Archiv der Mathematik und Physik

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XVn'Cx

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1

Nr. der

libaiiilluiif

111.
IV.

V.
VI.

vu.

X.

Xlll.

iialtsvcrzeicUuiss des ersten The

ils.

Hert
I.

I.

I.

1.
1.

I.
1.

Arithmelik.

Neue AutI5sun{( der Gleicliungen des >net(en Gr*-
des mittelst der gnnioRietrisdien Formeln und Tk-

Aitip^rs^ AufliJMung^ ilcr üleiciiuiig«» il^s Tlrrl«ii
Grades. Nacb CorresponJance iiuib^matique et
phj'tique puMit-v pnr A. QiieiciL-t. T. IX. f. 147

lieber die {{esliniinun^ di-r Aiiialil der iwixclNMi
gegebenen Grunzen licf;enden reclleo oder intagt*
itären Wurzeln licr algebriitj^cheii Gloi^bnngni.
N«cb einer AbhaniiDun^ des ^F(>^m AM- IH^iigno
in dem Joiirndl de Malliümaliqucs |iiJt'es et Bp|i)i>
quies [itiblie iiar Ji>3C]i|j Liuiivülc. Fcvricfc I8W-
y, 73. frei bearlieitct von üem HerauK^eler. . .
Ntiie Beweise cini;;er Sütse und alig'eflicine Be<
kuRgcn ülier eine in ili^r Annty-tix in gr-niKSni FäU
len gebrüiicbticiie Art der fieweisführuug. Von

Tument KigenRcimrc der nngerailen Zjifilen. Mtt-
getlieilt nnd bewiesen von dem Ilerauspebcr. .
Dm Hinnrniftltfii-nmn für posiliTe gan» Kxpiinttii.
(«n, als Npecieller Kall v'mca ülljrenieinern SaUcs

Moiir<^y'« Bcwow des Kundamcmalsat/cs dur Tliri>-
tit der algebruisi^livti Gteichungi^ti. NaHi iivei Ab>
liandhiDger] des Herrn Licuvüle in demJnumnldc
Matbcoiatirjucs pures et appliqnäes publik par Jo-
se|ili LionTille. T. IV. p. MH. T. V. p. 31 frei bft-

1 1 . ».

IV

Nr. itt

Allianiltiing.
XVL

Helt SeiUS

CelMr di« Verwandlang eio«s gewöbnltchen Bnichs
in einen Deciiualbnich, Vou Atta Herni Poctor

J. A. Arudt -in Torgau L

XIX. Beiirif;« >ur WahrschGinlkhkeitsrecbnung. Von
dein lierrn Proff-sscir Dr. Oettingcr xu Ttti-

burg.t. B n.

XX. Ableitung der Sütie 'von Kollo, Fourier und Des-
cDites über die Anzahl der zniscben gegclicncn
GniiT.en lii-genilvn rrvllen Wiini'lii niricr algebrii-
sehen tikichung aus dvr I^lire ydih Exce&s der
gplrairbrucii ratiotuk'D nlgebraiücbcn Fuacliraun
Ah Fotttietztmg zu in Alihnndhing: Nr. V. in die-
sem llieilc. Veiii tieui Herausgeber ■ 11.

XXV. Bemerk uiifien zu dem AufttüOe HI- iu> Archive der
Maibemacik und Physik 1. Tlieit 1. lieft. Von
der» Herrn Profettfor Dr. Monsiii|; tu Erfuru. II.
XXVIU. Ucbcr die Diffcrcntialqnolienten von log x und «*
ia Bc/ug auf eine Bemerkung des llcrrti I.iouville
in dessen Journal de Matbäuuli([ue&. Aoüt 1S40.

p. 2K0. Vnn dein Herausgebe r. II.

XXIX. IHnthemaiitchc Bomerkungen van deui Herrn Ma-
jor und Kitler l>r.Ci.W. Illüller lu Hnnnover. II,
XXX. Soiutiu casus irreducibilis o^xica oder Tri&üvtl« ut
iDultiscctia ungiili (i|iticiL \uii dcui Herrn Profe^or
C. J. D. Itill lu Li] ncl. Niicli dein äcbwcdlschea
dex Uerrn VerrNAsers von dem iluru Ductgr

Crepl in zu Greifswnltl i ■>. • U.

XXXIV. Anuly.Hu duH cquiiiiuns d^Luriiugfes ptrM. Pourier
de rinscicnc roy.tl de France, sccrütaire pcrpi^tuel
de l'iLCailtiuic de acicncea. Premiere |iBrde. Paria.
1831. 4. GruudiiJtta der Lvhre \oa den iiuiuori-
sehen (ileicliuiigFm narb ilircn annl,vti)ichnn und
goomecrijtclien üigen&cbafLtn. Gin Supplement zu
den LcliTbüclicni der Algnlini uitid der UiffcrCtKial-
r«chnung vo» M. W. Drobtsch, Professor der Ala'
tb?tuaüU an der Linivcrüiiiit iii Lei[>iig. Von dvu)

Herrn Professor Dr. (iarti lu {{alle. III.

XXXVIL Neue Auflösung der culiisi-hen Gleichungen Ton
Herrn J. Cocklc. Ans ('uJiiliridge MAlbrinaticnl
Journal Nr. XU. (Mai, llUl). Vol. II. p. 348 frei

Sbcrsci/t TOD dem llcrau»)icl>cr UI.

Beitrüge zur Eficmckdiing der Integratf in Reiiieu.
Von Herrn N. W. Schulze, Lehrer der Mnllie-

matik 3U RudoUtaOt. IlL

Eniwickelung L'iniger FuriDclii uuü der Theurio der
bestimmten Integrale. Von Herrn 0. Scfata-
milch zu Weimar 111.

101

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31»

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.VI.

H«ft. Saite.

Uobnr 'lio B«(IIngup^a il«r üngleicUheit, von (l«u
Mitu-Igr£s«en und voti den iinaginircn Grüuen.

Von dein Herause-eber. ■-. IIL 268

Nocli ttwos iili«r Turners Eigenschaft ilcr iiiigcn-

drn Znblen (Arcbi*. B. I. Hefi 1. Vif.). Von dem

Herrn Üoetor UeilerDDg in Wismar. ..'... lU. 318

lieber ItemoullUübei Znhlen imd die C«eflicj«nim

der Secanienrpibe. Von Hrrm 0. Scbluinilob

ZQ Weimar. IV. 3G0

lieber Cfiiicb}'*R neuesu Untersuchungen Tilirr die
Ennrickelung der g«flAiirIcrHn Functionen mit einer
Teräiidcrliclicii Gri>.x«e in iiitrh «Iiii iintitiveii gan-
ten Pcrcenien dieser veranderlkben Grosse fort-
Bcbroitande cooTergtreode Reiben. N«cb den Con-
sidi-ratioDs nouvcllps snr 1« tbcorie des siiiie» ec
mir Im Ifti" de leur fi>n?ergeniTe von Caiichy in
dvBsen Uxeri.'ici.'.<t d'Anaijse et do PhyMtjtie iiiB[hv>
uatique. &e Livoisoii. l'aris. 1S40. frei bearbei-
tet von dem H^rAungelicr IV. 364

EigenncltRfttüi il«r ungeraden /aliliCQ in Becug anf
behellige Potenzen der einieliirn Glieder dpr natür-
lich«!) Zablenrc-ibe. Von dem Herrn Prufuftüor

C. A. Brecsclineidnr au Gotha IV. «IK

Zur Tbcorie der l^itiiiiintrn Integrale, Von Herrn

t). SehläniiUh zu Weimnr. iV. «7

Kinige Eigfo^ehiften dt^r Hiriuuiialcocnkicmeii. Von

Herrn 0, S«hIbmiUU lu Weimar. IV, 4SI

Bewein ilci itatic», Aass jede harnionisclje nnend-
lidie Reiliv, in wrieber mII« Glieder ilntwclbo Vor-
seicben bivlen, itiverRent isC Von dem Herrn
Docior Rüdeil zu Ilcrlin IV. kkü

Geometrie.

I. BeitrSgß xnr üntersuchang der dreiseitigen Pyra«
utide. Von dpin Herrn Profriuiur G, A> Brei*

icbneidrr in Gotha I..

IL Weitere ücredniuug verschieilener uuf das KreiB-
TerhülinisH Ji hcjininiteter Zahlen. Von dem Herrn

Professor Dr. G. Paucker x» Mitau ].

XIV. Ueltpr eine inerkwrinJige Relation zwischen den
retbtwiiikligvn Courdiuaten 'vvn vier Punkten ia
einer Ebene und den drei Winkeln, neklio die
Tter Ton dieaen Punkten ojlcL «inein fünften Punkt«
in derselben Kbetie gezogenen gcrsden Linien mic
einuider eitischlle&seii, und übt:r zwei geoilsliscb«
Aufgaben. Von d«m HcrAUägabcr !•

f»

VI

Nr. iler

Abliantllune Utti. S<

XVIII. B«ai)ivrnrtun{; der Frt^, durah wie fiel« Pglygnn*
liniea n beliebige Punkte im Räume mit etoander
Tcrbunilcn ircnlcn können, wreim man unter einer
P&ljr(:o»linic Jede Linie Tersieht, welciM sits den
gerulea [.iai«n nusamoicngcsctit iac, die, indem
tlisn die n gegolienrn Piiukt« in beliebiger Ord-
nung nimmt, den iRirn Punkt mir drm 2teD, deo
2i<-n mit drm 3l>^ri, den 3tcn mit dem 4I«r, ii.s.«r<
tj den (n — • l)slen mit dem ftteii, den meo mit d«ra

Uten Terbindcn. Von dem Herausgeber. .... I.
X.\l. LVber die .Aufgabe; die Oleicbung'en einer geraden
Linie KU finden, wctcbe vier gerade Unii^n im
Rniinic, deren Ulricbuii^cn gegeben «ind, schpciilec

Von dem lleraitKKaber. II.

' XXIII. Ucber daa vollständige VierKeit und vollstaailigo

Vj«re«k. Von (Jcm Hrn. Doctor Räd«li in Berlin. U.
XXIV. Von der Projeciion der Figuren in einer und deneU

ben Ebene. Von deinHni. Doctor Rädell z. Derlio. II.
XXVII. lieber die Itestiininung ilcr Anzahl der TerNchicde>
ncn Arten auf ivelche aich ein «eck durch Diago-
nalen in lauter mecke letlecen iÜfcsC, mit Itecug auf
einige Abbamlliingen drr Herren Lame, Kodrignea,
Binet, Catalun und Dubamt-I in ilom Journal da Ma-
th PtnnEir[ue.s ^iiirea ec apiiliquees, pubÜK par Joüeph
Liouville. T. lli. IV. Von dem Herausgeber. . IL ]
■ XXXIU. Bemerkungen und eine geuniiMriscbe Aufgabe von

dem Hvmi Uireetor Nizie nu Stral^uad. . . . U. S
XXSVL Untersuchungen über Projectionen und neuem Geo-

meirie. Von Htfrri) 0. Scliloiuilch lu Weimar. IIL
XLU. Einige» von deu KegtlsclmiitCD. Von dem U*r*

au&gcber • III.

XLVI. irntrTswhnngen über die E^comctriaelio Bedeiitiang
der EoiiXaiiten Cacfjicieuten in den allgemeinoa
Gleicbungen derPlÄcbfn dejt z\Yeltcn Gradr*. Von
Herrn L. Mostbrugger, Li?lin-r der Mutbema-

tik au der Kantoiassfbule zu Aarau IV.

XLIX. Anwendung der Lobrc vom Zu;;« jiuf die Nacb-
neUuii^ iW gxomnlri*cben Itedpiilnng ili^r Form
m-\-!\^ — 1. Von dem Herrn Major und Kicter

Dr. ((. W. Mijller zu Hannnvor. IV.

LVl. Eine Eigenscbaft des Krnses Ton dem Heran«-

g«ber. iV.

Trigunoiuetrie.

XI. ßemerkung aur Trigonometri«. Von dem Uer-
|iU4£eber. I

m

Nr. avr

Mliflndliing.

XV. Tafel der pjrthagDrüischen Dreiecke. Von dem

llrrm Professor C A. Bretucbtitiiler eu Gachs. I.
^JCVlH- Vergleicliung «ine» spbiiriiichcii Dreiecks mit dem
ebenen Dreieckt, welchex cnUUlil, weiiu uutii
durcli dio Spiueu des entern an jede seiner Sei-
ten zwei Tangenten siebt und deren Durchscbnitts*
)iunkc« diircb iceradc Linien mit einander verbin-
det. Von dem llcrautgelier. 1,

t\.n. Note Kur les Tabics Triponometriques. Par Mr. C,

J. D. nilt, Prof, des matb. a runiveriiilc de Lutidi iL
LVL Ueber Gatiüx'x neuen Bewein dex nach Legvndre
benannten Tb«i>reuia in der iipböriBchen Trigouo-

tnetrie. Von ilem Herausgeber. IV.

LVI. EinraoÜer Bctvcts der Gniodform«! der ebenen Tri*
gooometrie. Von dem Herrn Doctiir Küdell tu
Berlin IV.

Defr. Seite.

n

110

191

AK

lU

Geodäsie.

XIL NiTe'llemeßt zWiHchen Sn'lnentiinile nnd Berlin. Auf
(lienjillicbe V«i4i)ltivmii)^ aiugefiiiirt vnn J.J. Baeyrr,
Alajgr im (ieneraUiabe. Mit einer Uebersicliui-
horte. Von dem Herausgeber L

XXXIL Analj'tiscbe AtilliWuiig der von Herrn Direciur \iaA
Pnife^or Ritter H.niiitMj iii ScliiiinavbitrK airtronotiii.
neben Nacbricblen Nr. 410. mitgetlieilien {[eodüü-
sehen Auf|;abu: Wenn swui Punkts ilur Lage nach
gegeben sind, sn soll man diel^ge iweier andern
Punkte dureb blosse \Viii)telii]««tiu[igen au den lutt-
tcni> vbnc dicao voii den gegebcueu Punkten aus
zu beobacbten, be-stiiiimen. Von dem Heraus-
lieber. iL

XXXV. Das Poihvnot'scfae Problem in emeilerter Gejitak;
nebst Bemerk unf^en über seine Anwendung ia der

Goedäsi«. Van ilam Hcreusgeber. IIL

ELV. Betnrrknnj^en über das Polhcnoc'scbe ProUerii. Von
dem Herrn Mujor und Ritter Dr. ü. W, Malier

au llannoTer. lU.

üeber eine geodätische Aufgabe. Von iletu Her.

Ausgeber. IV.

■■VI, Lieber Clauaen's für die Mesitixcbpnixis geeignet«
Anni>siiQg der Uansen'scben Aufgabe. Von deu

Herausgeber. IV.

«VI. Analytische AiiflÄsun^; der Polhcnot'sdieo Auf-
gabe. Von dorn Herausgeber. IV.

219

S38

S33

423

441

4M

VUI

Nr. der

Alhaudlung.

VIII.

Physik.

Heft. SaIib.

Eloigo Resuluto aus verglicbencn Barometer- Be-
oWchtUDgfn in Il«rlin und NeuHtadt-Kbermnlilc.
Von dem ll«rrn VtoUasoi F. W. Scliuciilvr iQ

NeuKt3i(lt>KI(«rHwaM(>. , T.

IX. Uelier ReUebaromeier. Von dein Htrm Professor

F. W. Schneider lu N«uütii4t.Ktier)iVT*lde. I.

XXn. Die vemrbieilenen AtiHösun^en dp» Siemschtiiipp«D.
Problems aus uiiieiu allgciociucn GcsicliLs|}uukl«
dargesiellc V*oii drin Ileransgelier. IL

XLIV. üebcT Herrn poctor Mohr's ta Cobleoi Meifaodo
Bafumeicr tihuD AuKküL-bcn lurtlcfer xu tiiacben.

Von ([«u üerauBgeber III.

L. Anwendung dvrFrcJinersGlien Formeln lur Bestim-
mung der T{in piner belic^bigcn Anzahl iinrnHelcr
durcbsicbliger l'latten rcfleclirten und gebroche-
nen poinrixtrien LichtiiifFn%itätcii. Von Herrn J.
Flcxcli, [.i'liror der Alatbetuaük und der Natur-
Wissenschaften an der Realschule m Düssoldorf. TV.

ftt

«9

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SM

Geschichte der Mathematik und Physik.

XVIIL Ein Zug Ton Toiason L

XVIII. Zügo aus Faraday's Le1)cn. I.

XVni. Ein 7.11g von Lambert- I.

XLIV. Ein Zur von MiupertuiJt. lU.

XLIV. Zügo ans Gambart's Leben UI.

TJcbniigsnufg'aben für Schüler.
xvn, I.

XXM IL

XLUI . » . III.

LV. ..-., ..;...;..;: iv.

liiterarischc Berichte*).

L i I.

n IL

m >.-.,.. *..;,. m.

IV. V . . IV.

*) l(b Uneri« bimkd, «l".« dt« Ilt«nH«oti(Ji BerIcUe sali boauilvreiL («rtlnfeadoBj

nkiindigung.

Iiei (lern ^egetiwärtic«ii Zuiilaude der .Mntliernatik und
'. ifro&s^n KortscLritti!!), ttflcne ilipselbp läglirli innr.kt, nuitsprar-
jtlicli sclmcr i-sr. <iicli our e)oig«fitiiu(icu auf der Hotie der W'n-
icliaft zU^rrlinltrn und ihrem rusclien Gangti zu folgen: darüber
ke nur c>n(! Slirnmi^ sein, UDd ticIp. viirzüt^lii-li auf dem Ge-
B der Atiuijbis ticu crHclieinetidc Scbrifleu lirfcrrti drn dviitlirb-
k Beweis, dass die ^rosseu ifrolieruiigcn, welche die Wissen-
vfl in neuerer Zeit gcmuciit bat, slcli iiucb kviner »«Itr (^roxaeu
Itrcitubg crOcupii. !>ic I.Tüat-lien hiervon liouen lli«iU in der
I und Weilte. wiB diu Deuvn Krlindung'pn vorirt-tmifcn w^rdon,
na die betreffen dm Dnrstclhinift^n sirli oft iiut eine brdi'Ub^nde
uhl nicht Bclir bckanut^r Sätze ohne wt^ilcrc- I^rlilutprung der-
|vii griindt-a. dir dünn irttt nus anderen Schriften mübnam zu-
taieogevucht ui'nlcu niüüigvu, llieüa alii^r iiucb , und zwar tfoux

füglicb, JD d«r Scbwivi'iutieit, mit u«lcber die meisten 8enrif-
in deuen die neiiBD Krhndiina^n bekannt g;einH(!bt wcrdva, an
po OrtCQ XU liah(7u sind, Ko.daits viele neue Ijeiütuiigf^u in der
senscbnft einer arosscn Anznhl trefftiolior .Mnthrmiitikcr, wobei
vorzüjflicb die in jfi/igcr Zeit aa httcbst i>hren>ver(be KlusBe
T^brer der Sluthvmulik und PhyHik. an (•ymnaslün und I.TeecD,
t»ir-, Generb- und iitilylechniHcbcii Nchuleu, und aaderen bübe-
Ualerrieblxanittalleti im Au^e habe, unbekannt bleiben.
Aicse und aliniiche Belrachlunguu kaben xrbun vor lauterer
I in mir dcB Gedanken bRrvortrernfeu, eine Zeiuckrift hcrans-
ben, in welcher alle npuercu iCrllndiiiii^cn von Widitigkcit, die
:eu Büuiinilirbon TerHrbieili>nen Tbeileu der Mnthrmalik, voit
Diedrigsteu bis xu deu bucbsten und gcbwieri'fMeti. gemuclit
iu zwccknässigeD, so viel als irgeud ntigücb nur solob«

Vorken ntiiisee, Jk iu RtickBickt «nf die Lc<cr, wclcliv icb mir Diwli
drin Uliigcn denke, mit detu .\ani<^D nMi(fiD<'in t)t>kitnnt«r k^eicbaet
werdeu diirfon. in ADH|iructi nplimcudDn. iib<-rli>iiipt aUo so fl^mea-
taren Darstplhingpn, wie es nur ir&rrnd die Nühir des npfrotistan-
dci) |;;tstnil(-t, diMii (j-rüsKcru waihcrDHiiürlico Publikum sa srlilpuDi^
als miifflich tnr die Augen gx-fiilirt werden siiIIrh, so duKM «iti
Jeder durch dieselbe in den Stand gesetzt wird, siek auf eine
nüglirliftt leirbte imal beuuein« Wpiae. fitrtwiibreiid auf der Uühe
der WiilsnDHcliaft zu erlialtpo , und mit dereu neuesten Fortücbrit-
t«n immer beknnnl zu tilcilicn. Ilei nionriieti du» Zciliiit freue be—
»ondrrs in AnB[inicb iiebmcnden Gegenstündrn werden diriie. Ab—
hundlungco, iusorcrn die^, oline die der ZciUehrift cestcckten
Cränzen zu nelir zu übernrlireiten. ihunlicb, und iiu« liesondem
Grüudcu wUimefaeiiHuerik i»L, eelbsl uuvb das scliou friiber Be-
kaoDte oiclit nnbcrücksicbligt lassen, und die ganze belrrlfeDile
Lelire in mocIichBt abgerundeter und vulleiidt-ler Form üarzuster
len siichpD.

Dii'tt i«t der Hauptznnck der neupn niitbem&tiscben Zeitschr
von wvirlier dan erste Heft liier dem Publikum vorliest. So wie m
aber scbon im ^owübnlicbeu Leben ausser »ewiascu HauutzweckcD,
deien Krreicbung loiin seine jirosste KraVt setit, aucli txicb diei
und jenen Kebetizwvck lu erreicben »ucbt, so ginubte »urli icti i
Torliecenden Falle, daxs es xwerkniHMiii^ nein nnd zur Erlmhusi
des lutere»£e<i bu der neuen Zritsobrifl («oitrai^en wUrde, wenn
in deren Kreiii aurb din niil der Mntheniytik üu eni^ versciiwiste
Physik luneinziiiro, derselben jedocli einen {^rinifcrn Kaum nl»
Malheuiitik ler^imnle, nur die wicbligstrn, iu dsH Ganze der V
seii«cK;ill ein^reifi'tideo Entdeckungen imruHhine, zugleich aber auf
Methodik dp!4 hetreftenden Unlerricl'ln g;iii« voi/ittcliib mi*in Au
merk richtete, und in letzlerer — aber nueb nur in «Ifescr —
lieliuRg selbst verwuiidte WisscnscbEifien, nsnienrlicb die Cbe
nicht f^nnx unberiicksirlitir^ liesxc. um in dieser Zeitschrift
LelirerB der »iitliemalik und Physik an hühcrn Unlerrtcblsans
teil auch in naturwissenschaftUcber Riirküicbl so viel als möglil
Alles in die ILindc zu liefern, was ibueu zu wit-»en nutbig i
wenn sie ihrem Unterrichte einen den jetzigen grossen Forfaclir
ten der Noltirwissenschnften. und den Ani>|irüobi'n , Tvelebe uns
Zeit mit Reeht im diesen hiietst wichtigen Tbeil des ITnterric
Dacht, entsprechenden Erfolg: YerscIuifTcn »od sirhorii wollen, fi
recbnt- dabin insbesnndere auch die VervoUkonimnung de» e\|>
mciitcllen Theils der Physik, uud trerde diesem '»egenstande m-
widmeteii Aursätxeo jederzeit sehr gern einen Platz in dem Arclnre
eiurüiiineii , fordere daher mich die Physiker anf, mich in dieMf
Beziehung recht kräftio; zu unierstiitzeu.

Aiisiterdein soll das Archiv den Matbemiitikern und Physiken
eine Gelegenheit zur Kekanntmarhung eigner Arbeiten darbieleoT
wobei aber UvfleiBbigiing uiiig-iiehslcr Kürze sehr zu wünschen ist,
indem der grns^te Kaum imiaer sulchen Arbeiten, welche zu der
Piirderuiig des oben, wie icbfflnubc, vun mir mil vollknnmiMier Oent*
liebkeil vor 4ugen melrgtcii llnu|>t,(tveek)t dieser Ztilsrhrifl WPseut-
lleb beilriigen. niirbclialtei] bleiben mnn«. Audi Aufgaben an» allen
TltC-ilen der betretTenden Win^ensehntien sollen %-iirgelegl werden}
iuHbcsandi>n; i^nllen nurli solche Autgaben, zuweilen seihst in gan-
son B)sieuatiscl) gcordoeteo SatumlutigCD, nifgetbeilt werdes»

i

«nleh« b«im rntcrriclite zweckmi8ai|; aU Debtni^oiifKab«D b<^-
ovfzl wrrilcn krinnfn, da an iler<;)eiclien Aafg^ben immer no«li
ein Vieira l^ltrfrn c^wins schon ofl fiililbar [rfwordeDer Moiiirel
TOrhttDtlpD ist, und Jeder, sei er nach noch so reicb, du«li immer
endlich eional deo ilini zu Gt^hn«? »tvlivadeD t'orratb aut'b raucht.
Eudlicli soll vÄuv forltuufendc Urbcrsiclit der malliepialikclien und
l»liji>iki(Iischen Lttorafur, bei wiclitigcrn Werken mit kurzer Aa-
fi;abe ibfcr Tctidenz uod ihriüH we!t(>ntlirb«n lolialra, i. It. Ait. (o-
balrfivrrzf'irhniütii? der Schrificii der ßRlchrtuti (icsvllst-baftm, noch
RfC4>nsioDfri wirhliprcr Sclirifteti, ^üliefprt wrrdcu, so wie Misccilcn

I'oirT Ärr, Bi>kui>iitmiirhun|ceQ von Freisauf^ttbeo, Notizen über
'crsoneii und Sacbt^u . welche nar irgend zur Krri?icliuD{( dei> Ke-
abgichtitf<cp Zwffkes, die gosHmml« Wissenschaft uiigjickat lU
einem (>Aifl^P zu m^ien, beitraift^n können. Eiti lotelligeoz-
blalt u-ird Itiii-hliAHdlern und Mechanikern eine {^cwibh vielen er-
niinüclitc lietrgenheit zur Rcknniitmnchiiug ihrer neueu Verlags-
aitikel und Preiü-Couriinle dnrbiiMpn.

Ditäs ith ullciu den durch il«8 Obige übiTuommencu VerpAicb-
tUDgeu (fegen d.i.s bclreflende Publikum nicht zu entsjirecbcu im
Stunde bin, bedarf von meiner Seite «vobi kaum einer hesundern
Kmnbnuutr; ilirselh« tfesebieht hier nur deshalb, utii un xie die
AutTorderuoft an die Miithemaliker und Pliysiker aller Nationen un
knii|>tVn, mii'h mit dem Ueisie und der Tendenz dieser ZcitsoJirift
cnts|trecben(len, und diu Zwecke derselben krilfticHt liirdfirtiilen
BeiiTiigen reieblich zu unterstützen. Waü dir .Spraclic bciriffl, so
sollen die deutüebv. franxtMiKcbv und tateinisclie üpracbc in die
Zeititekrift »clb«! Kingnng linden kümif^n, wniiiit aber keineswegs

{feMK^t Bein Hol). diiH<i liie Kiti»cndiing von io andern .Sprachen ver-
oütitLO Aufsätzen tfiehl itulässis; sei, indem \iclmebr in dieser Re-
eichiini^ deji Wrta^flern die vullkommenatR Freibeit v^rRtariet ücin
ioW. Nur werde irli bei .\uft>Htzen, die nicht in einer der drei
oben ffen:iunicn Sprachen gcscliricbea sind, für vüllig (reue deut-
sche lieberBCt Zungen Sorg« trügi'ii, und diese statt der Original-
Abliiindliiugen in da« Archiv aiirnebine». Itei bealtsirbligtcn Be-
arbeitun|;«n ganzer n^uer malUematl«cber oder pliTHikaliscber Leh-
ren aurh fremden Arbeiten dürfte, uui ('nllisionen zu rernieiden,
eine kurze vtirliiuljge Anzeige an mich jederzeit uneuratben sein.
Alle ZuseurinnEren erbitte ich mir aber nnrtofri^i iiuf dem Wege
des Buebbandelä unter meiner Adresse mit der besondern Bemer-
buDg auf 'di-tu t'uuveri : Für das Arcbiv der Datbematifc
and l'hvHik durch di« Buchbaudlung des Herrn Koch xo
Greifsirnld.

Welche Aiisdehnun:^ daü Archiv, dos Dbrigena. wie aus dem
Obigeti brrvur^ekt. Keiner ganzen Tendenz nach mit keiner der
seLou be»lebcndeD matheuiatiHcbe» uud pbvüikidiseben Zeit»rhrif>
ten. welche den beiden so eng mit einander verscbniülerlen Wis-
MliMcliitftpii «rbon so viele berrfrebi-, Früchte grlrugeu haben, auch
nur im Entferntesten in die Sehrunken zu treten liPabüichlii;!, ge*
wionen. -und ob dasselbe übetbanpl Bi-iitand haben nird, wird alßr'
diBgfi vnrzüglieh von der Hüte seines Inhults und dtr Zweck-
nüäsigkeii seiner Ijciiun>;, ausserdem aber auch van der Tbeil-

Iuabmc des Tuidikums abhängen, in welrtier letiiern der Heraus-
geber uod Verleger für die L'neigennntzigkeil:, deren sie sich bei
zzzz:'

*

I

tere and Bllgemeinere ' Verbreitung begomtenen Cnteniebmen ->•>']-
komineo bewusst sind, ibren scbönsteD and betten. Lobn sü L .<
and finden werden.

Greil^wald im Januar 1841.

Jf. A. Cininert.

Der Tontebendtin Ankündigung füge ich als Verleger des
Archivs für Matbemiidk und Pbysik nocu hinzu, dass dasBelbe in
zwanglosen Heften von 8 Bogen erscheinen wird^dereo 4 einen
Band bilden. Der Preis eines Bandes ist^ Rthlr.-^i^^K

Alle Buchhandlungeu nehmen Bestellungen an.

C A. Hoeb,

in Greifswald.

Beitritg'e zur Untersuchung der dreiseitigen

Pyramide.

Tob dem
Herro Professor C. A, ßretsclineider

XU GoÜM.

trig-ODonctri sehen Rrintinoon zwischen den 44 .Slüclten det
liuliclirn Tetraeders tabi-n noch srhr w<miirp Bearlipirpr ^e-
»Undfn. Die Frntiiiiscn sind es fotil ausut-lilio^lirli, din «ich mit
dicürm Cei^i-nslnnde brsrlinfiigt linlten; uler nticli sie li»bmi vor-
'kiekmhch nur das ^cclltka^lli^O! Tclriifdrr ii«lriivlilel. \oa Uout-
' irlirn iüt wir nnr «itie Al')iandlnji(f lii-ktittiil, tiäinlii-li rin l*rafl<iiiiin
des Herrn l>tr«kloi'ti J. II. T. Miillcr 211 Ciotliu , wi-kli«^.-» d^n Aiiftmo;
einrr auänilirlirlicren (IntersDcIniDg dps l'ruglirlini (>Pi(Pii!tr(tii(lrs
etitliÄlt uad aus drin ein freilivli nur uubtd>-ul'>odpr Tlicil in die
Anltän;;«^ dpr dfuuclien llcnrl)f>iiun)|f ihn vnn fSwindi^n'tirticn l.fhr-
Iturlivb uufucnomineii norden isl. l'ntcr diesen t'ini.IÄridi^n flimbc
icli, d«ss die nncbfo)(;ct)d«D Süizv, rlie au» einer uuül'ülirlicborcn
tri^oni^riiclrinclira Unter »tirltunc drit Trlmedt-rx cnllrlint sind, nicht
ganz iiboc Intcretise sein werden. Teberdirss teifrbueji nie «ich
zun Tbril durch eine bciiii'rkttiiitwerllte HociiiniciLiil «us, weichet
80 vicil mir bi-kuant, noch uiraendä cro-ülin( worden i&t.

Ki seieo ^, It, C, 1/ dii; vier Lcktn einen Tetrneders,
7", 7*, T, Tf die ihnrn der Keibo njicli gegenüber liegeodsn
Seiteiiflärlien: a//r dit> drei Knnttn den DreierkeN 7*,, a, //, r^ die
ibni-^n der Reilic nitcli ^egpnul'crlrirp-cndfn Kunlen, so doos dus
Dreieck T^ die Kirnten af^^r^^ diis Dreierk 1\ die Kiiiitnn la^c^
und das Dreieck 7\ die Kunlen «/,/', cnibält Die Keile ircfenti
awÜBK^SeitenRiicben z. Ij. 7*, und 1\ liezeirbne rijid durch (!•)■
^l^\V'inkel irgend xwcior Kitiilun z. U. n und »», niil (w«,). Kar-
tier niü(ien die (ierudeu. welche die tier Kckp» init den tichvtvt»
punkten der Grf^eiistitcußai'beu verbinden, der Ueijie niicb tyt^t^t^
gesonnt, und die von denaelben unter einnnder gvbildelco Winkel,
TMIJ. 1

iü*

2

vclebe dfi) sTiDzfn Kanten g-egenütterltfgen, auf äholii. ■ \ «»j
wie die WJükpI der Ictztcreu durcli (f|t)t ('>*) »■ X- w. nn rnfiit
wenleii. Aladann erltült niaa durcli Prgckliuu sofurt:

iTt=T^ cos(t,-2)-t- T, co8(l,3|+ r, eo»(l,4l

'■ir.^ 7*. c«b(i.3)+ r, coji 2,3)-i- r. «1*1:1.4)

( 7-.= 7-, CO» (1.4) H- r, cos (2,4)+ 7". cos (J.4)

und

— 'i='a C08(/,,) + /, CO»(f,,) + /, «>■(«,•)

— '.^'i tosi/.J-H^, co*(c,.J-4-r, coi.(/',.)

Ausdrückt:, iveltitie gdwitcierumaHscn ah FuiidanxMitiilfornK'lo zu be«!
tracliieo sind, Uclirtirrtis Eutlen im Fnig-enileii die r»MEtnndif|[eji|
S,\!>lx-tii« ftiiU'lier til>-i<;liurtgeu uiclic mvlir uurKvfübrt werdi-u , dftE
man iiiis lmdpf einzeliiFD uult^r iliiipp durrli iceuürige l'erluiiMiiuagr
der 7,v\^er die iiliri|]^i^n nlin« Miibe entwickela lüaan. Zunitcbiiij
findet mun nun: il

I3','+7;»H-T,' — 7*.' =27', 7; cosn.'J-f-aT*, r. coMI,3»
H-Sr.r. coa(I.4)

and

r«H(r.,| + 2^,*, coa(/,,)
2/,/. COM/,*) ]

3.'

H-7;r,cM(2,3)-l-7',T, i:i.9(2-,r

/,^, cos [i

Man bezeichne ferner dpn l-'lAclieiiinlialt des durcli die Ktnile
nnd ilon Illi1lrl|iiiiikt dpr (irirenkaiile a, g;«lf>g^li>n llreieckv« ilurelil
Tg, Am durtrli die Kiinte h anA drn Itlillrliiunkt vun ^, gGle^tel
Dreieck durch 7/, u. s. f. %9 crlialt uiuii 6 snlche DrviecksÜächeu, 1
Tiin ilcnffn immer jo zwei, wir 'V„ und T^m. »Is (Vegi^Dtliklirn zvi
lielruclilcn »inil. Je drei dcrM>ll>«[i Ki-Iiuciilvn sicji iuioicr iii eiuvr'
der Schwrrlinicn t. wie a, B. To , Ty, , 7'e , in 'i, uo'l »ie siod
dulier (cnuz drn K«nten dm Teti-ncders anutoo^, vun den«« immer,
je drei in einer Seiti'ijflacltc lir^«o. Dm Kril eweier solclieu'
I>reierksl)äclien z. B. Ta Tu wulleii wir mit (7«/,) bezeiclinen und,
daruiiler itiiiiif.-r denjt'uigeu von de» 4 un d(.>r Iturclisclinitlslinie lie-''
8«udeM Kcili'D verstellen, weklier der einzigen von den 4 Seiten«
DÜcben gegrtiiiliertiegt, die durch tliese i)rei«ctce niclit getlieilt wirü.i
Ktidlicli Sdllen die Plüflien der Drt-iecke, die uus zwei Hegen»
kai>ton als Seilen, nnd ilirem Durctisctmitisn-inkrl nlS'-iiiiigcsililoa-i
srnem Winkel gehildi-t werden, durch J^J^J^ liCBeichiiv^-wMulen,]

i'n nachdem bic zu den Kiitit«ii|iiitireu aa^, iih^, ec^ pelifircu; oiw
ieig'onits winket dieser riiiclien Rreen eiiuiiider (tbir sdllt-n (./,,)/
('^ii}< (■'^31) keirH«D. Auf ganz iihntichii Weise sitllen die do|ii[it>|.|
ifCD VertiiuiiungHlioieD der Mitte l|iunkle zweier (ipgenkanten, wie

3

,, M, und rc, rRsjivctivc durch d, ä^ S^ mnattAfotet and die Winke)
er IctztfirvD unter eiuiiiidcr mit (J,,l. (^,1). ((^n) bi-xeiclinet vcr-

0- I^s ist bekaDUl, dass die 7 Gerailpu /, /, /, ^, t^, J, (?, Brcli
Soliwcrpunkiv d«-» 'l>tra«(lers «clmritieii, und dnfs diu l'arullelo-
rainmej wrlclie die Hält'teu xwpicr itelivliis^^n J xu Diagutialen
ahf^n, scltist di« HAlft<*n der cntsprochf^nden Urciecke ^ sind. Za-
jlclist finden nun fulg-ende Relniinnen statt:

' ■ =T,^+ Tc* -^ IT, 7V. eos ( T«. )

=r,r3 co3(l.3)-|-7'.7\ ciMill,4)-I-r,T, cob(2,3)

-f- r, 7', cos ('i,4)

Ricmns folgten so.^leich die ForinelD:
J4r„,*=r.---i-r.'+2T,7', coa(3.'i) = ^,'-|-47',7', coji(3,4)

^n" -hTai* H-y'i' +7^," +7;»4-n.'

^.•H— /,' +2^,' =-/.= +T,' H-r,' +7',"H-r.'

= o' H- a, ' + Ä-- -H Ä, » + c* H- c. '

^ =27', r^ c«s(l,4) + -ir,T. co8(2,3)

C^> =- r„» — T,.> H-n» H-Ti.» +7;» +n;«.

0= 7;r„. eo*{T„„,)+ t^Ta, coi(rii.)-f- t;?;. cobCt*«.)

■|2«ff, c««(fl'ff,) = r'4-r,» — Ä» — Ä.*=i((r,»— iT.*)

Ut frmcrPder dr«il»c)ie KorpvriuIiaK des Tvtraeders, so wird:

!/>* =27*.^ 8in(I,2) r^. =tM,<, "io(^.}

U.jfo,=27',r. BiD(3,4) Ta = ^V*/. ^«(^4)

/fd, =2r«7;,aio(r«.J ^, =ä««, 8iu(a«,)

17.

l2 V^ -f- /T» = P» (J, -+J, »-hJ, •)

9' tO'

16'

;^.'+^.'+^.

Beschreilit man aun «Icr Spitze ./ desTelrnederR aU Mittelpunkt
mit Acta üikWimeiser 1 rine Kii^i*), oo liildrt die Kcke j4 kuf der
Oberflsclm ilpr letzrnrcii riti sphariscIiFS l>r<-i»fk. Neimt man dann
den ilrcifaclivD Kürhrriritiult dir Pvniiniil», welche dns Si-hnrntlrnicck'
jenes siiliarisclirn Dreieckes zur <JrUD(lÜHclic uod den !\littel|iunkt
der Kuici'l zur Spitze )iat, /■ uod di(.'spll>c Grösse ftir das zugvliltrigc
Pulardreieck A", ko dass der Flitclic T, die Grü'Ssvn A-, uuü A,,
der Kladt« 7*, die Grausen ^, nnd A', u. a. w. gvgcuiibcr liefen;
so ist

is.t r, ; r, : T, : T, = A', ; ä", ; JT. ; AT,.

Dcouacli rf-rbalt«D sicli die S«>i tuDl'UicIie u jedes Te-
traeders wie die Funkliunen A' der ibncu gegcnübcrlie-
^enden Ecken. Diese l'unktioneu nind dalier für dan Teirwder
dniiscibc , waH die Siuiutsr «1er ficueiminkel für d»x Dreieck aiod.
BczcicLoct man das conslante VeruüUoiss T; AT durch jlf, «o er-
hielt nBn:

'^1

* r, r, r. r, _ r, _ r, r, r.

>C

Ä'. - K,

M./ =

!(in(I2) siu (34) &iii(13] »n (24)

sin (14) sin (33)

= u. >t. Vi.

4 (cos (L'J) tos (S4) — uu» (13) kos (24)]

. (g-i-g, -t-/' — /. , ) (g-t-q, ^/j-t-A|)

'4»ii.i (1-J-I-3H-J- 13 — 24) Mii i (1-2+ M — 1S-h2*) '

(a — rt,+A + f,) (—/!■-»-«, -f. /i + A,)

'««111^(1-2-34+ 13 -4- 24} am i(- 1£+ 34 + I3-|- 24)
Kbenao ist aucli:

n. s. «r.

= u.»,w.

20.

X *i «'j A'l ™?4

Bi ist uiclit unititcrc8saiit za unlersucben, was wolil die der
' GrÖMe A/ eDt9|>reL'lieode Uunnlitiit i«w in Itextig- uiit' die Grünseo
't 'a 'i '• **'>" '■■'*<?; dvuD auch liier bleibt :itch die Analogie gteicb.
. UtiD erbält nämticli:

Slt](/,i)sui{£a,)

l*" *~ Täj 'i'»'»'« ^

sin(<,:)s>"(^4>

^ «. §. w.

4l<;osi/,,)t(«((,,) — ";ost/,,Ji;«*L'i,!)!
Die BeanlwiirlUQg dieser Frage hüngt von der Lüsuiig derAuf-
ibe nb. die GriisEC zu Ündeu , wulclic deui 7' «uiapiiclit. Letztere
Isat 8icb auf die inaDoigfachste Weise ausJrilckcD z. B.

1 «- j = l\/K\T^r,T\ = 2\ /A, 7-, 7-, 1\ = 2t/Ä,r.7;T.

Pemer wird:

33. / = 2«'Ä V» — -2» •» , ' — 2 *•*, » — 2cV, '

WD VI dea Halbnmsicr ilcr dem Tctruiler iiNiBcliriebencn Koffßl be-i
deutet. Eudlicli crbält mao Gir P aacb socli folgcudc ADsSröckei

S 7* *

24.^ s

T',-" 4- r,' H- 7-,» - 7'.»

0, cot 134) + A, coc (24) + r, cot (33)

_ -r.*-.',(r.'-f-7',*-v7-.'~t-r.')

(, cot (Taf ) -(- f, cot <7«c)-f- *, «ot (Toi)

3 f, (cut ir«, A,) -H cut er-, c,i c«i (7i, II»

Zu dm lelzifii FormelD lasseu «ich die analogen Ictclit finden;]
dcnti ca ist:

25./ =

r«,cot(^,) -f-n.cot (/,,)-*_ T*,, cot («,,)

7'. cut (.*,,>+- 7-4 col («,.)+ Te cot (^,)

_ T^g^' + ^'+<^'-^^'>-u^'

r, cot (.fi.c, ) -i- r, coi (a,c,) 4- 7^ cot (o,4,)

'^ 4 r, (eot(«A) ^-coI i^ffc^ -|-coii;AtJ)'

B«i Entwickclung* dieser Fornifln erhiU mao aucb Docb dil
AnsdriJcke:

(0 = (J. col(T„„)H-<r,cot(7'w,) + if,cot(r„,)
• j = ^, cot (ff«, ) + .</, cot (ÄÄ, ) + ^, cot (cc, )

Hno fiibro ferner fol^nde Hütf^n-inkcl ein:
-, 2#«, cc, C(wi? = «'a,' — AV>,'-f-e'c,"

*'■ 2nr^.r.r„co8Ä=r<,''Ta.'— Ti'Ti.'-j-T^T,,-

2ffo,M, co»j'=tf»tf,»H-Ä'A,''— c'c'

|2££, M conti' = — «■)$, '+^*r," + ^.'c' -^^^^

tO Üt «ucli:

[cos (13)»

CM« — ma (Af^ cnsfiiir,) com«' — cnB^^)ctrt (^iC,)

■in (^/fc) i,'m(^6,c,) — >iii (Ac)sin {A^r^)

coaa — i;iii. ( ^r,) co« (A^t) ^_ r oxi" — to« (ACt) ci>s(A|C)

co»ys)

ti» (Af) CO« (Ar,) — cc» (er,)

!>in(A?jüiii(/jCj)

11.4

, ( 24) st '•<>'• C^'iO '''>'* (A,c,) — <i<'* (rc,)
^ '^ >iiii(A,c)Kiii (A,r,)

' ^ hii\{Lc) sin l.A|C)

*iii<.A,c,)»in (Äc, (
Da nun xugleicli

icos«:=cos(Ac)cos{Ä,<r,)4-co»(^r,)cos(Ä,f)-t-ci>8(AÄ,)coB((W,)
C0Bu'^cuK(fc')cu8(^,£',) — cas{6c,)cos{i,c) — cüs(W,)co»(«<?,)
cos«"^ — <:oii|Ärjcuii(6,et)-f-cos(^,)coii(ä,r) — cos(M,)cob(<v,)

ist, SU Ubh^d Bicb di<! 6 Keile je zweier SriietiriU<:buu au» d«D 6
elienru Hioktlii je zneiiT Paare vuo GL-gciil>uD(i:u uumillelbar I>c-
«liiunieo. Gebrig;ens ist auck auaiog:

. . coi» ^ •" cos ( Ti,c\ CQg { 7Ti,c,) cow ^'— cob( T'je) rosf Ti»,,..)

, - . coa^ — cQs(Ac.)cn<7^,e) eas A' — tn)(iTbf,) caiilTt,t'i

coa(r*.)i:o«Cn,.)-«- c<n(r.:0
(im(r4fi}»ill(.Tie,)

, X Ws(7'v,)cO«(ri,e) — COs(jrH^)

''*'•■' siiun.fljfimtrv^

SS.

icM Cf,^)

Uos

UDd

i H-coii(7'4i,)cos(7'«,j)

» . ]co»A' = — cofl ('/fc) cos C Tft.^) -h coi ( Ta*,) c«. ( T^,,)
*"• j -- cos ( Ti*, ) cös ( r«jj

— <:o9(TiOco>(r«i
Zugleicli nrliält idhii:

. . cosy'-f-eQ»fag,)eBB(A<,i _ c<Mt /' + co« (a« J cf » (M, )

<i»Vii}— »in(flÄ,) sHi(4Ä,) ™ sin (««,). sin (,44,3

|«os|

SS.'

^ " aiiil««,] !iiii(criJ >in (««,) Mn (cc,)

t-'ii) = ,iii(AÄ,Vsiii(tc,J ~ sin(M,)simcc,)

cnsr'-f-ro^l7n«.K'>!>[TjH.) __ C0!ir'-f-ctr<(r««,) f m(ni,)

, eo«{rfii) =

C«M'-|-en'.(7'AA,)t08|.7V,) C<tSyf '->- cM 7*^ ,)<^os{7*wi,>

Ferner aber wird aucli:

cw (15) CI.S (20 — cos (H) cor(M)

siairwJiinlTcii.)

U.

cos («I,) =

sin 1.12) »in (34)
co:«(U)crts(2,1) — i:n.v<|g)coii( »J|)

sm(13)Mti('^)
cc.s(12)r«»(,U) — v'tM!3>c"s(M)

i>in[l4>sin(£l>
Cüsffin) ci>s(^,,) — co»f<,«)cn»(<,i)

!.iii(i,,)sin((,,)
tos ( t,t)i:oslt,t) — casjt,,) POS«,,}

wol«,,Jsin(*,,)
c<ix(t,,)<:o)>(^,) — co"*^,«) co»(g„ )

[«»«(71*,)^

37.

F3r die Grossen <7> und <p «rliält miin auniaelir:

©.«^iP'rf. "+8 r* r*. t'cT^.cos.y^P'ä'h-s n Tf . r^ 7v, cot>^

= i« « , » -H 8 r* Ti , r, n. cos ^"

Fübrt nab eudlicli oocb die Q dl Eh winket & aod ^ eia, so dass

»•[^"«»•■- äj;^

Ist, so 6iidet man auch noch:

und cos j>i =

— <'i'->-Ja' + J.'

2<f,rf,

W.{cose,i

9

süi (Mt) giri(rc,)

, eas^ti

cot^-«-epi(ri*.)cos<7Vr.)

Die geo metrische Beileutuo); der Grossen und ^ leuchtet
VOD selbst eJD. Ebvo au lasst sieb abvr auch dvn Grossea o u' o"
^ ji' j4" u.ii.w, «in«; fffiimeli'isvLe Urtjciitunff Hligt-winiiftik Sinti
Z. B. a ^ £ die drei GrUiidkanten triues dreiseitig'Pii l'risniu uud'
a,fl^r^ die zu denselben s^rtinrifren Hi>hen der Sei tcnpornl 1(^1 o-
primiine äf\3 Frimna, s» »hui ußy die dipscii Iriztrren iliT Ht'ilic
nach gegt'Ddlirrlicgpodcu Keile der Scifeiißäclien u. s. tt.

I>ai> VuriiU<liiii)dp wird f^miigen. nuf die trit^dnomr.lrisclien Re~
Jatioiieu , ivolcNe das T«trucdfr durbiclcl, aut'iiK-rkbuui zu niiichuii.
Dil- iiiifr mitg^i tiicillen Ausdrücke rvirden bereit» xur Losuog einer
grossen Menge von Aiit'|{4il>vn hin , und »ind dulie! im (■unn-n H^lir
e1cG;BDr. Ihre Abkilun); ist ädrigßns tiiriit gerade srliwierig, unt'
dem gmülinlirlien Wege jedoch znm griissten TLi^il bäfliät utn-
staodlicb uud tuncweilig. UM lialie diesellico auf eine selirscknell«
Weise mittelst ein l'uur allgemciuer ThcDrenio der Trignituuietrie
gefunden, die, ru \\ii\ ich weiss, iiorti ganzlicli uubekaunt sind und
von mir sn eioem ouderen Orte Trerden^nilgBtheilt werden.

IL

Weitere Berechnung verschiedener auf das
KreisverbiiUuiss n begründeter Zahlen.

Von dem

Herrn Prolessor Dr. G. Paucker

tu Miuu.

Das umgckcKrle KrcisverhältnisB — ist von Boler Introd. io

Anal. Infin. |, f. Viü auf 36 Siellen augegebeo. Nur ist daselbst
die 25slc Stell« durch einen Druckrfhli>r iinrk-lirig, und ittnti 9 musü
nao a lesen. Hier ful^t die»« Zahl auf UO Stellen, nach dem Vega>
sehen Wcrilie \on nr berechnet.
H t 0er Durcliineucr des Kreises ist gleicli dem IJmfttngo muhipli-

H drt mit — , auch ist die Oberfläche der Kogel gleich dem Uundrate
I des C

des lJinfaog:s aultipÜciit mit — .

lU

i = 0,3lR3(mS 8Ö1S379 0671537 7fl7^267

■i502S7i 4W>SiH9 291 iS09 1289719

S:mt>8S 11779:15 9r.2li.S.*5 MrmHO
2-116HV» a->ili6n I9I;M45 6S.V1.VJ5

i.'i9Hi(»7 .■i's'i.sM (m-i-isn 57.W277

Die Kreisflücbe ist gleich deco Quadrat deü Durcbncsseni nul-
tiplicirl mit ^v.

^tt = 0JR!^3(töI ß:t:{9744 S:M)96I5 ti6US4&8
108:57a IIMftäfti 3WS.W7 "ti

Der kDrfH*rlk'lic Inhalt tl«r Kugct ist gleich .dem Cubus d«f
DarcLoicssers nuKipUcirt mit |n-.

4» = 0,5035987 7r.5ÖSä9 SS7S077 Ifl723<fö
'l();>j«381 40;t2S61 ^ömhÜ-i^ 17

' [Ne KreitSacbe ist gteicb dem Uaadr«t des Uufaugs mulli|))i-

cirt mit -^,

-^ = 0,0795774

71M594 7667854 4.ILS81«

86'i5718 1017229 8228702 28

Das Quadrat des Verliällnissi^ dm Durclimpiser» znm (jnifaogfl lU
^ s 0,1013211 8364233 7771443 8794632
0972763 8904358 7746722 46
Der kürpF.rliebe Inliiitt der Kugel ist gleich dem Cubus des Di
fangs mulciplcirt mit ^-^,

. 1^7 = 0,0168868 WftUÖS 9628573 9799Uß
II" »495400 ft4840.*i9 7957787 07

Der UmfuDg der Kugel ist gleich der Quadnitwurxel der Ober-
fiäche multiplicirt mit l/jr-

l/«r= 1,772 ir»38 509055 1
41 145 IS 27975«

WI27298 1674833
4561223 S7I2S21

3807789 8529112 8459103 2181374
95fl(>567 ;JS544W) 5416226 8236242
8257066 6236152 8657214 2261088

Der Durchmenscr der Kugel ist glcicli der Uuadrativursel der

, Oberfläche muUiplicirt mit W— .

\/^ = 0.56US93 R354775 6286948 0794SI5

607725S 584-W5Ü 6293289 9885684
4085721 709

Der Umfanjj' des Kreises ist gleich der Qnadrutwurzel der
Rrcisäücbe mulufilirirt mit ^\/n.

2 1/ff = 3,5449*07 0181103 2054596 3349666
8229036 5595098 912^447 74

11

Der Durclimeaaer dea Kreises ist gleicb der ftuadmtwiinel der
Ere»fläclie muUiplicirt mU 2^/— .

i\/^ = i,12S379» 670(föSl ,2575896 1M903I

3586579 97713Ü8

V Der körperliche Inlialt der Kaa;el ist g;leich den €ubus der

ftuadratwuriel der OberflUcTie nultiplicirt mit i \/' —

2154517
817 U«

1688101
418

iV/-^ = 0,09W315 9725705 9381158 0132419

2&795i.1 097TO08 43S221I 99809-*7
40I4'^I> 951

1/6 =: 1,8171205 9283213 9658891 2117563
2726050 tV28210 46314)2 1967148

1/36 = 3,3019272 4889-102 0ö8:W74 6099524
0908495 68-1088-1 6-t43184 9333697

\/jt= 1,4645918 8756152 3263020 M25272
6379039 1738396 855627» 37

l/w* = ä,1450293 97Ill0e 5600077 >M4I009
412.1559 7486667 365-ni5 56

Der Durch müsse r dur Kuizcl ist arleicli der Cubikwunel aus

ihren kiirpcriichen lubult, multiplivirt mit {/'■T'

l/— = 1,2107009 8179880 0013336 0136240

9355633 4701572 44103720

ar Umfong der kagel ist gletcb der Cubikwurzel aas ilireiu

körperlichen Inhalt, multiplicirt mit X/Üa'.

I/Öä" = 3,S9777"0 8972075 1958963 4709177
9985674 4015612 2958390 56

Die OberOÜche der Rugel ist gleich dem Qundnit der CubiK-

WUnel OUM ihrem körpcrlicbeo lulialt, iiiulti|ilioirt mit \^^36;c.

V/36ä = 4,8359758 6201910 8922150 9005399
1785481 6833842 2169715 85

12

III.

Neue AiillOsnns der Gleichungen des zweiten
Grades mittelst der i^onininctrisclieu Fornielo
und Tafeln.

Vom
Herausgeber,

Die AuAnouiig der GleScUuofff^D Ata zweittüi Grnilea m\tU:\st itr
KOniomelriacticn l-'orin(;lti uiitl Tnreln, wt'tchc icli in diespin kleineo
Aufsätze milthrilen ivcrde. nclinint nncli niclil beliannt zu scid,
eni|i6ehll sicli itbcr durcli die kürze uix) l^cicliligkrit Ate Rcclmung,
ircicke dieselbe in Aiisprucli nimmt, und durcli auderc Vurzüge vor
den sonst ({""'''"'liclu-ii 3l(.-tliU(I<.-a gar sohr,

Die allgeoiciiie Furiu eiuer quadrntiscIieD Glcictiilpf( aei
.r • — mx H- » ^ 0.
ÜDter der vorläufigen Voruusät-tzDiiif nun, dass bcid« Wurzel?
reell «iod, koDneu wir dinielliRn. unter ^er rurm taug y uud tuog ^,
dantelleu. Hnnn ist kirkaiiiillicli

lang rjp-|- taog ryi, =m, tang y lang 91, =».
Well, wie die Goninmclric lehrt,

ist; so ist

t»«? (5PH-9'i) — rzrS' «•** (9-i-9i) =

I— «

Ferner ist

1 + tang SP taog «, := - "- ■- — ^ = 1 -J- »,

D ^ O 7^1 COS 'f CUN^,

iBDg ipH-UlDg 9, =

worauH sich durcli Ditigioo

sin (?' + 7,)

cos p cos 9^4

«t

^ , .-_,,. ..,_ ^ sin (y + T.)

«rgtebl. AUu bat man zur Bereclmuog tod y> und y, die beid
Gkicliungen

tkiig (y + y,) =]-—;, coa (sp — SP,)=^~ sin (y + SP,)
>der

13

cot ((p + 9P,)

I

C(>8

(5P — y,) =

«in Cy + Vi)-

I

»

flit man ntimlirli millclKl dieser Furmcln g}-^-f^ und yi — 9), ge-
funden, Eo erhält mau <p nnd 9>, auf bekuuntc Weise mittel»t acr
Ausdrücke

Wir liiibfn itbcii gr^ng^. dasa wir vnn der vorl&ufiirr^D Vor-
aassctzuii):;, dass t>ei<le Wurzeto ilvr aufzulösendea Ulvicliung r«elt
seiRR, iiUff^clivD wallten, tirmerkeo aber, duss ukid bei der wirk-
lichen Keiliriudg diese \ orDU^ii'tzung Rar niolit luin O'rtinde zu
leßen briiuclit, indem diu Aiiftifxun^ «i-II>nI. jed^rKi'it ein Kriterium
enihält, riiillelHt dcüirn mim mit nrÖHsler Lriclitigkf^il: pnr)><rhei<len
kttiio, oh die beiden gegui-litcn Wiiriclß reell sind oder ßichl.

W(>nti iiiiinlirla der »h^oluin Werlli vtili cn.i {tp — Vi)* vveFchcD
nnn durch liic »bigo Aullii'suiiic tiudel. nicht gn>»iicr uta diu l^iii'
bet ist, tu tiiiHl dte >Vurz<j|i9 iler ifeifcbcucD (.ileichung ofl'eobar
beide reell, wi« die Aulliksiiii^ hpIIimI; zei^t.

; Weiiti iilirr diT in Knie »tclirnde i«bsolnti» W?rlh von c:os{^ — 91,)
die Rinheit übersteigt, so sind die heideo Wurzi?ln der fre^ebcnen
Gkifhuti«^ imogin&r, wie ouf fiilgende Art leicht grczelgt wer>

■ tl«n kniin.

■ Wendet man naf die srrgeheDC qundnitische GleichtiDg die ge-
BcVÖboliche olgebruiüche AuAükuhq; bu, su erhiilt man

■ .r = -JOT ± V/i"' — «■
^K^^ Nach dem Obigen ist »her

^H «OS (y — f,)«=^^~ ein (y + ip.)',

m

m>

I

nod folglich

Ist mm der nbfiolut» Werth von cos {91 — §p,) f^röner als dia
Einheit, so iit

"-*-">' ^ I

alflo

0+«)" >«"-|-(I— «)" «der «i"+(I— «)» — (I+w)» <0,

woraus sich, wenn raan die Quadrate von 1 — m nud l+n ent-

»wkltell, sogleich
m* ~4«<0 oder i«» — »<;0
ergifilt, nnd folglich mittelst ilrs Obigen erhellei, dats die beiden
Wurxchi dnr ^eji^t-heiien (jUiiiEratieiihHn 4ilei<;hung imnginar sind, wie
Hbehauutet wurde.

H Sind »her die beiden Wurzeln iinagioar, ho itellt man dieeel-

^beo «in beuten unter der form

e (l-os C->±sin ©v/"^
dar, welches bekannilich immer möiilivli ist. Dann ist
:r*— *B,a>f-j«^(.2:— ßco*0— ^siuöt/— I)(x—ßcosö-|-ß8in0l/— 1),
«Li.

u

«■ — (waT+»==|S— ^cos0)'+f' iiB0"^ar'— 2f*coB0+(l'^
und fulglicli

e* ^ «j 2j cot O^m,

C = l/«, COB0=2^ = ^^;

miltelBt nelcher Formeln man q noi O leirkt l»«reclincn knon. Da
man inikas vorzitf^liri) die. GrÖurn p eo» und p ain '';' zu ken-
Qßn «tinsclit, 80 künn mnn die Kormt^ln oucli xwccknänstg tiotfer
der Turm

cos ©= 21/«' ^ "*** © = ]*«, g sin = 810 . l/»

darHtellfii, anter weFcher »it eine sehr bequene RcelinuDj geatnU
te«, wie «oyleicl» in dit* Awg^pn fallrn -wird.
Uat man dii* ull^em«i«K (ili'irliung'

X.V'' — Ä,T + JU =

anfxalöseR, so ist im VorLergclienilcD

i /'

zu setzen, wodurch niao leicht

lang (y. -!-?,) = -~

oder

cot (sp-h9',) = '^-jf^, coB (y — g),) =

(y— y,)^— -^ sin (y
— Bio {fp-

'9>i)

erliült. Das Kritfrinni, miliclst dessen sich entsclielden lasst, ob
die Wurzeln bi;i<le reell od^r irntiginiir sind, ist iliiäselb« wie üben.
Sind die beiden Wurzeln imuginiir, so hat mau zu ilirer Be-
recbnuni^ die Formeln

cos

= 1; 1/^, e "« Ö=S' « "'" = "" ö-l/f^.

Cm die im V'orlii>r^«b?otlen enlwickellu Methode auf ein Bei>
gfit] anzuweuden. sL-i die (ileicliuug

7,2S5.r» H- 19,749 .r— 115.038 =
g'egebcn. In dieaem Falle ist

X = 7.2S5

X = — 19.74»
^ = — llä.63S

*H- c» = - 108.352

log (x— /i) = -2.0$%a:J3
lug (x + fit| = 2 »318409 w

t</IOflr ;.:=8.70V*»W M

log cot (l^<
log ein (y

,ip,)= HJ,7'JMISS1 H
■f>,)= ü.2tK)37SI> n

log CO» (re— y,)= 9.939Ö738 ,
tt-Hy. =— 9". 7'. 3S".n3
■9) — y, = 150. 29. 40.75
9™ = Hl. -iä. '2,7i
'4, = — 159. 37. 18,78

16

lAf^ taag cp
lug tiiog: r/,

70*. «'. 1*^

79. 48. 39.30

0,7i5:nw »

(«Dg y, = — 5,563S63

I)ie«c b«iitpn Wi'rlli« ron taog 9 und tsog ^^ aind die gesurb-
Icn Wiirr.rln. Zur l'rub« liut man

(Biig «r-t-fang?», =2,710011 und ^ = 2,7101>n.

Die l.ffirlitigkpit und Kttrz«^ ilcr oliigpn Rechnung win! ririom Ji>drii
soffleicU von selbst iu die Augra lallen. Wenn (^ — y, der Kuli
wnr nnli« kommt, su kuiin 91 — 9)1 mllielit der Kormcl

CO» (y-<p,) = — j^ siti (y + y,).

brknnntlicli nicht mit cJpr PTforderliclini (Iciiniiigkpit e;efundi>n wer-.
it<>n. In i'inem .idk-bcn Kallc kann msin sicli iilit^r auf ful^ende Art
kellen Man bvrcvbue d«u HülfsniDk<.>l if' iuiiicl»t der Furniel

Dann int

cos {(p — 9)1 ) ^ lan^ i/>,

Bsd folglich

1— CO» (sp — spj = l— taug tf., l + cos (9 — y,)=* + t«''g Vi
•MÜM ....

1 — CQB fy — y,) ] — lang tf/

l -t-coü I71 — ^iJ "*" ] .^(ang- ^'
d> >• nacb Itükatiulen Formuln

lang j((p — y,)' = tnn g (15"— 1;.).
also tiing ^(y — y,)^^/luiig' lAi"— 1/»).
In dicDcm Falle sinil tulglicb die Formeln, durch welche die Auf-
g-obe aufgcliist wird.

— , tnng iff = ~jf Bin (y.

oder

tang 4(r/ — y,) = l/ti.pg (-i:»-— y)

9,):

cot (9>-

■'r.) = 'hi~' la"SV =

sin i^-^^,).

Uüg Uy — !P.) = »/taPg (■lä» — v;).

uod die Rechnung wird nun alterding« etwas, aber doch nieht be-
deatend weiiläuligiT.

Auf Uleichuugun von der Form

tf-t- Ajt a-^fix

Ol -i-<i.r ■«, -t-/r,x
wird man heknnntlich häulig bei der Aufliiaung von Anfgaben ge-
fiilirl:. und diri>e Gleichuni;*'" führen, gcbürig vuiwickvlc, jederzeit
za einer f|uaüraliscliea fuleichuug, Dämlich im vorliegenden Falle
»!i der GIffichuDg

16

Wendet man nun auf diese Gteicbuo^ die obige AoBösttograetbode
an, to erbäll ninu lur Bff«tinitDun|^ der Wink«! tp und y, die FortmelD

cot (y + 9.) - - ö;;?, -«.^j + (Ä„, _*.„)•

miitclsl welrtier sieb also dio Winkel ip and 99,, und folglich aacb
dip brideii WurziHii lung 9 und tnnf( y, uomiltelbar aus den acbl

E^irgebeoen CiieincipoLen 0, &, a, ß uud <r,, It^^ a,, ^, berectmoi
usseu. Die Uerecbuuug der tiritssen

aa, —a,a, 6ß^~~&,ß, aß, — ff,^, &a, — *,a
künnte wion sirb nocli durch die Einführung' von HiilfiwinkelB ef>
Icirhtern , wobei wir aber bit^r nicht Unrür verweilen, da sich die
zweckiuüKsignte )Jelbode ciucBt Jeden Icicbt «od selbst darbie-
ten wird.

IV.

Ampfere's Auflösung der Gleichungen d(
vierten Grades.

Nacli Ci)rrn§|iriiiifancc tnalliviTi.tliiiiie et nlty.Hi'jdH pi)(ili<*e |iar A. Quetelet*
T. LV. |). 1*7 frei »uarWitei von

dem llcrausgcber.

Die g-egebene von ihrem zweiten Glied« nchon befreite (ilpichnoff
des vierten Grades sei

I. JT* H- a^* -f- i^ + e = 0,
und p, y, f. a Beien die vior Wuriwln diespr Cleichung, so bat
man It^kiiluiUicU die vier folgendpo bl«;icliungeu:

3. ;(^+ /»r + ;»* + ^r -H y« -h r« = «,

5. Jfjrs = c.
Aus den Glcicbungcn 2. und 3. erbnit nan leicht: -
Cw f+* = — (^»H-^'),

w

Ä»

Bod folfflkli, UPtin nun den Wertb von r*t-4 um der Gleicliuag ti.
fia die Gleicluin;^ 7. einführi;

N. ^9 + M = « + (;» H- //)•.

Ferner iit uiich -1.

W (*• -h *) -»- M 0? + y) = — Ä,
Lttad folgtick wegMi d«r Gleicliuiig 6. .

oder

,.'■>■ ^'V-^^O^^-

Nach H, iinil 9. ist nwo

Dod folglich, wenn nun diu zweile OluicbuDg von der oraten sub-
trnlitrt,

abo n&clr der Clei^b'Aiig 5.

«der uucL geliöriger KolUickclung

10. (;» + y)*-+-2«(/i+vl«-|-(*i'— 4c)(/i-f-ff)» — Ä»=0.

Dies« UlvicUuuir ist in lU'iug' nuf (/>+ c)' i^ln nnbekaniiite
Grösse vom dritlf» lirade, und (/> + ?)* liÜMt «icli ftlsfi miltvlst
dersrllit-n durc)j AuAitsuBg <^iiior Glcitliiiiiif des üritteo (»railen be-
ctiminco. Bet^icborn wir niiD 9iae Wiirzt\ dieser Gleicbuug dei
dritcH Gradp.1 dorrli /i, um könnfn wir [/•' + 9')'=^, und fulglicli

aUo nach 0. mit Bexidiun^ der obero und untern Zckben auf ein-
andcr

l-ä. r+t = ^l^t*
netzen.

Nscb t^i 9. und II. tnt nun

_i_ Ä

als«

Und wir bnb«ii jotxt folgÜcli xur Bcslimniung von p und ^ die bei-
den Clcicliungen '

[■nd zur B^^slimmnn^ vou r and < die beiden Gteictiungea

Au den beiden CleicbuDgcn 13. ergiebt sicli leicht
ond folirlicli ent»-eder

U.

Tb«U I.

2

18

;» + y = V/M,V-^ = ±l/~M-2(»+ j4)

o^r

alM «ntweder

oder J_''f

Ans dcD CIcicliHDgftR li. ergicht sicti ganz «btDJU respecttffii
Är=-l/^=i=l/-/— 2(^- ^), 2#=-\//.=fV-M-2{«- ^) '
" *" ,^— ^— — — - ..jJ

Als« Bind die iliiii|H>lt<-ii Wurxrlii iinivrer Glpichung de» vierten
Grideti entweder .

2y = V"M=t:l/-C-2(^+ pj;).

2r = — l//* ± J/- /* — 2 (« —

"^

2* = - l/iu=p |/-^ - *i(„-

V^^

Ader

l^;*

)i

k>

).

).

Km

Dft nun aber diiH zweite Syatrin von dem ereteo offenbiir niclit
verticbiedttn ist, so nad die dQ[ipelipfl Wurceln

2y == l/M =F l/^i»^^(«+^^

2r = - l/,* ± [/-^i^-n-^-^J,

Ab^r sriirli dir obrm und uotcrn VarzFicli<.'u in >iiesei) Konneln
liefern nicht zwri vvrsrliiedeoe Sjstcmi^ run Warzclu, ubiI die dop-
pelten Wurzeln unserer Gleicliting sind also

19

«("+ i7>)*

Folglidi sind die vier Wurzeln iinserer g(>gel>«i)e» Oleichutif;
Abb fierten Grades

Wrü jpdA rubisrli«; GIrkliung; tickannitirli ntindesteni «in«'
reell« Wurzel tiAt, so kuoti man immer BüneliiueD, Jbh {* eine reell«
Grtine nt.

Ceber die Bestimmung der AnzabI der zwischen

gegebenen kränzen liegenden reellen oder

imuv^iniircu Wurzelu der algebnüscben

Gleichungen.

Nach einer Abhiindliiiii;[ de» Herrn Abbe- lUoigno io ilem Journal de

'S et a])|lliq^■;l^K, [tiiblic par Jostnb I
I84U. !>■ <5. frei beurbeiter Ton dein

ilerHusgcber.

UAthetuitiqucii putcs et a])|lliq^■;l^K, ]iiiblit \ar Jostnb LiouTille, Fcvricr
" de

ifiig-e vorbereitende Sätze voo deu ganzen rationalen
alircbraiselien FunctioncB and von den Gleichnnireii.

%.\.

Erktärwng, Wenn innD j«de8 GÜeil einer glänzen raiiotiB-
len algebraischen Function der verilDderlicIien Grösse x mit den

2-

30

HxpAnfritrii der in demsetKftn enthnllenrn Potenz roa x multttrltdrt,
und dieitrii Kxponcnt«» drr Pot«i>c von a: hcIIihI uib ^int' Rmbtit
vi*nniad«rr: ri> lipixiit diu auf ilicRC VVei&c aas der frog«lirB«o Func*
tinti rrlm[(<>np titIrr ubEr^Nriiet^ Kuncrtiim lÜP rrste deririrtr
Function der trptrf^lrpnfii l'unnjun, nml anll. nenn y(*') dos .Stb.
hol der gegebenen Kuucliuu Ist, durcli. ^"(.x*) bezvieltoel wenleo.
Für i '

ist alfli), wcQH nmn »icli, wiv die« in nllen FbIIco eriurderlicb (st,
dns cnl« ct>D«f.tnte Glieil 0„ auler der Purn «„■Z'*' dnr^i-slellt denkt,
die erKlc derivirlt^ Kunriion

und diesp rmiR drrivirtr Function ist nisu innier eine {lauze rntio^
nnle alK*>l>raiHi'hi^ Fiinctiun tuu einem um rinc BJnlteil niedrigereo
(•rode mU ilir i(<>t^rli<-ii<> g'iiiiic rutionalc ul((t:l)fai)iclie Funrlioo.
' Dir rrste. (Irnrirtp Funcliun \axk f{x\^ gui>% auf dw»<'lhr Weiat
Bfpnumnnrn wie torhrr, bi>i«ttt die iwritü derivirte Fuuftien
der grgi'li(!nen Functum J\.i;) und wird durcb f'ict) bi''zrio[inel.
Die i-rvte derivirtp Kiini-tiu» \tfny"|.r] hfisaf dir dritte derivirtc
Fuoctiun von J\;v) uiid wird durcli /""{.r) beieiclinet. I»i*t ende
■lerivirit; Funt-liun von /"'(x) heinsit dip vivrte di-rivirte Func-
tion vun /\j:| und wir-l durcli /""'(a^) bcat-icbuet. lT«>berbiiu{il
beiMt di4> ernte derivirl« Funrlion der (X* — l)ilen deritirten Funcltuo
Tfiny(.7-) dir /.-tu dcriiirto Functiuo vaa ^{ar) und wird durcb
/<*)(a^J bueicbnet. -- '-

♦.2.

■Lekr»ai%. Weun /(^r) «ine k'iox* rfttionnl« «Igt-
braisclie Function, und, indem i' eine belieliif^e cou-
atnntr (^rüase bezeichnet, F {as\ ■^ C/{^x\ iai; so iil
jederzeit

B«wci^ ■ Cb. sei

■ad folglich niitU der ^'»ralissclxiini^

Fix) =^ «,C-»- a, Cr + o,Cr» -|- a.Cr» -h ... + »»Ci:-;
80 tat nttcli %. 1.

F'ict) = r(«, +2^^,.r-l-3ff,^« H-... + «ff,,r— I),
uod foliHicli ufTenbiir

wie bewiesen werden sollte.

l,e&riafx. Wenn /(j--) und «f>{j:) ganze ratioDate ■!-

[eb'BJBcEic Functionen sind, Und

ial; I» ivt jetlerseh

Bewclff: "fer mi'

/(.r) = a^ -f- (i,;r H- «■■sc* H- tf,ir' + ;;. -i- ff„J*,

wobei wir anni^limen wollen, dasi h'^x w\\ *o ist otcli (. 1,
f{.v) =r «, -f- 2tf,.r + 3 (»,^' -4- - .. -+- «<v„a--',

Dad foliflicb

Weil non

+ «,-♦.,>*+' -+^ ff»+i.r*-*»+ . . . + «„.r"
bt; sa erliüllpt ilie RicIitigkRit dt!a Suties unmittelbar mittelat ^ 1.

Ertfn- Zvfrttzi. U'«itu /(.«■), vi(.c). V(-p)> /(■'')) >l-«-W.
ganxe rutiouale algebraiachq Fuuctiantto ttinJ ■■<!

iatj »o iit je derseit

V()D tlcr Riclititckeit dioftes Satzrü ütierteagt tBan sich 8«br
leicht durcli eine sncceKsive An^cudiitig d«t> vurig-eo Lehrsatzes.

1 1-5.

Ztrrifer Xuiiafx. Witnn /(.!■) und ip(je) gnaie ratio-
aate nlgehrttisclie KaDcliwaen aind und

iiMt B<* i*t jcitcrieit

Nach der VurAUMiri^uilg Und nach (^ 3.. i>t

/(.r) = /'(^)-t-y(^), /'(^) = /"(«')-»-»'(*),
; also

^wi« behonptet wurde. ,_ _

h*:hraat%. Wl-hu f\,£c) eine ganxe nttionalo nlge-
[krftUche Kanction, und, iadem ^ eine positive gnoxe
[Zahl IwjeicbPBf, h\x)^x^ f{,e\ \*\\ xo ist jvderssit

Beveis. Et sei

32

/f^) :=«„+(», dr + flr, x* + *, ar» + ,*,-♦••• Ä-,

so Ut n*cti der VgrnuvMtuing

P(a^) = «, j-F -H 4», ^/H-i -#. ar, jr/tw^ ... -I- ff« JJ^**-.
und lotf^Ueii nach f. 1.

+ fij^-i{a^ -4- «, ar ^- ff, .r' + ff , o^-' + , , , + «;,j^),
nrorauft der zu beweisende Satt nnuiltelbar eHiellet.

_ V7- ^- .„r , , ,.

jt^Artatx. Wenn /\ar) und y(^) K«flxe r^a^jü^lf^l
liraiseli» PunetioDen sind, and ' ''" ' ,

iat; .B,(> jat jederseit

/> (.r) = /(.r> y' (^) ^ y {*J / (:r),

j .Bewei». Es sei

/(.r) = ff, H- ff.o: + tf,:r* + ff,.r '+... + ff»r-,
Dod folglicli nacb der Voriiusseizuag

F{x) = tt„ v<r) + ff,.ry(^) + ff, 4^»5r<*)-H .;. + ffil äkiM<*^)t
so ist noch §. V, f. 2. iind f 0. .^ - -^ * m »j

/-(.r) =: ff. y'( j;) -+- ff , | :r^(ar) + M^) |

ff. [.rV/(.r)+^r*r{.r)l
ff, iar'y'(;i)H-3ar»y(*)f
■T U. «. W. : , ,1.

= («0 4-«, *H-«. ^'-hff, a:' + -. . + «■ ^ iP'(«"l
H-(ff.H-2ff. ^-h3ff. «« + .,, + iiff„ *— 1) j»l*),
wuraua iiitlL-lst f. 1. der za be«-ciBvnde Naix unmtltetbor erbcllrl.

♦.8.
Erster ZuMt%. Wenn/ijjr) und ff>{x) jfanxe rationalV
&)[f ebraiacbe Fanctinnen sind, and

iat; so ist jederzeit

Dieior Satz erg'iebt sicL unaiiltrlliar AU»i $. T, wenn man auf
beiden Si^iten der dort bewiesenen lileicbang durch jf(x} :=:
/{je) sp(^) dividirt.

rm

Ztöfle^ Zutaf:». Wenn /(-t^), y(^), t(}{jc), j|r(.r); . . . ganii^
rionaltt algebraische FtiBctionea sind, und

Fix) =/(.r) 9p(x) V[.r) jt(x) , . . , i . I V,.' 4 U '

23

Ist; «o iit jederteil

Von derRiclitigkeit iiit>s«s SitlxpH ülinrzeugt nua «ich leicbt tJurvh
«inc succeasive Auwcintoag des uoinittelbar vprlitu-ffeliPuilGu jtaixes.

f. lÜ,

tichrtatx. Unter der VorauRBetzuuR, doss « eine po-
■ itive guuxe Zahl bezeicbnet, lei ^fl(^) = (^r + a)"; so
ist jederseit

Beweis. Weil

(j»- + fl)'* = (x + «) (.r-|-Ä)»-l,
d. i. in der eingefülirtcn Bezoiclinuna;

nod imch %. 1, die ernte derivirle Function tod x-^u der l^iulieit
f^lpicli ist; Bo i«t ascli %. 7.

iMier

y'«{ar) = {x 4- «) |y'«-i(^) + sp»-i(.r) |.
Odrch iurc««»iv« Anwendung dieser Relation erliiilt Bsn

^'V*) = («■-«-«) i9)'.(;r) + 9.„(x)t=2{^4-«)S
9>',(^)=:(arH-<i| iv'.(*)-l-V,(.*)l = 3{.«H-«)',

S/,{a:) = {;r + fft |y'.(x) + y,t^)|=4(:r + a)',

u. s. w.
AIsu ist offenbar fdr jedes positive ga&Ee »

wie bewiewa werden oolliv.

%. 11.

Lekrtntx, W(>nii/tA') eine g^anze ratiotmle algebrai-
■ eile Function von .rist, und ulso fy^i^-^a) die ^anzc ratin-
nnle iilgebrninche Function von x Iinzeicbnrt, wclcbe
mao auj^jr) erhült, wunn tnnn x-^tt für X »etil; so
wird die erntt- derivirte Function i- o n /'(.r -f- a) in Bezug
auf ^ als vcrütiilerlii^lic Grüssu erbniten, wenn nun in
der ersten ilprivirteii Function y(a-) von /I(jf) für X die
U r o 8 s c jc + n H e t z L

Beweis. E« sei

□ud folglicli

/'(:r) = «,+2a, jr + 3ar, a;>H +»«« *^'.

llfetKen wir nun /(af -H n) = ^(or), so ist

fi{^)= a, +*, (j? H- «i) + «« (^ + «)' + «, (^ + «)' + • •

and felf^lich oacli f. 4., f. *2. und ^ 10.

W'il nun die (iritsäc auf dr.r irrlit«» Svhe itfs (JteicbbetlEzeicbetiB
ofFetibar »us deia obigen /'(.t| eriiall«n wird, wm« «hu .v'-t-a
far X setzt, so vrhflli'l ilir Hirliligk^rit ilfii fn b«weiKenili-n SbIx««,
Annerkiin«:. Vermöge diciws Snixes Ul man bprrclilii^t , die
ertte deririrtf! Funrliofi Tun y\.v-^a) ia Brzug auf .r aU vcräa*
derltcbe Grösse durch /'(jt^-h«) tu bczrtcliuen.

«. la.

Weno
/(^) = ff,-4-«i ^-+-;», ar' -ha, . «» + ... + ««JT"

ist. 8U ilt BUcIl ^. 1.

/"-(arjrs 1 . 2 . 3(»,-4-2 . 3 .4«, j!-^.._.-^-{n—2) {m-l)ma„^r^,
y^(^)=1.2,3.4«,-|-...H-(*-3) (— 4) (— I) — -^^^-^

/(»-i»{a7)=i.2.3...(«— I) ff,^iH-«.s.4i;:

MAinZ',

ivoraus sich zu^leieli der Safx i>ripebl, da«» die »t9 derivirtß
Function riner Jeden ganzen rntti>iialen algebraiKclien
Function Ava ial«ii(irude)i4>iiiproiiat«Dtr(>roiti«e iat, uad
alle falgenilcii denvirtc-n Kunclion d»ker vcrschiftndeDt
weil die dorivirt«n Fnnctionrn rinttr jeden eoflttantcn
GrÜBSE! C\ die man iinmur uiitvr der Form Cor' darstellen
kuDn, nntürlicli süinmllicli verschwinden.

Netzt man nun aber iu den säniuiltichirn obij^en Gleichungen
;r^0; so erhall mau

/(O) =«»,

/"'(0)=l.2.3a,.

u. ». w.
yT-*)(0)=1.3.3...(«-I) «^„
/r-) (0) =1.4.3.4... »M..,
Dod folglich

«*=/i'>). *. = i"' "»=172' **^im' *•*"'' ^^nzi*

AI«o ist

welches ein sehr merkwürdiger Ausdmck'^ini>r jvden gBDzen ratio-
Baleo algebraischen Function dea «tt^n Grüdcs isr.

-'.*H

95

Izt amn /'iaf'^i)s^9{i}; lo iit nacli ivm lu eben bewie-
Satie, weil ^/') uffctibar eine ginze ruliuaBle slf^elfraUi'tie
ictiuD (Jes «(en Vnideii von ) Utt

Durch sueceuife ÄowcudaBff itt in'^, 11. beirietenen Snizcs er-
bäU mau ' *

»"(0 =/"<■« + 0.

11. s. w.

■na folfflicb
f(0)=/>^). ,,'(0)=/-(.^), y''(0)=/'W, ...y»-)(0)=/T.J(jr).
Also ist nach dam ObißPo

vekbes ebrnfallü eine Mbr nerkiriiMige, und ad FolgeraD^n lehr
fracbtbnre Formel ist. « --

«. 13.

Um eine Auncnduns' der Kurnel 11. in dun vuri^ii Fnrufrra-
pb«n zu zeige», »ri /'{jfj^swf, wu » eioe positir« ganz« Zalil
•ein soll, unil tulglicb

Weil tiDO nacb iler Voraussetzusg udiJ nucti $. 1.

/"(x) = "{» - 1) (« - 2) .ar-^,

u. s. w.
/W(^)=:i»(«— I) t*-2) («-3)...a.I
Mt; 10 ist D«cb $. 12. II.

H(n~l)

.2

.r*-V-f-

n(» — 1) ... 2 . ,

1.2.3
W(«-l)...l
1...« '^

a^-«#'-|-....

welche Gleicbnufif der aDolyliBche Ausdruck des BinoniischeD
LcbrsatKcs für pofbive'^ame Exponenten ist.

Dntvr iler VorausseUiinjc, An»» /\a:} und fix) gaose ratioDale
klgcbraii4cbi; Kunclionen «ind, wolle» wir nun nucli das allgemeine
Gesetz der höhcro derivirtca Functioiicn der gunxen rationalen al-
gebraiaebeo Function

96

|u«

BUtvnck*\a.

Wendet mnn naf difsi^ Futirtioa die nn» «lern Obie^rn bekam
Rrgelii zur Entw'iokviuug iler ilerivirlen FunclInnffD un . tto erbUt ,
auin nsrli bdiL uHcb:

u. a. w.

reb«rIcgC maa ouo, daai

t'l ^ _ ^*-4- *)" = x' -h JT i

+ -^'H-*'

(*-H t)* = *» H- 2^V + ^i'

. ■.*.«.

int; •» wird man sicli sogn^icli überzeugen, dass <lic nutneriKcbea
Cncffirienicp dir einiclDcn Glii-der dt-r HatnickcluH^eii der Jeri-
virlfii l-'uiiclioiieD d<>r Kunciioii y^(.i') uui-li uud uuch ßiinz eben so
eiKaielieii, vriv din numi-risclieo (.Wt'ticitutcn der cinuinrn Glieder
der KiilM'ickeluii|;en der Potenzen von .r + '- Datier a'rnd die nii-
iDPriHctien ('ui>llit:icDti;n der cinzetnea Glieder der Hntwickehmg vun
/'(*l(.-r) einerlei mit den iiumerisclwii r«eflic(en(en der einicloea
Glieder der Kuiwicki'lung vun (.r-t-*)"« ''"d es iüt »Uo aacti dca
Obigen und nach f. 13. ofTi'ubar

jc)»-i)(x-a)

"*" 1 .2. J

V'V)?t*-M^)

■*- '^'"'V^:'x"''V '^^)yf^)>

4. 15.

,, WcBo muu iu dir. äoB f. IS bcLanoteD Gleichung

27

fllr je UDd i nspcctiva a unil x — m i«tvt^ su wir4' dieaflbe

ytx)=/(«).

f=r(«)H-fc|^/"H-

1...M

/""(W).'

SA tsfc

Ist nao UDt«r der Voraussetzung, dass «<!««*) ist.

/,-)= fc»)^yK,)+(£r«>- <-«>*

uml fulffUcli iJie FMnclioD J\,v) offeolMr durck (a>r«)"* oho« R<?st
Ikeilbnr.

WcbD Dngekchrt die gaoic ralionale ulfcebroische Fuaction
lies «teo (irntlea/'(.r) durch {x—af^ ohne Rest tkeilbw istj su itt

TO ^-ix) eine ^onzc ratidiinlc tilge bratäcjiu Fuiietiifp van x be-
xeichnet; nnd nach $. I'l., ^. 2. und f. 10 ist folglicb« weob nur
« oicfat grÜEKcr uls m ist.

u. B. w.

i....x

Nirrnus sicLt man, (la«8 die Kntwtcitelungcfl der deiivirtea
FanctiuDcii

/'(.r),/"U)./'%r*)/. . . ./f— "(.r)

in allen ibre« niicdmi dir (irnsiic x — a nl« Fnctttr nnthalten, wor-
aus sich unmillrlbiir rrfripüt, dusa ilirse ilmrirtpn Fatirlii)nen, so
wip dit> Fuiicüou /^(.-rj sulhsti ^r x^a üauiutlicfa vrrsfhwiudrD,

oder das8 " ' '" ' ,

/f«) = 0. f\a\ = 0, /"(«) = (>.,. ./»— !)(«) =
ist. - 1

Aus ileiu Rislierigm pf^irbt »iL-h iiIro der folgende Satz:

Wenii. unter der Voraussetzung, dnss )w-<^m ist,

ist) so ist die Function /(er) jederzeit aureh (ar-a)" ubno
Kettl iheilbnr. und uingvkehrl. . i i

AuA dii-Hein .StiU(> rruiehl sirli tVrnRr utimittelbar, dftss, wenn
/\x\ dorcli keine ,biih<ertt Pdletm. you x — u >%\% (^— aj""
tbeilbar ist, unr

*) Wvil, ivcnn a» d«r Coefficicnc des faScWten Gliedes der (^amen niio*
nulen alpfbraischen Fnnetinn f{,x) Afs mtn Grad« ist, ivflehcr also
iticliL itiHiilnviiiJ^t, tivkatuiclicb /OlU^)^ 1.2.3. ..no», iiod du^tifh
uucb/<'>\£rJsl.3.S...fui« ist; sa,is|:,jnuyi"Xd}.siU*

28

■ icbt «nch /[")(•) =^*' <>^<

«. Ift.

l.ehrtatx. Wann die vitränderliclie UrÜaiie .x, vob
velctier die ganze ratioanle algebrxisch« FuDCtloD tfes
ffleo (äradev fKx) mit liiutor rci-ll«n CoffficicDtt-n ab-
liKDgt, sieb v*^ * \i\%b stetig %'«rrtiid«rt; lo veräodtrt
aicb die Fuqct ion /'(.r) \QtiJ\a) \\'\* f\h) stplig.

ßcvKiSi Duk j«<Ie i^anze rntittuut« nl^cbraiache l-'unctinn für
jetIcD endlicIicD völlig be^tinnten rpclleo Wcrtli ilirrr veriintl«rliebrn
flrüfiie einen pnillielien völlig- beotinrnten reellen Wertb «rhilU, ist
(Ur sicti klar.

^arli der Korntel %. 12, II. ist sIIgenitiB

und

ist folglieh die VorSndenjns:, Hfplrbe /(*) erleidet, wenn x «eb
am * ÄDdert. BezeicliuoB wir nun den abs6lut«o Wertb (UrjenigeD
anter den (irüwoo < . - . ^ l . -

/3£) r<x\ Qr) /(^
1 » 1.3' I.2.3''' !...«'

n-firhe den groHären :ibK»lulen Wrrlb hftbi^ii'), durch V, und den
nlHJululen Wer[|i vou i durcli r, ; so ist der nbsutute Wertb von

1 '^ 1.3 * ^1.2.«' -•- — -•- I...Ä '
niclit grJisser als

>'('.-!-*,• + '.'+...+ '.*).
d.i. nicbt gritsaer al«

Fr. (l+rf.H-V-*-'.* -»-...+'.--•)= F^i^^5^,

' ^ehlneD wir nun, was ofTenbur vcrüt&ltet isl, i , kleiner als dls
ffiobeit; so ist

and folglich der absolute Wertb von

'kleiner als

Bezeichnet jctat fi dne beliebige positive Grflste, »o ist die

Bedingung

*) M«kr«r« diMm- (irnjtx*n können giricfa« Wertbe, «bp aucb niebrere den
grSssteu absoluten Werth haben. .....t-i..^ .

29

ft-i-r

je^erseit erfllllt, wenn die Bedipguug

F«, <^(l-i.)

erfUltt iftt, und dine ßedin^og ist jederzeit erfUllr, weua di« ll«-

(^i-f-f*)!, <;* «der »,<r;
crfdllt '»(. Kimfnt n^in alt»

and folgtlcii, vie es nuh den Obigen erforderticb ist^ auch J><!li

80 ist :.■■■!

und nocli dem Obigen folglich der «bsolute M'ertk von.

I '^ 1.2 ' ^ 1.2.3 ^"^ \...n

kleiucr att ju. Da insu nun die nr<?me /« beliebig klein anncbraeii
kauD, Bti aielit man, dnsa dir (irSase

1 '^ 1.2 ' ^1.2.3'

/t">(.r)
1...«

der Null beliebig iinlie ^vb^fl^ht werden kauft, wenn ninu nur * oahe
renng bei Null uiminiiiit, un<l der Null uornillich nhbe kummende
Veränderungen der verkmliTlicIten (früsee .r fithren ülao ofTcobar
der Null nnpndlicli iinbe kumineode Veranderungt-a der Kuoctioo
f{x) Iierbcl,

Weil nun jedem eudliclieu vnlli^ beittiaiwtöii rvellen Wertbe
der «eräuderliclieu Gr<i>>a<> .i: ein Knillicber tnllig beHlininiler Wertb
der Kuiirtioii yt-^l entspricht; weil ferner der Null uiitadlirh natie
knnmoDden Vemii'lprungen der verüudprliclico (■rö.sse .r der Null un-
endlicb nnbe kninmeiide Vi-rüudi'tuitgcu der Function y(;r) enlspre-
cliro; weil «ndlicli /'(«) und /(*) iJio Werlhc sind, welcb« die Kunc-
tiiin /Lt) fnr .?:=0 und ^2*=^ erbält; ao ist klar, dasa die Kunctian
/\x) sieb lon y(«| tii» /{f') »leli^ verändert, wenn die verindcrlicbe
GritKse x sieb Vun u liis f* alelr^ verlindert, wie bewiesen werden sollte.

«. n.

JSrtter Ztimtx. Hie gunte rationale aigebrsiicbe

nit lauter reellen' Co«fficienti>tt näliert »icb der VrBtse
ao bIh ibrer Grnnzp, wenn .f Bicli der Null nabert, und
kann dieser Grunze beliebig n.'ihü gebracbt werden,
wenn nnn nur .r aalw <renUfC bei Null unnimnt.

Da die ganze rutiontilt; algflirüiscbe l-'unctiuu f{jc) für ^=0 .
den Wertli Uo «Hialt, u>iid »icb uacb dem tnngvii l-^eUrsaii« von #« .
an stetig verändert, wenn uau sieb a: von Null nu stetig vcrao- .
dem läNst; ao erhellet die Richtigkeit des Satze« mit völliger
Oeotlicbkclt.

i^ 18,

Xweit^r Zt/-tatM. P6r ^' lasarn aicli ininiRr der Nttll BD
ii«.kfi komm ende Wcrike »nKtben, Ah.»* 4ma Vuri:Qielieo
der gaozen rutiuanlen alj^cbrniittlir d Fuiictioa

nit lantcr reellen Coeffieienten, wo.«« nicbt vericliiria-
iea soll, nit den Vorxeiclieo ilires ersl^cnClied«! ««jr»
einerlei ist, ^

E« ist

/(jr) = j:- (*«+ &,a: ■+■ a,x* -\- ff.jr* -H . .. H- a^-r-).

NUIicrt sich duu a: stetig der Null, so oübert die Fuucüud

«, + a,J! -J- «,*• -h «,^» + f.. H- Ä»^r*

sich nacli dcu mrigi-ti Zusotzc Blcli|r drr (Grösse a„ als ihrer'
(■rfiiize, und kann (l«r>elbpo beliebig nobe g«brucli( nerdcn. wenn
man nur .r »iiW ft^iiutr li^t Mull jniiiimmt. winl ;iUo fär der Null
Mlir uuli<! koniuK'tide Wcrtliß von .7: oBi-mhAt uiil tr, u;lrich"s Vor>
zeirheo linbeo. woraus sich iinnilteJb«r crs^iebl, ilusa^die Function

für d*r Null s«br naJic komtnoode Werlbc tob ot mit «„.r" jjlei-
cbes Voruiclieo but, wie bchoufitct WMrde.

f. 19.

Thritfer Zutat». Für j: iBSS(>ti üirli inntr, abaolul sc*
namnvn, so grosse Wcrtlic anheben, i\Bsa das Vurseu
eben ifer gaazeb rationalen algebraischen Function

/(:r) = «oJ- H- «,.*■—' -H «,ar—» -4- ... H- »^J jT -f- a„

mit lauter reellen Coef'fici entvii mit dem Vorzeichen
ihres faiicbAteu (iliede* a^^r* einerl'ei isL

Es ist

/(-^) = K + ?+S-^-+^:*:S)^*.

oder, wenn der Rürx« wegen — =: jp j^eaelzt wird,

,, /(Ä«) = («o-*-«.5-Hfl',r-f-...-+-«*^i?— * + #i^)^.

Für der Null uoeodlicli onhe konmende tVcrtbe von | bai'asrli
dem vurigra Zu»ktxR 4i« GriMW

nit <r«, alau die Cr&ss«

/(or) =,(•,-»- «,5 -H «,5> -H ... -i- tf^iJ—i 4- «^) ^

aÜt ¥r„ir" R;lciclies Vurz«icliea, woraus die Kicbti^keit des zn hv-
w«i»pndffi» Ni»l*pn anaiillflbiir «rhKlIel, weil der Null UDendlJch nahe
konmeudeD H'ertlieB von | offenbar^' ohae RlJcksicbt «uf die Vor-
xeiclieo, DDCodlicb grosse Werthe von ^ = y entsprechen.

31

V 3a

\^ ^i jetil

/{jr\ sc j1 '(*—*)■ [of—dy {af—c)9 {:p— rf)--

Iff* ^ «ine belu'bige c«n«lanU 6rtM«9 b«ieichue(, ttad die Grisseri
ifi 6, Ct *tt •..• »iüomllich uiiMr einttodtr.iiiifclflicb' nrin lollca.

Durch KritnickeliiDir tlcr «r^tcn dcrivirlcn FuduIiud dinier
Functi«n lin>l^t man iMt-ht

J-M

= r-::-l-

,/Ij:) — ±—a^^ a—b

-?-_._ -t

.-j-.,k

U«* • > > ii

— (.x-a) (x-4) { JT-ff) ( j-rfj ....

oder, wc-Rtt mnii Zahler un<f Nenner de» ßrucits hltf der rechten
Seite <lcA CleichbeilHzeii^hens der Kurse wegen rcapeotivc durek
F(x) und t\{x) bexeicbuet, , ^

Sd nun t^(x) der f^rÜsitlc K^mviusebkrUiclie (lUgebraisdie)
DinBor von /(.Z-) aod/'(3:); so sind, wenn wir

ntwn, jp(jr) und ^,(.r} zwei kbbzo rationiile ulg«lirsiidie Functio-
oen von .x, die tür keinen Wertb von x zu^)«iull vergeh wiiideiiv
weil, nenn Hics der Fall würA, offenbar \^{ic) nicht der grösRt*
geoivi nach aftl ich« Divisor von f{-T^ um) /^(•f) sein würde.
'""Aut'dem Vtirbergebenden erg'iebt Hieb

/(•' ) _„ Fixl _ y(x)

Weil ^,(a)^0 und nach der VorHtis&ctiuug. wie soifleich iu die
Augen füllen wird, nicht /'(a) r= iüi; so nuati weifen der rnr-
bvrirehetiden (il-tchuug olfcubar v,1f()^=l> tivin. wuraUH «ich, weil

?;(^) und y>,(ir| fiir keinen Werth von x zugleich verschwinden,
enier ericiebl, dass nicht (f>(«f = ist.

Weil 9^,(a)^0 ist, ao gebt .jt? — « In 9),(^) auf, und

■st folglicb eine glänze rationale nlgebraiiche FuDCtioo. Nach den
Obigen ist nun

d. i., wenn wir ,,. , ,

■etseo.

3S

Weil wedfr 9(«) = 0, Borli /',(«) =r ist, so ergiebl rfch tu'
dieoffr GIpictiUDg, ia&t, nurh 9',(a) «irlit vcrsrli windet.

Kimtnl man nun allrs Vorhergeliende zuHummea, ko ist klar,
(Ibsh a eine Wunel i)«r (ileicliunp y',|jE-)^0 ist. dnsi aber diede
(ikickuDic ditt in R«dn Klrlien<le Wurr.«l uur ein Mal vntbüK, und
■uf ^iin< nitiiliclic .\tt bl>erx«Mjf(t inuo aitli, dasa nucli jmiK der
CtrftMCD ^, r, J. .... pinr Wiirtrl drr fileicliun^ y,(.n)=:zO MI,
dua akr ditisR GluichuN^ jede der in Hedi- «Irhendpn Wureeln nvr
ein Mfll cntlitilti

Zriu;pii läüst sich nun nucb nocli otine Scliwiengkeit> dam die
GlpicIiUDfi: y>,(;r):=0 ausser a, 0, c, d. . . . . giir kvioe Wnnel
weiter liat. Ware namÜch g eiae nicht unter *, ^, r, */,.., .
vorknnmnnde WuriH der Oloiclmiijr f ,{jr) ^0, und folglicli
^,(^)^U; M wüiMtc, ueil nach dPtn Obiju^eo

iit, offenbar aocb

und fftlficlich entweder 9!(^) = oder F^{g)z=zQ sein. Beides Iit
nl^r nicht innglicli, weil die FiinctiunfO <f\.v) und (ft[x\ fiir kei-
nen Werch Tun x zugletcb versctin'indei>, und

/".(ä-) = ig- ») {ff - f') (s-c)(8~il)....

offenbar nickt vi'ntebwiadet, vi'il die Gross« g unter den Grftiiai
«r, At c, tL . ■ . . niclit vorkoramt.

Man siebt uUo, duits jede der Grössen a, If, r, d, . i , . eine
Wnnel der Gleiebung

y,(.r) =

tat, dass aber diese Gleicbung* jede der in <Kede Ktebenden Wurseln
nur ein M»! «^ntbitlt, und auKxrr denselben ^nr keine Wurzel bat.

Die Kuurtiun y,(.r) ist der H"t*tH'nt, welchen niHU erbült,
wenn aiaa f\x) ihiirli den grossten' ^emeinschaftichcn hiviaor TOD
f{.r) nnil y^(.r^ dividirt, und amu knnn olau n«cb den (Ihtgto aas
jeder gegebenen Gleichung

immer leicht eine Gleicbuoir ableiten, welrlin alle tinsleichen IVl
zelo dieser Gleichung nur ein Mal, und auBser deDselben gar keine
undere Wuriiel weiler eDlball.

Durch ^udÜKnng der Gleichnnff (f,{a:) = \) criiält man alle un-
gleichen Wurzeln der Glcichani; f[jr)^(i, and wird nun auch in
allen Falk-D durcb niehrmnlige auccetiKiTe Diriiiön mit x — «,
j; — b, .T — r. .V — (/. .... in die Kunciitm /(j-) hpstibmeu kSo-
nco, wie (ifl diu Gleichung /(jt-) = jede dieser Wurzeln enthült.

Hieroucli kuun muo hei der Auflösung der Gh-ictiu»geu immer
von der VurauKsetxuiig auxgebeu, dass alle Wurzeln der gegebenen
Gleichurpg unter einander ungleich aJnd,

IV - .

i.''1

Von dem Excvbm der ^«brucltenen raliontileu ulf|;ebriii-
j.c|j«B Kuttclii>u«ii.

». ai.

ErA-Mrung. Wenn die gcbrocli«ne ratioB&lo algebraische
Function - yV , wo tfict) um] f,\M) ganie rstionufe iil(i;ebraiscbe

Ftuclianrn sind, iikIgui liie vrrnatliTlicIic Grösse ^ sich \au a bi«
MPtig verändert, n .Miil unpiidticli nird und dnbei \an den N«-
gvtlieu zum l'u-silivcn üIxtkcIJ. und itu»>i;i-rdein n' Mul unendlich
wird ui)<l dabei von dem i'uxiliien lum Neu:^iiven iibcri{Gbt, so
heidMl di«> IWireri'ti/ n — »', welch« wir ilurcli A' hezeicbneu. also
M — «' = &'acl7.en wullcn. der Cx<;i'ss*) d^r ftrebroobiMicii rutio-

ouleu alg-ebriiiscben Function 77-r TUr die Grämen a unil ä.

fV'enn V = lüt, d. Ii. nrnn mischen dru Cränxcn «, ^ die

gehrochcDC ralioDiile ;ilgebr.iisclie Kunctign ^-7— r, indem dii'selbe

ancmllirli trird und ihr Zeicbfn Hndert, inim«r vom Kep-ofiven zum
Pnsiliven iiber(i;elil, si> ist i'7= n, Wrnn # = ist, d. h. Vfua
zwi&chen den UrÜttzr» a, t die t;«bn>L-lii;nc raliuiial« nlo^irbraischc

Fwicliun —TT) todem di«8eliic uiiciidllch wird und ihr Zeichen

ändert, iuimrir vom Puaitirf^n -KUin Nejfativeo übergebt, so ist
E^^ — «'.

Für cri-brorLcne r«liana)e )il|rFbraische Functionen , welche
nriscbrn zwei br^Cimmien (iriinKro nieniiiU unrndlirb werden , ist
der diesen <irii»zen <'iili^|)rerbende Mxcphs Null. Für eine ge-
brochene ratiuuale alfic-briiii^cbir Fiiuction, irelcbe nienaU uncadlich
wird, mIho z. U. fiir ji'"lc gebrochene riilioniile algebraistbe runrtion,
deren Z.'tbicr durch ihren Nenner iilin** Itest tbeilüar, und die iilso
ei^eolHrh eine ^uni^'' ruttonule nlc^ibrniHch« Function ist, tcF-
Hchniiidet der Kxccis für jede zwei gcinz beliebige GrJtnzeo.

Lelirtat:,. Fiir zwei absolal gleiche, dem Zeichen

mcb über «utgeixen^oaeixte ^ebroclirne rnliou&le alge-

^ *. , ^ .-^ ^fi(x> , TiCxl .... I . ,

«raiaebe !• uacliuiien — - - und — - -j—r siud die, gl eichen

Cränzcn entsprechenden bxneHsr jndrrzett ahsniut

Slficb. dem Zeichen uaeb itber entgegengesetzt, oder
i« Suiuve diener beiden Exrosse ist gleich A'ull.

Beweis. Wir wollen annehmen, daiiA »wischen iwci gewi»*

■CD Granzea die Function fiz^t indem dieiiBlbv uueudlicfa wird.

*J Den Ausdruclt exrr» i;<<lrii'iirlit Herr ?ttnignii nach Sturui und Lina-
'Ville. Caucb> nciiui dicuelliu ürüsftc iiidiea integral,

3

34

m Mal TOiM NefCfttiv«D «um Poailurti üod »' Mitl vom PositiTca
zum N'cfrnlivcD üborgelie^ so gl^llt zwiscb^'u dpnfip|b<^t) f>r»Hx«D di«

FuDCtinii

■ ■ 7 — , indem sie uneotflicli wird, offeiibitr m Mal voi

Positiven zum Nr^nlivcn uuil «' Alal vom .NVuratlven xum P<t«iHreii
ttber, und nnch $. ^1. ivt folfflirb ««— w' der Excess der crateo. m'-
der Kxreita Jit nwrilKii Kunfrtiiiti. We\\ iiuii V — « = — ~ f« — «»'J,
oder (* — V) -+- f«' — m) = Ü ist, io erhellet die Iticbligkeil de»
iin bewciAendeii Sntzc»«.

tfvdrsafx. Wenn i?ijud f die K&coRse der lictdeo g-e
bracliciieu ratioiinlcD ulgebruisclico FuiicliDuca ~r-r

imd — ; — r, deren »weil« dB» Recinröke d^r eraten ist, für
die (Irauieo «, b sitid; sn isl immor

^-t-ß' = 0, od4-r ^-l-Ä'^-f- I, oder /?-hff'^— 1,

JeDAchdem die beiden (■räniwertlie ■■ ' -, —j^ "1*' Fanc-

Cion ^rr gleicbe V'orzeicb<-n haben, oder der erste dlR-

acr beiden GrÜnzwcrrlic neifutiv und der zivelte posi-

tr (tränzwertlie pusiliv und der
zweite ueg-ittiv ist.

tiV) oder der erbtu diesci

Beweis. Wir wullvn aanebiueo, dus xH'isclieii den Gräiizen

«, h die FuDctipo - '. , ■, indem sie uDeodlicb wird, m SUI vom Ne-

a;ntivGn zum PoHitiveu und n' Mul vom Positiven zum .Ncgadveo,

dsfi^cfi^en die Function — ~r, indem sie nnendlicb wird, n. Mal von

nci^utiven zum Positivcu und »,' Mal vom PositivcD zum Negalivcu
iiberg'ebe: au ist. wi-uii wir die deu Urkuzvti a, b ent«|>rcrtiendeD
Kxce<$e unterer beiden Fuuctionen durcb E und E' bczeiihueo.

Beide Funlionen, welclie für fcleirlie Werllie von '.r offenbar immer
gl-'iclic VurzeirUen liiilii^n, können ihre Zeicben nur donn ändern,
wenn sie entweder uni^ndlii-li werlca oder rervcbninilMi. Dii ouu
die erste Function nfTcnlibr immer dann vorstbwiudct, wenn die
zweite noendlicli wird, an ist klar, dnsa iwiacbeii den Gräpzen ■>, &

die Function "("tTi indem sie vcrsch windet, h, .Hai vom Xef^aliven
zum Püäilii-en und »,' Mal vom Pusiliicu zum Nfg«live» tiberueliL
Gellt aber die Function ~r^ cwinchen den (»rAiixen a, & vom Ne-
gativen zum Positiven Überb:iii[»l /u Itliil, vom P«silit-ri) zum Negali-
Ten überbauet ft' Blai über, so ist nucb dem Vorbcrgcheoden
ofcnbor

und fulglicb

3f)

lt. i, nach den Obigen

Uabcp nan äta brlitcn Gräuzvcrtlic

der Kuncllon 77^ gleicbc Vorzciclien, sn gebt dieselbe xwlschei

dcD Granzen «, o offeuüar eben so oft vom Negativen lutH Positi-
ren wie vom I'nsiliveo zum Ncg^atnen tiber, wie «ugeDblickHcb
nus der hloaxcD AnMliHUunj^ einer Reihe «on der Vatta

-^^

en

erlicUt't, und os i^t fniglich j* = /J-' , uUo nacb dem Obiffeu
Wenn der erste dsr beiden <;rSii7,werlbe

7.(«t

icr Function —'r^ npiradv, der xwelre |»ositiT ist, «o g;ebt diese

Fanction zwischen den (iriiazeD a, b otTuolnir «in .Mnl öfter ven
Negativen ziiin Poxitiren aU vom l'vHttiv^ii xum Negatiycn über,
wie ungeiililiclthrli aus der blosaro Anscbauunj; einer Keibu TOD
"der Kttrai

erbellet, aud ** ist foluUdi ^^/u'+l, uUu noch dem Obiiren
tVeuii euiJlicb der Crsic der beiden (iräDzwertfa«

Wi ""'' "VW

der FuDCtion ■ '. . positir, der zweite negativ ist, bh gebt diege

FunclioD xwiMcbrn den GrÄnzeii », li ofTciibar i-in Mal üfter voni

PwNllivrn xum NV^otii-en als vom Pie^Htiven zum Pnailiven über,

wie augeoblicklicli uns der biliösen Au^chauunof ciucr Reibe von

der Furtn

^__^ 1_^ y 1

erbellft, und e» ist folglich U£=:ic'^l, also Dach dem ObiireD
E-{-E'^-\.

Hierdurch ist oun uimer Natz vullatiindig btwieaeo.

WvuB iwci Grösscu A^ ß gleiche Vorzeiebcn babeu, su oftgt
msu, da»ii ibr<^ > tirzciclien eine l<n|ge hililen; wenn dagegen zwei
GroftXCD A-. Jd utiifleicbe Vorztricben biibi-ii. so »ui;! mau, umib ibrc
VorxeicbeB eioen Wechsel btldeo. lli<Mi vorutiBßeüetxt, kann mao
nun den vorhergehcodeD wicbtigeo Lehrsatz auch auf folgende Art
ausdrücken:

Wenn E Dnd £' die fixcesae der beiden ffebroebeucD

rfttionalen algehmiscben FanctioneD

U^nnAS^.

ti^)

y.CxJ'

de-

xwfite dnfl KeeipruLi' der ersten iit, für die Crla-
xcn «r, h siid; so ist iipiner . , ,

£-4-J5' = 0, oder £ + /?' = + I, «der A:-Hfi' = — l,

wenn respective die Vurzviclien vou y(«), '/.('r) udU
'yi(Ä), y,(^) zugleicli »iuc F,"lge od^r xu^leii'li rip«n
W >! C li H I' I li i I d f n ; W« n B die (' (i r x c i c )i » n ixt o ff\a) , tp^ (de)
4'itieii Wectiael, die V ürzeiclioii von ^<ä), V,(4) eine Folg«
liilden; w<^tin die Vurzeirtien von ^{l*\■ 7i(") tioe Tnlf^e,
die VorxcteliftD yiin y(A). y,(Ä) einen Wechsel bilden.

IVcDQ der Nenner 9^^') der f^nnxfo rallonalen algebraiKcben

FliniMii)n ', ' von einem niedripern oder eben so hoben Grade >ls

der Znbirr ist-, so kuiia m-io uiit ilvn Nenner in den Zähler dividi-
rirn, und wird, wenn mun den it»"l<enteri ihircli H, den Ked durcli
*\^x\ bezeichnet, eine Gleidiung von der Knrai

\\ti tiuu der Brnrh nnf <lcr recliteu Seile des (ileieblieirszeicbn«
(doo eeble fj^ebruultene raiitiniile ul^ehraische Functiitn int, erbuUea.

We Fnuelionen ~^-r und -V— . werden zu'fletvh noendlich. ond

for den Werllien xtu ,r. Hlr welche die bt^iden in Rede ttehea-
' de» l'unitinui;» uiiendlicli werden, henncliburte Würlbe von jr ist

olTenbar der kbsolute Werlb der Funclinn

.;<^)

. ix\ pro*»"" fl« der nb-
solutG Wertb der ifnnzcn rationalen ii1|rchniisrben Fuiieliun Q,
weirbe immer eJoco endlieben Werili bul. ko dtiss alüo für die ia

Red« Ktebendea H'ertbe von 3B die Fonrtinnen ■ • , v and t^. ofTeO"

bar ^leirbe Vorr-eicbrn haben, weil dns Zeichen d»r Grüsse

(?H — blojw durrli --A^ Itesliiinnt «ird. Niitiml man alleHdieties

auüHHnnvu , so urhellrl mit vülÜger Deiitliebkcil. d»ss fiir. dieselben

Crfinz«n die Exeess« der Funetitiiien ■ - ' t — und -r-| «inander gleich

xind, und der p:x<-e)is der e^itern Fnnrliiin nlici immer dnrrh di«
Hereehnanr d« Excesaes der letztern gefunden werden knnn.

Hieruurrh tiind wir brreeiiligl, im Folgenden die
Kegeln für die Boreob nuug des Kxcesses der gebroche-
nen rntionalen nlgebrtii^cbeu l-unctionen zwischen ge-
p-eben<'n (irauzeu »nf ecble gebrorbene rationale alge-
li r n i n' r b e F n n r 1 i » ti e 11 , deren Z Ali I e r von einem n i c iT r i -
gern firnde uln ihre Nenner sind, einzascbräuken.

f. ^

TiC-2'J

Wir wüUen daher jetxt unnehnien, dass '■ ■■ eine echte, folglieh
■' } ■ : etae Duecble gebrocbene ratinnnlu nlgebraische Fttpction sei,

37

und wullea wir »ben die dßo C!ranx«ti a, ^ eolti|»r«chcuileo K\oeM>«
dieaer beiden FuuctiuDen durch E Dud &'' hrzricliuea; ho ist

wo t etoe oacli deu in den VürLi'r{;peIii-udcii ParagTAplirn irpgf-b^neii
Reji^ela iranier mit vülügct Sicberli«it botlininbare (irütk^i- ist. Di-
rldireti wir nuu mit ^,{x) in 'f(.r) liiaeia, bt-zt-icbiien den Uuutieo-
len durch U und d«ii mit cDtgegeiig«)ietx«ni Vorseicben ^eiiomni«-
Den Keat durch ^^^(.r), so ist

tix)

V.U)

= ö

fM)

T Excesft von — ij, für die Urünzen m, b aei £.',; h« i«i — £,

RHcb 4, 22. d«r Rxcoss tod — —t A fiir diescHien Grünien.
Weil uun

V.(-i»

V,<^)

i«l; so ist nach d«m vorhergcbeudeii Porügrapheu ß'= — £,, nud
folglich nncb dem Obigen

oder ß=:E,H-e, wo £, E, die Exccs«« v«n 5Li^_ t^ gi„i_

und i eine nnt-b drn auti dem Obigen bfkmmlvu Koguln jedcnivit
»il völliger Sicherheit besliaimbare (»rÜHKe int.

*. *i7.

Nach Vuriiuiifi«birkung dieser Princifiien lusen Bich nun die
Regeln zur Bestiinmtiri^ dea zwei gfgi-b^ui'n (kränzen n, t» «nl)t|>re-
cbeuden hlxceuKPM dfrr erbte» ^ebroi'lii'nen rnliunulcn algebraischen

Function — , --- ohne Ncliiwicrigl4.eit entwickeln.

Mi>n diviuire mit 9^|(.^) in yl-f'), und bczeii-line den ituotienteii
durch (V< den mit 4>n(ge^<^ngi-^elzleui Vurzeicbi-.n gcnDvirncnen Rest
dureb ?),(^), so iüt

ViU-) * Vi(:tV

Femer dividire man mit f-^x^ in 9>,(.rK ufd bozeiebno den
Quutienieu durch 4i • den oüt culgegeiigcsetzleiD > orzeicbcD ^«>
aummeaen Keäl durch 9>,|.-r), so ist

><- Auf sholii'tie Art dividire mno mit 7,(-t) in (pi(^K u^d lie-
^chn« den Uuoii(^ii>«n durch (l^. den mit rutgegcngesetttem Vor-
xeickeo geiiomiucneo Rc« durch ^«(^r), so ist

Gebt man uuf diese Art w«iter> An wird m»n immpr endlich
auf einen vertH.'bwiadendeii Reei kummt^n, und jcderzoit eine Reihe
tileichuQgeu vuii der Form

»tU) n — ?i* — ^

wo 0»-i eine ganze rationale algebraische FunctioD voo x Utj
erhnllfiD.

Buzcicliiiea wir jetzt die den (irÜMccD a, b eottprccliiSDOcu
Exccsse dtr l'unctioDeo

yif-y) yi(j> Tit-g)

?r<«(«)

fl(r)' Vit-*)' Tj<^)' ■ ' 9«
res|»ecttve durch

E, E,, E,j E,, ... E«— 1, ß»i;
s» UC nach f. 26. duiI $. 23.

Wo «, «,, r„ c,, ... Ca_i gewisse mittelst der aas dem VorkergcbeD-
den beknuoteu Re^ela mil vülliser .Sichcrh>-il be»liminb:irt> Grüsseo
■int). Uurrh Ailililimi dvr vorlifrifehniiili^ii (i|i-icliuii|j;vu itIibU mau
nber, wtiiD iniiu aufhebt was sich aufbeben lasst, uod überlegt, dssa
nach 4. äl., weil

"^;;ür — '*•'-'

eine ganxe rationule algebrsiscbc Functioo ist, £a=U aeiu nuu,
HOgleicb die ülcichupg

E=i-t-ft-\-e,-i-it-\-...-i-t«-t,

und Hibbt uIkii, iIühü zur Itvrvclinunc dts (Cxcesscs £ nur i.ioe fül*
lig sicher« und tnöglichst cinfüchr Regel zur Bestimmang der
GrügBCD e, tf, r,, r,, ... {^-1 erforderlich Ist, die wir nun la gt-
beu ferBui'ben wullen.

Zu dem Ende tivbreibeu wir die Werthc, welcbo die Fuoctioaeo

tf{,r), y.f.r). y,(.r), y,(.r), ... tf„(.r)

für ar:sza und ftir xz^r erhalten, in zwei Zeilen, wie folgt unter
ein«uder:

(l)...,y(«t, <ip,fff). g;,(nr), y.f«) (p«fi»>;

(2) .... rf(Ä), y,(Ä), y,(A), y,(Ä) y^*)-

Bvtrucbti'D wir nun zuvÜrderKt irgead eine der Grijssen t,f,,i„Sg,
...ff, t, die M'ir iu Allgemeiucn durch tn bezeichnen wollea . so
in oaeh dem Obigen

a. i. — £

iiM-t

39

Wo E„ Bad £tH-i *liA lixc«sM der Futictioneu
fitr die GrftDzcn «, 2 tind. Weil aber

ist, sa iüt nacli ft. 25. der Excpbs yon — ^ — "7—7,

nacii V^^M iJcii Kjfpwe von ■ ■ , ■ - . e-kidi. Bezeichuen wir bUo

dfn Kxcvss der Itrfxlt'rii Fuiictiun durch E',„, sn ist — Bat^t^^E'm
oder £^,^1^ — J?".,, und tnli;;lich »ticii drm Uliigeo

E„^ — E„ -4- f„ oder £"« -f- iT« ^ f„ .

Also ist naclt $. 2'1.

(iM=:0, oder («^-(-1, iidor Fm = — I,

wenn ri*s[iffcliv« dif \0nfir1irn von 9iinf'r), <pM4.|((*) und ^<m{p}t
<pHi+\[i\ zu^lfirti einen tVccliscl oder xugleicb eine Folf^e liilden;
urenii die \(irxeirlien von <?»(«}, yn+i(«) einen Wechsel, die Vor-
zviclien von tf.^^ft). if'a,^\{/j) cinntolge litlilen; wenn die Vorzeichen
TOR 9„(»), ^M^i(fi| eine l-'ulgCj die Varzeiekeo vuo <r»|4), yiM-l(^)
eiocD Wccbsel bitdeo.

(■aus daHnellte l.i)i<ii sicti nuf folgende Art aucli von der GrÖaaa
l^~\ beweiseu. Nucb ilem Obigen int

£i»-i ^—En-{- (»_i »der E.^i 4- £» := »n-i,

wo £»—1 und En die ICxcesse der Funrlionen

fnix)

nod

fliud. AUu ist nach f. ^.

.£■-1^0, «der („_i^-j-J. oder £«_! = — 1,

W«DD retpeclive die Voraeicben vud yB-jf«), 9r»('') "•>'' yw-ll^).
yH(£) zii^leicli einen Weclisel oder zugloirb eine Folge bilden;
wenn die VnrKeicIirn von y„_i(*»J , ^»{a) einen Weclisel. die Vor-
z«icbcn von 9)r_i(ä). tfn{f') eine roli^e bilden; wenu die Vorzeiclien
von Vu~i(a), fii{a\ eine Fulge , die Vurzeictien v»n yw_i(&), jr(i(/J
ciueu WiH'li»cl iiildeu ; welches Alles ganz mit dem Obigen über~
eiDsti lunif .

Neivn nun te und f die Anzuhl <!er Weclisel und der Kolgen
in der Reibe (I), ip' und y" die Anzahl der Wecbael und der Fol-

5 CD in-der Keibc (2). Uic Au^iibl der Fälle, wo einem Wechsel io
pr Kethe (I) eine Folge in der Iteibe (2) entspriclit, sei x; dl«
Aojuiiil der Kiill«, n» einer Folge in der Keihe (11 ein Wecb»el in
der Keibe (2) enUprichl, sei je': <lie Anzolil der Fillle. wu einen
Wecbbel in der Ucibe (I) ein Weclisel in der Hcibe (2) cotspricbt,
»ei *" \ die Anxahl der Fiille, vo cini^r Folge in der Reihe (1) ein«
Folge in der Reibe {'2) «nt8[iricU, sei *"' ; so ist nacb dem Vorh«r-
gcbendoD offenbar

tu

bUo £=:jc — x'. Ferner ist al>er, wi« aogleich rrlMlIvt,

und

also

w— •(' = x — k', /'—/=«—«■.

and zur B«reebnunfi; des EscestH» einer eclile» fcebroclirneo ratio.
Dalcu ulgeliraiscliea Function prgiebt sich uiso die fnigeode Kefc*-):

Man bilde, nenn -'^Jr di« g«gel>pac «cht« f^ebra-

chene mlionkle alf;ebratsche Function ist, nncb der
oben gog-cbenen Anweisung die beiden ßciben

y(*), Vi(*)' »i(*). ?'i(*)i •••• 9-(^)i

ond zäble in jeder dieser beiden Reiben die rHrkanmen>
den Wecbsel ir, »f' und Folgen /,/*; dann ist, wenn der
gesucbti^, den kränzen a, & rn taprecbeudc ExcettH der
gegebeneu Function irie gcirübnlicb darcb E bezeicbnet
wird,

Weil nach den Obigen

Ifil-r)

?.(*)

V.U)

«.-

u. s. w.
iU; 90 siebt nun, doss di« firnsaen

y.(^). y.(a"). y,U), sp.(j^). .... M-^h

welche im Fulc^endm üb>iTbaii[)t Divisoren*) genannt wentco
len, erhullfn wrrdt-n. wenn innn iiuF dir beidpn Functionen f{je)
und yj,(-^) die IckanntL- M(;tli<i(le zur Aut^nduog des irriissten gc-
vieinRcliut'tlicheD Tbi^ikrs x»'t'ier ganzen rationalen algebraiscben
Functionen iinwendel. jeducli uiit dem (.Interscbiede, ila«« ntnn in
den tarberi(elietidea hiviaor nie mit dem sulrtit übrig gebliebenen
Keste &clbKl, aondem vielmebr mit drm Knli^eifcn gesetzten dieses
Rentes dividiri, und hiermit' iille bei dieser fl)|ieralion gcbraurbteii
Divisoren vum erareu bis lum Iclrleu in nuliirlirher Folge in einer
Reihe neben einnndci* aubreibt, wodurch man nuniittelbar die ge-
suchten Grossen erbält.

*) Herr M«igno nennt diese Grüssen, mit Ausnahme der ersten, Reste;
uiu »cbeine die obige Denenonng ttaehgemSaMr.

41

Bei der AaBfiilirung* dieser Recliuuiig koon mftn, um otuneFiscIie
BrUcbe in den (luotienteD zu vunnüidcD udiI sieb dadurch dir- Kt-ch-
uUDg lU «Hriclitcrti , dif Uivideudi>n mit awt.'ckmäiiaig u;pn'iihll«ii
positiven 2ulilen innltipliciren , n-cil diidurch die Vorzoichea dtr
Reflte, und nlso ;tucli die Viirzeiolicn der auf einander folt^eiideo
DirisAreti, auf die es hier nilein ankommt, keine Aenderuu)^ erleiden,

4. 28.

Bis jetzt haben wir Kti 11 seh neigend nuffetiomoien , dass keio
Glied der bfiiden Reihen (1) und (2) verschwinde, und müssen daher
jetzt noch zeigen, wie lujiu sich zu verhultea hat, wcuu die» uicht
der Fall iitl, wubei wir icdodi voraussetzen wollen, dass keine der
beiden (kränzen a. h selbst eine Wurzel der (jleicliuog ()){^) = 0,
und also weder y('M) = 0, noch y(j&):=:0 isL

{loter dii^aer ViirnuFsetzung können nie zwei hcnnchharlc Glie-
der der Reihen (1) und \^X) zugleich vcrscliwinilen, wie auf tollende
Art leicht gezeifft werden kann. Würe nämlich z.U. ^m(o)=0
und büch y,n^)(aj^0, Bo würdcu wegen der tleichungen

y,(.r)= ä,y,(.r)— <p,(.z),
u. s. w.

U. tt. w.

uffcnbnr die Urus&cn

V(<»), T-i**)« 9'»(«) 5P»(«)< •■ ■ «*"(«)
sämmilit'h versrhwindrn, wcirhes ungcreinit int, weil nurh der Vor-
AUSHetzung *f\a) ntt'lit verschwindet.

Wenu »ho ein (ilied, z.B. ifm{ff), versrhu-indet, k» verschwin-
det keius der heideu (>lieder y?u,_i[a) uud y«_t.t(tf), und diesu bei-
dtti Glieder haben, weil wegen der Gleichung

f»-t{jc) = fim-\ 5P».(.r) — y«.+i(-r)

offenbar <f,n—\{'*) = — a„^i(a) ist, jederzeit entgegengesetzte Vor-
zeichen, welche» Alles nir jede der beiden Keihen (I) und {%) gilt,
wenn nur, wie immfr im genommen wird, keine der beiden GriijtMeo
y(«) und <^6) verschwindet.

Wir wollen nuu der Kinruchbeit wegen den Fiill besonders
betrachten, wenn in der Reilie (1| das eine Glied ^«(«1, in der
Reihe (ä| keiii Glied vemclmindet. Hezeichueii wir durch «r,
eine GrÖKxe, welche von der GrösHe et nur um eine der Null un-
endlich nahe kommende GröMc vcKchieden ist, so wird in der
. Rcilie

■ (l") .... y(«,), y,(w,), 9i(«i). ?.(».). -.-• y-(«i)

^^ JtBin Glied verschwinden, und, mit Auünahae des Glieder ^mC'iX

^

k

42

werden sllo r>li«^iler mit Ata «Dtaprecticnilen Gli«derD An Ri>ibf (1)

ficirbif Vurvciclivii Itubpu , dcD ti^riuchr^-n Evcfäs der jzaircbeiieo
uDitioD für die Crüsicn a, i* wird nrna alu-r olTeiiliar crliuUeu,
wenn man di>ii KxcrKS dvräclbcu für die Grüuira «,, ( sorbt, so
«lasK »Ist), WL>riu £ der ifptiuclilc Kxce^s ist, iiud durch tp, und ^
resfteclUi- die AozaU der Weclis«! id d«r Keike (I') uud (3) W>
zeictiaet wird,

B = «, — tff'
üt.

Verglciclit maa nun aber di« beiden Reiben

■ait eiDandcr; so ist bus dem Obigen klur, dans in den Tfavil«»

yf«.). y.(".). y^fff.} — y— 1(«.)

BOd

, y^M-tC"), y«M^(o), .'. 5P«-iC«). y«C«);

y«+i('».)'y"^(''i)t ■■• y"-i('»i). y-(«i)

derscibou gteirb viele M'et-bHel vorkumueii. I<ässt nsn ia der'
ersten Reibe dus verscbwindende (*lied fmKa) p^^nz weg, xo gvbeo
div Olit-dpr tf„^x(a\, <fa,^\{a), ivi^lcbc iiarb dem Obigen ntcbl ver-
si'bwindcn uud rntt(('];cti^rsrtxln \ urzcicbeii haben, einen WeeltMl.
Die Zeioben der drei Glieder 9i,,_i.(«rj), 9:'n(o,), ^-M+ila,) der zwei-
len Reibe sind über entweder

+ H , «der H , oder \r-\-, «der h,

und bieten dabnr immer nur einen H'ecbüel dnr, woriiiiü sirb , in
Verbinduni; mit iillem Vorberf^eheudcu en^ivbl, diiit» die Anzubl der
Wccbsel in (1*) jederzeit der Aniabl der Weebscl in (I), wenn
miin bei der /»hruiig; der \V«tb»t'l da« verscbwindende (»lied '/>m(a)
dieser letztem Iteilje giinx itn^aer Acht lÄMt, vällig gleich, oder
diisH, ueuu n die AuzabI der Weebsfl der Reibe (1) mit völliger
Beneirigung dett venttUivindenden Gliedes (TmC«) bezeicbnet| i0|^(p,
und riiicb dem Obij^en folglicb B'=zw~ir ist.

Wenn «Iso eiii filied der Reihe fl) verseil windet, sn knnn man
für die Gräuxca a. fi den Kxecsü £ der gegebenen t'unrtiun so be-
stimmen, diiss man die .'^nznbl der Weebhet in den beiden Reiben
(1) und (2) durcb »nitiitlelbiire i^blung derselben beitiinrol, wubei
man dns verscbwindende Glied der Reibe |1| uiinz »im der Acbt
Ifisst. und d.nnn . ucnn unter dieser Voruusselz.ung te die Anzubl
der fVecbdel in der Reibe (1), te aber die Auzzbl der Wechsel in
der Reibe (2( ist, E=iw~tv setzt.

Oiiss übrigens pin äbniirbes ^ erfitbreu bei der Züblung der
Kalc^en in den beiden Reihen (1) und \1\ nirbt tini^wandt werden
dbrt, gebt uu»t den) Obii;eu unmideHittr bervor.

3^iic-l<'irh aber ergiebt sich Bua der obigen Dnrstcllang «nni
untweideuliiT. dnis ein gnn/ Ahnliebes Vert'«bren wie vorher imnier
in Annenduni^ gebmcbt werden kann, wenn beliebig viele Glieder
der Reiben |1) und (2) mil Ausnahme der beiden eriiien vcr^ohwin-
drii, und di« «llgemeine Regel zur Bestimmung des Kxcesscs «ioerj
ei-falen gebrochenen raiionuleo algebraiscbea Function iwiMlien ge<

*

k

43

gebeocD Gränxen niid sith uuit auf il«u folgeuileu Aandruck bria-
sea liksseii:

Wena ■ ' ■ ■ . die gegebene echte gobrocheae ratioonle

algAbrflische FaDCtion ist, und die Grössen <v, A, wcIcUe
airbt seli>st Wurzeln der Gleichung* (f.{:i^)^ii Hein nnllen,
die g-fiifcbcncu Uräuzcn äiud; so wende nnu, um den die-
sen Üräiizen eutsprecb roden Kxcess£ der gegebenen
Funrtiun zu t'iadeu, auf di« beiden gaoxen ftiliuiialen
algebratAcbeu Fuucttoaeay(^) und fti^^) dieMetbodc des

Jrösslen gemet nach» t'tli dien Tb eile ra an, jcdocü mit
em Unterschied«, dun« man in den vorliergebcnden Di.
visor nio mit dem xnietzt übrig gebliebenen RestA selbst,
Hon dem vietnclir immer mit dem Kntge^vng«8et«tfiD
dieses Rests dividirr. und Actireibc alle bet dieser Ui>e-
ratio u gcbruui^lite DiviüoreD in Verbindung mit der
Function ^(.x) in einer Itoib« nebea einander, wodurrb
man die Reibe

Vi^h 9i(^)y 9*{^h y»M' •'• y''(^)
erhält, aus wrlrlier sirli, wenn mnn für ^ die beiden i;e-
gebrneo Grünxen a und 6 setct, ferner die beicten
Heiken

y(«)' yif")' sPtt«)! sp.(a). ... y-Hi

f-crgeben. Ziifalt man nun mit vültiger Beseitigung aller
vcrsciiwinden den Glieder die in diesen beiuen neibeu
vorkvtnmwndeu Wecbsel, und Lezeicbnet dorvn Anzalil
respectiv« darcb w und «', »« ist jederzeit E = » — te'.

c.

Oestiumung der Anziibl der zwi^cbeu gegebenen Gran-

»260 liegeudeu tcvlleu Wurzeln einer gegebenen
Gleichung.
|r f. W.

Es sei jetzt /(.rl^O eine Gleichung eines bclieWgen Grade«,
aod a Rei eine reelle Wurzel dieser Gleiebung. welclie dieselbe
f* Mal. aber nicht öfter, entbuken mag. ro dnsü nUii die Function
f(x) durch (jc — a)f. über durch knine hüherc l'oteus von jv — a,
ohne Rest theilbar ist. Unter dieien^'urausaetzuugen ist nach $.15.

L /(«) = /■(«) =: 0, /'(«) = /if^lHu) = 0,

■ «her nicht /V') (a) = 0. AIhu ist dücIi f. 12. 11.

44

^.^^-^...^^-M^.

r(«+o

/T^+^-i.

f*M+l)(a)

Hieraus siebt nan, dasit der Bmrli

/(« + i)

fär j = uornil.

lieb wird, %o dasi bIso der Bnicb •"fr-, jedvraeit UDeodlich ist. Za-

ffleieli ab«r ergiclit sicti ftDa 4- i'^* ''°^ '*''' ^'^^ ^'"l' UDcndllcliI

tk&he kommeDde i der Bruch "t;; ^^ mit den Bruche ^. also mitj

der Grtisae i, gleicbes Vorzeicbeu bat. uod daber vod dem Nugati-
i«D zun l*o«itivi.>u ülivr^vlit, weno * vom NpgulivcD zum PnsitiveB
übergebt.

Wenn also, indem jetzt « eine DBendlich kleine poiltivc
Grösse ä«in kuII, ar sirb von a — (bis a~i-i sletiif üiiHert, m

wird unter den gerauchten VornussPtinnf^eo der Brach ^^—r fiir

^^a jederzeit uaeodlicb, und geht.,iudvai er uaendlicli wird,
vom Negativen zum CusitiveD über,

4. 30.

Wenn nun zwisehen den llränzen « nnd A. wo jetzt a^T*
nein Boll, die samuilirb von einaiitliT versebiRdf^u^n m rrellt-n
Wurzeln n,. «,, «,, a^. . . . . a^ der Kieichunif /\^r) = liefj^en,

10 wird Darb dem vongen Paragrnjihen der Bruch : — r fdr

^=:a,. ar:^a„ .r = «,,

a:^=tt„

nnendlicb, und echt, wenn ^ sich von o bis & sletif^ ändert, in«
dem er unßaitUni wird, jederzeit vom Ncgntiven zum l'ntiitivea

Über. Munit: man liierzu. liuss der Urucb fi^^ zwiacheo den (iräo-

cen 4V und & oftenhnr nur für ^ . ..

mwndltrb werden kann, so ist klar, dnüs, weuti E den Hzer-«» d«r '
in Bede stehenden gebrochenen Funetion für die (iraozen a. fi be*
zeichnet, jeilerzek m-=K t^t. wodnrrb wir iinmittclbiir zu dem
folgenden überaus wichtigca und inerkwürdigeu Satze g-rfähn
werden:

Die Anzahl der zviscben den Grfinx«n a*, #, wo (V<^A
sein »oll. liegenden von einander versebiedeneu reel-
len Wurzeln der (Ileichnng y(.jr)^0 ist jederzeit de«
diesen Gränzen entttpreehenden Rxcesse der gebroebc*

neu rationalcB algehraiacben Fanction^Y— | gleicb.

Setzen wir aber mit dieseni Satze die in 4<. ^. bewiesene Regfei
Ir ixtk Gkccw id Verfalndno|(, ko erhalten wir das folgende Theorem :

45

rCn, aatvr tlor VorausBetzoog', desB «<Ü^ iit, die An-
xtthl der zwiHchfD dt-n f>riinK<>n <f, j, nolcb« nicht cclbat
Wurxelu di^r mci<:bunfl^y(jt;( = niiid, liegenden vua

einander Tirrsrhi^dcnen rcpllen Wurzel u

lies^T

Gl

ttt-

chunir zd fimlen, ivendf ntin auf die beiden franzen ra-

Lf

/(■

tionalen algebraiscben Funcl tonen /(.-ri und /X-^)> deren
zweite jederzeit von eluem oiedrigcru Crado als die
ertile ist, die Methode de« tfrüstiten g-emeinscbaft liehen
Tbeilers un, jedocb mit dem Uoterscbiede, dastt mau
in den vo rticrgelimden Diviüor nie mit dem zuletzt
Kbri^ gebliebenen Reste Kotbsl', aondern vielmehr im-
mer mit dem Kntj^etceni^cBe.tzteD dieses Restes dividJrt.
und selireibe alle bei dieser Ufieration s;ebraDebtc Di*
viHoren in Vcrbiodung mit der Funetinn /{.t) wie folgt
in eine Reihe:

/(^), fi^u Ai-^l /.(^K /.(^).

Setzt »an dnon in dieser ReUie ac = a nuH x = j, so er-
hall man die beitLen Reihen

/(«), /•(»). /,(«), /.(«), /.(«) ;

A^h /'(*). /.(*). /■.{*)' Ai^h • - ■ -

und die ^esurbte Anzahl der zwischen den g'efrebeneD
Grunzen 0. & Meidenden von einander verxrhiedeuGD re-
ellen Wurzeln der (Jlcicbung /'(.r) :i=0 ist nun jederzeit
der Dilfereoz gleich, WL-lebe man erhält, wenn man die
Anzahl der in der zweiten der beide» oliii^eu Ueibeu
Vorkommeaden Weclmcl von der Anzahl der" in der er-
sten der beiden obigen Reihen vorkommenden Wechsel
ahxieht, wobei man niebt zu iiberselien hnt, Ahsh bei der
Zählung der in Rede uteliendon vurkommenden Weehsel
verschwindende (ilieder dieser beiden Keihcu ganz ua-
beriie.k>ii<- li t i^l gelaNsen werden.

Mittelst diesen^n jeder Iteziclmnc; höchst merkwUrdic^en Sotxea,
dessen Frfindrr Stnrm i<it, lüsst airb aUo die Anzahl der nriarheo
jeden zwei gegebenen Gränzen liegenden von einander verschiede-
nen reellen Wuncidn einer grgehcocn Glclcbung in lUleo FhlleD
mit völliger Siciierheit beNtimnirn ").

Bezeichnet mau die AnzdhI der Werh«el in den Reihen der
Vorzeichen, weiche die, diu hJichslen Potenten von ^ eothaJteaden
Glieder der Functionen

/{a.-}, /'(.r), /,(^), A(^), /.(^j, ....

*J Ilerr Mciicno legtet in seiner Abhanillung ans A^r Lehre vom Excess
der gebrwcnenen ratinjialen :t|gebrniHi:hen Functionen auch noch die
Sütve von Rolle, Hmlnn, Foiirier, DesriirtoH ijbcr die Aniidil
der itviücbi'n gegebrripii tiranrnn licgetiilcii recllm Wurxebi ilrr Gki-
cbtinren mit ^na^i'iT Leirbtigkeil. ab. Du nbur itiitsi! SkizK iiurGr&ssen
giif[etien, welclie ilie Aii;tahl der iwtsclitn den gegebenen Gränion lie-
genden reellen Wuncin niohc überüteiHcn kaun, io g«ii'6ren «i« )«tit
weniger zu imsorui 2tv«cke, unil wir werden dieselben dobir, um die
Turlii-gi.'^mli.' Abhaadluijg joiit nicfii. tu xi'lir iiuN^tuilrbiirti, xa ilrin Gn^en-
Klziiile eines Kpätcrn ciffncn Aiifs»Cxc»i mncheu, in »elvheiu wir uns m
Betreff der Lelire %om bxceü« auf Abu vorliegenden beliehen werden.

crlialten, wfnii rona fiir x «ine beliebifi^ nef^itire oder poGitifr
Grösse »etil, rwipfciiv« tliirrh ,4' und 7*, und lil*«rleg(, da» n«cfa
4. 19. di« Vorzricken der Grüssen

/(- »)t /'(- *). /.(- a), /.(- OC), /,(- GC>, . . . .i

/(-h OCJ. f(-^- OC). /,(+ 06), /,(+ QC). /,(-!- 05)

mit Av.a Vurxejrbcii ihrer die IiücIihIcii Potenzcu vao — OD ul]
j- uC eollialrcDdpii (i>li(>di>r rinertpi i^ind, nlüo die Anz&ht der
Wecitsel in dtr crslcn diRner beiden Roilifo offenbar 3', die Anzabl
der Wechiel iu der zneitea Reibe /'ist; so wird van sieb mitteUt
des obiffen .Sutze« uitf der Stelle überzeugen, das* A — P die
AnzuliF der Ritinuitlirben rou einander verorhiedenen
rcellpn Wurzel n derGleicbong /l(a')=:0 ist, Dnd also nach
dies« Anziilil niif diese H'fiiae immer mit rülUger Sidierheit lic>
slimini werden kanu.

Bczeicbneu wir codücb durch die Anzahl der in der Reihe

/(*>)■ /-(O). A(0). /.(Oj. /,(oj

vorkonmeudeu Weebscl; lo ist pacb dem obireQ Salse X — 9
die Anzalil der aänoitlirheD von einander verarbiede*
uen uejfutiyen, O — P die Anxalil der »aaimdicheo Tun
einander verschiedenen poiitiven Worietn der Glei-
chung' /(.f ) = 0,

Bcatimmang der Anzalil der zwischen gegebenen GrsB>1
«en liegeudcn imaginären Wurzeln einer gegebenen

tileicliUDg.

f. 31.

Wir wolteu zaerit zeigen, dau jede imaginäre trrüssej

w^-v \/ — 1, in trclcher Ubrif^ens uueb r = sein kann, wenn q
eine gewisse iiosilive lirüsse, la tinen gewissen Bogen oder Win-

Jtcl bezeicbnel, unter der Form p (co« 1*1 + sio tit\/ — 1), so daas

« + » \/ — I := g (cos oiH-sin Ui\/ - — IJ

Ül, dorgeilellt werden kunn. Dte toralebende (t)eichong ist näni-
licli ert'iillt, wenn sioU die beiden GrÖ>»e» q und bi, deren cmlerr
poailiv «ein soll, iio bealimmcn lasMD, daai aie den beiden Glei-
cbungen

q cos (u^w, p sin 4(1 = t;

genügen- Quodrirt mnn diese beiden Cleirbongen, und addirC aiej
^Bnu zu einander, üu crbält inun '

47

Qusdratwonef poiitiv geBonmen nrerdeu muss, da ^ nosi>
soll. OiTidirt mau mit der «rsten der beiden obigen (iilei-
BO in die zweit«, ao cchalt nuuL

I < , v

Bud folfi^lifb . wenn wir durch Arctaog — des der goniometriacheD

Tongftnt« — cntfprücheDden Bngrn bexeicliiK'n, weleker den klein-
sten ab&oluicu Wcttli Lat,

üi = Arctang — ■+- Jtjr,

wo X eine ganze Znlil bezeiclinet, über di« nun noch die folgende
Bestimniung' g<-L;<-lii-ii werden inuiw.

Ana der var«telicoden Gleichung folgt

cos uti^( — I)" , cusAretRDg -^, sin w ^( — 1)* . sin Arctan^'^ — .

Da nan Arrcanf; — - d«n der gonio metrischen Tuogente — ent-
8|trecUendea Bogen bezeiclinet, »elcher den kleinsten abHoluten
Werlb hat. io ist cosArctang ~ immer posiliT. sinArctung -^ da-
gegen int |>ot(itiv oder negativ, jeuncbdem —- positiv oder negativ
'bt Also 'ist

cos ArctAiig —^

— ■ , , sinArctong — s=- ^

die dnudrntworzel positiv genommen, und folglich

n Arctang — =^db ■ .'■ ■ iinÄrttang — =

K»'

tfl

*

^dn« obere oder untere Zeickeu eenommeit. jennrlidem « pnsitiv
I Oller uegutiv ixt , woraus tiich lerncr uuniittelbar ergiebt , dass
liaiiner

coa Arctang — ^rt— ===^, sin Aretang — ;^ ± , .

niid folglich

^ cos Arrlaug — :^±v, (j sin Arctang —rsidb»

Ist, wenn man nur immer die obern oder untern Zeichen nimmt,
jcnachdem « pusiiiv oder negntir ist. Tnlglich ist nach den
Obigen

^ cos w = dh(— 1)*.«. e «in M = ±(— I)*. r,

Iwchb atan die obern oder untern Zviclicn nimmt, jennchdem «
Flioxitiv oder negativ isL Nimmt mau nun aber nur die ganze Zahl

s (i;«riicle oilpr Haj*Rrntli'. jpntrbdRn m |tnHitiv 04t«r aeffaliv ist,
iKt JGiIrrteit

wi« «H dem Ohigen iiif»lgc rrforderlich ist.
Aiso ist

w=.4rctiiug — -4- «ff ,

w«nu miiti uur die nn sich ührig-ens f^unz willkiibrllrlie i^anz« Zahl
X g4>r(i(lo ndi^r iingirail« aimnl, jciiAch<lpm die (■rosse tt positiv uil«r
negativ ist, wudurch nun howiihl (/. als aucb (u, vallkomtneii be< '
stiaint ist,

«. 32.

l^rhrHatx. V.^^ sctcn « und e> zwei Fanrtianen der]
veriindcrlirben Criisse «. die zwisclten den GrüDzeni
s:=gg und < = «, KtBlifT sind, und deren JRde für «^r«;
« = jt, glcicbeWerthc «rrlialt, no dait8. wvua wir die den
Wertlien *«. •, der t eränd vrltc lirn Grosse # «ntaprecheti-
den Wertlic divsor Iirii3pn Fuucliiinrii ri>Kpt>ctire dnrcb
*o' *'a "•"' ""■' '"i l»«*ei'^bneii. »0::=«, und «, = r, inti ••i
Ult wenn wir

«f -♦- r 1/ — * ^ e (coB w -H sin w l/— 1)

setzen, apd annehmen, dnss anrli derBogrn bi eine vwi<
sehen den tiriinxen « ^ «„ und <^«, atetige Function'
roti'sci, die den Cranzwerthen^oU>id«, der vcrüuderli-
dien Orü»se « eattprecliea den Werihe vun w aber doreh
(V, und (iJ, tiezeiclint;», der den Gr;%nsen «„ ntid #, eot-i

spTtfcliende ExeeiB der Function -— der Grosse — ' *'

gleich, wo n die beltuniite Bedettiunif hat.
Beweis. Karb dein \urigeu Faragr;i|ilien ist

v

w = Arctttug — -f- j<;r.

wn die An sieh willhijhrltciie ganze Zahl x gerade nder ungerade!
zu nehmen isl. jetiachdein w ^»OMitiv oder uegutiv isl. So lange m\
sein Zeichen nicht rvründert. ist also x roni!t»a(, oder kann we-l
nigslens immer iil« rori.«tiiiit niii;fnominen wprden ; ändert aber w\
sein Zeichen, so musn jederzeit x um eine Kinbeit vermehrt oder
vermindert werden, oder inun inus.s niif lii-r rerhlen Seile der obi-
ge» filciebung 71 iiddiren »der subtnihiren, wnhei eü übri^eDS an
aicb gAiiz willkübrlich ist. ob urna das Hrst« oder diu Zweite ibum

will.

Hieraus ei^ieht sieh nun unniitlelbur, das«

üt — uia =! Ar<!tang — - — Arcl«ng -;^ -^ i»

ist. wo die ganze Zulii Ä ^u lange roiisUul iat oder wenigsten»
immer als r»n.<ttnnt unbenommen werden kann, so lange « sein
Zeichen nirhl Ünderl; ändiTt nlier « .-leiu Zeichen, so musn jederzeit
X um eine lilinlieil vrrmrhri oder vermindert, oder es lauss auf der
reditu Seile der ubigen Uluichang it additt oder RubtraliirC wer-

49

f

tleu, wobei ea au »leb gaox willkiibrlich ist, ob siau (l»s Erste vder
dtta Zweite tbot.

Wir wollen mm aDnelimcn. dass « sich van «« bis «, stetig
rerftqdfre, sn verändern Kirb dep genacfalen \oraujMictzuitf^D f^e-

BiUss aucli die Grniiseu w — Wa uud Arctang -7 -Arctsng ~ sietig.

Da nncb der Voran »kg ^JUngf die Fiinetion » sioli stetif^ t «rändert,
wenn * sirh von m^ bis ji, sleliir ändert, sn wird xiviarlien de»
(kränzen 4:^X0 und s = a, mit jVder AcadL-ruiiK des '/.vichptts der
Function » ein Durcbgnng derselben durcii tia\\ vcrbnndeo .sei».

und die Fnnction ■— wird dnber jederzeit, aber auch nnr dunn,

ihr Zeichen ändern und durch l'ueudlicb fiebtn, nenn v sein Zei-
chen ändert, wenn nur xwiscbeii den l^raiizen « :;;= *p und s ^ t,
die Fatictionen u und p nie zuf^lelcb verüeliwindeD, wclrhex »her
mit der Varaiiiwietzuog, dnm u, und folglieb nnlürlieb auch

Arctang — , »ich stetig verändern snit, wenn t »ich von t^ bis «,

stetig verändert^ >n Widerspruch iitebcn würde, indem einem «»leben
Bk■icll2vili^l'n l'eräcbffindeu der Funcliunen » und t' der völlig uti*

beslimnite Wertli Arctang -^ von Actang — entsprechen wurde. Für

« = 4« iüt

vUo

li/^Uo, Arctang— =Arctaug -* ,

bt — Wo =. -arctang Arctang -*.)

