Archiv der Mathematik und Physik

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V ■

ARCHIV

der

MATHEMATIK und PHYSIK

mit besonderer Bücksicht

auf die Bedürfiiisse der Lehrer an höheren

ünterrichtsanstalten-

Gegrünoet von

I. A. Grüner t,

fortgesetzt von

IL Hoppe«

Sechsundfiinfzigster Teil.|

. Leipzig.
C. A. Koch's Verlagsbuchhandlung,

J. Sengbnsch.

• 1874.

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tthalts-Verzeiclmiss

sechsandfunfiigsteii Teil:

Siat AbhudlDsg.

Oesehtclite der Mathematik uud Plijeik.
XXIX. Ffinf ungedruckte Briofe von Gemma Frisins. Nscli
den OriginBlen in der ÜnirerBitatsbiiiUothek zu
Upaala heranegcgobea Ton Maximilian Cnrtie

Arltlitnetik and Algebra.
^^^^Jin. BaiträgB Bur Theorie periodischer DceimBlbrüchc

^^^L Von Karl Broda

^^^^B Z. CoDEtrnction der reellen Wnraeln einer Gloicbung
^^^H 4. oder 3, Oiadc« mittelst einer festen Forabel.

Von B, Hoppa

XVn. Die ratioDBlen Dreiecke. TollMändig entwickelt
und mit Anaicheicliing oller Wiederholoogen in
3 s^BtematiBche Tafeln gebracht von Heinrich

Bath

XXXVI. ücber die allgcmoinc Auflösung der Gleichnngen

vicrtflo GradcB. Von Hell

, AJL&Vll. CnterBachnngcn über algebraische Gleichnngen.
Von Alfred Äiebel

Beine Analysls ohne Integralrecbnung.
üeber die AuflÜsDog des Imearen System e voi
Gleichnngen

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Von Frani Unferdio

- i.(«

^ 1, 2, .

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JJderAbliudluDg.

XIX. Proprie«; doB (ieWrmiQnntB. Par Georges Doslor
[_ JUtV. Zur malhemHti schon Theorie des Schachbretts.

Von Bieginund Gfliithor

Bcmerknugcn Ober Cytindor • Fuaotionen. Von

Sicgmond Günther

XVII. Caicul etämeBtaira dunombra dus baukti 'OOStcnDs
dsxts lea pilcs dc9 ure^ntLox d'artiüerie. Pur

Gioret. Do.iot

I XXX. Ueber eine gewiese CloHse in der Trigonomctria
und Astronomie hSnfig in Anwendung kommender

nnendlichen Reihen. Von Ligowaki

I XXX. Bemorkong an Herru Jliigowski'e Kj:«4AiGr«cJi-
nungsrormcl- Von S, DicEcBtein

lote KrsU'eehtiHiis'.

XIV, Zur iQWgration eines SjBlemB linearer parWeller
DiEferentittlgleichnBgeD eraler Ordnung. Von La-

dislana Zajacikowaki

XV. Beitrag zur Theorie der singulftron LOsni^fln go-
wOhnticher DiBerentiiilgleichuilgen erster OidnoDg.

Von LadiiUus ZijacEkowiki

^^XXT. Bemerkungen QbaT die Eoduction der nillon clIJp*
tiacbcn Integrale zweiter Qattang anf die vollen
elliptiMheD Integrale «rstci Gattung. Von E.
HaisBel

Geometrie der Eliene.

I. Eine Aufgabe aus der Theorie der Qinh&Uenden

Curvcn. Von Carl Wagner

IL Cisaoidalcnrven. Von Karl Zahradnik . . .
IIL Ein geaniBtriaober I<<üii«8li. Von Karl Zah-
radnik

IV. Welches ist die Bedingnngagleichnng, unter wcicbci
vier Punkte in einem Xreise liegen? Von Karl

IX. Verschiedene Satic Bbcr Dreiecktransversalen. Von
Emil Hain

m

^SI AbbBodlDDg. I

Equalion do cerclo eii faleor dei dirivdos cl da

rajroD. Far Georges DoEtor

I B«b«r einen Salz von der Paraliol, Von Sill-

docf

X. Zwei Drcicctsäcze. Voa Berntftnn ......

331. Bacionale ebene Carven dritter Orilcnng. Vqd

Karl Zahradnik

Eigenschaften der ans rationalan ganzen Functionen
dritten Grades entspringenden Cnrven. V-on Lud-
wig Stoecklj

XX. Snrftioe des quadrilBt^res exprimee en d^tönninants.

Par Georges Poator

JT^TC. Lehrsatz. Von F. AnguEt

XXX. Zar Teilnng des WinkeU- Von WasBersch Itben
XXXIL EarmoDiscbe FuaktajBtemb anf rationalen Curren
dritter und Tierler Ordnung. Von Karl Zah-
radnik

Ein Betrag lar Lefare voa ätia TKOsvertallinleQ.
Von Kölp

Geometrie des Baiunes.

Zur Theorie der Flächen dritter Ordntiog. Von

Fi. G. AffoltoT

XIII. Zam Problem des dreifach orthogonalen FUchei>-

eystems. II. Fortäctaune »on N. XXXII. des vor.

Bandes. Voa B.Hoppo

XXL Propridld dn nÜraMre. Par Georges DoBtor .
XXHL Zntn ProUem dea draKach otthogonaita Fliehen-

Barstem«. QI. Fortsetzung von N. XIII. Von

B, Hoppe

XXIV. Heber sphärische Curven. Von S i c g m u n d

GQotlior

'XXVItl. Be«tämniung

h

der grOisten Anzahl ^eieh groseer
Kugeln, welche sich adf eine Kngel Ton destselboB
BadiuB, wie die übrigen, auflegen lassen. Von
C. Beod«*

XXXlU. lotult Ats S«ebsflacbs Ewiscfaen ortbogonalon Flä-
chen zweites Grade« and seiner Seiten. Ton
B. Hoppe IT. 354

Tri^nometrie.
SXII. Propriete da sinns des tricdres. Par Georgei

■ XVin. üeber eioige Probleme ans der Theorie der Central-

bewegnogen. Von Ludwig MatthieBeen . ,

1

Physik.

XXXIV. Zar Theorie der TangenienbuSBole. Von A. Ober-

heck IV. 3B7

XXXV. Ueber ctationftre IndnetionsstrOmc in bewegten

körperlichen Leitern. Von A. Oberbeck . . IT. 3»4

Hethode nnd Frlndpien.

V. Einfacher Beweis eines Sptnes vom Tetraederinhalt.

Von Siegmnnd Günther I. 17

VI. Ueber einige Anwendungen nnd Erweitemagen
des Eanber'iclieu Theorems. Von Si e g m u □ d
Günther L 26

Uehnngsaiif sali en.
XXXIX. üebang>an(B*ben. Von G. Dost or i

Idtterarlsclie Berichte.
(Die Seiteniablen gehen bis xn Ende des Bandes.)
I CCXXI. Boneompagni (Bnllet. VL 4. 5.). Ganae (Eiern. Math.)
Grftnfeld (Arithm. — Aufg.) Aschcnborn (Geometrie).
ßchlömilch (Geom.). Stück (Dist. n. Höh. Meis.). Dove
■ (Sterine). BrioBchi G. Ctcmona (Aon. V. 4. 5.) Seite 1—8.

I

icompagni (BnlL V. 6. 7.)-
r (Cniren 3. 0.). Wiedema

(Exp. Phya.). Spieket {Gec

Boncompagni (Bull. VI. 8. s.)-
Zebrawekiego | (Bibliogr.). B
Liersemana (Aritbm. Alg.}- Se
(Geom.). KiesDritikj(Geom.).
(BogeateU.). SmoUk fPenp.).
Ed. MQller (Becba. Abkz.). L

DOlp (Detenu.)- Bose-
iD (GalT.)- BeckDBgel

Seite 8—14.

Ohrtmann (Jahrb. UI.).
ccurdi (Bibl. mal. Jt.).
Igor (Arithm.). Wagner
Marias (Aofg.). W«iez
Handel (Poljt. BibL).
ersenann (geom. Metb.

Seite 19—32.

Boacompagai (BulL VI. 10—12. VIL I.). Hubert Mal-
ler (eb. Geom.). Harme n. Kncknck (Bechoub.). Hof-
mann (Aufg.). Hentechel (Abbild.). Heime (Körp. Inh.).
Heri» (SchifEf. — Luflich.). Brioschi u. Cremona (Aaa.
VI. 1.) Seite 33—38.

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— 316. — 2. — vires

— 317. —

— 8.
7.
19.
28.

318.
319.
322.

325.

326.

— potest, nostri

— estiam

— Esse
— - Gaadavnm

29. hinter solrere
38. statt Goelenios
quantnm
Helione
Sed
gandet
parte

Beansardus
Palermo
Abul-Wesa

— 29.

— 19.

— 31.

— 37.

— 4.

— 3. —

— 16. —

lif»^; h^^usgegeben

. r- patri

,jr- clauditur

— viros

— polest. Nostri

— etiam

— Ecce

— Gandavam
tilge das Komma
lies Godenius

— quantnm-

— Helicone

— sed

— gandet

— peste

— Beansardns

— Messina

— Abnl-Wefa

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) der TKiorii Jtr iinAuUe-uhn OirtfBj-

) Anfgabe ans der Theorie der einhüllenden Carren.

Herrn Carl Wagner,

an Jcr k. k, Mclmischen Hochstliule zu WiSD,

1 Aprilhefte 1873 der „Nouvelles Aniiales des Math^matiqueB'^B
ierono findet sich sub No. 1112 die folgende Aufgabe;

F^Hontrer qua Is. dSvelopp^o de l'elljpsc pent etre cüBsidei
I l'enveloppe des ellipseB conccntriqueB et co-axales i la p

kEs liegt nahe, das Problem in folgender Weise gauz allgemai

ist eine ebene Curve e durch ihre Gleiuhung in orthogona-a
irdinateu

n^,p) = o (c)

imd ebenso eine zweite Cnrve c' mit zwei veränderlichen
melem et und ß

?.(sy, or, ^) = (c')

l die Cnrve c als EiahUltende der durch Gleichang (c') reprflsen-
i Cnrven betrachtet werden, und welche Relation mnss dann
Q a und ß bestehen?"

) Lösung dieses Problems bietet weiter keine Schwierigkeiten
dar, da dasselbe Jedoch zur Aufstellung einer Reihe von hübschen
Uebiingsbeispielen dienen kann, dürfte eiue kurze Erörterung des-
1 nicht tiberflüssig erscheinen.

•.; *..

Sf ••

• - • • . - .' I • !

'- « »

f^agnerrMne' Ausgäbe aui Ser 'TKeofie der einhüüenden Curveh.

Wir nehmen in (c) einen beliebigen Punkt (a?, y) an, es besteht
dann die Gleichung

F(x,y)^0 , . . (1)

Durch denselben Punkt muss eine der Curven (c') gehen, es ist also

q>(x,y, a, j5) = .../..... .(2)

Beide Curven müsseii aber in (a;, y) eine gemeinsame Tangente be-
sitzen, also es muss für jeden Punkt in (c).

dF d^

BF ^ dtp ^"^r

oy dy

L
sein. Eliminirt man aus (1), (2) und (3) x und ^, so ergibt sich die

gesuchte Belation zwischen a und ß^ etwa

i3 = tf;(a) (4)

Die Curve (c) ist dann die Einhüllende der Curven

Man sieht, dass das Problem im Allgemeinen stets eine Lösung zu-
lässt, und dass dasselbe, falls die Gleichung (c') blos zwei veränder-
liche Parameter enthält, ein bestimmtes ist. '

Beispiel 1. Als erste Anwendung des soeben Entwickelten mag
die Eingangs erwähnte Aufgabe dienen.

Die Curve (c) ist in diesem Falle die Evolute der Ellipse, ihre
Gleichung lautet demnach

(Ä)V(Ä)'-.-o

oder, wenn man zur Abkürzung

a2— J2 ^ a2-.52
= m und ; = n

setzt.

©V(f)'— a)

Die Curve c' ist eine Ellipse, deren Halbaxen « und ß die veränder-
lichen Parameter sind; Gleichung (2) lautet also

:-2+^.-i=o (2)

Wagner: Eine Aufgabe aus der Theorie der einhüllenden Curvtn. 3

Afon leitet aus (1) ab

dF

2

dx —

3miar^

dF

2

h"

3nV

und ans (2)

dx "

2x

dg)

2y

dy

-r

Gleichung (3) lautet demnach

nlyi

. ß'x

TutiC*

oder

n?a*yt =

woraus man

hier unmittelbar auf

n^ay^ -

= mißxi

schliessen dar!

(3)

Die Elimination der Grössen x und y^ welche in manchen Fällen
schwierig und umständlich wird, lässt sich hier sehr leicht und be-
quem ausfahren. Aus (1) und (3) bestimmt man nämlich die Grössen
act und ^, und erhält

rn^na

^ mn^ ß

welche Werte in (2) substituirt ergeben

-+^ = 1 (4

„Die Evolute einer Ellipse ergibt sich somit als Einhüllende von
Ellipsen, bei welchen die eine Halbaxe eine lineare Function der|
anderen ist."

Ist B'AB (s. Fig.) die gegebene Ellipse, deren Evolute als Ein-
hüllende erhalten werden soll, so construire man zunächst in be-
kannter, und in der Figur angedeuteter Weise die Gerade MZV; welche
die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel A und B' verbindet.

4 Wagner: Eme Aufgabe amt der Theerie der eimhmßeud em Cmrveu.

Kimmt man dann in MN einen beliebigen Ponkt P an, und zieht
PCl\\OY wdA PR II OX, so sind (9Q » a und OR ^ ß ^e Halbaxen
einer der erzeugenden Ellipsen. Die Richti^Leit dieser Constmction
eiiiellt unmittelbar ans Gleichnng (4).

Fflr den speciellen FaU m = n^h geht Gl. (4) über in

a+ß « k,

nnd GL (1) lantet

d. h. „die Asteroide ist die Einhüllende von Ellipsen, bei welchen
die Summe der Halbaxen constant ist'^ (Die Umkehmng des letzteren
Specialfalles s. Schlömilch, üebongsb. zum Studium der höh. Ana-
lysis, Theü L § 25. Nr. 14. pag. 140).

Beispiel 2. Ein zweites, ^eichüalls leicht zu behandelndes Bei-
spiel ist das folgende:

„Kann die Neil'sche Parabel

y*--«=o (1)

als Einhüllende von Apollonischen Parabeln, deren Hauptaxe OX ist,
betrachtet werden, und welche Belation muss dann zwischen Scheitel-
abscisse und Parameter der erzeugenden Parabel bestehen?^

Gleichung (2) lautet in diesem Falle

y2_2/5(a:-^a) = (2)

wenn a die Scheitelabscisse und ß den Parameter bezeichnet

Als Gleichung (3) erhält man

3«2
c

Aus (1) und (2) ergibt sich durch Elimination des y

x^^2cß—2^f .

'^ X

• aus (3) folgt

somit resultirt aus der subtractiven Verbindung der beiden letzteren
Gleichungen fOr x der Wert

««Ja,

= 2^ (3)

Wagner: Elnt^ Au/gabe auj der Theorie der tinhülltHilt» Curvai.

der in (3) aubstitiiirt die Relation

^=87

liefert Der Parameter der erzeugenden Parabel muss somit i
Qnadrale der Scheitel-Ahsciane proportional sein.

Zeichnet man demnach eine beliebige Parabel nnd nimi
Ordinalen beliebiger Paukt« demelben als Scbeitel-Abscisaen «
die zugehörigen Ordinaten ß als Parameter von Parabeln, so ist A
Einhüllende des letzteren Systems eine Neil'ache Parabel.

Insbesondere ergeben sich einfacbe Beispiele, nenn man
Cnrre {n') eine Gerade nimmt. Mau hat dann

fi^, y, ", ß)^

nnd für Gleicbang (3)

Beispiel 3. „Wie rnnss i
als Einhüllende eine Parabel

I eiue Gerade bewegen, damit sidli

ergibt?"

Mau findet

welche Gleichung eiue einfache Conatrnction zulässt (Umltehrung "t
Beisp. 1, §26, Sehlömilch 1. c.).

Beispiel 1. „Wie mnss sich eine Gerade bewegen, damit die
Einhüllende derselben eine die Coerdinaton-Asen in Abstanden a nnd
I' vom Ursprünge berührende Parabel

(My-M+'="

das gleichfalls <
ff iel 5, L c

einfache Construction zulässt. (ümkebmug i

6 Wagner: Eine Aufgabe aus der Theorie der einhüllenden Curven.

Beispiel 5. „Wie muss sich eine Gerade bewegen, damit sich
als Einhüllende eine gleichseitige Hyperbel

xy = Ä^. •

ergibt?"

Man findet

aß = 4JcK

(Umkehrung von Beispiel 7, 1. c).

Beispiel 6. „Nach welchem Gesetze muss sich eine Gerade be-
wegen, damit die Einhüllende die Evolute einer Ellipse

(5)'+ ©'-

sei?"

Es resultirt

«2 ß2

+ 52 = 1,

m^ • n

eine Gleichung, welche eine einfache geometrische Interpretation zu-
lässt (ümkehrung von Beispiel 6, 1. c).

Ganz analog ergibt sich die Lösung des entsprechenden Problems
für den Kaum; wobei an die Stelle der Curven c und c' krumme
Flächen s und s treten.

Man nimmt wieder auf der Fläche s einen Punkt (a, y, z) an,
es besteht dann die Gleichung

F(x,_y,z)=0 (1)

Durch diesen Punkt geht auch eine der Flächen «', d. h. es muss

<p(x, y, Ä, üf, ß.,.) =0 (2)

sein. Die beiden krummen Flächen müssen in (a;, y, z) eine gemein-
schaftliche Berührungs-Ebene besitzen, was man am einfachsten ana-
lytisch ausdrückt, indem man die partiellen Differential - Quotienten
des z nach x aus (1) und (2) einander gleichsetzt, und ebenso die
nach y genommenen. Aus den beiden so erhaltenen Gleichungen in
Verbindung mit (1) und (2) eliminirt man x, y und «, wodurch man
zur gesuchten Kelation zwischen a, /5.... gelangt.

Beispiel 7. „Die Fläche

xyz = k^

8ol] als Einhüllende von Ebenen

Wagner: Eine Aufgabe aus der Theorie der einhüllenden Curtfen, 7

erhalten werden. Welche Relation mnss zwischen o, ß and y be-
stehen?"

Die Elimination von x^ y und z aus den 4 Gleichungen

xyz = T^

^ 1 ??_l1

«1 ß^y

,=

1

2!

fc3
xy^ ~~

7

ß

ergibt:

a/Jy = 27 ^A

(Umkehrong von Beispiel 9, 1. c. § 26, pag. 145).

8 Zahradnikz Cutoidalaaiiau

TL
ClssoidalcarreiL

Von

Herrn Äarl Zahradnik^

Assistenten am Polytechnikam zu Prag.

Die Constraction der gewöbnlichen Cissoide, nämlich der des
DioMes, ist hinlän^ch bekannt Wir können aber die Entstehongsart
derselben verallgemeinem, wenn wir statt des Grrondkreises einen be-
liebigen Kegelschnitt nnd statt der Tangente eine beliebige Grerade
wählen. So gelangen wir zn einer Art von Gnnren dritter Ordnung,
die wir wegen der analogen Constmction „Oissoidalcurven^ benennen
wollen.

(jegeben sei ein Kegelschnitt Q nnd eine Gerade P. Auf C^
wählen wir einen beliebigen Pnnkt als Scheitel eines Strahlen-
bfischels und zum Anfangspunkt der Goordinaten. Q sei ein Strahl
dieses Bfischels; derselbe schneidet den Kegelschnitt C^ (ansser im
Paukte 0) in einem Punkte mgC^rs, y^ und die Gerade P im Punkte

^(^1 Vii' Tragen wir nun die Sehne om^ vom "^unkte n^ auf dem
Strahl Q in der Richtung gegen auf, so wird auf demselben ein

Punkt v^(^3 ^3) bestimmt und wir erhalten om^^^ fn^fo^. Jedem
Strahl Q entspricht so ein bestimmter Pnnkt m^ und der geometri-
sche Ort aller Punkte m^ ist, wie oben erwähnt, eine Cissoidalcurre.

Ziehen wir nun von der Gleichung om^ =» »13 »4 die gemeinschaft-
liche Länge 0974, so erhalten wir

om^^m^mj^ (1)

als Grundgleichung einer Cissoidalcurve.

Zahradnik: Cimoiilatcuniat.

Frojiciren wir nnn die Längen om^, n^m] in die Axon, so 4
halten wir vermittelst der Coordinatcn der Funkte tn,, zwei ntH
Gleichangeii, welche uns die Gleichniig (1) erBCtzen und zwar

:^3 = ^,-% (2)

Die Coordinaten der Punkte m^ und m, ergeben sich als DurchschnittB-
punkte des Strahles Q mit dem Kegelschnitt Cg und der GoraidenP,
deren Gleich nngen:

Cj = oa:'+toy-|-cj* + ctr-|-ej =
-P=™i;+nj-|-p =

-i=-.T

P! =

;r Geraden.^

Fahren wir nun diese GröBsen in

nnd schreiben Btatt r^, ^g einfach x, jf so erholten v

= (-;rfc-

a-|-tii-|-*!uV

(5)

Jedem Werte ftir u entsprechen bestimmte Werte für x und j/, daher
ein bestimmter Punkt auf der Cissoidalcurve. Diese Veränderliche «,
welche uns die Coordinateu eines beliebigen Punktes m einer Cia-
aoidalcurve eindeutig bestimmt^ nennen wir den Parameter des Punktes
m. Die Gleichung in Paxallelcoordinaten erhalten wir durch Elimi-
nation der Veränderlichen u aus (4) und (5).

Aus (5) folgt u^=- nnd führen wir diesen Wert in die Gleichnng

(4) ein so erhalten wir

(ax''+bx!,-\-e!,^)(viT, + ,iy-\-p)-(rax^ny)(dx+ei,) = 0, (6)

oder entwickelt in Form :

ni3i» +6,aV+c,'*^+rfi!/^+e,*^ 4-/1X1/ -fg^y« = 0, (7)

woraus erhellt, dass eine jede Cisaoidalcurvc eine Cnrve drit-
ter Ordnung mit einem Doppelpunkte, demnach vierter
Classe ist. Nun ist aber die al^emeine Gleichung einer Cnrra

Zahr.

I i<t : Cisiuidalcurctn.

dritter Ordntmg und vierter Claase von Form (7). Dieselbe hat sechs
willkürliche Constaut«]!, somit erhellt, dasa eine Cnrvo dritter Ordnung
rierter Claase durch sechs Punkte und durch den Doppelpunkt voll-
koromen bestimmt iat. Die Gleichung der Cisaoidalcurve enthält auch
sechs willkürliche Constanten, vier von C^ == nnd zwei von Pt= 0,
daraus folgt, dasa eine jede Curvß dritter Ordnung und
tcr Olasse eine Ciasoidalcurve iat.

Die Parameter der unendlich fernen Punkte ergeben sich aus
Gleichung (5), und zwar;

>

Je nachdem i* ^ iac ist, hat die Cissoldalcurve im ersten Falle.
<
drei reolle Äaymptoten, im zweiten Falle zwei der reellen AajTnptoten
fallen zusammen, im dritten Falle besitzt sie eine reelle und zwei ima-
ginäre Asymptoten. Da nun aber 6" — 4ae die Invariante des Kegel-
Bchnittea C^ ist, so sehen wir, dass die drei erwitlmten Fälle zutref-
fen, je nachdem der Grundkegelsehnitt eine Hyperbel, Parabel oder
Ellipse ist.

Es ist von selbst eiuleuchtend, dass die VorbindungBlinien der
zwei Durchschnittapnnkte der Geraden P nud des Kegelschuittea C^
mit dem Punkte 0, die Doppelpunktstangenten der Cisaoidalcsrve sind,
und dass die Bedingungsgleichung für die Existenz eiuea Küddcehr-
punktes mit derjenigen znaammeufällt, unter welcher die Gerade P
den Kegelschnitt Q berührt; im letzteren Falle iat dann die Ciasoidal-
curve dritter Ordnung und dritter Claase.

Aua der allgemeinen Gleichung (6) erhalten wir die Gleichung
der Cissoide des Dioklea, wenn wir

n = l, Ä = 0, c = l, rf=— a, B'-O, B = 0, - = -

P

setzen, in Form

oder aus den Gleichungen (5). (6j, vermittelst des Parameters i

I

Zahradilik: Ein gtoinelriidifr Lfh

Ein geometrischer Lelirsatz.

Karl Zahradnik.

"Wenn sich zwei Ecken eines Dreieckea anf zwei festen Gera
bewegen, und dessen Seiten sich um drei feste in einer Geraden lie-
gende Punkte drehen, so besuhreibt anch die dritte Ecke eine-Ge-
rade, welche dnrch den Schnittpunkt der zwei festen Geradon hin-
durcbgebt. Bei dieser Bewegung beschreibt der Schwerpunkt des
veränderlidien Dreiei'kea eine rationale Curve dritter Ordnung mit
drei reellen Asymptoten.

Den ersten Teil dieses Satzes führt schon Pappns in seinen
„Collectionos niathematicae" auf; in der neueren Geometrie ergibt sich
deraelbe als specieller Fall der Deformation der Polygone und wurde
auch analytisch mehrfach bewiesen. Wir geben hier einen einfachen
Beweis dieses Satzes, wobei sich uns der Beweis des zweiten TcÜes
unmittelbar ergeben wird.

Es seien in Fig. (1.) ij, b^, l^ drei in einer Geraden liegende
Punkte. Den Punkt h^ nehmen wir als Anfangspunkt der Coordinaten
ie Gerade Va als Z-Axe an. Daher ii(|,0), Si(li,0), igCCjO).
i wir durch Sg die Gerade Q^, so bestimmt dieselbe anf den
I Geraden P,, Pg die Punkte a, , og, zwei der Ecken des ver-
iderlichen Dreieckes, dessen dritte Ecke a^ sich als Durchschnitts-
pnnkt von aj}i^ und a^b^ ergibt. Die Lage des Punktos «j ist durch
den Winkel Q^X bestimmt, und bezeichnen wir t^iQ^S) mit n, so
können wir « als Parameter des Punktes a^ betrachten, mittelst wel-
ches wir die Coordinaten dieses Punktes eindeutig bestimmen können.
Die Gleichungen der Geraden P,, Pg, Q^ seien respective

~

P, = miK+njy — 1 =
Pj = mja-j-Tijj— 1 =

12 Zahradnik: Ein geometrischer Lehrsatz,

Diese Coordinaten der Punkte % und a^ ergeben sich als Durch-
schnitte von (P1Q3), (isQs) ^ Form:

x< =

{PA) = «1 < (1)

U
Vi == i

1

X9 = i

(PjQg) = flj < (2)

u

Die Coordinaten der dritten Ecke og als des Schnittpunktes der Ge-
raden o^&s und a^b^ sind:

-fe-$2)^

wo (Igwii) uns wie üblich die Determinante (l2»H — Ix^ iiöd ebenso
(Si^) bezeichnet Die .Form der Gleichungen (3) zeigt uns an, dass
der geometrische Ort der Ecke a^ eine Gerade ist, deren Gleichung
wir in gewöhnlicher Form erhalten, mittelst Elimination des veränder-
lichen Parameters u und zwar

X y 1

SifgC«! — wg), — (5i"~f2)9 52»*i — ^1%

hk (»% — ^) — Öl — li\ 0, la^H — li^

-0. (4)

Diese Gerade geht durch den Schnittpunkt (^1^2)» ^^ wir uns leicht
durch Einführung der Coordinaten derselben in die Gleichung (4)
überzeugen können.

Bezeichnen wir nun mit s den Schwerpunkt des veränderlichen
Dreieckes a^a^'^^ so sind seine Coordinaten

o _ ^ I ^ (£1— £2)^

Bringen wir nun diese Ausdrücke auf gemeinschaftlichen Nenner, {so
erhalten wir

Zaltrad«H: Ei»

3».

_ [(.^-H»,)4-(^-Kl»][B,'»,!+({,%H
(»^-K«K»,-K«)[(E,.»,H-(E.»i)»]

, (ma-4-« i'*)("4 4-»a'*)[S j ga("h— ^)— (Si

('ni+ni»)('»i+%")[(£«'^)+(^*''i)'*J

[(ro,-|-.».)+('4+«t)"][8i'»i)-Hi.'4)— (»i+^-X^i+il-Kti-t.) ,
("h-|-»i«)('^+n»")[(^a'»i)+CVi)«]

trnedH

Die Coordinaten des veränderlichen Schwerpunktes (x, y) lassen sieh
demnach ansdrlicken als rationale Functionen des veränderlichen
Parameters u, nnd wie die Form der Gleichungen (5) zeigt, sind diese
Functionen rationale Brüche mit gcmGin8chaftlichen,Nenner vom dritten
Grade in Bezug auf u, daher ist der geometrische Ort des Schwer-
pirnktes eine rationale Carve dritter Ürdnong, d. i. eine Curve dritter
Ordnung mit einem Doppelpunkte. Die Parameter der unendlich
fernen Pnnkto erhalten wir, indem wir den gemeinschaftlichen Nenner
gleich Kuli setzen, daher:

ans dieser Gleichung ergeben sich, als Parameter der unendlich
Punkt«:

Aus der Realität der Parameter folgt die Realität sämmtlicher drei
Asymptoten dieser Curve dritter Ordnung.

Den vorhergehenden Lehrsatz könnten wir folge nderm aasen all-
gameiner aussprechen: Wenn die drei Punkte 6j, 6j, 63 nicht in
einer Geraden liegen, so beschreibt die veränderliche Ecke a^ einen
Kegelschnitt. (Maclaurin'sche Erzeugungsmethodo der Kegel- ,
schnitte *) und der Schwerpunkt e des veränderlichen Dreieckes
a^ajOg eine rationale Cur\-e vierter Ordnung.

Der erste Teil ist geometrisch evident Das Strahleubüschei (ftg)
bildet anf Fj und P^ zwei perspektivische Punktreihen, welche be-
ziehungsweise in den Strahlenblischeln (fi^) und {61) perspektivisch
sind, daher (ig) zu {61) projektivisch , womit der Satz als bewiesen
erscheint. Liegen nun i^, i^, ig auf einer Geraden, so entspricht in
den beiden Strablenbüscheln der Strahl //jb^ sich selbst, die Strahlen-

•) Der erste Teil dieees ShImb ist bekannt und iLn ihn tnüjilt aich Jio
echCne Äbbandlmig Chnstes in „AT)eT7n hiBtoriqne' ... deutsch von Sohok«
Note XT. pg, 348.

Zahradaih: Ein jtomelri$ditr Lehrialt,

bOschel (ig) und (b^) sind dann perspcctivisch, und der Eegelecbnitt
degenenrt in zwei Gerade in fi,Ä, und a^. (Siehe Figor L). Wirl
wollen aber denselben anch ähnlicli wie im vorhergehenden beweisen,
mit Zuhilfenahme des Tsränderlichea Parameters u. Eine beliebige
dnrch h^ gehende Gerade nehmen wir als x-Axb an tmd £3 selbst als
Anfang der Coordinaten; die Coordinaten der Paukte b^ und &, seien j
^1(^1*11)1 ^(£1%)- ItiB Coordinaten der Ponkte o, and a^ sind wiel
&flher, die Gleichnngen der Geraden a,£} nnd a^ sind:

•hh

j(EÄ-

-1)-

Mv,",-

-.)

- 1.«.*;-

-D-

-.Vl.«,-

-")

■hfl

J(li»,

-1)-

-"t.'hl,-

-«)

- Vilhl,-

-D-

-WliiC,-

— .)

»e.)+ti ^i( ii-"Si )+gi -f>-(i i-i.)

*t«i(£!li)+(lÄ)+"(i,^.)

(

_ .,,g, (^,-<,)+ih-y,(^,-.4,)+iE,

J«,ä'.(Erti)+(lÄ)+»«,-»'.)

HO der EQi^e wegen iv, ^ nii-f-ji,u, JTj = mj-f^"»" gesetzt wurde. ]
Ans diesen zwei Gloichnngen eigelKD sicli die Cfiordinston des Uiireli- 1
admittspnnktes oj;

■ Die Coordinaten desFunktes o^ sind demnach ansgedrQckt als echt«ratio-fl
nale Fanetionen des variablen Parameters « in Bmcbfonn bei gleichei
Nennern vom zweiten Grade in Bezug anf u ; daher der geometrische^
Ort der Punkte a^ ein Kegelachnitt. Entwickeln wir den Nenner nach
den Potenzen von u, so erhalten wir:

ßi'^>»*+lCSB^i)("'ini4-«i'»5) + (»iW+('i'na)l"+"*i'"*{ä3'Ji)+('"ij|*>
Der Kegelschnitt ist demnach eine Hyperbel. Parabel oder Ellipf
. je nachdem

>

[(Ej'?i){'ni"i~i-"i'^H-("i'!*-K^i"^)] = ■l{5i"i)["'i"^ß*'?iH-(n'i'?»)]

Dass der geometrische Ort der Schweriinnkte eine rationale C
vierter Ordnung ist, ergibt sich aus den Gleichungen (1), (2) and ('
denn derselbe wird bestimmt durch

Führen wir die Werte aus (1), (2) und (7) in diese Gleichaugeu e
Igen wir dieselben auf gemeiaadiaftlichcn Neoiiar, a

ZahradniJc: Ein geometrischer Lehrsatz, 15

wir X und y als Functionen des variablen Parameters u. Diese
Functionen sind echte rationale Brüche von gleichen Nenner in Bezug
auf u vierten Grades, daher ist der geometrische Ort von «y,, eine
rationale Curve vierten Grades.

IV.

Welches ist die Bedingungsgleichmig^ unter welcher Tier

Punkte in einem Kreise liegen?

Von

Karl Zakradnik,

Es sein gegeben vier Punkte -4^, ^2? -^35 -^4- Zur x-Axe nehmen
wir die Gerade A1A2 und A^ selbst zum Anfangspunkt der Coordi-
naten. Bezeichnen wir nun die Längen -4i^2=«) ^2^3=*? -^3-^4=015
A^Ai — Jj, -4^-43 = c, -4.2-44 = ci, so ergeben sich als Coordinaten
der vier Punkte -4i(0, 0), -42(ai, 0), -43(<?.cos (oc), c.sin (ac)), ^4(*iCos(a*i),

Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

Da derselbe durch den Punkt A^ gehen soll, so gilt

p'+g" = r\ (2)

und die Gleichung (1) geht über in

x^ — 2px+y^ — 2qi/ = 0. (3)

Da dieser Kreis auch durch die Punkte -42, -48, A^ hindurchgehen
soll, so müssen die Coordinaten dieser Punkte der Gleichung (3) ein-
zeln genügen, und wir erhalten so:

üahradnik: Welches in dk Bedinquiiguglfidiuiui e;

c— apcosM — 25ain(«c) =
i, — 2pC0s(abj) — 2qsia(al'^) = (.

Die Elimination der Cüordinatea des Mittelpunktes (_p, q) füh
nna zar verlangten Bodingangsgleichnng

1

coa(ae) ain{fle)
6i cos(a6,) 8in(»6i)
Bemerken wir mm, dass

cos(ac)8in(aij) — cos (aS,) sin (ac) = ain(i
ist, 80 geht die Gleichung (5) über in

osin(iic)-i-iiSin(Qe) = cain(«Äi).
Ana der Figur (3) erhellt, dasa

Führen wir dieae Werte
bekannte Gleichung

ain{acr=2^, sin(a*,) = J.
1 die Gleichung (6) ein, ao erhalten wird!

welche uns den Ptolemäit

1 Lehrsatz ausdrückt.

Als Bedingungsgleichung eines Sehnenviereckes stellt sich '
demnach der Ftoleniälache Lehrsatz dar, dem in Bezug auf d
Winkel der Satz entspricht, daas ihre Summe gleich w aei.

Aehnlich der Gleichung (6) erhalten wir:

a 8in(V )+6isin(oc) = c 8in(o bj)
a,Bin(6,cJ + &,Bin(ojeJ ^ c,8iu(aj6,)
o sin(S oi)+6 aiii(a ci)= Cisin((i b )
OiSinC* c)-|-S sinCoic ) ^ e sin(a,i )
Diese Gleichungen enthalten folgenden Lehrsatz:

Jede Diagonale in einem Sehnenviereck teilt den Winkel,
den sie durchgeht so, dasa das Froduct der Diagonale mit dem Sin
des "lanzen Winkels gleich ist der Summe der beiden diesen Win
bildenden Seiten maltiplicirt mit dem Sinus des ihr nicht anliegen
Teilwinkels.

1 Telralderinhall.

ifacher Beweis eines Satzes Tom Tetr«6(!eriiUialt.

Siegmund Günther.

Der im Folgenden eingebender behandelte Lehrsatz ist derj
r JnhnJt eines TetraederB ist gleich dem Ausdruck

Schein a und h zwei beliebige Gegeukanten, o deren kürzeateg
"^ntfeinuug, V endlich den Winkel beüeiclinct, welchen dieselben i
tisaader bilden.

Es gelang nicht, darüber Klarheit zu erhalten, anf welchen ür-
teber diess berühmte Theorem zurückzuführen sei. Diese Berühmt-
E erlangte es durch den firanzösischen öeometer Chaslea, welcher
Bedontnng derselben für die Statik hervorhob. Bekanntlich hatte
die analytische Statik zu Anfang dieses Jahrhunderts das Funda-
mentalprobJem der Reductiou von n auf einen starren Körper wir-
bcmdcn Kräften in AngrilT genommen nnd gelöst; durch Lagrange's
n's Bemühungen war man dahin gelangt, zeigen zu
UhtBen, dass sämmtliche £räfte auf zwei sich reduciren Hessen, deren
^C^tangcn im Allgemeinen nicht in ein und dieselbe Ebene fallen.
Wahrscheinlich ward diesem wichtigen Ilesnilate deshalb nicht volle
Würdigung zu Teil, weil die fast um die nämliche Zeit auftretende
Theorie der Kraftepaare von Poinsot dieselbe Tatsache in ein
nocb eleganteres Gewand zu kleiden verstand. Als eine wichtige Er-
gfinzuDg mnsB es angesehen werden, dass Cbasles'} nachwies, der
lit des Tetraeders, welches durch die beiden resuhirenden Krfi,ftö

18 Gäitilieri Eia/aeker Bewnia m'n« Salifj i'um TelmSilerinhall:

als Gegenkanten bestimmt ist, Bei ein constanter, die Zusammon-
fassnng der Einzelkräfte möge erfolgen, wie sie wolle. Zum Beweis
dieser Eigenschaft eines Kräftesystema bedurfte nun Chaslea den
CTwäLnt«E Stereo metri sehen Satz, welchen er jedoch ohne alle wcitro
Discussion mitteilt. Vom rein statischen Gesichtspunkte ans hat sich
nnmittelbar darauf Möbius*) mit ihm beschäftigt; Schell, welcher
ihn bereits in der Kinematik als HOlfssatz benützt, beweist ihn ^) mt^J
Hülfe eines allgemeineren Theorems von Eodrignes. ■

Im Allgemeinen scheint dieser Satz, so wichtig nnd bekannt aucb*
seine mechanische Anwendung ist, vom rein geometrischen Stand-
punkte ans nicht so berücksichtigt worden zu sein, wie seine unläng-
bare Eleganz es verdient. Einen aolchen Beweis für denselben hat
zuerst, wie es acheint, C. F. Ä. Jacobi angedeutet*) und eine am
führliehe analytische Behandlung ist ihm von Grunert^) zn Ttfl
geworden.

1) ChnaloB. in Gorgonne'» Annale« de MntWra., 38. Biintl.

2) MTibius, Beweis eines neuen, von Hrn. Cliasics enUei-kten SntEH^
ilor Statik; nebet einigen Zmälicn, Grellc'a Juuni. f. reine u. angcw. Math.^
*. Bind. S. 1 7ö.

3) Sehell, Theorie der Bewegung und Krifte. Loipaig 1870. S. 165.
i) J. H. vftn Swinilrn's Elemente der Geonietvie, Obers, t. G. F. ,

5] Gruuorti Anolytinchcr Beneis eines bekannten SaticB von dem t
hnl» des Tetraeders, Arrfiiv d. Muth. u, PhjB , 45. Teil, S. R7.

2. Der Beweis dieses The^rema soll hier im Sinne jenes geo-
metrischen Principes geführt werden, welches von Mübius herrührt
und allgemeine Eigenschaften geometrischer Gebilde durch blosse
Schlüsse mit Zuziehung specieller Fälle finden lehrt. Die Anwendung
desselben kann jedoch nur unter gewissen Cautelen geschehen, welchen
desshalb auch im Folgenden besondre Beachtung gewidmet werden
wird. Alsdann aber ist diese Methode besonders geeignet, den Auf-
bau, gewissermassen die Kotwendigkeit der Schlnssformel erkennen
zu lassen.

Es sei ABCD (Fig. 1.) daa vorliegende Tetraeder, Aß = a,
CD ~ b zwei Gegenkanten desselben. AJsdaun kann zuerst nach-
gewiesen werden, dass diese Kanten sich beliebig in ihren Itichtunge
verschieben lassen, ohne dass der Inhalt des durch sie be3tinuat|
Tetraeders ein anderer würde.

Es sei AB über Ji hinaus verlängert, und auf dieser Verlöl
gßTung EF^= AU abgetragen. Zieht mau alsdann EC, ED, FC, i
) ist nach einem bekannten SaUe

GS'itlie

Ein/nchir

1 Salzen

I TrlraMerinhall.

TUid, da beide Dreiecke in der nämlichen Ebouc liegen.

Tetr. EFCD = Tetr. ABCn.

Aus gleichen Gründen ist, wenn man HG = CD macht und di^l
linion -Eff, Ell, FG, FH zieht,

Tetr. EFCD = Tetr. BFHG,

also gajiz allgemein

Tetr. ABCD = Tetr. EFHG,
TTomit nnare vorläufige Behauptung bewiesen ist

Wir sehen eomit, dass dergesuchtoTotraedcrinhalt Jdem Producta J

proportional ist, und wir haben somit, wenn fi einen unmcriscilen, 1
M einen linearen Factor bezeichnet,

J= iinbM.

Es bleibt uns somit nur noch fibrig die Bestimmung von ft und
M. Offenbar kann die Gröase des Faktors M nnr abhängig sein von
der Lage der beiden Kanten, und diese Lage hinwiederum ist bedingt,
einerseits durch die kürzeste Entl'emung der beiden Kanten, andorer-
smt» durch den Winkel, welchen dieHolbcn mit einander einschliesaen.
Nun erkennt man aber sofort, dass der Inhalt des Tetraeders um SQ
grösser wird, je mehr diese kürzesto Distauz ff zunimmt; es ist abojl
J auch direct proportional der Grösse o, und wir haben somit

J =^ (taiff/Ji),

wo (Fr) eine noch zu bestimmende Function des Neigungswinkels 'v\
der beiden Kanten ist.

Znr Bestimmung dieser Winkelgröaae liegen nns nan folgendftj
J)at«n vor. Zuerst läsat sieh dartnn, dass ein Grässcrwerden den!
Neigungswinkels anch ein Wachsen des Tetraedervolums zur Folgef
hat Denn os sei im Tetraeder ADCD {Fig. 2.) A^WCD, -
X. Bj\x' >■ zl BAx. Zieht man dann durch C eine Parallele za A
niaoht aut" dieser CD' = CD und zieht AD' nnd BD', i
ein Tetraeder ABCD', nnd es lässt sich behaupten:

Tetr. ABCD' > Tetr. ABCD.

Senn fällt 7nan resp. von D nnd D' die Höhen auf die Grundfläche
ABC, und verbindet deren Fusspunkto B und H' mit C, so folgt aus
r Constraction,

20 Günther: Einfacher Beweis eines Satzes vom Tetraädertnhalt.

Z, D'CH' > Z, DCH
also aach

sinD'C^r' > sin i^Ciy,
d. h.

D'H' ^ DH

h
and somit auch in der Tat

>

Tetr. ABCD' > Tetr. ABCD,

a und b sollen wieder die beiden Gegenkanten AB und CD sein.

Ferner lässt sich über die unbekannte Function F^v) noch Fol-
gendes aussagen. Der Tetraederinhalt ist durch die bei den Kanten,
die kürzeste Distanz und den Neigungswinkel derselben eindeutig be-
stimmt, und umgekehrt kann er demnach, wenn die Länge der beiden
Kanten und die kürzeste Entfernung dieser gegeben sind, nicht zwei
verschiedene Tetraeder geben, welche diese Bestimmungsstücke und
dazu noch den nämlichen Factor F{n) enthielten. Es muss also F(r)
vom ersten Grade sein; dass aber nicht

F{v) =» pv

sein könne, geht daraus hervor, dass unter sonst gleichen Umständen
für

und

der nämliche Tetraederinhalt erscheinen muss. Von den trigonome-
trischen Functionen sind aber Cosinus und Cotangente dadurch aus-
geschlossen, dass für

auch

sein muss. Es kann jedoch auch die Function nicht gleich der Tan-
gente sein, indem unsre Formel offenbar auch für das rechtkantige
Tetraeder ihre Gültigkeit behaupten muss, während andrerseits für

jP(v)=. tangv
das Volum

erhalten werden würde. Es bleibt sonach für F{v) nur der Sinus des
Neigungswinkels übrig, und wir erhalten so

J= (labasinv.

Günrther: Einfeu^er Beweis eints Satzes vom TetraederinhalL 21

Zur Ermitteluiig des constanten Factors n können wir nun folgenden
Weg einschlagen. Wir benützen das reguläre Tetraeder; nach einer
bekannten Formel ist, wenn A dessen Seite, h seine Höhe bedeutet,
der Inhalt

1 ^ ^yä

Ist ABCD ein solches regelmässiges Tetraeder (Fig. 4.), und Mit
man von einem beliebigen Eckpunkte C ein Lot auf die gegenüber-
liegende Seitenfläche, dessen Fusspunkt J7, mit A verbunden, die
Strecke AH = y liefert, so hat man

A^ « X

8

= a.2 — "II

4 ^ 4

A

X == -7=

Femer besteht die Belation

also

Durch SubBtitution dieses Wertes folgt

Hier kommen allerdings zwei Zahlenfactoren vor; wir haben somit
zu unterscheiden, welcher derselben für das Tetraeder als solches
charakteristisch ist, und welcher aus dem speciellen Falle resultirt,
den wir in Betracht gezogen hatten. Offenbar ist letztres der Factor

ZZ. f

indem, w.enn er bei jedem Tetraöder vorkäme, das Volum eines Te-
traeders resp. Dreiecks sich nicht mehr rational ausdrücken lassen
würde, was doch bekanntlich nicht der Fall ist.

Es bleibt also nur übrig, den gesuchten Factor
zu setzen; hieraus folgt dann

22 Gni.ilf^i £lj.-'a^'' Liticät rittet Sa:=:t,f T:m.

AnmeTtTLUz. £§ m'jge zur Terfilr-idiicig Kid die azalogea Be-
tnuinneen iiiri^'^ines.eii -werden. Temci^r ötren Hankel®)
d^^ I/reiecfeiiiialt lestiinnit. -IȊ F f^rsch'windet, wenn
dat i^r-eirdt in tdiir Gtraie mfÄiLiLriiklij«!*!- d- h. wenn,
mi: Eti'--k£icn: auf d^ai pL»5inT^ii nni ix^^ranTen Snn der
SeiLeii. eine der GrOasen fl-r?-— r, j^: — f. a — 6+c,
— G — b-^c Ter>cli'»riiiiet, sc» darf '^^---^

b^f:z^ii Setzt man die Fliehe des cxrichschesittiOTi Drei-

tfC'ks- in deia t = r,

alf i^kÄimt Torans, so wird für dieses FaQ D = Tff

■nnd die bekannte Formel

ist s:-mil ohne alle Eedmcne ans den nmaamentalsten
EijenscLiAen. die in dem allgemtinen Begrife der Flftche
eiiit* Ijrti^2ks liefen, abgeleitet.-

i} EtLE'-I. Utber die V3i.j-t^7:i;keJt dtr Q;:i 1 .aT-r csü i?r Rektifikation

S. iMz Tori^e Parazrail zeigt angenfallig, wie durch conseqaente
AüweiiiTzn^ des Prindjri xon M'jbins die gevonschte ScblussformeL,
so zu «Ä^en. erzwimgen "werden kann. I>äl:»ei drängt sich jedoch aach
«n gewisse« Bedenken auf. welche« nicht ohne weiteres abgewiesen
wr^roKi kann, ja welches sich, wie wir sehen werden, auch durch
eingehende Untersnchiing. nur bis zu einem gewissen Grade besei-
tic€si Bbsx.

Es wurde oben eezeiüt. dass für die Function

w^fier der Codnus. noch TaniK-nto oder Cotanconte genommen wer-
den kOnne. «iass also, wenn die K^wussto Function irgend eine geo-
mems-he war. diess nur der Sinus sein konnte. Man könnte jedoch
hier mit Grund den Einwurf machon, oino oigentliehe Xotweadigkeit
hiezu sei nicht vorhanden; es könnte vielmehr jene Function eine
nicht näher bekannte, selbst irreguläre sein, welche nur mit dem Sinns
gewisse Eigenschaften gemein hätte. VTüssten wir z. B.. dass resp. fttr

Fr> = 1, iX — 1

Giathtr: Ktiijaehir Dewei.

Akt Winkel v die Worte

I T.:lTaedtrmhalt.

annäboiL', so künutu mau auf eiuer Geraden mu (Fig. 3.) von e
bcliptiig gewühlten Nullpunkte aua zwei gleiche Strecken .äJB imd.4fljj
abtragen, so dasa die Punkte B, A, C rcsp. den Wcrton von v

entsprücln.n. Würdon dauii riisp. in B und C nach entgegengesetztsflfl
Seiten der Abacissenaxe die Lote Bn== — 1 nnd C£; = l erriiihtet,
80 wüi-de eine bestimmte durch D, A und E gehende und gegen die
v-Axe synimotrischo Curve den VerlauJ'der Function ainu ausdrücken.
"Ersichtlich gioht es aber alsdann noch unendlich viele andre Carven-
zflge, welche mit dem eralgonaimtcu rlio angegebenen Eigenachaftfin
gemein haben, ohne gleichwehl mit ihm zusamnieazu lallen. Wäre
z. B. DpÄqE die Sinuscurve, ao würde Op'Aq'E eine jener unendlich
vielen andren Curveu sein, und oh lässt sich mit völliger Beatimmt-
heit nicht hchanpten, dasa gerade sinv die zu beatimmendo Function
ael. Nehmen wir jedoch an, dasa in dem Wissen agebiete, in dem
wir uns bewegen, für solche irreguläre Functionen kein Platz sei —
und diOHC Annalime dürfen vrir, da uub kein einziger entgegengesetzter
Fall bekannt ist, mit eiuem an Gewisshoit greni^endon Grade von
■Wahrsidieinlicbkeit machen — , ao ist der oben gezogne Schluss ein
richtiger, wenn nur erst dargetan ist, daas für die bestimmten aiia-
gezdchueten Werte von v die Funktion i^jj.) in der Tat die Werte
— 1, Ü, 1 annimnit Die erste und letzte Relation sind offenbar
_glpi(!hbedeuteud, und der Beweis braucht daher nur einmal geführt
zu werden, während der Zusammenhang der zweiten Sfclle ganz un-
inltt'^lbar aus dem Obigen sieh orgiebt.

Um jenen ersten Beweis s
gleichseitigeu TetraPdor aus.
mit der Seitenlange A babL'u

11 führen, gehen wir wiederum von dem
Den k5r[ier]ichen Inhalt eines aolchen
vir schon oben gefunden;

" e.ya

Sehen wir nun zg, wie diese Formel sich aus den nna vorliegei
BL«tininmngsstücken zuaaninienaetzt Um die kürzeste Distanz zweior^
Seilen zu tinden, verbinde mau deren Mittelpunkte, sind E und F
(Fig. 4-) leep. die II albirungap unkte der Gegenkanteu AC und BD,
.00 erhellt sofort, dass die Gerade EF sowohl auf AC, als auch auf

leben I

i^lt .ttf jLMiiaaLs' I^oBte^ luua Stssu i*i<tt. Ti

tir. Zi:äir niüL nuö. 32r loii Z/2Z. s: äs:

3Z = DE = A^t^

1 *izik^. isr.

BD' hJi' ^' A'

^ 1 ±

X#^ IST. liiM

-Fr = 1.

iL US Tin iiüÖEgL m i^er rwft G-=g=fftixTaL foiÄ i«

&^tä( Tiiisrt« Sezs:» &ir ät ZTi^eos pfvc^iiriü la^tau ^^ätt tber-
ii&nTi: Q&& ä: rix* Blair r'rnisi: st nfrlJcrriL Tfraxskc

ü IL t T Ji 1 2.^ »3t liitrv^ffinr rn s: rC»£iL tif s^rrciniaL «l ü
ffc Geyrnrur rät» X2aai^ä:::ca.rfn: ScSihKc* öi
iLÜZKm&r rKSbiötr levfööL XriLDtn. iriz: ^ iijf ^rrs±E&£ke

5 = *v=^

-■ Mtjachf

, Telral'dvinhaU.

ist, so könute man /u tlcni Schlüsse sich bertclitigt glauben,
jeue SchnittcurvG sei eine Ellipse, Obschon diess bekannt-
lich BicL auch so verhält, so wäre jent^ Folgemng nichts
desfoweniger nurichtig, da es unoudlich Tiele Cnrven mit
einer grösaten Sclinc 20r nud einer kleinsten Sehne 2r ge^.
beo kann, deren Flächeninhalt durch dou Ausdruck

)en,^H
mt- I

gegeben ist.

4. Obschon dieso Notiz ihrer eigentlichen Absicht nach v
KOT Verification des genannten Theorems, als vielmehr zur Belenci
tnng der Verwendbarkeit des Möbius'Bchen Prindpa dienen boU,
so möge doch anhangsweise noch ein rein geometrischer Beweis ij
selben hier mitgeteilt werden, welcher sich durch besondre Elegs
anszeichnet *).

Nachdem, ganz wie oben, gezeigt ist, dass die beiden Kanten J
und CD (Fig. 5.) sich in ihren Richtungen willkUrlicb verschieb*
lassen, construire man die kürzeste Diatanz BD= a dieser boideufl
Union mn und pq, und betrachte das Tetraeder ABCD, in welcheiS*
AB ^ a, CD^i ist. Fallt man von C anf die Ebene ABB das
Lot CE, 80 ist, wie man eieht,

also

CE\\

^ DCE = V.
Femer ist, wenn wieder J seine frühere Bedeutung hat,

J = i A ^dJiD . CE
Dieses Dreieck ist rechtwinklig; man hat also

■Weiterhin besteht die Eclatiou

CE = CDsi

und man findet demnach, indem i
Glrachung im* J substituirt,

J ^ J.^ooSsinv = Joftosini'.
Ein kürzerer Beweis dürfte sich achwcrlich erbringen lassen.

: DEC = i sin v

1 all diese Werte in der obigen

•) DerselbB rührt von Hm. Professor F. KU

1 Erlangen t

Zttff;r riir%e ABwendnngcn und Enreiteniiigen des

flan herrschen Theorans.

« üH

Siegmund Gäniker.

|. 1. Bei den rerschiedensten math^natischen Untermchuiigeii
lipegeguet an^ die Frage, ob es gestattet sei. einen bestimmten Satz
ohne weiteres amznkefaren. i h. ob. in jedem Falle, wo ans einer
Bedingung durch Schlüsse die Richtigkeit einer Behauptung gefolgert
worden ist. auch umgekehrt aus der Behauptung sich auf die Rich-
tigkeit der Bedingung zurückschliessen lasse. Bekanntlich ist diess
im Allgemeinen nicht der Fall, uud es muss deshalb ein Kriterium
LCch^t CTwünscht sein, welches uns bei jedem Satze sogleich erkennen
läfist, ob demselben die Eigenschaft der Umkehrbarkeit zukomme, oder
nicht Ein solches Kriterium wurde nun aber bereits vor längerer
Zeit von dem Würtemberger Ha üb er aufgesteUt, einem Manne, dessen
wissenschaftliche Verdienste nicht genug anerkannt worden zu sein
scheinen, welcher jedoch auf dem in seinem Yaterlande stets mit Vor-
liebe cnltivirten Gebiete — : wir erinnern hier nur an Xamen, wie
Pf leiderer, Schwab, Camerer — - der Geometrie im Sinne der
Alten vielfach mit Glück gewirkt hat Diesem Bestreben, für das
Studium der griechischen Gassiker eine möglichst tüchtige Grundlage
zu schaffen, verdanken wir denn auch das ^Verk*), in welchem er
eben*) jenes „theorema logicum novum nee inelegans et multiplicis
in mathematica saltim doctrina usus'* entwickelt hat.

Hauber selbst giebt seinem Lehrsatze nachstehende Fassung^}:
genns aliquod dividatur in suas species duplici ratione, et singulis

spedeboe nnius divinionJa respondeaiit singnlae spedes altcrius ut
Kttribnta: vicissim otiaro eingnlia speeicbDa altE^rins diriHionia singnlae
spocica prioris ut attribata reapondebunt.

TJt si genna qHOddam A diridatur primum in specics b, c', ac
doinde in specics ß, y. ut onme A eit aut b aut c, et rursns omne
A alt ant ß aut y, ot praeterea, quae eint ex spocie ä, iis attribu-
untur ß; qnae ex spccie o, üb y. bis igitar poaitia, vicissim, quae
sunt ex specie ß. iis attribuDntur b; et quae (!x spede /, Us ättri-
bnetnr c."

Obwohl nauber im unmittelbaren AbbcIiIqsso bieran den viel-
fältigen Kut/en seines Lebrsatzes für Gegonatände der Elementar-
geometrie nachwies, so scheint derselbe doch nicht so bekanntgeworden
zu sein, als er es verdient. Es muss diess wohl einerseits der Form
Abb Bnchea zugeschrieben werden, in welchem er zuerst erschien; an-
dreraeita ist auch nicht zu leugnen, dass dersdbe in der Formulimng,
welche ihm sein Urheber gegeben hatte, wenig Anwendung gestattet.
Denn nur die aller einfachsten Sätze werden eo boscbafl'en sein, dasa
man mit dem nämlichen Subjeet, welches in der Bedingung auftritt,
auch in der Behauptung ausreicht, und es war deshalb der vou
Drobisch gelieferte Nachweis, dass man statt eines Subjectes auch
deren zwei verwenden dürfe, eine notwendige Ergänzuug. Mit dieser
Erweiterung lautet nunmehr der Satz foigenderoiasseu *) :

„Wenn eiuem Subjeet S entweder a oder i oder c, dessgleichen
einem Subjeet S entweder a oder ß oder y als Prüdicat zukommt,
und es überdies bekannt ist, dass

1} wenn S.

a, immer auch £

2) wenn S.

b, immer auch S

3) wenn S.

f, immer auch Z

ist auch umgekehrt

4) wenn 2

. a, immer auch S

5) wenn 2

. ß, immer auch S

6) wunn £

. j", immer auch S

[

Drobisch nennt diesen so vervollkommneten Lehrsatz einen'
^pagogiseh zu erweisenden," was jedoch nicht völlig zutreffen möchte,
indem MatZika^) einen directen Beweis für denselben geliefert hat
DerselbB ist einfach folgender: „Aus den vorausgesetzten beiden dis-
jnnctiveu und allen hypothetischen Urteilen folgt der Satz; Wenn S
nicht a iel, folglich entweder b oder c oder d u. s. f. , so ist 2 ent-
weder ß oder Y oder ö u. 8. f. aJao nicht n; kurz wenn ß nicht a

28 OünlAer: Uekr:r tiiiige Anvenduagen und Enreilt

ist) SO ist auch £ nicht a. Hieraaa iü\^tt maa aber durch Contra-
position sogleich richtig doo behaupteten Satz: Wuan ^, a ist, so
ist S, a."

Die beiden genannten Mathematiker haben es sieb aogeJegen sein
lassen, zahlreiches Material zur Beleuchtung der Nützlichkeit unseres
Theorems zu sammeln. Während Matzka hicbei besonders den be-
reits von Hanher eingeschlagnen Weg verfolgend seine Verwend-
barkeit bei verschiednen der Geometrie angohörigen und häufig still-
schweigend als richtig vorausgesetzten Etementar-Wabrheiten darzuton
bemüht war, entnimmt Drobisch seine Beispiele der höheren Mathe-
matik. Er zeigt, dass verschiedno Relationen in letzter Instanz sich
anf ein Corollar des verallgemeinerten Hauber'sclieu Satzes zurück-
führen lassen, das sich^) so aussprechen tässt: „Stehen zwei ver-
änderliche Grössen x, y in einem solchen wechselaeitigeD Zusammen-
hange, dass, wenn für irgend einen Wert von x ^ x.', y = y' wird, _

und entweder 1) für joden beliebigen anderen Wert » ^ x', y <'8f j

oder 2} för jK ^ y, y $: j' , so ist auch im ersten Falle,

y ^y' , ^ ^ X.' , und im zweiton, wenn y' ^y, x~~~^x'. Als

einfache Folgemng ergiebt sich anch, dass jede indirecte Operaüoi
die logbche Umkehruug der zugehörigen directeu ist

Anmerkung. Wie wenig sich Hanber's Werk einer weite
Verbreitung zu erfreuen hatte, geht schon i
Stande hervor, dass Matzka, welcher doch dem GegensUni
seine eifrige Teilnahme zuwandte, die Originalschrift j
nicht gekannt zu haben scheint. Derselbe schreibt nämliot
den Satz in der oben gegebenen Gestalt bereits Hanbeg
zu, während er dieselbe doch, wie wir sehen, erst von Droj
bisch erhalten hat; auch das Ideine Versehen, wonach t
Druckort von Hauber's Buch nicht Reutlingen, sonder
vielmehr Stuttgart angegeben ist, ist wol aus DrobiscWH
Logik in Matzka's Abhandlung Übergegangen.

1) Scboluo lugica-mBthematicBi;, aurcore P. C. Ha ubeio , Rcuiliogoe ISift^V
S) Ibid. Fraefotio, S. IX.
S) Ibid. S. £69.

4) Drohiflüh, Neue Darstellung der Lügik mit Rücksicht auf Matha|l
maük und Naturwlüfletiachaft, Leipzig 1863. 8. 227.

5) Mutzko, Betrachtungen einiger Gegensländo ilnr Logik,
derer Rücksicht anf ihre Anwendungen in ilor Mathematik, Grunei
d. Math, u. Fbjs., 6. Band. S. 259.

6) DrobUch, 8. 238.

<7m Jlauher'^chsn Ihio.

"1

§. 2. Ehe wir auf eine speciellere Diacnssion des voriieg^ndeu
Satzes eingehen, mnsa darauf anfmerksam gemacht werden, dass die
Fassung desselben noch einen etwas bestimmteren Ansdrucli Jiaben
sollte. Man könnte aämliuh leicht auf die Meinung kommen, als ob
die Sätze:

wenn S..o, immer auch £..a,
wenn S . . i, immer auch S ..ß,

etc. nur coordinirt neben einander gestellt waren, ohne eines A1^
Uängigkeit vom andern, während doch in der Tat lediglich anf dies
ZuBammenhang die GtÜtigkoit des ganzen Beweises beruht Aüä.
ans den von Drobisch undMatzka beigebrachten Belegen ist niehf
so genau, als es zu wünschen wäre, diese Verbindung zu entnehmen.
Es sollte noch bestimmter hervoi^ehoben sein, dass, wenn es sich
am irgend eine Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks z. B. han-
delt, man notwendig auch die bezilgliche Eigenachart des ungleichsei-
tigen Dreiecks kennen müsso.

Wenn es darauf ankommt, einen neuen Satz zu prüfen, so wird
diese Prüfung stets eine doppelte sein müssen, wir müthteu sagen,
<änc positive ond negative. Was die erstre Seite anlangt, so ist, vrie
wir sahen, schon Vides zur Erläuterung des Theorems geschehen,
indem man direct seine Nützlichkeit bei den verscldedensten mathe-
matischen Problemen nachwies, und es wird sich unsre Tätigkeit hier
darauf beschränken mßsson, auf einige bisher noch noerörtete Punkte,
von anerkanntem Interesse liinzn weisen.

Hingegen dürfte e^ gerade bei einem Satze, wie der H
sehe ist, doppelt nötig sein, aucli diejenigen Fälle zu untersuchen, wo
derselbe seinen Dienst versagt, wo also die Annahme der Umkebr-
barkeit }:u irrigen Eesultaten fuhren würde. Ist diess schon ohnehin
-eine Anforderung, ohno deren Erfüllung die Bedeutung irgend eines
neu aufgestellten Kriteriums nie klar hervortreten kann, so ist die-
selbe doppelt berechtigt bei nnsrera Falle, wo das Kriterium einen
80 ttberaus einfachen Charakter trägt. Es liegt hier der Argwohn nur
allznnahe, dass ein Satz, dessen Wahrheit ao sehr von selbst klar zu
sein scheint, sich zu Allem möglichen verwenden lasse, und es wird
dieser Argwohn erst dann schwinden, wenn an einigen prägnanten
Fällen gezeigt sein wird, dass bei gewissen Theoremen der Hauber-
sche Satz unmittelbar erkennen lasse, wie denselben die Eigenschaft
der Umkehrbarkeit abgehe.

Zuvor jedoch möge es gestattet seiu, dem Theorem eine Formu-
limng zu erteilen, wie sie für unsre Zwecke passender zu sein scheint,
Indem die Mathematik nicht mit Subjecten und Prädicaten, sondern

ir-^H
wo^^

mit GrC^ssea ozki deren Eig^nsclsaftea zu ton hafi. Fdr aQe geometri-
fifliesi JLivcihlBiigea werden wir mit &>l$eniier Fassaiig aoareidifin:

Wem Tijtt tfeni gei>metriselie!i Geb3ile \ 5l i Fignr.) 5 mui ebenso
TQQ exmem ojidp»! JT änsg^esa^Et werien käiuu d^tss densäb^i respu die
— metanschien oder projet:tiTisciiea — Eigenschaften «• 5* «r und «, ft
7 zukommen» ami dass^ wenn

5. .1^ S . . ** 5. .•• ete.
immer smih

^ . . flu ^ . . i* — - - r ^^*^*-

i&Is richtig dargetan ist. so ist die Umkehrvn^ aLL ifieser Ejoieisätze
tfiestattet.

Pen Ausdruck «4>rt^ecciTisclLe'' fjwrnscoaft baben wir hier Ledig-
o£h in. dem Sinne genommen« dass diiese Eigenschaften steh aaf die
Lacre. nicht anf «üe Grosse der einzelnen Teile der Figor beziiüh£n
soIIeiL Es m-OuK nan der Antan.j: damit gemacht werden» die Anwend-
barfett nasres Kennzeichens bei solchen Süfiaen sn prüfen, deren Um-
kehmng sLeh. Terbietec.

j. 3. Hier empiieült sich nun <o&rt ein Sat:* der vermöge seinter
Eniachhert von jeher benntat wnrde, die UnmOgtichkerc zn demwir-
striren. das? alle Säcze der Creometrie sich umkehrea Hessen. Es ist
«fiess der folgemle: Alle rechten >VmkeI sind gleich, dessen Um-
kehmn« .las absuri-im ernebt: Alle deichen Winkel sind rechte.

Unser 5 b?t hier oifenbar der Winket; seiner Eigenschaft em
rechter zn äein. können wir nicht eine bestitunifce Aiuahl andrer ent-
xegenaetzen. sümlem nnr eine nnendliche Aiuaol. indem ja der
Winkei alle denkbaren Werte zwischen und i:x annehmen kann.
Wir können also nnr sagen, hat der Winkel c> zur vollen Umiiiehnn^
snccesHV'i lias Terhiiltniss

^y 5, (/* (jL tf . . .

miil ein amirer Winkel -T die niimlichen Verhältnisse, so folgt ia
jedem einzelnen Falle die Gleichheit der betretfenden Winkel, ab
anch 'lie Gleiciiiieit zweier rechten Winkel. Di^ Umkehniag liefert
uns dann bloa. 'iaaa zweiWinkeL die zn tTt das nämliche Verhältniss
haben. ^^'naTiiFpr gleich sind, nicht aber das oben aitgettlhrte irrige
ResnItaL Wir sehen 30, dass hier der HanberVhie $atz^ dadnrcii
das >7 anstatt eines Irrtnms^ eine Any»ihl richtiger, wenn anck selbst-
verständliche RBfHiitaiR ergiebt. seine BraiQüL'hbarkeit docttmimfcitte.

WttlircinI in diesem Fall es am Tage lag, ilaBs eine direete IJm-i
kchrnng dos Satzes nicbt möglicli sei, ist dieas wesentlich anders
demjenigon Satze, zu dessen Betrachtung wir nunmehr übergehen
wollen; derselbe unters clieidet eicb auch dadurch vün dem eben be-
eproctmen, dass in ihm, wenigstens teilweise, nicht Beziehungen der
Grösae, sondern der Lage zur Sprache kommen. Derselbe befindet
eich in der Geometrie von Kunze'), — wo auch bereits auf seine
Umkehrbarkoit aufmerksam gemacht wird — und lautet: „In Jedem
KreiBYJeleuk Ton gerader Eckenzabl ist resp, die Summe des Iten,
3ten ... (2n— l)ten Winkels gleich der Summe des 2ten, 4tcn ..
(27.)ten.

In diesem FaJle ist nun also S ein Polygon von gerader Seiteo-
zahl (etwa das Achteck AliCOEFGH (a. d. Fig.)), welches «
Eigenschaft a besitzt, dass seine Ecken einem Kreise (vom Mltteät*']
punkt M) angehören. Das zur Anwendung des Haubcr'schen Satzed.'j
erforderliche Schema conatruirt sich alsdann folgend ermassen, iudM
wir den speciellen Fall des Achtecks zu Grunde legen.

Gehören von einem Achteclt S mit bestimmten Winkeln alle 8
■Winkel als Periplieriewinkel zn einem Kreise — Eigenschaft a — ,
80 besteht, wenn ^2»— i und iW, die bezüglichen Wiukelsummen sind,
die Kelatiun

7m-'^H

bäf^H

ilien ]

■£s»

(■S) = 1 («)

Construii-cn wir nun durch Ziehung geeigneter Parallelen neue Acht-
ecke von der Eigenschaft, dass resj). nur noch 6, 4, 2, Eckpunkte
auf der Peripherie von M liegen (die Figur repräsentirt in dem
Achteck a' ß' y' ß' e' ^' ti' &' nur den letzterwähnten Fall), ho zeigt
sich, dass die Eigenschaft des nrsprünglichcn Achtecks erhalten bleibt.
Wir müssen also s^en; Gehören von einem Achteck mit bestimmten
"Winkeln nur mehr &(/,), oder4(e), oder 2f(Z), oder endlich 0(e)
"Winkel dem Kreise als Peripherie winke! au, so besteht doch sta
die Beziehung

Ist also diese Relation gegeben, so lässt sieb aus itir nur der Schlag
ziehen, dass das hctrctfende Polygon niil einem Kreiapolygon ■
derBBlben Eckenzal die Relation

gemein hat, nicht aber, dass es selbst ein Kreispolygon ist, und sO^M
Biit hat eich auch hier wiederum der Hanber'sche Satz bewährt. ,

||i(KiiBMi: b^rbaeh der Oaomeldo, Jena IB»). 8. Ifll

s. 4. War es bisher unser Bestn^f-en. diejenigen Fälle hervor-
zoh-^ben. wo an^er Lehrsatz, indem er nicht Jas gewünschte, sondern
eine Reihe ganz irrelevanter Resultate zu Tage f&rdert. die Irrigkeit
des erstren anzeigt, so mögen im Folgenden dagegen solche Sätze aLs
Mafierial der Prüfong verwendet werden, deren Umkehmng zwar ge-
stattet, aber mit gewöhnlichen Mitteln schwieriger zu beweisen ist.
Hier tritt also ein reeller Nutzen unsres Kriteriums zu Tage, insofern
uns derselbe mühsame Beweise ersparen lehrt, und dieser Nutzen
dürfte um so hoher anzuschlagen sein, wenn wir bedenken, wie wenig
reellen Gewinn die apagogischen Beweise, deren man sich bei Um-
kebmngen in der Regel bedient, der YTissenschaft bringen.

Derjenige Satz, dessen Beweis wir im Folgenden mit Hülfe des
Verfahrens von Hauber zu leisten beabsiohtisen, ist tollender : Sind
die beiden Geraden, welche je zwei Winkel eines Dreiecks in glei-
chem Verhältnisse m : n teilen, einander gleich, so sind diess auch die
resp. den beiden in Frage kommenden Dreieckswinkeln gegenüber-
liegenden Seiten des Dreiecks.

Dieser Satz, und speciell sein Unterrall, wo m:n ist, hat eine
gewisse Berühmtheit erlangt, und sein Beweis war zu einer gewissen
Zeit recht eigentlich zur Modesache gewonlen. Er wurde zuerst von
Steiner-.' in folgender Form ausgesprochen: ..Wenn die Winkel an
der Grundlinie eines Dreiecks in gleichem Vorhältniss geteilt werden,
so dass o : «1 = ß: ß^, und wenn «He bis au die Gegenseiten verlän-
gerten Teilungslinien gleichlang sind, so ist die Frage, ob denn das
Dreieck gleichschenklig sei?" Steiner giebt sowol für diesen, als
auch für tlen analogen Satz vom sphärischvu Dreieck, einen elemen-
taren Beweis. In ebenfalls ziemlich einlacher Weise ist der Beweis
von Zech^j geführt, ungleich complicinor, nämlich durch eine Art
von Grenzübergang, von Laige^'^). Von besonderem Interesse für
uns ist jedoch das Verfahren Baltzer's"), welcher bei seinem Be-
weise ganz nach Art der Haube r'schen Vorschrift zu Werke geht,
ohne jedoch diesen Namen zu nennen.

^lit Zugrundelegung dieses Satzes können wir nun folgender-
massen uns ausdrücken. Hat ein Dreieck ■ S) zwei gleiche Winkel (a),
so sind die beiden Transversalen (£\ welche jeden dieser Winkel in
einem bestimmten Verhältnisse

m : n

teilen, einander gleich (a). Hat dagegen das Dreieck (S) zwei un-
gleiche Winkel an Stelle jener (i), so erhellt sofort, dass auch die
beiden Geraden (£)r welche diese Winkel in dem bewussten Verhält-
nisse teilen, einander nicht gleich sein können (ß). Wenden wir also nun

Satz au, 60 erhalten wir t'olgendeB Duppel-

dm. Haober'schci
resDltat:

ÄJ Sind die beiden Transversalen {£), welche zwei Winkel
Dreiecks im nämlichen YerhIÜtniBse teilen, einander niclit gleich (ß),
so ist jenes Dreieck (,S) ungleich seitig (b),

B) sind die beiden Transversalen (£), welche zwei Winkel eina^
Dreiecks im niLmlichen Vorbältniasß teilen, einander gleich, so ist jeneii]
Dreieck (S) gleichschenklig (a).

8) Sleioer, Elementare Lfisang einer Aufgabe über das ebene u
das spbBriBche Dreieck, Ciellc Joaninl far reine ii. angew. Math-, SS. Biiiitf^
S. 375.

S) Zecb, Ueber einige gcometrischo SlUe nnd die Becbaung n
ginftren GrOseen, GrnneTi'i ArtVir i). Math. a. Pb;».. IS. Teil. S. 3Ge.

10) Lange, Beweis de» Satzes: Sind die Linien, welche a
eckiffinkeln anf die Gegenseiten gezogen sintl, und diese Dreieckewinkel i
gleichen VerhAllniisen teilen, einander gleich, so ist des Dreieck gleich Bchenkli)^;B
nntl iwar eitiii die erwfthnlen Gegenieiten einander gleicb, Grunert's Aretai^

1

I. Teil, :

3S7.

11} Ballier, Ueber du Dreiock, worin die TransvorsaUn gtoicb s
vrcklje xwei Wfnkel desselben nacb gleichen VerhUUnisscn teilen, Grnnei
Archiv, IS. Teil, S, SOI.

§. 5. Hiemit mögen die geometrischen Anwendungen ihren Alj-fl
«chluss finden, und es soll im Folgenden lediglich noch die Nützlichr'l
keit des Hauber'schen Satzes für die Analysia in's Auge gefasstfl
werden. Indessen wird es hier, wenigstens für eine umfassende Claasfl^
von Problemen möglich sein, demselben noch eine einfachere Fassung
7.11 geben, welche uns der Mühe, alle denkbaren Verhältnisse be-
trachten zu müssen, überheben soll.

Besteht nämlich zwischen zwei beliebigen analytischen Formefl^J
eine durch das Gleichheitszeichen chaTakt£risirte Relation, so st^ij
doch durch dieses ausgedruckt werden, dass nnr dann die linke uuc[^
rechte Seite dieser Verbindung, welche wir Gleichung nennen, wirk-
lich jeno Beziehung erfüllen können, wenn sie wieder ganz bestimmten
Bedingungen genügen. Hören diese Bedingungen auf gültig zu sein,
90 hört auch jene Relation auf zu existiren, nnd es ist somit in Uli
^csen Fallen unnötig, alle die Voruntersuchungen durchzuführen,
welche die Anwendung des Hauber'schen Satzes verlangt, indem
dieselben durch die Natur der Sache Üherflttasig werden. Wir dürfe» a
Biso sagen:

Ist irgend ein analytischer Ausdruck (oder auch eine Anzahl b

34 Günther: üeber einige Anwendungen und Erweiterungen

eher) (S) mit einer Reihe von charakteristischen Bedingungen be-
haftet (a), ebenso ein andrer {£) mit entsprechenden Bedingungen
(a), und steht zwischen diesen Ausdrücken das Gleichheitszeichen,
d. h. also, geht daraus, dass S die Eigenschaft a hat, sofort hervor,
dass 2 die Eigenschaft & hat, so muss das Gleichheitszeichen auch
im umgekehrten Fall bestehen bleiben: für 2,.a, besteht S..a,

Bekanntlich lässt sich «eigen, dass wenn ein System (S) trinomi-
schor recurrirender Gleichungen (0)

9/

vorliegt, der Quotient ~ zweier aufeinanderfolgenden Unbekannten
(S) sich in den Kettenbruch (a)

%

Pl

v%

u

5!i — 7 ^8

«2 —

«3 —

entwickeln lässt Es kann nun bei gewissen Untersuchungen wün-
schenswert sein, diesen Satz umzukehren ^\ ohne doch auf den ziem-
lich complicirten analytischen Nachweis der ümkehrbarkeit eingehen
zu müssen. Mit Hülfe dos vereinfachten Hau b er 'sehen Satzes schliessen
wir so: Giebt es eine durch das Gleichheitszeichen vermittelte Be-
ziehung (a) zwischen den das System {S) bildenden Grössen «*, jp, g,
nämlich eben jene recurrirende, so besteht zwischen dem Quotienten
{£) und dem Kettenbruch (a) ebenfalls die Beziehung der Gleichheit;
ist es also bekannt, dass 2 und a durch das Gleichheitszeichen in
Beziehung gesetzt sind, so muss auch das System {S) trinomischer
recurrirender Gleichungen (a) existiren.

12) Günther, Darstellung der Näherungswerte von Kettenbrüchen in
indcpendenter Form, Erlangen 1873. S. 79.

§. 6. Auch in der Theorie der Gleichungen scheint unser Satz
berufen, eine gewisse Rolle zu spielen. Es scheint nämlich diese
Discipliu das Eigentümliche zu haben, dass ihre Wahrheiten sofort
in ihrer Richtigkeit erkannt werden, während auf der andren Seite
der strenge mathematische Beweis fast stets mit grossen Schwierig-
keiten verbunden ist. Wir erinnern nur an den fälschlich nach Har-
riot benannten Lehrsatz, welcher lange Zeit für unbeweisbar galt,
und in der Tat ist der erste Beweis, welchen derselbe fand, nicht
02geT}t\\c\i ein rein mathematischer, sondern vielmehr ein philosophi-

dei Havler'xdiett Theorems,

Bclier. Ein gewisser Sttibner") soll iha Termittelst des meta
^cbtn Satzes vom znreicheDden Grunde geführt haben. Noch weS
nnütigänglichcr für die rein mathematischen Methoden erwies (
_ bekanntlich der sogenannte Fundanientalsatz der Algebra, dem i
Ganss eine Seite abzugewinnen vermochte, welche ea geatattete, i
mit bekannten algebraischen Sätzen in Verbindung z
doch wird sich nicht längnen lassen, dass gerade dieses Theorem r
dMn geringsten Zweifel nnterlag, dasa Tielmehr seine innnere Wahrrfl
heit zu allen Zeiten so sehr von selbst einznlenchten schien, dass maii
ihm mehrfach'*) den Charakter eines Axioms nnterlegen zu könue^l
glanbte. Ohne nun selbstrerstandlich den hohen Wert der rein wiSr\
IjÜBchen BewiäsmethodeD irgendwie schnialeru zu wollen, möchte e
doch möglich sein, sich lediglich durch Gründe der formalen Logl
Ton der Richtigkeit dieses Satzes zu überzeugen, ebenso, wie t
Harriot'sche Satz znm erstenmale von philosophischem Boden 8
in Angriff genommen wurde.

Hat man n Grössen von der Form

mit einander zu moltipliciren — S...a —, so lässt sich bokar
lieh unmittelbar zeigen, dass dieses Product mit dem PoljTiom (£);H

durch das Gleichheitszeichen verbunden sei; hat also ein PolynoBJJ
(2) die hier gekennzeichnete Eigenschaft (a), nämlich vom
Orade zu sein, so lässt sich dioss Polynom in n Factoren (S) zerjj
fällen, deren jeder die Eigenschaft (a) hat, linear i
naher Beziehung dieser umgekehrte Satz zum Fuudamentalsalz dej
Algebra steht, liegt auf der Hand.

13) Egen, Eandbnrh der ellgeuii
. B. S75.

14) nHnfce], V Oll eeuTi gen über Oi(
I. Teil, Leipzig 1867. S. 98'

n ArilhmiMik, 2. Teil, Berlin 18*S^M
mplexm Zalilcn und ihre Fnnktioaevl

g, 7. Zum Schlüsse sei noch auf den erwuhiienswerteo Umstan4rJ
anßncrksam gemacht, dass auch in der angewandten Mathematik d^
Bauber'sche Satz hei den mannigtacbsteu Oolegcnheiteu mitVort^
zur Anwendung gelangen kann. Ton vielen Beispielen hoben wi;3
eines, das von historischem Interesse ist, heraus, Newton's Uuter«^
Buchungen über die Bahn eines Planeten, dessen Attractiousgeset^T
bekaimt ist. Bekauutlich hatten Kepler's Gesetze und Huyghea
8atz6 über Contralbewegung den Boden für Newton so weit geehnf

a,*

30

Veber dniga AiiiDtnitun'/en und Jim

lUsB die Ableitung dieses Gravitatlonsgeäetzes aas der als ge$
m denkenden Bahn der Himmelskörper wesentliche Schnierigke
niclit mehr darbot Ganz anders verhiell es sich mit der nmgeks
ten Aufgabe. Erforderte die Lösnng des directen Problems !
Kenutniss der Differentialrechnung, bü bedurfte msin für das d
kehrte bereits einer IntegratioD, und diese mnsste Newton lei
wenn er seinem System die letzt« Vollendung geben wollte; d
müssen, wie Dlihring'^) sagt, eingedenk bleiben, „dasa der I
punkt der neuen Theorie der Attractionsbewegungen in Satz 3
des ersten Buches zu suchen ist, wo die Aufgabe gelöst >
gegebener Anfangsgeschwindigkeit und qnadratischer Anziehung i
Bahn zu bestimmen." Wir dürfen sonach sagen, dass der (
Fortschritt, welchen die Infinitesiroalmethodeu Newton zn du
haben, dircct durch dicss Problem angeregt worden sei. Ebe
auch (s. 0.) die Integration sich nach dem Hauber'schen 1
als direute Umkohrung dos Differentiirens ergiebt, mnss dieses E
zeichen uns sofort erkennen lassen, dass es nach Lüsung des e
ProblemB in rein allgemein logischem Sinne keiner Lösung des z
ten oder umgekehrten Problems mehr bedurfte, so wenig auch naljj
lieh durch diese Erkenntniss für die mathematische Bohandlnng |
Wonnen sein mochte.

Wir können so sagen; Bewegt sich (>in von einem anfänglicm
TangentialBtoBS betroffnes Mobil (S) in einem Kegelschnitt (o) i
das attrahirende Cenlmm, so muss das Gesetz, nach welchem jd
Anziehungskraft (£) wirkt, das der nmgekehrtcn quadratischen I~
femnng (a) sein, und es Iftsst sich leicht zeigen, dass, wenn d
kein Kegelsclkuitt (6) ist, anc^ das Attractionsgesetz irgend ein a
(j3) sein muss.

Durch Anwondang des Hauber'schen Lehrsatzes gelangen ifH
somit, wie oben, (s. o. §. 4.) zu dem zweifachen Resultate: Wird c
mit gl eichm aasiger Geschwindigkeit sieh bewegender Körper (S) \
einer nach dem Newton'schen Gesetze {«) wirkenden Attractioi
kraft (£) beeinäusst, so beschreibt er einen Kegelschnitt (a); Ist i
auf den Kürper {S) wirkende centrale Kraft {E) einem beliebig
andren Gesetze (jS) unterworfen, so kann die Trajectorie keine Cm
«weiti^r Ordnung sein.

Der Hauber'scho Sata lässt bei vielen Gelegenheiten ,
Brauchbarkeit für Gegenstilnde der angewandten Mathematik
kennen; auei das von Bernonlli aufgestellte Gesetz, wonach gleich
Ursachen gleiche Wirkungen, und auch umgekehrt gleichen WW
kUQgen gleiche Ursachen entsprechen sollen, dürfte, insoweit es ^
Galtigkcit beaasiinichco kann, als einfaches Corollar desselben i

Kriliichc Gi'schichle ilcr all^'e

che« Theortms. STj

an -die auf demselben Grondo t

Zugleich als Nachtrag zn dem Aufsatze in diesem
Archiv, S. 163.

Id dem hier genannten Aufsatze „lieber einige Probleme d«-l
Itöheren Geometrie" (2. Heft) findet sich ein Passus, der in gewissen» j
Siime Einwürfen ausgesetzt zu sein scheint, und deshalb wohl einer
Eclflaterung bedarf. Wir wählen diesen Ort, um die Erlänternng zu
geben, weil wir uns eben auf den im Vorstehenden discntirton Satz
teilweise zu stützen godonkeu. Uiebei mögen jedoch noch einige
"Wort« über das die einzelnen Probleme Jener Abhandlung beherr-
schende Princip ihre Stolle finden.

Basselbe ist kein neues, nur dass allerdings eine Anwendung auf
Gegenstände der analytischen Geometrie noch nicht gemacht worden
zu sein scheint Im wesentlichen hat sich seiner bereits Lagrango i
bei Aufstellung seiner bekannten luterpolationsformol bedient. Eine |
bestimmltire Fassung erhielt dasselbe jedoch erst von Möbius; t
hierauf bezüglichen Bemerkungen wurde» jedoch nicht von ihm selbst, i
sondern von seinen Schülern Baltzer'^J und Hankel") in Gele- ]
gcnheitsschriften veröffentlicht. Dieselben kntipfen sich an die
Stimmung des Dreiecksinbalts aus den drei Seiten. Die Gleicfa-
bereclitigung dieser drei Seiten, sowie der Umstand, dass der Inhalt I
von den Vorzeichen der Seiten unabhängig sein muss, bedingen, dass
die den Inhalt ausdrückende Formel eine symmetrische Function von
«*, ß*, <r* sein muss; ebenso ergiebt sich aus der Eigenschaft ähnlicher
Dreiecke ihre Honiogeneität. Da dieselbe ferner, wie sofort erhellt,
teilbar ist durch die Grössen

.+*+., ,+l-,, .-!.+,, —4-.,

SO iiinss der luhaltsausdruck zu der Determinante

.'-,7 'y fc '.'?.'.' : L'ile" *:/:i::* A-.-:''.' Iwi-pfru Lud jL.*'trih:v.rvhprL

*--li -'.L c-. '. c unabliäii^'i^jf^ VVrLaltDis:- Lab«rii. Setzt iiian. mn den
l:».L :u.bekainiten P'act.or zu b'-stimm':*!!, a = ?/ = r. so ist der Drei-
•••'.k'-riiLalt ;:l'rif:b

C'-r I'fcvtor aho J, wie wir au« aijdr':n GrüudeD wissen.

V*r:\;'l*:icL^u wir mit dieser M^tbod.r die in jener Arbeit zu
Orui;de t'elf>irie. so fiijdeu wir. da^s der Aufbau der Formeln auf
gaiiz cr.t'^j n.-'vbeudc- W»':i^e %or bicL f:«''bt, Lie scbliesslicbe Anwen-
ouiii' de- gi-ricb'-eiti^eij Drf-i«''ck5 zur L'-Miif.muiiir de& Factor? J rer-
jxait hjvb ^a;jz aixalog d';r Art uud Wei'^e. wie dort durch BetracbtuDg
eijjer 'd^iv^ '■■/.-. khii'-Vrii L^^e der b^treneiidc-n Cuitc t Gerade. Ellipse),
in l'ri'k;j j- .>LleD dvr uiibc-kaijute Exponeut der Cui'veDgieiohungen

/■*'< ^Wi ir/'" =ri 1 )

uiid

ermittelt wurde.

Der voij uns obon f rwabnt«j Passus (S. lö.">) ist fulccnder: „Nun
ist aber ganz allgernf.du die Gleichung einer Corve, deren !Mittelpuukt
in den Ursprung fällt, unter der Form

darstellbar." Dieser Satz bedarf notwendig einer Ergänzung.

Wir haben nämlich zunächst danach zu fragen, was wir unter dem
Mittelpunkt einer Curve uns zu denk» n Iiabeu. Die allgemeinste
Antwort auf diese Frage giebt uns wohl Steiner ^^j mit fülgender
Definition: ..Unter ..Mittelpunkt* • einer Curve r/«teu Grades, O", wird
ein solcher in ihrer Ebene liegender Punkt M verstanden , welcher
die Eigenschaft hat, dass jede durch ihn gezogene unbegrenzte Ge-
rade >S die Uurve in solchen m Punkten schneidet, welche paarweise
gleich weit von ihm abstehen, so dass also die Schnittpunkte auf bei-
den Seiten von jenem Punkte M gleich verteilt sind, und jedem
Punkt p auf dr-r einen Seite ein anderer ;)j auf der entgegengesetzten
Seite, in gleichcim Abstände von J/, entsprechen muss und sein
„Gegenpunkt" g<-naiint wird." Dic^si^r umfassenden Definition scheinen
sich selbst di«? transsi-iMuh'iit'ii Curveu «hinzufügen, indem in diesem
Sinne offenbar jrchT Knotenijunkt einer Siimslinie als Mittelpunkt
»ich auflassen lii;•^^^l.

Es ist nun klar, dass nirht jede Curve. welche einen solchen
}lm-i'?J2:iikt besitzt, eiiK* (üvichung \üii der angegebnen Form be-

Bitzen mass. Ganz abgeaebeo vou den tranascendenten Curven, wolch^
tmcndlicb viele Mittelpunkte zukummeo, wird es bereits Cnrven 3bi
Ordnung mit Mittelpunkt geben, deren Gleichung in ihrer eiufachatC
Form

ist, welche also jenem Gesetze nicht entsprechen. Allein bei |
naneroni Zusi'hen ergiebt sich auch sofort, dass diese Curven k^
gescblossne Gestalt haben, und deslialb nicht mit jenen über
Btimmeo, welche in jener Abhandlang betrachtet wurden. Wir könnei
tuisrem Satze somit folgende Form geben, deren Richtigkeit sich sl
dartun Iflsst; „Die Gleichung einer Curve, welche einen MittelpunI
im CoordinatenanfaDgspuukt bat, und welche öberdiesa in sich zui'üok-n
läuft, lässt sich stets auf die Form

bringen." In dem hier uns allein intereasirenden Falle, wo dii'
Zweige iu den vier Quadranten einander cougment sind und <
ganz symmetrische Lage zum Centmm haben, wird ti^=ß\ diu Gtei-J
cbnng der Curve ist demnach die folgende

,!..+^.. _ „S.

Dass diese iu der Tat der Fall sei, geht aus folgender Betrachtung.!
hervor.

Es hat keine Schwierigkeiten, die Gestalt von Flächen anzugi^henj
■welche der Gleichung

genügen. Es orgiebt sich sofort, daas bei Flächeu dieser Art keia^l
unendlichen Aeate auftreten können, sowie dass keine Unterbrechung!
der Coutiunität denkbar ist. Setzen wir noch

wo p eine beliebige ganze oder gebrochne Zahl sein kaun, — wie
diesB bei unsren beiden Beispielen auch sich so verhält — so können
wir für diese Flächen folgenden Satz '^) gelten lassen: „Dio krumme
Fläche ist eine geschlossene. Wegen des geraden Factors im Expo-
nenten hat die Flüche iu allen 8 Coordinatenräumen dieselbe Gestalt."

Der Hauber'ache Satz lehi't uns dann Folgendes: Hat eine ge-
scblossne Flache für sämmtiiche Oetanten des Systems die Eigen-
schaft vollständiger Symmetrie, so lässt sie sich durch dio Gleichung

40 Günther: üeber einige Anwendungen und Erweiterungen etc,

(r+ (ir+ ©*-= '

öder, was dasselbe ist,

darstellen, indem diese Gleichung, für a = 1, in

übergeht. Ist » = 0, so ist folgerichtig

a^P-^y^P «X a^P

die Gleichung aller auf die bewusste Weise gestalteten Curven.

16) Baltzer, Historische Bemerkungen, Berichte über d. Verh. d. S&cbs.
Gesellsch. d. Wiss. Math.-Fhys. Classe, Jahrg. 1865. S. 5.

17) Hankel, Ueber die Vieldeutigkeit der Quadratur und Rectification
algebraischer Gurren, Leipzig 1864. S. 11.

18) Steiner, Ueber solche algebraische Gurren, welche einen Mittelpunkt
haben , und über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Gurren , sowie
über geradlinige Transversalen der letzteren, Grell e's Journal, 47. Band. S. 7.

19) Bnrhenne, Ueber krumme Flachen, welche der Gleichung
xw -|-yw -f «n = 1 genügen, Grüne rt's Archiv, 21. Theil. S. 36.

VI].
PriDcipieu der aualytischen Ciu-Tentheorie.

Ä. Hoppe.

Im Anscliluss an den Arliltel Dt. des vorigen Bandes S. 77. '
ich im folgenden die OnmdzUge einer Curventbeorie entwickeln, d
deren Einfachheit ioh die an jener Stelle ausgesprochene Bebauptong
zn rechtfertigen denke. Vorausgehender Erlänteningen bedarf es
nicht; dagegen werde ich mannichfacbem Mssbrauch und verbreiteten
Meinungen gegenüber meine universellen Ansiebten in einer Reihe
von Thesen darlegen, die zum gröasten Teil zwar sofort eingor&omt
werden, die man jedoch gemeinhin vorzieht stillschweigend unbeachtet
zu lassen. Die übrigen werde ich zu begründen suchen.

1. Analytisch heisst die Geometrie, insbesondere die Curven-
theorio, aofem sie von der allgemeinsten Auffassung ihrer Aufgabe
ausgebt, dieser gemäss ihre Begriffe und Sätze stets zuerst in grOsst-
möglicher Allgemeinheit entwickelt, und erst nach Erfordemiss die
speciellere Betrachtung eintreten lässt, im Gegensatz zur synthetischen
Geometrie, welche vom Bekannten ausgebt, dessen Gebiet zu erweitem
und zu eystematisiren sucht.

2. Die Bedeutung des Rechnens in der Geometrie besteht in der
Reductiou der dreifach ausgedehnten Raumgebilde auf die einfache
Dimensiou der abstraeten Grösse. Sein Hauptzweck, hinsichtiicli
dessen es unersetzlich ist, liegt in der Herausstellung der Identität
der Probleme, durch welche es allein möghch ist, den jeweiligen
Standpunkt der Theorie, d. i. die Grenze, bis zu welcher die Pro-
I^leme gelöst sind, zu erkennen. Den Gegensatz zur rechnenden Geo-

l] //t:.ft*.: Pri i':»'nfii ihr anafyfinchen Curciufhe.yrie.

•::.•• r:.- m:.! •» »lirr i'>;(»'rianuU; rein jfeometrische Schlags folgenmg,
\ -.. !: • ; ".ir' K''lnrthiU nicht anwendet.

r.s i-:'. iwnrrrrr , Mitf?tf'll»'nd und unausführbar, den Unter-
s :.;.•. i /Mi h-:i Äu^K ri^(•hf•r und synthetischer Geometrie in die An-
%v -.i.:»:!/ l H Im' hip'iis umi d».*r rt?in geometrischen Schlussfolgenmg
/•i 4'/:i In-tm-ri i-t 1*^, wf'il das ausschliessliche Gebundenseiu
«.I I; • •»:;• »Kl ,iiidr»: Srfilus.sform die natürliche Entwickelung bei-
;..» /.\i/' kr-tj/f, »Ml^.^t<:IIf^nd weil factisch beiderlei Schlussformen
»>• >. j I :i 1)1 :• iplifun rnif «egonseitiger Unterstützung vorkommen,
m,.ijm.i Ij- \ »t/Mif*- <I»T M»!tlio<l(!n durch jene vorgreifende Sondenmg
/,,..», \r>^i.i'h irl»rid»?n, unausführbar weil bei vorliegender Ver-
».».,;..../ h iJ:i M:hhj-.irorin»ra der PJinteilungsgrund keine Anwendung

/•».44.I

I I.. i:r iiiriif i\\t: nr'i.,timnjung der Principien der anahtischeu

i, .:,,. I mv.f .,iliii.»hoil<ii zur Lösuug aller geometrischen Pro-

f.;..,.. . .».*j/.i:r-.lirii. virliiifdir holU'U SIC uach Vollziehung dnr oben-

^ J:... j.|. h'>ii di'.poiiibh: Werkzeuge der Untersuchung liefern.

