Full text of "Archiv der Mathematik und Physik"

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6 


Archiv 


der 


Mathematik  und  Physik 

mit    besonderer    Rücksicht 

auf  die  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  höheren 

Unterrichtsanstalten. 


HerausgegebeD 

von 


Johann  August  Chruneri^ 

Prtfesstr  ii  6rei&wil<L 


Füiifandvierzigster  Theil. 


Mit  acht  lithographirten  Tafeln. 

r    J  ^  ^    s.  J  j     ••    ' 


Grelfsurald. 

C.  A.  Koch 's  VerlagsbachhaDdlung, 
Th.  Kanike. 

1866. 


1624  v'2 


•        m  '  ' 


■   •  4 


•  • 


«     *       •        • 


•   •    • 


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Inhaltsyerzeichniss  des  funfundvierzigsten  Theils. 


Nr;  der 
Abhandlung.  Heft«.  Seite« 

Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

I.  Andreas  Freiherr  v.  Baumgartner.  Eine 
Lebensskizze  Ton  Herrn  Professor  Dr.  Fr. 
Jos.  PiskoinWien I.  1 


Arithmetik. 

II.  Ueber  die  Beurtheilting  der  Wurzeln  einer  vor- 
gelegten biquadratischen  Gleichung.  (Erste 
Abtheilung,  als  Fortsetzung  der  Abhandlung: 
Ueber  die  Beurthcilung  der  Wurzeln  einer  vor- 
gelegten cubischen  Gleichung;.)  Von  Herrn  Fer- 
dinand Kerz,  Major  in  dem  Grossherzoglich 
Hessischen  Gendarmerie- Corps  in  Darmstadt     I.  14 

IV.  Zur  Lehre  von  der  Integration  linearer  Diffe- 
rentialgleichungen. Von  Herrn  Anton  Wass- 
muth   in   Prag I.  tO 

VI.  Ueber  Malfatti's  Resolvente  der  Gleichungen 
des  fünften  GrBdc8.  Von  Herrn  Francesco 
Brioschi.  wirkl.  Mitgliede  des  R.  IstitutoLom- 
bardo  di  scienzc,  lettere  ed  arti ,  Director  des 
Königlichen  höheren  technischen  Instituts  in 
Mailand.     Im  Auszüge   frei  nach  dem  Italie- 

nis(!hen  von  dem  Herausgeber II.        '  186 

VIII.  Einige  bemerkenswerthe  Sätze  über  die  zusam- 
mengesetzten Zahlen,  ihre  Anwendung  zur  Con- 
struktion  von  Faktoren -Tafeln  und  zur  Aufsu- 
chung der  Theiler  einer  Zahl.,  Von  Herrn  Anton 
Niegemann,  Oberlehrer  am  kathol.  Gymna- 
sium an  der  Apostelkirche  in  Göln     •     .    •     .    II.  203 


^HpKr.  der 

u 

Heft. 

■^ 

^^H 

natürliclien  Zahlen  nach  GausH.   Vnn  riem  Uer- 

^1 

^^B 

»"«peber      

IL 

!»^^H 

^H, 

Ur.i<-l(fehlerinS<:1irÖn'«ii<-bc(.«tellip;eiil.OKa- 

]^H 

^^^fe 

riihmenlafeln 

11. 

23^^^H 

^^K 

Uel.nr  einen    in  der  InlcRrnlreehniing  norh   fili- 

^^B 

^^H 

lenden  Sati.     Vun  dem    H  ei-n  us^elir  r     .     .     . 

111. 

«79 

^H 

lielier  die  Inlrsration  der  Differcniialgleii-linns 

0  =  «ff+.K^). 

^H 

VonHermPrnfeaanr  Johann  Rogner  in  Rraz 

Hl. 

315 

^^B 

Ueber  die  Grenz werihe,  welche  die  Koeffizienten 
einor     algebrai  seilen     Gleicliung    üliecach  reiten 
■nnsBen,   damit  die  letztere  eine  liestiniiiite  An- 

Heinricli    Schrnnim,    Lehrer  ilerMatliema- 
lib  an  der  Landea-ÜherreaUr.hnte  lu  Wiener^ 

1 

1 
( 

1 

^^V 

XeuxUdE    in   Nieder  -  Omterreiith  .     .     . 

iir. 

:ia;.          ' 

^H 

Ueher  einen  Satc  >on  Ciiler.     Vnn  Herrn  Fro- 

( 

^^H 

rc««>r  Ur.  J.  F-   W«lf»r8  in  Berlin      .     .     . 

IV. 

Jii 

^^M 

Methode  der  Anflosnnf^  litleraler  cubischer  nnd 

i 

^^v 

Ludwig  HatthieBaen.SnbreclorinHuoii» 

IV, 

.,»     J 

^^B 

Lobet  die  ApflÖBunR  der  Gleichung 
uo««».in¥'-2»in«e"''«»in»c"«*+«in«*«0'i*^ 
=  0, 

4 

1 

Von  dem   HeranagehEr 

IV. 

4„n 

1                    Wlllt. 

der  UilTercnz  zweier  Zahlen   BDi  dw  Logarith- 
men dieser  Znhli^n.     Von  Herrn  F.  Seeling  in 

_    1 

^^1 

Hncles^ngen 

IV. 

4.-.I 

^H 

Allgemeine  Theorie  der  Wiirxeln  der  AeqiiiTB- 
lenzen,  mit  bcNond«ror  Bäeksicht  auf  die  Thc«< 

1 

^^B 

rie  der  Gieid«<D;;en.     Vnn  dem  Heransgeber 

IV. 

454              1 

^1 

(M,e.  fluel,Geü».olrie.Nr.X,   —  I.  Jl.IlI.rV.  V.] 

^ 

H 

Geometrie. 

m 

^^M 

Analytischer  Bcwoi«  cinei  hekannlcn  Satxea  von 

1 

j 

III 

\r.  der 
AMiandiim^.  Heft.    Seite. 

dem  Inhalte  des  Tetraeders.     Von  dem   Her- 

ansgeber «1.  66 

V«    Theorie  der  Flächen  des  zweiten  Grades.  (Erster 

Theil.)    Von  dem  Herausgeber I.  75 

V.    Theorie  der  Flächen  des  zweiten  Grades.  (Zwei-  ^ 

ter  Theil.)    Von  dem   Heraasgeber    ...     II.  121 

Vn.  Einige  geometrische  Sätze»  welche  sieh  anf 
Dreieck§flächen  and  Tetraedervolnmina  bezie- 
hen. Von  Herrn  Hejnrich  Gretschel,  Leh- 
rer der  Mathematik  an  der  Handelslehranstalt 
in  Leipzig II.  194 

X.     Bestimmung  ebener  Dreiecke,  deren  Seiten  mit 
dem    Halbmesser    des    umschriebenen    Kreises 

in  rationalen  Verhältnissen  stehen II.  22() 

I.     Von  Herrn  Professor  Dr.  Rosenberger 

in  Halle  a.  d.  S II.  22<) 

II.  Von  Herrn  Heinrich  Gretschel,  Leh- 
rer der  Mathematik  an  der  Handelslehr- 
anstalt in  Leipzig II.  221 

HI.  Von  Herrn  Dr.  W.  Schrader,  Direc- 
tor  der  Königl.  Provinzial- Gewerbe- 
schule in  Halle  a.d.S IT.  224 

IV.  Von  Herrn  Oberlehrer  Lehr  in  Kö- 
nigsberg i.  Pr II.  220 

V,     Von    Herrn     Gymnasiallehrer    E.    Fär- 

a  tenan  in  Marbu  rg     .     .     .     •     .     .     II.  230 

WII.  De  Uhombis,  qnorujn  latera  per  Tertices  tri- 
angnii  aequilateri  transennt,  annotationes  factae 
a   Dr«.   Christiano    Frid.    Lind  man,    LeH. 

Strengnesens  i llf.         344 

WIIL     lieber  die  in  Tbl.  XLI.  S.  237.  behandelte  geo- 
mctriscbe^ Aufgabe.      Von   Herrn  General    von 

Dewall  in  Berlin IH.         348 

XIX.     Heber  einen  geometrischen  Satz.  Von  Herrn  Pro- 
fessor   Dr.   H.  Emsmann   am   Gymnasium   in 

Stettin III.         353 

XX.  Ueber  den  Zusammenhang  der  Seiten  des  regel- 
massigen Fünf-  und  Zehnecks  und  den  Radius. 


% 


IV 

der 
idlung.  Heft.    Seite« 

Von  Herrn  Dr.  K.  Weihrauch  in  Arensbarg 

auf  .der  Insel  Oesel  in  LiTland 111.        355 

X\I.  lieber  einen  geometrischen  Satz.  Von  Herrn  Dr. 
K.  Weihrauch  in  Arensburg  auf  der  Insel 
Oesel  in  Livland III.         356 

WH.    Betrachtungen   über  das   ebene  Dreieck.     Von 

dem  Herausgeber  . IV.         429 

Trigonometrie. 

X.     Ueber   den  Aufsatz  des  Herrn   Jos.  Ei  lies  in 
Thl.  XLIV.  Hff.  4.  S.  441 : 

Von  Herrn  Heinrich  Gretschel,  Leh- 
rer der  Mathematik  an  der  Handelslehran- 
stalt in  Leipzig II.  231 

Von  Herrn  Professor  K.  Knorre,  Director 
der  Sternwarte  in  Micolajew  (Südrussland, 

Gouvernement  Cherson) 11.  234 

XV.     Zur  Transversalenlehre  vom  sphärischen  Drei- 
ecke und  sphärischen  Vierecke.    Von  Herrn  Pro- 
fessor Johann  Rogner  in  Graz      ....     111.         318 
(M.  8.  auch  ArilUmetik.  Nr.  XXVIII.) 

Geodäsie. 

lXIII.  Ueber  die  Anwendung  der  anharmonischen  und 
harmonischen  Verhältnisse  zur  Auflösung  eini- 
ger Aufgaben  der  Geodäsie.  Von  Herrn  Pro- 
fessor Franz  Muller  am  königl.  böhmischen 
Polytechnikum  in  Prag •     .     IV.         395 

Mechanik. 

XI.     Der  Rotationskörper  des  kleinsten  Widerstandes 

Von  dem  Herausgeber III.         23T 

Astronomie. 

XIII.  Beschreibung,  wissenschaftliche  Zergliederung 
und    Gebrauchsweise   des    persisch  >  arabischen 


.     ,  V 

Kr,  der 
Abhandlang.  Heft.    Seite. 

Astrolabium'«.      Von   Herrn    Aogott  KrzH, 

k.  k«  pensionirtem  Major,  früher  Särtip  (General) 

im  persischen  Dienat,  in  Ghrudim  in  Böhmen    llf.        289 

Physik. 

XXII.  Beiträge  zur  Lehre  Ton  der  Atmosphäre.  Von 
dem  Herrn  Grafen  L.  y.  Pfeil  in  Gnadenfrei 
in  Schlesien IV.         357 

Uebungsaiifgäben  für  Schüler. 

IX.  Lehrsatz  zu  beweisen :  Die  Höhend archschnitts- 
punkte  der  Tier  Dreiecke,  die  ein  Tollständiges 
Viereck  darbietet,  liegen  in  einer  geraden 
Linie»    Von  einem  Ungenannten  .....    II.  217 

'S 

Literarische   Berichte  *). 

CLXXVII. I.  1 

CLXxvin.      ..........       II.         i 

CLXXIX IIL  1 

GLXXX .        IV.  1 

*)  Jede  einzelne   Nummer   der  Literarischen   Berichte   ist   fnr  sich   be- 
sonders pag:inirt  TOn  Seite  1  an. 


Andreas  Freiherr  v.  Baumeartner. 


Eine  Lebcnsflltizse 


kin  23.  November  1793  hatte  Priedberg,  ein  deutsches, 
swan^-lntlnstrie  treibendes  Sf.'idtchen  im  sQdiveslIictien  ThetI« 
BShmen^,  ohne  ea  zu  ahnen,  einen  für  die  Zukunft  bedeutungs- 
vollen Tag  —  Andreas  Bauni^artner  wurde  um  diese  Zeit 
daselbst  geboren.  Die  ersten  Kinderjahrc  ülierspring:end  wenden 
wir  uns  sogleich  zu  dem  Alfer  des  Knaben,  In  welchem  er  bereits 
die  Schule  besncbt  und  seine  gelf^tigen  Eigenscharten  schon  be- 
stimmter und  ausgesprochener  hervortreten.  Baumgartner  war  ftCifa- 
«itig  als  mit  grossem  Talent  begabt  erkannt  worüen  nnd  sein  Vater, 
ein  Kchiichter  Handwerker,  nollte  ibn  zum  Scbullehrer  bildeo  las- 
juen,  er  hielt  ihn  daher  fleissig  Kum  Heben  der  Musik  an.  Mittler- 
n-eile  halten  eich  die  intelligenten  Seiten  des  eiifjährigen  Kns> 
bei)  und  sein  Wissensdrang  so  sieltend  gemacht,  dass  sein  Vater, 
sn  büberen  Hoffnungen  ermulhigt,  ihn  nach  Lin:;  in  die  lateinische 
Scfatile  schickte  (1804),  welche  er  hier  ganz  durchmachte  and 
Hberdiess  zirei  Jahrgänge  der  damals  obligaten  philosophischen  Stu- 
dien. Baumgartner  hatte  während  dieser  Zeit  mit  den  mannigfach- 
sten materiellen  Entbehrungen  zu  ringen  und  mit  Vorliebe  erzählte 
er  davon  in  den  späteren,  besseren  Tagen  manche  Anecdote,  die 
twar  heiter  klang,  aber  gewiss  traurig  erlebt  war.  Der  Sturm 
und  festigt  die  Eiche  und  so  war  auch  Baumgarttier  trotz 
tmpfeB  nm  das  tSgticbe  Brod  nicht  nnr  mit  dem  Schulvcissen 
gewoiden,  soodern  er  hatte  bereits  in  Linz  jene  naturwissen- 
11 XLV,  1 


.{mlreas  Freiherr  ran  ßaurngfirluer. 


r:..... 

^^^■glidlt'f  "'^''l  i""^''  ^"^  ilriHen  Auria»»  seiner  „Nnlurlebre' 
^^Fmolir  ii'll  'l^n  litpra fischen  'Winken  (flr  ueiter  nollende  Lesi 
1^  Unrlilct«'  iline«  iiusniebiser  titilcr  die  Arme  zh  prellen  und 

{ HucMitmdlcrjnhrt^sunhl    1831 )    einen     „S  n  p  p  1  e  m  p  n  t  ba  n  d , 
(isclien     and     experimentellen    Theil     enti 
fctond".  der  i»  Mtleter  BeKi^htiii;;  noch  beulmtace  fli 

nirtgen  »inl.    Wer  di»  WIehtigkeil  eines  guten  Lehrbuches  keont, 
f»r  dft  «ela».    welcher  Flelss,   «eiche   eigene  Begabung,  welche 
Itlenetiheit  und  Lileraturkentiltiiss,  welche  Äuropreniiis;  nnd  Aub- 
Uairer  in  seiner  Abfassung;    <;eh<;rt,  wird    mit  mir  nicht    rechten» 
Vonn  ii'h  inlch  bei  diesem  Uegensland  so  lange  aufgehalten  hnhe. 
'Aus   ciiirni  Duiend  ^titcr  oder    anch    schlechter   l,c!ir[jticher    ent 
draUehuIex    horniisschln^en   mag  eine   leichte  Sache  .sein;    nnder«: 
lat  «•  nber,    "enn  der  Veifasser,  nie  Baiim^artuer  steFs,   zu  den 
Quellen  luruelcgeht —  wie  schwierig  ist  es  da,  nur  Boden  zu  ge- 
winnen, den  Plan  entsprechend  dem  Stande  der  Wissenschaft 
Hlogun,  die  Thatsachen  xu  sichten,    das   Falsche   vom  Wahl 
>  Uoiiichlifte  vom  Wichtigen  zu  scheiden,  und  endlich,  welcher 
L't  gehnrt  dsKU,  am  rechten  Punkte  »nfzuhüren  nnd  das  Weiler- 
reheii  dem  Leser  zu  überlassen!  Die  Franznsen  haben  den  hohen 
IPerth    Kmer    solchen  ThStigkeil  erkannt  und  Daguin  ward  in  dei 
Neuzeit  cnrresp,  Mitglied  der  ge-lishrten  Akademie,  weil  er  ein  Lebr- 
r  Physik  geschrieben,  das  in  der  That  das  beste  und  tkII- 
[ItDMimonste  Werk  dieser  Art  ist.  Und  zu  jener  Zeit  war  für  Oester- 
releh  Baunignrlner's  lliicb  das,  was  beute  Daguin's  Werk  für  Frank- 
Während   Baunigartner    sn    durch    seine  „Nalurlehre'' 
tngestnitend    auf  den  Unterriebt  der  Physik   an   üsterreichi sehen 
icbalen  wirkte,  nahm  selli&tfersliindlich  der  Unterricht  in  de; 
k  an    der  Wiener   Universität   einen  mächtigen    AnlauT   zun; 
Besseren.     Uas   grosse  CuriositSten-Cabinet  wurde  —    ein  phyni' 
lalischea,    Apparate  nach  den  neuesten  Forderungen  der  Wissen- 
t  wurden  angeschafft  und  in  Thatigkcit  gesetzt,  Mechaniker 
I  Optiker  zum  VomSrlsschreiten  angeregt,   die  Bibliothek  mit 
.  jiingsten    Fachvverken    und    periodischen  Schriften   bereichert, 
l^erhiiidungen  mit  den   ersten   Fachmännern   des  Auslandes  ange- 
■ufiplt  und  wie  mit  einem  Zauberschlag  halle  sich  die  Physiognomie 
■er  Physik   geändert,  sie   halte  ihr   wahres    Gesicht  gezeigt  unil 
pftite  •  geTatlen.     Um   die  Mechaniker  zu   fördern  und    der  Me- 
nik  Freunde  zu  gewinnen,  hielt  Baumgarlner  an  Sonalagcn  Vor- 
I   aber  das    Gleichgewicht  und  die  Bewegung   der    Körper 
1  dIesB  so  fesselnd,  dasa  Noih  an  Platz  wurde;  er  legte  dabei 
„Mechanik    in    ihrer   Anwendung    auf  Kfinsle    und 
"  (Wien  1821t)  lu  Grunde  und  gab  so  den  Zuhürero  noch 


Bfiiimgailni'r. 

trfffli<j|iKleii,  |iii|iuliir>teu  Uaiidbiklier  über  diueeu  Zweig 
iKsoiid  in  ilic  Uünile.  Allein  dnitiU  koiiole  sich  der  rastloae 
bauiii<;arliierti  ooiti  nicht  üetiOgeii.  Die  Physik  uod  Mathe- 
halten schou  cicit  lange  her  Antialctj  und  Archive,  iii  viel- 
die  (lüiibicheii  Furacher  ihre  Original-Arbeiten  niederlegteo; 
Aber  Bauiii£;urtner  nnllle  dem  deutseben  Publicum  «luch  diephysi- 
knli^cben  uüd  mnibemulischcn  Schätze  dov  fremden  Kationen 
(besonders  der  Fruiizn^cti,  Eii|;Iän(ler  und  Italienbi)  zufübrea;  er 
grSndete  (1826)  im  Vereine  mit  ProfesKor  Ur.v,  EtCingsliuusen  eine 
^Zeitc'cbrirtliir  Ph>  sik  und  Mathematik",  »eiche  in  z waug- 
loisen  Hefleii  erschien,  „um  nicht  in  die  Nolbweiidlgkeil  versetzt  zu 
werden ,  Lückcnbüsser  aur/unefanion".  Imiuer  dieser  praktische 
Silin!  Uie  Zeitschrift  ;;edieh')  und  hürle  er^t  Iiü4ü  zu  erscheineD 
-auf,  zu  einer  Zeit  als  Uuiimgarlncr  we<;eii  Zeitmangel  und  Ueber- 
bfrrdung  mit  Gescbäl'ten  ihr  nicht  mehr  abliefen  konnte.  So  nirkte 
Baumgarlner  durch  Wort  und  Schrift  für  die  Physik  und  die  ver- 
'wrandleti  Wissenschaften,  er  suchte  die  Gewerbe  zu  heben  und 
War  ruhrig  l>ei  der  Gründung  des  Gewerbevereines,  er  bildete 
Männer  »ie  Schrütter,  Kreil,  Kunzek,  Ginll  und  zeigte 
'ihnen  den  Weg  zur  wahren  Nulurforschung,  er  verpßanzte  Liebe 
Natur»  issenschaTt  bis  in  den  kaiserlithen  Hof  und  stand  den 
technischen  Behörden  ratbciid  zur  Seile.  Eine  so  vielseitige, 
(^frige,  mit  allen  Lebenskräften  liegannene  und  fortgesetzte  Thätlg- 
k«it  njusste  nachlheilig  für  die  Gesundheit  Uaunigartner's  werden. 
In  der  That  war  seine  Lunge  angegriffen  und  er  sab  sich  gezwun- 
gen, naL-h  zehnjährigem  Wirken  an  der  Wiener  Hochschule  das 
Von  ihm  80  sehr  geliebte  Lehramt  aufzugeben  (ISiiS)  und  seine 
Thlttigkeit  auf  ein  praktisches  Gebiet  ku  übertragen!  ^■'  v\'urde 
SUm  Regierungsralb  und  Luiter  der  k.  k.  Purceilan-,  Gusi^spiegel- 
tind  Smallefabriken  ernannt.  Bauingartner  war  nun  wul  ausserlrch 
"Van  der  Schule  geschieden,  aber  sein  gamees  Leben  hindurch 
lllieb   er  ein  Freund  des    Lehrens'*).     Als  Lehrer    war    er    von 


*}  IIa  sich  für  den  innthemntiH«han  Theil  im  FuLlittim  weniger 
Tfadinahme  zeigte,  hu  xiig  sich  v.  Ellin^ehauBL-ii  1832  tu»  der  Rvduclion 
|;aurück,  und  die  ZeitBvbrift  wurde  von  1B;)-2  1>is  183T  von  liaunigartner 
tlun  bsransgc^eben  unlnr  dtin  Titel ;  ., Keilschrift  f tir  Ph  jsili  und 
jlirwiindto  IViaBEnscliiiflen".  Im  Jnhru  183T  trat  RilKr  v.  Holgei 
liCti  Milrcdaclrur  dieser  Zcitschiin  iinf  and  «ulzto  sie  1810  ein  Jahr  bis 
"«Ell  ihrem  Aufhören  allein   (urt. 

")  AIb  Beweis  hiefür  dient,  das»  er  naeli  In  aoiner  hüben,  amtlictiea 
^lallnng  «nwol  fiir  die  oberen  aU  unteren  Mitleliphuiert  ein  Luhrbuch  der 
Vilytik  Kchrieb  und  das  dafür  enlfallene  Honorar  für  diu  phjaikalitcben 
liihTinillel   ärmlich    diilirter  Schulen  beatiuimte;    fernei  seine   iiaiitiiHrc 


iNtko:   in^nat  trenere  Port  Baumaai-ttUT. ' 

1  uad  es  mag  cvnstatirt  Beio,  daas  von  ihm  ein  He«!  eulg^ 
«tebeuder  Inteieäsen  :iBsgeglichen ,  neue  Statutea  di 
naDclietlei  Aiiinaa&uiiget}  luit  Erinig  zDTÜckgeivieseo  wiirden- 
dieses  glückte  dem  scbltcbteo  Manne  der  Wisseoecbaft  b< 
den  klug-getrandleri  LebemriniierTi  d«s  Handels  und  der  Jurispi 
Nscb  Eiiil'übrung  der  Februar- Verfassung  vaiA  Baumgartoer 
lebeaslängltcbeD  Keichfiratb  ernaant  und  wiederholt  euiu  Präsi' 
denten  des  FiiiauzauHücbusäes  ernählt.  Für  ihn  »ar  nur  die 
Form  dieser  S[ihäre  neu,  oicbt  das  Wesen.  Und  so  glSoxte  et 
hier  mit  seinen  läagstervi'orbeaen  Kenntuisseu  und  Erfabningen 
in  der  Finanznisseoscbaft,  die  er  mit  seiaem  ausgebreiteten,  nalur* 
wisse nscbaflli eben  Wiüsen  viel  tiefet  zu  erfassen  und  zu  Tenvertbu 
wuttstc  als  die  starren  Praktiker. 

Alan  hat  von  manchen  Seiten  Bauiugartner's  Carriere  mit  neidi- 
schem Auge  betrachtet  und  Atistoss  genommen,  dass  einem  Nattff- 
forscher  die  Leitung  you  Slaatsgescbäften  anvertraut  worden;  lulr 
ticheint  ein  solcher  Vurnurf  sehr  ungerecht.  Was  bat  Frankreich 
in  seinem  Widerstände  gegen  ganz  Europa  geleistet,  als  ebea 
Naturforscher  an  den  Spitzen  der  technisch- Staats tvirthscbaftlicbeD 
und  sellist  militairiKcheo  Bebürden  staoden?  Und  gebürt  nicht  für 
die  Branchen,  ivelche  BfiumgartoeT  leitete,  ein  Gelehrter  der  Piatit^- 
tTisseiiscbaftcn?  Es  ist  da>u  gewiss  eine  reiclie  Naturkenntnis» 
und  ihr«  AniTeuduiig  auf  die  Staats-  und  Volksivirthschaft . erfor- 
lieb.  Und  ner  hesass  diese  in  so  ausgiebigem,  harmoniscbem 
Grade  wie  Gaumgartner?  Ein  Kechtsgelehrter  an  solcher  Stelle 
muss  sich  kümmertich  durch  die  nicht  seilen  im  Widerspruche' 
etehendei;  und  daber  irre  Iciteuden  Gutachten  der  Sachkemier 
forthelfen,  Baumgaitner  konnte  als  Fachgelehrter  sogleich  selbst 
endgiltig  urlheileu. 

Wie  Baum^artner  im  Slaalsleben  von  Stufe  za  Stufe  stieg;^ 
so  war  es  auch  in  ivissenschafilicher  Beziehung.  Längst  w&rw 
in  Oesterreicb  lieHtrebungeu  hervorgetreten,  die  geisligen  Ktäfloc 
von  staatlicher  Seile  aus  zu  vereinen,  uro  die  Wissenschaft  it^ 
ihrer  höchsten  Entwicklung  und  ebenso  ihre  Träger  behufs  neaofy 
Forschungen  auf  das  nachdrücklichste  zu  fordern;  aber  erst  da^' 
Jahr  1847  brachte  es  zur  Gründung  einer  kaiscrlicfaenl 
Akademie  der  Wissenscliafte  n,  an  deren  Zuslaudekommei^ 
Baufflgarlner  kein  geringes  Teriliensl  hatte  und  deren  Mitgltettil 
er  an  dem  Tage  wurde,  an  t^elcbem  ein  Patent  das  Bestehen' 
einer  kaiserlichen  ulssensciiafflichcn  Akademie  ol'licielt  anzeigt»' 
(14ten  Mai  1847),  Gleich  nach  den  ersten  von  den  wirklich»«; 
Milgliedern  der  k.  Akademie  der  Wissenschaften  vorgenom-S 
mencn  Wahlen  ivurde  Baumgartner  ihr  Vicepräsident  (äSsten  JuU  j 
1851)  und   nach   Hammer- Pnrgsta  U's   Tod   ihr  Präsident,     In 


Pf»lto 


Arirtreas  Freiherr  van  Baiimgartiit 


älellaiig  ei'vvarli  er  »ich  nie 
dieser  gelelirleii  Kurpcrschalt,  i^oiii 
Liebe,  iiib  sie  nol  selten  nieder 
schult  ilirem  Vorsitzenden  geifillt 


it  nur  die  vollste;  Zutnedenhett  ' 
ern  eine  Verehrung  und  irarme 
S.0  einmiitliig  von  einer  GeHell- 
vird.     Baumgartriers  Vertlienste  , 


um  die    lioho  Wissenschan,   die  Richtung  welche  er  bei    seineng 
Studien  verfolgte,  nniijeii  seine  eigenen  Worte  be/eicljnen'):  „Icl 
glaube  eine  nicht  unbi^griindete  Beliauplung  aiiitzut'prcchei 
ich  sage,  das^  man  der  Naturn'isseiisciiari  bei  dem  heutigen  Slaude 
ihrer  Entwicklung  einen  griissereii  IJieiist  enveist,   ivenn   man  sie 
auf  die  einfachsten  und  klarsten   Prlncipien   surückKuluhrcn   sucht, 
als  wenn  raan  darauf  ausgeht,   eie  duri.'h  neue  Thatsachen  zu 
reichern  und  davon  nutzbare  Aniveiidung  zu  niaclien;  duKS  ea  ^ 
gegenwärtig  mehr  darum  bandelt,  dai>  bereits  kolosBale  (lebäude  L 
aeineni  Innern  gehürig  zu  heleucbteu,  als  es  zu  eruiitern  nnd  duss" 
mehr  daran  liegt,  es  in  seinerGrundveste  zu  verstärken,  al<4  notb  mehr 
isu  erhüheii."  Und  in  derThat  verstand  es  liunnigartnerkvie  nicht  leicht 
ein  Zivciter.dieFortsclirillederlSatunrissnnsc Italien  ziisauinienzufas-1 
seu  und  in    einem  gedrängten  Bilde  wiederzugeben,  das  sowol  iliM 
Fachmänner   nie  den  blossen   Liebhaber  der  Natursludien   anniu- 
itbele,  anregle  und  vorwärts  brachte.   Ohne  den  hoben  Werth  selbst-^ 
ständiger  Arbeiten    im    geringste»    zu    unterschätzen    (dünn    ohne 
diese  gäbe  es  ja  keinen  Fortschritt),  glaulieicb  detitioL-ii  aussprechen 
ZH  künnen,  dass  eine  Wirksamkeit  wie  die  Baunigartner'sche  eine 
der  dunkenNWcrtheslen   ist;    denn    »oliin    sollte  es  kouinien, 
die  zuweilen   ceiitrilugal  sjcti  üusseToden  Kr.'ifle  der  Wittseni 
nicht  von  anderen,   nach  einem  Sammelpunkte  hinstrel>e[iilei 
«;ieiehgewivht  geljrai  bt  würden?  Neben  dieser  sicblenden,  klän 
und    zusamraenrassenden    wisscnscliarilicben    Thäligkeit    verfolgte 


ichtige,   d 


>  die 


Banmgarlner  noch  eine  andere,  nicht  r 
Ergehnisse  der  Wissenschaft  geineinfassJich  dar 
Welt  zugänglich  zu  machen,  sie  volksihfimlich  i 
freiUcb  in  etwas  anderem  Sinne,  aJs  diess  hie 
Da  war  es  nicht  darauf  abgesehen,  um  Juden  Pi 
.witzig  zo  erscheinen,  und  die  Thatsachen  darn; 
»erlor  sich  nicht  die  Sprache  in  eine  lästige,  3 
heit;  da  irurde  nicht  das  Fremdartigste  hereingezogen,  um 
„interessant"  zu  erscheinen.  Mit  einfucheu  und  schlichten  Worten 
ging  er  auf  das  zuweilen  nicht  nnschnierige  Thema  los,  entfernte 
alles  Unwesenlliclje,  zog  das  Gleichartige  herbei  und  schied  das 
Fremde  und  Falsche.     Ein   Freund    der  Geschichte   der   Wissen- 


J  behatideln;  aber 
ind   da  geschieht. 


ch  zu  modeln;  da 
eitraubende  Breit- 


*)  Vuii  ^i^n  iill^Miii-iiiGii  Eij;euBchnftPn  der  lirüflu  in  der  un organischen 
Sfatur  und  ihre  BedciiuingindeiIVRlur1alice(Si(KUUgsbec.  der  matheio.-nntDrw.^H 
iUauedcrkni'^.AlDid.  Nnvemlierhrft  ilea  Jaliigongs  l85T.BandK\VII.S,19I.F 


m 


Ahdfeä^f?l^^ff^tt)?^MgSfi^. 


fhho:  -Ahrffeif^fmßfi^ft^miimäf, 


ihaCteri  fragte  er  8teta  die  Ver<;angenfaeit,  was  sie  über  den  vom 
gewählten  VorwurC  iviase  und  indem  er  Gegenwart,  Veri;angt 
und  Zukunft  in  Bezrebung  braclite,  tarn  es  niclit  selten  zn''^ 
geislrolislen  Antithesen.  Die  Vorträge,  welche  er  i 
liehen  Sitzung  der  kaiserlichen  Akademie  hielt,  fraren  stets  so  g 
geben,  dass  sie  alle  Theile  der  versaninielteo  Zuhürer  zu  fesseln 
vermochten  und  schon  der  Titel  dieser  Reden  ist  anziehend  genug*). 
Dia  in  den  Sitzungsberichten  der  mathematisch-naturwissensehaftü- 
cben  Ciasse  der  bais.  Akademie  der  Wissenschatlen  aurgenoromenen 
Abhandlungen**)  bringen  das  Neue  nie  ohne  historische  Rückschau 
und  nie  ohne  einen  Blick  in  die  Zukunft  Scbon  frühzeitig  inter- 
essirte  sich  Baunigartner  besonders  für  die  Akuslik  und  etwas  spStet 
ßir  die  Wärmelehre.  Man  könnte  es  daher  folgerichtig  nennen, 
dass  es  gerade  die  müchfigcn  Fortschritte  beider  waren,  welche 
ihn  zuletzt  wieder  beschäftigten.  Die  Akustik  zwar  nicht  derart, 
dass  er  selbst  dabei  activ  warde,  ubev  doch  so,  dass  er  kaum  eine 
Vorlesung  versäumte  oder  ein  Arbeit  uugelesen  liess,  die  specielt 
davon  handelten.  Die  Errungenschalten  in  der  Wärmelehre  nnd 
besonders  die  Vennittlerrolle,  welche  die  Wurme  hei  der  Unisetzang 
der  Kräfte   aus  einer  Kraft  in  die  andere  (In  Elektricltät,  Magne- 


')  Uebor  die  Wiclitigbeit  des  Natarstudiums  (29.  Mai  lBr>a).  —  UeliCr 
die  WisB(iiai:haf[€n  iva  GcUttn  und  deren  Verliältnteg  zu  den  Wiasen- 
■ulinften  der  iNsliir  (30.  Mai  1H53).  —  Der  Zufall  in  den  Nnlurwisai'narlinrteD 
(30.  Mai  I8ä4).  —  Die  Miidil  der  Arbeil  (30.  Slai  lH5ä).  —  Hau  iniich*. 
Diache  Agaivalcnli  der  Wurmb  unil  icinc  Bedeutung  in  den  Kalarwiaaen- 
Bchaftun  (30.  IVliii  lSi>6).  —  Die  edlen  Uotalle  und  iliru  Datürli<:Ue  Rang- 
ordnung nU  GeldatnfTe  (30.  Mui  1657).  —  Ueber  den  Geist  der  ^alur— 
forschung  uniurcr  Zeit  und  ilirer  Aeaultale  (30.  IVlai  1838).  —  Ucber 
Rriinilgoseiie  der  riaturvUaenschBft  und  ihre  Geltung  im  iirBlttisubea 
Leben  (äO.  Mai  1859),  —  Cliciiii«  und  GesRhicble  der  Hiiiimelshöriiec 
nach  ili'c  SjioctralanalyEc  (30.  Mai  1862),  —  Die  inechaniache  Th«(lrie 
der  Wäfnic  (30.  Mai  1864),  — 

*•)  Ucbnr  die  Wirliiingen  der  niiCiirliehen  EleklrirliAl  auf  ejcklrn- 
niBgneti>chG  Telegraiihun  (ßriiiea  Hufl  IS48).  —  Uober  did  Lettfcrah 
der  Erde  für  Eleklriiifät  (Mai-Hrfl  1819).  —  Vnn  der  (Iniivandlunp;  der 
WürMB  in  Elektrizität  (Xi.v.-uibcrlien  IsriS,  Bnd.  XXII.  pg.  fll3).  ~  UoIkw 
r  überhnnpt-  HagclHrttW  inabesnnderc  (Jännorhcft  1857.  Bnd: 
Km.  pg.  277).  —  Vnn  den  allgemeinen  Eigenacliaften  der  Kräfte  in  Üet 
Epnrgan liehen  NhIul'  und  ihre  Bedeutung  In  der  Natnrlehre  (Knvemliet'- 
[  1857,  Bnd,  WWH.  yg.  191).  —  Nachtrag  «u  meinem  Auf<at»i 
a  der  Umwandlung  der  Wärme  in  Etektricilät.  (Bnd.  XXXII.  pg.  ISTj 
iS}.  —  lieber  den  Grnnd  der  scheinbaren  Abweicliung  dea  mechnniichen 
fffirme-Aequitnlontea  bei  t  eraohiedenen  Gaien.  (Bnd.  XXXVUI.  S.  3Tff; 
teö).  - 


■  Piiko:     imtre/is  Freiherr  um  Buumgarmer.  '^^^^^1 

B,  Liebt,  meclianisclie  und  cltemiscbe  Krälte)  zu  spielen  scbeiot,  ^^^^ 
der  ^ro.sse  Salz  unserer  2ett  von  „der  Erhaltung  der 
Kraft"  waren  einigemal  Gegenstand  seiner  jüngsten  Reden  utid 
Aufsätze.  Das  hinderte  ihn  aber  nicht,  in  seiner  physikaliscbcn 
Lese  in  gewohnter,  harmonischer  Weise  thalig  zu  sein.  Er  ver- 
Easste  eine  Ccherscbau  der  pfaysikalischen  Onginalarbeilen  unter 
dem  Titel;  „Die  Fortschritte  der  Physik  in  Oesterreich" 
nd  veniffenl lichte  ilieRelbe  In  der  üsterreichischen  Reyue*J.  Be- 
denkt man,  wie  sehr  Baumgartnet  von  Geschäften  des  Staalea  in  ' 
Anspruch  genommen  trar,  wie  viel  er  nur  durchlesen  niusste,  um 
seinen  Aufsätzen,  auch  wenn  sie  seine  eigenen  Fi>rSEhungeD  brach- 
ten, die  ibm  zusagende  Form  zu  geben;  so  kann  man  seinem 
riesigen  Fleiss  gepaart  mit  einem  durchdringenden  Verstände  nicht 
genug  Bewunderung  zollen.  Und  in  der  Thnt  wühlten  ihn  die  ge- 
lehrten GeHellschaflen  und  wissenscbaniichen  Vereine  aus  Nah 
und  Fern  ku  ihrem  Milgliede  in  der  anerkennendsten  Weise. 
Nicht'  minder  zahlreich  waren  die  Auszeichnungen,  mit  welchen 
ilin  der  Staat  und  fremde  Fürsten  in  Uinslcht  seiner  manni^atifaan 
Verdienste  ehrten.  Er  erhielt  das  Gros^krenz  des  Leopnid-Ordens, 
Ward  Ritter  der  eisernen  Krone  erster  Klasse  und  Ritter  vieler 
ansISndischer  Orden  ersten  Ranges;  er  wurde  in  den  Freiberrn- 
stiind  erÜ'obeu**)  und  mit  Würden  der  büchsten  Art  bedeckt. 
BaumgarCner  war  zur  Grüsse  durch  sein  Talent,  seine  'Begabung, 
durch  seinen  trefflichen  Character  und  ganz  besonders  darcb  sein« 
ausserorüenlllcben  Fleiss  aufgestiegen.  Das  Arbeiten  vsai'  ihm  i 
Theben  und  EhtiHcklung  gleicbwerthig.  „Der  Grundeharacter  al! 
Seins,  es  mag  dieses  geistiger  nder  niaterteller  Natur  sein,  ist  Thatig- 
tdt,  und  in  F^olge  dieser  stete  Eiilwicklung"  sagt  er  selbst"*). 
8b!ner    vielseitigen    Beschäftigung     vermocbte    nnr    der     heftigste 


•)  tl.  Jahrgang  1S64;  V.  BhikI,  pg.  35  liii  h\  (I.  Physik  des  1 
barenl.  II.  Jahrgang'  I8Ö1;  VI.  itanri,  pg.  31  bis  41  (H.  Licht).  II.  JahfS 
^ng  1864;  Vit.  Band,  j.ff.  31  Ms  Gl  (111.  Würnir.  -  W  VMcirimtiV 
unii  Magnetiaiuiid.  —  V.  MeleorolofpiicIleH).  — 

**)  Für  Freiinile  der  Hcrnidrk  i\tng  hier  bemerkt  nein:  Das  Wappen 
^et  FreMiprrn  um  tliiuin;rnrtiicr  Iieatelit  hiis  einem  s"^rge (heilten 
SEhild.  ,,Im  Obern  blauen  Felde  iwf^f  runde  Scheiben,  eine  Zinn,  die 
andere  Kupfer,  durch  einen  ßlitialrahl  Terliunden.  Im  unteren  rolhen 
'#efde  ein  silberner  Anker  unil  iilbcrnoa  Richtscheit  iu'g  Scbrägelire 
AkHmler  ein  guldeuer  Scblüisel,  pfalweUe  gestellt,  Alles  von  einer  Kn 


*■•)  Vnrlrng   übi^r   ^ie   Wissem^rhafUD   des    Geiste«   und    deren 
billnisa   KU   den   WiaiKiucliaften   der  <!ra(iir,  gebalten   bct  der  feierlichen 
Ktiuug  der  kaia.  AkWdfeuue  der  Wiasenivliaßei)  am  36,  Mai  1(153.    " 


\-2  Ftsfio:    Aiiäi-ffi::  Freiherr  p;h   Bifnnsnriuer. 

X,  herriihreiiii  viiii  <'iiii-iii  älteren  Blaseiulltol,  für  km 
Halt  :ci>  gebieten.  Lp'xler!  » urde  diese  Kruiiklitit  von  Jiilir  zu 
Jalir  lierirnhiidier.  Der  ve>l]u^>eiie  Soa,nu-r  bnielitc  hüuli^tre  und 
bedeoMicIiere  Anmilc,  denen  eudlieh  Ilaumgurliier  am  30.  .lati  d.  J- 
—  (I8G5)  —  erlag  —  Kwei  Tage  vor  der  JubelTeier  der  wiener  Hocfa- 
isi-hule.  Baumgarlner  sullle  uicIiE  mehr  den  [festlag  der  Universität 
«eben,  an  der  er  so  unige^lalleiid,  so  ivollhätig  eingreifend  geivirkt 
batfe  und  deren  tleutar  Magii  ilicud  er  eiii.it  genesen.  Die  Ge- 
deoktett  der  Gründung  der  IiOchslen  Lehranstalt  Wiens  sollte  auch 
,|iocb  durch  den  (>a[ig  liinter  der  (entseelten  Hülle  Bannigarinera 
getrfilit  sei[i.  Alle  bcrlieigekommenen  gelehrten  Gäs^te  der  fremdei) 
l}iiiversil!iteii,  alle  einlieimischen  wissenKcbartlJcbcn  Kotaliilitäten 
und  Kürperschaiten,  soivie  die  Träger  der  bücfislen  St.iatsäniter 
sollten  den  Ueberreslen  deis  verehrten  Mannes  den  letzten  Tribut. 


I  _..„ „.„„ 

^^^   Gesellscliaft  aul  das  eebnierzlicbäte  emprunifen.     Ich  habe  qh  ver- 
I  sucht,  vun  dem  tvissensehanitchen,  amtlichen  und  sljiitsiiirtbsebafl- 

liehen  Lebenslaufe  Bauiuguttners  und  von  seinen  redlichen,  Irucht- 
bringetiden  Beslfeb<iii£;en,  von  seinem  segenhringenden  Wiriceu 
als  Lehret  im  \%'eitesten  Sinne  <les  Wortes  ein  Bild  zu  entiverfeu, 
diu.  von  der  Wirklichkeit  weit  absteht;  wie  soll  i<:h  es  nun  an- 
fangen, um  das  herrliche  Gcmiith  Baumgartners,  wie  es  sieb  iiacb 
allen  Seiten  bin  sn  schOn  entfaltete,  auch  nur  eiiiigerniasäeu  wahr 
zu  zeichnen!  S:ige  ich  e:^  nur  kurz!  Er  war  steU  treu  und  erptubt 
in  seinen  ÜffeoHicben  und  privaten  Beziehungen,  die  Humanität 
zog  sich  wie  ein  rotber  Fadett  durch  alle  »eine  Uanillungen,  eine 
eigeiitbündiche  Milde  war  in  seinem  Gesiebt  aujsgepriigt.  SeuiQ 
hervorstechendste  Eigenecbal'l  nar  die  Eiuracbheit.  Uer  Mann, 
der  über  Hunderte  von  Millionen  im  Staate  zu  verfügen  hatte,  fuhr 
mit  einem  Actenbünilel  unter  dem  Arm  in  einem  —  Omnibus  nach 
Schünbrunn,  um  sieb  mit  seinem  kaiserlichen  Herrn  zu  bernihe». 
Und  doch  war  er  wieder  ganz  iHiiiister,  wenu  es  galt  zu  re|iräseii> 
tiren.  Der  Präsident  der  Akademie  der  Wissenschal len,  der  Vor- 
sitzende so  gewichtiiier  Beratbuiigskürper,  das  itlitglied  des  Herren- 
hauses, der  Mann,  der  vielleicht  noch  \'ormittag  eine  Rede  hielt, 
welche  Stenographen  ihrer  hoben  Bedeutung  willen  ängstlich  su 
üxireu  suchten  —  sass  am  Abend  in  der  letzten  bestaubten  Schul- 
bank eines  dnslarn  Hörsaales  und  lauschte  den  Vorträgen  der  jün- 
geren Naturforscher  Wiens-  Baiinigartni^r  gehoben  von  den  Wellen 
der  Wissenschaft  blieb  wie  sie  selbst,  ivenn  sie  echt  ist,  iromei 
deroüthig,  im  edlen  Sinne  des  Wortes.  Er  zeigte  sich  tu  seiner 
hoben  Stellung  gegen  die  Freunde  aus  trüberen  Tagen  unverän- 
dert, er    bedeckte    nicht  seine  geringe  Herkunft;  im  Gegeutbeils, 


PIfliii:    .Xndreiis  Fni/ffr  i>"'i   BuuvujnrtneT. 


ühllt?  gern  davon,  er  eriririerle  t^ich  cn  iler  Zeit, 
iie  VVoche  Iteslimmten  Laib  Brot  mit  Kreideringen  versah, 
die  Tagesport innen  zu  bostinimen  und  mit  «einem  Stnben- 
eeno^en  an  talteii  Tagen  einen  Ringhampf  begann,  damit  ihnen 
;egenseilig  warm  werdp.  Ist  es  nicht  natürlich,  nenn  sich  einem 
nlehen  Character  alte  Herzen  zu»en(leten,  und  dass  sich  bei 
un;;eiv;3hn liehen  Talente,  seiner  Thätiskeit  und  Rührigkeit 
seine  Laufbahn  so  G;länzend  gestültele?  Das  eigentliche  Glüclc 
genoss  aber  Bnuntgarfner,  nie  jeder  Mensch  von  Herz,  erst 
Familie.  Baum^artucr  hntle  fich  schon  rn'ihxeilig  mit  einer  Tochti 
des  Buchhändlers  äbarnilzel  in  Oimiitz  vermalt  und  an  seini 
Elisabeth  ein  seltenes,  sanftes,  ihn  auf  das  innigste  liebem 
Wesen  gefunden.  Sie  wandelten  ihren  Weg  in  ungetrübter  Eil 
tracht  und  nahmen,  was  das  Schicksal  so  günstig  brachte,  dank- 
bar hin.  Die  letzten  Jahren  gestalteten  sich  freilich  durch  das  zu- 
nehmende Leiden  des  vidverehrteii  (VlaiVnes  zu^veilen  recht  trau- 
rig; die  Lebensgefährtin  Baumgartnersim  Vereine  mit  seiner  Ni  ch  te 
holen  Alles  auf,  was  ihm  Trost  und  Linderung  bringen  konnte,  bis 
endlich  der  traurige  Moment  des  Scheidens  kam.  Die  Materie 
ßaumgartncrs  konnte  uns  der  Tod  cntrelssen,  sein  4ieist  ist 
.meinen  Werken  hei  uns  gcliliebcn  und  wird  noch  lange  fortwirke! 
L    von  Gesrchlechl  zu  Geschlecht. 

^H^Tas  dir  Zi.«H.nn,en,lEllc.ns  (., 

^^IRm.  ««  iiKlic  inli   duBsen  RellisU 
mi^efülirt   und   ea  «ri 
anderen  Orte«  Tcrölfcntliclit  hat: 

Ein  neues  Gnninmeter  in  Gillierta   Annalen   1822,  L\X).  —  li 
garlner«   ZeitA<:1irif(    für  Fh.Txik   nnil  Mathematik  in  Band  I.     £ 
Aräometer. — Inntriinienle  Kiira  Bestimmen  der  Uappellirerhimg'.  —  UeherRn- 
tntionsmnp^nelismus.  —  Elehtram.-iftnetischeAppnrnte.— MaRnetisirungdorch 
Ltchl.  —  Banil  ll.CcIier  circulare  Piilarisation.  —  VEnnindernng  des  Aub-' 
•chlages  niaj;nEtiacher  l'cndet  durch  rotircndc  Metnilachoibeti.  —  Band  llLi 
Einfluas  des  Sonnenlichtes  auf  niirillirenile  IHngnete.  —  Zur  Theorie  darj 
Bengnng  den  Lichtes.  —  Bund  IV  und  V.  Ueber  Hyßrnmeler.  —  Band  VII. 
Ueber  den   optischen   lalerferenzTcrauch.    —  Band   VIIl.     Absorption    der 
Glise   durrh   thieriscbe  Hiiite.  —  Band  X.     Hüben   in   Oeaterreich   (auch 
Seperatab druck).  —  Serie   2.  Band  I.     Keue   magneloclektritchi 


1 


14 

ik-     * 


rs  literariarhen  Arbci 
:   und  nkndemiiebe  Auf- 
h  nni-h/utragen,   ' 


4 


•dieionngen.  —  Serie  2.  Band  II. 


I    Innt.  —  Serie  3.  Band  I.    lieber  das  Cjanomelcr. 


iiknng  des  Lichtes  auf  die  Keti- 


14  Ker%:   üeber  die  Beurtheliung  der  Wurzeln 


IT. 

Ueber  die  Beurtheilung  der  Wurzeln  einer  vorgelegt 

ten  biquadratischen  Gleichung. 

(Erste  Abtheiiung,   als  Fortsetzung  der  Abhandlnng :    Ueber  die  Beurthciilang 
der  Wurzeln  einer  vorgelegten  cubischen  Gleichung.) 

Von 

Herrn  Ferdinand  Kerz, 

Major  in  dem  GrnsNhc^rzon;).  Hessischen  Gendarinerie-C(>r|>8  in  DarinstadL 


201. 

Die  gegebene  Gleichung  sei  : 

1)  0=z  +  a  +  by  +  cy^+dy^+y\ 

Sind  ihre  vier  Wurzeln   reell,  so  sind  sie  sämmtUch,  wegen 
der  bloss  positiven  Vorzeichen  der  Glieder,  negativ. 

Bezeichnen  wir  diese  vier  reellen  Wurzeln  mit: 


12  8  4 


so  erhalten  wir: 


2)  0^(te+y)(tv+y)iw+y)(w  +  y), 

3)  0=[«?u>  +  (w+w)y  +  y^]  [ww+(w+w)y+y^] , 
wofür  wir  schreiben: 

4)  0=:[A+By+y^][Ü+Vy+y^]s 
also: 


einer  vorgelegten  biqnadratischen  Gleichung.  15 

5) 
0=  ^Ä  +  (ßÄ  +  Ä»)y  +  (Ä  +  Ä8  +  ^)3^«  +  (»  +  B)y^-i-y\ 

so  dass  viir  erhalten,  wenn  wir  1)  und  5)  mit  einander  vergleichen: 

12  3  4 

6)  a  =  A£i  zz:touncw, 

188        1S4         134         284 

7)  b=zB£i-\-A'B  =toww+tütcw  i^tmow-i- www, 

12  18  14         23        24  84 

8)  c=     Ü-{^  Bli-\'A-=ww  •\'WW-{-ww-\^ww  +  wW'\- ww, 

12         3        4 

9)  d:=  ]ö+Ä=w  +  «i?  +  w+w. 
Au5  6)  bis  9)  ergeben  sich: 

10)  0=a«— «^c.il+a(6rf  — a).il» 

11)  0=[ci(6c— ad[)-6«]-d(6rf  +  c«— 4a).B 

zivei  Gleichungen,  in  welchen  Ü  das  Produkt'  und  H  die  Summe 
je  zweier  Wurzeln  der  gegebenen  Gleichunsr,  mit  entgegengesetzten 
Zeichen  genommen,  ausdrücken. 


202. 

1  2  ^  ^         A 

Sind  also:  — w,  —w,  — «?,  -—w  die  vier  Werthe    für  y,  so 

121314         232434 

sind:    w  +  w,    tc+w,    w  +  tr,    to  +  tc,    w-\-w,  «?  +  «?   die    sechs 

12      13      14      23      24        34 

Werthe  für  1$,  und :  ww,  wto,  wwy  ww,  ww^  ww  die  sechs  Werthe 
für  Ü,  also  positive  Grüssen,  und  es  muss  für  jede  der  Gleichun- 
gen [201.  10)  und  11)]  ein  sechsmaliger  Zeichen  Wechsel  statt- 
finden, was,  analog  [2)],  nur  unter  gewissen  Voraussetzungen  der 
Fall  ist 

203. 
Sind  von  den   vier  Wurzeln  der  gegebenen  Gleichung  [201. 

3  4  12 

1)]  zwei  (— to,  — w>  oder  — to,  — w)  bekannt,  so  ergeben  sich 
die  beiden  andern^  aus  [201.  4)  bis  9)]: 

1) 

3       4  |/"  3         ~  8         4  Tl 

y  =  — i(d— w-  w) ±4  V  (d— w— «o)  (c2 -h 3(fo -|- w))  +  Aww  —  Ac, 


16  her%:    (eber  die  Beurtheliung  der  Wurzeln 

2) 

1        2  Af  i         2  i         2  12 

^=  —i{d  -  tc—  tc)  J:  iV  (d  —  w — w)(d  +  3('u>  +  u)))  +itvw  —  4c. 

Hieraus  geht  hervor ^  dass  jede  der  vier  Wurzeln  durch  eine 
zweitheiiige  Grösse,  deren  zweiter  Theil  eine  QuadratwurzelgrOsse  , 
darstellt,  ausgedrückt  werden  kann.  Es  lässt  sich  weiter  folgern: 
Die  vier  Wurzeln  sind  entweder  sämmtlich  imaginär,  oder  »wci 
sind  imaginär  and  zwei  reell,  oder  die  vier  W^urzeln  sind  sämmt- 
lich reell. 

Wir  wollen  die  hierdurch  verschiedenen  Formen  der  Wurzel- 
werthe  der  gegebenen  Gleichung  mit: 

1. 

II. 

lil. 

—  a  — a,    — «  +  of,     — 1^-/3,     — 1^+/3 

bezeichnen,  und,  zur  Vergleichung  mit  einander,  die  Coeflficienten 
der  gegebenen  Gleichung  durch   diese  Wurzelwerthe  ausdrücken. 

Ersetzt  man  in  den  Formeln  ])  und  2)  die  eintheiiige  Wurzel- 
form durch  die  zweitheilige,  so  gehen  dieselben  über  in: 

3)  y=-i(€Z— 2«)dLiV(c^— *2ft)(rf-f6ft)  +  4(a«— ««)— 4c, 

4)  y=—4(d—2l^)±iV(<i-2l^)(rf+ 61^) +  4(^2-/5«)— 4c. 
Für  d=:0  werden  dieselben: 

5)  y  =  +  a±V— 2ä«^2^, 

6)  y  =  +  0  +  V^— 2b«— /3«— 7. 

204. 

Substituirt  man  die  Wurzelwerthe  [203.  I.^III.]  in  [201.  2)] 
und  führt  die  Multiplication  aus,  so  ergeben  sich: 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln: 

1)  a  =  (a^  +  a^)(i^+ß^), 

2)  6  =  20(ä«  +  ««)+2«(S«  +  /5«), 


einer  vorgelegten  biquadratiichen  Gleichung.  17 

3)  c=(a«+a«)  +  4al^  +  (a«+/5«), 

4)  rf=:2«  +  2l^. 

IL    Ftir  zwei  imaginäre  and  zwei  reelle  Wurzeln: 

1)  a=(a«  +  «2)(ft*-l5*), 

2)  Ä=2a(a2+a«)  +2a(a«— /3«), 

3)  c=(a«+a*)  +  4aa+(l^«— |J«), 

4)  d=2a  +  26. 

in.     Für  vier  reelle  Wurzeln: 

2)  Ä  =  2]^(«*^a«)  +  2a(6«— /3«), 

3)  c = (a«— «2)  -f  4aa  -f  (6«— /3«), 

4)  rf==2a+2l^. 

205. 

Aus  [203.  I.—ni.]  ergeben  sich  für  »  [202.]  folgende  Wur- 
zelformen : 

1. 

2«,    [(a  +  li)  +  («  +  |S)\^^],    [(a  +  i»)-(«-l8)\^=I]: 

[(«  +  l^)+(«-i3)V=I],    [(«  +  i^)  -  («  + 18)  ^=1],    2!». 

II. 

2a,   [(Ä  +  i»+^)  +  «\^=T],    [(a  +  l>  +  /3)-«V^l], 

[(«  +  ^-l8)-«\^=l],    [(a  +  (i-/3)+a\r3j],    2Ji. 

III. 

2a,    [(a+(J)+(«  +  ^)].    [(a+l>)  +  («-i8)], 

[(«+i^)-(«-«],    [(a+a)~(«+^)],    2^. 

Es  folgt  hieraus: 

1)  Hat  die  vorgelegte  Gleichung  [201. 1)]  vier  imaginäre  Wur- 
aeloy  oder  hat  sie  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln,  so 
entsprechen  dem  Werthe  von  1$  [201.- 11)]  jedesmal  zwei  reelle 
und  vier  imaginäre  Wurzeln. 

TJieilXLV.  Ä 


18  Ker%:    Oeöer  die  Beurtheiiung  der  Wurzeln 

Hat  aber  die  vorgelegte  Gleichaog  Tier  reelle  Wurzeln,  so 
entsprechen  dem  Werthe  Ton  T$  sechs  reelle  Wurzeln.  Und  um- 
gekehrt. 

2)  Hat  die  Gleichung  [201. 11)]  zwei  reelle  und  vier  imaginäre 
Wurzeln,  so  hat  die  vorgelegte  Gleichung  [201.  1)]  entweder  vier 
imaginäre  Wurzeln,  oder  sie  hat  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle 
Wurzeln.  Hat  aber  die  Gleichung  [201.  11)]  sechs  reelle  Wur- 
zeln, so  hat  die  vorgelegte  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln. 

206. 

Hat  die  vorgelegte  Gleichung  [201. 1)]  zwei  gleiche,  aber  ent- 
gegengesetzte Wurzeln,  so  ist  [203.]  entweder: 

1)  a  =  0, 

und  in  diesem  Falle  sind  die  Wurzelformen: 

1. 

IL 

lU. 

oder  es  ist: 

2)  ri=0, 

und  die  Wurzelformen  sind: 

1. 

II. 

— «-oV^,   -Ä+aVi:!,    —ß,   +ft 

III. 

— a— o,    —a-i-u,    —ß.    +ß. 

207. 
Die  Formeln  der  Coefficienten  werden  dann,  nach  [204.],  wenn 


einer  vorgelegten  biquadratißchen  Gleichung,  19 

1)  a==0,       2)  l^=:0 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln  : 

c=a«+  (l&«+/3«)         c=r(ft«  +  «2)  + /3« 
d=2lb  d  =  2a. 

II.    Fiir  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 

6=2^a«  6  =  — 2ajS« 

'€^=21^  ^==2«. 

\ 

III.    Für  vier  reelle  Wurzeln: 

*=:-2e««  6=~2aiS« 

c=:— ««+(!&* -13*)    c=(il«— ««)— /5« 
d=2a  rf=2a. 

Es  ist  alsbald  einleuchtend: 

3)  dass,  wenn  man: 

—  1^  für  1^    oder    -^4  für  a 

schreibt«  die  Coefßcienten  b  und  d  mit  entgegengesetzten  Vor- 
zeichen zu  nehmen  sind,  und  umgekehrt; 

4)  dass  für  die  Fälle  1.  und  III.,  unbeschadet  der  Vorzeichen 
der  Coefficienten  9  die  Grossen  a  und  a,  mit  h  und  ß  verwechselt 
werden  können. 


208. 

Hat  die  vorgelegte  Gleichung  [201.  1)]  zwei  gleiche,  aber  ent- 
gegengesetzte, Wurzeln  so  ist  nach  [202.]  ein  Werth  für  }$ 
offenbar  gleich  Null,  daher  auch,  nach  [201.  II)] 

I)  0  =  rf(6c--aiO— 6«, 

2* 


PI  gen:    Ceber  die  BeurllieilHng  der  Wurseln  ^^H 

DfüT  wir  auch  schreiben  künnen:  ^^H 

2)  fl 


Es  Tolgt  au8  )): 
I   3)  l8t: 


=  0, 


Jede  dieser  Gleichui)[;en  ilrücUt  die  Bedingung  aus,  für  welche 
der  vorgelegten  biquadratischen  tlleichuüg  [201.  J)]  zwei  gleiche, 

Iber  entgegengesetzte,  Wurzeln  entsprechen. 
■ 
D    fa 
ege 


I  hat  die  gegebene  Gleichung  nur  dann  zwei  gleiche,  aber  etit- 
^gengesetzle,  Wurzeln,  wenn  auch 


Aus  [207,]  lasfien  sich  zur  Bestimmung  der  Anzahl  der  ima- 
ginären und  reellen  Wurzeln,  im  Falle  die  vorgelegte  biquadra- 
tiache   Gleichung  zwei  gleiche,    aber  entgegengesetzte,   Wnrzelti 

it,  alao  dbr  Bedingung  ['208.  2)]  entspricht,  leicht  folgende  Regeln 

ileiten ; 

I.  Haben  die  CoeilGcienten  ft  und  d  einerlei  Vorzeichen,  so 
hat  die  vorgelegte  Gleichung  entweder  vier  imaginäre  Wurzeln, 
oder  sie  bat  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln.  Im  ersteren 
Falle  enspricht  ß^  das  positive,  im  letzteren  das  negative  Vor- 
zeichen. 

Hieraus  ergiebt  sich: 

Ist: 


einer  vorgelegten  Hquadratischen  Gleichung.  21 

IL  Sind  aber  die  Vorzeichen  der  Coefficienten  6  und  d  ein- 
ander entgegengesetzt,  so  hat  die  vorgelegte  Gleichung  entweder 
zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln,  oder  sie  hat  vier  reelle 
Wurzeln.  Im  ersteren  Falle  entspricht  «^  das  positive,  im  letzte- 
ren das  negative  Vorzeichen. 

Hieraus  ergiebt  sich : 

Ist: 

I 

so  hat  die  Gleichung  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln; 
;     ist  dagegen: 

;   «  |<|. 

60  hat  die  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln. 

210. 
'  Ist: 

^  =  0, 

80  gehen  die  Wurzelformen  [203.]  über  in: 

I.  und  II. 

in. 

-^ti^a,     -'CL-\r<^,    — ^,    —1^; 

die  Gleichung  [201.  1)]  hat  in  diesem  Falle  zwei  gleiche  reelle 
Wurzeln,  und  die  Formeln  der  Coefficienten  ergeben  sich  nach 
[204.]< 

I.  und  II.    Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

1)  '  a=(a«  +  a«)6« 

2)  •  6 = 2a  (a*  +  a«) + 2aa», 

3)  c  =  (a«  +  a«)+4aa  +  a«,' 

4)  d=2a  +  2l^. 

III.    Für  vier  reelle  Wurzeln: 

1)  a=(a«- of«)ia«, 

2)  6  =  2a(««-«*)+2at«, 


üeber  Me  BcnrtheUnng  der  Wurzeln 


Hat  lue  gegebene  Gleichuog  ['201.  1)]  ewei  gleiche  W^ 
[=1 — b),  so  bestimmt  sich  deren  Werth  aus  [210.  2)— 4)]  C 
die  Gleichung: 


1) 


0=-i6  +  |c.(>-|(/.6»+H 
'   erste  Theil    der   beiden   artdeio    Warzelo, 


md  ebenso  dci 
die  Gleichung: 

2)  0=C+J6--Jt/c+,"„d3)+ic.a— |d.(i»+(i3. 
Es  folgt  aus  der  Vergleichung  von  [201.  9)]  und  [204. 4)J 

3)  »=21 
Jäher  ergiebt  sich  aus  [201.  11)]: 

4) 

0=[rf(fic  — nrf)  — /)»]— 2d(öd  +  c'— 4o).ß+4[d(6+2M 
+  «"— 4<i].6''— 8ri(46-+di').6s+l6(2c  +  3.i2).6«— 96<ii 
+  646«. 

Würen  wir  nun  im  Stand«,  den  Werth  van  b  aus  Glelq 
1)  auf  einfache  Weise  allgemein  zu  bestimmen,  so  hättet 
nüthig,  diesen  gefundenen  Werth  in  Gleichung  4)  zu  substij 
um,  analog  [tO.  und  II.],   die   Bedingungen  allgemein 
unter  nelchen  einer  biquadratischen  Gleichung  zwei  gleichftl 
zeln  entsprechen.     Da  irir  aber  die  Gleichung  I)  nur  miltelii 
cardanischen  Formel  allgemein  zu  lüsen  im  Stande  sind,  atT 
wollten   wir  uns  derselben  zu    dem    genannten  Zwecke  be< 
das  Unpraktiacbe   eines  solchen  Verfahrens    alsbald  einlevdl 

Wir  sind  daher  nur  für  Zahlenfälle  im  Stande,  einen'? 
aus  Gleichung  ])  zu  liestimnien  und  denselben  in  Gleichoi 
für  welche  wir  auch  schreiben  kiinnen: 

o = [(crf — ft)  6  —  2(/ (6d + c«) .  (>  +  4  (fi  (6  +  2crf)  +  1^)  6" 
— 8rf(4c  +  <i^ö3+  16(2c  +  arf") .  6*  -li6.i.  &« 


+  ^^'3ria_8rf.6  +  I6&" 


■         Da  der  < 


einer  mrgeUgten  biqu  mir  ansehen  üleicHuiig. 


ethalteo,   för   ivelcben   , 


ütuiren,  um  den  Wertli   von  u  zu 
liehe  Wurzeln  stattfinden  müssen. 

212. 

Da  der  Gleichung  [211,  1)]  drei  Wertbe  für  &  entsprecfaen,  so 
«rhalteD  wir  aus  [211.5)]  auch  drei  Werthe  für  a,  d.h.  es  linden 
drei  Weilhe  fflr  a  statt,  fÖr  welche  die  vorgelegte  Gleichung 
jedesmal  ztvet  gleiche  Wurzeln  bat. 

Sind  nun  die  drei  Wertbe  für  ^   reelle  tirüssen,  so  sind  aucb  "1 
die  drei  Werthe    für  a  reelle  ürüssen;    ist   aber  nur  ein  Werth   j 
Ton  6  reell   und  sind    die  beiden  andern  imaginär,   so  ist  dieses 
uch  fOr  den  Werth  von  a  der  Fall. 

Bieraus  folgt:  ist  ein  Werth  von  b  reell  und  sind  die  beiden 
andern  imaginär,  und  ist  der  Wertb  vod  a  reell,  so  hat  die  vor- 
gelegte Gleichung  für  jeden  Wertb  von  a  mindestens  zwei  ima-f 
gioäre  Wurzeln. 

Hat   man    aus  Gleichung   [211,  1)]  den    einen    oder    die  drei  1 
reellen  Werthe  für  b  bestimml,  so  erhält  rann  in  ZaIileniUllen  den  \ 
einen    oder  die  drei   Werthe  von  a  einfacher,  als  aus    [311.  S)],  | 
ans  der  gegebenen  biquadratischen  Gleichung  selbst,  indem  man  —  6 
fSt  y  substituirt  und  daraus  a  bestimmt. 

Findet  also  fiir  Gleichung   [211.  I)]   die  Bedingung   [c«<36; 
41.)  statt,  ist  nämlich: 

1)  9rf*<24c,      oder      3d»<8c, 

so  entspricht  ihr  nur  eine  reelle  Wurzel,  und  daher  hat  fär  die- 
■«n  Fall  die  gegebene  Gleichung  [201.  I)]   stets  zwei    imaginäre  | 
Wunela. 

Ist: 

2)  9rf«  >  24c,       aber       »(/*  <  32c, 

■ad  wendet  man  die  Formeln  [21).  7>  — 12)]  an,  so  ergiebt  sich  be- 
zeglicfa  der  Gleichung  [211.  1)]: 

3j     _72/,>  \  Für  eine  reelle  po-| 

1  aitiveund  zweiima' 

1  ginäre  Wurzeln. 


A)     —7-2b= 


~  \1cfl 


Für  drei  reelle  po- 

+  (3-Z^-8c)  (U^  >r9>_'24c)     sitive Wurzeln,  un- 
ler  welchen    zwei 
einander  gleichend 
,  Fürdrcireellspoi 


24  Aei%:    Veber  die  Beurtheilung  der  Wur%eln 

7)  -726>  \  Für  drei  reellepo- 

8itive  WorzelD« 

8)  -726=j  Für  drei  reellepo- 
sitiveWurzelDyinH 
ter  welchen  zwri 

—  ^^^*^ einander     gleich 

+(3€P-8c)(3d- V9rf«  -24c)       sind. 

9)  -726  <|  Für   eine    reelle 

positiTeund  zwei 
imagin.  Warzeln. 

ist  : 

10)  9ir*>32c, 

80  kommen  die  Formeln  7) — 9)  in  Anwendung. 

Finden  daher  die  Ungleichungen  5)  oder  7),  oder  die  Glei- 
chungen 4)  oder  8)  statt,  so  liegt 

11)  die  Möglichkeit  Tor,  dass  die  vorgelegte  biquadratische 
Gleichung  vier  reelle  Wurzeln  habe.  Findet  aber  eine  der  Un- 
gleichungen 3)  oder  9)  statt,  so  hat 

12)  die  vorgelegte  biquadratische  Gleichung  stets  zwei  Imagi- 
näre Wurzeln  5  welcher  reelle  Werth  für  a  auch  gesetzt  werden 
möge. 

Hieraus  ergiebt  sich  bezüglich  der  verschiedenen  Vorzeichen 
der  vorgelegten  biquadratischen  Gleichung  nachstehende  Zusam- 
menstellung. 

1.    Ist  die  gegebene  Gleichung: 


1) 

^     0=a-t-%  +  cy 

»+rfy'+»*. 

2) 

-     + 

+      + 

3) 

+    — 

+      + 

4) 

—    — 

+      + 

5) 

~     + 

-      + 

6) 

+     + 

-      + 

7) 

— 

-     + 

8) 

+     - 

-      +, 

sind  alao : 

einer  vorgelegten  biquadrattschen  Steichung. 


25 


'     II.    Die  Gleichungeii 

i^ffir  i: 

so  kommen  sur  ADwendung: 

I)    0=:-i6+ic. 

J_|d,J«-|.08 

29. 7) -12) 

'i)           +     + 

— 

+ 

30.3)— 6) 

3) 

— 

+ 

31.2)— 4) 

4)           +     - 

— 

+ 

32.2)— 4) 

6)            +     + 

+ 

+ 

17.^.1)— 6) 

6)           -     + 

+ 

+ 

17.J?.1)— 3) 

7)           +    - 

+ 

+ 

24.1) -3) 

8) 

+ 

+ 

28.1) -3), 

indem  man  daselbst  schreibt: 

^  für  a,    \e  för  b,    id  für  c 

Für  die  Möglichkeit,  dass  die  vorgelegte  biquadratische  Glei- 
chung vier  reelle  Wurzeln  habe^  ergeben  sich  hiernach  die  Be- 
dingungen : 


1) 

2) 
3) 
4) 

«) 

6) 

7) 
8) 


in. 

72Ä(=)^  +  12crf— (3«P— 8c)(3rf±V  9<P-24c), 

+  (  „  +  „)(  „  +v  „  +  „  ), 


99  99 


»9  99 


»       »    <  + 


99 


99  9» 


99 


99 


99 


»9 


99        X    99       +  (    99    ■■*"    99)  (    99     +    ▼       99     -^    99     /» 

99         %    *""        9»      ■"""(     9*     T    99/(    99  ▼       99      T     99     ^9 

99         <+        ,9        +(9.     +     9,)(99     +V99       +     „     ). 


213. 


Es  folgt  weiter: 


Ist  [201. 1)]  die  gegebene  biquadratische  Gleichung,  ent- 
sprechen der  Gleichung  [211.  1)]  drei  reelle  Werthe  für  6,  und 
bezeichnet  man  die  drei  Werthe  von  a  durch: 


12       3  19  3 

a,    a,    a,    (a  ^  a  ^  a  gedacht); 


80  bat  die  gegebene  Gleichung  [201. 1)] 


26  Kerz:    lieber  die  Beurtheilung  der  Wurzeln 

1)  für  jeden  Werth  von  a  ^a  zwei  reelle  und  zwei  imaginäre 
Wurzeln ; 


2)  für  jeden  Werth  von  a  Y^     vier  reelle  Wurzeln; 

— a 


a 
zwei  imaginäre  und  zwei  reelle 
<s 

Wurzeln,  und 

3 

4)  für  jeden  Werth  von  a^  a,  vier  imaginäre  Wurzeln. 


214. 

Entsprechen  der  Gleichung  [211.  1)]  drei  gleiche  Werthe  für 
1^,  d.  h.  ist  ihre  Form  nach  [9.] 

also: 
2)    jede  ihrer  drei  Wurzein  gleich  +  ■j> 

ist  mithin  die  Form  der  vorgelegten '  biquadratischen    Gleichung : 

|78  3/72 

ans  welcher,  wenn  man :  —  -zi&ty  schreibt, 

'*)  *  «  =  ^ 

folgt;  80  erhält  man,  substitairt  man  diesen  Werth  in  3): 

ah  c  d 

d.  h.  es  ergeben  sich,  wenn  diese  Bedingungen  stattfinden,  für  y 
vier  vollkommen  gleiche  reelle  Wurzeln^  jede  gleich  — -j» 


einer  vorgelegten  biguadratischen  Gleichung,  27 

Ist  3)  die  gegebene  Gleichung,  und  man  befreit  dieselbe  von 
dem  Gliede:  dy\  indem  man 

6)  yz^z-'ld^  X 

d^  3d* 

setzt,  so  fallen  auch  die  Glieder  jj^«^  und  ^q-«^*  weg,  und  man 

erhält  als  transformirte  Gleichung: 

d^ 

also: 

8)  ar  =  j+1  iy/^db  V—  256«  +"rf4, 

daher: 


9)  y  = 


i-  id±i  y^+  V"  —  256a  +  d^ 
U  id  ±iV^— V-256a+d*. 


Augenscheinlich  sind  hier  für:  256a  <i{^  zwei  Wurzeln  reell, 
die  zwei  andern  imaginär, 

für  256a  >  d^  aber  die  vier  Wurzeln  imaginär. 

Findet  die  Bedingung  statt: 

10)  3dl«  =  8c, 
d.  h.  ist  die  gegebene  Gleichung : 

11)  0=a  +  Ä5f  +  ?rfV+^3f'  +  3^^ 

so  ergiebt  sieb,  wenn  man  Gleichung  6)  anwendet: 

12)  0=(a^ibd+  JgcZ*)  +  (6-  ^v  d^)a:+x\ 

d.  b.  eine  Gleichung  von  der  Form : 

13)  0=a+6ar  +  a:*. 

Da  in  dieser  Gleichung  zwei  aufeinander  folgende  Glieder 
fehlen,  so  hat  sie,  und  mithin  auch  Gleichung  11),  stets  zwei 
imaginäre  Wurzeln. 

Findet  die  Bedingung  statt: 

14)  6  =  icrf— Jrf3, 


28  Ker%:    lieber  die  Beurtheilung  der  Wuraeln 

d.  h.  ist  die  gegebene  Gleichung: 

15)  0=«  +  (\cd  - 1  d^)y  +  cy^  +  dy^^y\ 
sa  erhält  man»  wenn  man  Gleichung  6)  anwendet: 

16)  0=(a-^crf  +  jgrf*)  +  (c-|rf«)a;«+a;*, 

also  eine  Gleichung  von  der  Form: 

17)  0  =  a  +  c  (a;*)  +  (««)« 

Findet  daher  die  Bedingung  14)  statt,  so  kann  die  gegebene^ 
Gleichung  [201.  I)]  stets  in  eine  quadratische  umgewandelt  werden. 

215. 

Wenden  wir  das  in  [212.  und  213.]  Abgehandelte  auf  ein  Zah- 
lenbeispiel an: 

Es  seien  die  Wurzeln  der  Gleichung: 

1)  0=a+136y+68ya  +  14^9  +  ^ 

6  c  d 

ZU  beurtheilen.    Da  für  diese  Gleichung: 

2)  3<2a  >  8c,    nämlich  588  >  544 

ist,  so  liegt  bezüglich   der  Goefficienten  c  und  d  die  Möglichkeit 

vor,  dass  die  vorgelegte  Gleichung  vier  reelle  Wuizeln  habe 
[212.  2)1. 

Da  ferner  die  Ungleichung  [212.7)]  stattfindet,  nämlich:  y 

3) 
_  136  >  _10081^'il51293....^  ^  ^^  ,3^  ^  140.021557 ... . 

ist;  so  liegt  auch  bezüglich  der  Goefficienten  6,  c,  d  die  Mög- 
lichkeit vor,  dass  die  gegebene  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln 
habe. 

Man  erhält  nun,  nach  [211.])]  weiter: 

4)  0=— 34 +  34^—10,5. 6«  + Ib» 

und  die  drei  Wurzeln  dieser  Gleichung  sind: 

6)  +3,219222....;    +2;    +5,280777.... 


einer  torgelegten  biquadratischen  Gleichung.  29 

Wenn  man  diese  drei  Wurzeln  nach  und  nach  in  die  Glei- 
chung [211.  5)]  für  h,  oder^  wenn  man  sie  nach  und  nach  mit 
entgegengesetzten  Vorzeichen  in  die  gegebene  Gleichung  1)  fär  ^ 
substituirt»  so  ergeben  sich  die  drei  Werthe  filr  a,  nämlich: 

6)  i=:92,7729....;    a==96;    «=105,9149.... 

und    es  entsprechen  der  Gleichung   1)   för  a  <  92,7729  ....  zwei 
reelle  und  zwei  imaginäre,  för 

{^92,7729.... 
^<96 

vier  reelle,  ßir 

i  >96 
^  n^l05,9149....j' 

zwei  imaginäre   und  zwei  reelle,    und    fiir  a>  105,9149....  vier 
imaginäre  Wurzeln. 

216. 
Es' folgt  noch,  ans  [212.]: 
Ist: 

1)  rfsrO, 

« 

so  ergiebt  sich,  aus  [211.  1)]: 

2)  0=-i6+4c.a+J8, 

welcher  Gleichung,  nach  [33.  1)]  ein  negativer  reeller  und  zwei 
imaginäre  Werthe  für  \}  entsprechen. 

Ist  daher  die  gegebene  Gleichung: 

3)  0=:a  +  %  +  C5fa  +  y*,      ^ 
so  hat  dieselbe  stets  zwei  imaginäre  Wurzeln. 

Ist  aber  die  gegebene -Gleichung: 

4)  0  =  o+6y«-cy«  +  y*, 
80  ergiebt  sich,  nach  2): 

6)  0=— i6— icö  +  a^ 


30  Ker%:    üeöer  die  Beurtheilüng  der  Wurzeln 

Dieser  Gleichung  entsprechen  aber«  nach  [33.  3)  — 5)],  för  die 
Bedingung: 

6)  276<6cV&c     oder     b^<^^c\ 

eine  reelle  negative  und  zwei  reelle  positive  Wurzeln;  für  die  Be- 
dingung: 

7)  276=6cV6c     oder     6«=-^c», 

eine  reelle  negative  und  zwei  gleiche  reelle  positive  Wurzeln; 
und  für  die  Bedingung: 

8)  276>6cV6c    oder    6«>^c3, 

eine  reelle  negative  und  zwei  imaginäre  Wurzeln.  Findet  daher 
letztere  Bedingung  statt,  so  hat  Gleichung  4)  stets  zwei  imaginäre 
Wurzeln. 


217. 

Ist  [203.] 

6==a    und    j8=a, 

so  sind  die  Wurzelformell: 

1. 

V 

II. 

—  a  —  u  V^— l,     —a+aV^ — 1,    — a— «,     — a+o; 

III. 

Die  Gleichung  hat  daher  für  die  Fälle  1.  und  III.  z\9%\  Paar 
gleiche  Wurzeln.  Die  Formeln  der  Goefficienten  ergeben  sich, 
nach  [204.] 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln : 

1)  a  =  (a«+a2)2, 

2)  6=4a(«a+a2), 

3)  i?=2(a2+tt«)  +  4«» 

4)  d=4«. 


einer  vorgelegten  biqundratischen  Gleichung.  31 

II.    Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

1)  fl=(a2+««)(«a-a«), 

2)  6=4a», 

3)  c=6a«, 

4)  rf=4«. 

III.     Für  vier  reelle  Wurzeln: 

1)  a=  (««—««)« 

2)  6  =  4a  (««■-««), 

3)  c=2(a«-«3)+4«2, 

4)  rf=:4«. 

2ia 

Aus  I.  und  III.  ergeben  sich  die  Relationen: 

^      4c— cZ» 
1)  6= — g — .rf=<ZVa, 

Ist: 

^      Ä>/rfV   i  /   imaginär,) 

•^^     rf<VV     /  i  reell,       > 

öder :  > ,  80  sind  die  vier  Wurzeln  l 

nämlich 


Aas  li.  ergeben  sich  die  Relationen: 
7/  «=  (§)-«*, 


woraus  hervorgeht,  dass  nur  für  die  Coefficienten  b,  c,  d  be- 
stimmte Relationen  bestehen^  das  von  der  Unbekannten  unabhängige 
Glied  a  aber,  zugleich  eine  Funktion  von  a  ist,  daher  jeden  Werth 


c« 


[<ng]  annehmen  kann. 


Ker%:    Ueüer  die  BenrihEilung  der  Wuraeln 
Die  vi6r  Wurzeln  siuil; 


=Y^v7^ 


36a  •  V-\; 


tVl 


219. 
Ist  Hie  gegebene  Gleichung: 
1)  0=fl  +  %+cj»  +  y*, 

bI»o  für  Gleichung  ['2Ü1.  I}]: 

so  folgt: 


2)  0=- 
aus  [20i.  II)] 

3)  «  +  6  = 


.6»  +  (c'-4«){»»)  +  2c(B«)H(»V. 


odei 


+  a=-&,     [204.4)]. 


4)  Schreibt  man  in  Gleichung  1): — fr  anstatt  +  b,  so  verwao- 
delo  sieh  ihre  vier  Wurzeln  in  solche  mit  entgegeogeaeUten 
Vorzeichen,  die  Gleichung  '1)  erleidet  aber  hierdurch  keine 
Aenderung. 

5)  Gleichung  2)  liefert  stets,  vreil  das  von  der  Cnbekannten 
unabhängige  Glied  negativ  ist,  einen  positiven  Werlh  für  (B*); 
die  beiden  andern  Werthe  sind  dann  entneder  imaginär,  oder  sie 
sind,  irenn  sie  reell  sind,  beide  [losiliv  oder  beide  negativ. 

Hat  also  Gleichung  2)  drei  reelle  Wurzeln,  so  sind  entweder 
alle  positiv,  oder  eine  ist  positiv  und  die  beiden  andern  sind  ne- 
gativ. 


Ist  die 

gegebene 

Gleichung: 

1) 

0 

=  a^■by■^■cy^^-dy'^■y*■, 

sind   [203. 
Grössen,  s 

I.  11.  III] 

0  wandelt 

ihre  Wurzelformen,    und  a 
sich  dieselbe,  wenn  man 

Ä. 

c.  d 

positive 

anstatt  y  achreibt,  um  in: 

einer  vorgelegten  biquadraiiichen  Gleichung.  33 

sie  erhält  also  die  Form: 

3)  6=a  +  by+cy'+^, 

für  weiche  die  Bedeutung  der  Coefficienten  a,  b,  c  aber  eine  zwei- 
felhafte ist 


4)  Schreibt  man  in  [203.  1.  IL  III.]  4  a  anstatt— 6  ['219.3)],  so 
gehen  die  Wurzel  formen  über  in: 

I. 
II. 

III. 

5)  Legt  man  also  den  Coefficienten  a^  ö,  c  der  Gleichung  3) 
eine  bestimmte  Bedeutung  bei»  so  ist  die  Bedeutung  dieser  Wur- 
zeln eine  zweifelhafte.  Da  sich  aber  an  der  Form  dieser  Wur- 
zeln Nichts  ändert,  wenn  man  a  und  ß  in  der  entgegengesetzten 
Bedeutung  nimmt;  so  erstreckt  sich  diese  Zweifelhaftigkeit  bloss 
auf  die  Grosse  a. 

221. 

Die  Formeln  der  Coefficienten  [204.]  aber  werden,  wenn  man 
+  a  anstatt— 6  setzt: 

I.     Ffir  vier  imaginäre  Wurzeln: 

2)  6=~-2«(a«~j3«), 

3)  c=(a«+iS2)— 2a2. 

II.     Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 

2)  6=— 2a(a«+^«). 

3)  c=(a2~/3«)-2«2. 

ThcLl  XLV.  3 


34  JS^er%i    Veber  die  Beurtheilung  der  Wurzeln 

III.     FCIr  vier  reelle  Wurzeln: 
1)  ii==(Ä«-a*)(««— /?«), 

3)  c=— 2««— (ö*  +  (5«). 

222 
Die  Formen  von  H  [205.]  iverden,  -ha  anstatt  —  h  gesetzt: 
I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln: 

II.     Ffir  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 
III.    Für  vier  reelle  Wurzeln: 

■ 

±2a,    ±(a+/5),    +(«-«. 

223. 

Daher  werden  die  Formen  von  (ß^) : 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln: 

+4a»,    -(«+««,    -(«-ft« 

IL     Fiir  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 
+4«*,    -(a»-./ja)  +  2cri5V*^,    -(a«-/5*)-2a/5V*::i[. 

IIL     Für  vier  reelle  Wurzeln: 

+  4«*,    +(«+iS)«     +(«-ft«. 
Es  folgt: 

1)  Sind  die  drei  Werthe  von  (]$^)  reelle  und  ist  der  eine  po- 
sitiv und  die  beiden  andern  sind  negativ  [I.],  so  sind  die  vier 
Wurzelwerthe  der  Gleichung  [220.  3)]  imaginär  [220.  4)  I.]. 

2)  Sind  zwei  Wurzelwerthe  von  (Sl^)  imaginär  [II.],  so  hat 
die  Gleichung  [220.  3)]  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln 
[220.4)11.]. 

3)  Sind  die  drei  Werthe  von  (]S^)  reelle  positive  Grossen 
[III.],  so  entsprechen  der  Gleichung  [220.  3)]  vier  reelle  Wurzeln 
[220.4)111.]. 

4)  Ist  ein  Werth  von  (]$*)  negativ ^  so  ist  es  auch  noch  ein 


einer  vorgelegten  biquadraiischen  Gleichung,  35 

zweiter,  und  der  dritte  Werth  ist  positiv.    Die  Gleichung  [220.  3)] 
hat  daher  vier  imaginäre  Wurzeln. 

224. 

Ist: 

^=0, 

so  gehen  die  Wurzelformeln  [220.4)]  über  in: 

I.  und  II. 

% 

111. 

Die  Gleichung  [220.  3)]  hat  dann  entweder  zwei  imaginäre 
Wurzeln  und  zwei  gleiche  reelle  Wurzeln»  welche  in  entgegenge- 
setzter Bedeutung  dem  reellen  Theile  der  imaginären  Wurzeln 
gleich  sind,  oder  sie  hat  zwei  gleiche  reelle  und  zwei  ungleiche 
reelle  Wurzeln. 

225. 

A.  Die  Formeln  der  CoefBcienten  [221.]  werden  in  diesem 
Falle: 

L  und  11.  Für  zwei  imaginäre   und  zwei  gleiche  reelle  Wurzeln: 

1)  a  =  (««  +  «a).Ä« 

2)  6  =  ~2aa«, 

3)  c=a«— 2ä«. 

III.    Für  vier  reelle  Wurzeln,  unter  welchen  zwei  einander  gleich  sind : 

1)  a  =  (««-a«).a«, 

2)  6  =  2«a«, 

3)  c=— 2««— «« 
and 

B*    Die  Formen  von  ]ß: 
L  und  IL.«         ±2«,     ±aSf^^h     ±«V^-I. 

HL:  ±2«,    +«.    +« 

Daher: 
C.    Die  Formen  von  (»«): 

1.  und  IL:  +4««,    ~a«,     -««; 

IlL:  +4ä«,     +ä«,     f«'^. 

3» 


3d  Ker%i    üeöer  die  Beurlheilung  der  Wurzein 

226. 
>    Hieraus  folgt: 

1)  Sind  zwei  Wertbe  für  (T$^)  reelle  negative  Grössen  und 
einander  gleich,  so  hat  die  Gleichung  [220.3)]  zwei  imaginSre 
Wurzeln  und  zwei  gleiche  reelle  Wurzeln. 

2)  Sind  die  drei  reellen  Werthe  von  (1$^)  positiv,  und  unter 
denselben  zwei  einander  gleich,  so  bat  die  Gleichung  [220.3)] 
vier  reelle  Wurzeln,  unter  welchen  zwei  einander  gleich  sind. 

227. 

Ist: 

«  =  0    und     ß  =  0, 

I 
80  gehen  die  Wurzelformen  [220.4)  1. II.  HL]  über  in:  i 

— «,    ~a,    +a,    +a,  j 

und  die  Gleichung  [220.3)]  hat   vier  gleiche  reelle  Wurzeln,    von 
welchen  zwei  positiv  und  zwei  negativ  sind.  i 

Die  Formeln  der  Coefficienten  werden  in  diesem  Falle: 


1) 

2) 
3) 

6=0, 
c  =— 2««. 

Für  die  Relation: 

4) 

sind  daher  die  vier  Wurzeln, 

5)  wenn  c  negativ  ist: 

6)  wenn  c  positiv  ist:    • 


228. 
Ist: 


\ 

V 


r 


einer  vorgelegten  biquaäratischen  Gleichung,  37 

80  gehen  die  Wurzelfornieo  [220.  4)]  über  in : 

1. 

11. 

111. 

im  Falle  daher  d^e  Gleichung  nur  imaginäre  oder  nur  reelle  Wur- 
zeln hat 9  hat  sie  zwei  Paar  gleiche»  aber  entgegengesetzte 
Wurzeln. 

229. 
Die  Formeln  der  Coefficienten  [221.]  werden: 

1.     Für  vier  imaginäre  Wurzeln: 

J)       (+)a  =  (Ä* +«*)*,  also  ist  a  stets  positiv; 

2)  6  =  0, 

3)  (+)c=:2(a«-a«),  also  ist  c^  P^g^*J^^^  ^  füra^a; 

nämlich : 

4)  «=iV"2Va-(+c)^ 
6)                                 a=:iV2Va+(+c). 

Ist  für  das  obere  Vorzeichen,  also  für  einen  positiven  Werth 
von  c 

6)  2Va<c,     oder    a<,\i^, 

so  erhält  auch  der  Werth  von  a  eine  imaginäre  Form,  oder  die 
imaginären  Wurzeln  L  haben  für  diesen  Fall  keinen  reellen  Theil. 

11.     Fü*ir  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 
1)    (±) «=(««+ «»)(««-««),  also  ist  a  j  JJg";r^}  för«^«. 


38  Kerzi    (Jeder  die  Beuriheilung  der  Wurzein 

2)  b  5=  -4«««,      ^ 

3)  (— Jc= — ^2a*,  also  ist  c  stets  negativ; 

nämlich: 

4)  a=iV2c, 


5) 
für  die  Relation 


.=.V" 


6V2c 


6)    ,  «=-4 -Fe- 

,  III.    Für  vier  reelle  Wqrzeln: 

1)  (+)a=:(aa— ««)«,  also  ist  a  stets  positiv, 

2)  6=0, 

3)  (~)c=— 2(aH«*),  also  ist  c  stets  negativ, 

nämlich: 

4)  a=iVc+2Va, 

5)  «=iVc^=^2Vä. 

230. 

Ist: 

ä=0, 

so  gehen  die  Wurzelformen  [220.  4)]  über  in : 

1. 
^a\r^    +aV^,    _|3V^— J,     +/5V:ZT; 

-  II. 

HL 

Die  Gleichung  [220.  3)]  hat  daher  für  jeden  der  drei  I 
swei  Paar  gleiche  Wurzeln,  die  Wurzeln  eines  jeden  Paare 
^'^^^^gongesetzter  Bedeutung  genommen. 


einer  vorgelegten  biquadratischen  Gleichung.  39 

231. 
Die  Formeln  der  CoefBcienteo  [221.]  werden  in  diesem  Falle: 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln: 

1)  (+)a  =  ««i3«, 

2)  6=0,  ^     also    sind  a   und   c  stets  positiv; 

3)  (+)c 

nSmIieh : 

4) 


=0,  { 


5) 


«=y  I  +1^^^«  — 4ii, 

/3=Y  |-^iV^c«  — 4a. 


Berücksichtigt  man  in  [229. 1.]  bloss  das  obere  Vorzeichen  des 
Coefficienten  c,  so  stimmt  jener  Fall  mit  dem  vorliegenden  ganz 
uberein.  Das  Resultat  ist  jedoch  dort  als  eine  zweinamige,  hier 
aber  als  einnamige  Grösse  ausgedrückt,  und  es  lässt  sich  leicht 
die  eine  Form  in  die  andere  übertragen ,  wenn  man  von  der  be- 
kannten Formel: 

V~  ■  •  ■     . «  ..  f - 

Gebrauch  macht. 

II.    Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 

\)  ( — )a  =  —  a*ß^,  also  ist  a  stets  negativ, 

2)  A  =  0. 

3)  (±)c=:«»-^,  also  ist  c  ^  ^'J,?^  \   fär  «  ^ ß: 
nämlich : 


4)  a=Y   ±|+iVc«+4a' 


5) 


/J  =  \    T|+iV^c«+4a. 


Ist  also  die  von  der  Unbekannten  unabhängige  GrSsse  a  ne- 
gativ, ist  nämlich  die  gegebene  Gleichung: 

6)  0  =  -o±cj^«+*«, 


-**)  ker^:    Ceher  4ie  BetinheiiM»^  4er  i^urzeim 

A4  «ntipreeben  d^r  Unbekannten  »teU  zwei  imasinare  and  zwd 
reelJe  Wvzelß.  £«  laj^^en  «kh  aber  die  geftudeBen  ioia§iBäfeB 
Wnrzeln  naeb  L6>  niebt  in  eine  zweitbeilige  Gr5«se  omwaDdeln, 
deren  einer  Tbeil  reell  iat 

III.     For  vier  redle  Worzeln: 
'i  C+)a=c*^,  also  ist  a  stet»  positiv, 

'^;  Z'— )c  =  --(«*+^,  ako  ist  c  stets  negaÜT; 

iiäailieh : 


4) 


5) 


Dieser  Fall  ist  ganz  fibereinstimmend  mit  dem  Fall  [229.  HL], 
nur  \»i  in  letzterem  das  Resultat  als  zweinamige,  in  dem  vorlie- 
genden aber  als  einnamige  Grosse  ausgedrückt.  Es  lässt  sich 
aber  leicht,  mit  Hfilfe  der  Formel  I.  6),  die  eine  Form  in  die  an- 
dere fibertragen. 

232. 
Bezeichnet  man  die  drei  Wertbe  von  (B^)  [219.  2)]  mit: 

i)  (»)*,    (I)*.    (»)*, 

so  sind  die  sechs  Werthe  von  16 : 

2)  ±».    ±^.    ±:l, 

welche  Werthe  den  bezuglichen  Formen  [222.]  entsprechen.  Aus 
diesen  ergeben  sich  nunmehr  nach  [220.  4)]  die  vier  Werthe  der 
Unbekannten  y  [220.3)],  nämlich: 

3) 

123  123  123  l<2a 

wonii  man  die  potiitiven  Werthe  von  J$,  und 


{•: 


einer  vorgelegten  biqnadralischen  Gleichung,  4] 

4) 

123  1«3  1*8  l«8 

+  »+»  F3g      +»3»-»      -»+»-»     -»  —  »  +  » 
2  '  2  '  2  '  2  ' 

wenn  man  die  negativen  Werthe  von  S  zu  Grunde  legt.  Kennt 
man  daher  die  drei  Werthe  von  (}$^),  so  ergeben  sich  hieraus  leicht 
die  vier  Werthe  von  ;/. 

Es  kommen  nämlich  : 

5)  die  Formeln  3)  zur  Anwendung,  wenn  die  Wurzelformen 
die  Bedeutung  [220.  1.  II.  IlL]  haben ,  haben  sie  aber  die  entge- 
gengesetzte Bedeutung,  so  sind  dfe  Formeln  4)  anzuwenden. 

Für  die  verschiedenen  Vorzeichen  der  CoefBcienten  a,  b,  c  der 
Gleichung  [220.3)]  ergeben  sich,  der  Natur  der  Sache  gemäss, 

6)  folgende  acht  Fälle: 

-  ±      +       +    , 
+    ±     -       +    , 

—  ±    —      +    , 

welche  sich  indessen,  im  Hinblicke  auf  [219.  4)],   auf  vier  Fälle 
reduciren,  und  welche  wir  nun  nach  und  nach  abhandeln  wollen. 

233. 
Es  sei  die  gegebene  oder  transformirte  Gleichung: 

also  die  Coefficienten  a,  b,  c  positive  Grössen  [220.  3)]« 
Man  erhält  aus  [221.]: 

I.    Für  vier  imaginäre  Wurzeln  : 

1)  +fl=(a«  +  a«)(a2  +  i3«), 

2)  +*=  +  2a(a2^/3»), 

nämlich  a  in  entgegengesetzter  Bedeutung  genommen  [220.  5,], 

3)  +c  =  (a2+/32)  — 2a«. 

11.     Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 
1)  +a  =  (a2+a*)(a«  — jS«),  also:  a>/3. 


42  Ker%:    (Jeher  die  Beurtheilung  der  \Vur%ein 

2)  +6=+2a(a2  +  /J«), 
nämlich  a  in  entgegengesetzter  Bedeutung  genommen  [220. 5)], 

3)  +c=(aa— 13«)  — 2a«,  also:  a«>/3«  +  2a«. 

Da  in  [221. 111. 3)]  der  Wertb  von  c  negativ  bleibt,  auch  wenn  man 
a  mit  entgegenjgesetztem  Vorzeichen  nimmt,  so  ist  Fall  III.  un- 
möglich, und  der  gegebenen  Gleichung  entsprechen  keine  vier 
reellen  Wurzelwerthe. 

Die  Wurzelformen  ergeben  sich  mithin,  aus  [220.] 
fori.:    +«-.a\^ZT,    +a+aV^IT,    ^«— /i^VlII,    -a+/jV'ZT; 

für II.:    +«-«V^^,    +«+«V^,    -a— /5,  —  a+/J, 

und  es  sind  daher  för  Fall  IL,  weil  a>/3  ist,  [II.  I}],  die  beiden 
reellen  Wurzeln  negativ. 

234. 
Nun  ist  die  Gleichung  für  (]}«) : 

0=:-6«+(c«— 4a)()$«)  +  2c(]5«)«  +  (»«)8,       [219.  2)]. 
und  es  ergiebt  sich,  nach  [17.  B,  1)  '*3)]: 

1)  — 27Ä«  <  \ 

2)  -  27*2  ^  I  6  (c»  -  4«c)  -  2  (c«  +  12a)  (2c  +  V^c«  +  12a), 

3)  —276«  >  ) 

nämlich : 

1)  för  einen  reellen  positiven  Wertb  von  (B«)  und  zwei  imagi^ — 
näre  Werthe,  deren  reelle  Theile  negativ  sind ; 

2)  fiir  einen  reellen  positiven   und  zwei  gleiche  reelle  negativ^^ 
Werthe  von  ()$«); 

3)  für  einen  reellen  positiven  und  zwei  reelle  negative  Wertb ^^ 
von  (»«). 

235. 

Die  gegebene  Gleichung  [233.]  hat  daher,  im  Falle  [234.  I>Z9 
zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln  [223.  2)]. 

Die   Bestimmung  dieser   Wurzeln    kann    in   folgender  Wei9^ 
geschehen.    Hat  nutn  einen  Wertb  von 


einer  vorgelegten  biquadratischen  Gleichung.  43 

1)  » =+2a 

gefunden,  so  ergiebt  sieb  aus  [233.  IL] 

3)  ««— /3a  =  c+2a«, 

und  hieraus: 


4)  «=Yf;+5+«« 


4« +  2 


5) 


^=VA'   £_... 


236. 


Die  gegebene  Gleichung  [233.]  hat,  im  FaHe  [234.  2)]  zwei 
imaginäre  Wurzeln  und  zwei  gleiche  reelle  Wurzeln 
[226.  1)]. 

I 

Da  die  Coefficienten  a,  b,  c  positive  Grössen  bezeichnen  ^  so 
ergeben  sich  als  Formeln  der  Coefficienten,  nach  [225.  I.  u.  II.]: 

1)  +a=:(ft«  +  ««).a2, 

2)  -f6=-f2aa^,    nämlich  a   in   entgegengesetzter  Bedeutung 

genommen  [220.  5)], 

3)  +  c  —  «2 — 2«*,    also    a«  >  2«« 

Oie  Wurzelformen  sind  mitbin,  nach  [224.  f.  und  IL] 

<!•  li.  die  beiden  gleichen  reellen  Wurzeln  sind  negativ.    Man  er- 
halt also : 


4;  «  =  \  ^  =  \^c  +  2a^ 


^^«r  es  ist,   wendet  man  die  Formeln  [17.  7),   beziehungsweise 
l*^-  B.  2)]  und  [232.  4)],  an : 

5)  a  =  ^fc  +  iVcä+H^, 

6)  a  =  i^-|c+lVc«  +  12a. 


^  Mer%:    Lititr  die  BeuriheHMug  der  Vurxeim 

237. 

<>M»  gA^g#b#i^«  til^iebifrig  [233J  hat,  im  Falle  [234.  3)]  vic 
mi^i^iuHf»  WMr^#l»  [223.  I)]. 

*)  »  =  +2« 

^^f^r^4#N;  «^  ergitfiit  Mic^b,  onttlog  [235.]  au8  [233.  I.]  : 

6 


2y  «»-^/J«  = 


2«' 


ä3& 
U\  di0  K^g^hßu«  Oil^r  trau^formirte  Gteiehuug: 

«ii  g^i^hi^ht  di^  tit^uirtb^lMug  d^r  Wurz«lu  gaoa  so,  als  sei  6  pa 
^Uiv  t'^KULJ,  uur  ^rg^b^u  micIi  di^  Wurz^iformen  mit  entgegeoge 

l    -a^-^V— 1.  -a-l^Q^V"^!,  +a~/?V^-^,  ^^j+IjV'-^ 

mid  ^  JMod  dah^  fiSr  deo   Fall  tt>  wegeo  a>/i>  beide  reett 
Wiirz^ii  positiv. 

6  =  0, 
al£u>  die  g^^^b^ie  GleichuDg: 

ä4>  siod  die  drei  Werthe  von  (}5^  [234.]: 
t>)  0,     -.e+2Va,    ^c— 2Va. 


einer  vorgelegten  biquadrattschen  Gleichwig,  45 

Da  unter  diesen  drei  Werthen  ein  Werth,  der  dritte,  stets  ne- 
gativ ist 9  so  hat  Gleichung  2)  stets  vier  imaginäre  Wurzeln 
[223.  4]. 

Die  drei  Werthe  für  ««  sind : 

7)  0,    — Jc  +  lV«,    --kC'-Wa, 

und  substituirt  man  dieselben,  mit  Ausschluss  des  ersten,  in 
[237.  4)  und  5)],  so  ergiebt  sich: 

8)  a  ==  i  V  c  +  2Va  j 

[   für  a  =  0.         [233.  für  I.] 

239. 
Es  sei  die  gegebene  oder  transformirte  Gleichung: 

Man  erhält  aus  [221.],  dass,  weil  in  I.  1)  die  Grösse  a  nicht  ne- 
gativ werden  kann,  wenn  man  auch  irgend  welche  der  Grussen 
a,  a,  /?  in  entgegengesetzter  Bedeutung  nimmt,  der  Fall  f.  nicht 
stattfinden,  d.h.  die  gegebene  Gleichung  nicht  vier  imaginäre 
Wurzeln  haben  könne.     Aus'II.  aber  ergiebt  sich: 

Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln: 

1)  —  a=:(a2  +  «2)(ßa_|32)^    also:'    a</5, 

2)  +Ä  =  +  2«(a*  +  /5*),    nämlich    a    in    entgegengesetzter   Be- 

deutung genommen  [220.  5)] , 

3)  +c  =  (a2— /S^)  — 2a«,     also:     a2>/Sa+2««. 

Aus  III.  ergiebt  sich,  dass,  welche  der  Grössen  a,  a,  ß  man 
in  entgegengesetzter  Bedeutung  nehme,  die  Grösse  c  nicht  posi- 
tiv werden,  dass  also  die  vorgelegte  Gleichung  nicht  vier  reelle 
Wurzeln  haben  könne. 

Die  W^urzelformen  sind  mithin: 

für  IL:    -i-a— aV^^,    +«  +  aV^~l,    —  «-jS,    -a+jS, 

und  es  ist  daher,  wegen  a<|3,  die  eine  der  reellen  Wurzeln  ne- 
gativ^ die  andere  positiv,  und  zwar  ist  der  absolute  Grössenwerth 
der  negativen  grösser  wie  der  absolute  Grössenwerth  der  posi- 
tiven Wurzel. 


48  Ker%:  lieber  die  Beuriheilvng  der  Wurzeln 

3)    —  c  ==(««+ /52)—2«a,    also:    a«  +  /3«<2a« 

II.    Ffir  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

1)  -|-«  =  (a«+a«)(a2— jS«),    also:    «>/?, 

2)  -f  6  =:-f  2a(a^-f /3^),    nämlich   a   in    entgegengesetzter    Be- 

deutung genomioen, 

3)  —  c  =  (a*~/32)— 2««,  also:    /52  +  2««>a«. 

IH.    För  vier  reelle  Wurzeln. 

1)  +a  =  (a«— «2)(ö2  — /S«),  also:   «^a  und   a^ß, 

2)  +6=  +  2a(«2~/3«),  also  a>jS, 
'3)        —  c  = — 2a2  -  («2  +  jS«). 

Die  Wurzelformen  ergeben  sich  mithin  aus  [220.]: 

Für   I.:  +a— aV^^,  +a  +  aV^iri,  — a-jSV^^T,  -«f/5V^IO, 

Für  IL  sind,  wegen  ft>/?,  beide  reelle  Wurzeln  negativ,  und 
für  111.  sind,  wegen  a^of  und  d^ß,   zwei  Wurzeln  negativ  und 

zwei  Wurzeln  positiv,  und  zwar  ist  der  absolute  Grossenwertb 
der  einen  negativen  Wurzel  grösser  wie  der  absolute  Grüssen- 
werth  der  grosseren  positiven  Wurzel,  und  der  absolute  Grossen* 
werth  der  andern  negativen  Wurzel  ist  kleiner  wie  der  absolute 
Grossenwertb  der  kleineren  positiven  Wurzel. 

243. 

Nun  ist  die  Gleichung  für  (ß^),  nach  [219.  2)J: 

0  =  -  6«  +  (c2— 4a)(»2)-2c(»2)2+  (»2)3, 
wenn : 

c*>4a 
ist.     Da  überdies: 

(-2c)«>4(c2  — 4a),     nämlich:    ü>-16« 

ist,  so  findet  stets  die  Bedingung  [29.  13)]  statt,  und  es  ergiebt  sich: 


einer  iforgelegten  bignadraüschen  GMchung.  49 

1)  -276»>  \ 

2)  -2762=  I  —  6(c»— 3ac)+2(c«+12a)(2c—  V€r«  + J2a) , 

3)  — 2762<  ) 

oämlich : 

1)  f&r  drei  reelle  positive  Wurzeln; 

2)  fSr  drei  reelle  positive  Wurzeln,  unter  vrelcben  zwei  ein- 
ander gleich  sind; 

3)  für  eine  reelle  positive  Wurzel  und  zwei  imaginSre  Wurzein. 

244. 

Die  gegebene  Gleichung   [242.]  hat  daher  im  Falle  [243.  1)] 
vier  reelle  Wurzeln  [223.  3)]. 

Man  erhält,  hat  man  einen  Werth  von 

1)  ,    »  =  2« 
bestimmt,  aus  [242.  3)] 

2)  «*-^  =  2i' 

3)  a«  +  /S«  =  c— 2a«, 


daher: 


• 


/ 


245. 

Die  gegebene  Gleichung  [242.]  hat  im  Falle  [243.  2)]  vier 
reelle  Wurzeln,  unter  welchen  zwei  einander  gleich  sind  [226.  2)]. 
Ihre  Formen  sind,  [224.  III.]: 

—  a — «,    — «  +  «>    +«,'  +Ä> 
tod  die  Formeln  der  Coefificienten ,  nach  [225.  III.]: 

1)  +a  =  (a«— O.ft«,    also    a>«, 

2)  +6  =  2a««, 

3)  — c==— 2a«— ««. 

Th€il  XLiV.  4 


:'ie       -'11! 


|r:!Jtinü^-v* 


weiiJ 


i-t. 


\'s\i  so  fijMit. 


«.''S 


einer  vorgelegten  biquadraüschen  Gleichung,  51 

iiii4  ^  ergiebt  sich»  nach  [31.]; 

1)  — 276«>  X 

2)  — 276«=(  +6(4ac— c»)  +  2(c«+12a)(2c— V^«Ti2a); 

3)  '-276«<) 

nämiich : 

1)  Für   einen    positiven    und    zwei    negative    reelle    Wertbe 
von  OJ«); 

2)  für  einen  positiven  und  zwei  gleiche  negative  Werthe  von 

3)  für  einen   positiven    reellen   und  zwei    imaginäre    Wertbe 
von  (]$^),  deren  reelle  t'heile  negativ  sind. 


248. 


Die  gegebene   Gleichung  [242.]   bat   im   Falle  [247.  1)]  vier 
imaginäre  Wurzeln  [223.  1)]  von  der  Form  [242.  für  1.]. 

Hat  man  einen  Werth  von 

1)  »  =  2a 

aus  Gleichung  [247.]  gefunden,  so  ergeben  sich,  aus  [242.  I.J 

2)  «'-^'=^^^ 

3,  a«  +  /3«  =  2a«— c, 

daher : 


4,  «  =  V«-|+."- 

6)  />  =  V"-a-s+«'- 


♦-- 


249. 

Die  gegebene  Gleichung  {242.]  bat  im  Falle  [247.  2)]  zwei 
imaginäre  und  zwei  gleiche  reelle  Wurzein  [226.  1)].  Die  For- 
meln der  Coefficienten  ergeben  sich  hierfQr  aus  [225.  I.  und  II.]: 

4* 


52  Kerz:  Leber  die  Beurtheilung  der  Wurzeln 

2)  -f  6  =  -f  2aa^9    Dämlich   it  in  entgegengesetzter  Bedeutung 

genommen  [220.  5)], 

3)  —  c  =  a«— 2««,    also:    ««<2a«, 

und   die  Wurzeln  haben  die  entgegengesetzte  Form  von  [224.  I. 
und  IL]»  nämlich: 

« 

die  reellen  Wurzeln  sind  also  negativ. 

Wendet  man  die  Formeln  [31.  8)]  und  [232.  4)]  an,  so  er- 
giebt  sieb: 

4)  «  ==  V^— Sc  +  iV^c2  +  12a, 

5)  a  =  i^|c  +  |Vc^TT2ä. 


250. 

Die  gegebene  Gleichung  [242.]  hat  im  Falle  [247.  3)]  zwei 
imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln  [223.  2)]  von  der  Form  [242. 
für  IL],  und  die  Werthe  von  a  und /3  ergeben  sich  wie  in  [246.]. 


251. 
Ist  die  gegebene  oder  transformirte  Gleichung 

0=  +  a-6y-C2y«+^, 

so  geschieht  die  Beurtheilung  der  Wurzeln  ganz  so,  als  sei  6 
positiv  [242.]»  nur  ergeben  sich  die  Wurzelformen  mit  entgegen- 
gesetzten Vorzeichen,  nämlich: 

IL    — a— «V^^, -a+«V^,  +«— jJ,  +Ä  +  /S, 

HL    +«— «,  +«  +  «,  — «-/3,  — a  +  lS. 

Fiir  IL  sind   daher»   wegen  a>/?,  beide  reelle  Wurzeln  po- 
sitiv» und  fQr  III.  sind»  wegen  a^a  und  it^/3»    zwei   Wurzeln 

positiv  und  zwei  Wurzeln  negativ»  und  zwar  ist  der  absolute 
Grosseowerth  der  grosseren  positiven  Wurzel  grösser  vrie  der 
absolute  Grössenwerth  der  grösseren  negativen  Wurzel»  und  der 


einer  vorgelegten  biquadratischen  Gleichung,  53 

absolute  Grössenwerth  der  kleineren  positiven  Wurzel  ist  kleiner 
wie  der  absolute  Grussenwerth  der  kleineren  negativen  Wurzel. 


252. 

Ist: 

6  =  0, 

also  die  gegebene  Gleichung: 

1)  0=+a-cy*+y*, 
so  sind  die  drei  Werthe  von  (B«)  [243.] : 

2)  0,    +c+2Va,     +c— 2Va. 
Ist  nun 

3)  c<2Va,  nämlich:  ^  <a, 

so  ist  -f  c — 2 Va  negativ^  und  daher  entsprechen  der  Gleichung  1) 
vier  imaginäre  Wurzeln  [223.  4)]. 

Substituirt  man  die  Werthe  von  16  nämlich: 

4)  0.    V^c  +  2l/a,    Vc— 2l/a, 

in  [232.  3)  oder  4)],  so  ergeben  sich  die  vier  Wurzeln: 

5)  {±IVc  +  2Va±V^c  +  2Va.V^. 
Ist  aber: 

6)  c>2\/a,  nämlich:  -T->a. 


so  sind  die   drei  Werthe  in  2)  positiv,  und  daher    entsprechen 
der  Gleichung  I)  vier  reelle  Wurzeln  [223.  3)]. 

Substituirt  man  wieder  die  Werthe  fiir  ]}  aus  4)  in  [232.  3) 
oder  4)],  so  erhält  man  als  Wurzelwerthe  der  Gleichung  1): 

7)  t±lV7T2v^±V'^2v^. 

253. 
Es  sei  die  gegebene  oder  transformirte  Gleichung: 

0=  — a  +  6y— cy«  +  y*. 
Man   erhält  aus  [221.],    dass,    welche  Bedeutung  auch  den 


54  Ker%:  (Jeder  die  Beurtheilung  der  Wurzeln 

GröBsep  n,  k,  ß  in  I.  noterKtellt  werde,  d^  Coeffident  a  nieht 
dh«  negative  Voriceicheii  erhalten^  dass  also  die  gegebene  GM- 
chuDg  nicht  vier  imaginäre  Wurzeln  haben  könne. 

Es  ergiebt  sich  weiter: 

IL    Für  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

1)  —  a  =  (««  +  «2)(a2— jS«),    also:    «</3, 

2)  4-  6  =  -f  2a(a^  +  ß^) ,    nämlich    a  in  entgegengesetzter  Be- 

deutung genommen; 

3)  —  c  =  (««— /32)  -  äa«,    also :    a'^  <  /P  +  2a«. 


}also:  a<o  i 
und:  a>/3. 


111.    Für  vier  reelle  Wurzeln. 

1)  —  a=:(a«--aa)(a«-/3^,  ]  also:  a<c  und  «>/S, 

2)  +Ä  =  2a(««^/5a), 

3)  — c=r-2a«— (a«  +  /5*). 

Die  Wurzel  formen  ergeben  sich  mithin  aus  [220.]  i 
Für  11. ; 

und  es  ist ,  wegen  a  <  j?,  die  eine  reelle  Wurzel  negativ,  die  an- 
dere positiv,  und  zwar  ist  der  absolute  Grussenwerth  der  negati- 
ven Wurzel  grösser,  wie  der  absolute  Grossenwerth  der  positiven 
Wurzel. 

Ffir  111.: 

und  zwar  sind,  wegen:  a<of  und  a>/3,  drei  Wurzeln  positiv 
und  ^eine  Wurzel  negativ.  Wegen  a>/?  ist  der  absolute  Grossen- 
werth der  negativen  Wurzel  grosser  wie  der  absolute  Grossen- 
werth jeder  der  drei  positiven  Wurzeln. 

254. 

Nun  ergiebt  sich  die  Gleichung  für  (B«)  nach  [219.  2)]: 

0  =  —  6« + (c2  +  4a)(»*) -^2c(»»)2  +  (»2)8. 

Da  für  diese  Gleichung 

0<-fl6a, 
nämlich : 


einer  vorgeiepten  biquadraUschen  Gleichung.  55 

(— 2c)«<4(c«  +  4«) 

iBtj  SO  kommen  die  Formeln  [29.  7) — 12)]  in  Betracht  und  man 
erbSlt: 

1)  — 276«> 

2)  —276«  =  J  —  6(c»  +  4ac)  +  2(c«  -  12a)(2c  +  Vc«— 12a) , 

3)  — 276«< 

4)  —276«  > 

5)  —276«=  \  — 6(c»+  4au)  +  2(c»--12«)(2c— V  c«— 12ci) ; 

6)  — 276«< 

nSmlicb: 

1)  Für   einen»   loeUen    positiven    uo4  vme\  imagioSre   Werthe 

^on  (»«).  ^ 

2)  Für  drei  reelle  positive  Wertbe  von  ()$«)^  unter  welchen  zwei 
einander  gleich  sind. 

J.  I  Für  drei  reelle  positive  Wertbe  von  P^). 

5)  Für    drei    reelle  positive  Wertbe   von  0^,   unter   welchen 
zwei  einander  gleich  sind. 

6)  Für  einen  ?eellen   positiven   und    zwei  imaginSre   Werthe 
von  (»«). 

7)  Ist: 

c«<12a, 

nSmlich : 

(— 2c)«<3(c«+4a); 

« 

so  ist  der  erste  Fall  [41.]   vorliegend,  nach  welchem  die  Glei- 
chung stets  nur  eine  reelle  Wurzel  hat. 

Man  erhält  daher: 

255. 

Die  gegebene  Gleichung  [253w]  hat  im  Falle  [254.  1),  6),  7)] 
zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln  [223.  2)]  von  der  Form 
[253.  für  IL]. 

Man  erhält,  bat  man  einen  Werth  von 
1)  »=:2a 


56  Ker%:  Veber  die  Beuriheilung  der  Wurzein 


■•i  '• 


bestimmt. 

ans 

[253. 

II] 

2) 

««  +  /S«: 

b 
-2i' 

3) 

«•  —  /»" 

=  2«« 

daher: 

« 

4)  .  =  V^^-?+^. 

5)       -   i.=VFh^- 


256. 

Die  gegebene  Gleichung  [253.]  hat  im  Falle  [254.  2)  und  5)] 
vier  reelle  Wurzeln ,  unter  welchen  zwei  einander  gleich  sind 
[226.  2)].    Die  Formeln  der  Coefficienten  sind  nach  [225.  IIL]  : 

1)  —a  =  («*—«*). a*,    also:    a<«, 

2)  +6  =  2«««, 

3)  -c=— 2««— «« 

und  die  Formen  der  Wurzeln,  nach  [224.  III.]: 

— a  — «,    — «  +  «,    +«,    +«. 
Hat  man  einen  Werth  von 

4)  .  »  =  2a 
gefunden,  so  bestimmt  sich: 

5)  a  =  yJ=V7=:2ä*; 

oder  man  erhält,  wendet  man  die  Formeln  [29.  14)]  und  [232. 3)]  an: 

6)  «  =  V'f  c  ±  IV^c*— 12a, 

7)  .:      a  =  iVjc.TIV^c«— 12a. 


257. 

Die  gegebene  Gleichung  [253.]  hat  im  Falle  [254.  3)  und  4)] 
vier  reelle  Wurzeln  [223.  3)]  von  der  Form  [253.  III.]. 


eifter  vorgelegten  biquadratischen  Gleicfmng,  57 

Man  erhält,  hat  man  einen  Werth  von 

1)  »  =  2« 
gefunden,  aus  [253.  IlL]* 

2)  «'-'^  =  4' 

3)  a«  +  j3«  =  c-2a«, 
daher : 


4)  -Vfi+5-- 

5)  ^=V-c+i-'- 


258. 
Ist  die  gegebene  Gleichung: 

so  geschieht  die  Beurtheilung  der  Wurzein  ganz  so,  als  sei  6 
positiv  [253.],  nur  ergeben  sich  die  Wurzeln  mit  entgegengesetz- 
ten Vorzeichen  [219.  4)]. 

Ihre  Formen  sind  daher,  nach  [253.]: 

Für  IL : 

und  es  ist,  wegen  a<J?,  die  eine  reelle  Wurzel  negativ,  die  an- 
dere positiv,  und  zwar  ist  der  absolute  Grussenwerth  der  nega- 
tiven Wurzel  kleiner,  wie  der  absolute  Grussenwerth  der  positi- 
ven Wurzel. 

259. 
Ist 

6  =  0, 
also  die  gegebene  Gleichung: 

1)  0=-a-C3^2i  +  3^4, 
ao  sind  die  drei  Werthe  von  (]$«)  [254.]: 

2)  0,    +0+2^/"^,    ^c-W^^a, 


58  Ker%:    (Jeber  die  BeuriheUung  der  Wurzeln 

daher  bat  Gleichung  1)^  stete  zwei  imaglDäre  und  swei  reelle 
Wurzeln.  Sie  selbst  ergeben  sich,  [analog  241.  4)],  wie  in 
[231.  IL]  mit  Berücksichtigung  des  unteren  Vorzeichens  von  e, 

260. 

Wenden  wir  das  bisher  Abgehandelte  auf  einige  Zahlen-Bei- 
spiele an. 

Es  sei  gegeben: 

1)  0=  +  4I+55y,+29yi*f  82(i»  +  yiS 

man  soll  die  Wurzeln  dieser  Gleichung  beurtheilen. 

Setzt  man: 

so  ergiebt  sich: 

3)  0=-l  +  3y  +  5ya+y*. 

ah  o 

I 

Das  vorliegende  Beispiel  ist  also  nach  [239.]  zu  beurtheilen,  und 
Gleichung  3),  und  mithin  auch  die  gegebene  Gleicbmigy  haben 
zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

Als  Gleichung  für  QS^)  ergiebt  sich,  nach  [240.  1)] 

4)  ü=-9+29()$a)  +  10(»*)«  +  (»«)'. 

Hieraus  findet  sich: 

»«  =  0,2821243 
»  =  2a  =  0,5311536 
a  =  0,2655768 
«  =  2,322621   J  .  ^ 

ß  =  0.5034^78  I  "**=''  t^-^- 

Daher  sind  die  vier  Wurzeln  der  Gleichung  3)  nach  [239.  II.]: 

+  0,2655768 ± 2,322621  V^=l;    —0,7690746;    -|-0,2379210; 
und  mithin  die  der  gegebenen  1): 

—  1,7344232 ±2,322621  V^;    —2,7690746;    -1,7620790. 

§ 

261. 
Es  seien  die  Wurzein  der  Gleichung: 


einer  vorgelegten  biquadratiichen  Gletclamg.  59 

1)  0  =2  +  14yi  + 1%,»  +  4yi»  +  y,« 

za  beurtheilen.    Setzt  man: 

so  ergiebt  sich: 

3)  0=— 3-2y  +  6y«  +  y4. 

m       h         e 

Der  vorliegende  Fall  ist  also  nach  [241.  beziehungsweise  239.] 
zu  beurtheilen.  Die  transformirte  und  mithin  auch  die  gegebene 
Gleichung  haben  also  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

Als  Gleichung  für  (]$•)  ergiebt  sich,  nach  [240.  1)]: 

4)  0=— 4  +  4803«)  +  12(»«)«  +  (»«)8, 
und  da  hier  offenbar  der  Fall  [9.  8)]  vorliegt,  so  ist: 


05«)==— i.  12 +iV27.4+ 12»  =-4  +  1^/^1836  =  0,0816551, 

»  =  2a  =  0,2857535, 

a  =  0,1428767, 

.  «  =  2,5534163, 

ß  =  0,6921746. 

Daher  sind  die  vier  Wurzeln  der  Gleichung  3)  nach  [241.]: 

—0,1428767±  2,553415  V^Ti , 

—0,5492979, 
+  0,8350513, 

and  mithin  die  der  gegebenen  Gleichung  1): 

— 1,1428767  J:  2,553415  V"^ , 
—  1,5492979, 
—0,1649487. 

262. 
Es  seien  die  Wurzeln  der  Gleichung: 

1)  0=+200  +  2(%,  +  78y,*+14y,»+yi4 
zu  beurtheilen.    Setzt  man: 

2)  3^i=-i  +  ^, 
so  ergiebt  sich: 


60  Ker%:  üeber  die  Beuriheilung  der  Wurzeln 

3)  0  =  +  5,3125 — % + 4,5^2 + y«. 

a  he 

Der  vorliegende  Fall  ist  also  nach  [238.  beziebungswei 
zu  behandeln.  Die  Gleichung  hat  mithin  entweder  vier  \t 
Wurzeln,  oder  zwei  imaginSre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

Als  Gleichung  för  (TS^)  ergiebt  sich,  nach  [234.] : 

4)  0  =-9-(»*)+9(»«)«+  (»«)». 

Die  drei  Wurzeln  dieser  Gleichung  Gnden  sich: 

5)  (»)*=  +  !,    (»)«=-!,    (»)«  =  -9; 
daher: 

6)  h=±l.    »=±V"^,    ^  =  ±i^^l, 

und  hieraus  ergeben  sich  die  vier  Wurzeln  der  Gleic 
nach  [232.  3)]: 

7) 

_i_\r=i-3V=T    — i+V^I+3>^— 1    +1— V^+ 

2 '  ^2  T'  2~ 

+  1  +  V^1-3V^. 
2  ' 

nSmlicb,: 

8) 

-i-.2V^-iT,   -i+2V^=l,   +i+Vzri,    +i~v 

welche  Wurzeln  den  Formen  [238.  I.]  entsprechen. 

Wäre    in    Gleichung    3)    der  Werth    von    b   positiv 

1  9  S» 

negativ,   so  hätten  wir  die  Werthe  von  Hi.Tii  16  mit  et 
gesetzten  Vorzeichen  anzusetzen   und  die  vier  Wurzeln 
sich  ergeben: 

+  i+2V^^,    +i-2V^~l,    -i-V^— 1,    _j4 

« 
Aus  2)  und  8)  ergeben  sich  dann  die  vier   Wurzelr 
chung  1)  nämlich: 

10)  — 4±2V^:n,     -3dbV^. 


o=_ 


<  (>^ 


|l>ie  Gleicbungi 


•  toAyilitf 
*<«  Itlelcft' 


,«»>• 


I,  1    .  ''■ 


„l^"*""',' 

IT  .'.?•;:'■: ,  „ 


'■\\' 


,  „..,.*  '»•>  »*"* 


60  Ker%:  üeber  die  Beurinct*u^„ 

3)  0  = + 5,3125 — 3y  +  4,5^2  +  y«. 

a  ft  c 

Der  vorliegende  Fall  ist  also  Dach  [238.  beziehungsweise  233.] 
zu  behaDdelo.  Die  Gleichung  hat  mithin  entweder  vier  imaginSie 
Wurzeln,  oder  zwei  imaginSre  und  zwei  reelle  Wurzeln. 

Als  Gleichung  för  (]$>)  ergiefot  sich,  nach  [234.]  : 

4)  0  =  -  9  -(»«) +9(»«)»  +  (»«)». 

Die  drei  Wurzeln  dieser  Gleichung  finden  sich: 

6)  (»)•=+!,    (ib)«=-l.    (»)«  =  -9; 

daher : 

6)  jb=±i,  jb=±V^^,  ^  =  ±z^^-i,    , 

und  hieraus  ergeben  sich  die  vier  Wurzeln  der  Gleichung  3) 
nach  [232.  3)]: 

7) 

— 1— v^-3v^^   -n-v:=T4-3v^— I  +i-y^i+3y^ 

-         ,  -        -,  _ , 

+  l  +  V^l-3V^. 

nSmlich: 

8) 

-i-2V^-:T,    -i+2V^=l,    +i  +  V~i,    +i_V^: 

welche  Wurzeln  den  Formen  [238.  I.]  entsprechen. 

Wäre    in    Gleichung    3)    der.  Werth    von    b    positiv  aosll^ 

negativ,  so  hätten  wir  die  Werthe  von  ]$,.)$,  H  mit  entgef^ 
gesetzten  Vorzeichen  anzusetzen  und  die  vier  Wurzeln  wQa||^ 
sieh  ergeben: 

+i+2V'^,  +i_2V^~i,  -i-V^zi,  -i  +  \rr 

o   \ 
Aus  2)  und  8)  ergeben  sich  dann  die   vier   Wurzeln   von 
chung  1)  nämlich: 

10)  -.4±2V^:=1,     -3+V^. 


einer  vorgelegten  M^uadratttehen  Cletehung.  61 

263. 
Es  sei  die  gegebene  Gleichung: 

0=-12±fty-15y«+»«; 

a  c 

man  soll  ihre  Wurzeln  beurtheilen. 

Ans  [254.   1) — 6)]  ergeben  sich   die  Bedingungen  für  sechs 
Fälle: 

1)       -.6«>-676,  d.h.:  +6«<+676,  oder  ±&^±26. 


2) 

>» 

ZIZ 

99 

9» 

99 

—           »9                  J9 

»9 

— "        99 

3) 

» 

< 

99 

J» 

99 

^           99                 9» 

99 

> 

4) 

w 

> 

-784 

99 

99 

<+784  „ 

99 

^±28. 

5) 

99 

= 

»9 

99 

?9 

-^  •       9»                  99 

99 

---        99 

6) 

» 

< 

99 

99- 

99 

^           99                 99 

99 

> 

<    " 

nämlich: 

1 

» 

1)  und  6)  fSr  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln  ["255.]; 

2)  99     5)    „    vier  reelle  Wurzeln,  unter  welchen  zwei  einander 

gleich  sind; 

3)  „    4)    ,,    vier  reelle  Wurzeln. 
Ist  also  der  absolute  Grussenwerth  von 

M>28; 

SO  hat  die  gegebene  Gleichung  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle 
Wurzeln;  ist  aber  der  absolute  Grössenwerth  von 

=  J26 

<(28; 
80  hat  die  gegebene  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln. 

264. 
Sind  die  Wurzeln  der  Gleichung: 


62  Ker%:  üeb«r  dte  Beurthetlung  der  Wurzeln 

0 =  — 12 + S8^—  15y» + y* 

ah  e 

ZU  beurtbeilen«  so  ergiebt  sich^  nach  [263.]^  dass  zwei  derselben 
imaginär  und  die  zwei  aodern  reell  seien. 

Da  nach  [253.]  aufzuloseo  ist,  so  ergiebt  sich,  aus  [254.] : 

0  ="-625+273(»2)-30(»«)«+ (»«)». 
Hieraus  finden  sich: 

(»«)  =  i(fl  =  3,4417676, 
2a  =  1,855200, 
«  =  0,9276, 
ttr=  0,3134654, 
ß  =:  3,65751. 

Daher  sind  die  vier  Wurzeln,  oäch  [253.  für  II.]: 

+  0,9276  T  0,3134654  V^ , 
—4,58511, 

^  +2,72991. 

Wäre  b  picht  -f  25,  sondern  — 25,  so  wurden  die  Wurzeln  sein: 

^0,9276±0,3134654V"^ , 

+  4,58511, 

—2,72991. 


265. 
Ist  aber  die  Gleichung: 

0=:-12  +  26y-%H^*, 

ah  c 


V, 


\ 


welcher,  nach  [263.]  vier    reelle  Wurzeln,    unter    welcheä  zwei 
einander  gleich  sind,  entsprechen;  so  ergiebt  sich  als  Glei^ifhuDg 

fär  (»•):  ' 

0  =-.676+273(»«)  -30(»«)« +(»«)». 

s 
S 

Hieraus  finden  sich:  \ 


»=±2,    3J=  +  V13,    »=±V13, 
und  hieraus,  nach  [232.  3)]  die  vier  reellen  Werthe  von  y: 

-1-V13,    --1+VI3,    +1,    +1. 


\ 
\ 


einer  t>orgeiegten  biquadratiechen  Cleicknng.  63 

266. 
Wäre  die  Gleichong: 

ah  e 

welche  nach  [263.]  vier  reelle  Wurzeln  hat,  aufzatösen«  so  ergiebt 
sich  als  Gleichung  fflr  (B^): 

0  =—729  +  273(»«)-30(B«)«  +  (»«)», 

für  welche  man  erhält: 

(3J«)  =  4aa  =  4,785427, 

2a  =  2,187561, 

a  =  1,093780, 

a  =  3,531981, 

15  =  0,3638529, 

daher  sind  die  vier  Wurzeln,  nach  [253.  für  III.]: 

-  4.625761 
+  2,438201 
+  0,7299271 
+ 1,4576329, 

welche,  wenn  6  das  negative  Vorzeichen  hätte,  mit  entgegenge- 
setzten Vorzeichen  zu  nehmen  sein  würden. 

267. 
Die  Gleichung: 

0=-12  +  28y-%«+y* 

ab  c 

liefert,  nach  [263.],  vier  reelle  Wurzel werthe,  unter  welchen  zwei 
einander  gleich  sind.    Die  Gleichung  für  pi^)  erglebt  sich: 

0=-784  +  273(»«)—30(»«)«+ (»«)», 
und  hieraus: 

»=±4,    »=±V7,    ]6=±V7, 

daher  sind  nach  [232.  3)]  die  vier  reellen  Werthe  von  y : . 

-2-V7,    -2  +  V7,    +2,     +2. 


64  Ker»:  Oeber  die  Beurthetlung  der  Wuneln 

268. 
Dagegen  bat  die  Gieicbnog: 

0=-12  +  29y-%«  +  ^ 

a         h  e 

nach  [263.]  wieder  zwei  imaginäre  und  zwei  reelle  Wurzeln.    Die 
Gleichung  fUr  (»*)  ist: 

0  =  -.841  +  273(»*)  -  30(»«)«+ (»«)». 
Hieraus  findet  sich: 

(»«)  =  4««  =  16,61638 
2a  =   4,076319 
a=   2,038159 
a=:    0,2975987 
ß=z   2,603914; 

daher  sind  die  vier  Wurzeln; 

+  2,038159  ±0.2976987  V=n , 

-4,642073, 

-1-0,566755. 

Diese    Wurzeln    würden   mit  en^gengesetztem   Vorzeichen    zu 
nehmen  sein,  wenn  6= — 29  wäre. 

269. 
Sind  die  Wurzeln  der  Gleichung: 

0=-H2±4y-15^  +  y« 

a  c 

Bu  beurtheileo,  so  ist  der  VonelcheD  wegen,  Fall  [242.]  vorlie- 
gend» und  wegen: 

.(— 15)«>4.12,    nlmlich:    225>48, 

geschieht  die  Beurtheilong  nach  [243.].    Man  erhSlt: 

1)     —  fit  >  —  295,0661874  .^,  d.  h.  -f  ^  <  +295,0561874 ... 

oder  db*>  ±17,17719963.... 

*i)     -4«  =-295,06618:4....,  d.h-  +6*= +293,0561874... 

oder  ±6  =  ±17.17719963.... 


einer  vorgelegten  biguadratischen  Gleichung^  65 

3)      — 6«  <  -. 205,0561874....,  d.  h.  +  6« >  +  295,0561874 .... 

oder  Jf 6  ^  ±  17,17719963 

D&mlich: 

1)  fSr  drei  reelle  positive  Wurzeln; 

2  für  drei  reelle  positive  Wurzeln,  unter  welchen  zwei  einan- 
der gleich  sind; 

3)  für  eine  reelle  positive  Wurzel   upd  zwei  imaginäre  Wur- 
zeln, d.  h.: 

für  den  Fall  1)  hat  die  gegebene  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln, 

2)  hat  die  gegebene  Gleichung  vier  reelle  Wurzeln, 
unter  welchen  zwei  einander  gleich  sind. 


>*  99  99 


/ 


„      „       „     3)  hat  die  gegebene  Gleichung  zwei  imaginäre  und 

zwei  reelle  Wurzeln. 


270. 
Hiernach  entsprechen  der  GleicbuDg  : 
1)  0  =  +12+172,-15y«  +  3^ 

ah  c 

i  vier  reelle  Wurzeln.    Es  ergiebt  sich,  nach  [243.] : 

5  0  =—289  +  177(»2)-.30(»2)a  +  (K*)», 

5 

^  .-woraus  sich  Gndet: 

^  (»»)  =  4««  =r  3,043304 

S;  •              2«  =  1,744506 

[*  ft=:  0,872253 

■-  «  =  3,407580 

*  /}  =  1,366285, 

^    daher  sind   die    vier  Wurzeln    der    gegebenen   Gleichung,    nach 
[242.  IIL] : 

—4,279833 

+  2,535327 
*^  -0,494032 

+  2,238538. 

Dagegen  bat  die  Gleichung: 
ThtiT  XL  V.  5 


k  -- 


06   ftif^ :  Veber  die  BeurthtU,  der  Wur%eln  einer  vorgeL  öiQuaär,  61 

I 

2)  0  =  +12  +  18y-%«+3^ 

a  b  e 

nach  [268.]  iwei  ImagiDfire  und  zwei  reelle  Warzelo.    Nach  \i 
•rgiebt  sich : 

0  =  -324+ 177(»«)-30(]U«)»+(B«)>, 

woraus  sieh  findet: 

(»*)  =  4a<  =  22,884055 

2a  =  4,783728 

a=:  2,391864 

«=   0,319986 

ß=    1,913207, 

d«li«t  sind   die   vitr    Warselo   der  g^dbenen   Gteichong.  i 
(^4i.  filr  11.] 

+ 2*39185470,319986  V=l ; 

—4.905071. 

-0.478657. 


ID. 


mn  R^miisceber. 


■  Sattes  von  dem  Inh.  des  Tetraed.    Qt 


Kaoten,  ihrer  kürzesten  Entferoang  von  einao 
ond  des  Sinus  des  von  thnen  eiugeschlosse 
Winkels; 


rl 


ikannt,  aber  nicht  seht 
I  Folgenden  fuhren  wen 
3r  Aurreiidung    dei 


verhreltet.  Sein  Beneia,  wie  ich 
e,  bietet,  wie  ich  glaube,  ein  gutes 
Lehren    der  analytischen   Geonie>- 


Das  Tetraeder  sei  Ani^iA^A^.     Den   Punkt  Aq  nehme   mlrnJ 
%  Anfang  eines  rechlwinkli'^en  Co ordioaten Systems   der  xyi  an.' 
I  Ebene  Af^AiA-i  sei  die  Ebene  der  xt/  und  A^Ay  sei  der  po- 
ve    Theil    der  Äxe  der  x.    Den    positiven  Theil  der  Ase  der 
I  oebme    man  auf  der  Seile  der  Aze  der  x  an,  auf  welcher  der 
;  Aj,  liegt,  und    den  positiven   Theü    der  Axe  der  i  nehme 
der   Seite   der   Ebene  der  xg  an,  uiif  welcher  der  Punkt 
In    diesem    Coordinatensystenie   seien   die  Coordinaten 
Punkte 

Ao,  A,.  A^,  A3 
I  respective : 

0.0,0;    all,  0,0;    j,,  ya,  0;    x^,  y^,  h- 
Bezeichnet  iinn  T  den  lahalt  des  Tetraeders,  so  ist  offenbar: 

I) T=lxiy^ti. 

Zwei   gegenüberstehende   Kanten  des   Tetraeders   sind   Af,Ai 
A^A^,  welche  vcir  von    jetzt   an    in's    Auge    fassen    wollen, 
ra  nir  sogleich   bemerken,  dass   nach  den  Lebren  der  analy- 
iben  Geometrie: 


,  .  AaA^^  —  Xi,     A^Aa  =  V{xa— x^)^  +  (1/3—^3}^ -i-H* 

Die  Gleichung  einer  jeden  durch  den  Punkt  A^  oder  {x^^) 

tba  Ebene  ist: 

.   .  L(,x—Xs)  +  M(y~ffi)  +  l\t  =  0; 

1  aber  hi  dieser  Ebene  die  Gerade  A^A^  liegen,  so  mnss 
i  auch  durch  den  Puiikt  A^  oder  (x^i/^h)  geben,  es  muss 

■hl.  Soll  nun  aber  ferner  die  Ebene  3)  der  Geraden  AgAi  pa- 
tlM  seil),  80  muss  eine  durch  den  Punkt  A^  oder  (000)  gelegte, 
R  Ebene  3)  parallele  Ebene,  deren  Gleichung  bekanntlieh 


68         Grüner t:    Analytischer  Beweis  eines  bekannten  Salzes 

Lx+My  +  Nz^O 

ist,  auch  durch  deo  Punkt  Ai  oder  (a:|00)  gehen,  es  muss  also 

Lari=0,    folglich    £,  =  0 

sein.  Daher  ist  die  Gleichung  der  durch  die  Gerade  A^A^  ge- 
legten, mit  der  Geraden  AqAi  parallelen  Ebene  nach  3): 

my-yfd+Nz=zO, 

und  nach  4)  ist: 

so  dass  man  also  die  beiden  Gleichungen: 

Nzs  ==— Jl/(;ya— 3^8) 

hat;  aus  denen  sich  durch  Multiplication  unmittelbar  als  Gleichung 
der  durch  die  Gerade  A^A^  mit  der  Geraden  AqAi  parallel  ge* 
legten  Ebene  die  Gleichung: 

oder; 

5) «sCy— ya)  — (^2  — ^3)^  =  0 

ergiebt.  Bezeichnen  wir  nun  die  kürzeste  Entfernung  der  Gera- 
den AqAi  und  AzA^  von  einander  durch  E,  so  ist  nach  einem 
allgemein  bekannten  Elementarsatze  E  das  von  dem  in  der  Gera* 
den  AqAi  liegenden  Punkte  Aq  oder  (000)  auf  die  durch  die 
Gleichung  5)  charakterisirte  Ebene  gefällte  Perpendikel;  folglicb 
nach  den  Lehren  der  analytischen  Geometrie: 

F2^  y2^^3^ 

""(^2-3^3)^  +  ^*' 

also,  weil  unter  den  gemachten  Voraussetzungen  ^2^  's  offenbar 
positive  Grossen  sind: 

6) E= 2^ 


Die  Gleichungen  der  Linie  A^A^  sind: 

^— "^2  __.y^y^  =— i 
^2—^3     y^'-y^        ^' 

und  wenn  also  g),  tj},  %  die  180^    nicht  übersteigenden   Winkel 
bezeichnen,    welche   die  eine   der  beiden  Richtungen  der  Linio 


von  dem  Inhalte  des  Tetraeders.  69 

A^A^  mit  den  positiven  Theilen  der  Axen  der  x,  jy,  z  einsehliesst, 
G  aber  ein  gewisser  Factor  ist;  so  ist  bekaontlich: 

C0S9  =  G(ara— iTa),     cosifF  =  G{y^  —  y^^    cosjf  =— Gzg; 
also: 

woraus:  / 

und  demnach: 

^2 — ^8 

COSCP  =+  '    r  9 

^no,/.  -j- y2--y8 

cos  11/  =  +  — r-  , 

- '^(a;a-X8)«+ (ya-»s)»  + «8« 

COS  Y  -^  -4- 

folgt.    Daher  ist: 

,2  — 


(ya-yaJ'+^s'  • 


*""P   -(a:a-X3)«  +  (ya-ys)*  +  *.«' 
folglich : 

7x  ,     ^|„„ V(^ -■%)'  +  %"      ■        . 

/ 1    .    .    .    .   sio  CD  z:z  ^  r      -~         =  > 

V^(^2~^3)%+  (^2-3^3)^  +  H^ 

also  nach  6)  und  2): 
folglich : 


und  daher  nach  1): 


also  nach  2): 


ö) T'zz:  J/^o-^i.i^a^S'^'Siny» 

welches  die  zu  beweisende  Gleichung  ist. 


70  Wassmutä:    Zur  Lehre  von  der  Integration 


IV. 

Zur  Lehre   von   der   Integration  linearer  Differential- 
gleichungen. 

Von 

Herrn  Anton  fVasstnuth 

in  Prag. 


1.     Heber  die  lategration  der  linearen  BifFerentialgleichug: 
Xny^-)  +  Ä„-iy  («-»)  +  .,..+  ^ly'  +  ^y  =  0. 

Um  die  Integration  in  einzelnen  Fällen  ausfuhren  za  kunneD, 
setze  man  mit  Spitzer  (Stadien  2.  Bd.)  y  voraus  in  der  Form 

(p{u  +  x)  Vduy  wo  V  eine  Funktion  bloss  von  u  bedeute. 

Die  Funktion  q>  werde  bestimmt  durch  folgende  lineare  Differen» 
tialgleichung  («  —  l)ter  Ordnung: 

A„g)(«-i)(:r)  +  Jr„-ig)(«-2)(ar)  +  ....+  ^i9(.r)  =  0. 

Nimmt  man  Xn  als  konstant  an  und  differenzirt  nach  a-,  so  ist: 

+ 1^«-^  +  ^>^""'^(^)  +  ....  +  [^i  +  ^]9>' W  +  ^g>(a:)  -  0. 

Setzt  man  darin  x  +  u  statt  x  und  bezeichnet  dies  dadarcb, 
dass  man  irgend  ein  X  übergehen  lässt  in  ^^  so  erhält  man: 

d3^  —1 
X,<p(")(a:  +  m)  +  if  „-i^(»-i)(a:  +  «)  +  [lE—a + -^]<P^"~^Kx  +  «)  +  .... 

••••  +  [«1  +^]v'(*+«)  +  ^*9>(x  +  «)  =  0. 


linearer  Differentialgleichungen,  71 

Substitairt  man  aber  den  obigen  Ausdruck  für  y  in  die  vor- 
gelegte Gleichung  und  substituirt  statt  Xucp^^^x  ■\-u)  den  aus  der 
letzten  Gleichung  gezogenen  Werth,  so  verwandelt  sich  die  zu 
integrirendo  Gleichung  in  folgende: 

+( Jf„-a-ll^„«a- ^^)9(»-^Ha;+ti)  + .... +( JTo- ^  )<P(^+^^^ 
Genügen  nun  die  X  folgenden  Gleichungen : 

;ro-g=F(a:)(7„; 

vTo  die  V  bloss  u  enthalten  sollen,  so  geht  unsere  Gleichung 
über  in: 

V 

I 

darauf  kann  man  nun  die  Formel  für  theilweise  Integration: 

wo 

für  jedes  einzelne  Glied  anwenden,  und  erhält,  da  sowohl  der 
ausser  als  der  unter  dem  Integralzeichen  stehende  Theil,  jeder 
für  sich,  nach  bekannten  Gründen  gleich  0  gesetzt  werden  muss, 
folgende  zwei  Gleichungen: 

^^»  di^     '^~di^  "-     du^-^     -"' 

....  +  [FI7n.l— ....db      ^^n~2     ]y(^  +  ^)J^    =0- 


72!E!^^^}Wassmutä:    Zur  Lehre  von  der  Integration 

I 

Die  erste  dieser  Gleichungen  dient  zur  Bestimmang  von  F;  die 
zweite  zur  Ermittelung  der  Grenzen  u^  und  %• 

Anwendung  der  allgemeinen  Methode. 

].    Es  sei  zu  integriren: 

Äy"  +  Be'^^y*  +  Ce«^y  =  0. 
Man  findet 

Vi  =  B[l — c«**] ,     Ü^^C—  aBe^ , 

Sind  nun   a,  A,  B,  C  positiv,  so  sind  die  Grenzen  0  und  —od; 
ist  a,  B  oder  C  negativ,  so  sind  sie  0  und  -|-od. 

Anmerkung.     Ist  BzuzO,  so   ist  das  Verfahren  nicht  an- 
wendbar; man  setze  dann  e<>^  =  2,  so  ist 


d'h,     d^        C 


Wie  sich  auf  diese  Gleichung  die  Methode  des  fi  maligen  Diffe-  { 
renzirens   anwenden  lässt,  zeigt  Spitzer    in  seinen  »»Studien   ^ 
über  die  Integration  linearer  Differentialgleichungen. 
1.  Bd.« 

2.    Aehnlich  lässt  sich  behandeln  die  Gleichung: 

1 

Ay"'  +  Be^'y"  +  Ce<^y'  +  De^^y  =  0. 
Hier  ist: 

und 

Setzt  man  nun  6^  =  2 ,  so  ist : 

Unter  dieser  Form  wurde  die  Gleichung  schon  öfter  integrirt 
Siehe  z.B.  einen  Aufsatz  von  Spitzer  in  Schlömilch's  Zeit- 
schrift 1858. 

Ist  jß  =  0,  so  bedarf  man  der  Transformation  nicht»   denn 
dann  ist  173=0,  also: 


linearer  DitTerenäalgletchungen.  73 

du^  du 

3.  Eid  allgemeineres  Beispiel  bietet  uns  die  Gleichung: 

Ay(^)  +Be^y''+  Cef^y'  +  D&^  =  0; 
denn  hier  ist: 

and  folglieh  auch 

f/i  =  f/a  =  .  ♦ . .  =  Dn— 3  =  0, 

und 

Die  Auflösung  dieser  Gleichung  wurde  im  vorhergebenden  Bei- 
spiele angedeutet.  Zur  Bestimmung  von  g>(x)  dient  eine  der  obi- 
gen ähnliche  tileichnng  der  (n  —  l)ten  Ordnung. 

4.  Man  sieht  nach  dem  Bisherigen  leicht,  dass  die  allge- 
meinste mittelst  dieser  Methode  zu  integrirende  Gleichung  sein 
wird : 

....  +An-^zy^+An^2e^'y"+An-^ie^'y'  +  Ane^y  =  0, 

denn  dann  ist: 

Ui  =  Ü2  == =  üji-3  =  0,     Un  =  An—aAn-ie^'', 

ün-1  =  An-1  —  (i<n-l  +  ail»-a)e««*  ,       Dn-a  =  2in-2[l  —  e««] ; 

>   das  Uehrige  wie  in  3. 

IL    btegration  der  Uneurea  Differentialgleiehungs 

* 

Mail  setze«  fihnlich  wie  Petzval,  y  voraus  anter  der  Form: 
tf 

!d^      jr        ) 
T-5[e*^F](    9  wo   V  eine  blosse  Funktion  von  u  sein  soll 

«od  nach  der  Differentiation  a  statt  u  zu  setzen   ist.     Man   hat 
laher: 

5* 


,■1 


74    Waamuth:    Zur  Lehre  ton  der  Integrai.  linearer  DifferenüaliL 

Verf&hrt  man  nao  nach  Spitzer,  indein  mao  diese  Gleichang 
identisch  zu  machen  sucht  mit  folgender: 

setzt  also 

wobei  X  eine  neue  Funktion  Ton  u  ist,  so  erhält  man,  wenn  man 
die  Coeffizienten  gleicher  Potenzen  von  a:  einander  gleich  setzt, 
folgende  zwei  Gleichungen: 

Vla^rhfi^aiTU  +0^]  =  (m— a)z, 

daraus  ergibt  sich: 

wenn 

iH  =  a^r'hfl^airu  +  Ho    und    ZV=  (a^Kr  + 1)— ftir)te+6o 

ist. 

Diesen  Ausdruck  von  F  in  y  substituirt,  erhielte  man,  da  k 
positiv  sein  muss,  für  y  den  Werth  ^  =  0.  Man  kann  aber  a 
so  wählen,  dass  a  eine  Wurzel  der  Gleichung 

M=2  a^rhfl — Oiru-t-Oo  =  0 
ist. 

Setzt  man  also  M  von  der  Form  ^  =  Osr^Cu  —  «X^  ~~  A 
voraus,  so  geht  y  über  in: 

welcher  Ausdruck  nun  nicht  mehr  für  u  =  ir  den  Werth  0  erhält 
Einen  ähnlichen  Werth,  das  zweite  partikuläre  Integral,  erhielte 
man,  wenn  statt  u  die  zweite  Wurzel  ß  ebenso  behandelt  würd«. 


Tfaeorie  der  Flächen  des  zweiten  Grades. 


dem   Herausgeber. 


Elaleltung. 