I

oder ^ = 0, und diese Gleichung bleibt no lange richtig, so lange
w sein Zeichen nicht ändert, oder, wak niirb dem tlhigen dasselho '

ist, — liciti Zeichen nicht ändert und duri^b dua l'netidliche gvht.

Aeodert nun aber daa erste Mal v aeiu Zeichen, nder findet, was
nnrii den Obigen duüselbv ist, das erste Mul eine Aendcrung de»

Zeichens nnd ein itDrcbgang durch d;i& rnendliche der Functinn —

Statt, so Blum man inif der rechten Scitfe der obigen Gleichung a

«ddiren oder subtriihtren. Geht — vom Nei^utiven durch des Uo-

endliche zum Poüitivcn über, 80 springt Arctang —- mit einem Male
TOB — ^x za -\- Iji über, oder nimmt mit eineni l^lale um »
H; gebt dagegen — vom Positiven durch du« Unendliche zum ^c-

guliven über, so springt Arctang ■— mit eiuem Male von + -J iv «u

— Jir über, oder nimmt mit einem Male um n ah; weil uuu w nach
der VorauHsetzuug zwiüchen dun Grnnieu m^m^ und 4 = «, stetig
sein suH , itu niuK» mitu utl'enhiir auf der rechten Seile der obigen
Gleichung im erüteta Fiille 7s suhtrahireo, im zweiten Falte dagegen
jt addiren, oder es wird

w — w„ ^ Arctang ■— — Arctang-* + [—l]f: 7t
Tk.1i I. ° 4

50

s«iD, wnrti tniin nttr fiir ju, eia« aogenHle oder »In« gtradc 2«U

seist, jenacbdein — durcli da» Uiiondlivlie ruw Nfgutivfu zbn Pusi*-]

tivrii nder rnm l'oHilivrn zun Nrifativi^n übfro^bt. Hieraus rrfiriebt'
sicli uiirr sv\\r Irirlit . tiiiss. wcnD z^tUclirn tlvn in Kr.Ji> sIcluMiilrn
Grunzen üli(>fliau|)t /' mit einer Aendviiiug Je« Zeicb«DS Terbuiidvn«

DurcfagÜRge tier FudciIou — durcli das CDvadlicIie Statt GnileD, je<

dencit

oder

m, —ta^

=Arfloiig^-Arclaiig|^+i(^l)/'.-|-(-l)/'.-H-I)''H-.v+{-l)'''>j
»io uirtl, wu in der Reihe ^,, ju,, fi^, ...ft, alle ungerade Zahlca|
narehgiDgPD der Fiiiieliun - durcli das ünendliclie vom Negati-
TBD zum PositircD , alle gerade Zahlen dogegcti Durch gangen deti
Fancüou— durch das t'aendlicbe vom rosiliven zun Negativ«* i
cntafirecben. Ist nnn e der den Grünxcn «^, «, ent:jprccliende|
Exeesa der Function — , so ist ofFenhar

und futglich

w, — tt», ^ Arctnng — — Arclang — — ivr.
Nach ilflr Voranstielzung isl ober Vq ^ v,, p^ ^ ir, , niso aa»!
riirlicli ftuch Arctang -* = Arrlang — ', und Tniglicb

bi.—IOr

— «n.

BczeiobDct jetzt e den Rxcests der Funclton --- fiir die tfränien

#„ und «,, HO ixt nach (.23.^ weil die GrÜBseu -^ und -^ ei na oder '

gleich sind, shu nntürlicli uucli gletcbc Vorzeichen bttben, f | r 0,
e^ — f, und lulgÜL-b tu, — w„=«7r, alsu

wie bewiesen werden sollte.

$. 33.

/,cAraaf:s. Wenn, indem «, r; «', t-'j «", t''; «"*, p"'; a. g.ir.
Fsnctiuii^n von .> Rind, welche, so wie die auf analoge
Wcio^ wi<^ i"^ varigen ParagrB|ih«n bezeichneten Func-

'tAuen ((>) f't C'": c I sämmtlich den Ucdinguageo

c» vorigen Satzes gentigen, und

51

litt die den Grinxca «„ and «, eiitHprvcliendftti Excetsc

der FnDCliooea — , jp-, p, ^ , a. i. w, und ^ Bb«r re-

speclh'c darcli c, e'. ?'. t^", u. a. w. and E Itcsciclnet wer>
deu; so ist jederzeit

E = <? -f- ^ + «" -i- «^ ^- . . . .

Beweii. Man epIz«

* -f-" 1/ — ' =ß (co»w +iiiii{d \/" — 1),

«i* -4-^" |/^ = q' (co6w' -hsin«' J/^),

U. Ü. w.

(«-!-«' 1/—1) fw'-^ ff* 1/^)(«''H-P"\/^)

^(ip'^...(cosiu-|-BinwV/ — I) (cosw'+sinw'l/— I)

(COBlu"-hBinM"\/^l)

BO i«t, wie man niltcUt leichter Rerltiiung lindi^t,

(^^vyZZi) („'+,,'1./— l) (,^>^,/y—i)

^(jp'p"... }co8{(« H-w'-l-w"-*-. .,)-!- sin (w-i~(u'H-w*'-4-...)l/^j»
aiiii fnlj^icli, wenn

t -^-V\/^\ = Ä(ci>sÄ+ Hin J3l/^)

gesetzt wird,

/J = p?VV'... und .*2 = a,H-w'-|-o>+to"-4-...,

WoriHis ftidt tiiiiniltcllmr orgiebt, dnsa Aiirli ilic Fuiictionen V,V,5i
dnn ltt>fiincriine:<-n At-% \oriifcii .Snlxcii vvIUlatidi^ gviiittren. Bpdtrnt
mtin sicli nun tiltnlii'lier Bcxeicliituiigen »vi« Wxm vorigrii Natxc, so
iRt niicli dics*m S»txe

. — ^

w.— »o j, 0»,

;^^^«u:;--«l^

and

/: =

Ä.-a.

VVoil nun nucli dem Obigen
und ful^licb

ist. tto ist

tE= eH-e' + c^-Hc-H-
leTTieaen werden sollte.

52

«. M.

Wir wAltcn unt jetxt iu «iu«r Kbonc ciue f^clilAitene Carr«

(lenken, wnllcn in (lersplhi?n einen belieliigon Punkt ^ als Anfangs,
punkt ilcr Hoi!;cu unucliiiivn, und wiillfD, ioilem wir oin bnlirliigns
ruclitwinkligcs (.'uordinotcnsy^^tetu zum (iruude lei(en, die Tuurdi^
Daten o*, y eines jeden Punktes dieser Corvo aU FunclioncD des
TON dem ÄnfungNiiudkle 91 uii imeli einer lieitliuinileii Kielilnng^ Iiid
geooiiinienen . und bei dem Funkte (^vl ^<cb endi((enden Bogcno »
nenelbrii lietritelileu. Der ^inze Initani^ der Tnrve null durcb e'
be^oirlmet werden. Ist nun der durch die t'uordin-iteD cc, /? be-
sHriiuIc Punkt A ein iranz beliebigrer Punkt in der Kbene derCiirve,
HO sind nnch den einfaebslcu Formeln der l.ebre rnn der Vemaad-
lunif der Cvvrdinutcu x^t*,, y — ^ die Coanlinaten des Punktes (xy)
derCurve in l)ezu)j( auf ein dem primitiven (tamlleles C'«ord luateu-
Hvflteni, dexsen Antnng der Punkt A ist. Und, wenn wir

jr — tt^^cijsw, y — j^ = ^iiiuti/

seixen , HO siad b>, ^ die »ulareu Cnordinnten des Panktp» (.tu) in
Btiutr auf den Punkt A iils Pol und den positiven Tlieil iler
.^b»eikieniixe de^ ücrtindaren recktwinklizen Svittems nls Axe der
[lularen C^ordiouten, von »elcber it» die Wiukel oder Bop^n (U
nacli der Seite der posiliien set^midüren reclituinkligeu Ordioiilea
hin gezählt nerden. uezeicbnen wir nun, imleni wir unnebiaen, duss
(u sieb «itettfi; veriindert, wciiin t sicli ton bi« r Mielig verändert,
die den IVertben und c des It<i&fens a enlnprechendcn Wrrtbe
TOH ta dureh cu« und ur,, so ist niieli $. .Vi. offenliar

der den färänzen und c enlaprerliende Rxcess der Fonclion — — -.

Hierbei iül anpenotniueii wortlen. düs^ a »ii^li lon bis f stetig
verÄndcrC, oder dass di^r Radius l'ectur p den (toukcu Imtitofr der
Curve vou AM au bis wieder zu AM dureblaufen babe. Livgt
Dua derFuokt.^ oder («i^) innerbalb unserer Curve, »e ist ofl'cutiitr

w, ^w, -I-Sff, w, — w, =2ä, 8 = "'" * = a.

Liegt dagegen der Punkl A oder (äj¥) aussertinlb uDserer Carve«
liO ist uffenbnr

W, ^ «„, W, — W,. ;= 0. «f = '^ ^ = Ü.

_ •

Der den Gränzcn und r eotsii reckende Kxces« der Function ~ ^

i«l alan % orler 0. jenacbdem der Punkt (a^\ innerlialb oderiiuaser-
bnlli der Cunc liegt.

Wir wutlen nun Bunebmen , das.-) die Gleichung des j«t«ti
Gnid(>s

' einander ungleichen n

i+^l/-». tt"!-/?!'"». ö"+ri/-i, ^^'+/ri/-i, ....

i« » samiBtlicb nnicr einander ungleichen reellen oder iinnginäreii
THncIn

53

'80 ist bekaontlich

i^-""-i-(y-ni/-M'

Ule dcD (^räazen 0, e vntspr<>-chrii(ttn Excpaac der FunctioD«ii

X — tl X — «' X — ti' JN^«'"

p-i*' y-r *-r' y-r'

wollrn wir «loirl ^■. c\ <", «"',.... UexcirlintD. uad wollen nniiph-

Dieu. dafi» kriner «icr l'iinlttc (« /»), («' ff), (li' /f"). (u'" (f)

«in I'uiikt uuscrcr ('unc Kt'i: s» ist uncli di'tn Vnrlivrf^chenden

<? =2 oder «• ^0.

e' =2 oder e =l>,

e" =: 2 oder <?" = 0,

e'" = 2 oder *r' = Ü,

II. K, W.

j idcni die Punkte (« /?). (a'/f), f«' ^''). («"'(Tl ianerhalb

oder »ussorb^tlli der Curie liegeo. BcKvicIineD wir dulicr die An-
ziilil der innerbulb der t'une HegeDden Punkte durrb ». bo ist,

weil die Kxresxe *•, p', *?", ^'' der 2 ^i'^i'^b "iod nder ler-

«(.-bwindcii , jennrlidcm die enlBprecbeuden Puokte innerbalb oder
Huaserlialb der Curvc liegen, ofTenbar

2*1 ;=e -4- *' + «"+«"+

onil folglicli

« = j .

Setzen wir nun aber

•JHO nncb dem nbigeii

WT

und bezeicbneo ^n Kxcesit der Function -y für die Grannen 0, e

\\ E\ 80 ist nflfli %. •Tl.

it'=*-H-«' + e"'H-«"-|- . .. .,

and nach dem Obigen folglich 0« ^ ^£% wuraus sieb der folgeode
merkwürdiife üuU vr^^iebt:

E» ).pi/<.»'4-y t-''^-l)=^'+ F V/— !=*> «ine belie-
bige <:ieiohun? mit lauter ungleiclieo Wurzeln. Wenn
nun iii einer Ebene eine geacblmiBene Curvc, deren Tm-
fong r sein mag, besclirieben iHt, und die recbtn'inkli-
pou Coordinaten der Punkts dieser Curve «I9 zwischen
den Itrxnzeu und (' sti'lige Functinncu der entüpre-
chcudcn %'ou einem gcwiKsen Anfangspunkte an gerech-
neten Itngen der Curvc betracbtet werden künuon; su
Ist die Anzahl der innerhalb dieser Curve liegeudea

5t

Ponkte, dßrea Coor dinatcp. [iäx ar und sf in die Cl«i-
chung /(^H-y V/ — l) = gesetzt, dieser Glcicliuns; ge-
nügen, jederzeit den hiilbeii Bxeeise der Ftmction -9

für die (irünzeii 0. c grleicb, w«nD nur die Curve so be-
schaffen iet, d«Bs die Courdiustcn keines ihrer Pun kt^^
für jv und y gcfletxt, der Glcicbiina; f{x-^y\/ — 1)=0
genügen.

«. 35.

Wenn uoa nun die Unter ongleicbe IVorxeln liftbende Gleicbt

cepfcben ist, so wollen wir jetzt zu bestimmen nurhen, wie viele
VVoracIn dieser Gleirtiung es triebt, dt-ren reeller Tbeil iwiscben
de n Gr unzen x«, \, und rlorcn Fartor der iiuaginüren Grusse
\/ — 1 zwiscben den (•räuzen yo- 1' cn tlialten isi, wobei wir abet
•nnehneD wollen, dnss a;-\-y\/-^\ weder fnr ^=:=;^^„, uocli
ftir ^= X. noch für y^y^, noch fUr y^ I' eine fViirzcl nns&-
rer iäleirliun^ nird. Zu dem Knde wollcFn nir uns x^^ y^ und
X. y oU die rei'hiwiiikligen Courditinten zweier Paukte in einem
beliebigen recblwiiikü^ea Co urdinat^n Systeme denken, und wollen
dnrcb die Kiiduunkte der den Urdtnuteii y^, 3' ents^irecbvndvn ge-
railen Liniru l'anilleleD mit der Absriüsenaxe ziebeii, 80 werden
diese ParaMeten in lirnieiDscti»ft mit den. den Ordiuateo y^-, V ent>
sprecbenden. nötbigeoriilU viTlünircrten Linien jederzeit ein Rerht'
eek ainä<<li1iesäen. Die (.'oordiiiatcn eiuea jeden Punkteü innerhalb
dieses Rechtecks liegen otfenbor zwincben den Grunzen .Tq, X
und yo' )'? ood nuKer« Aufgab« wird daher offenbar gelöst sein,
wenn wir beslinunen können . wie nel Punkte inneriiHlb die»««
Rerhtecks rit gieht. deren C'oordiuaten tur a: und y ge&etzt, <lsr
gegebenen (äleirliung «

/(.r -4- y \/~-^) = ^-^ >' l/^^ =

genügen, auf weirbe Iteülinimung wir demnacti jetzt unser Augen-
merk ullrin werden zu nebten buken.

Die dureh den ICndpunkl von y« gehende, der Absei&senaxe

tiurallclc heile uusers Rvrbtceks soll als die erste: die durrti den
CndpunkL von X gebende, der Ordinulenuxe parallele Seite «nll
uU die zweite; die durcb den Knd|(Hnkt von 1' gebende, der. Wj-
Hciiuienaxe parallcln Seite soll aU die dritte; die durcfa den Knd-
punkt von x^ gehende, der Or<linateDase parallele Seite soll nhi
die viert« Seite UHKertj Kecbterks nngenninmen werden. Für jeden
Punkt in der «raten, zweiten, dritten, vierten Seite ist rettpectivc

y^yo, x=.X, y=¥, ar=x^,

und well nun nach der >'oraafi8e.tzung nie

/(X-t-y i/-l) = 0,

A

^o

y l/-M=0

au

I

*

MIO aoll, 50 gviiügeo die Coordinat«» kcitie^t Punktes in licn l'u-
fanii^f uiift«rs Ri-rhtfcka der trfcroli^ii4>ii t'AfieUuD^/{,r^«/\,^ — 1(=0.
ami drr rvifnng iÜcsi'a Rrrtilrcks kiiiiii &lftn bis illr int iurr^«n
l'arUffrapbi^ii biuriirhtvK- fri-Hi-lilnsArnp ('iinc angcnuunicn urrtlrii.

IHc l.ang'eu .dvr Tit^r Seiten uosera Rcriiteck» seien titirk der
R«")!«* c,, c,. c,. r,. lind '"^ t, -4- fa -hCj -t-r« tsei der guato
tlmfaof des Hcckteckfl. I>cr Kurse wegen wollen wir

F = 5K'*. ff)

««Ixen, uud der dea (irntixen «=^tl, t^c, wobei der vorige Pa-
niKraiili xu rertrti^irlieii ist. oiits{ir(>rliei)de Rxres<( dichter Kiinrfion
Ml A""; »« ist nacb dem Jn vorif^n Piirafrraphcn bpwiesruen
Satze J ff diu Criisse. wirlHie wir Kurti^n, und ea wird uuii dnrauf
unkoniiDf!!]. zu xeij^eu. nie der Exres& A' ^fuuden werd«D kanii.
' Für jeden Punkt der «■ntten Neito ist i^^^^y^ and fulglick
4)»(x, y)=Q;.<.i*. »/„). Für «=iO atid *^r, ist rM]»ectiT« a.'=.«-„
and J.*^ Xi »l»o ist der Kxccs»! von y^a;. y) für die Cränxen
«^0 und s^Ct (ifletiliar dem Exeoaüß von «(.r. ^a) f^'f 'ü'^
ftränzfii jr:^.t„ und .f= .V, welrli»n wir durdi /i'y^ beKeicbnen
wollen, gleich.

Für jr.deit Pniikt der Kwrileii Seite ist ,-r^ X, nnd folgÜi'li
jp(:r. y)::=y(\'. y). Für *=r, nnd *= r, -h c^ ist y^ry„ nud
jf^=Yi als« ist df.r lixrwiH vnti y(.r. y) fiir die Cranze» # = <t,
uad *^r, + c, dem Ksresac vun y('^^ &) ^"'^ '"'' kränzen

f/^y„ und y=^ y. Wf'lclien wir darrli durcb Ä'j: beceirhiten wol-
ea, gleicb.

Fiir jeden Punkt der dritteo Seile ist y^ K and folglich
jp(j7, «] = jp(.i;, Tj. Für j = c, H-r. und * = r, -f-c, -f-r, i»t
.ir= \ und .r = .r,; iilsn ist der t^xress von y){.T, y) fiir die
C>ritnxru < = f,-, -\-t-i und «:^e, +^, -f-r, den Bxcesüc loo
9»(^, l'J fiir die Grunzen a-= X und a: = A\, welcbeo wit durcb
£*'r bezvicliiien woIIini. gleicb.

Für jeden Punkt der vierteil Seite ist .r = a-4, und fnlglicli
y/jT. y|=jpfj-„. y). Kür *=c, +«,-*-(?, und «=:r,H-r,-t-<-,-H-^=:c
isi y= } und y=r/o; iilso ist der ICxress von g^fvr, ff) für die
(«ranzen * = r, -t- r, + ^, »ml * = c, -H c, -f- c, -4- r, ^ c dum
BxresBe von y|.r^. y) tVir die CrÜnneu y^l'uud y^y„, welcliCB
wir durch f'j-, bezeichnen wollen, glelcb.

Auf der Stelle erbelkt nun nber jiu.'i dem altgemoiucn Begriffe
de» Excftsseft die Ricbtigkeil der OU-irliung

tro

£V„. ßx, £*!, ^*„
die Cxeetisc der Fuuctiouen

y(^. ff oh v(-^'- y)> yt^r *)- y(-*'or y)

für die Grauion

aiBd, welrlic nach den in der swetten Abtlieilung dieser Abband-

long gegebenen Regeln immer berechnet werden können.

56

Botck-liueD wir iiuD iiber ilie den (irHDxen ^r«, .V und y«. V
enIsprecbeudeQ tCxccsse der Fuacüooeu <p[ar, ¥) nod y(.r„ y)
durcli Ur tiud £.^^1 so vrlifllet aiix dem iillg«meia«D Begriire dnt
B\c<-iui«s «uf der S(«lle, dut>s

£'> = -£!, ir,. = — £,,

Ut, uod nncb de« Obigen ist folglich

uod also die CirÖssc, welch« wir sachBo,

wo

Ejc, £V.. jfi^r. £",.

die Exccsac der Fnnctionen

fär die GrHnsen

y«, >*; yc- 1'; ^o* -V; ^,, .V

nind, welrlie nurli dou in dfr zweiten Abtbcilunf^ dies» Au&atu!«
eil twic ketten Rp^rlii jederzeit i^cfuiideu werdeu kunnen.

DaR in dem \'nrhergeheiulETn cnllisliear, rnn Canrliv G^efun-
deue, )u jeder Uezieliutip; liüclist uierkwürdig^ und wicbtiire Theo-
rem Jät, ig VcrbiDduDs^ mit dem SaLxe vou äturm. und den in
Obi^ii entwickelten nllgouit-inen Rej^eln lur Berccbnunv des Ex-
cessca gebrochener Kuuctiooeii, im eigeiitHelieD Sinue a\» neu g«-
wnnnene^ Land in der Tbcoric der Gleirlmn^n zu betraHiIca,
und wird aU «ine der wicbtiipttrn Krlindnngen nuf dem Gebiete
der Mnilieiniilik dem g<-genw»rhge[i Jiibrbuiiderl jederzeit zur Klire
und zum Kulime fi;ereicbcn. wobei aucli uikIi die ganz elementiue
Durstellung, welche man im Obigen kennen gvlcmc but, gnnr. be-
HODilerx bervori^eliubeir zu weriien rerdient. (iant ricbtig sBot
Berr Abbe Moigno im t'ingangc seiner Abhandlung: .,Liigrnnge
et Legendr« nurnicnt en effet eu de la peltie a croire qa'on orri><<s
mit pnr des (irnei^de's tres el^inentnires h di'Ierininer, |iuur nne
^untion de degr<< quclcuni|üe.- le nombre des racines iini(|nnairpa Ml
dout la jiartie reelle et Ic cocIGeieut de 1/ — I Kunt eom|iris cntre V
des liniiles donnt-es"; womit wir unsere DiirslcUatig diebCS bftcliat
wichtigen Gegenstandes leschlieitKen wollen.

VI.

Nene Beweise einiger Sätze und allgonieine
Bcuierkungen Über eine in der Aualysis iu ge-
wissen F^leu gebräuchliclie Art der Bewcis-

fülinuig.

Von dem

Hvrtn DocLor Stern

XU GöctingeiL

l^iuc i^roKHR Auzulil <:Dtiit>iDiilfiriHrhi>r fj^hrsätzr, wird bin jntzC
in den l.clirburtiern diidurcli bewienvu, diiäx uiun sie an die Ue-
traclitniig viiii-r nucb dua PuteuzcD eiD«r lieliebigen (Jrüsüti x Turt-
»chreilt-udeu Knihe (iiikiiti|>r(, LMiliiii ^'Iiort x, B., um nur ganz
Biein«ntiireK su «rwäliiipii. (ins üliliclie Vcrfiiliren. wie pihii die He-
CUrsioiisfon&pl filr dir l'ocfliciciitcn der mKtd Potcnx ciucä PulfDo-
niuiu<i. d«-n ZuHnmmenlisng der Corfficicntcii in der Ex|)nn«iitialroi]ic
und AcliitlicIiL'ü liiidvl. Auch die mcrkwiirdigrm L'titi:reiurlju»<r(>u
übvr die Tlieiluu^ drr Ziilili^u , wcit-be Eulür id tLftii 1<J. Cap.
8«in«r t^ipti'iiuut; in die Aniilysls des UDendliilivu uuffVHtvIH Lnt,
bernh^a t(xiulirb auf Itf^IrnrUtiitiff' Kolchnr KeiliiMi und «^ü ist liia
j«tzt, BO Viel mir bekannt ihU niclit gelungen, die dort ^«fuud^neu
Kütxr, die clt-tiK'titnrKtcii tili^rrrrclincl, obne lliilfe der Keiheti ubxu-
IcitcD. So frurhtbur nuch Hirse Art der Rowf^iartibruD^ ist, so
srbeint sie docb einen wisttenscLuftlicben Mnnccl zu haben, insu-
tvru tiie ein t-Memenl .t einrührt, ivelcbcg in ilnn zu beweisenden
8ätzeD gar uicbt vorkoiuiut. Sie bnl hivriu Aebulicbkeit mit dem
Verl'ahren der arotbeti sehen (Geometrie, die lliillslinie» eintulirl,
welcbe cbenlallM den za bfn't'iM'i>nd<;ii Nälzeii fremd sind. So wie
es aber in neuerer Zeit gelungen ist, sotehe Kiilfsconstruclioncn
fast G^ÜDzIirb entbehrlich zu nmclicn. so dcbeint es aucb wünsrhiins^
wertli. doHH laun iille Maise, die nicht zu der Tlieuric der Heiheu

frcb<>feu, ubue dercu Hülle liude. leb bolFc bei einer oiidercn («e-
egeaheit aachiuweiscn. wie dies bei allen 4>rwRbnt(!u Kulerxcheu
ffntzeii geleistet werden kauu und will liier vorlüulig mir lur eiaeu
ilerx«lb«D pinrn »«br einrarben Bewei» trebco. UiCüer sehr bekannte

die bciflfn Ump-'l

58

sefapn Prufrresaioa, su dnss jedes <ilieil nur oinMal'
V (irkumiut, durcli Adüiliun bildvn Wann uatl zwar nor
auf (-ine einzige \>'ci!>f.

Die Anzubl irr i'amliinationrn ohne Wiederholungen, die
aus den «i+l t-llementen I. 2, "V ...i" bildea kunii, ist

Täter diesen CombinntiuDstonnpn kniinf-n ni« zwei den WerttH!
nnrh gleirli snin, ^veiin iiiun »irti üic Klemculc ilurt'h Addition ver-
buudcn drnkl. Die zwei Kunme». welche gleieli sein solllen^'i
DiiiisKtCD entweder lioide uder keine von beiden d«ut tieinajut 1 «pt-
tialftn. üei nun die eine

die uudcrc

2'. H-2'. -4-2'. -f. iV,

yo Jtt die Summe der l-ilemcnle hczeiehnen «nl

|)eii geffleinücliiirttioli »Ind. kh iaan als» X',. X-,. ... />. /, . /,,.../«

Ȋmiadick uutcr eiuiindcr verscbicdetie ZiiLlcn sind. .Uan hat"

nithiD

ä*. +2«, . . . ^_St. = 2;. -f,2'. . . . -h2/- .

Uexeiclinet nuu /■, den kleinsten Kxponcnlea. so hätte mau

1 -1- 2*»-*, .,._(_ 2*,-i, =: 2'.-*. -t- a'.-^ . . . -h S'--'

was nnninglich ittt, d» kciur der S^nltlen Xr^ — /-,. ... ^/- — 4.',,
/,—/■, ...^ — Xr, gtcieli NbU geiti kann. Jede der 2*** — T
Comhinationsformen niiiss »Lso einen nnderen Wertli hnKen, Ntl'
ist der >VVrtlt der ersti-n und kleinsten CnnibinaliunriroriR ^1. df
der letzten und ^«issten =iH-ä-|-2* ... -t-2" = 2"'+» — l;
milliii) iniisHen die duzwiscben liegenden roinbinutiuneti alle gan-
zen %«bli.'n twiscbeu I und '^»-t-i — 1 mimI z^vHr jede nur einmal
geben.

Auf dieselbe Wrise kann man nucli den anderen bcknnBtenj
Satz beweisen. Auas mun jede Zahl uua der nach Poltiuzai
Via 3 uufsteigcnden geouivtrlseben l'rogrcitsiuu durckl
Addiliuu und Sübtraktioii, uiid zwar our auf eine WeiaVt)
bilden kann.

In den ^uv. Act. Acad. Petr. T. IX. f. U liodel (fuler mit,
liiilfe der IntegralrecLnung den .'\asdruck

2 7 "*' 7 " II'*" 7 • II • 15

Die Riebt igkeit dieses Ausdrucks lässt sich auch leicbt vem(t<|
teUt der Theorie der Ketteubrücbe nncbweiiten. Es ist nämlicV

* ,^ » »

J . 5

ia-0'

9=:

II .

2»— W'

13 = ^ - - _ ^ u. S. w., mitbio

S9

7-7 . H

16— 11.9

34— IS.»
S2 MC

Venrandelt nan ilipsen Ke(tenbni«h Dock der bekannten Methode
ia rioe Reiho, ho urkält nan den ubigvo Ansilnick.

VU.

Turners Eigcnscliaft der tiu^eradcn Zahlen.

MiLgvtbvilt und bewiesen T»m

Herausgeber.

lo der Vcrsammluiiif brililüclicr C<elebrti-o. wcictie im Septein>
ber 1837 su |jivt-r|)*)ul gf-bnllen nurdt? tlifillt- Nir ^V. Hninilt oit
fulffcnil« TOn Taruer gefundene ICigcn»cbaft der uagemdcu Znb-

Kiiit:
rna mnn dip Hummnn dpr Inli^n; der "itvo und üli^n]
der 4itfti. 5 Ich und Oleii; der Itfu. 8tcn, l>tf-u und
lOtcn; n. s. w. iing«radi;n Ziibl bildi!l;ipu iThäli man
diß Cubi diT uaLürlicbeu Ztthleu uucb der Reibe.
Ua ist DÜulich
I
!

2>= 3-4-5,
3'= 7H-9 + tl,
4* = 13 ^- 15 -1-17 ■
5'=::21-H23-*-25-
ü. s. w.
fwilclics nuf fiilKPiido Art leicbt bewiesen wenlfn kaiii).

19,
27-1-29,

Die ersten Glieder der arilhmetiscbeB Reiben, deren Sommea
Unrch die Cabikzahlen 1*, 3*, 3*, 4*, .... »' dargestellt werden

I sollen,- »ind
I.OH-I, 2.1-f.l, 3.XH-I, 4.3H-I, 5.4H-l,...,«[j»— l)-hi;
-wcIcbcH Icirbt ilurcb den ScbluHs rnn n nuf n-f-l bewioscu wer-
den kauD. indem namtick, wenD diesen («eselz für m gilt, das
I ._ ' • '

60

erfilc Glied der urUlimelixcheD Kviln

Turuerscheu Satic durcli («-|-|)> dar^rvilftlt wenlen sofi, nacli

d<>r Lf>hrp vun deo arittimcti^clien ProcircsitiDticn offenbar

ist, so Aasa als» das bemerkte Gesetz für ««f-l gitt, nenn es fül
» gilt, und ilntier alls^euiRin riclilie; Ut.

Biernacb koinml ctt nun, itm den Tumcräcbca Sats xo
weisen, blosü darauf an, ku zpigcu, dn^ii

«' = f»(«-I)-|-li + |«(«_l)-h3H-)i,(«_I)-t-6|-|-..

-h|ii(«-i)-f-a« — 11

ist. Die Rrihe nuf der recliten Seile des GleictilieilRxeicIieo» ist
ttber eine gcw»iinlicbc arilbmvliKChe Reibe, deren Suuimc bc<
kanntlicb

|»(« - 1) -Mj-tJM«- I) -+- 2» - 1 1

ist, welrlies bewiesen werden isnlllc.

Mittelst dieses Turner>>rben Satzes kann man ntio auch leicktl
die Reibe der t'ubikjablea 1'. "2". 3*, 4', ,...«' aumniirva.

XacL demselben ist onmlicb ofTcnbar

uud folgiicb, weil

{u+\) «—1 = 2

1,

rnUa -{(»-f-l)» die Anzabl der Glieder der arithmetiscbeo Beibc
sut' der recbti-n S<^ite de« Glricbheitszeicbena ist, oaeh der I^hre
von den aritlimetitfelicn Progrcssioaeu

wodurch ilie Nuuiiue der driCtea Potenzen der naiüHicbcn Zahlen
^fundeii iKt.

Als eine Ki^tiiHtrhaft der f^radcn Zntilen kann naa sich (qU
genden ebenf<tlU l«icbt zu beweisenden Salz mvrkca:

l'H-l=HP-M)= 2,

3»-t-3 = 3(3»H-lj= S-hlU-(-12.
4'-»-4 = .i(*'H-l)=l'*H-lö-t-18-4-2U,
5» -I- 5 = 5(5' -1- 1 ) = 'i2 H- a^t -h 2« -H 2«-»- 30,
u. s. w.

«r

VIII.

Ginige Resultate aus verglichenen Barometer-

Hcobuelitungen in Berlin und Neustadt-

Ebersualdc.

Vuu dem
Herrn Professor F. W. Sc-lineider

kB (lef Ki>iii);licliea höliern f'urüt-I^lir-AuBtalt m Neii»la<lt-Et)«rsKali|e.

Kioe R«ilir f(trllniir«Ril«r inotrrtroInBjiNchpr Knul>urlitun^«n . <lie
Icli in ileo J.-i)in-ii lS35 und IMÖ auf > rriinlci5!<un(f di's Herrn l'ror.
BerirbnUA fim birsigtn Orie (Ncuitudr-Kliorsuiild«') secliiinul tä^-
hell iin'itclltp, vrrfi^lirli irti , sonrit nie Aus Itariiuinier iiciniten, tiir
im Zi-ilriium rom I.Jntiuur lii» ll.Märic JSlIO ilurcL |;rii|)liiHcliu
llitrMcllituv mit dcu gkidizeitigRii lleobiicIiluniceD d«s Kerrii Prnf.
Mädler in K«rliii. i>vr Niillptiiikt inrinv» Biiromcteni |Pist ur'svb«»
■nikrniiliii[iiM-li(>M Iltlier-K. %r. 130, iti*r bi^Hij^Pii Küniitl. ForiiDelir-
uu.slatt gfbÖrisf) Iny *i-i.S9 jmriser Fuss libcr Jpr llälsff bei Swine*
mlitiilr. wiir dnrcfa^ eint^D vitu ili^m K. |ti^eiiiriirG;i>ogri>|>licii llerm
R F r rr» m und mir lipwirkr^n \nsrUhisH nn flu» SivrIIrnienr des
Ht'rro .»üjurü Kiivyrr Euiüriioii Sumnntindr und Itcriiu. und zunr
un dip Siiiliun i'ini|iiiiellenb«rp[ Sei Odeibcrg, eriniKell wurden wsr.-^
Hie niinldgr Beottmiitiiiig für duN Mail ■«■rttr. Iie lEnrumelrr ixt aiir
uicbt bekannt newordeii: nur h» viel ts( gvwibK, daiü eine llriben-
difrpri>iix licider Uf»h<ii-li(iinji;»orli- vnrliiiiiilcn uar, und diene uCniff-
stena 4.*> Fuss (llerlin ülirr Neusladl) brtrnt^OD musale. (Vorgl. \i-
VPlIciDPUt zwischen Snincmiiudr. iiud Berlin, von J. J. Bacycr,
Berlin 1S-4I>, >>piti' Pl^.) — Die IVläd I Br.irhen BRiibnrhrungen <-iil-
nukui icli uus der lt«cliuer VuitsiiKbcu ZciiuMfc. >vu aiv für +W'/i.
NarukiilteiDp(.>ratar des tlnecksilbers , täglich Diitgülheilt werden,
niKlidem ich siir wie die lIlfini^-(■^ jiut' U" \oriiiaiteni|teriiliir reducirt
hftrtR. Din linriionüile Entfernung hf-idcr Beuhnrbluntrüorie betrügt
ohnir^rnhr 6 »eilen' und itirc Vcrhinilungslinie, vnn Berlin nus
nurdüällieli, fallt in die Richtung der lierrürlicnden stärkeren VViude
und Murine.

Die Barumeterntüode während des üben bezeicbnelCD Zeitmutiis
waren »elir veri^tnderlich; Verluden )i(rberi_-r uod hoher Stände (über

[38 Zoll) w^lisellen in kurzen llebergÜDgeQ mit uuagezeirbnet »ie-

tderem [.uifdrnok. der einninl sognr unter 27^ Zoll bcrabgiug (dea

, 3U. Juniiiir Mittags, wo ich 'i'il.Sii'" heobarhlete).

Den gleicIizeiligeD üaiig beider Kurvcu habe icli auf Tafel I.

LID einer ZeicliDUUg entworfea, tu der Art, dass ihre Ordinntcu die

G2

faromcterbnlien onnitlf-lbiir id pnris«r MiuUB Uugs iwe! mit 37". aod
SÜ" beieicIiHPtrn Absei sfteuiik^u dnrstcllfb, woraus l]^^ Vurtbi^il enC-
slebt . d»i« man den (lang drr biirooielrisolicn T>iftcrcn/fn sofort
in ileinBelbi-n Mauü^älabv i-rblickl. nie ibn die Kculn des InstrumCDtit
anzeigte. Obgieicb der Zeilraum der verglicbeiicu Bt-nbaclituuicea
nur kurz ist, s» seigvn sieb ilocli als deutlich hennrtrelcud tol-

1) Die NcDürÄiJler Kurre licftt fact tihrrall liüb^r aU die B«rli-^

ner. wie sicli ohiirliin nncb tlfr Höbendifffn-u/. hridvr OrU- crwRr-
Ifin lirsB. Nur am IT.. 28., SO, und 31. Jiinuar und nm Ifl. Kebrnar
wnr der Bnrompirr^tand in \eusladt kiirzf Zeil iiiniiiircb nipdrtMr
als drr in Berlin, über mit gu t;i>ria(?cii L'utersrliipdpp. iasa sie iiei
dcai MauKsslalie d«r Z«iclinuiit^ iiicbt Überall siclitbar werden.

2) Alle bvdeulpuden .-(uFgünge und Niedergänge sidi
beiden Kurvfii gemein.

3) Aber das rbänomeii. nrelrhes ^dl hauptsäeblicL hier ZE
iSpraclie brincren wullle. ist dir 'VerÜnderlirli k ei t in derHiffe-
renz der UurDnicIerbländr nii beiden Henbuclituiipidrien. und du!«i^
das Gesell dieser > er.inderiiclikeit in den mit znlilreicben WiDd''^
und ätiinD]i(frlodpn dtirrbz»cen<>n Monnlen Junuitr und tVlirunr: V

Bei ji-dem bedeute ndrn und phiSt xli<^hen Miederitnui; ~
des Bnromctera nühern tich die NeDütüdter nnd Berli-
ner Kurven. xuweil«n fnst hin zur Kongruenz (s. u.a. den
IH.. 23.. 24-, :I9. und IIU, Januar), hei jedcni Aufj^ange trennen
sie sicli wieder, and in de» Perioden der höheren Baro-
neterstande und bei mehr windstiller und beständiger
Witterung sind die Abweichungen am gröüHteu. Bin
Gleiches findet Statt bei Niedcrgäugen, die nlloiahtich
«rfoltren. and bei liefen BaromclersiÄndeD, weleLemch*
rere 'l'uge mit geringeren hcktrnnkungen anhalten.

Allerdings kann die^>inVrenx der BuronieterLiiltcu an xwci Or-
ten, die nicht in dnatüellien Niveau liegen, niebt koDslaut bleiben,
Buoclern HiuH<t nicb veriulige des Mnriolliffcben Cfeselxen bei niederen
|>uf(drui-k verkleinern; diiss über iliKe liniuckr nur einen last nB>
merklirlieo Antbeil an dem so lipdeulenden Zusnmmrngeliea der
beiden Kurven in iJireii tieferen Kei^iunen haben kann, ergieht flicll^
ans der cinliirtisteD Iterbnung*. and tiednrt* keiner KrUuterung. H

Die in Nr. 3 gemachte Bemerkung berechtigt -zu f»rgi<ad<ii^
Sehliisüeo:

a) Bei slürntiicfaem Wetter . mit welchem An achnelles Sinken
4er Baroinelemiinie verbnndrn zu sein pfleict, >tiad die LuftacbicklcD
vnn gleicher Dirbtigkeit nirlit hofixonlal . sondern ihre fjagO
ofihcrt sich der f'arallelität mit dem Boden. |

In der Richtung von Berlin her erbebt i^icli diis Terruin tod
100 zu ]->0 bis '^M)*, und lallt dann in das Kindwtbal von '10' abso>
Inier Höbe ah; dtP Luft wird niso in i)ir«r Bewegung von Süd*
Westen her xuersi aitfgi-^lant. und Hinkt dann in die tietere fiepend.
Hiermit icheint der rben aiugeüprorhenc Satz in gnoz einfachen M
Zuiiironienhaogc zu «leben, inriot'ern die wellenfiirmige Gentnlt derH
FrdoliRrfliichR auf den Wpjj der hei windstillrm Wetter buriziintnlen "
Lijt't^cliirblen von gleicher Dichtigkeit unmüglicli ohne Kinflusü
bleibet! kann. Sobald aber dieser li^iuflues einzutreten beginnt, ift.
dl« DilTervuz der gleicbzeitigen Barvuiftcmfünile nicht mehr eine
reine Function der Uiiheodiffereux beider BGobuchtuogsorfc im ei-

f(«btliclien Sinne. soDilera si« entspricht zofficich derrclativeu
lldlteDlafl^« (liffHiT Pubktp R»d:cn den »(kIrd. Der Nnllpinikt
des InBtruBii'ofB , an «tlrlipm irii tu Neualadt Ireubacljtele , befand
»ich öj fiuriser Fuss ülicr drin Uud«n; wenn nun auch du .)lädler-
eche Bnruinvtnr %'ivUeirlit '^0' über dvr trditbvrüaclie in Berlin Iie-
lindlicli war, mi >»! rhcn die UilTcrviiz diirü nur %h ger'intt- »nd dt-r
rnturscliicd der ubsolulen Holira wirdcr au f(riitö, Anns die AniiRlie-
rUDti^ der bridno Boobni-hlunii^skurven mit der eben versitchtrn l>-
klnrunp- nots Kestc itljereinntimuit. — Allerdino;» war das Miidlrrsclie
BaroiDDtcr mil dem meinitfcn Dirlit Tcrgtirlieii; da sieb aber bei ru-
bigrm IVrtLcr die OilVereiixeii des benbacliti'ten Luftdruck» dfni Ha-
lles uuferecbiede der .Simiuiiei) nn&fe'uiesKuii zi-ig'lcu {s. dii; ZeicbnungJ,
ao darf daraus auf gute (Jcbereiustjuunuflg; beider liistrumeute ge-
acblossen Herd«n.

&) Wrnn man die Hnbendtfferenx Kwrier Punkte, die .tidi
in gleicher oder uubc j^leirlier Kntferiiun^ vom Uudcn belindeo. aus
einer oder e.ini^en ^leirhxnitigen KaronteterliPMbaelitunE^i'n nbleilc^t,
so erhält man diie KesulluL um eine, »cder durrti KecJinung auch
darcb Erfahrung jeroaU mit einiger Sicherheit r,u beülini inende
GroHse viel uiilirxtrlieinlieliL-r zu klein »Im zu grosit. Der Kebler
wÄcliHt niil der li'esrluwindittkeit den Windes, wenitfHlen» wenn der
Strich dessvibon niibe oder c;ant in die Verbioduit(;i>liDie der beiden
jtlnliniien f.illt . und wenn der Uiirnmeters^iinif am Tage der Heob-
ucbtuap eine schnelle Bene^unsT nutwarlM oiter abwärtii erleidet.

c) l>ie Bereell nun fi: des Hübe nun teniehiede« derselben
Punkte aus den durch niebrjäUri^e BeoUacbtuas gefun-
denen miltleren UnrnmeterHCundeu giebt um nu ffevvisner
falscbc. oanilicb zu kleine Resultate, je genauer die
Mittel sind, d.h. uu« je längeren Bcobachtuneszeitrau-
üiRU sie abgeleitet wunlen"). I>enn dir mittlere OifTerpnz de^
LufldriiL-ks an beiden Orten ^uiler der Ltigarilhinus Euinejt inilllerfiD
OuDtientvn) setzt sich zusammen »us dem .Mittel der normalen Dif-
terenzen bei boliein Itiironietersfaude und ruhiger Luft, und aus
den viel zu kleinen DiDei-enxen 'withreiMl der Sturmperioden. Kiiie
Ue-Htntigung die.Hett .Sutxes gliiube ich nurhweisen zu kimueii durcb
die Zalilen , in welchen Herr Major Kneyer (\ivellement zw.
SwinemünHe und Berlin, Seite \] die Kergbaus'achen Bcreehnun-
^en der Höhe Berlins über der Ontxepflilehe zusammen st eilt, die sich
auf zwei- bis neunjiilirige Beuhaehtungsreiheu iu Berlin. Swino-
niinde. Stralsund, nani^ig, Königsberg. .Apenrade und Altonn grün-
den- Diese Bererltnunifen gaben für die IJübe. von Berlin (Strassen-
ffiaater iai Tborwege der »f(en Sternwarte) re«|i. M,'74, IS. XI, 11.75,
4.71», lä.'i^t. H,<.)2, im Mittel 1\,1Ü Tuiücn. mitbin xämnttlicb um
ßeträrhilirbea zu k |e ine Wert ite, da durch duH Baey er'sehe
?tiveltcmeDt diesolbi: Höbe = 17.37ti Tnis. gefuuden wurde.

Man küDii aNo diesen retilcr bezeichneu als denjenigen, wel-
Echendie nichtbnrixonlale. vielmehr derl'arnllelilÜl mit
den Hoden sieh nüberude Bewegung der Luft bei hefli-
geren Winden hervorbringt, und~ es dürfte mistilich sein, den-
selben durch eine Korrektion beseitigen lU wallen, die wohl weit

') Dieai-n allcrtlingji Ptw.ts jinrndrix Ncheiiii-iidcn Sata emptieMc der (^nehrts
Hrrr Verf. in einem an mich gericliwteu Scbreibeu der sorgfaltigca
Prüfung der Lauer. O.

64

Diwlcliercr und in Allgeneincn weit bcträcfatlEcliCr (tuüfallen diiffl«,
als etwa <lie K»rrekti«n wcg-ün nitfrrfrDz der ltrfiti?D. oder die vre»
geu Abnahme der ÜrIjworWnitt iu der KicIituD^- di:r ^Vrliknleo. leb
glaube, mau würde zuverlässigere NivelleiiicnU aus Ituruineierbcob-
achtnuEeu vriialten. itU bihher, wenn inan die Mctfaudc der vieljob-
ri^p HItlel ^änzlieb verÜcsst-. datür, zur Kileirlitfrun^ der l'eber-
«iclil. die k»rro;«pondirendfii ItcobiJclirunKeit Krapli isch zuxammeii«
stellte, und nl^danti nur difjf nignn Fcriaden aii^ den Kommef- und
HerbtitiDDiiBlcn nuswablte und zur Ucrei-Iinunti; der Mitlei verwi^u-
dele, welclie durchaus keine )>ldlzlichen fichwfiukutii^eu deit Knft-
drurks gezeigt bUllcu.

ObgleicL iiL kauiu xu bofTeo wacre, durch Vuratcliendes gclebr-
fen Aleleorologeu , zu weUhvD icli uich nirbt recliDeu darf, ctwu
Neues gvsdgl zn kabnn , so bnluure itb ducli , dii»» eit mir nicht
Tercitniit wnr. die )rnipiiis(^tie Verglcichung des liie.iit;en utid llerli'
ner Itaramelrrgaiigeü nUbrrnd vineü Innircm Zeitrauraca fnrtzu*
«etzen. Bei dem jetzigeii Stande der tVitiseusrhiift wäre, es gewiss
nicht iBcbr ubuc Interesise: t'ült(eude Frageu duf<.-b zablrcirbo kor-
rCKpuitdirende, und überBicbilicb msiimuengestellte lieobacbluogeB
beaDiwtirlet zu erbiilten :

Wie verbält sieb der gleichzeitige ndromciergung:
I) Wenn die Station .-/ nahe am Itoden. die Station B ent-
fernt %om Roden (x. B. nul' €;ineiu liohen Tburme) aber in deiD>
seihen Niveau mit ./. beHndlii.'b niire. Nnlllu liier nieht bei ru-
liigiT Luft. und bubeui Druck ein gleicher Uur»iiiete-r«tiind. aber
wHbreud der \Viud|iPri<iden bei niederem Druck, in der Station ^i
ein biilierer Barometerstand aU der gicicbzeitige in £i xu erwarten
Reinf Die kurven würden uUo die enigcgeuffeäclze lirschciuung
xeigen, als die der beiliegenden Zeichnung, d. b. die Berührung
würde in den UegloneD der hulion und länsirr anhaltenden niede-
ren, die Abweichung in den niederen von kürzerer Dauer, eioirelen.
Die Berechnung der HüheudiOereux «ua den Mitteln ergäbe nicht 0,
sondern A tieler iils li,

'2) Wenn die Stationen A und B in gleicher Kntferuuag vtm
Boden, aber in verürbiodeuen \ivc«iiK lägen f Hin Beilrag zur Co-
lerNUcbnag dieses Kalles ivar der Zweck des vorliegenden Aat'i4tit&ci
und der bcigegebeneii Zeichnung.

it) Wenn sich der UnUen unter j4 und B in denselben Niveau
hefäudcf Hier würden, wenn jJ und Ü vcrsubicdcue nb^oluto Höhe
biltlen , auch bei schnell nhuebniendHoi l^ftdruck mehr normale
niRerenzt-n der BnroinetefhJihrn xu erwarten sein, mithin die Kur.
ven bei den Niedergängen nur gering« Konvergenz zeigen, und
die Berechnung der HiihendifTerenz au!« den briromctrischen Mitteln
liesHC die relativ lUverliisBig&ten Kesultale erwarieu.

\\ Wie unterscheidet »ich der glciclizcilige liang der Baronie*
terKlüode, jenncbdein die V**rhiniluiigslinie der .SlatioDeii in die
Richtiiiiu; der bcrrscbenden Winde , oder mehr rechtwinklig mit
dieser Richtung fallt f^ Auch dürt'te die )<iige den Uenlinrhtung»-
nrtes , auf einem langgestreckten Krdrüeken oder iaulinen Berge,
veleher den bewegten unteren I ui'tsrliichlen ein Ausweichen tur
Seite gestallet, nicht weniger wesentliche Uuditikutionen in die
Brjjche^inungen briugeu.

66

IX.

üeber Reisebarometer.

Von ilen
Herrn Professor F. W. ScUuciJer

VI ätt KöniglicheD hähern Forst-L^hr^Anstatt zu NcustaduEbenivalilt:.

I

k

I

lIckanDllii;b ist die Reduction der BnroiBeterBtände uuf eioe
(txte \uriiiulU'in|<4^riitur i](;ii Qut^cksilliiTK «ine Ko wicliligv Korrek-
tion. duKs die l eriiacMüN«i^iiiiK iiersp|l)<>n biirooK^trisolie Uoolfitvb-
lUD£;cn fiir ni^fnscliat'llictic Zwecke fuxt wcrtlilßa muL-lit, Slaii
TPrsicIit dpsshatb ju*!«*« Biiromcter. <\»s zu penaiirn rntfr«acbuögcn
dieiifii sull. miL i'incm 'nii-ri»»inrt<'r. Bebuls der Tenipmilurnnf^nbe
eißcr .tias&e <,>ueck.-jilLicrH, wetcbt^a in einer kontcn Küiirr, vnii irlei-
chem Diirrlimtr&Mer lUJt dem der BjruiDcterrtilire. KJcb eu Diibe nebcD
dreiief bHiiidvl, du:«!« eine gJeiclie 'IViiipcratur beider vurausgintelzt
werden dart.

lycider ulier wird nocb fortwilhrend im Bau der ßitTomcter. n«>
nentlicb der zu Itrnbnrhiunj^en nut' Keisen beälimmlen. ein > erse.
ben b'*(i^an^eii. durch wclobert 4\v Siclicrbeit in der Korrektiun der
QueckKilbertU(U|>efiilur bedeutend ^efäbrdL't crscbeinl. leb ineine die-
jenigen hiKlritini'nle, n eiche, w\f. ili<^ ni'nxt ki> vortretDirhen (* reine r-
acben und PinlurBcben niikr«sk»(its4.'lie(i Heber bar» nie ter . niC
einer rtwn auf J der l.ängc fent in einen HoUr(ihni(.-n ver»chlnx«e-
neu. im [iebrii^eii frei dem Lufuutfe uus^esftzten QuceksübertÖbre
rrriiehen sind. Kei der aclilethten Wäriielrilung' des tinizeji bedarf
CK ufTenbair einer lungeren Zeit (oft sind ', Stunden nJrbt uuBrei-
cbend^, bevor die Temperatur des eingeKcbloKseBen (tueckitilbers
■ick mit der Lnnieinperntur in» t^leicIit(ewicLt Hetzt. Triihreud dies
bei dem im oberen 'riieili- und im kürxerrn Sebenkel entbiiJtenen
Quetrksilber viel cbcr i^escbeben tuuss. Hut mtin sich nocSi einer
im l'reien gelegenen BeobücblungSKtutioii begeben. irI viellcicbt dos
l-'ullcnil deii Burunteler» und somit &cin puuzer Inbull durch die
autprallenden SunncDstrublcii bedeutend erwürint worden; du xcifl;t
innrrhiilb i(eruumer Z«it naeb dem Aufbänt^en de^ Inxlrunepts das
Tbermameter denselben eitie um niebrere (•radc böliere Tein|iernliir
jtls die umgebende Luft, da doch obue Zweifel derjetii)t;e Tbeil der
Quecksilbersaiite, der in den durcbbrocbenen Rüiimen der Holzfas-
suDg ne^rt , bereits einen der Luftwürine näher kniunciideu (ärad
«Dgenommen baben mui^K. Aliin but daher durcbaus keiue (lewäbr-
Bcbäf't, du» das <iuecksilber deü Uiiruuicters gieicbformig er-
TlwU I. 5

66

warnt sei , wcdii moD Dicht ciucm gft svlir IKstiffen Zoitvertnit
ilurch stuudc-iilaiiges Warben sich bio^cbcD will. Selbst dann oicb
mäclite utiter trowisHOii UmxtitntlrD xwcitVlIiurt Krin . nb die Tenpc-
rntur d^r tcriicliiedeneu TiicÜ« der Sank- unlcr riniiad«r und mit
der Tcmiicralur des ThermomrliTH bh »uf Zrliutclg-rade
tihßrrinjilimiiirii, und ■'<< Miribt «■iiia rn>iirlii>rbeil, weicht* der sdOBti-
gern Kinriclitun^ di's liiütrunictiU (dcrr tDikniaikopiMliüti Kin^lellung
uod dum Nuniuti uuf ^Olel Linien) vrt'Dig aDgvmessen ist.

UciDi (Gebrauch älmlirlipr lt»raiii«(vr ^ ItvulmclitungcD im Zim-
ner Tcrli«r( zwar dor mvithnli- N'iclillioil an Ktlx'blicliki'il, »obkld
Rmn in Hiittrlicixlcn Zinini<Tn bcoliarlitct. wo sich die Ti^miioriitiir
laofi^sant nndcrl: in gplirizliMi ZinirntTn nbpr ist drr UrbcUtnnd HD
Bi> Bfrhsser, wtW oititi. un br&liuintlf Uuobiu-blunpszcilpn gübunden,
dit- AuüLrkitbung drr TcniixTiirur-Ilifffrcnxvn itubi abwftiivn kuao.
E« enistehl iitst» div Kra^e , ob nicbt üpi d«r Veri^ßrliguo^ der Ba-
rumvl^r t'tilgeiid«- firiiQdxiif/.i- zu liotolg^ii wären:

1] Uic Qnerksilbersauli^ iiiua.i nneb der g^iinzrn f.änge
bcidnr Schenkel frei licirvn, entweder tn uint^n durcn-
brocbeiieu, durcb scbiiiiile Mctallhüiider zusnuiinciigcltal-
^eai-o (!e»tvll, »der tor demselben, und so wvil davoD
inlfernl, dass sie ringsum von der Luft bentricben wer-
ten kann,
t, 1) Eine guni ^Iciebartige Lagu nuss die Quecksll-
PJberriiltrc liabeo, in welcher sicli die Kugel des Tixeo
[TberinuDie liTN bvfiiidi-l.

Du es langst tranHporiftble Bnromeier triebt, dereo Röbren tVei
vor der Holzwond lie^i-n, dd lallt der RinwAod iveg, das« die par-
tielle KinBcblir-siiUiiir «ur äicherunji; des lustrtimeniit unTernipiillicli
sei, — llei dieser t>elt>i(ciihett ipiir.life icli uui-.b nucb bebnuplcn,
tkiKS ein 'Fbermvuietpr der Skaj^, wnmil ttiiiu ^vouuere loMru-
raentc zu verseben päef(t, i^im-j. fii|jli<-b enibebrt werden k«nn. Ueun
wenn aDCfcnouiinen wird. (iodS die Läni^punuüdL'bnuujj; de» MK»itiugi
1^ brtrnict von der Aufulebnitnt; d^r Queckiilbcr^aiile, »o genügt ea
selbst bei den i;enaueä(L-ii McüsuDgeu . die Tcnifteraiur der Skala
nur in guoien (araikn zu wi»«en, und um ganze (äradc wird das
TbermuRieter der Skala nie vom Tlmrmnnieier dea (tueek^ilbers
abweiebeii, wenn lettleieü uiclil im llulzc eingeKcliius&vn i&l. Alaa
kniin folglicb die Tem|iiTiilur der Skjila >om Tbcrinouiet(;r de«
Quecksilbers ablesen . olme fiirfliten z» miistivQ , die redueirt«
Barometerbobe nicbt mit eben ao vinlen Hnudertlkeileu der ])ariaer
Linie ku erhnllen, ala nenn man die Temperatur der Skala beaftn-
den gemessen blatte.

X.

Von

ias Rinomialtlieorpm fflr positive sranze Expo-
L nenten, als specieller Fall eines ailgemeinern
I Satzes betrachtet

■ Läü

^ Binomift]

Herausgeber.

Laugst ist tlen Maibi^iuatikcru der luerkwilrdlt^e Sutz von den
Binomiftl-Coeflicientea bekiiaat, auf wclcliea tulur, Sc^^ner,
L'Uuilier, Rt>iliv. Biixite iiiiil nmler«; noiicre (leoraetir den
kiirxcülüii und eiDtt-urlitpixlsten Bvr.-cis des hinontlurhrn Lflirsatzes
■o ftctacr groBstrn Allcrcmcintioit cfft^Hindiüt linbcn. Nicht sn iillt;«;-
inetn hriinnrit dürfte aber die ItroiiTkiiuEr sein, ilnss in dem in Rede
slvlicnden Knlze von den Kiiioniiil-Coni'licienli'D, vtcnn mitn densel-
ben nur iiuf eine iwerkoiassige H'ctso emeilert, der Kinomi^che
Lehrsatz liir [tosilive gUDze iixponeuteo selbst als ein spcviclli-r Fall
«iitlmllca ist, welcbi;» zu zeigeu der Ilau|itKweck <ies rorlicceadcD
kleiiieu Aufsatzes ist.

Der kürxe wfg^n wollen wir im Folpendcn die Griisge

1 .i.i.\..,p '

« nnil A- Wtiebit(e Crossen »ein kKnticn, p aber eine poailiire
[gnuze Zahl bezeickocn soll, durcb /ip beteiekneD, so daits also
, * M»-*- A- Kw + g<-) ... (» H-JP - 1) A)

X,. Hb ^-- ■

I .2.X.4...;f

folglicli tilr /• =
2. «' =

I

«(«-i)<«-a).-.(«— p + n

1.2.3.*...,;

Figt, welcliea Letztere die beksDiite Form der BiDomtoUCoefllcieii-
teo ist.

nacb 1. iit

j»p

«^1

1 .2.3.A...;j '

w(„ + X) f« + gA-> . . ■ (»^M)

».4...0»+I»

68

aoi) folglieb ofTeobar
Weil BBcb 1.

». ^ T-

ist; Bo iinKs mau, wenn die Relation 3. noch für /»^^O gelten
soll, nfTcnlMr

4. »„ = 1 :*.

setzen, wrlchea im Falgeodpu eueb immer f^scheheo wirO.
Nach I. iftt ferner

» _ («^-i->(« + 2X)...(«+M)

yn H- *v — I.2.5.4...P *

und folglicli, weil oacli dem Obigen ofTuDbur

ist,

1.2.«.J|...;i

5. np^i = (« -4- A-V . j^;^.

P-^I

n-elclie Rf-Iation uucb nur duiin noch für p=z^ gilt, wenn man,

wie scbon in 4. geaclieben ist, allgemein »„ ^ 1 setzt.
Kacb 3. ist

(«+*)^ ={»-!./•)

w + pU+t)

»+p (A-l-'J

und folglicli

Nacb 5. iit aber

«>. = (»H-*),-^i . — oder («H-X');»-i
Als« ii4 uacii dem Vnrli ergebenden

eine Hir das Folgende »elir wicbtige RelatloD. Setzt man in der-
selben U^ — 1, BO erhält man

-I -i -I

7. ^(l•— l),_|-|-(»— l)p = »j„

ivnrin ein sebr beknnnler Satz von den Binoinial<Coefnc!eiiten en~
lialten int.

Nach die^icr Vorlii^rpittnier wollen wir unü nnn mit der Summi-
ning der in tiolcii llezieliung^n nirtiii^rcu und nierkwUnligea Reihe
<i*** * k t * , t

»/< + «/--i ■ «1 •+- "t/^i .«,+ ... + »*,. itp-2 ■+■ m, , ftp-i ■+■ Mp

beflcbaftigen. Der Kürz« wegen bezeicbiien wir diese Summe durch
/X^), Und >etz*5D also

69

Die SuniDc /*(;/) knua ubür iiiif fulgitndo Art gefanden verdeji.
K« ihI, Kovun mnn sich durcli eioe f^auz einfach« Rechnung aufilßr
Stelle iiberzeugfn wird,

*n-i.(p — l}tn-^k

;j-j-l p-hi

_ m + {p — i)l'

u. ». vr.
_ w + äfr j«-|-(p — 2)jt

= r^-T-»

Mulliplicirl uati tiuii uuf lit-idpii Srüen der Glpicbang H. mit der
Uröase

m -^ « + pt

indem mun dalit'i für dii'eit; (.rösfi» ouf di^r ri'chtcu Seite dtafilcich-
beitazRicheiiB in d«r (alctchung 8. ilir« obi^on Zericgungnu oaoli der
Reihe einführt; su prtiüU man die Gleicbang

^ip)

ig -4- m-pi-

U. 9. W.

• n-t-fy-a).c-

"'-»• p+l

• n + pk
'^- p-hi'

■j.np

w + {y-g)fc _ * «

P + 1

0. s. w.

70

«. . — ST— - :r^^ = «a

fw m _l * 1

nnd ganz anf ähnliche Art

n Ml * 1

p-Hl — 1 • p-t-1 ~ ' *p-t-r

* n + i * n-^.k _2_ • 2

"• • p+1 — "^ ■ 2 'pH-l — *«>-|-l'

» H+afc * wH-afc 8 * i

•«>H-1 — *»• 3 >+l — *•> + !»

u. s^ w.

* »+(y— 2)* * n^ip-2)k p — 1 • y— i

»^a • ;, .+. 1 —'>f^2- ^ZZl > + 1 — "P-^ • f^'

' » + (P-1)^ __ * n + (p~ l)k _p_ _ * _p_

"^*- p+1 — «P-l- p >+l— 'V>_t.l'

J m + pfc * n + pi p+1 • y+l

ist; so ,ist D.-tcb dem Obigen

* * P * * 2

H- «p • «t • ^q;rj + «»»»-1 . », . ^^
^* * p— * . * •' »

. ; * * p-2 * '* 4

■+■ «v-4 - «- - ^:^ H- «P-3 - «. . j^iipi

U. 8. W.

* * » . ' * P— 1

* » 2 * *

+ «.-«P -^^Ti-*- »;^-^

— « ?" + >

I -'

* * (P-a . » i

a. s> w.

72

lu, £f}p)~ i.i.3.*....p

d. i, nscb 1.

II. /-(;/) =(«-J-»V.
und folglieb noch 8.

«in« Auf jf'Jen Fall liöclist merkwürdii^e Kclalion. Für Jt^^l
wird dieselbe

_i -I -1 -1 -1 _i -I -I

13. («H-«);) =s (";> H- Wp-l . n^ + mp-n . H^ -i- ...-)-«■, ><>^»-a

-1 — i
+ m, . *,_i -I- «p!

welcbes der oben enräbate lang;«! bekknnte Satz von den Binttoital-
CoellirieDten Ut.

Keixt nnn «b«r in der Cvleicliuug 12., wie es roratsltet ist,
A = 0) >o erbält ribd

n II I) n II 10

•

Weil oun naclt I. iiberhanpt
ist; s« iat wegeu vuratdkeDiter Gleichung

mp-^

l...p — l...p ' i,..{p—i)-i ^ !..(;>— 2)1. 2

mP-i

nP~*

+ -r.

I..(/.-3)i.2.S '

ond folfclich, wcno tonn auf beiden Seiteo mit \...p mDlli|)]icirl,l

.?fcn«^=«._^?Oj^^v+-

1...0»-2) "• »'^'+

i...^-^0 '^'^^^ i...;i '^'

d, i. uach I.

-I —1 —I

-i -I -I

. .. H- ;»^j . «»»tf-i +//p_| ,mmP~l-\-pp . tO» ,

IB weirber nteirliung' dns Binoniinitbeorem für positive g;anze Kxpii*
nealen eDlbultea int.

UicruuB siebt mnii also, dasa die merkwürdige allgemeine Re-
llUiati 12. das Bioomialtbeorem fiir [lositive ganie Expooenten ola
ciBso fipeciellen Fall in «icb eotbält.

XI.

Bemerkung zur Trigonometrie.

Vom
Herausgeber.

Wenn der Winkel oder BAi^en ^ mittelst der Cleicliuilg

CM f

A oder sin

9

i(l«n ist. Und der abiolul« Wortli von A der Klaheit äf^hr nabe
kommt, so kann qa miltelut drr ^«■wölinliclien gnniomRtr Ischen Tn-
ftln niclit mit der Prt'urderliclivn liviiiiui^'ki-it bureclinrt «'vrdun,
weshalb uan auch beim trigonometTiitclieii Caicul solclieu Furmeln
den Vorzug- zu g-ebcrn [>6eg^t, bei iJienea die g^KDcbteu Winkel alle
rnitleUt ihrer Ttinj^oiiten »der ('o(aog<rnten (refuiidep werden. Wie
m mir ncbeint, knnn mun iticb über in nulcbeu Fällen wie die obi-
gea jederzeit aut' fol^eudc Art belfen.

Man brrecbne einen Hiilfswtnkel & mittelst der Formel

tang = A-,

vclrhes jederzeit mit der crfardcrtichen Genauigkeit {^eschekeu
kann, lat dann

CDB gs zs A^

■BQ ist COR y ^ toDg €>, und folglicli

1 — cOsy. __ I — tanK^

bülso nucb bekannten ^oniometrischen FiirmelD
(Mgiy =1 tang(45«— 0), tang^^ = ± V/tangt«"— 0),

mittelst welctier Formel y. jederzeit mit der erforderlicben Genauig-

tl berechnet werden kann, Ist dugegen
sin y =s A,
i«t 8JD y ^ tang 0, und folglich
1 — siny 1 — lang 6
l-f.innf)> ]-|-t«ng6'

alio nach bekannten goDioDelriacbea Fonnelu

74

miltelBt welcher Forrael ip wieder jederzeit mit der erlorderlickea
'Geuauigkeit gffuiidfn wcrdeo ksou.

L'u ein Beifpiel zu ]j{eb«n, »« it«i aus zwei Seiten «r, h ein««
ebenen [Ireit'ckn uud dem Geg^uwiDkel a der eiocu a dienet beiden
Seiten der GegenTvinkel ^ der anderen Seit« h xn finden, und es
sei ^geben

. . ^ Fr ^VK-jr ."?- log I = p,M^,U.

Weil nun bekanntlich sin j3 = — sin « (st, so Ist

log" = 0,50461 li
log sin a = 9,-i95aS83
lug BiD ^ = 9,9999995

Ein Blick in die Callet'scben Tafeln, deren icb nicli hier be-j
dienen werde « icigt< das« ß in dieseiu Fall« mittelst seines Siniii
nicbt mit der erEorderÜcben tieoauiglveit eeTuaden werden kuou,
vetbnib uaa nun die Rcckuuni; t>uf folgrnue Art fiilireu wint:

log luDg & = 9,9999995

== M".59'. 59", 88
W— = 0. 0. 0. 12
! log tong(45"— 0) = 3,7647062

log tBng(4&-— ^^) = 6,8843781

45"-^i^= 0». 2'. 37", 39

W-^= 0.5. 14, 78

ß = 89. &4, 45, 22

L'vbrigeus bat ß im vorlieifcudcn Falle, wo »ncDbar tt<^6 Ist,
xwei Werthe, deren Siimaie tSO° beträgt Der zneite W*rlh iM
dl«- Krifäuzuiiir des duroh tlii-. varhiTgirbrnde Recbouog gvfeiidcoeB
Werthi zu 180", nämlich 90". 5'. 14\ 78.

w

\'VB1

Herausgeber.

XII.

Nivelleuient zwisclien Swlnemfinde mid Ueriin.
Auf dienstliche Veranlassung ausgeführt vun

tBnoyer, Major im Generalstabe. Mit
jr Cebersichtskarte. Berlin. 1840. 4

IHe »«s «a versrhieilfnen Zrit<^n an^pstpllrpii bnromefrisclipn
Mmshb^co nnd \orjrleiriiuMEren fiir A\v Holm Berlins über deim
Mrcre gP2<>ti«nt*n KcDuliate, welcli« der terlaRBcr in der Vurrede
ca eeinvui lo jvder Bcti«kuti(r hürlist «liätzbarea tVerfce EDsam-
mfimlrllt , waren liiKher liüc'lD't dcliwuiikend, iiml ex linrnclil«
f;(^rad<^ über ditrseü Klcment norb iuiuier di* f!;röfisle ('nt^cwiasliHt.
Als nun rla&selbe bei <l*r im Frttbjaiir* IS.IS von Beisel vor(i^en«iiii.
üHiaeii BrsfiNimuns; Hi^r Ijin&re des Meeund«n|>pnd('ls auf Akt Kcrlinn'r
Steruwurte als ein wirbtiiu^RS Kcductiunsthluiiifnt zur Sprnetit' kan,
_ ersuchte Alexander vnn Humboldt den ('lief des (^eueralslnbes
K der Aroiov und (•eovral der lafanterie Uerrn Krauseneck, zur
B CDdlicbp» Ünbitjieidurig der Sncb» ein trigunuinefriHchea Nitellement
zwischen dfr Ostsee und Itertin ausAibren xu lassen, Lctitcrer^ stets
bereit wissen xebat'tlirhe Zwecke kraütiifst zu iintnrstäiiien und zu for-
dern, faltig sii(i;)pirb mit der ^rossten Bereitwilligkeit nuTden Vorschlug
eio , und erilipilte dem Verfasser den Auftrag, in fifmcitisrhaft mit
dem in fCeu- Vorpommern oben mit MvsHungca bcücbältigten In^er
^ pieur • Geogr;i[)beii Herrn Bertram al» zwpil<!m Ueubacbtcr die
■ Arbeit im Laufe, des Sommers IStt^ auszirftihron. Im September
W 1S35 war die gnnir Opernlion beeitiligt. Die Rechnunsen äind mit
Hülfe des LieutenantK von Mörner, eines jungen ilmti^a und
keDDlaiaareifhen OfHzierH, HÜmmtlirh naeh BeaHrls Vorschrift en
aiugetulirt, wcicfaer Lvtsterc sicii der Sadio überhaupt auf daj

P Eifrigste Honahin nad seinea Rath Die feblen tie»».
nie Iniilriimcnte waren: I) l^in Theodolit run Brt«! in MUo*
eben mit 15 lölligem Axiniuthnlkreid und H xöllit^m Höhenkrcia,
derco Nonicn unmittelbar respektive 2 und i Secunden »nf^aben.
3) Üia Theodolit nm GambcT in Parüi mit einem risölligen Azi-
nutlial kreide und einem eben so c^ubücd Hiibenkrciüe, ilereii Nooicn
eine unmittelbare Ahlesunt; der (Vinkel von 3 Secunden gestatteten.
3) F.in Box-Ciirunometvr von Tiede in Berliti, und 4) ein Tascheu-
Cbronometer von Tiede. Mit \r. I. und 3. beobachtete der Ver*
faucr, mit Nr. 2. und 4, Herr Bertmia. •' -- - ' "" " '■' "

76

Die nr«iec;ksv«rljindung; zwi»cbfli B«rliu und SwinemDBde kttlint«
durch ADHclilicfisUDg an rinc trigonomptriftrlir \>rmr<t9iing dnr 04er
bfwirkt Krerden, vflcli« dus K(>ni{;Iu-li« IHinititrrinn Cur den HtR*
del, diu Girwfrlie uud das Bauwcttcii in den Jalirea 1830 bis 1834 ^
dordi den Premier -Lieutenant Asmano liütte ausfiibreo Iakrcii. ■

Die UciheninessuDgeii wurdcD iiatürlir)>, um den Kinfluss der ■
Strulilfnlirfcbuiig ho \ie\ a\a ntÖt^tirL zu bcüeiiißcn. nuf bekannt«
Weise dorcb j^leicJizeiliafri UeobacnluDc; ^«geßsririgftr /eniihdtsfaa"
zea auA^rfiibrl, und bei der Bf-roflinuDg die folgenden, drnn Wesent«
liehen nnclt Reasf^l nDG^^horcndcn, von dein Verfasser aber in Be-
tvf nuf [iraktiKclic Anwendung enfftitertcD and H«iter «Dtviclteltmi M
Furmvln iu AnHcuiluug ffebriicbt. f

Die Höhen zweier Punkte yl und ß aber den Meer« Mieo
A and /i; die in j4 bcobacblete ^enilbilisUiiiz tmii fi »ei %, die
glciclizeitijj!; in // iienWrbtete Zeniliidistanz von ^ sei s'. BC'
zeiclincn nir nun die entsprecbendcn Rcfr&ctiouen darcli ^9 and
^', BO und die wahren Zenitlidistnnzen von Jt und ^ respcutire
JB-hÄ* "•"* V+^a'. wobei muu a\ciit zu übersebeu h«t. Ana
durch die Slmblcobrecbung' die Flohen ver^rnssert. die ZeaithdistiiD-
zen also vermindert werden. Obgleirb nnn ein Hurrbx« Imitt der
Vertiknllinieii /.«vcier Punkte ouf itenv I>dr1lip<i»id nur bcdiafniogs-
ir«i«e StuLt (ludet, au wird doch mit RiickBicbt auf die gerina^e
|>rfirbiedenbeit der Lage xweier r»n einander üirbthiiren Punkte
der Fehler unberücksicbrict bleiben, tind man wird ulio den von
I den Vertikollinien der beiden Punkte ^ uod ß eingeschlusscucp
Winkel suwohl, aU auch den Durcbselmittitpunkt der beidt-n in
Red« steh<>nden VertiknlUnien durch C bezeiclmeu kÖnneD. Denkt
nun sich nun das Dreieck ABC, so wird auch ohne Fignr auf der ^
8telle «rBichtlieh icin. dass dessen äussere an A und ß und der ■
Seite Aß liet<«ndc Winkel reapeclive n + A' ^^^ 3'~|~/\s', die ^
iuner» Winkel die^ou Urcieckx also ISO^-^Cs+^s), ISO"— {»'-^A*')
Uud 6' bind, welches die Gleichung

oder

360» + r— (i + A» 4- *' -H AO = 180«

fftebt Hetzt man oon \x -\- \%' ^ A'C ■, wo k nndi Gbusm der
voefficieut der Strabletibrechung- ist, auler welcbem die
französi neben Muthematikcr gewöhnlich \k verstehen, so erbüll
1MII die (ileichung

»4-V — 180''=(1 — *)G

Bezt^>)cknei r den RadiuH der Erde, die wir hier bIe eine Hagel
betrachten wollen, und * den dem Winkel C enlsprecbenden Boren,
d. k. die hnriznntale Entfernang der beiden Punkte A und o, s»
bat BS« die Pro(>orliüD

ain V

und folglich

■ ^ — I ■ «-,

c=

r rio r
oder wenn äi = 206264,8 gwetst vird,

77

I
I

Tt'odurcl) tniin C iu Secunden
diese» Ausdruck vou C\n die
ein, SD ergiei>t sich

auügrdriickt «rliSlr. Fährt nnn Da*
obige tileichunj^ zwiscben «, V,

k,C

l~A=^(«H-V-I80»),

I

TVelche Form*! den Coefficienlen der Slrahl^nbrcchuDff liefert, »irB-
vedriickt durcli die gcc^iiaeiti^ gleiclitcili^ bcoliacutctcu Zcoith-
diBlADZPn und die Etitfernuiig d«r BcobochtiitigxpunktF. ^Mlürlick
nuftfl nun »ucli in dieser ßleiclitinfr die CrnH^e »H-^'^lSO" in
Sccundcn ausgedruckt gedodit werden. Hut man auf diese Weise
/• Bprt'undpn, so kann auch A' + A** gefunden werden, weil nach
dem Obigvo

ist Cm nun ntier A« oixl A'%' »cll]>t za linden, ist man naeb dcdi
ichiigrn Stand der >)actie genotliigt ^%-=^x' zu sctien , welebet
Treiliek nur näli(^raug.sffi-ise, und xwitr mit dento grövsrrer licnauif^*
keit richtig iKt, je geringer der Mühenüntcrscbird der beiden ßc-
obacltluiKTRoriR. und mit je grilnserm Rccliio also die Vomussetzung
ffleictipr Iticbligkeit der t.ult an bf-idcn Keobaclitungsorten xulässig
ist. Auf die (»Icichuiigiin A*^A-'' ""*' A* "t* A*' = ^'''* S<*»tiJl»t,
erhalt man

A« = A»'=-i*c,

■wodurrk also, da k nach dem Obigen sebon bekannt ist, die Re-
fraetioneu A' """^ A*' '*"''' ertfeben.

Das Dreieck ABC liefert'' nun, indem wir jctit M der B«-
atimnung des llübcnunterBcliiefla der beiden Beotinchtungsorle selbst
übergeben, mich einem bekuuoten Satze der ebenen TrigunuBiclrie
die Proportion

AC-\- RC : AC— BC=. eol ^C : fang ^{B — A).

oder, weil uffenbar -^Cssf-f-^, BC^r-\~f^ ist,

2r-t-it-f-^ : fi — J*'=wt 4C : taDg^{ff — -^,

nnd folglich, weil nacli dem Obigen

Ä — vi = 3 -h A» - Ä*— A»'
int,

2r-4-A + ^' : ^— j^'=:cot ^Ci laug J(*-t-A«— «' — A*'),

Ä — dS^rsÄrCH-^^^) taug \C tang ^(»-^ A»— *'- A«0»
oder, weil man A*^A*' >*<(>(< ■>■><! !>'> oi<^ht sehr bclrachtUcben
HölieD -^^ — uffi-Dbiir ala eipe verschwindende Gros» betrachtet
werden kann,

Ä— A'=2r lang jC taug i<» — V),
oder eodlidi, weil '2r tang j'C:=:« gesetzt «erden kann,

78

Pobrt mkn lo diese GIcicli&Dg für x' rlrn «db dem Obigeu sieb er*
geb«id*B Werili

ein, so erbXlt man

ti — h'= — M cot C«-'-^ C)
adtr

U~-h=.9 C0f(j|— ^^ C).
eder eodlicb auch nacb dum Obig«n

wo tu den obiren Wertb bat.
Weil

Ul. 8o t'rbaU mit» uus dem Obigen nucb Icicbt die beiden Glvi>
cbuD^n

*■— /fr=:2r(l-f

k.

2r

■) tang 46' cot (»-*-Ä« — jC),

*-^ = 2r(H-^^) lang ^C cot (:^ -i- ^^' ~ iC\i

oder

(ji--A) rot iC

(k—A')t6t-

(1+

littülsl welcher die Refrarlinntn ^s und ^s' bcstiaittt werden
künneu, wenn die Höben der beiden Puukte, ibrc bnriioatatc Ent-
feroung' and die gtclclizeitig gegenseitig gemessvncii Zvoillidittmi.
xvn k<-kanti( aiiid. Ptinktv in ävr ^ayttf dvr Meerc«kiiülR , deren
Uübeu VOM Strande «us uuabkingig lon einander iiiv«llirt wfrdeo
kvDUvn, eigoen sicli zur Lösuus dieser Aulgabt am Wxlen.

Wir babeii bicr die oiiiifr! rbeorii' dfr Ke-«liuimung der lloheB-
unlersctiiedc aus glcicbxcilig gcmeesenrn' gef'enspittgen Zenttk-
dislunnfn. itl» der giMiain^inien bis jetxt bekaoalen Aleibnde, zu sol*
eben BestimmuDgcii zu giilungeu , in iler Kürze vulbtUodig eot-
vickelt. In Jtexuff aut' V(^rs>.'liied«nF andere inslrnctive nud prukliscb
wi<'l><iii;e i^urKBlx-ii, riickKicIillicb des rietuils der Mv»»ui>g und der
bei derseliiou zur Krrcicbuiig niitglichst grtkHDer Ofimuigkuit ange-
vniidten Vor^icbtKniiia.tiircg'cIn müssen wir aut' das au^gozeicbnele
Werk Helbst venvcis<:ii, iiiui'in wir Uns begnügen, einige der wicb-
tig»teu uus der Meuung gexugenvn ]{eBulraU im Folguodeu ^.uanoi-
menzustcllen.

0»H midiere Nive«u der Oslseu bei Swincniindc Ond«! bei «i>
neni Peg4:fhiiiiHle vnn 0,56:113 'rniiieii Slutl, umi die^t i«it der Null»
|innkt, auf wclcbcn sich Ana gonr.e Nivellement bcziebt. Die n^ua»
iäbri^fn tniinailirbrn lliili'l den Ntnndcit der Ostsee bei Swinp.muade

■1 die ^DiTiilIendf; Rrsrlicinung dar, duss lins^ Niveau der Ostävc in
'■eil llitirie des Jabrs um 3 Zoll niudritfiT ist als in der zweiten
tt» Würa tu wdtiacben, aucb au« andern IJäfeu der Oi^titee

*
*

19

sorgCiltjge Beobvclitungea üb«r den Stiiod dersclbeii tu erlialieo,
un XU erraillelD, i*b der nninhuft ^uaiaelituo eoaderbarcii ErscLei-
DUDg «ine locnl^ oder ein« nlliE^'BK'iu«^ (.irKaclie xum (irunili.' lii'gt.
l-'ulgendr Hühcu ciiiii:ccr t'unkti: tou Uerlin ül»cr d<rr OiIhp«,
d. h. über dem rartier naher b^zeirlmetea Nullpunkte der M<.'»äim)r,
«turnen van blli^ttm«iiiereiii InteressB Bvin.

Toiseu,
ObiTC Fliirl»' de^ Sniiilfit^inptVikrs auf der Plnteformc
der Ucrliuer iicuuu Strrnwurtp in riordwcullicbpr Kiclt-
tun)i vtim Zentrum ifn rumlou Timrms .... -{-23,9512
FuEbbudcn dvü magiiutiBchün Hüusrliciis b<>i dur Sturnwarte + 17,Ü006
Slrasfeoi>QaKtcr uutcr den Tburwvgc der alten ä>t«rn-

warte 4- 17.3761

Slra)utCiipflii»tPr niti Kuk!«c ilra Mnrii'iilliuriiiK . . . -4- I7.!)2l0
Nullpunkt dc5 rcg-tlg nn der Fi.srliPrlirückc . . . -+■ 15,2743
KonnAtiras«f:r!itinid tliT S{irce, wciclicr für die Sommer-
monate vom Mai bis Se|)lHinbcr ii;iU:

Ub«rivu»iier . . . / -(-16,6163

tDterwasser -}- ll>,97t}9

Anf ilt^ni iTnriilinlt^ii PfriU'r auf drr Pinteform di^r nriirti Bvrli-
BPr SlPrnwartr Miind der Thpoilolit. Der TVulirsch»iuli<'li« Fehler
der Hubenlie)itimmnn&' diesrs .Stutiuns|iUDkte« war Q.SIT TuiM'.n , so
wie denn dl« Tvalrsctipinliriien Kelilpr fiir alle NivellcmentBStatloneD
berrcbnet und in ilcui Wvrkr mil^ethcill Trordeo sind.

Den Copflirii-nloii A- der icrrestriscbvu Nlrablpiibrecliung sctseo

dk- Kogländer Q.'iWM

die Frnitzoacn 0,IO<H)

(«rabi-uf 0,12S5

die AätiirGUsslHolie GruiImcBSUDg . 0.1370

Gaus» OjaOO

Stri>ve 0,Vi31

Der BestimmuDc; deseelben war die von Herrn Uaerer aütgß-
fübrlc 0(>FratiAn im Allgemeinen nicht seljr friinsti^^, weil der HaapI«
Eweck; eine mücrliclit^t ^nniiue K rini tlcl uiig der Hübe vub
Berlin, die Ucdititfunff aulerlcgte. die Kutfernung der einzelnen
StutiiiMeo nichl: selir gri>ss flny.ituflimnn, und in der Tbat wurde
uiicb citie End'c-rnung v<iu 'Z bi« 3 Meilen nur du überscbrilten, wo
CS Ott- I.onilitHt diin-h^ius nlciit aniJprs getitultde. Bexeirlinft mim
lib«r den Febirr der Summe der hrulcirbtnten ZFiiillidisluniien durch
</(«+»'), den F«blcr von Ji dnrcb äA-^ ao ist: wegen der aus dem
Oblgea bekanntoll Cleiebung |

tvcBfi aau dieHcllte diffcrentiirl,

-rfA= ~ rf(«^-V) oder rf* = - ^ rf(>-l-»'),

tToraus mau sivLt, duHH der Klnflu&a der Beoliaclitungsfebler in der
Sorame der ZouiihdiEtanzeD auf den Coefficientcn der Strnlilcn-
brvcbUDg in dem^^flitea Vcrbiillnissn abnimmt, in nclcliem die Knl>
fernuiig der Buübucbtuutr^piinkte zuniumt. Lugeaclitet dieser uiclit
trbeu gÜDslieen (Juiät.'indc liuf aber der Verfasser docli uus KtiiMl
UtwbBcJitunijen nud M«t»aUDgeQ eiB Kii:iitigM Uwuitat. wi ü«hM

8U

grwoMt. wetcliM wir liier «um Krlihisii noch utitli«ilen «roMen,

äem wir «nyleirlt diejeuii^cD, wrlch« ilazu Gelfgrolieit bab«D. w n

eioPT nShero Prüfiiug desselben Huffortiem. M

Utua ilic StraltlenbrecbaD^ so jrtlem Ta^ «icli nickt gleiflliflj
bleibt, sondern im AMg-eni<'iu«ii vom Monren ^*aj«n "Ifn Mittag bis '
abaimuit, un<l vom MiltH(i;'e t(ri(«u den AJiCitd hro wächst, ist HebuD
friilipr nicht UDb«kanut G;T:n-«-ä(>n. Dies bnt den Veriksurr xu etnrr
^>^5^1fich^mI^ scini'r Iträiimmun^n tiih Xr mit den Tiiirtsieiten,
Mflclifn dieselben entsprocben, remnlaRsI , wobri fr von der HTpo-
tbeso ansieht, das» di<i Wt^nlio rnn /.- di-n Abstandeu der eDtcpre-
chcndfn Tupeszcitea vom wahren MiUage proporlionnl »iod, und
eben divsc HTpotbese ist e», deren Wiibrsebciinlichkeil or aua «einen
Beobacfatun)iea darziiMiun »ucbt, wkIk-i «t auf fulgeude Art vcffähri.

Er drückt die Ab*ländp drr Topesüeilcn vom wiibrrn Miltape
In Tbfilco des halben Tftgohoij;pos ans, fto rfiiss ü dem MitlBire. 1
dem Sfinncn-Auf- oder rutfrgnnße entspricht. Ist niimlich T der
Aiislond der Togcszeit vom wahren Mitlug'e und // die TaarslnDfre,
beide iu einerlei Zcitaia.is ausgedrückt, »o erhält man den Abstand
der Tageszeit Tom wahren Mittage in Tbeiirn des halben Ta^bo-

2 T .

gens aUBgedriickt durcli die Knrmel -^, netchp. wir in Folfceodci

durch 6 bezeichnen wiillen. Ist dann die obig'e Hypulbcse rielitig,

10 jauss -T eine causlantc liruHii«, oder «a rouss

Bein, 1TO a eine conntante Grütsüu bezeichnet Die Cebereinstia-
iDitn^ dieser Hviinllieüe mit wirklich angestellten Beubuchtuntcen
wird niun aus dem iolgeuden von dem Verfrsser inilgetlieilten 'i*ä-
felcli^ru zu b«urtheilen im Stunde sein:

AnxabI

Zeit in

dw Bc-

halben

Keobuchictc

i

RererbnoiB

Nliwniuo-

TageljÖ-

Wcrtiii! von

T = °

V^'et■^llc von

Febl«r.

gvD von

Ken
b

k

k ^ ixb

1

0.376

0.0791

0.*2104

0,0N«2

+ 0.0011

4

ll.ifiu

0. Hio:i

0.2 ISO

(I.UflNI

— 0,01)22

10

0.ä55

0,1203

0,2171

0, 1 1K.1

— 0.0022

10

0,6W

fl.lM?

o.2ior>

o.i;M>i

+ 0.0017

15

«.73S

0.1343

0.2001

o.ir.7s

-h o.oo:io

5

U,!*i9

0.I<II2

0.22:.2

O.ISIO

— 0.0102

54 Mittel .... 0,2132 = a

Dass der von dem Verfüsser uufg^gtcllten Hrpothese gri»M
^Wahrscheinlichkeit zur Seite siebl. unterliegt hiernach k»iMa Zwei-
lel, und e» LHt sehr zu wünschen, da«s durch venielfälligte Beob-
■cbtHngen dicsolbc naher frejirnft und der tVcrtb von a. genauer
bealimmt werde. Bis jetzt wird man

,*■ = Ü.2132 . b

ta setzen hnben, wo b die obit^e Bedenlun^ bat. Bei SonDea-A«f-
oder rntrr<^nj^ ist dbcIi dieser Knrmrj ^r= 0,2132, 6ir den wah-
ren Mittag ergieht iick nach deräclhen ^ ^ 0. Der erste Wertb
roa k Btimmt DBck des Vertasscrs Vernicbcrunj^ mit mehreren en>

riern tob ihn gtmachton Butimmon^eD sehr nuli« übeisiD} deo
zweiten Werth vod X- bat er. wu^ freilich nelir zu irünsrlien ge-
wvi»en -u'iir« nod «odero fteobsciiUrn ganz Ijeiiundum vtnitr'Dlile-fi
werden nuas, bis j«lit nocli nicbt dnrcJi direcle lieobaclituDgen lu
prüfrn Gckgi-alicit tfehulit. t

AKr.n, die iiich für trigonometrififbc NivflleiD<>iitA inlrreiiNireo
Dnd Diimcmlicb rpIIisI ders-trirlipti Ar)»piten uiiRxiifLilirco bcattaiclili-

EeD, wird das in jeder llrzii-fiun^ liÜrhEt sHiälzbart^ U'crk des
>rrB BocT^r die vieltäclikte Uctebruug dnrliicten uud sie bei ihren
Ajrbeueo wcseoilicb uniVK(iiUep. .

XIII.

Monrey's Beweis des Fiiinlanientiilsafzes der
Theorie der algebraiseben Gleicbuugcn.

Nach iwei AtiliMni!liinit«n d«H IJerrii LiDiivillo in.droi Journal t\o M«th£-
luati^üs [tun* ti uppliquri-«, \n>\,]'ie par Ji>se|ib LiauTÜle. T.}V. [i.501
T. \ . (>.3I. iifi tii^.irlifiloc Toa

iltMii Herausgeber;

I

$. 1.

Der PuKtlnmentiiUari der Tbcori« der algebmtBchRn Gleiction-
ireo, Tvplehen in ni-virrer Zeit Tiirziiirlii'b liuus^ und C«uclir zum
GrfffnslHDdc ibrer Hpb:irf&iuDigcD Üuteräucliuiigrn gcinucbt fi:iben
Mt behoniitlivb der .Siitz: ,

imna Jude alj^uLraiscb« Gleichun g. dcr«o Coefficies-
Icn simimllicli dip [""orm <»-+-'' k — l bl(b«ti,wo//nudÄ
rcf^lle (■rnsafn «iitd, liie auch vrrscliwiiid«D können,
niiideatens eine WurEcl viin derselben Karin baben

Kinfn scbr vliilAchrn und beaclittint^sw^rtbeu HiiW^is dieses üi
jeder UczieliUtig l>iU'b)»t nicifUgen TbeirpiRt« lutt Uerr Mour«y in
einer im Jnlire l<ViN unter dem Titel: ^ nüc tlirori« des <)uniili|^
ni*((Atives et den r]uaulilrs pr^Ienduea iinnfj^iniiires. crscliicDcnen
Kelirift gfirebrn. Od ubrr dirser Be-neix bis jetzt nur wenig be-
kunot geworden xii seyn ^trlieinl, bo bat Herr LifiuviUu in den
beiden iiben genannten ibbandlun^rii \uu \l'U«di aut denselben
&ufinerkK»Bi gi-tnacbt, und liiit ibn zuglcicb in einem Punkte v<.t-
volUtändigt, wo er der \ ervollstRudipruDg »dir hedurfle. l)ie«a bei-
den Alihmidlungeii des Herrn LiouviHe legeu wir uiiM-Ter fulgen-
dei) D^rMtellunp: des in Rede stc-benden bemerkensweitiicn ßewriMS
dc8 oben geouDDtca wicbtigcn >atzcs, deason Beweis Hcbun uut'. «o
TktU I. G

BS

viele t'crscliledeti« .^rtm vou den berUi niesten Matbcnaükaro da
Heuern Zeit versucbc worden isl, lom (iniD*le.

Alt bpfcannl setzirn wir kei tliescr Unrat t^lluiifc ilie Col^pd
Süll» vnrnii». n'vlclic in jedem etwit* vollätHUiligra i<elirbucbfe 4*r
Algtlira bfwiMcn werdea:

1. l'ntcr der VornusHMauug't. dstna jfeilc slicebrniaoha
GleichuDi^ dos »ten und jedes uiedri^ern Grades, deren
'^hJicbstCb ülipd dir Kinhfit sunt Coefticlentt'n hat, and.
deren ilbri^'i: Coefricienlen summ llicli ' v on der t'orn
a-t-& V — I xind, mitidrüteiiN eine Wnrzel rnn di>riielheti
Fiirni liot, lässt aicli die* t'unctiun einer jeden sotrben
Gli^iclinnf; des Mtcn (•r:idf» in n Fnrtnren zprlc^eB.
welrhtf äümintlii-li fcanze ri4W«aie ulgrbraiKclie Fun cti»<
Den des ersten (• rüdes der unbekannten Gr&aie x du
Giciebung von der K^rm a — p-^^l/' — 1 sind.

3. Jede iilgebnuHcbe Gleicbun^c des »Icn Grndet
bann liiirbiteiis h sämintliclj unter einander veracbic-
dene Wurzeln buben.

4. ä. ,

In einer Ebene nebne man jetzt zwei recblwlnklig« \x4n fltV
ip und ff an Dtid denk« iiicb in derselben KUunn «"ine beliebige völ-
lig ft^scbloiiüi-ne t'une cjeiopeit. vV sei ci» belifbifirer I'uukt auf
dieser Curvi;, und A «ei rin beliehig'iT innerltalh nder ausiK-rbtilb
dfreelbt^n, nicht iitif itir, liegender Punkt in der in Krde alebenden
Ebene. Von dem Funkle .i ous drnke ni.in sieb i-ine inil droi po-
iitiven Tbcile der Axe der x pantllelv und nucb derselben Seite
wie der |tositiv« Thi-il der Aue der .r von lEom AnTunge der xy
au« bin gerii-lilete geriide Linie gexogm , und betrncbie iille nit
dieier Linie von der l/inic .-/J/ euiü^e^rhlu^scnen Kinkel uts |ioii*
tiv fldi'r nls negativ, jcnmclidpin dieselben vun der von Hpm Punkte
.<^nU8 mit dem positiven Tbeilc der Axe der.f.- pamllfl und ntirb der-
selben .Seite bin getogenen gcriiden Linie an bis tti der l^inie Atf/ nacb
der Seile der ptisitiven «der negativen i/ bin gezahlt worden Hind.

Dies ri>rausge»etal. bezeichne man nun eiueu der von der Linie
^JU mit der vun dein Funkle .V nu« mit dem itositiven Tbelle der
Axe der .t: iiiirullel und nncb derselben .Seite bin gezogenen gwa*
den Linie eingeEC blosse neu Winkel durcli lu, und lasse Hielt den
Punkt if/ Aut' iler in der Kbeue der .r// gezogenen gescblossenen
Curve immer uuch dcfMclbcu Kicblung iiin Itewegen, uiK er wieder
in seine erste Luge zurückkehrt; sg wird der >SnikeI ut sieb stetig
veründern, und iniige dunb il\r>tt\ ^l«tigr \ eriiiideruog. wenn der
Punkt ,V wieder in seine ursiiriitigliiiie Luge xuriickkelirr, dea
Werth tu' erlinlte-Ji. Zwixcben den beiden Grtiasen u und tu' wullco
wir nuu eine (tleichung iiufjurlien, und willen dabei ü> und </>' nls
durcb Kreisbogen liir einen der Kinbeii glelclKMi Riidiutt gcmc^eo
annehmen. tV ir latissen ^liev lit^i dieser Uutersucbun^ die folgea-
dea Fäll« unler>chciden.

Wenn der i'uukt .-f innerbulb der in der ILben« der iry gesv*
genen geachlOüsiMieu €ur\-c lieg), und der Punkt M »ich auf dieser
l.'ane niteb derselben Richtung bin henTgt, nacb welcher man Bteb
bewegen mus», um lun dem |joiiitivi-n TbciJu der Axe der .r durcb
den von den pusiliveu TlieÜeu der Axen der a: uad y cingeMblasüeaen

63

I

i

rechten Winkel liindwch zu dem posUiveu Thrilc dfir Axc der y zu
g^el&Bf^ii; »a wird der Winkel la, majv derselbe quo positiv oder
negtitiv sein, jcdorseil Blelig zuaetimcD , und c« wird uuf der Stelle
crkvlfen, düB« in dieMf^n Kiillfl KwiKcli**» <u und tu' immer die 4il«i-

1- ly = Cd -f- 3 w,

wo 7F «eine kck^nuk- BcdeuttiDg bu(, Siutt lindet.

Wenn der rnokt ./ »ictler tDoeriinlK der in der Ekeuc der .sTy
rxogi^iicii ii;c^cliifi»>ii^iirii Curve lieg;!, ({''r Punkt J/ Midi alicr inif
iescr Cur\« nticli derselben Richtunti; hin liewpfff nneli welrtier
Bsu sieh Iienespo inuss. um von dem pn^ttiven 1 licilf^ der Axc dur
iT durcli di^ti vun dein {losinvcn Tkeile der A\e drr .?■ und dem oe-
putivcD 't'beile der Axe der y eingesciilusisCDCii rcctilep Wtokcl
liindurcli zu dem ne^nliveu TlieÜo iler Ax« der y za getfinffen; Bo
wird der Winkel w. nuig derseltie iinii positiv oder nr^dv »ein,
jederteit stetiir nbnelimeD. und es nird aaf der Strilc erhellen, doRS
W die«ein Falle xwif«ciieu tu und b>' intnier die Glciclinnp;

yro n irieder ecinc bekannte Bedeutung: )mt, Statt findet.
< • Wtun der Punkt .4 »usserbiilb der in der Ebene der xjf gezo-
genen pc$chlosKeaeu l'itrte liegt, eo lindet. wovon nan sicfa sn-
glvJcb iilirrr.vaiten i\ird, wenn muii nur diesen Kall sn einer Fignr
etwas aühf-T lictrncliiet, tLWisclieu den blossen lo nnd w' jedetieit
di« (ileiebiing:

ti/ssta

8tftU.

Hiemns ergiebt sich, dtuts znisdien ileo GrÜsseii ui und Cu' jc-
deneit die <j>leic(iung

£u' = wrfc2ff oder la'^ut

Ktalt ßndci, jenaclidcm der Punkt ,-il inucrbulb oder aUsHurliulb dvr
in der iCbcni- d(>r .r^ g4-/ogen*-n ir«HrUli'iitiieiien ('urv<^ lif^t^t, uud
da*» man i» der ersten dieser beiden («iDicbiingCit dun obere oder
untere Zeicbrn xu »rbmen bat, jeiiucbiiem sir.b der Punkt jV auf
Jer in der Kbenc der a.'jf gezogenen gcscltlossenen C'urvc nacb der.
selben RJclituiia:- navU welcbor tiian «icli bcwegnn iitu»8, um von
den |ii»iiiiveii Tbeile der Axe der ai durcli den von livn pnsitivcu
Theileii der Axcii der a- und y ciiigcacbloüneneu recbleu Winkel
bindurch z,u dem puHiliien TbeÜe der Axe der y zu gelangen, »der
nacli der entgegengeüelzten Kicbtung bin bewegt.

I>ie« fitlirt aber iVrner, indem iilie viirbergebenden Xnransaelzuu-
gen uutb jetzt nocb ihre UiJlligkeit bebniien, nnniictelbur zu deai
f'ul|^udeu .Satze:

Wenn die HPHnk'te ^,'Jf,, .4,, j4^, ... ^^—i sämmtlicli
in der Kbene der ari/ liegCD. vuu jeden derselben uua
eine mit dem positi ven Tbeile der A Jtn der .-r porallel«
Dnd nncb derselben Seite hin gerichtete gernde Linie
gezogen gedncbt wird, die mit diesen Linien von den
Linien -J.W, --/,.V, ,:/,.V. .^,.-tf, . . . -■!/„_i.V eingesclilossenen
Winkel rcapeetive diireb t», tJ,, a>„ tu,, ... w^-i. die Werthe
aber, Welche dleae Wiukel. n^enn sieh der Punkt /tf auf
der in der Ebene der ary geachlossenen Curve immer

0»

84

D&cli ilervftlb^ti Ricbtung hip iii> «rieder ip ■«ine ör^
»priin;; liclip Laf(c brui^gt, äurch ilir« mit diefter B«we*
ffutifi ilrs l'nnktes .4/ icibundcne stcliice V eraadprong,
tüdrui ilrrscllir Mirdrrin&cinrrurspruiiRlirhenLiiifuaB.
knmtnt. cVIibI tr II . rc»[irciivi: durcli u, tu',, w\, u/'^, ... u',t—%
livxrirlinnt \fprdeii, uod x die Aozalil derjenJf^ro der
l'u ii^tc -V, -4,, ^'j, <^j, . . . ^/«-i ixt, nelclic inncrbalb der
in dt-r Khriie der a^f/ ff.znf(«afn (feMchloiiienf n Carte
liogeo; Bo ixl intnipr

' -t- w', H- cu's + .. . -t- m'n—i =:[u + w,^-w,^-...^- ü/*-i =£: xx,

vreiin uiRn nnr in ilicufr (■■«■icitanjir dnn «Iterc pdor ub>
t«re Zrirli«n tiimml. jrnnclidcn sicli d4>r Punlit fif enf
der in der V^lx.- dv der .7-// L^ezocrcnen gvscIiloäseneoL'orv«
oat'lt derscIliGti Kirlituii^. nueli wtirlirr maa «icti bewe-
ft«a mu&B, um lun de» )>utitivcD Tlieile der Axe derx
durcb doH voo den iMtsitiveo TbeJIen der Axen der X
und f/ eing'VKrli|MXHr>iioa Winkel liiiidurcb lu dem |io«iti-
v«u 'riiciie der Axe der tf xii geliinf;c<D, uder »ncli dir
»utaret(i'ngeselztca Riehliiiit; liiti bfUeg'C lial.

'Weiss m&D nlfio, das» von den Punkten ,-#, .,/,, ^^„
.i^,, .... .-/ii— I trcniifst rns eitter iimerbalb dor in der
Kbruc der wy irczog'eiieu fieschlubEonL'D Curve liegt, »o
wird roao, w<^od n»n nur dt^o l'unkl M «nf dicner Curvfi
seine Lag« Aft GriiüMe und Atr Rtclituni^ nach »ut* dt«
erforderlicbe Weise vpranderii. imeb nnt hi^j^eafallH «ei-«
Ben l'uilauf nuf d^r in Ritde stellenden Curre mcbrere
Mnl ruile Ollen Ikunt, die Sm mme w+(U,^-u»,-Hll,-^-...-^-ftlJ,_^
jede keliebifi^e Zuitalioic oder Abnuliwc. iiberbaa)»! jede
beliebigt: VeriiuiU-ruiitc vrleideu lassen kunnen;
Welche^ Kirb ^unx uitniillfibar «um dem Rurigen S:iize ergiebt, weilQ
miin mir bf^i der AnwciiillltiS^ drssrlbrn xiiglrirb nirlil üui den
A»a;en verliert, dnaa sirb rii« in Red<* sictiemie Knmoi« s« wie Je'W
ihrer elnxelnrn Tlirile iiirlwülircnd stetig: lerÄndrrt, wenn dirfi d«
I*iin(tl .t/ nuf der in der Kbene der xt/ g'eEOgencn gescblAMencu
Corvi* obne Unterbrerbuni^ bewejiEl.

Aal' diesen wenigen an »icb hücbst «infarben IVincipicn, ran
deren Riclili|ikeit mini sebr leirht die T»llkaaiiiien6te ('«lierzeuiiunif
gewinnt, berubet «orxül^lieb der Bcnei« des Herrn Moure^, den
wir nun Mgleich nühcr kcnncD lernen worden.

Es «ei

♦.3.

irgend eine (ilrirhung des mtcn Gra des, deren CoefGcicntcn ■aromt-
li<h rnn der F»rai «r-t- ^ l^ — 1 sintt. Für n.^\ bat diea«
leiclinnß; olfi-nbiir eine Wurzel ron derselbe» Form, und e» \t'\tA
lan, um dnii wirblige Fundniui'ntnlltiourcm der Tbeorte der Glei-
"«Iiuiigen, von dem in $. 1. dtn Rede gewesen ist. im Allgeneincn
nu bc'ueiteo, biliös dttraut .-inkoninen, tu xeigrn, diuis dusj^elb«!
wenn PF Hir ji*de (:ii;irli>iiig' v'mi einem niei'ri^ern <;ritdc tiU den
Mleu riehti|( ist, djinn immer uurb lür jede GluJcbuog do^ Mvn tira«
drü gellen ibdu.

85

I

Djiber Tcollflii wir jetzt annehnen, dasn ili>r zu bewcisenilc S&tc
für jede Gleichuufif rna «iovin niedrii^rri (tritdf als dem ntnn e;\\t.
Guter dieser \ uraussetzoDg lässt eiclt nach den ^Mlt^e I. in $. 1.
die Fuuctiua

at— t -f- Px»-^ -i- fta"-s -h ... -I- 7*

jederzeit als ein aus » — I Fact»rco bcstcboodcB Froduct tod der
Fcrm

darstcllou, iiud ca »trd. um uoKern Sud zu (reweiit«ii, nun dnrauf
ankommeD, dnss ninn x^it^t, damw es immer iniiiilestenB einen IV^rlb
Ton s TOn dprsrlkrn Konn wi« die Ctiellirienl«!! dtr ge^^bcncn
GleicIiuD):; irckcu muss, für welchen

a(»-«,-.5,>^) (*-«,-Ä,l/^)..;(«-«^,-;^»_ll>^^)H-£^=:0
oder y r

Vm dies zu beweisen, aetse nan

un^ ftiplle sich ^ and y al;t dio rtchlirinklicen CnordiDiiten eines
Punkli'ü .V in einer Ebene in Bezug' niif zwei brliebif^o auf vinan-
der senkrecht Ktelit^iidc CaorditiatviiRxcn, di^rcn jio&ilive TlieÜR O^
und Oj( svia ini>g:«ü. vur. Ferner seieo -*,, J,, -rf,, . . . -rf«— i di«
durcb di« Cvardinulfii

fr,, A,; (»j, /j,\ ff,, Ä,; ... ««--i, Ä«^i

in BezQg auf d;isiic)be Courdinuti-nitrstrm buKtimmtvn n — 1 Punkt«
in dieser Kbeiic. tu sei einer der von drm Rudius Vector OM^=z^
mit dem poailivcn Tbvile dt-r Ax« der .r Din^escblosseneo Wiukel;
so u%, wie snG;leich erhRlIpn wird, in TAIIis^rr Allf^emetubeit

» = a--<-yl/— I ^ p (cw *u-|-»io (uV — I).

Kind nun f«rucr u,, (i>,, ... fUa—i di^ vnn den Vecloren
^,.W = (>,, -/jiV^^ji, A^M^Qit ... Jn-i-^f^Q»^i n'il den
TOD ik'n Punkten ./,. /!,, .'Z,, . ,. .tf„ .| aun mit dem nusitiveo
Tbeilc der ,\&e der ^ (lurallvl und ubcIi dcnvliivn .Scili; biu gCEU>
geoen ^erudeu Linien einpescbtoaxeneB ^Viokct; so i»t nacb dea
eiufacbsteii Forntpta der l.rbre roo der \ erwundlong' der Courdinv-
ien uft'enUtr in volliii;er Allgvueiubeit

,_4,l/::i=a:-«,-|-(y-i.)l'Cri=g,(co8M,^-sinw,l/^).
a. a. w.

Ditd fulglich nncb einem bekannten Katse auB der l^elire von d«ti
iaa^Büren Grrissca

86

w^i)l/— Ij.

-4-8in((M-f-w, ~\- .

Weil nacti d ei» O bigen nns nun zn xeigen olilir^, dnss aiek
fflr »^;*r-t-yl'' — I. wo jr nnd y rflello («rAssci) sind. imiBer
miDdesleim ein Wcrtli aogeben IübsI, für welchen

ist; to Kerden wir jetxt xu «eigen haben, inss mU (ät ap, y ianaer
Diinileiftens ein Syatein zwfier n-vtler Wrrlli« angeben lliräi, lür
wcli"lies

MIO (to ■

■6>«_l

)l/-

ilt. Nach der Voniusuetznnf; und nucli dcx Lelirc vai den inuigi-
oären GröBsen Jtauu aber iniincr

— f,"=Ä(io8 II H- sin al/'^)

gejtelzl werden. Datier wird das Obii^c iienieitvn sein, wenn niBn
teilen kuiHi, iIusa »icb für .,:r, y imncr miudeHleni ein SvKten
zweier reeller WcftLc aui^eben laust, durcl» -welclie» die beiden
CleicliungpR

ztigleieli ertiillt werden, wovon niiin sich ;iuf fulgendc Art UbCN
seugeu liunn.

Weil iiiicli deu Obigen

e, =K(ö cos tu — «,J* + (p fiin (u — Ä,)»,

e» = l^(e cos *U flr,J*H-(g 810 (u — ^i)".

e, ^V^(p cos w — a,)*-h{^ Hin w— iA,)*.
lt. s. w.

pm—l ^ \^{(i <*»8 <^ "■—»)' + (e sin £(J— A»-i)'

itt; 10 Ut das Prniliikt ^^,pg . , . ^»—i, dessen Werrh iinmcr |io&i-
lir i«t, för jeileit bestiinmien Werlh von w eine steiii^e Fnnctifli
von Q, welcli« liir p = verschwindet uud liir ^ = cc unendlicii
wird. Daher mustt rs olleiibar fiir jeden bestinmien Wertb von it
mindeslens einen Werlh von q gebdi, tiir welchen

alfio die erste der beiden obigen fileichungeri erfrillt ist. Denkt
nun sich fol^üHi in der Kbene der xi/ von dem Anriuige Ö der
Cnordiaaten aus eine stetige Kniire gemdcr Linieu gexogen, so
wird e» Dut' jeder dieser geraden I7inic'n einen Punkt if/ gehen, des>
seil Eutfernaiig vuin Anfänge der C'oordinnlen oder dessen Badiiu
Vector, für q \a die Cileichünfj^

Btzt, derselben genügt, und es fragt sich jeut snnäcbst, ob alb

87

diese Punkte eiae Hletin viilli^ ^edcblnsseoe, den Punkt f) alionnoli
»Ileo Seiten liin ohoe LiiterbrecbtiD^ uiigelidude Cun'd liildfo. Daas
die« über wirkücli der Fuli ist, kann auf futgeude An {(eieigi
werden.

Weil oitcb dem Obigcu

u. t. w.

I

t

K

iit;;i« ist die Glei«liung

oder vielnclif, wcun mna dieselbe ralional dikcIiI, die OleichuDg

ofleiibur sowotil In Betva auf ;r, uIb «ilch in Btsnt^ nnf y von
3m tco Grude. Die Cleichtin^ einer j*<lca ^raden Linie bnt
die Form

i y = Xj:-i-fi oder jc = X.

Denkr nan sicL im erstca Falle in der Cleirhung

fQr y den rtu&druck kx-i-fi ^sctzt. so erhält bibd eine bloss die
unbekannte UrosKe a' eflihalteude (^teicbung, deren bücbstcs Glied
oO'enbar {l-t-/.')" ar^, und di»; uIm« vura -«trn (»rode iat, fntfclich
noch dem Salze "i. in $. ). bücb^leiin 2m reelle Wurzeln babeo
kuna . m deren jeder liegen der t^icjcbung y:^A.r-t-/i nur ein
besiininier reelli-r Werlh von y geliürt. Int zweiten Falle erhält
man, wenn mun in der Gleicbong '

die Grösse a^ = X setzt, eine bloss die unbekannte Grösio y eot-
hnllrmle (ileictiiin^ ileü 2Mtcn Gniites, »rlclie niso nucb den Sülze
2. in f. 1. wieder hiielistens 2a reelle Wurzi'ln bubca kauD. Hier«
nus ersieht «ieb, d;its lun der diucli die Gleiobung

cbarneterisirten iUirve keine gerade Linie in nebr als ~n Punkten
g«scliDitl*>a werden kiinn, uinl ds>s als« die»e Curve U'deiifitlta nicbt
der tiiillting der S|>iraien uo^ebärt, welche obne jemals !n sich
selbst suiück9Lai>.ebrcn in uuendUcb vielen Wlndunpicn einen festen'
Paukt uingebi;!!. BcatHiide nber die durcb die Gleicbang

cliBnicterlsirte Curve aqs gewiisen rou einander (^esjonderlen. also
ID keinem stetigen ZusammcDbange fttelirnden Tlieilen, so würde
man roD dem Punkte O an durch die Zwiacbcuräumo itwischon den

88

Htn 'Ilicilen liinilurrh bis xu einem von tiem Puakt« C unend-
lich weit entreniteu Punkte 0^ «ine B(p4ive Ciirvo Kirbvo käonea,
aaf welcher der Rudios Vector keine« l*^iikl» ävr Uleicliuug

ee.e« • • •?«-! = /(
ffcDiifccn 'niirde, wcli'lies un]jfereiiiit i>tl. Dean die, dem di«*«« t'urve
besrh reiben den Puukte enls|irei:hcnden Vectoren Q verändern «ich
stetiii: vun bis X , oad ca werdou aiclt iJio aiicü die cntspreclirn-
den IViTtLie der Uiä««e

itetig vrr&odern. Weil nUo pp,?, — Pn-i fir f =rO verschwin-
det, so ist io der Nahe des Punkt«« O die Grässe

oBVnbar nef^atir; positiv ist diese Grüssc dagegen io der Nähe dqa
Puiiklfs O,, weil QQiQ^ . . .e»~-x fnr $=C0 unendlich wird. Da-
her UIUS& die Griisse

QQ.e-, . . . f(^-l — Ä

irgeudwo auf der Cun'ri 00, vom NeKO'>vi>n tarn Positiven iiber-

Seheo, welches weisen dur Ktetiguu Vurfvnderunii die»cr Grösse uar
ann gt;schebea kann, wenn dieselbe durch Null hindurch Rclit,
wornua »ich uIho er{i;i«bl, dfts8 j^-dorzciL für einen genisxeu l'unkt
Auf der Carve 00,

Q^tQt . ..^^1-/1 = oder p^,^, . . . ^«-i^ A

sein muss, Welclies gegen das Obige streitet. Folglich i&t die dltrth
die Gleicbuog

chnraetrrisirte Curve nulbweadig eine stetige grsrhlossene. den
l'nnkt O nAch allen Seiten hin ohne CnterbrechuDg uuigebewle
Cu^e.

Xütt den Punkten 0, y/,, .^,, ^,, . . . .-tn—i liegt immer min-
dcHlens einer, nSmIich der Punkt ^/, innerhalb dfr in Krdp. sieben-
den Curvc. Ferner liiset sieb leicht zeigen, dass keiner dieser
Punkte auf derselben liegt. \'on dem Punkte verst<.'ht »ich dies
von (uriliBt. Lag'- ober t. B. ilcr Vitnkt .1, nuf der Curv«, »w wurde,
da für jeden Punkt derselben die fllcichnng

erfiillt ist. dies aueh für den Punkt v4, der Fall sein, welche« aber
iingereiml \nt. Weil man n<inilirh unter diesen Vornusäciiun^eo
tleit «h^n im .Mlgeuieiorti durch M hezt'iclinelen Punkt al.-) mit den
Puuktv ,4, zuianimcnlail'Mid Letrüchieu muss, so würde otTenbar
^,='^,iV^=0. und fuli<lirji nueh p p,^, , . , ^a_| =(l «ein. da
docli oAealiiir /t nie vrDtrhwinden kann, weil nnlürlich /.''als nicht
versrhwindcnd angenmnnieii niril. Nimmt niiin nun iillfN diexcs xu>
sammen , ho pri;ii-)it sich ans dem leixien Kittxe des vorigen Para-
«r^librn unmitteliiar, dass aut der in Rede nlelicndcn Curre der
Punkt -V iinuier bu angenumneu werden kann, dass die äumme

■ tu.

•"►.-1

jeden heltehlgen Wertli erhSli, also ouch so, dna>

89

W'

• u.

■w.

-t-ta^i = a

P

ist Do Dtin Dach den Obigen [ür jedcu Puokt unterer Curve die
Gleicliung'

erfOllt ist, bcT atelil man, da** alcb auf derselben immer ein Punkt
BBgebeo lÄüRl, dureli «Jcsüp» Conr«tinaten die beiden Gleicluinpfeu

ziiifteirb erfüllt werden; niif den UeweiH dieses Satzes ist vber oben
der ReiveU de« Kiiii<liimrnlftl!iitl7.PH der l'lieurie der »Iß^ebniiiKbi^a
Gleiclrnnfi^cn zuriirkp;efii1ir( ivocdco. so diiiu aUn nun iiucU dieser
wicliti^fi FundnuieotalBuIx selbst vollstaDdig bewieico ist.

XIV.

Ueber eine merkwürdige Relation zwisclien
den reclit\vinkli;reu Cuordiiiateu vou vier Punk-
ten in ein*»r Kbcne und den drei Winkeln, wel-
che die vier von diesen Punkten naeh einem
füuftcn Punkte in derselben Ebene gezogenen
geraden Linien mit einander eifisehliessen, und
Über zwei wiclitige geodätische Aufgaben.

Von
(Ifiii Herausgeber.

B» seien .-1', jf,, yf,, -V,, \ier Pankle in einer Eb«iic, deren
(^Ardiniiten in Bexite- uuf ein beliehi^n reditwiukli^s Coordtna»
1coa\'titeni rc5|.ec(ive J-', y; .i'',,y',; i',,y',; a-",, y» »ein mögtn.
Hin fiinficr l'unkt in derselben Kbene oei ^i, und ,v, y suicn die
(^nnrdinitten diisva l'unktrs in Bezug tiuf diissi^lbc Syalcm. Ourrk
ileu Punkt ^ detikr man sieb ein dorn primiiiveo |i»rutlcles Counli*
tiotensystem der £ •? gflvfct, und bezeicbne die Cuordinaten der
Punkte ^', A\, ,4'„ A', in Uexu^ auf diese» neu« Sjütem respec-

tive durcli I', V; ^'i. i'i; ?'»> l'»» S'i> »J'«; •"* l"** """■ '""^'' •**'*
einfachsten Forneln der Lebre von der Venrandiuog der Coordi-

Cie folgendes Gleicbungen:

I

9»

Ur-,

:je-

Die von deD Ijuien jf^% .-U'^, JA\^ -^-^'n welclir durel

S, ^,, ß,t p, bfZGiclitict wrrüvn sollen, init dem |>ttsitii'en Theile
er Ast dtr % eiflgtschlosäcnen Winkel, welclic vou dem [iDsiliveo
Theile der ,4se der £ an durcb den Tun den |ioB)üvi-a Tkeiirn der
Axeo der ^ und i; ciDtccscblosseueu reciiteu Winkel biudurcb imaier
UBch der)i«lliPO Rictituug bin «od bU 3t>U' ffezäblt Merdea, wol*
leii wir diircli if. <p-f-a, ^^/9, 91 + / brxeiclinea, indem wir dar-
auf bexondcr-i aufmerksam xu mncben nicbt unliTlusson, dass die
durcli a. ß, Y bezeirbncten (irossrn zwar niclii ii> ullrn Füllen die
ISO* nirbt iiliersn-igi'nilcu Winkel A'A.t\^ A'AA\^A'AA\ selbst
sind, aber doch aus dieeeu Winkeln Jederzeit leicbl ^fanden, nad
daher, wenn dieselben etwa bei einer geodälisclien Aufnnbne ge-
neisoD worden sind , immer al» beknnnt nni^enomnien werden kwa>
neu. Dies voran 5i(üaetr.l ist ofteubar in vüHiger AHupemeiabeit

I' ^^ cosy, 1/ ^(i 8109);

S',=?, «■(9' + «), ^, — e, «i""(y+«)i

£', = (», C08(9»-i-^), ii'j^t"! sin(vH-i*);

und mittclut d«r Gleich angen 1. ergeben Bieh daher jclat die fttigi
den GieicIiDtif^eo:

2.;'

■ p cosyi y =y-i-p «in ■]>■,

e, C08{sf.-h«), y',=y+p, Bin(7)-f.a)i

.ir-l-e, «is((pH->'), y.ssyH-ff, ain(9)-hy),

3.

Durcb tliminotiun der GrosKen p, p,, p,, p, aus diesen acht
Ukiebungen erliall miin die vier folgenden Gleiebnui^fn:

I JTiia y — ycos y css jf' ain V'^y' coigp;

WBin(9D-f-a) — ycn8(^p-H«) = ä^, bio (jH-a) — y*. rosfgH-o)!

i^siu(7>+i^) — yco8(jH-^) = -!■', 9in(y+?) — y'a i;u»(y-(-^);
^lliII{lp-^;') — yco8(5p+;') = ^. «n (SPH"?*) — y . <*o»(r+-r)i

unt draeu sieh ferner, ircnn mun aus der «rslcn and rwvileo, aua
der «rsteu und drillen, aus <l«r ersten und vieriea di« grosse y

AliwtDJrt, Icirbt die drei Uleicliungeu

ljfain«=)j^,*in(qrH-«J— y'iMa(Di-|-«)| cosy— (a'smT»— ye(H7)co»(7-H(>,

r>»iiij'^)j/,«inf^^-f-)') — ^,coa(7.+^)| eoaif — (.z'ainf— y'cii>>Y)eoi(f +)')

"•^n, dia danD durcb EliminstioB voo x aogkicli xa den iMiden
t-i' '< uungeo

91

»

. idn dl . ,_

iJ'.siitfy-t-^) — y.cnsfa-f-y)! cffJiy — (j^amy — y' cnB7.) cos [y-f-y)

oder

^i(l-l-c«totaiigy)-y',(«ol«-t«og'9F)-(jr't«ngy-y')(cota-tiiog5B)

:^j-',ll4-cot;?tiiDf y)-y.(c»l/9-t«o[r<)p|-{VUiig;<)f>-y'Xcot/?-Uii(f9))
^Jc',(H-r.Dt;'liini^-y)-y',(r«l;'-tJiDgyHa^tnRi59D-y')(cot;'-tiiDfr9p)i

oder, vle man oncli leichter Keclmuoß^findei, ludenWideDGIcicIiTliif^enL
= ^t-(y'.-y')c"t|*H-l(^,-^")cot/?H-y',-y'|liioff9n+.r'tBDgrs.'

oder, weDii man ia dicseu (ileicbuDj^eD die IctxLcti einander gleiclien
Glieder iiufliebt, za den beiden GleicIiUDgen

= a^, — (y,— y*) cot;- H- Kar*,— .*■') ci.trH-y,— y'I 'Huff?'
fiihreo. Ans difsen bpidon 4^1 eich trngvn fal^t iibfr leicht

■ \«an«rct J.^. — -g*,— (/.— y'f cata-»- (jir',~y'>COt j

•Imo

7.

■t-'.^j^,— fy,— jr)CTt»-i-(y',— i/)f^«j»

y",— y'.-f-U"', — ^'>o<"^'' — i-^i — ('')cor/*

y'i—i''i-»-t*'i—'t'')'^"t^ — (■«•'»— ■*')«o'J'"

Bringt miiii ulicr diese Gleicliang- auf Null, so erhält man Daeb
eiuigeii leicbteo Verwiindluag'eD die Iblgfindo merkwürdige ülei-

■ s. 0=I(.r'-^,){y.-jr'.l-{a*',-jr'j)fy.-y,)lsin«si«,J«ny

■ +|(^-^,)(^.-.^^)+(y'"y.Hy'.-y.)ico<ia«iB|y«ii»'

m^ +t(j/-*'J(jr'.-jr',)H-(y-y,)(y'.-y,lt''inacM/Jsinj'
^■l + Kct^- J^.)(a^,-.«^'a) + (y'-y',)(y'.-y',)t sinttsio/JcQ»/

V H-I(^-JF',)(y-y'0-(;r'-V,)(y'— yjleoBasin/ico»r

■ +t(V-^,)(y'-y',)-(^— .^'.)(y— yJUosaMD^Moy.

H Nach weiterer Entwickelong erhält diese Gleiefaung die Form

0. = (jr'*^,H-y'y,-|-a7',j7',H-y',y',)iln«iiin(|3-y>
+ (^a^,+ y'y',+.r'. ir'.-4-y'. jr', ) sin/J »in(^-a)
+ (jrV,-f-y'y',+ V, ^,-l-y, y'i) sin ?■ »iB(a— ^

— (^r'y',— y jr*,) CO«« »iii((?— r)

— (oi'y«— y*^») «08(5 »in fy— o)

— (a^'y, — y* •*''(} coBj-siD^a— j?)

-h (a-'.y,— y.jr',) »in « CD« tf— /)

-I- (^^S^t— yt-a^i)»'»/* coa(r— «)

H~ i^i y'.— y'i-ir', ) «u r coB(e— ^),

and die&c Cluicbiing lätütt »ich viidllcli, wriiD ninn die Proilacte der
ffnnintnclriscbcn Ptiucliuiiüa uul' bt-kiiiinli; Weise in Agf^roiiMe von
C'uüiuusftcii uiiü äiuussea verw40<lGl(, aadi onter der t'ulgoades <G«'
sttfit darstellen: ^_

+ l(^-.r'.)(y.-y'.)'-Cy'-y'.)(.r'.-:r',)i mb(«-^+;')
-»- K^-^OC/ -y.)- (y'-y.)(-r',-^',)| ^i^ia+ß-r)-

Mittelst der im Voriicrgclimdro eutnickelteu Fonaüln Usseo
Bicli zwei wicbtigc gcodüliücfii! l'roMeun:. die in der Pruxl« kÜufig
mit Vnrtlieil tu Anivcoduiig t^vbraclit werdeo, auäüsen.

\tf\ AfT Uiitei' dein Nuim-ii it» l*o tbeuolitcli^n Prslilems
li^kimiitcu Aut'jj^alie sind drei Punkte ilirer Lapo nnck grgeltrn. und
die fjAge cincit vicrteu Puiiku .toll ItesiiniinC worden, wenn in die-
sen Puriktß die lividfK IVinkrl G^emeHsen wonlen sind, Avelclie die
drei vuD deimseKtcn nack dcu drti gegebcoeo Ponklen ^ezugcoes
Liuicn ini( einiuider cinncbliesseD.

Neliinen wir an, dciss .J', .4\. A', die drei gearebenen Puokl«
Bind und A d«r gequellte Punkt ist. su sind die iöi Obigen diirrh
iT*. y*; .r*,, y, ; i',, y', bcz^icltnelon Coordiouteu und die beiden
Winlcel u, ß bekannt, und die beiden ('oordiu&tcn jc, y werden i^-
suclil. Weil sna nacb 6.

II . X-,-jr', — (y,-V)cotfc+(y',-y')ctH^

"«ff y— y.-y,^-Crf',-^-)cat..-(:t;',-a-)<»t^

ist, KD kiinn der Winkel 'p aus den gegebenen (irüssen gefaudpu
vrerdeu. Da man jedoch nur weiss . dass dieser Winkel 3t}U' nickt
Hbersleii^, so Trä^t es eirh. ob raan donivlbeu zwischen and IM>*
oder xwucben IN»" und J^U" zu oekmeu bat. Kiuv t^iUckeiiJUDR
bicrUber kann aber teii'bt auf fiititeade Art gegeben werden, Nuck
3. hftt man die fulgenden Gteirbiingen :

Iaf s=^H-( coBy, y" ^y-hf mo<p;

ie',=ar-|-e, co«(yH-«). y't=y+e^ fliii(5H-a);

»3

e =

ileoei.sirfa die ülflichaofifea

und biernua die beiden fulgcndea Auitdriicke too ^ ergeben:
(jF^— j;',)sin(y-nt) — (y^— y'()co»(y-t.a)

■'.-■■,.-111 [< ■ '" i*lB.-«"i II- ;''■>,' * r-'

'* sin ^

Da nun die briilrn Wcrltif, welche^ linltpn knno, jederzeit von der
Ponn <p und if-t-IKV* sind, ku sii-bl mEtii, diiEs diese )>cidf>n fVcrtbe,
für 9? in einen dtT beiden lorhvrgelivoilcn Au&driicke ^escUt. für
(> jederzeit znei Wcrlbe mit eiilB;egeaa;esotzlen Vorz^iclicn Jiefern.
>V«il über q H«-in<T \nlur iiiiirli jhimIiv iM , «u muss ninn Tiir y im»
ner denjenigen seiner beiden Wertlie setzen, nelcbrr für ^ eiaeo
positiven ^Verlb liefert, und kann aisu i\\ii dli>s« Art imnirr m\t völ-
liger Sicberbeil entscheide», ob man 9> zwischen und IMO** oder
xnriseben I8ü" und 360" zu nelimcu Iiüt.

Hut niun (p und q iiuf diese \Veis« gefunden, bo eivi*ben sieb
di« gCBUcliien Cuurdinuteo x, y wiltcltt der av» VI. iDieBsenden
Forineln

1^ jt^jf'— p eoBy, y=:y'— ^gidip;

und ff, uod ^, crliält nmu nnn feruor leirbt Hiitt«Ut der folgenden
sicli ebenfalls uomillclbltr aus 12. ergebendeu i'oraietn:

I __ ■r''.ri£ y' ■ —n-

L

Auf dienfi Art ist jetzt das rotbenotscbe FroMem rollstXndig
aufgeli)»t.

IKinc andere j^endHtiscIic Auft^abet deren Anflösung* sieh ous den
im Obigen eolivi ekelten (>lpi<-bun];rpu otileiten lä«al, ist diis futgesda
scbJin» I.Bmbnrlscbe Problem:
Man soll die gegenseitige Lnge von acbt Pnnkteo
j4. v^,, ^,, --/, nnd -■/', -■/',, A\i yt\ bestinmen, irenn in
jedem der Punkt« ,/, A,, A„ -d^ die Winkel geniCBsen
worden sind wndebe die von diesen Punkten mich den
Punkten A\ A\, ./,, A\ gezageneD geradea Linien ntt
einander einscbliesBen.

31m) uebmo den Punki .4' «U Anfang der Coordinatcn au, und
«stz« dUo ^=0, ^=0, so wird die Gleichung ft.

= (^', jr'.-f-y', y",) sin« lin ((¥—/>

-h (a^, J?', H-y', y', ) sin|?sio (r— «)
-I- (-»■'. ^■'i + '/. y^) »iny sin (« -jS)
+ (■«'»y'i — y'.jr',) ""«cosCtf-/)

H-f^.y.-y.^JsinfS cos {/-«).
Ji« ,-4-(*',y',— y, jr',)8tnyco»(a— jS).

94

Srtit nap ddh, wbs ufTenbsr ventatt«t lat, uueb nacl y*! c
so wird difs« Gleicbuiig

,.,.i,,, r4-(ic',y',— y',i»:',)8inBco»{jS— r)
tIt^'j j^, sinf;— a)— y, cos^'-^)! ■'«>('
H-ot', I^, »iii(a-jS|-4-y', cos(a— jJ»! sin/,
und folglich, Tteun maii

16. arV=*'i + »

■ctzt, ■' " '•>■■'■ ■' ■■'

-|-a^,x', |siua8in(/S— ;')-f-iiiij^»iii(j'— o)(
-^^»y', \siBttC0Bifi~y) — siußcaa{r—aH

oder, wie nan leicht liiidct, weil

sio u sin iß—y) •+- iinßt'w (/— «) = — iiuy aiD («—)?),
siott cos OS— y) — «B/? cus(^— a) ^ co»;- iin(a— jS)

17. 0=:(*a:'.H-y',y',)wua«D(iJ— y)
+ (»y. — y« ■*^. ) «in « co«(/?— /J
+ :!•', y', siBj'C05(a— /?)
H-J^iy. coB;'siii(a— ^J

Diese Gleichung wird, wenn inua d«r Küne wvg-eo

»t,

18.

ffttt.

19. = ^sinngiD(j9 — /•)
-i- y sio a co8(/Sf— /)
-|- r Bin )• cos (« — /<)
-H« cos;'sin(o— jlf)
-i~ tttiay Mn(a-'ß).

(TcbeHegt nun, dass diese GIcicIiuDg sich auf ieo Punkte
hcztehl, und diiss man für dtc Punltl« /i,. ^4^, A, nftooltur i^nx
Sboliehe üleicliu(ig;«n bilden kanu: so erbcllet. du.s.i die Data der
Aufgitbe mmvt vier UleicbuDgen dei «nleu Urudes zwischen den
fünl unltekatinlen tiroitaeu /«, y, r, a, t von der obigen t'urtn li«fenii
nitieUt wekbtT miiu ulso die Verbällnt»« der tirössen p^ ^, r, 9, 1
Bolcr einander beitimoicn kann. Daher wird nim

in ktfiiBCD, w» ie,kiiitit/c^ bekannt« GrÜM«Q lind. SeUt bso

95

:1, «o ist «=y',, uihI ili« («[eictiungca 18. erlio]-
Form:

Dies 8tDil Tinr Ctlflirlinntren mit vif^r unbekanDtcD Grössen, ilie
sich »\a» mitielat iÜvslt Glcicliuo^an Wstiminen lassen. Durch tli>
ninatiuii vuii y,, w<!OU niun niimllcli dvu Wcnli dieser (>ri)SBe aus
der ilrilicq (/IcicbuDp; in die l>«iilvn «rsteii Gloiclmtigeji cinfillirt,
«rhalt BiWd leiciit div drri folgniidiTi Vlcichtingfcn: ' **

Und durcfa KlimiDOlion von a erbült innti ferner die beiden Glei-
cltungcn

ni-*,)a:'. = I+/-.-/-.y',.

zwisclieii den Coordiaaten .r', und y',. Führt mati den Wcrlli voo
^, uus der ersten dieser beiden tJIeichUDgfeu in die tweite ein, so
^m erbalt man für ^, die folgende Gleicbun^ deü xwciteo (>rades:

1^ 23. = (H-*,)(A,-|-X-,)

^ und sieht also, du^^s y*, im Allecmeiuen zivei Weribu li»t, die aber
auch bcid« niiiiiitiflicb werdnn Vonnen. Hut mnn «uf dieiift .Art y,
f^efuodon, t» frg<^b«n sielt x',, %, -J^i- y i leicht iditielft tier (ileU
cliun^en '22., '21., Ili. und 30.. Wobei man iiniiier fest xu bnlten lint,
<Imi a,-',=l gesetzt worden ist. Die C'ooriiinulen .r, y des Punk-
tes A lindet nan nun ferner gnnz auf dieiielbe Art wie oben bei
der Potlieno ('sehen Aul'^ubo gezeifft wardca ist. und uuf ^^.nz 'v\\n-
licfae Weibe eruebcn sich euch die CoordinaleD der Funkte

H Alle Uohekaontc firüiMca xind bt«r durclt die GrÖue J:', als

^Einheit ausj^cdruckt wurden, and melir nis die Verhatlnissc der ge-
KUctitrn (jrurisen su der (Grösse x\ iils Kinhcit tttsst üicb auch uut
dun Oiilia der .Auf^iilie in der Tliut nicbt linden, Wiül die säinuit-
lieben Duu der .Vur^uiic nur Winkel aiud. Handelte es sieb un
»baotule (trösfieDbeüliiniiiun^Qn, so müssl« mindestens noch eJoe
der in der Fi^^ur \urkiiiniRvadcn Linien, elir» die I..inie ^,,
welche unter den oben tfemttchteu Voraussetzungen offenbar die I'ünt-
fcrnung der bctdi-n l*unkti> A* und .-/', vnu einimdcr ist, gemeMca
.«erdea.

96

XV.

Tafel der pytliagorüischeu Dreiecke.

Von den
Herrn Professor C. A. Bretschneider

lu GueIib.

I>aiM «lifl ib ilco Scliulze'acben Tafeln Bd. IL Seite %0S ET. unter

Jrr Auf^rkrift „rntinnulc Trinntioinvtrie" eiitlialtcop Tnfcl
der |)>llitifri>raisc'licn T'rricckr in einzrltirn R»ulraltD bedetlteude
Frlilrr «iitlijtlr, «in! »llcn licn Lelirero itrr Tritroiioiiirlrie niclit um-
kcLiiunl Kt^iu. ilir ilieün Tnfrl zu Aut'j^ttPti für ihre NeliUler benatit
litili^it. Neueriliu|f[^ hat Jed'icti Uvrr I'ntlosBiir Kunae in Weimar*)
TincliKcurpsm. äm»9 dir Menge der in jener Tnbftlr vorktimniendeu
Kelller ki> (ir(l>'iil<'n<l int, dtmH Iflztfr« dinlurrli firnt onliraurbbur
trird. Da air nun (ir)''>chwnki dein I.fbrer eine sehr brauclili:ire Bei-
ipiHMmwIUdff liir rcclitwinklirb« und ärbielVinldicIte ürneeke dttr>
lllflilt, ao liubi^ icb mirli der klrinrn itliili<> uiilcrzuf;rn, a\a nacb-
mbIm zu berrrbnoii und ilitbri die Wiakrl bi» iiut' Ifi-Iintrlsectiuden
utiuiu zu beiliiniiicti. Da jeiit>s Ke»u1(tit milieUt der L'aMi'r-vbvo
TjifuUi Oup|ietl liervclioel und die VVitikul lii« auf Humlertilieile der
Svcuitdi-u ffciurlit tiDrdrn «iiid, wnbri die dii|i|ii-llt!a IVertiie höcli*
•tOH« nur um U,'U1 diOcriien durtten . sa nt6cliten die erlolieaea
Husulinle wulil rollrs Zuirituen ferdienen.

l{eiei<*hiieii d.iber m und m n-Intive Primznlilifn, von denen im-
mer nur die eine aoKerhtle sevb darf, und miiD setzt den einen
l'ullieien ti eiiip« rcrlnwinklictien Ureipcki-s cb-irb 2m«. tu ist Air
noilere l'nibele A pleldi m'—m', rfic Hf |jotenose A flelch m'+n*,
irnrnuH »irb die Jen 'rutheten a und & gcsiendberliog'endca Winkel
jt und ft duirb die Gletcbungen:

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ergrclieo. Die Tafel selbst ist uns fol^eudc:

*J Ifl der Vorrede tu Chr. Güttl. Tetikst Tarel Jrr Sinus, Tuftoten
SmuHMM«, Jmw IStU bei Hucbbauten. 181 S. 12. •

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Eine gfOBue Vt-rgloicliuDg dieser Tafpl tiiil dfr Schulne-iclien
zeigt nun ulkriJiDg's ächr \iele uud zum Tbvil bedeulrndc Rccti-
DQngstVbler. Drr V<Tfi<rti|fcr ilur Tufet hat notcr 200 Ureiecken
niclit wcni^fer nU 68 Urviecke doppelt berechnet, weil er Tcrkannt

liat, da»« die Wertle taog -^^=.~vaA («ng^-/?=:: —— xu dem-
selben Dreieeke gehäreu. Von dieseo 08 Dreiecken sind vicderant
23 folBcli brrcctmcC, wäkreud nnter den 61 Üreirckeii, n-clcbe bloM
einnal vorkuminea , 9 ^ro^strotlieiU totul faUdie üirb befinden.
Aixierdein sind nichl weiii^jr«''' <<1« 1^ Dreiecke TorhAiiden, in ivcl-
cben die Winkel ^rriidfl uai U.''5 m ((ro&s oder zu klein tingegebcQ
sind, HO do9s ikmnnch nuf 132 wirklich ron einander vor^^chiedene
Dreieck«* 32 ganx fahelie und 18 uugrnBue, ziisaiDmcn also 50 fehler»
bafcc kiHpmen. Für diejenigen, nulrbe die ÜchiilKe»clien Ttifcln
besitzen , fulgco die nülLigeu VerlKisscxungeo im nacbslebendea
KSelienitt:

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21 13 :W

21 1*22

21 :i;i 5.-1

31 :U 7

*i:l 4 j '^i

2S \it 38

2i 32 I»

»4 31 4()

2{. ;i:» 2.1

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2i6 r.9 2:1

2ft :a 29

33 n äi

:i:i 2:i 55

35 3-14

35 3 -t

mnatc n tv

nniuiPinea:^

38"2r2«"

38"21'2y'

50 41 33

SO 41 32

55 2

55 6 20

61 10 29

61 9Z0

61 55 .'>7

61 55 39

ftl Mi 32

61 56 33

6N 4-> :w

6S 45 38

72 56 16

72 56 \R

70 39 21

70 37 21

74 48 ;JS

74 4N 39

7& V> M

75 45

7S 12 41

7K 11 in

79 K.V)

79 7 iO

79 35 56

79 36 40

81 12 2

81 12 9

$1 49 43

m 49 44

Dntcr den Üreieduspitea beiinden sich fDlf^enilc Febkr:

12' r 4"

13 41 H
30 30 37
42 W 28
m 30 40

70 30 2X

71 40 31

rnter iler Rubrilc endlich ,^t»^g ^ tu ia DecimaUlieilcn" lind
folgcode Fehler gcfuudcii worden:

pcrp.

«tISUtt

«Dss sein

typ.

t>B«.

pcrpj

Ji>iu

ku.

7S

—

76

■

_

—

308

317

—

317

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23

—

—

33

—

—^

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—

207

__

-^

1N3

—

—

193

—

—

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. —

—

949

—

476

^

—

468

—

_

«niibatc

miiss sein

tanjf

JDU =s 0.2fHISfi91

0.2ti0S696

0,29*1179

6.2911170

U.3U7*J93S

0,307092.'!

0.3157303

U.31.:,7S-95

0.5909001

0,.VHi9t>91

Ü,60,S6965

0,6<)\fi!r,7

0,695652«

0.6956522

0,70.5X823

0,7lt5SSi.i

0,7619017

0,7tniMHS

0,9523809

0,9.>23.S10

In der Oden »telieoden neu berechaeleD Tsfel 7»t die luteM]
«nvSlinte ColDmTir; der Sctiulzesclipu Taf»! wett^elumoD und dsTdri
eine Cnlumn« für die Klärhi?Dinliu|tc der IVlbM^oräisclieii Dreieck«
bfig-pfii^l: u'ordi'n, da die letzteren dem I^brer DäthigvT itiod ils
der \V(!rth von tan^ i A in DecimaltbeileD. Die Kinrichluair der
Scbulze»ch«u Tafel uber, welche die Drcieckswinkel A und Ü xn
ArffUDic.ntea bat, iat gänxlich terlaxseo worden, weil nun, wie
Herr Professor Kanxe Kcbr richtig bemerkt, bestinttot« Dreieck«

101

Fiml^ar dbcIi dem Winkel, altt vielmehr docIi den b«<tiiniiten und
bcatimnoiitleri Verliiiltuisato ron »» ; «w nufiuiiuclied {iHe^t. |)ii- Ta-
fel f^wälrt bei di<?.sf!r Veranderuufr lugtejch den Vortbeil , iIhh»
miiii bic ji'di-o Auc^fiBblick weiter forlsftxon kann, ohn« si^ volli((.
unordue» xu iDÜBüfüi, nun bei der vno Sclialte getroffeaeo Binridi-
luug oicit gCBclivltcD kiuin.

XVI.

Ceber die Verwandluug eines gewOlmüclieu
Bnicbes in einen Declmalbrucb.

Vno de«

Herrn Ductor J. A, Arndt,

Snbreciur und Lebrer iler Mvtticmtiiilk uiid Physik am Gyiunaslüia lu TurgaU.'

^^^^Das Verfhlirei) selbst iüt bekannt, ebcnsu , dans zuveilen do
^^^ÄrUlinlicIier Rrurb sieb vnltkftmrorn in einon Dpcitnalbriicli ver-
wandeln l!t>Ht, zuweilen nur iiiitiiTUDi^iiwcUc, und du^s im letileren
Fitll« (rine Periode eotütebt . welcbe nie' mcbr ZifTeru babeu kaon,
wla der %Rrin«r de» Bnicl»*» Kiiibfitcu «ndiült wfnigrr viue. Hier

I sollen die i'nit^cn lieinitirurtot nrrdcn:
1. Hann'eiifxtelit eine Periode, Wann nieblf
2. Wunn fängt die Periode sqgleicb nacb dem KonBft
OD, wnnn nicht?
Uer in einen Decinalbrucb zu verwandelnde gcwiilinliche Bracb
sei — ; V» werde ungeuommCH. er sei iiut Hciuc kltiusle Uenennung

gebrarbt, rlieiisu, er sei ein Äeliter Itrurh, iudem dte nuächten Briicbe
so^tcicb in vermiseluc Zulilen vomundclt werden, die Gaazen aber
I Huuunii unberiicksicliligt bleiben können.

B Du bei der Verwandlung des BrucLes — in einen Oecimalbruch

' der Zülilcr de* Kniclif!« »iieb uud niicli immer ntit 10 mulli|tlicirt
Und diejifs Prodoet dann durch den Nenner dividirt wird, so kann
die Di\ision nur dann »nftfetirn, itcdu der Nenner p in 10 oder
einer Potenz von 10 ausgebt; nun tat nber ll> oder eine Po-
teas von 10 nur durch t uüd 5 tbeilbiir, es kunn dblier der Bruch

— nur dann vollkommen in einen Uccimalbrucb vonvan-
p

delt werden, wenn der Ncnnar keine andern Primfacto-
ren enthält, ala 2 nod 5. Asch liMit «cb dutcli die Zeclegaog

103 .

des NenBera in aeiae Primlactartn leiolit heorlbeiktn, wieviel üeei-
malAiellen der Deoimulbrucb faiil»cii wer<le; p miiuh nümlicli cioe tob
folfreuden Focinen babvoi 'i* , Ü" , 2^.5^, 2*. 5",*^ w« m itniner
klt:iii«r oiier ktk-liHtvtiB ::=« »«tu xoll.

Vnn vciclifir FuriD der Nenner f> nbvr aucti sei, immer wird er
in 2".5":=('2. 5)"::= lÜ", uicltt aber u «ine-r niedrigeren Potcos
TAD 10 uufg^Hieti, flan mu35 demnach ira Zälilnr ricH Rrurbes mit
10" Diu1li|}licircn, dumit die UiTi^iuii durch düD Nenuer p aufgehe^
woraus UDinilt<-lbnr folgt, das« 4«ir^uotiriit diesEtr Divi&inn aus n
Ziffern bestebvn, drr bccimulbrucb »Isa n Dccitnalstollen. d. b. i«
viel Decimalstclien haben müsse, bI> der böcliste der
beiden Rxponeaten, mit wt^lcben nucli derZerleg-ung
de« NcDDerfl in »eine Pri nfoclnreit diu 2 und 5 verücben
sind, Einlictten eutbälr.

Hiernach c^elien die NrnnBr :S,'?(i 10 einen Deeinalbmcb mit
einer Uecinulstelle, die Ncnnt-r 4.20,25, 50, 100 mit awei l>eci-
oialatelleu, die Neuner 8, tO, 125, 200, 2-KI, AW. 1000 mit drei De-
eitnuUtellrn. die Neuucr 16, SO, 400, Ofö,' ISdO, 2000, 2500, 5000,
10000 mit rief UccimaLttulk» u. «.«. ! .,: ■'. ' .'

Entbiilt diT Nenner des Bruches andere Prtoifactoren als 2 nndl
5, 80 knnn , wie uux dem Vorigen erhellet, dn diesp andern l'rim-l
fucttiren nirht In 10 oder einer I'nletiz vun 10 »ufv^i-beu niirdeki
der Druch nicht vollk4)U]mL'D in einen Ueoiinulbruch verwandelt wer-
den, »undern luuüs einen periudiscboq geben.

Hierbei lusiten sicii zwei Fall« niilerscheiden, jenitc)iili>in rfer
Nenner p g'ar keine 2 und i> unter »«iaen Primfuctoren eothalE oder
nicht. Im' erstem Fülle fängt die Perind« sogleich nacb den
Komma an. Die Form der Rechnung sei diese:

^jf-OlO.yy.y.y //i

P9

r,0

n

so da» also — :^ 0. 5- y, y, f , . . . yf. . . . wt.

^ Es lässt sich nun zeigen, dass unter den Resten r,, r» fii»g
r 4, r( keiner elicr wiederkehren knnn, hcvnr nichf einer {gleich dem
Zäbler geworden ist, doss nlso ri weder = r^, uodi = r,, noeb
=r, a.&.w.} ouch ^rt sein künae. Nacb der Nutur der Rech>|
irant; ist

mgn xn:a0, s4 hat man «1« bfiMOiiijer« Falle' fiir'di« bMrf
'^ni Ftimitfn dis btitIcB erKürii Fiirm*tL. : ■ <^i<- . h >::. n

Ug

m ^'

=

: 10 r

- P9.

■ü '^'

^

10 r,

— P«-.

■ '■

E=

10 r.

— P9*

1R\. -

'

^

^ ,

P "i

^S

10 r/

— P9J

1.

■

• ■

. . .

n =r 10 fi — p^t

Wän: uoo n x. B. gleicli rg , so tniisate uuob

10 jy — p<^f = 10 ri — p^i, «Uo ancli

10 f/ — 10 rj = pi// — /t^k ü(l«r

10 (r/ — fi ) ^ ;j (^Tf — If* ) s*"!».

Üa // Dicht ia 10 aufgeht und aocli nlclit in r/ — r« , iodsv
IV uDtl n kleiner als p siiiO, no kunu cit auch nicbt in iO(r/ — ri),
(Ck in der luiketi Seit« der Uleicltuag

10 (r/ — rt ) = /i (y/ — y« ) oiifg«licn, «Is*
— ■^- Diclii ^ ^/ — qi sein, ua

"^— ItBine ganze Zaiil sein kann, ^/ — ^t aUw eine gama

Zahl seil! miiüs. Ks kaiin Ji-iDiiach oiclit 10 (r/ — ri)r:=:p{^/ — yi)
d. )i, ri iiiclil g-li-icli r^ w'ni. Uu aber aotliwciidig eine von de»
Zotilei) r. r,, r, u. a. w, nieder dltt tteat er)«' b «■inen muss, so ItaaD
dieü nur die rrfitc r, d. Ii. der Zähler df-a Urucbca seiu; dann aher
k«hrt niirli der ttuorirnt f unil die uiTt' ilio folgendon narb der
Reilie wieder. Kb iiingi^t uUo diRl'uriodo siticteick uuch
dem Kufiinia an, wenn der Nenner gar keine 2 ud«r 5 nn-
tsr Euineo i'riuifucturdn enthält.