I*. . .VI . h . J . M'-.hr. :»*:»: H.irh«: dfT Krfindung und ist erst nach Stu-
j I , ;'.ihii ir.ih-i Aijfi/iibi! zu nuchfu.

it, . Aii^«ii»Jiiiii/ tif'i K<*«hiiung macht nicht der Anschauung
... i i;.,i..i..i,f.iii>/ •in ImiU:, -.ondcni begünstigt sie vielmehr, weil in

, .. I j j.»: vv.:.iifiiihi: voiii Arcidcutellen unterschieden wahr-

., .... i, -..i: hl 'l'i ■•»••»- individuellen Figur sich nur in den

..... ,. ... J ;i;l .M »i'.uii'-.li la: ;t.

. .\... O.:. ),i!|»ijiil:f«: v«n:iniiri-n sich zu der Entscheidung:

I. ;. ...1.. (/..'irn«:tri<' niuss mit dem Räume, nicht

.... , . ..F I. .yiiitn*u - /unäi-hst liegt es im analytischen

» ,. ^^i./../.•:.u:»':^ iiu :/uj/i-hen. Dieser naturgemässe Weg

■„ j.,. .1. 'i-.ii KH'iIk in dür G«^staltung der Doctrin voU-

j .... . ,..7..i../» /^'"(i H-.tiich ist der Anfang in den drei

i„ ......... /i ».il*'nit:u, weil man bei correcter Methode

„.. t i.iusii ihii Iriner Dimension operirt. während in

.|. , i, i.. if,...'. "'' =-i'-»* 'IJ^' Vertauschbarkeit der Dirnen-

..I,.,. .. » '../ . »...••"»'■■'■' '1'-'' l^^^t^-nninanten verhüllt und wegen

i\|.,„.. I . . ". * ... .....v/ '1' • V irrtiiuHi.Vns nicht zur Anschauung

,, U..:.i .. »• •' '• '• '^' '**-*/'''"^ldicationen zweier Dimen-

\^^^ ^^ , , ,^ .. /.. .. ...: i:? di- G..Mjia..trie der Ebene so gut

n. H I. *.. ».«r. ^ '■" *••'••"•'» '*•■'* ^J-om.-trie des Raumes, er-

. ..,. , .1.. .11. ■' •••'•'"*' '^'^i^^'-ijfnete Gewöhnung, während

Sil.,. ...,/•'• •• • J'''-'»»/iii/ehieu Sehritte, mit Leich-

^^,.. \u I 1.». ' •• '' '"•';'' '■''^^''■•^'•»•niss stets in Anwendung

v.»M l»H ' *** ii'^rij^ea Vorkenntnisse für die Geo-

Hoppe.- Priui

ialt,lhi:he:i

metrie des Raumes nach Betreibui^ der elementat-eD Stereometi
reichlich vorhanden und müssten bei Einschaltung der Geometrie ([
Ebene erst noch einmal ansser Uebnng gesetzt werden.

7. Die analytisclie Geometrie fusst auf die synthetiscUe elomi
tare Geometrie, von der sie einige Grundhegriffe und Sätze aufn
und zur Verwendung in die geeignete Form bringt. Dass sie a
mit einer Theorie der Ebenen nud Geraden ihren Anfang nimmt, 1
num uiclit als ein Aufsteigen von der Uueareu Gleichnngsform , (
dem ala vorausgehende Gestaltung der entlelinten Grundbegriffe t
zusehen und demgemäss auch die betreffenden Formeln nicht uns
Iiängig von der elementaren Doctrin zu beweisen.

8. Die analytische Cnrveutheorio hat ihre Begriife nicht i
irgend welcher Gleichungsform , ?.. B. der algebraischen, herzuleita
vielmehr mQsBen umgekehrt die zur Darstellong dienenden Fnnctionil
dem allgemeinsteji Corvenbegriff entsprechen. Die Theorie der a"
braiachon Cnrven ist im Gmnde nur eine Theorie der algeiiri
Oleichnngen mit geometrischer Dai'stellung nnd vermag nicht i
allgemeinen Eigenschaften der Curven zu bestinunea Bei Uehergao^
durch Betrachtung der Linien zweiten Grades und auccessiver Grad-
scala zur aligemeinen Theorie werden gewöhnlich unrichtige Vorstel-
lungen er/eugt, die der allgemeinen Auffassung sehr im Wege stehen.
Vach correctcm Verfahren kami die Theoiie der algebraischen Cnrven
als Specialität nur der allgemeinon nachfolgen.

9. Die analytische Cnrventheorio hat in ihrer Grundlegung jede
willkürliche Synthese von sich ausznschliessen und musa im Gegenteil
auf grösstmöglicho Isolimng der zu behandelnden Elemente gerichtet
sein. Es ist demgemäss in einzuführenden Begriffen und Gnind-
theoretaen nur die Natur einer Curvo in einem ihrer Punkte in
Betracht zu ziehen, mit dieser nur solche andre Raumgebilde zu ver-
binden, deren Bestimmung aus der Natur der Cui'vo hervorgeht;
unentbehrliche Coustructionon vöu willkürlicher Lage hingegen, wie
die Co ordinal enaysteme, sind als interimistische Hülfsgebilde anzusehen
nnd nicht weiter in die Begriffe zu involviren. Jede Einmischung
ton Synthesen in die Anlange der Theorie vereitelt den Einblick ili
ihren einheitlichcu Zuaammenliang und fUltrt ^ur Zerspaltung der.
Doctrin in eine unabsehbare Menge einzelner Theoreme.

g, i. Curve, Tüiig:ente, Normalebene.

Eine Curve ist stets aufzufassen als die Bahn eines bewegi
Punktes. Sie kann daher keine gesonderten, sich schneidern
berölirenden Zweige oder singulären Punkte haben, vielmehr heiss
solche Zweige ebcusoviele Gurre n.

'.'j'ii'Uir.njrrtu «".irt r.;.ui..v.2rjiciiJLi:i^'^i!l^ Cirrr iiz^ScZ»?- . T^kLr der
> luu:' /./« »^•5:i*iwr:. v^-.- 1^.- Parin^e'-rr •* :»r*rMlz?ii£ w*:b5»ead alle

* r r

\y^.>. 'iih^*: '/ .* »i.ä:4rti'';k': Grenzw<:rt€: haben mä>?en. welche alsdann

l.ifi - » — — um — » — ? — lim —

Cu r Cu r Cu r

*iä?.i u..\i.j* iUMi*zr h'ihh Tang'rnte existirt. geht ans folgender Be-
Uü/.h^uu;/ Iß-.noi. }U:v,i:in sich F' zorück bis P, so ist während der
Jia.u':/ a«;/ l>.yi*:iini4i dio I-Ag'; von PP' und ihrer Yerlängening stets
»ihi*:l z \*nuV\h bf;<:timmt. Aus bestimmter Bewegung kann am
bdji'iifr: um i'Mih \ti->.\x\Mti\>i L'd^fi resultiren. also befindet sich die
(i'./ü'i«. iJt. Anif/:Mlf:k d<is Zusammentreffens von P' mit Pin einer
\n;tUiuuU:j. htj'oAfiu T hhr Winkel zwischen T und PP' ist nn-
( ndJi'.L kh.'iL, ^t-M PP* bi>. in T gelangen kann, folglich ist fürs erste
/' ihim*: hu4f\f. shu J'P' Ferner ist jener unendlich kleine Winkel
uiciil klci/ici nik, dj/: Ißiffurfiuz der Richtungswinkel von T und PP%
WLiil ikiU: dn:i Viiiikhi Heilen einer dreiseitigen Ecke sind, folglich
(littV:i'}i«:/i 'dii*:ii dje ^V/!:i/iijh dieher Richtungswinkel unendlich wenig

VUU iUllUlld«:j. W. / 1/. v^

l)ii' l,ajjgi; «.j^i* J: ' jjrv'iil/ojfen«: » von einem beliebigen festen
Puuktu lii» /liiii huUut'U li J'ijiikt'r /' würde einer besondern Definition
bedtU'fou. l'jib*: läJtsjt Jtjrli j<doeh einfacher durch das Axiom er-
i, iliMira dm» uiji./i<iii«:|j kleine lacn.'nieut es dividirt durch seine
r dou (h'r)M'

jiiali/liiifhfn Cuncnlheorit,

"P

Dass femer k- einen, im allgemeiiicn eniUit;heü Greujiwert hat.

können wir annehmen, indem wir einen Parameter verwerfen, welcher
dem nicht genügte, E i n möglicher Parameter, s selbst, existirt immer.

Hiemach hat— einen Grenzwert = s-, unildieRicbtungscosii
der Tangente sind nun:

Da di-ren Qnadratsuinme -

= 1 ist, Bu hat man:

Zugleich ist hiermit bewiesen, daas die Coordinaten des laufeadlj

Punkts einer Cnn'e stets Functionen des Bogens sind, die sich ä
rentäreu lassen. Der Beweis für ihre Differeutiabilitat bis zu d
Ordnung wird, sobald die geometrische Darstellung vorliegt,
analog geführt, weshalb wir ihn übergehen.

Bezeichnen wir die Coordinaten eines variirenden Punkts auf
irgend einer andern Linie oder Fläche ausser der Curve durch £, ■
£, so sind die Gleichangen der Tangente;

/ ff ''

Durch dieselben Grössen wird auch eine Ebene bestimmt, weil
normal zur Tangente dnrch (j;ja) geht. Sie heisst die Normalebei
der Curve, nnd ihre Gleichung isli

%. 2. Ohara kt er Isiruu^ der CnrTe au»
Sormal ebene.

fler Bewegung ihrer

Es soll jetzt die Bewegung der Normalebene analytisch dargeslallt
werden, die sie bei Variation des Parameters oder bei Fortrücken
des laufenden Punkts längs der Cune vollführt. Um hierauf die For-
meln der Anfangs citirten Schrift „Cinematische Grundlage der Cur-
ventheorie" S. 96. u. f, anzuwenden, haben wir für a, J, c zu setzen
f, g, h. Aus diesen erhält man zunächst den Rotations winket v, wel-
cher für die Normalebene mit t bezeichnet sei, und Erlimmungs-
trinkel heisse, und der nach Gl. (53) bestimmt ist durch

46

Hoppe: Prindpien der analytischen Curventheorie.

Diese Grösse t ist jetzt als Parameter zu betrachten, und die Diffe-
rentiation nach T durch Accente zu bezeichnen. Dann sind nach den
Gl. (e') (55) /', g\ h' die Richtungscosinus einer auf der Normal-
ebene senkrechten Ebene, welche erstere in ihrer Coincidenzlinie, ge-
nannt Krümmungsaxe, schneidet. Deren Richtungscosinus l, w», n
sind in den Formeln für öj, &i, c^ zu substituiren.

Hiermit sind 3 auf einander senkrechte Richtungen bestimmt.
Wir ziehen vom Punkte (xyz) in gleichen Richtungen 3 Geraden.
Die erste, normal zur Normalebene, ist die Tangente, die zweite nor-
mal zur zweiten Ebene, heisst die Haupt normale, die dritte, in
der Richtung der Krümmungsaxe, die Biuor male, alle drei in dieser
Reihenfolge die begleitenden Axen der Curve. Dire Richtungs-
cosinus sind demnach:

Tangente

A 9, h

Hauptnormale /', g\ h'
Binormale /, m, n j

(6)

Vermöge ihrer senkrechten Stellung bestehen folgende 22 Belationen :

/» +<,* +A»

f'l-{-g'm.-^h'n

=xO

/'ä+i/'^+Ä'«

lf-{-mg -\-nh

=

fi +OT«+n«

ff +99' +ÄÄ'

=

P+f'^+l^

gh-^g^h'-^^mn

«0

gt^gn^^i

hf+h'f'-^nl

=

Äif-l-Ä'2+n«

fg+f'g'+irn

-0

(7)

(8)

1

f

g' rn
h! n

1
9

h' n
fl

1

h

fl

9 w

1

mg
n h

1
9'

n h
If

1

l f
mg

1
l

9 9

1

m

Uli'
ff

1

n

ff

9 9

ff l
99' fn
h h' n

(9)

= 1

Normal zu den begleitenden Axen gehen durch {xyz) 3 Ebenen, welche
in gleicher Reihenfolge die Namen haben: Normalebene, recti-
ficirende Ebene, Schmiogungsebene, und den gemeinsamen:
begleitende Hauptebenen. Die Gleichungen der so bestimmten
Goraden und Ebenen sind also:

Hoppe: Prindpien der analytischen Curventheorie, 47

^ — X Tj — y t — z

Hauptnormale ^, • = — r = —77-
Binormale ^J:^ = nilP ^tzl

l m n

(10)

Kectificirende Ebene /"(S— aj)+/(7? — y)+A'(J:— ä) = \
Schmiegungsebene /(5 — x) +^(1? — y)-|-w (f— «) « ) -^

Die Bewegung der Krtimmungsaxe als Coincidenzlinie der Nor-
malebene wird bestimmt durch die GL (62) (58) (61), die, wenn ^
ihren Rotationswinkel, den Torsionswinkel der Curve, bezeichnet,
lauten:

8d = '^'8r; ^'

(12)

Hieraus und nach Definition des Rotationswinkels hat man:

a^2 _ az^+sm^+an» (is)

Differentiirt man, um die Lage der Krtimmungsaxe vollständig
zu erhalten, die Gleichung der Normalebene, so kommt:

oder, da nach (1)

ist:

/'(£-a:-/V)+(/'(i?-y~(/V)+Ä'(J:-«~ÄV) =

Die Gleichung der Normalebene lässt sich schreiben:

A5~aJ-/V)+ör'(i?-y-örV)+Ä(5:~«-ÄV) =
Beide Ebenen gehen durch denselben Punkt, dessen Coordinaten sind

^+*r, y+«V, ^+s^h'

welcher auf der Hauptnormale im Abstand s' vom Punkte (xyz) liegt,
und der Krtimmungsmittelpunkt heisst. Er ist der Mittelpunkt
eines die Curve in (xyz) berührenden Kreises, des Krümmungs-
kreises, dessen Radius, der Krümmungsradius, = «', und dessen
Axe die Krümmungsaxe ist. Die Gleichungen der Krtimmungsaxe sind
demnach

r

Hoppe: Priiiapitn

Der Rotations wiukel der Hauptaonnale und rectificirenden Eb(
den wir Torsionsbogen nennen und mit d bezeichnen, ist zunächg
büstimnit durcb

(t&n

[lO

(1«

Nun erhäJt man, indem man die Gleichung
differeutürt:

//^'ST+z'e/' —if'M = (f

woraus nach Analogie:

und nach Einführung der Werte in (15) ;

So» ^ ö'&'-fSt»

eine Gleichung, die sich anflösen iäeat in

3* = Bösini; St = 8jco8A-, #' = tgi

Die eo bestimmte Grösse l beiast die Krüramungsbreite, ihrTi
gens #' das KrUmmnugsverhältniss der Curve.

Zum Schiusa stellen wir nra der häufigen Anwendung willen d
Differentialformeln für die Richtungscosinus der begleitenden .

8/' = [l sml — fcosk)8a \
^g' = {msiuil — j/cosi)9ff I
Sh' •= (rt sin i — A cos 1)30 '

An diesen Formeln ist zu bemerken, dass jede nur auf eine Cook
dinat«naxe Bezug hat, also von der Stellung der beiden andern um
bängig isL Man kann daher die m Axe als willkürliche Gerade a
sehen, so dass die y und 2 Axe nur specielle Lagen derselben aiä
und die Formeln der zweiten und dritten Zeile nur dasselbe s
wie die der ersten. Da dieser Fall, wo eine eiu/ige Axu zur 3
Stimmung hinreicht, sich nicht nur wiederholen, sondern in (
unten folgenden Operationen mit geringen Ausnahmen durchweg gelt^
wird, so wollen wir alsdann die überflüssigen Analoga weglaesen, Ol|
Anmerkung „x Aie willkürüch" sagt dann aus, dass jode von d

Sä = k'dr- ßn =— A'ßa

r

^1 LAge abhängige GleichuDg drei analoge Gleichungeji vertritt, die man

H daraoB dnrdi Substitatioo der Bucfastaben (i/, g, m) und (s, '', «} für

H (^,/, !) ableitet.

■

■ dr<

H Bi

I '"

: Prinripieii dtr aualytiseken Cure

Indlcatrlcen, Torslonallnle, Verdreh an g'.

Sie geometrische Dfurstellut^ der Rotations winkel ist auf S. 91»
d. cit. Scbr. bereits imgegeben. Wir wenden das Verfahren jetzt anf
die Rotations Winkel t, Ö, a an. Wir ziehen von einem fest3n Punkte
drei Gerade von der Lange = 1 in den Richtungen der Tangeute,
Bisormale und Hanptnorroale ; dann erzeugen deren Endpnnlit« bei
Variation des Parameters drei Curven, die auf einer nm den festen
Pmjtt mit der Linieneiuheit als Radius beach.'iebenen Kugel U^en,
imd die Indicatriccn der Tangente, Binormale, llauptnormale
heifisen. Die Coordinaten der drei Endpunkt« sind die Grössen (6),
wenn man den festen Mittelpunkt als Anfangspunkt betrachtet; die
Ql. (5) (13) (15) drücken gemäss Gl. (2) aus, dass die Längen der
Indicatricen von drei beliebigen Anföngen an gerechnet bzhw. ^ t,
*, a sind.

Mit dieser Constniction verbinden wir eine neue. Die drei Ge-
raden unbegrenzt gedacht lassen sich als ein bewegtes System von
Coordinatenaxeu betrachten. Die Coordinate eines Punktes in der
Richtung der Tangente sei = *, in der Richtung der Binormale = i,
in der Richtung der Hanptnormale = 0. Der so bestimmte Punkt
(frt) erzeugt dann in der der rectiiicirenden Ebene parallelen Ebene
one Linie, die Torsionslinie, deren Länge nach Gl. (16) = ff ist.
Kach (17) sind sinA, cos! die lüchtungseosinus ihrer Tangente, mit-
liin ist l deren Richtungswinkel gegen die t Axe. Die Gleichung der
Torsionslinie

/{&. T) =

neunen wir die specifische Gleichung der Urcurve. Hiermit
liliigt nun folgendes Theorem /usammen.

Drehen wir das variable Axensyslems um einen constanten Winkel
^ tun Beinen Anfang, so dasa die Hauptnormale ihre Richtung nicht
ändert, so gehen die Richtungscosinus der Taugent« und Binormale
^r Urcurve f, l über in

4

/,

Differentiation:

—fam^-\-lcx

(l«J.n

Dm aber b^ de Cooidinl» dnnIbeB Pakts (^ der Toröoiu-
fiirie in Bez«B *>' ^^ Bom AseM &r *,^; fol^äd ist die Tor-
riiMJJHfi aiHBt ikR7 Lage U da- ■nerladerteB Qese der ^ «QeD
OHma geneiB, dereo "Emgealiali klil umgea in der tmiiiiili ii Be-

Au iJMi Cnre eäe utdere ftbleiteii, dem ^iptnonDile in
Mlmrcchcnden Punktn ^eidkc BiiMBag hat, «ihnad die beidjersei-
tigea TaageBten eise constuite Nfligang i4 n eäaiader kalieii, 1
d^ Cnrre nra den Wi&kd /f Terdrefaen. Der Sata lautet d

Die TorBioii!)liiiie einer CnrTe bleibt bei jeder ^
drefasog nngeftndert.

FAr eine ätene Curre ist & constatnl omd lisst sich n
Dann wird nach Ymirelrnng

;#i^tain^; »1 ■= tcosii
also

Demnacb geht aoa einer ebenen Cnrve dnrch Terdrelinng eine C
TOn eonatanter Erämmungsbreite gleieb dem Verdrehnngairinkel \
Ünearer ^tecifischer Gleicbaug, also gerader TorsionaUnie l
diese (Hasse Ton Cnrren, die wir Cnrven linearer Torsi
werden wir später zoiilckkommen.

$. 4. Charakterisirnos der Cnrre aas dem Kramanafskrelse.

I die Cni

I De

^^Offre i

Eine Cnrre, weldie nur mit einer begrenzten Anzabl von G
Tariiren kann, oscnlirt eine beliebige Cmre in einem Punkte,
Über alle diese Grössen derart yerftgt ist, dass sie sich in e
beiden gemeinsamen Punkte so nahe &ts möglich der beliebigen (
anschiiesst. Hiiirzn wird erfordert, dass die Differentialquotit
der Coordinat«n von niedrigster bis za höchst möglicher <
nach beiden Conen genommen in jenem Ponkte gleiche Werte h
In die höctfäte Ordnnng fBr alle drei Coordinaten die nte.
die Curren eine BerSbrang nter Ordnung.

Der KrämmQDgakrcis ist ein osctüirender Kreis,
CBrre in zweiter Ordnong berfirt. Dieser soll jetzt ohne

welches

1

Boppei Prindpiea der anatj/iiichtn Curvenlheori

SDf seine frohere Definition beBtimmt werden. Als e:
hanpt hat er die Gleicbimgen:

Die erste drückt ans, dass er in einer Ebene lie{^, die durch den
Pnnlrt C^oJ'ü'") S^^^ und die Rieh tungscosinns i, m, n hat; die zweite,
doss sein Abstand von diesem Pnnkto constant ^= p ist. Betrachton
wir seinen laufenden Punkt (xys) zugleich als den der Curve «, so
ist die Bedingung einer Berürung zweiffir Ordnung, dass beide Glei-
chungen nach zweimaliger Differentiation noch für Kreis und Gnrre
gemeinschaftlich gelten. Man erhält dann:

l/'+mg'-i-nh' ^
Da durch diese 6 Gleichungen and die BelatJon

?+„<+„• =1

die 7 disponiblen Grössen l, tn, n, xq, ^q, zqi bestimmt irerden, so
OBcalJrt der Kreis. Zur Auflösung setze man die Richtnngscosinus
des nach dem BerOhrungspunlit (xyz) gehenden Badius

m>fl

ann gehen die erste, 4te und 6te Gleichung über in

"Z'+V+öA'^^ (22)

Hiernach st^ht der Radius normal zur Tangente und liegt in der
Kreisebene ; dasselbe gilt nach der 5ten Gleichung anch von der Haupt-
normale; folglich fall eu beide in eine Gerade zusammen, und man hat:

Gl. (22) giebt dann -= +1. Es ist passend anzunehmen, obwol
Sache der Willkür, dass r beständig mit * wächst. Dann sind «' und
f positiv, also das obere Zeichen g'^'^S- ^'^ Lösung ist jetzt

■ toi^^

Die
i Coor^natea des

"4='>+«'/'i »i = r+''»'! » — "

den "^aIIibi— gM n ^ 2.

IHc LOrang der TontdiesideB Anfgifee fUrt zar Entwidel
elnger nnter des Pfffinn— wgwlflflrpw oner Csttt, drä in $. 2. i
nrf aadenn Wege voDstindiger engibeB. Der Umstand, dass i
bage Zeh die Bestiamunigsstaile btiurer Ordnnn^ mr ^
dtndi den fcjtmainiggkreig afalätete, dve Ketliode die ^tea mir f
diene Gorven genügt, ist gewiss ein Hmpüiiiidentiss gewesen, wddl
dem Einblick in die Natur der Cmren und der aBgemränen Auf'
•nng der Aufgabe ihrer Theorie entg^enstand. Aach jetzt noch «
es einen unbehaglichen Eindruck machen, dass die Namen der '.
MlmmnngsstOcke in §. 2. ganz tnunotiTirt aoftreten. Die Sobald Ij
jedoch mcht an dem Verfohren, sondern an der eiugehargerten 1
neantiug, die wir nicht olin« groesen Kacbteil abändern bOni
HCgen die Namen der alten Methode entlehnt bleiben; ihre Gm
bedentung, nach der sie zn definiren sind, moas anf einem t
umfasKendeD Wege gewonnen werden, wie ihn die Bewegung der Not
malebene darbietet.

In nenerer Zeit hat man mit Beihebattnng des Princips der <
culation die Einaeiti^eit gehoben, welche dem Krttmmnngskrels e
ist. Die sich so ergebende Constntction aoU faiemächst
werden.

g. 5. Osculirende Spirale.

Der Krümmm^slireiä läsat eich auffassen als diejenige berfl
Curve, welche die momentane Krümmung der gegebenen Cnrre c
staut und ihr begleitendes Axensystem momentan besitzt, w&b
die TorBion null ist. Wollen wir nnn die Torsion in gleicher Wrf
wie die KrUmmnug berücksichtigen, ao ist die Aufgabe: eine bei
rende Curve zu constmiren, welcher die im Berührungspankt a
findende KrUmmnng und Torsion der gegebeneu Curve constant Jt
eigen sind, und die im begleitenden Axenajatem momentan übe
stimmt.

Die BeBtimmuDgsgrJlssen der geauchten Corre seien durch gleicl
Bachstaben mit dem Iudex 0, die momentanen Werte bezüglich »
die gegebene Cnrvo ohne Index bezeichnet. Für erstere dnd R&l
. 3t a#

a."

, also

Hnppt: Prinapitn der nnalyfi.'cAeii Qiriienllieont.
«o' ■= b', #0' = e', if, = A, Oo' = ö'

alle übrigen, varUbelii Grössen müssen im BerüliriuigBpuiikt in d
gegebenen Werte ohne Index übergehen. Nna hat man nach (18): \

A" = Jotg^-Zol f" = itgl-J
Dies nochmals differentiirt giebt:

fo" fo'i'*

intf grirt :

/■o"•f^<'" =■ coQst, =/"+/«'' ^ /"tgU+agA

oder nach Diriaion durch 0'*:

g+^-

ISflo-j-J

- C/sinl-|-/C08i)

Hiervon ist das vollständige Integral:

/o = (/Hinl.+icosl)Bini-f 4
woraus durch Differentiation:

/o'cosi = — j48inff(|-|-flco8(i|,
und in Anwendung auf den BerUhrungsponkt:

(/coBi— iainl)cosl = Acoaa-\-B\
/'cosi = ~Asiaa-\~B

Eliminirt man A, ß, so wird Gl, (24):
_/■(,= (/sinl-|-fcosi)8ini+(/i

). — i8inA)coaico8((Jo —

Multiplicirt man mit

3»o — «'3*(. = *'co8l8ffo

integrirt, und bestiount die Constante der Integration nach dem Fat
tjonswerte im BerUlirungspunkt, so kommt:

!■„— tc = jt'cosl !(/sini+icoBl)aini{ao — c) (25)

-f- ( /cos i — i sin i) cos 1 sin (0(1 ^ d)
+/'coBi[l— COS(ffo— ff)]| J

Diese für willkürliche x Axe geltende Gleichung bestimmt die ge-' j
Buchte Curve im Parameter Oa- Geht man zu einem neuen recht-
winkligen Coordinatensrsteni der x^y^z^ tlber, verbunden mit dem ur-
sprünglichen durch die Relation

L Buchte Curve im Paramete
winkligen Coordinatensystei
Bprünglichen durch die Rel

54 B»t,t: J

f!lltig Ar wüIktTfidK z Axe, w lutea fie riiiihiiaiiii

^ = — /006*leM(«, — «)
ffienndi Qegt die Cnrre uf naa- senAni C]F£ader<ftcte

deren Axe, £e j:, Aze, n ■n^rta^k^ea CoorfaftteB die Gkidan-

-/4'a

(26)

AsiDl-}-aCOsl

ns =■ /eos'l ist Wlhnad sie adi mit der Winke]-
gleicli der TstiatitHi tdo t^ bb den Cf linder windet,

rtda ne propordonal «^ — 9 in der Bküang tob dessen Axe fort.

Du TeriiibaiM der Tangential- nnd Amlbewegnng ist litgit.

Die gefttodene Cnrre beisst die osculirende Spirale. Xennen
irir hietsadi den Crlinder, auf dem sie li^t, dessen Axe und Ba^
deren Badins und Ebene Spiralencyliader, Spiralenaxe, Spi-
ralenbaEis, Spiralenradins, Spiralenbasisebene.

I>ie Spiralenate i^t biemacb der rectificiTeaden Ebene pantlld,
von der sie nm «'cos'l absteht, nnd macht mit der Binonnale nadi
der Tangente bin den Winkel Z.

$. 6. Sebema der Kereehnitn? der Bestimmong^stBelce einer Cu
ans ihren Coordinatengleichangeu.

Sind die Coordinaten des laufenden Punkts der Cnrve als I
tionen eines Parameters gegeben, so erhält man auf folgendem \
soccemlve alle Qbrigen Bestimmnngsstücke , nnd zwar mit jeti
3 eins.

1. Gegeben sind

*. yi

»

liurcb Differentiation erhält o

lan die Werte Ton

a

^ 3,,

&>

a.=

'iM +

y-

-&■

ie: Prindpitit der anali/lliclitn Ouniealhenti,

and nach IKvision die BichtangBCOBÜms der Taugeute :

^-P.'

. = |. .=

F.

2. Die 3 Operaüonen
der lotzten Resultate erhalt

vriederholon lieh.
le, d,, li

Durch Differentiat

et =

■ yt>f>+S,'+SH'

und nach Division die Riclitungscosiuus der Hauptnormale:

^-1

.■-t' »-

a;.
3.

1 bilde ans deu Resultaten von 1. and 2. die Determ

,-\SS'\. „_|ftA'|. .„|//'|

1//'

I 99

zur Darstellung der Bichtungttcosisus der Binormale, und dividire daa
Differential eines derselben durch die homologe Grösse aus der vori-
gen Reihe; dann erhält man deu Coutingeuzwiukel der Scluniegunga-
ebene : .J

f 9 h

Falla ein Divisor null ist, bleibt mindestens einer der Ausdrücke gültig.

4. Man berechne snccesgivc das ErUnimungsverhiiltnias, die
ErUmmungsbreite und den Contiugeuzwiokel der rectificirenden Ebenen
nach den Formeln:

8t __&»
cosA sinA

= arctg*';

5. Dnrcb Integration findet man aus 9«, Sr, S9, be deu Bo
den Krümmungswintel *, den Torsionswinkel 9 und den Torsions-
bogen ff.

6. Zu notiren sind noch die Quotieutcn:

Krümmung -

Krümmungsradius ^
Torsionsradiua

St

56

Hopp$: PriNcipien der atuifytisehen CurvetUhe&rU.

Stelleu sich /, f , A als Brüche mit gemeinsamrai imtioiuden

Neuuer

dar , so kann man deren Differentiation auf folgendem .Wege ganz
umgehen. Man hat:

a'=/r'+/V; etc.
a-'=yr"4.2/V4-/V; etc.

daher :

ee'

9 9
hh'

r* = fo^; etc.

(27)

a a' a"

ff r

b h' h"

=-

9^9"

e c' e"

h h' h"

r« = dV

(28)

Die ersten 8 analogen Gleichungen (27) geben:

b^

ede

+

e de
a da

+

ada •
b Sb

r^dr^

Bividirt man sie durch den so gefundenen Wert von r^, so erhält
mau /, iH, n, und hieraus:

mg

f

n h

etc.

Jetzt stellen sich wieder a\ b\ e' in der Form dar:

P P P

wo 9 im allgemeinen irrational ist Nach gleicher Methode verwan-
delt sich die Formel (28) in

a tt du

b ß dß
e y dy

= e*8^

Sin da;, ^, « nicht explicite in einem Parameter darstellbar, son-
dern nur ^4^2 Gleichungen zwischen ar, y, a und h andern Tariabdn
gegeben, so hat man nach erster Differentiation alle ik-f-S Differen-
tiale durch eius darzustellen, und nach jeder neuen Differentiation
diONkWecte dafttr einzusetzen. Die Kesultate enthalten dann alle
pnoiitirai ^VffiMfi als Elemente jtmd sind mit den gegebenen Cur-

zu verWr '

Dimensionen and innere Bexlehnns'eii der CnTTe.
Einteilnng: der BestiramaugsBttteke.

1

An der vorstehenden Reclmnagsfolge ]ässt sich folgende für die
ganze Cnrventheorie entscheidende Bemerkung machen, welche noch
ia keiner Schrift Beachtung gefunden hat;

Darch die Operationen 1. ist das Bogenelement voll-
Btäudig eliminirt, nnd in keinem Reenltate der Opera-
tionen 2. biB 5. mehr enthalten. ■

Hieraus ist der Schlnss zu ziehen: I

Hat man ein beliebiges System dieser Resultate den"
ßelationen 2. bis 5. gemäss aufgestellt, so lässt sich das-
selbe noch mit einer beliebigen Function n des Parame-
ters verbinden, und daraus eine Curve herstellen.

In der Tat fällt dies sofort in die Äugen bei Betrachtung der
Gleichungen

Bx^/ds-, By^g3>; &, = hS»

Geometrisch ausgedrücitt lautet die Bemerkung und ist nicht weniger
onmittelbar einleuchtend: Von jedem Punkte der Cnrre kann man in
tangentialer Richtung eine willkürliche unendlich kleine Strecke bis
zum cousecutiven Punkt abscbneiden, ohne dass dadurch die innera
Beziehungen des begleitenden Axensystems einschliesslich der Grössen
I, &, c, l, welche wir zusammenfassend die innern Beziehungen
der Curve nennen wollen, beeinflusat werden. Da diese Strecken da
die detaülirten Dimensionen der Curve bezeichnen, so können wir
den Satz kurz so ausdrücken:

Die Innern Beziehungen einer Curve sind unabhängig
von ihren detaülirten Dimensionen.

Nun wird eine Curve {nach Elimination des Parameters) bestimmt
dnrch 2 Fnnctionen. Nimmt man also » zu der einen Function, so
bleibt nnr eine Fnnction zur Bestimmung der innem Beziehungen
libiig. Alle in letztem enthaltenen Functionen sind demnach be-
etimrat, sobald eine Gleichung zwischen zwei derselben gegeben ist,
vorbehaltlich willkürlicher Constanten, die dnrch Integration hinzu-
kommen. Die Bedeutung der Elimination des Bogenelementa drückt
folgender Satz aus:

Die Cnrventheorie lässt sich zerlegen in eine Theo-
rie der innern Beziehungen und eine Theorie derDimen-
Bionen, deren erstere sich ohne Raoksicht auf letitere
entwickelt und vollendet

ßO Hoppe: Principien der a naljftiwek tm OuTemAeane^

7. Gegebou f' in t. Man findet durch Integration /, ans

beidcu /. •

^ Gegeben f* in ^. Man findet durch Integration /, aas
bcideu r\

\>. Cregeben/' in a. Man findet sncoessiTe:
laixkl—fcMl = g^

/* a(/co8A+/ginA)
'"»/ Isrnl— /cosA

und/, { ans den zwei yorigen Gleichungen.

10. Grieben / in X. Man hat

l ftgldf

ans beiden ergiebt sich /'.

11. G^eben / in i. Man hat

/==— /cotxa«

aus beiden ergiebt sich /'.

12. Gregeben /sinil+^cosA, ZsinA— /cosil und/', welche Grös-
sen die Quadratsumme = 1 haben, in einem Parameter. Man findet:

/*a(/sinX+ZcosX)

J /sinX— j

-/cos iL
somit / und l einzeln.

13. Gegeben f^si'k^lQm'k in X. Man findet:

^ 17-1 8ysinit+ ?cosA)
/cosX— -ZsinX =» -^^ g^ -

aus beiden/ und l einzeln, dann /'.

14. Gegeben ^sinA— /cosil in iL Man findet:

/8ini+/co8i — — /(iiini— /cosil)8A
aus beiden / und l.

15. Gegeben isini— /cosi in a. Man findet:

/' «/(Zsinil— /cosi)a<i

/sini+ZcosA *» yr— /'«— (Zsin A —/cos i)*
djLs sind die Data der Aufgabe 12.

Heppe: Prindpkn dar ana^tUchen OirverUkwrk, gl

n. Bednction andrer Aufgaben auf Differential-
gleichungen.

. Gegeben sei 2 in r. Sei

l = smo; g^ ==» COB^/a; cos« = er-P

dann wird

dl = — /'8d «= cosaSa ==» coBacos2fAdd

1—? = cos«« =/«+/'«, also
/=cos«sin2fi

Dies differentürt giebt:

— coaacos^ » — af mi€i^2^'^2iiL^ CQB€tco^2iii, oder:
2af*+air =» 8atgatg2fi, oder: (29)

28tgfi+3T(l+tgV) = 2a/f tgf4
.Setzt man

tg/* = tgf*^+^-

wo fiQ ^in Specialwert von ^, ond c Integrationscoiistante ist, so wird
die Gleichung unabhängig von c erfüllt, wenn

Hiemach ist

/ 8t
COSa

cosa '

mithin die allgemeine Lösung darstellbar durch eine beliebige be-
sondere.

17. Gegeben / in ^. Sei

/= siny; y' = C082v; cosy « e~^
dann wird

8/=/'3t =- cosySy = cosycos2v8r
f ^ cosycos2y; l = co8ysin2v
woraus:

Bl By 8v

wK ■» — /' «= — cosycos2v ^ ~" Sa sinysin2v-}-2gÄCösycos2v '

also

62 Hopp€: Prmajpitn der tmahfitiMekem Curventk^ork.

Sa^+d» « BytgftgÜP

eine Gldchnng von der Form (29) in der vorigen An^s^^be. Man
brancht daher nur im Besnltat y, 6, ^, v ftr o, /?, r, fi zu setzen.

18. Grieben/* in i. Sei

/'«sine; /cosl — /sinl = co8ecos2s
/sin l-f-2co8 A = — cosf 8in2«

Differentürt man die letzte Gleichnng, so kommt:

cose€Os2»9X « sinesin2»9€ — 2cosecos2»d» oder
2dx+dl » detgetg2»

meder von der Form (29).

19. Gegeben sei ^ in t. Man zerl^^e die Gleichung

dnrch Einführung des imaginären ^Hnkels /» in

/co8^+/;8m,»=.l l

/sm /*— /'cosfi «= ö j ^ '

Differentürt man beide Gleichungen, so kommt:

/' (Sr+a/i) cos f4+ { m—f(dr+d(i) } sin ^ « -

/'(aT+8fA)sinf4— |^--/(aT+8/A)} cosf» =- — »y'a^

woraus:

a*+afi =» — «adsittfi

Setzt man

. I» 2/

so geht die Gleichung über in

Diese Gleichung hat die Eigenschaft, dass sie durch Substitution

r' = g^ «-**-

in die coi\jugirte übergeht Ist also q der coigugirte Wert zu ^, so
ist q zweite Speciallösung, und

, Aq+Br (31)

das vollständige Integral. Damit dasselbe auch den Gl. (30) genügt,
muss sein

Hoppt! Prineipitn dtr ana}ytisr:ken Ciirvealhtari
35i + V«l' ™ 2

^

Alsdann hat man fOr eine beliebige x Axe:

/—i— Wi; ^' = — s'si— 93i'; ^ = »Vgl - wi')

Es bleibt Ober die complexeu Werte von A, B der Art zn verfügen,
dass diese AusdrQcke nach Substitution von (31) fOr q drei recht-
winkligen Axen entsprechen. Setzt man

WO m, tn,, n, % reell sind, und ihr gemeinsamer, bis dahin willkür-
licher Factor durch die Gleichung

zu bestimmen ist, so findet man: ^^|

/ =1— m*— m,*; ff ■= mn-fmin,; Ä =»»»(, — m,« ^ ■
f' = »iiKi — m«; g' =1 — ta* — «i*; ft' — mnii-j-nji,

a aasfohrliche Behandlung dieser Aufgabe habe ich 1863 in Crelle
E Bd. 63. p. 132. gegeben, desbalb hier nur den Weg der Rechnung
1 die Besnltate aufgeführt.

Sollen die Dimensionen einer Curve und durch sie deren Coor-

latengleichuugen gefunden werden, so müssen entweder zwei Re-

1 zwischen r., y, b, « gegeben sein, oder eine solche zu den

Rhenen iunem Beziehungen hinzukommen. Im letztem Falle diffe-

3 man die Relation 3 mal, setze für die Differentiale der Coor-

laten ihre Werte (1), nnd eliminlre die primitiven x, y, <t. Dann

übt eine DÜTerentialgleichung für a altein, durch deren Lösungen

z bereits dargestellt sind. Enthält die Relation nur s, so sind

I nach (1) zn finden. Im erstem Falle eliminire man « und 5s;

1 behält man nach 3 Differentiationen 4 Gleichungen zwischen x,

, und nach deren Elimination die innere Relation, wodurch die

lifgabe auf den zweiten Fall zurückgeführt ist. In vielen Fällen

1 eich der Weg sehr kürzen, was alsdann meist leicht zu be-

g. 9. Einteilung der Cnrven. ^H

Kb kann kein Zweifel bestehen, .dass die oberste Einteilung der
nen sich nach der Relation zwischen den dimonsionslosen Inva-

fi4 Bofpt: Prätcipitm da- awi^fiKi^a CWt^atteerM.

riaalea riditen mnes; jedes uidere Uerkoeal bringt eine Complication
aäl sich; die Corantuiten vobindeo die Lage mit der BeBcbaffenheit,
die Znziebniig der DimensJonen verlangt doppelte Bcsümmnng. Dt
die GrCssen t, #, a, i leicM aaa je zweien unter ihnen hervorgehen, I
BO genBgt es, die Rektion zwischen t und $, d. L die spedfische !
Oleichmig, ab Merkmal der Einteilang aufzustellen.

Hiprnacb bilden die erste oder ein&chste Clasae die Cnrvta ^
linearer Torsion, för welche

— = const

= tgl, so dasB wir die specifische Gleii

Diese Constaate ist dann
»chrcäben kßnnen:

»cosl = Tsini ((1 = const)
und, indem wir das beiden proportionald a hinzonehmen :

Uieraas ist es leicht, die Stelhing des beglritenden Axens^stems zu
finden; denn man hat:

3- =i8inl-/c08l; ^, =
Die letzt« Gleicbnng bat die drü SpedoUdeungen

/'=0; g' = — sin ff; ft' = cosa
deren Quadrataumme = 1 ist. Dies differentürt giebt nach (18):
isiui— /"cosA^ 0; mtmi — jcosl = — COSff
Qsinl — Acosil —
woraus nach Determinautenbildong :

]g' msini — gcoaX

ABinl+74Cosil =

Diese 6 Gleichungen bestimmen parweise die gesachten Grössen, der
Warte hiernach sind:

Um die Curve, welche hiermit in einer beaondem Stellung ^uiu CoOI
dinatenaxensystem dargestellt ist, in eine beliebige Stellung zu Ubex
tragen, branett man nur die Axenatellong beliebig zu verändern; di
gehen zugleich die Speciallösungen der Differcntialgleichnng i
vollständige Integral über.

In der vorliegenden besondem Stellung erkennt man die b
kenswerte Eigenschaft der Cnryen linearen Torsion, dasa ihre I
normale beständig auf einer festen Geraden (hier dur x Axe) s
recht steht, mit der die Tangente und Binomiale coustante W
Mden.

Diese Eigenschaft besitzt die Claase ausschliesslifL. Denn, gilB
eine der 3 Gleichungen

so folgen nach (18) die beiden andern, nud nach Autg. 4. wird dai
tp proportional i, und analog proportional 9. Demnach bewoist .jed
der 3 Gleichungen die Lincarität dei' spocifischeu Gleichung.

Dass jede Curve linear^ Torsion durch Verdrehung um i i
ebene Curve übergeht, ist in §. 3. bereits bemerkt. Hiornacli bildf
alle ebenen Curven einen beBondem Fall der in Rede stehenden Cuj
vendasse.

Die Coordinatengleichungen einer Curve linearer Torsion sind^]

IT = «Bini; y = cosi/coscSs; z^= coai/sinffös

wo * bclicbigo Function von a ist. Es ist leicht diese so zu
dass nach Elimination von o zwei algebraische (Gleichungen zwisL'heai
*, y, 3 bleiben, z. B. indem man « = cos(iiJ+e) setzt, wo (■ ein«
RaüonaJzahl und nicht = 1 ist Nimmt man s proportional n, i
die Curve eine Schraubenlinie, wie die osculirende Spirale.

Aehnliche Eigenschaften hat die Curveuclasse cyklischt
ajon, deren Torsiouslinio ein Kreis

r Top4

ist. Ein Bogen dics<

i Kreises ist dann
= il eota

QQ Hoppt: Prindpien dgr analjftisdten Curveniheorie,

und die Coordinaten des laufenden Punkts sind

T =« cotasinA; ^= — cotacosA (36)

Durch dreimalige Differentiation nach (18) mit Beachtung von (35)
erhält man:

g- «» Isink—fcosl

g^ = (ZcosA+/sinA)tga— /'
dY 3/' 1

8a^ Stf cos^flf

Letzteres integrirt giebt mit Anwendung des Yorheigehenden:

d^ +ES^ "= ''^'' *" (ZcosA + /'sini+/'tga)tga

oder, wenn

gesetzt wird:

= 3-, also -^==ai (37)

sina* cos«

^2gX5 +y = ö sin tt cos a (38)

/cosX+/sinA+/' tga ^ «?, und analog
mcos A+ öF sin A+^r' tga = (?, |
ncosA-j-ÄsinA+Ä' tga = cg j ^ ^

woraus:

COsA «= cl -^Cj^m -{-c^n
sin A == c/ -jr^iQ +«^2^
tga =c/'+Ci/+CaA' (40)

Wählt man die Gerade, deren Hichtungscosinus sich verhalten wie
cic^ic^i zur X Axe, so werden c^ und C2 null, und ^ nimmt, damit

die Gl. (38) (40) vereinbar seien , den Wert an. Dann hat man

' ' cosa

zunächst:

/=» cosasinA; /' « sina; l = cosacosA

und Gl. (38) lautet fttr die 2^ und z Axe:

Hoppe: Principitn der analytischen Cunrnntheorie, 67

Sie wird erfflllt durch

flr' = — cosorsinaA; ä' = cosacosaX
Dies in (39) eingeführt giebt:

wiCOsA+^rsinA = sinasiwaA
wcosA-f-ÄsinA == — sinacosai

woraus nach Differentiation:

— wsinA+^cosA = cosaA
— nsinA+ÄcosA = sinai

Hiermit sind die 4 noch übrigen Grössen bestimmt, und man hat:

f =cosasinA; ^r «= cosAcosaA+sinasinAsinoA

Ä = cosAsinaA — sinaSlnAcosaA

/' = sin«; / = — cosorsini; ä' = cosacosaA } (41)

l = cosacosA; w= — sinAcosaA+sinacosAsinaA

n ==« — sinIsinaA — sinacosAcosaA

Das sichtliche Merkmal der Curven cyklischer Torsion ist, dass
die Hauptnormale einen constanten schiefen Winkel mit einer festen
Geraden (hier der x Axe) macht. Geht dieser Winkel in einen Rechten
über, so wird der Radius der Torsionslinie (34) = cx>, diese also eine
Gerade, die Curve vertauscht ihre Classe.

Auch dieses Merkmal ist zur Definition hinreichend; denn aus
/ = sin« folgt durch Integration:

^=rsina; Z «= ^sina

und die Quadratsumme giebt:

I«sin2«(l+T»4.0'«)
Die Coordinatengleichungen

X = cos a/sin Ad«; y=f cos A cos aX de-}- sin a/sin A sin aX ds

z =:/cosAsinaA8« — sin a/sin A cos aA 3«

wo s beliebige Function von A, lassen sich für rationales a leicht als
algebraische zwischen o;, t/, z bestimmen.

Sehr einfache Besfimmungen der begleitenden Axen ergeben sich
noch für die Gurvenclasse, deren specifische Gleichung ist

tgj=^e*
worttber Grelle J. Bd. 61 p. 181.

3 I<> Bewermmr der BiB^rnale mmk Haaptaonttle.

W'i- ü'r/-r die Bc^erizir der legleitcndeiL Aiea und Haaptebenen
zu =,i2en ist. »ird z^in gröi^ten Teil ii 5. 11. aus angemeinem Be-
tracbtun^eu die^äen. Xar einige Fragen, üe dodnrdi nicht ihre
b jantwürtuii^ finden, m'gen 13 Torass oiitersucLt wenien.

Die Rotativos Winkel. ^ für Binonruile nnd c för Hanptnormale,
^iud bekannt. Di^' RichtnnzsoosriTis der momentanen Rotationsaxen
bind dies'-ll/cü wie die der normalen Hauptet-enen. al5*j nach Gl. (56)
d. cit. S^hr. für Binormale

cm

^^ /.i g

= — , :=: r : trtC.

er» .'• *.

"?»

lux liauiitU'jrmaU

^ CO y' ff.smi—gcosk ■ ..... ,

,. . , , , = ;smA-f-fcöSA: ftc.
/i rcsinil — ÄcosA •

ca

E^. Luüdt'lt sich nun noch um den Drehpnnktsabstand r und die Aus-
Wfichuijgsgeschwindigkeit *■— . Diese sind nach Gl. (74) und (75) d.

r*it. .Sl-Lf. für Binorraale

clcx'+'CniCy'j-cncz

j cl cx .
bq dm dy ! ds

d^

dn Bz 1

für iIdU]itiioniialo

vf'bx'\'dgdy'\'dh'dz ds , 1 ,,

= ö-COSA = «'cos*A

Ba^ "" Bo

'". ' *■;

<»/ ■■ t O'J fll

a

'X

il ->■ cL '- n.sin*

0(j I ■' Off Öo : Off

! ,, OA' e- ;

I

Hoppe: Principien der analytischen Curventheorie, 69

Demnach rotirt die Binormale am die Tangente and gleitet längs
derselben mit der Geschwindigkeit des laufenden Pankts. Die Haupt-
normale rotirt um die Axe der osculirenden Spirale und gleitet längs
derselben mit einer Geschwindigkeit, die sich zu der des laufenden
Punkts verhält wie sin A zu 1. Man kann dafür sagen: der kürzeste
Abstand zwischen zwei consecutiven Binormalen und Hauptnormalen
ist bzhw. = 8«, 5«sinAj und wird gemessen bzhw. längs der Tangente ^
and Spiralenaxe.

Untersuchen wir noch die momentane Rotation des begleitenden
Axensystems. Die Coordinaten eines Punkts der Rotationsaxe in Be-
zug auf die begleitenden Axen seien a-^ar^ yH-^? i5+^»'9 also in
Bezug auf die willkürliche x Axe

5 = a;4-(a+ar)/-+(^+H^+(y+^)/'

wo a, 5, c momentan constant, «, jS, y nur in der Richtung (a, 6, c)
verschiebbar sind. Damit sich nun die Rotationsaxe nur längs ihrer
selbst verschiebt, ist die Bedingung

dix+af+ßl+yf) = 0; ^(af+bl+cf) =
das ist

gültig für willkürliche f, l, f\ also

woraus :

a = sinA; J = cosA; c =

a = £sinA; j3 = scosA; y = /cos^A; r' = — «'sinA

Das willkürliche e sei =0; dann wird die Gleichung der momen-
tanen Rotationsaxe:

l = a;+/Vcos2A4-r(/sinA+/cosA)

Das begleitende Axensystem rotirt demnach um die Axe der osculi-
renden Spirale. Diese geht durch die Hauptnormale und steht senk-
recht auf ihr. Legt man durch beide eine Ebene, so ist deren Rich-
tongscosinus

ZsinA — fco^l

Da sie mit dem System gemeinsam rotirt, so ist das Quadrat der
Botationsgeschwindigkeit die Quadratsumme der analogen Grössen

70 fltipptf.: i'rinrj'piau lUr anafytUchen Curt-entheorie.

r' (/ Hill ; fCOH k) -- k'(l COS 1+/&U1 k) — tfV'

§.11. Hcgrleitendc Carven.

Fiiiiil ilio (!(Hinlituil.(Mi eiu(*8 Puukts p, r, q in Bezug auf die be-
t<t(Hi iiiliii A\iMi utiiililiilugiK von der Lage der Gurve im Räume, so
tiibsii lim fii'"iii<*tnH('hp Ort dos Punktes eine abgeleitete Curve
Mihi |i»i|i'ei In (*fMirdinnt(M) ;>, r, q dargestellte Raumgebilde ein he-
(ilfii i«iiilt«H |)ii« Coordinatn desselben Punkts in Bezug auf die
\Hllliiltlli lio liudn .r A\o ist

.'•, ''■•r\-rr-\~ql-{'rf' (42)

l'iiU'i iloii Ut^f^rilV dtT abjjoloitoton Curven fallen eine grössere
Ah^üIiI ImmoHm iinlorsui'liftT und bekannter Abhängigkeitsarten von
riiMiii. iiii iliMifMi sirh jodooh leicht die Bemerkung machen lässt,
»tu:.:. >iih Uli«' rh<u»no tMufaohiT gostAltot, wenn man sie aus allge-
lutht.iii ii»»M, lifspunKfon borlntet, anstatt jede besonders zu belian-
»uiu Au.li. ».-..MfN \\0r*bMi >xir. d« j\ q, r beliebige Functionen zweier
\ .m.iU» Im ^^nll. cwx vn »irossrs (lobiot >or uns haben, um nicht einiger

l u. ilui.li .ii'u r.iiiOji '/u K\lürton. Xun hat man gewöhnlich

.».I. u .1. .1 I MiiiiiiUn.li'u ».-('winmm' lv.«;Uitpnder Geraden oder nach denen
,.... i ...... ..I. .ijuiu II bi'i.hifiMuliT Kbriion ccfract und erstere durch

'„: i.i. i. , j*. i-i. \\( iiu sir ivaht solbM Coinc.idonzpnnkte hatten.

u.. u.». wi. «.»1 t.l.iu" IvnJiJuuü dis Principfs t^^ilwcise der Weg

. ...... . ;...». . .. .1. II ^« ii :i!> i lu/i»; liiukiis» li siors Inno zu halten haben,

.... i . .. .;. .. i t..ii. uM>>nt i. ;ih!i.iM.v;;. , i; Im'sI l^^.r.iuriiion, hit'T die Latre

.... i..-.. .....r. ,...i.i. ,1.. Ii;MNiylin vi : '.'Jl.it ii. JUlTfi bciSCdtO 7U ISSSCU

. «I. i« t <.|i^> ''11 liWi.-tM'lt

i i ..I. .M.. I.ii.ii.-. ;! ;:isy:';i s:,h v.vi'. flni ciiifachston nnu-T

. ^ •^^. .. W ; ;, i, . uht^i 1; . 1 ;'t ; F. C U!'\ l'n liabCU

• . « . «. :.>{.; ^ j ; j ! i. 1. L jL i c i" u r. fi 5- b c gl c- i -

. .

Ml Mf .«.i'i ii:.!.!» «;k i»{*ik Anicnbf bccvor, die

... t- I . ; I. «i'i. n'i,«.!.'ii j.i>jf ()}i r*racrf : "Welche

< • . • • • •

•■• «-..i..!. ..-. V iiUfr.'ii.'li.' vunistanten

.» ,1. '.1,1. ■..!.. 4:.. .•.».•.Mw,»i:jirf Ahhiincrickeit

•••■•.••. \i.. . .!...?. »?,»!. ,^iii«,MJ.; rifir/.wsr.elien,

....... t M.iii. r, I. . <.!,.. . 1 ^ i rf ( r eine

Hoppe: Principien der analytischen Curventheorie. 71

Die Frage, von der wir ausgingen, Hesse sich leicht allgemeiner
stellen: statt der Tangente der Abgeleiteten könnte man eine belie-
bige Gerade von fester Stellung gegen ihr begleitendes Axensystem
setzen. Die Aufgabe wäre alsdann: von 2 Curven, gegen deren be-
gleitende Axensysteme eine Gerade eine feste Stellung hat, die eine
explicite in der andern darzustellen. Die Inversion würde dann allein
in der Vertauschung der die StelluDg bestimmenden Constanten be-
stehen. Es ist jedoch klar, dass die Kesultate dieser allgemeinern
Aufgabe nur Zusammensetzungen aus denen der proponirten sein
würden. Denn zwischen beide Curven lässt sich als Mittelglied eine
dritte Curve einschieben, deren Tangente zu beiden begleitenden
Axensystemen eine feste Stellung hat, indem man eben jene gemein^-
same Gerade zur Tangente wählt. Ziehen wir deshalb statt jener
Yerallgemeinerung auch Zusammensetzungen in Untersuchung.

Handelt es sich nun um Bestimmung der Dimensionen, so lässt
die erste Aufgabe eine Function unbestimmt. Im Anschluss an vor-
gängiges Verfahren bestimmen wir diese, indem wir die Tangente an
einer constant begleitenden Geraden gleiten lassen. Die zweite Auf-
gabe führt dann keine Function, aber neue Integrationsconstanten ein,
wodurch der Umfang der dritten Aufgabe sich vermehrt.

Abgeleitete Curven von fester Stellung der Tangente.

L Innere Beziehungen.

Sind -4, C, B die constanten Tangentialrichtungscosinus der Ab-
geleiteten «1 gegen die begleitenden Axen der Urcurve «, so findet
man nach dem Rechnungsschema §. 6. und mit Gebrauch der Ab-
kürzung

D = Vi — (^sinA+i?cosA)2
folgende Werte:

r^^Ar+Bi+cr' m

jD/i' = C(MnX—fcosX)+(AcosX—BBmX)f'
Dl^ = /"sinA+Zcos^ — (-4sinA-f-i?cosA)/i

CdX
d&i = (A sin X +^ cos A) 8(y +-^ (44)

Letztere Gleichung integrirt giebt:

74 Uitppf: PriwipH'n der analytischtn Curventheorie.

i)^--:,.({)|*>l•lltJ I flr)

Miiiiiil tiiuu f willkurlii'h, so K'stimmt die erstere Gleichung k^ dann
i\\i\ litUtuio «7, iliuiu iU. (40^ />. IVi der Inversion würde man einen
rdiihii'.ioittoii wilkkui'Ui'h iu Klomcnton der Abgeleiteten nehmen müs-
biui, ulao lüi'ht ilio tu'Nondoiv AMoitung, sondern die alle r nmfas-
bi'.iiilit (iaä.<40 \ou AMoituu^ou im ganzen iuvertiren.

l,u»:äou \\ir ilio riuijiouto der Abgeleiteten an der constant be-

l X 0/ pV — J/"

. ^ .f - == Oto. = u (47)

^U-Ui'U, uiul l»k^NCuuu\ou ft* oiiT$pnvbond dem DuroliscLiiitt derselben

i ^. 5/- X'- ■'■

? = c::. = r (43)

.1/ r ::; ' ir

».• — <m ^^ ii »', i> / .\ »? • . .V, •> I.- . ., ^ ..

I

i -^ S -■- 'j- >.?i f X6 i — ' <:.x J :*.:^ T .4^)

Hoppe: Principien der analytischen Curventheorie, 75

Dimensionen der bellebigr yerdrehten GnrTe.

Sei £ = 0, also ^ der VerdrehuDgswinkel; dann sind die 3 Fälle

n
zu betrachten « = 0, c == ö, ^ = '^.

a) c = 0.

Hier wird

(3*i+9v)co8z/ == SÄ-f-3wcos5 — yÖT

(3*i-f-8t;)8inz/ = du^m8-\-ydd'

=-► (a-|-rcos5 — vQ,o^d)dT — {ß-\-u%m^ — v^md)^^

woraus als Parameterwerte für den Durchschnitt der Tangente:

yO-^ — «sin-^

"~ Bin(«^ — 6)

V

w cos ( A ~{-^) + ^cQ8^ — ß sin l

cos(/i— 5)
und nach Einführung:

{a — CL — yx) cos A ■)•- (/^ — y^) sin A

*i =

cos(A-f-z/)

, («—«— rT)sin^+(/3 — y^)'cosz/ ,^ . , , , ,. , w
^^ == ^+ ^sTÄ+^^ (/sinA+icosA)+yr

Da die Curve s^ unabhängig von ö ist, so muss ihre Tangente nicht
bloss durch die Gerade (47), sondern auch durch deren Ausgangs-
punkt {tißy) gehen.

Die hieraus leicht zu entwickelnde Invcrse ist eine Abgeleitete
derselben Form, wo nur — jS, — of, — y, — -J an die Stelle von a,
/3, y, d treten.

b) e« 2-
Die Gleichungen werden:

(?5i -f- 8y) cos -^ =85 — (y + v)hx

(3«i -f- 8v) sin J =^ {y-\-u)dd'

= 8w+(a — vcos/^)3t — (/3— vsinz/)8^

woraus :

76 Hoppe: Principien der tmalytischen Curventheon'e,

d^j* -o -1 I cos Aj

/smXds dh . ^^ , acosA — ösinA

C) d == z/.

Die Gleichungen werden:

(3«i4-8r — ducose)cos^i = & — (y-f~"sine)8T

(8*1+8«? — 8t4COse)sinz/ = (y-f-Msinf)8T

= 8usin€+ {a+(ttCOSf — v)cosJ} dr — j/?-|-(t4C0S€ — i7)3inz/} 8^

woraus:

** 8^1 sin s sin f

8*« . ^ , . 8« . ^ , , acosA — ÄsinA
r= g^,sm^/tgA,-f g^^sm^cot£+ ^^^^^ ycote

8** . ^ , , 5sinA — acosil
'1 = - f^*sm^tgi, + ^^

Xi = x— g^sinz/tgili(/'cos//+/sinz/)

, /5cos// — asin^ *x i 8* . . ^

Die luversionen der 2 letzten Fälle übergehen wir als zu complicirt

Dimensionen der -1 einlkelisten Ableitnn^n.

1. Unreräuderit TangeniialrichtHng. Einhüliende ron Paraüeien

fi=r\ k-h A' = r: ^, = ^; T, = T

Hier ist ^ = 0: E = 0. Sei zuerst
Die Gl. (5"> werden:

f^i -i-f r = ?*-:-?« COS i — )' CT

Hoppe: PrincipUn der analytischen Curveniheorie. 77

= (a+««cosd — v)dr — (/5-f-wsmd)8^
woraus :

yd-

«1 == « — a — yT + (j3— y^)tgA

71

Die Fälle « = ö" ^^^ ä = geben nur specielle Resultate von (la);
dagegen wollen wir noch in Betracht ziehen:

I5) p = const.
Die Gl. (45) werden:

Dies integrirt giebt:

q= p {sinO'/8rcoS'^ — cos^/8Tsin^}

r = — |>{coS'^/8TCOS'^+sin'^/8Tsin^}
«1 = Ä+|>/8T{cos^/8Tcos^+sin'^/8rsin^}
x^ = aj+^j/'+CZsin^— /'coS'Ö')/8tcos^

— (ZcoS'Ö'+/" sin^)/8Tsin'^}

Für |) =« gehen die Integrale in Constanten über, und man hat:

8^ = «4-c/8TC08(^ + r)

a?i = a;4-c{Zsin(^4-r)— /^'cosC^+r)}

Der Punkt {x^y^z^) liegt auf der Normalebene der Urcurve; sein Ab-
stand von {xyz) ist daher Normalabstand beider Curven, und dieser
ist constant = e. Die Abgeleitete s^ ist demnach eine Parallele
der Curve «.

2. Viertelverdrehung, Einhilllende von Parallelen der

Binormale,

*i = «; «1 ^; ffi = ff; ii = A + |

n
Hier ist // = o 5 -E = 0. Sei zuerst

78 Hoppe: Principien der analytischen Curventheorie.

dann werden die Gl. (50):

«= ds-j^ducosd — ydr

= (of-f-wcos^)8T — (ß-\-usmd — v)d9'
woraus:

« = ^^^; ^ =-:^— acotA+(5--yT)(cotA— tg^)

8^ »= yd- — jS+Ca+yi^ — s)cotk

^1 = aJ+(«+y^— «)(/'+^C0tA)+j/'

Die Inverse ist von derselben Form; es treten nur — jS, — a, — y
an die Stelle von a, j5, y. Da s^ und t^ willkürlichen Anfang haben,
so bilden die Inversen eine Schar von Curven, deren gegenseitige
Abhängigkeit sich leicht als die der Abgeleiteten (la) erweist.

Die 61. (50) werden:

= 9* — (y'\-u)dr

= du'\-adv—iß'-'v)Sd'

woraus:

u = / — y; V == ß — (ce+«")cotA

8^

«1 = a cot ^ + öo! +/«'S^

^w

xj^ = a:+a/+(a+O^C0tl+«7

Für a = fällt (x^i/iZi) in die Krümmungsaxe ; dann ist also die
Curve *i deren Einhüllende.

Zur Inversion setze man

dann wird

d^S .

und nach Integration

Ä = sinTi/(«j— -atgAi)88inTi + cosTi/(^i — atgAj)8cosTi

woraus^

Hop'pti Prindpien der analytischen Cttrventheorie. 79

ööT *= cosTiy'(«i— .oftgAjSsinTi — sinti/C^i — atg^)3cosTi

— (/i sin Ti -j-^i' cos Tj) /sin r^ 8(« — a tg AJ
+( — /i cos ti+/i' sin Tj)/cos Tj 3(« ~ a tg A^)

Die gegenseitigen Relationen zweier Inversen, deren Integrations-
constanten bzhw. um ccosFund csinF differiren, sind

*==:«o+^/cos(^+r)8r

a; = a:o+c^sin('Ö'+r) — c/''cos('9'+r)

Sic sind also alle unter einander paralleL — Der Fall ^ = o" ^^^

nur dasselbe Resultat wie « = ö" * ß^trachten wir noch den Fall

2c) q = const.

Die Gl. (45) werden:

==» d8-\'dp — rdfy 3«i = rS^ ; «= dr'\'pdt — qdd^ (51)

und geben nach Integration:

p = sinT/(«" — 3^')Ssi^^+cosr/(«"— 2^')8cosr
T = /+cosr/(fi" — 3d'')8sinr— sinr/(fi" — g^')8cosT

Letztere Grösse ist zugleich g^ ; femer

a?i « a:+3?+«7'+(AinT+/''cosr)/(ir"— ^^OSsinr

+ (/'cosT— /''sinr)/(5"— 2^')8cosT

Die Inversion ergiebt sich leicht aus (51); denn man hat:

3?i ^t

P 8^ +3^' -=8^-3 cot A,

da '
s « Jrdx—p = — /äj' ao-i — g;|- +gC0t Ai

== %+V//-fl(A+«iCOtAi)+|^/,
das ist fOr g = Einhüllende der Krümmungsaxe.

80 Hoppe: Principien der anafytischen Curventheorie.

3. Abgeleitete der »wetten Art, Einhüllende von Parallelen

mit der Hauptnormale,

/i«/'; ^1 =« ZcosA-f/sin^; /i' = /sinA— /cosA

und umgekehrt:

Tj = (F; ^1 = A .

Hier ist E = ^. Sei zuerst

3a) 8 = 0; ^ = 0.

Die GL (50) werden:

= ds-^-du — (y — v)dT
0=(y — v)8'^
^i"f"8«? = (a+t*)8T — ßdd^
woraus :

«? = y; w = — 8
8i == ax — §9" — /«8t

Für /3==0 ist «i Evolvente von s. Sofern « einen willkürlichen
Anfang hat, repräsentirt s^ eine Schar von-Curven. Die Relation
zwischen ihnen ist

und zeigt, dass sie einander parallel sind.
Für die Inverse ergiebt sich unmittelbar:

für /3 =» Evolute von «^

s

3») £=0; d = |.

Die Gl. (50) werden:

Hoppe: Prüicipien der cmafytiichen Ckirventh§orie, 81

= ds — (y — v)dx

dsj^-^-dv = adr — {ß-{-u)dd'

woraus:

Die Inversion ergiebt:

/ = co8^/cos^3(«x--aT)+sin^/8in^8(*i — ftt)
35 = arj — «/■ — /3Z+(/sin^ — /"cos^)/cos^8(«i — ar)

— (Zcos^+Z' sin ^)/8in'^S(«i— ar)
wo

^ =/8TiSin^i; r =/8tiC0S^i

und für /; /, ^ ihre Werte zu setzen sind.

Sc) r = CODSt.

Die GL (45) werden:

= 8«-f-3p — r8r; = dq-\'rd&\ ds^ = pdr — qdd'

woraus:

p = rt — «; g »= — rd"

«1=7 — 2 — ""/*^^

für r = Evolvente von s.

Die Inversion giebt:

8«!

, = r(T+^^') —

8r

x = aJi+ (r&^'^^^r+r&l-^rf

WO noch die bekannten Werte einzusetzen sind.

4. Abgeleitete der zweiten Art mit nachfolgender Viertelverdrehung,
Einhüllende von Parallelen mit der SpiraUnaxe.

/i «/sinA+^cosA; Zi = —/''•, ^j' =1 ZsinA—Z'cosA

TeU LYI. c.

82 Hoppei Principien der analytischen Curventkeorie,

Hier gehen die Werte (49) über in

|) = cif-j-t*cosdcosß — t^sinA
2 = /3-j-wsindcosf — vcosA
r = y-f-wsin«

nach deren Einführung die GL (45) geben:

8(*i+t?)sinA =3 SÄ-l-^cosdcose — vSAcosA — {y'\'U^mt)dT
8(5i+v)cosA =« 8wsindcos5+«;3AsinA-|-(y-|-«*8iDi08^
= 3Msinf+(''^4"^co8dcosf)8T
— (|3+i*sin^cos«)9^

und nach Verbindung der beiden ersten:

Säi + 8v ==* 8«sinA-|-8«*8in(A-|-5)cos«

= 8*cosA~j-8wcos(A+d)cos€ — v8A-- (y-f-wsin£)8(y

Sei zuerst

4a) f = 0.

Dann werden die vorstehenden Gleichungen:

8«j = 8«sinJl4-8«*sin(A-|-^) — 8v
= 8«cosA-|-8«*co8(A-f-5) — v8A — y8tf
« (acosA — /JsinA)8tf+«*cos(A+d)8(y

woraus :

u = (|3cos5 — asinÄ)tg(A+Ä) — /^sind— acostf
8gco8>l — y8(y ,^ /3cosd — asind

^'^ "SÄ ^ C08(A + d)

r^ = / 8ÄsinA— grcosA-l« y

8ö

8A

yS^j — 8äcosA,^. , , , ,x , w
jBj = a;-|-^^ g^ (/sinA+ZcosA)-|-)/'

Die Schmiegungsebene dieser Abgeleiteten hat die Gleichung:

ist also der rectificirenden Ebene der Urcurve im constanten Abstände
>-» y parallel. Die Curve s^ stellt demnach die Einhüllende (jler Goin-
cidenzlinie einer der rectificirenden Ebene von s in constantem Ab-
stände parallelen Ebene dar, für y = der rectificirenden Ebene selbst

Die Inversion ergiebt:

X

Hopptx PrindpUn der andlyHitktn Ourvenlheoru, 83

« = /(y^i +«1 arj COS Tj +^tgTj^/(y8^i +«, dx^) ßin Tj

Die Belation der Inversen unter sich ist

« = ^„+j rsini+jcosx
" * cosA

jede ist die Abgeleitete (la) der andern für |5 = ^, y = 0.

A \ ^

4b) f = "2'

Die Gleichungen werden:

8«! = 8«sinA — 8t?
== SäcosX— t?3A — (y+w)3tf
= 8tt+(acosA— /JsinA)8tf
woraus:

8* 4 >^ I />/>x 8tf

-^ =» g^COsX— (y+aT — i?^) g-^
'i ==/8«sin^— gj C08A-|-(y+aT — /50) gj

— ^ cos A -f (y-f «T — W gf I (Ain >l + ZcOB 2)

för a = jS = identisch mit (4a).

Die Inversion ergiebt:

9 =/{(y+«T— /J-i^jaff— «i8A} cosA+tgA/Ky+ttT— /J^)8<y— *i8;i} ßinA

wo für T, d'^ <T, A ihre Werte zu setzen sind, und nach Einführung in
die Coordinatengleichung lässt sich deren Inversion leicht bewerstelli.
gen; doch ist das Resultat nicht einfach.

Es ist bei den vorstehenden Curven s^ nicht besonders erwähnt
worden, welcher Geraden Einhüllende die «j, und welcher Ebenen
Coinddenzlinien diese Geraden sind, weil sich beides unmittelbar ab-
lesen lässt. Die eingehüllten Geraden sind die Tangenten, deren Aus-

r

f »^

gaugs|>unktscoürdiiiatc sc,, und deren Richtangscosinus/i ist; die Ebcn^
aiad die Schmiegungscbeuen, wdclic durch den Punkt (a-jy^Ji) goher
und dii3 Rii'litungacosinus i,, Wi, iij. Die Werte dieser Grössen sind^

£3 bleibt mir zum ScIiIusb noch übrig die dargelegte CurveiL-^]
tlieorie mit den litterarisehen Erzeugnissen der Gegenwart in Yetr}
bültniss zu stellen. Nachdem die allgemeine analytische Theorie c
Curven länger als ein halbes Jalirhundcrt anf dem Standpunkt, anl
den Menge sie gestellt hatte, geblieben und als solche fast der Vor
gessenbeit anheim gefallen war, haben erat in neuster Zeit eine 1
zahl französischer Mathematiker, unter denen ich Sorret, Co
(icscnre, Laurent, Ribancour nenne, ihr wieder AufmerksamkeS
zugewandt, nnd an ihrer FortbOdung gearbeitet. Hierbei erschein
Serret als die leitende Autorität; seiuer Anregung ist ohne ZwelM'^
der erneute Eifer in weiterm Ereise au yerdanken; namentlich 1
ist es das von ihm aufgestellte System von Differential formein für die
Richtungscosinus der begleitenden Axen, welches die übr^en Schrift-
steller als Grundlage nnd Ausgang ihrer Untersuchung wählen, so dass
sie auch bei augenfilUigen Inconveuienzen nicht von der eingeftthrteif
Form abgehen. Diese Formeln bedttrfen nun in zweierlei HinaicfaC J
der Verbesserung, und es ist sehr zu wünschen, dass sie nicht ohi
dieselbe in immer weitere Aufnahme kommen. Erstlich hat Serret]
obgleich er die djmenaionsloscn Variabein t, &, e als Indicatric«
kennt, doch das Bogenelement in den Coefficieuten imphcirt stehedl
lassen. In Laurenfs Rechnungen ist infolge dessen 8s anfangs e
überflüssig geschriebener, sich hebender Factor, weiterhin aber e
wirkliches Hinderniss der Lösung. Zweitens hat Serret das Yat
zeichen der Torsion, abweichend von Monge, so gewählt, dassB
muug nnd Torsion vertauschbar werden, dag negative Torzeicht
hingegen in die dritte Formel übergeht. Dies Verfahren verstÖBf
gegen die wolbegründete Praxis in Betreff der Systeme von 3 mal l
Elementen. Der Vorzeichen Wechsel muss bei Vertauschung von !
Reihen stattfinden, damit die Determinanten nicht ans -|-1 in — l^J
Übergehen. Vortauscht man die Tangente mit der Binormale, so i
eine von beiden, nicht die Hauptnormale, entgegengesetzte Richtung«
auuehmeu. Der stetige Uebergang von einer Lage in die andre, wiel
er in g. 3. in Anwendung kam, hat die Beibehaltung des Vorzeicheiui J
der Torsion nach Monge vollkommen gei-echtfertigL

Broda: Beiträge zur Theorie periodischer Decimalbrüche. 85

vvm.

Beiträge zur Theorie periodischer Decimalbrüche.

Von

Herrn Karl Broda^

Lehrer für Mathematik und Physik in Brunn.

Ein rein periodischer Decimalbrucli von gerader Stellenzahl kann,
wenn x die erste und y die zweite Hälfte der Periode, und wenn r
ihre Stellenzahl bedeutet, immer dargestellt werden durch die Eeihe

Soll die identische Gleichung

inr 'T"in2r"1~iri3r I in4r I ^)

9[1(>-+1] "" 10»" ^ 102*-^103rn^l04r

wobei a eine constante Grösse vorstellt, bestehen, so muss sein
9a;+a ^ a? L . 1 \1-Jl. 1 4, -IL [i i _L _i

. 9[10r-j-l] l0.[-^-t-i02r-ri04r'r---J-ri02r[^-r l()2r■r•••
Setzt man für die Reihe
das Summen- Glied

36 Broda: Beiträge zur Theorie periodiecker DeeimdfbrüAe,

1-'

102r

SO wird

nach einfacher Reduction ist

[9x+a][10r-l] = 9[l(X«+y],
berechnet man X'\'p aus der letzten Gleichung, so ergibt sich sofort

a^^^^x+v . .2)

lO" — 1
Da nun — ^ — für jeden ganz-zahligen positiven Wert von r eine

ganze Zahl vorstellt, die mit eben so viel Einsem geschrieben wer-
den mass, als r Einheiten besitzt, so kann Gleichung 2) auch aus-
gedrückt werden durch die Belation

x-^-y = a X 1111 • • • • ;

es muss also die Summe der beiden halben Perioden eine
rziffrige Zahl geben, deren einzelne Ziffern durch die
Zahl a ausgedrückt erscheinen.

Wäre z. B. a «= 8, r = 3, so müsste aj+y « 888 sein.

Die Gleichungen 1) und 2) können in doppelter Beziehung Ver-
wertung finden.

I. Soll ein rein periodischer Decimalbruch, dessen
Stellenzahl eine gerade ist, und dessen einzelne Ziffern
sich zu a ergänzen, in einen gewöhnlichen Bruch ver-
wandelt werden, so findet man den Zähler, indem man
das neunfache der halben Periode um, a vermehrt; es ist
Z=9a;+a, der Nenner iV=» 9[1(K+1].

Z. B. 0-123 654. Da hier a = 7, a; = 123 und r « 3 ist, so
erhält man

für z = 9 123+7 = 1114, für iV^=« 9[10»+1] =- 9009,

daher ist

^ .«« .e. 1114
0-123 654.-^^.

0120 102 „ „ „ a = 2, r = 3 und a; -= 120 ist,
0- 000801 999198 „ „ a = 9, r = 6 und « — 801 ist,

Broda: Beiträge xur Theorie periodischer DedmalbrOche, 87

0-78 65. Da a «= 13, « = 78 und r « 2 ist, so muss

a« 9-78+13 «715 und i\^— 909

sein, deshalb ist

0-78 65 = gl

Für

01234 4321 findet man, da a = 5, r = 4 und « — 1234 ist, g~~

1082
9009

7218
9000009

U. 8. W.

IL Soll ein Bruch von der Form ori/vr i ii > wo Z und r

nur ganze positive Zahlen vorstellen, in einen Decimal-
bruch verwandelt werden, so wirdZ zerlegt in Z— 9a?4"«
wobei X eine Zahl bedeutet, deren einzelne Ziffern gleich
oder kleiner sein müssen als die Zahl a; es ist dann

9riQ^4~l1 =^^'^< wobei x als Hälfte der Periode r Ziffern

haben muss; die zweite Hälfte der Periode findet man,
indem man die Ergänzung zu a bildet.

Es seien z. B. die Brüche ^ * "^^ • qqqqqq m Decimal-
brüche zu verwandeln, so erhält man,