So  oft  nnd  so  Tielfach  auch  die  Theorie  der  Flächen  des 
eweiten  Grades  schon  entwickelt  worden  ist;  so  lassen  doch  alla 

!se  Entwickelungen  noch  Klatichos  zu  nünacheD  fihrig,  und  eine 
neue  Entwlckelung  der  genannten  wichtigen  und  so  höchst  tnter- 
essauten  Theorie  ist  nach  meiner  Meinung  aus  verschiedenen 
Gründeu  keineswegs  ubecflüssig;  inshesondeie  werden  die  be- 
treffenden Formeln  meistens  in  vjel  zu  wenig  völlig  entivickelter 
Gestalt  dargestellt,  so  dass  gewöhnlich  noch  mannigraltige  Coor- 
dinatentransrormationeti  nöthig  sind  ,  nenn  man  von  diesen  For- 
meln zu  vviriclichen  Anwendungen  derselben  übergehen  will.  Meine 
näcfaste  Absicht  hei  der  vorliegenden  neuen  Uarstellung  der  Theorie 
der  Flächen  des  zweiten  Grades  in  ihren  wesentlichsten  Tbeileo 
ist  daher:  alle  Formeln  in  so  vollständiger  Entwickelung  darzu- 
stellen, dass  ein  unmittelbarer  Ueborgang  von  den  allgemeinen 
Formeln  zu  der  Anwendung  derselben  auf  besondere  Falle  mit 
Leichtigkeit  müglicb  Ist,  wohei  sich  denn  auch,  was  man  gewiss 
auch  ohne  besondere  Erinnerung  von  meiner  Seite  nicht  übersehen 

:ä,  manches  Nene  von  einiger  Bedeutung  ergeben  hat.  Freilich 
w5re  es  wünschenswerth,  diese  wichtige  und  in  allen  Beziehun- 
gen höchst  interessante  Theorie  ganz  allgemein  für  jedes  belie- 
bige schiefivinklige  Coordinatensystem  zu  entwickeln;  und  wenn 
dies  nun  natürlich  auch  nicht  unmöglich  ist  und  wesentlichen 
analytischen  Schwierigkeiten  nicht  unterliegt:  so  fallen  doch  die 
betreffenden  Formeln,  wie  ich  gefunden  habe,  so  verwickelt  aas 
dftss  ich  es  —  weitere  Untersuchungen  mit  vorbehaltend  —  föt 
jetEt    vorgezogen    babe,    bei    rechtwinkligen    Coordioaten    stehen 


76        .  Grunert:    Theorie  der  Flächen      " 

zu  bleiben 9  und  nur  im  Allgemeinen  zu  zeigen^  wie  man  sich  a 
verbalten  haben  würde,  um  den  Fall  schiefwinkliger  Coordinateii 
auf  den  Fall  rechtwinkliger  Coordinaten  zurückzuführen^  wenn  die 
Gleichung  der  krummen  Fläche  in  schiefwinkligen  Coordinatee 
gegeben  sein  sollte,  hoffe  aber,  wie  schon  erinnert,  auf  diesen 
Gegenstand  später  zurückzukommen. 


Erstes  Eapitel. 

Transformatioii  der  allgemeinen  Gleichung  der   Flachen  des  sweitei 
Clrades^  nnd  ferschiedene  Arten  dieser  Flächen. 

§.  1. 
Die  allgemeine  Gleichung  der  Flächen  des  zweiten  Grades  ist: 

1) 

wobei  die  Coordinaten  x,  y^  z  rechtwinklige  oder  schiefwinklige 
Coordinaten  sein  können;  hier  aber  betrachten  wir,  wie  schoe 
in  der. Einleitung  erinnert  worden  ist,  wenn  nicht  etwas  Änderet 
besonders  bemerkt  wird,  durchgängig  nur  rechtwinklige  Coordi- 
naten. 

Wenn  wir  von  dem  rechtwinkligen  Systeme  der  xyz  zn  einem 
anderen  beliebigen  rechtwinkligen  Systeme  der  XiyiXi ,  dessen 
Anfang  durch  die  primitiven  Coordinaten  f,  g,  h  bestimmt  ist, 
übergehen  wollen;  so  müssen  wir  nach  der  Lehre  von  der  Vef- 
Wandlung  der  Coordinaten  in  die  Gleichung  1)  für  x,  y,  z  die  fol« 
genden  Ausdrücke  einführen: 

2) 
x=:f+Xi  cos  (xxi)  +  yi  cos  (ory, )  +  Zi  cos  (xzi) , 
y  =  ^  +  ^1  cos  (yxi)  +  yi  cos  (yyt )  +  Zi  cos  (yz^) , 
z  =  A  +  a:i  cos  (zxi)  +  yi  cos  (zy,)  +  Zj  cos  {zzi) ; 
wo  zwischen  den  Winkeln 

{xx{),  {xy{),  {xz{)\     (yxi),  {yy{)y  (yz^);     {zx^),  {zy{),  {zz{)\ 

deren  Bedeutung  hier  als  bekannt  vorausgesetzt  werden  kaon; 
bekanntlich  die  folgenden  Gleichungen  oder  Relationen  Statt  finden: 


ij 


des  zweiten  Grades,  77 

3) 
cos  (a:a?i)^  +  cos  (yxi)^  +  cos  {tXi)^  =  1 , 
cos  {xy{f  +  cos  (yyi)«  +  cos(zyi)»  =  1 » 
cos  {xxi)^  +  cos  (y^i)®  +  cos  (zii)^  =  1 ; 

cos  (pcxi)^  +  cos  {xyiJ^  +  cos  (arii)^  =  1 , 

cos  (ya:, )«  +  cos  {yyi )®  +  cos  (y^i  )*  =  1 , 

icos  (lOTi)*  +  cos  (i^i)^  +  cos  (mi)*  =  1 ; 

cos  {xxi)  cos  {xyi )  +  cos  {yx^)  cos  (^^i)  +  cos  {zxi)  cos  (x^i)  =  0, 

cos  {xyi)  cos  (arzi)  +  cos  {yyi)  cos  (^Zj)  +  cos(z^i)  cos  (zii)  =  0 , 

cos  {xzi)  cos  (a:a7i)  +  cos  (yz^)  cos  (yj^i)  +  cos  (zzi )  cos  {zx{)  =  0; 

cos  (xxi)  cos  iyxi)  +  cos  (a?yi)  cos  iyyi)  +  cos  (a:zi)  cos  {yz^)  =  0, 
cos  (ya:i)  cos  (zxi)  +  cos  (y^i)  cos  (zyi)  +  cos  (yzi)  cos  (zzi)  =  0 , 
cos  (zic{)  cos  {xxi)  +  cos  {ly-i)  cos  (^^i)  +  cos  (zzi)  cos  {xz^)  =  0. 

Wenn    wir   nun    die  Ausdrücke  2)   von   x,  y,  z   in  die  Glei- 
chung 1)  wirklich  einführen^  so  wird  dieselbe: 

4) 

^\f+Xi  cos  (xxi)  +  yi  cos (xyi)  +  Zi  cos  (xzi) ] * 
+  ß{^  +  XiCos(yxi)-i-yi  cosiyy^)  +  z,  co8(^Zi)P 
+  C{h  +  xi  cos (zoTi)  +  yi cos (z^i)  +  z^  cos (zzi)  1« 

+  2/>  t  /"+  a?!  cos  (Ä-a?i)  +  yi  cos  (ar^i)  +  Zi  cos  (:rzi) ! 
X{^  +  a:i  cos  (yxi)  +  yi  cosCyy^)  +  z^  cos (yzi) } 

+  2E  ig  +  Xi  cos  (yxi)  +  y^  cos  (yy^ )  +  Zj  cos  (yzi)  | 
X(  Ä  +.ri  cos (za;i)  +  yi  cos (zy,)  +  Zj  cos (zz^) } 

ff 

+  2F{  h-t-Xi  cos  (z^Tj)  +  yi  cos  (z^i)  +  zi  cos  (zzi) ) 
Xt  /"  +  071  cos  (xxi  )+yi  cos  (a:^i )  |  Zj  cos  (a?zi ) ) 

+  26r{ /  +  0^1  cos  (xxi)  +  yi  cos  (xyi)  +  Zi  cos  (arzi) } 
+  2H{g  +  Xi  cos  (yarj)  +  yi  cos  (y^^i)  +  Zj  cos (yz^)  \ 
■i-2J{h  +  Xi  cos  (zxi)  +  ^1  cos  (z^i)  +  z^  cos  (zz^)  j 

oder«  wenn  man  diese  Gleichung  nach  Xi,  yi,  Zi  gehörig  ordnet: 


78  '  Gruneri:    Theorie  der  Flächen 

5): 

A  cos  (xx{^  +  £cos  {yx{^  +  Ccos  (xxi)* 
-f  21>cos(drX|)co6(y:r|)-|-2JEcos(jrX|)co8(zd:,)^  Xi* 

|-f  2F  cos  (2j;i)  cos  (xjti) 

J  cos  (jryi)*  +  Äcos  (sfafi)» + Ccos  (ijfi)* 
-|-2Z>cos(j^)cos(si3fi)+2iE:co8(3fyi)cos(zjri)  ^  3fi* 

+  2Fcos  (zji{)  cos  (xy j) 

J  cos  («i)« + Ä  cos  (^)*  +  Ccos  (zz,  )• 
-f- 21> cos (dP2i)  cos (3fii) + 2JB  cos (^)  cos  (221)   }  xi* 

+  2Fcos(xri)cos(jni) 

+2Mcos(xXi)cos(jf3fi)+Bcos(3fjfOcos(3fy,)+Ccos(iXi)co8(zyi)\ 

4- ll[cos  (jrjTi)  cos  (yyi) -f  cos  (jf3f^)  cM(3Mri)]  f 

-f£[cos(3^|)cos(23ri)-f«>«(jf3ri)cos(»i}]  l**^ 
-fF[cos(:;r,)cos(jry,)-|>co8(zyi)cos(xxi)]  ] 


4^2(Jcos(jryi)co8(jr:i)^^cos(jf3fi)cos(jf:,)-|-Cco8(zgfi}co8(:2i)j 

-f  D[cos(jr5i)cos(jfz,)-fcos.(jr:i)cos(j3f,)]  f 
+£[cos(jrjfi)cos(rri)+cos(jfx,)cos(r3r,)]    ^ 
-ffXcos(rjfi)cos(jr:i)-fcos(z:i)cos(jryi)]    ) 

+  ä;  Jco6(ar2,)eos(xx,)+i?co6(jf:,)cos(3Mri)+Ccos(2ri)cos(sjri)'i 


m)]/ 


+  l^cos  ( jrsi )  c  OS  (jfdT, ) -I- cos  ( j:X|  )  cos  (jrri 
-|-£[cos(5:|)cos(zjri)-fcos(jrjr|)cos(s:,)]  i  **  * 
+  ^cos(iri)cos(xx,)  +  cos(iri)cos(jr2i)]   ) 

-f  2:J/cos(jrjri)-f^^cos(5jri)  +  Cftcos(:Xi)  . 
+  J){fcos(jßjrO  +^co6(jrjri)]  I 

-f  i:[^cos(:X|)-hAcos(5Xi)]  >  xj 

+  fT*cos(xx,)+/cos{ir,)]  \ 

-f  &cos(xx,)-h£rcos(yxi) -i- Jcos(^i>  / 

-fi:J/cos(X3ri)  +  i?^cos(j9,>-fOlcos(r5i}  ^ 
-f  Z)[/coi$(53Fi)<f  y  cos  (xjTi)] 
-h  ^co«(^) -fAcos(jyi)] 
4^ /IAc«s(xy^)  ^/CQS  (^)] 
+  C  oasixjfi)  +  f  COS  (jOTi)  +  Jcos^rji^) 


des  zweiten  Grades.  79 

+  2(  Afcoa(xxi)  +  BgcoB(yzi)  +  Ch  cos  (zzi) 
+  D\fcoa  (yxi)  +gco8  (ar^i)] 
+  E[g cos  (Ml )+hcos  (yzi )] 
+  F[Acos  (xzi)  +  /"cos  (221)] 
+  G  cos  (arzi)  +  ^cos  (yzi  +  Jcos  (mj  ) 

't^A/^  +  Bg^+Ch^  +  2Dfg+2Egb^2Fhf+2Gf+2Hg+'lJh+K  =  0. 

Alle  weiteren  Transformationen  der  Gleichung  l)  kommen 
nnn  darauf  zurück,  diese  letztere  Gleichung  5)  durch  zweck- 
mässige Bestimmung  der  primitiven  Coordinaten  f,  g,  h  des  An- 
fangspunktes des  Systems  der  XiyiZi  und  der  Winkel 

(xari),  {xyi),  {ücz{)\     {yx{)y  (yy{),  (yzi);     (zxi),  {zy{)y  (22,) 

femer  so  zu  transformiren^  dass  eine  muglicbst  grosse  Anzahl  von 
Gliedern  derselben  wegfä^t  oder  verschwindet^  unter  welchen 
Transformationen  die,  welche  wir  in  dem  nächsten  Paragraphen 
weiter  besprechen  werden,  zuvorderst  die  wichtigste  ist. 


§.  2. 

Die  Gleichung  5)  wollen  wir  jetzt  weiter  so  zu  transformiren 
Sachen,  dass  die  Glieder  derselben,  welche 

^lyi»  VlHf  H^l'y     •''^l»  tfly  H 

enthalten,  sämmtlich   wegfallen  oder  verschwinden,  zu  welchem 
Ende  wir  die  Cordinaten  f^g^h  und  die  Winkel 

(ararj),  {xyx)y  (^«1);    (^^i)>  (^.Vi)»  (y^i);    (w?i)>  (*yi)>  (*«i) 
so  bestimmen  müssen,  dass  die  Gleichungen: 

6) 
Jcos  (xx{)  cos  (aryi)  +  Bcos  {yx{)  cos  (lyyi)  +  C  cos  {zxxi  cos  (2^1) 

+  Z>[cos  {xxx)  cos  (y^i)  +  cos  (ar^i)  cos  (ya?i)] 
+  £[cos  (yoTi)  cos  (2^1)  +  cos  (yy,)  cos  (2ari)] 
+  F[cos  {,zx{)  cos  {xy^  +  cos  (2^1)  cos  {xxx)\ 
=  0, 


•  ^ 


+ />[e«i  rjrji)  CÄ  Tf^i)  +  CO«  (arj^i)  cos  (jfzj)] 
+  fj[co#f3rx|)co«{«|)  -t-CMCrart)  co6(2z^)] 
+  /Xco»(«i)«»(^^i)+«»(Mri)co8(«i)] 

llffrt! 

7) 

+  />[/'co«  (yxi)  +  g  cos  (ararO] 

•f  E\jf  cos  (zari)  +  h  cos  (yari)] 

-I  F[ÄC08  (a:ari)  l/cos  (zari)] 

+  Ccos  (xxi)  +  i5f  cos  (^a7i)  +  J  cos  (za:i) 

=  0, 

.</>««  Crj/i)  +  %cos(y.yi)  +  CAcos(z3(i) 
+  />l/cos(^i^i)+5^cos(a:^i)] 
+  A  1>  CO»  (:y, ) + Ä  cos  (yyi)] 
+  flAco*^rjfi)+Aos(23fi)] 
>  (•  ctMi  ^rjfi)  +  flcos  (yjfj)  +  Jcos (x^^) 

,  V  v^^"*  i^ 'i  H  Ä^i  <^<^  vy-i)  +  ^-*  ^s  (kj) 


des  zweiten  Grades,  81 


oder: 


7*) 

( ^/•+  %  +  FA  +  G)  cos  (aroTi) 
+  (Df  +  Bg  + Eh +H) 008(^x0  J=  0, 
+  (F/'+i;5r+ CA +  J)  cos  (zoTi) 

( J/^H-  Dff  +  Fk+  G)  cos  (:«;3^,) 
+  (Df +Bg-t- Eh +  H) cos (yyi)  ^  =  0, 
+  (F/-+%  +  CA  +  ./)cos(zjP|) 

( J/'H-  />5r  +  Fh  +  G)  cos  (:rz| ) 
+  (Df+Bg  +  Eh  +  H)co6(yzi)  }  =  ü 
+  (F/'+  F^r  +  CA  +  J)  cos  (zii) 

erfSIlt  werden. 

Mit  der  Auflösung  dieser  beiden  Systeme  von  Gleichungen, 
nämlich  der  Gleichungen  6)  und  7^),  wollen  wir  uns  nun  in  den 
folgenden  Paragriaphen  beschäftigen. 

§.  3. 

Was  zuerst  die  Gleichungen  7*)  betrifft^  so  sind  diese  Glei- 
chungen sämmtlich  im  Allgemeinen  erfüllt,  wenn  man  die  Coor- 
dinaten  f,  g,  h  mittelst  der  drei  Gleichungen  des  ersten  Grades: 

8) 

Af+Dg+Fh  +  G=.0, 
Df+Bg  +  Eh+H=iO, 
Ff+  Eg+  CA+J  =  0 
bestimmt 

Zu  dem  Ende  multiplicire  man  diese  drei   Gleichungen  nach 
der  Reihe  mit: 

E^—BC  CD—EF  BF-^DE 

CD--EF  F^-CA  AE^FD 

BF'-'DE  AE'-FD  D^^AB 

reiche  Factoren  die  folgenden  sechs  Grössen  sind : 

D^—AB,    E^--^BC,     F^^CA; 
AE-FD,    BF --DE,    CD^EF-, 

•rUeil  XI.V.  ß 


f«2  Crumert:    Tkeortt  der  naeke» 

ood  addire  fieMlbeo  dann  n  einaoder.  ao  ist,  freil; 
J(JE» —BQ^mCD-  EF) + /"(BF -  DE) 
=  J£«+ ÄF»+  CO'—ABC—2DEF. 
D(E^—BQ-^B(CD—EF)+EiBF-DE)  =  0. 
FlE'—BQ+ElCD—Ef^+CiBF—DE)  =  0; 

AifiD—EF)  +  D(F«—  C/O  +  FiAE—FD)  =  0, 

DiCD—EF)  +  B(F*—  Cil) +i;(^£— FD) 

=  ^£«  +  ÄF« + CI>»— ^Ä6 — 2J!)1;F, 

F(CD—EF)  +  £(F«—  C4)  +  C(AE—FD)  s=  0; 

A{BF—DE)  +  D{i<£— FD)+FCI>»— i<Ä)  =  0, 
D(ÄF  -  DJE) + B{AE—FD)  +  £(/)«  -  AB)  =  0. 
F(ÄF— Z)£) + JS{^£;—  FD)  +  C(D*—  AB) 
=  AE'+BF»^  CB*  -  ABC—IDEF 


iat: 


also: 


9) 
(i<£«+  ÄF*  +  CD'~-ABC-2DEF)f 

s=-'{G(B'—BC)  +  B(CD'-EF)  +  J(BF'-DE)\, 

(AE»+BF»+  CD*—ABC—2DEF)g 
=  -[G(CD-'EF)+ja(F*—CA)-^J(AE—FD)\, 

(AE*  +  BF^-^  CD*  -  ^IfiC  -  2D£F)A 
=i~{G(BF—DE)+BiAE—FD)  +  J{L»-AB)U 

10) 

C(Ea  -  gQ  +  H(CD  -  EF)  +  J(BF  -  DE) 
' AE^  +  BF*  +  CD* — ABC—2DEF 

—      fiJCD—EF)  -i-  H{F*—  CA)  +  J(AE—FD) 
^  ~  "~        ^f;« + BF*  +  CD*  -  ABC— tDEF 

.  _      G{BF—  DE) +H(AE—FD)  +  J(D*— AB) 
A£*+BF*+CD*'-ABC-2DEF        ' 


des  zweiten  Grades.  83 

welche  Bestimmung  der  Coer^inaten  f,  g,  h  aber  nur  dann  mit- 
tetet §ndlic)ier  völlig  bestimmter  Ausdrucke  möglich  ist«  wenn  die 
Bedingung: 

H) 
erfüllt  ist»  d.  h.  wenn  die  Grosse 

nicht  verschwindet. 

Setzen  wir  unter  dieser  Voraussetzung: 

12) 

a  =  Ap+Bg*+  Ch*+iDfg+2Egh-i-2Fhf+'2Gf+2Hg+2Jh+K, 

so  ist: 

Ä=    (Af+Dg  +  Fh+G)f 
■^(Df+Bg  +  Eh  +  H)g 
+  (F/+  Eg+Ch  +  J)h 
+  Gf+Ilg  +  Jh+K 

and  folglich  nach  8): 
13) SlszGf+Hg  +  Jh  +  K, 

also  nach  10): 

14) 

GlGiE'-BQ  +  HCCD—Ef^  +  JiBF—DE)] 
+  H{  G(CD—EF)  +  Ä(F>—  CA)  +  JiAE—FD)  \ 
+  J{  G{BF—DE)  +  H(AE—FD)  +  J{D^  -r  AB)  i 
—K{AE^  +  BF^^Cm-ABC—WEF) 


oder: 


Ä=— 


AE^-\-BF*-{-  CD'—ABC—iDEF 

15) 

G^{E*-^BC)  +  HHF^-CA)  +  J^I^-r^B) 

+  2  GÄ(  CD—EF) + 2BJ(AE — FD) + 2JGiBF—DE) 

^K(AE»+BF^  +  Cn»—ABC—2DEF) 

AE»+  BF^  +  CD*—ABC—2DEF 

6* 


184 


w 

^^^  Die  Bedeutung  dos  Punktes  (fgh).   Insofern  es  einen  at 

r  Punkt   wirklich   giebl,  für  die  krumme  Fläche  wollen  wi 

I  folgenden  Paragraphen  nfiher  kennen  211  lernen  sucheo. 


Grunerf:    neorle  der  Flachen 


§.  4. 


Unter  dem  Mittel[)unkte  der  durch  die  Gleichung 

wo  jetit   xyz   beliebige  schierwinblige   ''oordinaton   sein 
charakterisirten    Fläche    des    »weiten    Grades    versteht    man  j 
Punkt,  welcher  alle  durch   ihn    gelegten  Chorden  dieser  1 
halbirt,  insofern  es  einen  solchen  Punkt  gieht.     Indem  wirg 
suchen,  diesen  Punkt  zu  bestimmen,    sei  (jkw)  ein  ganz  l 
ger  Punkt,  und 

seien    die  Gleichungen  einer  beliebigen,  durch  diesen  Punjq 
legten  Chorde  der  gegebenen  FIfiche  des  ziveiten  Grades,  < 
dieselbe   in    den   Punkten   (x^y^I^)    und   {x^y^^'i)   treffen   niaf 
dass  wir  also  die  beiden  Gleichungen: 

Ar,»+  ßy,H  Ci, "+20^,^1  +2Ey,i,  VH\xi\ 

+  2G'3:i+2%,  +  2J:,  +  ä( 

+  2G3:a+2fl>,  +  2^i,  +  Ä:i 

so  durch  Subtraction  dieser  Gleichungen  die  Gleichung 

+  2D(a.,ff,-«^,)  +  2E(y,ri-j,jij)+2r(ii3r,-ija:,)( 
+  2GC3:i-a:a)  +  2fl(y,-yj)  +  2^(1,-13)  ) 

pliaben.    Setzen  wir  nnn; 

4(a:, +a;i)  =  p,      i(y, +ya)  =  9,  4(1, +  11)  =  r; 

ÜXi—x^^Pi,     4(yi— yi)  =  9i.  i(j,— :j)  =  r, 
3  man  leicht  findel: 


r  +  r,; 


des  %tcei'/en  Grades.  85 

3^1  ^1 — y^H—  (9'  +  9'i)(^+n)--(9-^i)(^-ri)  =2(^i+r7i), 
«1^1  —  «2^2  =  (r  +  ri)(/?  +  /^|)  -  (r— ri)(/?— />i)  =  2(r/?i  +/>ri); 
also   nach  dem  Obigen: 


i+»*^i)+^(ri»i+pri)1 


Nun  Ist  aber  nach  dem  Obigen  ferner: 

y«— »=  G'(ara--w),    ia~w=  G"{x2—u)\ 
also: 

yi  — y«  =  G'(a?i  — a?2),    2i  — 2:2  =  ^"(^1  —^2); 

oder  nach  dem  Vorhergehenden: 

und  daher: 

Appi+BG'qpi  +  CG"rpi 
.  +  A?+  G'p)/>,  +E(G'r+  G"q)pi  +Fir+  G"p)pi  J  =  0, 
+  Gpi  +  HG'pi  +  JG>i 

also: 

Jj»  +  BG'q  +  CG"r 
+  D{q  +  G'p)  +  JS(  G'r  +  G"9)  +  F(r  +  G"p)  [  =  0 , 
+  G  +  HG'+JG" 
oder: 

i^p  +  Z)^  +  Fr  +  6' 
+  (/>p+B9+£r  +  ^)G'^  =0, 
+  (Fp+£9  +  Cr  +  J)G" 

■ 

wobei  man  zu  bemerken  hat,  dass  offenbar  pi  nicht  verschwin« 
den  kann^  weil,  wenn  dies  der  Fall  wäre»  nach  dem  Obigen 
*i  — ^2  ^==  0,  also  auch  ^i  — y^  =  0,  z^  —  ij  =  0,  und  folglich 
jr|=ar2>  ^1=^2»  2:1  =22  sein  wurde»  die  Punkte  (a?|^iZi)  und 


TAeortt  der  Flächen 


(2-^2*3)    '■'bo  ■neammen fallen    oder   ideDliech 
nun    [ttew)   der  Mittelpunkt   unserer  Fläcli< 
bar  Dothirendig,    dass   uaabhäng)^    von  be 


1   würden, 
so  ist  es  ( 
(imoiten  WertbeatJ 


^p  +  Oy  +  fV+G 


^it+Oo  +  F'iD+G 
+  (Ö«  +  Bp  +  £w  +  fl)G' 
+  (Fu  +  Ep  +  Cm+J)G" 

9  müssen  also  aligesondart  die  drei  Gleichungen 

^((  +  Oc  +  Fw+G  =  0, 

f M  +  £ij  +  Cw  +  7  —  0. 


I  bestehen.     Diese  drei 
drei  Gleicbangen  8), 
eben  Pnnfct  giebl,  n 


Gleichungen  sind  aber  identisch  mit  den 
und  der  Punkt  (/JA),  insofern  es  einen  soL., 
elches  nur  der  Fall  ist,  wenn  die  Grösse        ' 


idet,   ist  also  der   iVlittelpunkt   unserer  Fläche  des 


nicht  verschwin 
zweiten  Grades. 

Rücksicht  lieh  der  vorsiehenden  Grösse  kann  man  bemerken, 
dass  für  dieselbe  die  folgenden  leicht  zu  beweisenden  Relationen 
Statt  finden; 


A(AE'+BF^+CD'^--ABC—2DEF) 
=  (AE—FD)*  —  (F'~CA){D*  —  AB) 
B(AE^+BF'+CD^-ABC-iDEF) 
=  (BF—DE)^~{m—AB)(E'  —  BO, 
CXAE^  +  ßf »  +  C7)a—  ABC—IDEF) 
=:(CD-EF)*~{E^-BC){F'-CA). 


J 


des  zweiten  Grades.  87 


§.  6. 

Die  Gleichangen  6),  zu  deren  Betrachtung  wir  jetzt  über- 
len  ^'ollen,  lassen  sich,  wenn  wir  der  Kürze  wegen  die  fol- 
iden   Bezeichnungen  einführen: 

16) 
Px^=  A  cos  {xxi)  +  D  cos  {^Xi)  +  Fcos  (za?i ) , 
C  =  Dco9{xxi)-{'BcQB(yXi)'\'Ecos{zxi), 
Rs=^  Fcoa(xxi)  +  Eco8(yXi)+Cco8(2Xi); 

Py=:A  cos  (xyi)  +  D  cos  {yy^)  +  Fcos  {zy{) , 
Qy  =  D  cos  {xyi)-\-BcoQ(yy{)^E  cos  {zyi), 
Ry  =  Fcos  {xy{)  +£cos  {yy{)  +  Ccos  (lyi) ; 

P%  =  Acob(xzi)  +Deoa(yxi)  +  Fcos(2ri), 
Qs  =  />cos(a:zi)  +Äcos(^ri)  +  Fcos(zzi), 
Rz  ==  Fcos  (arii)  +  E  cos  (^Zi)  +  Ccos  («i) ; 
uf  folgende  Art  darstellen: 

17) 
PyCos(a:ari)  +  Qycos  (yxi)  +  Rycos  (zxi)  =  0 , 
Px cos  (ar^i)  +  Q,  cos  (yyi)  +  jB«  cos  (zyi)  =  0 ; 

ftcos(a:y,)  +  QÄCOs(yyi)  +  Rzcosizy^)  =  0, 
PyCos(a:2:i)  +  QyCoa(yzi)  +  RyC08(zzi)  =  0; 

Px  cos  (orzi)  +  Q^pcos  (yzi)  +  Rx  cos  (zzi)  =  0, 
PaCosCarÄ*!)  +  Qacos  (yxi)  +  jB»cos(«ari)  =  0. 
Setzt  man  nun  der  Kürze  wegen  noch: 

m 

Ss  =  PxCOB{xxi)-\-QxCos(yxi)+RxCos(zxi), 
Sy  =  Py  COS  (xyi)  +  Qy  COS  (y^i)  +  Ry  cos  (zyi) , 
S»  =  ft  cos  (a?ii )  +  Qz  cos  (j^zi )  +  Ä»  cos  (xii ) ; 


^''>*-;:'.r-.A.-'..- 


«6 
(.1. 


..-  •' 


..,  A^^i)*+^^«8('*i)* 


,  '...7  wvtsvfi) 


V*  Jl^> 


4/  .^^  J 


^2EeoB(ffyi)coB{zyi) 
^*iFco8(xf/i)co8(xyi), 

c  ^    ^cos(arz,)«  +  iBcos(y2,)«+  Ccos(z2,)« 
+  2/)cos(;rzi)  cos(yzi) 
+  2£cos  (yzi)  cos  (zzi) 
+  2Fcos  (zzi)  cos  (xzi) 

•  t*  ««!»  eriiSH  man  aus   17)  und  19)   die  drei  folgenden  Systeme 

20) 

P;r cos  (xa^i)  +  Qx  cos  (y^i)  h  Rx cos  (za;i)  =  S« , 
P;rCos  (xyi)  +  Qj  cos  (yyi)  +  Ä^rcos  (lyO  =  0, 

PxC08(xZi)  +  Q:rCOS(^Z|)  +  RxCOS(zZi)    =  0; 

-Py  COS  (ccxi)  +  Qy  COS  {yxi)  +  Ä,,  cos  (z^Tj)  =  0 , 
PyCos{xyi)  +  QyCOQ(yyi)  +  RyCOs(zyi)  =  Sj,, 
Py  cos  (0:21)  +  QyCosCyzj)  +  ÄyC0s(2Zi)  =  0; 

Pz  COS  (arari )  +  Qa  cos  (yxi )  +  /?»  cos  (z:ri )  =  0 , 
PaCos  (xyi)  +  Qzcos  iyi/i)  +  Rz  cos  (zy^)  =  0, 

PaC0S(a:Zi)  +  QaCOS(^Zl)   +  /?z  cos  (zZi)  =  iSa. 

Aus  diesen  Gleichungen    ergeben  sich  mit    Hülfe   der   Glei- 
chungen 3)  sogleich  die  folgenden  Ausdrücke: 

21) 

Px  =  SxC08(xXi),       Qx  =  S^C08(yXi),       ^x  =  SxC08{zXx)  , 

Py  =  ^y  cos  (xyi) ,      Q,y  =  Sy  cos  (3^1/1) ,       Äj,  =  Sy  cos  (2^, ) , 

Ps  =  ÄzCOS(arZi),         Qa  =  SzC08(l/Zi),         Rz  =  iSsCOS(zZi)  ; 


BBji  des  zweiten  Grades.  89 

r     uDil  (lihrt  man  nun    diese  Ausdrücke  in  die  Gleichungen  16)  ein, 
so  erhält  man  die  drei  folgenden  Systeme  von  Gleichungen: 

22) 
{A  —  Sx)co8{xxi)-{'DQQs{yxi)-\-Fcos{zxi)  =  0, 
Dcos{xxi)-\-{B — Sx)co&{yxi)'\rEcQS{zxi)  =  0, 
Fcos  {xxi )  +  jB  cos  {yxi )  +  (C —  Sx)  cos  {ixi )  =  0 ; 

{A  —  Sy)  cos  {xyi )  +  />  cos  (yyj  +  Fcos  (zyi )  =  0 , 
Z>cos(a;yi)  +  (Ä— S«,)cos(:yyi)  +  i5;cos(zy,)  =  0, 
Fcos{xyi)-\rEQos(yy{)^{C—Sy)co%{iy{)  =  0; 

(4  —  Sz)co^{xzi)'{-Dcos{yii)-\rFcos{zzi)  =  0, 

/>cos(a;zi)  +  (iB—  Ä»)cos(y2i)-|-£cos(2Z|)  =  0, 

*  FQo&{xxi)-\rEQos(yxi)-\-{C — Sz)^os(zz{)  =  0. 

Die  Behandlung,  welcher  wir  jetzt  das  erste  dieser  drei  Sy- 
steme von  Gleichungen  unterwerfen  wollen,  ist  auch  auf  die  bei- 
den anderen  Systeme  in  ganz  ähnlicher  Weise  anwendbar,  und 
daher  für  das  Folgende  völlig  genügend.    Wegen   der  Gleichung 

cos  {xxi)^ + cos  {yxi  )*  +  cos  {zxi  )*  =  1 

wird  wenigstens  einer  der  drei  in  dieser  Gleichung  vorkommen- 
den Cosinus  nicht  verschwinden;  und  nehmen  wir  nun,  um  die 
Begriffe  zu  fixiren,  an,  dass  etwa  cos(a;a:|)  nicht  verschwinde,  so 
multiplicire  man  die  drei  Gleichungen  des  ersten  der  drei  obigen 
Systeme  nach  der  Reihe  mit 

(Ä-Ä^)(C-&)-.£;«, 

EF  — Z>(C-5,), 
DE^F(ß-'Sx) 

und  addire  die  Gleichungen  dann  zu  einander,  was  auf  die  Glei- 
chang : 

(^-.&)[(ß-S:r)(C--Ä^)-£;«]      J 

+  Z>[£;F—  J>(C—  Sx)]  I  cos  (xxi)  =  0 , 

also,  weil  coa(xxi)  nicht  verschwindet,  auf  die  Gleichung: 


^  Grnnerf:    Theorie  der  Flächen 

{x^^Zi^  aUo  nuammefifalfen  oder  identwch  seni  würdeo.  Sei' 
non  (uew)  der  Mittetponkt  onserer  Fläche  sein,  so  ist  es  oisD- 
bar  nothwendi^,  dass  onabhäagig  von  bestimmteii  Wertheo  fw 
G'  nnd  G^i 

and 

+  (D/>  +  Ä9+£;r+Ä)G' j  =0, 

also: 

Au+Dv  +  Fw  +  G         \ 
+  (Du  +  Bv  +  Ew  +  ff)G'\  =0 
+(Fii  +  £u  +  Cic  +  ,/)G''    * 

sei;  es  müssen  also  abgesondert  die  drei  Gleichangen: 

Au  +  Dv+Fu)+G  =  0, 

Dn  +  ßv  +  Ew  +  H^O, 

Fu  +  Ev+Cw  +  J  =  0: 

bestehen.  Diese  drei  Gleichangen  sind  aber  identisch  mit  den 
drei  Gleichungen  8),  und  der  Punkt  (fgh),  insofern  es  einen  soL 
eben  Punkt  giebt,  welches  nur  der  Fall  ist,  wenn  die  Grosse 

AE^+BF^+CD^'-ABC—^DEF 

nicht  verschwindet,  ist  also  der  Mittelpunkt  unserer  Fläche  des 
zweiten  Grades. 

Hücksichtlich  der  vorstehenden  Grosse  kann  man  bemerken, 
dass  für  dieselbe  die  folgenden  leicht  zu  beweisenden  Relationen 
Statt  finden: 

A(AE^+  BF^  +  CD^-^ABC—'HDEF) 

=  (AE'--FD)^--{F*-  CA){D*-^AB), 

B(AE^+  BF^+  CD^-^ABC-2DEF) 

=  (BF-^DE)^'^(D^'^AB){E^'^BQ, 

C(AE^  +  BF^  +  CD^-^  ABC—'IDEF) 


des  •sKe'tten  äraftes 
■i  man   nach  22)   zur   Bestimmting  die 

26) 

(il~Ä)co8|4Ocoai,+fco8£  =  0, 

i)cos£  +  (S-S)co8))+i:co8t  =  0, 

Fco8|+£coa)j+(C— S)cosj=0; 

men  noch  die  Gleichung: 

.     .    COS4''+C08^''+COßJ»=l 


■  Winkel   die  Gl 


nittelst   dieser  Gleichunge»  bestimmt  man  |,  17,  £  durch  1 
tod  seist  dann  in  den    erbalteneu  Ausdrücken  für  5  die  drei  ' 
1  Wnrsfiln  der  cabischen  Gleichung   24}  «der  25),  so  erhält 
Edie  drei  Systeme: 

(3:^:1),    ivxi),    (MTi); 
{xyO,     li/yi),     CiSi); 

(arii),     (yii).     (11,); 

lie  Winkel  die  Lage  der  neueu  Axen  bestimmen. 

tr  Bestimmung  der  Winkel   |,  t/,  (;  mittelst  der  vorste-    < 
len  Gleichungen  wollen  wir  uns  jetzt  beschäftigen. 


Neon  man  die  erste  und 
Verste  der  Gleichungen  26) 
I  4ie  drei  folgenden  Systen 


te,   zweite  und    dritte,  dritte 
einander  verbindet,   so  erhält  ^ 
1  Gleichungen: 


|£(J— 5)  — Fölcoa|  =  lf(B— S)-i>£|cosij, 
.<d-S)(B  — S)|cos7,  =  lE(^  — S)-fZ*|cus£, 

i=\D^-(A— S)(B-S)]  cos  k; 


{F(B  —  S)  —  DE\t 
lü(C— S)  — EFic 
|F(fi— S)-0£|c 
■-(B*-(ß-S)(C-S)j. 
,F»-(C-S)(^-S)!. 


si  =  \E^~(B  —  S)(C—S)}cos7}, 
si;  =  {  Ö(C~S)— £f  icoaj, 
i8£=tF(a— S)-/>E|cosä; 


is|ii:ID(C— S)  — £F|co8t/. 

fE(,A  —  S)~FD]cosr3=\F^-(C—S)(A-S)\co 
tÖ(C— Ä)  — EF|co8{;=  i£(^  — Ä)— FO]coa|. 
Also  hat  man  die  folgenden  Gleichungen: 


96  erumert:    Tkttrie  4tr  näektm 

37)  .    . 

\D(C-S)-EF\*  =  J£»-(B-5)(C— «)U*^-(C?-S)(4— S)J, 
\EiA— S)-¥D\*  =\  ¥*—{€- S^(A—S)\\Eß—(A-S)iB—Si\^ 
lF(B—S)-DE\*=:lD'—(A-SKB—Si]\E*—{B—S)(C—S)U 

also: 

J  FiB—S)—DE\*  +  lD{C—S)-EF\* 

= I  E'-(B-S)(C-S)i\[F*-iC-S)(A-S)H[B*-{A-S)(B-S)]l 

\D(C—S)-EF\*-I-{E(A-S)—FD\* 
=  { F«-(C-S)(^— S) )  \  [DI'-(A-S)(B-S)]+[E^B-S)iC-S]), 

{E^A—S)—FD\*■^\F(,B—S)—DE\* 
=  \D'-(A-S)(B-S)n[E^-(B-S)(C-S)]+[F*-(C-S)(A-S)]U 

and  folglich  nach  36): 

38) 

_>F(g— .S)— />i;i«-f  tZ)(C— a)-£Ft« 

**"8r  —  {£:*— (Ä-s)(c— 5)}«  ' 

__  {IHC— -S)  — £F|«-|-t£(^-S)  — Ff>  J« 
taogi^  —  |F«— (C-S)(^  — 5)1*  ' 

!£(/J— 5)— F/)l«  +  jF(g-^-/>£}« 
**"8»^  —  IZ)»— (J— Ä)(Ä— 5)1«  * 

Wegen  der  Vorzeichen  von 

fang  5,    tangi},    tangj 

ist  schon  vorher  das  Nuthige  bemerkt  worden. 

Endlich  erhSit  man  mittelst  der  Formeln  37)  und  38)  auch 
leicht: 

r     {D(C--S)-EF]*\E(A—S)-FD\*\ 

\  +  {EiA—S)—FD]*\FiB—S)-DE]*l 
tangl«  =—jF^ß^S)—DE\*\D(_C—S)-EF\*     ' 

I     \E(A-S)—FD]*\F(B—S)-DE\*\ 

,      \  +lF(ß-S)-DE\*\D(C—S)  -  EF\*\ 

tang  if  =      ij)(C—S)~-EF\*{E{A  —  S)—FD\*      ' 

I     {F(ß-S)-/>£l»i2>(C-S)-FF)*l 

^       \  +  \DiC-S)--EF\^{E(A-S)-FD\*\ 

tangJ'  =5  •— ,£(^_S)_FDl*lF(ß~Ä)— Z)£|«      ' 


J 

l 


5--,     ,  des  %weiten  Grades,  97 

also: 

tang  ^ 

=  mA-S)-FD^-  j  Ii^^s-1)-DeS  +  [z>(C-^-^£f]l ' 

tangij* 

tangj« 

und  folglich  mit  Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  auf 
einander: 

39) 

tang  I 
tang  rj 
tangg 

§.  6. 

Ueberbücken  wir  jetzt  nochmals  die  vorhergehenden  Ent- 
^ckelungen,  so  gelangen  wir  Im  Allgemeinen  zu  dem  folgenden 
Resultat. 

Wenn  die  Fläche  einen  Mittelpunkt  hat^  wenn  also  die  Grösse 
AE^  +  BF^  +  CD^^ABC'-2DEF 
nicht  verschwindet  oder 

AE^  +  BF^  +CD^  ^AßC-  2DEF  ^,0 

ist^  werden  f,  g,  h  im  Vorhergehenden  durch  endliche  völlig 
bestimmte  Ausdrücke  gegeben^  und  man  kann  also,  indem  man 
den  Punkt  {fgh)  als  Anfang  der  XiyiZi  annimmt,  die  Gleichung 
der  Fläche  nach  5)  im  Allgemeinen  auf  die  Form : 

Tlieil  XLV.  7 


w 


Cruner'T:    TktMir'ier'näilttn 


wm 


NehncD  <rif  die  w  Her  Ebene  iler  y^i^  dnch  dl«  f^leicbuog^^ 

58) *ft+3tj=0 

charafclerieirle  (ieraile  als  die  Axe  der  ^4  eines  neaeo,  io  der 
Ebene  der  ^,:|  liegenden  CotifdiDalensyslems  der  t/^i^  an,  und 
bezeichnen,  indem  wir  den  positiven  Theil  der  Aie  der  z^  so 
annehmen,  dass  man  eich,  um  von  dem  positiven  Tbeile  der 
Axe  der  ^4,  desseo  Annahme  der  Willbühr  anbeim  gestellt  bleibt, 
durch  den  rechten  Winkel  (^4:4)  bindarcb  zu  dem  positiven  Theile 
der  AKe  der  i^  zn  gelangen,  in  demselben  Sinne  bewegen  iddbb, 
in  nelchem  man  sich  bewegen  tnuss,  um  von  dem  positireo  Tbeile 
der  y,  durch  den  («chleo  Winkel  (jjij)  hindarcfa  xa 
lern  positiven  Tbeile  der  Axe  der  ij  zu  gelangen,  den  von  dem 
positiven  Theile  der  Axe  der  y,  mit  dem  positiven  Tbeile  der 
Axe  der  yj  eingeschlossenen,  von  dem  positiven  Theile  der  Axe 
der  ys  sn  darch  den  rechten  Winkel  (y,!,)  hindarch  toq  0  bis  360» 
gezählten  Winkel  durch  a;  so  ist  nach  der  Lehre  von  der  Vet^ 
Wandlung  der  Coordinateo : 

Vi  =ff4Cos(i  — r48ino!. 
H  =y4Sinti +  14008«; 
also  nach  dem  Obigen  die  GleicfauDg  der  Fläche: 

ilV  +  2*{y4Cos«-z4sino)  +  53Cy4sin«+i4eosn)  =  0. 
oder: 

flV+''J(*Äc<'s"  +  3eii.«)54-ä(*fiin«-3cosa)j4=0. 
der  geraden 


erhellet  aber  aus  der  allgemeinen  Theo 
leicht  die  allgemeine  Richtigkeit  der  Gleicbi 


•6 

CDS« 

+  3siD(i  = 

0, 

wodurch  die 

Gl 

ichung 

unserer  Fläche  d 

ie  Form 

59).   .   . 

üV  — 

2(-6 

in«— 5  cos 

«)14=:0 

annimmt. 

Sehen  irir  nun  von  dem  einzigen  Falle  ab,  wo  die  tileichai 
'  I)  aarhört  vom  zweiten  Grade  2u   sein  und  demzufolge  im  Alfge- 
'  meinen    nur    eine   Ebene    darstellt;    sn  erhellet   aus  den    beiden 
I  vorhergehenden  Paragraphen,  dass  die  allgemeine  Gleichung  d«^ 
Fluchen  des  zweiten  Grades  immer  entiveder  auf  die  Form; 


50) 


des  üweiten  Grades. 


'«^8'+»V+2J'*.  =  0- 


103 


Wenn  die  GrSssen  A  and  "^  beide  verschwinden,  so  wird  die 
deicfaang  46): 

51) 2®a:i+2'6y,  +  25'»,+«  =  0, 

ond  stellt  also  im  Allgemeinen  eine  Ebene  dar. 

Wenn  von  den  beiden  Grössen  iX  und  H  die  eine  verschwin« 
det,  die  andere  nicht  verschwindet,  so  wollen  wir,  was  der  Ail- 
gemeinheit  nicht  schadet,  annehmen,  dass  iÜ  nicht  verschwinde, 
dagegen  H  verschwinde;  dann  wird  die  Gleichung  46): 

oder,  weil  iX  nicht  verschwindet: 

il(^i*  +  2  5^1  +  -p) +2*2(1  +  23fii+Ä  -  -jj  =  0, 
also: 

53)    .   .   .  il(a?i  +  5)«  +  2*yi+25fzi+»--jj  =0. 

liegen  wir  nun  aber   durch   den,  in  Bezug  auf  das  System 
der  X\y\%i  durch  die  Coordinaten 


0 
iX 


,    0,    0 


bestimmten  Punkt  ein  dem  Systeme  der  x^yxtx  paralleles  Coor- 
dinatensystem  der  x^%z^y  so  ist  nach  der  Lehre  von  der  Ver- 
wandlung der  Coordinaten: 


also: 


Ä?i  +  ;j  =  ^t»    yi  = 


zi  =  xt5 


und  folglich  die  Gleichung  der  Fläche  nach  dem  Obigen: 

54)    ...    .  ila:2«  +  2*ya+25f«a  +  Ä--J=0- 
Wenn  '«6  oder  j3(  verschwindet,  so  wird  diese  Gleichung: 


02 


ilara*  +  25^Z2+Ä--jp=0 


oder: 


104  Grunert:    Theorie  der  Flächen 

* 

und  stellt  also  eine  in  der  Ebene  der  22^2  ®^^'  ^"Vf^  liegende 
Linie  des  zweiten  Grades  oder,  was  im  Wesentlichen  Dasselbe 
besagt,  insofern  wir  die  vorstehenden  Gleichungen  als  Gleichun- 
gen von  Flächen  betrachten,  eine  auf  den  Ebenen  der  z%as^  and 
XiCCi,  oder  eine  auf  den  Ebenen  der  x^y^  und  Xiyi  senkrecht  stehende 
Cylinderfläche  dar.  Bringt  man  aber  die  vorstehenden  Gieichan- 
gen  respective  auf  die  Form 

il^2*  +  25Jt^  +  ^(Ä-5)»=0 
oder 

und  legt  durch  einen  in  Bezug  auf  das  System  der  x^y^z^  darch 
die  Coordinaten 

1  (5* 

oder 

1  e^ 

bestimmten  Punkt  ein  den  früheren  Systemen  paralleles  Coordi- 
natensystem  der  x^y^z^,  so  dass  also 

1  09 

X2=:xs,   y^  =  yz.    H^  —  ^{^—^)-^H 

oder 

1  C9f2 

folglich 

?1  0« 

^Ä  =  ar8,    y^  —  y^f    2;2+|5(Ä-— ^)=«8 

oder 

1  0» 

ist ;    so  werden  die  obigen  Gleichungen : 

55) iJiTs«  +  2:?Z3  =  0 

oder 

55*) 4l:r3«  +  2*^8  =  0, 


des  zweiten  Grades,  105 

welehe  zwei  Formen  natürlich  im  Wesentlichen  nicht  von  einan- 
der verschieden  sind. 


Mi. 


Wenn  ^  und  5  beide  verschwinden ,  so  wird  die  Gleichung  54) : 
M).  ......   .  itea«  +  »-^  =  0, 

Mlij^  stellt  also,  insofern  sie  reell  ist,  zwei  den  Ebenen  der  y^t^ 
^nd  y|Z|  parallele  Ebenen  dar. 

Wenn  keine  der  beiden  Grossen  -^  und  ^  verschwindet,  wol- 
len wir  durch  den  In  Bezug  auf  das  System  der  x^y^H  durch 
die  Coordinaten 

in  Bezug  auf  das  System  der  Xx  y\  %\   also  durch  die  Coordinaten 


e        1   /0«     ^\      ^ 


oder  durch  den  in  Bezug  auf  das  System  der  x^y^t^  durch  die 
Coordinaten 

in  Bezug  auf  das  System  der  Xi  yx  ix  ^^^  durch  die  Coprdinaten 


_5       0      ^(^     «"i 


bestimmten  Punkt  ein  den  Systemen  der  x^y^z^  und  Xxyxix  pa- 
ralleles Coordinatensystem  der  ^3^323  legen;  so  ist  nach  der  Lehre 
von  der  Verwandlung  der  Coordinaten: 

oder : 

1  /C0^«     ^\  . 

also  nach  54)  die  Gleichung  der  Fläche: 

67) Äa;8«  +  2*y3+2:?X8=0, 

Und  im  "anderen  Falle  ganz  eben  so: 

87*) ila?8«  +  2*2(8+23zs=a 


des  »weiten  Grades^  113 

Eid  Schnitt»  welcher  von  einer  in  der  EDtfernang  e  von  der 
Ebene  der  yz  parallel  mit  dieser  letzteren  Ebene  gelegten  Ebene 
gebildet  wird»  wird  nach  64)  durch  die  Gleichung 

also  durch  die  Gleichung 

™^ 6«(e2— o«)  +  c«(c«— a«)  ~  * 

charakterisirt,  und  ist  also,  so  lange  dieser  Schnitt  reell  ist,  so 
lange  also  e^^a^  ist,  stets  eine  Ellipse;  für  €^=za*  würde  der 
nun  durch  die  Gleichung 

Ä«  +  c«  ""  " 

charakterisirte  Schnitt  sich  offenbar  auf  einen  der  durch  die  Coor- 
dinaten  a7  =  ±a>  2^  =  0,  z  =  0  bestimmten  Punkte  zurückziehen ; 
Itlr  e^  <  a^  ist  der  Schnitt  imaginär. 

Wegen  dieser  Eigenschaften  heisst  die  durch  die  Gleichung  64) 
diarakterisirte  Fläche  aus  leicht  begreiflichen  Gründen  Hyper- 
boloid mit  zwei  Fächern  oder  zweifächeriges  Hyper- 
boloid. 

Die  durch  die  Gleichung  65)  charakterisirte  Fläche  ist  ima- 
ginär, oder  dieser  Gleichung  entspricht  überhaupt  gar  kein  räum- 
liches G^ilde. 

Wenn  in  der  Gleichung  66)  die  CoefGcienten  A,  ß,  Csammt- 
lieh  einerlei  Vorzeichen  haben,  so  wird  diese  Gleichung  bloss 
dtitch  ar  =  0,  ^  =  0,  z=:0  befriedigt,  und  stellt  also  nur  einen 
Ponkt,  nämlich  den  Anfang  der  Coordinaten,  dar.  Wenn  die 
Coefficienten  A,  B,  C  nicht  säm'mtlich  einerlei  Vorzeichen  haben, 
so  wird  man  die  Form 

wo  nun^,  Bf  C  sämmttich  positive  Grossen  sein  sollen,  als 
eine  allgemeine  Repräsentantin  der  Gleichung  66)  betrachten 
kennen,  weshalb  wir  nun  diese  Gleichung,  die  offenbar  im  All- 
.gemeinen  eine  Fläche  darstellt,  einer  weiteren  Betrachtung  un- 
terwerfen wollen.  Durch  den  offenbar  in  dieser  Fläche  liegenden 
Anfang  der  Coordinaten  und  einen  anderen  beliebigen  in  dersel- 
ben liegenden  Punkt  (pqr),  wo  also 

Affl--ßg^-Cf*  =  0 

ThellXLV.  8 


1 1  \  iif  uHt'it:    TAeorie  der  Fiächea 

!-<(  t>.>:iiMi  Uli  UII8  eine  Gerade  gelegt  deDken.  Ist  nun  (|i7£) 
X  u  v;.iii     beliebiger  Punkt  io  dieser  Geraden,   so  ist  offenbar: 

ito  jLi  einen  gewissen  Factor  bezeichnet,  der  nicht  verschwindet, 
ut'it  sonst  /i=0,  9=0,  r  =  0  sein,  und  daher  {pqr)  mit  dem 
Anfange  der  Coordinaten  zusammenfallen  wurde,  was  natQrlich  in 
Folge  des  Obigen  nicht  statthaft  ist'  Also  ist  nach  dem  Vorher- 
gehenden : 

folsiich : 


'o' 


und  daher  ($17^)  ein  Punkt  unserer  Fläche.  Hieraus  sieht  man, 
dass  jede  durch  den  Anfang  der  Coordinaten  und  einen  anderen 
Punkt  in  der  durch  die  Gleichung 

charakterisirten  Fläche  gelegte  Gerade  ihrer  ganzen  Ausdehnung 
nach  in  diese  Fläche  fStIt,  so  dass  also  diese  Fläche  eine  Kegel- 
fläche ist,  welche  den  Anfang  der  Coordinaten  zur  Spitae  hat. 

Die  Gleichungen  der  drei  Hauptschnitte  unserer  Fl&che  sind: 

oder: 

die  erste  und   dritte  stellen  Systeme  *  zweier  durch  den   Anfang 

der  Coordinaten   gehender  Geraden  dar,   die  zweite  stellt  in  der 

Ebene  der  yz  den  Punkt  ^  =  0,  s  =  0,  also  den  Anfang  der 
Coordinaten,  dar. 

Legen  ^vir  in  den  Entfernungen  e,  e^  e^  von  den  Ebenen 
der  xy,  ijZy  zx  diesen  letzteren  Ebenen  parallele  Ebenen,  so 
sind  die  Gleichungen  der  von  denselben  gebildeten  Schnitte : 

oder : 

Ax^--  By^  =  C6« ,     By^  +  C2*  =  Ae^^.    J:r«—  Cr«  ==  Äe,« ; 

die  erste  und  dritte   dieser  Gleichungen  stellen  Hyperbeln,    die  ^' 
zweite  stellt  eine  Ellipse   dar. 

Man   hat    die    durch    die   Gleichung   66)    in  dem    Falle,    wo  i 

1 


des  %weUen  Grades,  115 

A,  Mi 9  C  nicht  sämmtlicb  einerlei  Vorzeichen  haben,  charakteri- 
flirte  Fläche  den    Elliptischen  Kegel   genannt. 

Dia  Gleichung  67),   welche  man  nnter  der  Form 

darsteilen  Icann,  ist  offenbar  imaginär,  wenn  die  Grössen  Ay  B, 
Z>  einerlei  Vorzeichen  haben.  Ist  dies  aber  nicht  der  Fall,  so 
stellt  diese  Gleichung  eine  auf  der  Ebene  der  xy  senkrecht 
stehende  Cylinderfläche  dar,  und  zwar,  jenachdem  die  Brüche 

A^      ^    B 
D   "^^    D 

l»eide  negativ  sind  oder  entgegengesetzte  Vorzeichen  haben,  einen 
sogenannten  Elliptischen  Cylinder  oder  einen  Hyperboli- 
schen Cylinder,  weil  alle  der  Ebene  der  ücy  parallele  Schnitte 
im  ersten  Falle  einander  gleiche  Ellipsen,  im  zweiten  Falle  ein- 
ander gleiche  Hyperbela  sind. 

Wenn  in  der  Gleichung  68)  die  Grössen  Ay  B  gleiche  Vor- 
zeichen haben,  und  dieselbe  daher  nur  durch  a:  =  0,  jy  =  0  be- 
friedigt wird,  so  stellt  diese  Gleichung  die  Axe  der  z  dar;  wenn 
dligegen  A,  B  ungleiche  Vorzeichen  haben  und  die  Gleichung  da- 
her nnter  der  Form 

wo  nun  Ay  B  positiv  sein  sollen^  dargestellt  werden  kann,  so  ist 

Ax^  =  By^y    xVÄ  =  db  yVB 
oder 

xVA  +  yVB  =  0, 

und  die  Gleichung  stellt  also  zwei  in  der  Axe  der  z  sich  schnei- 
\   dende  Ebenen  dar. 

Die  Gleichung  69),  welche  man  unter  der  Form 


' = ±  v"- 1 


darstellen  kann,  ist  imaginär,  wenn  A,  D  gleiche  Vorzeichen 
haben ,  nnd  stellt  zwei  der  Ebene  der  yz  parallele  Ebenen  dar, 
w^enn   A,  D  ungleiche  Vorzeichen  haben. 

I  Die  Gleichung  70)   wird   nur  durch  x=zO  erfüllt,   und  stellt 

also  die  Ebene  der  yz  dar. 


llö  Grüner i:    Theorie  der  Flächen 

Wir  betrachten  jetst  ferner  die  Gieichang  61),    ■»'^M^^fc  iStt 
tüleicbung : 

Wenn  in  dieser  Gleicbnng  keine  der  drei  Gruseeo 

A,    Ä,    C 

verschirindet*  eo  wollen  wir  ebne  Beziebong  der  oberen  and  nn- 
teren  Zeicben  aaf  einender,  indem  a^  by  €  peeitiTe  GrSsscB  be- 
leicbnen : 

J=±?'    ^=±^'    2C=±J 

setxen.  wodnrcb  unsere  Gieicbung  .die  Gestalt 


erhSlt.    nd  nna  wieder  die  fo^endeB  nebt  FSÜe  dnrMcteC: 

jr*      e*     : 

-S+S  +  h« 

—  "^  -I-  -  --0 

_:fr     I t— -o 

er*       4-      c 

Weoa    man   in  liea  vier  leczren  CUeichnnrai  diit  «inu 
V'ir^eicäeo  mit  tien  eaCse^ncet$eCEten  vertanscbc.   su   xgfcca  die- 
^edhra   in   die   vier  ersten   ^er.    und  es  bletfaen    mus  aJh» 
lie  vier  «rscen  Gleichun^a.  niuniich  «iie  Gleichiineeo : 


t* 

« 
« 

tf 

=  ü. 

5> 

4* 

er 

=0. 

m 

m 

=0 

X- 

.«=» 

« 

.  k 

?~ 

>a 

=  i). 

de$  vweiten  Grades.  X17 

Aer   in  abgekürzter  Schreibart  die  Gleicbaogen: 

der: 

ßa  +  fta  — +  ^' 

o«       6«  •"  ^  c 

so  betrachten  übrig;  weil  man  aber  im  Falle  der  oberen  Zeicheo 
bloss  den  positiven  und  negativen  Theil  der  Axe  der  z  mit  einan- 
der zu  vertauschen  braucht,  um  zu  dem  Falle  der  unteren  Zeichen 
zo  gelangen,  so  genügt  offenbar  vollständig  die  Betrachtung  der 
beiden  Gleichungen: 


• 

•    a*"^  b*~  c' 

• 

a*~  b*-  c' 

80) 

Wenn  in  unserer  obigen  Gleichung,  nämlich  der  Gleichung  61), 
nnter  den  Grössen 

▼erschwindende  vorkommen,  so  können,  ohne  dass  die  Gleichung 
von  dem  zweiten  Grade  zu  sein  aufhurt,  die  folgenden  Fälle  ein- 
treten : 

Ax^+2Cz  —  0,    Äy«+2Cz  =  0; 
Ax^  =  0,    %2  =  0; 

weiche,  weil  die  erste  Form  und  die  beiden  letzten  Formen 
lehoD  unter  68)  und  70)  betrachtet  worden  sind,  durch  die  eine 
Form: 

82) Ax^+2C2z=:0 

r  rollständig  repräsentirt  werden. 

Die  Gleichungen    der  drei  Hauptschnitte  der  durch  die  Glei- 
chung 80)  charakterisirten  Fläche  sind: 

x^      y^  __  vv      y^ z      x^ z 


II* 


GruHtrt:    Thtorie  der  fläckea 


Der  ecale  IlaupUcknilt    ist    der    ADraHgs|»iiDbt   t 

(]ie  bei<Ici)   letzten    Haupls«hotttr  sind    Par abetu , 

rm  Anfange  iler  Cannlinaten  liegt,  deren  Axeo  im  positifl 

der  Axe  der  i  lie-jen. 

Legen   wir  darcb   dl«    Axe  der  i    eine   beliebige 
wollen  wir,  uni  den   von  dieser  Ebene  mit  der  Fläche  | 

Schnitt  zu  betrachten,  deren  Durchscbnitlslinie  mit  der  I     

xy  als  dre  Axe  der  X  einen  neuen  Cootdiriatensystems  der 
annehmen,  und  den  positiven  Theil  der  Axe  der  I'  mit  den 
sitiven  Tbeile  der  Axe  der  :  znsammenfallen  lassen.  Bezeic' 
wir  dann  den  von  dem  positiven  TbeÜe  der  Axe  der  A'  mit 
jioailtven  Tfaeile  der  Axe  der  x  eingeiscblosseaen  Winkel,  ii 
wir  diesen  Winke)  von  dem  positiven  Tbeile  der  Axe  j 
nach  dem  positiven  Tbeile  der  Axe  der 
zSlilen,  durch  o;  so  ist  offenbar  in  vülliget  Allgemeiah« 

also  die  (ileichnng  des  Schnitts: 


K4)  . 


/coso*      sina''\ 


Der  Schnitt  ist  daher  in  jedem  Falle  eine  Parabel,  der« 
im  Anfange  der  Coordinaten  liegt,  und  deren  Axe  mit  1 
liven  Tbeile  der  Axe  der  z  ziisammenrällt. 

Die  Gleichung  des  Schnitts,  ivelchen  eine  in  der  I 
e  von  der  Ebene  der  xy  mit  dieser  letzleren  Ebene  | 
legte  Ebene  mit  der  Fläche  bildet,  ist: 


85) 


also  jederzeit  eine  Ellipse  oder  imaginär,  jenachdem  ', 
oder  negativ  ist. 

Wegen  dieser  Eigen  schalen  wird  die  durch  die  \ 
80)  charakterisirte  Fläche    Elliptisches  Paraboloi4 

Die  Gleichungen  der  drei  Hauptscbnilte  der  durch  3 
chang  81)  charakterisirten  Fläche  sind: 


"' o*      p-"'     Ä*-       c'      o»  — c 

Die  erste  tileichung,  die  man  unter  der  Form 


des  zweiten  Grades,  119 

schreiben  kann,  repräsentirt  ein  System  zweier  im  Anfange  der 
Coordinaten  sich  schneidender  Geraden.  Die  beiden  letzten 
GleichuDgen  entsprechen  Parabeln;  die  Scheitel  dieser  Parabeln 
lie$;en  im  Anfange  der  Coordinaten;  die  Axe  der  in  der  Ebene 
der  yz  liegenden  Parabel  fällt  mit  dem  negativen  Theile  der  Axe 
der  z»  die  Axe  der  in  der  Ebene  der  zx  liegenden  Parabel  fällt 
mit  dem  positiven  Theile  der  Axe  der'z  zusammen. 

Die  Gleichung  des  Schnitts ,  welchen'  eine  durch  die  Axe 
der  z  gelegte  Ebene  mit  der  Fläche  bildet,  ist  auf  ganz  ähnliche 
Art  wie  vorher: 


/co8«a       sin  a2\  Y 


Diese  Schnitte  sind  also  immer  Parabeln^  deren  Scheitel  im  An- 
fange der  Coordinaten  liegt;  jenachdem  die  Grösse 


cosa*       sin  a* 


poditiT  oder  negativ  ist,  fallen  die  Axen  dieser  Parabeln  mit  dem 
positiven  oder  mit  dem  negativen  Theile  der  Axe  der  %  zusammen. 

Die  Gleichung  des  Schnitts,  welchen  eine  in  der  Entfernung 
e  von  dei*  Ebene  der  xy  mit  dieser  letzteren  Ebene  parallel  ge- 
legte Ebene  mit  der  Fläche  bildet,  ist: 

^^ d^^ö^-c' 

und  dieser  Schnitt  ist  daher  immer  eine  Hyperbel. 

Wegen  dieser  Eigenschaften  heisst  die  durch  die  Gleichung 
81)  charakterisirte  Fläche  Hyperbolisches  Paraboloid. 

Eine  besonders  deutliche  Vorstellung  (von  der  Gestalt  der 
keideo  vorhergehenden  Paraboloide  erhält  man  auf  folgende  Art. 

Denkt  man  sich  das  Elliptische  Paraboloid  80)  von  einer  Ebene 
■{escbnitteo ,  welche  in  der  Entfernung  a  von  der  Ebene  der  zx 
^dieser  letzteren  Ebene  parallel  ist,  so  ist 

x^      ^  _z 
also 


120  Grunert:    Theorie  der  Flächen 

oder 

und  folglich^  wenn  wir 
setzen, 

die  Gleichung  des  Schnitts.  Weil  nun  die  Gleichung  des  drittel 
Hauptschnitts 

c 

ist.  so  ist  der  Schnitt  offenbar  eine  dem  dritten  Hauptschoitte 
gleiche  und  gleich  liegende  Parabel,  indem  die  Axe  des  Schnitfi 
offenbar  in  der  Ebene  der  yz  liegt  und  mit  dem  positiven  Theik 
der  Axe  der  %  gleich  gerichtet  ist«  Bexeichnen  wir  die  Entferoiug 
des  Scheitels  des  Schnitts  von  der  Axe  der  y  durch  s,  so  iil 
nach  dem  Obigen  offenbar 

ce* 

woraus  sich  ergiebt,  dass  der  Scheitel  des  Schnitts  in  dem  zwei* 
ten  Hauptschnitte,  dessen  Gleichung 


6^ 


ist,  liegt  Man  kann  sich  also  das  Elliptische  Paraboloid  dadurch 
entstanden  denken^  dass  sich  der  dritte  Hauptschnitt  so  bewegd 
dass  seine  Ebene  und  seine  Axe  sich  selbst  immer  parallel  blei- 
ben und  sein  Scheitel  den  zweiten  Hauptschnitt  beschreibt ,  oder 
in  ähnlicher  Weise  natürlich  auch  dadurch,  dass  sich  der  zweite 
Hauptschnitt  so  bewegt,  dass  seine  Axe  und  seine  Ebene  sich 
selbst  immer  parallel  bleiben  und  sein  Scheitel  den  dritten  Haupt- 
schnitt beschreibt 

Denkt  man  sich  das  Hyperbolische  Paraboloid  81)  von  efaier 
Ebene  geschnitten,  welche  in  der  Entfernung  e  von  der  Ebene 
der  zx  dieser  letzteren  Ebene  parallel  ist,  so  ist 


det  »wetten  Craeles 

"^■^^H 

^^v 

^^^H 

5  +  P='('  + 

'^^H 

Ld  folglich,  wenn  wir 

--=--  +  .. 

H 

■vtien. 

^^1 

■_" 

*'  =  ?=■ 

H 

^^^Bleicbung  des  Scb 

ilts.     Weil  nun  <] 

ie  Gleichung  dt-s  dritteti     ^^H 

^^Kachnitts 

-  =  ?  = 

■ 

Mit,  so    ist  der  Schnitt    offeDbar   ein«   d 

em    dritten  Hauptachnilt     ^^^^ 

Beicfae  und  gleich  liegende  Parabel,  ind 

Bm  die  ÄTe  des  Schnitts      ^^ 

Kenbar  in  der  Ebene 

der  gl  liegt  und  mit  dem  positiven  Theile                   | 

■jH  Axe  der  i  gleich 

berichtet  ist.     Bezeichnen  wir   die  Entfer-                 J 

^^^des  Scheitels    des  Schnitts   von  de 

T  Axe  der  »  durch  .v,  so       ^^m 

^^Kch  dem  Obigen  o 

Ten  bar 

C£« 

I 

^^Ma  sieb  ergiebt,  d 

ass  der  Scheitel  des  Schnitts  in  dem  zwei-     ^^M 

^ 

■ 

iit,  liegt.     Man  kann  s 

ich  also   auch    da 

s  Hyperbolische  Parabo-                ' 

Iffid  dadurch  entstände 

denken,  dass  sich  der  dritte  Hauptschnitl                  | 

so  bewegt,  dass  seine 

Ebene  und    seine 

Axe  sich  selbst  immer                 || 

parallel  bleiben   und  sein  Scheitel  den  ziveiten  Hanptscbnitt  be-                ' 

schreibt,     oder    in    ab 

nlicher    Weise    a) 

ch    dadurch,     dasa    sieb 

der  £weite    Hanptschn 

It    so    bewegt. 

dass    seine    Ebene    und               « 

aeino  Axe  sich  selbst 

immer  parallel  bleiben  und    sein  Scheitel      ^^ 

den  dritten  Hanptscbnitt  beschreibt. 

^H 

Die  Gleichung  82) 

stellt  offenbar  ei 

e  auf  der  Ebene  der  uc    ^^M 

flenkrecht  stehende  Cylinderfläcbe   dar. 

und  zwar,   weil  alle  der    ^^M 

Theil  XLV. 

1 

Srunert:    Theorie  der  Flächen 

Ebene  der  ix  pBTallele  Schnitte  offenbar  Parabeln  sind, 
genannten  Parabolischen  Cylindei. 

Nacb  allem   Bisherigen  reduciren  sich  also    alle   wirklichen  1 
FiKchen  des  zweiten   Grades    überhaupt  aaf  die  folgendei 
I  verschiedenen  Arten: 


1.  Das  Elllpsoid. 

2.  Das  Hyperboloid    mit 
Hyperboloid. 

3.  Das  Hyperboloid   mit 
Hyperboloid. 

4.  Der  Elliptische  Kegel. 

5.  Der  Elliptische  Cylioder. 

6.  Der  Hyperbolische  Cylinder. 

7.  Das  Elliptiscfae  Parabaloid. 

8.  Das  Hyperbolische  Paraboloid. 
<J.  Der  Parabolische  Cylinder. 


Fache   oder  da» 


Fächern  oder  das  z 


Mittel- 1 


Die  Flächen  1)  bis  6)   siod  diejenigen,  wslche  einen 
punkt  haben    oder  als    einen    solchen   habend  betrachtet 
künnen.  die  Flächen  7)  bis  9)  diejenigen,   welche    keinen    Mill 
punkt  haben. 


Zweites  Kapitel. 

L  Yen    den   Beröhrnngsebenen    und  KorraBlcn ,  den   Durchniessern  i 
-     Dianetralebenen  der  Flächen  des  iwelteo  flradei. 


Die  auf  ein  beliebiges  recbt-  oder  schiefwinkliges  Coordinslett- 
I  System  bezogene  allgemeine  Gleichung  der  Flachen  des  xwtitm 
((■rüdes  sei  wie  gewühnlicb: 


=  0 

Il4   (uew)   sei    ein    beliebiger,    aber  bestimmter  Punkt    in  1 
I  dICBO  (ileichunK  charakterisirten  Fläche, 


des  zweiten  Grades.  123 

2) 
.4ti*+Äo*+ClB0«+2Z>ttr  +  'lEvw  +  ^Fwu  +  26?«  +  2Äp  +  2Jie  +  K 

=  0 

ist.  Dorch  den  Punkt  (utno)  denke  man  sich  auf  der  Fläche  eine  be- 
liebige, aber  bestimmte  Curve  gezogen,  und  nehme  in  derselben 
einen   zweiten  durch  die  Coordinaten 

bestimmten  Punkt  an,  wo  also  auch: 

3) 

Jt«'»  +  Äi?'«+  Cid'*  +  2/>tt'©'  +  2Ev'w'  +  2Ffr'tt'  i  _ 

+2G«'+2i3'«'  +  2Jtt/  +  JS:t  "" 
ist.    Setzt  man   in  dieser  Gleichung  fiSr   u' ,  v' y  w'  ihre  obigen 
"Werthe  und  zieht  dann  von  derselben  die  Gleichung  2)  ab,   so 
erhält  man  die  Gleichung: 

A(2uJu  +  du'^) 
+  Bi2vJv  +  Jv^) 
+  C(2to-^fe  +  -^io«) 
+  2D  (vJu  +  uJv  +  JuJv) 
+  2E  (wJv + V  Jto.  +  AvAfie) 

+  2GJu  +  2HJv  +  2JJtv  =  0 

4) 
A(2u+du) 

+  B(2v  +  Jv)^^ 

AV-T- 

+  2£(«,^  +  .^+  ^^       ) 
^0  .  ^  ,  ^to 


oder: 


^  +2G  +  2ff^ +27^^  =  0. 


9* 


124    '  Grunert:    Theorie  der  Flächen 

Die  Gleicbangen  der  durch  die  Punkte  {uvw)  und  {uft>'uf) 
gehenden  Geraden  sind: 

X — u y — 1> % — w 

Au   "^    äia         AvD 

oder : 

5) a:  — «  =  *^ —  =  — :; — 

Av         nw 

Au  Au 

Lässt  man  nun  in  der  durch  den  Punkt  (teoto)  gelegten  be- 
liebigen, aber  bestimmten  Curve  auf  »der  Fläche  den  Paukt 
(u'v'w')  dem  Punkte  {uvw)  immer  näher  und  näher  rOcken,  un- 
ter welcher  Voraussetzung  also  Av  und  Aw  als  von  Au  abhängig 
oder  durch  Au  herbeigeführt  zu  betrachten  sind ;  so  werden  sieh 
im  Allgemeinen 

Av         -     Aw 
Au  Au 

gewissen  Gränzen  nähern  ^  die  wir  durch 

Lim  TT-    und    Lim  -7- 
Au  Au 

bezeichnen  wollen.    Die  Gleichung  4)  wird  sich  als  einer  Grioi- 
gleichung  der  Gleichung: 

Au  +  BvUm^^  ^Cu>L\m^ 
+  Z)(i>+MLim^) 

+  E(wLm  ^  +  vUm  ^) 

Aw 
+  F(u>  +  aLiin-^) 

oder  der  Gleicbnng: 

6) 

Au+Dv+Fw+G  * 

+  (Du  +  Bf>  +  Ew -ir  ll)him  2^ 

+  (Fu  +  Ev+Cw  +  J)  Lim^ 

c=0 


I 


tpelcfaes  die  Gleichung  einer  durch  den  Punkt  (ucto)  gehenden 
Ibene  ist,  in  der  alen  die  durch  die  Gleichij^ngen  7)  charakteri- 
eirte  GrSnzlinie,  welche  nichts  tveiter  als  die  Berührende  d«r 
durch  den  Punkt  (ucw)  auf  der  Fläche  gezogenen  Curve  in  die- 
sen! Punkte  ist,  liegt. 

Da  dies  nun  ganz  allgemein  von  allen  durch  den  Punkt  (upw) 

j      auf  der  Fläche  gezogenen  Curven   gilt,  die  durch  die   Gleichung 

I      8)  charakterisirte  Ebene  aber  eine  ganz  beslimmte,  von  den  ver- 

Bcbiedenen  Arten  dieser  Curven  ganz  unabhängige  Ebene  ist;  ao 

ist  diese  Ebene  der  geumeiriscbe  Ort  der  Berührenden  aller  durch 

den    Punkt    (wt-wj)    auf  der  Fläche    gezogenen   Curven  in  diesem 

Punkte,  und  wird  deshalb  die  Berührungsebene  unserer  Flache  j 

'      des  zweiten  Grades  ia  dem  Punkte  (ttvuj)  genannt. 

kjcbreibt  man  die  Gleichung  2)  unter  der  Form: 
(Au+Dü+Fte-\-G)u\ 
+  (Fu  +£»+  Cio  +  J)w\ 
+   G«+  Öp+Jw+ff    ) 
....  verbindet  sie  durch  Addition  mit  der  Gleichung  8);  so  fibec^ 


=    0, 


lÜft  Grnnert:    Tk§&rie  der  Fideken 


t0sm%i  OMD  »idi  aof  der  Stelle»  dmse  die  Gleichung  der  B« 
rengeebeoe  unserer  Fläche  in  dem  Pnkte  (timo)  auch  unter 
FArm : 

9) 

(Au\Dv^Fw^G)x 

^iFu-^Ev+Cw  +  J)z    ^  ^" 
-I-  du  +  Hv+Jw  +  K 

<liir||UMielit  werden  kann. 

Unier  der  Normale   der  Fläche  in  dem  Punkte  (uvw) 
«teht  luau  die  in  dleeein  Punkte  auf  der  Beruhrungsebene  in  ( 
selben  nenkrecht  stehende  Gerade. 

Setcen  wir  der  Kdrie  wegen: 

10)  .    .    .  il  =  «in  (^z)\    »  =  sin  (m?)»,    tf  =  8in(a:y)« 

uud: 

IÄ'  «=  oos(zar)oos(jry) — cosfyz), 
]9'  =  cos  (sy)  ces  (yi)  —  cos  (zjr), 
tf '    --  cos (jft)  cos(tjr}  —  cos (ary) ; 
ferner  - 

•  12) 

l^=     A(Au  +  Dv  +  Fw  +  G) 
k^Si\Du  +  Bv+Ew+B) 
k^^'iFu-^Ev  +  Cw  +  J), 

Q^     ii'{Au^^'Dv^^^Fw'^G) 

^^\Fu^Eü  +  Cw  +  J). 

K«  V'{Au^Ih>  +  Fw  +  G) 
-^Si'iDui^Bv+Ew  +  H) 
^^(Fu  +  Et  +  Cw  +  J); 

w  >iuil  ^)  dio  Gleichungen  der  Normale  in  dem  Punkte  (uvw 

*«)|  ^<u  vvi-.||h\ inkUgos  Coordinateti^y^tem  ist: 
•  ^K^   V*vVu      IUI.  \\\l\      Si  K*. 


des  »teeiinH  Grades. 

a   =1.      »    =  I.     «  =1; 

Ä'=0,     B'  =  0,    tf'  =  0; 

t  die  Gleichungen  der  Normale  Bind  also  in  di 

x  —  n 
Au  +  Dv  +  Fw+G 


'Iht^Bc  +  Ew  +  a 


"Fu  +  Ed+Cui+J' 
(Jeder   PuDlct  einei    einen   Mittelpunkt    habenden  Fläche    de»] 
i  Grades,    in   welchem    die    entsprechende   Normale    der 
9ie  durch  den   Mittelpunkt    dieser  letzleren    geht,  heisst   ein 
tel  der  Fläche,  und  über  die  Bestimmung  dieser  Scheitel 
wir  jetzt  dem  Vorhergehenden    noch   einige  Bemerkungen 
uu  fügen. 


In  §.  6.  ist  (gezeigt  norden,  dass  die    Gleichung  einer  einea< 
Hittelpunkt  habenden  Fläche  des  zweiten  Grades  immer  auf  dj<  ' 


Ax'^  +  Biß  +  6':»  +  1Dxy\  2%i  +  1F:x  +  Ä  =  0 

Hncht  werden  kann,    wo,  was  man  wohl  zd  beachten  hat,  di 
die    bekannten    primitiven    Coordinaten   /,  g,  h    bestiminl 
telpunkt  der  Fläche  der  Anfang  der  Coordinaten  ist,  die  Coor- 
(enazen  den  primitiven  parallel  und  die  Coefücienten 

A,  B,  C.  iD.  'IE,  '>F 

nsecbs  ersten  Glieder  in  der  primitiven  allgemeinen  GieichungJ 
iFläche  ganz  un^efindert  geblieben  sind,  endlich  Sl  seine  aua  J 
l  Obigen  bekannte  Bedenlung  hat. 

Bezeichnen  wir  nun  mit  Bezug  auf  obige  Gleichung  einend 
^tel  der  Fläche  im  Allgemeinen  durch  (uno),  si>  sind  nach  | 
Bis  Gleichungen  der  Normale  in  demselben; 


i 


Au+  Do  +F(c       üw  +  ßp  +  £w       fi*  +Ec+  Cw' 

e  Normale,  wie  es  der  Begriff  des  Scheitels  fordert,  durch 
den  Mittelpunkt  der  Fläche,   welcher  hier  der  Anfang   der  Coor- 
I  ist,  gehen;  so  müssen  ihre  Gleichungen  durch 


r 

^^H 

^^H 


ßrunäptr    TiaUm  4tr  Pta^un  • 


erfallt  »-erden,  was  auf  der  Stelle 
zwischen  den  Coardinaten  u,  v,  (c 


zu  den  folgenden  Gleit 
des  Scheitels  führt 


/1m  +  Op  +  Fw       fl«  +  ßp  +  £M~  fii+£ö+  Cw' 


Bezeichne 
1  von    dem  Miltel|iu 


e  ISO**  nicht  übersteigenden  Winkel,  welche 
Ulkte  der  Fläche  nacli  dem  Scheitel  (tme) 
mit  dea  poBitiveii  Theilen  der  Coordinaten- 
axeneinschlieast,  durch  |,  i],  i,  und  die  EDlfernang  des  Scheitels 
TOD  dem  Mitlelpunlcte  durch  R;  so  ist: 

N  =  Rcosi,     f>  ^  Rcosij,     10=:  ßcost 

UDd  die  obigen  Gleichungen  gehen  iu  die  folgenden  über: 

cob| 

^  cos  1  +  />co8i;  +  f  cost 

_  <">«V 

/>coB£-|-£cas};-|-£cosi' 

cob£  

—  Fcos|-h£co9i)+6'cosf' 

also,  wenn  man 


dcos|'+  Oeosi)  +  f  coag  ] 

~  Ocosg  +  BcoBTi  +  EcöäS  f 

_  coa£ 

~  FcosI  +  EcosT]  +  Ccasg  l 

setzt,  in  die  folgenden: 

Jcosi  +  Occ 

Ocos|  +  ßco 

Fcost  +  Ecc 
also  in  die  folgenden: 

(-4— S)co8^+  Öcos)j  +  Fcos&  =  0, 

Ocos|  +  (Ä  — Ä)cosi?  ^£coBä:  =  0, 

f  cos^  +  £cos*i +  (<:-- S)cob£  =  0: 
zu  uelcfaen  Gleichungen  noch  die  Gleichung; 
coBS*+coaJi'  +  cos£*  =  l 


.H)(  +  Fcos£=;5co8£, 
s  ij  -|-Ecos  J  =  iScos  ti , 
'8j}+CcoB^=  Scosf; 


des  zveilen  Grades. 

Da  wir  uns  mit  der  AuflÜsung  dieser  Gleichaagen  schon 
.  ausfuhrlich  beschäftigt  hahen,  so   ist  dariiher  hier  nichts 
'  zu   sagen ;    wir    nifisen    namentlich ,    dass     S    durch 
AuDg  des  dritten  Grades  bestimmt  ivird,  welche  immer  drei 
I  Warze  Id  fiat. 

IPeil  die  Scheitel  Punkte  der  Fläche  des  zneiten  Grades  sind. 


^u*  +  ßc''  +  CwH2ÖMC+2£üio  +  2FwM+ß  =0, 
faacb  dem  Obigen: 

!j4cos|*  +  Bcosij"+  Ccos  £• 
+2Öcoa|co8i)+2Ecos^cosS+2FcoeecoBif 
Bein;  multipÜcirt  man  aber  die  drei  Gleichungen: 
H  coa  1  + /Jcos  17+ FcoaE  =  Sco8^ 
Z>cos|+Bcosi;  +  Ecosg=  Scasi], 
Fcos£  +  Ecosj)  +  Ccost=  Scos£ 
nach   der  Reihe  mit 

coe£,    cosi],    coa£ 
und  addirt  sie  dann  za  einander,  so  erbSit  man: 
^cosl^+ßcosjj'+Ccosf* 
+  20  cos  |co9  ij +2E  eosij  coa  £+ 2Fcos  £  cos  6  ( 
und  folglich  nach  dei 

Sßa+a  =0, 


Ueberhaupt  haben  wir  also  zu  der  Bestimmung  der  Coordina- 

u,  V,  w  der  Scheitel  die  folgenden  allgemeinen  Gleichungen: 

14*) 

M  -  S)  cos  H  ^co8  ??  +  Fcos  t  =  0, 

i>cos|+(B— SJcos7;  +  £cos£=0, 

Fcosl  +  Eeoagj  +  CC— S)cosS=0; 

cos  I*  +  cos  *(■+  cos  £*=:]; 


eranert-  f*Wf«f'ft*W«fie» 


worauH  »icb  oamittelbar  ergiebt.  dase  die  doTch  die 
sebnitiKpunLte    d«s    Durcbme^sers    mit    der    FlSdie  an 
gelegteu  Berübrnngs ebenen  jederzeit  eioander  parallel 

Durch   einen   beliebigen   Punkl    ifyh)   des  ünrcbioei 
w  eichen  alao ; 

r  ^  _9_  ^  _j_ 

coga         cosjS        cos  y 

iai,  legen  nir  jetzt  eine  den  tterfihrDogsebenen  parallfll 
sn  ist  nach  18)  dereo  Gleicfaang: 

20)     ^co8a.(:E-/^  +  ßco8(S.(.v-ff)4Cco8j..{i-A)=| 

Die  Gleichungen  jeder  durch  den  Punkt  (fyk)  gelegten^ 
sind  von  der  Form : 


lyj. 


COSf* 


soll  aber  diese  Gerade  in   der  durcb  die  Gleichuog  3 
riairteii  Ebene  liegen,  so  luuss: 


22)  . 


ilcosacosi  +  J?cos|3cos(*  +  Ccosj'cosv^O 


aein.     Bezeichnen    wir  unter   dieser    letzteren   VorauRsetl 

Conrdinaten   der  Durchsehnittspunkte  der  durch   die  Glei^ 

21)  charakterisirleo  Geraden  mit  der  Fläche  durch  F,  G,  i 


■  nach  dem  Vorhergehende! 


;  deren  Bestimmui 


4F^  +  BG^  +  CH^  =  D, 


nu»  denen  sich,   wenn  man: 


'■=/■+ r^C-n. 


rC-rt 


aettl,  iur  Bestimmung  foti  F—/"  leicht  die  folgendo  qq 
(Jkiehuiig   erglobt: 


da  zweiten  Grades. 


^  cosA 


-  D. 


W^en  der  GleiGbung 

coacfl  -\-  coa^  +  co«)''  =  I 

versch'vitidet  immer  tn'mdestens  einer  der  drei  Cosinus 

cosfii,     cosß,     cosy 

nicbt,  weshalb  wir  annebmen  wollen,  dass  etwa  cosk  nicht  ver- 
schwinde. Durch  Multiplication  der  Gleichung  23)  mit  f  erhält 
man  die  Gleichung: 

AfcosacosX  +  BfcosßcoB(i  +  Cfcasycoav  =  0, 

also  nach  19)  die  Gleichung: 

(/j/'cos  i  +  Äs  cos  (i  +  CAGOSv)cosa  =  0, 

_    ond  folglich,  weil  cos«  nicht  verschwindet: 

^^^^H  AfcoBi.  -f  ßgcosfi  +  CAcoav  =  0. 

^^^^■t  gehl  die  obige  quadratische  Gleichung  io  die  folgende  übert- 


jf,^^^CA'+^"^''Z7f^'"' 


-(.F-f)': 


woraus  man,  wenn  man  hiermit  die  GJeichungen  23)  verbindet, 
mit  Beziebaog  der  oberen  und  unteren  Zeicfaen  auf  einander  er* 
bllt: 


F-/=±co,J  Y  ^„.a.  +  Beo.y'+Cco..'- 

G  —  O  =  +  C0SI»  V    'j ,a    ,    p g  .    ^ i, 

*  ^   T   4co8l" +  ßcosft«  +  Ccosv« 

„    .     .        »/     c-M/-'+ag'+a')    . 

—  w   jfco8A*  +  ßco8(**-f  Ccoa** 


"*..-*»' 


«.■«  -Jk 


■b«««    •«    • 


-•  -^  -".-e   -.r.?    .     izi  -' 


|:-^  -. 


11 1*  -»II  ■ 


I  •     *-•• 


,  ...    ^tl  "  f  ^  —4       —i 


id^at«>k.J^v*l^^:iS       11 1 


«  • 


**.:* 

-"•5- 


•  tv 


ein    Punkts    '< 


des  swe/len   Greidts. 


139 


^  die  gebraocbten  Zeichen  mit  den  im  Vorhergehenden  ge- 
■nichlen  gleichen  Zeichen  nicht  in  Beziehung  etehcn,  charali- 
IMsirte  Gerade  denken,  und  deren  Durchschnitlspunkte  mit  dei 
Inrnmen  FISche  durch  {,uvw)  bezeichnen;  tfo  haben  ivir  zur  Be- 
Hnunung  der  Coordinalen  u,  v,  u>   die  folgenden  Gleichungen: 


1«0 

t!ru 

neri:    TAeörfe  der  Flächm 
45) 

x  = 

fi(/CO8/J-ffC06 

o)coaß— Ccosacosy 

Aeoa 

•+ßco«p 

r- 

-A(fco,ß-gc 

o..)c.s«-CcosSco«/ 

A{h<ia&u — feoay)coaa  —  ^(gcosy— Acosß)coaj3  —  CcOBy*. 

,   wie  mui  sogleich  übersieht: 

46)  .  .   .   .   4cos«.A  +  J?cosjS.  F+Ccosy  =  0. 

welches  die  Gleichung  einer  auf  der  Ebene  der  xy  senkrecht 
stehenden  Ebene  ist,  die  also  natürlich  der  Axe  der  z  parallel 
ist.  Folglich  liegen  die  Mittelpunkte  aller  einander  parallelen 
SehnoD  in  einer  der  Axe  der  t  parallelen  Ebene,  welche  auch 
hier  eine  Diametralobene  der  fläche  genannt  wird. 

Nach  dem  Vorhergehenden  bann  man  sagen,  dass  die  aSmmt- 
licheri  Durchscbnittalinien  der  Diametralebenen  einer  keinen  Mit- 
(olponkt  bähenden  FUche  des  zweiten  Grades  einander  parallel 
sind,    oder  dass  alle  Diaraetralebenen    einer  solchen   Flache  anf  ' 

I einer  tinö  derselben  Ebene  senkrecht  stehen 
Drittes  Kapitel. 
Van  dfH  (■•i^u||lrlrn  Burrhnfsscru   der  einen  üittelpunkt   haben 
i 


FUrlieD  dfg   iwelten  Grades. 


f  13. 


I 


Wenn    wir  von  dem   in    ^.  9.    erörterten    Falle,    we 
hl  Igont  einen  Gloichuog 

Alc*  +  By*  +  Ci»  =  O 

der  einen  Mittelpuukl  habenden  Flächen  des  zweiten  Grades  die 
GröKsc  li  vorsrÜwindet,  jetzt  absehen,  können  wir  die  vorste- 
hende Gtolchung  durch /Jdividircn,  oder  wir  können  in  derselhan. 
i)  =  I  sotzoii,    und  diese  Gleichung  also  auf  die  Form: 


A£i  +  ß?/»  +  Ci«  - 


^                              deg  eaefien  Grades. 

^^ 

—m 

^^^^Kn  nder  uns  gebracht  denbeii,  Melche   wir 

unser 

n  ferneren   ^^| 

^^Kcbtungen  ku  Grunde  legen  werden. 

■ 

» 

^ 

Unter  conjugirten  Durrhm  eesern  der 

n  Bezug  auf  ihren 

Mittelpunkt  als    Anfang  der   CoordinateD    dnrch 

die  Gleichung  1) 

charabterisirlen   Flüche   des  zweiten  Grades  versteht 

man    drei    ' 

Durchmesser  dieser  Fläche  von  solcher  Beschaffenheit 

,    dass  die 

darcb  je  zwei  dieser  Durchmesser  bestimnite  Ebene  in 

Bezug  auf 

den     driften    Durchmesser   eine    Diametralebene 

der 

Fläche    ist,-            j 

also    alle    diesem    driften    Durchmesser     parallelen    Sehnen    der              | 

Kiaehe  halbirt. 

i 

Uebcrhaupt    wollen    wir    die    Gleichungen 
Durchmesser  durch 

dreier 

conjugirler    ^1 

^^L            [■  -^ y '— , 

^^^K                      l     cos  00        coso}»        cosuo 

1 

^^^V*  '                   j     COS0,        cosm,    ~coaÖi' 

^ 

^■^                    ^    ^H^  =  a^^  =  EHiö", 

^ 

Ibexeicbnen.      Die  Gleichung    der  durch   den    zn 

eilen   i 

iid    dritten    ^H 

f  Dnrchmesser  bestimmten  Ebene  ist: 

^1 

j                                (cosw,coSÖ,-co8M,cofiiaa);r 

■ 

1                             +  (cns  öl  cos  Öa  -  cob0,  cos  Ö^y 

-0, 

1                             +(cose,  costoj-cos«,  cosÖj)i 

-9^^^| 

Lnd   »ach  §.  1).  m  ist 

'^V 

^^K                 Acos0o-x  +  Bcoswa.g  +  Ccosü„. 

=  0 

^^^■jem  ersten  der  drei  Durchmesser   entsprechenden 

Diametral- 

^^^Hft.      Seilen   nun   diese   beiden    Ebenen  mit 

einand 

r  aberein-     ^_ 

^^^beo,    wie  ee    der  allgemeine   Begriff  der  c 

onjugirten   Durch-    ^^^ 

^^Hfer  erfordert,   no  muas 

^H 

^^r                                                                  Bc 

£My_ 

^^ 

^^^bwB  iD,  cos  u, — cos  Ui  cos  coa        cos  u,  cos  9,  - 

cos                 ^^H 

^^ft                                                Ccos 

■ 

J 

^^^H                        ~  cos  <9i  cos  o,  —  cos  (Q]  cos  ß^ 

142  Grüner t:    Theorie  der  Flächen 

ffftitt,    »fid  «tir  erhalten  daher  überhaupt  filr  ein  System  dreh 
ronjugirter  Ilurchmesser  die  folgenden  Gleichungen: 

3) 

A  coagp BcQBmp 

cos  C0|  CO«  c5s — C08  c3|  C08  o«       C08  öl  cos  6^ — cos  $1  cos  Öt 

Ccos  Sq 

~^  cos  Bi  cos  tt^^cos  a>x  cos  B%  * 

V 

i4  cos6|| Äcos©i 

coli  o»B  cos  »0  —  cos  o«  cos  «»0      cos  €5«  cos  B^ — cos  B^  cos  Öo 

Ccos  5| 

"^  cos  B%  cos  COo^COS  (02  cos^o ' 

i^cosd^  ficosa»^ 


coK  coo  cos  c3|  —  cos  c3o  cos  09|       cos  a>o  cos  0|  — cos  Bq  cos  üi 

« Ccos  5a 

~"  cos  6^  cos  fi>i  ^  cos  a»o  cos^i  * 

niese  («leichungen  bringt  man  leicht  auf  die  folgende  Form: 

( A  cos  B%  cos  By^^  B  cos  oo^cos  cBo  -f  Ccos  Qt  cos  c5o)  cos  üi 
::=  (A  cos  (^()COs  ^1  +  Aoos  tt>QCOs  0»!  -f  Ccos  Oq  cos  Ol)  cos  cSd 

(.^co8f)i^cos^0  +  Acosco^costto-f  CcosOsCos€5o)cosdi 
-  ( Jcosf^^^cosf^i  "i"  B cos »o cos»!  +  Ccos »0 cos 0|) cos ^, 

(  A  cos  B^  cos  f^^t  4-  fi  cos  C»t  cos  CDo  -f  C  cos  O^  cos  Oq)  cos  01 

=  (.-foosf^^^cos^  f-  Acos coo cos a>i<|- Ccos Qo cos 0|) cos 0|; 

\  A  cos  fj^^  cos  By-^^B  cos  oio  cos  0|  -|-  Ccos  o^  cos  ö^)  cos  0| 
—  ( A  cos  f^  civs  ^  f  fi  cos  Ml  cos  «t  <|-  Ccos  c3i  cos  o^)  cos  Öo, 

( .1  Ci^s  f^^ cos By  f  l^cos  ci^> cos  «1  -|-  Ccos  q^cos  öi)  cos  6^ 
-.  \.lc<\»r^  c«^r^  {-  Acoso>ico$a2~f  ^coscSi<^osO£)cos0o» 

V.lc«vs(^^c«>sf\  {-  Aco$ii^co$0|-|-Ccos«\|icascSi)cosc)s 
^  V^«^«^^^^«^^^  Acosc^c<vs«t  +  ^casciicosua)cos»o; 


v.|Ci^sr\cos(^-f  i^c<^«»iCosttt-fCcosaiCosOt}cosOo 

'  y.|v«^»ir«i<svsr^x  I  l^costti^CAso^-f  CcosÖ2CosOo)cosQp 

V  4v\\«ii*ic«w^n^  4  Kc<is4»iC^^4i^+Ccos4^cosÖ£)cos6!o 
.<<^v.'*jj^VvV*|i4  I  K«NVft4A|Ci\$«i^f  rco$i»ico$(^)cos0o 

-^  ..<VxV^.\Vi^H^  )  K«NV|^|||^«NN»«\^  f  rC0$<^C06tt^>C0SI9i; 


det  tvetten  Grades. 

^^!:^ 

od  steht  also,   daea  diese   Gleichungen,    tvie  e 
ImiDtliGb  erßiilt  sind,   wenn    die  drei    folgenden 
int   emd: 

s  erforderlich  ist, 
1  Gleichungen  er- 

4) 

^cosöocoed,  +  Bcosoocos«,  -(- Cco8Ü(,cosö,  =0, 

^cos9,cosfla  +  BcosiaiCOBw,+  Ccohü,( 

».5.  =  0, 

JcoBÖaCo8eo+ ßeo8«,cos«o  +  Ccosö,c 

•  olofiA   rüp'irhimtTPn.     in    Vf.rhmiliin»    mit    rinn    n 

ntnrtlrh    mich    i>.>. 

lebenden    Gleich nngei: 


S) 


C08  Öq'  +  COS  »o'  +  COS  Öq*  =  I , 

cos  öl'  +  cos  ü»,'  +  CBS  5,"  =  1 , 

cos  flj*  +  cos  Ol*  +  cos  öj"  =  I , 

r  die  Gleichungen  der  conjugirten  Durchmesser  nennen  trollen. 


'  g.  15- 

^    ZanSchst  ivollen  wir  uns  jetzt  n 
är  Durchmesser  beschäftigen. 

Einen  Durchmesser   nehmen  vt 
lie  Gleichungen : 


it  der  fiestimmuDg  conjugir- 
r    willkührlich   an,  der  durch 


i'on  selbst  besteht. 


£_  —    y     _     *_ 

IS  Bo  *~  cos  »0        cos  Uj) 

;,  and  ftir  welchen  also  die  Gleichung: 

Ij,"  +  cos  tüo*  +  CO«  ö(,'  =  I 

wir  einen    zweiten   Durchmesser    dadurch, 
o  hestimnien ,  dass  den  beiden  Gleichungen  : 


^cosdocosfi,  -)-  ficnscDoCi 


I  -|~  CcobUqCos(i>|  =  0 


^3gt  wird,  wobei  wir  also  einen  der  drei  zu  bestimmenden 
>^nkel,  etwa  den  Winkel  0,,  willkiihrlich  annehmen  künneo, 
^eoD  sich  auch  nachher  zeigen  wird,  dass  sich  dieser  Winkel 
'>cht  ganz  willkührlich  annehmen  ISsst,  sondern  seine  Annahme 
><ner  gewissen  Bedingung  unterworfen  ist.*  Um  nun  mittelst  der 


w 

1^^  zu  I 

1  beid 


gtinertr'  fUeMe  tferfw^M 


leiden  vorslehendgn  Gleichungen  ferner  die  Winkel  w,  und  Ü, 
zu  beslimmen ,  erballen  wir  suvürderst  aus  der  zweiten  dieser 
beiden  Gleichungen : 

_    _       ^cnsfloC06fl,-f  ScoatapCOSMi . 


und  führen   nir  nun   diesen  Ausdruck   in  die  erste   der  beiden  i 
Rede   stehenden  Gleichungen    ein,    so   erhalten   wir  zur    Beatim-  | 
L  mung  von  m,  die  folgende  Gleichung  des  zweiten  Grades: 


2/lßc»8fl„COSW(,CO 

*'.. 

»1 
cos» 

CcosS„>-M«oos«„«+C«e 

s 

ß*cos»o»+  C»c« 

man  durcli  Auflüäung  dieser  Gleichung  leicht  erhSlt: 

ABcosBq  cos<u„cos6| 
"  ß«cos(a„HC"cosü 


SQoY  j_ 


ß*coso)o«+  C'cosüo'  / 

(^'co8&(,«  +  flacQSM(,»+  C°cos(5ft*)ci 


dB  coäßft  cos  Un  cos  ä| 


± 

i  oder: 


CcoBäoVX^f 


BCOo*+C«Cl 


jHCcOB01o*)Bip9i«- 


'  ß«cos(Bo*  +  C'cosÖo" 


Ä*cos(0o»+C'cos5o' 


5^  -^ficoBflnCoamn 


Ccoa Mq  V(fi»ci>s  Wo'  +  C cos  öp')  tang S,* -  A*eoä9?  i 


Fuhrt  man  aber  diese  Ausdruck 
'   Formeln 


..u^-^   .^„  ^JSU|    in  den  obigen  AdS' 
erhält   man    überhaupt    die    folgem 


des  %we{len  Grades. 


w- 

-B«eo.«„ 

+  C'co 

5„" 

Tt 

,   Ccoa 

UoV(il'cosöoHß' 

tos  «.„•+C'cosu„' 

sin»,  «-^„,9,. 

cos  b>|  ^ 

fi'cos.. 

cos  ü(,  cos  9, 
+  C»co.ö„« 

^B.o 

«„V(J»CO 

»».'+«' 

COS(flo*+C*COSWo* 

.in8,«~4'cos9„« 

7) 

*  ß»COBO>o''+C»COSO(,» 


t  Oq')  ta 


9,«— ^«COBÖo' 


B«C08(Oo=+C'C08Öo2  ' 

nös  nnti  anch  zngleicb  erhellet,    da§s  der  Wiabel  Bi  der  Be- 
ringung : 

lontMliegl. 


I  bestimmt) 


Endlich    werden   nun    die   Winkel 
I  den  drei  Gleichungen : 

cos  Öa*  +  cos  Djj^  +  cos  öj*  =  1 , 
Acas6oCQ6ßi+  Bcosoj|,eos£Bj+  CcosUqC 
•  AcoaBiQOsea  +  BcoBiaiCOBcag  +  CcosöjCosS,  =  0 

1  wird.     Bezeichnet  G  einen  gewissen  Factor,   so  hat  man, 
I  beiden  letzten  Gleichungei»  za  geniigen,    zuvörderst; 

AcobB^  =  G(cosmocosüi— cosüßCosM,), 
fiGosio,=  G(cosOo<^'*^^i  — cosfloCosöj), 
Ccosüa=  GCcosöo  cosi»,  —  cosWq  cosfl,) 


1 

146  Grunert:    Theorie  der  Flächen  1 

IM  «etzen ,  und  erhält  daon  mittelst  der  ersten  Gleicbnog  sogfeick: 

'"  ^  [  /cos  flOp  cos  5|  —  cos  Qq  cos  flli^*    ** 

V  3  ; 


/cOsSqCOS^I  —  COSÖqCOSOiV 

/cos  ^0  cos  »i  ~  cos  »o  cos  Qt\* 

+  v  c  ; 


•Uo  sar  Bettimmiing  yon 

co86ist    cosfla^,    cosQf 


die  Formeln: 


oosa»  =db 


10) 

COSCttpCOSSi  —  COSSpCOS^t 

A 


(COSflOoCOSQt — COSttoCOS«>t\*    \  * 
^  )  \ 

^V  B  ) 

/cOSftoCOSCIl  —COSttoCOS^iV 

+  V,         c         ; 

cos  c3o  CO80|  —  COS6|o  G08  0| 


cos  o^  =:  :£  - 


(COS  «0  COS  Ol  —  CaSQoCOSIPt'\* 
A  ~) 

/cos  top  cos  6x  —  cos  ^0  COS  i^i\ 

+  V         B         ; 

/cos  öp  COS  »1  —  cos  »o  cos  ^\  ' 

+  ^  c         ^  ) 

cos  6p  cos  iP|  —  cos  «p  cos  ^1 

c 

(cos  (Dpcos  c5i  »—cos  5p  cos  <0l\* 

(cos  SpCOS^i  —  COSgpCOSQi\* 
B  ) 

(COS(>ftCOSWi  —  COSCDpCOS^i  \*    I 
c  y  / 

Hm»Ut  «|«i  i^limmtllGhen  hier  entwickelten  Formeln  lassen  s» 
HM^^\^4hi  )l  ^  ^^^  Systeme  imi\{ogirter  Darchroesser  bestimme 


osäa=  i. 


tlfs  ^Ketten  Grades. 


§.  16. 

II  roan  ein  beliebiges,  durch  die  Gleichungen  2)  bestimni' 
F  System  conjugirter  Durchmesser   als   ein   neues  Coordinaten- 
System  der  x'y'i'   annimmt,   so  hat  man  nach  der  Lehre  von  der 
I V^-wandlung  der  Cunrdinaten  die  Gleichungen: 

s^c'cOBÖo  +s'c<'8Öi  +t'coHflj, 
=  a;'cos(Uo  +2/'cosoii  +i'coa(Di, 
=  d:'Gas(So  +y'cos5, +  i'cos5,; 
1  nun  diese  Ausdrücke  für  x,  y,  t  in  die  Gleichung 

4er  FIfiche  ein,  so  erhält  man  mit  Rücksicht  auf  die  Gleichungen 
i)  und  5)  der  conjugirten  DurchmeBser  leicht  die  folgende,   a 
du  System    der    conjugirten    Durchmesser    bezogene    Gleichui 
a«  FISche : 

11) 
iB(,«  +  ^cosu„'')a: 

M.»  +    Cct 

»B*  +  Cqi 
'egen: 
A'  =  A  cos  fl^»  +  B  cos  Bf,'  +  Ccos  ßu'  ■ 

^  =  ^CO8l9,«+ßc0SIB,''+  Ccosö,". 

C  =  AcoBd^-yBcosa^-^  Ccoaü,'^ 
"•*«»>  ,    die  Gleichung : 
^'>    - ^V»  +  ßV«+CV«=l, 

'  ganz    dieselbe    Form    wie    die    Gleichung    zwischen     den   ( 

inkligen   Axen    hat. 
*^ie  absoluten  Werthe   der  Grössen    A' ,  B' ,  C    woUen  wir  ] 
^«Zklgeoden  durch  <4,',  ßi',  C,'  bezeichnen, 

§.  n. 

-^-nf  jedem  der  drei  conjugirten  Durchmesser  wollen  wir  zwei-l 

vvnkt«  hestimroen,    deren   Entfernungen   von   dem   Mittelpunkte  T 

^  *'läch«  für  die  drei  Durchmesser  nach  der  Rei|i^ 


1 


^^H 

P 

1 

^^H| 

Jas  primitive  rechtwinklige 
durch 

(*■»■,) 

3- 

^^H^* 

»,    *..    iH 

^^^^^^^^^g^tm^a 

WH«  die  Gleichungen : 

^^^^^KBSi 

-cosö/     "'• 

'+</<.'  +  Jo''=;;|y7i 

^^K^m'^  "^^^ 

M    *-*^?. 

cosi»o 

.  co«S„ 

^f^plM^  ■■  Am  man  also  überhaupt  die 

rotgenden  Gleichungen  hat: 

1  "     ^VJ,' 

y«      J^  vA,' 

,  cosB„. 

■»>  '.=±r^' 

^•=±?^ 

-^i'^-- 

■    (..=±^. 

»,=±^ 

"-^v'^''- 

^W  natürlich  nur  in  jede 
swiscben  den  otiereo  unc 

einzelnen  Hör 
unteroti  Zeic 

zontalreibe  eine  Beziehusg 
en  stattfindet. 

Sind  überhaupt 

■ 

"»"cosw  —  toöw                                            1 

Durchmessers , 

Coordlnaten   :t.  j,  *   seines   Durchschn 

ttspuDkts   mit   der    dorcb  1 

die  Cleicluing    ^»'  +  %«+Ci«  =  I    charaklcri.irten  Flache,  s.  | 

ethUI  man: 

co«e 

A 

■               '=±V7 

cos  0*  + SMS  a 

MSW 

'+C:ce.<ä''              ^H 

^^K  '"^Vj 

r«69*+  fioosu 

^M 

^^^m                                         ^m 

des  zweiten  Grades,  149 

welche  Ausdrucke  nur  dann  reell  sind«  wenn  die  Grosse 

A  cos  ö'  +  -ß  cos  00*  +  Ccos  o* 

positiv  ist  Vergleicht  man  dies  mit  dem  Obigen,  so  erhellet 
auf  der  Stelle,   dass  die  Punkte 

(^0^0 2^0)»    (^1^1*1)*    (^«ya««)    oder    M^,  M^,  M^ 

nichts  weiter  als  die  Durchschnittspunkte  der  conjugirten  Durch- 
messer mit  der  Fläche  sind,  insofern  dieselbe  von  diesen  Durch- 
messern oder  dem  einen  oder  anderen  von  denselben  wirklich 
geschnitten  wird. 


§.  18. 

Wir  wollen  jetzt  zunächst  einige  Relationen  zwischen  den  Grös- 
sen A' ,  B' y  C  entwickeln,  und  dabei  der  Kürze  wegen  mit  Bezug 
auf  3) : 

15) Go=  ^"""^^ 


G,= 


cos  tOi  cos  Q2  -^  cos  ^l  cos  £»2 

B  cos  CDq 

cos  Qi  cos  $2  —  COS  $1  COS  O« 

Ccos  Oq 

cos  $1  cos  (»2  —  cos  (Ol  cos  6^  * 

A  cos  61 

cos  a>2COS  Qq — cos  o^  cos  0>o 

^cos  co^ 

cos  €$2  cos  ^0  ""  cos  ^2  COS  Öq 

Ccos  5t 

COSd2COSO>o  -~  coscoscos^o' 

A  cos  ^2 

cos  £»0  cos  c5i  —  cos  c5o  cos  ai| 

.^€06  02 

"^  cos  ©0  cos  $1  —  cos  Oq  cos  ©1 

__^ Ccos  ©2 

cos  öo  cos  (»1  —  cos  (DDoCOS  Bi 

setxen. 

Durch  Multiplication  erhalten  wir  aus  12)  leicht: 


<?,= 


erunirl:    Theorie  der  Flächen 

+  ÄCfcoB  DJo»  cos  Ö.a  +  cos  öo»  cos  <fl,'=) 

+  CJ  (co8Mo*cosfi,*  +  coee^^Qosäi^) 
=      ^''coseo''cosfl,«  +  ß'co8ioo''co6w,*  +  C»cosHo«cob5,1 

-|-  2^£cos  d(,  cos  9,  coe  Wq  cos  Uj 

+  2BCcos  tOo  cos  Oll  ^^^  ^o  '^'>s  öi 

-f-  2C^1  cos  üo  cos  üi  cos  dn  cos  61 

+  ^B(co8eo  cosoj,  — cosmocosfl,)« 

+  BC(co8a>oC08Üi  —  cos5o'^''s<"i)* 

+  CiJ(cos5oCOfie,  —  cosflucoso,)» 
=      (^cosöocosfl, +  ffcosO(,co5(o, +  Cco8Q„coBÖi)* 


COSÜj^ 

I 


ABC(AcoBQ^-\-BetiRa^-\-CcoBä^) 
-  G,' 

weil  nach  4)  der  erste  Theil  des    vorstehenden   Ausdrucks  rer-l 
scbwiDdel ;    also  ist  nach  12)  : 


ABC.C 


" 


lod  man  hat  daher  jetzt  üherhaupt  die  folgenden  Qleichungeo: 

ABC.A'  =^B'CGo^, 

ABC.ß'  =  C'A'Gi-', 

ABC.C  =A'B'G^. 

Nach  12)  und  15)  ist  ferner: 

1') 

SÜg— COSÜ1CO8O2)     i 

ISÖb  — cosffi  COSÜg)  ■ 
8ti»a — cosoj,  cos^j  ' 


^       cobS^  (cosuiGOsüa 

j4'=:GqS    +COS(O(|(C0SÜ,COSeB 

'  -f  cos  Üo  (cos  01  cos  Uta 

r         COSdi  (CDSfO^COSUf, 

ff  =  d  <  +  cos  (Ol  (cos  (Ö2  cos  Öq  ■ 
f  +cosü|(coseaCosQ)„ 

■h 


cosÖj  (coB(i>„coaa 
cos(<]a(coBÜnCos6, 
CO8  Ug  (cos  6t,  cos  a> 


-COSOaCOSO 


-C08Ö„COS6>I 
-COSfOneOB^i 


^V  ' 


des  zweiien  Grades.  151 

ottd  da  nad-  die    eingeklammerten   Grossen   offenbar  sämmtlich 
dieselben  sind,  so  hat  man  die  Gleichungen: 

18).  .......   .    ^.-Q-^^. 

Aus  16)  erhält  man  durch  Multiplication : 

19) A^B^C^  =  A'B'C'Go*Gt*G^*, 

woraus  sich  ergiebt,   dass  die  Producte 

ABC   und.  A'ß'C 

stets  gleiche  Vorzeichen  haben. 
Ferner  erhält  man  ans  16): 

ABC.A'*t=iA'B'CGo*. 
ABC.B>*=A'B'CGx*, 
ABC.C'^^A'B'CG^; 


also: 


Go  =  ±  ^' 


V"  ABC 
A'B'C" 

20).  |g^  =  ±^Y^' 


in  welchen  Formeln  wegen  der  Gleichungen  18)  die  oberen  und 
unteren  Zeichen  auf  einander  zu  beziehen  sind. 

Man  hat  also  auch  die  folgenden  Relationen : 

21).       .Go+Gt  +  G^=±(A'  +  B'  +  C')\^§^, 
oder: 

und: 

22).  .   .   .   GoGiGt-±A'B'C'\(^yy 
oder: 

22*) <?o<?»  Gt  =  ±ABC  V  ^§7 . 


I 

I 

I 


eranerf:  'TheBTte  der  Ftachtn ' 

tvobei  map  tu  bemerken  hat,  dass  nach  dem  Obigen  diel 

ABC    und    A'B'C 

gleiche  Vorzeichen  haben. 

Wenn  die  Gruasen  A,  B,  C  sämmtlich  positiv  oder  -— — , 
lieh  negativ  sind,  so  sind  nach  \%  auch  die  Grüssen  A' ,  ff,v 
respective  sSmintlich  positiv  oder  sämmtlich  negativ. 

Wenn  von  den  Gtiiseen  A,  B,  C  zwei  positiv  sind  and 
negativ  ist,  so  ist  (regen  der  Gleichung  1}  nach  g.  0.  die  FIKcbl 
ein  Hyperboloid  mit  einem  Fache,  und  das  Product  ABC  ist  ofr 
gativ.  Also  ist  nach  dem  Obigen  auch  das  Product  A'B'C  i* 
gativ,  und  von  den  Grössen  A' ,  B' ,  C  kiinnen  also  our  entw» 
der  2wei  positiv  und  eine  negativ,  oder  diese  Grüasen  künoa 
sämmtlich  negativ  sein;  im  letzteren  Falle  wäre  aber  wegen  da 
Gleichung  13)  die  Fläche  imaginär,  was  gegen  das  Obige,  äau 
dieselbe  ein  Hyperboloid  mit  einem  Fache  ist,  streitet,  und  « 
sind  also,  eben  so  wie  von  den  GrDsaen  A,  B,  C,  auch  vtl 
den  GrCssen  A' ,  B' ,  C  zwei  positiv  and  eine  negativ. 

Wenn  von  den  Grössen  A,  B,  C  eine  positiv  ist  uad  »m* 
negativ  sind,  so  ist  wegen  der  Gleichung  1)  nach  §.9.  die  FIldM^ 
ein  Hyperboloid  mit  zwei  Fächern,  und  das  Product  ABC  isl] 
positiv.  Also  ist  nach  dem  Obigen  auch  das  Product  A'B'C] 
positiv,  und  von  den  Grössen  A' ,  B',  C  können  also  nur  enU 
weder  eine  positiv  und  zwei  negativ,  oder  diese  Grössen  könDSli! 
sSmmtlicb  positiv  sein.  Legt  man  nnn  durch  den  Mittelpunkt 
der  Fläche  eine  beliebige  Gerade,  deren  auf  das  Coordinaleo- 
System  der  x'y's',  für  welches  nach  13)  die  Gleichung  der  FIScIu 

ist,  bezogene  Gleichungen 


sein  mögen,   und  bezeichnet  die  Dnrcb sc hnittsp unkte  d 
raden  mit  der  Fläche  im  Allgemeinen   durch  {x'y'i'); 
man  mittelst  der  vorstehenden  Gleichungen  leicht: 


*^^J'i«+ß>«  +  Cv«' 


ff'=± 


V^.ij'i«+ßV»+c^j| 


*'=± 


V^'J'+ß'ft'+C'r» 


des  zweiten  Grades.  157 


Qd 


V^         -4/  C  .  4/  Ä         -4/  ^' 

-t-cosctfaV  g/.cosöaV  C'~^' 

-4/  c       ^4/4         -  a/  c       ^  4/  ^ 

coscDoV  -j/.cosöoV  jy  +  cosöiY  -gz-cosöiV  ^ 

+C0SÖ2Y  ^•cosöaV  ^/  =0; 
also  die  Gleichungen: 

CQSfl(|*         COS^i^         COS^ft^    1 

COfiOp^         C08«^         COS  ctig*   1 


cos  (Oq*       COSQt'       COS  (i>2^ 1^ 


nd : 


COS  ^0  cos  (Uq      cos  6i  cos  etil       cos  ^a  cos  w^       ^ 
37—-  + ßi +— 7-c^^ =  «' 

COSOIqCOSOo        COS'Wi  cos  Ol        cos  (»2  cos  ^2  ^ 

costtpcos^ft  ,  cosSi  cobBi      cosSaCOS^  _  ^ 
A'         +         &         +         C         """• 

Wenn  die  FlSche  ein  Hyperboloid  mit  einem  Fache  ist^  so  sind 
owobi  von  den  Grossen  A,  B,  C,  als  auch  von  den  Grossen 
i'  y  B(,  C'y  zwei  positiv  und  eine  negativ. 

Nehmen  wir  nun  zuerst  an,  es  seien 

ABC 

positiv        positiv        negativ 
und 

A'  B  C 

positiv        positiv        negativ , 


154  Grüner t:    Theorie  der  Flächen 

cos  00  (cos  a>|  cos  o^  —  cos  c5|  cos  c»^) 
--—===  j  -f  cos0|(co8a>2CO8Oo— cos^2<^<>^c»o) 

-f  cos  ß^,  d^^  ®o  <^o^  ^1  —  <^os  ^0  c<^s  ^  ) 
cos  00  (<^os  a>i  cos  €^2 —  cos  Ol  cos  co^) 

^r^==^==r  j    -f  COS(i[>o(cOSC5iCO602  —  COS0,  COS  c^^) 

-f-  COS  Oo  (C^^  ^1  cos  G)2  —  COS  0|  COS  0^) 
A  cos  00*  +  ^COS  ©0*+  C*C08  Öo* 


1         J^ 

Also  ist  nach  23): 

1       /n 

^'^-Ai'Bi'Ci''Go*' 
und  folglich  nach  20) :  , 

qa™         1       f£^!c; 

also,  weil  offenbar 

A'B'C'  =  ±Ai'B^'(\' 

ist: 

indem  man  das  obere  oder  untere  Zeichen  nimmt,  jenachde 
ABC  positiv  oder  negativ  ist;  oder,  ^enn  man  die  absolute 
Werthe  von  A,  B,  C  durch  Ai^  Bi,  Q  bezeichnet: 


25) P  == 


6V^4Ä,C/ 


woraus  sich  ergiebt,   dass  P  für  alle  Systeme  coojugirter  Durcl 
messer  eine  constante  Grosse  ist. 

Bezeichnen  wir  die  zwei  in  jedem  der  conjugirteo  Durcii 
messer  liegenden,  von  dem  Mittelpunkte  M  gleich  weit  entfero 
ten  Punkte,  die  den  vorher  im  Allgemeinen  durch  Mq,  j|f|,  M 
bezeichneten  Punkten  entsprechen,  jetzt  durch: 

und  legen  durch 


des  zweiten  Graden.  159 

aai  +661  —  cci    =0, 

a^a  +  b^b  —  c^c  =  0 


imer  die  GleichuDgen: 


— c^  — Ci«  +  Ca«  =  1; 

bc  •{■  biCx  —  b^c^  =  0, 
ca  +  Cifli  —  c^a^  =  0; 


ilso  haben  wir  nach  dem  Obigen  die  Gleichungen 

(cos  öo  y  IJ;)«  +  (cos  Öl  y  ^,)«  ~  (cos  ö«  y^  ^,)*  =  1 , 

(C08«o  y  J,)*  +  (COSC^^I  y  ^J«  -  (cos  01^  y  ^J*  =  1  , 

—  (cos  Oo^  ;§>)*  -  (cos  ö,  y  ^,)2  ^.  (eos  ö^^  ^.)a  =  1 ; 


id: 


cosÖgV  ^pCosw^Y  ;j^,  +  cosÖiy  g^^-cosw^  y  ^^ 
—  co^öaV  gn.coswaY  ß4  =  0, 

^p.cosöoY  ^/  +  coswiY  ^..cosöiY  Ä* 


—  cos  »2 


Y  ^,,cos(«)aY  ^.=0» 


cosOoY  ip-cosöoY  "J^  +  oosöi  Y    D^/-COSÖiY   ^r 

—  coso^Y  ^/«cosöay  "^^  =  0; 
dso  die  Gleichungep: 


156  Grünere:    Theorie  der  Flächen 


cos 


cos 


ÖoY  ^•cosÖiV  gx  +  cosöoY  ;37-cosflii y  g>^ 
+  COSÖ0Y  ^.cosöi  Y  5"'  =  ®' 

öiY  ^/.cosöaV  ^/  +  coscoi  Y  ^/•coscd^Y  ^ 
-f  cosOiY  ^/-cosö^Y  c*"^^' 

C08Ö«Y    ^/-COfi^oY    27+CO80>«Y    C'*^^*^^V   2^ 

-  4A  c        -  4/  c     ^ 

-fC0SO2V    ^/.COSOoV   ^p^"- 

Aus  jedem  Systeme  von  Gleicbnngen  von  der  Form: 

a«  +Ä«  +c«   =1, 

aai   +  Ml  +  cci   =  0, 

ffi«a  +  ^1^«  +  ^1^2  =^  0* 
««a   +  Äft6  +  CaC   =0 

folgt  aber  nach  einem   bekannten  Satze  *)  jederzeit  ein  Sy 
von  Gleichungen  von  der  folgenden  Form: 

ab  +  üibi  +  0262  =  0, 
bc  +  61  c,  +  b^c^  =  0, 
ca  +  CiCi  +  c^a^  =  0. 

Daher  ergeben  sich  aus  den    obigen  Gleichungen   die    folge 
Gleichungen : 

(cosöo^  ^,)«+(cosÖiy  ^,)«+(cosÖ2y  ^/)*=J, 

(coswoY  Z^*  +  (^^** "1 V  W^^'^^^^^^^y  'C'^^^^' 
(cosöoY  37)*  +  (cos  öl  y  ^/)«  +  (cosÖ2Y  ^)*=1 
«)  M.  8.  die  Abhandlung  ThI.  XLIV.  Nr.  XXVIT.  Satz  III. 


des  zweiten  Grades.  161 

sind  y    so  haben  wir  die  Gleichungen : 

Ai  cos  öo*  +  Bi  cos  oio*—  Ci  cos  Öq*  =  -^i '  > 
—  Ai  cos  Öl*— Äj  cos  ©i*  +  Ci  cos  5i*  =  ^i ' , 

2<i  cos  Ö2*  +  Bi  cos  002*'*'  Ci  cos 5a*  =  Ci' 
und : 

Ai  cos  ^0  cos  0]  -f  Bi  cos  coocos  coi  —  C|  cos  Oq  <^o^  ^1  ~  0> 

.^1  cos  Bi  cos  ^2  4-  "^1  cos  co|  cos  0)2 —  Ci  cos  5|  cos  O2  =  0, 

Ai  cos  Öa^^^^'s  ^0  ~f  ^1  cos  (02  cos  coo  —  Ci  cos  O2  cos  Oo  =  0. 

I 

[  Wenn  » 

I  ABC 

I  positiv        positiv        negativ 

und 

A'  B  C 

negativ        positiv        positiv 

sind^    so  haben  wir  die  .Gleichungen: 

— Ax  cosöo* — Bx  cos c»o*+  Q  cosöo*  =  A^  , 
Ai  cos  Öl*  +  Bi  cos  w,«  —  Ci  cos  öl*  =;=  ^i', 
-^1  cos  Ö2*  +  ^i  cos  (»2*  —  Ci  cos  02®  ==  Ci ' 
und 

^1  cos 60 cos  öl  -f  Bi  cos  a>o cos  ooi  —  Ci  cos  Oq  cos  c5i  =  0, 
^1  cos  öl  cos  Ö2  +  Bi  cos  ooi  cos  0)2 —  Ci  cos  öl  cos  Ö2  =  0, 
Ai  cos  Ö2  cos  öo  +  Bi  cos  »2  cos  ooq  —  Ci  cos  Ö2  cos  öo  =  0. 

Dass  diese  beiden  Fälle  von  dem  ersten  Falle  nicht  wesent- 
lich verschieden  sind,  ist  klar»  und  eine  weitere  Betrachtung 
jener  beiden  Fälle  ist  daher  nicht  nuthig. 

Wenn  die  Fläche  ein  Hyperboloid  mit  zwei  Fächern  ist»   so 
sind  sowohl  von  den  Grossen  A,  B,  C,   als  auch  von  den  Grus- 
[     sen  A',  B'  y  C\  eine  positiv  und  zwei  negativ. 

Nehmen  wir  nun  zuerst  an»   es  seien 

ABC 

positiv        negativ        negativ 
und 


158  Grunert:    Theorie  der  Flächen 

so  haben  wir  die  folgenden  Gleichungen : 

Ai  cos  öo^  +  Bi  cos  Wo® —  Ci  cos  Öq*  =  -^i', 
Ai  cosöi®  +  Ä|  coscoi* —  Ci  cos  öl*  =  Bi' , 
—  ^1  cos  B^ — Bi  cos «2*  +  Ci  cos  ü^*  =  Ci' ; 
und 

Ai  cos  do cos  6i  +  Bi  cos mq  cos  W]  —  Ci  cos  ÖqCOs  c5|  =  0, 

/        ^1  cos  öl  cos  ög  +  Bi  cos  Wj  cos  w^  —  Ci  cos  öl  cos  Ö2  =  0, 

^1  cos  Ö2  cos  öo  +  Bi  cos  wj  cos  Wj,  —  Ci  cos  ö^  cos  öo  =  0 ; 

die  man  auf  folgende  Art  ausdrücken  kann : 

(cosdoy^  ^,)H(cos«<o^  ;^)»-(co8Öo^  ^)*==i> 

(C08Ö, y  ^.)H(co8o.iy  ^,)«-(cos5,  ^  Ä)*=l. 

-  (cos  fla  ^  ^)*  -  (cos  <,.4^  ^)a  +  (cos  üj  ^  ^J*  =  1 ; 


und  : 


^  aI  Ai         ^  aI  Ai         '     aI  Bi  a/B. 

cosöoV   "j-;.cosöi  Y    ü-^  +  cosw^Y  -t-;.coswiY  'd~^ 

—  cosöoV  2M-C0SÖI  Y  g^  =  0, 

^    A  /    ^1  ^    A  /    ^1  A  /    Bi  A  /   i5, 

cosöiV  -g-,.cosöaY  ^'  +  ^^'^^^1  V  g~''^^®^aV  77^ 

—  cosö,  Y  ^..cosögV  ;r^  =  0, 

cosöa  Y  ^.-cosöo  Y  ;p  +  cosw2  Y  ^/-cosoio  Y  3-^/ 

— •  cos  Ö2  Y    g^'  •  ^^^  öo  Y    -T^,    =  0. 

Nach  einem  bekannten  Satze*)  folgen  aber  aus  den  Gleichunge 

a2   +62  —c«    =  1, 

«i2+V-Ci«=l, 

-fla«  — 6a*  +  C22=  1; 
*)  M,  8.  die  Alihandlinig  ThI.  XLIV.  Nr.  XXVil.  Satz  V. 


des  zwetlen  Grades.  163 

«a  _ja  -c»  =1, 

Hol   —661  —  cci   =0, 
fliOa  —  61^2 — ^iC»  =  0, 
I  «2«  — ^a^  —  i?aC   =0 

ininer  die  Gleichungen : 

06 — a\bi  —  öjÄg  =  0, 
hc  —  bxCi  —  ÄjCa  =  0, 
ca  —  Ciüi  — C2a2=;0; 

Iso  haben  wir  nach  dem  Obigen  die  Gleichungen: 

(cosöo  y  ^)^-(co8Öi  y  ^,)«-(cosd2  y  ^^)*  =  l\ 

—  (cos  Wo  y  ^)«  +  (cos  Wi  y  -^,)*  +  (cos  ß)2  y  ^)*  =  1 , 

—  (cos  So  Y  3^)*  +  (cos  öl  y  ^)*  +  (cos  öa  y  ^)2  —  1 ; 


>d: 


cos 


^4/^1  4  /   A  ^4/^1  4/^1 

doV  ;j7-cos(öoY  ^— cosöiV  j^,.cosa)iY  ^' 
—  C0SÖ2  Y  -pT.coswaY  7^  =0/ 


COSQOi 


•j^,. COSÖO Y  ;j7— -coswiY  5~'-^®®^iY  S^^ 

—  cosco^y  ^.COSÖ^y  ^,=0, 

cosöoy  -TT'COSÖoY  -A  — cosöiY  W~f'^^^^i\l  Wy 

—  cos^sY  c^'^^^^^\  C^~®> 
also  die  Gleichungen: 


164  Gruneri:    Theorie  der  Fiäeken 

co8$o^      co^ßi*       eosü^  __   1 


cosQq*     co8C^*      costta*  _   1 


und: 


CO800  cos  Oq         cos  d]  cos  (ü>|  cos  6IbCOS  (»s ^ 

COSCOoCOSQo         COSa>|COSC$|  COSCObCOSO^        ^ 

cosSpCos^o       cos5|C08^        cos ^2  cosöa  _  « 
Nun  ist  aber 

also  sind  die  vorstehenden  Gleicbangen: 

cos^o*      cos^    ^  cos6lg*  1^ 

A'      +"B^  ^"C^  —3' 

COSCOo*        C0S»i*        COSCÖj*   _^    1 

cosöQ^     cos  tot*     cos  Oa^  _  1 
und : 

cos  öo  cos  COo     ,    cos  ö|  cos  Ol  COS^  COSCOg 

cos  (»o  cos  c3o        cos  tOi  cos  C5i        cos  COsCOS  ^2  1^ 

COS  S^  COS  00    ,    COS  (dl  cos  Ol         cos  »2  COS  ^2   ^ 

Wenn 

ABC 

positiv        negativ        negativ 
und 

A'         B'         a 

negativ        positiv        negativ 


des  zweiten  Grades. 


165 


ist,    so  haben  wir  die  Gleichungen: 

— Ai  cos  öo*  +  Bi  cos  «0*  +  A  cos  «0*  =  -^1 ' » 

Ai  cosöi*— Bi  cos(»i*— CicosSr*  =  B^  , 

—  Ai  cos  6^  +^Bi  cos  wa^  +  Ci  cos  »a*  =  ^"1' ; 

und : 


Ax  cos  ^0  cos  61  —  Bi  cos  xdo  cos  Wi 

Ai  cos  d|  cos  ^2  — Bi  cos  09i  cos  (»2 

^1  COS  S^Qü»  6q —  Bi  cos  (4)2  ^<^s  <^o 

Wenn 

2I  B 

positiv        negativ 


C|  cos  c5o  cos  »1 

C|C0S€5|C0SO2' 

CiCoscdaCosOo 

c 

negativ 


0, 
0, 
0. 


und 


[     ist. 


A'  B'  C 

negativ        negativ        positiv 

so  haben  wir  die  Gleichungen: 

—  Ai  cos  6f^  +  Bi  cos  cöo*  +  Ci  cos  Öq* 

—  ^1  cos  öj*  +  Bi  cos  ©1*  +  Ci  cos  öi^ 
Ai  cos  Ö2*  —  Bi  cos  (»2* —  Ci  cos  02* 


und 


Ai  cos  0()Cos  öl  —  Bi  cos  coo^os  *»!  —  Ci  cos  So  Co*  Ö|  =  0, 

Ai  cos  d|  cos  02 — B^  cos  (»1  cos  02  —  Ci  cos  Qj  cos  »2  =  0 , 

^1  cos6^cobBq  —  B|  cos  a>2Cos  ooo —  Ci  cos  O2C0S  (5^  =  0. 

Dass  diese  beiden  Fälle  von  dem  ersten  Falle  nicht  wesentlich 
verscliieden  sind>  ist  klar,  und  eine  weitere  Belfachtung  jener 
beiden  Fälle  ist  daher  nicht  nothig. 

Ffir  das  EUipsoid  und  die  beiden  Hyperboloide,  also  im  AlU 
gemeinen  für  alle  einen  Mittelpunkt  habenden  Flächen  des  zwei- 
ten Grades,  gelten  daher,  ausser  den  Gleichungen: 

1A  cos  öo*  +  B  cos  Wo*  +  Ccos  öq*  =  A'  , 
^cosöi*  +  Bcosco,«+Ccosöi«=  B, 
AcobO^^+BcoschJ^  +  C  cos  (02^  =  C 

und 


|0($  Orunert:    Theorie  der  Flächen 

•In  (^'y ')*        1       A^  cos  ö«*  +  Ä«coswt*  +  C^coso,« 
"TTfT   ^ABC  A^  ' 

Addirt  man  nun  diese  Gleichungen  zu  einander,    so  erhält  m 
die  Gleichung: 

sin  (ar'^0?      sin  (y'i')^     sin  (z'arQ» 

/cosöo«      cosöi«      cos^\ 

^       ]      ■    «I A^^  <»0*    .    COSCDi«      COS«,*\    f  . 

,  r»t^c<>8So*  .  cos©!«     cosö^  1 
iV^ljdtllt'h  nach  'J9)  die  «Gleichung: 

.4'»^*nrcr*^   c^'  ~  ABC 

»t<>>(x»V>*.  ri»(^>l>,  rfm(s*xy_  1    ,   i        1 

^,jf      \     W€^    ^^nr^^  AB^  BC^  CA* 


««»K"  <«Mra«wM«>  <K«*»s»f  fei. 

* 

\ti>;ili  ^  IJL.  t$ii  Üir  ^»trifWbimc  «i)i<^  Jhn*Hli  ^heitt  ciw^teti  ui 
iri«tmfii  lim  hm\  i^HtiU^fffHii  l'Nm'kmMswr  ^miiftwitbpti  Ehei 
ihr    I  .. 


des  aieeflert  Grades. 
(costf|G0SÜ2 — COB U]  coa a>a) a;  J 

+  (C0»ÖiCO8fli  — COSÖ,  COSÜj)^    i   : 

-f  (cos  6|  Gos  (»9  —  COB  »1  coa  d^)  i    ] 
also  Dach  15); 

FStlen  wir  nun  von  dem  durch  die  Coordinaten 


,  cos  «0 


^«=±^7X7*     »"  =  ±i 


bestimmteh  Punkte  des  ersten  der  drei  conjogirten  Dnrchnieseier 
auf  diese  Ebene  ein  Perpendikel  poy*'i  so  ist  nach  den  Lehren 
der  analytischen  Geometrie: 

_I_    (■^co8go'+  gcos«o»+  CcobSq«)« 
(POS-W   — ^,'-  ^acoBÖo»+  ß*<:o8n)o'+C«co85o«  ' 
siso  nach  12)  offenbar: 

(poy.')'  =  A*coi$o*+ß*,co8an*  +  C'cosöo«' 

Fällen  wir  ferner  von  den  Punkten  der  Azen  der  x,  y,  i,  deren 
EatferDangeD  von  dem  Mittelpunkte  der  PIKche 

1_       _1_       _l_ 

VAi'     vBi'     VC, 

sind,    auf  dieselbe  Ebene  wie  vorher  die  Perpendikel: 

pzyu',     pyym-,    p^ym-; 

HO  ist,  da  ohne  Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  auf 
einander  die  Goordinaten  der  in  Rede  stehenden  Punkte : 

■  ±vk'"'"'  »'ivk'»'  »■»•±vk 

I  sind,   nach  den  Farmeln  der  analytischen  Geometrie: 
1  J^cobOo* 


,  ,,_   1    B'co.^,' 


(P.s 

-■ "    ■  -  ™«Ö0 


Tbril  XLV. 


I  -2 


170  Grüner t:    Theorie  der  Flächen 

iiUo  offenbar: 

Kpxy'mO  —  ^2 cos  öo«  +  B^  cos  Wo*  +  C«  cos  öo« ' 

_^ J?l  cos  COq^ 

(Pyy'«')  —  ^  cos  Öo«  +  B*cos  ©o*  +  C«  cos  «o* ' 

^ Ci  cos  Qq* 

(p.y'.0  —  ^«cos  V  +  ^«coseoo*  +  C*cosöo«' 

Vergleicht  man  dies  mit   dem  Obigen,    so   erhält    man   die 
genden  Gleichungen: 

/        •             A^  cos  Oq* 
(p»yv)*  = j-f — (Poy»')*, 

1  ^       ßt  cos  »A* 

X«         CitCOSOo*,  ,. 

und  auf  gani  ähnliche  Art: 

i^iCOSdi»,  ., 

(|>w'«0*  =  — ^7 —  (ft  .'*')*, 

•III  J   /  x«  Ä|COS©|« 

«M) <(f>y»»«'r  =  — ß-r-^(Pi*'^ry 

und ; 

1.^1  iMiN   die  durch   die  t^leichnng 

-Vv^^V«vHi»»i(»'  l'l<«th«  ein  KIlipKoid,    so  sind  sowohl   die  Gro 
V  Kn  *'     ^>^  «•«•»»  die  GrUMen   A\  B\  C\  sSmmtlich  pa 


des  zweiten  Grades. 

{pxyz')^=  —J^  iPoy'^')^. 

—iPyy'z'r  =  — J7 —  {/»oy»')*» 
,         .*       Ccos  Oo*  ^ 

-^  (fzy^z'r  =  — 2P —  (Po»'»')* ; 

.  . «      -4  cos  öl*  , 

(/>*a'4r')*=        jg/        (Pia'*')*, 

— (p«'*0*=     j^  /     (/?!*'*')•; 

,  .  -      2I  cos  Öj*  , 

(P««'y'r=  — Qt —  (P2«y)*, 

JScoscoa*^ 
"-{Pyx'yr^  — -jQ-f —  (/>2*'j/')  » 

,         .«       CcosSj*, 


also^     wenn  man  addirt,    nach   12): 

(Pxy'z')^—  ipyy'z')^  —  {pzy'^')^=Z 
(Pxz'x')^  —  (pyz'x^)^—(pzz'x')^  = 


2 


(/?**y)  —  {;?yx'3/')*— (p«»'y')*  = 


A' 

-ßi  (piz'xd^f 
C 


folglich : 


173 


(Pxy'z)^-(Pyyz)^'-(pzy'z')^  =  ±(Poy'z)^, 
37)...   l     (pxz'x)*- (PyaV)« ^ (paaV)«=+  (Pi.V)«, 

(Pxxv)^-(PyxY)^-(pz'xY)^=^±(p^xY)^; 

wenn  man  in  der  ersten,  zweiten,  dritten  Gleichung  das  obere 
oder  untere  Zeichen  nimmt,  jenachdem  respective  ^' ,  ß' ,  C^ 
positiv  oder  negativ  ist. 


§.  22. 

Wenn  man   den  Mittelpunkt  der  Fläche  und  di^  dte\  durch 
die  Coordinaten 


174  Grüner t:    Theorie  der  Flächen 

1< 

bestimmten  Puokte  als  die  Ecken  einer  Pyramide  Pqx»  so  wie 
den  Mittelpunkt  der  Fläche  und  die  durch  die  Coordinaten 

1  1 

^2»  .Va>  H\    ±yX'  ^'  ^'    ^'  ^VS"*  ® 

bestimmten  Punkte  als  die  Ecken  einer  Pyramide  P^  betrachtet; 
80  findet  man  nach  der  schon  in  §.  19.  angewandten  allgemeinen 
Formel  23)  für  den  Inhalt  der  Pyramide  leicht: 

Also  ist  nach   14) : 

QAO    qt  _  (cos ^0 cos  CJ|  —  COS  COpCOSÖi)* 


und  folglich  nach  15): 

C^cosQa^     1 

also  nach  20): 

C>cosö,«  ^'B'C     1 


36P„,«  =  ii:^^?^ 


36P„,*  = 


Ol 


Ai'Bi'Ci  '    ABC   '  C« 


weil  nach  §.  18.  bekanntlich  ABC  und  A'KC  gleiche  Vorzeicbeo 
haben ;  es  ist  folglich : 

~«  „   .         cos  öo* 

« 
Ferner  ist  in  Folge  des  obigen  Ausdrucks  von  SßPj*  nach  14): 

also  nach  dem  Vorhergehenden: 
38) Pol  =  /\. 

Wie  sich  der  in  dieser  Gleichung  enthaltene  Satz  allgemein  aus- 
sprechen lässt,    erhellet  leicht. 


des  zweiten  Grades,  175 

§.  23. 

Nor  um  noch  eine  Anwendung  des  wichtigen  arithmetischen  Satzes 
zu  zeigen,  von  dem  im  Vorhergehenden  schon  mehrfach  Gebrauch 
gemacht  worden  ist,  will  ich  hier  noch  die  folgenden  Betrach- 
tungen beifugen,  wenn  dieselben  auch  mit  der  Theorie  der  con- 
jugirten  Durchmesser  i^icht  in  unmittelbarer  Verbindung  stehen. 

Die  Gleichung  einer  Fläche  des  zweiten  Grades,    die  einen 
r      MittelpunM  hat,    sei  wie  gewöhnlich: 

'[         39).   .....   .  ^a:«  +  Äy»  +  Cj«  =  1 , 

\     and  drei  'Punkte  dieser  FISche  seien : 

{x'y'x'),    {affz"),    {af^z"); 
so  dass  also 

^a:"«  +  Bf*  +  Ct"«  =  1 , 

Ax^  +  Bf*  +  C««'«  =  1 
ist. 

Die  Gleichungen  der  Berührungsebenen  der  Fläche  in  diesen 
drei  Punkten  sind  nach  §.  10.  9): 

Ax'x  +By'y+C2!z  =  1 ,. 

41) {Aaf'a:i'By"y+Cz"z=^l, 

Sollen  diese  drei  Berührungsebenen  gegenseitig  auf  einandei^ 
senkrecht  stehen,   so  muss  sein: 

A^x'x"  +  Bhf'y"  +  C*:V'  =  0, 

42) {    ^«^r'V^  +  iBVy  +  C**"*"'  =  0> 

A^a^x'  +  BY'y'  +  C^'^Y  =  0. 
Setzen  wir  nun: 

I  Ax'  =a,      By'   r=6,      Ci'  =  c; 

43) \Ax"z=iay,    Bf^b^,    Ci'' z=  d; 

\Ax^  =  a^,    By^^h^y    Ci*"  ^  c^;    , 
so  haben  wir  nach  40)  und  42)  die  folgenden  Gleich^l^gefti 


« 


\ 


176  Grüner t:    Theorie  der  Flächen 

A   +g  +C  -*' 

^^> <^  +  Ä  +^-*' 

V.V  .£¥!_,. 

and: 

ia«!  +66i    +CC|    =0, 
OiOs  +  öi^g  +  CjCa  =  0, 
o^a  -f  ^t^  "1-  c^c   =  0. 
Setzen  wir  ferner: 

Iß«   =:a«  -1-6«  +c«, 
/2,«  =  ai«  +  6,Hc,», 

so  ist: 

ö)-+a)-+©'=>- 
'')--l(t)'-^a)'+ft)'='- 

und  nach  45)  ist: 

a     Ol         h     bj^        c^    Ci     _^ 

1C|  fC    iFC|  K     JKi 

4ö)  .    .    .    .    \    i?'W'^i?'W'^W*l?   —  ^> 

^   f   _!.*»    ^  _Lfa    f   — n 

Aus  diesen  sechs  Gleichungen  folgen  nach  dem  mebrenvähot 
arithmetischen  Satze  *)  die  sechs  folgenden  Gleichungen : 

*)  M.  8.  die  Abhandlung  Tbl.  XLIV.  Nr.  XXVII.  Satz  UI. 


des  ziceflen  Grades.  177 


id: 


o,     61 


I?*  1?  *    t?  'J?    "i?  *i>   —  ^» 

t^\  J  ^  f  4.^    ^1  4.  *«   £a  -  n 

Ä*   D  T   n    •  n      ■ '"ET  •  D     —  Vt 

Qnadriren  wir  die  Gleichungen  41),  indem  wir  (a;yz)  als  den 
meinscbaftlieben  Durchschnittspnnkt  der  drei  Berührungsebenen 
trachten,    dividiren  dieselben  dann  der  Reibe  nach  durch 

1  addiren  sie  hierauf  zu  einander ;    so  erhalten  wir  die  folgende 
Hebung : 


+  ZAiS\^j^    +^a+  /2a*y^3^ 


2;r 

1    .   1 


o  nach  43): 


178  ßrunert:    Theorie  der  Flächen 


a» 


+ta)^(i)^®*(.- 
*ia)'+a)"+®"i- 

+^U  ß  +  ÄiÄi+^Äj"^^ 

-Jl.  J_  .iL 

und  folglich  oach  49)  und  50): 
Nach  44)  ist  nun: 

i  f?  J.1  *!  J.1  je!  —Jl 

A'K*  ^  B'H*  '^'C'R'  —  R>' 
1    El!  .  1    V  a.i    £i!._J_ 

also,   wenn  man  diese  Gleichungen  za  einander  addirt: 

^l(8)'+Ö;)"+(S)"i 


i4 

+ 


+ 


ii(»)"+a)'-(k)'i 


folglich  nach  49): 

11^1_11  1 


des  zweiten  Grades. 


179 


Ans  der  Vergleicbung  dieser  Gleichung  mit  der  Gleichung  51) 
ergiebt  sich  die  folgende^ nierkwiirdige  Gleichung: 


53).   .   .   . 
8o  dass  also 


a:MyHz«  =  ^  +  i+^. 


^•  +  ^^  +  »* 


eine  constante  Grosse  is(,  und  sich  daher  der  folgende  merkwür- 
dige, von  Monge  gefundene  Satz  ergiebt: 

Wenn  unter  der  Voraussetzung,    dass 


l 


1        1 


3  + JB  +  C 

eine  endliche  völlig  bes|immte  reelle  positive  Grosse 
ist»  einjB  von  drei  gegenseitig  auf  einander. senkrecht 
stehenden  Ebenen  gebildete  dreiseitige  körperliche 
Ecke  sich  so  bewegt»  dass  bei  dieser  Bewegung  die 
drei  Ebenen  eine  durch  die  Gleichung 

cbarakterisirte  Fläche  des  zweiten  Grades  fortwäh- 
rend berühren;  so  beschreibt  die  Spitze  dieser  Ecke 
eine  Kugeifläche,  die  ihren  Mittelpunkt  im  Mittel- 
punkte der  Fläche  hat,   und  deren  Halbmesser 


^(¥^0 


l|Bt. 


Wäre 


^  +  Ä  +  C 


keine  endliche  völlig  bestimmte  reelle  positive  Grösse,  so  würde 
dies  so  viel  heissen,  dass  es  überhaupt  nicht  drei  auf  einander 
senkrecht  stehende,  die  Fläche  des  zweiten  Grades  berührende 
Ebenen  geben  kann« 


s 


v 


180  Gruneri:    Theorie  der  Flächen 


Viertes  KaplUL 

ÜMftrMiBg  der  Mf  eil  scUeffriiUiges  C^trihateisjsteiii 
aUgemeiieB  ClIeichiBg  der  Hachen  des  iweitea  firades  h  ehe 
reehtwliklige  Caardiiatea  beMgeae  Clkiehaag. 

§24. 

Wir  wollen  jetzt  zeigen ,  wie  die  auf  ein  beliebige»  scbiefwink« 
liges  Coordinatensystem  der  xyz  bezogene  allgemeine  Gleicl 

1) 

Ax^  +  By^  +  G«  +  IDxy  +  2%2+2F2a?  +  IGx  +  IBy  +  SJx  + 1| 

=  0* 

der  Fläcben  des  zweiten  Grades  in  eine  andere  auf  ein  recht*; 
winkliges  System  der  ^i^iZi  bezogene  Gleichang  umgeforn!] 
werden  kann»  bemerken  aber,  dass  wir  hierbei  für  jetzt  nie 
die  grosste  Allgemeiobeit  erstreben,  was  für  unseren  gegeo-j 
wärtigen  Zweck  nicht  nutbig  ist,  indem  wir  vielmehr  derEinfacb' 
heit  wegen  das  rechtwinklige  System  d^r  x^y^tx  in  folgender  Weisel 
specialisiren  werden. 

Wir  lassen,  ohne  den  Anfang  zu  verändern,  die  Ebene  der 
Xxyi  mit  der  Ebene  der  xy^  den  positiven  Theil  der  Axe  der  j?i 
mit  dem  positiven  Theil e  der  Axe  der  x  zusammenfallen,  und 
nehmen  in  der  Ebene  der  xy  oder  x^y^  den  "positiven  Theil  der 
Axe  der  y^  auf  derselben  Seite  der  Axe  der  x  oder  Xx ,  auf  wel- 
cher der  positive  Theil  der  Axe  der  y  liegt,  so  wie  im  Raame 
den  positiven  Theil  der  Axe  der  Z|  auf  derselben  Seite  der  Ebene 
der  xy  oder  Xxyi»  auf  welcher  der  positive  Theil  der  Axe  der  z  liegt 

§.25. 

Nach  der  Lehre  von  der  Verwandlung  der  Coordinaten  habea 
wir  die  folgenden  Gleichungen: 

Xx  =  X  cos  (xx  ^)  +  y  cos  (xxy)  +  z  cos  (xxz) , 
y,  =  arcos(yia?)+ycos(yi.7)  +  zcos(2^i2), 
2i    =  :r  COS  (zi x)  -{-y  cos  (z| y)  +  z  cos  (zi  z) ; 
oder; 


des  zweiten  Grades.  181 

a?!  =  ar  cos  {xxi ) + 3^  cos  {yxx)  +  2  cos  {zxi) , 
2)  .  -  .    ^yi  =^cos(a:yi)  +  ^co8{yyi)  +  2cos(iyi), 
2,   =  a;  cos  {xii )  +  y  cos  (j^Zi)  +  2  cos  (221). 

Unter  den  im  vorhergehenden  Paragraphen  gemachten  Vor- 
aassetzungen  ist  aber  offenbar: 

{xx{)  =  0 ,        {yxi )  =  {xy) ,    (20:1)  =  (ix) ; 
.  ,  (^yi)  =  90«,    {yyi)=±\W-{xy))x 

(xz{)  =  900,     (^,^)  =  900; 

:    folglich: 

3) 
co8(a?a;|)  =  1,    co8(ya;i)  =  cos(a?3^),    cos  (20:1)  =  cos  (2a;); 

cos (a:yi)  ^0,    cos  {yyi)  =  sin  {xy) ; 
cos(a?2|)  =0,    cos(y2i)  =0; 

so  dasB  also  nar  noch  cos  (2^1)  und  cos  (221)  zu  bestimmen  übrig 
bleiben ,  womit  wir^uns  da&er  jetzt  beschäftigen  wollen. 