Enthalte nun p unter seinen l'ritnfactoren ausser anderen auch
i und 5 und nci z. B. /» = '>, Ty^ , / oder = 11" . 5* . i, wo •
nicht kletuer als m ücin soll nnd f eine nicht durch % oder 5 Lheü*
bore Zu)il Ist; oicin liat demnaclt

' , j = i^'r^t ' ''*" "■*" '« "•"'"" P""« = ^^( : >*• ;

Ran ivt 10" unmcr durch 2^>. ^ aad durch ^.o" tlicilbar und 4er
ituotient ^ - i - ^ oder 2»r~S werde durch v bezeichnet; dünn ist

-^ == ^-^ : 10- .
p t • •

D«r Bmcb -~- giebt, da / keine 'i und 5 nU Primfaetoren ent-
hält, «inen perindiecben 1>ecimiillirucb, dessen Periode sogleich nnch
Apm KAfflmu begannt; nun muss aber -r- Docb darch 10" dividirt,
(Ua IkonBB bUo » Ziffern nach «l«r lioken lUsd bin genickt ww-

«M

dea, u vrird dalier — eiovii DeciBialbnicb g-eben , desieo P«rioil(-

emt nach m Ziffrra d.h. nacb so vifl Ziffero aofänf^t, als
der hiichblu der liüitten tJxponviiteD, mit welcLeQ oscb
der Zerlegung des Neoners in seine rrimfactoren die 3
iiud 5 verseben itiud, Kinbeitoo entliHlt.

Fn!i»L miiu Alles xUHuinnien, hu bul uiaD folgpride Bestimmnofi^n:
1) Eid Urutli lÄiat sieb vullköKimen in «ini^n l>eciBialbrucb
verwaiMleln. iveiiti iler Nt-iincr df^xf^lben xu sfinco Primf7ictorfO
nur 2 und j culUnli , und zwar iHt die Anzabl der DecimuUtelInn
immer dem bo4:)i3lcn der keidcD Kxponpnlcn gleich, mit wi^IrUcn
nncb jfi'rle^'UDg d«s Nenners ia seine PrimtuctureD die 3 und 5
versebeu sind.

2} Bill Bruch ffiebt e[««a p«riodiscli«n D«ctm»lhracki «reott
der Neniivr nicbt blo»!) '2 und 5 zu Prirnfnctiiren enibult und ziFnr

s. die Periode fängt sogteicb nueb dem Komma an,
wenn der Nenner zu Primtactoren gar keine 2 od«r 3 eutbält.

b. die Pi-riode fUiigl nicht ^■«ii'^b uiicb dein Koiona ai,
weuu der Neaiier suisi-r audcrD Priufactoren auch iiucb 2 und 5
enthält, uud zwar ist dann die Aiualil der der Periode n.rberge-
henden Ziffern gleich dem liürbslrn der beiden Eicponenien, mit
welchem nach Zf riegung des Kenners in seine Primfactoren die 2
und 5 versebeu «lad.

.... 4-.

XVII.

Uebilugsanfgabeii für Schüler.

I (Der ilerauBgeber bietet nigi recht Tii'll'sch« lUittbeilimg sfllclier Aufle-
ben ui niÖgli'cli.si eros^ei- MunnitzriliicKcit. Ks kann bcinor Mt:imiiii; iincfa^
einer solilien Miltlieilitiiß nicbi cnltoilin^l ili-r tltusiaiid entccpin schta,]
ilasn sich iliu Aiif^abuii Kbon^nilernnrU gedruckt Hnilttn^ weim <li('si*lbFi|
nur wi-nigrr bekaiint ■«inil nnJin ir^piwl einer Beiiftbunff ein TtMonileres In*
tmri'tiiv il;irbi»ten. Amh k5nnpn »itiirf-rhin beonndent l^l(^I■l(T Auttäaiutfcc
in Opui Archive uiit^i-ihuili nirttun. Diu fulg'einlrii Aufsabi-n Bwllfn nur i'
\'cniurh ie\n, rimi Arrikel: „I'ebuti|E:saurcaben fnr Sehiilt-r", bei di
aen LIebi?r.ii;i!rirt iu:in i?» ^b^j|Jell^ luil 'lein /imuLie für Sthnler nirht all*
zu ppnan nehmen miis.^, lu einem siehcnticn in iIpiv Archire lu muclu'ii, unl]
derHrr.iiisprbpr holTi in Jieser Bciichiinfr vonöglicb auch JHil' L'nlfrstiit/nnj
durch seine Herrn Miinrbeiier. Die fnlg^mlen L^lirsütze knllen iiaiiirlic
imnier bvnivKvn, lU« .Anf!fab«it aufgeliwl nfrilOM, worüber eine bcsoii
HcinerKung späterhin nicht »eiltT genitcht vrc/ilen wird.)

1, Wenn zwei gerade Linien nich unter Winkeln von tH)' in
eltieni trewiasen Punkte 'V schneiden, so ist der s-euinelriHcbe Ort
rilr Spitxffb aller glefcbseiligeu Dreiecke, deren &rnod)iuien tiri-|

106

I

ftchcD tlcD Sctifinktlit <I«r in Bede atchcuden Wink«) tob A0% und
dervD S|iilzeD auf ilersplb«a Sril« ihrer (^niDdlinie wie der Punkt -i^
liegen, eine durcti den Punkt Jf gulieude und gingen die beiden ^^
reliviien geraden IJntAD anter Winkeln von 60** i^cneigie j^rade
Linie.

Dieser Snti, welcher xu verseil iede neu geoinelriscbeu BeCracli-
tnngen Vf^rknlnssnnt^ ^«bta kann, Soll bem«sea und nitteliit des-
selben dünn die folt<enie Aufg'ultt-. nnfgplitst werden.

%. ülcit'hKfilier« Dreiecke z-u l>e»clireilicu, tleron Spitzen in drei
g«geb«p«o iLcrch eiaen l'uakt gebeodeii geradeo LioieD liegen. .

3. Wenn man «in Reckteck, dessen längdfe Srite Mcb Mi sei-
ner kUracrn ii'ie ^^'2;!, d. b. wie diu Diaironule eines Unudr^ls zu
sein«r Seife verliüll, dnrcb «ob mit seinen kürzer» Seiten tiurnllcle

Sersde I>ini« holbirt, die erkalleoe HAtfle anf «linliclie W«ise wi&*
er ImDiirl , und diene 0[>eratiou in's riiendlirbe forlüelzl , so er-
liält man cini' Reibe von Rerliteckcn , die siiinnillicb einander älin-
lirh sind, und deren langem Seiten nioli wie

I - I . I . I ,

rF

%u einander verkalten.

1-^ Es ist ein Kreis und innerfaulb desselben sind xwd Punkte
gegeben; m»n soll durch diene beiden gegebenen Punkte einen
Kreiü der^eHt&lt beüehreiUen, diisu die gvradu l<iuic, welche seine
beiden [>urcliMctjniiiS]innkte mit dem gegt^beoen kreie« verbindet,
durvh lieu MiUt-'lpmikt dcü gegebvneu kreiset) gebt,

K. Teber zwei gegeaüberAtebßndcn Seilea eines Vierecks ab
Gmodlinien sind zwff einander srleiclic llreiecke consirnirt, deren
Spitzen in denselben Punkt füllen; nan soll den geometrisclten Ort
dieites Punktes bestiuiuieu.

0. Die fiilgcnden guninmetrlsefacn Formeln sind za beweisen.

1". iin(aH-j9—yJ-f-»iii(«+/-i'')-*-«''>(/'-*-/-")— *'"("+/*+?■}

4". CM{aH-|3— y)+co5(tt-|-r-/f)H-coB(/!+/-«)+co»("-H*-f-/)

= i cqs a cos ßtaayr

3».UBg(oH-i?H-;')+tang(«4-jy-/)+t»ng(«-('-»-;'H-lg(-«-l-/»-H/)
^«oKaaöas'jJjcosay-f-coÄte-l-eoaljl-t-co««/'

^ tJcos'ift coH2(yr«s-2/ — c«b2o' — cosS^' — COKÄ;-'-»- 1,

5*. 4cos (a-hß-^-r) «"■ («-♦-1*—/) <:«»(«— J^H-;') f «» (— «+1*+^)

= 'ieos2«co92j?ciis2/+cos2a» + c«s2i8»-4-co8'i;/» — 1,

8iiii(-o-Hf4-H-^

106

= 4rosjac*9iJ^«»)f{;'««li^-f-4«infanii4^8iii|fMnj4

' ■ ' — coaa — CoKj*— qo«;- — «<«<^

== 4ci»jaC0ftj^CailjfyCUB|4f -(-- l(l)ll|Q8iDJ|f8iO-j/B'lD^J

9». cos<ü-?)-4-coi5(a-;')-4-co<fj9-y)=»co8|(a-;?)coBi(«-r)co»;ijT-/)-ls

^-W". «iu(«— /»)*4-tiB(lt-/>*-f-8(B(/?— y)»

!" " '=2 [ 1 — co$ia—^}6os{tt--y) coi(iJ-r)|,

11". «Mt(a— (J)'-hM«{o— r)»-+-coiÜ'— y)'

^^ ,. ^^^ =l+2eo»(a-jJ)co8(«— y)coi(j?— r),"

lÄ*. co«i(M-f+-y)'H-coii4(tt-|-/*— y)'-|-coai(a-^+/')»

IS*. aiiii(o-H?-4-/)>-4-Bin|(a+^-;')> + ain i(a-^+y)»

^2(1 — alnosin/Ssiny),
14°. €»ia»-|-w«/?*-t-co>/»H-coii{a-J-/?-+-y)»

= 2jI-hsin(BH-,«)3iB(n-*-/)siuO?4-y)|
■15». wnu' + sinJf + iiBy'-J- 8m((e-H*+r)'

= 2 J 1 — Mi)(«+j?)«n («-hy)9in C^-H*)!.*!

7, Ein dreiseili^ei Priflina mit einer Kbea« sA za durcliHcbml-
deo, duss der Sclmilt ei» gleichseitiges llrcicck wird.

^. Zu iinilpn, nii welchen Tfigi.<n dea Jahn die Sonnp zweieo
ORrLcrii. ili-ri-u Liiiigeu und ßrcitvu gegeben iiad> in denselbea
Aag«Dblicke aut- oder notcrgebt.
(f4 '. t ..1, -f-i

*) Diese (Cuni'UUictriscFKüi Formeln liuiicn sich nebst noch viekn aiii]«nt
, i.BiLf ciueiD unUr dftn Papicrtn drs TcrstorbcncB Professors Mol In cid e
befinillirlirn Uhitti? reriwchneL Aus rifr TTandscbrift IsMl «ich jedoirti
ntrt tillKu«T Hit^lerheii eriicDrlrTi, da.>u< diaKeltien Ton dum eheaCalfs ver-
_>U>rii«ii«ti Prijfi'!ut<ir äuxeiisniger in Frrüilirc hi>rriihreH. i>er Bfl
frübo Tvil (tivsLT bciilvii tn-flUclii'n. Müiuier iviciL vuu tlai M«tliciiiati-
lumiAit Bache adtmeriliclut em]ifiuiden und bedmiart. O.

107

XVIII.

M r s c e l, 1 e u.

fe

•Y Von ilem fciinlick TeratorbeD«n berütinteo' fratiiiBfiraclieii Mb-
tbemutikor PoixxiMi «rzalilt ihhii folgeudva Zug. In Jabr« IKUft
kau rto RekfUt zu ilim, f^alt »ich fiir noiiipa Pntheii »um, und er- ■
Kucbtc ihn, ibm eine Suaiuiu von 50U Francs iiufzuhcb4>n; komme er
im Krii'n^r um, sn snile nie seiner Scbwesfer zngeiiürcn; hlcibe er
aber um Ltibeii. su wiTiIc er cIuh (i'hIiI selbst wieilvr ubbutcu. —
..Giiuz rerbt, mein Kreuii(|-' antwortete PoiasoD .Jea;! es our dort
bin, utiil lassl niirb urlx'iteo, tlvnn icb hübe riel zu Ibun.'' Dur
Rekrut legt (leo Sn«*!: mit den 500 Frau*'.'! auf ein Biichergeatcll,
übd Toisstifi le^t^ um ibn vor BtsueheiideD tiicbt sehen zulassen^
einen Rand Afn llnrnz darauf. Zn-auzir Jalirr sp^tter Icommt ein
Munn mit sounverbrunntviD (■c»irht, urnTTerlunf^t affine 50() Fruuoa
zurück. Poi«soa kunn sich nit'lit eriuucni; Jener schwirrt Steto
uad iiciu, dasa er ibm das (ieli zugestellt bube. ..Wie'" tVafit:
enttlicb PoiHKon voll Wutb ,.lhr lijiltet mir die Nnmme in diA
Ifiinile gelegt?" — ,,Npin" erwiederte cfer Soldnt „uiter au T jene»
Biicbcrge-aiell; Sie seihst liabco dieses Buch darauf g-elep^.'* Bei
diesen Worten lirbt er den KliiH.tiker uof, und findet hinter den
liestuublen (Ictavbund, zu »eiii<!r niclit gerinjj^en Verwunderunj^, den
Sack uil den 5V0 Francs so wieder, wie er iltu vor zwtfiizlj^ -inh-
reu Liugek'[fl bKtte.

I

Der berühmte englisehe Physiker uud Chemik«r Miehael
Pamday ist der Sobn eines ppwohnlichen (.irobschmiedes, der iha
zu einem kleinen Kacbbinder in l>ondon itt di« Ij«bre IbHl, nlfl er
«mt neun .Iniire oll wnr^ hei dem FftradAy liis xu seinen zweiw
Biidzwaozi(!;9tcn Jiihre blieb. Die CniHttinde, welehe veranlMAten«
dass er dir Uurbhinderwerktttatt mit dein chcmist'licn Lnborjiltiriun
vertu usi'hto. werden auffüllende Weise erzählt. Ned Magrath,

i'etzt Sekretair bei dcui Atlienäiim, kam vor etwa fünf und zwanzig
labren zu dem Buchbinder Ribeuu und sab, dasii einer der Ge>
Meilen eifrig in einem But^he «tudirte, das er oinhinden aoHtc. Er
int oiiber und sah, dnKs es ein Huad der Kttcycloj'iicdia britsnnira
w«, HB fffcäcbl Offen hei deM Artikel „Klectricitüt.'' Kr Uch
«cL HÜt dem eiirigen ßui-bbindur<(eävlluu iu ein (teit|iricJi eiu und
muulcjrte üidi mciA weuig, .bei demaelbeD aictU geriuge ,Kkimt^e

K«liDlni>«« zu ItndeD, Er guli iL» tlnrnuf eine Etotrittxkarte zu den
\t)rl4>i>uui);<^u Diivy'a ia dür Rnyal luBlitulioa, uud bier koonCe
inaQ bnn jeden Tat( den Bachbinder^sclten dem > urleacuden ire>
genäber, mit der gespaanlestea Aufni-rkBinnkeit zuhörenil odrr bis-
weilen schreibend, sitzen seheu. Die Vurle^utiireu ualioien ein Endv,
ober Karadiiv'fi («eist halte eiucp uttiPii Auütusa bekitnunüD, d«r
Dar durcb <Ue ^rü*Hle Notli hÄtt« uiiwirkK«iii gi-mucbt werden kno-
BCOi dies wurde jedoch ditr«b dje Bereihvillitckeit verfaiadert, nit
welcher D«vr dem verwandted Koime zu Hiilf« knm. Kr rrnuiiutf
KarJiday xu srinem Geholfen in dem Labariitorinin, and nach
zwei bis drei Jahren konnte er ihn »U Nekrctair gelirnncliefl. Jetzt
stellt der eliemRÜge Uucbbindergesf II an der Spitze der Cbeniker in
Eogluad. Diese wenig oder gtir nicht bi-knuoteo .Nolizeu aiuil ciuv
Schrift entlehnt, in der mtio nie nicht suchen Hoilte, DknUcli Ai^
■ ctt^i Histor>' of bvok- bindiug. <i

In der Eloge de Lambert in äeo IVonveanY Memoires de
rAftidemie rbvafe des Hcicnces et lnjlns-l('rtrps. 1778. p. )v4. wird
bei (*eU;g(v>heit der Berufung dienen beräliuilcu ^lulhi-niiitikerH nach
Berlin der folgende ehuracleristist'be Zug von demselben erzählt:
Le Boi le iil; tippeler k rotEdam )tu inuiii de Man (n&l). Cetoit
nne i-.<^i)joiiclure bien criti<|ue |»our le sort de H. Lambert^ et
dVhoril eile iiürut decider pour lit negative. Le ton tranchant de
acs reponses, rassuraucc «vcc laqiielle il r^poudit suns bt-:«ilrr » la
que.-^tinn: „Que savei vona?" — „Tout, Sire" — et a l'l».
slance ,,C'uinuen t l'avez-vousapprisf" — ,, De noi-tnene'?,
en l'rap|)aDt des oreüles , peu failes a ce langage , pouvoieDt fsir«
juger que lu pii^nilude de sun cdieau en »voit idier« qu^-liiues re^-
»ort«, L'entrevuu d(!iiipuru dune infrurtueuse «t paruiaüoit dCvoir
l'jtre BMUB reluur; mais le Uni aiis tiii lall de iu singularlt^ de rt
carticlrre , qii^un ile ii»h digne» ('nntVerea, honan- des entrclieas
journnliors de S.M. Lui ussura ressembler a eelui de La Kontai ne,
ne i-onlut pas prtver snn Ariidt^min d'iin Meinbre doni eil« nvuit
tuut i> se praiuetlre. 11 y Tut dunr uggrege urec uuv peusiou. et
pronon«;» -son discours de r^Cfptinn «lanü l'.Avsenibl^e publiqu« da
(■»■K de Jiiiivier l7t^>5, ll«pui|i er. lems-la lu Kai |ui u lUun^ des
marf|ues fri'iiuentrs et dJAtingu^R de »im ffilinio, eu le plii<;.int 4uns
In Cummissioti ccuuomiiiUG de rArttd^mie, et dans Ic d^pitrivaient des
Batiaieni aver le tilre de Conseillei' sujuSrieur, et en augiaenlMU
costid^riiblemeut »a pcusiun.

Mao habe i» beliebige Punkte -'/,, //,, -/i,, -*,, ... ,4^ l«
Manrne. Wenn isaa diPise Punkte ia einer betifbigea Ordnung
■iKiint,' anri von dem loten nach dem 3ten, vno den 'Il«n irarh des
I, von dem Stea uach den Atta, u. a. w. von dem (« — l}8i«a

109

Dkclr dem niea, von d«iii raten nack dem liit«o gernde Linien zlelit,
ao wollen wir den (canxen auf dieafi Wf^iae erlialtetieo Zug eine
PfllfftfODlinip nennen, und man kann nun frueen, dnreh wie viele
TCrschledent? Pnlj-f^onUnirB die gegebenen » Punkte eicii mit ein-
ander verbinden laiwen. Die Anttvurt auf dieo« Fra^^e kann Icidit
aaf Tulgeude Art gegeben werden.

Da die Auiabl der Pertnutoiioneii der gegebenen «Punkte b«-
kannllieli 1 ... 3 ... /t ist, no gif^bt es natürlich iiberbvunt
1 . i . 3 . . . H Polygoiilinien, und es eutstebt J6tzt bloss die
Fra&«, ob diese Pfilygonlioicn sämmllich von einntidrr TCrMbiedea
atna, oder ob unter denselben Bifh nicht Ticllciclii einige identische
ßnden. Vm bieriibrr sur Rewissbcit tu konineo, denKC man sieb
eine beiieliigi-. aber beütiminte Perraulation der » gcgubenea Puuktn,
z. B. die Permutation

■"1 -^t -™» ■"< ■ • - ' "y*'

Non erbellet zunärhst auf der Stelle, dass ntle aait den folgenden Per-
mnlalionen der « gegebenen Punkte enlspringendea Poiygonlinien

H atiier einander ideiitirich dind:

^L^ jf, .rfi ji^ .... An A'i

^^H -4s ^1 A% ^, ■ .. . '^n-I

Vr'Ber getiF^ti aber ofTcnbar abcti alle die Permutationen, welcne
aUH den vorhrrirelirnden entspringen, wenn man dif Burbstiiben tü
omtfL'kcbrter Ordnung Kclireibt, gunz dieAnlb« Piilygonlinic wie die
TOruerffeliendeo Fermutalioncu , und es erhellet also hieraus nun
nit völliger Deulliclikeit, dasa unter den 1 . 2 . 3 . . . « Polygonli-
Dien, welcbft es überlittupt giebt, rine jedt? »olbweiidig 2« ^Inl vor-
kommt, 80 diisü man also, wenn die Auxahl der sänimdich wirklich
von einander veritcbicdeoen Pol^gonliuien durch p bezeichnet wird,
die Gleichnog P^

iftft ==1.2.3.;.-,« „. :• -- 1\ >;•
bat, aoa der sich

1.2.2...» 1 .a.S...<« — 1)
2

/F =

2n

1 . 2

crgicbt. Für m=3 ist x>B. p ^ -5— =: 1.

Für « = 4 {<tt ;»==

I.3.S

= 3.

<na um

■1 ')(t!ffl itn

Für « = 5 ist ;» =

I.S.3.4

12. V»» dir Riebtigkett diese»

Resultate kann man sich leicht auf {iraktUcbem Wege überzeugen.

"* Äof der OherflficKp eioM KiiK«t derRn'RathrocssiT wir il«r EiD-
milt^neit ni'^'ii iler Einlivit ii-lticb Kctzoti «olleu, üci cid spliäruclkes'
Vii^eieck ABC br^cb rieben, deuten Seiten, su wW. sie deu Wio-
\t\n ,J, ß, C pcgf-DJjberstfheii, wit? geuiSlinficIi tlurd «, i, c b«-
»eicbnot werdoii. Ihiril» <Iie PuoklP ^i, B, C Kifbc. uiap iiub as
dift Scittn (Ic9 Drcipfka A D C s««bs Tniiü^ontcn, bcxricbnc die
I)urrhs('liniftH|iunkt<> der heidrn im din Seiten a-, <^, r gezngnneo
Tnn(?**nli'n ri*9|i('clivi' durch -/,, //,, t',, und Yi-rbindi! diese drei
Puuklft durch gerfidu Linien mit eiDKoder, i« erliült inun ein ebene«
pi;cf(;vk A.if^ C'n di<tuii>u drei Suiteu, tu vi« sie den Winkeln
^)> "i% ^1 Krgenüberatehijn. r«iti»e«'ive durch *»,, &,, r, bezvicfa-
net werden soilfu. Die Seileu und Uiukvl tÜcaeji ebeut^u Dreiecks
A, Hy Ct irolleo wir nnii diirrh dir .Seiten des &pliArisclien Drei«
erks .4 B C uuHzudrirrken suolien.

Zavöfdcrsi iäi nacb bekBuuion.Foj^elK der ebcnea TrigoDO-
metrie, wi« sagleicb erbelleti , ' \ \

*, ' = lang I A' -f- tnnjf \, e*"— '2 Inng^^ S taiig | c com -■*,

Ä,* = tiiujf I e' H~ lang I «' — 2l«og|ctang-} «cos Ä,

e,*:=la«g^a*-<-t8ngi Ä' — 2 Ung {-otangj äcob C

DUu DBcli eiofiF bekunotra Formel der H|ilkiuisciieB Trigon«-

Wci
aielri«

- cos m — («» Ä i*iw c

CO« ^ = — — : — > . '

jiiu «tu e

ist, so trt, wift piAn Iciobt llndet, irsMi oibb

«in f « , , srin J c

bia}^:

iuiä

BCtzt,

.■1,1.1

aiD ^ =: 2 sin f £ cos | A, iriire=et sin -^ c cos y r

, 2«iH|-<*-w»4c*-^«ensH* än|c* — fc««*-^cos ^ co

Seilt inaD dub ferDcr ' — ' " '"^ H-I; ^•■

CDS4X — cosA cosc = casa-'(«oshJ£*— sin jÄ*) (coijc' — sin^c*),
10 crbÜJl taiin auch ctDigea leichten Reductiooea '* '

ttntf'folglicb) lugleich mit gehärigcr Vertauachung der Bnchstaltent

CO« j j tos j«'

Ä.

sm.J'fi

cos ^ CO« |(i'

c,=

üin j<-

Cos^ OOS^A'

Aus diesen drei Formeln erbaU ubd leicht

111

^, -+-C, — «, =

c,H-«, — Ä, =

sin b + MJii r — xin n

3 CQ& ja co:v j/i cos \<:'*
KJiicH-sina — slii A

3 c^s ^ coi jÄ cfts ^'
siinT -f-sin A — %inc

3 cos j« ctfs j4 cos je'

Ist ^, der Fläckeninlinll des Drciecka Ay B^ C], so ist bekinntiich
und rulg^licli Ducli dem Obigen

Auch ergebt sich sogleich die folgeode RetalioD

, _ sin j a »in^A «iuy<t tätigt" taug JA tangjg

' ' ' cos ja* cosjÄ' cofi^c* cosj« coi^A cos Je

Nscb der ebeoeu Trig^uiiomelri« isl beknnutlicb
"* -*■— 2A, «;-'-!. !^ ■ :,

und fol(E;Iich , venu maa die obeo g^fundeDen Ausdrucke VOD <*,,
A,, c, «iDtulirt, niirli Qioi^eo Iviclifcn \ prwandluDgeo, zugleicli mit
gehöriger Vertäute liung der BucliHtaben,

»in b'* -t- sin f * ^ »in o*

cos Bx =

«in c' -♦- »in a* — «in i*

2.<iin c tma *

„ sin a' -f. sifi A* — sin c'

Die weitere Virfnlpinf; der Vcrgleirhiin^ der beidifn Dreiecke
[w# B C und .■/, //, t\ mit viauiidür übL-rliiJSHCii wir dem LcBvr,
iodem ivir diesen (•e(i:eiistaud als eiuc, wie es udh scheint, zweck-
nä5»ige UebuDg für Scliüler in Avt «jlienen und sfitiäriscLeD Trigo-
nometrie hier nur liabeo «udeutc» wulleu.

.■ - :■ ■■■- ii:-

: Bericiitisang.

Seiteis, Zeile9 setze manr^ 8,710911 nnd — 2,710913 fnr
. 2,710911 nnd 2,710913;. , .

»■ ::. ;-. ■ , ;;

' '■' "•! * "n. 1

XIX.

Beitrüge ^ur Wuhrscheiiilichkcits - Rechnung.

Von drMa

Herrn Professor Dr. L. Oettinger
111 Freibur^ i. Br.

I

I.

Der W«rlli <l«r Rrwartung in Ferliällnias zu (l(>r Art,
die ZI) wng<>nd« Summe uUHzast-Aita.

A vill die Sutnm« r» wag^p. Die Wuliradteinliclikeit zu ge-

wionen ist . die tu vprüercn ist - — . — . So oft A cvwiDDt,

M -f- A IN -^ W L_i *

erbalt er den ICinsat» ff ma\ als rt'iDfu f^ewinn. Es fraoft sich:
Soll .i die .Suninie rt* in eineiii \>r)fuclie, soll er sie in r hioter-
eiBBiidcr l'iilifendea oder gleichieiiigeo Versuciien waaeuf

l'in die vorlipscnde hracc xu b<'<'iiilivorteD, ist ger Werth der
Envnriiine z» lie>iliinni«ii, die Jemniid hat, w«nn rr die Siiiume ra
in «hinein ('ersuche oder die Sumtnc a \n r Vpr<iuclicn aussetit und
die prlinllpiion KH'Riitlnli* sind unter sii-li zti vprgleiclieti.

a) Selzt .'/ die Sumuie in einem Versuetie aus. so er^iebt sich
bekanailicli der (Vertli aeiiter ICrtrartuug durcli daa Pruduct dci
Gewinnes in dip Wiilirtcli^iolirlikoit dieaea Gewinn xu erballeu.
Der gcsuctitc Wcrtli ergielit sich hiernticti

/ß) Die genannte iSummc vird auf r hiatcrcioBnder folgende
Versurlie vertlirilt und in jedem die äumme a uass^cdcizt.

Füllende Kiillt; können ciucrelcu: jJ gewinnt in allen Vorsuclicn,
«idcr in (/■■ — l). «der iu {r — 3), oder in (r — 3), ... oder in 2,
oder in eint-m \ctbih"Ik'. üicdiircli niud «lle fiir den ÜnceritcliiMcr

SÜNKtigen Fälle nrseli <>|»l t. Der Gesumml-Werth der Brw-'<r[ung,
er stell hierauf grüadcl, wird geruodco. venu derjenige der CID-
zelnen Fälle bestimmt und die SuDime aller ermittelt wird.
Tfa*u I. S

\

114

Die Walinchetolicltkcit, in otlen Vennclicn zo gvnrionpn, iitt

"^ — (»! + «)'•

lo iltMCtn Falle gewiDot >y'<lie Saninn q.ra. Der Werth iler Er-i
irarlung int

Er =

^ . ra.

Die Walirttflirinliflikpil. in (r - 1) VrrRiieliPn xu ffpffinnen, netit
voraus, da.is .-4 pinmnl verliere. Die Walirsrlifinlichkeit, dasa beide
Ereig-DJsse auf die gcoannte ^V«ise eintreten, ist

In (lir^cin Falle getriont J die Siiinmc (r — l)?«- Der Werth d<
Eiwarlaog' ist d^iin

ßr— 1 = "IT •

j; (r- IV«.

I (JW+«)

Die Wikr«cli«i»li(rlike!l, in (r — *2) Versuchen xa ^ewinoen, letxt'
varAus, iliiKS das i>iif!((Mi:cftf]:t' setzte Kreigoiss KweitnaJ eiDtrctea
werde. Die \Vuliräclicii)li('bkeit liiefür im

'■.(*--l)

imr—2

In dieanm Füll» gewiuut ^ die Summ« (r — 3| jr«. Der Wert]i Jer

Knvartuu}; iat

X?r_2 ^

**{r— I) w^i.n

1.2

Werden diese Sclilüs»e fortf^esolzt, ko eri^iclit sich dorcti Analrs«
säinnilliclipr tur .i günsllgeii Falle fiir deu (icsaiDoilwertb der tr-
vortung fuljj^iide Duriitellung :

£^ g .ra .

l

tHr—\

imi

ra

(«1 4_ »)'■- 1

4-

r — I w-i . n

1^1 II • {m

1,r~l

«)-«

]

4) £'=i/Mr,

Dns a:Iei(-Lc Kexuttiil. wie unter 3) ergiebt sich, wenn die Versuche
uleitlizciiig: g);mRi-lit wi-rileu. Die Vcri^loicliuiift vun I) und 3) fuhrt
IB F«li;e ilcr «"lii'H nngiftulirteii B^nK^rkung^ zw füllendem -Salxe:

3| lli-r Wertli der Krwiirriing oiier der nmlbcm^tiitchcn Haff«,
niin^ bleibt dctsrltip, man ni»g eine zu wa^Piid^! Summe i» eiaemj
Verdiiielii- ndiT sflricliheitlir)) iiiif inrlircre rersui-lii' aiiäsetzfn, voruuR-
leseizl inni >\\ti WatirsrlteiDlicIikeit zu gewin n e u , in alkn Fiillea

1«t(-Il CTOSK läT,

liierlipr gvtiiirt auch rolc^enilcr Füll, der eine besondere Art
n>b Versuchen iu »ich hegreUt, nämlich diejenigea, worin keine

115

Wiedcrliolangen eintreleo kSnnen. wie stc bfii den ,ebeD betraelite-
lea FutI Torau«gi'«i.-(zt wurden.

In ciui'f l'rne itiiitl « Kugeln, di« mit den ZhFiIcd 1, 2, 3^
4 .... M bcx4>iclinct üinil. l{<> wfrdcD /u Kugeln Iiiaterriaandei
gezO)i;«n und narlt erschehenrr Zirliung zHs^iniiitrn in dir l'rnc zn-
rück^fvnrff.n, Ji-il« Zitlil kunn mit einer brli(:[ii-;fn .Snoinio be-
setzt ucrOcu. Krsriteiiit ijie bott^lzte 7,aU\ unter don gC2l>ß:l^uf^n,
Ko wird der ECioBaU jrniul uU reiner tJeivioD Iiezublu ^ will die
Mumme ra ^»((«u. Soll vr sie aui eine Zulil Heizen, udrr auf r
Zubleu in einer und derselben Ziehung gleichbeilticli vertheilenf

Aitdi bier bi.'rulil die llvunlnrorliing: der vorliegenden Fra^
ftuf xwei FäDtm nnd es ist der Wertli An Rrwartung zu bfHtim«
neu, wen» die ganze Summe auf eine Zahl gesetzt, oder ^^leicli-
beillirb uuf mebrt-re Zalilcn dertielben Ziehung rurrlieill wird.

a) A setzt die Summe rrt auf eiuc vinAiffv Zabl. lu diraem
Palle ifewiunt er den y f neben i^iusalz. Die Wabrsrbeinliclikeit,
doss Efcb die lieactzl« Ziiljl unter p gveogcnun be.liiiden wende, ist

(M — ])/*-* I- ' £^

iW/'l— I " «1*

IV =p .

Der Wertli der Erwartung ist für die-«en Fall

'»)*'=^^

ra.

A) TKc Rrinittoluni; deit Werlhe« der i''rwartnncc van y-/ fiir den
Fall, da» die .Summe ra gleicbkeitlich auf r Zahlen eiiii^r Ziehon<f
vvrtfavill wird, berubt uuf tlur UntcreuE^liuiig folt!:rnder Füllo. Alle

be»r(xlcu Zaiilen erscheinen; r — 1, r — 2, r — .1 'i, 2 oder

1 benetzt« Zubl er>icbeiat.

l>iv Waimcbeiuliclikuil, duss alle besetzten Znfalen ervckeincn
werden, ist

gH-^i r-M (m—riP-' l-i

Der Wetth der Er-

In diesem FuHe ist der reine Gewinn q .ra.

wartung^ ttit aofuri

_ yl-l (,w_r]ff-r [-1
*^' = S^TM * • *■"•

Fite Wobrarlieinliclikeil, dii&s (r — I) von den besetzten Zahlen
crBcbcincn werden, ist

W^K.

1-— l|i • m?V-\

!■ dieMm Falle beträgt der Gewinn (r — l)7ff> Der Werlh der Er-
wartung' ist sofurt >

Die Wnhr&chcialichkeit, dnss (r — '.!) Zahlen erscheinea wcnleo, ist
^r-1 1— t r'— i \—i . {m — r)^'—'■•*■'i''~^

W='

ir-aii

l-I

Der GvwioQ ist la diesem Falle (r — 3)^«. Hiernach ist der Werth
^ 4er Krwartung

L

116

^^■i= Uli «,,.!-» {r-t)ya.

Wcnli'ti dicsr ItirBierkilti^cii u'<>it<>r fiirf^cseizt, bii ererbt wcGi
fOr den Gcsaflimtnenh der t^rnurtung folgende Harsteltung:

.•^= ^;;;rFi <f*+ w>,-i ^

r3)-l p«^2 l-i f«-*)P-/+2!-l »ll-i «»l-i (iw— f>-»l-t

. r.H fjM — /■>'— 11— 1

Wfrdrii ilio jrtkm Gürdn gemein Hcliaftliclieo GrosseD, und wird fet-
Der di^ Kükullät

(«—f-)>—M = («—»■) («—,. — 1) («—r — 2J .,..(«— /i-|-l>

atUjifOiitoMrn, so geht diese DiirütellunG; in fulcixtnd« Über:

E=

p{tu—r]i'—*'\—*

JMfi—*

+^.lT^(/'-M^'i-M«'-/>)'i-»+ _

Die io den Klammern L'inirtiii-liloäitPuu Reibe liLsBt sieb bekaouUicb
auf den Autdrurk (m— l^^l l-l »griieklubrcD. Iliedurcll gebt Üiaj
Torslvbemiv («Ivicbung ia fulgviide Über:

oder

Aus der "l erp^leiclinng- von '1) and 5) cr^lebt sirb der SvbluüS,
dnss uurli iiiiiiT den rbi-n grounnleii BedinguDgCD der 1^'ertli der
Ern'ftrtiijiij; io bciiltu Kälk'u ffloicb grotü ist.

Hi« unler i) und Ti) gvtiindeneig ResuUnfe ivurdeo unter der
VoriiUMitrlxiin^ j^Rnniiiirii , iIiish r kitiiier oder b»i.'bst«iiii ho ^rou
aU fi Ist. Sie gellen jedoch uuch noch ilnnu, wean r grüs5er all
ft vird, nnd donn tritt eine Art von Haradoxou ein. Ist nnmlirb r
grösser ulis die Anzolil drr Kui;t-1n, wekbv iu einer Ziebung ge-
xogeo werden, so köoiicn böcuslcns p vod deu betielzicii Kugeln

fcirinni'n, and dunii kaon ^/, wenn er auf r Kugeln je einmal
ie SuiiittM* a Hf Ixl , im irlücklicibKleii Fall den färwiiKi p . gm er-
halten, wäbrend ^r boi Ifcsetzung einer riDzigen Znbl im s;lück-
licben Füll die {jumfiic r .y<t eritultcti kann. Üi>cb dieser \Vider-'
ajirncb liisl sich tliulurrb. d.-iKS di>r Werib der Krtriirtiinir den miU-
lereu oder (lurtbsnliiiiECit-VVcrtb fiir ullu mögliche Ueniiiiistc ao-
gielit. und dass dieser PurcliäcbniltswiTtb einer bestiinnilen Summe
gl>>i(;lik<inimi-n kuiiu, ulmt- da»fl die eiiiitflueii üeuinnfti?, Hodurrb
«r licdiiiii;t ist, %u riiier solcben Uübo nitwacbiieD, nU dicss in einen
udfcrii balle KtHrt budeii koon.

tersucht moti nao dio iDügücben Fälle, worio // 'gewiDnen

<

kann, nenn r^p iM. bo urgek^o sicli fütt^ndo: Voo d«D besetz.
teil Zaiilfu pewinuea /», oitcr p — |, y/_"2, .... 3, 2. I. M'ird
ilfr Wcril. .lipr l-:m;irliinif für jcil«n eioidnen Fall iiaelj der \ar)iiu
aBRC!«*'!!. iif II ilW-iIi..dc bo-iiiiaiiii, »o ergifll sicIi folffenile Daratelluiiir
für il?n <«(tsaiiii&tTcerlfa der Ernurluut;:

^^x Kp~1) 9»

£=

.rf t—l p . tfm~i-

\P-Ui

-!(«» — 7-»;>-i|-i

mp\"i

%^a

(/F — 2) y«-*-

/NAI-I

y«

I

...-4-^^ (r-l){«-r>P-aM-l-(«-r)^-»'-»J

Wiril tlio in Klainoiera e'iDgesclilossCDe Reihe wie vorlin belianilcU,
80 crgiclil sicIi

6)£=Jr

y«.

Der Ctilr.ul kfnnt also zniscLcn 1. n, ft heinrn ÜDtfrscbied.
Der unter 2 aufc'eslelllc! Salz ist bckiimit. Kr finili^t sirli unter
Boderii io Lucniix s I.^lirbiicli der W.ibrscbcialjchkffilsteelinuiic'fitber-
seizt V. (Jii»;«r) $. *r>. bctrifseD. Die unler 4, 5 und »ulgcstcU-
ten SÜtue sind, nie man siebt, fino KrHfileri)i>{c dieses Siitzes. !)te
«erden bier eine Stelle um so cli^r lindon. weil sie nicht gekannt
in seia sclirioen und sngnr (•aulbier d'llnuteHervc in Keinem Trait£
snr \v& prubnb. Probl. Wtl. V, 77. dcHiu Verstiisse ditgegeo ge-
nucbt biit.

Dnrt lindef Mcb iiämliL-b folgende ^ufgiibe: A will mit 3 Fr.
im I.iilto kjiieleu. Soll er sie auf tnne Nuiiimer, iiiIlt auf dn-i Num-
neru nU Ansziise in einer »»fl dcrKelbL'n Ziehung oder vudlick utif
je rioe Niiininer in drei t iracliiedeiien Zielitinit;«n netzen #

Gnntliitr fmdel uls Wertli der Frwnrtung, uenu er 3 Fr. iiuf
eine Nunmer setzt, untit-i er den S.'ir/ H ninl nls reinen (^emnu

\

erbäjt, '2,:!o!13 . . . Fr.; dägeui'ti Lei eäner Vcrtlioilung auf drei Nl
■leru einer und derMelhen Ziehung 2.->^<ii. . . Fr.: fiirdenFiill, d

om-

daas

er sie tiititereinnoder in drei vi-racniedenen Zieliungen vcitbeill 2,i>0l.
Die letite Melliodc wSre demnneli die Vortlicilluitlesle,

Halle llr. r;. d'Hiintesenc rielitige Seliiüsdc geniulit, so hatte er
BBeh der (wleiclinnsr '1. - inid l> immBr nnr ein und dasselbe Resul-
tat erlmiten, n.Hinlirli 2,3'}3 . . . Fr. Zu dem srlieint Rieh in das in
air^eltibricii Kurlie initfrcEbi-ille Resultat 3,i>'kt>l... ein Druck- oder
Beubnuntrsfebler ein^eschÜcben su haben.

Di« '^Lnricbtis'keit der \*»\\ Hrn. li. dNlauteaerre a-emacbten

Nchlii»«e tritt gims licaonders aufiallend tm dritten Falle hervor.

Ist oBinlieh die Wahraclieinlirhkeit, gerade einmal in drei Zieliuu-

ren zo gewinnen, 3 . ■/». wie Hr. G. nciul, mi wäre biernooh die

iHWBhrBebeinliebkelt tu In Ziehungen einmal zu gewinnen, 18.f*«=:1

L

118

und jftler, itr IS mal auf eine Nanmer ta d«o v<rwliieden«^o ai
eieaader foIff«udpo ZiebUDgvn des l.utla« Hf^txl«*, müsüte iiacli der
Ati8i<.'li( des Hrn. I>. gewinnen, vaan offpnbor fuUi'h ist. • M

IVir Hclilicsseti mit der Itcnterkuiia;. dHSA ilio- oben unter I bis6 M
»nfg^^AtvIItcn Äntic nur von dpiii nbjrctivdn Werlbc der Krwar- "
tun;;, olübt aber tou dem üubjcctiviMi oder iiidiviductlcn WeHb
(ierselbcu gellcD. Cm iGtxtero -m. ermitteln sind aaderc Scblüaae
zu fflacheo.

ir.

Verbaltuiiia der Ordnung', in wolclirr die Tbciloebiiai
zum S|nele iretauiien, zum IVerthe dor t^ruiirtun^.

In eiD(>r Urne s'iaA n l<voHe cutbalivn, uod daroutvr twei
Treffer nud »■ — 2 Mieten. Der eine Treffer gewinnt die Sumn« »,
der andere die Suintuc l. Die beiden (JewinitHte Kttllen unter ff
Personen j4,, ,1,, ^, . . . . yl« durcliw \.a<m vertlieüt werden. Jede
Person kommt in der genannten Ortlnnoß zum Lnosen und siebt
dann ein Loos aus der Crnc. Wie t<;r<i»a ist der Wenh der Kr«
warlunsr für jede einiclne Fersnn vor dem Anfange der Ziebunir}

L'iu die vorliegende Fraise zu bfiiniwurleD. ist zu beacbteu,]
dsss die beiden Gewiunste iu der aiicegebenen oder in dc-r uoi-j
gekeLrten Ordnung ersrbeinca kÜnneu. Knclieinen tiie in der an-1
gegebenen, so küimen folgende- Fälle eintreten:

0)d.t!ewiDDSl. fall.u.d. lleu.2te, Itcu.Ste, lt(>n.4te....lLe u. «lePers.)
l)- - - - - 3te - 3te, 2te - 4le, 2te - 5le....2te - *te -

«) - - - - - 3!E - 4te, 3te - 5te, 3tc - 6tc....3te - »le -'

n) die Gcn-innstc fallen saf die (m — 1)to und nie Penuin.

Diese ZllsamDlen!^tellu^g ninfasst alle müglicLeo falle- Sie
stimflieo mit den Zer»f leuunKen von xwei Klenienten in « Fächer ^
iiberein und sind desur^en iVirer Zahl nach (s. m. Comb. Lclire*))fl

— '-r — ;; — . Jeder TLeiliioLmer bat die Aussieht, dass sieb das Lee» ~

in (« — I) FhIIpo günstig für ibo entscheide. Für jeden einzel-
nen Fall mnibi der Wcrlb der Krwurtung bestinnt und HÜmmlliche
Werthc miiäsen zusoa)iiicngey.äblt wenlen. Die tVVhrselieinlichkell
ist für jeden einzelnen Fall rerändcrlicb.

(i'cbt man zur Werlbbetttinmung der einzelnen Fälle über, se
•etat die .Valur den unter a) aufgn2Hhlten Fnlleü vuraus, duss A,
und A^ gewinne, oder dass A^ und .:/, gcuinnu, also fär ,'/, eine
^iete cmcheine, du»s A^ uud A^ gewinne, aUo für A^ und A^
eise Kiete erNtbein« ». s. w. Diese UcinerkuDgen riihreu tu fol-
gender Darstellung:

*\ Die Lehre ron den Comhtnationen nnoh einem neuen S^iEeme benbeicei
id enreitert «oa Dr L. Oectinger. Freibun^, 1837. 8. Seite 94- ti.

^ n9 ^ü

H^^l

1) • . *

n ^H

« ' « — 1 ' u — Z

« »—2 «—3 b
K ' n — l ' n~~2' H — S

a w — 2 M — 3 n — 4 £

«'« — l*»i^2'i«^3*n — 4 ""

m « — 2 ra — S fi — 4 3 1 ,

l( *w-ln — 2'n — 2 S * 2 —

Wendet mau ilie eben Kemiicbt«D Bcnerkunf^rn auci

!i niif diu unfnr ^^^1

A)'Oittge|iibTteD Falle an, so gewinut uiuu l'uIgcDife Zufiiunmua- ^^H

._. H — Z a b

^ n * n — 1 ■ » — 2

n — 3 a n — S b

n '«— 1**1 — 2'« — 3

n — 2 « n — Xw — 4 b
n ' H — 1'« — 2' n — i ' n — 4

1 : : ; ; :

_ « * ■

m »—2 » n — :t„»4»— » 2 1
■ „ •„_i-„_2-„_3'„_4 S"2

B Für die unter c) angefiibrten Fälle ergiebt sieb:

^1

_. « — 2» — .t a b

^* H a — 1« — a'n — J

B n — 2 n — 3 a n — 4 b

H n ' » — \' H — 2"#i — 3'« — *

B tt — 2 M — 3 tt H — 4 M — S £
H M "« — l'w — 2*« — 3'#i — *"»• — 5

^^b

^^^^^^1

^^^^^H. .....

^^H

^^^^^^H . . , ^ ,

^^^1

^^^nPSg « — s ff (i--4 « — S 2 1 ,

H n 'h— 1'« — 2'.«— 3"« — 4 3*2

H«. 1. w. Der letzte Füll <fiebt fnlKcnilc Bestiiomunf^

*^H

H .. « — 2 «—3 n — 4 3 3 1«,
P ' n •«— l'n — 2 a*4"S'2"*"

Erscbcineo die Gewianste in umf^tcebrter OrdnunfFt

an treten auch ^^H

? 4atur die üben unter a, 6, c, «/.... » nulgetubrten Falle wieder ^^H

ein. Sic ftilireo nacb «leo beigefUgteu BfimerkuDgeD za folgendcit

DarsfelloDgea:

IC n — 1 n — 11

— ^~^ w — 3 ff

ff "«—1 *» — a'f» — X

A_ n — a «—3 n~M a
n *«— I 'n — 2 "ff — 1 ■ M— 4

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3 ■ 2 " — « ■« — 1

11. s. w. Enillicli

w — 2 « — 3 » — 4

7J

M

■«-_l'w_2 Ji*4 '8 *2 '*'^- n' «— 1'

nie noifnnnc;' fitr .-/, den GctvlDn n xu erhallen ist in l) •«•

ffcgclti;». (» — t) Füllt; Sinti für ilin ^iinetig, ilie sämiatlich eiDU-
der gli'ii'L sind. Ibrr SuDimii Ut hierniicli

Nun hat ji, nflTcnbar nur auf eiuco Gewiuo, uad in diesen Fall
auf den Orwinit n Aospracti. Der Gewinn A ßllt sofort eitieui der
ültrifi^rn Tlieiliipliiiier xu. DiPtier Gi'winn int vtin dem voralehüatlen
RfHuUcilc zu trrrmiMi. Per WVrili der Elrwurlung fSr Ax biuklll-
licli des GcwianslPtt a ist biernach

In 5) iflt der Wenb der Fnrnrtiin^ für J, in Be^il^kunc^ auf den
Guuiuti fi nn};et;i:l)[;a. Diu ^^'iedcrboluna: dpr gemaehteo {{«BUr-i
.luuigeD biniiclitjicli des GeviniiBtea gieoi liieruocii für ^4. .,r..

121

Der Gpsammtwertli seiner Erwartung ist fiDforl

Auf gnnz nlinlichü WriFie fteRtimint s'iob (Ipr Wcrth tter Brwsrluiig
ftlr .),. Nacli 2) gicbt es tur ilin (/i-2) giinslitrr PiUlo. <I^n (ii>-
winn a xii ürlialtcn, n-älireiid ciu !t]Milerer 'riicilui-hmiT den tic-
winu & crliäit. Niich 5) tmt'er iiocli iMnaial HofFnuiig aaf il»DecJben
CVwitin, führend j4, di'n (»'ewiiiu & erluill. Hieriincli ist der Wertli
sifiner Erwartung iu ItezJeliUDg auf ir:

.t.. .

tl

I

i

Auf gleiclie Weino «rc;ipbt hicIi df^r tVertb seiner Erwarluns; in Be*
zieboni^ auf den Gewinn l: Er ist

Der Ge-sammtwcnb seiner Erwartung ist also

Wird diese En tvirk hl nga weise weiter fortgeführt, üO ergiebt sich
der Wettli der Krwartmig- für .-/,

and atlgeuein der Werlb der EünTartung für deu Tbeitucbmer jit

Diese fubrl zu dem Schlüsse;

9) Sanen xwe't (ieuinnNtc er und & tiutch «Ins Lun» ntilpr m
Tbeilnelimer, die in einer ror^schrit^benen OrdnunGT zun^ LuoHen
g<rlnn|i;efi , nut' die «ben bezeicbuete. Weise verllicilt werden, »u int
der Werlb der Erwiirtuno; fiir Jeden Theihielimer vor dem Beginne
der Verlooanng £r|cich.

(•ebi miin von der itben vnrgesehriebcnnn Ordnung, in wcleher
die Tbeiluebnier zum i^uusen tfelong'cn, üb uud letfC eine Bnder«
zu Grund, an bemerkt tuaii leicht, ila»s »ieli die üben gemachten
Scbltisnt: dutvliuiia iiielit ÄiiderD, untl xicli leirbl auf die neu ge-
wÄbltc Ordnung Ubnlnigen luttiten, dnsa sofort der Wertb der fer-
^nrtiing lor dem ltet;iiit)e der Verloüsunf; fnr jeden Tlicllnebmer
unverändert bleibt. Hiernncb ri>i-btlVr(igr hieb der Scliluüs :

10) Nitllcu znei (<etviuiiste et und /* dnrcb das Luos nuter »
Theilaelimer auf die oben angegebene Weise vertbtilt werden, so
ist die Ordinitig', in welcher die Tbeilticlimer zum Longen jfelj*ngen,
gnuT. Klei<rbgulhg und der Werlb der Erwurtung ikI rur dem Bc-
g^inne der VtrlootuDii; tur alle Tbeiliiebnicr gleich.

' Alle» bleibt wie oben. ^ Nieten sind cezngen worden. Wie
grofls ist der Wcrlfa der Krwurtuug für jcaen einzelnen der übri-
.geo 'fiieilueliuaerf

122

Sind £ Lunse gezogeo. id stod aacli /• TbeilaRhmer ausg^lre-
teo und nocli (« — X') Loose in der Dnie nebijt den Gcwloostcn
« und b ztirürk, worauf « — fe I'entoDen AiiMprucli balieti. Uftr
vurliegendc Fall iKt )i;:iiiz nacl) der vorbin aoi^fgelirtico WcUo zo
bchaDOPlu. Die Tcrmindrrte ftriLibl dpr (.»ose lindert die Schluas-
fdl^e nri-bt: Der Werlb der KrHurtuog für jeden einzeluen der
oocli übrigea TbeilocLiiier ist

Ist Bchon ein Gewinn, etwa «, gezogen, so ist dn Wertk der Er-

Wartung

Wir kehren zn der oben aufgeAtellten Frage znriiek und rer>]
aligemeinurn.

In einur rrtic, die tt LoDse entbült, befinden sieb drei TreJTer

und (/f — 3) Nieten. Sie sullcu unter vr l'erHuucu ^,, ^,, .^, Ä^

durcbs Laos so vertbeilt werden, dass diese in der genniiuten Ord-
nung xiini Ijiionea gelungen. Wie gruss ist der Wcrtb der Er-
wartung für jede Person vor dem Beginne der Vertoosungf

Die Gewinnate ItüDocn iu fulgeniicr Ordnung erscheioeo:

ffj

^,

e

*.

«»

c

tf,

c,

h

".

«»

b

*.

<f.

a

c.

Ä,

a

Für jede Orduuug ktinncu fotgoude Fälle eintreten.
Die Ijewinnste fallen xu:

«()demlt.,2t.u.3t.:U.,2t.u.'lt.ilt.,2t.u.Kt ll.,(«-l)t.u.i»t.Thcil-

&) - '2t.,3(.u.4l.;2t.,3l.u.5t.;2t.,3t.u.ät 2t.,(A'1)l.u.i»L nelimer

e) - 3t.,4t.a.5L;3t., 4t.u.0L;3l.,4Lu.7t. 3l.,(M-l)t.Q.st.

n) dem (» — 2)ten, (« — I)lea und nten Tbeilnehncr.

DieseK Scbem» ftillt mit den Xersirenungen von drei (''lementen io
'■» Fäcber zusammen. Va gilt für jede einzelne OewinnvCrtheilang.
nieroQck ist die Zahl aller mtiglictien Fälle

Culer dienen Fallen sind i.2 — p- ;; — , worin jeder Tlieilneliner

io Beziehung nnf jeden einzelnen Gewinn ein fiir sieb gtinsligci
Retiultiit crwuneii darf.

Die tVerlbe d^ Erwsrlnog., die für das eben aufgestellte
Sebeina xu bettiuimen Hind, ergeben sieb aus folgenden DaistcUiui*
geu Und zwar der Reihe uacb für die Fälle a, />, i; ...... «;

in i _*_ _£_

»-

H ' «—1 * n — 2 * « — 5

* Ä « — 3 n — A e

M ■ n — 1 ' «—2 ' n— 3 " » — •

a »—8 n— 4 w— 5 2 I

« * «— I " «—2 " «—3 k ' l ' 3 '^

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K 0. a. V.
■ 18)

M h. t

w — 3 «—4 « — 5 n— G

' «—1 • «— 2'i»— * 5 ■ 4

a '^ — n ' «-1 ' «—8

Wird eine andere OrdDung im Krsrbi^iDeo der Gi>n-innste a,
by e Kvwälill, HO iüt in 11, 1*2, und 13 die veränderte Ordnung- bin-
Biclitlich der Biiclistnben a, &, e eiDzufiibreD. Üie übrigm ilebilde
[, bleiben unfuraudcri.

rm nnn den Wertb dor Krwarlung für Ay bbsicbtlich de«
tficwinnstcs a zu emiilteln, iKt zu bemirkcn, dius er ihn in

1.2. — : — T — Fällen crhuUco kann, worin jedocb ausser ihm noeb

xwei andere Tbcilueliuier sieb in die Gcwiunste b und c Uieilen.
DitBS fiibrt SU der Bentinimung

a

Aaf gleicbr WoUi' beHtimmt sieb der Wertb der Erwartung rott
A^ tu Beiichung nuf den Gewion li. Kr iit

"• = -•

El»9 so in Beziehung uuf den Gewinn c. Br ist

c

124

HieruBch i»it der Wertb der KrwartoDg- für J, in B«xieliung auf

alle tifrwioDMle

Di« Dümlicheii Bemerkuiifj^eD tuhrea xur BcatiininUDg des Werthcs
der (Erwartung fiir ^«:

*:.=-+- + -.

Hicrnua folgt endlich der Wertb der Enrarlnn^ ftr -ic

Uau i»t sofort zu dem Scblusse gt-lsngt, das» uucii in d<Mn vorli«'
ffendcB Kalltf drr tVurlb d^r KrwarttiDg' für ullc ThciliiAliinpr, die
iD d«r v<)rQ-i>iic)iri«l»eDen Ordnung xum I^aAen fl^^l'i'ig^Oi gleich ist.
Hieran kniijttt aicii Dun die ■wciu-re Folt^erunp- Iciclii, dnss zugleich
die Ordiiuorr. in irelchnr die Tlieilnfliincr xum LnutiCD gelangea,

Sli>it-Iigiil(ig isL, da diu l)iirslelIuDgi>n II, Vi, 13 für jvdc uauer«
rduiing 'des olioti »iifgrnlellten Schema'« gelten.

Diu hi"?r angrgehcoe BiitwickluDgsweisc hutj wi"* «»d' diflitUch
xeigtj «in^ii nngeiiif.iiipii llmrukter. .Sii>. Iil^iljt dtesclhf^, weao die
Verihciiuiig \uu vier und mehr tiewinnstcn unter i» Personen in
Frngo kommt.

!4iiid nun dio CcwinnHtv er,, a,, a^ . . . . nr untvr n Per»i}-
D«a uuf die oben nngegclieue Weido durchs Loos xu vertbcilen,
und fragt man tinch dem tVertlic der Knvartung ttir die einzelnen
ThcÜD (.'Timer vor drni Begiuiie der Verluoaung, »o «rgiebt »ich fnr
Jeden nhne tluterücbied

Hier ^it die Bedingnogsgleifliniig-, dasa

*■<"•

Ui(<'T?T^fl'itant( IS] gilt e1|i[entlirh unter der VoraUKsetxUng,
sHinmrlicho Ttioiliiehiner in der beslTmiTiten Ordnung ,1 ,, .t^, ..1. jiii
zum l^oDsvD gelungen. Ks liegt ulicr dviitlich vor Augen, das8 Bit
nach den uljti) augelührteii Buinvrkiuigen niirh immer gut, wenn
irgend eine andere Ordnung, worin die Ttieilnelioier xum Loosen
gelangen, gewjiljlf. wird. UTe»» rechtfertigl folgenden ÜRtt.:

16) n'enn r (•euinnuie unler tt l'(-r«i>nvti durchs l.uos ver-
ibrilt werden sollen, so ist der Wertb der Erwiirtung vor dem Bo-
ginnu der >'erlusung tVir alte TbcilnehcritT gleieb, und die Ortlnung,
worin die Theilnehnier zum Laoten geliint^f^u, giinz gU- ich gültig.

Die gleichen Gesetze gellen hei \'ertfieilun'g der LuHien durch
d»8 Lu(»N. Uii^sH heweiKt. aass das Vertnhrcn , wi^lches gewöhnücb
htr'l \erllieiluiig der (>puian.>t(e oder l.iislen durch daa Looh .itige-
weodet wird, ganx im Hechte hegründet int Mon ist gewisser-
mai^sen t'ini-m lustiortartigeii, nmiirlii-hcu fiefillilc gefolgt, und hat
recht gehandelt, ohne sic^i deri^ründc datiir brwnii.sr zusein. Nir-
grendi iit nänlich der vurstebeudc Satz, so viel mir beknnnt ist.

125

ntt llalffl der Matliemiuik br^rÜDdeC wurden, und durli bildet er
riiiPD der ersteo Kleinciituraaue in der I^lirc von dorn Wenbo der
ErwiiTtUDg oder der malbematiBctieo Unß'nung, wenn dieser Aus-
druiL i|i>r ,,iiii>riiliiti:lifii tlollMiinii*' zur Neid.- {[exlfllt werden darf.
Seiltat die Kercchnung d«^r ilurili^icliiiittlithcn Wi-rtbe von zu li<if>
fendiMi Vortbf^ilod, wie nie in der 'IV'.-tlirsclt('inliclikeilftrec)i(iunfi[ sa
liüDÜt^ lorkomnifn, i^rüiidiTl sich auf di-n Srtlz l(i, denti es i.ir nicht
oivglii'li de» Krwiinuiiptwerlli (ür irgend einen TbciliieLnier zu bo*
Rtiinaicn. wpuii niclit eine beütimnt« Ordnuiis tfilt, udnr iiicbl, wie
hier. Ytirlier nncbifvwieBen ist. dass die Orduung iu welclirr die
Verlitosuuif oacb 4er ,uiifl:e^ebeueM Art vor sieb g«bt,. gluiciigül-
lig Isl.

Sind «plircre von d<^ti «u vcrtlipilendcn fi^xrinnstt^o einander

fl'lftcli , 80 ändert diess di(' obiffeu liest iiumunprea nicitt. Die
(leicbuug UiJ gebt dann In fulgende übur:

17) £ = „ ,*if — tnr,*.

wobei pi -^Pj-^Pt + H-/'' ^ » 'st*

Sind /* Nieten irezn^iPU, nbne dnss ein Oewinn ericliieoen ist,
BO ftndcrt sieb noLürlicb der Wcrib der Erwartung und es iüt aus 17)

18} £=;<

« — *

Her muss

P,

'''<

tt — A

■ein. Die Art, nie die Verloosang- ansautubreo ist, geliört nicbt
Iitcrber. >

Sind die Dedin!tung«D der Verlooaung' nndert, so worden nach
die Reiialttte gpanüert. Weitere liielirr Ec^tiorigc CnterAucbnngea
bnbe irli in den Abhandlungen der oiitttieniniiacb - ]ih|-iiikaliaclieQ
Clussc der Königl. Buicrachen Alcndemie der WiasenKctiuricn 3. Ud.
MUnclien, Ita*. y. 243 mitgetbeiU.

IS6

XX.

Ableitung der Sätze von Rolle, Fourier imd
Üescartes Über die AnzabI <ler zwischen gege-
beneu Orftiizen liegenden reellen Wurzeln einer
ni^obraiseben Glcirlnuifr aus der Lcbro vom
Kxfcss der ^ehroclienen rationalen algebrai-
scben Functionen. Als Fortsetzung zu der Ab«
baiidlung No. V. in diesem Theile '*}.

Herausgeber.

Das Theorem von Rollu kuoa auf fulgeoile Art nusge*
HprucliCD wrr<l«n :

Di« AdzuIiI il«r Kwiiirlien xw«! beliebigen ge^ehe-
Dcn IJirüDxeD Mogciidrii rcelltMi Wurzeln il«T It If icliu»^
y{.i-\ =:0 tut nir g-rosscr nls iJit um ciuR l^inlteit ver-
mclirtc Anznttl der r-winr-lion denarlben (•ranzen liegen*
d e D r o e 1 1 e a W u r z p I n der G 1 1 i c li u ti p; /""^ .r) ^ 0.

Um divi^cti niei'kuiirdi^co S&lz zu bunt-i»«», wollen wir die
beiden gf-gcbcBcu (iTänzcn ilurrli 0. & bezeirliDcu. uud wollen. wW
oifeiibitr r'rntalift tut. »nnflirnen, dttmi u^b sei. Her den (irikn-
len 0, l» eoUiirecbfnde Excess der gcbrucbcncn ruliuaaleD »Ige-

braiacLcn Functiän 7^ — - sei £, und die Ausalil der zwiseben den

Gränzen 0, £ liegrnden von eiDaudor versdiiedeiieii Wurceln Jer
Gleicliuii)^ /(.r)^0 sei m\ e» i»t iiacb dem io V. $. 30. bewiese-
DCD Svtie nt=^E, Ist duii E' der duu O'räiixuu 0, i^ eDisirrccheude

Bxcew der gebrciclienen rutioimleo algi'braiacheu Fuoctioa'RT-'.; ko

Ist osek dem io V. $. 23. bcn'ieseni^n J^ulze

E-\-E'^t oder E:= — E'-\-t,

wo entweder t^^Q adcr f:^±1 sein kann, und es ist folglich

Dach dem Vorb ergehende d

m

= — £'

*) Man TergL die Note nnf S. 4S.

Nach den aas V. f. 21. b(ikAnnt«n allBffmetnt'n Rf^griffe des
misseo g^ejjcbfni'n Urönzrn «oUiireclientlcu KscefseH i-inur «-
wclieacu ntliooalco algcbraJüclieti FuDcliuu 'ut nua , weun, inaen

sick von a bi« 6 rtetig äadert, di« FuDcdou f^jr: «Ual anend-

■h wird UDd diibei yun den Kpei>t>T^(> >>1<D l'ostlivetj iibergdit,
id m' >lnl unrndlirli wird und if.ibei von dem Poniliven xum Ne-
Mivcn libertfelit, £' = « — V oder — J?'=:i»' — », und folglich
ich den Obige a

M ^ h' — n-^f.

wird ouu die Funetion 'frz. zwischen den Griinzen « ood h
fcrliSBpt «»'Mal uncndlicb uod audort ibr Zeiclieo^ so ist m'=»'+A,
id folglicli ofTetiltar ianier «'^V — «, also Jwi'-4-e~»' — i»-|-f»

i. nucb dem Obig;ea at'-^-t'ZT m «der ot~j^m'-4-c-

Bvzeicbiiot jetzt m" diu Anauilil di*r zui-cben dcu (iranzen s
Rd 6 liegeiiiJcii reellen vna elDander ver^biedenca n'urzeto der
teicbuDg- f'[jx) ^ 0] welcbc nicbt ztigleicb aucb' H urtela der

«icbung yi(^)^0 gind; lo ist offenbar ioinier m'^iw'', alsa

-H~«"

E, und fulglicb nucb d«tn Vorlivrgebenden inner

Lieg«n cbpr zwisolifii den Oränzen a nnil Ä noch «"" reelle
in einander **er3<"liicd(MiP Wurzeln der (•Irit-hung _/'(.r)^0,
>lcb« zugleich nurh Wurzeln drr (»leicbiing y(.?;| ^U sind, «u
L m' -\^m"'^ln^ die AiiBatil ullrr zwit^chcn ücu Uriinien r« und
\ liegenden reellen von eiiiuiider Terstbiedcnen Wurzeln der
■eifbürig /'(.r) ^ 0, und folglicL «"^(w, — *»*", uUo iiacb dem
»ig«n iiuaier

Befor wir jetzt in dieser Betnirliluiig weiter fiirtscbrftiten,
olleu wir zuvürderst vnlli)fvr Ürtiitirlikeit wegen den lulgundßn
tz YOD den (^(eit'ltungeu in der Kürze beweisen:

Wen» die (ileicbuug /'(d:J = U nicbt incLr und nicbt weniger
I k Wurzeln but. die Kaiiiintlich = u sind; S'i bitl die Gleichung
(x) = U nicbt melir und nicbt weniger uls /■ — I Wurzeln, die
diriidicb ^ « sind, wobei sieb von iielbit verstebl, daas k nicbt
E l> ist.

Weil oiimlirb niK'b der Voraussetzuiii:^ die Gleichung /'(^^^O
cbt tnebr und nicht weniger als k Wurzulii biit. di« säuimtlich
a sind, so kiina

o fix) eine für ^ = a nicht verscbwiudcnde ganz« rotionole «I-
braisrbc Funclioo von x bezcicbnet, trvsulzt werden. Niinint
n nun nttcb V, $. 7. und %. 10. auf beiden Seiten der vorsieben-
XL Gleichung die derivirleu Fuoctioaeii.; so erhalt man

138

nitr

/'(.r) = (.7- — «)*-i >U--u) ^'f;r)H-/t ^{.r)i-

woraus üirli unmillellinr er^»bt, daiw tlic GleicliUf><r /'(.«■) ^0 jr.
dcrspit X-— t Wur/rln Imt, die säinDitlicli ^a sind. Uaäü aber
divse Gleichung iiiicli nicbt tnübr ul» /• — I Wurzclo kabeo kaiiu,
die »ämuillk-ti =u Miiid, frl>r|[«t elteii so l«icKl. Solde itioselbe
Hämlicb A- y\'\int\a bulicn , deren jcd^ :^a Ul; so nüsste ar — u
oOcDltar in der u-anxvn raliou-tlen iilgcbruitfclirn Futictioti

(iT— «) tf'{x)-h/-- y{;r)

äDffl«liCD, und dir.«« Functinn nlno für .ir:^a verseliwindt^n, uelcbes
I piclit tnö^lirli ist, da dieselbe für diesen Wertli der 4>r(tssc ^ de«
^nrlb f-sf<[a] rrhült, und narb dem Olitg«n weder Ä-^0, noch
^u) = (> Mit, niidoreli uun uuscr »bijrvr einffiriichiiltelcr Satt, der
sicti (lit'i-Mibur iiucli uinkebreii )»»)ti, bewi«»cn i»t.

Wir wuli«n jt^lxt [innvbBi*rn, duss die (»k'ichtitig /(^)=:0 zwi-
schen den tiriimen m und ^

1 '*l» "9t "»» *41 • • ■ ■ *Jll

V'on nrelehen GrosHrn rinft jede G^röitxrr hIk die Kiubeit sein loll,
tMll« VVuncolu Labe, die xäninilicb respecLivR dcti (»rHKaftO

u^, a„ a,, a itj^

gleich sind; so hat nncli dem so cbi^n bcwiesenrn Sulz« dif Glei>
cbiing/'(.r) = zivischftn den Granzen a und ^

/.,-|. /.,-!, *,_!, /.,_!, ... /.^—l _

reelle Warxoln, diu süinmtlicb res{tectiv« den Grdsaon
«,, tt,, a,. a, a;

gleich sind, ond anflerc einnndcr gleiche fV'urznJn kann diese
leiicbitng narb drni in Redü siehenden Satze oRnnbar nicbl baben,
I)a nun uiii-h dtftn Obigen m die Aiizutil dpr siimntlirh ron eiiikO-
der Terscliiedenpii rei^llen Wiirxeln der Gieiebung y(jr) = zwi-
■dien den GrüHz^n // uuO ^ ist: t>o ist. n-enu fi die Anzuhl aller
recllcu Wurzeln der Gleichung y(.r)=:^0 zwii>cbeu den Gränxen m
und & faezvicbu«^, oHVnbur

oder

„ = ;»_(*, — !)-(*,— !)_(*, -l)_..._(X-ji_l]

Weil ferner nneh dem übigen m, die Anmiltl der sümmf
von einander veracliiodi-nüti reellen Wnrr.eln der Gleichung /"(.rf^rB
swisi.'beu den Griinxcu a und & ist; s» i&t, weitn ;i, iWv. Anzaiil
aller reellen Wurzeln der Gleicbung /""(.f^i^O »wisrben den Gräa-
zcR a und i beieiclinvt, wie ebi-u so Jeicbt erbelleu nird,

oder ■■ ■■'"■■' '" ■ ' :■■

|W«it BUB D«cb dem Oliig«n

129

p _^ «r, — «•* + e

_ p-(*, -!)-(*, -l)-(A.-l)-..._(*i-l)
^M.-('t.-2)-(A,-2)-(*.-2)-...-(Ai-2)-»'"+r,
hüA fplglich, Vic sich fiiernns Hßgleicb ergiebt,

Xftch drm Obic:<Mi Ut «'" die Anr.a1il der van einanilcr Tfer-
scbiciloneD reellen Wiirtpln der fiMchnag y^j:) ^ zwisciten den
(■riiiizvn a und d, ivcli:b? zuglelcb Wurzeln uc>r Gleicbun^ /(a.')=^
sind. L'cbcriegt mau nua. dass uui-b dcra vorher bewiesenen Satze
jede Wurzel, wflctie die (ileicbuiiff /(ä-J =0 u'ur ein Mal cultäÜ,
Dtcbl iiMch eitiP Wuriffl der Glticliuiig /"'(^J ^^0 Bein kann; ao
wird auf der St«lic prhclten. dass immer m"'^X, und tolglicli
nacb dem Vorliergebcudeii

sein muss. Weil Terner nach dem Obigen immer

m"^ im, — «•"' + s
ut, ao ist um «o mebr immer

Weil DUO, vie wir oben gesellen baben, -f- 1 der grSaste
Wertb tut, welclicn c Laben kann, eo ist immer

f» ^^, + 1 und »^», -Hl,

woraus man Hiebt, dnas dns Tbeomn %■<>■ Rolle o'nAtt bloHH von
alleu Kwiscben d<!n (üninzeD a und £ liegendeo reellen Wurzeln
der Gleichungen yf-rj^^O und /''(.r) ^0, sondern auch yna allen
zwixclieii diesen nraozcn liegctideo silmmllich von einanilcr vet-
scbicdencD reellen WnrzclD der beiilco io Rede stehenden GtcicbuD-

Wenn

"ti "d "i> <»«» «f.) . • . ■ ff?

die Bhmntlirhen tod eiiiandfr reritcbiedenen recllfin Wurzeln der
fileicbung /'(a') = 0. und die^c Wurzeln nacb ihrer (irÜEäC uuf-
slui^feud geordnet ntnd; so liegt zuiscbeu — cß und a, keine
Wurzel der («Icicliung /'ix) = v, uIhu nach dem vorberi^eh enden
Satze libi-lixlen:« eine Warxel der Gleichung y(.r) ^ 0. /wiaclieu
a, nnd », liefft keine Wurzel der Gleiehung /""{^J^O, nU» ncicb
dem viirigen ^a^^c bocbstens eine Wurxel der Gleichung /"(.«-j^sO.
Wie man auf dJiKe Art wtMter gcTirn ktinn, ist klar. Zwischen uq
und ~t- iC li<^Ht keine Wurzel der GlGicliuiig/^(^)=0, alsn liöcfa-
Bteos eine Wurzel der Gleichung ./'(ji.-) ^ 0. Hieraus sieht mite
folglich, dasH eji hocbKleiiH eine reelle Wurzel der Gleieimnfr
y(.Y.-)^0, welche kleiner ala a,, bocbatCnH eine reelle Wune)
TlieU 1. C)

130

(lic!«r Glcirhnng cffhfin kaoo, wclclic ii;rÖascr als a^ ist. F<^rner
Itnnn nur «inr rci-ll« Wurzel der (Urirliune /'(.r) = zwisrliCD
ff, unil a^, nur eine reelle Wurzel dieser (•leictiutig- zivisclien a^
und «,, u. s. w., nur eine reelle Wurzel dersclbea Ulcicbuug xwi-
scben «ry_i and a^ Üegoa.

».2.

Wir wollen ji^tzt aanctitnen. iIbss /(.z^) eine gnnzo rationale]
alBTl>nitäcbe l-'unnlou des nten f>riidrR v»n .-r sei, und nollcof
durcli suci-esMve Kulwirkelunp der derivirlen Functiiinen oaclt d(
aus V. A> bekannten Regeln die Reibe

A^\ A^)' r%T), /"'(^), . . . /f-)(^)

bilden. Setzen wir in die^ier Reib« für .-r die Grüaseo a und b^
yi9 wieder a^'^fi nein itull; «o erliulten wir die beidvD Roibea

) /l«)> /'*«)► /"(«)> /*», .... /w(*) i

(3) /(^), rC*), /^(*), /~{*) /t" W ;

in denen, wie wir julzt unnebmen wnlleu, kein Glied reräcbnil
soll. Ferner wulleu wir anucliuicn, dass zwiscbeo den l^räoi
und If

reelle Wurzeln der GleicKung'en

/(ar) = 0, /-(x) = 0, riar) = 0, /"-(a:) = 0, . . . /t-)(^) =

liegen, und wallen iiberlinupl in Bezu^ uuf dieFunclioaen

/(.v) und fi^l

/'(x)undr(^),

/"(^)undr"(^),

u. s. w.

/("-«(ar> und /!'')(*)

dnrcb

Cn-l

't ^1) *a» *»)

Dnaselke beieiclinen, was im vorigen Porngraplicu in Bezug anf dte
Functionen y(^) unA /"{jt) durcli b bezeit-bnct worden Ulf su ut,
nie wir im vurigen Furngrnpbcn (^e&elten hüben.

>!+«,,

u. B. w.

nnd folglirb, wenn man auf beiden Seiten addirt, und aufbebt, iras

Da alter narli der VornusürtzutiK /'{x") eine g«iiz« raliopsle alire-
bniwlie t'tinclioii Aea »tcii Grniles, äl<M uarL V. ^, 1^ )>eknnntlicb
/1">(jr) ein oonälaiite iiiclil T^rsiiliwinderiilc (>r(>ftsc ist; st» ainil di«
CräsKt'D /^'^a) und /■(")(ä) einander f^lcicli und TPrsrliwintleit niclit,
wornus sich unmillclbitr ergiebl. dass »Kisclien den Grauzcn a und
b keinir reelle ^Vurzi'l der Wleicliuojr _/'l'')(.f) = liegcu kann,
folglicb /in^(>t ""d <lu)>cr »acIi den Ul)ig«n jedenceit

/*^« + '.H-e.-»-6,+

-+-»i^-^i

inL

I

Kadi V. $. 2't. ist

* = 0, oder f^-f-1, oder * = — I,

wenn re»pec(ive die Vorzeicijen vou /"(«), /'(17) und /"(Ä), /*{Ä) za>
f^leicli eiot' Fol<:<.' oder zuii;lci€h einen Wccliscl bilueu; wenn die
Vwrzeicli^i» von f\<i), /'(">} einni We^-bsel, dir Vorzeiclieu von
/{A).. f{f*) 'i"« V»\tic I)i!dcu; nenn die VorzcicKcn vihi ./X«), f{a)
eine Fulg«, die. Innieirlicn von f\f/), f(f') einen Wcctiscl bildcni
and etwas ){unz Avbnliclies gilt vuu den Gros&vn £,t e,» c«« . . . <j«_i.
Seien nun v aiid f die Anxalil der WeciiKcl und der Fulf^en
in der Reib* (1). «// und /"' die Aiizjilil der Wechsel und der l-'oU
cen in der Rfibe (2). Itic AnxabI der Fall«, wo einem H'eetisel

^ 0)

der Keilie (2) enttttiriebt, nui /- ; die Anxolil der Fülle, wu einen
Wechsel in der Reibe (l) - -

in der Reibe (1) eine Folge in iler Reibe (2) entanriclil, sei k\ die
Anznbl der Fnlle, w» einer Fnls^ü in dor Reilie (I) ein \Vccli««l ia

•■ t
ein Wechsel iu der Reihe (3) entapriebt,
sei l^\ die Aimibl der FaUe, wo einer Folge in der Keilt« (Ij eine
Folge in der Reihe (2) eiititpricht, sei /.-'"; »o iitt ducIi Vorhcrgebeo-
deu oßenliur

«H-ti -f-i,-t-«. -4- ... +«*-.i = * — ^.
Ferner ist nWr. «rie Mogtclch erhellet,

nod
also

and folglich uaeli den Obigen

Weil nun imaier

war, ao ist iuinier

M^w — «^ oder t*'^f-~f.

$.3.

VorhcrcelieBden li«b«n wir «ngenomDiea, duss kein Glied
der beiden Keilieo

/("}. /■{"). /"(«). /"'(«}. .... /£"!(«);

/(*), fi^h rV'h f"'(^) /^">(Ä)

in

rerechwinüel. Inilem wir nun xa dem Falle üWrgehfa woDcd, wo

diese \ orausHelzung nicht «rlullt ist, inüucQ wir suvürderst die

fo)gcn<lri> Kftracltliinu;«^» vuraithschicketi.

Wir Wülleit ülit^riiau|it die R<^iliti

/(a), /'(c), r(«), /"(«), . . . /i-\a%

veltrhe die Fudc t ioiicnrci )ie f^euannt: ivcrd«u Hnll, bctrachtCD.
Uic Rfilic der Vortpiplicn dfr einzrlnCB Gliftlfr dofsflb«-!! miiif din
Zeicltfnri'ihc ^cnaoiit und di'r Kufxe wcf^t^n durch (n) bczi-ich-
net wt'rdcn, wolici wir Eiigidcli bemrrkrn. dnss in drräelhen. nenn
ein niipd der FuHRtiuiittirtihe verscliniudct, ud die eii(Et)rc<rhende
Stulk jederzeit U gcschiiebcn werdeu sull. Durch i sull im Fol-
gcuden iinmer einv unendlich klvin« posiUrr GrÖ»»« bczcicboet
tverden, und wir wollen nun xrigm, wie au» drr Zeichen reih« (a)
immer die derselben »uf beiden Seiton nächst benarhharirn Keictieo-
rellieti {« — *) und («-f-/) ahg-eleitet odtr p^ehildet werden kiinnen.
Zu dem Knie wollen wir cuviirderüt unnebmeti, äahs ein belie-
biges Glied y^'i(K) der FuuclioDenreihe uicbt rerscbwindet, also
auch dfiH dieiem (iliede ent8[irechcnde (alied der Zeicbeoreibe (a)

oirlit U^ Kouderu ± ist.

Nacb V. i. 1*2. i6t

(±*)»-i

und nach V. $. IH. IHüüC sich t immer so klein annehmen, dass in
Vorzciehea vaa/^^^(u^i\ mit dem Vorzeichen des ersten nach der
Vo^an^setzuu([ nicht ven>ciiwiudenden (iliedet /T<>(u) dertj'rüissc aof
der rechten Seite des Gleichheitszeichens iii ohiger Gleichung einer-
lei ihI, uunius sii-h iininillelbiir ergiebt, diiss, wenn rb ans dem
Gliede /1'>{u) der rnncliouetireihH eiits|irrcheDdv Glied der /eichen*
reihe (m) i»l, düiin mit Beziehung der oberu und unteru /eiehcD
auf einander immer aarti db sowohl da» eutsitrechende Glied der
Zci'-henreihe (« — i), al» auL'b das enttiiirechende Glied der Zeicben-
reihe (n-f-«) i.it. Also bat man bei der Bildung uder .Ah!ciiang
der ZeichcnriMlieo ((* — i) und {«-]-») aus der Zeicbenreibe (u) für
jedes nicht lertichwindcude Glied der letztem daü sieb in demsel*
uen finilenile Zeieh^o unverändert hciziihchallen and in die beid«ll
erstem gesuchten Zeichciirethen eitizufiibren.

Ferner wollen wir jetzt annchmco, diiss die den Gliedero

/l*)(ß), /<^+»'fß), /«'•+«(«), . . /t*+)»-«{a), /t*-*-A)(u)
der FuncHonenrcihe ealsjrrcclj enden Glieder der ZeicKcnrethe (a)

0=b

Bind; Bo lÜKst sieh nacb V. f. Vi. und V. %. 18. die GrösBe i immer
Bo klein annehmen, dasa die Grossen

/^*)(« ± i), /1*+V)(« ± i), /[^M)(a ± *), . . . /Ii+/^i)(o d= i)
n^eotirC mit den Grössen

fci^y,:.,„(„,. ,^y<«-..(«), i^/«-'V«), ..*/<"•'>(«)

einerlei Vorzeichen huhen.

Uierau.s. in Verbindung mit dem VorhcrgebcndeD, ei^iebt sich
oun ahcr uuutiltelhur Kulgcudcs.

Die deu (i'liüdern

133

U ... 0;

der ZeicIi«orcibe (a) eatsprecfaeaileD Glieder der Zciclienreihe (a — i)
Bind jtidenceit

oder

so 6ms DStnlich iu diesem Tlieilo der Zeicbt-nreihe (a — i) die
Cliedvr vom er^IeD bis zum letzten Gliede, welches mit dem «nl-
snrprlipuden Gliede der Zciclieitreihe (a) einerlei ist, fnrtwäbreod
aowcrlisrln.

Die den Gliedern

... Odb

der Zeictien reihe (a) eotspreclieDden Glieder der Zetcbenreibe
{a-i-i) biud juderzeil

BO du» D&mlich in diesem Theile der Zeicbcnreibe (u-i-*) alle
Glieder vom ersten bis zum lelzleti Gliede, weteho» mit dem etit-
sprecLendpu Glied« der Zeiclienretbe (a) einerlei ist, ttiniinder
gleicli Niiid.

Aus dem Vorlierg'ehenden, wobei ts nicbt Übcrilussis; ist, nocli
SU benerken, litua, neil naeb der t'or>iiissei7.iinQ; /"(.r) eine ffaiixe
ralionalc iilgebraisrlie Fiinrliuu dcH »ten G'radiis'vnii a: ist, /l'''(a)
nieinnU verscbwinden kuiin, crgiebt sieli iiuii unmittelbur die fol-

f^eode Keifel zur Ahlelluiig der beiden Zeietieareibeii (a — i] and
u-f-() au?s der Zi.-iclitiireibe (u), bei diTi-ri Aiiweiiduug wir die
Zrirti(-i] reibe [a — i) über, die Zeicticureibe {u-f- i) unter die
Zeicbenroibe [a] acbreiben trollen:

Uebor und unter jede.s fllied der Z4;icltenrcilic {a),
welebcs nicht ist., »ehrcibe man dasselbe Zciclien, tro-
bei man jederzeit bei dem letzten nioniaU verschwin-
denden Gliede »ul'au^l. Dagegen scbretlic uiao über je-
des Glied der Reihe (u), welches ist, das ealgegenge-
setzte Zeichen v i»n dem, welches in der Reibe (a — •)
Dncb der rechten Seite hin nnmittelbor folgt; anter je-
des Glied der Reibe \a). wcIcbesO ist, scbreibe man aber
«in dem iu der Reibe (a-^i) nach der recbteo Seite bin
unmittelbar folifendeu gleicbeit Zeichen.

DuB folgende lleiKpiel wird zur bessern Erlutilcrung (Weiter Re-
gel dienen, wuliei wir uneb licmerkeii, duss innn der Kürze wegen
äic Zeiebcnreihen (a^i) und {a-^ S) ganz xwet'kniüssig gewoun-
licb bloss rea[iective durch (•<^») und (i^a) zu bezeichnen pÜcgt:

(<:a)...H 1 1 1 1— t— {— 1 1 1 1 1-

(a)...-| QUO OH- OH

<>a) ... H— H-H-H-H-H-H-H-

Aus einer näbcrn Betrachtung dieser Regel gebt hervor, daes die
Zeicbenreiben (a) und (a-f-j) immer eine völlig gleiche Anzahl
von >Vech»cln entbtklten, wen» man nümlich bei dcui Zahlen der

U 0—000 Oh 1-

134

Wechsel dor Reihe [a) die verscbivindenden Glieder gsiii «ouer
Acbl läsitt ntiil nl<t gor nicht vorliumli^u brtruclilel.
Nnbueii wir nun au, daut ilitt Kcilicn

(1) . . ./(a), A«), /"H, rV), - ■ . /^"K«);

(2) . , ./(Äi, />(*). /"(*), /"'(A). . . . /^"m

belirbi^ viele verseh windende Cliedcr eiitbalten, nnd braeiclineo,
unter der Vorausscticuutr. iass man tiei dem Zatileo der in diesen
Keilien Turkummeoden \\'ucIi)h>1 die vcrscbwindeudca (ilicder ganz
ausücr Aclii: lüsüt und als gnr uiclit vorhanden betraclilet, die An-
xalit der Wcflisvl in der Rpilie (I) durcli ff, die dniulil der WecW
B(;l in der Rrilic {'2) durcli i»/; m» ixt usich dem Vurliergelicnden tf
nucli dio Aiizalil der Wecbticl in der Reibe (a-^-i), und k die
Aiiznbl der Weclisp.1 in der Reibe {& -i- i). Bezeichnet irlxt f^ die
Anzulil der fiäniuiiUchcn zwischen den (rränxon a und o' litgendep
reellen Wurielu der Gleicliung _/'(-i^) = 0; ho ist, unter der Vor-
aussetzUiig-, das« ^ nicht Kulbift eine H'urzet der Vleii-biinii /'(.r);=^
ist, alan /[A) nicht verschwindet, DtTenbar /i auch die Anzahl der
Käminlliclien zwischen den Cränzen a -^ i und /f-i-i, wn / inmer
die ihm oben beig'elegte Bedeutun;^ biil, liegenden reellen Wurzeln
der Uleichuu^ /(^)=:0, und t'nlglicb nach dem vurigeu Paragra-
pbeu jederzeit

l*<

w^vf.

Hiernach lässt sich jetzt da» Theorem tou Foarier auf fol-
gende Art uusB^recheu:

Wenn at^h und h keine Wurzel der Gleiehütig
f{.v)=^^ ist, niso f\h) nicht rentchwindet , nnd ^ die
Anznhl der sümnitlichcti zwischen den Griinzon a und b
liejrenden reellen Wurteln der Gleichung /"(.r)^0 be-
zeichnet; Bo ixt, wenn man die Anzuhl der iu der Keihe

/<«). /'(«), /■"(«)» /"•('f)> . . - /"-H«)

Törkommendea ZcichenwerbHcl durch w, die Anzabl.der
in der Keiho

/(Ä), /(Ä), rm^ r\b\ . . . /^-m

Torknmmenden Zeichenwech nel durch n/ bezeichnet, w«
bei der Zählunt; der Wechsel in den beiden Tomtehen-
den Heilten alle iu denselbea vorkoiuiucude verschwin-
dende Glieder ganv. itu«8ur Acht gelBssea und als gof
nicht vorhanden betrachtet werden, jederxeit

f 4.
Tm nun auch noch das borühnite Theorem von Deacartcs ans
dcDi t'orLc rächen den iihzulcitco, wollen wir liberhaupt die Gleichung
des Mteu Grades

yr^-) = ,:/-)- .4,0. ■+■ ./,a' +. ,-#, JT' -f- - - • -*- -^H^" =

bettacbtea, wollen aber jetzt aBoebmen, daaa keiner der CoeCfr*
cükotcji

135

^■t -^1» ■'*J) -''■7 • • . • ■««

vencliwindo unil der roeffirictit Ah <)es fatirlisten Gliedes <tcr Func-
tiou fi^v) positiv sei, ivciclies Ijetzicrv oficiilmr immer vernlattet
IBU entwickelt oiaii \v.\,zi {jie derivirteo Functionen vou /'(•i-'). und
setzt Bunubl iD deuitvibeii, als nucb in der Functioo y(a^) selbst
^ = 0; HD finilet niaii, (liist ilie GrnüMii

/(«). /'(«)> n% /"(»). . . . ■ /<-JCO)

respcctivc mit ilcu Cocfilcieutcu

A^ A^, j«,, A,f .... j*M

gleiche Voraeiclien liuben.

Lauen wir auu dun Aaidmck

(0) = .-! A, A, A, ....An

IB Fol((endeD btons bedeuten, <lau die Glieder der Zeicbenroilie
(0) mit den VorzeichPo iler Coeflicieiilrn A, A,^ A^, A,, .. . A^
einerlei üind; »o liaben wir, wie unmitlelbnr nus dem in V. ^, 19.
bewiesenen Satze und den leicbl zu rnwickelnden derivirten Fanc-
tioneu von /'(.r) folgt, <iie fol^^endua Zeicbcureibon:

{0)=iA A, A, A,...A^tAn

(-f. OS ) = + H- -f. -t- . . . -f- H-

Die Anzahl der Wechsel in der Reihe ( — Ct) isC offenbar «, und
die Anzahl der Weclisi^l in der Reihe (+ St) int 0. Die Anxahl
der WcL-hficl iu der Reihe sei if, und die AutnUl der in dieser
Bcihe vor kommen den Folgen sei^. Die Anzahl der neiratiTeii rccU
leo Wurzeln der Gleichung /"(^'l =0 sei m. die Anziibl *l«r posi*
tiren reellen Wuncelu dieser Gleicliuni; itei p. Weil diß ftaniuil-
liehen ne^aticen reellen Wurzeln xwisdicu — OD und liegen, so
ist nach dem i'origcn Parsgrnphen

w^« — w.

Nun i«t aber ofTenhar te+/^m, und folglich n — te^/", also
Dach dem Vorhcrg eilenden

D& ferner diu sammtlichen nosilivcu reelle» WutzcId zwischen
and + X liegen, so ist uacn dem vorigen Paragra^ben

;/^» — 0, d. i. p^»,

aod es ist also jederzeit

Hat die Gleichung y{^) = lauter reelle Wurxeiti, io iit
md folglich

136

Wäre DiiD y^Wy »o wäre wegen dipser Gleicbang (w ^/, wel-
ches gvj^n düs Obige, du uimlich immer x"^/* Ul, streiteL Aiio

kann nicht p<^ic nein, und es nnsi folglich, da xmmti p~^fp ist,

pz=w sein, worauei dann wegen der Gleicliung /»-(-«•= tr -t-/
unmittelbar M^/folf(t. Weun altto die üleiaiuD({ lauter reelle
Wuneln hat, so iat immer

In den rorliergefaeudrn Ausdrucken ibi daü binreicliend schon
aas di'D Eleinenlcn der Alijcirbrji bekannte Tbcumn von Uescnr«
tes oder n^rriot in dem Kulle, wen» kein Cocllticieut der Glei-
chunf;' Terttrhniiidt^t, ofTenbiir (.-Dltialirn. Der Ausdruck, anf welchen
(•BUflü dir»vs Tbf^ümn in di^iu ullc;pmi'inern Futlrj wenn bcliebifF
vUiIc Coetlivieuteu der (ileicbiini; rcrst-bninden, gcbracbt bat, un«
der icfaüse von <.>anss {gegebene Ur^eib könucu bier aU völlig
bekannt vorau>ige<tetxt werden. Unsere Abiirlit war hier voncogti«
weise, die Frui^htharkoit der Lehre von d**in Rxcetui der gebroche-
nen roliooalen algebraischen Functionen xn xeigco.

XXI.

lieber eine geometrische Anfgabe.

Vom
Ilcrausgeber.

In den Lebrbiicbem der aaaUtischen Geonetrie, wenigstens ii
den mir hekanutcn, fehlt bis jetxt noch die folgende Aufgabe, fiir
welche ich dnbcr, weil sie mir in nirbrfnrber Keziebiiog von In-
teresse und mancher Anwendungen fabig zu sein scbeint, in diesem
Aufsätze eine AuSitsung zu gelirn vcrüUcLeii werde.

Aufgabe.

Din Gleichungen einer gersden Linie lu finden,
welche vier gerade Linien iin Ranine, deren Gleichun-
gen gegehen sind, icbneideL

.4 u El d s u n g.

Die Gteicbungeo der vier gegebenen geradeu Linien im Räume

137

Nr:

•■tt,%-

und

*., tf-

■ß.%

% a?==Js-t-B, y=?(« + «

scicu die Glcicliuugou der )i;c>sui'hli^n g-erailen Lini«, von welcher
die ricr gcgeLeneit geraden Uiuiuii ^^cscliLittcu werdcu sollen, wo
aUo die tiroMen ^y Ü und %, ^ zu bestiuiuiea siail.

Zu dem Knil« bezeichne man die Coordioaten dvr Punkte, in
dcAfiii dir ricr goiielirnrtii geraden I^iuit-a %'üii der gviucliten ge>
roden J<inic geschnitten werden, rM|K>cfiv« durch .»•,, y,, %^\

yi

■^». y.. »^

■4.

SU hut man tiucli den OhU
pcn zur BeKtiuitnung dieser zwölf («rÖKHeii und der vier Gritaaen
At B, 91, ä5 die Keclizcha fulgvodcn UIcicLungcu:

^^,=«,3,+Ä,, y, = o,a, -4-/?,;

3. <

Lr, = -<«, H-Ä, y, = 9I«, -Höi

L:, = As,^ -f- Ä, y, = ai«, + Söi

'jr. = .^», +Ä, y. — 9ls. -1-93;

^, = -rf». + Ä, y, = SU, -h 85.

Durcli KliminntioB von ;ir,, ^,, x,, jtr« nnd y,, sfsi J^i« 9« *^-
hält man nus lÜRaen Gleichungen ohne alle Scbnrierigkvit die actit
folgenden ClcicLungen:

]o=:(«,-^K + Ä,-^Ä, = {«. — ?JJ»,-f- /?,-»;
J0=(a. --4J».4-Ä, — -ff. = («.-Sl)s.-t-iS. — SSi
(o=:(«,-^«,-|-Ä,-fl, = K-SI)*, -1-^,-0;

uug denen sieb ferner durcL Elimiaation von «,,s,fX,, *4 die VKr

»fvlgendeo Oleich uugen ergehen:
l(«. -^) 0?.- SB) = («.-?0 (*.-*).
(ff, - ^) (^, - S3) = («, - ^) (*, - /?),
uns denen nun die vier iinbektinnlen Grössen vi, //, '91, S) bc-
■timot werden miisslßn. Wir woHen jcdwcb die weitere Verfol-
Koog divsejt Wegs, ubgleicb derselbe zu nicht unelegunten Rusul-
taten fuhrt, dem Leser übcriniisen, und wollen hier ein uudere«
VcrfahreD in Anwendung bringen, durch welcbea wir zu einer cin-

I fächern Auflösung gelangen werden.

138

Aus den Ckicliabirt^n 4. ercrcben sich tiRtnlicFi doreh Ellnl^
u&Hon der nrössrn B und Vd> lüKltt di« fulgcoden CleicbuDgen:

[*. -H(«. — ^)», =:*a-f-(«, — ^Js,=Ä,H- (ff, —-*)»,

**■ jiy.-*-(a.-a)»,=iy,4-(«.-«K=i?.-H(»,-«)»,

aus denen tnua durck EliminatSoD von Xg» Sj. s« ferner «bM

iJcbwtcrigkeU

/ A, — ^. + (g,— y/)a. <y, — /<

/ Ai — At-H t«, — ^)St g, — -ff

Ml— ^«+(«1—^1 o,— '^

7.

»od Itieraus

8. U. =

— (*. -^) K -gt) -(^ -g.) («.-><)

oder

_ M*i-'S»)-«^</'i-/'»)-(^i

• f;T.-i),M

9.

_ a,ß,—i,)-o,(ß,-ß,)-{i,~b^)U + iß,~fi,U .
oder, w«nD der Kurze ^'egen

r. =«!<'» — «|Ol, ^1=«1— »S) »l = — («1— «■)»

U. /, = «,«,— «,a,, <J,=ff,— Ä„ «, = — {«,—«.)(
g«setit wird,

«riiait.

19 ;« _ x-,+j,a-t-/ <,.j

139

Diese drei Gletchun^n bringt man ähor leiclit aaf die Form

und wird nun, wenn innn ans äfnaitlben Ah: (irÖti»en /t und 91 eü-
minirt. die bluKä die i>ine uiibckannlc (■riist>e 2, cnlhultcudit Knd-
gleicliuflg crlinltifii.

tm dirsc* Kliiutitatiou mit □iÖ|2:licbster Lcicliti^kcit ausiufiiliren,
wolleu wir die drei vorliergelieixien (jlcicliunceu nacli dvr Rvilie
mit don drei unbk'stiintn)<*ii Fiiktorcn /^,,-^,, /^, iniiltiidiciren, uod
dieselben dann zu »nandcr addircn, wadurcli wir die (ikicliung

«rliBltRD, und wolli^n nun die unlicslimiuten Faktoren jP,, ^,, ^,

HO bubtiaimcn, duüs äic üeu bcidcu UleicLuug'CU

ffpniip^fn. Eljminirt man zuerst /*«, dann /*, ; so erliilt man dio
Leiden Clcicljiingvn

= j(X.. — iJ.Ä.) (/*, — «,»,) — (a.,—<J,a|) (^.— «,a,)i^„

= J(3-, — J.*i) t^. - f.s.) — (Aa - ^.».) (P, — «.*iJ|/'.I
und kann »Iso uOeubur

^,=(X,— (F,S,) (Ml— «»».) — (l. — f^a»!) (/'.— «sSl)!

^, = (At— (?,»,) (/*,— <,Si) — (i,— <V,«.) (m,— *,*,),

-^. — (i, — <5.».) (^1 — c.«,)— (li— ^.»,) (^,-«i*i)

««(zen, tvodnrrb man oun ia Verbindung mit dem Obigen unmitl«!-
bar zu der fülg^enden, bloss die eine uubektinntc Grii^ae s, ftnt-
baltendcn Glcicbiiiig gelangt;

14. (}={/r,-y,x,) |(J.,— <y.*.) (m.— e,*,)-(^.-^>*.) 0*.-*.».)!

-H*,-^>-fi.) l(ii-<J.».) (>*.—'.*. )-(i.-<»,».) {#*.-*.».)!

-H*,— /,*,) 1(^.9— J.a.) (/*,—(,*,)— (^1—^.3.) (f*.— ea»i)!.

nit deren weiterer Enlwickelun^ wir uns jetzt bescliäftigen trollen.
Zuerst erhält mao nbne Schwierigkeit

0=(*.-y.3,)

^.Fi—Kt^f

140

welfihcjt oflrptibar eine Gleicbang des dritten Gradot ist, in der «,'
den CoefScicutcD

oder

bat. Diesen Cocrfici«ii1«n wollen wir uuD etwa« naher betrsclitfi,]
noclidctii wir ibn zuvrirderst auf die. Form

gebracht b^beD. Nach 11. ist

=—(«!-«.) f(ai«.—»i«,)(«'i— «.)—(«■«*— «ia«)(«t-'«iR

— (Oi— «i) l(«t". — ff<«4) («,—«,)— («,»,— ff, a,) (*.— a,)|

—(".—«*) K«."»— «.oOC«.—»!)— («.«,—«.«.)(«.— «»»)l

= — w,{a, — u,) )«,("* — ",)H-»,(b, —«.) + «.(«, —a,)l

=— «iO,l(o.-ö.) (o4-«.)-+-(«i-«i) («>-«*)+(«i-«*) («1-«.)!.

wo mao Dun diircb leicbte Rcctiuung' findet, duss di« letxte GrÖsn
verKcbwindet, upd l'uljflicli, wpuii iniiii ;tugleich d«it bicr betnichle*
ten Cot^fBcienteD noch tint' andere Weise auAdriickt,

ist.

iliersQs «rg'iebt sieb also das wichtige Resaltat, das« die olea
gefundi^üK, uur die eine uabekannle Grösse x, enthaltende i^DiI-
IrleicIiaiiQ; nicht rom dritten, sundcrn bloss vom zivriten Grade i>t.
Entn-ickflt man nun diese Gleichuuo^ geborig, so erhält dieselbfli
wenn der Kürte wegen

15.

/, =^ai»i — ^if*». g» =(^.i«. — <'i/»»i

wird, die fol)i;ende Gestalt:

J,«,

cJ.c.

141

Bex«ic|iaen wir dip drei CoeAicicnten dieser lileicliung durcb
£, iV, J^> und BcUen alsu

17. U=A— J/s,-4-A3,',

so erhnlten wir tiacb dpr in dPia Aiir«(((zc III. S. 1%, «nlwickelten
AuO<»tiiitr»imrt)iitil4' drr tjundritliiirlK^n OI<rirlinii^<>n xur Kcrvcftnuaff
der beiden Wurzeln der utiif;L'n GleicIiUii!; die folgenden Kiirmeln:

>F4nilft sieb mitirt.sl der zneicrn dieser Forincln der altsnlutc Werth
ron ras ijc — ^j) irrüHüer als diu Kiiilteit, su liAt die <>leirliURE^ 17.
zwei iiBKviuärt- Uiirzelii, und die Aiifffube ist ulso uuitiÜLiIiuli; in
jeden andern Fiille IihI die in Rede stellende (lieicliunu; ^ewei reelle
nuncin, und die Anfj^ube int im Allgemeine» zweier AuUusun-
^eu fäbi^.

Hut man »^ ß^efnnden, sn erj^ebrn sirh ^ und H mittelst der
folgenden, loielit uns den Gleicliuugen 13. zu erbulteiiden Ausdriir-ke:

19. (^ =

nod

39.

(^'i— y.»i) fi"»-'2»i)-(^-»— /asj </ ^ t— *.ai)

(A-. — y,=.) f/i,— «,= ,^— U,— y.»,) <ji,— <3a.)

. f*'*— y*».) i*!"!— *i^0— <^\"yi=«.i i^.—^i«.)

Die GroBtten ß und 83 erhält dud duun endlich mitteUt der
•"ormeln

21. /f = *,-t.(o.—^J*„ Sö = i9, +(«,-«),,.
l<Die CoonlinatCD s,, «,, »« erhält mau mitLelst der Formeln

a,— j — «,, — a'

&.-g „ _ <*, -g
«,-J — «, — ä'

22. (». = -

142

jr„ «„ jtt, JFt "^ yi. jr.« yj. y. w«H«

BoJmli irt nun uD»«n Aufgabe rvtlslüJtg anfti^löst. Dm'
Aarfh« ■*b«iäwa»t w«-nl«B mdu, wraa die «irr g«art»ft)rn gen*
4c« tJaäca u ciDcr BbcBe lic^n, fällt »«ffleicb ip die AugeD.

M«a laBO «-»B die»w Aiif|r«k<> «ise ABwrndoDg uir annübrni«
4tm BexiasaBg' irr CoBripnbaboPo BBCkca, worfibar wir our
«■K ift Act Kinte F»lifesde« beMcrfccB intllcm.

ttt» Ididpmkt dvr SoBoe wollca wir als dvn ADTcBg einn
W c fc t wiBUtye» (.'••rdioat«D.\tsleBis der jt, y, s sotirbBieD. Die
ITliiir d«r KLIifitik wi dir Klien« dpr .ry, und d«r pusilivp Tlinl
4cr Ab« dcf ^ «oU v«at Mitt«l|iUBk(e «Irr Sann« asc)i dem Frub>
fagifiiBtlr kta^eriehtet mib; d«B ptfülivm Tbril der Axe d«r y
f tirii wir Mt Bo. da» nan sicli. on von dei» pasitivcn Thcile
4tt Axr der ar bb darch den rerlitea Wlokrl {j^ff) liindurcb a
4eB po»ili>en Thrile der Axc der y xd aelaai^en. gaaz nack der*
Mfbca niclilnng liin beweiceD nuss, nach wHrber Ton dem pusiti-
T<ni Tbrile der \xe A*r jt ho ilir ItptioreDtriacben LinCeo ijr^no^
M«a werd^Q: den positirea Tlieil der Ase der s behne-rt wir enil-
licfa Bnf d^r nordltriieD SeiCe der l-ibeBe der Kiliptik d i. der Übe db
der :ry an. Ferner legen wir 2U einer bestiniaitrn Zeit durcli dtn
Hittelpanki der Erde ein dem Siitenc der arys paniileics Courdi-
Dalenüjstem der jr,y,x,, Bezeicbnen düon für die&e Zeit u, ß uai
f RSMctive die gFafentriAch« l^ng« unil Breite eine» Con^tea
■■4 dcaaea soEr'nanote rurtirtc HDiferaUDi; vom >littcl|iUQktfi lUr
Erde; ha »ind ofTenbAr in T<)llii^er Altireoipioboit ^ cos a, q sin «,

ftanc ß die Cüurdinalen des <'<i(npten in dm ^ystpine iter ;^tff^s^.
Vir. fileicbiinf|;CD der von dem Mirtcljuiuktc der Krdß naeh dei
Comcieo gezogeaea geradea Lioie im Systeme der x,yia, babeo
die Form

■*^. = -'*i, y. =Ä»,.

Bod f« int folglicli nach den Voriiergvbenden

Q cos a ^ jIq tang ß^ ^ sin a ^ ffg tang ß,
•Im

J^cos » col ß, ß^»\ii « cot ß,

Folglicb sind die Gleirhuniten der vom Mittetpanktv der Rrde ZMA\
den Cometen gezogenen geraden Linie im Stulene der ^,y,jlf,

23. dr, ^x, eos « cot ß, y, =:s, sin « cot ß.

Bezeichnet & die geocentrlsclic f/än}*e der Sonne nnd A derei'j
Enlt'rrnung von der Knie zn der in Rode stehenden Zeit, so <ia^
oflTpnb^r in tÜlligL-r Allu'i'ineinhrit /l rns O, li s\t\ O die Coordi«
naten der Sonne im ST»ti'iiie der ^,y,s,. wubei »icb mu selM
rerülekt, da»» die drille i'uordinute dt-r Nnll cleicti gesetzt wird.
Also lint in»n naeb der F^hre van der Verwandlung der ('uardiun*
ten zn-iscbcn den Citordiuatcn eines und desselben Punktes in dtfl<(
Systemen der .vjfli und a^,y^x^ die ClctctiiingCD

.r, ^/t eos 0H-;r, y, = /( sin + y, »t ^*
oder

*^d?, — Ä cog 0, y-^y^ — R sin 0, ji^Si,

und die Gleicliungea der von dem AliUelpuakte der £rde Dsch dcail

143

imetea g:czosotivn f^^entden Linie in Systeme der ;rys sind also
lacb den forbrrgcbeiiden

a:-\' K coB S = x cos a cot j?, y-{-Ji biq @ = x sin a cot fi

tdcr

t. x=x cos a cot JT — /t CDS (9, y^s Bin a cot J7 — Jf sin 0.

Tlnt man tiuu vier aus Ri-iibachtun^en nli^eleitete s^eoccntrische
iDffcn und Uicitpu «. a", a", u"' und /?. ^, (1", ß''' eine« Omfien;
so Kennt man die Ijige v»n vier von dem Mittelpunkte der Erdo
nucli de« Cuiueteu gezogenen geriiden [Jnii*n, deren l^lrirlnin^en,
VCDD die enlsiirechenden seureurri^cjien Liinifen und Eiili'crMunsrpn
(er Snanv von di-r F:nle ilnrch 0, O", 0'\ &'' und Jt, Jü, /C, Jtf"
beEeicIiiiet wtrden. Ditcli 24.

' iv:=x cos a cot ß—H cos 0, y=* Bill a cot ß — Jt sin 0;

1^7=« cOBo'eot jS'— Ä'cos©', y=* sia a' cot /y— Ä'sia 0";

I ^=3 cos tt" cot /¥"—/(" ctfs 0", ^=s sin u" cot /T-^Ä" ain 0^;

; cos«"' cot ß'''-A'" cas&", y=^ siii «"' cot jS"'— Ä™ «in©"'

lind. Wenn nun die Zwiäcbenzelten zwischen den Bvobaclitungen
■ ur klein aind, tin kiinn man dun Stück der ('umvU'ubaliD, uuf
welebes »leb dieselben loziebfu, uälierungawetac nis eine gerade
Linie betnirblen, und wird scinR''LagR elTenliiir nacb der oben auf-
gelüsten Aufgubc boätiiinuii'u kennen, wenn man

«, = cos a cot ß, 6, ^ — Ä cos 0;

ff, = cos «■ c«t ß", Ä, = — Ä" cos &i

I #», = cos «" cot fr, A, = — Ä" COB 0';

[ «, = eoa B« cot /r, //, = — Ä^' cos 0";

S6.

27.

u, =sin (c cat |9, ^i ^ — A sin 0;

ti, = sin a' cot ß\ ßa = — Ä* «in 0';

|a. — sin «" cot /S", ß^ = — n" sin 0";

L-ot /S"'. ß* = —Ji"' aiu 0'"

ja, msin «" CO

[ö, = 8iu «'" et

älit. Freilich ober wird in jcifem Falle eine besondere Benrthei-

ing niilbiji; sein, vcl4.'be Würzet der quudratisebco Gleichung, auf

reiche die n\i\s;p Aiityiibe fübrt, inrin zu nehmen bat. Weil die

Ebene der Cumetenbiiliu durcEi den MiUeljMinki: der iiiutinc geht, so

wird man nun oilenbur auch deren Lage bestimmea, und liiernus

femer dir Haoinitlicben Kiemente der CtjnietCnbubn finden könoenj

Jirie in drr Aslronnmie ausfiibrlirb gezeigt tvird.

■ Olbers nrtbcik in »einer Abhandlung über die leichteste

B nd bequemste Mellindfi die Kulm ein es r»raeleu nun

Bi i n i g e o K e o b u <: li t H ti ET e n k u b c re c b n c u. VV c i m « r. 1797.

W. '27 über die vorige Metbude, die 4'fimetei)bahiieu zu Lerechneu,

aaf fol^pnde Art: ,,WeiMi die vier gegebenen geraden Linien nicht

io einer Kbene liegen, so i»t die Luge ein^-r fünften, die vüii ntlen

vieren gf-acfmitteo werden .<ioll, an sieb besliumt^ ohne iiuf die

Vertiältuiäiw der Abgcbnitte zu sebon. Man künnta also bloss mit

144

der Voranme'lxtitig-, tinitc <lua Stück d«r Cometeababn xtrisi^beD fleit
Tif^r npoliaclilunifcii gerade sei, aiiiircidien, abse auch die gleicb-
fürniitce Go.st'liwindie^lifit aniitiii-hmcn, wi^nn toan die ilrriha mit in
Bftrnrlitutifi^zichcD Mollte. DicLatct iJicitvr tuüftcu iccr:i<leii Linie wird
inilcb» iticlit duri'U ejpe liDearisciK!, sunileru dtircli eine fileicliUBg'
des acbteii O'radcs und eine zir-oilicli verwickelte Fornn'l (gefunden
werden. Auch würdirn hei diuser AiififuW iihiilirh« ICiunrhräiikiin-
ffen wie bei der Boiitfurrsclirn Statt lioden, ob Dinn gleich snnst
ticl wrilrr damit reichen nun)«?. Denn lUe (ifscUjirimlis^W^t^xl! des
Coinctcii ist gcrndc dann am uog-leicbfurmi^äleii. wenn »eine Be<
wcf^uDg; ijK'h iim in<^hr»ivn diir c;prudpti Linie nühert, und umge-
kehrt.'' Wie Dlbcre za der Meinung kummt. iJuss die {^rude
Kiuie, welche die vier Ton der Erde nach dem Cooeten g'exoge-
iien gt^radvii Linien schneidet, durcb ein« (>leicbiini( des achten
GradtrH beolimnit werde, int nicht ahziisehen, indem wir virvlnebr
nus dem Obicen wissen, das^ die Lage dieser geraden Linie blosi
durch eine (iletekuag vitn xwcilen Grade bealiomt vinL

XXII.

Die verschiedenen Auflösungen des Stenisdniup-
pcn- Problems, aus einem allgemeinen Gesichts-
pimkte dargestellt.

Von

dem IIer»asg:cbcr.

(Diese Abhandlung bat, wie sebou ihr Titel andealet, d«ii
Zweck, die vprschiedcnen Ansichten, nach denen man bis jetzt tUl
SternschnUft|iei).|'r»hiem liehnndeK hnt. den l^ekorn dex Arrhiia ia
einem zuna m tue nh anwenden uud s^steinnti sehen tinnzen vor die
Augen zu führen nnit unter einem ^emeinscbnftliehen tleHirbt.tfmDkle
darzlUilcllen. SpaieHiin wt^rdeii iiu.'^tiihrlirhc und vnllstindipe Rcia*
lionen über die iieuet^ten wieLiiguii Arbeiieu tun Ue»Kvl, Er-
man und »Rdern Mallicinnlikern und IMitsikem uarht'olgen , um in
dem Archive Aliex Hiit'zuhew<ihren. ymn «her den in Rede «trlipn-
den wiclitigen und intereiuanlc» fäegenalcud der Pbr^ik in theoreti-
scher Riirbsicht gearbeitet worden i»t und nöcb gearbeitet wer-
den wird.)

*■ '•

Es liegt in de« Zwecke dieser ZeitRobrift, auch rolUliindii^j

Darstellongeo der Tentcbicdencn Auflösungen oder Beweise, weld*

145

I

I

für besonders wichtige rrgbleme oder Tbeorcme gegeben wordcD
»ind. zu licriTD. Da nun zu den l'riililemeu d«r m'lbvniatischua
PbvKikf welch« (iiui Interesse drr fle^cnnart gaoz vorzüirli<;li in Aii-
»prucb ncliiflcn, mit H(.-chl tla^ Mi.'riisclinu|»pGii- t'roblcni ircliört. na
glaube ich den Lesorn dicstrr Zfinn-brifl rini-n ntifrcncbmen Dlrast
zu l^i^ti-n. n'ttiin icli vcr^ai'be, in diesem Autisatzn eine viilliitäniliGi^fi
I>:irstclluiiif der verscliicdi^uvn Auilüsungen, wektie flir dirsed wirli-
tiice und intcrcssünte Prui>ltriD gvitebeu worden sind, in der Art lU
liefern, dii>s i<-b mich broiiilK-n untd«, iille diotie AuflÜMiitgeii auü
ciDij;C^n alltieDieineii (iriiud(urni(^lit »bz-uleilen.

t>bcr die An, »ii*. SteriiMiliiitip|ien bcoliaclilet wtrJeii, sehickfi
ich, nm d;i« Vcrstolion ilcr analyliscliPn bdlwickrluDi^ra, welrbe
den Hnuptpcfrcnitland dieses AiitVatzex Jiaitindcbpn, zu crlcicbtern,
liier die tiilsienden kurzvn liumvrkunj^i^n roruuä. Jeder Hri>bac:hlcr
itJ nit einer nucb der Z«it seines Beubacblaiiiiiwru i^ebtudea tbr
und oiit einer Sternkarte verHeheD. An der Cbr beobucbtet er die
>£eit des t^rse keinen» einer StirnnCrbnuiipe, wo initfiflicb die beiden
genauen Zeitinomenie des l-jitatcbens und Erlris<:iien« dersellifii,
und auf der ^ternkarle zeiebnet er mit einem Blciatit>c no t^cnnu
als irgend niii^licb dan giuizen Weg der Stcrnscbuiippe von »einein
Anf:infft^punkle bis xu Keiueui Ciidpuiikle, indem er zuglcicb durch
eineu Pteil oder ein anderes piüiseadeit Zeichrn die Riclituiig 911-
^eblt oacb welcber »icli die Nlernxrlinn|ipe brwi-gle. Au« der
fcilerokurte kunn nmn nnrhbrr die wiibrcn, A, b. auf den Mittel-
punkt der Eid« bezogenen RectasceosioBen und Dei-Iimilionen der
Funkte des Himmels nebniPii, in denen die Sternscbnnpikfl dem Ite-
oburlilcr zu rnistrben und zu crliiaclitn scbieu, und but tinf dieüe
M'eise nnn, wii^ im Tulgeuden guzci|xt werden wird, nlle Data,
velcbe nulbig äitid, uni durcb f'iimbiti^iliou au niebrercn Orten, de-
ren geOjj[r-i|'riit>(-be l'uxiliiMirn bckiintil tttiid, niig-i-nlelller BeoLicb-
lungen dieser Art die Uabnen der ^ite^osr^^u|l[le» liextimmen zu
köuiiL'u, insofern pü nämücb verstattct ist, diesrlbcn wäbrcnd dwr
iu allen FiilleD immer nur t^cbr kurzen Duner der Sichtbarkeit der
SternacliDuppen aU gerade Linien la bclrachteo.

«. -2.

Znerst wollen wir jettt die Gleicbungen der von einem Bcob-
mchtungsorle micb einrm beoharblrton Punkte der Bübo eiucr
SternHclinuppe gnogmen Ccsifblsltnlc colwirknln,

Zu dem Rüde nehmen wir, um die grüsstc Allgemeinheit zu
crreirlien , den >litle[|iunk.t der Sonne als den Anfang eines
recbLninkligeu Cvordiuiilensvittcms der ^'y^s uu. Die b^tiene der
£kiiptik sei die Khone der .ry. Die vuu dem >lilte)pank(e der
Cinnne nach dem l-'riililingflpiinkle gexiiicene gcrnde Linie sei
dpr pnsilivc TbcÜ der A\c drr.r. Der positive Tbeil der .\\tt der
^ «verde so angenoiuincn, dnss man hicIi, um von dem posiiirea
n!*beilr der Axe ar dnreli deu rccldleu Winkel (.r^) bindiircli zu dein
ptiüitiven Tbeile der Axe der y zu gelaogeu, uacb derselben l^icli-
lung bia bewegen niuss, imcli weldier von dem positiven 'rbctlo
der Axc der a^ an die licliucentrincben Längen von U bis 360" ge-
xäblt werden. Der poailive Tbeil der Axc der js liege xuf der
Seite der Elienn der .Tt/, uuf welcher die positiven beliucentrisclicn
Breiten g<>nouniieu werden.

Feruur ncbmeo wir den SlitC^lpunkt der £rde als den Anfang
Thra 1. 10

etDes rccbtn-inkli^n ConrdinaletiHvstptns der .v, y, n, on. Oic
Ebene des Ae«iuii(ors »ei dip Ebene der vr,y,. Der (loisitiT«" Theil
der Ai« tifr ^, ttei von d?ui Witlrijxiiiklo der Erde nach itm
Frülilitigflpunkt«? bin c^riditet. JKt poHitiv« Tbeil dtr Axft «Irr y,
werde «o angoiiomm^^n, dn«is mnn üiri, um vnn drm [losilirrfl Tlinlc
d*r Axe Avr .»:, durrb den trcbten Winkel (.r-,y,) biiiHurrh xa
dKm (lositivea Tbt-ilc Act Axc der y, zu ^clanei-ii, nach dt^rsHbcD
Richtung bin benegcn muss, nach »i-lcber roo dem »ositiveo TheÜe
der Axo der jc, an üiv Kccliiüi'CDKioiien tou U bis StiÜ" u^czäblc
verdcu. Der positive Tlieil der Axe der x, lieve'aof der Seite
der Kb^ne der x,y,, auf welcher die positiven ßecliuutionen ^-
Doninf^n werden.

Kndliob Ir^e man durcb den Miltelpnnkt der l^rde ein den
Systene der ,7y/s iinrnlletes Connfinntensy^iteRi der ^i;^.

Diu dem Alutnctit der Iteobucbtuii^ enlxprecbi-nde ii;eocentri«cbe
Lünofe der Nonne und deren ßnlfernan^r von 3littel]>iinkle der Krde,
veicb« Ulis den »»IronontiHvben Tufeln oder den Kpbomeriitrii zU
neboien sind. Aeicii ^ und (t; <t<> erbellet miltelst eiiipr aebr einfat^hen
Belracbttin^, ^usa allt^T'Oiein J.drl^" die dem Moment der Iteobnch-
liing eats|irecbende beliticenlriüebe LHn^ der Krde tat, and folglich

Q CO» (iitlSl)'»), d Bin (ÜlSO"), t)
oder

— Q CO» X, ^ Q sin X,

die dem Slonent der Iteobarbtuiig eals|)reeh enden Caordinalon
de» Mittel |rti 11 kts der Erde in dem Sysleme der ^m sind.

Dftkcr bat oian nacb der l^bte von der l erwiindltin^ der
Coordiniiten xwiscben den Cuordinaten der beiden Ny^tenie der
XffH lind |i;C die folo^endcn ganz ntlgeinein e;ültigco Gieiehnn^nr

1. a- = — 1? CO« A-4-?, y = — ^ KID Ä + q, a^C

oder

2. ^^=Q CO« i-h^, >? = ? sin Ä + j', 5^s.

Brzciclincn wir nun die Schiefe der Eklifitik durcb <9; so ist,
leicbt erbcilcn wird, allgemein

(t:^i) = 90«, (iiy,) = 0, (ij»,)=90»-öi

und nach den bekannten Formeln der I.ebrc ton der Vonrandli
der Courdiuuteu bat man nis» znifcbeii den Cuordiniilen der Sv-
Bleme der ^,y,ji, uud ^»it die ftilgitndea Gleidiungcu:

3. ^^y, cos 0-4-»t siD 0,
£= — yi siB 0*4- a, C08 0j

oder ungekebrl:

1^1 — s» •

jy, ^ i; C08 — C sio 0,

[«, =5 sia 0+C coa 0.

147

IMfM hat nmi unch l. und 3. zwisctt^n den CrfortHnnteit der Systeme
}<ler ^y» lunl ^,y,3(, die folgisndcti Cleicliuuseo:

far^^ — tf cos A-t-a-,,

5. (y=r— g siD i.H-y, cos ©+.», un 0,

'* = — y, sin 0-t-Ji, cgs 0(

odw, wie Bpn tiieraus leicht findet, ungekelirt;

K fa?, =(? cos l-t- .«:.

^^^ 6. ? y, =p sin A co» ©H-y cos — x siD 0,

^^y ( ji, =(i sin 3. lin + y sin 0-f-x cqb 0.

Der nnrli dem Bciiliucbtuugsort« ^zogene Rrdrailius und die geo-
ccntrisi-be Itreiie dva Ueubachtangaorts svieu r und 5p, uod 3' sei
die Sternzvit der Bcobuclilung ; mt sind

K r CO» (jp CU8 15 y,

^^^^ r Com ip iiiu 15 7\

P^p r Hin 91

die Coordinalen dcx KenlinclituiigxArtM im Mntnent der Beobscbtung
L_ ia de» Njsteme der x,yiJi>,. Also »ind nach 5.

B — f coa l-f-r ea« y cos 15 T",

^^^K ^9 «in X + r (sin «in 9>+cob cos 91 Hin 13 T)

^^^^ ' r (cos © EiB qc — sin eoi y ain IS 7*)

■ iic C<»t>nliii«teu dejt BroLuchlUHgaorts in Alometil: der Beubaclituiig
B im S>»ti-iitf ilcr .r:i/s.

m l^urch dtMi Ueuhachhinixsort legen wir nun ein dem STsteme

der ^,f/,s, ]>iir:illrl<^4 ('norilinnt<'näV><tem der ■t^iya^^; so ist nach
^ der Lehre von der Verwandlung der Courdlnalen nllgcnem

H 7. j y, = r CO« 5p biu 1 5 TH- y»,

P^ ( s , = r KID 5P + »a>

Die ReetuscOnsion niid Decliimtioti dr« l^ohnchlctcn Piiokt«K der

Buhn der Sternschnupjii* s«icn « und rf; so ist, trenn wir die ("oor-

t dinaten eines lieliebigcii l'aiikles in der von dem KcoLochtungsottc

K noch dt'm her>b.iclitel<;ii Punkte der Buhn der titer nach n 11 [ipc gezo-

^ geaen GeEichtKliuie in dem Nrsteine der x^y^s^ durch m, '», k,

und die Eutferuuug dieses iSinkfes ron dein Beubacbtungäorte

dnrch * hezeichooo,

m = < cos u COB dy
u = ■ ün a cos <(,
/• ^ i sin 3\

wobei min nur nicht au übersehen hat, dass die in Rede stehende
Gesichtsliuic ilud die vwni MiHel(iunkte der Krde nach dem Punkte,
in «elcheui die Stern sehn ufific dcia ßeobnrliler atu Uiaimel eracliieu,
sU pnriülcl zu belrtchtco sind. Sind nun

a?, = «Ä„ y, = .V*,

10"

148

die GkirliuDgcn der m Rede stebendeo GesicbtsÜBie io dem S;rBfei
der ■x^j/tX,; so i&t

* cos a tot 6z:^i M sin i, i bId a cos 6^ i A' sin J,

UDd folglich

JU^eot a cot ^, A^siiB a cat 4.

Also ülnd

S, jTg^s, cAs a cot 3t y^^Xt sin a cot if

die Gleichuni^D drir van d«n Keobachtungsorte nucli dorn beobi
teU'ti Vuaktp. der Kalia ilur StoriiS4;hnu{i|)C ^CKOi^fiicn Gusiclilslinle
in ileui Syiileue der .f,y,js,. uod mittelst der Gkicbuogeu 7. vr-J
giebt sieb uuii ferner leicht, da&s

1«, — r MS f c«8 13 7'=(«, — r sin y) cos a cot <J,

9.

y, — r cos €p sin 15 7';=:{a, — r sin y) sin « cot J

oder
10.

I o^, = », CO» « cot <J + r fcos 5> cot 15 T — cob a cot 6 sin p),
I y, :^3, gin a cot rfH-r (cos f sin 15 7* — Bin o cot iJ sinf)

die Gleicbungen der von dem Beobscbdiogvorl« D»rb deio beobncb
IClPD Pubktc der BiiiiD iIlt Slcrns<:litiu{iiie ^«zogcuCD G'csicliliiiinje
in dem Systeme der .r,y,Ä, sind,
^'ocb 6. und !). ainil

Q CO» 3. — r CO» y CO» 15 T+ar

= ((> sin }. sin© — r sin gH-y nin 0-f-x co8 0) cosa cot^,

1(5 sin X cos — r cos y sin 35 jTH-y cos — * sio Ö

r=: {q sin 7. sin — r s!n ^-f-y sin ^-f-s cos &) am a tAXA

die Ctfichunfferi d^r von dem Ueobnclitungvorl« nuch dem beobacb*
tCIco l'niiktc der Uabii der SlerDscbnuj>|rt gezogenen Gesiclitslioie
in dem SvdtcBie der -rys.

I!m diese Gleiebanaen oocb anders nnüKudrücken, seien f, g, k
und y,, ^,, A, die Cnordinuten des BeDbuebtrinc^orte!! und de«
beobocbteten Funkten iu der Uubo der hternscbnuppB in dem Sy
Hlenie dor wyx, und

seien die Gleicbungen der durcb die beiden in Rede stcbcodcn
Punkte besliiamlen GeaicbtKlinie; so i«t

und folglich

und

lio

149

12

N«:b den Obigen i«t
/"= — p CO» il-l-r coB y CO« 15 7*,

^^ — 9 Bio XH-r(sin sin y+cwa cos y ifin 15 7*),
A=s r(co8 & &\D (p — iiQ & cos y> sio 15 7*).

Ferner ist, weuu jetzt wieder i die Entreroung des beobachte-
ten Punkte» der tiabn der Stieriii>cboup(>e vou dem Bcobuclituugs-
orte liei<^i<-liiiet, iiiich 5. und 7.

y, = — ^ CO» X-i-r roB (p ros 13 7*+ # co» a cos (J,
j*! =£ — Q Eiu il-l-r(sin 9 sin ^i + cus O cos ^ sia 13 T)

4- J(Bin fe> niD (Jh-coh sin u cos rf),
^, = r{cQS & sin {p — Bin & coh r^ sin 15 T)

-|- #(co3 sin ä — sio siu « co» ij);
d< i.

y, rzi/'-h I cos a cos J,
' ^,=:^-f-( (siu Bin J+co!> siD a.coa ^,
A, ^^ + J (cos sin cT — sin sin u cqb d).
Folglich sind oiicb dem Obigen

y+p sin J, — /-(sin sin y-J-cns cos y sin 15 T)

»in ** «in (T-|-cos ^ «in « r.vx tf , , , i • ««

= ; l-aM-P CO« X—r cos w cos 15 71,

OS et cos rf \ ■ 5 »^ "

% — r(fos sin tp — sin cos y ain 15 7')

C"»ö »incf — sinft sin« ros J , , ' ,- ~«

= 1; [ic-hp COS Ä— r cos y cos l3 7 )

cos H COS tf ' ■" ' '

ilie Gleichungen dor ran rirra Rrolinrbiungsorln nucli dem beubucb-
leten Putittte der Bahn der Slerat(cbDUi>{iu gexogenen <jlcsicbtslinie
in dem Systeme der o-'i/z.

Diese Gleicbuogen sind aucb

und foJglirb nach dem Obigen

•^+■9 cos X — r cos y cos 15 T

(.•0.1 « cos (f , , ^ • .jTi •imni

; -r—- — : 77-- ilx — ^i-lcosWaino»— sin0cos7iSinl57TI

cosSsinJ— inn**siH«coit{f ' ^ ' y Ji

*'•^ y-hp sin i. — r{aia & sin y-l-f!«^* ® CO« (f> sin 13 T)

^ill W»iiiif-+.cfvxSsiii((i'rnnr i rt ■ ■ f\ . (.«m

cftKWäJinJ— -Sin wstnttcustf ' '^ ■* ' "

Setit nt«n der Kürze '«'cgen

^^^cns a cos <J,

i/r = Kin siu (f-f-cns & sin u cos J,

^7=^ cos sin d — sin mu u cos d,

\j4j ^cos y cos 15 7',

(/?, =Hiu siii yH-cos cos 5|> sio 15 T,

, <7^ = cos sin jp — sin cos y sta 15 T;

Il

150

M werden die Gleichungen 13.

iii and M ■■m^

B Bf

und w«nn mtin die Hiilffiwiukel ^, ^, nlttelsl: der Formela
10. taug y = aia o cot Jj tanj^ i^, ^sia 15 T cot y

berechnet; bü li.it man für die Crösseii ^, jff, C^ J,, ß,i Cf '

fulgeuilea Ausdrücke:

lA =caa a cos 3,

„ »in J Bin (Q-nf.)

~~ cos ^1> '

,^ __ ain (f TOM [en- M-)
w, = coÄ ^ <osi 15 r,

„ sin y »in (9-t-V'))

T'— coiv,

f, sin y. ciw (9 + »,)

l*'' — CO* ^^.

«.3.

Wir "wollGn jetzt die BediDguiif[i«fi;|piciiUD(^ uitfüurli^n, wcicbe
eTOilU «ciu muis, veoa tvsei «us vcrücliiedRoeueu Uvobttcliiuag^titr-
leo nach Woliecliteteo 8tnra5cI(nu|»|H;ii [^«logeae Gesiebt ülinlcn eich
itclmeiilen soIIl'h.

Nach den GlFicliungco tl. iin vorigen ParngrapheD baWn die
QleicbuDgcn der beiden in Rede stehenden GesiclitsliDicD im Allg«-
meinen die l'olgeDde t'urm:

Q coü X — r eoi y coa 15 r-f-.r

=:(5 >ia X sio O — r sin yH-y sin ©-I-» cos 0) co» a cut i^
1f mk eoi — r cos f a\a lä T+y cos & — s sio

= {q üuX ain d — r ein 9P+y siu @~f-a cos &) »In « cnt S
and
^, ww Ä, — r, cos 5p, cos 15 7*, -I-*

=:(p, »in X, üinÖ— f, sin9;,+sf sin&-t-M con&) cos et, co(^„
p, t!o X, eos 0— r, coa y, sio 15 r,-t-y cus 0—a sin

^(d, sin^i sin0 — f, sin y,H-:^ ainO-t-x cosO) »o«, cot J,.

Elioiinirt man dub atw diesen vier niei«hiin!ren die drei Grüsseo
,v, y. 2< tn wird mau <ifri.-iibor die ^cburbie Uedini(UDgF|^teicbung'
frliititen. Zieht mnn aber die driu« Gleichung' von der •rnilvn. die

jAwte vOD der zweiten nb, so erliilt msa bach einigen leicliten Re-

'ilarlioDea die beiden folgenden GiciebuDf;««:

15]

ff CDS i — 9, CM A, — (r tun y cim 15 T—r, c<u y, cob 15 T,)
'- f(> siu A siD — r sin y^J cua a cul d

+ ((i üa X, sin 0— r, itln ^i) cos a^ cot J|
:^ (coa a cot J — ro« a, cat ^,) (y üin 0-^» cvx 0),
(p iin ?. — p, siu A,) CO80 — (r cos 90 sia 15 T — r, cosy, sin 15 T^)

— {q lin A Bin & — T lin 9) «n u cai 3

^-(^^ sin A, sin S — Px sin y,) sia a, cot ^,

^ fsiti M tut J — »in n, cot d,) (y sto © + a «oa &),

Ans difsrn beiilcii Clctcbunr^rn kaiin mau nun sehr IcictiC die Grosso
y sin 6>-(-3 cna fr' climiiiirpn^ tun] erbüll nacli vioigcn leichten
nedaclioncn die folgende Uirichunj;:

18. 0=:J(p sin A — ß, »in A,) sin Q — (r »in if — r, sid y,)|

siu (a — «,) cot d cot J,

— |(p eos X — p, cos A,) sin tt — fp siu A — p, «in A,) cos a cos

— r cos y siu (« — J5 7'J + r, co» y, sin (ot — 15 jTi)} cut «J
-t- ](ß cos A — p, cos A,) »in K, — (g siu A — q^ iin A,) «m u^ cos

— r cosy sio <«, — 15 Tj-^-r, eu« y, sin (a, — läT,)} cot rf,,

irelclip. A\f tr<'!>uclile itcdiii|{iiDi^gl*-icIiun{( ist. Ufingt ninn alle dif)
ceot'«ntriscKon Brfileu y untl yi, dfr beiden Ucubcirlitiiiit^surlc tut-
bnUrndin Ülifdcr iinf fine Srite, so niumt die umstellende Glci-
cäuog fälgenilc (■«sink un:

19. (p coti A — p, cos A|) [sin u cot J — mu a, cot 1^,)

— (p siu A — p, sin A,) jros (cos a cot <f — eos a, cot d',)

-l-sin 0, sin (u — «,) col «J cot rf,j
= r cos y {sin («— 15 T) cot J— sin («, —15 T) cot rf,i
— r, cosy, (Bin (« — 15 7",) cot J — sin («, — 15 7*,) cot d, j

— (r Hill y — r, sin t/i,) xin (a — «,) rot «I eot (J,.

Nocli etna» cintHcber kann Bitin die bvideu vorliergelicudea
Gleicbnngen iiuler dvr fulgciidt-ti Cici^tült diinstKlku:

30, 0=::I(pBin A— p, sin A,) 8in0~(/' siny— r, sinyj| sin(o— «,)

l(p cos A — p, cos A,)

SIU a

(p sin Ä — -p, siu A J com a co»

und

— rcosysin(« — l&T)-|-r, cfls y, sin (« — 15 7*,) | tang t}^
ttp cos A — p, cos /.,J sin a, — (p siu A— p, »tn A,) cosa, coiÖ

— r CO« y sin («, — lo7^-|-r, eosy, ain (o^ — I5 7',)jtangrf

21. (p cos A — p, cos A,) (sia a tung 3^ — sin a, taug S)
-(^nDA— p, sioA,) |Bin0siii((i — a,)-f-eofl0(cosatgif, — cona, tg(I){
^ rcos y jain {« — 15 7* j lang J, — siu (o, — IST) tang ^l

— r, cosy,]sin (a— 15 T,) taog iJ, — sin (o, — 15 7,) lang S\

(r sin y — r, sio y,) sin (<

,)•

152

Divse letzte Gleicdung kann «ucfa auf folgende Art geschrie-
ben werden:

22. (^ cos ^ — p, cus 2.,) (sio u tong J, — sin tt, caog ^)

— (^ tio X — ^, HW iL,) Isla © siu (a — u,) + cos 3 (coi a Fang (f,

— C08 «, lang (T)i

^ (ainat»ngJ, — ainä, InugJ) [rcos$icoal57— r, cos 9), coifläT,)

— (cosoctangfJ,— cosUjlangrf) (rcoi^sial^T — r^eo»y>, aia I5T,)

— (r siu y — r, siu 5p,) Bio (u — «,).

Sind Z, X, die frco|!7'aplii seilen I^ingen der beiden Bcuhaclu
tungsurtu, so liut niiiii> wio ntno diircti eine einfsclie Gi-truclitung
jiudcl. für diu Gleiclizciligkeit der BeobacLtUDgeu die BudiuguDg«-
gleichuDg

(/,— z,) — iscr— 7',) = o

oder

jonaclidem die CrÄ&scri JJ — £■', und T — 7", gleiche oder un.
gleiolic l'orzeirlieii linUen, wnbei zugleich zu keinerkcn ist^ diiss ia
der zweiten der lieidcn rorstelienden (bleich 11 ni^rn das ubt-rc odet
unicru Zeichen |;enummeti werdcu iqubs^ jcnachilen Zr — /<,' eiso
|taaitive oder eiae uegAtive (iröss« ist.

Für gleicliieiligu tieubaclitiiDgCD ist aber q:^c 1 = X,, all«

Q cns <l — pi cos ^, =0j Q sin X — p, fiin X, ^0.

und die Gleichungen *■!!. uud 2**. werden also in diesem Falle

i5. (r sin tf — r, sin r/),) sin (a^o,)

= r cos y Isin (a— 15T) taug rf, — sin («, — 13 T) lang rf)

— r, cos y, JsiB(a — 15 P,) tang J, — sin [a, — 137',) tang d|

und

24. (r »in y — r, üin y,) »in (a^-«,)

=s(sincc tangtf,— sinn, tJt»g<}^) (r cos^s eoilST — r, cas^, caalST,)

— (cDH« tiingi}, — C08«, lang^ (r roey sin 15 7* — r, custp, ttin 15T,l.

Für r^r^, ä. h. wenn man nuf die »pbämidiscbe Orsüilt der Erde
keine Riickyii-bt uiuinit, künueu diese (ileichungen aack unter der
fulgeaden l'orai dargestellt werden:

li5. 2 sin (a — o,) sin J (y — -jp,) cos 4 (g'-(-9>,)
^ (cos f sin (a — 15 T) — cos y, sin (m— 15 7",)} taog J,

— (cos 5P ain (Oi — 15 T) — cos y, »in (0, — I5r,)| tsng
und

26. 2sin («—«,) lin i (y— y,) eoa J {y-l-».)
=r (sin o rang <f, — sin«, tang^ (cDay>eosI57 — cosy, coslST,)

— fcosa tang J, — cos«, lang iJ) (cos^i sin 15 T — cosy, «in 15 T,).

Die Gleichung 23. oder 2^). kann noch nuf einen andern bener-
keuswerthen Ausdruck gebracht werden. Die Gleichungen der d!

153

beiden Beabaclitun^sorte mit einaader Terbindenden geraden Linie
ia dem Sy8(«m« d«r 4:*,^,«, seico

so ist DBCll 4- *■^•

r cos ^ cos 15 TbsAT r sia qH-if, r cos jp bId 15 T^Jf r sin ^p-t-A*;

fr, eOB5p,cosl5T,:^ÄV,»iD5n,-4-/'^r,cos9),BiDl5r,=^r,8iny,-4-.V;
und die Gleichungen der in Rede siehenden Linie gind nitui uß'eiil>ar

r«i«5)).

'57.

I*.— rco8gico9l5T= ^ : — — A* 4*,-

' r sm 7 — r, »iny, * '

y,— reo» 01810 15 T:= — : ' — -^ ■{* ,-

AUo aiod

L

38.

r sifi y — r, »in V 1

r nw y eoB l!>r— r, cns tf^ cos 15 7*,

' r siu '/' — r, sin y , '

r CM ff sin 157*— r, ert* », &ia 15 7*,

«r, ^ ^= : = — r— :-* — -— !■ » ,

" f »in •/ — r, »iny, '

'Bintp).

*

die Gleickuogea der mit der iti llcilc stellenden s^eraileu iJnie dorcb
den Aiifanfr der Courdiiiatun, d, i. durcti den AliUelpMokl der Erde^
{lanillel gezngearo cera-leti IJiiie. Hezeiclinea wir den 1^0" nickt
überBtcigvndrn Winkel, nclchrn d»T jiul' der |iiisitiven Seite der
A»c der .-i-, liegende Tteil der Projectiun der in Rede Hteiienden

fcradcn Linie nuf der Kbene der .i',y, mit dem (jusitiveu Tlicite
er Axe der x^ einüclilieüsl, durch A, sii ist iiacli den Princi(iieD
der anaivtist'bcn Geometrie

29.
itveil naeli 2S.

. r ros «1 sin V^T-
laBgJ = —

•r, tnsy, md 15 7*,

t\\% (f< tos läTr-r, cos if, los 15 7",'

30, y. = -

r ccrn y> »in J57*— r, eo«?, «in 157*,

^.

»

uus'/ euslST*— r, tüs </-, cos 157*,

die Gleichung der in Rede stellenden I^rojeetion ist.

Ferner »ei /> die llerlinntion des Puiikte.i der Spliäre, in wel-
chen) dieselbe von dem TIjpIIc der dureh den Mittelfii^kt der Erde
mit der die heiden lEiMikitrlirun^orle verbindenden geraden IJnic
parallel gexnifi-tien giTudi^ii Linie, dvssen l'rujeclinn nuf der Kbriie
der ^1^1 aul' der ponitiven Seilen der Axe der .r| liegt, gcscbnit-
ten -fvinl; so ist^ w<.>nu ^,, y,, s, die (Viurdiiialen eiües beliebigen
PimkieJt in dieseiil 'l'liejle der in Ketle utehenilcn dnrcli den Miflel-
punkt der F.rde mit der die beiden neobarhtungsnrle mit vinunder
Terbindenden (geraden Lirie |)urHl)el gezogenen geraden Linie sind^
offentiar in Tnlliger Allgemeinheit

Ui.gZ> = p^
und ful^ieb, weil nach dem Obigen

tAng A ^

X,

Liik

154

iang Z*=:=t— cos Aj

d»s Zclrlien so ^ctiuinuuu, dos» tuic ß mit s, eioerlel Vorzetcli<!ti
crliilt. Nuu ölicrzeupt mau sicU «ber durch t'itic gunt eirit'«cliij
Bi-tn>rlituu^ sehr leicht, diiKH uiitvr ilcu gcmnclitrii Vurauüsrtzungenj
;r, UHil CO» .i iMinter o^leiche ^orzcicIieQ habeo, uod folgücb^j
Tvlligcr All^tmcinheit ^^

tanj ö;

COS j1.

r HO V

»in 'f^

r cos y cos lä T — /", cua y ,

15 r.

cos

ülto nscil SS,

31. Un^ /> ;

BU Mtxen isL

Nach 3!). untl 31. int dud

r coa 5p «n lä T— r, cos y, »in 15 T,

^(r cos 91 cos IST — r, cos gt^ cos 15 V,) Inog .4,

rsin^ — r,Bin(p, ^(rcos^pcuit laT*— r, cosiy, coBl57\)sec j< tang/>;

nnd folglich nack 31.

Bin («—«,) sec .^ tung O^s sia u ttinp d, — mir i, tang if'

— (coaa tang^, — eosa, liiu^ifj lang Ji

oder, wie naa Iiicrau» Iriclit findel,

32. 8in(a — «,) tangfl^ain(a — v/)Ui»gJ, — sin(«, — A) taagJj
oder

33. siu(«, — --1) tnnft«?— atofa — ^) tBrgrf,4-3iii(a— a,) liins^/i^rO.

Anf üicsea Ausdruck Jint zuerst IteKsel <liv &vdiugunjj;»glei'
cbuug für das Svliriuidvu zw«ier UcBicIiUiliuicii gebracht.

^ \.

Wfun die Beabaclitungcn für zwei BeoliHrhtungixirlc gli:irbxci-
tig üiiiit und dir Itpiliii^itnghglricbung 'i,'-\. erliillt ist, du uird man
4lie UcubacliUlu^cu iils i^itieui und üi-msvlbuti Punkte der Bciho eiuvr
und defüclbeo .Steriii>rliDU[f^e eiitK^iiecbend bptr:iclilcii kiianeu, und
»i<-b nun di<^ .Aufguhe «-oritgcn, dir l.iigc ilieKOM Puiikle» im Kaome
XU bfstimmPD, wi-lclics die '.Ansirht i>t, von irddiLT Olbcrt* *) bei
seiiK^r Auiliisun;; di'a Stcrnscbnupjicn-Pnibli'ms nUjgrgangeD ist,
und die «ucli wir^ weil Kie iu diT Tbrit dif riut'ucbsic isl, ton
vrciclier man ausgi-licu kimn, hier xuerst wrluigeo wolU'u.

Hb li^gt iu <J«r Naiur der Nticlie, duss wir uoler dem gemaclH
len ^'orunüüfttxungpii d»x System der .r,v,s, xi»» Omndc legen
Iciinncn. Bczciclincn nan .?.',, y^, Jb, die Coordiiinten des beobach-
tptfn Punkte» drr Sleruschnu|i{icn>U(iba; 60 haben vir nach 10.
zwiiicbt'U deuüelben die fulgeitui-n Gleicliungen:

") Brn^^Rierg über di« Bestimuuing der gpo(p:apbi?icltrn Langt durcb]
Sterombmippen. IlamburK. IJWIä. — Gelilcr iih^sikaltficbM Wörter-
Imth. Nans Ausg. Art. »ocrkugcl. S. 311. '

IfiS

A^,^4i Gcw « «ot (f+r (cos 1p e«B 13 7 —

cos a

cot J

3t D

yt^'i siD a

cot i-^r (cos ^ Bin 15 T — sin a cot 3 sio <|c)

I

34

»

und

•s^i^ii «08», cot «J, +r, (coi y, COS 15 7", — cAü «, cot J, mo ^J,
yi = «i sia a, cotd, -f-r, (coay, sinl^Ti — Hin«, cotd*, sin y,);

wobei wolil kotiRi bpjtotxlcrH benerkt tu w^pii bmuclil, data sich
ins eine dicstr beiden Systeme vna RIeliiliungcn auf drn cioeuj du
andere auf deu undeni der beiden Beobtirbiuiigsorte bezieht.

Aus der crüren und zweiten iintl an« der dritten und vierten
dieser vier (ileictiuugfa erbiill raui| durcb Elimination von s^

je, Bio a — y, coa azssr cos 9 riu (a — IST},

'jO^t sin u, — y, cos a,^**, <eiiis y, sin (u, — ^IQT,);

und foTglich

ji:,sin(a — «,)=rcu«y COB«,Biu(«— ?i57^— r,cüS9i,c«B«Hin(o, — 15 7*,),

f^taa[a — o,)=rco»9f»inö,sin(a— 157^— r,co«y, iiin«iiin(aj — IST,);

also

rcosy CQStti Mn (« — 15T)-^r, toay, cosw'ain (c,-— 187^1 )

*» »in («-«,) '■

r tosy sin fr, sin (»— IST) — r, cosy', «in a EJn [ci, — IST*,)

*' »in (a — «,)

Aus der enteti und dritten und uns der zweiten und vierten Clei-

rhnng; erhült mrrn durch Kliminibtion von jr, und y, für 3, sebr
leicht die beiden folgenden Ausdrücke:

Kcosyfosi;ir-eos«cotJsiny)-rifcos7itrosl&7*|-c.ns«tCotJ,aiiTyt)

ffc.os^isinl57'-s'itinco<rf*iti'/')-rifcoHy ,>itil3y',-sinn,cniJ'|giny()

' sina cotj — «in (i, cati)",

Knn knnn nher fiir Sf nnrh nndero AuRdrileke linden. Au.s der
cntteti und zweiten, und uus dnr dritten und vicrtcu laloicbuuj^ er-
hält nau näwlicli leicht

a:, cosa+y, Bina^a, cntrf+r leos^i coa(« — 157^ — Hin^trot^l,
Je,<mm,•+^tSiüa,:=a,toti,~^-r^ \coaf,coii{u, — 157',) — Btny.totJ, J
oder

Je, coaa~\-y, sinw^fs, — r siny) cot J-4-r coBy cos(a — UT*),
jf, eb««,-4-y, rina,:^(j», — r, s\a^,)catd,-i-r^eoiy'f con(a, — 15T,).
Nach 34, ist aber, wie mau leicht findet,

rco»ycftt(<{— <t|)jtin[«— isr)— r|Cosy,ainf«|— IbTi)

diu {rr — «,) '

rcPS^sintgr-l^T*)— r,r-rniyti;os(<t— it,)si[i(fr,— larj.

l..r, co»a-t-y, iiiDi

aad folglich nach dem Obigen

JA <«•"«))

vo

r ecsf sinfo,— I5D— r, cm^ , siii(a, — I51*i)

3«.

|a,=r, sinjp,
!xpichn«ii wii

(o — 0|J cot tT,

jehit din dem Moment der BeAbucbtmijiPii
•|)rrcli«>n(le Strrnzi^it Ata Punktes der l^rdobtrHücke. in Wf>lrhem
die^i-lbe von der von dem Mittelpunkt« der Krdtt narli dem beob-
Acblclcn Punkte der Steriiscbniiii|jen - Biilin i^fMOf^rnen geraden
Linie (^psphnilten wird, durch 7^', und ierzen der Kiirxe wegen
A^Ah'T", so ist, wie leicht erhellen wird, iu vülliger AUge-
loeiulieit

37. taog^ = |i,

nit der BestintnUDg, duHH in dem Falks w« ^i oiul tft ffincb«
Vorzviclieu liub«u, A zwiitcheu U und W* oder zwiscbea 180" und
270" BPiiuniinrn wrden mu.is, jennrlidvin die (•ri>Hiien aT^, «i
beide iiusitiv oder tieide uepiitiv xind ; Anna dngegen in detn Fnlle,
vo X, und y, ungleiche Viirzeiclion Iinbca, A z-nisclieo 00" und
ISO" oder znisHien "270" und :3(Ki" gpnoinmen werden muas, yt-
ttnehdem .r, negativ und y, |)»3itiv, »der .r, pu^iliv und y^ ne-
gativ ist

Itezei^hnen wir die geu^ra|i)ii«che Längv de» in Rede stelitn*
den Piiiikleü der KfdolierU:ichr^ in Brxuif JiuT den einen der betdea
lleßhnclitUDgKorlc, wvlrliem die Sicrnieit T enistiretlicn mag, all
AnfoDf^ der Längen durch /.'; 80 i»l offenbar

/,'=I5(T'-T} oder X'=360*-|-15(T'-7'), .

ienucbdem 7"— 7* positiv öder ne^tiv ist. und dio geoi^apliigc'
«Äuge des in Rede siebendcu PunklVfi der Krdobernncbe ist ua..,
leeun Lt ili« ge>it(riphi«('lur t.^uge des Beobucbluog8orle&, weleb'eia
dir Sternzeit T entsprirbt, bpiei(-liiiet,

L+V oder /. + /,'- 360»,

iennohdem l.-\-TJ kleiner »der grijvxer als ^tKl" ist. Ilnaa man
iicr nu die Stolle des Beobaehtungüorts. welfbem die Sternzeit T
enlsprictii, uurh den Beitbnchhingsort, wclehcm die Siernzeit T^
cntspriebt, setzen kauii, versteht Hieb van «clbst.
Nach 3-1. und 37, ist

»a . rcwy sinff, sin(«— 157*) — r, cnsy, aiww8in(g| — 157*1)

* rcosf'cosni sin^a — l&2*) — i\ e(iS7<, cD!I■I^in(a| — lft7*|}'

voraus leicht die Gleichung

39. feosgD«n(a— 157*|8in{a,— ^)=r,casy,siD<ri,— 157,)Rin(a— J>

oder

40.

erhalten wird.