da 53 «= 9*5+8, also a; = 5, a == 8 und da r «=» 1 ist, für

99*- 0-53,
da 1115 — 9123+8, also x = 123, a = 8 und da r « 3 ist, für

ins

^ = 0123 765,

da 111212 «9* 12356+ 8, also aj = 12356, «-=8 und da r=:5 ist, für

~~~ = 012356 76532.

^ ,. „ ^ 1114 21074 . ^ , ^ ^ ^

Für die Brüche qqqqö » önnoö ^^^ ** '^ ^ ^^^ ^* i*^^

1114«9123+7 und für 21074 = 9-2341+5 ist, so ist

88 Broda: Beiträge zur Theorie periodischer DedmaXbrüche,

1114

für ÖÖÖÖ9 ^® ^'^^ Periode 123 und a = 7 ,

fiir gÖQÖ9 55 " 55 2341 „ a = 5,

daher muss

^^^^ «= 0-0123 7654 und ^4 = 02341 3214 sein.

90009 " ^^^^ • "^ — 90009

Oft erhält man bei der Division des Zählers durch neun einen
Best a, welcher kleiner erscheint als eine oder mehrere Ziffern des
Quotienten x\ tritt diese Bedingung ein, so wird die Kichtigkeit der
Entwicklung nicht gestört, nur ist die Kechnung unbequem.

526 ^ ^

Es sei gegeben ööq5 ^^ ^^^ 526 = 9*58+4, daher »«==58

und a = 4, hier ist nun sowohl 5 als auch 8 > 4; man könnte
nun, da die Ergänzungszahl +4 sein muss, und da r = 2 ist, schreiben

526

— ==: • 58 [— 1] [— 4]. Es ist aber

0-58 [—1] [--4] = Ö-58 — 0-0014 = 0*5786
daher ist

IS = 0-5786

Man bemerkt sofort, dass im Decimalbruche 0*57 86 eine Er-
gänzung zu 13 statt^ndet, und dass bei der Division von 526 durch
9 der Kest 13 erscheint, wenn man den Quotienten um die Einheit
kleiner annimmt, es ist nähmlich

526 = 9-57 + 13, also a; = 57 und a = 13.

Werden die hier für x und a gefundenen Werte benutzt, so
erhält man sofort dasselbe Resultat.

226
Wird z. Beisp. für öäqq d^r Decimalbruch gesucht, so ist

226 = 9*24+10 anzunehmen, da für die Annahme 226 = 9-25 + 1,
5 sowohl als auch 2 > 1, daher ist

a = 10, a; == 24, r = 3,
man erhält also

226 ^. ß. 24 10 86 ?£ _1 86

gj^ = 0-024(10)86 — 1000+10000+1000000"" 1000 +1000+1000000

= 0-025 + 0-000086 « 0-025086

Eroda: BeUräye zur JTitrtrif periadücher Dcämalbrüche,

Es ist also nur nötig 4 um eine Einheit za erLöhen, und für
(10) Null zu schrdbon, wodurch man für ö^i^ d(?u Wert 002508e(
erhält.

lu derselben Weise soll für ömfia ^^ Dodmalbruch angegeben
werden; da nun r = 4und 16134 = 91791 + 15 ist, so
a = 15 Bein, daher ist

90009

= 0-1791 {14} 86(14)= 0'17924874

Elr
im™

I

Die hier eutwickeiten Verwandlungs -Methoden sind bei einiger
Uebung mit grosser Leichtigkeit duri-hfilhrbar; erhält in dem Bruche

fil^" W\(w~X.'Y\ " ^'''^'' solchen Wt'rt, dasa Zilhlür und Nenner
einen gemeinsamen Factor enthalten, so resnltirt eine bemerkenswerte
Vereinfachung.

Wird a = 9 oder a = 3, so erhält der Nenner die Form 10''-f-l,
bezieh ungsweiao 3[10'-|-1], in diesen heideu Fällen ist man im
Stande, Brüche so schnell dictando weise in Decimalbrüche zu ver-
wandelu, dass kaum jemand das Resultat so schnell nachschreiben kc

Vermöge Gleichung 1) ist

iV~10'^102''^----
den gemeinen Bruch vorstellt, nach Sturm [33. Band

N

[Etnw^B

Archivs, Seite 94.] kann man für i^+j^, + setzen -^-^^

wobei R den bei der Division, nachdem r Stellen entwickelt sind,
sich ergebenden Rest bedeutet Gleichung 1) übergeht dann in:

N 10' "'" N. lÜ'
Sucht man aus dieser Gleichung if, so ist

n = ^10'— A"*

Besteht Gleichung 2)

10' — 1

'm

I muss wie gezeigt wurde Z=-^^x-\-a und JV>=9[10'+1] sein.
Sflt^tJWm diflse WwtB filr Z und N in Gleichung 4), so erhält man

90 Broda-. Beiträy smr TUrvr^ ptnod'iMltr

— alCK— 9x =- al(X — 9r-J-a— fl « «[iör«^l]_[ai;-j-a]
schreibt man fftr 1(^+1....^ snd for 9r4-a....Z, so ist

R = \s^Z 5)

also

Ä4-^ = g2e=|9(l(X+l)=a[l(X+l] . . . . 6)

Für a = l ist Ä+Z«|== 9i^^ii«10'+l, es ist

^QQ » 01001. Diridirt man, so ergeben sich der Reihe nach die
Beste 91 1 10 100, die sich, da r =* 2 ist, zu 101 ergänzen.

Für a«3 ist Ä + Z -= 3[10^ + 1], f&r a «- i» ist

Ä-f Z=n[10^ + 1].

Rest and Zähler ergänzen sich daher immer zu einem
Vielfachen von 10»'+1.

9*456-1-7 4111
Es ist 0-456321 = ^^ = öö^' I>i^dirt man 4111 durch

9009, so muss, da n = 7 ist, immer Ä-|-Z= 7(10^+1) = 7007 sein.
Die Reste, die sich der Reihe nach ergeben, sind

4111, 5074, 5695, 2896, 1933, 1312.

Es ist nnn wirklich

4111+2896 = 5074+1933 = 5695+1312 = 7007.

71635
Verwandelt man ööoqö ^ einen Decimalbruch, so sieht man so-
fort, dass 71635 = 9-7958+13 ist, daher

^»0-79586485,

es wird Ä+Z übergehen in 13[10^+1] = 13[10^+1] = 130013.

Dividirt man auf gewöhnlichem Wege, so findet man für den

Zähler 71635, 86287, 52789, 77845, für die

Reste 58378, 43726, 77224, 52168, für die Summe

Z+Ä =. 130013 - 18001» «130013 -130013

Broda: Beiträge eur Theorie piriodischer Decimalbrüche, 91

Bemerkt man bei der Verwandlung eines gemeinen Bruches in
einen Decimalbruch die Existenz der Relation 5, so kann auf direc-
tem Wege die Verwandlungs- Methode aufgestellt werden, denn be-
stehen die Gleichungen 5) und 3) und zwar

und

Z+R^^N

KT — 1 nr I

SO wird durch Elimination von R erhalten

aN

es ist

- [icy+i] « — ^

daher

Z _ 9a;+a

iy^""9[io-+i] "^^

Die Belation 7) führt zu bemerkenswerten Resultaten, wenn für
a der Reihe nach die Werte 3, 6, 9, 12,.... angenommen werden.

Für a =• 3 wird

Z 9a;+3 3a;+l

JV'^9[10''+1] ""3[10'-+1] ^^

Z. B. 0-2310 1023 gibt sofort den gemeinen Bruch öqqqö, da a = 3

. ^ ,125617. ^ 125617—1 , •^^ .
ist; der gememe Bruch oqqqqq ist, da ö «== 41872 ist, sofort

= 0-41872(-l)(+2){-5)(-4)(+l) ==

« 0- 4187202001— 0-000001054 = 04187191461.

«
Man bemerkt, dass in praktischer Beziehung f ür a = 3 nur die Ver-
wandlung eines Decimalbruches in einen gemeinen nach dieser Art
Torteilhaft ist

Aus Gleichung 8) folgt die Regel:

Soll' ein rein periodischer Decimalbruch, dess^en
Ziffern sich zu drei ergänzen, in einen gemeinen Bruch

92- Broda: Beiträge zur Theorie periodischer Dezimalbrüche,

verwandelt werden: so vermehre man die dreifache halbe
Periode um die Einheit, und teile diesen erhaltenen Zäh-
ler durch 3[1(>*+1], wobei r die halbe Stellenzahl der
Periode vorstellt.

Ist a == 6, so wird -^ =. 9po,^i] ^ 3[10^+1] ' ' ' ^^

«^12 • Z 90^+12 3a:+4

u. s. w.

Hier soll vor allem der durch Relation 10) ausgedrückte Fall
besprocheti werden, aus welcher sich folgende Regel ergiebt:

Ein rein periodischer Decimalbruch, dessen Ziffern
sich zu nenn ergänzen, wird in einen gemeinen Bruch
verwandelt, indem man die halbe Periode als g. Zahl
betrachtet, um die Einheit vermehrt und die erhaltene
Summe teilt durch 10*^ -)-l, wo r die Stellenzahl der halben
Periode vorstellt.

Z. B. 0- 15678 84321, da hier a = 9 ist, so muss

15679

100001
sein.

0- 1567884321

Ein gemeiner Bruch, dessen Nenner lO^'+l ist, wird
in einen Decimalbruch verwandelt werden, indem man
den Zähler um die Einheit vermindert, die erhaltene
Zahl als efste Hälfte der Periode betrachtet, die Ziffern
der zweiten Perioden-Hälfte ergeben sich, indem die
Ergänzungen zu neun gebildet werden^ im Ganzen hat
die Periode 2r Stellen.

Z. B. ^^ = 0-6417735822, da 100001 = 105+1, so muss
die Periode 10 Stellen besitzen.

^^ = 0.0001699983 u. s. f.

100001

Für den Fall, dass a = 9 und iV^= 10*-+1, übergeht Gl. 5) in

prfa; Beiliäi/e nii- JTieorii

Verwandelt man

. B. den gemeinen Bruch fjvtTyvyj

■ is>1

.TT in den Docimal- ,

brach 0-178933 821066, was ohncweifereB durch hiossüs Uinachreib^' j

geschehen kann, nnd veranclit man zur Coatrolle den gewöhnliche^ J

) ergeben sich als

Zähler 178934, 789339,
Reste 821067, 210662,

93S822, 338211, 382107 als
66179, 661790, 617894 0.8.7.1

H+^=1000001=1000001=100001 =100001 =100001 =1000001— JV

Betrachtun; des ErgUnj^ungs-Gesetzes in Beziehung nuf ein
beliebiges Zahlen -System.

Die bis jetzt durchgeführten Untersuchungen können mit Leich- I
tigl(cit auf jedes beliebige Zahlen-System ausgedehnt werden, hier'
soll vor allem, das durch Gleichung 2) ausgesprochene Ergänzungs-
Gesotz, in Beziehung auf ein beliebiges Zahlen - System Eriirterung
finden.

Vermöge Gleichung 1) ist

N'

"9(10''+1) 1^ +

10^'

lQ3r-|

Führt man ein beliebiges Zahlen -System, dessen Basis a seia soji,.
ein, 80 muss für 10 ... a, imd für 9 ... « — 1 geschrieben werden,
und p, y und x behalten die früher angenommene Bedeutung.
ist dann

I

*) Dieser apücielle Fall wnrde von Franke [i:
gelübn, nai-h den Andeutungen von Sturm [Archiv
■«lO H. Ptofeesot J. Kügnor [Materinlen Seite 78 I
EfgöMungs-Gcset« 12) von Anspilz [Programm der
benutst, um die Vorwandlunga-MEthocle »b^uloilcn , e

seiner Zahlenlehre] an-
33. Band Seile 94], und
r. 563 IV], wurde diesei
Brauner Oberrealaehule]^'*

wird in dieser Entwich- 1

luiig: -Tj^^ 77 — h v j gesellt, wo A die hfilbe Periode, r ihre Stelleaznhl,
Jt den Beat vorstellt; es wird in dieser Enlwickinng für R^N—Z gesclirie-
bcu, wodurch lieh ergielit: -Ti= \ 1ij~~'i' '""'h ciiitachcr Rodnetion folgt

4±i

K 10'

hl"

welehu

iVliJ''
Ans d nick i

■ 10) gefunden

94 Broda: Beiträge zur Theorie periodischer Dedmalbrüche,

U)

Nach einfacher Reduction erhält man

Z a-f-a;(a — 1) y+a*"«

i^""(a— l)[a'-+l] ""««»'— 1

Wird mit a'^+l miütiplicirt, so ist

a— 1 "" «»•— 1

es ist weiter

(ar_ i)[a-f (a-l>] = (a-i)[y+a'-iv]
daher

aa*" — a+(a — 1)0?.«*^ — (a — 1)« == (a — l)y+(« — 1)««^

80 muss also

woraus

" x-\-y = a ii- 16)

' ^ a — 1

oder

a;.+y = a{a»'-»+a'-«+a*-3-j-. ;.«+!} 16)

der Factor 0^-^+«»'-*+ ..., stellt die Summe der aufeinander fol-
genden Potenzen der Grundzahl a vor, ist daher immer eine mit Ein-
sem zu schreibende Zahl.

Ist a «= 12 und r » 3, so ist nach Gleichung 16)

x-^y = a {122+121+120} « a X 111,

denn im 12 teiligen System wird für 144+12+1 immer geschrieben
100+10+1 =-111.

Es erscheint dadurch der durch Gleichung 2 ausge-
sprochene Satz für jedes beliebige Zahlen--System er-
wiesen.

Vermöge Gleichung 15) ist

«»' — 1

Wird nun a = « — 1, so wird

Ä+y = a«'— 1 17)

■ Thenrü ptriudischtr Dtämalbrücht.

Im Dekadischen System stellt a' — l eine mit r Neunern, im ^S\
teiligen System eine mit dem ah eioziffrige Zahl anzusobenden Zeichen J

(11) goscbriebeno Zahl vor.

Für r = 3 und « = 12 ist *+y=l2'>— 1 — 17^7, wird 172T|
im Dodßkaedrischen System geschrieben, so ist

^1

3^+y = (n)(ii)ai)

Aus Gleichung 14)

folgt, wenn man statt c

. (o — 1) schreibt

Z z-f 1

AT^'a'-f 1 ■ ■ ■ ■

Gleicbnng 18) erweist die An'vendbarkoit dor mit Hülfe von Gleichnngfl
10) aufgeBtellfen Verwandlungs-Methode.

Rein periodische Brüche, die in einem beliebigen
Zahlen-System geschrieben erscheinen, werden, wenndio
Ergänzung beim a teiligen System, zu (ß— 1) stattfindet,
in gemeine Brüthc Terwandelt, in dem die Hälfte der
Periode um die Einheit vermehrt wird. Der auf dieseg
Weise erhaltene Zähler wird geteilt durch n'-l-l, wobafi
r die Stellenzahl der halben Periode vorstellt.

Es sei- z. B. der gegebene Duodecimalbnioh OSö 36 in den ge-J
meinen Bruch zu verwandeln. Da nun o;=ll;=12 — 1, so iit

0'8536 = r7jj wobei der nach dem 12 teiligen Systeme geschrieben«. J

Bruch rr-j- dieselbe Bedeutung hat, wie der Dekadische Bruch 77?*^

Soll ein gemeiner Bruch, der nach dem a teiligen I
Systeme geschrieben ist, und dessen Nenner die Form
n'-l-l hat, in einen periodischen Brnch verwandelt wer-
den, so vermindert man den Zähler um die Einheit. Die
erhaltene Differenz ist die erste Hälfte der Periode, die
zweite Hälfte besteht aus Ziffern die sich mit den ent-
sprechenden Ziffern zu n — 1 ergänzen. Die Stellenzab^
ist immer 2r

Es sei für den im 12 teiligen S

i geschriebene Bruch

128

l_

96 Br^da: Bekrtl^ zmr Theorie

der Doodecimalbmdi zu. entwickdii, es ist 12B — 1 ==* 127, daher
12Ö

Wh = i^^> ^

Man bemefkt sofort eiiie practische Yenrertim^ Hb' das Ziffer-
Recbneii, wenn man die IStel, 145tel, 1729td .... im iülgraneinen
Bruche, deren Nenner die Form 12^-|-1 besitzen, die im Ddoidischen
Sjsteme geschrieben sind, in Decimalbrüche yenrandeln soll, und be-
rflduichtigt, dass diese Brflche 6, 29 .... Stellen besitzen, während
bei den entsprechenden Dnodedmalbrfichen nur 2, 4, 6 im Allge-
meinen 2r Stellen TOikommen.

Schreibt man z. B. fOr die im Dekadischen Sjrsteme geschriebenen

5 32 176
gemeinen Bräche r^« jtz* pr^ö ^® ™ ^^ teiligen Sjsteme sich er-
gebenden Werte, so erhält man

5 5

für Tg jY = 0*4 7 • also nur 2 Stellen

32 28

.füTj^ .... j^^ =0127ao,04 „ „ 6 „

Hier wurde die Untersuchung nur durchgeführt, wenn der Nenner
die Form «»'4-1 besitzt, ist N = (a — 1)1]«'' +1] so ergeben sich
Resultate, die nicht nur in theoretischer Beziehung bemerkenswert
sind, sondern auch im praktischen Rechnen Vorteile bieten.

Beurteilung der Stellenzahl der Periode, die ein gemeiner Bmeh,
dessen Nenner ein aliquoter Teil Ton 10*^-1-1 ist, liefert.

Uebergeht man zum 10 teiligen Systeme, so dient zu dieser Be-
urteilung Gleichung 10) und 2) und zwar

für a =- 9 ist

a;-|-y = lO»"— 1 =»999 18)

In dieser Entwicklung [Gleichung 18] ist x von y abhängig, kei-
uüswoga aber x von r, es ist daher für jeden Wert von aj, beziehungs-
woiso von Z, die Stellenzahl der Periode 2r.

Setzt man in lO'^+l für r der Reihe nach 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... .

eo ist Bofoit klar, dass die tltcl-
a. s, f, Stellen besitzea.

2, diö 101 td — 4, die IWltel

^•1

Nimmt man für Z einen aliquoten Teil des Nenners an, bringt
man den gemeinen Brnch auf die einfachBte Form, so ergeben sich
fBr die Periode 2r Stellen.

Zerlegt man z. B. 1001 in die einfauLeu und zusammci^esetzte
Factoren 7, 77, 13, 91, 143, 11, so ergicbt sich sofort, dass alle 7t^
771el, 13tel, 91tcl und 143tel 6 Stollen baben müssen. Die Elf»
gehen aus 10^+1 henor, haben daher nur 2 Stellen, man könin

abrigens auch z. B. für :rz schreiben 0' 090 909.

Ist daher die Änfgabe zu lösen

1

, in Deciina

' 77' 13'

brücke zu verwandeln, so ist es nnr notwendig die 3 ersten Stellra
durch Division zd finden, die folgenden Stellen ergeben sich dui
Ergünzung zur neun. Es ist

^ = 0-142 8ä7. ^ =0-012 987. ^=0'076Ö23,

~ =0010 989. jig = 0-006 993.

Ist der Zahler von der Einheit verschieden, bo bleibt die Mellioile
dieselbe.

Das unter 12) angegebene Gesetz raoditiuirt sich dahin, dass dio
Ergänzungen des Zählers und Restes, zn den Divisoren 7, 77, 13, 91.
143 stattfindet.

Da weiter 10*+1 = 73. 137 ist, so haben die Brüclie ^^
r^ 8 Stellen; es ist ^ = 0-0136 9863, z^ = 0'0072 9927.

Da 10^+1 = 17.6882353 ist, so massen alle Brüche, doren
Nenner 17 oder &8S2353 ist, 16 Stellen haben.

Ist ein gemeiner Bruch, dessen Nenner ein aliquoter Teil von
IC-j-l ist, dessen Stollenzahl bekannt ist, gegeben, so ist die Auf-
gabe sofort lüabar, für irgend eine positive Potenz ieses Nenners
ein Tielfaches von der Form 10'-|-1 zn finden.

\

98 Broda: 'Beitragt zur Theorie periodischer DecimaJbrüche,

ßo muss r = 3 sein, daher müssen die Brttche jx .... 42 Stellen er-
halten, woraus unmittelbar folgt, dass 10*^+1 durch 49 = 7* teil-
bar ist.

Aus einer ähnlichen Betrachtung findet man, dass 10^^-f-l ein
Vielfaches von 11« = 121 ist.

Ist der Exponent grösser als 2, so führt dasselbe Verfahren zum
Ziele.

Main: Veneküdene Sätze über Dretecktransversoien, 99

IX.

Terscliiedeiie Sätze über Dreiecktransyersaleii.

Von

Emil Hain.

I.

Verbindet man den Schwerpunkt S des Dreieckes ABC mit den
Ecken, so entstehen die Drdecke SBC^ SCA^ SAB^ deren ümkreis-
halbmesser raj r^^ re seien. Ist femer M der Umkreisradius für das
von den Schwerpunkttransversalen als Seiten gebildete Dreieck und r
derselbe Radius für das Dreieck ABCj so besteht folgende Relation:

*^o 8 raThTe
4 r

Um dieselbe zu beweisen, setzen wir

Aß = a', BS = b\ CS = <?'.

Da die Dreiecke SBC^ SCAy SAB gleichen Flächeninhalt haben,
so ist, wenn F den Flächeninhalt des Dreieckes ABC bezeichnet,

wo «o, «6, «0 die Seitenhalbirenden sind. Nach 'einer bekannten Be-
ziehung aber ist

»1*

100 Hain: VertchiedeM Sätze über Dreieehtransversakn,

ra.a =»0 0.111

woraus sich ergibt:

ra.a* rb,b^ Ve.c'
K.a Ji,b R .c

2
3

Aus Gleichung (1) und (2) folgt:

•

2 öM 3rJ'c'

^ 9 a'b'e'
^ 2'- oÄc-

Nun ist nach (3)

somit

das ist

ra»Tif.Tc»(i b C • 8

py^i*^^ ^27
ai(? 27 TaThre

9 8^ R»
2* * 27 ra.rh.re

««o 3 Tarj . rc

4 r

•

(2)

(3)

n.

Sind Pa, A, P<! die Fusspunkte der vom Schwerpunkt auf die
Dreiecksseiten gefällten Normalen, so ist

A PaPbPc « g.i^' 1^ aH^c^ )
wo F wieder den Flächeninhalt des Dreieckes ABC bezeichnet.

Betrachtet man nemlich das Dreieck i^/SPc, so ist in demselben
der Winkel bei S das Supplement zum Winkel BAC,

Es ist also, wenn man überdies

2 F

SPa = ö • ~
o a

B<t tn: Verschuden« Sätze über Dreiecktransversalen. 101

berücksichtigt,

1 /4 J?'^ 4/r,a

Bezeichnet man ferner die Winkel des Dreiecks AÄC mit a, ß,
Y und hält die frühere Bedeutung von a\ h\ c^ aufrecht, so hat mau:

PftPtf «= a' sin«, PePa == *' sin/J, PaPh == <?' sina

Äft.iSPcSina 2JF^sin/5 P . ,

8ina*4-siu/J*+siny* = 7-2

Ebenso kann bewiesen werden, dass der Umkreisradius eines
jeden Dreieckes PbPcS gleich ist der Hälfte der zugehörigen Eck-
transversale durch S. Bezeichnet man mit ra den Umkreisradius des
Dreieckes Pl^PcÄ^, so ist

APc.<SA.iS»Pc = a'sina.Q— =5.Fa'sina

4A APc/S= y .sina^

woraus sich ergiebt:

a

ra' «2

in.

Das Höhenfusspunktdreieck desjenigen Dreieckes, dessen Ecken
die Berührungspunkte des Inkreises sind, hat zum Flächeninhalt den
Ausdmdn

16P5

Sind A\ B\ Cf die Berührungspunkte, q der Radius des In-
kreises, so hat das durch sie gebildete Dreieck die Winkel

Ä— 2' Ä^ 2» ^-"2

• • • • •

- : • •• :

>• 1» • • •

• . -• • • • • •• -•

«

• m

102

Hain: Vernhiedene Sätze über DreUdctransvertalen.

und die Seiten

ß

a p y

2^C08ä, 2^C08h9 2^C08|

und zum Flächeninhalte den Ausdruck:

2-r-^

wo a, /?, y, r, F die früh^^ Bedeutung ftr das Urdreieck hahen.

Zieht man in dem spitzwinkligen Dreieck A'&C' die Höhen, so
bilden die Fusspnnkte derselben offenbar ein Dreieck, das innerhalb
der Fläche Ä' B' C liegt und dem Urdreieck nach den bekannten
Eigenschaften des Höhenpunktdreieckes ähnlich ist

Wir haben sonach üEür eine Seite des Höhenfusspunktdreieckes von
ÄB'C* den Ausdruck

2^cos öCOsfjR— 2 j = ^sino

und für den Flächeninhalt

g^sinasin/g.siny __ ^ /^\»

Bezeichnen wir die Höhenfnsspunkte des Dreieckes A'B'C mit
J!\ b!\ C", so haben wir der letzten Formel zufolge ausserdem:

Wien, d. 6. Oct. 1873.

Miacellen. 103

X.
Hiscellen.

1.

Eqnatioii du eerde en yaleur des d^ii?^ et du rayon.

1. Th6or^me. Tout cercle de rayon R peut dtre re-
pr6sent6 par r^quation

A'^+^y'*— 2008 0^7/ == 4JR2sm»d,

oü f(x^y)=^0 d6signe requation alg^brique du cercle, et
6 rangle des axes de coordonn^es.

Soient a, i les coordonii6es du centre C du cercle; x^ y Ics
coordonn^es d'un point M de la circonf^rence. L'6quation du cercle
sera

r(^,y) = (a:— a)»+(y — &)2+2(a;— a)(2^— &)cosd — i?2 = 0;

nous en tirons

fy*=2(y—b) + 2(x--a)cose.

Cela po86, menons par le centre C les paralleles CA^ CB aux
axes de coordonnöes, et par le point JWles perpendiculaires MA^
MB sur ces paralleles. II est facile de voir que

^C= 05— a+(y— 6)cosö = \fx\

Comrae le triangle ABC donne

AB^ = A(ß'\-BC^—2AC.BC. 0,0^6,
ü vient

4^LB2 _^^'2_|_^^'2__2C0SÖ/i'^'.

1(U Mücellen.

Or, (laus lo corcle circonscriptible au quadrilatere birectangle

AClfM, la droite,-4i? est la corde qui sous-tend Tarc dont la moitie

est la mosuro de l'angle inscrit Ö5 et puisque le diam^tre de ce cercle

est Jif on a

iAB =^ ^ÄsinÖ;

doiic, (^n rempla^ant, on trouve

A'*+/i'*-2co8Ö/i7/ = 4R28in2ö •

pour requation g^n^rale de tous les cercles dont le rayon est i?,
ti titttut Tanglo des axes *).

2. Si loa axes de coordonn^es sont rectangulaires, cette 6qua-
tioii HO simplifio et devient

J). Oll trouverait de memo que, si f(x, y, «) = d^signe T^qua-
tiüu alg6briquo d'une spb^re, E rayon de cette sph^re; A, f*, v les
augles des axes de coordonn^es; la sph^re peut etre repr^sentee par
r6quuti()ü

A''-f-/'/^+A'^--2cösilA7/--2cosfiA%'--2cosv^y/ « 4Ä«^«,

oh

J^ « 1 — cos^A — cosV — cos^v-f~2cos>lcos|iicosi/.

4. 81 los axes de coordonn^es sont rectangulaires, l'eqaation de
la spb6rc sera

Georges Dostor.

*) Wenn man aus den beiden obigen Gleichungen

^/ = 2(y— &)-f 2(a; — a)C0SÖ
die Urüsacu x — a, y — 6 bestimmt, so erh&lt mans

2 Sin 6' ^ 2sinö*

und fühlt uiuu nun diese Ausdrücke in die Gleichung

(x - a)>+(y — i)«+2(a; — a)(y — 6)C08Ö = Ä«
viu, >u oihält man nach einigen leichten Reductioncn dieselbe Gleichung.

Grunert.

Ceber die Anfloenn^ des linearen Sfslenw ven dlelchun^en;

= t„{,.

m)

Wit dioscn Gleichungen beschäftigt sich querst Lagrang
seinen Üntersnchungeu .Über die Fortpflanzung des Schalles (Miscel-
lanea Societ. Taurinensis, T. I, 1759). Eine andere noch immer sehr
weitliLiilige Aoflösong gibt Grelle in seinem Journal Bd. 13, p. 37^

dem Lagrange'schen Resultat

^

Einfacher gelangt man ;
folgendem Wog:

Unter n eine positive sonst aber noch unbestimmt gelassene Zahl
Teratauden raultipliciren wir diese Gleichnngen der Ordnung nach mit

BÜinct, siE2ntt, sinSiiK, ... sinmn«, wo e = . ■ und addiren alle. *

Bezeichnet ^r den Coefficient von xr, so ist:

(2) 2^a:r<:^r = *'i8innB + tjSin2n(i-]-fc33in3na4-' ■■+*>nSi""""'

(3) 2^r = 2sinroBi]innH-2BÜi2r(i8in2no(+2ain3rnsin3«K-|--.-

nnd wenn man die goniometrische Transformation anwendet:

Ssinjisiiii) = cos(ii — v)^CQsiii-{-v),
Bü wird :
2/rfr=}c03(j— .Ott+CÖBi;(r— n)a-l-C0s3(r— »)a+...+ C03m(r — n)«g

- |coB (r+n)a+ cos 2(H-n)c<+C0B3(r-hi)«+ , . . + cOB m(r+«W
Diese beiden Reihen lassen sich leicht snmmiren, denn bekanstlicl
inim..C0Bi(,^+l).

coaa-|-ra32a-^cos3a+..
und man erhält:

|-cosm

Bin^a

EinjmCr — «)c.C03|(OT+l)(r — n)ft

sinjm(r+n)c..C Osi (m + l)(,- + .,) «

oder tiui'ch abermalige Tiiiusformaüoa mittelEt der Gleiohtmgi

106 Misceüen.

2cosu8mt7 ■= sinCtt-rf-v) — 8in(i* — v),

fA\ AA _ 8^i(2m-[-l) (r — w) a 8m|(27ii-[- 1) (r-f- n) «

smi(r — n)a 8mJ(r-|-n)a

Es sei zuerst die willkürliche Grösse n verschieden von r oder r — n

ff

nicht Null; dann sind mit Anwendung des Wertes von a = , ^

folgende zwei Umwandlungen gestattet:

8ini(2TO+l) (r—n)a =f 8in{(m+l)(r — «)«— i{r— n)a} = ^

sin{(r — n)n — J(r — «)«} = ( — l)*'-"+i.8ini(r — n)a,

sini(2m+l)(r+«)« *=- sin { (m+1) (»•+«) «~i(*' + ^)"} =

sin {.(r+n) TT— J(r+n)a} = (— l)'^-»-»»+l.8ini(r+w)a,

hierdurch wird

4:Jr^ (— l)r-n+l _ (_ yr+,»+l =. 0.

Ist aber w = r, so erscheint der erste Bruch in (4) in der un-
bestimmten Form ^ und der wahre Wert desselben ist (2m-}- 1),

während für den zweiten Bruch die vorige Umwandlung seines Zäh-
lers andwendbar bleibt. In diesem Falle ist also

4^^r « (2l»+ 1) — (— l)2r+l = 2m-f2 odor Jr « ^^^•

Diese Ergebnisse angewendet auf die Gleichung (2) verwandeln die-
selbe in folgende:

— ^ — Xr = Ä?jSinra-|-Ä^ sin 2ra+^3Si^^^~h-**+^»» sin mra

oder

2
(5) xr=* — -7--T{Ä:i8inra-f-Ä^8in2ra-}-A?3sin3ra-|-...-f-Ä:inSinmra},

Tfit I " X

7t

womit für r = l, 2, 3, ...m und « = , ., die vollständige Auf-
lösung des im Eingange aufgestellten Systems voq Gleichungen ge-
geben ist.

Franz Unferdiugor,

Lehrer der Mathematik an der ÖfTentlichen Oberrealschulo

am hohen Markte in Wien.

Heber cIdpu Satz TOn der Parabel.

^

Als gegeben werde betrachtet das Dreieck AÜC. Von A ans
wird die Gerade BC durch einen zu derselben perapectivischen
Strahlenbiischel projicirt, ao dasa z. B. dem Funkt« D der Strahl rfg
entspricht. Andrerseits werde die Gerade BC durch einen Parallel-
strahlenbüschel projicirt, dessen Strahlen die Richtung von AB liabeu.
Dem Punkte D entspricht dann der Strahl d. Dieser Parallel-
atrahleubüschel bestimmt auf der Geraden AC eine zn den beiden
vorigen Gebilden projectivische Punktreihe. Dero Strahle d z. B,
entapricht der Punkt D-^. Endlich werde das gerade Gebilde AC von
einem ParallelstralilenbOschcl projicirt, dessen Strahlen die Richtung
von BC haben. Dem Punkte i>i entspricht der Strahl </,. Dieser
letzte Parallelstrahlenbüschel ist somit projectivisch zu dem Strahlen-
büschel A, und beide erzeugen einen Kegelschnitt, von welchem E
ein Punkt ist. Ein Strahl von A wird parallel sein zu BC, also auch
zu dem ihm entsprechenden Strahl, weswegen ein Punkt der erzeugten
Cnrve im Unendlichen liegt in der Richtung BC. Daher ist die er-
zeugte Curve eine Parabel, von welcher BC die Richtung der
Durchmesser ist. Insofern e und e, entsprechende Strahlen sein
müssen, mid t die Kanten der beiden Bilacbel verbindet, mnss AB ,
eine Tangente der erzeugten Parabel sein mit A als Bertthrnugapui
Dasa auch C der Parabel angehören mnss, ist leicht ersichtlich.

Weil DDj II AB, so verhält sich :

DC-.DB = D,C:D^A,

und weil D,E\\ BC ist, so verhält sich:

D,C:D,A ^ED-.EA.

also:

DC-.DB — ED-.EA.

Ist demnach der Punkt D angenommen, ao gelangt man i
Ponkte der Parabel E, indem man DA in E so teilt, dass

KD : EA = nC:DB
sich verhalt.

Daher lässt sich aussprechen der Lehrsatz:
Wird in einem Dreieck ABC die
Punkte D geteilt, D mit A verbunden, und DA in E in

108 ÄUsceüem.

demselben Verhältnisse geteilt wie BC in Z>, so ist der
geometrische Ort aller auf diese Weise bestimmten
Punkte E eine Parabel, welche dnrch einen der End-
punkte von BC geht, es sei C, und von der Geraden AB
berührt wird, und deren Durchmesser zu BC parallel sind.

Analytisch lässt sich dieser Satz beweisen, wie folgt

Die Gleichungen der drei gegebenen Punkte A^ B^ C seien :

dann ist die Gleichung des Punktes D:

JB + 1C=0,
wo 1:1 = DB : DC ist. Die Gleichung des Punktes E ist dann:

oder:

A-\-l(A+B) + l^C = 0,

Halten wir eine der Greraden, deren Coordinaten i*, v der Glei*
chung dieses Punktes genfigen, fest, so liefert die Gleichui^ zwei
Werte von l za u, v, welche l^ und l^ heissen sollen. Die Grerade
u, V verbindet also die beiden Punkte X^ und l^ des geometrischen
Orts. Soll die Gerade u, v Tangente sein des geometrischen Orts,
so müssen die Wurzeln X^ und l^ der quadratischen Gleichung gleich
sein, was geschieht unter der Bedingung :

(A+B)^—4AC=^0
oder:

Man erkennt hierin die Gleichung eines Kegelschnitts in Linien-
coordinaten, welcher eine Parabel sein muss, weU das nach u, v con-
stante Glied gleich Null ist, wie leicht zu ersehen. Beachten wir, dass

die Gleichung des Halbirungspunktes von AB ist, welchen wir F
nennen wollen, während auch zugleich

sein soU, so nimmt die Gleichung der Parabel die Form an:

2^— ^C«0,

Miscellen. 109

welche aassagt, dass FA und FC Tangenten der Parabel mit den
Berührangiöpimkten A und C sind. Weil aber die Gerade, welche F
mit dem Halbirungspunkte O von AC verbindet, ein Durchmesser
parallel zu ßC ist, so folgt, dass BC die Bichtung der Durchmesser
angibt

Dr. Silldorf,

Lehrer an der st&dt. Realschule in Magdeburg.

4.
Zwei Dreiecksätze.

Lehrsatz. Die Transversalen eines Dreiecks bilden mit den von
ihnen halbirten Seiten Winkel, deren Cotangenten die Summe null
geben.

Seien in (Fig. 1.) die Segmente CE, BE resp. mit /?, y bezeich-
net, so ist

DE 2 '^ 2 ^ ß—y

C0tVi

Ebenso

AE h h 2h

{ß-y)a _ { ß-y){ß+ y) __ ß^f

AJ 4:J 4:d

4d

cotvi+cotvj+cotva =

Einfacher Beweis der von Herrn Prof. Bretschneidcr gefun-
denen Erweiterung des vorstehenden Satzes:

Fällt man von einem beliebigen Punkt O (Fig. 2.) Lote OD^
OEj OF auf die Seiten des Dreiecks, so soll

cot ADC-f cot BEA + cot CFB «=
sein.

Zum Beweise ziehe man die 3 Höhen und verbinde O mit den
Ecken des Dreiecks.

112

iSiiceUai.

Man baim dann, gültig fOr alle Werte ron k, anf der Parabelaxe
vom Scheitel A an die Strecke AB = |, nnd von B ans zoröck
SC = y 7 = y 4' — 3* abtragen nnd in B die Ordinate BD errichten.
Dann bleibt im einzelnen Falle nur übrig, anf BD die Strecke
BM = — * abzuschneiden nnd um M einen Kreis durch C zu schla-
gen. Dieser schneidet die Parabel in 4 Paukten, deren Ordinalen,
beziehnngs weise zur Bestimmang von h, die ai^eführtcm Werte Ten
25 haben.

Ein Beispiel der kubischen Gleichung ist die folgende:
J» = ^cos3ip

deren Wurzeln sind

s = cos 91 , COS f »p

Hier wird

insbesondere für d ^ 4

^

Han kann demnach, znm Gebrauch für die TrisocIJonen aller Winkel;
auf der Axe die Strecke AB =- 4 abschneiden, um B mit dem 1
dius =' 2 einen Kreis schlagen nnd die Ordinate BD als
Schenkel des gegebenen Winkcia Sip ziehen (nnd rückwärts yerlangemti
Im einzelnen Falle macht man dann den Centriwinkel DBN =
fallt das Lot NM auf BD, und schlägt um M einen Kreis durch dtt
Scheitel A. Dieser schneidet die Parabel auf der Seite, wo M lieg

in 1 Punkte, dessen Ordinate ■-

und auf der andern Seite
deren Ordinalen die beiden

)s^p(;

-ö <9'<'-t-l

in 2 weniger deatlich markirten Punkte
andern Lösnngen darstellen.

Das vorstehende Verfahren würde ich, falls keine Anzeichen t
lägen, ob es bekannt sei oder nicht, für überflüssig gehalten habe
zu publidren, weil es sich zu offen darzubieten schien um einer It
teiluDg zu bedürfen. Da jedoch in neuerer Zeit die Aufgabe t
Winkeltrisoction sachlich und historisch ao äusserst vielfach durd
gesprochen, und gleichwol nicht nur dieser Methode, sowie überhaii|
der Anwendung einer festen Parabel keine Erwähnung getan wordäj
ist, sondern sogar Aeusseningen wiederholt ans Licht treten, welcÄ
die Möglichkeit geradezu in Abrede stellen, so wollte ich dem g(
über die Existenz des Constructionsmittels einfach constatireu,

R, Hoiipe.

Affolter: Zur Theorie der Flächen dritter Ordnung, 113

XI.
Zur Theorie der Flächen dritter Ordnimg.

Von
Fr. G. Affolter.

Die Erzeagnng ^) der Fläche dritter Ordnung, die ich im Folgen-
den mitteile, scheint mir nicht ganz ohne Interesse zu sein, weil durch
dieselbe sich leicht und übersichtlich die 27 Geraden der Fläche dar-
stellen lassen.

Ausserdem werden wir in den Stand gesetzt die Theorie der 27
Geraden, so wie eüiiger von ihnen abhängiger Geradensysteme des
Baumes unabhängig von der Fläche mit den elementarsten Hülfs-
mitteln zu begründen.

I.

Enseugung der Fliehe dritter OrdnuHg.

Es seien im Baume fünf Punkte so gegeben, dass keine drei der-
selben in einer Geraden und keine vier davon auf derselben Ebene
li^en, und bezeichnen wir dieselben einer bestimmten, jedoch beliebig
gewählten, Beihenfolge nach mit 1, 2, 3, 4, 5, und allgemein irgend
eine davon mit ti, so folgt aus der cyklischen Beihenfolge dieser
Punkte sogleich, dass

1) Wio mir kürzlich Herr Professor Schläfli mitteilte, hatte schon
Steiner durch diese Erzeugung die 27 Geraden der Fl&che dritten Grades
daigesteUt

Ten LVI. ^

114 Aff^Uerz Zmr Thmrie der FUAtm dnUer Ordmmmf.

njzm.b^rzt^ «~(5 — *) und u^it

je denselben Pmikt darstellen, wo n, m, ir, « guze posürre, sonst
aber beliebig gewählte Zahlen sind. Die ftnf Ponkte bezeichnen wir
daher allgemein mit

«—2, »—1, «, »+1, «+2

Es ist also der Pnnkt n - 3 identisch mit »-{-2

«—4

• »

w

»+1

n—b

w

n

n

n+3

n

n

«—2

n+4

n

n

«— 1

n+5

w.

99

fi

«±6

n

W

«±i

etc.

etc.

Verbinden wir die fElnf Punkte n der Reihe nach zu zwei nnd
zwei je durch eine Grerade, so erhalten wir dadurch ein ein&ches
räumliches Ftlnfeck oder Fünfseit Bezeichnen wir diese seine fäni
Seiten mit

^i8i ^» ^1 ^45» ^51

oder, da es uns später besser dient, allgemein mit

^n.n+lj Ä»+l,n+2, ^n+2,»— 2) Sn—2,n—l^ ^n— 1,«.

Die Ebenen, auf denen je drei aufeinander folgende Ecken des Fünf-
ecks liegen, bezeichnen wir mit En und zwar

liegen auf der Ebene En die drei Funke n — 1, n, n+1

etc. etc.

Jeder Ecke und jeder Ebene entspricht eine Gegenseite, und zwar liegt
der Ecke n wie der Ebene En je die Seite )S»+2,n-2 gegenüber.

Lassen wir nun eine Ebene C sich um eine Gerade Ä, die keine
der fünf Seiten S schneidet, drehen, so bestimmt sie in jeder Lage
Cy mit den fünf Seiten S fünf Schnittpunkte s, die den Kegelschnitt
Ky bestimmen. Die Gesammtheit der Kegelschnitte K^ erfiülen eine
bestimmte Fläche dritter Ordnung.

■

Um dies zu beweisen, beachten wir zunächst, dass die Ecken n des
Fünfecks einfache Punkte der Fläche F3 sind. Legen wir durch die Punkte
n— 1 und w+1 die Gerade ö, so liegt diese ganz in der Ebene En.
Nehmen Wir an, die c' ' • Kegelschnitt JTy erzeugte Fläche sei von

Äffotlen Zur Thtarie der FläJieii driller Oiilnung.

der jiten Ordnung, so hat G ausser den beiden Ecken n —
»-|-1 nocli p — 2 Punkte mit ihr gemein. Es sei oj einer
Punkte, dann muss der Kegelschnitt der Ebene C, welche dnrch
Punkt «1 hindurch geht, in die Schnittgerade fr„ dieser Ebene mit der
Ebene £,'» und eine zweite Gerade Gni-2.n~3 degenerircn. Die Gfe-
rade ff« schneidet die Seiten Sb.«+i und &.-!.« und kann daher die
Seiten &,-(i.«+2 und S„— i,«— j nicht schneiden. C schneidet sogleich
fiii+aiH— 2 die zwei Geraden SB+i,»+a und S„-i,«-a und daher kann
aie &,+a„_a nicht schneiden. Diese letztere Seite wird daher von
e„ geschnitten. Hieraus folgt, da G„ und Gn+a.n-a die Gorade B
schneiden, doss ff„ als die Vorbindungsgcrade der Schnittpunkte
der Ebene £» mit den Geraden Sh+s.h-z und K angesehen werden
kann, und dass es folglich nur eine Gerade G„ nnd also auch nur
einen Punkt oj gieht

i den I

Es ist also

d. h. die Fläche ist, wie behauptet wurde, von der dritten Ordnnng.

■ Da jede Ebene die Fläche Fg in einer Curve dritter Ordnung
H schneidet, so folgt, weil in Jeder Ebene C,, ein Kegelschnitt K^ der
H Fläche liegt, dass anch die Gerade R anf F^ liegt nnd zwar als

■ fache Gerade; d.h. durch jeden Punkt der Geraden R geht ein
H nur ein Kegelschnitt Sg.

fl)

I

Darstellunir der 37 Geraden der Flüche F^.

Von den Geraden, welche anf F^ liegen, kennen wir

ferner die fünf Seiten S des Fünfscits oder die Geraden

R 6chnoidet keine dieser S, jedoch diese unter sich und zwar jede
die Vorangehende nnd Nachfolgende, was wir hier, wie auch spätWgi
immer mit ( ' ■ ) bezeichnen, so dass wir z. B. haben m

Aus der obigen Herleitung der Ordnungszahl der Fläche ersehen
', dass die Geraden G« und G„+a,,>_2 auch auf F^ liegen. Geben
' n fünf aufeinander folgende Werte, so haben wir die 10 Gemcfe

116 AffolUr-, Zur Theorie der URchea drUln Ofd»a»g.

<*) G„ e„ G„ G„ <7j

l^) G34, Gü, ffäi, f?«, »M

WO denn alle R sowie je zwei Bber einander stehende dch schneii

Diese 10 Geraden bilden also mit Ä je fünf Dreiecke.

Beachten wir, dass der Schnitt einer jeden Ebene mit der Fg
eine Cnrve dritten Grades ist, dasa, wenn somit eine Ebene F3 längs
zweier Goraden schneidet, sie dieselbe noch in einer dritten Geraden
schneiden mnss, so erhalleji wir, wie folgt, noch weitere Geraden der
Fj. Wir legen durch C, und S„+2,n-s die Ebene C'„, ao schneidet
diese F), noch in der dritten Geraden P,+2.B-g. Geben wir n
anfeinander folgende Werte, so erbalten wir die fünf Geraden

(6) -TU, r„, r„,

Je drei Geraden, welche anf F^ liegen und ein Dreieck bilden, ;
zusammen von allen andern auf Fg liegenden Geraden 1
werden, somit eine von solchen drei Geraden schneidet die Ger
der Fläche, welche i'e andern zwei nicht schneiden. Hieraas f
das8 die Geraden, welche r„+a,«_a schneiden, gegeben sind durch 1

(7) r„+2,„-j(-)

^-+1,

Ersetzt man n dnrch n + 2, so erkennt man sogleich aus dieser 2
samraenstellung (7), dass I^H.n^-i und P«,«-! die Geraden Gn
3n+2,R~2 nicht und folglich r„^2,„-3 schneiden.

Die Ebene- Cn+i,„, welche dnrch Z'm-|-2,»-2 und Gn-~i,H
werden kann, schneidet Fg noch in der dritten Geraden
Ebenso erhält man die Geraden welche Ln+s^n—i, wo in d
durch n-\-2 ersetzt, welche in+a,i<-i schneiden, wie oben für r^+i
und man hat

Giobt man n fünf aufeinander folgende Werte, so hat man also c
weitern fünf Geraden

(9) i-M. -t«, -£51.

Legen wir durch Ln+i.ti-z und (?« die Ebene C>i+s,i.-2, so schneid
diese F3 noch in der dritten Geraden £. In gleicher Weise f
mau die Goraden, welcho £ schneiden, wie oben und sie sind gegeb«

Affoirtr: Zur Tlieork ikr Flüdita dritter Ordimiiff.

Iliorans crkonnt man, welches Linienpaar
G„ und in+a.ii— 3

mau auch nolimeii mag, man immer eine Ebene Ca+i.n-s orhält, c

in der Geraden f die F^ schneidet Auf F^ liegt also noch die weiterafl

Gerade

(11) f

Nachfolgende Zusaromenstellnng giebt zur klareren Dohersicht
jede der bis anhin gefundenen Geraden, nebst der Beifügung der je-
deamaligen Geraden, welche die ersten achneiden. Wir haben:

(18J

Giebt man n fünf aufeinander folgende Werte, so bleiben S und "^
ungeäudert, jedoch ans jeder der fünf andern Geraden gehen je fftn
neue Geraden hervor, und wir haben zunächst auf I^ 27 Geraden.
Anaserdem erkennt man, daas jede Gerade von 10 der Übrigen ge-
schnitten wird, welche sich fünfmal zu je zweien (die über einander
Blehondou) selbst wieder schneiden. Wir haben also keine zwei Ge-
raden, die in derselben Ebene liegen, worin nicht noch eine dritte
Gerade sich vorfindet. Unser Verfahren führt also zu keiner n
Geraden mehr. Beachtet man, daaa in keiner Ebene vier Geradfl
der F3 liegen können, so folgt nun leicht, dass auf der F^ keiiU
veitem Geraden eich vorfinden können.

AffoUf'i 2m TW«* Ar fbAn Mcm- Oni»«.

1

Heber 4ie GnpH™? ^r « ficnira mI 4er FUeke ^^

Bezeichnen vir wi« oben mit T - - ) sduteiden , so folgt aas (17)

■ua«T obigen ZosuBBieBstellag, dan

r.=i..(-)r.^i.^iC-jr..-+iC)n-s,.-ii ■Jr„L.+Jt■■)n-
d. h. die fanf .Geraden r bUden selbst wieder eis gescUossnea, \
faches räumliches Fflnfseit

I>2 sieb allgemein /'.-tf,._2 and S.+i..-ä schneiden, so kfim
wir ans den Ocrüdcn (5^ nnd (5/^ die nachfol^nd gegebenen 1
riomlicheu Fäofecke bilden, welche zn je zwd und zwei in der
Beziehung stieben wie die zwei FOnfeeite \S} und (I^, d. h. je e
Seite der einen schneidet je eine Seite der uidern. Die 12 I
Beite siud:

(20)

(21)

Sn-J.., Su.n

S^a.«-i,

Geben wir " fünf aufeinander folgende Werte, so geht jedes Fäi
des ersten Paares je in sich selbst über, während jedoch aus i
andern Paar fünf von einander Terschiedene Fanfseitpaoro hcrvg

gehen.

Die Geraden Gn+2,14-2 und i.»+2,n-2 haben in Bez;^ auf a
diese Fonfseite dieselben Beziehungen, d. h. jede von ihnen schneidet TM
jedem Fünfaeit je zwei dnrcb eine dritte von einander getrennte Seiten. ■
Die Gerade Un schneidet, wie durch unsre obige Znsanunenstellnug
gogloiiih hervorgeht, von jedem Fiinfseit drei Seiten, tou denen sich
zwei treffen nud die dritte, die zum Schnittpunkt der zwei ersteren
Gt^cn Seite ist.

Aus uuserer obigen Zusammenstellung geht sogleich hervor,
jede der 27 Geraden von 10 andern geschnitten ist und von 16 n
Die 10 Geraden, welche irgend eine der übrigen schneiden,
sich auf 16 verscbiodene Arten in je zwei Grenzpaaron zu fünf n
fttnf so absonderu, dasa die sämmtlicheu ftlnf der ersten Grenzpaa
noch eine zweite genieinsame Transversale haben, während dies t
den fOnf Geraden der zweiten Grenzpaare nicht zutrifft Keine z
Geraden derselben Grenzpaare können sich schneiden.

AjYolUr: Zur JÄeone der Fläc&ea

r Ordnung,

119

Die 10 Geradeu, welche zwei Gerade, die sich selbst nicht schnei-
den, nicht Bchnuidea, lassen sich 12mal zu je fünf Seitfin je eines
räumücheu Fllnf9<>its zusammenstellen, welche sechs mal za jo zwtim '
ao geordnet sind, dass jede Seite des elneu je eine und nnr ein('~
Seite des zweiten schneidet.

Nehmen wir, um das Gesagte zu beweisen, die Gerade 1
ae von den 10 Geraden

(22)

f Gu «.>

Gt,

Ci5, (?5,.

geschnitten. Von diesen 10 Geraden sind die fttnf

(23) ff„ ffj, ffa, ff«, ffs

von der Goraden f geschnitten, femer sind die Geraden

(24) Gn, G„^2.n-l, ff»-l,«, G«.«-l, (?H+l.« + 3 ,

von der Geraden ÜB+a.H-s und die Geraden

(25) G»-i,H, (V„-i, G„, ff„+i, ff„+i,«
von der Geraden r«+a,„_B und endlich die fünf Geraden

(26) G«-a,H-i, (?»-a, ff«, ff„+a, ff«+i,.,+:i

von der Geraden Sh+2.m+2 geschnitten.

Um die 16 verschiedenen Gruppirungen zu erhalten, hat man t
fttnf aufeinander folgende Wert« zu gehen. Ebenso ist klar, dasa von
den 10 Geraden (22) jede fünf, welche unter (23) (24) (25) und
(2fi) nicht angegeben vorkommen, auf S von keiner zweiten gemoin-
Bomen Transversalen gesclmitten werden.

Aus dem obigen folgt, dass die beiden Geraden R und £ von (27)
den 5 Geraden ff« geschnitten sind, jedoch von den 10 Geraden (5iS) i
und (5 F) nicht getroffen werden.

(28) Daes die drei Geraden
goaehnitteu sind von den drei Geraden

und nicht getroffen werden von den sechs Geraden

r„_i,„, r„+i.«4.2, r„_i.«_i, /*«,„+!, 5b,«+i, ä»-!,»

Nun aber erkennt man sogleich durch unsere obige Zusanunenstellni

ISO A//i>lter: Zwr J^eorie der Fläcken dritter Ordttunff.

(lawi flieh dieao sechs Ooradcn ihrer angeschriebenen Beihenfolge nach
H0hiic5idou und bo ein geschlossenes räumliches Sechsseit büden..

(3U) Dio vier Geraden

üiud von Oh und On^2 nnd nicht geschnitten von den drei Geraden

uud folglich sind tlie fUnf Geraden

(HO) Ä, iy iS;+Ä.»-.2, iS.«,«+i, /;-2.H-i

von (/m jedoch nicht von rN.i.M geschnitten und (31) schliesslich
aiud die C Goraden

von keiner woitor gemeinsam geschnitten, nnd sie unter sich schneiden
«ich holhat nicht.

\ou diCsHon ^ Geraden haben wir gesehen, dass die fönf ersteren
von i*\ gOHchnilton sind. Kbenso leicht earkennt man mit Hülle obig»
Zu9iaiu\ucMHtol)ttUg> das»^ irg^^nd je ftüaf dieser 6 Geraden von einer
geiuoiusuauon 'lVan»\\^r»ale getroHen wenkn nnd indem wir diese anf-
auchen uud zus;ammeu:^teUen^ erhalten wir xwei Systeme von 6 Ge-
raden - sie sind

Aus j^slcut iUeser beiden ^ystesie erkennen wir ssn, dass jede
Gerade des einen Systems tfie sjjitmtiidien Gerad» des andern
Systems schneidet, mit Ansnabme der tienden. wekiie gerade fiber
oder unter Uur siebt Pie Getadtem beider Systeme siad «uter sich
wiudschiet' zu eiuauder. Zw^i siv^ebe Systes»^ j« »chs Gendeai kisst
man ciu SchUtli*scbe* Pv>ppelsecbs^

Da jede Gerade d<?» eü«Ä Syvten» je tUjxf aaiiiare Gende des
zweiteu SYstem;s scliUjeideQ. si> tx^j^cc« dfc» in etmem I^^ppeLMCbs keine
fünf Gcrudcu mit ;£wei Ttatt^Yec^sjJiett eijatcvi&tt.

Dui'ch uu^'re l>air$ldyhiiui$ tue« IV^^I»eci^ erkeits« maa, dass
bczichlich

1, i*. 3; ^ ;k t>

;\ i ;<; :^, Jfe. k)'

ÄJ/alter: Zur TbtoyU dir Flächen drltler Orduu>

Geraden des andern S(>chs geschnitten werden. Speciell ist TOOf
IVichtigkeit zu I>emerken, dass die Geraden des einen Sechs je \
drei Geraden des auderu Sechs geschnitten werden. Z. B. haben i
die drei Geraden

geschnitten von den drei Geraden

Benennen wir je drei nnter sich windschiefe Geraden ein Triplo,
so folgt;

(33) Die Geraden eines jeden Triplo, das sich ans
den 27 Geraden der F^ bilden läBst, werden von den drei
Geraden im zweiten Triplo geschnitten. Zwei solche
Triplo heissen wir ein Doppeldrei.

Dieser Satz ist aber identisch mit dem folgenden, wenn
beachtet, dass die Windschiefen ein Hyperboloid bilden:

(34) Schneidet ein Hyperboloid die Fläche F^ in drei
Geraden eines Triplo, so schneidet sie dann F^ noch in
drei Geraden eines zweiten Triplo. Diese beiden Tripli
bilden ein Doppeldrei.

Ersetzen wir in (29) die Gerade Ss.n+i durch Sm-i,m, so ei^ebt
sich in gleicher Weise das Doppelsechs

^^' \ L«-a.n-l, t?«-a,«-i, ffn-l, G„-2, G«, Gn+S

Cio zwei Doppelscchs (32) and (35) haben also das Doppeldrei
fi, t, Ä.+a,«-^|_

I G„-2, 0„, Gn-t-i

maa^H

(36) Ein Doppcldrei findet sich in zwei Doppelaechs]
d ein Triplo in zwei Sechs vor.

Weil jede der 27 Geraden von 16 der übrigen nicht geschnittCTfJ

unter sich windschiefen zusammeustellon.

Nach den Beziehungen (23) — (26) werden je zwei windschiefe
Geraden von fünf der übrigen, die unter sich selbst wieder windschief
sind, geschnitten. Ee giebt also 216 Fünf mit zwei Tranaveraaleu.

122 A//oll,rt Zur Tktorie d.r FlävHtit drit.

Jede der beiden Transvorsalon wird aiiej noch von je fflnf
roden geschnitten, die jedocli keine zweite Transversalo mehr
Es giebt aUo 433 Fünf mit einer TransverBalen,

Aus jedem Sechs lassen sich sechs Fflnf mit je einer .Tri

versalen bilden, folglich giebt es —^ einfache Sechs oder 36 Doppel-

st'cha. Mit lialfe der Doppeldrei lassen sich leicht alle 36 Doppel-
BüchB dai'stellen. Gcbon wir in der folgenden ZusammonatßUnng je
5 aufeinanderfolgende Werte, so ropräsentirt

i,a, A«, i45, W\

(t,

G-.x)

1 Doppelsechs,

Gn-ä

,„_2,S„_i.„\fünfDop-
ii-i, <?B-i,H ) pelsGchs,

atßUnng je.-^J
) fünf Dop-^^l

(R, i«+2.— 3,i:*..+i,r„+i.„+2,S„.H+i, 5^+3. ■-*( fünf Dop-

lfi«+i,n+a,(?«-a, Gn, ff»+i,»+9,G«-2.»-],(?„_i,„ ) pelsochs.

n,GH-l,

[J, Gn+i.H~3, (7h.h(1, r»+l,H+2,S_,„+i, Sh+s.»

tÄ-n.Hha.ffi.-a, C«, £B+i.i.H(,i«-2.;-i,iii-i,ii

I G^ 2,-1.«, G«-i.«, n-i,-, r«.„+i, 5H+2.K-al ftoifDi

8)

1, G«-2.„_!, i*_2.„-i, r„.

G«^2.n-^ £i.+s,i>^,Ä.+s.i.-afpeL
Au dieser Zusammenstellnng ersieht man, dass zwei wi
Geraden, z. 6. R und £, in 6 Doppebecbs und eine, z. B, .
Sechs vorkommen.

Zwoi Geraden, die sich schneiden, sind von 17 der abrigeu g
scluiitten und von acht nicht. Diese acht Geraden sind alle von e
uud dersolbüu Geraden geschnitten, welche mit den beiden ersten ll
doraelbon Ebenu liegen, uud bilden so ein geschlossenes Dreieck.
Mftu «tkannt« aus der obigen Zusammenstellung, dass durch jede
Gwado iliol Ebenen geheu, welche je noch zwei Geraden enthalten,
h. jode Gerade ist Seite zu fünf Dreiecken oder da je drei Seiten
d«tt giaiciieii Dreieck vorkommen, giebt es ^ Dreiecke. Von
4d Dreiecke gehen durch jede Gerade je i

Affolter: Zur Theorie der Flächen dritter Ordnung. 123

An der obigen Zusammenstellung lassen sich die 45 Ebenen mit
ihren Greraden in folgender Weise darstellen. Wir haben, wenn man
n je fünf aufeinanderfolgende Werte beilegt:

1) fünf Ebenen (f, (?„, Z„+2.«-2)

3) „ „ (^»+l,n+2, ö^»-l, r»fi,»f2)

4) „ „ (^»f2,n— 2, Gn—2i ^- 2,n— l)

5) „ „ (rn-l,n, ö^n+1, in+2,n-2)

6) 95 99 (ö^n— 2,n— 1, Äw-l,n9 X»n,«+l)
V « 99 (ö^n+l,n+29 &,»+!, Ln-l.n)

8) „ „ (ö'«-|-2,n— 29 rii,n+l5 X'w-2,»— l)

9) ,9 „ (Gn,n-\-l^ Jn-|-2,n— 29 Ln—l,n)

Ersetzen wir die 5 Ebenen 9) durch die 3 Ebenen

10) (G^n,n+l, i^n-2,n-l, Z.»+l,n+2)

welche mit der Ebene 8) identisch sind und sich aus diesen ergeben,
indem n durch w — 2 ersetzt wird. Für denselben Wert von n reprä-
sentirt 1) — 8) und 10) je 9 Ebenen, auf denen alle 27 Geraden der
Fläche Fq liegen.

Ersetzen wir den Wert n durch w+1, so erhalten wir neun
andere Ebenen, auf denen wieder alle 27 Geraden der F^ liegen.
Diese zwei Systeme von je 9 Ebenen schneiden sich in 81 Geraden,
zu denen die 27 der F^ auch gehören. Diese 81 Geraden bilden
somit die Grundcurve eines Flächenbüschels neunter Ordnung und
wir haben daher:

(37) Die 27 Geraden der Fläche dritter Ordnung las-
sen sich als den vollständigen Schnitt dieser Fläche mit
unendlich vielen Flächen neunter Ordnung ansehen.

Die Geraden, welche auf den drei Ebenen liegen

(f , Gn 9 i^t4-2, »—2)
(i?, 0^11+19 Gn—2,n-'i)
(ö^n-f2,n— 2, ^»»n+l, Ln-2,n—l)

liegen auch auf den drei Ebenen

(f, ö^n+l, Xfn-2,n-l)
(J?, Gn^ ^n+2,n— 2)
(Ln^2,n—2j ■^»,»1+19 ö^n— 2,»— l)

Dieses Paar von je drei Ebenen, auf denen dieselben 9 Geraden der

^^^1^^^'"'

iSiV

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1

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JB

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— :, UV»* X™,)-i

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X,_i,

"■41

L„-2

S»-i,

o„+,

ff»_i

'in

in+l

■-2

'ni

f^bon wir n füiif aufeirander folgende Werte, 80 erhalten wir i
Trii>eltriederpaare nnd folglich giebt es im ganzen 120 Triedcrpaa

Ansserdem ersieht man, dass aicL jede Gerade z. B. f in 40, t
üwei die sich nicht schneiden wie z.B. R nnd £, in 10 Triederpaaren
"Räuden , nnd ferner folgt, dass drei jind mehr windschiefe Geraden
8i«h nicht in mehr als einem Triederpaar vorfinden.

Nehmen wir zwei zu einander windschiefe Geraden, ;
J«nd die Gerade <?», welche jene beiden aclineidet, so
'^i Gerade von den Geraden

. B. R nnd
sind diese

hinzu, Bo bilden die

nnebenes Vierseit I

w&lat geschnitten. Nehmen wir noch (?»(]
"i^r-Bden Ji, £, Gn, Ci+i ein geschlossenes
^:«~ Goraden sind von der Geraden

"■"^Itt geschnitten. Die zwei Geraden t und JS sind von den fünf
™^«n On geschnitten, je zwei von diesen bilden mit jenen einTierseit;

'"■-Slich gehören zu f und E je -

"^*^en lassen sich somit

liss^H
seit: ^B

= 10 Vieracite nnd aus den i

"^^tsbene Vierseite bilden.

Weil es nnr eine unter den 27 Geraden giebt, welche die 4 Seil
***>eä unebenen Vierseits nicht schneiden, so'folgt, dass je 40 Vier-
*^\te von ein und derselben Geraden nicht geschnitten werden. Die
^*ßrftdQ R schneidet z. B. die folgend zusammengestellten 40 Vier-
*«iito nicht.

ier- ^^

126

Affolter: Zur Theorie der Mächen dritter Ordnung.

t.

n4-2

n— 1 «—2

&

Ln
n-f-l

n— 2

n

/V|-2, Ai

n-2 wfl

^»f2, in+l
n-2 »+g

n-f-2 n

n-2 n+2

/n4.2, iw+l
n— 2 n

^n+29 Äii-f 1
n-2 nf2

A»+25 i^n
n-2 n-1

&»-|.2, Ä»— 1
n— 2 n-2

/V|-29 Ln—1
n— 2 n

/n-l, ^nf 1
n K-f2

&I+2, Zw+l
n-2 nf2

n4-2 n

Nehmen wir vier Gerade, von denen die erste die zweite, die
zweite die dritte, die dritte die vierte, aber diese die erste nicht
schneidet, wie z. B.

Ät,!n-1, Ä^n,4-l,n, Än+2,n-|-l, S»-2,n-{-2

SO sind diese von den Geraden

Ä, -f, iM-l,n-2

nicht geschnitten. Nehmen wir zu den obigen vier noch die Gerade
Ä»-i,n-2 hinzu, so erhalten wir ein unebenes Fünfseit, dessen Seiten
von den beiden Geraden R und f nicht geschnitten werden. Die Ge-
raden R und t schneiden, wie wir schon oben gesehen haben, die,
fünf Gerade r auch nicht und wir haben:

(38) Solche fünf Geraden, welche ein einfaches ge-
schlossenes Fünfseit bilden, werden von zwei Geraden
nicht geschnitten. Diese zwei Geraden schneiden auch
noch andre fünf Geraden nicht, die selbst wieder ein
einfaches geschlossenes Fünfseit bilden. Die 10 Gera-
den dieser beiden Fünfseite lassen sich noch zu 10 an-
dern Fünfseiten zusammenstellen.

Hieraus folgt:

(39) Die 27 Geraden der Fläche F^ lassen sich zu fünf
und fünf auf 216.12 verschiedene Arten so zusammen-
stellen, dass je die fünf Geraden ein einfaches unebenes'
geschlossenes Fünfseit bilden, und dass je fünf solche
Geraden von zwei der übrigen nicht geschnitten werden.
Diese 2592 Fünfseite bilden 1296 Fünfseitpaare so, dass
jede Seite des einen Fünfseits jeden Paares je eine und
nur eine Seite des andern Fünfseits desselben Paares
schneidet. Die Seiten der beiden Fünfseite desselben
Paares werden von 2 Geraden, die sich selbst nicht
schneiden, nicht geschnitten.

Aj'/aUtr: Zur Throrie der Fläcktn drilltr Ovdr

Nehmen wir die fttnf Geraden, von denen die erste die zweite,
diese die dritte, diese die vierte und Bchlieaelich die vierte die fttnfte,
jedoch die fünfte die erste nicht schneidet, ho vscrden diese von i
Geraden nicht geschnitten. Kehmen wir 2. B. die Geraden

^.«fi

weite,
Bnfta,

I

ein

I

Bo sind dieselben von den Geraden

nicht geschnitten. Kehmen wir aber noch die Gerade ^-1.« binzn,
so schneidet diese sowol '^.»fi als r^-i.H nnd wir haben somit ein
räumliches einfaches Sechsseit. Die Seiten desselben sind von deB«
drei Geraden

nicht geschnitten. Oben haben wir umgekehrt gesehen, dass irgend
drei Geraden eines Triglo von 6 der Ohrigen Geraden nicht geschnitten
werden nnd wir haben also jetzt den allgemeinen Satz:

(40) Je drei windschiefe Goraden unter den 27 Ge-
raden anf einer Fläche dritter Ordnung werden von 6
der übrigen Geraden nicht geschnitten. Diese bilden ein
einfaches geschlossenes räumliches Sechsseit.

Zn ieden Triplo gehört ein zugeordnetes Triplo, wo,
wie wir oben gesehen haben, die drei Geraden des einen
die drei Geraden des andern schneiden. Die zwei Sechs-
seite, ^.welche den beiden Triplo eines Doppeldrei ent-
sprechen, heissen wir ein Boiipel sechsseit. So entpric^
z.B. dem Doppeldrei

is, s.

.n..-

das DoppclsecLsst

S„..ti, r.+,..,
?«li,«+a, -Ch-2,»-:

C.+1,

I

)igen Zusammenstellin^l

einen Sechsseit j^^^

Hieraus erkennen wir an der Hand unserer obigen Zusammenstelli
Seite 124. sogleich, dasa jede Seite des einen Sechsseit j'
drei Seiten des andern Sechsseit schneiden und zwar
sind je zwei der drei geschuittneu Seifen dnrch je eine
der nicht geschnitten getrennt.

Da, wie aus der oh^en Zusammenstellung S. 124. leicht hervor-
'gelAt m fünf Geraden, von denen die erste die zweite, die zweite

128

Aff9Utr: Zmr I%eone der FUekm dritter Ordnung.

die dritte, die dritte die rierte imd diese die ftnfie, -jedoch die
ftaxhe die ente niclit schneidet, keine sechste gefunden werden kann,
velche entweder die erste oder die fünfte schnitte, aber keiner der
«hrigen begeignete, so folgt:

(41) Ans den 27 Geraden der Oberfl&che J^ lassen
sieh keine geschlossenen einfache Siebenseit bilden.

Eehrai wir nun zn einem Triederpaar zurück, z. B. zn

i>

<?»,

<?«+!,

«-1

M-1

«—1

^:tv

Gn-\,n

so können wir ans diesen 9 Geraden sechs Tripli bilden, sie sind:

(t, r„-2, Gn-\,n), {Gn, Sn-i, Ln-2)

n—1 «—2 «—1

(?, Sn-2, r,ifl),

M-1 Nf2

{Gn, Gn^i, Gn^hn)

(X|»f2, G^m4-1, i«4-l)
»—2 «4-2

(X»»4-2, 11-2, X»»-2)
n— 2 M*l M— 1

Zu jedem dieser 6 Tripli gehört der zugeordnete Triplo. Diese 6
femer enthalten alle 18 übrigen Geraden der JF3. Nehmen wir spedell
das Triplo

«, n-2, Gn^l)

«—1 M

alsdann bilden die sechs übrigen Geraden des Triederpaares das
Sechsseit:

Gx^ LH^2y iSi,-2, ö^M+l, i^-2, i»+i.
N-2 »— 1 M-l M-i-2

Nun liegt t in der Ebene ((?», iH+2) wie (6?h+i, £»-2)

n— 2 H— 1

/n-2

M-1

99 1^

M

59

?»

(ö^H+l,

M-2

&,-2) wie (G^M, r,i+i,M+2)

M — ^1

iSM-2) wie (r.»4.i, Gn-2)

M+2

M-1

M-1

d. h. die Geraden des Triplo

M-2

I sind
■ Seclif

sind die Diagonalen, in denen sich die drei Paar Gegenebonen (

Seclisseit flchueiden. Das Triplo, welches dem Triplo

zugeordnet ist, enthält somit die drei Gerade«, welche die sechs Sä-^
ten des Sechsscita nicht schneiden nnd wir hahen den Satz:

Je drei Geraden, weicht
die drei Hauptdiagonalen, ii
eines einfachen Sochsseits :
Geraden, welche jene sehne
dem keine Gerade die Seite:

sich nicht schneiden,
denen sich die Gegenebenen "
chneiden. Die ferneren drei
den, bilden das Triplo, von
des Sechaseits schneidet.

Aume

An das Behandelte schliessen sich nun sogleich
len Anfgahen an, deren Lösungen selbst nicht schwer za

nntor den 27 Geraden der Fläche Fg
II Büschel von Flächen dritter Ordnung hin-

1. Aufgabe. All(
finden, duri'h welche *
durchgehen.

2. Aufgabe. Irgend 9 Gerade des Raumes ;!u coustruireu,
durch welche cm Büschel Flflcben dritter Ordnung hindurchgeht.
Alsdann den Ort der Geraden sänunthcher Flächen dritten Grades
des Büschels zu untersuchen, und schliesslich die 18 resp. 17 übrigen
Geraden der Fläche des Büschels zu construiren, welche entweder
durch einen beBtimmteu Punkt gehen oder wtlcho oino weitere Gerade
in specieller Lage enthält.

3. Aufgabe. Alle Systeme von Geraden zu construiren, durch
welche eine Fläche dritten Grades vollständig bestimmt ist nnd je
die übrigen Geraden der Fläche mit zu construiren.

in- ^H

4. Aufgabe. Im Räume t
einzig zu construiren.

1 Doppelsechs mit Hülfe des Linealt

Anli

I In dem Nachfolgenden spreche ich nun einige Sätze aus, die sich

H aus dem Vorhergehenden ohne weiteres ergeben. In einer spätem

■ Mitteilung werde ich dieselben mit den einlachsten Hülfamitteln der

P Elementargeometrie begründen und dann darauf eine elementare

1 Theorie der räumlichen einfachen nnd voUständigeu Fünf- und Sechs-

f Stile gründen.

I

lliO A/folter: Zur Theorie der Flächen dritter Ordnurui.

Wir gelieu von den Goraden i?, S and On ans nnd erhalten,
indem wir uns den Beweis, dass der Ort der Fläche der Kegelschnitte
Ky eine Fläche dritter Ordnung sei, mit Berücksichtigung der Sum-
uiüu (22) bis (26) die folgenden Sätze:

(42) Es sei das räumliche einfache Fünfseit/5 mit den Ecken
1, 2, 3, 4, 5 (oder allgem. »), mit den Eckebenen E^^ E^--" (oder
aligem. Ku) und den Seiten iSj^? '^)*** (oder allgeuL iSU,a-|-i), sowie
die Üerade Ji^ welche keine der Seiten S schneidet, g^eben. Die
Gei'adeu ü und ^ä^^^ schneiden die Ebene Ej^ in zwei Punkten der
Vürbiudungägorado O^. Oder allgemein die Geraden B und &4.2,»-2
schneiden die Ebene En in zwei Punkten, deren Yerbindungsg^rade
Gw Geben wir h fünf aufeinanderfolgende Werte, so eriialten wir
die tiämmtliohen iünf Geraden

G^y G^y G^y G^y G^^

Diese fünf Geraden schneiden alle R und werden auch aUe noch
von einer zweiten lYausversalen geschnitten, sie sei ^

Legen wii* durch Gu und R die Ebene C», so schnddet diese
die zwei Seiton ^wi-i.Mfi und ^Si»_ä.»-i in zwei Punkten, deren Yer-
bindungsgerade Gh^^^ht-^ sei, geben wir n fünf aufeiDanderfblgende
Werte^ so erhalten wir die fUnf Geraden

^34> ^^iöy ^51' ^13 > ^a?

welche alle ausser der Geraden R von keiner zweiten Geraden ge-
schnitten werden.

In Betreif dieser 10 Geraden gelten nun die folgenden Sätze:

Von den Geraden

6'i> G9, fc'3, G4, G5,

^W> ^45*» ^äl? ^139 ^28 >

welche alle die Gerade R schneiden, werden die fänf

Gh—2^ Gn—ly Guy C»n-fl, Gt^'2

von einer Geraden 5 geschnitten.
Die Geraden

t»«— 3,H— 1, Gn^l,n^ Gn* Gn, »*f-l^ fen+l, »-fü

weiden von der Gerade LH^2,n-2^
die fUnt Geraden

Zur Theorir-Jer Fläc/.en drit

OVi.«, 6Vi, C.„ C„(i.

werden von -TB+a.w-a,

und endlich die fünf Geraden

6'„-a.«-i, C— s, 6"„ r?„,2,

werden von der Geraden Sb+2,i

Geben wir n fünf anfeinaadcTfolgendo Werte, so repräsentiren' 1
t, i^^i, -Hi-t-a, B»\i sechazehu Geraden, welche mit R und den

10 (m ein System von 37 Geraden bilden. Sobald die obigen SätsG
bewiceon sind, so ergeben sich die fi'eitern von aelbst. Von hier aus
lassen sich nun noch eine Menge Beziehungen herleiten, die ich wie
früher oben gesagt in einer spätem Notiz miltcilc.

Ist ein ränmliohes einfaches Sechsseit gegeben mit den Ecken
1, 2, 3, 4, 6, 6, den Eckebenen E„ E^ E^, E^, E^, Eg nnd den Sei-
ten Sj3, ,^3, Sj4, S^, 5m, Ssi, so bezeichnen wir 1 und 4, 2 und 5,
3 und 6 als Gegenecken, Ej nnd E^, E^ und £.';, E^ und E^ als
Gegenebenen, die Schnitte je zweier Gegenebenen heisaen wir eine
Hauptdiagonale nnd bezeichnen sie mit rfi^, rf^, d^, dann achneidet

rfu die Seiten S,s,

S«, &14,

Die 9 Geradon (6 S) und (3 d) lassen sich als den vollständigen
Schnitt der beiden Trieder (E^E^E^) und (E^E^E^) ansehen, und da
dies specielle ausgeartete Flächen dritter Ordnung sind, so hat man:

(42) Die Seiten eines räumlichen einfachen Sechs«
seits nnd die drei Hauptdiagonalen bilden die Basis^
cnrve eines Flächenbüschels dritter Ordnung.

In der Tat sind die 6 Geraden des einfachen Sechsseits IS Be- J
disgangcn gleich, denn damit z- B. die erste Seite auf einer Fläcbl^l]
dritter Ordnung liegt, muss sie 4 Punkte auf der Fläche haben,
2te, 3te, 4te und bte je noch drei, nnd endlich die 6te noch zw^'l
dies reprüsentirt aber

4+3+3+3+3+2- 18

Punkte. Durch jeden 19ten Punkt geht somit noch eine Fläche drit- '
ler Ordnung. Die Diagonalen iZ„, rfg^, d-^^ liegen von selbst auf joder
Fläche, denn jede dieser Diagonalen schneidet vier Seiten des Sechsseits.

3 der Geraden G, welche alle drei Dia-

*

132 AffoUtrx Zur Theorie der Flachen dritter Ordnung

gonaleu d schneidot, so hat sie mit jeder Fläche des durch das
Sechßfieit b^timmton Flächenbüschels dritter Ordnung drei Punkte
gemein. Folglich giebt es je eine Fläche des Büschels, welche sie
ganz enthält.

Ks sei F^ diese Fläche. Legen wir durch G irgend eine Ebene,
80 schneidet sie F^ in der Greraden G und folglich noch in einem
Kegelschnitt, d. h. diese Ebene schneidet die 6 Seiten des Sechs-
seits in sechs Punkten eines Kegelschnitts, und wir haben den Satz:

(4d) Die drei Paar Gegenebenen eines einfachen
räumlichen Sechsseits schneiden sich in den drei Haupt-
diagonalen des Sechsseits. Diese drei Geraden sind im
aligemoinon windschief zu einander und bestimmen so
ein Hyperboloid. Jede Ebene, welche durch eine Ge-
rade (m geht, welche die drei Diagonalen schneidet, also
eine Tangentialebene des Diagonalhjperboloides ist,
schneidet die sechs Seiten des Sechsseits in sechs Punk-
ten eines Kegelschnitts JTx. Drehen wir die Ebene um
dieselbe Gerade G, so liegen alle Kegelschnitte Kx auf
einer Fläche dritten Grades. Es giebt noch zwei andere
Geraden 6\ welche zur Erzeugung derselben Fläche
Veranlassung geben.

Oder auch:

(44) Der Ort der Ebenen, welche ein einfaches räum-
liches Sechsseit in sechs Punkten eines Kegelschnitts
schneiden, ist eine Fläche zweiter Classe, welche die
drei Gegenebenendiagonalen als drei Erzeugende der
einen Schaar enthält

Zum Schluss mag hier noch der reciproke Satz Platz finden.
Da or nach dem Gesetz der Beciprocität von selbst klar ist, so gehe
ich hier zunächst auf keine weitere Herleitung desselben ein. Er
heisst:

(46) Der Ort der Punkte, durch welche je mit den
sechs Seiten eines einfachen räumlichen Sechsseits sechs
Tangentialebenen eines Kegels zweiter Ordnung be-
stimmt sind, ist eine Fläche zweiter Ordnung. Diese
Fläche enthält die drei Hauptdiagonalen des Sechsseits,
oder die Yerbindungsgeraden der Gegenecken desselben,
als drei Geraden desselben seiner Geradenschaaren.

Ik merkung. Das räumliche einfache Sechsseit ist also in

Affolter: 2^r Theorie, der Flächen dritter Ordnung. 133

innigster Beziehung zu zwei Hyperboloiden, welche beziehlich durch
seine Ebenendiagonalen und Eckendiagonalen bestimmt wird.

Halten wir die sechs Ecken fest, so lassen sich sechzig einfache
Sechsseite bilden. Welche Beiziehungen haben diese 60 zugehörigen
Hyperboloide, welche durch die Ebenendiagonalen erzeugt werden,
zu einander? Ebenso für den reciproken Fall?

In welcher Beziehung stehen die Ebenen- und Eck -Hauptdiago-
nalen eines einfachen räumlichen Sechsseits zu einander?

(Fortsetzung folgt).
Pisa, den 1. Januar 1874.

134 Zahradnilci Rationale ebene Cknren dritter Ordnmf,

XU.
Rationale ebene Cnrren dritter Ordnung.

Von
Ä. Zahradnik.

Die allgemeine Gleichung rationaler ebener Cnnren dritter Ord-
nung, wenn wir den Doppelpunkt zum Anfangspunkt der Goordinaten
wählen, ist

öic3-f-*a^y +<^^+^2^+^+/^+^y^ = (1)

Gehen wir zu Polarcoordinaten über, indem wir a; = rco^9,
y = rsin<;p setzen, so erhalten wir

r^ (a cos^qp -f- b cos V sin 9 + c cos g) sin V + d sin'9) -|-

r* (e cos V +/CO8 9 sin 9 -j-g sin V) =* (2)

Aus dieser Gleichung ersehen wir, dass eine jede durch den
Anfangspunkt der Goordinaten gehende Gerade die Gurve in drei
Punkten schneidet, von denen zwei mit dem Goordinatenanfang zu-
sammenfallen. Es existiren aber zwei Richtungen der Geraden, wo
alle drei Schnittpunkte mit dem Goordinatenanfang zusammenfallen;
dieselben ergeben sich aus der Gleichung

e cos*g> ^/cos g> sin q>'\-g sin^g> = (3)

denn in diesem Falle geht die Gl. (2) über in r» = 0. Durch den
Doppelpunkt einer rationalen Gurve dritter Ordnung gehen demnach
zwei Gerade, welche in demselben drei zusammenfallende Punkte mit
der Gurve gemein haben; es sind dies die Doppelpunktstangenten^
deren Gleichung

■ oder

Ararfnit: Sationale ebene Cun-ea dril

r*((!cosV+/'cosq3 9iii9? + i7sinV)

ist. Diese Doppelpunktstangenteu fallen zusammen, bilden eine Bück-
kehrtangeiite, wenn

f^^ige^Q (5)

iat, und der Doppelpunkt wird zu eint'm Rückkehrpunkte, einer Spitze.
Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehrpnnkte
lautet demnach mit Rttckäicht auf Gl. (5)

ax^-i-bx*s+oxy^-\-dy^-\-(x\/ e+sy 3)^ = (6)

Nehmen wir nnn die Rückkehrtai^ente, deren Gleichnng

<--'Vi-

zur Absciaaenaxe oinea rechtwinkligen Coordinatensyateras , so j
die Gl. (6) üher in eine Gleichung von der Form:

In diesem Abschnitte wollen wir die Curven dritter Ordnung i;
einem Rückkehrpunkte behandeln , und im nächsten Hefte wollen t
HOS zur Theorie der Curven dritter Ordnung mit einem Doppelpui
wenden.

2. Jeder durch den Anfangspunkt gellende Strahl schneidet die
Gerade (ausser im Doppelpunkte) nur iu einem Punkte. Die Coor-
dinaten dos Schnittpunktes erhalten wir durch nachstehende Betrach-
tung. Bezeichnet w die Cotangente*) des Winkels, den der Strahl
mit der x Ase bildet, so iat

« = wtf (8)

dtle Gleichung dieses Strahles. Führen wir den Wert fBr e in die
Gl. (7) ein, so erhalten wir nach Unterdillckung des vom Rllckkehr-
punkte herrührenden Factors j^, fllr die Ordinate dos Schnittpunktes

,'+h,'+c+d

136 Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung.

und mit Rücksicht auf Gl. (8)

a, = ^ f lO^

Die Grösse u nennt man den Parameter entsprechenden Curven-
punktes. Jedem Werte von u entspricht nur ein Wert für x und y,
demnach nur ein Curvenpunkt, und ein Strahl (8). Das Strahlen-
büschel (8), mit dem Rückkehrpunkte als Scheitel, und die Punkte
einer Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehrpunkte stehen dem-
nach in eindeutiger Beziehung.

3. Die Parameter der Schnittpunkte einer Geraden

mX'\-ny-\'\ =

erhalten wir, wenn wir die Werte für x und y aus den Gleichungen
(9), (10) in die Gleichung der Geraden einführen als Wurzejn nach-
stehender cubischen Gleichung

au^-\'bu^'\-{c-^me)u'\-{d-\-ne) = (11)

Bezeichnen wir mit (w)j^ die Summe der Wurzeln %, ^2? "s? 8^
folgt aus GL (11)

(^)i == - ^ (12)

Da in dieser Gleichung sich weder m noch n vorfindet, so ist
dieselbe unabhängig von der Lage der Geraden und drückt uns dem-
nach die Bedingung aus für die Lage dreier Curvenpunkte anf einer
Geraden.

Drehen wir nun die y Axe um einen Winkel, dessen Tangente

(in diesem Falle geht die y Axe durch den Inflexionspunkt der Curve,
wie wir es später erhärten werden), so fällt nach der Transformation
das Glied x^y weg, und wir erhalten die Gleichung der Curve in ein-
fachster Form und zwar:

ax^ -\- bxy^ -\- cy^ = dy^ (13)

Die Gleichungen (9), (10), (12) gehen in diesem Falle über in nach-
stehende

^ -__ ^^ Q5

Wi = (16)

Zahraitnii-' Rationale eU-f Curv

I

Sie Gloichang (16) ist die geanchte Bodingtingsgleicbaiig,
welche die Gleichung *) ui«8«3 = t übergeht, wenn dur Doppelpi
zum Rückki'hr))unkte nird.

Wonn die Summe der Parameter dreier Punkte einer
Curve dritter Ordnung mit einem Bflckkehrpunkte gleich
Nnll ist, 30 liegen dieselben auf einer Geraden.

Die Parameter der unendlich entfernten P-unkte erhalten wir
(14), (16) aus der Gleichung ^

s dieser erhellt, dass

d, i. Die unendlich fernen Punkte einer Curve dritter Ordnung mit
einem Klickkebrpunkte oder kurz einer Cg* liegen anf einer Geraden.

Wenn ug = «a = a ist, so wird die Gerade znr Tangente im
Punkte M and die Gl. (16) geht in uachstehende über:

2tt-fu' = (17)

Der Punkt**) « ist der Berülirangspunkt und u' der entsprechende
Tangentialpunkt.

4. Cregeben seien zwei Gerade P und /". Die erste Bchneidet
die C3* in den Punkten wj, 1^, «j, die zweite in jjj', uj', ug'. Nach
Gl. (16) ist

"i+^S + ^B^fl

(18)

Verbinden wir je einen Schnittpankt uj des P mit G,* mit je einem
Schnittpunkte tu' des P' mit Cg\ so schneidet uns die Verbindungs-
linie «,!*■' die Curve in fernerem Punkte «." und nadi Gl. (16) h^
ben wir J

•) Sioho Dr. Em. Wayr; „Zur Theorio der Carvon drittar Ordnung"
Sitznngabericbt der iiönigl bOhm. Oesellach. ä. Wie Bens cliRftua. Frag ST. April
IBTU, wo Herr Wey r die Glcichnog u,UiBj =t l al» speuicUen Full folgenden
BfttMs auffahrt. Ea sei Gl. (l) kurz 0^ = 0; eine = achneidel dieselbe
in 3n Paukten , und dna Product der l'aranielcr sammtliclier DarchschnittB-
pnnkte n (ti) ist eine CoDstnnte von C" unabhängige GrOase

"«-'-(-s)"-

**) UftD ngt der funkt u kort statt dec Punkt, deasen Parameter u iit.

■^

"^

138 Zahra'hu-k: Ratioi-ak ebcM Cun>ti dritter Ordmng.

"i+V + < = t"'

% + 'V + V =

"3+«3'+«b" =

Addiren wir diese Gleichungen mit Rücksicht auf Gl. (18).

halten wir:

«l" + <'+''3"==0-

Schneiden wir eine C^^ mit zwei Geraden i" n

und vorbinden je einen Schnittpunkt der F mit je einem
Schnittpunkte der F', so schneiden uns die Verhindungs-
liuien die Cj* in drei Punkten einer Geraden.

Wenn u^ = mj', so ist k,wi' Tangente im Punkte u, und der an-
1 Satz löst uns die Aufgabe, in einem Punkte der C^ eine
i ziehen. Durch den Punkt Mj legen wir zwei Gerade P
und P', diese schneiden C\^ noch in den Punkten «^,«3; w^'w^'. Die
Gerade Uä'*s' bestimmt den Punkt %", it^u^' den Punkt u^'. Verbinden
wir nun i(j""g", so schneidet nns diese Gerade Cj' im Punkte «,",
dem Tangentialp unkte von v^, demnach ist u^u^' die verlangte Tau-

Wenn P und P' einander unendlich nahe rücken, so werden
%«,', Mg«j', wsMij' Tangenten und wj",«,",«," die entsprechenden
Tangcntialpunktc, woraus der Satz folgt:

Die Tangentialpunkte dreier in einer Geraden liegenden Pui
ler Cb* liegen wieder in einer Geraden*}.

inkt^H

5. Dem Punkte u entspricht «, als Tangentialpunkt ; fassen ?
«1 als Berührungspunkt auf, so bekommen wir u^ als den zu a^ ent-
sprechenden Tangentialpunkt u. s. w. Vermöge der Gl. (17) ergibt
sich unmittelbar nachstehende Relation:

2"u=(-l}"vi„,

Für 7! = CO, wird u« == cot« =^ c&, demnach (
uns nach und nach dem Rückkehrpunkte der C^
der Tangente ist in diesem Falle die x Axe, d.
KOckkehrpunkte.

= 0. Wirnfihei;

ind die Grenzlaj
die Tangente imi

•) Siehe Dr. Em. Woj'v: „Goomelrischo Mitlhci Jungen" (Siuungsbcriohtst'J
d. k. Akademie der Wissen seh aflen Wien II. Ablh.), wo derselbe note
deren aach diese S&Lze ans ti,ii,u, ^= k (Ür Curven driuer Ordnung mit
Doppplpankte oatwi ekelt.

L-

Zahradaik; liaHonale tlenc CurBen dritter Ordnung.

Sachen wir nmgekalirt zn gegelmem Punkte « anf C^ als TaJS
gentialpnnkt anfgefaast, den Berührmigspiiukt iij zu diesem I
als TaDgentJalpnnkte wieder den BerUliruugspuiikt u^ q. s.
halten wir vermöge der Relation

«4-2«! =

die Gleichung

Für n =1» wird t
läge der Tangente im
tote der C^^

6. Schneiden wir Cg* mit cinei
Gleichung

«ii^^ + Saisa^ + asäy^ + i

= 0, daher gj = 90« und die Gre
, ist die znr y axe parallele Asymp-

1 behebigen Kegelschnitte, desBcai^

ist, so erhalten wir sechs Sebniltpunkto, deren Parameter wir erhal-
ten, wenn wir für x und y die Werte auB (14) (15) einführen, als
Wurzel einer Gleichung sechsten Grades von der Form:

A.«4-Bu*+Cu'-i-D««-l-£«+F= (19)

Fünf Punkte bestimmen den Kegelschnitt vollständig, sollen sechs
Punkte auf einem Kegelschnitte liegen, so müssen die Parameter der-
selben einer Bedingungsgleiehnng genügen; diese Bedingungsgleichung
erhellt sogleich aus der Form der Gleichung (19), sie ist

Aus dieser Gleichung folgen sogleich nachstehende Sätze.

liden wir Cg* mit C, so bilden die Schnittpunkte

ma

ein Sechseck «itigjjswjwgug. Die Verlan
dieses Sechseckes treffen die C,,* in n
welche auf einem Kegelschnitte liege

jerungen de]

neu sechs Punkten,

Die Verbindungsliniender i
des Sechseckes treffen die C
Geraden.

egenUberliegonden Eoken
ä in drei Pnnkteu einer

Sccaute, Taugente, Xoriuale. ^1

7. Die Gleichui^ der Verbindungslinie zweier Punkte «,(icji/,),
«iC*»»«) ist:

1

X y

1

*l ffl

1

<H Vi

140

Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung»

Führen wir statt xiyi Werte aus (14) und (15) ein, so erhalten wir

1
1

X

y

d

du^ d

=

oder nach bekannter Umformung:

d

X y
u^ 1
1

=

oder entwickelt

2/[c--awii*2(«*i+W2)]+a^[*+«(%^+%«^ + «*2*)] = ^

(21)

Für «1 = ««2 g®^*^ <iiö Gleichung der Tangente in die der Secante
über und wir erhalten so

y{c^2aijfi)'\-x{h+^au^) = d

(22)

Diese Gleichung gibt uns die Belation an zwischen dem Berüh-
rungspunkte und irgend einem Punkte auf der Tangente. Sind nun
x^y Coordinaten eines festen Punktes, so erhalten wir die Parameter
der Berührungspunkte der durch (xy) zur C^^ gelegten Tangenten,
wenn wir die Gl. (22) nach u auflösen. Dieselbe ist in Bezug auf u
vom dritten Grade, woraus erhellt, dass wir aus einem beliebigen Punkte
in der Ebene der C^^ an die Curve drei Tangenten legen können;
demnach ist eine Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehrpunkte,
dritter Classe.

Die Gleichung der Normalen im Punkte u der Cg' ist:

du

d c — 2au^ /

aw^-f-^-j-c

)

oder entwickelt:

2/(3a«ttß+4:a5w»+3act*24-j2^-f Äc)+
X (2«^«*^+ 2aiw* + acu^ — heu — c^)
= d{2au^-\-^au^ — cu-f-Ä)

(23)

Die Gleichung (19) gib't uns die Belation an zwischen dem Fuss-
punkte und irgend einem Punkte der Normalen. Sind nun {xy) Coor-
dinaten eines festen Punktes, so erhalten wir die Parameter der Fuss-
punkte der Normalen, indem wir die Gl. (23) nach u auflösen.

Dieselbe ist vom seohaten Grade in Bozag auf w, woraus erhellt,"
dass man von irgend einem Punkte in der Ebene Cg* auf diese sechs
Normalen fällen kann.

Punktlnvolutlon auf C^^. M

8. Jeder Strahl eines Strahlen bü sc hels bestimmt aof Cg^ Paukt-"
tripel «j, Mg, «j einer cubisclien Involution. Die Parameter zweier
Schnittpunkte eines Strahles, z. B. uj, «, genügen der Gl. (21)

aacb mit BUcksicht auf die Gl. (16|

Diese Gleichung können
schreiben :

y(c+aujMiUj)-|-3-[S+a{V+i%"a+V)] = <' (2<

Zwei Punkte besümmen den Strahl vollständig, es gilt demnat
^ Gl. (24) für HjKj, u^uj, ug.u,,. Wir erhalten so durcli cykliecSS
'ertaaschung der Indices aus (24) zwei ueue Gleichungen und zwitf!

3/(c+aa,ttsU3) + a;[i4-a(V+»3«3+V)] = ''

erhalten wir mit Berück'9

flddiren wir nun diese drei Gleichungen, h
■ichtigiing der Relation

™ Gleichung der Puuktinvolution des Strahlenbüschels xy:

Die Involution (Vortauschiähigkeit) erhellt schon aus der Sym-
metrie dieser Gleichung. Die Gleichung dieser Involution hekomraen
y^ in der Normalform folgendermassen. Jeder Strahl des Strahlen-.
BUSchel (■fc^) achneidet Q^ in drei Punkten, deren Parameter sich a

^Zeln einer cubischen Gleichung ergeben, welche wegen («)i
™a der Form

^ui wird. Zwischen den Coßfficienten i, u besteht aber eint lineare^
BedingQugsgieichung (25):

,j(c-a^)-^x(b-aX)^d (i

Eliminiren wir aus den Gleichungen (26), (27) die Grösse (i,
*^lialltm wir:

144 Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung.

X

(33)

^ 5p(w)

^ if;(t*)

Den Krümmungshalbmesser erhalten wir als Entfernung zweier
Punkte, des Fusspunktes der Normalen (14), (15) und des entspre-
chenden Krümmungsmittelpunktes (33). Dem Durchschnittspunkte der
y Axe mit Cq^ entspricht der Parameter w = 0. Für diesen Wert ist
aus (33) ic = oo, 2/ = 00, und ebenso der der Krümmungshalbmesser,
d. i. der Durchschnittspunkt ist ein Inflexionspunkt der Cq% wie wir
früher (Nr. 5.) bemerkt haben.

Anwendung auf die Oissoide.

IL

Die Gleichung der Cissoide des Diocles ist, wie bekannt

y = -V^. (1)

X

WO a den Durchmesser des Erzeugungskreises bedeutet. Führen wir
nun mittelst der Gleichung uy =:^ x den eindeutigen Parameter u ein,
SO erhalten wir x und y als rationale gebrochene Functionen von «*,
und zwar

a
X = -^

1+1*2

(2)
a

JDie Parameter der unendlich fernen Punkte ergeben sich aus

u(l+u^) = 0,

demnach % = 0, ««2 = +^ % = — *» ihre Summe ist gleich Null,
d. i. die unendlich fernen Punkte liegen auf einer Geraden, der un-
endlich fernen Geraden. Als Gleichung der Secante t^^z^g erhalten wir
(I, 21)

y^i^(%~h%) — aj(l+«*i^-f-«*i«*2+«*2^) + o =

Für Ml = wg = ^ erhalten wir die Gleichung der Tangente im
Punkte u

2mV -aj(l+3t**)+a =- 0.

Zahradnih: JRationcUe ebene Curven dritter Ordnung. 145

Die Tangente im Punkte u{x^y) können wir bei der Cissoide fol-
gendermassen construiren. Zwischen dem Tangentialpunkte und dem
Berührungspunkte gilt die Kelation

"" ~ y

Ist nun u{x^y) gegeben, so construiren wir uns einen Punkt

w»(2a;, — y\ und ziehen om. Auf diesem Strahl liegt der Tangential-
punkt u\ der sich entweder aus der punktweisen Construction der

Cissoide oder als Durchschnittspunkt des Strahles om mit der Cis-
soide ergibt, falls diese construirt ist

Asymptoten sind Tangenten unendlich ferner Punkte; wir er-
halten die Gleichungen derselben, wenn wir die Parameter dieser
Punkte in die Tangentengleichung der Cissoide einführen, nändich

X — a =

Die Cissoide hat demnach drei Asymptoten, von denen eine reell, die
übrigen zwar imaginär sind, sich aber im reellem Punkte auf der x

Axe schneiden in der Entfernung a; = — ^^

Die Gleichung der Normalen im Punkte u ist

oder ausgeführt:

r i+^^v

(1 + u^) \u (1 + ^u^)y + 2u^x — a (1 + 2u^)] = 0.

Unterdrücken wir den Factor (1+«*^), welcher uns besagt, dass die
Cissoide durch die imaginären Kreispunkte hindurchgeht, welche zwei
Kormalen absorbiren, so erhalten wir als Gleichung der Normalen

u

(1 + 3t*2) 2/4- 2u^x — a (1 + 2^2) =^ o (3)

Sind nun ar, y Coordinaten eines festen Punktes auf der Normalen
und u der Parameter des unbekannten Fusspunktes der von (x,y) zur
Cissoide gefällten Normale, so erhellt aus der Gleichung (3), dass
von einem Punkte der Ebene der Cissoide zu dieser vier Normalen
gezogen werden können, und die Parameter der Fusspunkte erhalten
wir als Wurzehi der Gleichung (3) in Bezug auf u.

Teü LYL XQ

146 Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung,

Ordnen wir demnach die GL (3) nach den Potenzen von u, so

erhalten wir

2xu^'\'^^—2au^+pu—a = (4)

Ans dieser Gleichung ersehen wir, dass

(4)

(u)2 = 2 (14)4

Zwischen den Parametern der vier Fussponkte bestehen demnach zwei
Bedingnngsgleichnngen. Zwei Punkte %, u^ bestinmien die Lage des
Punktes (xy) vollständig und die übrigen Fusspunkte wg, u^ ergeben
sich als Wurzeln einer quadratischen Gleichung, die sich aus (5)
leicht bestimmen lässt.

Durchschnitte eines Kreises mit der Oissoide.

2. Allgemeine Gleichung eines Kreises ist:

«*+y^— 2aaj— 2/?y+m2 = (6)

wo

Die Parameter der Durchschnittspunkte der Oissoide mit dem
Kreise erhalten wir, wenn wir für a; und y Werte aus (2) in die GL
(16) einführen. Mit Bücksicht auf die Gleichung

uy = X

wird diese Substitution rascher vollführt, denn die GL (6) geht über

in

y%l+u^'-2y(c(u+ß)+m^ =

und setzen wir für y den Wert ein, so erhalten wir, wenn wir das