Nach  einer  bekannten  Formel  der  analytischen  Geometrie  ist: 

CO»  iyz)  =  cos  (Xiy)  cos  {xi  2)  +  cos  (yiy)  cos  {y^  z)  +  cos  {iiy)  cos  (21 2) 
=  cos  (yxx )  cos  (2a:i )  +  cos  (yy^)  cos  {zyi )  +  cos  {yzx )  cos  (221 ), 

also  nach  3): 

cos  {y%)  =  cos  (xy)  cos  (2a?)  -f  sin  (xy)  cos  (2^1)  -f  0 .  cos  (22| ) 
=:  cos  (xy)  cos  (2a:)  -f  sin  (xy)  cos  (2^1) , 

also: 

4).    .   .    .      cos(2yj-  sin(a:y) 

Ferner  ist  bekanntlich: 

cos  (xiz)^  +  cos  (yiz)^  +  cos  (ziz)^  =  I 
oder: 

cos  (zxi)^  +  cos  (2^1)^  +  cos  (221)*  =  1 , 

also  nach  3)  und  4): 

.     V-      \cos(v2)  —  cos(a:y)cos(2a:))  *  .         ,       «       , 

v?oraus  man  mittelst  einiger  leichten  Verwandlungen  gog^^^^^'* 


18g  Grunert:    Theorie  der  Flächen 


cos 


810  (ary)* 


>8(a?y)eog(yi)cag 


ond  folglich,  weil  ^\X!k{xy\  und  anter  den  In  dem  vorhergehe 
Paragraphen  gemachten  Voraussetznngen   offenbar   aach  cos 

positiv  ist : 

5) 

V"l~co8(^)*— C08(yi)^~co8(2a?)^-f2cos(ary)cos(y2)coi 
co»(j2i)-  smi^xy) 

erhält,  mit  welchem  Ausdrucke  sich  noch  verschiedene  VerwaDi 
gen  vornehmen  lassen  würden,  die  wir,  als  allgemein  bekannt, 
übergehen. 

Wir  haben  daher  jetzt  die  folgenden  Formeln: 

6) 
cos(a::rx)  =  1, 
cos(y:r|)  =  cos(a:;y), 
cos  (zoTi)  =  cos  (z;r) ; 

cos(a:yi)  =0, 
cos(yyi)  =sin(a:y), 

cos  («2)  —  cos  (xy)  cos  (m?) 

G08(a:2i)  =  0, 
co8(yij)  =0, 

wenn  wir  der  Kürze  wegen : 

7) 

iV=  V^l  —  cos  (a:y)*  —  cos  (yi)*  — -  cos  (zar)* + 2  cos  (xy)  cos  (yz)  cc 

setzen. 

Nach  2)  und  6)  ist  also : 

a?!  =  j:  + 1/  cos  (j:y)  +  z  cos  (zar) , 

.    ,     V  .     cosCvz) — cos  (a;v)  cos  (2 jr) 

_      jy 


des  %weUen  Grades, 


183 


mittelst  weither  Gleichungen   wir  nun  Xy  y^  %   durch    Xx^  yi»  Xi 
ausdrficken  müssen. 

Zuerst  erhalten  wir  mittelst  der  dritten  Gleichung: 

sin  (xy) 

2  =  — j^. — ^1« 

Fähren  wir  dies  in  die  zweite  Gleichung  ein,  so  ergiebt  sich: 


also  : 


.    ^     X  .      cos  (^2)  —  cos  (a?«#)  cos  (zo:) 
yi  =  ysmixy)  +  i^ ^-^ ^^ ^— ' 


yi  cos  (yz)  —  cos  (xy)  cos  (zx) 

^       8in(xy)  N8in(xy)  ^' 


Endlich  ergiebt  sich  mittelst  dieser  Ausdrücke  von  z,  y  und  der 
ersten  Gleichung: 

a:  =  Xi — y  cos  (xy)  —  z  cos  (zx) 

cos(xy)       ,  cos  (yz)  —  cos  (xy)  cos  (zx)    cos  (xy) 

-"^»""sinCary)^^"*"  N  *sin(a:^*» 

sin  (xy)  cos  (zx) 
N  "^1 

cos(xy)         cos  (zx)  —  cos  (yz)  cos  (xy) 
*      sin  (ary) ^*  iVsin  (a:y)  *  * 

Daher  haben  wir  die  folgenden  Formeln: 

8) 

cos  (xy)  cos  (zx)  —  cos  (yz)  cos  (xy) 

"~  ^'*       sin  (xy)  ^*  iVsin(a:y)  ^*  * 


«  =  — 2i-_ 

•^       sin  (a?y) 
_  sin  (xy)     ^ 

z   —         ^      Zj, 


cos  (yz)  —  cos  (xy)  cos  (za:)    • 
iVsin  (xy)  ~  ^* 


oder 9    wenn  wir  der  Kürze  wegen: 

9) 
^      -      „         cos(arv)      ^ 


»1= 


cos  (zo:)  —  cos  (yz)  cos  (ary) , 
iVsin(ary)  ' 

1_ ^  __      cos  (yz)  —  cos  (xy)  cos  (z3?)  ^ 

sin(^y)'      ^"^  iVsin(a:y)  ""' 


€«= 


2V 


fIM  eruntriy  Theerit  der  ftUeät» 

setzeil,  die  Formeln; 


10) i  s  =  B,SI,  +  e,!, 

ZtTtscben  den  Grüseen  €,  tf,  ßiiden  ein  Paar  bemerkenswertlie 
Relationen  Statt,  die  bei  der  Berecbnung  dieser  Coeflicienten 
Nuteen  sein  künnen.    Es  ist  nämlich; 

(tf+(Ei)iV8in(«2/)=— |c08(si)+C08{i;r)i+c08(j:y)|coa{si)+cos(tiE)l 

—  cos  (a;y)  I  i  cos  f  yi)  +  co8(Kt)  1 

ini(a:j)'co8il(./i)  +  («)|cosi|(ji)— (.1)1, 

((£-(!,)ff8in(a:j)=      Ico8(j0-co8(!i)|  +  co.(«i/)|cn5(j!)-co.(ii)| 

=      lH-cos(«,)|lco8(sO-cos(.i) 

=  -4co8i(a:j)«8inil(jr)  +  (ia;)l8inäl(yi)-(u:)| 


alsn: 

11) 

((S+«,)iV=— 2tanEi(;jj)coBjl(y!)+(!«)|co«il(j|!)_(i«)l, 
(«-S,)JV=-2eotJ(i3,)8inil(ä,0  +  (a)l  sin  J|(y,)  — (=*)!; 
woraus  sich  auch  die  Gleichung: 

12) 
C  +  tf. 

1^^^  ~  tangl(:Ey)'cot  i  1  (yi)  +  (zx)\com (yi)  —  (ix) \ 

ergiebt. 

Berechnet  man  N  mittelst  der   bekannten,    leicht    luit    Logi< 
rithmen  zu  behandelnden  Formel: 
13) JV  = 


*rsin4t(a:y) +(yi) +(m:)  |8iniK(ars) +{yi) +{:a7)  |sini!(a:.v) -(yj)+(ix)l 

80  kann  man   auch  C-J-^i  und  <£— £,   mittelst  der  Formeln   II],: 
oder  mittelst  der  völlig  enttvickellen  Formeln: 


tf  +  tf,  = 

tang i(a^y) cos  j \  (yzj  +  jzx) \cm\\ (yz)  -  (»a:)  1 


A/'8iai((a:^)+(S2)+(iar}!8ini!-Ca;.v)+(yi)+(jar)t8inii(a!i/)-(yi)+(l^ 
'  X  sin  ii(;rtf)  +  (2,r)- (1^)1 

tf-tf,= 
ix\\{xy)s\o\{{yz)  ^-  {ix)\am\\{yz)  —  {ix)\ 


4/"8inii(a:y)+(yi) + (la;)  1  filtiil-(a:y)+ ( jiH(s^)!8iniJ(a;s)-<y«VJ 
▼  XsiD||(ay)  +  (y=)-(--^)l  J 


des  zweiten  Grades.  185 

.1 
leicht  berechnen,    und  findet  dann  £  und  ilFi  mittelst  der  Fornoieln : 

^  =  2  ' 

15) { 

gleichfalls  ohne  alle  Schwierigkeit. 

I  §.  26. 

Führt  man  endlich  die  Ausdriicke  10)  von  a:,y,z  in  die  Glei- 
chung 1)  der  gegebenen  Fläche  ein»  so  erhält  man  nach  leichter 
Rechnung  fär  dieselbe  die  folgende  (Gleichung  zwischen  den  recht- 
winkligen Coordinaten   a?| ,  yi ,  z^  ; 

16) 

+  (.<€«+  Ä€i«  +  Ctfa«  +  2Z)€€i  +2E€i«a  +  2Ftfstf)«,« 

+  2 1  A^i + Ä»,  «1  +  />  (B€,  +  €»,)  +  (E»,  +  F»)  «a  |.v,  i, 
+  lA  (Ad  +  /)«!  +  Ftfa)  «laJi 

+  2C?Ar, + 2  (G»  +  »»Oyi  +  2  (Gtf+ Ätf,  +  J«a)  i,  +  AT 

=  0, 

oder,  wenn  man  für  A  die  Einheit  als  seinen  Wertb  aus  9)' setzt: 

16*) 
Ja;,« 

+  (J»a+Ä»i«  +  2Z)35»,)3,,» 

+  (y4«2  +  Ä€i»+Ctfa«  +  2Dtftf,  +2£;tf,tfj+2JF«a(f)»,a 

+  2(/<»  +  Z)35,)a:,y, 

+  21  J»«  +  Ä»itf, +/)(»«, +  0,)  + (£5, +F»)€,l3,ii, 

+  2(J€  +  Z)tfi+F«2)sia;, 

+  2C?Xi  +  2(G]e  +  Ä»,)yi  +  2(G€+  Ätf,  +  JÖi)i,  +  K 

=  0, 

^welche  Gleichung   unserer   Fläche  des  zweiten  Grades  jetzt  also 
lauf  ein  rechtwinkliges  Coordinatensystem  bezogen  ist. 

Dies  mag  fSr  jetzt  über  diese  Transformationen  genügen. 

Druckfehler.     S.  79.  Z.  5.  statt  cosQ/Zi  s.  m,  C08(y2^). 

S.  151.  Z.  7.  statt  A'B'C  s.  m.  A'B'C'* 


Theil  XLV.  ^^ 


BrioscMr    Vebrr  ^nffatti's  flCTffffS 


Ueber   MalfatlTs  Resoivcote  der    Gleirbaq 
fanden  Grades. 


Herrn  Francesco  Brioschi. 
wtrkl.  Milglifdc   ics   U.  Istltutn  Luiubnrila   äi    gclcnii 
Direcinr  dei  Küaiglklien  IiÖhi^ren  lcc)ini«clien  Ins 

Im  Auszüge   frei    nach    dem  Itnlienischen  *)  von   dei 
Ausgeber. 


Einleitu 


lg    des 


Üe 


-  ja  «q 


Wenn  auch  die  Arlieileu  von  Carda 
Bombelli  bei  uns  in  DeuUchtand  allgenii 
jedem  vorgerücktereD  Schiiler  —  bekannt  s 
doch  keinesivegs  von  den  sehr  ivichtigen  Arbeiten  der  spl 
italienischen  lUatbematiker  seit  der  Mitte  des  vorigen  Jabrhm 
ülier  die  Theotic  der  Gleichungen  sagen.  Am  meisten  bl 
ist  tvdhl  noch  die  >vichlige  Abhandlung  von  RuffiDi  (Ti 
delle  equaiioni.  Bologna  ITüy.)  über  Hie  Unmöglichkeil 
allgemeinen  AuHüsung  der  Gleichungen  durch  Meier  U 
genorden,  der  bekanntlich  in  seiner  „Sammlung  ron  A 
ben  aus  der  Theorie  der  algebraischen  Gleicbui 
Erster  Theil.  Berlin  1809.  Vorrede"  den  von  R« 
gegi;1ienen  Beiveis  für  falsch  hielt  und  selbst  die  allgemeini 
litaung  der  Gleichungen  gefunden  zu  haben  glauble,  ein  acli 
Irrthum  dieses  wahrhaft  und  vielfach  verdienten  deutschen  I 


*)  Memorie  dcl  U.  IsLiliilo  Lombardo  di  acienEe,  lettere  e 
Vol.  TX.  Der  Titel  der  AMiandiung  liti  Sulla  Biiolvcnte  di  Ha 
|ier  le  eqtiminni  delqiiintn  i^rndo,   Memorin  di  Franrearo  Briosc 


der  C/FlcAungfn  de»  fünften  Gradfx. 


Wi 


iLers,  der  leidsr  gegen  Ende  seines  Lebens  vou  ehieiii  buchst 
bauritieD  uDil  betrübcndeu  Sciiicksal  ereilt  ivurde.  Auch  Mal- 
falti  halte  Zweifel  gcsen  ilen  von  Ruffini  gegebrnen  Beweis 
erlioben,  Horlurch  iivei  schllne  Memoiren  des  Letzteren  veran- 
lasst wurden,  die  sich  In  dett  „Atti  della  Societa  Haliana" 
flnden.  Schon  in  den  „Atli  deil'  Äccadeniia  de!  Fisiocri- 
tici  di  Siena.  T.  IV.  177i"  hatte  Malfatti  nnter  dem  Titel: 
qundrato-cubieis  disquisitio  ana- 
ig über  die  Gleichungen  des  rüiil'ten  (iTa- 
cr,  el>en  üo  wie  bereits  für  die  (üerchnn- 
die  bekannte  Resotvente  des  dritten  Gra- 
Grad  niefliiger  war  als  die  aiirzuliJsende 
irden  war,  eine  Resolvente  l'i'ir  die  Glei- 
;des  suclife,  die  sieh  ihm  aber  vom  scch- 
I  eine  Einbeit  heberen  Grade  als  die  auTzu- 
II  die  Nolhwendigkeit  durch  Rurfini 
oben   erwähnten  Memoiren    nacbge- 


L  lytica"  eiiie  Abhantlli 
[  geliefert,  in  ivetchi 
I  ^11  des  vierten  Gradci 
1  des.  die  also  am  einei 
I  Gleichung,  gegeben  vi 
l.cbungen  des  fünften  Gl 
I  sIen,  also  von  einem  n 
f  lösende  Gleichung,  ergab,  w( 
r  in  dem  zweiten  seiner  bddi 


sen   wnrde.     Der  berühmte   Direcfor   des  hüberen   tecbni 
Insliluta    in    Maibnd,    Herr   Coram.    Francesco  Et^i^^-cbi,    bat 
I  jedenfalls  ein    besonderes  Verdienst   ernorben,     diese  JUal- 
i'scbe  Kesolvetite  der  Gleichungen  des  filnften  Grades  in  der 
genden  Abhandlung  wieder  in  Erinnerung  gebracht  und  an'e 
:  gezogen  zu  haben,   indem    er   dieselbe  zugleich   mit  vielen 
I  eigenen  Bemerkungen  bereichert  und  ihren  Zusaminen- 
;  mit  der,  ihre  Gründe  in  der  Theorie  der  etliptrschcn  Funcfio-- 
filahenden    Auflüsung    der    Gleichungen    des    rüiilleii    Grades 
^t  hat.    Ich  habe  mich  lür  jelzl  begnügt,  diese  Abhandlung 
Ausziigc  frei  zu  übersetzen,  utid  zuvCrderst  vorzugsweise 
i  den  Lebern  des  Archivs  mitzutheilen,  was  in  Nota  I.  und 
tten  Theile  von  Nota  II.  enthalten  ist  und  unmittelbar  die 
alti'sche    Resolvente   selb.st    betrifft,    hoffe   aber    auf    die 
ren  Ton  Herrn  Hrioschi  gsruacblen  Anwendungen,  welche  in 
\  XK-eifen  Theile  von  Nota  11.    und    in  Nota  lll.  enthalten  sind, 
■  zurückzukommen. 


wir  die 
tennen  Grades 


I.     lalfnlti's  Besidvenlc. 
von   ihrem   zweiten   Gliede  befrel'te    Gteichiing,,1 


x^  ^■a<\x^  \äbx^ -~^cx  \  d  =  0 

bten,  und  mit  Enler  anDehmett 
niedriieke 


Brtuscttt:     Ceöer  Mar/'atlf  s  üesitlveule' 

(1) 

3^0  =  —  C"'  +  P  +  '/  +  »).     x,  =  —  (om  +  D!>  +  «'y  +  0**)^ 
a^a  =  —  (a^m  +  «*;;  +  «r/  +  n'»,) , 

in  deoen  m,  p,  q,  n  unbestimmte  Grüsseii  sind  und  a  eine  (3nA 
Wurzel  Her  Einheit  bezeichnet,  dargestellt  sind;  so  haben  W 
die  Gleichung : 

(x^Xf^  {x  —Xi)  (x— ar^)  (iE — x^)  {x — x^)  =  0, 

welche,  wenn  wir  dus  Product  auf  der  linken  Seite  des  Gleic 
hcitszeicliens  niis  entwickelt  denken,  und  die  CnelBcieoten  (I 
Potenzen  von  x  in  dieser  Entwickelung  mit  den  Coefflcienten  A 
selben  Potenzen  in  der  gegebenen  Gleichung  vergleichen,  zd  d 
vier  folgenden  Gleichungen  fährt: 
(2) 

in  denen  der  Kürze  wegen 

g  =  mn,     h—pq.     r  =  m*q  +  »!>,     s  =  mp'^  +  h^«, 

gesetzt  worden  ist. 

Aus  diesen  Gleichungen  leiten  wir  leicht  ab  : 

A(  +  ,9M  =  rü,     tu  =  hr*^gs^  —  ih^g^, 
und  folglich: 

A/-flu  =  + V(r»j»— 4ff/iSr''_4,;«/(s''+16ÄV);  " 
uUo  haben  ivir,  indem  wir  das  zweite  Glied  dieser  letzteren  1^ 
chnng  durch  ft  be;teichnen: 


I 


_rf  +  ft 


_  rj —  fi 


f*  (ff-  A)  +  n"  +  VA'  -  2ff»A  -  29A»  -  2ff/« 
=  0. 


r 


der  Elelchiingnn  des  fünfte»  Grades. 


■  uvi.vM  ■'>■,    indem  wir  ^  ellniiniren   und  für  $  seinen  Werth 
^~-r  setzen,    nach  einigen  Reductionen  erhalten: 

—[bg*^bh*—%hg^—Qbffk^^\\bs^h*\dgh(g~h)\hck^=^{i. 

Aaa   der  ersten   der  Leiden  in  Rede,  stehenden   Gleichungen 
ergiebt  sich  aach  die  folgende: 

f*(.7-/i)»^(flr*  +  VA'  — VA-25A»— 2ffAc)«, 
wenn  wir  für  (»,*  und  s  ihre  Werthe  setzen: 
r«— 2frr»-K25«+2A^-fl.vA+fi»+«c)r^-[sHAH2fl(5-A)«^-ac]A.■ 
+  c^gh  +  1cgh[g^-\-k^)  +  Icg'^k^  =  0. 

Wenn    wir  in  dieser  Gleichung  gk  =  v   setzen   nnd    uns   erinnern, 
d&ss    g  +  h  =^  a  ist,    so  erhalten  »ir: 

-6(a  +  A)r«+{2a*-20a«p+50D»-2co  +  fl«c  +  ö«A)r 

[  —ia^  —  lOa''bv  +  26bv''iadD  —  1dhB+abch~bcB)  =  0. 

.3  +  (20»— Taü+otf +6*)r'—  (Sa^i— 11  (iÖu48öAp— 2o«fiA+a&c)  r 

-10o»b"— 6ct.*+a*v+c'D+2o»ct.— a«ö'A-4o6='o  +  46«Aii 

wß  nun 

r  ergiebt  sich   durch  Elimination  von  r   aus   diesen  beiden 
i  Gleichungen  eine  Gleichung,    welche  nur  «  und   die  Coef- 
mten  der   gegebenen  Gleichung    enthalten,    also  die    gesuchte 
»otvente  sein  wird. 

Setzen  wir  zuerst  der  Kürze  wegen  fi  =  0  und  A=  Vll«*  — »), 
gehen   die  lieiden  obigen  Gleichungen  in  die  folgenden    über: 

ar^  +  (SOd"  -  20n«o— 2ci'  +  2a*  +  a^:)  r  +  2Arfi)  =  0, 

-{7oc— 2o3— ot)r«+25üS— 10a«c«— 6ce2+  (0^4  c)^b  =  0; 

wir  leicht  die  Gleichung: 

(50p  — 13a«— 2c)r''-f2Arfr=:o[25!t«— lü«5p— 6f(i-f /fl^-Vc)*!. 


:    Ueber  laalfattfi  Resolvenie 

r  ersten  der  obigen  die  (ileicbuBg:      ■*'' 

n  die  Wertha 


,   Q,  durctt  dun  getneinscFianiicIien  Factor  Xv — i 

ind   25p  — w   gesetzt,    die  Werthe 


«*1| 


-3(lln»+2c)M'+2(90n*  +  38Q»c  +  3c*)w 

-3-25««— 345«-*c— 43a*f2— 2c»— ad«, 

25P^flic*— 4n(5a«  +  9c)Mj''  +  (I5Üa*  +  145(i8c  +  38oc«— 2rf«)«« 

-(500f(''+S50"'>c  +  430a='c«  +  56«(;3— 13aarfa— 2crf*)te 

+  625n»  +  ie-25n'c+l400n6c2H-42ba3ca  +  25ttc«, 

e  :=  -  2id  [««  -  (?«»  +  2c) «,  +  («=  +  r)2] 
iiid  die  gesuchte  Resolve 

t  Factor   ,^  (2hi  —  13(J^  —  tic)     diridirl, 
i  folgende ;, 

w«— I0(3a2  +  c)*c'*  +  5(7r>fl''  hüOu^c  +  llc«)»'». 
—  10{25U(i8  +  31()«46'  ^  126n*'cä  +  Uc^  —  iad^)to' 
+25(375oH6S0fl«of435«*c"H  ]04o''fiS+7c*-3n''(i«-ncd«)K* 
-(ISTSOoio  +  46250u«c  h  4l750n6c*+16050«*c*  +  2300o*c« 

iriffl3rd«  +  5a«;2,Z*_rf*)i 

»  +  2000fl'«cH-24OOa9c«+  I:j30««c= +  336n*c* 


Diese  Gleichung  vereinracht  sich   und  nimmt  eine    besoodf 
Form  an,   wenn   maii  nach  der  gewöhnlichen  Aletbode  das  ^W1^^ 
Glied  iregechafft;    setzt  man  nSmIicb : 


der  eiehhiitigeH  des  fünften  Grade». 


>  e^hSlt  man: 

I  X  (</»— lOSußff  -  180rt"w/*-80(ic!'rf2-400a<c'-640fl»c*-25Gc*)=0. 

I  allgemeineren  Falle,  wenn  b  nicht  =0  ist,  ist  die 
I  entsprechende  Gleichung,  so  wie  sie  von  Malfatti  gefunden 
\  trarde,   die  folgende: 

+  ^T<108««c*  +  ll-2c3  +  V«/*  —  '- 

—  400o*c*— eWa^c*— 256c*  +  30a6rfa+  leSa^i^d« 

-Öüt't(£2+ 360.i»6e(/+  56Üfl2/,t,arf^  I(i06c3d-80a  ^fi  Srf 

-«30aö8cd+1086»rf+I00a»6''c"+720o6«c'-J356«cä) 

=  0. 

(2)  geben  leicht: 


1 


wenn   iji,  y^; 


ö^c  +27ö«  +  81a«6rf-  72öcd)i« 


4( 


*— *»9*  +  Ai)=0; 

,  Ja    die  Wnrzeln   dei 


»iVa  =P^9^t     5aVi  — «Vi 


dieser  (Gleichungen  Functionen 
Gleichung  des  fünften  Gra- 
n  Coeflicienten;  daher  ist 
I   Bezug  auf  w,    eine  Re- 


in   seinem  in  den  Memoiren  (1er  Societä   Itatiana  (T.  XII. 
■nffentlkbten   Memoire    hat  Ruffini  untersucht,    welche 
Üon    der    Wurzeln    der   Gleichung    des    fünften  Grades    eine^  J 


m^ 


i^  'Btt^eht:'-' ^ber  ifattitffrt'rtit6m 

Wurzel  der  Resolvente  iet;  er  hat  nSmlich  das  Praduct  mnpq 
als  Funclion  der  Wurzeln  x,^,  Xi,  x^,  x^,  x^  bestimmt  and  bat 
a  priori  bewiesen,  dass  die  Resolvente  vom  sechsten  Grade  sein  musB. 
Der  Werth  von  w,  vcie  er  von  Rufrini  gerunden  warde  und 
leicht  erhallen  werden  konnte,   ist  der  folgende: 

w  =  '5a^^%c  —  Hx^i^Xt-\-XiX^X3-^x^X3^x^-\-x,z^.i\, 

^x^Xa^Xi^-XoX^x^-YXfiX^x^  +  x^i^s^ 

Die  von  Gackle  und  Harley  in  dem  Philosophical  Hb- 
gazine  und  den  Schriften  der  Societät  von  Manchester  be- 
trachtete Gleichung  des  ftinTten  Grades  ist: 

x^  —  ^Qx^\E  =  0; 

setzt  man  in  der  Resolvente  von  Malfatti  a=0,  b^~Q,  c=0; 
d=E,  SD  erhält  man: 

(:cä  +  gQE^  +  3e*)«  +  (E»-108e'')Ea;=0. 

vras  mit  dem  von  den  genannten  Geometern  gefundenen  Resultat 
zusammenfSllt.  (M.  s.  Memoirs  of  the  Society  of  MaDChe- 
8ter,  IS60,  pag.  134.,  215.) 


II.     Transformation  der  Resolvente-Toii  jllalfattl. 

Bei  den  folgenden  Betrachtungen  nehmen  wir  6=0  an.    SetieB 
ivir  in  diesem  Falle; 

a»+c  =  |3.     9a»+4i;=y.     27a6+43a3c  +  20nc«— i'/==ö; 

so  kann  die  in  I.  gefundene  Resolvente  auf  folgende  Art  gescbrir 
ben  werden; 

(a^''  +  |cj'x  +  5(4a«c''+VyVa+i«(P)p+4(:c— |o"— Jc)(6«— j3V) 
=  0, 
oder,    wenn   wir 

setzen,    so  erhalten  vi\t: 

(*' + ye' +  aiSj-e  +  apy"- Saö)»  +  4  [p  +  i  (7aH  1 2c)]  (ä' —  |3*y>)  =a 
Sei 


der  Gleichungen  des  fünften  Grades.  103 

yQ  —  ßy  —  y^y 

halten  wir,  wenn  wir  mit  y^  multipliciren  und  sabstitairen, 
»Igende  Gleichung: 

-4y*[y*-i(7aH12c)y-^y]((5»-/3«y8)=0, 
e,   wenn  wir  der  Kürze  wegen 

€«  =  3«  — /5«y» 
1,   in  die  folgende  übergeht: 

la  das  erste  Glied  dieser  Gleichung  eine  Differenz  zweier 
rate  ist,  so  ist  es  einem  Producte  zweier  Polynome  des  sech- 
Grrades  gleich  5  welche  offenbar  zu  der  folgenden  Transfor- 
D  der  Resolvente  von  Malfatti  führen: 

2^6_yy5  +  5a (d± 6)3^8  —  (<5±e)«.y  -  ß(d±s)^  =  0. 

n   wir  jetzt: 

lalten  wir: 

lie  obige  Gleichung  kann  folglich  geschrieben  werden: 
2^6— 4i4yö  + 10%»— 4Q^  +  SÄ«  -  4.4  C  =  0. 


194  Gretsckel:    Einige  geometrische  SMu^] 


.m 


VII.  * 

Einige  geometrische  Sätze,  welche  sich  auf  Dreiedi-|ie! 
flächen  und  Tetraedervolumina  beziehen.        ^'^' 

Von  |v 

Herrn  Heinrich  Gretsehel)     . 
Lehrer  der  Mathematik  an  der  Handelslehranstalt  in  Leipsig 


I«  Bedient  man  sich  znr  Bezeichnung  geradiini^r  Strecket 
des  zuersit  von  Möbius  consequent  angewandten  Verfabreo^ 
welches  unter  dem  Namen  „Princip  der  Vorzeichen'*  bekannt  ist 
und  nach  Welchem  man  die  zwischen  zwei  Punkten  A  und  B 
gelegene  Strecke  mit  AB  oder  mit  BA  bezeichnet,  je  nachdea 
man  sich  dieselbe  von  einem  Punkte  in  der  Richtung  von  A  oadi 
B  oder  in  der  entgegengesetzten  durchlaufen  denkt,  so  gilt  fSr 
vier  Punkte  A,  B,  C  und  D  in  gerader  Linie  immer  die  Gleicbung: 

(1) AB.CD  +  AC.DB  +  AD.BC=0, 

statt  deren  man  auch  schreiben  kann: 

(2)  .   .   .   .     AB.CD  —  AC.BD  +  AD.BC^O. 

Diese  Gleichung,  welche  in  den  Elementen  der  sogenannten  neu- 
eren Geometrie  eine  wichtige  Rolle  spielt,  ist  bereits  von  Euler 
bewiesen  worden.  Dieselbe  stellt  übrigens  nur  einen  speziellen 
Fall  des  Ptolemaischen  Lehrsatzes  dar,  denn  sind  A,  B,  C,  D 
die  vier  auf  einander  folgenden  Eckpunkte  eines  Kreis  Viereckes, 
so  besteht  diesem  Satze  zufolge  die  Gleichung 

AB.CD+AD,BC=zAC,BD, 

d.  i.  die  Gleichung  (2),  und  diese  bleibt  naturlich  auch  noch  rich- 
tig, wenn  der  Halbmesser  des  Kreises  über  alle  Grenzen  wächst, 
also  der  Kreis  in  eine  Gerade  degenerirt. 


'^tleht  steh  nur  PreteeKStfitehen  b.  TetrneäenoKmtna  biäehen.  V 


a  dureb  dte  (Gleichung  (3)  ansgeilrücltlen  lungimetrischi 
nuD  im  Foli^enilen  das  planimetrische  uiitl   d&s  slereo- 
lüsche  SeitenslOck  entivickelt  nerdeii. 

[I.     Nach  dem  Princip   der  Voczeichen  nird    die  Flficbe   des 

I   drei    Punkte  J,  B  uud    C   tieslimmtcn  Dreieckes   mit 

?  bezeichnet,    wenn    man   sich    dasselbe    von   einer  Geraden 

lien  denkt,  die  aus  der  ßicbtung  AB   übet   da«  Ureieck 

in  die  Riclitung  AC  gedreht  ivird.     Uagegeo   bezeichDel 

lelbe  Dreiecksfläche  mit  ACB ,  wenn  man  die  Gerade  ans 

^cbtung  AC  über  das  Dreieck  binweg  in  die  Richtung  AB 

t  denkt. 


len  ^^H 
eo-  ^^H 


Sowie  nun  ÄC+CÄ  =  0  ist, 
I  Ton  den  secbE  Dreieckflächeii 


.  ist  auqb  ^BC  +  4CJS=0; 


ABC 

ACB 

BCA 

BAC 

CAB 

CBA 

i    drei  unter  einander  stehenden  denselben  Sinn.     Statt  *■ 
II  Bestimmung  kann  man  auch  sagen,  das$  zwei  in  der- 
^Iben  Ebene  liegende  Dreiecke  denselben  Sinn   oder  den  entge- 
igesetzfen  haben,    jenachdeni   ein  Durebtaul'en   ihres  Umfanges 
Richtung,   wie  die  Bucfistaben  in  dem  symboiisnhen  Aus- 
[ke   dieser  Dreiecke    es    angehen,    von   einem  ausserhalb   der 
le  liegenden  Punkte  als  eine   Drehung  in    derselben  oder  in 
igengesetzter  Richtung  erscheint. 

III.  Bezeichnet  man  die  Kiclilniigen  der  von  einem  Punkte 
ft  nach  den  Punkten  A  und  B  bin  gehenden  Geraden  mit  ri  und 
r,,  so  ivird  die  Fläche  des  Dreieckes  OAB  der  Grösse  nnd  Aeat 
Sinne  (Vorzeichen)  nach  richtig  ausgedruckt  durch  die  Gleichung 


OAB  = 

rJO^.OBsinrira- 

Sind  nun 

A, 

B  und  V 

drei  Punkte  in   gerade 

für  diese  die 

Gle 

ithung 

AB^^  BC^  CA~(i, 

und  wenn  0 

ein 

Punkt  au 

serhatlt    dieser  Gerade 

auch  die  Gleichung 

(3)  .   .   .   . 

OAB+  OBC^  OCA  =  0 

bestehen,  denn  diese  hier  vorkommenden  drei  Dreiecke  veibalten 
eich  auch  dem  Sinne  nach  *vie  ihre  Grundlinien  .dB,  2fC  und  CA. 


'^m 


Üferschet:    Efnige  geomelrficM 

I  0  auagehende  Geradi 


,  auf  den« 


Sind  nun  r,  ,rj,r3  drei 
die  Punkte  A,  B,  C  liegen, 

OAB  =  iOA.OB&mryr^,     OBC  ^hOB.OCawr^r^. 

OCA=  iOCOAsiarsTi, 

und  man  kann  nun  statt  der  Gleichung  (3)  die  folgende  schreiW; 

OA.OBswrir^  +  OB.OCsinr^rs-i  OC.OAainrjT,  =Q. 


if  die 


Fgllt  man  jetzt  von  O 
welche  jene  in  71/  schneidet. 


Gerade  AB  eine  Senkrecble  i^ 
ist: 


OA  =  OMaecrt,r,,     OB  =  O^/secr« 

und  durch  Einsetzung    dieser  Werthe   i 
tors  Ojtf"  geht  die  vorige  Gleichung  in 


od  Weglassung  des  Fw 
folgende  über: 


N 


8inr,r2secror,  secroi-a  +  siorarasecj-oraaecroJ-s 
+  siDr3r,aecr„r3secro''i  =  0; 
durch  Multiplication  dieser  Gleichung  mit  dem  Producte 

cosruri  cosr„raCOBror3 
erhält  man  endlich  die  Formel: 

(4)     BinriraCOBror3  +  Binra»-3C08»-o»-|  +sinr3r,co8r„r,  =  0 

Es  mag  beiläufig  erwähnt  »erden ,  dass  in  dieser  Gleichung  die 

bekannten    goniometrischen    Fundanientali'ormeln    für    Sinus   uri 

Cosinus   der  Summe   und    Differenz    zweier  Winkel   als    spezieBf 

Fälle  enthalten  sind.  ' 

Fällt    nämlich    t^    zusammen    mit    Tg,    so  kann   man  statt 
schreiben : 

sin)-,r2CosrarB-f-sinriJ-3CifBr,r9  =  8inr,ra  =  ain()-ira  +  r2r3). 

Liegt  die  Richtung  rg  zwischen  r|  und  r^,  so  haben  alle  in  die- 
ser Gleichung  vorkommende»  Winkel  denselben  Sinn  und  maii 
wird  die  Gleichung  auch  ohne  Anwendung  des  Princi|)es  der  Vor- 
zeichen in  dieser  Gestalt  schreiben.  Liegen  aber  die  drei  Stralh 
len  in  der  Reihenfolge  r, ,  r^,  r^,  so  wird  man  statt  r^r^  setzen 
— rgTj  und  so  die  Gleichung 

sinr,  ra  costb  ("a  —  sin  r^  r,  cosri  rj  =  sin  (r,  ra  —  rg  r^) 
erhalten. 

Ganz  ähnlich  werden  die  Formeln    für  den  Cosinus  der  Win- 
kel-Summe oder  Differenz  erhallten,  Hcnn  man  etwa  r^ r^  =  90"  setzt 


mcAf  sich  avf  Dreierkxptlchen  u.  Telnieüenntumina  beliehen. 


Sind  A,  li,  C  drei  auf  <len 
belle  big  liegende  Punkte,  aa  geht  dii 
liplic^tiaii  mit  dem  Producte 

lOA.OB.OC 

fiber     in 


Strahlen   r, ,  r,,  r»  ganz 
Gleichung  (4)  durch  Mul- 


0^4  B.  Ot'cosror3  +  ose.  OJcQRr„r,  +  OCA.OBcosr„T.i  =  0. 

die  senkrechten  Projectionen  von  A,  B  und 


Bedeuten  A' 
C  auf  r„,    so 


=  0B\ 


nd    daher: 

OAB.OC  +  OBC.OA'  +  OCA.OB'  ^0. 

luch  der  Punkt  O  in  der  Ebene  des  Dreiecken 


Nnn  ist  aber,  wie 

liegen  mag,   stets 


!5). 


.  OAB  yOBC+OCA  =  ABC, 


nelche  Gleieliuag  sich  leicht  verificiren  lässt.  (Einen  Beweis  giebt 
,  Mnbiiis,  Baiycentrischer  Cnicul,  S.,2I.  und  22.).  Mulliplicirl  man 
dieselbe  mit  .VO,  ivo  Itl  einen  beliebigen,  auf  /■„  liegenden  Punkt 
bedeutet,  und  addirt  sie  dann  zur  vorhergehenden  Gleichung,  so 
«tateht  die  neue  Gleichung; 

(fl)    0AB.!aC'  +  OBC.MA'^OCA.JUB'  =  ABC.MO. 


Siud  ferner  D  und  E  ein  Pa 
JuDgslinie  durch  JU  geht  und 
Ceradeu 

mC,    MA'.     MB' 

f^elche  die   senkrechten  Abstände  der 
I /}£  darstellen ,  den  Flächen  der  Dreii 


beliebige  Punkte, 
nkrecht  steht  auf  r, 


leren  Verbin- 
,  so  sind  die 


MO. 

Punkte 


C,  A,  B.  O  von 


CDE,    ADE,    BDE,     ODE 

ional,  und  statt  (9)  kann  man  die  Gleichung 


AB  CO  DE 


0) 
OAB.  CDE  +  UBC.  ADE  +  OCA .  BDE  ^ 

n,  welche  eine  einlache  Relatioti  z»  Ischen  sechs  Punkten 
F  rioer  Ebene  ausdrückt.  Aus  dieser  Gleichung,  die  man  auch  in 
I  der  Furm 


OAB.CDE+OBC.AD£+0CA.BDE+CBA.0DE  = 


w 


schreilteii    kann,    und    tvelche    bereits    von    Mültiits    (BarmiU 
Caicul  S.  226.)  auf  anderem   Wege  gefunden   worden  ist,  IW    i 
sich  nun   eine   noch  allgemeinere  Kelatinn  airischen   sechü  Pul 
ten  A,  B,  C,  D,  E.  F   einer  Ebene  abieilen.     Zu  dem  Zffc^ 
bilden  wir  die  fünf,  der  Gleichung  (7}  nacligebiideteii  Gleichucq^ 

ABC.Di:F+ACD.BEr  +  ADB.CEF+DCß.AhF=fi, 
ABC.EDF+  AEC.  BDF+  AEB.CDF  +  ECB .  ADF=f\, 
ABD.ECF  -i-ADE.  BCF+AEB.DCF  +  ßED.ACF={i, 
ACD.EBF-\-ADE.CBF+AEC.DBF^EfJC.ABF={l, 
BCD.  EAF  +  BDE.  CAJ'+BEC.  DAF  +  EBC.  BAF=0. 

Die  erste  und  dritte  von  diesen  Gleichungen  multipliciren  wir  ■ 
■f  I,  die  ziveileund  vierte  mit  —1,  die  letzte  ntit  — Sund  itdlin 
sie.     Das  Resultat  lässt  sich  dann  in  der  Form   schreiben: 


ABC.  DEF-  ABD.  CEF+  ABE.  CDF-ABF.  CDE+ACD.  BEf 
-ACE.BUF\ACF.BDE^ADE.BCF~ADF.BCE^AEF.B(^ 


I 


Durch    diese   Gleichung,    ivelche    das    plani metrische    Sciten^d 
KU  der  Gleichung  (2)  bildet,    wird  der  Satz  ausgedrückt:  ' 

Sind  in  einer  Ebene  sechs  n  illkfirliche  Punkli 
A,  B,  C.  D,E,  F  gegeben,  durch  ivelche  zwanzig  Drei 
ecke  bestimmt  sind,  und  mulliplicirt  man  die  FUchs) 
von  je  zwei  Dreiecken,  «eiche  keinen  Eckpunkt  gern  eil 
haben,  schreibt  dabei  in  den  Mymkoleti  eine«  jede) 
Dreieckes  die  Buchstaben  in  alphabetischer  Ueibta 
folge,  stellt  in  jedem  Producte  das  Dreieck  mit  del 
Eckpunkte  A  voran  und  ertheilt  jed  em  Producte  di' 
Zeichen  -f  oder  -,  jenachdem  die  llucli  stabeufolgi 
desselben  aus  der  Folge  ABCDEF  durch  eine  geraifl 
oder  durch  eine  ungerade  Anzahl  von  Vertauschiingi) 
ie  aweier  Buchstaben  abgeleitet  ist,  so  ist  die  algS 
braische  Summe  dieser  zehn   Producte  gleich   Null. 

V.  Bei  der  Bezeichnung  des  Inhaltes  eines  Tetraeders  durci 
die  Buchstaben  seiner  vier  Ecken  kommt  das  Princip  der  Vm 
zeichen  in  der  Art  zur  Anwendung,  dass  man  die  Spitze  zuers 
schreibt  und  dem  (nballe  selbst  das  eine  oder    das  andere  Voi 


welche  sich  auf  Dt eiecks flächen  «.  Tetraedervoiumina  beziehen.  199 

jKeicheir  ertbeilt  je  nach  dem  Sinne»  den  die  Grundfläche  bat,  wenn 
v^^an  sie  von  der  Spitze  aus  betrachtet. 

•"/^:^^  Von  den  24  Tetraedern,  welche  man  durch  Permutation  der 
parier  Buchstaben  A^  By  Cy  D  bilden  kann,  haben  daher  je  zwei, 
i'^'^^^lche  durch  eine  gerade  Anzahl  von  Vertauschungen  je  zweier 
.  -Buchstaben   identisch   werden,  dasselbe  Vorzeichen,   während  je 

*^vei  solche,  die  durch  eine  ungerade  Anzahl  derartiger  Vertau- 
. -Teilungen   in   einander    übergehen,    entgegengesetzte    Vorzeichen 

fcaben. 

Bezeichnen  wir  nun  den  goniometrischen  Factor,  mit  welchem 

""^ir  das  Product 

\OA.OB,OC 

^ multipliciren  müssen,    um   den  Inhalt  des  Tetraeders    OABC  zu 
-  i^rhalten  nach  dem  Vorgange  von  Staudt's  mit 

sin  rir^rg , 

^o  »"i»  »*2>  ''s  ^*®  Richtungen  von  OA^  OB,  OC  bedeuten,  so 
muss  diese  Function  die  Eigenschaft 

;;^  sinrir2r3  =  sinr2r3rj=     smr^rir^r=: — sinrirgr^ 

^t%  =  —  sin  r^rirg  =  —  sin  r^r^Vi 

'  besitzen,  wenn  die  Gleichung 

(10).   .   .   .     OABC  — iO A.OB. OCsmrir^r^ 

auch  dem  Sinne  nach  richtig  sein  soH. 

VI,  Sind  To,  ri,  r^,  rs,  r^  fanf  vom  Punkte  O  ausgehende 
Strahlen,  von  denen  im  Allgemeinen  keine  drei  in  einer  Ebene 
liegen,  und  schneidet  man  dieselben  durch  eine  zum  Strahle  Tq 
rechtwinklige  Ebene  £  in  den  Punkten  JUy  A,  B,  C,  D,  so  be- 
steht die  Gleichung: 

OABC+  OACD  +  OADB  +  ODCB  =2  0, 

denn  es  verhalten  sich  die  erwähnten  vier  Tetraeder  wie  ihre  in 
«  liegenden  Grundflächen,  und  für  diese  gilt  die  der  Gleichung  (5) 
nachgebildete  Relation 

ABC^ACD^ADB^'DCBr=::Q, 

Setzt  man  nun  in  die  obige  Gleichung  die  Werthe  ein : 

^  OABC=\OA.OB.OCsmrir^r^y 
OACD  =  \0A.  OC.  ODsrnriT^rq^y  u.  s.  w., 
OA  =  Oilfsecrori,     OB  =  OMs^Qt^r^y  u.  s.  w.,. 


-  üfetsehsh    ^fntffe' genmerr^rSe  i 

lultiplicirt  die  eDlsIehende  Gleichung  mit  dem  Prodncte    ' 

cosroTi  cnsrn)*!  cosr(,»'3  cot 

und  läset   die    gemeinsamen    Factnreo    we^ 
einfache  Gleichung 

(11) 

sinr,rgr3COBror4-(-sin7-,j-3r4COsror8+6ior,r4r,cn8roi 

+  sin  r^Tgra  cos  r^r,  ^  0, 

Diese    Gleichang    hat    Ju  nghann     in     sein 
„ Tetraedrometrie "    (erster    Theil 
ohne  von  dem  Princip  dt 


einer    schStzenswerthl 
I.  f.)    entivicbcll,    Id 
ichen  Gebrauch  zu  machen. 


*  Betrachtet  man  jetzt  A,   B,  C,  D  als  beliebige 
den  Strahlen    r, ,  r^,  rg,  r^,     irelche    nicht  in    derselben  Ekuf 
liegen,   so  geht  dnrch  Mulliplication  mit 

iOA.OB.OC.OD 

die  Gleichung  (II)  über  in 

OABC.  ODcoBToU  +  OACD.  Oßcosj-ar,  +  OADB.OCcS^ 

+  ODCB.OAcosroTi=Q. 

Bedeuten  A',  B',  C,  D'  die  Pusspunkte  der  Senkrechten,  wel( 
raun  von  den  Punkten  A,  B ,  C,  D  auT  t„  fallen  kann,  so  k 
man  statt  der  vorigen  Gleichung  anch  schreiben; 

(n)  OABC.OD'  +  OACD.OB-  +  OADB.OC 

+  ODCB.OA'^0. 


e  Möbius  (Barycenirischer  Caicul  e 
ü  Gleichung 


Ausserdem  gilt  aber 
und  24.}  gezeigt  hat 

ÖABC  +  ABCD+BCDO  +  CDOA  +  DOAB  =  0, 

weiche  man  auch  leicht  Tür  die  verschiedenen  Fälle  verifioirt 
Multiplicirt  man  dieselbe  inil  MO,  so  kann  man  das  Ergebfli» 
auch  in  der  Form 

OABC. MO -i^  OACD.l*tO^OADB.HIO+  ODCB.MO 
■\-  ABCÜ.mo  =  0 
schreiben.     Addirt  man  nun  lüese  Gleichung  zu  (n),  so  ergtebtiifi  ' 
(12)         O  ABC.  MD' +  OACD.  MB'  +  0  ABB.  MC 
+  ODCB  .MA'  +  ABCD .  MO 


trelehe  sich  nnf  Dififckspächfn  u.  Tetreederttolumfna  6nielicii.  201 

Auch  dieser,  ivie  es  scheint,  zuerst  von  Feuerbach  entwickelte 
Safe  ist  in  ähnficheT  Weise  nie  hier  von  Junghann  (Tetraedro- 
metrie,  erster  Tbl.,  §.  S4.)  abgeleitet  worden. 

Sind  nun  ferner  £,  F,  G  drei  Punkte  der  Ebene  t,    en  s\nA 
die  Tetraeder 

DEFG,    BEFG,    CEFG.    AEFG .     OEFG 
auch   dem  Sinne  nach  den  Strecken 

!tlD',  MB',  MC,  MA',  MO 
proportional,  denn  wenn  man  EFG  al«  genieinschaniiche  GruiidßSche 
ilieaer  Tetraeder  betrachtet,  so  sind  die  genannten  Strecken  den 
Höhen  derselben  gleich,  Aus  der  Gleichung  (12)  folgt  fiIso  die 
nachstehende: 

OABC.DEFG+  OACD.BEFG+OADB  .CEFG 

+  ODCB.AEFG  +  ABCD.OEFG^O. 
statt  deren  man  auch  die  iihersicbtlichere 
(13) 
OABC. DEFG +  ABCD.  OEFG +BCDO.  AEFG 

+  CDOA.BEI'G  +  DOAB.CEFC  =  0 
Bclweiben  kann,   welche  bereits  von   Mübius   (Barycentr.  (^^alcal, 
S.  327.)  auf  anderem  Wege  entiviclcelt  norden  ist. 

Aus  dieser  Gleichung  lässt  sich  «ine  noch  allgemeinere  Relation 
strischen  acht  Punkten  A,  B,  C,  D,  E,  F,  G,  H  im  Räume  ableiten. 
Zu  dem  Ende  bilden  ^vir  nach  dem  Musler  von  (13)  die  sie- 
k«n  Gleichungen: 

ABCD.EFGH  \  BCDE.AFGII  +  VDEA.BFGH 

+  DEAB .  CFGH  ^  EABC.DFGH=Q. 
AFEG.BCDa^FEGB.ACDH-^EGBA.FCDü 

+  GBAF.ECDH  +  BAFE.GCDH=a, 
ADGä.BCEF  +  DGHB.ACEF+  GHBA.DCEF 

+  HßAf).GCEF+BADG.BCEF=0, 
ABl/F.CDEG+BBFC  ADEG+UFCA.BDEG 

+  FCAB.BDEG-V  CABH.FDEG^O, 
jOEFH.BACG  +EFHB.DACG  +  FHBV.EACG 

+  HBDE.FACG  +  BBEF.HACG^O, 
C£Ga.BADF+  EGHB.  CAJ)F+GHBC.EADF 

+  ÜBCE.  GA  DF+  BCEG .  HADF^O. 
J>CFG.  BAEH  +  CFGB.DAEH  +  FGBD.  CAEH 

+  GBDC.FEAB-i-  BDCF.GEAH^^O. 
XLV.  14 


202  GrclscAel:  Geomttr.  Sälae,  welche  sich  mtfürehcktßilth.  ÖiiliL 


Addirt    man   diese   Gieichuni 
der  Fori»  schreiben; 


Lisst  eich  (las  Ergebnin  g 


(U) 


ABCD.EFGH-ABCE.DFOB  iABCF.DEGH 

—  ABCG .DEFH ^  ABCU.DEfG  \  ABDE.CFÜB 

—  ABDF  .  CEGH  +  ABDG.  CEFH-  ABfJH.CEFG  ' 
^  ABEF .CDGH-ABEG.CDFU  k^  ABEH.CDFG  \ 
•i^  ABFG.CDEH—ABFH.CDEGVABGH.CDEF     i 

—  ACDE.BFGH  +  ACDF. BEGH-  ACDG .  BEFH 
+  ACDH.BEFG—  ACEF . BDGU  VACEG  .ßOFH 

—  ACEH .  BDFG-ACFG.BDEH\  ACFH .  BDEG 
^  ACGH .BDEF+  ADEF.BCGH-  ADEG .  BCFH 
+  ADEH.BCFG+  ADFG.BCEH—ADFfi.BCEG 
+  ADGB.BCEF-  AEFG.BCDH+AEFB.  BCDG 

—  AEG  ff  .BCDF+  AFGM.  ßCÜE  =  0. 

Diese  Gleichung  ist  das  stereonietrische  SeitcnstQelc   zu  d 
longimetrischen  Gleichung  (2),   sowie  zu   der  planimetriscben  f 


ind  drückt  den  8atz 


D.    E: 

der   l 
von  j 

Tetrs 


D<l  acht  willkürl 
F,  G,  H  gegehf 
estimnit  sind,  i 
e  zwei  Tetraedern,  wel 
haben,  schreibt  dabei 
eders  die   Buchstaben   i 


he  Punkte 
,  durch  we 
d    muUipli< 


I  Ra 


A,B, 


welche  siebzig  Tetri 
plicirt  man  die  Inhal 
le  keinen  Eckpunkt  g 
in  dem.  Symbole  jed 
alphabetiKcber    Reihe 


stellt  in  jedem  Producta  das  Tetraeder  mit  dl 
Eckpunkte  A  varan  und  erlheilt  jedem  Producte  J 
Zeichen  -f  oder  — .  jenachdem  die  Bu  chstabeBfoI 
desselben  aus  der  Folge  AßCDEFGH  durch  eine  ger« 
oder  durch  eine  ungerade  Aneahl  von  Vertauschvng 
je  ziveier  Buchstaben  abgeleitet  ist,  so  ist  die  alg 
braiache  Summe  dieser  fünfunddreissig  Producte  — 


w 


inn:  Einige Siltie  über  die  aus/immengeseitten  Zii/i/fn. '20'i 


VIII. 

üinige    bemerkenawerthe  Sätze    über   die    zusammen- 

;esetzteti  Zahlen,    ihre   Anivendung  zur   Construklion 

ron  Faktoren-Tafeln  and  zur  Aufsuchung  der  Theiler 

einer  Zahl. 


Herrn   Anton   iVteyem 
I  cntholiauJicn  GymnaBiiiiD  an  der 


L    QDadratuUen. 

Zur  Darstellung  der  verschiedenen  Zahlen,  nach  den  letzten 
ÜSern  zur  Rechten  geordnet,  bezeichnen  wir  die  Zahl  mit  A  und 
etzen  zur  Rechten  von  A  diese  letzten  Ziffern  hin,  und  wenn 
line  oder  mehrere  abgetvorfen  sind,  schliessen  wir  die  abgewnr- 
enen  in  Parenthesen  ein,  so  dass  ^[71]  eine  Zahl  aüsdrQckt, 
üe  ursprünglich  aut  71  ansgebt,  nnvati  aber  die  iwei  Ziffern  zur 
fechten  abgenorren  sind. 

Gruppirt  man  nun  alle  Zahlen  nach  deu  zwei  letzten  Ziffern, 
10  erhält  man  zunächst  zehn  verschiedene  Gruppen,  wovon  aber 
ede  wieder  in  zehn  Gruppen  Eerlallt.  da  jede  der  zwei  letzten 
Eifern  0,  I,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9  sein  kann.  Nicht  jede  dieser 
ünippen  enthält  aber  Quadratzahlen,  so  namentlich  die  Gruppen 
an  der  Form  A2,  AZ,  AT,  AS,  weil  nach  der  Entstehungs weise 
ler  Quadratzahlen  es  keine  geben  kann,  die  auf  i,  li,  7  oder  b 
insgeht.  Auch  von  den  anderen  Gruppen  gibt  es  mehrere,  welche 
[eine  Quadralzahlen  enthalten,  so  z.  6.  die  Zahlen  ^11,  j43I, 
451.  All,  A91. 

Fflr  die  Qnadratzahlen  findet  nun  das  folgende  merkwürdige 
^etz  Statt  1 


4 

■ 


204  Ntegemann:    Einige  bemerhenswerthe  Sdi%e 

Wirft  man  von  den  Quadratzahlen  irgend  ei 
Gruppe  die  zwei  letzten  Ziffern  zur  Reetiten  ab, 
bilden  die  übrig  bleibenden  Zahlen  Progressio 
zweiter  Ordnung»  deren  Anfangsglied  und  Diffei 
sich  leicht  finden  lassen. 

Man  wird  daher  leicht  im  Stande  sein,    die  Tafeln  der 
dratzahlen  darzustellen  und  bis  auf  eine  beliebige  GrSnze  fortzufö 

Soll  z.  B.  Äl^  eine  Qnadratzahl  sein,  dann  ist: 

^76  =  (lOar— 6)«  =  100a:«— 120a: +  36 
oder 

^76  =  (lOar— 4)«  =  lOOar*—  80a:  + 16, 
also: 

1) ^76    =  lOOar«  —  120a:  +  36, 

^7[6]  =  10a:«— r2a:  + 3, 
i40[6]=:10a:«-.12a:-4. 

Weil  A&{jS\  durch  10  theilbar  ist,    so  muss  auch   12a: -|- 4 
10  theilbar  sein,  daher  12ar-|-4=:  10a,   mithin: 

_10a~4       6a~2 
'^"-      12      -      6     • 

Da  X  eine  ganze  Zahl  ist,    so  muss 

5a-.2  =  66, 

a  =  — g-  =  Ä  +  g6  +  g 

sein.    Weil  a  eine  ganze  Zahl  ist,   so  ist: 

Ä+2  =  5£?, 

6  =  5c -2, 

30C-12  +  2      .       _ 
a  = s ^  oc — 2» 

30c -10— 2     ^ 

X  =:  g =  5c  —2. 

Weil  X  positiv  ist,   so  ist  c>0  uad 

250c«  -  200c+ 40— 60C+24+3 


I  250c* -200c +40- 
^7[6]  =  j  250ca_260c  +67, 

il[76]  =  25c«— 26C+6. 


üöer  die  snsammengeieizlett  ZtiMeti. 


Gieichung  alle  VVerthe  von 
en  i476  Quadralzahlen  sind,  deren  Wnr- 


ietzt  man  fflr  c  in  die^e 
KU  erbSit  mait  alle  A,  de 
Min  die  Form  AX  halten. 

Weil  <4[76]  alihangig  ist  von  c>,  so  ist  klar,  dass  die  ^[76] 
eine   arithmetische  Progression  zweiter  Ordnung  bilden. 

Wächst  c  um  I,  dann  nächst  ^[76]  um  50c  — I,  :i:  um  5  und 
die  zunehmende  Differenz  um  50.  Für  c—\  ist  x^Z,  ^[76] 
^5.  Die  erste  Differenz  von  A{1^  ist  J9.  folglich  lässl  sich 
die  ReÜje  der  auf  einander  folgenden  Quadratzahten,  die  auf  76 
und  deren  Wurzeln  auf  4  ausgehen,   leicht  finden. 


zumachen,  um  zu  bestimmen, 
1   überhaupt   eine   QuadratiabI 


Eine  gleiche  Rechnung  bat  ma 
eine  Zahl   von    bestimmter  Für 
n   tünne  oder  nicht. 
Soll  z.  B.  AA&  eine  QuadratzabI  sein,   so  musa  sein: 
.d46  =  (I0jr— 4)a  =  100a:»—  80^+16 
»r 

.^46  =  (Wx—Q)*  =  lÜftr"— 120a:+36i 

^4[6]  =  10:e»—  8:r  +  l, 
/<4[6]  =  103:«-i2:c  +  3; 

AQi6\  =  Wx^  —  nx-\. 

[  Da  ^0[6]  durch  10  theilbar  ist,  sa  muss  auch  8;r  +  3  und  I2j;+1 

I  durch  10  Ibeilhar  sein,    welches   nicht  möglich    ist,    da  die  Glei- 

I  cbangen  iix-\-Z=\Qa  und  123; -|-1  =  lOo  nicht  bestehen  können; 

l|;lich    gibt  es  auch    keine   Zahlen,    die   auf  J46  ausgehen  und 

idratzahlen  sind.    Auf  diese  Weise  findet  man,  dass  dieZab* 

^on  den  Formen : 

^01,  ^21,  Ai\,  ..161  und  ^81,   so  wie  ..100; 

.404,  ^24,  ,444,  ^64,     AU; 

J25; 

AV&,  ^36,  ASß,  ^76,     ^96;  , 

^09,  ^29,  AA'i,  Am,    A%'i 


iQoadratzahlen  sein  bitnnen,  und  die  Zahlen  von  den  Formen: 


i<36Ä<10a:— 6)« 

u476  = 

^(lOa; 

^4)» 

Ai36]  =*i5iP-«d 

i4[7ff|  = 

=  25d*+26dl46 

X  —  6d 

r  =  5(;4-3 

id.Al9S]:==90d+lÜ 

i.il[76]t=60tf+61 

tt       a      ^[36] 

A 

X 

il[76] 

15            19 

0 

3 

6 

S      10           88 

1 

8 

57 

3     15          207 

2 

13 

158 

[    4     20          370 

3 

18 

309 

^'    S     25          595 

4 

23 

510  X 

=  (10a:-6)« 
5J=25d»-36d+12 

NsSrf— 3 

W96]=50rf-ll 


4429  =  (l0a;— 3)« 
4ir29]=s25<P-23rf+5 
a:ir=5d— 2 
dd.^r291=50d  +  2 


<2 

1 

2 

3 

4 

5 


2 

7 

12 

17 

22 


^[96] 

1 

40 

129 
268 

457 


f  ^ 


I 


d 
1 
2 
3 
4 
5 


X      ^[29] 
3  7 


8 
13 
18 
23 


59 
161 
313 
515 


^69  =  (10ar— 3«) 
^[69]=:25<P— 13d  +  l 
X=:6d — 1 
d.A[m]  =  md+l2 


A89  =  (10*— 7)» 
^[89]=25d*-17rf+2 
d;  =  5(2 — 1 


A89  =  (lOar— 3)« 
A[m]=S&dß-23d+V 
jr  =  5(2— 3 
({.J[89]  =  60(i— 8 


d 
1 

2 
3 
4 
5 


4 

9 

14 

19 

24 


^[69] 

13 

75 

187 

489 

561 


d 
1 
2 
3 
4 
5 


4 
[9 
14 
19 
24 


^[89] 

10 

68 

176 

334 

542 


d 
1 
2 
3 
4 
5 


X 

2 

7 

12 

17 

22 


^[89] 

2 

44 

136 

278 

470 


^ber  die  iitsammengeselxleniZithle». 


II.    Von  den  znsamiiiengesetzten  Zablen,  die  ans  nnglelolieti  Faktoren 
znsunmeagesetzt  sind. 

Hat  man  ziiBanimeugesctzte  Zahlen  zu  betrachten,  die  auf 
2,  4,  5,6,  8  oder  0  ausgehen,  eo  kann  man  dieselben  so  lange  durch 
3  oder  5  dividiren,  his  die  übrig  bleibenden  Faktoren  auf  1,  3,  7 
oder  9  ausgehen. 


Man 
Zahlen, 


hat  dem 


ichal   vier    verschiedene   Cruppen  der 


Am\.     Aiiü,     Ami,     Arn^; 


jede  wieder  in  xehn  neue  zerlallt,   da  m  jede  Zahl  von  0 
bis  9  darstellen  kann,  in  Bezug  auf  Theilharkeit  nSber  zu  betrachten. 

Pur  die  zusammengesetzten  Zahlen  dieser  Gruppen  Gnden  nun 
die   folgenden  Gesetze  Statt: 


I 


,  Wirft    man    von 
nzelueir    Grupj: 


der 
Rechte 

denselben  eine 
Hinsicht  erstei 
deren  erstes  G 
men  kann;  man 
fein    alier    zusa 


den    zusammengesetzten  Zahlen 

en   die    zwei    letzten    Ziffern    zur 

bilden    die    fibrig    bleibenden   Ziffern 


ithm 


che.  Reihe, 


2-  Esfindetz 
zttsammengeseti 

bang   Statt,   der 


in  einer  anderen  zweiter  Ordnung, 
ed  und  Differenz  man  leicht  bestlra- 
tdadurchin  denStandgesetzt,  dieTa- 
mengeaetzten  Zahlen  mit  ihren  Fak-, 
\it  einfache  Weise  zu  konstruiren. 

ischenden  beiden,  die  Faktoren  einer 
en  Zahl  bestimmenden  Zahlen  und 
setzten  Zahl  selbst  ein  Zusammeii- 
sich  in  einer  Glelchunt;  des  zweiten 
ckt,  undzwarso,  dass  sich  diedeneinen 
Faktor  bestimmende  Zahl  mittelatderden  anderen  Fak- 
tor hestimincnden  Zahl  und  der  zusammengesetzten 
Zahl  selbst  darstellen  lässt  in  einem  Ausdrucke,  der 
aus  einem  rationalen  Tbeüe  besteht  und  aus  einer 
.Quadratnurzel,  und  zwar  in  der  Art,  dass,  wenn  die 
Quadratwurzel  sich  rational  ausziehen  lässt,  der  ganze 
Ausdruck  eine  ganze  Zahl  ist  und  man  somit  in  die- 
eem  Falle  die  Theiler  einer  Zahl  direkt  bestimmen 
kann. 

Wir    wollen    nun    diese    Sätze    für    die    verschiedenen    FHlle 
I  Diber  nachweisen : 


L   " 

^^^         oder 


Slegemuun:    Einige  öemerkenswerllte  Säl%e 
1)     Ist  Ami  zusamm  eil  gesetzt,  so  ist: 
u)  ^nil  =  (IÜ^  —  l)  (10^  —  1)  =  I00jry—%-10a+I.", 


y)  .4ml=(10a;-3)(l%— 7)  =  1003:)/— 30^— 70a-  +  2l; 
folgticli : 

o)  Am[i]  =  nxy-~y—x,  e)  AQ[\]  =  \Qxy—y—x—T. 

ß)  Am[\]  =  lOa:t,-Qy-9x\-!i.  also:  ß)  ^0[1]  ^10jrj-9y-94r— m+ft, 
y)  ^mIl]  =  !0a'i/-3v-7a:+2;  y)  ^0[I]^10j:3(-33,^7a:-m+2. 

Ua  die  eisten  Seiten  der  drei  letzleu  Gleichungen  durch  10  theil- 
bar  sind,    so  sind  es  aucb  die  zweiten  Seiten,    folglich  hat  map: 
b)  y  +  a;  +  m=  10a. 
ß)  9y  +  9a;  +  m— 8=10n,     I 
r)  3y  +  7a;+rn-2  =  10fl; 
lüsl  man  diese  Gleichungen  in  ganzen  Zahlen,  so  hat  man: 
e)  y  =  lOa—x—m, 
ß)  y  =  10Ä+m— 8  — LE, 
y)  y  =  106— 6  +  301  +  3:. 
Setzt  man,  diese  Werthe  tod   y  in  die  Gleichungen    von    ^m[l], 
80  erhielt  man: 

o)  A\m\\  =  Wax—x^—mx-a, 

ß)  A[ml}  =  \Obx+  mx—Sx—x'^~%  —  m  +  8, 

r)    ^[ml]  =  106a;  — 7ic+3ma:  +  a:*— 36  +  2-m; 


ß)  a=^-~^+  j  V  (lOa— m)«  -  4(a  +  ^[ml]) , 

|3)  ;;c=l?*J^LZ^j..V"(10A  +  m-8)*-4(96-8  +  m  +  ^[mTB, 

y)  a!=-^?y|^:i?±i\^(I06+3m-7)«+4(3Ä-2+m+^£«l]). 

Setit  man,  statt  der  Werthe  roa  y,  die  entsprechenden  W«rtbe 
von  X  in  die  Gleichungen  ^in[l].  so  erhält  man: 


über  die  ^usmiimengeselUen  Zaiilen. 
j-J  A[m\]  =  i/^—l0bi/+5i/—3iHi/+7b~4+2mi 


P)y  =  2-t^  +  JV^(10Ä-8  +  ni)«-4(%-8  +  m  +  ^tmI]).    . 


2)    Ist  Am3  zusammengesetzt,   so  ist: 
«)  Am3  =  (l0x  —  i)(10g—3)  =  100a:i/- lOy— 30a:  +  3, 
ß)  ^in3=(10a:  — 9)(10y— 7)  =  lOOa:^,— 90^-70^+63; 
folglich  : 

also 
(I)  Am[S]=lOxy-9ff~7a:-\-6;  ß)  ^0[3J=iary-9y-7a:+6-ni. 

Weil  in  den  zwei  letzten  Gleichungeü  die  ersten  Seiten  durch  10  j 
tbetibar  «nd,  so  sind  es  auch  die  zweiten,  daher: 

o)  y  +  3a;  +  iB  =  lOo, 
ß)  92,  +  7x— 6+1/1=  10a; 
n  man  diese  Gleichnngen  in  ganzen  Zahlen  aufjüsl: 
«)  ar  =  I06+3m  +  3i,, 
|3)  a:  =  10c  — 7y  — 3m— 2. 

,  diese    Werthe   von   x    in  die  Gleichungen  j4ni[3],    ( 
lillt  man: 

a)  J[m3]  =  l06y  +  3my+3j/a— y— m~3ö, 

ß)  ;i[m3]  =  10cy-3my  — 7j'+2y— 7c  +  2»(+2; 

10c- 3m +2 


t7y= 


±iV"(106  +  3m— l)«+12(m  +  3ö  +  ^[m3]), 
±i  V  (10c— 3n<+2)a— 28(7c— 2m-2+^[m3]). 


1  X  aus  und  subslitairt  dann,  so  erbält  man: 


;{)!)  Ndgemann:    Einige  öemerkemwerlke  Sdtte 

l0a-7ar+6-m.       , 

ß)  y= 9 ♦ 

iiimI  «¥«1111  inaii  die  Gleichungen  in  ganzen  Zahlen  iost: 

«)  ysslOa  — 3j; — m, 

ß)  y  =  106-f7a;--64-m; 
dAber  i 

«)  ^ImS]  »  10«r— 3dP*— nur— a. 


<l)  7*i»*^^=^-y=-5-=db»V(ia^-l»f«>»+Ä(i*-64^+4^ 


.i)  ?>.  ^|.  jf  ^^  .»»■;=  Wk ;: 
iiAkt.  w^HHi.  moir  «fi>)«iir  Ib^Mu^un^iiin  iti  gmnmr  ZaMim  «iffo 

i)  Ji  ^  Wk — ?Ji — •»: 

:»  .ihmT  =:.  Witt— -V  -  '^ — * 
uoa* 


üöer  die  %u$ammengeiet%ten  Zahlen.  211 

ckt  man  y  in  x  aus  and  sobstitoirt  dann,   so  erhält  man: 

106— 6  + 3m— a: 
«)»  = 3 • 

^  10a — m— a: 

ft  »= 7 i 

,  die  Gleichungen  io  ganzen  Zahlen  aufgelöst: 

ß)  yslOc— 3m— är; 

«)  2l[m7]  =  10car  +  &r*— 5a?  +  ma:— 9c  +  2— m, 
/?)  A[m7]  =  lOca?  --3ma?— 3a:*— 7c  +  2m  +  2a: 

a:=-^5^— ±4V^(10c— 5+m)«  +  12(9c— 2  +  m  +  ^[m7]), 
^_  ^0^-|">+^  j,  1 V  (lOc^Sjn  ^  2J«  -  12  (7c-  2m  +  J[m7]). 

4)  Ist  Am9  zusammengesetzt,   dann  ist: 

«)  ^m9=(10a:— J)(%-9)  =  100a:y~10!y— 90a?+9, 
ß)  ^m9=:(iar-3)(%— 3)=100a^— 30y— 30a7-f-9, 
Y)  ^m9=(iar— 7)(10y-.7)=100a:y— 70y— 70j:+49; 

a)  ^m[9]  =  10a:iy— y— 9a:, 
ß)  2lm[9]  =  10a:y— 3y— 3a:, 

y)  Jm[9]=:10a:y— 7y— 7a:  +  4; 
er: 

a)  A0[9]  =  IQaiy^^. 9a:-m, 
ß)  A0[9]  SS  10a:y— 3y— 3a:— m, 
y)  ^[9]  =  10a:y— 7iy7ar  +  4— w. 

die  ersten  Seiten  der  drei  letzten  Gleichungen  durch  10  theil- 
sind,    sa  sind  es  auch  die  zweiten  Seiten;   daher: 

a)  y+9a:  +  m  =  10a, 
ß)  3^  + 3a:-f  ms=lOa, 
f)  7y  +  7a: — 4-f  m=10a; 

r  in  ganzen  Zahlen  aufgelöst: 


r 


BIS  Hiefsmmmn!  Mi^  irmm^HMBträU,  SJUJ  ^ 

B)  y=10tt--9x—m, 
ß)  y=  lOft— x  +  3m, 
y)  «=  lOc+l^— Ä— 3m; 
folglich : 

o)  A[tn'A]  =  \0ax—9x*-mx—a, 

ß)  A[m'ä]  =  mx~x^  +  3mx-Zb—m. 

y)    i4[m9]  =  10ra+I2x— a;«— 3mar— 7e-8+2in 

B)  9:c=— ^-±i%^(IOa-m)»-36(a  +  ^[m9]). 


« 


r)  a:=^5^iy— ^±jV"(IOc  +  12-3m)«-4(7c+8-2iH  +  ^f«( 

Drück!   man   x   In  jr  aus,    so  erhfilt  man: 

und  ivenn  man  die  (äleichangen  in  ganzen  Zahlen  auflust : 
a)  .r=I0&-|-in4y. 

y)  x=IOc+l2-3m— 9: 
dabv  darch  Snbstitülinn  in  /ln)[9]: 

«)  J[«»9]=I%>mv+^— y— 94  — m. 

/J)  J[m9]=106,+3»,-,»-36-»,, 

y)  AlmS]=l0cs  +  l2g-3m3-y*-7e-9+% 


y)y  =  ^^^^-^J  V  (IOr+12~3-)«-4ac+8-2«+:J 


ilher  die  ziisammenifesc 


I  Zahlen.  21. 

Dass  im  Obigen  die  das  (juadralivurKelzeichen  enthaltenden 
Ausdrücke,  w  mag  ein«  gerade  oder  eine  ungerade  Zahl  sein, 
immer  gan;(e  Zahlen  lierern,  wenn  nur  die  Quaürativurzel  sich 
rational  ausziehen  ISsst,  fSlIt  leicht  in  die  Augen. 

In  2)  haben  trir  z.  B.  gefunden: 


^ 


7y  = 


lOc— 3m+2  , 


iV^(IO. 


Ic— 3m+2)!'-2«(7c-'2m--2-t-.4[m3]). 


Ist  erstens  m  gerade,  so  ist  offenbar  lOc — 3m  f  2  gerade;  <)« 
nun  (lOc  — 3m  +  2)a  und  28(7c— 2m  — 2  +  ^rm3]),  also  auch  die 
(xrOs^c  unter  dem  Wurzelzeichen,  gerade  ist,  tio  ist  <Jie  Wui 
wenn  sie  sich  nur  rational  ausziehen  Ifisst,  gleichfalls  gerade, 
7jy  ist  also  die  Hälfte  der  Siimme  oder  Differenz  ziveier  geraden 
Zahlen,  also  eine  ganze  Zahl.  Ist  zweitens  rn  ungerade,  so  ist 
offenbar  10c  — 3m  +  2  ungerade;  da  nun  {lOc — 3hi  +  2)*  ungerade 
und  28(7c  — 2m — 2  +  vi[tn3])  gerade  ist,  so  ist  die  Gross«  unter 
dem  Wurzel/eichen  ungerade,  also  die  Wurzel,  wenn  sie  sich  nar 
rational  ausziehen  lüsst,  ungerade,  und  ly  ist  also  die  Hälfte  der 
Summe  oder  Differenz  zweier  ungeraden  Zahlen,  also  wieder  eine 
ganze  Zahl. 

Die  Gleichungen  /^t'/il],  ^[m3],  /4[Tfi7],  A\Tnfi]  zeigen,  dass 
diese  Grössen  abhängig  sind  von  a:'^  oder  y"^  und  von  a,  6  oder 
e,  dass  sie  sich  also  in  Tafeln  bringen  lassen  mit  den  Eingängen 
x  oder  t/  und  o,  0  oder  c,  und  dass  die  Werthe  derselben  fort- 
schreiten nach  X  oder  y  in  einer  aritbnietiscben  Reihe  zweiter 
Ordnung  und  nach  a,  b  oder  c  in  einer  einfachen  arithmetischen 
Reibe. 

Ich  habe  die  Tafeln  der  zusainm engesetzten  Zahlen  entwor- 
fen,  und  will  nur  an  einem  Beispiele  die  Art  der  Darstellnng  zeigen.  I 


^21  =  (lOa;— 7)  (lOy 
'  .42I  =  (10ar-9){IOy— 9), 


J21  =  (ll)3:— l)(10^— I) 
Ist  nun 
J21  =  (10*— 7)(I0s— 3)=100:i:3/-70y— .mT  +  21, 


Mtwiilixii    wiWWwmii  «rj 


k 


i 

A 

« 

B 

» 

1 

4 

«53 

i 

93 

ISIS 

38S 

K 

6337 

* 

877 

t 

8IB9 

4! 

IS«9 

11 

9921 

5| 

»61 

13013 

t  MJtmt3U.m  •■  Stande,   mittelst  rfteaer  Tafvlii  d!«  I 
lafcn  cä^CT  &M  «Brakt  n  bestiomen.     Hat  man  die  Faktoren  is  I 
ZabI  t23C«:8eO  m  fedn,   m  hat  vaii   1-2343678!«==  3 x3x! 
>c5xl3TI7431,  und  c*  iel  «ieder  I37I74'2I  in  zerlegen.     Da  Jit  1 
Zabl  aif  21  aBa^ebl,  s«  Bäss«,    «eno  sie  zusammengeseUt  iil.  | 
ihre    FafctoTcn    die    Fomen    haben:     ^.J7    oder    ^9.^9   < 
JI..4I.     Ul  137174^1  Mtstandea  ans  ^3.v47.    dana  ist: 


und 


13717421  =  (Iftr  -7j  (lOj— 3) 
IM  — I 


-—^-  +i  V  (106— !)«+ 126  +  4J[21], 


und  es  niDss  ein  6  gelten,  welches  die  Wurzel  ralioDsl  macht.  I 
Weil  iD  die8eni  Falle  J[-2I]  ^  137174  Jn  ubiger  Tafel  voricommen 
iDDss,  Eo  kaDD  es  nnr  ein  solches  b  sein,  wobei  die  letzte  Ziffer 
'orkammi-  Weil  die  Glieder  nach  Prooressionen  fortsc breiten, 
bilileii  die  Endziffern  Perioden,  und  es  sind  bloss  die  Werthe] 
voo  b  XU  verbuchen,  die  in  dem  Täfelchen  bei  ^421  angegeben  | 
ind,  also  6  =  2,4,6  oder  6=r2+I0ni,  4  +  lOm,  6 -h  UhaJ 
Setzt  man  6  =  2,   dann   ist    £  =  383   und 

ß  +  iA'21  =  385  +  4.  I37I74  =  549081  =  741» . 


,=  -f±J.741=^  = 

%  — 3  =  3607, 

folfilicb  sind  die  Faktoren:     ^607x3803. 

Konstruirt  man  mittelst  dieser  Sätze  die  Falctorentafeliit 
erkennt  ninn  die  Leichtigkeit  und  Sicherheit  der  Rechnung,  roii 
nnlchor  dienoi«  geschehen  kann,  iveil  bloss  die  Progressionen  sv 
herncbnpn  sind,  deren  Richtigkeit  eich  allenihalbea  leicht  bonlml- 
llfon  lllidt.  nie  Leichtigkeit  nird  Terner  dadurch  ivesentlich  «I- 
hllhl,  (Um  nn  joder  Zahl  die  zwei  Endziffern  gespart  tverdenkSi 


U 


espart  tvertten  kSiuifiik 


t'ebuHgsaiifgaöen  für  Schüler. 

Bemerkung   des    Herausgeber 

Der  VerTaseer  Aen  vorsiehenden  Aufs&Izes,  dem  ich  nanjetiU 

Äch  deshalb   die  Aufnahme   nicht    versagt   hnbe,    weil  ich  »Uube, ' 

iass  er  zu   weiteren  Untersuchungen   Anregung   gehen    Icarin,   ist 

leidet  während  des  Drucks  desselben  gestorben  und  hat  die  Cor- 

'Gctur  und  letzte  Durchsicht   nicht  mehr   selbst  besorgen   h'ii 

Via  am   so  mehr   zu    beklagen   ist,    tvail  das  eingesandte  Manu- 

«ri[>t  sehr  undeutlich   geschrieben    iind   durch    viele  C'irrecturen 

ttrungtaltet,    auch    bei    der   AuTnahme    eine  Correctur   und    letzt« 

llnrchsichl  durch  den  Verrasser  seihst  vorausgesetzt  i 

Vleig«  und  Sorgfalt  nun   auch    hier    von  zwei  Correctoreu    auf  die 

'^rrectur  verwandt  tvorden  ist,  so  lagst  sich  doch  bei  dieser  Lage 

*lei  Sache    nicht  daHir  stehen,    dass    nicht   noch    hin  und  nieder 

'ehler  übersehen  worden  sind.    Sollte  dies  der  Fall  s 

'cb  desballi   sehr    um  Verzeihung  und  zugleich  um  geneigte  gele- 

Sentliche  iÜliltheilung  der  etwa  aulgefundenen  Fehler  bitten,  damit 

■ie^elben  späterhin  im  Archiv  zur  Anzeige  gebracht  werden  können. 


Uebtingsaulgaben  für  Schüler. 


Von  einem  sehr   achtbaren   Mitarbeiter   an    i 
aber  vorläufig  nicht  genannt    ^ein    will,    ist   i 
ktz  gutigst  eingesandt  worden: 

„Die  Höhendnrchschnittspunkte  der  vier  Drei- 
ecke,   die  ein    vollständiges  Viereck  darbietet, 
liegen  in  einer  geraden  Linie." 
Der  Herr  Einsender,  der  sich  nach  seiner  Mittheilung  im 
es    kurzen    und    eleganten,    rein    geometrischen    Beweises   des 
stzes,  der  auf  den  ersten  Sätzen  aus  der  Lehre  von  den  Trans- 
en   beruhet,    befindet,    wünscht   durch   die   IVlitlheilung  des 
latzes    zur    Auffindung   verschiedener   Beweise   zu    veranlasaenj 
Tteil  XtV.  15 


I 


220  Miscelien. 


M    i    8    c    e    1    I    e    n 


Für  die  im  Archiv.  Tbl.  XLIV.  8.  606.  mitgetheilte  Aufga 
ans  der  anbestimmten  Analytik: 

Bestimmung  ebener  Dreiecke»  deren  Seit 
mit  dem  Halbmesser  des  amischriebeneo  Kn 
ses  in  rationalen  Verhältnissen  stehen, 

sind  mir  verschiedene  Aafiusangen  mitgetheilt  worden,   die 
nachstehend   nach   der  Zeitfolge   ihrer  Einsendung  folgen  las 

G. 

I. 

Von  Herrn  Professor  Dr.  Rosenberger  in  Halle  a.  d.  S. 

Heissen  die  Seiten  und  Winkel  des  Dreiecks  A,  B,  C;a,ß 
der  Radius  des  umschriebenen  Kreises  R,  so  hat  man: 

8ina  =  ^«    sin/3  =  nj5>     siny  =  ^  =  sinacosj3 -f  eosasin 

Es  kommt  also  nur  darauf  an,  a^wei  Winkel  o»  ß  so  zu  besi 
men,  dass  ihre  Sinus  und  Cosinus  rationale  Zahlen  sind.  ^ 
nämlich  sina  =  i,  cosa  =  c»  sin/?=  0,  cos/3  =  y,  so  hätte  n 

A  =  ^R.$, 
B=z2R,a, 

•C=2i2(*y  +  öc); 

und  R  brauchte  nur  dem  kleinsten  gemeinschaftlichen  Ner 
von  f,  a,  c,  y  gleich  gesetzt  zu  werden^  um  Alles  in  ganzen  2 
len  ausgedrückt  zu  erhalten. 

Nach  dem  bekannten  Satz  aber,   dass  die  Summe  der  ( 
drate  von  iab  und  von  a* — 6*  wieder  ein  Quadrat,  nämlich 
vo«  a^i^b^t   ergiebt,  kann  man  setzen: 


der    Bestimmung    von   siiiu    kommt    alier    offenbar   nur    das 
^bSltntss  von  a  zu  A  in  Betracht,  ebenso  genügt  das  Ver- 
A  zu  B  zur  Besttmmimg  von  a\nß. 


I  Nun  ist   aber   ~d  —  T-'d~  und  e 
pecttve  fa  und  ffb  gesetzt   iverdc 
ganxe  Zahlen  bedeuten. 
Das   giebt : 

2a*  4a6 


I  kann  demnach  für  A  und  B 
n,  ivo    f-^Ab    und   ff^Ba 


a^r  +  f>^g*  l 


•  o  _       2«6/ff      _       4a6;^g        o'  +  fi*  1 

•  _     ^«6        /l'  -  g'  2^fl       gl— &' 

_4Q6(fl'/^~flV)  4-4a6/ff(a'— A^)    l 

_4a6(/-+g)(HY-6V)   1. 

raus    sofort  folgt : 

-4  =4a6(aY»+fiV). 
B  =  4aA/5(a''  +  ft''), 
C  =  4a6(/'+Sr)(«V-AV). 
ß=  («a  +  ö«)  (««/»  + 6V)- 
Halle,    II.  Februar  1S66. 


II. 

:  EnBttteluiig  Tsu  Dreletken,  bei  denen  die  Selten  und  der 
user  des  onischriebenen  Kreises  durch  gauie  ratitnale  Zahlen 
aasdrBekbBT  sind. 


,ch  Gr, 


r  Mathomatik   nn  der  Handola- 


pSind  m,  n,  ;?  die  Seiten  und  ist  ^  die  Fläche  eines  Dreieckes, 
^t  (ur  den  Halbmesser  r  des  umschriebenen  Kreises  die  Formel)  t 


I 


■  4^' 


Soll  nun  r  eine  rationale  Zahl  sein,  so  ist  dafiir  die  nofboH^I 
ilifje  und  hiareicbende  Bedingung  die,  daes  ^  ratioiinl  ist. 

Um  aljßc  ein  im  Allgemeine^  schierwinliliges  Ureteck  all 
rationaler  Cläche  eu  erhallen,  braucht  man  nar  ein  Paar  rechNf 
winklige  Dreiecke  mit  rationalen  Seilen,  welche  eine  Kalbeul 
gemein  haben,  mit  der  letzteren  an  einander  zu  «teilen.  Esiill 
nun  suhon  im  Allerlbunie  liekanni  gewesen,  dass,  tve 
f.  (I  beliebige  ganze  Zabteii  bedeuten,  die  Ausdrucke 

n»  — 6«,     2o6.     a«  +  (.* 
und 

r-sV  2/;,,  f^g' 
die  Seilen  zweier  rechtwinkliger  Dreiecke  Bind.  Mulfiplicirt 
die  Seiten  des  ersten  mit  '^CB'  '''^  ^^  zweiten  mit  2<r6,  so 
kommt  man  ein  Paar  Dreiecke  mit  der  gemeinsamen  Kalbcli 
iabfff,  und  wenn  man  beide  mit  dieser  Katbete  an  eiuander  sl«llli 
1  erhSIt  man  ein  im  Allgemeinen  scfaiefninklige»  Dreieck  mi^ 
,  Selten 

n  =  2/5(a>  +  6<). 

Nimmt  man  m  als  GrundlinJe,  so  ist  iabfy  die  Hühe  und  alu 
die  Flache: 

Setzt  man  nun  diese  Wetihe  in  die  Formel  (I)  ein,  so  eibfit 
mau   sofoH: 

Soll  r  auch  eine  ganze  Zahl  sein,  so  muss  man  die  Wertbe 
von  m,  n,  p,  r  verdoppeln  und  die  L<>snng  der  in  der  Uefao- 
■chrift  angegebenen  Aufgabe  ist  daher  durch  die  Formeln  gegeben: 


m  =  4fy(d*  —  b')  +  4aft(/«- 


-J«). 


Mactulebsud  Mgt  noch   eine  kleine  Tabelle  solcher  Wertba 
i«i|  AnsaW  der  Uiirsgtüssen  a,  f>,  f,  g.    W«an  alle  vier  Wertbe 


1 

^^^^^^^                           mtteUen.                                         223' 

^^^^  p,  r  denselben  Factor  haben,   so  ist  dieser  in  den  Wer- 

^^^E  Tan  m,  ri,  p,  r  »-eggelassen ;    dagegen    ist  sein  Wert!)   inj 

^^^^BSpalte  D  angegeben  irorden.                                                        ■ 

^^^^^^ 

b 

[U 

m      n 

.\r 

D 

^^K 

~ 

i  1 

48     40 

40     25 

T 

3    1 

10;      6 

8 

5 

10 

2   3 

32   120 

104 

65 

3   2 

112   120 

104 

65 

^^H 

1 

1   i 

14     40 

30 

25 

2                             ' 

3'  1 

48     30 

30 

25 

4 

3,  3 

3   2 

66   120 
12^  120 

78 
78 

65 

2 

65 

2 

^^V 

2 

sl  a 

240  312 

312 

169 

^^H 

1 

1 

2 

72    136 

80 

85 

i 

1 

168   136 

80 

85 

_ 

1 

3 

26   102 

80 

85 

2 

3 

1 

154   102 

80 

85 

2                            •■ 

2 

3 

280  408 

208 

221 

3 

2 

440   408 

208 

221 



4 

1 

480   272 

272 

289 

^^^m 

3 

3;  1 

234   150 

240 

125 

2                             ] 

3!  2 

408  000,  624 

325 

^^B 

1 

2 

4 

66   104     50 

65 

8 

4 

2 

126   104     50 

65 

8 

^^P 

1 

1 

2 

408  520   160 

325 

i 

1 

120:  IO4I    32 

6^5                              1 

^^K.eipaig,  11.  Febrnar  1866. 

^^K                   Nachscbrirt   des   Heransgebers. 

^^^nSetzt  man  in  den  vorstehenden  Formeln  f=i.a,  g  =  iit,   wo 

^^^■Hich  k,  it  alle  positiven  ganzen  Zahlen  sein  können,  BO  iver- 

^^R^diese  Formeln,   nie  nian  sehr  leicht  findet: 

^H                           >»  =  4o4(l  +  rian!-p6>), 

^V                               n=4oSV(o=+6'), 

^^B                           p  =4aA  (!>((» +ftV;*;, 

^^B                           r  =  (a'  + 1')  (Ä=  +  nW) , 

^^^^L«tiinmfln  also  gans  mit  den   Formeln   von    Uanss   überein. 

^^^Hm  diese  letzteren  in  jene  übergehen,  nenn  man  nur  für  f,  g 

^^^ftective   i.,  ft   schreibt,    vtobei   man  zu  bemerhen  hat,   dass  in 

^■B«!  Systemen  von  Formeln  /,  g  und  1,  p  alle  beliebigen  gan- 

^^K|>osiliven  Zahlen  beze> 

chnen  können. 

G. 

_ 

1 

1 

1 

1 

■ 

III. 

lieber  ebene  Dreiecke^  deren  Seiten  mit  dem  Kadinfl  des  mmcii 
benen  Kreises  in  einem  rationalen  Verhältnisse  stellen. 

(Entwicklung  der  von  Gauss  in  seinem  Briefe  an  Schoroacl 
gegebenen  Lösung.    Vgl.  Archiv  44.  Tbl.  p.  505  f.) 

Von  Herrn  Dr.  W.  Scbrader,  Director  der  königl.  Proviozial-Gewei 

schale  in  Halle  a.  d.  S. 

Bezeichnen  a,  y,  x  die  ganzen  Maasszahlen  für  die  Sei 
eines  ebenen  Dreiecks,  J  die  Maasszahl  ffir  die  Fläche  und  r 
für  den  Radius  des  umschriebenen  Kreises ,  so  ist  bekanntlich 

2)  y^_^.y^-  ^y^  _ 

Es  wird  r  rational  sein,  wenn  J  rational  ist.    Der  Wertb  ffi 
lässt  sich  in  folgender  Form  geben : 


3)     j_(^—jf+^)('-^+y'^*)\r^+y+*   ^+y 

4  1   X — v¥z'  --X4-' 


f — z 

Ist  diese  Wurzel  rational,  so  ist  der  Radicand  eiii  Quadrat, 
man  kann  ganz  allgemein  setzen: 


x  +  y  +  z  ^    J?  +  y— g    _  a*^ 
' a:— y  +  x'  —  x+y  +  z       6** 

Ebenso  allgemein  darf  man  setzen: 

5)  ^  +  y-^  ^9 ^ 

so  dass  nun  aus  4)  und  5)  folgt: 
6)  x^^y^rz  _  a^f 

FSr    a,  6,  /,  g    sind    beliebige  ganze  Zahlen werthe   zu   dec 
nur  folgt  aus  6)  die  Beschränkung,  nach  welcher  aV>  b^g  sein  n 

Entwickelt  man  aus  5)  und  6)   in  gewöhnlicher  Weise 
Werthe  för  x  und  y,  so  folgt: 


7)  ^-m^^. 


a*f*+b'g^ 


«llen  X,  ^,  ;  ganze  Zabfentrerlhe  habeo,  so  folgt : 

9) X  =  o''/'  +  »V. 

■10) ^  =  f!,(a'  +  l^), 

11) !(  =  (/'  +  «)(»y-4'9). 

e  muss  aber  gestattet  sein,  falis  diese  Werthe  einen  gemein- 
shafilichen  Factor  haben,  sie  dnreb  denselben  tu  dividiren. 

Setzt  man  diese  Werlbe  in  I)  ein,  so  erhült  man; 

12) J=al,fg(fi-g)iay-0'g), 

nd  aus  2)  Tolgt ; 

,„  (oM^SMi'r+iV") 

'* '  -  4oJ  ^' 

oll  auch  r  durch  eine  ganze  Zahl  ausgedrückt  werden,  so  muss 
isn  die  vier  Werthe  lur  x,  t/,  i,  r  mit  iab  multipliciren.  Man 
rhält: 

14) x  =  iaifg(a'+i'). 

15) S='"o4(/-+ff)(nV-6V),  

16) !  =  4e4(oY'  +  6V). 

17) r  =  (o'+*')(o'/^  +  4V)- 

Dieses  eind  aber  die  Werthe,  welche  Gauss  in  seinsni 
triefe  an  Schumacher  vom  '21.  October  1847  ani^egehen  hat. 
■  auss  hat  bereits  ausgesprochen,  dass,  wen«  n  mit  li,  oder  f 
«it  g  einen  Factnr  gemein  hat,  das  Quadrat  dieses  Factors  den 
1)igen  vier  Werthen  gemeinschaftlich  ist,  M'oraus  Toigt,  dass  aus 
l«n  obigen  Formeln  durch  dJrecte  Substitution  in  der  Regel  nicht 
olcbe  Werthe  gefunden  werden  können,  welche  einen  nicht  qua- 
Imtischen  Factor  gemein  haben.  Sollen  die  Formeln  auch  diese 
Verthe  einschliessen,  so  roiieste  man  den  obigen  Werthen  noch 
linen  allgemeinen  Factor  beifußen. 

Sind  für  x,  y,  t  und  r  die  Werthe  gegeben  und  soll  man 
acbweisen,  dass  sie  in  den  obigen  Ausdrücken  enthalten  sind, 
o  trenne  man  zunächst  davon  den  etwa  vorhandenen  allen  ge- 
neinscbaTtlichen  Factor;  dann  bedenke  man,  dass  sich  der  Werth 
Sr  r  oder  ein  Vielfaches  davon  in  zwei  Factoren  zerlegen  las- 
en muss,  die  Quadratsummen  sind  ;  jeder  dieser  Factoren  muss  in 
inem  der  für  die  Seiten  gegebenen  Zahlenwerthc  enthalten  sein. 


Mllieellen. 


Hiernach  veilheiIeD  sich  die  gegebeneD  Werthe  auf  die  obigec^ 
Formeln,  und  durch  Probifen  sucht  mau  die  für  a,  6,  f  and  ^ 
EU  iiebmenden  Werthe.  Erleichtert  wird  diese  Kechnaug  n% 
durch  die  Beziehung: 


18). 


iTohei    oft   eine    angemesgene   Erneiterung   des   Zahlenquotienteo   j 
nüthig  ist.     In  dem  Beispiel  des  Curtius  (Archiv.  Tbl.  44.  j 
sind  Tür  die  Seiten  die  Zahlen   50,  66,  IÜ4  uud    für  den   Radiw 
die  Zahl  65  gegeben.      Nun  ist  65=:  5. 13,   S  ist  ei»    Faclor  vi 
SO,    13  einer  von  104,    also  Ist  eu  setzen: 


c  =  50. 


1=  104, 


=  65: 


^"bfg 


Erneitert  man  mit  2,    so  folgt: 


4.20 
""  11.6" 

I  Eb  ist  aUo  a=l,  b  =  -i,  /"=  10, 
Briefe  angibt.  Bei  der  Angabe  des 
1  dem  Briefe  ^'on  Gauss  ein  Irrthu 
f=:i,  g  =  Z  führen  nicht  auf  die 
dern  auf  die  Seile»  120,  äj,  104. 
finden,  welche  auf  die  Seiten  120, 


^ 


rl20,   y  =  ll2, 


=  104,    und  man  erhält: 


■(10+l)(10-4)' 

^=  1,  wie  (üausB  in  Mi 
zweiten  Beispiels  findet 
m.  Die  Werthe  a=2,  t, 
Seilen  120,  112,  104, 
Will  man  die  Substilullon 
12,  104  führt,    so  setze  nuB 


_iabfy_ 


12 


12^         4.2.1.3.4 
'7.8  ' 


~{»  +  4){12-4) 


yr-(/-+s)(aY-6V) 
Es  ist  also  (1  =  2,  6=1,  f^i,  ff=i  «u  setzen,  und  map  eAlm 
nach  einer  Dtvlsian  mit  dem  gemeiiiscbafilichen  Factor  4  iSf 
Werthe  )20,  112,  J04.  ' 

Es  iiit  jedenfalls  von  Interesse,  die  mögliche  tJrs»che 
suchen,  welche  den  obigen  Irrthum  hei  Gauss  bewirkt  hat.  Die 
Gleichung  4}  wird  ebenfalls  erfüllt,  wenn  man  den  Gleichungn 
5)  und  6)  folgende  Form  gibt 


msceUen.  227 

«handelt  man  diese  beiden  Gieichitngen  genau  so,  wie  oben  ge- 
ebeheii  ist,  so  kommt  man  zu  folgenden  Resultaten : 

iW) a:  =  4i,4/i,(o"  +  6'). 

to; ,=4o4(,-/5(oV+6>s), 

K> =4o4(nsp  +  4V). 

Wi r=(aH4')("'/'  +  6V'). 

■elleicht  haben  diese  Formen  (>auHS  ebenfalls  vorgelegen,  ilenn 
ie  geben  für  a  =  i,  6=1,  f=\,  ,9=3  för  ilie  Seilen  die  Werthe 
3M),  112,  104.  Vergleicht  man  die  in  '20)  bis  23)  angegebenen 
Berthe  mit  den  in  14)  bis  17}  aurgeetellteu,  so  sieht  man,  dass 
Ie  nur  für  y  abweichen,  woraus  sich  foigender  Sali  ergilit: 

Hat  man  ein  Dreieck  mit  rationalen  Seiten,  das 
sieb  in  einen  Kreis  mit  rationalem  Radius  ein- 
schreiben läast,  so  giebl  es  für  denselben  Kreis 
in  der  Regel  noch  ein  zncites  Dreieck  mit  ratio* 
naien  Seiten,  das  von  dem  ersten  nur  in  einer 
Seite  abweicht. 

Diese  beiden  in  der  Regel  verschiedenen   Dreieeke    Tallen   in 

D  Dreieck  zusammen,    irenii   af^=.bg    ist;    denn  subtrahirt  man 

ie  beiden  in  lä)  und  21]  für  ^  angegebenen  Wertbe,  so  ist  die 

^erens   8a6(a*/^  —  ä*j*),     welche    Tür    af=^bg    verschwindet. 

h  af  ' 

ubstitairt  man  g=^-r,  so   Tolgt  nach  angemessener  Reduclion: 

Ä  =  2Cfl''  +  6»),    y  =  2(a'»_6S),     r  =  4ofi,    r  =  flH*'. 

ie  bekannten  Werthe  für  das  recbttvinklige  Dreieck. 

Gauss  sagt  in  dem  angezogenen  Briefe,  dass  sich  die  Auf- 
laUDg  unserer  Aufgabe  auch  in  Pornneln  von  grosserer  Eleganz 
^en  lasse.  Solche  Farmein  erhält  man,  trenn  man  den  rechten 
leiten    der  Gleichungen   5)  und  6)  übereinstimmende  Form  giebt. 

' a;  -ä  i  r       tg 

*" -,+,+.-57- 

Nese  beiden  Gleichungen  erfüllen  die  Gleichung  4)  ebenfalls. 
hre  AuflÜsung  in  der  angegebenen  Art  führt  zu  folgenden  Re- 
lultaten : 

26) a:  =  4/J?{«»+6*), 


■.  ■    t 


2(2^  Miscellen, 

'17} y^Haf^bg)ibf+ag). 

tW) X  =4«6(/»+5r«), 

m r  =  (a«  +  6^)(/^  +  ^). 

1)Iq«0  Formeln  aind  einfacher  als  die  oben  gegebenen»  an 
(loni  haben  die  ii\v  x  und  z  übereinstimmende  Form,  und  di( 
den  Wertha  fdr  y,  welche  denselben  Wertben  fod  x  und 
gefH|{t  wtsrdei)  k<)nnen,  erhSit  man,  indem  man  entwedei 
Werihe  von  a  und  6  oder  die  von  f  und  g  mit  einandei 
tttUMi'hl,   wobei  nur  darauf  lu  sehen  ist,  dass  «/*>  bg  ist. 

Mit    Httlfb    dieeer  Formeln   erhSlt   man   leicht   nachfolg 
wahri*i>lieinlteli  ♦rachdpfende  Zasammenstellung  der  Dreiecke, 
N^UeH  dur^h  yana«  Zahlen  ausgedruckt  werdeo  und  die  si 
«4Meu  Kr«Uk  vmu  Kadius  65  eiDSchreibeii  h 


m  i  f  9  X  3f  % 

4  1^31»  39  IIM 

4  1  S  :i  1»  112  104 
^  I  S  I  30  1J6  101 
I  d  $  1  30  66  101 
;!t  1  ^  3  lA  €6  78 

5  I  »  :2  IdD  I»  78 
»  1  $  1  3»  IB  78 
1  $  S  I  31  &  78 
^^  I  I  1  UO  Las  32 
:  4  I  I  ft»  »  lli 

[W  M»fc«  WevMa  I^K&eidk«  «aai  wdbrmidUig,  dbs  ieU 

Idiäv  iiiüA'iiM4itäiiimiiil<farirAii&Sdy<s^^         «=11«  ^=3«  f^z^ 
Will  euMi  JMdh  I^yuddbr  id&ftsiifn.    lAcima  SniitiraycM   m 
RonJfattSiEiJy   ewMin    t?«iMiR»ihadUßdbiot.   IK«WMir   Infcoi,    f« 
«MA  «rMHh  *ibr  !i^irilffwmfti^|iHik  Dinmdbe    XMy,  112»  78   md 
):M.  3M^  'i^  «(rdh  <m&rik  «Äiinc&  Eir««iQ«niiii^  ans  4cs  beka 

£^   üiQ  x^Kii  ItanM««!^^    «tu  itomtnäHai^   <&us^  ia   i&csiea 

7^:,  k<M    \\t    lüfl.  C3f>  uma  lUfl  «>^iiumMir..  unü  cw  drei 
l^;i,  -JWvM-  itwi>  ^Ufhkin  tauiil  itfii^  «äwi  ^ittiior.  ^onaiL 


Mtscellen.  229 

IV. 

Von  Herrn  Oberlehrer  Lehr  in  Königsberg  i.  Pr. 

lind  et,  ß,  y  die  Seiten  des  Dreiecks  und  a  die  halbe  Summe 
Iben,   so  setze  man: 

.    a  —  ßzrzx.y, 

<y  — y  =  X,Zy 

c  =  x{\  +.v  +  t). 

ist  bekanntlich  der  Inhalt  des  Dreiecks  z/=  V^^..^2(l+y+2). 
iieser  Ausdruck  rational  werden,  so  wird  man  ihn  offenbar 
(l+^-F2;).p  setzen  dürfen,  wo  p  irgend  eine  rationale  Zahl 
itet,  so  gut  wie^  und  z.    Hieraus  ergibt  sich  die  Gleichung: 

lamit   ist   die  Aufgabe  eigentlich  erledigt,    denn   man  findet 

18  1 

.=-^.  «=,.siy^.  ,=.(.+„,. 

ter  Radius  des  umschriebenen  Kreises  wird  dann: 

1  nun  a,  ß,  y  und  ^  ganze  Zahlen  werden,  so  braucht 
nur,  um  die  allgemeinste  Auflosung  zu  erhalten,  fär  p  and 
end  welche  Brüche  zu  substituiren  und  die  Verhältnisse 
1^:^  auf  ganze  Zahlen  zu  rednciren.  Ich  setze  also,  um  die 
Itate  in  den  von  Gauss  gebrauchten  Zeichen   zu  erhalten: 

f     ,       / « 

y=-     und    P  =  ^'l- 
wird  mit  Wegwerfung  des  gemeinschaftlichen  Factors  x: 

"-gb^-fa-»'     ^~ff(ffb*-fa^r    ^-    g    * 

(oHfe')(«'/^+ftV). 
*-      iabgigb^—fa')      ' 


330 


.  in  ganzen  Zahlen; 

wn    offenbar  für  gb^ — fa*  immer    der    positive  Zalilentvertb     ^ 
setzen  ist.    Dieses  sind  die  von  Gauss  angegebenen  ReBBttm||t| 

Königsberg  i.  Pr.,  30.  lUarz  l« 


"MZ-f^Xiit^H 


inlltlirerg  E.  Fni 
H.r.n.g.bcr 


I 


Beim  Durchlesen  der  beiden  BTiefe  KMieithen  Schumacber 
und  GausB  im  4.  HeRe  des  44.  Tlteils  llires  geschätzten  Arclii» 
schien  es  mir,  es  niucbten  sich  nohl  die  daseitist  angeluhttes 
Formeln  von  Gauss  zum  Auffinden  von  Dreiecken  mit  rationt- 
len  ganzen  Seiten  und  eben  solchem  Radius  des  umschrieb«!«! 
Kreises  auf  folgende  Weise  am  Einfacheten  auflinden  lassen. 

Um  Dreiecke  der  angegebenen  Art  aufzufinden,  Icommt  tt. 
wenn  man  sich  vor  der  Hatid  auf  die  Bedingung  der  Rationaü- 
t&t  hescbränkl,  darauf  an,  Dreiecke  zu  finden,  in  denen  die  Sei- 
ten und  der  Sinus  eines  Winkels,  oder,  nas  auf  dasselbe  bit 
aus  kommt,  eine  Hübe  rational  sei,  indem 


~  '2 sin« 


'W 


ist,    (venn   k'    die  Rübe  auf  die  Seite  6   ijedeutel      S 
ec^ta  erhält  man  aber  am  leichtesten  durch  Zusammenfugen  f 
pylhagorSiscben  Dreiecke,  tvelche  eine  Kathete  gleich  ha« 

Für    ein    pythagoräisches    Dreieck    ist    aber    bekanntlich   ' 
Bedingung  der  RationalitSI  der  Seite»: 


[tir 

zweites : 

a'  =  pn9» 

,    4' 

=  P' 

-t'' 

c'  =  2p,. 

Ma 

ht 

man  die  Seiten  c 

snd 

p'gl. 

cb.  so 

erhalt  man: 

ta 

1 

a'  =  (p"  +  9»)mn, 

L. 

b'  = 

■(.«■- 
=  (p>- 

-,>)om 

c'zsimnpg. 

jngeffigt 


''*);'9+(;»'-9')mn. 


l'^chlH'inkli^en    Dreiecke     ^ebeii 
aa  schiefninkliße  Dreieck  mit  ilen  Seilen 

ind  ziTiir  Tür  /;-|-6'  ein  spilzivinkliges,  fi'ir  A  —  b'  ein  stiimpfH-ink- 
llges  Dreieck.  Die  Hiihe  auf  ilie^e  lelzten>  Seite  ist  natQrlieh 
die  Kalliete  c  ^  c' =  imnpf/ ,  mithin  Her  Ua<liu8  des  nniachrie- 
benen  Kreises: 


1 


imnpi/ 
Um   diese»  Radius   in   allen  Fällen 
tut  man  den  Seiten  noch  den  Fubti 
den  die  Seiten  des  Dreiecks : 


=  i(mä  +  «')  (?'  +  ?")■ 


I   ganze  Zahl    zu    erhalten, 
zu  geben;  hierdurch  wer- 


AoB  diesen    Formeln    erhillt 
nuDiltelbar ,   sobald  man 


1)    iim*  +  n^)pq, 

4)    (m'  +  Ti^XpH?')- 

die    von   Ga 


angegebenen 


«/.     9  =  h 


Mtit  Für  die  Seiten  I  und  i,  aonie  für  den  Radius,  sieht  man 
■in  sofurl  ein,  für  die  Seite  3  durch  eine  Dubedeutcnde  Cnifnr- 
■Ung.  —  Uebrigens  sind  auch  die  von  mir  gegebenen  Formeln 
XiJIkommen  allgemein  und  enthalten  jede  Auflüsang. 

Marburg,  23.  März  ]866. 

|7llgMChtet   dea   früheren  Dntuma   iät   Nr.  V.  ipätcr   bei    mir   uingegBngcn   als 
Nr,  ir.     Man  vorg!.  Nr.  V.  u.inienilich   mit  Sr.  II.) 


Herr  Heinrich  Gretschel,  Lehrer  der  Mathematik  an  der 
andelslebranstalt  in  Leipzig,  hat  die  Güte  gehabt,  mir  die 
Jfreade,  aus  einem  Briefe  an  mich  au^ezogene  Mittheitang  zu 
aclieo,  für  die  ich  verbindlichst  danke.  G. 

„Ausnerdem  haben  Sie  ivohl   die  Gfite,    mir  eine   kurze  Be- 

«rbang   über    den    im  Archiv   Theil  44.   Heft  4.   enthaltenen 

afwtz   des  Herrn  Jos.  ISilles:    „  Uer  pythagorSiscfae  Lehrsatz 

der  Spfaärik"   zu  gestatten.    Ob   Sie   von    dieser   Bemerkiing 


P  Erm 


irgend  eine  Verwendung  machen  wollen,  das  stelle  ich  gi 
Ermessen  anbejro. 

Herr  Eilles  kommt  in  dem  erwähnten  Anfsatze  zo  dem  Hf 
sultate,  dass  In  einem  s[>hHriBchcn  rechtwinkligen  Dreieclie  ABC, 
in  welchem  AB  =  c  die  Hypnlenase  ist  und  BC:=a  und  AC=i 
die  Katheten  sind,  die  Gleichung 


tan'c^tan'a  +lan«*  +  tan'ofan«* 

.    .  .(I) 

besteht,  wenn  die  Winkel  A  und  B  gleicl.ailig  sind; 

dass  J«c 

gen  die  Gleichung 

tan»«  =  tan»f  +  tan*6  +  taa'ntanSÖ  . 

.   -  .[!) 

gilt,   wenn  A  stumpf  und  B  spitz  ist. 

Mit  dem  letzteren  Satze  beßndet  sich  indessen  der  Herr  Ver 
fasse r  jenes  Aufsatzes  im  Irrlhume:  es  besteht  siels  ilie  Glel- 
cbang  (I).  Dieselbe  ist  uEimlich  identisch  mit  der  bekannten 
Gleichung 

cosc^eosocnsfi (3) 

welche  man    aus   (1)    erhält,    wenn    man    beiderseits   die   Einbtil 

(I+tan«a)(H-tan*A)  statt  I  +  tan«a  +  tan»6  +  lan»atofi»6 

schreibt,  beiderseits  die  Quadratwarzel  auszieht  und  die  inveraN 
Werthe  nimmt.  Der  Irrlhum  rührt  daher,  dass  Herr  Eillesh 
den  beiden  Gleichungen 

tan'a  =  tan  c  tan  n',     tan  "6  =  tanctanA', 

von  denen  er  S.  411.  ausgeht  und  in  denen  a'  und  6'  die  s 
und  b  anliegenden  Abschnitte  der  Hypotenuse  bedeuten,  die 
durch  ein  von  C  gefälltes  Perpendikel  gebildet  werden,  die 
zeichen  nicht  gehörig  beachtet  hat.  Das  Vorzeichen  ist  nämAd 
auf  den  rechten  Seiten  dieser  Gleichungen  stets  so  zu  wSU 
dass  die  dort  stehenden  Froducte  positiv  werden,  weil  die  Ibd 
Seiten  positiv  sind  ") 

Dass  die  Gleichung  (i)  im  Allgemeinen  nicht  stattfinden  kl 
auch  wenn  A  stumpf,  B  spitz  ist,  kann  tnau  leicht  auf  fol^ 
Art  erkennen. 

•)  Man  «iebl  niich   in  diraom  cinfnrhcn  Falle,    wie  ungemein  w 
lig  aleti  die  strenge  Berückaictitigung  der  VnrxEichen  Ul  und  wi«  ItMl 
lins  Unterlaaicn  dcrbellieti  zu  Fehlern    fiilirl,    wm  icli   acliun    to 
bei  ichr  vielen  Gelegenlieiler  licrvnrgeholjen  lialiP, 


fe>  «et  ABC  ein  bei  C  recht  winkliges  sphärisches  Dreieck, 
nd  B   mögen   spitze  Winkel    sein.      Man   verlängere  nun    BA 

SC  so  weit,  dass  sie  eich  in  dem  Punkte  B'  schneiden, 
iher  B  dianielral  gec^enülier  liegt.  Dann  ist  AB'C  ein  Drei- 
«eilen  Art,  A  ist  stumpr,  B  spitz.     Selüt  ninn  AC=b', 

■=c' ,  B'C=-a' ,  so  niusa  also  aach  Herrn  Eilles  Angabe 
Gleichung  statirinrlcn: 

tanV=tanV  +  tan«//  +  tanVtan^A'. 

ererseits    Qndet  aber    Tür   das   Dreieck   ABC,    dec 
I,  C  aind,  jedenTalls  die  Gleichung  (1)  statt,    i 

a\a'  =  \W,     b=b',     e  +  c'  =  18Ü>' 
so  ist 

tan  *o  ^  tan  *a' ,     tan  ?i  =  tan  H 
es  besteht  also  auch  die  Gleichung: 

tan^c'  =tan»fl'  +  tan''6'+  tan  V  tan  »6'. 
den  Gleichungen  (4)  und  (5)  würde  aber 
0  =  2tan«y(I  h  tanV), 

(an  ß'  =  tan  ft  =:  0 
4  gegen  die  allgemein 

eiis  Gleichung  (3)  das  Analog« 
erkennt  man   sehr  leicht, 

i,  b,  c  gehörigen  Sehnen  und  mit  r  den  Halb- 
el  bezeichnet.     Dann  ist  nämlich: 


Dass  Qbrii 
Satzes  ist 


cos  c  =  1  —  ^„ , 


•renn  man  diese  VVerthe  in  (3)  einsetzt   und  rechts  ausmulli- 
i,    so  ergiebt  sich,    oaclidem  man    noch  mit   — 9r'  multipli- 


t  man  hieri 

ae  Ebene  übergehen 


I 


S34  imcellen. 

da«  Aaalogon  ist  von  der  Formel 

X'  =  "*  +  ß'-2«?co8C 
Lenen  Trigonometrie.      Ueberhaupt   findet  man   bs 
in  den  Formeln   der  Sphäril^    Ja   die   Cosinus  von   Bügea, 
ten,  (vo  in  den  eiilsprechenden  pletniiuelrischen  Formeln  i 
Jrate    von    Seiten    stehen.      So   hat   z.  B.    M.  Stewart 
dass,    wenn    A,  B,  C   Punkte    einer    Geraden  sind   uod  Jt* 
beliebiger  Punkt  ist,  die  Gleichung  besteht: 

MA^.BC^MB^.CA  +  MC^.AB^AB.BC.CÄ^f^; 
diesem  Salze  entspricht  in  der  Sphärik  die  Gleichung 

co8^^8ioßC  +  co8;Uß6inC-<+cos^Csin^fi=:0, 
in    welcher    A,  B,  C  drei    auf  einem    grüssten    Kreise    lieg» 
Punkte  sind,    nährend  M  ein  licliebiger,   auf  demselben  grij 
Kreise    oder   ausserhalb    desselben   gelegener    Punkt    der   B 
flache  ist. 

Chasles  hat  den  Steivart'schen  Satz  dahin  erweitert,  du 
wenn  D  noch  ein  vicrler  Punkt  der  Geraden  ist,  auf  welcher^ 
B  und  C  liegen,    dio  Gleichung  slaltGudet: 
MA-».BC.CD.DB-Mß^.CD.DA.AC+!aC*.DA.AB.BD 
-MD\AB.BC.CA  =  (i; 


analog  gilt  nun  auch,  uenn 
Kugelkreise  gelegene  Punktf 
gelegen   ist: 

cosa^^.ßinßC.sinCÜ.sinOß— cos^JHß. 
+  C08a^C.aini>^.ain-Jß.sinBD-cos«^O, 
=  0." 


j,  O  vier  auf  einem  grfitsttl 
<d  ja  willkfirlich  aufderEnEii 


ÄnCD.BtaDA.mJC^ 
\nAB.BmBCM 


Instng  ans  einem  Briefe  des  Berrn  Professors  K.  Hnorre,  SltcClin  I 

der    Sternkarte   in    Kicolajcw,    dun   Aufsali    des   Herru   EilUiiiJ 

Tbl.  SLIV.  S.  441.  belrcITend. 

Aiiriil 

Herr   Eilles    hat    in    der    siveiten    Hälfte    seines    Aufsaliei  1 
TM.  XLIV.  S,  441.   ein  Versehen   begangen,    durcfa    welche«  dlij 
Endresultat  unrichtig  geworden  ist.     Die  Gleichung 
tg>fl  +  tg*6+tg*«.tgäö  =  tg2c 


ind,  Goi 


1.  Cheeson)  Nicolajew  1866  - 


sebr  leicht  aus  der  bekannten 


quadrirt,  die  Cosinusse  mit  Hülfe  der  Relation^ 


1^ 

dorcb  die  Tangeiitca  ausdrückt  und   reducirt.     Die  Gleichungea 

cosacosÄ^cosc  und  tg^u  +  lg«&  +  tg*a.fg''6  =  tg'c 
sind  also  identisch;  und  da  die  erstere  für  jedes  rechtwinklige 
sphärische  Dreieck  gilt,  so  niufs  es  auch  die  letztere;  d.  b,  das 
Quadrat  der  Tangente  der  Hypotenuse  muss  immer  um  Ana 
Product  Ig^R.tg^ä  grosser  sein  als  <lie  Summe  der  Quadrate  der 
Tangenten  der  Katheten.  Zu  demselben  Schlüsse  führt  folgende 
geometrische  Betrachtung: 

BAB'MnäßCB- 

seien  zwei  grüsste 
Kugelkreise,       die 
sich  in   B  und  B' 
schneiden.         Man 
ziehe    den    Bogen 
des  grüssten  Krei* 
ses  AC  senkrecht 
üuf  BCB',  so  ent- 
Dreiecke,   ABC  mit 
n  180O-(7,  b.  lSO»-c. 
Tangenten  aller  dr« 
I,   also  muss  in  beiden  dieselbe  ßa» 
idralen  stattünden. 


|en  zwei  bei  C  rechlirinklige  RphSrisch< 
^Seilen  a,  b,  c  und  AB'C  mit  den  Seil 

Iriden  Dreiecken   sind    die  Quadrate   de 

knamigen  Seilen  gl '  '        ' 
I  »wischei 


1  diesen  Qi 

Das  in   der  zweiten  Hälfte  dos  genannten  Aufsatzes  begao' 

i  Versehen  besteht  in  Fulgenilem: 

LVenn,  wie  es  dort  geschieht,    die  Gleichungen  (1)  als  allge- 

\  gültig  betrachtet  nerden,  so  muss  folgerichtig  dem  Abschnitte 

I  negativer  Werlh    beigelegt   werden,    snbald  er  ausserhalb 

[Dreiecks  liegt.     Alsdann   ist  aber  nicht  a'  —  b'=:c,    sondern 

J^i'^c,  d.  h.  die  Ableitung  wird  ffir  alle  rech  tninkl  igen  sphä- 

K»  Dreiecke  dieselbe. 


ForBl«hendo  Briefe  niitzatheileD  fttr  gaC  beConäefl. 


mrk.   läi  habe  b 


■'dem  Briefwechsel  swiaehen  C.F.Gauss  und  Q,C. Scb 


w. 


^ 


+» . 


SM  iiisceiUn. 

acher.  Herausgegeben  von  C.  A.  F,  Petera." 
Allona.  186-2.  S.  310.  gielit  Gauss  die  folt^eiide  eiofache  Eol- 
wiciceluiig  der  Formel  Tür  die  Sujnme  Jet  drilten  Potenzen  der 
natürlichen  Zahlen. 

Es  ixt  offenbar  identisch: 

l        1        +2     +     3      +....  +  {n-2)  +  («-I) 
n"=n  J 

(+(»-l)  +  (n~2)  +  (a-3)+....+     2     +      I 

rUd,   wenn  wir 

l  +  'i  +  3  +  4....  +  M  =  Sn 

«>  =  nl2S(n-I)  +  n! 

=  lS(H-I)  +  Mp-!S(n-l)p 

n  dieser  Gleichung  für  n  nach  and  nacl^ 
I.     2.     3,     4,  ....  n; 


I  aetzen : 


Setzt  man 
Lsi)  erhält 


I 

i 


2"  =  1S2P-|S1|>, 

4"  =  |S4P-|S3|», 

(n-I)'  =  IS(»-I)P-|Ä(«-2)|', 

Mnd  nddirt  man  nun  diese  Gleicliungen  zusammen,  so  erliSl 
Aul'  der  Stella  die  Itckannte  merkivürdjge  (ileicliung; 

l>  +  2"  +  3'  +  4"  +  ....  +  .i"  =  l»i|=  =  (1+2  +  3  +  4+....+»)« 
Nafh  der  Lehre  von  den  arithmetischen  Progreesieaen  1 
bekanntlich 


1+2  +  3  +  4  +  ....  +  »  = 


l>  +  2"+3'  +  4>+--  +  »' 


■('■  +  1) 


=^1 


Drackfehler    In    Scbrön'i    alebenstellisen     Iioi 
■nentHfcIn. 

m  17.  Seite  2Ü1  unter  P.  P.  zu  402  Zeile  7  statt  284,1  lie 
DiexEr  Fehler  btlinilet   aicli    nur   in   dcc   fünften   Auflage   i 
id  In  dar  iBohilen  vun   1865. 


mnert:    Bfr  RotaUotiskOrper  des  kletmien  Wtdtrtland^i.   ^37 


XI. 

Der  Rotationskörper  des  kleinsten  Widerstandes. 


dem   Herausgeber. 


Einleitung. 

tor   den  eigenliicb    in    das    Gebiet  der    Variationsrechnung 

jaden  Anfguben  ist    die   Auffrabe  von   dem  Rotationokürper 

iyielmehr   der    Rotalionsflfiche   des    Icleinslen  Widerstandes 

weiche   auigeiüst    worden    ist.      In    meinem    berühmten 

„Philoeophiae    naturalis     Principia    matbema- 

r  Lih.  II.      Sect.    VII.     Prop.  M.     Schot,    bat    Newton 

Aufgabe  dnrcb  eine  Proportion  aurgelüsl,    welche  zu  einer 

Lction    der   gesuchten    Curve    miltelst    der    Tangenten    hin- 

\  ohne  jedoch   die  Analysis  seiner  Auflüsung  niitzutheilen. 

jbst  veranlasst  durch  eine  Schrift  rou  Patin  Duiller  (Ni- 

atii  Duilleri  R.  S.  S.   Lineae   brevissimi    descen- 

vestigatio    geunietrica     duplex,     cui    addila    est 

bitigatio    solidi    rotundi.    In    quo    minima   fiat    reei- 

'    indini.     4".)   bat  Jobann  Bernoulü  sich  mit  der 

'  iu    zwei  Aufsätzen    beschäftigt,    die    man    in    Jobannis 

Sivlli  Opera  omnia.    Tom.  I.    Lausannae  et  Gen  evae. 

M«.     p.  307.  und  p.  315.    Endet,    wo    et    u.  A.    vq"    Fatio 

«r  sagt:    „Antequani  de  libello  Fatiano  aliquid  rescivissero, 

I  Vir»  flde  digno,    qui  nuper  venit  es  Anglia,    Ud.  Duilte- 

picara   amico   etiam    in    Anglia    eslraneo,    ante    duos    circiter 

magna   contenlione  Problemati    huic,   cujus  nntitia  matur« 

I  pervenerat,    seso  accinsisee,    et  anibos  certatim  in  eo 

Amicum  illum  primum  destitisse  re  iofecla;  et  Duille- 

^st  quam  diu  satis  frusira  iusudassel,    eliam  abjecis^e 

I  XLV.  IT 


4 


arroa."     GkichKeilis  mit  Johaoi.  ßernouili   beecbälJ^^f 

auch    der   HchnrrKinrii^e  Manjuiä    De   L'Hiispital    iiill  dSnE^H 

Kalie  und  puülii.irte  «eine  AuflGsung  soivohl  in  den  Actis  Eco-. 

r 

ditoruni.     169!).  Aug.     |i.  354,  ala  aucli  in  den  Menioireidi 

1'Acad.Sniie  Roj-ale  des  Sciences  de  Paris   von  demgel- 

bfin  Jahre;    abj.edruclil  ist  seine  Abhim.U.rug  aber  auch  iaia 

änmmlung  der  Werke   J'>hunn    eernoulli'».     Tom.  1.    p.  311^ 

': 

unter  dem  Titel:      Domini    Marchionis    IlDspilalii   Faclll*   ^ 

et    expedila    Methoilus     invetiiendi    Solidi    rutundl.it 

M 

quod,  socuiiJumaxcm  motum,  minor  Hut  a  reside  (laiit 

. 

reaiBtentia,   quam  in  qiiodvis  aliud  ejusdem   longifuili-   L 

I 

I 

i 

I 


ni8  et  latitudinis.  Zu{;Jt'ich  thut  in  dieser  Ab  handlang  Dt 
li'llosjii  tal  noch  einer  anderen  Sclirift  Falio's  als  obenJft- 
hanii  liernoulli    ErHähnuiig,    iiider  '     ' 

me  nu))er  D.  ['"atio  libruni  ab  ipso  d 
rructiftfras  ad  arbores  h  uslinendas,  benignioii^ll 
Soli  osteiiden  das  a{i  tissuiia,  Lnridini  recenä  edilui 
calcem  cnjua  reperi  solulioneiii  Problemali:^  de  Suüdo  ro 
In  i|uud  minima  Fiat  reeistentla."  Wegen  der  WicUV 
keit  der  Aufgabe  Tür  die  Scliiffsbaukunst  haben  sich  fast  llT 
•[illlDrcn  Ihearelischen  Schrirtsleller  über  diei^cn  (iegenataud  4 
(Wraelben  liescbiidigt,  von  deren  Werken  ich  jetzt  nur  dtnll 
rtUimttiu  und  trefflicben:  Traite  du  navire,  de  sa  consti« 
timi,  et  (Iv  »en  mouvomcus.  I'ar  M.  Uougucr.  A  PaA 
174».  4».  Livre  troisienie.  Ciiiquieme  »ection.  CJH 
liltreil.  p.  ßSO.  De  la  Proue  eti  conoide,  qui  fend  l't 
ÄV«<:  lu  plus  griind«  lacilitu  qu'ü  est  pussible.  t 
'i'ralte  du  la  cunstructiun  des  vaisseaus;  par  Friäin 
lloiiri  du  ('hupman,  Prumier  Constructeur  des  Atn 
KuvjvloH  et  du  l'AcadtSmie  Rnyale  de  Slockbolm.  1 
(luit  du  Su<;dois  Ol  publik  par  M.  Via!  du  Glalrbtl 
(Imptlmri  DU  I7BI0.  Paris.  1839.  4".  ChapttrelV.  p.  I 
1)«  lit  rtiiiistance  <|ue  le  vaisseau  en  mouvementäpttll 


rt  de  l'{ 


Duss  nlcb  alle  diese  Schrirtsteller  der 
rechiiuiig  nicht  bedienen,  ferstebl  eich  to 
«Ich  die  Aulgube,  ohne  Rücksicht  aufdle  e 
tbeurie,  in  dem  die  Variationsrechnung  al: 
cul  vorbereitenden  schünen  Werke  von  Ei 
veoiendi,  lincas  curvaa  maximi  mi 
gaudentes,  sive  solutio  probtem. 
latisäimn  sensu  accepti.  Lausanna 
4".  p.  51.:  Exemplum  V.  36.  Inter  o 
»bÄcissae    respondenlea    eam    detei 


eigentlichen  Variaäl 
a  selbst.  Später  tl 
igentliche  Widerstai 

einen  heäunderenl 
iler:  Methodn» 
nimive  prop^itt 
itip  isoperi.in.atiU 
e  et  Getievaei  V7i 
ranes  curvas  eid< 

mioare,    in    qua  4 


<(«  /cMnsieit  WiderstaHittt. 


•im 


J 


Sa«  +  a. 


el   I 


srechnang    koinmt   du 
r  hier  etwas  Weiteres  a 


nd  in  den  späteren  Werken  6be 
Aufgabe  datin  auch  ül'ter.i  ror 
I  tragen  überflüisiiig  sein  uQrcle. 


w 

^Hwh  habe  in  dieser  Abhandlung  die  Curve   des  Kürpers  oder 
PR  FlHche  des  kleinsten  Widerstandes  ,  mit  (;anz  besonderer  ROuk- 
!bt  auT  die  cigentliebe  VVid erstandst henrie,   finer  eliras  genau- 
m  utid    eingehenderen  Discu»6ion   unlertTorfen,    als  dies  früher 
icheben   sein   diirfte,    und  zMar  ^anz  ahsiibtlich    ohne  Änwen-, 
hg  der   ci|;en< lieben  Variationcrecbriung.      Die  (iründe,    welche 
eil  hierzu  hetTogen  haben,    sind    thelliveise  dieselben,   ivie  die 
meinem    Anisatze   üiier    die   Cyclnidi;    als    ßrachystothrone   in 
kll.  VIl.S.  30K.    angegebenen,    und    brauchen  desl.;ilb  hier  nicht 
■ederbolt  zu    vrorden.     TbeÜHeise  ist  die  Veranlassung  zu  der 
brliegenden    Abhandlung    aber   auch    die  jedenfalls   nach   meiner 
einuiip;  noch  sebr   Vieles  su    wünschen  übrig  lassende  Begrilii- 
^ig    der   Variationsrechnung,    selbst    noch    nach    manchen    ver- 
Icnsllichen   Arbeilen  neuerer   Mathctijuliker  über   diese    Wissen- 
schaft.    Endlich    hat   mich   zu   der  Abrassmig  dieser   Abhandlung 
btade    in    der    vorliegenden   Form    auch    das    unbedingt    grosse 
^krische  Interesse  und  die  Wichtiükeil,    ivelche   die  mehr  er- 
'Stinte    Aufgabe    für    die    Schiffsbuukun»'!    hat,    veranlasst,    ivenu 
«ch    bisher,    was    ich    keinesnegs    in    Abrede    stellen     ivill,    von 
Weihen    bei'm    praktischen  Schi7»bau    >venig  oder  gar   kein  Ue- 
l^Auch  geniacht  worden  ist.     Vielleicht  aber  könnte  bei  der  gros- 
Un    Uedeutung    für    das  sociale   Leben,    mit    nelcher  gerade    in 
iiiaisrer  jetzigen  Zeit  die  SchiSsbnuknnst  mcH  geltend  macht,  dnd 
Srar  nach  meiner  Meinung  mit  vollstem  Rechte,  eine  solche  ein- 
^^ndere  Uehandlnng  wie  die  vorliegende  zu    neuen    Versuche» 
bd  Anwendungen  Veranlassung  geben,    nas  ich  sehr  wünschen 
Suchte,    und   als  den  hellen  Lohn  fHr  die  bei   der  Ausarbeitung 
iesev   Abhandlun;;   aufgetvandle    nicht    geringe    Mühe   betrachten 
ttrde,  wobei  ich  bemerke,  dass  ich  metne  hier  vorliegenden  Ar- 
eiten  Qber    diesen   wichtigen  und   intereNsanten  Gegenstaiitl  kei- 
liiänegs  als  ab!;cschlossen  ansehe,    indem  ich,   wie  ich  auch  am 
llide  der  Abhandlung  bemerkt  habe,  später  auf  denselben  zurüct- 
iiikomnien  hoffe.     Verschiedenes  Neue,    was  die  vorliegende  Ao- 
lündlung  enthfilt,  wird  der  kundige  Leser  gewiss  nicht  Übersehen. 


Cranefl:    Bfi'  HotiiltmntiSrfi 


emetDon.       ^^^H 


Theorie  des  Widerstandes  Im  A11|einetD«L 

§.  1. 

Wir  trollen  zuerst  annehmen,  dass  in  einer  FlüssigltMt  eue 
ebene  Figur  sich  nach  einer  auT  ihr  senkrecht  stehende»  Ridl' 
tung  hewege,  uud,  da  es  nenigslens  hei  der  Henegmig  in  ffi 
Räume,  <len  man  ab  unbegränzt  anzunehmen  sich  lierechtigt  hat' 
ten  darr,  in  Bezu«^  auf  die  entstehende  Wirkung  einerlei  »Mi 
niuss,  ob  ein  fester  Kürper  gegen  eine  ruhende  Flüssigkeit,  ai», 
unter  Voraussetzung  derselben  Geschivindigkeit,  eine  Flfissigk 
gegen  einen  ruhenden  Kürper  sich  belegt;  sn  wollen  wir  U 
Folgenden  diese  letztere,  die  meiste  Anschaulichkeit  gewährend 
Yorsteltungsn'eiHe  resthalleii,  wenigstens  in  allen  den  Fällen,  m 
es  uns  zweckmässig  und  lücksichtlich  der  Deullichbeit  rortbii 
baflt  zu  sein  scheint. 

Den  Fischeninhalt  der  «ich  bewegenden  ebenen  Figur  wslll 
wir  durch  F,  die  Geschwindigkeit  ihrer  Bewegung  durch  i,  dl 
Dichtigkeit  der  Flüssigkeit,  in  welcher  die  Bewe£;uug  nach  ei« 
auf  der  Ebene  der  Figur  senkrecht  stehenden  liichtung  vor  At 
geht,  durch  D  bezcichneu.  Dann  ist  zuerst  klar,  oder  nui 
wenigstens  bei  diesem  Gegenstände  in  Ermangelung  andern 
wahrscheinlicherer  Annahmen  als  für  sich  klar  oder  steh  von  selU 
verstehend  angenommen  werden,  dass,  unter  Voraossetznng  A 
Gleichheit  aller  übrigen  Umstünde,  der  Widersland  TF,  den  4 
ebene  Figur  F  von  der  Flüssigkeit,  in  welcher  sie  sich  bemfj 
erleidet,  dem  Flächeninhalte  F  und  der  Dichtigkeit  />  gtnl 
proportional  sein  muss.  l>enken  wir  uns  nun  lerner  zuvürdenl 
dass  bloss  eine  der  Figur  F  congruenfe  unendlich  dünne  Schid 
der  Flüssigkeit,  welche  «vir  eine  Elementarschicht  nennen  wjl 
len,  gegen  die  Figur  f  stosse,  so  wird  die  Wirkung  des  SW 
ses,  also,  in  Bezug  auf  die  erste  der  beiden  oben  besprochene 
Vorstellungsweisen,  der  Widerstand  If,  offenbar  der  Gescbw^ 
digkeit  G  gerade  proportional  zfj  setzen  sein ;  je  griisser  a'ier  d 
Geschwindigkeit  c  ist,  desto  mehr  solcber  FleinentaischicbtM 
werden  augenecheinlicb  in  iiijendlich  kleinen  Zeitintervallen,  all 
last  gleichzeitig,  gegen  die  Figur  F  stossen,  und  zwar  wir4  i 
Anzahl  dieser  last  gleichiteitig  auf  die  Figur  F  stossend  wirk« 
den  Elementarschicbten  offen)>ar  der  Geschwindigkeit  v  propnrtit 
nai  zu  setzen  sein,  woraus  sich,  in  Verbindung  mit  dem  Vorherge" 
den,  ergrebl,  daas  man  die  Wirkung  des  Stusses,  also  nach  derei 
der  beiden  oben  besprochenen  Vorstellungsweiscn  den  Widetstai 


rfM  klplnslen  Widerstandet. 


241 


V,  dem  Quadrate  o*  der  GeschninHiglceil  p,  mit  welcher  die 
■gur  Fsich  in  der  Flü^ERi^-teit  bewegt,  gerade  proportinnal  eetzen 
IUbs,  iras  aui;li  cieit  Neivtoii  die  geiviihnlichste,  mit  der  Erfah- 
niig  aber  «-ohl  schwerlicb  vnlletänitii;  barmonirende  Annahme  ist. 
Ltts  dief^en  Bctrachlungeti  ergiebt  sich  nun  im  Allgemeinen,  Hass 
er  Widerstand  \V ,  wenn  die  Bewegung  in  der  Flüssigkeit  nach 
iner  auf  iler  Ebene  der  Fi^ur  F  senkrecht  stehenden  Richtung 
ör  sich  geht,  dem  Producte  DFifl  gerade  proportional  ist.  Be- 
Bicbnet  man  Tfir  ß  =  l,  F=\,  c  =  l  den  Widerstand  durch 
i^  so  ist  hiernach  : 

I  W:w:=DFv^A. 


der,   wenn  man,   wii 
(ilt,    10=  1    setzt,    v\ 
ien  Widersland    anni 
Hfissigkeit  v« 
U  derselben 
«it  nach  eim 
«wegt: 


W  =  DFv^.-K, 

Hl  Folgenden  der  Kürze  wegen  geschehen 

n  man  niso  als  Einheit   der   Widerstand« 

iit,    welchen    die    Flächeneinheit  in    einer 

Dicbtigkeilseinheit  erleidet,    wenn    sie    sich 

er  der   Lüngeneinheit  gleichen  Geschwindig- 

ihrer  Ebene    senkrecht    stehenden   Richtuni 


1^=0^!!*. 


Uexeichnen  wir  die  Hube,  von  welcher  ein  schwerer  Kürper 
4tt  Punkt  frei  fallen  muss,  um  am  Ende  seines  Falls  von  die- 
«r  Bühe  die  Geschwindigkeit  v  zu  erlangen,  durch  H;  so  ist 
»ch  den  Grundlehren  der  iVlechanik,     ivenn  t  die  Zeit  des  Fall« 


eieicbnet  und  i/  « 


le  bekannte 
H  =  (,(■, 


Bedeutung  hat: 


tlglich    v'*  =  AgH,    und  daher  nach  dem  Obigen: 
I  W=iffbFII, 


b  B  gewöhnlich  die  der  Geschw 
9«r  in  der  Kürze   auch   die  Gesell 


idigkeit  V  zugehürende  HShe, 
rindigkeitshühe  genannt  wird. 


Wenn  wir  das  Volumen,  die  Masse  und  das  Gewicht  einer 
UtMftkeitssänle,  welche  die  bewegte  Figur  F  zur  Grundfläche 
aA  die  Geschwindigkeltshtihe  H  zur  Hübe  hat,  respeclive  durch 
\  M.  G  bezeichnen,    so  ist: 


^^  Gruneri:    Der  Rotaitontkörper 

V=FH\ 

Dpd   freil  nun   bekanntlich 

/>  =  -,    aUo    DV=M 

ist,  yi*obei  die  Oichtig|ceit  eines  KHrpers,  der  in  der  Voluir 
heit  die  Masseneinheit  enthält,  als  Dichtigkeitseinheit  aoj 
men  ist.  90  ist: 

DFH  ==  M. 

also  nach  dem  Obigen : 

W  =  4gM. 

Weil  aber  unter  Voraussetzung  derselben  Dichtigkeit  die 
M  dem  Gewichte  G  proportional  ist,  so  kann  man,  wenn 
für  dieselbe  Dichtigkeit  constante  Grösse  bezeichnet,  offei 

WzizuG 

setzen»  wo  nun  überhaupt  W  in  derselben  Gewichtseinhe 
gedrückt  gedacht  werden  kann,  in  welcher  G  ausgedrückt 

Es  ist  nun  aber  leicht  zu  übersehen,  dass  der  co 
Coefficient  fi  für  alle  Flüssigkeiten  von  verschiedener  Diel 
derselbe  sein  mnss.  Nehmen  wir  nämlich  an,  dass  für  di( 
F  und  H  für  Wasser 

W=ii,G, 

qnd  für  ejne  andere  Flüssigkeit,  die  das  specifische  Gewieb 

sei;    so  ist  offenbar: 

also  nach  dem  Vorstehenden : 

ferner  ist  aber   offenbar: 


folglich : 


G':=cG,    also     G  =  — ; 


W"  =  ,.ff.^  =  ^G', 


also,    weil    W'  =  fi'G'   war,    fk'zzzfi,    wie  behauptet  wut 


(fr*  'itHrisfrrt  Wideri/andei. 


^ 


\  den  im  vorigen  Jabrhiinilerl  von  i]pn  rranzrisisehen  Aka- 
I  Bn>iSHt,  U'Alemberl.  Cnnd^rcet  in  Wnsser  an- 
leiten vieirncheti  Vprsuclten  (m.  s.  Hatidliuch  <Ur  Media- 
E  fester  Körper  uml  Her  Hydraulik.  AuTiieeetzt  Fon 
).  lierlin.  IHOI.  S.  20».  und  :  ßo98u t's  Lehrlie- 
girr  der  Hydrodyiiamik.  Aus  dem  Französischen  ülier- 
n  LanKsd..rf.  Frank  furt  a.  M.  I/Ö».  ThI.I.  S.463, 
fcl.  II.  Kap.  XIV-XVII.)  hal  sich  ergeben,  dass  der  Wi- 
_.  ._  .  vveltben  eine  im  Wasser  sich  nach  einer  aal 
^rer  Eliene  senkrechl  stellenden  Kicliton);  bewegende 
tetie  Figur  von  dein  Wasser  er  leid  et,  sehr  nahe  dem 
<l  ewicble  einer  Wassereänie  gleich  ist,  trelche  die  sich 
icwegende  ebene  Figur  zur  Grundnnche  und  die  i:e- 
nd;E:keitshr>he  zur  Höbe  Iial.  Daher  ist  im  Obigen 
Pr  nahe  die  Constante  f(=:]    und  folglich 


l  1 

Wenn  die  ebene  Figar  F  sich  mit  der  fleschwindigkeit  v  in 
[ner  Flüssigkeit  von  ilvr  Dichliekeit  D  nach  einer  auf  ihrer 
mene  nicht  senkrecht  stehenden  Richtung  ben-egt,  so  sei  i  der 
pifze  Neigungswinkel  dieser  Richtung  gegen  die  Ebene  der  Figur 
'.  Zerlegt  ma 
[{{lieiten,  von 
Icht  steht,    di< 

Bist  und  neust.  'l>i( 
Biten,  nämlich  die  (i 
Bfi  Widerstand    W, 


die  e 


Bindigkeit  »  in  zwei  Gescliw 
auf  der  Eltene  der  Figur  F  senk- 
re  in  diese  Ebene  hineinlallt,  e«  sind  diese 
der  Geschwindigkeit  v  beziehuiigsiTeiBS 
3  ielzlere  dieser  beiden  Sellengeschwindig- 
schHindigkeit  vcosi,  geht  in  Rezug  auf 
reichen  die  Figur  /'  bei  ihrer  Beiveguuf; 
\  der  Flüssigkeit  erleidet,  offenbar  ganz  verloren,  und  es  ist 
fei  der  Bestimmung  des  Widerslandes  W  bloss  die  erste  der 
Iniden  obigen  Scitengeschwindigkeilen,  nämlich  die  GeschtTin- 
ligkeit  tisini  zu  berücksichtigen,  wnlici  zugleich  auf  die  folgen- 
)«n  Werfe  Euler's  in  der  Scientia  navalis.  Tom.  I.  p.  :213. 
hingewiesen  iverden  mag:  „Deinde  cjuanquam  superlicies  in  sin- 
nlas aqune  piirlicnlas  oblique  impingjt,  tarnen  imputsus  directio 
•rit  ad  superlirieni  nnrmalis,  ita  ut  re'ristentin  in  superßciem  Hm 
^erat,  cnins  directio  ad  eam  erit  normalis;  afque  per  ipsius  supei« 
Bciei  centrnm  gravitalis  (ransibil."  In  dam  im  vorhergehendan 
Paragraphen  für  den  Widerstand  gefurdcnen  Ausdrucke; 


W: 


DFb"^ 


Crfinir'r'r  Pej^rtSfaTifin^m- 


htit  man  also  lur  c  jetzt  csini  zu  netzen,  Fcriiei 
nicht  übersehen,  dos^  die  Figur  F  i 
strahle  ^etrnffen  wird,  ivelcher  die  Projection  der  Figur  i 
-  Ricfitiitig  der  BetTe$;uiig  üeokrecht  stehenden 
inlen  Queercichnitle  hat;  und  da  nun  der  Flächenl 
Projectinn  nach  einem  bekannten  geometrischen  I 
offenhar  Fcos(})Q''  —  i):=Fs\ni  ist,  bo  hat  man  in  dem  e 
Ausdrucke  für  den  Willerstand  für  F  jetzt  offenhar  Fsii 
setzen.  Nimmt  man  nun  alles  Vorhergehende  zusammen,  \ 
hSIt  man  im  vorliegenden  Falle  Tilr  den  Widerstand  den  U 
den    Ausdruck: 

W=DFv'^s\«i\ 

wobei  als  Einheit  der  Widerstände  der  Widerstand  zn  G 
liegt,  weleheii  eine  ebene  Figur,  deren  Inhalt  der  Flächen« 
gleich  ist  und  die  auf  der  Richtung  der  Bewegung  senkrecht 
erleidet,  wenn  sie  »ich  mit  einer  der  Läiigeneiiibeit  gli 
Geschwindigkeit  to  einer  Fliissi<;keit  benegt,  deren  Didi' 
die  Einheit  der  Dichtigkeiten  ist.  Eine  weitere  Entivtckelar 
»es  (Gegenstandes,  die  sirh  übrigens  nach  den  in  §.  1.  en 
neu  Ausfiibrungcn  von  selbiit  ergeben  nürde,  erfordert  der  ii. 
•  Abhandlutkg  nicht,  indem  wir  es  liherdies  au 
i\a^  KwpckmSssigsle  halten,  im  Folgenden  immer  den  i 
aul'  die  vorher  nSher  chnrnkterisirte  W'iderstandseinheit  1 
nen   Ausdruck  des  Widerstands  zu  benutzen. 

Uehrigens  ist   die  Gn'isse   der   obigen  Widerstandsc 

I  Pfunden,  Alles  in  preussischem  Man»>se  ansuei 
leicht  zu  berechnen.  Nehmen  nir  nämlich  als  Langeneinhei 
Fuss,  als  Zeiteinheit  eine  Sccunde  an,  und  setzen  in  runde 

-j-   lur  die  Höh 
Ende 


ägi'läitilSftn  Wtifentandex 


2.ßß 
125  = 


g=:  1,056   Pfund, 


Vlderstand  der  Rotatloufl&oben. 

§.  3. 

fWir  denken  uns  eine  aufein  Techtninkliges  Coordinateiisysleia 

)  Curve.     Zwei    beliebige  Afiscisseii  seien  a  uml  x,    und 

ni   srusser   als   a.      Uurch    diese    beiden  Abscissen   wird    ein 

HD  der  Curve  betilinimt,  der  nirgends  eine  Unterbrechung  der 

llgkeit  darbieten  soll.     Vülliger    Bestininitbeit  iregen,   und  um 

V^^neideutißkeilen  zu  vermeiden,    nebmcn  vrir  an,   Jass,  wenn 

BÖ  die  Abscisse   sich  vnn  a  bis  a:  stetig   verändern  lässt,    alle 

bteprechenden  Ordinalen  der  Curve  pnsitiv  sßien,  und  entweder 

lättn-Shrend    wachsen    nder    rnrtwAhrend    abnehmen.      Dreht  sich 

I  die  Ebene   der  Curve  um   die  Abscissenaxe,    bo  wird   der  in 

^ede    stehende   Boi>en    eine    Fläche   beschreiben,    für  welche  der 

IPiderstand    IF  besümmt  werden    soll,    wenn   diese  Flüche    nach 

ler  Rithtung  der  Abscissenase  in  einer  Flüssigkeit  bewegt  wird. 

Wir  denken  uns  zu  den 
Bhflile  getheilt  und  setzen 


l£nde  das  Intervall  x — a  in  n  gleiche 


:  ^x. 


I  Jx  eine  positive  Grilsse  ist,  weil  nlr  x  grösser  als  a  ange- 
mmen  haben.  Durch  alle  Theilpunkte  ziehen  wir  Ordinaten 
rve,  welche  nach  der  VorauaselKiini;  stets  positiv  sind  und 
nitweder  tortwährend  wach.°en  oder  fortwährend  abnehmen.  Die 
Endpunkte  aller  dieser  Ordinaten  verbinden  wir  durch  Sehnen  der 
Curve,  die  bei  der  Rotation  der  Ebene  der  Curve  um  die  Abscis- 
senaxe  sämmllieh  Kegelfläehen  beschreiben.  Der  zu  bestimmende 
AViderstand  W  der  Rotationsfläche  ist  offenbar  die  Gränze,  wel* 
eher  AXe  Summe  der  Widert'iande  aller  einzelnen  Kegelflächen  sich 
nShert,  wenn  njnn  n  in's  Unendliche  wachsen  läset,  so  dass  es 
also  jetzt  bloss  auf  die  Bestimmung  dieser  Gränze  ankommt. 

Zu  dem  Ende  lasse  man  die  Abscisse  x  um  dx  wachsen; 
dann  wird  die  der  Abscisse  x  entsprechende  Ordinate  jf  eine 
gewisse  Veränderung  ^y  erleiden,    und  die  der  Abscisse  x-^-dx 


I 


entsprechende  Ordinale  wird  y  -^  /3t/  sein,  vrelche  Onlinate  wtr 
gleichTalls  als  positiv  voraussetzen  uiillen.  Die  Endpunkte  der 
posiliveii  Ordinalen  y  und  y -^  .d/i  verbinden  irir  durch  eine  Sehne 
and  bezeichnen  den  spitzen  Keipungsivinkel  dieser  Sehne  ^egep 
die  Abscissenaxe  durch  i.  Bei  der  Kolalion  der  Ebene  der  Curve 
um  die  Abscissenaxe  beschreibt  diese  Sehne  eine  KegelOache, 
deren  Inhalt  nach  einem  bekannten  etereomelrischen  Elemeiilarsaixe: 

jrC^y  +  Jy)  V"5^*  +  ^ 

ist;  und  der  Widerstand,  den  diese  Kegelllache  bei  der  Be»e- 
gang  der  RnlatinngHäche  in  der  Flüssigkeit  erleidet,  ist  also  nach 
§.  1.  offenbar: 


Offenbar  ist  aber 


TiDp^C^y+Jy)  V  -Jj;«  +  iy  .sin  i'. 


'    dx^  +  Jff^ 


Y- +(£)■■ 


»dem  man  das  obere  oder  untere  Zeichen  nimmt,  jenachdem  ifj 
posiliv  oder  ne<;ativ  ist,  jenaebdem  sich  also  a:  und  ^  gleichzel(i}[ 
in  einerlei  oder  in  entgegengeselzleni  Sinne  veründern.  Folglieh 
Ist  mit  derselben  Bestimmung  wegen  der  Vorzeichen  : 

«■d  daher  der  obige  Widerstand: 

(2,/  +  ^,)(g)V3S5T3? 
+  »«.' ^-^  r -■ 

r,    wenn  wir,    was.    weil  jix  positiv  Ist,    verstaltet  iat: 


des  Hieinsten  Widerstandes.  247 


Setsen   wir  nun : 


(2y+J!,)(f^-y 


und  bedenken^  dass^  weil  nach  der  Voraussetzung  in  dem  Inter- 
valle a  bis  X  die  Ordinalen  entiveder  fortwährend  wachsen  oder 
fortwährend  abnehmen,  in  diesem  Intervalle  in  dem  obigen  Aus- 
drucke stets  dasseli)e,  nämlich  im  ersten  Falle  stets  das  obere. 
Im  zweiten  Falle  stets  das  untere  Vorzeichen  genommen  werden 
muss ;  so  ist  klar,  dass  der  gesuchte  Widerstand  TF  die  Gränze 
ist,   welqher  di^  Grosse 

J: ä/)p* I €p (er,  dx) \^>{a\- dx^  dx)  +  g) (a  +  2 /Ix,  Jx) 4-«»..  )    . 

{  dx 

....  +  q>{a  +  (n-'l)  Jx,  Jx)  ' 

sich  nähert,  wenn  n  in's  Unendliche  wächst.  Nach  einem  Satze  der 
Integralrechnung,  über  ^en  die  nächstfolgende  Abhandlung  in 
diesem  Hefte  das  Weitere  enthalten  wird,  ist  aber  für  ein  iu's 
Unendliche  w^cbsendes  n  die  Gränze,   welcher  die  GrQsse 

{ cp (a,  Ax)  +  ^(a\Axy  Ax)  +  g>(a -[-^Jx,  Ax)  + ....  i    ^ 

[  dx 

j^icfi  p$herf,    ^as  bestimmte  Integral: 


/ 


X 

{iim  g)  {Xy  Axy  dxy 


also  nach  dem  Obigen: 


fF=  dt  «^0*  /    *   Umi(p(Xf  Ax).dx. 


Weil  nun  aber  nach  dem  Obigen : 


q)  (x,  Ax)  = 


' + m 


ist,  und,  wenn  n  in's  Unendliche  wächst,  natürlich  Ax,  und  dem- 


jM^  Grüner t:    Der  Rotaiionskdrper 

I 

4 

also :  j 

2t)  ^ 

4 

und  folglich: 


oder: 


W 


22l> 


was  ganz  mit  der  vod  Ey  telweio  a.  a.  O.  8.  276.  gegebenen  For- 
mel übereinstimmt. 