\r_ c<t»y, Bin (n, — IS7\) atn f«— ^

r, cos 9 itin (« — X^T) sin (c, — Jf) '

I f I eng y sin fit — \%T\ srn f«, — A")

r eoaf^j sin («i — isr,) sin (u — jf)

Also iit

CO! fp wn (a, — IST)^ -^ co» y, lia (a, — 157*,}

sinffr,— IST) »iiifn — ^)— sin((i~isr) Kinfa,— J)

— ^ CO« y aio (« — IST) — co« y, nin (« — 15 7*,)

sin(«, — lir,) Mn f(i — /*)— si'n (n — ISr.) «in(«, — ^

ode9 w'w uiaD leicht (inct?t,
cosy*in(a.-ISr)-^eo«y,sin(o,05;r,)=«89) -'— 'J^f^3^^^ i,

— «ofysiDta-1uT>-cos5|),siB(«-Ia7',)=co89>, ZiTi^.J) '

nnd folglich utch 36.

sin y »in (« — f^)+tiit y tarip J »in M — IST)

^ »'"Ti «Inf«,— j<)-l-r(i!>7n langtfiirnM— IST^it
*' — '"' »ii. (</, — ^J

Iterecbn«! innn din Hiiirswinkel tfi aiid ^^ mittrlst drr Formfela

lang (f »in (/f— laT*) lanRif, »in (.^— IST*,)

BO Ut

"^' tiB (?•♦-<») «in {.yi^-iAi)

llitiolst der (^icicliuti^oo 3'i. und 40. «rhiilt m&D auch leicht

44. :r, — r ,I„(„_J) » ■*' — *"• am\a,~4)

und
^ rnKf »in^>>iii(R— l&T) ^_ caay, sin Jiiinf«|— »IST*,)

ifltso

*6. ^,'-f-y,»=r

sin (ii— Jj* ^^ • ^biii («, — //y *

t!f\*onktt

BfCficlitifn wtr die trpoccnlrisrhp Brfitc d«Hl*onklc3 Atr EriU
al>rrfl;ichp, in ffflclipm dii-Kellie vnn iIet yuü dem (Vliireliiunklc der
Erde narb dem l>eo[inchictfn Punkte der Kternscbnuppcn-UuUii ae-
X0|{cneQ genideii Ijnie gcschuitteu nrird, durch ß; no lat oflcubar
in völliger AIIgeiDcinli«it

id, i. nach 41. und i^.

n -i^t*"»? V »'ö (« — -^-f-miiB ^ sin (^— 1S7T(*
uns B = =k^^i!^ ^ «inC^-IAD '

„ _, tan(t9>, iti n(a,— ^-t-teng J, gin(^— isr,)
taug Ä = =t .iu(«»-J5r.} ~~ *

dan ZciHiCD joderxdt 9o genoinmcu. dnM (aiif( B mit %x t'iatSft
l'orzciübpu rrli.ilr, d. )i. s», (Iaüa lang // posiKv oder orofativ irird,
jcnuclidcn dl«- (ärüHsün

sin {a^-A) und siu ^ iin [a — ^-/) + cos y lao^ (f iin (^ — 13!

oder

sin (tt, — A) und siD9),8in(a, — ^)+co8y<, taog^, siu(j(— liVT,);

gleiclic oder ongleicfae Yorzcieben haben. Ancb int ^

tnofp Ä = ± — . y "' == ±— cos -Y,

dtiit Zeicben so ttrenoinmen, da» tanGC ^ uU x, cinetlvi VorzcicUeM
erliÄlt. Ntin «r^etl«*! iil'fr Iriclit, diiss a^, uud co» ,/ jt^derxtitt
gleiche Vnrzeicltrii Imlifn. Kolglicli \aI tn völliger AUgcmeiiilu'il

49. («ng Ä= ^ «Oft A.

Bczeißlinet man durch i? und E, din ICntfernungeo des beob*
arblclrii Punkte» der S(etnscbnu|i|ten. Balin voo den beiden Beok-
Bcbtun^sorlKUi so ist

^^l/(.«,— rcoi4ycasiriTj*+(y,— rfos^9inir>r)»-H3,— rsinyj»,

und folglicb, weil uacti dem Obigen, wie naa leiclit (ludet,

<» <»• »*cosTsin(«,— 117^— ;*,eo»i'f, fein (a.— lSrj

Vi— f-cosa)»iilä7^=sma -^ —t r^ — ~^ ^i

und

rcosqr «Jnftti — IST') — r, any, Mnfjr i^lSrj
610 (« — «,)

fcoiiT'^iiifff— 137^— rtC<u?,sinfa — IST*,)
Kill (« — n,)

jr,-^-,cos9!,cosl5T,:=cüt)C(,
y,— f.«»», sibI5T,=bio«, — r^—-^ — fJ — *A

,,-r, «.n,f.^tangrf. ^ J^^-U.) ' '

irt.

50.

„ . r cnay sJn (tr, — 1S7*>— r, «^o^' fj sin (a, — 187*^

' ^ sin (ci— o,) cus rf '

l „ , r COT y «in (g— 157^ — r, coMy, sm fa — IST*,)

r J^, — ä: .. . ^ (*—«,) cos (^ . , *

die Zeichen so genandiuen, dass die Ortlsst-n auf den rechlfn Kni-
teu der (ilcirbboiigfcrcben itositiv verdcii. MlltcJst dicuvr FomelQ
erbiUt mao Icrner, weil Budi dorn Obigea

1S9.

CO« 5> Hill fff, — I^7^ — -Jhcö« y>, sin («, — 15 7*,)

:COS <p

sm <<i— ff,) sin f-rf— 157")

am [.u—dj

CO* *p »in (a — 157^ — CO» <p, sin {a — IST,)

:ci>8 9>,

t«-«.) Bin f.i-isr,)

ist, leicht

»in («,— ^)

»

^, „ . Msy ainM— iSrj „ , w« y, .sin M^JST,)

Jl. a — ^r ,.„, j.,|„(„_^[ . '-t *"» r03*f» M0(«,— J) *

die ZvickcD 90 evuMitmirn , class i\a Grössen «of ilen recbteo Sei-
len dvr (ilviclihettsiriclitn pnMit'iv werdvn.

Br/.fi(-iir:rn wir dit^ L^nirrrnunit; <)p.a licobaditctcn Pankt<>s der
StfirnsrliDUppf^n-Itabn Ton Miltelpunktc der Knie durch H\ so tat
oflknkur __^_^

Ä CO* Ä = V^,«+y.', A = ^-^^y .
Bnii ffllg'lich nnch 46.
im ff — -U "<"» ■■" («— 1>T*) jj . rnsT, sin f«,- IST,)

die Vnrzcicli«n so gcrrioniiiicD. dass die f*riisM;u «uf den rcebtcn Sei-
ten der (iI«^icribeilSK«ii'lieii imaitiv neidcD.

JUan bat alv» Jtrixl */ur Korurbiiniii^ aller «uf die r^aii;« des be-
obncbteten Punkten drr Stornscbnuppeo - Bahn in Haunie Hexag
hl^bcudcn Grvsscu die Knlgenden Furmetn:

. . rrnsy sine, itiii (<■— IST') — r, cwiyi »in it sJn (ft| — 137*i) -

" ~~~rKUK<f ro» K, stii|n— JiT") — r, WHfy l:u^ ß siii («, — JüT",)'

ei)8 y et» /j MJn Uc-^itTj

**— *■ ^ *jnj«-Jj — *"' «in(«,-^) »

COit y »in /i sin {a—\%T)
y- — '■ »iiit« — -V)

CBsy, ron /f BJii (ft, — JiT*,)

Hin(«|— ^)
^0« y, sin ■-# sin (({, — IST*,)

isr.)

sin (h, —.V)
(aittr<f, »in {A-

latiotT sm</l— 157^

sin fyH-'^)

Hin (yt-HV'i)
cos V^i '

"a.

tarnt ■B=:~'C9S Ay

E^±r

cosT sin f.-l— 157')

lU— l^tD en«r, »inU— ISr.)

ini«— .*J ' *■' — ^^^^^* cosrf, siii(ir. — ^) '

VZ = :l=r

CHS tf 6in [<i—

e«a '/• sin fK^lSn

ctia y, sin (t«, — J57*,)

cos /f &in (« — A) -"^ ' cos B sin (u, — .-ij •

ID den Aiifldrdckcn 6ir £, Eg, A die Zeiclien so gennarmeii, dnss
die OrÜKseo auf den recliten Seiten der GleicIüiciiHzeicben posilir
werdpu.

l)ea Aus<)rückeQ ron £ und £i kano maa uuttt die folgende
caliilt geben:

leo

E:

CO» 7' lang <A

sin 6. '

Vcrlnn^ man die Conrdiuatfa .x,, tf,, s, nicht zu kennen.
stellt uiAB die Fornivlo am bvsieD uolur der rc)ls;eBdcn tiestalt dar:

r CO«?' sin rtt tJn frt — ]!t7^— r, tos 7, sin k ?iin f«, — IST*,)

lang ^ «oa y cos «. sin (*«— iSrj — r, «0*5^, c^s n mii irr, — 157*,)'

Unff(?siÄp— IST) , tangtf, »in {.<— liT*,)

„ I sin (b— //) sill( y+^'0 ^ glii («, — ^ *in (t, -H'*,)

lang CBS 71 cos V sin(a — IST") cony | oks^, .\in(o, — 147*,)*

___j_ CBS T lang y- ^ ^-1-, ^»»71 '""g ^t't
sit» iT ' • ' Hin rf, *

_, ro< y sin (rt — IST*} , «ron y, üiii fit, — IST,)

^ — **■ c«»tf siiit« — ^ '"' ' cosiT M'l(ff,— ^) •

In drtn AusOrUcken von tang- /? müsseD die Zeichen so g^nonunci
wenivn, djiss Ung /f (lositiv »Avt iie|3;^iitiv ivirti, jttiiichdem di«l
(■rossen coB 1/i, »in («y + V») «dor cns tf',, sin (SP.+V'i) gleiche
udvr nngleirliR Vorzeichen liiihcn.

Uliuc Nclin-irricrkril kann mnn ntirh nnrh A«n falgcnil«)) sieb
leicht aus dem <)lii);<>ii ürt^vbcndcn Kornicln rechnen:

r cos y sin {g| — 157^ — r, cos 7, sin («1 — l^T*,)

sin{iT — C|J

;4» coa rt-|-r cos y>

15 r.

:» sin a-t-r cos 95 Bin !5T,

«, ^» lang J+r »it

9'.

t8ng^ = |4.

taag J?:

E:

H:

tos y sin (^— 1S7^
00s ^ üin («f— ^) '

cos 9*1 $\n^A—\%T^)
tfls tf, »in {a^-^A) '

to» tf' sin («—IST')
t*» /f sin («— v^) '

oder aucli noch dcu füllenden Formeln:

r CO» y »in (a— ISTQ — f, fos y , »in («.— 157*1)

sin (ö — «,)
;», POS (i,-f-r, COB y, cn» IST,
;», sin K,-+-r, con v, sin IIT,,

lang <r,

BIO y,

UDg ^ = ^,

161

ß^^ cos J,

tuiig _ _ ^

eil« <f »in (■•?— I3f)
cos if sin (f( — ^) '
cos y , «ig ( J — 15 y, )
' ' cos (f, sin («,— i^
____!_ cftit »I "'" («| — lÜTi)
"~" ' «M ff sin (n,— j!#)

'iSr=±r

£,=:

Die Vnrzvicltpn in den Ausdrücken von JK, JE,, R mtissct) im»
mM* »o gcuomnicn nrcrdrti, da«» die in K«de stRhi^ndc-n Grimeu po-
sitir wu-dcD.

<J. .\

Audi bei B«obacbtangen, die sich als gleicbxeittg erwiesen Aa-
beii, wird ivolt) fiiMt nie d^r Kall vinlri'trn. Ai\y» die Boitingiings-
gleioliuiig 23. gPDfin prfiillt Ist. Bondf^rn di«8 wird immfr nnr nülifl-
rnngsweisc Sintt finden. Duilnrrh ist BraBil«« *) rcraiiliHst viar-
dftn, liri der Auiliihuiig unsorfr Aitl'^iilie von i^incr nndern Anitif:lit
aufizugelieu. iui]«ui er uiiuilicb aurdcu beidcu ncsirblsliuien die
beiden Punkte Liesliuiuit, deren Knlferuung von einander ein Alitii-
inuui ist, und io der (•ri>»Be diefor Kntlentuni? zuglficli «in Krite-
riupi Oir die (]Pu.iiii(t,'k)fit der rteolmclitungen liudrt.

nie Gleichungen der lif^iden üfsicbtslinien in dem SjKtcine der
^,y,ai,, iretrbes wir hiur nieder zum Cruode legen können, sind
Ducb ll>.

^,^S| cos a tat d-\-r (cos tf cos 15 7— cos u cot 3 sia 91),

y,=a, »in a cot i-^-r (co« ^ «io 157* — sin a coi ä sin g>)

und

x^^^üt cofl c(, cot «7, ■4-''t (cos 9), ces 157, — eoi <t, cot<^, «in 91,),

y, =x, Bina, cot 3, -|-r, (cos y, sin 15 7*, — sin «, cotrf, sluf/j,).

Die (!oordinnlcn der beiden Punkte dicHer T.inien, deren Ab-
stand von clrinnder ein Minimum int, seien' re5[)ectivo A, Y, Z
und A', Y\ 7Jy unti der AbHtaud die.'vi.'r Leiden Funkte vuu einan-
der bei •S'; 80 bat mau die lulgctidcu l'ünf (^leicbuugeii:

55

54.

{A'^Z cos « cot il-t-ft (cna 9) cos 15T— co« q cut 8 gtn ip),
y^Z siu tt eot ilH-r (eos (p sin IST— sio a cot ^ sin if);
{A'=Z'cosB, cotd,-l-r, (cosy, cos 15 7*,— cos«, colJi sinp,),
y^Z' sin M, cot(J,-f-r, (cnsyi, sin 15 T, — sin«, cotd, sing»,]}

55. Ä»=(A-A'J'-^fy— r)=-f-{z-z')».

•) BrandoK L'iitiTtuhiinpen Tür Kruinlu ilcr Plir^ik und Asironomri'.
LRi|iii^, l^eSfl. Hüft ]. l>ic viin mir im rolgcnili^n eiitwickfUrn FotiuiId
dürften übrigoiiN vor ilvii von Uriiiidcii ^cg^c-Wiicn lAnin'hi wt-Fi^nt*
lictje Voriütio halben, so wiu denn übcrbau|)i die von itiir unKeW'Uidco
Anal^'sis tou der sJrb im (üpiscc der Ükern gr'ninetm^lien Amilj'.ti.t hal-
tenilon Methode von Branden ganz iFcnciilerlrit ist.

Tun I. 1 1

1«2

Bedin^uugvii der Au^Ke miiiiafu .\, V, 2
JIl*, Y', 7J 80 boHtimnit worden, dos« H ojii Minioiuin wird. Man
kann »her ofTmlinr £ aU eine Kutictmn dnr beiden rnn riaandpr-
unalibiiiipl^'frii vcriinderlichen Griissen Z und Z' betracliten, UDd J
hol iili^a iiacb den Principiea der DifiereutialrceliDung die betdea'j
folgeadeD GieicbuDg|en:

»• (S)=». (§)=«■

wo diB DifTfirRutmlitnutienlcn partielle DifTcrentinlquolicDtCD sind.

Aui der Glciclinug j5. crli'iiU uiaa aber, iudeui maa nur überlegt,

da>s X und )' bloss von Z. X' und 1" bloss von '/J obliängvp,
sogleich

and bat also nucb ^. die beiden folgenden BedingungsgleichuBj^o:

(x-X') ^ + {y-r) g+ z-Z'=o.
(x-X) g-v-(y-r) g; + z-»'=o.

Nn^ &3. und 54. ist aber

-j^ = eoi a cot o, ^ = am a cot d;

js = cos u, cot 0|, ^^^sin a, cot o, ;

rfZ'

(^'

nnd folglich

„ f(X— X') coa o eot <»h-(I_1') »in a cot tJ-f-Z— Z'=0,
97.

oder

oa

f(X-x')

' [(X— X') coaa, cot 6, -t-{Y—ir) sia a, cot iJ,+Z— Z'=Oi

(■(X— X') COB a+(r— l'O Bio o-f-(Z— Z') tnng rf=0,

\(X— X') CO» o,H-(r— rj sin o;+(Z— Z) taug J,=f.

Aus diesen bcidfn Gleirbnnprcn und den vier (ilcicbuniren 53. am)
5-i. sind die accbs Courdiuaten X, Y, Z und X', V^ Z' xu be-
Btimniüa.

Aud den Gleicbungco S7, crbält man obne alle Sckwierigkeit

(X— X') (coB a cot <J— coa a, cot d,)+{Y—i') (sin u cot rf

— sin «, cot J,)=0
lud

(X— X') sin (a— ci,) L-»t d cot 3^^(Z—Z') {du «cot <}

^ — üiu a, cot <f,)=:ö,

Y—T) sId («— a,) cot d cot rf,— (Z— Z') («ob a eot rf

— coio, cotrfij=Ö;

168

D».

und

y-j'

y-^

CßSO cot J— CCW flt. <i)trf,

siaa coceV— sin«, co»^,

60<abing(f,-- c<w«i|«aDgjf

stnauiiigir, — ihlu^ utigcT

60.

' V

X— JC'

r— y

sm « cot tf-^iin «, cot i^,
sin («—«,) cot (T coi rf.

cos a eoi «f — COM

cot (f,

sin («—«,) cot rf oot rfj

oder

61.

aod

V VI sig g taiig tf,— wag, tang J , _ .

-*"-*— sin («—«») (*— ''h

y.^ «"" « tang <r,— foK <., "»"g J f Z— ZI
sin (c— «,) ' f'

iielzl DiftD der Kürze wegeo

{Jl = r (cos y cos IST — cos « «ot d sId y),
^, =r, (cos p, CQS 157*, — coB a, cot J, siu y,)
' I-

62.

6a.

B-^T (cos jp no 1&7* — tin a cof ^ sin ^)

^^K "^'1/f,=r, (co» 9), »a 15T, — sin a^ cot iT, aln jp^);
^^n ist Ducli •VI. utid M.
I ft4. A==: Z cus a cot J + ^, y=Z rin a cot d-^B,

■ «5. A''=Z' cos «, cot ^, -H J„ r'=Z' ain «, <«t <J.-»-*,
■od folglich

tJSC— A'^W — .i^-^X cos o cot J — Z' cos «, cot «J,,
y— F'=fi~ff,H-Z ain b ««t <»— Z' sin «, cot ij,.
Führt mnn dicj in die Glcicbungco 57. ein, so erhalt man die bei-
i den folgenden Gleictiuogfn zwisclicn Z uod Z':

_ \{A—J,) en u-hi/i—ß.) sLO a\ cot ^+Z eosec ^^

( — Z'|l-Hco.i («—«,) cot S cot rf,l=0,

{(^-.^,) CM a,'^{B—ß,] MD «,) eot d, —Z' cosec (T,*
k -hZ jl+cos (a — a.) cot J cfli J,|=0;

P aus ieota sich snf dem Wef^e der gewöholiclieo Elimiaatioa femer
die beiden fol^i'ndvn (jiciolmugvo «rgeb«ti:

66. cot J coscc rf,« {(^ — ^,) cos H-h(i?— Ä,) sin a\

' — cotJ, |1-H*05(a— ö,)cot<Jcolrf, I j(.i— -■#, )c&s«i-f-(Ä— l?,)(una,{

=— Z 4«osec rf" coHC« J,* — (1-HcoB (a— a,) cot rf cot ^J'l,

67. cot J, coiiec <J» K^— >*J eo« o,-»-(/f— Ä.) «in a,t

— eotJ Il-f-C0B(«— «,)conJcot<J, t |(^— -'!,) co8«h~(Ä— üf, )Bin«(

=i^7J [cospc iJ* co«cc (f,' — (I+C08 {a — a,) cot S cot ^i}^|.

.AlU diesen GleJchiuig'CD ergielii jsicli durch Äilditiun und Solrfracüon

11'

68. totScot3,\catd,-eot(u-a,)cbti] \(äi-J,)coia+{B-Bj)siaH\
•^cotdiotd, tcot(f-co8(a-a,)Got^, { U''~-^i )coBa,H-(/'--&,)sina,t
^—{Z—Z') icosec^ cosefiif/ — (l + cos («— a,) cot J cot <f,)»I,

69, eotiJ Jl + coaec J.'H-cos («— a,) cot rf cot iJ, j \{A'—A,) co«o

+ (ff— 0,) siBst

— cot J, )lH-cO!iBcd*-|-coa (a — o,) cottTcutif, ( |(v^ — A^) ruta,

+ (Ä— Ä.) »inaj

sss—iZ+Z') {coisc^coiiec J|' — (l+cuB(a~a,) cotif colJ,)*};

oder, ircon muti auf hi^iile» Sriten <t<^r Yorlierg'ehenden und «lictfr
GIcicbaDgcn mit sin 3' Bin S,^ multiplicirt:

70. — Z 11 — (tia S BIO «Ji+coK i^ cos 3, cos (a — (<i))*i

==810 rf COS 3 \{A — Ai) cos u-J-(Ä — ff^) «n «j

— Biadcos^, l8imJBin<J,-|-coB()cofliJ, c08(a— a,)t \{Jl — .^,)«08a,

+ {i?-ff,) sin a,|,

71. Z' jl— (siii J sin <J,-|-cos J cos J, cos («— a,))*|

=:»in ^, cos J, ((^ — ^j) C08 r<,-h(ff— fl.) lin «,j

— coB^sinJ, [siadsiD^j+cosc^cos^t co8(a — «,)] }(,-l — ^,)eoia

H-(Ä^Ä,) sia st

und

72. -~{Z — Z^) |1— (siD J s'iD (^i+cus 3 cos (T, CDS (ce— «,))"!
= eo8<fcos^t t^'D^coarf, — cosJsintf, co8(a— a,j| ]{^— ^,)eos«

+ {B—B,) sU (t[
-f-f.03iJcosiJ, IcoBiJsiii^, — sinifcos^, co9(a — a,)) \{A — ,-/,)co80,

-H(Ä-i?,) sin a,U

73. — (Z-f-ZO )1— (nio ^ sin (f, •4-C08 •} cos J^, coa (tt— a,))*l
=scos(f |aiD(}+BiD cF, ^sind Bind,+co&d cos (f, cosfa — Ui))|

\{J^J,) eosa-h(ff — i?,) Binal

— cosJ, Ifiin il, +8inc^ (sin J sin ^, -l-coB J cos (Jj cus [u — <i|))|

Nach 61. ut

* ' ' ' ' ' sin («—«,)• ^ ' '

ODil folglich ouch 55,, nie man leicbt ßudct,

od«r

ja, I— t«io (^ain J,-4-cos J cos J, (.os (c — c,)|* ,„ —„,

— WS cT« CMtf,» Hin («—«,)» * ' '

' ' euj( iJ' cos rf, sin (a^tt,)

dos Zetcbcn iminer so genomnen, dnss S positiv wird.

Wir liobeo nun alle zur BerecliDuiig toi X^ ¥y Z Ulli

I

165

X', T% Z' DDil S nötbi^D Formeln. Durob Einfilhrnng zweier
BUIfewinkol kaua nun sicti jctluck «Ite Reclinutig Doch bedeutend
erleichtero. IV'eil uäailicL

rio f lin if, +C09 S cos iJ, cos («—«,)'

^stD 3 |siu if, ~t~C08 J, C08 (» — a,) cot d\

Üt; M ist, WCDD man

75. cot |=cos (u — «,) «ot tf

8«txt,

76. stn d rin rf,-f-co8 d eoa J, cos (a— o,) = -7--- ^ cos (i,— 5).

Auf folji;endn Art kana nb«x icicbt gexeigl werden, dass iiber-
lioupt der absolute Wcrtb Ton

cos a cos j'+siD a siii £ cos C

ole grösser nis die Einheit ist, was »nch a, l>, C seio mägcn.

Üuwnbl der absolute Wertb von cos o cos £, als auch der ab-
solute Wertli von sin a siu cos C ist uicmaU grösser als di«
Einbeit.

Habrn als» die Crüs«en coa a coh li und sin a Hin It cos C
entgegeogesctzte Vorzeicben, so ifit ofTenbar der nb«olute Werth von

cos M eos ^-l-üiu a »iu Ä cos C

Dicht grosRer ots die Einheit.

Habeti aber die GnittscD cos a cos b und sin a sin ^ cos C

?;;lBichR Vorzeichen, so seien dieselbf^n zuerst beide positiv. DaDD
st ofTenbar^ wenu Bio a aio ö positi? ist,

cos a cos £ + sio a sin b cos C^ cos « cos d + sin <* "■<> ^>
d. i.

eos a cos ^H-siu a sin Ä coa C^coa (« — 4)»

woraus dax xu Reweiseude folgt. Wenn aber siu a siu ^i negativ
ist, so ist offenbar

«OB ff cos Ä-t-ain a sin Ä coa C^cns a coa ö — sio a sin d,

Ld. i.

cos a titin ^-|-aio a sin tt cos (7^ cos (a + i),

iVOrvUH wieder das zu Bcweiäende folgt.

Wenn ferner die (irössea cos a cos h und siu a sin 6 cos C
beide oegativ sind; so sitid die UrÜK&eu cus (ISC+ivt cos und
sio [ISO" -f.«) Bin b co» C beide positiv, und nach «fem Vorher-
gehenden ist folglich

cos (180''+ ff) cos « + sin (180" + «) sin It coa T^l,

El ist aber

— Cos a cos & — siD Bin b coa C ^\.

— CO* «Vo» Ä— BiB *r sin 6 eu« C

der absolate Werlfa von

cos a CO» ^-f-iHii a Bin 6 co* C,

and hicrilurcli fol^rlirli aucli in dirsem Fall« uniirr Satz bewieaeo,
so daüs dcnt'llip uiao jetzt nllt^cnicin licnicsRn i»t.
Dans auch der absolute W'crtb von

coa a cos ^ — sin «T fin £ cos ^

Biemals c^rosünr als die Eiolirit ist, crgiebt sieb uus dem Vorbw-
gebeniieii unmittelbar, weou tu:iii, was verstattct ist, — « für a utiL
Das» ailcli der absolute n>rlli run

sin a Hin ti^c,o& a «oft li cos C

niemals grösser »In die Bioheil ial, folgl nus ilrm VorliPrCrebeadeo
anjclincfa, wcan man für u und £ rcspective DO" — o uod 90" — A
M(zt,

Weil also biemaeb der absolnle Worth tod

sin o »in 3^ +cos <I cott S, co« (« — u,) = -7 — ^ cos (8, — |]

Biclit grosser als die Einbeit ist, so kanu inuu deq Bulftwinkel i^
mitleliit der Formel *'

\

77. cos fp = ~ coa (a. — 5)

i

Allm dines vur^iiagcsetit, babeu wir nnr zor Hereebtiung
resuclittMi l^rithHcu die tvlgcnden au» deia Obigen sieb leicht erg«-

ücndeu Formeln:

A-=r (cns ff CDS 157— cos tt cot S sio (jp),

ßiszr (rns jr* »ii I^T" — sin a cot (F sin 9),

^, ^rj (cos 9, cos 157*, —cos n, cot ^, sla 5p,),

Ä, =r, (coa <p, sin IST, >— sia b, cot rf, sin v,)»

Ä'^(^ — ^,) cos « + (Ä — /?,) BIO a,

AT, =(^ — .-!,) C05 «.-{-(fl — Ä.) sin o,,

— Z sio ^* ^ sin S {K cos rf — A', cos iJ, cos ip),

2' »ia «(>' = sio ^, (A', cos J, — AT «w J co» y*),

A ^ /l -t- Z cos cc cot ^, }'^ /t+ Z sin a cot Jj

X'=±v*, -*-Z' cos «, cot d,. >' = JS, 4-Z' sin a, coi'ä,,

^ o_-f_ fg- g) Sinti/

cos tf c-o« rf, »n (ar — tf,)^ ' ; -

vn in der letiten Puruiel das Zeichen ioimer so genommen wer/M-
iflOss, daKs S (loBitiv winL

WüH man non noch zu wissen verlangt, laust sirh mittelst der

dnrch die vurh<T{2fe blanden Formeln heknnnt f^ewordenen <!rnsBeD

mit Hiiir«* der Ijekttuau-n Formclu der aualyühciliuu Oometric im-

Lawr oliue Scbnierigkfiil tiudni. Birzeichneu wir namltcb a. B.

durcb f, uud /■■' die geoceatriscbea Breiten der Pualttft dtr £rd>

167

I

«tierfljiclie, in deneu ilie»lbfl von tlen voa <1«id Mill«lpuukt« der
Erde nach den Pußkten {XYX) und X'fZ') ](«zug«u«u geraden
LiDirn gexcbnitleti wird, und durch /t und /t' di« tullemuti^en
der Punkte (XYZ) und {X'Y'Z'j von MiUelpunkte der Erdej
»a ittl

oail

r«

79. A=z

»^X* -H J'

caa L
«der uocli dein Vorbei^elieitdeD

R =

^^J'"-f->"«

SO. n^

sin L

,Jt'-

cos L' *

Z*

sin X"

l^Bi sich die Ber^cfaniiDg von Z, und Z.' miltcUt der Pormelu 78.
za erleichtern, Iti-recbue dibd zwei Hüllsninkcl & und (•)' luUteUt
il«r Formeln

daoa ist

81. lang = X' '*"'» ^= X*

Z y

82. laug Z- = ±-^ cos €*, lung X.' = ±-^ c«s 6K,

wo die ZeicliGu immer go xu nebneu sind , daiia tang ^ und
CiiDg />' respedivf mit Z und Z' gleiche Vorzeiclten vrh.-i1len.

Sind iu und f , die Eolfcrouugeu der Punkte (XYZ) und
(X't'Z') von den beiden Ueobacliiuugsorteo, deren geuceutrische
Breiten qt und (/>, sind; so iüt

*^^/(,V— rcosycosl5r)'4-'ll— /-cosy siüX5 ?')'+( 2— rsiny)»,

^.'=l/(X'-r.esyjC9l57',)»-|-(>''-r,cav,8in!5r,)»-»-(Z'-r,Biuy,)»(

anti folglich, wie mua midelst des Ubigen leicht findet.

flia <f

sin if]

die Zeiclien so genommen, d»wi die Grösken ß und £,' (loutir

werden.

In ncucijler Zeit haben <|uetelct '] und Besscl **) eine an-
dere Ber«clinungsart der Kleruscbnuppen in Vorscblng gebrncbl., bei

*) CermpomUneo math^ni. et pbyaique publice pnr A. QuoIcUl Toin.LX.
Briixrile«. 1837. p. IS9. l'<.>hri[fen.s ist die folgende Analjiis nebit d«D
Foruietn Tnn der Herrn (luotclätN guni vßrücliiRilen.

*") Scbiimtcliers astrnnoiuiscb« Navbrivliieu, Band XVI. Altena. 1830.
S. 33U (ieb«r rlie.sn wi<-.btigr Abliiinrilmig wird .s|)fLterbin, wie schon
oben erwÜbnC vronl^n itt, •^iiiu ausrübriicbti Ki^laliuii i» otta Arcbiie
icliefert Wvnluu. Hlvr niug nur erwnhnt werden, Avus aiüb Bessel
larcb«iiii liloM d«r spfaarbcfaen Trijcuiitimetrie aut eine üusüerst el«-
ifuite Weise bciiiunl, und lu hüuiii^t eleganten FcirmuUi tr^l&ngu

i6d

welclier «titrcuomm«» wird , dase tlie Bithn eraer SteroBcln
walin.*u«1 <)<rr immiT nur iirltr kiirxrn Daurr ilin'r Sirlilbiirkvit »iiif
gr4>rtiite Linitr isl. %ua;lf^icli rpIzI dirse BvriX'liniinirsnrt vornus, dlHii
an jcdcui AfT beidrn ttrohnchtnng'sorre Howohl (Irr Pniikl ätn fCnt-
Hteliruti, ala auch der Punkt des KrliiüctiL'ris di-r Sttrruiicliuu[>|>e be-
oliachtct worden ist. so dass man also an jedem der beiden Be-
obactilunffsort« die ReclasceDsion uud Ucchniitiua difnt'r bridtn
Punkiv erliiilt. Die ipimer ««»Iir kleine Zuiscli^uxcit xmschrn de«
Eutstcheii uud Erlüüchen wird uiiberiirksicblict ((«laciseD oder als
ver-ifliwindfiiil bvlriicUlfi, uud datier die. Erde wibrfnd der (ganzen
llniier des Plinnnmcna »Is ruhrnd im Riiame angenommen, weslialb
vir also auch jetzt daii CniirdinateusrKtffin dvr ^,f/,x, werden kub
Grunde, \psva können. Durcb jeden Iteobuclituuc-Kurt uud die bei-
den von dc'iuselbuu oucb der StiTU!>cbuu|ipcu-Uiiliu ^eivgvnvo (■«•
sicbtüiinien wird eine ICbene gelegt, und die !JterDitc-liDuppen-Babn
uU die I)iircL<urbnit'Hliiiie der b<?iik-n auf diese Weise erhalteDCn
Ebenen betrachtet. Diese Berecbnungsart hat offenbar den Vnrtbeil,
ditss bei ihr nicht nnp:enoinnien wird, itii^s die !Sternselinu|i[iv ton
beiden Heohaiditern ffleiclixciti^ eiitsiehend und gleichzeitig er-
löst'beud geüvbeu wird, ciuc Aauahme, die ültcrdiugs nur unter der
Voraussetzung eines ganz [tlotzlicben Kiit<(k-henit und Erlöselieaa
der StiTuschnuppeu zulässig int, gegen deren Bichtiykeit nament-
lich Kessel sehr get^ründcte Zweifel erhoben, uud eben desbnlb
die vorher in kurzen tiinrissen dargelegte neue llrrecbnungaart in
Vofbchlng ^ehrtieUi bat. die nlterdinps aneli t^conietriacli gcnaa ist*
insofern niun die Buhnen der Sternseh uu[j]»en wahrend der Dauer
ihrer Sichtbarkeit iils geradlinig und die Zwincbenieit »wi»clieu
den Muinenleu des Eatitebcu» und brlöschena ah vcrdcbwindcod,
die Krde also während dieser Zeil al<i ruhend im Raune b^traclt»
teo darf.

Indem wir nun den so eben in der Kürze vorgezeichDcten Wegi
etwas weiter vvrl*i-lgen wollen, beveichuen wir, alle äbrigen m'
VorfaergebcndcD gebrauchten Symbüle auch jeUl beibebiiltend. die
ReclJi»i<.'enslun unä Dectiuulinn der Funkte dvs Knlitleliena und Gr-
iösclieas au dem einen Beobachluoesorte durcb «, 3 uud a', ^, llj
dem andern Keobachliingsnrie durch a,. (f, und «,', ä,'.

Kasten wir xnnit(-lii<l blo-U den ersten Beobochtungüort il'l
Auge und setzen der Kiiric wegen

8-i.

[^■=zr (coH (f COS IST — cus a cot S sin qp),
\S=r (coa <p siu 15T— sin a cul J viu (p),
^f = r (cos ip cos 15 T^ cos «" cot & sin (pl,
\jy=zr (cos 9 ein löT — sia a' cot «J* siu y)^

HO sind mich lU. die nififbunifen der beiden nach der Sturuscliaip-
pen-Babu gcxugcneu Ucsichlslinicu

SN. .r, =s, CO« ei cot d-^,-1, y, =s, sin a cot 3+8

uud

86. j;-,=8, 40« a* cot J' + ^', y,=^x, »in «' eot <S'-»-Ä'.

Die Glctcbuflg der durcb diese beiden GctiicbliiliDieu bestiumteaj

^c— Ä/>— jr=o,

A'C—B'D — P=0.

All» ist w

{A—J") C- (B— B*) = 0,

(easa cot <f— cobu' cot iJ^ C— (sio o toti^aioa' cot ^J Z*^0;
Dud fctiglicb

_- ___ A — A" COa ff cot cf — COM n' fOt <f „

"""/r-Zr ^ — am « coL J . - ^ t"

Pcroer findet nan leiclit

sin (n — «0 cot rf rot if

jJ(aiii g cot tf — sin a' cqE J) — ^(cwi « cot J — coa a' cq[ tf)

sin ff cut J' — sin «^ cot cf

Dsber kttno man

C= sin a cot iJ — siti af cot J,
/^ = cosa cot ^ — cos a''cut iJ',
£"=810 (« — o*) cot S cot^,

«etien.

Setzt mso also jetzt ttir den «inen Ucul>aclitiing««rt

'.4^r (co» y COB IST — cos a cot i aio y),

^ß^r (cos y ain 157* — sin o cot rf hid y),
-i' = r (com y Cos 157*— CO« «" ctft J' sin y),

\if^r (cor y 810 15T — ein u' cot 9 aiu 91),
^^sia a cot 3 — iio o* cot ^«

' /? = cos « cot (f — cos o' cot d',
£^ oiti (et — u') cot S cot d*

und für dtu «Dderii Ueobacbtuiigtort

170

:r, (cos y, «Ol l&T, <— COB ttj cot 1^, sia y,),

5.

(co8 y,

15 r.

■m a, CQ

trf.

SID

SP.).

:*-, (coB 9>, cos I&7*, — cos a,' eot d,' »in 9>|,)t

89. (ß,'^ri (eoM 9-, »in 157*, — üb a^' cot tf,' ua y,

;8ia u, CO

;coi a.

eot ^,

'C08 o,

cot 3,'
' cot iJ,

J£?, =Biti («, — o,') cot rf, cot J,

BO sind die GleicIiung^eD d«r beiden durch die BeobacbtUD^ortB
Bod die enispreclicnden GesicliUliniRP giitegtcn übcoca

o4cr

90.

91.

\Car,—Oy,—JSs,^JC'i-BD = 0,

Cij:,-A)-D[y,-B)-Ez,

B.D,

M.

92.

uod diese Gleicliuntren sind also ancti zaglnicli die (Üeichnnffco der
Durclisclioitlslinie ilt^r beiden lu Kvde sU-lii-'nd«D tbeueu, d. i. die
Gleicbungeu der Sterusi'liiiupiicu-ltaliii. Eliuiiairl man bds dieses
GleicbuDgea nach der Reihe »,, y,, jr,, bi> crhiUt man A\v drei
folgeudeo Uleicbuug«n:

+ iJ,C,-Jt,D,)E=0,

(CD, - C^D)x,-i- (BEr — D,E)%, —(JC— BD)D,

+ i.4,C,-B,O,)O=0,
{CD, — C,0)y, +(CE, — C^E)», —(JC- BI^jC,

welcbe di« Gleichungen der Projcctioncn der Sternscbnuppen-Balis
auf den drei rnordiiiAlenebeDen sind. Die Gleichungen der Pro'
jeetioDcn einer durch den Anfang der Courclioaten, d. i. den Mit-
telpunkt der Erde, gelegten, der .StcrDschnuppcn-Buhn paraUeleu
geraden Linie sind:

,{CE,-C,E)^,~{/}E,~D,E)y,=:%

93. UCB,~-C,V)a;, •*-{/}£, —D,E)it, =jO.

[{CD, - C,Ii)y, +(Cß. - C.Ä>. = 0.

Bezeichnet H die Rerfasrension des Punklee der Sphäre, M
welchem ilicäclbi: von dem auf der positiven Seile der Ebcue der
er,«, liegenden Thcito der io Rede stebeoden Linie gescboittett
wird; SU ist, weil

gg. — C,g
y»— /*£,-/>,£ ^'

Dftcb den Principicn der anoljnschen Ceiimctrie

Ol . o CE,-C,B

91 tMff Ä=5£7-r^;i.

171

i msD zu bcnchteo bat, dnss JH immer poBttiv and offenbar nie
össer »U ISO« ist.

Ferner sei /^ die Declination des Punktes, to wclcbciu die

bare vor dem auf der [lUKitivcn -Seitv der Bb«De der se,x^ lie-

nden Thvile der durcJi d<-u Anfang der ('«ardiunten nii Atr

<tertt«cbnuppeu-Rn)iii parullel i^zop^oneii gomden laoir ^pschntlteti

fird, wobei man uicbt zu Übprsebfn bat "das« i^ poniriv oder o«.

Btiv ist, jeenchdem der in Kede scebendit Tbeil der durch den

nraog der Cuordiuuten mit der iStcrnscIinuppen-Babn paraltol ee-

Igcnen geraden Linie auf der po&itivcu oder net^ativen S«ite der

beoc der ;7iy, li«ffl» w iBl D&cb den PriDci|üea der auolytiscbep

eometric

Id folglich

{CD,—C,m^

{Cß,—C^m*'^(VE^-C,Ep^(0E,-/f,E)^*

(CD, - C,Dy

10 nach 04., irie mau leicht findet,

(BE,—H^E}^*

95. lang ^^=i^—^'^)" . co» A».

Nach 93. ist

CD, ~C,D

. GteicbiiDg' der Projectiou der durch den Anfang der Coordiua-
in mit der Stcroschnujipen-JtahD porallct gezogeneu geraden UftM

' der Ebene, der iT,»,.

Ist n»D zurnrderHt /I-^QO", ata» cns R positiv, Bo Ist offen-

• Aj uod folglich auch taog A, positiv oder negativ, jeuadidem

ODigor Gleichung ^, und x, gleiche oder ungleiche Vurzeicheu
I' ^

ksbeo, d. L — ^ oder

CB,—C\D

BE,—ByE

•\i\\ oder negativ ist, nud folglich nach 95. in diesem Fülle

fenbar

Wenn ferner Ä^öO", alafi co» Ji negativ ist, so ijit olTenbur ^,
id folglich auch tnng i\. positiv oder negativ, jcnnchdcm in obiger
leiehung^r, vnd X, ungleiche oder gleiche Vurzeichcn haben, d.i.

^ oder

CD,—CjD
J)Et~D,E

egativ »der pftiitiv ist, und nach 95. ist also in diesem Knile
ficnbar wieder

CD, - C ,D _

t»Dg A — -ffE,-0,E ^^' ^

'

172

Daher iat io vüllig«r Allgeae'iDheit

Beieidmen X, X die CoordiDalen itca DurchscLaittspanktes der'
Storii»ctiiiuppcD>UaIiii mit der Ebene der x,y, oder mit d«r Ebene
de> AequBtom; »u ist n&cli U2.

Iy _ {.4C~ BD)D, — M.C. - g, J,)/>
„ UC-.g.O)C. — (AC,-g.J,)C

nud durcti die Fonnpln d4.. 00. und ^7. iitt nun uflenbar die i<a^
der Su-rniicliuu[)ii<!U-Bulin im Haunie vullstaDilig' bcstinunt.

Zor U«3timinuug von X. und Y erbält man auch ans dea '
GleicfauDgCB 90., wenn man iu d«nBelben ^, = X, y^ ^ V,
x,=:0 lelxt,

C{X~'^) = I}{Y—B),

C,iX~J,) = I>,(r~B,).

Alio iit

%{X-^=Y-B,-iß~B,),

% (.Y— i) = §^ (A_^.)-(fl-Ä.)

und folglich

^»

oder

X — -^ = -(^ — ^,) .

und folglich

i_£ ^

X=sA — {A-A^),

J — A,'Ct

1-^ ^

173

Die Grciase y findet mas dann ferscr niittelat der Ausdriieke

V

Cy

Berccliuet mku die üuü'swiukel (, t^, V: mittebi der Fomelo

BO ifit

ed«r

Uug g = ^ :_; 7 % lang H, = -^, tang V, — pj;
V— ^_r>*_J\ l-Ufigf Ung V-.,

and foI(t:Iic1i

V — J / ^ J 1 »in V- cos (f-4-»,)

V » / .# ^ \ Bin ^fr rns (I

v-.)

cot ^,

d. i.

Daber bat man jetzt zur Bereclinun^ tob X, F* die Fonnelh

99. J
od«r, wenn man

CO« { bUi (^ — Vi)'
cos ^j. cns (^-|-V>,> ^
coa £ hin (U' — Vi)'

100. Ä'=

U — vf.) COB ff+V.)

cos £ sin IV — Vi)
aetxt, die Formfln

101. X^^A—Ktxn^, y=i? — Ä" cos ^.

Die kur-irstp Entfernung P dfs Mittelpunkts der Krde von der
Stcrnftcfiniipiicn-BiilsTi, oder die l/än^ des toii ilfMn Mittelpunkte
der Krde. uut' die SCftrn.^rknuiipeii-Balii] gdfallten Per|>endikels kann
nan uat' fol|{vndc Art üuicu.

Die Gleicluiiig; der von dem MittHpnnkte der Rrdc durch deo
DurrlmrtinitliipiiDltt tlor .Stcrn8clinU|>|>eii - Bnho mit der Kbene dei
Acqaaton grxogcncn geraden Linie ist nacb dem Ohigen

Y

102.

oder, -vrenn vir

103. tuDK <12 = 7

Betzcn, so sind vielinehr

104. y, =.2?, Ungr £, a, =0

die beiden Gleichnn^eo der in Rede Htebciidco Linie. Weil ferner
oacb &4. und 9<f.

174

i>t; so sind sncb 93.

i«ng A
' cos A

105.

di« GlricliUTiErcn d*r iliirch den Mitte Ipnnkt der Erde mit der Stem-
scliTiu[ipi n - Rahn piirnllul irvzupenrn GTcmdm T.inir. KczL'ichncn wir
oun jeden der Itridcn LSO" nirbt übersteig-pnden IVinkel, wpli-licdie
Sternsrhnujipfn- ItAhn mit der durirli dro Mittp.l]iuiil(t der Knie ttad
ilircn I)urcli»cLuiitS[iuakt mit der Kbc-ric des AL'i]Uutors gczogcuen
Linie einsciiltesst, durcti &% so let veroiüiire d*^r («IcickuDgen IM.
'Wud 105. nach des IVincipien der «iiJilTiiscIieD Geoaietrie

I +!»■>£ A uiiv Q.

cos 0==fc

l/^

tang il') {l + uing /{'

+ ^^^/

CO» /£» ■

und ff)1g)icb, wenn nao im Z^ler nod Nenner nit cos /t ros

mullijjlicirt,

106. CM @ = d=ca8 A c(» (A — J3).
Auf der Stelle «rbcllet nun aber, duss

/»=3iD Ö l/A»+ *»=:*= X sin V^I-^-lan^ J2%
und folglich

ist, wo das Zeiclieo irainer so geuommen werden inuaa, doas Ppo»
sitiv wird.

Die ((IciclinD^ti 03. der Strrnschntippen-Kahn können onn
BBcli auf folgend«^!) citirucliern Ausdruck {i;e]>rucli[ u'<;rdi'ti.

Zuerst erliHlt luan aus U3. uud 97. auf der Stelle die Glei*

cllUIl^l^D

Ferner ist nach Oi. und 06.

CE, — C\E^(DE,—D,E) tang- Ä,
DE^— D,E = ~{CD^ — C,D) co» Ä «nt A.

und folglich

f'iE, — C,E= — {CO, — C,/>) sin Ä c«l A-

Fübrt man diese Ausdrücke vou DE, — I/,E uai CE^ — C^B\
■tun in die obigen Cleicbungen ria, so erbiilt mau

j, — -X— «, eoB Ä cut A = **t yi — y — *i «'M -ß cot A=0

oder

108. jT, ^ X-«^«! cos Ä cot i, y^ = Vh-3, sin Ä cot A.

««lolies die CletctiUDgcD der Steraschnufij>eD*Ualiii »iod. Aock car^
hält mnn Icicbt

175

tx, — X> sin Jt^(^t ~ f) coi A

oder

100. xt sin A — y, cos i{=rX siu H^ Keos R.

Die GIcichUDji^eß d«r lota (l«iii B«ol>achlunpiarte, denst^n (feo-
centriscte Brpitp 9) ist, nncli dem Puolclc der Äpharc, dpssco Rect-
usrfinsion und Peclinntion wir darch u uail a bexeichD«! Iiab«n,
gciogeneD GeeichuUnie »ind nach S5,

^1 =^ + *i COB a cot d, y, ^£-f-s, sId a cot if.

Bczeictineo wir onn die Coordinalrn des Bunrilisclinittspunktea die-
ner ^radAn I.iriip mit der SlprnKGJinii[ipcD-l}ci)iu durch $, 1;, J^; si>
iiubca wir zur Uustimniung di«!<(!r GröfiMin nach dem Vorher gehen-
den die folgendcu GleicliungCn:

|§^^ + (| coa a cot 3, ^:=:B + C "^ <* «at J;

l5=X-t-C CO« -K cot A. 1= y+t «0 jB cot ii

au deHD sich leicht

111. f— ' -*-^ — _ ^-^

• «OB a col (f — cos >C cQt A Stil « um tT — »in Ä lot 4

ergiebt. Diese Ansdrücke reichen in Verhinduiig mit den Formeln

HOL

112.

IJ=T./+^ COS u cot S= X+Z i^os /t cot ji,
1»)=ä-h£ sin a cot rf= J'-t-t tin Ä cot ^

oder

113.

£ =

A' Cfts nr cot rf — /< co s H cot A
CO» (t «i>t (T— cos A Wt A *

Y :tln ft CoI J — /f sin JC cut A
sin (T cat ä — sin H cot A

V zitr Bestimmtin^ der Coor<linaten $. ij, ^ bin.

~ Brzeichnrn wir die Rccldscensiun udiI gcoccntriaflie Breite des

Punktes der Erclohcrfläclic, in welchem dicselhe von der von dem
Mitt<;l|iuDkic der Enlr tiuch drm l'uakti' (^1^) diT SternHi-hiiuppiCD-
Uuhn gezogeiif>n ^«raden Linie ^esclmiUcn wird, durvii l.j/ uud ju;

K so istWeuD&r iu völliger AllgcuieiDheit

114. long 15*=^,

mit dor BeNÜniroung, daas in dem falle , wo ^ und 1] gleiche Vor-
zeichen bnhrn, V>e twi^clieu miil IM)" oder zwischen iSO" und
370" ß^cnommen werden muss, jt^nachdeni die GrÖ6&eo ^ und ij beide
{»oailiv oder beide negativ sind; duss du<;e{^en in dem PuUc, wo $
nod n ungleiche Vorzeicbeti liiihi-n. i'ie /.wisctirri 'Jfl° und ISO^
od«r zwischen "ilO'^ uud 360° geuowmeu werdf:a niuss, jeuuchdcm
S neoraliv uud t; positiv oder | positiv und r; neguliv ist.

Bezeichnen wir die }{i.-ogrupbi»c]i« Lange des in Ueile stehen-
den Fuiiktes Her ICrd»hoi-tlactie iu Bezug iiuF den Beobachluiigiiort,
dessen gcoccntriscbc Breite 9» ist, als Anfang der Längen dtircb
X, BO ist

X=l^T^t) oder 1 = 3C0« + 15(T— «).

v<»

176

jenacliiledl T — t poittiv oder Tiegntiv iüt, unil die (^coB^rapInMtic
Lüiiu:« des in Reac »t^^licnilen PunklffK der KrdolierHüciie Ut nun,
weDD ti diR gpi)£;rii|ibisck(- l.iiii^e (I(^s BeobacliLuoggortA. ilcflKS
geoceiitriecbe Breite f ist, l>ezeicljDet

jenarhdcm C-^-X kleiner oder grösser als 360" ist.

Kefoer erlielk-t »oglt-icb, du&s in völliger AUgeineiatieit

r
»»Dg ^ ^=:

Dud folglich, wuil % und co« l^Jt uQeiibar iaamcr einfrlcL Vorxeicbci
lutben, lang /* ul)«r inim^r dosacTke Vorzcicbeo wie C bat,

115. lang ^:^-T- cos 15/.

llnuit man ganz ätiiilicbc Forincln aiicb für die Punkte der Stera-
schnupprn-Biiltn, wpIi-Iir ditn nurli den f'uuktcii diT S|jliiirr, dürcD
Rc!ct(i.tcensioiic» a', &' uud «,. ^, ; u,', J,' »lud, \ou d«u Itcobacb-
tungstirtcD gezogenen (^esicblslioien i'ntif)>rcclieD, «Dlwickeln knna,
vcrstvkt licn TOD selbst.

Mnn kunn d&ti St:crnsclinu)i[ieu-Prublein nach aas einen gau
andern (äcäiclitspunktv auDussen, und dieser Gf!siclils|)UDkt wbrde
eigeotlieb der stteu^^te und »llgeinein&t« «ein, von ilutn man über-
haupt aUKgi'hftn kann, Wfil dvrsvlbv gar keine lindere VnriiiiNM^liiiDg
als da» der Weg einer bcobar-htcleu Stcrnscliuujipc für die inner
nur Bebr kurze I>uucr ihrer Nichtlinrkeit geradlinig sei, in Aoüprucb
nimmt, wnriiher wir hier nur t'olgi!ndes in der Kürze nnd blost
gnnz im Allgbinvinco bemerken, »eil tüeiU iui Obigen, ihnils ia
tieui vorhergehenden Aufsätze (Nr. X.VI,), schon .\Ues enibaUen ist,
wiis zur AuBluhruiig drr Rechnungen, di« nir jetxt audeutun vroi*
leo, rrfurderlich sein dürfte.

Wenn mnn nIcIi durch die nährt Gleichzeitigkeit der Beahack-
tungen, wobei %. 3, zu vergleichen ist, die Vcherzeugung ver-
«ehafft hat, dass in einem jeden roa vier Bonhachtungsortcn eine
and dieselbe Slernschnup|ie wcnigsleati ein Mal beobarblct vordro
ist-, so kennt mau die (>leichungen der vier roo diesen Beoback-
tungsorteu naeb der ^tlerascbnuppf gezogenen geraden Lioica «Dt-
weuLT niicli lü. in Kry.ug auf dtia Sv!>teni der -cys, dmseD Anfang
der iVliltelpunkt der Sunnc irtt, wenn man auf die Itewegung der
Erde um die .Sonne wälirend der Doucr des PbÜDomcns gehörig
Itiirksicbl netiuirn will, wie vs in der Tliut crf<irderllrh i.st, neaa
nun die grösstc Strenge zu erreichen beübsirliligl , oder nach 10.
in Bezug auf da» Synlem der .r,y,5, , ilessea Anfang der Mittel-
|iUDkl der Krde ist. -n-enn mnn die lleireiinng der Knie um die
Nonne wahrend der immer nur sehr knncnllauer des PliänumtnS
unhenieksiebtiat ta.iHen will, und die ('»ge der .S(erii)celinu|tpco-
Bahn, iils eine die \ii-r !n Hede siebenden gegoltenen gernden Li-
nien schneideDde gerade Linie btifrachict, wird nun mittelst der im
vorigen Aiiisatzc vullfttaiidig antgclüsieu .Aufgabe bediiutmt wcrdea
k*iuoen. V.% ist nurb hinreichend, wenn man aux einem jeden von
Bwei BeobacfatuDgsortftQ eine, aus einem dritten Ueobachtangaorle

177

»

jtn zwei BcobnelitonffSD einer Siemschoupiie ttnt, and die
Ijx^t tlcr Bahn nürde ttncn in dem FiiJir, nenti man nns rincm
jeden von zwei Rpobnclituai^urtcn zwei B*-uliiiL-lituii|;;cn i-incr Jätern'
schnui)|ie liul, mitleljil der im voripen Aufsätze uufu;i'lü8lcu Aul'^ul>«
zu bestimmen sein, wenn man uuf di« B'-w(>guag der Erde um die
Sonnt; niUirend der Zwisclieozeit der BeuLufhlungeu grliori^ Rück-
sicht ni^limf^n wollte. Freilich lasst ilie im ('orig(.-D Aulsalze auftfe-
losle Aiifg-ahe immer entweder zwei Aulläsungen oder g;ar keine
zu; jedocli wird man ((cwiss in jedem ciDXcInen Falle axa* den bei
demselben Torkommendco heKondcrn L^m^tÜnden tu beurtleilen im
Stande sein, welche di^r kpiden Aufliiiiuni^i'n , wt-nn die Aufgabe
überhaupt möglich ist. diesciu t'altc eulspricbl. Dic&c wenigen An-
deutungen uefden ]iiiir«>icliend sein, um unser« Ansiebt*) ijuer die-
sen Ctegeustand deutlich durzulegeu.

Wir wollen nnn narb zetircn. wie man für einen Punkt der
KrdobeHlELclie die ^uuceutrisehe Breit:« (f und die Län^e des nucli
dicBtia l'uiiktp gpZ(iQ;f>nen KrdrudiuH r uns der Polliöbe tu des in
l^ede strbrDdcii FunltleH der Erdnberfiüelie nnch unserer UebcrzeU'
giing auf Alt einfachste Weise Goden k»nn, da diese beiden Elc-
uiente im Obigen baulii!: eehrancht worden sind.

Der Ualbmesser des Krdäquatoni sei a, die halbe Erdnxc sei
Ä; so ist

116. A-"

(^)' = 1

die Gleicbung des durcli den in Rede sli-bvnden Punkt der Erdobcr-
fliehe gelegten Erdmi;ridiuDS> irubei olue xreiiere Krlaulcrung so-
gleich i-rbellen wird, wie diu Courdiontensj^stem der ary augeuom-
aeo worden ist.

BezcicLnen nun ar. y die Coordinaten des in Rede stehenden
Punktes der KrdubcrfliLche, so ist nach den rrinclpien der böhcm
Geometrie

117. »-y= — -^(«— ^)

die Gleichung der durch diesen Punkt gczoeeoen Nnrmnle des
Erdsphäriiida, und loli^lich, wenn wir, was otlenbar \erstattel ist,
aaDebmeD, doss die Cuordinate» x^ y beide positiv sind,

HS.

Nun ist nher uß'enbar

119.

ton^ 7^:

indem mnn dna obere oder untere Zeichen nimmt, jcoachdem der
Ponkt der Krdohernarbe, dessen geDce(iiri»ebp Breite 9) ist, in der
Därdlicben oder südiieben Uälflc der ErdoberHücbe lie^. Also ist
nach dem Vorbergeheuden

*) Diese Aosich« vtarde Tiur erat dann vielleiebt weiterer Rcrückiiichtigung
verlb sein, wvtin ea iiiügli>rh geword«o ist, den Uv^'bschiungen der
Siernscbnoppen ein befaer» Grad von Censntgkeit xn gebrn.

Tb«ai. 12

r78

1*0 ""g*_— "^ ^

Ung «t ~T~ * rfx'
Diiferentiirt man aber die GleictiuDg 116,, so eriiält aau
_ y ^ A^

Also ist ii«cli l'iO.

121. !i?0 = ±^, ,e.«ff y = ±^ tanr a>.

Seilt in&D die sogeuaonte Abplnttqug ^ = m, ao ist — = ' — »»i

und folglich *,. '■ ,

122. lang y^rii^l — nj> tong w.

[immer das obere oder uuterc ZclebcD G^cnommeii . jcniichtlem il*r
Punkt di?r Bnlobrrflürlie, dessen (^eoenntrii^rlir Breil« 'f ist, io drr
vardlicbi'ti oder südüclii'u IlälHe der brdubvrtläcliu liey:L

Dgu uucb dem iu Rede Etebend*;D Piiukle der LrdoberflMbe
crczogeDeu Krdradlui r kaan nian piia auf TolifCDde Art finden.
Wvil iiucli 119.

Ist, M ist nach 116.
und folglicli

y=i*r,3r tuug ^

e-+f-^^^)'=i.

tf'i^

o*i* tu« "ji*

Km Ut aber

Also ist

123. r=s

V^«' sin ij'H-A' cws 7"

Aach ist

Nacb 121. ist ab«r

C9S '/'W-r^ sin y*

«' __ _, taug w ___» C08 71 ttu 0»

Ä' "^ ~ tiuig if ~~ sin 1/ cos la'

aud folg-Iicb

o' . , cos w , _, . . .

tos y -I- yj^ sin q>\ = ■ 7| (cm y- ce* u) == sio 91 sin ai),

d. L

. <i' . . cos qr - .

Abo im Httcb dem Obigen

V c

In ultere oder unter« %«irli«» g;«noDimru, jenachdrin
(Irr Krdobrrllüclii- doxsi-a t^i-DrCDtriscIic II reit e u ist) ii

lier Piiukt
itcr iiiirii-

xxni.

leber das

voUsU'mdise

Vicrscit und v
dige Viereck.

Von dem
Herni Doctor Rädell

zu Berlin.

ollstUn-

I. Lebriiülzc. tt. Sioil zwei Gerade nacli vier PuuktcD paaren pro-
jecliriscti uud bl«>b«n »Jc aucb iirojpctiviscli . nenn
nuu iu der viaea Oeraileu die Kvilicti füllte der
Punkte unrur»a(]?rt lÄssE, wiilircad mau in der an-
deren fifNulen zwri nicbt unmltLelliar ncbci) «inun-
iter lieg-ßnde Putiklo vt^rtnuaclit, an sind Hp vier
Punkte in der einen und anderen Gorudcn liarmo-
niscti liej^eiide funkte.

ß. Sind zwei StraLlcubiiijcLcI oacli' vier Strablen-
paoren projectiviscli und bleiben sie biicIi (irojccti-
viicti, v,f,nu Rinn ia ileni eitiori itÜMcbel die Keüicn-
folf^ der Strahlen UDverandcrt lässt, wäbrend nBn
in drin nndi.'r<>n BÜRcIiel xwci niclit unmitii^lbar ne>
bcn ciniiDiliT liegende 8truljleo vi-rtauscbt, so sind
die vier Strahlen iu d«ui einen nmi audi.'reu j!>traU-
lenbüscUcI baruopiticb Hegende Strnbleri.
BeweiflC. a. Siml ilin (ivraditn .1 und A' in Beiielkuni; auf dift

Punkte a und a\ b und b', i und t', D und t' (irujccriTiscb , no ist

— : -^ = -rr. ' -^rr. Sind ferner dieselben Geraden jä und A' \n
! EexiekDog auf die Puokte a imd c'i b uad t>', c und a', b lud b'

l_ l_

180

projcciiviseb , so bl auch S-TS^Tn^'JT- Diewa« folgt

tfb* (fb' t'b' nV , . . M ■ ,. .. ,fl'b\, .e'B'v, i
tft==?F = W=^» •'"" ^"'^ Müt.pl.«bob (—). = (— ).,J

also noch aV : fl'b' = rt»' : iV d. Ii. a'. b', t', b' and folgtiA
Bind auch a^ b, i, b hu-noaiBcb Jieffende Fubkte.

8. Sind die MlrulileiibiUch«! ^ imd ^' in Bcxieliung auf di«
Strablen a und a', ^ Und &', c Und r', ri und i/' prujcctivisch, nnd
legt moD diircii dpn ersten UübcIicI dir Gcrnde A, welche die
Stralilrn dfNHHbRn resnfclive in drn Punklcn a, b, t, t sclineidpt,
durrli den Uüschel ß* aber die (icrude Jl\ welche, die Stralilea
desselben re.H(iifctiTe id den Funkten <i'. b', c', b' schneidet, bo siod
BDcli diu Gvnidvn ^ und ^' oacli den Punkten (t und a', b uod V,
c und (', b und b' projectivtBcb. Üioi. nun tiucli die Strablcobü-
Bcb«l f& und 33' nucli den Stralilen a und <?*, 6 nnd A', c »nd o',
ä und //' |>rujectti-isch. so sind auch die Geraden A und ^' nacb
den Punkten a und c', b und b', c und a', b und b' {irujeclivtwrL.
HierauH fitIgt nui^b {uj, dafis die Punkte ii, b, t, b und a', b', c', V
2wpi (iruitpuu burmuuiscli liegender Punkte bilden; fulglich sind
auch die Slrableu a, 0, c, «/, so wie er', b\ c^, W baruiouiscb He*
trende Struhlen.

S. LebrNftlxe. a. Die Endpunkte einer jeden Diagonale einet toII>
stund igen Vicrieitj bilden mit drn Durcbacbniits.

(utiktun diesp.r Diagonale und der bcidf!n imderen
tiagoualen des Vierscita vier barinouisL-h liegende
Punkte, nnd zwor sisd die beiden ersleren und die
beiden letzteren Puukte barmoniscli zugeordnete
Punkte.

I?. Je zwei gcgenUbentebende Seiten eines vollalia-
digcn Vierecka bilden mit den Verhindangsliniei
deii nurcli8clinitt8|iunktes dieser beiden Seiten und
der Durch seh oitlüiiunktc der beiden anderen l'aiire
gngeuitliemlvbender Seilen dea vulUtändigcn Vier-
eck» bnrmoniüch liegende Slrnhleu und zwar aioJ
die beiden erstereo Meilen und die beiden letxterea
VerEiindntigitlinien harmonii^cb ztigcordoftc (i<!rade.
fteweise «. Betraclitct man in dem lierseit I It III IV (Tuf. II.
Fig. 1.) die beiden DiHiJi^Hnalcn a b c b und a' b' c* t', so aind sie
naeb den Punkten a untj a'. b und b', f und t'. b und V perapertirisrfa,
weil ftic ihren perdjiecliviechen Mittelpunkt iu SÖ haben. Uicselbea
Diagonalen sind nher .iucb iiiu-h den l'nnkten a und t', b und V,
t und a', b und ^' r'ersjiectirisch, «eil aie fiir dteisen Fall ihren
perspccciviachen >liliel|)Dnkt in äS' haben; foltflieh sind n, b, (, &
und n', b', t', b' bfirmnniscli liegende Punkte (1. «.). Auf dieselbe
Weine laut sich über der Salz auch JÜr die dritte Diagonale be-
weilten,

jf. Belracbict man in dem Viereck I II 111 IV (Taf II, Fig.Ä.)
die Strablenbüüühel u li c d und »' i/ c' d', an nmi Kie na>:h den
Sirnhirn a und a'. h und ft\ e und «', d und ti^ perapei-ttviscli,
weit «ie ihren pi'r4[ieoii\-isrli<m Durrhsrhnitt in .i halben. Diesi'lhta
Klmblcobiischnl nind nber auch per-t)iec(irisch uucb den Slrablen «
lud r', ü Und li'i c und a', il uud d\ denn sie biiben für diesen
^htt ihren penpectiriecheo Dorchscbnitl in A'\ folglich siod di«
Kfrablca «, 6, e, d and 0", i/, c*, d' barmoniach Itegeude Stnih<

181

leD (1. /}.). Ebri^^lftt flicb dies ftlr das (trirto Seitenpur be-
weise d.

Aomerkanf^. Der onter (I) nitg^tbeille Satz dUrft^c um ko be-
raerkensnerther seia. da er (^anz allgemeiD das Verliältaiss angiebt,
wckbes ileii bnrmaiiiacli lifgendeii l'uukt«D imil OerAUt;n lo Bc-
ziebDug* auf die iirojpctiviaciien Punkte und Striililotiliüscbel xu-
konnir. Kr fiiltrt, nie wir fi^fseLen, tum einrAclisIeu Beweise dca
Lehrtialzes (2) und n-eisl diesem, nelcber in der neueren Geometrie
eine lo bedeuteode Kolle spielt, sunt eigeotlicbe Stelle lo der
letzterea aa.

xxrv.

VoD der Projection der Figuren in einer und
derselben Ebene.

Voo den

Uerru Doctor Rädell
lu Beriin.

I^DceUt bat in fleioem bcrGbimten Werke Propri^t^s pro-
jectives des tig'urvs eucIj Mw»g«'« Vorgang' die Projeclion der
Figuren dnru tin|2;ew«iidt, unre«;i-lniä5sitr*^ Figuren auf regelnäüiige
zu rück zu füll ren und die Eigensciinften der erRtvreri auK den leichter
XU entwickelnden Kigenscliafreii der letzteren nlixulciten, indem er
s. B. ous den Ecken einer beliebigen gcradlinigter Figur nacb ir-
gend einem Punkte aussprbalh der Ktene geniile l/iniea ziebt, die
uadurcli enUlandene Pvrunüidc' durcb eine neue Ebene dcrgeiitalt
tchnridet, dasä der Sctioitt eine einfacbere Figur -n-ird, uU die
untpriinglicbe, »nd nun die Bexiebungcn dieses Vielecks aus den
l-!lgenarljnf|en de« Durtli'-ebnitt!) ableitet. Wie man siebt, werden
bicdurrb stercometriselic Uctraehtungeu eingefilhrt, welche der ur-
sprüiigliebeii Figur und ihren Kigeii.scbnflnn an und tur eich freuiil
sind, und ca ticliieu mir nicht uninterttifiant zu uutcmucben , ob der
Durchgang durcb die Stereometrie niebt ganz und g:ir rernicden
werden könnte. Die Mügliclikeit crgub xicli darauK, däiui die zu pro-
jicinnde Ebene und die PrnjectionHebene jedeu belieliigeo Winkel
mit einander bilden können und dass man dieselben also nur um
ihren Durchsclinitt zu drehen hat, bis beide Fhenen uul' einander
fallen. — In der Tliat habe ich mciticu Zweck auf ciufucbem
Wege erreicht und Hcüuliiite gewonnen, deren KntwickeloDg ich,
^V^DJl sie ancb nicht neu sind, wenigstens noch nirgendi *o elementnr

182

(Tclcäcn habe. Dn n'ivh dieser Tbell der Geometrie Bberilies von Mr
Geometrie uuserer Zeit gaox ahsondcru lUsst uud in eciocD Be>
trucbtua^ti elieu «u ciufacli ittt, »Im di>'Be letat^rv, ho bnito ick ihn
URi »o mehr tur gr^i^iipl, liier mitcftllinitt 7.u werden, tils sirk da-
durch nanclkcr Lctiier licwop;eti fiitiien durfte, i-ermittelst de^elben
^tiaf^ Sctiiiler mit den hnujttaürMirh.stcn Re.iii1toteii der neueren
Geometrie bekannt zu muchcii. Man bei^reil't leielil, da$8 sieli nicNc
alle Anwendungen dieser I^etirc liier iiusg-efnlirt linden, der Selbst*
lirnrndrn willen glaubte ich über in der BntwJckelung der TriDii-
jiitu clwiia ausfiibriicber sein zu dürfeo.

Tod der Projectiou der gerudlinigten Figuren.

1. Krklürung. Wenn irgend eine vielseitige Figur a b C A'
dcrgt-'btiilL Lcczvicbuet itt, das» ihre £ekcu in den älr-tblen eines
Striilili-nbiiscbels a & c 1/ tu liegen kuminf^n, au säet manj die Fi-
gnr und der ^trittilenliüsrbel lietcm |ier)i|ifCt iiiscb nnd Jede
Kfkc di-r Figur cutsjirecke denjenigen Strulil. in welcliem sie liegt,
jede Seile der Fignr aber demjeniffcn Winkel, welchen die durrk
ibro Kodpunkte- gehenden ^ilrulllen de» Stmülenhiischvls mitvinunder
bilden. In Tut'. II. Fig. 3. entiiii redte 11 xicb also a und «, b nnd &,
C und c, b und d; so wie ab und L{«^)> oc und l^{ac), ab und

ti vi seil.

2. Aufgabe. Ett »ind drei Slrfililen eines StralilcnbiineUeU und
ein hreieek gegeben, man Doli beide Figuren in
pcrsjiectiviMclic Liig« bringen, dergcMtiilt, dass je-
dem g'-gebeuen Strahle eine gegebene Ecke des
Dreiecks i-utMiiricbt.
Analyse. IstTaCIl. Fig.3. «f, ^, c der StrHiilenbiiscbel nnd a b t
das llreirrk, .sind (t und a. b nn<t £. ( und e entsjireclieudc .Sliirke,
3£ aber derjenige Punkt, von welcbein ans die narti a, b, t gezoae-
DCD Stralilen eineu dem «. ^, e vougrucnieu Struhlenbüitcbel bil-
det], eo uiut>)> i 1, ie der Feri|dierie eines Kreises liegen, welcber
über der Sehne ab einen i*cri|iber!e<n-inkel gleicb Li"^) but uud
2, in der rerifdicrie eine» anderen Kreises, wclcber über der Seime
flC einen Pcrijiberiewinkel gleitli £_ [ac] bat. Demauch wird i"
ulgo im DurtbscbnittH|>unktc heider kreine liegen.

3. Zuäütze. (X. Jedejt beliebige Dreieck kann mit jinlen be-
liebigen drei Strublen rines SlrahlenhiisebeU iierHiiet^tivisrb gr^Itvi
werden uud xwar so, dass jeder beliebige Strnbl dci> Strnhteubd-
sclicl» jeder beliebigen Ecke des Dreiecks entsprivbt, aber nur auf
eine einzige IVcise.

&. Fine mehrseitige Figur lÄxKt huIi nnr nnter heanndereo
Hodingungcn mit den Strublen des StrnhIenbitsebeU peräpe<:livls«b
legen und iianr uui^b in diesem Fülle nur anf eine ein7.ige Art.

('. Zwei Dreiecke (uder ztrei mebräeitigr Figuren) Ikunneu nnr
uuf zwei verschiedene Arten mit den Strahlen des Slrublcnbüsclicb

ter»[i«ctiviKcli gelegt irerden , nenn jeder Strahl des Slrablen-
usclieU einer gegebenen Kcke enlHjirecben nhII; und 7.ivar einmal
hn , dnss beide IJreicekc fnder Kiebrneitige Figtircn) entweder auf
1 Seile des nurrliscbniltüiiunktes der Strntüeo oder
.< tJt>uen Seilen desgelbon liegen.
'1. ErkUruDg. Liegen zwei theieckc mit «in und demset-

183

beu .Strahlenbiiscliel pcrsi>Mtiviscb , ga sufi^t nmu, diu Dreiecke lie-
gen URler sirli p«rit(i4>rtivUchi lictraflitet die drei Ecken dci
einnn Dreieck« aU Proj(>ntio]i«D tlt-r drei K<:ken des aDdereo,
und dii; drei Seiten dru (^incn Dretockit tit» PrujeRtiuocn der
drei Seiten des sadereu Dreiecks. Dea Itljtlelpunkl de» JStrahleo-
büxctielH nennt umn den A» t'.in tr)*pui) k I der frojuctiou.

ik. Lelirsutx. I^ii'^o xnci Dreiecke |fers|ieclitisrli, üu iieiteu
die Diircii^iiDittä|iunkte ilirer eDt:«}ircc]teiid«D Sei-
ten \a einer und drrseliien (ii-niden.
• > B«weif. Sind (Tuf. II. Fl^. 4.) 'i t> c und a' b' t' die beiden
Dreieek«, wck-lie derge^dtli lie^ea. diiSH na', tib', cc* sieb in dem
Funkte fS fcbiividvu, so sollen /, (i, « aU reüipectire Uurcbsrhnite
ron a\> und a'b', dc und a'c', fec nuft bV in einer und dcrselbcu
Uertiilen liejien.

Mau liebe durcb b bi" |)&r«IIel mit b'ii' und H' iKirnlioi mit
Wt', verbinde a" mit c" und verltingeYe diese Vvrbiuduugülibte, so
wie ac, bis sie sich in ß' svluiBiden, zietie endlich bß'. Es verbätt
nicli nua

^b ■■ £Bb'=:bo' : bV = bA" : bt" und dn überdies vcrmdge
der l'.ra Ulli tat Z. a"fcc" = :L o'b'c', »o ist Bucii (i"f"4^0V. Weil
nun bt" ^ l'a und ("C =^ t'ß, sn ^erbalt sieb

cc* : tt" t:^ ib : tu = tt i tß. uUu siod die Scheiteldreiecke
b(ß nod u(ß (tliitiirb, mitbin bß'^uß. Kbeiisu ist bjf ^ ay und
l'olclicli ticken a, /¥, y in einer und diTsellK^n (inriiden.
h, LeUrsatit. Lieiten iwei Dreierke in einer Kbene derg^eslnlt,
düss di« drei DiirchMtinitlsftuukte der Seiten de»
einen Drvicrkx oiil den Seilen dex anderen Drei*
eckd in einer und der^ielKcn OerfidiMi liefen , so
liei];en die Dreiecke iterspectiviridi; je zwei und
xn'ei Seiten, welebe einnn Durcbarbniltüpunkt
bilden, üiud ent«p reibende Seilen und ibrc £ud-
punktfl eutsprecbeiide Kcken.
Der UcweiK ergicbt sieb sebr letclit ftiu der Umkebrung des
vorbergebeiideii.

7. RrklüDioß. Die Gerade, in nelcber dtc DnrrliRi-Iinitts*
punkte der eut»|)reebendr-ri Seiten xnxier persperliviftch liC{;endcD
ibreiecke liefen, nennt man den Durdiscbnili der l^rojoctioii.
N. Zusätze, ff. hin l^rnjecliunäsystem ist fedt^eBtellt 1. durch
swui iirtsiHfCtiriticb lie|rvnde llreiecku. 2, dureli drei vkrablen ciucs
Mraiilenbüficbels, zwei urspmnalicbe Punkte mit ibren Prgjectiooa-
punkten und die Ricbtuni;' dvs iMircliacbaitlii der l'rojcctiun, 'i, durch
den Anlanf^Hpunkt der l'rojectinn, den Diirr.b.t<-bnilt dersctbcn und
feinen ursprüngliclien Punkt nebst scinf^m Prciiectinnitputiktc.

/'. Sind in Tut'. II. Fi;::. •%. in drei .Stralden a, fj und c eines
Siraklenbiischels heziehücb drei Punkte n, b tiud c uIb urspiiiuglictic
uod drei undure a' b' und c' a\* l'rujectiun8|iuukte icegeben . ho
kann hihii die?i als ein ProjectiiiuaHyslem iinsebm, iitdoiA inun flb
Ul>d a'b' so -Ktv d( und a't bin »u den llur('iiKCliiiiltiv|iunkten / und
ß verlängert und durcb die Punkte y und ß den Durcliwcbnitt .-^ der
Projcriioo ieo;!. Zu jedeoi neue» Punkte t in iri^chd einem Slnihlct
d des SCrahlenbiiarbefä lindrl miin dniin den Pr»jei:1ioni3iiunkt. in-
dem man & mit eiu(;in der ur)t|irüu^liclir:<i Punkte -t, B. a Yerbiu-
det, die Verbiudunu'iiliDio ta bis luni DiircLücbnitt der Projirlioii
Terläugert, diwen DnrcbscbniUspunkt (V mit dem Pruj«etiou:iiiunkte

184

a' lies ursprun^liclirn Punktes a vi-rliiodct nod die Terblndiinfiritiale
bis zum UurcliacbDitt mit dem Stntltl d veflängcri. Uieser I>urch- ,
KclinitlBjiunkt b' ist alsdiiDQ der Projectiunspupkt des ge^ebeoen M
I'uokU'« b. I

Amncrkuug. \Si.Tt die Linie »Ja' parnDcl d*m Striilils rf, so "
irilrde daraUH liprtorgcben, dnss der Punkt ii krinfn Projfictions-
punkl Iiul, oder dnüH für duü xu Gruiidi- lirij^endi! ProjcrtioDNBystaBf
wi» laiiii zu ftugea plleglj der i'rujecliuusjiuukt vau b in Üoend- i
Hoben liegt. ■

c. Ip ciuem jeden festf^ciilclltcn Projectioussy steine Uut jeder V

RCG^etifiie Punkt nur «inen eiDzigeu Projectiunspunkt, welcher mit
im in d«i»»<rll]«ii Sfrahle lirgt. Jeder Punkt de» Durrhi^rltniKs der
Prnjertian ulier ist zut<loich sein eifi^enpr Projectionftjtuukt; so irie
jeder Srralil der Itichtunß; iiacb sein eigener rrojecliontatralil ist.

//. Brtraclutrt mun iu einem Projertionssvüleme die Projei-tiana-
puuktc als urü|irüugli('bc Puaktc. ku sind die' ursprüaglic-imn Punkte ^
die Projectionairuakle dieser letitteren. fl

e. Alt<- l*r(>jei-tiun>[ii)nkl<! der i'unkte einer und derselben G^ V
.rüden bilden ffleicIifallH eine Gerade, und umgekehrt: liegen die

ProjccliunüjjuuKtc mehrerer Punkfe in einer Geraden, «o Uegen die Ji
rPunkte selljsi in einer Geraden. ■

f. Um ciue Gerade zu projicircn bat non nur sirei beliebigs ^
Punkte derselben ca projiciren und diese Prnjertionspunkte Bit
eiiiiiiider tu vrrbiridcu.

^. Eine Genide und ihre Prnjection werden durch jeden durch
den AnfaQg3[)nnkt der Projektion ^ehenilen Strahl dergestalt ge- _
schnitlen , dans der Durcbsdinittspunkt der erstcrcn den Dureb- ■
sclinillsnunkt der letzteren zur Pniii'ciion bat. ™

9. /usätze. «, Die ProjectiouApunkte von vier barmonUch
liegenden Punkten sind n-iederum vier barmaoisdi liegende Punkte.

fi. Pniji<-irt man vier liurmonisck liesfcode Pnnkle durj^eittalr,
doss die Projet'tion eine« dieser Punkte \a die Mille der beiden
anderen einander barmonisch zugeordneten Punkte falle, so E&llt
dia Prujeelion di'Ji vierten Punktes ins ('ncndliehe. ü

e. Projieirt man vier barmonisch licn-cndc Punkte dergestalt, ■
dnss die Prujertion eines dieser Pnnkl« ms Unendliche fallt, iw
fiillt die Prujecliou des demselben liuritiuniiicli xuucordiicteo Punk-
tes in die Mute der Projection der beiden auderen Punkte. m

*l. liOHKcn sieb vier Punkte einer Uernden ilergcKlalt prnjiei* I
ren , dass die Prnjection des einen derselben in die Mitie der l*r«. "
jeclinneo zweier anderen und die Projcction dea vierten Punklci
ms l'ucudlicbe tallt, so sind die vier ursnrüri^lirben Punkte bnme-
niscb liegende Punkte, und der erste unu vierle, so wie der zweite
und driltn Punkt sind einiinder b;irnioniaub zugeordnet.

10. Lehrsalz. Der I>urcl>HcliHiti*|>tinkt zweier Projectioosgera- ,
den ist der Prnjet-t)ans|viiiikt des Durclucbnitti* ■
pnnktcs der beiden projicirteo Geraden. V

Beweis. Ist oV die Projerlion von ab und i'b' die Projec- ~
tion von tt>, 80 ist c* der Prüjcctifinsjiunkc irgend eines Punktes
aoiTohl der (Geraden üb als auch der Geraden cb, weil er in at'
und ('t' liegt, folgücb int «' der ProjectionE[iankt von i als Dan h«
»ehnittspankt ton ob und et-
il. Züi«ritze. I«. Schneiden sich drei oder mebrere Geradeoi
ia einets einzigen Punkte, so schneiden sich ibre Projcctionm

185

I
I

SleicIifuHi in clneMi eiiraig«n Pankte und un^kebit: BcUneiden bicE
ic l'ruj«ctiunen dreier oder mehrerer Gerailen in einem einxi-
^en Punkte, so ichDeiden sieb die Geraden selbst io eiuen eia-
zigen Punkt«!.

b. I>ie ProjectiojieD votf vier harianniiioh liegenden Ceruden
sind gieicbfiiUs rivt banooniHcli liegende <>erndeii und umgekehrt.:
liegen die Prujeclionen Ton vier IJeraden baraouiscb, so liegen die
Geraden »elbsi Lnrmaniitcb.

c. Pnijirirt iniiii vier liiirmonipicli liegende Geraden dergestalt,
dass die Projectionen irffend zweier einander haroiimiKcb iiivennl-
ocien Gcriidcn auf einnnder senkrecht zu stclif^n kommen. .ii> liilden
die Prujeclionen der beiden anderen GemdcD mit jeder Prujectioa
der beiden crstcrcu ^U'icbc ^Vinkel.

d. Prnjicirt man vier harmonisch liegende Geradeu dergcatult)
dnw die Projectionen Irgend Kweier einiioder harmonisch zugeord-
neter Geraden mit den Projaoi tonen der beiden (Ludcren Geraden
glci<-hc AVinkel bilden, ao stehen die Prajectionen der beiden er-
steren Gernden auf einnnder senkreclit.

k. liussen sich vier Strnhlen Aities Slrnblcnhüsrhelti dergestalt
projicircD , duKK die Projeclioucn zweier derselhen aut einander
senkrecht stehen, und die Prujectionen der beiden onderen Geraden
mit denen der beiden ervleren glelcbe Winkel bilden, so aind es
vier harmonisch liegende Strublcn, und die beiden erstcD und dia
beiden letzten sind einnnder harmonisch zugeordnet.

12, Aufgabe. In einem beliebigen Strubl einna gegebenen Pro-
jectionfisvHtema denjenigen Punkt zu linden, des-
sen Projeeiion iui l'uendlicben liegt.

AmlvHe. Ist Taf.ll. Fig.5. (liia gegebene PrujccIioDSSToleai, b
der genühile Strahl und % derjenie« Punkt desselben, dessen Projec«
lion im Ilnendlirhcn liegen soll, so muHs. wenn m&n j;a dergestalt
verlängert, da&a es A in Q ticbneidet und dnrcli t) und s! die Linie
))' ziebl, diesi^ Linie mit b parallel sein. I>» nun der Punkt a' mit
dem ProJMtiuuKsvstcro gegeben int, oo iitt bierdurcb die Riclitung
ruD j)', so wie auch die von QA mit bestimint, folglich auch der
Funkt f.

IZusals. In einem jeden gegebenen Projectionssyateme ezislirt
für jeden Strabl ein Punkt, dessen Projcction im Unendlichen liegt.
13. Lehrsatz. Lirgen die Projeclionen zweier Punkte einer
Gerüden im unendlichen, so liegt die Projec~
B tion eines jeden undrren Punktes dieser Gera-

B den gleichfulls im Unvndlicbcn.

Beneis. Liegen die Projectiouen zweier Punkte einer Ge-
raden im tinendlichca , so liegt die Verbindungulitiie dieser beiden
Projeetiouru ihrer i;<-inii-n RicJtlung norli im Unendlichen, weil sie
nicht dnrcb den .Anfungspunkt des ProjectiunssTStems geben knnn.
Us wird fniglirh »ucli^ jeder Punkt der ur»pritngLirht.'U Geraden
seine Prnjertion im (.Inendlichen bnlien, weil diese sich in einer
Geraden heündel, die ihrer ganzen Bichtung osck im Uneadliclien
liegt.

Zusatz. Liegen die Projectioncn dreier oder mehrerer Punkte
«iaes ProjectionsüvütemH im tloendlicben, so liegen die Punkte
selbst in einer und derselben Geraden.

14. AuTgabe. In einem gegebenen ProjectiousR^steme dieje-
nige Gerade '^tu construiren, deren Projeeiion in Unendlicben liegt.

I

186

I. riij. &.) r» die Tcrlnnffle Gtrsde. 9»
tnÜMCii die Praji.'ctiuDrii von p and m im Utiendli^tieo )i(>g«n and
iai dieRFs der Kall, an hat jeder Punkt Ton tm ttmiic Frojectlon
im rriKtidlichfii. Hkxatiti brutiinint »iirli pn> tiacli (12.).

ZHRatz. In eioem jedcu s^cc^cliencn l'rujcctiuiissv stein v gieltt
es ein« und »wor nur eioc eiozit^t- Ucradf, |iaralU-l mit dt^m [lucdi-
scbiiitte der Froj(!4:t!nii. d^reu Priijnctinu im Unrtidlii'br'n li^gt.

15. Auf||;alio. Id ciiitm. Praji^fliuuSKyatcm« ist diP Ricblnnt^
dr.M l>urch:><:liiiitl!« iinUCHlimtnt g^ltuurn, ntiii noll dpnselltPn so l>c-
stimmcn. dass die Prujcrtion eiaes j^ctrehcocn Puokl«B im Uoend-
lichcii liest'

Anaf^sp. Ist Taf. II. Fijr. 5. Ams ft:^^cbene PrujecüoDHTCteM,
iliiid Clb uud a'b' bis zum Durtrlisctinitt^piitikt y verlanG;vrt, ' so mata
der g^esachte Uurcbschnitt der Projcction .^ diircli y {jt-lieo. litt ferurr
j dfrr Pankt, dessen Projectinn im Uiteiidliclien lie^n soll, zi^t
nan ^n, verlängert jrd bis zum Ikurolisrhnilt y mit ,4 und verbin-
det eodlich t] mit n*, so inut» diese l'crbindunirsliiiie })' pnrallei
Biit dem Strnble b npin, in icelcliein i\' lie^t. hierdurch ist zu-
iiücbst die l^ice fon |)' und i^ann vcnuitlelst des Uurrtisc&oilts
detselbes mit jra ein i^roiter Puukt i> beilimml, durch welchen die
Genide y/ tirletcbl'tills gelien ma»s.

Ift. XuNÜlxe. «r. |i> jfdem PrnjectionBsvstcme, io welchen die
ilictituiiQ; des DurcliscIiDills uubesliiamt g'eluKsen ist, lasst sirli diesd
Rirhtiini^ imiBpr, aber ntir auf eine einzii^e Wri.^e deiyesriilc be-
slimtuea, diisM die Priijectioo eines beliebig gej^lieueo Piinklcs im
toendliciien liegt.

6. In einem jeden Prujcctioiiss>-8tem«, in welriiem die Rieb»
tung ilw üurchsdinills der Projoeiioii UDlie-Rtimml gelassen ist,
koBB mitn drete Riclitunir immer, aber nnr auf eine einzige WcUA
dergestnlt kc^rimmen, diiss die Projeclinuen zireier gegehenen He-
niden pnrnljel sind , indem mnn die Prnjertinn des hurrliürlinills
dieser Ceraden ins ['nendliclii^ titlleii lüsst.

r. Schneiden »icb drei oder mebrere (jcradeu in eiavn einii*
gen Pankte und sind die Prujecliunen zweier tlorselbep parallel,
■o sind die Prujcctiuuen aller finnillcl.

*/. Sind die Projectionen dreier oder mebrerer Rcraden in ir-
gend vinoin Prujeclions:«ystenie |Kini)lel , no scbneidea sicU diese
Gerolden in einem einxigen Punkte.

17. Aufgabe. In einem PrnjectionssTStcme den DurriiHcIiniU
der )*r»jertinn dergestalt zu bestimmen . dasa die Projcctiou Dioer
gegebenen O'eraden im LinetidlirbL-n liegt.

Analyse. IstTaf.ll. l'ig.5. da» gegebene Projection-isj-tileni, a'
die Projr.-liim von a, und pm diejenige I.tnie. deren Proji^ction \m
tlnendlichen liegen soll, ,/ endlirb die verlangte noch unbekanuie
Lnge iIps lluri-bitehnitt^, sn muss der Durclischnittj(iunkt vuo |tii
■nd die Pariillplr auB a' «tit dem Stmbl // in .7 liegeu; ebeut«
'mvv9 der DurHiscbnilUfmnkt von na und die Parallele aus a' mit
dem .Strahle r in .^ liefen. Da uuti die Lage beider Parallden.
SU wie die d^r >'t.'rbinduDgslinien jra und idJ als bekannt nage-
nnumeu werden ki>nnen,' so laut sieb mich die Lage vbb ^ De*
•tirameii.

Anmerkung. Schneiden sich ja und die Parallele aus »'

dem Strnlile 6 id ^', eo kann man die Liige von .4 auch dn-

187

P

nrch bcslimneQ, tlam Bi»a Oureh f «ine Pat-allele durch fiv zieht
(U. Zuftttl«.).

IN. 2ti<))itz^. a. I«t in einem Projectioiissfütcme die Lb^^
dc9 DtirchRchiiitl!) der l*roj«'Rtitin unbfRtininir £^i^I»»scd, ho kaon
mttn dieselbe immer, alier nur auf eine cinxii^e WeiitB iii:rc<'Klnlt
tiPSliinncD. daüti die Frojcctioo cioer beliebig ji'eßeLieiieu (ieradcu
iofi Utiendliche fällt.

^. litt in riiifHi ProJectionBsfstcm« die Lfig«) d^K LlDrcliscbiiitdi
aiibcstimmt (;4>|(i!i9eD, fli> knnn miin dieselbe iuiiier, ob«r nur nul
«ine einziai- Wt-iK« dergextnlt bciitiinMi(>ii, ilnttü die IVojectiua eine«
belielii^ frgelienen \irreckg ein PürnllelnG^niinm wird, indem rano
die t*rnjci*li«ii der Diirctisrhnill^punkie. dor cregenübemtebendei .Sei-
len den V irrerks ins I oeudlicbR tallen IüsbI.

Ah AnwetiduDg difHcr Tbeorie mö^cu vortüufii^ felgcade Bei-
spiele dieueu.

LelirsatK 1. ' D>« Kndpunkte einer jedes IKuc^oonle eines voll-
B fllündic^cn Vieraeitn hrldrii mit iIpii Diirclixrhnitl'H-

^^^^^^ punkton die*<cr Dia^onnle und der beiden onde-

^^^H|^^ reit ninciiniilrn des Vierseils vier liarmniiiwli lic-

^^^^^B| f^L-iide )*iiiikie, und xivur sind die beiden crstersD

^^^^^m' und die beides letsterCD burmoolich xagcordiiel«

J^^^mi Punkte.

Beweis- Miiii |ir»jicir« (Taf. fl. Fiif. 1.) dns rolliitfliiditfe Viererk
'— I 11 IM IV dergestalt, ditsi die l'roiecliun vüii SÖn' f&'t ein

Parftllclag;rAnim wird. Alsdunn fällt die Projo«tion von b'
in die .Mitte vnti fBi&', die Projcciioti von b nber tUf^lejcli
mit den Projectionen von a und c inü Ihiendliclie, fi)l(clicli
sind 3V b', m, 'b in angeg'cbener Hciheofulge baroK^Diacb
liegende Punkte (9. ZukuU //.}.
jcbrHolx 'i. Je xwei f(eg;eliütierstel|ende Neitea eine« vollstüii-
I di);en Vierecks bilden mit den Verbitidun^slinien

de« Durclisrlinittspiinkies dirKer beiden .Seiten and
der l)urrb(ieliriitl.sj)Uiikle der beiden nnderenPnAte
gpgenüberstebender Seiten dos vollständige» \'ier-
eekH bartounisck lieg'enilc Strulilen und xwiir i%ind
die beideu eratert'u .Seilen und die beideu ietz«;-
ren Vetbindnugslinien harmoniscli zugf-ordnete
^ilrftlileii.
Beweis. Man ^rojicite das Viereck 1 tl in IV (Taf.I|. Fig. 2.J
dergestalt, liusi seine Projectiun ein Paratletngi'flniin vfih\ , ulsdann
fällt dir Projectifin von a in die Kliltn der Pnijertiun von II und
III, weil die Pr»jeeliou von aß durcb dru l>ur[;liscliuitlit|iunkt der
Diagotialen des projirirfen Puralklogramttis gpbvu atunH. Die Pro-
jerliiin vo» ;- fallt «ber ins l'iiendlicbe, folglicb »ind II, «, 1||,

in der BUf>:egebeDeii Reibcnfulec harmoniseh liegende PunI
2Cnsatz //), und mitbin {\vc\i a, Ot r, fl linrmoniscli liegende St

l

•kte (
Slrablcn
und xu'ur so, diisn ff dem c und 6 dem ä Kugenrdiiet sind.

LebrsuLz 3. Weiden zwei Ijcraden vun drei udcr mebreren
SIrnbIcn eines Stnibltiuliüaclieis gcscbniUeii. und
verbindet man die wecliaelKeiligun Durebschnttts-
punkte mit eiBBDder, hq liegen die DurcbM-builJH-
punkte der cntsprecliendcu Verbindungslinien mit
dem Durchscbnittspunktc der beiden Geraden in
einer and derselben Geraden.

ISS

reve'is. Siod (Taf 11. Fig. 0.) A ood .^' die beiden Geradeiit «,
^, rdieStrableti des!^tr«)iiAiil>ui>cli«U, und mnii projicirl die Figur der*
gCBtalt, dasi ACcV zur Projcction ein Furullcloi^ritiniii crliält, so wird
kBcti bb', treil es mit den .Strubko a und r den I^unkt SBg'emeiQ.iobaft*
lirh lint, zur Projcction eine (irrndn Iiiiticn, die mit a>l' )iaraUcl.ist
(lü.ZutiuU r.). Ks werden ful^lioL dt« Projertioncn von«, ^, ;* aU
Ourcfaschiiittspunkle der Diatroonlen bei Parallel ogranmcii zwiwbea
den jjar:illi-lcn Projcctimtvii \»n at uni) aV tfleicbi^ti Abstund iialien,
die Prgjection vod 33' aber wird ins rnendlicbc fallen, also liejtea
die Prujcctiunun ron a, /J, y und ^', folg-lich uucb o, ^, / und ^'
iclbftt in «iu«r und derselben f^ernd^n (S. ^uniitx <^.). i|

Anmerkung'. Der ungckclirte Satz Insut sieb aur ttlinliebfl
Weisfl dnrtbun.
Lcbrsatz 4. Ltcffeo von den Ecchs Ecken eiies Sevbsecki drei
nnddrei abn-ei:bse]nd in zwei Ueradeu, so liegen
die drei UurcbBclinitts|iunkte je zweier gegen-
fibcritekenden Seiten in einer und derselben Ge-
raden.

BeneiB. Igt (Tai'. II, Fig. 7.) JBCDEF da.i in Rede stehcadc
Secbseck, in welcbeu Ay C, E in einer, B, />, F in einer anderen
(ieraden liegen, so projicire man dieses Sechseck in aOcr/ef der^e-
■tall, datut et/' nnrallel äe und Ifc naruilel r/'wird; scbneiden <icb
■BD 4i€e und btff in k., in ist, weil a& |>Arall«l de ist,

km : k«^ leb : XW,

nnd weil bc parallel ef ist,

ke. ke^kf : k&,
•lao

ka 1 kc:=kf: kd,

folglich 'cä pnrallel ft». Rs liegen also die ProjecttonoD der drei
Punkte u, ß, y im L'nendiicbGii, foiglicb diese Punkte selbst in einer
und derselben (Geraden (13. Zusatz.].

Lehraatx 5. Schneiden sirb vAn den seebs Seiten eines SceW
seits drei und drei nbweobscind in zwei PunktCD,
HO schneiden bicIi die drei terbiDdiingslinieo der
gegen überelcbenden Rckea in einem einzigen
Punkte.

Beweis. Es sei (Taf. 11. Fig. S.) JBCDEF Am gefccbenf! Nechs*
seit, in welcbEm akb die Seilen 1, 3, .5 im Punkte O und
3.4,6 im Punkte //schneiden. Projirirt man nun dies
•Scobsscit dergesliilt iit abcäef, da»« die Projeciiooen ton
O und // ins t'ucndlicbe Tallen, und scbneiden sieh «f/und
tt! in (', SU zielie man ic, wcicbe die de in k schneidet
Dod verbinde c mit /. Weil nuu de parallel t/a ist, Ru
verbült sieb

el : l&^ cd t ^,

und, weil </« parallel i6 ist,

ilt : md^ ba ■• ata,

also, weil Überdies «ocb «»4/= cä und *w ^ c/" ist, aucb

el: ll=zcHi ef.

189

I

Ndo itt aber äc porntlel ef. »Uo

A de : ef= kd : fee^

mitUo

kit : ke ^ ed : ef^

folg'lich liegen i,t^f\n emer nnd derselben Geradeo, oder »</,
^ ond f^ »clineiden fllcli in eioom und dooiKelbcti Punkte f. Da
Don dleBc drei Geraden Projectionen von Ali, BK and €F niod,
so Bobneiden sieb auch diese in eirtorn nod denselben Pnnkle /
(11. ZuBstz a.).

(Diese Ilctracbtungcn werden s|iälflrbin fortgesetzt werden.)

XXV.

■ Bcmerknnscn zu dem Aufsätze III. im Archive
I der Mathem. und Pliys. 1. Theil I. Heft.

^^^^^ ^ Ton deu

P

■ Die 1

V der aoadr

Herro Professor 9r. Mensisg

' tu ErfuTU

Die vom Herrn PrafcBsor Df, Grnnert gesebeoe .\uBSsud^
der qoad rat i seil eu Gleichung ist zwar sinnreicli, ulji>r nicht die kür-

xeate. Fulgeode miichle sirli in dieHer Uin^ictit cmprchlea
HeisM die quadratische Gleichung

>• lind die Wpmeln .r'=— «-I-V* «»-M** kleinere Wuracl positlr

.1:"^— (o-t-l/wM-Ä^ gröaaere
b ... ,1

DCgatir.

Setz« tg 2f = -, Bo wird af=a{-^;^^—\)

S jcin ly sin y cos y _^ sin 2y sii

cu» "lifi ' cos tf CO» 2^ ' CO

a?'= ffl ig 291 . tgr 9 r=: j tg y»

und eben so ^i^— ;r~'

190 ^^^

Diese GlcicIiUDgcn tg 2y^— ud*1 .r' = Ä . tgy . . . . it?''S== — —

xintl aeicifls «lic beqiipni5tpo, wflcLc sicli niitliDdeu Inssen. '

Es folge das im Archive bererlinete Bci8|tie). DAftir ist

Mun lasse sieb lüclit verlcileiij ilcu letztcu Ansdruck abtokÜr-
sea; er ist so um. besten, nie aicli gtciek ergeben wird.

log A'= I.äWfiTH)

■ log fi = 2,[>&.3IOOB -| _ :

•*: lug X = l»,«>a4a!HM ~ ' '

: . : log tg 29^ = 10.408^500 - JO 2y =71.12.39.«'

• • Mogtgy^ fl.SMftlSSO— 10 9):=35.36. ID,«)

: i log.r'= 0,4352044 ,.-y ^= 2,S52952 ,

; .... log — V= 0,7453766 ..;.% a^^— 5,563865

f)te sweife dud drtUo Zeile trerdcir xurrst Liugeschriebea. nacE
oben Eubtriiliirt, dicker Kr«t durch 'i diTiilirl, wodurcli die vierte
Zeil« eotalelit a. a. w. Wäre x »iclit an die Sf«lle w» p.» itteiit
sebracbt, so büttc tnaD es nocb einmal scbrcibcD miiasen, deshalb
ist nuclt der Wertb von tg 2(f> nirlit ntgekürisr.

Ks wird kouni zu bmnurlvn nätbig* sein, duss für die Gmad-
gl ei rhu Dg

worauf ^^r — - also die griiSBcre Wurzel fiostliy wird

und ar"^ — ^ 'g!* 9^ i>)so die kleinere Wurzel negativ wird,
die AuQÖsuQgssrt gauz dieselbe wie gb^n bleibt.

Für die ürundgleicbung .... jr» -^-Sa^r-*"'^' ^^^

crbält man *-'=— » + 1/»' — *0 , .. „ .

, „ > beide Wurzeln neffalir.
a;"= — a — Va^—&*}

Hier «edt nmn sin 291 = — , irodurch ar' =~ : fl tg y Bod ir^ =™

werden.

Kndlicb cntsteben aus der Grundgleicbung .... .7* — "iaar-i-A'^^

die Wurzeln jr' =a-|- W'«' — Z'l

. f beide Wuneln positiv

jr'=« — V/»» — Ä»J

welches die nümlichcDj jedocb |Kisitirc Resultole in Vergleicb nit
den vorigüii giftii.

leb babe diese AuflBsuiig überall da recbt nützlich gefunden,
wo icb geometrische Anfgabea dadurch zu liisea hatte; um sie aber

I

101

bcqn««!, mit dpn tris^o

lir <li(> hulbff n Wtn-

XXVI.

Note sur les TRbles Trigonom^triques.

IV
Mr. C. J. B. Hill,

Prof. fies matb. k l'univcrsitf de Lunil.

aeli~ bMucbbarpr «tt machen, wHre
TiKRirtriArlicn Kunktiiineu tiiK;li ilic TuDgeiitrn

t:b ueben den goozen xu linbeii.

• Irfs T&Mes ordiDalrcs ne donncnt quc srpt dÄoiniolfis. Or 11 xe

Irfliive ziuHVCiit oii'^n a Ursoin de tnJi!«« {ilaa ^ttaiaen, et nWoie

aa'on doule äe i'i-suRittudR ü'un cliifTru de reux, qui s'y Irnureut.
lans CVS cw Icit furniulcd suivautcti ticrunt d'uo gruud ukuj;«.

Soit ir le rapport de lo circoDfereoce bu diumtitre, et^p^ll" 13'

(on 9)=^0^E> d*apr<>» la divislon ihiutHIf) et V ob angtc dona^,

dont l'arc corrcspondant wr (savoir =- .J^ - ou =-5 — ) «st plus

3,00

petU nue V« (ou bit'n V-'-^J* 3"' 30" = 0,0623).
Ceta |Niw!, ou uura le siuua de ^, üu

Cettfl formal« nlg^üriigue trös simple et m^me ratioti«l)e repr^Kntc
la funrlloii «iiiua (rrput^c jusqu'ici si trungccnduiit«<} a im degr^
d'exaclitudc rcmiir(|Uftble , puisquc nn trauve eii f^niplo3'Ont lex d^-
veloppeiBciits citnous quc la correctiun qu'il faut y appliquer eüt

environ = j^^ -\- et«.

On p«ut auui la virllier par uo exempl« nun^rique. Ea efTct,
soit.r=(),l, et ccltc furiHiilc duiitier»Si» (IM)=:Ü,<l*H)S;t3.116WtiS2S-l,
et celte ruicar oe difFi'rcrit de la vulcur jiinK- (trnuvee pur iaterpu-
latton 00 siitrcmcnt) qno di* dciijc uair^s duns la dcrnjcrc place d^
cimnlc. Onns Ins limiCfH pri'srritps eile donnc ninNi qulnzc chiifres
exactes. Ka y joigaout duuc Ica formulei) coudugs:

S (ry-f-ipi)=Är9> . CtiH-Crifi . Ap et €ip^S{^—t^)r=\/ i—{Sip)\

on remplacera les tablei tri^oaomätriqDcg a X.V dt^viumles complet-

193

(es et k 5400 noHbres calcolea pir unp lenblalile a hnit seaUmear,
■Bvoir celle>«i:

r

Cos. (ry)

Sin. (ry)

1

3
A

0,98078 54804 03230
0,92387 95325 11287
0,>i314^ 96123 02545
0,70710 07811 8Ö548

Ü.Vihm 03220 16128
0,38268 3A323 65090
0,j5557 02330 19002
0,70710 67811 865-18

7
6
5
4

Sin. {r'<p)

Cos. (r'91)

r

Et FD y u|i[itii]uniit Ics lurtDules pn^ci^ilcnlca, »n trourera Ic Biom
d'uD äugle quL-l€Ofii|Ue a quiiizc dcciinulra cxkcteg.

Si Ton ae ciatc'uleru de XIII dreimal», on «rafiloTera cette

fornule plus üimpl« Coa.^^^1 5" •('""Sn)'» Jont la cdrrectiun

iE*

c*t ^ -|- auSuo '' '*''™* "'"' n|ipruximatioD ploa ruJc on se con*

tenters des riirmulca Sin. x=zje (1 — -~)^ et Cos. ^r=:(l — 5-)',
qui aniit ptua nppliciililcs aux LognrithniPs. La formul« semblnblG
Taag. a: = _ - , doonc cncore sepl cliiffrca exncta, Iohmu«

^ = 0/2 = 1, ou a:" = ll« 18' 36". ||l

Au eontraire« e'i les fonctionn sont dono^ea, on tmavera l'nre
«flrrfB|ionüui)t mDyeiiiiuut une pclite t«ble des (.«og'iirilliiiies oatarda
(A) il'uprcs la furiiiulc

AK. Twg. (*) = 2 . (x H- f + Y +> -T "^ f=^ =^'-
Qu*oD denand« p. es. x Ji ^ ^^ chilTret ezscb:

B^ol. ^ = 0,027397* 260273' 9726

If^)' =0,000000" 000192* 9503

— ii|^= — 0,013609* 487094= 0572

36

DoHCJi^ = 0,013697 773372 8Ö6.

L«i fonaules nigebriques

X 3024 -f- 3W2 j.'* + S04,8 j'

19$

Lre Sin «*:

ß, = (1 -h 1/f )- et B= (1 - v/|)'

— 13

sont eocore tres «uictas, puisi{ue les coirectioBS sont rjjj^ . or" at

La fornul« Are. Sia. ^= tj- .

4H-

une correctioD an peu plus grand«
(-1-^ .r'4-")- N^amnoiöR eile donn« Arc.Sio.(0,!)=0,10i)I07-i20,
«a il tnaoque noina qu'uue uoitti decinale du IX' ordre.

Ol plus simplr, nais eile «xii

XXVII.

Jeber die ßestimmun^ der Anzahl der ver-
scliiedenen Arten, auf welche sieb ein neck
durch Diagonalen in lauter tncckct zerl^en
liisst, mit Bezug auf einige Ahliandlungea der
Herren Lain<^, Rodrigues, Binet, Catalan
und Üiibanicl in dem Jounial de Matliöuiatl-
ques pures et appliquc^es, publik par Joseph
Liouville. T. lU. IV.

Von

dem Urruusgeber.

Id den Noria CommenlHriU Acadcmine scienlinram impcrialis
Petrnirolitunne. T.VII.p.2l>3 lindet mnu eine Abhandlung vnn Suciner,
in irelclier derselbe eiuc recurrircnde AufläsuDi;; für die fol^eudo, nach
Hioer eignen Augabe ibm vou Euler mitgeÜiBilte .Aufgabe giebt:
Ti«U I. 13

194

I>ie AbzhIiI des verBchietlenen Arten xu beiititnin«D^
auf welch« sich ein beliebiges Vicleok. durcb Diagona*
leQ iß Urviecke xi:r|ee;nn liiait. J

la itm Sumninriam i)issert:iitioouoi, i|OM coDtlnet QovonuB|
Comm^ntarionii» T. VII. nird bei di^r Angnhe de» Inhalta di«fer'
Abbnrillons;- criintcrt, Auna u summ» quodum (leometra') die Be-
tiicrkuii}; gemacht wurden sei, \iaea die von Seifner bereehnete
Tufcl Dur bis zu d(.'ui Fuufii-bucck ricbtig itui, itod zugleich wird
obtic Bimeis lmuc acböae, vou dcinscllfca gtosüen Geouicier gefun-
dene ifuiix iodependente Formel zur Auflösung des in Itedc steheD-
deii l'robleinH, *o wie iiticli eine bin znia Ftinfuudxwunzig^ck bt*Ä
rcrlinetc 'Vitfi'l mit((tlheHt. 1

In neueslor ZVit ist diese Aiifgabe vun deo Herren LnmiS,
Eodri^iirs. lünel und ('nlnlnn, ho wie nucb in gewisser Re-
xieUuii^ vun Herrn Duliamcl, wieder »urj^tuumuion, und die L*D-J
tersncUung yontiglich darnuf gcricbiel wurden, genifj^entle Beweis« i
für die von buier gegebene g»nt inilcpegdmle AiilluHiing zu Ün»
den, wobi'i jedncb nirbt unerwähnt bleiben dnrf, dass die Herren
Binet und Catahtn niif ganx venrbiedenen We^n iiucb zu einer
bis jrt7.t iiorb vüllit; unljckunnten Relation gelangt Kind. Alle die-
sen liegcnsland betretende AbbandlunK*^n lindcL mun iu dem Jour-
nal de Slalbcinatinues uures et appliqui:es, publid par Jo&cpb Lioii-
Tille. T. 111. et IV.

Der vorliegende Aufü&tx bat nun zunächtit den Zweclc, die ge-
nannten Herren darauf aufmerksam zu nincfaeu, dass, wos denMlbei
Tollig entganfren zu seinacbeinl, sehnn ein älterer IrcfFlieUer Matbe-
natikcr, SicoUus Fuhh, in den Noviä Actis Academiaetieiciiiiaroa
inneriulis t*etrupnlit»nae. T. IX. [i. «13, eine weit allgemeinere Aut-
gal)«, die ibin nacb seiner et^raea Angabe von Jobann Friedrieb
Pfaff vorgelegt norden tvar, nugfiÖRt Imt. nänilirü die Aufgabe:

I>ic Anzulil der verschiedenen Arten zu bealimnen,
auf welebe stcb ein »eck durch DiogpooteD in Inutetj
«•eckte zerlegen lässt. i ■i-^

Oic von FuKs fdr diese sll^moiiicro Aufgabe gegebene Aitf<
ISsung, welrbi! cbenfnil.t nur recurrirend zu der {^eüuehlen (^röftüo
gelanirt. will icti jetzt in der Kürze mittheilcD.

Zuerst ist klur, d&.ss nicht jedes wwk darcb DingoBofen U
lauter inveekv geliieüt werdeu kann, Huudern dii»(:>, wenn di«a nÖg-
lit-h sein xoll, zn-ischen den Zahlen *» und M eine bestimmie Re-
lation >Stall linden n^uss. und man wird sieb dnirb eine gnui rin-
lai'bf lietruclilung »ngleicb iiber7.p|]ge»j dass nur entwcdpr »:^*r,
oder, indem /.- emu beliebige positive ganze Zahl, di« Null cioge-
schluifnen, bexeicbnet,

«=(«»— llH-X(w-2)-|-(«— l)=(A-H2)iif— 2f*-f-l)

sein kann. Aus der letzten Fornel erbäU man n^m fÜr jt=s— I,,

und es kann hImo nur

sein, fiir it=: — I, 0, 1. '2, 3, 4,..,. Setzt man * + ai=s, aI*o

A:~t~l^i — i, so kann nur , .. ■ .' ,— ■ r

Anf jiiJ«M Fall £ule^

19S

«#in , far V^ \j ft, 3, '4, üi, . . . ., d. h. fiir jedes pasitivo gnnxe i«
mit AuHscbliuii der Null.

AiM der Bctracbtuog, durch welche man au iea Formela

^ » = M oder » = (^H-2)m — ^(A-Hl)

ffTr i& = 0, 1, 2, 3, 4, .... . gcltmpt, gebt zugleich auch unmiüel-
biir liervor, du»» die Anxalil Afr lliu)t:oiixkti, uvlcbc zur Ztrlegunjg
des «eck« iu laulcr «ecke erforderlith sind, respeclive 0, /a+f,
und tlaüS die AuzdM der meckc, Hrk'bo mim ilaJurvIi i^rhält, i«-
•pecliT« 1, /--4-2 ist. .Setzt naii a\sa allgemein

fiir it = ^1, 0, I, Ji, 3, 4, :. . ., so ist die Anrabl der na der
'Z,cr\evpmt^ dca atckn tu laulcr meckc erfonlerlicbcD Din^onalen
allgemein «(--f-l^ und di« Anznbt dRr mecke, welclie mau durch
diese Zerlegung; erhält, ist ullgcmciu A-i-t. Wird also

«=:<■*. — (2» — 2)

fiir fssl) 3, 3, 4j 5, . . . . gesetzt, so ist die Anzahl der xu der
Zerlcffiing des nceks in lauter wecke erforderliche q Diagnoaleu
allgemein « — 1, und die Anznlil der mecke, welche muii duicb
diese Zerlegung erhält, ifct allgemein /.
Wir wollen unn filr

» = 1, 2, 3, 4. 5, .... •

die Anxnhl der Zerlc((^UDgen der cntüprcehendcn Vielecke iu louter
necke^ d. h. die Anzjtlil der Zerlegungen eines

mccks» (-2in — 2)eckH, (Sm — 4)ccks, .. . f/«i — (äJ — 2)Iecks

in loüter meckc, respcetive durch

-'H -''»» -^ll -*4t -'tl ■•• ■»»

bexelehnen, und wollen zuvitrdcrst hlnst eine Winke1s|>Uze, die im
Allgemeinen dureli A'bezviclinet werden nag, eine.^ \im-~-{ii — 2)|eck8
betrachten.

Ans Der WinfcelsfUze /C lasEen sich urTcDljür zwei Diagocoleo
HtiEers {f'flv — {ii — '^){eckii auäziehcu, vou cLeren jeder ausetbe
in eis

jBcck und ein j(/— 1)«— (2i — 4)}cck

Ketheilt wird. Ds nun y^, die Anzahl der Zeriegungen des erstera
rn Inuter mecke, ^r_i die Anzahl der Zerlegungen des letztem in
laulcr mecke ist; so ergehen sich Iiieraus offenbar 2^^, ^i_i Zer-
legungen unser» Jm — (2i" 2))ecka in lauter mccke.

^ on der \\ inkeU[>itze A* tius luKsen sich ferner zwei Diagons-
lea noscra ]iM — {'ii — 2)|eclui ziehen, von deren jeder dasiclbe
in ein

(2« — 2)eck und ein 1(« — 2) «■- (2j — ft)lcck

gelhcilt wird. Da unn ^^ ^'^^ Anzubt der Zerlegungen des erstem
lu Uulcr Jinecke,^i'~3 die Anzahl der Zerlegungen dos letztem in
lauter «lecke ist; so ergehen sich hieraus citfeuliar 2<4g ^t—t Zer-
legungen undcrs {im — (2(^3)|cckR in lauter svceke.

13-

IS6

fviilTS«- Ist (TbE^II. Fi)f. ä.) r» die ir*HMrlc Gerade>
titÜKien die l*ro]ecti(ini*n tod j* und n> in lloendliuiep lie^n noi
ist dieses der Fall, so lint Jeder Punkt voa fto Kcioe Projection
im l'iicriüliclivn. Hieriiii!» beMininit sirb ri» ubcIi (1-.).

Zusatz. In eiaem jl^deD gvircbvot-n i'rujfctionttsvületiK« giebt
«H eitit^ und xw»r mir eino «iii/.ii{rr Cierude, jinrallfl »lit dem Durcli
acliuilie der l*rojecl)ao, dcrao PrtijiiGtiua im [iDCodlirlioo lie^t.

15. Aiiftfalie. In einem, Pr^jeclionsarfiteme isl die Rir.htuag
des nurclistboittn unbrütinimt n^elaäsen, itmn nall ilrnselbeo so Uf'
stiminrti. dn^s die Projecliun eines g'(^^bcn<^^ Punktes im Unend-
licheti liügt.

AuiitysF. Ut Taf. II. Fig. 9' das gvi^ebcDe ProjeclioDSSTstvBt
sind ab und n'b' bis zum OurcbNcliniUtipunkt / verUnicprt, au Ulan»
d«r|^8uclite Uun-Iufcbnitt dvr Projoctino ,t durch 7- ifclien. («1 ferner
f di^ Punkt, deftMtu Projeclion im ruendliclien )iri:eo saH. ziplit
aiin ;a, verUut^crt jra bis xun Duraliscbnitt ^ mit .i und Teriiin>
det endlich t) lait a', 80 mum dirtie ^'ertiindunf^linin n' |mrallel
Uli dum Strrtblc b si;iii. in w^lcliein })' üe^. tla-rdurck i&t zu-
OÜclipt die L»s;e voa ))' uud >^unn vcrmilieJüt de« Durrbacboilta
ileijtelbeu mit ^ra ein itveiter Punkt tf btstimatt, durch Welchen die
Geritd« ^4 glfiirlifall« i^cfipii taiiui.

1^. Ziiüätze. w. In jedem PrnjecHnnasv.Htofnft, in velchem die
JRieiitnng deji Durchschnitts uubcstiiuiit gel;i])s<'n iat, lätist airb diüeu
Kirbluni^ iniDier. uUur nur uuf eine fiiiziirn Weise dentesliilt be-
stiumen, diisü die Projccliou eines beliL>bi;( gegebenen l'unktei im
Unendltcbeu liegt. ^

li. In «iueici jeden ProjectioiiMy^teme, in welrbeni die Rieh»
tUng des DurchHchniltH der Projrrtieu uobeütiinint gelaasen ist.
knnn mtin die«e Richtung inmcr, aber nur »uf eine einxige Weise
dergestalt hn^iimmen, dn^si die Prnjectionen znreier ges-rbrnen Ge-
raden narullirl sind, indim mnn die Projerlton de» OurcliHchoitüi
dleHer uemdea ins Lnendiicbr fiillcii litüi^t.

r. Scbnvidea sieb drei oder mehrere Uerndeu in «inen eini-
gen Punkte und »ind die Frujeclionen zwetor denelhcn parnllcl,
so »ind die PrujeclioRen »Her p.'ir:ill«l.

(/. Sind die Prujecliuneti dreier nder mrhrerof f^rmden in !r-

gend pinein Prujeclionsüvatnmr purallcl, sn schneldeD sich dieuR
enidi^n in einem einzigen Punkte.

17. Anfgnhr-, In einem Prnji'ctinnssvKieme den Durclisclinitt
der Projeclinu dergestalt zu bestimmen, dass die Projcctiou vificr
gegel)«np|i (geraden im l' 110 nd lieben liefft.

AnnlvBc. Ist Taf. II. Fig..'). tln» gegebene Prnjeilionssy*(eii>, a'
die Prrtjertion von a, und rt» diejeni«c"l,itiir, deren Projcction im
Daendlieben liegen »n\\. A endlich d^ie vi^rlnngto nocli niikekonalP
Lag« dCH I>urc)iHcbni(t:i, so taaxs der llurchAcbnitlüpunkt vnn fl
NUU die P,-ir:iNvle uus a' mit dem Strahl fi in A liegen; ehe«»
niiras der [>urcbKcfiuilt<punLt vnn voi und die Parallele »us a' mit
dem Striihte c in A liegen. Da nun die Lage beider Parnllvlen,
SU »ic die di-r Verhimiung^Iinien rn wnA nua »Im bcknnnt ans*-
Dbomen werdon künacat so iäast «Ich aoch die Luge von ^ M<
Minnen.

Anmerkung. Schneiden »ich ri und die Pnrullele aus o*
■it dein Simbie A id \'. ko kAun man die Luge von A auch da-

187

I

itttrc^~1mttil»mfn , dtan man durch f «In« PornllH« dnrcti po l\tl
(M. Zusalif.).

18. TiOnAtiP. a. Ist in i''m(;n Hrnjertinnssviteme die Ijatce
ips PiiirliHrtinilt» der Projectioo unbestimml prülussen^ &a kuon
oAn ilti'solbr iwmcr. ab«r tiur auf etoe einzige Weise derireitidlt
lirstioiRica, das» die Projeclion einer bt-üebig gcgelwoen (ileradeQ
toi l'nemlliche fxllt.

A. Ist in einem Projpclionsavstenic die Lacfe dM Durchtclinitlä
anliefitimint pi'l(i»«<>n, fio k.Ann iniin dipKfIbc iinmfr. iil>rr nur uuf
eint' eiiixig«^ Wtise drrffPstnIt liesttminen. dass die Projerrion «ia«s
beliebig Keprobenen ^'iererkif ein Pariillrlo||^r:iinm wird, iiidfni m:ui
die Projcrtinn der l>ur4r)is<.'liniltB[iunktt; der i^egcnübersti'benden Sei-
len des Vierecke, iuü rueiidlirhc fallen lässt.

Als Anweudnng dieser Tfaeurie nö^n vorlHulig folgende Bei-
spiele dieneti.

IjClirsatx 1. ' rift Endpunkte einer jeden Diafi:onnlc einpü volU
"' ** st&ndigen Virrseits bilden mit den IMirohscbnittH-

punkliMi diesvr DIngonaie nnd der bnid^n ande-
ren DlaCönuleu des Vierseil« vier liarmouisch lie-
gende l'unkte, und xwar sind die beiden erirtereD
und die. beiden letzteren baroioniub zugeordnet«
PuAftte.

Ucweit. Mnn tirojicire (Taf. I). F'tt;. I.) das TollaUndiq-e Viererk
I II III IV derareslttlt, io.sa die l'rnjertion von SÄ.l' SÖV ein
Parnllvlngrntnm ivird. AUdiinn fallt die Prnjectinn ron b'
in die Milt« von 933^', die Projection von b aber zuirleich
mit den Projectiuaen vou a und c iu« Unendlicbc, fojiflich
itind i&, b't ^, 'b in angegebener Reihenfolge bartn^niscU
liegende Punkte f9. ZunnU cA).
•ebrsatz 2. Je znci geg^h überstellende Seiten eine^ vollstän-
digen Viert'fk^ liililen niil den Verliindiiai^sliniea
dec) l)urcb»ebnittitpunkicii dieser beiden Seiten und
der DurcliRcbuittMiuiikte der beiden niideren Paiire
gegenüberMteiiender Seiten den vüllsliindigen ^ ier-
eek^ barmoniseh liegende Strablen und 2w:ir sind
die beiden er*teren Seiten und die beiden l^t^le-
ren Verbindungslinien liarniontscb zugrorduete
Strablen.

Beweis. .Man {irojicirB da« Viereck I 11 111 IV (TiuL II. Fig. Z)
dcrgCRIoU. dnhi% seine Prujccliun ein PuruIfcloLfriiuiui nird, »Indnnn
fiitli die Prujciliuu vou it in die Alitte der PDijeetiou tun II und
III, Weil die Prtijectiiin v«ii «/? durth den l)nrcbscbtiilla|iunkt der
Ttingatinicii den iirujirirten Par.illelogruijiriia geben miiVN. Die Pro-
jeelion von y fällt aber ins Uiiendlicbe, folglicli sind II, a. III, y
in der ongejjebenen Keihentuleu bitrinoniücn liegende Punkte (9.
Zusatz (/), und mitbin nach a, ü,c^ </ burmoniscb liegende Strablen
niid zwar hu, di»» t/ d<-ai r und 6 dem r/ itugeordnct bind.

LelirsatzS. Werden zwei Ueradvn vou drei udcr inebrercn
Strahlen eineü SlrablifubÜKCbeU geRvbuitteu, und
verbindet man die wet^liaelseitigen Ourrbacliniüa-
puiikte mit einander, ito liegen die ÜarcliscbLills-
yunkle der entep rechen den Verbindungnliiiien mit
dem l>urcb8cbuiUs|iunkte der beiden (Geraden in
eiDcr und deraelbeD Geraden.

Mtß

im-

6m— JO

10
rm— 12

deren Oeaed «anz deatlicli vor Aunreti liei(t.

Mit H * ■■

berechnet.

Hülfe liieser GleicIiuDgen ""hat Foe» difl folgende Ti

i

m^S

ffl = 4

w^5

y

l

1

I

1

'' 1 «

3

•t

3

4

3

5

13

23

4

14

55

MO

5

42

373

969

(

132

1438

70St

7

429

7752

53830

•

8

143U

432Ö3

420733

9

4^3

24667B

33632«)

i

»i=:6

w = 7

« = 8

, 1, ^

1

1

1

' ' ■ i

1 r xii
- ..1s

2

5

(>

it

3

35

51

7»

4

2S3

SOG

819

, -

K

3530

MSI

10472

6

23751

62833

141778

7

2318S0

749398

1997688

8

3330445

9203634

289S9675

9

33950355

115607310

430331633

Wenn mun aus d«n obigen rvcurrirendeD Formeln die Ü

^,, Ay, A^y A^t Af, nacL d*r KeiliB eDtwiekelC» «o w

hält man obne alle Schwierigkeit

in — t

•*'— TTT '

'- ._ ■ (in'~l) (km—S) «w — 6>

^»— 1.2.5.4 »

U. B.

woraus tnao durcb iDdnetioD Bcbliesst, dnsa allgeineiD fOr f^2

(m — 1) (im — i— 1) f;w — r — 2) (rw — « — S) ■ ■ . («w— (2t— 2»

^-^ =

•^' — 1.2.5.4 (i— 1)

181, md es würde oun darauf ankoannen, diese von Fuvb nicht

ureffcbCDC K>dk iDdcpcmlcute Formel nlliircmoiu zu beweiaeD,
welcnea Stoff zu einer niclit Diiinteremanten latersucliUDg gebeo
dürfte. Für »=1 und f=^2 ist uacli dem Ubi^eu

''i — *> -^j ^ j

Srlzeu wir im — (2ji — 2) = ». so erlinlten vrir

Dnd folf^lich i^n — 2 filr m^Z. Also iit nacli dem Obigen für
■1=3 uud M — 2;>2, d. i. «>-4,

g wf«-t.l) («-t-g) ... |2m— S)
1 . S . S . 4 ... (» — 3) *

Für 1*^3 und « = 4 ist nacli dem OLij^n, inmer unter der Vor-
aiDtseticnng, dass » = 3 iet,

Naeb Euler Ut für den Füll M^3 allgenein
j 2 ■ G . Ifl . U . 18 . . ■ (4j» — 10)

-^^^ — 2 . 5 . 4 . 5 . 6 . . . (n — I) '

tsud es wird nDu darauf uukommeti, die (.lebcreiiistimmung dieses
-Ausdrucks mit dem vurber g^ftuodeDcn Ausdrucke run ..^«—3 cu de*
'^eiscD, d. li. zu zeigen, duss für m^A nllgeiaflin

2n(n-hi) (n + 2) ... {2» — S) 2 . C . IQ . M ■ 18 . ■ . (4w — 10)

l.2.3.4...(« — 3J 2.3.*.5.ß...(»t — I)

ist, welches äcbr Iciclit auf folgende Art geiuliehen kann.

Ist die TorBteheode Gleichung richtig, so int auch die Gleichung

a(f()r-^l) (n-i-2) ■■ fSn — 3») 1 .J . 5 . 7 ... (gw — 5) . 2"-«

i . 2 . 3 . 4 ... (» — 8) 2 .S .4 . S.... (ä — 1)

vichligj uud uoigekefart. Ist aber die letzte (iteicbuog richtig, so

ist auch die Gleichung

2.l,2.3,4...(2«— 5)=1.2,8..(»-3).I.3.5.7..(2»— 5).2^a

richtig, und umgekehrt. Wenn über die letzte Clcicbung richtig

itt, KU ist otfcubü auch die Vleichung.

».l.a.S.4...(2»-5) = 2.«.4.6,.(2»-.6).1.8.5.7..(li»-5),

4. L die GtttichBDg

aoo

3. 3 .4 . & . ... C» — >)

3 . 4 . . , (2» — 5) = a . 1 . 4 . 3 . 4 . . . (S»— 5)

riclitig, und umgekclirL Weil nuo die letzte Gleichung eine iitn>
tiscbc Gleichung Kit, 80 iaC hicrdurcb bfienbar die liicbligkeit itr
GitichoDg

ä«(B-|.l) {«-1-2) .. (gff — S) 2^. 6 . 10 . U . 18 . . . (4ii— 10)

1.3.3.4... (M — 3)

für »^4 bewiesen.
Ans der Gleichung

. 2 ■ 6 . 10 . 1» . 18 ... (4« — 10)

-«™-»^ 2.3.4.5.6... («— 1)

crgiebt sicli fiir i»^3 und n^i respective

^,= 1 uud V*, =2,

Trie CS nach üeud Obigen boid nass« daher ist die für den Fsllj
m^3 von l^uler gegebene Gleicbuug guoz allgemein, und lüac'
licbi Tri« man si«bl, aas de« Ubigcu uliue Scb«rierigk.f it ableiten.
Esler bat mittelst seiner Formel die folgende Tafel berechBCt:]

J, =1

A, =2

A^ =14
A^ =4ä
^, =132
A^ -— 429
J, =1430
A, =4862
^,, = 16790
^„=58186
^,,=208012
^,,=742900
^,.=2674*10
^,,=96!MS45
A,, = 353576*0
-|,, = 129fri4790
^,,=477638700
-<,, = 1767263190
^„=6^il2O420
^,,=iM662ö;020
,'*„=ei4S2Ö«3M0
^,,=M.-tO5061S65O
Der Torliegeodc Aufiiatc ist Jediglicb gescbrieben, nicht «*

9»r

den in Rede ttefccndtii {otcresMuten Oe^mBtaDd xa «rMhspf«ii^

Boniicrn Tielmebr um xu einer neuen TJiilentuchang desselben nnzu-
regeo, welche ana aucb nocb dea vnu dr.a oben geoinntto trülT-
liuien frutizüsiscbeu 31<ithcuiatikera mitgctbeilleD Outenucbuiigea
BDcb sehr Dötbig; and in jeder Itozieliuog wÜoscbeDBwertli zu Bein
icUeint. t'orxiiglicb würdu e« nalürlicb ouf die Aut^nitung eines
ganz allgcmeineD Beweisei for die oben yaa um gegebene Giei-
cbuog

. (w — I) (f'ffi-|-— 1) (im — i — Z) (rw — i — ?)...(*«— (gj-g))

• — 1.2.8.4 ... (• — 1)

aDkonnen, und di«M Glcicliiinf^ würde etihveder ans den tos

Fu88 gefuadcnen »currircndeo Formeln durch oltgemeioc Ncblosso
abzuleiten oder nnabbangii; van ilicsen Formeln tu beweisen »ein.
Id leUturer lluzicbaiig dtirlce es vielleicht ungemessea ei;in, zu un-
tersDchen, ob die von den gcuiiuuleu frauzüsischen »athcmatikerD
iti tlcm Fiiile »j^3 angewandten Methoden nicht yiellvicbt einer
VerAllgemeiHerung fuhig sind, xu welcher (j'nteraurhung ich nii-
me&llich die gcnnnnlen Herren si^lbst hier aufiiufonlera mir erUu-
beu mocble. Du iibris^ens Fn»a iiusdriicklich bi-mcrkt, dats ihm
TOD FTaff gcscbriL>lic-ii norden Rt^i, diiis auch er eine nllgeniciue
AuQüBung Uütierfi Problem» i^etiHidcn bube, kd würde »ich Herr Pro-
fciisor Dr. Gartz in Halle die SladieaiiLtiker gewiss sehr verbinden,
wenn er in den, wie wir wissen, in seineu Uaodvn beliuijücheu
nacbgeloitsenen Puiiier^n Pfaffti nactmuchen wollte, ah sich in
denselben «tnigo, der üflentlichcn MKibcilung irerthe AufzeicLoun-
geD über diesen Cogenstnnd betinden. In dem Archive wird den»
Reiben sehr gern eine Stelle eingeräumt werden.

Fuai mucht nin Ende seines AufMntzeti nucb die folgende nicbt
nabeacfatet zu lassende Bemerkung. Alan setze

Z^l-t-^,ir+^aa;'H--^jar» + ^,.»*H-

und

10 ist

(«- 1) /(l -4-^.*-|--4,^' M--i,x' + ^^^* H- . . , .)

und folgUcb, tvenn man differeotiirl,

. '■ I-.'.. 1 1 (l> TTI.

i" ^) H_J,xH-^,Jr' + .^,X'+

C, +2(.',j^3C,3;'-t-*C,j'-|-

"Zorans sicil ohne alle Schwierigkeit die folgeodeo Gleicliungeo
ergeben :

c; = 1-^- ,

in

Di« Auxnlil drr v<-rticlitei]etieD Arteo lu bestimmeii,
auf we)'^)>e sich «in b«liptii|);RB Vietc^k tlurcli Oing'ona-
len in Dreiecke zcrlcs^co Usflt-. ^

r«raincnlariorum T. MI. wird liei der Anfrnbc dfs Inlialta dieser"
AbiiHiitlliiug' erinnert, dass s sumrao oDoduin Geametra *) die Be-
merkuu^ gemaeüt wurden Bei, das» die von Sej^ner hervcliocle
Ti>f«l >iur liiü zu dem Funrxelineck rirlitig^ sei, und zuglricli wird
oboe Beweis eiae schoae, Ton demselben grosiien Geuinetcr gefun*
denc iriiti« iiiilri>eii(Ienti> Primel zur Aiifliisun^ drjt iu Rede nteheu*
den P'iublema. so wie aneb eise bJB cum Fünfundzwancigvck he-
rccLnete Tafel niil^ellieilc.

In Qeue.iler Xeit iüL dicEC Aufgabe von den Herren Lam^,
Rodrig'ucs. Uiuet iiod Catalan, so nie aiicb in geurisüer Be-
ziebiiii;( von Dem) Diiliamel, wieder •uifceaoninirDj und die l D«
terxurbnng Tirxüclirh dnriiiif gericlitet 'woril^tn, geitUirende Hewri*«'
fitr die von Kulvr c;egebene ganz indencndentc AufldsunK xu ün«
den, wobei jed'irb nicbt iinerwabnt bleilten darf, dasR die Herren
Kinet und rntiilan auf ^anz verorhiedenen Weg-en aach zu «iotr
bis jetzt nucb vüUiif uubckanDtcu Rclutiuu ^;elatj}i;l sind. Alle die.
sen (SeReniitund l)elrefl>[ide Abbandlunffeii liiiilet m^in in dem Jour-
nal de ')1allit!mali<|ues pures «t aiivliuuces , (tubli^ iiar Joseiili Liuu-
ville. T. III. et IV.

Der Yorliegcude Aufsatz bat nun zonäclist den Zirerk, dt« e:e-
Dnnnten Herren darauf nutmerksncn zu tnncben, das«, waä denselbea
völlig eil Ii^.'i »(;'■> "u seia sdicint, schon ein ükcrer trefiflicber Mulbc-
maiiker, Nicoluus Fuss, ia den Noris .4ctis AcademiaescientiarsDi
iniierinlis Pi>tru|iolitauae. T. IX. ^%X3. eiuc weit all|(eineiiiere Auf*

f^nhe, die ibin »arli Heiiier eignen Angabe von Jobanti Kriedritrh
*faff vorgelegt worden war, aiigcUist bat. nämlieb die Aufgabe:
' Die Anzahl der versclindenen Arten zu beAtimnen,
anf wcleLe sieb ein Muek durch DiugonaleD io lauter
«teckfe zerlegen lütist,

Die Ton t'uKs fiir diese allgvni^inero Auff:abc gegebene iluf*
losuDg, Mel>-be ebenfalls nur rccurrirvnd zu der gesiictitcu Grduo
gelangt, will icti jetzt in der Kürze miltteilen,

3^'uer»t Ut kinr, Haxt, nicbt jeden »enk durch Dipf^oHolen i«
lauter Mecke gcllieijt werden kann, sondern do^ü. wvno dies m6p
hih Bein'ifBli, zwiüt-lirn den Zaiilen a und m eine beatimmie Rp-
lalisn f^tail linden muäs. und inuo wird sich dnrcb cintj ennz ein*
fttcbe Uetracl;iottg .-idgleifb überreiigep, das» nur entweder n = M,
oder, itidem /- eme l>'eliebig;e positire ganze Zahl, di« Null eiagt--,
scbluüHeo, bczeicbiiet,

Ä = («— ]) + *(*»-2)-|-C«-l)=(* + 2)«— 2(Xr + l)

sein kann. Ana der letzten Pornelethilt man ni^=im für ^^—1,;
und CS kann also nur

l, = (X. + 2)«-2(;(-|-l)

sein, fiir /• = — 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Setzt nan ^ + 2:^«, iIm

/:H-I = * — ^J, 80 kann nur

^ Auf jeden Fall CiiUr.

195

as=sim-i1U—t)

sein, far ii=\, S, 3, 4, \

i. h. far icdps

itiv«

I

mit Aussoliluss Aft N'ull.

Aus der ßcrixchtuuir^ durch wcldie mno zu den Porneln

« = « »d«r « = (AH-2)i» — 2(itH-l)

fnr X*^0, 1, 2, 3, i, gclatip-t, pclit uns^Ieirli aucli nnmitlel-

bar faervor, dass die Anzahl der Diit^oaulcn, uclrli» zur Zericping
des nccks in Iniiler mcck« rrfordprlirb sind, resiipctive 0, /:+\,
und doss die Auxalil dor üneckc, Mclctic oiaa daiiurcli <:rlta]t, le-
spfctire 1> A+2 ist. Setzt mau also allgemein

« = {*-ha)«-a(X'H-l)

fär X'=^l, 0, I. 9, 3, 4, ; . . ., ho ist die Antalil der zu der
Zcrlegon^ dea neclm in lauter »«cke erforderlicben Diatj^onnleo
allgemein /r+i, and die .Anr.nlil der mrclte, welche mnu duccb
dititc Z«rl«ß:DRfc crliälr, ist nllgeinein A--\-Z. Wird alao

»=#■*« — (2* — 2)

(lir J:^ l, 2, 3j 4j S, .... gesetzt, so iat die Anzabl der za d«r
Zerlegung den nvcks in lantrr meckct prfunlerliclien Diagonaleo
»llgemt^in * — 1, und diu Anzahl der mecke, welcbe mau durch
diese Z<.-Hegaug crtiilll, i&t allgemein r.
Wir wollen onn tür

^:=1,2, 3. -1, 5, ..,.i

dif Atixah] der Zerlegungen der eDlsprcchcDden Vielecke iu lauter
mecke, d. b, die Amalil der Zrrlegungen eitirs

Mccks. [2m — 2)eck3, (Itn— Ijecks, ... f jm — (2<— 2)tccks

ia lauter mecke, respectiTe durch

■^i) -A. -^1. -^♦. ^it •'■ ^i

bez«ic1in<n, und wollen zuvdrdentt hloxi «ine Winkel spitze, die im.
Allgemeinen durrh A' bezeichnet werden mag, eiae» {im — (2;— 2J[eck8
betrachten.

Autt Ocr Winkeliitilxe A" laiuien sich oRenhar xnvi Diugonolea
uuBcrs \im — {%i — 2)teckB ausziehen, von deren jeder (fas«elbe
in ein

weck und ein {(»"— I)iw — (Ü — 4)[eek

^thciU wird. Da nun jii, die Anzahl der Zerlegungen des erstern
ID lauter mecLc, ^i—i die .Anzahl der Zerlegungen des letztem ia
Inaler dmecke ist; so ergi-lien »ich hieraus olleobar 2y/, ^,— t Zer-
legungen unsent \iin — {ii — 3)jecl(s in lauter Mecke,

Von der Winkcispitze A' aus lassen sich ferner zwei Diagona-
len uosers \im — (2i — äjjecks ziehen, tod deren jeder dasselbo
in ein

(2jw — 3)eck und ein ](* — 2)m — (2( — 6)teck

selheill wird. Da nun -l, die Anzuhl der Zerlegun^n des erstem
iti IhuUt mecke, y/^-( die AnxJihl ilf.t ZerlegimguD des letztern in
lauter «ecke ist; so ergehen sieb hieraus olien^ur 2^, Ah^ Zer-
legungen ujisera ^iA.y—iii — 2)iecl(i in lauter «recke.

13 <

204

xxvm.

Heber die DifTerentialqnoticnten von log a: iind
a'^ in Bezug auf eine Bemerkung des Herrn
Liouviilo in dessen Journal de Dlatb^matiqucs.
Äoüt \%m. p. 280.

Vdd
dem Heratisgeber.

Cnuchj Litt bek&nDtlich die EDtwicketon);; der wictitif^D Dif-
fereDtiolquotienten der Fanclionen log x uod «' »nf den Satx g%>

Rundet, das« sich die Grösse (1 + 0)'^. wenn sieb der Nall
Bftbert, der Stumme der coavergireodcD Eeilio

I i. * 1 I
' 1 ' 1.2' I .2.3' 1 . 2 . S . V

welche wir wie geivöhnlicli darcli e bezeic1ii)«a wollea, als ibnt
CrÜnxe püliart, uud diese Cnlwickeiuii;^ v^rdipnt ullerdiaii;>t %*ox
besoodcrc EmpFcliltiDj^ w<ril aie als eine völltc^ cicpaentiirc oezeich*
net wirdcn kann, iadem dabei ausser dem Uinomiachen Lebnalte
fdr pusitive gunxc Exiitmentcn und der Lohro ron den ceometri-
flcben ProgrCBsiooen bloss Docti der Satz vorBDsgesetzt ivird, dui
die nEjigfl Kcilie eine cunvergirendc Reibe ist^ und folg^lich eies
bcKtioimlc, vorLcr durcb e tiezcicliuetc i:»uinuic bat, MfUTOB ud
lieb aber s^far leicbt auf folgeode Art ubeneugeo kauo.

Bo ist offenbar für m;>-S

nnd falglicb nacb der Lcbre von den geometrischen ProgreuioaeB

inmer «ii<^3» da «,=2 uad «,=2, 5 ist. Weil duo «>,

^aa M wächst, fortwährend wachet, aber, wie gross auch » wer-

mag> doch iiDi»«r kleiner aU 3 iet, so vuhs «icb f« ofieobat

r«wiiaea beatiamten eodUcbeD Granze itniner mebi uod mc^

205

ODi] b» tu jeden beliebigen Grade DÜbeto, wenn m in*s üneod-
llclie wäcbst, wodurcb die Convergeaz der Reihe 1, -r-, r~^f

■j — 5 — j, .... bewieseo ist.

Ge^fl den vun C'aueliy ^^benen Bcnfin des oben im Eid*
gnnpfc envnbiitrn Satzes hat alier Herr Liourille in Beinr-ni Joiir-
Diil (.'^oüt. \aw, f. 28U) die sebr geg^riiDdetc EiaireDdui));' K^muclit^
duss demKelbeu die Auuabmc zum (iruudc Ücg^, das» das Product

(i-j^) (1-1) ... (1-^) für «=x der l£iabcit gleich

werde, wrlrbes zn-ar dann Bc'ioc Ricb(ifi;kcit bnbe, weun t$ eine be-
stimmte von m unabbiingige Znbl sei, sieb aber dünn offenbar
Dicht mehr bebaufiti-n lasse, Wüun n viin m abbängic;, z.B. n^m
oder n^iw — 1 sei. und biebt sieb dadurcb vetaulasst, dou Tul-
genden Beweis des iu Rede Btebcnden Salzes zu geben, welcbca
wir liier miltbcilen wollen, iln wir ihn für vüllig strenge lialteD, in-
dem wir xuglpirb nicht unerwübnt Insscn können, dtisii itacb Herrn
fjiou vi lies ciffoer Bemerk uns; Herr l.cjcunc<Diriclilet äbuliche
Betraclitunsren in einer seiner Abbuaillungeu nebt glücklieb ange-
wandt liat^).

Wir wollen zuerst nnnehmcii, datts &^ — sei, wo ft eine po-

■ittve g^nze Zaiil bezeichnen soll. Dann wird unser Satz b«wie-
aen lein, wenn wir zeigen konoen, dass die Grosse

■ich, wenn die positive ganz« Zatil fi in's rncndlicbe wficbst, der
Crosse fi nis ihrer Gränze nähert. Oiess lasst eicti aber auf fol-
gende Art bewciseu.
E& ist

1

1

H-

+

«-Hl ' t»+l> ("■

und nach dem Binotnisc^ien Lelirsotze für positirc ganze Exponeo*
! tcn ist

*) In cemen so cbi'n erscbionenui Le^nns ile C-alcul iliffprentiel ec <1<> CnU
eul iiiu'gral, ri'dif,->'ys d'ajircs les uittbnilrs tl Ica ouvripL-s ptibli^g ou
ifif-'liiü .11' M. Cuiiohy. T. I. Paris. IMO. |i. XXII. bar sii-h inviir Herr
Abbe Moigno gegen Alf. <iMge Kt-iiLcrktics il(^.s Herrn Liouvilte er-
klärt, über, wi« ea uiui schuiiit, nii» naiig lialclaren Griiaileti. Auf Je-
den Fall Dirissic (Joch lewic.scn wenfen, fTns» (l^O)^tirh wirklieb
einer beäiimiuien Graun; iixbert, wcun 6 sieb der Null niberl, daa
t

(l-f-f))^ für 6^0 wirklich einen beitimmten Gi-nntWerth bat, auch
fiir's iCr>iv pmu tiLgeseben von ik-r GiÖ^Ne ilic»cs Werths. Abtr üben
dieüeü rHitllct oim Oein auf \t. 3. ff. von Iferm Abbr. iMoi^no c^'^etic-
nen llewcii» gar nirlit uiit J(^r iiÜibigcn SirtMige, urnl iliwen lletveis
trim nach unGCrpf Ueh(^rzeu||tiiii'g' ganz ilie obipe xrra Herrn LiouTilla'
geuacbte xkr richtige und boacliluugsweitlie Einwondung.

207

"T-- o-~)o-4)

.'-Hi/*=«*|-^^-H^^^^

3

+

1 . 2 . 3 ... n

(1 + ^-

1 .2.3... (M— 1)

nieraus folgt aber selir leiclit

<'-*-7*''='-^T+T3+ •••+idrrD+nn;<'+i)+'.

w« E eine €rASfie b»<^ic1lnpt, ivelolie ' f ji r jedf s bcttimmte roil
/u nnnbliSnc'ti;« m sich (tcr Null nähert, wenn /i' wärhat, und
drrseihrn bclifbigc nnbc gebrndil werden ktiDn, wenn nati nur j»
groäs ppnup nr-rilen Us8f.
■ Aiui dem Obigen ergtcbt »cb Onn unniUelbar die Gleichung

li.

.-«*if.

1 . . .n

.i--z5„,.

eil $ und t; pasitire ecble Bröcbe >tod> »o Ut der absolut^
"Wertfa vun

' t — V

H

nie grÖMer aU

.-\yX

!...«•

und es ht ful^^llch, wenn wir den absoluten Werth von r Im All-
gencitien darch t' bezeichnen, der absolute VVertli von

Btc gtäsuei als

-c+^f

1

Rinmt man non n nur gross' genug an, »o kann

1 ^
1 ...» ' n

der Nirll bell«bi£^ nabe g'f^braclil wcrdt^n. Lüsst man dann, indem
n seinen jetzt beKtiminteii Wertli furtwäbrciid bebtilt, ju in's Üneiid-
licbc iV(irli*i'n, »u nkliort sieb nacb <l<;ni Obigen t' •li'r Null bi» zu.
j^dem lielirbig;(^o («radc. und ninti tiebt uIho ttun bi^raus, daSA üicli,
wenn ft in's Lfnendlicbc wiiclist, ,j.^ w^ilj4*4i» .