Resultat nach den Potenzen von u ordnen:

m^u^+(m^—2aa)u^—2aßu+a^ = (7)

Die vier Werte von u sind die Parameter der Durchschnitts-
punkte. Durch drei Punkte ist aber der Kreis vollständig bestimmt,
es muss demnach zwischen den Parametern der vier Durchschnitts-
punkte eine Relation stattfinden. Dieselbe ergibt sich aus der be-
kannten Beziehung zwischen den Oo3fficienten und den Wurzeln einer
Gleichung aus (7) nämlich:

(t*)l = ^+Ws»+«*3+«*4 = (8)

Vier Punkte einer Oissoide liegen an einem Kreise,
wenn die Summe ihrer Parameter gleich Null ist.

'aJiradnik: Salionale el'ene Ciirven

irilter Ordnung.

UV^

Eb seien u,, %, «3, 114 vier Pookte einer CisBoide, welche einem
Kreise angehören, durch ui,uj; uai^i legen wir zwei neue Kreise, so
schneiden diese die Cissoide in den Punkten »ai "i respective vj, cg;
die vier Durchschnittspnnkte Vj, 0,, oj, Vf liegen wieder auf einem
Kreise; denn »ach (8) ist

letzten Glt^ichungen,

Addiren wir die zi
BOcksicht auf die erste

womit der Satz als bewiesen erscheint

so erhalten wir mit

= 0,

4

ut

I

Schneidon wir nun die Cissoide mit zwei beliebigen Kreisen J
£', Zwischen den Parametern der Durchschnittspunkte bestehen i
(8) nachstehende Relationen:

"i +«s +'>h +"4 =0

Verbinden wir je einen Schnittpunkt ti^ der Cissoidc
mit K mit je einem Schnittpunkte V der Cissoide mit f,
so bestimmen die Verbindungslinien «(«*' viernenePnnkte
anf der Ciasoide die wieder auf einem Kreise liegen,
nach (I, 16) haben wir

«i+V-l-"i" =

Addiren wir diese Gleichungen, so erhalten wir mit Rücksidl
auf (9)

Beweis des erwähnten Satzes.

Fallen nun K und K' zusammen, also K
■i = «,' und wir bekommen nachstehenden Satz:

Die Tangenten in den Ecken eines der Cissoide e
geschriebenen Kreisviereckes schneiden dieselbe
.Punkten cinos Kreises.

148 Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung.

Ebenso ohne Beweis können wir diesen Satz hinzufügen:

Die Verlängerungen der Seiten eines der Cissoide
eingeschriebenen Kreisviereckes schneiden dieselbe in
vier Punkten eines Kreises.

Krttininungskreis, Evolute der Cissoide«

3. Fallen drei der Schnittpunkte eines Kreises mit der Cissoide
zusammen, also ii2 = uq = u^== u^ so geht der Kreis durch drei
unendlich nahe Punkte der Curve hindurch, und wird zum Krüm-
mungskreise. Die Gl. (8) geht in diesem Falle über in

2:^+3^ = (10)

Diese Gleichung löst uns die Aufgabe im gegebenen Punkte u
der Cissoide den Krümmungskreis zu construiren. Der Krümmungs-
kreis schneidet die Curve noch im Punkte u^ und nach Gl. (10) ist

u< = — ow = — —

y

Bestimmen wir uns den Punkt TO(3a;, — y) und ziehen on. Auf diesem
Strahl liegt der Schnittpunkt %, den wir uns nach der punktweisen
Consruction der Cissoide bestimmen können. Verbinden wir nun

uu^ und halbiren diese Strecke im Punkte p und errichten in diesem
Halbirungspunkte eine Senkrechte, ebenso im Punkte u eine Normale
zur Cissoide, diese zwei Geraden schneiden sich im Mittelpunkte des

Krümmungskreises q und qu ist der Krümmungsradius.

Aus der Gl. (7) folgt

2a

(w)2 = — 1+^2«

W3= 2^21? (11)

Für einen Krümmungskreis ist wg = % = W4 = w und die Gl.
(11) gehen über in

(u)2==-62.2 = l-2£2«
Ms = -8^*3= 2;^2l^

W4 = — 3w* =

a2

Zahradilik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung. X49

Eliminiren wir aus diesen Gleichnngea m^, so erhalten wir

(12)

Die Coordinaten des Mittelpunktes «, ß sind demnach rationale
Functionen des Parameters u. Ist dieser veränderlich, so stellt uns
(12) den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Krümmungskreise dar.-
Die Evolute der Cissoide ist demnach eine rationale Curve vierter
Ordnung; wir erhalten die Gleichung derselben als jP(a, |5) == 0,
wenn wir aus (12) den veränderlichen Parameter u eliminiren, nämlich

512a3a-{- 288a2/3-f. 27/3* = (13)

Der Krümmungshalbmesser folgt aus der Gleichung a^-\-ß^ — m^ = r^,

Führen wir in diese Gleichung statt a, ß und m Werte ein, so
erhalten wir

oder wenn wir für m = - setzen, und wo y = xl/ . so erhal-

ten wir

y

a-]/x{4ca — 3a;)i
^ 6(a— a;)^

(14)

In Nr. 10 des ersten Abschnittes hatten wir noch einen anderen
Weg gezeigt, der allgemein giltig ist; der hier eingeschlagene Weg
war einfach, da die Cissoide durch die imaginären Kreispunkte hin-
durch geht. Nach der allgemeinen Methode würden wir aus der
Gleichung der Normalen

N= y(u + ^it^)-\-2u'^x— a{l-{-2u^) =0

und ihrer benachbarten

dN

^ === N' =^(l+9w2)4-8Ä — 4at* =

den Parameter u eliminiren oder die Gleichungen nach x und y auf-
lösen, je nachdem wir die Evolute in Form (13) oder (12) erhalten
wollen.

150 Zahradnik: Rationale ebene Cwrven dritter Ordmmg.

Punktqoadrapel mnf der Cissoiie.

4. Aus der Gleichung der Normalen, wenn wir dieselbe nach

den Potenzen von u ordnen, nämlich

2tAr+3aV~2au*-f ay— a = (15)

folgt mit Rücksickt auf die GL (8) nachstehender Satz:

Die Fusspunkte der Normalen eines Punktes der
X Axe (der Bäckkehrtangente) liegen auf einem Kreise.

Denn in diesem Falle ist y = 0, daher (uy^ ^ als Beweis des
erwähnten Satzes.

Wann bilden die vier Fusspunkte der Normalen eines Punktes
ein harmonisches Punktquadrupel?

Damit vier Punkte, deren Parameter Wurzeln nachstehender
Gleichung

Au^+i^u^+eCu^+iDu+E = (16)

bei irgend einer Zuordnung harmonisch sind, ist die Bedingung *)

ACE^2BCD—AI^'—EB^— C = (17)

Vergleichen wir die Coeffidenten der Gleichungen (15) und (16),
so erhalten wir

A^2x, B^ly, C=- — i«

i> = Jy, E^ — a

und für diese Werte geht die Gleichung (17) über in

fAxy^ ^ 297ay«-f 288a«a;-f Ißa^ (18)

Der geometrische Ort der Punkte, deren Fusspunkte der Nor-
malen harmonische Punktquadrupel bilden, ist eine Gunre dritter Ord-
nung. Wir sahen, dass ein Punktquadrupel einem Kreise angehörte,
wenn es einem Punkte der x Axe zugeordnet war; verbinden wir nun
beide Bedingungen, so geht die Gl. (18) über in

16a«(18fl!+a) = (19)

welche Gleichung uns besagt, dass es einen Punkt auf der x Axe

gibt, lx = — r^l» dessen Normalenfusspunkte harmonisch sind und

an einem Kreise liegen.

*) Dur^ge, Ebene Carvea, p. 22. Cremona, Ebene Corven, deutsch
von Cnrtze, p. 9.

Zahradnik: Rationale ebene Curven dritter Ordnung. 151

Vier Punkte, deren Parameter Wurzeln der Gl. (17) sind, sind
äqoianliarmonisch *), wenn

AE— 4^0 + 30^ =

Führen wir ftlr -4, 5, C, X), E die zugehörigen Werte ein, so er-
halten wir

y'-=^a^-lax (20)

Der geometrische Ort der Punkte, deren Normalenfusspunkte
äqnianharmonische Punktquadrupel bilden, ist eine Parabel, und aus
(20) ersehen wir, dass die Axe der Parabel die x Axe und ihr Brenn-
punkt der Coordinatenanfang ist.

Fliehe und Bogen der Cissoide.

5. Der allgemeine Ausdruck für die Fläche einer Curve ist

'=/'l*— ^-/(TÄ

^2)3

Schreiben wir

_ P du
J d+tt«)-

so ist

1 u 2n-~3

2(n— 1) (l+i*«)«-! ^ 2w— 2'
Integriren wir in den Grenzen und qo , so geht diese Formel über in

00 CO

_ 2n—S

t/n =

2w— 2

«/«— 1

In unserem Falle ist

. 1 u . S 1 u ,31
daher

«^3

Mi

Wir erhalten die halbe Fläche der von der reellen Asymptote be-

*) Durfege ibid. p. 25. Cremona ibid. p. 35.

I..

d>

r»

.1

V

ai

von

Hoppe: Zmm Probiem des drrif'arih mihtfwnalf}' Fiätihenfjfstems. 153

xm.

Znm Problem des drei&ch orfhogonalen Fläehensystems.

Fortaetzimg tob iL YYTTf. des Torigen Bandes.

Von

B. Hoppe.

4. Allgemeinste Fläelie, welehe einem ebenen orthogronalen System
von Geraden und parallelen Trajeetorien entsprieht.

Die Gleichungen einer bei varürendem u Tom Punkte (^rf) er-
zeugten Geraden, die sich bei varürendem v beliebig in der Ebene
bewegt, lassen sich in die Doppelgleichung zusammenfassen:

^-^irj = eP' {nu -f qt^) (47)

WO A,, V, TT, ^ Functionen von v bezeichnen. Damit die Curven
u = const. die Geraden «i^= const unter rechten Winkeln schneiden,
muss der reelle Teil der Grösse

8(|-in) S(|+i5) = „ {(„' + .„r)«+[«'+.p (A'+V)]«'-}

unabhängig von u verschwinden. Da nun n nicht null sein kann,
so erhält man;

7t' = 0; ^'cosv — ^(A'-|-v')sinv =

Das constante n kann man = 1 setzen, indem man u statt n\K
sehreibt. Setzt man

tgv =

fidAr

so wird die zweite Gleichung:

ilV:-

154 Hoppe: 2mm PrMtm dim dne^oA ordktgtmmkn

— =- htavcv

und giebt nach Integratioii:

Gl. 'AT' lautet nun:

l+ii, = ^ (» +^-H ^) (48)

oder einzeln:

if =" (»-{-l»)gmA + gT eoai T
imd gieht die IMfferentüüqootieiit^i:

Bei1äa% 8^ hier erwähnt, daas sich die AhhiTifmigai des Seties
(4f0 in der tarn

(4»)

1.+'% -i^j«^ (»+»»+ »^)}

benutzen laMea, tnn die OrthogonaltrajectorioL ^neler jcrsdaedemBr
Ctnrvendebaren mmiittenMur ixdgest/^it za findaL Ist z. R & Fmc-
tiOQ F zweite Potenz, so sind die Correa v ^ conat Panbdn.

Natcb OL (6) sind die Relational des Punktes ($iO in der Ebeu
zmn entsprecfa^iden Punkte (j>qr) auf der Kngd

folgende:

P^+fi'+r^

(51)

das ist hier:

2f-l + (u+f4)«+(|j)* (52)

Es sind Jetzt die Or(HMien (7), nämlich

(7)

Hopp»: Zttm Prohlem dtt dreifiteh orthogottaUn Flidttnugstemt, 155

ZU entwickeln. Fflr beliebige Yariation hat man, da r( = 1— £ ist:

= £*(c!p*+V+Sr*)+2ä:8t(|)ap-f3a«+rar)+(|.«+g»+r»)aj*

woraus:

8J»+ a,^ = J» (Sp« + V+ ör») (53)

Kon ist nach (50)

du^ du du

(54)

folg^ch, indem man GL (53) in beiderlei partiellem Sinne anwendet,

Äf=p N=^(u+ii+^y (55)

61. (52) differentürt giebt, hierdnrch aosgedrOckt:

8f 1 8t B(k

daher ist

dM d£ dii

MNBtf ^^ — §i' ^'"^c^ö^ v^° ^ alleiiL
Hiennit ist die Bedingung der 61. (12) erfüllt, nach welcher

dm

Mg-*) eine willkürliche Function von u wird. Sei also k eine
Function von u; dann kann man setzen:

cu
woraus nach (55):

Dies integrirt giebt:

m ==» JÄ/'— (tt4.^)A;'+Ä?+7r (59)

wo 7t eine willkürliche Function von v bezeichnet

Die Abweichung (dv statt dti) beruht anf einem Druckfehler.

J.V> ii',ftfH'. Zum Pifftilt-fn dtf> drei/ach orthogonalen Flächen^fsiewu.

Aufe «ieiii einen llauptkrttmmmigsradius m ergab sich der andere
/' ijiüli «li-r Formel:

dm dM

für w<*li'hij man zufolge (57) schreiben kann:

g,, = x\(m— ii)g^ (60)

DitfiTt'Utürt man (i>l>) nach der Formel (56), so kommt:

^;=At|{i"-<.'i'+«' (61)

fülglii'h ist

. .,- «-. sr-^,(r-|^) (62)

uml nach (b\»

u-^-(e.+ ^)Är'4.Ä: + 7i4--^,^Är'-g) (63)

Aus dcu Uauptkrttuimuugsradieu der gesuchten Fläche sind die
Gloichuugou der letzteru zu berechnen. Multiplicirt man die GL (51)
mit (58), so kuuimt:

7.«'

■>4-"i;-^ = (1+ '■■'/) '^•

rp^ =(1-ÖÄ-'«

Di<.'s bei constantem integrirt giebt:

(64)

wo y^ Vi ujxbekaunte Functionen von bezeichnen. Zu ihrer Be-
stimmung differentiireu wii* nach t?; dann kommt:

.^(p+^l) , , , .,^^'* 3(5+*'^/),/. -xAi/?' I rr'

Nun ist nach Gl. (50) mit Anwendung von (55)

a« — at; — *^ -^s K^}

Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Fiächennifstemji. 157

oder, wenn man nach der Formel (56) differentiirt und durch J dividirt,

iv|(p+«?) + ^^^ = ^^iV und

dr N du, ,. , V ^i^

Hiernach gehen die Gl. (64) üher in:

-(m^n)i\r|(l + r)+r^ = -i\r5|jr + /^-' + TV

oder nach Hehung je zweier Terme vermöge (60)

«

Führt man jetzt für m — n den Wert (62) ein, so bleibt:

Demnach ist

F' =eVU'|^; F/= — TT'

Zur Abkürzung sei

^ = — (w4-|Ll)^•'-f-^'-f-7r, also m = ?Ä;"+^ (66)

dann wird

(p + ig)m = (|+.-^)*"+i±^p

rm

= (l-ÖÄ"+g~'l)^

Nach Einführung dieser Werte nebst denen von F und F^ lauten die
Gleichungen der gesuchten Fläche (64):

-05 == -äS+^-'cosA — / ^ScosA

y= r^+Ä;'sinA— / ^ösinA / (07)

^ = ?

Uappt: Zum Probkm dti, dreifacl

"1-1-«^

1«^

reine Fimciion von « wird, so sind die Krünimniigsliiiien «=^con8t.
auf den hierher gehörigen FJächeii sämmtlich ebene Cnrven parallel
der ley Ebene. Für Jt= ccosi ist überdies die Fläche eine Rot^
tionaäSche, und zwar kann maa k so bestimmen, dasa sie in jede \

liebig gegebene übergeht.

um schliesslich ans dem allgemoinen Ausdruck der FlEche i
einiacbsten Berspielo algebraischer Flächen abzuleiten, setzen wir:

-+^■+(1)'

2e = dti-{-2efi-{-f—'iai

Bei dieser Bestimmung kann der Fall, wo x, y, s constant werd
nur eintn^ten f ür rf = e =/ = 0. Nach Einführung in (67) besteht
jede Coordinate aus 3 Termen mit den Coefficienten (/, e, /. Man
kann dann jeden Term ala besondere Lösung ansehen und erhält so:

I Teil

162 Hopp«: Zaoft .r>nif— dm thmfmk m i kagomo kn Flachensygtems.

^1»:^*-«— ü^mi-h^^^eosi

m:

.2pk

IIL J?-^i y^J **f

Uio dritte LdMlt ist eiae SiifilttlAev Man kann nun cosA, sinA
bUlobi^ alg^bciMick ia fi dtttateOAft qhI dann « und ^ eliminiren, um
oiuo algobraiscbe Qleioliviii zwia^ftM ob» y» a zu finden als Ausdruck
oiuoi: FliM»ha» der^u Kri>iMianiniinioifc die Parameter u, v haben.

Znr Integration eines Systems linearer partieller
DifFerentialgleicbiuigen erster Ordnung.

Herrn Professor Dr. Ladislaas

in Warschau.

Zaj^.crlrowaki

Versteht man unter K die abhängige Variabele, unter Xi,a;g,,.,!c
nnabhängige Variabel en , dagegen anter Xijc gegebene Functionen der J
nnabgängigeu Variabclen, so nennt man das System:

(1)

ein System linearer partieller Difierentialgleicbnngon erster Ordi
Bedeutet ^,- folgende Operation:

Go kann man das System (1) kürzlich so schreiben:

(3) ^ir=0, [»=l,2...n]

Jacobi hat in seiner posthomen Abhandlnng (Crelle Journal
LX, 1 — 181) gezeigt, wie man eine gemeinsame Lösung des Systems
(1) finden kann, wenn die Coefficienten X,* gewisse Bedingungen er-
fQllen. Clebsch vervollkommeto Jacobi's Integrationsmethode , in-
dem er gezeigt bat (Crelle Journal LXV, 257—268), wie man mit
tels derselben alle gemeinsamen Losungen finden kann, und wie rnau

ein System, dessen Coefficenten den erwähnten B iingungea
genügen, auf ein andeies zumckfdhr n kiuu b i welchem selbe t
füllt werden.

Die ivierterholt c
Folgenden. Sind

ÄüLnti'n Bedingungen bestehen, wie bekannt, i

JrV^O <d,V

=

zwei Gleichungen des gegebenen Systems; vollzieht mau auf ihreib
ersten Seiten beziehungsweise die Operationen ds, ti, nnd zieht t
auf die Operationsresnltate von einander ab, so erhftlt man, das En4j
resultat mit (^^sd, — ^^/1,)V bezeichnend

(4)

(J:,J,-^<d,'i,)V =

'«,<«?.

(5) ri,ai*> = ^,irt — -^^Xt.

Ist nna der Ausdruck (4) identisch gleich Null, und zwar, welct
Werte die Zeiger j-, » aus der Zahlenreihe 1,2,...,« anck annehmen,J
ist also:

(6)

Yt,ß) =

für r — l,2,...,ii, K = l,2,,..,n und i = l,2,,..,n-f p, SO bildüt (
System (1) das sog. Jacobi'scho System, auf welches Jacobi's Int^
ßrationsmethode angewandt werden kann, nnd selbes besitzt p j
meinsame Läsungen, deren willkftrüche Function das allgcii
gral des Systems ist.

Vom praktischen Standpunkte aus betrachtet, ist Jacebi's Inte-
grationsmethode wol die einfachste, doch sie lässt in theorettscher
Hinsicht einiges zu wünschen übrig. Die Ableitung obiger Bedin-
gungen nämlich ist nicht naturgemäSs, indem selbe einem dem Gegen-
stande fremdartigen Poisson'schen Princip (Journal de I'^colo poly-
technique. Cahier 15) entnommen worden sind, weshalb man nicht
«nmittelbar einsieht, dass im Falle, wenn jenen Bedingungen genügt I
wird, das System wirklich p verachiedena gemeinaame Lösungen«
besitzt. ^

Diesem Uebelstande kann man verhelfen, wonu man an die Arbeit
Boole's (Trcatise ou differential equations. Snpplementai? voluma
1865 p. 74) sich anschliessend das System linearer partieller Diffe-
rentialgleichungen (1) auf ein System ji totaler Differentialgleichungen
zwischen n-\-p Variabelen zurückführt, analog der Znrückführnng einer
einzigen linearen partiellen DifEerentjalgleichung, und die Integrabili'!

PI Dißerenlial^ieicliungcn er^mr Ofdiiuny. 165'- ^^|

tätsbedingimgen dos erstem Systems aus denen des letzteren ableitet j^^H
Die besagte Zurückfiliirnng ist von Boole (1. c.) gegeben, doch ybt- "^^
misBt man iu dem ausgezeichueteu Werke des onglischou GeometefB
die bemerkte Ableitung der Bedingungsgleichnngen. — Diese Lücke
aaszufUllen hat der Verfasser vorliegender Abhandlung untemomioeD.

Mittels successiver EUmination bringe man das System (1) voi><1
läufig anf die Gestalt:

Multiplicirt man die Gleichungen (7) mit unbestimmten Constanten 1^,'
und addirt die Productc, so erhiilt man eine einzige lineare partielle
Differentialgleichung :

.■=1 oxi 1^1 ,_i oxhH

welche wegen der unbestimmten Factoren U dem System (7) aequi-
valent ist. Um die Öleichung (8) za int^grircn, bilden wir nach dem ~
Vorgange von Lagrange die Hilfsgleich ungon:

<") f-Tf-

Mll>-|-Msrp+-- -|-^-^-J
woraus durch Elimination der uubestimmton Factoren h das Systeili:4
p totaler Difforentialgleiciraugen zwischen n-|~p Variabelen:

( dXn-\-i^ Andx^-^A^dx^-\-...-\-A„yii3:.,,
/101 ' d«%^t=— Aiidxi-\-Aiidtet-\-...-\-AnidxM

- vliprfj-, +^gp(ira+. . .-\-Anfdx«

Weil das System (10) im System (9) mit eingeschlossen ist, so
werden Integrale

des ersteren auch dem letztoren genügen. Daher sind i
... Lösungen der partiellen Differentialgleichung (8), und da diese j
1 der partiellen Differentialgloichui^ (8) genügen unahhftng

des!^!

166 Üo/acrloitjii: Zur Inlegi-alion ei;ie. SysUmn tmiarer parli.

von den Werten der Constanten It, so sindu, v, w, ... Löan
Systems (7), dessen allgememea Integral

(12) v=nit, f. w, ...)

Boin wird, wo F eine ganz willkürliche Function bedeutet

Hieraus folgt, dass das System linearer partieller Differential-
gleichungen (7) p verschiedeno gemeinsame Lösungen zuläaat, wenn
das System totaler Differentialgleichungen (10) in Form von p Ur-
gleichungen integrirbar ist.

Um also die Bedingung aulzutinden, unt^r welcher das System (7), J
2> verschiedene gemeinsame Lösungen zulässt, genOgt es die Bedin-I
gung der Integrirbarkeit des Systems (10) in Form von p Urglei- .
chungeu aufzustellen.

Da aus p Gleichungen, allgemein gesprochen, p Grössen bestimmt j
werden können, so liegt die Yermutong nahe, dass das GlcichnugB- f
System

(13) ä!ß = 'f An dxi [A = 1, 2, . . . jij

in Form von p Urgleichungen unter gewissen Bedindungen integrir-^
bar ist.

Um die notwendigen Bedingungen abzuleiten, setzen wir voraus,
das Gleichungs System (13) sei wirklich in Form von p Urgleichungen
integrirbar, denken uns ans diesen Urgleichungen p Grössen y^,
yi,...,yp durch » Grössen i^, wj, ..., ic„ ausgedrückt und in die Glei-
chungeu (13) hinoinsubstituirt; dadurch werden die Gleichungen (1^.
identisch, somit muss:

(14) ^"^-^^ (i^l, 2...n) [fc = l,2.,.p]
und

(15)

]

sein, wo statt n jede Combination zu zwei Zahlen aus der Zahlen-
reihe 1, 2 :.. n, zu setzen ist, und der Strich über A,ii zu bedeuten
hat, dass in den Coefficienten An die Grössen y als Functionen der
Grössen w zu betrachten sind.

Nun ist aber

D^ereatialijleichungen e,

l

S.A.

= ^' +

1

■55--

= ^ +

1-, 3y{ ßarr

oder

wegen (14)

;i-i?

"ST-

3A» ,

1-^' ■

setzt

man diese

Werte in

(3) ein,

findet man:

(16)

8J«

-IT

--& +

;i(-

[i_l

, 2 -P,

»■=1.

2..,„, .-1,2....]

ala die notwendigeu BedingungsgleicLungen dafür, dasa das Gleichunga- J
^8tem (1) in Form von p Urgleichungen integrirbar sei.

Indem wir jetzt den Weg befolgen wollen, den Euler (Vollatäu- J
dige Anleilung zur Intogralreclmnng. Wien 1830. Band III. 1 — 31.) J
für die Integration der Differentialgleichung Pdx-\-Qdy-\-RdB =
vorgeschlagen hat, betrachten wir n — 1 Grössen urg, ..., ic„ als con-
stant, setzen also dx^ = dx^ = . . . = dx„ = 0. Hierdurch reducirt
ücIl das System (13) auf das Lagrange'sche System gleichzoitiger
Differentialgleichungen

4

(18)

die vollständigen Integrale dieses Systems. Wii' wollen nun zeigen,
dass die willkflrlichen von x,, ^, , .... yp unabhängigen Grössen
ci,...,cp, falls alle Bedingungsgleichnngen (16) erfüllt sind, als solche
Functionen der Grössen xg, ... ar» bestimmt werden können, dass ■
hiedurch die Gleichungen (18) sich zu vollständigen Integralen dea i
i (13) umwandeln.

168 Zajacrkuinici: Zu, l»lcgral!on eine» Ss"tms linearer partieU,

Ehe wir hieza schreiten, wollen wir einige Fonncln entwickeln
ilie für das folgende brauchbar Bind.

Erstens ist bekannt, dass die Functionen kj, welche die erstai^
Seiten der Gleichungen (18) bilden, den linearen partiellen Differen-'J
tialgleichungea :

identisch genügen, Differeuzirt man die identischen Gleichungen (19)
partiell einmal nach xt^ das andere Mal nach yit, so erhält :

j d^iti *^p fi^uj ^ *y'* öai S-^i ü

' S^*6^i A=i ^''hykdyh~ i,^\ ^yh dyi

nan ferner mit Bp , Rk folgende Functionaldeterminantenrt

von denen die i

löBung der Gleichungen (19) nach A^i,

8^

3s

^

.

W

8,,'

■■Um

J

a^

8.,

l^

m

h.-

8i,'

■■h.

■•^

8,^

8,^

8«,

J^,

8^

^

8^'

¥,■

■■Sir:

9s*.fi'

•■89,

8.,

8„,

8%

&,_

8^

BT,'

w,-

■■8ir

■ 8»+.'

■•%;

t

8^

d..

8«,

S,,

8.,

5^'

w:

■• SiT-

i' 8j,+i'

■' 8»

J

hl Null rem

kann, .

erhält ma

n dnreh

i.J

Der Beweis der Hinlänglichkeit der Bcdingnngsgleichungen (4)
stfitzt sich auf das bekannte Jacobi'sche Theorem über die.

Differ.

iatgUic

■ Ordnn

fuDctionale Abhä]igigk(>it von n Grössen, weloha gegebene Fuuctione
1 andorcn Grössen sind. Ich habe mir eine diesem Theore
verwandte Frage gestellt nnd glÜL-kllch gelöst

„Es seien n Grössen uj, «j, ..,,!<■ gegebene Functionen to>
n-j-p anderen Grössen x,, %, ...,ar«^p, wir fragen nach den nOi
wendigen und ansreicheDdcu Bedingungen, damit die Grössen n voal
einaader fuuctional abhängen.

Um die notwendigen Bedingungen ahznloiten, setzen wir Torao^B
das3 zwischen den Grössen u die identische Kolation: *

stattfindet, and differentüren diese Eelation partiell nach jeder GröSBsfl
x, so erhalten wir daa Gleichungssystem :

8£ 5% , öJ; S^,

dF 8%

Comhinirt man diese Gleichungen zu r
dF dF
Gruppe dieselben n Grössen s— > k— > ■

9«,, Sj^+p

i, und eliminirt aus jeder^

Bf
■ ' öT'' ^° "^hält man

i 'sehen Deter-

— j — j-' ßedinguugsgleichungen in Form von Jacob

minanten, welche identisch erfüllt werden müssen, wenn zwischen AsaJ
n GröEi>en u eine identische Relation stattfindet. ■

lilan überzeugt sich aber leicht, dass umgekehrt die n Grössen
u von einander fanctional abhängen werden, wenn bloss p-\-l jener
Bedingungsgleichnngen werden erfüllt sein.

Setzen wir nämlich voraus, dass die Grössen w^, ug, ..., ««— i ia
Bezug auf die Grössen x^, x^, ..., xn-i von einander unabhängig sind^,
dass somit die Functionaldeterminante

identisch nicht verschwindet, denken una daher mittelst der gegebei

Ausdrücke von it,, ... i^_i die Grössen »i, ... i»-! durch u^, ... vn

..., ar^-f-p ausgedruckt und die Werte in den Ausdruck von u« e

i^netzt, so erscheint u« in der Form:

I

170 ZajacrhoToski; Zur Inle-jralioH eiiifti S^sleitu linearer partieller
(24) "■=/("!, «Sj ■.-, «n-1, a;„, !r»+i, ..., Xn^-f)-

Differentiirt man nun «n partiell nach a:»^-t, wo A = 0, 1, 2 . . . p Ut^ll
so fiudet man da£ Gleich ungssy stein :

«« 5^.='

'F^^

_8«

[k.

=

1,2,-p]

'■

Nun erhält man

aber.

wenn (24) partieU

nach

X*

differentiirt

wirti

wo Ä = l, 2, ..

, K— 1

ist, das

System

von

1 anderen Glei-

chungea:

&%

1=11-1

W &K

ew

.=1

SiSS

[4 = 1

2, ■

"

-1]

J

welche, nach k- aufgelöst, geben:

,3%'"3a^_i 8a:,- Sir,-{

p-l, 2, ... ,-1]

A . /8"i Sug 0u«\

Siibatituirt man die zuletzt gefundenen Werte in (25) lmiei%B
und fuhrt auT gleiche Benennung zurück, so erhält man:

§f ^Bujdus Bun-i \ '=y'^ 8ui fdwi 8ui-i 81% 8ufj-i 81*,.— i
Sxn+k \8iej Bojj ' ■ ' 81«— 1/

oder, wie leicht zu sehen:

9^ /'8u, 3«g 8««— iN fduj 8uj 8ub-i 8«« \
8x,i+Il\33^ 8%"'83;„-iJ ~ \8iEi dxi" Ba:„_i 8»:^-)-»/

[fc = 0, 1, 2 ...p]

Weil wir vorauBgesetzt haben, dass die n— 1 Grössen %, ... u»
Bezug auf die m — 1 Grössen ic^, x^, ...ik-i tod einander imabhäimig
Bind, so folgt aus der letzten Formel, dass wenn (p-j-l) GleichungtoiM

<«> ik

'duj 9i*a SitK^i 8mh

—1 BlfB+t/ ~

identisch erfüllt sind, dass dann

8k«+*

= 0, t*' = 0, 1, 2 ... p]

somit uk bloss eine Functioa von it^, nj, .

Differeitlialykickuai/eit erster Ord»i,„y. 171'

Sind die n — 1 Grössen u, ... uh-i in Bezug auf x, ... ieh-i von'
einander abhängig, ho muas man statt der letzten n — 1 Grössen eine
andere CombinEttion ans den H-\~p Grösüeu x wählen, in Bezog auf
welche die ersten Grössen unabhängig sind, und das bewiesene
Theorem wäre noch giltig. Wären aber n— 1 Grössen u in Bezug
auf jode Combinatiün von je » — 1 Grössen z von einander abhängig,
so brauchte man die functionale Abhängigkeit der Grössen u nicht
zu beweisen, indem sie evident existirte. Somit haben wir folgenden
Lehrsatz:

„Zum Stattfinden einer fanctionalcn Abhängigkeit zwischen »■%
Grössen lij, uj, ,.., «■, welche gegebene Functionen von n-\-p anderen 1
Grössen x^, %, ..., x^+p sind, ist notwendig und hinreichend, daaq 1
folgende p-[-l Bedingangsgleicliungen :

1

ä:rär--är;;::^-e^J=0 [t = 0, i, 2...p]

identiscli erflUlt werden."

5.

Um nun die willkürlichen Functionen Cj, ... Cp der Grössen n-,^
...,xn in der angezeigten Weise zu bestimmen, differentiiren wir die
Gleichnngen (18) nach allen darin enthaltenen Variabelen in der Vor-
aussetzung, dasa auch «,, ,.., x^, sowie c^, ..., cp veränderlich sind. J
Wir erhalten: I

||&.+'i'|;<i„+'tg.i„_*, p-i, 2, ...rf. I

Tergleicht man aber diese Gleichungen mit denen des Systems (13), I
welchen sie aequivatent sein sollen, setzt also darin ■

di/ii ^ A,]idxi-{- 2 Äadict, 9

so findet man zur Bestimmung von c,: ^|

oder, weil der Coefficient von dx, nach (9) identisch gleich Null ist^l
endlich : M

(29) da = 's BiitLt,, [i — 1, 2 ... j>] J

"Bj!

i

172 Zajackawski: Zur Inlf.-jmlio'i eines i

WO der Kürze wegtm

gesetet worden ist.

Die zur Bestimmung der willkürlichen Functionen a dienenden
Gleichungen (29) sind derselben Art wie die des gegebenen Systeme
(13). Damit ans ihnen diese wUlkttrlicLen Functionen beBtimmbar
werden, sollen sich die Veränderlichen x, y^, ..., pp aus den Coeffi-
uienten lin mittels der Integralgicichnngcn (18) tranaeliminiren lassen;
dem bekannten Jacobi'schen Theoreme gemäss, soll daher die aas
den Functionen %, iif, ..., up und jedem jB,7, als Function der Grössen
x-i, Sit -■■ Jp betrachtet, gebildete Functionaldeterminanto identisch
gleich Null sein. Ordnet man die besagte Fnnctionaldeterminant«
uach den partiellen Differential c[uotienten von Ba, so findet man für
die Bestimmbarkeit der willkürlichen Functionen ej folgende Bediu-
gnngsgloicbnngen :

r+'^S^ + i',

^-^A,,^ + ...+A,p

U = 2, 3, .

h = l, 2, -.

Es ist aber nach (30):

und allgemein:

'vyiSx,'

Demzufolge geht obige Bedingungsgleichnng über in:

Vereinigt man die iu ilerselbeD Coloimo sehenden Glieder an €
Ausdrncko und b(^rüclcsicliUgt die Formeln (20), ao läast sich >
liegende Gleicbung auch ao schreiben:

"£a

s"^^

oder, wenn man im dritten Gliede h statt h setzt und im «erten die
Zeiger h, k unter einander vertauBcht; nnd alle Glieder unter daa-
selbe Sununenz eichen bringt;

V^BA,

Li = l, 2, ..., pj

Die Bediuguugsgleichungcn (31) sind also erfüllt, wenn die Coeffi-
cienten An den Beilingttngsgleichnngen (16) genügen, und daher findet
man in diesem Falle zur Bestimmung der willkürlicbeu Functionen
Cj, ..., Cf ein System p totaler Differentialgleichungen (29) zwischen
p-\-n — \. vt ränderliehen c^, .,., cp, x^, ..., z„, welche ganz derselben
Art sind wie die des gegebenen Systems (13). Auch sieht man Mcht
ein, dass das System (29) in Form von p ürgleichnngen integrirbar
iBt) wenn das gegebene System es ist, was acbon daraus unmittelbar
folgt, dass das System (29) aus dem gegebenen (13) entspringt durch
Einführung der Verflndcrliclien c^, cg, . . . , cp mittels der Gleichungen
fl8) statt der VoraTiderlichen yj, ..., yp, und die Vertauachung der
Veränderlichen die Natur der Gleichungen unverändert Iflast. Auch
konnte man die Bedingungsgleichungen für dio Integrirbarkeit des
Systems (29) in Form von p Drgleichungon aufstellen, und würde sich
auf die ans dem vorhergehenden ersichtliche Art flberzengen, das«,
selbe ateta erfüllt werden, wenn die unter (16) erfüllt sind.

Die Integration des Systems (13) ist hiemit zuruckgefahrt anf
die Integration des Systems, welches bei derselben Anzahl von Glei-
chungen eine Variabele weniger enthält. Verfährt man ebenso mit
dem Systeme (29) nnd jedem der nach und nadi enthaltenen, so kommt
man schliesslich auf ein Lagrange'sches System von ^ Differential-
gleichungen zwischen p+l Variabelen, dessen vollständiges Integral
aas p endlichen Gleichen besteht ~ Hieraus folgt nun unmittelbar,

I

174 Zaj^^rkoaitki: Zar hlrgratio

AiBS die BedingitngBgloiclitmgeii (IG) aotwcndig und anBmchend »nd
ftr die Integrirbarkeit des Systems (13) in Fonn von p Urgleichnn-
gen. Setzt man jetzt in (IG) mn^i statt yi so findet man die Bedin-
gungsgleichnsgen hiefür, dass das System linearer paitiellen Differen-
tialgleichungen (7) p verschiedene gemeinsame Lösnngen besitzt —
Es bleibt übrig nachzuweisen die Identität dieser Bedii^ungsglei-
changcn mit den Jacobi'sehen.

Bezeichnet man die erste Seite der Gleiclmng (7) mit ^,-F, and
bildet den AuBdmck (^»^r — ^t^i)K für zwei der Gleichungen (7),
so findet mau:

dArk

;=1 0i»+i

= ist daher identisch mit (16) , was za 1

Die Bedingung Fr,,(*)
weisen ivar.

Wie wol die in dieser Abhandlung gegebene Integration amethod^
des Systems linearer partieller Differentialgloichnngen in praktischer
Hinsicht der Jacobi'sehen offenbar nachsteht, so empfiehlt sie sich
vorzüglich durch strenge und natnrgemässe Ableitung der Bedii^iio)
gleichungen, unter welchen das System ein Jacobi'sches ist

Warschau

1 6. Mai X870.

• tki: Beilran mr Tti-orie iler fingulärfn LBtungtn t

XV.

Beitrag zar Theorie der singulüren Losungen gewöhnllelier
Dlfferentfalgleichiingen erster Ordnung.

Ladiglaus ZajaCTkoiPski,

Boolo hat in aeinem ausgezeichneten Werke über Differential-
Belebungen (Treatise on differential eqnations. Snpplementaiy to- j
lumo p. 23 — 31.) folgendes Theorem bewieaeu:

„iBt u ^ eine Lösung der Differentialgleicbnng erster Ordnung J
(1) y' = Mx,y)

und geht diese DiffercDtialgleichung in folgende

über, wenn statt der Veränderlichen y, x die Veränderlichen
eii^eführt werden, so wird ii=^0 eine singnläre Lösung sein, wenn
ffir » = nicht nur die Function f{x, u) verschwindet, Bondem auch
das in Bezug auf w genommene (a als constant vorausgesetzt) Integra

^

ist"; sowie ii

„Ist w ^ eine singulare Lösung der Differentialgleichung fl),
und bringt man diese Differentialgleichung mittelst der Einführung
der Veränderlichen «, u statt der Veränderlichen y, x auf die Form
(2), 80 wird für t» = das Integral (3) verschwinden."

I

fol^l

Auf dieselbe Art wio Boole dieses Theorem beweist, kann
gendes dem vorliegenden aualoge bewiesen werden:

„Ist M = eine Lösung der DifferentialKleichung erster Ordnung

(4) ^r = 'p(^,j)

und geht diese OiffcrenlJalgleicliung in folgende:

(*) *=«.,..)

über, wenn statt der Veranderlicben a:, y die Veränderlichen ;
eingefnhrt werden, so ist dazn, dass « =- eine singulare Lösui
ist, notwendig nnd hinreichend, dass für w = nicht allein die Ftm^
lion fiy, u) verschwindet, sondern auch das in Bezng anf ^
mene {y als constant vorausgesetzt) Integral

f:f^)=''

(6)

wird."

Bio Bedingungsgleicbuugen (3), (6), welche dem Grundgedanktoin
nach von Euler (Institntiones calculi integralis vol. I. problema 71.)
herrühren und auch aus Canchy's 2ton Theorem (Moigne Lejons
de calcul differentiel et de calcul integral vol. n. p. 447.) abgeleitet
werden können, kann man durch gleichbedeutende, von jeglicher Inte-
gration freie und auch insofern becincmere ersetzen, was, meines
Wissens, bisher nicht bemerkt worden ist.

Der bekannten Formel:
z

wo & eis poBilivai echter Brach ist, gemäss, hat man

/'_dH »__

J fix, u) - fix, &u)

1)3. nim für eine singulare Lösung a = die erste Seite yorlicgencli
Gleichung verschwindet, so muss auch

/

/(•,»»)"

gewöhnlicher Differentialgleichungen ereter Ordnung.

177

somit

«=o

/(g. »u) _

u

oc

sein.

Es nimmt aber der unter dem Substitntiouszeichen stehende
Bruch für «* = die unbestimmte Form tl an, daher ist nach der
bekannten Regel:

«=o

/(x, ^)

«=o

u

d f(x, ^)
du

Berücksichtigt man dies, so folgt ans der vorhergehenden Formel,
dass för eine singulare Lösung

u=0

du

oc

oder

11=0

(7)

^du
dx
du

00

sein muss. Wie man leicht sieht, ist die Bedingungsgleichung (7)
vollkommen gleichbedeutend mit der Bedingungsgleichung (3).

Ebenso kann die Bedingungsgleichung (6) durch folgende

11=0

(8)

du

= GO

-tr m

du du

vollständig ersetzt werden. Die Differentialquotienten ^$ ~

(7) und (8) haben beziehungsweise die durch (2) und (5) gegebenen
Werte.

Darauf gestützt kann man einen ebenso strengen als eingehen
Beweis dafür geben, dass die den bekanntem Laplace' sehen Bedin-
gungsgleichungen

(9)

dy

= 00

y

dx

= 00

entspringende Lösupg der Differentialgleichung (1) oder (4) wirklich
Singular ist.

TenLVI.

178 Zajficrkoivski: Beitrag zur üieorie der singtdären Lösungen

Sei w = die der ersten Bedingungsgleichung (9) entspringende
Lösung der Differentialgleichung (1), und diferentürt man selbe in
der Voraussetzung, dass y von jk abhängt, so erhält man:

du du . du f

du
WO ^ und y beziehungsweise die durch (2) und (1) dargestellten

Functionen bedeuten. Hieraus folgt:

du du

, dx dx

y =— ^—

dy
Differentiirt man diesen Ausdruck partiell nach ^, so ergibt sich

\d— 1

du I dx du d^u 1 ^du du] d^u

8y' dy L du dy dxdyj \dx dx] dy^

Q

oder nach Verrichtung einer leichten Keduction:

d —

ao) W _ ^ _d ^du

^ ' dy du dx dy

Da nun für t* = die erste Seite unendlich ist, so muss es auch

du ' du

die zweite sein. Es kann aber ö" nicht Null, somit l-^ nicht un-

oy ' dy

endlich sein, weil die der Bedingungsgleichung -g- = oo entspringende
Lösung mindestens die Veränderliche y enthält, somit muss

d —
dx

ou

und daher t^ = eine singulare Lösung sein.

Sei jetzt t* = die der zweiten Laplace'schen Bedingungs-
gleichung (9) entspringende Lösung der Differentialgleichung (4), and
diferentürt man selbe in der Voraussetzung, dass x von y abhängt,
so findet man

du du du 1

dy^dy'^dxy'

gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, 179

WO — und —,9 beziehungsweise die durch j (5) und (4) dargestellten
Functionen bedeuten. Hieraus folgt:

clu du

1 dy dy

r\.

y ^

dx

Differentiirt man diesen Ausdruck partiell nach ä, so ergibt sich

du

1 Sul^dy du 8^ Ydu du
y' dx\_Bu dx dxdyj [dy dy

dx " (duV

m

oder wenn eine ähnliche Reduction wie zuvor verrichtet wird:

y' ^ dy d du
Da die der zweiten Laplace' sehen Bedingungsgleichung

-^ = 00 entspringende Lösung « = notwendig die Veränderliche

du du

X enthalten muss, so kann ö- nicht Null, somit l^ nicht unendlich

sein, also wenn für w = die erste Seite der Formel (11) unendlich
wird, 80 muss auch

^du

dy

somit II =» eine singulare Lösung sein.
Warschau, am 10. Juni 1870.

\'i.*

180 Stoecicly: Eigenschaften der aus rationalen ganzen Flmctionen

XVI.

Eigenschaften der aus rationalen ganzen Functionen
dritten Grades entspringenden .Curren.

Von

Herrn Ludwig Stoeckly

iu Grenchen in der Schweiz, Canton Solotharn.

Die benannten algebraischen Functionen lassen sich immer auf
folgende Form bringen:

Jede aus einer solchen Function entspringende Gurve hat, wie Jbereits
bekannt, einen Wendepunkt und erstreckt sich mit zwei Aesten in's
Unendliche. Die Curve kann die Abscissenaxe dreimal, muss sie aber
wenigstens einmal schneiden; es hängt dies von den Coeffidenten o,
h und der Constanten c ab. Ob die fortgleitende Ordinate, y^ der
Gurre je in den Zustand des Maximums kommt, hängt allein von a
und h ab, und ist dasselbe der Fall, so ist immer zugleich auch ein
Minimum vorhanden. Nehmen wir, um einen bestimmten Anknüpfungs-
punkt für unsere Untersuchung zu haben, den Fall an: 1) der Goefiß-
cient a und das bekannte Glied c seien negativ; 2) es sei la^ > Ji.
Zufolge der ersten Bedingung hat dann die Gurve zu den gewöhn-
lichen recht¥rinkligen Coordinaten eine Lage, wie ungefähr Fig. 1. es
darstellt, und laut der zweiten Bedingung hat die Gurve auch ein
Maximum und Minimum. >yir haben femer angenommen, die Grössen
o, b und c seien so l>esohaffen, dass die Linie die Abscissenaxe drei-
mal durchschneidet, so dass also die auf Null gebrachte Function drei
reelle Wurzeln hat £s hat dies übrigens keinen Einfiuss bei der

drillen Grailes »ntipringendcn Citrvin.

folgondeu Unt«rsucbung und es könntoa ebenso gnt zwei Wurzeln der
Gleichung imaginär sein. Unsere zu untersuchende Function hat also
jetzt folgende Form:

Daraus folgt nun ferner:

^ = 3»:'— 2flK-i-fi und ^ = 6? — 2a.
AuB/'M ^0 folgt:

und setzen wir f"{x) — 0, so hat raan:

Nun sei in Fig. 1- M'B^;/ die Ordinate des Masimnms, M"Ih=-i/'
die des Minimnms und Af'C = j/" diejenige des Wendepunktes. Die
den Ordinat«n y', y" und y" entsprechenden Abscissen AB, AD and
AC seien x\ x" und x"". Mit Benutzung des Vorhergegangenen er-
gibt sich dann, nachdem wir noch der Einfachheit wegen "/jo* — JS—mJ
gesetzt haben:

■ = ^a—m,

"=ia+^

x'" = ia.

Setzen wir in /(x) nach einander für x die Werte der Abscissen «
jc" und x"', so erhalten wir die dazu gehörigen Ordinaten, nftmlich:

«—■ '

)"-.(ta-»)'+Mio-»)-

(4«+»

)>-o(ia+m)>+i(io-m)-

(*.)■-

<.(l«)'+MW-«

In jeder Function von der Form der Gleichung (1) ist also die
AbBcisae des Wendepunktes, Ja, immer gleich dem dritten Teil des
Coefficienten von x^ mit entgegengesetztem Vorzeichen. Während die
Abscisse des Wendepunktes nur von a abhängig, sind dagegen die
Abscissen der Maxinmms- und Minimums ordinaten von a und & zu-
^eich abhängig. Die erstere ist ^— m, die letztere Jn+m. Beide
Ordinaten y' und y" stehen also gleich weit von y'" ab, d. h. es ist
immer

C7t = cn

= ™ = Via^

aber diese Entfernung ist um so kleiner, je grösser Jft im Verhältnii
zo Ja^ ist. Wird aber Ji =: la", so wird m = und die Punkte
nnd M" fallen mit Af" zusammen, weil nicht nur ihre Abscii
»<b"= la, sondern auch ihre Ordinaten beide

tnin^^l

182 Stoeckly: Eigenschaften der aus rationalen ganzen Functionen

= }/" = {W-<W+h{^)-^c

werden. Wenn also Ja = \a^ oder > Ja^ ist, in welch letzterem
Falle m imaginär wird, so hat die Curve gar keinen Maximums- und
Minimumspunkt mehr, sondern einzig noch einen Wendepunkt. Es
geht dies auch aus dem Verhalten des ersten Differentialquotienten
hervor. Setzen wir nämlich in f{x) statt x den Wert Ja + Ä, wobei
h eine hinreichend kleine Grösse bedeutet, so wird:

/'(i«+Ä) = 3ä2— Ja2^& und /'(ia— Ä) = SÄ«— Ja^+i.

Da aber, wie wir oben angenommen,

\b == Ja«, also h = J^a«,
so wird:

/'(ff«+Ä) = 3Ä2 und /'(Ja— Ä) = 3ä2.

Es ändert also /'(a?) das Vorzeichen nicht und es findet deshalb weder
Maximum noch Minimum statt. Eben so wenig ist dies der Fall,
wenn \b >> Ja« und also m imaginär wird. — So viel über die Ab-
hängigkeit der Abscissen a;', x" und x'" von den Grössen a und b.
Die zugehörigen Ordinaten y\ y" und y'" sind, wie leicht aus ihren
Werten zu sehen, nicht allein von a und h^ sondern von a, b und c
zugleich abhängig. Ohne nun die dabei Statt findenden Beziehungen
näher zu erörtern, was nicht im Zwecke unserer Untersuchung liegt,
kehren wir wieder zu unsem 3 Punkten M'{x\y')^ M"{x'\y") und
M'"(x'"^y'") zurück, welche die aus/(a;) entspringende Linie unter den
oben angegebenen Bedingungen immer haben muss. Legen wir nun,
wie in Fig. 1 angedeutet, durch die Punkte M' und M" eine Gerade
t*, so ist deren Gleichung:

Setzen wir für die in dieser Gleichung vorkommenden bestimmten
Coordinaten ihre aus f{x) oben abgeleiteten Werte, und für die lau-
fende Abscisse x den Wert x"* = Ja, so folgt:

y — (i^ — m)^-f-a(Ja — m)« — ^(Jö — 7a)-\-c

( Ja— -mj^—CJa+m)»— a(^fl^— ^)«+ a(Ja-fm)«— 2&WI -
= (ia-«»)-(ia+^) ' »«-(4«-«»)]

Nach gehöriger Reduction und Transformation folgt femer:

y = i.W-a{\aY^b{\a)—c = ^.

Setzt man also in Gleichung (2) die laufende Abscisse x = x"*^ so er-
hält man für die entsprechende Ordinate y den Wert y"*. Es geht

enlipringenJtn Curotn.

18^1

also die durch die Fiuikto M'ia',^') und Jf"(/',y"j gelegte Gerade
u durch den Punkt M'"{x"',y'"), oder, mit andern Worten: Besitzt
eine aus einer vollständigen Function dritten Grades
hervorgehende Cnrvo nebst dem Wendepunkt anch ein
Masirnnm und Minimum, so liegen die der Curve ange-
lidrigeu Endpunkte der Maximums- nnd Minimum
nate mit dem Wendepunkt in einer Geraden. Der Weadi
punkt liegt auf der Abacisscnaxe wonn y" = ist. Setzen wir i

80 geht die nene AbsciBsenaxe, die wir in Fig, 2 mit «, hozeichi
haben, durch den Wendepunkt J/*'. Die 'neue Abscisaenaxe «i dei"
wir uns parallel zur alten gelogt nnd den Anfangspunkt .
wählt, dass die Abacissen der drei Punkte M', M" und Af" dlfl^
selben bleiben. Die auf die neue Abscissenaxe uj bezogene Gleichung
derselben Curvo heisat dann:

\-bx-

(3)

In dieser neuen Gleichung rauas c' = o+j'" sein, weil AA' = y'".
Dass die Coef6cienten a und b der neuen Gleichung dieselben sein
müssen nie in Gleichung (IJ folgt daraus, dass die Abscisse x", die
von a allein abhängt, sowie die Abscissen a;' nnd a", die tob a und
b zugleich abhängeu, sich nicht geändert haben. Die Ordinalen unserer
drei Punkte haben aber bei dieser Verschiebung ihre Werte geändert.
Die Ordinate y" ist nach unserer Voraussotaung Null geworden und
die Ordinate des Maximums hat um y"' ab, die des Minimums um
y"' zu genommen. Bezeichnen wir die neue Ordinate des Punktes M!.
mit Y' uud die des Punktes M" mit Y". so ist offenbar: J

Y' = BM' — BE = i

-!/ -

Es lassen sich also die neuen Ordinaton ans den alten berechnen,
and man hat nicht nötig die Gleichung (3) zu benutzen; es ist jedoch
dabei wol zu beachten, dass bei den alteu Ordinaten y" und y" ent-
gegengesetzte Vorzeichen besititen, so dass y"' mit entgegengesetztem
Vorzeichen zu y" addirt werden muss, damit letztere Ordinate um y"'
grosser wird, Wir erhalten:

(5)
= (^a-fm)3-a(ia-W)M-*(i«+™)-*H:(i")=-«(WH^{i»H

! Wird

Sloeeklg: Eigensclia/ieit ätt i

Wird entwickelt and redacirt, so folgt:

I" = ^*n> — 5m — m* and Y"

£s ist alao i" = — Y" oder in Worten: Geht die Abscisscnaxe -
durcb den Wendepanlit, bo Bind Uaximniiig- und Mini-
mumBordiuate quantitativ gleich. Dass nun darcfa Gläcfanag
(3) mm gkicLen Kesalt^t« kommen mnss, lehrt der blosse Aoblick
der Kormclu (4) und (5), da fUr die neue Abscissenase h, sieb io
dicseu Formeln nichts änd^'rc als c, das in c öbo^ebt, «elebes hei
der Bedactiun aber sogleich w^ffäUt. Wie schon oben bemerkt, geht
aber die Abscisseuaxe immer nur dann durch den Wendepunkt, wenn

ff* oder 4ai— ^a'— e =
ist. Dies ist z. B. der Fall in

f(x)^x^—9x>-i-23^—lb.

indem liii-r wirklich

i^— 2ja*—c — — 69+54+ 15 = a

Ea sind nun femer die rechtwinkligen Dreiecke M'EM' and H".
in Fig. 2. coiigruent Denn es ist, wie soeben bewiesen wurde,

M'E =- M"F und W'E = M^F = m -= >'ja*— ^i.

Aus der Congruenz dieser Dreiecke folgt, dass anch

üT'Af ' = a/"J/"

sein mnss und wir gelangen so zu dem Satze:

l'Jine Gerade, welche die Endpunkte der Masii
nud Minimumeoordinaten verbindet, gebt durch
Wßndepnukt und wird in diesem halbirt

Um nun zu nntcrsncheit, ob anch jede andere Gerade, die,
,V/" gehcüJ, zwei Curvenpunktc verbindet, in JTf* halbirt werde,
fahren wir auf folgende Weise. Sei r eine beliebige Grösse, jedoch
grösser uilur kleiner als m, und setzen wir in Gleicbang (1) statt x
die Werte ^a — r und ^+r, entsprechend den Abscissen AG und
AH (ia Fig. 2), so gelangen wir zu zwei neuen Punkten N' und N",
die, jenachdom r ^ oder <^ m, entweder beide ausserhalb oder beide
ionertiatb der Maximum- and Minimnmcoordinato liegen. Nehmen
wir, üboreinsüminend mit Fig. 2., das Erstere an und bezeichnen wir
die ilieseu Abscisseu entsprechenden (nnd auf den Anfangspunkt A
hiMflgWH>w) Ordlaatea mit n' nnd n". Legen wir nun durch die bät>.

J
I

Uen Punkte N' (ia
deren Qleichnag:

jn Gmd's ,<nl'prm.jenden 0>rvn. ^^M

-r, 11 ') und N" iia-\-r, n") oine Gerado, so i

"'-(i«_rj_(|a + rjt^ ik" O]

oder, indem mau für die Ordinalen die aus Gleichung (1) resultii
den Werte setzt:

_ (fra-r)^a(i<,-r)^+i(ia-r)-<^(K)-'-)H^(ia-h-)'-i(ia-i-r)4

Verföhrt mau Mer wieder wie oben bei Gleichung (2), indem i
fftr X den Wert «" = ^o setzt, so wird nach gehöriger Reduction:

and (Hc Gerade A"^" geht also ahch durcli M"*. Welchen reelläffi
Wert man nun auch der Grosso r geben mag, so führen /{Ja— «^
und /{Ja-f-r) immer zu zwd neuen entsprechenden Cnrvenpunkt«
deren Verbindungslinie durch M" geht Da nun ferner in Fig. J

KM"' = M"L = r,

so sind die rechtwinkligen Dreiecke N' KM'"
und datier

M"l:i' = afN".

Dies findet für jede andere durch M"" gehende Linie ebenfalls statt,'
and zwar auch bei Curven dritten Grades, die kein Maximum und
Miniraum besitzen, indem diese Punkte iiierbei keine Ausnahme-
stelluDg gegenüber den anderen Curven punkten einnehmen. Wir ha-
ben also ganz allgemein die Beziehung

und N"LM"' congmea«

Jede Gerade,
dritten Grades
geht, wird in dii

zwei Punkte einer ebenen CnrTi
ndet und durch den Wendepankl
halbirt.

Geht daher die Abscissenaxe selbst durch den Wendepunkt, so
wird anch die zwischen den Cnn*enpunkten p und q liegende Strecke
derselben in M" halbirt, so dass

Ist als(
Grades

M'"p
die Wendepunktsabacisse

Wurzel einer Gleichung Stsn

ist diese Wurzel zugleich das arithmetische Mittel der

WMta solche reell nnd nicht imaginär sind. Wegen

i

.0

:e

i

186 Stoeckly; Eigenschaften der aua rationalen ganzen Functionen

der beständigen Congrueuz der Dreiecke N'KM*" und N^LM*" be-
schreiben die Endpunkte der Linie N'N" zwei congruente Curven-
äste. Denken wir uns durch die Endpunkte der Linie N'N*' zwei
Tangenten an die Curve gelegt, so sind die Abscissen ihrer Berüh-
rungspunkte (^a — r) und (i«+r). Setzen wir diese Werte an die
Stelle von x in f'{x)y so folgt:

Für den Punkt N'i / = 3(^a-^)2_2a(^a— r) + 6 =-3r2— Ja^^^

Für den Punkt N"i g| = 3(Ja+r)2— 2a(Ja+r) + Ä _ 3^2__j„2_|_j

Wir haben also femer den Satz:

Die trig. Tangenten zweier entsprechenden (durch
eine durch den Wendepunkt gehende Gerade verbun-
denen) Curvenpunkte sind immer gleich gross.

Fassen wir die Sache rein analytisch auf, so können wir jetzt
den Satz aufstellen:

Ist f{x) eine beliebige Function dritten Grades und
^a eine Wurzel der Gleichung /(o:) = 0, sowie auch eine
solche der Gleichung /"(a;) =0, so gibt /(aj) sowohl, als
auch f'{x) und /"(«), für x^^a-^-r und x = ^a — r quanti-
tativ gleiche Werte, die in f(x) und f'{x) entgegen-
gesetzte, \nf'{x) aber gleiche Vorzeichen haben, was man
auch statt r für einen Wert setzen mag.

Für fix) und f'{x) wurde vorstehender Satz bewiesen, und dass
er auch für f\x) richtig ist, ergibt sich durch eine leichte Probe,
geht aber auch schon daraus hervor, dass Ja die Wurzel von f"{x) = 0,
und dass f'\x) « eine Function ersten Grades ist.

Man kann den Wendepunkt M"' einer Curve , dritten Grades
nicht unpassend auch Mittelpunkt der Curve dritten Grades,
die durch ihn gezogenen Sehnen aber Durchmesser der Curve
dritten Grades nennen. Jeder beliebige Durchmesser ah (Fig. 3.)
kann dann als Abscissenaxe eines rechtwinkligen Coordinatensystems
angenommen werden, und immer gibt die Curve für gleichweit von
M'" sich erstreckende Abscissen quantitativ gleiche Ordiaaten, wegen
der fortwährenden Congruenz der Dreiecke a und ß. Nimmt man
femer einen solchen Durchmesser, deren die Curve unendlich viele
hat, als Abscissenaxe an, so sind immer, wenn f(x) = gesetzt wird,
alle drei Wurzeln dieser Gleichung reell.

Sei ef in Fig. 3. die Tangente der Curve in M"\ so ist das mit

drilttn GriiHct «ntspriiiiifn/lfH Ctiyrfn,

187

der Cnpve zusammenfallende Linienelemt'iit dieser Tangent« der
kleinste Durchmesser derselben, und die Übrigen Durchmesser,
die beiden Aestö der Curye mit ihren Enden beBchreibend, werden
immer grösser und der letzte derselben, der eine zu unserer nr-
sprünglich angcnommenon Äbscisaeuase senkrechte Lage besitzt, wie
«d, ist unendlich gross. Jede in dem vollkommenen ebenen Winkel
(p liegende durch AI" gehende Gerade hat nur diesen einen Punkt
M" mit der Ciirve 3ter Ordnung gemein. Von der Grösse dieses
Winkels qo hängt auch die absolute Grüsao der Summe der Maxi-
mnms- und Miuiiiianisordinate (die Grösse der Linie M'm) ab und
die daberigen Üeziehnngen sind leicht zu entwickeln. Für ip = ÖO"
z, B. läuft c/' iiarallel mit der Äbscisseuaxe nud es ist /'(ia) = 0,
was, wie schon früher gezeigt, dann eintritt, wenn l|i -= Jo*. FUr
diesen Fall ist die Linie Af'm = U und ebenso für alle jene Cnrvon
3ten Grades, die aus /(ir) entspringen unter der Bedingung : i* ^ ia'.

Folgendes verdient noch einer kurzen Erwähnung. Sei in Fig. 3.
Aa eine Wurzel von /{*) — 0, und ab ein durch Af" gehender Durch-
messer der Curve, sowie hh die Ordinate des Curvonpunktes 6, so hat
man offenbar: ag-.ah = aM'":ab, d. h. es muss ag =- Ja/i und ebenso
gAI"" = ihb sein. Dies gilt für alle reellen Wurzeln von/(ic) = 0.
"Wir sind somit berechtigt den Satz aufeusteflen:

Jede Gerade, die den Wendepunkt einer Curve 3ton
Grades mit einem zweiten Punkte dieser Cur ve verbindet,
dessen Ordinate das Doppelte der Weudepunktaordinate
beträgt, geht durch einen reellen Wurzelpnnkt dieser
Curve.

Soll eine Cnrve 3teu Grades construirt werden, so genügt es,
den Wendepunkt und den einen Ort duruh Rechnung zu bestimmen,
was mit Hülfe der erwähnten Eigenschaften dieser Curven hinreichend
klar sein dürfte.

J.^^ Roth: Die rationalen Dreiecke.

xvn.

Die rationalen Dreieeke.

VitllütäDilig ontwickelt und mit Ausscheidung aller Wiederholungen

B systematische Tafeln gebracht

voo

Hein rieh Raih^

MAth<Mii«tiklehrer «m ReaügymnasiaiB in Ka;idcii.

T*rwort.

Mil dor TCurhe^HMkn Schrift hane ich mir die AuJQgabe gestellCr?
tuu hist€uri»oh meiiiiirtlrvUges und nemüch «mliasisieiides Problem der*
raiionalett Analysis gr^UKlUch und Ins in steine Fim«lnhätea hinaus
£tt lOä^n. So» «eil auch di<^ ralionaie Ana^rst» im Altgemeinen ent-
wkiiell i»t; eine xv>U$ländi^ daivh^:e&hrte ^pteviakiieit besitaeii wir
ttv>ch nicht Vnd damit fehlt du^siar maüieiiatkchen Disc^lin die
eigentliche An«ettd«E^. I>«ttn et$ kau aklil güsna^m^ die Tefschie-
dßdaea Pn^hleniie aar mit aiu^^e« Zagiea latioaai im mactea; es maanen
auch eiasebie Aa%atoi daich^^earl^itet w<»ndKBa. Uad gerade hi^
/ie^gea ^h etst v^ sahlKichea aad ei$i»ttAmIiDidhifa S«chviQriig|Ddtea
der ratioittale«! Aa^^ dM^ ma»:&i»al :$i^b^ <ii^ $«»gjä]lftigsliaa Scharf-
sittUji sv^liea. I^ i»ä^ vb^ixn. aitclk dät^ l>§ac]b^ st^än^ TKaram bish^
die IVta^arWiiea hiüfttier dfcoi ^D.n$:$i»^ KiütotJ^r^'&ieffTL m ^bissst Wissen-

Z^ar IM $^>&Q^ aalf <j&^ ratun^d^dJ;«^ rt^ckü^iitMi^em Bmecke
hat e$ ukhA aa Veir^inclbtiii zit «^i^ir lSHSdii^ii%?itiJä^ K^snag: sefeUt,
und die Schrift x<^ C. A ^. l^exklkiaTi;:: ,JMi^ ii»i!ft.wtlan£q^;sltai Eigai-
Schäften der fytlM^^nßclii^iti Z'dJktoir^ iiurt^ hü^ unanaftaa

Halh: Dil

nur

iBge-

Lugel '

'Seb-
dann

kennuDg genannt werden. Aber wenn man alle diese Arbeiten i
den Leistungen der ailoD Griechen vergleicht, so müBsen wir geBtehraTl
dass wir hierin nicht um einen Schritt voni^firte gekommen sind, nur
die Sätze der höheren Zahlenlehre über die Hypotenusenzahl ansge-
nommcü, obwol uns die indischen Formeln schon lange zu Gebot«
stehen. Denn schon Pythagonis bat die orste Gruppe meiner pytht '
gorisuhen Prüntai'el geliefert, Piaton alle ersten Gruppendreiecke dertj
selben; und dennoch findet sich iu unserer malbematiBcben Literata
keine Spur eines Systeiris der pytbagorischen Dreiecke. Diesen Mangel "
scheint auch Berkban gefühlt zu haben, da er sich, obwol vergeb-
lich, tun eine System aiisirung dieser Dreiecke benttht hat und dann
bekennt, dass die Frage nach einer sichern und bequemen Bei-ocb"
aung noch zu erledigen ist. Ja die Vorsuche so vieler und darunlar^
selbst grosser Mathematiker, wie Euler, zu besonderen Lösung
des pytbagorischen Problems zeigen erst recht schlagend, dass der 1
Wert der indischen Fonneln, der hauptsächlich in ihrer VollstHndig-
keit liegt, bisher nicht klar erkannt worden ist, eben weil die meisten
jener Lösungen unvollständig sind. Und doch ist die VoUstäudigkeit
der Lösungen die Hauptsache bei der rationalen AnalysiB. Die Er-
kenntnisB Ton der Natürlichkeit und Vollständigkeit der indischen
Fonneln ist erst durch meinen 4. Satz, dass jedes rationale Prim-
dreieck nur Eine gerade SeitenzaU hat, gründlich überzeugend mög-j
Ijdi geworden, und die Einfachheit, mit der sich jene Fonneln von^
diesem Satze ab ei^eben, dürfte wohl allerseits befriedigen

Uelier die rationalen Dreiecke im Allgemeinen, von denen dis'
pythagorischen nur eine Specialität bilden, ist mir weder eine
dtre Abhandlung, noch sonst ein nennenswertes Eingehen auf die-
selbea bekannt geworden. Diese Vernachlässigung des allgemeinen
Problems , besonders imGegenbalt zn der Bevorzugung des spccielleu,
igt nm SD weniger /n rechtfertigen, als sämmtlicho rationale Dreiecke
TJele interessant« Eigenschaften gemein haben, und als fcmerohne
allgemeine Bebandlnug eine erschöpfende Losung auch der DMails
nicht möglich ist. Deshalb ist auch bisher eine ganze Gattung rati<>-
naler Dreiecke unbekannt geblieben, jene nämlich, welche von 4
stimmnngszahlen abhüngig sind, und für die ich in meiner III. Tal
tön Syst<;m angedeutet habe.

Ein Hauptgrund dieser Mängel liegt iu der Vernachlässigung
primären Lösung, ohae die weder Einfachheit noch Bestimmtheit
diese Materie kommt. Denn im wahren Grande gibt es nur rationale
Primdreieckc, da es natflriich ist, jedes Dreieck durch seine kleinsten
Seitenzahlen anszndräcken. Nur dadurch wird es möglich, die stören-
L Wiederholungen auszuscheiden, ohne die keine Sicherheit und

1

t io^H

Eleganz in die Bcrechnmig kommt So licfom auch die indischen
Fonneln nicht allo Abioitungcn der pythagoriachen Dreiecke :
Nichtquadratzahleu , sondern ausnahmslos nnr jene mit dem 1

■u

Schliesslich gebe ich der Hoffiiung noch Ansdruck, dass i ^^
ift die Verwandtschaft und den Zusammenhang d€T Regeln des
Pythagoras und Piaton mit den unbestimmten Gleichangen des Dio-
pbantna imd seinen Sätzen Ober das rechtwinklige Dreieck nen an-
regen und dadurch mehr Liebt in den mathematischen Entwicklungs-
gang der Griechen bringen werde. Denn jene Regeln gehören gleichfalls
der unbestimmten Analysis an, nämlich der unbestimmten rationale
Analj'sis, nnd ihnen gegenüber steht die Arbeit des Diophant nicht
mehr als ein Unicum ohne jede vorausgegangene Spur da, wie es in
der Gescliichtß der Mathematik gemeinhin heisst

I

Kaaden im November 1870.

I. Allgemeine Eigenschaften der rationalen Primdreiectc

Heinrich Bath.^^^|
aleu Primdreieebe.^^^l

Sind die drei Seiten eines Dreiecks commensnrabel, und man
misst sie durch die grösste gemeinsame Läugeueinheit, so werden
die Seitenmasszahlen im Allgemeinen relative Primzahlen, während
sie einen gemeinschaftlichen Factor erbalten, oder Brüche werden,
wenn man mit einem aliquoten Teil, oder mit einem Tielfachen jener
Längeneinheit misst Solche Dreiecke mit ganzen, relativ primären
Seitenzahlen kann man Primdreiecke nennen. Jedes seitencom-
raensnrahle Dreieck lässt sich als ein Primdreieck ausdrücken, weim
man der Messung die grösste Masseinheit zu Gnmde legt Tritf zu
den relativ primären Seitenmassen noch eine Inhaltäzald, so hat man
ein rationales Primdreieck.

1. Ein Dreieck mit drei ganzen, relativ primären Seitenzahlen
und einer rationalen ItUialtszahl heisst ein rationales Fiim-
dreicck. Ist dasselbe rechtwinklig, so heisst es ein p3rthB-
goriscbe« Primdrmock.

Roth: Die rationalen Dreiecke. 191

Alle ähnlichen rationalen Dreiecke lassen sich numeri^h als ein
und dasselbe Primdreieck darstellen, indem man jedes mit seiner
grössten Längeneinheit misst; und von jedem rationalen Primdreieck
lassen sich alle möglichen, ihm ähnliche rationale Dreiecke ableiten,
indem man die Seiten mit einer Zahl und die Fläche mit dem Qua-
drate dieser Zahl multiplicirt und dividirt. Zwei rationale Dreiecke
unterscheiden sich also nur durch ihr Seitenverhältniss. Mithin reprä-
sentirt die vollständige Gruppe der rationalen Primdreiecke alle mög-
lichen rationalen Dreiecke, weshalb sich die vorliegende Auf-
gabe auf Herstellung aller rationalen Primdreiecke re-
ducirt

Sind a, 5, c die Seitenmasse und a^ ß, y die Masszahlen der durch
den inneren Berührungskreis bewirkten „Seitenteile", so folgt:

a=ß-\-y^ h = a-\-y^ c == «+/?

a+ft = «4-/3-1- 2y == c+2y > c

a+c = ft+2/5 > h, h+c =- a+2a > a

— 2 — =«+p+y9 — 2 — ^
— ö — = p — ö — = y

^V^-

-f-^-f-c — a-^-b-^-c a — h-\-c a-^-h — <

Welche drei Zahlen man auch für a, |5, y setzt, immer wird die
Summe zweier Seiten grösser als die dritte Seite. Die Seiten-
teilmasse sind also unabhängiger, als die Seitenzahlen,
weshalb man am besten jene zur Bestimmung der ratio-
nalen Dreiecke benutzt.

Setzt man a^b ^ c. so wird die Inhaltszahl irrational:

2. Kein rationales Dreieck ist gleichseitig.

Mithin kann es nur gleichschenklige und ungleichseitige rationale
Dreiecke geben.

Setzt man für a, &, cdrei ungerade Zahlen, oder nur Eine,
so wird die Umfangszahl u und jeder der vier Zähler in

192 Math: Die rtUionalen Dreiecke,

•a-\^b'^e — a'\'b'\-e a — b-^c a-|-5 — e
2 ' 2 ' 2 * 2

eine ungerade Zahl, was gibt

2g+l ^ 23/+1 2z+l

16i« = [2(a;+y+i.) + 3](2a:+l)(2^+l)(2«+l)
==[2«+3] (44 + 25+1)
= (2«+3)4^+4«2+6«+2«+3
= 45+3 = 4iV— 1

4^ = T/4iV— 1

Erhebt man aber eine gerade und eine ungerade Zahl aufs Qua-
drat, so folgt

(2m)2 = 4w2

(2w+l)2 = 4(w2+w)+l + 4^+1

d. h. nur eine 4 fache Zahl, sowie eine solche ungerade Zahl, welche
um 1 grösser als eine 4fache Zahl ist, kann eine Quadratzahl sein.
Desshab muss

eine irrationale Zahl sein.

Will man dieses auch umgekehrt beweisen, in der Voraussetzung,
dass die ungerade Zahl 4^N — 1 doch eine Quadratzahl von der Form
4p +1 enthalten möchte, so folgt

4iV— 1=4^+1, 4i\^=4p+2, 2iV = 2p+l

ein Widerspruch, da die gerade Zahl 2N einer ungeraden Zahl nicht
gleicht

Daraus folgt nun zunächst der zahlentheoretische Satz:

3. Multiplicirt man die Summe dreier ungerader Zahlen mit
dem Producte dieser drei Zahlen, so ist die zweite Wurzel
aus dem ganzen Product irrational.

Und weiter folgt daraus, dass Dreiecke mit drei ungeraden Sei-
tenzahlen, oder nur mit Einer ungeraden Seitenzahl irrational sind,
dass mithin die rationalen Dreiecke nur Ein gerades Seitenmass, oder
3 gerade Seitenmasse haben müssen, so dass für die rationalen Prim-
Dreiecke nur Ein gerades Seitenmass möglich ist. Daraus ergeben
sich eine gerade Umfangs- und Flächenzahl, sowie ganze Seitenteil-
zahlen.

Salt: Üie rationalen Ltreiech.

19«

i- Jedes rationale Frimdreiock hat nnr Eine gerade Seiten-
zahl, gurade Umfangs- nud FliLchonzahlen, sowie ganze
Seitenteil zahlen.

Aam. Es gibt also kein rationales Dreieck mit ganzen Seitenzahlen,
das nicht aneh eine ganze, und zwar eine gerade Inbaltszahl hat.

bezeichnet man eine Dreieckshöhe durch A nnd die von ihr be-
wirfeten Seitenab schnitt« anf a durch x und a^x, so folgt

,^-^^ = 5»-(a + xy

-68 + cä

I

'VTeil aber in rationalen Primdreiecken i, a, b, c ganze Zahlen
sia«l , so ergeben sich auch für A, x, a'^x rationale Zahlen. Das-
aell>o folgt für den Kadins q des eingeschriebenen EreiseB: ^t

(a+6-i-«)p =.

<^-i-b-\-c-c+ß-\-y

5. In jedem rationalen Dreieck sind die Höhen, sowie die
von den Höhen bewirkten Seitenabschnitte und der Radius
des innem BerUbrungskreises unter sich und zu den Seiten
CO inmensurabel.

TJra nun alle rationalen Dreiecke zu erhalten, würde mau zu-
iia-chat die Inhaltstbrmel des Dreiecks aus den Seitenteilmassen rational
*^ oaachen und alle Primdreiecke herzustellen haben. Weil sieh aber
^® pythagoriachen Dreiecke einfacher berechnen lassen, und dann
^'^ Analyse des allgemeinen Problems wertvolle Anhaltspunkte bieten,
'^^^ö auch deren Eigenschaften bei der speciellen Lösung deutlicher
^^*^tirtreten, so löse ich zunächst das pythagorische Problem.

n. Entwicklung' aller pjtha^orischeu Frimdreleeke.

Ist c die Hypotenuaeuzabl , so folgt f Ur a = J

6, Alle pythagorischen Dreiecke sind ungleichseitig.
Nach Satz 4 folgt ans i ^> 2n

ttiuhta*,*" -. — •■ .c •:• 4.

"•:::».i-üir.k lat ein wenigstens dop-
:• .::: L.il-r-r Katheten- sowie die

-'•ruj:

- -I: rrr:i.ir zud eine ungerade

iurch ö, so sind

. „ -_ . 11 gesetzt, geben

..i::ve Primzahlen,
i-.u -fuil. Alan er-

• .»<.ii, voii sie sich

•r.«.aiuegnpta aus

^iv "«.>n?tehende

• •- A.\ .a '.vuüi solches

, '.. >..'.»: «lusso hat und

-.-.•.^..' V. sind. Diese

^ -V iiiiachsten

) ' ::agurischen

i*^ ui V. Band

.•.^. üj^t' v\ 1 esen hat,

* . vv N :c>c St^itenzahl-

• • «^ . ustäüiiitckeit

. % . . . »wuiu iiud dürfte

2Ji mM^ ^.iv^'i .'"^HMiiu j:it?icüwohl nur

Rath: Die rationalen Dreiecke. 195

roh, ohne Sj^stem und mit Wiederholungen, das sich erst durch weitere
Betrachtungen als ein sehr fein gegliedertes erweist

Setzt man nämlich, um die Differenz m^ — n^ zu beseitigen, da
w^ > n bleiben muss,

m = n— p€£

SO folgt

a = di2n-\-ä)
h = 2w(w+rf)
c = &+<?* «= a+2n*

Da nun för Primdreiecke m und w relative Primzahlen sein müs-
sen, so müssen es auch n und d sein; und wenn d eine gerade Zahl
^wäre, so würden a, h und c gerade Zahlen zu einem Nichtprimdreieck,
inreshalb d nur eine gerade Zahl sein darf. Wählt man daher
d zur Gruppen zahl, so bekommt man nur so viele Gruppen, als
es ungerade Zahlen gibt. Setzt man nun für n nur solche ganze
Zahlen, welche mit der jedesmaligen Gruppenzahl d keinen Factor
gemein haben, so kann in derselben Gruppe kein Dreieck zweimal
vorkommen, weil mit n alle Seitenzahlen wachsen; und für zwei
gleiche Dreiecke in verschiedenen Gruppen, a=^a^^ h = h^^ folgt

a-|-2n^ = ai-\-2ni^ = a-f-2%^, n = 7i^

d- h. jedes Dreieck kommt nur in Einer Gruppe, d = d^^ und da nur
£inmal vor, n = iz^.

Nennt man nun die so geordneten Dreiecke die pythagorische
Primtafel, so erhält man für dieselbe das Bildungsgosetz :

8. Die pythagorische Primtafel enthält so viele Gruppen,
als es ungerade Zahlen gibt, und jede Gruppe enthält so
viele Dreiecke, als es zur Gruppenzahl relative Primzahlen
gibt.

Diese Tafel ist also in doppelter Beziehung offen und kann nicht
erschöpft werden.

In der 1. Gruppe für d = l erhält man für o = 2n+l alle
ungeraden Zahlen von 3 an, während c stets um 1 grösser als b ist
(Regel des Pythagoras); und in allen ersten Gruppendreiecken für
» = 1 ist c um 2 grösser als a (Begel des Piaton). Nur in der
1. Gruppe ist durchaus a<^5,

2n+l<2«2-f.2n

J96 Rath: Die rationalen Dreiecke.

Lässt man in derselben Gruppe n in 9i-|-l übergehen, um aus
einem Dreieck das nächstfolgende zu entwickeln, so ergibt sich

Ol = <i(2(w+l)+€?) = a+^d

h^ = 2(w+l)(w+l+d) == 0+2(^4-1)4- 4w

Damach wird die Berechnung der Seitenmasse eine sehr einfache
und sichere, indem man nur zu jedem a die Constante 2d und zu
jedem h die Constante 2{d-\'l)^ sowie die stets um 4 wachsende
Grösse im. zählen darf, um das nächste a und h zu erhalten. Dabei
erhält man in den höheren Gruppen von ^ = 3 an auch Nichtprim-
dreiecke, die man schliesslich streicht. Mithin bilden in jeder Gruppe
die a arithmetische Reihen der ersten, die b und c solche der zweiten
Ordnung, die jedoch in den höheren Gruppen durch die ausfallenden
Nichtprimdreiecke unterbrochen sind.

Will man auch die Seitenteilmasse der Tafel einverleiben, deren
kleinstes y dem Badius q des eingeschriebenen Kreises gleicht, so
folgt

7 = 2 ' <* = 2 ' " 2

y z=z Q =. drij ß = d{n-\'d)f a = n{2n-{'d)

ab d(2n+d)2n(n+d)
i = J^ 2 ^-^

Da d und n relative Primzahlen sind, so ist in den Hypotenusen-
teilmassen « und ß jeder Factor zu jedem der 3 andern Factoren
relativ primär, desgleichen in

a = d(2w4-^) und b =» 2w(»4-^)

Denn hätten 2?i4-^ und n-^-d einen Factor gemein, so müsse dieser
auch in n und d liegen:

27*4"^ = fp ' d '^^ fpi — n

— w— d= fp^ « /jpi —fp 4-/pi

Mithin sind a und j3, a und &, sowie a und c, b und c je zwei
relative Primzahlen.

9. In jedem pythagorischen Primdreieck sind relativ primär
je zwei Seitenmasse, sowie die Teilmasse der Hypotenuse.

Alle durch 3 und 5 nicht teilbaren Quadratzahlen

U'onalea Dreieckt.

(3p TD*. (5p Tl)», (5;' + 2)»

tiabGn die Form

1

3p+l, 5pTl

Enthält nuu von den Bostämmnngszahlen m nnd n der indischen
Formeln eine den Factor 3 oder 5, ao kommt derselbe in Ä, während
a und c davon frei bleiben ; sind aber m und n von 3 und 5 frei,
80 kommt 3 als Factor doch in a nnd 5 in a oder c; denn es ist

l)„i = 3p+l, »« = 33+1,

2) mS = 5^-1-1, n^-ög + l,

-= 6g — 1,

= 3(p-q)

a=^5(p-g)
C = 5(p-f2)

10. In jedem pythagoriachen Primdreieck ist eine Kath<
zald durch 3, eine durch 4, und von den 3 Seitenzahl«
ist eine durch 5, die Flächenzahl durch 6 teilbar.

Anm. Die Masszablen des ersten pythagori sehen Primdreiecka a = 3,
i = 4, c = b, (■ = 6 treten also in jedem pythagoriachen Prim-
dreiefk als Factoren auf.

Die durch 7, 11, etc. nicht teilbaren Qnadratzahlen sind mehr
als zweiförmig, weshalb diese Primzahlen nicht notwendig in
«, fr üud c liegen müssen.

Die Frage, wie vielen pythagoriscben Dreiecken eine Zahl ala
Seitenniasa angehören kann, hat die Mathematiker -viel beschäftigt
und wurde für die Ilypotennsa erst in der neueren Zeit mit Hülfe
der höheren Zakleulehre gelöst Weil mau aber bei diesen Di'eiecken
die primäre Auffassung zu sehr vernachlässigt hat, so ist keine Klar-
lieit in diese Uateric gekommen.

Betrachtet man aber den Ausdruck für
a = d{2n-\-d)

80 zeigt sich unmittelbar, dass eine ungerade Zahl so vielen pythi
rischen Primdreieckeu als Eatbetenmass angehürt, so o~
relativ primäre Factoren zerlegt werden kann; der kleine Factor ist
die Gruppenzahl d nnd die halbe Differenz beider Factoren ist die
Bestimmuogszahl n. Hat mau aber n Primzahlen, so lässt sich deren
Product P, da hier auch 1, P gebildet werden musa, in 2«— ^ solche
Prodncte aus zwei Factoren zerlegen, und diese Anzahl behält man
aach, wenn von diesen a Primzahlen eine nnd die andere in einer

198 Rath: Die rcitionaien Dreiecke.

höheren Potenz vorkommt, weil ja das Factorenpaar relativ primär
sein mnss.

Dasselbe Gesetz erhält man auch für & === 2n{n'\-d)^ wenn man
berücksichtigt, dass n-^-d eine ungerade Zahl sein muss, wenn 2n
mehrfach gerade ist, weil sonst d eine gerade Zahl würde, und dass
n-{~d^ n bleiben muss.

Für die Hypotenuse erstreckt sich jedoch dieses Gesetz nicht
auf alle Primzahlen, sondern nur auf jene, welche selbst Hypotenusen-
zahlen von der Form m^-^-n^ sind.

Somit existirt für die pythagorischen Primdreiecke das merk-
würdige Gesetz:

11. Enthält eine Zahl n verschiedene Grundfactoren, die 1
ausgenommen, so gehört sie 2*»-i pythagorischen Prim-
dreiecken als gleichnamiges Seitenmass an. Dieses gilt von
jeder ungeraden Zahl als a-Kathete und von jeder mehrfach
geraden Zahl als 5-Kathete; bei der Hypotenuse aber muss
jeder Primfactor wieder eine Hypotenusenzahl sein.

Anm. Die Zahlform m^-f-w^ ist also für relative Primzahlen m und
n nur durch sich selbst teilbar.

Jede Hypotenusenzahl hat die Form 4p-f-l, aber nicht jede
Zahl von dieser Form ist eine Hypotenusenzahl. Die kleinsten
Hypotenusen-Primzahlen sind

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97

Erhebt man die vor einer Hypotenusenzahl 4p+l kommenden
Zahlen von 1 bis 4p aufs Quadrat, so lassen sich diese Quadrat-
zahlen in 2p Paare so ordnen, dass die Summe jedes Paares durch
die betreffende Hypotenusenzahl teilbar ist, und dabei lässt sich
jede dieser Quadratzahlen nur mit Einer, nicht auch noch mit einer
zweiten paaren. So ist zum Beispiel 4.3+1 = 13 eine Hypote-
nusenzahl, und es ist

124-52 = 26 = 2.13 * 6»+ 9» = 117= 9.13

22+3« = 13 82+122 = 208 = 16 . 13

42+72 =- 65 == 5.13 102+112 = 221 == 17.13

Für jede andere ungerade Zahl, die keine Hypotenusenzahl
ist, tri£Et dieses Gesetz bei keinem Paar der bezüglichen Quadrat-
zahlen zu.

Rath: Die rationalen Dreiecke.

.A.ddirt man je zwei uächste ganze Quadratzahleu :
1*, 2», 3^ 4^ 5', ...
+23, 3», 4% 5^ 6», ..,
5, 13, 58, 41, 61, ...

1

BQ scbeint es, ala ob 5* in der Snmmonroiho die einzige Qnadratzahi
'Are, und Dr. M. Cautor spricht in seinen „ raatlieniatiaclien Bei-
trägen zum Culturleben der Völker" die Ansicht aus, dass dieser
Umstand für Pythagoras die VeranlasBung zur Erfindung seines he-
fllmciten Satzes war. Der obige Scheiu ist aber falsch.
Erhalt aus

Diese zwei ÄuadrOcke machen sich also gegenseitig rational. Da

°'?^">- 71 = 1 der kleinste Wert ist, welcher m => 2 rational gibt, und

*^Bes 2 der kleinste Wert ist, welcher m^ = 5 rational gibt, nnd

*-*istiB 5 der /weitkleiustc Wert ist, welcher wieder m rational gibt,

«^»kemit man, daes sich diese zwei Formeln gegenseitig erschöpfend

^^^onal machen, d. b. dass man hier alle pythagorischen Priradreiecke

**ä,lt, deren Kathotenzahlen um 1 differiron.

Weil sich aber die ersten zwei Bestimmnngszablen m^ und n^

'^^ dieselbe Weise ans der Einheit bilden, wie sich ms aus m^ nnd

'*» t»ildet:

)iij ^2.1, Tii^l.l; vij = 2wi, -i~l-"i

**^ allgemein

771^ ^= 2mj-|-l.n] = mi^-j-Bi*

I

^ li. die Hypotonusenzahl c^ ist der BestimmungEzalil nt^^ gleich.
3 ersiebt man anch aus der nachfolgenden Tabelle, ftu die ans

200

Rath: Die nUionalen Dreiecke,

= 6C3 Cg

allgemein folgt

Car+2 = 6<?«+l — C*

Verzeichniss derjenigen pythagorischen Primdreiecke,
deren Kathetenzahlen um 1 differiren.

Wac+l = rrix^ wix+l = 2mx-\-nxj Cx = m^x = 6c«-.i — Cx—2

X

n

m

n

m

a

1

1

2

3

4

5

2

2

5

21

20

29

3

5

12

119

120

169

4

12

29

697

696

985

5

29

70

4059

4060

5741

6

70

169

23661

23660

33461

Es gibt also in der Eingangs erwähnten Eeihe ausser 3*+4* = 5'
noch mehr solche Beispiele, und wenn Pythagoras diese Keihe ge-
bildet und untersucht hat, so dürfte er im Verein mit seinen vielen
strebsamen Schülern sicher auch auf 20^+21^ = 29* und selbst auf
1192+1202 = 169» gekommen sein.

Anm. Diese Entwicklung ist ein Beitrag zu der Gleichung ax^'-{-b=c^,
die noch nicht allgemein rational gelöst ist

Setzt man in

a2+(o+l)2 = c«, 2a(a+l) = (c-f l)(c — 1)

die 2a = <?+l und a+1 = c — 1, so folgt a = 3, i = 4^<?=»5;
d. h. nur im ersten pythagorischen Primdreieck ist 2a — (o-|-l) =
= (<?-{- 1) — (c — 1) = 2; es ist damit aber noch nicht bewiesen,
dass dieses Dreieck das Einzige ist, dessen Eathetenzahlen um 1
differiren; denn bei anderen Dreiecken dieser Art sind eben 2a
und c-^-l verschiedene Zahlen.

Soll in einem pythagorischen Primdreieck die Summe der Würfel
der 3 Seitenzahlen wieder eine Cubikzahl sein, so ist

(m*— n2)»+(2mn)»+(m8+n2)3 « x^
2m»[w(m3+4»»)+3n*] = x^

liath; DU

ilionaleu Dreiechc.

Es muBB also nach dem 4. Satz x^ eine gerade Zahl sein, folgliep
den Factor 8 enthalten. Nun ist der inklammirt« Factor stets e'
imgerade Zahl, ob m oder n gerade ist; es muss also 2m' den FaC
tor 8 enthalten, mithin m eine gerade Zahl sein. Setzt man deshi

= 2/,

= 2/y

Weil aber m und n relative Primzahlen sind, so kann f als Fac
tor von m nnd von 3n* nur die "Werte 1 und 3 haben.

Fttr/=1 folgt m = 2, n = l, a=-3, i — 4, c=5 n
diesem Breieck ist auch 3^-|-4'-j-5" = lj^

Für / ^= 3 wird m = G nnd dazn kann n nur die Werte 1 und 5
annehmen, welche aber Dreiecke liefern, welche der Grundgleichung ,
ö3_]_ji(^ca=^a.3 nicht genügen; weshalb nur/= I sein kann.

12. Nur im ersten pythagorischen Priradreieck und seinen
Ableitungen ist die Summe der Würfel der Seitenzahlen
wieder ein Cubus.

Anm. In der Schrift: „Die merkwürdigsten Eigenscbaften der Pytha-
gorischen Zahlen" von C. A. W. Borkhan heisBt der 10. Satz:

Wenn sich drei Zahlen wie drei pythagorische Zahlen ver-
halten, so ist die Summe der Würfel jener drei Zahlen
wieder eine Cubikzahl.

Dieser Satz gilt also von allen pythagorischen Zahlen
wenn sich 3 Zahlen wie 3 pythagorische Zahlen verhalten, so sind
Bie auch pythagorische Zahlen, d. h, Seitenzahlen eines pythago-
rischen Dreiecks.

Der Beweis wird mit Hülfe des Schlusses geführt: 3, 4, 5 sind
pythajTorische Zahlen, und wenn der Satz für/,3, /.4,/,5 zutrifft,
so gilt er für alle pythagorischen Zahlen. Dieser Schluss geht
viel zu weit, da sich ja die pythagorischen Primdreiecke nur durch 1
ihr Seitenverhältnisa unterscheiden.

Die Sache ist vielmehr so. Von so vielen Primdreiecken d(^
Satz gilt, auf so viele Äbleitungsgmppen erstreckt er sich; und d
der Satz nur von Einem Primdreieck gilt, so hat er auch nur no^
für dessen Ableitungen Geltung.

ini^^l

Nach den indischen Formeln ist

1

Daniacb kaun jedes pythagorische Dreieck leicht auf meine Tafel
zurilckgefiihrt werden. So ist z. B. 105, 100, 14Ö die Ableitnng mit
5 von 21, -20, 29 und dieses Primdreieck gibt

d = y^^^ = y29— 20 = 3; >

03 ist also das /weite Dreieck der zweiten Gruppe.

An der rationalen LUsaug des pythagorischen Problema habe
Bicb zu verscbiedeneu Zeiten viele namhafte Mathematiker versucht'^
aber die wenigsten Lösungen sind vollständig, und keine davon e
reicht die indischen Formeln an Einfachheit und Symmetrie. An dat
Hand meiner Formeln sind jene Lösungen leicht auf ihre YoUstJ
digkeit üu prüfen.

Von den alten Griechen haben Pythagoras, Flatön nnd Eafet
Kegeln Kur Berechnung pythagori scher Dreiecke gebildet.

Die Regel des Pythagoras lautet:

Man nehme eine beliebige nngorade Zahl als kleine Eatbet
au, quadrire dieselbe und subtrahiro 1 vom Quadrat, so i
die Hälfte des Roatoa die grössere Kathete, zu der 1 e
die Hypotenuse gibt.
Hier ist A+1 == c, also d = 1; d. b, diese Regel liefert alli^
PrimdreiecUe der ersten Gruppe und gar keine Ableitung. Nur i
dieser Gruppe findet man nuter a alle ungeraden Zahlen und :
durchaus a-n^b.

Die Regel des Piaton lautet:

Man nehme eine 'beliebige gerade Zahl zu einer Kathete an, ->
halbire dieselbe, quadrire diese Hälfte und addire I zum
zum Quadrat, so erhält man die Hypotenuse. Subtrabirt
man 1 vom Quadrat, so erhält man die andere Kathete.

Hier sind die Seitenraasse 2ji, p
eine gerade Zahl, so folgt

4g =^ ö, 4^' — 1 = a

-1, p*-|-l Ist nnn p -

d" — c— i — (äs— 1)», d—^—l

Ralli: Di'e TOlinnnhn Dnltckf.

Ist aber p = 2q-\-\ eine angerade Zahl, so folgt

^ — c—b= 1, ,i = 1

ai» = c - fl = 25a, n — ^

Folglich liefert die Regel des Platon alle ersten Gruppendreiecke,
man von den mehrfacli geraden Zahlen ausgeht, und alle Äb-
titüDgen mit 2 von der ersten Primgruppe, wenn man von den ein-
.<3l3 geraden Zahlen ansgeht

Euklid hat hlos die zwei Eegeln des Pythagoraa und Platon inl
znsammeugefasat, nnd seine Vorschrift liefert kein neues Prim- ,
it'eieck.

Es ist immerhn merkwürdig, dass dicae zwei berühmten Grie-J
chen die erste Gruppe und alle ersten Gruppen dreieekc meiner Prim- \
lafel gefunden haben, gleichsam den linken nnd obern Streifen eines ]
anendlichen Quadrats.

Pfthagoras hat also den nach ihm benannten Satz nicht nnr 1
?ßoiQetrisch bewiesen , er hat den arithmetischen Ausdruck desselben.'!
Weh sogleich teilweise rational nnd dadurch diese Wahrheit seinem l
Volke erat recht zngänglich gemacht, daa nnn ans der arithmetischen 1
R^el Stoff genug zu geometrischen Versuchen schöpfen konnte. Denn j
"üt irrationalen Dreiecken konnte dieses Volk noch nichts anfangen.
Dorch diesen grosaartigea Complex wurden die wissenschaftliche Geo-
metrie und Arithmetik gleichzeitig geboren und letztere zugleich in I
die Bahn der unbestimmten Änalyais gedrängt. Diese Doppelbehand- ,
Inng wurde anch von den Griechen ausserhalb der pytbagoräischen
Geheimschule fortgebildet, wie wir an den Regeln dos Platon nnd
Euklid sehen, wenn auch die geometrische Richtung mehr und mehr
überwog. Dabei wurden zweifellos auch allgemeine arithmetische Be-
"^e geführt, wenn auch nur mit Worten und ohne algebraische
Schrift; denn Platon hat seine Regel, für die ein dringendes BedUrf-
nifiB längst nicht mehr vorhanden war, nnr aufgestellt, um in Nach-
eiforung des Pythagoraa damit zu zeigen, daaa auch er ein ähnliches
gemeines Z^Iongesetz erkannt hat, nämlich das Gesetz, '
™ feörz bezeichnen:

trud Ton Pythagoras, der hauptsächlich Arithmetiker war, der t
^«r harmonischen Proportion die diatonische Tonleiter abgeleitet |
'***d der, vielleicht vom gleichschenkligen rechtwinkligen Drei-

I

2*.»4r ü.i;.i.

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ist. %ir'i Vi- '^ri.ni l -.•^^iAiipvr'i V iiL-a.. üuw ^ zl tmiäiL üluBsmsmoL

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vÄär'^n«: :>: iTrui^^.riiAvjK ■>:a'TCiiiiitixjr laxir^'iin'j. naiL icaÄ-

4ii:f t>: .Lx±:airtair -:cirr *«'.j'.ifr:rL "hr^s-l. ^^r: j^^n i-imiK, -vi&rTCiL
Laici: ievüft £jr««ci ix« r^-.-ib^tr'-viuT:!! Bt=:nni.iiirxL£'^5L iIIr-iiLiiiL aB^

SÄCik.-^i: ^^aKftit h^nn y-zL^r ?.r'i*r:L i»rseiLiJH:r sCciii^iL üe LMSOmg^

IIL IhltHmmg rsti^aaler i>rei4Kke aas ^rtkftff»ris«keB.

Uahea 73r^ pythjurori^Le Dreiecki? •^izie zleLAe KiUhetey so Ilsst
»kh däiraoä dnrch gehöriges Nebea- na«! AnfefTi.-in deriegen je ein
ratirjiuJes „SamaLeii' ozid Differeazdreieck" büdeii. deren
«Teildrei ecke* ich jene neone. Inese abgeleiteten Dreieoke haben
zwei HjpotenaseiL und eine algebnüs^rhe Snmmenlniie zn Seiten. Jedes
Ijrf'.Uzck kann aof diese Weise 3 mal tlarzestellt werden, entsprechend
den 3 Hr^>hen.

Da jefies Dreieck eine innere Höhe hat, jene aof die grosse
H<:it^:, «K> kann jedes Dreieck als ein Snmmendreieck, aber nnr ein