Um   W  bloss  durch  x  und  y  auszudrücken^  bat  man  zn  be- 
merken« dass 

y^^xClr^x) 

ist,  woraus  sich: 


r=— ^-^,    r-a?  =  ^  q^     , 


2a:     •    '      *"-      2a: 
also : 

r»+  (r-a;)«  = .^ ^3 _  -"ä^-^ 

ergiebt.    Folglich  Ist  nach  dem  Obigen,  wie  man  leicht  indet: 

^   -^^»     (a:«+2^»)2  -^^«^  ar*  +  2a:y  +  , 

§.  5. 
Wenn  die  gegebene  Curve  eine  durch  die  6leicbtinK' 

y^  =  px 

charakterisirte  Parabel  ist,  und  der  Widerstand  W  bestimmt  weit'' 
den  soll,  welchen  die  durch  den  durch  die  Abscissen  0  und  x 
bestimmten  P.irabelbogen  erzeugte  Rotationsfläche  erleidet;  .«• 
ist,  weil  in  dem  Intervalle  0  bis  x  die  Ordinaten  fortwährend 
wachsen,  in  der  allgemeinen  Formel  des  §.3.  das  obere  Zeiche» 
zu  nehmen,  und  daher: 


des  kleimten  Widerstandes. 


251 


za  setzen.     Aus  der  gegebenen  Gleichung  der  Parabel  erhält  man: 


aUo : 


folglich : 


.)-^_„       h—P- 
^\dxj    -8««'     ^^\dxj    -     Au*     ' 


W 


Kg) 


p' 


_      p- 


f 


nnd  daher  nach  d«iu  Obigen: 

o 
Setzt    man  aber  p-\'4x:=:u,   so  ist 

dx     j   du       p     Bx     


also  : 


P 


und   folglich : 


[ 


Also  ist: 


•der: 


rr  =  — -j — / — - — , 
4  p 


4  />* 


5,  6. 

bt  die  gegebene  Curve,  eine  durch  die  bekannten  Gleichungen  : 

ar=:r(9)  —  sin^),    y  =  r(l  —  cosg>) 

ebarakterisirte  Cycloide^  und  nehmen  viir  x  nicht  grosser  als  rn 
an,  so  wachsen  in  dem  Intervalle  0  bis  x  die  Ordinaten  fortwäh- 
rend ,  und  nach  §.  3.  Ist  daher : 


€rmutrt:    Ber  ßprmlJtmfirärßer 


W  =  i*Ih*l        — ^^^riÄr 


©: 
«) 


zu  «etiea.    £0  ist  non  aber: 

cjr  =  r(l  —  cosfp)c^»     %  =  rmmgSqf; 


also 


CLT         1  —  CO89  "^^ 


folglieii: 

y\?i)    =  »"0— cos9)cot4^»  =  2rsw4^cotiv», 

^  +  r^y  =  l+cot4g)^  =  -^-t::^» 


also: 


dx  =  r(l  —  cosqp)r9>  =  ^rsin^^d^; 
-?x  =  4r*6in^*cot^^89 


also: 


=  4r*  sin  lq>^  cos  J9>'d9>  =  ir*  sin  g>*dfp  , 

I       73;7x¥  Sx  =  ir«  /       sin  tp^dg) , 

und  folglich  nach  dem  Obigen: 

W  =  jrDrV  f  ^  smtp^dtp. 

o 

Nach  einer  sehr  bekannten  Reductionsformel  ist  aber 

r  •      aa              sin  y«  cos  y  ,  ,  ^  .      ^ 
/sin  y'oy  = K-' hf /sin  909 


sinop^coso) 
==  —  I  cos  y A 


also: 


des  kleinsten  Widerstandes.  253 


/       sin^'d^  =  { — }cos9 — 


sin  y*  cos  y 

.         sin  y*  cos  y 
=  f;(l— cosy) g 


=  tsinJy^Cl — cosiy*cosy). 


liglich : 


W  =  inDvh'^  sin  4y*(l  —  cos  iy*  cos  y). 
Für    y  =  9r    ist   hiernach : 

W  =  ^nDvh^. 

Mehmen  wir  den  Scheitel  der  Cycloide  als  Anfang  der  Coor« 
inaten^   ihre  Axe  als  Abscissenaxe  an^   so  Ist: 

a;  =  2r — r(l — cosy)  =  r(l  + cosy), 

y  =  m — r(y  —  siny)=  r[{n — y)  -f  siny}; 

Iglich^   wenn  wir 

ijr  — y  =  i(;,    y  =  9s  —  tf;; 

so: 

cosy  =  —  cosi^,    siny  =  sin^ 

»tzen: 

a:  =  r(l  —  cosif;),     y  =  r(i(;+8ini(;). 

Berans  ergiebt  sich: 

dx  =  rsinif/Sif;,    dy  =  r(l  +  costf;)dif;; 

Iso: 

dy       1  +  cosii; 

/^rr:        \      ,^  =  COt^> 

ex  sioif;  '^ 

^(^/    =»'(^  +  sini(;)cotiif;». 


\  l  +  (|y  =  l  +  ^«*i**  =  ih^«' 


triglicb: 

i 


r 


\dxj  _g^  _  r^Cifz  +  sinif;)  cotiip'sinitf;«  sinif/a^ 


=  2r2  (i(; + sin !(;)  cos  it(;*Sif/ , 
TKeil  XLV.  ^^  1» 


252  Grüner i:    Ber  Rotationskörper 


.r  Ar.) 
J    ^<£) 


lu  setzen.    Es  ist  nun  aber: 

8a?=:r(l  —  cos9>)9^,     %  =  r  sin  9897 ; 


also: 


dy  sin  qp 


folglich : 

yfg^J    =  r(l  — co89))coti9)»  =  2r8in4g)*coti9*, 

8j:  =  r  (1  —  cos  9)  dq>  =  2r  sin  \fp^d(p ; 


also: 


also: 


g   ^8jr  =  4r^sin|g><coti9)'d9> 

=  4r*  sin  ig?^  cos  iqp'dg)  =  ir*  sin  fp^d(p  ^ 

f       7äyV       ~  *  V  ''    ** ' 


und  folglich  nach  dem  Obigen: 


/9> 


o 
Nach  einer  sehr  bekannten  Reductionsformel  ist  aber 

r  •      sQ              sin  y*  cos  y  .  ,  ^  .      ^ 
/sin  y'oy  = ö +  i/sm  ycy 

sin<r*cosa> 
=  —  Jcosy 2 , 


des  kleinsten  Widerstandes.  253 


sing)*  cos  9) 


/       sin9)'d9  =  i — fcosg) —        .. 

o 

.         sin  y*  cos  y 
=  f;(l— cosy) ^ 

=  $sin{y*(l — cos^y'cosy), 
^^iich : 

W  =  inDtlh^  sin  Jy*  (1  —  cos  iy*  cos  9). 

Für    y  =  ^    ist   hiernach : 

W  =  inDvh\ 

Nehmen  wir  den  Scheitel  der  Cycloide  als  Anfang  der  Coor* 
rsaten^   ihre  Axe  als  Abscissenaxe  an^    so  ist: 

a;  =  2r — r(l  —  cosy)  =  r(l  +  cosy), 

y  =  rn — r(y  —  sing))=  r\{it — 9>)-f  siny}; 

f 
[glich  9   wenn  wir 

cosy  =  —  cosi^,    sin  y  =  sin  ^ 
itzen: 

a:  =  r(l  —  cosif;),     y  =  rCofz+sinif;). 

ieraus  ergiebt  sich; 

dx  =  rsinif/Sif;,    dy  =  r(l  +  cos'^)8V;; 
i«o: 

3«        1  +  cosiI; 

#  =        .    ,  ^  =  cot^if; , 
ex  sini|;  "^ 

i+(iy=i+^^*^'=sW' 

— ^r|>L_8^  =  r^Cifz  +  sinif;)  cotiip'sinitf;«  sinif/aif; 

=  2r*  (i|/  +  sin  tf;)  cos  |t(;*8if/ , 

Theil  XLV.  ^^  18 


iilglich : 


Jso : 


254  Grüner t:    Der  /iofaif'nnsf'- 


und  hieraus,    weil   in  diesem   Falle  oiV« ; 
genommen  werden  muss: 

J        \  \  (' 

=  AnDtflr^  I       (t  +  si»» 

*  o 

Setzen   wir   ^tf/zzoo,    tf;  =  ^2(0y   3i^=i::j.  .. 

/(•i|;  +  sini/')«'' 
=:  ^if(^a  +  sin  2(ö)  cos  0*8 w  =:.  .. 

=  4  (/©  cos  «D*C/U)  I  ^ 

also: 


(/ 


M 


o 

wo  ich   die,    ausser  cini:- 
unterliegende  Entwickelt 
kommenden  bestimmter 


Wir  wollen  no« 
den  abgestumpfte« 
tung  seiner  Axo 

Der  Halbn 
der  Halbmes^- 
des   Kegels 
nehmen  wii 
des  Kegels 
nen  die  pi- 
Grundfläcl 
der  klein' 
Coordin.'t- 


Bezeichn- 
deu  Geni' 


If ).JtfP'.8inp'    (2a+JVJV').JV/*',8iDP' 

TsP  SP' 


■:  (2o-  UM'),  «P.»in«>+  (2a  +  Wjr').iW.sin(i'. 


■  ^  «iW,).«P.>inii>  +  (a  +  iWr,).  ffP..in?'. 
.at  nach  dem  Obigen: 
:->a  i-NS').NS".N'P  _  it^  —  mM"l.SM''.MP 

SP*  m" 

^^ 

ä(äii— «Jf'I.BP'.einn'.illP.ee«» 

w"  ■ 


260  >€ runer t:    Der  RoiaHonskörper 

also : 

^  =  2(2a  +  2VW)co8/J8iDj3»— 2(2a— ilfilf')coscsina 


8 


oder: 

gl  =  2(a+2\Wi)cosj3sini5»— 2(a+ilfilfi)cosa8ina», 

woraus  ffir  das  Maximum  und  Minimum  wieder  die  obige  Gleichav i 

cos  a  sin  a' a  +  -WWi 

eosjSsinjS'       a+  MJUi 
folgt. 

Endlich  ist  nach  dem  Obigen: 

2  (2a  -f  ^•iV 0 .  nW' .  (3  JPP*  -  NW'*) 

_    'i(^—MM').mP.CiMP*-AlSW*) 
~  WP' 

2(iai-NN').NW'.  (ZNP*-iNN^ 
_    2(2a-^Jf').Jgp'.sin«»..gP'.(3-4sintt«) 

"~  IBP« 

.  2(2a+iViV0.iVP'.8in|3».JVJP'.(3-4sin/3«) 

also : 

ö^_     2  (2a  ->  jyjlf 0  sin  tt»  (3  —  4  sin  «•) 

.  2(2a  +  iVW08in/5»(3-48in/3«) 
+ jfp  ' 

oder : 

a|^_     2(a4-ilfilfi)sin«»(3-48ina«) 

,  2(a-fiyjVt)sin/3»(3—4sin/3«) 
+ jfp 

Durch  das  Vorhergehende  ist  unsere  Aufgabe  als  völlig  gel 
zu  betrachten,  aber  freilich  setzt  diese  Losung  die  Auflösung 
Gleichung: 


des  kleinsten  Widerstandes,  26X 

(2fl  —  m)m^a: (2a  +  n)n^(e — x) 


oder: 


(2a--'fii)m*ar       (2a+n)n^(e — a?) ^ 

oder: 

(2a  — iii)iw»a:{n«+(e-ar)2p— (2a+ii)«8(^— a?){mHa:«P=0 

voraus,  welche  vom  fönften  Grade  ist.  Dass  die  sämoitlichen 
reellen  Wurzeln  dieser  Gleichung  zwischen  0  und  e  liegen»  ist 
schon  oben  gezeigt  worden,  woraus  sich  also  ergiebt,  dass  die 
6ieichung,  die  naturlich  immer  mindestens  eine  reelle  Wurzel 
iat,  weil  sie  von  ungeradem  Grade  ist,  nur  positive  reelle  Wur- 
zeln  haben  kann.  Wenn  man  die  Gleichung  entwickelt,  findet 
mao,  dass  die  Vorzeichen  der  Glieder  fortwährend  abwechseln. 

Die  Function  der  Gleichung : 

(2a  —  m)  m^a;       (2a  +n)n^(e — a?) ^ 

Im« +  0:2)2  U*  +  (c— a:)«!«    ~" 

erhält  für   07  =  0   den  Werth: 

(2a  +  n)n^e 
■"    (n^+c*)«  • 

welcher  negativ  Ist. 

Ffir  x^ze  erhält  die  Function  dieser  Gleichung  den  Werth : 


(2a  —  m)m^e 
^    (m*  +  e«)«  ' 


fvelcher  positiv  ist. 


Denkt  man  sich  die  Linie  MN  gezogen,  so  ist,  wie  man 
leicht  findet,  die  Abscisse  des  Durchschnittspunkts  dieser  Gera- 
den mit  der  Abscissenaxe  Äßi 


me 


>   und  för  diesen  Werth  von  x  erhält  die  Function  der  obigen  GleK- 
ebuDg  den  Werth: 

(m-4-7i)^e 

welcher  negativ  ist. 

Also  li^t  eine  positive  reelle  Wurzel  unserer  Gleichung  zwischen 


l 


I  oder  Minimum  werden. 
Durch  Diffärentiation  erhält  man : 


1 


,     2(2.  +  ,.)« 

!»(e- 

-X)    ■ 

"'      !«»  +  («- 

-a)^ 

1'  'S 

und  hieraus  ferner: 

tfy 

2(2a— m)m3(3a;a— m«) 

.  2(2«+n)»' 

'I3(e 

-»)«-«' 

Ffir  das  M&xiratnn  und  MiDimiun  ist   g^  i=  0,   tvaan 
Obigen  die  Gleichung: 


oder  die  Gleichung: 


(2a  +  «)w>l»i«+a«|a 


giebt.     Es  ist  also: 

_5 iNN,+PPj).NN^''.JÜP* 

oder  auch,    nie  sogleich  in  die  Augen  fallt: 

_^ (ZiViv,  — iVTV')  ■  mf^  MP* 

e—x  —  ßjuju^  ^  Mar').JäW'.rfp*' 

woraus  sich  ergiebt,    dass  der  Bruch 


natürlich  insoferu  x  reell  ist,  stets  eine  positive  GrOefi 

daher  x  und  e~x  gleiche  Vorzeichen  haben;   wSre  i     

tiv,    so  wäre  offenbar  e — x  positiv,    was  nicht  stattfinden  R 
also  ist  X  positiv,  und  daher  auch  e — x  positiv,    folglich  x 
ner  als  e,  woraus  sich  ergiebt,  dass  im  Falle  des  Maximui 
MiDimums  der  Punkt  P  immer  zwischen  jtf'  und  19' 
Weil  nnn: 

x  =  ja'P=MP.C08a, 

e  —  X  =  X'P  =  J^P.QOBß 


des  kieiMUn  Widersumdes. 


259 


und: 

MM'-MP.sma,    NN' =z  NP.ainß 

ist;    80  ist  nacb  dem  Vorhergebenden: 

I 

NP.  cos  ß  -  ßMMi  +  MM') .  NF*.  MP^ .  sin  «» ' 
also,    wenn  man  aufbebt,   was  sich  aufheben  lässt: 

eoaa        (2iV/<fi  — 2Wr).8in/J» 


C08/5  ""  {2JUMi  +  MM').s\ua^* 


oder: 


•  I     m 


oder: 


oder: 


co8ttsina»_  ^NNi'-NN 
cos/Ssini?»  ^  2ASJUi  +  MM 

cös^sin^  "~  a  +.MJHi ' 


cos  «sin«*       2a  +  iW 


i» 


Nach  dem  Qbigen  ist  auch: 


y= 


MP^ 


NP' 


(2a— AfityQ.ilf/^^siBa«   (2a+iVy0.iy7^,sin/3» 
Jtf^  ^  NP^ 


also: 


y  =  (ia'-JUM').MP.8ma^+(2a  +  NN').NP.smß^, 


\wAer 


y  =r  (a  +  ilfilfi).ilfP.sina>  +  (a  +  NNi).NP.  sin  ß^. 
Ferner  ist  nach  dem  Obigen: 

^_   2(2a^-^•JP^jyy^^^p  _  2(2a^MM').mr^.M'P 

_     2(2a+2VJV0.iV]P^.sTn<3^.iVP.cos<^ 
2  (2« — MM') .  MP^ .  sin  a^.MP.  cos  a 


iSP* 


III     ■ 


t 

t 


268  Grunert:    Der  Hfitatianshörper 

aa?_^(ti«-3)(tt«  +  l) 

.aus  denen  man  ferner  leicbt  erhält: 


Nach  7),  8),  9)  ist  endlich  auch: 


14) 


Man  kann  der  Gleichung  10)  auch  die  Form  einer  Exponc 
tial* Gleichung  geben.    Zu  dem  Ende  setze  man: 

^  UV 

so  ist  nach  9): 

16) y  =  C — ^ . 

Nach  10)  ist:  ' 

0?  =  C(|ü*  +  e*-fo)+C' =  iC(3r* +  4ü«-.4/r)  +  C, 

und  folglich: 

Cfo  =  i  C»«  (3r«  +  4)  -  ar  +  C , 
also : 

ClCh  =  {iCr«(3r«  +  4)— ar+  C'UC, 

woraus  sich: 
folglich : 

16) t,CfC=:  C'iCto*(3r»+4)-x  +  C' 

ergiebt. 

§.  12. 

Wir  wollen  jetzt  unsere  Curve  einer  genauen  Discussion  u 
terwerfen»  wobei  wir  nach  2)  und  8): 


den  kieinsien  Widerstandes.  269 

...     tf  ==  tang^ 


\,    und  ans  erinnern»  dass  6  einen  positiven  spitzen  Win- 
szeichnet. 

^eil  nach  9),  8),  14): 

y  —  ^     ;;;8     *    s:;  — «*»    5:5—7^ 


ti» 


tt»       '     aar  — '*'     aa:a~"C*(tt*— 3)(tt«+l) 

)  sind  sowohl  för  tt*>3,  als  auch  für  ti*<3;  also  sowohl 
>  V3,  als  auch  för  m  <  V3;  folglich  sowohl  fiBr  Ö>60<*, 
ich  für  d<60<>;    die  GrSssen 

2^^    aar'     8a;* 

»ar  stetig,  und  weder  y^  noch  g-^  verschwindet    Die  Ordi- 

y  ist  immer  positiv.    Für  w>  V3  oder  e>60<>  ist  g^  posi- 

dso  von  gleichem  Zeichen  mit  y^  und  daher  nach  den  Leh- 
er    höheren   Geometrie    die  Curve   gegen  die  Abscissenaxe 

fX.     Für  M<V3  oder  Ö<60®  ist  ^  negativ,  also  von  un- 

lem  Zeichen  mit  y^  und  daher  die  Curve  nach  den  Lehren 
löheren  Geometrie  gegen  die  Abscissenaxe  concav.  Für 
^3  ist,  wie  man  leicht  findet: 

weite  Differentialqnotient  wird  aber  unendlich ^  ond  von  Con- 
it  oder  Gonvexität  kann  also  in  diesem  Falle  keine  Rede  sein. 

^ir  wollen  uns  jetzt  die  Frage  vorlegen^  ob  es  Werthe  von 
bt,  für  welche  a:  oder  y  Maxima  oder  Minima  werden. 

Nach  12)  ist: 

da:         (u''^S)(u^+}) 

die  gemeinschaftliche  Bedingung  des  Maximums  oder  Mini- 
IS  der  Abscisse  a:  ist  also: 

t««— 3  =  0,    w  =  V3; 

ch  für  diesen  Werth  von  u  nach  13): 

?!£_      „9-18-15      24        8 
3u«  — "*'        27         -27   -"Q*-» 

il  XLV.  19 


^Kto 


11: 


Utr  HiitaMontltßrper 
t,  Bo  wird  ar  Tür  m=  Vi  < 


I 

I 
I 


weil  dieser  Werth  positiv 

Minimum.  Ein  Maximnm  giebt  es  nicht,  und  es  vrird  bIhd,  " 
man  mag  h  von  VS  an  oder  Ö  von  60"  an  wachsen  oder  almeb- 
men  lassen,  die  Abscisse  x  firtwährend  wachsen,  was  auch  > 
folgende  Art  einleuchtet.     Weil  nach  12): 


äu 


=  C^ 


S* 


ist    ^    poBlli»   für   K  >  V3,   «egatl»   fflr   «  <  yS; 
ii>V'3  ist,  wird  also  x  wathsen,  wenn  «  wäobet,  wen«  dagegei  I 


«<  V3 
Obigen 

ist,    wird  x    wachsen, 
abereinatimmt. 

wenn   it  abnimmt,    wj 

,   Nach  12)  i»l  ferner: 

8»      „(»•- 

-3)(«'  +  l) 

und  die  gemeinsclmriliche  Bedii 
mnms  der  Ordinate  y  ist  also : 

igung  des   Maximums 

»'-3  =  0 

1.    »  =  V3; 

folglicli 

für  diesen  Werth  Ton  n 

naoh  13); 

21  r       *    ^ 

weil  dieser  Werth  positiv  ist,  so  wird  y  für  u=v3  oder  i 
ein  Minimum.     Ein    Maximum  giebt  es   auch   hier  nicht, 
wird  also,  man  mgg  n  von  V3  R»  oder  fl  von  60'*  an  wacba 
abnehmen  lassen,  die  Ordinate  y  t'artivährend  ivacksan,  wai 
auf  folgende  Art  einleuchtet.     Weil  nach  12): 


(«"-3)(«a+I) 


^  =  C' 


ist,    so  ist  ^-    positiv   für    k>  vS,    negativ    für   u  <.  Vit;    wert 
t4  >  yZ  ist,    wird  also  y  wachuen,   wenn  u  wächst,    wenn   dal 
gen  u<v3  ist,  wird  y  wachsen,  wenn  u  abnimmt,  was  mit  4 
Obigen  (ibereinstimmt. 

Man  konnte  noch  die  Frage  aufwerfen,  ob  die  GrÜssot 


'-'^'  =  c(n5+si+'«).  *  =  c 


g+t')' 


ndlic 


des  klelnttett  W/iffrsianilef. 


--'^(^+i'+'")-  »  =  '^Ö 


he  trachsen,  n-enn  u  von  V3  an  io'e  Unendliche 
's  Unendlielie  ahnimnit.  Wenn  u  Von  VS  an  in's 
liehe  zunimmt,  ist  dies  für  »ich  klar,  weil  ja  dann  die 
id  u  in  den  obigen  Formeln  In's  Unendliche  zuneh- 
Itlenn  dass  mit  u  zui;Eeich  lu  in's  Unendliche  trächst,  vr- 
'm(  der  Stelle,  «eil  ja  u^=t^  ist*),  nnd  rolgllcli,  wenn  lu 
'Eugleich  nicht  in's  Unendliche  wachsen,  also  eine  geivlssc 
le  GrUsse  nicht  lifaerateigen  und  derselben  sich  nähern 
«oHte,  dies  natürlich  auch  von  «'■',  also  von  u,  gelten  »ürde, 
was  einen  offenbaren  Widerspruch  enthielte;  daas  mit  u  auch  lu 
nächst,  folgt  aus  der  Formel  S/«  — --  unmitlelbar,  und  dass  gleich- 
Hfit^  auch  e'"  nächst,  ist  klar,  weit  e^l  ist.  Wenn  u  von  v'3 
M  ip'ii  Unendliche  abnimmt,   wollen    (vir 


etzen,    "o  dann: 


I 


^v^~Ib),      s=C(o>+2b+ J 


it,    and  V  in's  Unendliche   wSchst,    wenn  m   In'g  Um 
nmmt,    woraus   in   Folge   der  vorstehenden  Formel   sich   j 
Stelle    ergiebt,    dass  unter   dieser    Voraussetzung  y   in's 
^he  wächst.     Nehmen  wir  nun,  wozu  wir  berechtigt  sind, 
die  Einheit  an,  so  ist,  weil  bekanntlich: 

offenbar  v  >  /ü,    also,     weil    unter    der    gemachten 

)■>»  ist,    um  eo  mehr  o*>/ii,    und  daher  «*  — . 
fte  Grösse,     woraus  sich,    weil  mit  v  zugleicb  auch  ?, 
Pliche  wächst,   in  Folge  des  obigen  Äusdru 
r  Stelle  ergiebt,  dass  diese  Grösse  in's  Unendliche  v 
r  »ehr  grosse  u  ist  nach  dem  Obigen  sehr  nahe 
x—C'=-au,       y=Cu\ 
Dan  sieht,  dass  .t — C  im  Verbfiltniss  zu  y  nur  3 
wächst,  denn  für  ui^lüOOU  i«t  nach   der  Dahs 
[  erst 


')  Bebunnlltch  jtt: 
bi)  «  gröaaer  als  die  Einheit. 


H 

^H    habe 


CDiHtrf:    Brr  Rittalliitnlil^rper 

lu  =  9,2103104. 
Um   di«    Gestall   der  Curve    deutlicher   vor    i 


^ 


habe  ich  für  die  folgenden  Werthe  von  n: 

i.  1,  i.  1,  V3,  2,  3.  4.  1 
die  entsprechenden  Werllie  von  x — C  und  t/  berechnet,  nni  üj 
dem  nnten  folgenden  Täfelch«n  zusammengeslcllt ;  eine  Er^hd» 
TUDg  bedarf  dieser  Tbeil  der  Rechnung  nicht.  Aus  dem  Obi|ia> 
erhellet,  iaan  die  Curve  aus  zn'ei  Thei'en  besteht,  von  ievn 
der  eine  gegen  die  Abscisaenaxe  concav,  der  andere  gecen  ditlili 
Abficissenuxe  convex  ist;  diese  beiden  Theile  Blossen 
Punkte,  für  welchen  a=  VS  oiler  ö  =  60"  ist,  ; 
sammen,  und  haNen  offenbar  in  diesem  Punkte  eine  gerne) iiscliift' 
liebe  Berührende,  welche  gegen  die  Absclsnenaxe  untet  einnr' 
Winkel  von  60"  geneigt  ist^  die  dieeeni  Punkte  enlsprecbenilei 
Werthe  von  x — C  und  y  sind,  nie  das  nachfolgende  Täfelcliw 
zeigt,  respective: 

0,96598.  C    und    3,07920.  C. 


Cm  die  Lage  der  beide 
diese  gemeinschaftliche  Bei 
Punkte  deutlicher  zu  zeigei 
dritte  Colonne  beigefügt,  «v 
menden  Werthen  von    x  — 


I  Theile  oder  Zweige  der  Curve  getfH 
ihrcnde    in    dem    in  Rede    defaeadei 
,   habe  ich  dem  Täfelcben  noch  e 
dche  die,    den  in  der  Tafel  vorko 
entsprechenden   Ordinalen   die«ir 
ich  durch  ein  Paar  B» 


Berübrenden  entbült,    deren  Berechi 
spiele  erläutern  vfüI, 

In  dem  rechtwinkligen  Dreieck,    dessen  einer  spitzer  WinU 
60",  und  dessen  diesem  Winkel  gegenüberliegende  Katbete 

3.07920.  C 

ist,    mass  man  tnerst  die   in  die   Abscissenaxe   fallende  andere 
Kathete  berechnen,  welche 

3,079-20. tang30".C 
ist,    und  sich  nach  leichter  Rechnung: 

1,77780.  C 
ergiebt. 

Soll  man  nun  z.  B.  ftir  u  =  4  die  Ordinale  der  gemeinsdafl- 
liehen  Berührenden  der  beiden  Zweige  der  Curce  berechnen,  m 
is  man  offenbar  auf  folgende  Art  verfahren.     Für  u  ^  VS  ist: 
^-C  =  0,96598.  C 


ivai  I 


11  =  4    ist: 


a:-C'  =  l,480Sl.C; 


de$  kteiH8ten  Widerstandes,  273 

(ten    Werth    muss   man  von  dem  zweiten  abziehen»  vrel- 

ebt: 

M6051.C 

— 0,96598.  C 
0,49453.  C. 

er  Zahl  muss  man  nun  die  oben  gefundene  Zahl 

1,77780.  C 
,  welches  giebt: 

0,49453.  C 

+ 1,77780.  C 

2,27233.  C. 

suchte  Ordinate    der  geroeinschafllichen   Berührenden  bt 

dlich : 

2,27233.  tang  600.  C, 
für  diese  Ordinate  den  Werth: 

3,93580.  C 

tc  =  i  findet  man    die  Ordinate  der   gemeinschaftlichen 
nden  auf  folgende  Art.     Für  tf  =  V3  Ist: 

a:—C' =  0,96598.  C 
11=: i  ist: 

a:  —  C' =68,65139.  C. 

ten  Werth  muss  man   von  dem  zweiten   abziehen,   wei- 
ht: 

68,65139.  C 
—  0,96598.  C 
67,68541.  C. 
nuss  man  die  oben  gefundene  Zahl 

1,77780.  C 
welches  giebt: 

67,68541 .  C 

+   1,77780.  C 

69,46321 .  C. 


274  erunert:    Per  HolallOHtkSi 

Die  geeuchlB  Ordinate  ist: 

69,46321. tang60«.C. 
welches  für  diese  Ordinate  den  Werth: 

i20;iiooo.r 

l>as  mehrernäfiDle  Täfefclien  iel  nun  folgt 


OrdinRteu  tae\ 

" 

jr-C 

V 

■.  J 

206,61371.  C 

72,25000.  C 

359,27000 

i 

68,65139.  C 

33,33333.  C 

120,31000 

j 

15,30685. e 

12,50000.  C 

24,83960 

1 

1,75000.  C 

4,00000.  C 

4.437S0 

V3 

0.96598.  C 

3,07920.  C 

.3,07920 

2 

O,990Oi.C 

3,12500.  C 

3,1208? 

3 

1,21898.  C 

3,70370.  C 

3,5174t 

4 

1,46051.  C 

4.20313.  C 

3,9358( 

5 

1.75064.  C 

5,40800.  C 

4,4383( 

Die  Rechßunf;  ist  mittelst  der  trefflichen  TCnfstelligeo 
TithmentaCeln  von  Hounl  );erührt;  die  natürlichen  Logar 
üiiid  aus  der  Tafel  von  Uahse  enlnoninien,  durch  deren 
oatioii  im  34slen  Theil  ihtcr  AnnaJen  die  k.  Ic.  Sternw^ 
Wien  sich  ein  so  grosses  Verdienst  um  die  Wissenschaft 
be»  hat 

Die  Znhien  dieser  Taliellii  Ecigenj  dass  x—^C 
Werthe  0,96598. C  an,  welchen  x-C  lür  u~  V'3  erhält 
beiden  Seiten  hin  fortHährend  wSchst,  nenn  u  von  V3 
nimmt  und  ziniimmt;  ^>eii  so  wachsen  die  Werthe  van  y  \ 
Werthe  3,Ü79:iO.C  an-,  welchen  y  för  «zz:V3  erhalt,  nach 
Seiten  bin  fortnährend ,  wenn  u  von  V^  an  abnimmt  ' 
nimmt,  nie  wir  dies  Alles  schon  oben  int  Allgemeinen 
haben.  Die  Werlbe  von  x  —  C  und  y,  welche  den  von 
abnebmeiiden  Werthen  von  w  entsprechen,  gehüren  dem  c 
Zweige  der  Curve  an;  die  Werthe  von  x — C  und  y, 
den  von  V3  an  zunehmenden  Werlhen  von  k  entsprechen 


dn  kltfiafen  WrdersmHdes. 


I  convesen  Znei^  der  Cnrve  an.     Die  Zahlen  der  drittnt 

»tonn«  aind  für  den  concKvpn  Zweig  der  Curve   grosser  als  d!« 

;«f>recbendeTi   Zahlen  der  zweiten   Colonne,    ffir    den   convexen 

veis  der  Curve  sind    da^e^en   die  Zahlen   der   dritten  Colonne 

einer  aU  die  enteprechcndeD  Zahlen    der  zweiten  Colonne,    so 

>s   also   die  gemeio&chartlicbe  Berührende  der  Curve 

:■!  concaven   und   convexen  Zviei^e  derselben  liegt, 

'  Natur  der  Sache  vollständig  eiits)i rieht. 

In  Fi^.  3.  habe  ich  gfrisKerer  Anschaulichkeit  H-egen 

6ti8t  genaue    Zeichnung   der  Curve  geliefert,    so  neit  dies  biet 

irrorderlich  nar   und    die  Natur   des   Gegenstandes   es  gestattete. 

I   Zeichnung    ist   iiath    dein   gewöhnlichen    preussischen   Feld- 

gserniaassstalie   gemacht,    bei   welchem   auf  den    jireussischen 

eciinalznll  25  Ruthen  gerechnet  werden. 


di«  i 


IS  Alles 


emög- 


§.   13. 

-'Wenn  «vir  jetxt  znei  beliebige,  in  einem  gemeinschaniicben 
Kte  zusaminenstofsende  Elemente  unserer  stetig  gekrümmten 
in's  Auge  rissen,  »o  »erden  nir  offenbar  im  Allgemeinen 
der  Anuahme  berechtigt  sein,  dass  die  spitzen  Neigungsnia- 
I  dieser  beiden  zusanimenslossenden  Elemente  gegen  die  Ah- 
fetssenaxe  gleichzeitig  entweder  kleiner  oder  grösser  als  W*, 
~  ingenten  dieser  Neigungsninkel  also  gleichzeitig  kleiner 
russer  als  V^,  ihre  Sinus  gleichzeitig  kleiner  oder  grös- 
s  \,V'A,  die  Quadrate  ihrer  Sinus  Tolglich  gleichzeitig 
oder  grüsser  als  \  sind,  dass  Tnlgtich,  wenn  wir  diese 
teigungs Winkel  etwa  durch  a  und  ß  bezeichnen,   gleichzeitig: 


i(.s<i,    sin^^^i    oder     sii 
,   gleichzeitig: 

'1»D»^<3,     4sin|3^<;t   oder   4sii 

gleichzeitig; 
Btnn«>0.   3-4sinß»>0  oder   3- 
SaUo  die  Gr<issen 


;»>!.  sinß»>J; 
ta>3,  46in^>3; 
8in(<»<0,   3-48in/35'<0 


3-4  si 


3— 48in(5» 


izeitig  entweder  positiv  oder  negativ  sind.  Im  ersten  Falle 
tch  den  in  §.  S.  gegebenen  Formeln  der  zweite  Uiffe- 
Uqunlient  des  Widerstandes,  n eichen  die  von  einem  solchen 
untenpaare   bescbri ebene   Rotatiuusiläche    erleidet,    offenbar 


y't,  iirunerl:    Der  Rotationskörper 

l«<f«ihv,  im  Ki^ciilrii  Kullu  dußegen  ist  der  zweite  Differentia] 
hiiiil  ilir«!»*  WIderNtaiideH  offenbar  negativ.  Im  ersten  FaHi 
mUm  diu  In  Hfdo  Nlclioiidti  Widerstand  ein  Minimam,  im  zv 
l''iillii  Ul  di*r  in  W«de  stehende  Widerstand  ein  Maxininm,B 
lii  li  unlor  dor  VornuMiietzung,  dass  die  genieinscbaniiche  U 
Hun»  d«>ii  E^liiiiuiiiuiH  oder  Maximums  vollständig  erfüllt  ist. 
liUiMt'  aU«!  n  %  I  tt  ist,  ist  der  Widerstand,  den  die  von  ]( 
«(diJioh  l'lomrntrnpnnre  boscliriebene  Rotationsfläche  erleide 
I^lhihuuiu ;  M)  Un);o  dagegen  fiS  v'3  ist,  ist  der  Widerstand 
«|u«  %oii  i^tdrm  »lolrhon  Klomentenpaare  beschriebene  Rota 
Mftibc  oiU'idoC,  ein  Maximum;  da  ja  tur  jedes  Elemente 
uiiaoioi  i\ii>t>  nach  den  obigen  Entwickelungen  die  genieim 
IuIh«  Hi^vhui^uuc  des  Minimums  oder  Maximums  offenbar  i 
\\\\\\  «u  Uctt Achten  ist.  Hiernach  irird  aUo  offenbar  auc 
\X  (stv>i3k|.tiid»  «elohe»  i'.ic  vor.  ;>deni  zcvischen  zwei  besii 
|*u»«v«eo  wt'ske»er  C'-:r%e  lies^riei.  Bj'^ec  derselben  bescbr 
l%oi>t(u«uiiC!<ik%*he  eueni«!.  er.  M:i£:»=s  :-ief  ein  Mixiraua 
^^vns%  U\^  o.e  4LA-5V*  \5,'*^:e^riri  il****  B*:xi*as  re^pectWe  t 
%sU"  >ii  ^  %  -^  U:  N*  •  v#:  x'i'ir .  w  >*  ^  ^^'Sier£ehe!-de: 
^4*^^^*^^*/  <k*4\*'^*;  **  .'-v^-f   i>:.  >t  -ii^'i  »  %^  *  '•>  1^:.  cie  Cctt^ 

^v ',"  % A' •>,*.-<%*.) ^r-'M  rx:it£-*i  .'liii    / 1*  1  ij^»  i'^f*!  ilf  Abs 

*vt«i-4-;    i:i»4^<4vi    V*iA'iii*i    *i.nf       Hilf    <:iiiii    i*e?*i    irfü    ■':-t£*i  i^ 

/  -•     *^    f  ^    *    III     V  f    :  I  ;  I    I    f    '  I  I     *  i  f  n    r  :  r  ^ 
1  /  ;  ;  I      t    .'     V  )  >  :    *  *  f  I  I  :  ?       v  f    :  i  #    :  i  £    «    :  i      :    * 

I  ;  *       II  II       I      ,   I  ■     X     I  i  -.  .  I  ■    ;  I  f  I  f     T.  I  ■ ;      I  I  •  "  i  :  ! 
,     *  i        1.11    1     r*  r     I  j    I  :  .  1     I  j*   f     .  1     I  1  I    I  f  •  ?.  r  ■  i 
IV.        1.11*1*'*;;?  l  !  y    t  c       v-(  **l] 

«A.  1.  M.        I    •        '•*      t   t    ■*     ;    I   i     I   :  i  :  i-II        i    •    •■  1    !   l     (     f     '   j   l 
J    «    ,    ;    I      »    »  *     ;•♦   i'f   I      I      i       4)4,.**  i-l.;   ;   •         V  f      ,'  1   f      :  x 
.      -      t    •      .        .;•..!        *  i«#  I  >    •  \  •  1    ''  1   J-      r    I  f  •      U    ^•~ 

,       1.11,1      I      •      .n  11     .1      .11     »      •..  1  ■■ 'T  I  ••!  ♦     1.  I  ■  l 
\  •.  ^-iii      i^.«.i7        I     11«        »     if* 

.   .  .    I      .   .         *  1      i   I _     4    ,•       i    ■    :.        ■    J  •..   *    i      i'f  V*-^        V     • 

•     %  in  V  .  U   •   !•• 

'l..«vp      «^il      ktiutt«       >.i|       ^«ritidltU:       ••MtiTltl-t      -inilf      ll:»f     CU 


des  kieimien  Widerstandes,  277 

5  Theorie  des  Rotatiooskurpers  d^s  kleiusten  Widerstandes 
dacht  worden  ist,  von  der  Oberhaupt  bei  diesem  so  ungemein 
chtigen  Theile  der  praktischen  Anwendung  der  Mathematik  bis- 
r  wohl  selten  oder  nie  ein  bestimmter  tvirklicher  Gebrauch  ge- 
icht  worden  ist. 


§.  14. 

Leicht  kiinnen  wir  nun  auch  einen  allgemeinen  Ausdruck  für 
m  Widerstand,  welchen  die  von  Bogen  unserer  Curve  beschrie- 
ben Rotationsflächen  bei  der  Bewegung  in  einer  Flüssigkeit 
leiden«    entwickeln. 

Nach  §.  3.  ist  der  allgemeine  Ausdruck  ^es  Widerstandes  für 
.otationsflächen : 


Angenommen  ist  hierbei»  dass  a  kleiner  als  x  sei,  dass  die 
»rdinaten  in  dem  Intervalle  a  bis  x  sämmtlicb  positiv  seien  und 
ntweder  fortwährend  wachsen  oder  fortwährend  abnehmen,  indem 
jgleich  im  ersten  Falle  das  obere»-  im  zweiten  Falle  das  untere 
eichen  zu  nehmen  ist. 

Im  Falle  unserer  Curve  ist  nun  nach  5): 


y 


(H) 


|h(I) 


8    i  3 


-C. 


so: 


nd   daher : 


■ + (I)        ^"' 


un  ist  aber  nach  8)  und  12): 


löW 


Der  RotalliiHsJirirpfr  dea  Hleiuilen  Widtn 


,Bi  =  C>(l«'  +  5 


nach  den  eiiifachtiten  Regeln  der  Inlegialrechnöm 

©1 

Itei  unserer  Curve  sind  die  Ordiiiat^n  stets  pnsitiv,  nnd 
vvolil  für  den  gegen  die  Absciesenase  concaven,  als  auch  fiar  den 
gegen  die  Aliscissenaxe  convexen  Theil  kiinneii  die  AbscisMfi 
und  Ordrnaten  immer  als  fortwährend  wachsend  betrachtet  wer- 
den, fo  dass  also  bei  der  Ii«slimniung  der  Widerstände  IRr  dien 
beiden,  immer  von  einander  gesondert  2u  haltenden  Tbeüe  der 
Curve  die  Be^^timmung  der  Gründen,  zwiNchen  denen  das  Integrd 
7,<x  nehmen  ist,  nicht  der  geringsten  Schwierigkeit  unterli^ 
über  also  hier  nichts  iieilei 


4 

urrd^ 


Schlnssben 
Eine  genaue  Tafel  der  VVerfhe  der  drei  Functionen: 
(1  +-«')» 


4b* 


+ä+'".     '^^ 


i«"  +  üua  +  4ui 


rde  ich  für  sehr  nützlich  lialfen,    und   niücble  wohl    zur  PabiM 
iou  einer  solchen  im  Archive  anrzufordern  mir  erlauben.    Wm| 
am    Vnriheilhartesten  als    Argument  derselben    anzunehmen  I 

ichte :    darflber  bin  leb  in  diesem  Augenblicke  imcb  nicht  g>B 
mit  mir  einig,  wenn  es  mir  auch  scheinen  will,  dass  der  in  g 
eben  Intervallen  von  0  bis  äO"  fortschreitende  Winkel  6,  wo  d 
u  =  fang  H   uäre ,    sich    dazu    vorzugsweise    empfehlen    inüc 


Grunert:  üeö,  einen  in  der  Inteffralreehn  nock  fehlend.  Satt.  270 

li  werde  es  mir  angelegen  «ein  lassen,  die  Berechoong  und 
iblication  einer  solchen,  möglichst  zweckmässig  eingerichteten 
tfel  so  bald  als  muglich  tu  veranlassen,  insofern  mir  nicht  viel- 
keht  mir  sehr  angenehme  freiwillige  Anerbietungen  in  dieser 
eziehung  gemacht  werden  sollten,  die  mich  jedenfalls  zo  ganz 
Monderem  Danke  verpflichten  würden.  Eine  solche  Tafel  wCIrde 
•ir  dann  auch  Gelegenheit  geben,  von  Neuem  auf  diesen  Gegen- 
kasd  zurückzukommen. 


Xlf. 

Feber  einen  in  der  Integralrechnung   noch  fehlenden 

Satz« 

Von 

dem  Berausgeber. 


Der  eigentliche  Grund  aller  Anwendungen   der  Integralrech* 
ang  ist  der  folgende  bekannte  wichtige  Satz: 

Wenn  f(a:)  eine  beliebige   Function   von  a:  bezeich 
et  und 

6-a 


n 


esetzt  wird,  so  ist  für  ein  in's  Unendliche  wachsen- 
es  n: 

f^  /[af)da::=iUmJ\f(a)  +  f(a-t-{)  +  f{a  +  2i)^..,.+f(o  +  nt)]; 


a 


abei  sich,  wie  bei  allen  solchen  Sätzen,  ganz  von  selbst  ver- 
ebt, dass  In  den  zur  Betrachtung  kommenden  Intervallen  die 
edingungen  der  Stetigkeit  jederzeit  vollständig  erfüllt  sein  miis- 
m.    Alle  Anwendungen  der  Integralrechnung  werden  nach  mei- 


I 


■)|*i)  ßruneri:    Ceherelaeniu  der  IniigfMrtci 

r  Meinun);  niil  der  [;r3ssteii  Strenge  und  DMilliGlilcel(<l 
aen  wiclitigeu  Salz  zuriickgefSfirt.     Nttturlich   bedarf  e 
Ende  auch  eines  strengen    rein   analytischen  BeneisesJ 
eea  Satzes,   nie   ich  denseltien  u.  A.  in   meiner  At)handlung  iÜ 
die  ctllgemeine  Theorie  der  bestimmten  Integrale  in  Tbl. U.S.! 
— 8.  'iTS.  dieser  Zeitschrift   ge;;eben   habe.      Uenn  die» 
geti  SatE  etwa  bloss   mittelst   der  Quadratur  der  Curvi 

lern  zu  trollen,    ivie   ee  zuweilen,    jedenfalls  in  ganz  ..^, 

Welse,  in  Schrieen  und  leider  auch  bei'ni  unterrichte  gescW 
heisst  doch  in  der  That  die  Folge  zum  Grunde  machen,  : 
*on  geringer  logischer  Schärfe  und  wenig  Sinn   für  wahre  K 
matische  Strenge,   dient   nur  zur  Vernirrung  des    Anfängen  i     {|, 
kann  deshalb  auQ  keine  Weise  gebilligt  we 

In  der  That  lassen  sicfi  auch  die  meisten  Anivendun^etF 
Integralrechnung  mittelst  des  obigen  nichtigen  Satzes,  ' 
welchen  man  auch  allein  eine  klare  Einsicht  in  das  wahre  Wo 
des  bestimmten  Integrals  al^  einer  wichtigen  Gräme  eig» 
thümlicher  Art  zu  gewinnen  im  Stande  ist,  und  der  daher« 
—  was  wir  nochmals  hervorheben  —  hei'ni  Unterrichte  in  i 
Integralrechnung  vorzugsweise  Berücksichtigung  finden  und 
würdigt  werden  muss,  wenn  dieser  Unterricht  wirkliche  Frft 
tragen  hdII,  ohne  besondere  Schwierigkeit  mit  grosser  AdkIi 
lichkeit  und  Strenge  durchfuhren,  woftir  sich  Beispiele  an  t 
schiedenen  Stellen  des  Archivs  ündeii,  die  ich  hier  nicht  sSni 
lieb  anfiihren,  sondern  mich  begnügen  «ill,  auf  meine,  Hiu 
Gegenstande  besonders  gewidmete  Abhandlung;  Tbl,  VN.  Nr. XI 
zu  verweisen.  Auf  der  anderen  Seite  kommen  aber  dorh  u 
Fülle  vor,  wo  die  Anwendung  des  obigen  Satzes  nicht  in  gl 
unmittelbarer  Weise,  nicht  ohne  alle  Schwierigkeit  nn'iglich  ll 
uud  die  Herbeiziehung  verschiedener  Kunstgriffe  des  Calculs  fl 
fordert,  die  nicht  einem  Jeden  sogleich  zu  Gebote  stehen,  I 
namentlich  den  Antanger  in  Verlegenheit  setzen  können,  nieilil 
z.  B.  schon  hervortritt,  wenu  mau  mittelst  des  mebreriräliDtH 
allgemeinen    Satzes  die  allgemeinen    Rectificationsformein   beld 


dabei 


ode] 


unier  geschienen,  dass,  um  V 
iswertben  Leichtigkeit  und  StrMtt 
anderer  allgemeiner  Satz  iaM 
jnigslens,  so  viel  mir  bekannt  U 
utiichkeit  und  Bestimmtheit  au^eipt** 
chen,  viel  weniger  in  völliger  Altgemeinheit  streng  bewiesen  w 
den  sei;  und  diesen  Salz  dem  obigen  allgemeinen  Satze  zur  Sc 
SU  stellen  und  streng  zu  beweisen,  ist  der  Zweck  des  rorlltp 
den  Aufsatzes,    wobei   zugleich  wenigstens  ein  Beispiel  der  i! 


Mir  bat 
solche  Fälle  mit  aller  i 
erledigen  zu  können, 
Integralrechnung  fehle, 
noch  nicht  mit  vülliger 


noch  fehienden  Sai%,  281 

mdang  dieses  Satzes,  den  ich  wohl  kaum  als  neu  zu  bezeich- 
I  wagen  darf,  wenn  er  auch  jedenfalls  nicht  allgemein  genog 
:ännt  zu  sein  scheint,    nicht  fehlen  wird. 


Wir  wollen  annehmen ^  dass  die  Function  f(Xy  t)  von  x  und  i 
b  für  jedes  x,  welches  eine  Mi ttelgr Ossjd  *)  zwischen  a  und  b 
»  wenn  i  sich  der  Null  nähert,  der  bestimmten  Gränze  qf(x) 
lere*     Setzen  wir  dann  unter  dieser  Voraussetzung: 

ist  offenbar  tpi  (x,  t)  eine  Function  von  x  und  i,  die  sich  für 
les  X9  welches  eine  IMittelgrusse  zwischen  a  und  6  ist,  wenn 
lieh  der  Null  nähert,  der  Gränze  Null  nähert. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  n  eine  positive  ganze  Zahl 
zeichnet,   setzen  wir: 

ft— g       .      j.  .      .  ... 

=  i,    6  — €1  =  712,    ö=a  +  mf 

n 

d  haben  dann  nach  1)  die  folgenden  Gleichungen: 

/•(a,  I)         =ip  (a)        +  q)i  (a,  i) , 
/"(o  +  i,  i)    =<p(a  +  i)  +9>i(a  +  i,  0» 
/•(a+2i,0  =9(«+2«)  +  g)i(cr+2i,t), 

^^ ^  A«  +  3t,  t)  =9)(«+3t)+g)i(a+3i,f). 

u.     s.    w. 

I 

fia+ni,  i)  =  g?(a+iii)  +  g?i(€i+iii,  i); 

so,   wenn  man  addirt: 

3) 
/•(rt,  i)+f(a  +  h  t)  +  fia  +  2i,  {)+....+ f(a  +  m,  i) 
=s      q){a)  +  fp{a  + 1)  +  q>{a  +  2t)  + ....  +  tp{a + m*) 

+  g>,(a,  2)  +  g)i(a  +  «,  0  +  9i(a+2i,.i)  +  ....+g>i(a+wt,  t). 
Bezeichnet  ^  eine  gewisse  Mittelgrosse  zwischen  den  Grossen 
9i(a,  t),    9i(a  +  i,  i),    9i(a  +  2i,  i),....,  g)i(a+m,  i); 


*)  Ueber   die  Theorie    der   Mittelg^roflsen  a.  ro.   meine    Abhandlung 
bl.  I.  Nr.  XL.    II.  S.  886. 


leber  efnen  In  d^r  Infegralrrchmmg^ 


so  bünnen  wir  nach  einem   bekannten  Satze   von 
sfln  (m.  B.  B.  a.  O.  §.  45.  S.  393.) : 


den  Mni^R 


=  \<f,(.a,  i)  +  ?)i(o  +  i,  tj  +  cfiCo  +  äi  ()  +  .,..  + »,(o  +  m,  i|i 
=  (■  +  •  +  ■  +  ••.. +  0'W= '"•(»+!)' 


und  rolglicb  flach  3) : 


4) 


lAo.O  +  Ao  +  i  i)  +rta  +  2.-.  0  +  ....  +  An  +  ».'.  öl'' 
=  l?>(o) +  !■(»  + i)  +  »(n  +  2i) +■..  +  •>>(•> +»01i|-«(4-o)+« 
setzen.     Es  ist  aber: 


(".« 

=  9>.(»  +  ;(»-»). 

'ir). 

i(»+f.i: 

1    =»,(»  +  1(4-0), 

'?). 

(o  +  2f. 

i)  =»,(a  +  ?(6-(.). 

^°). 

V,(o  +  3(,i)  =  »>,(n+-(6-«). 


und  da  nun,    was  auch  n  »«in  mag,    die  GrSsaen 


sämmtlich  Mittelgrüssen  zmschen  0  und  ],  also  nach  bekanoM 
Sätzen  von  den  MittelgTÜsseii  (m.  s.  a.  a.  O,  §.  37.  S.  287.  and  9.38 
8.  288.)   die  Orüssen : 


«+-(&-«), 


„4-    (6_„) ..,+-•  (6-Bj 


s9mnitllcb  Mittelgrussen  znischen  a  und  b  sind,  weil  ferner  b 
dem  Obigen  qii(x,  i)  sieb  für  jedes  x,  welches  eine  MittetgrSali 


J 


noek  fehhnden  Sat%.  283 

;ben  a  und  h  ist,   nena  i  sieb  der  Moll  nähert,   der  Gränze 
nähert;    so  müssen  offenbar  die  Grössen: 

Q.      S«      W. 

,   wenn  n  in's  Unendücbe  wächst,  säromtlicb  der  Null  nähern, 
es   moss    also   anoh   unter    denselben   Voraussetzungen    die 
(se  My   welche  eine  Mittelgrosse  zwischen  den  GrHssen 

g>i  (o,  i),    g>i  (a  +  i,  i),    g>i  (a  +  2i,  t),  .....  g>,  (a  +  nt,  t) ; 

auch  zwischen  den  Grossen 

<)Pi(«+^(6  — a),  -—-)» 
cp^(a  +  -(6~fl),  .--), 

u.  a.  w. 

sich  der  Null  nähern.     Daher  nähern 

M{b-a)   und    ilfi  =  ;if^^, 

ich    auch 

itf(6  — o)  +  Mi, 

der  Null,  wenn  n  in's  Unendliche  wächst;  und  nach  dem  mehr 
ihnteo  obigen  allgemeinen  Satze  der  Integralrechnung  nähert 
die  Summe 


284  G runer t:    Vtber  einen  in  der  lnugraireekmtn$ 

l9(a)  +  9(a  +  i)  +  9(#i+2£)  +  ....  +  9(ö+«»)}< 
dem  bestimmten  Integrale 

a 

als  ihrer  GrSnze,  wenn  n  in*8  Unendliche  wächst.  Geht  m 
folglich  in  der  Gleichung  4),  indem  man  n  in*s  Unendliche  wadi- 
sen  lässt»  auf  beiden  Selten  za  den  Gränzen  Ober;  so  erhält mn 

die  Gleichung: 

6) 

Lim.|/(a,0  +  Aa  +  i«')+Aö+2t,0  +  ...+/'(a+m,i)|t 

=        /  fp(pC)^Xy 


a 


oder  9  weil  nach  dem  Obigen  f3r  ein  in*s  Unendliche  wachsendei 

n  bekanntlich 

q)(a:)  =  Lim/^o?,  i) 

ist»  insofern  es»  wie  die  Voraussetzung  fordert,  eine  solche  Gräme 
wirklich  giebt»   die  Gleichung: 

6) 
Lim.l  Aa>  Ö+A«  + «.  0  +/'(«  +  2i,  i)  + ....  + A«  +  m-,  t)|f 

=  /       \Amf(Xy%).9x% 

a 

wobei,  wie  gesagt ,  vorausgesetzt  wird,  dass  es  fiir  jedes  x,  f^et- 
ches  eine  Mittelgrösse  zwischen  a  und  b  ist,  eine  durch 

Lim  f{Xt  f) 

bezeichnete  Gränze  von  f{xy  i)  wirklich  giebt. 

Für 

X — a 

=  t 

n 

bHiin  luun  die  Gleichung  6)  auch  auf  folgende  Art  ausdrucken: 

7) 

I ,m  I  n».  0  +  Ao  +«,«■)+ A« + 2i,  0  +  • ...  +  A« + ««.  0 1' 

^  /       htm f(x,t) 'das. 


a 


V 

I  noch  fehlenden  Satz.  285 

t   ^^che  Gleichuug  für  alle  Werthe  von  ai  von  a  bis  x  gilt,   und 
^    ^rijcb  wie  vorher  für  dasselbe  Intervall  die  wirkliche  Existenz 
<fer  GrSnze 

lj\mf(x»  i) 

ri^raassetzt. 

Weil  im  ersten  Falle: 

Lim.{/l[ö,f)  +  /'(a+t,i)+/(a  +  2t,«)  +  ....  +  /ra  +  m',i)l» 
=     Um.ifla,  t)+f{a  +  i.  i)i^f{a  +  2i,  i)  +  ....+f(a+(n-l)U  i)U 

-{-  Lim  .f(a  -f-  tii,  i)  i 
=      Lim.l/i:«,  i)  +f(a+i,  0+/(«  +  2<,  »)+....+/"(a  +  («-l)f.  i)t» 

-|-Lim./'(6,  t)t 
==     Um.[f(a,  t)+/(a+t,  t)  +  /"(a+2».  »)+....+/l(a  +  (ii-l)i,i)t» 

-{-  hlm  f{b,  i) .  Lim  t 

+  v(*).o 

=     Llm.}/tff,  t)+/"(a  +  «.  t)+/Ta+2«.  i)  +  ....+fia  +  (n-l)i,  i)]i 
ist,  so  ist  nach  6): 

^       L\m.\f{a,t)  +  /{a-\^hi)  +  f(a  +  2i,i)  +  ....+f(a  +  (n-\)ui)\i 


I       lAmf{x9i).dx 


a 


[Ar  »= ;   und  natürlich  ganz  eben  so  nach  7): 

9) 
Lim. |/l[a,i)+/'(a  +  «.*)  +  /'(a  +  2i,i) +  ....+ /•(a  +  («--l)£,i)|t 


=  /       Limf(Xf  t),dx. 


r   »  =  ;    wobei    natürlich   immer  ganz    dieselben   Voraos- 

feetzaogen  gelten  wie  vorher. 
Setzen   wir: 

Theil  XLV,  20 


i 


I  folglich  nach   den  Begriffen   nnil   der  Bezeicbnting  <ler  I 
Tentialrechtiung: 


ist;    so  ist  nach  dem  Obigen: 

oder: 

lind,  wenn  dasCoordinatensystem  ein  rechtwinkliges,  also  a=i 

oder; 

*  =y  '  dx  Vi-i-\t"(x)t* ; 

wobei  natürlich  vorausgesetzt  wird,    dass  der  [ 
J^-  oder  F'(x),    nämlich  die  Gränze 

^^.  —  I  !„  ^^'(^) 


Lim ---  =  Lin 


^x 


wirkliche  Existenz  besitzt,    eine  Voraufiselzung,    die 
Anwendungen  der  Differential  rech  nun  g  ohne  Ausuahm 
allen  Bedinguneen  nothtvendig  gemacht  werden  niuss 
auch,    als   sich   ganz   von   selbst  verstehend,    meistens  i 
schweigend  geschieht. 

Die  vorstehende  Entwickelung  der  allgemeinen  Bectifl 
formel  für  in   einer  Ebene   liegende    Curven   halte  ich  I 
vSlIig  streng  und  deutlich,    und  glaube,    dass   es   eine  i 
nicht  giebt     Andere   Aniven  düngen    der  allgemeinen    Form 
und  12)  will  ich  jetzt  um  so  weniger  machen,  iveil  dieselben  s 
in  meiner  Abhandlung  Nr.  XI.  in  diesem  Hefte  eine  andere  ■• 
tige   Anwendung   gefunden    haben,  worauf  ich  mir  daher  tun 
weisen  erlaube.     In  spälereci  Abhandlungen   hoffe  ich  mich  n 
fache  anderweitige   Anwendungen  zu   machen,    auf   die  ich  diH 
gteicbfalla  verweise. 


ä  it^  är 


'fli:    'Benclirelö.  HC.  des  peislsch-arabtscften  AslrolalHums.'iBf) 


Slll. 

chreibuiig,  wissenschaftliche  Zergliederung  und  Ge- 
branchsweise  des  persisch -ara'bischen  Astrolabium 's. 


Herrn  August  Krziz, 

inirleiii  Hnjnr,  früher  Sürli]!*)  im  (lersisdiei 

Chruüim    !tj  ßüliuicn. 


Oas  persisch -arabische  Astrolabitini,  ein  Instrument  vom 
ütter  mehrerer  JabrhuiiJerle,  scheint  mir  durch  seine  vielseitige 
l^erwendungsarC  zu  praktisch  geometrischen  und  ai^lronomischen 
Messungen  und  Beobachtungen  von  so  grossem  Interesse  eu  sein, 
IS  ich  dei«sen  mir  beltantit  geworJene  Beschreibung  und  An- 
■rcndungs weise  den  Lesern  des  Archivs  hier  mittheilen  will. 

I  Asirolab  ist  aus  Messing  gefertigt  in  der  Gestalt  einer 
Kapsel    von    et  na    4    bi«    5    Zoll    im    Durchmesser 
i>Qr  Hübe    oder  Dicke    von  3  Linien.     Es    sind    an   seiner 
ibe  viele   arabische  Worte,    Buchstaben,  die  Ziffern  vor- 
lebe, Grade,    gerade  und    krumme    Linien    eingravirt, 
I  Ganze   ist   recht  zierlich    ausgestattet.     An  einer  Stelle 
«  hat  die  innerhalb  leere   Scheibe  eine  Handhabe  mit 
Ringe,  und    in   ihrem  Innern  werden   fünf  verschiedenartig 
:   dünne  Scheiben  verwahrt,    von   denen   immer  eine  oder 
Jeobachlungen  entsprechend  verwendet  wjrd. 

i  einer  Seite  der  Seheibe  befmdet  sich   ein  kleines  beweg- 
IJineal   mit  zwei  Absehen,   nach  Weise  eines  Nm 
mer  Ufilfe,   während  man  das  Instrument  am  Ringe   frei  in 
jaden  hält,  visiren  und  die  Hüben-  und  Tiefen- Winkel  ablesen 
I  Itünnen. 


4 


200    K I  ».  i  K  :    Bt^ifcfiref^utif,  trissenschaftiicke  Zergliederung  tnä 

Aus  Manj;ol  an  mathematischen  und  astroTioroiachen  Kent' 
nU^on  wissen  in  Pt^rsiiMi  his  zum  Könige  hinauf  nur  Wenige  fe 
hr.iiioh  von  ilein  Astrolabium  zu  machen,  und  dessen  Haidh- 
huutf  KU  pr.\!vtisi*hiMi  /weelcen  ist  au$srhlii*sslich  nur  nnter  dn 
Korn  der    sr^'Iohrten  Priesterkaste  zu  suchen. 

Das  hoste  diosor  mit  mehr  odt  r  uenii^er  Präcision  rerferff 
Ion  allon  Instruiuonto  ist  jenes  mit  dem  eingravirten  Namen  fa 
Kr ronc:ors  A b d u  i  -  A  i  m oh*)  (Die!: er  des  lmam*s.)  Eis  exu&t 
nur  in  sohr  «\o:iij:o!i  rxemplaren,  i%ird  beim  Vorkommen  ßcni 
mil  !M)  l>\:ka(0!i  l*o?ahl?.  und  die  (.irossen  lieben »  es  unter  ihn 
Sollonhoiion  ur.d  Kosibarkeiteo  tu  haben,  wenn  sie  davon  hA 
koin  Jo!;i   vor  sicher.. 


t 
U 

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K 

K 

Fe; 
le 

Sc: 


Was  dlo  («oscVii.hio  diosos  Astroldhinms  anhelanst,  «okfr 
h.^vpton  d:0  IVrsor.  4:.iss  es  sich  aus  den  Zeiten  einet  Sbih 
Mur.Mii?  \i\s\  >:v:(Os  S.>hnes  Laib  herJa:ire,  ohne  hierbei  kb 
dAr5«i3u:i\  x*Oi<'hor  >-:.  «l-^r.  Hjrr^uzea.  die  aJJe  z irischen  dm 
dri:{o:'  iv.i  »"io;-.:  s^^hsif"  J^h-h::: ;-er:e  Tesrierien,  es  sei.  Nid 
d;^T  ,-;:;,"l>.  *;o -.  lirs^'h  ;:■.>,  —  s.-^  rrr'-.h':e  eln-r  jener  wiss* 
*^l^.':':l4h  i^tiii»^o:^;.  ^i .:  ah  —  sc!:  -r-Tiir^Bs  schon  Tor  etvra^ 
jÄ?rr>t  c.:.  S*'Sf.h  H.i:nic;  Ho- •>:':?«■  fiVer  Persiea.  und  IV 
S.'.fcri  l  AAi*  r  n  c- -•<*?'  Ve'r:.r?T  l*^  Asirrtj^sBie  sevreseo  W 
\Tiii  %:t.r  x#r-v.T /rr  >f  ^r  Tl'<  r  r- •  Ifismaefite  Terfertlst  bikt 
Ai*  rtkj  <..-.>•  Mi>  i>r:*rr:rfr'  rr:.  1  k.^i^i:  f^tW.^iD  Vater  rorlestt^ 
-*  ;  f  .*  f  •  :  ..  f :  X -.'.  ;■ .  *::  n:  S  :.*-4 :  V *  s  r.<trfr  of*-T.  Kaben :  ..  Mii 
*  S  :  f  :  J  .  ;.  •         V\  ;  •  : ;  :  .  ;  >  £f  s  .  J  •  --I-f  x  '      »  :ri.-i  C.f  Al  :n'>Tl  l» 

i:i  ..  A  >  :  i  • ;.  r  :.  1  ;  :  ;  1  .i :  i  i.j.:  f*  rfssrir'f.'i'f  t„  P^tber  wiiti 
SJ.£  .'  u-C'.T  :  r-s.;s:  r  f«:  •.-.  r  f:>  :f  f.f  P-fiMTcur  res  iLstrnsenb 
f'f  >.:j,:  .'  •  f  ,1  i-;  s- 1  •!  i  :•-;  j  I  .  I  :.i.;«>.:ri.s.:'ft:  £f«T  Wi.v -j.rJJfxlic^ 
lf«'.  f..'.<>  ?•?:•..>  ;;  :■?  fi  T-jM  !»>M,*  '■r:!.:*-  I.]'?'ke  irj  d^s  Fdi 
/:»."s,"'  si  it  jpi  r  *,?...  j ;:  I  r:£  f«"  (»"  i^i  vt-/.*'1  .  Li-!*e  !'fb  «lafiii 
<•;.>!>  i:i;."-  .''MI  >■?•::  ;.;•>  .•••••**j;s:!«fi  "ki'ii'r*  H^likr-Heki* 
*■ «  •  J « *■  •  :«  '  ";  :■'■•'  :  '1  .-:  j-i  r»«*if-:f  .  vvi.  t'.LTi  *;ii:er  cttif 
IM-    :  ;''*s,  '.;       *■»<!.     I  1  >  -  r  ?    £  I    ifs     iii.';'f>ii-f»r  ^Lf-burideflii 

ii     J*;-'"*.».''!     in      .    .•.'    i-  :     r':>     .•>  •"filinllirs."!»'»!    ^f^!S*ifif:*    V'f-.Ie«  EfW" 

.♦,•     iin  rli.'-Hij  ';«^.«i»f'i     '^^  :s«ii'ris:-li:.  rft|    ji>i:;:iiii'i::i.    i'nu   itf-i^^rrsM 
iii<«     lijlij'i     II    .l.-,"i    «4r'<Hi:«i.;'.f>i    ^.i.*x.il:.    iini.    Na.  n.  LT  k^l,  d  CÖC 

Htu*.»*;  c  <i>i.*ii -'.*    IUI  s««')  i'i    s,'iiiiji*f»i  ifvityis;    i'f.rfii.  V  f*:k#  seiW 
I»     s«.  u'Pi     :>ii!;.'fiki:;^tyii    S-pum     dir   \;it'*Jii:«ininisa    m.:   (>ev9nde- 


'l-  • :,      I  iiitiiii 


Geiraucüstoelse  des  pershcX- arabischen  Astrolaöii'm 


291 


So  sab  ich  z.  B.  geschriebene  ßücber  über  Astronnraie  in 
j^xsiscber  und  aTabiecher  Sprache,  leiijer  ohne  Aol'ang  und  Ende 
lr«l  liereits  nur  noch  hiilh  leserlich,  aus  deren  echrmen  und  korrekten 
^'Schnungen  anfs  Deullicfaste  erhellte,  dase  man  in  jenen  Tagen 
»VWt  Hiihrend  der  kurzen  Pausen  zügelloser  Barbarei  lieschmack 
t  lielehrsanikei  t  gefunden,  und  den  schnell  voriihergehenden 
iFonenschein  aus  der  HefjierUn»  irgend  eines  milden  Herrschers 
kJSKubeulen  getrusst  hat,  um  deu  Anforderungen  des  üe'isles  ge- 
eilt 2u  trerden.  I\1an  überzeugt  sich  leicht,  ilass  damals  die 
araer  und  Araber  Rleisler  in  den  sphärisch-trigonometrischen 
Dehnungen  und  in  Projektion  durch  darstellende  Geometrie  gö- 
ssen sind,  iitdem  sie  in  ihren  Werken  eine  nicht  zu  verkennende 
iSfcarfäinnigkeU  an  den  Tag  legten. 

Seit  Ulug-  Beigh  bis  jetzt  schmachten  jedoch  die  Wissen- 
sliaften  im  Oriente  in  einer  400-jiihtigen  Finsterniss,  und  es  hat 
»«1  Anschein,  dass  auch  der  letzte  fcchnacbe  Funke  verlöschen 
fMd ,  nhne  dass  sich  veieder  ein  Lebender  emporiichwingt,  der 
|<b  Macht  und  die  Gabe  hätte,  ihn  zur  Flamme  anzurachen. 

AusTaf.  (I.  Fig.  I.  und  Taf.  II.  Fig.  II.,  »velche  Figuren  in  na 
rlichem  Massslabe  gezeichnet  sind,  sind  die  beiden  äusseren 
siten  des  Insiroments  ersjchltich,  ivährend  i[i  Taf.  III.  Fig.  III 
tie  der  iuliegetideii  messingenea  Platten  abgebildet  ist. 

^Hierbei  darf  ich  zu  bemerken  nicht  nnterlassen,  dass  zwischen 
^r  Zeichnung  in  Tai'.  II.  Fig.  II.  das  Massive  wegDillt,  somit  diese 
ilUe  des  Astrolab's  durchsichtig  erscheint,  um  die  zu  Beobach- 
Ipgen  nölhige,  beim  üeffnen  der  Kapsel  unter  diese  Seite  des 
jistruments  hineingelegte  Platte  (Taf.  III  Ki^.  III)  oder  eine  an- 
^rfl  aus  dem  Vorralhe  herausnehmen  zu  können.  Mittelst  äer 
ctte  Taf.  II.  Fig.  I.  des  Astrolabiums  ist  man  im  Stande  folgende 
[essungen  und  Beobachtungen   auszuführen. 

t'  1.  Auffindung  der  Breite  eines  Flusses  oder  son- 
Meer  Hindernisse,  Über  die  man  nicht  hinwegeelzeV 
liDn,  um  sie  zu    messen. 

Auflösung.  Das  Instrument  mit  seiner Seitenkanle  vertikal 
»gen  eich  haltend,  visirt  man  vom  Ufer  des  Flusses  rgittelst  der 
eiden  Oeffnungen  der  Absehen  an  der  um  das  Cemrum  C  lie- 
eglrchen  Albidade  AB  (Taf.  M.  Fig.  h)  nach  dem  entgegengesetz- 
<D  Ufer  senkrecht  über  den  Flu-is;  mit  unverrückler  Haltung 
3?  Auges  und  des  Instruments,  und  bei  derselben  Stellung  den 
Ihidade,  visirt  man  vom  selben  Standpunkte  gegen  den  flachen 
id  horizontalen  Boden  des  Ufers,  wo  man  steht,  und  lasst  den 


1 


l*iM>kl,  1*0  rfie  Vwirinie  £e  Erde  kefttrt.  j 
■fMMiBg  der  beiden  Pnalitc  i*t  di«  Breite  d 

ealinmoiif;    der  Hübe   1 
<r.,   ftn  deren  Fasi 

Man  sietit  die  Albidade  1 
Abneheii  nach  der  Hübe  desQ 
rCick   gebt,  bis  die  Visirlini 
IM     %a    dem  Fusse    des  i 


sung  derMübe 


Borg.»! 


Auriüsun;;.    Mim  stellt  dis  Alhidade  snrl 
dar  Linie  a/i,  bc,  cd  oder  de  des  Rechteckes  J 
lllthe  den  Objtilcles  gerade  ani  j^eeigoelsten  [ 
M'HrU   inler   rilck«arls,    bis   die  VisIrUnie  dei 

Itprge»  getroffen  hat  Den 
Albiilndu  iinl  di-ri  riücbslen  Theilgtricb  1 
wicitoiid,  uodureb  der  Hühenninkel  in  etwad 
verkleinert  wird,  };ebt  man  in  derselben  Visirlil 
H'ArtM,  bis  diese  neue  VUirlinie  eben  wieder  I 
man  die  Entreniun;;  det, beiden  bemerkten  Slaoq 
man  visirle,  mit  der  Zahl  7  oder  12  maltiplici 
innertialb  der  Linien  «6  oder  tic,  die  in  7  Td 
oder  aber  innerhalb  der  Linien  cd  oder  de,  du 
thellt  sind,  die  Vislrnngeii  ausführte,  erhSltf 
lltlhe  des  Objektes.  Man  kann  sieb  bei  diesem  ^ 
dade  ebenfalls  auch  der  »om  Punkte  O  a 
immer  nSher  und  näher  an  einander  eing 


und  achtet  beii 
TiefcNHinkel  z\ 
durch  C  und  c 
nung  der  beide 
liplicirt,  jenachdi 


Vor-  oder  Zurückgehen  auf] 
sehen  der  einen  Hälfie  der  j 
nach    abwürls   gebenden   Vert^ 

Standpunkte  wird  dann 
m  man  die  Striche  links 


O  in   Annendung  brachte. 

4.     Beobachtung    der    Hübe    der   84 
Gestirne. 

Auflösung.     Man    stellt  die  Alhidade  sa.l 
die  beiden  Oeffnungen    der  Absehen   nach   de>| 
fraglichen  Slerne  sehen  kann,   und  liest  dai 
von  5  EU  5  durch  Punkte  am  Rande  des   oherj 
Wtkt  sind. 


Seirauchawth»  ilea  pertUch-iuabUchen  Attrotatiltims.        293 
I     5.    Best iraroitiig  der  wahren  Tageszeit. 

Auriilsung.  Zuerst  nimmt  rann  nach  vorbemerkler  Weise 
{ttelst  der  Alhidade  die  U>ihe  der  Sonne  Tür  den  Augenblick, 
«•  den  man  die  Zeit  wissen  will.  Nehmen  wir  an.  diese  Uüfae 
Kre  gleich  15  Graden  gefunden  worden,  und  man  suclie  die  Mor' 
anstünde  für  den  21.  Deccmber,  wo  die  Mittagssariiieiihülie  für 
läh^ran  31  Grad  beträft.  Nu»  stelle  man  die  Alhidade  auf  31 
rad  und  gehe  an  der  Horieonlalen  von  dem  Striche  des  I3teii  Gra- 
!-6  i^eneTi  rechts  bis  durthin,  wo  sie  die  Alhirlade  in  dem  Punkte 
■*.)  schneidet,  irelchen  Punkt  man  sieh  mit  einem  Federstriche 
3merkt.  Wenn  man  jetzt  die  Albidade  in  die  senkrechte  Lage 
-ingt,  uie  z.  H.hC,  und  an  der  Unrizontalen  vom  Punkte  (m)  der 
Ihidade  gegen  links  Tährt,  so  trifft  man  gerade  auf  31  Grad,  und 
^  man  weiss,  dass  15  Grad  auf  eine  Stunde  gehen,  ündet  man 
i«  gesuchte  Morgenstunde  äi/,j  oder  "2  St.  4  M.  nach  dem  Son- 
enauTgange. 

Bei  diesem  Verfahren  muss  matt  zu  der  folgenden  kleinen  Reeh- 
□ng  seine  Zuflucht  nehmen.  Z.  B.  man  sucht  die  Zeit  filr  einen  Mo- 
lent,  für  den  man  die  Sotmenhühe  mit  60  Grad  gefunden  hätte, 
nd  zwar  für  den  21.  Juni,  wo  die  Sonnenhöhe  für  Teheran  das 
lasimum  von  77  Grad  ohne  die  Minuten  zu  rechnen,  erreicht. 
lan  findet  nach  einer  ähnlichen  Manipulation  64'*=:4Vi5  Stunden. 
tie  Länge  des  Tages  fflr  jenes  Datum  za  Teheran  beträgt  U'/a 
;tutiden,milhia  die  Proportion:  12  St.:4*/,5  St.  =  14V4  Si.iX,  and 
■=S  St.  9  M.,  80  dass  Tur  jenen  Tag  und  för  den  gehabten  Mo- 
lent,  wo  man  die  Sonnenhöhe  gleich  60  Grad  fand,  5  St.  9  M.  nach 
em  Sonnenaufgange  entfallen,  oder  4  St.  45  M.+SSt-  9M.=9St. 
4  M.  Morgens. 

Noch  ein  Beispiel:  Man  hätte  zu  St.  Petersburg  am  21.  De- 
ember  die  Sonnenhöht!  fiireinen  Nachmittags-Moment  gesucht,  and 
ind  sie  4  Grad  im  Westen.  Indem  man  nun  wissen  muss,  dass 
ie  Mittagssonnenhohe  für  jenen  Tag  dort  7  Grad  beträgt,  stellt 
lan  die  Alhidade  auf  den  Strich  von  7  Grad  und  fährt  an  der  Ho- 
izontalen  von  dem  Theilungsstriche  des  vierten  Grades  gegen 
echts,  his  man  an  der  Alhidade  aitstos^t,  welchen  Punkt  man 
(lit  (o)  bezeichnet  hat.  Die  Alhidade  darauf  vertikal  gestellt, 
,nd  vom  bemerkten  Punkte  (o)  an  der  Horizontalen  gegen  links 
gegangen,  liest  man  am  Gradbogen  die  Grade  33,  also  in  Stunden 
'«rwandelt  a'/s-  Nun  gilt  die  Proportion:  12:2VB=5Va:^  und 
[=1  St,  '/•  M.  (Der  Tag  ist  zu  St.  Petersburg  am  21.  üecbr. 
ar  5V«  St.  lang.).  Demnach  fehlen  zum  Sonnenuntergänge  nur 
lOch  I  St.  und  V«  Minixte. 


w 

U  nen 


krtfii  '  teschrrlbiing,  tefisenschaflflciSe  ttrgOtSi 


r 


6.     Aurrinduni;    i 
höhen    lür    die 
)ahan,     Bagdad 
welchem  Zeiche 


er    entsprechenden   Mittagsfl 
ier  Städte:    Toub  (ii>   Kbora^f 
ind    Scliiraz,    nach  dem    mit 
>  un'I  (;rade  des  Thierlcrt 
letien  Tag  «ich  befindet. 

oben  rechts  Tar.n.l 


Auriö^nng.     In  dem  Quadranten 
Bind    innerhall)    der   Tafeln   IMN  je    6   cirrefpoi 
desThierltreises  beiceichnet,  und  durch  punkiirte  Viertelltr 
banden.     Ausserdem    ist    ein   jedes  Thier zeichen    I 
in  5  Theile  vnn  6  zu  6  Tngen    eini^elbeilt  und  durch  paralt^ 
fache   Viertelkreise     bemerkt-     Will    i 

Mittai^sh'ihe  die  ISonne  zu  Ispaban  erreicht,  wenn  sie  kb  i 
oder  jenem  Tage   in   einem    bestimmten  Zeichen   steht, 
letzten  Grade   des  Thierzeicbens  a,  bo   stelle  man   die  l 
an  den  Durchschnilti^pmikt  des  Viertelkreiaes  con  a  und  d 
her  gezogenen  Krumme»   Tür  lK|iahan,    Honach   man  die  iS 
der  Älhidade  10  Grade    abweichetid    vnn    der    Vertikalen! 
nämlich    die  Hübe  der   Sonne  zu    Mittag   betrügt   lur  bpaä 
jenem  Tage  nahe  SO  Grad. 

Wollte  man  ferner  die  WUtagshohe  der  Sonne  für  1 
fflr  jenen  Tag  nissen,  wenn  sie  sich  iu  dem  l^len  Grude  oii 
dea  Zeichens  ß  befindet,  so  stelle  man  die  Alhidade  \ 
Uurcbscbnilt^punkt  des  Vierlclkreises,  der  mit  der  Ziffer  j 
merkt  iüt  und  der  Krummen  liir  £a;^dad,  ho  sie  dann  i 
tung  auf  den  448ten  Grad  vom  Hurizunte  nehmen  irird,  web 
derMittagshühe  der  Sonne  für  Bagdad  an  jenem  Tage  end 

Anmerkung.  Die  Platte  Taf.  III.  Fig.  111.  bringt  moii 
halb  der  Kapsel  unter  die  nach  der  Zeichnung  ausgesc^ 
Seite  des  Astrolabiums  Taf.  II.  Fig.  tl.,  und  stellt  Alles  i 
eines  Stiftes  in  der  hervorragenden  Achi-e,  die  auf  der  Rjlf 
durch  die  Alhidade  geht,  fest,  so  dass  sich  nichts  \ 
kann  als  nur  die  obere  durchschiiitteue  Seile  in  Taf.  II.  Fig.^ 
ihre  Achse,  gerade  so,  wie  sich  zuvor  die  Alhidade  um  i| 
bewegte.  Der  kleinere  excentriscba  Kreis  in  Taf.  II.  Kig 
die  Ekliptik  mit  ihren  Vi  Zeichen  und  den  10  Unterablheifj 
von  3  zu  3  Tagen  vor.  so  dass  von  a  bis  b  die  drei  Zeichen  t 
Frühjahre  bis  zum  Sommer,  von  b  bis  c  die  drei  Zeichen  T« , 
Sommer  bis  zum  Herbste,  von  c  bis  d,  die  drei  Zeichen  vgl 
Herbste  bis  zum  Winter,  und  endlich  von  d  bis  a  die  drei  Zeichn 
vom  Winter  bis  zum  Frühjahre  ersichtlich  sind,  und  unter  du 
Graden  am  Rande  des  Kreises  in  persischer  Sprache  gelesea 
werden  kiinncn.     Die  Spitzen  der  Zeiche^  cßjf.ä,  u.s.it.  bede«" 


Ctbraucästteh«  des  persheh- arabischen  Axtrolabium».        gdJ 

ten  die  herp<irra[;en<Islen  Sterne  aus  den  bekannten  Sternbilder 
ivul  stellen  hier  innerlialli  und  ausserhalb  der  prajicirten  Sonn«»- 
;|  bahn  am  den  Nordpol  in  £;anz  demselben  VerbSllniäse  wie  in  der 
I  Ihtnr;   ifire  Namen  8iiii|   au  Ort  und  Stelle  in  persischer  Schrift 

'  >lDgeprägt. 

Der  Rand  von  Taf.  11.  Fij;.  11-,  d^r  nach  der  Wegnahme  der 
«■«geschnittenen  Seite  nicht  mit  abgehoben  wird,  weil  er  an  der 
tapsel  restsemachl  ist,  und  »lich  daher  nicht  dreht,  ist,  nie  zu 
jfeben,  in  360  (^rad  eingetheilt,  jeder  füiirte  Grad  durch  einen  Punkt, 
Itoi  jede  15  Grade  al«  eine  Zeitstunde  durch  längere  Striche 
bezeichnet. 


Die  excentrisclien  projicirten  Kreit^e  an  der  Platte  Taf.  111. 
;.I1I..  30  an  der  Zahl,  daher  von  3  zu  3  Graden  aus  einander 
der  Figur  äiiid  deren  nur  IS,  also  von  6  zu  6  Grad  aus  einan- 
,  eingezeichnet),  Htelleu  die  verschiedenen  Horizonte  vor,  und 
izn»  ist  der  unterste  mit  (0)  liezcichiicle  der  Horizont  des  Ifeub- 
^ekangsorteK,  wahrend  die  folgenden  mit  6.  12,  I»,  u.  s.  w.  bezeich- 
Kreishogen  die  Hfihen  liUer  dem  Horizonte  von  so  viel 
viel  Graden,  und  bis  zu  &0  Grad  hinaur,  vorstellen.  Links 
der  Horizont  mit  Mascbrek  (Osten)  und  rechts  mit  Magreb 
^Wten)   bezeichnet. 

Nach  dieser  vnrausgeschitklen  Auseinandersetzung  lassen  sich 
B. mittelst  der  Seite  Taf,  II.  Fig.  H.    des  Astrolabiums   und    der 
gebrachten   Platte    Taf.'ni.  Fig.lll.    folgende    Aufgaben 


1.    Bestimmung  der  Lange  der  Tage  und  Nächte. 

Anflösnng.  Nimmt  man  an,  dass  sich  z.  U.  für  die  Liing« 
|-^  Tages  oder  der  Nacht,  die  man  sucht,  die  Sonne  in  dem 
nnkle  (6)  oder  im  Snmtnersolslitium  heßtidet,  so  dreht  man  die 
ptchbrochene  Seite.  Taf.  II.  Fig.  II.,  mittelst  des  Koripfchens  (r) 
Ib  herum,  dass  der  Theilstrich  (())  den  Horizont  gerade  in  Osten 
Mebneidet,  und  bezeichnet  sich  am  unhetveglichen  Kande  am  Grad- 
ptise  den  Punkt,  wo  der  Zahn  (:)  an  der  [Ekliptik  zu  stehen 
■Ommt.  Nehmen  wir  an,  dieser  bezeichnete  Punkt  treffe,  so  wie 
!^  in  der  That  geschehen  muss,  den  Punkt  (s)  des  Randen  oder 
h»  Gradkreises.  Nun  drehe  man  die  Scheibe,  Taf.  11.  Fig.  II., 
Ilttelst  des  Knüpfcbens  gegen  Westen  so,  dass  der  bekannte 
tulcl  an  der  Ekliptik  den  Horizont  im  Westen  schneidet;  hier 
Dittnit  in  der  That  der  Zahn  auf  die  Grade  (t)  lu   stehen.     Die 


Bftr-Anthaiff.   Histnuchaflücht  Zerfflleäernttg  und 

Anauhl  Gra<l«  ■!«•  nmscbtan  Wr««»  des  Zahns  von  dem  Zeichen 
(ff  hta  an»  'Imchen  (0  üit  '2I7f  tiraJ  ader  14}  SUiride  bI»  Jü 
LUn^e  'Im  Ta^«  tlr  Tvhmn  aiu  Olsten  Jiini.  Wollte  man  die 
LA«««  <\m*  Nadrt  uhB«  ■Submctiiin,  nSmlich  direkt  durch  ilnsln- 

t  oafiade«.  a»  >«iirtle  man  nach  der  Natur  der  Sache 
^wkt  -lar  EUiptUi  nicht  Ton  Osten  g«gen  WeNten,  sondern  unte^ 
■  Wi-st«i  g«eei>  Osten  beneiden,  und  ßoh 
t  dim  Laaga  4et  Na«bt  (ür  jene   Zeit    1434  €nj 
=  H 

■*.     B««t«mKnK;  <le*j«iiifeR  Grades  des  Th 
•«*.  Awr  fb  mkmm  s«$«beRe  Tagesseit  eben   in  Oslta 


taMtechtet   die  Hübe    der  Sonne  ffi 

ite  iler  Alhidade,  sacht  dann  den  PuflU 

t  tjen  Tag  der  Beobachtung  auf,  nnl 

1  «ier  gegen  Weste«,  jeoachdem  die  Bwb- 

'■ler  >■  Abende  geschieht,    und  zirar  uf 

Kreise  über  dem  Horizonte,  »ekhn 

IsprkhL    That  man    nun  eiiH 

IknaMM  Ml  Osten,  wo  der  Punkt  eben  dieSI- 

m  Hsn   dasjmi^    Zeichen    und  srint 

Ja»  «tai  äi  0«ten  für  ans  »af^ht. 


4cr  Sonnenhöhe  fät  einen  Momeifc 
•»«»^   «etcber  Grad    des    Thierkreim 

I  MUi  weiss,  welcher  Punkt   des  ThlB^ 

H'irJ   man   bloss    diesen    PnnU 

e  aif  ^M  Horizont  zu  stellen  brauchen,  wt 

IkW«  tttEii^  4«t    im  Sta»a  der  Sonne    in   der    Ekli|>tilc  abs 

,  welrbe  Hübe  der  Som 

t  4ie  Anzahl  der  excentrischen  KrelM 

Mk  M  j«utiiu.  Jm  liw»  INMlt  der  Soune   schneidet,    abliest 

oktC   <t  <i*«tt  i<M  -S-  «1«  31  ISnien   die   excentrischen  Kreise 


it  ni 


-k    lie«tL»»»Bs  4««  Zeil  nach   dem   Sonnenuntai: 
^«•^*    <Mt«r    hi«    «KM    SABnenaufgange     mittelst   itt 

Avliacuan.    Hmi  hwhitthtel  des  Nachts  mittelst  der  AlU- 
»ligewl  »iiM«  il«t  hehwi»»  Gestirne,  die  auf  der  Platte,  TiC 
verawchott  siait.  vwl  stdil  denselben  auf  der  PUtl^ 
^  UL   Mtf   ebeu    m  «tele  Grade  über  dem   Horisoc 


HKt. 

Mn'nScht 


irauciswette  des  perstseh- arabischen  Asirotadiums. 


297 


tuttn  oder  Westen,  jeaachdem  das  beobachtete  Gestirn 
"  [  den  Meridian  erreielite,  oder  ihn  ischon  passirt  hat, 
]vä)ri  man  siih  ani  Rande  des  Gradbogens  den  Punkt  des  Zahns 
.ß  li«zeichi>et.  Hieraur  dreht  man  die  Scheibe,  Taf.  II.  Fig.  II., 
m,  dass  der  Punkt  der  Ekliplik,  wo  siuh  für  den  Beobachtuiigslag 
jie  Sonne  beGndet,  den  Horizont  im  'Westen  berührt,  und  liest 
Äe  Grade  zwischen  dem  Zahne  und  dem  vurhergeniachlen  Zei- 
ifteti  vom  Gradbogen  ah;  dies  giebt,  durch  15  dividirt,  die  Stun- 
HD  oder  die  Zeit  seit  dem  Sonnenuntergänge  bis  zu  der  Höhe, 
ijie  der  Stern  erreichte. 


'  Hatte  man  aber  den  F 
4en  Tag  der  Beobachtung  i 
4uiii  die  Grade  zwischen  di 
Keicben  ah ge lese 


nkt  der  -Sonne  in  der  Ekliptik  Cur 
den  <islli4:hen  Horizont  gestellt,  und 
n  Zahne  und  dem  vorhergemachten 
dies,  durch  15  dividirt,   die  Zeit  in 


1 


mden  his  zum  Aufgange  der  Sonne. 


Bung.     Man   beobachtet  die 
ent  mittelst  der  ^Ihid: 


-  Sonnenhöhe  für  den  frag- 
IwaMoment  mittelst  der  ^Ihidade;  sodann  sucht  man  den  Stand 
f- Sonne  in  der  Ekliptik  für  den  Ta^  der  Beobachtung,  uiicl 
Mit  diesen  Punkt  auf  eben  so  viele  <jrade  über  dem  Horizonte, 
I  Tür  die  Sonnenhöhe  Grade  cefnnden  hat,  tvohei  man  sich 
I  Paukt  des  Zahnes  am  Gradbogen  bezeichnet.  Wenn  man 
D  abermals  den  Stand  der  Sonne  entweder  am  östlichen  oder 
tetUchen  Horizonte  einstellt,  jenachdem  die  Beobachtung  am 
der  am  Abende  gemacht  vi-urde,  und  die  Entfernung 
I  Zahns  vom  bemerkten  Punkte  am  Gradbogen  abliest,  dann 
See  Anzahl  Grade  durch  15  dividirt,  hat  man  die  Zeit,  in  Stun> 
i  aa»gedrücl<l,  gefunden,  die  entweder  seit  dem  Aufgange  der 
erflossen  oder  aber  bis  zum  Untergange  derselben  fehlt. 


;   Tages    oder  der  Nacht  ist 
:>  einem  der  mittelst  Taf.  II. 


Bei  diesen  Zeitbestimmungei 
rechnung  niilhig,  so  viie 
^L  gelüsten  Probleme  geschah. 

Anmerkung.     Man  kann  zu  der  Bestimmung  der  Tageszeit 

k  blnss  mittelst   der  Alhidade    und    der  Seile     Taf.  II.  Fig.  I. 

t  Astrolabium's  gelangen.      Auf  der  Alhidade   sind  nSrolich  auf 

t  Mneo  Hälfte  zwischen  C  und  B,  von  dem  Absehen  (p)  ange* 

einige  Striche   eingravirt,    wie  z.  B.  die  Striche  ),  2,  3, 

Klan   stellt   nun    das  Uinpterlineal  auf    diejenigen  Grade, 

I    eben   als   die  Mittagshöhe  der  Sonne    für  den  Tag  der 

Mbachtung  ausfindig    gemacht   hat.     Nun  hält   man   das  instru- 


• J_.,.J.-^— ^WBB 


«Mt  frei  bei  dna  fUne  ta  «ertlfeOer  Seelliin^,  mit  der  .Seit« 
TnC  fl.  Pir.  [.  KfSV  <la«G««>icfit  a«  in  der  Richtunc;  derSonntn- 
•  nnr  dm  RmhI.  d.  h.  das  Protil  des  Astmlab« 
hMoe  rnn  den  lt«id«B  Kreisflächen.  Die  Sonne 
wn4  kaU  kwIi  Jem  Aaf^^anse  und  köre  vor  dem  üntei^aiige,  ud- 
Ncfaallea  ivcrfeii,  dass  der  tud  [^ 
wfcitfa  Rand  dcawetbew  di«  an  (p)  naher  liegend« 
Sfli9v  Kitt.  aMi  Tährr  ttsom  den  Millag  die  entlernteren;  au 

^  wfctft  Ifr  J*dM  Stncft  4ie  dabei  stehenden  Ziffern    als  dll  j 
SIbviIk  oaA  Jmm  Smma*iaatz».aze  oder    von    dem    ■Sonnenuntcr 
9B^&.    Wc^Hi    4ar   «erschi «denen  JahreK;;eiIcn    niGsiien    wieitl 
pTopoilionen  angewendet  nerden. 

ron  den  in  Taf.  II  Fig.  lim- 

en   gewissen  ftlomeiit  eb*» 

welchem  II  iihen  grade,  tt 

tonle  üicb  üerinden. 

stelle    de»  Nachts   einen   der  beohscbl* 

derdnrchbrochenen  Scheibe  Taf.  II.  %1, 

über  dem  östlichen  oder  westlidiCT 

Stern  Tand.     Alle  Gestirne   über  nn' 

«reslliehen  Horizonte  erscheinen  für  *M 

C«Bstellnlion   am  Uimmel,    sn    nie  man 

■  wahrnimmt. 

W«««  maa  flr  <ia«n  gegebenen  Tag  die  Sonng 

r  tUS»«>ik  »ifr.«det.  and   diesen  Punkt  in  Talt 

LWKf  <^  SifU^slinie    stellt,    kann    man    all  der 

«T*Cm  n^nCdicUiltaggsonnenbühe  für  jenfiD 

I  TMCai.  Fig.  in.   stellen   die  Krei«e  a,i 

die  ersten  Grade    der  Sternliililf 

I  al-s  la  den  Snistilien  bei  der  Ciaitf 

r  f*tt»  be«chreiben;  und   xwar  i^t  (n)  dir 

kÜMt  dlft^i'MwMtlK' •!»«  mUder:«  mid  der  Wage;  (//)  jener Üh' 

«■»it    r   jener    des  Sternliililes   dw. 

k«it»  «MB    B«a    bestimmen    n-ilt,     »^elcbtih 

.   SiuiB»     lü*    «taca     KeG>rbeneii    Tag     zuischM 

■rr^.t.     »der    wie    i  i«l     Gral« 

.-*    Sommers    oder    gegW- 

-j-'f  maa   mir  einen  Blick  »st 

■    der    dmehbrochenen   Scheiki 

,   tf)(k  4b    <*w««k.   WHk  Mm-Wehen.    in     welchem    ,\l>6t3nd> 


fräiichsteehe  de»  persiniS-dfifMstfSen  Agltötiatiimi.        299" 

ikh  der  Punkt  der  EkMplik,  \n  tvelcbem  man  die  Sonne  lOr  dei 
%«bae{|tuni;stag  seTunilen  hal,  beßndet.  Dies  gicbt  dann  die  Grade 
hn  nürdliciipn  oder  südlichen  Uekllnation    der  Sonne. 

!).    Uie  Perser  behaupten,  da^s  die  Morien  dämn)  n- 
tllllg  ihren  An  Tiin  g  nimm  t^  wenn  «ic  h  die  Sonn  e  nur  noch 
d  iniler  dem  »ahren  Horizonte  befindet,  und  be- 
n  somit  auch  die  Zeit  der   Äbenddammerong  vom 
^gange    der  Sonne   bis  zu   ihrem  Hinabsinken  un- 
Itüten  Grad,  ivobei  sie  auf  die  Durchsichtigkeit 
ft  in  den  grilsaefeft  und  geringeren  Breiten  wohl 
Kücksicht   nehmen.     Alan    will    nun   wisseD,    wie 
tniaass  diese  18  Grad  für  eine  gegebene  Breite 
faen. 

dem   Ende  stellt   man    in  Taf.  II.   Fig.  II.   den  Punkt  der 

in    der  Ekliptik    das  eine  Mal   auf  den  Horizont   in  Oste» 

'esten,  das  andere  Mal  18  Grad   unterhalb  des  Horizontes 

Osten  oder  in  Westen,  oder  was  dasselbe  ist,   auch  18  Grad 

kbet  den  Horizont.     Indem  mau   in  beiden  Stellunsen  der  durch- 

Whenen  Scheibe  den  Zahn  (:)  der  Ekliptik  angemerkt  hat,  zählt 

die  Grade  von  einem  »erkmnie  zum  anderen  und  dividirt  selbe 

rincb  15,  um  das  Maass  in  Stunden  ausgedrückt  zu  erhalten. 


■  an  sich  befindet, 
>  zu  können,  sucht 
Taf.  II.  Fig.  I.,  oder 
s  immer  einen  Tag. 
r  Erklärung  In  (7) 


1(1.  Um  liir  einen  jeden  Ort,  wn  1 
lie  geographische  Breite  bestimme 
|jBU  sich  entweder  mittelst  der  Alhidado  ii 
Iten  nach  die  Mittagssonnenhiiho  für  w 
)bÄ  sieht  zugleich  in  Taf.  11.  Fig.  II.  znfol^ 

',   wie  viel  die  Deklination  der  Sonne,  für  denselben  Tag  be- 
rSgt.     Zieht  man    sodann  die  Höhe    der  Sonne  von  90  Grad  ab, 
id  addirt  hierzu    die  nördliche  Deklination    oder  ziehet   hiervon 
sQdltcfae  Deklination    ab,  so   erhält  man  ganz   genau   die  ge- 
ihle  £reile   des  Ortes. 

So  gelten  z.  B.  fär  Teheran  im  Sommersolstitium.  im  Win- 

■olstilium  und  in  den   Aequinnctien  folgende  Miltasssonnenhu- 

W:  77",  48';   300,  53'.  54«^  ^jq';  und  /nr  Anffindnng  der  Breite 

Kh^ran  sind  dalicr  die  folgenden  lili;inen  Kechnungen  nüthig. 


9U" 
30» 

53' 

90" 
54».  20' 

59", 
23. 

■V- 

•i8.  südl.  Dekl. 

35»,  40- 
0  Dekl. 

te" 

40' 

*•»»»«  T«4vaF«ll«.  di«  i;erigraphische  Breite 

'•••»•^•«'^»«fct  hestinim«n  «u  niii^sen,  ho  ndnnt 

■iB  4iK  taa«M»  «ag«);ebe(i«n  Arten  die  Ufthe  einei  dtt 

'  «d  Mf  4n  4B-chh(oGhenen   Scheibe  Taf'.U.  h\\\. 

na»,  wd«?H  man  bei  seiner  zunehniomlen  Hübe 

e  fcvitKtat  bis  «ie  anrangt  abzunehmen,  und  ermih 

U»  Bt»tle  nuD,  die  Scheibe  Tal'.  II.  Fif;.IL 

t  (r)  drehend,   den    betreffenden  Stera  ii 

■r  M  die  Liats  (rt)  Taf,  II.  Fi^.  11.,  und  bemoke 

■toft  Krgendeii  Plulle  T»f.  III.  Fig.  IM.   mit  ^ DBA 

!  den  Punkt,   ivo  der  Stern  gerade  «nt 

iaJ  srioe  Culminationsgrade    aber  den 

rsorles  gestellt  haben  wird.     Nun  tlbb 

t  u  ifa<  Pblte  T«r.  III.  Fig  III.  die  Grade  nach    oben  hin  blt 

am  fcwiw  (<) Rr  die  beiden  Aequinoclien,  oder,  was  Uasstlbl 

bis  na  Ae^Mter,  wodurch  man  die  Entrernung  des  Sterne» 

r  daa  P«l  ki^ftb  bis   zum  Aequator  Gndet.     Man  addire  hie^ 

r  Cnlniination  des  Sterne»  zu  seinem  gefundi- 

TM  Aei]nator  oder  zu  i^einer  Uehünation,  Dndxieta 

s  90"  ab,    der  Rest   giebt   dann    die    Breite  dw 

-Ortes. 

Zw  Erävterang  Mgl  hier  ein  Beispiel:  Man  habe  zu  Täbdrm 

Mittel»!  des  Astrolabs  die  H.ihe  des  Polarsternes  («)    in  Taf.  D- 

n^.  I.  in  seiner  oberen  Culmination  beobachtet  und  selbige  gleiek 

37  CUad  iteAiaden,   also   Bogen    //'(i  =  37  Grad.     Indem  man  dM 

dMMlben  Stern  in  Taf.  II.  Fig.  II.  des  Astrolabs  in  den  Meridiui' 

«iasteltl.  findet  ntan,  von  diesem  Punkte  gegen  oben  zu  über 

,  pol  bis  XU  dem  Tag-  und  Nachtgleich-Kreise  (a)  zählend,  29^  Ab-' 

f  Ihelluni^en,  der  iiahe  über  dem  Horizonte  gezogenen  Krebe, 

P  J9iX3=t94  Grad,  d.  h.  seine  Deklination  vom  Aequator  betrSgt 

'  SSi  Gnd  «der  er  ist  1)'^  vom  Pole  enirernt.    INud  folgt  die  Rechnaag: 

„-i.aA  —  AP=U'P  oder  37"  +  88i"-90"=35J  Grad. 

I  MKS  lÜM  PolhOhe  oder  der  geographischen  Breite  Tt^häran'x 
I  vtin«  bei  der  Culmination  des  Sternes  die  MiDatcu  berflcksicbtijl 
I  an  haben,  entspricht. 

.     lImaubestluiineii,Ku  welcher  Tages-  oderNachl- 

(«•UdivS«nneam2l.  iVlärzindeiiFrüfalingspuuktlrft^ 

I  1»«  wird  und    welcher  Grad    des    Thierkreises    &ii  j' 

ueiRpoche  eben  am  Horizonte  aufgeht  (Daten  welch« 

doti   Petseni    hai    dem    Feste    der  Frühlings    Tag-   nni 

^«Gl>l<(le'che  vüu  grösster  Wicbtigkeit  sind),  stellt 

t  Crdbliiigspunkt  (n)  de^  AequinocTiums  in  der  Ekliptik  Tal.  It 
»'Vft.  II.  Ml'  jene»  Punkt   der  Platte   Taf.  III.    Fig.  III.,   wo   ei  In 


^' 


W^raucAsvefse  des  peraisch-arufiischen  Asliolabiuiiis.        3(ll 

LQgeaen  Jahre  zur  Zeit  <fer  Tag-  und  Nuclitgleiche  eben 
und  bemerkt  sich  den  Zahn  der  Ekliptik  nn  dum  Uradkreise 
Taf.  11.  Fig.  II.  Sodann  drelit  man  mitleUt  des  KiiSiifcheu» 
Ekliptik  um  volle  87"  gegen  Westen,  und  bemerkt  sich 
immaU  den  Zahn  am  Gradbogen.  Nun  thue  man  einen  Hlick 
f  die  Scheibe  Taf.  II.  Fig.  It.  und  auf  die  unter  ihr  lieEiende 
tte  Tar.  III.  Fig.  111.,  indem  man  berücksichtigt,  oh  der  Früh- 
;Bpunkt((i)  der  Ekliptik  oberhalb  Dd«r  unterhalb  des  Horizontes 
_i|rifft,  nämlicb  ob  der  Eintritt  der  Nachtgleiche  am  Tage  oder 
r  Nacht  stattfinden  wird.  Macht  man  sodann  die  Beobachtung 
(traf.  II.  Fig.  II.,  welcher  Grad  des  Thierkreises  den  Horizont 
laa  im  Osten  berGhrt,  so  «ird  man  sofort  auch  wissen,  dass 
I  Sonnenbahn  den  Aequator  schneiden  wird,  sobald  der  <;enBnnte 
päd  deij  Thierkreises,  mithin  diesem  oder  jenes  Thierzeicben, 
>ier  dem  Horizonte  eben  aufgeht.  Will  man  sodann  genau  die 
At  wissen,  um  wie  viel  dieser  Eintritt  später  als  im  verÜossenen 
bre  stattfindet,  so  stellt  man  den  Früblingspunkt  (a)  entweder 
f  den  östlichen  Horizont,  wenn  der  Eintritt  des  FrählinRs  bei 
Ige,  oder  auf  den  westlichen  Horizont,  wenn  er  zur  Nachtzeit 
Beheben  soll,  und  zählt  die  tirade  zivischen  dem  letzfbemerklen 
imkte  des  Zahns  und  seinem  nunmehrigen  Stande,  welche  Zahl, 
rch  IS  dividirt,  die  Stunden  und  Minuten,  die  man  suchte, 
^bt.  Im  Jahre  I8QS  z.  B.  feierte  man  zu  Teheran  den  Eintritt 
w-  Sonne  in  den  Aequator  am  21.  März  um  1  Uhr  früh  (mit 
(Dweglassung  der  Minuten).  Ich  stelle  also  den  Frühlin^epunkt 
^  in  Taf.  II.  Fig.  II.  I  Stunde  oder  15  Grade  über  den  Meridian 
^  Mitternacht  oder  auf  den  Punkt  (a')  und  bemerke  den  Zahn 
I  am  Gradbogen  in  dem  Punkte  {x).  Wenn  ich  nun  die  Ekliptik 
i  drebe,  dass  der  Zahn  von  [x)  aus  den  Weg  von  87  Grad 
Kehen  musa,  nämlich  bis  zum  Punkte  {x'),  welchen  letzteren  ich 
nnerke,  finde  icb  für  das  neue  Jahr  den  Friihlingspunkt  12  Grad 
»CT  dem  Östlichen  Horizonte,  welche,  in  Zeit  verwandelt,  }|  St. 
r  48  Minuten  geben.  Daher  musste  für  das  Jahr  1859  der  Ein- 
Ut  äer  Sonne  in  den  Aequator  um  6  Uhr  48  Minuten  früh  tut 
^h  gehen. 

Man  kann  diese  1'2  Grad  noch  bestimmter  linden,  wenn  man 
tto  Friihlingspunkt  (a)  in  Taf.  11.  Fig.  11.  genau  im  östlichen  Ho- 
Bonte  einstellt,  wobei  der  Zahn  auf  den  oberen  Punkt  (c)  zeigen 
Sfd;  liest  man  nun  die  Grade  ab  zwischen  (c)  und  dem  ehe» 
ftrfaer  bemerkten  Punkte  [x'),  so  ündet  man  ebenfalls  12**  oder 
ä  Miouten. 

13.  Die  durch  den  Wellpol  auf  den  Horixont  des  Beobach- 
ingsortes  senkrechten  Kreise  0,  I,  2,  3,  u.  s.  w.  zu  beiden  Seiten 

;  Thrii  3CLV. 


1 


« 


r 


:104    Kri 


Beschreibung,  KlssenscImflUche  ZfrgUedentng  und 


wie  es  ebvn  Taf.  II.  Fig.  II.  anzei^^t.  Zählt  man  nun  IKV  rOcü- 
wäits,  so  ßelaiii;t  man  an  den  Punkt  (h)  der  l£kli|>tik,  den  nu 
sich  an  der  Plalte  Taf.  III.  Fig.  III.  bemerkt,  und  die  Antali 
(irade  von  77  und  einem  Brucbtheil  ahlleet.  Indem  man  nuu  p' 
funden  hat,  dass  die  Hübe  der  Sonne  im  Meridian  Tür  den  AnfiDl 
des  Sommers  lu  Teheran  77"  48'  hetrSgt,  so  findot  man  90«-??* 
48' =  12«»  12'  als  die  niedrigste  Höhe  des  Pols  der  Eklipl 
dem  T^heraner  Ui 


Nach  der  im  Vorhergehenden  gegebenen  Beschreib! 
G e brau cfastv eise  dieses  wunderbaren  und  nichtigen  Inet^ 
wird  es  den  Mathematikern  gewiss  wünschenswerth  i 
auch  sugleich  die  Verzeichnungsmetbode  aller  der  darin  4 
menden  Figuren  kentieo  zu  lernen,  und  zwar  am 
raan  bei  der  Anwendung  dieses  Astrolabiums  in  den  F&ll^ 
krmnle,  an  einem  Orte  seine  Ileobachtungeo  machen  xttJt 
för  dessen  geographische  Breite  man  zufällig  keine  at»j| 
Platte  in  Tat.  III.  Fig.  III.  vorßinde,  und  sich  selbige  t 
rzeichiien  mßsste. 

Mich  kostete  diese  Arbeit  viele  Mühe,  indem  icb  disj 
ttoiialehre  aus  den  betreffenden  arabischen  Schriften  vorer 
lieh  Studiren  mussle,  wobei  mich  in  der  üebersetEuug  ddiI 
tUQg  der  Hieroglyphen    derselbe  Mollah  ooterstützte,  dessen 
oben  Erwähnung  gelhan  habe. 


Erst  nach  Kennlniss  si 
leugt  man  sieb  vollständig 


Entstehung  und  Erzeugung  öbv 
dem   grossen  Werthe  des 
hSlzbaren  und  nützlichen  Instrumentes. 

Verzeicbnungsmethode  der  beiden  Seiten  TatJ 
Fig.  I.  und  Taf.  II.  Fig.  11.  und  der  Platten  des  Asirif 
biunis.  die  beimtiebrauche  desInstramentsderdaK] 
broobenen  Scheibe  Taf.  II.  Fig.  II.  unterlegt  trerdd 
aleh  in  Ihrer  Construclion  nach  der  geograpbiseit 
Urelte  de«  Beobacbtungsortes  ricbtea  nässen,  und 
uuBereu  Figuren  in  Tat  111.  Fig.  III.  ubi)  Taf.  V.  Fig.a 
Hudegehensind. 

s.  Verzeichnung  der  Wendekreise  muA  des  As^M 
|«r<i,  d.  h.  der  Kreise  (a),  (6)  und  fc)  an  der  Platte  TstU 
l^t«  IM, 

Mai»  üiebe  «ich  einen  Kreis  ADBEA  Taf.  IH.  Ptg.lV. 
4«f  Cl«ll4,    welche  in   die  Kapsel  des  AstrelaUnms,  wovon 


l 


töraiic/igifeise  tUs  fiersiscä  ■  arafiiscben  Aslrolnbiiims,        3o;i 

I  den  Punkt  der  fionne  in  ihrer  Babti  aiiC  die  eben  ge- 

ideveB  Grade    der  ScinneDbüIic:    «der  aber,    nenn   man  weis«. 

pleher  Grad  dieses  nd er  Jenes  Tbttirxeicbens  «b«n  ant,  Harizniite 

fhehk,   stclte  man  dieses  Zeiuben  Taf.  II.  V\s^.  U.  aof  den  Uori- 

~ ',  und  verfahre  wie  eAen  aus  einander  gcselzl  wurde. 

Der  Kreis  EHE'H'E  (TaC  II.  Fig.  2.)  stellt  den  Horlz-.nt 
fär  den  Pol  T;  UH'  sei  der  Meridian  für  T\  E'  der  Ost- 
!^  £  der  Westpurtkt;  £e£'  seien  die  Eliti{>(ik  und  P  ihr 
kl.  Man  sei  z.  B.  eben  im  Keginne  des  Frufijiihrs  und  habe 
klier  den  Frühlingspunkt  £'  der  Ekli[>tik  in  den  üsllkhen  Hori- 
Ht  eingestellt.  Nun  eäble  mau  «acb  dem  Geisagt«n  von  £'  in 
l«  Ekliptik^  Grad  rückivürln,  wnhd  niAn  nalürütJi  an  den  Puitbl 
MliWS  die  Ekliptik  den  Meri<liaD  det«  BeoUacbtungsnrtes  «cbnei- 
^^kvlaogen  nird.  Lidem  nun  Bogen  HT—'Hi"  iät,  uiwl  man 
^^■bl  »die  Üiibe  ides  bemerktein  Punktes  über  den  Hnrizoiit  an 
j^Hatle  Taf.  III.  Fi«;,  ill.,  da%ofi  abgez«g«a  bat,  i»>t  der  Best 
Mfiogens«?'  gleicb  dergesuchteo  hUibedesP«ls  der  Svoiienbnba. 
Bnn  die  Entferonng  He  des  iHAriznntes  von  der  Eklr)itik  ist  na- 
■Jicb  gleich  der  Entfernung  ihrer  4»eiden  Pule  T  und  /-*,  und  es 
t  dazu  TW  gleicb 90";  daher///'— //c=  TH' —  TP=eT=PU', 
i^lcb'  letztere  Grüsse  die  Erhübung  des  Pols  der  Ekliptik  über 
In  Uoriennt  bedeutet. 

'l  in  aiiaerem  vorigen  Beispiele,  tvenn  man  den  Früblin^punht 
M  £kli)ilik  im  jlatlichen  UoriEonle  .einstellt,  und  an  der  Ekliptik 
Icktvürts  zählt,  gelangt  man  an  den  Punkt  (c)  Taf.  II.  Fig.  Iil., 
■«selbst  der  Zahn  (i)  den  Grad  unter  (r)  berühren  \rir<l.  also  an 
er  Platte  Taf.  m.  Fig.  Itl.  beilSnlig  den  oberen  Punkt  (31). 

Dieser  Punkt  (rZ)  ist  in  der  Ekliptik,  wie  bekannt,  der  Anfang 
Winters  oder  der  Wendepunkt  am  Wendekreise  des  Stein- 
ickes,  und  da,  nie  man  von  eben  der  Platte  Taf  IH.  Fig.  III. 
kann,  die  Hühe  der  Sonne  hn  Meridiane  für  diesen  Ta^ 
sden  21.  December  SO"  52'  belrSgt,  wird  man  üO"— 30"  53' =39" 
Mis  die  H<7lie  des  Pols  der  EkRptlk  tlber  den  Horizont  von 
tni^ran  erhalten,  und  zwar  nni-el'Shr  Kx  den  Sonnenaufgang  des 
■.  MSrz  1859,  oder  genau  genommen  6  Stunden  48  Minuten  frflb. 

Dies  giebt  zugleich  die  grüsste  Höbe  des  Pols  der  Eklijitik 
dem  Grunde,  weil  die  Polhöbe  33»  40'  und  die  Schiefe  der 
Hiptik  23°  28'  betrügt,  mithin  die  Summe  von  beiden  Grössen 
*  8'  oder  gleicb  der  gefundenen  Höhe.  WSre  mau  umgekehrt 
I  Eintritt  der  Sonne  in  den  Herbstpiinkt,  so  niiisste  man  den 
unkt  (c)  der  Ekliptik  in  den  iistlicben  üoriznnt  einstellen,  wobei 
aa  .dieselbe  Lage    der   durchlüclieflen   Scheibe   erbnllen    wird. 


^ 


\ti:    BeseHre/Siihp,  üiiietistlMfttlcKe  "ti 


S^ " 


I 


der    grüiaereti  Ueutlichlfeil   n-egen    in  der  natüilichen 

Astrolaltium'a  und  ohne  den  Wend«krpia  des  Krebnt  {^ 
da  er  zur  Zeichnung  nitbt  nofhwcDdig  ist  und  die  Figin  BinM 
deutlich  machen  wfirde. 

Atn  Kreise  der  Aequinoctien  oder  am  Aequafor  (r)  tra^t  H 
vom  Punkte  a  bis  h  die  nürdliche  Deklinalioo  der  Sonne  mht 
fange  des  Sutir,  nämÜc-h  die  zu  2Xf  der  Sonnenbahn  gehürigtik 
weichung.  Man  verbinde  b  niif  B,  verlängere  die  Linie  nach  okl 
bis  £um  Punkte  O  und  ziehe  dann  die  Linie  bA.  Dadurch  ti 
man  znei  DurcbscbniCfspunkte,  nämlich  den  genannten  0  wli» 
Punkt  o.  Aus  dem  Cenlrum  des  Kreises  beschreibe  nan  ■ 
den  baideo  Halbmessern  CO  und  Co  Kreise,  welche  die  m^ 
zu  beiden  Seiten  schneiden  werden,  nämlich  sowohl  e 
als  am  fresllichen  Hnrizonl-e,  wodurch  auf  jeder  dieser  S 
■wfli  Thierzeichen  ilcr  Ekliptik  erhalten  vrerden,  d.  b. 
(1)  und  (12)  und  (ti)  und  (7). 

Ferner  trage  man  vom  Punkte  a  der  Ekliptik  bis  znuPl 
c    die    nördliche    Ueklinalion    der    Sonne    für    den    Anfang^ 
Dscboaxeb,  nümlich  die  zu  60"  der  Sonnenbahn  gebüiige  j 
cbung;    verbinde    tvieder  c  mit  B  und   verlängere  die  Lini 
oben  bis   O'  und  zit^he  cA.     Auf  diesem  We^e  ergeben  sieb  n 
weitere  Durchschnittsiponkte,  nämlich  O'  und  o'. 

Kun  bescbrcitie   man  abermals    aus   dem  Centrum  {C)  K 
mit   den   Radien  CO'  und  Co',   wodurch   die  Ekliptik   : 
Seiten  geschnitten  ivird,  ntad  sich   sofort  anf  jeder  dieser  S 
vier  Zeichen  des  Tbierkreises  ergeben,  nSmIicl)  die  ZsicklB  ^ 
(11),  (2)  und  (3),  eudiJcb  (9),  (8).  (5)  und  (4). 

Somit  ii«t  die  Einlbeilung  der  Ekliptik  in  ihre  zwDlf  ZneH 
beendet.  Die  Unlerabthcilung  jedes  dieser  Tbi erzeichen  in  H 
Theile,  d.  h.  von  sechs  zu  secbs  Tagen,  und  endlich  jedes  Tlii»| 
chens  in  zwei  Theile,  d.  h.  von  drei  zu  drei  Tagen, 
nSmIicfa  die  Ekliptik  anf  der  Taf.  II.  Fig.  II.  eingetiteill  Ml 
bewirkt  man  ganz  genau  durch  dieselbe  Constructiona-HeuiMl 
indem  man  zuerst  von  a  gegen  b  die  Declinationen  der  Smk] 
für  6",  12",  18"  und  24»  der  Sonnenbahn  aufträgt,  dann  ah«  n 
u  geilen  g  die  Abweichungen,  welche  den  Graden  36,  Ai,  48  M 
54  der  Ekliptik  entsprechen,  endlich  aber  von  a  gegen  b  dis  0> 
clinalionen  zu  3*>,  y**,  IS",  21",  27°,  und  von  a  gegen  c  je«  * 
33",  3y«,  43",  5|o  und  57'^  den  Sonnenbabu. 


Cons 


t  i  o  n  rl  e 


inigenbekannteuSte 
I  Scheibe  Taf.  II.  Flg. 


releb* 


^ 

CiSraiiChneetit  Hei  jiirthcJl-afablschtn  Astrotabiiim».       307 

Hierbei  berücksichtigt  man  eechs  Punkte,   die  wir  nacheinan* 
iti8  Auge  fassen  Kollea,  um  milleist  ihrer  Hülfe  unsere  Auf- 
zu  litsen. 
I.     Länge  des  Sternes. 
i.    Breite  des  Sternes. 
).     Welcher  Grad  der  Ekliptik  sich  mit  dem  Traglichen  Sterne 

im  Meridiane  des  Bcohachtungsortes  betindet. 
1.     Welcher    Grad    der   Sonnenbahn    mit    dem    Sterne    eben 

aufgeht. 
>.     Welcher  Grad  der  Sonnenbahn  mit  dem  Sterne  eben  untergeht. 
).     Den  ßogen  dcsSleridians  für  den  Beobachtungsort  zwischen 

dem  Sterne  und  dem  Aequator. 

3er  Kreis  (e)  Taf.  111.  Fig.  VI.  sei  wieder  der  Wendekreis 
Steinbockes;  der  Kreis  (o)  der  Aequator;  der  Kreis  ALBHA 
Ibliptik;  .i^derFrühlingapunkt;  ALBD  die  Lance  de.«  Sterns; 
ir  Pol  der  Ekliptik;  Bogei>  nPli  sei  durch  den  Pol  im  Punkte 
inkrecht  auf  der  Ekliptik,  daher  der  Breitenkreis.  Aus  dieser 
truction  geht  klar  hervor,  dass  der  fragliche  Stern  in  dem 
enkreise  a/'ü  liegen  müsse,  und  man  bedarf  daher  nur  noch 
zirelten  Construction,  um  den  Halbmesser  zu  dem  aus  dem 
P  parallel  lur  Ekliptik  zu  ziehenden  Kreise  finden  zu  kün- 
Der  Durchsühnittspunkt  dieses  Pacailelkreises  mit  dem  Brei- 
eise giebt  den  Punkt  des  gesuchten  Sterns  am  Pirmamenle, 
sicher  Bestimmung  nichts  weiter  erfarderlich  ist,  als  die  Länge 
Breite  des  Sterns  aus  dep  Tafeln  zu  nehmen. 
)er  Kreia  Am'BmA  Taf.  IV.  Fig.  VU.  sei  die  Eküplik;  der 
I  Aa'BaA  der  Aequator ;  Bogien  ab  =  Bogen  a'b'  —  '23«  2ä'  als 
sfe  der  Ekliptik;  Bogen  bc=  Bogen  fr'c'=:  der  gefundenen 
»  des  Sterns,   e.  B.  =10  Gd. 

Nachdem  man  die  Linien  fiöm  und  Bm'b'  gezogen  hat,  geben 
'unkte  m  und  m'  die  beiden  Berührungspunkte  der  Ekliptik. 
Ziehung  derLinien  Ben  und  Bn'c'  geben  die  Punkte  n  und 
le  Berührungspunkte  des  gesuchten  Parallelkreises  mit  der 
itit,  der  hier  projicirt  erscheint.  Nimmt  man  also  die  Mitte 
Ischen  den  Punkten  n  und  n',  so  hat  man  den  Mittelpunkt 
Sreises  nn'  gefunden,  mit  dessen  Halbmesser  tn^ln'  man 
in  der  vorhergehenden  Fig.  VI.  auf  Taf.  Hl-  aus  dem  Pole  P 
Bogen  JMiV  beschreibt,  wonach  sein  Durchschniflspunkt  mit 
Breilenkreise  aPD,  nämlich  Q,  den  gesuchten  Stern  geben 
Somit  ist  in  Taf.  111.  Fig.  VI.  der  Bogen  4LBD  die  Länge 
der  Bogen  DQ  die  Breite  des  Sternes,  welche  letztere  wir 
iserem  Beispiele  zu  10*'  angenommen  haben. 


w 


iS  KrSii:  '  BfScßreliiin^.  wfiienteRüflltfne- tfe 


Ist  die  Breite  des  Stern?  niinllich,  so  tragt  man 
geschah,  die  Grade  hc  van  &  Regen  B,  daher  auch  die 
von  b'  fEegen  A  ;    ist  jeiloch  die  Breite  des  Sterns  süi 
trägt  man  die  Grade  bc=:b'c'  von  6  gegen  n  und 

OtiKwur  Eur   Bestimmung   der    nähren    Punkte  der  Stef 
der  Sclieibe  Taf.  II.    Fig.  II.  a.ia  jenen  sechs  Puntten  die  | 
in  Anwendung  gebtachten  zivei  ersten  hinreichend  sind; 
wir  die  Bestimniiiiig  der  Gealirne    doch  noch  mittelst  AufMoi 
der  folgenden   vier  Punkte  aus    den   Tafeln   bewerkstelligen, 
Hogleich  zur  AuTlusung  schreiten. 

Da  mau  aus  den  astronomischen  Tafeln  weiss,    welcher  Gk     . 
der  Ekliptik  mit  dem  fraglichen  Sterne  im  Meridiane  des  B« 
I   achtungsorles  erscheint,  'dass   z.  B.  der  Stern  c  in    den  Mctidi 
iQr   Telieran    mit  dem    i.  Grade   des  Schützen   (Gouss)    einliet     " 
muHs,    kann   man    seinen   Stand  am    Astrolatiium   durch    folg»     ' 
Figur  Teetstellen. 

Man  suche  Taf.  IV.  Fig.  VIII.  in  der  Ekliptik  den  Isten  QnU      \ 
Schatten  auf,  den  ich  z.   h.  im  Punkte  a  annehmen  will.    1)0      , 
diesen   Punkt    und    durch    den  Mittelpunkt  C   des  Meridians  i 
«iche  man  die  Gerade  aCb,  in  welcher  der  fragliche  Stern  lie; 
muss,  da  er  sonst  nicht  zugifich  mit  der  Sonne  a  culminireo  liüiii 

Zur  Bestimmung  der  Punkte  4  und  5  dient  Taf.  III.  Fifi.D 

Uli'  sei  der  Horizont  des  Beohachtungsorles  i 
ihn  an  der  Platte  Tal'.  III.  Fig.  III.  gezogen  sieht,  und  i  der  V 
telpunkt  desselben.  Ferner  sei  r  der  Stand  der  Sonne, 
den  Isteii  Grad  des  Schützen,  der,  wie  man  bereits  bemerktlK 
wird,  mit  dem  fraglichen  Sterne  zugleich  untergeht  t 
aufgeht;  endlich  sei  r'  der  dem  r  gerade  entgegengesetzte  8 
der  Sonne.  Man  ziehe  nun  mit  dem  Halbmesser  so  derart  e 
Kreis,  dass  dessen  Centrum  in  den  Quadranten  ACD  za  fi^^ 
komme  und  das»  der  Kreis  ausserdem  die  Punkte  r  und  r'  trA' 
Der  in  Frage  stehende  Stern  liegt  sodann  sicher  in  dem  so  |f 
togepien  Kreise.  Dies  in  dem  Falle,  wenn  der  Stern  mit  d« 
genannten  Grade  des  Zeichens  zugleich  untergeht.  Ginge  is 
Stern  mit  dem  Isten  Grade  des  Schützen  zugleich  auf,  so  dieitt 
zur  Ziehung  des  Kreises,  in  den  der  Stern  fallen  müsste,  diesel^ 
Verzeichnung,  nur  mit  dem  einzigen  Unterschiede,  dass  sein  HU' 
(fll)iunkt  in  den  Quadranten   A'CD'  fallen  würde. 

Die  Bestimmung  der  Kreise  der  fraglichen  Sterne  zufolge  iv 
Kt< ni*K  des  Punktes  {I.)  kann  man  aus  Taf.  IV.  Fig.  X  entnebmen 


CebriuiehsteHae  det  peratBCh-arabUehen  Attrclabiutnt.       300 

Eb  sei  wieder  (a)  der  Kreis  fGr  d  ie  beiden  Aequinoctien  oder 
'■den  Aequator.  Nehmen  wir  an,  man  faahe  den  Boijen  des 
Üaridtane  zwischen  dem  Sterne  und  dem  Aequalur  nördlich 
frfunden,  »a  trnge  man  die  beireffenden  Grade  vnn  0  ß^^en  rn, 
Ke  c.  B.  (Ot).  und  ziehe  die  Linie  (nl);  der  Darchschnitf  (j)  mit 
»iD  Meridiane  giebt  einen  Punkt  des  mit  dem  Halbmesser  Ct 
ibzogenen  Kreises,  in  welchem  der  Stern  liegen  muss.  LSge 
■^ach  der  Stern  südlich  vom  Aequator  und  wäre  der  Bogen 
&8  Meridians  üirischen  ihm  und  dem  Aequalor  =  (02),  so  trage 
«n  ihn  von  (0)  gegen  (n),  ziehe  Linie  (n2)  bis  ((),  wonach  der 
Kirchschnillspunltt  t  mit  dem  Meridiane  wieder  einen  Punkt  des 
it  dem  Halbmesser  (CO  gezogenen  Kreises  geben  wird,  in  wel- 
kem der  Stern  liegen  muss. 

Hätte  man  also  zufolge  der  Kenntniss  der  Lifngen  und  Brei- 
tii  der  Sterne  nach  der  Construction  für  die  Punkte  1  und  % 
Ire  Stellen  an  der  durchlöcherten  Scheibe  Taf.  II.  Fig.  II.  fesfge- 
'«llt,  um  bei  der  Verfertigung  der  Scheibe  darauf  die  nöthige 
dcksicht  nehmen  zu  können,  su  wäre  man  nach  dem  über  die 
«r  folgenden  Punkte  Erörterten  im  Stande,  sich  zu  überzeu- 
en ,  ob  allen  den  genannten  Anforderungen  beim  Vorgänge  der 
ixirung  entsprochen  worden  sei. 

d.  Construction  des  Horizontes  für  irgend  einen 
«liebigen  Beobachtangsort  von  gegebener  geogra- 
hischer  Breite,  sanimt  Verzeicb  nungs-Methode  der 
brigen  über  diesem  Horizonte  liegenden  excen tri- 
eben Kreisbögen,  so  wie  man  sie  an  der  Platte  Taf.  III. 
'ig.  ill-  eingravirt  sieht. 

Die  Kreise  fc)  und  (o)  (Taf.lV.Fig.XI.),  nämlich  derWende- 
ireie  des  Steinbockes  und  der  Tag-  und  Nach  tgl  ei  eben  kreis  oder 
Lequator,  werden  nach  der  schon  mehrbekannten  Methode  ver- 
»ichiiet.  Von  m  nach  n  und  von  m'  nach  h'  trage  man  mn^m'n' 
der  die  gengraphische  Breite  des  Beobachtungsortes,  nach  unse- 
er  Annahme  z.  B.  jene  für  T^b^ran  =35"  40';  ziehe  dann  die 
(inie  mnO  oder,  was  dasselbe  ist,  verlängere  die  Sehne  mn  bis 
am  verlängerten  Meridiane  in  dem  Punkte  O  und  verbinde  noch 
I  niit  n',  wonach  man  sich  den  Darchschnittspunkt  (o)  mit  dem 
leridiane  bezeichnet. 

Nun  theile  man  die  Entfernung  Oo  in  dem  Punkte  P  in  zwei 
leictie  Theile,  wodurch  man  (oP)  oder  den  Halbmesser  zu  dem 
logen  HH',  der  den  Horizont  von  Teheran  repräsentirt,  erhal- 
en  wird. 

Die  folgenden  excentriscben  Bügen  bis  zur  Scheitelhöhe  von 


1 


^m 


■  SlO    Krilm:    Bttchrttbatig ,  teltaenichaflttclu  ZtTfUtäenmg  mtd 

80  Grad  verzelclinet  man  g^ns  nach  Beliebeo  oder  «acli  Bedarf 
•Dtneder  ron  Grad  au  Grad  (Hier,  trie  am  Astrolabium,  van  5  z« 
S  Grad.  Ich  bal>«  liier  einen  zweiten  solchen  KTeUlM)g«D  der 
llTüsB«m)  DenlltL-hkeit  wegen  in  der  Entfetnang  von  10  Grad  fx- 
■ogen.  Man  trage  also  von  n  nach  p  die  10"  auT  und  madt 
auch  n'p'  =  My,  ziehe  die  Linien  mpO'  and  mp' ,  theile  niedtr 
die  Dislane  O'o'  im  Punble  P  in  zwei  gleiche  Theile  und  tiik 
endlich  mit  dem  Halbmesser  P'o'  den  Bogen  AA',  der  den  Inder 
Hitbe  von  10  Grad  zum'Horizonle  parallelen  Kreis  v ore lel len  winl. 

e.    Conatruction   der  auf  der    Platte    Taf.  III.  Fig.  111. 
von    10    XU    10    Graden    verzeichneten    30    H  iihenkreice, 
die  durch  den  Scheitel    des   Beobacfalung^orles  bis  it 
de«s«n   Horizont   gezogen    und  mit  den  Ziffern  0,  \,%X\ 
U'S.H.  zu  beiden  Seiten  des  Meridians  bezeichnet  sind.  , 

Indem  nlle  diese  HObenkreise  durch  den  Scheitel  de»  Ro[V 
unlM  gohen  müssen,  so  ziehe  man  Kuersl  in  Taf.  I V.  Fig.XIL 
jene  HQtienkreise  Ol  und  02,  welche  den  Aequalot  (a)  fiOHiU 
in  0>len  als  in  Westen  heriibren  und  zusammen  einen  einz^ 
Bogen  auaroaeben.  Der  Punkt  O  bildet  das  Zenitb.  Man  tragl 
nun  im  Aequator  (a)  vom  Meridiane  a  nach  it,  und  zvtar  f^r  dü 
Ueobaeblungsorl  Teheran  wieder  Z^'>  AÜ'  als  die  geographiieb 
Breite  auf,  und  ziehe  Lini«  61,  so  giebt  der  Durchschnitt  dd 
vorgenannten  Scheiteli>unkt  O.  Sodann  trage  man  ehenfalls  W 
a'  nuch  b'  dieselbe  Breite  auf  und  ziehe  die  Linie  W  hU  nB 
Durchecbnilte  (o).  Wenn  man  nun  die  Distanz  Ot>  im  Punicttt 
In  zwei  gleiche  Theile  thoilt  und  durch  (c)  eine  Parallele  ■ 
liinifl  1  his  3  alcbt,  so  liegen  alle  Mittelpunkte  zu  den  zu  aucto 
d«a  Hühenkreison  in  derselben,  wie  z.B.  der  Mittelpunkt  (<) 
■lUB  flubeiik reise  1 02  u.  s.  vi. 

FHr  die  ilstllehen  und  TFestlicben  Hübenkreise,  von  10  »  H 
Graden  von  der  Mittagtilinie  angefangen,  trage  man  zu  beiden  SA 
len  a'r  =  rr'  u,  a.  w.  auf;  nachdem  man  die  Linien  Cr,  Ot'  0.M 
Ifffiogon  und  sich  die  Durchschnitte  im  HoHxonte,  wie  z.  B. 
Punkt  a',  hemerkl  bat.  braucbt  man  bloss  zum  Bogen  0«'0i 
ma»  flbrigena  nnr  vnn  O  nach  o'  zu  ziehen  nütbig  hat,  den  Mit 
tdipnnkt  In  der  jwnktirten  I^inie  von  c  links  zu  suchen,  wodunl 
ilur  Itflhenkrela  Oo'  und  somit  auf  gleiche  Art  alle  anderen  ti" 
■«lohnet  werden. 


f.     ConalructiöH  und   Anwendungs-ErktSrung  d 
r    Phalli    Taf.  MI.  Fig.  III.    in    der   untere«    Hälft«!;"*' 
■  charfon    und    punktirfen   Bügen,   wie  z.B.  HÜy 
'i"r",  u,  a.  w. 


^^^KstiraucAiteflse  des  ptrtiich-arabtschen  AstrolabUims.         311      ^^^| 

^^VÜn   Ibeile,    vom    westlichen  Uorizntite   angefangen   bis  zmti  ^^11 
AÜcIien,    und  so  nucll  unterhalli  desselben,    eo  wie  man  es  auf 
^«Platte  sehen   bann,    die  Kreise  fr,  n  und  c  in   zw'iir  gleiche 

heile  und  iiehe  dfirch  die  TbeilQiig&|>utikte   die  scharren  Krum-  ^^J 

Em  b'a'c'  u.  e.  w.     Sodaan   theile   man   vtteder  die  Kreise  b,  a  ^^^H 

i^  c  unter  dem  Horizonte,  und  zwar  wieder  vom  nesllicben  Rand»  ^^^| 

l^efangen,    in  Theile   von    15  zu  15    Graden  oder  einer  Stunde  ^^H 

i«)  Eiefae  die  punktitten  Krummen  b"a"c"  u.  h.  w.     Die  ersteren  ^^H 

taeichne  man  am  Kreise  (a)  mit  ],  2  u.  s-  f.  bis  12;    die  letzte-  ^^H 

k^  hingegen  am  äueiserslen  Kreise  (c)  mit  1,2....  bis  14.  ^^H 

Miltetst    dieser   sinnreiche»  £iolh«iluiig    ist    man   im  Stande, 
ie  Stunden  des  Tages  oder  der  Nacht  für  jeden  Augenblick  an- 
klien  zu  künnen,    und  zwar   mit  Benützung  der  scharfen  Bügen, 
cJem  man  ohne  Unterschied  Tag  und  Nacht  zu  12  Stunden  rech- 
et und   die  Ausgleichung  mittelst  einer  kleinen  Proportion,    nie 
K  Anfange  in  einem  ähnlichen  Falle  angedeutet  worden,  vervoll-        ^^^ 
£ndigt;    mit   Benützung    der    punklirten    Bügen    macht  man   die       ^^H 
ehre  Zeit  direkt  ohne   alle  Rechnung  ausfindig.     Bei   Tageszeit       ^^H 
mmt   man    mittelst   der  Alhidade   des   Aslrolnb's  die  Hohe   der       ^^^ 
Bune    für  den  Moment,    für  den  man  die  Zeil  wissen  will;    hat  ' 

'.an  nun  den  Punkt  der  Sonne  für  dieseu  Tag  in  der  Ekliptik 
es  Astrolab's  gefunden,  so  mache  man  mit  einer  Feder  ein  Zei- 
Iseo  an  demjenigen  Punkte  der  Ekliptik,  der  demselben  diametral 
lilgegengeselzt  ist,  und  stelle  diesen  letztern  Punkt  in  Taf.  II. 
^g.  II.  auf  so  viel  Grade  über  den  Horizont  der  unterlegten  Platte 
%r.  III.  Fig.  III.,  als  man  vorher  die  Hübe  der  Sonne  in  Graden 
;«randen  hat.  Tbul  man  nun  einen  Blick  unterhalb  des  Horizon- 
ts an  der  Platte  Taf.  III.  Fig.  III.,  so  wird  man  sofort  entnehmen 
:{lnDen,  welchen  der  scharfen  oder  punktirten  Bügen  der  tvahre 
Stand  der  Sonne  eben  berührt;  man  n-ird  nämlich  an  der  Num- 
ÜBT  dieser  Bügen  erkennen,  wie  viel  Stunden  seit  dem  Aufgange 
ler  Sonne  verflossen  sind.  (Man  hat  zwar  vom  Dutergange  der  ,^^^ 
Jonne  an  gerechnet,  darf  aber  nicht  ausser  Acht  lassen,  dass  ^^H 
liftn  mit  dem  wahren  entgegengesetzten  Sonnenstande  zu  Ihun  hat.)      ^^H 

Bei  Nachtzeit  nimmt  man  die  Hübe  irgend  eines  der  bekane-  ' 

en  am  Astrolabim  Taf.  II.  Fi».  IL  angedeuteten  Sterne  und  stellt 
len  betreffenden  Stern  an  der  durchbrochenen  Scheibe  Taf.  III. 
^ig.  II.  auf  so  viel  Grade,  als  man  eben  als  seine  Hübe  gefunden 
tat,  und  zwar  nach  Umständen  Üstlich  oder  westlich.  Nun  blickt 
nait  abermals  unterhalb  des  Horizouts  auf  die  Platte  Taf.  III. 
Tiß-  III.,  um  EU  sehen,  nelchen  von  «len  scharfen  oder  punklirten 
Sogen  der  nun  unter  den«  Horizonte  befindliche  Stand  der  Sonne 


r 


» 


312    Krzii:    BeBChrelbuag,  visiemchaftUche  Zergliederung  und         J 

för  diesen  Tag  «ben  berührt,  and  erkennt  sogleich  sn  äer  Ziffer , 
die  seit  dem  Untergänge  veretrichenen  Stunden.  : 

Conatruction  und  Benützung  derjenigen  Icrnm- 
■nen  Linien,  welche  aufdemziveileii  Quadranten  laTaCA 
Fig.  I.  verzeichnet  sind. 

Die  schon  im  Anfange  erwähnten  Krumnien  xa  Beobaebm- 
gen  für  die  vier  Stüdte:  Mesched,  Ispaban,  Bagdad  und  Scbini 
(Tous  ist  heul  KU  Tage  eine  grossartige  Ruine  in  der  NSbe  von 
Mescbed),  Merden  folgendermassen  construirt.  Man  nehme  lO 
der  Platte  Taf.  III.  Fig.  III.,  die  za  der  geograp biseben  Breite  ia 
betreffenden  Stadt  gehört,  die  Mittagshöhen  der  Sonne  für  alh 
12  Zeichen  der  Ekliptik.  Indem  man  nun  in  Taf.  II.  Fig.  L  dl* 
Alhidade  nacheinander  auf  die  gefundenen  Höhen  der  Sonne  stcRk 
bemerkt  man  sich  die  DurcFischnittspunkte  derselben  mit  denje- 
nigen der  scharfen  oder  punktirten  Viertelkreise,  die  zu  denMel- 
ben  Zeichen  der  Ekliptik  gehüren,  für  welches  man  die  Hiih*  d* 
Mittagssonne  gefunden  hat,  und  verbindet  sonach  diese  Pldltl 
durch  krumme  Linien. 

Wie  wir  bereits  im  Anfange  gesehen  haben,  wird  man  d»» 
auch  umgekehrt  im  Stande  sein,  die  MiltagshJiben  der  SniH 
für  alle  jene  Städte  zu  jedem  Tage  des  Jahres  mittelst  der  AUi* 
dade  anzugehen. 

Was  jedoch  die  vier  Krnromen  zwischen  x  und  v>  anhi 
sn  haben  dieselben  die  für  die  Mohammedaner  sehr  wichtige  Bi 
Stimmung,  von  jedem  Orte  der  Erde,  wo  man  sich  belinden  mig, 
die  Richtung  gegen  die  Kaaba  zu  Mekka  aufzufinden.  Nebin» 
wir  unter  den  vielen  Städten,  iur  welche  man  sich  solche  inni- 
men  Linien  Vorzeichen  könnte,  z.  B.  eine  Stadt  an  v 
geographischen  Breite  von  40''.  Nun  verwende  man  eine  salcb 
Platte  Taf.  III.  Fig.  III.,  welche  der  Breite  von  40°  enUprilU, 
und  sehe  oben  von  der  Mittagslinie  entweder  westlich  l' 
üstlicfa,  in  welchen  Punkten  der  betreffende  Uübeokreis  I 
Mekka  aus  dem  angegebenen  Orte  der  Beobachtung,  den  ffj 
dekreis  des  Steinbockes  (c),  den  Aeqnator  (a)  und  den  Wni* 
kreis  des  Krebses  (b)  schneidet,  und  zähle  die  Grade  bis 
Horizont.  Stellt  man  nun  die  Alhidade  in  Taf.  II.  Fig.  I.  nd 
nnd  nach  auf  dieselbe  Anzahl  Grade,  die  man  eben  fand,  mfd 
bemerkt  sich  die  Punkte  in  den  betreffenden  scharfen  oder  pO»k- 
lirtcn  Vierlelkrcisen ,  die  zu  den  Zeichen  der  Ekliptik  gehüreiw 
für  die  man  die  Durchschnitte  des  Höheukreises  genommen  b 
«0  braucht  man  nur  alle  diese  Punkte  zu  verbinden,  umetneufl 


■_..„„__  .„1 

K^Krninnien  zwischen  x    niid   w,   wie  *.  B.    jene  zu   40  Grad  I 


jene  ; 

irdticher  Breite,  verzeichnen  zu  können.  Um  diese  Arbeit  mit- 
ilst  eines  speciellen  Beispieles  deutlicher  zu  machen,  nehmen 
it  an,  dass  wir  eine  solche  krumme  Linie  xw  in  dem  zvrei- 
m  Quadranten  Taf.  II.  Fig.  I.  verzeichnen  ^vollen,  durch  welche 
rir  in  den  Stand  gesetzt  irürden,  von  dem  Beobachtungsorte  Teh^- 
in  aus  die  Kichtung  nach  Mekka  an  jedem  Tage  nach  Belieben 
infzufindea. 

Vorerst  wird  man  also  eine  Platte  Taf.  III.  Fig.  III.  haben 
nässen,  welche  der  geographischen  Breite  von  35**  40'  entspricht, 
»d  ferner  muss  man  wissen,  wie  viel  Grade  der  auf  dem  Tehe- 
taaer  Horizonte  senkrechte  Uühenkreis  durch  Mekka  von  dem 
ddlichen  Meridiane  Teh«irans  üatlich  oder  westlich  abweicht, 
bies  Letztere  ßndet  man  nach  der  spbäriscbeD  Trigonometrie  wie 
Ugt,    wobei  Taf.  II.  Fig.  3.  zu  vergleichen :  ^ 

I  T^heran's  Breite     35'' 40' 

Mekka's         „         21"  W 

Uoterscbied    .    .      14«    0' 


i 


T^höran's  LSnge  von  London    SF'iO' 
Mekka'a          ,^         „         „  40°  10' 

Onterfichied ]1*>10'. 


([■  flI"10'):.J"'  =  sin90«:sinf90-(21o40')]. 

dts  sphärische  Dreiecksseile  A  ^  lO**  23'  von  Graden  des 
tors.     Ferner 

'  __^  s'mB sia  14" 

;  '"'*^  "  ~  t^^  "  lang  10"  23' ' 

|Dd  Bomit  Winke!  0  =  37"  8' 27". 

'  Man  wird  also  an  der  Platte  Taf. III.  Fig.  III.  zuerst  vom  sfld- 
lehen  Punkte  des  Meridians,  von  der  Zahl  (50),  drei  HOhenkreise, 
Lh.  Smal  10"  =  30"  gegen  Westen  weiter  gehen  und  dann  noch 
Im  Rest  von  1^  W  77"  hinzuschlagen,  wonach  man  bis  zum  Punkte 
n)  gelangen  wird.  Denkt  man  sich  nun  in  diesem  letzteren  Punkte 
riaea  HChenkreis  und  sucht  die  Punkte,  wo  dieser  die  Kreise 
e),  (a)  und  (ö)  herßhrt,  so  ist  man  im  Stande,  sieb  eine  solche 
Arve  wie  jene  zwischen  x  und  w  nach  der  angegebenen  Methode 
In  construiren.  So  oTt  man  daher  von  Teheran  ans  die  Richtung 
egen  Mekka  angeben  will,  braucht  man  nur  im  zweiten  Qua* 
tantea  Taf.  II.  Fig.  1.  des  Astrolah's  das  Zeichen  der  Ekliptik,  in 
HU  sich  für  den  gegebenen  Tag  die  Sonne  befindet,  in  den 
afeln  M  oder  Ti  aufzusuchen,  und  an  dem  diesem  Zeichen  ent- 


mr 


•predlMHleii  Vi«rteikrfti»e  bis  ut  dem  Durcbscfaütte  mit  der  Krniic 
neu  «feiler  mi  xehen,    auf  den  maii   dann    die  Alhidiile  etnstcIlL 

Itmllich  RtHHff  man   das  lnt>tiuinenl,    «s   frei  und   verlilcal 
Flnipir  liMii|;end  linltond,  mit  seiner  Kante  oder  Schärfe  d«n  Gc 
nli-.htv  Euiieriilen   und    in  dieser  La^e  die  Sonne  beobachten,  Ui 
itir«  ivrHllic;be  Hfihv  [gerade  der  8te4lun[r  der  Alhidade  entspriebt 
4»  (vetcliOT  llic:hlHiif;  Bitdsnii  Metka  gesctioitten  werden 

h.  Methode  Kur  Verzeichnung  der  Icurzea  Llnten 
1,  <1.  .1,  4,  S  und  »  an  der  Alhidade  in  Taf.ll.Fig.I.,  durch 
woUhn,  wie  Anfanga  erkIHrt,  mit  Hülfe  der  beides  Ah- 
■  ahan  p,  p  die  Tageaseiten  angegeben  werden  künnet. 

Et  «den  p,  p  (Taf.V.  Fig.  .\lll.)  die  beiden  Absehen.  Ma 
trage  nun  an  der  Vertikalen  pc  die  lOfache  EntTernung  der  h» 
don  AliKohen  (dnmit  die  Striche  nicht  nahe  aneinander  fallea) 
fahr«  tivn  Vlcrlelkreis  pcd,  den  man  dann  in  sechs  gleiche  TMl 
thellt  und  die  Theilungspa niete  mit  p  verUndet  Die  eich  atK 
Alhldnda  ergebenden  Punkte  1.  2,  3,  4,  5  bis  6  Tübrefl  nt  1h 
hunn  der  frttglichen  Striche  zur  Bestinunung  der  Tagesieilt». 

l.     ErkUranit    der    Universal-Pljilte    Tsf.  V.  Fig.  S 
Uir  chfu  genaenle  Figur  ist   da^  Bild  einef  rinnreich 
liglen  Platte,  «n  der  ^  rerschiedeoe  geograpbwcbe  BreJIw 
nituirl  »ind,  und  »eiche  mithin,  wenn  der 
dlpsef  Bteilee  iileirbtumsit,  «talt  einer  der  «ielea  Pli 
F^.  UI. .    die  man  s«n»l  haben  müsete,    nnler  die 
ScMb*  Taf.  n.  Fl«.  II.  w  Beohadtnec«  gelegt  m 


4m 

•dbM  aft  <Mm  V«*d 

«k. 

«sB 

M 

Rogner:  üeö.  die  Integr.  der  Dlferentiaigleitk.  ^^z^mgi  <*.»*> 


Hiermit  glaaben  wir  Alles  gesagt  va.  haben ,  was  au 
phen  Einsiebt  in  die  Einrichtungy  die  Verfertigung  oi 
PS  genannten  merkwürdigen  InstrumeDts  erforderlich  ssto  iMik 


XIV. 

CJeber  die  Integration  der  Differenzialgleichung 

Von 
Herrn  Professor  Johann  itogner 

in   Graz. 


Die  hier  entwickelte 'Integrations- Methode  ist  keine  vollkom- 
en  allgemeine,  leistet  jedoch  für  gewisse  Formen  von  -^(a)  in 
eit  bequemerer  Welse  ^renuge,  ate  6te  nebenbei  möglichen 
Igemeinen  Verfahrtmgs weisen. 

Wir  suchen  für  unsere  Zwecke  zunächst 
0) ^^ay  +  '^M-ay  +  X=:ui, 

^  =a^  +  — ; 

dx  dx     dx 

8i  -  "««  +  aar»' 


I 


...  ..J 


>   *,  I 


316    Bogner:    Veter  die  Jntegraaon  der  Dt/Teretuta/ftetettan 


Für  alle  Formen  von  ^(^r)  =  X,   ßir  welche  nun 
«) -0-2^  =  24  =  Constans 

ist,   führt  sonach  dieser  Kunstgriff  endlich  anf  die  Gleichuog 

dhtr 


Q^^^aur  +  A. 


dUr 


woraus  sich  ergibt: 

'dx    dur  ,    A     1 

dUr  ^Sur 

und  durch  Integration: 
Hieraus  findet  man  aber  für 


attr' 


a>0;  .x=  — /['iil+2a«r+2Va.V  2c+2^Mr+«Mr»]+C, 
(I) 

^  rk  1  öttr  —  A 

a<0;    a:  =  — -  arcus  sin -7======  +  C, 

UrzsMi  cos  ar  Va  +  iV^  sin  xVa ; 


md  mit  Hilfe  dieser  Werthe  tod  Ur  and  der  Gleichungen  von  0) 
nis  r)  erhält  man  dann  «chlieaslich  als  gesachtes  Integral: 


011)      y=-[t(.)+  £^  -.^>__,.„,]. 

Für  jene  Formen  von  'V^Co;),  für  welche 
ist,    mhrt  unsere  Methode  auf  die  noch  einfachere  Gleichung 
Woraus  man  weiter  erhält: 


,  /durY       a 


jniid  fiSr 

r  ,  1  

?  /ifv  «>0>    J?=r^/[t«rVa  +  \^2c  +  attr«l+C, 

Ur  =  Ä 'e*V«  +  JV'e-*V« ; 


1  /a  ® 

a<0,    5?=—;-  arcussin  tir  V  -  +  C, 


(ß'y 

i  Eis  ist  einleuchtend  9  dass  man  durch  weiteres  zweimaliges  Diffe- 
Masiren  von  a)  auf  die  Form  von  ß)  kommen  wird»  somit  sich  für 
pe  Bedingung  «)  durch  wiederholte  Anwendung  des  angewandten 
lomstgriffes  immer  auf  die  Differenzialgleichung 

\m  Fondl  nach  zurückkommen  lässt 

Auf  Fälle,    welche   unserer  Methode  Raum  zur  Anwendung 
gew&bren,  führen  die  praktisch  wichtigsten  Probleme. 


t  Tli«U  XLV.  22 


318  Rogner:    Zur  TranspersiUenieMrf 


Zur  Tramversalefllehre  vom  sphärischen  Dreiecke 

sphärischen  Vierecke. 