-(i+if

l.(«

d^ No)f, stao (l-f-~^) der GrHnsc « bis zu jedem beliebigen

Grade uaberlj ivi« btbauptct wurde,

Ist ferner 0} kein |iusiliver BrucU, dessen Zabler die Einheit,
der NeuDBr eine positive ganze ZnU ist^ sondern überhaupt nur

2Ub

eine positive Grösse, so Kiea n Dod /i' — fi,-\ 1 die beiden posidreo
gaozcD Zabica, zwischen deueu der Bruch -^ liegt. Dun ist
1

«

=/»-»-«=^'— ««,

wa K und n' zwei positive eehte Brilcbe sind. Die Griisse (l-)-3)9
ist offeabar zwischen deo Gränzeo

jd+^fi

>«iid (1

entbalteo. Laut man diih sieb der ^lull Däbero, lo werden^
«nd /*' sich dem rneadlicbfin , folglich ubch den Vorhergebeodea
die Grössen

(l + ^f undCH-i^r

sich beide der Grunze e Düliem. Weil ferner x und *' posithi
echte Brüche siod, so näbero sich, wenn O sich der Mull nähert,

J+— und 1""7^ beide der Eißleit >ls ihrer Grunze» uml die

Grössen

Dsbern sieb folg^Ilcb offenbar beide der Grosse e als ihrer Gran».

Da nan aber zwischen diesen Crüssen die Grösse (I -f- 6)^ cot*
kalten ist, so niihert aicli oucli die^ Criisae, wenn 61 sieb der N'ul)
Mäliert, olTcnbor iUt Grüsae e als jlircr Gränxc.

IVenu endlich & oeg'atii' ist, so kano^ da »an sieb Q itt
Piull nahem lässl , inuner augcnommcn wvrJeD, Jass der absulute
Werlh von & kleiner als die iüinlieit iüt. Setzt inan oua uol«
dieser Voraussetzung*

'+e=ri^ ®=-rh- "^-rh-

so i*t AfFenhnr dt positiv und nähert sich der Null, wenn & tick
der Null nähert. Also onLert sich nach dem Vorlterg^clienden

der GräDze e, wuua <9 sieb der Null nähert, and l4-c» nähert dcL
■Dier derselhen Voraussetzung der Kiuheit als GrÜoz«. Folglich
nähert sich otfenbar such

der Grösse e als Gränze, wenn O sieb der Null nähert. Üu
ist aber

209

□Dil es wird sieb also sucli (1 -f-@)^ der CJränze e oäbera, wenu
& sieb iler Null aäberl.
K Hieruit ist nun ganz im .AIIgemciDen bewiesen, dasa «t^« Crosse

Vaich, wenn & aicb der Null nühert, immer der Grässe
I

-='+T + r!ä

1.2.3

1...4

nts ihrt^r GrÜnzc näbert.

Von diesem Satze lä«st sich jetxt die füllende Ann-rnduoflf lur
Entwickeluof^ der Diflbrciittulquolienten der beiden FiioctioncD

y^\og iv nnd y = (»*

nacbeo.

hei zuerst y^Iog x, ho ist

nad folglieb

4P —

dar

Setaen wir nun A.-p = 0ar, so iat

4y _ log {^ •*- g) _ log ■ (i-t-e)^

Wenn ^.r sicli der Kuli naliert, so uiihert sich offenbar auch @ der

X
KpII, «nd (l-t-Ö)** nähert sieh fulf^licli der Crnnze ^, wie im Vo^•
berg-eti enden t^csvigt wurden ist. Also nähert der üilTi-^renznnqno-

tient ^ sieh der Gräuze -^. wenn ^of sich der Null näbert.

Die Grenze, welcher der Olffenzenquotient T-; »ich uHbort^ wenn
^o' sieh der Null nähert , ist über bckunntlich der Dlffcreu-
liati|nolienl -^, und es ist folglich

-— ^ — ^ — oder « loir .r ^ — (te.
rf.r * "X

Sei ferner y=a*' , so ist log* y= x log a, und folglich

Iftg a

Daher ist nach einem hekanoteu lÜemeotarsHtze der Dlffercafial-
rechnung^ und nucli dem Vurbergebendeu

<tf 1 rf lo g ff leg g ^ Ivp g

rfy log « ' jrfy "~ ^ Iftg «f ^ 4*»^ log («"

Nach einem andern bekannten tfatxe der DifFereotiaIrccbnung ist
aber

Tb*D 1.

14

210

dx thf d^ -

dtf ' "Sie "" dx '

und folglich

dx— dtf-
Also ist Dach dem Vorhergehenden

^ = ^ «- oder rf. «- = ^ a^da:. .
_ dx log e log e

Die ans dem Ohigeo bekannte Zahl «'betrachtet man bekannt'
lieh als die Basis eines eignen logarithmiscben Systems, welches
man das Batsrliche oder hyperbolische System nennt, nad
bezeichnet die Logarithmen dieses Systems gewöhiOich bloss dard
/. Ist nun Ö die Basis der .durch log bezeichneten LogaritfaBen
und JV eine belieliige Zahl, so ist

also, wenn man auf beiden Seiten die natürlichen Logaritluaeii
nimmt,

log JV . I6 = ljf oder log ^=%
Folglich ist

log»=^=-g,
und daher nach dem Obigen

rf log iif=:-^, also dZr = — .
Ferner ist

Iog« = 2j. Iogc = ^ = ^,

alw

'.Off a ,„

und folglich nach dem Obigen

211.

XXK.

[atlicmatische Bemerkungen von dem Hern»
Mujor und IVitter Dr. (r. W. Müller zu
Hannover.

I.

ICuklid sTelll folgendcD Sntz nn die Spitze dos llXcn Buchs:
,,WPDn zwei unjtlficlic firiinnPii K^geh^n «iod und m wird vod der
prÖwereii mnhr als die llälfrc (oder nuch nur die Hälfte) w^-gge-
nuiflincn, von dem Rtstfl abormnla tnrlir ati die Hitlftn (oder aüeli
nar die Hüll'ie), nnit dies immer so fort: so bleibt einmnl ein
Rest, welcher kleiner isl, itU die i;ea;eheiie kleinere («niese.**

Silin kiiDU dicäem Satze fulgentfe lirweileruog gebep:
,.WeDO vun einer gegebenen l^rösse G der mte Theil, d. h,

, — -fjr't KfKeenuBiiacii uirtl. \na den bleibeodcu Koste wieduruiii

wi - -

dcMcn «trr Tlieil und dies immer so fort! ao bleibt einmal «in
Hat, welclier kleiner ist, >U jeder ftcgcbene wte Titcil der
GrÜsse G.'''

BenniB: Es bczcicbne O deo rteu Rest, lu bt

(U «* "

(«-0 o^.»Lzil)'. G

(1)

fi)

Nun wird f?<! — .G sein, wenn i ^■^'"Oderf- — -

,,, « ' an ' ^ « V«—

also, auf beiden ^teiten die LognriHimen genoinmen, weoa
r^liig M — log {m — ') ) ^ loa; « d. b. r ^

l) >».

ist.

iup m — log {m — 1)
D« DUD io dieser Uczieliung «v uod v positive Zulilenwurlbe bedea-

len die irrösscr abi 1 sind, so bat der Quotieut , ^r-^, vt

einen in jedem TOrliegenden Fn[le angebbaron poaititon Zablen-
«crlb, uiilbin kann die Hir die gnnz«; Aulil r getordrrte Itedingung
jvdeftmiil erJ'iilll werden.

Ks lolgt abiü hieraus, dasa durch Fortifeizung der WegsAhnn
■Ics nl«a rbeüs jedes Restes «iumul ein Uttut kuuimcn wirdkleincr

14*

212

wi« jwler (TPirebeiic Tliell i^r liriitw lind aucli (im so nelir, wmd
liei jeilf^r Wcgiialiuic bocli tn^br nie der mtc Tlifil geuoutmeu winl.
Itci itcr l,fhrc van der ('()nTerß;«nz tlfr Rcilitn lüast sich van dte>l
scm erwt'itprlcn Salze nütiliche Anirrniliinf^ mnclien.

If.

tt«i, d<>r Biltlung surccbüK-rr Difft^rensrrilieit nufi einftrici GruuJ-
tf'iht lüitft »icli <lic Frage nufwerfcn .,wit^ nnd ana wckhea (ilii--
(lern der (•nioilrt^ilin nt (Ins aIr (jliril drr »rtcn DifTcn'itzri^iiie >»•.
MiinineDgeMClzl^"' Dt« K^aulwordiui; uiril durdi fdig'enilü contbi«
natorLscb« Itctrai-lituiig sebr erkiilitert.

Es sei «, /'. r, r/, . , ciue Itfihe vun tl«ment(!D, buk <Icii«i
dnrrb 2iMfliaincnstellung vnii je zwei hciinrJibiirlcii <^iiic lt«*ilic vno
CompIcxianL-n «^. £<:. r//, . . . gebildet wird, sn eolstclit in dle^r
letzleren jvAp iiai'1it»l[c«nde 1.'uni|i]rxi<in dadurch «us der vörlirr-
f^cbtndcu (.'ouiitlcxiuu. duiu jcdvB EIvmvDl mit dnia näcbstliiilierei
rertauäcüt wird. >Vir(l aus der so ^^cbildctcii Reihe Auf c^eicbc
Weise ctu« neue Kcibe vuii Cum|>lexiuutiu er&öc, /fccU, , . . durge-
stellt. Bo gilt in dieser für die Kiitiitcliun|jr einer uacbtui^endcn »tu
der \orher)^elienden Coiii[ilc\ion duitMelbe Gescix; das lnicb-iip V.\e-
ment der nneht'i)];^pnden knmmt ntnn nirlit in d«r rortiergcbcndeB
und doli niedrigste der i*orlj«.TKchendc[j nicht in der niirhtnla;i!iidci
l'om|>lcxion vor, die znisctiGiilie^eMilen Kleineiilc sind alit-r m bfi>
den zus;)eicli vorbanden. Kint! ueui- Zusatuineitstfilluua: rou SK«
bunjichhurlüii l'unijilexiunvn wird «Un du niedrigste LleoicDt der
TUrbrri^elienilen, das hiicItHte der »achfoli^fiidcii und die zuisclm-
licii;eu()tn tDJemeutc beider cnth«ltcu.

Iliernu» tnt^t, dii!» in jeder neuen Reih« von Cnm[»lexioii«ii,
die dürrb Zuäuiunicnatelluui^ v»n je zwei benuchburten Complcxio-
Den einer vorlierffrhpoden Krilie gebildet wird.

1) ;i:de iiiiehfulgcndo t.'aiii|ilcxiiiu aus der vorhergehenden dnrck
VcrtaiiscLung der Eleinen'e mit deu uüclisthubcrcii eHiatlei
wird;

2) in die ZusEimniEnsetxunf; jeder romplexion ein sureeKttive« Ek-
ment mehr eingeht ul» in die der rorherf^bcndcn Reihe.

Da nun in di?r llen ('oin])lexii)nen- Reihe in jeder Cooiplexioi
"2, suecessive Elemente vurkunimen, su entbiilLeu die l^jmple.tioDRB
der 2ten Rellie 3, der .Iten Rei,he t und »llgcinein der Mieu Hvib«
(w+ l) KUfTeHHiv'^ Kletneiile. IIuü AutunifB-Elemenl dvr t'omplcxi»!)
hi-atimml ait^h dabei dureb die St<>l1e welrbe die rniiijilexiu» in ihrer
Reihe, cinnimml'; e» \it diiä gleirhhtibc Klemenl tiuti der Iteibe der
mcmenle, d. fa. diis Kleinent, welches io dieser in der gleichhoLM
Stelle vtirkouiini.

Die Zahlen welrbe die Zusammen setzune der Conplexiosta
ftat) den »uccssiven Klein tönten itnG;:ebca) sinü ftir die Mte Cooi-
piesionen-Reilie die Bini>iHi:il>('i>etUcietiten der mten Fntens. IIrdo
offenbar «ind für diu Itc roniide^ionen- Reihe a6, tic^ rt/, . ..jene
W'tederboliiniirsziiblen 1 und 1 die KinominUI'oeflicienien der lieu
PotCDE, desgleichen für die :^te Coinplexioneo-Keihc a&öe^ &e/tif....

213

i
»

die WiedcrholiincpitiuhlcD 1, i, 1 die Uindmial • CocfliciCDtcn d«r
äteii Foleiiz, überhaupt aber setzen sicI) lini der Zusatnmfnalrllun^
VOD zwei bconchbarten Complexiuiicn iler rlcii HeMie zu etuer Com-
plexiou iler (r+l)teii Rcilic ilire Wie derb otuu^&znblcu ebi'ii ho
Tür di« neue ('fimplr-xiuu zusiiinmcn, wie, bei der Zu«aniiii«R!<lelluiig
d«r bcidrn l'artial-l'radtikte dfr rt«-ii Foti-nz dcrs Riiinniiuins in den
ersten ond itreiten TLeil des Binomtotna zar Darstclhinr der
(rH- 1)i^n Pnti-nz, aich die Itinomi&l-Cocflirii'nten der rien I'otRns
za denen der (r-H t)ten Potenz znsnmuipnsrtzpn •).

Ria liiebcr ist fiir die iirillimetisclic KezU-btJiig iler Zusammen-
Stellung rou je zwei bennehbarten Gliedern der eiuvu Heilic zu
einem Gliede einer ueueu Reibe uiclilii uu^cuumuicu uoriJ«n. Fügt
mun die Beditigung hinzu, dass dus vorliergebeuüf ülied mit eol-
geireitgeselxtcni Zeicbeii zum uacbtolgcDÜcii liinxugesetzt werden
soll, itie es das Scliema

a, &, c, . . . .

«Ä, Äc» eä, ....

ai^c, f'ccä-, C^Tt, . . ,

aMOccctI, Leccfidäe, cdääewf, ....

besop^, wo das — £eiclien über dem r.lciucntc ons;ed«utci mt, ho
K linben die in zwüi licuucliburten Cnmiileiiionen (lerinritirn Reihe cut-
V liaUeuFii gleiclieti KEeiucutc entij;'e^i-rige6(>Lztc' iCeiebe«, und da bei

der ZuEniniucnslelluiiir zu einer neuen ('omiilexliiu Jus Zctctiea iu

liesop^, wo das — Zeiclieu Über dem Elemente oni^edeutct int, ho

linben

halteuf

der

der vorliergebeufleu uiiigekebrt wird, su Ix-koinmen dodurcli die

g^leiclien EleiiieiiLe uns beiden einerlei Zeitben^ nümlirli dnsnelbe

was aie in der nachfolgenden biittcn; es Üudcrn sieb also die Wje-

dcrbnlHng.->zah]cii nicbt, welche für die neue C'omplesion hen'or-

g'ehen. Nun bttt in der ersten Cnmniexiontsn-Reibu diis letzte Ele-

■tent der Cumiilcxion das uräprüuglicLc -\- ZcicLcn. miiliio aucli iu

jeder folgeudeu Cumplexionen-Reiliic; da ferner tu den (.'um|)|eiLii)'

DVU der Isteu Keilic dim Zeiclicu vuu Element zu l'lcDicnt wccbsell.

■o wird CS aucb iu den Complexinnen der fülgenilcn Reihen v»n

Klemeot zu Klement wechseln. Zur Anwendung auf die vorliegende

Fmfi^e aei die Grundreibe durch

iuod die wie Differenireibe durch

+ y«+ ...

I) I 1

■"iiy-

I J) 6 4 I

1*0^1
1 5JUt0 5 I

2U

«•gcdeattjt, Bo ilaa» daw wie auf (Iar Anfauftuglied folgende CM
für die Grnailreihi- durch y», für üie mIc DiDferenz reihe durch "j^y

,bf-'zcictiiict wird. Läs»t biüd duu die vorhia uebr^in-btea cumliiiu-
klxriHcliCii tili'iauDtu a, 6, c, . , . die (ilivtler tlicHer ^iruixlreibe b*-
T/Jlcuteu uud der Bei(UPiiilicJik<-it des Vorxc'tcliGna wcf^rn io deu CoM'

|df:xioncB die l^lciueiitc iu fulleuder Orduuiig- auf eio»iider rult^üii

sü ergiebt nick UDmittrllinr

Heb «JBr^

bczeichuel , •»

wohüt "^r den rtf^D Rinotniul-CoefSeiculeo der mleo Potenz, iloi-

w» f jw— 1) )*x — 2) (w— fr — D)

i.a.» r

Anaa "So« = 1, -18,=/« i«t

Womi fflnD wiederum die Anfnnpsfrlicder der Grund- oder
Hnuptri^llic nnd der sacce^ii'en lliiTcmni reiben je zvte'i und twci.
duK diu; b rollende zu dem v»rbcr|^bundeu addirt, w* crbült laakder
Folge uacb die ersteu Glieder divMr Reiben, au» diesen auf gleich«
Weis« die Reihe der zweitea Glieder ii. ». w. f. Uie Anfant^i^linir;
in den ku erbulleiieu Reiben itiiid die «iuc<'essiv»?ii Glioder dpc tlaii|>l-
rcihe. Die vorhin iingcstellte eumbiuotoriscbe Itvlrachlun^ \a.iH
sich hleranf numittelbar anwendeD , indem man dif AufnapsgliFd«
der Reibru nU die Elemente und die |iHaro'eist: ZuiSummeDatTltuif
•Is ctue Additiun anhiebt. Man erhält also

(I li u

oder fallend geordnet

S'A.^'-AyH-'-aS, "»-'iy-t-^''SS, "-3iy-+- . -»-'•a?,■*-•■Ay-♦-..;+yl■
r» rj II (I

Siebt mao die Hauptreilie ya H-yi +y» "•" • * • H- y- + •-
■elbst als die erste DifTerenz reibe eiuer sumnatorisctien Reibe an. '

deren Arfanorsglicd jsl, + .¥, H- A', -|- -V, -*- _j- A'« -f- . . ,

•o bat man ilurcb Anwendung dcrtielben Itciruclituug

I] » •■ ■> J

vodurcb die Zuf(ammeD9Ft:zun)i^ den Kummnlorischen Cliedea der!
Hanptreibe au» ilirem AnfnniCseliede und nus den AnfnDa;5^Ueilcn
der successivcD DiftercnzreibeD^gegcben iv:ird.

2I&

XXX.

8oliitiu casus irreducibiUs optica oder Tri-
sectio ut maltisectio anguli optica.

Von dem
HciTu Professor C. J. D. Hill

an iler ÜniTcrshif au l.nntl.

(Nach dtih Sclitv«4Utl>«n At* tJerm Verfassen von den Uemi Ooctor
CrepliD HI Greifsnald.) *)

Es seien OXX" uod ßX'X" (Tef. II. Fig. 9.) iwci gegen
iliescllH' Kliüiic winkolreclitc, um O Iicwepliclic Hiaiittfiico^el and ip
ein Winki-i, dfsarn Tlieüiing; liekatiot ist*"), z. I!. em recIiltT
Witikpl. Mint »«hniu nuu die Linie OX, die wir durcli X be.
zeii:litirii ««llcn, im, und H*tze die bekannt« (»roBse XS<p^e.
Sa\l dann ».. lt. der Winkrl ij> in drei gleiclie Theile gctlieilt ««r-
lieo, DO nehme man die Linie (>JC"'^= A'" üu on, dass X"'Stif = c
[.iilt ood findet dsDO

vcnn die Spirifel so iim gcdrcitt werdee , doss ein von dnui
Piiitkto X. wiilrher so wie dtT Punkt X"' vorher durcli eine Älc-
tallHiiilzc ndcr einen Diaiiiatit ciiiKeifCrabeu ocin ktinu, auäirobcudvr
Straul AA X" uacli zwei Rcflt'iLionen auf den Punkt A"
ÜfUD dann Ut der Winkel <p'^</^ tfi"^<p'\ ferner

y'*' ^ 91" — w ^ y — 3w ;

fällt.

*^ Ich balTe, dass der Sinn des Hemi Verfs. {'ilierall riulitlg gotroffeD sein
«rird. G.

D. h. tv*kii4>ii uon, vrenii tiberbsupL-dio Aurunbv diu Tlieiluni; eine»
«gcbfncn Winkels in « gln-icbc Tbcilc ait thcilon verlangt, in /» gl^itlip
Tli*ilp XII thi^ilrii im SNiniln ii>(. Einen »olniben Winkrl MÜrilv mnii
KJcb immer leiclit dailurcb liililcii können, äma iniui Irguiiil eütcn belie-
bigen Wink«! H mal neben L-inantler legte. G.
***) Statt des bicr tiebraucliteii Zcicbtii^ ut .M«liL iin Maiiuscripte uinJ in duu
Fifiurcn ein nur schwer crkrnniiiirM Zrii^hfn, dessen Stelle durch tlon
Duch^tabcn cu, nio ich glaube, iwcckiuassitj; vertreten worilcn kann.
Sifi beiLeatet immer sin f. G.

21«

t, wenn 0X'= X', 0X' = X" gcwMxt wf^
X : \'=S^' : ÄV,
X' i X"=AY : Sf',
X" : .V"'=Ä'g-.'" : -Vfr";

>Uo romponeDdo

folglich

X 1 X'"' = Sy"* : %,

Wir machtCD aber

.\'"Äp = c=X%.

Also ist iS'(|(''";=.Vy», nnd folglieli 5p""==::^jc=(p— 3w (oder ^'"=V'— S"».
w«DO Tff^2}c. u. ». w,), truraus |0 = |y — tu, w. x. b. w.

80 Wkflmmt miiD aucli, wenn X^S^*'^c iai, nncli vier Ke-
ücxiunca \v*'-> wobei man 'Htl'. II. Fig. lU. 20 vcrglcicbca hst,
0. B. w.

Anm. 1. Es vcrsiclit sicli, das« amerekchrt auch 0X^^X^

nach Gefallen ongenommea und OX ^ ^— ^ gfmacbt werdf»

kftDn. Dies ist jcdocli oiclit tio gcoan lu der Praxis wie iat
Vurige.

Anm. % nie Tritirctio aognli kann aacli darth eine eiixige|
Kctlpxion hewerkstclÜE^ werden.

Denn ea sei der Winkel .4Cli (TaF. II. Fi«. 11.) ff*pelAo.
ABfi «in lireis uud D ein g«(|^Mi den RndiuH Cti und die KiiPar'
des Krcisfs winkelrG<!lilcr PluDanicgcl, uod ps w«rdc ein anendlirh
weit entfernter Gpsi<-Iitsp»nkt (Mirt'j M für Avn üb«r /f hiniitis ver-
liingrrtcn Radius ^7/ gc.iuclil. Kprniir we.rdc der S|iiegpl D npltsl
den) Radius C7> so liioge t^cdrclit, bis der Punkt ;V durrli Re-
flexion von dem Sjiiegel D nun dem Punkte .-f gerade iu dem dorrlt
einen Oiamauts trieb nugedeuivten ÜurcliBclinilispuokte d«s Radim
Cli mit dem fjpic^el gesellen wird. VerlnDgcrt mrin diinn Cfl
über C IiinniJH bis "njirb R, n» isl der Winkel ECB ■=^\ACH,
oder der pjcffcLenc Winkel JCB drcigctlicilt daniii CE. Denn
rB ist derWnkel ECB= EDM= EDA = {ACK, und rulglith
ACB = ACE-^ECB^{i.+ \) . ECB =:Z . ECB, wie !«•
faauptet wurde.

Anm. 3. Dies wird leiclit auf den Felde oder anf einer 'Jlieil-
mnsehtBc bewerkstelligt.

m

XXXI,

Icbutigsaufi^ulien ftir ScLülei' *}r

I) Mnn soll bcwcisPti, <lnäs immer

— {a-a,y-i-i6~6,y

ist.

2) W«

gcruiic Lioie nacli Jci

ind milt-

ausseru
icro t «riiaiinis«? iiiviii, so wird das V«Tli<t1linHs dt^r ItcidvD Sc^
niffiite zu einander dtircti dcu in*« riicntliirlie^ fo rtluufentlc Krt
■ tenbmeli

1

1

1

t

drticlir.

3) nie Ziililca ^ und 3/ so zu bi:srnnmen, dut» dtc Summrn
Ä-i-y und .t' -J-y' villkittiiiix'ue Ouadratznlileii werdeu.

4) Es »ei .-1^ ein lieÜebi^vr krvisloirt'n, ZI dWKcn Miltelpuokt,
KU daita iininlir.il Are yl/ß = Ari: UU inl , und R ein aiidnr^r be-
lieitiger l'unkt iu domsellic». Mim hoII betvcisen , duün, uu maa
aucb den Punkt E iu dem Kreisliche» AD nnneliirion niug, immer
Chnrd fl_/-|-rii.ird /?//>■ Clionl ^,/-J-Cli«rd /:// ist.,

5) Die tulgcudnn KigcnsctiiifitDn der Tungcoleu der Parabel
sind zu beweisen **).

Es Bi'icu Uli eine Purnliel, d<:rcu Bri'iinputikt P ist, die drei
'FüDgeuten Ait^ Cl), CE gezojj;cu, su liudeu die folgeuileii Kel<i-
tiooeu Stau: •••)

a. Her von zwei Tniififentcn fth ihrem Dnrcliflclinitts|iUDkle g;«*
bildete Winkel ist der Summe der von iliocD mit den n<icli ihren
IterÜlirungsiiHiikten gezogenen Veclurcu eiiige^'^liliisseüen Winke)
{gleich, d. b. es ist a. ^ uiiCE=.LCDF-\- LCEF,

°) Nach einer von Herrn Proffssor Dr. Mdnsin;* tti Erfurt mir geniiichieo

giiü(teu Miltheiliing «erclen \\\ Cambriil^e altjäbrlich die AiirK"''"")

wdchc bei ilen Prüfungen itcn Schülern ^gnlten \varilen, gedruckt.

Ks Mud inn mir die nötbigeir Verainttaltiinptn petrorfen wimli'n, dass.

< diese gi'ivivs viel Gutes cndiulienden Aiilßubtii uiiVgllcliNi zeitiK iu

>» nicjnc llän'le gclnn|;cii, tinil Herr Professor i>r. Mtniin^r ^vlril dir CtiU'-
hnbrn, «hu ilraix'liliarE' auf ileriivellien im Arcliive luiizuclieileii.

**) Die&e Eigrn.srlutfieii iUt P.irni>i>l sind nu.'i oinein -sehr litsi^iiNwerilien
kleinen Aursiilzn ilt^ lli.'rni Ihruci^irs Kli irik «ir 't\\ Huitilnirt^ in dem
Jahres bericbtu clur dnrti)[mi maUiein. Gesclhr.li. für 1840 Gtiüennt.

"*•) Die Figur wird sich ein Jeder lekbt »elbsC tntwerfen kÖunen. Die
TonRcute AB \w%\. zwi^^chen den xicii in C schneidenden, die Parabel
in li tind E bcrrihrcnilcn Titn|;pntrn Vit und VE, »hneidci die erat«
in .1, die tneiCe Ju B, und becijbrt die Parjibel in 6>'.

2LS

b. Der von zwei Tnag^nlco «n ilirem üu^cliHclitiittKpuakte ge-
bildet« Winkel i»t der HiMitt d«« vou dvu oucb ilirea BenilirUDgi« '
pDiikten cCczniiODfti Vcctorcn fincrticlilossciieii WinkrU irlfricli, d-b.

OS i«t z. B. L OCf:=\i_OFE.

c- l)i(! vutii Hr«iiti|iuiik(fl niioli ifpni nur€bHr)iinttH|iunklc swttitf
Tfiii-riMilon ireziiu^eoe gerade Liuiu luilbirt ilen vuu deu riacli den
BeriihruatTüpunkten der beiden TaDgeoIeD f^ezogeoeii Vecturea eii-
gCHcbloitHCiien Winkel.

d. Der um diis durch A'w drei BD die Parubc) gczogeoeo l^is*
evotcu gebildete iJreievk AßC bescbriebeue Kreia gctit jcderxrti
dardi den Br«nDpUdkt der Parabel.

t. biß Eulfcrnuti^ des Uurclischoittspunicicj zTveicr TanpriMi-
ten vom Brennpunkte ist <}■" mittlere Pr»[torUonnle zwiitclien dcu
uac'U dvn UurÜliruugspuukten {(i'zugeaeii VeclorCD, d. Ii. es iot x. H^

ar : CF=^ CF : EP

f. Die Uuadratc der Eulfcmunf^eu ilu> ÜurcbscliDittsfiuntiCct
zweier Tiingenteu vou iiiren Bcrübruu){S[iuukleu Tertislteu utcb wii
die iincb den Berübrunj^jiuiiklea gezogenen ^ ectoreo und wie dii?
Producte der Kntfernun{;en ihrer Endpmiklc yum Breimpunkle.
d. b. tiA ist immer z. U.

CD* : CE* = FD i FE

und

Jß^ : CD^ i CE^=F.-IXFß : FCxFD : FCyLFE.

t^. Zwi«cliea den Seiten de« Dreieck« .J!/Idiudet immer tlit

(fleichunt^

AB X fC^ ACX FB -»- Ä^X FA

tu Aucli ist immer

AD : AC=.RC t ßE= GA : GB,

' 6) I!s xiad zwei Paukte A und B ihrer Lüge nnch g;po;el»«ai
■tan »oll die («ige zweier tinilorn Punkte C lind /> heatiniai».
weon (in denselben die Winkel .f^A B€D uai ADC, BDC f:*-
messen worden sind.

Diese, dem Potliennt'dcben Pnibicme Kbnlichn Aufg»b«, fÜf
welcLe iu den .MiGci-IIco ciuc AuOüsuuu: durcli die iinalytisrbr (ito-
metrie gegeben worden ist, soll Bnwnlil durch blosse gcitmi-triscbe
('uiistructionvn, als uuch durch die elemeulnre Trigouu metrie auf-
geloüt werden. Hei der AuäriHUng durrb geoinetrisclie (.'nuMruclinu
'Vird miin zuf^lcich duranf zu scIien hohen, dnsü dieselbe für ilif
gewölmlirbe McsstiBcI(|irftxi3 (wie z. B. liaa sogenannte Riirk«rt\r(i-
eiuBclincideu in der Feldmesukuust tu Bezug auf diiK Potheoot'scliv
Problem) wöfflicbst brauchbar wird-

"i) D«n Auadraek m nin a. — « »iu ß auf die rum x no f i>>
bringen,

8) Deu Autfdruok m co» « — » «m j? auf die Form jr co»f> in
bringen.

\>) OcD Ausdruck m tuDg a — » taug ß auf die Form ar Uingf
Zü bringen.

10) UisD Ausdruck jbv rot a — n cot ß luif die Fona a? cot f
«u briugeu. ,.. ,^, „,, mh ■

2)9

II) £g sind ^^i, HH «in Paar in C si«h Hchnoiilcnil» ^rade
Liaiim, uad />, £', /' dr«i lixu l'unktii odttr I'olv, Urti i^erndc hi-
oicu, wciclie dBreli (Ups« 1'oIf gchcu, drehen Hieb s» um ilifsnlben,
il.-i5S der nurcbscli[iitUpuak.t der vod ^ uud J^' iiunffvlivuilcii imoivr
ituf dttr Litiie ^/,/, di-r LliirciiKclinillM)tuiili,t der vun A' und V t\\\s>-
{{elieudcn iinoK-r auf der Ltuie jtf/7 lif^t: niiui fluclit drn g^ounctri«
Mclicn Ort des Dureliacliailtspuakts der van D ubd /* susgelicodrti
gerade» Linien.

\%) l^iD ^eifelieaer Wiirkvl drrlit sicli in seiner Klienc tto, das»
der eine MrlieiiKe) dp^isflliftn imiiier durch eiuna der \a%v uarli ^c-

f;ebGDCu l'iiukt t(clit, dur Sebcilel über sicIi Imiuer au|' einer iler
«ni^e nacli ^«gebenen geraden l^inie b^'fiiidet: ni.in sut'lit die Curre,
wreTche vHd dum andern Sclit^Dkel de« Wiokclx iu neiucB vcrscbiede»
neo l.»Ke.u Hleliif l>erübrt wird.

(Dieiie Xufgiitic ertWdcrt dio Anweudnnii^ der DißereDtiii|>
rcfiinuiig.)

XXXII.

Mlsccllcn.

In Nr. 4I{I d^rr A stronomiscbeii Nucbricbtcn bat Herr
Proftriuor und DirecLitr HaiMeii iu Neeber^ eine iriUT<*ii<tanie
ccudäiiHctie Ant'ifabe init(fel:hc:ik und nutgelüitt, welcbe dem Uauril
bekjiniiicu Pothßnot'sclien Problem, da^ bekannlliclt die Oe<
Stimmung drr Lage eineg Punkli'x nuH drt^i ifft^i-briico Punkten
durcli blo«>e Wiiikelmcssungcn im dem zu bestimmenden Punkte
verUincfl, an die Seite ^«sclxt zu Werden vcrdiciit. W'wn^. Aiifgib«.
welche nbriji:eu8 uiclit neu ist, uud sieb z. U. schon in J. H. tob
Swiudeo'ü Bleiuenteo der Geometrie, au» dem l)(flläudi-
Bchen übersetzt von C. F. A. Jacubi. Jenu. 1834. S, 3?L
irigoiiometmeb nufi^t^lnat findet, ist folQ;ende:

Wenn zwei Punkte der LuK<! oncli ffcgeben lind, bo
soll mnn die Liigü xweier nndern Punkte durcli blosse
WiakelmCBäUugeD au dcu lelztcru, ohne diese von den
g-e^cbenen Puukten uus zti beobachten, bestiumeD.

Hine Aufliixnii^ didsps iali.>rcsBiinteu Prubleuis lässl »ich ubne
liestoiidere ScbwIcrrKkeit aus den in dem Aufanixn \r. \|V. in deut
entcn Hefte dieses Tlieils des Archivs f!;ef^ebenea Fornicin herlei»
teo, wie wir jetzt in der Ktiree zeij^ii wollen.

[He beidvn der Lu^e tiuch {tegcriciiBu Punkte seiea ^i' und y/,',
nud ihre Coordinateu in l(ezuj{ auf ein beliebiges reehlwinkliges
CoordioutetLsvstvm seien .e', y und ä*/, y/. liic beiden Punkte,
deren l.agr hnNtinimt werden hoM, iteieu '« und A^, und il>rR Cour-
din&len in Rczug utif diisficlbc System seien .-r, y und .r,, y,. An
dem Punkte A messe man nun %c beiden ISO*" nicht iibersreigen-
dcn WiMkol A'AAf, At'AAt , und elieo 9u tseniw nuin un dem

220

Punkte .4, üi« britkti ISO" niclit üderMtuigcudcu Winkel .f.tiJ.
v4,'.j,.f, 80 li'it ■■an ulle IKitu, ni^lclir zur Itfstitiiinuuf^ dtT l'uur«
,diiiiitoii ^, y und .r,^ y, der liciitcb ir<''<'<'l"CD l'ankte A dnd J,
Uttlliiic sind, nin jotit grzfisrt wrrdi-n kaII.

|)i(' Entferiiuni^eo des Vunktra .1 v«ii (Itii PunkU'n -•T. /*,'
wollten wir durch ^, ^,, die Kutfemungnii dnit [*uuktei .-J, roo de«
l'ucklco -'!'. -•/,' (lurcb g', y,', di« Kutj'cniiiiig .4A, der ^nsitcktfa
PiiuklK .-t und y^f, von «inmidpr durrli r bekeiclinen. Denken wir
un» tVriior durch den Punkt yt ein d«nl |»rimilivon Nysleni« der jry
|iariill«k*K Cootdinntensv"!''« d'^r S*/ gi-lfgl, »o soll drr von dwr ■>)■
ni(! .-#.':/, mit dem |)osilivcn Tliritc (Irr Axe drr ^ fint^rifohlnssfii'
Wiiikcl, imlrm man dii-Den Winkel von ip.m ^nsUivtu Thcile dfr
Axc dnr $ ho durch den recliCen Winkel (|i;) biudurrh van Vb
560° zahlt, durch 9:^ bezcicliuet ucrden. l;beu so nullvu wir, neou
wir uns durch d«n Punkt v/, ein dem priniibiten Systeme der ^
liarMlIeic:« Syiifein dor 5, »Ji p^'^ff' »^Ptikcii, don \«i> dt-r leinte ^,.1
mit dem |iO!iiliven Th*ilc «Irr \xc der § cingi^srhlossenrn Win-
kel, indem ivir ilietieD Winkel von dem [loaiiivcu Tlieile der Aie
der ^, nn durch den reehlen Winkel {|, i;,) liindurch vnn l) bU
StiO" zählen, durch ^, bexpieliticu. Oii-K vurauege&vtxi hüben i*ir
niiu URck den (>leichun^«n 2, io dem AufMilze Mr. \IV. offeabw
die (ulgenden Ausdrücke:

1.r, :=ar + r cos jp, y, =yH-r flin ^;

a^' = jc-Hp cos (^H-a)) y' = y-t-e sin (SP-K«);
^,' = j? + e, eoB (9-1- /S), y,' = y-}-p, sio (y-t-/?h
und

ij:=af, -l-r cos y„ ff=y. +»• «in S>,i

.t/ = jr, H-p' cos (y,-f-»,), y'=y, -4-p' sio (*>,-*-«,){
;r/ = ^.-He,' cos(y,H-jS,|. y,' = y, H-e,' sm(y,+(9,J;

wo, wie aag:lciL'L erhellen wird, die (■riiseeu u, ß, a,, ;?, aus dco
fi;eineHseni?ii Winkeln iinmi^r leicht geruiulen werden kiinnru.

Aus den erslea Ult-icliuiigeo in den Nj^tsleniun 1. uud 'i^ ffllrt

BIO y^ — sin fp,f cos y = — eos j»,,

also

wn ^ CÖ8 V, — CO» 91 «in f , =9in (ji — ^,) = 0.

oud folglich

y— y,=wr, 9., =5p — »Ä,

wo X eine, ganze Zahl hezeieJinet. WKre diese gante Zahl genulc.
8» wlire

sin 90, = sin y, eosyi,^cusy,

da doeb narh dem Ohis^cn

Hiu 91, -^ — sia y, cos tp, =^— -co» 9

ist-. Also ißt X eine ungerade Zahl, und folglich

cos (y, H-oJ^scoa (y-f-a, — xä) = — cos (9'-^«,),

sin (9), +a,)= sin (91 -f*«, —xtr)^ — sin (9> + a,),

itaJ

221

COT (T,-t-^,) = eo* (f + ßt — iwj = — CM (y + /?,),

«in fy, -1-/?,)^ »in {^-hß, — 3en)^— sin (^-f.^,),

DaliRr liahi-ii wir jfixt nucli dnin Oliigfn zwiär.hrn il<'u zi>bn unbe-
kuniiteu GrJisscn ar, y, x,, y^, q, q,, q', g^\ r, (jp ilie zetiD ful-
gvtiden fileichungen:

je — *, = — r cos gr, y — yi = — r sin y;

jt' = j + f CO» (y-H«), y' = yH-e sin (y-Ho),

[ar,' = ^H-e, co»(y4-|S), y,' = y-t-e. «i« (SP + i?};

'.r,' — .r, — (?,' CO» (qp + J?,), y,'=y. — P>' sin (<f -|-'^J;

aus denen hIko die in Beil» stehenden zehn nnbckiinnlcti Crtiuieii
zu licbiiRiiiiL-u siud.

Kliiuiuin DtuH Q, Q,, 9'. 4,'. xo behält mau div seclia füllenden
(■Icirhungen:

i/r — -r, ^ — r cos y, y — yi = — '' sin q»;

xwisclicji dt^ii »«rEiN unliRkiinulon GrÖKScn x, f/, .t,, y,, r. ^j.

Durrli Vetliiiidunsr der liciden erston mit den LcidcMt Krteti^ii
[Talcit'liiin^en «riijllt uiiiii

t/—a~r »iii T , / . 1 Vi' — V — »■ »in T , . ,

ar — X— r CO» V e \» ' i/' ^-^ _;i-_j- cos ^ s '1» ^ ci^

[(.r" — of) sin («jp-f-«,) — (y— y) cos ty-(-a,)^r ain «,,

I(ä-,'— ^) sin (VH-I?.) — (y,'— y) coi (y+/«,)=:r aiu ß,->

Ulli rolglivh dun-h Divi^ioti

R (•'^ — •*•) "'" (y 4-«i) — ty— ») «"" fy + " il. __"■" ff,
■ (.)-,• — .r) sin ('/ -|-(^,) — (y,' — ff) c** f^+^j ^i]] ß,'

liringt Hinn <lte zivcilen (ilAichungcn in '1. auf din Fiirin

oder uuf di<? Purin

80 erüalt man :ius d«u8i.'ilien Iriclit

(y' — y,) *•"* (y-«-j')-~f-r' — -r,') sin (y-f-p)
»in (tt— ^ '

cos (y + «)

. , (y* — y.') CO» (y-H^) — (■*■• — «-,'> an i» + j> ).

»"■V— sin tu ~T) ^''

«n ty + «J

^-a:=^

2t22

tw» (v -I- ß)

")

S.

, , df'—S/j) gp" (y-t-ff) — (j^ — x.'> »in (y-«-gt

■"• y— sin (g - ft)

Führt niaa oun diese Ausdrücke für ic' — ^« y'~y« J7,'*-ff. i

Vi'~^y i'' 1^1*^ Rlcicliiing 6. eiD, «o wird dieselbe

(j' — ji') Sil) (y + .'Q— (.y*— gl') c<ts (T-j-fi) niii <rt — «,) ain n,

(j:— ^,') am<v+«) — ly — y.) cosf^-*-«) ' fcin y — jS,)'^"si4 ^,

oder {

7 (** — ^1*) «" ^y-*-l*) — (y — yi'> *■•"« fT^^) ain a, sin Ijl— jl,) j

\X — *i') *'" (f + «) — W — y. J '^"s Of +") »i" ^, sin (« — «il»']
Aus difxf^r Glr-irhi)n(^ könnte mnn nun triFlit lanc: ^ enlnirkstti,
und so zu der AtiflÖHUDg dor Aufgabe gelang«». Ucästcr wird nufl,
obrr uiif fuls;endi.'- Art verfahren.
Aus den Itddeu Gleicliungvn

S. j!'— jr/=Ä coi £, y*— y,'=rt sin /;

bfRlimm« niun auf Irkunnte Weine die beiden Grössen /t ond £',]

SD bat mao nacli 7. die Glcjcliuug

ain (y -t- )^ — g) ^ sin «1 hin (;j — i8(t

bin {y>-^a^£') sia |j, »in (n — n,)*

alpQ, wie man hieraus, wenn mau auf beiden Seiten die Eiobeüj
addirt und sultruiiirt» und datm dividirt, leicht lindct:

and folglich

-. < ii I I / yi SSV "^-'iimn, iintj*— ^,>— siDjS, sia(a— ii,|^

Berecboet nan aber dcD HülfKiviiikel Q nittelst der Funnd

11. j:s f'*n ß. sin (« — «,)

11, tong0=-; — ^ TT — T—.

= sin «, sui {^ — ^,r

HO bat man zur Ilerecbnutig toh 9^ nach 10. die Formel

Vi. lang {A'— i(a-|-|J)-ip(=:taiig S(«-W «a"!? (W +0).

Aus 3. ergiebt sich

*y—if,'=e »in (?+«)— pi »in (sr-i-ß)-,

und folglich

I (j'— J.) ainj'f +f?) — (y — y. ) casf.f^j))
^~ sin («_j»)
fg'— J^t'] 8in (7 + c) — (V— y,') ms fa + o) .
^' S'UI (K — ^) '

223

^h— „ »in lv-*~ß — Si _^ « sinCv-t-«--^
'• P— " sin i«-fH • *• — -« M„ ,„_js) •

Ferner ist nnch 3.

^ — ^i' = — e' CO« (SP-4-«,) + e,' C08 (5P + j?,),

y* — y,' = — e' flio {yH-a,)-he,' itia (sH-/?,)i

und folglich

15.

I , (Jr—j:,') sia (y ^-g,)— (y— jr,') c»a fy + n.)

P' — «in («.--(».)

16

1 ^ „ sin (y^^, — g) sin fy ■(-«, — £)

iPie CoardinnteR ^, jf und dr,, ^i ergeben üeli oun mittelst <Jer
Formeln

17 /** = ^ — e '^<*» (y-h«) = ^,' — e.coü (y-l-jJ)t

IhdcI
IS

= y'+?' ein (y + «.)~yi'+ei' •*'» (v-f-Cj)-

Sie Kutferoung r aber crbült mno nilteUt der Ausdrücke

COM 71 »in ^'

iicksichtlicli Jrs Winkels 515, welclier SlKl" nicht iiltcrsteuft, bcmer-
Bn wir, diias tÜr dcnEelbün die ubi^en F»rni(.-In xwri Wertlie lic-
ern, die im Alliti'iiieiuctt von der Vorat (f und tpH-Ü^O" ^iuil. Von
diesen beiüeu Wertheu hut mau jcdt^rxeit deujeuigon zu nehmcu,
^vc-kbcui uvsitivc H'erthe vod p unct p, eiils^rccheu.

llie AuweiiJuiig', weicht Uerr PrufesHor und Oirectnr IlaDBeQ
011 der IVahnii-heiiilichkeitKrcchnniig uuf iliese AuCguhe gvmuchl
Qt, musa man n. 0. 0. nachieheD.

Ka scheint uns wiinschenswrrtli, dnss fiir dieites tnleressnotc

rublrin such recht elff;;-antp Auiliiäun^cu durch die vlemcnlare Tri-

fgonuniclric uud durch hlv»se ffcuuietrische l*on»tructioDeii ffej^ebea

twerdvD, lelzterv zutflcich mit »i^rücksichti^uug (l(?r MesHliHcTiprnxis,

c dien bei dem rotheugt'scheti Prolilei» unter ilrm Naineo des

ückwärtAeiii»')jijpi<len8 in dnr Fcldmcsskunst hcUaiintlich srhitu

ielfach geschehen ist. Wir wcrdcu aulclieo AuUdsungeu gcro

lineo Platz in dem Archive ciDräumen.

224

T XXXIII.

C r r e s p n (I e n z.

AnsKiig Ulis rini-in Krliri'ibeii dr-» Ilfmi Diri'ctorsj

NizKc nm Gymuiisiuin zu 8lrulsun(l im den

Herftusgebcr.

Stmlsutid, 4. Juuins IMI.

Erst in den gegenwürfig^cn Plingstr^rien liabc ich Zeit gcviD*
ti«n köuiicti, <liiH «rstc llet't IbrvM Arcliivs xur Hniitl xU uclinri.
lieber dus llntcriiflniien neltist linbe lob mirb ungemein g-efreal, dii4
sollt« icli von Z«it zu Zeit Ilineu Kl^inic:kcitl>,lt bi?isteu<*r(i kfloura,
SU wir<l *s ntil Vergiiüpcti ursclielien. Hir diesinal FuIfTPOiles:

Ml ßd xucFbi nur ilcii \lj:i('Luill: ..Aufgabvo für ScbSIcr."
Dabei' intoresitirlcu utiub die UunfintcigiTfebi'u rorinela , bei •lereo
Nsclinscbnnng icb ab«r eioigv liruiigeo gfl'undvn zu bubcii glsuli^
■vretcbc leb nur imzugebcn crluube.
Nr. S. masit lieisHcn

siu (ö — ^) = V cos i(u — ß) sin |(« — 7-) cos \(ß — ;•)

Nr. 12. cos »^(« -f-/(-|- ;-).... =:-i(I-f- CO» a cos rf cos r\

Kr. 13. sio H(a-^ß-^y). ...=2(1— cos a c6s ß cos r)

Kr. 1*. cos »o-H ^•i{l+i:o${a+ß} con(a+y} toa{ß+r)\

Nr. 15. Kin *«-|- ^2(1 — tos (ö-J-jJ) cos («+;-) cv*(ß-^-rm

übt BilJteut^eiger sieb verscbrieticii , oder trugt der Ketzer m\
Schuldl*) I

Bei eiocr andern llirer Aufgaben bin icli Gofort auf folgendej
klciuigkeil geriillüii:

Aufgabe. Ks soll auf einer gegebenen geraden-LJ*
iiiv eiu Ki*bteck contsiruirt nerdeit, dessen xwuiie ÜtiU
ii u 1 b 8 n g r » s s i H t . n 1 M il i e D i Ji g n » I e.

In TaY. II. I'ig. I'2. ist .WA' die iregcl-pne gerade Linie, JB
willkijiirlirb, ß/J—iJff, ,t/A = v/Ä (= .M-).

LcbritBIx. Wenn die kürzere Seile eines Reebterlii
halb Sfi gross ist, uU dessen ftiagoniile. und n-cnn matt
uufder kürzeren iiieite detteelbuH wiederum ein RochleciJ
coosirairt, desseu zweite Seite die Hälfte seiner Dia*
goiiiilc int, iragleieben auf der kürzeren Seile d!e»ti|
neebtncks wieder ein Kecbteck ton derselben Bescltsf-I
fcubcit, und so in infioitum, soverbalteosiciidic ISng^
reu Seilen aller dieser Rechtecke wie

I:l/|:l/^:|/^:l/^:l/i

Aiiin. Muii wurde die Aufgabe und den Lehrsatz nneh snf
das recktwiiiklige Dreieck bezicTien können, dessen eine Kalkctt
lialb so gross ist, nls die Hr|iolenuse.

*) Weder der Hcraiuigehcr, noch drr Setzer, mich der Corrector tapn
die Sirliiild. Hii/i!tLßi'icer litit mcIi. ^vlc irb ilurcli das nocb in n(^
neu llänilcn beliiLillinbe Kliitt nacbwciscn L;iiin, nilerdinj^s verschneb«|V
und Ilerrn I>ir«eior Niiic ediiihrt daher dt^r grösstc Dank für i»
NacJinuisuDg dieser Scbreibfeuler. C>

XXXIV.

Analyse des ^qiintions d(5tennin^cä pRr M
Fourier, de niit>titut roynl de Frauce, secr^
tairc perpetiiel de Vacad(^mie des Nciences.

Premitre pnrtie. Paris. 1831. A
Grundziia:c der Lehre von den nuDierischeii
Gleicitiiiiiiteii nach ihren analytischen nnd geo-
metrischen Eigenschaften. Ein Supplement zu
den Lehrbüchern der Algebra und der Diffc-
rentialreehnnug von M. W. Drobiseh, Pro-
fessor der Mathematik an der Universität zu
Leipzig. Leipzig, 1S34. 8. *)

Von dem

Herrn Professor Dr. Gnrtz,
III Halle.

Jean Bi)|>tis(e Jus. Fourier (gvborrn tu Anxtrrt: in der Bour-
•M Ära '21. !tliirz 1768. peHtorhpn xu PBria d»n 16. Mai t.S30) ist
_ Vfrfosacr tinor ncburfsitinigrn Tltcorie der Wiirmc, die scIiad
ATPgL'ii der darin ^pbrutKrhlfii nn:il)'lisrlit>n MetlHMlcn ili<' Aufiiiurk-
5aaikfi( jedes .Mullti-oialikcrs verdient, und inuiichur trctDirliiMi der
[taribcr Akiidciiiie dvr \Vi»!i?nscti;<ften vor([«lrsfi:Giieu AbhundluDglMi
uod UiotFrii|>lii<^D »tirli in Ucutichlnnd ^clion lÄniz^r bekuDot; crnt
oB<fli iM'inviii Tilde iilier lernten wir ilm al» rionjrni^en >)uDn ken-
nen, welrlitm die vorlicr »cit gvraumer Zeit s^leictiäam stilUtcb^tidtt
n'isf*CDsrlj!ift der Al^rhra ihre wirhliEntci) neuen Foiliichrittp und
KrwcitcruTigrn vcrduiiki. l>er nun aucb scliun vurstiirbcne Hrrnu«-
gebcr drj turlirgcnili^n U^erkit, Novier. weist io seiueni VurlicricUt«
BMs binterUsseaeo l*a[iinii'n F.'s nncli, dam Fnarier scboo in sei-

•) Obgleich Fourirr's luTÜliimea Werk »tb«ii im Jatirc 1831 erschienen
ut, HO iiC t^f «loch bfi VSVitcnt nocb ßklit so aVlj^cmcin [gekannt unJ
Terbrciiet, wi« es nai:b K^ioeui bi>cb\Ti('liti|;eQ Inbalt« Terilirat. Des-
halb dürfte die in diesem Auffiat» gej^cbene eben so p'ünilliche als
voUslänili}!" Aiiiityne denaelb«!! atii^b jetxl iincb vielnii l.eNrrn >n|tenebm
und ileiti 7.\v«tke «Icm Archivs vut[knu]tni;ii cnts|ircchrnil H«'ia, wobei es
xujfleicli zn'ci:li|]iaMiz Kubitii, eine kurte Analyse dea lluclies von Dro-
1)ticli damit zu -verbinden. G.

TMII.

15

226

nem ochtzebntco Jabre vlrlr. rno den RntdeckuDjrcR g-itmuclit hatte,
welche in vorlirgcndetn Werke mitgotheilt ncrdcii. Spät« r , in
Jahre 1789, überreichte 1-'. der |iari»i4fr Akudcmie eine AuLandlDnir
äbaliclien lulmlt'«, und trutf iiiicIiiiihIn (im Jiibre 1797) ulx Lelirrr
OD d«r |)iilytcctiaiac)icit Sclitite seinen Krliiilcm diese Kutdpckun}(en
Tor. F. grbörte za den Celcbrien, welHir Bnn.-ipiirle auf selscB
Zaire Dncb Acgypti;u mitimlini . un^l suclite iiucb n-abrc<nd seines
Aufrntlialts in jcttetn Lsml«» sein« neuen Aii»irliten witcr zu tat-
vickeln und zu TervutlstündigeD . wovon mehrere dem vnn d»
Frauzu^en crricliteleii ..luolitut von Cuiro" überreichte AbhnndtuD-
g-en zeiigea. Nncli Frankreich zurnck^ekehrl kiim «r, wenn «cbvn
nicht nlinc llnlerhrecliungfViL, welchr; zutn 'i'licil durch die Slaats-
veränderuDf^cn in fleincm Vaterifinde licrbeig-cfiihrt ivurden, wieder,
holentlirli auf dirsea (■egi^nftrimd zurück. linier dru Kebon er*
wabiilen vun ihm der ueurn |)nri»er Akudemii^ niiliretbrilien Abband-
luDgcu, welche über nucb nicht alle gedruckt siiid. beztvhe-n strh
li«r auf die a)ge]irni)4<rh« Ati;ilyBt«, KudÜcb «otitcbloss sick F. alle
LM)oe bierauf beciiglielien Arbeiten in einem i;r»rtiicreu Werke la*
"lannen zu fiis»cn^ kaum batlc jedaeh der Tlruck dieseü Werk»
begonnen, aU iko der Tnd übereilte-. Leider fund sich nnler sei*
■eu Papieren nur der varlicp^cptie erste Tbeil Tnllständig für deo
Druck vorbereitet. Für dus rebriife fuudea tiich indcsüpn . nseli
Navier'fl Ausui^e, zuhlrcicbe Malurialieu gesuunielt, und c» i^t nur
XU wünschen, da» dteüelbi-ri recht bald, wenn auch oicbt rerarbei-
tet, dem Publikum mitg'ctbeill werden nitig'cn. — Wir wollrn niio
den Inhalt des vorlie(,'''nden rrsien Tbeila ang^ebeo: Auf doa Aver-
liascBient de l'^ditcur (S. I— XXIV) folgt [ti. 1 — 5) die Vorred«
des Verfassen, worin er sieb Über die Wicfaii^kcit und den Nntxea
der Algebra, über die Verdienste seiner Vurgiipgvr und den Zweck
seine« eigenen Werk«« auH8[incbl. Hieran Hcb)ii-ssL sieb (S. 7 — 14)
eine Kinleituof^. welche zunächst in gedrängter Ki'irzv die all-
Riäliligen Fortschritie Her Mg'ehr.% seit Dionhant äno^ieht. F. er-
klärt »icb bicr Hcblcchtbiii tfeg-en alle Versiiclie, we.lcbe hrzwe<keB
die Wurzeto der Gleichungen nllcr Grade durch Formeln danV-
sicllcu, weklie der cariiuniscben Furmel aualug wJiren , indon d*>
durcb nur sehr verwickelte Transfuruiuliuoen rrlinlten wiirdeir,
worin die Wahrheit, welche man sucht, mehr als in der gcj^rbeoeB
nicicbung »elbäh, versteckt w.iro. |jcil*uitzcn<< und Tscbirnhauttw
Ansichten bicrüber seien unauafiihrbar. Des \ ertiu^erx eigene« Vm<
üubreu sei keiue Cunibinntion der elementaren Rer^chi Über dk
Wurzclnusziebung, sondern eine iVIclbndc sui generis, welche uf
Iflvicbzeitigein Cnkül aller Coefiticienlen der vorgcle^t[!^ GleiehODir
beruh«; Hie. weiche Tun Lagranee'ü AuRt^sung der nuincrinclieu
Gleichungen ab, und gelte auch lirr die Lrlcralgk-iehonueu. luf
itUägi^jietzt wird bei dieser neuron ülletbode uusser den {cewuhnlicii»
Flementen der Algebra, die KeiinCui^.s der Difl'rreuliairerhiMiii:; '■''--
soudefh die Eiitwicr>etUDg nlgcbrniricher Funrtinnen in Keihen fni»ri
dem Taylorseben Salze) jeditcb mit Hinzufügtiug di;a Restes, wrna
ninn eine solche Reihe hei einem beliehigeu GÜede »hbrichr. ^Dck
ist einige K^nntniHS der nralytisflieu t>euuie(rie nolbwendi»*, weil
dadurch die treftliehsle Versinulichung der üllniabligen Vcräuderun-
gen in den VVeriJien einer Fiinrtinn /\'.r) nnd eben dadiir'^h tr-
teichteruDg iu der Krlurijcbuug ihrer EignuHrbaflen mngtich mri
Der Verfasser ist oQ'cubar durch sulcbe gcomclriscbr Betrat cbtoofrn

auf dir- nieinlen seiueT Rnttjcckungcn eckommeB. — Vor den B«>
sinoe der in dioacni ersten Th4*ile PotLalieneti zwei Bilci«r seines,
dem Plane nach, nus Bivlcn BUciicrn l>cs( eilendes Werkes, giebt F.
eine rvbersiclil ulicr von ilim für die Tlieuric der Glcicbuu^tn ge-
wunncDcii Resullute (S. 25 — S6), aufweiche wir zurQck kummeo
wollen, wenn wir die vorlifgcnden ersten xwei Bücber in näbere
Befrticbtiiiig geiL<ii(ea biibca werilen. — Huck i. fttelbode fdr
jede rtclk' Wurzel xwct Grenzen zu beslimneo, (zwischen tvelch«
diese Wurzel falil,) nnd das Vorhandensein imaginürer Wurzeln
zu erkennen. — Bedeutet m eine ganze positive Zahl und ist
Jt=:/(ir)^ar"-+-«iJr""*-4-«i.«™^'-i-«,a:"-*...-|~fl„_tX+tf«

und X'=/'(,r)=£. A"'=/"(.r)=^, , A'(— ')=/(--«(:r)

^£^' -^"•^=/^**(-*-J=J7^- "" '»' •''"' das» alle reelle ffar-
zeln der Gleichung A^O zwischen den Grunzen ~-^ und -f- ^
liegen, und Ansa gownlil für jt^ — ^ als ftir Ji:r=+n Jede der
Fiioctiüoen \, X', A" . . . . A''"^*^ einen uucHdlichen ftcrth er-
liiÜt, de>&en Vorzeichen lediglicb von dem jedesmaligen ersten
Gliede der Function abhitngt, während A'^**'^ 1 . '1 , Z . . . m
eine poüitive Constante ist. Ordnet man dnlier die gedachten
FaDClionen so:

A(-3. At— «, . . . ^ A', A^ A

und setzt unter jede das ibr zukommende Vorzäcb», iw «rliält
ntao otfenbnr

A'"3 AI--" A(«-« X(»-« X" X' X

(fiir-*)-t- - + - =b:^=fc

(fiir4^) -h H- ■+■ -»• + 4- -*-

ff«not mnn also zwei auf eioander foltfende gleiche Vorxeichen, wie

-I — (-oder . eine Vorzeichen f^»lge, dag-egen zwei aufein-

«nder folpende einiinder enrgi^gonge setzte Y'orzeichen, wie H

»der — H- (>inen \nrzeirhr n wccbBel, so »iclit man, duss in der
Reihe ftr — J lauter Viirzeicheuwechscl, in der Reihe für -f-J lan-
ter Vnrzeicbenfulgeu vurkomnteo^ und zwar, wenu die Vorzeicben
von A''*^ lind A nur einmal, jedes der iibrievn aber doppeU. u.1iB>
licli in Bezug mit' dtiN vnrhergehtuile nad in BczUq; auf da« Fol-
c^iidR Vor-icicben beriieksiclitigt werden, erh.-ilt mnn in der Reihe
( — ,'.) grade so viel Wnicirbenweclisel, in der Ri-ilie (-f- s) so yicl
V'ontfichcnfnlcen als der Grad der gegebenen Gieiehiing X^O
betrügt, uäinlicL m. E» muss also die Reihe At"', At™-",.,.. A', X
beim llcl»erg;iiige von .1^:= — ^ zu a-=H-^ alle .11«! w Vorzeichen-
wech-iel vcrUerrn. Du jedes Glied dieser Reihe eine stetig«-! Fanctian
von :f ist, so kann e* nicht anders sein Vorzeichen ändern, also
vom l*ositiven zum Negiititeii »der vom Negativen zum Positiven
übergehen, aU indem va den /\viai:henwnrlh Null durrlilänft. Fou-
rier zeigt uiin eben so einfach als klar 1) diiBs Jedes Mal, wenn
jff einen Werlh erreicht, di'r die Fuuctiirn A^O macht, ohne zu-
gleich eine von dea derivirten Functionen auf Null zn briageo,
uoihwendig ein ZeichenwechTie) verloren gehe, d. b. Hieb in eine
Zeichenfolge verwandele, und dass, wenn'iA? nocbler weiter bii i
unnnterbr neben wächst, die Anzahl ilor Z eiche nweeh sei bei keinen

2^

auf a tolfrcnden Wertbe tob x n-teder zanetmcn kSoBe; 2) dura*]
ircQQ .r einen Werth errcicbt, der die beiden letiten edisr Birbrer«]
¥00 deo leUltn unmittelbar nuf einiiiid^r t'oljri'iiden . . . X'', \', X\
in der obinen runktioocnreilic vemcliniDdcn mncht, (wii» bcknunU
licli ein Hcrknial von elieo so viel einamlcr a-lrichen WanTplii drr
Gtetrhung A=0 tat) alle Slal «heo s« viele /cidieuwerlis«! ver-
loren {>:eli<!n. 3) Wenn niclit die Slummt'tinrtinu .\, wolil niicr eine
'rnn ihren DeriTirien oder h auf rinnnder fnigende vitn diesen ftr
' 'einvn liestimmien Werlli tun .-r vvrschuindcn. werden »Ite Mftl,
Venu » gerade ist, aucli n Z«ictienA-ccbsel verloren gelten; wenn
ll^l^^ n ungerad« ist, eulw«1or m— I oder »-4-1 ZcK'li<>nwceliBel.
In ditii Fitllcir (:£) und {%) su wenip; a\% in dem F«lte (I) ninimt
die Aoralil der Zcichenwerliscl jemals wieder zu . wenn man x
tortd;iuernd wuchsen lää-<t, — Hut die i>Iciriiung .\=0 linier
reullu Wurxeln, su inuss die Funrtiaii .\ . flÜlircnd a: von — J bis
H-Q unuotcrbroebcn uäcii^t, m Mul auT Null cel>rach( iverdcu. wd-
diircli dünn «llc m Zeichenwecliiel sich in Zeicheiiful^en verwnn-j
dein, lind inilliiit kitnn diinii diirc-li ilcn unter 4^) aufgeführten Fall
•\eia Zelelieowi-chBcl verlcirea gehen. So oft iilso dnrrii diesm i
Fall Zeichcnweelisel verloren gctien, deutet dieses auf imu^inilre]
"Wurzeln, nnd zwar judcs Mnl nuf eine gernde Anzniil derselbeij
wie eü Kein muas, dtt in einer raiionnleu tileicbiing jede dnrin enl-
balten« imaginär« Wunel a-{-^l/^— 1 stets dsü VorfanndepxeiB
ihrer eonjogirteji- « — ß\/ — 1 nothw«ndig maekt. < — Um nun xu
entdecken, oh xwisehrn zweien (irnnzen a und £ eine Wurzel oder
mehrere Wurzeln der gegebene» Gleichung liegen, »ubi^iiiuire luo
für ar erat tr und nacblier in der ufl erwiibnlcn Reibe von
Fuociiouen, und unlurt^uche, ob div RcHi« für ^^6 noch eben so
viele VorKtriclienwea-hsel kntje. als die für jr = (7. Ist die»» der
Fall, so liegt zwischen tt uod l> gnr keine Wurzel der Gleichuag.
Hat nber die Reibe für a;=.h «inen VorzficIieiiweeliHel weniger
uls die Kcibe für ar^a, hd lici^t xwisi-hen a nnd ti eine reelle
..Wurzel. Hat die Kuihe für :e^0 eine ungerade Auzalil ^Ji-f-1
■•Vurxeiclienwerkäcl weniger uIb die für a' = «. s» liegt zwr!<cliea
's uod i weuigstcps eine reelle Wurzel; e» können aber iu diexca
Falle auch 3 oder 5 u. b. w. überhaupt eine ungerade Anzahl reel-
ler WurceJn zwiiicben a und fj Hingen, jedock nickt mehr aJ«
'i»-(-l. Liegen nur2r-Hl reelle Wurzeln in diesem Zwisrkei'
»ufflR, so sind 2/> — 2r imaginäre Wurzeln durcb die lerlureu g«.

?augcucu Vomeiebenwecbsrl uugudcutel. wek'lie Wurzeln F. fei-
ende (ruciues iiian<iuautc8), Herr ürohiach pa&sender verloren
gegangene Wurzel, nennl. — Hat endlich die Reihe lür o*^^
eioc gerade Anz.ilil 'ift Vorzeichen weclisel weniger »Is die fir
x^a, Bu bat dj» Gleichung \ = io jenem Zwischeuraunie eat-
weder gar keine oiler '2, oder 4 u. b. w. oder dberliaupt eine ge-
rade Anziibl "Zq reellu M'urzelu. die ztvii^ehen m und 1/ fulIrD, je-
doch nicht mehr aU ^pi zugleirh erkennt man aber daran«, duz
auch 'Ip — 'iif ioifiginäre Wurzeln vorbanden sind. — bleta al»
deutet die Anxatl der im lieljfrgan^e von vr = w zu ar=^(i verlo>
reo gegangenen Zeichen Wechsel auf eine cbcn so grosx« Antabl
van M'urzeln, wtdche entweder alle reell, oder von denea eine
gerade Aozuhl imiiginär i»!. Ist z. B. X^x* -^Ijk* — 3x*^2
so iat A' = 3a:»-f-4a: — 3, a:'' = Üa-4.4, A"' = «. Wein aai

229

also rar jv, vie es lier leicliten Berectiounf; wpffcn KunächBt inmcr
(Ceacliielit, ilie üiieJer der K«ibe ...— 100, — 10,— l, 0, + I,+ 10 ...
aclxf, SQ ertiält luan :

X*" X" X' X

(-10) -h - + -

(-I}-f- H-

(0) -H H H

(0+ H- -»--H
woraiia erliellct. Juss iwisclien — 10 and — 1 eine r«IIo Wurzel,
zwiBCbea — I und g-ar kein« (Tunnl liegt i unil daes zwischen
.x-^0 nnd a.'=: 1 entweder zwei reelle WnrEeln füllen; wler itoci
drrjflricticii verloren eei!;i)ni!:en sind, in wolclipm lelxteren rnlle die
(•Ificliunp t.we'i imiiginhrc Wanrln Iml. Wie man enlderkc, Tun
n'ciclicr \utur die zulclzt i'rwiilinrni Itetden Wurzeln Rt-ien, dnrühpr
■luclilivr. — Ivoiunit es bei der Einwendung dieses büclisl ciafcirhen
Verfalirens vor, Aaes riti tür j; subslituirter Werlh a ein Glied
oder iiiclirere Glieder der FunctioDeiireilio X*«"), X'"''-1J, ..., X', X
iiuf Null bring^j sa giebl eine leiclite, aus dem Tajiorsrbcn Satze ab-
geleitete Regel nn, welche Vorzeichen jenen Functionen btizntegeti
neieiij sofern .v^a — w und sn fern ar^a~\-(i> gesellt wird, wo
u> eine helir wenig' vun Null verschiedene tirüsse bedeutet. Man
tiraui-lit nämlicli diiun in diesen beiden Reihen nur dieäelbcu Vor-
xeicbeu i^ir in der Kt-tbe für ,v:=:a zu setze», du »ber, "0 in
letzterer Reihe (»lieder versrbwindeo , b»t mno für .r =: ff — ' w,
Vorzcirbenweehgel, fUr ar=za-i-ü>, Vorzeiebeofolgen zu »cticn
lit z. It. die Reiiie

0—0 00 + 0— xo ist »ie
1 ( 1 I--I und

fir a — tu •+■

fÖra+tu -+- -t- -t- -»- -H H . ^^ _

Ist nun di« Auzniil der Vorzetchei)wecliiel in der Reibe für .r=« — tu
etwa ^^7 >u dt^r fiir .«-^^a-(-(K aber ^/', nn deutet dtess auf
A — A- ioias^inäre Wurzeln, sft in dem oben oagrfübrlen Uei8|iiele
uuf 6 dergleichen. Fuuricr nennt dies«, die Kegel v»m duppel-

,cen VurzcicIlCn, ~~

MuD siebt leicbt. dass die Regel roo Dcscartea, tTonacb n«D
au9 den Vorzeichen der Glieder einer Gleii'lmog betirtbeilt, nie
riele reelle iiositiio und wie viele negutivr Wurzeln die Gleichung
bÖchfilcDS b&DC (fäUcMicb die harrlotsebe Rciifll gennnnt), nirlits
weiter aU ein Corultitr der bisher nugegeboneu Sätze Fnurier'a sei.
Denn setzt miin in dcu Fuiu-iionen X, X', . . ., Xt"-», X*"' da»
^r=0, io werden :iic, zu Folge des Muc-l<nurioticlien f^ntxta, gleich
Produkten aus den jmsitiven FuLtorfo l, 1, 1.2, 1.2.3. ..•-., 1.2~.J«
in die Coefficienteu der Gli>ii'buug X^O. Wenn nuu duliet nun

Mie Vorzeichen dieser Coeflicicnten mit der Reihe von Vorzeichen
fUr .r = — i und fiir .r = -f-i vergictcbt, so gicbt diras die Ke-
gel des DcucurtB». OITpubur ist iihf.r dir Regel FonrLor'it weit
gehnlircichcr, du sie zugluicb hcutitninic endliche Gräozeu uogiebt,
XTrischen wolchca nun einzig und allein rcielle Wurzeln zu MicLca
baL, und auf die eiafuckB;» Weine zur unnaherndeu Bc&tioiaiuug

dittaer Wurxffln durch furl^eaetzle Verengerung der firänEfn dtrnrn
kann, wovon uchher Docq weltvr dielteJ« sein wird. Ks ble'iLt
jetzt zunächst die Kracc, nie muu, w«iiti mehr nls «in Vorzeicbea>
Wechsel durcli den lleuerganp; tob x:=a zu jf^fi verloren gelil,
«Dlacheiden könne, ob dadurch Unter reelle zwischen a und A lie-
gende Wunteln oder Pnarc v^n imtpinärcn Wnraeln nngedeulet
werden, und wie man die reclleu zwischen a und & liei^enden Wur-
zeln, wena dcrgleiclien vorhanden Mind, durch (iränzeu. die nAD
Ewischen jf^de zwei einsüdcr um Näehittcu kunnnvadc eiuiteliiehl,
von ciuuudcr trennen kdune. Diess würde man nun zwar dndurrii
bewerkstelligen können, dasa miin nucli der von l.agrsoge nnd
WjiriMg vorgeÄthlageiien Methode eine Crosse ;]\ heAliininle, welche
entweder ^ oder ■<; nU die kleinste Oill'ercnz zweier reellen Wur-
zeln der gegebenen Gleichung wäre, und Eodunn tur .t nach der
Reihe die Zahlen a + /^, a + 'i;\ u. b. w. . . . in der Function /[x)
subitiluirte; altein dazu gebüreo bei Gleichuogeu von einigrnna-
■sen hohem Griidc so weillüutige Hecbniin((rn, duss ein uudeies
ktirxeres VeTfuhrcn für die Praxis boehst wünncbeuMwcrth ist. iün
solches und zwar ein sehr einfaches, düti in den meiülcn Füllen
iUBserat schuell zuui Ziele führt, bnl nun V. gefunden. V,s griioilet
sich auf die Helrachlung der Subtiiiigetiten derjenigen Cunre,
weiche die Vcriiiidcrung in deo Wertlien der y(.z') vcraiiäehiinlicht
Ist nan uämlicb durch hinreichendu Zu«iiiiiinenziebung der Grunzen
« und f> dllbin gHlungt, Aa%i xwiscben dieii«n Gr.inzen nur zwei
Wurzeln der GTeicbung /(.r):^0, eine Wurzel der Gleichung
/'(d:) = und gor keine Wurzel der Glcichiing /"{x)^=<i liegt,
so but die Curvc /"(^j zwischen den Grunzen x^a und .*■=:{
eine lOinbieguiig gegen die AbsrissenuiLC (eiu Minimum «irr Maxi»
VDo /(a:))t aber keinen Wendepunkt. Hieruua fulgt leichl,!

Dum

fferlhc der Subtangcnrcn ä-— ; und irr
3n kleiner al.« A — a sein miiitiien, wena

duss die absuhilen Zahleuwerihe

sowohl einzeln al3 zusnmme

swci reelle Wurzeln, also zwei Durchücbnille der Cnrve y(^) mit

der AbucisscDuxe, zwiecbeo x^a aud ar = £ liegen sollen. Fia>

det sich daker

i^T^ + iiTjy -^ Ä — *' "" '^' *''^" *'" "'cberei

Zeichen, dass zwischen a und & zwei reelle Wurzeln verloren ge-
«ingcn Aiiid, «talt denn d(ion/(jr)=0 zwei imgginUre Wurzeln
mt. Nur der Fall ist hievon uuszunehmen, wenn /"(.f) und y^(x)
einen gpmcinschiiflliehen Theilcr und diihcr /(jr)^O «wei gleiclie
Wurzeln zwischen a und t hat, w>is aber hekciDutlicIi leicht za er>

forschen ist. Findet sieh f7^^

m^L-

rc*)

<ri — «, so kann man dw-

BUS noch niehts mit Sicherheit ftchliesae», sundern iquns dnnn engere
Grunzen stiitt a und b wählen , wodureh nmn nber endlich iiewiM,
wenn die beiden Wurzeln reell sind, dnliin gclmufl «ie m trennen,
oder, wenn sie weicht sind, die Summe zweier Sublaon-enien

Srüjser als die OiO'vriN^z der Abscisscn der zugehörigen Punkte sO
odcn. _ Hat muD durclAdas früher ungegebent Verfahren entdeckt,
diiss nicht hlima zwei, V^odern noeli mehr Wurzeln zwischeo d»
Grunzen « und b liegen loder verloren jreguugen sind, so iJtt dnrcll
eben jenes Verfuhren niich tngleich bekannt, welcbe von den
Fnociioueo X^\ Xf--'>' . . A', .V, wenn man nie =:0 seiat,
nur eine oder twei Wureelo zwischen «* und b bähe oder Veiio«

231

KP tiabc Em sei uuu Xt") die erste, von der Rflcbtcn on gesuhlt,
unrerjpncn Fancltoneii, welche, wctia mau nie =0 svizt, uur eine
Wur/i'l zwiitrlirn «r und A liut, so Lot A''*~"^0 nuihffCDdig' xwei
Worrcln zwisclien Jmscllien firüiiKrii, entweder wirkÜcli oaer ver-
loren, und A"<''-*-"^0 lint dann entweder n-ar keine, nder eioe
oder zwei rcrlle Wurzeln luixclien a tiitj 6, oder ex xiad jur
j;i«-tn^O zwei awisrhen « und A rerloren ^egans^ene Wiinteln
umgedeutet. Iliit .\('*~*-"=:0 gur keine Wurael xwidcben a anil A^
weder wirkÜcli nocli verloren, so kaun Biitii uacli dcinselLen Vcrfjfa-
ren, welches wir vorber nut' die Funetionen f{x) uai fia:) «o-
iriindten , entdecken , ul* die beiden iiugeteig'tcD H'urzeiu vua
A("~iJ^O beide reell «der iningiiiiir »iod, und. wenn sie letztere»
Bind, daraus aeliHossen, diiss auch A'=::0 i.nisrben a und i xwoi
reelle Wurzeln verinreii bslie. Uasi^rlbc wird iimn eebliuKeo, wenn
die beideu Wurzeln von A<'^'i:=;0 einuniler gteicli «ind, uLoc,
wenn mnn sie »tutt a' «elzt. alle die auf AI"-') folgenden Funrtin-
nen AO*-", . . ., A', A «af Null zu bringen. Sind liioffegen die
beiden Wurzeln von A'"— 1):^0 jfleicb. und liriug^en »le, für je
Bubslituirt, alle nut* A^"^'> folgende Functionen nuf Null, so hkt
die (ileicliung >V:^0 bekanntlirb » Wurzeln, die jenen beiden
gleich sind. Sind die gediicbtcu beiilcn Wurxeln van Af'-V^O
reell »l-er uugleicb. so iiiuss uiau die Uriinnen « und & vorengern bis
diese Wurzeln durcb eiuc duzwisclieu füllende (Vr&nio getrennt wer-
den, wodnrcb dann elie er»le iiriler deo Fonclionen X^^f Xi^^^K—, X,
vuu der Kecbten im j^ezalilt, welcbe, =:=^ gesetxt, nur «ine Wuraek
zwiüvben tv und /j liiit. i;ewiH3 weiter rechts nis voHicr zu ftuctieu seitk
nird. Sind lur A'('"'-il^O eine nder zwei Wurzeln rwisrheo » und &
angezeigt, »o muns miiti ebcufiilU erst die. Urünxen <7uud A vereugem,
irudurcii iniia gewiss endlich duliin gelangt, d.^ss unter den Fugetmoea
Ai«i, At"'-'*,^, A', A vnn der RrcUleu gegen die Liuk.e gezahlt die cr>te
Jl!'), welche, =<] i-eiietzt, nur «ine \\ untel zwischen a und A tiat, «»r
fiel) eine aniltrc At'^i) Labe, welche, =0 c^^sttzt, giir keine Würzet
ztviHrlien 47 und // bnt flder verlaren hat. so daH» dann die vorgetragene
Sublungentoiiprüfung sogleieb tiutWl'^l> niigewendct iverden kKOD.
II ucli ~. ^letbode die Werihe der Wurzeln, deren Grauen
bekannt sind, zu herechuen, und Uemcrkungeu über die Convergenz
der AnnH.beiuuge[i iiiid über die Unierscbeidung der Wurzeln. ^
Itua bekannte Veivlittiecbe NabeniDgiverKabreo ist zur wirklicken
Berechnung der Wnr/rln nm Meinten geeignet. Dirsa Verfiibrca
ist aber in der Anwendung einigen Sclinii-rigkeitcn unterworfen,
welrhe geniiu ru nnterHticben »ind. F. brwei&t, Artttn es, wenn nan
.sich diescis Vcrfuhreni. mit ^)icherbi'.it iK'diencu will, zuvor nötbig*
Msei die Grunzen a und A. zwischen welchen eine reelle Wurzel der •
|f>leichuMg A' = lie<i;l. i-iuander ko nnh« zu bringen, i]n^* /.winehea
denselben Grannen keine einzige reelle Wurzel der ßlcicliongen
X'^a, X'' = <) lirs*- Zugleich zeigt F., dass ea alle Mnl mög-

^livh sei, die eben erwähnte Kedingnng zu ertüllon, auH^cnarainen:
1) wvitu die Gleichung -K = l> zwei uder uielir einander gleiclte
IVurjeln zwiscben jenen Griuizeu bot, waä man aber leicht auf die
lii^kaniite, xcbun durch Hudde vorgetragene Art entdecken kann;

rS) wenn JV und X" eincH gern ei nHcliafLiir Sien Tbcilcr y{a^) hiibflO,
wo dann die Cleicbimg ^{j']:^0 statt der gegebenen A = in
Itezug »uf zwisrhen <y und A liegende Wurzeln zu untersucbt'u iül.
.Unter oliiKcr Bcdiusuntr ist nun, wie leiclil aas der TavIorEcbcs

i

Rtiht. folgt, wenn nao die G^Ätixuitg ilerKclben Mit Ktnchl«!. itr
genaue Werlb der T«ri«Dgteii Wariel j? r=: i — yrj— -—^ o4*r

* *^ fi AI * wo .(«... ■ £) eine G rüsse briiRUlcU di« zwisclicn dea

GrÜD-/.en IT unil * liegt. Da, dem Vorigen zu FüIb;«, keim* M'urzrl
der Gtcitbimg^n y(.r) = UDJ/"'(,r)^0 zwiscWn d*ii (trÄnteti
m lind // liei(l, so ändern die roncti<iii4-n /'{.r) ond /^f.r> Ltim
Gebcrgange vnn ,r=i« zu .r^^ üirc Viirzeiclioii iiiclit, iinii ivrar
ist da» Vorrcii-bcn vun /'ia.../f) dem >'orz«'iclrii vaa /{a) DOth-
wfBdig enfgcgcngTBPtit, dagpjfon de» Vurai-icben von /(//) glricb,
ireil. narli den Bcfrufblunirtu des cfAteu Bucti», die Kcilm^ -VW.
X(«i— 0, . . . . X'\ \'. X ln-im Obergange \on ^r^^^tr zu iv^i
nur «ineD Zeicbrnwccbivl v«rlicreii d»rf, itnA J\a) der _/'(ä) eatcC'
gengctietzl »ein niiiss. WAnn zwischen a und & nur eine Wnrtel

der Gleiclinng A' = liegt. Daraus folgr, dass tt .^ - ^ eine po.
tiitive, Iiiogcgp-B y^ rt cioo negative Cäriwse, und foIgliiA

i — W - — ■ /i\ '<^i *'"f " "* nrtTTTÄJ -^ " "'^'' ^''*^'' ""**™ '^'"
,/*(;r) bei dem Uebergange i-db ^r=a xu x-^h entweder nttuater*'
brorlien lU- uder ununierbrocben nbiichmen. weil /"(^) lipi die-
sem UcbergBnife ibr Vorjeichen nirbl änilrrt. [Kt also 1) /*(x)
sowohl aU y*( ir) wabri^nd jenes reberifiiiig-es potilliv. ao iBl
y(«)-</'(ff...Ä)-<jr(Ä). I»t bingpgp« 2)/"0r) wabrend jcoes Teber-
ganges pAsiliv, /'(.»-) aberncgaiiv. »« ist ■-/'(wji>— /''(«... Ä)>^-/^i).
Eten sr> S) wenn /'"(.«■) bei jenem Uebergange uegaliv, f{x') d»-

fegeo pflsillv bleibi , so ist /'(«)->/'(<»■.■*) >/(ä). Knilticb.
) wenn /"(-«) bei jenem Uebcrguiiire. und eben so jiuch f'{.x:X
negativ bleibt, bü ist —/"(«) -< — /"(« ...*)■< —f{ti). Im e.r«l«B

und vierten Fall« ist daher gewiss \^^^ ^(a . . . b\ "^ läÄj ^'^
^ffl^ M^ — (±)r(ÄJ' '"' '^''■'*'*'' "•"! dritten Falle aber ist

— w /-(«... Ä) -^ - (=F)y>(«) (T)r(« . . . A> -^ (^n«r " ■""

«IsD /'lic) mit /"(-f) gleiches Vorzeichen hchäli, walirfnd jr von a
%u 6 übergebt (d. i. im ersten und vierleo der obigen Fälle), m

wird derWcrlli fon l/ = b — y^^ nutbwcudig kleiner aU *» abiT'

kleiner ali der durch >,.^ - ^. angegebene genaue Wertb der \w-

liDgleD Wnizel, hiogegcu der VVerlh, von ff'=<i — -^^ notlwen»

dig grösser als a, aber kleiner aU der durch a^jj^- — an«-

jyti . . . A) "
gebeno genaue Werlb, Wenn aber /'(.r) nieltt mit f"(.v} gleich»
VctTieicIieo hat. wührimd ar alle zwisclipn « and A iiegPmleo'VVerlhe
durcblauft, (d. i. im zweiten und dritten der nngegebpiieu Fallel,

ao wird, wenn D»n «' = «— j^ setzt, nolbwendig a' grosser ab

aber kleiner nU a —

/[«l

flä~'&i' *'"" kleiner als die wahre *i

233

/(*>
"A»)

geiviss kleiner uIb £, aber
Hie<furcli wird die

/(i)

»

luigte U'urzel, tiinge^eii &' = &■

irrösser nls die crmau« Wund li—-^, - ... ••.tum«.» »im u.»

N«ntousciic Nüli«rupg8melliod« vcrvoNsIändigt, iDilrm inun iiun alle
Mal zwei NahprunffHwfrth«, iidrr, %vafi fben so viel iel, zwei D«ue
Grenzen «'^ff, *'<^ä beide zu^lrirh rrlixll, zwiitchi>ii wpIcU« «li«
TriinnG^le Vitini-I tnllt, &)«> Itciirllirileii ItHtm, iudem nian A\f. Diffe-
renz o' — «' bildffl, wi« griiHs der Fclilpr li(»rbi>tfns sei. vatfan man
den einen oder den oiidcWn die!cr NälifniDjrswcrthe stDtt der wali-
ren Wur»pl aeixt. Auf diesclbp Weise Ii'issen iticli noch rn^ere
GräuK-n ti", ti" und durrb («rncrc Wifdp.rliulung de^ VerfalircDii
noch engere a"', A™ u. ». w. ündc».

Alle» dIcHK wird wieder voo dem Vf. diircli Aon'eiuliiitg auT die
Can'C /^.z') nnscIiauUrh g#m»c)it, wobei er zuglrJch norb «inen
Nälienitigswcrtti der Wurzel a ijndrt, den die Necantc znrischen
don %^xj\a) und f{fi) gehörenden Punkten der Curve da niigiebt,
wo sie die AbuciastPftxe scbneidpl; nakreud die vorkcr geducbteu
fiäherungsweribe durcli, Tuiigeutcu bi*s(iii>iiit werden. Zui;leich
niHcbt e» die Zeicbnnng sehr klar, diiss man bei der gewobnlicben
Anwendung der \ewtitnficht-n Meikwde »bnc die Fuitriirsclie Ver-

be«ening leicht für a' = a — ^7^ und für l/^l

/(*)

/(Ä)

Wertbe

I

findet, die der wahren Würztet « wenii^er nnbc liegen «In a und ^.,
Fourier zeigt dud zunücbst durch .Xnirendung der von ibm ver-
bcsftrrten ^OlvtuuKcbcn EVaheruagsmotlodc auf den eint'adiKte» Fiill
x"* — .i./ = U, daXN die gcwübuliclien elcraentamcben Regela der
Wurzelauaziebung nitbrs weiter sind. aIs beiioudere Fülle einer ul|-
getnpiiien Metbnde. »elcbe die Gleii-hutigcn all>cr (irade timra&st.
Sudnnn giebt F. Anvf'inung seine Metbode mit dem mindestmüg-
lichen ZciUiufwnnde zu gcurnucbcn. indem er zeigt wie mau am
Besten jede Übcrtlüüüige Rrehnung vermeide. BcsonJers dienlicb
ist liiezu vino vou ibm augegt^bene Art getiieine Zublen in «iounder
zu dividircn, we.li-lie er die ^niirdni-lK ÜiviMioii {divivinu grdnn<
n«e) nennt, die bicr zii erläntern ober zu weitläufig «ein würde.
Wie mAii die lierecbiiutig der Werlbe vOiiy(,-r),y(:r),y'(a^) u.s. w.
für jn^ft, .Tr^z/i, .rr=«', xr^zfi' u. ». w. nm llequem^ieo an-. .
stflile, ist swtir teiclit eintuHchen, wird über ebeiithllH der Vollslnn-:
digkeit wegen von Ffliirier kurz en'irierl. Wiebtiger ist die darauf
folgende leiclit« liest im iHUug der Fehlcrgränze tür joilen neueo
Nüneriitigswerth, wnduri:)) man nich die tlvrecbnung von nicbl mehr
ait-beren DocinitilNivlUn der N'überusgswertbr^ a, «', a" u. «. w. oder
Ä, Ä's (f u. s, w, erspiirt und zugleich frkennt, wie diese Näbrniogit-
werlhe mit zunebuiender Gesclmiudigkeit gegen die wnhre U'urzel
lila cnnvergiren , wenn man sieb gennu an F.'h A'erhikrcn biält.
Burcli viermalige Anwendung dieser Methode, findet man x, U. die
etuzige reelle Wurzel der Gleieljuiig .v* — 2.r — 5 = »cimn aut
10 Decimolülellph geonu. Wegen der »cbnellen Aniiäberun^, welebe.
diese eiufarbe Metbnde (Fonrier neiiiic «le die lineare Mediode,
weil nie darauf bembt, dass in der Fnlnickelung \an /[a-\-Ui)
H'U'r f{ft — (u) alle liliedrr weggelüssen werden, welelie bi>bere Pn-
teoxcn von u> alH die rrüte entnulten) gewahrt, ist es für die Praxis
eigentlich nictit nötbig jemiiU Anwendung zu machen von anderen
zunrnmcD gesetztere D ADDäberungeo, (wie die der zweiten Urd<

234

DUOir, yo man die Glieder heibebiUt, welcbe w" eDtlia)l«D, oder
der dritten Ordnung, wo nuin aucb dir Cliedpr noch beil>4!liii|t,
ivelcb« u*' eutliultPii, udrr iiberliaupt einer bübcrL-n Orduunf;,
nu man hübvr« Potenzen roo cc bcibfbfill iilü die rrstr): ireil cn
iher tiir die TbeAric intRressnnt ist, auch bei diesen Mi-Ibodrn dea
zuDciimtindrti (irud der Ci'noui^keit bei Jedcknialigcr Wiedcrbotui^
ibrer Auwi-iiduu^ zu keimen, so bat F, aucb durüber (S. 'Hl^-^üti)
UntcrsucbuDgca aiifcvstcllt. Xum Scbluxse diese» Bucbea i^iebl )lct
Vf. Docii ein (iBur »eiiv tcrI'ultruugfiMeiscn nn, uoi diis Vurtiandetu
sein imnginarer Wuneln xu crkonuf-ii. Uic im ersten Bliebe ango>
geben« V erfabrun^niirt lilriltt xnnr ilirer Einf«(-bbeit b:ill>er die Inf
den gcwöbpltchrti (icbraucli iinwcndbitrsic, iillein die Wicbtigkeit
dieser L'nler.^ucliuiiff und ibr Kiiinufl& auf die Tbeorie der bleichus-
gon mit mebrcrvn uubokiiunten Urüs^vn ist so urrosa, das» eis sebt
Tortbcilhafl isl, biet invhr »U ein sidieres »rfauren xu kennen. —
Wir bfbea nun »iis der acbon oben erwabnten l'eberaicbt de» K'"**
KCti IVerke* in d«T Ktircr tiervor, wuh der Inbnit der noch ft-blen-
den fünf Biicbef sein fioll. Das dritte Buch soll eine Vrrglcicbung
der vpr^i'bieilrneu .Metboden 7iir Tr^-nnung der H'ui-zrjii lou eis-
Ander und zu ibrer Bvri'rbnunij: culbultcu. Die Aullüsuug durdi
Kettenbriicbc uinl bier nU em blviiiier betuoderer t'ull einer uu>)e-
ren weil allgemeineren AuQbsUDgsmt^tbodc crscbeinen. Die iilgebrai-
scbeii Irruliiiiuilu^niKKen wecilei» dunli stetige Funclinnen eutwirkelt,
^enen mcrkwürditie i;eomctriücbe Con^tructioncn entüprecben. ABch
auf trnnsrendrnle (•Icicliuiitrc» ist dicss Verfabren nnn'endbnr. Jede
gcniiue Nabi-rungstnctbodi: i»l, wenn man dtis im erhien Itut^be un-

fegfl>eno Verfahren xur TrenMUHg der Wurzel» bcoulxt, dnin
ruucbbar, diia 1 (irbundeoGein iniuginarer Wurzeln zu vatdeckvB.
Au»tulirlti:ber wird diesa besvndcrs au der Anflünitng dtircb Ketlen-
bnirbe gexeif^ werden. — Uns vierte Kuob nirJ die AuQiixung
der Lilerjili;leirbungen eitllintton. Dus IVincip, 'nurnnt' diciie Aullo-
■ung beriirit, betinilrC sirb ftclinn in den .Scbrit'len Nentuns,
Ütirlingit und Lugran [ri;'s. Der Verf. wird eine neue ('unntmc-
üoa für den wiebtig.steo Tlieil dieser luter^iiucljuiig angeben, vol*
che einer nilgeuieinerrn vlnwendung aU die von Newton gegebene
fdbig int, filr den F»ll einer ciuiigeu \ eründcriicbcu iibcr auf du«*
nelbe liesultat, nilmlicb auf die vud I^ugrange erwie&cne andl^titclie
Regel fuhrt. Auch wird iu tüeMi-m Buche von der gleicbzoiligpn
Aufldüung zweier l.iteralgleiebungcn mit zwei iirjb>>knnnten ^'■'rösjCBi
«der allgemein m sotcber (ileicbutigen mit » unbek^unlcn Crti^eo
die Kede «ein. Es ist tiiebei gar kniiie l'^liminution, kuinv V'eräD-
derunir der C<ict1icienlcu ntilbig. viclniebr werdvu 'aus d«D gegebe'
lien tileirbungen in ihrer priinitiven Form gleichzeitig otle Wurzeln
cntwirkelt — Dax liinrie Bnclt soll die Anwendung der in
den vorhergehenden ßtichera CDihnIteneo Prinei|>ien der algebrai-
schen Aniilvfiis nuf die trunsceinlentcu Functionen xeigen. — Das
secbste Buch uird über die iteziebungf'ii der recurrirenden Reibra
•nf die Tbri>rie der tileicliungeu luindcni, welche Beziehuugi>u vOD
weit gr»9s«rein L'mtange sind, als man bi.iher geglaubt liut, iuden
kie sielt Bpuoh) nuf die irnngtnÜTen aU iiiil die rrelleii ^Vnrieln er>
strecken. — Doh siebente Buch wird die Theorie der llngleklt»
bellen (d. h. solcher Ausdrücke wie /(.T)^a oder ^^ä) cnthaU
tea. — Man siebt aiu dieser Inbiiltsiin zeige, wekbe iSchätice nueb
ia den leider nicht ganz ausgearbeiteten AlaiiiucriptCD F.'n lUccksit

235

und vir Tn«il«rl>nlen ilnn Wunsch, dass dieselben reclit bald, wenn
nuclt nur iils FratfmCnte. liernuDge;(i^bcii w>:nl«ii iji(»gKti[ Geschähe
das Ucttterv, sn wiird«n sieb grwiss dietiscilii wie jensniiK d«»
Rlieins Mtiilicmnlikcr tindrti, wetclic in Geiitp Kourier's diis At'rrk
zu r?alituiri!n «ucken würdi-n, wie dirKS zum TheÜ solion von Hrn.
Dr. Ntvru in sciaer „'t'licuri« der kclteiibrüchc" mit Uliick vurw
siiclit worden ist.

Wir wcndcQ una nun zu Hrn. Orobiacb, der es sicli zum
Zireckc taucht F. 's Eb|dc<kiiDj{pn «uf deulsclieo fiodcn zu verpflan-
zen, jedoch in einer Kcl!>Htäiidig-eii Bprirbeitniisr. wokbc nirgends
blosse rehcrsetzunj^ ist. Hr. II." bat dazu dcii^Wesf einer liixturi.
leben Kniwickelune' der rerscbii-deucn Uctboden zur Bcliandlunj^
der lii>Lereu uumeriüclien fileirhuni^n geivälill, so dnss jode dieser
Mplbndea in Ueztebtiug uuf diu Dät-hst'vnrbcrfrebuiide uIb uio neSer
('nlltrrtorlxclirilt erscbeiut, und h'.'s LeinCungeii dann dus Ganze
krönen. Nneli des Kec- l'eberzetiii^ung^ kiinn kein 8iK'liversliindig;er
und lliiliartbeÜHclicr Reurlticiler dem \ erfjiHi'cr dim Zi^uirniss rurent-
lialten, welche» er sieb am ticUiu^si^ seiner Vorrede tviinjcht, dara
nämlich gein Werk gründlich und braucbbor, und miiliiu den an*
ständiifen Gewnndeü. in uelrhem e» erscheint., vnllkoaiiuen »ürdig
aei. Hr. I). bekHin(ift mit Iteciit. da» ^urtirtbcil , uofiuch die Theo*
rie der f>leichnngen. zu Folge dur ».-linaDkenden Etntheiluns der
Analvsis in einen niederen und lii>Iii-reti Tiieil, i^uiik zu leneni
Tlieile ^erecbnel und daher jeder Kinmtschnns; der Üifl'ercntiulrecli.
nuns; rntzn^rfn werden snil. (.Im die Klcmente der DiHerentiiilrerh-
nunfi; ^iiiidlicli vnrzulni^en, hriiuelit man nielil die Tlieuric der
linheren (ileichungm uU lK-k»nnt vuruuüzusetzeii, wühl über beiiiirf
dies« Theorie zu ihrer Uegriindun^ und zur \ urnieidiii)^ utni'ilhigvr
Weiliicb«eitigkcit einijfcr >*i]rkeDntniehe aus der UilVc-rviiliiilreeli-
nung. Kben ho scliädticli ist dnx Vortirlheil die reine Anul^sis bähe
sich vnn &;eo metrischen iletmchhiiifuen gunz iVei zu erliullen. Kjnem
solchen lolschen Sv.ttemntisireii zu l.iebc eni zieht mnn sich die
IrefBichste Vcrnnschnulichung einer steliffen Fwls^e vuti Ziihlwcrtlien
einer Function, raubt sich diia einfuchste uud n.tttirlicliele Mittel
zur Entdeckung mucr WabrUeilen. Dies« uugct'iiljr Ul der Inhalt
der leaeuswertiien Vurri'd«. Wir wollen mm oine Tebersicbt de»
Werket {(eben und duritu einig;« Beinerkiiiigi>ii kiiiijtfen, die den
BelitunfTüwerthen Verf. iil» Bew*«-iit der Aut'merkaunikeit dienen mÖ«
grn , mit der wir isein Werk p^elesen haben. — In der Rinlei*
lun^ (S. 1~K) g-iebt der V orf. die niithi!;E;n Erkliininfren, zeigt die
DArtilollung der hier zu lielracbtündeii }-'iiMc1iiiuen durch parnboli-
»che turveo und legt (§. 5.) den l*laD seiner Schrift in der kurze
vor. Wir finden hier Dur bei $. 3., wo die (.'onstrticJinn der Werlbe
Ton y^/f.rj durch iiuf der .v A\o rfclitwinklige Ordinaten ge-
lehrt, und ctds uiiinitpibnicbfne Zuanmnienhangrn der die Knd|iank(e
diiiser Ordini.tcn verbindenden Ciirvc beh(iu|ilpt wird, die kleine Er-
inoerung zu mnchcn, diisä es doch eigentlitili uirtbi)^ aei ton der
NtetiK'keit der Funciinn /(.'C:} vorher überzeugt zu sein, wcuu man
die Nuthwcndi|t:kei[ des ununierbrncbcnen Zuxuitimeiihange« jener
Corve eiMKi-ben soll, ivas indessen hier, wi> nur von gnnz'en l-unc-
(innen gehandelt wird. Nebr leicht ist (verp:l. Cuticby Courn d'bna-
W*e Chili». 11. $. 2.). — Der erste Abschnitt luindclt viiu den
Orcnzwertbcn pol^noaii*cber Ausdrücke (S. Ö — ÄS). Abscbn. 2,

236

Von dnn Derit'atioDcn *) potrnanisrher FunctiOBeo {S. 29 — 5^^).
Van den drei Bi'weiHeii, wpJctic dvr Verf. liier fiir den Taylorschenj
Satz ffiebt, Iteruljt der ev6te auf dem biooiitisclien lA-linalze. Da]
DUO die nucii nitlxloi^nidi-n Putoiixcii ton ^jt \(>rzUHpliroe»de ISnt*
wiciiplung des UiDumH (x-|-A-*')** "•"" d""" '»^i jedem Wcrtltl]
ton ^.r ^tiliig- Mcilil, wcun a «inr gnuzr' pasitiTe Zahl hl, bei'
^ettrurbrDcn («tsUiven l:I\|ifinrnlpn alirr, wtR bei ulltii oftcutiVP»,
uur für Koltliu Wcrtbe vun ^a.' ffilt, die nwisclii^u den Gränzen
— .V und + o? ÜP-^rn. so linile der Verf. üngcti tiailcu, dusn seiu
erster BcweU vuraussflz«, diu Kuuclion JX-:i-) «ti eutwcder «ine
ganie Kanclinu von x, »der dpr pumerisclip Wcriti von ^,v tni
irtetü kUin«r bU der ton .r. [lio IiIumsc Var.iU8sct£Uni(, Aum Alt
¥.xnQar.aic.n von .v tu ittn PoUnnm /[.v) positiv seien, ist noch
oit^t gunü^end. Ü«;r zwciti' Uewcis itolzt ttlilUcliweigrend vorans,

(lass keiner der Quotienten j-, ^r^,, . . . UDbejitimml oder unendlich

groBB werde, was wiederum für eine ganxe Fnnclion yr^/X*)
iwiir ur^wiN« iüt. kriDeMtveg» ulier für alte Knnrtton«» von .«- w»fcr'
hieiht.' Her dritte Beweis endlicli ist mittelst der Mctliode der DS^
bcstimaiten diefticictiien ^efiilirl, setzt also voruu.i, duH» sieli y(.«: +
j^j.-) in eine Reilie fintwirkeln laase, die nach l*olt-nzeu mit ganzeti
[luailivcn K\[)aiii'nicn von \x furtsclircite, und dass diese Heilie
tionvvrg're, n^is zwar für g^uze FunciioDeOi abrr nicht für alle so- 1
dem wulir nt. Un dii- liulieicn algebraiiicbeii (ilfictningeii iinck ,
gohürig'-r Kcduction ulleinal nur ganze Functionen enllitilteo, so <
goniigrn nllerdinc^s die Unwei^e dei ^cr^. , nur biitte er LcfliimmKr
{jingL'tien sallitn, iIiibs er hier nur für snirlir FunrtioneD tuo der
Tavliirsclieu Heiiie ftebraucli uiuelie. — Ur. IK zeigt fei'ui-r in die*
soui Abscliniile, ivclcliea der Auailruck ftir de» Kfitt seij wenn vu
die Tu|lunt<:be Reibe bei einem beliebigen Uliede abbriclil, wit

sic& der Wertlt eines Quolicnten "^-i—: in dem Falle bestiiniucu Iosm,

WB /{a:) und y(j) fiir einen besonderen Werlli von .v beide ver-
•cUwimlen, und giebt sodann die Di^rivationea der Function einer
Function, ttii wie der Suniine, des l'rvduet«, des Cliiulienten and
der Puleux tuu Funeiiutii^n an. — AltHcbn. 3. >'(iin (iebraui-b der
Derivaliunen in. der Tbcvrie der Curvvn (S. 53—83). E% ixt in
dienern Absclinittit nur dasjenige aus der aualytiscbcn (leonictrie rus-
gflboben. wiis tur dit; VeraiiKcbudlicbuiig der Tln-iirie der algebmi-
Beben (ileidiungen nütbig ittl, die<is tibcr grürullirb und durrh Anf>
fassung van uu'lirpren Seilen sebr klar (Jarge^lvllt. — Atiscbn. 1
Von den >V'uf£ela der (ileiehungm im Allgemeinen [S. S-i — 114).
Hier iiber die Zerlegung der algebniisi'lieu Ir'unctioueu iu reelle ein-
lacbe iider quadralisebe Fuctoren, ('nu4;liy'a und l'ansü's (erster)
Reweis für die ainglicbkeit dieaer Zerlegung, iVtleKiiicber und lUui-

') Hr. Drobisch und mehrflre andere deatache Matbcitiatikcr gelrauebe«
ili« Wärter I)#ri%'-iti(it> nail AblgiiuiiR suit ili^s bislivr übÜTbeil
OeriTirie (anil. Function). I» Tillen Falten liiirfi« aber dirse Neue-
ning unhcqupin sein unil /»vtlilcutigkeiittii !i«^rliri fiibn-n; /. lt. il'ie Ab-
teilung der Ableitung TOii y=/(ar) könnte sowohl diefirösse ^^ als

die llcrteitnng der Gröjwc ^ aus der Function y sein.

237

VTMcher Ij^Iinntz. — Bei dem Roufisisctien Hftweis« tclmilit J*r Vf.
(S. 1(H).) übcrifelieD tu dürfen, dass niclit nctir »U '^mrl'uuktv drr
CurvP X *""' <''^"' Krpisp pfcineio sein hontipn, nllriii ilsno tat der
in ^. 'S cnilwiltcui! Srliluiiä Dreht hiindij;. weil dann zwisclicn (1)
und f'i) inchr als ein l'unkt der Cunt^jf licii:;en und 11I90 iw^'i sulchc
Funkte mit ciaundcr vtrlitinden tieio koDÜu-n. — Abscliu. 5, \oa
d«ti «llj^tMiKfiDüIrn Hclittiuiien dor Wuraelti (S. 12f) — 149). Vieta"»
Satj. von der Zusdoimcnict-iiun^ d(^^ CoeflicicDlrn einor nlg«britifii?k«i>
ialficliiinp. Birw^t« dicMos Snlxes miltrht drr Tli^rivationi-n. Knlfi^e»
ning dhraus. lluddc's Nutz von Aul'tindung oclrioher n'ur^eln.
Girard's und Newton '9 Rp.l;itinnf n zwisclien dcu Ccicflicicnten
and d(^n Summen d«r Fotiinzru der Wurzotn. DeücnrlcB'n Ijflir-
saU uucli tausit. — Abscbo. 6. Vou den Grenzcu der Wunteln
im AllReoieinrn (S, 150 — 175). Neirtuns, Maclaurrn's, Rolle's
u. .4. [(loliudfii xur Brritliiniiiiinc: dt^r üitsurrsten (jrenxen. Wiirinc'ii
und LnirrAngr's AIcthodr zur llej^rDzunt^ der einxelni^n reellen
und Krkennnno^ der itniiirinitren Wurzi-In. — Abttclin. 7. Von den
alleren Alethnäcn zur llnEnrschridun^ der reolleii und imnirinäftfn
M'unuln (S. 176-202). Der Vf. tnigt RoIIc'b. De Üuas u. A.
Metlioden vor, zeist aber die tlnpolIkoRinienlieit deraelben. —
Abscbo. S. Founer's i-r«t<; IHetliodc zur UnleritchpiduD^ der
reellen und der iniao^inüren Wurzeln (S. 203—257). — Ahschn. 9.
■ Von der [tcrcfliniuns; der Wurzeln »u» ibren Grenien (cbcolalli
n«rlv KourierJ S, 2NS — 21>S. ~ Abirclin. 10, Fniirier's zw«ire
ond dritte Kev«! zur Erkenijun>; der iriiiigiuäreu Wurzeln: tud der
BcrecbDiuig derselben ^S. 299 — 3<11). — Die Lehren Fnurior's
ciad in den drei letzten Abscbnilluii, mit Hindriugun^ in den lieist
dertielben, zuweilen etiras abgekürzt und anders g-cordnpt, ohne
jedncb etwus WeH4-iillicbKS zo uberc^fbea . und niil llinzufiifniog
neuer Beispiele vargetrnpen. Am KchluiiRC de* Werkes wird Ln.

f^rauG^e's Methode zur Uerectinung der imasinären Wurzeln ge>
ebrt,~«u wie auch einii<e andere biczu dicnlicTie Verfulirungüarten,
oanentlicb die Legeoflrc's, vrwabnt und endlich, nticb genauerer
Rrorterupg der gienoietriüclieii Bedeutung tun f und w in der Furm
/+u\'^ — 1. «in birroiif gegründete» neuen Verfuhren niigegeben. —

238

XXXV.

bas Pothcuofsclie Prolileiii, in erweiterter Ge-
stalt; nel»st Bemerkungen über seine Anwen-
dung in «ler Geudi'isie.

V«D

i1l*iu Uerfjiuagebcr.

1.

Bas Pntljcnot'ftrbc Problem ist bekanntlich die Anfgabe; «eni
in einer Ebeoe iTvi INinkle gvgolicn »ioil, und in «inem viertes
Punkte in dfraftllten Ebene Aiv. Wink«! g4-mi-.iürR werden, ufricbc
die TOn dpinselbfn nucb den dr«i g<■g^bcDCD l^uukten gexogeaeo
Gt^sifhtRÜriioTi mit pinunilrr (>in<ifhlii>R<ii>n, dii^ l*a^e dirücs viertel
l|*anklFs XU beKliinmcii. Mxn kiiiin iib«r dii-sr. Hrluiui: und sn vieler
Ann-€Ddiiugvn in der Praxis fnlif^e Aufj^abß auf folgende Art «c-
wcitem:

IVeuii drei b<>l iebig-« Pu n k te im Raauie gegeben sind,
und in feinem vierten bcliclii6;cn Punkte lui Ruunie die
dr«i Winkel ^rmessen tcnrdfn, vcicbc die vau demsel-
ben nncb den drei ^es'pbpnen Punkten gezagenen Ge-
sieblsll H ieii mit ein ttndcr einsclilipssuii, uie Luge dieses
vierten Punktes im Räume zu beRlimuien,

DitüC erweiterte Aiirifube wulkti wir iiu Fult^eudca autzulüieo
stieben, und die Auflttsunt; mit einigen Itemerkunaen über die Ad-
urendiin^ des Problems in diT Priixin hegk-iten.

Die drei gCKclieneu Pnnkle im niiume seien jf, B, (T, nnd
ehcD so 8ollen die drei tV'iiikel dett eliencn Dreiecks .tliC, flls»
die dcnselJK'u gegeniilierslrlictnlen Seiteu diese» Dreieck» nie ffC-
wÖLulicb durch a, ö, c bczeiebnel werden. In dem vierten PanJtle
O im [tiiumr seien nun die drei ISO" nicitt übersteigeude« Winkel
BOC=za, ytOf'=lt, //ÖÄ=/ gemessen wonlei», und die Ent-
fernungen des Punktes ö von den drei gegebrncn Punkten C, ß,
A seien re.ipeelivc »r, y, *( so liefert uns die ebene Trigonofflelrie
«ogleicb die drei folgenden Gleichungen:

y*^^"^ — 2y:3 CO» ;-:=£■•;

US denen nun die drei Kalferoungen .v, y, x bestimmt mrden
■OiscD. Setzt man

2. y=:;»4^, »=;yj-i

so wcrdea die drei vorbcr^elivndfD Glclcliungrn

(l+f— 2/» coi o) jr»=«',

3. (1+ ff» — 27 CBS 1?) ar« =: 6*,

(;/»^9'_2/»7coi!y) ^' = c*;

und darrh DirtEiuD Üvr ersten und ztvriifin dorclt die drille erhält
nan nun sogleicii, veno der Kurze wegea

i^PHPtzt wird, die Iridcn folgenden, die tirösfie x niclit mebr enN
tallvudeu Ulticljuugeu-.

1 .4- y' — 0;> eng g

5.

I 4- y* — gy rn« ß

oder

p'^f'—^tvty .

6.

l ^pt ~2p cos B^m* (;*' + ?'— 2/)^ <ro« y),

■ f 1 + 7» — 2^ COH j? = «' {p* -h 7' — 2/*y caa y) •

VaUs denen die beiden ntibcknnntPn Hroftaen /> nnd y liestinmt wer-
den miisKi^n.
I Auf Null gebrarlit, crlinllen diese lieiden Gleicfanngen die Fnrm

I w'fT»— 3#i» f/^ cos / + («' — J) ;''H-2// coi a — l^Ü,

B («* — I) y'-|-2 {cot ß~n*p CUR ;■) 7-»-«V'' — 1=*>.

nEltmiDirl nun aus diesen Ifeidcn C*leichungen q"*, und besliinint ans
der dadurcb sich ergebcodeu Giciclkung lUnn die Grosse y; lo er-
hält in»n

H' ** " 'iNi^ ((;ijs 3 — ;» 1:«* y)

^L Fuhrt tnnn nun dttspn Aiisdnirk yoii 7 in dit- ersTe der beeiden
^Borberi^ehenden (ileicliun^en ein, und setzt tVir dii; Grüssea n'

und n* ihre aus dpin Obig4<n bcknnntcD Wcrtlic — und -^; BO er-

liäit man niirli citiig«n [ciclilcn Ut^dactianoii zur Bestimoiung' TOD
y die folgende Gleicliung des vierten Grades:

_4mA>_tf«) {«*-f-Ä»— c») — 2«*Ä» cftB y'J cos u

— ff'(*»-|-c*— ff») CDS j3 CDK rip*
+ 2i2((Ä*- c»)» co9tt»-h«*(«' - <^») CO« /?'-#-*•(«» - *») eo«;-']
— 4ff»(Ä*-4-<'») cos« COR)? cos^-(ff«-hr'-Ä»)(«'H-^»-r')j;»»
^1^ — 4[|(c"— Ä») («'-t-c' — Ä») — 2rt'c' coB ;?»| cos a '

— »*(*■+ c» — a») CO« )!f cos r\p
-!-(«>+«• — Ä')'—4«V« cos |9».
FlLfinnllicb ist aber

240
^^SUc co> A, «»-f-c>.— Ä'=2«c cos B^

and

+ £■— r*=2«2 CM C]

UDtl t'olglicti, wie in.an leicht Gudet,

■(•?+*'—«■')'—'*«'*' «o« r"»4«'4» (cos c» — MB r'h

(«a-^P«—*»)»— 4rt'c= CO» jS» = 4«»c» {CO« Ä» — CM |S");

(Ä» —e*} («'-+-£»— c*) — 2ff'*» CO»;-»

= 2«»A coB C(A coa T— c cos Ä)— 2«»*' cos /',|

{(••— ^■) (a'H-c»— ^•) — a»'«:" CO« /?»

= 'ia'c CO» Ä (c c»8 tf — Ä cos r) — 2«V' coa /P;

(Ä=— e»)» CO* a« +«»(<!' — '''') c<ig ^»-1- «'(«* — *') cos/*

= «»(* cos C — c cos Ä)» cos a' +«'£(«! ^os C — c cos ^} cos/T*

-f- ff'cf« eos B— if coa ^) cos y' ;

«'(*' H-c' —ff') cos j5 Cos y = 'ia''6c co» -i cos (J cos /,

(«'H-c'— Ä') («»-f-Ä» — c=) = -la*ic coa Ä cos C

Fülirt man diese Ausdrucke in die Gleicliung S. eini und diri-
ilirt dieselbe dunii durch 4«*; ao erhält man die Glelcbuog:

9. 0= //'(cos C — cosr');»*

— 2ä';[cos f (Ä coä C — c eog ß) — & CO! /*] cos et

— e COT j1 cos jS eofl /l p*

-H !{A co»r— (• cosÄ)»coBa» + Ä(ff co»r— cc08.'f)co5|J'
•+-r{a casß — ^cns^'l) «os)*' — äfA'-f-c') cosa rosjfroi/

— 2iccMjffcosri;»'

— 2cJ|cos // {e cos Ä — 6 co» C) — c cos /?'] cos a

— Ä cos j1 cos (? cos ;'( p
H-tf»(co8 Ä" — cos /9').
I>iesc eieichaiig briugt man uLcr ferner, weil

a : h : i?:=aiD .i : sin B : sia C
ist, und folglich

« = r am j*, Ä^r sin B, c-^r *\^ C
geitUt werdeD kaun, leicht uuf folgende Form:

10. 0= sin B* (cos C>— cos f^yp*

— 2sin/'llcosCäin(Ä-C)~sinÄco3;-»|<:ofi«-cos.r/sinttoa/?coByI^*
-i-|3in(Ä-qVitsa'-|-siaÄi.in(.-i-CjcosjS'-4-«iDCitn(-dl-Jf)cM)'»
— 2(8ipjff»+siDC»)cosoco6iScosr— SsinÄcosÄBiorcosC^^»
,^3siaCjIeo»ÄaiD(C^Ä)-»iuCcoll/**Icolt«-co8y*»iIl/?c^>»y!?co^^I;«
+ Bin C* (cos ä« — cos /?»).

241

Mittelst einiger bekanotcp ggniuuetrisch«a TrausLoriiialiuaea
kiiiiu mau ilieN« («leickun^ aocli auf ilen folgtoUeii AUwlruck.

(11, 0= Kin B* «n {C-^y) stn {C~y)p*

-4-2 MQ ß Heft« C Hü (ß — C") — siu ß coa ;'*| cos « .

— cfls -Y sid C fos ß CO« ^t/''

— }t.iD(/f— C)'coBa'-HiiBÄ»iD(.4— r7)coji^»H-aiRCiiü(^— /r)co8|'»

— 2[l— «m(Ä+C)co8<Ä— r)I cosucaa(?co9/ — ^ s'ialtB sid 2C|p'

„ H-S »in ^ Ucos -^ «'» (t'— ZT) — siu T cos /S'J cos «

'-■' ' — cos ^i sin ß cos j? cos yj/»

+ »io r» SID (/f+l?) »in {B — ß).

Hat mnn /r Diil1<>l5t dicjirr GIcicItung' ));¥fiiiiil«^n, so crg'it^lit sich ^
mittelst des Ausdrucks '., den mun aber leicht aui folgende Form
brin;2^n k«nD:

., p* aiii JV c<va C^p eas g sin (g — C) — cos ß ain C

■ ' »in ./ <i.'OÄ fi—p WM y) '

Die Knlf«rnung x' ergebt sieb xnitteUt eioes der drei aus 3.
•icb UDiuitlelliar ergebeudea Ausdrück,*!;

.r:

13.

denen miio auch, weao man die UülfHwiukel @, ^. &' mittelat
der Kuruiol» *

X{L tang0^"^^^Si!^,tn«ff0'=^-^^ ta-S Ö"= ^^^^^

berechnet, die xur logaritlkiuischeo Recliuung hefjueaiere Form

A nos €»■ , c (MS er

, « cos «
1j. ^ = ±-r— ^— , ;r:

-4-

ar:

wo die Zeichen immer so xu aehmeu sind, dass a: positiv wird,
geben kunn.

Die Eiitfeniutigen y und je ergetien sich nun eadlicb OittcUt
der aus dem Okigen (2.) kekunntcn FormclD

10. y^px, ä:^:^.^-.

2.

Nachdem vrir jetzt die EntfcrDunceD des INjtiktes von den
ei Punkten .-#, ß, €' zn bexiiinineo im Slatidc sind', wollen wii

drei Punkten .-#, ß, €' zn bexiiinineo Tm Slatidc sind', wollen wir
uns, weil dif> !■«!(« der drei Punkte ,i^ H, V im Baume meisleiiH
durch ihie Coordiaatea io Uezug out ein geniiutes reciitwiokligL-a
TtillL 1^

fifö

CoordinatenEVStem bentinflit ««in iriii4t' nun ferner nberlikUpt ili<
fol^f.ndp Anftcabc v«rlegeDi: - >i >

^S'i'n n in lt<>7.ug auf ein g'ewiüsffa rcRlitwiiiklii^eaj
Sjs teilt <licCi)uriliualcu dreier Pun kL4.' im Räume uud di«]
UotfvrDUUgVD eines vierten Punktes von diesen drei
Pflnkleii g«'g(»h*ii »ihil: diu Ooordinat«« des in Red»
stellenden vierten Punktes in Itexug auf daa angeBan
mebc System zu t'indcn.

Die rofirdimiten der drei gegebenen Pankt« snieo

M) tff A'J 1W| 1 IV|) *! ) ""j, ffgi "ni

und ff, ff,, <7, seirn die ßntfernuugen des riMien Pnnktea, dessen
OtordiBotcQ a,', v, » gesuclit vcrdcii. von diesen drei INinkteof la
lint miin mich den Priucipieii der analytiiiclieu Geometrie die f»l-
f^ttudcii Gleicliuagen;

'; f(.r — im)' -|-(y— «)• + (» — /:)»=«% _

welche auch Icickt out' die Farn

,(jr^«)= + (3,— »)» -f.(»_*)> =.»,

i(^-«.)-|-(«-«,)!'H-Ky"i.)^(« -•,)!•

gebraelit ivcnlcn knnnen. Aus <II<?ReR drAi Oeicbungcn ergeben
Bicb aber ferner, wenn der Kurze weg^cn

IfCSCtxt nird, Icicbt die beiden folgemlen (ileicbungon:

wclcbe nach gebcvriger Clioiinatinn, wenn der Kürze wegea

.t,;

Ift.

20.

;» =

(»^«.) li--A-,)-(»-i.,> (*-*.>'

y =

fw— w,> (« — «al — (w — w,) (»— «,)

gesetzt wird, xu den folgenden Ausdrtickeo von y — # und s — A

?*firMi ,

»''

243

S«lxt «UD di«»e Aus4triicke in dia «rst« der Cileicbdagto 17.; M
rrbnll iniiii nacb iGicliler Recliuuni^ dio folg-eiide Gl«icban^ dei

zwt'iteii (*railes:

(leren Auflösaus; auf gewohnlicbe Woise xd dem folgonijea Aus-
I druck« voD 4-* — « liiwrl:

t -(pg-«-*f]^^(w-f-'<r"('-f-y'-f-f') (p'-H^'- '^}
jr-i«_— - l+v' + C '■

Setzt nan
A4, .tr — (• = biDg 5,
»D Tcird die Oeicliaiig 22,

ufid tolf^licL, weiia noo

1 -#- CM 2i . ^ I — ' eis 2f

CM |'=-

seizt,

H-ä(r^-*-«) sin 2£=:0.

jiietxt msQ uuo

■■' I
'" ' Vi. fang 2((j:

afyy+ri)

80 erüält oiHD oline Scknnerigk«!!

a«.

". ni+'')= \t::t::^:^t^i^ - ^-

Bezeiclinet ninn iu diMn Dreiecke, desseo Seiteu a, «, und die
EntfürDUüc; e, der Piinklr {aiuk\ und (*w, »,/■,} vou einander sind,
d«ii der .Seile nt, gef^caübersiuliundeii Winkel dnrcL o,, fn dem
Dreiecke, dessen Seiten «, «, und die Botfcrnung; e^ der Punkte
(«vtfX-j und (mt»,X*,) vun einander sind, dea der Steile «, geg^eo-
überslebeadtin tVinkcl duri'b «,; so ist

COK «

k

luid f»lg1icli
«' H-*i' — a,* = 2<wt, cos a,, «*-t-*i" — »a" =2**, «oa «„

4- >

«Im Mcb 1& ^. ....... . .. „<.

27. ^,=s— o«, eos ä,, j^s — ««, e^s a,,'

mitteUl welcher Formetn die Grnssea *', nod «, selir leicbt berecb-
net werden käunen, ^vcnu die KDlfcroaugcn e^^ ^^ und die Wiukel
Qtt °a bcJiuaiit «lad.

16-

244

Bcrcclioet man die [liilftwinkrl ^

l''onn<'ln

aod if, y, X mittelst der!

28.

lifad

t«ngM=^

29.

rtt — m.

*"R V = ;^--;. tüDK V = ;i^, ina^x = jrrf,i

*"*J|:

so bat miiN zur BercclinuDg der Grötwea p^ <7, tf, / die fuIgeDiIro
Formel o:

/■' =

3U.

v=--ir^

~ i — <\
ui — m,

Rin (<i — }() tos c

fiiu iti'—x) cos ju'

«in [y — x) ^"^ "*

sin <'/■—/) «)s i/<

üitl f/<— I,'') COKji'

*iri (/ — f') ces/i*

sin (y-— t;») co» /

sin (jf — (fr) ros ^f'

NbcIi dem VorlicrffflicndrTi Uisst unsere Aufjrabc, wen« «le
itkcrbuupt toö^liclt ist, jedeneit zwei Aulliiiiungcn tu, und es m-
hellet aueli nuT der Stelle aüe gcometriKcIicD liründeti, dass ri,
wenn diu Aut'irib» ufif:^tiolj \«i, iinmor xwei derbclboo ^nügenile
Punkt« geben inus», wvicbe uuf eutgr^cngcselzteu Seilcu'der durck
di« dri.'i gegebeuen Putikte (*»«/■), («//,«, /-,), («,«■,>(■,} bcstima-
ten EbAtie ucgeo, übriiteiia über fi;«geH diete Ktiene eiue gani
gleiche Lftgc nsbeu.' Ltm nbn die ('ige ileji gesucbten Puukt»
(.ryt) riitielst des Obigen vollkomnieii beBclmBien zu können, mtM
man iiuh iindem Gründeu niKKeu, »uf welrlier Seile der durcU die
drei gcgcbt;neii Punkte {mnA}, [nii«i/-,)i (WiJVi^i) bcstünntea
Ebene derselbe liegt.

3.
Die in 1. aufux-liiste Aufgabe, in VcHtindunc; mit dem in "i. ^•
lii«(«n Problem, würde ne-hr gei-ignet nein, mit Hülfe dreier ihrrr
Lage üiicIj bekannter Punkle im Kiiunie die Lage eines viertel
Piinkles im Ruuiue zu beatiniuien, weou zu der Lösung derselbe»
nirbl , wie ttu9 1. beknnut ist, ein» Uleichung des vierten tirndei
erforderlich niire, deren AuArvAung arbon an «ich «eitlhnlig ist.
and die nncli, wenn die Aufgiilie i)bcrbiiU|it möglich ist, jederzeit
entweder zwei oder vier Auflösungen Tiir dieselbe lie/ert. iStändcn
dicec ÜieurGliKcfien .Scbwierigkeiteu '\ nivbt entgegen, s» würde
n&nj wenn i. Ü, auf der Npiize eines Iterges die drei Winkel «-
messen worden Mären, welcli(.> v"ti den von derselben nnch ilrei
ihrer Lnge nneb bekannten Punkten itn Rnunie gezogenen Cesichts-
linien eiti^seblossea werden, die l>agc dieser Itergsiiitzc im Räume,
tilfeo BUrh, wenn mau nur^ was in allen Füllen dus zweckniü-isigslc
sein dOrflo, ein» der drei Courdinaiencbenun hnrizuntal nngenon-
■eu bat, ibf« Uölia.ifi üotuu auf dieac Uorizuottttcbepe beatinmea

•) Als Pin 3er AnWenuling der in Rede xlrlieiiilen Aufsotie im Weg*
5tetientteK Iliudeniiiis, \venti man nUmlicli s«br srosse Geniiuigkeit vtt-
langt, iiti in prnkliacher Beiicbung noch die Kefraction zu bencricea. .

245

DoB tigenlliclie iiar.h Polliciiiit lieaantiie l'rubletD liefert
HOr KVci ('oordinaton tl«s ifcsiichtvii Punktes, und ktuin seiner Na>
lur HBcli nicht mdir lirtVrn; iinarrp oKeu aiifgrlwtle Aufc^abc tiofrrt
(luirvg«8 ille drei Cuonltniilca des i^ffiuchli'n l'unktra, welches ein
wesentlichtT Vurxufi der-telhci) vur jeueui l'rotilem iitl.

Di« in Kvilv 8t<^h(*iiJt'ti (li«orvliarbea Schwierigkeiten scheinen
es abtr noihweitdi^ xu mnrlifD. daxK innn. wrun ainn die in I.
aafa^flttste Autt^a)»: iti der fraxi« mil Iiciclitif^ki'it anircnden wilt,
einen von dor ilnil gi-grlt<-n«^n nllf^Kmcincn Atidiiittinjf vcr<i<*bl)*den(!n
Weg riDKcliläg-t. den wir nun nucli in der Kürz« .-iiidcuten wollen.

Die drei f^effebcncn l'unkle im Räume acicn wie frülitrr .i^
B, C, iia*f O [iei AvT ^eBurhte Pnnkt; auch aullifn hhcrliaupt die
io I. einif«fubrlen Bi-zi'iehuuugcn julzl ilirc durtigc Bcdculuug be-
hallrn, und wir walten nur Mvss not'b

L<"»W = V', LABi} = '>^'
L.lco=x, LBCO^x'

a«lBea; au iit offenbar

l^ + ;f'=l80« — o,

unii

b sin / __ c »in tp'

— sin ^

sm Y

32, iBV = -^^H- =

C0 =

•V SlO f ff Slll ;(

BIP Y

a sin

sin jS

zA*\t yit^to 31.

Vi,

I a »in \i/ b ■■iiti (^-f-/)

sin « "" sin jJ

lAsin X ff ain (y-t-ff)

sin jJ ' («in y *

|r sin if »jn (« -4- y .)

8iu «

am y
fan m«8Br. nun anf^ncr den drei Winkeln a, j?, j- jederzeit enf-
weiier noch «inrn der drisi U'inkcl (p. tp, X ^^'f «'it-n der drei
Winke! y', »/, /. wi'lclicr gemde die siclicrj'lr: und b(;i|nrniitte Mes-

anng Biestuttet. . '.. .

einer der ilrei

drei Winkel

Ken leutcn l'nll in UttrafhAin^ lu xirhf n . und wollen zagleieh,

nm die Rp^frifTt^ zu fixiren, nnuelimcu, dass der Winkel <|> pfmessen

woPtlen M-i. [Iniin kann man miltelst der au* S3. und i-inem be-

kaanteu Salxe der ebenen 'rrigononietrie äiei^aeudea Ausdrücke

y, X' wi'lcbcr gerMe uic siclieri'ir: und |j(;i|nrniit[e lues-

et. Weil ipdo(;h vemiiige der (ilcicbuufii^en :il., wenn

^•i Winkel V, i/'', T^ bekannt ist, immer niicU einer der

91. fp. X tiPknnnl ist^ so xind wir bcfücliiicl, biciss die-

ai.

1 vii > . ' C lin d , ,
am *=!— : — - *in f/>
* o sin Y "

sin j> sin C . , . ^

den Wi&kd X bcnebne«, wodurch inaD ftb«r ftir jt; jodcrzeit zw»!
sieb ZB 18))" crgäHtendo IVerltie arh»ic, iinH micteUt def AoadrÜcke

((»[na.,.. , iinnrin ß . ,« , \

35.' Ml Vf='

kuaD muri *f> borechnen, nixlarch mao über, Aa x zwei Werlbe bat,
Dffßutiar in All^emciuen vier Wi-r(be vou jp, iiberbaupl aliu
rior Systeme von Wertbeu der (jr4>BS«n x* ^' (-'rbüll. L'ni nnii ib
suUcbeiilvu, nvlcbüi) diesvr vi«r i^yntcne mau sa wälilea bat, mus
niBU mittelst der Ausdrücke

•m ' « sin y . ,
*ft. KID »:=; :— *■ Bin la

. «ID y KID ^ , .

y)=.tn:. ,1.. />"» ("■

1P)

sio (( sin C

den H'inkfl <^ bcrcclmen, und siusx anlersucbcD, welches der in
R<;dc stcbenden vier Svslemc von Wertben der rirosacn Xy *P ^^*
der. weoi^tCD» so na^r ktti in»t^lieh, zu dem Wrrlbf von 9), vnn
welcbüm man aus^iop^ aarucklülirt. Auf diciiC! WeiHe erhält mau
Werihv V4U 9:, tt), j;, uctclc als er^tc ^ülivruuffBwcttbe dieser
Gntsnen zu betractiten üind, und im FotßentleD durcFi 9>, <;(', Jf Kelbst
bexeicbnet u-vrileQ xallen. Boxeicbnel man quo di« wtibreo Weilbe
der Winkel 1, ^ _ ^ -, .

Ä^ff, cßd, jco

respectire durcb

9>H-^g7, i(i-f-«<V, Z-^f^Z,

«■d lefatt der Küne wegeo

37.

sin y «ig j{
siil M am C"

sin « gm ß

o a Hin ^ sin jl sin J*
, g sin ß sin /i An C

-. g "in y

Ä sin B

■ A am j» !<in / siu » '

so bat iBua nach 33. die drei folg-enden Gleicliaogen:
sin (ip + <Äf) — y nin f« -f« i/» -4- rfi/f) = 0,

8i|i {f-i-ätp) — g- Hin (/:f-i-;e+a'j:)=!«.

Hin (;(-H,^)_Ä MD (;--f^ry.H-rf|f)=0;
d. i. uueli dcfi bekanntiin Fiincipien der Dtd'erentialrerbDun

di^

anx flie
drei Gleicliuiigüu des erüti-n i^rudcs io Itczuj^ auf f/^, dtp, 3x al»
aabvkaante (irosseDt

!»in <p—f%\n («-t-l^)H-cfts yc/y — / Cü8 (« + V') ff'!»^^,
■in V— # sin (1?-*-^') + co» V'rflp— jT c«s (^H-j:) «5f^0,
siu X — ^ *'" (y H- v) H" **" Jl^if ^ ^ **■ (?' + SP) rtV = ö;
au» denen duu '/«t, f/i^. <^ tiestimuit «erdru tDÜDsen. Mittelst ((<!-
witlinlit-lier ulgcbratM'lier lilimiuatiou uud einiger leicbteo goniune-
triickcn Tranafonriiidonen erliült muu, wenn der Küne wogen

31*. il'=i=eoB<p eo8i/) eos^f—yj^A eos («-+-V») r«5 (1?+;^) ms (y+fi

geiictxt wird, xur lt<pHlimiBuii;j; der gesucbltn Currectiuocu ^y, dif,
ax die folgcoden Auadrückc:

347

'Ai^^Gsin ifr cos ^ c»8 j^— X sin « ooa t^fy «Jo (? eo»(a-f^)
—/ff-* <^<>» ("^-^) "^"Sf/^+^r) «n O'-H'),

— y^Ä sifl (ü+f ) eoBfjJH-Jf) <r«)i (/-4-9J),

-iViU^t^^cos y wa j/( «in ^ — A sin y i'uä i^.'— ^eid« eoö(/'+jp)

—fgh €«ii(tfH-v») Hin <(«-»-;;> CO« (;-#.y).

Hat rann aber 1. ß. dtp mitlclsl drs crston dieser ärci Aastlriicttn
IfcfuDiIpi), -SO kann innn th\* iiiid ttx niii-li k-iclit iniriolfit der fuli^en-
d«n UU.S den filuicliungeii 3N. ütiijj. uiiinitt<^lh»r ergebeoüiMi Aas-
drücke iindea:

41.

\, ^ sin y— /'sin («-n^l-i— cm yrfy

'<?

siti;f— it siii(y-f-y) — A tos {y 4.7) i/y

eu.t ;

* Wie man uul' dieHullic Art, wie niiiii vnrlinr run den ^iitiuruiiffH-
werllieii y:, t/', ;; xu den neuen iSBljcrtJiig»wcrtlioii y-f-'/yj V'H~"'^<
/-t-rf/ gt-lnn^le. von dieN4!n Nüiieruiisswcrllien wieder eu neuen
NüJlirrungewvrtlivii iili.'rgebvjit uud- aiU jUtwe Art ijl^vHiuii{il- iinut«p
weiter fortscitreiten kann, ln-'darf IjiVr deiner brsiinde'riJ KrlUulenmff-,
Bemerken wollen wir jcdocti uOjtJi, dtutf die olji^on Fiinnelii die
Carrecltonen f/7:, i/(|f, c^ nnlürlifli in Tlurilcn drs lliilbniFSKcrA, wel>
clivr bekanntlicli immer di-r Kinli»it ^Icicti {rc^ctzt wird, «uso;«-
drückt liefera. Will niuii ubcr diesii i'Drrecliuiien in .Seiiuudtin
ausdrücken, so dieoen duiu die Inlgcndaa läiclit vemlitudlicUea
FumteJn ;

III 1 ' ' '

A2. j^j^. oder -20Öäfti,S . rfip,

jT, oder 206iM,8 . rf^.

Hut Dan auf di« ToHi<>r{^e|r«nde Art die Winkel

BAO^ CBO, ACO

"^irfunden; so crliÜiU rasa di« ÜDlfernungcu AQ, BO^ CO niUskt
dvr Kormeln ^ '

W.

^^V* \ Sin a ütn ^

^^^Kikann diintt tVruer, wenn die Cuurdinaicu der Punkte ^t, B^ C
P^IPeken sind, die Ciiordinutco des Puukleii O miUeUt di>r in t.

Will nun unKio AulgiUe bei geudritiscUen Mc&gancen in An-
wettduntf bringca» bo bub» omq aalürlich mit eüicsi lastrumvat«

""" sin j* ~ sin j- *

} Oft c ain g^tf .g sini«-t-Cgtf>

sin y sin "

.,^ w sin VBO h »in [ß + .Ä'ö) .

Teräehen sein, welcbes, wirt x. H, drr Spir^eUrstnot, der Spic^I-
kreU, uud iunbesaDilere der Burdtiiürhu Krciit, die Meftsuiii; der
H'iiikel iti aUvD L-ai^va derselbe» iceofcii den UonzQut ffestKUet.
Kin gdtfOhulicIier Tiifixlulit, mit wclcbem »icli bi^k»nnllit-li bloHS
di« liortxootalen I'rujcciionen der Wiukel menscD liis»«n , ist dapv-
gcn zu dem in Rede stellenden OetirDucbe o'tcht geeignet , walil
^4tier xiir Anwendtit)^ der ^ewnholirben PotbenntAclieti Aurs;abii, far
[iVcIeJiB u. A. in Tio, W\~ S. Vi. eine AuJlÖMung gvgebeo »ordeo
ist« binreitbeod.

XXXVI.

Intersucluiugen Aber Frojectionen und neuere
Geometrie.

Von
Herrn O. Schlouiilcli

XU Wriulitr.

!.

Die perHpectivinelie l'rojeciton in ibrer einfüchstrn Ge-
»(all eoistelil bckttUDlUeli dadurcu, duss wun zwei uut'eiaandf^r senk-
rechte Kbeneii AfO, Jf/Q, die wir kurz |/t'} uud {e) uvuncu. uo-
nimmt und vun »Ik-n Rubüdeu d<fr KIm>dc {K) »arb «inein Fro'
jectionapunkt /* Ccradi" (.SCr«bleii| -^iebt, wideJic (V) in »■tilduret-ben-
den Punkten durclisclmcidcn, die in ihrer Bereinigung die Prnji-ctioa
des primiiitfi] (if.Iiildeä ub^eben. Wir vullen nun in dem Fol^eo-
dcu die Guliildv in I't und c, von dEtncii das letztere die l'rnjeclisii
des eruieren ist, eiit;t|jruclicndc i^i'bildu uvnnon. i

/tierst ist klar, das» die l'rojerlioD einer (Bernden wieder einr .
ficrade üeiu ninl, dam es aU» t'iir die Bcsliiiiiniing drr L»);» der
l'roicetion hinreiciit, tvenn mnu zwei Puukte der {iriniitivco Comdes
projirirt. Ist nun J/iV (Taf. 111. Fio^. I.) der Uiircbschnitt der Ehe.
Dcn (ü) und («■) und darin C der l'uiikl, tn welcbrm iV\ von der
zn nrojicirenden Ouruden CT lu (A') );e»chnitlen wird, «n falle» in
C die einander entaiirccheDden Punkte xusiimmen, oder 6' ist die
Proj«ction Meinrr »flbst. — Ferner ist klar, dass. je w«i(er matt
die Gerade CT verlÄii((ert, der PrujertionMilrulil J*T jticij sucre»-
aire der Lbi^ Pt || CT nältcra wird. Lassen wir also T sielr

241

ubendlidi w#tt toii MX eulfcrnca, «o geht der ProjectionssfraMi
PT g»ni in die \m^k Pfi \\ VT Ülier, uikI en iht diipn / die VttiJL
yreiÄan drs nnendlicli «niferiit«D Puoktes T und die bejrrinxt^U
f>eri>d« Ct di(- der unb^jf riinr (pb CT. I>ie Bftstimmiibfif AfA
)*DnktGs 1 Itat nickt dii* «liadnstp Srhn-ieri^koil mnlir, du die klieol
Pka 1 1 der Ktiene ( R) mithin »uoli o/ j | MS aiid wie vorher Vt \ \ CT ist

" IH«u Irriiifrkt ah*t leicht, duss diese Ucslimniuag dcB l'uokte«]
r<^|^r nicht Tou der L»ire ilea l*unk.te» C in M\ fitjbüu^l, du«
aUo ftir eine Uernde C'T" \\ CT ffanz diesclbfi Construktion gilt,
und also C't die Projeftiun tou V'T' lai, Darau» ergieU «ich
der Satz

ffEinem Systeme paralleler Geraden in (E) ent-
spricht ein Stralilbiisnhe t in (e)."
Wenn sieb der Winkel ^^r ändert, vird uffeahsr / «ick «tlf
d«r GeriidpD at |{ MA' bvwegeu; nl»o:

„Die Mittelpunkte aller StrahlbSuchel, wclchefcr»
I' • -BcliiedeneD Kyatcmen uarnlleler Ocraden entspre-
chen, liegen in einer (le rüden."
Uuter den venu hiu denen Werthen, die der Winkol 9§CT
annehmen kuiiD, sind besonders znel hcrvo null eben. Ist niliiilich
i. MCT=H, BO fallt t mit o zusammen; ist tiber t.afCT^=i/t,
an wird of=z= P/ und oIho scliun bekannt, weil die EntferouiitC des
ProjectiiiuHiiunktes c^uebep ixl. Uitraus ergiebt licb Icicbt ein
Ver^Jihrrn, um die rrujcciion jedes tteliobic^-eri Punktes ./ niitzulin-
den Tiif. III. Fisf. 2. •). Denn fallen wir dita Per|it'ndikcl //./ und
tatacbcii //A'^ //y. so liiäst srrli J a\n DurchstliiiiU zweier (>e-
|r»d«n betrachten, van denen die etoe J/A' unter eioeni reckten, di«
andere unter einem halben rechten Winkel schoeidvt. Ixt ot wie-
der die Knireniuntc dei« Projcclioneputiklex von {e), a« ist J/o die
Projecliun der unbeätimmt verlnnfj^erten /fJ, Art die von £iJ diso
der DurcbsrIinitI i die Prajeclion von J.

2.
Kinn kiinn aber nurb vnn di-r Bbene (e) ausj^elieu, sich die Ge-
bilde dertwlbeo als negehvtt denken ood vuo ihnen auf die der
Kkene (A!) xarückscbiieHRen, indem mnn itbrr of einen PntjeetiAns*
pnnkt denkt, durcli welrUen nniu;ekelirt die ßebildc in (JS) cnt>
stehen. Iliinn hat mnn tollenden 8ntz:

„Allen Stralilbiisebcl n in (f), deren Mittelpunkte

in einer (Jernden {ar) üeffen, entsprechen in {ß}

gleich viele Systeme jiurulleler Geraden."

Ana dieieni und dem ihm anuloi^en Salze in (I) lassen sieb

nun Tiir «ine Menge von Sätze« «u» der Siluntionspeoinctrie die

eio&ichslea Beweise hrrleilen, Wofiir nun einiji^ Beispiele dienen

sollen.

Sei Tnf. MI. Fig*. <i. rf/f r.'m beliebiger Winki-I und ausucr ibm
aia Punkt y angcnninmen, von welchem aus durch jenen Wjukcl
beliebig viele .Strulilon 177, ^, e^ . ■ gaxngen wind. Zieht man in
den so ealHtaodenen Vierecken die Diagonalen , so liegen die
Durchschnitte dentelben mit y in einer 6cruden.

TDWFipr utrjlt Alles in t-lnor Ebriie dar. so l1i^ll^ man .tifh (B) Vau
■■' UN als Axe gedrehl denken kann, bis »io mit (e) lusamiaenUlk.

390

HB ti«h««t) wir di« Ctirtidetty ata iIia Gcrndc «I to Taf. III.
Vie;. 1. au, so Mit(i|ireclien ilftn Wiiikfl r/tf zwei Parallrlra .tC^
Ji'F. Ata Strahlen «y, Äy» er/., ilie Fnmllelün J/J, HK CF ....
Fol^'ltub üiDil diu entüprecliendeii Vicrrcke Piinillelii^riiinin(>. üu^
Ihu'cLsrhDitlß M, /V . . tier Ütai^onalen in ileiiBclbeu lies:eu al>er
nacli selir beküuntcn Sültt-B in utncr Gerii(l«i>. hvIcIm; xuj^letdt
[I AC xtuA />/* iit Folglicb miiKSfu nacli (ll die Frojediooeti
von M, M'j . . e\»tafs\\\» La «iner Gcmdeu li<^gctl, wclelie »acli
durch f t(^kl, w. X. b. w.

Vftc dicfirm Satze lassen Rieb bekanollicli viele fnicbtburc Am-
venduDgvQ maclieD, die wie bivr Übergehen nÜBsen.

S.

Taf. III. I''i^.'4. Wenn die drei Geraden oro', 6/t', ce', wdcli« die
Spitxrn xn'fier Dreiecke- mit «inunder veri)ladcn, sieb In etnen
Puakte scbneiden, so liegen die drei Durchscliniltc p, f/, r der ver-
lUngerlcii gleichnamigen Seilen ^ aA uod a^i/, ac bdiI m'c\ Ite und
i^t^f in einer Geraden.

NcliiiteB'Wir die Gerade pf als die Linie o^iii Taf. 111. l^i^.L ai,
■6 ctitBprieltt dem Stralilbiischctl mm, im, cm ein anderer /^iV» ßät,
e.V. in welcbeiu ./A || A'ß.. ACU .fC\ Nun toIi^t durauH Dncli
bekannten Eigensehuften ahnlieber liretevfc« ßC \\ a'C, nIsA ent-
Hpr<>cke& diesen Geruden zwei andere ir, A'&y deren DurcliacbniU
nit nuf Pf liegt.

4.

IVt'. III. FifT. 5. In einent Dreieck« L,MSO ist die Gnudliaie
L.k in jff/ balbirl, der Strahl MU und nocli ÜQ. \\ MH gezo^eo;
der SU enUtundene Striihlliüscbel lieisst bekanntlich ein harmuni-
acker und es ^iebt darüber die beiden Siitze:

„Jede Gerade, die einen karnoDiacJien Straklbii-

Hchcl schneidet, wird von demselben harmoaiscfa

gotbcill;"
ond

,4J«der Ktraklbnacliel, deiif«b Siralilen durch 4i'

barmnittseben Tbetlpunkte eiaer Geraden cfebeov

tat ein barmnni scher.**
Nach dem crsteren Sutze worden hImi ahcd und AiiCii bariaa-
nifiek ^;eIbuilt sein. Nun kann niun sieb aber divEB beiden Gt-Tadeu
in KaBz bcliebit^eu verttcbiedenen Kbenen uird O aU l'rnjections-
|fUi)kt dii/ii detiken; dntin hui man dea Natx^ dttiui die )ieni{rec(ivi>
«ehe Frnjecliiin einer Harmoniflcben wieder eine llaruioniaclie iM;
od«-r:

„Einer hiirnonisch getbnilten Geraden enisprifiki

jederzeit wieder einn Hiirni<iniKcbe.''
DarnuB ertcit'bt sich, wenn mau über deu beiden entsprecheinlCD
HarmniHücben Slrablbäschel conslruirt und flen «Den uls Frojeetios
«les andern betmeht«!, Jeicbt der anuloKe 8a(s:

„Riueui bnmoniHcben Nt riililbüschel en tspritilit J4*

derzeit wieder ein bannoniscker Slrahlliii^chol,''
Dieitfl einÜDrlten Sülie werden die <{ne|li> Hiilir frurhthorer On-
(craurhuniceu, vnu denen wir cinii;e utideuicn wullcu.

Taf. 111. Fig. 6. Es sei abck ein Viereck, dcHen GegeDeeites
»leb in M and m ecboeiilea. Wir belnicliteu lUe Gorude mm ^dit

Unt« »t itiTaf.lll.Fit;. I., sa dkss i*a Stfolilen aai. em d'ic Parallelen
' jrfjtf, C.tf, ebenso ff», <•» die l'aralloltti ,:/j\, Cil' enU)irrcli(>ii.

■ Ikem Virreck «£»/ enUpricht als» dim HaralleJofTrontn AUCH.
V i)ft slcli ntiD die Uiagonalcti AC, BD dcüxeltifti liiilliir«n. to köo-

o«D tvic dti- unendlicb f-orläD§-«rten AJ\ Uti, bnrnoiiisch ffetlieilt
^ neaueii, und fitlirlicb hIikI ex auch die Oiagui)»)t>D ap, hv. /ietiea
\ wir Jtr 11 r/i, yA> tl BC^ so iHufc >^& y I»U and wird voa

■ JC bklbiri. Pol^lieli ist der Stralilbüsrli«! ./.V, 7/» y^/, JQ ein
faarmrtniarbrr, also lat es nuch der ebUprechmde in, im. ip, ry,

IBnd (laber motis auch m^ harntuniMli ^ctlicilt aein. Neant man di4
Figor in (e) ein TollHtündi i^efl Viereck und ap, 6^, mq die
Uiagonalcn desselben, su hiit mau deo bukumileu SaU:
„Die drei Diag^oaalea des vollütäudigcn Viereoki
tbe.ilen einander barniiDiscb,"

>>.

Taf. III. Fig. 7. Bckaautlicb neoDt man die Durdiacb n i tte der
äaaaeren und inneren Taoffenlen z-treier noüHer eiounder Jicgi^ndea
KreiiHi den kuaaeren nna inocrcn AeliDlich^bitapapk'tjcner
krei^o. .1 I ., . - ;■

Nim kann man aber dies«! (febildn al.4 Projeeiian rine« Cvlio.
Htm ansehen, WRiin man drn PrnjectiunKpunkL irgend wo in den
dureb u uuf der KiH'iir, der Zeicbnung vrriclilecen rerpeuilikcl uad
die Prujpctiuiisebene \e\ |iaraUel den Ebenun jener krvise anntiniut.
(ergleichen wir uuu unsere Figur mit der daneben gcKlellleu cor-
rrafxiodirenden. an erifiebt Hirti gleich, dnss J/. J, a utid der un>
endlich entfernte Poiifct // liRrui^nisch liegen, also ist dicss nuck
linka der Fall; oder:

. }|I^iC' Miltelpunktß beider Kreise liegen ait dea

L* ff • 4' A e bnlichkeitKftunktcit bnriDooiflc h,'^ '

Tat III. Fig. $. Prujtcirrn wir eio S^-sleni dreier Cyliodvr von
gleichen (•rundtlcLi'lieu, si> entvtebt eiii S>.-itein \a\\ drei Uugleiclien
Kreisen (du die GruDdßaclien jener üylindrr nntfleicti weit von der
ihnen parnll<'lenl*roj(><ttion'tebe-»eenttVrni:Hind) xu weichen drei äu.Hsere
und ODenaoviel innere Aebnlicbkcitsp unkte geboren. Da nun link«
nlle äusseren Tiingenlcn eirinndcr {lorallel üind , so liegen rechtit
die Ourebsi-Iiuiltc ilerselheii in einer (>eruden. (welcliv äie (ieradu
«/ in Tut. lU. Fig. 1. iM); oder:

,,l>ie ansseren Aeb nlichkeitspunkte drei«r Kreise

lifgen in einer licraden,"

ße[rn<*hten wir links die inneren Acbulichkeil'apuHkte ./,^ ./,,

Ro erhellt gleich, duas tlie <icr»de Jy^ ./, {| den äussereo Tangen*

Ltea an M und H liiufll. Die« gicbt für die Figur recbta sogleicli

6atz:

■^Jeder der drei üiisncrrn Aelinl icbkeittifiunkte
liegt mit xwei inneren in einer Uernden.'*
Also gicbt «■ im Utuiica vier AebolicbkeitsstrnhJea.

