraphique sur le Jurassique inférieur du
Jura méridional, par Attale Ricne, docteur es
sciences, chef des travaux de géologie, 2 pl. hora
texto CA GS CO) TEE DE AA
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(Suite)
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Faculté de Médecine, par M, le professeur Ar-
LONG, M. le D' Roper, agrécé, et M. le D° Cour-
MONT, avrégé, avec 4 planches en couleurs.
(RasSCHAAINEES ne neue (IVe
Histologie comparée des Ebénacées dans ses rap-
ports avec la Morphologie et l’histoire généalogique
de ces plantes, par Paul PARMENTIER, professeur
de l'Uuiversité, avec 4 planches hors texte.
CAGS CAD) EEE NEC AE ERA & [r.
Recherches sur la production et la iocalisation du
Tanin chez les fruits comestibles fournis par la
famille des Pomacées, par Mile A, Mavoux, élève
de la Faculté des Sciences, 2 planches hors texte.
(OS CAD) ER NI NE 3 fr.
Etude surle Bilharzia hæmatobia et la Bilharziose,
par M. Lorrer, doyen de la Faculté de médecine,
- et M. VIALLETON, professeur à la Faculté de me-
decine de l’Université de Montpellier, 8 plan-
ches hors texte et 8 figures dans le texte.
CHUSCATON) RE CHEMABEE NEoE 40 fr.
Monographie de la Faune lacustre de l'Eocène
moyen. par Frédéric Roman, docteur es sciences,
preparat. de géologie à l'Université de Lyon, avec
8 fig, et3 pl. hors texte, (I, Fasc. 1er) Sfr:
Etudes sur le Polymorphisme des Champignons, in-
fluence du milieu,par Jean BeAUvERIE, docteur ès
sciences, prépar, de hotan. Faculté des Sciences de
Lyon, avec T5gr, dansle texte. (I, Fase. 3). 7 (r.50
L'Homme quaternaire dans le Bassia du Rhône,
Etude géologique et anthropologique, par
Ernest CHaAnNTRE, docieur ès sciences, sous-
directeur du Museum, avec 74 figures dans le
texte (l, asc. 4) 6 fr.
La Botanique à Lyon avant la Révolution et l’histoire
du Jardin botanique municipal de cette ville, par
M. Gérarp, professeur à la Faculté des Sciences,
avec 9 fig. dans le texte et 1 pl. hors texte.
CHASCHO D) PNR PETER EN 3 fr. 50
Physiologie comparée de la Marmotte, par le Dr Ra-
phaël Dusois, professeur à la Facultédes Sciences.
avec 119 figures et 125 planches hors texte,
(OR NET Re ee der Se one Hoyeites
Etudes sur les terrains tertiaires du Dauphiné, de
la Savoie, et de la: Suisse occidentale, par
H. Douxam, docleur è$ sciences, professeur au
Lycée de Lyon, avec 6 planches hors texte et
dJiNigures, (asc. 2) EU : G fr.
Fecherches physiologiques sur l’appareil respiratoire
des oiseaux, par J.-M. Soum, docteur ès sciences,
professeur au Lycée de Bordeaux, avec 40 figures
dans le texle. (Fasce. 28) … . 3 fr. 50
Résultats scientifiques de la campagne du « Caudan»
dans le golfe de Gascogne (août-septembre 1895),
par R. KœnLer, professeur de zoologie à la
Faculté des Sciences. (F'asc. 26).
Fascicule I. 4 vol. in-80 avec 6 pl. . . . . 6 fr.
F nn
_ Contributions à l'étude des larves et des méti
Lyon. — HAE CNE A. REY, 4, rue Gentil. — 36580 à
pas II. 4 vol. in-80 avec 11 pe T0
Fascicule III. 4 vol. in-8° avec 21 pl. - 2
Anstomie pathologique du système tmp
dans la sphère des néoplasmes malins, pa
Dr GC. Recaup, chef des travaux, et le Dr K.
JON, préparateur d'anatomie générale el d'A h
logie a la Faculté de médecine (Mémoire cou
par l'Académie de Fr avec 4 pl.
texte MSC INR " Vie
Recherches stratigraphiques et -
dans le Bas-Languedoe, par Frédéric Ro
docteur ès sciences, préparateur de géologie
Faculté, avec 40 figures dans le texte et 9
ches hors’texte.(AASC SL) ARR
Étude du champ électrique de l'atmosphère,
Georges Le Capxr, docteur ès sciences, assil
à l'Observatoire de Lyon, 3 fig. et 10 pl. de
texte PFUSCNS ON) RER Te re
Les formes épitoques et l'évolution des Cirratulh
par Maurice CaurLEry, maître de confér.
Faculté des Sciences, et Félix Mesniz, che
rt l’Institut 6 j1. hors (ie
(Fasc. 39). RES 0 D de O
Etude et Ra du Carboïère
inférieur du Mâconnaïs, par A. VArriEr. OBu
en médecine et docteur ès sciences, avec 11 fil
et 12 planches hors texte. (I, Fasc. 7).
Contributions à l'Embryologie des Nématodes}g®
A. Core, docteur ès sciences, prépar. dell
logie à l'Université de Lyon. (1, Fasc, 8):
phoses des diptères, par GC. Vaney, docle
sciences, agrégé des sciences naturelles, chi
travaux de Zoologie à l’Université de
(TL, Easci" D) SR ER
Contribution à l'étude de la classe des Nymphegips
par J.-B.-J. CHIFFLOT, docteur és sciences
relles, licencié ès sciences physiques, ché
Travaux de Botanique à la Faculté des sci
sous-directeur du Jardin botanique de la
avec 214 figures intercalées dans le.
(LSRUSC: ALORS &
Monographie géologique et paléontologique de
bières orientales, par Louis Doncreux, di
ès sciences, Collaborateur auxiliaire au serv
la carte géologique de France, avec 69 #
dans le texte, 7 planches hors texte et une
géologique: (LS AasL AM) EEE
Contribution à l’étude des composés diazoam
Louis MEUNIER, docteur ès sciences; chef d
vaux de chimie à la Faculté des sciences Le
versité de Lyon. (1, Fasc. 13)
Etude stratigraphique et paléontologiqu
Zone à Lioceras concavum du Mont d'Or
par Attale Rice, docteur és sciences
d’un cours complémentaire de Géologie à
culté des sciences de l'Université de. Lyon
7 figures dans le texte et 11 planches h
(D Fast NT A) NP an
Lo 19 AUG 1905
NNALES DE L'UNIVERSITÉ DE LYON
| : NOUVELLE SÉRIE
_ I. Sciences, Médecine. — Fascicule 46.
SUR
PAR
Léon AUTONNE
TE Ingénieur des Ponts et Chaussées,
Maitre de Conférences de Mathématiques à la Faculté des Sciences
de l'Université de Lyon.
à
_ LYON PARIS
IMPRIMEUR-ÉDITEUR LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS
Rue Gentil, 4 - 55, Quai des Grands- Augustlins
Te 1905
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