Von 

Herrn  Professor  Johann  Rogner 

in  Graz, 


1)  Es  bezeichne  nach  Eni  er 's  Weise  ABC  (Taf.V.F 
ein  sphärisches  Dreieck  mit  den  Winkeln  A,  B,  C  und  dei 
ten,  respective  Gegenseiten  a,  b,  e.  Von  der  Ecke  €  si 
bis  zur  Seite  c  eine  TransTersale  CC'^=y  gezogen ,  welche 
die  bezüglich  an  A  und  B  Hegenden  Segmente  a  und  ß  tbe 

Fällt  mai^un  als  Hilfslinie  CDJiAB  und  sei  CD 
CD  =  :^  genannt  9  so  ergibt  sich  nach  bekannten  Sälzeo  fibe 
Auflösung  des  rechtwinkeligen  sphärischen  Dreieckes: 

cosa=  cos9.cos(j3  — a;),     cosy  =  cos^.cos^, 

esB^  s=  cosy.  cos  (a  +  z); 

mitbin :  % 

cosa 

cos^  ^  *^^  +  ®"  /S-^gJP» 

cos  6 

— —  =  cosa  — sino.tgo?; 
cos  y  °    ' 

und  hieraus  durch  Gleichstellung  der  Werihe  i^on  tgo;  ond^ 
nähme  einiger  Reductionen: 

cosasincie  -^coBbsinß  =  eos/.6in(a-f /?)> 
cosasino -|-cos6sin/3  =  cos/.sino>  \  .  •( 

cosasina -f  oosAsinj}— -cosy.sinc  =  0 


vom  tphdritehen  Prtieekt  und  npMrftcAen  Vterecke.        319 

»  eine  eh«osa  interessante   als   merLwflriÜRe  lielation.    welcbe 
■  Lehrsats  in  Worte  gebracht  laaten  tvilrd« : 

Die  TOD  einer  Ecke  eines  äphäriacben  Ureiecbet) 
abgehende  Traosversale  theilt  die  tiegenäeite  so  in 
«gmenle,  dass  die  Summe  der  Prnilucte  aus  den  Co- 
Inas  der  jener  Ecke  antiefcenden  Seiten  in  die  Sinua 
Kr  diesen  gegenüber  liegenden  Segmente  der  dritten 
«ite  gleich  ist  dere  Producle  aus  dem  Cosinus  der 
ransversale  in  den  Sinus  der  ^etheilten  Seite. 

Als  wichtigste  specielle  Falle  dieses  Satzes  ergeben  sich 
Bcbstehende,  zum  Theile  wohl  schon  lange  auf  anderem  Wege 
efondene  Wahrheiten. 


2)     Ist    v=|3,    so   tvird 

Gosa-I'  cusfr  ^äcoey.coa  je,  . 
B  den  Lehrsatz  enthält; 


.(II) 


Verbindet  man  in  einem  sphärischen  Dreiecke  eine 
cke  mit  dem  Halbirungspaalcte  der  Gegenseite,  so 
3t  die  Summe  der  Cosinus  der  jener  Ecke  anliejten- 
CD  Seilen  gleich  dem  doppelten  Producle  aus  dem 
oeinus  der  Verbindungslinie  in  den  Cosinus  der  hal- 
flo  dritten  Seite. 


(III) 


3)  Ist    a~ß=y.    so  ist: 

cosa  ■l'Cos&=2G«s'i<;,  1 

•dnrch  der  Lehrsatz  ausgesprochen  ist: 

Ist  die  Verbindungslinie  einer  Ecke  eines  spbäri- 
hen  Dreieckes  mit  dem  Halbirungspunkte  der  Ge- 
•  nseite  gleich  deren  Hälfte,  so  ist  die  Summe  de.r 
»sinus  der  jener  Ecke  anliegenden  Seiten  gleich  dem 
ppellen  Quadrate  des  Cosinus  der  halben  dritten 
ite,  und  die  Summe  der  Anninkel  dieser  Seite  ist 
eich  den)  dritten  Winkel. 

4)  Ist   u  —  b,    so  ergibt  sieb: 

cos  a .  {ain  a  +  sin  ß)  =  cos  y .  sin  c,  . 
:>Tin  der  Lehrsatz  enthalten  ist: 


.  tlV) 


3 


Zur  Transtiertalenlehre  \ 


{.3. 

9)  Mit  Hilfe  des  Sntzes  (I)  ISsst  «ich  nun  auch  ein  Gesett 
der  gegenseitigen  Abhängigkeit  der  Seiten  und  Dia- 
gonalen eines  sphäriscben  Viereckes  in  folgender  WöH 
finden. 

Im    spbSriscben    Viereclie    AßCD  (Taf.  V.  Fig.  9.),    di 
Diagonalen    AC—6  unil    BD^i'    in    O  stcti    schneiden  soUeii, 
seien  AB=a,   BC=b.    CD  =  c,  DÄ  =  d;    ferner  sei  AO 
ßO  =  t.    Man  erhält  darnach  mittelst  des  eben  angeführten  SrUu 


(Sil) 

cosa8in{ä — y)  -f  cosAsinjf  —  cosisind  eft 

coe  dsin  (ä — y)  +  cos  csin^  —  cos  (3'  —  i)  siad  =0, 

cosasin(d'— z)-|-cos(!sini — cos^sind'  =ft 

CVS  6  sin  (J' — i}-f  coscsinx — cos  (5  —  ^)8ind'=0> 


aus  ^ACB 
„  ^ACD 
„  A  BDA 
,.    ^BDC 

Entivickelt  man  in  diesen  Relationen  die  angezeigten  Sinui 
Cosinna  der  Differenzen  nnd   ordnet   die    erhaltenen  GleicbaogQ 
nach  den  vorkommenden  Functionen  von  tf  und  t,  so  ergibt  ückl 

Acosy  +Bsiay  +  Ccosz  =0,         (XIII) 

D  cos  t/  -f  £sin  n  +  Fcoa  i  -|-  Csioi  =  0,         (XIV) 

Hcosy  +  /fcosz  -f  X  sini  =  0,  (SS) 

•Mcosy+Gainy  |- Acos*  +  Psini  =  0;  (XVI) 

wobei  stattfindet: 

^  =  cos  a  sind,  E=co8c— cösdcoed,    L^cosd—cosoiMi 

fi^cosA— Gosacosj,      F=z — coaä'sind,  J^=~8m6'cosS, 

Ci=:-«inÄ,  G=— BinäBinÖ',         A=cDB6sina', 

D=et>Bd8m  ö,  B=~Bin5',  P  =cosc— cosÖconl 

jie=cosa8ina'. 

Eliminirt  man  nun  aln^  zuerst  aus  (XIII)  nnd  (XIV),    dama 
(XIII)  und  (XVI),  nnd  verbindet  damit  (XV),  so  erbSlt  maat 

Qcosy  +  Äcosi  +  «sin«  =  0,  (XVIl) 

rco8y+f;cosi+  Fsini  =  0.  (XVIU) 

Uciisi,  +  Äcoa  I  +  t  sin  I  =  0:  (XIX) 


pom  iphärischen  Dreiecke  und  sphärischen  Vierecke.        321 

7)    Ist  j^ACC'  —  j^C'CB  und   a  =  6,  so  wird  erhalten: 

a  =  /J,    CC'±AB; (IX) 

i  den  Lehrsatz  ausspricht: 

Halbirt  man  den  Winkel  an  der  Spitse  eines  gleich- 
len  kell  gen  sphärischen  Dreieckes,  so  halbirt  die  Ual- 
ungslioie  auch  die  Basis  und  steht  senkrecht    auf 
ser. 

Obige  Gleichung  (VIII)  liefert  auch : 

sin a sin a  =:  sin 6 sin/?» 

man  erhält  mit  Hilfe  dieser  Relation  und  wenn  man  in  (I) 
wechselnd  mit  sina  und  mit  sin  6  beiderseits  multipliclrt: 

cos a sin « sin a -f  cos 6 sin /3 sin a  =:  cosysincsina» 
cosasin6sin/3-f  cos6sin/3sina=:cos76incsina ; 

hieraus  und  analog: 


sin  (a  +  b)  sin  ß  =  cosysm  c  sin  a » 
sin  (a  -f  b)  sin  a  =.  cos  y  sin  c  sin  6. 


j     .  .  .(X) 


\  diesen  Relationen  folgt  durch  DiTisIon  der  einen  durch  die 
ere  wieder  jene  in  (VIll). 


J.  2. 

8)    Geht  die  Transversale  nicht  durch  eine  Ecke»   sondern 

neidet  sie  zwei  Seiten  (Taf.  V.  Fig.  8.)»  etwa  AB  in  C  und 

in  Dy   wobei    ausser   der   früheren    Bezeichnung    CD  =:  d, 

^  =  ^9     DC  ^=  p   und   die    HilfsÜDie    CC    gezogen   sei»   so 

bt  sich 

aus  Dreieck  ABC:    cos  a  sin  a -f  cos  6  sin  J?=:  cos /sine» 
»»  .       »,        BC'Ci  cos j3 sin p -f  oosy sin ^  =  cos d sina; 

aus  durch  Gleichstellung  der  Werthe  von  cosy  endlich  erhal- 
wird : 

(XI) 

(cos  a  sin  a  -f  cos  b  sin  ß)  sin  q  =  (cos  ^  sin  a  -^  cos  ß  sin/?)  sin  c. 


I 


322  Rogner:   Zur  Transvenaleniekre 

§.3. 

9)    Mit  Hiire  des  Satzes  (I)  ISsst  sieh  nun  aach  ein  Ge 
der    gegenseitigen  Abhängigkeit  der   Seiten  un' 
gonaien  eines  sphärischen  Viereckes  in  folgCD* 
flnden. 

Im    sphärischen    Vierecke    ABCD  (Taf.  V.  r 
Diagonalen   AC=-S  und    ßD=zd'  in    O  sich 
seien  AB=za,  ÄC=6.   CD  =  c,  DA=:d; 
ßO  =  I.    Man  erhält  darnach  mittelst  des  ehe 

(XII) 
aus  ^ACB:    cosasin(J-^^)-|-cos6sin^ — cosxsind 
„    ^  ACD:    GOS€lsin(d — ^)-f  coscsin^ — cos(8'  —  t)sin6 
„    ^  BDAi    Gosasin(d'--z)-|-cosdsin2 — cos^sini' 
«    ^  BDCi   cos6sin(J' — 2)-fcoscsiDz — cos(d— ^)siDd 

Entwickelt  man  in  diesen  Relationen  die  angezeigten  Sini 
(3osinus  der  Differenzen  und  ordnet  die  erhaltenen  Gleicii 
nach  den  vorkommenden  Functionen  von  y  und  z,  so  ergib 

Acony -i- Bainy  +  Ccosz                =0,  ß 

Dcoay  -f  £sin^  +  Fco8z  +  Gsmz  =  0,  (i 

iicoay                 +Kcoaz  +  L8\nz  =  0»  C 

•  Mcoay-i-  Gainy  j-iVcosz-f  Psinz  =  0;  (3 

wobei  stattfindet: 

.-1  =  cos ci sind,  £=:co8c>-coscfco6dy  L=coad—co8{ 

ii:^coaö—cuaacoad,      F=  —  cos  d' sind»  ilf=  — sind'co 

V^    -sind»  C= — sin^sind^  2V  =  G08Asind' 

Ü — coüUiAiiÖ,  A=— sind'y  P==cosc — cos 

JfT  =:  cos  a  sind', 

/bnäbul  man  nun  sin^  zuerst  aus  (XIII)  und  (XIV),    da 
\UU  und  (XVI),  und  verbindet  damit  (XV),  so  erhält  m 

Qcosy-f  ^cosz-|- '^sinz  =  0^  (2 

'/'cosy+  (7cosz+  Fsin2  =  0,  (X 

iJcoay  f  ITcosz  *f  I^  sinz  =  0;  (] 


vom  spAäriMcke^  l^'<^^>wieMe4tteiCoe/fi%.ein.aiff,GMch.eec.3^ 
bei 

Q  —  AE—BD,    h 
T  =  AG-BM, 

.     Eliminirt   man  ferne*- 
an  aus  (XVIII)  und  (> 

(ffR^KQ) 

\8  diesem  Systeme  (XA,  KoeflBzienten 

{>^>\.  en  müssen, 

[(HS^LQ)  (Hü^KT)  ~  (HV^LI)  (,\  maginärer 

,  nun  diese  Gleichung  fQr  alle  Werthe  von   z  <>x 
]  überdies  hier  noch  0<z<180^  ist»  so  folgt: 

Iche  Gleichung  durch  Verrichtung  der  angezeigten  Operat)';.^ 
1  durch  kleioe  Reductionen  ■■  der  gewüMchten  Abbängigk^iv«^ 
lation  fuhrt: 

Ä(ÄÜ-ÄJ)+  Q(Kr—LÜ)  =  RiHV'-LT),     (XXUj 

[che    durch    Substitution    der    früher  bemerkten    Werthe    von 
ßy   U  u.  8.  w.   and    mittelst   einiger   Abkürzungen   folgendes 
setz  über  den  Zusammenhang  der  Seiten  und  Dia* 
nalen  eines  sphärischen  Viereckes  liefert:* 

(XXm) 

'd' (cos  fr  — cos  a  cos  d)  [cos  a  (cos  a— cos  6  cos  d) 

-f- cos  6  (cos  6 — cos  d  cos  d) — sin  *d] 

cos  a  cos  c — cos  b  cos  d)  [(cos  a  cos  c  ~  cos  6  cos  d)  (cos6  ~  cosa  cosd) 

+  (cos  d  —  cos  a  cos  d')  sin*6] 

[(cos  b  — '  cos  a  cos  8)  cos  ö'  4  cos  d  cos  d  —  cos  c] 
<  [(cos  6 — cos  a  cos  d)  (cos  c — cos  6  cos  8') 

+  (cos  a — cos  b  cos  d)  (cos  d — cos  a  cos  d')]- 

10)    Setzt  man  in  vorhergehender  Gleichung  (XXIII)  die  Sei- 
a  =  6  =  c=:d9  80  folgt: 


I 


Zur  Transcenälenle^ft'v.  iphäriach.  j 

(XXIV) 

8in«d'coBa(l— cosÄ)  [icos'oCl— coaJ)— 8ii»»d] 

=  [cosJ'ca8a(l— cosd)  — Gos(i(l~-co5d)].2cos*a(l— co86)(l-cosf), 

siD  *i'  [2  cos*o(l-cosfl)  -  (I  ~co8»ä)]  =  -  2coa»a.(l-cosa)(l-coiy?, 

'!coH2a[8in«ö'  +  {l  — cos3')']=:8ra='d'(l  +  cosÄ). 

2cos»a(2— 2co83')  =  CI  — co8»d')(l  +  <:<«^. 

Ic08'a^{l  +  C05i')(l  -|-C08^, 

1  cos'a  ^  2cos  "t^' .  2  cos  "j^  > 
cos  a  =  cos  jd.  cos  ^5'. 
mge  Annabm«  findet  man  aber  auch  leicht  aus  (S.R), 
AO  =  OC, 
BO=  OD 

so  wie  aus  den  Wahrheiten  des  gleichschenkeügen  sphSriuhs 
Dreieckes: 

^BAß=^BCD;\ ^^^^ 

nelch  letztere  drei  Beziehungen  den  Satz  aussprechen: 
seiligi 


.(XS?) 


Im  gieicli 
Oiagooaleo  auf  eina 
ihrem  Durchschnitts 
einander  gleich. 


ephHriacfien  Vierecke  stehen dU 
ider  senlirecht,  balbiren  sich  !• 
lunkte  und  sind  die  Gegenwinktl 


Zu  diesen  bisher  vom  ephärischco  Dreiecke  und  sphäriscbp 
Vierecke  abgeleiteten  Sätzen  bestehen  bekatintücb  analoge,  ntn 
auch  beziehungsiTcise  nicht  so  einfache  Helalioncn  Tür  das  ebW 
Dreieck  und  ebene  Viereck;  aber  alle  hierher  gehürigen  allgfr 
meinen  Wahrheiten  eamnit  ihier  reicben  Fülle  von  «peciellea  Fol 
gerungen  lassen  eich  zosarnrnenfaseen  als: 


Relationen    zwieichen    den    sechs    Distan 


von   rlM 


Punkten  einer  Ebene  und  < 


:  KugeiriScbo.     - 


Mramm :  Geö.  d,  Grewswerthe,  welche  die  Koefßz.  ein*  eUg,  Gleick^eu.  325 


Jeber  die  Grenz werthe,  welche  die  Koeffizienten 
iner  algebraischen  Gleichung  überschreiten  müssen, 
4iniit  die  letztere  eine  bestimmte  Anzahl  imaginärer 

Wurzeln  enthalte. 

Von 

Herrn  Heinrich  Schramm^ 

Lehrer  der  Mathematik  an  der  Landes -Oberrealachole  %n  Wien  er  > 

Neustadt   in  Nieder  -  Oesterreich. 


Der  Sturm' sehe  Satz  mit  allen  sich  daran  reihenden  inter- 
ssanten  Untersuchungen  der  Neuzeit  gibt  uns  ein  Mittel  an  die 
Tand,  aus  den  Vorzeichen  gewisser  Funktionen  auf  die  Anzahl 
BT  reellen  und  imaginären  Wurzeln  einer  gegebenen  Gleichung 
I   schliessen.  * 

Durch  denselben  bleibt  aber  die  Frage  noch  ungelöst:  wel- 
len Einfluss  hat  jeder  einzelne  Gleichungskoeffizient  auf  die  besagte 
ahl  der  Wurzeln,  und  welchen  Grenzwerth  muss  er  überschreiten, 
m  in  dem  Gleichungspolynome  ein  imaginäres  Wurzelpaar  zu 
^dingen? 

Diese  Frage»  welche  auf  eine  Diskussion  der  algebraischen 
Gleichungen  aus  ihren  Koeffizienten  hinausgeht,  ist  unseres  Wis- 
^ns  bisher  nur  für  Gleichungen  Tom  2ten  und  3ten  Grade  beant- 
v^ortet*),  und  es  soll  der  Gegenstand  dieser  Abhandlung  zeigen, 
ftof  welche  Weise  dieselbe  allgemein  für  ein  Polynom  von  belie- 
bigem Grade  gelöst  werden  könne. 
—  • 

*)  Bezüglich  des  Tor  Kurzem  erschienenen  Aufsatzes  von  J.J.  Syl- 
vester über  die  Bestioiniung  des  Charakters  der  Wurzeln  einer  Glei- 
ehong  5ten  Grades  durch  deren  Invarianten  sehe  man  am  Schlosse  d.  A. 


A«  Slorra'scben  Reste  fSt  eine  I 


_^^twMtti  h  anderer   Porni   iuteh  die  Wutzf^ 

V.  opd  qiiter  von  C.  W.  ßorcbardt  und  Gajr- 

9  den  PotenzensunnDCD  der  W und» 

I  im   Etgefitiissen    dieser    interessanten  Cfilev 

■  Ker  BBr  folgende  Resultate  benutzt  werden, 

tf  neb  bei   der  UnterEuchnng  einer  gegebentD 

li^fitb  ■>">  die  Anzahl   der  darin  entbattenen  re«UeB 

t  Hsnelo.    so  Itann  man  die  Sturm'scben  Funk- 

ig  koelfizienten    ihrer    hiicbsten   Potenieo  'm^ 

t  letsteren  vnu    Borchardt   (Liouville'j 

»der  Foim  aurgestellt  wurden: 


t  rayley(Lieuville'a  Journal  T.  XIII.;  Flt^ 
k.ti«flm.),   »ie   man  in   diese   Determinanten 
I  üe  Kocrtizientcn   der  gegebenen   Gleichung  ei 
Mi  aie  bekanntlich  die  Form  annehmen ; 


-l)a,.  («-2)«,,  (B-3)a, 

M  dl«  Glieder  dieser  Reihe  mit 

Po.    Pi-    Pt.    Ps pr+l,....pK (1) 

,  «u  hat  dos  allgemeine  Glied  pr-fi  die  Form: 


Sbertehreil,  mäst ,  ttamU  dfe  UHttre  eine  iettfmmu  Atitakt  etc.  SS7 

Dem  Stuttn'scben  SaUe  gftmtias  bestimmt  di«  AitKabl  dei 
^dchentrecbsel  in  den  Gliedern  dieser  Reihe  (1)  die  Zahl  det 
aaginäreo  Wurzelpaare  im  gegebenen  Gleichungspolynom.  Um 
Uoch  aus  dieser  Reibe  die  iur  Lüsung  der  vorliegenden  An^ 
Kl»  Dütbigen  Bedingungsgleicliuiigen  zu  erhalten,  sieben  mr  es 
Uf,  ihr  die  folgeode  Form  zu  geben : 


f 


Po'    Pi'     Pa'""    P«  Pn-l 


■(3) 


1 

■J. 

weil  diese  Reibe  eben  so  viele  negative  Glieder  haben  wird,  ^^^ 
im  die  frühere  (I)   Zeichenivechsel  enthielt,    so  kann  man   auch 

l^en:    Die  Gleichung /'(jr)=0  tvird  eben  so  viele  Paare  .^ 

AaginSrer  Wurzeln  enthalten,   wie  viele  Glieder  det  ^^^ 

lleihe  (3)  negativ  sind,    das  heisst,   wie  viele  der  Q«o-  ^^^M 

fcenten   — —    der   Ungleichung  genügen:  ^^^| 

f  "■  .       I 

■  «  werden  also  die  Gleicbnngeu  ^,^1  =  0  oder  pr^O....,  wenn  .  ^^^^ 
»an  sie  nach  irgend  einem  Gleichun^sboenizienten  aufliist,  so-  ^^^| 
leich  die  Grenzwerthe  des  letzteren  liefern,  für  welche  der  ge-  ^^H 
Bnnte  Quotient  sein  Zeichen  wechselt.  Wir  bähen  also  zunächst 
n  ermitteln,  imviefern  sich  diese  Gleichungen  auflösen  lassen 
bd  in  welchem  Sinne  die  GleicbungskoefTizienten  die  so  gefun- 
Bnen  Grenzwerthe  Gberschrelten  müssen,   um  die  (juotienten 


Dsltiv  oder  negativ  zu  machen. 

Die  Lüsung  des  ersten  Theiles  dieser  Trage  ergibt  sich  dnreh 
ttbere  Betrachtung  der  Determinanten  pr  und  /ir-ft  von  selbst. 
'B  enthält  nemlich 

fr   alle  GleicbuDgskoeflUienten  von  a^  bis  air-a  incl. 
I       and  pr^  „  „  u     Qf,    „    Ott        „ 


Betrachtet  man  ferner  jene  zwei  Koeffizienten,  welche  in  pr 
icbt  vorkommen,  so  wird  man  finden,  dass  (a.  Gl.  0!})  die  De- 
erminanten 


^ind.    Hui  bu  daher  die  Glekfc^iig  pFfi=0  (für  ir'S.n)  lA 

(Ssen,  und  «HiXIt  dann«  CHtweder  die  linearen  Wunelo,  die  vii 

x^oit  (pttia,  oder  die  timadratiscbea  Wurzpto,    die  nir  mit  (oir-ijo 

«aod   (osr— 1)0'  beieichi»ea   wellen.      Die^e  Wurzeln   sind  luglrick 

3ie  Grenzwerfbe  der  gldckbeteidbaeten   Koefßzientea   atr  sfo 


,  Tür  welcke  die  QnaüeBtoa   ^^   ifir 


icheo  (recbselo. 


2.  Da  diese  Awfläiwfciiw  Mit  keinen  Scbwierigkeitea  tct- 
bonden  sind,  so  «oOem  wir  «»glNch  zum  anderen  Theile  dir 
Aufgabe  übei^ehen  imd  aBtersachen,  in  welchem  Sinn«  i«m 
Grenzwerlfae  überschrillen   irerden  mtlssen.   um    die  QactieoUt 

P' 


negativ  Bo  machen- 
Za  diesem  Ende  gebe  nan  der  Determinante  pr+i  die  Fh*: 


0   nof, 
0     Ol 


Soj.    .    .    {2r-l)a!iir-l 


I 


indem  man  das  nfache  der  ersten  Horizontal  reihe  von  der  fK: 
letzten  abzieht  und  — 1  heraushebt.  —  LKst  mau  hierauf  dieselta 
in  die  äumme  zweier  Determinanten  auf,  wovon  eine  den  Kntf 
bienten  atr  als  Faktor  enthält,  eo  ergibt  sich: 


W- 


-  Pr+i  = 


0     «0 


noo  {»-l)a,...(ri-2r+3)a=,_, 
fl,  2a,....(2r— 2)aar-al 


I  0  tiflo  («-l)ff,...C»-2r+2)< 

fl,          2(1,  .. .  (2r— 1 
I  a,   2aa         3n, 0 


Die  erat«  Determinante   ist  aber  p,,    und    wenn    1 
kurzweg  mit  qr+i  bezeichnet,  so  erhSU  man  : 


äierse/trell-  mäss. ,  damit  die  letitere  eine  öeitimmtt  Amahl  etc.  329 

Pr+l  =  —  2r .  flo  aurpT  —  ^r+l , 

und  bieraus   für  pr-i-i^O  den  Greazwertb 

(«»,)„=- 5^T±_ ^s^ 

erth  um  eine  beliebige  Grösse  a  nach- 


Läast  man  diesen  Ureni 
im  nnd  setzt; 


aiT  =  (02r)n  +  « 


^^  — 


kpr+i  =  -  Sroopr«  ■—  2rp,  «o  (aar)o  —  A'+i  ■ 
regen  der  tileicfaniig  (5)  auch 
„   J 


lUD  «0  als  positiv  voraus,  so  sagt  ddb  diese  For- 
IFdass   in    der  Zeicbenreihe    (3)  jeder  Quotient  das 
atgegengesetste  Zeichen  des  Zuivaciises  o  habe;   da- 
!>eT  wird  jeder  der  geraden  Kneffizi-enten 


=  -  arg«. 


der  gegebenen  Gleichung  /'(jr)=0  dann  ein  imaginS- 
IS  Warzelpaar  bedingen,  sobald  er  die  eben  ermit- 
alte  Grenze 

pOBitivem  Sinne  überschreitet,   d.h.  sobald  osr^Coir^ 

bL 

3.  Um  auf  eine  ähnliche  Art  aoch  die  Grenzwerthe  der  un- 
iden  Gleichungskoeffizienten  aar-t  zu  erhalten,  denke  man  sich 
BediaguDgagleichungeD 

pr+l  =  0 

den  quadratischen  Warze  In  des  geoannten  KoerGzienten 
jelust,  nelche  wir  mit  (azr~i)Q  und  (air— i)o'  bezeichnen  nnd 
>ei  beide  reell  und   (aii-\)a  ">  {o^r-iia    voraussetzen  wollen. 

Zeichen  von  pr\\  wlril  sich  liir 


w 


mmmz  tim\mif»^ii^mii^nS^^^Sß 


^  f«k^-l)^  in  dcTSclbcD  FunlttlDn 
I  Kacttnestea    auB    det  Deternl- 
^.  ••  wM*  ■■•  «ac^  oHgca  TransroTroalionen: 


iat  aber  nichts  anderes  ds  pr-ii  i 
[Den   Glieder  (oii— i)'  nicht  B 


^+«»— Vi*— l)*(a»-0''pr-»  +  .... 


ergibt:  Es  hat  das  Glied  p,^  IH 
«i«««  klar*t«b«K4  $r««seu  Werth  des  (angeraden)  Kotf 
ft«i«at«»  ^(.^  4*s«mtgegcngeBe(zte  Zeichen  von  jeatrt 
4»»  aw«it-««tk*rg«h«»deD  Gliedes  pr-i  in  derselb«aj 
Z«ich*ar*ih«  (V. 

Ebcas*  ksM  «■•  iBCk  behagpten:     Es  ist  notet  i 

•  nm  — —  entgogengeaebtt  jenem»««  "^J 


äbenehretl.  müss.,  damit  dlf  letztere  eine  be^mmte  »iitahl  tu.  331 

Die  FanktioD  pr^i  wechselt  aber  bei  ihr«in  Durchgänge  durch 
te  NaII  das  Zeichen,  und  da  irir  die  reellea  WurEebi  von  ;ir^i=0 
lit  (ntr—i)Q  und  (oar-i)o'  bezeichneten,    so  ist  auch: 

für   aBr_»>{(Iar-l)o     J  Pr     >  „         Pr^■\<n 

oder  aar -1  <  (ojr-i)o'  ' 
lid  ebenso: 

fr. 


Pt-i  < 


1^>^ 


auch   €i*>0. 


fr  (■,-.)o>«»f-i>(Mr-i)o'.    wenn    ^,^0 

£■  entspricht  also  jedem  ungeraden  GleicbungskoefGiienten,  ivet- 
eber  den  Ungleichungen 

oder    nsr-i  <  {atr-i)o' 

BKflgt,  ein  iraaginSres  Wurzelpaar  in  der  Gleichting  /|[x)=0. 

!  Sind  aber  die  Grenznerthe  (asr—iX)  *"^^  (a2r-0o'  selbst  imS' 
|hSi,  so  Sndet  dasselbe  für  jeden  Wertb  des  Koeffizienten  atr—i 

r 

I  .  Qese  Reanltate  lassen  eich  demnach  in  den  folgenden  Sats 
ifeehiigeD: 

'     Sind  in  der  algebraischen  Gleichung  »ten  Grades 

)  f{x)  =  Q^X«  +  On-ix"-^  + ....  +  o„  =  0 

Br  jeden  Koeffizienten  jene  Grenzen  anzngebeD,  von 
'«leben  an  er  mit  Bestimmtheit  ein  Paar  imaginSre 
Vnrzeln  in  derselben  hervorbriagt,  so  liefern  die  linea» 
•n  WoFzelu: 

I  (".)».    («*)o (<*) (J) 

4d  ebenso  die  quadratischen: 

(a»)o  »        ("tt)!»  1         (a«r-i)o ; 

("«V''     {fl»V ''■■■■  («r^Oo* 
eiche  den  Bedingungsgleichungen 


=  0,....p,+i=0. 


iD,  idifl  verlangten  tirenawertbe.   und  es  bat  die 


r/i«=* 


I 
I 


CacfTuiei 
UctBCT    all  tu  I 
«  CKCKSBcrth  in  1^)1 


•«»l«)«>»k^aSx«  Wwv«l«.  wi«  viele  *•■  den  lelitetu| 

AmK  fat  «t  a^ 

tew   Jfefi*  I   TTii  t  tlmm  T  ITfi     I         hskn 

Jcr  4»  7rfifci«nai  (3).  fc  ««kte  »>■  «da  '. 
m  Mfcra4«>Ht: 


J  engere  Grenze*  tSr  die  Gletckaii^boerBzl«DH 
»i  Ja  «ie  aber  ton  bvbeiem  &ts  Tom  ^en  Grade  sind,  ec 
'Vfr  AeMibeD  nicbt  näher  betracfatea.    Darcb  Umkebnmg  di 

GleicbtiDg  f{x)  =  0,    indem  man  darin  - 
am)  ibr  die  Form  f;lbt: 

fl,»- +  ff._iz*-i+ ....  +  «0  =  0, 

bann    man   lür   dieselben   KoetSzienten   eine    zweite   Reihe  i 
Ufünswerthnn  ochullen,  tvelcbe  durch  die  ihnen  in  /'(.z)=0  n 
fnlffenden  (ilnicliun|:;tikoerQzienten  (der  nächst  niederen  PoIetM 
von«)  nuvgodrückl  oracbeinen.  Lust  man nemlich  die  GleicbuDgff 


'\- 


•I«.        (M— 1)0.-1     («— 2)a._« 
-1)0.-1    (»— S)«»-.    («— 3)o.-j 


-  Il 


aeguiiateri  transeanL  345 

Sequitnr,  ot  sit 

-T^2       a«  (r  4- V3)«  (!  +  <«)      -^2  _  a«  (e-V3)»(l  +  <^^) 

Jaodsi  Rhombus  oriri  poterit,  necesse  est,  sit  ABz=:AD  atque  ideo 

(f  +  V3)«  (1  +  <*)  =  («  -  V3)2  (1  +  <'«) , 
lüde  comperitur  9   esse 


1-<V3* 

Positis  t:=tg(p,  t'  =  tgil>,   superficie  Rhombi    =  F,    habe- 
imos  igitur 

'—'*    Sin(g)— if»)  ""    SinCg)-"!!/) ^'''' 

E  relatiooibns  inter  ;{  et  f  nuper  inventis  apparet  esse 

ip  zzz  n — <p    aut    'ijj  zzz  <p  —  ^7t , 

]nidein  9)>i|^  ponitur,  ut  F  semper  fiat  positiva.  Itaque  duo 
odeant  valores  superfieiei  F,  qui  indieibus  distioguantur, 

^*'"""         Sin2g)        '     ^*'-  Sbi;^        •       -W 

Differentiando  iovenitur  derivata 

dTi  _  _  o«{Sin(2y-~gyr)Sin2y-2Sin«(y~i7g)Cos2y| 
dq)  Siii*29 

d,'  transformatioDibus  quibusdam  factis, 

dYi_      2a«Sin  (y  +  jyc)  Sin  (y  ~  jtt) 
dg>  ""  Sin  22g) 

I 

Eie  derivata  =0  posita  suppeditat   y  =  f7E,   i/;r=:i7r,  e  quibus 
tantum  valor  sumendus  est,  quia  y  >  if;  posuimus.    Repetita 
(BreDtiatione,   quum  tantum  termini  non  evanescentes  scribun- 
hr,  invenituT 

d^Yi  2a^ 

d(p^  Sin2y* 

j^Boniam  est  y=:|7c,  patot  esse  Sin2y<0  atque  ideo  super- 
Mem  Ti(ABi'Ci'Di')  mininium  =io«V3  vel  altero  tanto  majo- 
)fm  quam  triängulam  datüm. 


w;  breiCt'rerihe,  vetcoi  Mf  Koff^i.  ™i 


theile  flerselben  sind  Ihoils  lheorelii«clier,  theils  prak- 
tischer  Art.  Her  Sturm'üche  Salz  gilit  iiiik  die  AruaLI  und  die 
Grenzen  der  reellen  Worneln  eines  gegebenen  Gleich Nngspolynon« 
währt  jeiloL-h,  in  seiner  üewiihFiliehen  rnrni,  keinen  Ein- 
inneren  Zunammenhaii^  xirischcn  den  KoefG:cienteii 
un<l  den  Wurxeln  der  GleicHung.  Diesen  Zusammenhang  insondl 
es  miiglich  ist  zu  untersuchen,  war  der  Zweck  dieser  Zeilen. 

So  (Ifirrtn  es  z.  B,    fiir  die  Theorie  der  hüberen   GleichDa|m 
nicht  uninteressant  sein 


Die  V 
tisch  er  Ar 
Grenzen  d< 
an:  er  ge 
h\Kk  in  d 
und  den  V 


seilen,  da^s  jede  der  Bedinguugeo 


.(« 


2n«« 


(10) 


rSr  sich  schnn  binreicitt 
ein  Paar  imaninärer  Wui 
ten  mrigen  wi 
statt,  wenn 


I    einer  Glei 

I  bedingen, 

r  rar  Wertheerhalten. 


:hung  nlen  Gtadeije 

lie  übrigen  Koeffiiin- 

Dassetbe  findet  )u4 


«»1%/— 4(n— 2)«„qgH2a3l(5»-6)g„.7,ff,-(w-l)g,'^-9wn,^ 


4(«  —  l)o„o,* — 8no„*fl3 


Ebenso  hat  die  Gleichung  fü 
Bin  Paar  imaginUre  Wurzeln,  sobald 


den 


eile 


+9«o„=[««,aV 


■2)fl„rV- 


-(«-l)ni='r 

EtrertW' 


Wert^B 


ist,  weil  in  diesem  Falle  die  aus  P3=^(\  gesuchd 
(«3)0  und  (ng)^'  (m.  s.  FnrraeJ  («))  Imaginär  werden 

n  gütig.    w( 


Diese  beiden  Sätze  sind  auch  d; 
Formeln  für     ü,,,     Wl        «j,         a^. 


Aehnlicbe,    wenngleich    nicht 
1    übrigen    Grenzwerlhe   för    o,, 
.   der  betreffenden  Determinanten. 


einfache  Kelationen    gel 
,...<!*,    durch   EDtwicIcritfl 


Die  praktische  Seite  dieser  Methnde  dürfte  dariri  zu  siicl 
sein,   dass    man  die   besagten   Grenzwerthe    benutzen    ttann, 
durch  entsprechende  Wahl   der  KoefSzienten   eine  'ileicbong 
gegebener  Anzahl  imaginärer  Wurzeln  zneamnienzuKetzen.     Dabn 
sind  folgende  FKIIe  bemerkenswerth : 


(A)     Sind    sänimllicho    fgeraden)    Gleichungski 
,  ....  n«  {oder  Hn-i  für  n  ungerade)  grfisser  als  ihr 
hat    die   Gleichung  die   grBsste   niögli' hi 
Wurzeln 


'lltzienten  a^ 

GrenzwerthCi 

An7,ahl    ima^inSt« 


tlderschrefe.mnss,,  damit  die  letztere  eine  bestimmte  Anzaät  etc.  335 

t 

■nd  ist  dadurch  vollkommen  bestimmt. 

(B)    Sind  in  einer  Gleichung  von  geradem  Grade  die  Koeffi- 

sienten  a^,  04, ....  an  sämmtÜch  kleiner  als  ihre  resp.  Grenzwerthe, 

fi 
(o  ist  es  noch  immer  möglich,    dass  die   ^  ~~  1    letzten   Glieder 

Itr  Zeichenreibe    (3)   negativ   sind;    sie  kann    daher   höchstens 
»  f  ^  —  IJ    imaginäre    Wurzeln    besitzen,    mnss    also    wenigstens 

fc— 2r^  — lj  =  2  reelle  Wurzeln  haben. 

Ist  aber  n  ungerade,   so  lassen  sich   a^,  O/^,  ....  On-i^  an  so 

w  +  1 

Lunehraen,  dass  die  ersten    — ^    Glieder  der    Zeicbenreihe    (3) 

Positiv  werden;    da  aber  die  letztere  n — 1  Glieder  hat,  so  kann 
lie  Gleichung  höchstens 

maginäre  Wurzeln  haben,  niuss  daher  wenigstens  n  —  (n  —  3)  =  3 
reelle  Wurzeln  besitzen. 

Man  kann  also  Gleichungen  nten  Grades  derart  zu- 
sammensetzen, dass  sie  für  alle  reellen  Werthe  der 
noch  unbestimmt  gelassenen  Koeffizienten  wenigstens 
Bwei,  respective  drei  reelle  Wurzeln  aufweisen. 


Um  das  Vorhergegangene  durch  Beispiele  anschaulicher  zu 
machen,  kann  man  die  nöthigen  Formeln  dadurch  vereinfachen, 
iass  man  in  der  Gleichung  cio  =  1  und  Oi  =  0  annimmt,  wodurch 
sie  die  Gestalt  erhält: 

fix)  =  a^  +  a^x^-^  +  a^u:«-^  + .,..  -\- an  =^  0. 
£s  ergeben  sich  hieraus  die  Grenzwerthe  für  «2,  a^,  a^, a^r- 

'«2)0=0, 

3(n-3)g«aq3^-2wft2^^4'f^^Q4^      i2(w -3)^2^(73  •f6yga3ff4-5wq2fl5i'^ 
«6)0  —  ^^  -  n(i2l4  ,n---2yc/2+9w^*— 8n(i2r/4}' 

u.     s.     w. 

23* 


336  Schramm:  Cremwerthey  welche  die  Koefßz.  ehL 


&aelL 


(fltr)o  = 


1        0     Os.    .    . 
0        10... 


.     a2r-3 


0      2ffs  Sds  ....  (2r-l)a2r— 1 
2a2    Sag  4^4 ....  0 


:2r 


1      0     o. 
0     1      0 


0    2a^  3a, (2r— 3)<i9r>s 

2aa  3a,  Aa^ (2r— 2)a2r-t 


Ist  n  ungerade 9    so    hat  man    die  Grenzen   ffir    den  leisten 
Koeffizienten  On  aus  der  quadratischen  Gleiehong  zo   bestimmen: 


'2 


1        0       oa 
0        10 


a»-s 


0        0 


n 


.    •    . 


(^) 


9 


0     2ria    3a8....(n— l)a«-^    no« 
2^2    3^8    4a4 na«         0 


=  0. 


Durch  Specialisirung  des  Exponenten  n  ergeben  sich  bierau 
die  Formeln: 

(A)  Für  eine  Gleichung  vom  zweiten  Grade: 

a;«  +  aa  =  0. 
Ist  a^'^O»  so  hat  dieselbe  zwei  imaginäre  Warxeln. 

(B)  Ffir  eine  Gleichung  vom  dritten  Grade: 

x^  +  Ojio;  4-  a,  =  0 
erhalt  man  aus 

3       0       a, 

;,,  =  —      0     2a,    3a,^=a:a3«^4a,SsO 

2a,    3as      0. 


27    • 
Die  Gleichung  hat  daher 


j 


ühenchreiLmüss,,  damtt  die  iemere  eine  bestimmte  An%akietc\  337 
Intens  fSr  02^0  zwei  Imaginäre  Wurzeln; 


2tens  för  fla<0  und  «3  >      V  —^- 

I ^  zwei  imag.  Würz.; 

oder  a3<-.y  —,^ 


:  atens  för  a^K^O  und  +  Y  ~^ >  «s  >  —V  ~W^  *^'®' 

reelle  Würzein; 

ivelche  Bedingungen  mit  der  bekannten  Diskussion  der  Gleichun- 
gen dritten  Grades  vollkommen  übereinstimmen. 

(C)     Bei  einer  Gleichung  vom  vierten  Grade: 

o:*  +  02^* +.  fls^  +  Ö4  =  0 
können  folgende  Fälle  stattfinden : 

Istens:  Ist  «2^0  und  ß4>~^ ~9  so  hat  die  Gleichung  vier 

imaginäre  Wurzeln, 

O       3    i   O       9 

2tens:  Ist  «2^0  und  04  < — ^ ^,  so  hat  die  Gleich,  wenig- 
stens zwei  imagin.  Würz 

Es  entscheidet  hier  der  Quotient 

jr 

I     ist  derselbe  positiv,  dann  hat  die  Gleichung  zwei  reelle,  ist  er 
l    negativ,   keine  reellen  Wurzeln. 

Stens:  Ist  a^K^O  und  a^^ — ^ ^,  ähnlich  wie  in  (2); 


2fl2*HLP«3* 

'2 


4ten8 :  Ist  112  ^  ^  ^^!^  *^4  "^  — ^"o ^,_so  hat  die  Gleich,  wenig- 
stens 2  reelle  Würz.; 


r 

;  ist  dabei   ^-^>0,  so  hat  sie  vier  reelle, 

„       „       —  <0,    „     „     „  nur  zwei  reelle  Wurzeln. 
Macht  man  also  in  einer  Gleichung  vierten  Grades 


w 


Devialt,:    Ceder  ttie  fn  TAI.  XU.  S.  337. 


Ti 

EC  macht  nnA 


I 


in  in  E  auf  BB  die  Senfcrechfe  EC  erriclrtef: 
der  verläogerten  BF  in  Cgeschnltten  wird,  EA=^ 
AB  zieht.     Die  Senkrecble  AG  =  2.EF=A. 

Ist  ferner  nt^i;^  und  m^h,  so  tritt  der  vorige  Fall  ein^ 
d.h.  auch  hier  giebt  es  nnr  ein  einziges  Dreieck  ABC,  des' 
sen  Konstruktion  aus  Taf.  V.Fig.  3.  ersichtlich  ist. 

Ist  endlich  A  =  j£  oder  2A  :=  £,  aber  zugleich  rn>A  anil 
tR  >  jA,  dann  ist,  wenn  man  in  Tar.V.Fig.4.  die  Konstrnlition 
ausfahrt,  wie  oben  ungegeben,  BD^EF,  railhin  auch  DE^BF, 
und  man  erhält  daher  nur  ein  einziges  Dreieclc  A'BC,  wel- 
ches der  Aufgabe  genügt.  Dass  in  diesem  Dreieck  die  Seite 
A'C  doppelt  so  gross  ist  als  die  Seite  BC,  ist  leicht  einzuBetin. 

II.  Zur  algebraischen  und  trigonometrischen  Lü- 
sung  aller  derjenigen  Aufgaben,  welche  sich  wie  die  vorliegende 
auf  Seiten,  Höhen  und  Mittellinien  der  Dreieclte  beziehen,  Bnett 
man  ganz  allgemein  die  gegenseitige  Abhängigkeit  dieser  StSdu 
durch  Gleichungen  auszudrücken.  Bezeichnet  man  zu  dem  Eiuli! 
die  drei  Seiten  eines  Dreiecks  durch  a,  b,  c,  die  EugefaStendn 
Böhen  beziehungsweise  durch  h,  k,  l,  und  ebenso  die  drei  Mit- 
tellinien durch  m,  n,  p,  so  hat  man,  wie  ans  Taf.  V,  Fig.  5.  ätr 
fach  folgt,  die  drei  Gleichungen,  in  welchen  die  Seilen  und  HOba 
vorkommen,  nämlich: 


ah  =  bk, 
ah  =:  cl. 


■  m 


,„,_(=!±|!--)-. 


Sei  femer  (Taf.  V.  Fig.  6.)  AD=m  die  Mittellinie  der  Srite« 
also  BD  =  DC=\a,    dann  ist  im  Dreieck  ABD: 


und  im  Dreieck  ABC: 


io«+2e«-2m'»  =  a»  +  c' 


4nia  =  26"  +  2c«— a«.  , 


Ganz  ebenso  findet  man : 


be/iantletle  {leomefrUc/te  Aufgabe.  351 

4n«  =  2o2  +  2c=-Ä«, (5) 

4p»  =  2a2+265— c» (6) 

t  Htilfe  der  vorsteb«iHleii  Gleichungen  (!)  ....  (6)  kann  mao, 
rgend  drei  Stücke,  welche  ein  Dreieck  bestimmen,  njlni- 
leitei),  Hoben  und  Mittellinien  gegetten  sind,  die  eecfas  un- 
inten  Stücke  durch  Rechnung  finden,  und  wenn  man  die  bekann- 
trigonorae Irischen  Sätze  noch    binzunimint,  anch  die  Winkel. 

r  unsere  vorliegende  Aufgabe  angawendet,  no  h,  i  und  »i 
I  sind,  nehme  man  die  Gleichungen  (1),  (3)  und  (4),  welche 
utiinnmng  der  darin  vorkommenden  drei  unbekannten  a,  b,  c 
Indem  man  6  und  c  climinirt  nnd  gehörig  ordnet,    er- 

o*(4ä»- Ä')"- 8o''Ä''(J/('/na  +  jt'm«- 2AH^)  =  ~  16A»m».  (7) 

I  nun  die  Fälle  zu  unterscfaeides,  oh  4A* — A' =  0,  d.  h. 

||s=£   oder   »h  'ik^k  ist. 

|i  Für  2A  =  Ä  geht  (7)  über  in: 

flä(4A«««+Ä«m*  -2Ä»Ä«)  =  2khtt*, 
\  w^im  man  'ih=:k  einführt,  in: 

„»(,»«_*«)  —  «4, 

»  folgt. 

o  =  m»V^;5^.     (8) 

I  Wefth  ni  <I)  enhstitDirt  giebt: 

»=i'»'VlS <>» 

1  aas  (4),  (8)  und  (9)  erhält  man: 

,     4/  um*  — 8A"  „^ 

*=  =  *"*>  ^«^^Ä^-     -, *'*'' 

n  Gleichungen  (8),  (9)  und  (10)  ist  ersichtlich,  dass  man 
r  Voraussetzung  ^h  =  k  nur  dann  reelle  Zablenwerthe   für 
!  erhält,   wenu  m>A,  also  auch  »i>|£  ist.     Unter  dieser 
ist    daher    die   gegebene   Aufgabe    nur  auflösbar  und 
t  nur  ein  eliziges  Dreieck,  in  welchem  «  =  '26  ist. 


MOSchramm:  Crenzwerthe,  welche  die  Koeffi%  ein.  al§(Bkr*iSkl€L 


(fla)o  =  0, 

(«6)0  -  i2ö^  a,(8V+27a8«-24aaa4)* 

Die  vorgelegte  Gleichung  hat  daher 
Istens  für  a^*^Q,  <<4^(<Z4)o>  ^e^  (^6)0 ^^chs  imaginäre  Woo, 


2tens    für  a^^'O,  n4Xa4)o 

oder  ci2>'0,  ff^^Wo 

>>  <'.2<^^  «4>'(«4)o 

3ten6    für  «a^'O,  04  <  («4)0 

oder  a2<0,  «4<(«4)o 

„  a2<0,  a4>(«4)o 

4ten8    für  «a'^O,  a4<(ö4)o 


«6  <  (<'6)o 
«6  >  («6)0 

«6  <  («0)0 

«6  >  (^0)0 
«6  <  («6)0 


wenigstens  vier  ima- 
ginäre  Wurzeln, 


wenigstens  zwei  ima< 
ginäre   Warzeb, 


«6  "<  (^0)0    wenigstens  z  w  e  i  r  e  eil« 
Wurzeln. 


Es  wird  daher   eine  Gleichung  sechsten  Grades^    wenn 
darin   ao  =  J ,    «i  =  0  voraussetzt  und 


Oa  =  ^y 

863+27(13« 


«4  = 


06== 


246 


H  c. 


126 


6  (863+2703« -24604) 


annimmt,  für  alle  positiven  reellen  Werthe  von  6»  c,  d  sechs  ioii 
ginäre  Wurzeln  und  für  alle  negativen  Werthe  von  6,  c  und 
wenigstens  zwei  reelle  Wurzeln  haben;  03  und  05  können  b< 
big  gfoss  sein.  * 


Nachdem  dieser  Aufsatz  vollendet  war,  wurde  Ich  auf  cfitl 
neueste  Abhandlung  J.  Sylvester's  aufmerksam  gemacht,  weicht 
unter  dem  Titel:  „Algebraical  Researches,  containingl 
disquisition  on  Newton's  Ruie  for  the  Discovery  •( 
imaginary  Roots, ....  together  with  a  complete  invariaB* 
tive  Determination  of  the  Charakter  of  the  Roots  ot 
the  general  Equation  of  the  fifth  Degree",  im  154si 
Bande  III.  Tbl.  der  Philosophical  Transactions  erschienen i 


Ems  mann:    Ceber  einem  geometrUchen  8at%,  353 

Diese  Gleicbungen  stimmeD  mit  denjenigen  im  ^ Archiv"  im 
Wesentlichen  überein;  sie  sind  jedoch  wegen  des  dort  nicht  in 
Betracht  gezogenen  doppelten  Zeichens  :£  von  grosserer  Allge- 
meioheit.  Das  im  ,, Archiv''  durchgeführte  Rechoungsbeispiel 
eigab  für  A=35^  »=48,  wenn  wir  die  d*rt  gewählten  ßezeich- 
Qungen  x,  y  und  %f  auf  die  obigen  nhercngca : 


0  =  6  =  81,50.    ir  =  35Ä,    ^SCB^z^  :srj 

Diese  Werthe  entstehen,    wenn  in    15    u«£    1^     L*    ui»ir^si  IL^x- 
eben  bei  ±  nnd  ^  genoBnea  wcrdei:    '  Wii  "i  v^r   u«!r     v  i*   «:^ 

der   Vollständigkeit  wegen  gesdieWA  ilb«».  hkä  c«t  inr^ir-n  Z«t; 

chen  gelten >  dann  bestiBBit  sSck  far  tsk  rvejcif*  L*r««K^   -  ui    cir 

^eforderten  Beschaffenheit: 


t  h 


Ueber    emoi   setoKST&cafit    ^2. 


HerTD  Profe^MT  Dr.  A  £m. 


ji   9:^:^1. 


&  e  M  r  •  li  f 


1'  Schlägt  BiaB  Bit  jeder  Drftlaek«*^.:^  iJi  i-^£it 
f  punkte  Kreise  and  Terhiadec  die  Dir«ii4-*^  i  "«  1 1 1  •  ' 
^  10  welchen  die  all  derseihe«  Selc«  ge4ea..a.s*i-»  i  i.  •  • 
!  die  an  des  jedesBaiigen  Ceatran  aa.'iz-»  1 1'»  "  *  - 
t^'chneiden,  so  lanfen  die  drei  Ver'i.a  i  112  «4'- * -.^ 
^  «oter  sieb  parallel    Tat  TL  Fae:  L  iwi  F':«.  1 

Der  Kreis   mit  BC^m  «b   C  «chnesdtf  ^  =  1    n  A 
^  ^  ebenso   A^=^€  m  O;   ia  Kreui  aic  %  va  A  wha0sä0iz 
^dB  in  A,  der  bbi  C  e&esM  CB  in  O:   der  Ejwm  air  ?  im  .4 
Schneidet  AC  m  3/,  det  mm  B  cfeflM  BC'm  y    9  sr  am  JT.f 
iMirallel  OP  fmaMti  QB 


(«j)„  =  0, 

(«4)0-    -o^j^,^        . 
.    ,         3«2ns*  — 4«./-«. ,  . 

Die  vorgelebte  d'loir?.  . 
Isteiis  für  f7a>0,   1/4  ">  ..  ^ 
'itens    für  «2>0,    f/.,v ,,,,,...  ,, 
oder  rfa^"^'»   "j  v  •"  * 

lUens    für  f/.^^^^^-   "i%»   '• 
odor   fTa  v^^*    '•    • 

4teiis    lur  i/.^  ^^  J).    *. .  . 

Es   \\ir<l    si    •• 
darin   ff^,  — .  • 


Uy 


—  / 


a 


4  - 


n. 


anii-'  1- 

Wim  < 
I):  .• 


'w.;  damii  Oie  ieüUere  eine  bestimmte  An%ahl  etc.  343 


ai^iginSre»  Wurzelpaar  enthalten. 

■ 

fcbtwaii  Sehnliches  findet  man  schon  bei  Gleichungen  vom  drit- 
Unule,  welche  sich  bekanntlich  nur  dann  reell  auf  die  kano-^ 
la  Form 

au^  +  brfl  =  0 

,eu  lassen,   wenn  sie  ein  Paar  imaginäre  Wurzeln  enthalten. 

Kmn  'Schlosse  muge  hier  noch  des  Newton'schen  Satzes 
\ufGndang  imaginärer  Wurzeln  in  einer  gegebenen  Gleichung 
cht  werden,  dessen  Giltigkeit  Sylvester  in  demselben  Auf- 
I  rSr  Gleichungen  bis  zum  füoflten  Grade  incl.  beweist. 

^Vir  hatten  im  Absatz  4.  allgemein  bewiesen,  datss  eine 
hung  ein  imaginäres  Wurzelpaar  besitze,  wenn 

«« >       2na;        ^^^'   ^""**    '^»-^  >         'Inan 
Schreibt  man  diese  Ungleichungen  in  der  Form 

i  —  l)ai*— 2wcioö2  <  0    und    («-— l)an— i^ — 2nanan-^2  <  0, 

wenn  man  sich  aj,  a^^ mit  den  Binomialkoeffizienten  ver- 

fi  tfi ..  \\ 
::  denkt  und  dafür  nAi,    — |-^ — ^2  schreibt: 

Ai^-AoA^K^O    und    A„^i^-AnAn^fi<,0; 

!len  dieselben  das  erste  und  letzte  der  Newton'schen  Kri- 
dar.  Dadurch  ist  also  die  allgemeine  Giltigkeit  dieser 
bewiesen. 


V.  Pfeil:    Beiträge  %ur  Lehre  von  der  Atmosphäre.  357 


Beiträge  zur  Lehre  von  der  Atmosphäre. 

Von 

dem  Herrn  Grafen  L.  v.  Pfeil 

in  Gnadenfrei  in  Schlesien. 


% 


* 


Dnnst  nieder  schlage. 

I  Atmosphäre  unserer  Erde  besteht  bekanntlich  ^  so  weit 
die  chemische  Analyse  greifbar  ist,  aus  einem  Gemisch 
^efähr  20,8  Maass  Sauerstoffgas  und  79,2  Maass  Stickgas. 
Gemisch,  die  amosphärische  Luft  genannt,  ist  in  seinen 
nissen  so  gleichroässig,  dass  man  es  beinahe  als  constant 
:en  kann.  Indess  scheinen  neuere  Untersuchungen  zu  be- 
,  was  bereits  Dal  ton  aus  theoretischen  Gründen  routh- 
,  dass  in  den  tieferen  Schichten  das  schwerere  Sauerstoff- 
den  höheren  das  leichtere  Stickgas  ein  wenig  überwiegt^). 

US  Gmelins  Handbach  der  Chemie,  5.  Aaflage,  mit  Zusätzen 
tts  &  List,    Bandl.  S.  833. 

an  anderen  Fällen  wurden  aus  neueren  Beobachtungen,  bei  wel- 
ichzeitig  Luft  aus  einem  niederen  und  einem  höheren  Orte  un- 
wurde,  folgende  Resultate  erhalten : 

on  Hewellyn  enrhält:  Sauerstoff 20,64  Maass 

desgl. 20,63 

nowdon,  3570  Fuss  hoch 20,70 

on  Green,  15000  Fuss  hoch  geholt 20,62 

Mittel     20,65 
Correspondirend : 

on  Manchester 20,99 

desgl 20,73 

.  3  engl.  Meilen  von  Manchester .  20,85 

ester 20,95 

Mittel     20,88 
XLV.  25 


►\ 


\ 


s  wecheelDdeni 


■  1    LA    MJuen    drei  Aggr^ktKssländen  nt, 
-uc'  K'icper  und  als  Eis.     [Hr  letzteren  bei- 
■  .•;!«■.      Wir    unterscbeidtn    zsuäcliift  grigi 
:***  Wolken,  erslere  io  der Resrl  die  tirfcH^ 
»loJtö^vlchea  beHtehentl,  letzlere  die  bribercn, 
>  ^rbildet.     I>ie  verätiderliL-be  tireitBe  beider  Ict 
iheueudeii  Eiseü. 

;^  il«r   weissen  Wnlken    geht  in  Srhalten.in 
wesentlich  ver^ichieden  von  dem  weil  Üelnai 
rtiftlltea. 

11^  a'it  die  Form  unterscheidet  man  HaufeiKrsftll 
.   iiDiJ  La^erwolken  (stratus.) 


Ilaiile<in''>lke    bildet 

Die  LBEerivolke   ■ 

s  cuttammengeweht. 


sich    aus    i"rl!ich    emporgesli  _ 
ird   aus  Winden  ia    der  oberuM 


Weit  üher  den  stratus  schwebt  in  ungeniessenen  ÜS\ 
liAHiuicr^ewülk,  {cirrhu-cuiiiulu^},  keiner  dicker  Bildungen, 
ttk  (l«r  Gestaltung,  nneh  iii  der  Art  des  Entstehens  vergleidibn 
Ktitie  Bergbilbe  der  Erd<^,  kein  Luftballon  bat  je  seine  HB^ 
«ri  eicht. 

Feilern-olkeu  (cirrhusj  eind  kleine  Wolken,   aus   denn 
ttriissere  zu  bilden   |dlegen.     Sie  kommen  als  grai 
Wolken  iu  der  Lage  der  Haufenwolkeu  wie  der  Lagerwoll 
ahi   LSmmergenülk,   also  in  jeder  Ufibe  vor,  bis  an  die 
ilticbe  herab,  wo  man  sie  häuSg  auTateigen  steht,  zumal 
d»rn   und   in  Gebirgen.     Eine   eigentliche  Regenwolke  tii 
maii  aU  niinbus.     Beide  Arten   von  Wolken    bilden   keine 
Utritiliscbeu  Unterschiede. 


1 

ieäl9l! 
le  chid 


In  cintiui  StttiiitubU-niierftwetli  fand  Ü  iich  nf  22,9:1,  wührcnd  di«  Irf) 
eu4aerliatb   bluaa  21.3Ö  hKiie.     War  hier  die  UrsMche  etwit  eiae  B 
düng-  V4n  SnuemlnfTKaii  durch    WHMer^erBGiznnf^  in  der  Tiefe,  ■!■ 
dam   GrHliFnwMsaor?     üi«   Hutiendiffercnz    rechtfoi'tifrt    <\fa   llnlTt    . 
Tuht   iitcbl.     CbamouDii  6000'   hooli   mit  nur  lit.m,    Siiuiilun  fillV  I     | 
lit,T<J  li«ue  lirli  auch  au«  dem  Gletauhereia  erklären,     lu  Lofi  m       ' 
fJtdailier  fund  Biichaf  nur  10,22  Maas». 


m     .1^ 

^^H  Ena  lUr  ^— 

(BwchteDde  Meteore  beBeÄeh!-^ 
Mnrespbäre.     Man  hat  sie  auf  «-'^ 
•Wen   Hiihe  gesehen    7.U   habei'-     ■■  ■ 
Snosphfire  liegt  bei  Weiten)    «her  <~  .- 
chnung  als  eine  n.fisliche  zeis*.  "*""  * 
»«nrte  fiashülle  aU  f.|eichii.Ss.sig   an»  .;,, 
tiend  annimmt.     Die  hilchsfe  SchivM  m,,.. 
tkiUach  alniosphSrische  Loft  nicht  sein. 

Doch  kehreil  wir  zu   ilen  tielereii  Schifhim  «,  , 
■llien  sind  meistens  unten  grau,   im  oberen  Th«^ 
r    Höhe   weiss,    enlsiirecliend   der  Temperatur  iUv    ._  • 
EU   GerHerpunkt.     Alan  sieht  diese  Wolken  oft,  tuoM  .^ 
lier  am  Uoriaont  stehen,    von  unteit  aus  in  der  Mül« 

den  Rändern  weiss,    alsilanii   ist    iler  (xptisch)   un(«T«(.  |*^ 
bmäler,  oder  verschwindet,  der  (ojitisch)  obere  ist  breitet,    f^ 
rf  sich  vorstellen,   dass  die    graue  Mitte  der  Wolke  die  (mCi^ 
d  jedenfalls  die    wärmste  Stelle  derselben  ist.     Die  nach  rhu, 
stiegeiien,  bis  zum  llebernianss  uo gehäuften   Diinäte  verdlckl*« 
;ii  durch  Druck  gegen  die  obere  kullere  Lul't.     Bei  der  Verdich* 
•  g  wird  Wärme  frei,  unft  erhält  im  Innern  der  Wolke  den  Dunrt 
tropfbarer  Form,  vvährend  an  den  Käudern  gegen  die  kalte  Um- 
Jbung   hin  die  Dünste  unter  den  Gefrierpunkt  erstarren  und  so- 
it:  w^iss  erscheinen. 

,    Uaufenwolken  bilden  sich  vornehniliib  bei  \iiirmer  Witterung, 
M  im   Frühjahr  und  Kominer. 

Bei  der  <>altung  slralus  findet  man  eine  Verschiedenbeit  in 
r  Färbung  seltener,  In  der  Regel  sind  die  Lagernolken  gleich- 
^ssig  grau  oder  weiss.  Nur  wenn  sie  in  die  tJiibe  steigen,  zet- 
hd  sich  in  grauem  Gewölk  weisse  Streifen,  und  umgekehrt  färben 
^  weisse  Lagerwolken  im  Sinken  grau.  Sie  pflegen  dann  bald 
die  charakteristische  Färbung  weis«  oder  grau  überzugehen. 

Aufsteigende  feuchte  Luft  wird  i»  der  Kegel  trocken,  frock- 
are  Luft  «eiche  sich  senkt,  wird  feuchter.  Die  Ursache  liegt  in 
är  Ausilehnung  oder   der  Zusammenzichnng   [|er   Luft**).     Wird 


•    *")  Ang«ni 


ßtiii.<  3.     Die 


Binit  allcrdln 


:  bia 


«ei  Lutt  bei  äO"  ■ 


viilUinndi^  mli  Uuntt  ge«ät- 
|(,  und  rrkalle  liU  Hiif  lU".  «n  wird  «ie  flir.li  ziisaniinrnziohBn,  in  dea 
brhartnUa  von  l<HI:9«.5S  nix.i  um  3,12;|.  Ili«  Spannkraft  der  la  dei 
ifl  eoChiiKcnen  WasserdünBIe  wird  sinh  vermindern  von  8,0T5"'  aul 
954"'  (Kühlen  Logstilh.  Tafeln  3.  Auflat;e  S.  304,  und  KtnDnUht 


360 


r.  Pfeil:    Bfilrüge  ■iitr  Le&re 


itweder  <IPW|I| 


feuchte  Luft  irgendwie  gepressil,  tnileni  sie  entweder 
gegen  (lebirge  streicht,  oder  indem  sie  <lurcli  einen  oberen  Wliil 
am  Aufsteigen  geliinderl  wird,  oder  zieht  sie  sich  durch  ErlcaltBn; 
unter  den  Punkt  der  vollen  üunstsättigung,  den  Thaupunkt,  in- 
sammeo,  eo  bildet  fie  Wnlken.  Erkältung  dGrfle  jedoch  imr  sel- 
ten die  Ursache  der  Wolkeiibildung  sein,  n-ell  die  Niederschli^e 
«iner  Aasstrahlung  der  Wärme,  und  etien^o  die  durch  den  Nieder- 
schlag frei  »erdende  WSrnie  der  Erkaltung  entgegen ntrken.  Darth 
Erkaltung  rnag  nnhl  mehr  Jene  leichte  Trübung  des  Himroele  enl-' 
stehen,  welche  dem  Blau  demselben  eine  blassere  Färbung  ^tit| 
In  den  Wolken  wird  stets  die  Temperatur  durch  die  Zuaammn-' 
pressung  und  durch  den  t>unstuiederschlag  erhübt.  Die  WoJkM 
enthalten  neben  der  feuchten  Luft  noch  den  hunderfach  echwctt- 
ren  Niederschalg  an  Wasser,  oder  Schnee.  Senken  sich  die  Wol- 
ken in  Folge  des  durch  die  NiederschlSge  vermehrten  Gevricktii 
so  fallen  diese  als  Regen  oder  Schnee  herab.     Wird  dagegen  dh 


Phj.ik,  S.  426.)  Wei 
28''=33G"'  litttte,  na  ( 
8.0T5 


n   die  Luft   in    ergleren 
Ftnig  ilie  S|iiinniing  dei 


4.354  _ 
33U 


N 


dänile,    ~-    =2,403;;,  iin  2.  Falle 

Luft    wird    alsn    durch    die   Erkaltung    \nii    30"    niif   10"    an 

2,4U3—  1,396=  1,2073  „n  Capacical  für  den  Fenchli^rlieitagehntt  ei 

Wird  demoacb  die  Laft  durdi  verminderten  Druck  nm  S.UÜ  M 
mehr  »erdönnt  und  damit  die  Zuaüiunienziehan^  durch  KrkaltdBg  rf- | 
gewogen,  an  wiid  aie  ein  grnsnerea  itlnasi  WaBserdiinU  enthalten  kl 
ehe  810  ge«ritU^'I  i«t,  d.  h.  aie  wird  Irciekeiier  werden 
niis  findet  nucfi  nnuti  bei  Lufl  in  gifsaerer  Hübe,  ata 
ren  Grade  der  Verdünnung  atalt.  obaehim  in  gering;ereni  Grude, 
der  Barometerstand  uur  10",  und  bei  einem  anlchen  die  Lnfl  vnlUlllrf 
mit  Fenehtigkeit  gesähißt,  {wir  werden  im  Aufsatz  II  gelien,  dm  «0^ 
(Diebes  Vurkummen  nirhl  nur  mögiieb  iai,  siuidern  daiH  es  in  der  TW 
Btaltfiadct,)  so  würde  bei  einer  Lnfiwärme  vnn  20"  C.  die  SjiannaBg  A 
Waagerdünate  -j— ^  =  6,I29g,  nnd  bei  10"  dagegen  -'"  =3.688);  belli 
gen.  Die  Lufl  wird  alsn  durch  Erkaltung  rnn  20"  auf  10"  aori«!  M 
6,739  —  3,638  =  3.1011;  nti  Capiniiät  für  den  Feuchtigkeitsgehalt  TertiwM 

Da  die  Luft  jednrh  «ich  liei  iO"  wie  bei  20"  BarnmeterdmckinM 
Verhältnis  vnn  100:96.58,  nUa  um  3,42«  zuiammenziebt ,  so  wird* 
durch  eisen  [um  ebenioviel  nder  mehr  verminderten  Dniik  auch  bai  4d 
Spannung  vnn  10'  nneh  trockener  werden,   wenn  »le  in  dte   Höhe  lUtll 

Ein  Vergleich  der  Ziffern  be!  28"  nnd  bei  10"  Bnrnmeler^wli 
l,20TK!3,42g  und  3,101  {1:3,428.  aeigt  jedoch,  rfaaa  die  durch  AufiUig« 
der  Luft  enlalehende  Zunahme  ihrer  Cn|>ncitäl  für  Feoiliiiglfeit  mn  A 
geringer  wird,  je  grriMer  die  Ruhen  sind,  in  denen  die  Liit't  n 
ligkeil  geiättigl  wurde. 


'f  der  Atmuspliilre. 


361 


Wolke  durob  eirieri  Strom  vuii  uiilen  geliubeti,  »der  steigt  s\e  iu 
«tbtrererer  Luft,  so  liist  sie  sich  olieii,  oder  unten  und  ao  der 
Seite,  mit  einem  VVurt.  gegen  den  trocknen  Strom  hin  auf,  und 
verschwindet  ganz  oder  theilvreiäe. 

bl  der  feuchte  Lul'tslroiii,  in  »elcheni  sich  die  Wollte  bildet, 
itItW,  als  der  eritgegenw^heiide  oderikreuzende  Wind,  ist  letzerer 
Hdit  Iroukeii,  oder  nicht  warm  genug,  um  den  Rand  der  Wolke 
WtlHau(;<»n,  so  lieiht  die  Wolke  mit  dem  Teuchteren  Luftstmin; 
llie  Bildung  ist  daun  hüL'hst  unregelmäHsig'  Es  entwickeln  sich 
jeldile  Federwolken,  es  trennen  ^ich  Theile  und  vereinigen  eich 
l|Mer  zu  neuen  Wolken,  tvelche  wild  in  dem  Lul'tstrom  forttreiben. 
bt  dagegen  der  trockene  Wind  stSrker  und  sangt  die  Peuchtig- 
Iwt  des- Randes  einer  Wolke  vollständig  auf,  8o  stellt  dieser  Rand 
^e  grade,  bei  gritsäerer  Länge  eicie  bogenförmig  gekrümmte 
likie' dar,  welche  auf  der  Richtung  dieses  Windes  senkrecht 
■blil.  In  gleicher  Weise  ist  die  Meereswoge  senkrecht  auf  den 
Ifiad,  durch  dessen  Wehen  sie  entsteht.  Der  Druck  des  trock- 
nn  Windes  bildet  in  dem  feuchteren  Luftstrom  auf  der  aUgewen- 
nten,  der  Leeseite,  fortdauernd  den  INiederechlag,  wahrend  die 
Vind-,  die  Lufseite,  aufgesogen  wird.  Die  Wolke  scheint  so  vor 
iem  ttockuen  Winde  zu  treiben,  wie  tlie  Meereswoge. 

1  Man  wird  in  der  Regel  die  erwähnten  graden  oder  bogenfur- 
Hgen  Ränder  der  Wolken  für  horizontal  halten  können,  auch  nenn 
ju  bisweilen  gegen  den  Uorizont  sehr  stark  geneigt  erscheinen 
W\toa.  Der  liöchste  Punkt  einer  solchen  Linie  liegt  alsdann  dem 
Beobachter  am  nächsten. 

t  Erblickt  man  darum  in  einiger  Höhe  Über  dem  Ho- 
Uont  (denn  in  dessen  Nähe  würde  die  Scbätzur 
Blöden  unsicher  sein)  horizontale  oder  bog 
Mmmte  Linien  an  den  Wolken,  so  deutt 
t^nlcrechte  öder  durch  den  höchsten  Punkt  des  Bogens 
hid  den  Ürt  des  Beobachters  gelegte  Vertikaleb  ene 
|l«  Richtung  des  oberen  Windes  an.  Man  wird  die  er- 
libnten  Linien  gleichartiger  Wolken,  wenn  man  die  Perspective 
BrGcksichligt,  stets  über  den  ganzen  Himmel  parallel  finden. 
leee  Art  der  Schätzung  lässt  eine  Uogewissheit  um  180»,  weil 
BT  Wind  den  gleichen  Bogen  bildet,  gleichviel  ob  er  von  der 
Mke  nach  dem  Beobachter  zu,  oder  vom  Beobachter  nach  der 
'Olke  hin  weht.  Der  Zweifel  lässt  sich  jedoch  liisen,  wenn  man, 
)hea  irgend  einem  hohen  Gegenstand  hinblickeud,  Acht  giebt, 
I  die  Wolke  am  Horizont  emporsteigt,  oder  sich  gegen  densel* 
D  senkt. 


«  o|)tischen 
Irmig  ge- 
lte darauf 


'   ggj  p.   Pfeil:     BeilT/ige  %ur   Lehrt 

Die  LagMwnlken   plleften    in  unijern  Gegenden  meistens  ein« 

Richtung    von  N,  W.    nach  S.  O.   zu  haben,    also  senkrecht  td 

3  obere  8Üilweslliche  Winilrichlun^,  doch  knmmeR  auch  abwei' 

chende    Lnrtstniiinin^en    uud    damil  andere    Richtungen  einzelBir 

Lagenvolken  ror. 

Mitunter  gruppiren  »ich  die  La^eritolken  in  parallele  It«iheir, 
nelcfae  perspedivisch  a.gen  N.  \V.,  bei  grosser  Ausdehnung  a 
gegen  S.  O-  vuiiammen laufen.  iVlaii  bezeichnet  die^e  Bildung 
dem  Namen  „Wellerhaxw",  und  darf  daraus  fast  mit  BestimmibiK 
auf  Regen  hinnen  drei  Ta.{;en  sehliessen  *).  Der  WetterbaHl 
kommt  (ihrigeiiH  in  treis^eu.  \\'\e  in  ^rituiMi  Wolken  vor;  in  ielltfr 
rem  Falle  ist  die  Hegen  wirb  ung  schneller. 

In  Gegenden.  >vo  man  Fterge  erblickt,  schliesst  man  auf  !^ 
gen  oder  Schnee,  wenn  die  Wolken  sich  senken,  dagegen  luT 
trocknes  Wetter,  wenn  si»  an  den  Bergen  emporsteigen.  Dil 
gleiche  Beobachtung  liisst  sich  indess  auch  in  der  Ebene  mscb» 
Vermehrt  sich  da»  Grau  der  Wolken,  indem  die  weissen  KMo 
kleiner  werden,  oder  verscfiivinden,  so  senlien  sich  die  W( 
und  man  darf  Regen  envarlen.  Färben  sich  die  Wolken  dag^ 
mehr  »eiss,  so  steigen  sie,  nnd  ihr  Steigen  deutet  auf  Iieitciltf 
Wetter.  Verdichten  sich  die  Wolken,  "ie  vor  Ge»ittern,  so  nimat 
ihre  Färbung  einen  tief  dunklen  Charakter  du,  und  sie  entlaeM 
sich  dann  in  heftigen  Kegengüssen. 

Die  Gewitter  scheinen  vorzugsiveise  aus  lokaler  Dun 
nickelung  zu  entstehen,  ivenn  „die  Sonne  sticht"  "ie  laao 
und  die  aufsteigenden  Dünste  sich  sehr  schnell  verdichten, 
Sitz  des  sogenannten  WetteileucliIeDs,  den  BUtzens  ohne 
scheint  dagegen  in  den  stratns  Wolken  y.M  liegen;  es  scheint i 
dabei  eine  Ausgleichnii^'  der  Elektricität  von  oben  und  nnten,  * 
aus  ZH'ei  ein.inder  ütterkreuzenden  Luftströnien ,  und  zwar  Ol 
fallendem  Regen  zu  vollziehen.  Man  erblickt  das  Wetterleocl 
darnm  gewöhnlich  in  der  Nähe  des  HoriEonts,  weil  die  Grt 
nung,  von  unten  betrachtet,  durch  den  Regen  verdeckt  wird' 


*)  Ich  «elbal  halle,  aeit  ich  auf  dieses  VorkniDmen  anfiDcrliEani  f 
wurde,  nur  ein«  cinzif^e  AüvoahniR  bei  «rhr  IrnulineiD  Weticr  ii 
1063  lieoba«litpt,  wo  nach  einem  schwanhon  WrlterliaDm  kein 
aondern  mir  eine  »iRrlie  IVulkenhifdeFkimK  Je«  lliioniela  erfolg. 

**)  Ich  «elbit  hnlie  nn  einer  hpmiirxl  eh  enden  Regen' 
[erleuchten  liia  gegen  40"  Hülin  (riihrgenoinineii ,  wii  da« 
•iclitl)nr  wiirile. 


ron  der  Atmmpliiii 


363 

Uaijelu'olken  bilden  §ich  stets  in  gri>sser  Hübe.  Sie  sind  klein 
vA  zieb«n  »ehr  schnell  ihre  v«rH-Qst«nde  Uahn.  Es  ist  urib«kanati 
IB  ■reich««'  Weise  dabei  Windätriiniun^n  und  ElektricitSI  die  hoben 
SdineeniederachlHf;e  bewirke»,  welche  sielt  beini  Herabrallen  durch 
.Rfinnerc  Schichten  iu  Ha^til  verwanilelti*). 

I  ,So  wie  gleicbzeiti^r  \Vnll<enbildui>t>en  uus  lokalen  Ursachen 
Walls  irestlichen  Winden  entäteben  künnen,  ebenso  erhljckt  man 
1^  gleicbzeitig  HauTenwolken  und  Laijerivnlken  über  und  nebeit 
iJ^Diiider.  Ihre  vercchiedene  (iruppintiig  und  tteleuchCung  bilde! 
liH  ktndscbaltliche  i:en>äl>l«  des  Himmels.  In  Gebirgen  pllegt 
.-duselbe  vorzugsweise  manuigraiti^  und  ucbliu  su  sein. 

Die  Beleiichfung  hat  auf  die  Chat-nkteriairung  der  Wolken  als 
gnse  nnd  iveisae  «lohl  nur  geringeren  Einlliiss.     Häufig  sieht  man 
■W  ganeen  Himmel  gruue  Wolken,  und  nicht  eine  einzi|>s  neisütt, 
MU  weisse  Wolken,  ohne  eine  einzige  graue;  letzleres  bei  kal- 
n  Wetter.     Olt  auch  erblickt  man  *reisee  Wolken  neben,   oder 
Idmeht  über   grauen  Wolken,    seltener  darunter.     Man   sieht  oll 
it  fMt  viillig  klarem    Himmel   ochmale    au»enscheinlieh    von    der  - 
■   beleuchtete    Wolken,    obne    eine   Spur    weisser  Färbune. 
10  erblickt  man  ein  andermal,  vornehmlich  hei  kalter  Witte- 
ogi  den^imniel  ganz  bedeckt  mit  weissem  Gewölk.     Zwar  er- 
beint eine  sehr  dünne  NebeUchicht,  wenn  sie    von    der  Sonne 
1;  weiss,  —  so  die  Dam^fwolke,  welche  dem  Dainpf- 
-  ebenso  zeigen  sich  die  Schatten  in  weissen  Wol- 
iveissbetvülkter  Himmel  in  einem  liebten  Grau*'), — 
auch  jede  Wolke   im  Erdschatten,    also  vor  Son- 
und  nach  Sonnenuntergang,  sobald  ein  Theil  des  Himmels 
Sonne  beleuchtet  ist  — ;  dagegen  erscheinen  graue  Wol- 
r  ocben  der  weit  dunkleren  Färbung  des  Erdbodens,  sonst 
(nals)    weiss.     Auch    erblickt    man    bisweilen    weisse  Wolken, 
t  Tbeile  weisser  Wolken    vor    entschieden    grauen.     Es    lässt 
^jedoch  aus   diesen  Umständen  kaum    ein  Grund    gegen    jene 
Peine  Charakteristik    herleiten.     Einmal    ist    bekannllicli  der 
I   lichlweisser  Färbung,   dass  Wolken   ans  Schnee- 
K^stalleo  gebildeli  nothwendig  ein  weisseres  Ansehen  haben  mSs- 
kn,  als  andere.     Demnächst  genügt  schuii  eine  Ounsts4.'bi4:hl  vob 


1 
I 
I 


1 
I 


j,       ■)  Vergl.    mcioei 
Iwil  XLIV.  lieft   I. 
•bneg,  wo«   mit  «■ 
lagiaube  Ueicrägti  S.2!tl.> 
**)  ich  beubiicbtele  dit 


latK  iibsr  DiinilHnbiing  nnd  \\»''e\.  Arrliiv, 
e'  ürinKl  den  HhkcI  mit  Witbelwiodvn  Jii  Bb- 
Ki  D  null  rank  ung   wühl  gulleii  durfte,     (KIiinh- 

'ciii,  »ülirL'iid  des  Schiicefulla.  aXfi  hau» 
■  fri,ih   liescbnoitci  Däcbci. 


[ 


w 


S64 


.  PfeH :    BtSträge  aur  Lehie 


ige»  KusMGii,  Hill  die  graue  Färbung  herz  »sielten, 
erwähnte  Uuiietwolke  der  Locomolive  elieDfalU  üel(itn&l, 
trek'he  si:hi)n  bei  niüssiger  Dicke,  obschoa  n'eiss  gegen  die  Enle, 
doch,  gegen  den  Himmel,  grau  ersi^heint.  Die  lichtgcauen  Scbtt- 
ten  IQ  weissen  Wolken  findet  man  ähnlich  in  den  Scbatteo  be- 
schneiter Berge.  Endlich  ist  es,  bei  häufig  wechselnden  und 
einander  Ifreuzendeii  Luftstrilmun'gen  leicht  erklärlich,  nenn  bis- 
weilen wärmere  Slrünie,  also  graue  Wolken  über  kälteren  met- 
Ben  auftreten. 

Auch  eintretendes  Thauwetter  kündigt  eich  stets  dutcb  giMt 
Wolken  an,  während  der  gefrorene  Boden  und  die  tiefste  LußseUdt 
noch  die  Prostteiuperatur  zeigen. 

Die  Unterscheidung  weisser  wnd  grauer  Wolken,  ihrer  FwB 
und  ihrer  Bewegung,  ist  nicht  unwichtig  fiir  die  BeobacbtoDg  du 
Wolkenbinimels,  f^  die  Kenntniss  der  in  der  oberen  Atmosphbt 
wehenden  Winde  und    fSr  die  Vorausbestininiung  des 


a  r 


licht. 


Alle  diese  tieferen  Wolkengaltungen  entstehen  aua 
schlügen  von  WasserdSnslen,  emporgestiegen  entweder  i 
Ort  der  Wulke,  oder  aus  fernen  Meeren.  Hoch  über  ihnen  «hw»' 
ben  die  sogenannten  I.SinmerwoIken,  (cirrho-cumulus),  welsit 
Wolken  von  leicht  fiockigem  Ansehen.  Sie  treten  vereinzelt  lis 
in  Gruppen  auf,  welche  dann,  iihnlich  dem  unter  Nr.  I  erH-Htmin 
Wetterbauni  eine  Riciitung  von  N.  W.  nach  S.  O.  zn  haben  pll^ 
gen,  indess  geslalten  sie  sich  mehr  als  breite  Gürtel.  Sind  d 
Reihen  getrennt,  so  nehmen  sie  auch  wohl  die  strahlenrUrmigt 
Gestalt  des  Wetlerbaums  an,  doch  sind  die  Reihen  dichter,  vi 
die  Wölkchen  kleiner  und  neisser*). 


•)  Knainoi  Bd.  4  S.  144  Da  H  u  ro  boldl  die  reihenförmif^  iW- 
ilung  ..der  kleimlcii  iiud  fiiins^n  cirrhu«  Wölkclien"  *un  dem  ■( 
dichterem,  oft  ^luiieiu  Gruülk  lieii  eh  enden  WetterliBDm  nicht  untencbll-| 
det,  an  acheiiil  er  der  Ansieht  genesen  z»  sein,  Kaia  beide  Bildua|<l| 
in  einaodHi'  übergelicn. 


soa  der  ntmospltäre. 

Es  würde  schwer  begreillich  sein,    wollte    man  \a  so  grossen 
Ohen,  bei  so  hohen  Kältegraden,  und  in, einer  so  sehr  verdünn- 
n  und  trockenen  Luft  mächtige  Wasseniiederschläge,  aus  Was- 
Hrdüneten  bestebenti,  erklSren;  mit  Recht  aber  bringt 


:htui 


|MiatEt    auf    vieirache  Beoha 
'jFnbJDdung*), 

Ehe  ich  eine  Erklärung  b^der  Erscheinun| 
icli  noch  einige  ünisISnile  berühren,  welche, 
den  ersten  Blick  jenem  Phänomen  zu  liegen  i 
iija  in  unmittelbarer  Verbindung  stehen. 


mit    den  Polarlichtern  i 


30  versuche,  inuss 
io  entfernt  sie  auf 
cheinen,   doch   mit 


1 


'  bereits 


ter  Nr.  I.  gedachten, 
ielten  übersteigenden  Ge- 
dieses  Stoffes  ist  jedoch 


Die  Kohlensäure,    deren 
Uldet  einen  sehr    wechselnden,  - 
iHDgtbeil    der  Luft.     Das   Vorkon 
^  «ehr  eigeutbümliches. 

Die  Kohlensäure  ist  fast  um  die  HSifte  schwerer,  als  afraos- 
gliGlIsche  Luft").  Sie  steigt  desshalb  in  dieser  nicht  nur  nicht 
,fc  die  Höhe,  sondern  sie  sinkt  vielmehr  fortwährend  in  die  Tiefe, 
■ftunielt  sich  sogar,  aus  der  Luft  sich  ausscheidend,  an  tiefen 
Ugegchlosseoen  Stellen,  in  ungebrauchten  Brunnen,  und  dergl. 
^t  in  erstickender  Menge.  In  Berührung  mit  Wasser  gebracht, 
fhi  sie  von  diesem  begierig  verschluckt;  das  Trinkwasser  erhält 
dtirch  sie  seinen  frischen  Charakter.  Ueber  dem  Meer  verschwin- 
nt  die  Kohlensäure  in  der  Kegel  gänzlich,  und  ist  nur  dann  auf 
buEe  Zeit  vorhanden,  wenn  starke  Winde  oder  Regen  sie  aus 
WD  Wolken  herabwehen.  Dabei  bekunden  alle  genaueren  Aoaly- 
Hu  Gbereinstlmmend,  dass  Luft,  aus  grosseren  Hüben  geschüptl, 
hfehr  Kohlensäure  enthält,  als  solche  aus  der  Tiefe***). 


ch  aor  Chemie,  S.  S3ä  :  Luft  auf  einer  Wieie, 
See,  enthielt  liei  traclmer  Witterung;  i>M^O 
irei  Gas  auf  IW  Maain;  nach  langsBuiem 
eil  .,dio  Feuclitigkeit  des  Buden«  die  Kohlen- 


l 

•)  ibidem. 

-)  Spee.  Gewicht   1,4 

i 

•*-)  Gmeli 

n,  Hapdli 

|l  Meter    über  d 

eu.  GenfE 

bi. 

0,0518  yUaM 

:   liahleni 

N 

en  0,0351  bii 

1  0,0425. 

Ib. 

■e  durch  Abs 

.irptüin   1 

Die  Lnfl  au 

l  dem  Be 

I 
I 


verniinderl- 

ithielt  melir  lioliU 
Wiese,  li«zuO,0.i5T  aUu  im  Verhältnise  vun  0,0äl8: 
Schlaglotweit  hat  in  Indiun  und  TübeC 
pemaeht.  Die  ({»hleniäure  bei  «chwachem  Wini 
a  HtaTkem  Winde  wie  0,037S  :0,o:i98.  ,,weil 
baren   Lof  tsch  ichten    iMit    den    unteren 


saure,  mU  die  auf  der 
I,0ö57  »der  wie  95: 100. 
be  Beobachtung 
lielt  sich  zu  der 
kec  Wind  die 
hl."       Dage|;eu 


^et  aicli   di 
rdla  gai 


licht. 


Kofalensäure   über   dein 
(Fulgen  Beispiele.) 


306 


■.  Pfeil:     Beiträge  aar  Lettre 


Wie  gelang  nun   das    «chiverere,    ttoloriscb    vou    oben  daeIi 
Dillen  Hinkende  (^3s,  ia  die  Hüben  der  Atni»sf)härp,    uod  eoduI    | 
«vi«  gelangt  «a  dorthin  in  griisserer  Men^e,  aU  e»  in  den  Tic 
rnrhaoden  ist;  und  endlich,  wo  und  tv'ie  lindet  der  ErsalE  ditt 
«n  massenhaft  roni  Meere  und  vom  Wasser  überhaupt  versdiltKlir  I 
ten  (iaseg  statt? 


Die  Chemie  beatifHortet  diese -Fi 


■agen. 


I 


Dan  Wasner  wird   bekanntlirh  durch   den  elektrischen  Stnft  1 

in  Wasserstoffgas  und  Sauerstoflgas   zerlegt.     Offenhar   betrirlni  I 

.  die  getvalligen  elektrischen  ätrüme  des  Erdkiirpers    diese  Zfi)»  I 

guiig  in  ungeheurem  Maassstabe.     Das  (legenlheil  dieser  ^ 

wQrde  völlig  unbegreiriicb  sein. 

Uas  schirerere  Sauerstoffgas  mengt  sich  leiubt  mitdenWu-l 
ser.  Es  liefert  den  Atbem bedarf  aller  Gescliupl'e  des  Meeres  uAV 
der  süssen  Gewjisser.  Aus  dem  Meere  und  aus  dem  Vlm 
üiteThau|it  ersetzt  die  Atmosphäre  den  Abgang  an  Sauert^ntH 
zu  dem  constanten  Maassverhältniss.  Umgekehrt  geschieht  a 
gewiss  nicht.  Wenn  auch  ein  Theil  des  Sauersloffga 
cessen  der  organischen  Natur  sich  abscheiden  mag, 
das  unveründerliche  Yorknmmen  eines  so  weit  verbreiteteD  S 
les  am  sichersten  aus  grossartigen  chemischen  Processeii  i 
ganzen  Erdballs  %\t  erklären;  zumal  da  über  das  Vorhftpdeii(| 
solcher  Procesae  nicht  der  mindeste  Zweifel  obwaltet. 

Der  andere  IStoff  der  Wasserzerlegung,    das  Wasseretolgi 
gebt  mit  dem  Kohien.stoff  Verbindungen  ein ;   Oel  bildendes  »uf 
Grubengas  *'') ,     und    viele    andere.      Mit    reinem    Wasserstoff 
gemengt,   geben  sie  das  Leuchtgas,  welches   in    unsern  Gm 
men   brennt***).     Ein  Theil    des    Gases  mag   sich   /.u    Erdül  t 
dichten,    der  bei   weitem  grOssere  steigt  nach  oben.     Man  k 
das  Aufsteigen    aus    unmittelbaren   Gas-  und  Napbiaquellea. 
Kohlengruben  aus  Schlammvulkanen,  vielleicht  den  VnlkaneKBi 
hauptf),  aus  den  Processen  des  thierische«  und  Pflai 
Der  bei  weitem  grösste  Tbeil  »mag  unmittelbar  aus  dem  S 
aus  den    Poren    der  Erde   nach   oben  schweben,    uDwaln 
dem  Beobachter. 


*)  4  M.  G.  WRgneratolfRBa,  2  «•ihlentlnn'.    Spec.  Ge«^  ■ 
•^  4  H.  R.  WaMentiifT,  4  holtlenstoif.     Spec.  G 
***)  Engl.  Leuchtgas,  S|iec.  Gew.  in  MiLicl  ÜA16. 
t)  KoBuioi,  Ud.  i.  S.  355  und  if. 


no«  (Ut  Alm/ispMre. 

GI«ici)v\-obl  hat  man  in  der  AtinospbSre,  eoneit  eie  ud8  a 
fdEagUcli  \»\,  noch  nieniuU  die  Wasser^toffgase  gefundan.*)     Was 
ilto  wird  aus  ihnen,  deren  Eniporist eigen   wir  kennen,  und  welche 
tleübvvohl  für  die  Wahrnehmung  verscliiviiiden? 


Kohl 
ErdoberQäch 
ler  Menge   i 
Beide  Gase 
iHlbäre   und 


quillt  aus  dem  Bnden  und  verbreitet  sich  auf  der 
tuch  Stickgas  i^teigt    aus  den  Vulkanen  in  grns- 

obcn  zum  Tlieil  mit  Sauen^toffgas  gemengt**), 
in  bekanntlich  einen  Mischtheil  unserer  Almos- 
lerhletlien    hat    nichts    aufrallendee.     Alle    diese 


ÜStoSe  geJangen  hinwiederum  mit  dem  Re^cnwaxser  in  die  Tiefe. 
SBiw  fax  das  Verbleiben  dex  W ai^s erste  ffgae es  und  der  Kohlenwas- 
ijlUdoirgas«  sind  vtir  geniitbigt  eine  Verwendung  aufzusuchen, 
iReil  sie  unmnglieh  spurlos  verschwinden  küniien. 

Da  die  Wasserslnffgase  nach  oben  steigen,  so  mßsi^ten  sie, 
9tmi  sie  keine  Veränderung  erlitten,  in  den  hiichsten  Schichten 
mn  Lullkreises  über  der  almosphärlschen  Lufl  sich  lagern  und 
mt  ohne  Ende  anhäufen***),  und  mau  tvnrde  die  Anliäufunf; 
hrch  erhöhten  Barometerdruck  erkennen.  Geschieht  dieses  nicht, 
n  «erden  nir  die  emporsteigenden  Stoffe  wiederliuden,  indem  wir 
W  in  anderer  Form  zu  uns  zurtickkeliren  sahen. 


')  Nur 


irn    Immnniak^aB 

•■)  Koamiw,   Bd.  4.  S.  49ä, 
'>   "^   Es   ist  zwnr  iliir.h  Vcrai 
ri.|.fl.areFiÜ»siKl<«ite: 


ichp  fesc^eiitrltt .  da«  alle  Gase,  üben 
n.  die  Ki|;FniiRhaf(  hallen,  xicli  unlerein- 
eU  gilt  JBduch,  wie  ilte  VersiirJi«,  mir 
Sehichl^p  von  geringpj'  Dicke.  Ka  liitJot  ala«  gteichaam  eina  Knar 
I  mit  der  Ailbäainn  <1er  Haarröhrchen'  SeJir  hohe  Luf schichten  nnil 
t  linfe  Wasaersi'hii'htcn.  wie  aii;  iiiuere  Atiuas|ihäre  uiiü  <la(  Meer 
I  jenem  Gesetz  keineswegs.  Aiichc  nur  sind  die 
ghiinKsTerliQltnisie  de«  Wssserdunetcg  und  der  Kohlenaäurc  in  iler 
I  renchieden,  wir  wisiien  «ngar  an*  Erführiing.  das«  «ieh  die  Kuhten- 
rLufi  nni^fa  mften  hin  aliinndurt,  <mil  in  den  Tiefei 
eliensn,  dasa  die  Wn4Ker.>c«ir^a.e  in  der  iltmns|ihHr<.-  nar.h 
.,    uhne   sich,   in   ilen   uns   iii{rängliGh«D  Höhen,    mit  dieasi 

F  da«  Sanorslnff|;aK   scheint    hiervnn   eine  Aiisaahme  zh   machen. 
B  gleiitbaain   klebende  Kraft    hesitM,   TfruHige   welcher  es 
T  daa  Wautir  nnri  lehr  «iete  andere  Körtiar  dnrrhitringt.    ahne 
it   ihnen   »he.nUd.e  VerhtndiinRon  einznfcehen.     Indetn  iil.  wie 
■ogar  der  SauenttulTgehalt  der   Luft  in  dun  iiberen  Schichten 
i  wenig  geringer. 


I 
I 


r 


m'^ 


.  Pfeil:    Betiräge  zur  UJire 


LeUteres  ist  in  <l«r  Tbal  der  Füll. 
Gase  sind  Wae^serstoffgas  und  KohleriMasisprstiiffga 
Gase  werden  in  bisher  tiubekunnten  Hüben  stcb  mit  Her  Atm 
Sphäre  mischen,  dort  sich  zersetzen  und  neue  Verbindnngea  ei 
geben.  Die  enteteheoden  Produkte  sind  Wasser  aus  Wassi 
Stoff  and  Sauerstoff,  und  Kohlensäure,  ans  Kohlenstoff  n 
Sauerstoff  gebildet.  Wir  finden  das  Walser  in  dem  Lämmerf 
»rdk  und  ifissen,  dass  dieses  ebenäo  wie  die  Kuhleusäure,  il 
beide  Producle  der  Zersetzung,  xu  uns  herabsinken. 

Die  Verbindung  von  Wussereloffgas  und  SauerstofEgu  I 
bekanntlich  mit  einer  Lichterscheiuung  und  mit  Geräusch  verhl 
den.  Der  vorstehenden  Entwickeln ng  würde  ein  wichtiges  GVl 
fehlen,  wenn  beides,  oiler  mindestens  die  Lichterscheinuug  dM 
beobachtet  worden  wäre. 

In  den  Polarlichtern  jedoch  kennen  wir  eine  solche  Lid 
Erscheinung,  welche  ganx  der  Art  ii^f,  dass  sie  dem  Proeess  ti 
Verbrennene  von  Wasserstoffgasen  entspricht*). 


Wir  erinnern  uns,  dass,6üdwei*tliche  Winde  in  faüherenL^ 
der  Atmosphäre  biswellen  parallele  Wolken  streifen  von  N,  1 
nach  S.  0.  hin  zusammen  wehen,  den  sogenannten  Wetteibikp 
In  ähnlicher  Weise  niOgen,  in  noch  grosseren  Hüben,  Winde») 
niederen  Breiten  kommend,  (also  überall  auT  der  Erde  in  et* 
westlichen,  ge>;en  den  Pal  geneigten  Richtung)  ähnliche  Slrdi 
von  N.  W.  nach  S.  O.  hinwälzen,  nicht  aber  aus  WasserdaMU 
bestehend,  sondern  aus  einem  brennbaren  Gemisch  von  Leod 
gas  und  atmosphärischer  Lufl,  aus  unreinem  Knallgas. 

Ob  diese  Streifen  in  der  That  der  Richtung  der  magoeliwtl 
Meridiane  folgen,  oder  nur  im  Allgemeinen  einer  Richtung,  tnl 
recht  auf  die  in  der  H5he  streichenden  Winde,  diese^  interessBtt 
Thatsache  verdient  gewiss  die  sorgfältigste  Prüfung**), 


.  «■■I 


*)  Han  will  bei  Nordlichtern  auch  Geräusch  gehui 
Sicherheit  der  BeoliBohlnng  wird  indei»  lienweifett.  (K 
S.  Iie.).  Ich  licmerke,  da»  das  Fehlen  eine«  «olr.hen  GeräusdiM  lli 
wolil  aus  der  groBsen  Höhe  der  ICriieheiniingen,  aua  der  Schwäoh*  i 
Schalte!  in  der  »ehr  dünnen  Luft,  nnd  aas  der  Abschwächun^  dM  | 
ringen  Schalles  heim  Uehergnug  in  Hichtore  Luflachichlen  erkläTH  lil 
**)  Man  hat  AbweiefauDgen  in  derllichtung-  der  Slreifeu  g^M^ 
inagneliachen  Meridian  vnn  „mehr  aU  II""  lioohachlet.  AueIi  dri 
■inh  die  Riehlnng  der  Slreifen  während  der  Krtcheinung-.  (KoM* 
Bd.  4,  S.  2U3.  und207.).  Der  häehme  Funkt  dei  Lufcbugens  ist  g««il 
licli  nicht   im   maf;neti«chen  Meridian,    sondern  h"  faia  I8<*  abweiA 


rirn  der  AtimipMve.  369 

Solche  Streifen  entzünden  sich  in  unsern  Breiten  in  der  Re- 
get am  nürillichen  F^nde  zuerst,  wohl  demjeuigeo ,  wo  die  Gas- 
inhSurung  am  dichtei^ten  ist.  Sie  hrennen  von  Norden  gegen  Sü- 
den bin,  doch  oft  auch  heginnt  die  Entzündung  von  beiden  Enden 

mgleicli. 

luh  beobachtete  das  Aumammen  in  lü  —  20  Sekunden,  auf 
^e  Länge  von  55—60  Graden*).  Die  Streuen  erschienen  zuerst 
Mtweisa,  dann  Türbten  sie  sich  roth  und  riither,  während  zugleich 
£fl  Intensität  fortwährend  schwächer  wurde,  zuletzt  erlosch  und 
»rschwand.  Man  nahm  gleichsam  das  nach  und  nach  erfol- 
gende Kühlerwerrlen  und  Kaltwerden  <les  glühenden  Gases  tvahr. 
Eile  weissglühende  Eisenstange  würde  sich  heim  Erkalten  nicht 
^1  anders  gezeigt  haben. 

Die  StreiTen  sind  in  der  Färbung  nicht  ganz  gleich,  wohl  in 
folge  verschiedener  Mischung  der  brennenden  Gase,  sie  zeigen 
fiegenbogenfarben**);  ja  es  sind  inn  Nordlicht  mehrfach  auch 
schwarze  Flecken  und  ein  schwarzes  Segment  unter  demselben 
'btofaacbtct  worden.  Das  schwarze  Segment  würde,  wie  gezeigt 
iiiMden  soll,  als  die,  jeder  Gasflamme  analoge  Erscheinung  zu 
I^Hten  sein,  welche  sich  auch  im  Sonnenlicht  wiederholt:  als  das 
|lM(lase  Verbrennen  nämlich  in  der  tieferen  Schicht  einer  Flamme. 
1^1  diese  Erklärung  auch  für  die  scbivarzen  Flecken  und  schwaT' 
&  Streifen  im  Nordlicht  ausreicht,  lasse  ich  dahingestellt.  Man 
^«■le  auch  an  ein  vergleichsweise  lichtioaes  Verbrennen  reinen 
iWuserstnffgases  neben  der  Flamme  von  Kohlenwasserstoffgas 
Üenkai***). 


n  Bild«. 


pK^  der  Seite,    wohin    die  mH^rnct. 

petB  Umatände  würden  mehr  auf  V^ 

Wtdk  Winde   gebildet  wird,    woran 

f>  litgt  der  Gedanke  einer  ähnlichs 

jkn  wnhl  «ehr  nnhe. 

I  ')  Schnn    dieee  Langsambeil 

M  *on  einfachen  eleklrUclien  Prni 

hatlich  aL-hnell  lind. 

I        *•)  Koamox,  Bd.  4.  S.  I», 

**•)  Ich  gebe  die  BcobadXung  des  "Sax 
iel>  ^er  SehleiiBchQn  Zeitung  Nr.  191. 
i  „Kin  aoltrin«e  Xnrdlir.hl  zeigte  »tcli 
\  Ulir.  DaMelbe  be(;ann  ein  wsaig  fiatlich 
IM  aicli  «iann  nach  WEslen,  so  dass  der  Pli 
ifun-      UaraiiE  zeigte  «ich  daMellie  Astlieh  to 


es  ürtea  sieh  richtet. 
Wenn  der  WetlerLaum 
na  Niemand  iwelfeil, 
a  höheren  Wetterbau- 


peba  bia  gigen  80' 


Hübe   wohl    55«    lind   60> 


[ertcheidet   dai  PnlnrUcht  weaent- 
Mea,  welche  heknnnllich  h 


m  Gnmdnnncralnge  Abends 
eben  Jnpiler  und  verbrei- 
KV  etwa  deiaen  Mitte  ein- 
I  Polafitem  und  die  Breite 


BeUräge  'iur  Lehre 


1 


i»u-.i   'iiF  ^  erb  reo  nun»  rfer  streifen  Kes 
Jvatt't    att(   >i»lienRln>ii[re  Säulen,   ivelche  an   ihrer  c\-IiD(lri8 
OUfUfkb«  brennen.     Auch  der  hohlcylindnai^he  ÜunstuiedeFSi 
kOuAle  iJie  C^irfaeu  veranlassen. 

Üi«  Colnrlicbter  zeigen  keine  ivahrnehmbare  .Ablenkung 
tidiUs  der  Gestirne,  welche  man  durch  sie  «thticlit*).  Unri 
ibi  nabl  in  der  Hiihe  der  Erscheintiiii;  und  in  der  an  sUih 
gelingen  Strahlen h rech un;;  zu  suchen,  deren  Veränderlie 
darum  für  die  Beobachliiug  verschviindel").     Dass  Aas  Pola 


Um  Nurdlinlit  begunn  hlnranF  vn 
••  itai)  calatxt.  gegpn  lO  tlhr 
Lifht'cIiimmiT  n'ir  norh  arliwn 
nii'liU  weiter  zn  tchen. 


Wea 


IlG   Spur 


n  geg-eii  Ölten  hin  «a  rerläi 
ID»  üailicli  vom  Pnl  <ti)r 
eigts.      Um    10^   Ubr 


Die  Lii-h(i.TaRlieinnn<;  li^gnnit  «tets 
in  10  fiia  SU  ScknndPR  ihre  vnMxtHnriiir. 
lind  auf  dem  Horizont,  rait  sEhwuchn 
reehl  (landen.     Uleae  f;inj>ni  naeh  nni! 


er»Hiieden. 
der  Kegel  hiiuLeti 


mit  rnnlt  weiaten  Streifen,  il 
l.ünf;«  rind  IJrh(<iiärh<>  errci 

Äeif-"«»;  auch  O.lm.  fMl  - 
nnd  nach  in  ein  hsllere*  dawi  J 
mal  wnrde  ein  schw«ri«r  SiraifM 
'«ifun  reichten  einigo  Mnle  lili  nn  den  llnr>tn|l 
e  ciniRD  Grade  diivun  entt'nrnt.  Ilie  üiiiaemeti 
der  de«  ,\«rdtjchtti  moditoti  nni  höululena  1U°  niich  imlen  convcu 
Während  der  j;aDzrn  Emi^huinnng  war  keine  S^xir  eine*  Wölfe 
linier  i'der  iielien  der  ErHeiieinun^  zu  gehen,  auch  nncliher  bir«) 
Himmel  vnllilotninen  Itinr.  En  ki>nnt<-n  Sterne  driller,  (jener,  \ 
fünfler  Griiaae  dureh  lina  Nordlicht  deutlich  gesehen  werden,  tl 
iintor  iitiil  nellen  deinaelLen. 

Nur  ein  ^ani  bnrzer  und  achwachor  Stratn*  erichien  ohne  ZU 
mviiliang  mit  dem  KordÜrhl  iinler  J>i|iiler.  dieht  nni  Hxriiont.  — 
Miinjfel  nn  Cirrii«  (Lriinmerf^-owölk)  int  merkwnrdij;,  dn  innn.  nicht! 
Grund,  dn«  Nnrdlirht  mit  der  RildnuR  dieses  Gewrilkes,  mulhinnii 
hiilter  Schneewolk<"n ,    \a  Verhindung  Iirin(;L" 

Her  Hehwarze  Streifen  ist  von  mehreren  BeobHehtern  auf  d«r  | 
Inner  Siernwnrte  und  nach  bei  andern  Nni-dlichtern  wahrgennmiUen*' 
den,  «.  ß.  hei  einem  Ntirdlic^ht  in  diu  lOj^er  Jahren.  \btg\.  E4 
Rd.  4.  S.  U3.     F:in  anderer  Renhnehler  arlireitit  nneh  :  '  '. 

,.Man  kann  «ie  nirht  Simhl  iieiinen,  da  sie  weder  unten  va^ 
wurnn.  niirh  nncdi  cilii-n  in  einen  Mitlrl^iiiillt  znnBininen  liefen,  irM 
wohl  «unnt  bei  Nnrdlirhlern   husrbrrilit.  "• 

*}  Knsmna,  Bd.  4.  ! 

••]    ReisgiieliWEiiie  25«   Ilöho  bm  n;;!  die  miltlrre  Refrarlinn  ^ 

bei  45«   beir.i^'I   «in  0'  66.9»    fnr   einen  Baninieierotand    von  2T.17» 

einrr  Wärme  vnn  ia"C.     Die  Rvfcnrlinn  verhnlt  airh  wie  der  Rarn« 

«t«od,  sie  moB«  aI*D  in  bedeutenden  Höhen  an  «ich  iua 

I   ihre  Verinderlichkeil  höchst  unhedeuiend  sein.     (Uohndl 
gnpblarhe  Ortsbeatimmuag'  Hl). 


^nndel  nirlcl,  hat  es  eionsl  lail  an«<i  atKMwplkSrH 
itlien  Erscheinungen  «rRi«tn ,  gast  besonder«  Mif  fallMu)  ahmt 
«(irde  es  oeiii,  wenn  »iiie  Zusamm  etisetzaas  vo«  Wacsar, 
ans  geinen  Bestand tti eilen,  ui«  vli  »ie  in  >>orifllclil  «rteBM« 
Rflgsen,  nhne  elekfrisclie  Rei^ongen  forüber-inge,  irikrefl^ 
ZeVlegntit;  ites  Wassers  b^annlKcfa  aus  eMtmchen  Ri 
Ub[>rin^t.  Die  Wirkan«  <les  NonlHcbtes  auf  die  !tlttsnefDadel 
^b(  einen  uenen  Beireis,  da^s  der  VerbreniiDn^proe««s  tw  der 
riekttischen  Wa^&erzersetEun^  correspondirvsiler  ist. 

Die  Polarlicbter  ^ebeu  AurscMoss  Gber  ein  Vorfcommen.  für 
welches  liis  jetzt  jede  befriedlE^ende  Ertlamas  üefeblt  k«t.  £« 
Meine  allsiemetn  angenommene  Tfaatsacbe,  das«  in  einer  ItüberBB 
Lnßschicht  eine  Windströmuni;  «on  den  Polen  her,  Eeeen  den 
Aequator  hin  staltlinilet,  »eiche  beilrigt  die  Pas««tw-iMle  n 
Krmiltelii.  Eine  solche  Strümang  ist,  ans  oieckanisclten  GtvaileM 
IhiT  müglich,  nenn  tsie  leichler  ist,  al^  die  darunter  etretcfaeDdeti 
Winde,  d.  h.  »enn  sie  wärmer  oder  fencbler,  oder  beides  ist. 
Die  Ursachen  einer  solchen  oberen  LuflstrOmang  waren  bis  jelit 
mbtliBnnt  *).  Das  angedeutete  Verhalten  der  Polarficbter  jedoch 
gewährt  oiiB  Einaicbl  in  diese  Crsacheii.  I>ie  PoIarÜchter  Hain- 
nea  in  den  hohen  Breiten  Tast  tliglich  "} ;  wir  erkannten  la  ihnen 
«IDS  Erhitzan:;  brenhender  Gase,  sogar  bi«  zum  Glüh««.  Wir 
'Ulien  die  Dunstniederschläge  aus  ilen  hr>clisten  Schtchleii  der 
AtmoKphSre  in  der  Bildnng  des  Lammergewülks.  Die  Laft  die. 
ier  Schichten  ist  also  mit  Feacbtigkeit  getiältigt,  ja  Überwältigt. 
Kein  Wunder,  das»  sie  über  den  tieferen,  schwereren  Schichten 
Badi  dem  Aetiuator  htnstrünit. 

Die  Niederschläge,  reelcfie  das  Flnssgebiet  des  nrirdtichen 
I «tarbecken» ,  zumal  die  gewaltigen  Strome  Sibiriens  speisen,  ~- 
[etrennl.  »ie  diese  weile  Tiefebene  ist,  von  den  Niederschlagen 
^ticher  Winde  durch  die  höchsten  Gebirge  und  durch  die  au«- 
Jldehntesten  Huchebenen  der  Erde,  —  sie  deuten  ebenfaUd  auf 
(rfÖBse  aus  höheren  Schichten  der  Atmosphäre,  wie,  neben  des 
husten  einer  theitweise  offenen  See,  das  Nordlicht  we  gewäli- 
■a  mag. 

Obwnht  die  Polarlichter  sich  ge^n  den  Pol  hin  fiWr  riete 
Initengrade  erstrecken,  m>  pOegen  sie  doch  scheinbar  de«  Ho- 
^nt  flicht  va  erreichen,  so  dass  zwischen  ihrem  untern  Ka*Ml 
IhI  dam  Horizont  ein  nanihnries  Stück  des  oft  ganz  ungetrAbten 
s  sichtbar  bleibt. 


1 


•)  Muary,  Phjiical  geogmpbj'  of  tli«  i 
■*>  KMKiai,  Bd.  I.    S.  3113. 


r372 


.  PftH:     BeUräge  zur  Lehre 


Der  Gruad  davon  durfte  in  der  Strahlenbrechung,  i 
Bekanntlich  gelangt  der  Licbt»itrahl  der  Gestirne,  und  ebenso  i 
aus  höheren  Schichten  der  Atmosphäre  an  die  Erdoberfläche 
einer  Kurve,  deren  hohler  Bogen  nach  der  Erde  zugekehrt  i 
üer  Kriinimung^halbmeBser  dieses  Bogens  und  insbesondere  s 
uea  untern  Tlieils  ist  kleiner  als  der  Halbmesser  der  Sphäre  ij 
Polarlicfites,  vielcber  noch  um  einige  Meilen  grüsser  tat,  aU  C 
EriibalbmesHer.  Derjenige  Bogen  nun,  welcher  die  (optisch)  fii 
sten  Lichtstrahlen  dem  Beobachter  zuführt,  wird  die  SphSre, 
der  das  Polarlicht  brennt,  tangiren.  Alle  Lichtstrahlen  tuitb 
zwischen  dem  Zenith  und  dem  Berührungspunkte  jener  Sphl 
und  dieses  Bogens,  tverden  in  das  Auge  des  Begbachters  g^ 
gen,  die  entlegeneren  hingegen  nicht. 

Wäre  in  nachstehender   Figur:  ^~ 


ein  Uurchschnill  der  Lichtsphfire  eines  PoIar1icfates| 
Ort  der  Beobachtung,  bo  ein  Lichtstrahl,  welcher  in  einenr  1 
seiner  Krümmung  bei  h  jene  Sphäre  tangrrt,  so  können  i 
Punkte  zwischen  b  und  :  nach  o  Strahlen  senden,  die  Pnid 
zwischen  b  und  n  jedoch  können  es  nicht,  weil  sie  schon  früli 
etwa  bei  g,  die  Erdoberfläche  erreichen.  Das  Auge  kann  indes« 
von  dera  Zwischenraum  bh  noch  Strahlen  empfangen ,  und  die 
werden  das  Bild  des  zwischen  mn  und  m'n'  helindlicben  scbw 
«en  Segments,  oder  das  des  Himmels  niedergehen,  weil  der  I 
gen  oh  flacher  ist,  als  der  Bogen  ob.  Das  schwarze  Segm 
kann  auch  allein  bei  k  erscheinen,  wenn  das  Lichtphänomen 
n  noch  EU  lief  steht,  um  Strahlen  nach  o  zu  senden.     Die  Erscl 


här-.  373 

Fata  Morqana  einige  Aehn- 


Rrnn  der  Atmos. 
mit  dem  Vorkommen  de: 
»en. 

'    Eine    interessante   Bestätigung    der    Natur    des    Polarliclites, 
«Ines  Aufbrenneiis  von  Gasen,    liegt  noch   in   dem  Umstand, 
p  Tallende  Meteor«  dasselbe  gleichsam  entzünden  *). 

\   Man   glaubt,    dass  die  Nordlichter    kalte  Witterung  bringen, 
i^äre  leicht  begreiffrch,   das»  sehr  hohe  Schneeniederschläge, 
das  Mordlicht  sie  beuirlit.  Kälte  im  Gefolge  haben. 

;    T4och  bleibt  der  Umstand  zu  erkläreu,    dasä   die  Polarlichter 
[  an  den  Polen  aufbrennen,  nährend    sie  die  niederen  Breiten 
nicht  oder  doch  buchst  selten  erreichen. 

Ich  wäre  geneigt,   dafür  folgende  Grffnde  anzaruhren:' 

Es  steigt  zwischen  den  Wendekreisen  fortivShretid  irarmo 
rt  empor  und  bildet  sehr  hoch  streifende  Winde  gegen  die 
le  hin.  Diese  Winde  halten  muthraaasslich  das  Kohlenwasser- 
Itgas  von  den  niederen  Breiten  ah.  Dabei  ist  die  Schicht  der 
lOsphärischen  Luft  Ktvischen  den  Wendekreisen  erheblich  hiE- 
s  als  in  der  kalten  Zone,  wie  es  der  Barometerstand  beweist, 
cfaer  dort  hüher  ist,  als  mehr  gegen  Norden  und  Süden  ^*), 
robi  die  sehr  warme  und  feuchte  Luft  schon  ohnehin  ein 
Isseres  Volumen,  also  bei  gleichem  Barometerstand 
Bsere  Hübe  der  Luftschicht  bedingen  würde.  Ferner  wird,  bei 
'  Zersetzung  der  atmosphärischen  Luft  durch  das  Polarlicht, 
Bkgas  frei.  Auch  steigt  Stickgas,  wie  bereits  erwähnt  ivurde, 
\  den  Vulkanen  nach  oben.  Dasselbe  w'kA  sich,  da  es  wenig 
illiter   ist   als    die  atmosphärische  Luft  ***),    aber  schwerer  als 

Wasserstoffgase,  zwischen  beiden  tagern  und  dort  gleichsam 
«  trennende  Schicht  bilden.  Diese  trennende  Schicht  wird 
^«h  die  Rotation  der  Erde  mehr  nach  dem  Aequator  hin  sich 
iiSnfen.  Wir  iverden  einer  ähnlichen  Erscheinung  unter  Nr.  V. 
feegnen. 

I  Alle  diese  (Jründe  dürften  vereint  den  Beweis  liefern,  dass 
a  Polarlicht  gleichsam  den  Sclilussstein  zu  der  Erklärung  einer 
hzcR  Reihe  von  Thatsachen  liefert,  welche  uns  sonst  vitllig 
begreiflich  bleiben  würden. 


•)  Kosmoa,  Bil.  1.  S.  n 
")  Maury,  Fiale  XVt. 
•••)  Specif.  Gcw,  r  0,968. 


974 


^m 


'.  Pfeil:    Reilräge  vir  Lehret 


III. 

IN  «  t  e  o  r  e. 


r 

^^^H  In    dem    vorstehenHeD  Aufsalz    dürfte    A'\ 

^^^1  aber    unserer  atniogphärUclien  Luft    eine  Schiebt- W( 

^^^H  lagert,  bereits  bewiesen  sein.     Die  Gründe  für  diese  Bi 

^^^V  sind  jedoch  noch  nicht  erschöpft. 


I 


Das  Verkommen  der  Meteore  gibt  einen  anderen, 

der  starken  Beneis,  dass  die  äussere  Schicht  unseres Ld| 

nicht  atmospbSrische  Luft  sein  kann,  sondern  dass  sie  a 

leichteren    Gase  besteht,    und    zwar,    dass    dieses    Guj| 

stoffgas  isl. 

Die  Meteore  erscheinen  uns  als  plötzlich  audeueht« 
ken    oder    feurige    Kugeln.      Ihr    fester    Körper    ist  nieii 
klein ,     dass    er    sich    der  \^'ahrnehmung    entzieht, 
leuchtend  augenscheinlich  In  dem  Augenblicke,  wo 
kreis    der    Erde    berühren.     Die    Schnelligkeit    ihrer    B^ 
welche   sogar   die    der  Planeten    übertrifft  *),  presst   dati 
welches  sie    eintreten  und    welches  sie  durchfliegen,  i 
Gewalt  zusammen,    dass  es   glühend    und    damit  leucble| 
Offenbar  ist  der  Punkt,    an  welchem   man   das  Meteor  % 
blickt,  derjenige,  no  die  Luft  zuerst  bis  zum  Glühen  t 
worden ;    derselbe   liegt  also  an    der  Grenze    oder   viela 
wenig  unterhalb  der  Grenze  unsers  Lullkreises. 

Die  meisten  Meteore   scheinen  in    der  WasserstoSggi 
sich  aufzulösen   oder  aber  ihre  Geschwindigkeit  zu  verlicl 
dass  sie  aufhören  zu   leuchten.     Die  grösseren    jedoch   : 
als  Feuerkugeln    an    die    Grenze    der  atmosphärischen  1 
zeigen  hier  alle  Erscheinungen,    welche  ein  fester  KürpR^ 
muss,    der  mit  sehr  grosser  Schnelligkeit  aus  brennbarer  I 
atmosphärische  übergeht. 

Wird  nemlich  eine  Masse  Wasserstoff  gas  in  gl^hendeffl  Sl-1 
stände  gegen  eine  Schicht  atmosphärischer  Luft  gepressl, 
muss  sie  esplodiren.  Die  Umstände  der  Explosion  werden  i>  1 
der  Tbat  bei  allen  Feuerkugeln,  ohne  Ausnahme,  beobicklel.  \ 
Die  glühende  Lichtkugel  erlischt  plötzlich  und  an  ihrer  SleUl  I 
erscheint    eine    dunkle    Walkenbildung    von    kurzer    Dauer:  ^  | 


*)  Kosmos, 


I  .    -! 

von  der  Atmasplittre.  375 

iserniflderscblag  aus  der  Verbreanun^  von  Knallluft.  Der  mit 
lenter  Geschwintligkeit  fortfliegende,  oft  ^elir  feste  Kürpei 
1  durch  den  RilclfstoSs  des  explodirenden  Gasea  in  seinen 
f  nicht  nur  vollständig  aurgebaiteu,  sondern  sogar  hüuGg  in 
)(ce  zertrDmmert,  und  diese  Sliiclte  fallen  mit  sehr  mässigai 
chwindigiceit  auf  die  Erde  herab  *).  In  derWas^^erstoffgasscbicIit 
bienen  die  Meteore  leuchtend,  und  sie  wurden  dort,  obscbon 
die  Kälte  des  Wellenraumes  trüge»)  ao  ihrer  Oberiläcbe  bi» 
SchmeUen  erhitzt-  Aufjfehallen  durch  die  Explosion  in  ih- 
Lauf,  fallen  sie  durch  die  kalte  Luft  und  kühlen  sich  von 
n'und  aussen  ab,  ehe  sie  zur  Erdoberfläche  gelangen.  Die 
nelligkeit  ihres  Falles  erreicht  nicht  diejenige  einer  KanonaB- 
el;  eine  solche  tvQrde  iveit  tiefer  in  den  Hoden  eindringen^', 
inter  brennen  Theilchen,  welche  vnn  dem  fliegenden  Körper 
:h  den  Luftdruck  abgestreift  nerden,  noch  einige  Zeit  nach, 
bezeichnen  so  die  Bahn  des  Meteors.  Auch  das  donner- 
liche  Geräasch  der  Explosion  ist  vielfach  gehürt  worden. 

Dass  die  Meteore  das  Nordlicht  entzünden  wurde  bereits 
ahnt. 

Man  hat  sowohl  das  Erscheinen,  wie  das  Verlöschen  der 
teore  in  sehr  verschiedenen  Hüben  beobachtet,  letzteres  von 
bis    zn    eioer  Meile   herab  ***).     Auch  dieser  Umstand    deutet 

dass  in  sehr  grossen  Hüben  verschiedene  Gase  von  sehr  un- 
icber  Beschaffenheit  neben  einander  treten,  so  dass  an  einer  , 
lle  die  Wassers toffgasschicht  weit  tiefer,  an  einer  anderen  die 
osphSrische  Luft  weit  hüber  ist,  wie  eben  Winde  und  Stfirme 
le  treiben.  Ein  gleichartiges  Gas  wörde  dagegen  eine  gleich- 
isigere  Oberfläche  darstellen. 

Die  Höhe  des  Erscheinens  der  Meteore  ist  vielfach  gemessen 
den.     Man  weiss,  dass  dieselbe  bis  zu  62  Meilen,  ja  vielleicht 

über  100  Meilen  Hühe  ansteigt,  wie  bereits  unter  I.  erwähnt 
rde.     Die  grosse  Differenz  in  der  Rechnung  erklärt  sich  Ibeils 

Uar«gelniä8sjgkeiten  dsr  oberen  Atmosphäre,  theils  aus  der 
LWiefigkeit  der  Beobachlung  einer  »o  plötzlichen  Lichterschei- 
g.  £e  läset  sich  jedoch  erwarten,  dass  vervielfachte  B«ob' 
tungen  jene  Grenzen  eiiischränjten  und  damit  die  Hühe  ui^se- 

Luftkreises  näher  bestimmen  werden. 


*)  Kotato»,  Ud.  111.  S.  «OT. 
**)  ibidem. 
•**)  Kosmui ,    Bil.  t. 


S76 


.  Pfeil:    BeStrtige  tutr  Lehre 


Mon  hnt  über  die  Höhe  der  GssumhCillung  i 
unter  der  Voraussetzung,  dieselbe  beatehe  aus  atmoüphSd 
Ijurt,  itiehrfacbe  Berechnungen  angestellt.  Keine  aber  e 
jenes,  gleichwohl  aU  Thatsacbe  zweifellos  feststehende Huj 
Beweis  genug,  dass  die  buchste  Schiebt  des  DanstkreiGe«. 
almosphSriscbe  Luft,  sondern  ein  weit  leichteres  Gas  isLI 
nilein  das  Wasseratoffgas  entspricht  den  geforderten  Bedingi 
Wlire  ein  Dunstkreis  aus  atmosphärischer  Lufl  27,3  Meilen  E 
HO  würde  bei  gleichem  ßarometerdruck  ein  solcher  aus  rsH 
Wassers loffgas  3Ü6  Meilen  hoch  sein  **). 

Das  Vorhandensein  einer,  die  atmosphärische  Lull  iibRll> 
landen  Schicht  Kohlenwasserstoffgas  und  Wasser stoffgits  eibM 
mithin  eine  ganze  Kette  räthselhafter  Erscheinungen  in  den  ohih 
sten  Schichten  der  Atmosphäre,  welche  ebenso  die  VerRiul» 
rung  des  Laien  erregen,  wie  sie  das  Nachdenken  des  Gelehrtü 
beschäftigen. 


Die  Atmosphäre  der  Vorwelt 


War    die    Atmospfa&re   nnaerer    Erde    immer    der    heu 
gleich? 

Es  dürfte  schwer  sein,  irgend  einen  haltbaren  Urund  flr  dii 
Bejahung  dieser  Frage  anzuführen,  wenn  wir  nicht  blas  die  Ztit 
weniger  Jahrtausende,  sondern  geologische  Perioden  ins  Ans* 
fassen. 

Dagegen  sind  sehr  zahlreiche  und  starke  Gründe  vorhaadn. 
die  es  wahrscheinlich  machen,  dass  in  früheren  Erdperioden  d(t 
Saueistoffgehalt  der  Luft,  oder  der  Druck  der  AtmosphSre,  od« 
beides  geringer  gewesen  ist,  als  heutzutage. 


*)  Nach  einer  Bereclmnng   vdn  G.  G,  Schmidt  beträgt   die  Uibi 

r  Atmosphäre  am  Aequator  27,5,    an   den  Polen  27,1  dentiche  Uiilu. 

**>  Das  *pec.  Gewicht  des  WusaeratofFgaies  ist:  0,069.     Die  Wim» 

«luIFgaabfiile   dürfte   das  chemische  Complemenl   bilden   sa    dem  Saltt- 

■lolTgai,  welches  in  den  Gewäaiem  und  in  der  Attnoaphäre  cmthillea  iit 


377 

)uichbIicLen  trir  KunScIist  die  Reihe  der  Thtergeschlechler, 
le  nach  einander  die  Erde  bevütkert  haben,  so  erkennen 
Is  ein  constanles  Gesetz:  eine  Zunahme  des  Athera- 
,rfs.  Im  AnTange  acheinen  nur  dem  Wasser  schnachc 
m  von  Sauerstoffgas  beigemengt  gewesen  zu  sein,  aus- 
jnd  für  das  Bedürrniss  der  niedrigsten  Meertbiere.  Die 
1  Landtbiere  sind  kaltblütige  Arten,  mit  einem  iUinimum  des 
nbedarfs.  Weit  später  Gnden  sich  warmblütige  Tbiere  ein, 
rauchen  weit  mehr  Sauerstoff  zu  ihrer  Ernährung.  Ja,  täu- 
I  die  Skelette  nicht,  so  scheint  noch  in  der  Periode,  »eldie 
er  jetzigen  Zeit  uDmitielliar  voranging,  der  Brustkasten,  also 
runge  selbst  der  narmbliitigen  Tbiere,  grOsser  gewesen  zu 
als  es  heutzutage  der  Fall  ist*),  ein  Umstand,  der  auf 
minder  gehaltreiche  Luft  deutet. 

Is  dürfte  schwer  sein,  für  dieses  VerhSItniss,  irelcbes  ganz 
itritten  und  unbestreitbar  feststeht,  irgend  einen  brauch- 
Grund  aufzufinden,  wenn  nicht  in  der  Atmosphäre  eine 
iderung,  und  zwar  eine  Vermehrung  des  Sa'uerstoBTgehalls, 
eine  Vermehrung  des  Druckes  stattgefunden  hat.  Die  nach- 
ide  Erörterung  wird  zeigen,  dass  die  letztere  Annahme  den 
änden  mehr  entspricht. 

Vir  wissen,  dass  die  Erdoberfläche  in  älteren  Perioden  eiae 
gleichmässige,  warme  Temperatur  gehabt  hat.  Die  Palme 
B  15"  vom  Pol  gewachsen,  sie  hat  also  dort  einen  Polar- 
r,  ja  eine  Monate  lange  Polarnacht  ausgehalten,  ohne  zu 
ren,  und  doch  wQrde  ein  einziger  Frost  sie  getödlet  haben. 

lypotbesen,  wie  die  einer  Veränderung  der  Erdachse,  nie 
iner  heissen  Zone  des  Aethers,  durch  welche  unser  Sonnen- 
n  einst  gezogen  sei,  wie  die  einer  vormals  grösseren, 
aussen  wirkenden  Erdwärme  **),  verdienen  keine  Wider- 
g.  Man  würde  vergeblich  Träumereien  mit  Gründen  be- 
ten. Die  bessere  Erklärung  bleibt  immer  noch  diejenige, 
e  TemperaturverSndeiungen  auf  Veränderungen  in  der  Con- 


')  Si)  zeigen  A'ie  Skelelte  des  MaitoUon ,  Aea  IVIammulli,  eiiieu 
iend  grösseren  BtuslkasUn,  gegenüber  den  ähnlichen  dea  IDiino- 
de-  Elephanten  elc. 

}  Man  «chätzt  dio  Erilwsrme  als  veruiögend,  jührlich  eine  Eis- 
Ton  i"  Dicke,  nin  die  ^anxe  Eide  aufiuthauen ,  während  die 
■wärme  40',  also  I9i0  Mal  au%iel  auftliauen  würde,  Man  lial  in 
in  KäUegtude  bis  zu  60°  C.  (tfuamns,  Bd.  III.  S.  47),  in  der  Tiu- 
n  Wüstu  dagegen   eine   Wurme  lon  554°  im  Schalten   iicubacbloL 


-m 


'.  Ffcit:     BeÜräB«  ^ur  Lehre 


i 


liguratioD  von  Land  und  Meer  euriick  zu  führen  sucht  und  vretcfae; 
z.  B.  die  KisEeit  im  nürdlichen  Europa  gut  erkUirt.  Aber  welcfi«. 
Gestaltung  der  Cnnlinente,  welcher  (loirslrom  wäre  wohl  iml 
Stande  gewesen,  die  Pros (te nipe rat ur  von  einem  Potarwinter  ab-  ' 
zuhalten  '\ 

Wir  tverden  darum  wiederholt  dahin  gedrängt,  die  Ursao&o 
der  feuchtwarmeii ,  und  dabei  gleichfurmigen  Temperatur  der 
Vorwelt  in  einer  verfinderlen  Beschaffenheit  der  AlmogphSre  »irT- 
zusuchen,  und  in  der  That  erklärt  ein  geringerer  Luftdr 
als  der  gegenwärtige,  alle  diese  Zustände  auf  eine  e' 
leichte  als  ungezuungene  Weise.  Ein  geringerer  Sauetsloffgeblt 
der  Luft  (uniTahrschelolicher  an  sich)  erklärt  dagegen  diegleieb- 
mSssigere  Wärme  früherer  Erdperioden  nicht,  wie  die  folgende 
Uarstellung  zeigen  wird.  Wir  sind  deeshalb  genülhigt,  dieie 
letztere  Annahme  fallen  su  lassen. 


Uiitersuchei 


1  Gegenstand  etwas  näher. 


Der  Condor  ist  iu  Hüben  fliegend  gesehen  worden,  in  diM 
der  Luftdruck  nur  12"  am  Barometer  betragen  haben  würde.  M 
diesem  Luftdruck  also  kann  ein  Vogel  noch  fliegen.  Wir  wellw 
darum  10"  Uarometerdruck  als  einen  solchen  annehmen,  io  wel- 
chem die  Müglichkeit,  also  das  Vorhandensein  fliegender  Tbitrt 
aufbürt. 


Unte 


ände 


im  Ba 


*o  geringen  Luftdruck  muss  eine  Ver- 
Temperatur   weit    grossere  Verändf 

eterdruck  und  damit  eine  weit  schrei' 
lere  Ausgleichung  des  gestörten  Gleichgewichts  bi'* 
vorgerufen  haben,  als  sie  heut  v  orkomnien,  oder  otiT 
möglich  sind. 

Nehmen  vvir  an,  es  sei  hei  einem  Barotn eterdruck  vanV 
=  336"'  und  bei  einem  anderen  von  10"  =  130"',  bei  einer  T*» 
peratur  in  beiden  Fällen  von  20'*  C.  die  Lntt  vollständig  ^ 
Feuchtigkeit  gesättigt.     Die  der  Luft  beigemengten  W 

Bis  EU  welcliem  Grade  soll  man  die  Wirkung  der  Erdwärme  Mel^m, 
um  die  KSIle  nur  IiU  zum  Thaapnnht  aiifinwiegenf  Und  ifie  vriUaM 
böi  BDlr.her  Steigerung  am  Aequalor  eine  Tenipei 

eher  irgend   eine  FÜMniB   gedeihen   konnte,    dn   miin   doch   die  Wrrknf 
der  Sonnenwärmu  nidit  anBichliesaen  kann,     gnil  wie  hII 
gieirhiiiiUsr^e  Teiniieratur  auf  der  Erde  erklären, 
-«eiglich   vorhanden  yiatt 


lA.iA^n   r^tf^ 


^sa 


sentiren  nnter   diesen  Bedn^k- . . 
ea   Falle  einen  Druck  tob  ^.'f 
warmer;    die  Luft    und    itr    » 
in    sich    dabei    gleichmSssig  ^u- 
gleicber  Weise  erfolgen,  der  Et 


Laders  aber  geetaltet  sich  das  Veiiiäh 
;et.  Vermiitdertc  sich  die  Temperaii 
so  wird  zunächst  die  Spaunung  des  \V .. 
"  auf  4,354"  verringern.  Während  al.> 
eWasserdnnst  sich  zusammeozieheD,  ivecji^u  •. 
3  von  3,721'"  Waseerdunst  als  tropfbares  Waa 
Die  Zusammenziehung  durch  das  Ausscheide«  «Ur  . 
es  wird  bei  beiden  Luftgeiuengen  erfolgen  iu  il«ti  ' 
a  von  336  :  (336-3,^1)  und  von  120  :  (120-3.7ÜIJ,  , 
n  hei  dem  schwachem  Druck  verhällnissmüssig  grüM 
«teren  Falle  ist  das  Verbältoiss  der  ZusaaimeDEiebu 


» 


-3.7-21)  .(l  +  r) 


[Veiten  Falle  ist  es: 

'""^.■™j.-"±j:>:  120=93.59, 100. 

lie  Wirkung  der  Erkaltung  um  10"  auf  den  Unterschied  i 
ruck  ist  also  bei  einem  Barometerstande  von  28": 

100—95,51=4.49%. 


')  Nach  Daltona  VeriDchen 


nlohr,  Physik, 


B  Autl. 


')  1 -|~ ^  bedeotet  den  Fabtor,  mit  nelchem  der  BBuminhalt  eines 
bei  0**,  G,  muliiplicirl  werden  nijia,  um  .die  Auidehnung  vun  0" 
finden.     (K 5h  lers  Tafeln  dritlo  AuH.    S.  294.).     Ea  i»t  für   ver- 

ene  Temparalureii 


ff;ff'=(l  +  i);(l+i'J  also  C  = 


e=e" 


0  +  » 
(1  +  1-) 


(r',c«=(i+nia+l')- 


Es  wurde  hier  ein  verhUltaiesraSseig  geringer  Temperatur- 
unterschied zu  Grunde  gelebt,  um  zu  zeigen,  um  wie  rieles  be- 
deutender auch  sehen  bei  einem  soluhen,  unter  einem  Barometer- 
stand von  10",  im  Vergleich  mit  einem  hiiheren  Barometerstand, 
die  Veränderungen  im  Luftdruck  und  damit  die  ausgleicbeeiktt 
Kräfte  gewesen  sein  würden, 

Bei  einem  noch  geringeren  Barometerdrack  (und   nichts  blt' 
dert  uns,    einen  solchen  anzunehmen)    oder  bei  cir 
Veränderung    io    der  Temperatur  werden    die  Unterschiede 
gi'üeser. 

Man  darf  gewiss,  ohne  zu  übertreiben,  «2"  F. •)  =  331"  C.  al» 
eine  mittlere  Temperatur  der  tropischen  Zone  annehmeD,  mi 
10"  C.  als  eine  Temperatur,  in  welclier  die  Palme  einige  Mourie 
lang,  theilweise  in  Nacht  gehüllt,  noch  gelebt  haben  mag.  ZhV- 
Bchen   diesen  Grenzen    ergibt  die  Rechnung   folgende  Resullsto 

Für   eine  Temperatur  von  331**  C.  beträgt    die  Spannung  der 
Dünste  26,iJ-2'".     Kühlt    sich    die  Luft    bis    10»  ab,    so    wird 
eine  Spannung  derselben  von  4,354"'  übrig  bleiben,  es  verdicbtei 
sich  also  26,22-4,304  =  21,066"'.    Hiernach  wird  der  Rauin<BhiH 
der  Luft    abnehmen,    und   zwar    bei   einer  Spannung 
dein  Verhältnifis: 


.  (336--21.87).(H-;i') 
(1  +  i'") 


:  336=86,36: 100. 


Wäre    dagegei 
Wesen,  so  hätte  di 


Barometerdruck     nur    10"^  1^ 
inJerung  betragen 


(ViO -21,87). (l  +  l') 


120  =  75,53:100. 


Es  würde  mithin  für  eine  Temperaturabnahme  von  331' Ml 
10»  C,  bei  einem  Barometerstande  von  28"  und  einem  soli^l 
von  10"  die  Veränderung  im  Luftdruck  sich  verhalten  haben  iAt-t 


•)  Maury,  PhjsiBche  Geogra|ibic   de«  nieereB,    deutadi   I 
1  Itnttger.     S.  27. 


^^^H  PO/1  der  Atmosp/täre.  381       ^^H 

)^"  (100—86.36) :  (100  -  75.53),  ^Hl 

d.h.  wie  13,64:24,47=56,74:100. 

Ee  leidet  wobi  keinen  Zn'eifel,  dass  die  ausgleichenden 
iiäfte  in  der  Atmosphäre  mit  jenen  Veränderungen  im  Verhält- 
liss  stehen  müssen.  Eine  Atmosphäre  also,  ivelcbe  einen  ge- 
'logeren  UrucL  hatte,  musste  die  AuggleichuDg  der  Temperatur 
■eil  schneller  und  kräftiger  bewirken,  sie  musste  mithin  in 
Ud  Polargegenden  wärmer  sein,  als  die  gegenwär- 
tige. 

Demit  ist  keineswegs  ausgesprochen,  dass  darum  die  Tem- 
peratur in  den  Tropen  nesenliich  kühler  gewesen  sein  müsse, 
als  benlzutage,  weil  sie  an  den  Polen  wärmer  war.  Es  ist  he- 
iannt,  dass  eine  feuchtere  Almosphüre  die  Sonnenwirkung  auf 
Ben  Erdboden  mehr  verstärkt,  als  eine  Irockeue,  weil  sie  in  bo- 
berem  Grade  die  rothen  Strahlen  wiedergibt.  Auch  ist  die  ste- 
elieode  Hitze  der  Sonne  bei  feuchter  Luft  allgemein  bekannt. 

Nehmen  wir  in  den  früheres  Erdperioden  einen  minderen 
,Dmek  der  Atmosphäre  an,  i^o  erhallen  wir  zugleich  Erklärungs- 
.pÜBde  für  eine  ganze  Reihe  yon  Thatsachen  aus  der  Vorwelt. 
Da»  frühere  Vorkommen  niederer  und  weniger  athembedurftiger 
Ihiere  wurde  schon  erwähnt.  Die  weit  schnellere  Ausgleichung 
i«  Temperaturunterschiede  in  der  Vorwelt  wurde  so  eben  nach- 
gctriesen.  Aber  damit  nicht  genug,  so  war  auch  der  Feuchtig- 
'bitggehalt  der  Atmosphäre*)  und  der  Niederschlag  der  Dünste 
jlmialB  ein  weit  stärkerer  und  regelmässig erer  als  heutzutage. 
Sobald  die  Sonne,  an  dem  rüthlich  gefärbten  Himmel  untersinkend, 
ikre  wärmende  Kraft  verlor,  bedeckte  ohne  eigentliche  Wolken- 
;ii^  Begenbildung  allnächtlich  ein  dichter  Nebel  die  Erdober- 
jBche")  und  schützte  sie  vollständig  gegen  die  Ausstrahlung  in 


;  *)  Der  Frurbtigkeitsgchalt  der  Acmasphäre  entapriclil  bei  33^" 
,*ie  bereits  erwähnt  wurde,  einem  Barumetordiuck  von  26,28'". 
%  Barometers tanil  wt  <larum  das  Verhattniaa  der  Feuohliglieit 
«niekeneti  Luft  ia  Beztehon);  anf  den  Urutk  2G,-i2:(:i3G-26,22)=8,46: 
100,  Bei  10"  Barninetei'sUnd  und  gleicher  Teni|icratnr  würde  diesea 
Ttrhillniaa  sein:  20,22':  (120— 2G,22)  =  31,30;IOO.  Die  Feuchligbeil  der 
lisit  verhäU  sich  also  in  beiden  Fällen  wie  6,46: Sl,30  =  21,04: 100;  sie 
H  mithin  für  die  Teiuperatur  von  331"  C.  bei  rinatn  Barnoie [erstände 
FM  10"  über  3mBl  so  gross,  als  bei  einem  solchen  von  as". 

**)  Ich  wäre  geneigt  hier  dcui  Beia|iiel  des  grösaten  lebenden  Geo- 
rsphen  des  Meeres  (Maur;)  £u  folgen  und  ans  a  Bibelstollen  den  Be- 
eil zu  führen^  dasa  eine  regenloae  Zeit    auf  der  Erde  sogar  bis 


w 


382  "■  Pfeii: "  Searnge  wt  lehrt  '     "^^^^1 

den    Icaltea  Nachtfainiinel.     Dieses    tvar  insbesoodre    der    Fall    an  J 
den  Polen  und  vorKugsweise  am  Winterpol,  welcher  in  eineu  be- 
ständig  »armfeucbten   Nebel    gehüllt    blieb.      Dabei    musste  der  1 
mächtige  und  gleicbmässii^e  Niedersuhlag  der  Uünste  eine  Vege- 
tation von   solcher  Ueppigkeit    hervorrufen  und  nähren  ,    wie  nir 
sie  in  den  Gebilden  der  Vorwclt  anstaunen. 


\  Beivnbiier  salziger  Geiväseer,  die   ältesten  Planzengattungen  ib 

solche,    «eiche    in    sehr    feuchter   narnier  Luft   am  Gestade  du 
I  Meeres   gedeihen.     Man    hat,    um    das    Vorkommen    zu  erblir«, 

einen    fast    die    ganze  Erde    bedeckenden    Ocean    angenommeD. 
Dieser   Annahme    scheint    jedoch    die  Verschiedenheit    der  8h' 
1  thiere  in  nah«  liegenden  Becken,    und  dagegen    die  Verbrello^ 

der  ersten  Landtbiere  über  alle  Theile  der  Erde  zu  n-iderspröcbek 
I  Ein   geringerer  Barometerdruck  and    eine  feuchtere  Loft  IM 

aach  dieses  Räthsel  vielleicht  besser.  Um  die  grössere  Feuci^ 
tigkeit  der  Luft  zu  erklären,  bedarf  es,  nach  dem  GesagtH. 
nicht  der  Annahme  ausgedehnter  Meere.  Ein  niederer  UnA 
der  Atmosphäre  erklärt  sie  vollständig.  Erfahrungsmäseig  fälj 
'  alle  Biiinengewäseer,  welche  keinen  AbHuss  haben,  salzig,  ofa- 

{  doch  brack*},  und  ihre  Bewohner,  wenn  sie  deren  haben,  Kerdn 

I  sich   als  Meerlhiere  charaklerisiren.     Die  anl^ngliche  Cnbewobn- 

faarkeit  des    trockenen   Landes    würde    sich    aus    einer   luftarmw 
,  Atmosphäre  und  einem  unfruchtbaren,    oder  dem   gänzHcb  niu^ 

I  geluden  Erdreich   ebenfalls  und  vielleicht    besser    deuten  lasfi«, 

.  als    durch    die  Hypothese  einer    insularen  Lage.     Die  Anoaboi 

einer    leichteren    Atmosphäre    in    der    Vorwelt    scheint    hiemwäi 
'  inneren  Widersprüchen  nicht  zu  unterliegen. 

^  Die  hier  gegebene  Erklärung  würde  sehr  an  Wahrscheinlich- 

keit gewinnen,  wenn  wir  vermöchten,  die  Voraussetzung  tüV 
leichteren  Atmosphäre  an  einem  Beispiel  der  Gegenwart  naclitr 
weisen.    Wir  sind  dies  in  der  That  im  Stande. 


I 


Andenken    ries  heuligen  Mensclienjreichleuhts  berabreichl    und   dau  t* 
Sage  die*e>  Andenken  aofbewihrt  hnt. 

1  Ma*e  Cp.  2,  V.  5  n.  6  sagt:  „Denn  Golt  hatte  noch    nicht  r 
laiaen  auf  Erden,    aber  ein  Nebel   ging  auf  von  der  Erde  and   fea^MT:      I 
alle«  Land,'' 

Cp.  9  enthält  die  Einsetiang  des  Begeobogens,  aUo  de«  ertlM 
Regens,  welcher,  and  iwar  erst  nach  einer  grosBen  Kalastropha,  m 
Mcoichen  beobachtet  worden   iaL     Die  entere  Stelle   zuma 

licht  auf  Beobachtung  ruht,  ganz  unbegreiflich,  will  man  nicht  d 

"Theologen  eine  OfTeabarung  in  Hülfe  rufen. 

y.  deutsche  Bearbeitung-  lon  BÜttger.     S.  I 


von  der  Attnasphäre. 

Derjenige  Planet,  welcher  den  Verbältnissen  auf  unsere) 
>tde  am  ähDlichsten  ist  und  ivelchen  wir  dabei  aiu  besteu  beob- 
chteR  künnen,  ist  Mars.  Wtibrend  unsere  Erde,  von  ausserhalb 
etrachtet,  mulhmBasslich  blau  erscheinen  würde,  deutet  die  rüth 
lebe  Färbung  des  Mars  an,  dass  seine  Atmosphäre  einen 
lahan  Grad  von  Feucfaligkeit  besitzt,  denn  ivir  wissen,  dass  auch 
insere  Almosphüre  sich  rSthlich  ßrbt ,  »enn  sie  stark  mit  Dui 
Bten  geschivän^iert  ist.  Wir  sehen  es  an  der  Morgen-  und  Abeud- 
lüth«,  an  dem  Glühen  entfernter  Sclineegebirge,  als  einer  Vor- 
Mentang  von  liegen,  an  der  rütlilicben  Färbung  tropischei 
Heergegenden.  Auch  die  Atmosphäre  unserer  Erde  dürfte  einst 
iSthlicb  geßirbt  gewesen  sein.  Die  Bewegungen  der  Atmosphäre 
luf  Uars  sind  doppelt  so  schnell,  als  auf  der  Erde  *),  und  eljenso 
Wen  es,  wenn  die  vorstehende  ErDTterung  richtig  ist,  die  al- 
»aipbSriscbeii  Bewegungen  unserer  Vorwelt.  Dabei  ist  die  Tem- 
peratar  auf  Mars  wärmer,  als  sie  sein  würde,  wenn  die  Verhält- 
uUie  der  Atmosphäre  denen  auf  der  Erde  gleich  wären.  Auf 
Hais  wirkt  die  Sonne,  wenn  sie  im  Zenilh  steht,  etwa  mit  glei- 
(fter  Stärke,  wie  in  Newyork  an  Weihnachten  zu  Mitlag  **),  Der 
gWiie  Planet  müsste  mit  Schnee  bedeckt  sein,  wenn  seine 
'Alniospfaäre  der  unsrigen  gleich  wäre.  Und  eine  etwa  stärkere 
IVhkang  der  inneren  Wärme  des  um  vieles  kleineren  Planeten 
Aast  eich  gewiss  auch  nicht  voraussetzen. 


*yLi[troi»,   S.  :!B6. 
.     **]  UieWirliiiD^  der  Soanenwärme  varbält  sicli  nmgebehrt  v 
tyndrole  der  Entfernangen,    und  auf   einer  gegen  deu  Sonnen sCrabl  ge- 
Mglen  Fläche  gegen  die  Wirbiin^  imZenith,  wie  der  slnuB  de«  Röhen- 
IVtlkeli  zu  1.     Die  miUlere  Entfernung  den  Mars  von  dei 
|Y«hällnisii  zur  Crde  1,53369  (Kosmoa ,   Bd.  III,    S.  48».).      Sei 
A  den  Höhenwinbel  det  Sonne,  liei  welclisin  ihre  Wiirinewirkung  ihre 
fnliliuag  auf  Mura  im  Zenith  gleich  iat,  mo  ergibt  sich; 


.  folgl 


bigtd 


Scbiefe  der  Ekliptik  . 
»ergibt  aicb  die  Pular- 

ilialanE 48°  56'  49" 

hd  die  geographische  Breite   eines  OrCei,  wo  die  Sunne  am   bürseilen 
■ge   dieselbe  Wirkung   hat    wie   auf  Mars,   wenn    sie   dort    im  Zenilh 

eht 41<>     3'  12".       Die     geographische    Breite 

in  Newyorb  iat  m"  i'i'  mithin  20'  lüdliclier. 


w 


^ 


384 

Eadlich  sind  auf  Mars  die  Veränderungen  in  der  Temperatur 
i  weitem  regelmässiger  als  auf  der  Erde,  und  das  (>leiche  war 
in  rrüberen  Perioden  auf  anserem  Planetender  Fall.  Der  Schnee 
ist  ein  Thermometer,  dessen  Gang  von  allen  Süsseren  Einflüssen 
ungestört  bleibt  und  dessen  Skala  weit  durch  die  üimmeU- 
räume  deutlich  lesbar  ist.  Während  nun  auf  der  Erde  ein  Schnee- 
fall oft  viele  Breitengrade  in  eine  glänzend  weisse  Decke  faOUt, 
und  ein  warmer  Sonnenschein  oder  ein  lauer  Wind  diese  Oecte 
in  wenigen  Stunden  spurlos  abhebt,  —  dem  staunenden  ÄstroDomeD 
auf  der  Venus  ein  kaum  lübares  Rsthsel,—  so  sehen  wir  tnf 
Mars  die  Schneedecke  mit  der  höchsten  Regelmässigkeit  m- 
nehmen  und  wieder  abnehmen,  s^ie  der  Winter  naht,  oder  itt 
JSommer  beginnt.  Diese  Regelmässigkeit  ist  eine  Folge  is 
grösseren  Schnelligkeit  der  Luftströmungen,  und  das  Gleicbe 
war  auf  unserer  Erde  in  früheren  Perioden  der  Fall,  wie  i^ 
wissen. 

Anscheinend  ist  mithin  die  Temperatur  auf  Mars  sehr  sähe 
fiber  nnd  unter  dem  Gefrier[]unkt,  und  seine  weit  leichte»  At- 
mosphäre gleicht  die  Temperaturunterschiede  weit  follkomniwr 
aus,  als  es  auf  der  heutigen  Erde  geschieht. 

Die  grössere  Leichtigkeit  des  Planeten  und  die  dadarch  W 
minderte  Anziehung  ')  würde  zwar  einen  geringeren  Druck  dff 
Atmosphäre  und  damit  einen  Theil  des  Vorkommens  ebenfÜll 
erklären,  wenn  nicht  die  sehr  niedrige  Temperatur  nur 
bällnissmässig  geringe  Ueimischung  von  Feuchtigkeit  beding». 
Dieser  letztere  Umstand  würde  aber  die  Wirkung  einer  leicbto« 
Atmosphäre  wieder  aufheben,  insofern  dieselbe  nicht  auch 
gleich  in  weit  geringerer  Menge  vorbanden  wäre. 