6.

• ■< Wir wenden uns nun tur Betraclitnng der Kegelnchoitte, und
swar ist gerade hier die Cntervuvbung mittelst jirvjecliviHcber
Ki^euNcbuflen die xweckntäiuigxtK, du der KegcUrbnilt »einer l^ut-
ulebnng nach nichts ändern als di« (jerspc-ciiviaelie Projecliün eine»

2S2

KreUi-K Ut. Wir ncltneu v.-iv faisber imiaer den «iafnclist^u
SD, daut die l'ri)jecliua»> (kicr die Stboilt-) ebene Mtiltrecltl I
(£) {Att BusUebenc) »tclio, d& sieb hicrituf jeder andere FnU letckt
raduziren lüssl.

TalMII. t'ir. 9. Hi«r (icwiuut nun dl« (Icrude »fTuf. III. Fi^. L,
welche scbou- tiisher die bedeuleRdüte Kulte spielte eine gunz bt<
Knntl«re ^Vivbligkcil und wir werden sie dahiT kiinfti|i; di« Palare
An KeKcIsctitiitU ueiiueii. Sei duo Ar ein beliebiger Kegelscbartt,
<^n wir m\» PrnjectiDD einPH Krvises A' nnaeben, o* aie I'olare
(auf der Hieb al»o die Projectionen aller Geraden »cbnejden, die
in (£'| FarulIcIcD sind) und » die Frojettiun d»s Krcismittelpunkls,
Hie wir den Po) de!t Ke^lscbnitt» nennen, so litt klar, dass jedit
Gerade, die durcb den Mitipipunki des KreisiMi A' gc-bt, vtrn :V uud
dem kreise bulbirt, d. h. luinint dem uiteudlicb eutf'eroteQ ]*nnkte
bttrmaniBcli ^^Ifaeilt wird. Also wird jede Rerude, welcke
durch den Pol dea Ke^eUcbiiilts i^eht, vom Pol, der
Corve and der Polare barmoniseb Kctbcilt. Ziehen vir
ferner irgend einen Ourchmcüfier .40 des Kreise» und leß^RD Tnn-
}fenten un -4 und li, so liiufL-n diese einander jederzeit |tarallol.
Nuu eulsprecbeu: dem üurthtnctKM^r: eine durch den Pol tcebcnde
Gerade, wulcbe BerührauiCBBebne bcissen mag, dea paraltelcn
T«n^pitten iiui Kreixi^: xwri Tniigenlen am keifeUcbnil:!, derei
Durcbsclitiilt, „das Uerührungseentrun,'' aul der Palare liefL
Wie sich nun auch ,4/i um Ji drehen rang, so bleiben dneh nie
Tanirenlcn an ^4 und /f Parallelen, d. h. wenn sieb die Bcriib*
magKsebno um den Pul drcbt, so durchlint't das Beruh ruRfi^i^eD-
trura die Pulnre; oder:

„Üif Polare ist der Ott aller |{erübrung;'»ceBtra«
deren Her ü lirungsseb nen durch den l'ul gehen,'* <'
und aach umt];«kehrt

..Der Pol iüt UerPunkt, durch den alle Burührunes-
HchneQ gcbeu, derea UerühruDgsccntra auf der
■•' Polare liegen."

Daraus lausen steh leicht die v^ullöeungen der Aufgaheu abteitea:
.,l>eu Pol zu liuden, wenn die Pulurc gegeben i»t,'^
,,l>i« Polare vu tiodea, wenn der Pol gegeben ist.'' ii

In dem Vorigen wurde uns Ziehen von T&ngentea na di>a Ke-
gchebnilt verlttual. über es ist noch nicht gezeigt worden, auf
welebe Weise diess geschieht, and deshalb geben wir folgende
CouMiruktioa rinzU:

Tat'. Hl. Fig. 10. Wenn vom Punkte ;» an dea Kegelschnitt
/: Tangenten geleirt werden .lollen, sn ziehe roao heliphij^ twei
Strahle» m//. 6//, ttic dt'ti Kcgt-Uchnid nucb in c und </ schneülca
werden. Uann aiebo aiao itd^ cä, 4iv sich in /', m/, 6c die sich in
^ schneiden und die Gerade,^. Diese scbaeidet den beg«lschattt
m xwei Punklvii «, t>, weldie die Ueriibruugspunkle der, vuo p
autt XU legende» Tangenten sind.

Denn lann nehme p als Punkt einer beliebigen Polare und X'
als Projection eine» Kreises A' an, so eota|irecben den Slrabtea
irc. (fd »»ei Parulleleo AC^ Bü. Nun ist über klar, dass durch
die l'uuittrukLioa in !£>'), // und V die Uerübrungspuukle tob Tsu-
geolea siud, welche)) AC\\ BD laurcn. Also enlsprecheu iha»

253

in (fi) i\p- Krriihnings| »unkte dpr Tangenlen. wnlrhe diirr.b p ,irnlirn,
w. ». I). «■.

Es li«t nuD uudi di? l.uNUng' iler «nigekebrleu Aufgabe: durcli
awci g^eg'cbrnv l'iitikte üinv» kctfr UclinitI« mi dmicrlki'u 'l'aiigfnlün
icu aiflieu uirlit tlic «iiiKlfste ftcÜwiertgkeit , neHltulb wir nie iil>er*
geben.

ni<> Durcbvcbuitl« der dr«! Pnsr GegnnsfitCQ jedes,
elueiu Kei{elscbi)itte eiiigescbriebenen Necbsecks liegen
■A einer (>(■ rüden.
'' Tiif. tll, Vig. II. ffhril/-/ ic'\ das Secbseck (SelitiAnteclis-
^ck). p. if mii^oii diu DnrrliscIiiiiHe von den twpi INtar CcgeuKt^i-
Ifn af, cti und lnu ef beissfn. MininL man pi} uls Piilan* und dt-n
Kef^i-Urliiiilt alü l'rojectjuu uinVK Km»*.'» uu. hu fUlBprucbeti jvtieu
zwei l'tmreii die Sfliiien -J/' || f-ßt und /if6'|] f)I^. .-Itier bekaiiiit-
licb Tassen |ieir>illplt! St^lmi'n i{ti;iclie ICo^i-n zwisclien sieb, also ist,
vreuD wir die Itogen stets rrclita b(^ruui iicnueit:

«rc AC=^tiTG DF

Are C£=Brr FH

aUo durch Addition arc .iE (der grttäscre dities Nnmenii) = are fiB
{ ehcnsa ). Zii-be» wir beide i-oni KTeiHumfang ab , «o bleibt
arc ^£=:«rc BD, woraus AR \\ DE folgt.
n. AIm liegt der Durchücbniit r vou «£ und <^ Olt auf dar ' Po-
lare d. b. iit einer (^erudrn mit p und y.

Der Siilx %\\\. ottdi timgekefjrt, 'wis sich tpag^giech sehr leicbt
zeigen lüKst,

In jedeni, etoem ReffeUrbitittc Hm8clir)«b'e>n«n Seeks*
«cke itelineidcn sirli die IHafroiinlnn, welche zwei (!e-
{^eneckc'D verbiuden in einem Hanklc.

Tur. 111. Fig. 12. abcdef w\ dieses Sechseck ('l'^ng'eDlen-
H«chseek), «f/, he^ r/~ jene Dim^unnlen (H.-iu(tldiAg<inN|pn),
Man nelime den Unrclischnitt m der Ersten beiden als Pul des Ke-
gcl)«chuitta und diesOM uIm l'nijeelion eines KrciKC» nn, so entsiirif^ht
dem Pol m der Mittel|iUDikl .W und jenem Stcliafck ein enuercs,
dessen beide ersten Hnuptilini^oD&len durch den Slittcl(iiiDkt de»
eiBgesehrielicncn KreiBes geben.

(Cr ist nun bluHS zu acigen, dass aucb die 3le Haaptdiagonnle'
t^i^dureh iV^elit, w»B selir leicht (nainenllich aimgogiscb} geschieht.
Daraus lolt;t denn, daK» r/* thiTch m gfhl.

Aucb dieser .Sntz gül umgekehrt.

Diese beiden Stttze bildun bekniinttich die Crundliig'e fiir die
Theorie der lleciprnrItiU hei den kegflschnilten . iiiilcm man die
Punkte der Gehildc; in dem eioeu Kegelscliuitl als BerühniiigseentrH
fiir einen xweileo Kegelschnitt Hnsielit, wodurrli dann eiu beknnn-

Ilea (-orreluliutiuvsletQ eotxtehtj deMJeu Anstuhrung hier jiLer zu
weil führe» ft-ördc,
Lisst miui in den beiden vorigen .Siitzc.u eine Seite rer-
sebwindeu und zur Tangi'iue werden, sn gelung-t irinn zu bckanri-
leu •SÜteen vom Ftinreck. und ehcü^u vom Vicrrek uud Dreieck, die
»ich natürlieh aucb laicht besouders beweiseo Iiissea.

\

254

Es kiDU cnillicli Doch tlie Frage nufgeworfün wcrdetit w(q naa,
ill-vnn üer Kettelüchnilt uod der Pol oder die Polure «eireben ist,
Üie Luge Je! lV«ijn.tii'n«|iankte»i /•(*!'«!". III. Hig. I.) d.b.d"ie'Mpili« <l«fl
Kck;«I)i fli)tlet, der tloun die Eiifcnschiif^ hat, das« er von d«r KIxmi«
{/^) in eiaeia Kreise gcüctinittVu wird, tvan alterdinea zur \ ervoll-
standifi^aii^ dieser Anwendnag* der i'riiJRrtiunfo durrlmDs notlii^ ist.

Dk'sk Aur^abc iüt jederMML l»p»itimmt uud iiar.li dem früher über
Pülv und i'iiluren, Bflrübruiif);»<!eiilra und KeruliruogsReliiien (ir^g-
fva üEilir leicbt xu lösen , wcuu tuuu die iu Jl) gefUhrli! Cuter-
sucbuug über die I^^e voq » und / dakti lu lltilfc Dttnmt. lodess
würde diesa die Granxen divie« Aufsatzes iiuuötlii^erweise über-
acbreitcn, da ich oliiicdicsü diesen Ccgcu8tf>nd nuiifiilirlicb back be-
■AuderA behandeln werde.

XXXVII. ^

Nene Aafl4isun$ der ciibischen Gleiclmngen von
Uerru J. Cookie.

Aus Camiiridp« Matbematicul Jouroal Nu. \ll. (Mai, IS-U).
\ul. IL f.'i'iS. frei übersetii lo«

dem [ferausgeber.

Jede cuti'iscUe flkicbung kann auf die Form

.3r • ^- «.X-« -fr. ijc -f. c ^

brticbt werden.
Zuerst wollen wir den speciellcu Fall lietractiten, weno kw{-
aclicn den CofOieienten a, 6, c die Gleicbungp 3ac = i^' Statt fin-
det. Bringt man in diesem Falle die (ileicbuns unf die FoTm

— «•'

ittat^

■ bx-

nnd mnllipHcirt auf beiden Seiten mit 3«£, so erbSIt mao

und folirlicb, weil naeb der Vorauflsctxung Sacssi'*, also 3a^c:=^' i>t,

Addirt man jelxt auf beiden Seiten «>^*» ao erbält mn

255

und folf{lick, wenn muii auf beideD Scilca die Cubikwurzcl aus-
aii«ht.

1

crW^i»(«»— 3d) = aar + *,

^= , ■

Vat«» — 3A)— o

Wenn feruer die Glulcliung 3«« = ^' sieht Statt findet, so
8«tzc Biati y + « für a; wodurcli die giigvlieBc Ijikicliuufi^

J?' -H AT * + Ä;i: + c :=

die folgende Form orLüIt:

oder, veuD der Kürze wc^eu

^ =^ 3a + tf ,

gesetzt wird, die Form

yi + ./y» _(_ /^ J^ 'i?':^ (t.

SAH' nun dic«c letztere (ituicfiung^ nucli den Vorhcrgelieoilen iiuflüs*
l-ku sein, so ut crfordcriicb. deas die Gleictiung

d. I. die (ileicbung

3(3» -f-«) (a»-f.<wi'-|-/y»H-c) = (3j.»-f-2«»-HÄ)»

erfüllt ist, uud au» dietter letztoru Gleidiuus' münn aha die GrÜSHC
3 be&timnit werdea. lüotwickelt iiiaTi dieselbe ^ebürig', io findet
man, daHa die s* und :s* eutiulteudeii Üljeder sieb gegt'iiBeitig'
aufbebeu, iiod die l^teic^niifr dalier etee Gleichung de» x weiten
4*r«des ixt, div muo I«iclit uuf di« Fomt

oder

(«' — 3^)4 » -h {«* — 8c)a H- Ä» — 3«c =

»»H-

tfi — 'Je

fi* — iac

3* *"*"«»- W

=

bringt. Beatinnt man nun aus dieser GlGicbung z nuf gRWiifan-
licljc Weise, so cHiält miin nutb dorn Ubli^cu terner y mittfUl der
Formel

//

y= » ■

va für v#, ,jff, C ihre ans dem Oblp^ei) bebauQteD Wertdie zu scücea
'siB(l> und a^ ergicbt sieb eudiicli mittelst der Formel

B

256

Fülirt nnn tUr .4^ B, C \\\m nkigen Wfrtlie wirhiirh ein, so «•]
giebl sicli niich Icicblcr Rechnung- für ^ ilvr Aumlruck.

V^fa»— 3«) (SxH-i) — (2a -i- «>
WO Dacli dem Obigen % aas drr qtmdrntisrlif.n (>lrichung

xu bpstimmen ist. Den j\itsdruck von % kann man anefa unter dt

Form

^ ._, (»K + tf>ai + OT + A

^ — X -1 — j

l'^(a» — W) (3=-t-«J — (3* H- «)
darskllcn.

Iit di« gegebene cabiiche Gleichung^ x. It.

so ist 3ac£=::3C=^*, und folglicli nach dem Obigen

j::

" I )

BerücksicIiHgt man nun jetzt {\\asa den reellen Wertb rua

^8, namticli 2, *a erliält nvn x=l. Die beiden imngiDlreil

Werlbe, wekhe \/8 nocti hat, wnrdeu fiir de nocb zwei imagiiit»
Werlb« liefern.

litt die gegebene cubiiivhc Gkicbuug ferner

.r' —7^' -»-17.r— H^O,

wo niclit ;Wr = A' ist, so ist die quadratische Clelchuug, aus wel-
cher % bcsliDjmt werileu inusx, folgende:

Diese Gleicliuug bot die beiden reellen Wursela 1 uud -^. Setzt
Dan ]t=:l, ito «rgiebt sich nach dem Obigen

V/8+4

und folglich, wenn man jetzt wiL-der blo8S den reclleu Wcrtb 3 roi
V/8 berücksichtigt, j^=^2. Die beiden imagiBSrcn Wertbe, wel-
che \/H noch haben kann, liefern fiir ^ natürlich noch zwei ini-
g^inäre Werthe. Das» man oucb x-^-^ selien könnte, versUhl

weh Ton srlbüti nntitriirh ivdrdc ober dieser Werth von » zu dfn-
gelbeii Wurzeln der gegebenen cubtscben Gleichang iuhren wie derj
VorhiTgehcüdc Werlli von 3.

W^eitere UctmchtUDgen Über dca Fallj wenn die ()U3dmli«c!ie
Gleichung, aus wclcbur die UritBit« a healiiomt werdeu uubm, zwei

ijnsg'iniife Wuneln list, ülierlaHSPn Trir ilcm I^ciior, <la dicaelben
Ikfuoe Seil wii^rigki'i teil kabeli, und sieb leicht mit tier ^irulinlirheo
'Tiicnrie der Auflöbuug- <iet cubisdiCD GlGicliußgcn werdea iii Vcr-
biodune' svtzoii iHnim.

Henn ucih bu<'<i diese ncne .4ußK4un^ drr cubisch«n Grktirtiun.
gen des llcrru Cocklc vor der bekiiiinl4>n AufliisBUB; des Curda-
nus kninp wpsentlirlif» Vurzüjic zu liabcn , und dftt Tli<>nrii< der
Gleicliuti^u des dritten Graden durck dieselbe nicbt ebou ^»Itirilrrt
zti iverdvn finlirint, sn verilienLe Me iazk in den Arctiivc aufbe-
Wiilirt zu werden. . .^..i'.n ■.■ .■ w

XXXI III.

Beitrüge zur EntvAickcInng der Integrale in

Reihen.

Von
Herrn N. W. Schulze,

Ijohror dvr Matbeniatik xu RmlpUcaiiC.

Bs K«i ein tn intngrirendes Differruzial vorerst dieseit:
H«n Tü^ dem Nenner eine idooHache Glclr.bung bei,

'^ '^ \(y-^p)-{p-a:)\~^.da:.

DÜmlicIi: 1— : — - =

und irntwickcle utich dem Ittnomisclien .S^tze, BO dnts p — je in
aufkteigviiden PoIviueimi furlgelit, so ist

,, i(l+;-)-(;.-^)l-..rf^[^^ + fSF + ^+-j •^■.

Mun integrire und ncbnie p als Itesländlg, aUn

.ilx

Ea kommt nuu durnuf au, p su lu Ucslimnicu, duss tlie R»lio selinell
couv<tr{i;)rt; dies würde sicli LTgcben, wfon m»n auf titiander fol-
gende Glieder, was vom Sten an goscbcben darf, zu(>aiuiu«n ^
Tbtii I. 17

^8

lehU«, den Werth für p aiiclitr und Mütliigoo in dnii ttM» GIrpi) nv
«IWa ua«b ia dk- iibrigtMi letzteren Huli-iliiuirtc-. ilu itbt-r dunii diej
liölicreo üleiclinitgcn iiio Rot-lmiiDi; unl»«f)ucni n-ilrde, so setze ickj
bluas das 'itc (älicil =0, namlicli

liocxt wan in 2) recliter Haud üIhtkII j^ uiait p, duaii
tet ait'b <liv RpiUe sn , ilnsti iJns ■\\Vy Urv, Kie u. n. w. Iilied au«
^0 »iud, uud wir fackotumeti uiicb ^i-biirif^er AbkänUD^:

2 [5|r^K5fer-H(^)'V;(5|^)'-h...]4-ico„«*.=oi

nisu eitiv iiuf nndertn Wee^n brmtlH srtinn gpfiindmu bekannte
Reib«; und ist die Ucberciustiniinuiif; dvs KcKultats dieser 51i?tliuil«
tnit dem HHilerer für diei«» Ueiapiel nur eio besonderer Fall,
wie «ir im den folgenden icelien werdeu.

V.S sei dos Piß'crenzitil der KrcUDÄclie gegeben, so ist, oadi
Beinignog des obii^cn p^

bUo

^^/\\:^-\-V)-{p'^:r)\•..Ti.ih!

=/{ai\/t^p-

<y.ri4-j?0

=:^aril/2-!-;/ —

Setzt inun wiederum in letzterer Reihe das 3re Glied =0. woraos
erlialten wird p = — 4^y, und »ubstiluirl dies*-n *Vertb tgr //in
den Ausdruck des Integrals 4), su wird niieb gehöriger Abkürjcung
erhallen :

\ß~

Zx

29x«

JIXIO-J*! ^ 9M(IU-*jrJ= ~—

]

(10— XrJVIfr-Jx
Für ^=1 erhält man, iretin .-1 diii Ifilcgnil brKeii-bnel.

H^'=^h

■ (0.(^8571 i - <),0(W!K)70 +0,<>Üt»i«r») x^^^^

= O,7S8S1306

o,iias3rni> X 2.2sfiOö

=:O,7fi.'i3a|.>0

Diese rior (iliriliT sind (lomnach binreichcud, um den Klärheniuhalt
des QundrantCD für den RudiUs ^ L bin zur tunftL-u üeciiii.il»lelle
^enau zu ^eben,

bs j.et ferner vorgeleg-l das sich nicht direct intcgrircn las-
stode UifTerenzial ^

rflr t/x -HS V/jr = rfr . *< (2 + jr*)l,

259

so ist nacli lüuser Mrtfaode:

Wird, »'i« ^wiiliiilicb das swette (flivtl sniiullirt, kd erficht s!cb
/f = 4^', UntI durcli Siibitlilation dmaetlien in 7> eriiült nun, wenn
v/' (Ins Integrul bcilcutctj

«J ^ = ,jr l/^ X - — ^

L

~l (ii<l4 + 5Wxj"*"23I(l*+5V-'-P)' ■*'

]

•U\yx-.\/t

Für o?:^! crbalt man die selir sclinell xuKumtueiiluufeuiJr Reibe:
V) A'-=z I,3ISI)00— IO,W)üH:r>0 4-Ü,000023r.| XÜ,fi<W'.»7x2
= J.318000 — O.WKMäl = l.:iIÖ95S . .

\Vp.aii die EntwickcIiiiKf von y^/jr, .rl (2-|-a."i)l durch nioo ge-
TKlinlichc Reibe brwrrkblc)li['t wird, so erliätt müu ctsX. ii:icli Knt-
viclteliine' vnn S (ilifderii uns Kcäiiltat I^SHHMtT ,., oiit dem jenes,
nur »US ' 3 (iticdcrn cut«UndüUj beiDubc bis xur fiiaf^co Stelle
iiberci II stimmt.

Nidit für ji'de Form liefi-rt der dircctc Gvbraticli diFüor Me-
tbodc durcb Aiuiulllrun^ des xweilt-» (iliede* eine HclinoH conver-
girendc Keilic. Dies ist der Füll bei dieser Furm:

rfj r

IVnn wenn niuu nark ölilgcr Verfulininf^treise auu iio]hiu;er die
-vrejirren ftesititnte zieht, so (>r(;i(>l>t sieb, da^s vitm drittCB' Giiede
an diu ficbiiclle f'aiivrr|n!iiii uiiciilhsst. Durcli ein« paaannde Ura-
formoDg wird aber aelbi{(e wieder bergestvllt. %% »ei daber

Der Ausdruck rechter Haud lüsst sieb in folgende Brüche xeHei^n:
d% ^_ dx _Ä_

2m

3m — tf

3m .

s *" a

Din Znlil d(T (^liuiler iliewir Reihe bangt sonacb von der Grösse
« nb. und Mir babvii
fiir «1 = 1

11) •'^ "=

«iU-«-«}"»»(i+»}'

für » ^ '2

lä)

f/i

A

Ä

xi(L-|-«0 — xi xMl-t-x))'

17'

261

15)

Sm-t

/•

■

i. -t

»").rf5

*(3w + l)s

(J»-l)j2«H-l-|-(3«— l)s"l

j Iß {2m— 3) (2m-

.(i«-l)rY

(Sm-

Stein man die Werfhp- von .r wiPilpr lirr. und dtvidirt öb«rn1l,
wie xuictzt gvsclivtivu, durch 2jWj h» liukommt maa:

I

1

II

JI.J-'

:«— n

__^___ Hi fgjw — »).r- 1

"^ t2»^+-3)12f«+lHH2m-l).i'|" "*" (iiffl^-3)(2«l-^-5>l2m-t-l-^4;:M-I).r'! ' J

Krstere Reihe, welche die nJiinliflie ist wie die aogvtinimte l^eib-
nitzische, will ich die (■rund reihe, und letztere, aus dem iiivuliito-
risrheii Integrallheile rntKt.'indi>ti, «lie Er^xnzungsreilie iiPtioeD.
Diese Reihe, in nelchrr die CuuKtaDte ^0 ist, converc;iirt fnr
^<Cl liis .r= 1.

Iti ', Ks klimmt nun darauf iin, xu beBtimmeD, wie viel man
Glieder aus der (•niuurcilie sunuhl iilä aus (Irr lirffäiizung's-
reilie mit einander verbiodeD ihüssp, um für einen k'wimicu
Wcrth von kw dii's ■•ulx|>n>rUciiilA Kt-Kiilfal zi3 crlmHeii. T>i« Kigän-
xuDjfsrfiliP f;4-st:ill#t si«;h si», iliiss sie iii iltrpr (.'noverfijfDz uai so
■»■•■iior ifehf, je grü^niT fn wird nud für ein tieHlitninli'.t m irgendwn
auflitirt, si-hnell xuäiimmFii/.nlaijfen.

Für ffl> = l ronvorijirt sie bis zum 2teii Gliede. für n=:3 bis
ftum llren, für m^'3 his /um Iten u. h. f., wie itiiiu uns rulifcodeo
, BciBjiielen ersieht, weuu nuinlieh ;2;= l ^enoniinen wird.

Es sei nuu tw=l, so ist nacli iü. II, 1- n. f. »iiit der Gniiid-
lr«ihv nucb kein filieil tu »i'hmen. Ilrxeicline irli die aufeinander*
'foig'endeii NähetutioiHWPrthe mit It, /?', B" ..., s« ist

H) y? = 3 (O.iJÜÜÜ + U.Ü12-J0 — 0,001781 = ".TS | 2Ht.

''Br m :=: 2 bat ninn niiü der GruuJreibe ein (tlied zu nehnienj
ilglicli

18) Ä' = i — 5.io.au<>06-i-o,ooiiio-t-o,ooo(»e2|

= 1 — 5 X 0,a»2844 = 0,:85 I 780 . .
fTÜr iw = 3 kommea auf die Gnindreibc 2 Glieder, uUo :
1 19) /»"srl— ■i-^7(fi.OI666Gö^Ü,00O2Si!:iH-OJKtO023.51H-O,W)WJlÖtf)
= 0,6<JO&Wiö + 7 X O.OiÜWO = «,7S53 i S7 . . .

262

^ür M^4 ist Oliigen rafolge

20) Ä"' = l— y + y— 9X(Ü,W)S»286

-4- O.OOOOSSS ^- 0,0000085 H- 0.00(MI030 -+■ 0,0000007 + . .)

= 0,S06Ö667 — Ö X 0,obi»OSÖ7 z= OJ.SMft | iM . .

■vtan Dänlirli \a eioip-rn (>li4'di>rn drs Ivtr-tcrrn Fallrs ilic 8te Stell«
vegacltiüäcii uuil die 7te um 1 grüsbcr genonnifEi wirO.
r'ür m = 5 ist ferner

ö^sl-y + V-V

21) 0^=1 — —H-y — y-fU (0,00355556

-H0,00003Sli +0.00000359+0,00000 1 OIh-0,00(M)«023^„0,OOOOOÜ064-_)

= 0Jä3S0!>rj2 -h 11 X 0,0055989" = 0,7853981 | 9 . .

Oier ist die Stc Stelle um I vcrgrunscH uud die folgeoile dafiür
weg^liisscn.

Hier Kiplit man eine liinlÜDgiicIiA C'-Anvcrff^^nz nnsernr Reihe.
uad wie die NKliPrUngswerlhc ton ß, M'. a" . . . joder folpvnje
dem ■wahren Wertlie, wficlier den linljien (iiiiidtaiifen für drn Ra-
diuH =1 ausdriirkt. oidir al.s nm (.'ine Stelle aülitr kiimtnt. uo4
diiiM der vuii li"'' mit dem ileii Tlieil der LudolpLiscken Zatil kis
zur 7teD Stelle geuuii übcruiiiatiminr.

£2) Nimmt mnn aa% IT) Cur i7 [iloM die entlen 2 tiücder:» m
'ist das Ke^iiliit 0,7S7MMK), aho eluaa seriauer als obigc-^ ^^=0^ 78*216..

fad eutwickell nian für B' {\^ iu der Grgänzungiireilic 4 Glifl»
der, HO ist das -llc 5 x O,0fKH)61 .• tf also fa&t cbea tiiclit kleiner
alt) diui 3te 5 X 0,OOOOÜi ...

Auf das Letztere (22) ist da» (10*) Gesagte kiiogeti.

(Diese lleiträgc werdcu s|>ÜterliiD fortgeselal wcrdc43.)

263

XXXIX,

Eilt Wickelung einiger Fünnelu ans der Theo-
rie der bestiiuniteu lnteg:raie.

Voa
nerru O. Schlömilch

>ii \V~«iniar.

Vorerst uütuivB tvir aus ilie bekanule Formel

J-T^sio ,r — l »in 2.r-f- J ein 3;r . . . (1)

ins GedäclitiiiBS zurückrufen. Di« Rcili« rechts, welcbo utfenbar
iinutrf coiivcrgirt, i^ill ilfui Aii»tlruckf! link* mi luiigA gleicti, »|k
ar-t^^Jt ist: im dieser Granzc setbat iiber tri» eine llasteligWeit in
iUtP.n Wertlirn ein, und dulicr kann in die&<<m Falle obig«! <7icieliun^
nicbt mplir befitcben.

Scbreibcn ivir n — a? für a% bo wird das allgemeine Cllied
sia a(;( — a') = — cos mr sin nx d. i. =: ^ sin Aor jvnacbdcm
#» {^rude udvr ungerade ist; «Uu »u« (IJ

^{n — .r) = 8in J?+i «in "2x-|-} sin 3^?+ ., (2),

Diese Glvicbuiig licsLclit uiiigoKelirt zvfur für or^n, aber ntcbt
für .r = 0.

§.2.

Nacli diesen vurläutigen KrÜrlcrungcu bcscliilfiltgen wir dos
mit ileia Auadrucke \

lH-2|cot j;-t-co8 2« + co9 Sä--

cos HjZ

. 1 = 1+21
1

Idcn wir kurz mit I'x bezeicl/nen wolU'ti. Voo einer Summe dieser
fKeib» kanu uiTcubar giir uiclit die Rede sein, da dit-fi'lbe niclil
ucoiivergirt. Alan tniuclit z. It. nur ^' g'lelcb eiuem uliriuoleu Tbeile
[vua ji J.U Dvbuivn, um sofurl eu einem Resultate der I'vrni

a — «-H« — a-\~ . .

fu geliidCren.

Nichttdeiitowcniger ist aber dock der Ausdruck

ifV=:iH-:

CM «u;

<3)

flu so fern von Wcrtli, als derselbe mit <f,r nuUiplicirt und inte-
frirt, eine couvergcnte Reibe liefert, namlicli

264

CODM

lotegrir«!! wir, um die Coait. .wxfptHHclisfleii, «^»clien and r, m
konnit

f^Fx <te=<:H-2S -^ «n «e . . . (4)

Im nun c^O und ^'i'> *<> findet (2) wine AuwcDilDng and ^ftbt
■ogicicti

Ist e^!t unil <;2ä, bo kao|i naa c^ir-^-Ä actxeO) wo
l'^Tt ist. Dann wird d»s Bllgcmeine Glied •— sin «(3-|-£|

^ — cos «7 . sin fut^rlb — sin n/j jri]nchdp.in n gerade cnlcr
UDgerude ist; als» wvil die Reibe tnil n=l, nngenide, ftofaugt

/'/> (far=;ff-i-A— aS *"""^' sin »*,

wobei reclits die Formel (1) enwendbar Ut oad gtebt

/•«

Also babca wir

/j/> aü: = 7r, 2s>c>0 ... (5).

f. 3.
Wir wollen dod die beiden Integrale

/^F.v cos /i.v iLv, I^FjT sin y(jc;, f^i

worin /i «ine g.-mze ZhIiI ist, belrncblen.

Setxeu wir für /Ir seinen Werlb (3) und terlegeu i cos «^
cos Ao! in eine Cofinassumnic, so i»t

J Fx cos ^^ iÄ*= — T \-^ I [tos (A — n)a:-\-cfis{ft-\-i»)x\Ax^

»in Ar %. r ain (A — »>j «n fA-(-»)jr ^

~ Ä "**7 L A-*i "*" *+n J'

Bemerkt man. duss das vordere Glied dem Wertbe h=Q cnUpricIit,

SU ist für A=b'f = ira

/ Fje cos nx ax =^ j

• «_« m

oder weil für negative m der Ansdrnck der nümlicbc wie für po«i^
tive i*t und wenn wir noch das Glied worin h — /r^jw^O iiilJl
ausscbciden

/'_ . . »in ar . -fe Kill mx
Fx cos hx d£c^=. — ;; h 12 — - —

d.i. weil — — — für ii«=:0 siel» in x verwandelt

J Fx cos hx (ir = *-f-l!i

fiut mx

NVInnen wir, nm <li« «twoifc« C»n>ttnnte der iDtegralinti WKgzu-
scbafl'CD, die Gräuz«n uu«t r, su wird

pFx eo» hx dx = c^ ^ ^"^
d. i. wenn 2>r^e^0, wie früher schon

Jl^x cos kx dx^Jt, 2w><->0 ... (6).
Ztrlrgeo wir äbnIicU '2sin /^ go« nx ifl eine- vStnussumne, so int

/

Fx sin ^j: 0^ =

— -^ "*"*,/ '*'" ('''— ")^H-8in (Ä+»).r](/*

— cfls hx ^ p cos (A — «Xg , _, cos fA-|-w1j- "|

~~ k ~7 L A-« "^ Ä^T« J

d. i. fdr A±M^M,

/>ar »in i5.^ d^ = if!ll-Ü^
•^ — « ff» ■

U(i nuD lur negative im.

— cos tn.v

wird, fio bleibt bl»««

das dem Wcrtbej h — » = « = ciilsprccLfude Glied übrig; nUu
tx am hx tLv= — -j — ,

und wenn wir diu (^rnnzcn 0^ e oebmea

/■« „ . ; , CO» Oc CO«
qTX Ein HX ax^ — t. -~ö~

CVS Ol < ,

Obgl«icb nun — jr- = -r-^oe ist, sa wird docb unser Inlegr»! r=0,

dn beide as durrli die nüinliclie Operalivn entstanden sind; mitbin
f^Fx sin ^r dx=i\i . . . (7).

IVfndet nnn anf d!i> bridrn Formeln (0} und (T) den bekann-
ten 8atit von de» bet^immteti tntegriilt'.n »n, itiiga t'ür

crbält man durcb inäbrmaliges Diflvrenziireu nach,^, leiclil

Ix ain hx Fx dxs:sO
/ .r' ctta jt.r Fx dx:^Q

iinü ans (7)

.1:

n
n

206

X* WD rf*r jPj: <te=:0

V* «OB A,r /'jT t/ar^O
elc.

X cos Äx /'.r (/j ^^ *'
jT* »ia ii:r /jc «fcr^ti

a?' cos iix /Ir (te^D

etc.

Ist also

Zaiil

durrli I>!ftV-f^r

_ itizu Tfalil, so knnn rann aurcu ttinfTfriTial-
quolieuleii d«r «viiif^ii Otler <lf:r Qn<lfr«n blcicIiUDg (tij oder (7) im-
si«r xu cliw Ausdrucke

/ .r" CO8 ^4r /'-■r «tr^O

gcUnf^on. Da duii A cini^ betieltig« ganze Znlil sein kiion, sn ucb-

ucii Kir ^^U, und rrlialtvo

/^V K* W^ = . (S).

«5.

\Yir können nun leiclit nin sehr ull^cmRiurs TlifDrem bcwerscfl.
Uozt'ir.Iinrn wir ilJR succcsdivei) ItiiTQrrrizinlqaatientrD von /^r oiek
or inil J'*^, y^u.', . . . eic.\ so ist liekaiiiitliclL narli Muclaurin's
Satze

uUü, weil /(O), /'(O), /'(ü) . . Coiistanteu smd,

fix Fx dJC -i--f^ /J.C' /V *ür-|- . .
d. i. nach (3) und (8)

y j"/> /r ^^ = 3/-(0), 2n^ > fl > 0. (9).

Von diesem Theoreme werden wir uun ciue sehr fruclilbarc Anwen-
dung inaclieu.

In Mm Au.sdrurkc |^) miiiif x< — u für ^ Bl<-ben; muUi|)licif«ti
wir Doch mit den J'nkturca /» dx^ ujad integrire» »wiachea d«a
€rSniea 0» ir, so wird

f^f\x — u)/s. dx=f^f% d%-\-^ f^fx CO« «(»— o)Ä (10)

FBra— «^0 wird /i ^/(0 -4- «) und, wenn ai^n» ist
= jr — a, wenn * = 0, ist = — a geworden; also

367

NclitncD w!r im »w«i(cn Intograle0negat)v. «o ist, jrcil /^ — 0)^/19,

unser i^usilruck

Knüpfen wir iiun an a die Bedin^ingf, iIrhr f» ;>(! und -^t» wi,

80 ist auf jedes ditüür Integrale die Formel (0) anwcridbnr, uiid

/|,V(« - «) f% d% = ff /(« + 0)-+- ;r /(« - 0)
als« dttrcli Eiurülirung dieses Wertlies in (10)

/« = i fj^ ''» + ^ r/o"^' "» «(^ - «) '^^ <> ')-

Nehmen n-ir in (10) a ucgativ, %xi wird links fiir x-\-a^:zQ,
/,"/!(»-(-«)/» .As =/2"^/T0 /[©-«) ./©

und wenn wirdf-r «p^O und ^T^»

//r(»H-«)/=i di=^/(-«)-nr/(-a)=0.

filiO

0=/ /s <£s4-2:: / ^/s «ag 1« (x-f-a) (6

o^er &Dcli

= 4/« /» ''« + V T A V» cos «{z-\~a)dx. (12).

Ziehen wir (1*2) von (U) nb ood buncLtcn , dasa co» m(js — a)
t^cus a(s + <')^2 Hin AU . ein aj, su laL

y«^— Ji' sin «« / /i sin «m ä» (13)

und in älinlicker Wiiis«, wenn wir (12) sit (11) sddireo»

fas=: — J fit rf» + ~ 5 CM Ha /.y^ CO» «US iÖ( (WJ. ,

Dicfls sind die (»ridrn wicliticien FormclD, deren u. A. Poianon
iit seiner Mi-rlumik f. :t35. geiliMikt.

Set7,t ninn — 1 f* "'i "s i/s^racn, — I ,f* *"** *' Ä^=4» ,
und scUrvibl x tür u, 8u but nau

yjr:=J«ji ein «a-, /«■ = JÄo -}-^Ab cm «w

2«8

so duM stell nitliin iillgemcia jedo Kuuctioa in eine Reibr \no den
Formi'ii

tr, sin ^H-«, «iu *Jj:H-«»j »""> 3j;-J- , .

Oller jÄ^-h'S, CO« ^'-J-*., CQS 2.r-t-Ä, cd» 3^-1- , ,

entvickfttii lasat, soiiatd muQ a„ nud An jeucu bcsdamleii lotcgni-'
len gleich nimmt.

XL.

Ueber die Kedin^iingcn der Uni^leiclilieit, von

den AlUtclg:rösscn und von den imufiuären

(grossen ").

Von

(lf*m Upransgcbvi-.

I.

VoB, den. Bedingungeu der l'iigl«iclilieit.

f I.

Erklärung. I>ie OrÜsae a iiiC d«r Grosüe i& gleicb, es m
a^6, wean die DiSf-ram

« — A

VF rBcli windet. IN« Crosa« a ist grüssfr uls die i^rässe ^, es isl
ff^fr, w«Da diu DtffvrcnK

*) Wenn Blich ili« in dieser AMiandliin^ ftcwrevenm Säae f^t siiDBL-
Itrti nirbt neu sii»! , m> JiiritiTi Mir rx j<-ilii<-h fiir iiülhig, wan nucli d««
Zwecke il<>» ArchWH guiu gi.-'mü^s ist, «licäi-lbrn triiunni in i-iiiem K<-'urdi»(ea
Ganzen ijiiialjrlixt Tällstün<ii^ Ensammfnzu&itllei). (line sokbe ZuMmmra-
Blflluij^ tolialtj a\s iti'iRlKli <leiij Atrliite i-i[ixiiv«rl«il«^ii, war al>n- um «0
nblliigfiT, neil ilicäo SnriA i1ii! vorriiglichxi« GninHUgR vieler Lncersuctioa-
gCD aus ilcn liüfaeren Tlii^ili-n ikr IMiitlietiiiilik, vunüglii:)! üb«r die Cunver-
gciii um) Div^rg^'Eiz der Kvihi'n, hililen, welche in (Ich f«lgenilfn H^flra
iui[g«(b«ilc wiirilvii Holten. Ohne eiei« tukhe Zu«amui«i!it>_-llutif[, duf wtictw
fiioi im Fiil|iriiiluH in jedem F^ille vurwieNVii werden kann, fvunle eioc n
bSiifig« und III iinangi-neliine Ijiitfrhr^H-liiini; A(^r in Red« stfheiulPO, lUB
Thcir »ehr sthwierigifn l.iit«'r\iii'liijiiy:i'i) uotbi); ge\v»!ft«n m-in. Dies \yiti
sich äcbon iiii nächst lolgcndeii Hefle, so nric sieb jeut acbon ükur dessen
'ihall urtbeiUu Üiac, zeigen.

^9

positiv ist und nicht verschwindet Hie Grösse a ist kleiner als
die Grösse 6, es ist a-^6, wenn die DifTerenx

oegativ ist.

§.2.
L.ehrtat%. Wenn

«>-Ä, «, >Ä,, «, >-Ä„ ff, >Ä,, . . . .

istj so ist anch

o + ffi +«, + «, + . . . >Ä+Ä, H-Ä, -f-Ä, H- . ..
Beweis. Weil dach der Voradssetzuof^

« > ^, ff, ;> Ä,, ffj > Ä„ ff, > Ä

ist, so verschwindet nach §. 1. keine der Differenzen
ff — Ä, «, — Ä,, m^—bt, a^—6^,

and diese Differenzen sind sämmtlich positiv. Also vergchwindet
offenbar au^h die tiumiDe

(„ _ Ä) H_ («, _ ÄJ H_ („^ _ Ä,) H_ („, _ Ä,) -j. , . . .

dieser Differenzen nicht und ist positiv. Weil nun

(ff — Ä) + (ff, — *,).H- («a — Ä.) H- («, — Ä.) H- ...•

= («+«,+«, +«,r*-... ) — (* + *.+*. + *. -4--.- ■)
istj so verschwindet auch die Grosse

(ff H- ff, -h ffi + Ä, H~ . . . ) — (* H- *i H- Ä, -»- 4, H- - . . )

nicht und ist positiv, woraus sich nach §. 1. unmittelbar ergiebt,
dass

« H- «,-*-», -4-», -f- .-> * -H *. -h *a H- *. + ■• .
ist, wie bewiesen werden sollte.

§.3..
Zfisttts, Wenn '

,»<*, "i<*M «*<*!> «. -<*i.

istj so ist auch

« + «.+»,+«, + ■-.<* H- *i' + *. H- *.+.. .
Weil nämlich nach der Voraussetzung offenbar

ist, so ist nach f. 2.

Ä H- Ä, + Ä, + Ä, -^7 ...>« -H «,+«, -f- «,-+-... ,
und folglich

ff+ff, -t- «,-(-«,+... ■< Ä + Ä, H-Ä, +Ä, + ...,
wie bewiesen werden sollte.

Lc/iraafx. Wenn

ist, «o iat

ff + tf, +aj,4-ff,-|-...-|-o-t-a,-f-«, +ö, -4-..
>.^H-A. +//. + *, -4- ■ . .4-(JH-|3. +;r, H-|J, 4-.
Bt-'wciä. Weil nnch $. 2;

Ut, so vc-rai'bwitKlct die DifTcrrni

(« + «, H-o,-t-«,H-...) — (*+*, -4-Ä, H-Ä, -f...

nirlil ntiil ist poailiv. Nucli ütr Voraussetzung uml diicIi f.
Kctitvintlcn tlie DiB'ercozea

a — (i, «,— ^,, ß-— 1¥,, a,— jJ,

sämntlicb, und es vi^rscbwiiiilet folgUcli aacb die Sunne

di»C!r Differonzen, d. i. die Grösse *

(« + «.-l-«.H-«,-l-...) — (i? -4-^. -+-/?,-♦- /»,...)
nicruus golit hervor, dass die Summe der Differenseu
t« -4- ff, -*-«,-*-«,+...) — (Ä-hÄ, -J-*,-t-^, -»-..
lind

(u-l-K, +tt, -ha, +,..)- f/?-H/?,+^, +(?,-!-.
d. !• die Grüsse

(« -J- «, -h «, -h ff, -*-...-*- o H- «1 H- a» -H », -4- •

— (Ä -f- Ä. + Ä, + *. -f- . . . -H ^ + /9, -h /?, H- /J, -I-

Diclit vciädiwiiidct und jiositiv ißf. Folglich ist nncti %. I.

«-l-ff. -4-ff, H- ff, -f-- . .-f-a-h«, H-«, -h«, -»-.

> Ä + Ä, +Ä, H-Ä, -|-...H-(!-H/?. -H^, +iS, +.

vie bewiesen werden sgllte.

*. 5.
Ztftaix, \V c n a

ff<C Ä. "i *C *i> «j ■<! Aji ffj ^T^n .- . ;

ist, lo ist

ff + ff, -f- «a -*-*»■+--.-•-« -t- o, -4- «» + a, -+- .
< Ä -H *. -4- A= H- «. -t- ... + ? + /?.+ i*, +/?,.. .
Weil Dümlich nacli der VomussctzuDg .

Ä>«, Ä, >«,, Ä, >«,, £,>«,, ;

/? = «,/?,= a„ 1?, = »3, I», = a„

271

ist, 80 ist nach f . 4. .

Ä H- Ä, H- Ä, -t- Ä, H- . ; . -hl? + /?,-+- ;?,H- /?, H- ...
>-« -h »i H- «, -t- «,+... H- a -H «"i -H «I + «,-*-.-. ,
Und folglich

« -i- «, H- «s + «1 • • ■ + « -H «1 +«. + «,+

.< Ä H- Ä. H- Ä, +*,+... + ^ H~ (!.+ j9, -h |Sj + .... ,
wie bewiesen werden aoltte.

. *. 6.
lt«hT»atn. Wenn

_a'~^ b and «, ^ ä,

ist, BO IBt

« — «, ^ Ä — Ä,.
> Beweis. Weil oacli der Voraussetzang'

Ap» S Dnd Ä, ^«, -

ist, so ist nach %. 4. ^

Weil nuD

— «I — ^1 = — «I — ^,
ist, so ist nach $.4.

a-i~ 6, — «, — Ä, >■ Ä -4- (», — «, — Ä,,
d. i.

« — »I >• * — *i»
wie bewiesen werden sollte.

«.7.
Zuaatx. Wenn

« ■<; Ä und «1 ^ Ä,

ist, so ist

a — »1 < Ä — Ä,.
Weil nämlicb nach der Voraussetzung

Ä >■ » und Ä,^»,

ist, 80- ist nach'$-. A.

und folglich

' « — »j <:* — *,, ■ ■ ■

wie bewiesen werden sollte.

ZieJirta^. Wenn

a = b nad «r, '^ 6^
ist, 10 ist

« — a, < *— ' *i-
BewaiB. Weil noch der VoraussetiUDg
« = £ und ^1 <!«i
iBt, so ist nach $.5.

Weil noD

— »,—*,= — », — *,
istj so ist nach $. 5.

a~\-6, —a,—ö, <: Ä + 0, _ Ä, — Äj,
d. i.

« — «, < Ä — Ä,,

wie bewiesen werden sollte. '^

«. ».
Zutat», Wenn

a=^6 und «, <ä,
ist, so ist

« — «, > Ä — Ä,,
Weil nämlicTi nach der Voraussetzung
b T= a und d, >•• o,
ist, so ist nach §. 8.

Ä — i, <:» — «,,

und folglich

« — ff, > Ä — Ä,,

wie bewiesen werden sollte.

$. 10.

läehr»at%. Wenn die Grössen

«j «I, «,, ...«,;£, ^1, Ä,, , , , hn
sämmtlich )io&itiv sind, und

« >- *) «1 >• *i. «» >■ Äi, . . . ff« >- Ä„
ist, so ist auch

ff«, ffa . . . ff, >" M, Ä, . . , Ä„.
Beweis. Nach der Voraussetzung sind die Differenzen

ff — Ä, ff, — Ä„ ff, — Ä,, ff, — Ä,, ... .

sXinnllicli positiv nod keinr. ilersdbeo Tcracbwinilet. Weil ddd die

nnrh der Voriiussctznng siiinmlHcli |JUMliv sind, %o sind aacb dia
fniducto

«N ^ aa^ n^ a, . . . «« — Äff, »> «,...«, ,
. ar, = Äff, o, ff| . . . ir, - M, a^a^. ,.a„,

. am = **, »äff,...»«— W, Ä, a, . . . «„ ,

II. 8. W.
(ff«— 1 — Ähm)^*i ... *«-*»« "^^^^i ...Ä«— 3««-1II« — (W, ..^n~3Ä«-1<r«,

[an — f'f) ÄÄ, Äj . . . ÄjK—i ^ ÄÄ, <5, . . . Ä,_j a» — LLy ff^&t . ,.&n
sämiitliob [lositiv. Weil die Grössen

, «, »,, «,»... «m; ä, ä, ä«, . . ■ Ä«

BämmÜicfa poBitir iind, ond

o>-f<, a, > /', , ff ,>-*,,... ««^^ Äj,

ist, 10 verschwindet ulTpntiRr keine der GrÖ9S«u <»,«,, «,,...«„,
lud aucli die Oifl'ercuz a — fi vvnclmiodet uiclit. Also verschwin-
det auch du« vt'sle der i>l*i<|;eii Froducte, uüinlicli das i'roduct

(« — Ä) ff, ff, ff, .... ff,i

nicht. Weil uun die olii|{eti Pruducte sänimtlich positir sind und
das (^ritle uicIit v^rscIiwiDili^t, au int auch die Numtrie ullt'r dieser
Prodacte, d. i. nnch dem ÜI]iQ;eii die DilTercnz

ffff, 0, ff, . . . ffj« — OCt Ä, <t, . , , dm

positiv und reracliwiudi't: nicht, woraui sich nach %. 1. unmittelbar
crgieU, das«

/>ff, ff, ff, . . . ffH^ÄÄ, Ä, Ä, . . , Ä^

ist, wie Uewicscn werden aolllf.

$. n.

Zut^tn. WcQD die tirtiDSen

^1 «1. «»>-■- «j«; ^1 *!, *»>--. Ä*
■ ämiutlicb positiv siDd, und

«■<*,«, <Ä,, a,<Ä,, . . . ff«<Ä.

ist, so int

ff ff , ffj ...«;,■< ^Ä, Aj . . , A».

Dies ist einv unmittelbitrc Folge aus dem vurigco Lehrsätze.

«. 12.

I.eAr»ofs. WcBD a^A 'mt und die (JröBie M nifht
, versch vindM. so ist tnt.^n& oder «m <^ n^, jenacbdcm
[insitir od(?r ncgiiliv int.
Beweis. \^ eil wach di'r Vornusaefziinp ff ^ ä ist, so igt
' Ktach (. 1. die l>iä'eiGOZ m — ff puäkiv uuil viirschwindet oicbc

Ti«»t ; ■ 18

274

iionHiu niotit verscliwiadentlo »'pnslliv. so ist ofrciib&r aucti dm
l'niiluct

*t (« Ä) = M« rtA

liMtitiv, UDil verseil wiudrt iilvlit; alsu Ul nacJi f. 1. «a^mA. I
aber a negativ, so ist ühk Froduct

rt (« — &)=. na — «Ä

ofTenbar negativ, uuil Dhcli $. 1. ist t'ulglicli aa-^^nb,

A Dincrkuuif. Für m^O wäre wiUirticIi Ma.^«6^0L

9. 13.

7.K9atx. Wcui) a <"_ & ist uuil die Grösse « uicbt ver-
bell wiudrt, so ist ita -r^ nff odor na ~^ h/> , jeuuclidem«
posittv oder nciifatir '\*\.

Weil iiÄtnlicIi nncli drr Voran SKrtzunft: ti'^ a ist., so ist aidi
drin vori^Pii Pur.-ipniphcü iilr ^ na «der nlt-^^uity d. i. na •< ah
ni^vT aa '^ nff, jcniirlidiMn « pnitiliv iiilrr negativ ist, wie bt^wirseD
tv'crdcii fiiilltc.

AouivrkuDg. Kar n=o würe uatürlicti na=:Ml-=^,

«. 14.
Le/trtat*. Wenn « >■ ä int uml n niclit veracli windeti

negativ ist.

n«wei)«. Weil

oder — -^~, jf nach dem tt positiv iider

und — mit u g-leirli-ieitlg pQsitiv iiiiil nrgiitiv ist, so Tul^t der SuU
unmillulbiir uu» f. 12.

Xujtatz. WvDii tf^fi iil und » iiicbt *«>r8e)i windet.

so ist — -r — udrr — -;* — , icuucudcui n iiosiliv ude'

negativ iMt.

Weil nümlic)) narb iler >'frraiisnftziinp fi ^ a ist. so ist oarb

aen Torigen rarnaruiHieu — >- — oder — <! ^r. d. i. — <^T

ah ■■' '

oder ~^~i jeiiacLdciu w [lositiv oder a«gntir ist, wie bcwierti

'verdrii salUe.

$. 10.

LehTtatn. VTßAn die lirüsscii o, i/\ a,, //, ailniitli
|io«itLv Bind und .

iHt, in dem Falle a^t» aber die GrbsseD a, h titcbt vei-
scliwtuden, uui'li nicht «7, ^ i&t, ko int

«I "^ 4i'

276

. Powell Weil nach der Voraussetzuiig

ist, so istiiaeb %. 10. uod $.13.
und folglich nach %, 14.

wie bewieBen werden sollte.

§.17.

Zmfat%, Wenn die Gröaseo a, h\ «,, £^ sämkitlich po-
sitiv Bind und

"<*. «i >*.

ist, in dem Falle a'^h aber die Grössen «, b nicht ver-
schwinden, auch nicht h^ :^'0 ist, so int

«. *.*

Weil nämlich nach der Voraussetzung
ist, so ist nach $. 16.

Ä o , a ^ b

b, ->;

wie bewiesen werden sollte.

TT ^"^^ ^'s* :r < Ä"i

§. 18,

£,e/trsatx. Wenn die Grössen a, b positiv sind und
al^b ist, so ist o" >■ i5" ■ oiler a"'*Cb", jenachdem das
nicht verschwiodeude n positiv oder ueg;ativ ist

Beweis. Weil die Grössen », b positiv sind und a>6 ist,
so ist

.Also ist offenbar

'bsn . , /b\'*

das nie
eil nan

b\n *•

Jenachdem das nicht verschwindende t> positiv oder negativ ist.

ist, so ist

276

■i» i. '/* '^ //* oder ff" «^ ^ , jcnncli(U-m das iiielit vcrschniBorai
M puititiv oilcr negativ iM, v«if licwif^seii werden sullte.
AaacrkuDg. Für m ^ int o« ^ 4* = 1.

*• ^*-

Zm^afs. WftDn die Grossen a. ^positiv siott und

ist, so ist a" ^_ &" oder »"'^6'' , jenAcliden das oicllti
verHcliwindcndc /* positiv »ilt-r iirgaliv ist.

Weil uüiiilich oacli der > »rauMtetsung' A ^ tt tat, s« ist ai
dem vorigeo Parus(ra)>!i»rn d" ^ a" odi-r i* <;»'', d. i, *t"
ndrr a" ^ i" , jeitnrkdi'in eins lüclil vcrscbwiiidende u (losiliv ode
rtrgAttv ist, wie betvioäeo werden sollte.

ADmcrknng. Für »^0 ist a" ^ £" =1.

f -20.

Ijthritatx. Wcnnaiiositir niid m^tk ist. ßn i«t o*"^«
«dcr«'"*^!?", jrnacbucm <7^1 odcr«-^! ist, die (JrSi
Hscn m tiiid m mögün pnsitiv »der iie^uliv sein,

Rewnis. Wt^tl uucK dvr \ »niiiiiaiMzuriLc die IHH'urunt m — i
|iusi(iv ist uud iiicIit vencliwiodoi, so ist ul)ei>l>«r

«»-" >- I üdcr ««*-" < 1,

jennHidem it ^ 1 oder a <^ 1 ist.
Weil DUD

ist}, so iit «ucli

a» — H

^P.la.lcr?=-<1,

d. i. j»™ >- «* -oder «" «^ n* .

jeDactidoiH tt'^ I odrr a^\ tsi, wie bewicsea wcrdeu solllr.
AuiuerkuDg. Für a-=.\. ist «"" ^ nr" = I.

*. 21.
/jffiraats. Wenn die 1i i' i d e. ii C r « s s im i a und ä n i e )i I
einander gleich sind, so ist imraer

o» _|_ Ä' >. 'lab.

Beireis. Bckanntlii-li ist

a' + Ä' — 2ffÄ = (tf — Ä)'.

Weil nun nach drr Voriiu.>i.sRl:ziirig die (iröasi-n a und f' nicht «d-
ander gleich &infl . so versrliwlndet die (iriissy {a — Oy* nickt ü*^
ist, wie jedes Uunilral. pusiliv. AUu ver^^cliwindei die DißtrvDlj

«* H^ i» — %rl

aicht und ist |insitiv. Folglicli ist nacli f. 1.

wie bewiesen Verden sollte.

Anmerkuag. tVeun a =■ ist, so ist

a^-^6* —2it& = {a — Ä)» = «,

,277

u>d folglich
' ' ' , «» H- Ä» == 2aÄ.

§.22.

l.ehr»mi». Wenn, unter der Voraussetzung, dess n

grösser als dieEinheit ist, dienfirössea a, 6, c, d, e,

nictit 8 am in_tlich unter einander gleich sind, und der
Kürze wegen

* S = »_l_ÄH-c-+-.rf-höH-

und

^ ^ «Ä -+- ac -+- «rf + ac -h . . . .

+ ÄC-I- Ärf-h^ + . ...

-i- cd -\^ ce -\- . . . .

+ (fcH-

gesetzt wird, ao ist immer

(» —!)*»> 2«J.
Beweis. Nach dem in %. 21. bewiesenen Satze ist

«•-h^'^2«Ä,a»+c»^2«c,«» + rf»^2«(/,«»H-ff'^2a(?,..,.

**+c'^2Äc,^»-|-rf»^2Ärf, Ä' + e'^ZÄtf,....

c» H- rf» ^ 2c(/, c» -4- c» ^,2cff, . . . .

(/ä + tf» ^2(&,....

Weil nun nach der Voraussetzung die Grössen a, b, c, d, e, . . . .
nicht 'aämmttich unter einander gleich sind , so sind im Vorherge-
' lienden nach §. 21. nicht überull die oberen Zeichen za nehmen,
und man erhält also, wenn man auf beiden Seiten der Zeichen ad-
dirt, nach $. 4.

(» — 1) («» H- Ä» -4- c» + rf- -4- c» H- ) > 22.

Also ist, wenn man auf beiden Seiten die Grösse 2(a — 1)2 addirt,
' nach $. 4. auch

(ffl — 1) («' H- Ä* H- c» + rf* + tf» -*- ^- 22) > 2»2.

Nun ist aber bekanntlich

iS» = «' + Ä» H- c^» -t- rf» H- e* H~

-\- 2a6-i- 2ac -^ 2ad + 2ae +

-1- 2ÄC + 2id -f- 2Äe H-

■+■ icd -i~2ce •+■

-+^SWeH-

d. I..

*» = «» + 4» -^ c* H- rf» H- ff» -H . , . + 22,

ond folglich nach dem Vorhergehenden

(» — 1)Ä?>2«X

wie bewiesen werden aollte.

\

278

Annerkang. Wenn die GriisKea a^ ^, c, (/| e, . • . • ftnonl-
ticli unter einnndvr gli^icb Hicd, *ii int

Ä'H-c'=:aÄc, Ä'-H//*=2A*/, Ä»-|-«f» = 2Ä*

c» + e/*=:2rrf, c'H-ff' = 2M

sn4 folglich, weis man auf bddcn Seiten der Gleich beitszeiches
addirtf

(» — I) («• -4- A* -H c« -t- rf* + »• -V )-=%2.

AUo ist, weno man anf beiden Seiten 3(fi — Ip' addirl:,

(» — 1) («' H- Ä' + c» H- fP -H <r* . . . + ai) = tMS.

Ttnn iDt aber wie oben

*" — rt' H- Ä» -f- c* -fr- rf» -*- <r" + . . . H- Ä5,

DDd folglich ia diesem Falle

(» — ])** =2*2;

4.23.

t^hraat%. Wenn a unil £ zwei ungleiche |iusitire
Gr5sBcn sind und m eine die Kiiibeit üborateigcnde fo-
silive ganze Zaiil ist, bo ist immer

Beweis. Weil
(«a" -i-f,-)^ («« -1- na"-''&) r^ ««'■-' (« — /') — \a" — /i- ).
und, wie man leicht durcL g'ewÖlmlicLe Mulirplication liodet,

«*—«" = («—*) («— i + Ä--»A-|-...H-"*''^-l-**~'l
ut, so ist

{Ha" ■+■ i") — {a" H- »«"->*)
^ («— *) («a— 1 — «?"-' — «i-^s^ — ... — «*— ^ — *«-»).
Ist nun «^£,80 ist offenbar

»Mf^' >- a«-' 4- «"--* + . . . H- <irt!--2 -I- i^-K
uad eben so leicht eriiellel, das«, wenn a^C.ff i"*. jedenceit
«iir*-i < «— > -f- o-^ -f- . . . -t- «Ä—a _)_ //.-l

int. Also haben die beidcu Factoren

dea Prodncfs

(ir — (^) (w<i**-i — fl«-i — fl«»-9Ä — ... — «*»-»— A»->)

jedrrzrit fflcicli«^ Torceicbcs, und keiner dieaer beiden FaclaroBJ
rereebwinilrt. Diiher tat dieses Pr<iducl, und uunb dem Obif;eii|
also auch die UilTcreuz

jedeneil poisitiv und Tcrocbwiiidct nicht. Folglich ist nach %.

»79

wie bewiesen werden sollte.

Anmerkung. Für n:^.l ist ofTenbAr

na" + A« ^ a« -H ««"— 1^ r= ff -f- ä.

Für a=:6 ist immer

««'*+ Ä" = «" H- »(»"— lÄ = (rt H- I)«".

. *. M.

.Zvsat». Wejl unter denselben Voraussetzungen wie
.vorher

na'* H- Ä« ^ «" + B*?"— lÄ,

Ä" + ««"^lÄ :^ Ä" + «ö"— 1^

ist, so ist nach $. 6. ' .

»«" + Ä" — Ä« — ««»»-»i > ^» + *!««— JA, — Ä« — f»«"~iÄ,

d. i.

«o" — »a''"^^ >■ «" — Ä«

oder

Dividirt man nun ttuf beiden Seiten' durcb die positive
Grösse «**, so erhält man niich $, 14.

§.25.
ZdeAraatn. Wenn die Grössen

"U «I» «J) «4, ... .««

nicht sä'mmtlich unter einiinder gleich sind und »^1
ist, so ist der »bsolute Werth.der Summe

», + «j + ff, -h ff* + • . - + ff»

jederzeit kleiner als das Product

l/» . V/(o,V+ff,^H-ff,»-Hff** + . .. + «»').

Beweis. Ohne alle i^cfawierigkeit erhellet die Richtigkeit der
Gleichung

(«, -4-«, -f-flf, -^«4 4-.. .-+-««)'

+ («.—«,)' + («.—«.)" + («, -ff.)' -4-..--*- («1 — «")'

H-(ffB--ff,)»H-(ffj— a,)»-h....-H («. — ff«)'

+ (*, -ff,)* + ....-f-{ff, — ff-)'

H-(ff«-i— ««)'
Weil nuD nach der Voxnuss^tzupg ijje Gj-össcd

^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^^^^^v

I

^^^^^^^^^^^^^*^* «IJ *»!

^^H Bicht nmDÜicb unter «ioaadvr gleich «nil, so Terscliwinden
^^H DiffcrCDxcD

die

^^^^_ «, —«1, Ä, — «,,», —(T«,....«, —ff«;

^^^^^1 — «.1 <»» — «„....«, —

^^^^^H^ '4 —

^^^^^V «Ti«^^ —

^^^[ nicht Bümoitlicl, und es ist also

^^^^K (a, + *, -H «, -*- «4 -t- -f-Ä«)'

^^^^ <*(«,'H-ff,' + ff.'H-ff.'-t-.. -4-ff«*);

^^^^^ folglich ist offcnbur der absulutc Wertb von

^^^^P «1 +«a + ''i +<>. + •.. + «>•

^^^^^ kidncr als

^H i/» . l/(ff,' +«,' + ff,* +«,»+... -H «-■),

^^^P wie beniesen wcrdcu sollte.

^^^K Aunerkuiia:> Wenn die Griisaen

^^^1 "it "i* "4t -•-■«>

^^^1 eämmllich unter ein»n{]t^r g;lrich sind, so er^iebt eicb aus dem
^^^B weise des obigen äaizca leicbt^ Aa&s der abäulutc Werüi

Be.

der

^^^^H «1 -l- "i + 0. -h «* -f-. ■ • -+ «Ä

^^^^^ der Grösse

^H V/« - V/(".' + «.' +«.» + «*• + ..- -H««')

^^^L^ gleich ist.

^^^^

^^^^^1 Ztistttx. WcDn die Griissou

^^^^^ «,, ff«i . . . . ffN

^^H nicht lämmtlicb uutcr citiaudcr gleicb sind und m
^^H ist, Bo i»t der absolute Wcrtk von

>1

^^B kleiner als die GrösBe

^^k

■

^^^^^K l^hrtata. Weno «^1 ist nnd die Brache

^^^^^B 11 *tx ti. ^ •, ^

281

ilclit B&tnntlicli unter citmiider f;l«icli siad, ■• iit der
Wertb der huioue

«i«i -*- «s«4 H- «.«. H- "*«« ■+-■•-+- ff-«*,
intnftr kleiDer hIs das Pruduct

Ben eis. Weil, wie leicht crliellct,

{a,a, + ff,«, + «,«, H- «,«« -h . . . + «««„)»

-Htf,«,-Ä,a,)''-H«.o*-«*o,)'H-...-h('»,Oir-««a,)'
-K'»j«4-"4«j)*+--+C«.nii-«*.a,)*

+ ((r„_i a„-0,/i«_|) *

ist, UBtl weil Dach der VurjiaKänUung di« Brücbe
«1 «j a, «4 £«

«,' «a' «,* «,' * ' " ■ Ol,

nicht siimmtlicli unter cinuodi'r gleich sind, die Diffcrenzrn, deren
Quiidrsle iu der »bi^u Oleicliaog vurkummvn, dIko oichl sanipitlicli
■»«rBchwindiMij »o ixt

(ff ,a, -♦- a,B, -h o,«, + «^B, -h . . . . -h «.«„)'
uod fuli;Iicli nfTtüitiar der ubsolule Wertli vun
kleiner als die Grösse

\/(«.« -*-<f,' +».' -*-«4'+ - .-*-««•)•

V/(a, ' + «,» H- a,> + a/ -h . . . 4- «-* ),
vrie l>i-iiaii|itet wurde.

AomvrkuDg. Wcaa die Brüchi:

d) 17) d, fX, An

u,' (!,' r(,' f!j' " ■ «M

Häntntlich unicr einander e^kicli sindj sii ht, wie sirk ans dem Ke-
voist! des obigen Satzes' kickt crgiebt, der absolute Wertk der
SniniBe

ff,a, H-«,u, -|-a,o, -t-«4B4 -!-.,.■+■«««„
jederzeit deai IVoducle

l/(«. * -H «» ' H- « . • 4- ß, ' H- . . . -H o*' )

eteicb.

§. SS.

Zitgats. Weou »;>! uud die Briicbe

• l Äj_ «I «4 *•

«,' «.* or,' n.* ' * ' a«

282

Ol

eilt sämmdich untpr einauder gleich •linil, »a ist ilcr

absolute Wertit der (iriisiie

-an«!«

jederzeit kleiner uIb das Troiluct

i /tf.'^-a^'-f-g, '+««*-!- ••+"«' 1 /». '+«,'+<*,'

_|_«^a_i_.. _|-a.'

§. 29.

Lehrtat^. WeDo n>-l iüt und die posUiven GrösasB

•»() "d "ii "«) . . - - <7ii

Tiicht sämiutlicli aoter einaoder gleicb sind, so ist ja-
derxcit

{/ „„„„ — .^ «.-fr-g. + ^i+g.H-.. .-!-«»

K ax"%f*i^* • . . Ä« -^ ^ )

oder das sof^cnnmitc crenmetriscbc Mitttl zirischrti neh.
rcren |>oRitiv^n nicliL üiimiMtlirb uater einander gleii-hna
Grössen ist immer klciifr iils «las üuii^cnannte aritbnC'-
tiscfic Mitte] zwiscUea ilic^on Griisfcu.

Beweis. 1. Für die zwei tirÜMen Ai , «, ist, wie leiclit cr-
ketlel,

ff.ff, ={-

'),

und fulglicb, ircil nacli der Vomus Satzung die Grnsa<!o //,, «, an-
gleich Kiodt

«,«, <( 2 —

atM

^) ,

Pnr «, = nr.j ist offcnlMf

«,-+-"«

%, 8ind die vier Grössen «v, , fr,, iv, . «r^ tircf^t^hen , so muM
feB unter deRmelliiia nacli der Voraussetzung weni<];sieiid zwei i^inao-
der niclii (fleinbo gelien. Wenn uuu /r, , at, diese lioidea einaDtliff
niclit gleicliea ürösüeii siuil, so ist d^cL 1.

und folglich

Nach 1. ist aber

5 --^^ ft ^ »

SBS

uml fnlglicli

(•

*'■-<-«> «^-Hg^ ia^f gi-t-ga-Hgi-t-"-. ..

M':^(

)•-

OOBT

Also ist nach dem Vorbcrgoliendeo

ff.ÄjiT.a, •<( j r

K«,«ia,«,<: — ^ .

Für ff, ^ a, ^ 0, ^ 0« Ut oflcDLar

3. Sind die arlit Grössen *»,, «r,, «,, c/,, ^j, «„, </,, «, ijpr.
fceb^n; an wird i'ü ituclj ilcr Vitr.-iUssf-Ixiin^ uiilcr ilriisollicn imaiAr
*»or gelten, die nicht siLnimtlich unter vinuiidcr tfluivb bliid, ^Veun
nan «,, «,, «,, «« dic^e vier Cirüsucii »lud; su i&i unclt ^.

und folglich ,

Nafli 1, ist über

«i+Oj+Wj+g« »^+««+«1+0,^

JV

und fof^licli

AUu ist nach dem Vorlgcrg-clieniUn

«i«.«i«»*».«.«.». <(^ * 8 — ' )

oder

l^' ^ g, +«-.-!-«, H- ff. +iTt 4-a,-t-«,+«,

«

Für a^ :^tf, ^«, ^0, ^Atf ^47, =0, ^o« ist uffcnbnr

!• _ a.-t-«,+ff,+tf. + «t + ''.4-«,+«i
K l«,A'iW|a«0(<Vaa,a, ^ — g ' ■

4. Wie inaD ouf diese Art weiter gehen kiino, ist klitr!. Uelier*
hanpt iät nach dem Vorhcrgcliendeti, ircua wir der Kürte w«^cn

%f"Z^fi HOtZCD,

285

fulglicli

e^!/"

^MOW+JI-f-teÄ^+t

oder

na,«H-« + wZ-H-« ;> (»t 4- »)a"f>t,

f. 31.

Ijehrtatx, \V«tiu 0, & zw*! poHittve Grössen miuiI und
n'^ It lül; sn ist log CT^I»g<S odrr log n>-<'ln^i(, jciiuvli.
ik-oi ilif KtiNis »Ifs Syst''«»'*! welclicri lüe««- l'0((iirit l)m«tt
aiißpltnrcti , grösst^r oilrr kleiner n)s «lic Kinli«il \%i.

Itcwois. BezeicIincL It ilie B»8i.s rlra logaritlunUclien Sj-sIcuki,
HO ist

und fulglicli

Weil nou nacb der VoraussctzuDg

^>'

ist; so ist oRfiibar

lüS « — log Ä^-O odpr log <t — log- fi<^0,

d. i. log «^log Ä odrr lofj «<^lug i, jcndclidcm B'^X «der
ii <^\ igt, U'ic litljuu]tlot wurde.

Lehmat*. Wenn a unJ A «wci hositire Rröandn sind
UDil logo^^loe^ Ist; so int a J^ rj oApt «-^A, jcndcli-
dnm dit; KHsi.i ifr» SyNtKiiiij. wtrlcliciii die iuRi-dr. stellen-
den LogaritliiiKin ungcliöreDj grosövr oder kleiner als
die Kinlivit ist.

llpw^iM. Wir wollen inerst aonctimen, dusa diit Hnttis de>
logarirliinificlieu Ktittciiiü grös^rr nl« dip Kinlioit itci. Wäre uuler
diCHfr VurniisMpuung; rt-n^^A, so wäre aath 4^m vi)ri;;«n SuCze
log öf-<r:;Iog Ä; ^vÄTP a^f/, 8« w9rP ]ng <7^log ä, Du Ki'idt^K
gcgp.n die \ uriii)K»i-t/.u[ig log ivl^lug i utrtnttti, hu kunn weder
0-<r^. nucli ass6 seiu. und üü i&t fulglii'li 11^6, wie belinop-
tet wurde.

FvrDvr ivoMcn wir aniiflinirn , rinss die. Biikim de» rognrilliint-
scbcn Systems kli^itiPr aU die Kiolieit sei. Wäre untrr difHt'rVor-
ausscIzUDg /i^/if so wurr iiiicli Ae.in vurigrn .Sntze lüf^a^Hlnv^/j^
niirf t»^Xi, Hl* iviini log 4;r = log &. Uu Keidi>s gcg''" die Vor>
uusiietzuDg Icjg ff^'log o streitet, no kunn tvcder al>A, nocli
tf==zh seio, und es «Bt nlau a-^fj, wie b>!liitu|>tel wurde.

HIerdurcfa IhI uuxcr Sats nno vollständig liewiesen.

II.

VoD dcD MittelgrÖsscD.

*. 33.

ICrklärung. Jvdv t>rü<»se, welche uicbt bleiner als die kloia-

286

Htc unil niolit griinäcr als die grösstc notPr inehreren tt^etfcbrnen
GrÖssrii «, I»,, «7,, /7,, (T^, ..... ist, liciftst finc Miltcl^rM^sc
ndrr »in ftliticl i:wiHcli(!D ilicMiUn ßriiäSRn, uud soll im Kojgea<lcn
ijbcrliiiupt iltirch

."»/(«, «,, 0<j, rt,. ff„ . . . .)

bezeichnet werden.

Es crlii-llüt «US iJi«x«r Delinitiun, class ex zi^isrliun Grössen,
die iiirlit MÄmmllicIi ucilrr eiimudcr gleivli iiiiid, ucieuillirii viele v«r>
icliirdfi]« MiltettirÜHAVD }j;<'tiL>n kniiii. Mlod alivr die ffi-uebvDen
(•nissvu K»muitlicli utitrr eiimtHlcr girtrit, ao kann nitiu our jeilc
dieser Gröaaen selbst eine MitLe){;rüs5C zwi&cben jiIIcb uenDeu.

♦.34.

Ztftafv. Jede Gröss«^, welche eine Mittelgrüs»« z^

flcben zwei beliebigen der (»rösuen er, a,, a^, «,, «,, . . .

ist) ist eine Mitte Ig riifise zwiscJien bIIsd diesen Grdaaoti.

§. 33.

Lehrtatx. Wenn a und & xwci beliebig:« GrösBen siod^
BD ist das Pruduct

wa ^/("i ^) '^'»e beliebige MittclgrÜsee zwischen a uad
it bczt-ichnet, jederzeit pgsitivj wenn man nur dieses
rr'oduct aucli dünn, wenn es verscbwindet, alx positiv
betrucbtet.

Ueweis. Wenn «>■£ isr, so sind nach (. 3S. die DiffereitzeD

«— Ji((r, Ä), M[a, &) — 6

beide puRitir, und das Produet

ist f»l|;licb |)ositti',

U'eun «r<C^ ist, so ist oacli dem su ebcu Itewiescceu ilni
Pnaduct

positiv. Folglich ist auch das Produet

positiv.

WciiD a=i& ist, sn verschwind« ii die Diflereozen

beidcj und dos Prodnct

ist folglich, weil es verschwindet, wieder positir.

f. 30.

ZieArsatx. Wenn das Prodnct

. !»7

positiv ist, so ist v^ jederzeit eine Mitjtelgrösse zWi-
Bclien a und 6, oder es ist

A = M{a, Ä). ■ .

Beweis. Wenn das Product ■

verschwißdct, so ist entweder A = a oder A^i,\a beiJeo Fäl-
len' »Isn A nach f. 33. eine Mittelgrösse znisclien a und £. Wenn
aber das Product

(« — ^) {A — 6)

nicLt verscliwindet; .so' verscliwindet keiner seiner beiden Factorcu,
und die beiden Factoren haben, weil dus in Rede stehende Product
nach der Voraussetzung positiv ist, gleiche Vorzeichen. Ist also'
a — ^^0, so i«t amJh A — ä>-0, oder es ist a'^A^ö, und
folglich A nach §. Z'A. eine Mitte Igrösse zwischen a und &. IbI.
dagegen a — -4<Ü, so ist auch A~&<Z^, oder «s ist a-^C.A'tC^b,
und tolglich A nach §. 33. wieder eine Mittelgrösse zwischen a
und b. Im ersten Falle ist ofl'enbar aZ>^, im zweiten ist a-<i&.

*. 37.

Liehrgatz, We.un

A:=M{a, «,, a„ «„ «^, )

ist, Boistfürjedes[iositireoderDegBtive^

QA = M{Qa, e«,, ga,, ß«,, pa,, ).

Beweis. Die kleinste und grösste unter den Grössen

», a,, «j, ar,, «r,, ....

seien respective a und ;'; so ist nach der Voraussetzung und nach
§. 33.

A=JH(a, r)-

Folglich ist ^a^h $. 35. das Product

{u~~A)iA-r)

positiv. Weil nun q^ positiv ist, so ist auch das Product

e'ia~A)(A-y),
d. i. das Product ■ . ■

g{a~A) . Q{A — r)
oder das Product

iga-QA) {qA — qy)
positiv, und folglich nach %. 36.

Weil nun die Grössen qa und gy offenbar unter den Gliedern
der Reihe

qa, ga,, ga^, ga^, ga^,

Torkommen; so ist nach $.34.

2SS

ffA = M[iirr, fa,, gffa- ?">* ?« )•

wie bctrifiscn werden Bolltc.

V 38.

"**'J>Araa/s. Wenn

J = A/{a, a,, ff,, ff,, *« )

Ist; so ist für jedca q mit ßcziehuDg der ober» und aB<
lern Znichen nuf einander

-■Irb^^iW^ffip, ff, =tp, ff, ±p, ff, ±e, ... .).

Beweis. Die kleinste und grÜKstv iiDter den tirüssen

*» *!► •»» ••» «4» ^^^

seipn reKpective o und y; ho ist bvcd der VorausselzunK ond narR
*. :J3.

Alsn ist naeii $. 35. das Proditct

und folglirli olTonbiir auch dns Produrt

positiv. Dnhrr iüt nncli f. 36.

Weil nun dit> liriisaen a^g und y^Q oifrnbar beide UDtcr itn
Gliedern der Hcihe

ff±ß, ff, ±e, ff, dbo, ff, ±e, «,±e

vorkommeM; ho ist nncli ^. ;H.

wie bciriesen wcrdun sullle.

f 39. ,u

Sjcl'rttatx. Wenn die Grnssen «t, is,,.^,,, «,, «r^t ■•>.•
sänmtlich positiv Kinil und

A^=.M(a, ff,, ff,, ff,, ff, )

\%i\ ^o ist für jedr« f

./e = «{«*, «,p, ff,?, ff.e. «*?, ,...).

Beweis. Die klciuMle und griiuitc unter den Grös-ien

<'^, "iJ "is ««1 ffi»-- •■ •
seien resnective *t und y; so ist nach der VorAUsaetsunor und ueb
*. 33. ■

Ist nun ^/ einer der beiden Grössen a, f gleich, so fcrscbwindet
das PfudQct

289

DDtl ist fotgikli pOBitir. bt-aber A k«ioer der beiden Gr&HCB
«, / skicli, KU iüt

Ist ann p positir, lo »t, weil die GrÖiiscn a, y oacL der Voraus.
leUuog |fOfiiliv Biad, ond auch

A^M{a, «,, «,, «„ «„ . ...)
ofFenbür |»ositiT ist, oach $. 19.

Folglieh sind die Differenzen

af _ yie, .^e _ ^

beide oegmir, und das Product

ist folglich positiv. Ist dagegen ^ DCgntir, so ist oach %. 19.

ap ;> A9 > yP,
und die DiOereuzvn

lind fvlglicli beide positiv, das Prodact

(<rf — ^e) {A^ — fi)
ist als» wieder positiv. Weil nun das Prodact

[u9 — A^) (.« — yf)

stets positiv ist, so tat nacb $. 36.

A^ = .tf(ße, yf).

Da aber die GrÖMCo a? und ;•¥ offieabar unter den Gliedern
der Reibe

a?, Ä,e, Ä,«, Ä^e, «A

vorkomineD; so ist uiich f. 34.

.ie = Ä(oe, «.e, «,?, a,*, «.e, ....),

wie liehanptet wurde.

i. 40.

L«hrfttt-'x, Wenn «, »,, «,, «,, «,, beliebige

Grössen sind, p aber positiv und

■^^ ^("i i>i> '»> «» <y«i • • ■ •)

ifk; so ist jederxeit

eJ= .tffp-, f«., ^•., p"., p-., — ).

Beweis. Die kteioste und grösste unter den Grössen

' ):, ■. .^i-^il *■* «»» «•! • • ■ •

■eleu res]>eclive « und f^ so ist nucfa $. 33.

•^' Ist nun A einer der beiden Grossen a, ;' gleicb , so verscbwin^
det das Product

TWIIL

Ifl

MO

mW

d ist fel|clieh posiliT. Ut. -dB^fCa A keiner der GrSsBeii «. r

gleich, «0 lät

Weil OBD oncb der Vorauiaetzuiif^ ^ BantiT ist; lo Ul a*ck
4. 2«.

ed«r

jeoachdem ^>I oder C-<^1 '»t- ^'"r 9:=! wäre

ß« ^ ^-^ ^ py,
Ib olIeD Fällen haben folglicli die DiOercnzcn

gleiche Vtfrzeiehen, und dos Prodnct

ist also positiv. Daher ist nach $. 36.

Weil ober die GrÖaseo ^^ uod ^y untee den Giiedcra der Reih«

«•. fs e*«, e*«, *«s —

TOritomnen; so ist narh $. 3^4.

e^ = 'VH>", (»«■, ^s e% f-s ..,).
wie bewiesen werden sollte.

♦. 41.

LicIiT*alx, tV'otm er, «,, «,, a,, »,, .... (»ositivc Gri
seil aiiiil uud

^^,.;»'i -1. ^=itf(fl, ff,, «„ «,, »4. ... ■)
iit[ to 1*t fiftr jedes lafl:aritbniscbe Svltcn

log <rf=jtf(Iog ff, log «,, log «„ l«g «f,^.,..).
Beweis, Die kleinste and grCsste ODier den Grössen
«» «,. **B> *)> «•> . . • •

Kien respeclive a uud f\ so ist niteh der Vorauisctxaag aad nc4
♦• 33. ....IV». ^ . j^ •.,.,!..(.

Ist nna >4 einer der beideo Grössen ee, / gleich; so venc&ms-
det das Product

fi<^ «— log JT) (los -*—'*£ r).

ood ist folglich positir. Ist dagegen A keioer der beiden GrSssen
Ut Y gleicb» UDd fulglidk . .

A« liiib«D, wio «tu f, 31.. Mglüicb herntrgeht, die Factoren d«

" ■ ICtB

291

(lo(f o — log j1) (lag j4 — log y)

jederzeit rleiffhe Vttract«h«B, und (Ucseii Prodiiet ist alM nle4«r
poBittv. I'glglicb ist natib %, 36.

tog ^ = ^)og «, log y).
Wttl «bvr di« Grtlnea'log k nod Igg y olfeDbiir votor den Ortiauo

log a, \ng rtt,, log Ä„ log a„ log «^, '. . . .
TOrkoininen; so ist mek $. 34.

log -^= jWflog «, log «,, log ff,, log «,, log a„ . . . .),
wie behaupict wurde.

f. 43.

lA^krsaiA. W*nii Ä, «j, «,, «„ff, beliebige, da-
gegen £, ^,, //,, f,^ sammtlicli Grossen mit eia«r(et

Vorzeicbfo siud, deren Anzulil in Itc'idca Ueiliea ditt-
■elbe ist; so ist jederzeit

i^./,,^-A^^_/,,^-.... — -"Wy' a,' v *,' *•

Beweis. Weun a und /. .die kleinste und grÖoate unler den
Grössen ' ' "''

±. ^ f* ^

■ind ; vo eiad die Differeaxen

a «, 1. a.

__„, __«, ^^_„, ^_«,

nnd «uch die DitlVrenzeu

sämmtlicb nositiv. [>a DUn nnrh d^r \'oraii'tsetzung ilio Gröflaes

£, £,, A,, 6, ulle gleiclie ^ urzciciietk bnben ; so bulicn auck

die IVoducic

*(t-«)» M^-«)' ^-^Ir;-«)' *«(j;-°)> ;

und folglicli ancb die dieacn Praducteu gleiclieo DiOereozcn
a — «*, w, — «Ä,, «9 — «^»1 «» — «öS,, . . ..j

yÄ — ar, yÄ, — flr„ ;^Ä, _fl^, yf,^—„^

xSiDiotltch gleiche Vorzetckea, ^^so katicu aucli die ijunmen

« + «. -H «> + ffi -H - w . -<- «(* H- Ä, -I- i, -H*, + ),

y<Ä4-*, H-Ä, -4-Ä,-H )_.(a-4-«-,-|^ «,-!-■», + ),

nod futglick auch die QuotiCDt*»'' ' ' '

^Ui

292

oder

gleiche

*+*,

,-*-«.

(«■

orzeicbeo. Dalier ist das Product

li^j(

positiv, and fulglicli iiacIi $. 36.
Alio ist uack f. 3i. nuch

Jr^-J')

• ■ • m*» «I *1 "l

— — ^T* Äi* *:» V

•).

6-+-Ä, +Ä, +Ä

vie b«irieaeB wcrdpo sollte.

5. «.

Zusatz, iielil: inuu im vorigen SiUte ä=£, =£,=£,=...=:)
uoU b«Kcici)ar.t iti« Aneahl der id jcOcr dtr Letüen Rvihea ff, «,,
ff,, ff,, .... und A, fj,, £,, A,, .... enlliBlIeQeii Glieder {Jureli «;
to erg^cbl sicli aoa dem v<irig«D Nutze div Gleickuug

g-t- tf, -l-»jH-?» -*- • •• • «V \

■ ' ji "^ — ^ 'W\w, ff,, «„ «, ;,

wo <3, a,, ff,, ff,, .... ganz b^Iieliie'e tfrössen bneicbnen.
liieraus sititt miin, liuss das iiritTinirtiscLe Millel

"-!-«. -Hfl, -4-^, •♦-■

tsrisclirn deu a hclieltigvn Criisseu ff, »,, ",!<',,.-■ > <n ditr Tliat
jedeni'it einv MitlelgrSssc xwisclifn diesen f^rässen ist.

*. 1^.

Zusntz. Siod die Uriicbe

!Ü ^

A' 4,' Ä,>

sammllicli imi^r i-inander gleich, sa Tallt j«ile Miltcljjmsse zwimIx«
i)iucn mit ilmeu srllitil xuxuiniuev, and ts iai folglich nach f. it.
unter dteiter Voraussciung- -'

- •••- _ f _, "^ „ ''i . , **' .
— i — *, — ^ — *, —

§. 4:

Zusniz. Sind ^. (i,, fj >(•],■.. ■ betifbigf* (iri^ssen mit eino*

lei Vorvoichi'tt; so hüben, dn nurh di« (IrÖKBcn i, ä,, ä,, Ä,,

gleiche VorxcicheD biiben, aoch die Frodukle

&f. Ä,e., Ä,e,. Ä,e,

■amnitlich einerlei Vorzeickcfl, und es int folglich Dach f. 42.

*e «iPi *t*a «iPi ->

293

LI

*e-H «.g. 4- "iC« -♦-*.?. 4-'. .7.- g «j «j «^ I

jFür Ä = i, =A., =^, =:. .. . = 1 ist uIho

^PH-".?. +<».?» +*»»?■ -«

^.

^^^ =;!/(«, «,,»-,, «j )

(Hier

= (e-»-e.-f-(?i-+*e,H-.. -■) -«(«, »., »„ «.» — ).,

lo dieser Glcicbuug ist der folgende Satz «ntlialton;

Wenn a, tt,. a„ a, In-Iiebifie, dagegta cd,, p„

( t^ronRe» mit einerlei >urzeiclieD tiiotl; ro wird

dan Ag^r«t;ikt

crtinllon, weDti maa iln> j^ggregat

e-*-f,-t-«,-*-«,-*-....,.

mit einer gewiitseo Mittelgrnnse xwiicliea den (irlfBiea
m, ff„ >r,, ff„ . . . . niulliplicirt.

ijefirtatx. freien «/«,, *,, «ra,*-V,''.'ni]d ^, A,, 4,, i^i, . . .
xn'vi Rf itirn pnsiiirrr Grossen, und in jeder (tiefer bet-
deu Reiben sei die Aozalil der Glieder dieselbe^ so iit

1 i_ \_ ± ■ 1.- ■

(«*.«,«. . ...}*^.-^*-*^*-- = .«(«*, a/s »/., «/.,.. . , ).
Beveis. Die Logarillimca der <^rö&sCD

nnd

»lad resjjcctive

(««,«,«, ....)*+-'*+*.-^.+

1^ 1^

t t

l og a-t-l<i|t a. -4-108 g» + log g>
*-»-*i +*» •*-*» -i-" ••

und

l og g log Oy 1«B "» log «t

und räch $. 42. i>t

l og a -H log I», + log iij + log g, 4- . . ■ .

]«g_ff log a, lüg a, log<4 rr: - .- — . _-

Ceht man nua von des Lugiirilliineu zn den cnUpi eckt: n den ZaUvB
iibefj weU'befc ducU %. 40. uöenlwir vcrstatl«!. istj,»« «rl*«!! um« ^ .

294

wi« bewieseo iverdw loUt«.

1 1 1

Zusatz. Für &^6^ =//, =^,^... s=i erhätt qiBn, weoD
die Anzahl dieser Grü»<!j«ii utiil aUo such' der Crusseo 0, 4i|> Vn
ft, ■ • • • durcli fl bezeicbnet wird,

W" ««,*." = .Vi«,

«1. «». «I

■».

Die €rij*((c l« atM^a^a^ nennt nrinn hrkniintlich das ^o-

nelrlscho ,Mitt«| znisclieu dcu n poititi^cn (irussvu a, a,, a^, a,. ...»
und tiu<i (lom VurlierffelienileD orliellet hIb», d^tss d»> peontcliiiicliB
Alitlcl zwisclicn l)elivtiig«n »oailiveu Urt>»ci} in der 'lliai eine Mit-
telgrÖs»e zwischen diesen GrässcD ist.

f. ^.
* Zasats. Wean dt« Grossen

«*, «,'', «,

i_ I

skninitlicli anter cinofider gleich snd; so ist, wie sieb aa» 4. M.

|inwil(elli;ir crgiebt,

1 i * • ±

(aa,a,a. )"-*.+*.-*-^+--- =«* =«,J1 = «,*~ = */. = ....
. L.ehrsat%. Wenn die Brlicke

.* '^. ?» £»

Ä' i,' *,* 4/

■Ue eiosnder gleick »^^dj *o <st .

* *i *, It, •" V /,= ^ i^i ^ A,' 4- A.« H

indem nun das obere oder untere Zrictien nimmt, ji<
DOcbdera die in R^de «(«Lenden Urücbe aamntlicb |iOsl-
liv oder sämmtlicb necstiv sind.

Beweis. Nack der Voraussetzung; ist

4» ~ A('
oBd folglick nach %. 44.
*> a^ AT,' ff

*.* — *,'

ffj' ^ _ _ "* -f-*»!* -*■*■' + *«'+ '•■

tToniV« der TJi l»flwp<i>iendv S:ili ininlittolbar durch Auszickuof^ der
(fcuulrMwurut sut' beiden Neileu («Igt.

9»

III.

Von den innaf^ioKrtn Grosses.
$. 50.

l^k/äruHg. DcD Mödulus licr imapinirea Grösse o-+-jSK— T,
nn a und ;? beliebige reelle (brassen sindf nennt nao die Grosse

die Quadnitwurzel stets posttir genomnen.
Zwei iintig^iuäre Grössen

hoiefieu einander f^lclcli, wenn snwohl die beiden reeJIca Tbeile
a, Y, «Is ancli die beiden elcofalls refllvn Fuctoren j9, d von v~—\
eiiiutider fckicli Hind, d. li. weiin u^=:y ned (l^i'Ttlt.
Zwei imagitJÜrc Grössen von di^r l-orm

aH_i9l/rn[, a — ßV^^

beisseo cagjugirte imnß^iniirc Crö&spn.

Sowoltl i>iounüvr gleirlit, aU auch conjugirte inaginäro Grössen
baben oU'eubar gleiclie Moduli.

%. 51.

1. Die Summe der imngiukreu Grössen ~^

Mt

aH-a, -+-«,-*- «.H -t-ft?-»-/?. M-^, -^ (?, + ■■ .)K^^-

2. Die Differenz der innginärca GrÜGsen

Hl

ist

3. Diu Product der imagioären Grossen

■^W

fty-pJ-|-(«J-t.^/)V-l.

4, Setzt man

(iV/lM

=^-t-^V/:rT,

so tOUHS

d. i. noch 3.

un.d folglich nikcli f. SO.

296

■ein. Bestimmt n&D «as diesen beiden Gleichungen /i und 7, su
erbält »an

p =

y->+J^

) 9 =

j-'^rf"'

und fol^ltcb Dach den Obigen
Für (J^O ergiebt sieb liernuB

; y r t J '

5. Nach 3. iit

iiD<I folglich
Alao ist nucli 4,

oder, wie naa naqL leichter Recbnung lindct,

Weil nun nacb 4.

« -t-^l/— 1 «y^JlJ j?y — ■■ J 1/ — j

iatt 80 ist ■

"+p^^!^ _ («->'/' ^j^i) (a-h;* v'^^n)

d. b. der Bruch

V^=^.

bleibt unTcrändert, wenn ntan seinen Zahler and seiocD Ncorier
mit derselben Gnisae multititicirt.

Also ist auch

-V-rfW — 1 (y + rft/_ i) («—^l/^l

297

a.

\+ß}>rzi ' : (^+jt\>^rnfy-tfV'irr^ «r+j»^-M-^)V^ri

J»^

/i'

«j-

^^j^uijr^Jö^^^

l , 6. Weil nacb A.
ist, to iit

(g -t- p v^iTT) . (^ -1- f, i^rrij _ «.; + ;i^^ ^- [,jx - ^) i^rj

vod folglich attcli 4.

2 + ^ 1/ r I — i« + ^» "*■ *• +^-» *^ "" *'

y + J^^^ yt-t-^ ^ M — yfl W !•

(y4-rf\'--|):(i^.„l./-l)

(;'i + rfjMj»-|-lrf4-y/iJ

■^- iyi -H rf^j' -f. (Ji - yf,i* ^

oder, wie nas mittelst leicLier KecliDUng Gudel.

!

Weil DUO pACb 4.

■ -hfi^^ — i ,^_ "V + ^ _. ih' — "'^ 1/ — r

; so ist

y ^ J V— 1 [y ^ J \ — I) ; (i H- u V^^^TT)

notl der Urutli

y -f. </ V' — I

wird also nicIiL geändert, wen» diad Zaliler und Nenoer durdi
dieselbe Grösse dividirl.

£teAr»(V*. Jnde itnagiaüre GrÜss« a z^ß V — l kano,
wenn der Modulu« derselben der Kör«« wegen durcb f
bexcicbuetwird,aiifdiBl''i>riit

p (coB y :*= sin 5p V — I)

gebrscbt pi-erdeo» wo die ebsren aml _uo'tec.e^ Xcichco
sicli ttuf eioauder beziebeD. +'w •

Beweis. Vmx dioen Mutz zv temban, mUiMo wir Bci|
iIasi stell die Gr^ucD (f aad fp lo bettimmeD Isueiij «Iah

a ± /? V^^ = p (cos 9» =*= Bin 91 W'^^ "
IfcaUgt wir d, und iass ht\ dieser BesiinniDiig p Aeo IVertfa de

Modului V^a' + ^* erbült. Di^r oIii^ad Gkicliung wird aber so-'
fulge $. 50. ffCDÜgt, w-rnn ninn die firosscD p uiid ^ ao bestJniBl,
dttM «i« den ^eideo GlcichungeD

xug-leifti genügen. Qundrift n^tn uuf beiden Seiten dieser Glet>J
cliungeu, und addirt sie dann zn einander, »o erhalt man

yto din Qandratwurzcl pnsitiv gennminrn n-erden muss, da q den'
Wcrtli des Mudulus der gegiGlicDuu iiiiaj^o31rcii Grüsse b&ben toll.
Dividirl nisd mit der eriteu der beiden ubi|^B GleicLungep in die
zweite, »o erbalt man

t t»iig5) = — ,

iu>4 rulgli|cb> wenn wir durck Arctang- — den der goniuinetriscbeD

/Tangenic — cu »[»reellen den Bogcu bczeicbneB, welcUer den kleil-
iten absoluten Wertfa bat,

<f) ^ .4rctang

xn.

wo X «iDO ganze Zabl bczeiclmet, über die ooc die folgenile B«-
ctisHDnog gegebcD n erden muss.
' Amt der rorsteiiendei] Gleicbung folgt

coa gi ^ ( — 1)" . eos Arctnng — , lin 7 ^ (— 1 )" - sin Arctnng — <

[>a nun Arelang — den der gooiomQfngchen Tangente -^

entspreeliendeo Bugen bezeiclinet. welcher den kleinafen absoloMo

~ ß t

n'ertb liAt, BO ist coa Arctnng — immer positiv, »in Arctang —

dngegeo ist positiv oder negativ, jenncbdem — positiv oder negt-
irt. Also ist

ff
MS ArctMg -^ =

I

=, sin AretBog— =

die QnsdraCwmrzel positiv genoaiDen, und folgbefa

V^.

&Mi obere oder uuterc Zeichen {(eDuinmeri, jenachdeii a puiitiv
oJvr uegati» Ut, wuraiM- «icti ferner UDuiitlellHir crgjclt, dtisi imtner

IlcOI ÄrclODg- — ^± j-7 -' "'>« Af"«»""- -^ ^=
pnd folglicli

glicli

^ cos Artlaoft - :s =!=<i, f »iu ArctHng -^ =:± |?

i«l, uean niBn nur ininer die oberen ddnr ttnterea Zeicben oinmt,
Jenochdem a positiv «der iieg;ntiv ist. Foi^icli ist tiocli des
Obige D

L p co»9> = =fc(— I)*.«, e»'"y = ±(— i)'-!?

BV^ntt tatM die ottereti oi]i^r anlereti Zeiclien iiiuBir, jcoacliden a
' positiv oder orirativ i^t. Mmmt mnn nun oher die s^natt ZabI *
^rade oder uogera<Ie, jcuatlideta u [luüittv uder oegstiv ist, so
|iM jedcrteit , , , ,. n,

d cos 9 ^ «, ^ am y» ^ jf,

[vie «s dem Obigen »ufolge erf>trdcrlicli ist.
Also ist

53 ^ Arctang — -|- «Ji.

wenn ntoa nur die an sicli Sbrigens ii^nnz iHllkfihrliclie gAme Zultl
X (^TAde Ader unii;eriii]i^ tiimmt, jenuclidcin a poHilir ader ncgniiv
ist, n-odurcli nun auwulil ^, »ls iiurli y, vollkommen bPKtituait, uati
[■aser Satz ntt aller Strenge bewiesen ist.

£.rArstrfx. Das Prodaet der imuginaren Gri»)ia«o . ..
ico«5p=fcitiiiyU^^,oosy,±»ii3y, i^— I. cos9<,rb9iD^, l^^i-..,

jwo 9>, y,, y,, ^i,! .... gaoft beliebige Bugen »der Winkel
'liezetcbaeii, ist mit Beziehung der ol)er«ii uud unteren
Z V i e b f D u 11 1' e I n u II d c r

CO» (y + SP. + Vi + J ± sin (y -t- y» H- 9», -»- ) l/— I.

Beweis. Narti }. 51. 3. ist

(cos <p d= siu y V— 1) («OS 5p, :b sin y, 1/ — 1)
=2 coa y coa y> , — siu 91 ein y,
± (sin fi cos gi, «4- roi <p sin 9»,) l' — 1,
Irf* i. nscb bekannten goniometriselieti Furmelu

(coa y ± äin y V-^ — I J (cos y , ± ein jp , l-^ — I )

^cos (y H- sp,)±8iD (y -hy,) V— I.
Also ist

(cosyiainyl/^T) (cosy, isiny, l/^) (cOBtp^riiuny, l^ — I)

= ico« (9 + V,)=fc»iii(y + yi) l/^i (cos T. =*= «o y, 1^1=1)

^ CM (ji + y, -h V.) =b at« (j> "»- «>i -♦- 9^ y^^, i

300

iu4 fuiglich

(co« y ±SJB 5p \^ — 1) (cos ff , lirsiof?, l/*— l') (cosy, ^sio^, l^— ^

= <osi:y-f-95, -^5>j-|-5P,)d=siufqp-hy, -f-y, +y,) V^^. j

Wie man nut' die*e Art weiter gebeu knuo, int klar, uad die «llge*'
meine Uültigkeit uaserti !*»alzMt liegt mit völliger üeutliclikeit v»r
Augen.

f 54.
Lte/trtatx. Vat jedes iioiiitivc oder negative gaiix«
» ist mit U«rzi«liuiig der ubereo und uotereu Zcicbeo Bof
eioaoiler

(co» y i sin y 1/ — 1)« ^ cos Ay>± sio.ny k — I.

Beweis. n'pDD M eine poaitire ganze Zabl ist, so e^ebl
sich aus f. 53. aaf der Stelle, trenn naD durt ^1=91, ^^^ :=f , ^.,„
setzt, und sieb die Heike tp, ^^, 9,, 9),, .... uus » Rliedern be-
Btebend ileukt,

(co9 y :t lioy v — 1 )" = cos »y ± sia *iy V — I,
Wenn feriier n etoo aegative ganz« Zulil ist, &o aetze du

(coi (p ± sin y l^ — 1 )" =

(co»9± itn-/. V'' — I)""**

Weil DUO — H ein« pusitive g^nze Znbl ist, so ist oucli deoi so
eben Bewiesenen

(t««ip±8inyl/— l}-"^eo» f— «pjiaiD (— «y) 1/ — 1.

?jacli bekannten guuiouiebiscken Sätzen ist aber

cos( — ity)^c»8«y, 8in( — «r9p)= — sin wy,

and fulglicb

(co«y ^sin^il/-^!)— "^cosaji^aiiinyi^ — I;

also

(cos 9 ± sin (f l'^— M" =

Weil nun nncb ^. 51. 5.

I CBS wy ± »in «y V^— I

cos «y :T=»in Ä'/VZ^ '«s Hl/' + sm ny'

d. i. oacli einer bekannten goniomrlriarbcn Furnrl

. - , = cos «* = BIB «OB l/" — 1

cos «v ^ *'" "y ^''— 1

coä «7 ^ sin «^ v' — J
lAlt, so ist

(cos y^sin 5p K — l)''=reoa «yztrsio y l^ — I.
und DBser Satx ist olct jettt rollstandig beviescD.

301

(.Sä. ' <

%ti*mt». WeDo m und n p«iitive*oder uef^atiTC g«axe
Zableo lind, RO ist inner

(eoi — ji±«n — ifi\/ — l)":^(cos jp±9in jp V^ — ij".

Nacb f. 54. ist naoitirti

(<»»— ^ ±siB-r-9) l/^^)" ^ CO« «y =b sin mg>\^ — I

ud

(cos y ± sin ^ l/— T)"" :^ «09 ««gg rfc sin iw^ l/^ — I,
iroraus der xu bcweisendu Sal< unfflUlellxir erhellet.

f. 56.

Die Gleickaog ^

1. (coBff rtsinyl/— l)* =^(co»y-f-8tB^W^— I),

o M eiDC ttetiebig« positive oder D^t^alive gattte Zahl, m «ioe
b«liebt(re positive g«nze Znlit, ^ rine rrclle positive Grösse, if/ eio
reeller Bogen sein soll, ist jederzeit erfüllt, wenn die (ileiclianfi^ '

i. (cos y rt sin ((5 1''— 1 )" = p»(co» ip -fr- si o y l/— i)»

nftllt iat. Weil aber nach (. M. _ ,.

(eosy ±810 5p l' — 1)" =cos iw(p±sin *»5p K— T,

(coBi|f»-»- Hin tpS-^ — l)" = cos «y-f- sin mytV — 1

, sa ist die Gleirlmni; 2. , und fulglicb nuch die Gleicbaog 1.
edcrzeit erfüllt, wenn die Glrictiung

3. CO« wf ± BIO iwy l^ — I ::= p"(cos »^H- »in Mif \^ — 1)

Irftllt ist. Diese Clcichiiug ist «ber erfüllr, wcad die beiden Gtei.
lluOgea *

\. cos «y = p" «08 «1^, ±: sin «y ^ p" «in «*,

ider die beiden Gleicliongen

5. cos (:^ iW9>) = ^'' cos h^, sin (± ary) ^ ig" sin wt;;

rfilllt sind. Qnadrirr man nuf beiden Keilen dieser Gleichangen
ind addirt die erlinltenen (>leicIiunB;en donn tu einander, bo er-

iebt airb

e«-=i,

od fulglicb, weil Q reell und posilii' Kein soll, ^=1. Hierdvrcb
dt ^ bostimint, und mau muss nun also t^ oocli si> bcülimmen, da«
Ben beiden (^Ictcbaog^n

6. cos(dbi«r7)^eosi«i^, sio (=t avy) =: sin «n^

;eDiigt wird.

Niicli bnknnnten gonionelriscben SKtzea erfordert die erste
ieser beiden (»leicliungen , dass, ii|drni x eine beliebige positive
pder negatire gaaxe Zubl bexcieboet, entweder

.. V» ,tl<t* li' ■ «M» =s SjcjV rl= a*^ ' " • •■■"■-•"j >«••* k"Wfl

90S

•it*"

«V = 2x71 ^ w<jp

Ut. Die zwfil« der beiden obigea Gleieliatag«! «rfordert dig«gM,
du» entweder

•4er

«^ :^ ^xTT ii= nt^

■(p

ist. na nnn drn hfldea in Rede stebetden GleichiiDgeo t«gl«cb
genu{[t Verden soll, so inuss mun

»^ = 2»yr db mf,

V = ^

Mtzen, und ea ist also nach dem Obigen fBr j«iln pon'üv« oder
negiitive g»axe s

7. (C08 tf. ± ii« V l--^^)^ = c«^?^^^^-»- «» ^'"'T
od£r» Treil

^—l,

cos

am

Sjci^iny

COS-

;t (»»7 ± 2jo»>

ifWT ± 2*n)

i — ^ •

n

sia

iit, ftir Jedes positive oder neg^ativc ganze x

• / j_ ■ ix^ n^ mT±2»« . . mf:

S. (coa (p:E8iD 9 K — I)" = cos :: sc sin

:*»«

wn aber auf der Slulle L-rbeUi'l, duss «tan, Mobescbudet der ■••
tbigen Allf^cmeiubcil,

9. (cos SP ± liu ¥ 1/ — I)" = cos

setzen kann.

Man nicht hieraas, dasa die Grösse

n

:sin

m^^^KTl yy-J

(cos 51 rt §in y K — I)",

weil X icdu bclicliigc itositivn oder negative gnose Zubl sein koiti
nivLl bloas eitiou, suodcru eigeiillrili uncudiicli vicic Werlb« bs^
wnlivi KicJi iibiT iinnivr nocb fragen läüsl, »b diese uueridlicEi viele!
Wcrilie (luch samiiillirli uotrr einaniler »Dcrli'iL-b sind, oder üb oicbt
tietlcicIiC unter denselben n-cUlit^ vurkoinmpn, die eiunnder glridk
tiati, Bei der Beuntwnnung dieser wichtigen Frage uotencbcidea
wir die rulgendeo Fälle.

I. n sei eine gcTAde Zahl, Daalich

Uebcrbaupt sei noo

« = =b(V + /»'), ,

wo }, eine positive ganze ZuM und n' -^.fi sein soll, so ist

aas

01V -H tu* mtf ± % üäi -i*«') n
**• ~^^ = «•• —^ ^ ^ >

•*" ^ — «l»-* ^—

. i.> weil «s=: 2^ »t,

coB ^^ = cos ( ^„^ =fc lir),

lat nun X eiae gerade Zahl, ao ist

eoB — *—- — = coi • — ," ,
n n

. tmt -4- 2xn . mtp ± Su'n
g,n ^^ = 810 ^ ^'^ ;

ilgUek «

CO8 —2 h Bin —^ K — 1

ff n

n « _

= eoB --^-— ^^ — 8ID— ^—r-*--!/— 1.
n n

t aber X eine ungerade, ako X~{-\ eine gerade-Zahl, m kann tun

m(f-t~Zm .(Hiaidbau'n j_ ,, ' ,^ (

cos-2-j: = coa [ -2-^^^c_ =b (^ H- 1) w :^ w [ ,

1er

coa

my + 1&OT ( my ^ 2Qif ^— /<*}» .' ,1 ^

n

cosi '"'^=^^-^^'' ±(^+l)^j.

^^^ IJUB I

tzeD. Dann iat, weil ^+1 eine gerade Zabilip.^ ^

^„» ""f"*-^^ — ,„. "»y =F g(/* — /*')ff
coa — ^ =icw "^T^ '

Bin 2*-±*^-=sin "y=F-^-^0"

d folglich

coa —t-H 1_ gjQ — y -- ^ Y— \

t

eoB — '- V w» - -r- K — *

M n

M ff

Aai dieser DantellaDg geht deutlich herror, dais ans in i
Gleichung'

■ (cosspdrBinjpK — lJ"=cos— ^-— ^tsm — K — I

bloss

x = 0,=bl, ±2, zb3, =b^

cn setzen braucht, weil nacli 4eai Foffaergeheaden unter den W
then TOD

(cm 91 zb sin 9> V^ — 1)",

welche man auf diese Art eilKlt, in der Thet alle übrigen aith
ten sind.
Für

(cos y + sin 9> l/— 1)"*
erhält man anf diese Art die folgenden Werthe :

Wtif Http ■ .

cos— + sm— v/^

cos

cos

fflai±2n .' Mq>±2n ■ y r

„ ' H- BIO -=^ — K — 1,
n n

—^ — ■- h siD ~^ ^^ — *>

n
u. s. w.

cos — —- f- sin —^—- — V— li

und eben so erhält man für

(cos 9) — sin \/ — l'"
die folgenden Werthe:

cos ^ _ Bin ^ V:^,
n n

coB ^~- — — sin -2-— — V — 1,
n n

ffiir ± 4n . «171 ± 4)1 1 / r

cos — = — Bin V^ — 1,

n 7# - - '

mi> ± 6ji . ffio" ± 611 I / T

cos —^ sin — T— K — 1,

u. B, w.

fse&

■l.T

COS

>:fcfn

Bin

ma^i

P^=l.

In jeder dieser beiden Reihen sind offeulMr n -f- 1 WertUe ent-
baltPD, niitJ c» frn^t sirli iiun, ob in jeder der beiden ReiLen diese
M -(- 1 AVurllic sämmtlirh anter einander ungleich sind. SotheD
aber zwei WeHbc in einer der Leiden Keilicn einundcr glcicb sein,
EU niüij&fc, indem weder iX', noch ZX" g^rösser alir n ist, entweder
zuglvicb

cos

cos

mif

-~ — , sip — '— -; = sin —2

oder ingrleich

cos —^ = eo« — ^ — ^, Bin = sin — ^

W ■ n IV ' n

, sein. Im ersten Falle niüsst.e> wenn x eine beliebige positive oder
nt'gAtive gonze ZabI Iic^ciclinet, nncli bekannten gouiometrischeo
Sätzen

iwr.

d. i.

±:A' = ±r^-)f<i, =•=(!' — ?.'0 = x»

sein, welclies. do weder %', nocb X" grüuer als \n Ut, offenbar uo-
gereimt Ul. Im xw«iten Falle uiUste

H — n ^- ^"^ >

>d. i.

± V = ^ 1" + «», =b (*• -+- X-) = je»

Min, welches, weil weder %', noch X" grfisser als Im ist, nur duin

möglich ist» wenn

V = r = }», 81' = Äi" = •
Ist, uod in der Tliut ist «ach

<« -t- = cw (-^ =fc ff) = — coi -f-,

BIO ^ sin (

TT) = — sm -^,

so dasa sich also sowohl die beide» Wertbe

coa ' H-sin ' - V— 1,

als auch die beiden Wertlie

»nof> ± xn , m<f th *m > y—s
COS — ^ BIO —^ l^ — 1

auf einen Werth reducirea.

In dcu bcideu ubji^cu Bciben sind aUa, mit AaaiiBkiae der bei-
den letzte!, alle WerChe unter einander ungleich.

Für

(coa SP 4- BIO y l/— ])"

ThtUL

30

oder "h h i| T -f- wttt -I \U

cos — *-- — — sm „ — K — I ,

wt« dt 4n , ffi«i ± t<i 1 -- — I-
r Sip — -^ K -r. Ij

cos

cos

»» db 6.T m* it 6s 1 y — -r

_2__ BIO -s—— K— 1,

cos

IPT^ ± (» — 2)it (»v'db C« — SVl * > r-

— 8m — — -, K — l.

i -^- K li-".i ,J .li

11. n sei eioe nntfcriule Zahl, gAmlicfa
Ceberliaopt «rf "^ — , vi.»= - — ^ «trt

wo 1 ein« positive guoic £ubl uni] jü' <r ^u + 1 i»t, ao ist
cos '^-^^^ __ eos *"T ifa ira^ -f- TU ->-y|«

in — I ^ — I - flin II'" ' ' ^^^^ I

siB — *-7^ — = sm

, I f ff *• T >ifA

,a. 1., weil fi = 2ju + i' istj

*fti =

ctos — *— ^ CO« t Ä Ä*?-,

' am -^—^ = sin [ ^ -

Ist QQD X eine gerade Zahl, so ist

zfc Ör). * =

off Jsi

«Irr -f- 2»» . «•♦ d= u'ft

(JBd folglich TiJ 1.!-.-

cos —!—^ u sin — ^ K— 1

^= CO» ^ ^ " -f- im ^'^ K— I,

^ CO« —~^ BIO ^'^ K — I,

wobei man zu bcmerkeD bat, 4su i4 diesem Falle, wegen der
Glei.qlw»ft. , : L., , >^., u -IJ;. ......v;i: ...... . .^;

SO'

309

li' eine {gerade ZabI oQd aicbt rritsscr nU *2|t* ist

Ist X eine uugerad«, also X+ 1 cio« gerade Zahl, lo kini
man w>i^d«r

cos

JR^-I-Sxn

;CU6

-mT" ^fijf

Bin

wy -t-2»i

i; — = '','^i

m^i^ft'n

oder

iiu — =-jj = Bin j — — ^— - it: (* + 1)« I ;

d. i., weil X H- 1 eine gerade Zahl ist,

cos ^ = cos ^ *- — I

siD --^ — ' 5= sin — ■ ^ ■- -'- —

Mtzen^ so dasa also in dicM» Falle

■ZTi

cos, ii^ -*-8m ^

tuq- -f. 2«« . mt H- 2*.;! ■ > f

QUS — * SU ■ ■ ^ " - V — l

» n

iiL Wegea der Gteichun^ ...

ist io dieüom Falle fi.' ung-erade, unil l'»]glicli, veii • nngerade ist,
« — im' gerof]«; uuf-li erfielleC acf der Stelle» daes n — f*' nicht
g;riJSKcr »Es 'ifi sein kann.

Aus dieser Dnrgl«lluag geht ben'or, dass man im vorliegendce
Fall« in der Uleictiuag

(cos sp:*r8iu 9) U^-- 1)* = cea - "^ dbain — — V—i

bloss

sn setzen braucbt, weil «uf die dadurch aick ergebenden WerChe tos

•■
•H» 9...« - ..i ,(co»SP ± sin y V^^Tl)"
■weil dem Vorhergehcoikn olTcnliar alte übrigen EnrUckkoMne«.

fd cJieD 80 erp^eben sich für

n
(co» 9 — sia (p 1/ — I)"
die l'ulgenden Wcrtlie:

; —^—- sin —^ V — I,

fHI zfc 4>i

_ ■ ■ sin - ^ - _ — K — l.

iBV =fc (» — IVi
COa BID

XX. B. W.

my ± (« — l)f»

Jd jeder dieser beides Rcilien siud ufleobar h Wertbe enHtQU«»,
und ex fragt bigIi nun, ob in jeder dereclben alle darin enthaltciiea
« Wertlic HKtornUich unter einander utigleicb sind. Sollten abtr in
einer der beiden Reihen zwei WcrtKe einander gleich sein, so
niÜBste, indem weder 2A', nocb 21" grösser als m — 1 ist, entweder
xuf^leich

mif db 2i'n »» ± 21"« . ma ± Si'rt . m^ ± W»
cuB = CQ8 , sia —2 ;=:: sm • r- —

oder xngleich

cos - ■ siQ = »in — „

J» W M

s«D. lu ersteu Falle erbiilt man wie in I.

iill BO ksDu maD, wena der Kürs&e wegeu

fi n n A

gesetet wird, die obigen Werfhe von

aucb aaf (alf^eodt Art ausdrücken.

1. WeiiD M eiae g^erude Zsbl ist; bo hat

die foIgcodeD n aämmtlich Qoter eiossder uogleicheD Wertbe:

Dagegen hat

(!.■

.>l'<i

/#i^ f»lgeji<l«D M sämnitlidl^ ,pt)ter ietipoiutfr »n^fUcllBn W^ttil;,-
f<P„ .

-- . ■ " " ■. ■ .11, j Ufcüi >t,V -H.i« ItIT*

Lehnatn. Der Modulus dt^s Products xwei&r. ioiaci-
Düren Crossen iüt das Pro du et der Huduli der bciu«o
i«iapin»reD Factüi«,u. . ,,.-■■ i- ,. ;

Bewein. Die bcidcu gegebenen imaginarCBdirÖEseD seien

ein <lotr^i.h«i/T-JMg L \ \\ ' > V-^'^TY- ''"'••**'• '■•'• *»**••

so sind die Moduli reapecHve

Dos Product der beiden in Rede &teIieodeti imaginäreD Grossen
ut nach f'51. 3? ' ' 'iW ''"i^-

t ''-- Ätt.-^jt.-f-(«^.'4'i?«0^<^^^''^^-
iÄ'aitf WJaöhlli'iflieaifts Producta ikt 'nlSo' ■'•'"' ■•? "«« "'• ''" -^ ■ ' •

Weil nun aber, wie »an leicht findet, 't"« »"<• ••»«

Ut; ao Ut auch '' "■"' "' ' ' " ' '"l-""" -i;;. ■"■/« ^or-.

f^wok'Boa' die Bichtigkeib daaSaties uamittelbsr or^alletj.j'i Jm .Jx

. iiJl < .< < . r-. / .Itii'i i.l'il 'liiit

Xusatx. Der Mndnlus des.Pisductt fl:in<ir beliebigen
r Aozahl imaginürer Grüaacn iiC dai if'rooact der Slnduli
|fi«Ll>elr iia*glDär«ii F.a«eirr»hn l-t-'tvti.— ^Mi— IH"*" ."J- —

316

Durch Bueteasive Anweuduni^ des in voria;«D ParagrafibcD be-
wiesenen SttzeB erliellet auf der Stelle die Rrchügke'it des Torli«-

gendva Satzes.

9. «0.

LehtMatx. Der IHudnlus der Summe uad der Hodnlua
der DiffcrcBx xweier ituuffiDären Grossen sind jederxeit
Mittelgrdsaen zwjsclien der SnBime and dem «bsolaten
Wertlie der Differenz der JHoduli dieser beidea ioiBgi-
DÜreB GriJKsen.

BeweiR. Bezeichnen wir die beiden gegebenen )ma|fiDiireB
Grössen durcli

M ist nacb %. 51. 1. S,

a -I- pl/':^ dz (/ -♦- <nA^) = a dt r + (^ =fc (T)*/^^.
und der Modnius von

ist fulgltcb

Ka±r)'+(^=fcJ)'P = !"' -4- i5'd=2(ar + /f <!) + /" -t-t^t».
Weil nun, wie mnn durch leielite Reclinung findat,

(«/-+•/?<»)' -l-(«<»-W=(«'H-/»') (/' + <^)
'ist; so ist

l..

und der absolnte Wertb von ay + ßd hl folgUcli nie grosser als
Daher ist oficnbur die Grüsse

jedcrieit eine Mittelgrösse zwischen den beiden Grosaen

-(«'+?')' ir-h^)*> («'-♦-/?')* (r' +<»')».
oder nftcli der ans f. 33. bekannten Bczeicbnang der Hittelgrüsten ilt
oy-»-/?d = A-|— («.'+/?')* (r'-|-<h)», (a'+/?')* 0" -+■<»•)>(.
DasB aber aucb

— («r+/r<J)

eine Mittclgrössc zvischcn den beiden Grössen

■V.ti — («•+r> (r'+^r*)', («•-*-/?•)» (/'-h(f)i

wt, ist k1«r, und nuiu kado also aucb die vorstelaeade GJeicfciiDg
knf folgende Art achrcibCD:

±(ayH-^ = Jf |-(a»+^»)» 6'«-t-<J»)», («»H-j?')» (r*-H»')t|-

Bierausergicht aicb nach f. 37.

=fc2(a/^/?d) = il/i-2{o'+iS')* (>"^.J»)I, 2{o»-f-iS')» ö''+*)il.

317

=M

uod folgltcli nacli f. 3S.

a« -(-,»» =t 2(ay H- jS<rj + y* H- <^

^* Folglich Ut nsch $. 39.

eioe Hittel^route iwiscben dem sbtoIut«D Weritie d«r Dilfereitz
uod der Summe

{u»-i-/?»)k-t-(r'+(r')*.

Also ist nacli dem Obigen auch

|(t«±r)»H-(j?±J)«t*.

j. b. der Mndulns iler Grosse

eioe Mittclgrösse Kwisciieti ileoi nltaolutcD Werthe Ton

■Dd der GrÜNsc

d. li, zwischen dem absoluten Wertlm der Difi'i-renz und zwiicben
der Summe der Aluduti iIlt beidcu imui^itiiircii üri>äsen

womit anaer S«tx also jetxt vollstnudig bewiesea ixl.

$. 61. '

ZuJia/x. Der Modulus der Summe tnubrerer imngiiiä.

reu t^rÖHBcii in licliobif^er Auzulil i«t nie f^röeser als die

Summe der Aloduli aller einxelnen xu «tnaudcr addirteo

inuffioärcn GräHsen.

. Weil der nbiiuliite Werlli der Differenz zniselirn xwei jinititi.
Ten Grossen nie grosser als die Summe dieser liciilen positiveo
Grössen isl; so erg-lebt sieb aus dein im vorij^eii I^irüj^r()|<lii'n bc-
wii'ävueD Salze unmittelbar, duss der Modulua iJer Suiiime zwi'ier
irnnginärea Grvsseo iiie f^rüsser als iti« Summe der Moduti dieser
beitleu imaginären (ärössen int. Diircb XTiedtrliulte Ann^nilung
dieses Salzes iiberxeugt iiinn »ich aber auf der Stelle von der Rieb •
tiglccit dei zu beweiüendeo Satzes ').

*] Aiv die in diesem Aufontze in einem möftlicbst eystemiicisclieti Ganiea
«iisain mengest« Uten uiml tnic direiigon ÜcwtiMil MrÄtlicncn SiUen wird
sii'ii im fol£i:iidei] Hefle unmiiLelbar «ine Darstvlliing >lvr neuetcen bScIut
tvirbtig^en Ünierauchiingeii Cnucliy'» filipr die Encwrebtliini!; ilorFiine-
tioaen m converglrenile Reiben anscblitMieu- Die« wird die Zii*ai> u«i-
stolluDg dieses iD»)&toas schon bekannten SiU« gewiitü rcchüflr;'[^ii.

.li'.la.:.. ; -ii Ij

31»

Nocii ctwJis itberTünicrs Eiffcnsohalt der nn-
geradeo Zal4eq (Axciiiy T.l. U«lt l Ml.).

ijUejjB Ppctor Hellcrung

A. Die Summe der ersten ,4' «■l^r -A'i UDg<;ratltn Zatilen ii:
r= A* oder A', ' , wovon die, ^rösale ^2;\ — 1 oder '2.V, — I.

und ^.^ ,; — ; so ist andi:

Setzt rann nun A':=

Daraus fnigt aup: j,,., », r.M;.t<.p.U «-••!' ^'I"- v'^ ■'* ^-t ^w-'"j1*

1) flie Suniiti« der rg auf cmtiDaer folKenaen oDgeraden Zur»
len, deren kleipsle ^^S.-V; 4- 1'=^ /*(«— 1 J-4- 1 uad deren gröwi«

2) folgt ebenao leitlih ("tM- '(''■' -!-^* '

Pill' #1 .V .

l>*4-<2^'

— ^ i 1 . ,

B. Die Summi: der ersten A''oi!cr A\ Zaiilen der Form 4.i^4-t,
ist ^iV(2A^i) 4ider A,(2>ii— 1). nud diu grüMte lUeur Zah-
len ist ::=: 4jV — 'S oder iA , — 3.
^, ^ Sclzt mwo.iibfr A ==»' uiid jl^=(j(i — 1^'j S9 wird:

'a*(2A — 1) - A',(3iV— 1) = {2a-^1J1 und A'-^A', =2»^J;
aaWist ahö:-"''' "* "■♦■•'•"'■' -"'H' i' ' " " v- ..

IJ Die Summe der 9i» — 1. rnif einsnd^''fii!gen4c'D''ZahIeo itf

fflfai 4 . K-t^l, denn kleinste =4A,-f-I^4 . (« — 1)'+'
Dil' ifcren gf bastc ~± iA'— 3 == 4 . fi* — 3 ist, ist ^ (2m — I)*.
" ■" ä) ist nun auch: ' ■ '/

i» -*- 3' H-5' -I- . . . . M-t2» - I)' = A('2A— l) = »»t2»'- ^

HkÜA oian über to A. 2. nna 2» slalt n so ist aucli:

II 4-2' -h3' -4-4' -H , V . . +(2j,)' =i,'(2Un*- 1)';

jj^'lyies'itl iliT Ion Tilmer ppfurnli-rtt Satz, den slcr «hon Ktestnet m

■jiKlt Nfilicr Anal, füill. lirü^tn bch^nilelt. H^

* IJr.Duvfpt Ilpllitiitighai tuUp mer« ilaruuraiirniprkxam f>i>n»i'lic, ii^

jidiTiiniprs SiiiE schon in Kiiesrnfr» AnuIjsiiiF Chillirhpr GnSicPo fo-

^■t. Eine iii'iie iVi-haiHlluiig 'ilex^ti-lbnh ivnr ab»r, wie lue Lesrr IM

Lai^üi Aiißni^ii* jettt vcb'cu werden, immer wütischtttisnertb, nttitfeuiot

u\ •t»j)nM>lii:li. G. ,

dolier spliiTalteDdii; ■ -}-»r) |i t-ni" , ^

""" Ebfodiissolbe ReatiUnt erhMt'dton uucb aas d«n ReileOt' dnvn

Ml« Cliecicr =s.%.y und 4 . >- muU.

1 , C» Die Suwweider er»tco A' a^vx A\ Glitdec d«' B«il|ei atW

g*r{i(ien '/:ililrn, Ut =A' . (A-Hl) oder A', .(A,H-I), und oimat

m»u dep \V«rlli VON A' uad A^, uu« ^/.; so lidt wito . . .,

AIro ist 11 die Summe der n uuf eiiianJer folgenden (Tlieder i'iTret
gerodeu Znlileo, deren kleinste z= 2jV, -4-2=: « (»-r^ 1J-+-3 uad
aeren grössle ;^2A^^ (»-|-1) , tt ist, ^«'^m; und

2) ist auc(». -,->,-

t-

datier elc

Und die Summe dpr ersten X oder A\ Znlilen der Fumi 4.. y
ist ^'2A'(»V-1tI) od^' .2.V, . (,V,-Hl)i nintwt «wii nl>»:r A\^ Wfrif.e
Ton A^ uod A', uus B., bo but man} xi^ii.j-,, j

tA(iV+l)-2A,.(A',+l)=(5/i-I)>+3(«»-^l)|ondA~A, =33/1-1;
der

derer

2) Es ist dl» .11'

:). die Svmmt^ der 2j»— I auf (inander fdtcKDdcn'T^alill'n #0)1

Form 4.»-, deren kleinst« =4 Y, H-^^;*!'« - ')' + ^ M

ea prösate =4A = 4 . (^ i(fl, ^st =(2/»— Ij'^3 . (i»-^!).

daher: l»-|-3»H-S* + ....+{i« — 1)*=«'(2»'— 1), wie obop. ,

\i. \\\r wulten hier nocL eim-n kurzen Bi-weiit filr die äufltr

mea der Quadrale, iIit geraden und der uugerudcu Znlik-u, zur J:^-

^äDx'ung des ip U. jf^eruadeDün, geben. -J'^$H>

Du vaa but: 1>^I
^'" : I^T^X^Z ,_

*• = 1 H- 3 tI- üH^ 7 ■+■ . . . . H- (2» — l)
s» ist auch:

ll>_|.2»H-..Hrii»=;I.«-fr4,('*-:l)+5r(«-2)H-....+(2*-l)(it-«+l>

— |_ II. 3^_*t. 5+^:7-1-. ...+(»— 1)(2*-1)]
[A i, Ä-»» = «' — .V(2 . «» — Sj»-Hi; dubir

• ' u '.Ht m:«Aaf{ii(i V« u>Ja Hau* tu «•

'Pidi'.fl

390

Ä»«_»^L±iJAÄ»±J). und wenn wir 2« suU m seUea. m ül

^ichntn wir ann docIi dif •SumucR der Quadrate der ersten m gcrft*
äen hdiI ungeraden '/«hie» mit JJl(2>i)' und Ji'(2A-))*, ao halten wiraurli

i(*2*)« -1-^(2* -!)• =

«(a».-+.i)f*»i-i-i)

■; luil nftcfc oltRu igt sRck:!
= 2» ^-V-t- 6« + .... + («•)'

d«hcrr(2*)'=

gw(w + 1) (a» + 1)

unii:j(2*-l)'=

»t(2«-f-l)(2B — O

= P-f.3«-+-5«-t-....-h(2»— I)'.

Hierbei ist es nur etiraa auffallend, dass man die Summen der
Kuben der geraden uud uDg^radcu Zablen. uad zwar auf zwrifacli«
^'eise, Icicdtcr fiadet, als die ^tiimme ihrer Quadrute. und ilaLei
erbäll mun nodi d«n Beweis der LelirsÄtze \. I. und U. 1, ao uie C', I.
Vod 1. io den Kaut^. Sn1lti> es tielleirlit aiicb aocb (ur die •Numnei
der Quadrate einen Iciclteren Weg geben?

,f Aber iiicbC ullein (iadet man ilie Summeu der dritten Poteoin
der geraden und der uoirerudc» /nblen leirbter, sondern es ist
euo uucb der Furtseliritt zu den bülicrcii DOg^crttden Potenzen dienr
Zulilen gegeben. Deao

K. I) Wenn (wie in A.) A' die »h und J?, die (ii-I)te Tri*
Runalzubl ist, »o tat allgemein, &r alle ganze Werthe vuuv

.ff — B, _2»'-i*Ll •" ^ 1.2.J ^^^"^....H-K.J

worin + 1 lifl ungeraden r, und -t- v. » bei geraden v die Rcik
scbliedsl. Vüi eu folgt sebr leicbt daraas, wie in A.:

JSmf^i=- .A
1

{"-ty'y-V

2.Z

JSh^>'-^-

«.S.4.3

.^M^'

f »* 1

wenn iiberbnunt Glieder mit dem — Zeidiea
Blutt haben, also wenn i'.>>2 ist.

Wir fanden aber: >$>■* :=A'

Sa':^A^; wie die« ancb ausdernll^meian
GleiebuBg folgt.

Daher iat also ferner: Äi»» = y . A« . (4A'— I)

' ' *«' = y . A^ . («A« — 4ArH- l)

Sm* =~ . A » . ( lö*» — 20A» + 12iV- J)

etc. eic.

: •■ '.2) Wenn wir (wie in B.) A' = n' und A'^ =:,(»— 1)> «etxei,
iO kt auch eben so allguioeia fiir ganze w:

^

— 2W-2

<a>-i)...0^-*)

2.S.4.5

asm

(•i»-ip^.

3. 3
(g.— l)....(ä>--2>'-f-2)

' 2 12^-1)

oder (wAfln y = '

(3«-l)|

worin »11« CueflJcicntcD, wean sie m\t v oder (waad v = ^^ju tsl
mit f* multiplicirt werden, ganze Zahlen iiind, und der redncirte

allgemciDe Fnetor ist eigentlich i^ ^—^ x\ (au(^h *st diese ß«-

■ncrkuuf? auf ilif^ ubige Gleiclmug A'/(3''-~i = , , , . anwendbar.)
Efi t'olgl über nun wieder scbr leiclit:

(2f—l)...[2y—4)

(2«-I)'

3.3.4.5

'"Wir fanden aber scboo, wie es die allgemeine GIcicbupg- uncfc
ergiebt:

2{'i»-iy=s\{1A—i)
d»berir«iter:^(2-— l)*=4-.^.0ftA''— ^OA'+T)

^(2jt— 1)'=Y.A.{48A'— llSA-^+OSA— 31)
:J(2»— 1)'=-^.A'.(2».A*— aM5.A"*H-a». W.A*»

etc. etc.
3) Es ist also jeJea 2{2m — l)'*'—' eine algebrui«che Function
«', und jedfiB Sa^^* ist eine s»lche Function von der »Icd

Trigouulmlil = ^ — ; setzt man bier nun 2/» statt n, und zicbt

sUdann J(in — l)if-i ab, so igt die Diffcreiix = 2"C2«)s»'-l, wodurch
Dou nncli dir .Sununrii der itngeradrn Pnicnzcn der ganzen Lab-
ien mit uhwech5<;lD(lcui > urzeicticn gegeben sind ').

Uebrigros Ut Kier niclit der Ort, eine weitere Ausfübning die.
■er Aadeutungeu zu macliun, wenngleicb wir unB uicbl criunern,
die LitT SU tciclit gefundene eiufaclieFürüiivonA'Ä*»'— innd*(2j» — !)**'">
«nderawo gesetien zu hüben.

Ton

') Die ReMiliaif tinsFrer (bH es ohne Eitelkeit (foso^) ein^cfam und
klaren Uar&tellung ncirtifn nun abor von dm iill^einfin (;#ltrfi(li>ii Hir ilea
Fnll, ituiu man »^k seut, ganz uuceMuciii ob. M. s, Klügfls molhcin. Wür-
CfHi. An. I'ol.ciix ^. 49. ><j<| NucU Kli'i^;!-] Iiuhen alsduim «He diese utirnd.
lieben ilivtTgirviidvii Ririlien eniUii-ijc- W«rilii', wnncpL-» ¥«ir lautw oc timlcii.
Wie i>t nun A'iese Di^iTr])»!!]! zu leAciltcoii? Wiitirtinflig, vt\r ivis>cii es
liiebt. lui (JeRentbeil srlit'iii?]] un» Abel uui! <ler llvrr Hvntixgfbtir suhi
Ltcbt zu biitieh, Wfnn sie. so Mark Ke(;fin jene Bewei.'iart eifern, n'io dies
\ß. Archiv Ittl. 1. Xtru i. ]iug. J9 — 2I tle» littirar. iWiditcs tu tc«en bt

XMIL

21

09ß

XLII.

Einiges von den Kegolsclinitren.

Voll

(lern IT e r :i u s g e b e r.

Wenn p den Parameter einer Parabel bi'Keiclioel, «ler Win-
kct \»i, wcIcIm^ii der Kftdim« Vn-Ior r mit einer von drm Brciui-
puokte Ufls gczd^ciKtn geraden \S\mp. eiiisrlilic^Et, indem mun dku
Winket von der iu RciIp Btctienden £rprnderr l.inif> an iiainrr nacl
ilcrscibeii Seile liin vnn bin IltVO" zjihlt , und tu den vun der t«
dem ltreun{rtinkte nuvli dciu Scbcilel der l'urabd gezo^t^nen geradn
. Linie mit der in Rede stebenden geraden LiniL- etnKcitrliloMeti«
und anf dieselbe 'Wme ivie O geuommeaen Uink«! bex«icbaet, h
bat man bekanntlich die Gleichung

1. r =

3| 1— C08(d — w)t

«der

nix

3.

-;; — r [I — cos (0 — w)].

iToTpIich bat man für die drei Verloren r, »•,, r, und die drei »nt-
p|irechcpdeD Winkel 0, 0,, 0, die drei folgenden Gleicliüng-ea;

/ip = r(l-co8(0-»Hr
3. U^^r. fl-^ cos (©,"«)!,

ans denen wir nun die beiden (irossen y and M eliminirca W4llfft
Ünrcli KtioiiaAtiOfl von p e-rbnlt mun soi^tcich

4.rJI — cos(0— tu)J=r, II — c(ns{0, — w)}=r, |l— «08(9',— wll.

und folglich

r — r, ^ r cos (0 — w) ^ r, cos (0, — tu)

= (r cos 0-^r, C03 0,) cos tu -f- (i- sin — r, xin 0,) nnw.

r — r, ^ r cos (0 — tu) — r, cos (0, •*- tu)

, :=! (r eoj — tj cos©,) cos w -\-{r sin & — r, »m^Qf) «in fii;

also, wie luan leicht ßudet, ^

Ii r(r, — r,) ^oa B+r, (r— r,) ro» ft, -h r^<r, — r) tn» ft,
** — rr, -tm (Ö- «,> h- r.r, xiil («, - f»,) -(_ r,»- «In (ö,-^'
cos M — — ^^•:.^*'»>''"^H-'-. (^— >'-,)»i»8 , - t-r, Cr-, — r jsing.

lAlO.

324

d.i.

10. = rV,» t' — co»(©— 0,)»|

r fl -fain (0 — 0,)«iii (Ö,— fi))| i
— Srr.r, -l-r, (1 -t- «n (Ö, -©Osio (0 - 0J| j
+ r, (l-H «in (0, - 0) sla (0, -Ö,)J '

!(r-|-r, — r,) cob (0 — 0,)J
■h(r,-^r, — r) coa (©,— 0,)j,
-♦-('■. -H r — r,) cos (0, — 0))

II. O = .^V,'aiDi(0 — 0.)*
-|-4r,>r,'Bini(0, -©,)•
-#- 4r, V «n I (0, — 0)*
r[l— COBC0— 0,)+cob(0,— 0a)— co8(0, — 0)-

—irr^rj+r, (l— co9(0,—

-0,) + cob(0,— 0a)— CO8(0, — 0)-|\
H- siD (0 — 0,) ain (0, — 0)jl

I— 0,) + «o8(0,-0)-cos(0-0^n ^
-t- «io (0, — 0,) «iD (0— ©0 J

■r,Il — coflC©,— 0}-hc(Mi(0— 0,)-cob(0,— ©,)

.-©.)J

-t- »in (0, — 0) «in (0

Kh Ist aber, wie mao nilteliit eioiger leicbteo ganiometriflclieo Vn
waudlun^en lindet,

I— €08(0— 0,)+C«((0,— ©,)— CO«{0,— 0H-siD{©— ©,)KiD(0,-Ö)

=: 4 sin I (0, — 0)» sin \ (0 — 0,)»,
l-co»(0a-0>-cos(0-0,) + Bin<0,-0J«in(0-Ö,)

= 4 Bin i (0 — 0,)» sin { (0, — ©,)»,
■coa(0-0,)-co8(0,-0,)+ain(0,-0)8ia(0,'-ÖJ

= 4 sin i (0, — 0,)' ÜB i (0, —^»1

1-CO8(0,-0,)
l-cos(0,-0)H
um] folglich

13.

O = rV,'sitii{0 — 0,)*
+r.V,»iuni(9, -©,)•
H-r,»r'8in^(0, — 0)»

Ir sin ^ (0 — 0,)» siu i (0, — ©)'
+ r, «ni (0,-0.)^ «n J- (© - ©,)' j
H-r, sin 4 (0, — ©)» Hin J (0, — ©,)»

l__ l »ln^(P.-P,) !

i8inKö.-ö)r

|5in4:*?-0,)|«

VXr,

325

*l — vr, — t I — pF. — !

_g | ^J(e-^i) jM »i"-i(**. -« Oj\

ÜebDrlutDpt ist aber

«• + *• -f. c* — 2tf 'Ä' — 2ÄV — tc^a'

=<«M-i'— «")•— 4«»Ä»=:(«»-f-2fl/M-Ä' — c»)(a»— 2tfÄ+Ä'— ff«)

= K« -»-*)'-«■( !(• — *)» — c«i

= ("-t-A+c) («— A-r) (« — «H-O (a+* — e),

und wcdD nlso

„1 -f. Ä« -f. r* — 2«»Ä« — 2Ä'c> — 2c'«« =

ist, KU tnueß Dorbwoiuit^ m'tnilesiena etiiQ der Grüss^n

«-+-Ä-i-r, a — Ä — c, et — Ä-l-r, 0+'^ — «

Teradiwindeu. Wvuilcn wir dies auf die Glcivliuuir 13. an, so er-
g^ebt sidu dass imuier miuclcäleui ei 110 der \ier Grosseo

»in i (ft, — « a) . sin ^ ( » , — 6) ain j (#—«,)

i/r p^; V^^ '

sin i (e. — e,) sio i (»a — ^) . 8in;(«-g.)

iTP i/r. "+"■ iÄ^ •

'vcncbwiDdel.

Weuu keioe der Gröoiien

Bia ^ (ö - ej, Hin { (©, — Ö,), sin \ (e, — ö)

Tcrscbwindet, s» k:iiin immer aar eine der vier olii^en ClrnsseB
verHrLvrinden. Drnn nütime miio nn, dasit zwei derselben vvr-
scbwiindcD, so würde tiicb dureb dcreu Additiun oder Subtractioo
imoier leicbt ereebcu, dutt sucii «iu« der Grössen sin J (O — ^i)«
lin 4- (0, — 0j), aiö \ (0, — 0) v^rochwiDilen iiiU»st*. Wir
wollen ji>lzt den ^»cb^ilrl der Parabnl dufcb S, ibri^n Brcnu-
punbt durch jP, die Endpunkte der drei Vectoren r, r, , r, re-
specliv« durcb v/, ^, , A^ bezeivliner, so d&ss also r=^I-\-it
r, ^ -^'^ii fg = /^-^i >st< und wulleu uiinehinea, duss diese drei
VectorcD auf einer und derselben Seite der A&e der Parabel liegen,
und ibrer GrüiiKe nucb autstiHitfend von dem kleiosU-n bta xun
grösüten in der Ordnung r, r-,, r^ oder /^./, /^^i, FA:, nuf ein-
ander rolc-eii. Setze» wir nun, was utTcnbur Tcr«tattct ist, Oi^A'FAf
,©, =iV>'.rf, , 0, r=*f\ia, wo iwler djewr Winkel kleiner ula
■180» ist, so ist 0, —0, =A,FJt, 0, ~& = AFA,, 0, — Ö
^AFÄ,t und n^icb dem vorher Bcwicpßiiea uiuas also jedeneit
eine der vier t'olgcnden Gleichungen richtig sein:

arinj //,/■'.:/, sin jAFJ^ üa\JFJ i -.

326

_ »in i4, P.ft

sinj^,^./. Hin j .iF .4, __ sin ^ .^fV^, ,.

\/f.4 \/FAy \/FAt ~ '

s:m\.4yFA^
\/FJ

sin } AFA^
V'FA^

sin \ AFA, _rt

y/FA, — \ FA "*■ l/f!^, '
sin 1 -■// '.^, __ siti^.J,/V, MH 4 -V/^f ,
1//V. — \/FA '^~VFA, '

»mJ_JFJt fiini AiFJg Bin j JFA ,

X^FAt ~^ i/FJ VFA^ '

BJii l^Kij, sin ^A,FA^ sin jAFA,

V/FAT' \yFA VFAj '

WelcLc tlicser vier Glcltbuug;«!! nuu ober rielilig ist, ksno auf fiit-
g«Dde Art entscluedpii m'erd«n.

Weil dir Uiiikd .//',/,. J,PJ,, JFJ, sÄmmtlrcIi kleiii»r
Bis ISO", nisu die Winkel J, -V/'V/^, { J,FJ„ ^AFJ, siifl.iiilli.-li
kleiner aU iM)", folslioh die (Jriwse« siit ^ .IF.t^, sin ^ J^FAy
Kin l^FA, üiimmtlirli poHiliv ainilj so ist die ilriüc der vier ubigo
Gleicliungeii nlfeniHir tiuaiiiltliiifl:.

Weif ferner AF.4., > .4FjI, , etso aucb J AFJ,->-\APA^^
und jedwr dieser bridvn WinkH klviiirr tiU VM)" ist, mii ist such
h\nlAFA.:^*in^.iFA,, und tblglicL, ff«l FA,<^FA,, al»
aucb V/^-^i < V/''-^. '»^ "«et ^ I

»in 4 JK/, . sin j ^^^,
V /"J. -^ VFA^ '

ivarauü sicli unmittelhnr er^iobt, dasx auch die xweil« der ri«r*ibi-
gcii Glcicfauu^tin nicht Statt linden kaun, nubfi man Immer zu b«-
«4.-hleit but, du8B

■ • ii\al,AFA,, a\nlA,FA,,ntn^'AFAt,

lluter noiBitive Grüsseu Bind.

Uulicr blüibt jctii bloss nucb xb entsobciden, welclie vnn den
beiden Gleichuiig«D

s mjAFAj aiaJAtFA^ _,_ ah jAFA,

\^FA^ ~"~~\7fa — VFA^

die r!c)i|ige Ut, worijber man »ut folg^end« Art ins K]are lut*T
Wen kann.

Man lasse, FA und FA, als eooBtant betraclitend, /*,/, von

FAf an ntetig wucIiBen, eo werden sich aacli die GrÖ.HScn

»in \AFA^ uStt \AtFA, iin jAFA,
VFA, • V FA ' 1//W,

stetig verHndcrn. Sollte ea nun 4'in<;N cndliclieii rüllig bestiaimifD
Werlh des vetäDderlirhen HaJius Vector FA^, dfrn wir von jrtit,
an diircli {FAf) bezeicbnuii wollen, von sgicber BeBcbaflfaubeil ^e-j
bcn können diiits für demselben uueDdlictL nabe fcoinaicude Wc

327

des reründerlichen Radius V«ctor auf beidfn Seit«» diesi-s cnd1icli«a
TÖIlip bestimmten Werthes f/'-^,), die wir durcli FA\ und /*,-/",
^ex«icliuen wolk'ii, mit Uezi«buDg der oliero und uotern Zcioli«a
auf einoDdcr

sin j-JKjT, _ ain j.^, F^, . sin j^f/f,

siTJ^J/^ sin ^4,FA', _ sin j-^fJ.

yi%xt\ eo wäre

Hin lAFJ^ _ »io 4-^^jfa

sin ^At FA", _ sm ^.I , F^, _,_ . sin jAFA, _. si» jAFA,

\/FA yFA — ' \yFr^ "^ K-^-^, ''

Liisst miin iiiin /l/'. und F'ji", sich dem Radius Vector (/'^^j)
BäLern, so nähern die ÜiffereozeD

MH j^fJ, _ sin jAFA", gJn jJ^F-f, _ si» iA,FA"^
V'FA, VFA^ ' ' iZFJ V/*.^

sicli oflciilMir der Noll als ibrcr Cränic bis xu jedem beliebigen
Grade. Al&u naberl eicl oiich dem Obigeo oSenbarnuch die Sumiae

■si n ^AF A, _ niii ^AFA t

*" -Vfa,"

VFA.:

der ä'lII

Crü&se. . _ _ _ _ _ _

belJcbigco ('radv päbtri, ist aber otl'enimr

asiri UFA

ull iiU ibrer firiLu/e bis zu jedem beliebigen Grade. Die
>, welcher sieb die^e Suiiiiii« als ibrer Grunze bis zu jedem

V^FAA

and ea niiis^te also auter den gcmncbteu VorBusaetznngen ofTenbar

Süin XAFA^

ViPA^)

='*» ''''• i7(7i?r)==** "'*'' <^)=**

sein, irelcbes ungoreimt ist, da f-^-^j) eine endlicbe völlig be-
Klimmte Grösse sein soll. Alsu Jtuuii ofTenbnr uie ftir gewisse
Wertbe von FA^

^njAFA,

»in jAFJ^ »in jA^PA^

v:fa~ ~ \7fä~

Rir andere Wcrttie von FJ^

»in \AFAj «i n ^A^FA^ sin \AFAi

VFA, VFA V FA,

sein, Huiidcrii es iuues iuiincr entweder die erste oder die zweite
Gieicbuuif Statt linden. Für Z",^, =/l-/, ergiebt sieb aber aus
der z^veilen dieser beiden filoirbungfin, da in diesem Falle ^,.^!</g
^ü int, die offenbar ungereimte Gleichung

sin UFA, sin \AFA,

VFA,

UFA,

Dabor int die xweite Gleichung in dem im Red« siebenden Fülle
nnstattbaft, und gilt fo)glir.b nach dem Vorhergehenden überliiiu|it
nicht. Also ist unter dcii gemucbtcu VorausneUungeB immer

328

Weiterer üntcrsui-buugeD über dieseu Gegenstund dob für j*tit
cnllioltciid, irulleB wir nun snglt'icb XU deu fulgvnilvn Iletraclitun-
geu Über die Eni|>He tV>rliicbreil«ii.

Uci der Ellipse liat man, weDit a die liallie grosM Axe, e die

Excentricitüt bezeichnet, *^— ff«««!«* wird, der von dem Ra-
dius Vertor r mit eioPT von dem eBl«pre€liciidpD Krcnnpuukle aas
ffeaof^CDeii SBraden I.iaie einpeschlueiieoe, vuu t> bis 36U" ^«zühlle
niokel, uiiu w der mit derselbe» Liöie vod der roti dem iii Rede
stebenden Brenopiinkt« oncfi deai uäclislen ScUeiiel der t^rawcn
Axe gezogenen Linie einrescklusMCne, auf dieselbe Weise wie 9
genommene Winke) ist, bcKaontlich die GleicliuBg

oder

15. ^<l— Ä«)=:r il-l-* coi (0 — af)J.
F3r vier Veetoren r, r,, r,> r, und die entajirecliendeil Winkd
&, 01t ^s) ®j liul: IIB'' daher die vier Gleichungen

[«(l— *') = '• 1H-* «OS (« — w)U
a(l — ^*)=r,|H-* cos («, — w)t,
a(l- it') = r,|l-»-X- coa («,— »)[.
[a(l— **) = r,|l+«fc cos (e,— «)!;
aus dcoeo durch Elimioutiun von a(l — A') sich
r |1-*-* co»(e — w)(
=r,ll-hit co8(e, — üj)|
= r,]l-H* co«(e, — w)|

ODU folglicb

r — r, = — *{r coa (© — ti) — r, cos (0, — a()J,
r — r, = — X-)r cos (0 — wj — r, cos (0, — w)l,
r — f, =^it{r coa (0 — w) — r, cos (0, —ta)\\
«lao durch Divisiun

r — rt r coa (e — oi> — r, coa (e, — w)

f" — r, #• cos [ö — w) — r, cos (*it, — «)'

r — f) r coa (6 — Mt) — r, cn-< (g,— w)

r— r, r cos (6^iu)_r, ci» (t*, — u»)

10.

r — r.

r cos O — r, <ii>a 0^ -f-<r sin # — r, sin g,) '">g
r coa 9 — r, cos Öj+(r sin 8 — r, sind,) lang

r — r, r EOB 8 — r, ci>s ^(-»-(rgin 8 — r, sin Q^) un g

r — r, rcMö — Tj cos 8, ^(r sin B — r, »ia ö.) taug m

ttf^ibU Uieraui folgt aber f«ruur

329

f(r ,—*•,) cos e-|-ri(r— r,) toa 9,+rtir,-~r) toa B,

*»öB "— r(r,-r,) »in e-H',('^-^,) «n ».-H'.C'-.-r) «in «,*

, ,j r(r,— ri) co» B-|-r,fr— f ,) cm 9,+r,(ri— r) coa e.