stumpfwinkliges anch als ein DilTerenzdreieck dargestellt werden, und
zwar letzteres 2 mal. Ist das Urdreieck rational, so sind es nach
Satz 5 anch die 6 Teildreiecke, von welchem im gleichschenkligen
brtiiMk je zwei congment sind.

lUlhi Lir ra'ioualn, DreitcU 203-j

Mithin kann jedes rationale schiefwinklige Dreieck von pythar J
gorlEcheu Dreiecken abgeleitet werden. Bezeichnet man nach Satz IQl
die Fläclieuzahlon dieser Teildrcieeke dnrch 6ij, 6^, so erhält rnaO::^
für das abgeleitete Dreieck

13. Die Flächenzahl jedes rationalen Primdreiecks ist durctj
(i teilbar.

Ist daa Snmmendroieck ein pythagorisches, so folgt aus der Aehsn^
Ijchkeit der Teildreiecke mit dem Urdreieck, daes sie Bänuntlich zafl
einem Prinidreieck gehören, aas dem man sie in folgender Weisel
ableiten kann:

1. Teildreieck:

. Tfildr.

nmmendreit

Ans uwei veracbiodeneu pjtbagoriaclien Primdreiecken, disl
also verschiedene Seitenverhältnisse haben, lassen sich demnach niurfl
schiefwinklige Snmmen- und Differcnzdreiecke ableiten, und zw^j
je 4,, indem man die Seitenmasse des einen Primdreiecks zuerst n
der einen und dann mit der andern Kathetenzahl des zweiten Prinv^
dreiecks multiplizirt und umgekehrt, wodurch man erhält

Höhe: Summon-

Oj Oj bya^-\- a^ 5y,

o, ij 'i ^g i "] '•si

J, öj <*] "Ig i ^1 fiii

tiind die Summen- und Differenzdreiecke nicht primär, so kami]
man sie durch Beduction der Scitenmasse als Piimdreieeke daratell«a,f
Auch braucht man nur mit den uichtgemeinschat'tlichen Factoren c
bezüglichen Eathetenzahleu zu mnltipliuireu.

Dass ein rationales schiefwinkliges Frimdrdeck 3 gebrochene
Höhenzahlen haben kann , ersieht mau aus dem nachfolgenden Bei-
spiel:

zdreiecke:

0,0,

206 Ratk: Die rationaim. LtrmadcA,

der 3, Potenz in den Zähler des Redoctionabmdiea. JA mm l ^nrnf
frei, ao bleibt /^ in t 2a anem Nkblg^rinidraeclL Hat äba l =^ fys^
90 folgt

?— |k| ""/^»*— -a^) M?* — aiy

€• mius also ic^ — 09 den Factor / waiigstena in (teadbei Potsu
enthalten, als er in A^+y) liegt, wenn die ^eichvi^&udie Bestim-
numgatemion

ein Primdreieck liefem solL Dieses I>reie<± ^gibt sirii aber auch
ans der relativ primären Termon

wie man erkennt, wenn die Wiederiiohmgen aasgeschieden werden.

AMSteheiekMg der WiederhohMQeiL,

Da p and q durch P^ fq beschränkt smd, so macht man / znr
Gmppenzahl dfer n. Tafel.

1) Yertanscht man p nnd 9, die im Rednctionsfanidi ersetzbar
sind, so geht ß in a^ nnd a in ß^^ über, während 7^ = y = a bleibt,
weshalb man das yorige Dreieck erhält Diese Yersetznng findet aber
statt, wenn man in derselben Gruppe für jedes p die «j ^^ch ]>> j»
werden lässt, weil p später die grösseren Werte erhält, zu denen dann
q mit den früheren Werten von p tritt So geben die Bestimmnngs-
temionen

Ä««6, p = % ü^^^'i Ä = 6, 2> = 5, 5 = 3
dasselbe Primdreieck, weshalb q<ip bleiben muss nnd nur für 1 der
p gleichen darf, was gleichschenklige Dreiecke liefert.

2) Aas dem Bedactionsbmch folgt:

^pq.8

^.s

•.-VW-

s

llalh: Die

■lionalen Dreieelr.

Hat mau also für irgend eine Ternion /, p, q, woiin p nnd jj
relative Priinzfllileii sind, dio Toilmasse a, ß, y berechnet, i
Utas auB letzteren dio Teruion wieder bestimmen, indem man von <
und ß den gemeinschaftlichen Factor ^ v, dio niehtgemeinsamöill
Factoron aber bezüglich = 5 und =^21, y = x setzt, « = «-)-(J+y:l
bildet, das als halbe Umfangszah! bei jedem Dreieck constant is^J
und diese Werte in ( setzt, das dann eine ganze Zahl wird, wie b
zuvor als solche gewählt wurde.

Ist abec ^la-\- ß-\-Y)aßy ^ aßYi eine l^nadratzahl , wie os filr^
rationale Dreiecke Bedingung ist, so sind es auch alle nadifolgendeo
ZaHon, wie sie sich der Reiche nach aus der oberu cntwickehi:

t,_ßy, ■ aßp aßp

aß i ^ . ^y

Y ■" . ß ■ '

'JtPi ^ I <lsPi ^

Es sind also hei jedem rationalen Priuulrüieck 1,1^,1^ gl«
zeitig rationale Zahlen.

Dieses i, erhält man, wenn man ß =- z^, von a und y die kleinere
Zahl = <ii v„ die grössere = p, v, nnd davon den gemeinaamcn Factor
= Vi, dio nie btge mein samen Factorcu bezüglich ^ 5, und = p^ nnd
d&nn pj, pj, b^ nebst g in 2, setzt.

Für /j setzt man u = 3^ und mit ß, y verfähi't man, wie vorhin.'^

Man erhält also selbst für relative Primzahlen p'^ ij jedes n»-*
gleichseitige Dreieck 3mal, jedes gleichschenklige 3mal.

Da sich bei diesen Wiederholungsberechnungen zwei TeihnasBe J
iint£r sich wegen v ceduciren, tmd die übrig gchhcbenen Factorett 1
wieder gegen das 3, TcÜmass = 3 im Neuner, so besteht in den dief,«

l der Brnchfactor — aus denselben 3 Zahlen, welche paarweise re-^4

lativ prim sind, wie auch das folgende Beispiel zeigt.

,. = K"a^6

= ggVj, vj = 1, p, -

^K¥--

Dieses Dreieck 13, 14, 15 wird also in der II, Tafel aas der
Bestimmunggtemion Z=6, p = 4, 5 = 3 gewonnen ; 14, 8, 7 ist eine

21
Wiederhölnngstemion, und die dritte Ternion '-'■g- p=^7, q==6

zeigt an, da9si=84 kein Vielfaches von dem bezQgliuhen ^^=3=8 ist.

3) Will man Bchliesslich aus p = fx, 5 = f^, worin a: und y
relativ prira sind, ein Primdreieck entwickeln, bd muss f aus dem
Zähler dea Reductionsbruches verschwinden, also 2 von/ frei sein,
was gibt

l = \/f7,^ |/ö7. =fV¥'

d. h, es muss auch l den Factor/ enthalten, wie wii- schon gegei

Nichts hindert uns aber, aus □ und ß den ganzen gemeinBai
Factor /.w als v-^ zu setzen, da wir dadurch dasselbe Dreieck i
halten. Dann ergibt sich

ß =/yv =

welches l^ gleichzeitig mit l rational und ganz wird, aber nnr a
/te Teil von l ist. Mithin erhält man aus der kleineren Tct
Ij, X, y dasselbe Priiodreieck, wie aus fl^, fx, fy.

15. Alle nicht relativ primären p und g liefern TOederlii
gen, indem sie entweder kein Primdreiock, (kIot das (
kleineren Bestinimnngstemion geben.

Anm. Um für ein Primdreieck die gleichvielfachen Wiederholiii
temionen zu finden, zerlege man aus den relativ primären Wied
holuugstemionen die Differenzen

in Factoren und setze davon jene als Ableitungsfactoren, die i
dem reducirten x relativ prim sind. Ist dann ein solcher Factor f
so gross, dasa fy gröaaer als das grösate Teilmass wird, so kann
derselbe nur eine Ableitung liefern, da von der Entstelinng eines
neuen Primdreiecks keine Rede sein kann, weshalb dieser Factor
KO : nicht relaÜT prim sein kann.

So erbftlt man in der 4. Gruppe (i ^ h) das ö. Dreieck mit

j, = ai, i3 = r)2, « = 39

ans den relativ primären Bestimmungstemiouen :

5, 4, 3; ■ 35, 21, l;t; 35, 28, 13

ans welchen die Differenzen l^^pn sind

5S_4.a = 13; 35ä— 11.13 = 2^.7.17; 35^—28.13 = 3.7.41'^

Diese Factoren geben mit dem bezüglichen p

13.4-, 2.21, 4.21; 3.2a

welche vier Producte nicht grösser als das gröaste TeilmasB Si.j
sind, während alle übrigen Factoren grossere Pi'odncte liefernii
also zu dem reducirten a nicht relativ prim sind.

Dieses Dreieck wird also dnrch die folgenden 7 Bestimmui^s-"!
temionen erbalten:

13.5, 13.4, 13.3 2.35, 2.21, 2.13 3. 3;% :
4.35, 4.21, 4.13

Man bat alse zur Herstellong der II. Tafel p und g relativ prim
En wählen. Wegen P — yg >■ kann l nicht <C 2 werden und p
inuss < [^ bleiben. Entwirft man nun eine vollständige Be
mungsreihe:

i = 2 3 4

- p=12 3 12334 5 678 1233445 5 5677.
3=111 111211111 111213123112.

so bekommt die 1. Gmppe 3, die 2. Gruppe 9, die 3. Gmppe 20,
die 4. Gruppe 34 provisorische Bestimmungstemionen n. s. w. ; es
gibt also die 1. Gruppe höchstens 5, die 2. bocbstfins 17, die 3. höch-
stens 39, die 4. höchstens 67 Wie derholungs temionen, da jedes erste
Gruppendreieck als ein gleichschenkliges nnr 1 Wiederholnngstemion
liefert. Würden also alle 5 Wiederholungstemionen der 1. Gruppa.

I

r -i*

212 Üath: Dit rationahn DreircU.

fallen, so können sio diesolbc doch nicht vollständig IJlguu. Wutil
aber könnten jene der 1. und 2. Gruppe die 3. vollstäadig tilgen.
Es ist sher nicht wahrscheinlich, dass auf diese Weise eine Gmppe
ganz aoBlällt, ganz abgesehen davon, dasB kein erstes Gmppendreii!i:k
fllr p = ij- = 1 aasfallen kann.

Berechnet man also zuerst für die kleinste Bestinimungstornion
das Droieck, dann sogleich dessen Wiederholungstemion, die natür-
lich grösser werden muss, und streicht diese Ternion in der provi-
sorischen Reihe, verfährt dann mit den Wiedorholungsternionen des
zweiten Drolccks ebenso u. s. w., so ist man von jeder Wieder-
holung frei.

Mithin erhält man für die U. Tafel das Bildnngsgesutz :

16, Die n. Tafel enthält so viele Gruppen, als es von 2 an
ganze Zahlen für l gibt Jede Gruppe ist geschlossen und
enthält höchstens Z"— 1 Abteilungen fur p, nud jede Ab-
teilung entiillt höchstens so viele Ureiecke, als es zn p

relative Primzohleu für q gibt, die pq <; i* liefern.

Im pythagorischen Dreieck ist

)- = (., .■=(Ä-|-ß-|-j')e = y.,
und im gleichschenkligen Dreieck igt

17. Die U. Tafel enthält aUe pj-thagorischei
nalen gleichschenkligen Primdreieeke.

DrAckt man die Seiteumasse durch die Bestimmuugszahlen i, ;
q aas, so folgt

<» = P+y = pv-h= = p(f-pg-|-(p-|-g)g)-p(P-|-g')

b = «-i-j, = qr-l-« = ,(i»_p54.(p-|_3)j,) = q(P+p»)

C = a-|-|3 = (p-f 5)V = (p-j-g){P_pg) =p(i!_gS)_|-g,p_

An diesen letzten Ausdrüi-kcn erkennt man, dass <i und 6 Hypo-
teuusenzahleu sind und dass c algebraische Summenaeite ist, was i
auf den m. Abschnitt zurückführt. Man erhält demnach

1, Teildreiock: 2, Teildreieck:

P(2i/) qi2lp)

'iipq Höhe auf die Seite pU*— v^J-f-iÖ*-

Math: Die ratioualeu UreUcht. 213 '

In dieBPE algebraischen Sammonseite c ist wegen l > q der erate
Summand pifi — 9°) Bteta positiv nud grösser als der zweite Suminand
q(^ — P^) wegen p 7> <!■ Dieser zweite Summand aber ist positiv für
l'^p, er ist Null für l^:p and er ist negativ für l<^p. Im ersten
Falle liegen an der Seite e zivei spitze "Winkel, im zweiten Falle ist
einer dieser Winkel ^ t und im dritten Falle ist dieser Winkel
stampf.

Für p = l folgt

n—p{p^-\-q^), h ^ p(-2pq), e = p(p' — q')

v«as dtu-ch p reducirt alle pytiiagorischen Primdreiocke mit
Hjpotenase gibt. Dieser Factor p fällt auch durch die Zwischetf-
röiuction aus:

ip-\-q)pq _ (p-\-q)pq _ ( p + g)g

-pq

p'—pq

4

IH. Die zweite Tafel enthält für p = l alle pythagorischeu
Primdreiecko mit a als Hypotenuse und b als geradem
KathetenmasB 5 für ji<; Z mrd c Summen-, für ^ > i wird
c DifEorcnzseite.

Hat man f Ur p = i ein pythagorisches Dreieck berechnet, so ist
"""Wegen a als Hypotenuse a das kleinste Kathetenmass ^ p, also nach
Satz 9. die ß zu y relativ prim. Auch ist

Daraus erhält man die Wiederholungstendonen , wenn mau zur
Unterscheidung von den Masszahlen a, h, c der II. Tafel jene der
I, Tafel durch 'a, 'i, 'c bezeichnet:

l)gv = 5,Vi, J^Pii-j, pv = z^, p ^ —

<m

2) pv = 2gVj, 2 = pjVii, qv = 3ä

ist. In der II. Tafel erhält man für jedes pythagorische Prii
dreieck cino Wiederb olnngsl^niioii mit i( = pi zu o i
eine grössere mil ?, >■ pa und >■ i^ zn c als HypotenDaa-fl

Anm. Im zweiten Falle, da ß ^ pv und j" = z relativ prim siii
wird vj = 1; im ersten Falle aber musste v, als solches unM
stimmt in Rechnung gezogen werden, da a mit ß und mit y je ein(
Factor gemein hat, d nnd n.

Von jedem pythagorischen PrimdreiGck sind nach den Sätzen l
und 9 zwei rationale gleichschenklige Primdreiecke ableithar. Jene
mit 2a als Grundlinie haben die Teilmasse 'a, 'o, "c — 'a, und die
andern mit 2'i als Basis haben die Teilmasse 'i, 'b, > — 'b.

Da die Flüehenzah] jedes solchen gleichschenkligen Dreiecks
— 'ab ist, so erkennt man, dass die Teümasse'a und'S stets Faetaren
der Flächeazahl sind (Satz 17); die Teilmasse 'c—'n^2ii% V— '
geben aber

d^

(d+-3,.yb

welche Brüche nur für n = 1 nnd für rf = 1 ganze Zahlen werdM
Demnach ist nur bei jenen rationalen gleichschenkligen Priradreiecke
jedes Teilmaas ein Factor der Flächenzahl, welche von den erste
Gruppendreiecken mit 2a und von der ersten Gruppe mit 2ä als Basis
abgeleitet werden. Diese Dreiecke haben demnach auch ein ganzes
Wicderholungs-i. Dagegen haben alle gleichschenkligen Dreiecke ein
gebrochenes i,, welche von den ersten Grnppendreiecken mit 2ö, von
der ersten Gmppe mit 2« und von allen höheren Dreiecken der
höheren Gruppen mit 2a und 2b als Basis abgeleitet werden. Diese
letzteren Dreiecke erhält man für j)>g, wie man ans der nachfoj
genden Tabelle ersieht

qv

pv

^

?

F

'=Kt^'

•«

'«

•ö-'o

•H-v

•o

1

1

d+n

'6

'^

'c—'b

'H-'t

'6

1

1

d+27t

■e— 'n

'a

'o

'H-'«

1

•c~'o

'a

*

'.«--'*

■■*

'i

'«-t-'i|

1

'c— 'i

'b

V

Rati: Die rationaltn Dreiecke.

21^^

20. Die n. Tafel enthält jj ~ 5 =. 1 nur diejenigen gleich-
schenkligeü Dreiecke, welche von den ersten Gruppendrei-
ecken mit 2a und von der ersten Gruppe mit 2b als Basis
abgeleitet werden. Diese Dreiecke haben ganze Wieder-
holungs-i. Alle andern gleichschenkligen Dreiecke werden
für p > 'i gewonnen und haben gebrochne (,.

So erhält mau

1) vom zweiten Dreieck der ersten pythagori sehen Gruppe

a = 5, ■* = 12, 'ü = 13

i!='i = 12,

10,

^13

= 5; i,

d + n

So ist es bei allen von der ersten Gruppe abgeleiteten £
schenkligen Dreiecken mit 2'a als Basis.

2) vom ersten Dreieck der zweiten Gruppe
'a = 15, '6 = 8, 'c == 17

_ d+_2n_

So ist es bei allen von den ersten Gruppe ndreieckeu abgetei-
koteten glßichschenkligeu Dreiecken mit 2'S ala Baals.

3) vom zweiten Dreieck der zweiten Gruppen
'a = 21, '0 = 20, V = 29
a = 2'a = 42, fi = c = 29
l ='6 = 20, p=a = 21, q—'e—a = S

d+» 5

h = -r- =2' Pi = 5i = 1

, = 2*6 = 40, & = c -= 2

t -■

= 'a= 21,

d-j-2H _

So ist es hei allen höheren Dreiecken aller höheren GrnppeB
I Bemerkenswert ist hier noch, dass die ersten Gmf penilreiee

r

116 Earh: Dir rrttirmattn Drtitel«.

dor II, Tafel, als gleichschenklige mit p = y = I, abwecbsetnd «ob
den ersteu GrnppeDdreiecken and von der ereten Gmppe der 1.
Tafel abgeleitet siod, indem die enteren mit ä'u als Basis fär ge-
rade /, die letzteren mit 2'// ala Basis für angerade l gewoone«

werden.

Für den Halbmesser q des eingeschriebenen Kreises erliSlt man

«■ = fc»- = {«+ß+r)e

hv

(P+I)(f— M + P9)

dJPV

Da 2 zn dem redacirten v relativ primftr ist,
eine ganze Zahl, wenn l in pq liegt.

Dieses ist bei den pythagorischen Dreiecken stets der Fall," da
l=p ist, weshalb man q = qv = o erhält, entsprecheud dem
Q ^ dn =-- y der I. Tafel.

21. Bei den schiefwinkligen Dreiecken der II. Tafel ist der
Radius des eingeschriebenen Kreises nnr dnim eine ganze
Zahl, wenn t in pq liegt

Bestimmt man die Dreiecke mit gleichen Um&ngs- und Fläehen-
zahlen, n = », so ist

2(a+(3+j') = » = *■= («+|3+r)e- <» = 2
d h. alle Dreiecke mit d = 2 haben gleiche Umfangs- imd Flächeu-

2 2

zahlen; nnd da p.- = 2 ist, so ist mit dem Factor - von jed em

Primdreieck eine Ableitung mit j* ^ i möglich.

Will man von diesen zahllosen Dreiecken jene mit ganzen Seite
massen bestimmen, so folgt

was nnr bei Ideinen Zahlen in wenigen Fällen möglich ist.
Soll ein aolc.hos Dreieck gleichschenklig werden, so folgt.

. i(2«+;.).

.^(a + Vs^+y»)

Weil es aber nach der pythagorischen Primtafel zu 2* keine
ganze Qnadratzahl gibt, welche a rational macht, so gibt es kein
gleichschenkliches Dreieck dieser Art.

Es muss also o ^ ß ^y sein. Setzt man nun das kloinste Tdl^

raass = 3, so kilunen die zwei andern nicht kleiner als 4 nad 5 seil
was gibt

3.4.5 = 60 >4(3-{-4+5) = 48

weiche Dilierenz immer grösser wird, je grösser man das kleinsts
TeüniasH wählt. Wohl aber ist

2.3. 4 = 24 < 4(2+3+4) = 3C

Mithin kann das kteiiiBto Teilraass nur die Werte 1 und 2 annohman
und für >■ = 1, =2 folgt

1} £<ß=4(«+fi+l), B =

2) 2«? = 4(tt+^+2), « =

4(y-_l)
i5-"4 =

'-fj_4

Wfil jedoch 20 nur durch 1, 2, 4; 5, 10, 20, und £
1, 2; 4, 8 teilbar ist, so kann nur sein

1) ß = 5, 6, 8; 9, 14, 24

2) ß =- 3, 4; 6, 10
Daraus n'rgibt sich der Reihe nach:

y

J3

c

=

b

M = ;

e

l

P

3

1

5

24

6

25

29

60

2

12

24

1

1

6

14

7

15

20

42

2

3

6

1

1

8

9

9

10

17

36

2

4

8

1

2

3

10

5

12

13

30

2

3

3

2

2

4

6

6

8

10

24

2

2

2

1

In den 3 ersten schiefwinkligen Dreiecken (l = Jp) erhält a die
3 Werte, welche /? noch annehmen könnte zu Wiederholungen mit
ß^ = a, «1 =- ß; und dasselbe gilt von den letzten 2 pythagorischen
Dreiecken (l = p).

22. Es gibt nur ungleichseitige rationale Breiecke mit ganzen
Seitenzahlen, welche gleiche Umfangs- und Flächenzahlen
haben, und zwar nnr fünf; 3 schiefwinklige und 2 pytha-
gorischo: das zweite Primdreieck der 1. Gruppe, und vom
ragten die Ableitung mit 2.

Hall: Int ralionalrn lirciteie.

Sind die Seiten eines Dreiecks aritlunctiäuh iiroportional , sg l
man für i als mittiere

2h = a+c,
Setzt man ß -

fV, J" = gv, so folgt

Ua nun für die primäre Entwicklung p unp q relativ primär s

müssen, so kann

nur dann rational werden, wenn ein Factor, z. B. p die Form Sa^'™

und q die Form y* hat. DabeiiUllt die Besciiränkung p > 9 hinweg,
weil g niemals den Wert Sx" annolimen, also niemals eino Wertver-
tauschung zwischen p und q vorkommen kann.

i = yä^ — VsTs^rp = 3ay =- p für i( = i; = 1

Mitbiu erhält man nur Ein pythagorisches Dreieck.

Setzt man auch noch die Differenz der Teil- und Sciteumaasa
= fl, 80 folgt die

Tabelle derjenigen rationalen Pri
Seiten arithmetisch propor

eiecke, deren
al sind.

\ p \ \ q

V+1

"

^ \ ß \ Y

a

l

c 1 S~

« 1 3xä 1 2, 1 ^s

2

pv [ z \ qv

li+Y

«+)'

o+ßl

ll 3

1

1

4/2

1

3

2

1

3

4

5

1

1

2

4

7/2

2

6

7

8

15

14

13

1

4

16

19/2

2

6

19

32

51

38

25

IS,

2

12

1

1

13/2

2

24

13

2

15

26

37

11

6

25

37/2

2

24'

37

50

87

74

61

13

7

49

61/2

2

24

61

98

159

122

85

37

3

27

1

1

28/2

1

27

14

1

15

28

41

13'

a

4

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2

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31

8

39

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85

2S

4

■

16

43/2

2

54

43

32

75

86

97

11

Es gibt nnendlich riele rationale Primdreiecke mit aritb^
metisch proportionalen Seiten, nnter denen aber nur Eii^
pythagorischea ist, das Erste.

i mcrkK'ürdigsten ^^M
in. daa zweite ala ^^

Hall,: l'ie ratioiialri DrtiiAf.

Anm. An der Spit7e dieser Tabelle stehen die ?
niüonalcii Dreiecke

3, 4, 5
13, 14, 15

daa iTsle ala der Repräaeiitant aller rechtwinkligen, daa zweite ala
der Repräsentant alier achiefwiukligen rationalen Dreiecke, wofar
me im AJt«rtume gegolten haben. Die Seiton-Inhaltaformel des
Dreiecks wurde von dea Alten nur dnrch die Zahlen 13, 14, 15
ausgedruckt .

Drückt mau von 3 geometrisch oder harmonisch proportionaleal
Grössen die mittlere i durcli die zwei üussera aus, ao folgt

1) a, V.r, r

und unter Berllcksichtignng dos Seitengesetzes

1) (7<a + 6 = a+y^ ==^(3 + y5)=o.2,615...

2) c<« + i-a+^=a{l+l/2)=a. 2,413...

Setzt man also die grosse Seite <; 2,615... und bezüglich.l
<^ 2,413... mal der kleinen Seite, bo kann man Dreiecke mit geo-.l
motrisch und liarmonisch proportionalen Seiten bilden.

Entwickelt mau aber beide Proportionen für relative FrimzahlrajJ
so bekommt mau

1) 3 ungerade oder 2 gerade Scitenmasse,

2) stets 3 gerade Seitenmasse,

was dem 4. Satz widerspricht

24. Kein rationales Dreieck hat geometrisch oder harmonisoji'j
proportionale Seiten.

2. Entwicklung aller rationalen Dreiecke, deren

riächenzahl von keinem Seitenteilmass ein
Vielfaches ist.

1 auch gebrochene l =

also X und y relativ prim, J

r

Wie X, so kann hier auch der Nenner v = x^ — pqi^ dun Facst
y nicht onthalteu. Mitbin bleibt y^ in i, das in i den Factor y v^E^r-r-
lifirt, ao daaa y = ^ bein Factor von i ist

Solleu auch ß =^ pv nnd « =^ qv niclit in i ^= xv ■- liogon, so Ciu^ss

voii i) und 7 jo einen Factor verlieren, dio ühurdics nicht in j: licfS"****
dürfen.

Wäre nun auch ir- von diüseu Factorcn frei, so könnten dieaelt» «3»
durch dieBednction nicht aus z und i vet^chKinden. Mithin mtls^^^ '
diese Pactoren in x^, dUrfeu aber nicht in x liegen, d. h. aie lalfc- s ■
son Qnadratzahlon sein. Gibt man also p und q quadratisc=-"t»<*
Factoren und legt deren Wui'zcln als Factoren in ic, so bleibt S/

ohnedies von diesen Factoi^en frei, ebenso p+g, dieselben faH-<5^ .
also im Zahler und Nenner des Keductionsbruches vollständig a."»*^
und 1 ^Trd auch von a und ß kein Violfaches.

25. Gibt man den relativen Primzahlen p und q quadratis«;^^*'-^ (
Factoren >» 1 , legt deren zweite Wurzeln als Factoren *^
a, wählt zu diesem k die j relativ prim uud so, A^^^^ |
i^'^pqy^ ist, so liefert jede solche Bestimmungs-Quaten»:»-*'-'' ,
ein rationales, schiefwinkliges, ungleichseitiges Primdrei e- <r5^.
dessen Flächouzahl voa keinem Soitenteilmass ein Vi-*'
fache s ist.

Da kein Primdrfeiecb dieser Art existiren kann, das den Bettl-**^
gungen dieses Satzes nicht entspricht, so erhält man durch denselt^^
offenbar alle Dreiecke dieser Art.

Bezeichnet man den mit der Qnadratzahl verbundenen Factor ^
P durch/, in q durch /i, in a;^ durch /g', ao erhalt man

Entwirft man damacli eine IH. Tafel, ao bekommt dieselbe ^^
die Gmppenzabl p zwei Abteilungen: die erste Abteilung für /'='°'°°°^
enthält für p reine Quadratzahlen, zu denen in der zweiten Abteil**-
nocU nichtquadratische Factoren > 1 treten.

Jede Gniiipo kann q als reine Quadratzah] und in Verbind«*"^
mit einem nichtqn ad ra tischen Factor enthalten, wodurch jede GmJ'-^
zwei offene UnterabtcUnngou erhält

Will man dicBL' Tafel weit ausführen, so ist zur Verliütung TOa 1
WertTertauscliuugen /.wischea p and q gleichfalls eine proi isoriacha ■■
BeetiminuiigsrDihe u6tig.

Die Wiederholuuga-yuatorniunen werden wie bei der
Tafel herechueL

Meine IH. Tafel suU den Reichtum dieses Systems nur i:
Gnindzögen andeute«, damit man auch solcho bis jetzt uubekannttl
gewesene rationale Dreiecki,' zu Gesicht bekommt.

ein quai/raiiichen Sei'teiiteüni/is/ifn

gehören teils der IL, teils der

V = „-+.,

t = «

_ gi-f-f

Um hier e und w als ganze Zahlen zu bekommen, müssen ip 1
und i/j gleichzeitig gerade oder ungerade Zahlen sein; es muss also
a^-{-y^ = Vif entweder eine wenigstens doppelt gerade, oder eine
ungerade Zahl sein; und da zwei ungerade Quadratzahlen stets einu
ein&Kh gerade Summe geben

so müssen von x und y eine oder beide gerade sein.
Im ersten Fall ergibt sich

eine ungerade Zahl, welehe um 1 grösser ist, als eine un'lu'fach j
gerade Zahl.

Moltiplicirt man aber zwei gleicbarügo ungerade Zahlen, d. b.
solche, welche beide um 1 grösser sind als zwei einfach gerade, odi>r
als zwei mehrlach gerade Zahlen, so ist das Product um 1 grösser
als eine mciirfach gerade Zahl; und multiplicirt man zwei uugleich-
artige ungerade Zahlen , so wird das Product um 1 grösser als eiuB I
ein£ich gerade Zahl. '

Mithin ist x''-\-y^ = is-{-l nur in zwei gleichartig ungerade
Factoren <p und if zerlegbar, deren Differenz stets eino mehrfach
ide Zahl ist, so daaa

,=.=(^)-=(.«,

stets eine gerado Zahl wird, wio von a und ß eine.

Im zweiten Falle, wenn x und y gerade Zahlen sind, muss y =-
eine migerade Zahl werden, wenn man ein Primdreieck erhalten will.

Daraus erhält man zunächst den zahleutlieoretischen Satz:

26. Soll die Summe dreier relativ primärer Qnadratzahlen
wieder eiue Quadratzahl sein, so darf unter den Summanden
nur Eine ungerade Zahl sein.

Geht man nun zur Bestimmung dieser Dreiecke von zwei geraden
Qnadratzalilen aus, so ist die dritte ungerade Quadratsiahl schwerer
zu he stimmen, a!a wenn man von einer geraden und ungeraden
Quadratzahl ausgeht. Deshalb setzt man fOr a allmählich alle un-
geraden Quadratzahlen und dazu für ß alle geraden Quadratzahlen,
welche mit a relativ prim sind, und bestimmt daraus y so, dass es
nicht <^ ß wird, weil man sonst eine schon dagewesene Ternion e]
b< z. B.

17-

.- - 8;

1=, i^ a*

l»-f^4a = 17 = 17.1,
1 +8^ = 65 = 65.1,

-13.5, ^--= 4; 1^, b% -i''
welch letzte Temion eine Wiederholung der ersten ist.

27. Setzt man für « alle ungeraden Quadratzahlen, nnd zu
jedem n für ß alle geraden Quailratzahlen, welche mit a
relativ prim sind, zerlegt dann n+jS in ein Product aus
zwei solchen Factorcn, deren halbe Differenz im Quadrat
nicht <C ß ist, so erhält mau alle rationalen Primdreiecke
mit quadratischen Seitenteilmassen, indem das Quadrat ieiter
halben Differenz zu et und ß als drittes Teikaass tritt.

1

Das kleinste Dreieck dieser Art, welches i
angehörjg gefunden habe, ist

als der UI. Tafel

Nach Satz 11. der vorstehonden Abhandlimg findet sich die Au)
Stellung: „Jede Hypotenusenzahl hat die Form 4p-j-l, aber i
jede Zahl von dieser Form ist eine Hypotenusenzahl." Hiermit wird"
als fraglich hingestellt, waa sich doclt durch ein höchst einfaches
Kriterinm entscheidet. Da der Verfasser auf Vollständigkeit der
Theorie Gewicht legt, so mögen folgende Sätze als Ergänzung j
diesem Punkte dienen.

1. Das Product zweier QuadratEnnunen je zweier gauzei
ist eine Quadratsomme zweier ganzen Zahlen.

2. Der Quotient zweier Quadratsummen je zweier ganzeu Zahle«
ißt eine Quadratsnmme zweier Rationakahlon.

3. Ist der Quotient zweier solchen Qnadrataummcu eine ganzg
Zahl, so ist er Quadrats lunme zweier ganzen Zahlen.

4. Eine PrimzaM lässt sich nie auf mehr
Qnadratsunmie ganzer Zahlen darstellen.

5. Jeder Factor einer Quadratsnmme zweier relativen Prim
zahlen ist von der Form 4n+l oder 2(4n+l).

l>. Unter den Werten x '^ 1,2, 3 ...p — l giebt es nicht i
als n, welche für den Modul p die Congmenz

erffllleu, wenn jj Primzahl und nicht Factor von a„ ist.

Diese vorbereitenden Sätze sind leicht zu beweisen und li
sich, falls sie nicht ohnedas gelehrt werden, als Uebungsaufgabeii
betrachten. Hier wird es genügen den Beweis für den Hauptsatz
geben, aus welchem sich die angeregte Frage leicht erledigt.

7. Jode Primzahl ;) = 4»-(-l ist eine Quadratsu
zweier relativen Primzahlen.

Sei für den Modul p = in+l

x' = r- 0<r<p; Ü<:.<2
dann ist nach dem Fermatschen Satze

.y« = scP-i = 1; (— r)»" = 1

Wenu nun x alle ganzen Zahlen von 1 bis ün durchläuft, st
nicht zweimal deuselbeu Wert anuehmeu; denn wUre

so hatte mnn:

Es giebt also 2» vorBchiedono Werte von r. Die Congrueuz j-*" ^ 1
kann aber nur 2n verschiedene Auflösungen haben, deren eine
— r=p — j- ist. Folglich giebt es für jedes a; eine zweite Zahl j/
der Art dass tfl

x^ =" r\ y* ^ — p; also x^-i-y' = pq ^H

ist Die unbekannte ganze Zahl q kann nach Satz 5. ausstir de^^|
nnr Factoron von der Form 4ii-f-l haben und ist stet* <C ip- '^H
nnn pi ein solcher Primfactor, so erhält mau gleicherwt ^e : ^H

, ■■^i^-\-yi^ ^Viüi\ %^+V = 7'33iii et; ^H

wo p2 Primfactor von i;^, jjg von q^, etc. ist. Scl^^salich m^^|
qn = 1 werden, nnd man hat: i J^|

Ebenso sind die übrigen Primfactoren von gji_i Qu^dratsummen ^H

zweier relativen Primzahlen, und der etwaige Fart-.r 2 = 1^-|-^H

folglich ist nach Satz 1. gk^i und nach Satz 3. auch '^H

ici-l^+J/t-l^ ^1

Quadrataumme z^s'cier ganzen Zalilen, und zwar na.; 'a Satz b. relati'^H
Primzahlen. Durch die gleiche Schlnssweise kam mau sneces^^H
zeigen, dass p*— 2, jü-s, ■■■ i> Qnadratsummcn je zweier relaÜV^I
Primzi^len sind. ]^|

Aus Satz 7. folgt: H

», Jede Zahl ist pythagorische llypotenuseuza^H

oder nicht, je nachdem sie von Prirafa''toreii der Fo^^|

4n — 1 frei ist oder nicht, ^^|

Fragt man weiter nach der Anzahl der vi achiedenen Zerlegj^H
gen, so lassen sich noch folgende Sätze aufst&'len: ^H

9. Eine Potenz einer Primzahl 4n+l Iflsst auf einti und ^^|
auf eine Art als Quadratsummc zweier relativen Primzahlen darstell^^|

lü. Das Prodnct von m ungleichen Primzahlen von der F(a^|
4n-|-l läsät sich auf 2"— ^ und nicht mehr verschiedene Art.en I^H
Quadrats« nime zweier relativen Primzahlen darstellen. ^H

i:

.\'a.

il

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II. Systematische Tafel derjenigen ratioualea
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H

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22.32.5.13.31.47

22.32.7.11.13.31

23.3.52.72.11.13

23.3.52.72.17.41

J

ind,

Teil t.Vi^

\^

: Ueher tinige Prnlileme uns der Theorit

xvm.

lieber einige Probleme aus der Theorie der
CentralbewogmigeD.

Herrn Dr. Ludwig Matlhies.

in Hnsum.

Es mögen die phoronomischen Relatirmeu zweier Kugeln unter- .
Buebt werden, welche von den Ruhelagen A und B ausgehend sich
gegeneinander bewegen in Folge gegenseitiger Anziehung nach ge-
wisBea Functionen ihrer jedesmaliBcn Entfernungen von einander.

Bezeichnet / dio Anziehung zweier auf Punkte reducirten Massen-
einheiten in der Einheil der Entfernungen, so ist -dio gegenseitige
Wirkung zweier homogener Kugeln, deren Massen M und N sind, in
der Entfernung h allgemein gleieh — MNf.Flu), wenn dieselbe eine
Function der Entfernung and nicht etwa der Geschwindigkeit v oder
der Zeit ( sein soll. Der Wert der Grösse /, mit welcher die Materie
des Weltalls begabt ist, lässt sich aus dem dritten Kepler'achen

(7» (jtfj+iv,y

berechnen, wo M^ und iV, beziciiungEweise die Massen der Sonne
und eines Planeten bezeichnen. Jene auf die beiden Massen M und
N anziehend wirkende Kraft MNf.F(u) teilt diesen aber in jedem
Momente Geschwindigkeit mit, die den Massen umgekehrt proportional
sind, woraus folgt, dass, wenn zwei Körper ohne Anfangsgesehwindig-

Teil LTl.

Matlhltittn: U^er tmigt Probleme

krit Qixer gegenseitigen Änziebimgskraft überlassen bleiben, sie in
gleichei) Zeiten Rämne dnrchlaafen , welche ihren Massen iimgekebrt
proportional sind. Dabei ist der dnrchlaafene Weg die gerade Ver-
btadnngslinie der beiden Engel mittelpnnkte. Die Gleichung der Tra-
jectorie ist nämlich

/ ipd»

2 L«ä -t- B# }

nnd c = UflCoSintt der in der Zeiteinheit b^chriebene Sector -
Bahn. Da aber V(,=^0 ist, so ist es ancli e, mithin fOr jeden e
liehen Wert der Geschwindigkeit v

»©

also maas fOr jeden endlichen Wert von » die Amplitude 9 gleich
Nnll sein, eine Eigenschaft, die nnr der Geraden zukommt.

Sind die Massen M nnd jV für sich in Punkten concentrirt, SQ
werden sie also auch in demjenigen Pnukte nuaamraentreffen, der
ihre ursprüngliche Entfernung 17„ in zwei Teile teilt, die den resp.
Massen umgekehrt proportional sind.

Untersucht man nun die relative Bewegung der einen Kngel tob
der Masse N gegen die andere als fest betrachtete, so l&sst Gich die-
selbe anf die absolute zurückführen, indem mau an der bewegten
eine beseht eun^ende Kraft angebracht denkt, welche der von der als
beweglich gedachten Kugel ausgehenden Kraft gleich und entgegen-
gesetzt gerichtet ist Die bcscldcunigenden Kräfte, welche die Kagda
M und N angreifen, sind bezüglich — /.JV.J'(ii} nnd — /.Jfi^(«).
Damit also auf die oben angedeutete Art die relative Bewegung nicht
geändert werde, hat man anzunehmen, dasa die Kugel N von einer
der Snmmo

-\f.M.F(u)-\-f.N.F(a) ! = ~f(M-\-N)FM

gldchen Kraft gegen die als fest gedachte Kugel M getrieben werde.
Oder; man sucht die bewegende Kraft der Kugel N, welcha gleicli
der Summe

ist. Dividirt man dieselbe durch die Masse N, so erhält
dieEelbe beschleunigende Kraft —/{M-\-N).F{v).

oui der TlieBTie. der CentralbeiBegHngen

Da keine andern Kräfte als die anziehenden anf dio Massen J
wirken, bo ist die Gleichung der Bewegung

woraus sich die allgemeine Lösung des vorgestellten Problems unter
Voraussetznng eines festen Mittelpunktes der Anziehung herleiten iäast.

Wir werden dann die Anwendung derselben auf speciellc Fälle :
folgen lassen.

au

Setzt man in der obigen Gleichung 5- =
folglich

v= = -2/f.yF(«)a« + c.

Setzen wir für v seinen Wert kt ein nnd berücksichtigen, dassl
für (^0 auch v=^0 sein soll, so ist, indem v das negative Tor-;
zeichen erhält:

' - ff - -V-'^f^ c/FWÜ» (DJ

und

-f

j/-2^//>(«)9«

Diese beiden Gleichungen bestimmen die Elemente der Bewegung i
jedem Punkte des durchlaufenen Weges j(o— jt=^;r.

Sind femer die Halbmesser der Engeln R nnd ?■, so ist im Augen;
blicke des Zusammenstosaes derselben

und die während der Bewegung verflossene Zeit

genr^H

JUalthinsen: Ueber einige Probleme

fr-

a/c/J'MS"

^

Sind dio Masaen der Engeln pnnbtnell , so Bind R und r glc^ich
Null, und

J y2f^/Fiu)du

Die Gleichung (2) läsBt sicli auch sehreibeu ( =^ x(v), und ea wird
hiernach aath möglich sein u und v als Functionen der Zeit ( aus-
zudrucken. £3 iat nämlich

' = X(0)+ j- z'(0)+j^2x"(0)+ .-• (7)

Durch UmkehruDg dieser Eeihe und Differentürung iu Bezug aaf (
resultirt

B = t((); v^^'(t)

f8)

1, Wenn sich die Kugel JV unter dem EiuÜusso einer Central-
fcraft hewegt, welcho der Entfernung ihres Mittelpunktes vom Centrnm
direct proportional wirkt, so iat — /. ft.a an die Stelle von — f.n.f(ja}
zn setzen. Die Gleichangeu der Bewegimg nehmen alsdann folgendo

Form an.

-/

,/.

.3w^^./.(V-«')

= vr5a^l=«'s-

^//.(*(V-«*^~yf<•/'

Wäre die Centralkraft repulsiv, so müsste man f.nv satt — /*»;

ralbeweguHge»'

I Mau erhält aladaim Exponontialfuactioueu statt der goniomctri-

I sches, nAmlich

.3((l/^/.y-l)

^'^i^tV^f

-tViTA

Deide GrOsseu nähern sich für t ^^ oo selbst der Unendlichkeit und
Zugleich ist

Lim (^) = Viif

d. h. die erlai^e Geschwindigkeit wird den durchlaufenen Banmen
zuletzt proportional.

2, Sei F(u) ~ B — mu, 80 nimmt die heschJeuiügende Kraft den
Wert — /fi(g— mu) an. Sie wirkt attractiv, so lange a—mv, positiv,
und repulsiv, wenn s — tau negativ ist. ZnnadiBt iat

Für M = reBultirt aus dieser Gleichung

~ lügnat

üntersaclion wir die Fälle, in denen a und m spocielle Werte e
halten.

a) Sei TO = 1 und e = % d. L. die beschleunigende Kraft wirke
proportional dem durchlaufenen Wege. Dann ist, so bald Bewegung
oingetreteu ist, in jedem Momente

I Bei Voraussetzung einer anziehenden Kraft ist i»<;«o, also v

[l nogativ; für eine Repulsivkraft ist u > %, also v positiv. Im ersteren

Stern üeber einige l'robleai

^

Falle um i

= i

I nai

■ ak

nähert sich v dem Werte -

!q I/-5-, im entgegengesetzten Falle
o. Zugleich ist

^vr?'

.loguatj^

also unbestimmt d. h. es tritt entweder gar keine Bewegung ein, oder
nach einem unendliüh kleinen Impulse durchläuft die Euge! den Kaum
uq iu der Zeit, welche der Wert von ( nach den gewöhnlichen Regeln
annimmt. Dieser ist aber Null, folglieh r^ co. Es darf hieraus
indess nicht gefolgert werden, dass auch für jeden Teil des Weges
von ß bis .4 in unendlich langer Zeit durchlaufen werde. Setzen wir
nämlich für u den Ausdruck u^ — x, wo x die Entfernung der be-
wegten Kugel von B bezeichnet, so ist Su = — Bj; um die Zeit, welche
die bewegte Kugel gebraucht, um den noch übrigen Teil w des Weges
zu durchlaufen

-/

1

i^f-^-i^/°

\

schleunigende Kraft von bis -^ attractiv von -g bis uq repuMv,

HO wird sich der Körper immer mehr entfernen, die Zeit ( aber i ma-
ginär wei'den fUr u gleich NuU. Es ist nämlich

-/(^

u>-uo sein fllr ein reelles v; auch ist

= V(i/'

Iognat(— 1) = +-

VW

■ owi der Titorie der Cfulralbewegtingea.

231

c) Angenommeii es aei m=: — l und » gleich — *, also F(k)
gleich u — e d.h. die besddeanigende Kraft von bis s repulaiv, von
» bis «0 attractiv, so wird sich die bewegliche Kugel anfangs von B
aus gegen ^1 hinbewegen, und je nach dem Wert« von a den Punkt
A erreichen oder nicht, daranf aber um den Punkt a osciUalorisclie
Bewegungen machen. Es ist nun

-2.//(..

= ,— lognat
Vf»/

= wird

.)S. - ^/IK-2')«o-(»-2»)

log Hat -

•+V0

-"o)"p

Vitf

lognaH-l) _ y^

lognat V—i - 2^;^

in üebereiustimiuuug mit deu sub 1) gefuiideuen Formoln.

Untersuchen wir weitor, üiuerhalb welcher Grenzen T eint
reellen Wert annimmt. Zwischen den Grenzen s = und « =
geht der Ansdrnck Väiru^ — w^* vom Imaginären ins Reelle über.

Tür jeden reellen Wert von T muBa nun entweder

. + V2,

oder einen Wert von der Form — «+J' annehmen. Es ist aber

lognat(— j:-i*2'0 = |lognat(j;*-|-/) — iarctan-
nach der Formel

-J yi—'-h'l+fi-'-yt 1 -i l/(-«+»0-/(-«-»'') iV-i '

232

Da imu

: Ueber einigt Probteme

ist, SO ist auch, indem mau

— «:(uu— «)= X und V— 2süo-J-V-K~*) ^^ ff setzt,

lognat(a;*+yä) = lognatl = ± ZnnV^

Folgücli erliält man für jeden negativen Wert von 2b%| — Wß*
für * = O bis Jitn

oder wuun mau von allen Werten des lognat(-f-l) nur den n
Wert Null annimmt, da arclan^<C^ sein mnss

Vnf

V—2m„ + ^'

-£=il<

; daim ist

-i+y=i

= -^^arctanys

Setzt man »>^, z. B. gleich J«o, BO erhält man i
plexe Function, deren reeller Teil die Zeit bedeutet, während welc
sich die Engel jr gegen Ä hinbewegt. Es ist bei obiger

. 2-jJlognat(-3+y81 - LillogBaKS— T'8)+lognat(— ]j

= :i(i«g»at(3-yi)y:ri,+_

A, und kehrt alsdann um ohne A zu erreicheu.

Um den Wert von « zu bestimmen, der diesem Werte ■

angehört, fluchen wir das Max. des reellen Wertes
iftt dieses ist v gleich Null; also

aiit- dei Thearie der CtnlralhfKe^mjea,

Uuter den Wurzeln dieser Gleichung hat nur Jlf= jug Gültigkeit. 1
'Es ascillirt mithin die beweglich gedachte Eogcl zwischen Jug und Uq J
hin und zurück um den Mittelpunkt »ug. Allgemein ist

und allomal (, = «i'^fif.

Wir wollen endlich noch v als Function von ( ausdrücken unter ]

der Voraussetzung F{b) = u — Juo. Es war

= (*/-(«o-

Substitnirt man aus
so resultirt

r ersten Gloichung den Wert it in die zweite, ■

folglich

v = — Jiia Vfi/sin (<y/(it)

ebenfalls in Uebereinatiniinung mit den sub 1. gefundenen Werten.

3. Wenn sich die beiden Kugeln im umgekehrten Verhältnisse i
des Cubus ihrer Entfernungen von einander anziehen, so lassen sich |
die Gesetze ihrer Bewegung auf folgende Art bestiranien. Es istl
F{a) = 1 : «3 und mithin

Beim Zusammenstoss der beiden Engeln ist

Für ^-l-r = ii ist V = Null d. h. es tritt überhaupt keine B
ein, wie voransznsehen war. Für B-\-r -= u = ist t
Die Zeit wird ausgedrückt durch das Integral

L

J Tfff

und u als Fonction der Zeit

»= ^"o'-

Fttr a^O wird T= -u^^-.-^^f.

I

Mau kann auch v als Function der Zeit ( ansdrückea, indem
man u nach t diCtrentürt. Ausserdem findet mau leicht

d. h. es ist das Prodnct aas der Entfemong der bewegten Khgel
von A üud der Geschwindigkeit in jedem Augenblicke der t
neu Zeit proportional.

4. Es möge endlich der Fall untersucht werden, wo

f(«) = a+A ist

-L

■Vh

Ist 1 = 0, SO TereiitfacbeD sich die Formeln sehr; es wird

Soll für irgend einen Wert tou t isx zogehörige Wert Ton ■
herecimet werden , so moss man diese trauscendente Gleichung a
lösen, was am bequemsten gesdäebt, indem man eiuen Halfswinkri
nrwendet Man setze

2m-

-X, und arccos-

- *- « oder

f rfüj niturit der CeiUralbtu

Deinuächst ist V"o^—

«+.i

y,i.;=?+5.

Wir wollen hier noch eine Methode angeben, wie diese Gleichung
nach tfl aufgelöst werden kann. Betrachten wir die Grössen m und
mt ^= (y,) als die Coordinaten einer ebenen Cun'e. Um dieselbe zu
constrüiren, seien (a. Fig.) OS und 0¥ die Axen eines rechtwink-
ligen Coordinatensystems , femer 00, die Einheit der Längen, und
O, X, parallel OX gezogen. Ueber dieser Linie construire man eine
Cykloide O, G 0„ und ebenso nach der entgegengesetzten Seite die
Cykloide 0,G,0^. Alsdann halbire den Winkel XOY durch &0T,
Sei ferner OM die Abscisse eines gesuchten Punktes der Corve,
eonstmire den Kreia MP' = 00,^ ziehe F'n parallel OX und ver-
längere MN um P'n Ms i", SO ist dies ein Punkt der Curve TOPS...
iBt G der Scheitel der Cykloide, so ist OS' = SS' = «. Die ge-
dachte Curve Terläuft, wie klar ist, zu beiden Seiten der TOS sym-
metzisch und es braucht mithin nur die Lösung der Aufgabe gefunden
zn werden zwischen den Grenzen tu = O und it oder y, zwischen
den Werten O und jt, was dasselbe ist. Sei also « ]> ji, > und
OD gleich y,, so ziehe i7F|| 0X\ wenn diese Linie die Curre in Po J
Bclmeidet, ist üi'o gleich w, ein Wurzelwert der gegebenen Gleichung. I
Hon ist J

fly , , SV . J

Mithin verläuft die Curve von bis S gegen OS stets concav, weil |
innerhalb dieser Grenzen der zweite Ditferentialquotient nicht gleich 1
Noll wird. I

^Hj3)ie Wendepunkte sind nur hei 7, O, S n. s. w. allgemein für

^^f arc 8IÜ ä— 1 ^ O, oder m ^= + nre |

Die Tangente des Punktes O ist 1+cosO oder 2. Die Tau-
fBnten der Funkte S; T* o. a. w. aber gleich Null. i

I

236 3IalthUaata; Utbtr einige Probleme

Ißfc femer 2ji > y„ > « z. B. gleich pm, so ist u,, =^ Os, jüso
wenn y^ und a^ die Coordioaten dcB homologen Punktes P h
nen, wird Om aus OAf(.w,) gefunden nach den Gleichongen :

OM-^Om = oj,4-io„ =

Statt also die Gldchong i
n w^en — sin w,, =^ sin (2re

y, = -'t

w, = 2n

i„-|-Bin«j, = y,j aufzulösen,
- w„) die gleichwertige

oder

(2n— w„) + ain{2s-ö)„) = 2«-y,.

cü,+sin(., =^,

HO m, und 9, wiedenun zwischen den Gränzen O und » li^en.

Ffir 3n 1>^ ^ ^ 2n eubtrahire mau beiderseits 2n. Dann ist

(m— 2)r)+sinei = (m— 2n)+Bin{B— 2») = y— 2ji

l)n findet man u dnrch Auflösung der

Für 2nw>s X2n
Gteidmng

(2njr— «) -|-sin (2i

«.).

Fflr (2«+l)jr>-y > 2iijt lässt sich die Gleichung reduciren
auf die Form

(« — 27,3r) + 6in{M-2«Jl) = y — 2nii

Sei OÄ die Tangente des Punktes O und (M ^ 4- Errichte in
J die Senkrechte AI'" = jj, lege in P" die Tangente BP" und be-
zeichne ^5 mit I', errichte üi"" =■ tf, u. a. f. Dann ist der ge-
suchte Worzelwert für n > ^ ^ O

Wenny,— (»-f-sin(B)=/'((o) gesetzt wird, so ist — (l-J-cosmJ -=/"(»)

y, tr _ff^ t-, _ Al+r)

Der erste Kähernngswert ist also stets ö'" -^^^^ geomet
Gründen und wegen der Natur dieser involutorischen ]
aber anch, dass wenn maji im Stande Ist, einen beliebigen KU
wert TOn » z. B. ci>h anzugeben, sein muss:

fi'On) , f{m. + B) /(0,,+J-j-O

WO das zweite Gliod der fieihe mit B, das dritte mit C 11. s., f

/'(o)„ + fi) +/'(u„ + ß-|-C)"*

nua der Theorie iler Cealralbei:

cyii«i

337

zeichnet wird. Das Verfahren fitllt mit der Newton'schen Methode
DahG znaommen. Man kann sich der angegebenen Methode auch mit
Vorteil zor Löenng des aUgemeineni Kepler'schen ProblemeB bedienen,- J
Dnr mnss man dann erst die Gleichung

für n ungerade von »ji subtrahiren, wenn nm>yXi!-
and njt von ihr snbtrahiren, wenn (n+l)w>- j/ >■ «je ist
ersteren Falle hat man

ca) + .ain(«.

im andern
Setzen wir
Fem'ir ist

w) = „

-y.

.7t) + IBin(B-«Jr)^j,,_«tt
w, and y^ — nn = i;, so ist

wo /'{0) = l + e ist. Da nnn hei den Planeten e sehr Idein ist,
BO ist wegen der starken Convergenz der Reihe nahezu

_ ^
"' - 1+ r

a = j(, + £Biny,

Oft ist ea bequemer die Unikehrungaforniel von Lagrange i

nutzen, indcss für e nahe ^ 1 ist dieselbe gaozlich unbrauchbar.

Die angegebene Formel gibt daher die vollständige Lösung dea
Problemea ta-^säata^^y für e^l. Die Gleichung hat nur e

Wnrzelwert, so lange £ ^ 1 ist. Ist aber £ ]> 1 , ao kann sie nn-
endüch viele Werte haben. Ist allgemein

Ft > arccos 1 l-|-

so hat die Gleichung iiöchatena 2n — 1, mindestens 2n — 3 Wur- j
zebi. Für e = =o wird nn > t, also n = qo , Die übrigen Wurzeln '
lassen sich anf ähnliche Art linden, wie die erste.

238

Dostor: Proprio des DßermimuUs,

XIX.
Propri£t£ des D^teimiiuuits.

Par

Georges Dostor.

1. Thfor^me. Lorsque, dans an d^terminant, tons les
elements situes d'an meme cdt6 de la diagonale sont
eganx ä zero, le determinant se rednit k son terme
principaL *

Considerons, par exemple, le d^tenninaiit da qnatri^me ordre

J=

«1 *i <Ti ^
b^ Ci d^

e^d^
^4

tons les elements, moins nn, £tant nnls dans la premiere colonne,

on a

bi Ci d^

«1-1 <^ €^

^4

== «1-^1 ;

donc le determinant J^ tons les dldments, moins nn, de la premiere
colonne etant anssi ^^oll ä zero, il Tient de m§me

mais

dl

— <^«t;

.- Proprieie lies D£lfrmina»ta,

par snite on obtient

//, = h

c^d.

donc on a

J^a^

iC^di

39 ^M

2. Th^ortfmc. Lorsqoe, dans nn däterminaot, tous les
^Ißments de la diagonale et ceux de la premifere ligne
sont 6gaux entro enx et que, en memo tompn, tons lee
616iaent3 situes au-dcasoas de.la diagonale soiit egaux
et de Bignes contraires a ccux de la diagonale, le double
dn d^termi&ant est egal au double äl^ment de la diago-
nale, 61eT6 ä nne pnissance marquöe par l'ordre du d^-
terminant

Soit le diterminant du (inatrienie ordre

qni remplit ces conditions. Conservons la premiöre ligne puis ajoutons-'l
cette Ligne h cbacune des trois suivantes; le d^terminant ne change |
ni de valeur ni de sigue et il vieut encore

2a a-\-d
2

Dans ce deterniinant tous lea öI^mentB aitufia au-deasour de la dia- '
gonale sont ^gaux &, z^to; par suite le d^terminant se r^duit ä soa |
terme principal; donc il vient

2^ = 2a.2a.2a.2a = (2a)*

3. Corollalre. Oa en d^duit que

-^1 1 o = 2», 2

int des qnantit^s arbiträres.

240

Dostor: Propriit€ des JMterminants.

On a de meme

i

2 2
—2 2

i

3 3
—3 3

— 2^ 22

— ^% 22

et ainsi de suite.

2 2 2
-2 2«
—2 —2 2

3 3 3
—3 3 a
—3 —3 3

2 2 2 2

- 2^ 23

— 2 2 o Ä
2 2 2 e

—2 —2 —2 2

3 3 3 3

-3^P

— 3 3 a Ä
—3—3 3 c

—3 —3 -3 3

^tf • « •

Ö J m . »

XX.

Snrface des quadrilatöres exprimöe en dötenninants.

Par

Georges Dosior,

1. Expression en d^terminant de la snrfaee du qnadrllatöfe
en yaleur des eoordonn^es de ses quatre sommets. Consid^rons le
quadrilatöre AB€D^ dont nous d^signerons la surface par Q; et soient
^9 y\ ^19 ^1) ^9 ^2) ^39 ^8 ^^s coordonn^es des quatre s'ommets con-
s^cntifs A^ B^ C, Z>, qa*on rencontre en parconrant le p^rimötre dans
le sens des x positifs. Menons la diagonale BD^ qoi d^compose le
qnadrilat^re dans les deux triangles BQD et ABD.

On sait qne

2BCD =

1 ^1 Vi

1 «2 y«

1 «8 VZ

1 «1 yi

«2 y%

1 «8 Vz

— («1^8— yi«8)»

il vient, par euite,

or il est aisi^ de voir qu'on

mais ces deux d^turminants ne diff^rent qae par lenrs premieres co-
lonneB, on obtiendra dune leur Bomme en ajontant les premi^rea colonnea,
el^inent 4 Clement et en conservant les autrßS colonnes telles quelles.
On trouve ainsi

242

: Sarface des ijuadnlatirei txpTimte cn äflemiim

3. Snrface d'an qnitdrilatäre qneltonqne ABCD, en ulenr des
quAtre cOtfis conB^cntifs AB = a, BC = b, CD ^ c, DA =- */ et des
denx diagonales AC = m, BD = n. Elevons au cair^ l<ja dem

membrea de l'^galite

2Q = -

-J7S y -

-y»

en multipli&nt chaqoe Ugne par 2,

16Q» =

4

Or il est ^Tideut que

2(.-.,)'+2(»-5,)' -

2n*, 2(:r3

-',)'+2(jj-»,)

= 2,«

da plus ou a

2(i-x,)(i,

->-,)+2(j

-?■)(».-!/,)

= -2(ra,+»,)+2(i,i,+j,j,)-2

'!«.+». J,) + 2('

,' + !,.

maii les fgili«»

(.^iJ'+(,-»,)> -

»", (»1-

'!)■+(».-«.)■ =

i^

(:.,-«,)'+(»,-!,J'-

■=■, ('■-

«)' + (».-*)'-

'i*

donneat

de aorte qu'on tronve, en ajontant,
La surface du quadrilatöre acra donc

tV'tte espreasion rerient ä ceHe

.r: Sarfact deä

«^-{a*.

que nou3 avons dejiL donuee dans lea Nonrellea Annale
Mathematiquea, 1« a^rie, T. Vm, 1848, page69.

4. Expresilon en d^termlnant de la aurface dn ^uadrUatdr^
inseriptible en valeur des quatre cOt£s. Si le quadrOatere ABCD ei
inscriptible, on aura mn = ac-j-irf et la formule (IV) donnera

ieQ»= 4(ac+Ärf)*— («'— 6*+c'— <^)*

^ (2ac+2Sd-i-o» — fi»+c»— rfa>(2ac+2M — a'i + i^ — cS-t-^)

= l{a-\-öf-{b-d)^{0>-\-d)^~{a^cY}

Or le prodnit des deax detenduaDts

h

d

-1 —1

i-b+o

u~b-i-c-{-d a+ö—c+d a-HH-«— d
6— tt+e-hi -Ä+d+tZ+c — i— «— rf-fc — i— o+rf— c
c-f-rf— a+i -c— d— o+Ö — e-f''+'H-* — c+d— a— &
d+c-f 6~a — (/— c-l-6— O ^i^-e—i—a —d-\-o-\-b+a

si l'on y divise tes quatres lignes par lea qnantitäs respectives

b-i-c + d^a, c-\-d + a~b, d-^-a-j-b — e, o-j-fi + c — rf,
ou verra quo

244 Do $ ton Surface des quadrüath-es exprimie en dOermüuuüs.

donc il vient 16 Q* « — i^, on Wen

(V)

16Q»

b

e

d

h
•a
d

e

e
d

d
c
b

5. Snrfaoe du quadrilatdre isserit dmns 1» p«mbole ^»2^X9
tm Tftlear des eooTdonn^s des qnatre sommets. Dans la formale
(I) posons

X ^=» TT-

2p'

2

«g =

2p'

'8

eile devient

^^-¥p

1

1 Vi' Vi

1 yg« yg

s

I

1

ys ys

2p

1 y* y

1 yi» yi

yg*— y* yi—y

O y^^^p^^ y^^-y.

Pour obtenir le second d^terminant, dans le premier nons avons
retranch^ les deux premi^res lignes des deux derni^res; or ce second
döterminant reyient ä

1 yi* y%

yi*— y* yt'—y
ys*— yi* y«— yi

donc nons avoni

ys*— yi* ys— yi

=(yi— y)(y3— yi)

yj+y 1
ys+yi 1

(YI)

2Q

(y— yi)(yi— yaJCy— yi+yg— y«)

2p

• n Proprietf du l&raidre.

XXI.
Proprio dn MtraMre.

Georges Dostor.

Tlieoränie. Daaa tont t^tra^dre, les facea sont entCIB
ellCB comme leg sinus des triedres aupplementairet
triedrea oppoaöa.

Soit le t^traödre SABC. Poaons lea arötea

SA = a, SB ^ b, SC = c,

et lea aretes oppoaeea
BC =

Cd = 6', AB =

Nous deaiguona lea facea par les mSmes lettrea que lea triädres
oppos^a que aous repr^a entere ns par les lettres de leur sommet, et
nous mdiquerona chaqae di^dre par la lettre qai exprime la longuenr
de BDu orete.

Si Bur chaque face nous projetona lea trois autrea faces,
obtenons les quatre equations

S — ^cosa' — BcoBb' — Ccoac' =0,
-4— ifcosc — Ccoafi — iScobo' = 0,
B — Ccoao — ScobA' — Anose =0,
C—ScQSe' — ^C03& — Bcoia^O
rjuc nous pouvons mettre aons la forme

S+0 -^A{—cosa')-i-coab'{—B)-\-co&c'('^Cf) =

Q+A -\-S{--C0Sa')-\'003c(—B)-\-C0Bh (-C) =

— ScoBi' — -dc09c+0(— cosa')— (— £)+C08a {— C) =

— Scosc'—Acos/i-\-0 (— coaa')-f coao ( — B)— ( — C) =

Entre cea quatre equations ^Uminong les trois quantit^s — c(
S et — C, EouB obtenons la relation

100^^1

L —B e

S+0
-Scos6' — j

: Pr'iprieU da lelraidre.

A C086' COBc'

— Scosc' — Acosb coBo —1 I

qni, par la decomposition du premiör membre en deux detorminante
peut s'ecrire

iS A coafi' cosc'

S COSC COBfi

— Scosi' —1 coäa

—Scoso' coaa — 1

A COsi' CDSc'

A S coac cosb
— Amsc — 1 coaa

— AcOib COSa — 1

Dajis CGB deux determinants noua pouvous interverter Tordre
deux premiöres colonnea, apres avoir divisö les prcmißrBS coloni«
respectivement par S et j4; il nouB vieut, en intervertiaaeDt aussi 1
deux premierea lignca dans le premier döterminant reaultant.

S eosö coBÄ I

A — 1 coBb' coac'

COSi' —1 C03«

COBc' COSa — 1 I

coafi' COSe'

— 1 C09C V.OSb

:osc — 1 coaa

Dfivelpppons suivant Ics elenieiits dß la premiöre colonne cbacn

de ces deux dfiterrainauts nue i
noua aurotis

reprfisenterona par ^, et 4tM

— 1

COSJ' COBc'

COBC C0B6

cosi'

—1 OOaa

+ S.-4

C036' —1 coaa

coac'

COB^ -1

coac' cosn -1

-1

cose coai

COSi' COBc'

coac

— 1 COSa

— S.A

coac — 1 coBo

coafi

COSft —1

coai COSa —1

or le facteur de -\-S.A ne difffiro do celui dB ^S.A qne j
cliaoigement des lignea en colonnes et vice veraä, par suiteilaai
cgaux, On a donc l'egalitö

cosS' cosc'
— 1 cosre

-|-j1' cosc — 1

Mala le coefficient de iS^.est la carre du aiiius du trifidre auppl^ioi

Do stör: Propri^t€ du t^traedre, 247

tairc du tri^dre A. En d^signant ce sinus par la notation ^iA')j
on peut ainsi 6crire

B^BmHA')^AHm^(S') « 0.
Donc on a

S A B C

sin (5') "" sm(A') "" 8in(J5') sin(C)'

xxn.

Propri^t^s du sinus des triftdres.

Par
Georges Dostor.

1. Consid^rons le triedre OXYZ, dont nous poaerons les trois
faces

YOZ=X, ZOX^ii, XOY'^-v

et dont nous designerons les trois di^dres OX, OY, OZpar les lettres
correspondantes X^ F, Z.

Nous repr^senterons par A', jü', v* les inclinaisons respectives
des arßtes OX, OY^ OZ sur les plans des faces oppos^es YOZ^
ZOX, XOY

Si ^ d^signe le sinus du triödre OXYZ, et que Ton pose

K+li+v = 2(p, X+Y'\'Z—n = 28,
on sait que

^ = 1 — . cos^A — cos V — cosV-j- 2 cos X cos fn cos v,

r

248 Daslor: Proprifies du sintts des Irädrfs.

OQ bien

(I) ^ = 2Vsbxipsm(ip — i)sm(ip — (i)Biii(ip — v).

Oll eil döiluit

48 iiiSam fA'— S) ainj Y-_S)jin(Z—

(11)

et, parsuitP,

(IH) id ~ BiufisiuvsinJr = sinvsinism Y^= siu AslüfiBiuZ;

puls

(IV) J = siniaml' = Hin(tBinft' = amvsinv'.

Par le sonimet O menonB une droite quelconquo OD- represeib-^
tons par a, ß, y les anglea que fait cette (iroite avec lea trois arötg
OX, 07, OZ et par «', ß\ / Ics incliiiaisous de la mSmedroite su
lea plana des trois faces opposces YOZ, ZOK, XOY.

Prenons les arötea OX, OY^ O^pour axos de eoprdonnees et soie
ir, y, z les coordoniiees du point M" de la droite OD dont la distaiic
OM h, l'origine est 6gale h. ranit^. Projetons sur OD la distand
OM et la ligne briste x-^-y-^-z; nous obteuons l'equatiou

(1)

«cos a-\-y cos /3-]-3C03 ■/.

Par le sommet O ölevenH sur le plan XOFla perpendici
OP daus le sl'us dos s poaitifs et projetons aur cette ligne la longaei
OAf et la ligne briaee ii:-\-y-\-z\ 11 nous vieut

cm DOP = xcosXOF-\-ycosYOi'^zcoaZOP,

or il est aise de voir qu'on a l'angle

DOP=Y,~y', xop= ^, rop = '^, zop= ^

par suitc on a siny' = ssinv', et eii iiiultijiHiint par sinv,

siuvsiu/ = ^äiuvsiui'';

mais, d'aprfia (IV), Binvaini'' est le sinua du triedre OXYZ et siuy]
sin/' est le sinus du triedre ODXY^ ainus quo nous d6signerona pu
jiii/. Nous trouTons ainsi que

230 B»pf: Zum r. ilfc» Jn dti^mA tlitpt^m

I Problem des dreifiidi ortbogonklen niiliiiiinjnICH j

Von

JL Hoppe.

Die in Gl. (67) dargestellte FUkbe aus der in Beate s
Sdtur wfire mit eioem dritteik ParaneteF «■ so, dsss sie
FUcben r = consL and > =^ eonst rechtwinklig geaddiittGit i
Da die ihiva Kräi— wi^pJinicn » and r zngthöiigen Werte bei i
gOBilem Fntrtdoi in aflgenciDai not v niür^ n
»tatt ■ za setKS h Fsnction nm (■, w);' v kanml ■
gegen ist jetzt 1 Fasctim tod («, <r). Fcnnr bet»d
Function Toa (%, v), nnd f^ x sowie die Grössen

S_/|8co.i. ^-/ge

Ssini

als Fonctioaea von (i, v). Emjliek snd statt r, f, i die anf e
f ?uürendes AiensTstem bezü^cben Coordinaten z^, y,
aof welche dann nach (68) x, j, i mitt^ der Bdaäooe

X = *j«>8|S+Iji,coso+(s,-{-»)än«lai
jF = — T,sinjS+ ly,coso+(s,-l-«)sin<rl cosjl j
s = — srjSin«i-f-(i, + «)eos«

nuftd^ffilirf wcndeiL Die Flicheii^eichnngen sind nnn: 1

Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Fläehemystems, 251

«1

f

und zwar ist

S = (Ä+ft)cosA — ^sinA; 1/ = (Ä-f-fi)sinA+ gT cos^

a, j3, X sind Functionen von w.

Zunächst sind die Bedingungsgleichungen der Orthogonalität

dx dx ^^dy dy dz dz
du dw * du dw ^ du dw

ox vx j^ vy vy vz oz
dv dw^^ dv dw '^ dv dw

dh dk

auf «1, ^1, «1 zu reduciren. Dividirt man sie bzhw. durch g- , g-,
so kommt: -

•^ = I? ( ^ + f«^» *=°' "+ ^"» + *> '^ «3^' }
Die Differentiation ergibt:

Die vorstehenden gemeinsamen Factoren, welche die zweimal (
ersten Ausdrücke zeigen, gehen durch Division weg, nnd die GL (
werden nach Multiplication mit £:

+ |(l,+»+Osinl-(i+|.)(«,+ r)|»'
+ |(4+»+«ßcoBl-(l+rt(»l+s] ß'm^

Boppl: Zum Froblcrn des drei/hch orthogonnle/i flüchetitysltms. 253:

(74)

o — (f (»+ f + jpj +£ (si - 8^j ]s;,+'SiS,+ Vi la 8.
8t 8«\ , /,8^ , . . A8S / 8^ \8j- ,8p

+ {(i;-oi'-<"+*+(«""-'i)''+('''

-4i")rUw

Der Kürze wegen ist hier s- statt -g-. • -^ geschrieben.

G. Bednctlon Im besondern Falle.

Um den in N. XIII. erwähnten Fall, wo x^, j^, a^, also auch a-, ^, s
in Constanto oder in Functionen von w übergehen, auszuschliessen,
bebandeln wir diejenigen Flächen , bei welchen er allein eintreten
kann, d. i. wo t ganze Function 2. Grades von h ist, besonders, und
setzen

ilcosl+Fsini = / ^Bcosl i

1

TJsmX — Pcosi.

; statt x: dann wird

J ff*

= (U— sfi+e,)C09i-j-

= (17— tfi4-Ei)Bini

254 floppt: Zum ProbUm .U' flififach orlA-jona/e« FliifhrHiyi

, = -^—ncosX^Psial

Wir haben jetzt bloss den Werl u = 0, wo a-j, Ji, e, Functionen
von IC alk'in werden, anaznschliessen. Diese Werte von a-, , y, , z,
sind nnabhängig von t, tj, ij und gehen ans den allgemeinen hervor,
wenn i, (,, ig, das ist wenn t verschwindet Setzt man also in den
BedingungsgleieLnngun (72) k^O, so resuitiren diejenigen, welche
dem Werte (75) entsprechen, nämlich:

"= •^-<'+-)(£+"')+''S +t<*+ri'-5l I? (")

- (*+c) li j£+ I «+»B-(*+C)']-<»+c)nK.'siiil+/l'8in«cosi)
— (ft-|-fi) (x ])^ — ^' ) (a'cosA — (*'sinKäinl)

8i8»~ 8iV8» + "

+<'+4^i?+{f-{i)i8-r-ii"(*+''>+°i<'

+ j - ('■+C)»+ (f- l-j-I) n- (»+ C) |j -P ) f' «OS .

Die erstere hat nach Division durch <s, welchea nicht constant ]
sein soll, in Bezug auf die von u abhängigen Grössen die Form:

Setzt man für /^ einen Specialwert, so werden ö, d, , ö^ reine Fm
tionen von w. Führt man diesen Ausdruck in die allgemeine )
chung (77) ein, so haben beide Gleichungen die Form Ah'*-\-Bh-i-C'-'
und die 6 Coefficienlen müssen einzeln verschwinden. Es ist jed<
einfacher, sie bzhw. auf die Form

^

^^

llopfi: Zum FrMem des tlr^i/uch orlltngnmlfi Fiächfii'ysltmf.

..■

A\i-V, + ,)'\+JHI, + f) + L-0

■

D|t-(^)'l + JS(« + C) + f-0

m

ZU bringe«, judem mau nur zu sclireiben Lat:

m

It - -''l£-(»+c)'l+(''.-''i')('+c)+<s-''.c

■

L +l(>+^-+© ■

1 D&na zerfalieu die zwei Glfichuugen in liio seehs folgenden ;

1 0_ ä.+ |5_,(„.,tal+^',i„„co>i)-i-,.'co..

(79)

1 o = (i^-J,).+ |+«'+||f+n(.'mi+^'>i..™i)

(SU)

-|-(«5';-J-){B'co8l-S'äin„8ini) + |f n^cos«

»={l('+'-+s5)-'-+M"+'l'

(Sl)

-l-o(c,'>inl+?'8in«eo««+ 5-^0/!' cos«

o = -|£; + s+»(«'™'-'" «'»«»")+"»''«'"

(82)

« = «l+l^-4<-'"+^'"""- '

(83)

_(,+ ^^).e.„

(M)

Eliminirt man ^ zwischen (79) uud (Ö3j und ^ zwischen (8«) und ^H

<82), 80 kommt nach Division durch o:

■

l=-4^''-'

(86):H

_ <»,-«,).+ ?^+«' + ||i + flKsiui+^'.i„.e.,«

(86) ■

_««'co«l-?'sinKBiji>)

■1

25t) Hoppe: Zum Problem des dreifa<:h orthogonalen Flätkeniyaleit.

Dies mit -^y mnltiplicirt und zu (84) addirt gicbt nach
durch a:

Dies ist aber nur die Derivatioii der Gleichung

<' = S,+2*(i + ''' + 8t!)-(''.>'+« + |^'-"
-|-«'sinA + |S'sinc(COsA

wekho nach Division durch ff aus (81) hcn'orgebt. Demnach ist JE
Folge der übrigen Gleicliungen.

Differentiirt man die Gl. (76) nach i, so kommt:

=rz SP 5ff

pcosil + ^Biui— i7sini+^<^03'l = — fl-sini

ST"

SJ7 .
8»«'

ui— i7sini+^<^03'l -
)SÄ-|- TTcoäA-i-Psinil =

Sft

dp

Differentiirt man hiernach die Gl,
BP , /Sff

i6J 80 kommt:

= dgj — in^'ls n] jS'costf— Ä{«'cosi— /S'sinwsin

das ist durch (85) identisch mit (82), und gicbt aufs neue dilTerentürt:

. ,8". an , 8 8« , /8 8« , „■>,,

+ »(o'!inl+p',iii«co.l)
und nach Addition zu (79):

0=«
Differentiirt m

I , 8äe\ , 8 3« , fl öcf^,

in femer Gl. (86) nach 1, so Irommt:

/ST

+ « I.+

-'.

-(-(k'cobA — jS'sinttsinl) r""l~^gl "

Boppf. Zum Problem dsi dreifach orrhogonalon Flächenryttem». 257 1

Snbtrabirt man hiervon die mit ^^ multiplicirte Gl. (90), so findet 1

da

man nacli Division durcli s- die Gl. (87). Dies iat das dritte iden- ,

tische Resultat. Folglich bleiben von den sechs Gleichungen nur drelJ
zn erfüllen; zasammen mit (78) sind es die folgenden vier:

(86)

(88)

+ «' COB il — ß' siu n sin i.

welche die 4 Functionen h, i, fi, a bestimmon.

Betrachtet man jetzt n und ff als Functionen von {v, w) und be- j
zeichnet die Differentiation für constantes b durch Klammem, so ist ]
nach (85)

( S Sa\ 8 da , B 8a { ,8^ , „, \
und die Gl. (88) (90) gehen über in

»=(l)+i('+.'-i)-ä*+<,+"'-'-/''.i»«.i.'

/ a ac\ , , / , SV oa\

» = (S 8^) +■'(" + SP 81.)

Mit ersterer verbinden wir die partielle Derivation der Gl. (88) nach.l

i, welche auf dieselbe Form gebracht lautet:

Addirt man sie nacb Multiplicatiun mit i zu (^1), so kommt:

2d8 Hoppe: Zum ProbUm <lei drei/a-'h otüiugonalen tiäcitnrjftffmM.

^^)

WO # eine von i^ allein abhangige SpeciaUöBong der GL (78) bezeich-
net, so da8§ man bat:

»' = ^ + ^1*+^. (94)

Dies in Ol. (93) eingefilbrt giebt:

- / + |(i+r»-2,*)-a.j-+2r, (^ +a;--äö-ö, ) J^

+W^J^.+(«'

Wir betracbten nun y, ^ statt 6^, öj als willkürlich und verfQgi
über letztere und über y^ so, dass Gl. (94) erfüllt wird, und die er«
Zeile des Ausdrucks (95) verschwindet. Dies giebt die Werte:

Vi y ^r '

und Gl. (95) lautet:!

Gl. (78) lässt sieb jetzt ereilen durch

wo «0 Function von i
Rücksicht auf (94):

iCf von ir ist. Die Einsetzung ergiebt i

"'a'Po

il&m.

i+;

«o+"'o ("0 + ""o)* «o+wo ^ («0 + «"(i)' '»o+'''o
Damit dies unabhängig von u gilt, rnnss sein

Wj

I. S^j^S.^t^ä-

Hoppe: Zum Prahlern den Ji-eifach orthogonalen Fläehensi/.

Hiernach ist

(98) J

e = re* (99)

£b würde nichts zur Allgemeinheit beitra^n, wenu wir auch y und -.
■& complex Dähmeu, weil sich die Anzahl der EüstinimaiiBBgleiehiiiigeB i
tua ebenBoviol vermehrt.e als dio der eingeführten Functionen TOB n
Sind also j- und * reell, so zerfallt die 2te Gl. (93) in

, 2 8r du '2dip

Erstere Gleichung nach » differeutiirt giebt:

dpdk 2 a 8r

Bl 3» d dv rdm

Vermöge der zweiten wird sie und Gl. (85):

S(p 3(1 3 07- 31 „ 3qj , ,

die Cv Sv rVic ow vdu' ' "^

daher nach Int^mtion:

I>ifs nach -^ (iifforeutjirt giebt nach dem Vorigen:

(lüO)

262 Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächensystems,

dk 2t?2

JMldet mau aus boideu dk uud iutegrirt, so kommt :^

i-/*^^-2arctg'-4^ ■ (111)

Das erste lutegral der Gl. (90) ist für a = schon in (86) ge-
geben, nämlich

durch deren Integration man leicht erhält:

Nun ist nach (93) (96) (109)

/(«f4-«,)8ir «/{«(r-^)-dil ^+^fl v,+tj^+v^^ ^^

- log{»i+tci)«+V^— logy,
folglich

Es bleibt noch übrig, die Werte Ton A, i, fi, in ^nige Ans-
drücke einiofUiren. Kach (98) (109) ist

also nach (110)

+ (ti+«i)*+«^*
f»iKT nadi (111)« ^nnm c^ = f>sSf^ gesetzt winL

(11S>

264 Hoppe; Zum ProbUm dts drtijash ^rihoga-mUn Flächm'y-Itm.

f^

_p, /.^ /-.ji^

S = *'s+Xo(''i*+''a')4-2xii'i+«»

= -^ — / -dvi~2xg I simifll- ötti + e

^2xi/ain!'o9p(|

coBUfl — /i'sCOsi'o3»o+/coBD(,8i',
coavo

also

Es bleibt noch über die willkürliclieii Functionen Anordnung 2
treffen. Da u nnr in u^ vorkommt, so kann man « für «o sclireiben
Ebenso schreiben wir v statt upi demzufolge dann v^^v^' wird.
Endlich wollen wir iv überall auf w^ reduciren und dann w statt u?,
sciireibeu, wobei zugleich 3 ganz wegiällt Die Eelationea der Ftuic-
tiouen von w werden dann:

Bappi; Zum Prabteia des drei/ach or(%o«atoi FUlrhentyi

ÄiCosp+ßaBmu Ä.sinu — R,cosv
£ 5 1 1= ä

(U6)l

(116) j

(117) i

cos 1 ^ —

!, = <■-(., + ,)>; 1, _ 2.,'(,, + ,.)

_j/; 3'M° «.(.i'-»i")+2»i»,+ «.,,

gesetzt ist, und wo v,, v^ wiDkürliche Functionen von v, ond ]
von 10 bezeichnen.

266 Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächensystems.
( b^ 4- w^) COS V 4- 2 bw . , b* — M7* .

co8A = — ^ — ■ — — ■ ; 8mA= — ^s\nv

P ^ ^^^—9ht ö (o+Xo&^+X8)C08P+2jCi6

2 ' ^"" 28inf;

Entsprechend dem Falle y = yj, ä = 0, t;^ = ^cost;, »3
wird da8 orthogonale Flächensystem:

a 4w — w* (w^ — b^

X =^ 7^

{■

2b^-\-^^2bwC0Bv\ b

[(4lH-3^?')^»+(12^^+^?«)^7^C08t^^f2(4^H^»)&^7 )

a (4t* — w^)wBxnv (
^^2 b^^^'2bwcÖBi {

(12u-\^^—(4M+^^)b^ )

+ (lßu^3t^)b^'(4Su^-w^)u^(4l^^+8u^

y3.«?(4tt — W7*)* )

2(l^«+3i^*)P^

Aehnliche Aasdrtlcke findet man bei Anwendung der übrigen aufge-
stellten Werte.

■r: Oebrr sphärijche Curvtii,

XXIV.
Ueber sphärische Curven.

I.

§. 1. Die Absicht der folgenden Zeilen ist es darzutuu, mit wiß'
einfachen Mitteln viele Eigenschaften sphäriacher Corven sich nnter-
Bachen lassen, und zwar besteht der Gang, welchen wir einschlagen
wollen, im Wesentlichen darin, gewisse Sätze, deren Gültigkeit für
ebene Fignren bereits nachgewiesen ist, durch unmitteitare Projecäon
auf die Kugelfläche zu übertragen. Wir werden so auf höchst natur-
gemäase Weise einige Theoreme gewinnen, welche, so nahe sie auch
Kegen mögen, gleichwol bisher nicht bemerkt oder doch wenigateaa
nicht aasdrücklich hervorgehoben worden zu sein scheinen.

Ein einfaches Beispiel möge die Vorteile dieser Methode darlegeiw
Indem Chasles ') die Untersuchungen von Fuss über die sphäriscliö
Ellipse bespricht, welche ebenso wie die entsprechende ebene Curve
durch einen in zwei Punkten festgehaltenen gespannten Faden be-
schrieben werden kann, bemerkt er: „Die analytischen Formeln, welche
Fuss anwendet, führen zu dem merkwürdigen Resultat, dass, wenn
die Länge des Fadens gleich der halben Peripherie der Engel ist,
die beschriebene Curve immer ein grösst^r Kreis ist, welche auch die
Distanz der beiden Brennpunkte sein mag". Erinnern wir uns dar-
fui, dasa der Durchschnitt eines elliptischen Kegels mit einer concen-
triscben Engel st«ts eine sphärische Elliplie liefert, so brauchen wir

nur jenen Ke^l in einö durch den Mittelpunkt der Kugel hindnrch-
gebende Ebenu degeneriren zu lassen, um sofort jene Tatsache zu
»rkvouen.

Uiu Uubiirtnignng von Eigenschaften ebener Figuren aiif dem
Uauiii kauu bokauutlkh auf mehrfache Art geschehen, dem ebeuea
Urtut^ck outapricht so einerseits das sphärische Dreieck, andererseits
diut 'I'i'ti'at'dt.'r. lot:tteres freilich nur in gewissem Sinne. Es werden
ilt'im(i'iaan8 aui'h >lk' beiden nach Pascal und Brianchon benann-
ti)u fundaiuoiitaltheoreme der Eegelsehnittslehre eine solche doppelte
iülKi>im>iui'n< .VulYassttug gestatten. Für eratres hat F. Klein^) diese
UobivitrüKuiiK vurgonommen and ein einem Ellipsoid eingeschriebenes
wludkchii.>t\>K fSt.H:häock iu Betracht gezogen. Es hat sich jedoch dabei
hurtkUticoHteUt, däss dieser VeratlgemeineruDg nur dann ein bestimmter
Hluii uutoi'llogt, wuun mau onsre gewöhnliche Massbestimmung ver-
libMt und ku joacui Kllipsold die Cayley'sche Fundamentalfläche er-
bttvkl.

Ulf anUi'o l'cbortrngungs weise bedarf dieees Htüfsmittels nicht.
Wir wi^duu auf dietio nunmehr uSher eingehen nnd hiebei uns aus-
*('hlti>NilU«tt )H)lU'Kuumotri«cher Betrachtungen bedieden.

I) Uhltdul, UHchichto iler Geometrie, deutsch v. Sobnko, Halle 1639.
Nt M». Aiiiwtrk.

1^ J. KUlHi Usbsr alLS Auulvhniing des FBacarschPn Satzes auf den
(UttlHi Ml Unit))* lim. 4. bil'lttiivcr |>hy».-uiedicin. Sociotat, Noveiuber IS73.

i, \i- Wir tt^aiou folguude Lehrsatze auf:

H) Vmbludul luau iH>cb8 Punkte eines sphärischen Kegelschnitts
dureh Uü(jt'U ijrüiiiitwr Kreise iu beliebiger Reihenfolge und ver-
l4U|{t)rl Ji> 4ivül gegenüberliegende Bögen bis zu ihren Dnrch-
4t«)i4(iU*liuukt«> , MO Itogeu die so erhaltenen drei Punkte auf

1.1 i'.rii..i>tiiii iihiii ta Neehs Punkten eines sphärischeii Kegel-
! :><:;irou(lou Uauptkreise, so schneiden sich diesä-
rmikUiu, wt'lche drei verbindende Haudtkrdse
iiii,iiilb(m schneiden sich in einem Punkt

ut4eü 4, H. C, O, E, f die sechs Punkte des
BullultItUU, durch deren entsprechende Verbindnng somit
iiH'k -töC'DEi^ entsteht. Man constmire
K 1 ammnugalinie jener Kegelschnitt ist,
1 U der Kugel seine Spitze hat. Zieht
, AW ME, MF, Bo sind diese (

Gänrher: Ueber ipf,a-<.'cht Curaen.

sämmtlicb Seitenlinien des Kegels. Diirchaclmeidet man
hierauf den Eeget durch eine viillkürliche Ebene, so wird
dem sphSriachen Sechseck das ebene Segels chnitts-Sechseck
abcdef ent-sprechen. Verlängert man je zwei gegcnüber-
li^ende Seiten dieses Sechsecks, so schneiden sich dieselben
in drei Pnnkfen g, h, k, welche nach dem Pascal'schen
Satze auf einer Geraden liegen. Zieht man g M, hM, kM,
so schneiden diese Linien entsprechend verlängert, die Kngel-
fläche in drei Punkten G, H, K, nnd da offenbar diese Ge-
raden in einer Ebene liegen, so ist dies auch für die Punkte
G, H, K der Fall, d. h. dieselben liegen auf einem grössten
Kreise. Dieselben Punkte liegen aber auch bezüglich auf
den Durchs chnittsliuien der Ebenen aiJfuud rfeJTf, IcM
und e/Jtf, edM und /oM; diese Ebenen schneiden auf der
Kugelfläche die grössten Kreise AB, DE] BC, EF; CD,
FA aus, und sonach ist G, H, K bezüglich der Durch-
Bchnittspnnkt von AB und DE, BC und EF, CD und FA.
Hiermit ist aber unser Satz bewiesen.

Beweis zu b) Es seien in den sechs Punkten A, B, C, D, E, F
eines sphärischen Kegelschnitts die berührenden Haupttreise
an diesen gezogen, welche sich sueceasive in den Punkten
G, H, K, L, N, P schneiden mögen, so dass ein dem Kegel-
schnitt umgeschriebenes Sechseck GHKLNP entsteht. Man
verbinde jeden dieser Punkte ebenso wie jeden Umfangs-
punht des Kegelschnittes mit dem Kugelcentrum M und
durchschneide den durch letzteren Pro zess erhaltnen Kegel
zweiter Ordnung dureh eine beliebige Ebene; die Durch-
Bchnitfsfigur ist ein Kegelschnitt. Legt man hierauf durch
je zwei aufeinanderfolgende der Geraden GM, HM, KM,
LM,NM, FJW Ebenen, ho berühren diese Ebenen aowol den
Sphärischen Kegelschnitt bezüglich in den Punkten A, B,
C, D, E, F, als auch den ebenen in den entsprechenden
Punkten a, b, c, d, e,f, während die Berührungskreise des
eratren sich in der Durchsubnittsebene als sechs lineare
Tangenten projiciren werden, deren Durchschnittspunkte g,
k, i-, t, m, n, p bezüglich mit den Punkten G, H, K, L, M,
N, P und dem Kugelcentnim in einer Geraden liegen. Zieht
man die drei Geraden gl, hm, I^, so schneiden sich die-
selben zufolge des Brianchon'schen Lehrsatzes in einem
Punkt IC, und projicirt man diesen Punkt aus M auf die
Kngelfläcbe nach Ji, so schneiden sich in diesem ersichtlich
die drei grössten Kreise GL, HN und KP, d. h. die drei
D«igonaIkreise des Berührungssechsecks GHKLNP.

1

■

I

270 GS%t\er: l.'tbrr iplörüdkc (WmC

Mit ROcIuicIit auf das Vorstehrade sind wir afenbar bßreditigt.
von dnem sphärischen jtnal'>gOD der Sätze tou Pascal and Bri-
»nchoB zn spri-eb^L Es steht sogar nicht» im Wege, nocli einen
Schritt weiter za gehen imd nnier Festhaltung des Beweisganges fol-
genden Satz aaszasprecheo: Markirt man ai^ dem Umlaug einer auf
einem dreiaxigen EUipsoId gel^enen EUipse sechs Punkte nnd legt
dnrch je zwei aofeinauderfolgende dieser Punkte and den Mittelpunkt
der Fläche eine Ebene, so entstehen folgeweise sechs Schnittpunkte.
Legt man dnrch je zwei gegenöberiiegende Punkte und den Mittel-
punkt Ebenen, so schneiden die^e anf der Fläche drtä EUtipsen aus,
deren Schnittpunkte auf ein und derselben Mitteipunlits-Ellipse liegen.

Anmerkung. Es ist hiebei offenbar nötig, dass die zusammen-
gehörigen Schnittpunkte der nämlichen Halbkugel, resp. dem

nämlichen Halbellipsold angehören.

§. 3. Es dürfte sich aus dem bisher Gesagten wol bereits er-
geben, dasa das hier benötzte VerMiren einer allgemeineren Anwen-
dung im hoben Grade fähig ist. Snchen wir den Spielranm und die
Grenzen desselben zu tixiren, so werden wir dies am besten tun,
wenn wir sagen, dass dasselbe aberall da seine Anwendung findet, wo
es sich um Biscnssion eines sphärisch -centriscben Gebildes handelt,
und wo es nicht auf rechnende Vei^ieichung von Grössen ankommt
Von den zahlreichen Sätzen, welche Salmon anffOhrt, wOrden viele
in dies Gebiet gehören, wie wir an einigen Beispielen ^) zeigen wollen.

Lehrsatz. Die Verbindungslinie eines Punktes eines sphärischen
EcgeJscbnitts mit den beiden Brennpunkten schliesst mit
der Tangente an jenem Punkt gleiche Winkel ein.

Lebraatü. Die Focalstralilen zweier Punkte einer sphärischen
Hyperbel bilden ein sphärisches Viereck, welches einem ,
kleinen Eugelkrcise nmgeschricben ist.

Die Beweise dieser beiden Sätie ergeben sich nsmittclbar durch
I'rojection, wenn mau nur die Durehschnittscbene des Kegels ent-
sprechend wählt.

Anmerkung. In Bezug auf den zweiten Satz scheint bei Sal-
raon ein Versehen insoweit obzuwalten, als derselbe dort
für einen beliebigen sphärischen Kegelschnitt aliemein aus-
gesprochen ist. Allerdings besteht ein genereller Unterschied
zwischen sphärischen Ellipsen und Hyperbeln nicht; allein
der obige Satz hat auch nur so lange Geltung, als die bei-
den Brennpunkte zweien getrennten Zweigen des Kegel-

(iünthcr: Ueber sphariteke üimea.

Schnitts aagohörsn, so lange also, wie wir uns oben ana-
drUckten, von einer sphärischen Hj-perbel die Rede ist. Unv
die Unmöglichkeit bei der Bphürischen Ellipse einzusehen,
brauchen wir das von deo-Focalstrahlen gebildete Vierecli
nur in ein sphärisches Parallelogranuu nach Euter's*)
Definition) übergehen zu lassen, in dem die eine Seite er-
heblich gräsHsr ist, als die andre.

1, Teil, leipiig I8B5.
4)f

Äiialytieulie Goomelrli

i Pplrnpol. Tom. X. p.

n.

Die Bestimmnng von Flächeninhalten sphärischer Figuren
ist mit Hülfe der Infinite simalrechnung leicht zn ermügliehon , jedoch
anch in vielen Fällen eleinentar-geometrisehen Betrachtungen zugäng-
lich, Chasles registrirt die hieher gehörigen Bemühungen verschie-
dener Mathematiker mit folgenden Worten: „Quetelet hat auf der
Kugel Polygone betrachtet, welche ohne Unterschied von Bögen grösster
und kleiner Kreise gebildet sind, und hat zur Berechnung ihrer Ober-
flilclien eine einfache und elegante Formel gegeben: eine Untersuchung,
welche schon wiederholt die Geometer beschäftigt hatte; zuerst Conr-
cier, von dem wir gesagt haben, dass er über gewisse Curvea dop-
pelter Krümmung geschrieben hat; sodann D'Alembert und Bob sut,
welche die Hülfsmittel dei- Analysis angewandt haben". Die Unter-
suchungen all dieser (Jelehrten sind in schwer »zugänglichen Werken
enthalten, und es scheint in der Tat keine derartige allgemeine Formel
in Beutsehlaiid Eingang gefunden zu haben, so dass es sich wol em-
pfehlen wird, eine solche mit einfachen Hülfsmitteln herznstellen.

Die naturgemässeste Art, ein aus Bögen kleiner Kugelkreise be-
stehendes Polygon f.a bestimmen, wird offenbar die sein, jeden ein-
zelnen Eckpunkt auf ein willkürliches Coordinatensystem zu beziehen
und noch dazu den sphärischen Radius jedes Begrenzungskieises an-
zugeben. Um einen festen Anhaltspunkt zu gewinnen, betrachten wir
den Pol unsres sphärischen Systems als das Zenith Z(Fig. 1), legen
den Hohenkreis, von dem aus die Azimuthe gezählt werden sollen,
durch einen willkürlichen Eckpunkt A^ unsres Polygons und haben
dum als Coordiuaten der Eckpunkte folgende

1

I

1

I

iadem wir allgoracin durch r und v Zenitlidistan/ und Azimtith eines
Punktes der Kugelflfiche bezeichnen. Ferner möge

der sphärische Halbmesaer des die beiden Punkte Ap-i und Ap ver-
bindenden Kreises sein. Zugleich werde angenommen, daas das Poly-
gon nach allen Seifen convex ist.

Wir verbinden zwei Eckpunkte etwa Ap-i und Ap mit dem Zenitli
durch HauptkreisB und beBtinimen den Flächeninhalt dieses gemiacht-
linigen Dreiecks ApZ'Ap^i, Zu diesem Zwecke bedienen wir ana
folgeaden Satzes: Versteht man unter der Polarcnrve irgend einer
sphärischen Curve den geometrischen Ort der Pole aUer sphärischen
Geraden, welche jene Corve berühren, so ist der Inhalt der erstren
Cnrve gleich dem Umfang der letztren, subtrahirt von Sji. Einen
elementaren Beweis dieses Theorems hat Böklen^) gegeben.

Wir haben uns nun zu fragen, was wir unter der Polaxfigur eines
eines aolchen gcmischtlinigen Dreiecks zu verstehen haben. Die
Polai^ebilde der beiden gross ten Kreise reduciren sich ersicht-
lich auf Punkte, d. h. auf ihre Pole, und es bleibt somit nur die
Polarfigur des Kreisbogens 'Ap-iAp übrig, welche einem am 90*
von jenem abstehenden kleinen Engelkreise angehört Um das ent-
sprechende Stück zn finden, würde man blos die beiden Punkte Ap-\
und Ap mit ihrem sphärischen Ceiitrum Mp zu verbinden nnd diese
beiden grössten Kreise zu verlängern haben, bis dieselben den Polar-
kreis bezüglich in den Punkten ^'p-i nnd A'p schneiden. Alsdann
ist der Flächeninhalt des Dreiecks A^ZAp-j gleich

271 ^- arc Ap—i A'p,

und erübrigt uns sonach blos noch die analytische Einkleidung diäsei-
Ergebnisses.

5) Chaslcs, S. 2S5.

6) BOklen, TJebor die WinkeUumme ii
(Im SjBteiTis (n) oder ans geodätischen Linii

§. 5. Es handelt sich zunächst um die Bestimmung des Winkds
Ap-iMp-iAp. Verbinden ivir diu beiden Punkte Ap-^t und Ap durch
einen grössten Kreis und nennen den so entstandenen Bogen
liefert zunächst das Dreieck Ap-iZAp die Gleichung

cos« =» COBr^-jcosrp-f-8inrp_iainrpCOs{i'p-i — wp— a)

I

: t'fttr i,.häri>,-:he Gm

273 \

Ist y der geanchtc Winkel Ap-iMp-iAp^ so folgt ans lüeseui Dreieck
sofort

COSir ^ C03*ifp-i + 8in*Äp-lC03y,

niid, mit Rückächt auf die erst« Gleichung,

COarp— iC03rp-]-Binrp— iSinrpCOB{jip— 1 — «"p— 2)— COS*i^— j

sin -Mp—i

C08y =

Wir verbinden nunniehr den Pnnkt Mp mit dem Kugelcentnim JVf J
durch eine Gerade und verlfingem dieselbe, bis sie die Ebene deB.|
Polarkreises in dessen Mittelpunkt M'p trifft. Zieht man noch MA'p 1
nnd M'pA'p, so ist offenbar

/ M'pMA'p = 180"— {90"+Äp_i) -= 90"— Äp-i,

sobald wir nur, was natürlich gestattet ist, den Kngelradiua zur Ein-"!!
" heit nehmen. Das Dreieck M'pMA'p liefert dann

^f'p MA'p) = üin (l — lip^i \ =

Um die Länge des Bogens A'p-iA'p zu finden, bedienen ■
nachBteheuder Proportion:

arc, J'p— 1.4'p : 2.MA'p.n = y: '27i,

und hieraus bestimmt sich

a.rc.A'p-iA'p = MÄ'p.'/.

Führen wir für MA'p und y die oben bereuhneteu Werte ein, su finden 1
wir den Flächeninhalt des Dreiecks Ap-i'ZAp

Fp~i ^ 2Jt — a.TcA'p-iA'p=^

cosrp_ico3r«+sinrp_isin!-BCoa(!'p-i— fp-s) — -coi^Rp-i 1

deinzofolgo ist der Flächeninhalt des ganzen Polygons
i^= £Fp-i = £ 231- — coBÄp-iarccos

CQSrp-i COETp -|- sin rp-i smrp C03 (gp~i — i'y-g} — C0S^-Bp-i "[

Bm*iep_i J*

Sollte der Kugelradius nicht 1, sondern eine willktirüche Grösse q
sein, so würde man den rechtsstehenden Ausdruck einfach mit p* zu
■multipliciren haben. Die Formel hat den grosaen Vorteil, dass in
täß Mg solche Werte eingegangen Bind, welche zur Bestimmung des

Gänihei

Ueler pphät

yolygons absolut notwendig waren, dasa sie dorchana keine ttber-
ntUasigea Bestimmnngsstttcke in eich aufgenommen hat. Kor fOr dB*^
Ifall, wo dio BegrenzuDgBlinie teilweiae mit einem Hanptkreise r*3'
biammeuiällt, versagt die Formel, indem alsdann

cos-Rp-i = coa n =

Ksrird; indessen war dies der ganzen Herleitnng nach nicht anders ^
rarten,

Zar ControUo wollen wir den Fläehöninhalt einea kleinen Kng^^
j mit ihrer Hülfe bestimmen. In diesem Falle haben wir

BD setzen und von der obigen Summe nur wn einziges Glied zn at»
inen. Wir erhalten so ^B

— coBÜarccoB-

8in»fi

= 2je(l — COBÜ),

1 Kesultat, welches sich auf andrem Wege leicht verificiren li
Senn durch unmittelbare Integration findet man

-ff'^

rdrrfn = 2»{l— COB-B).

iznm Schluss sei noch bemerkt, dass auch diejenigen Fälle, wo cisiui-
3 Begrenzungalinieu anftxetfin, sich dnrch ein ganz analoges Jtäi'-