Alle  diese  Gründe  nöihigen  uns  anzunehmen,  dass  die  At 
moephSre  auf  Mars  in  verbal tnissmässig  geringerer  Menge  »(»■ 
handen  ist,  als  auf  der  Erde.  Diese  Annahme  an  sich  hat  nlcbU  , 
unwahrscheinliches,  wenn  wir  erwägen,  dass  die  Atmosphäre  U 
dem  Munde  sogar  gänzlich  fehlt.  Wir  sind  aber  unter  dleM  j 
(TmsISnden  um  so  eher  zu  einem  Rückschluss  auf  frühere  £ 
stände  unserer  Erde  berechtigt,  da  diese  Zustände  mit  den) 
t  des  Mars  in  aulfallender  Weise  übereinstimmea. 


')  Die  Schwere  auf  der  Ob-erfläche  desMarii  beträgt  nicht  g 
[    Hälfte   TOD   der   auf  der  Erde,    genaner  0,181,    weiid   man   die   I 
■mn».  Bd.  III,  S.  445  u.  496  zu  Grunde  let;t. 


Die  Lufthülle  der  PlaoeteD  nnd  der  Sonne. 

Bildung  der  VVeltkürper  unsers  Sonnensystems  und 
icheinlich  aller  Wellkiirper  überhaupt  ist  unzweirelhaft  in 
inlicher  Art,  nach  denselben  Gesetzen  und  aus  den  gleichen 
Stoffen  erfolgt*).  Die  Verschiedenheit  unter  den  WeKkürpern 
kann  mithin,  in  Beziehung  auf  ihre  Bestandlheile,  in  Beziehung 
Bnf  Licht  uüd  Wärme,  ja  in  Beziehung  auf  die  Art  ihrer  Bene- 
pDg,  gleichsam  nur  eine  quantitative  sein. 

Wir  kennen  die  Stoffe,  aus  denen  unsere  Erde  and  insbe- 
undere  auch  unser  Dunstkreis  besteht.  Wir  sind  darum  be- 
nchligl,  ja,  bis  der  Beweis  des  GcgentheiU  geführt  näre,  ge- 
BOIbigt,  in  der  glutbstrahlenden  Sonne,  w\e  lo  dem  scbneestar- 
.  nnden  Jupiter  und  den  noch  ferneren  Planeten,  die  Elemente 
■Uerer  Atmosphäre  aufzusuchen.  Wenn  die  Atmosphäre  auf 
ita  Honde  fehlt,  wenn  der  feste  Kern  in  den  Kometen  fehlt, 
U  beweist  dies  nur,  dass  die  quantitativen  Verschiedenheiten 
i)U  zum  gänzlichen  Fehlen  einzelner  Stoffe  reichen  können. 
Bbenao  sind  von  der  hyperbolischen  Bahn  der  Meteore  an  **) 
den  langgestreckten  Ellipsen  der  Kometen,  bis  zu  den  fast 
treiafSrmigen  Bahnen  der  Planeten  nur  die  Anfangsgescfitvindig- 
i«iten  rerscbiedeu. 

Die  Planeten,,  deren  Kern  wir  sehen  können,  Mars,  Venus 
Merkur,  zeigen  etwa  gleiche  Dichtigkeit  mit  der  Erde.  Auf 
l«m  Jupiter,  wo  die  Sonne  im  Zenith  mit  fast  gleicher  Stärke 
whkt  wie  im  sibirischen  Jakulzk  an  Weihnachten  zu  Mittag  ***), 

')  KosiDci«,  Bd.  IV,  S.  Sä, 
**)  Die  Geschwindigbell   der  Moleore    ist   bjaweilen   bia    11^  Ja  43j 
IIbd  in  der  Sekunde  gemessen   worden,    alio   2  —  5fftcli  »a  groM ,  als 
ia  Erde,  4,1  M.     (Uusmoa  Bd.  III.  S.  607.),  bie  4fach  »o 
enige,  welche  bei  einem  Körper,  der  Fun  der  Sonne  allein  angezogen 
Art,  ölterliaDiit  möglich  ist.     (5,B  Meilen  in  der  SeLunde.).     Die  Meteore 
alio   schon   niil  bedeutender   eigener  Geschwindighoit   in  das  Ao' 
lehuDgagebiol  der  Sunne,   noa  eine  hyperbolische  Bahn  bedingt. 
***)  Gemäss  der  Anmerkung  S,  3B3.     Da  die  mitllcro  Enlferauog  Jupi- 
der  der  Erde  sich  Tcrhäll 


I 


w 


.IHö  p-  Pfeit:     Beitrage  swr  Lehrt  \ 

bedeckt  ein  glänzenil  strahlender  Ocean  aus  Schnee  deo  duahleiij 
Kern  so  Inse,    dass    sieb  sogar  dass  VerhSitniss  der  AbplaltDUg) 
für  uns  ivahruehnibar   verändert.     Diese  Scbneehulle    erklärt   du  ] 
geringe  speciflscbe  Gewicht  des  Planeten  *).    Saturn   ist  als  ein 
riesiger   Schneeball  anzusehen,    mit    wenig    fester  Masse   ini  h- 
nerri,    den    ein  Schnee-  oder  Eisring  umgibt.     Aehnlich  mag  da» 
VerhSltniss    der    noch    ferneren    Planeten    sein.     Die  Atmospblre 
der  Venus    bildet   ein  so   kräftiges  Pobrlicht,    dass    es    uns  die 
r^nchtseite  des  Planelen    sichtbar    macht.     Ob   sie  auch  Wolken 
bilde,    ist   noch   zweifelhaft,    jedoch   nahrschelalich.      Von  Macs 
war  schon  unter  tV.  die  Rede. 

Wenn  wir  gleich  die  Sonne  lunSchst  als  eine  brennende 
Kugel  kennen,  so  haben  doch  die  merkwürdigen  Versuche  übet 
die  Spektralanalyse  den  un-widerleglicben  Beweis  geführt,  dl» 
auch  in  der  Sonne  die  Stoffe  unserer  Erde  rorhanden  sind.  Sie 
haben  ferner  dargethan,  dass  es  ein  Gas  ist,  welches  in  ds 
Sonne  brennt**).  Ist  dieses  einmal  erwiesen,  so  ist  der  Ge- 
danke unabweisbar,  dass  jenes  Gas  Leuchtgas  ist,  ehensn  vic 
es  in  den  Polurlichtern  der  Erde  aultlammt,  und  dass  die  CoraiA 
der  Sonne  aus  einer  hoben  Schiebt  Wasserstoffgas  bnstebV 
welche,  wie  auf  der  Erde,  die  atmosphärische  Luft  übetlagwlr  , 
Das  Leuchtgas  enthält  nicht  nur  alle  gegebenen  EigenscbafitK  I 
des  Sonnenlichtes,  Liebt,  Wärme  und  Magnetismus,  eoodeni  H 
überhebt  uns  auch  der  undankbaren  Miihe,  aus  Hypothesen  nSb- 
sam  Dinge  zu  deduciren,  welche  der  einfachen  Beobachtung  klar 
vor  Augen  liegen. 

Cnd  wie  auf  der  Erde  aus  Vulkanen  Massen  von  Stiele  J 
emporsteigen,  ebenso  mögen  auf  der  Sonne  aus  grösseren  V^f 
kanen  sich  grossere  Massen  von  Stickgas  emporheben  anil  uff 
der  Berührungsfläche  der  atmosphärischen  Luft  und  des  Wuie^l 


x  =  2''  6'  67" 
Rehaktion     —       18'    2" 


Wahre  Höbe  der  Sonne  1"  «•  55" 

Ekliptik         23°  27'  55" 
PolhÜlie        26°   16'  50- 
GeosraphUdie  Breile        6^"  43'  10" 
Die  Breile  \aa  Jakuixk  iiL  62°  S'  50",  also  nnch  aber  2°  «üdUi 
In  Jakulxk  lilcibt  der  lloden  inehrcre  hunderl  Fusa  tief  gefroren. 
*)  Wenig  grösser  sla   daa  de<  Waste». 

")  Von    Bonscn    nnd    Kirchhnf    I85T.     Ich    «prach   liereiH  ^J 
7.  Uai  1857   in   einer   xu  Berlin   (fehaltenea  Vurlesong,   geitüt*(  K 
hier  näher  entwickelten  Gründe,  die  gleiche  Aniicht  an«. 


(  iter  Aimnsi/häre. 


die    VerbTennun^ 
end. 


es    als    isolirende   Blasen    gclmitiimen, 
üBterbrecfaend,  uns  aU  dunkle  Ljicken  ersehe) 

Dass  solche  Blasen  durch  eine  Art  Passatninde  in  der  A(- 
momihäre  der  Saline  gegen  den  Aeqnator  hingeführt,  dass  sie 
vmf  Winden  in  der  brennenden  Schicht  weiter  getrieben  wenl^i, 
ver^üssert  die  Analogie  mit  den  Vorkommnissen  auf  nnaerer 
Erde.  Die  Sonn  end  eclten  sind  angenscheinlich  durchsichtig,  bei 
totalen  Sonnenfinsternissen  erscheinen  sie  am  Sonoenrande  als 
TDthe  Kegel.     Es  sind  nicht  Wolken  in  unserem  Sinn. 

Die  Sonneiifackelii  stellen  Verschiebungen  und  Verdichtungen 
la  der  Verbrentiungsfläche  dar,  veranlafst  vornehmlich  wohl  durch 
dw  Aufsteigen  der  unverbrennlichen  Blasen,  und  darum  meist 
!;  ia  der  Nähe  der  Sonnenflecken.  Wir  erblicken  in  ihnen  eine 
.'  dickere  und  darum  intensivere  Flamnienschicht.  Es  ist  die  Shn- 
Qchc  Erscheinung,  vcie  sie  eine  Cylinderlampe  darbietet,  in  welche 
Dun  von  oben  blickt.  Das  Sonnenlicht  erzeugt  Magnetismus. 
rSbugo  wie  dü6  Polarlicht. 


Oni  gleichsam  die  Aehnlichkeit  mit^deti  Vc 
Erda  bis  aufs  Aeusser^le  zu  vervollständigen,  s 
tlWnber  1859  von  zwei  englischen  Astronomen  s 
IM  in  die  Sonne  beobachtet  worden  *),  und  zi 
Meteor,  wie  auf  der  Erde,  in  der  Wasserstoffgai 


rkommnissen  der 
I  ist  am  II.  No- 
ngar  ein  Meteor- 
ar  erschien  das 
Schicht. 


Man  bat  aus  den  Ergebnissen  der  Spektralanalyse  Schlüsse 
B  Temperatur  des  SonnenkUrpers  ziehen,  und  sogar  dem- 
j[  und  damit  allen  Fixsternen  die  Weissgliihhitze  beimessen 
i;.**):  —  eine  Fülle  also  weissgl  üben  der  Kßrper,  wie  sie  der 
mhimmel  darbietet,  alle  schwebend  in  einem  Weltenraum. 
\  eisige  Temperatur  jedes  Maass  der  Kälte,  welches  wir 
IT  Erde  kennen'")  weit  übertrifft!  —  Eine  solche  Annahme 
ff  der  Phantasie  der  Gelehrten,  wie  der  Laien,  eine  etwas  harte 
Um  aus  der  Spektralanalyse  eine  derartige  Behaup- 
I  rechtfertigen,  mSssten  doch  wohl  begleitende  Erschei- 
Brkerer  Natur  sie  unteretCitzen.    Solche  sind  jedoch  nicht 


\  Hootlily  notices  a(  the  aitrtmomical  suciely.  Vol.  XX. 
>  Ardiiv,  Th.  40.  Heft  4. 
*^  Ponillet  achätit  die  Tcmperalnr  i]ei  Weltenranmes  auf  1420  C. 
Jhut  aie  weit  nnler  Jedem  Kältegrad  ist,  den  tvir  auf  der  Erde  kennen,  leidet 
iRrtaBii  Z-waife),  da  die  intenaivBle  Kälte  in  den  Polarregionen  nnr  durch 
pmalrahleng  in  den  weit  kälteren  Weltenraura  entsteht,  welcbs  Auailrab- 
loBg  noch  durch  die  atmoiph arische  Halle  dar  Erde  gemildert  wird. 


I 


p,  Pfeil:    SetirSgt  "snr  LthTe 

vorhanden,  und  die  vorhandenen  sind  eher  geeignet,   eine  derar- 
tige Annahme  zu  widerlegen.  ' 

V\x  wissen,  denn  wir  sehen  es  aus  den  Sannenflecken,  daw  ; 

der  Lichtsphäre  der  Sonne  zunächst  eine,  durch  die  I 
düng  des  Fernrohrs  grau  erscheioende  Schicht  liegt.  D^ 
Schicht  niuss  ebenfalls  ein  leuchtendes,  aiso  glühendes  Gas  eciih 
denn  es  sendet  neben  der  hellglänzenden  Lichtsphäre  nochStriUei 
durch  das  dunkle  Glaa  *).  Man  darf  diese  ISchicbt  »ohl  mit  den 
unteren  duuklen  Theilc  einer  GasOamnie  vergleichen.  Uiestt 
unterhalb  der  Licht  Sphäre  glühende  Gas,  oder  da« 
oberhalb  der  Lichtspbäre  gl  Ühend  e  Wasserstoffgag, 
oder  die  Wirkung  beider  Gase  ist  es,  wodurch  die 
bunten  Linien  des  Spektrums  in  «cbivarze  sich  ver- 
kehren; eine  Wirkung,  welche  die  Kirchbofschen  Versncb 
ebeDfalls  nachweisen. 

Der  SonnenkDrper  selbst  aber  Übt  diesen  Einflnss  nicht 
Denn  unter  jener  glühendeu  Gasschicht  kennen  wir  noch  äu 
zweite,  uns  schwarz  erscheinende  Schicht  in  der  Sonne.  W&fl 
diese  Schiebt  der  feste,  also  nicht  leuchtende  Körper  der  Sonn^ 
oder  ist  sie,  richtiger,  eine  tiefere,  nicht  glühende  Schiebt  do 
Sonnenatniospbäre;  im  einen  nie  in  dem  anderen  Falle  kann  wt 
die  Umlcehrung  der  farbigen  Linien  nicht  veranlassen,  denn  lut 
denselben  Versuchen  erfolgt  diese  Umkehruog  nicht  durch  einn 
dunklen,  sondern  nur  durch  einen  gluhendteucbtenden,  fettei 
oder  flüssigen  Kürper,  oder  durch  ein  glühendes  Gas. 

Uass  aber  das  schwarze  Innere  der  Sonnenflecken  der  festi 
Körper  der  Sonne  gar  nicht  sein  kann,  geht  aus  folgenden  Grfil- 
den  hervor: 

Einmal  muss  ein  so  grossartiger  VerbrenDungsprocess,  ffil 
wir  ihn  in  der  LichtsphSre  der  Sonne  erblicken,  ein  verhSitniu^ 
massiges  Volumen  von  Niederschlägen  bewirken,  und  diese  mllB- 
sen  darum  in  grosser  Tiefe  den  Sonnenkürpcr  umgeben,  und  ibi 
von  der  Lichtsphäre  trennen.  Denmächst  kommen  die  Sonnen- 
Hecken  vorzugsweise  in  gewissen  ziemlich  beschränlcten  Breit«) 
in  der  Nähe  des  Aequators  vor**).  Man  bat  alle  Ursache  Sit 
für  Gasbildungen  (ich  meine  Stickgas)  ans  Vulkanen  des  Sonnn- 


■)  William  H er achel  ichälzle  die  Lichtstärke  der  PennmlurB  in 
19  (?),  voon  die  dor  Sonne  zu  lOOO  gesetzt  wird.   Knsmot,  Bd.  III.  S.  SW. 
••)  Koimoi,  Bd.  III.  S.  39D  and  ff. 


Jr  .«Sil 


eoH  der  Wäosphi^re.  359 

jiers  anfsleigenil ,  zu  halten*).  Es  hal  vrenig  Wahrscfaein- 
keit,  dass  dergleichen  Bildungen  grade  an  dem  Ort  ihres 
itbarwerdens  entätandeii  sein  sollte»,  man  iilnimt  datier,  ge- 
s  mit  Recht,  eine  Art  CassatH'inde  auT  der  Sonne  ao,  durch 
ehe  sie  in  diejenigen  Breiten  geführt  werden,  in  welchen  sie 
\    uns   zeigen.     Man  weiss    überdies^  mit  Bestimmtheit,     dass 

In  der  Lichlsphäre  Torttreiben.  Ein  solcher  Transport  »elzt 
r,  zumal  u'etin  man  ertvägt,  dass  jene  Gasbildungen  bisvreilen 

Voinnien  unserer  Erde  weit  überlr-effen  **),  damit  er  unter- 
»  und  auch  nur  in  der  Lichts^ihäre  vorgehen  ktinne,  eine  sehr 
ise  Tiefe  desjenigen  Mediums  voraus,  in  welchem  die  Bewe- 
K  etattOuilet.  So  wenig  wie,  beispielsweise,  eiu  Linienschiff 
■nem  Karprenteich  achwimmen  kann,  ebenso  wenig  vermügen 
B&shallen  von  einigen  tausend  Meilen  Hielte  in  einem  Me^ 
n  von  70— 80  geographischen  Meilen  Tiefe,  wie  noch  Wi  lliam 
rschel  die  Sonnenatmosphäre  schätzte***}. 
'VüT  ein  Fortschwimmen  der  aus  dem  Sonnenkürper  aufstei' 
l«ii  Gase  unterhalb  der  Lichtsphäre  und  damit  für  die  sehr 
(se  Tiefe  des  Mediums,  in  dem  sie  sich  bewegen,  spricht 
b  der  Umstand,  dass  die  Gruppen  von  Sonnenfiecken  „am 
uni  und  9.  December  gerade,  und  dazu  unter  sich  und  dem 
nenaequatur  parallele,  nicht  concav  oder  convex  gekrümmte 
len  auf  der  Sonnenscbeihe  beschreiben  •]-)."      Es  haben  mithin 

einzelnen  Flecken  einer  Gruppe  gleiche  Polardistanz.  Dabei 
steht  der  vorliegend  e  Flecken  (derRiitationsbewegung  nach) 
'n  zuerst,  dann  folgt  der  zweite,  der  dritte  u.  s.  w.  In  gleicher 
ilse  verschwindet  zuerst  der  vorliegende  Flecken,  dann  der 
Site,  der  dritte  u.  s.  iv.  -j-l-).  Nichts  beweist  stärker,  als  dieser 
istand,  dass  si*  aus  Einem  Punkte  entstanden,  und  unter  der 
ihtsphSre  fortgetriehen  worden  sind ,  bis  sie  durch  dieselbe 
:h  aussen  auftauchten.  Die  Entfernung  der  einzelnen  Flecke 
er  Gruppe  von  einander  entspringt  nämlich  aus  dem  Zeit- 
erschied  der  Entbindung  der  einzelnen  Gasblasen,  aus  dem 
lerschied  der  Rotationsbewegung  am  Ort  der  Entstehung 
1  am  Ort  des  Durchiirnchs  durch  die  Lichtsphäre.  Findet 
1.  in    einer    höheren    Breite    der  Sonnenoberlläche  eine    perio- 

-)  ihidt^m. 
<•*)  Man   lint   einz<:lnc  Flci^ke 
■er  Iienbavlitet,     Liltrow,  die  Wimi 
*•*)  Küanins,  Bd.  111,  S.  38(i. 
t)  Koamoi,  Bil.  Ilt,  S.  3!)0. 
'J-f)  Dieie  »ichligu  li^ntdecbuug  riihn 
B  315. 

lieü  SLV. 


390 


■.  Ptsti:    Behräge  itir  Lehre 


und    rührt  eine   polare,    also   g«geji 
gegen   den   Aequator  bin, 


^ 


dische   GARetitbliidting 
Westen    gerichtete  Sl 

Hti  »'erden  die  Gasblasen  in  eben  den  belificentrischen  Längen- 
differenKen,  in  welchen  sie  vom  Enlstehungsort  aus  rartgeftihrl 
worden  sind,  aas  der  Lichtg|ihUre  hervorbrechen*).  Dies« 
dürrte  auch  dann  der  Fall  sein,  wenn  der  Gasausbrucb  eil 
tinairllcber  ist,  weil  das  Gas  sich  bei  der  gegen  den  Aequator  bll 
vergriieserten  Ausdehnung  in  einzelne  Blasen  trennen  wird. 

Uierniit  stimmt  auch  die  von  Seh  w  ab  e  gemachte  BeobackbtDg 
ilberein ") ,  dass  in  gewiseen  Meridianen  der  Sonne 
Sonnenflecken  vorkommen.  So  wenig  wie  auf  der  Erde  die  Vul- 
kane gleichmassig  über  deren  Oberfläche  verlheilt  sind, 
80  wenig  mag  es  auf  der  Sonne  der  Fall  sein. 

Entfernlere  Flecken  einer  Gruppe  werden  aus  einer  hüheiH 
nähere  aus  einer  niederen    helloceutriacben  Breite  stami 
zelne  grössere  Flecken  dagegen  werden  aus  der  Nähe  des  OrlN 
ihrer   Entstehung    oder   aus    so  mächtigen  Gasergiessongen  h 
rühren,   dass  das  G»s  sich  nicht  in  einzelne  Abtheilungen  tm 
sondern  in  einer  Mnsse  beisammen  bleibt. 

Wenn  die  aufsteigenden  Stickgasblasen  die  glühend  bei 
Fläche  der  Penumbra  durchbrechen,  so  breiten  sie  sich  unter  i(r 
gewaltigen  Erhitzung  straussflirmig  aus.  Der  Temperalurniittf 
schied  in  der  Lichtsphäre  nnd  unter  derselben  muss  gant  anssfl- 
ordenilich  gross  sein.  Wenn  man  die  Grösse  der  Kernäedctt 
mit  der  sie  umgebenden  Penumbra  vergleicht,  so  darf  man  olu| 
Uebertreibung  die  Ausdehnung  des  aufsteigendes  Gases  sof  dtf 
achtfache  des  ursprünglichen  Raumes  veranschlagen.  Diesi 
würde  einer  Temperaturerbühung  in  dem  Verhältniss  wie 
bis  zu  1900»"*),  also  von  der  Temperatur  des  thauendei 
bis   weit  über  die  des  schmelzenden  Eisens  hinaus  enlsprecbo- 

Dieser  Umstand  beweist  wohl  mit  Evidenz,  dass  die  Tem- 
peratur unterhalb  der  Lichtsphäre  bei  weitem  kühler  ist,  als  n 
dieser  seihst,  und  dass  mithin  die  Lichtsphäre  ihre  Erhitiing 
nicht    von    dem   verhältnissmüssig    kalten  Sonnenkiirper    erhalten 


infachen  Satzes  % 


*)  Ich  behalte  mii-  vor,   Ijei 
,  üljrlgens  athr 
")  lioanjo«,  Hd.  I. 

")  Kach  der  Pnrmel,  das  Volumen  eines  durch  Warne  « 
len  Gaaea   C=l -J-0,00366  t.     (Eisenlnhri  Physik  S.  412.) 


van  üet  Atmosphäre.  391 

He  grauen  Hüre  der  Penumbra  erscheinen  Hiebt  neben  Jen 
lecken  etwas  heller*).  Es  Ist  nicht  unwahracheinlich,  riass 
lufeteii^eiiHen    Gasblacien    eine    schivuche    Beimischung 


>Kh  auf  der  Enle  der  Fall 
hei  grosser  Erhitzung  an 
la  Lichtstrahlen  zutiendcii. 
Deren  Theile  iler  Gasaus- 


erstoBfgas  enthalten, 
in  scheint'*),  iin<l  dass  ste  darun 
herflfiche  in  Brand  geratheti  und  i 
dass  gleichtrohl    der  Brand  die  i 
nng  zu  erreichen  vermag. 

«t  durch  alle  diese  Gründe  es  bereits  als  erniesen  unzu- 
en,  dass  der  IStiniienkrirper  nicht  unter  einigen  tausend 
I)  voD  der  Ljchtsphäre  entfernt  sein  kann,  so  schliesst  schon 
)  tiefer,  mit  Niederschlägen  aller  Art  angefüllter  Dunstkreis 
tonne  jede  Lichleinwirkung  des  festen  Sonnenkürpers  auf 
ichlsphäre  unbedingt  aus.  Iixtess  ir't  diese  Mini  mal  angäbe 
'iefe  der  SonnenatinnspbSre  muthmaasslich  noch  »eiE  unter 
Wirklichkeit.  Diese  Tiefe  iHsst  sich  aus  der  muthniaasslichen 
le  des  (uns  unsichtbaren)  Sonnenkürpers  schätzen,  wenn  man 
Von  der,  wühl  nicht  unbegründeten  Annahme  nusgeht,  dass 
lonnenkürper  mit  der  Erde  gleiche  oder  fast  gleiche  Dich- 
t  habe.  Mit  dieser  Annahme  schätzen  wir  dessen  Dichtigkeit 
li^ht  zu  gering,  in  keinem  Falle  aber  zu  gross.  Ein  leich- 
fSonnenkiirper,  unter  dem  Druck  seiner  eignen  ungeheuren 
z,  umgeben  in  nächster  Nähe  von  schwereren  Planeten, 
t  ganz  unbegreiflich  sein. 

las  specifische  Gewicht  der  Sonne,  bis  zur  Lichtsphüre  ge- 
tn,  ist  bei  einem  Halbmesser  r'  =«6346  Meilen,  O'=0,--»52*"). 
man  dagegen  das  specifische  Gewicht  des  Sonnenkörpers 
jes  ErdkGrpers  gleich,  Z>  =  1,  so  ergibt  sich  ein  Halbmesser 
lonnenkörpers  r^60S56,  und  mithin  eine  Höhe  der  Sonnen- 
fphäre  r'— r=3Ö490  Meilen  f). 


•)  KnsmoH,   Bd.  IV.  S.  3S4.     Litlr 
*)  Knami«,  Bil.  IV.  S.  25!)  und  ff. 
•)  KaamnN,   IM.  III.  S.  381. 


f)  San  der  Propnr 


J-' =96316 
Ü'  =  fl,2£ 


Log.  =  4,983833T 
;io^r,  — S.aOftl668 


r= 60856 

r'— r=3.')490 
ei  dieier  Schntzung  ist  lüs  Masse  der  Samnunatmrisphiire  nh 
taten  iLüriier  verschwindend  »ngcnnmniEn.     Kccimet  man   auf 
geringen  Theil  all,   iii  würde   der  feste  Kütper  etwas  Idelol 


392  r.  Freit:  'Siilfäge  mf  t 

Bs  liegt  aur  der  Hand,    dass   eine  Atmosph&r«  v 
oder   Shalicher  Dicke    Tilr  Licht-    oder  WärmestrKhlen, 
Sonnenkürper  ausgehend,  undurchdringlich  eein  mnss.  n 
man  ernägt,   äass  ans  der  Verlirennung  des  Gases  Ii 
Sphäre,   diesem  geivaltigei»  Polarlicht,    fortwährend  dicbtel 
dem  LämmergewÜJk  unserer  Atmosphäre  entsprechend,  n 
ten   Strumen    und    den  Sonnenkörper  gegen  die  Lichtsphj) 
hüllen. 

Es  nurde  unter  |[l.  das  Vorhandensein  einer  I 
Was  9  erst  offgas  über  unsrer  atmosphärischen  Luft  nacbn 
An  der  Sonne  sind  »Ir  in  der  Lage,   eine  solche  Schieti 
auch    zur  Zeit   nur   auf  Minuten,    bei   totalen  Sonnenfiattl 
wirklich    zu    sehen.     Ihre    Höhe    (man    schätzt    sie    i 
Sonnendurchmessers,    also    auf    etwa    SOOOO  Meilen"))   | 
Rückschlüsse  auf  die  Tiefe  der  Atmosphäre  unter  der  bnifl 
Fläche.     Diese    wurde    oben    zu     -35:100  Meilen    gescfagU' 
Hühenverhältniss    der  Atmosphäre  unter    und    üher  der  V 
nungsfläche  würde  also  sein  wie  31:69  etwa:    ein  wofal  \äA\w 
angemessenes  Verhältniss.    wenn    man     die    begleitenden  G 
gungen  in  Erwägung  zieht  **). 

Da  man  es  versucht  hat.  aus  den  Ergebnissen  der  SpeU 
anafyse  Schlüsse  auf  die  Temperatur  des  Sonnenköipere  ■ 
ziehen,  so  mag  man  es  entschuldigen,  wenn  ich,  gestQtxl  vn\i\ 
nig  bessere  Argumente,  eben  so  unsichere  Schlüsse  : 
wage. 

Die  Temperatur  an  der  Oberfläche  der  Sonne  ranss  ^ill| 
sein,  als  diejenige,  in  welcher  dort  das  Wasser  siedet.  Im  U 
gegengesetzten  Fall  würde  die  Sonne  kein  fliessendes  WiMd! 
enthalten;  es  könnte  darum  auch  keine  Zersetzung  des  Wititil' 
und  mithin  auch  keine  Verbrennung  der  aus  der  ZersetzuBggt 
bildeten  Gase,  also  auch  kein  Sonneidicht  geben. 

Wie  aber  die  Temperatur  der  ErdoberOäche  weit  unter  d» 
jenigeo  liest,  in  welcher  das  Wasser  siedet,  ebenso  dürftet 
auch  aul  der  Sonne  der  Fall  sein. 

Wie  hoch  die  Temperatur  des  an  der  SonnennberflSche  «i 
denden  Wassers  sei,  dieses  zu  ermitteln  fehlen  uns  hinreichai 


*]  Dnch  aind  die  ScbälEiin^en  sehr  verschieden.     LUtrow.  S.S 

•*)  Die  Produkte  der  WnisBrierseUun;;,   1   Vnliimen  Saoerttoff- 1 

2  Vol.  WaaBeraliiir^as,   den  Verbrauch  von  Sniiersleffgaa  im  Occan,  i 

Mischtln^BverhülEni«*  der  nlinKsiihnriarhen  Imfl,  29,8  Mnaas  | 

ifi)s  in   100.   und  üpu  nncji  unten  zu  gf^alcigerien  Druck  der  i 


tott  der  Adnosphäre. 


393 


die  Schwere  auf  der  Sonne  iit  der  Hiihe  der  Licht- 
Ring  28^/3  mal  so  gross  als  suf  der  Erdoberfläche,  so  muss  sie 
I  der  Oberfläche  des  Soniietikürpers  72  mal  eo  gross  sein*}. 
Die  Temperatur  des  siedenden  Wassers  nürde,  wenn  nur  der 
Druck  uniferer  AtmospIiÜTe  72facb  wirkte,  etwa  300'^  C.  beiragen. 
Der  Druck  der  Atmosphäre  auf  der  Sonne  ist  jedoch  sicher  um 
»hr  vieles  grösser,  auch  wenn  man  die  neit  grossere  Erwärmung 
und  das  Vorwalten  von  Wasserdünsten  berücksichtigt,  beides  die 
Atmosphäre  verhaltnissmässig  leichter  mEkchend.  Aber  selbst 
T  einem  Druck  von  1000  Atmosphären  würde  die  Temperatur 
Jes  auf  der  Sonne  siedenden  Wassers  erst  517*^  C.  betragen  **), 
Wäre  die  Envärmung  an  der  Oberfläche  des  Sonnenkörpers  den 
lehnten  Tbeil  so  gross,  so  wfirde  sie  etwa  derjenigen  gleich 
kommen,  welche  in  der  Nubischen  Wüste  beobachtet  worden 
trt"*). 

Die  Gasbildung  aus  dem  Wasser,    welche  au  der  Oberfläche 
derSoniie  zweifelsohne  in  ungeheuren  Verhältnissen  erfolgt,  muss 
doit   einen    sehr    grossen  Verbrauch  an  Wärme    bedingen,    mit- 
n  die  Temperatur  des  Bodens  wesentlich  abkühlen. 

!  Abkühlung    ans    diesem  Grande    muss    genau    so    gross 

3  Wärmeentbindung,  welche  aus  dem  Verbrennen  des 

tpQ  Knallgases  entspringt,    also    genau   so  gross    wie   die 

Entbindung  -an    der   brennenden   Lichtsphäre    der   Sonne. 

jeher  Wärmeverlust  würde  die  Oberfläche  des  SonneukQrpers 

II  Augenblick  mit  Eis  bedecken,  wenn  nicht  die 

strömenden    heissen    Nebel    die   Temperatur    wieder 

ichnohl  muss  durch  die  Ausstrahlung  der  Lichtsphäre  in 

tea  Weltenraum  dem  Sonnenkorper  ein  ungeheures  Qnan- 

}  Wärme  entzogen  werden,  wovon  ihm  durch  den  fallenden 

ein  Tbeil    surückgegeben  wird.     Dieser  Verlust  dürfte 

niltelbare  Wärmeentbiodung    aus    elektrischen    Strömen 


1 

4 


r 


394 


:  Pfrtl:    Beltrilgt  s»r  Lehrt  v 


I  äer  AlwunftirtM 


ersetzt  werden,  ebenso  wie  ^olcbe  SlrSme  unter  der 
Erbitxnng  und  Schmelzung  Wer  dort  vorbandeaen  StnS« 
Wenn  auch  diese  SchSt^ungen  ünsserst  n-illkfirltcb  ui 
lieh  mehr  Phantasien   als  Schätzungen  sind,  so  liegen 
in  dem  Verhatten    der  Lichtsphnre  der  Sonne  und  der 
keine  BedinguDgen,  am  allerivenigsien  zwingende  Gründe, 
die    Bewobnbarkeit    jener    mäcblisen  Weltkurper    für  o^ 
Geschöpfe  aaszoscbliessen  geeignet  wären. 


Fiut 


Wir   dflrren  nach  den    hier   gegebenen  ErSrterungen 
als  eine  erwiesene  Thatsache  ansahen,   dass  über  der  atnoi 
riechen  Lufl,  mindestens  unserer  Erde,  «ahrscheinlicb  der 
kürper  überhaupt,    eine  Schicht  Wasscrsloffgas  sehwebt.    I 
Satz    l>ildet  gleichsam  den  Kern,  aus  welchem    die  vorslelii 
Entnickelung    in    ihren  wesentlichen  Theileo   erwachsen  ist, 
■oit    welchem    sie    steht    und    TällL     Indessen    würde   schoa 
Vorbandensein  elektrischer  Striimungen  im  Innern  des  Erdkü 
eine  solche  Thatsache  mit  iningender  ?<olbwendigkeit  fesbldit] 
wäre  auch    nicht   eine   einzige    begleilende  Erscheinung 
weisen,  geeignet,  ihr  Vorhandensein  zu  bestätigen. 

Es  ist  jedoch  eine  reiche  Fülle  solcher  Tbatsachen 
wir  sahen,  ja  es  kommt  in  den  Processen  der  oberen  Atmo^pUit:] 
kaum  eine  einzige  vor,  deren  Zusammenhang  mit  jenem  Funlk 
inentalsatz  sich  nicht  nachweisen  liesse;  und  nnter  diesen  uU 
reiefaen  Thatsacben  findet  sieb  wieder  nicht  eine  einzige,  welcbeiu 
miteinigemSchein  von  Wahrheil  jenem  Salz  entgegen  stellen  künnli. 
Es  gibt  mitbin  dieser  Safit,  neben  der  chemischen  Zerleg«!' 
der  Meteore,  neben  der  Spektralanalyse  einen  neuen  Beweis  Sl 
die  Identität  der  Stoffe  in  den  fernsten  Weltenräumen:  einC* 
stand,  der,  wie  kaum  ein  anderer  beitragen  wird,  FortsdniHt 
in  der  Physik  der  Himmels  kürper  zu  ermöglichen. 

Sollte  indessen  jenem  Satz  auch  nur  die  niedere  Stelln^ 
einer  Uj'pothese  eingeräumt  werden,  so  wird  man  zum  mindesitl 
zugestehen  inüssen,  dass  es  in  dem  weiten  Gebiet  der  Phyü 
and  Geologie  nur  wenige  Hypothesen  geben  dürfte,  welche  «M 
so  bedeutende  Menge  der  wichtigsten  Erscheinungen  in  so  el^ 
facher  Weise  zu  erklären  vermögen,  und  welche  dabei  so  NCik  '. 
inneren  und  äusseren  Widersprüchen  onterworren  sind,  aU  dtt 
hier  entwickelte  Satz  einer  Wasserstoffgasscbicht  iu  der  obeM 
Atmoaphäre. 


ligongüD.  S.36J2.  1 
-  S.  STO  Z.  6  V.  n.  ist  ?U 
^eise  bei  »5«  Höhe.-'  - 


i  T.  u.  in  EtBlt  ZniitteB  m  «etien : 
tBeijpwliweüe  950  Hebe  naetKn:  ,.Bäi|M^ 
S.  3T0Z.  10t.  n.   ut  itan   Stnfal   „StnUa' 


ifiilJei-   üfe  Mweiitl.  ilfi  auh/trm.  ii.  liiirm.  Tet'MllJiisse  i-tc.S95 


ler  die  Anwendung   der  anharmonischen  und  har- 
ischen  Verhältnisse  zurAuflÜsung  einiger  Aufgaben 
der  Geodäsie. 


tlemi  l'i'ofessor  Francs.  Müller 
königl,  bnhitiUclic-n  riiljlcchuikuni  jti  Prng. 


j.  1.  Die  elegante  Art  und  Weise,  aaf  weiche  die  neuere 
aetrie  den  Orgatiiänius  aufdeclit,  tnilteUt  >velches  die  ver- 
deoartigsten  Erscii einungen  der  Raumwell  mit  einander  ver- 
ei>  sind,  brachte  den  Verfasser  auf  die  Idee,  ob  sich  nicht 
tfethode  der  neueren  Geometrie  auch  in  der  aogetvandten 
Bmatik  he  währe, 

3ei'm  Studium  der  Grondprincipien,  auf  weiche  die  neuere 
letrte  ihre  Untersuchungen  basirt,  fand  derselbe,  duss  die- 
n  nicht  nur  die  Richtigiceit  einzeiner  Aufliisungen  der  geo- 
chen  Aufgaben  allgemeiner  und  übereichtlicber  beweisen, 
BTH  dass  dieselben  auch  geeignet  sind,  neue  nur  ihnen  eigen- 
liche  Auflösungen  solcher  Aufgaben  zn  bieten. 

Jec  ToTH'urf  der  gegenwärtigen  Abhandlung  soll  die  Anwen- 
der anharmonischen  und  harmonischen  Verhältnisse  sein, 
namentlich  der  Begriff  der  anharmoniscben  Verhältnisse, 
Doppelverbältnisse,  scheint  geeignet,  für  die  Auflösung  geo- 
cher  Aufgaben  fruchtbar  werden  zu  wollen. 


6  Keffer:  Viher  die  Anieenä.defiätiärm.  ii,  liäfia.  7«rl«rfim» 

Was  die  Theorie  anbelangt,  vrelclie  gegeuM äriiger  Alihaiu). 
mg  zar  Grundlage  dient,  vervreiäea  wir  auf:  „GesrbtGhtR 
et  Geometrie  von  Cluisles;  auf  J.  Steiner:  Systeni- 
ti«che  Enltviclcelung  der  Abhängigkeit  geomelriBcher 
Gestallen  von  einander";  auf:  A.  W.  nöblDs:  Der  bar;- 
cetitriBcbe  Caicul  and    B,  Hltxacbel :    Grundlinien  der 


Sind  ABCD  (Taf.  Vll.  Fig.  I.)   vier  anf  einer  Genim 
liegende  Punkte,   8o  wenden  nir    (Bt   das  Doppel verbälloies  itt 

von  denselben  begränzlen  Strecken  t^  :  ^0  nach  Mübiimdia 
Symbol  {ABCD)  an,  und  es  ist  AB  die  durch  die  Scbneidepunkte 
C  and  D  getheitte  Strecke.  Verbinden  wir  einen  beliebigen 
Punkt  O  mit  A,  B,  C  und  D,  so  erhalten  nir  das  Strahlen- 
büschel  Oabcd,  und  bedeuten  a/\c,  a/sd,  n.  s.  f.  die  Winiid, 
welche  die  einzelnen  Strahlen  mit  einander  bilden,  so  wird  not^ 
dem  anharmoniscbeo  VerhaltuisB  der  Geraden  a,  b,  c  und  d  tu 

Dopnelverhältniss      -; r~i:  '    ■    j  .  .•    verstanden,   und  mit  dm 

Symbol  sin(abcd)  bezeichnet.  Es  ist  bekannt,  dass  8in{aM) 
=z(ABCD).  Schneiden  wir  dasselbe  StrahlenbSndel  Ooficrf  ilardi 
eine  zweite  beliebige  Transversale  A'B'OO',  so  ist  {Ä'B'CB) 
=  {ABCD);  und  verbinden  wir  einen  zweiten  Punkt  0' mit 
A,B,C,D,  wodurch  wir  das  Strahl eubuschel  O'a'b'c'd'  etballMi 
Bo  ist  8in(u6f(f}  =  8iB((i'fi'c'rf'). 

Diese  einfachen  Beziehungen  reichen  hin,  um  eine  Reihe 
geodätischer  Aufgaben  aufzulüsen;  alle  diese  Aufgaben  werden 
sich  jedoch  auf  die  zurückfuhren  lassen:  wenn  das  Doppejre^ 
bälluiüB  von  vier  Punkten  oder  Strahlen  gegeben  ist,  einer  dieser 
Punkte  oder  Strahlen  jedoch  der  Lage  oaeh  unbekannt  ist.  itn^ 
selben  zu  bestimmen. 

§.  3.  Bestimmung  eines  Doppel  Verhältnisses  Sif 
dem  Felde.  Wir  werden  in  den  folgenden  Aufgaben  es  stets  uU 
Dnppelverhälliiissen  zu  Ihun  haben,  die  sich  entweder  auf  I> 
der  Nalur  vorkommende  oder  ausgesleckte  Linien  (Trans versaiWi 
Traversen)  oder  auf  ein  System  von  sich  in  einem  Pni^ 
Bchneidenden  Strahlen  beziehen. 

Fs  wird  demnach  notbwendig  sein,  vorerst  den  Weg  ai»* 
deuten,  auf  welchem  der  numerische  Werth  eines  Doppelnd 
hältnisses  in  jedem  einzelnen  Falle   bestimmt  werden  kann.    " 

der    Wirklichkeit    bestehendes    Doppel verbliltnisa    kai 
auf  zweifache  Weise  ermittelt  werden : 


^^     in    der    Wirl 


r  AiiffSsmff  t^er  hif^nSm  der  üeodifae. 


TS 


Durch  dtrecte  Messung.  (Taf.  VII.  Fig.  1.).  Es  sei 
8  Doppelverbältniss  der  vier  auf  einer  Geraden  befind- 
leo  Piiiikle  A,  B,  C,  D  2u  bestinimen,  so  messe  man  mit  einer 
tessketCe,  einem  Me.«sband  oder  ein«r  Lade  die  SIrecken  AC,  CB, 
^Mi,  und  erhält  unmittelbar  das  ÜoppelTerliällnUs 
AC  ^AD 
'  Cß '  DB' 

"Wäre   anderseits    das  Doppel  verbal  tu  iss  der  vier  bich    in   0 
rhneidenden  Strahlen  n,  b,  c,  d  zu  betjlimmen,  so  stelle  man  sich  in 
>  mit  einem  VVinLelmessinstrument.aur,  und  erhalt  nach  Messuog 
or    Winitel  oA*^.  c/\b,  b/\d  das  Doppelverhällniss 
rAc.sinnArf 
A  *  'slndAö' 


n(o6c(/)=- 


b.  Durch  indirecte  Messung;.  Hätten  wir  irieder  das 
^«ppelverhällnisB  {ABCD)  zu  beslimmen,  so  irählen  wir  einen 
^nkt  O,  von  dem  aus  A,  B,  C,  D  sichtbar  sind,  und  nun  wird  eine 
Sllfstraverse  A'B'C'D'  mit  Klucblstan^en  ausgesteckt,  und  das 
Goppel  verbal  tniss  (A'B'C'V)  durch  directe  Messung  ermittelt; 
tv  ist  iluno: 

(,ABCD)^(A'B'C'D'). 

Messen   wir  im   Punkte  O  die  Winlsei   aAc,    cA^,  u.  e.  f., 
Ht    erballün    >vir    das    anharmunische  Verbaltniss  (ABCD)   auch 
Relation 

(/lßCO)  =  sin{«icd). 

Anmerkung  I.  Kleinere  Hiirstraveräen  können  auch  auf  die 
'Weise  bestimmt  tverden,  dass  man  über  das  ätrahlenbüscbel 
die  Kette  oder  das  Messliand  spannt,  die  Durchschnitte  der 
Strahlen  auf  der  Kette  oder  dorn  Messband  bestimmt,  mit  Ketten- 
nSgeln  bezeichnet  und  hierauf  die  Länge  der  einzelnen  Strahlen 
abliest. 

Anmerkung  'i.  Soll  bei  der  indirecten  Bestimmung  eines 
.•Doppelverbiiltrii«se«  das  erhaltene  Ilesultat  {A'B'CD')  oder 
's!n  (abcd)  sich  mit  der  erforderlichen  Genauigkeit  dem  Wertho 
(ABCD)  gleicbatelleo,  so  ist  es  uotb"enJig,  den  Punkt  Osteta 
so  zu  wühlen,  dass  die  Strahlen  a,  b,  c  und  d  die  gegebene 
Transversale  unter  den  günstigsten  Winkeln,  d.  h.  weder  za  spitz, 
DOch  zu  stumpf  schneiden.  Dasselbe  gilt  in  noch  huherem 
Maasse  von  der  Hilfstraverse  A'B'C'D';  dieselbe  muss  stets  so 
gelegt  werden,  dass  siedieHilfsstrablen  a,  b,  r.,  d  möglichst  scharf 

leidet. 


,   «r-    ki 

!>  «efanndcD .  c.  k 
itwmn  facftUnmvc  «v  darrh  an* 
.  (ABCB), 
r  ÜKfwtH^rfaÜöiWB  ine  blgt  ergibt: 
f  —  '.MtCi*.-  ^irffi  wp  jedacA  om*  sweiten 
'  rMri»  .M  4m  aw  die  HlirstraiwiM!  ^10C2)  sicht- 
•*    V  4=^  .  t>'i=6',  n.  «.  L;   Messen  wir 


ABCO   fie    sieben« 
i',  *'.  c'.  <r  da 


^  t      A«ri*l>*-    C*    ist    4i«  LiBS«  ciacr  avr  in  el- 
\^nM\\  *^  (T»r,Vll 


IV^ 


teeon« 
Siredm 


i<)iVH<  A  w4  0  aa,  wi  a 


aur  Auflösung  etniger  Aufjgaben  der  Geodätie.  399 

AD  AB 

DC^'^'BC'""'' 

(AD  +  DQ.iAD—DQ^m  +  l'.m—l, 
AD-DC=^^.AC. 

ADs^AC+CDy^       -DC=CD,         CD=z \-i^AC; 

m+i 

CDzzAD-^AC,  AD=      -^.AC- 

m+l 

Es  sei  beispielsweise  gemessen  worden: 
I  A' » =zlT 0,  B^a =7^0,  C'iy=2fy>6 ; 

^    80  ist: 

i  A'D'=z390Q 

i- 

1  "~<^^^-®')=s^cri^' 


/ 


daher 


_    39-8  X7-0    _ 
"  — — 20-5X 12  0"- ~  *■*'*  *' 


AD  AB 


DC BC 

nan  gemessen  worden; 

^^=1505,    ÄC  =  8«5, 


ao  ist: 


»i  =  — 1-12^,     m  =  — 2-04; 


demDacb: 


AC=AB+BC=2i^. 

CZ)  =  -3j:gj.  24  =  23007. 

—2-04 
AD  =z:j^ '  24  =  47«02. 


■»Kr  MJJßsung  efntger  Anfgaben  der  CeodSsle. 


I  welchem  die  verlängerte  OA  die  Tra- 


in Punkt  A'  erhalten, 
irse  D'C'B'  trifft. 

§.  7.  Aufgabe.  Es  ist  die  Riebtang  einer  Geraden, 
eiin    deren  Endpunkte  von  einander  nnsicbtbar  sind, 

1.  Auflösung.  Es  sei  der  Punkt  O  und  A  (Taf.VlI. 
5-  4.)  gegeben,  es  soll  ein  Punkt  A'  bestimmt  werden. 
Icher  in  der  Verbindungslinie  OA  liegt,  wodurch  die  Ricb- 
tg  der  OA  im  Punkte  O  bestimmt  wird.  Zur  LOsung  nird 
I  Traverse  DCBA  ausgesteckt,  die  einzelnen  Strecken  wer- 
»   gemessen,  wodurch  wir  {DCBA)  =  u  erhalten.     Die  Punkte 

C,  B  sind  SU  gelegen,  dass  sie  von  O  aus  sichtbar  sind, 
3  wir  erhalten  durch  Verbindung  derselben  mit  O  das  Strahl en- 
scbel  Odcb,  in  welchem  der  vierte  Strahl  o  der  Lage  nach 
bekannt  ist.  Um  denselben  zu  bestimmen,  wird  in  der  Ge- 
nd,  wo  wir  den  Punkt  A'  gelegen  haben  wollen,  die  Transver- 
1«  D'CB'  ausgesteckt,  D'C  und  C'B'  wird  gemessen,  und 
3  Lage  des  Punktes  A'  hierauf  aus  der  Gleichung  {D'C'B' A') 
iDCBÄ)  berechnet. 

Haben  wir  ein  Winkelmessinstrument  zur  Disposition,  so 
srden  wir  in  O  die  Winkel  tlAc  und  c/\b  messen,  den  Win- 
•\  b/\a  hierauf  aus  der  Gleichung  sin {dcba)  ^  (DCBA)  be- 
chnen;  mit  tlilfe  des  Winkels  b/\a  ist  sodann  die  Richtung 
ii  Geraden   OA  bestimmt. 

Anmerkung.  Die  Rechnung  selbst  wird  folgendermassen 
iBgefÜhrt,  der  der  Richtung  nach  unbekannte  Strahl  wird  in 
em  Symbol  an  die  dritte  Stelle  gesetzt,  und  aus  den  gemesae- 
i)D  Strecken  wird  a  =  (DCAB)  berachnet 


£e  ist: 

Bin{dcab)  =  m, 

ifaer 

smdAa          emd/\b 
sin«Ac-'»sin6Ac' 

BiadAa-\-a\tia/\c:6ind/\a  —  6ina/\c  = 


m  +  l_ 


teHd/\a  +  aAc)cotei{dAa~-aAc)—^^l=- 


tgiWAa— aAc)= 


jtgirfAc 


402  Müilir:  (Jeder  die  Anwend.  d.  anharm,  tf.  härm.  VertiUam 


Ali  aber 


NO  iat: 


Sotion  wir: 


MO  ist: 


dAa^dAc  +  c/\(h 


tg{idAc  +  cAa)  =  vtgid/\c, 
^''^'*"l+vtgirfAc.tgidAc 


^irfAc  =  tg9,  vtg4ilAc  =  tg*; 


«er 

itttk 
Es 


tgcAa  =  tg(^— 9)  imd  eAa  =  1f'— ?• 
K«  ist  ftmer: 

cAa^c^Aa-f  cA4. 

t§{icAd^dAa)  =  vtgkdAc, 
^^^         ^'''^•-l-rtgidActgiilAc" 

►tjjrirf/.  e  =  t§  ^,       tgl<r  Ac  =  fg9; 
&o  Itt: 

tgtf/Aa=tg(V4-^)  "Mi  rf/  a  =  ^+9. 
Controll.: 

dA«+<'Afl=2«i'>       rfA«^-«/^c  =  rf/.c  =  29.        9=iiAft 

Ist  /),  C  ond  A   deruüg  vieeiKMUMB    wordeo,   dass  dA^ 
=  t/\b,  so  viird  n  =  o,  frodardi  die  Reckan^  vereiiifiicht  wki 

$.  S.    i.  AnflofioBg.    Es  «rSi«  w  O  (TaL  VIL  F^.S.)  A 
KiclirDD$;  nach  J  anmfireben,    na    de»  Torhuidenen  Bergridci 
duTvhiuirraben,    so  «rird    äck   mit  Hilfe   des  Fernrohrs  an  ta 
W  inkelm^ssinstniiDente  eine  Trarerse  CABD  ansstecken  lasseVi 
s^    da&s   C   B  und  D  von  O   ans    sichtbar    sind.     Sncheo  ^ 
uutt    einf>a  Pnnkt    O',  von    dem    ans    simmt&lie  4  Punkte  der 
FtattSTer«ia)e  CABD  sicktkar  sind ,    so  erikalten  wir  doreh  Me^ 
:^uu^   detr  Winkel  d'  Ah\    h' A^\    ^'  A\C    das  Doppelveikiitiitf 
:»iu^.4'  >  a  «r  ^=  o.    Steilen  wir  nns  nu  in  O  attf  md  anessen  frir 
viio  \V  mk^l  ^  /,  K  b  A  ^1  ^^  erkaiten  wir  die  Gleiekuig  sin(<ttif) 

'.   Au:^  >\eUber  JA«.    r/.n.n.s.f.  beredinet  werden  kail> 

«^o*Uvvk  die  K^ckmnc  der  OJ  bestimmt  wird. 


yiei 


fcl 
W 

m 

k 


id' 
ite 

K 

I 

i 


}.  9. 


zur  Auflösung  einiger  Aufgaben  der  CeodtUte. 

Aufgabe.  Es  ist  eine  zugänglich 
("Verlängerung  derselben  sei  zugän 
lurch  einen  Punkt  eine  Parallele  hie 


e    Gerade 
glich)  ge- 


Es    sind  A,  C  und  B  (Taf.  VII.  Fig.  6.)  drei  Punkte  der  ge- 
^nen    Geraden,    AC  und    CB  sei    gemessen    und    das    Ver- 

AC  ,      . 

tisa     j^=  D)  bestimmt. 

Wenn  wir  nun  durch  O  eine  Parallele  zu  ACB  ausstecken 
en,  so  wird  die  Traverse  A'CB'  ausgesteekt,  und  da  (ACBD) 
i'C'B'D'),  da  ferner  das  Doppelverhältnisa  (ABCD)  sich  für 
Fall,  dass  der  Strahl  OD  parallel  ist  zur  Geraden  ABC, 
AC 


'  CB 


3=:  — CO  reduzirt,  so  erhalten  wir; 


(A'B'CD')  =  -f^=-a, 


Relation,  ans  welcher  die  Lage  des  Punktes  D'  auf  der 
rerse  A'B'C  berechnet  wird,  OD'  ist  sodann  parallel  zu 
C.  Messen  wir  in  O  die  Winkel  tt/\c,  c/\b,  so  erhallen 
liir   die  Richtung  d.  welche  zu  ACB  parallel    ist,    die  Glei- 


n  (abcd)  = 


AC 
CB' 


Hiernach  kann  b/\d  berechnet  werden,  und  mit  Hilfe  des- 
len  Winkelmessinstrumeiites  kann  die  Richtung  Olf  ausge- 
ibt  werden. 

Uieses  Verfahren  ist  deshalb  in  gewissen  Fällen  bequem, 
I,  wenn  einmal  das  Verhältniss  AC:  CB  bekannt  ist,  dasselbe 
ler  benutzt  werden  kann,  um  in  beliebigen  Punkten,  fiir  welche 

Gesichtswinkel  der  Strecke  kein  zu  spitzer  wird,  zur  Strecke 

Parallelen  zu  construiren. 

Wäre  AC—  CB,  so  wäre  die  Gleichung  (A'B'C'D')  =  — I 
r  sin(aöcrf)='— 1  aufzulösen,  d.h.  die  vier  Punkte  A',  B',  C',D' 
r  die  vier  Strahlen  a,  b,  c,  d  bilden  ein  harmonisches  Verh&ltnies. 

In  diesen  Fällen  kilnnte  man  auch  den  vierten  harmonischen 
kt  D'  oder  den  vierten  harmonischen  Strahl  d  durch  eine 
bekannten  Constructionen  ohne  Rechnung  linden. 


g.  10.    Aufgabe. 
:he    eine  zu   eine 
ie  zu  ziehen. 


)urch   einen   Pun 
Geraden   in   dei 


:t  auf  dem    Mess- 
Natur    parallele 


404  ülütler;   Veber  ille  Anteejid.  der  an/tarm.  u. äarm.  VerhSttntne 

Sei  auf  dem  Messfiscb  (Taf.  VII.  Fig.  7.)  der  Punkt  O  de^ 
jenige,  durch  welchen  eine  zu  der  Geraden  ACB  parallele  < 
rade  gezogen  irerden  soll,  so  irird  von  O  nach  A,  C  und  J 
rayonirt,  soJann  das  Bündel  Strahlen  auf  dem  Tische  durch  di'a 
Transversale  A'B'C  gesehnitlen,  A'C  und  C'B'  mit  dem  Zirkel  «^ 
getragen,    und    der    Punkt    D'    aus    der    Gleichung    {A'B'CD') 

=  —  jT^ä  bestimmt.     Um   in   diesem   Falle    auf  dem    Messtischs 

die  Parallele  OD'  ohne  Rechnung  durch  blosse  Constroctiun  U 
erhallen,  verfahre  man  nie  folgt:  Es  sind  die  von  O  (Taf.  Vif. 
Fig.  8.)  nach  A,  C  und  B  g-ezogenen  Rayons  a,  c,  b, 
wir  durch  O  eine  beliebige  Gerade  OiV,  tragen  auf  dieselbe  tvA 
Abschnitte  OM  und  MN  auf,  so  daas  0!S.mN=  ACiCB;  n 
ziehen  wir  durch  M  und  iV  zu  a  Parallelen,  so  dass  MC  \\  SB 
II  OA',  diese  so  erhaltenen  Durchschnittspunkte  C  und  B'  in- 
bunden  geben  uns  eineTraverse,  bei  welcher ^'C:CÄ'=JC:CB; 
die  durch  O  zu  C'B'  gezogene  Parallele  OD'  ist  dann  Eur  Ge- 
raden ACB  auf  dem  Felde  parallel.  Wäre  AC=CB,  so  bältei 
tvir  EU  den  drei  harmoniscLen  Strahlen  a,c,fi  den  vierten  c  zagenti^ 
neten  Strahl  zu  beslimnien,  ivas  durch  Auflösung  der  Glelchanj 
iAB'C'D')=~l  geschehen  kann,  wo  «ir  die  Strecken  i'F 
und  B'C  vom  Tischblalte  mit  Zirkel  und  Maassstab  entnehm« 
können.  Bequemer  ist  jedoch  in  diesem  Falle  die  ConstraCtkü 
da  die  reiche  Auswahl  der  verschiedenen  Conslructiooen  dff 
vierten  Harmonikale  den  Feldmesser  nie  in  Verlegenheit  I 
wird,  je  nach  der  Gestalt  des  Strahlenbüscbels  den  v 
harmonischen  Strahl  nicht  bequem  graphisch  bestimmen  zu  UCdiM 

§.11.  Aufgabe.  Essir»d^,  B,  C  (Taf. VIII.  Fig.  9.)  ^"'i 
einer  Geraden  sich  befindende  Punkte.  \iDAA',B;C'  ibi 
Projecttonen  auf  dem  Mess tische,  und  es  soll  ntmdtr 
Messtisch  so  gestellt  nerden,  dass  ACB'  \\  ACB. 


Orl 


intiren 


er  getheilten  Strecke. 


Der  Messlisch  wird  auf  dem  Standorte  aufgestellt  uni)  < 
A'  nach  A,  C  und  B  Rayons  gezogen;  wir  können  nun  suf 
Weise,  wie  es  im  vorigen  Paragraphen  gezeigt  worden,  zu  ACi 
auf  dem  Messlische  die  Parallele  A91'  ziehen,  das  Uiopler 
AM'  angelegt,  wird  in  milglichst  weiter  Entfernung  der  Punkt 
als  Verlängerung  der  AM'  nusgesteckt,  und  hierauf  wird  i 
Diopter  an  A'B'  angelegt,  die  Tischplatte  um  den  Punkt  Ä' 
lange  gedreht,  bis  die  Gerade  A'B'  in  die  Richtung 
bracht  ist,    worauf  der  Tisch  orientirt  ist. 


zur  Auflösung  einiger  Aufgaben  der  Geodäsie.  405 

Die  ProjectioD  des  Standpunktes  wird  hierauf  durch  Rück- 
vtseinsefa neiden  bestimmt. 

§.  12.  Anwendung  des  in  §•  10.  und  §.  11.  Gezeigten 
f  die  Aufnahme  eines  Polygons  mit  dem  Messtische. 

Es  sei  das  Polygon  ABC  DE  u. «.  f.  (Taf.  VIII.  Fig.  10.)  mit  dem 
Mstiscfae  aufzunehmen«  so  stecke  man  auf  jeder  Seite  drei  Punkte 
B,  so  dass  die  Entfernung  dea  ersten  vom  zweiten  gleich  sei 
t  Entfernung  des  zw<?iten  ?oni  dritten.  Um  solche  gleichweit 
n  einander  abstehende  Punkte  zu  erhalten,  wird  am  einfachsten 
9i  Hesskette  ausgespannt,  am  Anfangspunkte  und  Endpunkte  ein 
lock  eingeschlagen^  und  dieselbe  auf  jeder  Seite  zweimal  hinter- 
■ander  aufgetragen. 

Wir  stellen  nun  den  Messtisch  so  auf,  dass  er  einer  Reihe 
felnanderfolgender  Seiten  gegenübersteht,  nehmen  hierauf  den 
Midpunkt  O  auf  der  Messtiscbplatte  so  an,  dass  wo  müglich 
i  ganze  aufzunehmende  Fläche  auf  das  Messtischblatt  falle, 
d  rayoniren  von  O  nach  A,  B,  C  und  D;  messen  OA  und 
gen  das  Maass  OA  auf  den  Rayon  OA,  wodurch  wir  auf  dem 
taktische  den  Punkt  a  erhalten.  Von  a  wird  A,  I  und  II  rayo- 
t«  wenn  nämlich  die  auf  AB  ausgesteckten  Aquidistanten  AI 
•II  sind;  zu  aA,  n\  und  rtll  die  viierte  Harmonikale  construirt, 
t  uns  ab  parallel  zu  AB,  und  b  den  Eckpunkt  B,  Sind  auf 
!?  die  Aquidistanten  lII.IV  =  iV.V,   so  wird  von  h  nach  lll,  IV 

I  V  rayonirt,  zu  ^III,  6IV,  6V  die  vierte  Harmonikale  con- 
uirt,  wodurch  wir  bc  parallel  zu  BC,  und  c  die  Projection  des 
aktes  C  erhalten.  Auf  Seite  CD  sind  die  Aquidistanten  VI. VII 
^II.VIII,  wir  werden  demnach  von  c  die  Punkte  VI,  VII  und 

II  anvisiren^  zu  cVI,  cVIl,  cVIlI  die  vierte  Harmonikale  con- 
cilren,  und  erhalten  ed  parallel  zu  CD  und  in  d  den  Eck- 
ilt  D. 

Angenommen  es  sei  nicht  mehr  möglich,  auf  gleiche  Weise 
fc  O  aus  fortzufahren,  so  werfen  wir  von  O  einen  Rayon  nach 
^m  neuen  Standort  O',  übertragen  den  Tisch,  orientiren  uns 
«1i  O,  und  bestimmen  den  Standort  durch  Eirischneiden  Von 
c,  D.,d.  Wir  konnten  aber  auch  noch  in  O,  fulLs  von  O'  aus 
und  D  nicht  sichtbar  sind,  die  Punkte  VI,  VIJ,  VIII  am 
^tte  bestimmen,  dieselben  hierauf  zur  Bestimmung  von  O'  be- 
•^en;  diese  Punkte  können  uns  selbst,  falls  wir  in  O  keinen 
•yon  nach  O'  warfen,  zur  Orientirung  des  Tisches  in  O'  nach 
«r  getheilten  Strecke  dienen.    (§.  II). 

Angenommen  es  sei  der  Tisch  in  O'  orientirt,  so  wird,  nach- 

'rheil  XLV.  28 


406  Müller:  ütber  die Aniraid. der  atthnrm.v. härm.  VerhSItniue 

dem  O'  beatinimt  worden.   O'E  u.  s.  v/.  gezogen,  von  d  «rerdi 
nach    den  Äquidistanlen  1X.\  =  X.£    die  Rayons    d\X,    dS.  un 
dE  gezogen,    die  vierte  Uarmonikale  construirl,    wodurch  n-ir 
Seite  de  gelangen  u.  s.  w. 

Anmerkung  1.  Es  ist  ersichtlich,  dass  nach  dieser  Me 
thode  ein  l'olygon  unter  günstigen  Umständen  von  nur  cImb 
Stande  aus  auTgenonimen  «Verden  könne.  Hiebei  ist  nur  eine  W' 
zige  LängeiimesKung  nothnendig,  um!  das  Auftragen  zweier  gld» 
eben  Distanzen,  z.  ß.  eine  von  10^  auf  jeder  Seite,  ist  nicht  mit 
der  Mühe  der  Messung  der  Polygonaeiteo  zit  vergleichen. 

Anmerkung  2.  Da  nicht  jeder  Feldmesser  aufgelegt  W*I 
wird,  schon  auf  dem  Felde  die  vierten  Harmonikaien  ku  CM- 
struirea,  um  so  mehr,  da  der  Tisch  wahrend  der  GonstradiH 
leicht  aus  der  Orientirung  gebracht  werden  küimte,  ao  wird 
angezeigt  sein,  ein  Verfahren  anzugeben,  bei  welchem  die  Cm- 
struction  der  vierten  Harmonikaien  erst  su  Hanse  verrichtet  im- 
den  bann. 

Angenommen  es  sei  ein  Fünfeck  aufzunehmen  und  ti 
Oder  Standort,  so  rayonirt  der  Feldmesser  von  O  (Tal".  VIll.Fig.ll) 
aus  die  Eckpunkte  A,  B,  C,  D,  E  an.  Hierauf  wird  OA  gemeuai 
und  notirt;    auf  Seite  AB  sind  die  Äquidistanten  1.2=^3,  uf 


',  auf  0£..  10.11  =  11.12,  MtEAS» 


BC  die  4.5  =5.6,  C/)..7.8= 
13.14=14.15. 

Auf  den  Rayons  OA  a.  8.  f.  oder  neben  denselben,  ifl  A 
Nähe  der  Orte,  wohin  auf  dem  Blatte  die  Punkte  a,b,c,d,e^ 
werden,  nimmt  man  die  Hilfspunkte  a',  b',  u.  s.  f.  an,  wobeie 
au  erinnern  kümmt,  dass  ein  solcher  Hilfspunkt  für  beide  auU 
sende  Seiten  dienen  könne.  Von  diesen  Hilfspuukten  werden  4 
Äqoidlstanten  rayonirt. 

So  rayoniren  »ir  vom  Hilfspunkte  a'  nach  den  ÄqnldisllBll 
I.  3,  3  aufseile /IB,  nach  13,  14,  15  auf  Seite  EA;  vonfr'nuhi 
5,  6  auf  Seite  BC%  von  4'  Etach  7,  8.  9  auf  Seile  CD,  und  o« 
10,  n,  12  auf  Seile  ÜE. 

Nach  Beendigung  der  Feldarbeit  werden  die  vierten  H«« 
nikalert  construirt,  und  zwar  a'x  zn  a'\,  a'%  n'3;    b'z  zu  b'i,  • 
und  6'6;  d't   zu  d'l,  d%  rf'9;    d'u  zu  d'IO,  d'll,  rf'I2;  endU 
o'y  zu  a'13,  a'14,  a'15.    Die    gemessene   RayonlSngo   OA 
aufgetragen,  wodurch  wir  den  Punkt  a  erhalten,  durchawirdoii' 
"^  II  <i'.y  gezogen,  durch  den  so  erhaltenen  Pankt  6  wird' 
durch  c  cd  II  td',    durch   d    de  ||  d'u    gezogen. 


Huabme 


iur  Auflösung  einiger  Aufgaben  der  Geodäsie. 


I  des  Polygons  mittelst  einer  einzigen  Tisch aarstellung 
beendet  lialieti. 

Anmerkung  3.  Im  Sinne  des  §.10.  ist  es  nicht  nothvren- 
dig,  auf  den  Seiten  Aquidistanlen  auezust^clien,  da  ztvei  zu- 
tammenhängende  Strecken,  wenn  nur  deren  Verhältnis^  bekannt 
iatt  derselben  Anfgabe  genügen,  doch  ist  das  Erstere  bequemer, 
daher  wir  zu  dieser  Methode  nur  dann  Zuflucht  nehmen  iverden, 
wenn  es  Terrainverhältnisse  verlange»,  oder  wenn  das  Verhält- 
neiei  Strecken  bereits  aus  Trüberen  Aufnahmen  bekannt  ist. 

13.  Häufig  liünimt  in  der  Praxis  fnlgende  Aufgabe  vor  :  In 
Tbale  belinde  sich  eine  isolirte  Parzelle  P  (Taf.  VIH.Fig.120 
dieselbe  wäre,  aonohl  ihrer  Gestalt  nach,  als  auch  ihrer  relativen 
Lage  nach  gegen  das  umliegende  Terrain  aufzunehmen.  Die  ein- 
■ige  Aussicht  auf  die  Parzelle  sei  vom  Signale  O,  auf  welchem 
der  Messtifich  nach  x  orieotirt  werden  kann.  Stellen  wir  onn 
4en  Tisch  in  O  auf,  orientiren  uns  nach  x,  so  »äre  das  bekannte 
Mitte),  um  auf  die  Parzelle  P  zu  gelangen,  ein  Signal  Ä  auf  der- 
selben anzuvisiren,  hierauf  die  Lange  des  Rayons  zu  messen, 
iJer  von  O  nach  A  zu  Stationiren;  ist  auf  diese  Weise  Ä  be- 
Unp^  so  kann  die  weitere  Aufnahme  der  Parzelle  von  A  aaa 
jüTolgen. 

Sei  jedoch  die  Entfernung  OA  eine  bedeutende,  oder,  was 
Buistens  der  Fall  sein  wird,  das  Terrain  zur  Lüngenmessung  ein 
■günstiges,  so  würde  die  Messung  des  Rayons  oder  das  Statio- 
ren  nur  mit  Zeitverlust  und  ungenau  auszuführen  sein,  so  dass 
denfalls  eine  kleine  Verschiebung  der  Parzelle  in  der  Richtung 
la  Rayons  OA  erfolgen  wird.  Um  diese  Längenniessung  zu 
imeiden,  stelle  man  auf  P  zwei  Signale  A  und  B  auf,  so  dass 
re  VerbiDdungslinie  nahe  senkrecht  auf  die  beiden  Rayons  OA 
id  OB  wird;  nun  wird  A  und  ß  anvlslrt,  der  Tisch  nach  A 
^  B  überlragen,  nach  O  zun'IckonenlJrt  und  von  einem  will- 
Irllch  angenommenen  Punkte  a',  welcher  sich  jedoch  oberhalb 
befinden  mass,  nach  B  rayooirt. 

Hiermit  erhalten  wir  ^  Oa'b'  =  ^  OAB. 

Wird  nun  ae  (Taf.  Vlli.  Fig.  13.)  gleichgemacht  im  verjüngten 
der  in  der  Wirklichkeit  beelehenden  und  gemessenen 
I  Aß,  durch  e  eine  Parallele  eb  zu  Ou'  gezogen,  so  er- 
ftrlrfr;  durch  A  eine  Parallele  zu  a'b'  gezogen,  erhallen  wir 
?rojectionen  der  beiden  Punkte  B  und  A.  Da  die  Strecke 
den  meisten  Fällen  im  Verhälluiss  zur  Strecke  OA  nur 
n  seio  wird ,  so  wird   die  Parallele  eb  mit  Ob  keinen  sicheren 


1 


I 


r 
I 


408  Hüiler:    Veber  ilSe  AHwenil.  der  ait/iann.  u.  härm.  Kerhälmiist 

Oucchscbailt    bieten,    es  wird   dann    sicherer  sein.    Ana  Ort   dn 
Punktes  n  durch  Recbnun^  ivie  folgt  zu  fiuilen. 

Nehmen  wir  ci'  sr>  a»,  dass  im  verjüngten  Maasse  Od'  etil* 
runde  Summe  von  Längeneinheiten  Ledeulet,  b.  B.  200",  am 
greifeti  wir  gleichecneiäe  ilie  Länge  der  a'b'  am  Klaassslabe  «i 
genau  als  miiglich  ab,  AB  sei  in  der  Natu r  gemessen  wurdeo,  «e 
erbalten  nir : 


Oa  =  AB. 


Oa' 


hieraus   wird   Oa    berechnet,  und  ]m   verjüngten  Maasae 
aufgetragen,    nodurch  ivir  a,  und,  durch  a  eine  zur  a'b'  Parallel) 
gezogen,  b  erlialten. 

Nun  wird  der  Messtiscfa  sn  tveit  verschoben,  dass  a  übtt 
den  Punkt  A  zu  titehen  l(i>mnit,  nrieiitirt  und  die  Aufnahme  il(t 
Parzelle  mit  dem  Mesü^tische  vollendet. 

Auch  hier  dürfle  eine  Verschiebung  der  Parzelle  iu  der  ßic^ 
tung  OA  erfüllten ,  da  AB  im  Verhallniss  zu  OA  nur  gering  ist, 
doch  bei  sorgfältiger  Arbeit  wird  die«ielbe  immer 
als  durch  eine  Längenmessung  in  ungünstigem  Terrain.  Weu 
jedoch  die  aui'zunebniende  Parzelle  von  so  untergeordneter 
deulang  wäre,  dass  es  eine  iiberlliisaige  Mube  wäre,  den  M«f 
tisch  nach  A  iiherzu tragen,  so  wird  zwischen  A  und  ß  noch  in 
Punkt  C  ausgesteckt,  und  bierauf  von  O  nach  A,  B  und  f?  fil> 
yons  gezogen;  ist  nun  AC:CB  gemessen  und  bekatiot,  so  wM 
durch    O  am  Messtisch  eine  zur  AB  Parallele  Oi  gezogen. 

Ist  AC=--CB,  so  \(it  Oz  die  yierle  Harmonikale  zu  OA,  OB, 
OC,  und  kann  auf  bekannte  Weise  leicht  constmirt  werdeiii 
Machen  wir  Üi  (Taf.  VIII, Fig.  13.)  im  verjüngteu  Maasse  gleicb  dl 
gemessenen  Länge  Ali,  ziehen  durch  x  eine  Parallele  zu  0^4,108 
halten  wir  den  Punkt  b,  u.  s.  f.  Um  auch  hier  den  schitfe 
Durchschnitt  zu  vermeiden,  geben  wir  Oa'  eine  becfuenie  Llag 
und  ziehen  durch  a'  zu  Oi  die  Parallele  n'b',  greifen  deä 
Länge  mit  dem  Zirkel  ab,  so  erhalten  wir  tur  Oa  die  Reiten 
Oa' 


Von  den  so  bestimmten  Punkten  kann  dann  die  Parzelle  niV 
der  Kette  eingemessen  werden.  Um  diesü  Cinmessung  zu  u- 
leichtern,  kann  man  von  O  aus  noch  mehrere  Eckpunkte  anrt 
siren,  und  ihre  Entfernung  von  A,  C  oder  B  mit  der  K 
messen  lassen.     In   dem    letzteren  Falle    haben  wir  dsmnaeh 


%ur  Auflösung  einiger  Aufgaben  der  Geodäsie,  409 

f' einer  Aufstellung  von  O  aus  die  Lage  der  Parzelle  bestimmt, 
zur  Messung  des  Kayons  OA  Zuflucht  nehmen  zu  müssen. 


-2,§»  14.      Aufgabe.      Eine    unzugängliche    Distanz  AB 
j^,  VIIL  Fig.  ]4.)  sei  zu  bestimmen. 

Wir  wählen  einen  Punkt  R  und  bestimmen  in  den  Geraden 
K>aod  BR  zwei  übrigens  willkürliche  Punkte  O  und  Q;  O  mit 
»  Q  mit  A  verbunden,  gibt  uns  dien  Punkt  P,  welcher,  wie  auch 
B|  fibrigen ,  mit  Stangen  bezeichnet  wird.  Weiter  werden  noch 
9  Durchschnitte  <$,  J/und  iV aufgesucht  und  ausgesteckt.  Nach 
m  Eigenschaften  des  vollständigen  Vierseits  ist  nun : 

{RQMB)^{RPST)^{ROT^A)—-'V 

.  f 

RMiMQ^RBiQB, 

BNxNO  =  RA.OA, 

RSiSP  =zRT:PT, 

RM ^  MQ.RM  ^  QM  =  RB^QBx  RB  \  BQ  u.  s.  f., 

RQ: RM  +  QM  —  RB  +  QB :  RQ  u.  s.  f., 


^^^^^RM+QM'  '^^+^^=ßiV+ÖiV'  ^^+^^=ßÄ+PS 

_„_  MQ.RQ  NO.RO  SP.RP 

^^'^  RM-MQ'       ^        RIV^ISO'     ^^  -  RS-^SP' 

M^r>_   RM,RQ  RN.RO  RS.RP 

^^^  RM-'MQ'     ^^-^  RN-^ISO*     ^^"^  RS^-SP' 

Auf  diese  Weise  sind  die  Entfernungen  des  Punktes  R  von 

Ä  drei  Punkten  A,  B  und  dem  Punkte   T,  welcher  jedoch  als 

ht  ausgesteckt  zu  betrachten  ist,  berechnet.    Die  Linien  RT, 

^  und  BO  schneiden  sich  im  Dreieck  ABR  im  Punkte  P,  es 

folglich : 

AT.BQ.RO==TB.QR.OA 


AT       QR.OA 
TB  '^  BQ.RO' 

AT       NO.(RM-MQ) 

TB  "MQ.iRN-NO)' 


Wo t fers:    Ueber  einen  Sat%  von  Euler.  411 


Ueber  einen  Satz  von  Euler. 

Von 

Herrn   Professor  Dr.  J.  P.  fVolfers 

in  Berlin. 


'  In  dem  Werke :    ^^Leonhardi  Euleri  InstitotioDum  Cal- 
ili  iotegralis  voluroen  quartom.    Petropoli  1845.  p.  246. 
f.*'  steht  folgender  Lehnsatz: 

j.  89.    Ist  1.  ^=^Ae+/iAc+la:+/iÄe+2^•+/8Ae^.3a:»  +  etc, 

2.  ^  =  (-Ä-l)o(-/-~l)e+(-Ä-1)i(-/^-l).fia: 

+  (- A~l)a  (-/^-l)e+2a:«+etc., 

0  allgemein  ntn  den  BinomiaUCoefficienten  für  die  Potenz  m  und 
m  Zeiger  n  bezeichnet;    so  findet  zwischen  "^  und  ^  die  fol- 

inde  Beziehung  statt: 

^ren  Beweis  Euler  nicht  auffuhrt,  da  er  ihn  früher  gegehen  hat. 
»m  Studium  jenes  Werkes  habe  ich  diesen  Lehnsatz  folgen- 
rmaassen  bewiesen. 

Beweis    I. 

Man  nehme 

4.    «^  =  ß(l-:r)y^ 

,  wo  die  Constanten  a,  ß,  y  den  Bedingungen  1.  und  2.  ent- 
rechend bestimmt  werden  müssen.  Differentiirt  man  diese  Glei- 
ung  in  Bezug  auf  x^  so  ergibt  sich : 


412  Wolfen:    Veber  einen  Satt  von  Euter. 

und  »r«»n  ro»n  nnn  in  4.  und  5.  a;=0  setzt,  nach  1.  und  2.: 

7.    «/iAe+i  =  P(-A-1),  (-/'-I),^.,  _|Sy(_A_j)„(_/'_l), 

Nach  der  Lehre  von  den  Binoniial-Coefncienten  (a.  8.0.  §.84.)  W 
aber: 

^  =  l.  (-A-i)„=i,  /i=/-,  (-Ä-i),=-A-i, 

i—f-  ^)*  —  ±{e-^f)e,    ±  je  nachdem  e  ^  „^gg^a^g  ^  wt. 

(-/^I).^.=T*-+ff-*(efr)e.    T  je  nachden,  e  ^  J^jJ«^,^  j  . 

indem  nSmlich  allgemein  (— p)«  =  ±(p  + g  — 1)^  ist 

Unter  Benutzung  dieser  Werthe  gehen  die  Gieiehangen  6.  u 
7.  über  in: 

nnd  wenn  mun  den  Werth  von  a  aas  8.  in  9.  snbstituirt : 

"cln  oinl«rh,   weil  die  Ooppelzeicben  J:  and  ^   zagleicb   gel 

!•»   nÄi^liHoin  r  \  ,     '    ist- 

/  uncrcrade  > 


.1     I« 


^  *  r  +  i  f  +  1 


u 


f««f«.t 


10.    )/<*  +  » 

«    »•     IM     Uh,.,      4.,„.|, 

^   V.S....r =±('-*  — De. 


F^  W  Ol  fers:    üeber  einen  Satz  von  Euler,  413 


vorhin  zu  nehmen;   mithin  nach  8.: 

ach  welche  Gleichung»^  wir  das  Verhältnis«  von  a  zu  /3  kennen 
mea.    Mittelst  derselben  geht  4.  über  in 

Eer»   indem  man  durch  ß  dividirt,    nach  10.: 

12.    (e+/*)e^  =  (e-.A-l)e(l-a:)/FHi<?, 
it  der  Behauptung  3.  übereinstimmend. 

Beweis    IL 

Der  Beweis  lässt  sich  folgendermaassen  noch  verallgemei- 
em»  indem  man  Eine  Voraussetzung  weniger  annimmt.  Wir 
Btsen  nämlich,  indem  a^  ß,  y  zu  bestimmende  Constanten  sind, 

1.    1)  z=i  a{\ -{■  ßx)y S 
oraos,   und  erhalten,   indem  wir  zweimal  nach  x  differentiiren : 

Is  wird  aber  (nach  Beweis  I.,  1.  und  2.),    indem  man  nach   der 
Mfferentiation  a;  =  0  setzt: 

"^  =  /oÄe,      ^  =  A ^e+i»    ^^  =  2/aAe+a, 
^  =  2(-Ä-l),(-/'~l)e+.. 

erner  ist  nach  dem  Vorhergehenden: 

Ae=±(c— A— 1%,    Ae+i=±  ^qri(«""A— l)e, 

(A--6)(A-e-~l) 
*•+•=*     (e  +  l)(iJ+2)     ^^  -  '^-"  *)*' 


•  '1 

i«Ni  ite»  nimm  (wtoy  onftH«  Zridhar.  glitt,  fteiarihtkiir  g  c  7^"r*i 


iMC,    .^MhMdMli«  man  (Um»  WodbeiiDifigD  wnHUn  fffir "%  ^,  -^, 


Üiv  füll'  M^^  i«if V  jpiAnuliMHW  CHwrliiiijtjiiiij,  Hiamf  tmmt  b  den 


4.    (<f— A_l)e  =  «(,^./Jt, 

5.    '"^  — j-  («  -  *  —  I).  « eTJT C«+ A.+  «ft- (e + /)., 

**     ^'«  "(TTlHiTä)     (•-*-'^«-'^  !.«(«+ l)(e+2) 

Au«  4.  folgt,  wie  in  B»w»to  1.  fUr  «,  hiw: 

<*#1ft{  imin  fern«?  In  5.  md  9    4mi  lücniis  anefa  f9r  («— A— |}« 
«*^(«llNm4M  WcfA ,  M  t«lit  «Mietet  5.  aber  in 

^(A-*)  =  {A  +  l)(»  +  ^+l)  +  ftr(«+l) 

/V-*)^A-*)^A  =  r-l)  =  (A  +  l)(A+a>(#+/+l)(ff^+ir+2) 


\ 


C0ia*ciii9^  —  2%lnacoaatinqtco»g>'{-Bina^  ooBq>*  =z  0,  427 

8^       2  cot « tang  y  cos  tjf^  ^  2  tang  y  tangif;  cos  '^^ 
8g)  ""  cos  9*  cos  g>*  tang  9* 

^__^2sini/;cosi(; 28in2if; 

"^   sinycosy  ""    sin29  ' 

^veil   nach  der  Voraussetzung: 

tangtf; 

cota  =  2 ö 

tang  9* 

ist.      Da  nun 

8(tf;— y)  __  8^      l  _  2sin2i/;—  6in2y 
8y  8y  sin2y 

ist,    80  ist  die  gemeinschaftliche  Bedingung  des  Maximums  und 
ntiDimums: 

2sin2if;  —  sin2y  =  0,    2sin2tf;  *=  sin2y. 

Durch  fernere  Differentiation  erhält  man: 

d'i^-<p)  _  8V       48in2ycos2t3^-4cos2y8in2i/; 
8y*      •      89*  sin  2  9^ 

8sin2if;cos2if; — 4cos29sin2ip 


2 


sin  2  9 

___  4 sin  'itff  (2 cos  2^ — cos29\ 
■"  sin2^ä  ' 

and,  wenn  man  hierin 

sin2i^  =  isin29 

l      setst: 

\  8*('»-— y)  __  2  (2  cos  2 1/;— cos  2  y) 

dgf^  sin  29 

Zur  Bestimmung  von  y  hat  man  nun  die  beiden  Gleichungen : 

2sin2if;  =  sin2y9 

tangt^  =  cota  tang  y^; 
oder: 

2  sin  tf;  cos  i|>  =  sin  y  cos  y , 

tang  a  tang  if;  =  tang  y^ ; 
'1     oder  auch: 
i.  28in  if; cos if;  =  sin  y  cos y , 

cot  «cot  ^  =  coty^. 


r 


■tiia, 


...  j/i/#^.  //::?r.  cvbisch.  u,  öff/uadr, Gleich. 

i:wn  Ton  z,    nämlich: 
-..•.'.r-h   ;**  — 3/jm)U3  +  «3  =  0^ 

n    c   in   den    zweiten    ("oeHizienten 
=  X.   3;/?* — t/)  =  6  annimmt.    Hier- 


—   '/«/ 4- J.t•l:3^- f  — q — 1    =0. 

Wurzeln   der  quadratischen   Gleichung    in  z, 


*U.iCL 


-    <-..«/  =  ro  +  r,     und     a:o=— i«  +  Tq  +  z, 
■  ..<    .'iv  -üeichün^.    Die  beiden  anderen  sind 

V  — .3^     und    J'  =  — »(1  +  V:Z3)    bedeuten. 

.^«.'.»eu  .^ei  die  allgemeine  biquadratische  Gleichung 
.r*  +  ax^  +  Aj-2  +  ex  ^  fZ  =  0. 
.ie>ijivent»'  von  der  Form 

:'  +  tcz^  f  t?r  +  ?*  =  0 
t'iiine  man  an,  w  sei  eine  lineare  Function  von  x,   und 

>i.in  lue  Gleichung  ihrer  Wurzelquadrate,   nämlich: 
:        ...r  h/O^-SrU^+lr«  — 2(j;  +  /?)?/}2«— M«  =  0. 


*  +  A*+iriHA=0. 


^ubstituirt  man  r  in  die  ztreite  Bedingungsgleicbung,    so  «fird: 

I 

Identiticirt  man  diese  mit  der  gegebenen  Gleichung^  80  folgt: 


^  =  4«,    /=- 


I 


tt 


"64 


^  =  .ggC«5<i*-  ^>**'>  *  10#ic  +  16ac+  166«— 64rf), 
Ä=r  -  v«r=  -     j^3  ^,«»-4flÄ  +  8c)«. 


Grunert:    üeöer  die  Auflösung  der  Gleichung  etc.  417 

Demgemäss  ist 

ein  Wurzelwertb  der  Gleichung.  Da  die  Wurzele  Zq,  Z|«  z^  aus 
der  bicubischen  Gleichung  in  2  bestimmt  werden,  so  sind  durch 
ein  bekanntes  Verfahren  noch  die  Vorzeichen  derselben  zu  be- 
stimmeD.     Man  erhält  alsdann  die  Euler'schen  Formeln. 


Ueber  die  Auflosung  der  Gleichung 

cos a^ sin  9)^  —  2 sin a cos  asin  9 cos  9  -f  sin u^cosq>^=^  0. 

Von 
dem  Herausgeber. 


1 


Bei    dem   mathematischen   Unterrichte    werden  jetzt   häufig» 
"wie  ich  glaube  bemerkt  zu  haben,  als  Üebungsaufgaben  oder  zu 
sonstigen  Zwecken  Gleichungen  benutzt,  mittelst  welcher  Kreis- 
fnnctionen  bestimmt  werden  sollen,  was  gewiss  durchaus  zu  billigen 
Ist«  ^>Feil  die  Losung  solcher  Gleichungen  jedenfalls  als  sehr  lehr- 
reich und  zur  Uebung  von  Anfangern  sehr  geeignet  ist.    Deshalb 
will  ich  mir  erlauben,  in   dem  vorliegenden  Aufsatze  den  obigen 
etwas  schwierigeren  Fall  zu  behandeln,  wozu  mir  die  nächste  Ver- 
anlassung ein  Aufsatz  des  trefflichen  Lexell  giebt,  den  man  in 
dem  sehr  schonen  Werkeheu:     Theorie  coinplete  de  la  con- 
strnction  et  de  la  manoeuvre  des  vaisseaux,  raise  ä  la 
port^e  de  ceux  qui  s'appliqueut  ä  la   navigation.    Par 
M.  Leonard  Euler.    Nouvelle  edition    corrigee   et   aug- 
I    ment^e.    A  Paris.    1776.  8«.    p.  257.  —  p.  '265.  findet,   wobei 
ich  bemerke,  dass  die  Lösung  der  obigen  Gleichung  für  die  Schiffs- 
banknost  io  mehrfacher  Beziehung  von  grosser  Wichtigkeit  ist, 
was  weiter. zu  erläutern  jetzt  hier  nicht  der  Ort  ist.    Ob  diese 
Gleichung  noch  anderweitig   eine  Behandlung  gefunden   hat,   ist 
mir  nicht  bekannt;  im  Wesentlichen  stimmt  die  folgende  Losung 


i.:  ■- 


:  Mi 


'.  r  nn  ^T  T 


das  ebene  Dreieck. 


'.nn     latten     .vir    lach     des    aligemeinen    Fohneln    der   Coor- 

:ifiat«nvi¥fwamUiiB«    zwiacfaen   rechtwiokligen    Systemen*),    mit 

.'.iciuicat  aof  fiie  in  meiner  Abbandlang:  Tb.  XXXVI.  Nr.XVOI. 

•  •  *:^.     ^01    irelcfae   ich  hier  überhaupt,    auch   rü'cksiehtlich  ver- 

^^aiefieoer    m  Fönenden    ohne  weitere  Erläaterung   gebrauchten 

li'tzidiancen,  verweise,  entwickelten  Formeln,  offenbar  die  folgen- 

:en  <ileichaneen : 

h  =  2ÄsinC+/«cos(180O— Ä)— Vasin(180«— Ä), 
Oc  =  /;  sin  (180^  -  Ä)  +  ^a  cos  (1 80« — B) 


und 


Ac  =  2Acos  JsinA-f /»cos(180<>-f^)  -^*sin(180^+2l), 
i(c=2ÄabJ8in»  +  /isin(180o  +  ^)  +  ^4Cos(18OO4.^); 


diso: 


l; 

und 


\    fc  =  2Äsin  C— /«eosi?— ^asin  B» 
t    gc=  fa  sin  JS — ga  cos  ^ 


..  !/■■  = 


/*e  =  2/2cos2lsin^ — fycosA+gkSiuA, 
2R8inA  sidB — fk  sin  A — gb  cosA. 


Durch  snccessive  Elimination  von  gm  und  fa  aus  1),   von 
UA«i  r^  9as  ^)  erhält  man: 

f'^eosB--gcSinB  =  2RcoBBsnkC — fa, 
/cStn£  -i-geCosB  =  2RsAnB8inC^ga 


'AttU. 


tlttÜ 

4) 


/«cosil  -h^esin  J  =  2i2sini? — /», 
/eSinil— ^eCOS  J  =:  ghi 

\  fa  =5  2JZcosJ3sinC — fccos  B  +  gamin  B , 
r  ^a  ^  2  /Zsio  Bsm  C  — f^  sin  B  — ^c  cos  B 


)fh  SS  212 sin i? — /rcos^— ^esin^, 
gh^=  ftmA — gtCoaA. 

^nm  2)  ergiebt  sich  leicht: 
'       *J  »^'•>vS-y'«in5, 


coto'tin^^— 2tiii«cota8in9C089-f  «ina*co«9^=0*  419 

4)  ^ 

r=(a  +  ^)(l+p«); 
P 

folglich : 

P 
and    daher«  weil  nach  der  dritten  der  Gleichangen  3): 

6) ^=p*+c(l+p*)  =  c  +  (c +  !)/>• 

Ist: 

7) c  +  (c  +  l)p«  =  (a«-|5)(l+pV) 

oder»  wenn  man: 

8) p*  =  ö 

seist : 

fl) c  +  (c  +  l)5  =  (a«-^)(l  +  c5)« 

» ■ 

L     Setst  man: 

^'     10) «•  =  ^. 

■^     also: 

»Qssl-fQ,       5=  .,       I-f-Q   =   -; 

tt — 1  S  — 1 

mm  wird  die  Gleichung  0): 

folgllcb«  wie  man  mittelst  leichter  Rechnung  findet: 
11).  .  .   .  6««»-.(a«  +  6«— O«'— (c— l)tt-i=0. 

Mittelsl   dieeer  Gleichang  findet  man  ti»    dann  o  mittelst   der 
Formel: 

'^ ^=7^' 

I 


420  Grunert:    üeber  die  Auflösung  der  Gieickm^ 

hierauf  p^  mittelst  der  Formel  8)^  dann  q  und  r  mittelst  der  f 
meto  4),  und  endlich  die  Wertbe  von  x  durch  Aoflusong  der  t 
den  Gleichungen: 

\cosx  ^  psiux \q^Qy 
fcosa?— psina: +r=0; 

welche  bekannt  genug  ist.  Weitere  Bemerkungen  über  di« 
Auflösung  iviirde  nur  Bekanntes  wiederholen ,  weshalb  wir  ni 
zu  der  Losung  der  jetzt  unseren  eigentlichen  Gegenstand  bilde 
den  Gleichung  1)  übergeben. 

Vergleichen  wir  diese  Gleichung  mit  der  allgemeinen  Gie 
chnng  2),  so  ist  zu  setzen:  x  =  2q>  und 

a^=s — cos2a,    6  =  — sin2a,    c  ^  1. 

Daher  ist: 

a«  +  6*— c  =  cos2a«  +  sin2a«—  1  =  0 

ond  c  —  1  =  0,  so  dass  also  in  diesem  Falle  die  Gleichung  I 
die  einfache  Form: 

14) sin2a«.it»— 1=0 

oder: 


1 

sin2a3 


15) «*  =  li^ 

annimmt^  woraus  sich: 


16) 


3^ 

"  =  V  sin  2  a« 


ergiebt«  indem  wir  für  die  Cubikwurzel  den  einen  reellen  Wei 
setzen,  welchen  dieselbe   überhaupt  nur  haben  kann.    Nach 
ist  nun: 

,^                               _            1              Vsin2c* 
17) o=— -j  = ^ 

l-^Vsin2«» 
Berechnen  wir  den  üulfswinkel  ß  mittelst  der  Formel: 

18) sin/5  =V"iii2^ 

«0  wird: 
W) ö  =  tang/J«. 


folglich  nach  8) :  Vi 

i»  =  ±tang/Ji 

oacb  4): 

q  =  (-co8  2«±^^)(H-tang/S«). 
r  =  (-cos2aT^^)(Htang/S*); 


9  =  —  (cos2a+  — ^^ß-^)  swß», 

1 

sin  2a  COS /3.        ^ 
r=  —  (cos'ia  J: .    ^    -)secp*; 


sin|3cos2ci;=Fco8|3sin2o 

^"~  sin^cos^ä  ' 

sin  ff  cos  2a + cos  j^ sin  2ft  ^ 

sinjScosjS^ 


8in(|3T2«) 


_    ^n  (ff  4:2a) 
sinffcosff^  ' 

er  werden  die  beiden  aufayiiosenden  Gleichungen  13): 

_L*       Äo;  sin(ffT2a) 

cosa;-l-tangffsiDa? r—j ;5ö  =0, 

—       "'^  sin  ff  cos  ff^  ' 

-X       o  t  sin(ff±2a)       ^ 

oosa?-|-tangffsina: .    ^    — ö4  =0  ; 

■        ^'^  610  ff  cos  ff^  ' 


cos  (x  +  ff)       sin  (ff -f- 2a)  _ 
cosff      ""sinffcosff«""' 

cos(arJ:ff)  __  sin  (ff  J:  2a)  _  ^ 
cos  ff  sin  ff  cos  ff*  ~"     ', 

lieb: 

icil  XLV.  29 


422  Grunert:    €eber  die  Auflösung  der  GleieAung 

^     ■  "^^         sinpcosp 

,„.,.-,,  _«£(^ 2«) 
cos(;t±^)=r-^T;j^^. 

OCeobar  genügt  es  aber^  in  diesen  Gleichungen  nur  die  obei 
2ieichen  zu  nehmen,  weil  die  unteren  neue  Gleichungen  m 
liefern»  wodurch  wir  die  Gleichungen: 

sin  (ß  -  2a) 

\         ^  ^^  SIDDCOSp 

22)  .• ( 

•  ^,        sin(/3+2a) 

^       ^'         sinpcosp 

erhalten,  und  daher  jetzt  die  folgendeo,  die  gegebene  Gleicboi 

▼ollständig  losenden  Formeln  haben: 

« 

8     

sinß  =  V^sin2a9 

,        .        ^.        sin«? --2«) 
cos(a:— p)  =      .    a IT» 

23)  .......<  sinpcosp 

I       ,    ^a^       sin  (ß  +  2«) 

cos(a?  +  ft  =  —T^ ^9 

^'         sinpcosp 

Nach  der  ersten  der  vorstehenden  Gleichungen  ist: 

sin  2(x  =  sin  j^^,     sin  2a^  =  sin  ß^ ; 

# 

also: 

cos  2a«  ==  1  —  sin  /S«  =  (1  —  sin  /J«)  (1  +  sin  /3«  +  sin  /S*) 

=  cos  /3«  (\  +  sin  /3a + sin  ß% 

und  folglich: 

cos  2a  =  +  cos /3  Vi  +  sin  /5«  +  sin  /3*. 
Daher  ist: 

sin /32  cos  2a«  +  cos  jS«  sin  2a* 
=  sin/ja  cos /J«(l  +  sin/3«  +  sin/3*)  + sin /5«  cos/3« 


^•ln/3cosiSsin2acos2a=:±2sin/5*cosi3«Vl  +  sin/3«  +  8ini5*, 


cos  o*  sin  9^ — 2  sin  a  cos  a  sin  9  cos  9  -f~  *i»  <*^  cos  q>*  =  0.  423 

sin(jS-2a)« 
=  8in/5«cos/J«{l  +  sin/3«+sin/54)  +  sin/3«cos/5« 

T  2  sin  /3*  cos  /5«  V^l  +sin/3«  +  sin/3* 

=  8inj8«cos/3«{l+sin/5«+sin/5*T28in/5«V^l+siDi5«+sin|5*+sin/?*} 

=  8in/5«cos/3«{Vl  +  8in/S«+8iD/S*=Fs'in/3«l^ 

f  sin(/3  +  2a)a 

=:ßiii/J*cosjS2(l  +sin/J«+sin/3*)  +sin/5öco8|52 

±2810/5*  cos  iS*Vl+sin/3«  +  siD/3* 

=  sin  /3«  cos  /3«  ( 1  +  »in  /3«  +  sin  ß*  ±[2  sin  |3«V"l+sin/3HsiniS4+  sin  ß^\ 

fi=»iD/3«cos/3«|Vl+sin/3*+sin/5*i:sin/ja}^ 

NaD  ist  aber  offenbar  immer 

VH-sin/32  4.sin/3*  +  sin/3a>l 
and 

Vl  +  sin/3«  +  sin/3*— sin  /S«  <  1 , 
weil  offenbar 

l+sin/P  +  sinjS4<l  +  2sin/5«  +  8in/54 

<(l+sin/3«)a, 
Vl  +  sin/S«  +  8in/34  <  1  -|-  sin  /S« 

also 

I  Vl  +  sin/ja+sinjS*— sin  /J«  <  1 

ist,  wie  behauptet  wurde.  Daher  ist  von  den  absoluten  Werthen 
der  beiden  Grössen 

sinCjg— 2a)       sin  (ß  +  2a) 
8inßcqsß  *      sin/? cos |3 

!ioiiner  der  eine  grosser,  der  andere  kleiner  als  die  Einheit,  und 
▼OD  der  zweiten  und  dritten  der  Formeln  23)  liefert  daher  immer 
nur  die  eine  wirkliche  reelle  Werthe  von  ae. 

Wenn  die  Gleichung 

29* 


i 


^ 


424  Grnnert:    Deöer  die  Auflösung  der  Gleichung 

sin  (/5— 2a) 
24) cosCa:— /?)  =  —^ ^ 

diejenige  ist,  welche  fär  x  reelle  Werthe  liefert,  so  bestimme  n 
einen  beliebigen ,  dieser  •  Gleichung  genügenden  Werth  o  t 
x-^ß;  dann  ist  bekanntlich  fOr*  jedes  ganze  n  der  allgemei 
Wertb  von  x-^ßi 

X — /J  =  2njcJ:a>, 

also  der  allgemeine  Werth  von  xi 

X  =  2nn  + 1|8  +  ö)), 

und  folglich  nach  der  vierten  der  Gleichungen  23)  der  allgemeiiM 
Werth  von  q>\ 

fp  =  n7C-\r — 2""» 

wo  es  sich  nun  fragt»  welche  ganze  Zahl  oder  welche  ganze  Zahb 
man  für  n  setzen  muss.  Welche  ganze  Zahl  man  aber  auch  fiii 
n  setzen  mag»  so  ist  nach  bekannten  Formeln  Immer: 

cos9>  =  (— l)'»cos — 2 — *     ^^"9^  ^  (— l)''sin^-^|— ; 

und  dies  gilt  also  auch  für  die  Werthe  von  n,  welche  die  richti^n 
Werthe  von  q>  liefern,  die  jetzt  der  Kürze  wegen  durch  n  selbst 
bezeichnet  werden  mögen ;  führt  man  aber,'  dies  vorausgesetzt,  die 
vorstehenden  Werthe  von  cos 9  und  sing;  in  die  Gleichung: 

cos  a^  sin  9^ — 2  sin  a  cos  a  sin  9  cos  (p-\rs\ua^  cos  9^  =  0 

ein,  so  erhält  man  die  Gleichung: 

(—  1)*«  cos  «2  (sin  --"l^)* 
—  2.( — l)*»sin«cosasin^— ^— cos^— ^ —    >  ="> 

+  (-  l)4«sin  «« (cos  ^Y^)* 
M^Uch,  weil  (—1)*»  =  (— l)^«  =  +1  ist: 

cos««sin(^-)4 

o  •  •   jS+o        /J+w    f        ^ 

— isinofcosasm — 0 — cos*— ^—    >   =  W> 


+  sina^cos(^^)* 


M-    SO  dass  es  also  in  diesem  Falle  offenbar  genügt,  bloss 
^-24*) <p=^^ 

xa  setzen. 

Wenn  die  Gleichung 

25) eo8(^  +  ^)  =  5i;^^±^ 

'  Vir/  sin  p  COS  p 

diejenige  ist^  welche  ßir  x  reelle  Werthe  liefert^  so  bestimme 
man  wieder  einen  beliebigen,  dieser  Gleichung  genügenden  Werth 
a>  von  x-i-ß;  dann  ist  bekanntlich  fi3r  jedes  ganze  n  der  allge- 
meioe  Werth  von  x+ß: 

also  der  allgemeine  Werth  von  xi 

m 

X  =  2nÄ  — (ßi=a>), 

QDd  folglich  nach  der  vierten  der  Gleichungen  23)  der  allgemeine 
^^erth  von  91: 

ßT(o 

wo  sich  nnn  fragt,  welche  ganze  Zahl  oder  welche  ganse  Zahlen 
main  fibr  n  setzen  muss.  Welche  ganze  Zahl  man  aber  auch 
CBr  ft  setzen  mag,  so  ist  nach  bekannten  Formeln  immer: 


.Ä 


.cos 9)  =  {-^  l)"cos^— 5 — 9    sing)  =  —  (— l)»sinHs — > 


also: 


ß-hCD  j^-f-O) 

cosqp  =  —  (—  l)»cos(3r — ^— ö — \ 9     sing)= — (— l)«sin(7iJ 0— )  > 

und  dies  gilt  also  auch  für  die  Werthe  von  n,  welche  die  richtigen 
'Wertfae  von  q>  liefern >  die  jetzt  wieder  der  Kürze  wegen  durch 
'  '-m  selbst  bezeichnet  werden  mögen;  führt  man  aber,  dies  voraus- 
gesetzt, die  vorstehenden  Werthe  von  cos  g)  und  sin  g)  in  die 
Gleichang 

cos  a*sin  q>^ — 2  sin  a  cos  a  sin  q>  cos  (p  -f  sin  a^  cos  g)^  =  0 

ein,  so  erhält  man  die  Gleichung: 


f 


ßelrarMyngen  Hier  da»  ebeu«  DrelttA, 
(J6')  =  MC"); 


dafa«r  ßllt  der  Punkt  C"  mil  C,  dto  Gerade  CC  mit  CC'  «B- 
•amm«o,  und  AA',  ÜB',  CC  scbn^iden  sieb  also  in  einem 
Punkte,  welches  der  zu  beweisende  Sats  n-ar. 

Im  Obigen  kt  anj^enommen  worden,  dasa  die  Lioien  AA', 
BB'  Eich  schneiden,  und  dass  dann  die  durch  den  Durcbscbnitta- 
punkt  dieser  Linien  und  den  Punkt  C  gezogene  Gerade  die  Ge- 
rade AB  in  einem  gewissen  Punkte  C  schneidet,  so  dasa  nir 
also  jetzt  noch  den  Fall  betrachten  roüasen',  wenn  die  Linien 
AA',  BB  einander  parallel  elod. 

Wir    wollen    A   als    den  AuTang  und   AB  als    den    positiren 

Theil   der   Ase    der  x    eines    rechtwinkligen    Coordinatensystems 

der  X1J  annehmen,   in  welchem  der  positive  Theil  der  Axe  der  j 

auf  derselben  Seite  von  AB  angenommen  wird,  auf  welcher  der 

Punkt    C  liegt.     Denken  wir   uns   nun   durch    B   als    Anfang  ein 

u  dem  Systeme  der  a:^  paralleles  Guordinatensystem  gelegt,  ansind 

Idie   Coordinaten    von  A'   in   diesem   Systeme  offenbar    in  vSlliger 

I  Allgemeinheit : 

-(Ä>4').cobB,  (ß^Os'oß; 

t  and  nach   der  Lehre  von  der  Verwandlung  der  Cnordiunlen  ri^ 
I  folglich  die  Coordinaten  von  A'  im  Systeme  der  xy: 

c  -  K^A') .  cos  ß ,     {,BA') .  sin  B. 

Coordinaten    von    B'    im    Systeme    der   xi/  sind    offen] 
ruiliger  AUgeroeiobBit: 

(^ß').cos^,    ÜB'),  sin  ^. 

Da    nun    0,0    die  Coordinaten    von  A  und  c,   0  die   Coordinatefi 
von  B  im  Systeme  der  xy  sind,  so  ist  die  ttedingungsgleicbaDjj 
der  Parallelität  der  Linien  AA',  BB'   nach  den  Lehren   der  anBi- 
Llytischen  Geometrie: 

(AB').6\nA  _ 


len  tiaia 

i 


(BA').s\nB 
:— {BA'). cos  £ 


-  {AB').i 


[  folglich. 


(AB'}(BA')BinC ~  c\lAB'). a,in  A  +  (BA'). sin B\ 


I. 


gf'"  Grüner t:    Betrachtungen  über  das  ebene  Dreieck.         437 

Tf ;..  ( JÄ')  (Äi*')  =  o  {AB') + 6  (Ä-4') 

?ted  foiglicb,  wenD  man 

a  =  {BA')  +  (CilO,    *  =  (CÄO  +  (ilÄ') 

{AB)  (BA*)  +  (Ä^O  (CÄO  +  (C^O  (JA')  =  0. 

Die  Bedingungsgleicbungen  der  Parallelität  der  Linien  BB^, 
^CO  und  CO,  AÄ  sind  hiernach: 

(JBC)  (C^O  +  (OB')  ( JC)  +  (ilJB')  (ÄC)  =  0 
""Aid 

"^  (Ci<')(^C')+(2lCO(^iiO+(ÄCO((MO  =0, 

Aus  der  GleichuDg 

{AB')  (BA') + (BA')  ( CB) + {CA')  {AB')  =  0 
;,folgeD  durch  Moltiplication  mit  (BO)  und  (AC)  die  Gleichungen  t 
^!  (AB")  (BA')  (B  C)  +  {BA')  {CB')  (BC)  +  (BC)  (CA)  (AB')  =  0 
5>«iid 

•  ■  (JB')(Äi<')(^C0  +  (JC')(Ä240(CÄ')  +  (C40(^Ä')(i4C^)  =  0, 

*  also,  weil  nach  der  Voraussetzung 

(AC)(BA')(CB')  =  (BC)(CA')(AR) 
bt»  die  Gleichungen: 

iAB')(BA')(BC)'{-(BA')(CB')(BC')-KAC')(BA')(CB')  =  0 
«nd 

(AB')(BA')(AC)+(BC)(CA')(AB')+(CA')(AB')(AC)  =  0, 

folglich  die  Gleichungen:     . 

(Ba)(CB')  +  (CB')(Aa)  +  (AB')(Ba)  =  0 
and 

(CA')(Aa)  +  (AC)(BA^)+(BC')(CA')  =  0, 

woraus  sich^  wenn  man  dies  mit  dem  Obigen  vergleicht,  ergiebt, 
dasSj  wenn  die  Linien  AA',  BB'  parallel  sind,  auch  die  Linien 
BB',  CO  und   CC\   AA',   also  die  drei  Linien  AA,  BB\  CÜ 

Thell  XLV.  80 


Grüner i:    BetrachUmgen  über  das  ebene  Dreieck.         439 
nd: 

^^   ^    (gtsinB  +  gcSinC)^  ^«  ' 

rTjüA  _  g^  +  "^Qf^gh  cos  C-k-gh^    ^ 
^^  —    igasmÄ-i-ghBinB)^  ^' ' 

Wir  wollen  nun  auch  die  EntfernungeD 

AM,    BM,    CM 

Mtimmen. 

Weil  ofeobar 

Al3*  =  fc^-Vgc* 
t,  so  ist  nach  9) : 

-Tifp  _  (gh+gcCosA)*        ^ 

id  daher  offenbar: 

^^    —  sin^l» 

sin  -B* 

7>in«_  ga^+'^gagbcosC+gb^ 

Endlich  wollen  wir  auch 

^stimmen: 
Nach  24)  Ist: 

(^C')-2ÄcosJ8inÄ  = ^£-?^''-ßr-^''2RcosA8mB 

ge — 2/c6in^sini? 

nn    •      ng^-irgeCOsA  —  2R SIU  A  SIU  ß  COS  A 

jjF«—  2  jß  fiin  ii  sm  i? 


so^  weil 


sinC 

30* 


440         Grünere :   Betrachtungen  über  das  ebene  DreiHt 
ist,  wie  man  sogleich  übersiebt: 

'  ga  sio  A-]rghB\nB 

also : 

und  weil  nun 

CC^  5=  { (2IC) —2ÄC0S  J  sin  i^  1  a  +  4fi«slD  JViD  Ä« 
ist»  so  ist  offenbar: 

(^Tasinil+^ftSinÄ)* 
Daher  haben  wir  die  folgenden  bemerkenswerthen  Formeb: 

32) 
(ilC')-2/2cos.4sinÄ  =  -.2Äsin^sinÄ2^^^4^^^^' 

(Ä^O -2ÄcosÄsin  C  ==  ~2ÄsinÄsin  C^*-^??4^=^^' 
(C^0-21Zcos  Csin  A  =  — 2/gsin Csin^^'T  ^7^^?'f 
und: 

(^ftsin^-f^csin  C)* 
33)....  \  äF«  r=  4i2«8inC*8in^«2^±|2^^^L»±^. 

Nach  25)  und  24)  ist: 

{AB')  _  gcs\n  C       (AC)       ghsinB, 
(CB')  "•  gaSinA'     {BC)  -  gaBinA' 


also: 


{AB')      (AC)  _  ^6sinB4-<ycsinC, 
(CA')  "*"  (ÄC')  ""  ^asin^ 


und  weil  nun  nach  3i)  und  30) 


Grunert:   Betrachtungen  über  das  ebene  Dreieck.  441 


80  ist: 


vai.  aDs.    j(^'j5^)+(j5^/)|   -  A'ßi' 

/ 
Daher  haben  wir  die  folgenden  bemerkenswerthen  Relationen : 

vai.  ans.  |^^^,^  +  ^^^,,^j  _  ^,^, 

^  J      I     K     }(^^  .  (Ml/  -  äE 

.;....    J  ^ai.  aDs.  ^^^^,,^  +  ^^,^,^1  —  Ä'M ' 


§.  4. 

Wir  wollen  jetzt  anch  eine  beliebige  Transversale  des  Drei- 
CS  ABC  betrachten  9  welche  die  Seiten  AB^  BC,  CA  dieses 
eiecks  in  den  Punkten  C,  A^  B^  treffen  mag.  Die  Entfernun- 
1  der  Punkte  ^',  B\  C  von  den  Punkten  By  C,  A,  indem 
*  dieselben  als  positiv  oder  negativ  annehmen^  jenachdem  sie 
1  B,  Cy  A  an  nach  C,  A,  B  hin,  oder  nach  den  entgegenge** 
zten  Richtungen  hin  liegen,   wollen  wir  jetzt  respective  durch 

fb»  fe  bezeichnen;  die  Entfernungen  der  Punkte  A\  B\  C 
i  den  Punkten  C,  A,  B,  Indem  wir  dieselben  als  positiv  oder 
:ativ  annehmen,  jenachdem  sie  von  C,  A,  B  an  nach  B,  C,  A 
»  oder  nach  den  entgegengesetzten  Richtungen  hin  liegen,  sol- 
dagegen  respective  durch  fa,  fb\  fc  bezeichnet  werden,  wo 
I  von  selbst  versteht,  dass  die  Zeichen  fa,  fb,  fc  und  fasfb'yfe 
i  andere  Bedeutung  haben,  als  bei  unseren  früheren,  mit  den 
igen  nicht  zusammenhängenden  Betrachtungen.  Von  der  Rieh- 
eit  der  Gleichungen: 

K    .    .    .  fa+fa'-a,    fö  +  fb'=^b,     fc  +  fo'  =  C 

I  man  sich  auf  der  Stelle  überzeugen. 

Wir  nehmen  jetzt  A  als  den  Anfang  eines  rechtwinkligen 
rdinatensystems  der  xy  an;  der  positive  Theil  der  Axe  der 
oll  die  Seite  AB  des  Dreiecks  ABC  sein;  und  den  positiven 
iil  der  Axe  y  nehmen  wir  auf  derselben  Seite  von  AB,  auf 
eher  der  Punkt  C  liegt. 

Denken  wir  uns   durch   B  als  Anfang  ein  dem  Systeme  der 


Bttinert:     Betrachtungen  Sbef  däl  iithe 


W^ 


xy  paralleles  CoordinalenBystem  gelegt,    eo  sind  die  Coo 
voQ  A'  in  diesem  Systeme  ofTeDbar  in  völliger  AUgemeiabeil: 

— /■„■cosfl,    faBmB; 

uod  nacli    der   Lehre  von  der  Verwandlung  der  CoordiaateD  iWJ 
Tolglich  im  Systeme  der  xy  die  Coordinaten  von  A':  | 

c—f^cosB,    fas'mBi 
oder;  -  ,  | 

2RBmC—facosß,    ßeXaB.  \ 

Die  Coordinaten  von  B'  im  Systeme  der  xy  sind  offenbuli 
völliger  Allgemeinheit: 

ft'cosA,    fb'ataA 
oder; 

(6  — ^a)cos^,     {b—fi)amA; 
also; 

{^Ra\n  B—  ft,)  g«s  A  .     (2£sin  B—fi)  sin  A. 
Die  Coordinaten  von  C  im  Systeme  der  xy  sind  /'«, 

Bezeichnen  »ir  nun  die  Gleicbnng  der  Transversale  d 
ecbs  ABC  durch 

so  haben  wir  die  folgenden  Gleichungen 

/■„sin  ö  =  fl  (2ßsin  C—UcosB^  ^r 
(iR  Bin  B—fi)  sin  A  =  a('2Ä8inß— /»cos^J-f-», 

aus  denen  sich,  wenn  man  il,  ]^  elimlnirt,  die  Gleichung! 
A9inß(2ßcos^sinß— /"scoa^  — /•„)        ^ 


+  (2ßsinß-A)sin^0^,-2ÄsinC+/-a 

und    folglich    nach    leichter    Entwickelung    dii 
Gleichung: 


bemerkenawM^ 


=      2ß(/'asiiiB6iaC+/isinCsinJ4-/'B8inJBin| 
-(/iA8in^  +  /i/„sinß  +  /-,A8inO. 


Grunertt   BetraeAtungen  über  da»  ebene  Dreieck.         443 

alnA  =  ~,     8inB=2g.     sinC  =  ^ 

tsttf  die  Gleichung: 

T)  .   .    .  abcs=z  fa6c+f^ca  +  fJ,ab-^(fifea  +  fof»b  +  faßc) 

siebt. 

Nach  35)  ist 

U^a-^-fJ,    ß  =  b-fi;,    fo-c-fc'i 
»o  nach  37)»  wie  man  leicht  findet: 

abc  =  fa'bc  +  fö'ca  +  fc'ab^ifö'fc'a+fc'fa'b+fa'fb'c). 

Es  ist»  wie  man  mittelst  leichter  Rechnung  findet: 
38) (a-faHb-mc^-fc) 

::iabC'-{fabc+föCa  +  feab  —  (fbfca+fcfcib  +  fafbC))  —  fafbfe, 

Iglich : 

faföfc  +  (a-fa)  (b^fb)  (C-A) 

=  abe'-'\fabc  +  fbca  +  feab'—ifbfca  +  fefab-trfaßc)), 
so  nach  37): 

»).    .     ..    .  fafbf.  +  (a'--fa)(b''fb)iC'-fc)=0, 

ler  nach  35): 

Ö) fafhfc  +  fa'fb'fc'  =  0. 

[er: 

ii) fafbU  =  -ufb'a. 

Setzt  man: 

2) |/i=:(CÄO,    U  =  {äB% 

)  ist  nach  4l): 

3).   .   .  .iBA')(CB)(Aa)=^'-(CA')iAB')BCh 

ler: 

14).   .   .    (AC)(BA')(CB')^'-(BC)(CA')(AB'). 


444         eruneri:    Betrachtungen  über  das  ebene  ßreiecMf 
Laicht  beweisen  kann  man  nun  auch  den  folgenden 


üelirsatK. 

Wenn  die  Punkte  C»  Äy  B'  auf  den  Seiten  AB,B\ 
CA  des  Dreieks  ABC  o^^r  deren  Verlängerangen  eii 
solche  Lage  haben»  dass 

'  {AC){BA){CB')  :=z  ^{BC)(fiA'){AB') 

ist,  so  liegen  die  drei   Punkte  C  A\  B'  in  einergi 
raden  Linie. 

Beweis. 

Durch  die  Punkte  A\  B'  wollen  wir  eine  Gerade  leg( 
welche  AB  in  C"  schneiden  mag;  dann  ist  nach  44): 

(AC')iBA')(CB')  =;  '^(BC'){CA'){ABy, 

nach  der  Voraussetzung  ist  aber: 

{ACKBA'){CB)  =  -(ÄCO(C^O(^Ä'); 
folglich  durch  Division: 

{AC)       (BC) 


v/\» 


also: 


(AC)  •-  (BC") 


(BC)       (BC) 


/«» 


{AC)  -  iAC) 

.  ,  {BC)  _  (BC) 
^'*'(,AC')~  {AC')' 

(AC)  +  (BC)  _   (AC)  +  BC) 
(AC)        —         (AC) 

und  folglich,  weil 

(AC)  +(BC)  =  (AC)  +  (BC)  =  c 
ist: 

(AC)  =  (AC"); 

daher  föllt  der  Punkt  C"  mit  C  zosammen,  und  die  Punkte 
B',  C  liegen  also  offenbar  in  einer  geraden  Linie,  welches 
zu  beweisende  Satz  war. 

Wir  haben  hierbei  oben    angenommen,    dass  die  durch 


[ 


Grüner t:    Betrachtungen  über  das  ebene  Dreieck.  445 

y^nkte  A\  Bf  gelegte  Gerade  die  Gerade  AB  in  einem  gewissen 
yonkte  C  sehneidet;    wäre  dies  nicht  der  Fall  und  wäre   also 


'^*  mit  AB  parallel,  so  wäre  nach  dem  Obigen  offenbar; 

/asinJS  =  (6 — f^^xnAt 


also,  weil 


isf  : 


folglich : 


al<90  auch: 


sin/f  =  5^»      6in/>=:ö7i 


fdb^fh'a^ab. 
l^eil  nun 

Un  =  («-/«')  (*  -P!)  =  üb^Uh--ff!a  +  Uh' 
ist,  so  ist  nach  dem  Vorhergehenden  offenbar: 

fafh=Ufh\ 
also  nach  42): 

(BA)(CB')  =  {CA'){AB% 

folglich,  weil  nach  der  Voraussetzung 

{Aü)  {BA')  (CB')  =  -  (BCnCA')  (AB') 
^  ist: 

t  {AC)  =  '-(BC),    also  (AC)  +  iBa)  =  0, 

r 

l  was  ungereimt  ist,  da  bekaontlich 

i'  (AC)  +  (Ba)^c 

ist,   und  naturlich   angenommen  werden  muss,  dass  die  Seite  c 
•der  AB  des  Dreiecks  ABC  nicht  verschwindet.     Daher  muss 

VAB  von  A'B'   nothwendig   in   einem    gewissen   Punkte    C   ge- 

^Mcbnitten  werden,  wie  oben  angenommen  wurde. 

§.  5. 

H         Denken  wir  uns  jetzt  ein  neck,  dessen  Ecken  durch 
*  1,    2,    3,    4, .  5,  ••••,  n 

^eselcbnet  werden  mögen,  und  lassen  dessen  Seiten : 


446         Grüner t:    BetracMungen  üöer  das  ebene  Dreien 
1,2;    2,3;    3,4;    4,  5;  ...;  n— 2,  tt— I;    n  — 1,  fi;    n,  I 

von  einer  Transversale  in  Punkten  geschnitten  werden^  deren  ni 
ihren  gehörigen  Zeichen  genommene  Abstände  von  den  Ponkteo 

1,    2,    3,    4,    5,  ...,  n— 2,    n— 1,    n 
und 

2,    3,    4,    6,    6,  ...,  n— 1,    n,     1 

wir  respective  durch 

/l»«»     A»8»     hy^9     /4»ö»  •••»  /i«— 1>«>     ftüyli 

und 

/l>l>  /a»«»  /i'S»  /6>4>  •••*   fnsn—is     f\9U 

bezeichnen  wollen;  so  ist,  wenn  wir  die  mit  ihren  gehörige! 
Zeichen  genommenen  Abstände  der  Durchschnittspunkte  der  Trans- 
versale mit  den  Diagonalen 

1,3;     1,4;     1,5;    1,  6;  ....;  1,  n— 2;     1,  n— 1 

von  dem  Punkte  1)  durch 

A»8»     A>4>     /l»5»     /l>6»   ""9  fifn-^i     A»«-i ' 

von  den  Punkten 

3,    4,    5,    6,    7,  .,..,  n— 2,    «—1 
aber  dorch 

/s»!  *    /4»1  *    M»i »     /(in »  •  •  •  •  5  /«— Ä»l  »    A— 1  >i 

bezeichnen,  in  den  Dreiecken: 

1,  2,  3;    1,  3,  4;    1,  4,  5;    1,  ö,  6;  ....;  l,n— 2,n— 1;  l,n-l, 

nach  41): 

A>a/a»8/8>i  =  — /sa/s'sA'S» 

A>8/8>4A>i  =       hnf^zfi9Af 

fl9^f 495  fön     ==     f49lflk94fl95  9 

n95  föffi  9691     =     ""  fb9lH9bfl96  9 

11.  s.  w. 


also,  n'enn  mao  auf 
sich  aufbeljeD  lässt 


Belrachtungen  ilber  das  ebene  ürtteci. 
beiden  Seiten    multi|ilicirt  und  aufliebt. 


«).  .  .  ./i.,Ä..A«/i../k..- 

=  (-1)— /,„&./■...  ^.. 

eiue  bekannte  merkwürdige  Glei 


Auf  den  Seiten  BV,  CA,  ^fi  des  Dreiecks  ABC  i>A%\  deren 
Verlängerungen  wollen  wir  jetzt  die  beliebigen  Punkte  A! ,  B',  C 
annebmen,  und  deren  gehüng  als  positiv  oder  negativ  betrachtete 
EntTerDungen  von  denPunklen  B,  C,  A  in  derselben  Weise,  wie 
vorher  immer  geschehen,  durch  fa,  fb,  ft  bezeichnen.  In  den 
Paukten  Ä',  B'.  C  errichten  wir  auf  BC,  CA.  AB  Perpendikel, 
so  sind  deren  Gleichungen,  wenn  wir  A  als  Anfang  und  AB  als 
den  positiven  Theit  der  Axe  der  x  eines  rechtwinkligen  Coordi- 
nateosystenis  der  xy,  den  positiven  Theil  der  Axe  der  y  aber 
•uf  derselben  Seite  von  AB  Hnnehmen,  auf  welcher  C  liegt,  be- 
intlicb : 

y  =       cotff.ar-f  d, 

y  =  —cüiA.x-^-lB. 

[■nun  das  erste  dieser  drei  Perpendikel  durch  den  Punkt  A', 
I  Coordinaten  im  Systeme  der  xy  nach  §.  4. 

SÄsinC-AcosÄ,     /-asinß 

das  zweite    durch  den    Punkt  B',    dessen   Coordinaten   im 
ne  der  xy  nach  9-  4. 

(2fi8inß— /i)cos^,  (2Äsinß-j^4)8in^ 

nebt;  so  sind  die  Gleichungeu  der  drei  in  Rede  stehenden 


>ndikel: 


46) 


S-/'a8inB=cotÄ.(ar+/BCosÄ— 2ÄsinCj, 
,  — (2fisinÄ-/i)sin^  =  — cot^.!x-(2ßsinÄ-/i)coH^|. 

Die  zweite  Coordinate  des  Durchschnittspunkts  des  auf  BC 
errichteten  Perpendikels  mit  dem  auf  AB  errichteten  Perpendikel 
Ist   nach  der  ersten  dieser  drei  Gleicbungen: 


448  Gruner(:    Betrachtungen  üöer  das  ebene  Dreieck. 

fa  sin  ß  +  coiß.(fe  +fa  COS  J7— 2  ß  sin  C) 
=  faCosecB+'feCotB-  2RcotBsioC. 

Die  zweite  Coordinate  des  Durchscbnittspunkts  des  anffil 
errichteten  Perpendikels  mit  dem  auf  AB  errichteten  Perpendikel 
ist  nach  der  zweiten  der  drei  vorstehenden  Gleichungen: 

(2ßsinfi-/i)sin/l— cot2l.{/c-«-(2Äsini5— /i)cosi| 
=  2RcosecA8iüB — /Jcosec^ — feCotA, 

Die  Differenz  dieser  beiden  zweiten  Coordinaten  ist: 

/iiCoaecÄ+/icosec24+/c(cot-4  +  cot-B) 

— 2£(cosec^sin  B  -f  cot£sinQ. 

Bezeichnen  wir  die  Durchschnittspunkte  der  auf 

AB,  BC;    BC,  CA;    CA,  AB 

errichteten  Perpendikel  mit  einander  respective  durch 

Bi»    Ci,    Ai 

und  betrachten  das  Dreieck  AiBiCi;  so  ist  offenbar  die  Seit( 
AiBi  dieses  Dreiecks  gleich  dem  absoluten  Werthe  der  m 
stehenden  Differenz^  also: 


±Ai  Bi  .sin^sin  B  =  fasm  A-{-fi sin B  +  /csin  C 

—2R{s\nB^  +  siüAico6B8\nQ, 

und  folglich,  wie  leicht  erhellet: 


47) JrAißi.siDAsinB 

=faB\nA+fbS\nß-{-foSinC'-2R(l-i'C08Aco8Bco8C), 
oder: 

48) db^r^.sin^sinÄ 

=zfaS\nA+fb8mB+fc8inC'-R(siüA^+8inB^+8mC^. 

Weil  bekanntlich 

.     -  fl         ,    X,         b  .    ^ c 

8wA=^.    sinÄ  =  ,^^,     «'n^=2Ä 

Int«  HO  ist,  wie  man  leicht  findet: 


.yj  BjCi  ^  Cj^  ^  A^B, 

a  ö  c 

«  val.  abo.  ^^"^  '  ^^  +  ^^'  •*"  ""^^ ""  ^^^"^  "'"*'''"  "^""^l 
*"  *  abc 


Grüner t:    Betrachtungen  über  das  ebene  Dreieck,  449 

Bezeichnen  wir  die  Seiten  des  Dreiecks  Ai  Bi  Ci  durch 
Oi9  biy  Ci\  so  ist,  weil  die  Dreiecke  ABC  und  Ai Bi  Ci  offen- 
bar einander  ähnlich  sind: 

aibic=^  aiibiicis 
also: 

fli=fwi,    6,  =|ti6,    Ci  =  fAc; 

wo  Dach  49): 
50).  .  ^  =  val.abs.?*i?^±*^±^:i^^^±*!±^^ 

F    ist.     Bezeichnet  J  den  Inhalt  des  Dreiecks  ABC,  so  ist  be- 
!    kanntlich: 

„       abc 


also: 

.1  „K„  afa  +  bfi  +  ci 

2J 


61).  .  .    ^==val.abs.2^^±M±^;zi(?!±6!±^) 


oder: 

52)    .   .   .,  =  val.abs.^^^pi^^i^?!^ 

f^   wo  s  seine  bekannte  Bedeutung  hat. 

Natürlich  ist«  wenn  Ri  den  Halbmesser  des  um  das  Dreieck 
(    AgBiCi  beschriebenen  Kreises  bezeichnet«  auch 

r  und  folglich: 

i        ^  R  2^5(5— a)(Ä— 6)(*— c) 

j^t,         Bezeichnet  i^i  den  Inhalt  des  Dreiecks  J^ ^i  Ci »  so  ist: 

l  -^/:z/i  =  a*:ai*=  l:ft«, 

I- 
also: 


^1  =  ft«^, 
lud  folglich  nach  5L) 

f  «*) ^1  = 43 * 

oder: 


452        Seeiing:    Berechnung  der  Logarithmen  der  Summe 


Man  setze 


-  =  cos  a, 
a 


log  cos«  s=  !og6— »logHf 


1  -f  -  =  1  -|-  cos  a  is:  2  cos  ia*  (nach  IL) 

log(l+^)  =  log2+2logcosi«, 

log  (a 4-6)   =  loga4-log2-f  21ogcosia. 


a— 6=ra^I— -J,  log(o— 6)=loga  +  log(l--j 


t     j 


-  =  COStt^ 


log  cos  a  =  log  6— log  a» 


1 =  1 — cos a  =  2810 ^o^  (Dach  l) 

logTl — j  =  log2  +  2logsin4«, 
log(a— Ä)  =loga  +  log2+2log8iDl«. 


Zahlenbelspiele. 

Es  sei  a= 4732,  6=2179,  also  log  6  =±3,3382572 

log  a= 3,6750447 


log  6 — log  a =log  cos  a  =  0,6632125-14-10=9^1^ 

«==62034' 54,4" 
i«  =  310 17' 27,2" 


log  cos  ^a 
:9,9317331--10=:0,9317331-1 


21ogcosia=:0,8634662-l 
log  «=3,6750447 
log2  =0,3010300 


log  (a+ 6)  =3,8395409 
a  +  6=6911 


log  sin  ^a 
=9,7154879-10=0,7154879-1 

2logsinia  =0,4309758-1 
log  0=3,6750447 
log2=0,3010300_ 
log  (a— 6) =3,4070505 

£1*6=2553. 


AT.  der  Differ,  zweier  Zahlen  aus  den  Logarithmen  dies.  Zahlen,  ^fA 

Andere  BerechnuDg  des  Logarithmus  der  Samme 

zweier  Zahlen. 

ö  +  6  =  ori+-Jf  also  iog(a  +  6)  =  loga  +  logri+-J 
gcicd=^gfifh^=^  gkigi  (siehe  die  Figur), 


ler: 


l:sii)ix  =  seca:tanga  =  cosecc;:!. 

ieraus  folgt: 

secfif  =  tanga.coseco 

seco^  =  tanga*  •  coseca* 

see  a^  =  tang  a*  + 1 

tang  a*  •  cosee  «*  =  tang  a*  +  1 

cosec  a  = 

1 
sino 

«»»»» ..«  ....  1  1 

.O^OA^^uS     

1 

tanga*  sina* 

lan  setze  nun 

=r  tanga».  so  Ist  tang«  =  .\  f.  und  1  +  ^=  1  +  j;— ^  =  ■— 

l«gtaDg«  =  l5i^^=lH8*     log(l  +  ^)  =  0-2logsin« 

iog(a+6)  =  log  a— 2  log  sino. 

Z  a  h  l  e  o  b  e  i  s  p  i  e  l. 

Es  sei  a  =:  5981,  b  =  3924,  also 

loga  =  3,7767738 
logÄ  =  3,5937290 

loga— log  6  =  0,1830448 

loga^logg  ^  i^g^^ng^  ^  0,0915224  + 10  =  10,0915224 

«  =  50059' 34,8" 
log  sin  et  =  9,8904596r  —10  =  0,8904596?  —1 

2  log  sin  «  =  0,7809193  —1 
loga  =  3,7767738 


log  a  —  2  log  sin  a  =  log(a  +  6)  =  3,9958545 

a-f  6  =  9905. 
I 

I^Heii  XLV,  31 


r(.    Allgemeine  rHeorie  der  Wnrztin  der  Aequftal* 


Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  AequivHleueitl 

mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gl^| 

chungen. 

ilein    Herausgeber. 


1  I  e  i 


1  n  g. 


^^^_       Dinge 

^^L     Wenn 


Die  algebraische  Aiialysis  oder,  nie  diese  Wissenscj 
hin  und  wiedei  zu  nennen  beliebt  wird,  die  sogenannte  hGbM 
Algebra,  welche  von  etDent  der  grüssten  IVIathematiker  aller  w 
ten,  dem  uniibcrlroffenen  und  unübertreffbaren  Caucfay,  «4w 
einmal  eine  sehr  iveseiilliche  Umgeislaltung  errahren  bat, 
mir  gegenvFärtig  in  mehrfacher  Beziehung  einer  neuen  CmgMtll' 
tuiig  zu  bedürfen;  und  namentlich  mücbte  es  zDiiächsl  die 
wichtige  allgemeine  Theorie  der  Gleichungen  sein,  weiche  i 
dieser  Umgestaltung  am  Meisten  betroffen  tverden  ufirde.  W«M 
nach  meiner  Meinung  diese  UmgestaltuDgeu  sämmtlich  zu  bestdM 
haben,  will  ich  jetzt  hier  nicht  weiter  darlegen,  weil  ich 
dass  dies  am  Besten  und  ohne  alle  Missverständnisse  durch  At 
verschiedenen  Abhandlungen  selbst  geschehen  wird,  welche  i(i 
in  dieser  Beziehung  nach  und  nach  zu  veröffentlichen  denke,  m 
hoffentlich  auch  —  wenigstens  nach  und  »ach  und  mit  der  Ziit, 
auf  welche  in  solchen  FSIIon  crfabrungsmSasig  immer  hesondaf 
gerechnet  werden  muse  —  zur  Tulligen  Beseitigang  vieler  nnUi- 
ren,  schwankenden  und  Iheiliveise  selbst  unrichtigen  Ideei 
Vorstellungsweisen,  denen  man  über  gewisse  hierher  gehu 
Dinge  gegenwärtig  leider  nur  zu  hSufig  begegnet,  beitragen 
Wenn  ich  auch  auf  die^Einffibrung  der  Theorie  der  AeqaivaJeiiUft 


Rf  besonderer  Rücksicht  auf  die  THeorie  der  Gleichungen.  455  ^^H 
ober  ich  schon  in  den  beiden  Abharidlmigen  Tht.  XLIV.  ^^^| 
'.  XXVL  und  Nr.  XXVll.  gehandelt  habe,  nicht  gerade  und  nit^t 
■ledingt  den  grussten  Werth  lege;  so  scheint  mir  dieselbe  doch 
'  Tielen  Beziehungen  so  nichlig  und  eo  sehr  beachtenswertfa  zu 
In,  dass  ich  ihr,  hevor  ich  zu  anderen  Unterguchuiigen  uber- 
iie,  noch  die  vorliegende  Abhandlung  zu  widmen  beabgicbtige, 
biche  sich  an  die  beiden  vorher  genannten  Abhaiidluugeii,  nament- 
iXi  an  die  erslere  derselben,  unmittelbar  anscfallesst,  wobei  ich 
Bleich  bemerke,  dass  alle  in  der  vorliegenden  Abhandlung  mit 
r.  XXVI.  bezeichneten  Citate  sich  auf  die  mit  derselben  Num- 
^r  bezeichnete  Abhandlung  in  ThI.  XLIV.  beziehen.  Auch  be- 
llten alle  in  dieser  Abhandlung  gemachten  Voraussetzungen  hier 
r«  Gültigkeit. 


Schliesslich  vernabre  ich  mich  noch  besonders  in  der  be- 
mtesten  Weise  gegen  das  leicht  luügljcbe,  ja  seihst  schon 
'«gekommene  Missverständniss  meiner  Ansichten  über  alle  diese 
Inge,  als  tvenn  ich,  den  neueren  Ansiebten  über  die  sog'enann- 
Ki  imaginären  Grössen  und  den  dieselben  betreffenden,  die  wei- 
«^  AufklSrung  ihrer  Natur  bezweckenden  neueren  Arbeiten 
^genCfber,  der  Theorie  der  Aequivaleiizen  und  deren  Anwendung 
ki  analytischen  Untersuchungen  eine  hesoudere  Wichtigkeit  bei- 
gte, was  keineswegs  der  Fall  ist.  Vielmehr  beabsichtige  leb, 
I«  ich  schon  mehrmals  hervorgehoben  habe,  über  die,  die  sogo* 
Junten  imaginären  Grössen  betreffenden  neueren  Ansichten  fflr 
Rd  an  sich  eine  Reihe  von  Abhandlungen  in  dem  Archive  au 
krSffenllichen,  welche  zur  weiteren  Aufklärung  dieyies  Gegen- 
iBades  bestimmt  sind,  und  in  denen  ich  erst  zur  ausführlichen 
l^l«gung  meiner  eigenen  Ansichten  über  denselben  Gelegenheit 
liden  werde.  Die  Aequivalenzen  bilden  aber  nach  meiner  Mei- 
|>ng  immerhin  für  sich,  und  also  ganz  unabhängig  von  der 
tDflren  Theorie  der  sogenannten  imaginären  Grössen,  einen  in- 
}(teä»SMian,  in  mehreren  Beziehungen  gewiss  alle  Beachtung  ver- 
ienenden  und  wichtigen  Gegenstand,  weshalb  ich  deren  Theorie 
ine  weitere  Entwickelung  zu  geben  versucht  habe,  als  von 
auchy  selbst  geschehen  ist,  wobei  ich  noch  besonders  darauf 
inweixe,  dass  es,  wie  auch  schon  Herr  IJurege  in  seinen  ver- 
lenstltcben  „  Elementen  der  Theorie  der  Kundinnen  einer 
Dmplexen  veränderlichen  Grösse.  Leipzig.  ]S64.  S.  I." 
emerkt  hat,  sehr  interessant  ist,  den  eigenen  KnCnickelungsgang 
BS  genannten  grossen  Alatbematiker«  auf  diesem  Gebiete  zu 
Bobachten,  In  welcher  Beziehung  auch  die  Theorie  der  Aequlva' 
inzen  ein  wesentliches  Moment  ausmacht.  Mit  der  neueren  The« 
e    der  sogenannten    imaginären    Grössen   selbst    hat  aber    dies 


456  Grunert:   AUgemetne  t/ieorin  der  Wurzeln  der  AeQ 

Theorie  an  sich  gar  niclile  zu  thun,  nie  ich  sehr  wohl  « 
tiehr  gerne  zugebe:  dieselbe  bewej>l  sich  selbstständis  ftuFIE 
eigenen  Felde  und  genährt  nur  au«  diesem  Grunde  das  ' 
welches  ich  ihr  allerdings  bt'iÄulegen  geneigt  bin;  nun 
Gesichtspunkte  wünsche  ich  die  vorliegende  Abhandlung  undnii 
beiden  ohen  erwähnten  Truheren  Ahliandlungeii  über  diese  T' 
rie  im  vorhergehenden  Theile  des  Archivs  betrachtet  n 
theilt  zu  seben. 

§.  I. 

CrKIärung.     Jede  Grösse  von  der  ailgemeineo  Form  t^ 
wo  i  nie    gewöhnlich    eine    ganz   beliebige  Grösse    bexeivhnel,  n 
und  b  aber  von  i  unabhäniiige,  und  insorern  also  eonslante,  C 
sen  bezeichuen  sollen,  wollen  wir  eine  coiiiplexe  Grüsse 
nen  *).    Der  Fall,  wenn  6=-0  ist,  itird  hierbei  nicht  ausgeschloi 


liehrsatE.     Jede    coniplexe  Griisse    »±61 
die  Form 

r(<:oBi)i  +  isin9)), 

wo  r  eine  positive   oder  absolute  Zahl    bezeicbq 
bracht  «verde n. 

Beweis.     Die  Gleichung 

a  +  fti==r(coS9±ising)) 

wird  im  Allgemeinen  oder  für  jedes  i  erftlllt,  wenn  luau 
sen  r  und  tp  so  bestimmt,    dass  den  beiden  Gleichongt 

rcostp  =  a,    TBintp  =^  b 

gleichzeitig   genügt   wird.     Quadrirt   man   diese   Gleicbn 
addirt  sie  dann  zu  einander,  so  erhält  man: 


*)  In  ErinangGlung  oinea  anderi'ii  bthiillc  Uh  ilicaen, 
etwas  anderen  Sinne  genommenen  Anadruck  hier  bei;  w 
tsren  verwEine  ich  auf  meine  Hpöter  zn  vernffen [liebenden  Abbandlu^l 
Von  den  aogenannteo  iiunginnren  Gn'iaiea  ist,  mit  Ansnabme  von  ^|^l 
natnrlicb  hier  eben  an  wenig  die  Itede,  wie  in  den  beiden  (m 
genannten  Abhandlungen. 


•V' 


^1 


mit  bezonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    459 


8.6. 

lAfihnwiiimk  Wenn  zwei  Grossen  eoinplexen  GrSs 
«eo  fiqniyaleQt  sind«  so  ist  auch  die  Differenz  der  erste 
reu  Grossen  einer  complexen  Grösse  äquivalent. 

Beweis.    Es  sei 

Po^«o  +  /5o«    und     P,  ^«i  +  fti, 
so  Ist  nach  Nr.  XXVI.  §.  11. 

Po-Z'i^K  +  i^oO-K+ftO. 

also 

womit  der  Satz  bewiesen  ist,   weil  nach  §.  1. 

«o-«i  +  (/Jo—A)« 
eine  camplexe  Grosse  ist. 

§.  7. 

l^eluraatflB.  Wenn  zwei  Grössen  complexen  Gros- 
sen  äquivalent  sind,  so  ist  auch  das  Product  der  bei« 
den  ersteren  Grössen  einer  complexen  Grösse  aequi- 
▼  alent. 

Beweis.     Es  sei 

Po^«o  +  /?o«    und    Pi:-rci+fti, 
so  ist  nach  Nr.  XXVI.  §.  13. 

{  PoPi  ^  («o  +  M(«i  +M; 

\     nach  Nr.  XXVI.  §.  31.  2.  ist  aber 

(«b  +  W)  («1  +ßii)  ^  «0«!  -/»oA  +  Kft  +  Ml)« ; 

also  ist  nach  Nr.  XXVI.  §.  8. 

PoPi  ^  «0«!  -/»oft   +  («OÄ  +  i?0«l)«» 

r    womit  der  Satz  bewiesen  ist,   weil  nach  §.  1. 

«6«!  -  /Jo  A  +  («0 A  +  l^O«!  )  « 

eine  complexe  Grösse  ist. 


I 


400  Grüner t:  Allgemeine  Theorie  der  Wtir%eln  der  Ae^mi9aien»en, 


1 


§.  8. 

ZiuiatE.  Wenn  mehrere  Grossen,  in  beliebiger  An- 
zahl, complexen  Grossen  äquivalent  sind,  so  ist  aocb 
das  Prodact  der  ersteren  Grossen  einer  complexen 
Grosse  äquivalent. 

Wir  ivollen  annehmen,  dass  die  Grossen 

*o»     '^i*    ^«»    *s>     "4,  •••• 

sämmtlich  complexen  Grossen  äquivalent  seien.  Weil  dod  die 
Grossen  Pq  und  P^  complexen  Grossen  äquivalent  sind,  so  ist 
nach  §.  7.  auch  das  Product  PqP\  einer  complexen  Grösse  iq» 
valent;  also  ist,  weil  ferner  P^  einer  complexen  Grosse  äqoivaleflt 
ist,  nach  §.  7.  auch  das  Product  PoPiP%  einer  complexen  GrSsse 
äquivalent;  also  ist,  weil  ferner  P^  einer  complexen  Grosse  äqui- 
valent ist,  nach  §.7.  auch  das  Product  PqPiP^P^  einer  com- 
plexen Grösse  äquivalent;  wie  man  auf  diese  Art  weiter  gehei 
kann,  ist  klar,  und  es  erhellet  also  jetzt  mit  völliger  Deutlicbkeit, 
dass  unter  den  gemachten  Voraussetzungen  immer  das  Product 

Pq  Pi  /jj  P^  «4*5  •  •  •  • 

einer  complexen  Grösse  äquivalent  ist,  w.  z.  b.  w. 

§.  9. 
lielirsatK.     Wenn 

ist,   so    ist   für  jedes   positive   ganze    n   mit  Beziehung 
der  oberen  und  unteren  Zeichen  aufeinander: 

Beweis.     Weil  nach  der  Voraussetzung 

P::=^cci±ßii 
ist,  so  ist  nach  Nr.  XXVI.  §.  16. : 

(Nun  Hetze  man   mit  Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen 
Auf  Dinander: 

«1  i  ßii  =  r  (cos  q)  +  isin  ip) , 


*    ■  • 


^  Mt-Öesonderer  Rüchsicht  mif  die  Theorie  der  Gleichungen.    461 

^»  ■ 

was  nach  §.  2.  verstattet  ist,  so  ist 
-   .  (^  db  A  i)"  =  r"  (cos  g)  + 1  sin  q>)^ , 

"/  und  folglich  nach  dem  Obigen : 
4  •         P^  .^^  r"(cos  q>  Jt  *  sin  q?)«. 

-^  Nach  Nr.  XXVI.  §.  31.  7.  ist  aber 

(cos  g)  ±  2 sin  9>)"  :^rl  cos  nq?  dt  2*s>n n<p , 

was  ans  der  a.  a.  O.  bewiesenen  Aequivaienz 

(cosa:  +  isina:)"  J:=1  coswo:  +  tsinno? 

auf  der  Stelle  folgt,  wenn  man  in  derselben  ar  =  4:g)  setzt,  und 
folglich  nach  Nn  XXVI.  §.  14. 

r*  (cos  q?  +  t  sin  fpY  ^^^=^  ****  (cos  ng>  +  t  sin  nq>) , 
welches,   mit  der  vorher  bewiesenen  Aeqaivalenz 

P"  :^  ^«(cos  g)  +  2sin  g))" 
▼jBrglichen,  nach  Nr.  XXVI.  §.  8.  auf  der  Stelle  zu  der  Aeqaivalenz 

P»  ::=l  r*(cosnq?  ±  1 8inng>) , 
also,   wenn  man 

an  =  r«  cos  ng) ,    ßn  =  r»  sin  ng) 
setzt,   zu  der  Aequivaienz 

führt,    w.  z.  b.  w. 

§.  10. 

Aufi^abe.    Man  soll,   wenn  die  complexen  Grossen 

p'  +  g'i    und    p"  +  g'H 

.als  gegeben  betrachtet  werden  und  n  eine  positive  ganze 
Zahl  bezeichnet,  die  Grossen  p  und  g  so  bestimmen, 
dass 

(p'  +  q't)  (P  +  qiY  ^:^  p''  +  g''t 

ist. 

Auflösung.    Nach  Nr.  XXVI.  §.  31.  2.  ist  bekanntlich: 


k 


2  Grunerl:  Allgemeine  Thenrh  der  V/vrzeln  iter  Aegvihätemen, 

r"(p'+9'»)  (cosny  +  isinngj)  =  lp'-{q'i)  (r"co8nip+ir"«inB^^ 
i^  r'ip' coan^—q' s\nnq>)  -i-  ii^{p' sionqi-i'g' cosntp), 
und  bestimmt  man  also  r,  tp  so,   dass 

r"(p'coBB9»— y'sintiiy)  =p", 
r"(p'«innq>  +  9'coH7iy)  =9"  ll| 

ist,    so  ist : 

r»(p'  +  g'i)  (coantp  +  isin  tiq))  ^^  p"  +  9"t, 

wo  es  sich  daher  nan  fragt,  ob  sieb  r,  9  so  bestimmen  lassen,  im 
den  beiden  vorstohenden  Gleichungen  genügt  nird.  Quadmt  n 
aber  diese  beiden  Gleichungen  und  addirt  sie  dann  zu  einander, 
80  erhält  man : 

r*-(;*"+9'*)=p"«  +  9'^, 
also: 


I). 


iTodurch  r  gefunden  Ist.  Zur  Bestimmung  von  n^t,  und  demaw 
auch  <p,  hat  man  dann  aber  ferner  nach  dem  Obigen  die  Glei- 
chungen : 

p'cosntp  —  g'  BÜnnip^  -5  • 
p'  Binnqo  +  9  coang»  =  — 


p'  cnsniji  —  g  sin  Ml))  =  —  . 
7'  cosn^i  -f  p'sinng»^^; 


(,p'^+g'*)caBnip 


p'p"  +  qY 


IfoIgHch: 


p'p"  +  l'f 


mii  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.   463 
Well  hiernach  und  nach  1): 

ist,  60  lässt  sich  ngo  offenbar  so  bestimmen,  dass  den  beiden 
Gleichungen  2)  geniigt  wird ,  wenn  man  sich  nur  an  die  folgenden 
Regeln  hält: 

positiv  positiv  0  <n9<   90^, 

negativ  positiv  9(K><n9<  ISO^, 

negativ  negativ  180^  <  ngo  <  270^ , 

positiv  negativ  270o  <  119)  <  360^. 

An  dieselben  Regeln  hat  man  sich  zu  halten,  wenn  man  119, 
nnd  demnach  q>,  mittelst  der  aus  2)  sich  ergebenden  Formel: 

*)•••. tangng)=^y,^^,^, 

bestimmt 

Hiernach  kann  man  also  im  Allgemeinen  r,  tp  immer  so 
bestimmen  9  dass 

r*(p'  +  q'i)  (cositgo  +  tsinn^)  i=^  p"  +  t/'i 

ist.    Nun  ist  aber  nach  Nr.  XXVI.  §.  31.  7. 

cosngo  +  tsinn^  b=:^  (cosgo  +  tsin^)", 

also  nach  Nn  XXVI.  §.  14. 

r*(j»'  +  ^i)(cosng)  +  tsinng))  i=i:  r*(p'  +  y't)(coS9+tsin9)«, 

also  nach  Nr.  XXVI.  §.  8. 

r«  {p'  +  q'i)  (cos  g)  +  <sin  9)»  i-:  p"  +  ^'i 
oder 

(p'  +  V'O  (*•«<>»  9  +  tr  sin  9)"  :--:  p"  +  ^'t ; 

und  setzt  man  also: 

4) p  =  rcos9>»    q^TB\nq>\ 

so  ist: 

(P*  +  ^'t')<P  +  ^:^p"  +  ^'t, 

wie  verlangt  wurde. 


■w 


\frt:  AUpemefne  Theorie dtr  Wtirseln  lUr  Aei/vlnaUfatn, 

AnmerkiuiiK.      Die  Bestimmnng  von  r,  <f  initlelat  der  Pc»*- 
mein  ))  und  '2)  fiürt  auf  mügllch  ku  sein,  wenn 

p'»+9'«  =  0,     also    p'=0    und    f/ =  0. 
folglich 

;/  +  9'.-  =  0 

ist;  also  muss  man  bei  der  rorli  ergehen  den  Anfgalie  ror.iussetitent 
dass  die  complexe  Grösse  p'  +  y'i  nitht  verschwindet.  Aac* 
ffürde  die  Bestimmunt;  von  rp  mittelst  der  Formeln  2)  nicht  milg- 
lieh  sein,  wenn  j-  =  0,  also  nach  1)  wenn  p"i'  +  9"»=0,  od«» 
p"=0,  g"=0,  folglich  p"  +  y"i— 0  wäre;  in  diesem  Falle  wflrfle 
1  aber  der  Aeijuivalenz 


(;/  +  y'i)  (p  +  r/i)'  -. 
offenbar  ^{eniigien  können,  wenn  man 


t>  ^0,  r/  =  Ü  setzte. 