HiDg w — r(r,— r.) >m e-|-r,(r-rO «n e.-|-r,(r,— r)»in »,»

woraus BJcb duq die Gleicbuug'

K^, — ri)<!CM e + r,(r — r,) cos Qi + ra(rt— r) coa G,
ritt—r,) sJM B-f-r,<r — r,) siti »i +»*,(»•, —f) üin 8,
r(r, — r,) cns W-f-r,(r — r.l coa B, -j-r,(r, — r> nw W,
r(r, — r,) sin Ö + r,(r — r,) sin ö,-+-rt(r, — r) siu ö,
cr^idit, die maa leicht anf die Form

18. 0= r r,(r,-r,) siD (© —e.)
+.#• r,(r, — «-,) sin (e —6.)
-4-r r,(r, — r,) sia (ö — e,)
H-»"i»*t(»*. — '■ ) sin (e.— e,)
+ r,r,(r — r,) iiu (ö,— ©,)
H-'-.'-.f'",— r) sin(e.-e.)

briogt. Di«8B Cletckaog iäsitt aicli >ber luicb unter der Gestalt

19. «= r r,r,|»iD(« — e,)+8iD(e,— e,)-t-iiin(e,— O )|
— rr,rjiin(9 — ö,)-Hstu (e,— e,)+ßiB (».— ö )j
-*-r r9r,|siii{d — ©,)-+-sin (ö,— e,)H-sio(e.— 8 )|

— r,r,r,|9in (8,_e,)-|-iin (»,— öj+sio (©.— e,)|,
oder QuLer der Gestalt

20. 0= r r,r^ sin ^(Ö — ©,) «in ^8,— e,) »in 4(e,— e )

— rr,r, na U» — ö.) »"»«iie,— Ö,) sin ^(», — )
-4-r *•,»*, sin |(ö — öj) 8in4(8, — e») «in 4(8, — )

— r,r,r, ein |(e, — G,) Bin ^(e, — »J sin i(e, — »,),
oder* aocli nntcr der Gestillt

21 0_. »in j(8. -8,) sin j(8,-».) sin jC**. — 8.)

sin

V9-

-e.)

sin

r

- 8.) sl»

4(0.

-8)

1 '"'

4(»-

-8.)

Hin

• 8|) sin

4(9.

-8)

1

sin

K8-

-e.)

siu

- 8,) sin

K»,

-8)

darslellco. Die Gleicbung 18. bann mau auch ouf die Fora

«. 0= (^ - ^) «in (e -e.)

+ (~-ir)rii«ie-e,)

3.10

-h{y — -) sin (83— e,)

igen.

Admiirlie BelrncIitungeD würden .Biob nuuli über ilie Hjrpcrllcl
ODfilcIlcu lassen, wubvi wir über bicr nicht länger verweiten noi-i
Ipr, da dicselbeu iiacb dem VorliergeheDdüa keine Ncbwicrigkeiti
babcD.

XLIII.

(Jebungsuufgahen filr Schüler *).

1. Mrii. ioW x«igen, dats die QDidrxtwuucI nu« der Griisce
tf^y/i In H«r Fomi l^ «H-\/'i' uusgexogen werden kiiuD, wenn

«r* — /* ein TullkuRimenfE Uuiidrat ist, und in der l^oria V^m + IXA

wenn 1 — -r ein vutlkomtueucs Uuadnit i«h

2, IVeim di« liroüNeu a, fi, c nicht alle drei Unt^r cinnuder
gUich ftiad, sa ist immer f«+i-4-c)»>-47(wSe-<9(«*-t-Ä»-f-c»),

, ;§. Jl^a^ spjl den BnicL

8x* — ItUc'-f-'j — a

auf Bfiinen einfucbsten Aasdnick bringen.

4. Wenn in vi Kreise sich in A und IS scbneiden, dnrcb
den Fiiiikt A die beiden UurrhiaeitHer AD und Ali', und die bei-
den Sehnen .^^'und AC^ von den«u eioc jede deujeiiiffea der beiden
Kreixe bnrübrt, von dem sie keine Sehn« ist, dieser i>€id«n Kreise ^C«
zogen sind , ferner die Linie AEK' denWinkel HAI» 'linlbirt und dir
beiden Kreiso iu E und £' schneidet; so ist die gcoicinscb.itlliche
Tangenl« der beiden KrciRß di« mittlere Frapiirtianale xwiiicbeD
den beiden .Scbueu DE und D'E, und die gcmeinscbafUicb« Kehno
AH der beidvn Kreise i»t die witlicre l'roiiörlivnale awibcUen des
beiden Sehnen liC und liC. ^

5. Wenn ff dio Lange des von dem Mittelpunkte eines ail

*) RriMsientheils ausgetoaen aus Combridfe Senato-Houso Pril>
blems. 1$37. )lj40 ton dem IUrau9geb«r.

331

t

V

ileiB RatlEus r bpsciirielienrn KrcinrA auf eini^ Hfite- eiltet in Idea-
iiHbpn ttesclirirbeupii rft^uliirftii Küufccks t^nfällti-n I'erpendikpls,
nntl t/ iJitf Lalbv Seite eines in dciisclbcii krci» bcecliritltcncu regi*>
ISren Z»*liin>i:k8 ist, k» ittL inimvr r' =^'Z(p' — y*)..

G. 'Wcun von einPin Punkte C" in der rinrn ,-tß vmo drei
aicli in drn l'iiiikten .4, ß, C acbncidcndcü Gernilcii ia l><>liptiiu;«r
Aniohl pprad« l.inim t^pzagen werden, welclie die liinien ,7C Hc
schneiden, z. B. in den Piiukleu B', -.4", an liegen die DürsIiBrhnitt»-
putikte eines jeden Haars der von //, .4 nach den I >urc lisch nitls-
[luuktcu B', A' i{-czo{;euen gemdcn EJnicn BB\ .4.4' in einer
durcli den Punkt C ffelieuden Geraden,

7. Wenn drei sich in A, ß, (' schneidende j^erade Linien AB,
BC, CA von einer dritlen goniden Linie re«p«cliv« in t", A\ ß'
geüchnilten Verden, eo ist immer (heknnntlicb) Aß' . BC' . CA'
= A'ß . B'f . CA, und da« Product der Flächen räume der drei
Ürcictke ABC, Jf'CA', C'AB' ist jederzeit

(^ß . BC" . VA" . Jtin ^ sin £" sm C')'
' ' H Hin A aiu ff sin C '

Viean a, ß, y die Katfi-rnuni^en dea Durchschnittsjinnkts
.der die Winkel eines ebcuen Dreiecks ABC baihirL-tiüea ßeriidea
Xüniep voD den l^jiitxeD Ay B, C des Ürciecks sind* hq ist ioimer

«'(t - t) + '«H^ - t) + ?"<i - b = «•

9. Wenn man die drei Winkel eines «iiliärischeD Dreiecks
FC durch Rogen eröaBter Kreise balljirt, und a, ß, y die zwi-
Mi deren (remeinscliuftticheiD DurchschoiltKritiiikte nnd ilen Spitzen

ty B, C deit Dreiecks liegenden üogeo sind, %o int jederiett

cns « sin {& — + "^"^ ß *'" i^ — o)-¥- cOs / sio {a — ij = 0.

10, Wenn drei f>urclimest>Br einer mit dein Hnlhmesser r l»e-
aehrii-heuen Kugel AicIi uulcr den Winkeln u, /J, y schneiden und
a ^^ X{a -^ ß -^- y) gesetzt wird, sn isL der körperliche liih:ÜL des
v»n den die Kugel in den l<^Qd|iuQkleu dtir drei Durchmcuier be-
rülirendeo Eheueu einge&ckloiv&euen Parallel e(jipedona

kr*

- V^ain ff sin (fl — a) fein {a — (i) sin {a — y)

.11. Wenn ein mit dem Halbmesser r beNchricbencr Kreis eine
'■Parnbel, deren Pnrumctcr // ii^t, in vier Punkten schneidet, kh ist
Pröduci der Kntfernungen der vier UurRUscbiHllspunkle von
iKr Axe der Parabel, =/>(»* — »■'), wo « di(j Enlteruuug de»
icitels der Parabel vun dem Mittelpunkte de» greises beceichneU

12. ^Venn 7*T. ftT xwci an die Punkift^, Q einer Parabel,
Ideren Brennpunkt P iitt, ger.ng«-nR Tangejllen sind, so ist immer
yPP . Pf4=FT', und wenn /"y*. /'ft /einen gcRebencn Winkel

re einachliessen , »o ist der genmetriBch» Ort d«a Punkte» 'f eine
Hypcriiel, welche näher xu bvaiinimeii int.

13. Wenn ^, q, die KriiinmungiiliJilbmeäser in den lindpunktea
sfCeier eonjugirten Uiuineter einer Ellipse eiud, m ist dio äuiame
CM-pj' «iue coustante Grösse. . j^iui

332

14. Dia ^TÖtile Projoclio» etoea CuIidh iat tili rcffnlUre« Secb»-
eck, dpMfi) Seile a'irh xii Atr Seile einer SeitcufliLcno de» (^bu
wie X/i : \/i verhüll.

(DieRf- Aufg-iilipn, untür ilenen aicb übrigens einiges Bekanole
Codetf uetden lurtgeaeUt.)

XLIV.

Miscellea«

In Dinglera polvlecb niscli em Joaroal. Band I..VXIV.
H«ft 3. S. 1U4. liat Hvrr Dcirtor Molir in Tublcuz Futjjcudes
Verfulireu, Barometer ohne Aaxkoclieu luftleer zu nachea , «nge*
geben.

,,l>a<t Verr»lireti xeUt nur den nehrnntli eiser I.uftpitmpR ToraiiB.
IHnn wird kiftmuii acliun Icirbt crrnllicii kfiDaen, ilass durcli Wc^*
nulitne Hp« atmuitjtbariitrlirn Driirk» (Iie.sf1be Krscbeiiiiing" bcrvorge-
- brncbl wird, ols wenn man durtb Hinzulirin^iiii^ von Waroic ugd
^uccksilbcrdani|>teu eiue drin Btiiiü8|ibÜri8cbcii Drucke gleiche Sp«ii>
UUDg erllieilt, uud in der ThaC beruht bicriD das neue \ ert'abreu.

Auf den Ti'ller der l.ufi|iiinipi-. «t-tzt niun vrrnillelHt eines gut
f[escblifffii«ü Tricbter« den out" Tuf. IV. Fig. 3. abgcbilderen «eh»
cibfurbpu Apparat, den mnn in kurzer Zeit aus 6taKrobron nod
KorkstÜuseln zuHuintneiisetzcu kann. Der Trirblcr tt \a Taf. IV.
Fig. 3. i»t uiit einer gutrn KautAtbuckrtibre na die Bleiröbre 6 ht-
feAligt, dieee mit «ineoi kurke in die etivn W Lioien wette nuA
& bis 6 Zull litnce Ghmröbre, welche von irgend eiuem Statine go-
trngen wird, und letztere uiitlcliit eines Korks nn dio kleine RÜtir« J
dt an welche ouii mtl KuiilscbuckröLren die auvtiikocbendeii Buü-S
ueler befestigt werden. ™

Nehmen wir an, man hübe xu einen Gefasabaroneter eine gaoi
fferado RölifR mit Quecksilber zu fiülen. Zuerst macbt man die
uithre vollkumiucu Irockeu, iudein man sie erwMrmt und mit den
Wcuiini in VerliiniluDg setzt; man wiederholt die&e Uperatinu eini*
genial, welchrs iiehr raxcb geht. Nun gietisl man das (^uerksilbeff
welches ebenfalls in cinnr PArzellniiArbale eov^rnil wurde, dorek
einen unten sehr engen Psfiiertrichter in die Knbre.. belestigt dteM
an den Apponit und pumift die I.nft «ug. I>ie Itarotnclerriibrc Mtp
sehr flacli auf dem Ti^L-bc. IJviui Knlzipbeo der Luft scIiwvINti
alle im (Quecksilber gebliebenen Kuftbla>.eu stark un uud die mei-
sten gehen von iielbdl na<:b tllien, ohne dass man etwas Weiteres
zu tbuo uSthig hätte. Man stellt min, wenn keine Lul'lUaMiU mehr
«ufBlcigcu, ein mogiiebst voilkonimeEica Vucnnn dnr, und ftUigt an
die Knromcterröhre leise flcbütlelnd zu bewegen, gerade wie man
bei dem Auskncben auf Feuer zu ibnn pflegt. Die beiden Kiuit-
scbuckröbren erlauben eine schon lieflige Ersrhi]||erang, uboQ daH J
der Appurat dadurch aus einander käme. Alan bemerkt in der Bm- |
roueterrobre «in bartcs Preileu uud Ülikeu de« UoccksUberit ge*

333

I

*

t

g«n rfa» Wm, eliPBfiiJl« wie beim AiJ»kocIifn, uni grosse f.uftbta-
s«n rritc)i(^iiieD an tilleti Slellcii, wa th« k)eiiiDl<>ii l.iitliil-iitclias
«tx«n geltlicbi^n sind.

Darch srkürirlnile Bt^nreennff wird nnmRntnn A^r ncliw&cbe
Druck iluB ItucfküilliLTH in urr )r«neiglcn Kiilir« anl'^eltohen, die
Lufitrlfuieii TersTÖsst-TD sieb, und lu diesen Aug^tiblicK 8lei)ifeD »ie,
weil »ic ein grusseres \oIutiicn eiuiiebniKD, nutVärt«. Durch wie-
d^rtiullen Sclitiltelu bringt mim so die klHnüt«n l<uftblHS<-k»ii xuia
AafwÜrlastcij^cu. Mun kann aucb das Aurwärtnsteigtrn der itlnHco
beschi«unit£<'n , wenn man dtn Rühre itber den Ritnd des Tiochei
etwos hioäbhiilt, wodurch sie sttiler zu Mcrco kommt. Einxcine
sehr kIrJDe Bldschcn, welche iilteiD nicht Steigkraft g4>nng besitzen,
vpiter tu riickflu, vereinigt mun zu «incr f^roescrn KluHe, indem
jnau die Rötire uufriclitel. f>aa Uiiecksilber crgie«st sivb iu die
weite Röhre r, und in der Burometerrobr« entutetit ein Vucuum,
welcliCR nun nlln jfnc l.uftltlittit-licii uiifiiimnil. Biegt innn nun die
Röbrc wieder vorsichtig hiniib, so bringt niitn durch dieselbe A1ani>
puliition auch diese in der Kpitze gcftauLincItc Lufllilasc heraus. Ks
tat eine bekannte Erfuhruug, dusti f'riacli uusgekochlc Ituroineter
von Neueiti ein Lut'IhlitHcben zeigcu, weuu niou lic durvli Auf-
richten bat s(>ie!«D lassen. Alle einzelnen noch so kleinen Luft-
spuren »ammel» hIcIi ulodanu im leereu Ruurae iinii iverdt^n beim
n'iederaiiluufenliiMson sicbtlmr. Die all erschärfste Probe einea luft-
leeren Itarofliclerg JHt immer das sicbihor bleibende hilft bihschea
beim Volldufen der Rnlare. Keim AuHkocbnn kann mun diente Probe
erat nach dem Erkalten iiiai'.licu. bei uu8eriu A[i|>arutc in jedem
Augenblicke wicderLuJen. iüin lü Linien weites Ufirouietcr war
innerhalb lU Mtuuleu ku vullkuiDiucn luftleer, dasn es eiu kaum
itichtlitireM LuflbliiitcUi-n xeigle. UcitJiiidere Schwif^rijj^riten uiitchen
R<>breo, die diitcb Auscbwelzcn etuer cti(;erii Rubre eine \ crdün-
Dunff des Kalibern haben. Die kleinpn l.nftbläsclien gdien nur
durcu heftiges Srblitieln der »dir »ileilcn Rbbre über jene KinKchuii-
rung hinucj^. iScliinutz nn der inneru Seite der Biiure hält ebeu-
falU leictit (..uftlläsclien zurück.

lleberbaroinelcr und uewiihnlicbe Bnrnmeler befestigt man eben-
falls mit einer Kaulscbur^rülire aut die l'hf. IV. Fin;, ;t. angedeu.
tele Art nn den \|>ji.nral. Muti füllt die Röhre nur bis an ihre Hic>
gung und Irisst nlics übrige Quecksilber auslnufen; die fcmcrc Be.
bandlung wie obi'n." A^' diese Art hnl Dr. Miihr nach seiner An-

f^ahe mehrere Uuruiueter out' ihren Mculen luftleer gemacht, und
iigt hinzu, datis dicHcs Verfahreu Kugar da^ sicbersl« sei, weil die
Röhre mehr gegen niechitnisclie >'erletzuMg gcHchiitzl ist.

„Es ist Übricreiis auch gut, die Itarometcr erst bJilb mit Oucek-
silbor zu füllen und alsdunn luflleer zu machen, weil miin bei den
geringeren Drucke des Quecksilbers desto stärker ürfirbiillern knon^
um gerade die äusserNtc S|»itze des Itnrunieteni, auf die es doch
besonders ankommt, luftleer zu maclieu. Man fülll intelit die g<inze
Rühre voll und wiederholt die U|ieriitiun mit deni iiucbgetulllen
Xhejie. lis geschieht ncicb wohl zuweilen, besonders in uicht sehr
fflatfen Rtibren, dass eine l.nfiblasc beim Aufdteigen it> int'lirere
Kleinere zerfallt, welche schwierig niifateignn. Mun musH alsdann
ilurelt wiederbiiitcs Tummeln ubiT Entlecrcu dieselben heruustn-
Bchaffco suchen. "

Jeder, wer die UDauuehnlicbkeiteQ des gewölmllchen Cit (Ja-

S84

KeUbtR immer srliwirn^on AuBkoelicns der Barometer aus ci^wr
Erl'iiliriidi^ keoul, iv^ird mit utiH die IJi^b«rzcU|(iMi(( tbeilea, «lau 4n
obiKe Metbod« liL-s llcrrit Dr. Molir r^nliütit, weiter seprüft sn
wcrdro. Beunlirt mIc Hich, «u wmdou IJrUiolier im .Nliiadfl ««in,
sieb utitteUt der»elb«n aaf wulilfnik Weise ^utc, zu wis&vascbaft-
Ikbfui Gebfluclie tuu^lirb« Barou)«tcr zD Tcr«cb»ff«D un<l itich bri
ctnie^ff. l'ebunjf selbst zu TrriV.rli^en, in w^lcber BeziflltuDi^ wir
vnrKiis;li«'li die I^lir«>r ati liymiiutiiüu und andvrii .SciialoD uut* ditt>
selbc mifmrrksnm macbtin und 7.11 ikrcr Prlifuiiffitufturdern niicfa-
ten. .iiuiv Uuruinelvr aiud jeuL HO k«sls|)ieligt: luätruueuU', dws
cioe vrolilfeikre |leret«lluo^ d«r»elben für die {»bvHikaliscbcB Ap)»-
rsle der Ncbulc» jvdt'ntiill» Hvbr zu wüi>»clien ist. Uunii wvrde*
n«h aucti die »o nützlinben BarnmeEf-r-Btobiichtuagen gewiss noch
mcbr vcrticlfaliigen ftia Pä jeizt iltr Fall ist.

Mau[iertuiH lag einmal ffÄliiiend in leincm LeEinstuble auire-
lltreckl und supffc; ,.k'Ii niiiiB^itc jctxt «■in iclii>nr<t l'rubl.cm zn 1ö.
teit, irns iiirbt schwer würe.'* Diese Aeusserung niohtl ibu ganz.
(Aus Cbamforts Werken).

Melirorc /(ige, wekbn Mnupertuis's ungemeine Eitelkeit und
Suebt Auftiobcu zu erregen bekunden, findet man in Bussui's
licscliich te der Matbeniatik. Tbeil U. N. 337 der deutschen
Vlebcrsetziiiig. Kr wer lirk« mit lieh einer der .Mutiiemiitiker, welche
pm Jiitire 1 i36 auf Verunlassung der fmozösisHien Akiid^mi« der
' WiKseusebaften nnrh Lnpiilnnd t^osrliickt ivnrden . um dort die
'CrÖfUie eiiicd Bloridi^rijinidcs der trdc zu mesüen. Als di(- l'nmrais-
'tAnn nU6 l.ia|i{>tiind zuriickf,'eUelirt war, biitle Mnuprriurs nirbli
Aiigele^rntlicneres zu tliun, als übfrall, in der Akademie, im Publi-
cum, in der ^rnMse» Well, worin er viel lebte, das Kvsullat einer
Operation zu verkiindigeti, vuri wricber er sieh gew isser luiiKüen al-
len Uubm zneif^ete, an tretirber er iiide<t3 als Mitarbeiter nur eioeD
.iclir geringen Anlbeil bntte. Kr lirss,»icb sngnr in lapplhmliwbfr
Kleiduni^ und uuf die Krdkufi;cl bicb lebnciid , ^eicbsiitn nh T^atltc
er ibrdin .spbäruiditiclic lleBidit geben, nbiunblcn, und Vultnire, da«
'iniila sein Freund, uetzcc unter dcu Ku^ternlich die vier folf^enileD
•cldetittcn Verse r

l> glnbe ninl cotinu, iju'il a sti roesuror,
Devicnt un monunirnt oii so gloire ne fondo:
8on aort est de lixcr In ligurc du monde,
De liii plairc et de P^clairer.

Von dem am 23. Juli 1S3ß rerslorbcnen b«rüliinten Comelen*
[«ntdecker Jeun Felix Adolphe Gnmbart, Direchkr «l«r Siera-
warte zu lUarseillr, gebnren zu Ceite im Mai 1><00 erzählt I*oot^-
DUDlnnt in seinem kiirzlicb erst^hienenen Traii^ rlementnire da
Physti)ue celeüte ou Precib d'Aistronointti tlieurifjue et
pratiijue. Taria. I84U. p. X.WIIl. ftilgeoden Zug: Je ue puii
nte deleiidre de titer in ua« anecdot« liien propre a faire juger, je
erciis, de la pt'-netration de Gniub.irt, et de r«x|M-rieiire (|u il
avait ncquise pnr son Stinte cnntinuellc dn niouvemeut des aair«s.
Je ne truuvaia &vce lui ä l'ObBCrvutoir«, eo l^i^, loraqu'ofe y re>

'^335

"^["Tl^preWir« tiouvflk iIr l'appuriLiuu de In comefe d« Halley,
et Irti «liHeriationB cnv»y<''^s ■!*! Koine |)Br M. Dumniicli«!, A
|>4*iiie fJambart \ ciil-il jcft- a la Lite un coU|i d'octl rapide, qu'il
mfl dit: .,Pniir qutil jiiiir avez-TtitiB unnonciS i<r rccntir ite la coin«>n

-Bii p^ribdlief — Pour U: Vi. Novcmlirc (je u'aTaiid poiut uiori:! fuit
a Ia Diiuäo de Jupiter Iti correciiou qui ru a cnnilult n reculer cefte
i?[ioiju(t jusqu'au läi Nov^-inbr«). •— • ht M. Daibaiseau j cuatinuc
(;>iiiDl'nrt. — II nauAni-ß 8on posHugp potir WA. — C'ext vou«
oui aiEE riiiDoii, sVcrie-t-Ü, In comet« ».cm au periMliu du 1^ ^lu
17. — t'Mr y |>aii3ii l<- 16, cotiiino oii H:iil; iiiiui uu »implc rcgiirtl
jct^ fiiir 1«^ mouvf^nicnt, {icndnnt quelques jours, de cet ftstrc en
aufciisloa droife pt en dt^^lrnaifiiiii, avnil siillt Ä Thnbile ohiwrvaißur
pour deviuür louiei tr» <-ir<'inii>tiiiii-ct> d« &» marclic. — I^ine M'ia-
gru|)tiii: (iuniburtti Üudttt niüu in d«r OiLiliotlivquv DuiTvriicIlo
4o Gebore. Noorelle Serie. T.IV. p. 345.

I

XLV.

Correspondenz.

Auszug aus einem Sclireiben des ilerrn AStiJora, unil

Ritter Dr. 0. W. Müller zu Hannover nn den

Herausgeber.

Huniiover, IS. Mui 1S41.

Thtrch llirr guttuen Zt^ilcn bin ich rcniolüHüt wurden mir dnn
erBctiicocor prsl? Ilpfl: des Arcliivs komnucn xu lassru, duBatiti ln>
ball Ixreils viel InIcrcnHC crmülirt.- Zu dt;r Rchunrn Abhandlung'
Nr. XJV. von llmen scibal darf ich mir div Ueiiierkinig «rluubcu,
dnss «lue vollttliiudigc AufiÖ^ung; dp» l'otficnnt'BclicD l'niblems von
mir, mU Beis|»i«l d«r Anweudung der Lvlire vom Ziige im «tteu H^'*^^
X\. Hnndr» dcd CrclkV-Jir.n Journals gegeltca worden ist. Der
Gang der Auflösung' ist folgender:

Domil die Aufi^tibe eine bestimm !:<■ blttibo, darf weder der Um-
kreis der drei Ickiintili-n rniiklv .'/, Jf, C, uui:li «iuc von den dr«i
ceradeo LJnieii ^I/, --IC. ßC durclt den Meiuu.ng;s-Sland|iMnkt O
tiiliren. ^ on den dmi L'nikreweii, die dciutiucli durrli /> und xwei
von drn dr«i bekannten Ponkton filbrcu, n-JililR ich nun einen, z. R.
den rmkrcis AliD, und biistiinine ilurcji die »llgemeiiip. Kio^iiscliaFl
der FFTifdit^rie-Winkd uns dfu iu /> guniüssencn VVtiiki'ln und aus
de» r«cb(\%iiikli<;en Cttordiuiiiun der Punkte ^Z, li zuerst die Coitr-
dioatca des i'uuktes /r', in weklivta die acrude Linie Z' 6' den Um-
krei« ausser in /> novb triJl't. und daruuL mit Xuxiolmng der Coor-
diualen dc-a l'unklä C diu des Punktn D. Ea en;ebcii &'tcb dabei
dir letzlereo durch Vcriuiltelong der relotircn Pular-CoordiDotcii
des Punkts />» sowolil von A, H als E uuu.

33G

Zar V«r^<>icbang (»cider AuQusungvn mit eioBoder fUgn kh
folc^ntle (Viieniirlit i»«iii«K K<>rhnuii(fiigititgs an. K« luögea iW
reclitwinklig«ii Cuunlioatcn der Puuktc durch die Dcbi^ngoielit«
Bach»labcD ^(*, Aj, /?(«', Ä«), 0(«", «"), fi|(«, 93), /*(a-, yj, fe-

Dcr die durch Messung^ in ti bciL&nnI w«r<lpudt'D Winket AtiB

durct a, --/ÖC durch ^, Ä/i<7durcli ;' := — « + /9 b«xeirbnet Mt«,

fto erhiilt innn vorbereitend die relotireo Pular-CoordiaKten (d, r)

H — k
dej Punkts /f tdoi Anfaa^ipnnkte A ans durch laDg;

V-»'

Mn 9

ciu 6*

S«Ut Diao Duu 1)© + / = ©', 2) r^-^ = r', so sind (©•. f')

die reIntivMi Pular^Coardinalen des Punkts fvoia Antäng^uufiklp ./
aus und eü ist 3) 91 = « + «^ cna ^, 4) ^=.b-\'f' sin 0. Setit

i« m

^_^ ^ Ung "V» deBgleiclicD

6.

S.

9.

sin {^ — g)

■io B
»in (y. — «•)

itm «

^\

=/

11.

12.

13.

SO Rind rospcctiv«! (% t), (<*. /^t (**'i /*) J'* ri-l»(iven Polar-Co«r-
diontcn iWn l'uokb) /f v«n deo AufanjjsiiürikteD £, .i und Xf «u.
Mut) bat duoD

a: = K + 1 . COB tf/

y=SÖ-l-r..wn V

^ = a-h/. cot M

y=ÄH-/.8iii «

j: = «'-f-y CO» »r"

y^^-h/' Bin w*

Für die VVr^loirhuiiif xeDiHl liemrrko icli, dniiii a und ß in beides
AuQÜKuiigY-it dnsarlb« bcdpult-'u, und dnss dng Resultat Nr. l'l. mo
dem lbrit;vn Nr. M. nur darin .«irk anlersoheidi^t, da^d tlir die trla.
tiven Pnlnr <'nnrdinnt»n zur ge^rnscilii^a Lae^en-Itpstittiniunp der
l'unktv /J und ./ b«i mir der Lfekuiiutc Punkt .i Uv'i Dincn der
unbekannte Punkt /> »h der relttlive Anfangipunkt betracbtet nild.
Man bat älau /"^ — (f und («rie; u=z lang q>.

Nur bemerke irh nueb, dnas die I.ekre vam Zuf(e vnrattsüctzt,
dnss der RadiuR-VRCtnr-Kuf;^ eben sftn'obl nep^ativ aU pusjtiv olu>
fallen kann, und iaua die iibliehe AusscbÜessung argtitiver IVertlie
xwur in viuzelucu Fällen nüixlivb ist, ojlcju uiit der walirbafi all-
Reuieliicu AuHuasun^f im Widersurucbe atefat. So wird x. K. der
Winkel tf, der bei Ibneu in Nr. ll. dureb iteiue l^uug'eute ^eg'cbta
wird, xtets ol.i ein spilxer Winkel genouiaien werden ritirfcn,
uamlicli aU ein nnsitiver oder aU ein negiiliver spitzer Winkel, je*
nadidcni dte Zunl, welelte Nr. 11. tür tuiij; cd giebt, eine pusibi«
oder eine negative Zahl ist. Ka ergiebt «icIi dünn durch Nr. U

von selbst, oli g eine positive oder eine DegstiTe Zahl ist.

XLI-

Untersucluingcn Über die geouietrischc Bcilcu-

'tung der konstanten Cocificicnto.n in den uU-

gemeinen Glcit^hnng'eii der l'Uichen des

zweiten luid dritten Grades ^).

Von

Qerm L. Moss brugger,

Lehrer dor Mutbcmatik od der Kantonsichule zn Aürau.

'1. Ceber ilie geomelriscliß Bedeutung tlcr Con«tant«n
io der «llgviDeiiien iileit'tiuog der Vlackeo des 2weit«p

Grudus.

«,1.

Der nllgeineinco Glcicliung

-t'2C"aTH-/J = Ü....I)

der Flücbeu des zveUcn Crndcs könucn wir nocb folgend« xwei
Formel) grbcn:

y'-+-ay grX-H

B

C.v'> -I- 2,-/>y + 2Ä"y
H-2«r^H-/7 = 0..2)

üf

iV

2C"

Id diesen Gl(!icbung«n berückaicbtigro wir kein be9oniIer(>s
Cnordiiiuli-iiNsyiiteni. Sntz<^it wir in die zweilt* deiürlbeu sliilt ,?;
uiiil y ir^rnd bf-Atimmtc. ül>rii];ens ober dnreliiiiiN uillktibrlicbe H'crtbe
je", ■*/, si> crbalit'd wir dii- init di'r Orilinuteniicliäe der s pardllclcii
Ordiiiatei) tltTJcnigen Putiklü, in wtrl'-beu die KLictie, Boldtv wir,
dnrrii «ine der (ilci<-|iiiiii:i-a 1), 2) odiir 3) lui&jrrdnirkt biibfrn, Dik)
die vir künflifi^, der Kürze wegen, die KlÄcbe f ih-ium-» »''•IIvm.
von der Linie x^x'y y^y' ge&cbuitlvu trird.

Ge

*) AiiHxuß aus «inriti bnlij prachrinctiilrn Werke ittier niialyii
uineirii] dek Renain vutii VI*, iliaii«'» AiirMticff.

Tlidl I.

938

Ditrcli <)ii> so el)«n ^f^Dnunle Substitatioii irml ul» «li« Ghi-

a' -f. i* I Ba.-- -*- 6'y + ^"1 + /f'y' + ^^-^ + 'i-^'^y + 2Ä"i

^- 2r".r' -f- i> = » h\

Kezeicbnen wir die Orilintil«ii der ubvnbenannl«)! f>urcli schnitt*-'
puoktv uiil A uDi] a„ yo wix)i«ti Vt'ir «u« der Thevri« der ljleicliUD*|

*'-+-», = — i(itw -h c*j/+ ^'') ^^

Wiederli"l«n wir lÜeses Verfnliren , indem wir io die l^lrtirliuog 2)
fiir y die s;l«riclic Ordiimtc y' wie oliow, »tnU .r «b^r iri^end cibcb
iindert'ii liJ-slimnUcn ükrigiMi^ (ibfr willkitbrlirlu'ii IVcrtli .t'* «infiik*:
mi , und mit s" und s„ die Urdiiiiitrn drr l>iirclisfhnil(!v[iuiikic der
Linie a' ^ ^'", y=n' mil der Flä<-bu /' bt'zcictinvti) dit'üv Ur-
ilinulcii ncrdeii ziig'lricb diu Wurzeln der durcb jene Nubstitulibn
aus *2) entstAndeaeu (ilcicbiing- seia, wit* di«su9 uucb bei drn flr-
«liauten V und s, in Brxii-biing auf die Ckiclitini; 4) der Füll ist,
und wfr bcknioncD wie vnrliiu die Gleichung:

V + »„ = - 'Ziä'ar- 4- «>•-!- J") 6)

Sobtriiltireu wir ü) von 6), so ist:

V_*'H-*„-a,=-2J7'U-"-^),«UoÄ'=-^^^~^^ 7)

Vm diesen Ausdruck von /^ durch «in« gfouetrische ConxtmctläB
lU besliniiDCu, scbocidcn wir Tnf. IV Fip;. I. die Flache F io dei
Entferiiiingen OA' =. .-r', OK"^.t" vdu der Klient dir yx dorrk
zwri mit A\f:aet pnrnllele l'henen /'A')'. /''A'' >", und nMann
Dach iu der KutEtmutitr ''>/£:=:«/' vuu der Ebene der ;c» durcb
eine mit dieser j>ar<dlele KLene Z"'/tX'i diese letztere wird da
heideii er»lereii Hlieut-u in awci mit diT Achse der s pamlleten Li-
nien J"//', /*'//" »rlitieideii; di« Fläolie /"" selbsl i\ber wird »oD
den lii>iden crsteren Kbcneii iu irgend zwei Linien zweiten tiradet
rM,l;'iV', l"'Af„/'":V\ und von der letzlerpn Kbi-ni« in eis«
eben solchen Linie t. }/,}/,, FAf"M' gesfhnilten, diese letitc Cunf'
wird jede der bi-idpii vorgenunuien im Allgcuieinen in zwei l^nnkie»
^/. , AJ'% jV„t ^"i wt'lcbe zuKleieh uuT den DurcbiicbniitslinieB
/*■//', P'li" IJegeu werden, ücbntiduu, und wir liaben duhcr ia
Sinne der oben angenumineuen Bezeichnung i*'jV,=j>,, /*'iW = 3',
P"M„ = a„, I*".it" ^ »', nls«, Wenn wir uns in der Kbene
Z"'R\' die Linien !^,A,„ M'A" |iariillcl nit der Achse der jt gfr
zugcn denken:

z" —:.'== MW", s„ — 3, = M„K„ a^ — .ir' = rP^i

nitbin ist aus 7) i

IFF- '

Setzen wir hingegen in der Glt^irbung 2) zuerst .t* und ^,
ul&dano ^ uud t/ ^tatt je und y^ so finden wir nie vorlün:

a'-hs, = -2(^x'-t-£'y4-^") »)

*•* H- a„, = - 2(ÄV -4- Cy + ^'■) 10)

woriu V und x,„ die Wurzeln der xufulfire jouer Substitution IM'

339

entstandeuVD Gtvicbuiig bezeichnen. Darcli Sublradinn (liesrr
Glvicltuug^'ii crlialli>u H'ir:

V— »

+3,„-j.,= — SrV-y), al«oC' =

if ,^_ 5 * -t~*j" *t

a<y"-f')

OUno doss eine bmonderv ZcicbnuDK uälliig' ist. können wir uns
in den IfutferouBgeo OH^=j/, OH" := y" y«ii der Hipue »ter u-a,
mit dic-iier iwei parnllelr tlieplücbu /* sclineideode Klifticii X"/IX\
Xt"''/t''X", und in der Entfrrnung ÖA'' = .r' von il«r Kfi4-ne üirry«
parallel mit ihr eine «bcnfalls die t'läclic f scbneidenclc Ebrue
2'A'>" denken, und nnalag mit dnn V'gHierf^elirnden dir mit der
Acbsc der X parullcleu DurcliscbniKiilinieti //A', p"h", und die llurcb-
scbfiittsi'uokte dieser uiit der Flärbe F reapective durch w', m,\
**"> "*</ farzeichocR, tiai) endlicfa m'n'\ »»t**)» ■» der ICWne 2,'K'\'
fanii\v\ mit der Rbene der ip, liia zu ihren DnrcliKcIitiitteu n,, imd
«■' mit j^'A" xithcD, aUdann babcu wir wieder:

«"' — «' = "•"»", %f„ — M,^ m,^„, ^ — tt^ P"^'

also C' = ^^rrp ^.. II)

Fiibren wir endlirb in der Gleirbung 3) nnch einniider .v' und V,
jr" nnd V «ttitt .-r und y ein, wo .-r', *', vt' ebrnfuth beiitiininti> «ber
willküIirlidieWerthe haben können, an rnl-steben zweiRlotchungon des
Kveilen HnideH in Ueeielmng auf t/; bezeiehucn wir die Wurzeln der-
selben respcctivc mit t/, y,\ y", y„; »n a^elien diese zuf^'leicb die Grd.
ssen der mit der Achse der «y parullelen Ordinuten der Üurchsclmilt»-

Siunkte/j', /i-.; fi", ju«, der Linien {.t-^a-', a=*'1, {a-:=.T", a=5') oder
i^h% (Jt^'A^, mit der Fliehe /', und wir erhalten, wenn wir uns
f»'f^, jWfiV/ parullel mit der Acbac der Jc jexoi^en denken^ wie oben;

\.f

C

Dnd

y"— i''-HS'" — y/ ■^'

'-ö> also auch -^ ;

,t y +ft,.y..

,14)

Sobald nun ff bestimmt ist, knmt dieser jtuKdriiok einen bestimmten
Werth von ./' vehen. Wie wir ancli die Hiiiffiebcnen Z'K'Y*,
Z'fi'l", Z'"JiX' (Tftf l\. ¥i«;. 1.). oder bei der BMiimmuni? v»a
C" (wo keine Figur beigefügt ist) ZA Y', Z'RX', y."/t"\'' u. a. w.

parnllel mit Mick selbMt verrücken mögen, die ersten Tbeilc der
(jleii-hiiDgea S), 11) uud J4) bebalten immer ciuen und denselhen
Werlb, e« ixt uucb über die Lage der l'oordin<iteuncb!<eu durchaus
keine Itestimmnng an^euoffimen worden, mitbin können wir auch
die La^e der vorgenannten sclineidetiden Ebenen inimerbin beliebig
soDehmen, nur muss die parallele Ltu^c der heziebUchcn Ebenen
heihehallen werden, Die in Rede stehende Figensrhnß bezieht sicli
auch auf die ItesoDderen Fülle, wcnci die Fliicbc /* in ein Sy&tem
tneier purnlleler Fbeneo degenerirt. Die (ileiehungen 5), 0), lU),
12)^ 13) bekleben auch dann nach, wenn die obengenannten schnei-
denden F^henen der Flache /'nicht lucbr begegnen, denn, aurli
Air den Fall iinaginttrer Wurzeln einer qnuilrati<iche» (('leifhuDg,
bleibt die Summe derselben doch reell, bloss fällt ig diesem Falle die
geometrische Ueutiiug hinweg.

340

»

IVir kiinncn die in H), II) und 14) ßvrundeiK«» AuKtlrückv (in
die f'wcfliciriitffn /t", f", -Ti fiir Ixisnaderc FäÜc norli vereiiiraelirtt,
indoui wir die hfiziphticltrit srhDridcndni Rbruen an bfatinmeD, «ii

a*» = a/i Vn-^^yt
wird. Wir brouchen zii difscm F-nde in der Flüchn F nur Linim
r«s|ii?rtivr parftllol mit der ArliH« diT x und f/ zu zit'lieii. und durch
dir. Ihirrhscliniltv dprs<'lbrn mit der Flü^tif F die uurnltvlen Kbr-
\\t\\ |[H li'iri^ii. Hiürdurrli fnUrn die Punkti* M„ und vV,.; nt,, nnil
n„\ /J'< und Y„ 2U»ammen. und vi'w liatitn statt der vorgennnntm
f>lci(;liuii[;cu fnigrudc:

Ä' = —

c= —

3;/y"

B

n"n'

15)

Wir lirmcrkcn nocb, daas wir nua den Gleicliung;en 5) udor 0) vr*
lialleu :

Der ersic Thcil diesfj fÜrichung: l)eieiclinct die ilrdinntü der Hiflr
diMi vuu di-r FlücUc iutfrct'ptirtcn Stückb der t{i'rad«»l,iuie (x^-r",
3/^^'); Wtcichufii wir uicst: Ordlnute mit s, und la»>eD di« Ae-
ceDt« von ^r*, y wt-g. si> erbnllvu wir

a-\Jh-x-i- Cy-i- -<"= Iti)

Diene (älpicliuo^ erkennen wir, indem wir o*. y und s «N rnränilei-
licli hclrne^liieu, als eine snlclie, w«lcbe diejcnit^e IKi>nie(r<il^l>»pr
der Fläclie P nusd rückt, welcli« ull« der Acli^e der s iiiimlletr
Kebncn halbirt. Auf gleicbc Weise erbalten wir aus 1*2) die
tileiciiUDg

2

.=_(-..^|,^|)

oder, wcau wir

t±Z: —

= y s«txen und die Acceutc wcg'Iasseo,

DieM> Gleicbuntc drückt aber diejenige Diaaelrolebeoc aus, weicht
alle mit der Arlise der y [lurallefen ^ebucu balbtrt.

Wenn wir in der allgemeinen Gleithun^

+ aC"jr-H/> = 1)1

der KiSchpn dps iwt'iten Crades zuerst ar nnd y. «Udann ar und vi
und xulrtut y und .'i^ gleirti Null setzen, so erbiiltfu wir dio druf
nirifbuDi^eD

Diese (iteicliun^rn werden uns din Durcbschnitlspunkte der^
Coi>rdiu;iieuachsuu mit der FiÜcbc F (welche wieder durch Jil
Gletcbung t) auBgcdräckt werden soll) geben; beieeicbneB wir noa-]

341

lieh rP!ip(>cthT mit V, >' ; */. y"; j.-\ .t" dii- Wurivln ilies«r Glei-
rhuugi-u, tu iitl hrktinnr, tlkss

V,"=ZI;y'y = ^t a^.^' = | 3)

ist; tieKcicbneti wir den Atirang dca CncirtlinalPtiAVstcins mit O, Alt
Durrimclitiill»pMnk*c der Achüeii der », der y iiiiJ dfr .r mit Ar.r
FUdje F, r«s|»f!clivr dtin.ii Jt, JV; <i, ft'; P, P"; hu crliullvu wir

FUlircii wir den so clie« gcfuudenen Werlli des C'Ueflici<>iit«ii /f
iD dpm in §, I. 14) gcfuiideitcti Wcrlb von -ji '-'"*■> »" lickonimeu wir

^ — ^r:^,vu.ov '*'

AuB 4* !• 1<>) f<>'?^ aucli, duss
., _(£y-.0R.OR

l

■2nn .OH-OH *>

Da iu der allgcmeinea Gletcliiiiig 1) dtr Wertfa roa B und C'Aev

i;leii-liu lilcilit, wie wir ancli dea CoordinateaaDfiiiig (ß oiit lli-ibc-
laltiitiG^ dr.r gUrictien Avhitf nriclitung v(>rlc){i;ii oiugcii, k<> lileibt der
<tuulicut tli^r l'raduclfr ftfi-, OH' und Ofi . ftfi\ wie niicli jitR«r
der l»r»diicie OH. OK uiid Ol*. OI^ derselbo für alle licliebi(?eii
PuBklc, durch die wir oucli bcülimmtt'r Aclisenriilitung drei gerade

Linicrii \p^e.o. Da «her aucli der Quiilienl ~ r-^-^— ' für j*dc mit

BiHi «elbst parallele l-nge den Kbeuen Z'K'W Z"A' 1" (Taf. IV.
Fig. !•) iK-Nl-iiulit; bleibt, %o bleibeu vn aiicb ituti-r der Itedingiiitf^
der [iiiriillelen Acbi^oiirtcbtURg die in I>) und 6) i^et'undciH-u Aus.
drücke l'iir dpti i'fli'tficienten A'. DIr (?oBsfructioii des Aiisdriicka
riin // ist in dem l-'ulle, djiitM die AcIjs« der s der KlMche wirklich
hoffegnct, Ititmer möglich. In Orinjeiii^en falle aber, wenn die^e
AcDBe der Plücko /' nickt bugeguet, gictit die Gluicliung

imnginüre Wurzel», deren I'radiict jedoch immer re6ll iül. Int
ersten Falle, wen» näinlich die Achse der n der Flüebe begegnet,
i«t /> paetitiv, wenn die beiden DurchäcbDilttpunkte A, /t' auf
demelhrn Seite dei> ('nrtrdiiinlen-ADFiings liegen, uegaliv kingegeu
im cntgegeugcfictzten Fülle. Für das tillipsuid. dns cinllicilige Hv-
licrbuloid und beido Faraboloide ist also D [loi^itiT odrr Deg<itiv
leDMchdeui der CuurdiiuiletiEiut'ung uiiKserhalb uder innerhalb der
Vlücbr gennmmen wird. Heim xweitlieiligen Hj^ierbtilnid ist, Tvontl
die .Aeh^e der s beide Fläclu'ntbcilc triflt und der l'oordinatPDan-
fisng O innerhalb de» einen liegt, /> pnsitiv; liegt d^r Punkt
über zwischcu beiden Fliichculh«ilen , t>n . Ut /> nnguliv; trißt
die AeliEC der a nur einen FliicIieDlIieil und liegt der L'uerdinaten-
nnl'ang ausiterhslb desselben, *» isl Iß poMitiv, hegt er aber iuoer-
Italb, ^» iit /> negativ. Mas Zeicheu von it niid (' liitugt diiv^m
nh, ob die Ffoductc Olt.OH' uud OÜ. OH der auf den t-'oordi-

nuteiiacIiseD ÖZ, OY ah^escboiUvncu Stücke, t-lienso di«! Produett
O/t. 0/f und OJ*. Oy'der auf den Aclis«u il*T a und dnr .v »I»-
gPHcliuilteiivn Stücke von )(letclii>m oder uut;]eictiPin 7f>iclt«ii ^iid.
iSol-icn wir io il«r alli(era«ineii Gleicliuucr l) H^ C^\, so
wird On. 0R;^=0Q. nfUr^OP, OP'. Id dieKcnt speciellM
F«lle ist die Klaclie F ein« Kug-cl.

♦.3.

ir Restimiiiung der Coefficienten jf. It", C" bridirnfm wir
i-dcr der lilcicbangcii '2) dfs vorigen Pnrai^rapiicn. Aus der

DIIÜ wit

ersten

ist, vcuu s' und V die Wurzeln derselben bczeicliiien,

' + «" = — 2^, bIbo ^"s— ^-=^ oder ^ = '

OR-i-OR

2 "*■ 2 *

Bezeichnen wir mit M die Milte den SegmenU /{/f, su ist

A" = ^OfH 1)

Aue den beiden anderen Gleicliungen 3} lu ^ 2 erbnlten vir

Ä —

-c= T

V)

Bezeichnen wir mit :V und M" die Mitten der Segnente QQ"
und TV*', SD erliiilten wir zatulge der Gleiciiungen 4) de» Torigen
I*aragra[ilieu:

j*._ Oar.OR.OR ,. ^„ Otr.QR.OR -.

oq.oo:

OF.OP

Wir kiinncn aisu in dem falle, dkss die Achsen der x, j' und
jr die Flaclie /' wirklich schneiden, die Wertb« von -/■', n uai
C" leicbt cou8truir«u. A'' ist namlieh gleich dem aiit cnlgegün-
gettelzIeD Zeichen genommenen Abstünde der Mitte der auf d«r
Äcbäc der a vou der riärJie ubgraclinittencn Cliurdc. In demjeni-
gen Falle aber, wo die Acbtcn der FUcbe nicbt begegnen , uiüs^ea
wir dicMc Coeflicienten auf andere Weise bestimmen. Wir wollen
dicAC Roslimmung zuerst bei dt'm Tu cAici eilten .V" vornehmen. Oe-
bruiicbcn wir bierzu die in $. ). IC) gefundene Gleichung derjeni-
gen Diametralehene, die alle der Aehae der x parallele Chorden
oalbirt, nämlich die Gleicbunir:

A H- Ä-.* -t- /:'y + A" =

.*)

in welcher A" die Ordinate des DurdiBcliiiittapunkts dieser Glicne mit
^Kt Aclif«: der % ist. Jedoch mit vnigcgeu gesetzte« Zeichen geuoiR-
Zi'-'ien wir dalier irgend drei mit der Achspi der z panillele
der Flächen abstimmt diejeaige Ebrue, wrlrlie durch die drei Halbi-
und zuletzt y ntier drei Seimen geht, auf der Achse der s eine Ordl-
Gloichungen "'ist. Die Caordinoten dcrDurch^ichnittspunktc der

«*+2.^"%-^jC/^=0; ^v'D anderen CoordinatenachBen sind — ^'ud.

Diese di-Ichungrn 5|eichuDgen
CoordiiKilenucliüen mit il
Gleichung I) ausgedrückt ^- 6*'«+ /f^O 5)

343

Cr -I- -/y -t- ir» + C = tij

rfer l>fi(leti undtrcn Diamctral^bpnen, «■cicirf rei)|>ective die mit der
Arlisp dpr y und der x [iiiralloipo fiictiricii lialliiren. <o ßndeii wir
ßir dil^ Cunrditialcii der I>tirclisc)initts|itinl(lc der Elinnc 5) mit den
Coordiuateoacbiteii der s, y uod jd:

_ ^ _ B_ _ B^

• *' — c *J' — "~ Ä» ■^' — "~"7»

ilod für Jen« der Ebcno 6} mit den g'leictien Acliseo:

_ ^ _ £1 £1

^■z — B^ Vt — ^» *"» — C

Bczeirlincn wir mit C, B uod A die DurcbschDillRpunkle drr
Diainetralcbcne )) mit den Acliscii iler s. y und ^, i>b(?iiso mit C\
B\ .V und 6'", Zf", .i'' die DurcLscLnittspuukli! der Ebenen 5J und
6) mit jeneD Achsvo, so haben wir:

0C'=-^, OB—-^, 0J==-^-.

... . , . , ^r OB r oi ....

Aus dieitcu inlgl iiber: -^ =^ ^p,, t^ = «T^- ""»bin

Ä" =

ov.ov

OB

6"' =

oc.ov

OJ

, A"=—OC...'l)

(Vir buben aUo »llea CovftJcietiteti ilire gcuiiifilriHclic ttedeutiing ge-
scbi^n; zur deuLÜcbrru L'ebersicbt wollen wir dirüe mit ibrni 7U-
kütaiiicDdcii Wcrilicu bier io der gleicbcu Otduoug. ivie sie gofun-
Akü n'urdcn, unscbliosscii:

\»=^^^^^^1p^ (§.1.8)<,dür«uch «'=-^^(f I.I5)t...8)

€•=■

m"ji'-\-m.,fr,

^f^' (f. 1. 11) .d.p .»el, C=-^^(».1.15)|...«)

« = Miw ■■ «^- ")•■')> c= '^^(S. 2. 1) •■ 12;

D=On. o/t' ff 2. 4) . . . 13)
Wenn die FUche f von den Acbaen gclniiren wird; so ist

OJ/' .OR.OK

j£'=—OM (§. 3. I) . . 14; Ä"=.

C"= —

041. Wt
OM' .Olt.OK

oit.ou:

($.3.2).. 15);
(4.3.3).. Iti»

344

IVono (Ue FUoke /' vvu den Aclwen nicht getroflen wird; m i»t

J" = — #C($ 3. 7)..I7; 3" =

ov.oc

08

<*.3.7)..18);

C^—~*^-^^^{%.X1).. 19^

0./

4.

Wir irnllRti, lioviir wir writi-ra Anwcndunt^ca. veu ilicjicn Bc-
sitramunc;«^n iniicTti^n, tiueh anlcrNlicheti , wclcrlip fifeorarlriKcbe DfO-
tuiiEf ili? iibrii^ii l'aefliciriiien zulassen, ^fena RJuer oilvr nielmrc
in d«r «llg'ffinümuti 1*lcicbung

»' -f- ßy* 7*T O' -h a.iay-»- aÄ'.rs + aC'jpi -*- l.fa. H- 2/ry

der FlÜfliAn des zweiten Grnilo!) Null w«T<len.

Wir sclico aus ^.,1. 8}, £.3. 4) und ^.3. 1). dass keiner der
Cocflicieiitcn /T, ^"j Ä, C, J} und ^^ v«n den übrigt-n nbhüBgig
ist, mithin kuon viticr odf^r ttiolirere dCr ührii^-u CocÜicitotuu .-i^
iP', C" zugleich Null werden, uline dflüü die t^eunx'tri^cbi; Uedeu-
tung; iler erstem eine AeoileruDE erlüiilct, \V(ilil tibvr prkenneo
wir utii* §. 1. \\) uiiil §. ;i. 1), d«*B :./• und H' von //, fr hin-
gci^^p vou C uljLiangig ist. und diis;* fiir Ä^O und f:^0 in
ällg'ciueinen nach .i*, /f", C xii NaII \verdcD, in welchi-m Pnlle
aueh die Fliirlie /* niemuU ein l%lli|ksuid sein kinin, wdclifa bcLad
diiruus erhellet, dtiü& die (lIisichunL;' &y> -f-'i/fy-t- /' = 0, w«no
Ä = ist, in 2/f'y -4- /? =T Qbergelit, wclcbe nur eine einzig,
aber wipc reelle Wnnel bat, weaUiill» die Tran-Yursfcle Of^fi Meiler
eine Tuiigenfe an die Pliicliu s«io^ iiocb di»Kelbe in zwei l^tiriktea
trelTeo konii, Wuh doL-It notliweadtg Stutt tiudfn niüsslo, wenn ili«
FlÜrhe /' ein tJÜpseid wäre und der Pnnkr O niclir nnV der nii»r-
flSelie di-Säelb^R lä^e» ijFetcbe.i wir aber bis jetzt nucb vuruMssresctzt
haben. Ist aber uui-b /J^O, »» fnlk{l au» $. 3 13), du»s einer
der Füctoren Vit o<Jer fJIt pleieJi Null ist, dies kuun aber ntt
dutiu Sldll linden, nenn der Cuurdiniilenatifung O auf der Fliirbc /*
Kelbst lie^i, in wetcbvm 1'ulle aber utsdunn sowobi einer der Fdctorcn
Off iKJfr ÖQ', wie auch Ol* oder öy, rii Null werden nmss, da-
durch alsdann /f, C\ A\ B\ C" nul>esiiu>inl werden. Dirjte Coef*
ficienteu miistten in diesem Pul] wie in $. 3. mittelst der fliainelml-
ebenen \) 5j 0) beKtiniml werden. Am gleicben Orte biibeu wir gr

nnd daas 0^ = — -fr ist, worai«

faodCB, dass /f"=:
OC.OC'

^^^ , UUU U-« «^- _ — ^

A^ Q ' H ~ n ~f "^''^- ^'f bemerken ferner noch, dass, nenn
nnd C zu>;lcich ne^^ativ sind, ulüdiinn eines der Segmente ftH oder
OH in Heziebung nuC iliis untleru eine entif-e^epgesetzte RicbiuD)^
k«beu mu6ti; di» kann aber bei dem Klli|isuid nur dann statlliodei,
wenn der Punkt (f iuuerltalb der Flik-be liegt, in diesem Fülle ha-
ben aber aucb die Segmeute 0J\ OP" wie auch OQ und fff/ eiil-
gegengeselAle Kiclilung, jiIbo «ind die Pruduete OJ*. OP' , OQ . OUy
ao wie duH l'rodm-t OH . OH negativ, falglicb die Huotiealea

oh.oh: oR.of<; .. . ,. j ,. . ^

7 iö fitr ' ffi*" ' itP " P**""""* woraus hervorgeiit. das« bei dem EIlip-
lioid die Coeftiuiente» H und V immer [losiliv sein müssCD. Uui

345

I

aof {3^eiclie Art können wir seifen, dnss, wrnn x* dn« Vorzciclicu
-f- bat, ilie licidpu t'uefilif-ieuICD li unil V briiii zweitfapiliiren Hy-

fivrboluid zugleicli nsgaliv seio müssen, büiiD eiotlicili^n H}-|>rrbn-
DiU iibwr nur viner von boiileii.

Ut ferner .r' = 0, Ä"=0, «T'rrO, so folgt «erb 4. 2. 3)

Dnd «. 3. n, d««s ^ = 0, ?^ = 0, ^^' = 0. «U«

0/i = — 0/f, Ofi^=—0(l, 0/»= — ÖT*- ist ; Jie PuDklc /J
iiud/f; 0, V; /*» y liefen iilso nicbt nur uuf enli^egcugotelztcn
i^eitvu des PudMcs ft, stiudcrti aucb {(Icicb weit ri'n dfinselbi^n
entfernt, aucb erhellet, daai der Funkt &, ncil kein beüuiidereK
l'ooiiIiiiateuoTsti-Di bL-rürkaichtJ^t wurde, der Mittelpuukt der Fläcbu
floin muss. Wir P-rliallKn aucli ri«cb <fer xu Kuile rou ^. 3. ceira-

befl«n TnbcHe D = —Oli\ * = ^= C~^^- Hlr sebeo

sckuu aus dvm ho cbcu A abgeben cit, dasa, wenn uuf diusi^in Wei2;D
die Discussion der Fläclieu vurEeDuuimeu wiirdci dieselbe weit n'u-
Mcliau liebere Resultate uIb die bisher gefundeneu liefern KÜrde.

$ 5.

A08 den nm Ende von $. 3. aoj;rgpbcDcn CoeflfineDtevtrertben
lassen Hirb viele merkwürdige tigenaeunftea der Flachen des zneU
(cu (Vrudrit dutJuriren.

Wir haben nauilicb für jedea beliebige Coardiuatcus^alem ge-
funden, dass

B^

OR.OR

C=

OH. OK

0H0*£^ "— OP-OP"
Verleji^en vir den ConrdiDatcnanffing O nncb irgend einen nn.
dem beliebigen Punkt 0, der Achse der s oder der Linie WÄ/if,
und sieben durch O, mit den vorigen Aehisen der .v und y re-
specdve die parntlelcn 0,P,P,', 0,Q,^,', welche die Flache /^ eben-
ftillB in den reetleo oder imaginären tunkten P,, P/; <2ii fi,' Iref*
fen, HO lolt(t HUR der Bemerkung, dass die Ciiefftcienlen ß und C
durch eine poraltele VemcbicbuDg dcü Coordinatensyslcns durchaas
keine Veränderuui^ erleiden, das» ebenfalls

„_ 0./t. O./C ^ 0.R . OJC

OH..o,qP OJ'.o.p;'

Setzen wir dtn Wcrtlie von B, wie aucb die von C «inoudcr
gleich, so erbiilteu wir: '

OH.OK.Ofl.O.fi; OR.OR,, 0,P..O.P: . ..

on.ou .o.R.oj<: — *' op.op.ojt.ojc^^*-'^'

Verlegen wir ferner den Conrdiuntennnfang in einen ganz beliebigen
Ort V, und nehmen ein ganz belietii^es C^ordinHlenavüieai, deseiCD
Aebseii 0^/iy', O^fi^', O^P^ mit jenen dts vurbergebeuduu Sy-
stens darrhuus in kciuer Beziehung »teben, bezeicbnen eodlicb mit
jffi, C\ die Coeflicienlen von y^ und x'' in df^r aligemetBen ftlni-
chutig der Fläcbe J^ (wo jedoch B^ und <^, ganz andere Wertbe
linhen nU ß und C), so ist ebenfnila nach ^. 'i. 11). 12)
n — 0^f*-( *^R' r — öjÄ^^öiÄ/

' "~~ 00 .0 0'' — O P .0 /*»''

Ka bezeichnen ä,,"ä''*; /^.'tfj'i A,^I' die l)urcbM:bnitt»|.unhle

der neuen Achsen />,/*,', O^fi,', O-^P,' der s, */ und a.- mit der

Fläche /'. \ erlegen wir jetzt den Courdiuatenanftmg O, nach irgend

einem aiuler» Punkt ft^ der Acfase O^B^' der A, und ziehen O^ii^',

L

346

ö.i*, rcsnertivt parallfl mit den Arlisen f^»(Vi» O^f^ Aet y u

X des näcliatvorliprpf^hrimirn roordinolcnsi-stcmi, an iinlicn wir, w^iil
bei dicBiT Courdinaieo-VcraudcruDg: die Wertbe von //, und C, uo-
verliiidcrt bkibco, weau Ut- <^'*> ^x* ^* "^'^ DurcIiscbaiUB[»UDk.(e.
der Deuvn Acliseii d«r y und X mit der Klarbe j^ bczeicba«D, oncb
dea uleicbeu Kuiuurm:

^> = 7f:,

C\:=

Setzen wir diese Wcrili« von Ä, und C\ jeaco Tortiin gcfuo-
detien ffleich, ho ist:

<?,A. ■<?,/;■, ■fl,g../?.g ,_ )

O,X,.O,K,.0,P,,0,F, _ i ^'

Setzen wir dieses \crfabreii, wodorcü wir die GleicbuDften-l)
Bud •) erlialten liftlieti, weiter Tort, uad bezelclmeu die Uurclt.
schntltjipuoktc der Flaclie F ta'it den «ufeiaüDdcrfulgcudfo Acb^en
der %■, y und x respectirc mit

^j' ^s» ■^»' Ä'»t • ■ • * ■ Ä^i Ä'kJ
«„ «*„ ö., ö*,, ö„ ff,, «„+„ ffj^+.j

■''4) ^*> A» -'*'») ^€) ^o> -fi«-*.!) /*i»+i;

M erballea wir:

0,«. . ^'.'Z*. o,H, . o.R^ — ' • »./»^ . c./'. . ö,Ä, . 0,/r, — ' i ^

O,ft..0,R-..O,^,.O,Q, _ 0,K. 0,/C, . 0,1*, ,o,p; _.\ ..
«*,«. . ö,«-. . 0,Ä, . Ö.Ä-, ~- ' ' Ö.^, . o.p-, . 0,R, , 0,Xt — M *^

OinRn . OinR'n . tft«-l-l%n-«-l ■ ^?m-l-l ^JiM-l

= ll

Oim/^x . öi^Ä'n . 02n-ni'3,i+l - fljn+l/'jm-l

5)

= 1

Ans der Multiplicatiou der Gleichungen 1) 2) ... 5} erlialtcn wir:
l OR.OK. O^R, ■ O^K, . 0,/t^ . O^R^ ...... (h>,R^ . thj,fC>i t '_i

\o,R.0,R.O^R^.0,R:,.O,R,.Ö^K, Oi^xRH.<h^iR„

o,p, , o,p-, . ö.«, . o,u:, . Ä./', . ö,/', . ö.e, . 0,«-, ..

.0)

Hätten wir dio mit ungeraden Stellenzabk-n veräctienen Ad-

f&ngspuukle der CoordinKteu uuf den Linien Off. O^ff,, O^ff^

oder auch auf 0P\ O^P*^, Ö«-/** genonmen, so wiirdea

wir äliuliclie (il«ivliut>g;en, wie die iu 6J erlialleu buben.

Sind die säinnillicliou Acbsen der a cemlicb OK, 0,jRft
'^s^ii>*<<>- <*» K^i^ogcn, dass sie die Fläche ^ berÜbreUi u

347

hbei wir ORss. OR^ 0^R=. O.JÜ, 0,A, = 0^»„ u. ■. w.

ud die GisicboBg 6. geht ia folgende aber:

348

NeliiRfn wir aber ilte lieiden nndern AcliiPn jetlrnmal latiffircwlt

sn (Ins» aImu Ötf, Ö,«',. «?,tf, ; Ö/*, W,/*-,. O^V^ I

die nScbe F beiühreu, »w wird 0Qz==OQ:, tt,f^, = 0,(i„

und wir BrtialtfD ans 6) fol^CDde GloicLuDg:

O^R.O,K,0,K, .0,K,.O^R,.O^R^ . . . OiM+tRn . (hn-^iR^ — / g.

""<»,/*.«',«. O,/*, .0,«, -O,/'» .0,«,..,.«%»+,/>a„+i.Oi.rt^«ii,+il

Siuil cutllicli in jedem Coordinateas^Bteni «llc drei Aebseu tau-j
girenil, so ist am (Jj

t <?A ■ 0,R, . 0,R, ObJg» ] '

'»I

Verrtolfaclien wir die üleicbuugeii der uemlicbeu Nuunern
1, i, . . .^, jetlocli BUj doBB die recbbB und die link« besuiiderc
Producte bilden, hu erbaltcu wir:

...IJ)

ddiren wir endlicli <Ue Gleich uDgen I, 2, . . . 5 iu der Denliclien
OrdouDir, so ist:

X ö

^:-

+

4." ^•

T 2.

§1

•0 *

~ E3

e
p

+ + £-.

» w

Sir« Ä «

^1* j*i "f +

t %

f

II

v

350

LBeTt i Ol Dl a D g der g:eoiiivlriscbeii Bedeutung tler Cnef-

ficif^oleii ticr (ileicliuiig der Klsclieii deu dril;t«n

Grodcti.

h «. !.

Dr der Gan^, den wir bei diesen BeslimmnngeB einschlagen,
tiftera mit jeiinm ilf!S in I. bfarlicilrten (^e^pnnlnndrs üliereinHlinnt,
so werden wir iiu» iu den betrclf^ndeu Füllen, u» Wicderliulungen
SU Termeiden, nuf denselben beziehen. Der nltgemeiDea Gleicbang

-^nj"x -+- »/»"^r-»- 3 C>+ IT' ,

der riüclicn des drillen Grndcs geben wir folgcade zu noMrai
Zwecke dienlicbe Formen:

= 0...l)

= «>

/y

ff"';

^=o..

=

-»-'ff-* -*-3^-*+-s-i

_._^ -^^ _^^ i

Wir haben biehei .wie iu I. kein besonderes CoordiDstM*
benickKichtiget.

Wenden wir das gleicbe Verfahren wie in I. $. I. na, und b«-
leif^hucn die Wurzeln der Bua 2) durcb die auf einauder folgenden
Substilutinnen von .r', jf"; .r", j^; ä-', y" atnit .ar, y eolstiMideaea
GIeichun^,'cn refi|rf>clive mit «\, s',, V, ; »",,»%,»",; *"",,»**,.«'",!
60 erhulten wir nacb der Tbeurie der Gleichungen dca driUea
tCrades :

I

351

»', -♦-*',-»-*', =-3(^y'-t. «jr-H-ifJ ....... .. 5) '

»'';-*-»",-HV',=-3(.V-|-Z»^H--i') 6)

»*, +»*% -!-»■", =-3(.V+ö-«'H-^ 7)

Aas dicjHiu ut: •

n— *"i— *'■+-'»— »'» + '^*—*'i Ol

■" — J(ar ■ ~;r ) .-...»)

Stjr -y) ^^

Bet der Constmction dieser beiden CoefGcicDteD-UVrtbe «er*
faliren wir gime gleich wie bei joner der Werlbc von Jf, C in I.

^. 1. Bezcicbiien wir ilio DurcliBckDitt8)iuiiktc der mit der Aobse
dür s |inral)cleii Liuien (^ = .i'', y = y), (ar^ j/', t/^ t/),
f^ = ^-', </=y"). die wir T^X', y"X". ^"X'* (Taf. \\.V\^. 2.)
nennen wollen, und iler durcb die (•leicliuno' 1) liUägcdrücklcu
Fläche F, respective mit M\, /W'„ iV', ; jW",, J/"„ ,ff", ; yl/'-,,
j*/'",, 4*/'",; »od denken iina vnn M\, 3/\, /U\ die Liniea
iH\i\",, 3/',A",, ^liV", jiariiliel mit der Aebac der ^ bis an die
Linie P"/A und ,tf',A';"„ jV',A"',. .V\iV", pBralle] mit der
Ach»ie der y bin an die Liuie /"'X'" gexogeu, su erhalten wir, wie
am obeo oogeg^beacii Orte:

/j_ iy.A"-t-jif,y,-HJr.>-

^ — "" ip-jy '"/

^ — ~ sFl^^ "f

Durcb ein äbnlicbes Vcrfulircn mit den Gleicbungen 3J und 4) er-
bollcn wir:

■ JT iw",«", +OT"irr"i-f-»t'%H", ,„

ß—~ Zpp- '-'

«•__ tn~\n'', -|-OT%ff",-Hw"'.»"'t ,«,

*— W^ "J

^ — f*'.*'"i-f-^''»y",-t-/*".'^i ...

«,■ — 3if^ 1 *^'

In diesen Ausdrücken bedeuten *»",, «''„öi",, «", n. s. w. in
Bezieliung auf die Fläcbc /\ und die Linien {a:^.-^, x=V);
(* = ^-"; » = Vj; (^r^:.!/, ,=,"); (y = y'. 3=V)i (y=/,
Ä = »'): (y=;y', 5 = »"); die wir respcctivc mit p^t^ it'f'^ ff"f
T^V. jr"i", 7ir"'Ä"' bezeielitien wullen (diese Linien sind alle lo der
Fignr iingezeig't, die Punkte «■■',,...(«',.../«"'„ wi« »lu-ii die
Ijinie im^,m, u. s. w. sind weggelassen) das Gleiche, was iW,, JW",,
71/",, A", u. 8. w. in ßn7.irliung auf die Flache F^ und die l^inien
J*'L\ P^L", P"iJ" büdeulüH. .

Ganz auf gleit-be Art wie in I. $. 1. 15. kännen wir Tür be-
sundere Falle die in Ut, 11,..., 15) gefundenen Werlhe vun D^
A . . . , u. 0. w. nocli vereiiifacbeo, ko dt)Kx sie dio Formen

SS3

K _ i»"%w",4-«w",)f', Ä __ wi"'tw'"-i-t- «»'",«", . -ju ■,

crhalteu.

«.2.

8etz«n wir zuerst in der Clcicliting 2) a; und y\ alsiIanii~iB^
3) ^ iiDiJ zi und eudlicli in -)) y und a, g-leicli Null, so erlinlua
vir fulg'CDdc blcicliuiigi'u:

a'H-3./'s'-+-3.^'ii + />* = 1)

2/?* 2/^' /r*

^'H-^^'H-^* + ^ = 3)

. Bezekhnca wir respertive die Wutk^Id di^arr Glctrlinn^n Hl
»II *», »i; y., y,. y.; ^i, -P,. *,; «» >8t lickunntlich;

— »,»,«, = />'''} — ^,^,3^, = ^; — jr,.rjJ?, = -^;

oder wem^ vir, wie frfibcr« den Coordiootcn. Anfang mit O, die'
Durrharlinitf-inankic der Arh»«n der », y nod a- mit der Fläche P\
Wzitlilich durch Ä, Ä, /T; ö, Ö', &"5 i? /*', /" bczcicbnCD,
so ist:

/>*=— ÖÄ ÖÄ'. O/?' ; ^5^— OQ.OQ.Oit; ^^=— ÖP. Ö7*. <> J*";

voraus vic KOgleicli:

crlialtcD. Dil wir liicbei kein >>f.»nndi-re!t Coiirdiuuteu-Systcm u
berücksichtigen brauchen, so ucbnicn wir diiifielbe so an, das« et
mil jeitcin in f. 1. eulwed^r tias )(leictie, oder doch mit ihm |>nrid-
le) ist; atsdiinn werden wir miltf^lnl der SuhHtituiion der soehCB
ecfurdpricn Wcrilic von ß und f in den fileichnngen 13» 13,., IS
folgende CourdinaLen-Wcrlhc erlialtcu:

P (»i"i)tf",+»i",«'\H-™"»"".) ■ Oft- OfC .OK' tv

~ ip"p' - 0(1 . o« . «v«" ^

p fW'iw'". ^ w-,«' ', -nw' " ,«/",) .ojc.o/c. O/r ,

* ~~ »A y .oü-oii-.o^' "'

f,_ tf"y. ■+-f*'\-'",-hf-'",'^".). oR.otf: . OR' „v

Die ubgekUrvten Wertfie dieser Gaordiosten sind aus (. I, 16.
cbeniio zu uestimmeo.

Wir (fpiftncfpii zur Bcslimmunjr der Cucfficienicn yi', Ä', ^io-
(lein nir tiemrtrkrii, Uaea bei ücr ^l«iclieu DczeicbnuDg wie in f. 'i.
hUH drn ÖlBirliMUgcn l, 3, 3 jenes Pnr«grn|»li*'u folgl, (lass:

j, -.-t-Sj-l-g. £ _ _yi_±^V±X* ^ _£l±*i±£i

^ — — S *Ä — S '6'"~ 3

int, und wenn wir in diese AuBilriick*> die WerlLe von »,, *,, x,,
y, und vou ß und C einfülircn. so erhallen wir ulBilann:

-* — S^ ^' — 3 0« . OV . Off "

Nun Ul iihRP, wena :ille drei Wurzeln der Glcicliunir «, 2. ä)
.. . , H-i-OK-\~OfC ,,_^ KR-^RtC-
postliv sind, = =^ui\-i ^ > ""w wenn wir

itL = ^^ Bleich dem dritten Theile der Sumine der Ab-

ktüoilr der beiden letzit^n nurch8i:hait(8|iuiik(e /i' und H" mm er-
sten R iriHctiiru, so ist </A die bnlfeniuniT Avs. uuf die eben nnp^e-
ifBbeii»^ IV eise lipstimniltio l'unktes Z- vom Courdiuatenanfiingc, fSiad
tV iiMÜ .V »oV di-n Acliscn der y und a- in BiiiHiong' auf die
Punkte ft, V Vi y*. /', P" ebenso bp^timmt «je /, in (leziebung-
a«£ die Punkte Jt, A\ H''\ so babcn wir aarb xnf.ilge 1):

^_ nt'^ R'^ OHf.OKqK.OfC ,.,_ OX.OR.OK.OK \ ^,
■* — — "^ J. » — — 0*1. 0*1. OT ' *^ — OP.OP.OP- 1 ^J

Ans den nrnitirben Otciehuneen $. 2. l. "2, 3, folgt uler aucli
noch, dass;

5,s, -f-=,=, .f-s.,3, ^ y.yii-f-ff,y,+v,y .

t^ , XxXi + .r,J^ ,+Xj.r,

C~ S

Ist. Führen wir stHtt ;5,, »,, u- m. w., wie «iirb sUitt /f und C ilire
MVrtbr in diem- Ausdrücke ein, »o erbnlten wir:

*) Dflf oli*n HTigeirpTiiTi« Werth von J' Iiiin;!! jj^dorh notli auf vorscbifi-
dfiie Art -von iltm Vorzfirhpn ikr Wurwln s,, s, nnil s, nb. nemlicb
^ kann in lie zielt ung auf lüi^^üi' Vnrtcii hen nwcli folgende Werrlie bo-
V-„. Si —»> + ». '^i.-h.r-f .~g.i — », +3i H-S,

— - , (— - , — - --, —, von vrtlchen

jffijocb ilie drei leutern nur ilns Enig't^gcngr.vficzte ili^r rlrei erstem sind;
für iliese drei Jirnlen wir auf gleich« Art ww \\t\ Texte te.-ijjecLJTe:

Uff ■ ttR"
*!'=— t— ÖA-4- s i; ganz auf gleiche Art [aasen sieb »ncfa

noeh für Jeden der Coefficieaten B", C" drei veiccbiouirn« Wtrlbe
linüvn.

TJMttL 23

■ I

S64

A=~ 1— ■ ,

t, _ WP.OP',OF' • "^' "*^- ""

«.4.
Cm geometriicfae AuBdräoke für die, vier noch utibestimoitea
CoefBcienleü F, E\ D^ P' zu erfa&lten, kehren wir zu der Glei-
chnn^ $. 1. 2, zarlick, und setzea ia jene nacheinander a:\ y;
£c', i/'\ xc", y\ ^", y'; be«eiclinen alnlanQ die Wurzeln der resol-
.tirendeo Gleicliunren respective Bit s'„ «',, V. ; «",, s",, a",;
a'",, «'"a, *'",,* »"',, »"'s, *"',; so hibea wir zufolge der tiigen-
schaftefl der cubüchen Gleichungen: *

+ /"j/ H- £ >' + ^) 1)

V',«*'. -t- «",»", + «",»", = 3(^'» H- F^-jf + C**

»"'.»'%+*'",»'",-♦-«'",«'", =3(^'« H-/'^y+ <?^"«

4-ir^S/^+^^" + ^') 3)

*"'i»'*'a + «''i«"". + »'%*'% = 3(^"» -\-Fx'y' + e^"'

+ /'y''-h£'ir"-+-^') 4)

Snbtrabiren wir die erste tod der zweiten, und dividirea deo Rest
durch y — y', so ist

S56

•l s

I °

a
14

I „

+ R

+

M
•>>

.^

W

»^

+

1 >

CO

B

9
P .

O.
A

■I

s?

ff

B

3

•^
H

+

3-

B
S

-' i

+
+

+

+

+
+

+

33'

35ß

Ek stnil fibrr uncli atisrrcr iii f. 1. nDcreotiaimeneo Bvzeicbnun;
..«'.. J»\, Ji-,; M-„ M\, M ,; jV"' ,. ." „ fli ,; W".,
jV*^, Jt'* ^ tlif I)ur<-Ii<irltnitr)ii(iuul>.l4^ ilrr FIrcIii- ^ ud«I cirr mit der,
Atlse drr J (.«rulklm Kioit-n /»■//', /»"/,", 7»""A"', P"JJ^, g*{
dosa «Uo 5', = P'ifi't, »'3 = t*" ,M\ u. a. w

wird:

Durcli ditt Kinfiiliraoi; ilirser I.inira in die Icixtc (ileiehuBgrj

F=

+/»"j/"../'"';W",-j**'^',^'.tf'',.i»'j»r,j".ir,+/»',i/-,.rar,

Constriiiren wir, um di<>hen Auednick kürzer diirzuHtrllfiii]
awiscfien 7"*;»/", und J">,fJ'\, /*•■.»/', im.] /»"'.»■ ,. y/lfJ

und JP"ßr„r'.V, und /»'jV,. /"•'J/», und/"*J/",,u.s w.

y/W' und y»',V', die mitdrrrii Pronortioinil.-n A'"', 7"*',, Ä"', T"",,
Ä'.T'-,. A*. r„ S"\T"\. A- ,T-„S\T ,. A', r„Ä'^T"■„
«•".r"'., *".r"„ A", 7\; Iiilden alsdanp uns Ä'^ T"*, und A-, r,|
ein reclitwinkligeA Drvivck, dcn^eu HyjKiti-MUSH r"^,ii\ sein soltg
elienso 4iezvicliuvn wir:

die Hypoieuused. reclilw. Dreieck» liUiA*"', 7^',u.A"', T", mit«",«",]

- - - - s'\T'\- Ä-.r, - »'',9,]
- - - - - *v.rr'-.- &--,T". - *",*'

----- - sr\T\- s\T\ - *"V

Fiilireu wir diese Hjpotenusen iu dFn obigen Wertfa von
ein, so erhalten wir:

f._ (*"•.*'a)'+(J'^^^o'-^('^^'^^>'H(«^'^^••.)^+f«^"■^^,)'+c«^•'«^^'^)'l

Wir erkennen aber bii^rin. dass die Suionie d<T drei ernlnl
Quadrate der Diagonale *"',»'% eluos rcclitwinklij^cii l'QrjilIrlnjii-
peds jr"",V,«',*"\,!^dns*i'n kiiiiteii #"",*' -j, f"',*',, ff"a». sind, gleicb '
isl, Und elicitan ii^t die Snmnii* fi«r drpi andern (^iitidrule Avm <(au-
drnle der Dingonnle «'",/", ein» rindern riTlituinkliiren Paralkliv,
)fi|ied8 *'",jf"',*",«"'a K'^^ifli! dessen Kutitcn #",*",, «'",«",, *"'t^»
sind, uud es wird diilier dirr letzte Autjdruck: zu;

F=

W

'',)'- ir-,.1-%)

(*'

'.)*

3/» i*- . p-p

9)

oder -^^ ä/i^."/»--/»*

wo *"",*"', tlie xweilc Cutbclc eineü recbtwinkligcu Dreiecks k- 1
K-irlinel , dessen ily|totenusc »" , #" ', , and dossen erste C«Uift*
*"\*", ist. Alillelät diesejt Wertlius *on F^ und dt'M in ^. 2. 5) bt-
t'iiridenen Werllis von E erkalten «"ir iii)3 der (ileirbunfr r>)^ viivi%
wir die uljcn ungcgcbcacn Uezcichnungea und llültäcoDslrucliom
■"cbraucbcn:

357

+

1

v

+

TS.

+

3-
-* I"

'S

=5

+

+

"■4

Aacb in diesem Aasdrucke kano das erste Glied des zweiten
Theils, wie in 8., einfacber dargestellt werden. Sobtrahiren wir
2. voD 4 und dividiren den Rest mit Z{a:" — ar'), so ist:

-J^-fS^y.^J•J,fy. ^*^*^l«'^-^■»'''l''^''.+^'^=''^-l«'^«"^+^'l<>+«''|g" *^

Snbstitqircp wir bierin den vorhia gefuirdenen Werth Ton F, .und
den in f. 2. 8. angegebenen Werth von &,. nmd gebcaucben die' im
Anfange dieses Paragraphen ang^ebeoen Bezeichnungen, so erhal-
ten wir wie in 10.

358

«5

+

■ft,

■

+

§

^
^

I

+

+

1

Um eodlicb den CoefificienteD ly zu bestimnen, setseD wir ii
der Gleichung §. 1. 3. uach einander a;', s^} a:", »' BtaH; ^ und »
so folgt wie oben, dBaa, weno wir mit y,, y\, y\; y'\y y\, y\
die Wurzeln der resnltireDden Gleicbungeo bezeichnen:

Diese Gleicbongen von einander subtrabirt, und dea Rest mi
3(ii7" — jt') dividirt, geben:

359

Ans dieser GleicboDg finden wir diircli Einführang der WertfaeTOfi
^1, ^„ Of Lw., feraer tod B^ It uod J*, folgendeD Werth too Di

K

3'

5

4t

3

360

D»*lic Coffficienten B, C, A, D, f^ F, G, K, ^ ihre Wentie

unverändert beilielinltrn, wuliiu wir uuch das CuurdiuatcHKyfiteni
parallel mit fticti iiellitit verrückeu, üü können wir äliuliclie KiKL>ii'
ecliaflCD der TrunKvcnialen in Uezietiung auf dir Fläcliea <ie« dritten
Gradm lierlpitcit. »vic wir es in 1. §. ."». Iii>i »Ifn Fliiclipn d<-s zweites
Grndeti ^etiiitii liabi-n; da al>cr die ll(.Ttcituii)( c^iinz die i^leiclie iitt,
wie a. a. 0., ho brechen wir Kicr diese Cmersuchiing^n nli, biti nrir
BD einem audern Orte diesen Gegenstand au stall rlicber beliuiidcln.

XLVII.

lieber BemouUlsche Zahlen und die Coef-
ticieutcu der Sekuuteureihcu.

Von_
Heim O. Sülilömilch

/ii Wi-imnr.

nie fnlg'pndpn Kntwickpluiigea lieruhcn uuf zwei wit-tiiigeii be-1
itinunteD Integralen, namlicb

J

•* cos xf*d^

^ö -\%

- (»

«e

ain xed& = V*^ (2)

dto sich im Zuanmnienliiingr* mit der l.elirn von den lit'StiinoiteD
tegralcn nebst einer .Menge nlinticlcir leiclit cntwicKf^ln lassen, dinj
muD aber ducü mittelst der beidvo Formelu vtio Fuurier

y(ir) = — / cos rßfln j <jp(0) co« .cö«/0
^(as) ^ — / sin %&iii} I y(0) aio x&tl&
leiclit verißciren kann, indem man io ersten Kall ^{O)^— —

119

und im xweitea y(0) ^ -5^ setzt. Durch die erste IntegrfttiODj

welcbe man nnch (L) und ('2) au»rübrt, gelungt man zu einem itu«*
4nickc, der wieder guns ikhnlich auisicht und sich auf gleiche WeiMJ

361

iotegriKN läiwl, mo if&u man zuicixt
komnt, wie diesa d«r Fall «ein muH«,
(2) rirbti? s«in soltcu

ein ideollscLes Resultat b«-
weuii Jie Integrale (1) und

Hultijiliciffln wir (1) mit (2), so wird auf der rechten Seile

iW^^i^

sec

V=ri^.

1

wenn man für cos x die be-

Nun giebt aber die Division

kouDtv, nucb l*oteoz«a vdu j: geordnete Reibe setxt, eine oeue
Reihe von der rona

«ec

Ä- := Jff „ H- Y^

a:'

^ 1.2.3,4-' ^••■

iro ifa. ß„ B^, . .. gewisse Zulilca sind, die eiuo ioteressaalc
Aoalgg^ie xu deo BcruoulliscbeD Zablen If,, //,, /f^, .. . beaitzeD,
welclie Irtzierp bokuuullit'b ip der Cnsecunteu reibe cioe wichtige
Rolle .•i|>ieIrR.

Sclireiten wir \^ — Ijc für ar^ so wird

»ee V/:^^: = /?, - i^ ^» + j^^

abo, wenn wir diese Reibe subslituiren

Ä?' — .

e

— * J .3

Den Neuner des Integrals wollen wir kurz mit i\' bezeichnen, und
cos ^& iu die bckuinitc Kuihe eutwickeln, wubet wir die Potenzen
TOD u:, weklie» in Bezug uuf die latcgrutiuD Cnuslante ist, vor
dkH Integralzeichen si;Ezcii kaanen. Wir erholten dann

k/o > 1.2 /i> iv "*" l.a.3.47o iv •J

= ^" Tu*' + 1.2.3.4-*'* ~

abo dardi VcrfHeicbung beider Reibc^u

oder allgemein 2/ — jjj — ^ ß^, d. 1., wenn wir den Wcrth von
A' wieder ettiäetzen,

*W"rfÖ

e

T»

= Äa,. (3)

iircb ein übnliclicx Verfahren erhalten wir nua (3) ein bestiuimtea
Integral, tvekbfis die (*2a — l)te Bcriiuullische Zahl ausdr ückt.

51ulliplicircn wir nämlich beide Seiten von 0^) «oit k — I, so
wird rechts

=^otl/— I

•TS

362

SotxcD wir xnr Abkürzung' ^„_ . :^ Hf und {i^lieo rernii^ itflr
Relation 1110;^ s ^ cut « — £ cot *2a tat TftDgenle aWr, ao i«C,

l/^^y J!/(2 sin 2j:e — sio <re)rf« = tang V-^Tr.

Kiilnickelu wir tum tang V^ — I^ In die ItekaDDle Iteilie, welcbe
die Bernniillischpu Zniticii mvolvirt, mid «lienso »in 'ijTf*^ sin x**
in di« nacli Polciizcii von d*6 forlsckreitcDden Rnihcn, so bobeo wir

^^^r^-^/r^'^-

2« — I

1.3.3

1...5

= 1/:^

2* — 1

1.2.3

uoi) vergleicLen wir beide Heilien, Glied für Glied, ao eDtsteben die
Relationen

oder, WQQD vrir fiir ßf seinen Wertli ecbreibeu,

[)iv Aimdrticke (3) Und (4) sind zwar sclio» an kicü betnerkens-
wertli, iu a« fem ftie jeden der iiitcressantcu Coeflicieuten ßp>i
ßi„-t durcb ein bestimmtes Integral, rIro in s^eachlossener Form
üursiclleu ; iatcreioiaDtcr abrr it^t fols:ende Ealwick~elun|^, durcb welche
man in einer Rclnlinn nti se hen A3» und ß-u—i selb.fl gelangt.

Wir setzen in (l) V — 1^ für ;r, Hiiilttplicireii beide ^iteo mit
% Bio a:, und Iiabeu so

y»" 2 sin J: . cos l^^^lxörf» 2 »rln J'

Zerlegen wir ferner das Produkt 2 aio jr . cos \ / — Ig^S in die
Suniine sin (1 -f- l''— 10)^ -*- sio (1 — V^^^ 10)ir, entwickeli
dann bride AuHdrücKe, iioks die beiden LSinus und rechts die Tu-
gente, in Reiben, no sind deren (2jv-^l}te ullgciaeinea Glieder

1.2..(2«

1_ /•"

rr«

3KS^ — O

1.3....(2«— I) * 2»

^^»-t.

363

uilcr, wcDO wir den NeDDer unter dem lolegniheicbeD wieder mit
h bezeicIiDco

(S)

EDtn'ickelti wir iinn die Pot^men (1 ± V'' — I 0)*"~i uacli dem
BinauUltiieorciii, wobni wir die Biuomt&lcoefficietiCen mit (2«' — !J„,
(2«-— 1),, .... liczeirlmen, bu iat unser lategrsl

oder

Aber jedes dicxer Integrale lUest sich nach (3) ansfiibrcn; und wir
erhallen nit ftüclkiiclit »uf (5)

C-I)*«

2*— I (22- _ IJ Ä3^i = (2« — lj,i?„ - l'iA — I),/f,

+ (2«— l),i?, - =fc (2» — l)i.-aÄ*_5 . (6)

eine sebr einfurlin Relation zwisclieii den nuf eioauiler fulgenden Se-
kanteucueftirieutüu, einer Bcrtioulliscbvu Zubl udJ den Uiuuiriiulcuef-
licieiileo ihres Indes.

llieMCM Kenultot ISsst sicli nocli anders schreiben.

Wenn nan nämlicb die Sekanten reihe

BPC .tr = Äa -f- Y^ ■+■

2« mol diffcrenziirt, so ist
tP" sec ^

l..-2n

rfji-

/?£»

wobei ilie naelilu Igen den Cliedfir Bocb j: eDtbulten. Alsu tur ,r^U

dii*»

= //»,; Ä = a

Kbeuo erlihk man nus der Tangenten reibe

durcb (2m — l)msliße DifTerenzittlion und für ^^U
FüfarCD wir diese Wertbc in (ä) ein, bo ist

964

XLVIII.

Üeber Caiicby's ueueste Üntersiiclningcn über
die Eutwickelii»;;: dei- ge'^ouderteu FuucLiuuea
mit einer verHnderli<!l)CD Grösse in nach den
positiven ganzen Potenzen dieser verlintlerli-
eben Grösse fortsclireitcnde convergireiide
Reiben '').

Nach deu Consid^rations uoavellos sor la thcorie des
suites et sur les lots de leur convergence von Cauch;'
in dessen ExerciccH d'Aualyse et de Physique luitthe
malique. 9e Livruisoii. Paris. ISIO, fr<-i bearbeitet
und mit crläaternden Zusätzen Termehrt

TOB

dem Herausgeber,

5. 1.

Erklärung. Von ticr (^rüsiiu .\ + ¥ \/— \ , wo X and Y
reelle uojibtiüngige oder aliiiSngige veriinderlicbe Grösseo bezeidt-
ueo solle», Kagl man, dauB sie einen vodltclieii vüllig l»e-
Hlimmlen Wertli linke, weuu die (irÖutirti Xund Kbeiile cud-
licbe völlig: beslimmte Wertli« hiiben.

[>c-r Null II iicnd lirli ituliir kommende VeränJcrUDgea
der «Inen endl ichen vnllig' bestiniinltn Wcrtb habenden Grösse

X H- i'V — 1) wo .Y und >' reelle- unabliänglgc oder abhäBgif«
rerüudorlicLc CtröatiQD beseiebueu eolleu, heuMD solclie Vcrändc*
mögen dieipr Grösse, welche der Null nDendlich oab« kommetidcn
Vrriinderiingcu der rf^ellen GrösMeti X iinil y entsjiri^cben odrl
durcb Holclic Veriindcritngen dieser Grösiion berbcigctiibrt werden.
Eine FauctioM /{.v) v\nvT bclicbig'i'n rcollcD oder imiffiaftru
GrÖHSe .T lii<)i>st für rinen gpwieiten endliciieu vüllig ht'
stimmten Wvrtb, oder in der Näbv ciues gewissüD eud-
licheii völlig besliminteD IVertbs dieser veränderlichen
GrösBe Htetiji;, wenn diesem etidlich«n vüllie beüliiauiteu Werthc
der vernnderlicbeu Grösae x ein endlicher rollig brHtiintnter IVertb

*) Uoier gesonderten Fimctimsen vrenicn hier die «onsi sogennnnirt
fuoctionvs «xplicitae vtiridAtiilpii^ da lUose Functionun wirklUii rtdi
ihren Teränderliclien Gröjisen gesondert sind, m scheine der bicr ^
brauchte Ausdruck nieJil un|iassenU /u Mein.

365

»

4er' FuBClion /*(.!:) entspricltt, und wenn ilurrh dnr Null uneudlick
ßuUc knmmiMKlf Verüiiu(<rDii£;cn des ii> R«ilc Hlctiirnden PiidlJclicn
TAUii; hc'ätioimltMi \Vcrili!i von j: der Null unvndlicb dhIiv kommende
ViTÜDderungQD des diesem eadÜctien völlitc Itirslimmten Wcrthu von
a: cntsprcclienden Wrrtb» der Fuiictiuit /"(.r) lterlj«igi.-tultrt nerdcn.
^ind llu^''!;etl A'w'xv. ltt>.diiigunii;L-n nii^lit vnlUuindit^ rrfiilll, *t\ sup;t
mau, ddH» für ilcu in Hede oleliendeD cndliclico völlig;
bc Stirn nitcn AVerrli der vnrünilerlicbiMi (■riisse x eine
Dntürbreciiutif^ der Stciigkeit HintI fiudet.

• Wenn filr keinen reellen Werlb vnn o:, n-elrher eine Mittfl.

'G;rii«se swiHr-licn den bvidt-n rcetlvii Wertben a und f* von ^r iRt,

eine t'nlci'brcL-huug der Slctigkeit der FiioctioD f{x) Stult findi-r,

f)0 saift ninn das« diese Function zwiscbeu deoGräDzeu a

und fi o<\fT von a Im x /> ■ t c t i a; sc\.

Die l-'uDClian f{:v:) hcisst (ernt-r zwis«bon den reellen
Werthen r und It des Xlndiilu« ibrer rerdiiderlicben
Gröasr ,1: »la dt- bspu (^ranzen steti«;, wlmmi fiir keiorn H'crib der
veriuidrrlivtLeci Uriia^c a:. dcbätu Modul uk cineMttlelf^iiisüc zwischen r
und H*) iül, eipe L'nU'rbrecbung der Metii^keit der Fnndinn /'(a:)
Slnll Üudct, 0(Jt>r. nn» dun.'^i-IbL' i$r, wvna für J<.>dcn Worlb oder in
der NaliP jedes Wertbs der \crändcrlichrn (Iröaso :r, dcsäcci Bio-
duluB eine Mittclgritssc ztviüclicn r und R igt, die Function /(.r)
stetig ist.

$.2.

B £>e/ir«ats. Wenn ^i« Funrtiun ff^fia;) für eineu be-

~ stimmten reellün >Vertfa ihrer uonbbängigen rcranderli»

cbenGröxsc, ffciclier der Kinfacbbcit wegen d[ircb:r?(elb«t

IbezcicbneL werden inng, reell und Rtetig, und der cut-
sprecbendt^ Wertli/''(^) di!» ersleii Di ffereulialquotien-
teo dieser Funi;lj<jii eine eudlicbc völlig bestimoite re-
elle, aber iiicbt vetBcInvindeode Uräss« ist; so wird, in-
(1e tn tci» n il i « u ti » It liÜngi u;fr yer^inderlir tie (■ rÖfse von dem
bcstiuiuiten reelJen Wcrtlic JC u n «icd reell und stetig
«erlÄnderD Usst:
1. weany'(;a:) [lositiv ist. dir gcgclieofi Fanetion tah
dein Wertbc f{.v] an zu- udcr ubnelimen, wftun die unab-

tliängige vernnd^ rliciic (> rÖKSi! von dem reellen Wertbe
ae au respccdv« zn- oder iiboiminl; dagegcu wird
'l, wenn /"(.r) negativ i»*, die gegebene Kunetion von
dem Wertbey|,Fj nn ku- oder iibnelimen. wen» die unub-
bXogige vernnderticlie (■ rosse von dein reellen U'eribfe
^ AB resgieetiv e iib> oder zunimmt.
^ ' Beweis, Die der beliebigen Aeudcrung v/.r von .r entH|ire<
ebende Avuderuug vtiu /{■x) sei ^^. Nacb dem alltreuieiucu Be-
griffe den DilTi-reutialijuutieDlcn ist yix) die Gräuxe, wcicbcr ~^
|. sicli bis zu jedem lielieliiifen Grade nabert. wenn mun sieb tix bii

'} Ueber den »llgi'inctirictj RfgrifT vitiiT MittcI^rrüsKe xwitvvburi zwu! uuilercn
Cro.SKen n. ni. die Alihdiiillinifi; XL.. ^. X3. im dritten Ilcftc. ao nie
denn dii- in dicMrr Aliliaiidlmifi bewiej><)iieii Säue, wie wir sonm wer-
den, iitiPrliBiitic eine ILiiiplgninilbge iler gegenwärtigen nntcrsiichungen
über die Kviliun liildwn. ": ■^"■u-» ■-■

S«6

«Q Jedem bclicbifjrCD Gnit der Null n&heni liLssr. Für ilcr

unendli^li nalie komtneiiili' ^/^ lial also -— nit/^lx) offenbar einer-

lei \ura(!icbeD. ist t'ulgHcb /'{.-v) positiv, av ist, iatner fiir iler

Nnll unendlicb oake konmPDd« //x^ auch ^^ putitiT) and ^^fr uiiJf

Ji/ linkt» folglich gieicbi^ Vorxeirfaen, il. b. die unabbKsifige nr-
ünderlichi* (irö.s.si? und diu Kiiuctiuu nebnir^n re»[)«cHvo ron den
Wcrllieo .V ond y(.r) an glcirbzeiti^ zu und ab, vie bebauirtet
VBrde. Ist äagvgK« /'{.v) nt>i;iitiv, eo ist für dpr Null uoendlich

nahe, kotnmf-nde ^:c auch — ucgutir, uod 4J3: und ^Jy Uahfu Mg-

lioli «utg-ri^^MMC^l/Ji^ Vorct^icben, d. b. die Fuiirlion nimmt von dem
Wenhc /\:r) an ab oder lU, wenn die nnabbängige «rrändeHiche
Grüssv von dem Wcrilio .e an reRpertir« zu- «der abniumt, wel-
cbea der zweite Xbvil der Uebuu|itung war.

ßrrfifr Zwfafx. Wenn sowolil die FunetioD /X-^}> 'l'
«ocli ibr ernter Pifferentialtiuotient /"{ar) «wiscucn dca
rocIlpD (iräiizcn tr und // ree\\ und stciii; ist, und letx-
terer sein Xeicben niemals »ndcrt, wrnn'mai] sich ;r voi
x-^H bis ^ = Ä stetig vcründern lässt; so wird die
Function /(.r) entweder stets wachsen oder stets ab-
nebmon, wenn man eich a: von x^a bis :c=^li stetig
verändern lüsEt.

Weony^(.r) in dem Intervalle ff* niemals verschwindet, so fwlgt
der Satz tin mittel bar ans dem im vorigen l'nrii^nijiheii bewicocueti
Satxe. Wenn nber/"(.r) x. B. für den iwiacben a und f/ liegend»
Werth e von .r Terscbwmdet, so das» /"(^} = ist, so deute man
sieh dna Intervull af> iu die beidc^n Intervnlle ar und c& geüieilt;
dann n-ird f{x) nach dem varb ergeh enden Piirogrspbcn sowohl ro
dem Intervalle ac, aU uucb in dem InlcrTulle clt, und fol(;lich aucb
in dem gunxeu Interviill« «A entweder «tets wacbsen oder stets
abnehmen, wdbei man nur immer fcsliubnlteu Imt. duss nucb der
VoruuHJietxting die Function /{.tT) xuiisch<>D den GrUnxeu a und l>
reell und stetig ist. Dass mun gnnx auf äbnliche Art scbliesseD
kilnntc, wenn /"(.r) Hir mehrere zwischen a nnd ä liegende H'erthc
TOu X Terscbwände, fällt sogleich in die Augen.

«4.

ZtPeiter Xwaat». Wenn sowohl die Functionen /(jf),
f(x), als uacfa die Functionen %{.t), y(.«-), zwischen des
reelles Grannen a uud If reell und stetig sind, und /"(x)
%{x) ihre Zeicbeu uieinnlB andern, über immer untgeges-

E «setzte Vorzeichen haben, wenn man sich a: von .v^a
is x ^ (t stetig verändern liiast, xo du»8 nütnlicb. wado
/'(,.x) von .T-= a bis a: = i stets positiv oder stets negn-
liv ist, ^(a:) von a; :=: a h'xa .t = 6 respective stets ueg*'
tiv oder stets positiv ist; so wird immer die eine det
beiden Functionen /(x), S(^) von :f ^ a bis ar = Ä Biets
wachsen, die andere dagegen yoo a:s=a bis x^l> alets
ikbnebinCD.

Dieser Satz bt eine unmittelbare Folge ana den enten Zi*
Mbc uud aus dem in $. 2, bewiesenen Satxe.

367

».5.

l^hrset%. Wenn soirnlil die FunctioQOO /l[*")i S(.t).
ala «ucti itire ersten Ui f fe r«nti«Iq<ioti«iilen xwiachen
den reellen Oriiuxen a und b r(;ell und stetig .'ind, und
der niffi^rcntialquotient J^(.r} scin?!cichen nicht ILndfri,
wviiu man »ich .vvon ar^z: a bis x =^ h stetig vüräodern
lässtj so ist der Bruch

S(A) - S(«)

jederzeit eioo Mittrl^^ritssc zwisclien dem kleinsteu und
griigstcn Wcrtbe A uud /f unter allvii dcu Werlhi:u,
welche die Function

erhalt, wenn mst) sielt .r vou ^r^n his ^^& stetig ver-

ADdcra lasst, oder es ist jederzeit . ,

fW-f(a)_ ... . „.,.

Erster Beweis. Weil A und ß Am kleioste nnd grüsste
unter'alleu den Wcrthen sind, welclie der Brach

/:(£)

erMlt, wenn oinn' steh x vou a: :^ a bis .r ^ £ stetig veräudem
länt, so babcD die Griisseii

d, i. die tirösHVn

für jedp« jc vou x = a liis o: ^ ^ olTvubar enlgegengeselile ^ i>r
zvirlicu, und keioe dieser Grössen ander! ilir Zeicheu , wenn mnii
Dicli J* Tou :r =: ff bis x^=-h stetig vcrnDdu-rn lässl. Diese beiden
<>rässea sind nlier di« DilferentitilqDoticnteb der FuociioueD

Also wird nach dem vorigen Parag;rii{)lieii jederzeit die eine dieser
befdeo FuDcliuneu stets wuchsen, die auderc dagegen stetH ab-
I Dehnen, venu mnn sicli .^ von x -^ a bis ,^ = 4 8lclii( vcründern
liüul. Daher haben oßenbar die Leide» Differcnicn

(*) -^(i) ^ i;-(«,) ^ ./g(«)i, /(A) _ i?5(Ä) _[/■(«) -i?g(«)i,
[pder

/(Ä)-/(«)-^i|g(*)-3(«)l,/T*)-/f«)-Ät3(*)-S{»)l,

and folglich ualiirlicU »udi die beideo tfcuotienten

*^ Wegen der Uczeicfanuiij; il/(i4, £F) s. in. den Aufsatz XL. $. 22.

M6

d. i-

Jederzeit entgegeogesrrzle, nUo die beiden Grasten

•* ~ 3(A)-g(-}' S(«) - SW ~ "

jederzeil gleicbe VorzeichcD, woraus sirb frgielit, daas immer

-■/'*) «1

^0.

folgticli nach XU $. 'tÜ. jeilerzcit

eine Slittelgrösae zwiscben .V uad B, oder

nt, wie bewiesen \verdeu sollte.

Zwei tcr Beweis. Mao tbeile die Differenz f/ — 'o in n gIcTdIj
Tkeile und seixe

— -— = X-, qUo ä ^ « H- «X ;

ao ist ia der aas der DÜferenacnrecbDuug bekannten UezeicbniM

f{a -f. W) — >1« -h X) = .//(• + X),
/<« H- 3*) -/(« -H 2*) = .//(« -+- 2*),

U. 8. V.

?(«H-A) — g(«)=-/3{fl),

S(« 4- W) — 5(« -H X-) = -^(« -«- -t),

5(« + 3A) — g(« + i/) = J^{a -h 2*),

u. <. w.

■ tiP -»- «*) - Sf" +(« - l)-«) = ^(« H-(« — »)*).
Addirt mRn nun niif beiilrn Seilen der (•If.irbbpilHZr'irliea und »til
«F -H «r/.- = Ä, Sil pflinlt miiQ die boiilcn Glcittiun(i;cn

und folglich

— i:— H z: r z

•...-t

'^Ä('»-t-(«— It*»*

869

l>ie GränzCD, denen Hieb der ZHlilnr und der Neoner des Brncha
auf der rccUtep Seite des (^ Ivic l> li c i Uze i eben« niitiern, wenn w to*s
Unendlictie waclist, /,- sieh also iJcrr IVull iniaier tuclir tiiiJ mi'far und
bia KU Jvdcm bflieUi^«u Grade uäbcrl, sind »ITviibar die Summen
nller der Wrrtlii», wplclie die Iliirer«iiti»l<)uoticDte» f'^t: und S'(-^)
erhaltcD, weuii man sirli ^' von jc^=^ft bis x^=6 sietic verändern
lässr. Du nun die vorstehendf GleicbunB: für jrdt>s |in»itiTe c^nze
n frilt, HU ia(, wenn wir diu tn RfMle atebcudcn Nununeu ruBpective
durch

beteicbneD, offeobar auch

yT^)-/'fa)_

S't*)

Weil ober nncb der VoransHelznnfi; die sämmtUclif.ii einzelnen llieUt,
auK denen die Summe '

l^ectekt, rlcicbe Vorzeichen bnbea, so ist usrb Xt.. f. 42.

\iikm\i eine Mtltelorrosse zwiscben allen ü«o Wf>t(i^,'Verdte'%

* ich ' ■ ■'''•■'■

erliält, vrcan man .t: «icli vuii ^-=:a bis .r=4 slelig vrranderb
lasst, fulETlicIi HUcU c'tnp MillelaritHsc zniacben (lern kleinsten und
S^rüMsien U'crtlte ^/ und // unter ulleu diesen Werlben de» »bi^D
itrudis, und man knnn niso

/•U)

rliöb «heb dem Obigen auch

= MJ. B).

I 1-^.*

[setzen, wir bewieaeu werden aoltte.

*■ 6.
Nach dem im vnrjgon Pur:igTii|)bcn bewiesenen Lehrsätze 'vX

f\b) —/( ff)

• eine MittflgrüKxe zwischen dem kletaftfea und gro>Ht«n unter des
(■%Vertbou, welche

TWIi I. 24

"etbklt. VCUU «(an »icli .?■ tho Jt-^/r lila .V^l atetitf vcrStitlcrft^
l^iMC', Unter der Vorausürltitng nun, (Ihm

■/"(-'■)

cinft evrisclien ileii (irütizrn .f = «r und .t=:/' Blpfif^e l-'iinrtiiin-
i»t, erf[ie|j|: äicli auä dem Obigen uiiutiiivlbiir und ganz nnzweideu-j
tig, diiss die Grösse

jedeneit uo(er d«n VVertbeu, welctic

•CM

.«rhält, WDD mau Hieb '*■• vua ^-^n biti ^- = /> H(«iie verand^rk
lässt, TorkomnifD, udfir dasa jodcrtrit riiier di<>8cr iVertlie dtr,
GrSwe

sleidi Bcin iquhs, so duss iilfto immer, w«nn /» «in« g«iviMe Httlvi-:
grosse zwischen a uud /' braeiclinor,

/(*) — /<«> ^fSf)

MAcCyt werden kann. Setzen wir nun, wus nlTenlKir in »llea Fil*
len vtrstattGt ist,

fi=«H-0(Ä — «);

HO ist, weil nach der Voraussetzung {4. eine Mittelgrjiue zwiKliea
a und A ist,

« + ©(* — «) = .V(«. Ä),

-und fulglicli nndi XL. $. 3$. , w«on nun nämlich von iler
Grösse auf d«r linken Steile, und von den beiden GrÜMen zwiigIkb
Arn 1'arenÜieNeii auf der reclitcD fteite dea Glelchheitsxeichens diel
firäsae a suliCrahirt,

©(* — «) = jV(0, 6 — a),

also naeh XL. 4. 37., wenn man uümlwli die Grösse auf der
linken Seite und lede der bcidc-n (iriisäcii zwisHirii den l^ariintbesei
auf der rcckteu Seite des GleiclibeitstvicIieDs dur<.-b £— ■« ditidiri,]

© = v»/[0, I),

wornuB xick also ergiebl, dnss & immer eine MittelgrS&se zwiadbaBi
ti und I, d. h. eine ponitive die Kinhcit nicht übersteigeudc (arSsB«
ist. Hieraus nnd uns dem Obigen ergivbt sicli, das« immer

glÄ) -g(tfj St«-!- «fA — a})'

WO & eine gewisse positive die Einheit »icht Uberitetf^<>udc GrÖwe
bextricknet, gesetzt werden kann, wnnu man ulte im Oltii^en gc-
mnclte V um uns ctz untren als erliilU uiizuuchiiien berechtigt ist.

371

I

.Setien wir jetit 3(.«-)=3?, ulsa ■^'(a^)=z=l, und nelmien nn,
daaa Jie FiiiirtioDfii /(.r) und /*(.«■) zwiscnpn den reellen (■'rKnz«n
a nud £ rcFill uad Btclig' äiod, ao sind, weil '§'{.v) aU pine e»n-
staDte Grösse seta Zt-iclien Dicht Kud«rt, wenn mAn üich :f vun
.zr^m bin x=.h stetig %'erÜDdeca lassti und

ist, oßenbitr nlk im ObiiTfn gemacht« VorauHselzunge» «rfnlU, unil
e« ist tV>1j^Ii<:li, wenn eine gewiasp pasitive die Einheit nicht
ül>er!tteti(rnile Grösse Itrzeichnet,

oder

oder

/(*)=/[«) + (A - «)7"(a H- 0(A - «)).

Filr If^^t: ist unter der Voniussetxung;, d»B8 die Fiinclinnen
/\x\ f{,^\ zwiscbea den reellen üräniieii a und .-c reell uud stetig
sind,

FUr »:^0 ist unlcT der Voraussetzuiiir, duss die Foncttaacn
/■(.«:) und /"(.r) zwischen den reellen Gränaen und x reell und
stetig sind,

Setzen wir in der Gleiclinng

/l(.r) =/(-») + (^ - «)/•(« + 0(-z- - «))

fär <r und x r«K|Jcctive .t und 0^ + *, xv ertialten wir, unter der
t oriiu.4sct>:uiJg, tlHs* iJie Funrlioucn yt^) «ud ./"(.t) zwiKcLeii den
reclltin Or.-inx4^n x und ^t'H-' reell und stetig sind, die t^Ieictiung

In ullcn dicxt-D GlL'iuliungpn beseichnrl €) eine gewisse positive
die Einlieit niclit iilierMtcigciulc tirüsse.

Bg sei jetzt

WO, luden wir uns fiir a' irg«nd einen hvstiinnileu reellen TVerth

SesetEt denken, sowolil *p[x), ^C-^), als auch <V{j:), 'i^{jr) reelle
förtscn sein sollen.
Weil nun

^ = £*i^ -»- ^'^^^> ^/z^^

jx

jx

J,i:

ist, aud ulTciibar

^* J(./(.r)-t-v,(.i-)V'^^i

■ .M-rtV^- I i ■ilyfjr)-i-V-(.r)V^-l|

JX

M'

372

gesetzt werden kflno, SO iit flii«1i' ilem' V«rher^lifeti<l«ti

Oilr

.1 I Ax ^^ dj: *^ '

Liisst man oun Jx sicli der Null iiatiern, »o nübcrn

— - — , — - — und — - — . — ;-—
J*r Jx Jx J.f

inty bfihftnnlliCh resprctive Ata Grünzfn
und *

nSkert sich also nacli dem Obigen der Gränsc

Well 1^ "- .» h

Y, Ko naliert sich
«fffi)b»r der NoH, wenn J;v sicli der Null näbcrt, uud

ist also die Grunze, welcher ~ '

sieh iiäbert, weon

lieh der Null nAIiert. U'eil uun uncb deo GruiidbngriFFen der IK(
fcrenfialrccknang letztere (irAnze

ist, 90 orliallen wir t\\f fiteicbiin^

373

oder

Wegen der Gleicbuog''
ist aber , , .

g=a>'(^)4-v'(^)\/:rT,

BBd die vorige GleichuDg kaon dalier auch njitcr 4er fvlgenden
Form gescfariebea werden:

^= fy'(i) + v'(^)l/-:rr|/-|v(*)H-v<^)k':rTi.

dx

♦.8.

Sind jetzt a und .r beliebige reelle oder imagioäre GrÖBBen,
10 kann Dach XL. %. 52.

4ll0

Ud fi^glicb

^ — a = r(cos 11/ + sin o* V^ — Oi
ar ^ a H- r(co8 ft» -|- sin w l^ — 1), '

/■(*■) =/'ja-4-r(cos iw + siii w l-" — l)t

fegetzt werden.
Sei nao

fix) =f{a 4- r(cü» ö. + sin u 1/"=^)) = y(r) + */j{r) V^^H ;

■o'irt oadi 4- ^-> wenn die Functionen <jr>(r), ^'{r) und ^(r), tf'(f)
Swiicben den Gränzen und r stetig sind,

Oder ■■■'■

Wo 6> und ®, gewisse positive die Einheit nicht nbersteigcnde
CroBsen atnd, -Nach dem Obigen ist aber

X — a

«od
also ist

cot Ol + sin üiV' -— \
/(«) = 9,(0)-Hv(0)^"^>-.

cos lü + wn

^n<^r

DiffereDtiiroii wir di« GloidioDg

/(»-♦- r(coa wH-wnw l'' — l)| =5p(*') + vf*")*^"— 1

miuclst d» im voriKCD Parograpliea hewii-aencD Salxes in Bezug
auf r als vcrÜDderlicnii Grüsiio, so (-rliaUeu wir

(COI bi-

' Hin <K

— I) /'S« -h »-(cos (it-i-kiD wi/— 1)1

und folglich

^'*'^^+»'*^fz! =yi^-t-Hco« .uH-B« «i^

CMIB' + siltwV — I

■08 welcber Gleichang erliellBt, itasii

ö«.r)^=^(.) + y,

«Mi w4-sia tuW' — I

WO J eine für r^O, J. i. fflr .f = «, verschwinil^^nile RrÜMe l»e- '
zeichnet^ gesetzt irerdt^o kuno. Also ist nach Atita Obigen

wo ./ «iuc fiir T = a rmcUwiudcDtle Grirstie liszeicliuel.

i>i«Gl> füleicliuug tordcrt niiili (Lein Ubigi^n, du»s die Kiiavti»*i
neu f{r\^ ^W) und V'(''J> Vi'') zui^^clieo den tlrüuzen und r ile-j
lig sind. Weil ober nach di:iii Ublgen

/(jr)=:/|a4-r(coB tu + sin «w K— l)( = 9o(r) + ^(r) V^^^J,

/'(jr)=:/'|«-|-r(cos u -f- sin wl/"— l)|=r

COSID-I-SIIIU

V'^

ist; so ist kinr, iIbsh. wenn die FnnctioDcn f{x) uüd ,/"(.r) in drr
Ntibc des hc.Atiiainlen Werthes a von .«■ stetig sind, jeJp.rzeii aub
die FiiticiioMcn yC*"), y'(r) und vC*")» V'('') '" der "Niilio dt» be-
fllimnitrn Wertfas von r i^itetig bcib müüion, indem »hne die Er«
ftillung dieser letzten Uedingutia;' oUenbur nach die crslero nicbl
erfüllt sein köuute, wobei uiuu $. 1. zu veruleicben bat. Uicruuf,
in \i-rliindunff mit d^in Obigen, ergiebt sicR aUn oanittelbar du
folgende- wirlitig*^ Tliporein:

Wenn die Functionen f{,x) und fifK^ in der Nnbc dei
büBlimmiRn WerthR « vnn .t, wo a nnd .r ganz helicbi^i
reelle oder inngiuiire GrusHi-n bczc-icb ueu, ittetig sinilj
«o ist für iteni Wertbc a unendlicb uahc koaiincudu \itX'
tbe von ^jederzeit

WS ./'eine für .v^a v erscliwindendc Griisse bezviehneL
Seilt man für a und ./.■ ri^tifiertivc w nnd x-\- i^ wo i pine
der Null unendlicli mibe komriicDde reelle oder inaginürr (*rbaie
bezeichnen soll, sq ergitfbl »icli der f^utgcnde Naiz:

rpter der Voriiussetsung, dass rann für x blos» aaU

cbe reelle oder imaginäre »ertkc itetzt, in (leren Nähe

-die FuDctiaoen /(.«*) und f{x) stetig sindj ist für der

375

Mall unenillicli nuiie kumnftiid» reelle oder tmag^inär«
Wvtlli* von « j«ile«-tcit

■^. ■ yt^ +, •)=/{,.■) + .■ (/-(^j + ^U

wo •/<!»« für t^O vptftcbwind eoile Grüi»« bex«i<hoet.

i^efirtati. Es.sei^r c*itie kcMcliige vcrämlerliclie ima-
i^iatlrfi Grösse, deron ModuTus Im Aliicf^neinen durch r
bezcicliiict ivvrdvu mag, uud/'f.-«-] sei cJoi; FuuctiuD vuti
.T, WKicbü, »o wie ihr erster l>iff«ri>iilialquot icut y^'(x)
xwisclien den (•ritiizen r^r, ündr^A stetig; ist. f^etxen
wir DUO, indem m cidc positive ganze Zitlil b<;xeirlinet
und JT setoo gcwäUalirlie Uedeutiing hat,

at

Sif.

e^Ms^H-siDSV^CTTn

nad

fir\ -t- g/Cft-) -I- 8' /(»V)

a*-iy(»'^'fj _ jy.

so ist für jeden Wnrth v dd r, w«) olier eine Mitte {grosse
xwisclten r^ und 72 ist, mit desto ^rlisscrcrGeii&uiffkeit,

,jc grÜBser n ist, und mit jedem tflilebigen Gradx Avr

Guitnuigkeit, wenn man nur »^rOKS genug nimmt; i1fc=0.

Benei«. N«cli lieiu in vorijjen Puriif(rii)b(m hewipsenen Satre

iRt fiir jeden Wertb von x, in ilossen Nnbc die piincIlopnB /'(^)

und /*(.r| ntetig sind, und fiir der Kuli uricodllcb nnl>c kotnoicude

iWeruie vod i

p-wo ./ eine für / = U verscfiwiiiüetitlfl (■rfisse Iieaeicbn(>t.
Weil niirli ilcr > omussetznug^

„» Sit . Sin. ,

:^ cos — -(- Sin — \/-- 1

[tat* HO ist nach XI.. %. 54.

«■ = r (coa — H-sm ~K— 0»

0f ^ r (cos — + Hin —V'''" I), '
0V = r (cos — -i-iiin —\ '— 1 ),

0»-»r=rr (c«a

2(rt— I)« . aftpt'^rw

'^^^r,;

lutid die GrosBen t < ^ j

376

babcQ aUo sHmntltcli deu Uodulu r. Weil duu oncli der Voraua.
Bctzung liic l-'uDctioDen fix) uod /'(:e) xvisclieu deo {iräjixQn
r^r^ und r^/< slutie sind, au »iiid nach $■ '• divstr Funcliu-
nen in der Nab« einea jeden Wcrtlis ron x, desutn Moduliitt eiae
MUtelgrHiBe zwischen r, uad 72 ikI. stetiift und mtiu kann «)«>,
nnler der ^ orau^äctzun?, dnss r eiup Mitielgriisfie zwischen r, and
H ist, in der »liigcn (ilcicliuiig

oflenbar ' ' '" [

■etsen.

Ferner ist nacb XIj. ^. 31. för jedes positive ganze Jk

0* = coi —-4- Bin — V^ — I,
n n

woraus tick ergiebt, dann, wunn ^ — 1 eine der Null unendlicb
dbEic kommeudc Grösse ist, jederzeit die CrO&iCD

(0 — I)r, (0 — l)0r, (0 - IJ0V, ... (0 — 1)0— V

flämiutlich der Null uncndlicL nuli» kommende Grö&sen sind, »
I dass man also, wen» man, onter der Vontuäsf^tzung, dasa r eine
NiUcIgrusse awischoa r« und Jt Ut, in der tileichuog

/(ar-|-i)-/(.r)=* \ri^)-i-J\

fiir ar die Wertbe

r, 0r, 0V, Ö'r, . . . ©— »r

seist, fiir t gleiehzeitig die Wertbe

(0— IK (0— I)«/-, (0 — 1)0^,.. .(0—1)0— ir

letzen ktinn,

Nituiut man ouu di«ii« SuUtilution wirklicli vor, und beoMcit
zui^leiclt, diiss

*-H-(e~l)r = 0r,

e>r -I- (0 — 1)0 V = 'r,

0'r H- (0 — l)0'r = 0V,

n. 5. w.

€J*-ir-4-(0- I)0"-V =^ 0"r

ist; Sil prbÜU uiaii die füllenden fiir jede» r, welches eine Miilel
rrÖsse zuisf^hen r^ iiiiil /C ist. und jrdcH der Null nnciullicli ti«l!
Komiueuilc & — 1 ^llenden Gleicliuugeu:

/(0r)-/(r) = (0-l)rl/»H-7J,

/(ö'rj~/(0r) = (0-l)0rl/-(0r)-+- J, j,

/(0'r) -/(0'r) = (0 - 1)0V|/{0V) -I- ^,1.

/(0V}-/(0»r) = {0-n0*rj/-(©V)-|-^,J,

u. «. w.

378

Aas nrlthmetiMlta Mittel zwi»i;h«n «Ilen deD WcrtliKb der firüMM^
<')if{('hr) ist, welch« diirsflbB rrliült. wrnn mon für ^ uacli udiI
narh tlii; [tusitiveii (canzi-n Zablcii 0, I, % 3, i, . . . « — 1 setit;'
Bu kaiiD, WPDD M'ir in iiia«r bekanalen bcz«lcliDUD^ diesea iiriUi>.
metiscbc Mittol durch iIsh Syubul

bezvifliucn, der obige Salz aucli auf d«a folgeudsu AUKdruck
bracht werden:

K)i HCl ;r rino beliebige vrrnnil«rli(:be iinuginär«
RriiaAC, deren Modulus im Allgcneiaea durch r hczeich-
iiet werden inaf^, und /'{x) »ei ciinc FuDctioaron x,
welchi:, su wii: ihr erster Diftercut iaJf|uuti«iit /'[x),
xwischcD den CJrÄDx,e(i r = r„ ond r = /t stetig i&t. Het-
zen vrir Duu, iiidom n eine »u&ilive ßanxe Zub) beieicli-
oct ond ir «eine fi;ewobnticlie Bedeuiniig bat,

2fi

2»!

= COS ^ -f- »in — l^— 1 :

So \at für jeden Werth von r, welrher eine Mittelg^riisflC
zwischen r^ und A ist, mit desto groHserer 1>enanig'lieit,
je griisser « ist, und mit jedem beliebigen Grade der
(Genauigkeit, wann man nur « gruss genug ulnrnt.

§. 10.

tjvhmatx. tls sei ^* eine belicbig'e imagiiiüre GrSsae.
daren IVludulus im Allgeioeineu durvb r bezeichnet wer*
den mag, uiid/'(.-r) sei eine Function ton a:, ivelche, ■•
wie ibr erster Diffcreutial<ju qtient y(^'), zwischen de*
Granzcu r^r^ und r = /2 »ictig igt. Setzen wir Dan,
indem H eine |iositive gnnzc ZabI bezeichnet und ff
aeinc gewä'bniiehc Bedeutung hat,

@ = COB

2^

4.,i„L-l/^,

10 ist die Grösse
g^,.^_ /(r)+/(»-)-H/(flV)-t-...-f-/[»-if) _ I y="-' ^.^j

zwiücben den Urünzen rz^ra and r = A mit desto |rrw»<
serer (jäenauigkci t cf^nRtanl, je grosser » ist, uud iLani
mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit xwiscbeo
den in Rede stehenden Granne» constsnt gemacht war«
den, wenn man nnr w gross genug oiiamt.

Beweis. Sei r eine beliebige 3littelgröiise zwisdieo r-g im4
R. Thcilt mau nun das luterrali r — r, in » gleiche Tbefle, Bid
hezeichuet jeden dieser Thcile durch (, so dass

r-T^

= e, »i=;f'o-+-«ß

39»

ist; m' isl, wovuD miiii R^eh ilurrb Ühnlklin N«hlÜB8v wie in vori^u ,
I*am((ru)tbeD leicht nbeRCUgt, Dich $. N. fBr ein nneDillioh groues m

/|€'V.-+-e)t-/(©**-„)=p|0y(ö'/-„)H-A.J.
u. s/w.

ww rfi« GrösseB A'^, A',, A\, A,, . . , A„— i für ein uneDillich
(grosses M Manimtlicli vemchwindeo. A<lJirt oinn uun auf bcideu
iiKilcti d«r GleicbtiKitäzcicIiCD , dividirt sodbtiu auf beiden Seiten
durch M, und g«lzt der kürze wegen

A\

A.

^

+ AV-1

= A

und

/'(r.)-t-*y(fiO.

= i»/;

so erhalt ntan

eli +/!»*>.. + e)l •-

-/te— i(r, + g )i

/(0+/CWr„>-f-/(QVo)H (-/[{»^■r,)

^=A

d. i., weil oben tilif-rluiiipr die Grässe
durrb St'') tit'zcichiiet n-nrdcn istj

S{^, + e) - S('-..) = eC "4- Aj.

VnB dftr Grösse M ist im Toriffen Parogruphco licwicsen wor-
den, dnsH die^eUie rcrüchwiodet, venn m uneDdlicü gross wird, und
uua der f!l«ir.liting

^'» -I- A'i + -^'i W- -'^'« H- ■ . . -t- A»-i
n

kuuu muD auf guoi ähtiliche Art wie im vorigen Par«gra|iben au«
der (ileichua)^

n

jittUitnti, diiüH fiurli A vcrs^-h windet, wenn m uoendÜcti ata&n wird,
woraus sich unmiitelbiir ergicbt, ilas8 »ucli die Grösse -V+A ver-
schwindet, wenn » unendlich gross wird. Piaeb dem Obigen kann
man ulso immer

3(''<.H-«) — S('-a) = ?'Äro
setzen, wo K„ eine ftlr ein unendlich grosses n verschwindende
ClroMe bezeichnet,

38U

nurcb gaux älinlichi} Rnisonnmeols übonen^ mu sich na«
iiliprliaupt vou der Ricliligkett «ItT tiil-;ru<li-D (>lfii-iiuDgi>a:

%{r, -+• 'iif) - S(r. -*- p) = p Ä', ,

3K -+- *e) — 8(ri + 3^) = ? A, ,
Q. B. W'

wo die (•rjissen A'„, A,, A',, A' A'*— i für rio nnpftdlicA

grus«cs H iininmtlic)i Tontcliwiixlefi. Üurcli Atlililion dieser tvleichoii.
gtü erbalt oinn, weil uacfa dem Obigen bekaoBttich r^-i-itQi^r ist,

' I. ' ■ <i

%ir) - aC'«) = V i^- + A. -*- A, -♦- A, -4- . . . 4- A\-,)
otler

B(r)-B(r.) = <r-r.) ^.. -^ *■+*%+*' , + • • 4- JT-i ^

oder» wenn wir

A'„ ■+ A', + A"^ -t- A", -f. ■ ■ ■ -H Am-i „

^ - = A

Utzcn,

?('-)-gK) = (''-r„)A-.

Da die Grössen A'», A',, A',, A',....An-i üümmtlicii ver-
scliwinüeu wenn ff uaeutilicli gruKs wini, so veritcb windet aucTi A',
wenn n unendlicb gross wird, wobei mun den vorigen Paragrapbeo
XD vergleicbeu bat. Also vcrttcbwiDilot wegen der obigen GleicHvnic
•iffeubur aurb die ntfVLTeDX %(r)—ß{rgj [ur ein imiMidlirb groMea
M, »der für ein uncodlicb grosse:! m ist ^(r) = %{ra), und du dies
nun für jedes r RÜt, welches eine Mitte lg;r<).«HC zwischen r^ und A
iHt, so ist dufcb das Vorherirebebde unser KatK vo[lstäadif( bewieMM.

lüineu von dem vorberi^eli enden von t'iiucby geEcebencn Bf-
weise. verHfbivücneii kurzem Urweis des ubi^uu SiiUes bat fttvigau
iu seinen Legons de colcul dill'^rentiel et de culcul iuliiurul, redi-
ttiea d^apres les n^lbiides et les ourraees |iublii^s i>u ioeilits de M,
%. lt. Üaucbv. T. 1, Paris IKIO. p. Im gefrcben.' Cc ist niuolicb,
wobei man ^. 7. lU vcrj^leicben bat,

u. s. w.

loil l'olgiicb, wenn nan «ddirt.

3JÜI

mSm!m!)^^'i!ir\^\

.^-gji.I^^j

■z

'^4W\

ist. wopiius »irli rrgieiit, ilims «loli itntop iIph grmticlilcii Vnrnii»-
KCizutifi^cii <lie Kuiitlinn 5f-'*^)l jc(l<'rji-.it in f\ne. nach drn nnlKlfi*
gcndfi) |>oäiiivcti firaiizpii P.dipiiKCU ili>r vcriiiiilcrltclifH ^rCssc j;
l^urdiii-le Ciiiivi-Tfrtrrndn Rriltr ftnhvirki'ln tÜKüt, und wir werdea
»U« liicrdurth itu dem folsjcndca Lclireaty-c acfiilirl:

W c n n die F u n c I io n v it S fs) und ö'(s ) n i c Ii f I' l o « 8 f w r
den ülniltiliix r drr vrrji iidi'rliclicit (irösi^n 3, xumJcni
aucli fnr jedt^n kirinorn Rlodultts di(^s«r Grösse stetig
flind, lind drr Modul 11 tt der (äräsiic .v kleiner altt der Mo-
dulus der (irÖsitL- a ist; sa kann dip Kuoetiun "ii.v) jeder-
zeit in piiic aacli de» aufslcifirendeii piisititcu gatizcn
Poleiixen der veraiidprlii-lioii Crttf^Nc .-r geordnete cqb-
ferffirendp Kt-ilie. eiiFwickvIt werden.

l>ie<(cr Satz lösst sirli uUrt affciibnr niirb anf fulji^endc Art
ansdriirken:

Für jeden MoiIiiIdh der (>rÖHiie .t. welcher kleiner
listala der kleinste derMuduli iticserGriisse, für welche
«ine dtT (ivtden Kun«liuD<>n ^t^) und %'(u:) »uDiört ste-
tig zu sein, kann dU- Fiincliun %{a-) in ei an narli den
naUlei^r nden ptisitivnn gimzeii l'ittenxen der verändcr-
lirlien Crä.ige ji* gcortliicle vonvergirende Heiliß ent-
wickelt werden.

4. "4-

Dns allgemeine (V]ied der in vorigen Pur»gni|ilien gefandcneo
[Reibe ist

-^■airmi

ir ^ieKeg iillgpmcin« bÜed, oas welcltem die Hänuiillielicn Glieder
I der in Krdc stakenden Itellie orlixlten nerdi'n, neun mun tur X'
liiirli und iiat-li die |io»itivi>n guiixcn Zahleti 0, I, 2, 3, A, -t, . . . .:
BPhsl, \ii9iit sich alicr noolt ein nnderer «rkr bemerke U5werlher Aufr-
driick linde«, zu dessen Kniwiokelutis' wir nun üliergelteii wollen.

Zuemt luit innn zu berücksicbiiu;»». dugs uotar der Vorans»
selEDug, dusa die {lusiiive ganie Znlil /t grötiier uIk Null ist, all-
gemein

ist. Kadi dem altgenieinen Begriire des ciiitwi bc«tiinmtcD Moduliis
ilir«-r unulili;! neigen voniudertidien lintsiie eiktfi(trecli enden niitllerv
Werllix etniT r'unclion ist niintlicli

gSrjj-'iÄ

f-* ■+■ t©r)-* + (ffVH* H H{*»"-*')^

fpr ein nnendtirli grossvs a. Weil nun nicht A^U und r* Uuend-
lieb gross ist, so gebt ofteubar n 1» A: nickt «nC, und nitrli §. 12.
ist also

d82

'Es mt jetxt %i^) ciae Kuoctina der imtifrinären firössc x, de-
ren Motlulux im Allt(f(npiiieti durcli r bi.-K«icliact wt-rdcD omg, uud
Aiv Kunclion ^fs) snn-obl. iiU »ncli ilir erster l>ilTcrenti«lijautieiil
3'(j|), Mi Bwiscbtin iIpii fjraoxpn r = und r=/t stctijif. Tbi«
iliesen VDruueBclzuDgcu ivollcn vrir

l)u/'(0)^0 ond nnch dem TorliergeliCDdeD Pariigraplinn
-, . _ /fr) +/(*¥) -f-.A ft'/-) H K/f »■- *>•)

ist, 80 i*t ofTesbar nncb ^(0) = 0. MVil ouii Dncli f. 10. Tür cio

uiiendlicli tprussfs « und für jedes r, weklieH oiiir Mittel^rduc
EwUclien und /l odrr nicht g:rosä«r aU H iat,

«('■) = 3(0)

ist, so ist tur eiD unendlich grosses n Qnd fiir jedes r, weldies
eine IHitlcItrrüsse zwischüD und H oder iiicbt grnsaer als Ji ist,
Dseli deu Vorliergebeüden oll'cuEiar

%{r) = Ü.

Setzen wir der Kürxe wegen

9{»)==-~ g(»). v(»J=~i äW

BO ist

und folglicU olfenbnr

Ar) -\-fi9r) -t-/(Q=r) h -«-/(e^-'r)

V'<r)'»-^K^'>-

. ^Ke— !'■»

also, wenn der Rtirze wegen

(P(r) = :

.?(f)'r).

.9<e— V)

gesetzt wird,

itM-tM^^

^)e»-ir)

?(r) = «>(r)~'/V),

ukid folgflich TMcb dem Obigen ftir ein uncodliflli graisei • nd |
jedes r. wrlrlipH eine Mittel^rüase twIseheD und R oder Bldtj
püftacr u)s /£ ial,

ru)-rto)~fr'

(0)

- —^■S'y\

!.a

S"'fO)

,,i. ■«.* . 1- **~^
t..(k-t)

5(*-i)(0)

«rliälit uud luuHN iu dictiiciB Urlkdtie a = 1) setxen. Wie inun auf
dänso Art weiter gelten kanb, ist klur. Endlich wird toaa offenhui-
•len Knirli

3. 4.5. ..ix'

Frlialtrii, in uc-lvlicin a^O ^es^tit wefdcn miiss. Wi-ll jibcr für
(lieseD Wcrllt vDii Ji Kübltr und Neuner wieder veriirhwinilco, sü
au88 inun vun Neuem diffiTentüren, noilurcli man den Brucli

iTTtTiTTTü'

erliüll. in velcliem niiin s^O Rclx^n miiNi«. IhA'pff'nliirt niim nun,
weil für Ä=0 uiich Zübler und Nt-nner difscü Bruchs Tcrseliwih-
dcD, nocIiwBts, so erhiilc ntau den Urucb

gt'H«)

1 . 2 . 3 . . . A'

■u dßiB oiua 4:^(1 setxeu mugs, wvlcltes eudlicb

I . 2 . 3 . . . A

l'l^ebt, so diaui aU»

gji.

ttnd fulf^lich

,3 ...A'

■Ist, wnbei wir nngenninmen liiilien, dnss X,- gri:i»((?r als Nnll ist, zu-
njilcleli alier nuoli bemi-rkeii, dass unter den griuncliceu Vorutt«-
Htenngcn offenbar

lut. , _

Itiernna, tn Verbindung mit d«ui im v<>rt^;rn Pornc^rnplien be-
*wies«nen ?jntie, ero^teht ^'\cU nun dnn fulE^enik Titeorcm:
'' Für jede« Htfiduliis di'r (JrbsHP «. Wülrher kirincr
■ sl aU dnr klviiisti; di-r ModDli d ieiitTr <V rÜBse, für weleh«
leine der beiden Fuucti^ineu i{ar) Uiid c'(u:) aufJiort mc-
{ti{( zu KCl n, ist

B(x)=3(0) + ^^

I .a

X

■^m--

'WeU

^B(»l=3(»)-hf 3(«)-l-f^Ä(^)

384

*d(!r, weil der Factor t — '10:7 aot^t allen Summcuxeiebcii vorLommt,
wie sogleich erhellen wiril, ^

oder aucb

Weil bekuDDllich

und folD;1icli nacli bcknooteo Sätzen ron dea inuginärea GrSun
(XL. ^. M.)

+ C11X -i- ^^ — Bin -^ ^^ K — 1 •

ist, so Ut klar, da«s für jeden durcli t» otioe Ktwt Cheilbaren We/Ik

I + ft-'J ■+- «-^ -J- w -»y + - . - -t- »-f»-<>y := «,
nnd folglich

1^4- e-V -f- e-gf -t- H-»? -f- . . . ^ fh-tii-lh _ ■

ist. Weil ferner oacli der Lehre von den gcomctriacbeo Progrcs-
«iooeo

1 _l_ e-* _4- «-87 -t- «-5* -(-.,. + *^<«^t>f = ' — *^^

alio diese Htimme der Grösse

i-d-v

I_(cos?2i^_gin?Ei/::rr) '

4. i. der GrÖue

385

gleich jnr, unil der Nennrr ilt(^(i«9 BriirfaH ofTenbnr niclit r«rscbwin-
üüt, wenn ^ eiiiv durch « uiclil nliau K«Ht tlll'rl)lu^^ f^Knitf Zahl
Ut'J, so ist klar, da«» fiir jedcu nJolit ohoe Rest durch « thcilbiirun
Werth voa y

1 -(- Ö-T H- e-»f H- ^-*? H- . . . H- eH»»-!)» ^ 0,
und folglich auch

^,-^f>-T■^-»-a?-|-»-^^...^g-<^>-l)y

ht.

Wend«' man divs nun auf den ohlg^pR Ausdruck von 'f^fr) an,
«u erhiilt iDUD, imnirr unlcr iltr Vorausaelxuiig , datü der .Moiiuhia
von je kletnfr »U der Mudulus von x ist^

<pw=,i+(i)"+(£r+r,r+....i«w.

Es ist abor

•-H(T)"+(fr+(7r+-+(7r

S=l-J-Qyj"(C08«,H-Bin«d, l/— l")"

-i-(^)*'(co««. +iiu to. V-':^!»»'

+ (^)'" (CM «. H- ab 6>, V^=l?-

('^^'"(cosü», -HBinw, l^— J/"

rTAK+ii"

i-(^) C^«'

»Hl«.,\/^n)''*l»-

1 — (^V(cd8 «, -t- «iii w, V^— I)"

°) Gehe uüailicb n iu 9 niclit auf, so ist -^ entweder kviile otl«r liine

g«u» Z»hl. Im «rstea FbÜc ist offctiliur nicht

lui inett«» Füll« sei — = *, ao kaon k kein« ifBrmlo Zahl dein,
n

wdl «onxt — K ^- eine gnote Zahl soin würde, vrclelies £e*ea dl«

Vurau8seuuiig tVn'ixxiy und in ilksem Falte in- ata»

d. li« e« ifii wieiler nicht
TbtU 1. ^

394

g'(*) = a

»'(-» = " m
Ut, Bo ist nach den Ubigen

<i''|ciM!o(Ar«tang~--^+fci)+siiii;((Arctaiig— ^-f-Ai]l^— iJl

aUii nacli Xr^ f 53. f M.

g^jF) = oef'-J|cos (o— 1) (Arctany j-:^H-*w)

H- aio (a — l) (Arelang ~ri -t" X7r>l/irr(.

Der ModuluB voit j: ist \^f H-i'- l»l »«« i^$'+'J*<^l «J«
5»H-)j*<;l, so Ut iuiDer I+5>-0, weil, wenn l+?^0,

d.i. g^— 1 wäre, offenbar f*^!, und folgticli £'H-il'^l

sein würde, welcLes a;pg«u die VorausseliDiig V J* + i;* •<! l strei-
tet, lüt alflu drr Hudulus von x kfcttnr iits die ^inlieit, ao ist

ioiii«r J+$^U, d«r Bruch ; - -^ b«t «lnu eioen endlicben riilUg

ItPStiraBitün Werlti, nnd die ganzr Zahl /- ist eine gerade Zahl und
IcaDii, ivic Midi uuch £ uud ^ ändern iD»f;pn, als constant un^cnoni-
meu werden, woraus eicb, in Verbindung mit den Obige n ergiefcl.
das«, MO lange d«r Modutus von .r, d. i. die Grösse 1^5' -f-Ä%
kleiner a\a AU: Einheit Ut, M*pder eine C'iTerbrecliung der Stetigkeit
der FuDCiion S{.r), n^cb eine Unierbrecbuu|r der Stetigkeit der
Function g^(j-) Su nt linrint. Wenn der Modulns von Jt^ d. i. dis
GrSsce 1^5* + 17*, der Uinheit glcieh ist, erliRlt z. II. schon ßt

5= — I, i;=:0 der Brucb 1 — j r den völlig unbealiiauUeii Wcrth ^.

Hieraus und ntis dem im vorigen i*ar«grapliGn bcwieseoeo wicb*
tigen Sat«e erg;iebt aicli aU», dase liir

Jederzeit

_a/m^?i?)«_^rW„

8(jr) = 3(0)

1 ^-^ i.a

.r"

I .2.S"

ist. Weil nuD ttacli dem Obigen

8(jr)=g«lcoa«(.-irctaag ^^, | /: -g)-t-»ia«(Arctaagj^-f-^)V^^|

nad jp = £-+-(il/' — i, also fiir J?:^0 auch 5^0 w»l *?==**, feig-
lieb ( = 1 uad

i:|:^ = 0,Aret«ngj^ =
ist, wohet man niehc zu Übersehen llnt, das« Aretaag .": -; Mck

387

I

m tu jMpni l>^lifl)i;r<'ii («rüde iiähtrl. w*an i* in*« tineiidlicb«
irüctiül, der ilrtu Muilulua r ili^r hcrHUtlcrlicIiCii firvfiftc » cntii|ir«>
icnile mittlere Wertii iltr Fimriion

rih;iH«).

Und Diirl) i\ttm VorIii-ru;i*>ifit<lMi ist «lip Fünctinn %{^) flu>«cin ilpia
Uuilulus r der veräD(lcrIiclii.-n (irönsv: x ent8|ireclicDtlcn mit i lern
Wprthe dvr FanctJou

itl«icli Oller kann durcli denselben darifcstcllr oder uufgedrückt
wcideo, wenn die lullenden Bedingungen erfiillt sind:

I. Die FuDClion rt(») «"«"lil. als »ucli ilir erster iliffcrent-iBl-
qvtilieiil i^'(ä|, hiuhk Tür jed^n l\eHli iles Mmlutua r der firösse s,
Vflrker eine .Mitiolerrösäe zwisclieo Ü Diid /l ist oder die UrosH« Jl
aidit üliers reiset, .iteti^^ sein,

i. Der MimIhIii« r^ilcr (iriissc s muss eine Miirel^rBsRC zw'isclien
'S und Ji »ein oder ihirf die (Jriiivsc /{ niclit übersieigi-ii.

3. Der Moduliia der Grosse ar uiuhs kleiuer tili» dtr Modiitns
r <ivT (irOHMt z nfiin.

Dies füliit iiiiiiiitlelli.;r '/u dem fitlj^oiideii Sut^e:

Die Function sla:) kunn jederzeit diircli den dctn Mo*
daluB r der liröase % en(s|>reclienden raittlnrn Wertll
der Fanction

tIargeHlelU «der ausg;edrückt werden, trenn nrrtil bloss
'^Gf^ea Modul US r der Grösse x. sunderD iiucL für jeden
*'leinern .llodulUH dieser («rösve die Functionen Ä(~J ■'■>(!
%'U) stetig Kiiid, und lier Modulus der Gri)»iia ar kleiner
^Is der Mndulus «ter Griisae. x ist.

Man kann über illesea Satt offenbar audi niif ftilgende Art
*ljs.iprf eben :

Vür jeden IVluduluK der (>riia»c a:. wviclier kleiner

at aU der kleinste der Mwduli dieser Grösse, Itir weld»*

'iae der beiden FunctiuDi?u '^{.t) und ^'{a') nut'bürl »tctig

lu ttein, kiinn die Funitlioii '§(.£') durcb den, eineut den in

Itcde Bt«liKDden .Mndulus der GritSKC .v nberälciseDden

■AloduInK r der Gröüs» a enfsprechflndeu mirilera Werlli

1er FuDccIon

largcBtcllt oder sasgfcdrückt werden.

4. 13.
Nacb dein vorigen Purnfi^ii|dii.-a k.inn die Fiinetion o(.r) jwlrr-
teil duTcb den dem Modulus r der GrÖ!ise « entäfircclicndeu aiitlletii
F'ertli der Function

-r^3W

J&i.

396

■fy-ty

IT Tf=^ erljÜlt miiD bierauB udUt der VoritUESelzunK', iIhk» \/f?'l^'» |
il. U. der absululc WurtL tu» ^ kleiner «In ili« Kinlieil, uiler

ist,

(l+5)«=l + «.?-t-«,?-+«.5' + «.?• +

Mau sielit, wie leicht der in vorigcii l'uragrajibvu bcwi^sme,
ron Uaiichy gefuDdeBu Sntx zu (Iie««n R(>iiu|tal«n dir bcknnnlÜ'^b
auf nnilcrii W<"i{^ti nur ziemlicli wi-illiiulig itiid »chw'nrig bcwiesfo
wcrdr^n können, fiibrt,

llomcrkf'n wiiltrn vir nach, dau, wie schon In dirr elemenlo-
rni Aiinlvüis gezeigt wird, in dem Falle, wo a eine puitivc g'Dxe
Zubl ist. für jrdi-s £ uud rj

(l^-5-^^Il/:=T)«=n-«,ß^-fJ^c^T)^-„,(5^,^/:rT)'

-*-ai(rH-.jW^^T)«

H-«.(?H-i7V'''^^r

H-

ist. Weit Dan naclj dem Oliigen

^plco3(Arclnng j~74-Xir) + «iB (Arerang ^^^ -f- Xir)V ^ i|

ist, wo Arctimg . . Twi«chen — \jt uod + J», nod dir gm««

Ziilil Jh gerade oder ungerade genommen werden nias&, jenachden
1-1-^ posilir oder negativ ist; so litt giitiz unter dciiselbeo Vor«
aussetzungpn nucli X.1^. $. i>-i.

= p«Jco8 a(Arc*iitig j^H-X-ff] H- sin «( Arctaug ~t + Xot)V— I[.

Also ist uitvli dvni ObigCD, wenn u eine poäitive ganxe Zahl ist,
fiir jedes f und rj

Itl4-5)'+^M^t«M4Arc*gj^+*;rH.8ioö(Aretgj^^*7r)l/'^|

wcun tiuili Arctaug r - ^y iwischen — «^ir uud «^jir, and ili« gute

397

Zahl k ffcradc oült ao^ratlc oiniiiit, Jciificbdrm I + S positiv oder

Der Rnum «(«ätitltnt für jelxt nicbt, dieacu wtclitigCD uad iu-
lcn<H<iniii<'it (iri^eDiitantl wfitfr auszuführen; vir werileii ober sfiä-
<i>rliiu iiiif ilriiBcIhBn xurürktiomini'n.

XLIX.

LmvciuIiiD^ ticr Lehre vom Zug^c auf die Nacli-

ueiHting; «ler geuinetrisclieii Hedeiitiing der

Form rt + Ä.V/^nr

Von dem

Uorro Major and Uitter Dr. G. W. Mullcr

i'eaduDg g;ebrAclil<

Pi« voll GiiiiBs hf^rvorgetioIicD« uad in
letrisclie B<;de.iitUDa; df^r sogcRannic» imaginüres ^o^ln «e-^ti.V — 1
durf zu dvnji^ni^L'M DiMicrfti ICrwcitenini|;f'n dvr MulliPutilik ^ozultlt
werden, die eine liesuudcrc Aiit'invrksuflikcit fdr bich io Ans))ructi
uelimi-u. Wie diese Ucdeuiuiig: sieb auf «iii<; ciiilaciie Art uus der
Li^iir« vom /ugi^ *) tincFiweisen liissl, welck« diiM Uexclirvilj^n oder
Uurclifalireo des Rfiuinx alt« den eigen Hieben Gegenslimd der aou-
l;rlioclieii Aiill'iiKsinig der (•roiiii-lrte lictraditcl, dieiHis Aoll durch
naclifuli^rndco lersui-b gcxcigt worden.

Wenn der Zuc: ciui'it Lesekrcibendcn Punkts die Statten Üliii-
lichcr Figuren nacli der Ordnung der Aeiinliclikbit durvbtubrt, üo
ivird ofTeubnr die uiiler duu iibuticEica Suiten Statt liodcnde Pr<){>or-
tion auch unter den besclireibemlen Zügen Statt finden, indem deni
B^-grilfe der Aebnlicbki-ii die \ urHUK^elziiiig cuts^rlcbt, da»» in Ülin-
liftitn Figuren die äbnlit-lizeigendcii Kicbtungen, und dnniit also
aiicb die Grössen der Züge, die einen nbuliclicn t'ebergiing dar-
bIuIIl-u, uIh gleicbtiiinLige zu hrtrncblen xind. Es sei z. It. in einem
beliebigen l'nnkle A einer geruiieu Linie BC ein Perpendikel er-
richtet und der Punkt O, wd uolcbes den yoa IS nticb f nibründen
Ufllbkreia über dem l>uri^mC!»>er HC IrilTt, gtriidlinig mit // und
C verbunden, sn sind It.l/i und D'A'C äliuÜcbe Üreicekc, —
(Anmerkung. Die Bexciebnung obuc oder mit Acccnt soll liier bei

') Dar»b-lliiiig «lir Lrliro tijui Zuge u. h. w. in Crellc's Journal für Ma-
llienialik. U. XV. H. 3.