lonnement erledigen lassen.

ni.

§. 6. Wenn die Teilnahmo der neuesten Zeit sich den Problenan
' der Photometrie nicht in dem Masse zuwandte, wie es das hohe Ö"
teresae dea Gegenstandea an und für sich erwarten lassen könnte, so
liegt der Grund hiefür wol hauptsächlich in dem Umstände, dasa die
theoretische Behandlung hieher gehöriger Fragen nicht mit demselbö'^
Rechte, wie in manchen andren Zweigen der mathematischen PtyaiB
auf unmittelbare Bedeutung für die wirklich stattfindenden VerhSlt"
niase zu rechnen hat Jeder Versuch, die Analysis auf derartige A"**
gaben anzuwenden, muss notwendig das von Lambert') aufgeBteUW
Grundgesetz zum Ausgangspunkt nehmen, und dasa dies Geseta nio'*'
allein keineswegs ausreichend sei, Bondem sogar an gewissen inMW^'

Günther: Ueber iphSrkche Cunitn.

^^i«ioraprUchen leide, hat Zöllner^) zur ETidenz dargclan.
I'i^s'voii ganz abgesehen, wird man den auf LamberfsFundaraontat^^
"*^'^*i-«l sich stützenden Entwickelnngen vom rein mathematischen
Stajx^pmijjte g^yg il^.p Berechtigung nicht absprechen können, imd zur
"it^rauchung der Erleuchtnngs Verhältnisse in diesem Sinne einige
J*^it:räge zu liefern, soll hier vcrsncht werden.

Es dürfte bei dieser Gelegenheit wol angemeasen aein, auf den

'^-'-öJ-gen Znsammenhang hinzuweisen, in welchem die Photometrie mit

*-^«i:»-en mathematisch -physikalischen Disciplinen steht. Die zwischen

"■^■■i Hauptsätzen der Erleuchtungslehro und jenem der Potential-

**-*S©rio obwaltende Analogie hat neuerlich v. Bezold") zum Gegen-

^"'-^»Ade einer interesaanteu Untersuchung gemacht. Femer scheint

öttci^ die Tatsache, dass ebenso wie ftlr die Photometrie so auch für

"^^* üektrostatik das Princip der sphärischen Abbildung Platz greift'"),

^'**-^r eingehenderen Berücksichtigung wert zn sein. . j

Dies Princip besteht bekanntlich darin, dass mau, wenn es sicbl
"'^X die durch eine begrenzte leuchtende Fläche auf einen Puukt aus- *■
ft'^tlbte Erleuchtung handelt, eratrer ihr sphärisches Bild auf einer mit
^•^Viebjgem Badiaa um jenen Punkt constmirter Kugelfläche substi-
^^iren darf, so dass also lediglieh die Discussion sphärischer Figuren
Gefordert wird. Im Folgenden wird dann noch stets von der Voraus-
setzung ausgegangen, dass jedem Flilchenelementc die nämliche Leucht-
kraft innewohne — eine Spccialisirung , welche für die Kecbnnng
aelbstverständlich wesentliche Vereinfachungen mit sich bringt und
auch für eine mit den nötigen Cautelen vorzunehmende Anwendung
auf die Praxis ausreichend sein dürfte.

Bezeichnen wir mit E die Erleuchtung, welche eine beliebig ge-
staltete mit homogener Leuchtkraft ausgestattete Figur der Eugel-
fläche auf ein in deren Centrum gelegenea horizontalea FJäclienelement
rff ansübt, denken wir uns femer die Lage eines spliäriachen Punktes
durch Kugelradius (^=1), Zenithdistanz (r) and Azimuth («) fixirt,
so besteht") die Gleichung

,fA

Hier ist J die speciüschc Leuchtkraft, a und b sigd Constanl
gio und Vc werden gefunden, indem man r vermittelst der in
Polarcoordinaten ausgedrücltten Curvengieichung in v anadrückt. Liegt,
wie im Folgenden stets angenommen werden möge, das zum Pol des
SystMua genommene Zenitb im Innern der betrachteten Figur

>t^S

auf die^^l

geht ij)» in Null über; jeder andre Fall läist sich leicht
reduciren.

7J Lsmbort, PholomPtria sivo ilo mcnsurn cl gradibua luds, colornm et
nmbrae, Augsburg 17H0. S. 40.

8) Zöllner, Photometrischo Ünleraiiohnn^n, Leipzig 1865. S. 7. ff.

9) V. Bezold, Einige analoge Sütio der Pholometrie und Aniiehnnga-
lebre, Poggondorlf s Anualcn, Ul. Band. S. 91.

10) KÖtteriCzach, Lehrhbnch der Eiefctrostalik, Leipuig 1872. S. 270.

11) GüQthor, Studien Kur theoreliöchen Photometrio, Erlangen 187S,
S. 6.

g. 7. Dem Obigen gemäss verlangt jedes Problem der Photo-
metrie zu seiner Lösung die Auswertung eines Doppelintegrales, und
in der Tat sind sämmtUche bisher in Betracht gezogene Aufgaben auf
diesem Wege gelöst worden. Allein eine genauere Betrachtung der
obigen Formel wird zeigen, dass man in manchen, und zwar gerade
in den für die Praxis wichtigsten Fällen, den Integrationsprozeaa ent-
weder ganz umgehen oder doch vereiniachen kann.

Wir geben zu diesem Zwecke onsrem Doppelintegrale die Form

'//'

und erkennen sofort die Kichtigkeit folgenden Satzes:

Soll die durch eine sphärische homogene leuchtende Fignr aof
das Centrum der Kugel ausgeübte Erleuchtung bestimmt werden, so
bilde man ans jener Figur durch eine Aehnlichkeitstransformation des
Verhältnisses 1:2— das Zenith zum Aehnlichkeitscantrum genom-
men — eine zweite Figur und berechne deren Flächeninhalt. Der-
selbe, noch mnltiplicirt mit dem eonstanten Factor iJdf, ist gleich
der gesuchten Erleuchtung.

Wir können diesem Satze jedoch auch folgende Fassung geben:

Die durch zwei sphärische Figoren auf das Centrum ihrer Kugel
»uageübteu Erleuchtungen verhalten sich wio die Ton 2™ subtrahirtoi
UmfäuBi-' der Polarfigui-ea jener Figuren, welche man i
AohnlicUkeitstrausformation dpr bezeichneten Art ans den e
1^ guhildot liat.

bpiel der Anwendung dieses Satzes möge die Bestimmiacx.'i
^ng einer voUeu Zone dienen. Es sei AB (Fig. 3) *_ «
^seiu Centmra; wir snchen einen Ausdruck für dielicl

( subtrahirtoi
i durch ^H^l
n Grstgen&g^^l

menge, welche 'ein in Af befindliches Element df von der homogen
leuchtenden vollen Zone CD zugesandt erhält. Wir machen vom'J

Zenith Z aus ZC = ZD' = 2ZC = 2ZD und C E=:'^. Legenwir
Htm in E einen Parallclkreis EF durch die Engel, so ist die Ei^än-
znng von dessen Umfang zn 2w proportional der gesuchten Er-
leuchtung.

Wir ziehen ZMani verlängern diese Gerade bis zn ihrem Durch-
schnitt G mit EF. Bezeichnen wir dann den Bogen CZ mit R, so
ist, da die Engel wieder den Radius 1 hat,

Der umfang des Kreises EF ist gleich

2EG.K = 2mcoB2Ä,
and somit die Erleuchtung der Calotte CD

E = }J-<i/'(2jt — 27tcos2ie),
E = Jdf%\n^R,
also das bereits anderweitig bekannte '^) Resultat.

12)1

!r, GrundzOge des pholomilriscben

§. 8. AUgemein gesprochen, würde der Vorteil, den das zuletzt
angedeutete Verfahren mit sich bringt, darin bestehen, dass eiu Dop-
peUntegral auf ein ein einfaches reducirt wäre. Es ist dies zwar
auch direct möglich, indem ja

p y^9in2rrf(2r)'fc= - ^(c

ist; allein die hier nötig werdende Substitution kann möglicherweise .
eiüB so missliche werden, dass es sieb ampfiehlt, diese Reduction auf
^■Deia andren Wege vorzunoiuncn. Auch deshalb wird diese andre j
"erieitnng nicht ohne Interesse sein, weil es die Löanng eiaes wenig- •
•^8 anscheinend noch nicht allgemein behandelten Problems in-

r

^

aso

Günihf

: Ueb,-

^phSrisdie Curvtn.

1

Unare Transform
tuiil PS ist somit

ationsglciL

Imugcn

ergeben uns

1

Carvenbogens dem

die Läng

iü'rd«
eines

Integrale

/i/{ir+^''

KloichnuBotzoii. Hier sind uun noch die Grenzen den Bedingungen
der Aiifgalio gemäss zu bestimmen.

Zu diosom Zwecke müssen wir durch die Pnnkte (r-i, Vj) und
()-j, u^) Normalen au die erste Curve legen, d.h. grösstfi Kreise, welche
»uf den BerttUruBgakreiBea in jenen Punkten senkrecht stehen.

lÜH sei uun I'j das Azimnth eines beliebigen Punktes der Polar-
rnrvo; «cliroilien wir dann die Gleichung dieser letzteren in folgender

Sil ist auüb die ungehörige Zenitbdiatanz jtiies Punktes sofort durch

gegeben. Verbinden wir diesen Punkt mit (ri,i;i), ao läast sich die
I.Bngo des so' entstandeneu Bogena unmittelbar aus der Gleichung

- cosö^coBJ--[COs J"v-,-|-sinrjainii"F,COs{rj — uj)
ontuohraen. Damit aber dieser Bogen einem Normolkreise angehöre,
muss notwendig * =^ n s*''°i f^'' ™ir erhalten so für F^ die Be-
Htimniungagleichung

COS(ri — Ci) = ^COtrjCOtfv,,

aus welcher sich

Fl = Ji:(r,.t,) = X,,

berechnet. Ganü ebenso ergiebt der Punkt (ra,!-^) einen auf der Po-
larcurye ihm entsprechenden, dessen Azimuth

ist, und wir finden so die Erleuchtung unseres gemiachtlinigen Drei-
ecks gegeben durch den Ausdruck

[ ecke

^^^^ Ulemit ist also ganz allgemein die Aufgabe gelöst, die Erleuch-
luug eines Vielecks zu bestimmen, dessen Perimeter aus Bögen bo-
Uiihigiir sphärischer Curven zusammengeaetet ist.

iJdn2K- f |/(^')' + sin^J^'.rfr).

GünfkfT! Zur mathematischen Theoriif dtn Sdiad'br

Znr mathematischen Theorie des Schachliretis,

niind Günthc

§. 1. Die vorliegende Mitteilung betrifft ei» Problem, welches, ,
"Wenn auch ursprünglich von einem Schachspieler ausgehend, gleich-
wohl bald als ein mathematisches anerkannt wurde und, wie wir so-
fort sehen werden, einen der ersten Mathematiker unsrer Zeit zn
eingehendem Studium veranlasste. So wertvolle Resultate aber auch
die Bemühungen dieses wie andrer Gelehrten für den speciellen dem
Schachtreu]id wichtigen Fall ergeben Laben, so ist doch eine allge-
meine für jedes beliebige Schachbrett von n^ Feldern gültige Lösung
anscheinend noch nicht gegeben worden. Das Problem ist folgendes;
Es sollen auf einem solchen Brette n Dameu (Königinnen) ao auf-
gestellt werden, dass keine derselben von irgend einer andren ange-
griffen wird, reap. dieselbe angreift. Ehe wir an die Lösung selbst
gehen, wird es sich empfehlen, einen historisch- kritischen üeberhiick
aber die bisher angestellten Anflösnngsversncho vorausgehen zu lassen.

Die erst« den Mathematiker inf«ressircndo Andeutung über nnsro
Aufgabe finden wir in einem Briefe von Gauss an Schumacher').
Gauss bemerkt hier, der Angabe des Problemstellers (Nanck) zu-
folge lasse dasselbe 60 verschiedene Auflösungen zu; er selbst aber
finde deren 76. Nach einer kurzen Antwort Schumacher's in
dessen nächstem Schreiben*) berichtigt Gauss weiterhin 3) sein früher
angegebenes Resultat dahin, dass nicht 76, sondern blos 73 Lösungen
mögliuh seien — ohne jedoch eine Garantie für letztere Zahl zu über-
nehmen. Dabei findet sich^b^eite folgende wichtige Notiz: „Die 72

'Z*i2 Uäulhtv. Zur rualliaiualUdien l'kcarU des SchachhretU.^

AuflAtangou rcducireu »ich Ubrigeus aaf nur 9 wesentlich versdiie-
lieufi, iiiduiii jede AuflÖBung 8 Variationen repräaentirt. Es gehen
uAmliuL ifuurat aus jodor Auflösung durch Drehung um 90*, 180*,
270", oder, vias dassulbe ist, iudem man der Reihe nach jode der
IJiiadrateuitvil unten otellt, 3 andere hervor; und jede dieser Äuf-
laaungen Uefort iu ihrem Spiegelbild, oder waa dasselbe ist, auf der
IlttcIuKltn dc8 Papiers eine neue." Es kann einigermassen Wunder
ttebnioD, üiiflB Gauss hei seiner so Überaus klaren Auffassung der
KiKunart doii FroblomB gleichwohl eine ganze Serie von Aoflösongen
total übcntah.

Dil» Antwort Schuraacher's*) sucht einige neue BeitrSge zu
lltirtini, ohne dass ihm dies jedoch besonders gelingt. Seine Methode
\»\. noch ein reiu mechaulsches Tasten, dessen Resultate nicht be&ie-
ilige» können, So kuinmt der Verfasser beispielsweise nicht zur Klar-
heit darüber, ob dio Dame auch eines der Eckfelder des Quadrates
«luuiihuien dUrfe, was noch auf eine gewisse Beschränktheit der Auf-
fassung hilldeutet. Denn hstte er sich entschlossen, statt der com-
lillvirtfm Verhtlltnisse dos 64feldigen Schachbrettes ein einfacheres,
iilwa dait von '2» Feldern, iii's Ange z\i fassen, so hätte sich ihm ganz
uuinittt'lbiir die Thatsacbe ergeben, dass eine solche Stellung sehr
wohl mOgUch sei. So sind denn auch seine Zahlen, IfiS oder 130,
idiue eigentlichen Wert; er mag dies wohl selbst gefühlt haben,
doiiu In einem Postscript*) sagt er hierüber: „Indem ich wieder das
Solmuhluoblem Überdenke, werde ich besorgt, dasa in meinen Schlüssen
KtwM vorausgesetzt ist, was vielleicht nicht stattfindet."

I) Brierwechsel iwischen C. F. G&urg und H. C. Schumm

HU>e«e- '

, 6. Bund, AllOtiB 1965. S. lOf

s) ibia. s. 110.

3) IbiJ. S. IIS.

4) Ibid. S. 113.
B) Ibid. S. 115.

§. 2. Bis hieher kann von einer eigentlich theoretischeo ]
liaudlung der Aufgabe noch nicht die Hede s^n: von jetzt an t
dioBolbe iu ein anderes, hüheres Stadium. In seinem nächsten £
hüi'ichligl Gauss zunächst die oben angedeuteten Fehler Scjy
inacher's und führt dann an, dass einer Mitteilung Nanck'a a
folge es imtiauzeu 92 Lösungen gebe. Gauss hält zwar auch i
Anzahl noch fOr eehr zweifelhaft, und in der Tat stehen ihr k
otgeuüicheu Ortiude zur Seite; indes wissen wir jetzt, dass sieil
der Tat die riuhtige ist. Hierauf sucht Gauss die Au^abe in 4
uiathematiHcheB Gewand zu kleiden; seme Worte sind folgende:

Gänlhtr, Zw m<illi':mati,i:hi'\ Theorie des Sckachhretls.

,JKe Aufgabe Iftsat sich ao aussprechen. Man soll die
Zahlen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 in eine solche Ordnung bringen,
1) wenn mau der geordueten Eeihe uach sie resp. um 1. 3. 3. 4. 5.
6. 7. 8 Tergrössert, lauter ungleiche Summen hervorgehen; i) dass
auch, wenn man der Reihe uach 6. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 addirt, lauter
ungleiche Summen erscheiuen. Es sind z. B. ^ese Snunnen bei Ai

•2. 7. 11. 10. 8. 13. 9. 12 oder geordnet 2. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
alle ni^leich; und 9. 12. 14. 11. 7. 10. 4. 5 oder geordnet 4. 5.
9. 10. 11. 12. 14 aUe ungleich.

Das Tatonuirou ist nun sehr leicht. Z.B. ich versuche den An-
fang 1. 3 zu completiren. Tormöge jener zwei Bedingungen

wird in der dritten Reihe nicht 2 und nicht 4 stehen dürfen, also
nur 5. 6. 7 oder 8. Es müssen also die Anfänge 1. 3. 5..., 1. 3. G...,
1, 3. 7..., 1. 3. 8... durchprobirt werden. Ich fange an mit 1.3. 5.
Vermöge jener Bedingungen darf am 4ten Platz nicht 4 und nicht 6
stehen. Es bleiben also blos übrig 2. 7, 8 oder es sind durchzupro-
i)iren dieÄuföugo: 1. 3. 5. 2, 1. 3. 5. 7, 1. 3. 5. 8. Ich fange wieder
an mit 1. 3. 5. 2, wo in Folge jener Bedingungen am Öten Platze
nicht stehen dürfen 6 und 7. Es bleiben also blos die Anfänge;
1, 3. 5. 2. 6 und 1. 3. 5. 2. 8. Die Berücksichtigung obiger Bedin-
gungen ergiebt, dass bei dem Anfange 1. 3. b. 2. 6 auf dem 6ten Platz
4. 7. 8 nicht stehen dürfen. Es fällt also auch dieser Anfang weg.
Der Anfang 1. 3. 5. 2 ist also überhaupt unzuläBsig. Eben so ver-
ehrt man mit 1. 3. 5. 7 und 1. 3. 6. 8, die beide sich als unzulässig
erweisen. Es ist folglieh überhaupt der Anfang 1. 3. 5 unzulässig
lind man wird ebenso 1. 3. 6, 1., 3. 7, 1. 3. 8 durchprohiren.'

Es ist nicht zu leugnen, dass die hier gegebene Vorschrift vi
hältuissmässig schnell zum Ziele führt; dagegen wird man aber auok^
gestehen müssen, daes sie die grüsste Aufmerksamkeit erfordert. Es
ist eine ganz combiuatorische Operation, bei der successive alles un-
taugliche ausgeschieden wird, etwa in der Art des Siebes von Era-
tosthenes. Ea wäre nur noch nötig, sie dahin zu vervoUkomumen,
dass bei ihrer Anwendung gar keine besondere Genauigkeit mehr
nötig, vielmehr das ganze Tatonnement völlig mechanisch wäre.

Es ist wohl natürlich, dass der Gründer der lateralen Zahlen-
Auffassung auch auf diese Aufgabe die geometrische Darstellung der
complexen Grössen anwandte. Er fährt fort: „Am elegantesten iat
e», die Sachen so einzukleiden, dass sie den complexen GrTössen an-
gehören. Es heisBt dann, man soll 8 verschiedene complexo Zahlen
finden o-f-6t, so dass

]

. 5.
.ass
iter

1

284 Gäntkür: Zur ma'heinnlisiihen Thenrie. liea Sc/iachbrel

1) sowohl a äis b eine der 8 reelleu positiveu Zahlen 1. 2..J
4. 5, 6. 7. 8 bedeutet,

2) dass jeder Wert von a nur Einmal vorkommt, und ebf
jeder "Wert von b,

3) dass die Werts, welche a-\-li bei jeder jener complesen i
len erhielt, ungleich Bind,

4) das8 ebenso die acht Werte von a^b ungleich a

Es lässt sich dann der Zusamnicnhaiig der 8 zusamiaongehörigcn
Auflösungen zierlich so vorstellen:

/ a-\- bi

durch Stellung l A-|-(9 V

«.f die 4 Quadrat- ;.

seilen. I I V /

Man kann auch sagen, ist Eine der complcxc
juncte n', so sind alle S Variationen

Vergl. Theoria Residuorura Bi^nadraficorum, Comm. secunda art. 31."

Die Fragestellung hat hier allerdings einen hohen Grad voa Ele-
ganz erreicht - — ob aber durch dieselbe die eigentliche Lösung
wesentlich gefördert wird, dürfte zn bezweifeln sein. Auch hier wird
die Behandlung praktischer Fälle anf ein Frobiren hinaustanfen , bei
dera nur die höchste Genauigkeit vor Fehlem sichern kann.

Die Art und Weise, wie G aus s auf seine Regel kam, geht aus
seinen Angaben niclit direct hervor; Schumacher suchte sich die-
selbe klar zu machen und drückt ') das Resultat seines Nachdenkens '
mit folgenden Worten aus: „Die willkürliche Versetzung der Zahlen
1 — 8 drückt die Bedingung schon aus, dass keine Dame die andere
als Thnnn angreife. Die Addition niit 1, 2, 3, , ... 8, dass keine Dame
dio andere in absteigender Linie als Läufer angreife, die Addition
S. 7, 6, ... 2, 1, dass dies nicht in aufsteigender Linie geschehe, wenn
uAmlich bei neuer Addition gleiche Sununen vorkommen. Kommen
*Mch(^ Summen vor, so weiss man unmittelbar, welche Damen sich

LAnfcr angreifen." Hiemit schliesst die Correspondena

^^^LJ

Diese Bemerkung Seh nm ach er 's triflrt den Kempnnkt dßr Frage.
Die Zerlegung der Gesammtaction einer Dame ia vier, reap. zwei
Einzel-Actionen — eine ungefähr der Kräftezerlegung entsprechende
Operation — ist es, woranf es hanptsäcblieh ankonmit, und auch
unaere LöBnng des Problems wird im Wesentlichen darin bestehen,
die Identität dieser Aufgaben mit gewissen bekannten mathematischen
Theorien darzutuu.

Änmerkang. Die von Ganss (s. o,) angezogene Stelle isl
folgende :

„Producta terna cujuslibet numeri complexi per — j
-|-', — i illius sodos yel numeros Uli assodatos appeilaM-
mu9. Excepta itaque cifra (qnae sibi ipsa associata est),
sempor quaterni numeri in aequalca aseociati sunt.

Contra uumero complexo conjunctnm Tocamas enm, qui
per permntationem ipaius i cum — i inde oritur. Inter
numeros imaginarios itaque biui iuaequales semper cou-
Juncti sunt, dum nnmeri reales sibi ipsi sunt conjnncj
siquidem denominatioaem ad hos extendere placet.

ist^^—

6) BricfwechEcl von Gai

7) Ibid, S. läO.

§. 3. Von deutschen Mathematikern scheint sich nach Gau
nur ein einziger, Natani, mit unserem Probleme beschäftigt zu
haben. Er erwähnt unserer Aufgabe als einer solchen, welche mit
dem bekannten Rösselsprünge Aehulichkeit habe — eine Analogie,
die jedoch wohl lediglich in der Schwierigkeit beruhen dürfte, Fragen
dieser Art mathematisch zu behandeln.

Hatani formulirt die Aufgabe so*): „Es sind acht Felder ge-
geben, deren ReihenfölgOi durch eine darüber geschriebene Zahl an-
gezeigt ist, welche wir Ordnungszahl ne.nnen. Es soll in jeder der
acht Felder eine andere der ersten acht natürlichen Zaiilen derart
geschrieben werden, dasa die Differenz zweier darunter nicht gleich
der Differenz ihrer Ordnungszahlen ist. Steht also im dritten Felde
eine 4, so darf z. B. im fünften weder eine 9 noch eine 2 stehen,
weil 4—3 = 6 — 4 — 5—3 ist."

Aus dieser Formulirung geht atsdaun fönende neue hervor:
„Man kann aus einer Auflösung sieben andere gewinnen, iudem man
1) die Ordnung der Felder umkehrt, 2) statt der Zahlen in den Fel-
dern ihre Differenzen von 9 nimmt, diese ist dann wieder umzukehren,
so dass man jetzt vier ZaMenreihen bat, 3) endlich kann man in jeder

I

r Zar mathematischen Throne des Schachbr

trisch in d^:^^|
i gehen Deter-^^H

Die von uns verwandte Diagonale ist negaüv-orthosymmetrisch
IndiceB, positiv- orthoaymmetrisch in deren Trägern.

11) Hankul, Ueber eine beiondece Clossc der symmetriaclii
minanten, GOtÜDgen 1861. S, 4.

§. 5. Die vorstohende Regel ist an nnd für sich klar. Die Mög-
lichkeit des Thurmaugriffs ist von voruherein dadurch aasgeschlossen,
dasH jede Combination aus einer Determinante reauUirte; der Ausj-
schluBs doppelt oder mehrfach vorkommender Bnchstaben verhindert
die Läuferwirkung parallel der schwarzen, der Auascliluss mehrfacher
Indiccs die Länfcrwirkung parallel der weissen Diagonale (sobald vrä
das Schachbrett von 64 Feldern zu Grunde legen). Die Operation
des Eliminireus aller unstatthaften Verbindungen hat eiueu möglichst
hohen Grad von Einfachheit erhalten, und die Daratcllong aller über-
haupt zur Prüfung kommenden Verbindungen ist ebenfalls eine rein
mathematische Aufgabe einfachster Natur. Köuute freilich die
Auf lüsung einer Determinante nur dadurch geschehen , dass man
im der Weise der Eieraentarvorachriften verfilhre, so wäre nichts
wesentliches gewonnen; der Fortschritt gegen die Behandlung von
Gauss hegt aber wohl darin, dass man die Borectmung oller Glieder
einer Determinante durch successive Zerlegung in Unterdeterminanten
auf ganz mccbaniseho Weise ausführen kann, ohne dass dabei das
Uebersehen irgend eines Gliedes denkbar ist.

Auf eine andre allerdings naheliegende Frage soll hier nicht
näher eingegangen werden, auf die Frage nämlich, ob sich für die
Anzahl der möglichen Lösungen anf dum allgemeinen Schachbrett von
«^ Feldern ein indepeudenter Ausdruck gewinnen lasse. Obwohl diese
Aufgabe sicher nicht zu den unlösbaren gehört, so zeigen doch schon
die bekannten Formeln, mittelst deren man die Anzahl der 2, 3 . ..p
Diagonaltermc enthaltenden Glieder zu bestimmen vermag, wie unge- -i
heuer complicirt die Ausdrücke bei diesem ähnlichen, aber nngleid
verwickclteren Probleme sich gestalten müBst«n.

§. 6. Es mögen nun für einige einfache Fälle die wirklich am
gerechneten Lüanngen folgen. Man hat für

! Verbindungen:

'■ malhtmalUcItm 77trorit de* Scharhbretli.

ElammerQ wir alle diejenigen Combi nationen ein, welche tin9rer*j
Bedingung nicht genügen, su m&saen wir dies hier mit allen 1
d. h. das Schachbrett von 9 Feldern läast gar keine mögliche Std-
long zu.

Greht man einen Schritt weiter, bo hat die Determinante

da i, as Cfi I
die Glieder:

ifi h H ff 4> (A 64 H %) (A «t, «-V <"^ % "0 <H 9d (fi "B "i «.) (ft "< '^ "*>
Hier haben wir also die beiden Lösungen

Die Determinante

ü

«äf^» nnd (/gfsÄjCg.

I f 1 c» ea 34 ta |
ia «3 "4 "5 ffe
<7j A4 05 Cg Oj

A5 /b 'h S« «9
liefert nachstehende Ghcder:

[a^a^a^a^a,} (ogaibiC^a,) (agrtaSa^jtt?) (ageaCitisaT) (oge^h^h^a,) (.a^ego^dga,)

a9dsa,ciCe)(ajci5aie6«5) agdie^l^Cg (ag'fjejei"^) (osdfiSiSjOs) (MsSf^i'O
;a(,/4*4C4?4) (ogA^i^^a) ("B/iOsCses) (<^4«i«affi) ("sA'^sas^) (V4''6'^''4)
;t8(r,03ä5C^) (680^03*687) (tgtijCjVs) ia^iMfi«? (äsf^eSA) (Sa'hffB'ts'^s)

[BgesJjSjCg) (ftee^Sjeidg) (bi^e^a^dsCg) (68^30367/4) (hOs3e'k^5) (h^sSehfJ
{6Rh'>i''t,'k)i!>g,k!,a^be) (6a^6<^06/4) (hhot^id^) {f'sh<'il'ift)
;«ifaiaaCBi-g){d,ffi,a86,a,) cf^OiB^Sj*^ (iljaie^ejd^) {•^ai96**<^)('^»i3ß''6<^B)
;dTej6j(;bC8} ((^jCgSaeja,) (rfsCBesf/jC^) (diCie^e^f^ (djCsged^a,) {djCgP6ea'4) ,

'.d,k^,bgb^a^)(d,kl^t«litli^ ('^*b"3'^'»t) MsfliCe/t (d7*B«a'^^) («^Vs*«/*) '.

Tiil LTI.

290 Gäalken Zur mathemalUchm Theorie da SehaehbitUl.

(/6'^'h<'*''e)<.f6'^s<h«b''i)(/e<h>^h<^a) (A'^»ae^<h) A>^i''a<*s (fe^fSie^d^)
(/sOrrtjC^e,) (feOjd^sai,) (/gO^esSgeg) IfeOr'sas'ia) (/b«? V*«s) /e<^h<'i^
(fe,ha,e^e^) (fBh>hge''B) ifJ'äSA'i) (/s^offiffB^) iAhh^^e) f/oM5«fl^J
ifBfiea%^){fe,h^6<'6) (/e/iffic««,) {ftfta^i'>'b)iUfih<^iPs)(ffJJ'bHH)
{h^dffi^e^f^) (ÄsrffiejffaCe) {Asrfjj^Cjei) {h^d^^^a^) {hr^d^ktCfCe) (h^d^&e^a^)
(As^6'^«6«j) (hh^aePs) h^eSifh,^ ihl'tQmh) (hh/^b^iee) (*A*6<6**)
(ÄjOjCjC^A,) (Ä5(i,csg6''s) (As°7«»"3®i) ^st^T^e** ih'hh'h<^) (.K'h''B<'tPt)
(hcc^c^c^e^) (Aö«s'^3*5"5) (*5''a''3°3'^c) (AflCgeaeaS,) (AjCjijjOjag) (A6e8g'4e4J4)

Es bleiben una sonach für das Schachbrett von 25 Feldern die

10 SteUnagen

ngijCieGdj; ogi^^^Ce-, igOiCtdefl,; ftg^^JaOis/«; tfrOtäsA^^«

'^fciOs^Ai /8''8fft*»"6i /«»i^ö«**^) ÄB*(iy*'«s«i; Asor^ffs^
Man erkennt sofort, dass es nicht nötig ist, alle nl Gliedert
Determinante wirklich hinzuschreiben ^ ist «^ eine ungerade Zahl,
wird man hios die ersten

.)!g+l)

Glieder, im andren Falle, also z. B. beim gewöbnlicben SchachbiC
blo3 die ersten

zu berechnen haben, wie sieh dies aus Symmetrie - Gründen soforl^
ergiebt.

Anmerkung. Wendet man dies Verfahren auf das gewöhnliche
Schachbrett an, wobei allerdings dem Obigen gemäss

1^-1^-20160

Glieder auszurechnen sind, so ergiebt sich die Anzahl von
92 Stellungen. Diese Zahl 92 steht hier mit der ZaW 8
in einem eigentümlichen Zusammenhang, welcher sich merk-
würdigerweise auf einem ganz andren Gebiete wiederfindet
Es bat nämlich Lüroth '^) durch eine ncbwierige Abzahlung
gefunden, dass 8 im Räume willkürlicb liegende Gerade
von 92 Kegelschnitten geschnitten werden. Sollte dies anf
eine wirkliche innere Analogie beider so verschiedcnart^er
Probleme bindeuton?

IS) LOrolh, Ueber
e. ichneiden, Boi

GänCher: Zar malhemati'sdieii THeorir. rfe» Schadtbretli.

§. 7. Die vorliegende Methode hat den Vorteil, dass sie sofort
eine Anwendung auf drei Dimensionen gestattet. Die Aufgabe würde
sich liier so formnliren laeson.

„Gegeben sind n^ einen Würfd erfüllende Punkte, es s(
n^ Punkte von der Beschaffenheit angegeben werden, dass,
wenn man durch jeden dieser Punkte ein rechtwinkliges
Axensystem parallel zu den "Würfelkanten legt, sowie noch
ein zweites, durch Drehung um 45" aus jenem eratfin her-
vorgegangenes, keine der 6 durch einen der n* Punkte
hindurchgehenden Linien irgend einen andren dieser Punkte

Um diese Aufgabe zu lösen, bedienen wir ans einer sogenannten
Kubischen Determinante. Wir setzen fest, dass sämmtliche Terrae,
deren Verhindungslinie einer beliebigen Diagonale parallel läuft, den
nSmlicfaen Buchstaben aufweisen sollen; alle die, deren Verbindungs-
linie resp. der zweiten und dritten Diagonale parallel ist, bekommen
bezflglich den nämlichen oberen und unteren Index, so dass also der
allgemeine Ausdruck eines Terms der Determinante

sein würde. Die Regel ist dann entsprechend folgende:

„Man bilde alle Glieder der cubischen Determinante und
sondere daraus alle diejenigen aus, welche den nämlichen
Buchstaben, oder den nämlichen oberen und unteren Index
mehr als einmal enthalten, der Rest liefert sämmtliche Lö-
sungen, deren die Aufgabe fähig ist."

Um die Entwicklung einer cubischen Determinante zu bewerk-
stelligen ist es nötig, den Satz von der Zerlegung quadratischer Deter-
minanten anf solche auszudehnen. Bei der Normalform

I

solcher Determinanten werden die ersten Indices als fest betrachtet,
die zweiten und dritten permutirt. Dies empfiehlt sich nicht für
ansre Zwecke; vielmehr schlagen wir folgenden Weg ein. Jeder
Term der Determinante kommt in den entwickelten Gliedern M^mal
vor; darans ergiebt sich aber sofort nach dem Gesetz der Homo-
genojtät, dass man all die Glieder, mit welchen ein beliebiger Term
mnltiplicirt ist, finden kann, wenn man alle die Terme, welche auf
dem durch jenen Punkt gehenden Axensystem liegen, anslässt und
allen übrigen eine Determinante (n — l)ten Grades bildet, die

CCntA.

; Zur mathanatiichen TTitorit det Sdutehbr^lU.

sonach (n— 1)^ Elemente enthält Sonach entspricht dem Zerfällen
einer gewöhnlichen Determinante in Minoren nach den Elementen
ÜTter beliebigen Horizontal- unci Terticalreihe die Zerlegung einer
Bolclien Determinante in cnbische Unter- Determinanten nach den
Elementen eines beliebigen einer der Coordinatenebenen parallelen
Quadrates. Das Vorzeichen jedes Gliedes, welches einer besondren
Untersncbung '^} bedarf, ist für nnsre Zwecke natürlich gleich-
gültig.

IS) Armcniinte. Sni dBlerainanti cabici, Batlsglini, Giomsle, G. VI. S. 17J.

Bemerkungen Ober CjUnder-Fnncdonen.

j. 1. Die bekannten Transscendenten, welche man mit dem Namen
der Cylinder- oder auch FoQrier-Beasei'schen Functionen za be-
zeichnen pflegt, zeichnen sich durch die reiche Fülle von Eigenschaf-
ten ans, welche man durch einfache Transformationen aus ihrer Defi-
nition abzuleiten vermag. Als Beleg hiefür kann tot Allem die von
Lommel 6ber diesen Gegenstand veröffentlichte Schrift gelten, nnd
an sie schliesst sich im Wesentlichen auch die vorliegende Arbeit
aa, iKBofem dieselbe einige dort mehr gelegentlich angefahrte inter-
SBSante Relationen weitor zu entwickeln beabsichtigt. Insbesondere
Mbeiut die EetteubmchdarstellTing der Cyl Inder functionen eine etwas
taolirte Stellang einiranehmen, w&hreud im Folgenden gezeigt werden

, dasB auch an ifiese siith weitere Polgerungen afdtnttpfAn l

fen lasB^^^

Setzt man in bekannter ^

f'

-■ yi-2T(,-H)

> ist nach Lommel') der Quotient

2(H-2) -

2 {«+3) -

Wir stellen nna non die Änfgabe, den recbtsstebenden Ketten- -<
brach, ohne Rücksicht auf seine Entstebungsweise , zu :
Hiefür bietet sich ans sofort eine elegante Methode dar; diejenige
nämlich, vermittelst deren Spitzer für verschiedene unendliche Ket-
tenbrücbe die independenten Summeu- Ausdrücke zu finden lehrte. Um
jedoch im gegebnen Falle den vollen Nutzen aus diesem Verfahren
zieben zu können, ist es nötig, dem Eettenbruche selbst eine etwai :
andre Form zu erteilen.

Mit Anwendang der Determinantenbezeichnni^ erhalten

and durch ümkehrimg dieser Brllcfae

Schreiben wir den rechtsstehenden Determinanten- Quo1ieut«n viedw 1
Als Kettenbmd

Günther: Bemerkunyei

1

nnd dieser Kettenbrocli gestattet nun ohne Weiteres die Anwendung
der Spitzer'sclien Methode.

Ist if. der Wort

utiBereB Kettenljruches, so

besteht

■) die Eelatit

*. -

■ 2(.+l)-

Dim;ta die Substitation

*. -

/■ffi' **^

/.n

d

folgt hieraus weiter

■^

= 2(W-1)-

Ml

j dasa CS also scliliesalich aof die Auflösung der Functionalgleichul
«V.+2-2(«+l)/.+i+/. =

Anmerkung. Man erkennt nun auch, weshalb die ursprt
liehe Form des EettenbniclieB nicht zum Ansgangspui
genommen werden künnte. Man würde hier nämlich <:
die angegebne Substitution auf die Ctleichuug

geführt worden sein, und diese wUrde, entwickelt geschi
ben, der die Anwendung des Spitzer'schen Verfahrens l
dingenden Eigentümlichkeit entbehren, keine zwei / i
einander mulüplicirt zu zeigen.

1) Lommel, Studien fiber die Besel'schen Fuuclioaen, Leipzig ISGSs
fi.
!) Spitier, DariteUung des unendlicbon Kettenbruubs

^2x+5-\

■Dl, Gn

30. Teil. 8. 332.

eriuiije;! über Ci/li'iiler/unclioaeii,

§. 2. Znr Auflösung jener Gleichung bedienen wir uns eines^
dem Spitzer'schen consequent nachgebildeten Ganges. Wir b€
zunächat ^)

„-woselbst qor eine, einstweilen noch nnbestimmte Function von r
deutet, und X eine conatante Zahl ist, die nach verrichteter »maliger
Differentiation von gir in dem so erhaltenen Resultate für r gesetzt
werden muäs". J

Auf entsprechende Weise ist nun auch /«-(-i und fv+s auBzii-4
drucken. Erinnern wir uns des Umatandes, dass man diese beiden
Functionen reap. als erste und zweite ünterdeterminanton der obigen
Determinanten des Zählers und Nenners auffassen kann und dasa
wieder jede ünterdetermiuante ein partieller Difforentialiiuotieut der ,
ursprfingliclien ist, so finden wir

f.+i-

pt>"A

und durch Eiugetzaiig dieser Werte in die obige GleictiaDg ergiebü
sich

-<"+K^).+(5')>=°-

Der elegante Kunstgriff, welcher den eigentlichen £eni von Spitzer'^
Methode bildet, besteht nun darin, d^s

'(m = a

gesetzt wird; denn nunmehr geht nnsre Gleichung in die folgende übetfl

(s:[''''"'-2<'— "»"'-^»''+'''4 -»•

und dieser Gleichung zu geuUgen, haben wir offenbar blos die lineoi

Differentialgleichung zweiter Ordnung

aufzulösen.

Die Grösse l ist n

willkürlich-, es hinderl nas also nichts!
= lg»

UHnthnri ü^mm'laMgen Über Cjfimder fkmeti m tm,

M ihilmiif mi wir btkommon so die emfaohere Gleichimg

2r (p'V + yV — 9>r -» 0.
\M viilUtüiitllKts luU^grol i9t uaph Spitzer^)

tfM(( M«( i^^ üImu d^' Wwt ouiros Kottenbruclie»

*•

.i^*t*

(Ci#' +Ci6 )

MtM ^Ui(pl«tt^mi(0 luJ^ iKta^t, dass nach ToDiogiiw DilTereiitioii
«u K\H«vns U( l^uii d\0 wUlktkrlklie ConsiaAla (\z(^im heatimmen^

^

■fr ■'^^^-^^^■^■■~— ■■■ ■« m

- — ■ - ... — . 1 1 ■■■■— 1^1^^^. ■

Falle ebner waaüffi^u, TjidaniuüaciQu rüa =^iiicimucer :äiut unsgämp^
indoa »pd ja geradii a^ua viiüig^ l$jiii% vmi cwKritMiyrhf»: iifnfenwfli Bii

GünCher: Bimerkungea über Cslinderfunclionen. 297

Interesse. Unter dieser Beschränlrung dagegen gewährt derselbe ent-
schiedene Vorteile. Der Zusammenhang einer Cylinderfunction erster
Art mit beliebigem Ärganient mit den beiden Grundfunctioneu

J", und J*.

ist hier anf eine möglichst einfache Weise vermittelt, indem weiter
niclits als anccessive Ableitung einfacher ExponentiaiauadrUcke er-
fordert wird. Jedenfalls ist von diesem Standpunkte aus diese Formel den
complicirten Summenausdrücken vorzuziehen, durch welche Lo m ra el ^)
jene Beziehnngen dargestellt hat, wogegen freilich wieder die letztren
sich des nicht zu unterschätzenden Vorzuges erfreuen, für jeden be-
liebigen reellen Wert des Argamentes zu gelten, und nicht blos den
Quotienten zweier Functionen, sondern diese selbst ezplicit zu liefern..

i

3) SpitiDr, S. S33.

4) Ibid., S. 334.

5) Lommel, S. 4.

: Caleut iUnMilaife du n

xxvn.

Calcal 6l6menta,ire du nombre des boalets contenns dal
les piles des Arsenaux d' Artillerie.

Georges Dos

1. Dans lea Arsenaux, Igs bouleta de meme calibre Bont r
par piles; ces piles eont dites triangulairea, quadrangulairefl
ou rectangalairea, snivautqne, dans la couche horizontale qni con-
atitue la base de la pile, les centres des boulets forment un triangle
equilat^ral, un carrä ou un rcctangle.

Le nombre des boulets Continus dans cbacune de ces piles se
calcnle par des formules, qa'on obtient en elovant an cairä la suite
dos nombres naturels

1, 2, 3, i, 5, ..., n, ...,

et en ajoutant ces carräs. Or le calcnl de la somme de res carr^B
ne se fait d'ordinalre qn'en s'appnyant snr la formule du binöme.

Nous uous proposons de determiner ces memes formules par
une m^thode dlemcntaire, qui repose excluaivement sur les proc6däs
de la simple Ärithmetique.

2. Rle trlang^lalrc. La base est ua triangle eqnilateral, ayanl,
par cxemple, n boulets de cöte; sur cette base est plac6 un antre tri-
angle ayant n— 1 boulets de cöt^i sur celui-ci im nouveau triangle
ayant « — 2 boulets de cöt6; et ainsi de suite', jnsqn'au aonunet qui
est form^ d'un seul beulet. La pile forme nne pyramide triangolaiM.

c tTArtilUnt.

209 ,

La premiere conche de base, dont le cötä est forma de n bou-
Icfs, contient un nombre de bonleta qui est eTidemment 6gale Ä 1» .1
Bomme des termcs de la progression arithmStique

-^1.2.3.4... (n—l).ri,

dOQt la raison est 1. On sait par l'aritlmietif[ue que cette somme est \
€ga\e ä

Si uoQB donnons ä n sacceBBivement |tontes les valenrs eutieres
depaia 1 josqu'ä n, nous aurons les Taleors

= 3 — 1-1-2,
=.6=1 + 2-1-3,

— 10 = 1-1-2-1-3-1-4,

C**-!)"

. 1+2-1-3+4+ ...-h(«-l).

= 1 + 2+3+4+ ...+(»-l)+«.

Ces nombrea expriment les sommes de boulets conteuus dans les
rcoDches suucessives de la pile, depuia le Bommet qui est forme d'aa

sgontons ces 6galit6s membre ä merabre, et que noua reprÖBentioiiB '
par S la somme des bonlets contenus dans toute la pile, nous aurous

S_l.n+3(.-l)-Hl(,-2)+4(«-3)+...+(.-l)(,.-M-2)+..(»-n+l) I
_l.n+2»+3.-|-4.+...+(„-l)»-f,.,
H:i.2+2.3+3.4+...+(»-2)(.-1)-H«~1)»)]-
La premifire somme revient ä
^^1+2+3+4+. ..+(»-1)+.)-...^!^^ = ^!^^^'.

; Calml ^fmentairc du nombre dts bovUls conlenu*

La sornme entre crochets, d'apr^s riDspection du döTeloppt
est 6gale & 2S moina n(n-|-l); par cons^qaeut Bons avona

d'oii nous tirona

et, pur Boite
(!)

B(n+l)(n+2)
1.2.3

Cette est la formnle qni donae Is nombre de boalets.^
la pila triangulaire.

3. Pile qnadrangiilalrc. Cettß pile a la forme d'ime pyru
quadraDgulaire, k base carr^e.

Soit n le nombre de boulets contoaus dana un cötö de la I
Bur cette base eat plac6 im autre carr6 ayant » — 1 boulets de (
et. ainsi de suite, jusqu'uu Eommet forma d'uii aenl boulet. Le u
S de boulets contenus daus la pile est donc la sommo des carrSs i
n Premiers uombres cntiers, de sorte qu'on a

5 = l»+2i'-l-3«+4^-
Or il est övident qn'en gdneral

..+(«-1)»+-.».

doimaDt k n successivemeut les valeurs 1, 2, 3, ... n on traars

I et, en

danr Itt pilfs d«» Aritnaui rT ArtilUrit.

et, en additionnant,

La partie entre crochcta est la Bomme des bonlets contenna dam i
ta pile triaagulaire; en la remplajant par la valenr (I), on obtient

S =

n(«+l)(n+2)

OH, en

rfidnisant,

(H)

S

n(«+l)(2«+l)
1.2.3

4. Pile rectau^laire. EUe a ponr base nn rectangle, que nou i
BnppoBerons de m, bonlets d'tm c6tö snr n de I'antre, m £tant ploB-J
grand qne n. Snr la base est placä nn sccond rectangle de m — 1 \
bonlets sur n — 1; et ainai de suite. La pile se termine non par du I
büulet, mais par une ligne ou aretc de m — n-\-l bonlets.

La pile pent etre consid^röe comme nne pile quadrangnlaire de
n bonlets, contre la quelle on a appliquö m — n triangle de m — «
bonlets de cötS. La Bomme de tons les bonlets sera donc

c'eBt-4-dira

(in)

..(n+DOw-n+l)

Cette est la formnlc connne qni donne le
bonlets d'nne pile rectangnlaire.

En y faisant m — n, on retroijve (II).

302 Btndfr: Besi

unff der grötglen Artmkt gleich gro.

xxvm.

BestimmiiDg der grössten Anzahl gleich grosser Kngetaij:^

welche steh anf eine Kngel von demselben Radius, wie df^

übrigen, auflegen lassen.

Herrn Dr. C. Bender

Um einen Kroia lassen sich, wie leicht zu finden ist,
mum sechs Kreise von demselben Radius legen, die alle seclis i
ursprünglichen Kreis berühren. Kinimt man au Stelle der Krei^i
Kugeln, 80 gehen jedenfalls längs eines gröastea Ki'eises der mittler
Kugel ebenfalls sechs Kugeln, welche die mittlere Kugel berfllir^
Diese grösste Kreislinie mag den Namen Äeqnator füliren, indem •*
uns zugleich die sieben Kugeln in einer Horizontalßbeno liegend denkei
In der Fig. 1, sind diese E)ieben Kugeln, von oben gesehen, gozeicl
und die änssereu Kugeln mit den Zahlen 1 bis 6 versehen, den I
rührnngs punkten dieser mit der inneren Kugel die aechs Anfai^
buchstaben des Alphabets beigegeben.

Die Berührungspunkte der äusseren Kugeln unter sich liegen auf -l
einemj^eis von dem Radius ma, welchen mau nicht unzweckmässig
Festhaltungskreis nennen kann, da er gleichsam die Kugeln unter sich
festzuhalten scheint. Bei weiterer Betrachtung hat man die Bezeich-^
nung Festhaltungskrcis zu vertauschen mit dem Kamen Festbaltungs^
kngel, welche den geometrischen Ort der Berülirungspuntte aller a
die innere Kugel aufgelegten äusseren Kugeln unter sich vorstellt j

I

-jfc* «nder: Bfslimmung der grSaslen Amahi gleich grosier Kugeln efc. 303

31^ «Et gen wir nun oberhalb der Kugeln 2 und 3 auf diu innere Eugel
eine Efc-mdrc und zwar dio Kugel 7 in der "Weise auf, daas sie zugleich
mit 2 mmd 3 tangirt, so schneiden die Kugeln 2, 3 und 7 aus der
TMt"liE»,ltungskngel ein sphärisch gekrümmtes Flächenstüek heraus,
äe&sen Bild, soweit es in einfacher Weise geschehen kann, iu Fig. 2.
geg&b^ii igt. In dieser Figur bedeuten 2e, 3« und 7« die durch das
^anlegen der Kugeln 2, 3 und 7 auf der Feathaltungskugel sieh zeich-
neaclen sphärisch gekrümmten Flächena tückchen und a, b, c pic Mit-
telpixukte der letzteren.

X>ie diese 3 Punkte a, 6, c direet verbindenden Linien sind Bogen
gröBster Kreise und auf jeder derselben liegt der Berührungspunkt
zwfeier von drei hier in Betracht gezogenen Aufleguugakugeln.

Aus dem Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks kann man durch
Abzug der drei sphärisch gekrümmten Stücke aÄC^ bAB, cBC das
"U>erhalb liegende sphärisch gekrümmte Stück finden. Ehe jedoch
"Üeaeis wirklich ausgeführt werde, mögen uns erst einige Vorbetrach-
*«»een beschäftigen.

Geben wir dem Radius der gleich grossen Kugeln die Bezeich-
nou^ r, so Undet man den Radius A der Feathaltungskugel

k = 2rCösjÄ ^^m

"^*^ <lie Bezeichnung R einen rechten Winkel vorstellen soll. ^H

- Die Oberfläche der Feathaltungskugel ist daher ;=12nr' also
B^**a.<iezu dreimal so gross, als die Oberfläche einer jeden der glei-
chen Kugehi.

r>as sphärische Dreieck abe Fig. 2. ist ein gleichseitiges uud jeder
ler (irei Bogen entspricht einem Winkel am Mittelpunkte der Kngel
^oi» tlt.

X>ie Grösse eines der drei Winkel, an welchen die Ituchataben
"» * «ind c stehen, leitet sich ab aus der Gleichung;

WoUer

_ cus {hc ) — coa(iic) C0B(g6)
ain(ac).ain(«i)

3 = 0,78365314if

j I>er Inhalt ydes sphärischen Dreiecks ahe wird nun auagedrücki

304 Btnd*r: Btitiamtmg der grGialen Ämahl «Jei'cA groiier /

J= 3wr»(0,17547971)

Die drei gleichen sphärischen Flächt'nstttckcheii aJC, bAB i
bestimmen sich jede

= 0,0524948066. Swr»

(Der Ausdruck 37rr*(0,267949191) stellt hierbei die krumme Ober-
fläche eines jeden der drei, in Fig. 2. mit a, b, e bezeichneten Eugel-
banben vor).

Das sphärisch gekrümmte FlächenatüCk ABC ist daher:

= 3 Jtr". 0,01 799529 L

Nicht al!o Kugeln können in der eben betrachteten Weise auf der
inneren Knge! aufliegen, was schon daraus hervorgeht, dass der Flä-
cheninhalt des sphärischen Dreiecks ahc nicht geradezu in dem FljSr- .
cbeninhalt des Festhaltungskreises mit einer ganzen Zahl aufgel
auch könnte dies weiter nur dann gein, wenn der oben berechi
sphärische Winkel des Dreiecks abc mit einer ganzen Zahl in iA
enthalten wäre, denn in jedem Punkte, in welchem die auf derFea
haltnngskugel aufgezeichneten Breiecke zQsammenstossen , mllsste \
der entsprechenden ganzen Vervielfachung des Droieckwinkels ,
Bedingung, wonach auch auf der Kugeloberflärhe die Winkel um einen
Punkt 4 Rechte betragen, erfüllt sein.

Wenn auch schon diese Gründe entscheidend genug sind den Ge-
danken an die durchgängig gleichmässige Lagerung der aufliegenden
Kugeln, wio Fig. 2. darstellen soll, zurückzudrängen, so werden wii'
noch weiter bestärkt durch die Betrachtung der Fig. 1., in welche?
gewissermassen ein Aufbau der äusseren Kugeln um die innere, von
oben gesehen, vorsinulicht ist. Denken wir ans einmal die Kugel 7,
wie schon erwähnt, der Art auf 2 und 3 gelegt, dass eine Tangirang
dieser Kugeln statt hat, so können wir unmöglich zwischen 3 und 4
in derselben Weise wieder eine Kugel 9 in gleicher Weise zwischen
4 und h legen. Geschieht dies, so müssen notwendig die Eugel 7
und 9 sich berühren und weiter noch die Berührungspunkte der Kugelftl
2, 7, 9, 5 auf einem gr3sstGn Kreise der mittleren Kugel liegen.

Die in der Fig. 1. angegebene Kugel 8 liegt in der nämltcl
Weise oberhalb der Kugeln 1 und 6 auf der mittleren Kugel a
9 oberhalb 4 und 5, und 7 oberhalb 2 und 3 auf der mittleren I
aufliegen. Es lässt sich leicht nachweisen, dass ebenso wol 8 \

Ter.- Bestimmu»!! -hr grB-ilfn A«iahl gleich grossfr Eugeln etc. 305

als auch 8 nnd 7 bei diusor Lagerung sieh berührea müssen, denn
>'OTfolgcn wir die BerütirnngspuDkte der Eugcln 1, 8, 9, 1 auf der
mittleren Eagel, so müssen diese ant einem Halbkreise eines grösa-
ten Kreises der letzteren zn liegen kommen. Da nnu ohne Zweifel
1 nnd 8, ebenso 4 nnd !) airb berühren, ao müssen notwendigerweise
auch % und 9 unter sieh tangiren, denn auf einem solchen Halbkreise
eines gröasten Kreises finden nur die Bertthrnngap unkte von ^ier
Kugeln Platz,

Der Nachweis filr die Berührung der Kugeln 7 und 8 ist ganz
in derselben Weise zn tübren.

In der Fig. 1. ist nur die Lagerung der Kngoln oberhalb der
Kbene des Papiers aufgeüeichuet ; von der gerade entgegengesetzten
Seite bietet sieb uns das nämliche Bild dar.

Naebdem wir in obigem unsere Aufmerksamkeit auf den leereu
Zwiscbenraum gerichtet halten, welchen die Kugeln 2, 3, 7 in der
Festhaltungskugel lassen, wenden wir uns nun zu dem leeren Zwischen-
raum, welcher in der Obertiäcbe der Festhal tungskngcl von den Kn-
geln 3, 7, 4, 9 gebildet wird. Hierzu diene Fig. 3. Die dort ge-
zeichneten Kreise 3b, 4i», 7«, 9« stellea wieder kreisförmig begrenzte
Stucke des Festbaltungskreises (Kugelhauben) vor, welche man sich
so gebildet denken kann, als ob die aus der Festhaltuugskugel her-
ausragenden Teile der Kugeln 3, 4, 7, 9 geradezu von der Festhal-
tuugskugel ahgetrennt oder abgelöst worden wären. Die Verbindungs-
linien der Mittelpunkte dieser Kugelhauben bilden ein gleichseitiges
sphärisches Viereck, wovon jede Seite = IR ist. Dass diese Ver-
bindungslinien Bogen grösster Kreise der Festhaitnngskngel sind, be-
darf wol kaum des Nachweises. Der Winkel c dos 4EckB bcde ist
leicbt zu bestimmen, wenn man berücksichtigt, dass die Mittelpunkt©
von 2, 3 und 7 jenes oben Fig. 2. betrachtete sphärische Dreieck
abe bildeu und die Kngel 2 mit 3 und 4 auf dem sogenannten Äequator
liegen. Wir finden daher den Winkel e durch Abzug des oben be-
rechneten Winkels a von 2R daher:

1,21634686 .R

Bedenkt mau nun, dass die Mittelpunkte der durch die Kugeln 4, 9,
h auf der Featbaltnngskngel gebildeten Kugelhanben das gleiche sphä-
rische Dreieck zeichnen, wie dies in Fig. 2. von den Kugeln 2, 3, 7
näher ausgeführt wurde, und daas weiter Kngel 5 mit den Kugeln 2,
3, 4 auf dem Aequator liegt, so folgt daraus, dass auch die Winkel
e und d einander gleich sein müssen.

Denken wir nns die Diagonalen bd und oe gezogen, so finden v,

306 Btnätr: Besllmmung der gröaslen Jmahl ^Itich grotser Kugeln elc.

aus dür Cougruenz der sphlLrischcn Drcißcke bcd nnd ede, dasB dleae

■Diagonalen L^iunuder gleich sind, woraus weiter folgt, dass
F Der FIttcheuinhalt des aphärischcn 4Ecks hcde berechnet sich
BUS den zwei sphärischen Dreiecken bcd nnd htd. Die Winte! h and
d werden durcli die Diagonale hd halbirt, daher jeder der an U
iinllüKtriideB Winkel

= 0,60817343 a
D(^r IiiLnlt des sphärischen Vierecks hcde ist daher

= 0,43269372. 37fr*.
Dlo Oberfläche eines jeden der Engelhaohenansschnitte hBF, cBD,
iinii, eEF ergieht sich

= 0,0 81 4797 93. 3 wr»
woruQB oIb Oberflächengröase des sphärisch gekrümmten Stücks BD
KF resnltirt:

- 0,10677455. 3)rr* 11.

Fassen wir die durch das Einlegen der Äuflegungskugel in die
Kestlialtungakugel gehildeten leeren Räume näher in's Auge, so finden
wir \iv\ der Lagerung, wie sie in Fig. 1. angedeutet ist, nur Räume
yitn dem Flächeninhalt I. nnd dem Flächeninhalt IT. und Kwar 8 der
»rsteren und 6 der letzteren Grösse. Äddiren wir diese zusammen
und Bubtrahiron die erhaltene Summe von der Oberfläche der Fest-
hal tuugfikugul ah, 80 bleibt gerade noch Platz übrig für vö^ Kugel-
bftubeo , (welche man sich in der bekannten Weise gebildet denken
tiKUlO wie nachfolgende Recbnung zeigt:

12 Kngelhauhen = 3,215390 X Sir*

8 leere Rftume I. = 0,143962 X 3Mr*

6 „ „ n. = 0,640647 X Snr»

Iftcho der Festhaltungskugel = 3,999999X Swr»

l dar Formel ISrer* übereinstimmt

t unschwer nachzuweisen, dass keine andre Anordnung
1 Knaultat liefert und wir sagen daher:

u( uiiiQ Kugel von beliebig gegebenem Radins lassen
itoht niohr als zwülf Kugeln von demselben Radius

I B«t|^ dvu u:i Miil lR)i»,

i

•.ndtr: Bastimiawig der yä/r^leii Äiaahl gltich yroestr Kvgtln

Bemerkung: (Ißr Redaction.

^

Der vorstehende Aufsatz schliesst mit einer Behauptung, die un-
bewiesen bleibt, die aber bewiesen werden müsstc. damit die anfanga
geateilte Fr^e entschieden sei. Gezeigt ist nur, dass 12 gleiche
Kngctn eine gleiche Kugel so berühren können, däS8 jede derselben
4 umliegende Kugeln berührt. Von dieser Lage aus sind indes ohne
Durchdringung noch sehr vielfache Vorschiebungn der 12 Engeln mög-
lich. Die Frage bleibt bestehen, ob sie sich so verschieben lassen,
dass eine 13te gleiche Kugel zwischen ihnen Platz findet. Zur Ent-
scheidung ist sogar die getroffene Anordnung insofern die ungünstigste,
als der Eranz um den Aequator den sphärischen Flächenraum, der
fttr die ungerade Zahl T ausreichen soD, halbirL Der strenge Beweis,
dass 13 gleiche Engeln eine gleiche Eugel nicht ohne gegenseitige
Durchdringung berühren können, lässt sich führen, ohne eine Ver-
schiebung von mehr als 2 Engeln auf einmal in Betracht zu ziehen.!
Um die angeregte Frage zu erledigen, möge er hier folgen.

§. 1. Die Mittolpunkte aller gleichen Kugeln, welche eine gleiche
Kugel berühren, liegen auf einer Eugel, deren Radius = 1 sei. Auf
dieser verbinde man je zwei Mittelpunkte durch einen Normalbogsn
und tilge von je zwei Normalbogen , die sich schneiden, immer den
längsten, falls sie einander gleich sind, 'einen von beiden. Dann
bleibt ein Netz von sphärischen Dreiecken, welches die Engel einfach
bedeckt; die Mittelpunkte sind deren Ecken. Ist nun 13 die AnaahJ
der Ecken, so ist nach Euler's Satz 11 die Differenz der Bogen-
nnd Dreiecksanzabl. Da sich letztere wie 3:2 verhalten, so sind sie
einzehi 33 und 22. Die Anzahl der Bogen, welche von allen Ecken 1
ausgehen, ist hiemach 66. Folglich gehen mindestens von 1 Eck
mehr als 5 Bogen ans. Das Besnltat ist:

Es giebt 13 Ecken, 33 Bogen und 22 Dreiecke; min«!
destens um 1 Ecke liegen mehr als 5 Dreiecke.

f. 2. Die Bogen sind einer doppelten Beschränkung unterworfen:!

4

2) Kein
CteKenscken

Bogen ist grösser als die Verbii
der zwei anstoBBendan Dreiecke.

Die erste Beschränkung folgt aus der Bedingung, dass sich iw
13 Kugeln nicht dnrcbdiingen sollen, die zweite aus dem Tilgongs-
geaotz der Bogen §. -1.

§. 3. Ein sphärisches Vierech ABCD (Fig. 4.) habe eine Seile

AD •= 2ß, die übrigen = g- die Diagonale BD =- (, welche den

Winkel ADC in ADB = 9 und BDC = ff, nnd das Viereck r in die
Dreiecke ADB = /* und Bt>C = ^' teilt. Sei ß constant. 1 anab-
hängig Tariabet; es wird die Yariation von V gesucht. Man hat die
Formeln:

l+2coB2|S-f 2co8*2

4y3co3^coa =

»•»2

- ya^'-^ä"

,; ..",,- ya

1— 2cos?^coS(

1

28in3f(smi ^

"»» va"«

Für c

n Manmum oder Mioimiun r ist

a^ — a/i

DilFereutürt man die Cosinus, setzt für die Sinns ihre Werte, (
ins Quadrat, «od führt auch sin^^, sin*ff auf 1 lurflck, so |
ktnw« Gleidwng über in

(oost— J+siniJ){co3i— 1— sinP)(aMi+l> =

Der letzte Factor ku» mdit rexsdiinMlea, wmt 1 als I

<ZBC+CD-=Y i^ ^^ iwnte glmh£tlli nüb, vofmijSr

mi M ntkoheo ist. Eine Wendog der TamtiiMi tu )' i

30^^

folglich entspriclit der obige Wert einem Masimum. Er ist derjenige,
für welchen beide Diagonalen eiuandei- gleich werden, das Viereck
eumit syiuinctriach ist.

§. 4. Liegen nnn um einen Punkt (0) herum n (und zwar melir
ala 5) Dreiecke, gegen einander begrenzt durch n Bogen, die wir
Radien nennen wollen, und sind 2 benachbarte Radien (02), (03)

^ s ■ 30 braucht man nur die Endpunkte der näcliaten Eadien (Ol)

und (04) zu verbinden, so dasB von dem ganzen, aus jenen Drei-
ecken bestehenden neck iV ein Viereck (1234) abgeschnitten wird,
um das Resultat von §. 3. anwenden zu können. Um N so klein als
möglich zu erhalten, müssen offenbar alle Seiten ihren kleinsten Wert

= haben; die Verbindungslinie '2ß iat dann ZZ t, und < 3 • -= — re.
Betrachtet man alle Ecken von N als fest ausser (2) und (3), und
Tärsciiiebt letztere so, dass sich die Differenz der Diagonalen des
Vierecks vergrössert, so, wird nach §. 3. das Viereck, folglich auch
das neck kleiner. Folglich kann der kleinst« Wert erst an der äuB-

aersten Grenze eintreten, d. i, wenn (02) oder (03) ^ y, wird, und

man hat den Satz:

Im kleinst möglichen neck, gebildet ans n am einej
Punkt liegenden Dreiecken, können keine zwei benacbj

harten Radien >^ sein.

§. 5- Die Radien (Ol), (03), (05) (Fig. 5.) und die nockseiten

(12), (23), (34), (45) seien = ^. die Punkte (0), (1), (5) seien fe«t,

der Punkt (3) unabhängig verschiebbar. Es wird der kleinste WortJ
des Sechseck (012345) gesucht. Sei M

I

310 lieadrr: Bulimmwig der grS.sIf, Aixtahl gifii/i großer Kagttf. elc.

aUo für ei» Maximmn oder Uiuimum S

8^ - -5a (2)

Stellt man gemäss den Relationen ,

X u

il, ^ iu qu, (pi dar, so gibt Gl. (2) mit Anweadnng von (1),

Di v+Vi weder noch n seiu kann, ao gilt allein die Lösung
qi = 9>i. Difierentürt man <S zum zweiten mal, und setzt dann (f ^^ 9:,,
so kommt:

89)»^ a + 3coaä(p)*^

folglich entspricht ip = »p, einem Maximum 5, und es giebt kein
Minimum. Lässt man also q> über 9), hinaus wachsen, so wird das
neck kleiner, und die Grenze tritt erst ein, wenn der ßadius (02)

— -s wird, oder die Radien (06), (07), etc. die Grenze der 2ten

Bedingung im §. 2. erreichen.

5. 6. Die Winkel t
- a; dauu ist

13 Dreiecks, dessen Seiten -

cos or ^ J

Die Winkel eines regelmässigen Vierecks, dessen Seiten = -7, \
■tien -^ y; dann ist

C08y = — ^, also y = -x — a

%. 7. Hat man nun ein Sechseck, dessen Seiten sämmtlich >
nsd dessen Radien abwechselnd =0 sind, und man lässt einen 1

swischen liegenden Radius bis auf -^ abnehmen, so werden iUe¥

der zwei austosseuden Dreiecke ^ k; daher bleibt für die 4 tibi
Dreiecke ein Winkelraum :='2n — 2a um den gemeinsamen Pia
herum Übrig, so daas bei gleicher Teilung je zwei derselben einT
ffijtj^ Centriwinkel ^ n—a bilden. Dies ist dann i

le n Beslimmurg Her grösslen Anxahl gleich groMtr Kügeh elc. 31

Pin regelmäBsigea Viereck , also seine DiagouaLen, deren eine ein Badios
ist, einander gleich. Hiermit ist genau die Grenze erreicht, welche
die 2te Bedingung von g. 2. der Grösse jenes Kadius gestattet; bei
jeder Verschiebuog würde ein Üoppel-Ceutriwiukel <; n — a, der ihn
halbirende Badius grösser als die denselben kreuzende Diagonale, und
mau hat den Satz:

Das kleinste aus 6 Dreiecken um einen Funkt hern
bestehende Sechseck hat 4 Radien ^= „ und 2 Radifti
gleich der Diagonale des regelmässigen Vierecks für da
Seite -g-

Da jedes der 2 gleichseitigen Dreiecke =^3o— n, jedes der i
regelmässigen Vierecke = 4(w— o) — 23i ^ Sn— 4c ist, so ergiebl
sich ;

11^^

§. 8. Liegen mehr als 6 Dreiecke um einen Punkt hemm,
kann man das daraus gebildete neck leicht auf ein Sechseck zurUclE^

führen. Im voraus seien alle n Seiten =' ö gemacht. Hat es i

benachbarte Radien (02), (03) >» -s, so verkleinere man es nach §.4,,

indem man bei unveränderten Punkten (1), (4) die kleinere der sieh kreu-
zenden Diagonalen (13), (24) verkürzt, bis entweder sie selbst oder

einer der Radien :^ s wird. Im ersten Falle sondert die Diagonale

ein gleichseitiges Dreieck vom neck ab, und dieses hat dann eine
Seite weniger. Dies wiederhole man, bis entweder nur ein Sechseck

übrig bleibt, oder keine benachbarten Radien mehr >--q sind. Ist

im letztem Falle die Seitenzahl noch > 6, so bildet mindestens einer

der Radien > ö zu beiden Seiten mit zwei Radien = s Winkel

=•= 2n

^ -y <ii(^ — f), also letztere Radien mit einander einen Winkel

^ n—D, folglich ist nach §. 6. der mittlere Radius grösser als die
ihn kreuzende Diagonale; diese schneidet wieder ein Dreieck ab, und
mau kann so lange fortfahren, bis nur ein Sechseck übrig bleibt-
Di& abgesonderten Dreiecke sind nie kleiner ab i
^M Ergebnisa lautet;

3ia I

■ Bestimmung iler srrö»,-J

i„^l.l ijttli:

■ Kii'jflii rlc

Ein Bpbärisclies neck, gebildet aus mctir als 6 vm
einen Punkt herum liegenden Dreiecken, ist nie klein er '
alB das kleinste Secliacck plus (ii— 6) gleictiacitigenSr^

e L' k e n.

g. 9. Was die übrigen Dreiecke betrifit, so können diese zwsr

kleiner als die gleicbeeitigEin zur Seite -^ sein, aber nur wenn ein

Winkel >• 2a ist; denn einen Rborabna, den eine Diagonale in zwei
gleicbseitigo Dreiecke teilt, teilt die andre in zwei Dreiecke mit den

Winkeln '2u,

Kilmc nun im gesammten Netze ein sokbüs Drei-

eck vor, HO bfttten zwisdien den Schenkeln des stumpfen Winkels 2
gleicbxeitige Dreiecke Platz; man kannte daher den Gosammti^uni
der umliegenden Dreiecke immer vermindern, indem man statt der
langen Dreicckssoite die Halbimngslinie des stumpfen Winkels in der

Lange

; zur scheidenden Drejeckscite luiicbte, und die 2 Dreiecke

zwischen den 3 Schenkeln wären dann nocli immer Jedes grösser als
ein gleicba eiliges. Man kann daher, wenu man stets die gtiustigste
Lage für alle Punkte wählt, in der Tat jb — jt als den kleinsten
Wert eines Dreiecks ansehen.

S- 10. Nach dem Vorstehenden ist der kleinste Raum, den die
22 Dreiecke cinneiunen würden, nicht kleiner als das Ideinste Sechs-
eck ::^2(jt — a) plus dem ICfacheu gleichseitigen Dreieck =16(3« — »),
das ist nicht ideiner als

Nun ist

o = arccosi = 0,7836532 Rechten
46a = 36,0i805 Eecbten

Hji = 28 Rechten, also

das Netz ^ 8,04*05 Rechten

Hiernach würden die 22 Dreiecke bei jeder Anordnung mehr 9
tue Kugclfläche hedeekcn, folglich können 13 gleiche Engeln i
ohne gegenseitige Durchdringung eine gleiche Kugel berühren.

if: FänJ 'iwjrdruckh ßiie/t

\

XXIX.

Fünf nngedrnckte Briefe tod Gemma Frisins.

Nach den Originalen in der UaiTersitätsbibliothek zu Upsala

herausgegeben tod

Maximilian Curtxe,

' GymnaBiallehrer la Xhorn.

I tfn

Die unten abgedruckten fünf Briefe des bedcntünden bolgiachen
Mathematikers und Arztes Gemma Frisius befinden aicli in einer
zwei BfLude umfassenden höchst interessanten Sammlung von Briefen
fast ausnahmlos gerichtet an den bekannten Freund des C o
Johannes Dantiscus'). Diese Sammlung wird in der üniversitäts-
bibliothek za Upsala aufbewahrt, war behufs Benutzung bei den Äjfj
beiten zur Säcniarfeier des Copernicus auf hohe Verwendung dt
Füraten Reichskanzlers dem Copemicus -Verein zu Thom auf längere
Zeit leihweise überlassen worden, und ich benutzte dre Zeit ihrer hie-
sigen Anwesenheit die fünf Briefe, welche sich in ihr von dem ge-
nannten Mathematiker befinden, zu copieren. Sie hatten für mich
doppeltes -Interesse. Einmal geben sie über einige dunkle Puncto im
Leben des Schreibers Aufacblusa, bringen also eine willkommene Be-
reicherung des Abschnittes, welchen A. Quetelet in seiner Histoire
dei Bcicnces raathömatiques chez les Beiges ^J unsermAutor
widmet, andrerseits haben zwei derselben Beziehungen auf Coper-
nicas und dessen neues Weltsystem, und sind von hohem Interesse
für die Geschichte desselben. Dies ist der Grund, der mich bewog
eie hier abdrucken zu lassen. Dio nßthigen Erläuterungen werde ich den
Briefen selbst nachfolgen lassen. Ich bemerke nur noch, dass icb

t8-_^J

314 Curlie: Fän/ ungtdruckU Brie/t von Gemma j

nnd kleiDe Buchstaben nach moderner Weise gebraucht habe, ebenso
die Interpunctiou ; anlautendes » statt u habe ich nicht beibehalten,
ebenso ist innerhalb eines Wortes u und v nach moderner Weise
setzt worden. Im Uebrigen ist die Orthographie des VerfaBsera
behalten.

Iteo,

]J lohannes Dantiacns bieea eigentlich lobannes Flaxbinder.

Er wur geburen m Danlilg, und nannte sieb tbdli Linndeemas, (beils von
neinem Geburtsort!: Dantiscus. Ursprünglich nicbl GDiKtlfcher war er län-
gere Zeit Gesandier des Eüoiga von Foleii am Hole äca KaiscrB Karl V.
Mit ibm xog er in nllcn Landern nmhcr. wo dieser sieb aofhieU, war IlLngere
Zeit in Spnniitn, wo er Einticr hinterlietg, von denen sieh auch Briefe in der
erw&bntcn Sammlung finden, dnnii in den Niederlanden a. e. fort. Spater
wurde er Bischof von Knim, von 1 537— 1548 Bischof voti Ermland (Warmia),
aUiSoleher starb er, Gennueros über Dantiacns findet man in der E
]&ndisehen Lilteraturijeecbi chte den Prof. Hipler p. ISS u. ff.

les Beiges par Ad. Quetelet. Nouvclle edition. Bruxell
C. Maquardt 183 1. 2 Bltt, 479 S. gr. 8". — p. 7B-89,

[1531, 7. Aug.i)].

Salntem et servitutis meae commendationem. Fortassis malo
tarn diuturnam absentiam a D"'. V. H™, accipi metuebara, atixue ob
id lias tiirbulentas manu trepidante, cerebro disperse congessi, petens
me quim optima purgatum baberi apud D™. V. Neque enim meae
negligentiae imputari iuste potest, quod vol ipae Campensis (coi
Du'atio Vestra plurimum confidit) atqne alii non parvi ponderis teata-
buntur. Sed, ut dcmum brevissimis causam absolvam, venissem die
Sabbatti transacta, nam tum espeditus quidera fui negociis mihi com-
missis, sed impeditus morbo certo non levi, qui me corripnerat vix a
limine mansionis D»". Vestrae digresaum atquo hnc usque vana spe
detinuit. Nunc ostenao medicis lotio dicunt illi me in ambiguo eaae
sive in discrimino vitae, nam epar raoum usque adeo est incensum, ut
vix restingni possit, et si proticiscendnm mihi sit vel panlulum, malus
imminere periculum, Mitto igitur ad D^". V. R'". cumulum libro-
rum, quoB in catalogo nostro mihi praescripserat , adsignato precio.
Desunt tarnen quattuor vel quinque, quos hie inveniro non potui, et,
si placct D"'. Vestrae precium, potest eos servare. Ego vero cogor
adhuc quattuor vel quinque diebus hie decumbere, donec vidcrc, quod
Deus mecum agere velit, neque enim diu durare potest, quin me vd
Deo tel vitae reddet. Si vero D*°. Jestn mihi pro me, medicis ftt

1

medicinis Teilet mittere unutn vel duoa philippeos, vel quantura ei pla-
ceret, bene mecum ageret, et si morior, gratiam a Deo aucipiet; sl |
viram, non ero ingratus. Ex Loyanio ?"■ Auguati 1531.

Humiilimns seno^

R""" in ChriBto pro D. loanni
Dantisco, Ep"ö Culmenai, Oratori
Kegis Poluuiae.

[1536, 1.

R""" in Christo pater ac Domine salutem ac officioruin meorum
commcndationem. lam dndum est, qaod K'°' D. Y. mihi mandaverit, t
nt fret|uent!ua scribam, precipue vero de statu meo, anne ego mma J
aim futnras, quem matrimonii poenitudo uon ceperit aliquando: cnil
saue quod respondeam, non habeo aliud, qaam quod cecinit iUe:

Qui fit, Maecenas, at nemo, quam sibi sortem
Sen ratio dcderit, seu sors obiecerit, illa
Contontus yivat? laudt't diversa acquentcs?
Kam at olim solutus vlucula liaec summopere et cupivi et aectatoa
Bam ita nunc contra soivi senaua quidem appetunt, verum ratio aliud
dictat Video enim eam esse nostram imperfectionGm, ut nusquam
animuB acquiescat, qnamdiu hoc in corpore detinetur. Quam ob cau-
sam oro, uisi, quod nihil iu verum natura est, quod ante finis sni
adeptionom conquiescat? Cum ergo animus Doster uuuquam, dum hoc
carcere clauditus, finem snum consequi queat, non mirum est, eam
tarn varia appetere, quaerentem scilicet quem non invenit finem et
regimen. His consideratis satius videtur tedium hoc vitae aut fiuctu-
ationem potius quacuaque data couditiono aequo ferre auimo, quam
in dies mutatia sortibus novos seutire cruciatua. Quid igitnr seutiam,
qnaeris. Sano contentoa sum mea sorte, quia nusquam tranquillitatem
imeniri sciam; tedet rursus ex communi et omnibus innata imper- J
fectione. Habet R"°». D, V. meam do statu meo senfßntiam, quaml
pro Suo candore interpretari velit ^

Gemma Margaritam geuuit, quae iam pareutem tatst; istud qui-
dem K"»". D. V. non fore ingratum arbitratuB significare non dubitavl

3U>

Curi

: fa/ ^f^tdratlite Brü/i p

De bello cmns hie maximaa appaistna est et waxi— fina« lis ec—
iEitimarem R'™'. D. V. per daros tires nigfiiii'^tii« ease, soibetc^K^
sed minores etiaiii ad nos iiurerti aant. qnore anio atque aUoo be«
percurram. Caesax triboa ei partibas GaUiam aggredttar. ifst ärem
Galliaoi Narboaeaäein , quam Delphinatnm Tocant, maximn CKräfcn
Alpes ant transgressvs est aat conatna in dies transgredi Cejüt Jao
trtave oppidnla. Coaiaox a P}Tenaeifi montibtis imtat , de liac mhil
ad DOS pervenire potest, no^tri drra Haunoviani oppidan ob^itemil
duc«m Guise. Dax est D. de Xassan.

Nihil tarn factum adhac est per nostros, u
mexus crescit.

Augtus pro suo arbitrio onmia admioistrat

1 dies pornm nn-

Vxoröm Beoundam gladio interemit cnm fratre ac aliis nobilibns;
foruut uumes iuuoxias iUos foisse et crimine racasäu.

Vis elai>sis 24 horis aliam diuit.

Uaec sunt, quae mihi scribenda visa Saat, tit omni ex pvte
K"". D, V. meam sentiat obaedientiam. Telini oratam D. V. B"-"
ut mihi nütt«re dtguarotiir et soam et Eegis genitaram Tel salWt
tempiDt, i|Uinl mihi sat est '). luvat euim bis rebus aon duiiii''*'''
teiupus t'altere. N&m reliqnam tempos medicioae impartior, iu 4°^
iain gradum adoptns soiu atqae deiaceps artem peto.

Doiniuus nost«r, lesas Christus, D». V. B"™», qnam dintissinw
(ucoluHieiu et prospenun coaservet, eni me qaam plarimum t-onun^'*^
aiuaquu fratribus, D. Georgio ac D. Bemhardo, totiqae famili*® ''
Kx LüTäuio. Kalendis Augnsti 1536.

Rm... DnL

V"i

deditisaiinns famnl**^
Gemma FrisioB.

BW \u l-'bristo patri I>. loaimi
J)fgt^tC'>^ W^ ('ulmensi, patni-

le: FäaJ uni/eibiick'e Briefe uon Gemma /Vis,

[1539, 12. Dm.].

S. P. et officioruHi meorum conunendationein, Son potni conf
mittere, Praeaul RoTercndiBsinK;, quin data hac tanta oportunitate
nnncii aliqaid de mco ac nostratium statu ad R"". D. T. transacri-
berem, cui spero iion iügratum lore aut saltera non luolestuin iiiter
ardaas occupatio ues aliqnid cstiam Qostrarum nugarnm admittere.
Bane mihi longe omnium gratisEimum hac tarn longa teniporis ist locci-
mm intercapcdiiie fuit audire certi aliquid de R"". D. V"., quam
mnlti etiam praeelari viri, iique R"". D. V. non soliun noti aed et
familiariestmi iam dudum e vivia excessisse conteuderunt, adeo ut et^
me fere in eadem opinioue pertnuterint. Sed auspitione horooetmetO'l
discuBBit D. lacobua a Borethen R"'»'. D. Veatrao (ut audio) amicue, ,
qai nos non panim esLUaravit. Quod nunc vero ad atatum rerum
meanim attinet, ego arte medica victnm qnaerjto, artes ¥ero mathe-
maticas non nihil sepono ita ingento reram noatrarum conditione,
quae quaestuoaam magis requirunt quam iucundam artein. Vxor mea
sicut vitis abundans in latGribna domnü meae et filü aicnt novellae in
(ärcuittt menaae. Esse sie benedicatur bomo, qui timet dominum!
Filius tamen nunc unicus superstcs ost, alter in divorum numerum
relatns, tertiam ve.l filiam expecto in mensera, Deo iuvante. Vtinam
R™. D. Teatrani possem ad auscipiondam prolem orarel Sperarim
impetraturum id me (quae eius est humanitas) non difficulter. Reliqua
nastri BtatuB utmmquc habont.

Novarum rerum hie magna aatis copia. Esppctamus in dies ad-
dnctum Caaaaris, quem iam in Gallia esse non eat diibinm. Ecci-
pietur cum triumpho Parhiaiia decima quinta huius mensifl (enim con-
fidit Gallo), inde recta ad nos migraturus. Gaudavum masimuH ex-
citavit tnmultua adversns aulam Reginae. Eiactiones aohere, noluit,
aed miltea cxhibere, magistratum omnem mnnit, vect^alia rennit^
nunc tarnen usqne ad Caesaris adductnm pacata sunt omuia. Traieeti
Mosae praetor et conanl nna nocte per tumultum miserrime occiai
sunt, cadavera in platea relicta plus 24 horia. Causam non caperet
epistola, nee tempus admittit, adeo mihi ex inaperato haoc oblata eat
Bcribendi occasio. Eex Anglia« duxit in uxorcm filiam Dncis Cli-
Tiae^); Gheldriam adbuc obtinet Dus Cliviae iunior, namaenior obiit,
quem ad modum et Bus Gheldriae, Dominus de Nassau, Coredmads
exeredus Dna de Buri ac plurea alii. Item Barlandua noater et Goe-
lenlus, Lovanienais Äcademiae duo Inmlna. Professor Latinns nnmi
est Petrna quidam nominia non vulgariter eruditus, verum non aec|;o#J
facuudua.

I

318 Curtie: Fünf ungedrucktc Briefe von Gemma F.islus.

His paucis R»". D. V»". Dco optimo masimo commendo, qni eam
quam diutiasime sospitom servat. Lovanii 12*. Deceb. 1539.

R™«. D. V.

ParatissimuB Gemma Frisius.
EfiverendisBimo in Christo Patri
ut Domino D.IoanniDantisco War-
mieuäi Episcopo Dignissimo etc.
Domino buo et Maeceaati colen-
diBsimo.

Der Brief bat das praesentatam XVII. Marcii 1540, ita
wohlerhaJteuc Siegel ist eine Gemme mit den Köpfen des Castur
und Pollux.

!) Man bcnclitp hiur den UnKTSthicit ii
Heinrich VIII von England mit Anna v
Brief II bbur ille Uiiindiliing der Annn Bd

[1541, 20. Iidii]. ]

Videris, Praesnl Ornatiasinie, non iniuria queri de me, qood
poatremis D. T. scriptis ne qui qnidem reaponderim. Neque ego
commode me unquani purgaro possom, ai aiit negligentia aut qnodaJOf*
animi fastidio id com misia sein. Verum quandoquidem animus mü*'
bene couscina eat, quaatia qnamque variis diatractua fuerim hactenc»*
curia , maiori longo animo minorique verecundia rurana audeo ad I^- '
T. R*". importunina acribere, ai tum importnnum dici meretnr, qn»*-^
ipac pro tua bumanitate prior poscis. At quaa (inquies) euras mü»-*
narras homuncio, cni ncque rea publica commiaaa eat, neqne principi- ^*
valetudo? Saue non minori cura passer sibi nidum estruit pnUosqn^^
edncat, quam vel aquila vel struthiocamelus ; maiori interdum negooi*:^-^
ruHticns eaaulam oxtruxit Lumilem, quam princepa sumptuoaa quantmc^^^^
via palacia. Id adeo mihi evenit, nt mca quodvia exigni momoiU^^^^^
uegociola tantum mihi faceasant negocii, quantnm forte D. T. R°**^ ""
gravisaimi rerum Status. Haec eo dico, Praesul Ornatissime, nt tantC^^-^^^
facüiua tibi sim purgatua, peranasumqno D. T, ait, non ex negligen
commissum ease, eur minus quiqnam. amantissimis D. T. scriptW
descripserim, aed variis multiaque et mihi aaltem gravibus curia i*
adscribas velim. Profecto non ad modum sunt exigni momonti (meö
sententia) tot horainum valetudinea, quaa in dies curare habeo. Quaiv
quam enim non aint principes aot heroes omnes, non tarnen nüwb

Curlzr: l-'\in/ unyednKlIe Br!e/e von Gemma Friaiai. $19

diligentia iUia debeo quam vel maximia dacibus, cum eaqne magno
constet Christo, Domino nostro, eoram vita atqne regia potontiasind.
At nunc Dci bcnignitate remissa est nonnihil sevitiea morbomm
hie et maximi et non pauci graasati snnt amium fere totum multoB-
qne e raedio snstulenmt, qnanqnam ne decimus qnisque auctnbaerit
eoriun, qui morbo detonti grayissum (sie!) deciibuerunt. Itaqne nunc
et copioaius et Jiberius acribo R™«. D. T. , quo et poäsem damnnm
resarcire {si quod paasa est iu me tua büneyoientia), deleatorque
postliaec omuia ni'gligentiae suspitio: quodvia etiam nunc incubat labor
novaque molestia anhelanti ad doctoratue lanream, quae Deo favente
tertio Kalendia Septembris celebrabitnr. Atque utinam ita tuliaset
rerum conditio, ut huic l'esto litnisset adesse R"". J). Tuae! Demn
immortalem, quantum claritatis babiturus fuiaset dies ille! Sed feren- ,
dam est quod mntari non potcat.

Eustachium ') inaignis probitatis neque minoris erutlitionis iuvc-
nem, lubens amplector gestioque, ai per facultatnlas raeas liceret de-
monstrarc illi, quem erga eum gero animum: licet aperem bac in re
nihil opus ipsum habere meis subsjdiia. Vidctur sane ad poesim natuB
atque in ipso Helione enutritus, ita fluunt tanquam de flumine verans,
Certe vidontur fato quodam Muaae, relictia Pegasi fontibus, in Sar-
matiam commigraase, allectae nescio qua aut dulcedine soll aut potiua
incolarmn genio, ac propulsae ex conauetis Pamassi sedibus barbariae
iüBueta Graecorum istuc profugisse. Atque ut de aliis uonc tacearo,
ipsa sane Vrania sedes ibi fixit novas, novosque snoa excitavit cnlto-
res, qni novam nobis terram, novum Phoebum, nova astra, immo totum
aliud apportabnnt orbem. Et quidni novnm, cum hactenua ignotum
prorsua et incertum depictum limitibna orbem, iam deincepB tanquam
e coelo aBportatum notisaimum aimua babituri? Quot enim erroribus,
involucris, labyrintbis, quot denique euigmatibns pluaqnam Sphyngicis
iavolatam babnimua nostram Astrologiam ! Ego aane mnlta possem
ennmerare, quae nunquam mihi aatia facere potueruut. Quäle est,
quod Martis motum saepe a calculo, vel exactissimo sccundum tabulaa,
tribua siguiferi partibua abesse observaverim; quod Lunae magnitudo
non tantum varietur ad nosfmm conapectum, quantum notant gra-
visaimi buiua artia authorea; quod anni quantitas nunquam invonta
Bit esacte, conformis veritati. Nihil nunc dicam de motu firmamenti
et apogiorum qui, nt ne umbram quidem babuit veritatia, ita omnibus
ridicolus approbatus; omitto etiam plura alia de omnium fere Stella- ■
rum longitudine et latitudine, ne D. T. E™"". obatrepam iociviaius. ]
Haec si reddiderit auctor ille vester sarcta et tecta (id quod maxime
1 praeaagit ex eo prooemio, quod praemisit ^)), nonne hoc est
novum dare terrara, novum terram, novnm coelum ac novum mun-
dom? Neque ego nunc diaputo de hypothesibns, quibus ille utitur pro

1

mn/ \MI»drucklr. Briefe

I Gl«;

Mia ilt'ifiiiniitriiiiunf, qaulcs sint, Kut qu&ntam veritatis habeatiL He«

Kolin »Oll r<>ft>rt tcrntniut* tlii-at circumvolvi , an immotam consistere;

inotlu N.nli-runi nidtnii ti>titt>onimqao intervalla babe^mus ad amussim

dt tu t'xactiRBiinum caiculum redactu. Sola me mora omniiim

(WKicliiiit tmtii'ti i'upio otiitn taiuiam videre hniuR negocü tinem, et non

\mii'\ •iMil iiaNHini vfri cniditL, quibiiB non minor inest animi cupidJtaa

vklcntlt. ijiuun milii. Quaprnpter, Ornatissimo Praeanl, noa

|iitriiui ini'n'lx'Hx srnidi« cum »pn«! inUnitas baud iu^Hia« iloctrinae

vliui. tiiiu it[iiui )>iwtt-n)S omnes, ei ^quod tibi arbitror neijue grave

t^Hut itt'qui' aiHliinm) CAlcaribas lautnm usus hoc opns prnmovea&

Nu» In Utt-t ('»im, iiuh rsUone sftope accidat a decesM« aactoris

Icl), «t llbri, opcra, snpelli-x, deniqae tota diripiantor abea

tbllvltmotn, qiiao lüioqui multis ex usu essent futnnL

i'is wbritor, DiguisMine PraesuJ, de quo*) loqnar, n

i|>ti »lim de huc authore colebri fedsti mentioneiu cam de ter

tiitiliqiio uiiHn iiitcr nos confcrremas '). Quod snperest, me D. Z

\{m\ ,|UHiH oonimoudatissimum eaae capio, precoque Denm optiniran

Uliiium, 1)1 D. T. ß"**. d^uetar quam diatissimo sospiteui aesnta

Bccimotortio Kai. Aagnsti I54I.

- D. T. R-». dediüsämtu -J
G<>iiim& Fiisins.

M»". in Chrisl« Patri oi Dnmino

L\w>knl IViuitisco Kpiscopo Var-

ii, Pfttnimi SUD Colfndifisimo.

r Rrlef hil das Praosentatnin Tarmiac IX Aprilis. ^IS*^

«gvnn&cklT^ luieli Parä g^^<
hobt SkUc

^•ktlie** In tiocimn iid<). niTtt^M

SriMrr bitte w rint

rrnnrninn. qnnd pTscntsU Ubh in Jclirc 1S4I «"''

tax Ai-s RliflicDs rnsUndeti ««rdm, (U äa Buch ^^

i Druck tun; wUtrend 15*0 sod 1641 scbon «**«

riiB» orschicnm waicn. E? -»^jt k^«i aniao^
I R B 1 i s t B t selbst »in ExCTnpim dir prslen Am
tj»dit»n, mgwNiÄrt rriiidl, tcni Ata vorürgcnile Briel •**^

fnn in Im OriRTiml ntirfrariclien trafl von ormir ^M**"

f p^!■fhTH^>•™ »liiMiliin Coprinirti 'hmä Jubir*
*» tiM»», Win inrh «niltTweil twtatinl im, nd uuian.
I ttinl V M*!*!! von ^n naam Thouricn s

[1543, 7. Apr.].

1

ReTerendiasime Doraiite, salutejn et officiomm meomm commeii'
dationem. Vix tandem legi, R"". D""., summo desyderio, longoqna
temporis tractu expeditaa R"»». D- V. literiw plenas in me amoris et
benevolentis, pro quibos uo Croesi quidem divitlaa (ut ita loquar) in
praeseDÜonim mihi concesfias Teüm, qnanquana enirn aliqna in parte
argamentam satis triste tractant, ubi Bcilicet maaom illam tot heroibus
ootisEimam, au regibus quoquo adamatam adeo languere narraut, ut
iam sine vicaxio nihil agcre possiL Altera tarnen parte maximiun
mibi eximcruut metum et iiisigni pcrfnnderuut gaudio. lam dadimi
enim apud nos incrobacrat rumor, et nonnnllis qnoque persuasit lon-
gmn Silentium R"". D. Vestram simul et scriberc et vivcre desüsse.
A qua snapitione libcrati serio nunc csnltamus, et ut eaudem R«""". D.
V. longa et mcliori valetudine donare velit is , in cnius mann sortis
nostrae sunt, precanur ex animo. '

Äpnd Gonerosnm et Nobilem D. Oratorem Serenissimi regis Vestri
caenavi naper in acdilina Magni£ci Dni Comelii Scepperi, forte Bm-
zellam vocatus oh malani valctudincm Illnatria Dni a Prato; ac tum
mea omnia, quae parum ipsi Dno Christopboro usui eaac possunt, in
promptitudinis animi mei Signum, ut debni, obtoli, cui aanc nomine
R™*". D. Veatrac obsequium aliquod praeslare cuperem. Sed rever-
tenti mihi post tres dies Lovanium JDterea videro nnnquam ipsam
oontjgit, itaquG non potui pro animi voto meam erga R'". D. V. volun-
tatem declarare. Si tarnen nepotes E"»''. D. V. coutigerit huc ad nos
pervenire, id quod snramopere desydero, spero effccturum me, ne vana
videri poagit bacc mca pollicitatio. De statu vcro temporario nostrae
Academiae tautum R™'. D. V. significandum atatui, doctores nos
habere in quovis diaciplinamm et artium generc excellentes. In iure
ci\'ili D. loannem Haaium, D. Amicum et D. Gabrielom, viroa omneg
non minus facuudos quam cruditos^ in Canonibus I). Domiuicum, D.
Michaelem Dniysium et Licentiatum Wilmarum Bemardnm , quorum
et vita doctrinac c^ccellcntiae respondet; tbeologorum vero (quoa me-
ritö primo ordine recenaere debueram) magnus est apud nos et nn-
merns et splendor. Intcr quos acutior vidotur et seuior M. N. lacohns
Latomi. Sed quid cgü coccua de coloribus? Doctores tandem raedici
altqui hie pluros auutquam cognoti, et fucmot plurea quam auditorsa,
Sed in dies quoque uomen daritaaque acliolae medicau Lovanii sese
ad aydcra toUit; accesslt enim nnper per Magistratnm Lovaniensem
instituta nova medicinae lectio praeter consuetAS, cepimus qnoque

Tall L7L

322 Curtze: Fünf angedruclcle Brieje von Gemma Frisiu».

anatomen cdcbrare, id quod hactenns plane neglectam fnit magaa
auditomm detrimento , nos qaoque pro uoatra tcnnitate mathemala
hie quadragesima. copimiis declorare, ac in dios satis freqneuti audi-
torio porficimuB.

Quod ad impensas annnas atüact, non est respondere fadla Sunt
oiiim voriao apod nos classes, varii ordincs. Qnisqne pro sna et
dignitate et precio diverse accipitor. Sunt, qni in Paedagogüs TicQ-
taiit 36 aurcis cardis, hoc est 18 dacatis; Bunt in eisdem Pacdago^s
alterius classis convicterca , qui 24, sant qni 35 ducatos annue pcn-
dunt. ßiinili quoqne rationo apnd Doctores ant alios vires doctos
vivitiir. Maxinia vero ex parte et passim hac tempestate 25 dncatis
victus omitur. Novi quoqne alios, qui in Doctonun aedibus 30 du-
catos pro victu numorant. Victus vcro nomine cibum, potnm, cubi-
oula et leutum tantnm nnmeramas; ligna, candelas, vcsdtus aljaqne
hulas modi proprüs quisque sninptibus sibi componere debet. Sed
tanta est apud nos bcUornm tumnltuatio, nt non videam, qua via
DPpotfis R"". D. V. ad nos permmpere possint. Anno elapso Geld-
renses et Clivcnscs Regis GalU instincta ot nomi#e t-otam Brabantiani
fere per insidias occupamnt Quo tempore et ego pro moeuibus qua-
tridunm adstiti iani factos miles non admodum voluntarius, vidiqne
hoBtea bombardamm nostrarom globis disiectos et strenue repulsos.
Vnde tnnc cccini'