Iielirsatz.  Der  Modnius  des  Prodncts  zweier  com- 
plexen  Grössen  äquivalenter  Grössen  ist  das  Prodact 
der  Modul!  dieser  beiden  Grüssen. 


complexen  Grössen  Sqiii 


Beweis.    Bezeichnen  wir  die  beider 
vatenten  Grössen  durch  Pt,  und  P, ,   so 

also  nach  Nr.  XXVI.  §.  lQ..■ 
Pü  Pi  ^  («o  +  M  («i  +  ft ')■ 
Nach  Nr.  XXVI.  §.  31.  2.  ist  aber 

K  +  MC«,  +  AO  ^  «Ott, -PoPi  +  («0^1  +  (3oa,>f , 
und  folglich,  wenn  man  dies  mit  der  vorhergehenden   Aequivaleni 
vergleicht,  nach  Nr.  XXVI.  §.  8.: 


P^Pt  ^  ^«i  -ßoßi  +  («oft  +Po«.)i- 


Daher  ist  nach  j 


in(PoP,)  =  l(°o«i-(3ol'.)H(«<,ft+^o«i)»!' 


weil  nach  dem  Obig 


mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    465 
ist  r 

m(PoPi)  =  m(n).m(/^i), 


i 


§.  12. 

XiUitttoe.  1.  Der  Modulas  des  Products  beliebig 
>ler.  complexeii  Grossen  äquivalenter  Grössen  ist 
8  Froduct  der  Moduli  dieser  Grössen. 


Man  hat  sich  zu  erinnern^  dass  nach  §.  8.  das  Produet  belie- 
big vieler  complexen  Grössen  äquivalenter  Grössen  jederzeit  selbst 
einer  complexen  Grösse  äquivalent  ist.     Sind  nun  die  Grössen 

Pq9    jPi»    P2»    *a  ••••  *«— 1 
sämmtlich  complexen  Grössen  äquivalent,  so  ist  nach  §.  11.: 

m(PoPi)  =  miPo).m{Pi)s 

und  folglich,    weil  PqPi   und  P2  complexen   Grössen   äquivalent 
sindy  nach  §.  11.: 

'  m(PoPiP2)  =  mPoPi)'mp^ 

=  jn(Po).J«(P,).m(Pa); 

also  ist»  weil  P^PiP^  und  P3  complexen  Grössen  äquivalent  sind: 

m(PoPiP^Pz)  =  m(PoPiP^).m(Ps) 

=  m(Po).w(Pi).m(Pa).m(P8); 

wie  man  auf  diese  Art  weiter  gehen  kann,  ist  klar,  und  es  ist 
also  offenbar  allgemein: 

m(PoPiPiP3.^..Pn-l) 

=  m(Po).m(Pi).nt(Pa).w(P3)  ..••  m(Pn-i), 

yw.  z.  b.  w. 

2.  Der  Modulus  jeder  Potenz  mit  positivem  gan- 
zen Exponenten  einer  Grösse,  die  einer  complexen 
Grösse  äquivalent  ist,  ist  dieselbe  Potenz  des  Modu- 
lus dieser  Grösse;  oder,  wenn  die  Grösse  P  einer 
complexen  Grösse  äquivalent  ist  und  n  eine  positive 
ganze  Zahl  bezeichnet,  so  ist: 

nt(P")  =  {m(P)i». 


i 


:m 


468  Gru7/eii:    Ulgemetiie  T/teorle  tter  \Tiirseta  A 
"der: 


m(Pt,+  Pi)  =  M\o,  m(P„)  +  i«{/*,)i. 

g-    15. 

IiehrsatK.     Der  Modulue  der  Summe  mehrerer  CDU- 
[)lexeu  Grössen  äquivalenter  Grussen  in  beliebiger  Ad-  I 
sah!  ist  jederzeit  eine  Mi ttelgrüsse  zwischen  Null  nii 
der  Summe    der  Moduli    dieser  Grössen   gder  nie  g^II^I 
ser  als  die  Summe  dieser  Moduli. 

Beweis.  Man  hat  sich  zu  erinoern,  dass  nach  §,  5.  dil  1 
Summe  complexen  Grössen  äquivalenter  Grössen  immer  ntk  j 
einer  complexen  Grösse  äquivalent  ist.     Sind  nun  die  Gröi 

Po,       Pl.       P%,       Ps.-'P>i-l 

sämmtlich  coroplexeu  Grössen  äquivalent,   so  ist  nach  §,1 

m(Pty+Pi)^M\o,  ni(p„)+ni(Pi)t, 

und  folglich,  iveil  P(,  + Pi  und  P^  complesen  Grössen  äqnivilol J 
sind,  nach  g.  14.: 

m(Po+ Pl  +  Pa)  —  jtf  10,  m(p„+p,)  +  in(Pa)i, 

also,  weil 

ni(Po  +  Pl)  =  -tf  10,  in{P„) +m(P,)i 

ist,    offenbar  um  so  mehr; 

mCPo+ Pl  +  Pa)  =  itf iO,  Dl(Pn)  +  m(P,) +in(Pi)l; 

weil   nun    ferner  Po  +  Pi  +  Pj  und    Pg  complexen  Grossen  Sq 
valent  sind,    so  ist  nach  §.  14.: 

ni(Po  +  ^i+^a  +  ''3)^^|0,m(Po  +  Pi  +  P»)  +  WI(P3)l. 


w(Po+p, +Pa)=  jtfio.ni(Po)  +  ni(P,)+ai(Pjj 


ist,    offenbar  i: 


»  mehr: 


l«(Po  +  Pl  +  Pa  +  Ps)  =  Jtf  10.  ni{Po)  +  JII(Pi)  +  jn(Pj +1 

wie  man  auf  diese  Art  weiter  gehen  kann,   ist  klar, 
also  offenbar  überhaupt: 


mit  besonderer  RüehstcM  auf  die  Theorie  der  GteielumgeH.    469 

=  iif  to,  ni(Po) + W(P,) +nt(Pa)  +»t(P8) +.... +in(P,_,)n 

W.  2.  b.  w. 

§.  16. 
Wir  wollen  jetzt  die  Function 

Btracbten,  wo  die  Coefficienten 

Aq  $     Ai  f     A^ ,     if  3  9  •  •  • .  if  n — 1 ,     An 

mmtlich  complexen  Grössen  äquivalente  Grössen  bezeichnen 
llen,  indem  wir  jedoch  zugleich  annehmen  wollen,  dass  die 
iden  äussersten  Coefficienten  Aq  und  An  der  Null  nicht  äqui- 
lent  sind.  Die  Modnil  dieser  Coefficienten  wollen  wir  respec- 
'e  durch 

Po*     Ql»     Q29     P8>  ••**  Qn—i>     Qn 

zeichnen,  wo  Qq  und  ^n  nicht  verschwinden  können,  weil,  wenn 
»8  der  Fall  wär<9,  die  complexen  Grössen,  denen.  Aq  und  An 
uivalent  sind,  offenbar  der  ?(ull  gleich,  die  Coefficienten  Aq 
d  An  also  der  Null  äquivalent  sein  würden,  was  gegen  die 
oraussetzung  streitet 

Einen   beliebigen  complexen  Werth   von  x  wollen  wir  durch 

p  +  gi 

nd  dessen  Modulus  durch  r  bezeichnen ;  dann  sind  nach  §.  12.  2 
16  Moduli  der  Potenzen^ 

a:»,    a:«-*,    a?"-*,    a:«-', ....  o:*,    os 
)spective : 

id  nach  §.  12.  1.  sind  also  die  Moduli  von 

AqX^,     AiX^-^,     Ac^X^r^y     A^X^"^ 9  ....  An— IX,      An 

spective : 

Iso  ist  nach  §.  15.,  wenn  wir  den  Modulus  der  Grösse 
Ai  a?«-i  +  ^.^a:«-*  +  ....  +  An-ia  +  An 

Theil  XLV.  82 


ilQGruneri:  Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Aequi»alma, 
durch  Ri   bezeichnen: 

und  wenn  wir  den  Modulus  der  Grosse 

AqO^^  +  Ai  a;«-i  +  ^a^"~*+  -  ••  +  An-\x  +  A 
durch  ß  bezeichnen,  so  ist  nach  §.  14.: 

wegen 

ist  aber: 

Q^r^  —  ßi  ^  eo»*"  —  Pi  »•""■^  —  p«r«-*— ....  —  pn-ir— p«, 

also  nach  dem  Vorhergehenden  offenbar  um  so  mehr: 
R=^M] 

Nach  einem  sehr  bekannten  Satze  von  den  Gleichungen  hi 
die  Gleichung 

wo  u  das  allgemeine  Symbol  der  unbekannten  Grösse  ist,  imm 
eine,  aber  auch  nur  eine  positive  Wurzel,  welche  wir  durch 
bezeichnen  wollen ,  so  dass  also  für  diesen  Werth  der  unbekai 
ten  Grosse  u  wirklich 

oder 

ist.    Betrachten  wir  nun  das  Product 

Wenn   t  >  r  ist,    so  ist  offenbar 

po^  >  Po»*; 


FT-' 


mii  t^sonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    471 


fe      ferner   ist  offenbar: 


£1.1  <?i.l, 
Qq'^       Qo''r' 

U.    S.    IV. 


Qn-1 


L^  ?n-l    _1_ 


L    also: 


^0     t« 


L  .  ^«  i 


^ih    1  i  Pa    1  ,  P*-i 


L  .  ??   J 


und    folglich : 


1      Pi    l      Pa    1 

Po    ^^      Qo   ^* 

s.  1      Pi    1      Pa    1 


Qn—l        l  ^n      1 


a 


Po 

jfn— 1 

Po 

't» 

p»— 1 
Po 

1 

Po 

1 

r 


Po    *•      Po    »• 

Hieraas  sieht  man,  dass,   vrenn  r  wächst^    beide  Factoren  des 
Products 


Po   ^      Po   r^ 


Pn—l        1      ^  pn    Jl  » 

Po     »•""'^      Po'»*" 


V  wachsen.    Für  r  =  |  ist  nach  dem  Obigen: 


n 


I 


also 


i_&  1     £«  i 

Po'S""Po'^'"*'"""  Po    ^"-^ 


p«—i      1         P»    l       n 
Po   S" 


well  nach  dem  Obigen 

PpS"— Pi^~^  —  Pa  !""*—••  •-Pn-il—pn  =  0 

ist,  nnd  folglich,  da  bekanntlich  Qn  nicht  verschwindet,  |>  also 
auch  PoS"»  indem  bekanntlich  anch  p^  nicht  yerschwindet,  nicht 
▼ersehwinden  kann.     Lassen  wir  nun  r  von  £  an  wachsen ,    so 

L  wSefast  der  Factor  ^0**"  fortwährend  von  Qq^  an   und  ist  immer 

['positiv;    der  Factor 

32» 


472  Grnnert:   Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Aegkital 

wächst  roTlwähTend  von  Null  an  und  ist  Tolglich  auch  stets  fl 
tiv;    also  iväcfast,  nenn  r  von  |  an  wäcbet,  das  Prodoitn 

offenbar  von  Noll  an  fortwährend   und  ist  stets   positiv,  «13 
auch  über  alle  Gr&nzen,    w«il  der  Factor  gof    über  alle  (i 
iväcbst.  der  Factor 

1       Pl  1      £?    i  _         _  *!^»    _L_      £ 


sich  offenbar  in's  Unendliche  der  Einheit  nHbert     Uas  oUJ 
duct  ist  die  Grüsae 


■'■— e,r' 


's  Unendliche  wachsen  lläTI 


welche  also,  wenn  man  r  von  | 
von  Null  an  Tortn-ährend  wachsen,   also  auch   stets  positiv 
und  auch  über  alle  Gränzen  oder  ins  Unendliche   wacht 
l>a  nun  nach  dem  Obigen 


B=M 


eo''"  + ft  »■"-'  + esr"~'+ ■"■ +«1.-1  >■  + f. 

also  R  niemals  kleiner  als  die,  wenn  man  r  von  |  an  iracbSM 
Ifisst,  stets  positive  Griisse 

Por»  — Pii*->-  par"""  — -••■  -pn-ir— p, 

tst,  so  sieht  man,  dass  auch  der  Modulus  R  in's  UnendfKte 
wSchst,  wenn  man  r  von  |  an  in's  Unendliche  wachsen  ISsat. 
Hieraus  erhellet  mit  völliger  Deutlichkeil  und  Bestimmtheit,  daat 
der  kleinste  Werlh,  welchen  der  Modulus  R  überhaupt  habei 
kann,  jederzeit  einem  endlichen  völlig  bestimraten  Werthe  voD  r 
entsprechen  muss,  und  da  nun  r  der  Modulus  von  p-)-«;t,  also 


ist,  folglich  beliebig  gross  »erden  kann,  wenn  man  nur  demfP 
und  q  geeignete  Werthe  beilegt,  »o  werden  dem  kleinitei 
Werthe,  (velchen  der  Modulus  R  Überhaupt  haben  kann,  anti 
immer  gewisse  endliche  vöIUe;  bestimmte  Werthe  von  p  mi  f. 
also  jedenfalls  auch  immer  ein  endlicher  völlig  bestimmter  Werth 


a:  —  p  +  91 


mit  besonderer  Rüchsicfki  auf  die  Theorie  der  GMekungen.    473 

»precben,  oder  es  wird  immer  einen  endlichen  völlig  bestimm- 
Werth  p-[-qi  von  x  geben,  für  welchen  der  Modulus  R  sei- 
kleinsten Werth  erhSlt. 

Die  complexe  Grosse ,  welcher  die  Grosse 

p  +  qi)^  +  A^{p  +  9t)— 1  +  ^a  (p  +  ^»)"-*  +  ".  +  ^«-i  (P+^0  +  ^«» 

m  Modulus  R  ist,    äquivalent  ist,    und  dass  es  immer  eine 
he  complexe  Grosse  giebt,  erhellet  aus  den  früher  bewiese- 
Sätzen  sehr  leicht  und  ganz  von  selbst,  wollen  wir  durch 

;ichnen,  so  dass  also  im  Allgemeinen 

* 

Setzen  wir  nun  för  x  einen  beliebigen  von  p-\-qi  verschiede- 
complexen  Werth,  welcher,  indem  z  selbst  eine  complexe 
)se  bezeichnet,  im  Allgemeinen 

p  +  qi  +  z 

mag;  so  geht  die  vorstehende  Grosse 

>+yt)«  +  ^1  (;?  +  9i>-i  +  i4.(/>+9t)«-a+....  + A-i(/?+9t)+^» 

....  +  ^n-i (p  +  ^t  +  z) -^ -^n 

,   und  wird  daher  offenbar  einer  Grosse  von  der  Form 

,  wenn  unter  den  Grossen 

Pi+Qii.    Pa,+  Ö«i.  .— P«-i+Ö«-i».     fii  +  önt 
rste  nicht  verschwindende 

Pm  +  Qmi 

Biner  Grosse  von  der  Form 

»«+  (Pm  +  Ömt)2"»  +  (Pm+1  +  Qm+lt)  «"»+*+...  . 

....  +(Pf»-l  +  ö«-l  «)»«-*+  (Pn  +  Ont)!" 

alent  sein,  wobei  man  zu  beachten  hat,  dass  die  der  GrOsse 


474  6 runer t:   Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Aeguivalemm, 

Aq  äquivalente  complexe  Grosse  Pn-\rQni  gewiss  nicht  verecbwiB* 
det^  weil  bekanntlich  A^  nicht  der  Null  äquivalent  ist. 

Man  bestimme  nun,  was»  weil  Pm-^Qmi  nicht  verscbwin<H 
nach  §.  10.  immer  möglich  ist, 

Pm'  +  Qm'i 

60^  dass 

(Pm+ömi)(Pm'+©m'i)'»^  -  (/^+ GO, 

also  9    wenn  s   eine   beliebige   positive    Grosse    bezeichneti  nacb 
Nr.  XXVI.  §.14. 

ist,  und  setze  für  die  an  sich  ganz  willkuhrliche  complexe Grosse 
t  den  Werth 

dann  ist  nach  der  vorstehenden  Aequivalenz: 

Aus 

l^B{Pm'  i-Qm'i) 
folgt  : 

(Pm+1+  Öm+Il>«+1  =-  6"»+l(Pm'+  ©m'i)'»+^  (Pm+1  +  Om+ll), 

(Pm+a +  011.4-2 1>'"+^  =  e'"+*(Pm'+öm't)"^«(Pm+a  +  e«+«l'), 

u.  s.  w. 

(P«-l+  Ö«-U>~-'  =  f«-HPm'  +  Om'l)»-MP«-l  +  ön-lO, 
{P«  +  f?iit>'»  =  en(P„^  +   Om'i)«  (Pn  +  Qnl); 

und  da  man  nun,   indem  wir  jetzt  annehmen  wollen,    dass 

P^Qi 
nicht  verschwinde,  nach  früher  bewiesenen  Sätzen  offenbar 

(Pn.'  +  Qm'O^+HPm+l  +  Q>»+ll)  ^  (A»+  Qi)  (Pm+l'  +  Qm+l'O, 
(Pm'  +  Qm't)"H-«(Pm+2  +  <?m+2f)  ^  (P+Qt)  (Pm^t' -t- Qm^-t' t) , 

u.   s.  VC 

(Pm'  +  Qm'i)"-^  (P«-l  +  Ö«-l»)  ^  (P+  QO  (P«-l'  +  Ö«-l'«). 
(Pm'   ^  Qm't)»  (P«  +  Qni)  ^  (P+Öt)(Po'+Ö»'») 


mii  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    475 

etzen   kann,    so   ist  nach   dem   Obigen    und  'früher    bewiesenen 
Sätzen  von  den  Aequivalenzen,  nie  man  sogleich  übersieht: 

^  +  öt  +  (Pm  +  ©mt)2«'  +  (P«,+l  +  en,+ll)2'»+^  +  .... 

....  +(Pn-l  +  Ö«-U)l"-*  +  {Pn+  Qni)l^ 
^  (P+  e*)l  l~£'»+«"'+»(P,„+l'+  Qm+l'lH«"*+*(/^«H-a'+Öm+2'f)+...| 

er  Modulus  der  Grosse 

-  «•"  +  fi'"+^  (Pm+l'  +  öm+l'  1)  +  «»"+*  (Pm+a'  +  Oin+2'  l)  +  •  •  •  • 

. . . .  +  £»-^  (Pn_i'  +  ön-l'  t)  +  £"(P«'  +  ©«'O 

ii  Sl\    so  ist,   weil  /2  der  Modulus  von  P+Qi  ist,   SIR  nach 
12.  J.  der  Modulus  des  Products 


r-m+l  1-Vm+l  Vt*  ^   V'^^w+a  -rVin+a  i;-1-«.-i 


Iso  nach  dem  Obigen  auch  von 

.  . . .  +(P„-i  +  Qn-ll)2«-^  +  (P«  +  ö„«>«, 

1er  von 

....  +  An-i(p  +  gi  +  z)+An' 
ezeichnen   wir  die  Moduli   von 

;„+i'  +  Q,„+i'  t ,     Pm+2'  +  QnH^a' « - .  •  •  P«-i'  +  Ö«-i' «.     P«'  +  0«'« 
spective  durch 

(hn+ly     ilm^^9      f«m+35  «•..  f*n— 1>      f*n; 

I  sind  unter  der  Voraussetzung,  dass  wir  s<1  annehmen,  was 
jrstattet  ist,    nach  §.  12.  1.  die  Moduli  von 

....  6»-l  (P„.i'  +  ö„.l'  1-)  ,      €«  (Pn'  +  Qn'  i) 

spective 

id  nach  §.  15.  ist  also: 


476  Grüner t:  Allgemeine  Theorie  der  Wurstein  der  Aequieaiemun, 
oder 

Ä"^  1— €"»(1  — gfim+l  — «*fim+a— ....  — «""-~f*«), 

woraus  man  siebt,  dass  für  der  Null  sehr  nahe  kommende  i 
jedenfalls 

also,   weil,  da  P+Qi  nicht  verschwindet,   auch 

nicht  verschwindet, 

SIR  <,R, 
d.  h.  der  Modulus  von 

kleiner  als  der  Modulus  von 

^o(P  +  9»)»+^i(p  +  ^Ö"-*  +   ...  +  ^n-iCp  +  ^O  +  il. 

ist.  Ist  nun  /2'  der  kleinste  Werth  des  Modulus  12,  so  i^'nrde 
man,  wenn  nicht  /2'=0  wäre,  hiernach  z  immer  so  bestimineD 
können,  dass  der  entsprechende  Modulus  SIR'  kleiner  als  /Z' 
wäre,  welches  ungereimt  ist,  da  SIR'  auch  ein  Werth  des  Mo- 
dulus R  ist,  der  kleinste  Werth  des  Modulus  R  aber  eben  K 
sein  soll.  Die  Voraussetzung,  dass  der  kleinste  Werth  des  Modu- 
lus R  nicht  verschwände,  ist  also  falsch,  und  der  kleinste  Werth 
des  Modulus  R  verschwindet  folglich  oder  ist  der  Null  gleich. 

Wir  haben  hierbei  vorausgesetzt,  dass  P+Qi  und  also  auch 

nicht  verschwinde;  verschwände  aber  P-i-Qi  und  also  auch  Rf 
60  würde  ja  dies  eben  nichts  Anderes  heissen,  als  dass  der 
kleinste  Werth  des  Modulus  R  verschwindet,  da  der  kleinste 
Werth  dieses  Modulus  nur  Null  sein  kann. 

Nach  dem  Obigen  ist  R  der  Modulus  von 

und  sind  nun  p\  g'  die  endlichen  völlig  bestimmten  Werthe 
von  p,  q,  welchen  der  kleinste  Werth  /2'  von  R  entspricht,  so 
ist,   wenn  wir 


mit  bwanäerer  Rücksicht  auf  di€  Theorie  der  Gieichungen,   477 
4setzen : 

4^80,    weil  nach  dem  Bewiesenen   R' =^Q  ist: 

P'a  +  e«  =  0, 

folglich   P'  =  0,    Ö'  =  0,    und  daher: 

#>'  +  07  =  0, 
«Iflo: 

Hieraus  ergiebt  sich  nun  das  Folgende: 
Wenn,   indem 

Grossen  be/ieichnen,   welche  complexen  Grossen  äquivalent  sind, 
die  Grossen  Aq  und  An  aber  der  Null  nicht  äquivalent  sind, 

fix)  =  i^o^"  +  Ai  a:«-i  +  i^a^""*  +  •  •  •  •  +  An-^ix  +  /f„ 
gesetzt  wird;   so  giebt  es,  wenn  man  im  Allgemeinen 

a:  =  p  -f  ^i 

setzt,  fSr  p  und  q  immer  gewisse  endliche  völlig  bestimmte  Werthe, 
für  welche 

fXx)  =  AqX^  +«ili  a?«-»  +  i^aa:«-«  +  ....  +  An-ix  +  ^l«  :^  0 

oder 

ist. 

Wenn   die   Voraussetzung,  dass  Aq  und   An  der  Null   nicht 
äquivalent  sind,  nicht  erfüllt  ist,  so  könnten  die  Grössen 

Aq  ,     Ai ,     A^, ,  . . . .  An-^\  9     An 

säramtlich  der  NuU  äquivalent  sein ;  dann  wäre  offenbar  für  jeden 
Werth  p  +  qi  von  x  die  Function  f(x)  :i=:f  0. 

Ueberhaupt  wird  man  sich  die  Function  f(x)  immer  auf  die  Form 

fix)  =      -^0  a:«  +  Ai  x^-^  +  ....  +  Ag^i  a:n-*+i 

-{'iAgX^'-e  +  Ag^ix^-i"^  -i-  .,,,-{•  Ak^ix  +  Ah)x^''^ 


478  Orunert:  Aligemeine  Theorie  der  Wvrzeln  der  AeqniP&ieHzen, 

gebracht  denken  können,   so  dass 

Aq,    Alf ....  Ag~.i    und    Ah^i,    Ah-^2*  »**•  An 

sämmtlich  der  Null  äquivalent,   dagegen 

Ag    und    Ah 

der  Null  nicht  äquivalent  sind;  dann  kann  man  nach  dem  Vor 
hergehenden  p,  q  so  bestimmen,  dass  für 

die  Grösse 

AgX^"^  +  Agj^ix^-^-^  +....+  Ah-lX  +  Ah  ^:=:±  0 

ist,  wo  dann  für  denselben  Werth  von  x  nach  dem  Obigen  offen« 
bar  auch  /Xa:)  ^=^0  ist.  Fielen  hier  Ag  und  Ah  zusammen,  gäbe 
es  nämlich  nur  ein  der  Null  nicht  äquivalentes  Glied ,  so  würde 
man  j9  =  0^    ^  =  0  zu  setzen  haben. 

Aus  diesen  Betrachtungen   ergiebt  sich  nun   offenbar  der  fol- 
gende wichtige  ganz  allgemeine 

Iiebrsatz* 

Wenn  die  Grössen 

Aq ,      Ai  f      A^s      A^ ,  ., ..  An-^l  9      An 

sämmtlich  complexen  Grössen  äquivalent  sind,   und 

fix)  =  A^x^  +  Ax  a;«-i  +  A^x'^-^  +....+  ^„-ia:  + A 

gesetzt  wird;  so  giebt  es  für  p  und  q  immer  gewisse 
endliche  völlig  bestimmte  Werthe,  für  welche,  wenn  man 

a;  =  p  +  ^t 
setzt, 

fix)  =  fip  +  91-)  i=^  0 
oder 

ist. 

§.  17. 
Wenn  im  vorhergehenden  Satze  9=:0>  also  a;=:j9,  und  daher 


1 


mii  besonderer  RüchHcki  auf  die  Theorie  der  GieichungeH,    481 

Bo    ist  natOrlich: 

Af^p*  +  2^1  p*-i + iJjP"-* + .... + An-^\p + A  =  0. 


::  J.  18. 

firklftnuiff.    Wenn 
isty  60  heisst  p-\'gi  eine  Wurzel  der  Aequivalenz 


§.  19. 
Wenn  in  der  Function 

die  CoefBcienten 

sämmtlich  complexen  Grossen  äquivalent  sind,    so  giebt  es  nach 
§•  16.   immer  eine  Wurzel  Pi+gii  der  Aequivalenz  j/lx)^^0  oder 

Aoa^+Aia^-^  +  A^a!^-^+....  +  An^ia!+An>:^0. 

l¥eil  nun 

Oi=i:^o(Pi  +  yit)"+^i(ft+yiO— H^a(Pl+9lt)"-H.... 
ist,  so  ist  nach  Nr.  XX VI.  $.11.»   wenn  man  subtrahirt: 

+  Ai  lar«-»— (ft  +yit)'^M 

u.  s.  w. 

+  An-^iia:  —  (pi  +  9^1 «) ). 
Nun  ist  aber: 


480  Grüner t:  AUpemetne  Theorie  der  Wur%ein  der  AeguivaiemeH, 
folglich : 

oder: 

(«0+  /5ot)p«  +  («i  +  ßi  t)p»-»  +  («a  +  Äi)p»-*+ .... 

....  +  (a«-i  +  ßn-it)p  +  (««  +  ßni)  =  0. 
Wenn 

-^0  =  **o  +  ^0^» 

^  =  ««  +  Ä«» 

U.   8.    W. 
-4«-i  =  «n-l  +  ßn^l  i, 
An=S€Cn  +  ßni 

Ifit,   80  i8t: 

^oP"+  4 P""*  +  ^«P»-*  +  .    . .  +  A-ip  +  i4n  =  0. 

Dies  föhrt  auf  folgenden 


Wenn 


IielirsatB. 

-^0  i=:l  «0  +  ßoi» 
Ai:^^ai+ßit, 

u.  8.  w. 

und 

ist,  60  ist: 

....  +  («n-l  +  ßn-\i)p  +  (a«  +  /3ii«)  =  0- 

Ist 

U.    8.    W. 
An-l  =  «n-l  +  Ä-ll, 

^n  =  a«  +  /3nt; 


mii  besonderer  Rücheicki  auf  die  Theorie  der  Gleichungen,    481 

00    ist   natürlich: 

Af^p^  +  A^  p«-i + ^tP"-* + .... + ^n-ip  +  A  =  0. 


:.  J.  18. 
firklftnuiff.    Wenn 

ist»  60  heisst  p-\'qi  eine  Wurzel  der  Aequivalenz 


§.  19. 

Wenn  In  der  Function 

f{x)  ^  AqX^-\'  AiX^-'^'\'  A^a^-^  •\' ....+  Anr-ix^r^n 
die  CoefBcienten 

A^f     Alf     A^f  »»••  -»n— 1>     An 

sämmtiich  complexen  Grossen  äquivalent  sind,    so  giebt  es  nach 
{•  16.  immer  eine  Wurzel  Pi+gii  der  Aequivalenz  /(a7):^0  oder 

Weil  nun 

fix)  =  Aoai^+Aiai^^+A^a^-^+....+An-^ia:+An, 

0^^o(Pi  +  yi«)»+^i(Pi  +  9iO''-^  +  ^(Pi+9it')"-*+.... 

....  +  An-'i(pi+gii)  +  An 

ist,  so  ist  nach  Nr.  XXVI.  $.11.»  wenn  man  subtrahirt: 

nx)^     Ao{a:n-(pi  +  giiy] 

+  Ai{a^-^—(pi+gii)^^] 

u«  s.  w. 

+  An-^i{a!  —  (pi  +  gi  t)  ]. 
^un   ist  aber: 


1 

484  Grüne ri:  Ailgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Aeguivaienun, 

fix) 

und  weil  nun  fn(^)  eine  ganze  rationale  algebraische  Fonetion  des 
Oten  Grades  von  x  ist,  deren  höchstes  Glied  den  Coefficienten 
A(^  hat,   so  ist  offenbar: 

also  nach  dem  Vorhergehenden : 

fix)  ^=^  Ao(a:-pi-'qit)(x-p2-g^i)(a!'-^9—q9i)....(x-pn-qn(). 

Wenn  man  in  dieser  Aequivalenz  für  x  eine  beliebige  noter 
den  Grössen 

Pi+ft»»   />«  +  w»   Pz  +  qz^f'-Pu  +  gnt; 

welche  wir  durch  Pjg-i-qigi  bezeichnen  wollen,  setzt»  so  erhSlt 
man  offenbar 

A/»*  +  9k*')  ^  0. 

woraus  sich  ergiebt,  dass  p^-k-q^i  eine  Wurzel  der  Aequivalenz 

ist;   und  da  dies  offenbar  von  jeder  der  Grössen 

P\  +  qi^9    Pa  +  ^'a^    Pz'\rqzif''Pn-\-qni 

gilt,  so  erhellet,  dass  jede  dieser  Grössen  eine  Wurzel  der 
Aequivalenz 

ist. 

Wir  wollen  uns  jetzt  «och  die  Frage  vorlegen,  ob  die  Aequi- 
valenz 

f{x)^Q 

ausser  den  Wurzeln 

Pi-\-q\^y  jPa  +  w»  Ps  +  fl's«»  ••••;>» +y«« 

noch  andere  Wurzeln  haben  kann. 
Weil  die  Aequivalenz 

f(x)  ^=:^  Ao (x -pi  —  qii) (x—p^—qii) (ar— Pa  —  qzt)>...(X'-pM-qJ) 
für  jedes  x  gilt,  so  ist,    wenn  wir  p-t-qi  für  x  setzen: 

f(p  +  qi)  ::i=i  ^ol/>— A  +  (q'-qi)i) 

x\p—PB  +  (q-qz)i\ 

u.    s.     w. 

X  {P'-Pn  +  (q  —  qn)ll 


mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    4^ 
Sollte  Dun  p-\'qi  eine  Wurzel  der  Aeqaivalenz 

und   folglich 

sein ,  80  wäre  wegen  des  Obigen  nach  Nr.  XXVI.  §.  8.  auch  : 

Xf/>— Pa  +  (7  — 9^2)«! 

X{p—p3^^(g—qz)i]}    ^^    0> 
u.    s.    w. 

Xlp—pn  +  ig—gfOi] 
aod  es  würde  also  das  Product 

i  A}\p-Pi+(q-gi)t\ 

\  x\p-p%  +  (g—gi)i\ 

X\p—P3  +  (g—g3)i] 

-U.    8.   W. 

x{p  —pn  +  (g—gn)i\ 

durch  1  -|-i*  ohne  Rest  theilbar  sein^  was,  wie  aus  Nr.  XXVI. 
{•  19.  leicht  geschlossen  wird,  nur  dann  möglich  ist,  wenn  min- 
destens ein  Factor  dieses  Products  durch  1-f  i^  ohne  Rest  theil- 
bar ist;  wenn  nun  Aq  nicht  durch  l  +  i^  ohne  Rest  theilbar  oder 
nicht  Ao^^Of  oder  wenn  Ao^r^O  ist,  so  muss  nothweodig  min- 
destens ein  Factor  des  Products 

\p—Pi  +  (g'-gi)i\ 
x{p-Pt  +  (g-g^)i\ 

xiP'-ps  +  ig—g^)^^ 

u.    s.    w. 

X{p—pn  +  ig—gn)i] 

darch  l-f-t**  ohne  Rest  theilbar  sein;  und  ist  nun  etwa 

p—pk  +  (g—gk)i 

dieser  durch    1-fi*  ohne  Rest   theilbare  Factor,    so    kann   dies 
.  offenbar  nur  dann  der  Fall  sein,   wenn 

r  p^pk-i-(g'-gk)i  =  0    oder    p  ■{- qi  =  pk  +  gki 

f.  ist,  80  dass  also  die  Wurzel  p  +  gi  der  Aequivalenz 

Theil  XLV.  33 


486  Gruneri:  Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Ae^italemeM, 
nothf^'endig  unter  den  Wurzeln 

dieser  Aequivalenz  vorkommen  'oder  sich  unter  denselben  finden 
muss.    Also  kann  die  Aequivalenz 

wenn  nur  nicht  ^q  ^^  ^  oder  wenn  A^i^i^O  ist,  ausser 
den  n   oben   durch 

Pi  +  9ii>    P2  +  9ii*    Pz  +  9z^p  ••••  P*^  +  7«* 
bezeichneten  Wurzeln,  keine  anderen  Wurzeln  haben. 

§.  20. 
Wir  wollen  jetzt  annehmen  ^    dass  alle  in  der  Aequivalenz 

vorkommende  Coefficienten  A^y,  Ai,  A2,  ...>  An—if  An  von  t  unab- 
hängige, insofern  also  constante  Grössen  seien,  und  dass  p+qi, 
wo  q  eine  nicht  verschwindende  Grosse  bezeichnen  soll,  eine 
Wurzel  dieser  Aequivalenz  sei,  so  dass  also 

ist. 

Nach   dem  in  §.  9.  bewiesenen  Satze  ist  es   verstattet,  mit 
Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  aufeinander  zu  setzen: 

{p±qiy     :^Po±qoif 

ip±gi)'"-^  ^^  Pi±giif 
(p±qiy-^^=^P2±Wf 

u.     s.     w. 

(P  ±  ^0*       ^^^  Pn-^  ±  qn^2t, 

(p±gty    :^ /i«-i  ±  y«-.ii  *). 

Weil  nun  nach  der  Voraussetzung 

Mp+9i)''+Mp+9^y'^  +  MpHi)'''H>''+An^i(p+qi)+Jn^0 

ist,  so  ist  nach  bekannten  Sätzen  auch: 

^o(Po  +  9oi)  +  ^l(Pl-{'git)+^2(P^  +  92^)+  *'" 

. . . .  +  An^l  (pu-l  +  qn-^li)  +  A  iri  0, 

*)  Welches  Letztere  hier  nur  der  Symmetrie  wegen  geschieht 


mii  besonderer  Rüchsicät  auf  die  Theorie  der  Gieicäutigen.    487 
also: 

AqPo  +  AiPi  +  A^Pi  +  ....  +  An-^ipn-l  +  An   i 

und  folglich,    weil  die  Grossen 

AqPo  +  AiPi  +  A2P2  +  ....  +  An-ipu^-l  +  An, 

Aoqo ~i-  Aiqi+  A^g^  +  ••••  +  An-igwi 

nach  der  Voraussetzung  von  i  unabhSngig  sind,  nach  einem  be- 
kannten, schon  oft  angewandten  Satze: 

AftPo  +  AiPi  +  A2P2  +  ••-  +  An-iPn-^l  +  An   . 
—  (^0^0  +  4yi  +  ^2^«  +  ....  +  ^n-1  qn-i)i 

oder: 

Weil  nun  aber  nach  dem  Obigen: 

(/> — ^i)«-*  ::=^pi-gi  i , 

(;?  —  91)«-«  :^P2'-  q^i, 
u.    s.     w. 

{p  —  ^l)*       i=ri  pn-2  —  ^n-a  » , 
(/>  —  qi)^      '^:^  pn-^i  —  qn^i  i 

ist,  so  ist  nach  bekannten  Sätzen  auch 

Ao(p-qiY  +  Aiip^-qi)*'^  +  i<a(/?  — 9^*)--*  +  .-• 

....  +  An^i (p'-qi)  +  ilfi  ^i=^  0, 

also  p  —  qi  eine  Wurzel  der  Aequivalenz 

AoX*  +  Aiaf*''^  +  A^a^-^  +  ....  +  An^ia;+An:^0, 

woraus  sich  der  folgende  Satz  ergiebt: 

Wenn  p  +  qi,   wo   q  nicht  verschwindet,  eine  Wur- 
zel der  Aequivalenz 

AoX^'+AiX'^'^^A^a^^  +  ....  +  An^iX  +  An  i=^  0, 

in  welcher. alle  Coefficienten  von  i  unabhängige  Grös- 
sen sind,  ist;  so  ist  Immer  auch  p — qi  eine  Wurzel 
dieser  Aequivalenz. 


488  Grüner t:  Allgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  AeguivaleHxen, 


§.  21. 
Wenn  wir  wieder  annehmen,  dass  die  CoefBcienten 

•"0>      -"1*      ^%9  ••••  -«fi— 1>      An 

sämmtlich  von  i  ganz  unabhängige  Grossen  sind,   und  unter  die- 
ser Voraussetzung 

setzen,  so  ist  nach  §.  19.: 

Wenn  nun  p-^-qi,  wo  ^  nicht  versehwindety  eine  Wurzel  der 
Aequivaienz 

ist  9  so  ist  nach  dem  vorhergehenden  Paragraphen   auch  p— f> 

eine  Wurzel  dieser  Aequivaienz ,  und  es  müssen  also  nach  §.19. 

die  Wurzeln 

p  +  qi    und    p  —  gi 

nothwendig  unter  den  Wurzeln 

r 

also  unter  den  Factoren 

x—pi  —  qiiy    X — p^—q%iy    x^p^^q^i» ....  x — pn—gni 
nothwendig  die  Factoren 

X — p  —  qi    und    x-^p-i-qi 
vorkommen ;    und  weil  nun  nach  XXVI.  §.  31.  3. 

(x—p—  qi)  (x-^p  +  qi)  '^r:L  (a?— />)*+ 9*  isi!  a:«  —  2px  +/)«  +  9* 
ist,  so  kann  man  nach  bekannten  Sätzen  in  der  Aequivaienz 

f{x)  ^=^  ^o(x—'Pi  —  qii)(x—p^---q^i)(X'--p^'-q^i)....(X'—pn-qni 

für  das  auf  der  rechten  Seite  des  Aequivalenz-Zeichens  jedenfalii 
vorkommende  Product 

(X'-p'-qi)(x-'pi-qi) 
die  Grüsse 

x^  —  2px  +  p*  +  ^* 

setzen. 


mit  besonderer  Rüchsicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen,    489 


§.  22. 

Wenn  eine  Gleichung 

i^o^  +  ^\  ^"""*  +  ^a^;»-*  +  ....  +  Aft^xx  +  i^n  =  0 

eine  sogenannte  imaginäre  Wurzel  a-f  6t\  wo  jetzt  i  das  be- 
kannte V  —  1  bezeichnen  soll,  hat>  so  heisst  dies  bekanntlich 
nichts^ weiter 9  als  dass,  wenn  man  a-^-bi  fOr  x  setzt,  und  dabei 
nach  den  gewöhnlichen  Regeln  der  Rechnung  mit  den  sogenann- 
ten imaginären  Grossen  rechnet,  sich  die  Gleichung  erfüllt  zeigt, 
so  dass 

i*o(fl  +  60"  +  ^i(«+*0*'-^  +  ^2(«+*0"-*+...-+^«-i(ö+60+^»=0 

wird,  indem  alle  Glieder  auf  der  linken  Seite  des  Gleichheits- 
zeichens sich  gegenseitig  aufheben.  Entwickelt  man  nun  alle 
Potenzen  von  a-^-bi  nach  dem  Binomischen  Lehrsatze,  so  wird 
man  die  vorstehende  Gleichung  unter  der  Form 

also  unter  der  Form 

=  0 

(  =  0, 

jenachdem  n  eine  gerade  oder  eine  ungerade  Zahl  ist»  folglich 
respective  unter  der  Form  "    ^ 


oder 


=  0 


oder 


+{i«i+iJ8(»'»)'+«5(*'*)*+....+il»-i(i«)«  M 


=  0 

n-l 


darstellen  können.  Weil  nun  aber,  wenn  man  nach  den  gewöhn- 
lichen Regeln  der  Rechnung  mit  den  sogenannten  imaginären  Grös- 
sen rechnet,  t®=: — 1  gesetzt  wird,  so  werden  diese  Gleichungen: 


'»? 


490  G runer t:  Ailgemeine  Theorie  der  Wurzeln  der  Aeguimlen%iH, 


n— 2 


oder 


welches  offenbar  nur  dann  der  Fall  sein  kann,  wenn  für  sich 

n 


fi-9 


oder 


i^i-iJa+i^ö--  +itn-i(-l)  *    =0 


i^o— -^+^«4— ••••+ilfci-i(~l)  *    =0, 

ist.     Die  Grossen  auf  den  linken  Seiten  der  Gleichheitszeichen 
sind  die  Werthe,   welche 


oder 


ilo+i^(»*)'+ i«4(*^)^+. ...+ ii«-i(i*) 


••2^  2 


fl-i 

erhalten,  wenn  man  i^  =  — 1  setzt,  und  da  diese  Werthe  för 
^.2 --. —  i  nsich  dem  Vorhergehenden  verschwinden,  so  sind  nach 
einem  bekannten  Elementarsatze  die  vorhergehenden  ganzen  ratio- 
nalen algebraischen  Functionen  von  i*  durch  i^- — ( — l)=:l+i' 
ohne  Rest  theiibar.  Bezeichnen  also  q>(P)  undvi/;(t^)  gewisse 
ganze  rationale  algebraische  Functionen  von  i^,  so  kann  man 

n 
n-a 


mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Theorie  der  Gleichungen.    491 
oder 

Üi4:il3»*+il5i^  +  ....+  =i/;(i2).(l+t2); 

also : 

=  g)(i2):  (l  + 12)  +  I(;(i2) .  (1  + 1*) .  i 

folglich   nach   dem  Obigen: 

Aq  {a  +  60« + ^1  (a  +  6i)»-<  +  ^2  (a + ^«)«-*  +....+  ^n-i  («  +  6i)  +  An 

=  l9(i*)+t(;(t2).i!(l+«'^) 
setzen^  so  dass  also 

A(a  +  6i)«  +  ^i(a  +  60»-<  +  ^2(«+60"-^+....+^n-i(a+60  +  J„^ 
durch  l-f^*^  ohne  Rest  theilbar^   oder 

^0  («+6*')"  +  ^1  (fl+^0"-H  ^a(fl+ÄO"-^ +  ....  + ^«-1  («+6iH  ^n  ^ 
ist. 

Wenn    also    a-^bi    eine    sogenannte    imaginäre    Wurzel    der 
Gleichung 

ist 4   so  heisst  dies  hiernach  nichts  weiter,    als  dass  die  Grösse 

^o(«+^0»+^i(«+^*)'-*  +  ^2(o+^0"-^+. . . .  +  ^«-i(a+60  +  An 

durch  \-yi^  ohne  Rest  theilbar,  oder  dass 

Ao{a-{-bi)^^-Aaa^-bi)*-^^-A^{a^-bi)n'^^-.,.,-{^An-i{a-\rbi)-{'An^Q 

ist. 

Wir  wollen  dies  durch   ein  Paar  Beispiele  erläutern. 
Bekanntlich  ist 

a;»+ 1  =  {x  +  \)  {x'^—x  +  1), 

so  dass  man  die  Wurzeln  der  Gleichung  x^-{-\  r=:Q   durch   Auf- 
lösung der  beiden  Gleichungen: 


Uter arischer  Bericht  CLXXVIL  1 


Literarischer  Bericht 


CLXXVIL 


Geschichte   der  Mathematik  und  Physik. 

Observations  et  Th^ories  des  Anciens  sur  les  at- 
tractions  et  les  repulsions  magnetiques  et  sur  las  at- 
tractions  ^lectriques.  Par  Th.  Henri  Martin,  Doyen 
de  la  Facultö  des  iettres  de  Rennes.  Rome.  Imprime- 
rie  des  sciences  mathematiques  et  physiques.  18H5.  4^. 
(Extrait  des  Atti  delT  Accademia  Pontificia  de  Nuovi 
Lincei.  Tome  XYIIl,  S^ances  du  3.  D^cembre  1864  et 
du  8.  Jan  vi  er  1865.) 

Der  Inhalt  und  Zweck  dieser  mit  sehr  grosser  Gelehrsamkeit 
und  ungemein  ausgebreiteter  Literaturkenntniss  verfassten  Schrift 
ergiebt  sich  aus  ihrem  Titel  von  selbst;  wir  haben  dieselbe  mit 
grossem  Interesse  gelesen ,  halten  dieselbe  für  wichtig  für  die 
Geschichte  der  Physik,  und  empfehlen  sie  unseren  Lesern  drin- 
gend zur  Beachtung,    Dieselbe  besteht  aus  folgenden  Haupttheilen: 

I»  ObserTations  et  Tbeories  des  Anciens  sur  les 
attraetions   et   les   repulsions  magnetiques«    Auf  p.   1. 

sagt  der  Herr  Verfasser:  „Nous  allons  passer  en  revue  d*abord 
les  observations  des  anciens,  puis  leurs  thöories,  sur  les  pheno- 
mdnes  magnetiques,  et  nous  jetterons,  en  terminant,  un  coup 
d'oeil  rapide  sur  l'histoire  nlt^rieure  de  cette  partie  de  la  physi- 
que'';  daher:  V^  Partie.  Observations  des  anciens  sur  les  phe* 
nomenes  magnetiques.  p.  2.  —  11^  Partie.  Theories  des  An- 
ciens sur  le  magnetisme.  p.  16. —  111^  Partie.  Apercu  de  Thistoire 
du  Magnätisme  au  Moyen-Age  et  depuis  la  Renaissance,  p.  27. 

II»  Observations  et  Tbeories  des  Anciens  sur  les 
^ttraetions  eleetriqnes«  Auf  p.  35.  sagt  der  Herr  Verfasser: 
,,Dans  cette  Etüde,  comme  dans  la  präc^dente,  nous  rapporterons 

'rhl.XLY.Hft.1.  1 


2 


lilerarlscher  Bericht  CUXVII. 


d'abnrd  leurs  observationtt,  puiti  leurs  tbeories;  maiB  t 
liniis  et  ces  th<^orie8    soni  trnp  peu  de  chose,    pour   qa'ä  ce  p 
poB  nounpiiissionannnvenalilenienl  preeenter  un  apergu  de  l'b 
ulterieure  des  notions  sur  releclricHe.     Ainsi   celte    Etüde  i 
qufl  deox  parties,  au  üeu  d'en  avüir  lro!s,  comrae  In  pr^cc 
oämlicb:   V^  Partie.     ObservatioriR  des   Aiiciens    sur  les 
tions  ^lectriquüB.    p.  36.  —  II'  Partie.    Thäories    des    AbJ 
»m  lea  attraclioiis  älectriques.  p.  31). 


Arithmetik. 

L.    A.  Sohncke's    Sammlung   von    Aufgabe 
Differential-  und    Integralrcc  bnuiig.      Dritte    verbM 
serte  und  durch  viele  ZusJitzevermebrte  Au  IIa 
ausgegeben    vou    Dr,  Eduard   Heia,   Professor  i 
tbematilc  und  Astronomie  an  der  Künigl.  Akad 
Münster.     Erster  Theil.     Aufgaben    aus    der    Differ«*-^ 
tialrechnung.     Zweiter    Tbeil.     Aufgabe 
gralrechnung.     Halle.     H.W.Schmidt. 

Diese    Aufgabensanindting    ist   aus  ibren    früheren  AuagibM 
hinreichend  bekannt,  und  bat   sich  viele  Freunde  erworben, 
ja  schon    die    wiederholten    Auflagen    am    besten    beweisen,  b 
kann   daher   hier   nur  darauf  ankommen,  im  Allgemeinen  danul»' 
gen,   was  der   neue  Herr  Herausgeber  für  dieses    Huch  gdcifW' 
bat,    und  ob  dasselbe,  tvje  der  Titel  angiebt. 
besserte  und  sehr  vermehrte  Auflage  ist.     Dass   dies  aber  trilt 
lieh  der  Fall  ist,  davon  haben  wir  ans  vollkommen  uberzeDgl.  ul 
der  Herr  Herausgeber  hat    nach  unserer  Meinung  Alles  gelelilft 
was  geleistet  werden  konnte,  ohne  die  ursprüngliche  Gestalt  ' 
Buchs   ganz  zu   verandern    und    seinen   Umfang   zu   sehr  in  ' 
griissern,  ivas  gewiss  mit  vielen  ('ebelsländeri  verbunden  ge« 
wäre.     Es  ist  bekannt,  dass  die   früheren   Ausgaben  durch  i 
grosse    Menge    von    Druck-   und    Recbnungsfeblern  und  ändert* 
Versehen  entstellt  waren,  welche  von  dem  neuen  Herrn  Heni» 
geber  mit  grossem  Fleiss  und  grosser  Sorgfalt  verbessert  ivotta' 
sind,  wodurch  jedenfalls  die  neue  Ausgabe  einen  grossen 
vor  deo  älteren  erhalten  hat.     Die  Anzahl  der  Beispiele  ist,  t.& 
bei  den  Maximis   und  Minimis,  vermehrt,  ja  es  sind   gani 
Abschnitte,   wie    der  über   die   hyperbolischen  FunclioneD, 
deren  Differentialquotienlen,  ihre  Anwendung 
er    Keltenlinie  u.  dergl.,   aufgenommen    worden;  und  aqj 
srbpsserIcD  Bflzeichnungsweise,  z.  R.  der  Anwending  i 


uterarischer  Bericht  CLXXVII.  3 

meDzeichens  Z  zur  vereinfachten  and  abgekürzten  Bezeichnung 
der  Summen  von  Reihen  u.  dergh,  bat  der  Herr  Herausgeber  mit 
Recht  in  mehrfacher  Beziehung  besondere  Aufmerksamkeit  ge- 
widmet, was  gewiss  neben  den  übrigen  Vorzügen  dieser  neuen 
Ausgabe  gleichfalls  besondere  Anerkennung  verdient.  Wir  wie* 
derholen  daher  aus  vollkommenster  Ueberzeugung  unser  schon 
oben  ausgesprochenes  Urtheily  dass  diese  neue  Ausgabe  sehr 
viele  Vorzüge  vor  den  älteren  besitzt,  und  dass  nur  erst  in  dieser 
neuen  Ausgabe  das  Buch  eine  recht  brauchbare  Aufgabensamm- 
lung für  die  Differential-  und  Integralrechnung  geworden  ist.  Dass 
aber  der  Herr  Herausgeber  sich  dieser  mühevollen  Arbeit  mit  so 
vieler  Liebe,  so  vielem  Fleisse  und  so  vieler  Sachkenntniss  un- 
terzogen hat,  verdient  gewFss  den  aufrichtigsten  Dank  aller  Derer^ 
welche  sich  dieses  Buches  bei  ihrem  Unterrichte  bedient  haben, 
oder  noch  zu  bedienen  beabsichtigen. 


Geometrie. 

Geometrische  Aufgaben  für  höhere  Lehranstalten. 
Nach  den  Geometrical  Problems  von  Miles  Bland  be- 
arbeitet von  Dr.  August  Wiegand.  Zweite  Auflage. 
Mit  434  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Braunschweig. 
C.   A.  Schwetschke  und  Sohn  (M.  Bruhn).     1865.    S». 

Diese  jedenfalls  vor  vielen  anderen  sehr  empfehlenswerthe 
Sammlung  geometrischer  Aufgaben  ist  in  ihrer  ersten  Auflage 
früher  von  uns  angezeigt  worden,  und  diese  neue  Auflage  liefert 
den  Beweis,  wie  gerechtfertigt  unsere  frühere  Empfehlung  war. 
Die  neue  Auflage  ist  nicht  mehr,  wie  die  erste,  eine  strenge  Ueber- 
8etzung  des  englischen  Originals,  sondern  mehr  eine  Bearbeitung 
desselben  durch  den  deutschen  Herrn  Herausgeber,  wodurch  das 
Buch  allerdings  wesentlich  gewonnen  zu  'haben  scheint,  besonders 
auch  dadurch,  dass  die  Figuren,  deren  Anzahl  sehr  gross  ist, 
nicht  mehr  in  lithographirten  Tafeln  dem  Buche  angehängt,  son- 
dern in  sehr  schönen  und  sauberen  Holzschnitten  dem  Texte  ein- 
gedruckt worden  sind,  was  jedenfalls  den  Gebrauch  sehr  erleich- 
tert und  bequemer  macht.  Die  Aufgaben  schreiten  in  jedem  Ab* 
schnitte  vom  Leichteren  zum  Schwereren  fort,  scheinen  uns 
überall  instructiv  und  zur  Weckung  und  Stärkung  des  Combina- 
tionsvermügens  und  des  Crfindungsgeistes  der  Schüler  geeignet 
scu  sein,  und  mehrfach  auf  Neuheit  Anspruch  machen  zu  dürfen, 
Bo  dass  wir  diese  neue  Auflage  der  Beachtung  aller  Lehrer  glau- 
ben  aus    Ueberzeugung  empfehlen   zu   k«innen.    Der  Hauptinhalt 


UtertfiTfAtT  Berten  CLXXTI/. 

t  rolgenile:  Erster  Abschnitt  Gerade  1 
küL  ZiT«iler  Abscbailt.  Geraile  Lini«u  und  Kreise. 
Abschnitt.  Gerade  Linien  anil  Dreiecke.  Vierter  Abschnllt 
Par«lleio|>rainroe  und  Poly»one.  FünTter  Abschnitt  Kaff* 
bell  über  Transversalen.  Sechster  Abscbnitt.  Cotistndlor 
Ton  Figuren  lur  sich  soivobl,  aU  in  und  um  andere.  Siebtittr 
Abschnitt.  EUgenschaAen  der  in  und  um  einen  Kreis  he»cb>tfr> 
beoen  Preiecte.  Achter  Abschnitt.  Quadrate  und 
ecke  von  Linien  in  Verbindun";  mit  Kreisen.  Neunter  All- 
schnitt.     CoDstroction  von  Dreiecken. 

Die  äussere  Ausstattung  lässt  nichts  xu  niinschen  übrig. 


I 


Eiateitung  in  eine  gennietriscfae  Theorie  der  »hl- 
■  en  Cntven  tod  Dr.  Loilntg  Crenions,  Professor  dir 
hükerea  Geometrie  kd  der  Universität  zu  BalofiSt 
Nach  einer  für  die  detitsche  Ausgabe  cam  Verfas*4( 
lum  Teil  amgearbeilete»  Redaclion  ins  Dealiel« 
Sbertr«^*«  T«n  Maximitian  Cqrtae,  ordentlich«« 
r«i  Kn  KSnigl.  GvnnaBiam  in  Tbora.  Mit  eioer  lUh 
graphierlen  Tafel.  Creifs^ald.  IHlS.  C.A.K«ch'«Vl 
lagshachhaBdluD^.     Tb.  Kunike.    & 

Die  tref  lieh«  „Introdotioae  ad  «DaTeoria  KeonsIrV 
d«ll«  curve  iiiane.  Pel  Dr.  Lni^i 
di  GevmetriatSnperiore  neiia  R-Cnivvrsita  di  BeUlli 
Batos>na,  Tipi  Gambvriai  *  Parneei^iaDi.  IS62.  4*.*i 
im  Literar.  Be«-  Ar.  CLV.  S.  i.  ausführlich  T«n  ans  augillj 
uad  a«ch  der  lohah  d«rt  ««Hstiadi;  angegeben  viorde*.  I 
«www  winasKa  Emp(«Uvag  dieses  aasc;eieichneten,  ei— irt 
t«a  B«4«tbisM  ifchtffwJf  Werkes  verbanden  wv  iamaki 
$le«cti  ^  A«f  fordttivi^.  4a«ch  dessea  (.'ebertraping  in'»  ^^ 

der   deatsehea    BatheMatieeheB    Literatw  eioe    Fi  iiiihiii^  I 
Thiril  «enl««   an  hassen,    and    der  jetit   leider    ^erslorbaw  T 
teger  d««  Archivs.   Herr  Tb.  Kunike.  war  anch   sa^leäA  | 
Mb-Iig,  de«  Verlag  dieser  rebersetsuug  la  dbejaebiaea.    ! 
!t«bas  «6  aaa.  Herrn  M.   CurHe.  Jeöt    Lehrer   -. 
h»  Tk«rn,  van  d«ai  wir  witssteo.  Jas»  er  ^boa  früher  U 
Malknalfaeba  Warb«  xa   s«iaer  eigenen  Belehrans  in's  I 
ObCRaatit  ba«e.  lar  Bearbettaog  der  faa  uns  t:e**4a* 
taigaui»    des    aastwz«ü-ha«(m    CrentDaaseb«« 
wtaaaa.     tüase-van  Ikrra  Prufessot  Ca»,  TrcBiaBsd 
Mb  Caaua.  h'raacesca  Brtwschi  in  Ha 
•«hiaas  bU  oaa  sdion  ««r  ««aagar  2ait  la.  m 


j  mtk  Läi  »1.   ^"^^^n 


lad  ansprecbeniler  .'iuaserer  Ausslaltung  erecliieneii,  und  wenn 
irir  bisher  absichtlich  eiue  Aozeige  von  derselben  in  unseren  Li- 
ktrariscben  Bericblen  nicht  lieferten,  so  hatte  dies  den  doppelteu 
Srnnd,  weil  wir  der  Meinung  waren,  dass  das  treffliche  Werlt 
MI8  unserer  oben  erwähnten  früheren  Anzeige  des  Originals  hin- 
reichend bekannt  sei,  und  weil  wir  wegen  unserer  eigenen  niehr- 
Enben  Bettieiligung  bei  der  Herausgabe  dieser  Ueberselzung  eine 
lofnrtige  Anzeige  derselben  nicht  für  ganz  passend  und  ange- 
lUasen  hielten.  Nachdem  nun  aber  seit  dem  Erscheinen  der 
filvbersetzung  des  Herrn  Curtze  schon  eine  geraume  Zeit  ver- 
lassen ist,  dürfen  wir  wohl  —  ura  auch  nicht  in  dem  Lichte  zu 
^«cheinen,  aU  wenn  sich  unser  uarnies  Interesse  an  dem  in  jeder 
lleziehunj;  ausgezeichneten  Werke  vermindert  hätte  —  uns  jetzt 
Urlauben,  unsere  Leser  auf  die  vorliegende  Uebersetzutig  recht 
lehr  aufmerlisani  zu  machen,  und  ihnen  dieselbe,  so  irie  von 
leuem  das  treffliche  Werk  selbst,  dringend  zur  Beachtung  eu 
Rftpfehlen.  Die  Uebersetzung  bat  sich  an  das  Original  niüglichst 
breng  angeschlossen,  und  giebt  dasselbe  vollständig  wieder, 
■inen  wesentlichen  Torzug  vor  dem  Original  hat  die  uebersetzung 
bcT  dadurch  erhallen,  dass  Herr  Cav.  Creniona  das  Werk  einer 
eiien  aufmerksamen  Durchsicht  zu  unterziehen,  und  dasselbe 
<lt  mehreren  ZusStzen  und  weiteren  Ausfuhrnngen.  S. 
$C — S.  2!)5.  zu  bereichern  die  Güte  gehabt  bat,  in  welcher  letz- 
*»en  Beziehung  wir  namentlich  auf  die  Anhänge:  I.  Üeher 
teometrische  Netze.  S.  965— S,  273.  II.  Ueber  Netze 
.«n  Kegelschnitten.  S.  274  —  S.  370.  III.  Ueber  Reihen 
,On  Kegelschnitten.  5.279  —  8.295.  als  besonders  interessant 
pd  wichtig,  aufmerksam  machen. 

I  Möge  denn  diese  Uebersetzung  das  schüne  und  lehrreiche 
Vferk  auch  in  unserem  Vatcriande  iu  den  weitesten  Kreisen 
ninier  mehr  bekannt  machen,  und  dazu  beitragen,  die  Aufmerk- 
iamkeit  deutscher IVIatheraatikcr  immer  mehr  auf  die  vielen  schunen 
ptoductionen  der  italienischen  mathematischen  Literatur,  an  deuen 
itbe  namentlich  jetzt  so  reich  ist,  aufmerksam  zu  machen  I 


Mechanik. 

ni    elementar!    di  Meccanica    ad  dso    dei    RR. 

mpilate    in    conformitä    del    Programma    Mi- 

con    figure    intercalate    nel    teste     dal    Uott. 

ngeln  Forti,    Professore  di   Algebra  e    di    Meccanica 

kl  R.  Liceo  di  Pisa.    Milano,  Presso  Giacomo  Gnocchi 

bditoro  libraio.     1865.     S«. 


w^ 


lUernrfaclier  ßertcAl  CLXXXIl. 

Aus  dem  Titel  des  vnrlicceiiileii  Bachs  unJ  e 
XU  demsdben  eeheii  wir  nnt  besonderer  tienugtlniung,  ilass 
den  Lycecn  des  Krmiirreiclis  Ilalieii  die  Mechanik  In  elemenlattr 
DaTätcllung  eine»  liesunderen  Tlieil  des  malliemattschen  Uiilw 
tichts  ausmacht,  und  dass  das  forliegende  Buch  eich  dem  Ql 
diesen  Untcrrichtsziveig  publicirlen  ministerieilcn  Programm  i 
schlieset  und  deniselbeti  entspricht.  Dass  die  elementare  Med 
nik  Auftiahme  in  den  Kreis  des  inatbematiseheii  Unterrichts  ul 
den  italieni.'^chen  Lyceeii  gefunden  hat,  kilnncn  wir  nur  vollb»' 
men  billigen,  und  erkennen  darin  einen  besonderen  ForluMI 
dieses  Unterrichtsztveiges,  welcher  demselben  durch  die  FSrHi|ll 
des  Kiinigl.  italienischen  Ministeriums,  in  richtiger  WGril^ 
der  Bedeutung  der  elementaren  Mechanik,  und  der,  bei  s 
mathematischer  Bebandlung,  derselben  unbedingt  bciiTohneoAl 
grossen  bildenden  Kraft,  zu  Theil  geworden  ist,  wobei  nii 
Wunsch  nicht  unterdrücken  können,  dass  auch  anf  unseren  d 
«eben  Lehranstalten  von  ähnlicher  Art  der  mathematische  0 
rieht  in  gleicher  Weise  erweitert  werden  nicithle,  was,  so  viej  4 
wissen,  bis  jetut  wohl  nur  in  sehrwenigeu  Fällen  gescheben  til 
die  Schüler  würden  dadurch  zugleich  eine  der  besten,  lebrradl 
eten  und  fruchtbarsten  Anwendungen  der  von 
Lebren  der  sogenannten'  reinen  Mathematik  kennen  lernen,  I 
dem  höheren  akademischen  mathematischen  Studium  «Siii j| 
streck  massigster  Weise  vorgearbeitet  werden,  was  auch  d 
einsichtsvolle  Herr  Verfasser  in  der  Vorrede  ganz  richtig  I 
Wir  heben  daher  nochmals  hervor,  dass  w'n  es 
ders  günstiges  Zeiclien  von  dem  guten  Zustande  des  n 
scheu  Cnterrichts  auf  den  Künigl.  itaüeniticlieu  Lyceai 
halten,  and  dass  es  nach  unserer  Meinung  mit  besondere 
zu  erkennen  ist,  dass  die  Kiinigl.  italienische  Regierung  t 
mentarcn  Unterricht  in  der  Mechanik  auf  den  genannten  I 
anstalten  durch  eine  besondere  ministerielle  Verordnung  elip 
fdhrt  hat. 

Was  nun  das  vorliegende  Lehrbuch  seihst    betrifft, 
^dasselbe  in  Bezug  auf  den  besondern  Zweck,  n-elchem  es  die« 
soll,  jedenfalls    ziemlich  weit:  die  ganze   sogenannte  elementv 
Mathematik  etwa  in  dem  Umfange,  wie  sie  auch  auf  den  preU 
sehen    höheren   Lehranstalten    gelehrt   wird,    wird   darin    vi 
gesetzt;  wenn  auch  die  analytische  tieometrie  selbst  nicht  e 
lieh  vorausgesetzt  wird,  so  wird  doch  vielfach  von  Lagenbestimra 
durch   Coordinaten    sowohl    in   der  Ebene,    als    auch 
Gebrauch  gemacht,  was  wir  nur  vollkommen  billiget)  künneii, ' 
solche  Bestimmungen  in  der  Gleichgewichts-  und  Bewegungslos 
kaum   entbehrt  werden   künnen;    von   Gränscnbetrachtungen  t' 


■  benraucn  \ 

^^^^        solche  Bes 
^^^H       kaum 


Üferarhcher  Bericht  Cf.XXm. 


auf  diese  ini  VVeseitUicben  zurückkomroendea  Betrachtungen  ist 
Öfters  Gebrauch  iieiuacht,  und  kein  Resultat  Ut,  wie  dies  nanienl- 
licb  in  uneeren  deutschen  physikalischen  Lehrbüchern  leider  noch 
ao  «rt  geschieht,  bloss  historisch  erwähnt,  sondern  es  sind  über- 
-all  die  mathematischen  Wege  gezeigt,  welche  xa  diesen  Resul- 
taten geführt  haben  oder  führen  konnten;  dass  man  sich  hierbei 
Üflers  mit  Ausdrücken  Iiegtiügen  mussle,  die  bloss  als  Annähe- 
iVnngen  zu  den  ganz  strengen  und  vollständigen  AusdrOcken,  »eiche 
bloss  durch  die  IVJelbnden  der  höheren  Analysis  erlangt  werden 
|(vnnen,  zu  betrachten  sind,  lag  ganz  in  der  Natur  der  Sache 
und  verstand  sich  von  selbst.  Auf  die  Erscheinungen  in  der 
Natvr,  auf  die  im  Welträume  herrschenden  Gesetze  und  auf  die 
Anwendungen  in  der  IVIaschinenlebre  ist  überall  Rücksicht  ge- 
nommen, wodurch  dem  Vortrage  ein  erhühetes  Interesse  gegeben 
und  derselbe  belebt  worden  ist.  Ein  Anhang  enthält  eine  zweck- 
m&ssige  Sammlung  von  Uebungsaufgahen.  Alles  ist  durch  deut- 
liche Holzschnitte  erläutert  und  anschaulicher  gemacht. 

Nach  dieser  allgemeinen  Cfiarakterisirung  des  allen  Lehrern 
reclit  sehr  zur  Beachtung  zu  emiifefilenden  Buchs  wollen  wir  im 
Folgendennocb  seinen  Hauptinhalt  (mitmehreren,  der  Beschränktheit 
des  liaumee  wegen  leider  nöthigen  Verkürzungen)  angeben:  Parte 
prima.  Del  moto,  delle  forze  e  delle  equivalenie  dei 
loro  sistemi.  I.  Delle  forze,  delle  velociläe  degli  spazi  descritti 
|ier  esse.     II.  Comjiosizione  e  decomposizione  dei  movimenti,  delle 

velocitäel delle forzeconcorrenti,  equilihriodiunpunlo Parte 

•econda.    Del  la  statica.    I.  Dell' equilibrio  delle  forzeapplicate 

(kdiin  corposolido Parteterza.   Della  dinamica.  I.Delle 

macchine  in  movimentn,   del  Uvoro    meccanico  e  delle  forze  vive 
........      ElserciiEi    e    applicaKioni.      Parte    1.     Parte    II. 

Parte  III.  (Die  Uebungsaufgaljen  beziehen  sich  nämlich  auf  alle 
diei  Abtheilungen.). 

Wer  die  Wege,  auf  denen  das  neue  Künigreich  Italien  rüstig 
vorwärts  schreitet,  und  mit  seiner  ganzen  nationalen  Kraft  dem 
VOK  der  ganzen  Nation  ersehnten  Ziele  zustrebt,  mit  Interesse  und 
'Theilnahmc  verfolgt,  wird  aus  vorzugsweise  fiir  den  Unterricht 
liestimmten  Büchern  wie  dem  vorliegenden  mit  Freuden  erkennen, 
wie  sehr  und  wie  tief  man  dort  in  dem  ganzen  gebildeten  Theile  des 
'Volks  und  besonders  auch  Seitens  der  Regierung  von  der  Deberzeu- 
gangdurchdrungenist  dass  der  nationale  Fortschritt  wesentlich  durch 
ien  Fortscbrilt  des  wissenschaftlichen  Unterrichts  mit  bedingt 
wird  und  von  demselben  abhängt.  Auch  aus  diesem  Gesichts- 
punkte sind  Bücher,  wie  das  vorliegende,  von  besonderem  Inter- 
esse und  verdienen  zur  Beachtung  empfohlen  zu 

Die    Verpflanzung    des    vorliegenden    Elementarbuchs    durch 


iMurnTUch^  -Urichl  r^W  \'U. 

ein#5  rerhf  %xi\^  htwI  sorgfältige  Bearbeirnng  von  eioer  tnm^gn 
Hfind  in  'ieuNcher  Sprache  anf  anseren  vaterlandiachea  Boden 
^r1Jrrle^   \v\T  fi'ir  In  mehreren  Beziehungen  nnUlich  halten  und  nit 


Geodäsie. 

Km  Fortschritt  der  Geodäsie  mit  Hinblick  auf  des- 
len  Wichtigkeit  fiir  Eisenbahn-Studien.  Von  Amadeo 
f^enelli,  Ingenieur  der  iombardiachen  und  central- 
i  fall  enischen  Ei.<ien  bahnen,  ehemaligem  »Schuler  der 
f^icole  Imp.  des  pont.s  et  chausnees  in  Paris.  Mit  4  Ti- 
feln.     Wien.     Carl  Gerold'»  Sohn.     1865. 

Eine  mehrfach   interefifaante  kleine  Schrift,  anf  die  vrir  jeda 
fi'ir  GeorJHHie  Aich  Interesflirenden  recht  aehr  anfmerksam  macfao. 
Her  Zweck  derlei hen   int,   die  geodätischen  Operationen  zn  ver 
cinfachf>n  und  ahznkilrzen,  was  vorzüglich  dnrch  neue  In&tmmeote. 
durch   welche   namentlich    das   unmittelbare  Messen  der   Distan- 
zen umgangen  wird ,  indem  man  an  die  Stelle   der  gewilhnlicheB 
da/ii  in  Gebranch  flieh  befindenden  Hulfsmittel  recht  zweckmääsig 
eingerichtete    DlAtanzmesfler ,   oder    unter    anderem    Namen  da- 
selben   Zwecken    dienende   Instrumente    treten   lässt^    und  dorck 
volllcommnere     optische    Hulfsmittel     als    bisher    erreicht    n-jrd: 
jj»  CS  wird  selbst  der  Gebrauch  der  Photographie  bei  geodätischen 
IVTcHAungen  empfohlen  und  weiter  erläutert.    Nach  einer  EinleitüDg 
sind  die  einzelnen  Abschnitte  folgende:     I.  Ueber   die  tacheome-. 
frische   Methode,     a)    (Jeher  den    Anailatisrnns.     b)    Bestimmung 
d^r  flistan/en  und  Einrichtung  des  Mikrometers,     c)  BeschreibiiD« 
des    Tacheometre   oder   riepscykel.  —    II.  Ceber  die  Anweudung 
d*T   Phr»to£rrapbie  anf  die  Geodäsie.   —    III.  Ceber  das   kathyali- 
f isrbe  iNivellir  -  Instrument. 

hie  in  dieser  Schrift  beschriebenen  neuen  Instmmente  rubren 
sHmniMirh  von  Herrn  Porro,  gewesenem  Major  des  italienischen 
Irf^niofllabes,  her.  Herr  Porro  hat  schon  früher  in  Paris,  Boa- 
l^vjird  d'Enfer  10.,  unter  dem  Namen  Institut  technoma- 
rK|fie  ein  c^rossartiges  Institut  fiir  Geodäsie,  Astronomie  und 
Opfik  fTrichtet,  Hbcr  welches  man  eine  ausfuhrliche  Nachricht 
im  Archiv.  Tbl.  \XVI.  Nr.  XIX.  S.  294-S.  300  ündet,  und 
\^\  j't/f  \u\H%'\\\\\\\st^\. ,  ein  öbnliches  Institut  in  Mailand  unter  den 
Affs|iifien  von  rrnncesco  ßrioschi,  Giulio  Sarti^  G.  Sil- 
('•stri  II.  A.  und  luit  tbatkräftigstcr  Unterstütznng  der  Hohen 
K/'fii^l     ilnlinnischon    Staatsregierung,    die  Allem«    nas 


Ulernrlscher  BcrlcJii  CLXXVII. 


'artscbritlen  der  WUsenscIiafleii  dienen  kann,  ihre  grOsste 
Aurmerksamkeit  widmet,  zu  grfiiiden.  Um  aber  dieses  Institut 
«clineller  in's  Leben  rufen  zu  künnen,  bat  sich  unter  der  De- 
Zeichnung  „la  Filotecnica"  in  Mailand  eine  Gegellschan  ge- 
bildet, ivelche  auf  dem  Wege  der  AseociatioD  die  Erzeugung 
vorzüglicher  astronomischer  und  geodätischer  Instrumente  zu  (or- 
dern beabsichtigt  und  Herrn  Porro  mit  der  wissenschaftlichen 
Leitung  des  Etablissements  betraute.  In  der  Absicht,  die  Theil- 
oahme  <!es  Publtcums  an  dieser  Association  zu  erhühen,  solleu 
die  aus  dem  Atelier  hervorgehenden  Instrumente  vor  Allem  an 
solche  Besteller  verabfolgt  iverden ,  welche  durch  einen  oder 
mehrere SubscriptioDsscheine  (Cartellen)  im  Nominal werthe  von 
100  Francs  an  der  Uulernehmung  sich  Itetbeiligen.  Wir  machen 
recht  sehr  auf  dieses  grnssartige  Unternehmen  aufmerksam  und 
werden  das  Programm  der  „Fil  otecnica",  so  bald  es  uns  mög- 
lich sein  wird,  uns  in  seinen  Besitz  zu  setzen,  unseren  Lesern 
mitzulheiien  nicht  unterlassen. 


Astronomie. 


Kalender  für  alleStSnde 
Karlvon  Littrow,  Director  d 
Mit  einer  Sternkarte.      Wiei 


IS66,  Hera: 
itV.  k.Stern 
.     Carl    Ger 


>ld's  Sohn. 


Wir  freuen  uns  auch  in  diesem  Jahre  diesem  sehr  zu  em- 
pfehlenden und  lehrreichen  Kalender,  dessen  zwei  vorhergehende 
Jahrgänge  im  Literar.  Ber.  Nr.  CLXIII.  S.  13.  und  Nr.  CLXX. 
uns  angezeigt  worden  sind,  zu  begegnen.  W&re  dies 
'blosser  Kalender  geiviihnlichen  Schlages,  so  könnte  naiiirllch 
[demselben  hier  gar  keine  Rede  sein.  Wir  haben  aber  schon 
mug  hervergehoben,  dass  dieser  Kalender  nach  unserer 
irxeugung  eine  sehr  brauchl)are  astronomische  Epherae- 
Liebhaber  der  Astronomie  ist,  und  dass  wir  denselben 
That  kein  besseres,  einfacher  und  zweckmässiger  einge- 
ibre  Zwecke  vollkommen  genügendes  Hülfsmittel 
«fehlen  wüssten,  weshalb  wir  auch  namentlich  alle  Lebi 
^^  ithematik  und  Physik  an  höheren  Lehranstalten  wiederholt 
«ecbt  dringend  auf  diesen  Kalender  aufmerksam  machen,  indem 
Einrichtung  aus  unseren  früheren  Literarischen  Be- 
richten, namenilicb  aus  Nr.  OXL.  S.  9.,  als  hinreichend  bekannt 
voraussetzen,  und  daher  darüber  hier  nichts  weiter  zu  sagen  ha' 
ben,  weil  auc|i  in  diesem   neuen  Jahrgänge  die   frühere,  in  der 


i 


Literarischer  Bericht  CLXXV/L  ]  1 

V^*^"^^o*s  seront  adress^s  franco  au  Secrötaire  perpötuel  de 

1-^  t:ii)kerquoise,  avant  le  1^  Juillet  de  lannöe  duconcours. 

«seront  pas  sis^nes.     Ils  porteront  une  epigraphe  ou 

*~  ^e  dans  un  billet  cachete^   indiquant  le  nom,   ia  pro- 

rdsidence  de  l'auteur^    qui  certifiera  que  son  oeuvre 

'a  figure  ä  aucun  concours. 

sera  ouvert  que  dans  ie  cas  oü  le  travail  muri- 
ne mentiou  honorable.      Hors  ce  cas^    il  sera 

v        ^  '^  feraient  coonaitre  ä  i'avance  et  de  qnelque 

ront  excius  du  concours. 
\    V  AU  concours  deviennent  Ia  propriete  äe 

^     *  *'ent  en  faire  prendre  copie  a  leurs  frais. 

.iiie  ä  i'un  des  cinq  derniers  concours 

.iiiit  le  premier  rang,  n*aurait  droit  qu'ä  un 

.le.     Dans  ce  cas,  une  mention  honorable  inscrite 

.uaille  d'argent,  pourrait  ^tre  accord^e  au  Iravail  placö 

coode  ligne.      Le  laur^at  qui,    pour  Tun  des  sujets  mis  au 

^^Ucours,    obtiendrait  plusieurs   recompenses,    n'aurait  droit  qu'ä 

**  nt^daille  supdrieure. 

La  Soci^te  se  r^serve  de  d^cerner  des  medailles  aus  per- 
Bonnes  qui  lui  auront  fait  Tenvoi  de  dons  ou  de  travaux  qui,  bien 
qoe  n'^tant  pas  demandes  par  !e  programme,  lui  paraitraient 
meriter  une  distinction. 

On  s'adressera,  pour  tous  autres  renseignements,   au  Secr^- 
taire  perpetuel  de  ia  Societe. 

Dunkerque,  le  10  Novembre  1865. 

Le  Secretaire  perpetuel,  Le  Preaidentf 

DERODE.  TERQUEM. 


ELENCO 

DELLE  PRODlIZIOI^l  S€IE!\T1F1CHE 

DI 
BAR]irAB.%  TORTOIiiari, 

tROFESSORE   DI  CALCOLO   SUBLIME   äLL'üNIVERSITA   ROMANA : 
HVO  DEI   QUARANTA   DELLA   SOCIETA   ITALIANA  DELLE   SCIBNZE  EC.  EC. 

(Fortsetzung  von  Literar.  Ber.  No.  CLXXVI.  S.  8.) 

Memorie  e  Note  inserite  nelT  opera  periodica  sfampata  in  Berlino; 
sotto  il  titolo:    Journal  für    die  reine  und    angewandte 

Mathematik  von  A.  L.  Grelle. 

38.  Sur  les  traDsformations,  et  les  valears  de  plusieurs  integrales 


rio' 


IHei  arUcker  Beitc/tt  CLXX7U. 


That  »ichts  zu  wGnBclieii  übTiii;  lasaeniie,   Eiiiriclitang  Ini' 
unverändert  tieiliehalteii    Ironien    ist.     Unter  der  Uebersctii 

uimietrlip  Miscellen  mit  den  IJnterabf lieilnngtni :  Neue 
Planeten;  die  Ringe  Saturns  ;  Anzalil  der  wnhrne  lim  baren  Stwne, 
geacblosseii  ans  Slern- Katalogen.  Andere  Bestimmung  der  Ao* 
zahl  wahrnehmbarer  Sterne;  Form  unser»  Pixsternliimmets ;  Anr 
zahl  der  älerne  überhaupt,  Rclalive  Helliglceit  der  Fixstene, 
Leuchtkraft  der  Sonne.  Eirizelnbe\Tt^gung  des  Sonnensyateou; 
Veränderliche  Sterne;  Neue  FisBlerne;  der  Tyc^honUcfae  Stern; 
Veränderliche  Eigenbeiregung  von  Fixsternen;  Doppelsterne  na 
bekannter  UmlaufsKeit;  Eigeiibewegung  und  Veränderiicbkeit  d«r 
Nebelflecke;  Natur  der  Nebelflecke  (mit  besonderer  Rücksicht  aaf 
Spectralanalyse)  enthält  dieser  Jahrj^ang  eine  überaus  vollstie- 
dige,  von  der  grünsten  und  ausgebreiteisten  Bekaiintschaß  mil 
diesen  tiegenstäniicn  lebhart  zeugende,  hüchst  lehrreiche  Uebe^ 
sieht  aller  neueren  astronomischen  Arbeiten  und  Eiitdeckuni;eDi 
für  die  wir  dem  Herrn  Verfasser  nnaereti  aurrichtigsten  Dank 
sagen,  in  welchen  gewiss  auch  alle  unsere  Leser,  die  diesen 
Büchlein  die  verdiente  Aufmerksamkeit  nidmen,  einstiranien  wer- 
den. Mit  gleichem  Danke  ist  auch  die  unter  II.  S.  JOS  -  1-28. 
wieder  gegebene  buchst  vollständige  und  genaue,  an  die  neuesten 
Arbeiten  sich  anschliessende  Uebcrsicht  des  P  laneten-Sy 
Sterns  aufzunehmen.  —  Milchten  nir  dem  lehrreichen  nad 
nütalichen  Büchlein  noch  in  recht  vielen  Jahren  begegnent' 


1 


Preisaufgabe  derSocitstü  Dunkertjuoise  p 
rencouragement  des  sciences,  des  Icttres  cl 
des  arts. 


Die  sehr  thätige  Soci 

das  Jahr    1S66  unter  ander 
gehürenden  Preisaufgaher 


Ite  Dunkerquoise  i>our  reiicoo- 
des  lettres  et  des  arts  hat  ßl 
in,  nicht  in  den  Kreis  des  Archiv'') 
folgende  interessante  und  l^r  in 


Nautik  H-ichlige  Aulgabe  gestellt; 


Concours  de  1866. 

EtBile   sur  les  Coustructlons   uaTsle«. 


vcment    fails  ä  Uui 


r  la  marche  daus  les  r 


Uierarlscher  ßerfcAt  CLXXVU. 


H" 
ee  envois  seroni  adress^s  fra^nco  au  Sccrälaire  perpätnel  de 
ijt  aocl^tö  Uunketqunise,  avant  le  1""  Jiiillet  delaiinöe  duconcom 
Ib  iie  seront  pas  Hit;nes.  IIa  porlerout  uiie  epigrsphe  i 
d«Tise  repet^e  dans  un  billet  rachele,  inüiquunt  le  nonii  la  pro» 
feKfiioii  et  la  residence  de  l'auteur,  qui  certifiera  que  ton  oeuvre^ 
€tt  inedite  et  n'a  figurS  ä  aucun  concourt. 

Ce  billet  iie   eera  ouvert  que  dans  le  cas  oq  le  travail  möri-^ 
lerait  ud  prii  ou  uiie  nieiiliou  honorable.      Höre   ce  cas,    il  sera 
brdle  en  seance. 

Les  auteurs  qui  se  feraieiit  coi>naitre  k  lavonce  et  de  qaelque 
mani^re  que  ce  soit,   seront  exclus  du 

Les  travaux  envoy^s  au  concours  deviennent  la  propriet^  de  J 
la  Soci^te.  Les  auteurs  peui'eDt  en  taire  prendre  copie  ä  leurs  Irais.  ■ 
Le  laureat  qui,  courunoe  ä  I'ud  des  ciiiq  derniers  concours  ' 
de  la  Soci^f^,  obtienilrait  le  preniier  rang,  ii'aurait  droit  qu'ä  un 
rappel  de  medaille.  Dans  ce  cas,  iine  nietilion  hotiorahle  iiiscrite 
■ur  une  medaille  d'argent,  pourrait  ätre  aceord^e  au  travail  placö  _ 
en  Eeconde  ligne.  Le  laureat  qu>,  pour  Tun  des  sujets  r 
concours,  obtienilrait  plusieurs  läcompeasos,  ii'aurait  droit  qu'tkl 
la  medaille  supärieure.  1 

]  La  Soci^te  se  reserre   de  decerner  des  mt^dailles  aux  per- 

sDones  qui  lui  aorant  fait  l'envui  de  dons  ou  de  travaux  quif  bien 
.  que  n'^lant  pas  demand^s  par  le  programme,  lui  paiaitraient 
:      meriter  une  distinclion. 

I  On  sadressera,    pour  tous  autres  renseignements,    au  SecrÄ-  I 

I      taire  perpetuel  de  la  Soci^te. 
1     .        Dmikerque,  le  10  Novenibre  liJ65. 


eereloi're  pe.rj:ituet,  Lr  Prittitnt, 

DERODE.  TEKQCEM. 


ELENCO 

DELLE  PRODÜZIONI  SCIEOTIFICHE 

DI 
B.%B3I.4BA  TORTOIilKI, 


PROFESSORK    !>!    CAI.C01.0    SOBLIME    l 
nnO    DRI    QUARANTA    DELLA    50CIE' 

(Fortsetzung  von  Literar.  Ber.  No.  CLSXVI.  1 

JUemorie  e  Note  inierite  nelf  opera  periodica  stampata  in  Berlinoji 

$otto  il  lilolo:    Journal  für    die  reine  und 

Matkevtatik  von   A.  L.  Grelle. 

38.  iSur  les  traoeforDiatioiis,  et  lea  valenrs  de  plosieurs  inte^al« 


12  Uter arischer  Bericht  CLXXV/f. 

defifiies,  qui  se  rapportent  aus  surface^i,  et  aux  sofidit^s  des 
volumes:  in  4.  tom.  26.  1843.  (Questo  scritto  e  una  tradazione 
della  memoria  num.  12.) 

39.  Memoire  sur  quelques  appiications  de  ia  methode  iiiTerse  des 
tangentes:  in  4.  tom.  26.  1843.  (Questo  scritto  ^  una  trado- 
zione  della  m.emoria  num.  10.) 

40.  Nuove  applicazioni  del  Calcolo  integrale  relative  alla  quadra- 
tura  delle  superficie  curve,  e  cubatura  di  soHdi:  in  4.  tom.  31. 
1845. 

41.  Addizione  alle  nuove  applicazioni:  in  4.  tom.  34.  1847. 

42.  Nota  sopra  V  equazione  di  una  curva  del  sesto  ordine  in  un 
problema  riguardante  Tellisse:  in  4.  tom.  33.  1846.  (Qaesta 
Nota  ^  una  ristampa  della  Nota  num.  28.) 

43.  De  formatione  quarundam  aequationum  algebraicarum ,  qoibas 
satisfaciant  functiones  algebraicae  datae:  Commcntatio:  in  4. 
ßononiae  1848.  (Extract.  Nov.  Comm.  Instit..  Bononiensis. 
tom.  IX.). 

Memorie  e  Note  inserite  negli  Atti  delV Aecademia  Ponii- 
ficia  de'nuovi  Line  ei  1847  e  seg,    in  4.     Roma. 

44.  Snir  Equazione  della  curva  piana,  luogo  geometrico  di  punto 
tale,  dal  quäle  condotte  due  tangenti  ad  un  ellisse  data  TaD* 
golo  delie  medesime  sia  constante:  in  4.  tom.  I.  1847.  (Qaesta 
Memoria  ^  una  ristampa  di  quella  n.  34.) 

45.  Memoria  sul  valore  della  curvatura  totale  di  una  superficie,  e 
suir  uso  di  questo  valore  nella  determinazione  di  aicuni  inte^ 
grali  definiti  duplicafi:  in  4.  tom.  IV.     1851. 

46.  Memoria  sulla  determinazione  della  linea  geodesica  descritta 
sulla  superficie  di  un  ellissoide  a  tre  assi  ineguall  secondo  ii 
metodo  del  Cav.  J.  Jacob):  in  4.  tom.  IV.     1851. 

47.  Memoria  sopra  le  differenti  formole  esprimenti  i  raggi  delle 
due  curvature  di  una  linea  tracciata  sulla  superficie  di  una 
sfera;  in  4.  tom.  IV.  1852. 


Memorie  e  Note  inserite  nelV  Opera  periodicainiitolata:  Memo- 
rie   della   Societä   Italiana  delle  Scienze  residente  in 

Modena.    in  i.    Modena, 

48.  Nota  suir  espressione  del  volume  terminato  dalla  superficie  di 
quarto  ordine  luogo  geometrico  della  projezione  ortogonale  del 
centro  dell'  ipcrboloide  a  due  falde  su  i  piani  tangenti:  in  4. 
Estratto  dal  tom.  XXIV.    Modena  1848. 


Uterarischer  Bericht  CLXXVIL  13 

49.  Applicazioni  dei  trascendenfi  ellittici  alla  quadratura  di  aicune 
curve  sferiche:  in  4.  Estrat.  tom.  XXIV.  2.  parte.  Modena1849. 

50.  Memoria  sopra  gli  integrali  generali  di  alcane  eqaazioni  a  de- 
rivate  parziali  a  coefficienti  costanfi:  in  4.  Estratt.  tom.  XXV. 
Modena  1854. 

51.  Memoria  suIIa  divisione .  degii  archi  di  una  tinea  del  qoart' 
ordine:  in  4.  Estrat.  tom.  I.  2.  Serie.    Modena  1867. 


Memorie  e  Note  inserite  nella  Collezione  scieniifica  intitolata: 
Annali  di  Scienze  Maiematiche  e  Fisiche  compilati  da 
Barnaba  Tortolini;    voLottoinS.    ßoma  1850 — 1857.    Tipo- 

grafia  ilelle  Belle  Arii. 

52.  Ricerche  sopra  le  superfieie  parallele,  ed  applicazioni  di  qaesta 
teorica  all'  ellissoide:  in  8.  tom.  1.  1850. 

53.  Notizie  bibliograficbe  sulf  Opera:  The  Cambridge  and  Dublin 
Mathemaiical  Journal:  num.  22.  pubblicato  dal  Signor 
W.  Thomson:  in  8.  tom.  I.   1850. 

54.  Soluzione  di  due  problemi  di  geometria  analitiea:  in  8.  tom.  1. 
1850. 

55.  Applicazioni  dei  trascendenti  ellittici  alla  quadratura  di  alCune 
curve  sferiche:   in   8.  tom.   1.   1850.     (Questa  Memoria  h  una  ' 
ristarapa  di  quella  sotto  il  num.  49.). 

56.  Memoria  sulF  espressione  dei  raggi  delie  due  curvature  di 
una  linea  geodesica  tracciata  sulla  superfieie  di  un'ellissoide: 
in  8.  tom.  IL  1851. 

57.  Nota  sopra  Tintegrale  defioito  duplicato,  che  serve  a  rappre- 
sentare  la  quadratura  di  una  certa  superfieie  di  ottavo  ordine, 
e  nella  quäle  i'espressione  analitiea  del  suo  volume  coincide 
con  una  superfieie  ellissoidica:  in  8.  tom.  III.  1852. 

58.  Articolo  Ribliografico :  sni  volume  di  una  colonna  torsa  asse- 
gnato  dal  Sig.  F.  Di  Bruno:  in  8.  tom.  III.  1852. 

59.  Memoria  sopra  gli  integrali  a  differenze  finite  espressi  per 
integrali  definiti:  in  8.  tom.  IV.  1853. 

60.  Nota  sulla  rappresentazione  geometrica  di  una  funzione  ellitica 
di  prima  specie  per  un  arco  di  una  curva  piana  trascendente : 
in  8.  tom.  IV.   1853. 

61.  Nota  sulla  rettificazione  di  aicune  curve  sferiche:  in 8.  tomV. 
1854. 

62.  Articolo  Bibliografico  sopra  aicune  produzioni  dei  Signori 
Professori  Genocchi,  Ghiö,  e  Salmon:   in  8.  tom.  V.  1854. 


14  Literarischer  Bericht  ÖLXXVII. 

63.  Articolo  BIbliografico  sopra  aicune  opere  pabblicate  dal  Sig. 
W.  Spottisivoode.  e  dal  Prof.  F.  Brioschi :  in  8.  tom.  V.  1854. 

64.  Nota  sopra  uoa  formola  fondameotale  neiia  teorica  degli  inte- 
grali  deßniti  Euieriani:  in  8.  tom.  V.  1854. 

65.  Memoria  solle  relazioni  che  passano  fra  le  radici  dell'equa- 
zioni  di  secondo,  terzo,  e  quarto  grado  ed  alcuiie  proprieta 
delle  somiglianti  forme  oroogenee  a  doe  indeterminate:  io  8. 
tom.  VI.  1855. 

66.  Memoria  sulla  qiiadratura  della  superficie  paraiiela  ad  unasn- 
perficie  di  quart'ordine  conosciuta  sotto  il  nome  di  superficie 
di  elasticitä:  in  8.  tom.  VII.  1856. 

67.  Articolo  necrologico  sulla  Vita>  e  le  Opere  di  Agostino  Luigi 
Cauchy:  in  8.  tom.  VI».  1857. 

68.  Ricerche  analiticbe  sulle  curve  coniche  circoscritte  ad  uu  trian- 
golo:  in  8.  tom.  VlU.  1857. 


Memarie  e  Note  inserite  nella  Colleiione  Scieniifica  intüolata: 
Annali  di  Matematica  pura  ed  applicata  puhblicaH  da 
Barnaba  Tortolini,  e  compilati  dai  Signort  Prof.  Beiti, 
Brioschi,  Genocchi  e  Toriolini:  in  continuazione  degli 
Annali  di  Scienze  Matematiche  e  Fisiche:  Volumi  sei  in  i.  1^ 
— 1864  e  1865.     Roma    Tipografia    della    S,   Congregazione  de 

Propag.  Fide. 

69.  Nuove  ricerche  relative  alla  sostituzione  lineare  per  la  ridu- 
zione  dejle  funzioni   elÜtiche  di  prima  specie:    in  4.    tom.  1. 

1858. 

70.  Nota  sopra  aicune  curve  algebriche,  delle  quali  la  lemniscata 
e  un  caso  particolare:  in  4.  tom.  I.  1858. 

71.  Studii  sulla  risoluzione  algebrica  delTequazioDi  di  terzo  e 
quarto  grado:  in  4.    tom.  I.     1858. 

72.  Nota  sulla  composizione  di  una  funzione  biquadratica  a  quattro 
indeterminate  in  4.  tom.  II.    1859. 

73.  Nota  sulle  figure  inverse:  in  4.  tom.  II.     1859. 

T4.  Articolo  necrologico  sulla  Vita  e  le  Opere  di  Gustavo  Lejeune- 
Dirichlet:  in  4.    tom.  II.     1859. 

75.  Ricerche  analiticbe  sopra  le  attrazioni  esercitate  da  una  lioea 
piana  verso  un  punto  materiale  collocato  «el  auo  piano:  in  4. 
tom.  II.     1859. 

70.  Applicazione  di  una  formola  d'integnile  definito  nmitiplo  airin- 
tegrazione  di  una  classe  di  equazioni  a  derivate  parzlali,  e  a 
coefficienti  costanti:  in  4.  tom.  II.  1859. 


Wer  arischer  Bericht  CLXXYIL  15 

77.  Memoria  Sopra  aicune  linee,  e  superficie  derivate:  in  4.  tom. 
IL    1859. 

78.  Articolo  Bibliografico  sopra  l*Opera  del  SigDor  Professor 
G.  Boole:  A  Treatise  on  differential  Cquat:  io^.  tom.  IL  1859. 

79.  Nota.  Ricerche  geometriche  sulle  funzioni  ellittiche:  in  4. 
tom.  HL     1860. 

80.  Nota  sulla  riduzione  dl  un'integrale  alle  funzioni  el|ittiche:  in 
4.  tom.  IIL     1860. 

81.  Articolo  BibliograOco  sulla  curva  Logocidlcadel  SignorBooth: 
in  4.  tom.  III.    1860. 

82.  Nota  sopra  aicune  cnrve  derivate  dairellise,  e  dal  Cireolo: 
Curve  di  Cartesio:  in  4.  tom.  IV.    1861. 

83.  Nota  siilla  quadratura  della  doppia  ellissoide  di  rivoluzione: 
in  4.  tom.  IV.     1861-1862. 

84.  Nota  sulla  risoluzione  di  tre  equazioni  a  tre  incognite:  in  4. 
tom.  IV.  1861—1862. 

85.  Recerche  geometriche  sulle  funzioni  ellittiche:  in  4.  tom.  IV. 
1861-1862. 

86.  Nota  sopra  aicuni  sviluppi  algebrici  neiia  teoria  deirequazioni: 
in  4.  tom.  IV.  1861-1862. 

87.  Risultati  diversi  di  geometria  elementare:  in  4.  tom.  IV. 
.1861—1862. 

88.  Nota  sulla  superficie  del  paraboloide  ellittico:  in  4.  tom.  IV. 
1861—1862. 

89.  Nota  sopra  aicune  formole  nel  calcolo  delle  differenze  (inite: 
in  4.  tom.  V.  1862-1863. 

90.  Memoria  sopra  la  curvatura  di  aicune  linee  prodotte  dairinter- 
sezione  di  due  superficie  del  §econdo  grado:  in  4.  tom.  V. 
1863—1864. 

91.  Risoluzione  di  problemi  relativ!  airEllisse  ed  al  Cireolo:  in  4. 
tom.  VI.  1864. 

92.  8opra  la  trasformazione  del  Sig.  Jerrard  per  le  equazioni  di 
quinto  grado:  Articolo  Bibliografico:  in  4.  tom.  VI.  1864. 

93.  Equazione  finite,  ed  equazioni  differenziali  di  aicune  curve  de- 
rivate:  in  4.    tom.  VL    1864. 

94.  Aicune  Proprietä  delle  curve  algebriche  rappresentate  da 
un'equazione  polare:  in  4.    tom.  VL    1864. 

95.  Nota  suir  Equazione  della  curva  piana ,  luo<»o  i^eometrico  di  un 
punto^  dal  quäle  condotte  diie  tangenti  a  due  circoii  di  egual 
raggio,  il  loro  prodotto  sia  costantc:  in  4.  tom.  VL  1864 
(Questo  scritto  ^  una  nuova  reduzione  della  Nota  n.  .33.) 


90,  Formole    relative    ad    i 

loni.  VI.    1864. 
97.  Sull'ellissD    della    piii    ]>iccola    superficip    circosciitta    ad 

Iriangnlo  dato  tn  4.    tonj.  VI.    1864. 
9H.  äull'integr.izione    deirequasioni    differenziale    linear! 

cienti  coslanti  Tra  ilue  variabili:   in  4.    tom.  VI.    1865. 


•efli. 


^^^^  Meinen    sehr    verehrten    Giinncrn    iinil    Gescimrtsfi 

^^^       bringe  ich  hiediircli   zur  Kennlniss,   (la«fi  icli   die   'nptluW* 

ul  TOD  sin  Ische  Wrrkslatte  ron  C.  A.  Stciohcll  in  HlQnclien  itnßf 
Bekssimg  der  obigea  Firma  Itäiiflicli  an  meinen  Sohn  Dr.  Ilgf 
Adolph  Slclnheil  übergeben  habe.  Da  mein  Sohn  auch  meii 
Schuler  in  opticia  tat,  seit  Griindung  der  AVerkstätte  in  der- 
selben arbeitet,  alle  Itechniingeii,  GiasbeBtimmungen  und  Prä- 
fungen, Hiiwie  die  Geschälte  seit  Jahren  als  Procuraträger  be- 
sorgte, so  wird  der  Personenwechsel  sicher  keinerlei  Aenderttu 
In  den  Leistungen  der  Anstalt  nach  sich  ziehen,  utn  sii  wenifcf, 
als  ich  stets  mit  Itath  und  Tlint  derselben  zur  Seite  stehen  werdft 


A  II  z  e  i  j¥  e. 

iVlüncIi 


n  4.  No< 


niber4^^| 
mrtsfi«j|^| 
hptluWW 


Ich  bitte  daher,  das  i 
(ür  ich  aufrichtig  danke, 
Steinheil  iiberzutragen 
achtung 


ir  bisher  geschenkte  Vertrauen,  wt- 
»ch  anf  meinen  Sohn  Dr.  Adalpl 
ind    Eeicimc    mit  rorzügliclier  Hocü- 

SfT.  C.  A.  StelnlielJ, 

k.  Miuisterialratb   und    Akfldcmikef. 


München,  den  4.  NoTember  1865. 
Indem  ich  der  obigen  Mittheilung  die  Zusicherung  bci- 
tuge,  dass  ich  Alles  aufbieten  werde,  was  in  meinen  Kräfte) 
liegt,  das  meinem  Vater  geechenkte  Vertrauen  auch  mir  au  er- 
werben und  zu  erhalten,  zeige  ich  zu^fleich  an,  dass  ich  mleb 
mit  meinem  Bruder  Eduard  Sleinhell,  der  seit  6  Jahren  o9 
mir  alle  Geschäfte  der  Anstalt  als  Procuraträger  getheilt  hü. 
asaocirt  habe  und  ersuche  irh  von  meiner  und  meines  Bmden 
untenstehenden  Unterschriften  *)  gefalligst  Notiz  zu  nehmen. 

Die  optische  und  astronomische  Werkstatte    auch  ferneren 
Wohlwollen  empfehlend 

hochacHlnfigstnll 

Dr,   Adolph  StelntteiL^ 

»)  Die  Fai-Bimiles  licr  Untcrscliriflfin  konnicn  liiei  nicht  ubgodrncU 


Uterariseher  Berlehl  CIXXVUI. 


Literarischer  Bericht 


/ 


CLXXVIII. 


Am  12.  Febrnar  1866  starb 

D.  Ignazio  Galandrelll, 

-ofessor  der  Optik  und  Astronomie  und  Director  der  Sternwarte  an  der  Üni- 
rsitftt  in  Born,  ordentliches  Mitglied  der  Accademia  Fontificia  de' 
uovi  Lincei  und  Membro  del  Comitato  accademico  bei  derselben, 

1  746ten  Lebensjahre,  nachdem  er  das  Krankenlager  dreizehn 
onate  lang,  nicht  verlassen  hatte,    ein  durch  Lehre  und  Schrift 

Italien  und  dem  Auslande  hochgeachteter  Gelehrter.  Bei  sei- 
^r  Todtenfeier  war  auch  die  Tochter  Sir  JohnHerschel's 
schienen;  ihr  Vater  schätzte  den  Verstorbenen  sehr  hoch,  wo- 
;i  wir  bemerken,  dass  auch  die  Signora  Caterina  Fabri- 
carpellini,  eine  Nichte  Msgr.  Scarpellini's,  eine  sehr  be- 
hütende Sternkundige  ist  und  grüsstentheils  den  Dienst  bei  der 
:ern warte  des  Capitols  versieht.  Director  der  Sternwarte  des 
ollegio  romano  ist  bekanntlich  der  berühmte  Angelo  Secchi 

C.  d.  G.,  gleichfalls  ordentliches  Mitglied  der  Accademia 
ontificia  de*  Nuovi  Lincei  und  Membro  del  Comitato 
:cademico. 

Die  baldige  Einsendung  eines  Necrologs  Calandreili's 
irde  uns  sehr  angenehm  sein  und  derselbe  wurde  im  Archiv 
e  bereitwilligste  Aufnahme  finden. 


Im  Laufe  des  Monats  Februar  d.  J.  starb  der  Professor 

R.  Lobatto 

Thl.XLV.Hft.2.  ^ 


i/ürdrlscher  teric&i  Ct.il'kVh 


Polytechnikum  ia  DelTt,  geboren  aro  G.  Juni  17J)7,  ein  trefT- 
lieber  Matbeniatikcr,  dem  liaa  Archiv  «ine  lieibe  ausgezeicfaneteT 
Arbeiten  verdankt,  und  dem  dessen  l-lcrausgeber  aus  mehr  al:«  einem 
Grunde  zu  allen  Zeiten  das  daukbarete  Andenken  benahreii  iviri). 
ftlüchte  uns  bald  ein  Lebensabriss  dieses  trefflichen  und  aiieg«- 
zeichneten  Maniieti  eingesandt  n-erden,  den  ivir  mit  besonderer 
Freude  und  vcrliindlictiatem  Danke  empfangen  und  sogleich  a 
drucken  lassen  würden.  G. 


Matliematisclier   und    physikalischer    llnterni 

I)  Literar.  Her,,  Nr.  CLXXIU.  S.  9.  haben  wir  unsere  l^eserou/ 

The  Educational    Time^  and  .lournal  ol'  IheCol- 
lege  nl"  Preceptors.    4".    Vol.XVlil.    New  Serits. 


Wo.  51.     Ju 


.  1S65. 


infmcrksam  gemacht,  a\s  eine  reiche  Fundgrube  matliematisch» 
Aufgaben.  Seitdem  ist  uns  von  diesem  Journal  bis  jetzt  nur  noch 
Vol.  XVKI.  Ne»  Series.  No.  52.  July.  ISOs!  zugegansen, 
welche  Nummer  ivieilerum  einen  reichen  Schatz  von  Aufgaben 
enthält.  Ausserdem  inacheu  wir  darauf  aiilmerksam,  das«  sich 
diese  Aufgaben,  welehe  viel  Sthrmes  en!halten,  Ibeiltveise  uil 
ihren  Auflösungen  gesammelt  linden  in-, 

Mathematical  Questions 
From  the  Educational  Time 
Miller.  B.  A.    Vol.  III.    Fröm  Jf 
London.     C.  F.  Hodgson  &  §■ 
Fleet  Slrect.     1865.    8". 


with  their  SolufioDf. 
nes.  Etliled  by  W.  J. 
January  to  July.  186S. 
Gough  Si]uirfl> 


IntoTDD  ad  aicune 
"Genocchi,  Professore 
Sita  di  Torinn.  (E, 
Pontificia  de-  Nun 
sinne  II.  dcl  7  Gei 
e  scienzematemati 


A  I'  i  t  h  m  e  t 

ime  di 


% 


Nota  di  Angel». ( 
tematica  nelU  Regia  Ual- 
1  dagli  Atti  deir  Accade- 
icei.  TomoXJX.  Anno  XIX. 
1866.).  Roma.  Tipogritfia 
fifiiche.    Via  lata.   N«.  211.  A. 


Die   berühmte  päpstliche    „Accadera 
i"  hat,    wie  den  Lesern  des  Archivs  au 


a   de'  Nuovi  Lin- 
dem Literar.  Bericbt 


Uternriseher  Bericht  CLXXVW.  3 

Nr.  CLXXIV.  S.  8.  bekannt  ist,  im  Jahre  1865  die  Preisaufgahe  *) 
gestellt:  „Eine  Methode  anzugeben,  milteUt  welcher  alle  ratio- 
nalen Werthe  von  x  gefunden  werden  künnen,  für  welche  A-\-Bx 
+  Ca:' +  ßa:*  +  jEa:*  ein  vollkommenes  Quadrat  oder  ein  vollkom- 
mener Cübus  wird",  welcher  Aufgabe  recht  viele  Bearbeiter  ihres 
grossen  Interesses  wegen  sehr  zu  wünschen  sind.  In  dem  vor- 
liegenden schiinen  Rlemoire  behandelt  nun  Herr  Professor  Än- 
gelo  Gcnocchi  eine  Aufgabe,  welche  mit  dieser  Aufgabe  zu- 
sammenhängt oder  eigentlich  als  ein  besonderer  Fall  derselben 
zu  betrachten  ist,  indem  es  niimlich  darauf  ankommt,  die  Glieder 
einer  arithmetischen  Reihe  so  zu  bestimmen,  dass  die  Summe 
ihrer  Cuben  ein  vollkommener  Cubus  oder  ein  vollkommenes  Qua- 
drat wird,  eine  Aufgabe,  welche  schon  früher  öfters  in  geringe- 
grosserer  Allgemeinheit  behandelt  worden.  Die  letzte 
im  zweiten  Theile  von  Euler's  Algebra  p.277.*')  ist 
die  folgende: 

„On  demando  trois  nombres  qui  forment  une  progression 
srilhmetique,  dont  la  differcnce  soit  I,  et  (|ui  soient  lels  que  lears 
cubes  ajoutea  ensemble  reproduisent  un  cube" 

und  auch  anderwärts  finden  sich  hierher  gehörende  Aufgaben. 
Euler  sagt  gleich  am  Anfange  seiner  Lösung:  „II  nous  faut  ici 
d'avance  un  cas  ou  cette  propriete  alt  licu,  et  nous  trouvons 
apres  quelques  ee^ais,  que  ce  cas  est  x:=\",  und  das  ist  eben 
dar  Fehler  und  die  Cnvollkommenheit  der  früheren  Anriösungen 
dieser  Aufgaben,  dass  sie  schon  gemsse  Liisungen,  die  nur  durch 
ein  unsicheres  Prnbiren  gefunden  werden  künnen,  als  bekannt  vor' 
aussetzen,  und  dann  Regeln  geben,  mittelst  welcher  sich  weitere 
Lösungen  finilen  lassen.  Herr  Geiiocchi  hat  nun  in  der  vnrlie* 
genden  sehr-schützensuertben  und  der  Aufmerksamkeit  aller  derer, 
welche  sich  mit  unbestimmter  Analytik  beschäftigen,  recht  sehr 
zur  IJeacblung  zu  empfehlenden  Abhandlung  primitive  LoBun- 
gen  der  hierher  gehörenden  und  verwandter  Aufgaben  gegeben 
und  gezeigt,  vvie,  nachdem  solche  Lösungen  gefunilen,  daraus 
andere  abgeleitet  werden  können,  wobei  er  sich  auch  der  soge- 
nannten complesen  Grössen  bedient  hat.  Zuerst  behandelt  er  die 
Gleichung 

3:3  +  (:T  +  7-)ä  +  (3:  +  2r)3=j/ä, 

•)  Die  Preis« ehrt flcn  tnüaücn  vor  dem  icUlen  OcEnljcr  19ß6  einge- 
inndt  »erden. 

**)  lull   bediene  mich  hier  der  IrclFlichen ,    uiil  den   ivichtigen  Zu- 
sätzen von  Lagriii)<;e  vrcmehrlcn  frnnzösisehcn  Ausgabe  von 
(Pari»  IBÜT). 


m 

^^^^^  UDil  giebt  tlafür  die  Lüsung: 

I 


I  Dann  wird  nach  t 


Uterarlicher  Befiehl  CI.XXVUI. 


ähnliche) 


r  =  11105835. 
Methode  die  allgemeine  Aufgabe 

behandelt,  ntid  für  diese  Gleichang  in  dem  Falle  r=^4  die  Lüsung 


> 


gegeben.  Die  schon  von  Camillo  Pagtiani,  cadetlo  iiel  R.  Corp« 
dei  Pionieri  di  Modena,  in  den  Annales  de  IVlath^mati^uea 
par  Gergonne.  T.  XX.  p.  .38-2.  behandelte  Aufgabe:  „Trou- 
ver,  dans  lu  suite  naturelle,  mille  nomhres  consecutifs, 
tels  que  ta  Bomine  de  leurs  cnbes  soit  elle-meme  ud 
cube"  II  ird  hier  gleichfalls  betiprochen  und  dannanch  die  Gleichung 

:e3  + (3^ +  r)s  +  (j;  +  2r)=  ■[-... .  +  (a:  +  j(r-r)3  =  j« 

gellist.  Wir  halten,  nie  hier  nochmals  bemerkt  werden  mag,  diese 
Schrift  jedenfalls  für  einen  sehr  zu  beachtenden,  in  vielfacher 
Beziehung  interessanten  und  lehrreichen  Beitrag  zur  unbeslimni' 
ten  Analytik,  und  wollen  uns  nur  noch  die  Bemerkung  erlanben, 
dass  uns  die  Aufgaben  hier  im  Allgemeinen  und  zunächst  docli 
etwas  anders  gefasst  zu  sein  echoinen,  aU  z.  ß.  die  oben  aus 
Euler's  Algehra  angeführte  Aufgabe,  indem  bei  dieser  r  als 
gegeben  vorausgesetzt  und  dann  x  der  Aufgabe  gemäss  in  ratio- 
nalen Zahlen  bestimmt  wird,  hier  aber  t  und  x  so  bestinnt 
tverden,  dass  der  Aufgabe  In  rationalen  Zahlen  genügt  wird,  iro- 
rin  uns  ein  gewisser  Unterschied  begründet  zu  sein  scheint.  — 
Möge  die  Abhandlung,  auf  die  wir,  so  wie  auf  Aufgaben  dieser 
Art  überhaupt,  vielleicht  später  im  Archiv  selbst  zurücklEomnua 
werden,    die  sehr   verdiente  Beachtung  in  den  weitesten  EreiaH 


Aaszag  aas  zwei  Briefen  des  Herrn  Professor  lloufil  in 
Bordeaux  an   den  Heraosgeber. 

Bordeaux,  20.  d^cerohre  1865. 
Je   continue    l'impression    de    nies    tables   complämentaires  1 
itre  decimales,    toul   en  mettant  la  derniere  main   ä    la  parlie 
i  concerne   les    fonclions  elliptiijues,   la  plus  difScile    pour  mol. 
\  toute  n'elitnt  pas  frayee.    Non-seulemenl  j'ai  eu  quelques  tables 
pionvelles  a  construire,    mais   surtout  le  recueit  de    formules   que 


r 


rj/erarlsc/ter  Bericht  CLX^YIII. 


je  veax  mettre  en  (ele  de  l'ouvrage  m'a  cause  et  me  cause  encorQ^ 
beaucDup  de  travail  *]. 

L'intrcKhiclioD  fran^aise  des  tables  de  Schrün  est  imprimeeH 
je  ii'attends  plus  que  la  ilerni^re  epreuve  "*). 

Je  viens  d'examiner  le  tirage  du  „Sammlung  mathemati- 
scher Tafeln  de  Hülssc",  qiii  porte  la  dafe  de  1865.  J'a>  eX6 
tr^s-däsagreatilemeiit  surpris  envoyantque  Tediteur,  te  seul  parmi 
tnus  les  editeurs  des  tables  {|ue  je  connaisse,  ne  s'est  pas  donoä  la 
peine  de  corriger  une  eeule  des  nombreiises  fautes  qui  ont  ete 
signaleea  dansvos  „Archives"  et  Liieiiailleurs  depuis  le  tirage prö- 
c^dent.  V'ouB  rendrez  service  aux  lecteurs  de  ce  recueil,  si  ulile  d' 
leurs,  en  Taisant  honte  ä  qui  de  droit  de  celte  nägligence  impardoD- 
iiable,  quand  il  s'aglt  d'utie  publication  ausfii  importanle  que 
celle-lä.     II  reste  a  corriger,  ä  ma  cnnnaissancc 

1'^.  Les  JS6  fautes  signalecs  par  M.  Lerorl  et  par  moi  dam 
le  Bulletin  de  bibliographie  des  Nouvelles  ADtJuIes  de  Mathäma- 
tiques  pour  l'annee  1838  (p.  42  et  suiv.),  erreurs  qui  ont  ete  cor- 
rigees  auasiliU  dans  les  tables  de  Kühler  et  de  Callet.  — 
Une  Taute,  que  j'avais  decouverte  dans  mon  premier  Iravail,  a?ait 
et^  omise  dans  le  relev(5  impriuie,  et  signalee  par 
c'est  Celle  qui  concerne  le  Ingarithiue  de  I0223S,  dout  le  demie^^ 
chiffre  doit  elre  un  5  au  lieu  d'un  4. 

Dans  le  labteau  de  la  page  5*6,  les 
les  seuls  quej'aie  verifles,  sunt  fauti' 

Au  lieu  de  Lit(!2 

l^^'g'g 'J. 4368(653)  .   .   .   .9.4368(581) 


'•  I 


V    1.3. 

..7.9 

^'     2.4. 
1.3 

.8.10 
..9.11 

2.4. 
K     1.3. 

.10.12 
.11.13 

y    1.3. 

.12.14 
.21.23 

^     2.4. 

.22.24 

♦)  Wir  st'iic 
gnägen  ealfjcger 


(lein  Erscheinen  dieser  neaen  Tafeln  mit  groBsem  Vei-rfl 
und  werden  niclit  verfehlen,  sie  sogleich  nniuieigetiij 
II  Htinde  ^elanf^en. 

I   Profesinr   IIoiicl    besorgte   si 
dienstlichB  frauznaisclio  Ausgabe   der  Ireffliclien  Seil roo'schen  Tafeln  J 
j«t  noch  nicht  xu  unserer  Kenntnias  gelangt,    wird  aber   BOgleicb  ange- 
seigt  Verden,  so  bald  wir  uns  dnzn  in  den  Stand  gesetzt  sehen. 


tJiermUeh^  'Si'rtTlilCt: 


■1".    Dana  le  tableau  de  la  page  83U  et  clerniere; 
rog.2w  .   .  au  lieu  de  0,7ft817 08(73)4    lisez    0,7981798(68)1,*  ■ 
comp!,  log. 2«.   .   .   .0,'201820UÜ6)6.   .   .   .  Ü,20IS20l(3I)ti, 
[  Länge  des  Steriitagcs  iti  mittleren  Sonnentagen 

=  0.997269((»)7.   .   .   .  0.9972t)9C5)7. 

Voilä  ce  quB  j'ai  apergu  dans  un  bien  petit  nombro  de  lopa- 
rilhmes  fnii  damontaux  que  j'ai  verifiäs.  Cela  tue  fait  crairo 
qu'il  reste  encore  d'autres  fautes  en  Incn  plus  grand  nombre. 
Si  Ton  recule  devant  le  travail  d'une  r^vision  totale,  au  nmini 
devrait-on  proüler  des  revisions  driju  faites. 

Äjoutez  ä  cela  les  600  fautes  decouvertes  par  M.  Gernerlh 
dans  la  tahle  des  fonctions  (rif^-oiionietriques  naturelles,  et  dont  pro- 
bablenieiit  on  ne  s'est  pas  plus  iuquictä  que  des  autres.  Aussi  le  re- 
cueil  de  Iltilsse  est-il  cole  fort  bas  dans  la  statistique  dressee 
par  l'infatigable  calculateur  de  Vienne. 


Borde 


,  4.  janvii 


■  IM 


„Une  ^nigme  dont  je  voudrale  bien  avoir  le  mot ,    tesl  le  tilre 

l-de  Vega,    que   M.  Bremiker  a    mis   en    lete    de  ses    table«  i 

7  decimales,  qui  sont  les  lables  de  Gardiner  perrecfionnees,  tt 

nullement  celles  de  Vega    (lesquelles  ä  leur   tour  ne  sont  aotta 

que  Celles   de  Sherwhi).      Serait-ce  parce   qu'ea    Alleinagne  M 

dit  un  Vega  pour  dire  une  table    de   logarithmes,    coiume  on  dif 

en  France  un  Barreme  pour  signilier  un   livre  de  compfes  fall«! 

J'avoue  (jue  cetfe  explicalion    iio  nie  satisfait  pas.     Cest  d'anlallt 

plus  singtdier  que  personne  ne  proi'esae  plus  d'estime  que  M.  Bie. 

"ier   pour  le  talent  du   coneciencieiix  Gardiner,     atiquel  d^ji 

I  Callet  avait  vole  son  nom,  ou  du  moins  sa  reputation  en  FraDCe, 

l  «t  qui  mtfritait  bien  une  rtjparation. " 

leb  bin  mit  Herrn  Professor  Hout^l  völlig  einverstanden,  du« 

Fon  den  Herausgebern  logaritlinii^cher  Tafülti  Gardiner»  Name, 

so  wie  auch  der  von  Shcruhi,  viel  zu  wenig  gennitut  wird,  uod 

danke  Herrn  Professor  Houel  reubt  sebr  für  die  obige  gel^eol- 

I  liehe  „röparation"  des  Namens  von  Gardiner.     Die 

„Tables   of  Logaritbms.     By    William    Gardiner.    Lai- 
don    Vii.    4«." 
Inud 


„Shervvi 
refülly   i 


al    Tables. 
rected.     Lo 


rd    edition.    Ca- 
1742.     8»."  (dia 


Lllerarlgcher  Bfrlchl  CLXXVIII. 


korrekteste  Ausgabe,  tv«lche  es  von  di 

ind    an    "olclier    der    „cniiscieiicl 

Namen  er  in  ^V;lhrheit  verdient,  aetii 


liierarische  Schatze  betrai^htet. 


G  e  0  ui  e  t  r  i  e. 


ebnende 


iBum    Privatstudiiim.     Mit    12    Fig 
IMusterblatt     in    Farbeoton.       \ o 
VerTasser    der  Grundlinien  der   neneren     t 
metrie.  Stuttgart.   Metzler'sc he  Buchband 

Wir  machen    unsere  Leser  auf  dieses  Werkchen   des  densel- 
iien  durtli  seine    „Grundlinien    der   neueren   ebenen    Gei 
metrie"  und  mehrere  ausgezeichnete  AiibandJunt^en  im  „Archiv 
längst  von   der    vortheilharte^ten   Seite    bekannten  Herrn    VerFa 
sers  dringend  aulmerksani  und  empfehlen  dasselbe  namenltich  undj 
zunüchst  allen  Lehrern  zur  sorg  1^1  tigsten  Beachtung.    Wir  stehenj 
nicht  an,    demselben  nicht  bloss  für  den   mafhematiticben  ünterij 
riebt,    sondern  überhaupt  und  im  Allgemeinen  eine  grosse  päda-i^ 
gogische  Bedeutung  beizulegen,  «eil  es  zum  ersten  Male  für  tlenj 
geometrisehen  Zeiclincnunterricbt  eine  wahrbaFt  MJssenschartlichfi'T 
Basis  liefert   und   dabei   von   den   neueren    Erol^eningen    der  Geo- 
metrie den   Schiinsten    Gebrauch    macht,    welcher  zu   den    frucht- 
barsten Anwendungen  führt  und  zugleich  zu  einer  i^eistigen  Uebung, 
Kräftigung  und  Anregung  des  Schülers  Veranlassung' gicbt,  welche 
nicht  hoch  genug   angeschlagen    werden   kann.     Wer   mit  diesem 
Buche  sieb  naher  bekannt  zu  inachen   beabsichtigt,  bat  zweierlei 
nicht  ausser  Acht   zu    lassen,    nämlich:    1.  dass  dasselbe  nicht 
etwa  ein  bloss  praktisches,    sondern  ein  durch  und  durch  streng 
wissenschaftliches,  wahrhaft  mathematisches  Buch  ist: 
9Glbe  aber  2.  keineswegs   eine  ausgebreitete  Kennlniss  der  neue- ' 
ren  Geometrie  voraussetzt,    sondern    vielmehr  als  ein    selbslslän- 
diges,    im  Ganzen   völlig  dnrch  und  in  sich  selbst   verstandliches 
Werk  zu  betrachten  ist,   welches  int  Allgemeinen  nur  die  Kennt- 
nisB  der  gewöhnlichen  Elemente  der  Geometrie  voraussetzt,    wo- 
durch   nati^rlich   seine  im   höchsten    Grade   vu    wünschende    recht 
allgemeine    Verbreitung    und    Benutzung    sehr    gefördert    werden 
wird,  wofür  dem  Herrn  Verfat^ser  der  wärmste  Dank  aller  Lehrer 
gebührt.    Zugleich  ist  auch  hervorzuheben,  dass  das  Buch  in  wis- 


Uierarttcher  Berfchi  CLXWIII. 


■^ 


w 


senschaftlicber  Beziehuog  manches  Neue  enlhült,  einmal 
metrische  Darlegung  des  Symmelriebeßriff»  und  seiner  Entwlc 
lung  bis  XU  dem  Grade  der  Re^Glmässigkeit  mit  Eirischlüss  der 
Dekoration,  eioe  in  dieser  Weise  nuch  nicht  versuchte  Behand- 
lung; und  »lanu  Verschiedenes  in  der  sehr  ausrührlicben  Dar- 
stellung der  Kreisberührungen,  insbesondere  die  Behandlung  ge- 
wisser, bis  jetzt  weniger  hervorgehobener  Fälle,  u.  A.  des  für 
die  Consttuction  des  Beriibrungslcreises  ungünstigen  Kalls,  ffenn 
die  Mittelpunkte  der  gegebenen  Kreise  in  einer  Richtung  liegen, 
welcher  bisher  in  den  geoniefrischen  Lehrbüchern  unbeachtet  ge- 
blieben ist,  dem  mau  aber  iu  der  gothischeu  Ornamentik  gerade 
am  häufigsten  begegnet. 

Wir  halten  diese  Schrift  für  einen  seht  zn  beachtenden  Be!> 
trag  zu  der  sogenannten  neueren  Geuruetrie  in  ivissenschanUcber 
Beziehung  und  für  eine  der  wichtigsten  Erscheinungen  auf  Hern 
Felde  der  pädagogisch-mathematischen  Literatur,  welche  wir 
namentlich  auch  allen  Unterrichts  beb  iirden  dringend  zur  Beicb- 
tung  empfehlen,  und  dieselben  ersuchen,  für  deren  weiteste  V«- 
breitung  in  den  ihnen  zugewiesenen  Wirkungskreisen,  namentlich 
auch  unter  den  Lehrern  des  Zeichn  ens,  eifrigst  Sorge  m 
tragen.  Denn  so  schiine  und  frucbtrelche  Anwendungen  von  den 
streng  theoretischen  Lehren  der  reinen  Geometrie  zu  tnacheiti 
ist  gewiss  eine  der  dankenswerthesten  Aufgaben. 

Zugleich  halten  wir  die  zwar  nicht  sehr  umfang-,  aber  seht 
inhaltreiche  Schrift  für  so  wichtig,  dass  wir  hier  noch  ihren  Haupt- 
inhalt anzugeben  für  nüthig  erachten: 

Einleitung.  —  Erstes  Bach.  Tom  Gebrauch  des  Li* 
neala.  Der  Gebraucli  des  Lineals  setzt  Elemente  der  Symme- 
trie voraus.  A.  Einiixige  Symmetrie.  B.  Cenlrische  Symmetrie. 
C.  Ztveiaxige  Symmetrie.  O.  Regelmässige  Systeme.  E.  üer 
Kreis  als  Inbegrifif  vollendeter  Regelmüssigkeil.  —  Zweites Budk 
Vom  Gebrauch  der  Winkel dreiecke.  Verwendung  der 
Winkeldreiecke.  A.  Prüfung  der  Winkeldreiecke.  B.  ParalMe 
und  ihre  Anwendung.  C.  Regelm^issigc  Vielstriihten.  D.  Regel- 
mässige Vielecke.  E.  Division  und  Partition.  F.  Dekoration.  — 
Drittea  Bnch.  Vom  Gebrauch  dea  Zirkels.  Reine  und 
gemischte  Zirkel -Constructionen.  A.  Elcmenlarennslrucfionen. 
B.  Kreistbeilung.  C.  Regelmüssige  Vielecke.  D.  Grund geslalteu 
der  gothischeu  Ornamentik.  —  Viertes  Buch.  Von  den  nn> 
zugänglichen  Punkten.  —  fünftes  Buch.  Gr^'KnKungen 
der  Kreislehre.  A.  Von  den  Polaren.  B.  Von  den  Aehii- 
lichkeitspunkten  zweier  Kreise.  C.  Von  den  Potenzlimeo.  — 
Sechstes   Buch.     Ton    der   ^xeisberührung.    U  eh  ersieht 


Uterartscher  Bertcht  CLXXVtll. 

<l«r  Krei»iberüfaruijg;saiirgBben.  A.  Die  einfacheren  Fälle  iler  Kreis- 
berührang.  B.  Vemickellere  Fälle  der  ftreisberühning.  C.  üii- 
zugänglicbe  Punkte  der  Kreislierübruiig.  (AuT  gnthische  Orna- 
mentik ist  hierbei  überall  besonders  Kucksiebt  genommen.)  — 
Anhang  über  Synimelrielehre. 

Indem  wir  ethliesslich  bemerke»,  daäs  die  13  Ftgurentafeln 
allen  Anforderangen  genügen,  bekunden  wir  gern  das  grosse  In. 
leresse  und  Vergnügen,  mit  »clchem  wir  selbst  vüm  diesem 
VVerkchen  genaue  Kennlniss  genommen  haben. 


Astronomie. 

Theorie  der  Bewegung  der  Himmelskörper,  irelchs 
in  Kegelschnitten  die  Sonne  umtaufen.  Von  Carl  Frie- 
drich Gauss.  In'g  Deuts  che  üi>  ertragen  von  Carl  Haase, 
JCSntglich  Haunoverachem  Kriegsratbe.  Mit  einem 
Anhange,  sowie  mit  einer  |)  botog  ra|ihlschen  Abbil- 
dung der  von  Sr.  Majestät  dem  Könige  Georg  V.  von 
Hannover  gestifteten  Gauss-Medaill  e,  einer  Abbildung 

i  Gauss'schen  (ie  bn  rishaus  es  in  B  raunschiveig  und 
mit   dem   Facsimile  der   Gauss'schen   lateinischen  und 

itschen  Handschrift.    Hanno  ver.  Carl  Meyer.   1S05.    4". 

Es  liegt  uns  hier  ein  Werk  vor,  welches  der  deutschen  Lite- 
ratur zu  der  grussten  Ehre  gereicht  und  für  di^ssen  Bearbeitung 
der  Herr  Uebereetzer  nicht  nur,  sondern  auch  der  Herr  Verleger 
fät  die  treffliche,  den  hüchsten  Ansprüchen  genügende  äussere 
Ausstattung  den  wärmsten  Dank  verdienen.  Die  berühmte  „Theo- 
lia  motus  corporum  coelestiura"  von  Gauss  ist  seit  län- 
gerer Zeit  im  Buchbandel  vergriffen,  selbst  antiquarisch  nur  sel- 
ten und  mit  grossen  Kosten  r.u  lieziehen,  und  nur  erst  nach  mehr 
als  20  Jahren  ist,  wegen  verschiedener  nicht  zu  besättigender 
Hindernisse,  eine  neue  .Ausgabe  derselben  als  letzter  TheJI  der 
Gauss'schen  Gesammtwerke  zu  ern'arten,  durch  deren  Heraus- 
gabe die  Königliche  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Göttingen 
und  die  Königlich  Hannoversche  Regierung  sich  ein  nicht  lebhaft 
genug  anzuerkennendes  Verdienst  erwerben.  Herr  Kriegsrath 
Haase  in  Hannover  konnte  daher,  indem  er  sich  einer  deutschen 
Uebersetzjing  dieses  ursprünglich  vom  Gauss  in  deutscher  Sprache 
veifasslen  berühmten  Werks  unterzog,  von  seinen  durch  andere 
Arbeiten  längst  bewährten  ausgezeichneten  astronomischen  und 
mathematischen   Kenntnissen  in  der  That   keinen  schüneren   und 


10 


Ulernrisch^r  Heilem  Cl.XXVm. 


ikenaivetlhercn  Gelin 
iien  Belcuiintschaß  mit  dem  hophwiditigeii  Werke,  tvelcheir^ 
uns  ginuben  rühmen  zu  dfirfen,  künneii  H'ir  iiiiser«n  Leeern  die 
heatiniinle  Versiclierun;;  geben,  dass  die  wie  ein  eii;erie«<  Werll 
sich  lesende  UchersetKuii^  <1eii  S'rnri  de»  Originals  fiberall  tn  der 
treuesten  Weise  wiedergieiit,  und  von  dem  hiiehst  sorgfältigen 
uiid  eindringen  den  eifjenen  Stndium,  «-elt-hes  der  Herr  Üeber- 
)<eUer  dem  Werke  geividniet  hnt,  <\as  schüii^te  und  Heutticlisto 
Zengiiiss  ablegt.  Auf  volUfiimli^e  Cnrreitlieit  isl  die  grÜMle 
Sorgfalt  verwandt  worden,  und  die  vielen  Druckfehler,  weldi» 
leider  ini  Originale  sich  finden,   sind  i'iherall  mit  der  griisafen  6e- 


nnimenster    Bestiinnithclt 
älLst  hei    unserem  fral* 
früherfn  Schüler,    Hemf 
C.lalin,    «elcher   dem   Viakt 


iiBuigkeit    berichtigt,    nas   \ 

tiezcujjcn  dürfen,    weil   Itiei 

reu  Studium,    theils  von  eii 

Doctor  Tägert  am  Gymnai 

einen   niehrjShri!<en   Fleisa  ividmete, 

befindlichen    Kxeni|ilare    de.i   Originale    die   darin    vorkonimeiiitH 

Druckfehler  schon  angenipikt  worden  "aren.    Durch  diii  der  Heber- 

isetzung  beigefil^ten  zwei  selir  t;enauen  Tabellen: 

„Tabellarische  Dehcrsictit  dcrietiigen  Druckfehler  ioHM 
lateinischen  Originale  der  Gauss'^chen  T  heoria  matni 
corporum  coelestium,  die  in  dem,  jenem  Werke  if 
gehiinftten  Fehlerverzeichnisse  n  ich  t  aufifeföhrt  iini 
Ijei  der  deutschen  Uoberselznng  aber  Beriicksichligii»{ 
gefunden  ha'>en" 


„Uebersiclit    der    in    den,    dem    Originale    der    Gansf 

sehen  Thenria  nintns  corporum  coelesliuni  ans»- 

hängten  drei  Tafeln   aufgefundenen  Druckfehler,  weif 

bei  der  deutschen  Uebertragung  berücksichtigt  sind" 

hat  sich  der  Herr  üebcrsetzcr  um  die  Besitzer  des  seltenen  Ori- 
,  »inals  ein  sehr  ansu erkennendes  Verdienst  erworben.     Einen 

ionderen  Werth  und  Vnrzuü;  vor  ilem  Original  hat  aber  der  Ben 
j  üebersetzer  seinem  Werke  haii}its3i.-Idich  noch  dadurch  verlicliea, 
.   dass  er  demselben  in  einem  Anhange  die  vun  Gauss  seihst  im^., 


Zeitschriften    veröffentlichten  fA- 

Kenntniss    bei   der    Berechnung  ihr 

lauss'schen  Mft-. 

Der  Inhalt  i 


ach    dcj 


einigen   anderen  Astrt 

handlungen    beifügte, 

Bahnen  der  Planeten  und  Cometen 
,  thoden  nolhwendig  oder  MÜiischeni: 
Y  Anhangs  ist  folgender; 

I.     Schreiben  des  Herrn  Ilofraths  Gauss,  Directors  d^ 
[  tinger  Sternwarte  an  den  Herausgeber   der  astronomiselM 


Ulermiscktr  BeiMtt  CLXXVIII. 


11 


ricbteii.  (Nr.  474.)  Gr.ltiiiireii  1S4;!,  April  1.  (IVIitlheiltin^  eine» 
besonderen  Verfahrens  zur  Berechnung  der  Anomalie  hei  der  Be- 
rcfhiiiing  ernes  Ürts  lu'r  eine  gegebene  Zeit  in  solchen  Tüllen, 
wo  die  Burckhardfsehe  Tafel  nit^tauHreicht,  die  Harker'sche 
Tafel  wegen  des  beschwerlichen  Interjiolirena   unbequem  ivird.) 

II.  Tafel  an»)  dem  ersten  liande  der  Pariser  Annalen.  (Statt 
der  sehr  umfangreichen  Barker'scben  Tafel  und  der  dazu  er- 
forderlichen Hfilfstafel,  «venn  v  sich  180"  nalicrt,  ist  hier  die  im 
ande  der  Annalen  der  Pariser  ISterntfarte  helindliche 
II  Abdruck  selracht.) 

Schreiben  des  Herrn  Marth,  Oliservators  an  derStern- 

Durhani,  an  den  Herausgeber  der  Aslrnnoniischen  Naeh- 

g»len.     Nr.  1016.     (Betrifft  eine  Erleicbicrunj;  des  Ga.jas'schen 

ihrens,   die  Ortscoordinaten  in  einer  Ellipse  von  starker  Ex- 

ficilät  zu  bestimmen,    nebst  Tafeln.} 

iV.     Vorsebriften,  um  aus  der gencentrischen  Länge  und  Brette 

es  Hinimelfikürpers,   dem    Orte    s«ine9   Knotens,    der   Neiicong 

Bahn,    der  Länge  der  Sonne    und  ihrem    Abstände  von  der 

lErde  abzuleiten :     des    Himmelskörpern    heliocenlrische   LJinije  in 

■  Bahn,    wahren  Abstand   von  der  Sonne  und  ivahren  Abstand 

I    der  Erde.     Von   Dr.  Gauss  in    Braunschweig.     (Monatliche 

londen».     Tbl.  V.     S.  540.) 

Zuaat»  üu    Art.  90  und  100  der  Theoria  motus  corporum 
S^tium.     (Berliner  astronom.  Jahrb.  ffir  1814.) 

VI.     Beobachtungen   des   zweiten   Cometen    vom   Jahre   1813, 
»gestellt  auf  der  Steniivarte  zu   Götlingen,    nebst    einigen    Be- 
pkungen  über  die  Berechnung   parabolischer  Bahnen.     (Monat- 
Correspondenz.     Band  28.     S.  501.) 

Einige  Bemerkungen  zur  Vereinfachung  der  Berechnun- 

f  die  gencentrischen  Oerter  der  Planeten.    Von  Dr.  Gauss 

ichweig.     (Monatliche  Correspondcnz.    Band  IX.   S.  383.) 

:II,  Auszug  aus  einer  Abhandlung  des  Herrn  Professors 
rfues  über  Bahnbestinmuing  von  Planeten  iind  Corae- 
Abbandlungen  der  köni^l.  Gesellschaft  der  Wissen- 
Göttingen.  Band  X.  S.  11(6—205.  Bestimmung  einer 
iraholischen  Bahn  aus  drei  Beobachtungen,  von  denen  eine  nur 
oHständig  ist.  Mit  Tafeln.  (Tafel  för  die  Auflösung  der  Lara- 
lert'schen  Gleichung  und  Aaa  VerhSitniss  des  Dreiecks  zum 
olischen  Seclor). 
IX.    Ueber  den  Ausnahmefall  einer  doppelten  Bahnbestimmung 


l'parabi 


12 


UttTnrischer  Bericht  CLXXVIII. 


aua  deiisclbeo  drei  vnllsISndigen  BeohacblungeD.  (Encke  in  ilen 
AatroDomiscIieD  Naclirichten.     Nr.  6-JO  iitid  Nr,  f>4l.) 

Einige  Bericliligungen  der  deutscTien  Uebersetzung  sind  am 
Ende  noch  lieigeriigl;  —  und  dass  die  scbun  auf  dem  Tilel  »■ 
gegebenen  Abbildungen  und  Facsimiles  Cur  alle  Verehrer  nneers 
grossen  Gauss  eine  buchst  daiikcnHwecthe  Zugabe  sind,  verafellt 
sich  von  selbst. 

MÜchte  es  uns  gelingen,  durch  die  vorstehende  ausrßhilieh« 
Anzeige  und  Inhaltsangabe  des  trefflichen  und  tvicbtigeii  Werkes 
die  Aurnierksanikeit  recht  vi«ler  Leser  auf  dasselbe  zu  lenkeul 


Nautik. 

Almanach  der  usterreichischen  Kriegs-Marine  fOi 
das  Jahr  1866.  Herausgegeben  mit  Genehmigung  it» 
hohen  Ic.  Ic.  K  riegsministeriunis  von  der  hy  drograjiJli* 
sehen  Anstalt  der  kais.  kOii.  Marine.  Fünfter  Jahrgang. 
Triest.     H.  F.  Münster'sche  Bncbbandlung.     1866.    8". 

Der  vierte  Jnhrgang  dieses  interessanten  Almanaclis  ist  in 
Literar.Ber.  Nr.CLXXI.  S.12.  angezeigt  worden  und  der  vorliegend» 
funtte  Jahrgang  ist  rilcksichllich  seiner  Einrichtung  im  Allgemein^' 
von  seinen  Vorgängern  nicht  verschieden,  so  ilass  wir  also  in  dieaB 
Beziehung  auf  unsere  frühere  Anzeige  verweisen,  und  auf  dieAngatt 
des  Inhalts  des  auch  diesmal  sehr  nerthvolle  und  interessante  Sii> 
Irägeenihaltenden  wissenscbartlicbcii Tbeils uns  beschränken  künnäl., 
—  Wer  die  Fortschritte  der  Schiffrahrtskunde  in  neuester  Zdt 
mit  einiger  Aiirmerksamkeit  verrollt  hat,  nird  nicht  unbemeiH 
gelassen  haben,  dass  man  sich,  um  die  Fahrt  abzukürzen,  vilV 
fach  bemühet  hat,  an  die  Stelle  der  Fahrt  auf  der  Loxodronie  4Ie 
Fahrt  auf  dem  grüssteii  Kreise  zu  setzen,  und  zu  dem  Ende  K^ 
geh  zu  geben,  »eiche  es  müglicli  machen,  das  Schiff  ohne  ScliniG- 
rigkcit  out'  dem  griissten  kreise  führen  zu  können,  ivas  natüllicb 
dadurch  sehr  erschwert  wird,  dass  dazu  eigentlich  eine  sletigt 
Aenderung  des  Curses  niilbig  ist.  Diesem  sehr  wichtigen  Geges- 
stände  ist  die  in  diesem  neuen  Jahrgange  des  Almanachs  ent' 
haltene  erste  ivissenschartllcbe  Abhandlung  gewidmet:  Theotl* 
der  stereographischen  Kartenprojection  und  der  di- 
rauf  begründeten    orthodromischen    Schifffahrt  *J   vo< 


•)  Unter  dleaer  Bcik 
fahrt  nuf  dum  gröasten  I 
handlang  dea  Ilcrausg 
g;I  eichen. 


inung    versteht   der  Herr   Verfnaaer    die  Sdiiff* 
rciac.     Ulan   kann    liber   ilieaelbe   auch   dj« 
bcTB  des  Archivs  in  Tbl.  XXXII, 


If/ermiseAer  ßertcM  CLXXVIIf. 


13 


^Faugger.     Der   Herr   Verraeser  hat  iiämlich    die    unstreitig 

Me  Beachtung  verilieneti<Ie  Uemerlcung  gemacht,  dass  für  die 

idroniiKche    Sibifffalirt    die    »terengraphiache    Polarprojeclion 

^lE^rde  in  ähnlicher  Weise  und  mit  gleicher  Leichligkeit  ange- 

mdt  »erden  kann  ivie  die  M  ercator'Hche  Kartenprojeclion  l'ür 

E  Inxndrn mische    Schiffl'ahrt    bereits   allgemein   angewandt  nirit, 

•ad  hat  die  zu  der  ersleren  Anivendiing  erforderlichen  Regeln  in 

r  besonderen  Schrift  eiitMickeit,    «eiche  im  Jahre  1863   unter 

FTitel:     Einfache   Lüsung    der  Probleme   der  Nchiff- 


im    pn 


Krei» 


iiit 


sie 


eogr: 


n^ehen  Erdkarten.  Von  Dr.  F.  Paiii;ger.  In  deutscher 
md  italienischer  Sprache  auf  Kosten  des  h.  k.  k.  üsferreichischen 
!-Ministeriunis  veröffentliulit  worden,  uns  aber  leider  iioch 
licht  zu  Gesicht  gekommen  ist  *).  Da  diese  Schrifl  nur  prak- 
tfich  t;ehalten  und  zunächst  bloss  ftir  den  praktischen  Seemann 
islimmt  ist,  so  hat  der  Herr  Verfasser  den  wichtigen  Gegen- 
iland  in  der  vorliegenden  Abhandlung  nun  auch  theoretisch  iveiter 
mtwiekelt,  in  einfacher  geometrischer  Weise,  wobei  er  sich  haupt- 
ffichlich  des  sogenannten  subcnntrSren  Schnills  des  Kegels  be- 
Üent  hat,  der  hierbei,  wie  schon  von  KHigel  in  seiner  bekannten 
cbünen  rein-geometrischen  Abhatidliinc;  über  die  stereographische 
•rojection  gezeigt  worden  ist,  allerdijiga  FortrefTliche  Dienste 
eistet.  Da  durch  die  von  dem  Herrn  Verfasser  der  vorliegenden, 
I  beachtenden  Abhandlung  gemachte  Anwendung  der  ste- 
eograpbischen  Projeclion  der  Kugellläche  auf  eine  Aufgalie,  deren 
ichtigkeit  in  der  neueren  praktischen  Nautik  sehr  in  den  Vor- 
rgrund  getreten  ist,  die  stcreographische  Projecllonsart  eine 
ene  Bedeutung  gewonnen  hat,  und  weiterhin  auch  wohl  das 
Jlipsoid  in's  Auge  zu  fassen  sein  ni'tichte :  so  glaubt  der  Cnter- 
eichnete,  seine  in  den  Astronomischen  Nachrichten  Nr.  955 
chienene  Abhandlung:  Uebcr  dift  stereographische  Pro- 
tction  eines  Ellipsoids,  bei  dieser  Gelegenheit  wieder  in 
Irinnerung  bringen  zu  dürfen,  in  welcher  gezeigt  worden  ist,  dass 
L  dem  Rotationsellipsoid,  wenn  das  Au!;e  in  dem  einen  End- 
itinkte  der  Drehungsaxe  steht,  die  stereographische  Projection 
edes  ebenen  Schnitts  des  Ellipsoids  ein  Kreis  ist;  dass  dagegen 
ie  stereographiscben  Projectioiieu  der  ebenen  Schnitte  des  Elllp- 
»ids  sich  nicht,  wie  bei  der  KugetllScIie,  unter  denselben  Winkeln 


')  Wahracbein1i.1)    int    diece   Si.lirlft    wohl   ^hc   niclit  in  «Ion 
kandel  gekommen   und   möchte  es   datier   sehr  zu  wüiiichen   lein 
uf  irgend   eine    Weise  von   dem   hohen   l.  ll.  Marine-Miniateriiii 
i«tnltnng  getroffen  würde,  dasa  dieselbe  von  Jedem  auf  dem  Wege 
tndhandeU  bezogen  werden  bunnle. 


!i>lPSP 


iMerttrlscher  if rieht 

\  sclinejileii,  ivip  ilie  projitirfen  Schiiille;  jeiloeh  ist  i 
.  nannten  Abhaudliiitg  pine  sehr  benicrkenetverlhe  allgemeine  R«> 
,  lation  ztvi^clien  diesen  Winkeln  entwickelt  worden,  Ea  scheinen 
'  uns  alle  ditäe  theoretisch  und  praktisch  sehr  wichtigen  Ge^err- 
^  etSnde  eine  weitere  tntwickelung  und  üearbeiinng  recht  sehr  »i 
,  verdienen,  da  es  aaeh  unserer  Meinung  jedenfalls  ein  sehr  gros- 
ser Gewinn  l'ür  die  Nautik  iväre,  wenn  an  die  8telle  der  Inxoilin* 
mischen  Fahrt  »ich  mit  ganz  gleicher  Leichtigkeit  und  •SicliethiEt 
'  die  nrlhodroniisi'lie  setzen  Hesse.  —  Die  zweite  Abhandlung  hat 
den  Tilel:  Fluth  und  Ebbe  im  adriatischen  Itleere.  Von 
nst  Mayer,  und  liefert  d«n'Bevveis,  ivie  sehr  und  wie  erl'olz- 
reich  die  k.  k.  hydrogra))hisclic  Anstalt  in  Triebt  bemüht  int,  und 
mer  beniiilit  gewesen  ist,  «len  genannten  wichtJt^en  Ge^enslanil 
iglicbst  auf's  Keine  zu  bringen ;  <liesetbe  giebt  ausführliche 
Nachrichten  über  die  angestellten  Benbach tungen  und  die  bw 
I  denselben  gczngenen  Kesnllate,  auch  eine  interessante  BcKobteK 
liung  der  an  verschiedenen  Punkten  der  Küste  äee  adriatt»rlieii 
Golfs  aurgeslellten  l-'luthautngtaphen,  so  nie  wf^rlbvolle  Mtdliei- 
lungen  über  die  für  die  Hafenzeit  und  die  halbmnnntliclie  Un- 
gleichheit gewonnenen  numerischen  Resultate.  Beilänlig  benieiken 
wir,  dass  uns  die  Note  auf  8.  41)  nicht  recht  verstÜFidlich  geneen 
ist;  der  Sinn  derselben  kann  w'olil  nur  der  sein,  dass  die  Tun 
Herrn  Dirertor  Ur.  F.  Schiiub,  der  flieh  um  die  hydrngrapblMhf 
Anst.Tlt  so  grosse  Verdlensle  erworben  hat,  jetzt  aber  aU  Öirector 
der  k.  k.  Akademie  für  Handel  und  Nautik  (i.'  r.  Accademis 
mcrcln  e  naulica)  vorsteht,  aus  den  Beobachtungen  von  zirei 
Monaten  gefundene  Hafenzeit  mit  dem  Resultate  aus  allen  i 
herigen  Heobacblungen  auf  5  Minuten  übereinstimmt,  wSbreail 
die  früher  angenommene  Hnfenzeil  um  eine  Tolle  Stunde  iirlissn 
war  als  die  von  ihm  gefundene.  —  Der  dritte  und  letzte  Aulettz: 
Ueber  die  Cyclonen  der  südlichen  Erdhälfte.  Vao 
J.  Peterin.  verbreifet  sich  iti  buchst 'lehrreicher  Weise  über  die 
Natur  dieser  für  die  Schifffahrt  so  sehr  Terd erblichen  Wbbd- 
stürme  und  die  gegen  dieselben  zu  ergreifenden  VorsichtsT 
regeln,  mit  besonderer  Beziehung  auf  die  sehr  wichtigen  (Jllte^ 
suchungen  des  französischen  Hafencaiiitäiis  Bridet  auf  der  In«! 
Reunion  und  das  über  dieselben  veröffentlichte  Wertchen  de« 
Professors  an  dem  Lyceum  dieser  Insel  Emil  Trouettc,  *^cl* 
ches  unter  dem  Titel:  „Manuel  de  Cyclonomie.  Paris 
IS63"  erschienen  ist. 


Der  S.  91— S.  120  bis  in's  grösste  Detail  mitgetheilte    Peree- 
naistand  des  k.  k.  Kriegs-Minisleriums,  in  Betreff  der  Marine, 
.  Exe.  dem  k.  k.  Feldmarschall -Lieutenant  Herrn  Ritter  C.  v«n 


"  insrmistntr  Berfeht  CK.V,YP/W 

ick  als  KriegsminiHter  u.  s.  w.  an  der  S|]it2e, 
j^SD^s  der  k.  Ic.  Krießsniarinc  (Odolicr  16(15), 
k  Seeleule  gewiss  auch  viin  viell'aL-heni  liilerei 


uttü  des  Per- 
wird lür  prak- 


liiifichcfi   sehr,    dass  dieser  fi[r   theoretiiüche  utiil  |ir; 
Tehe  T^aiitik   nnbedii):;!  eelir   wichtige   Alnianach  immer  den   er- 
freulichsten Forlgang  haben  und  in  anderen  Staaten  Nach  ahm  unp;. 
finden    mV,ne,    vfozu    alier   IVeilicIi    eine    solche    wisaenseharilicfie 
Anstalt  gehi'irt  «vie  die  k.  k.  hy(lrnf;ra[>hi¥che  Anstalt  in  Triest. 


PIm 


ik. 


Die    physinlngische    Optik, 
resetze   des   Aujses    (mu!    derSi 
aupt.      Von    Dr.    Hermann    Scheffler. 
nt  295  in  den  Text  eingedruckten  Holzst 
chweig.     Scfinlhuchhandlun^.     1S65.     8°. 


Darstellung    de 
hätigkeiten    über 


Was  im  LilerarischenBerichteNr.  CLXXIiS.  9.  zur  Enipfeh- 

Ling    dieses    in    mehreren    Beziehungen    ausgezeichneleti    und    zu 

leachlendeu    Werkes  und   über    dessen   Tendenz   gesugt    norden 

st,  gilt  iin  Allgemeinen  auch  ganz  von  diesem  zu  unserer  Freude 

|elzt  vorliegenden  ziveilen  Theile,  indem  ivir  nur  bemerken,  das« 

der  Titel  jetzt  den  erweitern  den  Zusatz   „und  der  .Sinneslbä- 

igkeiten    überhaupt"    erhalten    hat,    ivelchetn    Zusätze  auch 

1er   Inhalt  dieses   zweiten   Theils    entspricht.     Da    das    Werk  in 

unserer  früheren  Anzeige  des    ersten    Theils  hinreichend  im  All- 

_;eineinen  charakterisirt    worden    ist,     so   wird  es    genügen,    hier 

nur  den  Hauptinhalt  des   vorliegenden    neuen  Theils   im  Nachele- 

lenden  anzugeben  ;    Täuschungen  über  die  Grüsse  und  Enlfernung, 

lervorgerufen    durch    die    Kunkurrenzwirkung   der   iVebennbjckte. 