398

<teo PuBktfn. die za beiden Dnteckpn f^hnran, ntrrsrheidrtj, u1>
sie für linn prsle oilnr liir daa letztere brtruclilet werilca. aiinli soll
in iler Angab« ein«» Zuges, üor zwei Punkte verbintlK, der vorati-
8t«hend« Uuchiilabe iIüd AofuD^Bfiuokt dvs Kufim b«zpirlinen.) —
Der zuBiituuieiigcsrlzte Zuf ilüK bt!M:lireib«ndf:u Puakti iler von B
Dacli '-t, (ttinn vuu -i nii«Ti J9, von />' nach .i' nud von .-#' ascb
Cfuhrt, durclifftbrl ojfpnhsf di«- Spitpn d^r aholirbrn Ormeckt; ß-iti,
t^ÄC narh dnr Ordnuni; d«r Arhnlirbkril. M:in hut als» unl«r
dr.n cinzclucD Tbeilen seiner ZusnuiuipnspljeiinB:. die als Züge auf-
gefaäst werden inüs.i<!n, die Prupartiiin HA: Jiit':^ ii'A' i ^-Ft'.

Nuu kuuii Biiiu t'iir CID recliLuiiikliires C'uunJiaatcusyütcm in
der bbcnc den Ausdruck aa-^ft^ ah die Bllgeiiieine Form t'iir diQ
ODutyliiwIiL- DurHU'lhiiii^ drx l'uonlintitf nzuifrit »nKebrn. der, wenn
«r von eineni l'unkir P nuii^ebt und zu d(Mn Punkte U hiofiibit.
dndurcli des lelztiTcii Nsgc j^e^en den crstcrcD bcstimitiT. Es be-
deutet dann a dir Grosse den geradlinigen Zuji^es, der die Längm-
einheit in der Kbeue mit ciaer Kicbtung hescbruib(, die mit der
uu&itireo Ricbtuno; in der AbsciNseiiuxe einer und derüelben Kicblang
im Ranme (lanillcl zeigt. Und H die tirusse de« ^ertullini^en j^u^es,
der die Tjnngrneinlieit in der lülirnc mit einer Kiehiunt; uescbreibt,
die mit der [lOäitiven [tiditiing^ in der Drdinntenuxe einer und der<
selben Richtung im Räume |iiimllel zei^t. Die (^enicienten n und
h sind niimeriNcbr Kiicioren, dt« diu .Setzen der <JrüS)iea a und /l
zur Bildunjf der beiden Tbcile des ganzen Zuges näber beslimmeu;
ibr «bsululer Wertb muss sieb zu 1 verbullcn^ wie die Länge ibrcs
Tbeil» zur L;iugeueinbeit, auitaerdent kÜniien nie positiv «der ne*
gativ sein, je nachdem die nescbreibuns; der Tbcile mit der Rieb*
tnns: der Griiasen « und fi selbst oder mit der entyegenpesefxteu
xur Auüflihrung klimmen ho)L Es üind nls» a und h liieHellteu Zab*
ten, die nacb der LrcnÜbnlirbeu AufTiisHUii!? die Abäciitse und Urdi-
Diue des Punkts Q gegen den Anfitngs[iuukt P einzelo für sürb
'darstellen.

Die ICiacntliiiinlicbkeit dieses ('•lordinatensv^lems bcstcbt darin,
Ldass Jeder Punkt der Ebene von dem Coordinateiiziige nurb vier
iTfrsrbiedenrn Rirbdinsren. «iR sie den nriisüen -(-"■ — «, ~^~?i ~P
«ntägirerben , durcbt'nlireu tvcrilen knnn. Die rinreb d<is ZusamisCi-
liegen dieser Grn.srii-n in einem Punkte .' der Khrne, aln ihrem ge*
mcinsrbni'l lieben Aulungfeiiunkte oder Kndpuuktc. unter ihnen eat-
stchendc Beziehung Hudvt also für jeden Pbnkt der li)beuc statt.
I^sst miin v»n dem Punkte A au<i Aß den Zug +tt, AC dei
Zug — a, AD den Zug +|9, AE den Zug — ß darstellen, M
eotsteht eine Lagenbeziehung unter ähnlichen neben einander Hn
genden iJreierkew //.//> uuä DAC, />.Vt* «nd CttC, CAE onJ
liAÜ, J^Ali uud BAU ganz mit derjenigen Übereinstimmend,
welche oben betraclitet wurde. Mau hat also uoter [enen Gniüsco.
insofern ein bi>s('lireibru<ler Punkt ste vermittelet einex lasainuien-
hänffeiiden Zuges dnreblauft, je nacb der Folge B iHAC, ÜAVAB^
CSEAB, EABAD die Proportionen — o:^ = — j?:-a, _^!
— o^o: — (?, o: — ßs^ß-.a, ß:ar=i — a',ß. .Shinmtlicbe Pru-
pgrtiuncn geben die Bezicbung ßß==—aa, also ß = a . V — i
oder ß=.a.i. wenn -\-V — I durch * bezeieluiet tvirJ. Ueuiel
SUD a, als den unturünglirbcn t^inbeiCNzug, durch -\-\ »d , au er-
bilt Baa /!;=+K — l = r'. Kj ist dewuack M+<(>i diu anaJy*

399

tiftcbc ForiK, ni-lclie dür GrösM des reclitwiukligon Cordinatrnaugea
xuKoinuit, weno ileritcllic ntd ein ituiuimi»eiilinii({on<lcK GaiizuK auf-
(lut'itssl wird. Uvr» ivt l^ub«U de» zwoit«o TliviU eicJi beitiigeude
t-Vctur i ileott't (luLei wu, <iu»» die Lüngeueiiiiivit, wcIcLe für
die EinltcJI dca vrstua ''l'UniU mit der |Ki&iliveii AbsciiiscnriclituHg
Lrsclirirben Tvird , für die Kiulieit de» zwciteu TlieiU loit recht-
wiiikliß ultwi-iclii>iiil<-r Riclitun^ zu lii-Hclircibuu isL

Wenn tM-i-6.i ilcii (_'uordiiiiUeuxug darstirJll, der vom Punkte
/*/uai l'unkte V iibc.rlubrt und dnr geradliiii^fr »dür Radius-Vector-
Zu|; luii y ii^cli Q durch r bv^uicIiiR-l »ird, so datw r destica LSagu
in Tbeilen (I«r l'äiigcycinbeit ausdrückt mit dem VorKcicben H-
uilcr ^, je nuclidcu) iii dvr gerudvti Liuit- ^l? die RicbtuD^ tqd
/' uncb ft al.i dii; |iu!iitiv6 oder nU dii^ iicfratirc betrachtet winl,
und w<'DD fcriRT « die Eloiij^iition jenes Hadiiiä-Vector ist, d. b. die
GritRi^e des Winkpls bezeirfanel, der im Ncbeitelpunkli: y aus der
KiebluDU, die mit der positiven Absei tü^curicbluii}; einer und der*
selben nicbiuu^ des Ruuuik [>aral)ul ist, iu diejeüiffe ubcrt'dhrt,
Aiv in der gerndcu Linie J*f/ als die pusitivo belracutct wird, so
lint mau allgeiniriii a^=r cux e, hzz^r sin <?, a-f-^.« = r (cos e
-1- sin e.i). Die Crosse c lässt sich durch die Zabt au^ilrücken,
welche die I^änge den Bngcits des I^iunE^MionawinkcIs in Theüen
des HiitbineitHuni ansii^ht mil di-m Vorxi^iciirn -|- oder — , je nach-
dem dieKei' Winkel durch pusilivo oder negAli^'e Drehung zu be-
sclirviben sein wird. lüs steilen dann a unu <& die recbtH-inkli^fcD,
K und r die i'itlar-Cuordiii»tt;n Je» l'uiikt» Q gegen d«n Arifungic
|tnnkl /* nach ihrer «inzcinen Grösse dar, uud zwar die absoluten
nder di«? r<dtilrven Courdinatcii , je nnclideni P der Antnn&^.spunkt
des ('(lordinttieti-S^'stftirs »«;lbRt oder ein anderer Punkt der Klime it^t.

Die durch (iiiirbv nufgpknuimene Kcnrniiuiit^ „conipleve Z^ibl"
rar die Zahl von der 'Form u-^h.i Keheiot liereits dua Kürgerreclit
ucwonii«o zu IiabeD. Die von ihm befitlßle AuK&ch|ii.-ti!iuag negii-
liver Wrrtlir für dr^n Moduln^ der irimpJexi'.n Z:ibl oder fiir die
CiöSüf- r in iler Form r-,(co& e -f~ sio c.i) hat -xtvar liir eiiucloc
Pälle ihren \nttcn. stört nber dii> Allgemeinbfit der AutTiiasung.

Die durchgri-ifcnde Allgemtfinbeil' der llarsrelluMi^ der (Irossc
des l'ooriliniiteiiEugeti iliireli die co)nii]e\e Zülilenfon» erhellet itin
uuffiilleudbleu bei der Reehnnng mit complexcn Zahlen. ICh sei
i. H. A der Aufaugäiiunki deu l'uurdiualeu:«}t>leius, AU die mit

Eisitiver AbsriüNeurirbtUiig beschriebene Lüogenpiabeit, su »teilt der
tig die umfiriingliche l^iobvit dar, die dem Courdinatcnxuge tarn
Grunde liegt. Nun bcEeiebn« a -\- L , i z^ r {t,a^ c-\-%\n e.i) die
Crosse di'H Coordinalenzuges, der aus A naclj dem Punkte C rdhrt,
s<j tritt durch das Ni>t7.f>D Hiesrr complexen Zahl der Zug von A
»ach V- au die SleUe des lliuhciUzuges yud A noch lt~. henkt
wun Hieb di» cnmplexe Zahl « -(- ^ . / »Ik eine Summe %uu iili(|uutea
Theüen, ü» wird das Setzen derselben zn einer Polge vmi Punkten
hinfuhren, die Endpunkte von entsprechenden nliipioten Theilcn de»
Rndins-Vp(tor-Zuge<i .-f f'tiind, Dod da ein Zug als die RrtinivorsleU
tung dcK Aneinnnderreiliens einer Summe von unendlich vielen nn-
ondiich kleiiii-n itlii]ni)ten Tlieüen aufgefasst werdi^n kann, su ist
mit den Setzen der enmplexeii Zabl « ■\- b , i in der 'l'lint auch
dtifl Nttxen di-a Rodius-Vector-Zageis .^<^'Kelbst verknüpft. Man dar!"
.nlitn «tgeo, da«) da« S«Iz4>n der com»] exen Ziilil aH-*^ ' = ''(eoN i*
-f- sin e.i) uns dcoi Ifinheitazage ^^ den R. f. Zag .^C hervor*'

40«

^^pti lässt and (Idbb dabei e deu Tcbcrfi^ii^ aus der paBitirra Rirh.
tunf; des Kiulicifszuges in die des H . T . Zug«« und r uh FatlnrJ
VÜ11 1 diu KUH der Kialieit hi-rrurj^elifad« llDfotf («rössi! des Zose»
AC «nzeist. Nun aei die cowplrxe /«hl "Ä H- 33 . »^ JR. (costj
-(- «in (^ . Ij , welche vnn ./ zum Piiakle /> binr'iiltrt, ilttt l'rodact^
«US den lii^iden eomnlciiuii Zalilün a -\~ 6 . i:=r . [cesf'f- kin f. i}U
und a' -^ 1/ ■ 'f:=zr . (cos ^ -\- üin ^ . i), su wird, weon die rrslere
dabei »In Mulii|jUcaud antceselien wird, diese für din Auäfülirunf^
der MiiJti[ilicatiiiu nn die Melle der Einbrit des Multiplicatarä trelto,^
e« wird aleu dvr Ko<iius>Vetttir-Zug Ah »o ans dum l\ . f'-Zug-V
AV burvorgeben. wie es das Selzeu des .tlulliplicators tÜr die Bil-
dung eiiu-a R. F. Ztiffen iiiis dem Kiiitieüitzugi' AB (orscbreibl.
d. b. C8 wird r* den t'cberti;anfl; üUs der [luaitivrti Ricbrunsr des,
H. V . Zubc» AC 10 die- des H . V . ZuRes .//> aogebea, ond r'i
als Factor rnn r die lineare (iriisät! des H , ¥ . Zue^ü ^/> berf or^ |
bringen. 51«» würde ulau hicrnacb 9t = rr' uud l^=:r-(~e' erhal-
ten, »'cicbes vollkommen mit dfm U'iiklicben Multipliculluosproilnele
der couplexf^n Znfalon selbet übereinHliiDBit, iDdvm

r.(fnseH-8iii0. •) . »^(cos «'H-iin^ •
ist

Anwendung der Fresncrschen rormcln znr Bo
rstinimnng der von einer beliebije;en Anzalil [m-
rnlleler durchsichtiger Pluttcu rcflectirten und
gebrochenen polarisirten LichtintensitAteu.

Von

Herrn J. Flesclil,

lirer der Uatbeinntik und der Naur%viuienitctuircrn an \\fT Rcalschnie in

l>ü^el(lurL

I.

Die rbäiiomene des Ltcbta werden hervargcbracht (l^cducbr; diircb
Vibrntiniicn einett ansüerst tflnen linchat eTastiBcbeo, duK i^iioiP
Universum erfüllenden bypotbetiseben FliiidiiniH. tvelib^a miiD I.'iclil'
Aetbor uennf. Die > ibratinnen der Aethrrlbeilcben erfolgen imu»
und jedcrteit Kenkrecbt zum /.iebtstralil. nUn »tetü in «iner auf tli^
aem letztere» senkrecbten Ebene. Bleibt die Srbii-in^unj^Mrtrbluiqc
der Actbertbeilclieti CDUütcint. d. b. sieb immer jiarallel, di> bcisfl
das Liebt puluriHirt; .tudert xicb dieselbe über cuutinuirlicli, 6«

401

I

heisst du» Tjcht uopolsrisirt. Icli uenne nit des franKÜaiseben
I'by8ik<*rn d«ujfiiig« |f<>larisirte Licitt, tlesHen Xitirationea senkrecht
gegen die EiDf«ll.ii'beiip «rtV>l(E«fi, in der Kiaf allst'bene, dasje-
nige liiDfi^(;eD, d4**scn Oäi-iDnlioDen in der lCinfiUI$«l>RD(! ttcsdielien,
»«nkrcrbt zitr Kl nfii lisehenc iiularisirl. Da licli^dfla uiiiio*
InriHirto l.ichl Li'tracliKrn Üisai nls via« eontiniiirllrliR AiifcinRnderfolare
uacli allen niititliclteu Kicb<uiii{eii |i»lurit>irl«n LicIilK, ou duss in einer
s«br kltfinvii Zeit n:icli jeder Kicbtung e^leJcti viele und gleich starke
Sctiwingiingeii erfolgen: so kann üosselLe aUu, nirnn es nnrli der
Rinfallsebene und senkrecbt g<*gen dieselbe xericgt wirl, uni,'OH«lieu
iverden als ein System iieiikrecbl xu einander pulurisirter Ntrolilen,
jeder von der liitllten InicnaiUtt des unterlegtm unpnluriitirten.
Desbalb also, weil rs der cinfucbcre Fall ist, und weil das nnpo.
larisirli; LicM uls uns pulurisirtem bestehend nngeieben werden
ksun. verdiL-ut mit der Betrucbtuug des polftrtsiricn Licbts der An-
fBDg gemucbt zu werden.

Füllt in der KinfalUehen« pnliirisirtcs I.iclil, dessen Vibrnlionen
also senkrecbt gegen diese Kbenc crfuli,ren, von einer ala Einheit
angenonimeoen InteDsit^t, unter dem Winkel ( auf die Trennungs-
flüclie sweier durcliwiclitigen Medju von vcrscbiedener Üicbligkeit
und wird dasselbe unler dem Winkel ^ refrnclirt: no sind die In«
tenüilHlen des rrflectiricii und durchgebenden Licbta respcclive aus«
{gedrückt durcli folgende Formeln:

^, sin'ii ~ «') , ^, t d« sin 2*. »in 2«'

Auf gleiche Weise sinil ilie Intensitäten des gesniegeltcn und
durcbgebendcn senkrecht gegen die tinfull »ebene pulan»ir[cii I.icbti*
tlesiten Ncbninguugen also in dieser bbcnc erfulgcn, unter übrigens
ganz gleiclien Uitisläuden, gegeben durch die Ausdrücke:

lang*1i — »') , «. . „. Mn3i . sin2j*

Ä» =

und ö» = l — Ä» =

Diese -i Formeln wurden gegeben vim Fresnel In den Me-
moiren de l'n('(idi>uiie des scicnccs und trngen seinen ebrenvnllea
Kamen. Man lintlet sie giciebfolls nusrübrlicb entwickelt in Rn>
dicke's Handbuch der Uptik. 1. Band. Seile 2'il. ff-, so wie aueb
in den neueren Lebrbiiclicrn der Pbvüik, z.U. in CuurB de pbysique
» l'i^cule ]ioljle<:bui^ue pur l.iinii!, Touio IL ^. C37. u. s. w-, viks-
'halb ich |(io ihoea , «Is von allgemein bekannten Formeln, in mei*
ner kleinen Arbeit uusgelieu zu dürfen geglaubt habe,

3.

Füllt ein Lichtstrabl uutcr einem beliebigen Winkel auf die
Trenn uugsflacbc zweier durcbslcbligen Media von verscbiedener
Dicbligkeit, K» wird derselbe im Aul:Tali«punkte im Allgemeinen in
«weibiruhlen gotbeilt, von denen der eine unter dem Autl'ullswinkel
ins ersterc lUedinm zunirkgcworfen, der andere unter einem andern
Winkel ins zweite Medium gebruclien wird. Fiillt nisu in der Ein-
fnllscbcne polariäirtc» l.iclit unter den oben (Art. 'i.) beieiclineten
Bedingungen auf die obere Fläcbo einer UlAsplutte mit parallelen
timUI. 36

402

llegTm»EUii)r«*I»rB*ii. so wiH ein TliCil J"* in ilit; Loft reftertirf,"
4-iii uDtlcror 'Micil ^'* ilciiiffC unrcr dem IViiiki'i i' in tlic (>ti4i»ii«a«
ein lind trifft untnr driiis<.-ll>(.-n >\'ii)k(>l t 1111!' dlt? unten' Grcnztrhrii'
(li'r Plultc. In tliesei» l'uiikt« lliuilt »icli ilieKcr Irtzicre 'l'licil V
wivAvi ID Kwoi älrulileo, vuii denen der vidi- ins Innere iler (iUs-
ni;iRSi- ^v«))ii-ev]t tvir4l, der »iiiirr« untnr rieni Winkel 1, also p»
nllel der uunullen<l«n Licliti^inbeit. nus cti-i- l'lutlc liprnu&tritt. U
sicti Duti die tVerthe voti ^/* tind f''^ nirlkt amh-rD, wenn * qbiI
unter einander vfrtiiuscht wcnJt^n, du ;ilsn die lulrnsitatr-n drn te
flectirlcD und rclirochencii Lirlitrs »us der «■Nlsiirei-tit;n(lea lutea
sititt des aufl'alfciidün HteU auf itipi>ellie Weiü« kestiiBint n-rri!eii, ilarj
Liclil: maif unter dem Winkel / Jnila ditlitere, uU«r unter dein Win
k«t / »iit» minder dicktv Medium onll'«i!li'ii: »<■ erliAllen wir til«o in
(lieseni Fiille, ivi« n» ertilerrii, die liitciiJiiLil ile» in« Ittoere der
(iliivmaaitc zuriichge worteneu und uns der»ell>rn Iterau^tretmilrn
IJelites, wenn wir die Ititen-iitat C* dl'.t antTallenileo res|»ective mit
V* und ("* niultiplif-iren. Die InlensitÜI des ernlt^mtn Strableg iu
nUu t"*A''f die des andern C*, so duss

Wenn wir auf diese WVisi' <!ie Sacke verfolgen, st> ersiekt
»icli, duHs innerkalli der Glasjilüllc .buitclivo deren tieideu imrulUlen^
Jte^freii/.tinLTiteltenen eine uiicitdiicbe Mt^uge von H<^lle\tuncn ^t«ll
baben. Alle diese leflcclirlen Slrulilcn kalicD das g-cineiuscliat'llicli,
Ams sie .ttiiniiirlicb in der KintnltsetH^ne liefen und Uüter dem Win-
kel >' refliMMirt werden. IJid da aiuu die lnti':n:4tlat de» geapiegeltr»
Slrukls crlialt, ^veu^ inau die lnlen»ii:it des Mulliilleuden utii ./' mal«
tiplicirl. &o werden die Intensitdlen ititcr in Innern der t^Ui^miLM"
reflucfir'ea NtrnhUn iils« eine geoitiftri»rhe IVtigressiun bilden, li-'
reu ersteft (>tied C* und deren ({litiltent .*/' iit. Diewu Huibi* i--
ulsH:

fTm nun die IntoDitiläten dor ftUft der oLercn »der utiterein f>riT>-
ebene der l'lutlc lierauslrrtendcn [i.irnlli-Ien Nlmbleo xit erliulittii. 1. •
bcn wir nur die licIrelTcndrn iinHulleDile» l.icbtinlensitatca, aw
deren Zurleguiig aic Iirrvnrgesrangren sind, jede» Mal mit C' a\
^liiiliriren. Ilic von der t>l*«rfn Urenzebfne der Platte unter,
.dem U inkel / ausgebende Licblinttn&itHt nird »l&u ^Icirli »ein iiK
»uinmv folgeurJt^r Reihe . deren (ilivilvr die Liclitslürhe der einitÄ-
len Ailralilön ausdrucken:

%

= T^rTA^

.1»

Auf {{leiclie Weise erliiilc maa die lnten<iilät des uns der \m-
teren Klaclie der l'lattc lierauätrctendvn Liclihi durcli di» Üunaki
tina der Reiln-; ' ' 1

1.Z'* H- V*A* + C*A* + cic. = f* (l^A*-t- A* -♦- etc) =

I ~ I*

Folgende Gleickungen xlclleu die JEdv«iiUiiif(Oii aiilfalleudro

^rt

4(13

IJelttinteDai inten mit ihrcu rCKpectiven rcfleetirt«o und gfebrodiC-ni^u
[.Strulitcti (Inr, in wriehr sie sieb bei ibr«? Kfirleirun^ tlioilcu:

[drrcii Kirlitigkpit eviilfnt isf.

At» iliT vtiruniTrliciidcn Entwicklung crg^icbt si<^h iibersiclillic'h

[dargestellt folKviiiliH Rrstiltiit:

FRÜt ia ilvr Eiiitaliüvbeiiv ji^utciribirltüi I^lclil von der Inten-
sität ^ I unter dem Wiukel / auti Luft auf die ubcre Fläche
einrr lilRSiilalte mit (luriilk'ltfn UegrenxiinijA^bvnen, ho Ul die
Intensität ollex von ilor olicrn Keite der l'liilto unter dvra-
selben Winkel * ausgehen den Llcbb« gegeben durch den
Ausdruck

und i]ip ItitensitHt Afs unter dem Winkel /. also {kartillcl der
iiuflnlli'ndrn Liclitcinb<'it, »u» der uiiti>rn Klücbe der Platte
iitittreicnden Liclits wird drirjO^estelll durch 'i^n Ausdruck

i-hj» — ' ' •

Wir finden otso das von der »bern oder unirrti Flache der
triultc- knmiTiend« l.icbt, wenn wir dio InteDüitiU des uullullcudcu
[rrsjtevlive oiit ,7,' oder f',' mulli|diciren.

Wir denken ans nun u parallele i'lntten ouf einander liegend

lud beseicbueii, ütiulu^ ilctti \uL-i^en, d«K unler j^iiiiz denselben

■ClamtüDdcn von der oleru Fische der obersten l'ltitte au«geheude

hiiclil duri-li ,/„' uHil dag »us der iinlern FlHL-he der untersten her«

[.tonslretcnde durch C'u^. \\\t rügeu nm-b eine l'latlc hinin und

l^'ullen beslitiirnrn die bei der \ercJnigung; vud («-1-1) Ptalteo

ron der fiber.sten und uolerflen l'Iiittc knnitnendcii Liolil Intensitäten,

iilso Am^\* utid C^t*.

Vor Allem ist ,«iulcuchlcud, da»ü zwiiicben der uulcrn Fläche

ider ntcn und der obcni Fhirlie der ditriiiitiL'rlif^eudeii (u-|~l)teu

jlMatte eine unendliche Meiig-e von LicIitinteikMilaten »lir^i hefindm

Verden. Wie oben (Art. 3.), so hiilien tiurli bier alle diese Strublen

[tlns gemein, daK» hIg sHmnillicb in der Kirfibllselinnc liegen, duge-

cen uhcr alle unter dem VVinkel i von den lieKt'tcliuetcu beideo

^lachen hrtkooiuicn. Wir linden uiiu die [uttiisität irgend eines

Hefter Mrnhien, wenn wir die Intensität deüjeniu;un uutTutlenden,

lUs dessen ZerIeEj;ting er hernirgi'bl , rri-iterlive mit ,7,' oder Ah*

nulti|dirireu, jctiiich'leni der .luflullende Ntrjihl uul die eine einzelne

toder diu m vereiniglen Plutlcn trifft. Diese Hlrohlen sind also

\C„^ -^ C^^yi,^ ^ C\\f ,K4.' -\-Cn^A,*A„'-i-C„^A,*A.,*-\-vic

Ana die»en letxtcreo ticb zwischen den beiden PlaUensyateneo

26«

404

bcwcjircuden Strnlilcn finden wir ddii die fioxelnca, vou ilioeii her*'
rilkrcndeDi dui d«r unteren Fläcbe der cioea «inzelora, oder
der obf-reu Fläclifi de» St-wlems yun m Pliillcn pnnillel unlcr »i»-
aDd4>r liprauatfrlrndcn Lichtinl^nüil^tcn, weuri wir die beirctfi'ndca
(auÖiillcndi-n) SirJiIilen rrsi)frtivc mit C,'* oder f'n* «aliipHcirea,
ji^ narlidem difsellien nuf die citixplne oder die IMaltcn aullirl^n.
AU« wird die liitensiiUt aUv» van der nbcrn Flilclic der [n -{^ I|
But einander lipg<-ndfn Plalteti komratroden Kicbts ßleicli sein der
Summe folgender Rt>tlic. deren i^licdcr die LivIitKtärke der einztl-
octi S^truLkn bf>z«iclini:!ii:

KbeBRO int die IntensilJU aller nu» der nntcrsten («-hljlea
Platte brrausiretcndcn pnraDclen Slrahlcn gleich der Summe fol>
geoder Heibe:

Folgende Gluicliiingpti stallen die aufTailendun Licbünteuiiilateii
mit ihren rCäjiectiven reiüeetirten und nsfraclirteu ätralilen dnr, ii
welche sie eicb zerlegen:

1 r= ^«> -♦- r„%

C^^J.'A.' — C„'A,*J^^ -^ Cn*A,'A^^C,'

■. B. w.^ derrn Richti[rkeit s'irh von selbst vrgicbt.

Setzt tunn in drn für A„^i^ uoii Cm^i* gefuodeDco allgemti^
DCp Ausdrijckcu äuccessivc

« ^ I, « r=2, »=r 3 n. a. w.,

ao erhält man nach einigen leicLten Rcdactionca:,

W

|^.' = J

6/*'

Hieraus Echlicssen wir sllgemrin:
•inj*

*-• — I^TJ'-

l-J'

u. Ii. v.l

so dass jederzeit

1 = A^'-^ C„\

Wir faHscn zutumuncn. Fällt io der fcliDtalUebune polnrisinn

4<I5

IJt-Jtl von rtncr »Is l^iubeit (ingi-uammcac» Intcnsitüt unit^r dem
Winkel / nna filifl auf » übi-r eiDantlffr liegende [inrallfle Glas-
liliiilftii mir. SD ist iKo Intctiäitat allrs vau der uborHlvn IMiilte unter
ilemsvllieB Winkel ausgehe ndi-n l.icIileB ^ .t„^ und die Inicnsiiät
du aus der untvrs'ün Pliille [lurnllel ivr aulTulIvDdvD Licbtcinbvit
ItcrauvIrrU'uileii l.icbln ^= ('h'' Itfide Tbt^ile bl«ibe.u in der Eia-
fiiils^brne uulurisitt.

5.

D« fiir TJclil, wr'lcbi'B spiikr^rlil |(t>gcti die EititalUeltPne po-
laristrr ist, nn die Stelle von A"* in den vorbcrci^cbfndcn tatn-ick-

" ' . ' \. ""'... ' » K«

da^^sdlie bleibt, so werden also, analog- den bt-id«n viirigen (u), diu
Furmcln

luDgcii //* tritt, iibric^riiä uutcr deuKclben BetliriE;uiifrrn alle^ genaii

" I bt-iunn

l-Ä>

«»' =

2fiB*

/>.' =

1 -H2»i — l)ß'"*" ''^

die TOD der nbersten und uiili?rstcn Platte für diesen Fall kommen-
den (lolorisirteu Liclitinten^ilalen tiusilrücken, so da&s wiederum

1 = Ä<' -h />,».

Fällt nun nber nnivr denBelbon Umständen ffi-nolinlicli'ea nn-
polnrisiries Licht auf von der Inieusitäl =2^ una denken wir uns
dnstclhe auf die obpn (Arr. 1.) unc^edeiitele Weise in ein Cysten
Renkrerbt xu einander [lolnmirler Nirahlen zerlegt, jeder von der
Inteiif'ifiit ^ 1 . und von denen die \ ibrutitjneii di'ä einen in der
I^inlull^ebeoe, die des andern seukrertit ge};en dinse Kbeue erfulg;en,

Lm» wird ctliin die Inteusitat tilles von der obersten Platte ausgeben*

Iden Liebt» durcli

uud des aus der unterBten Platte lieraustreteiiden durcb

t «' -h />«=■

[ausgedrückt werden können. Ucbor die Natur dieser beidcu Liclii-
nnt^osilalen wollen wir keinen voreiligen Scblnnt taavben.

a.

Formt man den Auadntck

j, Hin^fi — D

"^ ^^ 8in'(t-|-f)

.vermüge der Futidamenlnlgleicbung der Rrecknng des l'ickta

sin j = ft sin i'

Ifti iO «eilt man, dn»« demelbe sein Minimum •= \^-—-:) oder

fniaxiiuum =: I erreicht, je DacUdem

» ^ oder < =^ -;^ ist

Lucb Issst sieb dureb Uiflerenliuliim li'iclii nachweisen, da^* der
JlVerlb von .f* vnii der einen Grcuze xur andern mit dem AulfulU-
■"Winkel cnntiuuirlicb wächst.
Der Wertb von

4ÜG

— ti.i.ß'U-t-»'!
kiiigvgea erreiclit sviu Mitiiaiuai == U, wenn

i^-f-rr--^ ist.

Hin t' ^ vu> 4.

sio ( =: /« sin i' ^ fi c»b f

Alsdunu aber ist
folglich

und

long ii^ f*.

Fällt als» Gütikrecbt gegen die Kiiirollsvbene iMiUrisirt« LicLt, un-
ter dem durcli diese (iluicbuut; lifKUininteu tVipLcl ouf di« Trco-
DUDgsDücbe zweier «lurcliüiiliti'^iT )l«dla auT, so wird durdtau« k.«)ne
8piir von Liclit r«Üi>clirt, Hondcrn allen tlriiiiil loa zneil«- Mt'itium
ein. Fallt hingrgrn gewolinliclie» UDpoinrisirle^ Kidtt auf, su cot-
liült das f^espiegelic Licht

weil ß*=zO ist, nur in der tÜiitiilUebfoe ]>oIarisirtcs Liebt tiD^
■Dan itas^t deshalb, d&ü l.ichl nci durcli Keflexion vollkon.
■neu iiütarisirt. Und dulier lieiHsc dieser AufTaJUwiiikel auch der
Folariiatiuuswiuk«l oder derWiukel der vollkammeae«
Fulurisatiou. Es titt luicbt zu zeJgQo, da»«, w«il

ist, der reftectirle SlraUl auf den g«brt>vb«uen aeukreclit «telit.
Fiiri = OiBt//' = (^;y;
Für I r= Brc(taDg = f*), i9* = U, aUo Miuioiu».
Für » = — , /l» =: I, also Maximum.

AuH dem Voraiif^Rbeuden ergnbep «ich folg^ode (■eüctxe:

1) fällt |i»turistrtc9 Li<'lit uuf die TrcnnungsSacbc zweier durrh
siclitigea Medin, su wird bei scDkrecblor lucidciix uur ein Thdl^
rüllectirt. b<!i liorisunlutt'r dagcgt-u alles, Aas Hiiirallcndfl l.irbl
pQlarisirt sein id der l^ialiilUebenc oder svakiccbL gegco tltexclbt. ,

2) Ist das Liclit in der KinfalUebeQe polsrinirt, so wiäclist di^
luLensitiit ie.» aP»pivgf\tvo Ltclilx mit dt-r Nrbiet'e der Incidenz.

3) MTenn hingcgcQ das Lidit iiolaiisirt ist ücnkrcriit xur Eil'
fallflubeiie, m irird bei etncm gcnisMu tod der licbtlirvclicDiicB
kraft de» zwrileti Miitcls iibbäpgigCD nphiefeii AulTulInwiukcI (P»-
larisatiuusB'iiikel) kein« N|iur gei>|tiL-g(;il, isouderu alle« ilringt iit
zweite Mittel eia. Je weiter tticb aber das auilulieiida Lieht nach
der einen oder drc aadern Seite ron dieser tircnzc uatfernt. dcsll
■lebr wird reßectirt.

7.

Die Wertkr vuu J„* uud Um' sind abhiuigig von ji^ uat

407

«inersflilK, anilcrerNflils von d«r Platft-nanxalil ». IVir vrolIeD rti-
Hiiclitüi, di« (»f^efzr diwser Abliün^^keil za lieslimmen.

I. Es seien .^^ und O' consliibt, jv «nrialiel,

m) Wonii ff wächst, ho nähert sfcli der rccipruke WertJi vüu
./«'. uamlicli

J- — 1-1-'- ''

der fvinlieit and ist n=^x , so ist -7-7 = 1, folg^licb aucb .:/.' = 1.

Ä) OITcDbur gilt von JS„^ iasat-lUe, au laiiffe Ä» ^ 0.
r) Ist nbur 0^ =: 0, so. ist ff„* =a umil-liäiiofig von /i. äclbat
für ff ^ oe.
//) Weil

C,^ = 1 - ./„» und />„» = I - Bn\

HU ^ilt ron dem alle Platten tlurclidriugVDdcu Liciite doü Eutgc-
geu«ciicUle iitJt eben An^et'iilirteu.

II. ¥.s sei » cnnstanl, j4' und /f^ aber reriiodKrlicIi.
e) Wuchst -t', HO wird iii ileoi Bruche

I der Zübicr kirinpr, d«r A'cnucr ^rii«si>r, uIko uus bcideu Griiodeu
' iler Werth dea Uruv.hen. inilliio auch der Wprib von

kleiner; Tolglirli warbst .-/a*, wenn .if* lunimini.
/*) Nimmt //' all, »n uälicrt sich i» dem Bruche

der Zahler ilnr l^inlifit. der Nenner imirier mehr der U; es iracltst
folglich der g;iiize Uriicb, niiOiiti iiiicli tk-r VV crlb vitu

ß»

ifslso nuHx <0;i'^ »elbst kleiner werden, wenn /'* kleiner vinl-

gr) Wenu ; = oder i = ~, BD ist J' = ß^ (Art. ö.) fol}?-

licb .^> = //„^

Rieruus HcliliesGen wir folgende üusctxe:

1) Fallt »olariüirlcs Lioht unter eiiieiri beliebigen Winkel «uf
•eilt !$3rKteiti iiiii-r einander liegender purjillfler diirtlisicblig'er Plnt-

ten, so wird im All^ontt-ineii mit *o nn-br rRflcctirt (von der obcrcu
Flürhe der oborstru l'lattf nu»(^fbi-D). nllsn um HO weiiiifer die
VUlten durrliilrinß'on. je ti:rii».ser dfreii Anzdlil i»t.

2) iiti die Aozabl der Pliiticii uin'ndlitti, hu wirrt nlles LicliJ re-
fieclirt und keine Ijjiur driDg;t durcli, welulies uucb der AuIImUh-
winke! sei.

408

Dieses gilt im All^meincD , das aiffallendo Liclit mag m
der Eintnll^tebcDC oder senkrcclit gegen diese polarUirt »«üi.

3) Ist das Liclit la der Kiufullsd)>-np puliirinirt, nu wird bei un-
Ternuitprliclirr flnUenzoliI um so mt-Jir rotlt-rlirl, bUu am so veoi-
ger durcliKclicu, je »cliicfer das I/icbt »uffnllt.

4) lüt dagegen das Lirlit üenkrcrlii D;f<;en die CiiifalUebene
paUrisirt, sii wird, weoo die AuzhIiI der Plullon dieselbe hleibt,
um Bo mebr reficcürt, nUu um so weoiger durclidringeo , jp weiter
sich nuch der einen oder der andern Seile der Biafdllawiiikel lOin
l'oIarisHiiunsH'inkel entfernt.

5) Knilt «Iter für dirsen letzteren Kall das l^irbt nnter dem
PotariwittonNwinkel selbttt nnf, so driogt dIIpa dureti die Platten
bitidurcli and es wird keine S|>ur mehr reflcctirt, )iclb«t dann nickt,
wenn die Anziihl der Planen UDeodiicli gross wäre.

Dieses ist der eiuzigd Kall der Ausunliuie, welcher uns
Dülliigtc, so eben bei 1 ood 2 den Ausdruck ,iin> Allge-
meitien" liiiixuzuriipen.

6) KmIIi ^i?n'<>liiiliclieH IJchl senkreclit auf oder horizontal, so
ist man nicht im .Stande dnssclbe ku )>ohirisiren weder durch Re-
flpxiun, nnrli dnrcli Refrnction. mag niAD .sirli hier&n IiIubs einer
Spiegelnden Fläcbe bedienen oder eine beliebige Auzahl Toa Plat-
teu aDwciidcn.

8.

flirtes

Es wurde oben (Art. 1) berClIirt, da» gewöhnliches unpolari-
B I.icbt sich lietrachlen laMc uls ein Kyslcm senkrecht xu ein-

ander polarisirtcr Slrublen von gleicher inteuüitüt. btic-uso lassen
sich Ufligekebrt senkrecht lu einander polurisirte Slrublen vun
gleicher l^icLlstärke anselien als gewälinliclif«i unpulnritfirtos laicht.

Auch in Hrxug iiiif ihre Wirkungen xeigt die lieuliitohlUDg ketnes

[il utiHer Vlallcatvütein gewobnlirbes

Unterschied. Ffillt also nun buI

Licht, so enthalt, wie bcreiiu (Art. 5) gexeigt wurde, sowohl du
zuriicki^en-orfeue, als diirctigrhende iJeht senkreehL zu einanikr
poinriiiirte Slriibten. In dem relleciirlen Lichte t. II. bildet nun der
minder inltriaire Strahl mit einem gleirbeii Theile des andern ge-
wöhnliches Lichl und es bleibt also ausserdem uocb ein L'eber»
schuss pctl»rifiir(en Lichtes von der Beacbalfenbeit des licbt&larkc-
ren SIruble«. hlin (ileiches gilt vom rctVactirten Lichte. Da nua,
wie wir bewiesen buben (Art. 4 und 5)

I=^,»+C^», 1 = Ä,> + />«',

so folgt daraus

Jn' - Ä' = />n' — C« . . . - ir)

Und hieraus sctitiessen wir folgonden Sntz;

In dein rrflectirteo und diirclij^ehenden Lichte ßndeti
auHser dem in jf^dpra enthalleneo gewiihnlirhen Licht« ^leidiC
lotensit.iteu MMikrecht zu eiuunder polarisirter Stralllcu, die
l'latiLMizäbl und der BiofallswiDkei Seiten, nelcbe sie wolleo.
Für eine Platte iitt du-se» besetz da« bekoontc Tbeoreui von Arag».

9.

Cnler der V ibralioosebene eines nolarisirteo Strahles Ttr-j
aken wir diejenige Ebene, welche durcli den helreDenden StraJil/

409

I

üad die coDstiinte Schning:a&g;griclilun^ afiner Aetlierlbeiicben KebU
Vnler Polarisationscbene über di« durch den Ntrabl auf die
Oscillaliunifrirhtniig senkrecht gcfuhrle Ebeix^- Bs Htcheu also
beide übenen SICU auf cinunder stukrorhl. Denkt man sieb uua
durfb denjenigen Punkt, in welchem ein LirhrsrrBhl die Grenze
xwcier ilurr.büicbti>ri>r .Media trifft^ auf die Kiclituni|; des Strahls
eine Kiicne senkrccbi gelegt, so werden in dieser oder ihr purallel
div Scbwintfunjicn der Aetberlbeikben erfvlgen küunen uacb Jeder
beliebigen Kiclilung. Dreht dich die Vibraliuusricbluiifi; in diciter
Ebene um den Aunall»|)Unkt im Kreise herum, so ilreiit nicb also
auch die Vibrationsiibeiie lind mit ihr die PuluriKulioiitiekene um dcu
einfnllenden Nlrnh], Mncht die Sclivinguniifaricbtunff mit der im
Aufftillsjiunkt iiut die KinfnlUehcnc errichteten Seokrccliten den
. Winkel a, ao bildet denselben Winkel » also auch die Pulnrisn-
tiüDkebene mit der Eiut'ullsubcue und nmn hh^t, dus Licht sei ia
dem Aiimutb a poluriüil. In uiitenstebender Figur (h. sm l^nde
der Abbandluos) sei niin ACR di« Einfnllsebene, CH die Polaris
ftotionsebene, f)C,t':=a das Aximptli der leliteren, CE die Sohmn>

f;Ußgsriclitung des Aelherlhcilchens <*-', CM^\ die halbe O^cil-
niioii&'R'eile ilesselben, deren ('oni|ionenteD noeb. der Kintallsebenc
und senkrecbt gegen diese rca^iectivc

CB=^9\a a und j9//7 = cos a

lelu werden^ dn

L DCE~.

Und Rü tässt ^ich aUn, weil die Lichlintensitäli-n firopnrtlorifit
sind dciti (^uudrutu ilvr 0>i<!il]iitiun»cei<ehwintligkeite[i , die in deni
Azimulh u [iiiUtri»irte Lichtciuheit in swei senkrcclil zu einander
polarisirle Strahlen \uu den loteu&itäteo «in '« und cus *m zerle*
gen, KO dus» wiedcrunt

l:;=ain '«+co8 'o.

Auf gleiche Weise kÜDot'-n umgekehrt zwei senkrecht xu ein-
ander jionirisirle Strahlen in einen einzigen zusammengesetzt wer-
den, dessen Azimulh (uiig 'u uflenliur gefunden wird, wenn man
die Intetisiliit lU-n iia der Einfnllüebenc scliwingenden .Strahles i.iirek
die Inlrnsität des senkrot-ht gegen diese Kbcne vibrircnden diviiFirt.
Füllt diso :iuf nnäer PtiitteiiAy-steiig ^ew»]ln1ic]leIl l.icht, so ist so-
wulii djui relleetirt«, uls dun'bgebcndc polurieirt, jedes in «ineiti be.
sondern Aximuth. Nenueu wir dai Azimutb des reäectirten u^, dan
des tefrnctirlen ß,„ *<■> ist also

n,.

2»Ä»

j-l_(2fl_lUii

und

**''^ *■** — .y«*— ]+(2ii-lJÄ»' 2aJ> —

fl«'

!_/?*

l-l-CJn-IM»

mng- % — t-^, — i^(2»-l)Ä* ■ 1 — J'

H-(2» — 1)^» t — fl' I + (2« — \U^

lH-t2» — l)Ä'' \ — A' l+(2«-l)»" '"*
wenn der Kürze halber gesellt wird

•/»;

410

ßt I ßx

I'olglicl) i»t allguineiD

Amt Art. % abur folgt

Ä" eos 'ii-i-i) .

I _ ys

1-=^ = «» *(' — '')»
mitbin ist

tang 'u : tnnjf ^|7 = 4:as '('+t'), alitu niivJi

fang •«« : tttng '^„ = 005 "(fH-i") oJpr
tanjf an=:;;:pc«3 ('"+>') tang ß„ ((J)

Bprtlr Aziiniilliv xleiipn uIkd immer in diespr viDTnclivti Itevipltuni^
XU riuantlrr. Ji^drs ist v'u\t Futiclioii des Kinfulli'n'iblci^ls und der
IM^-tttf-Dztilil , und wir wollen dir Gesetze difscr AbbÜnt^ifi^kcu XU
beslinnien tiucbcB.

10.

Wir liobeii {(«tunden

tUDg Um ^ :±: coa (« H- O • !■>»{* /?«.

cflafi + f-Xl,

sc

l«ng aj,-<tang /?«, und

uiiabhäitgig' von i und m.

I. Es Bei I» constaut, i also auch J'* und //' VKriub«!.
(i) So oft ^' = fl*, so iit tang 'ttj, =z= 1 == tang '/^h , febo

«« = -J = ^,.

b) Ist i=0, so ist ./> = /r> (Art. 6}j mitbin a„ = ^^^

c) Ut (^nrc(liiug=f»), so ist B*=% fulglicb such /l«*=A.

L'nd da

tnng 'o« = f4 (Art. 9),
Bu iat Tür die^cu Fall lang i|m = 0. folglich ««^0. Aber

ung »iS^j

I— ^»

iJ,>y. Für » = OD Ut /?«=•-.

d) Ist J>arc(taug=:H so ist /r'>0, folglich «.>>(),
10 a« > 0. Aber taug % •< OC, also ßn <. ^.

411

e) Ist

sü iat .'/» = /f> (Art. fi), tolglicli a»

Hier;iu8 cr^^vbt^n Hitli folgende (jtsrtzv:

1) l)io l*iilarisuCtoDHrb<^n(^ des reflciclirten l>irhtp-8 liildtrt mit der
EiofiillsctiGiiv ininipr i^hicii kleitK^ren Winkel, ab du- I'olnrisaliona-
ebenc des ilurchgrlipnden, der t^infalhwiiikr) Dod die IMatt«uzulil
seieiij welclir. sie woIU'd.

2) Fällt das Liebt senkrechf Buf, so ist das Azimiuli jeder der

beiden pDlariantinnBebonen = -jr, folglich sowohl das reOcctirte,

als durclie^heDile Liclil uniialorisirt,

.1) Vkäclist der Einfitlbwiukcl, sa wird da» Azimulli des reQec-
rirten Lirliltrs kleiner, das doa refructirten ffrös-ser. Eirreitrht der
KiufHll»winkel drn Pulariaatinn.sninknl, ko fjillt die Polari^atiuns-
chene dns reflertirten LivliLes zusiimnieii mit der KiiifullsRbene. Das
Azimutli de& durcligclicuden Lichtcü aber 'wäcbst mit der l'latteu-

xabl uud ibt =v< wcuu diese uaeaUlicli gro»* ine.

4) Wäclist der Einfallswinkel iilier den Pniarittalionsvrinkel
hiaaUK, Sü wächst dos Aximutli des reOectiileo Lichtes wieder, das
des liurcli^ekr.iidea nimmt ab.

5) Füllt da« l.iolit liumoatal »uf, W) ist das Azimutli des re-

flcctirtcn Lielites wieder gleich -r-, folglicli da« refinctirte Ijicht
adhst Dupoluri&irt. la diüseni Falte driugt keia Licht durch.

IL Es sei der Eiufallswinkel . bIbo auch .-/' und ß* con-

Rtaut und n vcrnuderlicli.

Es ist

»■»

„ j lang *(/— *') tixü '(i + f) itiii '(/ — <') cns *fi

lang -ii-t-ii «o» '{* — »')' si" '(/-4-0 ' vua »i» — »*}
Da aber

a:

au ut

COM "{t-^l"')

CO« \i—f)

Ä'<-J"

I.

Vei«leiclit luiiii nurj die rcciprokea Wcrthe von ./„• uml
ufitDlich

ß.

2nJ* ' i?«»

^ = i +

— tf'

2ntf«

tJod da

SU ist alsu

jf«' > ff«".

i/«» > C,».

1-//«

412

NuD ah«r ist

*

t«Dg 'ttn^j~i<Zi, folglieli a,<*-^ und

Wächst n, 80 nÜbert tiicli i*» tVrliällbiu roo -r^ itr Einlifit

UDil tur /i:^ OC int ilniiaellie ^:^ I, fii)jj;|ich u. ^ -r-, E» ilriogi

atädaun kein I.icbt durch die Platli'n bioilurcli, es Bei dena, dus

dasscllfp unt«r dem PolariHutJonswinkcI uulfalle, wn ß,^-^ hl.

Hieraus «rgiobt »icli fol^vniles Gesvlx:

Ist die PUltnixnltl codlicti, an isl da» Axinalti des ref]ectitt«n

Lichtes kleiner, ilus des durch gebenden grösser nls -^. Mit der

l'lutteuz&Iil wächst du Azimuth des rcOectirtea Livlite» imd

Bäbert sich y. Ist

«^ OD) «o ist "" ^^ Ä~ •""* /*- ^^ «"■

dus Licht auf eiae ud
T dem Poliirixslionsivit

«, = — and p. = J-.

Fällt liiugegen dus Licht auf eiae uocadlich sro^so Aumhl
von PUllen unter dem PolnrixslionsiviBkel, so ist

11.

Wir können nicht umhin, »it einen ^orte einer DisconliDui-
tlit in iinRcrn Kurmi'ln zu erwfliinpn, die vir in den tCrscheinangen
der Natur nicht leicht ttnaunchirifu (,^^61111 üin>l. K» wird namlicfa
üciikri-cht &;e|;ea die l^iRfallsebene t'"''^''»'''''^*'^ Licht, welch<;s auf
eine utieudlich (;russu l'tultciuiiizuhl aulTullt, xlet.« uud iu «llek
Füllen ^uue r«flcctirl, trelcbcii auch der t^iuftdlstfiokcl ron der
secikrechteD bis zur huirioDlnlen Incidenz sein müire; erreicht dfr-
Belbi- aber de» l'ulmrisiiliiiDäwinket , so dringt (»InixUcli alles Licht
dnrch die l'lntteii hindurch. Es möchte vielleicht nicht wcni^r
genügt sein, die Nutur eines solchen Spriinires in ihren Erschei-
nuDgen olinmäclilig. als uniiere Forincln di'situlb faUch uciiueo lU
wulleu. Duü Uuendliclic ist blo»s eine ürcuze, der wir uns viel*
leidit nicht «inni»l n-ihcni konnern, die wir also um «o uenieer itt
erreichen vermögen; und ehonso weni^j, wie wir uns durch irgend
einen Sprung, vie gross drrsclite nurh iinmrrhin sein möge, vam
Kndlichen an jene Grenze, das [Incudllehe, rcrsetzcü kiinneti : eben-
Bu wenig können wir ah^r auch liebaiinten, d»ss die Nulur nicht
in Stande wäre, wenn man nie vcraaluKiicii köuute, sich uutcr
solchen VerhaltDisseu zu äussern, eine ähnliche Diacoutinuitst in
ihren l^rscheiauDgeu lu zeigen.

12.

Fragen wir, unter welchem Winkel diis Liehe auf eine- belie-
big« Anzahl paralleler Platten Hußnllcn niüssc, damit die luteDiitül
reflectirten Lichtes gleich sei der dcj> durcbgeheuden, so halten

413

l

wir, da die iDtcnvität des auBalleodea Lirlitfit ^2 tutgenonaieo
ward«, zu dieser Be»ti|Diiiiiii(f offRnbur die <>teieliuiig:

oder

inj' j^

I

gwg'

wclehe ontwiokelt nuf fol|;;code Bedingang fiilirt;
^» ^ Ä* H- (l»« — i)J'ß' = 1.
Nnn ober ist

»COS«' ~ V + /*V '

#» =

iwigVi + j")

'l^il^^

■SlU'l-t-jU"

wenD der Küne halber gesetit'wird

V^u* — «in' »^;w und coi j = ^.
Diese Wcrtbe Tür j4* und ^> subslituirt gebeo:

Wir kÜDuen diese GIcJcliuDg aacli uud nach folgendcrgestalt rer-
äodera :

(;,-y)'(;H-#*V)'-+-(;^f'V)*0'+^)'-^(-l«=-l) ip-l)Hp-t^*7Y

-(/'-/*'?) I(;'-7r-(/''+-'/)'l-+-4«M;'-y)M/'-#*V)=o.

— WV^ + ^'f?» — '/jM/J— ."V)' = o.
»*iy~7yip-M'-</r=-^*P'9\

ip—7) ip — f^''9) = =F„-PV-

idirt man durdi p^ und setzt —^x, so kotnint

nod setit vBu

P_

(4r-l)(l-^)=:^^, also

I»

ip' — (i -+- A*' ^ ¥)■«'= — "■'

1 -!-/♦• ±^=J» BO ist

= «,

414

und tiicraoü

folglich

11* ^\in'i

#' — JU*

Durcli diese GU-icliung ist aUo dct Winkel besliumt, untrer
dorn du» Lit.-Iit nur eine beltPbijrn Anznlil |>aniliplfr PlatiiMi oufTallpD
»1168, duinit gtciclie Meufr«» renvctirt uerduu und durvtigvbcn. Zu-
trlciclt alii-r g«lit aus dvrsellieu »ticb li«rvur, duüs «inco nolcbeu
n'iokel 2U finden JedenRitil dunu unmügikh ist, wenn

odi-T wax dnxHotbe htissl, wenn du Licltt nun viiiviD Mittel ron
stärkerer auf eins von einer minder starken licbll>reclietidea KraA
nnfi^Mt

i;t.

Nach den FreaDel'xrhen FormelD (Art. 2.) Tür
fMiiiegcItc» nnd durehgclifnden palnriNJrli'n Lirlit» int die renectirle

die Intensität des

ffMiiiegcIten nnd durehgclifnden palnriNJrli'n l^irlit
iclilatärkc %a l'an«;e Null, als sicli die Diclitijf-kcit des durehsiclil)-
gen Mittria niclit ändert; nnd e.^ niLlsäte folglich bei einem ia »einer
{i;iTi7.en Miiuxe volikutnmcn linmitgenen nnd gleirli dirhiea durelimckti-
gi'nXorucr allcü Liebt auf seine untere Flache uulTuilcn, was auf der
oberen i lache iit den Küri>er eindrang. Da abtic in der N<i(ur wobi
XnuiR ein »«Iclirr Kürper exislireu wird, indem die Ncbwerkrnt^,
der hftKtäbdigR 'IVmiipraturwerhiiel nnd dergleichen t'mstnnde mehr,
leicht eine vcrscbtodcnc Dicliltgkeit mi vcDictiiedenen l^uiikten des
K^irpers hervorbrinsfpn: so fnlgi darau<i, dass sich das l-irhr heia
l>urcbi!;Hng' di(ri'li tlur^rhsicbtii^c Ki>r|ii>r olTenltar scbivachcu maiut.
BeLruculen wir %. U. eine ruhige Flüssigkeit, auf deren eiuc hnri-
zontale (Treuzlläcbc Licht auflitlli. Uu strenge gcnummen die Flüs-
sigkeit in jeiJein hurixontiilen Schnitte eioe andere Uirhligkeit bAt,
£0 mÜstieii »othwcndigenveise auch in Innern derselbeo KeÜcxionen
des eingedrtiiigeDen Llclit» Sinti linden und d gellen mithin für
einen üulclien FiiEl nlinlichc Fnrmcln, wie uir nie für die InleiixitfiC
des gespiegelten iiml durchgehenden Lichts bei einer bclichigW
Anzahl parnllelcr durchiiichtigHr Schichten entwickelt haliea.

LI.

Eigcuscliaften rier ungeraden Zaiilcn in ßeziig

auf beDebiiic Potenzen der einzelnen Glieder

der nutihiichcn Ki^ldenreilic.

Von
llciTii Prof. C. A. llretsclineidor

tu tiiichii.

Der im erstpw Hefte des getfentvartigfiti Arrliivsi iTewiescii« Tur-
iier''xrt<« Ldirnntz von den un^orntkn Zahlen ist nur oiii specleller
Füll eines wt^lt nllgcinoincrvn Tiieorvnii^, i]a.i icli scLun vur mclu
rorcn Jalirtu gcfiinrlnn, iihnr nicIiC fitr neu grlmllen bube. Ra Ht
nämlicli:

22« = I -H 3 + 5 + 7 + . . . . -h (-2 . 2" — I )
»ta = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . -H (2 . S- — I )

;ii« = 1 + 3 + 5 -*- 7 -I- . . . . H- (2 . ;j« - 1 ).

ll. Ii. jt^d« I'oteax i>in«r gnuz^^n Knfil /; \ on dem geraden
lix|lonl^DtCD ix i^l gtcicli tlrr >inmiiie aller nngeradeii
Pallien von (l«r «ersten »n bis zur /i^teu; tnglricIieD:

'2*-+i = C2''. I-i-l)-f-(2/'. I -H3)-H ■ ■-■+[2^- l-t-(2.2- — 1)1
S»»+i = (3«.2-»-l)-f-(>.2-f-3jH-....-+r[3-.2-H(2.3«— Ol

tl. I>. jede l'uti'D« eiuer ganzen ZjiLiI fi von dem ungera-
den Exponenten 'Z/i~^- I ist gleicli der Summe von //" auf
«innniicr rollen dcu iiuirerii (Ten Zahlen, deren crtttc vl^icli

Der Bewci» dieser .Sai'zc iit liiScItst cinfucli. Itezricbnen nnni-
lich ff. </ und s hnzirfiunfi^fiweisn diis erste <>lied, Hie Dillerenr. nnif
die Uliederxulil ciut-r :irillimetisclii>n Kcibc erBtur Ordniin<^, .so iei
deren Suuime jT = ff-s + ,;i{s — Ijrf. lui vorlieycudcu Falle ist dou
für einen geraden l^x|iuui'aten der I'utvDz

nUhin wint

416

Für eioeo liugcrnilcii l^xp<>ni^iil«^n A^r Potcuz biniifegcii wird:

a =: p'ifi — 1 H- 1 ' <'= 3. •» =;»"

nod folglicli:

Hieraus er{(eb«ii sich sofurt tlurcb Addiüou von fi* die
drücke:

pfc^l + /^ = ;t"'(;/'H^ -I- I )=>"(/»— IH- 21 + !/»"(;» — 1>+4|

H-... + I/>"(/»-l) + 8r].
welche die enispreclieuden EigcDEcliafieu der auf eiuuudcr folgenden
fieradeo Zahlen entlialtf^D, wie dips von dem Herrn Hfirnusfceber
bereils fiir die drtlten Polenxcn bemerkt worden iitl. DenuACb tstj
also z. ü.

1» = 1

2' = 1 + 3

l' = I

S' = 3 -f- r»

3' = 7-|-Ö+I»

(V-»)

1« = 1

3* = I H-3H-5H-7H-9H- II + 13 + 15-f- 17

;,* = l+3 + 5+7 + ... + (V-l)

1» = 1

S^ — 5 + 7 + 9 + 11

3* = 19 + 21 +2:1 + 25 + 27 + 29 + 31+33 + 35

4»=49 + 5l + 53+.... + n + 79

y' = U»V-iH-iJ+U'Hp-»)-*-3j+...+|;,M;^i)+(a;,»-i)j

H, s. tr.
Bei ibrer grosMen KinFiiclilieit dürften die varliegcodeo Lehr
säfze eio xweckma^Kigea Beispiel zur Anwendung der aritlimeliMkei
ProgTcssioDcn durbiclca.

417

LH.

Äiir Tlieorie der bestimmten Integrale.

Ton
nerrn O. Schlömilch

rn Weimar.

D!e EDlffirkeliin^ Aer Kcliün^n Throreme von Lfl(|rratige Dnd
Fiiurirr lirnihl Itckniiiitlifh uiif der (liitrrNUcliuRg der Gritiize, wcl-
eker sicli <las tiestiiniiiie lnti'g;ral

muH

ftir canze, piisllir«, \Tiirlis(!ni)n » niibrrt, vnrtMingp^rtzt , üiiss die
.VuDKiiun /(&*} wlitiri>nd (ir» Inlc^ruüuii.'sitiiirrvulli^ä weder utiüDillich
^ruH», nocti unstetig wvrdt! *).

Ihvais Aul^ubv JüKst sicli, wie icb gkiube, röllig alreiig und
karzj fulgtrndtTmiiHMpii lÜHe».

I) Wir nehmen cmtiicli c ^ ~, 2» + 1 = «» (der Kürze WC»
, gen) und fiilireu in du» lulcgral

a .

arninft

n h:

ft Sin 6

/(0)(^

leine uene Veränderliche « = m®, also 0:^ — . rf© = — cid. Da-
^durcb wird

^=./: -^<^>.

7« Sin —
m

üiescs Inlfgral zerlegen wir in ein« RcÜip «nderer, wcldic Bänimt«
lieb uacb dem luterrall y fortaclircitco , wobei wir '~/C~j

kuri mit /'(a) bezvicbui-u. Alsu

*
«nsin —

') Man sehp tiicrülifr die TortrefllicliB AUhaniDtiti); lU-s Hrn. Prof. Lrjcnite
Dirictilet IUI Journal f. r. u. u. MfttbciuiiLik m. Crellc, B. IV. S. 1^7.

m

s»

Zwei auf «ionndor f»l|(fode allgeneinf (■liiHler dieser Reibej
siod

Diese beiden lnre|i;ral« iMaen hicIi Icicbt *uf die Grinzeo Ö ntiAl

-y bringen, inilem mnn im eriiton s^r-i'— ^, im xwtilen ^ — ■

üelzt, HU J' eine neue Veräuderlicli« liedcutet. Dünn liat tnnn,
geseben vom Vor<«icbeu:

n

'i

^nd venu muD üccn ersinn ln(i;t;rnle diiit pnlregen^ivbelztQ Ti
zeicbcn ||(iebt, so rerlousrlicii die tirünxen ilirc l'Ut^c . und itcben
dann geuuu h» wie im zwuilen.

Die Vorzeichfti iiiiHeicr lofeicriilp finden iticli durcli ein letrlil«
RnisoDnenionl. Der Z«;ii^lienn'eclisel in jenen Inlpgralen Imn^t MoM
rnn drm t'nrr.eirhen ilca sin 3 iti f\^) n\x. On nun itpr SiniiA pit-
sitiv int vun 3 = bin a^». negativ von a^.i bis a^2:T, pn-.
stÜT von 3i;=2rr bis x:^Z!t, u. s. f.. so ist auch diis erste l'aaij
unserer Intc^^nilc jiDsitlv, das sweile negativ, das dritte {loutnl
ll>. fl. C 'So li«bea wir

indem wir don Index r ^ I, 2, . . . m setxrn; oder
n '

Bin ullgcmciDes Clird dieser Reibe ist

/1[fW±a") =

«in (m :

r.TsbJ"

*' /(^^')=

«idb j

rc^^).

wobei dna l'flizeietkeo nicbt bcaclilet zu trerd<-o braucht, weil wir'
den Weelisi'l sclioci kfnnrii.

Wullcn wir nun dir tiriiiizi* liejitimmen, weirtier sirli das Itttv*

grai J für wnchaeiidc ti(m ^l/t -\~ \) näliert, so baben wir die
räne tuu /'(/"' — ^) lur wacliüencle m zu untersuchen, wulri
zu beräcksielitigcii ixt, dtuis r die Reibe der gfnnien Zahlen reo I
J>)i m durt'liliiurt. Wir buiicu diilier 3 Källe %\i unterscheiden.

419

I) Es sei r endtieli, bUo dna zufrcbiirige Glied rndlich weit
von iXahoge ratfrrnl. Dana ist rif±^ etwas EndlicIicH =«r,

/1[rjT±jt')^ /1[— ) mlep, wcoo nan deo sich lif-beaden

m «hl — '
m

Foktor w einsetzt.

Kim /^{«r±ar)^— — . Lim

oder

stn —
m

Li«/Tfrtrd=^)=;^/(0).

3) Wäre r so groM, dos acliou — — — eine endlich« Gräise v
Wttrc, so ist

Um F[r7tz*za:) = iAm ""■ "^ /(p)=sO,

"^ ' WItiUlt/"'*'

Rn daHR iiisu die unernlHeli weit vom Aufangc cnfrerDteu Glieder rer-
e eil wind dl.

■Su hüben wir eodtifh

r, weil y^tO) eioe <'ons(5Dlo. ist,

Toi nun dieses Integml weiter auifuliren zu kunne», muRseii
wir dir eingfekltintm^rte Itpih4^ suiuiniren. Uiexc ^iumiao P kaoa
man iiua xivpi niidercii siirii IjCütefaeuil denken:

/»— r-i- r.

Nun findet sich alier k-icht

«; Är=log « OT+log « ( ^, ) H- l«g » ( 4„. ) -I" . .

^Jog-M siu ^;
also durch r>iäVrenzi«lion

27

Ai'bulicb liat mtia

a!\

■"' =2lo^« cos |.7;
vfolglicli

S&»

i)

Also i*=cot ^-f-tliBg ja-, oder weil cot x:=

iangla:z=-^ ist, Ps^ ■: oder

o * sin X ' hin x'

sin X

1

:-^-|-2^

. ' ' . ' >

SubiUituireD wir dicben W«rlli, so findet Hielt

Li« J^=/(0)/^,%iD u.- . ^-^= f A0)J «»•»■

2) WSrc die obere Gräoze des lnlegrBls c-^C.-»* <"* g^^^ "j
lutftgral

•'=/:^/(«) "«•

wenn nie fnilicr m6^s gesetzt wird, ülicr in

y'"« sin 5 j^x . ,
»1 sin —

Da nun f^'-^-, SO ist «c-<-:r)'«l«> etwa iWc=Ä-s-+Äj wo A<;in
^■^■x isf- Also hnbcn wir

«tt Bin — -T wt sm —

Da Dun /i gleicbzeitiG^ mit m värlist, 9o sind anf ans erst« Integral
alle die frültereD hcliliissc aDneiidiiitr and geben

An-

Li« J=|/(0) + Limy;; -^/;[^)rf,.

-r ffi ein —
2 m

421

rm Aas zweit« liilrgrnl beartlieileii xu kütincri, iicbuico wir
a = /i^~^-x und liiilirn so

ß

D» ^ und m glficliaieilig wuclisen, s« wird — , also aucli — .-r-

cinc gewisse endliclie GrösHo a, and

m

M Sin («^^)

Hfl

Sn grnsa nun aucb ^ sein um^. so gieltt die Ansfüiirun^ des
InlPi^nil» il»<-li nur e'mr cnttlicliü Grosse, und du «r im l\«on«^r stellt,
verKcliwindet der ({anze Aufdruck,

Wir haken also zusttmiiicn

T 1 f '"'"' t^

(2m.

sin 6

^/(0)fi0=:4/(ü), ~>c>0.

(21

S) Wenn e KviscLen y und ir liegt, so kfiDoen wir c==rt~f*
selzec, wobei 2'!>«'I>0 i^i- Mithin
I ^

»■ ■ ,!■ :*f,*. - -,-,.■ ., ,ih:t ' i"

Int l^^eiteü und driltvn lnl«gra(c uehown wir &:s^n*'^,tP nnd ei;'-
Iialleo

.' Hin ,v ■' ^ . ' .' " »Hl ;»■ -^ ^ '

Dns erste und xwejre liili^ral fUbrcn wir oarli (I), dan drille
narh (2) aus uod liuben eoi v' ■ n-v < U» i

«der

-^) l'assen wir nun zusmnmen was id 1, 2, 3 gefunden wurde,
so ergiebt »icl> uut' der Nti;lle dn» Kesultnl

422

lIlf'AS ist lins »chiiDe Tti^orcvt dc«Bi!ii l'rucUtbare AaweDiluti);

«of der EigcascIiDft ron

die Reihe

I+2|ro8 0H-coa 2©H- H-co« «0(

zu flumniren, bürulit. Es Idast sich «Inu rermUgc Her riirigen Faraiel
jed« lieilic sammitea, deron allf^cmcioes Glied / „/i^) cus«6«/@,
x^c^O, ist; oder iDiio liat

-sin(2«-(-l)- -^ , -

/o 5-^/(6>)rf©==/„/T(0)'/Ö-h2-:r /„/10) tos «0 JÖ'

oder, w«nn tnnn din Reihe ins Unendüctie Tnitaetzt, [n := QD uiiinit)
und links 2@ für setzt,

,im2/,

) Hin e

vciSei litiks dii3 Resultat »/(O) crscheiot. Aus diesem Satzu lassen
sicJt die Tli('orrmi> vnn Lugriin^e und Fnurier leicht ableiten.

5) Die hier itiiifcwaDdiü Muttiodc ült <jrüuxea»Brlvg;uD{^ Msu
sich mit vielciD Vnrllicil ütlcr itawciidvo.

So giebt X. B. das bc;«liinmlc Ititegml J ^ j. ^, vr«Dii bw
dch die obere Gränxe als eio lieltaclies von y deoltt» aad es In

eine Reihe undercr, siimmllich van bis -^ geoanmeUi xcrlrgt^

das nÄuilichc Resultat, wie die vorhin gcfUhrle Kstwlckelang, wen'
Dun durin /(0J coastaut = 1 oiainimt. Mäinlicb

./

Setzt inou u& für 0, wo u eine ganz beliebige GHtue ist, so bat

Diaa uucb

/,

'*tin ff u-i " ,«.

« ^9-rf0 = y--(5)

«elcbe« Resultat «ich hier uuf einem ebcoso leichten als gründUcbu
Wege Gudet.

Otts Problem, mit tl»Kiren AuOnsun^ wir naa id diesem AiitVulxe
tirscltÄflia;e» wiillcn, kiirin auf tnlg^endc Arl. uiiageHprorlicn uecil)^";
In fincr Klient' seien drai Punkte, dir wir »lurcli
O, fJ,. Of b(!zriic1inr>ri wnllrn, ilircr Laifc nacli »eg;cbcD,
und «V. jV , K c i <! ti z IV r i a u li t' r n i li r n r L a |f p. n o c ti u n li e -
kannte Punkte iii det»«lbcu Ebene. Wcuu tiiiii in den
gvg'cbcnc n PiinkU* n O, f/,. O^ die INU" nicht ülienitei-
ffenüpii Wiukvl A'OA',. A{0,k\\, ÄW^tV,, welc'lie die Mtti den
Punkten O, fj,, fJ^ iibcli drn Punkten S, >V, gCTup^cnRa
(■esicli tslinirn mit rinundrr ei nsrhlicRse n, und Hiiiiser-
dem anc.]i in dvni einen der drei ^egrltenen Punkte
0, Ot, 0.J, ctwn in di-m Punkte 0, der ^Sit" niciit itber-
steif^ende Winkel, wi:lcli(;n die- vun ileni Punkte O nncli
d p in einen der beiden Punkte- A*. iS', . e I w « n ii c b dem
Punkte S, Ke^.o^ene (•esicblsliEi ie OS mit der einen der
beiden Linien OO,, OfK, etwa mit der Linie 00,. ein-
scbltentit, ii)b» der ISO" nirhl ült ersteigen ite Winkel
iffOO,, £f eiiicsüL-n wurden Bind; »u 4iill map dio Lage der
beiden Punkte iV 11 nO jV, lies lim m eil.

Die bi'kiinuten rerlitwinküg«» «'mirdinirtfn der drei |;eg:eben«n
Punkte O, 0,, O^ in Ui'xug auf ein bttUebijce^ recjitwinlclit^ea
C'oordinateii System der .vi/ «eien rt>H|iecli\ e m, ». m,, w, -, m,, M,.
Ferner wolli-n wir die Kiilfi-rnußf^en 0.\\ O, .V, 0,S respective
dnrcb Q, (I,, p,, die ICnlfcrniinf^en 0S\. 0,S,, O^M, re*|)ectire
durch r,r,,rj bezciclinon. Nun denke iii»n sicli durch die Punkte
O, O,, 0, uls Anl'nii!rs]>uukle die mit dem Sj'&temn der :vy |iar<il-
lelen Systemp der a'y'. .r',»/',, Ä"',y', gelegt, uuit bexeirbiie di«
von den Linien O^V, 0,S, '0,S und ÖS,, 0,^^, C,'V, mit den
nnsiliven Tlieileii der Axen der af^a:',, .i-', eiiiff'scblnusencn Win-
kel, indem miin alle dic^e Winkel mn der Seite der pusitiveu je
an nach der (»eile der jinsitiven y bin von bis 301)" liililt, retipcc-
tive durch fp. y,, y, und ^, ;,, je,. Dies Miruus^bctzl. sind
offenbar in völliger Allgeiueinhcit in Bexug aul die Systeme der
jr'jr', s^x^w •x'^y'^ die Coordinaten des Punkte« S reipeclive:

Q cos ^, 1} sin tfif

e, egs 5p,, ?, sin ip^i

Pi e«3 9>.. P, sin gn,;

424

Und die Coordinatcn An T*nnklcs Ji, in Bexug nof die^tvllien Sy-

Steni« BiDd rcijifrtive:

r ctm j;, r lin /;

r, e«9 jTi, r, »in /, ^

r, c«s /„ r, «iti x%-

Al-sn liat man niicU tiekiiiinlen Formeln der Lehre vwd der Ver-

wandlutig- clvr l'Mordinalt'D , uron mau iliircli -X^ y und a:,, y, die

gesuchten Cunrdinalnn tkr l'unkln A* und A', in dem !S}steuL« d«t

ory liczcicbnet, tli« fuli^^cudeo (>IeiL'huugeu:

1a: = M-i-g ci»s 5p, y=:j»-Hp sin y;
a:^iw, -4-e, COB 5P,, y= »,-»-?, iin jp, (
j?=«, 4-p, C08 y„ jrTZM.-f'C, sin y,;
vnd

i*, =«4-^ MS X* !IFi=«-h'- «in /*
a-, =»,-»-*•, coi/,, y^=«, +r, sio ;ti ;
;i:,=»,H-r, cofl 7,, y, rr::», -Hr, sio ;)^,.

Weil niirli der ^ ornusüi'lzuo^ itiu ISO" nicbl ÜltiTsl^itrcuilvii
WinkiH SOS,. AVy,iV,. SO^S^ gemeHsen wordnn hiiid, »o künui^i
ofl'eultar dio Uin*i:rBUiCiiJ ; — y, /, — y», Jf, — y, ji-derzeit als le-
kauul uii^rciK'lii'ii uerÜRu, uud luuii Ikuuti daher, iuden u, u^, a^
beksunt« Üriisscn Iiezc-icltoco,

3, j;— 9. = «, jf, — y,=a,, ^, — y, = o,
oder

4. ^ = (1-1-9, ;;,=o,+y,. ;|:> = «9 + yi
Hclzcti, wudurch dte (ilcivliuugiin '2. die folgende (*e»talc erhulteo:

I.V, =«+/• CftS (« + »'),>,=»-+-'• 81" («-f-'/')i
0^1 = M, H-r, ,6«» (u.-Tl-'y.), y, ^=.#1, -l-r,. 4ia (a, -l-y,){
je, =«t,-Hrx'fOit («j-H»^,), yi •=«,-♦- r, ,«»n (0,4-51).

Pvr Winkel ^ kniiu oirciilitir muhiit alti brk.iiiiiL iini;esi^lien
vrfrdcii, ncil niuli ilrr \ ariitlHttotxiiric; der 180'' uii-ht iiljer<iteki;4>Dii4*
Winkel A'OO, ^emestieii wurden int, und die kkiiU' (■iL-icliuutreu
in 1. und Ti. reictien uUu zur Kestiiumnnp der in iliurn i'nlliuUeurn
iwülf utibckttntiten (;ri>6t>Rn ./'. y. .r,, y,. 9. ^,, (^,. r, r,, r^. <f ,. f,
hin, 9n liasH l'i'lfflick uiixcr l'rublem durcb divttelben uufuelü«! ttU
Mbo kann sieb aber, wi« va wir bchviul, die AnfloMing »uf lolg^iiile
Arl erleirbrrrn.

Wir wolli'H fiänilicb jetzt dun l^unkt ff ah den Ant'itnir no4
die Linie OS atn den |N)Kilivrii Tbeil der Ase dur § eines neura
reeblwinkli^en ('onrdiiiiiletiHvbli-inä der '4r} uauebmuu, und wull»
die Ccwrdiiiuien der Punkte O,, O, in Bezug Auf dieses Nväte«
reii|)eclive diircb 0,, A,; a,, f;; die Cuordinaten der Puuklc X
und S, in lletuii; ituf dnüselbe Ni,stKni nber durcb $, 7; und ^j, D(
bezetcbDco. Dies voruusgesctzr, bot nikn nocb der Lehre vun der
Verwandlung der Coordinolea die tilgenden Gleicligngeil:

425

<w.

uder

;«•

• «j CO» f — /, sia f>, J», ^»•+-a, slu v-J-A» co» 9;

:« + «, COB yi — &x aiD 9>, «,;

sin 9)-|-£, cos 99 {

«8, — m^a,- coa 5p — 6^ sn y, w, — m^s, sId y-+- ä, cos 5p;
IW3 — M ^«r, CO* 5p — A, atn y, m, — m=«r, Rin y-t- A, cos y;
und fotglicli, wie man Iciclil (iiiilct,

[o, = («, — ») SID y + (iw, — m) cöB q>.

(«, — Jii) cos (p — (iw, — jw) sin f]

{*

«) «d y -I- (iw, — m) CO« y.

Ä, ^ (», — h) cos y — (jw, — ») sin g>.

Mittelst dieser Formelo kano mau die i'oordimi1«n o^, A, und
ffj, £, Iriclil lirrecliut-n, neil, was mint imoier frHtzubiillen hat, der
'Winki-I y joiiorncit als l>«-l«:iiinl aiii(L>si'brii ncrji-ii kann, da, niieü
der Voraussrlzuiia; der WH" nicht üli-rslcigcnJc Winkfl MOff^ gn.
ine.sfteii wortlrii int. Kcxrirbtiel man rftc vun den I.inipn f>^/, iinil
OOj mit dem iiusitiv«» Tlitiile der Axe der jt' i-iii^CbcliIushpnrn,
von dvr Heile der imsiliveii .v" ducIi der Seit« der {Kisititeii y' liiu
vup ü bis 'MO" (fezahlle» Winke) durcli &, uud&,; sa ist oft'eabar

— ffli^ l!>ö, . cos ©,, M, — «^ ö/>, .sin 0, ;

WW, .cos 0„ «, — «=0«», -sin 0,1

' bimI folglich

— _,_ j^._

8. tang0.=-^^^^=^, taug0,=^^i— ^

Hill man mitleht dieser Formeln (9, und O, g-etuudcn; so bat man
uu<>lt 0. zur KcrvcLuung der Ciiurdinuten «|, A, und «g^ ^, dta
t'olgcndeii Fontiuln:

«.

. . '05 Ci —f) / , » Sin («, —er)

' ^ ' ' 'cira'ö, ' ' ' ' ' CO» 8, *

10.

II.

ciis **, ' ■ ^ • ' cos **, •

Kcnier ist nucb dnr Lehre von der Verwandlung der Coordinateo

^ .r := jw -f- $ cu» y — >; sin y,

I y = » -I- 5 siii y + 1^ cos y ;

oder, weil ull'eubftr v = ist,

I X = M ■+- 5 coa y,

y = » H- i sin y ;

und auf äbulichu Art hat mun

jjr, =mH-J, CDS y — q, sia ^,

y[^«-t-£, sin y + ^i c«» y.

ländlich (iiiken wir, wenn jetzt </,. y^; r, jf,, ;;, ; u. a,, Uj in
ltv^U(( auf (Uis Ny>tcin der ^rj eine ganz iimilii'hi- Kedvutuiig^ wie
vorbvr dicsvlben ^xmbpje in Ilfizug 0)if .das ä^t^m il<ir .ry, aber

12.

426

DOtüHicfa okbt ganz i^leiolie Bedontmig n'i<* dort biibea, anob L
uDil o. die fdlgcndi'n liificIiUD^n:

:Ü:

13.

:«■,

e. CO« ip„ V-

Qt cos goj, ij:

nod

:r cos «,

:r aiD U;

14. J5,=«, -f-r, cos (et, +fp,), II,

Wies Hiod wieder zirült' Glcicbuui;i-i

ICD GrÖsceu 5, »:, 5i. 'in e. e.. e». r, r

ttlsn SU dercD UvstinmilDg fata, wiu wir

iscIieD dpD zwölf uatiokoDB-

f".. '".. y,t. 5P»i ""d reicben'
wit Slehrrr«« zctgcp

Durch Kliminution von ^, if, ^,, i;, erbält man

= *t+p, ainy,=Ä, +e, sin (|t,
nnä

r cos a=«, -Hr, eog (a, 4-^,) = «, + r, cos fa, -f-Jp,),
r siD u = ^, -l-r, BIO (a, 4-9!,) = Ä,+f, «a (a, -l-y,)-
Also ist

und

Ä,— rcoKO:^— r, cvs(a,-4-7,), a,— /■ cos a^— r, cos (u,-t--/,))

Ai — r sin«= — f, bId («,-+-50,), Ä, — /• «in a = ~r, iiD (a,-f>9),).

Diridtrt man nun, ttm die <^rÖ88en p,, ^,, r,, f, zu olinioirei,
difsc (Gleichungen durch cinutiiler; so crhült man

13. cot y , = - \ -, cot y , = — — -

*.

A.

und

a, — r cfts «

ff j — r eng a

und diese vii-r <>lpichuDg«o enlhalten duo bloss nucli *lie viec nB>
brkaonUn Griiasfn p, r, ^,, 9»,.

Weil bekanntlich

cot(«.-f-»,)= ^„,^.^; — . cotKH-iP,) =
iBt, SU ist nach 16.

ff, — r cos rt __ cot «, rnt 7, -* ■ I

ii — r üiii « ^~ 0«l ß, -l- cul y, '

*Xj — r cos u ^_ rni c, oot y, — 1 ^

4, — r sin c cot n, -1- «)t y, *

cni«, cot^^ — l '

dl

427

finu itielr

17.

oder

col 9),=

(gi — r CO« «1 MB it| -t- lAi — r sin «) sin « ,

(«, — «* cus «) sin o, — (Ä, — '/• sin «) CM «,'

(a, — r rna <t) r ws r:. -§- (A^ — r «in h) aiti «,

(«, — r ".-«» o) »in «j -- {Äj — r sin «) co« «,

\H.

[cot y, = —

'cot.y, =—

tf] cos «. -f-A, sin «, —r fw (<t — g ,)
«, sin «, — /■, CO* «', H-r tii) (« — «,)'

a, t>iii (ij — ^a <:nü «, -f-r sin (a — a,)

: er^tebt,

AUu i&t nach dem übig'eii

19.

( rti — p __ a^ CO* iT( -t-6| sin «, .— r co» (a — n,)

jft, ' ' «j sin n, — Äi toi ((,^r jiin {h — «,)'

(«j— -p «, cw ftj+^-j «in B, — r cos (b— «,>

Ä, ~~ «, liu itj^A^ cuü rt»-t-r sin (n — OjJ'

jund dicEC GIcLcliUDKvu eiilliallen bloss nucb die zwei unbckiinDten
l'GrösseD ^ und r. ocK^tiinint iiiiui uuri q, s<i erliKIt muu

•.ti^ ri, -t-Zi, sin rt, — r rvi« (« — r,)

20.

tt, Mung-'ib, cos B) -^r sui (u — n,)'
«, oiw Cj-i-A, «in «, — f cos (a-^ttj)
01 kin n, — i, cos «, ^r siii (« — «,)

|o<ier

Sl.

? =

Q =

(a,' -f-A|') sin g, -I- J«, »lin («"^(t,) — j5, cow (w — Wi))**
a, nn M, — 4, cos «, -|-r sin (« — a,J '

(c/j*-|-Ai*) hin «, -(- [da sin (« — n^' - i, cos (_tt — rt,)|r

(7, (im «, — A, cos «j-i-r sin (« — «») '

inod blerans ergiebt aich die füllende Gleicliung zur BvatimaiuDg

23.

■r, »in «i — Ai cos «, -|-r »in (n — n-,)

a, sin «j — if cau n, -f- r sin (« — n»)
(«,*-!- j&i') sin tt, -H ja, sin (a — «,) — A, cos (« — ajjr

(«,' + Aj») ^in ", -4- {»t *"' (o^ß») — i^» cos (a — B»)(r'
S»etzt man der Kurze wegen
A', ^sid {« — o,),
A', =9ia {« — ö,),
Z,=(a,*-|-Äi») sin n,,
A.,=(«, »-!-*,') üiti Oa,
Af, :^ 0, siu IX, — £, cos u,.
M.j^a, »in et, — ^, cos a,,
J^i =5«, uo (tt — «,) — A, cw (a — «,),
jt*,=a, siu (a — o,) — ^, CO» (u — »i)t

428

äo erbalt die Torfaerg«licode (jleicbuog die folgende Furtn:

23.

M.

■ K.r

oder nach geböriger Entwicltelnng
24. 0= A,jVj,--.V,/,,

Cm (tie Crdnaen JT,, A',, Zj, Z^, jV,, ;(/,, JV,, A\ tat
Lcicbligkcit bcfci-bncn zu künncn. sdchc ni«n di« beiden Riilbwii-,
kc\ W] und tu, miiteUt der i''urink'lii

25. tong «, =r^, taug w,:=^.

Dann ist a^cli dem Obigen, nie maui Icicbl [indvt,
A', ^sio (« — «,),
A^^siit (o — a,),
_ d,' Hin «,

cos tU| '

Sf.='

,, «a siti (o, — mQ

.v.=.:

«i n [it — Kl — w,)

j|7 _ _^i «in (« — «■-^ '^»^

WritiT« ErIauLi<rungi.>D über drii Giiufi;, »rieben man hei iltr
Außusuiig zu ucUuicu bat, fügm wir der KUrze iregen nii-bt hn.
du dies BcboD uus dem Vorbergcbendeu deullicb genug von selbt
Crbell«ii wird.

*• '^-
ßeaiorkeii wnllon wir iiler n«cb, dii»«, wenn vier Punlilf

O, fJ^, Of tf, dufcb ibre <'<i(irdiniiten wr, ft; m,, », ; m,. «,;

""i' '*) ges^ebcn. und in diesen Punkten die INO" nicbt iibfrsin-

gendcu Winkel AVAS',, A7>,Ä,, -SV>,Ä',, ÄW,ä', pt-mcsrien ivotden

»ind, aucb diese Uiilu zur Itestiinniuiii; der l'oordinutcn x, y ud4

or,, y, der Punkte S uud A'^, d. i. der L«ge dieser Punkte bis*

r«icbeii.

Nacb 1. und S. btit ntnti nHinliek secbzcbn Gleicbungco Tti

äer Form '

jr = i*f+9 cos tp, i/^M-t-q »in gn .

429

.r^jB.H-e, cos 9„ y=:«,-+:e> «" fti
.r = #*, -f-p, c«» 9^,, y=», -He, »in y, ;

.r, =jw, +r, CO» (ö,-f-y,), y, ^», H-r, sta (a, -f-ji,);

ar, r=Wj + r- cos («,+9..), y, !=«, + r, s!u f«, H-y,);

Ä-, =«, +r, cos (o,H-y,), y, =»,-!-/•» sio («,-f-y,))

UDtl diese spcliielin Glric1iuiic''n reicliro zur Boslimmunf; lier Kecb>
zfbn iu ibni^u «'nttinllcnou untivkiinnloii (fritsKrii Jt\ r/; ^',, y, ;

*. ?n Pa. e.; *■> ''.. '•it *■.- ¥■ «»p. (Tt. SPi •>'»■ Die Auflösuna;
diesrr (•Irichun^to fst ab«r Svlrnicricrkritcn tinleni'oHVa, iiml ivir
wolkn (liflselbfu liier fltilirr nur an weit entnirk^la, class sin IiIosh
iiucli di« vii-r aubekuunißu (trösscti .z-, y; .r,, y, cntbulten, welcliua
otia« Scbwi«ri^k«it gvitclielicii knon. Iliircb ICliniiciutiaii tod ^i po
(>,, p, und r, f,, r,, r, erhalt nvo namlicl)

V — «

toBg j. = -t^— -, tang (o-Hg') = r^

y. — '

y — «

y. — »■

t»ng n=,f^, «afS (a, + ».) = ^5^.

Setzt tnan nun

tang cH-tang y y, -^«

1 — tnng « 130^ qp *"" ir, — M*

tang «, -t-iang ■?. _ _ y. — "i ,

1— uiig«, (oDgri J*i — «'i'

ta"« ",H-i^4nff y, ___ y,— «j

I — ung Oj lang y, ;i:, — m,'

iniig f',-t-iai)g y, ^ yt — «1

1 — (ang rt, tfliig if, .Tj — IM,

und bi'itirami tan^ 71, tung ^,, tnog fp^, tang 9», aus diesen Clc!-
Icliuageii, so erlinlt moo

. {a!{—m) sm « — (y, —n) t<n» «

ang y ^^^ — jm) t«s c-H(y. — «) wi «'

(.fi — tn,) ein ffi —(yi ^«i* cos ir,
(*, — iwj cos «,-+-tyi — «1) *in«,'
fji — w,) »in wj — (y, —fr,) co» «,
(o-, — »w,) cös H, -f-Cyi — »») sin o,'
(^1 — tu,) »in «, — (y, — »,) HW n,
(4^,— w,) CO» «,-f-(y, — /r,J sin «,'

tung ^, ^■
lang y, = -
tuiig SP,=-

Aluu iiut mntt jetzt die vier folgenden fileicliungca:

y — n (j, — im) sin cc — (y, — n) co» «

X — m' (4:, — m> cfls « -4- (Ji — «) »in "'

430

y— «I __ _ (j,— «B,) sin ft, — CVi— »i) ew «,

ar — «H, (x, — wi,) tos «,-f.iy, — «,) iH B,"

y — >fj (x, —rtj) »in IT, — (y, — « ,) t»K rt,

Ä' — Wi (J, — *Wb) cos ai + (y,— ffs) »In tt»'

y— »1 (jt,— »1,1 »In u, — (y, — w,) nt n, ^

ar — jWj ■ (X, — IK,) C08 «, -*-(y, — «,) sin «, *

UU8 denen die virr unbek&nDtcn GroNseo jr, p; jx.-,, j/^ bestli
nerJen miiaseD. Dies« Glcicliungco bringt man ftber leicht ftofl
die Form

_ ^<.r — ot) fjy, — wj — (y—w) (gr, — m>
. fx— m,) fy,— «■) — (y — »,> fx, — »,)

^ (X — >»,) (y, — «,1 — fy — MjXj-,— M|)

»Off "» — (j.-«,) (x,-»i,)-i-(y-«,) (y,— «,)'

oder

. „_ _ U— m,) (y i — ».) — ly — w.) )x, — w ,).

tan? "' — (.r-m,) (x, - i».)-iy-i-«,J (y.-«,)'

. «f.T — xQ— wfy— y,)^fxy, — yjr.>

9 #1»-^-»'— ""(-r-t-X,)— J»(y + y,)-4-xx, -4

y*.

^ ».(x — X,) — M,(y — y,>— fjy, — yx.)

"" 8 ' M,'-+*«i'~w.(x + x,) — »,ty-Ky,)-+-xx,^fjf,l

, _, w,fx - x.l - w/y - y.) — (jy. — yx, )

'""» > »'j* + »3*-'"j(j^ + j?.) — «,(y-*-y,)+**,-f«ril

tnna-a — ^ «.(x-x.l-f»,(y-y.)-(j:y. -y.T-.)

9 ' '«1* -*-»*•- w4U-i-»',)—w.ty-+-y.)-i-a:x.-i-fy."

oder
^ («X — iwy) cos a -J- (*'' -4- »* — «.«■ — »y) md a

— \{m — jc) sin u + (a — y) cos «(x,
-4- [(jw — ^t) cos « — ((• — y) »iD «ly,,
0^(»,.r — «»,y) cos «, -+-(«r, 'H-»,* — «(X — jt,|/) sin «,

— j(«r, — x) ■iB«,H-(«, — y} co&a, jjfJ
+ J («, — x) cos a, — (», _ jf) «in «, )y,j

0^(j»,^ — «■»y) CO» a,-|-(w," +*»j" — «i,x — ii,y) sin o»

. — }(«, — x) sin o, H- («, — y) ro« a,J#ji
H- ((»,— Äf) C08 u, — («, — y) sio o,(jft
0=:(ii,.-K — w,y) cns o, -4-(«,'-H«i' — «,x — «.y) tiin a,

— {(*•»— ^*) 6iua,+ («t— y)eoBa,ixJ

H- ({«». — x) cos a, — (», — y) iia ajy.j

Die fcmerf! AofltTsung dieser vier Gtcichuogen scliciot ober ll
groMe VV«i>läuligkeilcD tu rubren.

431

LIV.

Einig^e Eisenschaften der BinomiulcoefGcienten.

Voo

nrrrn O. Sclilümilcli
XU Weimsr.

Wir wnllrn ziieriit die Rritittpliiiiit^weisi; der Binnminlt^oenicipa-
t«n ilnrcli «in belir «intaclies Verfahren zri;;«n, wclclii-.s wir iturrli»
gäii)riy iu ilieacin AutVnlze tfibeliaitcD ncrdcii.

Ls s«ieD er und 3 beliebige Urüsseo, so ist keksDnUicli

«*(w H- I ) = •«+' -I- «'.

Setzen wir x+l für s und uddireo xu der eo entstelieaden GIgI-
cUuiiff die uliig« uuveraiid«rl, sto iHt

i. i. ws(w H- 1 )i' = «.*-« -h 2jir»+l + «».
IViederhoIrn wir da» nugegebcnc Verfaliran, so kommt

I *«+»(•+ U' H- «K« + 1)' == «"^ + ^*** + ••^

[oder

«'(w +!)•:= «"^ + »B''+2 _4_ 3Mrt-i _4_ „1.

Mftn üliertiielil gleich, duss bei m nalif^cr AnwMxiung dieac«

VcrfuLif Ha eine (•U-Jcliuiibf vnii der Form

! und ebenso Uei {/t-^\) miilig^r eine ähntictie
I »«(w -f- I )"+» = «»-»•''+» -+- *^i4,w«+- + . - .

xam \ orMrbrin kommru viinlr. Nun cnt^tlvlit .nher (2) nus (I), in^
d«ni miin in (1) s-|- 1 fnr s Bcbrfibt und die («Ifricliung noch ad>
dirt, ^aox ro, wie diea gleich unfangs irescluili. Also

Verglcivlit miin dit?ss mit (i), 80 Qodflt sich au cleo allgcinvi-
nen Gliedern die tt^lalioii

'J^l-i-''.^r=-'*^J,

(3)

432

fiftsitive ganze f:\(ioticDtfn, und bMciclinct "v:/,, -ji,'. ,\ ^^ ^A
«„ *,, . . ., woiwi n^^M^^l ist. I

, Ans (1) iolgt noch, wenn nna mit w= liebt, qdiI «=— \ (l|l.l

oder

■romiei

(1 + .r)- = »o ^- »,* + i*,.x* + . . + ftn^* \

Ganz da» uatuÜcLe Verfulir^ii wcrtlcn wir zur Kiitdeckuiiff i»ii
Eiii^'Hsrliaftvn dt'r BiDuniialcoeflicieDlcD selbst geliraucbea, nnditatn
bliiss die Fumluineiitalfurniirl

•nven<ten.

In so fern dun Jeder llioomiäloocfticiAnt Mr von 2 Elemcntrn
zog-leidi ubbünfi^, künnp» wir aucb oucb iI«d Veraodrruof;^n fnceii,
diu ilerselbi! erlüidsn wird, nrnn s'kU eint) dieser Eleoiente äDarrt.

a) Für eiu cuaviautcs m üudcre bidi r.

Scbreiben wir in (4) r-^- l für r, so baben wU

(«1 -h 1)^1 = Ä, + M^i

ebenso

WCDD wir also uüdireu und auf die linke Seite wieder die KvlaUoni
(i) aaweuden;

(« -\- 2)^M := Mf + 2jWr+i-f- ««H-S
ebenso

bUo durcb Addition und wegen (4)

(«f -f- 3)rM =: «^ -f- Sjwm-I -h 3«M^-|-«M*
Vcrallgcncinert git^bt dicss den Satz

(»l-+-«),+„^»„W,-+-W,«f,S-t-f-<'»"r+i-4-- - • (5)

Daraus folgt n. A. Tür r = i), »^m,

d. b. Die Quadratsumme ilrr BinomialcoefficicnteD iftj
dem nittetstcn IJinoiDiaIcucfficicutea für den ilopp«t-|
ten KxpDnenlen c:leicb.

&) Vüf eiu coniitjinleit r Ändere tich m.

Wir brnudiru jcUt die Relnttoo (t) unter der Form

«.^-i ;= (m -I- l»r — «,^.-. (3)
und scbfeiben iliiriu M-f-l für m, so wiril .

{m -k- 1)^ = (« + ÄV -T (« + l)r.
Zioben wir die erste Gleicbung von der zn-»lcn r1>, üo ist

+ 2Mr+3 + mr^

433

'ena wir tlie liuke Seite DBcb (7) xaniameDtielien,

fth^ = (•» + 2)r — 2(*9 + i)r + «r.

jhreiben vär wieder «»-f-I für m uod xieliea dnvou die For-

>r tHr—i UDgeäodect ab. xo kutnmt

>-hlJf-«— «»-» = (« + 3), — 2{«-t-2V-|-(«+IV

«^ = (m + 3), - 3(m H- 2), 4- S[« + 1>— «r. '
Bei Amaliger Anweixliing Labeo wir

mr-n ^ »•«(« -I- »)^ — »,(» H- » — l)r H" »,(*» -|- • — 2)r— ... (8),

ni»v Rritie ist 8«br vieler Folgerungen fiiliig,
Z. K. für r = » ist

1 = «,(« + «)„ — «, (m + n — 1), -H ff .,(» + «_ 3), — . . . (9)

Für «=m ergicltt nicli, well r-ef^m ir\n muss,

= iW^(2/w),-OT,(2M— I)f-|-lW,(i»l-2)r— ... (10).

Für r^O erliült man

= »^ — «,+«,-. ,. (II)

WM aarh sonst liekannt ist.

Nimmt mun pii<llic)i r = m. so wird, weil Mh— M = i«ji, ist,

9H„ ^ Ä„( W -4- H)m — «i(*« -1- »• 1 )m -t- «itw -+- » 2)« . (12)

eine Rflhe, wi?tch« einen ßinoiniaifoefCcienteii durcli di« höheren
K\poririitcii nusilriickt *).

Dus liislinr fi;<>bniuchtc Vrrfitbri^n läBst aicli auch inf ^ODionv-
trisrlie Funk liu neu at^Iir vurlbeiUiafL auwcndeu. Z. B. tat be-
kuDtitlich

2 roB -r . coa fli.T=:C0B (« -t- 1 )d: H- co« (« — I)^.

Mtin niulli[i1icirG beiiJerKeitH mit 2 eoti ^ und zarlege recht«
jedes dr>|j|icll« (.'usiiiusprodukt wieder in v!ae Summe, «u wird

(2 cos xY cos jM.t=reo9 (« + 2)^-f- CO« war

+ eoe m^+cos {m — 3).3r

^cos (m-^%)a:-\-^ta»mj:-{~ca»{m — 2)a?'

Mao multi|jliclre wieder mit 2 cus o:, uoJ zerlege weiter, so ist

(2cosd.') ' cs«i.a:^^ai(M-|-3J.«--4-ca(M-|-I )je

+2cs(i«+l )ä^+2c8(»»— l)ar

-t-cs( « — 1 j.^^-l-csfj«— 3)ir

=co8(M-|-3).z>-t-3coB(iiH-l)^+'}eos(jw— ]).2vf-cus(«— 3):r.

Also bat man allgemein

(2co8^)"co& jna-=iif„cosritn+M)ji>4-n,caa(m+»— 2).r-t- ... (13)

*) SovikI icti weJKi, sclieint diese Reibe oorh nlcbt bekannt lu scId.
Tb«tl I. 3t(

434

vmUm rnn m+n BUcePSKiTf die ^rrsden Zablen «bgfrznpcn nr«rdi

Ri>liiiii(lelt inuu rbeusu deu Aueitlruck 'i coh .t* . »in /w.r/ ho iv-j
hält mau unalo^:

(Scoa ;r)* sin m,T^fi„ sin («-4-»).*+'* i ■>•' ("H-* — 2)jH- . • . ^ (MJ.

Hcbnea wir in beidea Ausdrücken m pcgiitir ootl drr ?rdne <
nach :^jv, so <ol8leh«n die <>l«icbtui^a . ,,:

("i cos ar)" cou «.r:^ w^-f-iw, cos i:e~^m^ eo% ia^-^ ...

(2 cos f)*" fiiD «kr:^jn, no SjrH-Mt Hin 4d^+ . . .

oder für ^^|0,

(2 cos 16»)" cw^^ = »„H-«, CO« ÖH-«, eo»2Ö-t-... (ISf

faco« ^^ flio ^=:)ir, sin e + «r, sin 20^-... (16).

Darans ful^ nnck

(ae«»l©V"eos— ■#— 1 , ._ ,., „
— — ^a=coiQ-f-— q-ceggQ-»- ^ „ - — -^eo«:

„ = »10 W-+- -^ sin Ä0-h — äTl "" ^~i-*'

IiBsseii wir nun m ulinebmen, so nülirrt sich im «ratoa Fallt
cos ^0 der Bipbcit uud ~ bckunntlivb dem Ausdruck

Loff (2 coH iO)i in stweiteD Falle nüliert «icli »in -^ dem Bogeu

SID — O
y6, also — ~ — dem Au^dracke iO, uad der andere faktur

(2 cos ^O)" der Einh^tt.

Geben vir alau zur Abnabrnsgrenie Über, so wird

Log (2 cos ^<9)^co* €>— 4cas 2@+|cos 39 — . . , ip inf. (1?)
i&=:sin &-I sin 20-H| sin 30—... in inf. (18)

Dies« Katwickeiun^ der brkAnnleo Reiben bat vor den ibislieri-
gen d«D Vorzug der Einfacbbcit uud der V'pnnc-idun^; des Imagioö-
ren. nelcbes bei clemculureu V'orirügen immer ivcbwicrigketten dar>
bietet lind nur eine Art ftiilfsconstruktioD ausmttcbt, da es b«i den
Kndresultnten wieder iTrich windet.

Anmerkung. Die zuletxt in diesen Aufiiatxe gebraitcbtu
Scfatiissc scheinen mir nicht ron allem Zweifel frei zu sein. &

Herr Professor und Dircctor Sirebike zu DsDzig Imt im Pro -

framm d«r (l<)rti|;«n Pvtriscliiile run 1840 tum erstes Male «li« Avu
rrfnüseru von Pro|fr;iinmpD an midprii Lvliruu stillten T.ur Kack-
iikmung dringend xu rin|il<^lilpirtli> t-üiirirbtiing getrufTcn. dass er
uater ilcr []cljer«clirift Vädazas^iachc. Mitttieüungea jcilcm
PrugrauiDic cino Am7.[i)>i] vuti AufgiiLcu, l^elirsiUzcD, Frozen oder
wU»eui)ctjjil'tliclicu UcHivrkungßti lipifiiffün wird, die im l'iitcrricbla
wirklieb vorffekoaimen sind, und sich io irgvod einer Weis« nh
mirf^cnd und frurlilbar bei der Jtililun^ d«r Jug'end gexciij;t tialtcn.
Dil sölrlie kl^tnß mtistfiis iiiclit iit drn Kui-Iilinndcl knminende
Sctiriftoii wie Proi^riiuime , DtSHertiitioDRo n. dtrgl. leider Dur zu
hüiilig der Vergfafteolieit anlieim fullcu, hu werde ich pädn^ogiirKe
MittlieilunffCD vuii der vurlicr bezniclinrlen Art, in s« tera dicäfrlbca
flea Znecken den Arcliivs ealKfirm^lirD und zu dereu Fürderuog
Witrngeti , in dunuelbeD mit der Erlauboiiia der Verl«K««r wiedejr
ubdruckr.n Iunmpii, Die von Herrn Proleesor Slreblk«ia d£M Pru*
grnmm von 1840 milgctlieilteii Aufguben »iiid folgcodc:

1. PläcbedescbcavnViorQckB. ■

Das ttuudral der Flacbe eJiic» ebeiicu Vierecks ist gleieli dem
Quadnit« der Flui:)ie eines Kreisvierecke mit denGcIlieu Seiteo, ver-
mindtTt um doa Produkt uller 4 Seiten tu il;i9 (iundrat dej CosinUi
Ü^T liallini .Summe zvccifr Gt>ij;riiwiukel doa Vierecka.

I>er Bewein diewes Mntzex wird leicbt gefubrl duri-li Zeifallung
dee \iercckft in 2 Dreiecke, auf welrlie ninn den llniiptafitx der
ebenen Trigonometrie zwei Mftl anwendet, und indem man zu bei-
den Üciteu diT UicruuH erhaltenen Gli'IcUung die clo|incUi-n i'rud'ikte
der beide» nn die zcrfilleude Üiitgunulü anstusscnacu Seiten bin-
znaddirt *).

Indem mun auf JütnlicKe Weise daH 8|ibäri8cbe Viereck heBan-
delt, 80 erbalt man den Satx:

Dan (Juiidnit der dreilucbcn Summe der kubiscbcn Inbulle der
beiden Tetraeder, wi'Ei:bc die Kebne der RjUiäriscbcti Diugouale mit
den Sehnen zweier Seilen uud drei Rudleu bildet, ist

= 8in (-J — «).8in (^ — i).n\a (^ — i;).ain ( g- — rf)

— fin tt. am <> . sio c . nn a . coa ( — r — ) . cvs (

D

J.

*) Diu Anncntliiß^ iJi'Jt eben initgrtbriltr'M S<ittes filhrf antb zu cineia
leicbte» Itun'^Uir iVf Kojjroiiiiiiun (JuikvbiiiRg Jm Ptiiletoäijicben Lehr-
«auea.

2S"

136

wenn ti, li, c, tt iRt ;iuf «iniimltfr fnt^Ptultin Seiti-n t!e« Vi*ri*fl«s, *
iliv Suuiiui^ allrr Scilt'ii, ff dcD VOD a und If, li ilcu vi>a c und 4
einitciclilo-iacn«!! Winkel liedeulet,

Ccwiüs siobi CH fiir ilns H|iljnriHcIie Vicr«rk einen AnsdrxirA
v»n (tnn^ 'r*|^, dir iloii Lexe'lUclicn Aufdruck, der Flflchc de»
HjfliftriHclicD kreisrjerccLH uls pidpii besiindcm KuH entbäll. Bb
jetzt kvbe ich diUcA .Stllz iiiclit gffunile».

2. Qundrnttir des liriitrlinlisrlirn Scktnrs.
Für eine Elliiisc mit dt-ii Ilnlbuxen a und f> ist titrknnntlirb der
Sektar zn'isclien der i^ro»4i.>n Hnlbnie, itrin iiiis dpin Milirljiunktt
nocli einciD l'uukte {j.\ y\ gffz»f;eiii-.D Hüdius \'cklor und den
olliptifivbuu ßogeo

= Ja* . «rc («u = -j-).

Da nuu 1/ — I . ^ = Itjtr . (co9 v*^ -H l-''— ■ I . sin #|, so ist fw
eine Etlinsc mit den Hnlliaxeo n iinil j^I^— t mirr eine (Irpcfbel
nit dCD Hulbuxeo a und f* der entsprecbendp bypcrboliscfae Sekior

3. €t)batiir d»rr dreiseitipen l'vramide.

WcDD mAo in einem Ti?trit«dfT eiiie beliebig;« kante in •
gleicbe Tbeile tbeilt. und dnrcli die Tbtilunfrsponkte iinr;>ll('lp Rlie-
oen zu einer im die (rrtbeilte Kunt« ARstnsspnden l)rrieck»>flAi'hc
de» Tctraederü legt, und uuk d«.*» I)urchsrhnitts(iunkten der Llicneo
uod Kirnten Orradv iinrullel zu der ffclheiltr» Kjiritr- zit'bt, s« i»t

der OeKaiumt-CubikiDbikll aller dreiseititren äussern Prismen (diircli

IIa
Bülfe der -Suujniatiün der (inadriilzablen} ^=''- ^ • (x"*" äi ~*"^^'
wenn F die nrrirrkHlIücbe und h die Halte den Tetraeders auf
diese KlÜcbc bedenlel. Dir fti'trncbtung' der Gränzc diesrn Ati^
drucks fuhrt zum cubisclicn Inbalte der drmeitifti^u Piramide.

(Die t'ortst-lzuuir fol^t im näcbüten Hefle.)

LVI.

AI i s c e I i c n.

In dem 32>ten Bando des Cre|le*acben Juuroala Ut
GaURS einen neuen sehr sinitreioben Ren-eis für das aus der «pb«-
rincben Triconomelrie bekunnic. fiir die Gcod-isie so wi^btiiftt Le-
gendre'scne Tbeurem geircben , den wir Im Folgeniiru mit
einigen uns hier nütbijf scheinenden Erläuterungen mittbeUen
wullen.

437

Bezeicboen wir den sug-eiiHrinlffn sptiKriscIiea Rxcess eiots
Nphärixclieu Urctvckx, d(>8s«o drpj Seifpn «. &, c sind, durrh 3w,
uad diu dru Seiten m. ä, c g«|;«nÜbe.rst«bfnd(!U Wickel dieses
Oreircks rc»|iective üiircti ^/-|-w, /f-^-ia, C-\-w, xn int off^ubar,
wen« ff erinc gewöhnliclie Bedeutiiug Ital, 7-4-/?+ C=7r, weil
beküuiillicb

3« = (.4 -H üi) -(- (// 4- w) -(- ( r-f. w) — n

itii. Uezeictiiien wir uun die bnlbe Numinu Jer drei Wink«! A^^-ui,
B-i-iUt C-J-w dureb Ä, KU ist, wie mnii leicbt findet,

, , A' = i» + 4w,

a—iji+w)=: in — [j - {b)),
* - f r-t- w) = i« — (c— iw)^

uod folglicb

C09 S^ — sin ^40,

cos l*— (^H-w)t=:iriu (^— Jfc).

cos t-S— (/'+w)i=siii {ß~\ia),

cos t* — (C'H-w)t = aiii (<:^— »,

Also ist Dacb zwei srlir bckunot^en Forinclii dflr i|ibiM^MOirt)
Triji^onoinetric

_ ti'ttt jm KJii f-V — j w)
"iiii (Ä-j-(u) j.inlC-1-tu)'
sin f/f — ^nj) «in (C—äy ).
■ sin (ß^w) »ui (C'-+-iu) '
und folglich, wie man hieraus l«icbt Gniler,

sin 'ja sin 'jm sin '(.4 — ju»)

tos ^i« sin '{ß-t-ia) sin (Ä— ^ui) km 'iC-^u) h'm (C— jwV
Catix eben BO ist aber

ain *i6 tili 'ji tf sin *(/f^j<u>

cos 'i* sin '(rf-f-w) sin {A — J<u) sin '(6'-f-u) sin «'^j«»!'

Uividirt inun jr.lzt ntit dem zcvt^itf^ii der beiilrn vortiergebrnden Auh-
driifko in den ersten, Und xieht aus den rrltnltenen gleichen Qua-
tienlen auf beidrn Sfilcu Aes t>leicli)ici(szeicbvns die Quadratwur-
zel aus; KU crgiebt e\e\\ diu («tiMciiung

Hin 'ja cos l& sin (.i-f-m) sin *{^t — Jw)

CCS in ' sin '|ä iin (B-^mf »in '(Ä — |w)*

diu muu, wenn der Kärzc wcgcu

g a' f08j« B sin'lA g'mf ,'#-4-m) wn '(■•* — i<'0 inn 'ff _

S sin 'la ' A* Cdsi* ' sin » J " »iii(J9+w)MQ^(ff — Jci)

gesetzt wird, aucb uuter der Form

b um B ^

Bclireibeo kuuu.

■in ^\a:

cos

m

438

Die vier Factorcn der Rrowu O wollen wir nnu etwa« oftli«
betrachte u.

Weil xJieral oMh cioer bekanotcD (j^niomctrisclirn Formel

E» •irtr=si(5 sia {ff — «D ;*)
ist, so ini

8 sin *\a — «■ CO» -{« = 2(3 sin \a — sin \a'S — «' cos \a.

Gutwickelt Diau onn «in ^, aiu ja-, co« 4" «"^ bekvatile Weiw
in Heiiiea. so crliÄlt diso uacli Iriclier Reebuun^

8 «ia *\a— rt* «OB lffl = 5i^' —-...,

nad siebt aUo, dass ia Bezug: nuf a »ts eine Grosse der ersteu
OrdnUBg

8 sin *\a — a* ms \m

etne ürusae der siebenten, folglich

8 sin »j«
eine Griisse der vierteu Ordnung, also der PftCtor

"' ''"* ^*
8 sin ij«

der Gn>k&e /l tod der Einheit utn eine GHisse der vierlcti Ordnung

verscbieden ist.

Gojiz auf üfanlicho Art zri^ mun, daaa der Fnctar

i'' cos \b

dvr Cräbse B von di'r l-Iinlißit In BMUg: nuf l uls eine Gross« der
ersten Ordnung um eine GrÖHSC der vlrricn OtAwMwa ventcliifiden ist.
Nacb bekauutüu guDiometrificbeD Formeln uA. ^mer

sin "y/ — «in (.^H-w) sin '(-rf — Jw)

= Bin •^— j sin (.^+w) [I — cos (2-* — w)(

^■iu 'A~-^ »in (^-t-w)-t-4 «o {A-^b>) cod (2^— m)

' '^än •-* — I sin (./^-w) + i sia 3-i— ^ »in {A — S«),

und folglich, weil bekanntlicb

sin V/^4 sin A — ^ sin 3^

U*,

sin *A—a\n (yrf-+-w) sin •(,4 — {tu)

^J MO ^— i sin (./ + (t.) — i sin {.i — 2tü)

=4 sin A—^ sin ^^(cos cu-f-J cos 2ü;)— ^ cos ^(sin u — { aiu &v).

Entwickelt man jetzt cob tu, cos 3iü, sin w, sin Sw auf be~
bannte Weise in Reihen, so crbUlt man nacb leichter RecboDD^

sin *-/ — sin (v/ + (u) sin *(,/ — ^&j):= Jw* »in ^ — . . . .,

und »ielit also, dau in Bezug auf m als eine Grössa der ersten
Ordnnng die Grüa^e

sin *A — im {A-^bi) sin '(^ — -jw)

439

eine GräMc der xweileo, fulglicli
1

will (J-t-ot) sin '[A —• ^<a)
sin '.*

ebenfalls vinc Grösse der zweiten Ordnung-, uIbo der PucLtit
«in (jj + ai) »in *(;< — jw)
«In '^

der (irüsie iV v»n der lüiolicit um ein« Gröasft der Eweit«» Ord-
niiDg vfrscLicden ist.

Auf gaoz äbolicti« Art iibericDgt nian tiidi, iIksb ilur Factor

din 'fi

Bin {ß + i^i »in H* — » "

der GnUs« D vdd der Einbrit um rine CrÜsse rrrürliiridrn ist,
nelcli« in Iteiug aof ii* als eine G'rüsso der ertilcii Onlonng voo
der zwL-iten Orutning; ist.

In dfr :i]tliariMchcn Trigonamrtrie *) wird «ber falgemttir merk-
würdige Ausdruck fiir den apIiitrUclien Excess 3tu bewieaea:

i

tnng ^lo^V^tuDg I* tBug 4(4 — o) tang iU — *) tnng {(» — e),

wn *^i((»-hÄ-hc) i»i^. Abb diesem Ausdruck« erhellet Kcbr
leicht, dHHs in Bezug auf die Seiten rr, A, r als (Ürflascn der er-
sten flriliiung die CrÖKse tu jederzeit eine Grosse der zwft>
teti, ilIsii m'* eine Grüsse der vierteo Ordnnng itit, und vrrnn man
dicK nun mit di'm Obigen zuKtmiroenliiili . sn ergieliL sicL auf der
Stelle, llil!^s jeder der vipr l'acturcu der CrÖMSu ß tqq der Biubeil
um eine iirüsüc verscliieden ist, welclie tii ßexug auf diu Seilen
deji ftpliHriNclx-n Dreiecke als GrvKseu erster Orduung von der iier>
ti-ii Ordnung ist. '

Weil nun uacU dem Obigen

ist, so knnn oflTenbnr in Brxug nnf die Seilen des 9|dinriacbPD
Dreiecks aU Crujiacn erster Ordnung mit VeruaeblÜüiiigung von
(irJissen der vierten Ordnung

a sin A

A sin Ä'

und Übcrbau|rt also in Uezng auf die Seiten //, 6, c des ^|ihärist-li«ii
Dreieck!) «U f>riisscii erMcr Urdninii{ mit Veruucbiääsigung vnn
Grössen der vierten Ordnung ,

a __ «in j4 b __ itin B b __ »i» C
T *"" sio K* r ~" Hin C « ~" sin ./

gesellt werdfiD, wo nurb dfrii Obig>-n

tBt.

*J M. a, z. It. des HtTHu^gnbi^rt Eloititnile Aer ebünen, siihirisclieu
und s|i|ijirvidi<cbeii TrtKOUumetrie. i-eipxip. 18S7. S. ISO.

440

Nimmt man nun hierzu, dass ji-\-w, it-t-w, C+iv die WIs^
kcl des spbäriBcben Dreiecks sind, and durch u der dritte Tb«tl
des spliÄriHcli«» Exc^iitH>H ile«K*>lbfn liex^idioet wordvo ist, nn «r-
eiclit sich unmittel liur tlaü fi>lgCDde utPrkwiirdige Und wichtige
Theorem:

Jedes Rphärisebe Dreieck, dessen Srileo {ce<;en den
Hftliimesser der kugfel, auf welcher ck liegt, sehr klein
sind, kann oäberuB^sweise, und zwnr nur erst mit Ver-
naclilSüBtf^une von urösiien, welche in Hczug auf di«
Neilcu des siiuirischeo Dreiecks als Grössen erster Ord-
nung von der viert«» Ordnung «intl, als ein ehenea
Dreieck, dcHsen Seiten den Seiten de« sphärischen
Dreieck)) gleich, und dessen Winkel die um den dritten
Theil den Exceasea des s|ihiiri sehen Dreiecks vcrmin-
derlen Winkel des letxtcru sind, betrnchtut und «Is ein
solches ebeneH Dreieck berechnet werden.

Dii?KVn pterkwürdit^eii, bcMonilera fiir die Ueotljiiiie so übersns
wichtigen, von I.egendrc gefuriilenen 8iitx hnt CiuuKs io der
wichtigen Atibondlnng: Disquisitiones genernles circa snpi?r>
ficies curvas, GullingHC. IH2.S. auf Dreiecke, die »uf einer
beliebigen krumnicu Fläcbt* vtin Kogen kürzester IJuirn einf;e-
Ecblosscu werden, erweitert, wurtilier miin auch dos füiifto Kapitel
in des Herausgebers Sphäroiiiitcber Trigonooietrie. Bnrltn.
1833. 4. iiacbseben kann.

Die allgemeine Gleichung des Kreises zwischen rechtwinkligen
Coordiutitcii ist

o4«r

(* — »)» H-($f—*)«=r»
j.» _|_ y» _ 'Ha^. ^. ly) ^- «» -f. Ä» = r».

Ist nun aber der Anfang der Coordinnten selbst ein Punkt des
Kreises, so wird diese (ileicbung auch durch a::^0, y:^U erfüllti
nnd es ist folglich in die&em Fülle

also

«'-4-Ä'=:r«,

a:"H-y»=2<«JP-4-4y).

Seien jetzt m, w; iw,, m, ; jw,, m, die Coordin.tren dreier be-
liebiger Punkte des Kreises, so ist nuch dem Vorhergehenden

(«»+*•») (BS,«, — ]W,M,)
-f*(«»i'+«,*) (»»,» — *»»,)

-!-(*», ' + «,') («•#•, —HS,«)

441

Weil DDti, wie man Ivielit tindnt, die GräsBO nuf iler reclittMi
Seile des Gleiclihcitszei<:IieB8 verscliwinilet, 8o findet zwiäcbcn den
reclitwiDkligen CoordiDiileg dreier beliebiger l'uukte eines Kreisi^a,
wenn der Aiifanjf Jer Cuurdinateo sclltut ein Puukl dt» Kreises isl,

jederzeit die Relafion

H-(«, • + »,') («,»» — *»«,)

Für die in zveitea HefEe dieses Tfaeils S. Sltt iifrth EtccUiiuag
aufgelöste Aufgnbe:

Weou zwei Panktc der IjHf^e nacb uegebco sind, so
»oil man die Lage zweier »ndurn Punkte dureb blosse
WinkelmrHsuiigen «n deu letztem, uJine dies« vou den
gegebenen Punkten aus zu beobncbten, bestimmen;
nitt ClnuacD in dem neuesten bis Jetzt crs^btcnenen Ntucke der
aatrnnumiücliRR Nnrbrichtea (Bd. XVIII. Nr. 130. S. 307) die
fVilgcuilK g«unictrisehc, aucb bei der Meästisclipraxis aawciidbtire
AtitlosUQg gegeben.

lu aar uoten stebendeu Figur

K

.V

Mi

B

'TL'

^L'

442

seien M und N die beiden belumulea, A und B div beiden uabr*
kaonleu l'uDkl«, d^rt^u Lage liKutimitit w«rdea soll, flu wau uach
der (Inrcli dir Aufj^abe ffMf(^ltt«a Brdiu(i;utig' die nnitckanntcB
Punkte A. B nicht ron oes beksBoteo Pnnkt«n jf#, A\ Bondrrn
blau die iMzIcrHn ran den eraleren aua beiibticfatüii Hnll. si> k«iiB
tDMi nur in dem Panktc A die U'iukct MAS'^a uud M.'iit=.fi,
in dem Punkte JV di« Winkel MBM=.f und MßA^=^d meamn,
und dioae Winkel Kind ilsii«r uebxl der tickMunten I-^ffe der Punkte
JV und ^i die einzigen Dnta, roilteUt welcber die Punkte A and
^ bpslimmt werden uitixj^en.

Be»clir«ilit idbd nn das Divieck MA\' t^ntn Kr«ia, welebcr
die Linie Ali in A' scbnciden na^, und atelit die Linirn HIA'
und i\A\ so ist di-r Winkel AfiVA'^ßy itnd die Lnee der f<inie
^wff nisu beknnnt, tveil die L«g« roB itfjl' eud dfr Winkel ß be-
kuDot iit; siebt iDiID ferner ao den um dus Dreieck iHAA tn-
acbrivbeiien Kreis durcb W die Tumcente A'A', sü ist der Winkel
A.VX:=tt, der Winkel A'JtfA'=''ß, und p« t»t folKÜcb sowohl
die Lage run A'A'*, als aoch die l.^c von JUA' beknunt, weil die
l.es;« Tne MA, der Winkel a und der Winkel ß bekannt ist; also
ist such die Lage des Punktes A' bekunnl. weil muu die l^nfre der
LinieD A'A' anu A/J' kenol. Auf ganz äliulicbe Art bescbreÜH
Duin un doa i>reieck 3/Bi\ einen Kreis, welciier die Linie ^Jt in
ß* schneiden mncr. und siebe die Linien MH' und \ff, «o ist der
Winkel AMti' = 6. und die l-^ffe der Linie MB' nUo beknnni,
weil die Lnge der Linie AfiV und der Winkel d b<*kiinnt ist; liekl
wau ferner nn den um itns Dreierk MHA' bescliriftbeupa Kreii
dsrch A die Taufrenie /.i.', su ist der Winkel Z.AjV^;', de*
Winkel JLt'jVj?' = tf, und es iaf folglich sowolil die La|;« tob.
als ancli die Lbb:« von A/i' bekannt, weil die La^e wo MA, di
Winkel /^ uud der Winkel 6 beknunt int; also ial auch di« I
des Punktes B' bekannt, weil nan die l<iif;e der Ltnirn MB'
AB' kennL Weil man nun die l^uf^e der beiden in der Linie Ai
liejvendeu Punkte A' und B' kennt, tm kennt nun uucb die l^|
der Linie Aß selbst. Der Punkt A ist der audere Uurchschui

tunkt der Linie A'ß' und den um diiK bekannle Dreieck Jffjf.
eitchriebencii Kreises, nad eben so int der Puukt B der ondi
Dnrcbsehuitt^iiuiikt der Linie A'ß' und de« um das bekannte Oi
eck fHB'A be»cliriebenen Kreiiie.*.

Au» dieser Analyais lösat sich nun ußmittr^Ibbr die folgei
Con^rucrinn iibleilcii. Dureli den gegebenen Puuki Af lege
die Linie AA'. welche mit der gegebenen Linie iVA den
kel AiWA^u eiuscIilicMt. uud macbc hierauf den Wi _
MNA'-=K'MA'=^8, an erhiilt man den DurcbscbuitUpunkt i
der Linien lUA' una A'.-f. Auf ahnliche Art lese man durcb d«
gegebenen Punkt A die Linie /*/.', welcbe mit der gegebenen Li-
nie .VA' den Winke] /^AM^y eiuscblieast, und märlie hiersul
den Winkel AMB'=L'AB'^a, an erhiilt man den Durchsclmittr
puukt /T der Linien .V//' und AB'. Zieht man nun dVe Liair
A'B' uud beschreibt um die bekaniiteu Dreiecke MA'A' >jnd iVff.>
ßreiae, so sind die, von A' und ß' verscbiedencu , DutchschmUi-

E unkte dieser Kreise mit der uiitbigenrulln geliürig vi^rVanztrtrB
inie A'B" die beiden gesuchten Punkte A und B. \

t Bei der Messtisebpraxis kann man von dieser AufljJiUDg <)*■
'foIgeodeD Gebraudi maiJieo, wobei wir die »of dem Uesstücbe g^-

(

44$

gcbene* der Linie MX auf d«ui Felde «at«pr«cbeo(l« Unie durch

tnm li«z<>icbDV!ii woIIrd. Alnn bejjelif! sir.li mit dem MeaKtiscIt« auf

den Punkt j4, BtctKe m vuriiknl iib«r ^^ \tgfi. die Kippr«i;«l Hti «*«,

orioDtir« dfts Tischftlott nuf X, richte die an m licB^itdi'. Kipitrv^l

naf den Punkt .1/, und liehn an der Scliärfi^ des l.innils rifr Kipfi-

regel eine Linicj so iai diese Linie die der Linie A'A' eni>

ipre«heode Linie fek' auf dem MeHStiach«. Hiermt lego «inn die

kippree^l in uing<>k«bTt*T La${e an /-/-'. ho Am* da« Ocalnr auf

die Seile des Ubjectivs ikoromt, oriciiHre du Tl^cliblatt uuf jV,

neble die un m liegende ki|i|jr«'gel daHi ß, und xirbe nn drc

Mcliiiirfe des liineala der Ki[ipieB;ei eitip Linie, bo ist diese Linie

die der Linie HA' entisprechcnäe Linie jb«' nuf drni AlcstKiitche.

'Jelxt stelle man w vertikal über .7, lege die KijiprpgeJ an nm^

tirientire das Tiscltblutt auf jV, rirbte die «u r» lie^ade Kipjirei^el

lUacb By und ziehe an der Schärfe des Ijiueals der Kipprefffl eine

, IJnie, so iet diese Linie die der Linie A'.rf en(Kprecb«nde Linte

Ixur' auf dem Alesittbch«^, und der Durclutelmiitüpunkt af der Liuien

{««>' und MA* ist der dem Pankte A' entsprechende Punkt auf den

Mcsstif^be. Indem man sieb jetzt mit dem MeHatiscIie auf den

Punkt // hegii-ht, und hier auf ginr^ abriliclie Art wie vorher auf

dem Punkte A uiierirl. erhalt mau deu dem Puukle A' cntfprecbea-

den Puukt &' nufdem Messtiscbe. Jetit ziehe nitin die Linie a'l/,

' legv die Kipprvgel «u dieselbe und urientire das 'riMcbblutt auf den

Punkt A-, dann lege man die Kifiureuel an m oder » und vinire

Inacb M oder A', su giebt der DuronxeLniltnpnnkc der on der Srbüri'e

jdet fjineala |;ezogettcn Linie mit der Linie a'l^ den gcHurbtea

[Punkt 6, welrber dem Punkte Ji auf dt'm Felde entspricht, und da

tinan durch Aiileg'ung' der kipprrgel nn m und M zwei Setilimiuun«

Lg^en Hir den gesucbien Punkt & erhült, so Kut man in deren l'eber-

iBinslimmun^ mit eiituud<.'r xiigk-icb ein Kriterium ftir die Htchtig-

llteit der Opcniliiin. Den dem Punkte A auf dfm Felde rntspreebeiu

Icn Punkt a auf dem Mp!t.itiRrHe knnn man auf ganz »hnlichc 4rt

[heHliinmen, wenn mnn sieb mit dem Mrsatisrbe wieder narb A Üb-

f-ii-bt. Wenn die Punkte it' und 6' nube mit einander suüouwen-
alipn, wird die AuHiiaung unsifber. i

Bemcrkeu Hullen irir liei dieser tFclegeolieil noeb, das« schon '
[in dem Mfi^ enicbieneneD 3ten Bande der astroRomisetien
Ipiacbrit'bten. Nr. 6?. S. "iXi von Gcriing die folgende bigo«
rDOmetriscIii^ Auflösung un&erH Problems gesehen worden ist.
I Man setze der Kürze wegen in obiger Figur den Winkel
|_^i/iV=^, den Wialiel BA'Jf=yi m ist

Aß sin fa-t-/?-|- rf) jtff

3S MD (f

Afl9

am X
sin (c

md

rolglicb ist

Äff

JUN'

»in iß-

■rf)

Hill fi

SM siny

älS — sin y*

Äff . sin (o ^- ^ -t- (f)

■ '^^ Km .fl? — — ^ ^- — ^-3' — - ^^T^

lEin JF

aia a sin i

am

sin (;t + y +
" sin (J^n y

«n

ein (c __ sin a mn J «in (/l ■

sin y *~~ sin |* riit y sin (a-

444

Bereebnet muD nun Ueo Hülfswinket 9> MiilleUt lier Fortnol

»o iitt

UD<I folglich

«n a:

ti. i.

bIko

»in i/

sin j — »in y
sin x-i-ain y

= tmng y,

taug 4(a' — y) cot 4(*-

1 -> gnjc »

L + UOgy*

taog iix— y) ^ — taDg {(o- -4- y) Ung (15»— g»).
Nttn iüt aber ofTeobnc ^' + y ^^^ J^ + <)• und folgUcIi

laiiK i(a^-y)=-tai>gJ(/J-t-«J) laag(i5»-»).

Wi^il man jetzt -rH-y und ar — y kenit, so kano man auch
lad y selbst finden, na
JJtft Ja, BM, BM nil(el&t der folgenden Furoidn:

X und V selbst finden.
sin (o

lat tnnn aber jc und y, 80 ergeben sidi

-Jjtf;

^.;»f.V,./.V==i^..V^;

siD j* ' hin y '

und auf diese Weise ist nun die I^agc der Paakte A und B g<
M und iV bestimnt, wie verlangt wurde.

Eiufacbe Beweise zweier Lebrsatxe. Vod dem Dem]
Doctflr Rädell zo Berlin.

1) In einen jeden Dreieck ist das Quadrat einer Seite j
gleicb dcrSuRtmu der Quadrate der beiden andern Sei- 1
ten weniger üctn dü|ipcltrn Produkte dl<-ser beiden Hti>
ten multiplicirt mit dem Cosinus des] ¥0u ihneu cing«*
aclilossenen Wiakelii.

Beweis. Es seien a, i, c die. droi 8<^itvn des Uroi«cks uB
a, ß, y die ibnen gf>^ cd über stabenden Winkel; dann ist nacb eiacr^
Urundfornel der üteiecksmesskoDst

«r = i cos y-f-p cos ß,

6s=a cos ^ + c cos a,

c=s6 cos + « CM ß.

iHullinlicirt man nun dir erste Gleirbung mit <z, die zweite mit ^
[Uod die dritte mit — c und addirt die ProduUeugleichungea, so n-
'bnt mau

430

(«M GritMe ilflr zweiiRa, fvlglicli

1

sin (^ + w> sin '(^ — ^w)

sia 'J
rlii-nfulls r'iae GrÖBse der znritcn OrdoBog-, «Im d«r Fuctor

»In (^+<») »in '(/f— jmV

der fJfoiue D van der Einheit um eine ßröHxe der zweilon Onl-
Mog Tcrscliiedeo ist.

Auf guDi älialicbe Art ähtneagt map sicli, dttss der t'aaur

Bin *g

sin (0 + 0*) Mii V' — »

der GrilHÄO O von der Kitilu-it un ninft Cröase vpriirbifidcn ist,
«ftlclic in Uezug auf w als cioe Grosse der «Tuten OrdDuag Tun
der »weiten Ordiminr ist.

lu der sfiliarinclicn TfrifnaanM^Irte *) wird aber folgender merk-
würdig« Ausdruck flir den sphärixclien Excess 'Am bewiesen:

f

Iniig ^w = Ktao(|f 4' ^ng i(* — *») tang j (' — ^) ta^S {(* — ^h

Wi» x^^(«-}-Ä-t-'') isl. Aus dieariB Aiindriicke erli»Ilet «ehr
'eicht, d»ss in li«iu^ auf die !>eitpn tr, b, c als RrS^sen d^r «r«'
at«n Or4lniin{; di« (irÖMc w jtdtrrxi-il eine Uruiftie drr xw(^>
teu , »l-iu u' eine f^rosiie der vierten Ordnung ist, und irenn mun
4irs nan mit dem Obigen zHKntnmenlthlt. so eririeht »icli nuT der
S^telle, d(]»s jrder der vier Fnctorpii der Crftnae /> von der Einheit
Um eine Uru^tiu ver^cliiedcii iet.. weli-lie in lti-zuj(- auf die Si'ileo
de» »|)liiiri sehen Dreiecks ;ils Grusiteu er:iter Ordnung von der vier-
ten Ordniinj; ist.

Weil nun nncli dem Obigen

isl, sn kiinn ofTeubiir in Bexatf auf die Seilen <IeA »[diüriHclien
Dreierk» Jils Gro.t3en erater Ordnung mit Vernarbläsüif^unf^ \nn
(■riiü6en der vierten Ordnung

u ___ Hin A
T «in B'

nnd iilierliuupt niso in Bfzug iiuf die Seilen u, //, r des S[ibäri8clieii
Dreieck» uIk <<rii»)ieii nrnicr Ordnung mit VernucblaiMiigung vtin
(•'rii»«en der vierten Ordnuntr

(•'rii»«en der vierten Ordnung

a SII1 /t h

1

geseiet werüeo, wo nach dem Obig'-n
int.

»in Ä c _. "'" . C' "
n t" « sin ./

') M. s. /. I). liM Hrriiiixgtiliers Eleiiteiite der efceiieu, 9|i)iÜrti<i.-li<?ii
und siiliüiruidUGhen Trilrononiatric. Lciniiff. tB37. S. 1*^0.

k.

Nachtrag su 4em AiifaRix* XIV. In ArrbirA der Ma-

tkenu uuil Pliv». I. Tb^il I. Ilcfl. (Aafloäuag da PotlicuM'*
arhen PrubleoiK)! Vam Heran «fr (^Ver.

Eior xur Kvi^iiuuDfi^ Lei|UL'uie AußÜsung dea PolfatDOtWlien Pni>l
Llema, Über uclcbcs die Lc&er itucli einige Bcaierkuagen in einen <
im JtvD Uct'le N, 331) uiuzufSwvJEe slig'farDckIrii Briefe iJus Uerrn
Miijiirii iiiii) Kitlera Dr. U. W. Müller xu HanoDvcr an den lleruuc*
C«ber lioden. lag' nicht iai Zwecke <le» oWn gro.innleB Autsatics.
D« sieb ober oui litin in iJeiaMlbcu juifircutt'lUfu fileirliUDgun IcirUl
eine srbr f>lc)JCAnte ,\iil3d:suni^ Ji^scs I'robJenfi, die mit d^r bek.aao.<
teo T»D Gauss gr^cbcaen Auflösung groaae Achnliclikeit bat, »h*
leiteo lÄSBt, Sil nügen als Xucbirne zu den in dem i^uanntca Auf-
salxe gPKclicuen Luluickclungvn uicr noch die folgeuden Bcncf-
kuDffeD Platx tjaden.

Wir biiben o. *. 0. 3. die futgeudcn scebs Gleicbuugca gt'
fnndea :

!V = a-H-e CUR y>, y'=y+? sio y;
4?*, =j:H-«. cos (y+o), y*. =y+e, aio (y-*-«);
Är', = x-f-p. CO» (y+l*), y', = y-+-p, «n (y-+-/?);

welcbe, nena »an jetxt der Kütt« wegea y-\-a^^,, if-^-fi^f,
«e(xt, die folgende tiestult crbulten:

f df'=j.--4-j eoa q»; y=y-f-p wo y;

(ay, = ar4-ff, co» y„ ^, = ^-1-^, sin y,.

Durefa äabtraclixiii des xweitco and dritten Paars voD dem erstta
erbäll man

g lar'— ^,=^ cody— ß, cosy,, if*— y', ssp siny — p, siny,^]

};r'— V»=«cnaip— «, cos9>„ y*— y*,^? ain y— «, ein y,;

ivodurrh djf^ C'oordiaalen x und y eliminirt lind. EÜminirt miB
tiun ferner sowobl aus des beiden ersten GleicbuD]i;cn die Grösse
o,, als auch aus den beiden If-tzien die Grä&se f,,' tu erhttlt noo
die beiden Gleii-bucgeB

^ l(^ — ^,) "in SP,— (y — y',) eoa y, =f nn (y, — y),

|(^— .t',) «d SP. — (y* — jf*») cos 9), = e 8'" (y» — y)»

d. i. uncb dem Obigen

g l(jr' — a:^,) ein y,— (y* — ^,3 cos yi=« »in a>

((^r*— ir',) sin y, — (y* — y',) coa y,=e ai« («.

Nun bestimmi! mnu, was bekiinnllirb immer durch leieJitc Reeb-
oung uiöglicli ist '), die llülfsgrükiiun r, und u, su, daisji dieaelben
den beide» Gleicbuogva

Sollen uäuilicb nberbaupt dio Grossen H und IS den beid«ii Gleichungen

K A = R cüs .¥, B^R ain S

^'cepinss bestimmt wcnlfln, so reclinct man am be«leii nncb folgtodeat
n> Schema:

447

6. j/ — a^,s=r, Co» «I, y— ]/, =ri lifl <«,,
onil die HülftgrÖssRn r, uuiI u, so, iluss dieselbeB den beUen

7. *" — jr'j^r, «08 0,, y^ — y.ssr» lin w,

genügen i dann erliallCD die beiden GleicIiuRg«n 5, welche nocli die
unWliannlen (irosaeo y,, y,, g eoilialteii, uffenbar die einfache
Form

S. r, itiu (f, — (t>,)^9 sin a, r, niu (gt, — •»i)=:9 «in /?;
und führen durch IKviaiun zu der Glc'ichunt^

«.

ri «in (y, -" Wi) fit tt

r, »in (^1 — w,) ~* sin jt

oder

10.

Bin fyi ^^M]) r, »in o »in « »*,

»in (ij), — w,) r, sin 1» r, ' nn j!*

die DOD p nicht uclir cntiiält. Berechnet mui den HUIfiiwiukel £
tni(tel>t der Formel -,

, , , 4, r. sm ff sin a r,

so wird die Gleichung 10.

12 «"' (y,— <"■) ^ ,

13.

ind vcrwfindelt sielt, wenn man aof beiden Seiten die Binheit »ub-
^irt und uddirt, und dünn dividirt, in die Gleicbnu^

Kiii(y|— w,) — slti fya — c,) 1 — mng f

Bin(y, —wj-l-mnty, — w,>~~ l + ung f»
Id. L in die Gleicfaaog

,14. Uug ^Kf,— y,)— («ö,— ofa)i wl tI(y,-Hy,) — (w,-|-ui,)|

= -t.ny(45--§),
^■UB der eich
|15. tung i|(y,4-y,) — (w,H-w,)i =

— cot (45«— 5) long ^j(y, _y,)_(w, — w,)j
foder

lug . Ä KOS J¥:=log jf
Idg . JE xm .V^ log ß

log cot iV^logi^ — log/?

A'»

jlog ^ — log cos N
|bg; S — log sin JV
Ä=

logÄi

442

[•' I

Im M tinil X die bciilen IwUnniit:», A nad ß die beider
knnntKU Punkte, der4;i) I.agr Ijestimmt wertlcu sulL Du man oack
der durcli die Autgabe sealclIIcD Bedin^riing^ dio atii>ekanDlcD
Pnokte .1, H nidht von ueu bükuncit*» Punkten itf, A', aouileru
bloM die letKlerea von d«ti erueren tiu» b«obactiteu >oll. so kanii
nsD nur in den Paukte A die Winkel JttA\=.rt und ÜtAii:^^,
in df-m Punklp 77 die Winkel jVA:Vr=:;- acid \BA^=3 neaMO
tiud ili«-se Winkel iiiiid dalicr ncbat der bekannten f'ARe der Puokti
ßf und ;l di« einxigen Data, nültelBt vetclier die Punkte A udi
ü bL-stimmt werden mliBHefi,

i{e»ebr«itit inan un dis Drei^k MAN einen Krciii, welchei
die Linie Ait in A' Krbnciden niu|$, und xivbt die Linien .V.^
um) \A', »o int der W'inkfl Af.VA'=:ß^ und die I-Hi^e der Liaia
A^' also bekannt, weil die Lso^e roii MA tnd der Winkel ß be-
kannt itt; liebt mnn ferner an den lim d»s Drmcck MAS be-
acbriubenen Kreiii durcb M die TaniireDte A'A'', »o ist der Winkel
J{.VA=a, der Winkel A'MA' = ß, und es lal folglich Howohl
die f^a^c« vuu JiK', aU auch die Lage von MA' bekannt, weil die
l<«ti;e von J/iV, d«r Winkpl u und der Winkel ß bekannt ist^ aUo
ut~auch die Lufirc dca Punkten A' bekannt, weil man die LaffC der
Linien XJ' und MA' kennt. Auf ganz tihnlit^bn Art bcarlireilie
naa un dos ßreiecJc JUltA einen Kreis, welcher die Linie Aß itt
ß^ schneideu miit(, and üebe die Linien MÜ' und Mß', so ist der
Winkel A.V/f' = d, und die Ijige der Linie MB' ulsn bekannt,
weil die Litf^ der Linie MM und der Winkel d bckautit ütl; liebl;
num ferner un den um liaa Dreieck MßA bcBCbriebcnen Kreit«
dnrcb A die Tsng-entr /./V, so ist der Winkel £>AM^y, dev
Winkel I,'Aiß'==J, nnd es int fol^ick sowohl die Lafr« von XA/
als aueli die Lage von AB' bekannt, weil die l^ai;« run MA, der
Winkel /-, und der Winkel d bekannt ist; also ist auch di« l.<n{fe
det Punktes ß' bekannt, weil man die Lage der Linien Mß' mi
Aß" kennt. Weil man nun die Lage der beiden in der Linie AB
liegeiKli'u Punkte A' und ß' kennt, ao kennt man auch die l^gf
der Lioie AB selbst. Der Punkt A ist der andere Üur€hsc-htiittt>

Ennkt der Linie A'ß und des noi das bekannte Dreieck M/fX
earfariebenen Rrcisea, nnd eben so ist der Punkt B der ändert
I)urtibHL'linitts|iunkt der Linie A'ß' und des um diiij bekannte Drei*
eck MB'A beschriebenen Kreises.

Aus dievor Aualysis latMt sich nun unnillolbnr die fal^aile
ConStrUftioa nblrtlen. Durch den ge((eheiien Punkt M lege num
die Linie A'A'', welche ntit der gegebenen IJnie MA' den Wia>
kel AMA:^u einsrbliesgt, und mache hierauf den Winkel
MA'^i'^K'MA'^=.H, so erhall mnn den DnrchichniMspunkl A
der Linien MA' und AA'. Auf »hnlicbe Art lege man durch den
gegebenen Punkt A die Linie tiU, Wfdche mit der gegebenen Li-
nie MA den Winkel L,XM=Y eiuseblie&sl, und iiuiclie biernvf
den Winkel A'Mß'=JJA'ß''=0, s» erbalt mau den Durcbschnilts-
I punkt B' der IJnicn MB' und Aß. Zieht man nun rfi'e Linie
AB' und beschreibt um die bekannten Dreiecke MA'A' and MßH
Kreise, rd sind die, von A' und ß Tcrachiedenen , Duichscbnitts-

r unkte dieser Kreise mit der uiithigftnfalU ^ebürig Yt>rlnngerli
.ioie Aß die beiüen gesucbLcu Punlite A und B. \

Bei der Messlischpraxis kann mau von dieser Aufli!(5nng dn
folgenden Gebraudi niucben, wobei wir die auf dem MesütJUcliG g**

ti

i

a

gfibeSA, <tpi' IJtnK Hf\ Küf (lein F«Me «oUprccbentle l^lnie tlurcli

M« l»ezeiclii)<Mi «'»Heu. Mun b«{]^cbe üick mit dem MrsstiHclic auf

den Punkt ./. ^ri^llr m vrnikal iiiwr ./, 1»^ die Ki)i|irp(^rl an «*,

arinntirK ilns Tiünlitilatt nuf ;V, rictiie die hd m lii'si-iidc Kipjircgel

nnf den Puakt .V, und ziele an dtr Hcliürfe dm Linnilii drr Kipp-i

regtl oino LioiRj so ist dieB« tJnie die der l.iDl« A'A' eac-

tprechesda Linie AA:' auf dem MctMiiirb«. Ifieriinf Ivge iiiiB di«

Kippreff«! in uingekel)rt4>r l.n^e iin i:A'\ m> duss das OcaUr nof

die S«ilv dfd Ohj«<-rivii «koratnl , oririitirp da« Tindililntl nuf J/,

riciite die an m liegende Kijipregel nach ß, nnd tiche nn der

Hebirfe des länealti der Kip[iret;el eine (jioie, so ist dirse. Miiie

ilie drr Linie MA' enlaftccLva^o Linia mt/ tuif den Alesstisclie.

Jetzt sLclIe (nun m vertikal über -^4, lege die Ki(fprei(cl an aM,

«rieoHre das Tiscliblntt auf :V, rirhie die tta m liegende Kippregel

Bacb I/, und zieb« an der Sjchärf« iks lji»enU der kipprir^ri eine

/Jni«, ao nt dicHe Linie die der Linie A.-l' eutsprecbRnde Linie

su>' (luf dem HeBstiaelic, nnd der DurcbacLniKspunkt i/ der I/inieii

»na' und imt' ist drr dem Panlite ^il' entaprecbende Punkt auf dem

MesBi'üwrhe. Indem man sich jetzt mit dem ^IrisHtischo auf den

Vuukt if begiebt, and hier auf guni älniicbc Art wie vnrber auf

dem Punkte .J uuerirt. erbiilt man den den Punkte Jf entspreofaea*

den Punkt // HUI dem 51ei>sliHrIie. Je-Iit xiebe man die l^inie a'£f,

lege die Kip|>regel an dieselbe und onenlire das Titicbblatt auf den«-

9*unkt .-^^ iltiDn lege man die Kipprei;f) an n« »der m Urfd viture-

'Kiacb JH oder A', »a giebt der Durtrbsefmillispugkt der an der Sckürfe

«les Lincala E:eiopencn Linie mit der Linte a't^ den i^sucbtea

Punkt 6, welcher dem Punkte // auf dem Felde entspricbi, und du

man dnrcb Aulcg^Df^ der Kipprepfel nn m ntid m zwei Betftinmmi-

gen fiir den gesucbtcn Punkt & erküli, so k«t man in deren Dcber-

cinstinmunif mit einander zuji^feicli ein Kriterium fiir di^- Kicbttg*

Iieit der 1)|ienitinn, Den dem Punkte ^^ auf dem Felde entspre:rhen-

den Punkt a auf dem Mcsstiiehe kann man auf ^ani äUnliche Art

liestimmen, venn man sieb mit dem Meüslisebe wieder naeh .-i lie*

?^iebt'. Wenn die Punkte a' und A' uube mit einander zuäamiaea>i.
allen, wird die Aufliisuiii^ uniiicber. •<■;

Bemerken wollen wir bei dieser ('eleirenbeit noch , dasa itcbuti
iu dem IH'i^ entcbii^Deneu 5teti Uoude der aat rnuomiaebea
Nacbrtcbten. Nr. 6'Z. S. 233 von Geriing die folp^cude trign-
nometriaclic Außösnng: nnsers ProbJema geReben worden itt.

IVIan setze der Kürze wegen in nbiger Figur dea Wt&ket r
JBIA = x, den Winkel ßAM=yi so iat

/iß ain fB-f-zJ + tf] /Iff sin x

A^ »in d ' M~^ — sin n

DDd

BM sin S '

BM »in y

HN sin r

t'olglicb ist

AB . sin ( g -i -;>-|-in

JMW"""** Rin ß sin <f

= 810 y

sin « WD J sin (fl ■
sin j3 sin y sin (tc-

444

Hercchnet niui nUD den Hairaviokel if ntltclst tler Kurmel

•o ist

«Ml « »ig J »i» (^-<-y-h <0

tünd folglidi

MIO X

sin 1^

= tätig y.

sin X — HR !f

\ — *n>g »

d. i.

•Iw

«in ;r-t-Kin y I •!- ung ^*

taug 4(.r — y) cot J(-*--+-y) = — ^"K (48«— y),

tsng 4(.r— ^) = — (Bngi(jc-hy) lang (15"— »)■

Nun iit aber ofTcatisr x-\-y = ß'^6, und folgücb

tang 4(.r — y) = — (■iig{(|»-f.rf) taog (45" — (p).

Weil man jetzt ^ + y und ;r — y kennt, so kann mao auch
X und V Ecllist tindcD. Hai miin aber ar und tj, »o ergeben kicb
AAf, ^fS\ BM^ BM oiittelst der folgenden Furinela:

^j,= !HLl^±.€)

• Bin « *

"lind auf dicK Weise ist duo die Lage der Puukte ^ und jB gvgeu
itf uud iV bestinnt, wie verlangt wurde.

Einfache Beweise sweier Lebraätzc. Von den Herru
Doctor Rädell zu Bt-rlin.

I) I» einem jeden Dreieck ist dan Quadrat einer Seite
gleieb der Sumuc der Quadrate der beiden andern Sei.

ten weniger dem doppelten Produkte dieser beiden Sei-
ten uiultiplicirt mit dem Coiiinnt de«! vOd i
scbloHseneu Wink eis.

ihaen einga

Beweis. Es iseien a, 6, c die drei Seiten des Dreiecks nntl
a, |9, y die ibneu gegeuübentebendeu Winkel; dann ist DB«b etaer
Gruudfonuel dec DreieckBoiesükuost

a^b cos y-J-c cos (!,

^ = a cos y^v coi n,

ezzub eos a.~^a cos f?,

Muliihlicirt tnau nun die erste üleirbung mit a, die xweite mit i
und oic dritte mit — c und addirt die Produkteugleicbuugea, so er-
kllt man