Vicimna atmlio Chrisü post rincala Cephae!

Sed haec iam apnd R™. D. V. notisairaa esse arbitror, potaissem
alioquin ingens volnmen harum rerum narratione implere, neqne ad-
hnc finis aliquis apparet, sed tantnm progymnasmata quaedam videntor
prao (sie!), ut nunc omnia furorem Martinm refenmt, omnia sarsnin
dcorsnmquc volutant. Sed dabit Dens bis qnoqne finem spero!

Opus ille mathcmaticom Summi viri D. Nicolai Copemicii summe
degyderio eipecto, qnod impresaum iri D. Enstacliius mibi narravit;
Sed et snb prelo ease iam nunc refemnt nonnnllornm monimenta vi-
romm e\ Germania prodenntia '). £t commodnm sanc nnnc hoc opna
Duoiitur, ut occasum tanti viri pcrpetua luce illnstret, qnamquam opteoi
Viru ilU uestoreia annia digno vitam opere sno durabiliorera, quam at
R**». P, Veatrae et illi concedat Dens optimus maximna qnotidianis
preuibna oro. Uxor mihi chariasima (siel) Barbara nomine, neqne
ro LaÜuii vul Graeca, acd hnmanissima, nt ampicnbns meis gaadet.
tu fuupleKUDi amlcitifto R'"**. D. V. summopere deayderat, veteres

Üame: Fünf ungedruckte Briefe iion Gtmma Frm.

qnoqae E"»"«. D. V. clientali quam commeadatissimi R™=. D. V. caae J
cnpiant. Ex Lovanio VII. Aprilia Anno M. D. XLIII.

Reverendissimae D. Vestrae obaequentisaimuB
Gemma Frisius.
Eeverendisa". in Chriato Patri
ac Domino Dn'o loanni Ean-
tisco Episcopo Warmicasi etc».
Difo & patrono suo CoIendiSBimo.

Dieser Brief hat dasselbe Siegel wie No. III. und ist praeBcntirtJ
XXn Maii, also zwei Tage nach dem Tode des Copernicus.

1) Wenn unsere oben ansgeeprochens Meinong über das prooem
qntid promisit ricbtig ist, so können die monimeDta die hier erwlllnit'f
werfleo nicbt die Narratio prima bedeuten, wir wissen aber bia jetzt nichts
davon, dasa ensscr dicacr Narratio tot dem Erscheinender Revolationes
noch Weiteres ober Copernjens im Drucke erschienen sei. Unter n
m enta kann man füglteh aber kaum blofisc Briefe veratehen; wo sind dicseiben
nuit bingekommen ?

Folgen wir Q acte 1 et in dem Teile seines oben erw^lmtcii Werkes,
welcher von Gemma Frisius handelt, so geben nnsere Briefe man-
chen neuen Aufschluss über das Lehen dieses Mannes, aber anch
Berichtigungen falscher Angaben. Gemma war zu Dokkum in Fris-
]aii4 a™ 8. Deccmber löOS geboren. Jnng verwaist kam er nacli
Gröniagen, wo er seine ersten Studien machte; von dort bezog er
die Universität Loewcn und zwar hielt er sich im Gröninger Colleginm
auf. Schon 1530 veräffentlicLte er seine Ausgahe der Cosmographie
des Apianus; 1531 zeigt ihn unser 1. Brief schon in engen Bezie-
Imngen mit lohanacs Dantiscus, dem damaligen Gesandten des
Königs von Polen am Kaiserlichen Hofe. Gemma ist gefährlich
krank und bittet Dantiscus um Beisteuer zui" Bezahlung der Kosten
seiner Krankheit. Dass ihm diese Bitte gewährt wurde, dürfte wohl
anzunehmen sein, da die nachherigon Briefe sich sonst nicht wohl er-
klären lassen. Wann Gemraa geheiratet, erfahren wir auch durch
nnsere Briefe nicht, wohl aber den Samen seiner Frau, sie hiesa
Barbara. Dass er Anfangs seiner Ehe nicht gerade sehr glücklich
gelobt zu haben scheint, trotzdem er den ihm am 28. Februar 1535
gebornen Sohn als eine ihm geborene Perle (margaritam) bezeichnet
— ein recht hübsches Wortspiel — , geht aus dem ersten Abschnitt
,dea Briefes No. II. deutlich hervor. 1539 muss er schon wenigstens
drei Kinder gehabt haben, eiu Knabe war ihm schon gestorben, dass
^ja^T auch mehr als der eine bekannte Sohn CorneliuB Gemi

D I

h

i

na ^^i

324 Cumt: F^nf uagedruckit Briefe von Gemma Frtti

geblieben ist, zeigt der Scbluss dea fünften Briefes von 1543, deaa
die veteres clientuli, die Eich dem Biscbofe Dantiflcns em-
pfehlen, sind ofTonbar die Bchon erwachsenen Kinder des Schreibers-
GäEzIich falsch ist die Angabe Quetelets über das Jahr, in welchem
Gemma die medicinischo Doctorwttrde erhielt. Er sagt; „Vers
„l'äge de quarante-deux ans, Gemma re^ut le titre de
„docteur en m^decine h l'universitö de Lonvain, et il
„commenga k remplir d^s cette ^poque les fontions de
' „professeur dans le m@me etablissoment ')", das märe also
im Jahre 1550. Unser Brief Ko. IUI. zeigt dagegen, dass Gemma
am 30. Augnst 1541, also neun Jahre früher, die mediciniscbe Doctor-
würde erlangt bat, schon 1536 hatte er, wie der Scblnss von Brief
No. n. zeigt, den Magistergrad in der Medicin erworben, und hatte
alB Arzt seinen Lebe nsnntorh alt gcauoht, dagegen, wie er in Brief
No. in. selbst sagt, die Mathematik bei Seite gesetzt „ita urgente
„rernm nostrarum conditione, qnae quaestnosam magie
„requirunt quam iucundam artem". Mit der Angabe unsrer
Briefe stimmt Poggcndorffs Biographisch-Litterarische«
Handwörterbuch, denn dieses sagt unter dem Stichwort Gemma-
FrisiuB „Arzt und seit 1541 Professor der Medicin an
der Universität zu Loewen", dass aber auch diese Angabe ein
Irrthum ist, zeigt wieder unser Brief V., denn darin sagt Gemma
selbst: „nos quoque pro nostra tenuitate mathemata hie
quadragesima cepimus declarare, acindiessatisfreqnenti
attditorio pcrficimus". Er war also seit den vierziger Jahren,
das heisst dochwobl quadragesima, Professor der Mathematik;
wäre er 1543, wo der Brief V, geschrieben ist, Professor der Medicin
gewesen, so würde er dies sicherlich seinem Freunde Dantiscne,
der ihn ja um Batb gefragt hatte, angegeben haben. Dass Gemma
später Professor der Medicin war, scheint sicher, wenigstens hat der
Titel der 1553 neu aufgelegten Ausgabe der Cosmographia Petri
Apiani*) die Be_zeichnnng per Gemmam Frisinm apnd LoT;
nienses mcdicum et mathematicum insignem. Er starb '
25. Mai 1555.

Die Bemerkungen über das Copernianische Werk sind sehr intern
easant. Sie zeigen das hohe Interesse, das Gemma an den Unter-
suchungen des Copornicus nahm, aber auch recht schlagend die
Noth wendigkeit der Reformation der Astronomie. Ich mache ausser-
dem noch auf die für die Culturgeschichte besonders werthvollen Anf-
fichlttsse über die Loewener Universität nnd die damaligen Preise dw_
Wohnungen für die Studirenden aufmerksam, welche der Brief No.l^
enthält.

Thoni, 30. Märt 1871 ^^^^^^^^ M. CnrttfcJ

L ^

.- FünJ ungedmdde Britfe von Gemma Fritivi.

«telet ■cbreibeu wollen t
ere üaBoCmerkBamkeit Q n e i
e fut Cornelius Gemm

mpa qui

Beiden

I) W*hneb«iD|icb bat (
Hier will icb noch anf eine a
miicben. S. 86 at^hrcibl er:
la perle „en 1558, en n:
dagegen sagt er S. 89 er sei 1578 gestorben
0«. 157T lU Loawpn.

S) COSMOGBAPHIA Fetri Apiai
enioB Mcdicuni & Mucbematicum ineigDcm, iam dcmum i
■nendis, ac nonoiiUis qDoqao locls nncta, figun'squs iio<
etaidvm nrgumenli llbollia ipsiai Gemae Frisii. Parisiii.

1 lacoboa: »ab intersignio D.Martini. 1S53.

falsch; er starb IS. |

risium apud Lovanl-
b oniniilus vindicnla
s illaelrata: Addilia .
Vaeneunt apnd Vi-

Znr EntstebungBgrachichte der BevolatioiteB des Copernicos.

Unter den Notizen, welche Copernicua in die jetzt in Upsal»
aufbewahrten Bltchsr geschrieben, die er einst besessen, befindet sich
auch eine Reihe von astronomischen Tafeln und ein diese erklSjendea
längeres Capitel mit der Ueberschrift: „Latitutidem Veneris et
Mercurli invenire". Diese Tafeln mit Erläuterung sind die Quellen
der Tafeln Über die Breite der fünf Planeten und das letzte Capitel
des VI. Bnchc3 der Revolutionee, nur sind eio in viel grösserer Ans-
führhchkeit und Breite angelegt. Wahrend die Tafeln in dorn grossen
Werke des Copernicus nur von 3 zu 3 Grad berechnet sind, gehen
die handschriftlichen Tabellen von Grad zu Grad und bei den Pro-
porti onaltheüen von Minute zu Minute. Das Buch, in dem sie ent-
halten sind, besass Copernicus schon im Jahre 1500 in Bologna,
wo er, wie sicher aus demselben hervorgeht, noch im März 1500 ver-
weilte, und es ist also höchst wahracbeinhcb , dasa die fraglichen
Tabellen vor denen der Revobaionea gearbeitet sind, mit denen sie,
soweit dies möglich ist — ihr Umfang ist ja ein völlig verschiede-
ner — , genau übereinatimmen. In demselben Buche findet sich auch
die späteste, bis jetzt unbcltannte, Beobachtung des Copernicus,
eine Venuabeobachtnng vom Jahro 1532 — die bis jetzt bekannte letzte
datiert von 1529 — . Copernicua hat auch für den sinas totas_

i Fünf ungediuckte E

von Ocnma Frisias.

= 10000 IQ derBclben Haadschrift die Secanten fllr alle Grade d«
Quadraiitou berechnet Bis jetzt galt, wenn man von Manrolikns
aus Palermo, dessen Schriften erst nach CopernicuB Tode 1557 er-
schienen, absieht, Rheticus als erster Berechner dieser Fnnctiona-
art. In dem grusscn Opas Palatiiium sind dieselben genau in der-
Belbeu Weise, wenn auch in grösserem Umfange, berechnet, wie dies
Gopernicus in der Upsalenäer Handschrift thut. Nun sagt Rhe-
tiCQS selbst, dass er seine Untersuchnngen geschöpft habe ex amoe-
nissimo horto Coperuici, die Upsalenser Handschrift ist anch
sp&teBteas 1532 zun Abschluss gekommen, also zu einer Zeit, wo
Rheticus noch Student war; Rheticns dürfte also wohl eher die
Idee zur Berechnung derSelianten von Gopernicus erhalten haben,
als umgekehrt Gopernicus von Rheticns, der erst 1539 nach
Francnburg kam. Gopernicus yerdankt also die gelehrte Welt die
Eiuffüirung der Secanten in die Wissenschaft. Die Tangenten hat
bekanntlich Abnl-Wosaeingefahrt unter dem Namen umbra recta
und umbra versa. Daas umbra recta mal umbra versa = 1
ist, lehrt Bradwardin in einer im Vatikan handschriftlich erhalte-
nen fälschlich sogenannten Perspectiva. Der Cosinus findet sich
zuerst berechnet in des Rheticus Ausgabe der Trigonometrie des
Gopernicus, wie in den Prolegomenis der Säcularausgabe schon
gezeigt ist. AJle diese Eintragungen des Gopernicus werde ich in
nächster Zeit in der „Zeitschrift für Mathematik nnd Physik, Leipzig
Tenbner" in exConao veröffenthchon; ich glaube aber, dass eine vor-
läufige Nachricht in diesen Blattern, welche die Interessen der Provinz
so trefflich vertreten, nicht unwillkommen sein dürfte. Die später
anch im Separatabdruck erscheinenden Reliquiae Gopernicanae
sollen auch die Notizen umfassen, welche in der Pulkowaer Hand-
schrift (siebe Altpr. Monatsschr. 1873 S. 155—162 enthalten smd.
Nach nlLherer Ansicht glaube ich fflr die Autenticität dieser Hand-
schrift ihrem grössteu Theilo nach einstehen zu können.

Thom, den 3. März 1874.

M. Curtzo.

XXX.
NClscellen.

Lehrsatz.

Wenn in der Ebene ein beliebiges Dreieck A^A^A^ (s. d. Fig.) mit
dem Höhenschnitt A^ gegeben ist, nnd wenn dnrcli einen willkürlichen
Funkt P und je zwei der Punkte A Exeise gelegt sind, wenn endlich
jeder dieser sechs Kreise um die Sehne zwischen den zwei Punkten
j4i durch welche er hindurch geht, herum geklappt wird, so schnei-
den sich die sechs Kreise in der neuen Lage wieder in einem Punkte Q.

Beweis. Dass der Satz zunächst für irgend drei Kreise gilt,
welche um drei Sehnen herum geklappt werden, die ein Dreieck bil-
den, z. B. für die drei Kreise A^A^P, A^AgP, AgA^P, kann leicht
ans der Betrachtung der Pcriphoriewinkel gefolgert werden.

Es bleibt dann noch zu beweisen, dass er auch für drei solche
Kreise gilt, deren Sehnen in einem Punkte A zusammentreffen, etwa
AiA^P, A^AsP, A^A^P.

Man errichte in den Endpunkten Aj A^ Ag auf diesen Seimen
Senitrechte, welche das Dreieck BiB^B^ bilden mögen, für welches
die Punkte A^ A^ Ag die Seitenmitten sind.

Die in den drei betrachteten Kreisen dem Puidite A^ diametral
gegenüberliegenden Punkte C, C^ C^ sind die Durchschnittspnakte
der in P auf A^P errichteten Senkrechten mit den Seiten des Drei-
eehs Bi Bf Bf. In den drei umgeklappten Kreisen seien

I

:J2»

diaittotral gegen Qlierliegendcn Pnnkte /7, D^ />,; daiu liegt D^ laf
ßfHf nad tii ist von der S«itcuniitl£ A^ ebenso weit eatfemt wie C^,
teilt also die Seite ßg/f» im umgekehrten Verhältniss, wie Ci, du
entsprecbende gilt von D^ nod D,; folglich liegen die drei Punkte
D, Ü, i>3 anch in einer Geraden. Man ßUe nnn anf diese Gerade
von A^ au8 die Senkrechti! /I^Q, dann erkennt man leicht, dass jeder
der drei umgeklappten Kreise durch Q hindurch geht. q. d. e.

Bemorknngen. Iia Allgemeinen entspricht für ein gegebenes
Dreieck jedem Punkte P ein Punkt Q, und umgekehrt dem Punkte Q
der l'unkt P. Nur wenn P in einen der vier Punkte Ä rückt, so
denken sich drei der vier umgeklappten Kreise vollständig und der
vierte Kreis ist unbestimmt Es entspricht also jedem der Fanda-
montalpunkte A jeder beliebige Punkt des durch dio drei andern ge-
legten Kreises, nnd umgekehrt. Drei endliche Punkte entsprechen
«ich selbst, nämlich die Durchschnittspunkte der Yerbindungalinien von
je zweien der vier Punkte A.

Jeder unendlich entfernte Punkt entspricht ebenfalls sich selbst
Bewegt sieb P auf der VorbindnngBlinie irgend zweier Punkte A, so
bewogt sich Q auf derselben Geraden nnd zivar sind P und Q stets
gleich weit von dem Punkte entfernt, in welchem jene Gerade von
der Verbindungslinie der beiden andern Punkte A getroffen wird.
Bewegt sieb P auf einem beliebigen durch zwei Fundamentalpnnkte
z. B, j1, A^ gelegten Kreise, so bewegt sich Q auf dem umgeklappten
Kreise. Beide Kreise werden identisch, wenn sie die Verbindungs-
Eobne der Punkte A zum Durchmesser haben. In diesem FaUe bilden
die Punktpnaro J'Q auf dem Kreise eine krumme involntoriscbe Punkt-
roiho, deren Doppolpunkte dio beiden sich selbst entsprechenden
Punkte sind, durch welche der Kreis hindurch geht, und zwar bilden
die Verbiudungssohneu P Q oiueu Strahibüschcl, dessen Centruin der
Halbirnngspunkt von A^A^ ist

Berlin im Februar 1874. F. August

rnb«r <'lne Eeni»«e ria^se in der Trigonometrie nnd Astronomie käofl^
in Anwendung kommender nneodllchen Beiben.

ünlor der obigen Ueberscbrift bat Professor Dr. Grnnert im
18. Bande des Archiv's dio wichtigsten in der Astronomie vorkom-
mendeu unendlichen Reihen mit Hülfe der l^aclaurin'schen ßeihe

entwickelt. Iq dem Folgenden gebe ich eine directe Herleitiing der
Keibe für tgy = atgx und bestiimne aus dieser durch passende Snb-
Btitationcn die andern Reihen.

Ans tgj/ ^^ atgx folgt zunächst durch Umkehnmg
1) jF — arctgatga:

und hieraus durch Ableitung nach xi

dl cosi*-["a'Binx'

Setzt mau in

■St-

2) »

1—6 , 1— a

Bo entsteht

3)

*

1-'' rH„

^l + 2icos2^-!-fi' ^-^^

«

1-6»

(l+i,2=rf,(l4.Js-2ny

Wird ^^u gesetzt,

SO ergiebt sich

5)

(i-iV 1 b

(l+6«)("+6) 1+6« »+6'

also ist auch

*

1 he--^

"l+6c^f l-|-6e-
Durch EntTtickelong der Brüche in Reihen erhält e

7) ~ = 1— 26cos2a+2i»coB4z— 263co36je..

and hieraus durch Integration:

9) p = i~6sin2x-[--ö sinia; s sin 6a ...

Hat man die Gleichung

9) '«(»+ä)-rr;'«i'

BO ergiebt sich aus Nr. 8), da 6 = — a wird :

10) y = nain x-\- -^i,vx2x-\~ ■^f.mZx ...
Ana Nr. 9) ergiebt sich durch Umformung;

1 ^^^^^H

lÜMaOm. ^^^^^^^^^^1

11) ams = n>im(x+s) ^^^^1

^^^^^^H

"^^^^^H

^^^ *** 1 — oCOSic' ^^H

so dass also die Reihe in Nr. 10) aucb die Entwickelong von y «^^
Nr. 11) und 12) gicbt. Soll aus tgy = tgx+a der Bogen y gefonden T
werden, BO bilde mau: J

tvodurcb Eich ^^^|

13) 6ia(y—x) = acoaxcoss ^^^M

^^1

Setzt man in Nr. 13) ^^M

^ = ~+l nnd ^H

y = l+')+l. ^1

^^H

und aus Nr. 13) wird ^^1

14) -^ 8i-jJ3 = asiu|Bm(,j+D, ^H

niithia ist, wegen Nr. 11) nach Nr. 10) ^^M

15) ^ = asiuäaiu|+^^'Bin2| + ?^Bin3S+... ^M

oder weuu man für £ uud i; wieder x jmd y einfulirt: ^^H

1 16) y = a+acosa!C08a! — ^C0aa!*Bin2a4-'3 C08**e083a: ^^^|

1 — ^C08x*siu4(c^^^|

Weuu gegeben ist: ^^^|

cotgsf = cotgx+a, ^^H

so ^^^^^H

cotg, cotg. ^^^H

^^^^^^^^M

17) mi(j,—,e) ^^^^^^1

1 Beut man ia Nr. 17) g = ^+k, so entst^t^^j^^^^^H

iHscellln.

18) siiiTj ^ — aaiDa;am(i]-|-x},
mithin nach Nr. 11) und Nr. 10)

19) 1) = — asinj:8ma!+-ySin3:äBia2» — ö-sinx*sin3K
und wenn mau für i] meder $ einfikbrt:

20) y = 11!— asina;Bin3:+-2 8ina:^sin2a: — -q ain:c*8in3irT ..._

Aus Nr. 3) und Nr. 7) ergiebt sich

1— Sä

1— 2icos23:+ai*C094a!— 2ÄäcoBen! .«

l+26coä2s+6»
Ersetzt man i durch —6 and a; durch

Addirt man zu beiden Soiteo von Nr. 22) 1 und diTidirt beide Seiten^
durch 2, 80 orhSlt man:

23) j^

= l-|-ÖCOS!e+53coa2x+6äcos3a:...

in eine Reihe zu verwandehj, setze mau für s:
in Potenzen von e, so ergiebt sich

25)

nad durch Zerlegung in Partialbriiche :

1 6e-"'

26) 2^ 1^_______^.

und hieraus durch Verwandelnng der Quotienten in Reiben:

27) M = äsina;+S*sin2ii;-|-öäsin3a!..,

Um w = logVl — 26cosa;-J-fi* in eine Reihe zu verwandeln, er-j
setze man den Badicandeu durch

(l—bß^Hl—be-'i),

Kiel, den 9. JanD&r 1874.

Bemerkiuig xn Herrn Llgrowski's Krelsbereehntmgsfbrm«!.

Im 65. Teile des Archivs (MiscelleD Seite 218) giebc Herr LiS
gowRlci eine Fonnel, welche zur Berechnung der Zahl :
kann. Diese Formel heiESt:

PtPaPs - e»

(1)

Hier bezeichnet u und Um die Umfange des regulären n resp.
2".nEck8 im Kreise, und ^i(il = 1,3,3 ... m) den Radius des in das
A Eck eingeschriebenen Kreises. Aus dieser Formel folgt f llr n -= 6
die zweite:

PiftPs ■
die von Herrn Ligowski angegeben wurde.

Man kann aber ans der Formel (1) noch eiae zweite bemerl
werte Folgerung ziehen. Nehmen wir an, dass u den Umfang eis«
eingeschriebenen regulären Vierecks bezeichne, so ist dann, wie leicht
eriichtlich;

J

und dies ist dio Formel, welche nir erhalten wollten. Sie stellt die
Zahl Jt durch ein nnendliches Product dar. Ans ihr folgt die con-
vergento unendliche Keihe:

log-ii-=logsec-r + log8ec ^ + Iog8ec 7^+ Iog8ecs2^-...

oder:

logg-

' S logsecs

welche zur Berechnung der Zahl re dienen kann.

Die Formel (2) kann auch trigonometrisch bewiesen werden;
£s findet Bämüch folgende Eciho von Identitäten statt:

23i"|i-cosJ=siii2;^.
Mnltiplicirt man diese Identitäten gliedcrweiso, so erhält man:

2*~^ . Bin 2^ • cos — cos -5- cos 7^ cos ^
und somit:

= 8""''16""''32 ■

sm-ö

1

COSx • cos -^ COS--;

Es ist aber

also:

und daher

s = lim —

sin(7r.i"- ')

1

q-COSTc COBs;

'»16 '""Sä-

ganz übereinstimmend mit (2).

Warschau, den 30. October 1873.

S. Dickstein,
Gymnasiallehrer in Warschan,

MücelUn. 333

1« «4V2

V2+V2

y2-}-i/2+y2

'^2+V2-|-V2+y2
Ps 2

U. B. W.

Ss wird also nach (1)

4V2

2+V2 y2-f-y24-y2 T^2+V'2+y2+y2

—————— » _. ' • ■ ' _ •••

2 2 2

Kiimnt man an, dass m unbegrenzt wächst, so wird limt»m » 2n^ und
wir erhalten

4V2
23r = lim _ / —

2+y2 y2+y2+y2 y2+V2+y2+y2

2 • 2 2 •••

wo die Zahl der Factoren im Nenner jetzt unbegrenzt ist.
Es ist aber bekanntlich:

y 2 «=» sec "2 >

y2+y2 n V2+y^yl n

"^2+V2+y2+y2

«<>«ä

U. 8. W.

und daher:

48ec-j-
2n «- lim -

n n 7C n

COS-gCOSjgCOSggCOSgj.

od^:

2- = limsec xs^c g-secjgsecg^^ .•• (2)

a. sin (180 — a)

» —

. 5—1

8m— T — .a

. 1—1 •
gm w .«

W)r kibta teiMr:

ttttd fttr ^ und « oMge Werte eingesetzt:

^ , ^^ a*.sm*(180 — a) o^.sin*«

sm'~| — « am* -| — .«

o
a'.sin*

a*.8m*j

" . «5—1 '
sm'— r — . o

9Xn die beiden Onrndgleichongen.

Seixt man i. B. S <* 3, so erh&lt man, nach Etiminatioii von a,
a)a Curve für die Dreiteilung des Winkels:

Itt» Hat ihren Gipfel hei

,«?ys =- 0,863a

(!) (VS—1) — 0.592

l\(« Curve tB^ Fünfteilung hat folgende Gldchimg:

^«(16»*— a«)+3f*(l3a**«— 32«:»— IGj^)
-f-i^«(d4ac>~a2«*«*— 16««)+15a*««

^ÜSHI^rftV'^lf ^u^ Winter 1872/3.

lugemeur-Haaptmann vt>n WasserschlebesL

Reriehtignng.

*Mä ffK^^'^^ ^ ^^7 verlotite Zdle ü^t hinter dem Worte
j I ^|^ny^*•*^***^<^^<»^ und tn der danof fidgoidea Gld-

338 Meine!: BemcTlc. über die Reduction dtr voRen etlipt. Integrale t

1 — 1» ',&

(2)

gefunden werden kann.

Die Gleichung (2J leitet man aus der Verbindung von (

den Gleichnngen

'^\ Fk }— 2(t— fe3)J'»(i)

V Fl }

73 gleichfalls

her, wie dieses Jacobi in den Fnndamentis novis [
getan hat.

In den vorstehenden Gleichnngen (1) und (2) ist n eine ganze
poaitivo Zahl, welche den OrdnungBoxponenten der angewandten Trans-
formation darstellt. — Leicht lässt sich zeigen, dasB diese Gleichungen
noch gültig hloihen, wenn n gleich einer gebrochenen positiven Zahl
wird. Denn durch eine Transformation mter Ordnung würde man
erhalten

Aj

und durch Verbindung dieser Gleichungen mit (1) und (2) zu den

n k — k' dfi.

-f*3'<a

Man sieht hieraus, dass die Gleichnngen (1) und (3) bestehen bleib«
selbst wenn man n gleich einer beliebigen positiven rationalen i
setzt. Nur sind in diesem Falle zwei Transformationen ai^
zuwenden, deren Ordnnngsexponenten dem Nenner aii
Zähle^r der gebrochenen Zahl n bezieh lieb gleich werdäd

Nun differentijre mau die Gleichungen (1) nach k und bcant|i
die bekannten Relationen;

Mets sei: Bemerh über die Reduction der vollen elUpt, Integrale etc. 339

sowie die Gleichungen (1) nnd (2); dann ergeben sich leicht die bei-
den folgenden Gleichnngen:

r 4^) 1

Durch Znsammenstellniig erhält man demnach:

( ) W I jjfiit* der entsprechenden alge-

A /^ ^ [ braischen Modular- Gleichung

n

FVl-l^ = -FVl-k»y zwischen k und A.

*— ifc» dX

»•■

^^ / E(X) = -^E(k)-BF(k)

wenn gesetzt wird:

Differentiirt man nun die Gleichungen

d\

E(l) = jE(Jc)^BF(h)

E^/l::^^\Eil=l^^^{^^^Fil^

h^

abermals nach k und benutzt die vorher angegebenen. Relationen, so
gewinnt man eine neue Beziehung zwischen J., B^ ^, nämlich:

^ü^^id-i.) = (J_b)(1-.^)+(.-.3)

dB

dh

340 Melaael: Bmfrls. aber die JtedHCtkn dtr

Bo dass Uberbaapt zwiacben diesen drei Grössen und dem Modnfi

folgende Gleichungen bcatclien:

t:

Heisscl: Bemerk. Über ilif liedacHoa der vollen tllipl. Iiitegralt etc. 34^

imd addirt dieBcIbeu, so ergiebt sich:
F{l)Eil^^^-\-Fil — k^E{k) — F{}.)F-\/\^^

= F(h)E')/T^^^-\-FT/\'^^E(k) — Fik)Fil^

DioBO Gleichung gilt fttr jeden beliebigeu ratiouälei^
Wert TOQ n; daher mass jede der bcidea Seiten sich au^
einen constanten Wert reduciren. Also:

F{h)Ei\—k^ — \F{k) — E{k)] Fi/l^^ = Const

Dass \F(k) — E{k)\ Fyi—k* für abnehmende k Bich der Nnl

grenze nähert nnd F(k)Eyi — P (jjg Grenze w fOr k = erreicht,

beweist mau leicht aus den Integralen und leitet auf diese Weise
den schönen Satz des Legondro auB der Transforma-,
tion her.

Es mag nun b der algebraischen Modulargleichung zwischen j
und l unter der Voraussetzung, dass n eine positive rationale Zahl is

eingesetzt worden, so wird k eine specielle Zahl, welche nur von gl
abhängig ist nnd man gewinnt aus (3);

f/I— P = y™ F{k)

ynE(k) — Eyi^^= BaF(,k)

wo So der besondere Wert ist, welchen B in diesem Falle annimmt
nnd den mau in jedem einzelnen Falle von der Auflösung einer
algebraischen Gleichung als abhängig anzusehen hat.

Durch Torbindung der zweiten Gleichung (5) mit der Gleichung^«
von Legendre

F{k)Eyi—k^+ fVi — k^E(k) — F(_k) fVi

erhält man die Resultate:

f fVT^^— y/n.F(k)

(6) ■^« = (»+äy-><'-)+5Yf=

344 Mets sei: Bemerk, über die ReducHon der vollen ellipt, Integrale ste.

(12)

(14)

rVl— ifc*= V7.F(fc)

4Fyi — ifc«

EVl-^={i-^)FVl-k^+:^^

i-V2yv2-i

n =s o; K = , :

i+y2yy2— 1

2— yi+2vy2— 1* ^'^4FVr=^i«

1 — Vi + 2l/V2— i ^4if'(fc)

„ = 9; 2*yi=Iä=Ö^^

V3— 1— y2y3— 3
V2

FVl— fc» = 3jF(fc)

£(*) = (i + ^T^)^(t) + AirJ—s

£vT^rp - (i _ J^^ ) f y nrjfci +

\ t/9. -./«/

9IP

y2.{^3>' '^*^*^

Q. 8. W.

Es braacht kanm bemerkt za werdoi, dass wenn n ein Qnadiat
ist, die Gr6sse F(il;) sich stets dnrch Fy| darstdlen lässt So ist z. B.

für H = 4; F(fc) = f^?^

y3(3-y3)

äleisael; Beiaerk. über die Hedaclion der vollen ellipl. htlegrale i

Um die ~Beaultate für gebrochene n ohne zu grossen ÄofwEuuw
von Rechnntig zu gewinnen, bemerke man, class ans der TraLsfor-f
matiou <iter Ordnong (n ganz) die Gleichungen fiiesBen:

EQ,) = ^ E(,h) —BF(k)

und aus der Transformation mter Ordnung (m ganz) die folgenden:

£(!) =

p£Cft)-ß.n/*J

fi~ft» dk

(i):

ü?)—A^(l — )?)

Durch EUmmation der „A" folgt:

F{,L) ^-^Fik): fVitr^T*^™.

E{^) =

-j'-E(k)-

Aus der letzten Gleichung folgt, dass alle Gleichungen
(3) BolbBt noch für gohrochcne n gültig bleiben. Ferner
ist klar, daBS die Modnlargleicbung zwiscltcu k und f« als das .

346 -^etsjel.- Bemerk, über die Reduclioii der volUit elUpl IntegraU etc.

Eesnltat der Eliminatioa von l ans den algebraischen Gleichungen
zwisclieu X imd Je, sowie zwischen i nnd fi selber algebraiscb

wird.

Ich will der Kürze wegen die obige inverse Doppel -Transfor-
mation als eine Transformation von der Ordnung - bezeichen; so-
wie die algebraische Gleichung zwischen den Moduln k und ^ durch

(15) /{k, (1,^ =

Setzt man nun:

so werdeu A und B algebraische Functioneü von k und (t.
Femer ergiebt sieh, daes wenn ft =^ V 1 — fc^ gemacht wird,

( FiT^-\\..

und Btj eine algebraische Zahl wird, welche von der Qrösse j
Bruchs -^ abhängt, sobald die algebraische Gleichung

fih, i\ — hh~)='0

sich algebraisch Iöbcd lässt.

B. für »—,%«— Jl

E(l) =

Eyi—h* =

8V2+6V3— 11 — lyc ^
V6

Um za nntersuchoD, ob in dem Fallo

die Yolleo Integrale zweiter Gattung durch F{k) und alüubntiitoll
Zahlen auEgedrückt werden können, hat man dlo Mudulargloichuf
für die Transfonuatiou sieboutcr Ordnung

mit der Modolai^eichting Hü die Transformatloii dritter Ordnuug

yi;; + -V'{l-l»)(l-jt») = 1

za verbinden, (i' =^ I — A* zu setzen and zu unUjrBUchen, ob k t
bei den Gleichungen algebraisch dargcsteUl werden kann.

K Han setze, wodurch beide Gleichungen crftUlt werden:

'(i-t^(i-i') = (i^)'i a-*')»'=(i^)'

Ans ilineii folgt zmiiclut

i_x»_2yi=p

und djim ilvtb Fli iB i i H l i flp

z>+12a>+2a>*+«<»'— 1» —
mit teireefla Winda

, <-*y'— *

348 Mets sei: Bemerk, über die Redudion der vollen ehipL Iniegnüe etc.

Ist der Kürze wegen

a; = V2V7— 5

so folgt:
(18) / N / \ /

and es sind in den Gleichungen

FVT=P=y5F(^)

n

E{k)^gF(k)+-^^ryf^^

eVi — I^'-^ 711^1-^1^ +

4:F(k)

X-, g and h algebraisch darstellbare Zahlen.

Ich habe in einer grossen Anzahl von anderen Fällen die Modaln
k\, welche der Gleichang

\

^■^^^'-Vl

F{k)

genügen, in algebraischer Form gefanden. In allen diesen Fällen
sind die Tollen elliptischen Integrale zweiter Gattung in
F{1:) and algebraischen Zahlen darstellbar. Ob aber Jb immer
als algebraische Zahl dargestellt werden kann, daiftber wage ich keine
Yermntong aoszasprechen.

Kiel, im Janaar 1874.

Zahradnik: Harmonische Punktsysteme auf rcUiomden Curven etc 349

xxxn.

Harmonische Punktsysteme anf rationalen Curven
dritter und yierter Ordnung.

Von
JT. Zahradnik.

Die Gleichung einer rationalen Curve dritter Ordnung, nämlich
€4^, wenn man die Doppelpunktstangenten zu Coordinatenachsen
wählt, ist

ax^-\-bx^y'\-cxy^-\-dy^ = kxy (1)

oder mit Anwendung eines rationalen Parameters u

hu
a-\-hu-\'Cu^'\-'du^

hu^

Die Ol. (i) können wir auch in Form

ox^+dy^+xyA = (1')

schreiben, wo dann A^bx'\'cy — ä ist. -4 = bedeutet, wie am
anderen Orte*) bewiesen wurde, die Polare des Doppelpunktes in
Bezug auf den Involutionskegelschnitt.

(2)

*) Sitzungsbericht vom 7. Nov, 1873 der Königl. böhm. Gesellsch. der
Wissensch. Prag.

■0 P^

35Q ZahradniJc! Earmonisch* Punllti/iUmi

2. Sie Gleichimg der.Tai^^tc im Fonkte h i

3:(rfu* — 6m« — 2fl«)+y(o — eu* — 2d»ä)+ftt(ä =

Fassen wir nun x, y als constant, als Coordinaten eines feston Punktes
in der Ebene der Cj^ auf, bo geben die Wurzeln der Gleichung (3)
in Bezng anf u die Parameter der Berührungspunkte der aus dem
Punkte (x, y) zur C^ gelegten Tangenten.

Wir können uns die Frage stellen, welches ist der Ort der Punkte
{x, y), deren entsprechende Berührungspunkte sich aus dem Doppel-
punkte in harmonischen StrahlenbUscheln projiciren.

Im allgemeinen sind nun vier Punkte, deren Parameter Wurzeln
der biqnadratischen Gleichung

sind, liarmonbch *), wenn

ß, r,'

ist. Ordnen wir demnach die Gl. (3) nach den Potenzen vo
vei^eichen ihre Coefficienten von a mit denen der Gl. (4), bo fo4

ö = — 2^ f = ay

Führen wir nun diese Werte in die Gleichung (5) ein, so erhalten j

27
WO i — 'S ad, uad/(3;, y) = aa^--i-dy^-\-xi/Ä ist, als Gleichung dee

gesuchten Ortes. Wir sehen demnach, dass der Ort der Punkte (as, y),

deren entsprechende Berührungspunkte harmonische Pnnktqnadrnpeln
bilden, eine Onrve dritter Ordnung Tiat, welche durch die drei In-
flexionspunktc der Q' hindurchgeht und ans der Form der GL (7)
sehen wir, dass J = die Gleichung ihrer Verbindungslinie ist.

Für das Descartes'sche Blatt ist ^ = 3a und l =
geht die Gl. (6) über in

demnach

■> Dr. H. Durfege: I

auf rationalen Curven dritter und ti.

Das ßescarteB'scbe Blatt und dessen i^^O baben somit dieselben
aaesdlicb fernen Punkte. i'= schneidet die C^^ in neun Punkten,
von denen drei auf i!er Linie A = Q liegen, somit liegen die übrigen
secbs auf einem Kegelsclinitte.

3. Die Wurzeln der Gl, (4) sind Parameter aequianharmoniacher i
Punkte*), wenn

«+3/ä = 4(3d (8) \

351 ^1

FtÜiren vir in diese Gleichung aus (6) i
selbe Aber in

Werte ein, so gebt die-

(9>-j

d. i.: Der geometrische Ort der Punkte (x, j/), deren entsprecheuda J
Berßhnmgspunkte auf C^ sich aus dem Doppelpunkte in ae
anharmoni sehen Bilsclieln projiciren, ist ein in eine doppelt zn zäh- 1
lende Gorade ^ = degenerirter Kegelschnitt.

Zieht man aus einem Punkte der Polare A des Doppelpunktes ]
der Ci^ in Bezug auf deren Involntionskegel schnitt Tangenten, so j
bilden die Berühmngspunkte ein aequianharmoniscbes Punktsystem
(nämlich dieselben projiciren sich ans dem Doppelpunkte in einem '
aequiauharmoni sehen Strahlenbüschel).

4. Einer Curve dritter Ordnung mit einem DoppelpunJrte
Pnnktcoordinaten entspricht eine Curve dritter Claase mit eim
Doppeltangeute in Liuiencoordinaten. Sind |, rf Coordinaf«« eim
Tangente der Curve, so ist die Gleichung der Cj*

oder

Diese Form ihrer Gleichung, vrelche ganz analog der Gl. (1) ist, j
setzt nachstehende Wahl der Coordinatcuachsen: Die Doppeltangente ■
fällt mit der unendlich fernen Geraden zusammen und die Tangenten
ihrer Bertlhrungspnnkte (ausser der Doppeltangente) sind Coordinaten-
achseu und iiir Durchschnitt Coordinatenanfang. A:=0 ist die
Gleichung des Poles der Doppeltangente in Bezug auf den luvolu-

Durch dieselbe Rechnung, wie sie oben durchgeführt wui
geben sich entsprechende Sätze für Cj* und zwar:

352 Zakrailiiik: Harmanuclf PankUytteiM

Die Geraden, welche die C^ in harmonischen Pnnkten schneiden,
{d. i. die Tangenten der Dnrchschnittapunkto beetimmen auf der
Doppoltangente harmonische Pnnktajsteme) hüllen eine Cnrve dritter
Classe ein T, welche die durch den Punkt ^1 = gehenden Tan-
genten mit der C3* gemein hat. Die übrigen sechs Tangenten, welche
r mit C3* gemeinschaftlich hat, hüllen einen Kegelschnitt ein.

II. Jede durch den Punkt A = Q gehende Gerade schneidet die
Cj* in einem aeqaianharmouiBchen Punktsysteme.

5. Die Gleichung einer durch die imaginären Kreiapunkte gehen-
den C^, wenn wir die Rückkehrtangente zur x Achse wählen, ist:

oder mittelst des rationalen Parameters m vermöge der Eelatiofl x^ug
au^-\-iu*-{-aa-\-b

Die Gleichung der Tangente im Punkte u ist

y{2««3+i„a_i)_^(3a„s_|_2i„_|_o)_(_c
und der Normale in demselben Curvenpunkte u:

— (2ac«ä'+iCTi+ac) =
Ordnen wir diese Gleichung nach den Potenzen von «, so erhalten n
Sa^ÄM* + 3a(oj(-|- ii)«3+ (5aiy 4- i».r— 2ac)uä + (a^y-\-'2b''y—2abx—beyt

-\-(ahy-lßx-ao) = (10)

Aus der Form dieser Gleiclinug folgt, dass die Fusspnnkte der Nor-
malen eines jeden Punktes der Geraden

ay-\-bx =

auf einem Kreise liegen, denn in diesem Falle ist («)i =

Vei^leichen wir nun die Coefficienteii der Gleichung (10) mi^ '
denen der Gl. (4), so folgt

a ^ 2a%, ß = jiay^bx), y = ]^ {hahi, -\- h^n

auf rationalen Curven dritter und vierter Ordnung. 353

Führen wir diese Werte in die GL (5) and GL (8) ein, so besagen
uns die resoltirenden Gleichungen, dass

I. Der geometrische Ort aller Punkte, deren Normalenfdsspankte
harmonische Ponktqnadmpel bilden, ist eine Cnrve dritter Ordnung.

n. Der geometrische Ort aller Punkte, deren Normalenfusspunkte
aequianharmonische Punktquadrupel bilden, ist ein Kegelschnitt.

Für die Cissoide ist der letztere Ort eine Parabel, deren Gleichung

Ten L7L * 23

Jt54 Iloppt', Inhalt des Sechsfladu zwiseken orthogonalen Flächen

xxxm.

Inhalt dos Sechsflachs zwischen orthogonalen Flächen
zweiten Grades und seiner Seiten.

Von
JZ. Hoppe,

h KOrporlnhalt bei aUgemeiiier Bestimmmg«

Diu Oloichungon

;^+5!:i+^=i = i- (1)

-^+r^+-=^ = i (2) i

a — V ' — V • c — V ^ '

sU^Uim bei Vt\räudoraBg der Parameter u, v, to drei Scharen von
VUlchou *J. Dradea dar, welche gememsamen Mitte^unkt, gememsame
AxouavoUuug, gemeinsame Brennpunkte haben und sieb rechtwio&Ug
!»v'.)iuoidiU\ \Xk%\ man die Gleichnngen nadi ^^ ar*, s* auf, so kommt:

^t ,=, -■ ■ (t — a)(ü — «)(to — ö)

4* — • ^ (h— O) (•— C)(«— C)

iweiten Grada und seiner Seiten.

wo zur Abkürzung

d = (b-c)ia-a)(a-b)

gesetzt ist Vorausgesetzt ist, dass a, b, c von einander verschieden
sind. Man kann daher annehmen:

Da brä Yertansehung von u, w, uj das ganze Plächensystem ungeöndert .
bleibt, BO lässt sich femer festsetzen

ohne dass dadurch irgend ein System dreier sich schneidenden Flächen
ausgeschlossen würde. Eine leichte Betrachtung der Gl. (4) zeigt
daip, dass Dur

">">">">''>''

sein kann, indem in jedem andern Falle eine der Coordinaten ima-
^nSr wflrde. Hieran erkennt man, dass die Flächen (1), (2), (3) '
bzbw. zweischalige, einschahge Hjperholoide und Ellipsoide sind.

Eb soll nun der Inhalt des Sechsflachs gesucht werden, welches \
von den Flächen

t. Das Körperelement nehmen wir von derselben
Form, indem nur «, — ug, v^ — t>a, m', — to^ unendlich klein zu setzen '
sind. Dann ist der gesuchte Inhalt

-AA/ä"

wo D die Functionaldeterminante

5x dx 8z

bezeichnet. Ftlhrt man die ans (4) entwickelten Werte der partiellen
DifF^entialquotJenten ein, so ergiebt sich;

Hoppe.: IiiJiall des

■Jisßachs :

D =

1 oTthagonalen Flüchen

(u — Ä)8 a — h 1
(„_Ä)a „ — ft 1

F

I wo A oinc willkürliche Grosso ist, die wir constant nehmen nad B

I mit e identificiren werden. Multiplicirt man die Ausdrflcke (4) niä

iBOtzt zai Abkürzung
U=iu-o)(u-b)iu-c)
r^iv-a)(v~b)iv-c)

so kommt:

•^hi^i/^e^= ÜVW

Jetzt zerfällt jeder Temi der Determinante D in 3 Factoren, die
I einzeln von w, v, w abhangen, und man kann achreibun:

3>P = DSudv

(it — /.)'&» (ii~h)Sii

2-}/—ü aV— ü 2y— (7

Sei also

aV— w aV— tr

rW

(5)

^=^Ä' ^=/w' ^^/"^
\^^f^., ^,^ir^<^jB, ^v,=iA;-i&

l giebt die Integration:

! i X, £a I

Die hier auftretenden Integrale sind elliptische er^iter und zweiter
Ututig von bequemster Gestalt zur Redncttoa auf die GmndforiBaL |

iweiira Grades und i-ciiier Seüeii,

Nach Gudermann'sclier Bezeicliuung , wo anp, cnp, dnp, elp bzbw. '
Sinusamplitiidc, Cosinusfiinplitudc , Deltaamplitude von p und das j
Integral zweiter Gattung /.in ^pS;» bedeuten, hat man zu setzeu;

conjug. Mod. fc == 1/ — _^7^

(7) j

Modul lt = l/—

o — V. = (n — fi)sn'pt "
woraus :

i^^ = ± (o — i) V^^^ mp enp dnp

8m = — 2(o — J)«npcvipdjip3p
/• &" _ ji /"{«— c)S«. ^ ,

LäsBt man, wenn u in u und to übergebt, p in iq_-\-K-\-iK' und J
r+iÄ* abergehen, so zc^t sich, dass q und r reell werden; denn j
mau findet: (8) ]

Zugleich ist aber durch die Darstellung von m, r, w in gleichen Func-
tionen dreier Ai-gameuto erreicht, daaa in der dritten Verticalreihe
der Detenninant« (6) die 2 Irans coudenten Terrae als proportional
der ersten und zweiten Verticalreihe weggehen, und nur der crat^i,
algebraische Tcrm in Rechnung kommt. Setzt man

fp ^ snp cnp dnp

/^wft"=^H.-«y.-..>+/i^

2y

Ferner sei

und bezeichne der Index den entsprechenden Wert für die n

der Index 1 für die obere Grenze der Integrale (5) ; dann ist o

Doppolvorzeichcus zu den vorigen

Hoppe: Inhalt äes Sech'ßacks zujischeiijirthogoiiaUn Flächen

I

= ±"=^V^..

\K

E—i—k' k'

-V^.

i l~k'

Pi—Pa ^Pi—elpo fpPi—<PPo
tK* iiE'—I?)

1

i^

E—l—k'

1—k'

das ist eutwickclt:

+2ir(l+i')(Tj,-w,)

+[;.-2x'(i+i'a(w,,-TO,)

Betrachteu wir diese Schalen als Differenzen der von p=:0, q =
an gerechneten Hyperboloidstücke, so haben wir zur DarsteHung der
letztem nur po^O, Pi^p etc. zn setzen; dann gehen nach Ein-
■ötzung der Werte Pj, P^ über in

4£fc' ,iKk' „ ^

\ (1) und (3) Bchlicssen allein 3 Räume völlig ein,

f Oaiiftl f\ erweitern lässt. Es sind dies die 3 Teile,

lulilkOrper (3) durch die S Schalen des Hyper-

iuitilen Grades und !•

boloids (1) geteilt wird. Letzteres ist, wenn p von Ohis S, oder u
von a bis A varürt, aofangs die yz Ebene, erzeugt von
jeder von beiden Schalen eine Hälfte des mittleren jener 3 Bäume,
und geht Bchliesslich in die ics Ebene Über. Setzt man also, nm das
EIlipBoid zum vollen zu machen, erat i-f, = K; r, = 1; dann pg^O;
p^^p, so erhält mau nach Multiplicatioii mit 3 dea mittleren Raum
zwischen den Hyperboloidschalen

der u^^l
n mit ^^1

.T2°-=-v.-=;

sap enp dnp

ctirdnr

^ + H-~b)i—o\[K-el^-{K'-E-)p\-^,-;^

■\-\lCelr — {K' — E')r — ^-{'K'^^^^\ mpcnpdnp \

Setzt man statt dessen Po = p ; p^ " ^, bo brhält man einen der ]
2 Bäume auf der concaven Seite des Hyperboloids.

1 ^Daa

V«-

: !(»-*) y« -

-I^eIp-\-(E'—E-)p

-E'elr-\-{E! — E')—lC-

Daa cinschalige Hyperboloid (2) durchbohrt das Ellipsoid (3) ,
und teilt es in ein Niet P,' und einen Ring P". Das halbe Niet
wird von der Fläche (2) erzeugt, indem sie aus der xs Ebene, d. i
von M = fi oder 5 ^ Ä* an variirt, der halbe Ring, indem sie aus
der xy Ebene, d. i. von u = c oder g ^^ an variirt, nachdem die
Fläche (1) bereits die Periode vollendet hat. Setzt man also 5o ^'ü
^ = Ä' i tq = A'; i-, = i-, so geht P, über in

Inhalt dt» Sediißaeki zwücAen orliogoiialia FlSdia
iE

- Va — c K' — q E' — E' — q-\-el'q — p-jn'^fn'g du';

— K efr+^ ^ -

' i«mV

= + 5(«-c)( 2-Jrrf'Q+(Jr-E)5 ■

= 0; 2, = 2, I

'<jcn'5<in'gj
) gellt P^ Xäitt i

-Vo— c g g— eJ'g ^ «n'gcn'gdn'g

Br — Kelr- K^^\k'^sn'qcn-qdn'q\

lu Bctrofl' dur geometrischen Bedeutung ist noch zu bemed
daS8, wenn man den vor den Dctormmanten stellenden Fa(
(o — h)'^a—c in die dritte Verticakeihe zieht, deren Elemente

(a-i)y.-

C9P

-y-i;

■■(o-»)V^

^TC-

-VF

(,_i,yi=

cgir =

.y:=Tr

die Halbaxonproducte der 3 Flächen (1) (2) (3) ansdrücken.

Der Fall a = b oder 5 = c, den wir ausgeschlossen haben,
überhaupt keine Anwendung zu, weil liier keine 3 orthogonalen, c
coutrischen, homofocalcn Flächenscharon existiren. Die RotaUonsaxe
uftmlich würde allen dreien gemeinsam sein, und die Schnitte der
Fläcbeii sämmtlich in parallelen Ebenen liegen, mitbin einander nicht
in Punkten treffen. Dagegen wollen wir unter den möglichen Gre
füllen denjenigen in Betracht ziehen, wo alle 3 Flächenscharon a
gloich in Paniboloide fibcrgehou.

2. Inhalt des Körpers mischea 8 Paar ortho^nslen Fara1)OloideB> J

SubBtituirt man für x.'y, s bzhw. Vo ;— , -?-• — 7-

* ya y« ya

setzt dann a = qo , so gehen die Gl. (1) (2) (3) Ober ia
-2x + i+-^^0

«+;

=

-0

Die erste und dritte stellen elliptische Paraboloido in entgegeDgesetzte^'l
Asonstellnng, die zweita bypcrbolischo Paraboloido dar; der geraein*'
same Mittelpunkt liegt in unendlicher Entferaung auf der x Aue, die
Brennpunkte der Hauptschnitto z = und" y = haben auf derselben

die Constanten Abscissen ic = 5
nach X, y^, 2^ aufgelöst giebt:

ü _ ("-6)(" -

und u

Das Gleich ungssyatem

{u-c)(v^c)(w-

") 1

yatem

(lafl

Das Resultat der Eubatur lässt sich am einfachsten durch die auf-
gestelltB Snbstitution ableiten, Es ist bloss zu beachten, dass infolge
der Multiplication aller Lineardimenaionen mit V« zunächst die
Fnncüoualdeterminante D, dann demgemSss der Ausdruck von P mit
«I zu mnltipliciren ist. Dies lässt sich vollziehen, indem man die 9
Integrale, aus denen er besteht, mit ya mnitiplicirt, wodurch diese 1
endliche Werte erlangen. Nun ist für k =■ oo

v%-

i{i-,){.-c)

- -2-COH(i9)4-n)| P=-

364 Hoppe: Inhalt t/es Sech^flachs zwisdien orlhogoBalea Fiäcktn

80 ist, abgesehen von einem gemeinsamen Doppelvorzeichen,

\ ' f _- A-Mü -'

J 1

y(i-«)(«-c)

g" (;( + 3iii]iC03x)

Die übrigen Integrale ergeben sich durch Snbatitation von itp-\
und i'^ für j; bei gleiclizeitiger STultiplicalion mit !. Auch hier t
steht die dritte Verticalreihe aus 2 Teilen, deren erster als pro|M
tional der ersten Verticalreihe weglällt. Man erhUt:

-fpa

iSinigj^ — tBin»q3p
sin;(j — Sinxo
— isinz^i+isin (■^g

— tain 2i9] -)- isinSi

ain2x,-sin2xo
— i'ain '2 ii^j -|- 1 sin 2eV' J

Nor die x haben eine Periode, nach deren Durchlaufung das See
flach in den vierkantigen ringförmigen Canal Pj Obergeht Man fim

.±5-,(5-*

fliniip.

-aim'Tffo — 9in2iiJ'i+siu2!Vo 1
-SUI8910 siu2>Vi— Bin2i9o |

Hieraus erhält man den von den beiden elliptischen Paraboloid
allein begrenzten Eanm, indem man gjQ "* 0; ifi,) = setzt; dieser H

I sinit^ — ainSiif'l
I sin i(p sin 2!^! |

A"

^ i T^(6— c)3sin!(psini^(cos(94"Coai»

= ± |(6— c)^(u— !o)sin!qoBin»>

= ± ^ (»-'") y (u-Ä)(u-c)(S-,^)(c-w)

3, Complanatlon der Seiten des SechsflaohB.

Es handelt sich hier um die Aufgabe, den Flächeninhalt ein)
von 2 Paar Krümmungslinien auf ci-jer Fläche 2. Grades gebildet
Vierecks zu berechnen. Die gegenüberliegenden Seiten
flaches repräaentiren nur je ein solches Viereck für je 2 Paramet
nerte ; es bleiben demnach im ganzön 3 Kiümmuugslinienvierecke 1

3iJ5

zwar anf 3 verschieden gearteten Flächen, auf zweischaligem , ein-
BchaJ^m Hfpsrholoid nnd EUipsoid. Die Aufgabe für das Ellipsoid
ist von Legendre, Trait^ dos fonctions elliptiques, tarne I. Applica-
tion iL la göomfitrie, aectioa 11. p. 350. gelöst Doch sollte die Be-
redmimg angenscheinlich nur als Mittel dienen den Flacheninhalt des
ganzen EUipsoids abzuleiten. Ansscliliesaüeh in diesem Sinne wird sie
anch von Spätem angeführt und reproducirt, ihr sogar ebendarum
geringer Wert zugeschrieben, weil es zur Berechnung der ganzen
Oberflfiche andere und recht sinnreiche Methoden giebt. Nirgends
aber findet sich der Vorzug ans Licht gestellt, dass wir an den Krttm-
mnngslinicnvierecken doppelt Tariabelo Flächeuatiicke von ziemlich
ein&ch darstellbaren Inhalt iresitzen anwendbar auf alle Flächen 2.
Grades. Um die 3 Arten centraler Flachen 2. Grades leichter und
übersichtlicher unter einer Form behandeln zu können, fasse ich die
KrttmmnngBlinienvierecke als Seiten eines Sechsflachs anf, womit noch
der Vorteil verbunden ist, dass jeder Parameter nebst dessen Func-
tionen zweimal zur Vorwendung kommt.

Die Complauationsformel für die Fläche u =; const. ist

T=ffteu5>v

-{©•+g)-+(|)l{©V{ä)V(|)l

Dnrcli Differentiation der Gl. (4) findet man:

3

^(l9V©-=

©■+©'

(»-

^a)(.-.)

iü

(.-

-.)(.-.)

iv

(.

-»)(«-«)

iW

Bezeichnet mau mit ix, T^, mit t^, Tg die analogen Grössen von «, ,
T für die Flächen v = eonst und 70 = const., so ist hiernach

v—V! I / « g }C M

* ~ 4 r r w
'» 4 r w ü

Hoppe! Inhalt des Sedußaclu tieischen orthogonalen Flädien

Reclmiing konn

wo B — E-^-iilC — E') als Constante nicht
endlich

dn'^p' 8p'

1 nach Oudermann gesetzt ist

A(Pi*) ^»'weenedne

•fr:

••ji=:

dn^Bp

■m"tdit,'p

FOhrt man dioa ein uud dividh-t dnrch i, so erhalt man, mit Wt^-
lassung sich hebender Terme;

.i.-f >\ " — * / i-''«»*t an'p'cn'p'dn'p' ,i t » \

■*''fl'> " ^cii^zK 1-^hdn ^Y P +«''P»«'e)

lu diese Functionen sind noch dio den Grenzen der n nnd u ent-
sprechenden Grenzen der 9 und p' anzusetzen, so dass die definitiTen
Werte der Integrale (15) lanteu:

Sie entsprechen fllr A '= k- dem Krflmmnngslini entiereck T^ auf dem
Eltipsoid (3) ansgodrackt in (17).

Uler>ns lassen sidi nun die Werte der Sedafiaclraeitcai 7, 2^
ämnh ün&tche Sobstitation ableiten. LSsst man nanJi»* o, £, e md
^tM^Mdtig «, *, w GfUisch in «ütasdef fibergebea, so zeigt skh,
dMB £e SCoMn f,f,i Bsd £e cUipdacben Argmaante p, q, r mtd
y, t', r* reell w«rtai, «ibread ur die eUiplisAtii Fanmeler £e

« allt« ainddittAndrtc

*^"y*av'"*:^» "^"^^^

1 definiren ist. Qieruacb Erhält man ans (18)

LäsBt man hier gleichzeitig w ia v, und r in
übergeben, ao gehen Sq, Jff^ Ober in G^, (?,. Definirt man

^3(5, K-y)=^W^'iq',S~-Y)
und man erhfilt nach Division dorch i:

2o,(rt - -^»r( C'."''?,'?''''fy +s?-~',-.iv )

^^*' enydny ' \f'^gn''q; — dny ' ^ ' ^ J

Ib diese nnbestinunten Integrale sind noch die Integralgrenzen ein- i
zusetzen, so dass

^^%0

'0 Hoppe: Inhalt des Sechsflacha ODiaehen ardiagonaha

wird. Diese Werte entsprechen für 7; = u der GL (14) , welche das
Erümmangslinienviereck T auf dem zweiscbaligen Hyperboloid (1)

ansdrückL

I Zur Anwendung auf das einBchalige Hyperboloid ergiebt die
nochmalige cyklische Vertanschtmg:

1 Grailei und ttiner SeitsiL

dii'ä

r'dn'r

+ 9''-

Nach EinBetzung der IntegralgrenzeD erhält man:

371
(25)

■'dn">ö

'F,{p,)-

T)(po);

'F,(p,)-F^(p^) i

Diese Werte BEtsprechen für a = « der Gl. (16), welche das Kxüm- .
mungsiinienTiereck r, auf dem einschaligen Hyperboloid (2) aasdrttckt 1

Um hieraus einige spccielle Resultate zn ziehen, möge q' eeine
Periode durchlaufen. Für q^' = 0, q/ = iE" geben die Gl. (22):

- iK'ely—i{K'—E'}Y
_ „ a—h
cTiydny"

'^yis-fH

E')

Dies nehBt den Werten (21) in T eingesetzt giebt für A = « den
Flächeninhalt des geschlossenen Streifens auf dem zweischa)
Hyperboloid zwischen 2 KrUmmungsIinien, Schnitten zweier Ellipsoide. \
Dieser Streifen wird zur Calotte, indem er sich von den Nabelpunktea j
big zum Scheitel zusammenklappt, wenn man icu — ' c, d, i. ro =
setzt. Dann erhält man:

nnd nach Einführung

K'el'i — l,K'~E')y

—{S!f*m^y—E')

Für r = ^K reducirt sich dieser Ausdruck auf
«■)'ny

["/* snycny

(■■•

2cnj'dny

Uydn^y-ely)ME'-^f^^l)'^'^^,

{t-\-f)MyiatY—dny \

{l-\-f)anyeny-\-djty)

Da jedoch w sein ganzes Integral von c bis — oo durchläuft, wenn
r von K bis / varürt, so hat der letztere Ausdruck nur Gültigkeit
fOr y< ji, d. i. für ?*<« — i-f c.

Ferner möge p seine Periode von po
durchlaufen; dann geben die GL (äj^i

^

372 Hoppe; Inhalt da Stchfflachi zviichtn orthogoHaltn FISdia.

r, - — 4x('^^^~^+3-e!'j)+4M-2»

^ _ „ (b-h)(ig"c"S-E,In'-S)

* g'^sn'öc-n'ddn'ä

Dies nebst den Werten (25) in T, eißgesetzt giebt für Ji -= o des
FläcbeninhaSt des geschlossenen Streifens auf dem einschaügen Hyper-
boloid zwischen 2 Erünunungslioien, Schnitten zweier Eltipsoide.

Auf dem Ellipsoid lassen sich gesddossene Streifen nach zweierlei
Verlauf angeben. Vollenden die q ihra Periode, so gehen die Gl. (18)
über in

Cie,-iK[^'+el.)~lE,
Di
Fl

-h)(Eov,''t+Etnh)

Die3 nebst den Werton (19) in T, eingesetzt giebt für A = to den
Flächeninhalt des geschlossenen Streifens vom Ellipsoid zwischen
2 zweischaligen Hyperboloiden.

Vollenden dagegen die p' ihre Periode, so gehen die GL (19):

) + iE■^

J<:~h)(E'>,nH~K')

(28)

gnsensdnt

Dies nebst den Werten (18) in r, eingeseUt giebt für A =

:.■ den

Flächeninhalt des geschlossenen Streifens auf dem Ellipsoid zwischen
2 einschaügen Hyperboloiden.

Lässt man von q, p' das eine die ganze, das andre die halbe
Periode durchlaufen, so wird die ganze Oberfläche des Ellipsoids er-
zeugt. Man hat dann die Werte (27) und (28) in (14) zugleich ein-
zusetzen und durch 2 zn divldiren; dann kommt:

2",

I

_2,(.-,) 1 +

i. Fläohenlohalt der ErOminnugrslIateuTlerecke auf
den Paraboloiden.

Zor Uebertr^nng der Complanaüaneformela auf die Paraboloide 1
haben wir, nie es bei der Kubatur geacbehen, iür x, y, x za e(

Hierbei bekommen dio Grössen t und T den Divisor a, den wir auf 1
die i^, O, fl so verteilen, dass jedes den Divisor V<* erhält. 1
Multiplicatioa mit demselben erlangen sie dann die Gadlichen Werte ]

und die Ausdrücke (14) (16) (17) bleiben in Geltung,

Hier ist rücksichüieh der Anwendung auf das Paraboloid (12j|
zu setzen:

Modul k = l/^^ ! conj. Mod. k' - 1/^^

b — v = {h—e)sn\; v — c={b — a)cii\, » — ft= Q) — h)dn%

und es ergiebt sich:

iQiiq) ^^ \{b — Ä)t(fc*8ngc™gdng — k'^qj-^-Aelq i '

WO der letzte Term in der Doterminante sich hebt. Die gleiche Form. I
erb&lt dann der Ausdruck für Fg, J^j, wenn man v in u und q in rp' J

übergehen lässt. Es wird dann

&0'')^i(6-Ä)n

EJi'p'dn'p''

i'p' }

Hoppe: Inhalt det Sedisfiaeh» iwiKhtn orthogonalen Flächen

woraus dio in T^ einzQsotzouden bestimmtGii Integrale oacli (S
vorgehcu.

Die analogen Formeln für T erhält man, indem man b mi
Moduln /, j7, k, nebst den Parameters u, v, w cyklisch TBE
nnd q in »>, p' in iq' übergehen laset Dann wird

Modnl / =

coiy. Mod. /' = l/ri^

. (a-c)«.'A-

i t-y,-(h~c)c'lr;

»—-(«-

_(s-o)«.'a'-,

ä_,_(S_„)„y;

i_, _ (i_

die G gehen in die H, die /f in die f über. Es ist jedoch 1«
eohen, dass alsdann die neuen ill genan die Form der alten
dio neuen O dio Form der alten iG haben, dasa also T sich
darstellt wie T^, nur mit vertauschten b nnd c, q und g', p'
Beide sind ErüminnugslinienTierecke auf eUiptischen FaraticÄc
verschiodener Lage.

Für dag hyperbolische Paraholoid (11) setzen wir

Modnl g = X/tzTc' ^°^i- '^'"*- s' ^ y "TZTe

u—b = —(.b—h)m^ip; « — A = (i— A)on*ip;
t_w = (6 — ft)sB3p; Ä— iö = — (J — Ä)en*r; ■

dann kommt:

p5ip = yb—

4

= Vs — cf/p— ej'p +

— ( m'pdn'p \

I SubsUtutJon von r für ip

:=?^)^

aceüen Gradti und seiner Seilen.

^V^(-?^+.'v)

, wo die bei Einaetzmig der Integralgrenzen und bei Einftthrnng in
Determinante aich hebenden Terme weggelassen sind. HierauB
geben sich nach (26) die Elemente der Determinanto T^, welche das
Krümmmigalinienviereck auf dem hyperbolischen Paraboloid (11)
darstellt

LfiBBt man iu (30) q die ganze Periode durchlaufen, ho wird

iGo = iEVb — h; iGj = —iEk'^(b—7i)l

und Ts geht in den geschlossenen Streifen des elliptischen Paraboloida
(12) zwischen den Schnitten zweier cllipüschon Parabololde (10) über.
Dieser Streifen wird zur Calotte, indem die eine Cfronzlinic in den
Hauptschuittsbogen zwischen beiden Nabelpnnkten zusammenklappt,
wenn man die untere Grenze i»o -^ b, d.i. ;io'=0 setzt. Da\Fo(0)=0
ist, 30 wird

und man findet;

das ist für p' =• ^K'-.

2i= Uö-w)s{ (üri'ü-f-2£/.)(l+fc)-^fc'^j

Die Streifen auf dem hyperbolischen Paraboloid verlanfvtu fttr I
beide Erümmnngslinienscharen ins Unendliche.

6. Vergleichbare FUicheustBcke uuC heterogenen Flüchen,

Man kann untersuchen, ob sich zwischen irgend Ewei verschieden
geartfit«n Seiten eines speciellen Sechsflacbs oder wenigstens zwischen
den Integralen, welche nach (14) (IG) (17) die Bestandteile ihrer Aus- ,
drücke bilden, Belalionen finden. Es zeigt sich in der Tat, dass es J
in jedem orthogonalen Flächensystems 2. Grades 3 solche Sechsfläche 1
glebt, auf denen 2 in einer Krümmungslinie zusammenstossondo Seiten- 1
flächen der Art verbunden sind, dass die elüptischon Moduln gleich
oder conjugirt, die elliptischen Parameter gleich oder complementär
dlfl elliptischen Argtunente paarweise gleich sind, und dass nach Eli-

1

I

376 Hoppe: Inhalt des S'ch'ßaüis anUchtn orlhogonaleu Fläthe'i

minatioa aller eUiptischen Integrale 2 liaoare Balationen zwischen don
2 mal i Elementen der Letretfenden Dotcrminanten übrig bleiben;
daas es femer einen bosondem Fall des FläcLeüaystems giebt, wo ä
Seiten einer Schar von Sechsflächen in noch näherer Verbiiidimg
stehen, indem hier alle 4 Elemente mit den enteprecbenden einzelti
Summen oder Differenzen frei von elliptiachen Functionen bilden, usd
eine Relation zwischen den Soitenfläcbeu selbst hervorgeht.

Ehe wir an diese Untersuchung gehen, woüeu wir die gofondenea
Formeln anf die geringste Anzahl unabhängiger Grössen redncireB,
und setzen deshalb

Dann ist ß eine positive, sonst beliebige Constante für ein bestiinmtea
Flächensystem, deren Wert für alle ähnlichen Systeme derselbe ist,
während a nur einen die Lineardimensionen dos Ganzen bestinmien-
den Factor ausdrückt. Femer sei

dann sind auch die neuen Flächenparameter u,, !?,, tcj unabhängig
von den Lineardimenaionen, und man hat:

(31)

d. h. diese 3 Werte haben die Parameter für die 3 Flächen, anf denen
die Moduln /, g, h gelten. Führt man dieselben in die Anadrücfee der
elliptischen Parameter y, S, t ein, so erhält man:

"1+^

dn"-d = -

I Ebenso können wir jetzt die elliptischen Argumente p, 3, *-, p*, g'j

in den Moduln der schneidenden Flächen darstellen. Maa filläöl "

auf der Fläche («) gn'iK'—q') = g; s»(K—r) -= V

auf der Fläche (v) W(X'-r') = i; .«(ff-p) =/' (Mo^

[ auf der Fläche (»-) »n'(E'-p') = f; miK-g) ^ g' (Moi 1

( -uies

Diese Argumente sind also von der specifischen Grösse ß, d, i. dem
Terhältniss der Exentricitäteü, unabhängig, mithin allen orthoeonahn

confocalen Flächenayateraen 2. Grades gemeiusam und bezeichnen auf I
denselben entsprechende Pnnkte.

Mittelst der voratehenden Fonneln wollen wir endlich noch diel
algebraischen Bestandteile der Ausdrücke der /", ff, S auf dieselben'!
Gröeeeu reduciren. Auf der Fläche (u) kommen folgende 4 Integral-
fnnctionon in Aswendang:

Grades und sexner Seilen. 379 1

1+2,3

It/i-f.ww+a+wvwi-'j/jipp-iT^p

Elüninirt man auch noch die Integrale 1. Gattung p, 9, so kommt:

(1+ 2/() .•<;,<•) (ä) + .-fliW (g) + log

yi+t'+ lt

-^ICe,w(2)-a+mfl;w(2)l =

1+21'— f l

i-i'-yi+i' j

0+2« {*;W(p)- F,ci(,,)-»rctg[/j~ä)

+ ;li»f.<"Hp)+(l+«-f.<'l(l>)l -i )/i+3.]

Wollte man statt doesen ä+s = ic setzen, so wäre die Bedin-
gung A = 1.

Verbindet man femer die Flächen (w) und (tt) , so worden die
Argumente sichtlich paarweise gleicli, wenn man setzt:

n. 1-1=1'

denn dann ist

g'=/; r = g

Hier kaim man die elliptischen Parameter gleich oder complementär J
machen. Sei

A) i+y-X
wofür die Bedingung ist

'■ . „.,.. ,. 1+?
"2+J

= ^ — 1, oder fc»
1 sind die Werte der Goeiücientcn:

^ = K (i+?K2+B

y8+3/S + ^>

Ci = V«l+ft(2+C)

G, - - (i+B

(2+2M-«y3+3H-f^

380 Hoppe: bhalt des Sfdisßaehi zKÜchta onhogaaah

r.Vt

' 2+2ß+ß'V 3+3ß+ß'

VS+Sß-i-ß'
1 wie oben die Integiule 3. nnd 2. Gitttiiiig, 80 Itomntt!

•f.«(ü')+e.M(ä') ■

■^T

'ßJtbUjj

i+ß

2 f;Mtf)+a+So,w(a')
" VW+ßnS+ß)

.■K,(«(s)+(fl;i«(«)

a+gl-i+Vi+?+(i+g ;

~^+W+¥>yH^+ß^

y2+2?+3/)>

2i g,M(g)+a+flfl-,Mfa) 1+2(1+ ^). / 14-^ i+ß+ß'
' Vßix+ßns+f) i+(i+?)' V H-sß+P' i+ß

woFans nach EnimiDation von q', q:

l/?(2 + W

y^(2+?)(3+3M-|

+ ; W«(8')+(l+«e,'"'(5')l

i+a+^)'+(i+?)* i/ ^(2+ w

i+(i-f{Ci+W

^j/=

3+3|J + p

(!+(!+« J.O„W(3H-.fliI«(3H-log^

+ ^' I e,(->(s)+ (!+« B,M(5) )
1 + 2(1+ ^)' l+ß

~ i+(i+^)' yu(a+s(3+3|S+^")

Sei atatt dOBSen

B) ,-.
nofOr die Bedingung ist

_^dann.labon die Coofficientea folgeode Werte:

xaätea Gradei »nd s

r - -!l-\/M=eL
'■'^i+ß'Yi-ß+ß-

Q- I,
Ä,=-(l-ß')

Die Elimination der Integrale 3. nnd 3. Gattai^ ergiebt:

-|^i',l'l(!!')+0,<"'(5')i-

_l-yH£«_jyi-g

■1+^^

VS.I-l(5)-iJ!,W(5) _ (l-^)|/^,+10g

und die Elimination von q', g:
(l+?+^){f.(-)(5')-0.l«(9')-«rctg(^|/ip^,)}

+ ;IW->(s') + o,W(s')l-

1+1»'+^' ^Vf-

Verbindet man endlich die Fladien («) tmd (u), so werden diej
Argumente paarweise gleich, wenn man setzt

in. /_j'; t-i'_yj

denn dann ist

S'— P; r' = r

Wollte man y = Ä setzen, so würde f = 0. Für y\'i = K\
erhUt man ^ = 1. In diesem Falle wird

^

I

daher eireichen die Integrale i?j(r, 6) an der obeni Grenze gerade
ihren DnBtetigkeitspnnkt und werden oncndlich, via anch die Temie
Af, Bj. Dieser Umstand etebt jedoch der Bildung der Belaüon
nictit entgegen; denn A^-\-B, bat einen endlichen Grenznert, and
Dj (r', d) — Z>s (r, S — y) verschwindet, wenn man nur znerst ß^l,
/"= 3' setzt, nachher I: stetig in yj übergehen läast Die Coeffi-
denten werden

= B

='>'-Vdr'

ym+n' ''-"'-yi+f

A,+B, =— - , - - - : ~A, = ^a = , , ,,.
■/2a +/'*)' * ' 1+/"

dabor

G,M (p) = - /•,<•) (p) ; (?,(«) (p) = F,l') (p) - ^^

WUl man von den vorstehenden Relationen Anwendung auf die
Fläcbcnstücke machen, so ll\it man erst die untern Grenzen der Inte-
grale jF, G, H KU bestimmen. Die F und G kann man TOn den
Argument werten an rechnen, so dass

ffoW = ffoCg'); G',W = (?i(g'); ^iW = J^Wi -Fi''> = -^V (?)

wird. Die Integrale H'-'"^, in denen das Intervall von bis zam
Unstetigkoitapunkt keine geometrische Bedeutung hat, lassen sich
statt dessen vom Quadranten an rechnen; dann wird

iÄ^M = iHoir) — AK—E(,K—y]-\-Kel{K—y)
1/7,1'" = iH,ir)-lA^(A^K-i-E) (Med. f)

I

Von den Integralen i/'"» ist im Gegenteil das Intervall Tom
Unatetigkeitapunkt bis zum Ende des Quadranten ohne geometrische
Bedeutung*, wir können nnr zur untern Grenze nehmen, so dasa

wird; dann geben die Resultate

Die Begrenzungen dtir Fläclienstücko sind Hernach folgende.
Für q' = wird « = 6, y = 0;fürr = Ä' wird w = c, z = 0\ da-
her wird T begrenzt von den Hauptschnitten i/ — nnd s = und
von den Schnitten der Flächen {v^, (w,) gemäss (31), wo für jr, i, /J J
dio respectiven Werte zn setzen sind, dso in JH. von den Flächen

".-l^; ». = •

oder, in den urBprünglichen Grössen dargestellt,

Für r' = wird w = «, a = 0; f ür ji = wird « = 6, y =
Daher ist T^ begrenzt von den 2 Hauptschnitten j/ ^ 0, a ^: und !
von den Schnitten der Flächen (mi), (ujJ gemäss (31), also in HI. \
von den Flächen

das ist

Ftlr p' — wird u = a, x =1); für 5 = wird u — e, a = 0. ]
Daher ist T, begrenzt von den 2 Eauptechnitten x^G, a = andJ
den Schnitten der Flächen (uj, (»,).

Bei den Foraholoiden setzen wir

Hier bildet a nur einen Factor der Integrale; im übrigen lassen s
alle Grössen in den blossen Moduln ausdrücken. Man findet:

'echsflacki swüchen orthogonalen Ftädtea

auf der Fläche (c)
>mr' = k
tn'(K'-p)=f
(Med. s)

1

anf der FUche (u)
ta'p' = f

(Mod. i)

I ftuf der Fläche (u)
«19' = /

(Mod. /■)

Da die Flächen (u), ('p) gleichartig sind, so vergleichen wir nur
?Rerecke auf den Flächen (v), (w). Hier werden die Ärgameate
■weise gleich oder complcmentär für

Jetrochteu wir k ala gemeinsamen Modul, so wird

an'r' ^= wi'jp' =^ 4; *n(Ä — p) = mq ^ C

Die Intcgralfiinctionen auf der Fläche (e) sind

^^^^^H nneilea Grada und aeiner' Seiten. 3g5

I Eliminirt man die Integrale 2. Gattung, so kommt:

lH,^p')+kF,^p■) .

-+''^')

f,(p)-MS.(5) _ i.(|,V'l-iV-£+i."p)

Jetzt ItBJUi man die Integrale 1. Gattung zwischen je 3 Gleichnngen
eliminiren nnd erliält;

.■Hb(l.')+*F,(y')+^f,(j,')_jyä(l-M'>)l

-Vi— fc*fc'»— £)

(1 — tV»)»+fc'Sff— sj

.■ff,(p')+«=r,(p') - y ^r (l-i*")i

Die untere Grenze der Integrale -F, (? lägst sich =^ s
S muSB der Quadrant K^ sein, so dass

■wird. Stellt mau nach diesen Formeln die Elemente der Beter-
minante r, in Elementen der Determinante 3g dar, so kommt:

rr+-»»T,-

i+i?-» w«+\-

-Vl-i"i'>-f£

:).'ff,<'>S

- TT (1 — *•)*' Vi — «'»"+«•*'"-« U,'-

r(l -M'')! -«'*"!' 'ffD""'

386 Hoppe: Seckäßaeh zwischen orth. Fläzen zweiten Grade».

and zwar ist T^ begrenzt von den Hanptschnitten y » nnd s =»
und den Schnitten der Flächen

— V »—0

T2 von dem Hauptschnitt y — 0, der vom Nabelpnnkt ans zwei
Yierecksseiten bildet, die einen Winkel » n einschliessen, nnd den
Schnitten der Flächen

tt = 'T'6; l? = -r l-c

Zar Theorie der Tangentenbussole.

Herrn Dr. A. Oberbeck

WenoBleich die Theorie dieses Instruments schon mehrfach a
ftlhrlich entwickelt worden ist '), bo hielt ich es doch nicht für über-
flüssig, hier nochmals anf diesen Gegenstand einzngehcn, weil ich
gefunden zd haben glaube, dase sich derselbe in viel einfocherer Weise
behandeln lässt, als es gewöhnlich geschieht.

Die hierbei gestellte Aufgabe: die Einwirkung eines Stromfcreiaea J
auf eine Magnetnadel zu berechnen, lässt sich in verschiedener Weiso ^
lösen. Man kann das Biot-Savort'sche Elenieutargesetz zu Grande
legen und demnach die Summe der Wirkungen aller Elemente des
Kreises auf die Nadel berechnen. Man kann aber auch von dem
elektromagnetischen Potential des Drahtkreises auf die Nadel aus-
gehen und aus demselben das gesuchte Drehnngsmoment durch Diffe-
rentiation herleiten. Und auch hier kann mau verschiedene Wege
einschlagen. Jenes Potential wird gewöhnlich auf elliptische Integrale
zurückgeführt, die in Reihen aufgelöst werden. Man kann aber von
Anfang an das Potential in eine Reihe nach Eugelfunctiouen ent-
wickeln. In der letzt genannten Form soll' die Aufgabe hier behan-

I) Tergl. Wiedemann, Galvanüiaas atid Elektromagnelisiiiaü. 1873, ,
a aaiffilirliche LitteratnTBngaben ßadet.

r.

388 Obfrleck: Zur Theorie ,kr TiAngenlenbui

delt werden *), tind zwar ncrdc ich zuerst den einfaclieren FaU n:
suchen, vo der Nadolmitt^lpunkt mit dem Mittelpunkt des Stri
kreiscB zusammenfällt, dann aber auf die Bassolen von HelmhoH
und Gaugain eingeben, bei welchen die Nadd cscentrisch aufge-
hängt ist.

Bekanntlich ist das Potential eines gescblossonen Stromes in Be-
zug auf einen Magnetpol identisch mit dem Pott'ntial einer m^ueti-
schen Doppelfläche, welche, beliebig gekrümmt, die einzige Bedingung
erfüllen muss, daBs.sio von der Stromcurve begrenzt wird. Wie
Kiecko*) gezeigt hat, bedarf indes der Fall einer bcaondoreu Unter-
suchung, wenn der Magnetpol in der Doppelfläche seihst liegt. Diesrf
Schwierigkeil kann hier leicht umgangen werden, wenn man als Doppel-
fläche nicht die ebene Kreisfläche, sondern die Halbkugel wählt, welche
von dem Drahtkreise der TangontcnbuBsole begrenzt wird. Ist:

(i das magnetische Potential in dein einen Pole der Nadel,
i die Slromintcnsität,

p die Entfernung des Flächen Clements iln} von ^,
ß der Radius des Stromkreises,
so ist das Potential der Doppelfläcbe:

(1)

r .1

wo die Differentiation nach der Kugelnormalo auszuführen, die Inte-
gration aber über die llalbkngel mit dem Badius Ji auszudehnen ist-
Da das Potential symmetrisch um die Halbkugelaxo ist, so kann die
Art der Berechnung benutzt werden, welche Thomson und Tait
in ihrem „Handbuch der theoretischen Physik" ^) angeben.

Wenn nänüich eine Function /

1) die partielle Differentialgleichung:

IJ Entwicklungen nnch dieser Methode, doch in anilcrer Form, Badet ^
bei Mnxwell, Trcntiso on EUctricit; and Magnctitm, 1B73; II, 3U5, .

2) Pogg. Ann, CXLV, SIS— 234.

3) Deuuch von Hclmholti und Werthein Bd. L Tiu H, 80.^

•.ck: Zur Theorie ihr Taigenlenhussoh.

2) syinraetriBch um eiuc Äse ist, 30 lägst sie sich nach e
beiden Reihen entwickeln:

(2)

£'!..'■''. ß.(coB9), oder S~ ■ P„(cos9),

von denen, je nach der Lage des Punktes entweder die eine oder
die lindere convergirt. Hier bedeutet: P» die nto Kug<'lfuiiction einer
Veränderlichen und r den Radius- Vector des Punktes, dessen Winkel
nüt der Symmetrieaxe # ist. Liegt der Funkt auf dieser Axe selbst, J
ist also # = 0, PniX) = 1, und ist

f= £Anr" oder -= S~

bekannt, so sieht man, dass man anch sofort den allgemeinsten Wert 1
von / aus (2) für jeden Punkt im Baume erhält.

ler ^M

Es ist daher D
berechnen.

r nötig V für eiiten Punkt der Symmetiiease zn I

Wenn man setzt; (Fig. 1)

i diesen Wert in (1) ein, so ist:

1^— '/?-/t!'

wo dann noch n = fi zu setzen ist.

Bei der Integration über die Halbkugel, ist in ähnlicher Weise
die Lage des Punktes A zu berücksichtigen, wie bei der Bildung des
Potentials einer Kngelschale,

Der Wert des Potentials ^It yerschioden aus, je nachdem A
links oder rechts von N liegt. Da wir an der Annahme festhalten
dürfen, dass die Nadcllänge (resp. die Entfernung ihrer Pole) kleiner
als der Durchmesser des Kreises ist, d. h. r<;ß, so können wir
uns auf den Fall beschränken, wo A zwischen M und N liegt. Dann
ist das Resultat der Integration:

r(3)

2»f4:

i'?.?'?'*??!

Oberbeck: Zur Tlieorie der Tangtislenbatioli.

r= — 2n(.in +

^

►:

Sieht man F als Potenz von x allein an, so kann man in Form der
Mac-Laurin'scheii Beiho nach Potenzen von x entwickeln ood
erhält:

Dum ist das Potential dOE Stromkreises in dem Fnnltte A (Fig. i.)'.
(13)

'\2(1+!/')'

,)]+.-!

Pa ist hier wieder die Kugclfnnction der Veränderlichen: cob'S,
& den Winkel AON bedentet.

Das Potential V^ für den andern Pol B der Nadel erhält n
wenn man # in n— * verwandelt. Setzt man wieder:

<») —rmf^W-'^'+H^h-}

^

Führt man an Stelle von x und y die eigentlichen Werte wieder e
nnd BOtzt:

2«äW (

(15) W=

and endlich das Drehongamoment:
(Ifi)
dW 2«fi'mi' f, 3Z>(4^— fi»)

)B^ il-

tl— ÖBin^'V) -

t = ei -^9 'Tl » WO

Oberbeeh: Zur Theorie der Tangentenbussole, 393

In derselben Weise wie bei (8) nnd (9) erh&lt man auch hier die
Formel zur Messung der Stromintensität:

Q^.tg^.T 1

(17) <

. ^ 3 p{4^^Ri) ^ . . ,
/ = 1 — 4 --^-^^i ^(l-5smV) - ...

Aus den Ausdrücken (9) und (17) ergiebt sich die Stromintensität
nach absolutem, elektromagnetischen Maass, wenn die Dimensionen
des Apparats bekannt und der Winkel ^ gemessen ist Hierauf ein-
zugehen liegt ausser dem Plane der Arbeit, welche nur eine mathe-
matisch einÜMhere Ableitung bekannter Formeln zu geben bezweckte.

Ohtrbtft-: Utier statioitäii Indaclioiis

XXXV.

lieber stationäre InductionsstrÖme in bewegten,
kÖrperlielien Leitern.

j1. Oberbeek.

^

Wenn ein leitender, von einer Rotationsfläche begrenzter Körj
unter der Einwirkung fester Magnete oder geschlossener elektriscbfl
Ströme um seine Axc gleichmäasig rotirt , sa wird in demselben ^
System von Strömen inducirt, die eine im Ranme unveränderte Lage
einnehmen. Diese Stromsysteme sind iu einer Reihe speciellei* Fälle
genauer experimentell untersucht worden ']. Doch nur in einem be-
sonderen Falle folgte dem Experimente eine mathematische Unter-
suchung, die einen Vergleich von Theorie and Erfahrnng zultess.
Theoretisch behandelt*) ist nur die gleichmässigo Rotation einer
unendlich grossen, leitenden Scheibe, unter der Einwirkung eines
Aber ihr Hegenden Magnetpols.

Als Resultat dieser Untersnchuug ergeben sich Gleichungen:

1) fOr das Cnrvonsystem der stationären, inducirten Strfime,

2) f&r das System der Cnrven gleichen Potentials ftir die freie

I Wiedamtinn, GalraDisoiQs und Elektromagaetiamue. 1 S6 1 .
I Jochmann, Crells J. LXm, IBB. Fo^. Ann. OXSII.

in bewojtc:,, iOrperUchtn Lp.iiern. 395 ,

Das letztere System Etimmt mit demjenigen vollBtändig aberein,
welches Matteacci') durch Versuche gefunden hat Dagegen stellt
sich heraus, dass das System der Stromcun'en von Matteucci an-
richtig angegeben ist, weil derselbe von der falschen Annahme auB-
^ng, dass beide Systeme orthogonal sein müssten. Ein besonderer
Umstand, der bei den Versuchen zuerst bemerkt wurde, bat indes
noch uicht seine theoretische Erledigung gefunden. Bei acbneller
Rotation der leitenden Scheibe hat sich herausgestellt, dass die er-
wähnten Cnrvensysteme im Sinne der Rotation Tcraeboben aiud.
Hiermit steht in engem Zusammenhang eine audere schon bei der
ersten Entdeckung des sog, Rotation smagnctismus beobachtete Er-
scheinung '). Das indudrte Stromsystem übt nÄmlich anf den indu-
cirenden Pol eine abstossende Wirkung aus, die nnr dadurch erklärt
werden kann , daas jenes Curvonsystem keine symmetrische Lage
gegen den Magnetpol hat. Zur BegründuDg dieser Erscheinungen
sind mehrfach neue Hypothesen aufgestellt worden. So nimmt z, B.
F. Neumann^) an, dass der Inductionsact kein momentaner ist,
sondern innerhalb einer gewissen Zeit vor sich geht. Wenngleich
diese Hypothese geeignet ist, die erwähnten Erscheinungen im We-
sentlichen zu erklären, so scheint es doch nicht geraten, zu derselben
zu greifen, bevor man sich nicht überzeugt hat, da.ss die gewöhnliche
Theorie der Inductionsströme zu ihrer Erklärung durchaus unzu-
reichend ist. Dabei ist zunächst zu bemerken, dass in der Joch-
mann'schen Rechnung die Inductionswirkungen höherer Ordnung
vernachlässigt sind, d. h. die Einwirkung der durch den Magnetpol
indncirteu Ströme auf den rotireuden Leiter. Diese Ströme sind für
die Kugel mit berücksichtigt worden in einer Arbeit von Lorberg').
Doch ist derselbe nicht auf den Fall „stationärer" Inductionsströme
eingegangen. Zur Erledigung der vorliegenden Frage schien es mir
daher wünschenswert an einem einfadien Beispiel zu nntersuchen, ob
die erwähnte Verschiebung des stationäreu Stromsystems sich durch
die Inductionsströme höherer Ordnung allein erklären lässt. Durch
Rechnung habe ich mich überzeugt, dass bei einer rotirenden Scheibe
sowohl als auch bei einer rotirenden Kugel die Lagen jener Strom-
systeme sich in so complicirler Form darsteüon, dass der erwähnte
Zweck nicht erreicht wird. Deshalb bin ich bei folgender, speciellen
Aufgabe stehen geblieben. Ein Kreiscylinder von unendlicher Läi^e
rotire in einem homogenen, magnetischen Felde, d. h. unter dem

1) Wiedemann, I. c. 716.

2) Arago, Ann. de CUm. et de Phys. 1824, XKVII, XXVIII

3) Abhandl. der Berl. Akademie. 1815, p. \b.

4) Borchardt, J. LXSI. 53—91.

ter dem ^h

J

{ El

k

Oberbeck: lieber slalionäre Induclionsum

Einfluss fester Magnete oder Ströme, deren Potential Q eine liuearu
Function der Coordinaten ist, also etwa unter der Einwirkung des
Erdmagnetismus. Es entstehen dann nnr Ströme, parallel der Cy-
liodoraxG, deren Intensität oliue dio oben erwähnte Vernachlässigung
berochuet werden soll.

*

Ich gehe aus von den BewegungsgleicLungeu der Elcktridtät,
wie sie von Eirchhoff) und Helmholtz^) aufgestellt worden
sind. Doch sollen diese Gleichungen, welche eigentlich gelten fBr
Ströme in ruhenden Leitern, dadurch verändert werden, dasa ich ^u
olektromotori sehen Kräfte hinzufüge, welche von den ftuBseren, magne-
tischen Massen horrQhron. Auf Grund der von F. Nenmann auf-
gestellten ludnctionsgesetze und des Boot-Lavart'schen Gesetzes
sind die Coniponenten der elektromotorischen Krüite der luductiaD
In dem Lciterelement: dx.dy.di, dessen Coordinaten x, $, x nnd
dessen Geschwindigkeiten nach den Axen: m, p, q sind, wenn das
maguetische oder elektromagnetische Potential in dem betreffenden
Punkte den Wert Q hat:

.A'\

■sf-'b

= ^»

"•SJ-"

Ä^ hat hier denselben Sinn, wie in der Abhandlung von Helni-
holtz, wie denn überhaupt dieselben Einheiten fllr die elektromoto-
rische Kraft und den Widerstand angenommen sind, wie dort. Hier-
nach lauten die Differentialgleichungen der Bewegung*):

1) Pogg. Ann. Cn.

2) Borcfa. J. LXXIL
3) Heimholte, L t

in htu'e</len, körperlinhnt I^iifin.

Id diesen Oleichungen Rind:

u, «, w die Stromcomponcnten nach den drei Axen,
ip das Potential der freien Elektricität,

i die Leitungsfähigkeit,

(7, F, (C die Potentiale der Stromcomponenten: / ~dm, j ~di

s\

dm, welche Integrale über den ganzen Körper auaziidcLneu sind').

Die Ableitungen nach i bedeuten die Acndeningen von u, V, W nach
der Zeit.

Für den hier betrachteten, Bpeciellcn Fall werden diese Gleichun-
gen bcdcntcnd einfacher. Die Cylinder- und Kotationsaxo sei di& \
s Ase; dann ist:

1 so gelegt, dass das magnetische Potential

Die X und t/ Ascn s

(2») Q=^T.u:

Dann folgt ans den Gl. (1) .-

A = !

Die änsseren magnetischen Massen indnciren daher in dem uuho-
grenzten Cylinder nur Ströme parallel der Cyliaderaxc Aber anch
bei Mitberücksichtigung der Tnductionsströme höherer Ordnung genügt
nmn sowohl den Beweguugsgl. (2), sowie allen Grenzbedingungen,
wenn man setzt:

„ = i, = 0, (/= r= ü,

<p ^= Const.
BO dass die GleichiiDgeu (2) sich auf die einzige Gleichung;

i.w = ^«.T.p— vt'-

Allo hier auftretenden Grössen sind nur von x und y ah-
QU X dagegen nnabbängig. Es handelt sich also nur noch

1) Für U, V, W sind Tereinfaciitc Werte ßeaommen, welche man erhalt,
wenn man die HelmhoUz'eclie Constante k = i setzt. Dies ist
Iftuig, weil olle Sttüme ouendlicb lang nnd daher ala gsscbliMBea bi

teiben ndaes '

Diese GleichoDgen werden erfüllt, wenn die Coefficiesten
vgn r eiuzGln verschwinden. Es crgiebt sich hierane:

1) Die Coeffidonten gerader Potenzea beider Beiben
vench winden,

2) a,, fi, Bin& willkürliche Integratianscoiistanten, die dnrcli die
vorhandenen Gronzbediogongcn zn bestimmen sind.

4) Die übrigen Coefficienten der nngeraden Potenzen lassen sid
berechnen dnrch die Gleicbnngen:

Stitzt man zur

Abkürzung:
, 1

*"-(3>-l)(6«-l)...{«»-l)*

und ferner:

(")

(.V= r ! 1 — täiV-l-igl^r»— ...|

U= -^ lij-'mM+iul»r'- ... t

so ist:

iB= a,M+(fi+li^)N

(15)

(C = -a,iW+&,litf+f(Af-r)

Hiermit ist znnSchst die partielle Difierentiiil^eichajig (9) integrirt
Zar Bestimmung der willkOriich^n CoDstauten o,, £, sind femer die
Creuzbcdinguspen (5) zu bcnuUen und dazu ist zunächst das Foten-
lial IV, für jfden ausserhalb des Cylinders gelegenen Punkt zn bilden.
Die aUgeoteiDstc Form desselben entsprechend der Gleicbnng:

»-, = £ {^. eosn* + ^ . 5in«»y

Vtt «ter iü dm IhOffaMi, tttt ^um« «vete» vn «a C

in bewegten, kBrperlichen Leüern

kommen, welche COS'^ und sin-^ enthalten, so braochen Aach von
dieser Summe mir die entsprechenden tilieder heibohalten zn werden, .
so dasa

(16)

zn setzen ist.

Ist der Cylinderradins

Wi =-. C08Ö + -,!

, ao lat nach (5) in W und Wt
r = d

zu 'setzen; die beiden Ausdrücke müssen dann gleich sein. Ebenso
auch die beiden nach r differentürten Änadrücke, nachdem auch i
diesen r durch d ersetzt worden. In den beiden Gleichungen müssen
die Factoren von cosö und sinö einzeln gleich sein. Aus den ent-
standenen 4 Gleicl^nngen sind a und ^ zn elimiuiren. Es bleiben dann
zwei Gleichungen zur Bestimmung von o, und b^.

Bedeutet Mq uud A'o, dass in den Ausdrücken 3f and N, Mq'
und Ng' daas in den nach r diflerentürten Ansdrücken M und N r
ersetzt worden ist durch d, so lauten die Gleichungen;

K(JVf(,-i-Jlffl',rf)-)-fi(A'o+A'„'(0+*iil-(-^o+-^/<0 =
) — aiA(A'u + A'o'<0+Äj(-Mj + -^i''^J + ^(-^o + A'o'iZ— 2c0 =
Setzt man noch zur Abkürzung:

1 AT^-\-Mo'd^ R
\ No +Na'ii = S,

(18)

ao ist:

2d8

<iS)

«1- fÄ»-|-i»S»
^df 2rl.B _i

Hiermit ist die oben gestellte Aufgabe vollständig gelöst. Die '
gesachte Function ist:

W = -B.coBff+C.sin*,

wo B nnd Cvollstflndig durch die Gleichungen (15) und (19) beatimrat '
Mnd. Es bleibt nun noch übrig mit Hülfe des PotßQ.tia.la W *
■Wert der StroDüntensität w zu bestimmeii. Be^ot Vdx ^a^^ fta3Ä'&«

Oberbeck: Ucber xtalionSrt InduetioMsi

geho, sollen an dem Wert« von W diejenigen VereinfachuDgen |
genommen werden, welche dem wirklichen Werte der dort s
den CüBstanten nach gestattet sind.

Die Heihen M nnd iV (14) sind nach aufsteigenden Potenzen 4
X entwickelt. Es war:

"ach Helmholtz ist:

227000

der leitende Körper aus Kupfer besteht. Leitet der betreffende
Körper schlechter als Kupfer, so ist die Conslante noch kleiner. Also:

227ÖOÖ'

A = r

Es ist hierhei aUerdings zn berücksichtigen, dasB die Reihen nach
Potenzen von Ar* oder hi* fortschreiteu, wo r nnd d iu Millimetern
gegebeu aind.

Für grössere Winke^eschwindigkeiten und Cylindor von beträchtr
lieberem Radius ist i also keineswegs verschwindend klein. DafOr
sind aber die Beüien für M, N, M^, Ng stark convergent und da der
Wert von Ar* und irf* bei nicht zu grossen Geschwindigkeiten eben-
falls nicht sehr beträchtlich ist, so kann man sich mit den ersten
Gliedern aller vorkommenden Reihen begnügen, oder mit andern Worten
alle höheren Potenzen von 1 gegen die erste vernachlässigen.

1 btteegten, ißrperlicien Leitern.
Au3 den GleichuDgen (lü) ist dauu:

r(., + F'8")=.j(^"-.?)

Der TereinfacLte Wert der Fonction TTlantet dann:
(20) tK = ^''{coaff('^-d*) + l.sin*(^^}

-Setzt man den gefundenen Wert in die Gleichong i2'''):

A^ „ A^'ta dW

ic = -^ coT.ri:os& -, y-.

k h dv

oder mit Berttcksichtigang von (8):

VemachläsBigt man hier wieder das Grlied, welches das Quadrat von i
X enthält, Eo ist:

Hiermit ist die gestellte Aufgabe gelöst. Die StromintenBitätea i
parallel der Cylinderaxe sind für jeden Funkt eines Querschnitts be-
stimmt

Die letzte Formel giebt gleichzeitig Auf achluss über dieVerschie-
bnng der Inductionsströme bei schnellerer Rotation der Scheibe.
Während hei Vernachlässigung der Indactionsströrae höherer Ord-
nung, d. h. für: i — 0, die Ströme den Halbkreis ACD (s. Fig. 1.) ^
in positiver, den Halbkreis BCD in negativer Richtung durchfliessen
würden und in der Geraden COD die Intensität sein müsste, ao
^hSlt man diejenige Curve, in welcher die Intensität verschwindet,
wenn man in Gleichung (31) setzt:

w — 0.
Daraus crgicbt sich:

in bewegten^ hörperlichen Leitern. 405

In unserem Falle ist:

!

idx = idy =
idz = w

Also:

y — b

X = '^mw

9»

X —

F= mw — ö-

8 /tt;\

Nimmt man endlich die Summe aller Elemente des Cylinders, so is*t,
wenn dv ein Yolumelement des Cylinders bedeutet:

Y= mn-i—' dv.
Das hier vorkommende Potential: i -dv \&i aber nichts an-

-/?

deres, als die zuvor bestimmte Function TT, oder, da der Magnetpol
ausserhalb des Cylinders liegt, so ist:

/

Vi

-dv^ Wv
Q

Diese Function war früher gefunden:

a ß

Wt == -coS'^-|«-.sin^: wo:

a = r.cos^
6 = r. sin'^

Die Constanten a und ß ergeben sich leicht aus den Gleichungen
(5), (10), (15), (16):

a:^Bd\
ß^Cd]

worin £t und C, r = d gesetzt ist. Mit Vernachlässigung der höheren
Potenzen von X ist:

P— 32"

40ß Oberbeci: ütber slatioaärt InductionsstrBme tte.

also:

oder:

i_„ Binfl

ew,

Danucli ist:

f *'°"

Für ciiiioii Punkt dt'

(Ü5)

m+H^-^\

r.

Ki> ist hieraus zu eutnehmen, dass ein Maguetjxd tau
rosp. augezogen wird durch die Indnctionsströme des rotirenden C
dera, aucb wenn der Pol auf der « Axe liegt, dass diese Wirkiing
(die X Componente) indes allein durch <lie luductionsstrüme höherer
Ordnung bedingt wird, da sie verschwindet, wenn i ^ ist.

Somit werden also die anfangs erwähnten Erscheinungen gcnft-
gend erklärt durch Mitberäcksichtignng der Indnctionsstrüute zweiter
Ordnnt^. Denn die genauere Hechnung und besonders die Eiasetznog
von Zahlonwerten fär die Constanten hat gezeigt, dass die dadurch
hcTTorgebrachteu Aendemngen in dem stationären Strorasystem keines-
wegs ii-erschwindend klein sind.

Es ist also nicht notwendig, specieUe, compiicirtere Hypothesen
tlber den Vorgang der Induction aufenstellen.

Vielmehr werden alle, hierhin gehörige Aufgaben eine mit der
Erfahrung iibereiastiinmende Lösung geben, wenn man nur immer
diejenigen Glieder mitberücksichtigt, welche ihrer Grösse nach bei-
behalten werden müssen.

Nelli Ueber die allgemeine AußSiuitif elc.