S'äuschungen  über  die  Grösse  und  Enlfernung,  hervorgebracht  durch 

lie  Kontrastwirkung  der  Nehenobjekte.    HeUigkeilskontrasle.    Far- 

lenkontraste.   Licht  und  Farlienperspektive.    Einlluss  der  Brechbar- 

:eit   des  äusseren   Mediums;    Erscheinungen  in  der  Atmosphäre. 

Einfluss  der  Diffusion   oder  Leuchtkrart   des  äusseren   Mediumet; 

Erscheinungen  am  Himmel.    Scheinbare  Grosse,  Enirernung,  Farbe 

od  Stellung  der  Sonne,  des  Mondes  und  der  Sterne;  Funkelnder 

iferne.     Erscheinungen   des   Meeres.     Farbendispersion  in  Folge 

pneyinnielrischer   Akkomodation    des    Auges.     Täuschungen  über 

idie  Form    der    Objekte.      Täuschungen    und    Unvollkommcnheiten 

lei'm  Sehen  mit  einem  Auge.     Kurzsichligkeit    und    Fernsichtig- 

:eit;   Brillen,    Uebersichtigkeit.    BetTaffnnng  des  Auges.    Strah- 


16 


ti/erarlscKer  tferichl  ClXt\ 


Icnphanoinene.  Erklärung  der  Strablenphünomene.  Lichlbüfe  uiid 
LichlOiinmer.  Irradiation  und  Lichlsäume.  Irradiation  dunkler 
Kürzer;  Schattensäume;  VeTHtärkim^;  der  Irradiation.  Gefiedert« 
Sterne,  Strahleiibüschel  und  Lichlltnrte.  Erltlfirung  der  geüedec 
(en  und  der  Büscbelstrahlen.  Besondere  Wirkungen  der  Angen- 
wim|icrn,  der  Augenlider  und  der  Augenbraoeii;  Erklärung  der 
Lichtbürle.  Drutkeriicbeinungen.  Wirkliebe  und  scbeinbare  Be- 
wegung. Dauer  des  Lichteindruckes;  lieharrungsvermügen.  Enlop- 
tiscbc  Gesicbtserscheinungen.  Nervenprocess,  auf  nelcbeiD  der 
Farbeneindruck  berubt;  Natur  der  Farben.  Nachbilder;  Blendung; 
Abklingen  der  Farben.  Erklärung  der  Nachbilder  und  des  Al>- 
'  klingens  der  Farben.  Sehen  im  farbigen  Lichte;  Disposition  dea 
Auges  zur  richtigen  EmpTindung  der  Farbe.  FehterhaDer  l'arbcf 
sinn;  Üallonismus.  Uicpositioii  des  Auges  zur  richtigen  Bcor 
Iheilung  der  Helligkeit  und  zum  scharfen  Sehen.  Glanz.  Ausdruck 
des  Auges.  Die  Gesetze  der  Kürperbildung.  Krankheit.  Pt»- 
jcktioa  nach  Aussen  ;  Aufrechtsehen  ;  fehlerhafter  Orts-  und  For* 
niensiiin.  Physiologische  Wirkung  der  Formen  und  Farben.  Das 
Gehur.  Das  Gefühl.  Der  Geschmack.  Der  Geruch.  Der  ninto- 
Tische  Apparat.  Das  (irundviesen  der  Sinne  und  der  .Seelen krSfte. 
Wie  viel  des  Interessanten  dieses  Werk  enthält,  geht  au 
dieser  Inhaltsangabe  deutlich  hervnr.  Der  grüssle  Theil  die»M 
zneifen  Theils  ist  für  jeden  wissenschaftlich  Gebildeten  ohw 
tiefere  mathematische  Kenntnisse  vütlig  veratändlicb,  and  gui 
geeignet,  das  Interesse  des  |;anzen  gebildeten  Theils  der  Gesell- 
scbaft  lebhaft  in  Anspruch  zu  nehmen. 


Resultate  ans  den  im  Jahre  1864  auf  der  Sternkarte 
zu  Kremsmünster  angestellten  meteorologischen  Be- 
obachtungen. Von  August  Kealbuber,  Director  dit 
Sternwarte.     Linz,     1805.     8". 

Aus  dem  Literar.  ßer.  Nr.  CLXVIII.  ist  den  Lesern  des  AtcUn 
bekannt,  mit  welchem  Eifer  und  mit  nie  schönem  Erfolg  derUecb- 
niirdige  Herr  Alit  der  lierühniten  Benedictiner-Abtci    zu  Kreins- 
r   dortigen   Sternwarte,   Herr    A.  Resl- 
logischen    Benbiichtungen    widmet    und  die 
en  regelmässig  verölFentlicht.     Jet7t  tie|e« 
den  ungemein  vollständigen,  alle   raeteoro- 
erhällnisse  in   weitester  Ausdehnung   berück  sie  btigEo* 
iifassenden  Beobachtungen   aus  dem   Jahre    1364  toTi 
Interessanten,    auch   über   allgemeine   Witteruogai 
hältnisse,    sehr  Vieles  enthalten,  und  auf  die  wir  daher  ^ 
der  sich  für  Meteorologie  interessirt,  recht  sehr  aufmeiksaili  4 


Uterarheher  8erle/,t  CLXXVIII. 


Vermischte  Schriften. 


miscbeo   (.Gesell-  ] 
(Vergl.   Liter 


äitziingshericbtc  der  kniiigl.  bül: 
Schaft  der  WisBenachaften  in  Prag. 
Ber.  Nr.  CLXXl.     S.  21.) 

Jahrgang  1865.  Jannar-Juni.  Jahrgang  IS64  dieser' 
sehr  verdienstlichen  Sitzungsberichte  ist  in  der  vorher  angegebe- 
nen Nummer  des  Lilerar.  Ber.  vollstSnöig  angezeigt  worden;  von 
Jahrgang  1865  liegt  uns  bis  jetzt  das  erste  Semestet-  vor,  vrei- 
ehes  diesmal  in  den  Kreis  des  Archivs  gehörende  AufHiitie  nicht 
enthält.  Nur  S.  86  Ündet  sich  die  Notiz,  dass  Herr  Ur.A.Kriin- 
wald  (als  Gast)  einen  Vortrag  über  die  imaginären  Grüs.ien  im 
Allgemeinen  hielt,  wobei  er  einige  neue  eigeutbämliche  Deßnitio- 
nen  der  hicbei-  einschlägigen  Terminologie  aufstellle,  deren  wei-  , 
tere  Ausführung  aber  auf  ein  anderes  Mal  eich  vorbehielt. 


Sitzungsberichte  der  künigl.  bayerischen  Alcade- 
mie  der  Wissenschaften  in  München.  (Vcrgl.  Lilerar. 
Ber.  Nr.  CLXXV.  S.  12.) 

1865.     II.     Heft  III.     Enthält  in  ilen  Kreis   des   Archivs  ge- 
.  hilreiide  Aufsätze  nicht. 

1863.     II.     Heft  IV.     Bauernfeind:    Reflexionsprisraen  mit  j 
r  Constanten  Ablenkungswinkeln.     (Mit  einer  Tafel-)     S.  :144. 


7ol.  V.     Fase.  II.     Upsaliae.     186i5.     4". 

Von  diesen  wichtigen  Sociefiitsschrjften  ist  Ser.  lert.   Vol.  V. 
n  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXI.  S.  16.  angezeigt  worden.    Der 
I  jetzt  vorliegende  Vol.  V.  Pasc.  II.   enthält  in   den   Kreis   des 
Archivs  gebürende  Abhandlungen  nicht,    sondern  nur  die  grosse 
'    Abhandlung:    „IVI  onographie  des  Chrysom^lid  es  de  I' Ame- 
rique.     Par  C.  Stäl.     III."     Dagegen   sind  auch  diesem  Bande J 
wieder  beigegeben  die  sehr  vollstSntligen ,    von  Herrn    Wacke 
barth  mit  der  grüssten  Sorgfalt  angestellten  und  mit   der  grüs 
ten   Sorgfalt  reducirten  meteorologischen  Beobachtungen  für  186'^« 
eine  Publication,    welche   uns    nicht    häufig   mit  solcher  Sorgfalt, 
Genauigkeit,    Vollständigkeit    und    Regel miissigkeit    entgegentritt 
und    für   die   die  Künigl.    Societüt   der   Wissenschaft    besonderen 
Dank  verdient. 


LUcrartscher  Bericht  ClXXVU'f. 


^n 


UpsBia    Uiiiversitets    Arsskrift.     Upsata,    Irycktlioi 
I   Edqalst  &  Ber^lunil. 

Der  .lahrgaDf!  1861 
und  wicI)H(;e  Abhanillur 
im  Llterar.Ber.Nr.CLV 
Einrichtung  dieser  BchJii 
angegeben  vrordeii,  in 
sere  Anzei 


r  JiuügeKeichneten,  vicln  (reffüche 
nthallenden  UiiiversitätsschrilU»  'u| 
,  angezeigt  und  auch  die  ;i]lgemeiu 
[1  hiictist  danbensirerthen  Pnlilicfillon 
;r  Beziehung  «vir  also  auf  jene  uo- 
jns  liier  mit  der  Angabe  des  loh«lla 


der  uns  vorliegenden  neueren  Jahrgänge,  so  weit  derselbe  in  ia 
Kreis  des  Archive  gehurt,  liegniigen  kr.niien,  und,  negen  itt 
un»  zugemessenen  beschrankten  Hannis,    auch  begnügen  mpasn. 

Jahrgang  1862.  H. Schultz:  Uärledning  afElement-Syala- 
met  V  für  Asteroiden  Aleiandra  (54).  —  H.  Schutts:  Mars,  b^ 
obaehtet  in  der  Opposilion  1862. 

Jahrgang  1863.  H.  Schultz:  Asteroiden  -  Befibachtangen 
1862.  —  G.  Dillnet:  Om  be.MSmniaiidel  ar  andre  grads  linier. 
(Enthält  eine  in  vieiracher  Beziehung  benierkenstverlhe,  ilem 
Herrn  Verfasser  ei genthiitn liehe  Behandlung  der  Linien  des  wei- 
ten Grades ) 

Jahrgang  1864.  H.  Schultz;  Beobachtungen  des  ComtlM 
II  1862.  -  H.  Schultz:  Beobachtungen  von  Nebelflecken  'm 
Jahre  1863.  —  H-  Schultz:  Beobachtungen  einiger  Aateroidw 
und  derCometen  des  Jahres  1863.  —  Dr.  Gullbrand  Elonsoi; 
Matheinatisk  Theurre  riir  Lirrantor  och  LiSOrsäkringar.  (Aufffie« 
ausführliche,  liberaus  griindtiche,  tü6  Seiten  umfassende,  ncM 
Theorie  der  Leibrenten  u.  s.  w,,  die  von  den  Hülfsraitteln  der 
Analysis  im  weitesten  Sinne  Gebrauch  macht,  machen  wir  Allt. 
die  sich  mit  politischer  Arithmetik  beschartigen,  recht  sebr  «ur- 
nierksani).  —  C.  F.  E.  Biürling:  Om  nägra  definita  lotegrsler» 
användnlng  tili  uttryck  lör  SeriesHuinmor  och  DifferentiaJ-flqtktlfr 
ners  sotutlon,  (Sehr  interessante  und  wichtige  Untereucbungei 
Über  die  Amvendung  der  heslimmten  Integrale  aufReihen-Sm- 
mirutig  und  Integration  der  Differentialgleichungen,  in  denenn- 
mentlich  eine  Reihe  sehr  merkwürdiger  allgemeiner  Theorcma  - 
I_VIII  —  bewiesen  wird.) 


Jahrgang  1865.     A.  D,  Wackerbarth: 
tunus.     (Diese  Abhandhing  ist  auch  unter  den 


Om  Planeten  Ne|r- 
besonderen  Titeli 


Om  Planeten  Neptuniis.     AT  Athanaa 
Didrik  Wackerbarth.     Upsala.  Edqaist  i 


LllerariscHffr  Bericht  VLX.K  \lll.  19 

ececbienen.     Diesollie  scheint  uns  iiiclit  liloss  fi'ir  die  Theorie  des 
Neptan    im   B^sondern,    sondern    vielmehr    in   allgemein    vrieeeiip- 
icbartlicher    Rücksicfit    fär  die    Theorie    der  Stürungsrechnungen 
überhaupt,  sefarlnteressaat  und  irichtig  zu  »ein.     Nach  einer  Ein- 
leitung giebt  der  Herr  Verfaseer  znerst  eine  Geschichte  der  Eut- 
deckung    des   Neptun    und    bieraul'    eine    etngebendere  Nachricht 
fiber  die  Arbeiten  von  Adams.    Der  wichtigste  und  umfangreichste 
Abschnitt  (S.  37— S.  125)  iet  jedenfalls  der  dritte  mit  der  Ueber- 
«cbrift:     „Theorien  für  Neptunus",  ivelüher  aber  hauptsäch- 
lich  durch  die  darin  niedergelegte  ausführliche,  sehr  scharfsinnige 
i  analytische  Behandlung  des  sogenannten  „Problems 
f  drei  Kiirper"  ron  dem  griissten  Interesse  ist,  neshalb  wir 
■  Leser  dringend  zur  sorgfältigsten  Beachtung  dieser  schH' 
n  Arbeit  auffordern.)  —  C.  F.  E,  Bjürling;    Sur  quelques  trans- 
rformations  d'integrales  dcfinies.     {Zu    der   in    dieser  kürzeren  Ab- 
I  bandlung  enthaltenen  Untersuchung   über  verschiedene  bestimmte 
^grale,    namentlich   aber    über  verschiedene   sehr    interessante 
ufür    die    genannte  Theorie  »icFitige   allgemeinere  Sätze,    ist 
LQerr  Verfasser  zunächst  durch  eine  Abhandlung  von  George 
!^le    im   „Cambridge  and  Dublin   Matbematical  Jour- 
al.     Vol.  IV."    veranlasst   wnrden,    in    tvelcher    derselbe   eines 
dieser  Theoreme   Erwähnung   thut,    ohne  selbiges   zu    beweisen; 
L  Alles  aber  i^t  in  dieser  sehr  zur  allgomeinsten  und  sorgfältigsten 
Brächtung  zu  empfehlenden  Aijbandlung  mit  dem  bekannten  Scharf- 
l'des  Herrn  Verfassers  und  mit  der  griissten,  keinem  Ziveifel 
I  lassenden  Gründlichkeit,  wodurch  dessen  sänimiliche  Arbei- 
fsich    60  sehr  auszeichnen  und    als  Muster  dastehen,    behan- 
ijjflU  worden.) 

Jeder  Jahrgang  dieser  trefflichen  und  nichtigen  „Irsskrift", 
elcher   wir   im    Interesse  der  Wissenschaft  den    ungestörtesten 
wünschen,    enthiilt  die  Jahresnachrichten    über  die  Uni- 
I  Cpsala  und  die  hnlbjühri^en  Lectionscatatoge. 

• 
Bei   dieser  Gelegenheit   mashen    wir  die   Leser   des  Arcbivu 
noch  auf  die  schon  früher  erschieMene^  aus  der  „Cpsala  Konfjl. 
V^tenskaps  ■  Societets   Ärsakrift"    besonders   abgedruckte 
Schrift : 

Geometrisk  Kalkyl  cller  Geomelriska  Quantiteters 
Räknelagar,  af  G.Dillner.  Cpsala.  C.  A.Leffler.  1860.  8. 
aufmerksam.  Diese  sehr  beachtensivertlie  Schrift  betrifft  ganz 
m  Ansichten  über  die  Theorie  der  imaginSren  Grössen, 
welche    der    Herr    Verfasser    nach   Gaue hy 's   Vorgange    (Exer- 


i 


Uffrarlicher  Bericht  CLX.Unr. 


20 

ciccs  d'Aiiiilyee.  T.  IV.)  mit  dem  Namen  „Geometriscbe 
GrDsseu"  bezeichnet  und  auch  im  Ganzen  auf  dem  von  diesem 
frrossen  Mathematiicer  eingeschlagenen  We!;e  behandelt.  Die 
Schriit  ist  mit  grosser  Gründlichkeit  und  Ueullicfikeit  verlaBst 
verdient,  wie  echon  ^esa^t,  der  Ueachlung  unserer  Leser  recbl 
sehr  emplohlen  zu  werden.  Wir  selbst  haben  von  derselben  viel' 
fachen  lehrreichen  Gebrauch  bei  unseren  eigenen  Arbeilen  gemncht 
□  nd  huBTen  auf  sie  im  Arclive  selbeil  in  einer  bi 
bandluijg  über  die  genmetrischen  Grüsscn  oder  geometrischen 
Quantitäten,  mit  nelcher  Benennung  wir  im  Ganzen  und  Allge- 
meinen  vollkommen  äbereinstiniraen,  /.uriick zukommen 


Anoali  di  Matematica  {iura  ed  appiicat;a  pubblictili 
da  Barnatia  Tortolini  e  cnmpilati  da  E.  Betti  a  Pisa, 
F.  Brioschi  a  Pavia,  A.  Genocchi  a  Torino,  B.  Torto* 
lini  a  Roma.     (Vergl.  Literar.  ßer.  Nr.  CLXXV,  S.  11.) 

Toni.  VII.  No.^.  SuII'  inversione  quadrica  delle  curvepiane. 
Memoria  d.  T.  A,  Hirst.  p,  49.  —  Sur  les  eijuations  simaltanecs 
homogenes  pnr  E.  Catalan.  p.  66.  -  Nota  atla  Memoria  U 
sig.  E,  Catalan,  dcl  Prof.  B.  Tortolini.  p.  70.  —  Degli  ia* 
varianti  e  covarianti  delle  forme  binarie  ed  in  particolare  di  quellt, 
di  3".  e  40.  grado  per  F.  Siacci.    p.  73. 


Giornule  di  Mateniatiche  ad  uso  degli  studeuti  delle 
universilil  italianc.  pubblicato  per  cura  dei  Prafei- 
sori  G.  Buttaglini,  V.  Janni  e  N.  Trudi.  Napoli.  (Siehe 
Literar.  Bericht  Hr.  CLXXV.  S.  11.) 

Volume  IM.  Settern  bre  e  Ottohre  1865.  Rofazione  di 
un  sislema  variabile  di  tre  masse  che  veriGcano  la  legge  dolte 
aree;  per  A.  de  Gasparis,  p.  237.  —  Sutle  trasrormazione^O- 
metriche  delle  figure  pia^ ;  per  L,  Cremona.  p.  261.  —  Su 
alcune  proprietä  delle  superlicie  rigate ;  per  Ulisse  Dint 
p.  2S1.  —  Sülle  forme  geonoetricbe  di  2".  specie;  per  G.  Bat- 
taglini.  p.  2»8.  —  Kicerche  delle  quistioni  33  e  34  ;  per  A.  A 
meiianle.    p.  313.  —  Quislione.    p.  320. 

Volume  III.  Novemitre  e  Dicembre  1865.  Sülle  super- 
Qcie  gohhe.  Nota  di  Ulissi  D-ini.  p.  321.  —  1  Principli  delb 
Prospettiva  lineare  secoiido  Taylor.  Per  Marco  Uglieoi.  p.  336. 
—  Rotazione  di  un  sisfema  variabile  di  Ire  masse  che  veriBcaw 
la  legge  delle  aree.  Per  Ä  de  Gasparis.  (Contin.  Vedi  p.  SOttj 
p.  344.    —    Sülle    trasformationi   geometricbe    delle    figure    pUofr 


Ulerarf scher  BerlcAl  CLXXVIll. 


Nofa  11".  del  Prof.  L.  Cremona.     (Contin.  Vedi  pag.  280.)  p 

—  Soluzione  delle  fjutetioDi  5,  6,  7.     Per  Ciro  Sard'i.     (Contin. 
Vedi  pag.  99.}.     p.  377. 


Die  in  allen  Ueziebungen    treffliche   und    wichtige  Zeitschrift  1 

II  Politecnico 

scheint  in  Deutschland  nicht  sehr  bekannt  zu  sein,  und  verdient 
doch  diese  Bekanntschaft  im  hiichsten  Grade.  Da  dieselbe  vom 
Jahre  1866  an  eine  veränderte  Einrichtung  erhalten  hat,  indem 
der  berühmte  Mathematiker  und  Director  des  grossen  technischen 
Instituts  in  Mailand,  Herr  Francesco  Brioschi,  Senator  des 
Reichs,  als  Director  an  ihre  Spitze  getreten  ist,  so  glauben  wir 
auf  den  Dank  unserer  Leser  rechnen  zu  dürfen,  «renn  wir  den  , 
folgenden  uns  gütigst  niitgetheilten  Prospect  der  neuen  Serift  I 
vollständig  zu  ihrer  Kenntniss  bringen.  G. 


IL  POLITECltflCO. 

lANIFESTO  DELLl   aV\BTi   SERIE. 

La  qirarta  Serie  del  Politecnico,  che  s'inizia  col  prossima 
anno,  se  differirä  in  qualche  parte  dalle  precedenfi  rispetto  all'indi- 
rizzo  generale,  e  ad  alcune  forme  <li  pubhlicaziune,  deve  cofisi- 
d«rarsi  come  continuazinne  di  iguell«,  giudicata  dagli  scopi  parti- 
colari  che  intende  raggiungere. 

L'lllustre  foiidatore  del  Politecnico  allorquando  annunciaval 
nel  1837  la  nuova  pubblicazione  chiariva  il  concelto  educalivo  di  i 
essa  Bcriveudo ;  Noi  intemliamo  fhrci  i/uasi  inierpreli  e  media- 
tori  fra  le  contemplaiioni  dei  pochi  e  le  ahitudmi  dei  molti; 
e  dilineava  con  maestra  raano  la  natura  ed  i  limiti  delle  diacipline 
e  degli  argomenti,  che  il  nuovo  repertorio  di  studi  applicati  alla 
prosperitä  e  coltura  sociale  sarebbe  venuto  svolgendo,  colle  paroIe: 
CV»!  dalle  Arti  che  riijuardnno  i  corpi,  ci  faremo  strada  a  quelle 
che  riguardano  le  trarunzioni  sociali  ed  il  perfeiionamenio  deW 
itttelletto  e  del  gusto,  sempre  evUaxdo  le  indagini  sctibrose  colle 
quali  gli  sciemiaii  ti  inoltrano  alle  neoperte ,  e  temjrre  cercando 
di  Iradurle  all'uso  generale,  affinche  questo  repertorio  sia  piut-  j 
totto  iUMidio  al  fare  che  alCastratto  sapere. 


r22 


Werarhcher  Bericht  CLX. 


3P 


m 

^^^B  L'npparizivne   de)  Pollt«cnlco  fu   accolta   nel   uosirn  paen 

P  con  favore  jiBri  alla  Qducia  che   snio  poteva  ispirare    l'alta   iiitel 

l  ligenza  del    suo  lürellore   e  la   dnltrina  degli  unmini    die  ton  lui 

dividcvano   lal  collaborazione.     E  quegto    farure  iinn  venue  mal  t 
I  niancare;   la  iiosfra  generazione  non  polrä  dimeiilicare  quaiito  eaa 

I  deve  a  quella  pobhlicazione  e  mmineiiterä  sempre  con  grato  anilH 

L  la  benefica  influenza   del  Politeenlco  nel  manfener   vira   fta  noi 

^^^B       la,rede^nei  rorti'studi. 

^^^H  Noi  non  intendiaino  nella  nuova  Serie   dipartirci  dagli  intenll 

^^^V  della  prima;  ma  poich^  akuite  fra  quelle  Arti  sano  siffattaniente 
^^^^  progredite  in  quesit  aniii  da  nieritarsi  pubbJicaziani  e  lettnri  spe- 
cial!, abbianio  pensato  raccoglierle  in  (tue  gruppi  e  destinare  ■ 
ciascuiio  di  essi  l'ascicoli  distinti.  Qnesla  prima  modiGcastDrie  «II' 
anlicD  programnia  nienire  ci  pemiotterä  da  nu  lata  di  dare  nii 
caratlere  piü  spiccatamenle 'lelterario  ad  una  parte  del  periuJico, 
ci  renderä  pnssibile  dall'  altm  aiutare  con  maggior  vigore  il  mn- 
vimento  degU  studt  tecnici  in  llalia, 
^b  Mai   ci  si  domanderä,  qvali  aona   i  principr   coi    quali  intM* 

H[  dete  dirigere  la  nuova  Serie,  quäle  lordiii«  ilelle  idee  <.-he  inUn- 
■  dete  Bostenere  e  promnovcreV  Noi  coiisideiiamo  prim«  iMa 
nostro  il  dare  chiara  e  p'rceisa  risposla  a  tgueata  doiiianda,  e  |ier 
rispetti)  alle  egregie  persone  che  coi  loro  lavuri  voranno  ajutird 
nel  dinicile  assunto,  come  per  riepettn  a  tutti  Cüloro  i  quali,  ll 
pari  di  noi,  riconobbero  sempre  iicl  Polltccnleo  uiio  fra  i  priii- 
cipali  periodici  cbe  cootribuirono  allo  svilujipo  intellelluale  itel 
noBlro  paese. 
^t  La  polilica,  la  letteraturu,  l'arte,  le  scienze  morali,  le  scient 

^M  positive:  ecco  it  vasto  canipi)  dei  lavorl  che  Irnv«ranuo  poata  Qt) 
^M  fascicolo  cbe  distinguemnio  coi  titolo  di  Fahtr  lbttekahia,  qnstl 
^1  ad  indtcare  che  essi  devono  manlenersi  diretti  a  collnra  geuenfl. 
^M  La  politica  poträ  es>^ere  traltata  in  articoli  epeciali,  elosvi 

^P    neneilmente    in  una  rivlsta  dei  fatli  principali   di   polilica  ertera 
e  dei    lavori    parlamentari.     II   noelro  Programnia  in  quesla  part> 
e  eemplice,  ed  il  carattere  atesso   della  pubblicazioDe  ci  renderi 
facile  il  mantenerci   ad  ess«    l'edeli.     La  jinlilica  e   per   noi  Aitt 
H      sociale,  pratica,  progres§iva;    percib  lonlaiii  da  «gni  cslremii,  ni 
^b    tolleranti  delle  altrui  opinioiii,   acceltoreiuo  e  prnmuoveretno  og« 
^P    reale  progreseo  da  qualunque  parte  esso  eia  iniziato. 
^^  Sarenio  meno  tolleranti  iiel  canipo  letterario  e  scietittfice.  L( 

nostre  riviste  bibliograßchu    di    lelteraturu,    di  arte,   di  storik.  ' 
linguittlica,    di  filosoli&j   dt    «cienze    natural),    luirerannn    special- 
^^     Diente  alla  critica,  allontanaiidoci  in  questa  parte,    forse  piü  At 
^L  dall'esempio,  dal  proposili  d(;tregregio  fouilalore  det  P«]lteBMlM> 


Liier /iriscier  Berlcbl  CLXXVIII.  23 

—  Se  (lobbiamo  convenire  cnn  lai  che  ttamnretza  e  di  mateco' 
leitza  giä  vanno  abheveramlo  le  ffenti  a  saxieta  la  poliliea  e  la 
ieoloijia,  noi  pensininn  la  critica  iiljbia  missione  cnsi  alta,  poasK 
mantenersi  in  una  atmosrera  si  pora,  da  noti  meritarsi  d'essere 
cnnfiisa  cnll«  lotte  meschine  ili  una  pnlitica  ambiziosa  o  parligiana. 
Noi  mirereirid  aUKÜiitto  a  che  la  rivisla  al»bia  dal  lato  scientifico 
un  indirizzo  determinato;  e  nnstra  {:onvinz)oite  che  essa  noti  po- 
trebbe  aspirare  ad  influeiiza  alcuiia,  se  og«)  si  facesse  promovi- 
trif  e  di  idee  die  doniani  poi  abbandonnsse.  L'eclettisnio  le  aarebbe, 
%  iioefro  avviso,  dannoso,  come  il  I'nrsi  campione  di  un  determi- 
nato aistenia  tilosoGcn.  Ed  anc:he  ir  qitesta  parte  il  nostro  c6m- 
pito  e  preciso;  noi  sinnio  vemili  di  huona  scuola,  diremo  col 
Cotlaneo,  ed  «lieni  da  ogni  piegiudi^io,  prnpugnereino  tutti  quei 
veri  che  la  nigione  discopre  quali  corollart  di  accurate  oeserva- 
zioni  ed  esperrenze.  II  metodo  sperimenlnle  e  oggi  1'  unico  metodo 
acientiOco;    la  critica  dei  fatli  da  alle  scicnze  il  loro  vero  carattere> 

II   fuscicolo   deslinato    agli    stot]i    teciiicl    rappreseriterä,    per 

quanto  6  possibile,  il  moviniento  indastriale  del  paese.     Khbo  cer- 

cherä  dare  tutte  le  notizie  che  lo  riijuardano  e  che  ora  o  luancano 

affatto  *>  soiKi  disperse  in  tmnierose  pubblicazloni  poeo   note  o  di 

proporzinni  froppo   risfrelte  per  avere  nutoritä    e  puliblicilä  sufG- 

L     L'iente.    Nun   intendiamn  debba  essere  esclusivamenle  l'organo  di 

Lmp  dato   numero    di   persoiie,    ne  di   una  determinata  istituzione, 

^Binie  lo  sono  alcuni  fra  i  periodic!   stranieri   di   identica    natura, 

^^Hp  debba  aspirare  fin  dal  primo  ninmenlo  a  farsi  centro  di  tutte 

^^lelle  pubblicazloni  le  quali    tendono    a  promuovere    i   progressi 

deU'indnstria    e    delle    scienze    da    cut   derivano.      Percio    olEre  a 

lavori    originali    intorno    le    varic    Industrie    che    dipendono    datia 

fneccanica,  dalla  Gsica,   dalla  cliimica,   dalle  scienze  natiirali;    ed 

a  lavori  concerneiiti  le  costruzioni,    t'idrnulica,    reonomia  riirale, 

il  Polttecnico,    in    questa    parte,     ccimprendera    lavori    speciali 

sulle  grandi  costruzioni  che  si   vanno  compieudo  in  paese,    e  an 

tutte  Ig  quistioni  tecniche  cd  indnstriali  le  quali   legansi  ai  nostri 

niateriali   interessi.     Importa,   inline,    far   conoscere    fra    noi   tutto 

quanto   di  iiotevole  si   fa  e  si    pubhlica  all'estero.     Una  serie  di 

riviate  e  comuiiicazioni  epeciali  corrisponderanno  a  queslo  intento; 

qaalunque    pubblicazione,    qualunque    macchina   o  processo    indu- 

striale  che  costituisca  un  vero  progresso  in  una  data  fabbricasione 

od  in  un  dato  ordine  di  lavori,  sarä  csposlo  nel  (üornale  con  tutte 

quelle    illuatrazioni    le    quali    richiedonai    per    reiulerlo    completa-  ' 

mente  noto. 

Qaesla  breve  rasiiegna  degli   intendimeiiti,    delle   idee,    delle 
speranze  colle  quali  ci  accingiamo  a  cnnlinuare  un'  opera  che  il 


pubblico   non  disgin 
ci  ba  una  volta  <Ii  piii 


Non  ci  dissimitlia 


assatniamo, 
via ;    ma 

i  (liraeiilicare  che  i  noslri  sfi 
ormat  poleva  dirsi  ahbandonato. 

Milano,    18  Uecembre  18«5. 


/;  Direltore:    Fror.  PRANOBSOO  BRIOSCBL 


II   FOUTEGNICO    neW  anno   1866  \iseirh  in  dae  dhUnli  JasdeoU  opiä  m 
>  conterrä  la  FiliId  letti^rarin.    l'allro  la  Parte  tccnica. 

Ogni  Jascicoto  avrh  non  meno  di  sei  fogli  di  stampa  in  S'*-grandi,  cBt> 
di  calia  t  earatteri  nitäti,  oltre  i  dittgni,  ü  lüograße,  acc. ,  richieali  doijl  11t- 
MOrit  che  in  esan  ti  conlentasero. 

Veirä  pubblicalo  in  due  volle,   fl  precisamente  il  quindici  e  f  nltimo  it  tpi 
-  La  Faite  letteraria  tmcirkil  IB,  /a  Parte  tecnicu  mcträrn" 

'arin,  o  ailasola  Pario  itciict. 


UferaHschef  Bericht  CLXXfW. 


stnora  dal   norae  del   suu  Fondatnre, 
ili   della   grare  responsabilitä   che  ci 


la   diibcollä   che   troveremo  pef 

il  giuilicore  oggi  la  nostra  impresa, 

direlti  a  rialxare  cifi  eba 


hlibcro  FablmoimrsianasolaFa.Tle  !i 
U  abbuonamtnM  i  per  un'  iatefa  annala, 

Jl  pre2zo  di  abbaonajagiito ,  caaipresa  Va^rancatura  in  tittlo  it  / 

per  la   Furie  lettGrOiria,    i  di  il,  Lire  34  alCaanoi 

per  la  Parto  tecnica,  ipurediit  „      24  aW  anno. 

H  prexio  di  ahbtinnamenio   per   ambedue  le  parti,    lelUrar 

k  di  iU  Lim  40  lue  anno. 

J'er  F  ettero  ti  agjiungoita  in  piii  U  »peae  postaU. 
L'  abbuaTiainenio  si  paga  per  ttneslri  anticipati. 
Tiiiä'  quei  Sigaori,    che   dai   nastri    Reginiri   risullana    come     ahl 
anno  186C>,   ncmeraniio   H  primo  fiiadcoh.   eoüa  preghiera   di  ritaai 
lendono  di  non  abbvonarsi;    o  di  spcäire  il  prczai  aemeatr^e 
lo  tratiengona. 

Chi  deaideraaae   allere  Kilo   FairCe  piiilicstochi  Tallra,    n  lulle  due,  ipfr 

jato  dartent  awiso  in  tetapo  dcbito.  _. 

Quei  Signori  i  gaali,  conoacivfo  ü  nuovo  indirimo  e  riparto  del  V(^tSIiCßB^ 

20  dei  Feriodici  pubbltci,    na  a  mesio  del  presente  ManifeiiCo,  Mi^ 

i  abbuonarei,   toao  pregati   dateene   abviao  cen   lettera   afiranoM  rao- 

tMudente  ü    Vagiia  del  pretzo  iemealrale, 

I  signori  Librai   ehe   ci   trasmeiteraana   le  ßrms    originiüi  degli  (i6tw 

nno  un  proeenlo.  —  Se  /aranno  cüibuonati  direäamenle ,    godraiim  ti 

0  Konto,  ma  davranno  adeiapiere  le  eondixioal  di pago/nealo  come  («mafci- 

in   si   riconoscp,    verua    alto    relalivo    all  Anmima»aMene    del    Oitn«^  9. 

POLITECRICO,    dal  isee  mnan»,    ae    non  i    munito    della  ßrma    dtl  sotUtcrlHi. 

designata  a    Gereute  dal  Pruprietario  del  Giornalo  ateaso. 

L'uffido  del  POLITECNICO  i  <»    Via  s.  Radegondä,  N°.  10, 
Jolle  II  aalim.  alle  3   pamer.  nei   di  feriali,    e    dalle  11    ad    vn' ora  paBOtt  «f. 


rrisponrfesso  (a  leconda  del  sua  a 
vengoHO  indiriiiali  o  alla  Diraxione  del  Police 
del  Politecnico,  äiMilarto,  e  sempre  colta 


ienuto)    i  Giomali,    i  Libri, 
rnico,  omero  airAmministraiiO» 
■ndicasione  ferma  In  P« 


mmmm 


I  dem  mir  gütigst  zugesandten  Pj 
t- GymoBsiuma  iti  Eüriigülierg  i.  Pr. 
t  8.  35.  einige  Notiien  über  das  Leb< 
pbratorbenen  Professors    an  dieseni  Gyo 


Jobana  Friedrich  K5ntg, 


Literarischer  Bericht 

CLXXIX. 


n  des  Kneiphlilischen 
I  Ostern  IS66  finden 
n  9.  Septbr.  1865 


'elchem    das   „Archiv"  mehrere    werthvolle  Beiträge    rerdankt; 
^daher  macht  es  mir  besondere  Freude,  diese  Notisen   den  Löse 
I  Archivs  in  Folgendem  mitzulhciieti : 

„Johann  Friedrich  König  war  ^it  Lnbischin  bei  Brnmberg, 
|j]er  Vater  Pastor  »ar,  am  1.  April  1798  geboren.  Vom  hieai- 
Collegium  Friedericianum  1818  dimittirt,  studirte  er  unter 
Bessel  Malhematik  und  begann  bereits  181&  an  der  hiesigen  Dom- 
schule  zu  unterrichten.  Ihr  ist  er  bia  an  seinen  Tod  treu  geblie- 
ben. Im  Jahre  18-22  ivurde  er  als  ordentlicher  Lehrer  angestellt 
und  als  die  Schule  im  Jahre  1831  in  ein  Gymnasium  umgetrandelt 
wurde,  bekleidete  er  bereits  die  zHeite  Oberlehrerstelle,  von  der 
er  1835  in  die  erste  Stelle  beOlrdert  wurde;  im  Jahre  1839  erhielt 
er  das  Patent  als  Künigl.  Profeiisor.  Im  Druck  sind  von  ihm  meh- 
rere mathematische  Abhandinngen  in  den  Programmen  des  Koetp- 
hS&echen  Gymnasiums  erschienen,  tvelche  zum  Theü  in  dem  Ar- 
chiv für  Mathematik  und  Physik  von  Grunert  wieder  ' 
abgedruckt  sind.  Ausgezeichnet  dur«h  wissenachartliche  Bildung, 
durch  strenge  Gewissenhartigkeil  und  nie  ermüdenden  Eifer  in  der 
Erftlllung  seiner  Berurspflichten,  wie  durch  die  Biederkeit  seines 
Charakters,  hat  er  sich  um  die  Schule,  an  welcher  er  46  Jahre 
gearbeitet,  grosse  Verdienste  erworlten.  Während  er  sich  stets 
einer  festen  Gesundheit  erfreut  hatte,  traf  ihn  im  Laufe  des  Jah- 
TIil.XL"V,Hfl.3. 


Uierariicher  Bericht  CLKXIX. 

res  1861  das  scbn-«re  Un^lGck,  den  Angenlicbles  Taat  gans  bersubt 

I  werden.  Zwei  lange  Jahre  vom  I.  Januar  1862  an,  moBste 
auf  jede  Thätigkeil  verzichten.  Mit  dem  Beginn  des  Jahres  1664 
kehrte  er  nach  einer  glücklichen  Operation  mit  frischem  Hutbe 
SU  seiner  Arbeit  zurück,  der  er  sich  du»  wieder  mit  einer  solcbea 
Liebe  widmete,  dass  wir  dem  Eifer  des  «echs  und  sechszigj&bri- 
gen  Mannes  unsere  Bewunderung  nicht  versagen  konnten,  Un 
80  überraschender  kam  uns  »ein  Tod.  Am  1J.  September  beglai- 
teten  wir  ihn  zu  seiner  letzten  Ruhestätte." 

Soviel  ich  weiss,  ist  der  verdiente,  hauptsächlich  dnrchsdnB 
Leistungen  auf  dem  Gebiete  der  Akustik  bcrQhnite  MecbaoÜter. 
Herr  Rudnlpb  König  in  Paris,  von  dem  im  Archiv  cfter  dit 
Rede  gewesen  ist  (m.  s.  %.  ß:  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXUI.  M 
ein  Sohn    des  Verstorbenen. 


41 


Durch  die  uns  (gütigst  zugesandte  Schrift:  Simon  Stampfar. 
Eine  Lebensskizze,  bparbeilet  von  Prof.  J.Herr.  Wien 
1865.  8*).  ist  der  im  Literar.  Ber.  Nr.  CLXiX.  S.  2.  Tonnro 
ausgesprochene,  später  wiederholte  Wunsch  wegen  Millheilnif 
eines  INecroIngs  des  dahingeschiedenen  trefflichen  und  bodlt«^ 
verdienten  Simon  Stampfer  in  einer  Weise  erfüllt  worden,  dit 
uns  zu  dem  grüsslen  Danke  verpSichtet.  Da  die,  eine  ausftUir 
Jfche  sehr  lehrreiche  Schilderung  der  wissenschaftlichen  Verdieoit* 
Stampfers  enthaltende  Schrift  30  Seiten  urofasat,  so  M  ät» 
vollstündige  Mitlheilung  derselben  hier  unmüglich,  so  ilsss  ttli 
uns  auf  die  Scbilderuag  der  äusseren  Lehensschickaale  des  >u- 
dienten  Mannes  und  die  Mitlheilung  des  vollständigeu  Veneict- 
nlsses  seiner  Schriften  beschränken  müssen,  im  Cehrigen  au'  dta 
schöne  Schrift  selbst  verweisend.  Jünger  der  Wis8enächanmlt|en 
auch  aus  diesem  lehrreichen  Leben  entnehmen,  wie  oft  um  die  Wis- 
senschaft hochverdiente  Männer  sich  aus  niedrigen  Lehens^hS- 
ren  durch  unermüdlichen  Fleiss  bis  zu  dem  hohen  Standpunkte 
empor  gearbeitet  haben,  von  dem  sie  der  Tod  abrief.  G, 

Simon  Stampfer 

wurde  am  28.  October  1792  zu  Windiscb-Mattrai  in  Tirot  i 
Kein  freundlicher  Genius  geleitete  ihn  durch  die  erste  Ju}^ 
Seine  Aeltern,  ohne  eigenes  Besitzthum,  vom  Taglohne  k 
lieh  ihr  Leben  fristend,  waren  nicht  im  Stande,  die  aus  fänf  B 
dern  bestehende  Familie  zu  ernäbien,  und  der  Eoabe  hireb  (1 
r  Wohlthätigkeit  äberlasBen ,  ind«u  er  bsid  in  ifieseta,  baUto  1 


LtterariiCher  Bericht  CLXXIX. 

jenen]  Banernhore  lebte  and  durch  seine  Dienste  ala  Hirtenkoabe 
auf  den  Triften  der  Alpen  den  erwiesenen  Liebesdien-it  vergalt. 
Von  einem  derselben  erhielt  endlich  Stampfer,  bereits  1]  Jahr 
alt,  auf  sein  inständiges  Bitten  und  auf  Verwendung  seiner  Mutter 
die  Erlaubniss,  die  Schute  eu  besuchen,  tvo  er  durch  seine  Fähig- 
keiten bald  die  Aufmerksainkeit  des  Ortsseelsorgera,  Dechant 
Ceorg  Hrandstätter,  auf  sich  zog,  der  ihn  in  sein  Haus  auf- 
und  es  theils  durch  »eine,  th«ils  anderer  WoblthBler  Uuter- 
inngermtiglichte,  dass  StanipTer  im  nächsten  Jahre  die  Lehr- 
I  Lienz  in  Tirol  besuchen  tionnte.  Aber  schon  nach  ztrei 
wbren  wurde  diese  Studienaiislalt  nur^elust  und  Stampfer  zog, 
«Ue  Schwierigkeiten  fiberwindeud,  die  seine  gänzlich  mittellose 
Lage  dem  Unternehmen  in  den  Weg  legte,  nach  Salzburg,  wo  er 
in  den  Jahren  1800  bis  1811  die  Gymnasial-Studien  absolvirte  und 
io  den  beiden  folgenden  Jahren  an  dem  eben  damals  neu  organi- 
sliteo  Lyceum  die  beiden  philosophischen  Curse  mit  Ausceicbnnng 
Earücklegte.  Anfänglich  war  er  hier  fast  gänzlich  auf  die  Unter- 
stützung von  Wohlthätern  angewiesen,  hatte  sieb  aber  bald  das 
Vertrauen  in  dem  Maasse  erworben,  dass  er  durch  Privatunterricht 
seinen  Lebensunterhalt  enverben  konnte.  So  war  Stampfer  in 
harter  Schule  zum  Jünglinge  herangereift  und  sollte  nun  die  Wahl 
einer  Lebensbesttmraung  treffeo.  Uem  innern  Berufe  folgend,  der 
ihn  mit  «nwidecetehlicher  Macht  zum  Lehramte  und  zur  Wissen- 
schaft hinzog,  verfolgte  er  dieses  Ziel  mit  unermüdlichem  Eifer. 
Schon  während  seiner  Studien  waren  es  vorzugsvieise  die  mathe- 
matischen Wissenschaften,  die  er  mit  Vorliebe  und  hervorragendem 
Erfolge  betrieb.  Salzburg  stand  daraals  unter  k.  bayerischer  Herr- 
8cbal>,  und  Stampfer  unterzog  sich  im  Jahre  1SI4  der  Lehramts- 
prüfung vor  der  k.  Prüfungs  Commission  in  München  mit  Auszeich- 
nnng,  doch  wurde  seine  Aufnahme  unter  die  Lehramti^candidaten 
des  Königreiches  Bayern  von  der  vorausgängigen  Erwerbung  des 
Indigenates  abhängig  gemacht.  In  Folge  der  im  Jahre  1816  er- 
folgten Rückkehr  Salzburgs  unter  österreichische  Herrschaft  machte 
jedoch  Stampfer  in  dieser  Richtung  keinen  weiteren  Schritt,  um 
■D  weniger,  als  er  noch  in  demselben  Jahre  zum  supplirenden 
Lehrer  der  Mathematik,  Naturgeschichte,  Physik  und  griechischen 
Sprache  am  k.  k.  Gymnasium,  sotvie  der  Elementarmathematik, 
der  Physik  und  angewandten  Mathematik  am  k.  k.  Lyceam  in 
Salzburg,  und  im  Jahre  1819  zum  •'iffentl.  ord.  Professor  der  retoen 
£lem entarm atheniatik  an  letztgenannter  Lehranstalt  ernannt  wurde- 
So  hatte  denn  Stampfer  das  Ziel  erreicht,  das  er,  im  Kampfe 
—  (Bit  den  grössten  Schwierigkeiten,    mit  unermüdlicher  Beharrlich' 

^Uji^durch  12  Jahre  verfolgte. 

^^^^Htfl  Art,  wie  Stampfer  seine  Aufgabe  aU  Lehrer  erfa8ate,d 


■•^T 


Iheilnehm 
fehlte  es  nie  a 
dere  Messunget 
rer  der  Natur  i 


UlerarUcher  Berlehl  CIXXIX. 

mussle  ihm  rajiich  Ansehen    und  Ruf  verschaffen.      (üetrAgen 

-  edlen  Begeisterung  fO'r  Schule  und  WissenRchaft,  gestülxt 
auf  ein  umfassendes  und  sicheres  Wiegen,  von  narmer  und  hin- 
gebender Liebe  zur  Jugend  beseelt;  dabei  geleitet  vuii  einem  pi- 
dagogischen  Tacte,  der  ihn  in  der  Wahl  der  richtigen  Alittel  nie 
fehlgreifen  liess,  wusste  er  die  fähigeren  Küpfe  auf  eine  be|>eK 
sternde  Weise  an  sich  zu  fesseln,  und  viele  seiner  Schüler  erin- 
nerten eich  noch  in  später  Zeil  gerne  und  dankbar  des  nohithi- 
tigen  Einflasses  ihres  hochverehrten  Lehrers.  Mit  Vorliebe  »eille 
er  im  Kreise  seiner  Schüler,  erfassle  mit  sicherem  Bliebe  die 
eigenthttmlichen  Fähigkeiten  des  Einzelnen  und  verstand  es  t» 
seltener  Weise,  jeden  geistig  anzuregen  und  in  seinem  ivisMii* 
schädlichen  Streben  zu  fiirdern.  In  Ferienzeiten  machte  er  binl; 
Excursionen  mit  seinen  Schülern  in  die  Cmgebuiigen  Salzburgs, 
insbesondere  auf  die  benachbarten  Berge,  den  Untersherg,  Sei«- 
berg,  Watzman;  es  waren  dies  Feste  für  die  Schüler,  an  welcbei 
dürfen  als  Ehre  und  Auszeichnung  galt;  dabtl 
n  Stoff  zur  Belehrung,  den  barometrische  nnd  an- 
I  darboten,  und  den  überhaupt  der  geistvolle  Leb* 
1  allen  ihren  Erscheinungen  abzugewinJlbn  imwK- 

Nicht  minder  bedeutend  war  schon  zu  jener  Zeil  Stampfer'j 
wissenscbaftlicbe  Thätigkeit.  In  kurzer  Zeit  hatte  er  sieb  ad 
dem  Gebiete  der  höheren  Mathematik,  der  praktischen  Geomelrii 
und  Astronomie  dnrch  Selbststudium  heimisch  gemacht  und  M- 
menllicb  waren  es  die  letztgenannten  Wissenschaften,  n-elthe.  la- 
dem  sie  seinem  eminenten  praktischen  Talente  ein  weites  Feld  dtr 
fruchtbarsten  Thätigkeit  eröffneten,  von  ihm  mit  eben  so  grnMM 
Eifer  als  Erfolge  gepflegt  wurden.  Mit  den  nenigen  und  nntall- 
komfflenen  Hilfsmitteln,  welche  das  physikalische  Ciibinet  der  Leb- 
anstatt  darbot  (ein  Quadrant  von  Brander,  welcher  die  Winkel 
bis  auf  10  See.  zu  messen  gestattete,  und  ein  ach romatlschea 
Zugfernrohr  waren  die  vorzüglichsten  Stücke,  zn  welchen  sich  nocb 
ein  auf  eigene  Kosten  erworbener  Sextant  von  Bauniann  f/t 
seilte),  stellte  er  seit  dem  Jahre  1816  regelmässig  astronomische 
Beobachtungen  an  und  berechnete  Kometenbahnen  nach  OlbeTi 
Methode  aus  eigenen  Beobachtungen,  die  er  mit  dem  obenerwibf 
ten  Fernrohre  machte.  In  Salzburg  und  dessen  Umgebangen  filbrtt 
er  viele  geodätische  Messungen  aus  und  machte  auf  seinen  El- 
cutsionen  zahlreiche  barnmetrlscbc  Huhenbestinimungen.  Bei  i« 
Beschränktheit  der  wissenschaftlichen  Hilfsmittel,  welche  ihm  U 
Gebote  standen,  kam  ihm  seine  seltene  Erfindungsgabe  und  ma- 
nuelle Geschicklichkeit  vortrefflich  zu  statten.  Er  verfertigte 
romeler,  Thermometer,  Distanzmesser  u.  dgl,  (es  sind  solche  1a- 


mmsmsimmiF 


sframente  aus  jener  Zeit  noch  gegenivartig  vorbanden),  und  war 
nie  verlegen,  wenn  ea  sich  darum  handelte,  in  gchivierigen  Fällen 
Kath  zu  schaffen. 

Im  Jahre  1816  trat  StampTer  in  jene  freundschaftlichen, 
durch  das  Band  der  WissenRchaft  geknüpften  Beziehungen  Eura 
Stifte  KrenisTnünster,  ivelche  bis  an  sein  Lebensende  dauerten. 
In  den  gasllicben  Mauern  dieses  berühmten  Stiftes,  das  durch  die 
Pflege  der  Wissenschaften,  insbesondere  der  Astronomie,  sich  in 
rShmlichster  Weise  ausgezeichnet,  brachte  er  hSulig  einen  Theil  der 
Herbstferien  zu,  und  vertiefte  sich  in  dje  literarischen  Schätze  und 
den  der  Sternkunde  dienenden  Apparat  der  vom  Abte  Fixlmülloep 
in  den  Jahren  1748  bis  179S  erbauten  Sternwarte,  des  „aslrono- 
niischen  Thurmcs",  wie  der  Volksmiind  sie  nennt,  an  weluher 
damals  P.  Th.  Derfflinger  als  Astronom  wirkte,  und  die  später 
unter  der  Direction  der  IrefHichen  Astronomen  Marian  Koller 
und  Augustin  Keslbuber  der  Wiesenschaft  immer  herrliche 
Früchte  getragen   hat  und  noch  fortwährend  trSgt. 

Es  konnte  nicht  fehlen,  dass  Stampfer's  hervorragende 
Thätigkelt  die  Aufnierksanikeit  von  Fachgenossen  auf  sich  zog  und 
er  bald  Gelegenheit  fand,  an  grü8s«ren  Unternehmungen  tbeilzu- 
Tiehmen.  Zum  Behufs  der  Regulirung  der  Grenze  zwischen  den 
Folge  des  Staats  Vertrages  vom  14.  April  1816  an  die  Krone 
Oestreicii  wieder  zurückgefallenen  Provinzen  und  dem  KUnigreiche 
'ar    unter  der  Leitung    des    Obersten    v.  Fallon,    Chef 

k.  k.  Militär-Triangulirungsdirection,  eine  k.  k.  Demarcations- 
!ommission,  bestehend  aus  den  Obristüeutenants  Nageldin- 
nnd    Weiss,    Major  v.  IMyrb  ach,    Hauptmann  Spanoghi 

Lieutenant  Pbilippovic,  bestellt,  zu  deren  Arbeiten  auch 
ipfer  hergezogen  wurde  nnd  bei  den  erforderlichen  geodäti- 
len  Operationen  unter  den  schwierigsten  Verhältnissen  wesent- 
liche Dienste  leistete.  Dies  war  insbesondere  bei  der  Berichtigung 
der  neuen  Landesgrenze  der  Fall,  mit  welcher  ein  für  beide  Nach- 
barstaaten und  Uferbewnhner  gleich  wichtiges  Flussbausysfem  ver- 
banden sein  sollte,  wozu  es  unerlässüch  war,  die  angenommene 
Flnss-Ttectificalionslinie  an  fixe  Punkte  so  anzubinden,  dass  die- 
selbe nach  jedem  mügüchen  Elementarereignisse  wieder  aufgefun- 
den werden  künne.  Zu  einer  trigonometrischen  Operation  fehlte 
es  an  einer  nahen  Basis  und  sogar  an  den  Mitteln  eine  solche  zu 
messen.  Stampfer  war  es,  welcher,  wie  die  Comniission  in  an- 
erkennendster Weise  bezeugte,  durch  Angabe  entsprechender  Mess- 
apparate und  VermesEungsmethode»  an  der  glücklichen  Lösung 
der  Aufgabe  den  wesentlichsten  Anlheil  hatte  und,  um  die  Sache 
fiirdern,  nicht  ohne  persünliche  Opfer,  in  der  strengati 


1 


4 


6  LiUrarUcher  BericM  CLXXIX. 

Kälte  des  MoDatea  December  I8IÖ,  die  schwierige  Ausliihi 
Basis-  und  WInkelmeBaung  dem  envünschten  Ziele  zuzufüliren  half. 

Die  Beziehungen,  in  nelche  faiebei  Stampfer  zu  den  Her- 
ren V.  Fallen  und  v.  Myrbach  trat,  waren  die  V'eranlaHong 
2U  jenem  Bande  dauernder  Freundschari,  nelcbes  er  mit  jenen 
MSniiern  knüpfte.  Beide,  später  Generalmajore,  und  selbst  zudn 
tüchtigsten  Geodäten  jener  Zeit  zählend,  wuasten  die  BedenlDii| 
Stampfer'«  in  vollem  Maasee  eu  »(irdigen  und  versSurolM  H 
nicht,  seine  einsichlavolle  IVlitwirkung  bei  jeder  Gelegenheit  in  Ad- 
sptuch  zu  nehmen.  So  zunächst  bei  den  in  den  Jahren  1818| 
182U,  1822  und  1823  lum  Bebufe  der  Längengradmesaung  znisch» 
München,  Wien,  Ofen  und  Prag  ausgefilhrten  Blickfeuei-Operafof 
nen,  wo  Stampfer,  um  auch  Salzburg  als  aetronomisch  hestimv» 
len  Punkt  des  oberüHterreichinchen  Dreiecksnetzes  in  die  Operatiai 
eiatubeziehen,  eine  Beobacbtungsstation  daselbst  errichtete  nnd 
gemeinschaftticb  mit  Major  v.  Myrbach  die  Signalisirung  UtI 
dem  Untersberge  leitete. 

Für  seine  vielfach  bewährte  Tüchtigkeit  auf  dem  geodStisdi- 
astronomischen  Gebiete  sollte  aber  Stampfer  bald  die  rerdlnte 
Anerkennung  finden.  Im  Jahre  1824  legte  der  Professor  der  prak- 
tischen Geometrie  am  k.  k.  polytechnischen  Inatitute  in  Wieg. 
Franz  Ritter  v.  Gerstner,  sein  Lehramt  nieder;  StatnpfST 
unterzog  sich  dem  am  6.  Februar  1825  abgehaltenen  Concurse  vU 
wurde  mit  Allerh.  EntecbllesEung  vom  22.  December  18'2S  tm 
ProfeHBor  dieses  Lehrfaches  ernannt- 

Stampfer  trat  sein  neues  Lehramt,  in  welchem  er  darck 
23  Jahre  mit  so  glänzendem  Erfolge  wirkte,  Anfangs  des  JabrU 
1826  im  33.  Lebensjahre  an  und  erfaeste  seine  Aufgabe  mit  jenu 
Energie,  die  ihn  bei  Allem  auszeichnete  was  er  unternabm.  Mit 
selbiits tändigem,  schöpferischem  Geiste  in  seltenem  Maasebegabti 
das  Gebiet  der  Geodäsie  in  vollem  Umfange  beherrschend,  konnte 
es  um  so  weniger  fehlen,  dikss  er  reformirend  auf  demselben  unf- 
trat,  als  gerade  der  elementare  Theil  der  Geodäsie,  welchen  ei 
zu  lehren  hatte,  ihm  eine  reiche  Gelegenheit  hiezu  darbot. 

Stampfer  war  es,  welcher  in  seinen  Vorträgen  ein  l>ebi< 
gebäude  der  praktischen  Geometrie  aufrührte,  welches  in  gleicht! 
Weise  dem  vorgeschrittenen  Zustande  der  Wissenschaft  ala  im 
Anforderungen  der  Praxis  entsprach  und  die  Wissenschaft  aelW 
mit  einer  Fülle  neuer  Sätze,  Methoden  und  Erfahrungen  bereichert» 
Leider  war  es  ihm  nicht  gegönnt,  dieses  Lehrgebäude  in  eJoei 
grösserM)  Werke  der  Oeffentlichkeit  zu  übergeben ;  seinei»  rrncfal* 
baren,    nimmer    ruhenden   Geiste  «ntsprsngen    stets    neue   UoM 


EUierarUebtr  Seric/tt  CLXXIX.  M^^l 

Verfolgiing,    fast  ioimer   mit    weitläufigen   Rechoungeo   uod  ^^H 
, .beDden  Versuchen  verbunden,  ihn  die  inr  Redaction  aad  ' 

;  tum  Bücherschreibeii  nüthige  Z«it  nicht  finden  liesaen.  Gleich 
iu  <l«u  ersten  Jalirea  seines  Lehramtes  schrieb  er  seine  Vorträge 
vobigeordnet  nieder  und  theilte  die  Hefte  seinen  Schülern  mit, 
durch  welche  zahlreiche  Absebrirteo  selbst  iveit  über  die  Grencen 
Oesterreicha  verbreitet  wurden.  .Dass  das,  was  Stampfer  in  diesen 
Schriften  an  geistigem  Eigenlhum  niederlegte,  auf  keinen  unfruchtba- 
roQ  Boden  Gel,  bezeugt  die  Literatur  des  Gegenstandes  seit  jener 
Zeit,  nnd  nicht  immer  wurde  die  Benutzung  mit  der  dem  geistigen 
Orheber  schuldigen  Pietät  geübt,  so  dass  sieb  Stampfer  sogar 
«iomal  (schon  im  Jahre  1633)  genüthigt  sah,  den  Schutz  der  Ge- 
setze, und  nicht  umsonst,  in  Anspruch  zu  nehmen.  Wenn  wir 
liier  der  zahlreichen  neuen  Sätze  Sher  Berechnung  und  Theilung 
4er  Figurea  entireder  durch  Contttruction  oder  Rechnung  anf  po- 
lygonometrischeni  Wege;  über  die  Auflösung  der  Polygone;  über 
AufSndung  und  Bestimmung  von  Measungsfehlern  in  Polygonen, 
deren  ümrangsstiicke  gemessen  sind;  über  die  bei  Construetionen 
nnd  Messungen  mit  verschiedenen  Instrumenten  erreichbare  Ge- 
nauigkeit und  über  den  Einfiuss  der  Instrumentalfehler  auf  die 
Beobachtungeu;  seiner  neuen  Methode  des  Nivellirens  besonders 
'  BtM-Shnen,  so  sind  damit  nur  einige  der  wichtigeren  ihm  eigen- 
thSmlicben  Partien  genannt,  und  es  müge  nur  noch  des  auf  die 
Gonstrnction  der  Landkarten  eich  beziehenden,  bis  jetzt  nicht  pa- 
UteirtenTheiles  seiner  Vorträge*)  gedacht  werden.  In  welchem  er 
eine  eben  sa  einfache  als  allgemeine  und  elegante  Theorie  der 
Kegelprojectionen  entwickelt,  und  überdies  einige  neue  Projectionen 
I  ejfat.  welche,  vorzugsweise  zur  Darstellung  der  Halbkugel  geeignet, 
den  noch  bis  heute  fast  allgemein  hierzu  angewendeten  perspec- 
i  tfvischen  an  Genauigkeit  weit  voransteben. 

!  So  reich  das  Bild  wissenschaftlichen  Lebens  ist,  welches  ans 
j  allen  Arbeiten  Slampfer'a  uns  entgegentritt,  so  giebt  es  doch 
<  «Dch  lange  nicht  eine  genügende  Vorstellung  von  seiner  rastloaeo, 
dem  Dienste  der  Wisseofichaft  geweihten  Thätigkeit.  Gewohnt, 
)  den  strengsten  Maassslab  an  sich  seihst  zu  legen  und  nur  voll- 
^  kommen  Reifes  zu  veröffentlichen,  hinterliess  er  iu  zahlreichen 
',  Blaouscripten  die  fruchte  seines  Fleisses;  und  wenn  auch  Vieles 
davon  unvollendet  gehlieben.  Anderes  mittlerweile  von  anderen 
Farscbern  aufgefunden  wurde,  so  ist  doch  zu  hoffen,  dass  einige 
jd^r  wichligeren  dieser  Arbeiten  für  die  Wissenschaft  nicht  veilo- 
:nn  gehen  werden. 


*)  Eine  Publication    deaielb«)    träre  jedBoMIi   im    Ilöchitea  Giail»  J 


Uierartselter  Bertchl  CLXMX. 


w 

^^^^^  Stampfer'»  wissen  seh  aftlic  he  Leistungen    erscheinen 

r  beu'underungsvrQrdiger,  wenn  man  in  Anschlag  bringt,  dass  es  lein 

krgrtiger  Körper  tvar,  in  welchem  dieser  unaufhürlicb  schaffend« 
Geist  wohnte.  Ein  Schlag  auf  den  Kopf,  welchen  er  als  Kind 
durch  ein  Taliendes  Holzstück  erlitt,  hatte  ein  harlnficbiges  Leiden 
im  Kopfe  Mn<l  rechten  Arme,  verbunden  mit  ScbwerbDrigkeit,  rar 
Folge,  welches  in  den  Jahren  1843  bis  1817  seinen  Hühepnnbt 
erreichte,  so  dass  er  selbst  durch  längere  Zeit  am  Scbreibeo  nr- 
hindert  war.  Zu  sulehen  Zeiten,  wo  körperliche  Leideo  ihm  prak- 
tische Arbeiten  nicht  gestalteten,  versenkte  er  sich  in  malbeni' 
tbche  Speculationen,  und  ea  waren  vorzüglich  Untersuchungen  im 
der  Theorie  der  Zahlen,  deoeo  er  sich  mit  Vorliebe  hingab.  U 
den  letzten  fUnfEehn  Jahren  hatte  sich,  abgesehen  vor  der  stets 
zunehmenden  Schwerhörigkeit,  seine  Gesundheit  wieder  bedeutend 
gekräftigt  und  sein  Körper  entwickelte  noch  eine  wahrhaft  stau- 
nenswQrdige  Widerstandskraft  gegen    äussere  Einflüsse  aller  irt 

Im  December  1848  erfolgte  seine  Versetzung  in  den  RuItS' 
stand.  Was  Stampfer  als  Lehrer  leistete,  lebt  in  der  danklMen 
Erinnerung  jener,  die  das  Glück  hatten,  sich  seine  Schnl»  in 
nennen.  Sein  Vortrag  war  klar  und  bündig  und,  wenn  RBcb 
schmucklos,  in  hohem  Grade  anregend.  Von  der  Anssennelt  m- 
rückgezogen,  ausschliesslich  der  Schule  und  Wissenschaft  lebend, 
konnten  ihn  selbst  seine  vielen  wissenscbaflltchen  Arbeiten  Dicht 
hindern,  dem  Lehramt«  und  seinen  Schülern  mit  hingebender  Bt- 
rufstreue  sich  zu  widmen. 

Seine  hervorragenden  Verdienste  blieben  auch  nicht  ohne  An- 
erkennung. Er  war  unter  den  Ersten,  welche  bei  der  Gründnag. 
der  k.iis.  Akademie  der  Wissenschaften  im  Jahre  IS47  cu  wirk- 
lichen Mitgliedern  derselben  ernannt  wurden.  Im  Jahre  1849  ver 
lieh  ihm  Se.  Majestät-  der  Kaiser  das  Ritterkreuz  Atlerbiichsl 
Seines  Leopold'Urdens.  Im  Jahre  1850  erhielt  er  den  russischen 
St.  Annen-Urden  zweiter  Classe. 

Dasselbe  Jahr  brachte  ihm  aber  auch  die  schwersten  Prü- 
fungen seines  Lebens,  indem  ihm  der  Tod  in  rascher  Folge  des 
I  Sohn,  den  hoffnungsvollen  Erben  seines  Fleisses  und  Talentes, 
I  und  eine  i;eliebte  Tochter  raubte.  Sechs  Jahre  später  ging  ibn 
die  Gattin,  die  treue  Gefährtin  seines  Lebens  durch  34  Jahr«, 
I  Toran.  Nur  mit  wenigen  Freunden  und  Verwandten  Umgang  pB^ 
I  gend,  suchte  und  fand  er  Trost  in  der  Pflege  der  Wissenscbait 
I  bis  er,  am  7.  November  Morgens  plötzlich  von  einem  ScblagOnsse 
]  getrosten,  am   10.  November  1864,  vom  Tode  ereilt  wurde. 

Stampfer's  Bild    würde   unvollendet    bleiben,    wenn  ndM" 


u/erarischer  Bericht  CLXXIX. 


seinen  vielen  iriseerischafllichen  Leistungen  nicht  noch  seiner  an- 
deren ausgezeichneten  EigenscbarieD  rühmend  ern'ahnt  nitrde.  Sein 
nffener,  gerader  nnd  biederer  Charakter  sicherten  ihm  die  Achtung 
und  Liebe  Alier,  die  mit  ihm  in  Berührung  kamen.  So  streng  er  war 
in  den  Anforderungen,  die  er  an  sich  selbst  stellte,  so  milde  war 
er  in  der  Beurlheilung  fremder  Leistungen.  Von  seltener  An- 
«prucbsiosigkeit,  sfrebte  er  nie  nach  äusseren  Ehren,  und  seine 
Uneigennülzigkeit  wurde  nur  von  der  Bereitwilligkeit  iibertroffen. 
mit  der  er  stets  geneigt  war  Andere  zu  unterstützen.  Er  nar  ein 
edler  Mensch  und  eine  Zierde  der  Wissenschaft,  die  trauernd  an 
seinem  (iiahe  den  Verlust  eines  ihrer  würdigsten  Priester  beklagt, 

Schriften  ron  Simon  Stampfer, 

Bill«  des  ksU,  ealerr.  Leopoliii -Ordciu,    dei    ka».  rLiis.   Si.    Annen  ■  Ordea* 

II.  Class«!    ametilirUr  fruriuscic    der  jirsküsulien  Geuineirie  am  k.  k.   poli- 

techuUclicn  luliiuie  zu  Wien. 

A.    Selbsiständige  Schriften. 

TabelJen  lum  HühenuieaHen  mit  lietu  UarciniHlcr,  wiiiiiic  man  leicht  ond  1 
ohne  Lngnrlllinien   die  Höhe   so   genau   findet,   als  die  tiaplace'a 
Formel  ale  glebt.     Salzliiire,   ISIS.      B°.     (Diij'la.J 

Lof^arlthmiBch-lrigonomeirisciie  Tafeln,  nebtt  verKohieilenen  antleren  n 

lieben  Tafeln  und  Fonucln  ,  nnd  einer  Anweiiung  zum  Gebrauche.  , 
Zunäcliat  für  bühere  Sclinlen.  Salzburg,  1B22,  H°.  (Dajle.)  2,  Ad&  j 
läge,  Wien,  1824.  C.  Gerutd.  .H.  Aatlnge,  ISlIi.  •  4.  Auflage  ISäa.f 
5.  Auflage,  \Bb(t. 

Theoretinch-iiraktiiche  Anlellnng  zum  Kiveiliren  und  zu  anderen  damit 
verwandten,  heim  EisenbahnliHU  torkomniondeu  Arbeiten.  (1.  Aufl., 
1845.  2.  Auflage,  184T.  3.  Auflage,  1853.  4.  Auflage,  !»ä«.  5.  AuB., 
1864.     Wien.     C.  Gerold.) 

Die  Simnenfinslernisa  am  8.  Juli  1843  aammt  einer  graphischen  Oar- 
«tellung  deraellien  auf  einer  Landkarte,  um  weli^bcr  fQr  jeden  Ott 
der  Karle  die  Zeit  des  Anfnnga  arnl  Endes,  dann  die  Grösse  oder 
iDlule  Verfinsterung  eutnomniGa  werden  kann.  Hil  vprzugliehBT  Be- 
rückaichiigiing  der  Öslerreichischeji  Hunarchie.  Wien,  1812. 
Scbaumburg  u.  Comp. 

B.    Jahrbücher  des  k.  k,  polytechnischen  fnatilufes  zu   fVien^M 

Reise    aof   den   Glöckner    iro  Se)ilerali«r   182^    von    S.  Stampfer 

P.  K,  Thurm  wieser,  Profensoren  nro  Ljceum  zu  Salzburg.   Bd.  VII, 
S.   1—21.     (1825.) 

Versuche  über  die  Geschwindigkeit  des  ScIiallHa,  aogestellt  zwischen  dem 
Unterberge  und  Hünchatein  bei  Salzburg.  Bd.  VII,  S.  93  bis  26.  (1825.)   i 

Methode,    die  KrnmuiungibalbmeHeT    eines   ObjectiTglaui    m    roesseai^ 


1 


10 


UUrariuher  Bericht  CLXXtS. 


•  der  Fr< 


k 


^_  '«gl 


angewendet   nuf  die  UateranohuiiK   einiger  Frua. 

jective.     Bd.  XIII,  S.  30-fil.     (In28.) 
UebW  die  Tlieorie  der  ncfarnninliiclien  Objective,  besondere 

bofet'achen.     Bd.  XIII.  S.  53— 113.    (IH38.> 
Untereuchung  der  Ten  Herrn  Kogern  vnrgeichlagenen  Verbeaaeiug  ia 

der   Conitrunion   achromnliBcher  Fprnnihre.     (Theorie  der   dllljU- 

■chen  Femrfihre.)     Bd.  XIV,  S.  108— U3.     (1829.) 
Veranche   zur  Beilinimung  des     Bli«(iiiiten  Gewichte«    dei  W«aien,   tat 

Temperatur  leincr  grömlen   Dichlighelt  und  der  Auedefaaung'  daiH^ 

bcn.     Bd.  \VI.  S.  1— T4.    (IB30.) 
Beschreibnng   eines  laalrumentes  (Oplnmeten),   um   die  Korea idHigM 

and  Weltlich ligkeil  der  Aogen  la  uiexen.  Bd.  Wll,  S.  35—44.  (taU.) 
Beschreibung  zweier  am  b.  k   iiol^Iechniichen  In«liliit  befind  liehen  Caa- 

pBratoren  (MaBMvergieir.her)    und   Untersuchung   tlirer   Genauigkeit 

Bd.  XVIII,  S.H9-210.    (1831.) 
Ueber  die  Genaai^beit   de«  Viiireas   bei  Winlielmesaungen.     Bd.  XTIIJ, 

S.  2IL— 236.     (1834,) 
ITeber  die  nptiir.hen  Tänichunga-PhnndttieDe,  wriebe  durch   die  ilrtb»- 

«knpiicben  Scheiben  (iiptiache  Znubencheiben)  herrorgehrachl  wer- 
den.    Od.  XVIII,  S.23T— SaS.    (1S34.) 
Ueber  die  lechnieche  Bearlieilnng  der  Rotntiiinaiapren  an  aitrunomltebo 

und  geodätiichen  Instrumenlea   und  über   den  Einlluu  ihrer  [lanlt- 

kommenheit  auf  die   Beobuchlangen.     Bd.  XIX,  S.  I— S3.    (1831.) 
Voracblag  einer  vergleichenden  Prüfungamethode  Tür  Fernrohre.  Bd.  Xli, 

S.  24-33.     {183T) 
Heber  eine  beanndero  Art  vnn  Ovnicn.     Bd.  \IK,  S.  31— 40.     (1337.) 
Ueber  die  Cnnalruction   uuU  den    erweilerlea  Gebrauch  der   Terheaierln 

Kiveitir~ln«Irume<nte,  welche  in  der  Werkalälle  dei  k.  k,  pnljlecllM- 

■cben  Inatitntea  Terfcriiget  werden.     Bd.  X\,  S.  I— TT.     (1839.) 
lieber  Verbeaaernngen  nn  Thnrmnhren  und  anderen  Pendeluhren,   angt- 

wendet   auf  die   neue  Thunaiuhr   auf  dem  Ralhhsuae  la  Bamberg' 

Bd.  XX,  S.  T8— 144. 
(Jeher  da*  Verhollniaa  der  Wiener  Klafter  zum  Meter.   Bd.  XX,  S.  US-IK. 

C.    Dmktekriflen   der  kaiserlichen  Akademie   der    ff^iutm,- 
schaflen  in  FFien. 

Vaber  die  farbenzer«  treu  ende  Krafi  der  Atmnsphär 
Theoretiach-praktischc  Abhandlung   über 

brauch  der  Alkaholumeler.     Öd.  HI,  I 
Ueber  den   acheinbaren   Ourchmeaaer   der  Fixaterne.      Bd.  V.  S.  91— lOS. 

In  den  „Bemerkungen  und  Anwetaungen  für  die  Katurtoracher,  weltlu 
die  Eipcdilinn  von  Sr.  Majestät  Fregatte  Nuvora  unter  dem  Commiod« 
des  Hetru  Obersten  Bernhard  v.  W lill erilurf-U rbair  begleitea"! 
Phelomeler,  wumit  die  Sterne  hinsichtlich  ihrer  Helligkeii 

vergliebea   werden   und  Anwendung   deaielben   «ur  Be 

Iiicfatabaerptioo  der  Atmosphäre.     Bd.  V.,  S.  109. 


Bd,  n,  S.  1 
erferttgung  und  dem  Ga- 


UurafUcäer  Bericht  CLXXIX. 


Sitzungsberichte  der  kaiserlichen  jAademie  der  ff^üten- 

Schäften. 


Bemcrbangen    über   He 

runnn'B  Verlicaxe 

tmgen  lur    II.  Callef.cben 

Tafel    dei    geraeine 

LDgarithnien    ra 

20  Slelleo.     Bd.  1.    8.  196. 

(unJ  Burg.) 

GnUchten  ütier  Mnih'a 

UeHtimmung  d«r 

^en  mit  numerUchen  Coeffieienlen.     Bd,  1,  S.  191. 
Ueber  den  Gebrauch   de«  HiTellii-lcitriiineale*   aua   der  Werkalälle  dei 

k.  L.  pnlf  tcchnlichen  iMtiluIes  auf  wisienachaf [liehen  Reisen.     Bd.  11, 

S.  Ib9. 
Methode  der  Viairung   der  FäMcr,   toid   b.  k.  Bändel« -Mini* teri um  der 

Akademie  zur  Begatachlung  zugcwieaen.     Bd.  II,  S.  20S, 
Vonchlag   eines  Barnmeleri,   vielche«   den  mittleren  Baromeleritand  für 

beliebige  Zeilpeiiaden  angibt.     Bd.  II,   S.  291. 
Darstellung    einer    müglichat    branchbareo  geometrischen    Viiirmelhnde 

für  Fä««er.     Bd.  II,  S.  937—247. 
AeuHsrung    über    die    in    Fieuuen    übliclie   Tisirmethode    für    F3«*cr, 

Bd.  11,   S.  291. 
Zur  Begründang  de«  Commiaiion«- Vorschlage«  über  die  Feststellung  guter 

und  bequemer  Branntwein  wagen.     Bd.  III,  S.  304. 
Ueber  die  FarhenKenlrenung  der  Almnaiihäre.     Bd.  IV,  S.  34. 
Haber   das   neue  Flanimeler  de«  Ingenieur«   Kaipat  Watli   in  Zürich, 

Bd.  IV,  S.  134— IS5. 
Commitsiuntbericht,   betreffend  die  Einführung  genauer  Alkoholometer. 

Bd.  VI,  S.  253. 
Ueber  Versuche,  welche  «icb  auf  die  Wirkung  der  Capillarilät  beliehen. 

Bd.  VI,  S.265. 
m  Vliber  einen  in  der  Werkstätte  de«  k.  k.  polytechnische..  Initilfltea  set- 
■   fertigten  Thendfiliten  für  Markscheider    Bd.  VI,   S.  555. 

•Baf^abei  Bestimmung  der  Masse  der  Planeten.     Bd.  VI,  S.  S8&. 

I   28.  Juli  1A51   lievnratEhende  Sonnenfinaleroisi.     Bd.  VU, 

8.  228—945. 
Uaber    die    kleinen    Planeten    xwiacben    Man    und    Jupiter.       Bd.  VII, 

S.  756—776, 
Deber  den  scheinbaren  Durchmesser  der  Fixsterne.     Bd.  Vlll,  S.501— &0T. 
Methode,  den  Durchoiesser  der  Pupille   aowohl  bei  Tage  als  bei  jVacht 

am  eigenen  Auge  lu  messen.     Bd,  VIII,  S.  511—513. 
Bericht  über  die  Abhandlung  des  Dr.  4.  Winkler,   betreffend  da«  Pro- 
blem der  vier  Punkte  bei  Anwendung  des  Messtiicbe«.     Bd,  XV,  S,  310 

bi«  216. 
Zusatz  zu  Beslhuber'a  Ahhandlnng:  Ueber  Stampfer'«  Lichtpnii%(- 

Mikrometer.     Bd.  X\,  S.397. 

E.    Astronomische  Nachrichten. 
FBraboliaehe  Elemente  dea  Kometen  V,   1858.  (Donati-Komet.)  Bd.  TLU\. 
Elliptische  Elemente  de«  Komeien  V,   1858.     Bd.  XLIK. 


ubiiU  und  E|ilieiDeride  de»  Komclea  I,   1B59.     Bd.  L- 
.   Elliptische  Elemenle  dea  Kuinelen  II.  1BS2,     BH.  LVlll. 
Benliachlimgen  und  ElemenU  des  Knmeteo  IV,    1863.     Bd.LXr.    | 
BenliBchtuiigon  und  RleiüRnte  des  Knmnlcn  V,   ims.     Bd.  L\l. 
BeiiliBcli(ung;en  und   ElementB  des  Kometen  VI,   IflÖS.    Bd.  IjXl, 
Beul  lach  tunken  des  Kamelsn  I,  1861.     Bd.  L\II. 
l!:iomentu  und  Eplieiueride  des  Koiueten  I,  1864.     Bd.  LXII. 


Re.chreibn 

TD»RhlHK 

Punkten 


Annalen  der  fViener  Sternwarte. 

a  Appatiites.  um  drn  Abiinnd  dvr  Schneiden  bot  c 
Theil  15  (alle  Fnige),  S. 
I   neuen  Ferurohr-^ 
i    dunkeln   Gesichltfelde.    Theil  21    (nll«  Folge),   Bd,4 


Geschichte  und  Literatur   der  Mathematik  i 
Physik. 

Almonach  der  kaiserlichen  Akademie   dei 
Schäften  in  Wien.     Fun  rzeliiiter  Jahrgang.     It 

Der  viernehnte  Jahrgang  dieses  für  Geschichle  und  Lileralnt 
der  IVlathenialik  und  Nalurwissenschaft  immer  so  wichtigen  Alm«* 
DBcbs  einer  der  ersten  und  berühmtesten  Akademien  der  Wies«)' 
scharten  ist  im  Liter.  Ber.  JNr.  CLXXI.  ä.  1.  von  uns  angezeigt 
(Verden,  und  wir  erfüllen  nur  eine  angenehme  Pflicht,  wenn  wir 
auch  den  Inhalt  des  kürilich  uns  zugegangenen  funfzehnlen  Jahr 
gangs  hier  anzeigen.  Wie  in  jedem  Jahre  enthalt  auch  dieser 
Jahrgang  den  Bericht  des  General-Sekretärs,  des  Uerrn  Professor 
Dr.  Schrütter,  den  Bericht  liber  die  weilverzweigte  fruchtbare 
Tbätigkeit  der  Akademie  in  dem  letzten  Jahre,  über  die  < 
selben  tbeils  hervorgerufenen,  theils  unterstützten  vielfacbeo  wis- 
senschaftlichen Unternehmungen  u.  s.  w.  Ferner  begegnen  wli 
einer  ausführlichen  sehr  interessanten  Lebenskizze  Simon  Stai 
pfers,  8.  1»9.  von  Herrn  Prof.  J.  Herr');  einer  Lebenssbiue 
des  verdienten  Chemikers  Theodor  Wcrtbeim  S.  232.; 
einer  solchen  des  verdienten  Augus  1  Kunzek,  Edler  voi 
Lichton.     S.  26**).    Den  Scbluss    macht  der   sehr  schfine  all- 


n  Ruafuhrliehen  Auszug  Tnrher 


Bericht  S.  2. 

••)  M.  ■.  Literar.  Ber.  Nf.  CLXXII.  S.  2. 


Ulffarfscher  Bericht  CLXXJX. 


gemeine,    nicht    bloss    Tür    den   Pacbmann    interessc^ite  Aufsati 
Ueber  die  chemische  Synthese.     Ein  Vortrag  von    H.  HIa 

,  ProfessoT    der  Chemie   an    der    L  Ic.  Universität  zu  Inn- 
sbruck, den  wir  zur  allgemeinsten  B<;achtung  recht  sehr  emprehlen. 


atif^^M 


Arithmetik. 

Theorie  and  Auriüsurig  der  hüberen  Gleichungen, 
^«n  Ur.  J.  Dienger,  Proresstr  der  Alatbematik  an  defl 
^lytechniscben  Schulezii  KarUruhe.  Stuttgart.  Mets-' 
'.  J866.  80. 
Diese  ScbriTt  kann  aU  ein  Lehrbuch  der  Theorie  der  Glel-J 
chungen,  ivie  ein  solches  uns  bisher  gefehlt  hnt,  betrachtet  f 
den,  und  ist  um  so  dankenswerlher  aufzunehmen,  je  grosser  di« 
Anzahl  der  Zeit-  und  anderer  Schrinen  ist,  in  den«n  die  verschia-^ 
denen  Untersuchungen  über  die  (ileichungen  zerstreut  sind.  Wir 
glauben  dieselbe  daher  namentlich  Jüngern  IVIathemalikern  als 
ein  sehr  gutes,  ja  gegenwärtig  ivnhl  als  das  beste  und  zvreck- 
mässigete  Hülfsmittel  empfehlen  zu  dürl'en,  um  sich  ohne  zu  gros- 
sen Zeitaufwand  eine  für  ihre  nächsten  Zwecke  vüHig  ausreichende 
Keiinlniss  der  Theorie  der  GleJchunE;eii  enverben  zu  können,  n'oxu 
Schrin  jedenTalls  sehr  geeignet  ist.  Der  Inhalt  derselben 
I  den  Hauptabschnitten  ist  folgender:  I.  Allgemeine  Eigen- 
haften der  algebraischen  Gleichungen  (natürlich  mit 
pnderer  Berücksichtigung  des  Haupt-  oder  Fundaraenlalsatzen 
inzen  Theorie  der  Gleichungen  :  „dass  jede  algebraische 
chung  eine  Wurzel  hat",  welchen  der  Herr  Verfasser 
Wesentlichen  nach  Cauchy  in  der  „Analyse  algebrique" 
«ist.}.  II.  Trennung  der  reellen  Wurzeln  einer  Glei- 
Der  Satz  von  Sturm.  III.  Bestimmung  der  reel- 
irzeln  einer  Gleichung.  IV.  Der  Lehrsatz  von 
^urT^ennungde^  imaginären  Wurzeln').  V.Auf- 
der  Gleichangen  des  d  ritten  und  vierten  Grades, 
jalnem  Anhange:  der  Salz  von  Sturm  (nochmals).  Der  Satz 
)  Rolle.  Der  Satz  von  Fourier.  Der  Salz  von  Descartes  **)ii 
„  Auflösungen  zweier  gleichzeitiger  Gleichungen  mlH 
l«i  Unbekannten. 


*)  M.  Tcrgt.  meine  Aliliandlung   litier   dicaen  Salz   oamcnilich  auiA 
über  den  togennnnten  Excoi*  im  Arr.hiv  Tbl.  1.  Kr.  V.  S.  19, 

•■)  M.  vergl.  meine  Abhandlung  im  Archiv  ThI.  I.  über  alle 
Satie.     N  r.  XX.  S.  12S.  G 


W: 

r 


LKerarheker  Bfrirhl  CLXxts 


Was  difoe  Scbrill,  ausser  ihrer  sonstigen  schon  bi 
beoen  Vorzöge,  namenttich  idi  Anßoger  Doch  besondera  empft^ 
lensfvGrlh  macht,  sind  die  überall  in  reichlichem  Maaese  beigefüg- 
ten, jedereeit  recht  zweciunSssig  gen&blten  Bebpiele. 

Snrlaräsotittion  des  ^quations  a:*— ^y»=il.  Leltr« 
adresa^fl  ä  D.  B.  Boacompagni  par  Casimir  RichaDi, 
snirie  d'une  note  aur  un  probUrae  indätermin^  pat  le 
mäme.  Extrait  des  Atli  dell'  Accaderoia  PontiHeU 
de'  NuoTi  Lincei.  Tome  XIX.  AnndeXlX.  SeaocelV. 
du  4.  Mars  1866.  Rome.  Imprimerie  des  sciences  na* 
th^mstiqaea  et  phyaiques.    186Ö.    4,". 

Diese  Schrift  besteht  aua  zivei  Abthei langen.  Die  erateAt 
tbeilung  beschäftigt  sich  mit  der  Gleichung  a*— Jj':=  +  I,  Dto 
titeichnng  x^  —  Ay'^=\  ist  belianDtlicb  immer  auf  unetidtich  viele 
Arten  aufl<i§baT,  nenn  A  kein  volllcommenes  Quadrat  ist,  und 
schon  Fermat 'scheint  die  Lüsuog  deraellien  gekannt  zu  bibni; 
die  Gleichung  a;*  — J^*=— 1  ist  nur  in  gewissen  besonderea 
FKIIen  lösbar.  Die  Arbeit  des  Herrn  C.  Ricbaud  enthält  line 
Reihe  sehr  bcmerkenswerther  SStn«  über  die  Lösung  der  Gleicbnig 
X*— ^^'=db  )>  ''■^i  ^1°  ^^  """  scheint,  der  Beachtung  von  detm, 
die  sich  vorzugsweise  mit  der  unbestimmten  Analysia  beschlCS- 
gen,  sehr  emprohlen  zuwerden  verdienen,  tiber  die  sich  aber  hier 
nichts  weiter  sagen  tässt.  Die  zweite  Abtheilung  betrifft  die  Auf- 
gabe: „Trouver  deux  numbres  entiers  cons^cutifaz 
et  x-\-\,  tels  que  1a  diff^rence  de  leurs  cubes  loit 
repräsentdepar  une  somme  (ou  une  diff^rence)  dedaai 
cubea"  oder  die  LSsung  der  Gleichung 

in  ganzen  Zahlen,    und  scheint  una    ebenfalls    der    eorgf^ltigereD 
Beachtnng  sehr  weith  zu  sein. 


ffir  den  Gebri 


vonDr.  CatlUechel.  Ve 
cig,  R  Hartmann).    1866. 


Geometrie. 


riacheAufgaben  nebat ihren AuflSs^ 
uch  in  hiiheren  Lehranstalten  besrti 


dF.  KlugeinRevall^ 


Wir  freuen  uns  i 


;n  zu  können,    dasa  diese 
!.  9.  angezeigte,  jedeofdls  m 


tntrartteJief  »trteht  CZJCXIX.  15 

l«nsu'ert(ie  and  von  allen  Lehrern  recht  aehr  in  beacbtende  Samm- 
lung «lereometriBcher  Aufgaben  nan  vollständig  erschienen  ist. 

Ricerche  di  Analisi  applicata  alla  Geometria  per 
Eagenio  lieltrami.  Prof.  ord.  nella  R.  Uni versitä  di  Pisa. 
Prima  Parte.  Mapoli.  Stabilimento  tiposrafico  de' 
fratelli  de  AngeHs.     Vico  Pelle;;rini  n«.  4.  p.  p.    1865. 

IVIan  kann  gewiss  mit  vollem  Rechte  sagen,  dass  die  im  Jahre 
182S  erschienene  berühmte  Abhandlung  von  Gauss:  Disquisi- 
tiunes  generales  circa  superficies  curvas  den  ersten  und 
■nächtigsten  Anstoss  zu  den  vielen  ganz  allgemeinen  Uatersucfaun 
gen  über  brumme  Linien  und  krumnie  Flächen  gegeben  bat, 
durch  »eiche  sich  die  neuere  Zeil  so  sehr  auszeichnet,  Untersu- 
chungen, welche  nicht  besondere  Arien  von  Linien  und  Flächen, 
sondern  die  gam  allgemeinen  Eigenschaften  der  Linien  und  Flä- 
chen betreffen,  insofern  man  dieselben  nur  nach  einem  bestimmten 
Gesetze,  nelches  Übrigens  dasselbe  auch  sein  mag,  gekrümmt 
annimmt,  vreil  ohne  Voraussetzung  einer  solchen  geselzmässigmi 
Krümmung  natürlich  die  Anwendung  der  Analysis,  iflsbesniiilere 
der  Differential-  und  Integralrechnung,  ganz  ausgeschlossen  werden 
würde.  Diese  Untersuchungen,  durch  welche  selb  st  verstand  lieh 
auch  eine  grossere  Aneahl  neuer  Begriffe  in  die  Geometrie  eingfr 
führt  worden  ist,  linden  sich  in  sehr  vielen  Journalen,  Soc)et&ts> 
und  Gelegenheits-Schrirten  zerstreut,  and  sind  nach  sehr  verschie- 
denartigen Methoden  geführt,  so  wie  dieselben  ihren  Urhebern 
gerade  genehm  und  geläufig  waren.  Es  ist  daher  keineswegs  leicht, 
sich  eine  roüglichst  vollständige  Kennlniss  dieser  Untersuchungen 
lU  verschaffen,  und  wir  wüssten  bisher  kein  Buch  zu  nennen, 
aus  welchem  eine  solche  Kenntniss  bequem  und  gründlich  ge- 
schSpfl  werden  könnte.  Daher  glauben  wir,  dass  Berr  Professar 
Beltrami  in  Pisa  durch  die  Heransgabe  der  oben  genannnten 
Schrift,  deren  erste  Abtheilung  uns  jetzt  vorliegt,  sich  ein  grosses 
Verdienst  erworben,  und  dem  vorher  erwähnten  Bedürfnisse  in 
sehr  zweckmässiger  dankenswertber  Weise  abgeholfen  hat,  indem 
in  derselben  die  verschiedenen  in  neuerer  Zeit  gefundenen  allge- 
meinen Eigenschanen  der  Linien  und  Flüchen  in  grosser  VollstHn» 
riigkeit  aus  gemeinschaftlichen  Grundlagen  und  Principien  sbge> 
Idtet  worden  sind.  Keineswegs  darf  man  aber  glaabeu,  dass. 
Herr  Beltrami  seine  Vorgänger  sciavisch  copirt  habe, 
keineswegs  der  Fall  ist,  indem  man  gerade  darin  das  grosse  Ve^ 
dienst  dieser  Schrill  zu  suchen  hat,  dass,  wie  schon  gesagt 
derselben  von  dem  Herrn  Verfasser  auf  vüllig  selbstständige  Weise, 
nach  eigen  Ih  Cm  lieben  Methoden,  die  verschiedenen  bereits  bekann- 
ten aHgfsraeinen  Eigmschaften  der  Linien  und  Flächen  walytiach 


4 


tnn-  I 


I 


Uternrlmher  Bericht  CZXjä^. 

entwickelt,  ja  auch  mit  neuen  Eigeiischaften  v«rnieht(  »orfttn  sind, 
80  dasft  diese  Schrift  ohne  andere  Hüirsmitlet  ganz  durch  und  In 
ilbst  ferständlich  ist.  weshalb  n^ir  ilieselbe  als  eine  wich- 
tige neue  E^rscheinnng  auf  dem  'Gebiete  der  höheren  analytiscbM 
Geometrie  betrachten  und  unseren  Leaern  dringend  zur  aorgßj- 
tigeten  Beachtung  empfehlen,  indem  wir  zugleich  dem  Erscbetnoi 
der  ztveilcn  Abiheilung  mit  grossem  Verlangen  entgegen 


Mechanik. 

Tenrica  dell'  attrazlane  delle  sfere  esposta  ctt'fl 
Itsi   elementare  dal  Uott.     A.  Forti.    Prof.    df  AlgT 
Meccnnica    al    ß.  Liceo     di   Pisa.     (Nota    aggii 
Lezioni  elementari  di  Meccanica  ad  uso  dei  Regq 
cei    dello   stesso   Autore).       Pisa.     Tipugra 
1866.    8", 

Die  „Lezioni  elementari  di  Meccanica  ad  uso  dti 
RR.  Licei"  des  Herrn  Verfassers  sind  ran  uns  im  LitenirischcN 
Bericht  Nr.  CLXXVII.  S.  5.  angezeigt  und  der  so  sehr  Terdien- 
ten  Beachtung,  die  denselben  namenllich  auch  in  Frankreich,  wie 
wir  aus  rrauzüsischen  Zeitschriften  enlnomnien  haben,  bereits  ii 
Torzüglicheni  Grade  zu  Tbeil  geivorden  zu  sein  scheint,  empfob- 
len  worden.  Zu  diesem  Buche  bildet  die  obige  kleine  ScbriD 
einen  sehr  datikenswerthen  und  lehrreichen  Nachtrag,  weichet, 
wenn,  wie  wir  wünschen,  von  den  „Lezioni  elementari"  eiM 
deutsche  UebersetxuDg  unternommen  werden  sollte  —  was  frei- 
lich wegen  der  jetzigen,  literarischen  Unternehmungen  so  sehr 
ungünstigen  Zeitferhältuisse  wenigstens  in  der  nächsten  Zeit  lei- 
der schiver  zu  bewerkstelligen  sein  dürfte  —  dabei  die  sorgfallig- 
8te  Beachtung  filr  sich  in  Anspruch  nehmen  würde.  Herr  Porti 
hat  in  der  vorliegenden  Schrift,  die  wir  mit  grossem  VergnOgen 
gelesen  haben,  die  Theorie  der  Anziehung  einer  Kugel  auf  e' 
ausserhalb,  innerhalb  oder  in  der  Oberfläche  liegenden  Pnokl; 
natürlich  unter  Zugrundelegung  der  Newton'schen  Attractio»*- 
gesetze,  bloss  mittelst  ganz  elementarer  Hiilfsmittel,  and  zwar  il 
einer  solchen  AVciae  entwickelt,  dass  nicht  bloss,  uie  dies  bö 
diesem  Gegenstande  zuweilen  geschieht,  verschiedene  allgeroeiM 
Lehrsätze  bewiesen,  sondern  auch  die  allgemeinen  Formeln,  dnrdl 
welche  die  Attraction  in  den  verschiedenen  Fällen  bestimmt  wird, 
vollständig  gegeben  werden,  v  ozu  die  elementare  analytische  &a»- 
fähruDg  verschiedener  Sumniirnngen  erforderlich  war, 
Überall   in    lehrreicher   und  möglichst   eiDfacher  Weiss   geleMel 


UteTarlscher  Beric/it  CI.XSIX. 


<  worden  ist,  wobei  wir  iioch  bemerken  wollen,  iIüss  am  Schlusa 
'  der  Vorrede  der  Herr  Terfaeser  selbst  seioe  Meihnde  am  liesleii 
luit  dcD  foli^endeii  Worten  charalcterisirt ;  „II  Lettore  vedrä  enier- 
gere  qui  facilmenle  da  un'  uaica  formala  generale,  le  cnnclusioni 
che  b-pettano  a  tutte  le  posizioot  relative  del  punlo  attratto;  se 
non  che  mi  sooo  stati  indispensaltiii  degli  arlifizii  di  calcolo  e 
varie  oslruzioiii  geometriche,  onde  evilare  le  integrazioni,  che  tra- 
eceiidono  gl'  insegnamenti  niatematici  dei  noslri  Kegü  Licei,  pei 
qnali,  in  {speciale  maniera,  U  mio  libro  e  destinato."  Mügen  sich 
die  Leser  die  fSchrift  nochmalis  recht  sehr  zur  Beachtung  empfoh- 
len sein  lassen! 


isa   ^^^ 


Astronomie. 

Die  Wunder  des  HimmeU,  oder  gern  ciiirasslich^ 
Darstellung  des  Weltsystems  von  J.  J.  von  Littn 
Fünrie  Auflage.  Nach  den  neuesten  Fortschritten  c 
Wissenschaft  bearbeitet  von  Karl  von  Liltrow,  Diri 
tor  der  Sternwarte  und  Professor  der  Astronomie  ; 
der  k.  k.  Sternwarte  zu  Wien.  Mit  10  li  f  hograph  Irt 
Tafeloand  l47UDjzschnitten.  Stuttgart.  GustavWei« 
1866.    8". 

*Die  vierte  Anflage  dieses  auagezeicbneten,  ja,  wir  kJiun 
t  sagen,  berühmten  Werkes  ist  in  unseren  Literarischen  Be- 
il Nr.  LXXIV.  S.  938.  Nr.  LXXVIII.  S.  972.  Nr.  LXXXIILS.  2. 
IjXXXVL  S.  7.  ausfuhrlich  angezeigt  worden.  Dasselbe  ist 
n  ersten  Erscheinen  im  Jahre  1834  zu  einem  Gemeio- 
F:4er  deutschen  Nation  geworden,  und  hat  ungemein  viel  bei- 
n^eo  eur  Verbreitung  einer  gründlichen  und  geläuterten  Kennt- 
T  der  grossen  im  Welträume  herrschenden  (besetze,  mehr 
alle  anderen  sogenannten  populSren  astronomischen  Schriften 
>  alle  Ausnahme,  unter  denen  es  unbedingt  die  erste  Stelle 
"tami,  selbst  nicht  bloss  in  Deutschland,  da  wir  nur  sehr  we- 
Inschriften  des  Auslandes  kennen,  welche  sich  in  Rücksicht 
■uliichkeit,  Gründlichkeit  und  wissenschaftliche  Vollstandig- 
it  auch  nur  entfernt  an  seine  Seite  stellen  lassen  dürften.  Ueber 
'  die  mit  vollem  Recht  im  Wesentlichen  unverändert  gebliebene 
Einrichtung  eines  so  ganz  zum  Eigenthum  der  Nalion  gewordenen 
I  Werkes  wie  das  vorliegende  hier  noch  etwas  sagen  za  wolleuj 
w6rde  um  so  mehr  ganz  unnütz  sein,  weil  die  Leser  in  den 
erwähnten  vier  Nummern  des  Literarischen  Berichts  darüber  alh 
Erforderliche  schon  in  der  ausführlichsten  Weise  Onden.  so  dat 
wir  es  ffir  Tüllig  genügend  halten,    wenn  wir  den  Lesern  die 


1 

en  '^ 


I 


r    » 


LUemrfscIier  BertcAl  CLXXJX. 


* 


sehr  citigeiieniler  KeiintiiissrialiDie  berv«rgt!gatii;cii«  Veraii 
^ebeii,  dass  sie  in  der  vorliegeoden  lunfteo  Ausgabe  di«  WJai 
icbafi  in  ihren  neueren  Entdeckungen  so  vollständig  ont)  gema 
bis  aul'  die  jetzigen  Tage  rortgeCübrl  tinden,  ivie  in  Iteinetn  and«- 
ren  filiiiliulien  Werke.  Der  Schripfer  de^  VVerhes  iät  der  in  w 
vielen  Beziehungen  hochverdiente  J.  J.  von  Littron,  desvM 
ischrmes  Bildniss  dieser  fiinilten  Aufgabe  beigegeben  ist  Ohne 
die  Grundanlage  wesentlich  zu  ändern,  hat  aber  das  ^Verlc  etiia» 
ganze  jetzige  Gestalt  erhalten  nnd  ist  bis  auf  die  neueste  K«t 
l'ortgerfibrt  trorden  von  dem  tremicfae»  nicht  minder  verdiealMr 
äohne  Karl  von  Littroir.  Der  nanientlit;h  in  der  neueren  Z«il 
so  ungemein  wicbiige  Abschnitt  über  die  Sonne  in  dieser  ninft» 
Ausgabe  rGbrt  indess  ganz  von  doro  Enkel  J  J.  von  Littraw'», 
dem  Sohne  Karl  von  Littrovv's,  von  Otto  von  Littrowher, 
der,  EU  den  schönsten  Moffnungen  auf  den  vom  Vater  und  GraBs> 
vater  so  erfolgreich  bebauten  wiNsenechallllichen  Gebieten  bereciv 
tigend  und  bereits  durch  manche  trefflichG  Leistungen  ausgeieicb- 
net,  den  tlerirauernden  liltern  und  Geschwistern  in  der  BIdtbe 
der  Jahre  —  im  '21,  Lebensjahre  —  entrissen  wurde.  Niemand  wird 
die  Worte,  mit  denen  iler  Vater  die  Vorrede  zur  fünften  Aufl^e 
scbliessl,  ohne  die  Gefühle  tiefster  Rührung  und  innigster  Theil* 
nähme  lesen.  Müge  das  treflliche  Werk  auch  in  der  neuen  Auf* 
läge  zur  immer  weiteren  Verbreitung  einer  der  üchiinsfen  ai 
den  Geist  um  meisten  veredelnden  Wisaeniicbaften  bei£utra>eii 
fortfahren! 


Physik. 


Zeitschrift    de 


nd.  Nr.  1., 


Redigir 

ü.,  a,  4. 


i'eiischan  rar 

und    J.  Bann. 


Neben  der  grussarligeu  k.  k.  Centialanstalt  (tir  MetearoUgle 
und  Erdmagnetismus,  au  deren  Spitze  nach  dein  leider  zb  frtlb 
verewigten  hochverdienten  K r e i  I  gegenwärtig  Herr  Ptofenor 
C.  Jelinek  in  Wien  steht,  bat  sich  jetzt  eine  usterreiebiscbe 
Gesellschaft  für  Meteorologie  gebildet,  welche  am  15.  Mai  186t 
schon  210  Mitglieder  zahlte,  woraus  das  grosse  Interesse  und  Ait 
grosse  Tbeilnahme,  welche  diese  neue  Gee^ellscbaft  gefunden  ! 
deutlich  erhellet.  Der  Zweck  derselben  ist  die  Unterstützung 
k.  k.  Centralanstalt  in  ihren  ^rossarfigen  Bestrebungen,  naiaenlliti 
die  immer  bessere  und  engere  Vereinigung  der  isolirten  Beobscb' 
sowie  im  Allgemeinen  die  Verbreitung  der  Meteorologit  ii 
weitesten  Kreisen.     Zur  Erreichung  dieser  Zwecke  wir4 


UttriiTticheT  HerUht  CLXXl.X. 

jedenTalls  auch  die  Herausgabe  der  in  ihren  vier  erste»  Nuni 
l     uns  Torliegenileii  Zvilschrift,  welche  wir  mit  ganz  liesutiilcreni  In« 
r     ter«Hse  begriisHt  haben,  nnd  unseren  Lesern  zur  Beacblung  drin' 
j     gend  eniprt-hleti,  sehr  wesentlich  beilragen.     Schnn  die  vier  ersteu 
Nummern  enthalten  ausser  einer  grossenMenge  buchst  in te res .t anter 
einzelner  Notizen  mehrere  gröBsere  Aufsätze,  die  wir  hier,  so  weit 
'      es    der  Raum  erlaubt,  aufitäblen    wollen:    Die    t^niodung  der 
fisterreichischen  Gesollachaft  für  Aleteorolo^ie.     Vor- 
trag,   gehalten   in  der  Versammlung  vuni  16.  ^'ovember 
1865.     Von  Dr.  C.  .lelinek,   ein  Aufsatz,    welcher    u.    A.  auch 
deshalb  setir  interesiant  ist,    weit  der  Herr  Verfasser  in  demsel- 
ben   ein    anschauliches  Bild  von  Uem   entwirft,    was  gegenwärtit; 
für  Meteorologie    in  Europa  geschieht.     Einen   der    ersten  Platze 
nimmt  in  dieser  Beziehung  nach  den  IVlitlheitungen  des  Herrn  Verfas- 

fsers  jedenfalls  Italien  ein,  indem  dort  nicht  weniger  aia  acht  meteoro- 
logiscbfl  Zeitschriften    erscheinen,    die    nach    dem  Zeugniss    des 
Herrn  Verfassers  büt:h8t  weTthvolle  MUtheilungen  enthalten,  iiäm- 
lieh:  I.  Meteornlogia  Italiana,  das  amtliche  Journal,  her- 
ausgegeben   von    dem    berühmten  lUateuccl,     welcher    an    der 
Spitze  der  meteorologischen  Abtheilung  in  der  Direction  der  Sta- 
tistik  steht.  —  3.  Bullettino  meteorologico,    herausgegeben 
von  dem  berühmten   Directnr  der  Sternwarte  des  Collegio    Ko- 
,      toano,   P.  äecchi  in  Rom.  —  3.  B  ullet  t  ino  meteorol  ogico- 
IbSsII'  OsservatoriodelR.  IstitutoTecnicoinAncona,  he^^H 
^Btögegeben    von    Professor    de    Bosis.    —  4.  Bullettino  me^^| 
Bfel  R.  Osservatoriodi  Palermo  von  Cacciatore.  —  5.  Bul||^H 
Waet.  del  R.  Osservatorio  di  Wodena  von  Prof.  Ragona.  -i^P 
6.  Bull.    mel.    deir    Osservatorio  del   R.  Collegio  Carlo 
Alberto  in  MoncaHeri.     7.  Ob  se  rvaiioni  me teorologiche 
diUrbino,  von  ProlesHor  A.  Ser  pieri.  —  8.  Corrispond  enza 
M     scientifica    in  Roma    mit    den     meteorologischen  Bulletins   der 
['     Frau  Caterina  Scarpcllini,  welche,  wie  wir  schon  im  Literar. 
1;     Ber.  Nr.  CLXXXVIU.  S.  I.    erinnerten,  gross tentheils  den  Dienst 
bei  der  Sternwarte  des  Capitols  versieht  —  Ceber  die  Wind- 
[.     und  Regenverhältnisse  in    Arabien.     Von    Dr.   A.   Mühry 
y    in  Gütlingen.  —  Ueb.er  klimatische  Oasen  in  den  Alpen 
Von  Prof.  F.  Siraony.  —  Wiederherausgabe  der  JahrbS* 
eher  der  k.  k.  Cen tralanstall  für  Meteorologie  and  E 
magnetismus.    VonDr.  C.Jellnek.  —  Ausser  diesen  grüsseri 
Aufsätzen  enthält  die  Zeitschrift,    wie   schon   erwähnt,  eine  se 
grosse  Anzahl  buchst  interessanter  kleinerer  Mittheilungen. 
Möge  das   in  jeder   Beziehung    ungemein  verdienstliche    und 
zeitgemässe  Unternehmen  sich  in    den  weitesten  Kreisen  di 
ballesten  Beifalls  erfreuen! 


1 


20  Liierarischer  Bericht  CLXXJX. 


Verinischte  Schriften. 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissen- 
ßcbaften  in  Wien.    ( VergL  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXIV.S.6.) 

Band  LI.  Heft  III.  Blazek:  Deber  die  partiellen  Differen- 
tialgleichungen der  durch  Bewegung  von  Linien  entstandenen  Flä- 
chen.    S.  186.  -   von  Burg:     Die  vielfache  Kurbel.     S.  198.- 

Felgel:     Bahnbestimmung  des  Planeten  Galatea  (74).     S.  226.  — 

Stefan:  Ueber  einige  Thermoelemente  von  grosser  elektromoto- 
rischer Kraft.  S.  260.  —  Kistiakowsky:  üeber  die  Wirkoog 
des  Constanten  und  Indnctionsstromes  auf  die  Flimmerbewegun^. 
S.  263.  —  Marcus:     Ueber  eine  neue  Thermosäule.     S.  280. 

Band  LI.  Heft  IV.  und  Heft  V.  Winckler:  üeberdie 
Umformung  unendlicher  Reihen.  S.  291.  —  Frischauf:  lotegra. 
tiun  der  linearen  Partial^leichungen  mit  drei  Veränderlichen.  S.  327. 

—  Mach:    Bemerkungen  über  die  Accomodation  des  Ohres.  S.  243. 

—  Ditscheiner:  Ueber  die  Krümmung  der  Spectrallinien.   $.368. 

—  Koch:  Kritische  Bemerkungen  über  die  bisherigen  Tonlebren 
und  Andeutungen  zu  Reformen.  8.  389.  —  Alle:  Ueber  die 
Eigenschaften  derjenigen  Gattung  von  Functionen ,  welche  in  der 
Entwickelung  von 


m 


nach  aufsteigenden  Potenzen   von  q  auftreten,   und  über  die  Ent- 
wickelung des  Ausdrucks 


m 


1 1  -— '2^  [cos  6  cos  6'  +  sin  6  sin  6'  cos  (i/;  -  ^')]  +  q^\    • 

S.  429.  —  Brücke:  Ueber  Ergänzungsfarben  und  Contrastfarben. 
(Mit  4  Tafeln  und  einem  Holzschnitte  im  Text).  S.  461.  — 
Tsc  herin  off:  Ueber  die  Bestimniung  des  Harnzuckers  ans  der 
Drehung  der  Polarisationsebene.  S.  502.  —  v.  Littrow:  Phy- 
sische Zusammenkünfte  von  Asteroiden  im  Jahre  1865.  S.  506. 
—  V.  Franzenau:  Mars  im  November  1864.  (Mit  2  Tafeln). 
S.  509.  —  V.  Waltenhofen:  Einige  Beobachtungen  über  das 
elektrische  Licht  in  höchst  verdünnten  Gasen.     S.  535. 

Band  LH.  Heft  I.  V^in ekler:  Allgemeine  Formeln  zor 
Schätzung  und  Grenzbestimmung  einfacher  Integrale.  S.  57.  - 
V.  Waltenhofen:     Elektromagnetische  Untersuchungen ,  mit  be- 


Literarischer  Bericht  CLXXIX,  21 

sonderer  Rücksicht  auf  die  Anwendbarkeit  der  iMülIer'schen  For- 
mel. (Mit  1  Tafel.).  S.  87.  -  F ritsch:  Ueber  die  mit  der 
Höhe  zunehmende  Tertiperatur  der  untersten  Luftschichten.  S.  135. 
—  V.  Haidinger:  Der  Meteorit  von  Taranaki,  Wellington,  Neu- 
seeland. S.  151.  —  F.  Haidinger:  Eine  Federwolke  am  17.  Juni 
1865.    S.  154. 

Band  LH.  Heft  11.  Schrauf:  Die  Refracfionsäquivalente 
und  optischen  Atomzahlen  der  Grundstoffe.  S.  176.  —  Boltz- 
mann:  Ueber  die  Bewegung  der  Elektricität  in  krummen  Flächen. 
S.  214.  —  Frischauf:  Ueber  die  Beruhrungsaufgabe  für  die 
Kugel.  S.  222.  —  Ditscheiner:  Eine  absolute  Bestimmung 
der  Wellenlänge  der  Fraunhofer*schen  />-Linien.     S.  289. 

Ausserdem  ist  uns  noch  zugegangen: 

Register  zu  den  Bänden  43  bis  50  der  Sitzungs- 
berichte der  mathematisch-naturwissenschaft- 
lichen Classe  der  kaiserlichen  Akademie  der 
Wissenschaften.     \.     Wien.     1865. 

ein  mit  der  grössten  Genauigkeit,  Sorgfalt  und  Vollständigkeit 
verfasstes,  ungemein  werthvolles  Register,  fiir  welches  der  Aka- 
demie der  grösste  Dank  aller  Besitzer  der  Sitzungsberichte  ge- 
bührt. 


Annali  di  Matematica  pura  ed  applicatja  pubblicati 
da  Barnaba  Tortolini  e  compilati  da  E.  Betti  a  Pisa, 
F.  Brioschi  a  Milano,  A.  Genocchi  a  Torino,  B.  Torto- 
lini a  Roma.    (Vergl.  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXVIIl.  S.  20.) 

Tom.  VII.  Nr.  3.  Degli  Invariant!  e  Covarianti  delle  forme 
binarie,  ed  in  particolare  di  quelle  di  3^  e  4^  grado  per  F.  Siacci 
p.  81.  —  Sulla  flessione  delle  superßcie  rigate.  Memoria  del 
Prof.  Eugenio  Beltrami.  p.  105.  —  Risoluzione  di  un  problema 
relative  alla  teoria  delle  superflcie  gobbe,  del  Prof.  E.  Beltrami. 
p.  139.  —  Intorno  ad  aicune  somme  di  cubi.  Nota  di  A.  Genocchi. 
p.  151.  —  Rivista  bibHog^raftca«  Sur  Petrus  Adsigerius  et 
les  plus  anciennes  observations  de  la  declinaison  de  Taiguille 
aimantee,  par  W.  Wenckebäch.  Traduit  de  THollandais  par 
T.  Hooiberg.    p.  159. 

GiornalediMatematicheaduso  degli  studenti  delle 
universitä  italiane,  pubblicato  per  cura  del  Professore 
Battaglini.    Napoli.    (S.  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXVIIl.  S.  20.). 


f±>  Utermist  rter  BtricIU  CLXXLS. 

Anno  IV.     Gerinitia  e  Febliraio    I8(i6.     Uimoslraziune  di 
[  slcuiie  formole  del   mig.   Liaurille;    per  C.    A.  Piuina.     p.    1.  — 

Sag!i\a  elementar«  di  Geonietr'm  della  sfera;  per  P.  Cass: 
I  |).  15.  —  Siipra  Ulla  Tunziune  che  presenia  il  oaso  di  nn  minima 
r  iiel  problema  dei  tre  corjii;  per  A.  de  Gasparis.  |i.  3'j.  — 8ulb 
1  rlifisin^t^  iti  una  i'unxione  intera  per  un'  aÜra;  per  R.  Rublai. 
i  p  $!:(.  —  Thärir^men  fitndamentaux  sur  les  eerits  de  couibes  d 
r  de  8urraces  U'ordre  quelconque;  par  E.   de  .loni]  uivres.     p.  43. 

—  Quistione.  p.  53.  ~~  Soiuzinne  della  quialioiie43;  per  E.  d'OTi- 
i  dio.     p.  54.   —  NoÜEia    hililiografica      p.  61.   —    Soluzione  ieSi 

quistione  45;   per  G,  Torellt.    p.  Gi. 

I  Addo  IV.     Marzo  e  Aprile  1666.     Uimo^frazioo«  di  bIcoM' 

I    fnmiole  del  si^,  Linuville:  pvt  C.  M.  Piiima.     p.  64.  —  Ui  alcvn 

propriela  generali  delle  curre  algebriche;  per  E.  tteltratni.    p.?& 

.    —  Süll'  equilibrio  di  (juallro   furze  nelln  spazio,  e  soluzione  ilcllt> 

'    quistione  45;  per  G.  Baltaglini.     p.  93.    —  Sulle  forme  ge«ist^ 

triebe  di  2".  «pecie;  per  G.  Ualtaglini.     p.  tß.  —  DimofitruiNie 

fil  «lue  formale  del  signor  Botiiiet;  per  E.  Beltrami.     p.  123.— 

Inlorno  agii  asisl  arnionici  di   un   sistema  Ui  reite  e  ä'i  piaui;  fV 

P.  Cassani.    p.  128. 

Anno  IV.  Maggio  e  Giiigno  1866.  Auf  dem  Tilel  diwU 
Hefts  ßndet  sich  die  uns  Tnit  lielrübniss  erfüllende  Notiij  ^B 
Prof.  N.  Trudi  per  motivi  di  salule  non  prende  plü  parte  lUl 
redazione  del  Giornale".  Wir  wünschen  dem  treulichen  Aluot 
baldige  Geiiesun*;,  da^e  er  eich  in  Vereinigung  mit  Uerrn  Bit* 
laglini  (Herr  V.  Janni  ist  leider  auf  dem  Tilel  der  uns  bis  jetll 
vorliegenden  drei  Hefte  des  neuen  Jahrgangs  auch  nicht  mAt 
genannt,  jedoch  ohne  eine  besondere  INotis)  dem  Redactioosg^ 
echäft  bald  nieder  nidnieu  könne.  —  Sagi^in  elementare  lU  iie^ 
nielria  della  sfera;  per  P.  Cassani.  p.  131.  —  Quistionl  JW 
poa^e  neir  Educatiunal  Times,  rlsolule  da  aicuni  poranl 
etudenti.     p.  150.  —  Sulle    forme   geometrlclie  di  2"  specie;  fV 

'    G.  Battagtini.     p.  175.  —   Su    talune   funnuie  relative   a  detW- 

,   rainante;  per  R.  Rubini.     p.  IS7. 

I  Atti  deir  Accademia  Pontificia  de'  Nuovi  Lineal  Gon< 
Lpilati  dal  Segrelario.  (Vergl.  Literar.  Ber.  Nr.  CLXS». 
l  S.  5.) 

[  Anno  XVllI.     Sessione  VI",  del  7  Maggio,  SessionB 

I  Vli«  delt'  II  Giugno,  Sesslone  VDl"  de)  30  Luglio  1868- 
r  Intorno  ad  un  passo  della  Divina  Commedia  di  Dante  Allighied 
L  Leiteradel  Prof.  Oltai'iano  Fabrizio  Mossotti  a  B.  BodcqB- 


^^^Aft  ü  i  >    segutta    ila    i 
^Ktslfihrlicher  von  uii< 


UltrarlscUff  Br-ricni  Ct.XXfX. 


1  N'ita  iotorno  a   qiiesta  letlera.     \t.   32x1 
ingezeigl  itn  Lilerar.  Ber.  Nr.  CLXXVJ| 


XIX.  Settsione  1°.  tlel  3.  Dicembre  IStiS. 
stidr  Itlarre:  Giographie  i]*llin  Ä  Ibaiiiiä,  malbämBlkieii  du  XII 
(«iele.  )>.  I.  (Unsere  ausführliche  Ai>zeii;e  Hes  „Talkhys"  >I«I 
Ihn  Alliannä.,  von  tTcIchem  hier  eine  Leberisbeschreihung  ge- 
liefert wird,  8.  ni.  Im  Literar.  Her.  Nr.  CLXX.  S.  1.).  Der 
eigeulliche  Name  dieses  MathematikerH  ist;  Ahmed  ben  Mo- 
baiDRied  Olhmäii  Aläzadi  Abou'I  Abbas  AI  tVIaräkeschi, 
wogegen  Ihn  Albaniiä  nur  ein  Beiname  ist,  den  Herr  Arlstide 
Marre  durch  „Hls  de  l'arcbitecte"  übersetzt.  —  Considera- 
ziooi  sulla  tensione,  fanto  in  eleltrostatica  quanto  in  eleltrodina- 
mica,  e  sulla  eleltrica  iiiUuenza.  Undecima  communicazinne  del 
pro!.  P.  Volpioeili.  p.  II.  —  Sulla  necessitä  di  protej^gere  dal 
Tulmine  le  niasse  metalliehB,  stabilite  nella  cima  degü  ediücie. 
Nota  del  prof.  P  V'olpicelli,  p- 22.  —  Ricerche  analiticbe,  re- 
lative al  luogo  geometrico  dei  punti  di  tangenza,  fra  uno  e  diie 
BiHfemi  di  parallele,  cnn  una  serie  di  coniche  oniofocaü.  memoria 
del  prüf.  P.  Volpicelli  (Conlinuerä).  p.  2.  (Wir  mache»  alle, 
di«  sich  mit  der  Theorie  der  Linien  des  zweiten  Grades  hescbäf- 
tigen,  auf  diese  recht  sehr  interessante  gcometrit'che  Cntereuchung 
berShmteo  Physikers  aufnierlcsani.  Die  Erweiterung  des  Titel«. 
Abhandlung  s.  m.  nachher  bei  der  Fortsetzung  derselb« 
iseione  11°.) 

>  XIX.  SeNfiione  IK  del  7  Gennalo  1866.  Intorno 
lltcune  enmme  di  cubi.  Nota  diAngeloGenocchi,  Profesaore 
natemalica  nella  Kegia  Universilä  di  Torino.  p.  43.  (Bereits 
bTfihrlich  im  Literar.  Ber.  Nr.  CLXXVIII.  S.  2.  von  uns 
eigt.)  —  Sülle  hottiglie  gallegianti  come  mezzo  di  espiorare 
p.Correnti  marittime.  Relazione  e  memoria  di  monsig.  Frau- 
.  51.  —  Ricerebe  analiliche,  relative  al  geome- 
i  lungo,  tauto  dei  punti  di  tangenza  fra  uno  e  due  sislemi  di 
una  serie  di  conicbe  omofucali ;  quanto  dei  punti 
e  delle  langenti  parallele  di  um  sistenia,  colle  rläpet- 
f  di  Uli  altro.  Memoria  de!  prof.  P.  Yotplcelli.  Continui 
i3.     Continueri.     fm,  s.  vorher}. 

,  Anno  XIX.     Seseione  IIK     del' 4  Febbraio 

du  traite  De  Republiua  de  Ciceron  et  sur  l'epoqiie  de  Tfaeo- 
Melitöniote.     Passagea  de  letlres  adressees  par  M.  Tb.  Henri 
Itftini,  doyen  de  la  facuUö  des  lettres  de  Renues,  ä  B.  Bo 
t,  suivis  d'une  addilion  de  M,  Th.  Henri  Martin  a 


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^•4  Uterarischer  Bericht  CLXXIX. 

^i}t»^w  Tepoque  d'Aristide  Quiotilien,  et  d'un  articie  8or  Aristide 
Quiiitilien  tM  des  Vite  de'  Matematici  de  Bernardino 
Haldi.  p.  87.  —  Soluzione  di  un  probiema  di  geometria  analitica, 
dalla  quäle  si  deduce  una  notevole  proprietä  delP  iperbola  apollo- 
iiiaiia.  Nota  dei  prof.  Cavaiieri  San  Bertolo.  p.  101.  (Das 
iDit  Uilcksicht  auf  die  Theorie  der  Hyperbel  hier  aufgelöste  geo- 
metrische Problem  ist  folgendes:  Es  seien  zwei  anter  einem  ge- 
wissen Winkel  gegen  einander  geneigte,  in  dem  Punkte  A  zasam- 
meustossende  Gerade  AX»  AZ  gegeben,  welche  von  einer  dritten 
Cieraden  RS  geschnitten  werden,  die  mit  jenen  beiden  ein  Dreieck 
ACQ  bildet,  dessen  Flächeninhalt  K^  Ist.  Wenn  nun  P  der  Mit- 
telpunkt der  Seite  CQ,  von  demselben  nach  dem  Scheitel  A  die 
(■erade  AP  gezogen,  und  diese  Gerade  in  dem  Punkte  N  so  ge- 
theilt  ist,  dass  NP  zu  der  ganzen  Linie  AP  sich  wie  I  zu  A  ver- 
hält: 60  soll  man  den  geometrischen  Ort  des  Punktes  JV  für  alle 
Lagen  der  Linie  RS  bestimmen,  für  welche  der  Inhalt  des  Dreiecks 
den  obigen  constanten  Werth  hat.).  —  Bianchi,cav.  Guiseppe: 
Quinta  lettera  astronomica,  parte  2;  sesta  e  settima  di  qaeste 
lottere,  p.  109.  —  Sulla  escursione  barometrica  in  rapporto  coli* 
altezza  locale  sul  üveilo  marino,  e  colia  direzione  del  vento.  Ricer- 
che  di  Giuseppe  Serra-Carpi.  p.  145.  —  Ricerche  analitiche, 
relative  al  geometrico  luogo,  tanto  dei  punti  di  tangenza  fra  qdo 
e  due  sistemi  di  parallele,  con  una  serie  di  coniche  omofocaG; 
quanto  dei  punti  d'intersecazione  delle  tangenti  parallele  di  im  si- 
stema,  colle  rispettive  di  on  altro.  Memoria  del  prof.  P.  Voi* 
picelli.     Conti nuazione.    p.  249.     (Continuerä.). 


ItirriiUcher  BfricM  VLXX.X 


Literarischer  Berieht 


CLXXX. 


G  e  o  d  ä  s  i  t 

lied  eren  Geodä» 


enle  der  Markscheidekui 
>.  r>.   Professor    der   h<ihern  Mathe 
bnischen  Institute  in  Wie 
vermehrte  Auflage.     Mit  377  Hol 
pferfafeln.     Wien.     L.  W.  Seidel 


te 


matik  am  b.  V.  pnlyle< 
dnrchgeseheoe  uod 
achnitten  und  2  Ku 
SobD.     1864.    8». 

Die  im  Jahre  1850  erschienene  erste  Auria£;e  lüesee  ausgi 
zeichneten  Lehrliuchs  der  niederen  Geodü8ie>  jedenfalla  eines' 
der  besten,  welche  «ir  iiherhaupl  besitzen,  ist  im  IJterar.  Ber. 
Nr.  LVm.  S. 'J87.  ansezeigl  worden.  Dasselbe  efstreekt  sich 
Aber  die  ganze  niedere  Geodäsie  mit  sehr  grosser  Denilichheit 
und  völliger  Gründlichkeit,  und  giebl  überall  die  Tür  die  Praxis 
I  sieb  am  meisten  empfehlenden  Methoden,  mit  soTgfliltigBter  Be- 
rflcbsichtigung  aller  neueren  Fortschritte  der  Wissenschaft,  na- 
tneotlich  in  dieser  dritten,  in  jeder  üeziehung  im  b(>chslen  Grad< 
zu  empfehlenden  Ausgabe.  Die  Instrumente  sind  in  grosser  VoU- 
flländigkeit,  ebenfalls  gitnz  dem  ikeuesfen  Zustande  der  Wissea* 
Schaft  und  Kunst  entsprechend,  sehr  deutlich  beschrieben,  wob« 
namentlich  auch  Das  besonders  hervorgehoben  nerden 
der  Herr  Verf.  die  zusammengesetzten  Werkzeuge  sfimmllieh  gl 
wissermaassen  in  ihre  einzelnen  'Jheile  zerlegt,  diese  letzteren' 
besonders  beschrieben  und  in  besonderen  Abbildungen  den  Le- 
sern vor  die  Augen  geführt  hat,  nodurth  natürlich  die  deutliche 
Einsicht  in  die  Einrichtung  der  Instrumente  wesentlich  erhöhi 
und  deren  sicherer  Gebrauch  sehr  erleichtert  und  gefürderl  wiri 
TUl.Xl.V.Hfi.4. 


UlfTorliCher  Bertchl  CLXXX. 


w 

^^^    Daes  ilherull    der  Kerichti gutig   der  Inslruniento    eine  sehr 
r  heitde  ßeriickaichllgung  gewidmet  worden  ist,    versteht  sich 

I  einem  Werke  eines  mit  seinem  Gegenstände    so  sehr  vertrauton 

^^^^   und    mit   allem    nüthigeii   rein     mathemalTSchen  Hnirsa)>parate    ba 
^^^C  vollsländig  und  gründlich  ausgerüsteten  Verr^ssers  ganz  von  selbst 
^^^B  Ausser    den  Horizontalinesaungen  ist  auch  den  H'ihenmessungeo.^ 
^^^P  mit  Einschluss  der  barometrischen  Messungen,  insbesondere  aucl^ 
I  dem  Nivelliren,  wobei  die  von   Stampfer  eingeführten  Method^^ 

I  und  die  aus  der  Werkstätte  des  polytechnischen  Instituts  in  Wie  ^ 

in  so  ^rnsser  Vollendung  hervorgehenden  Ni fei lir -Instrumente 
mit  Recht  besondere  ßeriicksicbtigung  gefunden  haben,  eine  be- 
sonders eingebende,  in  jeder  tie/iehung  griinilliche  und  einsicltfi». 
volle  Behandlung  zu  Theil  geworden.  Die  Grundzüge  der  Me- 
thode der  kleinsten  Quadrat«,  niil  besonderer  Rücksicfal  aaf 
deren  Anwendung  in  der  Godäsie,  und  die  Anfangsgründe  det 
Markscheidekunst  haben  gleichfalls  Aufnahme  gefunden.  AIb 
haiifitsächlichste  Zusätze,  durch  welche  diese  neueste  Ausgabe 
sich  von  den  früheren  Ausgaben  besonders  unterscheidet,  hezeici- 
net  der  Herr  Verfasser  selbst  in  der  Vorrede  die  folgenden! 
Nr.  39-61,  zur  Theorie  der  biconvexen  Linse;  Nr.  (56-68,  wr 
Theorie  des  Fernrohrs;  Nr.  106,  das  Prismenkreuz  von  Bauern, 
feind;  Nr.  113,  das  Schraube nmikroskop  a»  WinkelinstrumeoteiK 
Nr.  131,  der  Rlesstisch  von  Starke;  Nr.  366— 368  das  Polarpll- 
nimeter  von  Miller  und  G.  Starke.  Manches  Andere  nflidi 
sich  hier  aber  noch  beifügen  lassen. 

Wir  sind  überzeugt,  dass  dieses  auch  Su.iserlich  trefflrdtl 
ausgeslaltete  Buch  unter  den  Werken,  durch  welche  in  netterer 
Zelt  ein  besserer  Znstand  der  Geodäsie  besonders  hcrlieigefÜkA 
und  dem  in  dieser  Wissenschaft  oder  Kunst  eingerissenen  lilou 
haodwerksniässigen  Treiben  eine  wahre  wissenschaftlich«  Bf 
f  handlung  entgegengesetzt  worden    ist,    eine  der  ersten  Stellen  in 

I würdigster  Weise  einnimmt,  weshalb  wir  dasselbe  allen  Geodif 
dringend  zur  sorgfältigsten  Beachtung  empfehlen 
: 


h 


N  a  u  1 


ik. 


Keise    der   Ssterreiclilechen    Fregatte   Novsr« 
die  Brde  in  den  Jahren  1857,  1858,  1859.  unter  « 
fehlen  des  Co mmodoreB.  von  Wüllerstorf-Drbair. 

b -physikalischer  Theil.  III.  (Letzte  Abtheüung.).  ' 
Meteorologisches  Tagebuch.  .Mit  1i  beigebundeneo  1 
litbographirtenCourskärtcben  und  einer  verbesserten 

flage  des  Plana  Nr.  II.    (Mittheilungen    der   bydro- 


LtteraUscher  Beruht  CIXXX. 


rk.  k.Mar 

aUerlicIi  ' 

InCommi 


Künigli 


ind  3.  (Lelic- 
tl.e  Hof-  und 
Oarltierold's 


grai)bischen  Anstaltde 
tes    Heft.).      Wiep. 
SlaatsOruckerei.    18 
Sohn,     4". 

So  liegt  Jeiin  «iie  drilte  und  lelzle  Abtheilung  des  Nautisch- 
physikalischen  Theils  dieses  wichtigen  Werkes,  welches,  so 
wie  die  merkwürdige  Weltumsegelung  der  Novara  selbst,  der 
Österreichischen  Regierung ,  inshesondere  der  5a (erreich lachen  ^ 
Marine  und  der  k.  k.  hydrographischen  Airetalt,  und  allen, 
bei  der  merkwürdigen  Expedition  tbätig  waren,  namentlich  dem 
obersten  Leiter  derselben,  dem  Herrn  Commodorc,  jetzigen 
Contrc-Admiral  und  k.  k.  ivirkl.  geheim.  Rath  und  Handelsmi- 
nister, Freiherrn  von  WüM  erslor  f-ürhair,  zu  ewigem  unver- 
gfingtichcn  Ruhme  gereichen  wird,  in  prJichtigster  äusserer  Aus- 
stattung zu  unserer* grüssten  Freude  vor  uns!  Die  beiden  ersten 
Abiheilungen  sind  von  uns  im  Literar.  ßer.  Nr.  CLV.  S.  10.  und 
Nr.  CLIX.  S.  15.  angezeigt  worden. 

Der  vorliegenden  dritten  Ahtlieiliing  ist  zunScbet  der  Maupt- 
litel  zu  dem  ganzen  Werke  und  das  Hauptinhaltsverzeichniss  bei- 
gegeben. Darauf  folgt  das  in  allen  Beziehungen  buchst  interessante 
Vorwort  des  Herrn  C.-Admirals  Freiherrn  von  Wüllerstorf,  in 
M'elcbera  derselbe  aber  das  ganze  bei  der  Novara-Espeditinn  befolgte 
Beobachlungssystem  ausführliche,  für  alle  Expedrliorien  dieser 
Art  buchst  lehrreiche  und  als  Muster  dienen  ktinncnde  Auskiiuft 
ertheilt.  Um  zu  zeigen,  wie  grosse  Sorgfalt  allen  üeobachtnngen 
gewidmet  wurde,  und  wie  grosses  Vertrauen  dieselben  also 
verdienen,  theilen  wir  den  Anfang  der  lehrreichen  Vorrede  mit; 
„Die  Beobachtungen,  welche  dem  vorliesenden  Werke  zar  Grund- 
lage dienen  und  während  der  Reise  Sr.  Majeslät  Fregatte  Novara 
um  die  Erde  aufgeführt  wurden,  sind  unter  meiner  unmittelbaren 
Leitung  von  Ofticieren  und  Cadelen  zu  Stande  gebracht  worden, 
welche  mit  keinem  anderen  wesentlichen  Dienst  be- 
traut waren*}.  Die  meteorologischen  Beobachtungen ,  welche 
nach  dem  von  der  Brüsseler  Confercnz  aulgeatellten  Systeme, 
wiewohl  in  ansgedehntereni  Maasse,  durchgeführt  wurden,  beding- 
ten eine  fortgesetzte  gleichmässige  ThStigkcit;  ich  habe  daher 
den  Dienst  so  eingetheilt,  dass  liebst  den  Wachoflicicren  lur 
den  Seedienst  auch  ein  Beobachtungsonicier  auf  Deck  stand, 
dessen  Aufgabe  ea  war,  die  meist  stündlichen  meteorologischen 
Beobachtungen  mit  aller  Aufmerksamkeit  und  SchSrfe  zu  machen." 
—  „Gleichwohl   war  eine  geraume  Zeit  erforderlich,    bis   es  end- 


*)  Uie  Booliacbtiiii-^cn  wnrilen  nlsn  Iceinesiregi  btosn  bciliiiifi^,  i 
dem  oigcndichen  priiblierben  StL-ilirn.^lc.  auageräbrl, 


r  "• 


Ulerarlacker  Bericht  LCXXX. 


Y 


Dch  gelang,  in  den  Ablesungen  lier  meteorn logischen  ImIth' 
lente  «nii  in  der  Aulzeichnung  der  Erscheinungen  jene  gleich- 
massige  Behandlung  «u  sichern,  welche  unter  solchen  Verhält- 
nissen gefordert  nerdcn  mue&ie.  Ich  hal)c  in  dieser  Beziehung 
durch  mehrere  Monate  hindurch  die  Mühe  nicht  gescheut,  täglich 
die  Beobachtungen  zu  (irüfen  und  die  barometrischen  Curven  nacfa 
den  gemachten  Beobachtungen  zu  entiverfen,  am  daraus  mög- 
licher Weise  die  Unterschiede  zu  ermitteln,  welche  bei  den 
Wechsel  der  Waciiofliciere  und  bei  verschiedener  Ablesung«- 
weise  sich  ergeben  lionnten.  Gleiclizellig  beobachtete  ich  selbsl 
an  einem  An eroide,  so  oft  als  es  meine  sonstigen  BeschäftiguDgen 
gestatteten,  um  einerseits  die  Beobachtungen  der  Herrn  Beob- 
achtungsotiGciere  zu  controliren,  andererseits  auch  um  die  Var- 
ISeslichkeit  des  Aneroids  geo;enüber  dem  Barometer  zu  prüfen." 
—  „In  ähnlicher  Weise  verluhr  iclj  bezüglich  der  übrigen  lau- 
tenden Beobachtungen  und  verzeichnete,  unabhängig  vom  meteo- 
rologischen Journale  und  vom  Loggbuch,  die  Hichlung  des  Win- 
des, den  Zustand  des  Wetters  und  alle  besonderen  Erscheinungen, 
welche  ich  selbst  wahrzunehmen  Gelegenheit  hatte.  Auf  diwe 
Weise  ist  es  durch  Vergleich  möglich  geworden,  Beobachtungen 
zu  erhalten,  welche  auf  Verlässllcbkeit  einen  büberen  Auepmch 
machen  dürfen." 

Alle  Arten  der  Beobachtungen  sind  in  dieser  lehrreichen  Vor- 
rede besprochen  und  überall  höchst  schätzbare  Notizen  Über  die 
angewandten  Instrumente  sind  mitgelbeill.  Die  Methode  de« 
Herrn  Verfassers,  das  Maass  der  Schwere  durch  Vergleicbung 
der  am  gewöhuMchen  Barometer  und  am  Aneroid  gemachte« 
Beobachtungen  mit  einander  zu  bestimmen,  über  welche  wir  schon 
in  unserem  Lilerar.  Her.  Nr.  CXLVIII.  S.  13.  Nachricht  ertllöH 
haben ,  wird  besprochen  *).  Die  schöne  Methode  des  Uftffi 
V.  Litlrow  zur  Zeitbestimmung  mittelst  nahe  correspondirendet 
Hüben  in  geringer  Entfernung  vom  Meridian,  die  sich  bei  ilei 
Novara-Expetlition  vollbommen  bewährt  hat,  welche  wir  schon  ha 
Literar.  Ber.  Nr.  CLX-  S.  4.  ausfubrlich  besprochen  haben,  findet 
auf  S.  Xni.  eine  vollständige  Darstellung  und  Würdigung,  fi» 
wie  den»   diese  Vorrede  überhaupt  so   viel  des  Lehrreichen  und 

inlorcsGnnle  Uarstellnng   dieser  Methode   hat  Herr  Freiherr 

orf  eelbsC  an  oben   in  der  Zeitschrift  der  ö stt: rreieht- 

hafl    für    MeCenrniaKie.      i\r.  T.      Juli   1.     IS««. 

:lsfülirliche  AiizelgD  der  neueren  Niimdicrn   dicanr  «ehr 

erdiensilichcii  Ki^iiadirifl  (Vt-rgl.  Liier    Itcr.  Xr.  CLX\1\.  S.  \H.}   folgt 


UiermUeher  Beriekt  CLXXX- 

WiseensniirdigGD  ctithSIt,  ilass  wir  alle  unsere  Leser,  welche^ 
sieb  für  Ueg^nslünde  dieser  Art  interesstren,  nur  dringend  aiif^ 
diesellie  aulnierksam  machen  müssen. 

Um  die  Berechnung  und  Reduetioii,  so  nie  üherhaupt  : 
die  gBDie  Pablication  der  Beobachtungen,  hat  sich  die  k.  k.  hy- 
drographische Anstalt  und  deren  damaliger  Direclnr,  Herr  Pro 
fessur  Dr.  Schaub  in  Triest,  ivelcheoi  die  Leitung  des  ganzen  ^ 
Geschäfts  ohlag,  die  grüssteti,  mit  dem  Tfärnisten  Danke 
kennenden  Verdienste  erworhen,  wodurch  es  eben  erst  miiglic 
wurde,  das  grusse  und  wichtige  Werk  in  der  so  höchst  würdigen  1 
^eise,  in  der  es  uns  jetzt  vorliegt,  in  die  Wissenschaft  e 
führen  und  derselben  zugänglich  zu  machen.  In  einer  kurzen 
Vorrede  hat  Herr  Professor  Schaub  davon  selbst  Nachricht  ge- 
geben und  alle  diejenigen  naiuharc  gemacht,  welche  ihm  bei  seiner 
Bchnierigen  und  mühevollen  Aufgabe  als  Gehülfen  zur  Seite 
standen. 

Die  ganze  dritte  Abibeilung  selbst  nimmt  nun  auf  S.  139  — 
S.4Ö9.  das  mit  einer  lehrreichen  Eiideitung  versehene  Meteo- 
rologische Tagebuch  ein,  dem  auch  viele  zoologische  An- 
merkungen beigegeben  sind,  die  vor  der  Publication  von  Herrffi 
Georg  Ritter  von  Frauenfeld,  Custos  am  k.  k.  Üor-MiüeralieiH 
Cabinete,  einer  sorgfältigen  Revision  unterworfen  wurden- 

Die  beigegebenen  22  Courskarten  sind  für  die  Nautik  ' 
der  grUssten  Wichtigkeit,  und  endlich  ist  noch  eine  verbessertoj 
Auflage  des  Plans  Nr.  II.,  nämlich  der  Generalkarte  der  Nicobareo9 
im  indischen  Ocean,  beigerügl  worden. 

Möge    dieses    Deutschland    zur    grüssten    Ehre    gereicbendo^ 
Werk  alle  diejenige  (vissenschaniicbe  Benutzung  finden,    welclu 
es   Für   sich  in  so  hohem  Maasse   zu   beanspruchen  in    jeder  Be^ 
Ziehung  berechtigt  ist. 


1 

hy- 

zeo  i^^J 

gcn^^H 


Vermischte  Schriften. 

tsberichte  der  Kiln  i<>lichen  Preussischen  Aka-J 
bie   der  WissenschaTten    zu  Berlin.     Aus  dem  Jahr< 
Mit  II  Tafeln.    Berlin.     1866.    8". 

I  Leider  sinil  uns  im  vorigen  (so  tvie  auch  im  laufenden)  Jahi 
Kkt  mehr  wie  früher  die  einzelnen  Monatshefte  dieser  wiehtigeir' 
Berichte  zugekommen ,  was  zu  unserem  Bedauern  diu  Veranlassung 


IMerarhcIler  Bericht  CLXXX. 


sen    i^l,    (lass  nir  kein«  Anzeigen  iler  ciitzelöi 
liefeni  konnten,  iini)  jelzt   nur  i^ine  Änzeii^e  des  ganxexi  JabrgiR' 
ges  1865  /ti   geben  im  Slnirdu  ^ind. 

Riess:  Zweite  Ahhandlung  ülier  ÄMciilfung  der  Alegnctnadel 

.  durch  die  Nel)ons(rilme  der  leydener  Batterie.  S.  II.  —  Wojei- 
koff  (voreeleiit  von  Dore):  Berecfinung  der  vom  Dre)iungE°esclz 
abblin^igeit  Bevrenungcii  des  GnroniGters  in  Providente.  S.BQ.  — 
Bei  der  GedücIitniKsreier  König»  Friedrich  II.  am  20.  Januar  IS6S 
hielt  Herr  Kumnior  eine  in  jeder  Beziehung  buchst  iriterefisanle, 
zur  nllgemeinsicn  Beachinng  aehr  zn  ciuplehteride  Rede  ilber  die 
Thäligkeit  des  grossen  Königs  in  der  Wissenschaft  mit  speciell« 
Beziehunc;  auf  Mathematik,  für  die  sf\t  Herrn  Kummer  unseren 
wärmsten  Dank  sagen,  und    die  wir  in  einer  besonderen  Scbrilt 

'  nobi  weiter  unsgeiuhrt  zu  sehen  wünschten  mit  näherem  Eingetien 
auf  die  grossen  wi^senschafllichen  Verdienste  aller  der  Slänner, 
die  hier  besonders  genannt  M-erden  mussten,  wie  IMauperluls. 
Leonhard  Euler,  Lagra.ngQ,  Lambert,  Castillop,  Jo- 
hann Bernoulli  (den  Astronomen),  ü'Alembert,  liber  nelckn 
letzteren  ula  l^hilosophen  und  Mathematiker  sich  Herr  Kummet 
besonders  ausfiihrlich  verbreitet.  S.  62,  —  S.  75.  —  MngiiUB; 
lieber  die  Wärme5|ieclra  leuchtender  und  nicht  leuchtender  Flam- 
men. S.  118.  —  Dovci  Uelier  optische  Täuschungen  bei  der 
Bewegung.  S,  129.  —  Förster  (vorgelegt  von  Dove);  Beobacb* 
tung  des  Sirius-Begleiters  auf  der  Berliner  Sternwarte.  S.  135. — 
Feussner  (raitgelheilt  von  Magnus):  Absorption  des  Lichte« 
bei  veränderter  Temperatur,  S.  144.  —  Schwarz  (vorgetragen 
von  Kummer):  Ueber  die  Minimnmsflfiche,  deren  Begrenzung 
als  ein  von  vier  Kanten  eines  regulären  Tetraeders  gebildetes 
wintlschiefes  Viereck  gegeben  ist.  S.  149.  —  l'oggeitilorff: 
Neue  Einrichtung  der  Quecksilber-Luftpumpe.  S.  138.  —  Der* 
selbe:  Vorläufige  Notiz  über  den  Einlluss  einiger  noch  DiL-ht  er> 
mitteltcr  Umstände  auf  die  eleklrischen  Entladungs-Erscheinuugefl. 
S.  167.  —  Derselbe:  Ueber  einen  von  dem  Partikulier  Herrn 
Holtz  in  Berlin  erfundenen  und  construirteii  Apparat,  den  man 

'  Influenzmaschine  nennen  könnte.  S.  173.  —  Kronecker:  Üober 
die  asymptotischen  Gesetze  von  gewissen  Galtangen   zahlenthen- 

.  retischer  Functionen.  S.  174. —  Kund  t  (vorgetragen  von  Magnus): 
Ceber  die  Mittheilnng  des  Tones  longitudinal  schwingender  Stillt 
und  Rühren  an  die  umgebende  Luft.  S.  23-1.  —  Wicdemann 
(vorgetragen  von  Magnus):  Ueber  den  Magnetismus  der  Salze 
der  magnetischen   Metalle.     S.  280.  —  Kummer;  Ueber    die    al- 

'  gebraiHchen  Sirahlensysteme,  in's  Besondere  über  die  der  ersten 
md   der  zweiten  Ordnung.    S.  288.  —  Quincke  (mitgetheilt  von 


r  ÜUfariicher  Beikhl  CLXXX.  ' 

Hagniis):  Ueber  das  l£inclnngen  des  total  refIccHrteii  Licht»  in 
Üb  innere  Medium.  S.  294.  —  Spiirer  (mitsetlieilt  von  Dove): 
»eobaclitungen  von  Sonneoflecken.  S.  337.  —  Vülari  (mitge- 
iheilt  von  Magnus):  Uelicr  die  Aenderungen,  ivplche  in  magne- 
ScGhen  Stallen  dus  Ziehen  hervorhriiigt,  so  nie  das  Hinilurchleiten 
lines  galvanischen  Stromes.  S.  liSO.  —  Uies.s:  Ueher  die  La- 
lung  des  Condensatora  durch  die  Nebenstrüme  der  Leydenet 
totterlc.  S.  397.  —  Poggendorff:  üelier  Störung  der  Funken- 
Snlladung  des  Inductoriunis  durch  seitliche  Nähe  isnlirender  Sub- 
tlanzen.  S.  413.  -~  U.  Schiagintwei  t-Saliünlüiiski  (vorge- 
ragen  von  Uove):  Ueber  die  mittlere  Temperatur  des  Jahres  uqd 
ter  Jahresseiten,  und  den  allgemeinen  Charakter  der  leotheimeo 
n  Indien  und  Hochasien;  zweiter  Tlieil:  Hinialuya,  Tibet  und 
rukistan.  S.  465.  -^  Paalzoiv  (luitgetheilt  von  Magnus): 
Jlilersuchung  über  die  WKrrae  des  elektrischen  Funkens.  S,  563.  — 
ipürer  (vorgelegt  von  Dove):  üeher  Somienflecken.  S.  588.— 
I^reiiecker:  Ueber  einige  loterpolationsrormehi  für  ganze  Func- 
ibnen  mehrerer  Variabein.  S.  6Q0.  —  Alibandluogen ,  die  bloss 
bran  Titeln  nach  angegeben  sind,  sind  im  Obigen  nicht  aufge- 
letumen  worden. 


anali  di  Matoniatica  ]iura  ed    applicata  puhhlicati 

irnaba  Tortolini    e    conipliati    da    E.  Betti   a   Pisa. 

loschi  a  Milano.    A.  Oeuocchi  a  Torino,  B.  Torto- 

LRoma.     (Vergl.  Lilerar.    Ber.  Nr.  CLXXIX.    8.21.) 

mta.  VII,  Nr.  4.    Sulla  quadratura  lii  aicunc  superlicte  risullanti 

lone  di  cilindri.     Nota  deM'Ingegiiere  Frlippo  Lan- 

E'p,  169.  —  Risoluzinne  del  prohlema;    Riportare  i  puiiti  di 

Berficie  sopra  un  piano    in    modo  che    le    linee    geodetiche 

rappresentale    da  linee    rette,    del    Prot".  E.  Beltrami. 

Salle  superGcie  gabbe  nelte  quali  uno  dei  due  taggi  di 

,  priiicipale  e  una  funzione   dell'  altro.     Nota   di  Ulisse 

).205. — 

"^Klvista  bibllografica.  Sugli  archi  di  cicloide  (ordinaria, 
JHUgata  ed  accorciata).  Articolo  biblingratico  del  ProF.  B.  Tor- 
",   p.  211.  ~  Pubblicaitioni  receii4i.    p.  2!fi, 


Ulenirischi 


Programm  eines  grossartigeii  chemischen  Inatitits  in 
IVcapeL 


|_ 

^^H  Piazza    <lel    Municipio  Napoli. 

^^^V  dort  errichteten  clieniiechen  Inelitut»  zuge-'anßeti,  in  welcbem  di« 
1^^^^  Chemie  im  weitesten  Sinne  theoretisch  und  praktisch  ßelebri 
r  werden  soll,   mit  hesonderer  Rücksicht  auf  das    weite  Feld  ilirei 

Anwendung  in  allen  Zweigen  der  Technik,  der  Agrikultur  u  b.  w. 
Üuterjieichnel  ist  das  sehr  ausführliche  Programm,  von  dem  wir 
unsere  Leser  genaue  Kennlniss  zu  nehmen  recht  sehr  ersuchen: 
„II  Fon'latore  Professore  Carlo  Cassola."  Gdehrl  wer- 
den: Chimica  generale.  Prof.  C.  Cassola.  —  Chimica  fisica. 
Prof.  F.  Cassola.  —  Chimica  Minerale.  Docimassia.  Prof.  C. 
Csasola.  —  Chimica  Organica,  Animale  o  V'ei>etale.  Ptof. 
f  J.  Pignaiit.  —  Chimica  applicato   alle  Arli  e  Manifatture.    Prof. 

^^■G.  Novi.  —  Chimica  applicata  alla  Industrie,  Prof.  J.  A.  Gri- 
^^^^Bmaux.  —  Chimica  Agricola  e  Meleorolo^ica.  Prot'.  Pasqual« 
^^^^r|a  Cava.  —  Cbimica  applicata  alla  Medicina,  Tossicologia  e 
■^^^^  Chimica  legale.  Prof.  S,  Zinno,  —  Cbimica  applicata  alU  For* 
macia,  Medicanienti  chimici,  Galenicl  ed  estratti  dal  vegetaü. 
Prof.  S.  Zinno.  —  Chimica  applicata  alla  publica  salubrita  (Igiena), 
Vita  domestica,  Commestibili.  Prof.  Pasquale  la  Cava. —  Chi- 
mica applicata  alla  Guerra,  Genio,  Artitlieria,  Marina,  Stalo  Ma^ 
giore,  Pirotecnica.  Prof.  G.  Novi,  —  Chimica  analilica,  Aaalid 
speltrale,  Kicerche  chimiche,  Storia  e  FilosoGa  chimica.  Pto£ 
F.  Cassola.  —  Corso  di  Manipolazioiii  chimiche.  Prof.  J.  Pig- 
nant.  —  Lezioni  lihere  di  Cbimica  familiäre.  Prof.  De  Lpea, 
C.  Oeperais,  Scivoletto,  ed  altri.  —  Hiernacb  ist  dieses 
Institut  gewiss  das  grüaste  chemische  Institut,  welches  e§  fllNV- 
himpt  giebt! 


Thn/xi.i: 


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