Üeber die sUgemeiDe Auflösimg der Gleichungen
vierten Grades.

Herrn Dr. Neil,
l'rafcMOr am Polytechnikum in Daimätitdt.

§ 1.

' Die allgemeiue AuBöaung dieser Gleichungen wird in dtiu Lohr-^
iflchern der algebraischen Analysia entwickelt. Doch wohl nur i
den seltensten Fällen werden die Warzeln einer numerischen Glei
cbung wirklieb danach berei'Jinet, indem die einzelnen Rechuungs
Operationen nicht so übersiclitlich vor Angen gelegt werden, um eine
rasche und bequeme Anwendung zu gestatten. Zur möglichsten Be-
seitigung dieses Missstandes wollen wir diö Entwickeluug noch einmal
Tornehmon, und solche in dem angedeuteten Sinne ergänzen, wobei _
wir in der Hauptsache dem Wege folgen, den Enler eingeschlageiu
hat, and dabei von der folgenden Gleichung ausgehen:

Setzt man
) wird

wenn nämlich im letzten Gliede meder x an die Stelle von r-f-s-
gesetat wird.

408 ■'VeH: Ueier die altgetneine Auflönmg

Die Aasdrttcke für z* und z* iu die vorliegende Gleichung ein-
gesetzt, so findet sich

— 6m(r*+8*4-(^+4a;(2rs(-f n)— p =

Die unbestimmte Gleichung x = r-\-B-\-t gcBtattot nna noch 2 will-
kürliche Annahmen über die Werte von r, », ( zu machen; wir setzen
daher:

r»-|-a»+(B — 3m =

daraus folgt

r*-4-«*+(' »= 3m uad r*( — — jn oder p'«'t* ^ -r-
Dnrch Einführung dieser 'Werte geht die Gleichong über in:

9m« + 4(r»B» + r"l*+B»(») — 18mä— p =0,
daher

Nach bcitannten Eigenschaften der Gleichungen überhaupt lassen
sich »■*, »^ (* als die Wnrzeln der fönenden cubischen Gleichung be-
trachten :

Die so oben erhaltenen Werte der Coefficienten eingesetzt, geben de>
selben die folgende Gestalt:

Man pflegt dieselbe die redncirte Gleichung der obigen Gleichung
vom vierten Grade zu nennen. Bezeichnet man ihre 3 Wurzeln durch
», a, and u so hat man also

folglich

x^r-\-s-\-l= ± Vu± Vu, ±V!*„

Macht man hier mit Beachtung der doppelten Vorzeichen a
lichun Verbindungen, so erhält man in allem folgende 8 von
verschiedenen Worte von x-.

der Gleickuai/e<i vierten Grades,

1. -f- V«+ V«, + VtL„

2. +Vi*+V«, — V«„
S. +Vw— Vw,4-Vi*„
i. — Vw+ V", + v«„
5. +V!*— Vk, — V"„

e. — ^»1+ Vü, — v«„

7. — Vu— V«, + V«„

8. — Vw — Vm; — V«„

Diese 8 Werte künnen indessen nicht sämmtlicli als Wurzeln <
■vorliegenden Gloichnng gelten, weil wegen der Bedingung p*t=^ — ^b ]
das Prodnct Vm.V", -Vti,, das entgegengesetzte Zeichen des Coeffi- 1
masa.

FtlT ein positives n sind danach 1, 5, 6, 7 die Wurzeln der Gleichung 1
„ 2, 3, 4, 8 „ „ „ „

Um die reducirte Gleichung aufzulösen, leiten wir aus derselben i
^ne andere ab, in welcher das zweite Glied fehlt, indem wir y+f»J
an die Stelle von w setzen; dadurch wird:

Schreibt man zur Abkürzung :
HO geht diese Gleichung in die

i* und fi*— m(mä_j_j,) = A, ]
über:

Eine Wurzel dieser letzteren erhält man nach Cardani, uämlich
y = P+q,

iiih-\-Vh^—k^= P und iVk — Vh^—k^ = Q
gesetzt wird.

Die beiden anderen Wurzeln der Gleichung sind:

^;j--b+iV3(P-Q)i

Die Wurzeln der reducirten Gleichung erhält man, wenn man z
Wm<a äex y noch die Grösse m addirt, jaheii

Neil: t/eter die a%eni£ine Außöiung

§3-

Um die in den beiden vorhergohenden PuragrapLen entwid!
Lösung für die Rechnung bequem einzurichten, sind mehrere FSl
nnterscheidon. Sei zuerst m^ > ^i und *' >■ h, so erscheinen P tf
Q beide in imaginärer Form. Bemungeachtet sind die 3 Wurzeln der
redncirtcn Gleichung reell (der irreductible Fall). Weil nnn liier
»yi*^— fc* eine reelle Grösse ist, so achreibeu wir

P_ 1 yj+.vF=jä _ j* (/j,+.|/i - (I,)'

^rd Tg = sin3(p gesetzt, so findet sich

' P= JÄysinSqj+ji

fOfinz ähnlich findet sich

= lil/cos{90»— 3q!)4-;3in(90*>-

^ J*icoB(30"— 9>)-|-»8in(30'> -?.)}1

Q = i*|co3(30"— y) — isin(30«— (p)|

P+Q = *C0a{a0«— v), P— = .■iaintSO"— gj)

M = m+*cos(30ö— <p) = ni+*8in{60"+g))

^'^j=.?!:Ul2-i-.jv3iüiBiii (300-9=)

= Ol— i* cos (30" — 91) + ^ v'3*sin(30»— <p)
Weil nun ainSO" = i und cos SO" = ^ V3, so lässt sich auch scti

"'} = m-Älsin 30» 008(30»— ip)±co3 30" Bin(30''—v)t

«i=m— *Bin(600— 9), "„^n.

-*sin7i

Da in der redncirtcn Gleichung (§ 1.) das letzte Glied unter
allen Umständen negativ ist, so folgt ans der allgemeinen Theorie
der Gleichungen, daas mindestens eine positive Wurzel («) vorhan-
den sein mnss. Die beiden anderen Wurzeln (u, , m„) mUsseu enl-
wedor beide zugleich positiv oder beide negativ sein. Findet das
erstere statt , dann haboa äiß ■^mieüv ö.«i; ftVeSiAumif, vierten (

reelle Werte, Im anderea Falle sind dagegen V — u, uud V — «„ '
reelle Grössen; dann lassen sich die Wurzeln zweckmässig in folgen- j
der Weise ansclirßiben :

% = ±V«±{V-«,+V -«„)>■
a^ = -j- VwHr(v'-«, + V-i.Ji
% = + V!* + (V— M, — V— aj!

Nur, wenn hier u, und u,, einander gleich sind, künnen die heiden^
"Wurzeln 3:3, *, reelle Werte hahea; sonst sind alle 4 Wurzeln 1

Wenn m^^Jji undA^<C'') so bringen wir V", und V",, durch
Einfahrong der Hülfsgrössen v und x auf die Form a-^-ßi, indem
wir setzen:

= ^ Vt-(co3?±isin^)

Daraus folgt zur Berechnung der beiden Hül&grössen

!'8in« =2V3(P— Q)
wCOBX = 2(3m— m)

Aasserdem erhält man mit Beachtung der Werte von

V«,

V«, — Vii,, =

i Vw . sin q

Ea kommt nun noch darauf an, die Ausdrücke für P und Q so nm-
ZQgostalten, dass iin-Q Zahlenwerte sich bequem berechnen lassen.

Wir haben:

jy»

+ ys'-T« _ 1 vs-j/i +\/i-(|\'

Hä Nett: Ueber die altgc-Bi

Führt man den Hülfawinkel <p ein, indem man setzt

Q ^li/A.yi— cos2gp=:}VA.y28in'g)

va./si

i'+Q = 2(ycot7>+ytg 9;) = 2(cott+tgt) - ^i^^'

I ähnlicher Weise

H

I OD

wenn nämlich tgifi = ytg9D gesetzt wird. In (
erhält man

P— Q = 2 (coti|j— tgif) = * cot2if)

Sind daher die beiden Hülfawinliol 5p und tj/ berechuet, sü ündct sich

u, = m+ -^-^ and »;siii» = 2V3.Äcot2»(i

Die Werte von Vw, CV»,+VmJ, (Vm,— V«„) in die Aasdrücte
am Schlosse von g 1. eingesetzt, geben die gesuchten Wnrzela.

§5.

Wenn m^^^p, so aetzG man A'^Jp — m* und wie firtther
»* — m(m^-\-p), dann erscheint die vereinfachte Gloichang in
folgender Form:

Ihre Wurzeln sind, wenn

der GUidamgen vierten Grade». ■ 413

gesetzt wird

?''l==-iy±tV3(P+Q),-
Die Wurzeln der redudrten Gleichimg sind daher

^^J = -Y~+iV3(P+Q).e

Zur bequemeren Berechnung von P und Q setzen wir 7- = tg2qp
and erhalten

8 3

» 9 »

= I , Vtg2y. cotq» =|*ycot g>

Q = iVA.K}/l + (f ) - 1 = Wh y S5^ - *

fc 3 3

= ii .ytg 2y . tg y = i*y ^ y

Vtg^g)

8

Setzt man Vtg g? == tgtf;, so wird

p=J*.cot^, Q = i*.tgi/;, also

P+Q==f(coti/;+t«i/;)=g^;

mit diesen Werten wird

k

u = w+ Äcot 2if; und i? sin x = 2V3 -r ^^

Für V«*y und V«*^^ erhält man durch das gleiche Verfahren wie
zu Anfang des § 4. Ausdrücke von ganz derselben Form, wie dort.

Neil: UebfT die allgtm

Hsoddt sid^ nm die Aoflöeniig der aügememeren Gleichiug
vierten Grades, welche wir in folgeuder Form anachreibeii:

e*-|-4aä' + 2Äsä+ra-|-<I =

so setze man a^a — a, wodurch dieselbe übergeht in:

Die Vorgliiichung der Coefficienten dieser Crleichnng mit donou nnaerer
früheren

a^ — Gnix^-i-inx — p ^
liefert die Buziehnngen:

6m = Gn* — 2ä

in =8a3— 4ai-|-o
p =Ba^ — 2a^ + ac — d
Daraua ergeben sich die Werte von m,

, _ 2«'-ni + ic -

J folgl;

J) + „

Mit diesen Werten von ro, m, p sucht man nach den früheren Vor-
schriften die Werte der x und hat dann noch von jedem x dio Grösse
« zu subtrahiren, um die Wurzeln s der vorliegenden Gleichung zu
erhalten.

Uebersichtlicho Zusammenstellung der Formeln zur
Auflösung der Gleichungen vierten Grades

Man berechne zunächst die Grösse h nach der Formel:

und hat 3 Fälle zu unterscheiden, wobei stets derjenige auszuwählen
iat, für welchen die Hülfsgrässeu k und ip reelle Werte erhalten

4- ■/"»'- b»

^^^^^^^^" dfr GleirhHngen vierlen Grades

415'^|

^^P u - m+«Bm(60'>+T)

■

^^B «, -m-«sm(W-<p)

^^^^B = m— isiiiq)

■

^^H 1. Sämmüiche u sind positiv

^H .,- + y.±y«,+y»„

^^^B

^^B «,-±y«+Vs±y''„

',^^^^^1

^^H «j-±y..±y.,Ty"„

^^^^^^1

^^M i,_ + y«:Fy",+y"„

^^^^H

^^^^P 2. » ist positiv, u, und u„ sind nogativ |^H

^^1 ,,_±y„±(y_„,+y_

■

^^B :,i,_±y„:|:(y_„, + y_

■

^^K ^_±y«+(y_«,-y-

'■

^^B «.-Ty"±(y-i',-y-

■

^^B

■

^Bt^y»--äi. t = i

r^- m

^^^Sii8,i _ ^' lg2^

1

^^kii>-yti^ tgv-

^1

^»-"+«n2* "-"

•+icot2v ^H

1 vEin« = 3y3.itcot24f osinx

-ävs.j^» -H

pcoax=2(3m— «) «COBX

= 2(3>»-<.) ^H

(logsys = 0,539 5906 23}

■

la den beiden Fäljen n. nnd m. findet sicli: ^^^^H

■ a, = 4: yn + y «.cos ^

^^H

^^H «,- + y«+y..cos!

^^1

^^B .,_i:y.±,y».8in2

^^^H

^H x._ + y„+(y„..in5

^^H

^^^K idlen 3 Fällen sind in den Werten der 3

^^^H

^^^H die oberen Zeichen zu nehmen, wenn

n positiv, ^^H

^^^^^^_„ unteren

n ^^H

410 Ntll: Ueber die aügememe Auflönmg

Dio allgemeinere Gleidrang vierten Grades

lässt sich nach der obigen Gleichung

«* — 6m«*-|-4iMB— p =
auflösen, wenn man setzt:

m = o* — ^

n =a(3m— o«)4-Jc
p = a*(3i» — 6)4-a<? — d

Dann findet sich « = a^^o.

§8.

Nach den in § 7. gegebenen Vorschriften lassen sich die Wurzjßhi
jeder Gleichung vierten Grades ohne Schwierigkeit berechnen. Nun
köuneu aber doch besondere Fälle eintreten , wo man entweder auf
oiup uubostimmte Form stösst, oder wo das Eesultat nicht dic|jenige
Genauigkeit besitzt, die man nach der Anzahl der bei der Rechnung
angewandten Decimalen zu erwarten berechtigt ist. Wir wollen diese
Fälle besonders betrachten.

1. Wenn p =» Sw*, so findet sich
iliür ist aber nach § 2.

9

rultflicU

3

\h\ tiiru"!' ^'~Q =» /"= «4 — w, so ist nach § 4.

<;8iux — 2y3(t*— m)
t)C08x=« 2(3m— w)

^. WüUW p -= 3m^ und zugleich »* = 4»»', so findet sich auch
• .vV >'' ^ t\ u ^ fUf «^Binx — 0, t7Cosx = 4m; daher ' j

X = und V = 4m '

iUt Gtiieliungen vitrlen Gradti.

a, = ^yift±y4m = iy7n
3^ — + ym+y4m = + sy»»
^^ = ±y™
^i = ± y™

Hier sind also 3 Warzela einander gleich.

3. Wenn 7i^=0, so beisst die Gleichung x^
Man hat hier ganz einfach:

4. Wenn k nur wenig von A' verschieden ist, danu erhält man J
den Hlllfawinkel tp nicht mit der notwendigen Schärfe; man wende |
dann statt der in § 7. angegebenen Formeln die folgenden an:

sin(45<'-f)

V 2h

16(400-2?.) =j

Als erstes Beispiel losen wir die folgende Grieichung anf:'
a:*— iar*+36a;— 39 = U
Die Vergleichnng ei^bt:

n, = 3, n = 9, j> = 39; A = — 63, * = 2 (Fall III.)
Man erhaJt

*g> 3"37'6",46, tf, 21043' 21",57, « = 0,888 4078,

2(3m— «) = 16,223 1844, logc = 1,280 9665, k — 328" 9' 31",17-,

y»=0,942ö539, yiicos|: 4,2023951, y^sin^ = 1,198 7232

(Cj 5,1449490, «, = 3,259 8412, ^"|=0,9425Ö39±1,1987232.(

Zweites Beispiel. Die Wurzeln der folgenden Gleichung sollen
berechnet werden:

*^+312Eä+ 23337 a«— 14874«+ 2360 = U
Bier ist a = 78, Ä = 11668,5, c 14614, d — -iSiffö^

41g Nfil! Ueber dit allgemfiiit Auß6/<H«i

Mit diesen Werten findet sicli znnflchBt:

m = 2194,5, « = 35242,5, p= — 32099672
A =61116424526,625, *' = 1551572041 (FaU I.)
= 10,7861579, log *= 3,5953860, logäaZip =

Da die letzte Decimale von logain39) leicht nm eine Einheit f^
haft sein kaitn, so ist möglicher Weise sinä? =

)0+q,) = * = 3939, *siu{60«— g.) = ^i = 1

*8iBv — j*= 1969,5

u = 6133,5, u, = 225,0, «„ = 225,0

y« = 78,316665, y«, = y«,, — 15

„^ =, — 48,316665, s, =—126,316665

y, = 3:3 = 78,316665, ^ = ^^ = 0,316665

ai 108,316665, a* 186,316665

Sind nnn aber die Werte von h und A' von einander verschieden,
dann , hat die Gleichung keine gleichen Wurzeln. Um darflber 3
entscheiden, mnsa i' auf eine grössere Anzahl von Deci
berechnet werden.

*'= Vm>—y = 3938,99998 94220 19110 78611 16
*" = 6111 642 4526,62500 06112 38

h = 6111 642 4526,62500 00000 00
k'—h^ 0,00000 06112 38

Dieser Unterschied ist wohl sehr klein, aber immerhin noch merklieb,
wenn die Wurzeln auf eine grössere Anzahl von Deeimalslellen be-
rechnet werden sollen. t

Zur Bestimmung des Winkels ip wenden wir jetzt statt der Formel

" zi ' 'J''^ l*^*"" ^'■^ 8**^ unsicheres Resultat geben würde, di«

der Gleichungfa iiia

igain 45"--;? =

log (46

1,366 5475— lU
= 4,685 5749 — 10

= 6,680 9726-10

45» - ^ = 0",000 479 7032
300—5, ^ 0",000 319 8021 = d

,p = 30» - a = 29" 59' 59",999 6802

GQO+v = 900—3 = 89 59 59, 999 6802

60»— »p = ao^+a = 30 0, 000 3198
am(60''+9>) = coaö = 1 — -J^«
am(600— V)= sinSO^cosd+coaSOOsiiiÄ = i(l — iö3)+jyS.Ä
sing) = sinSO coaä— cob30 sind = J(l -^d») — jyS.Ä

*aia(600+(p) = ft-äid«
*sinqi — Ji— ^y3.*.5 — }*a*

arcö = ö". arcl", so findet sich
fi)garcd= 1,190 4562 — 10; log iV3.*. 3 = 4,723 3728 — 10.

Die Glieder, welche die 2te Potonz von S enthalten, sind ganz vei
I itäbvindend klein.

k = 3938,99998 94220 19

i* = 1969,49999 47110 10

iVSid = 0,00000 52889 90

*siii(60''+?') = 3938,99998 94220 19

*sin(600— ip) — 1969,50000 00000 00

*sin q> = 1969,49998 94220 20

= 6133,49998 94220 19

- 225,0

' 225,00001 06779 80

48,31666 44731

78,31666 51783

78,31666 44731

£——108,31666 51783

V« = 78,31666 48257

V«, ^ 15

y«„= 15,00000 03526
j, = - 126,31666 44731
Ja = 0,31666 51783
ss = 0,31666 44731
Kj = — \&&,^\?ÄÄ ^VT®.

Ntlt: Uther die allgemeine Auflösung

Di« beiJon Wurzeln bji, s^, die zuerst als gleich grosa gefunden wur-
den, sind dies nach der genaueren Rechnung nicht; allerdings zeigen
) zuerst in der 6ten Decimalatello einen Unterschied.

Die letztere Rechnung lasst sich zweckmässiger in folgender
iVeieo ausführen. Nach § 3. ist

p^iVA+.Y*«— A« und Q = jVfc— .yt«^
naii zur Ahkürznng «■ ^ 1/ — p — , so ist

P = iVACl+itr)!, Q = iVÄ{l-.V)t
B Eutwickolung nach dem biuomisdien Satze gibt:

3.6.9.12

U^ iVA l_i.V-{--

P+Q^^VA l + ö

1.2.5.8
3.6.9.12"

P-Q = -;fK\u^-h^i,

(p— Q)t = -jyA.«. 1-

! Werte in die Ausdrttcke für die i.
letzt, gibt

1 Schlüsse des § 2. i

I «„J a ' (" 6.9" '^6.9.12.15

r Dorerhuung von i" bat man folgende Formel

der Gleichungen vierten Grades, 421

In § 9. hatten wir
k^J^h = 1222328 49053,25, *»— Ä = 0,00000 0611238
log VÄ = 3,5953860, log w = 1,6675775 — 10
log(iV3VÄ.w7) = 4,7233728—10

Die Glieder mit w^ sind ansserordentiüch Mein

m = 2194,5 3m— tt ^ 225,00000 528899

Vh = 3938,99998 942202 J V3 . VA . «^ = 0,00000 528899

u = 6133,49998 942202 «*, =^225,0 '

u,, =225,00001057798

Diese Werte der u stimmen mit den am Schiasse des § 9. gefundenen
vollständig überein.

Gleichnngen höherer Grado mit vielziffiigen CoefficientcE uad weiü
Wurzeln nahe an einander liegen empfehlen.

Auch die Auflösung durch Constniction , von welcher v
gehen (Artikel I.), verdient einige Beachtung.

Wir beschäftigen uus im Folgenden mit der Gestimmung dcl
reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen von der Form:

/w-

«0«" +«!■!"-

+

..a„-ix+

wo unbeaühadet der Alljjememheit
Coefficienten bedeuten.

%

>0, «„ «s

Artikel I.

(S

l-§3.)

me.!ii

2 Tafi^ln,

§ 1.

Das bekannte Schema, § '
Ktionswertes

Aufg. I., zur Berechnung eines

^^^hrt uns auf ein einfachee Ver£ihren f{o) zu construircii.

Dasselbe schliesst die mechanische Auflösung von E. Lill*) der
Gleichung

/(«) -

1 sich.

Ea sei in Figur I.:

^h 1) X'OX, Y'OY ein rechtwinkeliges ÄchBenaystem,

■ ^'OiJf,, Ii'Oil',; J^'Ogi,, Zj'OiFg... eine Reihe von
Systemen mit zu den ursprünglichen parallelen Achsen.

2) Die Coordinaten von

*) B^solution graphiguc des ^quationa uam^riqaeB de tous leg degrä b

'^line aenle inconnne et dcEcripüon i'att iDetrameat mvanU dana ce but . . . i

Haiiv. Annaics rnntb., Jnhr);. 1861, und Bäolatloa greplilquc des eqaationi

Dum^riqucB d'un dcgrc quclconqne b une iaconnae...- pi^^ntco fax M. Her-

mije. ComptM Bcndui, Jahrg. 1B67.

SitbtI.- Uli«

Of in Bezog auf das Sxstem (O) seiea m^, l^fl
O, (OJ „ a,, 1**

Ör (Or-lJ „ Or, 6r

3) OP,Q,PtQt... sei ein rechtwinkeliger Liiüenzog.

4) v> bezeichne den qiitzen Winkel zwischen OP, snd F^Rii
Wir legen demselben das Ziz Zeichen bei, je nachdem Oi", i

1 laten nnd 3ten resp. 2ten und 4ten Qnadranten gehL

5) X = tg«-.

6) ^(x) =
9^W =

der Abficia^ von P^ in Bezog auf (OJ
P» «M

der Ordinate von Q, .
Q. .

r diesen Voranssetziingen folgt:

n^i— K-Ss*"— *T--

Zachen gelten, wBun > eine der FoniKa/j

Ir+l oder t-fa
nsp^ 4r^3 ^ Ar hat.

1 Glieder sind:

*r^*i.« nnd — «»+1 wenn u nngrade

- «■ X nnd — b»j,t wenn » grade ist

zunächst

Siebell UiUerswJmngen über algebraische Gleichungen. 425

'.ufgabe. Einen belleMseit Funettonsirert /(c) zu c^netFuiren.

Bringe /(x) auf die Fonn tpnix), d. L. bestimme

. auf Xi'Xi, JSj'Xj, Xs'Xb ...
, auf y.'r,, yJy^, ¥,'t....

aodaim construiro die Geraden Jf'X, Jii'^i, X^'S^ mit den Glai-
chongen;

S' = 0, = öl, =ii+ia, =öi+J«+63, —■■■,
sowie FT, Fi'I'i, lyFg..., dargestellt durch;

ziehe durch den Punkt A = (0, 1) *) dif Gerade Z'Z [| X'X, be-
stimme auf derselben den Funkt P^=^{e,\), den Durchschnitt i",
Ton OPd mit X,'Jti und schliesslich den rechtwinkeligen Linienzug:

OPifJiPgQjPaQs ,
mit den Ecken

P„ A, Pj .
Qi, Ck, Qi ■
Alsdann ist:

f{c) = dem algebraischen Abstände der «ten Ecke von P, mit
P den Dur chsehnittsp unkt der letzten Ahscisaen- und der letzten
Ordinaten-Achse bezeichnet.

Wir finden succesaivo (pi(c), ^gCc), fpa(c) ...ipn(c) =/(c).
Es ist verglichen mit obigem Schema (siehe § 2, Anfg, I.):

ipl(c) = Ci.l, (pj{c) = C2,l...

Beiepiel.
/■(*) = x6— 5ie^+llx*— 17a^+l&:'— 12K+6-0**)
Hierißt n = 6 = 4.1 + 2, also

Ol =5, «s 17, as= + 12

6i=-j-l, bf 11, i3=+18, 64-= — 6

•) d. h. dessen Äbecisse ^: , Ordinal
dieser bekannten BczeichmiDgeweise Öfter bedi

■•) P. C. Jelinek, S. J., die Aufl. der
gen, Leipzig 1865, 8, S6.

= lO™ als Längeneinheit, Fig. I.
. B. (siehe die Fig.)

/(l) = 9.s(l) = PÖ3'= + 2,

/■{2) - Vs(2) = PQs" 2,

ProMien (oder mittelst deg geometrischen Ortes i
/(l, H...) = V6 (1, 54. . .) = PP = 0,
/(2, S6...) ^ Vja, 26..,) = PP = 0,
I iwei Wurzeln der Gleichung annähernd:

a:, = 1, 54 nnd a:» = 2, 26.
jttUöre Werte sind 1,543689 und 2,259921).
i übrigen Wurzeln sind imagiBär*).

Ili(! bekaunlo Couatriictiou der Wiirxeln von

f(^) =

^ iVtiMUiQ» dur DuvühsRhnitt^puulite der Corve S, dargestellt durcb
, mit der .^-ÄctiBO leitet uns zu einer allgemeineren Lösoi^
1 wir ttu diu HtiJlB der Geradun y = <i eine beliebige Curve K
it hUDOm mit der GMchnn^

1/ = Fi^)
i illuNM* bIh Leitlinie die Werte:

ItttaV Mlllktirliulio Constttnte bezeichnet, parallel zur r-Ächse >b-
• du (IA*" *"^ uudoro Curve fl dargestellt ist durch:

t kümiuu wir nach § 1. contitruiren oder nach Schema j 3.

bUUltiullHI Wuio« wie Uie rcDllen Wurzeln

' "» inil V~ ' nultiplicirten - BeBtandteile der conplgtifl
KU. UhÜi , \&6%.^

Es liegt die Frago nahCj ob sich F(x) und k bo he
stimmen lassen, dass von einer boliabig gegehonen Äh
Bcisse a; = c an E und St convex ausfallen. Der Vorteil, den !
wir hierdurch erzielen, ist einleuchtend,' indem die beiden Curvea ]
„ alsdann die einfachste Gestalt annehmen und wir daher vcrhältuiss-
mässig nur eine geringe Anzahl von Carvenpunkten zu
construireu brauchen, um die Abscissen der Durchschnitte, d. h.
die Wurzein von f(ic) = zu erhalten.

Siebel: Untersuchvngrn äher aljtbfauche Ghkhungen.

Ist F{x) eine ganze rationale Function von x., so auch %(x).
In diesem Falle ist jede der Curven K and S von einer gewissen

Abscisse {~~~. grösste Wurzel von jf"(x) = resp. %"{ie) = 0) an i

nvex, vorauHgeaetzt, dass die Glieder j
F{i£) = und 5(3;) = positiv sind, [

der Eichtung Y'Y gesehen i
mit den höchsten Potenzen i

Wir wollen uns
tigen *).

Die beliebige ganze rationale Function

läBst sich auf die Form bringen:

°^ ' ~ s! ^ — ■' ^(s— 1)!^ ' ^'
wo e eine wilUiürliche Conatantc bezeichnet.
Also die zweite Dcrivirte:

i Folgenden mit dieser Frage näher beschSf-

r'M -

WL

(«^.).-=+„.^'(.

Hieraus folgt:
(1)

Ist g=(.) > 0, S'-H") > ■ ■ • g"(«) > 0,

so 5"(a^)>0 für jedes s ~
Diese Bedingungen lauten für

>

') Wir bedicuen uns der bekannten Beioichnungcn ;
F'Xx) für die rte DerivirW von F{ji)

0-

•■^:

=. . . — <^'{xu

• ■•• . ^»„^^^ I

— K'i'.aty ^

; /-**-! >0

>0

- — ir'[c) >0
>0

i negativen ) _
• -.^-^L .ieiaäwn ^ ^^^^^^^ ] Wert

. 1

-.^w^cu 'Veixe von Icg^ ä,+i ...kt
..v^uuixu juie elegantere Form an

Sieheli üntersudtungen über algebraische Gleichungen. 429

ß) wenn r <Cn:

1) h<^c oder = c — a, wo a > 0,

wenn f*' (c) > 0, /»*-i {c) > .. . /p+i (<?) > 0,
dagegen fP (c) <C. und pZ7 2,

Ist n(c) > ... /"W > 0, so genügt

k beliebig < 0.

Aufgabe L Die Constanten der Functionen

F{x)=iX{x—hy '
und %{x) =• F(x)—kf{x\

wo y(a;) beliebig gegeben, so zu berechnen, däss für ein
gegebenes c und eine Nichtwurzel x^ von /(a?) = 0:

1) i?^'(a;)>Ü und J^"(a;)> für jedes «.Tc,

2) */(a^i)>0,

a) falls Aa'i)>0,

b) „ /(a^iXO.

Lösung:

1) Wähle A beliebig > 0.

2) Transformire f{x) = nach <?, d. h. bilde nach dem bekannten
Schema*) diejenige Gleichung /(a;+^) = 0, deren Wurzeln um c
kleiner sind als die ursprüngliche:

") «0 «1 ^n-i ^n

000,1 00»-2,l OOn-1,1

00,1 =«0

O0,2=a,

01.1 On-1,1 On,l = Cn

000,2 OOn--2,2

01.2 Oh-1,2 = 0«-l
U. S. W.

wo Oi,j = «i+oao; 02,1 ^ <^2+^^i?i ^tc.

Es ist Xn =/(o); Om~1 = — J- \ Cn-2 = "T-g" • • •

f(x) = [oo,iÄ'*~^+Oi,ia;»»-2+ •• o„-i,i](a;— o) + ^».i
□ = (oo.2aJ**-2-f-^i.2iB'*'~^+ ••• o«-2,2)(aJ+o)+„-i,2

U. 8. W.

430 Siebel: Untersuchungen über algebraUche Gleichungen.

Coa5*»+<?ia:"-i+ ... Cn^ix-^-Cn = 0.

3) ad a): r^n (== ganze Zahl),

„ b): Ist Cq > 0, Ci > ... Cn-2 > 0, so

Ist <?o > 0, <?! > ... cn-p-1 > 0, dagegen <?n-p <0, p C2,80

r ^ ;) = Exponent des ersten negativen Gliedes der Gleichung
f{x+c) = 0.

4) mittelst der Formel (Vergl. (3))

ad a): +*+n,2 ' J

_ _ . . = [ f ür a beUebig > 0.

ad b): '—k~p,2 = — -ifc"»i,2, wenn jp ^ 2 i

5) ada):0<*^iH-n,2,

„ b): <— k ^ — *-p,2(= —k-n,2)

resp. Ä? beliebig < wenn p nicht vorhanden oder <C 2.

6) Ä; = Aä;.

Aufgabe U. Die vorige Aufgabe mit dem Unterschiede
zu lösen, dass

a) wenn f{x^) < 0,

b) „ /(a^i) > 0.

Die Lösung ist genau wie vor, d. h. wir haben die Aufgabe I.
für den Fall ä) zu lösen, wenn/(a;i) <<0, dagegen für den Fall b)
wenn /(x^) > 0.

Wir bemerken, dass sich die beiden Aufgaben in eine zusammen-
schieben lassen bei Unterscheidung iier Fälle:

a) Äj>0
und b) Ä;<0

Die obige Fassung und die Trennung in zwei Aufgaben zogen wir

Aufgabe II L
TM /■(«) =

Löee {Br T] = r (odiT beljelüg. z .£. z, = Ü) Aufgabe I. oderl
Anfg. IL, constJiiire ^ Gurre f eo, dam die Iiofc^ude Ordinate]
QP=:lKCi', die Ftmkte C und uu! scbtiegBlicb i^itu' Curv^ K laotl
Fig. m

Üedtpiei l

In dem BeiB[äel des | 1 . fanden wir 2 reelle Wun»tlii >- l.f
TraasfonnirfiD vir nach l), bo erhalten wir:

(1) a*+T»+a:*— 3a:> — ae»— Är + g = 0.

la dem Int^raU (0.1) Bind also 4 Zeicbeowedisel verluruu k^I
gangen, miüiin nach Fourier'g Tbeoruni ia (0,1) 4 Wurzelu ,
genagt".

Iffir wollen nnterandien, ob darunter reelle sind uud eie i-vcutuoll
eonämiren. Wir beluuukin am zweckinässigstou die uegoüvt; tilvi-
dnuig von (1), d. b.

^^■IjOsea wir liierfjir Aufgabe L, indem wir

^^""4) Wir schreiben iu ürslcr Reüie die JExpouuutea = > 1 livr jiosi-
tiven Glieder, darunter die eutspreciienden CoeÖiiaentün, iii 3ter, 4tor

1

(

432

.-6 i 3

c„- 1 1 3

(:)=Q=(9 G)=© ®

6.5 a> 6.5.4 o«

> ist der kleinsto der Wert Jr, -.
0,02

Mit Hülfe dieser Werte erhalten wir 1
' ^= 200"™ als Einheit die Coustruction in Fig. II.

Die Ciirve ff geht durch die Punkte:

%, 1>« ¥5, %, 157.

^ = 0, V %, 7,0, Vio

Fahren wir so fort bis a: = 1, so finden wir, dass die
Cnrven keinen Durchschnitt gemein hahcn, die in Frage st
4 Wurzeln also imaginär sind.

Beispiet IIa.
(!) «' — 13a^-f 6Ga;5_165!i*+210a:3 — 12tia;»4-28a— 1 = I

Die in (0,1) enthaltenen Wurzeln zu conatruiren.

Die nach 1 transformirlo Gleichung lautet:
(2) a;' — 6a:« + 9a^+5a^ — löxil+O.x^ + öa-l-ü =

Eh ist also 1 eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung,

Dividiren wir durch ic, setzen — x statt a-, so entsteht:

*) Die Wuiv.cln sind aammllich positiv reell, der Grössi; r
(asineo)^ (asinia")^ (2Bin30")^
. _ , jgBin42^> ,,

^

Siebet: Untersuchungen über algebraische Gleidaingen.

^e-|_6i5+9^._5xS_15:c«+03;+5 =

Construiren wir die Kwi sehen und 1 liegenden Wurzeln
... von (3) — die gesuchten voa.(l) sind 1 — ic, 1 — w' ...

Wir lösen Aufgabe I. für e = 0, Xi = 0, i = 1, o — 0,1.

3 liegt Fall a) vor, also r=6, k H„.a=0,0166..., I

Es ergibt sich die Construction in Fig. IVa.

W. Man findet dio Ab-

FWie vor, mit dem Unterscliiede, daaa dabei Autg. ü. zu liisenl
, oder was dasselbe Aufg. I., Fall b), so dass also A < 0.

B Exponenten >1 der negativen Glieder sind «^^3 uud 2.
Die entsprecli enden — &e:^ und (o)'T^ ^^^ t = ~(J,02.

) Wurzel a der Gleichung (1) in Beispiel IIa zu constrairen^fl
äie znischen 1 uud 2 liegt.

B nach I transfurmirtc Gleichung (2) durch n: dividirt ist:
r ^e.,W^el w im Intervall (0,1),

^^^U Sitbel: UnlersvrJiuaiif,! aber algebraische GlekhunffeK-^^^^^^M

^^^1 Es iät das gesuclito ^ = !-]-«<. ^^M

^^^ Lösen wir zunächst Aufg. I. für c == 0, k, = 0. Wir fintf^^
r = 6, H-«,a = dem kleinsten der Worte 1, -g n*, 4a^. Sei a=0,3,
so Ät-n,a = 0,108, k = 0,1. In Fig. V. wählten wir ala Einheit 50"°.
Die Absciase ie des DurctiBcbuitteB von ^3^ ist w = 39,5"™, also ,
«T = 0,79 (genauer w = 0,79094). I

Anmorhnng. Wir kOnnen in ilioMr Woise dia Gleichung (l) weiter
behandeln, ä. h. die Worzeln in (3,3), (3,4) construiren. Durch die Snb-
ttitnlidn z=:in.T Insaen aicli die Wurzeln eiaer QleiL'bang beliebig Tcrkleinemi j
»Uo die in cintm ^rOsecr^^a Intervall liegenden ebenfnlls mit Hülfe eines bc-
grenzlen CurvenBiackea BK (Fig. III.) z. B. Ober einer AbsciaBO IIQ= 1,1
TCrieichnen. Dabei mGehte jedoch nine grossere Längeneinheit zu wählen

^ Bei der geometrischen Auflösung der Gleichungen können wir
nns mit Vorteil folgender Kriterien bedienen, welche wir im Artikel
n. begründen werden.

Flir die Figuren VI, VII und Vlil möge das Achsensystem einer
der vorigen Figuren gelten. Es seien K und ft zwei beKebigo con-
i'oxo Curven (in der Kiclitnng Y' F gesehen).

iSiAiHJa^tiiD-pii yy-

Kriterium I. Liegt in Fig. VI. die begrenzte Sohne ^if)a ganz
uDsaerhalb K, so befindet eich zwischen P, und P^ kein Dnrchscbnitt
W von ff und K.

lii jeder der Figuren II, IVa und V liegt ^0^4 unterhalb der
.y-ÄclBe, dagegen die Curvc K oberhalb, mithin in dem Intervall

K)

keine Abscisse «■, d. h. keine Wurzel der betreffenden Glei-

luFig, IL hat keine der Sehnen ^4^5, ^i,%, %% mit deinen
Punkt gemein, also enthält keines der Intervalle (^i :r^j, l-^, ^,

\ eine Wurzel.

(s' m) «"«

Ki'iterlum II. In Fig. VII. liegt zwischen F und T einer- 1
^nad T' andrerseits höclftatß'aa em. ■&qi^^^»JJv

itbeh Uiilersüi^tingea über algfhraiidie Gleickungea.

genten ia T, T' durch ^ gehen oder die Ordinate dieaes Punktes
oberhalb |} schneiden.

In Fig. V. schneidet die Tangente des Punktes T die F- Achse
oberhalb ^q. Die betreffende Gleichung hat also zwischen und
( = 23™° =0,46 höchstens eine Warzel, mithin, da /'(O) > und
/(0,46) > keine solche.

Kriterium lU. ht, Fig. VIII-, S?S' Tangente an ff, so
findet sich auf dem Bogen SPS' kein Durchschnittspunkt W von B '
nnd K.

Beispiel.

Die Tangente P(,S, Fig. IVb, trifft die Cur ve Km einem Punkte
8, dessen Abscisse s = 37"" = 0,37 ist. Zwischen und 0,37 hat
also die Gleichung keine Wurzel,

(Es ist die trigonometrische Tangente des Winkels, den p^S mit |

der X-Achse bildet, = ;r'(0) = F'(0)—k/'(()) = F' ^ b(^ =0,Cß\.

Anmorkung. Znr Construction der Tangeute (Fig. III.) in einem
Punkte P, $ vQo E beiOglich S haben wir m bemerken ;
1) Die Snbtangente von K in P ist

2) Die ÄtiKCtAsc d -Its DiirdiscbnittB D der Tangenten PB und $D i«(
gegebFO durch

(Bnler'Bcher „Naherungsivcit").

Als Beispiel diene Fig. IVa, z^^'^; man findet:

- 0,66 , ,

= 0,15.

Wir haben im vorliegenden Artikel stillschweigend angendl
daas die Gleichung /(a:) = keine gleiche Wurzeln besitzt.
Fall, dasB solche vorhanden, lässt sich auf daa o\:i\^&ii -i.M3^<ä£5S
indem wir FoJgenäea heaclitea.

436 Sie bei: Untersuchungen über algebraische Gleichungen»

Ist das grösste gemeinschaftliche Maass

zwischen f(x) und f(x) : /i(a;),

• • • •

• • • .

• • • •

und allgemein:

_. , . fm(x) Fm(x)

Ffn(x) = ,. und g>ni(x) = „ \ v »

so enthalten die Gleichungen

g>o(x) = 0, 9i(aj) =" 0, g>2(x) = . ..
die 1, 2, 3 ... fachen Wurzeln von f(x)=0 (nach Hudde).

r Lehn der Trananersaüiniei

xxxvm.

EiD Beitrag znr Lehre der TransTersallinien.

Herrn Dr. Ludwig Külp

ia Darmstadt.

Zieht mau von ii^end einem Pankte m Fig. 1 in der Ebene,
StansBGrLalb eines regelmässigen Kreispolygon'a liegt, nach den
Ecken a, h, c, d ... und ebenso nach den Mittepunktun der Seiten
diesea Polygon'a TransversalliniGn , ao ist: die Summe der Qua- '
drate der Mittepunktatransversalen vermehrt um das n
fache Qnadrat der halben Polygonaeite gleich der Summe
der Quadrate der Ecktransversalen.

*i, fg, ig ... *H die Längen der Mittepunktstransver-
BBlen, «H die Folygonseito des n-£cka und a, b, c, d ... die Längen i
der Transversallinion , welche nach den Ecken des Polygoo's «, b,
c, d ... gezogen sind, so besteht der Ansdmck:

i,'+i.'+<.^. .+'»■+»

_ a- + f + ^

.+.'.

Der Nachweis für die Eichtigkcit diesea Satzes soll an einem
regelmässigen Fünfeck gegeben werden. Nach einem bekauoten
geometrischen Lehrsätze über Traneversallinien, hat man zunächst
mit Hülfe von Fig. 1 die Gleichungen:

fi' =

a^+6*

r

438

Külp: Ei« Bfilrag i,.. Lehr, ilcr TtansvtriallmÜM.

[

'

/'+•'

^-(«•-

nenn «g die Länge der Polygongeite darstellt.

Werdea diese Gleichnngen addirt, so erhält man die Relation :

velche den Beweis der Richtigkeit des obigen Satzes liefert.

Dieser Satz ist auch gültig, für den Fall, wenn der Punkt
innerhalb des Polygon's liegt.

Zieht man Tangenten an den Kreis der Art, dasa ein regelmfis-
siges Polygon gebildet wird, ao besteht auch in diesem Falle, für
einen auaserhalb nnd innerhalb der Ebene gelegenen Punkt m der
gleiche Satz.

Bezeichnet man in einem regulären n-£ck den groBsen Radios
mit R, den kleinen Halbmesser mit r und die Polygonseiic mit «■,
so ist:

(!)■— ^

berOcksichtigt mau diesen Wert, so erhält man:

d. h. die Summe der Quadrate der MittepnnktstrftOBTd
ealen vermehrt um die nfacbe Differenz der QuadTH
des Halbmessers des umscbriebenen nnd eingeachrist^
nen Kreises ist gleich der Summe der Quadrate der Bäj

transversalen.

Ist das Vieleck welches im Kreise liegt, nnregelmässig, i
steht X. B. für ein Fünfeck ein ähnlicher Satz, der leicht mit 1
von Fig. 2. bewiesen werden kann, man hat nämlich:

i

KüJp: Ein Btilrag !ur Lehre der Traii^rjereallillUl

t-h'+h'+','+','+ii'a'+i"'+'!-i'+'¥'+-n

wenn die Längen der EcktranBversalcn wiedor durch a, b, •
MittepunktatranSYcrBaien dnrcli (,, t^, tg, ... und die PolygonBeite
hier durch ab, bc, cd, ... bezeichnet werden.

Besteht nun das regehnässige Poljgou aus einer graden ÄnzaUlfl
von Ecken, eo hat man Nachstehendes.

Zieht man in einem EreisG der Art n Durchmesser, dass ihrel
Schnittpuulito mit der Kreislinie ein rogülmäsaiges Polygon von ätxM
Seitenzahl Sh bilden, und zieht von einem ausserhalb des Polygon'ig
in der Ebene gelegenen Punkte m nach dem Mittolpnnlrt dos Ereisi
vom Halbmesser R eine Traasversale, sowie Transvera allinien nach '
den Ecken des Polygon's, bo ist: die Sufacho Summe der Qua-
drate der Mittelpunktatransversale und des Radius des
umschriebenen Kreises gleich der Summe der Quadrate
der Ecktransversalen des Polygon's, d. L es ist:

2»[.'+lI=] _■.>+»'+='+...+.■■.

Der hier ausgesprochene Satz soll mit n = 3 Durchmesser bQrfl
wiesen werden. Mit Hülfe von Fig. 3,, und des oben schon ange-J
wandten 'Lehrsatzes ühcr Transveraallinicn, bestehen zunächst die"
folgenden Ausdrücke:

&'+/'

,P-\-a^

-R\

■R%

wenn die Längen der Ecktran 3 vcrsalen durch a, b, c, ... der Halb-
messer mit E und die nach dem Mittelpunkt gezogene Transversal- J
linie (Mittelpunkts transversale) mit e bezeichnet werden, Man erhält J
durch Addition dieser Gleichungen die Eelation:

Auch gilt dieser Satz für eiuen Punkt m innerhalb c

Gehen Strahlen von einem Punkt ausserhalb oder innerhalb nach' J
den Ecken des Polygon's, so kann man solche Strahlen c
oder inneren Polygon -Büschel crstor Art, nuii im ^

i.'i iu.'isoiX'ii 'jJer

: L -11'. . ausserhalb

:i.. u-s . iugesclirie-

. : . :-"ii. so ist: die

■i'ivinsversaleü

i ' 1 regulären

i ::; Halbmes-

• r

* « V « t •■ •

n

;. ia<s (las Quadrat
.^-^uvii Dreieek's:

'. -lU'j.lruck;

JiT^

X :iiu<versalen dos um-

. • liLudeu Laugen der

'.HviOi'ks dargestellt

:• .•'.j;''.;dmässige Poly-
.. . '.*niikt m hat dieser

Vi.

folglich:
und

(, = <2 = (3 ^ R,

r, = 2R,

sich -ei^bt, Ein Wert, welcher dem Obigen cntspriclit.

Gehen die Strahlen von einem Punkt ansscrhalb oder inncrhaJ.b'1
Bowohl nach den Ecken des nmscLriebcnen als auch nach don Ecken ]
des eingcachriebenen regolmäsaigen Polygon's von gleicher Seitenzahl,
80 kann man solche Strahlen einen Polygonbüschel dritter Art nennen.

Werden weiter Transversallinieu nach den Mitten der Seiten des
cingeachriebenon reguldxen Dreiecks gezogen, so besteht der Satz:

Die Differenz zwischen der Sammeder Quadrate der!
Ecktransveraalen nnddenMittetranavcrBalondcs einge-1
schriebenen Dreiecks ist =[äÄ]^.

Man erhält mit Hülfe Figur 4. unter BerücksichtiguDg, dass das ■]
Quadrat {y^) der halben Seite des eingeschriebenen reguläron Dreiecks:

ist, den nachstehenden Ausdruck:

W+h'+h'l-i', +'. +<,'] = [|Ä?,

nenn die Längen der Mittetransi ersalcn des cingeschriobönen Drei- ;
ecks durch %, e^ und cj dargestellt werden

Aus diesen beiden letzten Sätzi
die weitere Relation:

folgt unmittolbar doi'ch Addition J

Ecktransversalendes nrnschriebonen und der Mittetrans-
versalen des eingeschriebenen Dreiecks ist

442

Külp: Ein Bekraij

Auch möge hier dor Satz gßgeheo werden: dass, wenn Parallel-
traaaversalen, von den Ecken des muHcbriebencn und des eingeschrie-
beneu regulären Dreiecks, nach irgeud einer ausserhalb gelegenen
Graden gezogen werden, die Summe der Paralleltransversalen
nach den Ecken des umschriebenen gleich ist der Summe
der Paralleltrausvorsalen nach den Ecken des einge-
schriebenen Dreiecks.

^^^^mid

Es ist nach Figur 5:

21, = %-i-flä
26^ ;= a^-j-Oj,

2Jj = a^-^-o^
folglich :

«i+«s + «s = ii-f''a + i8.
ftcnn dni"ch u,, oj und nj die Längen der ParalleltrauBversalon nach
den Ecken des umsclinebenen und durch b^, ij und ig die Längen
dieser Transversalen nach den Ecken des eingeschriebenen Dreiecks
bezeichnet werden.

I H

Zieht man ferner von einem ausserhalb in der Ebene gelegeneo
Punkte m nach den Ecken eines Dreiecks Transversalen a, b nnd t,
und zieht ferner durch die Mitten zweier anstossendeu Seiten eine
Transversale mn, alsdann von der Mitte a dieser Transversale nach
den Ecken des Dreiecks und des ausserhalb gelegenen Punktes m
die Transversallinicn e, e, , ej, und E, so besteht zwischen diesoa
Terschiedeuen Transveraallinien die Relation:

ffl^+e^-f 25^ = i^-\-e^-^eii*~)r^ei

Um diesen Satz zu beweisen, zieht man Figur 6. zunächst die
Holfslinien t und li, und hat nach dem schon mehrmals gebrauchten
Transversalsatze die beiden folgenden Gleichungen:

durch Addition derselben entsteht die weitere Relation:

Kiip; Ein Beitrag üur LeJire r/«r Tranavcrsalliai

oder:

Es besteht ferner die Gleicliuag:

oder:

2Ea+2a;ä = f=+ii^;
hiemach geht der obige Ausdruck in den uachfulgüsdcu Über:

4E''+4z»-f 2yä+2a» -= a^-^-c^+^b^.
Zieht man endlich die zwei weiteren Gleichungen;

2
I ond

in Betracht, welche sich leicht aus Figur 6. ergeben, bo cntstehr die
obige Formel:

d. h. die Summe der Quadrate der Transversalon von dem
auaaerhalb gelegenen Punkte nach den Ecken, weiche
die dritte mit den anatoasenden Seiten bildet, vermehrt
um das doppelte Quadrat dcrTransvcrsalo nachdorEcki
der anstossenden Seiten, ist gieich der Summe des vier'
fachen Quadrats der Mittolpunktstransversale der Pa
ralleltransversale zur dritten Seite und den Quadratei
der Entfernungen dieser Mitte von diesorSeite vermehrt
um da8 doppelte Quadrat der Entfernung besagter Mitte
von der Ecke der anstossonden Seiten.

Liegt der Punkt m, Fig. 7. innerhalb des Dreiecks, dann ist-
dieser Satz gleichfalls gtütig, der Beweis geht dem Obigen analog.

Werden Fig. 8. in einem Dreieck drei Ecktranaversalen durch
einen Punkt gezogen, so verhält sich die Summe der drei Prodncte
gebildet aas einem unteren Abschnitt einer Ecktransversale eines
BreieckB, mit je den ganzen Längen der beiden anderen Ecktrana-

\

444

Klilp: Ein Beärag :ur Lehre der IVanaveriaUinien.

versalen zur Smnmc der drei Producto gebildet aus einem oberen
Abschnitt einer Ecktrans veraale, mit je den ganzen ijLngen der bei-
den anderen Ecktransversalcn, wie die Zahlen 1:2, d. h, es besteht
der Ausdruck:

c+n.

a.l.o + ß.a.c-i-Y.a.li

= i,

W

Wenn wi, n und o die Längen der unteren Abacbnitto, «, ß und y die
Längen der oberen Äbaehnitto und n, ö und o die ganzen Längen
der Ecktransversalcn bedeuten.

Nach Fig. 8. bestehen zunächst die drei Proportion algleichungen:

und weiter, wenn von den umgekehrten Werten dieser Gleichungen
die Einheit weggenommen, and mit der entsprechenden obigen Glei-
chung nochmals multiplicirt wird, unter Berück sich tigung dass;

I and

ist, die drei weiteren Proportioiialglcichungeu:
« F-f

wenn f, f^ und /"„ dio einzelnen Dreiecke bedeuten, in die das ganic
Dreieck F durch dio EcktrauBversalen a, h und e zerlegt wird, also :

ist. Durch Addition je drei dieser Proportionalgloichnngen, and
Division dieser beiden Summen in einander, entsteht der AnsdmdCt

Kü Ip ! Ein Beitrag ntr Lehre der Transversailini

>.i..+..»..+0

= 1,

der die Eichtiglioit dos ausgesprochenen Sataea beweist.

Es bestehen zwar schon die beiden Sätze:

daaa die Suramo der drei Quotienten gebildet aus den unteren
Abschnitten und den ganzen Längen der zugehörigen Transversalen
T^ 1, und ebenso, daas die Snmmo der Quotienten aus den oberen
Abschnitten imd den ganzen Längen der zugehörigen Transversalen
=- 2 ist; doch ist der hier gegebene Satz, der auch als eine Ver-
einigung der beiden erwähnten Sätzen angesehen werden kann, wohl
in eine andere, neue Form gebracht werden.

Wird eine Strecke p Fig. 0. von emem ausserhalb gelegene»'!
Punkte Af durch die Strahlen;

harmonisch geteilt, so dass die Gleichung:

eine richtige ist, dann besteht (üo Gleichung:

■»),

\

d.h. das Product gebildet ans der Differenz dep-Qnadri
der inneren harmonischeu Strahlen nad der ganz
Strecke, ist gleich dem Product ans der Differenz der I
Quadrate der äusseren harmonischen Strahlen und dem!
Mittelstück, vermehrt um das Prodnct aus der Difforonz ]
und dem Producte der äuasoreu Stücke.

Nach einem Lehrsätze über Ecktrausversalen bestehen die beiden |
Gloiehungon:

und

^■- °'"+'-;^"- !^-[-+d

durch Subtiaction derselben erhält man die Relation:
i_4a_gg.= Bj

I 448 Uebangsaufgaben.

L XXXIX.

^^^L Uebnngsanfgaben.

^^^B 1. An den HaJbkrcis ÄDU ist oinc Tangente EDF parallel
F Durcliineaaer ACB gelegt, und über AB das gleichseitige Dr

1 SAB construirt, dessen Seiton die Tangente in

I dann erzengt, hoi Rotation um AB, die gebrochene Linie

p eine ebenso grosso Fläche als der Halbkreis.

2. Ist statt deesen das Dreieck SAB nnr gleichschenklig,
seine Höbe SC -^^ AB, so erzeugt bei Rotation um AB die FB
ÄEFB einen ebenso grossen Körper als die Halbkreisfläche.

3, ErzBQgt ein recht winkliges Dreieck bei Rotation um &A
Hypotenuse a und die Katheten h und c bzhw. die Volumina J, B
nnd C, so ist ausser den bekannten Relationen aA = bB = cC mii
unabhängig davon

A^^B^^C*' A B"^ C
i. In jedem Dreieck ist

wo A den Winkel zwischen den Seiten b und c, und A die vum
Scheitel A ans gehende Höhe bezeichnet. G. Doator.

6. Sind ABC'D und A'B'C'D' zwei Quadj'atc, uud die gleich-
benannten Seiten einander parallel, so ist

22'a+CC'* = BB'^-\-ni)'^

6. Schneidet eine Gerade die Verlängerung einer Seite AB einet ■
gleichseitigen Dreiecks über A hinaus in D, die Seiten AC, SC
bzLw. in A', B', so ist

AD _Bp

AA' ~ BB' ~

7. Fallen die Hypotenusen JiC und B'C zweier gleicJischenk-
ligen rechtwinkligen Dreiecke jiBC, A'B'C iu eine Gerade, so ist

8. Ist S der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC, und sind Qa,
ifb, Qö für die Dreiecke BSC, CSA, ASB, p' für das von den Seilen-
balbirenden als Seiten gebildete Dreieck, p für das Urdreieck die
Inkreisradieii, so ist

Litlerarischcr Bericht CCXXl»

Litterarischer Bericht

CCXXI.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e
fisiche. Publicato daß. Boncompagni. Tomo VI. Roma. 1873.
Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.

Das Aprilheft enthält eine Reclamation von Angelo Genocchi
zu Gunsten Feiice Chio's, betreffend eine Abhandlung von Maxi-,
milian Marie über den Umfang der Convergenz der Taylor'schen
Reihe; dann Zugaben und Verbesserungen zu der Schrift: Intorno ad
una traduzione latina dell' ottica di Tolomeo". Bull. IV. p.470--
492. nov. 1871. von B. Boncompagni; endlich Ankündigungen
neuer Publicationen. Das Maiheft bringt eine Notiz von D. Bier ens
de Haan über Holländische logarithmische Tafeln (von Adriaan
Vlaek). Hoppe.

Lehrbücher, Sammlungen und Tabellen.

Die Hauptsätze der Elementarmathematik. Zum Gebrauch an
höhern Lehranstalten. Bearbeitet von A. F. G. Th. Gauss, Ober-
lehrer am Gymnasium zu Bunzlau. Erster Theil: Arithmetik und
Planimetrie. Mit 124 — Zweiter Theil: Stereometrie und Trigono-
metrie. Mit 47 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Bunzlau
1873. G. Kreuschmer. 213 S.

Das Lehrbuch soll, wie der Verfasser sagt, nur der Repetition
dienen. Er folgert daraus, dass es ein wesentlich synthetisches Ge-
präge haben müsse. Ob die erstere Bestimmung, welche beim vor-

T«il LVL Heft 1. \

logn

■>,.-htr Bericht CCXXl.

liegenden zutrifft, eine Notwendigkeit sei, kann niun dalii
lassen-, das letztere lÜerkmal ist wot aoch ohnedies dnrcli dla l!
der Sache gefordert Hier ist indes rühmlicli barvorznheben,
das Gynthetische Prinzip mit Bewusstaein und consequenter 1
dnrchgeftthi-t worden ist. Es hätte nahe gelegen, am Schlaase jM
Abschnitts den synthetisch gewonneiiea höhern Standpunkt dnrch &
allgemeiaeren Satz zu manife stiren, kxa auffallendsten ist es tu d
Beziehung, dass bei den Logarithmen die Grundzahl als belic
Grosse immer nuthezeicbuet wird, und doch der Hauptsatz gar n

aufgeuommen ist, dass der L.ogarithmus von b znr Grundzahl a =

ist, welcher zeigt, dass zum Rechnen eine einzige Grundzahl genügt
Manche abgekürzte Bedeweise kannte bedenklich erscheinen, doch ist
der Ausdruck nirgends irreleitend. Dies gilt auch von den in Bft-
tracht gezogenen unendlichen Grössen, welche sich, wenn sie nur, wie
es hier geschieht, als Variable aufge.fasst werden, leicht genug gan«
elementar nnd streng behandeln lassen. Nur hätte, da bei der Pro-
portionalität der Linien daron Anwendung gemacht wird, der Hauptsatz
nicht fehlen dürfen, dass a genau = b ist, wenn a — x und b — x un-
endlich klein sind, ohne welchen die Bündigkeit des ganz richtigen
Schlusses nicht einleuchten kann, und welcher überdies die Anwen-
dung des Unendlichen in sofern gekürzt hätte, als er die Einsclüies-
suDg zwischen zwei Grenzen erspart.

Die Arithmetik beginnt mit der diacreten Zahl, deren Begriff all-
mälig erweitert wird. Hieran achliesst sich die Algebra nach Ein-
führung der allgemeinen Grösse. Als Zugabe, wiewol für die Anfor-
derungen au die Schule unentbehrlich, folgen die Prugressiünen , d^r
binomische Lehrsatz, Combiuationalehre und Kettenbrüche. Auch die
Geometrie enthalt manche kleine Zugabe, namentlich aus der neuem
Geometrie, eingestreut, ohne dass dadurch der Hauptinhalt wesentlich
zurücktritt. In der Stereometrie sind besonders eingehend und in
grösserm Umfange behandelt die Sphörik, die Kubatur und Com-
plauation.

Der Titel des ersten Teils hätte vollständig heissen mflssen:
Arithmetik, Algebra und Geometrie. Es ist ein, der Bequemliclikdt
der Schulen dienender Familiarismus, alles, was in der Arithmetik-
stunde gclclu't wird, unter den Namen Arithmetik zusammenzufassen.
Diese Ungeuauigkeit wird jedoch zu einem nicht mehr zu duldenden
Misbrauch und führt zur Verwirrung der Terminologie, wenn man
sich, wie es neuerdings geschehen ist, darauf als unabänderlich fest-
stehende Begriffsbestimmung beruft , um die Grundbedeutung nach
Namen und Sache zu verdrängen. Hier ist es wichtig genug zn er-
-IdAren: Der nnülUige Usus hat kein Hecht, wo der BegriflsunterBCliiai^

LilUrm-ischev Berichl CCXXl.

in der Natur der Sache gegeben ist. Arithmetik oder Zahlenleliret,
elementare wie höhere, ist die Doctrin von der diacret«n Zahl, Algebra
die der allgemeinen Grösse; crstere hat der Geometrie gegenüber ihre
eigene Quelle für ihre Grundbegriffe, letztere vereinigt beide nnter-
einer Theorie. Das vorliegende Lehrbuch gehört zu denjenigen, welche
die Zahlenlehro zur Entwickclnng fuhren und erat dann zur Algebra
abci^ehen. Es beweist damit das Recht eines besondem Platzes für
erstere im elementaren Cursus, es beweist aber ausserdem, dass der
beqneme Usns nicht bloss die allgemeine Grössenlehre , sondern auch
die Lehre von den Gleichungen, die doch jedermann Algebra nennt,
toit unter den Titel Arithmetik hriogt, dass er also kein feststehen-
der iBt. Hoppe.

i

i

Lehrbuch der Arithmetik. (Zweiter Cursna.) Erster Theil. ZU'
nächst zum Gebrauch in der Secunda. Von H. P. H. Grttnfeld,
Oberlehrer, erstem ordentlichen Lehrer an der Könjgi. Domschule in
Schleswig. Schleswig 1872. Julius Bergas. 100 S.

Sammlung methodisch geordneter Aufgaben zur Benutzung beim
Unterrieht in der Arithmetik. Erster Theil. Von H. P. H. Grün-
feld, Oberlehrer, erstem ordentlichen Lehi-er au der Köuigl. Dom-
schule in Schleswig. Schleswig 1S73. Julius Bergas. 133 S. ,

Bezeichnend fflr das Lehrbuch ist die Sorgfalt und Gründlichkeit, 1
mit welcher die gesaraiuti™ Objecto der Doctrin nach dem Ursprung ,
der Ideen entwickelt worden. Infolge dessen, dass es der Verfasser
in dieser Beziehung nicht leicht genommen hat, ist aJich in der Tat
die rechte Deutung nie verfehlt. Hauptaugenmerk ist imverkennbar
die deuHiche, corrccte Vorstellung des Einzelnen, dahingegen der Zu- ■
Bammenhang und die Gesammtauffassung merklich zurückgesetzt t
als nebensächlich behandelt erscheint.

Kur in den ersten Erklärungen findet sich die discrete Zahl i
terschieden; von da an wird sofort und ausschliesslich der aus de'ä
Jjinearabraessnng hervorgehende Zahlbcgriff zugrunde gelegt, und dem-
gemasB die Sätze vorwaltend geometrisch begründet. Hieraus lässt
sich jedoch nicht auf die Ansicht des Verfassers schlicssen; vielmehr
ist zu vermuten, dass im ersten Cursus dieser Standpunkt bereits er-
reicht war, im zweiten daher unmittelbar zur Basis genommen wer- 1
don konnte. I

Die Aufgabensammlung beginnt mit Einübunft der Uebersetznng I
der Worte iu Zeicheu nnd der Zeichen in Worte. Dann folgen mit
Bezugnahme auf die Paragraphen des Lehrbuchs eine reichliche Anzahl

I

ÜobUBgabcispiele, erst ia Zoichen, dann in Worten, woldie wo] schwer-
iici einen HechnungafaU vemiiBson lassen. Die Resultate Bind am
ScIiluBs dazugegeben. Hoppe.

Lelirbuch der Geometrie mit Eiuschluss der Coordinateu-Theorie
und der Kegelschnitte. Zum Gebrauch bei deu Vorträgeu an der
. vereinigten Artillerie- nnd Ingcnionr-ScLule niid zum Selbätnolerricht
bearbeitet von Dr. K. H. M. Aachenboru, t weiland Professor am
Berliner Cadettenhaus, Lehrer und Mitglied der Studien-Comniiasion
der vereinigten Artillerie- und Ingenieur- Schule, Erster Abschnitl.
Die ebene Geometrie. Zweite unveränderte Auflage. Berlin 1873,
Verlag der Köu. Geh. Oberhofbuchdruckeret (E. v. Decker). 372 S.

Das Buch kennzeiclmet den Verfasser als Meister in eeiuem Fache,
einem Lehrfacho von näher zu charakterisir enden Grenzen. Er be-
herrBclit mit seltener Begabung den Lehrstoff und giebt, ohne Be-
fangenheit in vererbten Sehulgrundaätzen , ohne Anlehnen an Auturi-
täten, ohne Entlehnen von fremden Bearbeitungen, vollkommen sein
EignOB, Selbatdurclidachtes, Selbatgestaltttes. Um diesem originellön
Werke seine richtige Stellung zu geben, ist jedoch folgendos in Be-
tracht zu ziehen. Es ittt nicht zur Einführung in das Studium der
Wiaaenscbaft , auch nicht zur Ausbildung für das Lehrfach gemacht
und brauchbar, sondern ausschliesslich zur Unterweisung dessen, der
praktische Anwendung von der Mathematik maclien will. Dies liegt
jedoch nicht in der Wahl dos Lehrstoffs. Der Umfang desselben ist
der weiteste, den wol je der Gymnaaialnnlerricht aufgenorameii hat,
und über die reine Geometrie geht er nirgends, etwa zugunsten be-
sonderer Anwendung, hinaus. Der Unteraeliied liegt vielmehr darin,
dasa zum Selbatdenken des Schülers weder Anlass und Nötiginig
noch die erforderliche logische Grundlage gegeben wird. Der Schaler
empfängt alles, was er wissen soll, in vortrefflicher Weise dispouirt,
bis ins äuaaersto ausgeführt und begründet; aber in irgend einer Frage
aelbst entscheiden lernt er nicht. Dass die Enklidisebo Satzform nirit
inne gehalten wird, wird wol kaum vom theoretischen Gesichtspunkte

' gamisbilligt werden, da sie ohnedas von vielen für Pedanterie ge-
halten wird. Dock hiermit hängt ein aeiir wes«itlithea Merkmal zu-
sammen. Es ist anerkannter didaktischer Grundsatz, iu allen nmthe-
matischou Urteilen weder zu wenig noch zu viel Bestimmungen an-
wenden. Dies Erforderniss der Entwickelung dea exacten DenkoQS,
weichem im Grunde die Eukhdischo Satzform zu dienen bestimmt ist,
welchea jedoch auch ohne Zweifel bei Abweichung von derselben noch
sehr gut erfüllt werden kann, ist es, was Aachenborn dcrmassen

M^ep Angea setzt, dass, im '<N«vt«^¥in\&<ä)iäiiL'^'%utaBu4n^MB

weudigkeit VGrIoren gplieii, die Fähigkeit sichern Sclliesaens nnent-
wickdt bleibe'A mu9s. Er sorgt mit grosser üinBicht daftlr, dass nichta
fehlt, stellt die Sätze pusitiv und negativ, neben der Gleichheit die
Ungleichheit auf. Wieviel aber notwendig ist, lernt man nur in der
einon Frage; Welche Grösacji müssen bekannt sein, um die übrigeaxi
daraus zn berechnen?

Da an Gebrauch auf Gymnasien schon darum niemand denken«
kann, weil diesen nicht die der grossen Ausführlichkeit ontsprecheudo
Zeit zur Verfügung steht, bei technischen Lehranstalten die Notorität
jede Empfehlnag überflüssig macht, so ist nur in Betreff der auf dero
Titel erklärten Bestimmung zum Selbstunterricht zu bemerken, daas
letztere nur für Solche gelten kann, denen es auf Aneignung des in
reichlichem Jlasse Gegebenen ankommt, die eben nicht weiter fursebeo
■wollen. Diese werden den Weg zom Verständuisä in erwünschtester
■Weise gfcbnct finden. Hopp^

Grundzüge einer wissenscbaftliehou Darstellung der Geometrie 1
des Masses. Ein Lehrbuch von Dr. Oskar Schlömilch, Kgl. Säch^J
Geh. Hofrath und Professor am Kgl. Sachs. Polytecbnicum. Erst^^
Tbefl: Planimetrie und ebene Trigonometrie. Fünfte Auflage. ■
Zweiter Theil: Geometrie des Raumes- Dritte Auflage. — Mit inl
den Test gedruckten Holzschnitten. Eisenach (Jahrg. fehlt). J. Bac- f
moiater. 254 und 266 S.

Für welcherlei Leser das Bach eigentlich bestimnit sei,
dem luhalto schwer zu erkennen. Es behandelt mit grosser Aua-'l
ftthrlichkeit diejenigen Seiten der Geometrie, welche in d
fallen, ohne diejenigen za berühren, welche mehr zu denken geben.
-JUan kJfhnte darum geneigt sein es als Änschaunngsunterricht für
minder entwickelte Schüler anzusehen. Dem widerspricht jedoch
stellenweise die Anwendung längerer Rechnungen ohne alle didak- J
tische Vorbereitung. Halten wir uns daher an die Angaben de» V
Titels, so ist die Benenimng „Geometrie des Masses" kaum ein unter- V
.scheidendes Merkmal, man mOsste sie denn der Geometrie der Lage
eolgege^isetzen wollen. Auf das Messen im engsten Sinne beschränkt
sich das Lehrbuch nicht, es ist eben nur äusserst karg in der Ex-
plicstion derjenigen Lehren, welche indirect, aber darum nicht minder
zur Bestimmung von Grössen Verhältnissen befähigen. Was aber die
Beaeichnung „wissenscbaftliebe Darstellung" betrifft, ho dürlte es wol
selbst im Vei^leich mit vielen Lehrbüchern, die aus pädagogischen
Gründen um der Leichtfassliehkeit willen die Strenge nicht urgiren,
dafür nur „unwissenschaftliche Darstellung" heissen. Um den Mangel
\jm gamen aaszudrückea, so ist ea eVne V%rj(n\.T«Aj!s&&& "^jiitjsar

I

Ulm

■Ut-hcr üfächi CCXXl.

tUiiilichkeit, daaa ilio Anschaunugen uio zu fest iiormirteit ]
hingeführt werden, wie es uubestrittea jede exacte '
laugt. Zwei TrogschlUase mögen beispielsweise angefahrt i
Winkel wird Differenz der Richtungen zweier Gi^raden i
hiernach die correBpondirenden Winkel au Parallelen Du
gleicher Richtungen sind, so folgert der Verfasser, man sei ,
tigt" den Satz auszusprechen: Corrospondirende Winkel sind (
gleich. Also aus dem Namen soll die Tatsache folgenl Ii
lichkait steht die Sache umgekehrt: wir sind berechtigt den
die Differenz der Richtungen zu nennen, wenn wir wissen, dass diese
Bezeichnung mit den aus dem Begriff der Differenz 'hervorgehenden
Folgerungen im Einklang ist; insbesondere wird also die Berechtigang
dadurch bedingt, dass gleiche Richtungen gleiche Winkel bilden, des-
sen Nachweis wir zunächst schuldig bleiben. Der Verfasser yei-
leugnet oder ignorirt mit seiner Aufstellung die Anstrengungen Ton
Jahrhunderten, was mit der wissenschaftlichen Wahrhaftigkeit doch
in zu starkem Widerspruch steht. Zweitens wird nach Kettenbrudi-
entwickelung des Verhältnisses zweier beliebigen Geraden behanptet,
wir besässen daran oin Kriterium der Commensurabilität, während iu
Wirklichkeit doch nur eine Frage auf eine neue zurückgefohrt ist
üeber den Sinn des Verhältnisses incommensurabler Linien lässt das
Lehrbnch den Leser ganz im Stich. "Wie in diesem Faller ist das
Verfahren Überall, Alles was wisBenachaftliche Untersuchung und
wissenschaftliches Urteil erfordert hätte, wird stillschweigend über-
gangen; nur was man an der Figur sehen oder algebraisch ana-
rechneu kann, wird diacutirt. Hoppe.

w.

Geodäsie und praktische Geometrie.

Distanzen- nnd Uühcn- Messung.

Formeln und Tabellen behufs
Aufiiahme und Höhenbeatimmung. Von H. Stück, Oher-Geometer^
Hamburg 1873. Otto Meissner. 143 S,

Diese Tafeln sind für die Vermessung eiues Terrains mit steiles
Abhängen bestimmt. Die Methode, welche zur Aufnahme des Ham-
burger Gebiets und Darstellung desselben in äquidistauten Niveau-
linien in Anwendung gebracht worden ist, findet sich im Anfang dea
Buchs beschrieben. Von einem Standorte des Instruments, welch«
ans einem vertical drehbaren Fernrohr verbunden mit einem Theodo-
liten und mit einem, jo nach der grossem oder geringern Viairweitfl
verschiebbaren Fadenkreuz (drei horizontale Faden über einen Terti-
calen) versehen besteht, werden die Horizontal- und Vertical winltd
und die Distanzen von zwei Orten gemessen, letztere durch do& i

nnicAer Bfrl.ht CCXXl.

Cebnitt auf einer vertical aufgeatcllten Latto, weicher zwischen zwei
Fäden gesehen wird. Die Einleitung giebt dann weiter die Ent-
wicketung der Reductiunsformcln, die Bestimmung der Constantßn-
werte aas einer Anzahl Beobachtungen, die Anorilnungeu der Opera-
tionen im Felds nnd das Eintragen der Höhenpunkte in die Karten.
Die Tafeln geben für 200 Lattenabachnitto nnd für Elevationswinkel
von 5 zu 5 Minuten bis 30 Grad die Diatanzen und die Differenzen J
der Tangenten. Die logarithmische Rechnung ist liier als nnvorteil-l
haft beseitigt. Uuppe.

Astronomie und Meteorologie.

Das Gesetz der Stürme in seiner Beziehung zu den allgemeinei
Bewegungen der Atmosphäre, Von H. W. Dove, Mitgl. d. Akad. yJ
Amsterdam, Berlin, Boston, Brüsse!, Dublin, Gent^ Göttingen, d. Leo-
poldina, \. London, MoBcan, München, Petersburg, Prag, Upsala
Wien H. s. w. Mit Holzschnitten und zwei Karten, Vierte vermehi
Auflage. Berlin 1873. Dietrich Reimer. 365 S.

Die erste Hälfte des Buchs handelt von den allgemeinen Bewe-
gOBgen der Atmosphäre. Es werden zuerst die möglichou Wind-
Ibrmen aufgestellt, dann nach einander die vorgefundenen Windarten
nach Ort, Zeit und Charakter geordnet dui'chgegangen , zuerst als
beständige Winde der untere und obere Passat, dann als jährlich
periodische Winde der ludische Monsoon, die Westmonsoons der
Linie, die Seiten ablcnkung des Passats an der Küste von Afrika ub(
die subtropischen Winde, dann die veränderlichen Winde, in wölcheo.^
der Polar- nnd Aequatorialstrom und das Drohnngsgesctz
mässigkeiten auftreten. Die Darstellung ist eine nnr lose verknüpfta:
nach kurzer Beschreibung und Erklärung verweilt sie bis zum Ende
bei tatsächlichen Angaben, welche dann auf die vorausgehende Dispo-
aitiou nicht mehr reflectiren. Dennoch kann man nicht den Wert
des Werks aliein nach diesen Einzelheiten mesacn. Man vermiast
zwar in allen Stücken die exacte Durctiführuug, aber zur wissen-
schaftlichen Behandlung ist von allen Seiten ein Anfang gcgebei
eich verfolgen und fruchtbar machen lässt Insbesondere ist die von
Veränderungen und Ursachen isolirte Auffassung des Bewegunga-
zustands wenigstens aniäuglicfa in Angriff genommen, wenn gleich auf
einer etwas niedrigen Stufe der Ausbildung gelassen und dem Fol-
genden, wo Zustand und Ursache noch ?.a sehr in einander fliessen.
nicht weiter zu Grunde gelegt. In ähnlicher Weise wird dann die
Erscheinung der Stürme behandelt, anknüpfend an die Bemerkung,
dass den Stürmen immer ein ungewöhnlich niedriger Atmosphären-

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8 Litterarischer Beridtt CCXXI

druck vorhergeht Eiu anderes kann nach allem wol nicht mit dem
Gesetz der Stürme gemeint sein. Die sich daran schliessenden tat-
sächlichen Angahen sind als dessen Bestätigungen aufgestellt Ein-
zeln durchgegangen werden die WirhelstOrme der heissen Zone, die
an der äussern Grenze des Passats entstehenden Stürme der gemäs-
sigten Zone, die Sausstürme, die Stürme durch seitliche Einwirkung
entgegengesetzter Ströme. Beigegeben sind 6 Karten, welche die be-
handelten localen Sturmformen darstellen, und eine grössere für den
Sturm vom 20. Januar 1863 nebst Nachweis. Hoppe.

Vermischte Schriften. Teile von Zeitschriften.

Annali di matematica pura ed applicata. Diretti da F. Brioschi
e L. Cremonti,. Seriell. Tomo V. Milane. Giuseppe Bcmardoni.

Das 3. Heft vollendet den Aufsatz von Noether, sulle curve
multiple di superficie algebraiche, und enthält weiter : Schläfli, nota
alla memoria del Sig; Beltrami „sulli spazii di curvatura costante'^ —
Beltrami, osservazione sulla precedente memoria — ScHäfli,
sopra un teorema di Jacobi recato a forma piu generale ed applicato
alla funzione cilindrica — Codazzi, sulle coordinate curvilinee d'nna
superficie e dello spazio (memoria 5*) — Gundelfinger, intorno
ad alcune formole della teoria delle curve di secondo e di terzo or-
dine — Combescure, sur quelques probl^mes relatifs ä deux s6ries
de surfaces — Aoust, th^orie des coordonn^es curvilignes quelcon-
ques (troisieme partie).

Das 4. Heft beendigt den Aufsatz von Aoust und enthält:
Schlaf li, Quand' e che dalla superficie generale di terz' ordine si
stacca una part4) che non sia realmente segata da ogni piano reale?
— Siacci, intorno ad alcune trasformazioni die determinanti —
Dini, sulla integrazione della equazione J^u=0.

LitttiarUchcT ßerichl CCXXIJ.

Litterarischer Bericht

Geschichte der Mathematik und Physik.

Bulietiun di bibliografia e di storia delle scienze mateiriatiche jA
fiaiche. Pubblicato da B. Boncompagni. TomoVI. Koma. Tipo-^T
grafia dclle scienze matematiche o tisiche, 1873.

Das Juniheft enthält eine Abliaudlung von C. Am. Sedillot Über,!

den Ursprung der planetarischen Woche, und Platon's Spirale; dansn

ein VerzeichnisB der neu erschienenen Schriften. Das Jnhheft enir
' hält einen Bericht über die Mathematik in Belgien im Jahr 1872 von

Dr. P. Mansion, Professor an der Universität Gent, bestehend in
I Mitteilung ans den einzelnen Arbeiten in der reinen Analysis, (leo— ^

metrie nnd Mechanik nebst darauf bezaglichen litterarischen Notizen

^H Arithmetik, Algebra and reine Analyst.

^^^ • Die Determinanten nebst Anwendung auf die Lösung algebraischef

I lönd analytisch geometrischer Aufgaben, Elementar behandelt von Dr3

H. Dölp, ordentl. Professor am Grossh. Polytechniliuni zn Darm'^

j Stadt. Darmstadt 1874. Ludwig Brill. 94 S.

Nachdem die Einführung der Determinantenrechaung
Schulunterricht von vielen Seiten befürwortet, und von einzelnen Leh- 1
rem bereits vollzogen worden ist, kann über das Bedürfoiss eines für 1
diesen Zweck bearbeiteten Lehrbuchs kein Zweifel sein. Gegen die
Einführung kann man geltend machen, daas die Theorie, obwol sie
keine hohen Yorkenntnissc zum Yerständniss erfordert, doch bei rei-

£1

LlttnarUcher Bericht CCXXII.

ferer Auabildung leichter erlernt wird, dass daher das Studium 4
durch ein frfllizeitigcs Betreiben keinen rechten Gewinn hat.
betrachtet es der Verfasser als weniger bedentend, ob dia a
scheu Studien damit beginnen, oder der inathematischö Untemcht in
der Schnle damit abscIiUessen solle. Fasst mau aber die Frage so
anf : Enthält die Theorie ein bildendes Element und steht sie in guter
Verbindung mit andern TJntcrricLtsKWüigen? — so bietet sieh die be-
jahende Antwort augenfällig genug dar. Das bildondo Element ist
die systematische Ordnung, fttr welche die glänzenden, leicht zu er-
ringouden Erfolge der Determinantcutheorio den Sinn zu wecken ohue
Gleichen geeignet sind, eine Sinnesrichtung die unstreitig die notwöl-
digste Bedingung alles erfolgreichen Treibens der Mathematik ist. In
engster Verbindung aber steht die Theorie mit der Combinations-
lehre, welche man geradezu als Vorbereitung zur Detenninantenlehre
behandeln, und der man so die sonst sehr mangelnde Nutzanwendung
geben könnte.

Es handelt sich nun um die Frage, wie die Methode gestallet
werden müsse, damit sie zum Schulunterricht passe. Ueher den um-
fang des dabin gehörigen Lehrstoifs kann man nicht wol sehr ver-
schiedener Meinung sein. Es gibt einen uicht zu verfehlenden Kreis
von einfachen Sätzen, Scblussweisen und Operationen, mit welchen
der Anfänger bald vertraut wird, und zu deren Anwendung sich un-
zählige mal Gelegenheit bietet Das Bilduugsgesetz, die Eutwickolung
nach Unterdeterminanten, die Vertauschung der Heiben, die gleichen
Beihen, der Eeihenfactor, die Addition und Zerlegung, die Auflösung
linearer Gleichnugeu und Elimination machen den Inhalt des elemen-
taren Teiles der Detemiiuantonlehrc aus ; die deuanf bezüglichen Sätze
folgen der Reihe nach aus einander ohne alle umständliche Betraeh-
tnng, mit jedem Schlnss einer. Diese einfache Methode brauchte nicht
erst gesucht zn werden, da die ersten wissenschaftlichen Bearbeitungen
sie schon befolgen. Die vorliegende Bearbeitui^ überschritt die gfr-
nannten Grenzen nm ein kleines dnrch Hinzufügung einiger Themata:
das Differenzenproduct, die Mnltiplication der Determinanten uud die
adjungirteu Determinanten. Da diese gleichfalls mitunter Anwendung
gestatten, das zweite noch besondere Wichtigkeit hat, so ist es nur
zn billigen, dass auf höhere Ansprache einige KUchsicht genommen
ist; nur hätte das Differenzonproduct nicht sollen im Anfang stehen,
WO es durch bedeutende Vormehrung der Betrachtungsobjecte das
Lernen sehr erschwert. Zur Deduction der Sätze ist es ganz übCT-

Was aber diese Deduction der einzelnen Sätze betrifi't, so istdi
Wahl des Verfahrens die unglücklichste, die sieh dwkeu iM^ fi

IJ,l,rarisdier Beikhl CCXXIJ. U t

sogleich die cinl'aclio Scblasswoise zn enthüllen, werilon tjrraadende '
Specialbetrachtungen vorausgeschickt, welche schliesBlich das Resnltat J
doch nicht evident machen. Der ScbOler muss glanben, darauf l
ruhe der logische ZusammcnlianE;; er wird aber nur in ein nnabseh-«'!
bares Feld von Rechnunsjen geführt, ohne den Geist der Theorie,
weichet ihn dasselbe zu beherrschen befähigt, keimen zu lernen.
Weiterhin, wo die Erklärungen gerade bei wachsendem Bedürfnisa
immer kärglicher werden, fiudet er sich ganz im Stiche gelassen.
Was dem Verfasser zu einem solchen Zuwerkegehen verleitet bat, ist
vermutlich (Behauptung Hegt fem) die irrige Ansicht, eine elementaro
Darstellniig müsse sich der Gewohnheit der Schüler anbequemen.
Jeder wesentliche Fortschritt im Lernen ist bedingt durch die Ueber-
windung einer Gewohnheit. Bei der Determinantonlehre wird nur
wenig mehr gefordert als dieses; diese Bedingung aber ist unerläss-
Hch. Man tno nur den Schritt bei einem kleinen Object, und altes
iflt erreicht. Der Schüler in der Algebra ist z. B. gewohn zu sagen: -
Um M mit a = a-j-fi+c zu multiplicireii, multiplicirß ich m m
i, e und addirc die Producte. Jetzt soll er dafür sagen: Ich substi- ,
taire in »w für « nach einander a, t, c und addire die Resultate. So-
fort erhellt daraus der Satz von der Zerlegnng einer Determluante,
deren eine Reibe aus Summen besteht. Ebenso ist es bei den übri-
gen Sätzen. Nachdem die allgemeinen Deductlonen deutlich .sind, mag J
man, und zwar nach jedem einzelneu Satze, eine reichliche Special-,
anwendung nachfolgou lassen; nur soll man den Schfiler nicht zu dem, J
Irrtum vorleiten, als habe er das Allgemeine aus dem Speciellen zu J

Der genannte Missgrifi' läsat sich im vorliegeuden Lehrbuch nicht 1
Terbeaaem; nur eine ganz neue Bearbeitung kann dem BedUrfniss
Grcnflge tun. Solange wir keine solche besitzen, würden sich wiss
schaftliche Darstellungen, z. B. die von Brioschi (deutsch von ]
Schellbacb), wovoumau nur den Anfang zn benutzen hätte, für den ]
Schulgebrauch noch immer mehr empfehlen als die vorliegende.

H.

Geometrie.

Die Curven dritter Ordnung mit einem Dop])olpunkt6, nach döu
Methoden der neuem Algebra (luvariantentbeorie) behandelt von ■

ngo Rosenow, Dr. phil. Breslau 1873. Maruschkc. u. Bcrcudt.
48 S.

Die hier behandelten ebenen Curven bilden unter
Bat Oradea sinen besonders einfachen Fall yermflgt

w

I homo

Lauraniritr Berictt CCXXIt

•cluift, dSM neb die boiiK^eora CoordJnateii dnes Pmüctea m gom
homogenen Functionen 3. Gndes zweier Pinmeter danteDra InMc,
Ton wekker Form die Betrachtung &neh aasgehL Als YoviiBeer ii
der ßebaadlnng ihrer Theorie werden genannt: Clebsch (Ode Jl
Bd. ei- p.43.) Steiner (Bd. 53. p. 231.) Schröter (Bd-54- p.31.
mul Math. Ann. Bd. V. p. 50 nnd 85.) Cremona (CreDe J. Bd. 64.
p. IUI.) Weyr (Theorie der mchrdent^^en geom. ElemcirtargeUdi
lim.) Höhine (der barycf-ntri^chß Calcnl 1837. und Abh. d. K^
Sklu. Ge«. d. Wiss. 1852.) Dnröge (Math. Ann. Bd. 1. p. StA)
Onessfeldt (DIeh. inäng. Bonn 186ä.) Nur letztere beiden hahca
einen Parameter eingefohrt aber specielle Fimctionen zngrmde ^
le^ Hierin wfirde demnach der Unterschied der gegenwärtig«! Cn-
tennchnng zu sehen sein. Ks werden untersucht die 3 Wendepunkte,
die von einem Pnnkte aosgefaenden Tangenten und die Tangenten im
Doppelpunkte. Vom Vorzeichen einer Invariante liängt es ab, ob
letztere imaginär oder reeD sind- Beziehnngsweise besteht dann die
Cnrre aus zwei getrennten Teilen mit dera Doppelpunkt als Lsolirtem
Punkt oder aus einem stetigen Zuge. Im Grenzfall ist der Doppd-
ponkt ein Bfickkebr- und ein Stillstandspunkt Femer werden Cur-
venpunkte als Cenlra von StrahlensTstemen nnd in Yerbindnng nnt
K^elschnitteu betrachtet. H.

P h V s i k.

^^^^r Die Lehre vom Galvanismns und Elektromagnetismus. Von

^^BSsitav Wiedemann. Zweiter Band. Wirkungen des galvanischen

^^"Stromea in die Feme. Erste Abtheilung: Elektrodj-namik, Elektro-

loaguetismus und Diamagnetismns. Zweite Auflage. Mit zahlreichen

HoLtscbnitten. Brannschweig 1873. Vieweg und Sohn. 776 S.

Das Werk Lst eine wissenschaftlich systematische Bearbeitung der
giManunten Lehre vom Galvauismus nach ihrem gegenwärtigen Stand-
punkt ond erfüllt die Anforderungen einer soleheu in jeder Hinsicht
Ui" Methode ist nach allgemeinen rationalen Grundsätzen, wio sie
sif-h im ganzen ziemlich gleichartig, im einzelnen mehr oder weniger
ntpdiftclrt für alle physikalischen Gegenstände ergeben müssen, den
vorliaridenen Kesultaten angemessen. Die natürlichen Objecto der
Darlegung sind die Erscheinung, die Theorie und die Bestätigung: i
Hdltvu werden diese Elemente so deutlich ans einander gehalten, die
Abhäugigkeit jeder Aufstellung so durchsichtig erhalten wie es hier
gujtctiuheu ist. i)ie Erscheinungen des Galvanismua sind fast ans-
schiiiinalicb derartig, dass sie durch. Experiment herbeigefütirt werden
iia so mehr war ea gcsAatot,

]

Lillerariichfr Bericht CCXXU. 13,

Theorie geschah, und demgemäss eine jede so isolirt eiIs müglich dar-.
gestellt ward. Nan umfasst aber die Theorie ausser dem einfachen.
Oalvanismos den Erdmagnetismus, den durch Ströme erzeugten und
permanenten Magnetismus und den Diamagnetismns, welche aus ge-
meinsamer Hj-potheae erklärt werden, doch bis jetzt nicht als reine
Ergebnisse mechanischer Principien anfgefasst werden können. Eb
entspra(.b daher der Sachlage, daas das "Werk den genannten yerschie-
denartigcn Erscheinungen gemäss in Hanptab schnitte geteilt, nnd die
Darlegung jeuer drei Elemente au jedem besonders vollzogen ward.
Die Theorie, welche in der Behandlung als das eigentliche nnd Haupt-
aagenmerk dos Ganzen erscheint, ist im ersten Abscheitt nach den
Arbeiten von Ampere, LiouTille, Grassraann, Hankel, Rey-
nard, Plana, Kirchhoff, "Weber, Savary, Btanchet, Frost,
Stefan bearbeitet, besteht auch zum Teil noch in diesen seihst. Beim
Magnetismus verzweigen sich die IJntersuchungsobjecte mehr nnd haben
fernere Einteilung in sncccssive Behandlung notwendig gemacht Dass
die mathematische Theorie von den gesammten Hülfsmitteln der Äna-
lyais Gebrauch macht, war selbstverständlich ; Beschränkung auf Ele-
mentarmathematik, die sonst so häufig mitBceinträchtigutig des Zweckes
gesucht wird, honnte hier am wenigsten Flatz linden. U.

Compeudinm der Esperimental- Physik nach Jamin's Petit traitÄ
de physique deutsch bearbeitet von Dr. G. Rccknagel, Professor 1
für Physik u. techu. Mechanik, Eector der königl. Industrieschule in ]
Kaiserslautem. I. Abtheilnng: Schwere. Elasticifät. Mit vielen Ab-
bildungen in Uolzschnitf. Stuttgart 1874. Meyer u. Zeller.

Die folgenden Abteiinngen sollen enthalten 2; Wärme. 3: Elek-1
trostatik und Elektrodynamik. 4: Elcktromagnetismns und Akustik, i
5: Optik. Die Bohandlnngaweise der Mechanik deutet entschieden anf^
die Bestimmung des Conipendiuma für die Schulen. Es nimmt weder l
höhere mathematische Kenntnisse in Anspruch , noch ist es dazu ge- f
macht, den Anforderungen eines wissenBcbaftlicben Studiums zu ge- 1
nügen. In jener Eigenschaft aber besitzt es "Vorzüge, die nicht g
anzuschlagen sind: die Methode ist durchweg instructiv, gut erwogen
ohne Beengung durch gewohnte Gleise der Darstellung, und den Zweck
des Hinleitens zur esacten Auffassung conseqnent im Ange behaltend.
Es mag dies grossenteUs eine Frucht des Hinzntretens deutscher
Gründlichkeit zu französischer Originalität sein. Was aber die Zutat
der Gründlichkeit betriflt, so bleibt noch viel zu wünschen übrig.
Gleich im Anfang steht der falsche Satz: „Der Bewegungszustand
eines Körpers ist durch zwei Merkmale bestimmt: Richtung nnd Ge-
wdivindigkeit". War es so schwer, denBeVbeTv in säct ■^isaifö »si»)*.

iSc/Ibi- ßcri.1,1 CCXXll-

«? Doch difis ist nur ein t'ormoller Felilcr. Mehr örelä-

i 6. 16. die Aussago : das Gcschoss stände unter dem Elnflose

xweier Boweguiigsursachuii. Dass nach dem Abschiessen nur eine m-
lip-, dii- Scliworo, wirksam ist, wt'lche den BewegaugszasEand beständig
kuJrrt, dtuis mau für iiuvoränderte Daimr des Bewegnngsznstandes
ktiüv Vmichct XU sucliuii hat, war die für den Anfänger so tricJi^
Henu-rliuuK, die hier in das Gcgeuteil verkehrt wird. Ein ganz »ch-
Udn-r Fehler abor wird S. 31. bei Eriilfirung der <!^ntriAigalkraft be-
KituK<'ti< UK'hhv dem vulgArcu Irrtnm gemäss für eine nirklii-he KnA
M«tt fOr ulmi Ko'.lmuugsgrfiBse ausgegeben wird. Der Verfasser tri^l
dm ftüwdien Sohliwa vor ohne ihn za berichtigen: „Da der Fadta
lt««pEUiil int, HM HchlloHSCU wir, daas der Körijer am andern Ende mü
ollier Kl<'h'h KroxHtm ent^i'ifCnKesetKten Kraft zieht". £r vergisst hio',
thu« »li'h die Kräfte nicht aufheben dtlrfen, wenn der im Kreise ge-
folirto Kftrjier aus der Tangentialrichung abgelenkt -werden soU. Da
(tli< Abh'nkuuK koiiuu der Spauiinng des Fadens outspricht, &o m
Im (Ji'KiMiteil tu Bclilicssen, dass die vermeintliche "Wirkung der C»-
tririiKulkratl null Bein nuss.

Dl!)' Titel ,^xporinieatal-Physik" muss in sehr weit*;m Sinne ge-
iiuinineii worden. Viele Versuche sind uebat den dazu notwendigen
Aiiliiiniten busehrieben. gut ausgewählt und benutzt; andere, die sieh
auM l'rider Hand machen lassen, sind nicht weniger dem Zwecke enl-
spritclH.iiid. Hierzu kommen jedoch auch Beobachtungen, die nicht in
der Hi^hnlfi, oder überhaupt nicht angestellt werden können; die blosM
VuriilelluuK detj Vorgangs mnss dann die Stelle des Versuchs vtt-
trotnii. Offenbar kam es dem Verfasser darauf an, seine Methode auf
dlit Entwickeluug der gesanimton Theorie anwenden zu können. In
ihiri.<n Ausdehnung ist er dann wol etwas weiter gegangen als nötig:
lUy gusiiuiIüTle Behandlung der Schwere verlangte kein Eingehen anf
diu kusmisclie Attraction. Statt dessen hätte wol etwas mehr ge-
Ki'.ludinu ki»iuieu, die systematische Ordnung der Bestandteile der Theo-
ito, wtili'hu, wie i!B bei Ableitung aus lauter Versuchen^kaum anders
iiUii kiiiiu, etwas buntgemischt auftreten, weuigstuns nachträglieh her-
mtellou. H.

|)M6 li" ^l''- litt. Iterieht besprochene Lehrbuch der ebenen Geo-

Iflt) tun Dr.Tb, Hpioker ist in achter Auf läge erschienen. Ausser

^ trmfit*'"''"^ '''lies Satzes ist zu erwähnen, dass kleine Lücken des

lÄjUiillllt, das heuristische Üilaterial dnrch einzelne Bemer-

l tmü uuuu Aufgaben verstärkt worden ist.

Im Interesse an der Lcbensgeakblc Eüpler's wird folgende,!
kürzlich mitgeteilte Entdeckung gewiss Manchem willkommen sein.

M. Johami Kepler's Heiratsliriefvonl597.'^

(Angezeigt von Dr. R. Peinlich.)

Einem glücklichen Zafallc und einem archivalisch geübtün [
verdankt die vaterläudiaclie Geschichte die kürzlich vorgetomraene J
Auffindung einer höchst interessanten Reliquie, nämlich eines Bruch-.
Btttekes vom Heiratsbriefe (Originalurkunde) des woltberOhmton Mathe^ ■
matikers J.Kepler, welcher l.W? bei Gelegenheit seiii!er Vermählung:-!
mit der Witwe des landschaftlichen Banschreibera Marx Müller aua^^
gestellt wurde.

Der Chorherr und Archivar des Stiftes Voran, Ottokar K
stock, fand dioso werthvolle Reliquie ia der Bihliothek seinea Stifteif'
als Einbanddecke eines Büchldua, hetitült: „Nomenciator Hadriani 1
Junii medici" (Augsburg, Mich. Manger, 1592), und übergab dieselbe j
mit Geuehiidgung seines Stift a Vorstandes dem Landesarchivc in Graz,,

Das Deckclblatt ist Pergament, ungefähr SJ5 Cm. hoch und 15'5J
bis 17 Cm. breit Es wurde durch aeine Verwendung zum Bücher- I
einbände au manchen Stelleu beschädigt und läast auch die Schrift 1
an einzelner Stelle gar nicht mehr, an anderen nur schwer erkennen, J
Von der Urkunde ist über die vordere Hälfte noch etwa ein Siebentel J
weggeschnitten.

Der k. k. Univeraitüts-Professor Dr. Arnold Ritter v. LaschinM
unterzog sich mit dem schöusteu Erfolge der mühevollen Arbeit, durch 4
Combination mtt ähnlichen Urkunden des 16, Jahrhunderts den fehlen- 1
den Text zu ergänzen.

Da Kepler Steiermark bereits im September 1600 mit Frau und' '
Kindern verliess und später nur vorübergehend 1601 und 1606, und 4
seine Frau 1603, nach Graz kam, um die Regelung ihrer finanziellen 1
Verhältnisse, nämlich die Ausfolgung des väterlichen Erbtheilea der j
Frau und die Erlassung des den Exulanten abverlangten zehnten Pfen-
aiga von den Gütern derselben zu betreiben, wobei dieser Heiratsbrief J
nichts zur Sacke hatte, so lässt sich daa Verbleiben dieser UTkundB->|
im Lande durch die Annahme erklären, dass sie sich bei se
Schwiegervater Johst Müller zu Mühleck befand.

Wir lassen beides, den Rest der Originalurkunde nud die Ergän-"
zung von einander geschieden, folgen und bemerken nur, dass Zeile |
fllr Zeile von Seite 172 auf 173 hinüber au Yeae-Q \a^

'ek M.{ agister ) Jok:
nvA vnd auch für all m
cht^ paMgckreüer tiälih gegebi
^tig kreuezer oder funfxehen
'tvndert gülden Heiaüek brirtgl,

Kepler, einer er:(»amen)
n erben, daes ich meiner lieben hautai

und gemacht hau sn einer iriderlag ihret Aq
•taiaea guter landuweraag in Stei/er- gtreeh
icn ich meiner lieben fraa all meiti hai eie «•«

daiig ieh vor meiner lieben wirtin frauen Barbara an leibeerben
i 'lierhuttdert gnldein REininch heiratguett und widerlag meiner hdien wirtin g^ai
Medann aus ihrer ersten ehe , mit weUaad N. Loreaoz noch tiorhattd
•Regina Loreacain, vnd aber nucA die fahmues die ich bei meinen lebaeit»
iaü gelailt werden , meiner lieben hauewirlin fratcen Barbara und 4n«nen I
Zioretwain aigenthumblich haimhfaUen vnd verbleiben, auegenmaen leibekleidi
lieben hawfrauen Barbara allerdings freylediglich haimbfaUen vnd umctderrufflick neri
ßooh da mir ofl ermelte mein liebe haiuifrau über solch mein empfangen heiratig^
notipendiger, genuegaa/nüier verschreibung versehett, caif das sy oder ir erbem sieh d*
nach meinem todtlichen abgang an all mein gelassen hob tmd gtiet halten mage vnd an
meinen schadenpwndt im lande Sleyer , als ob desselben clauselii, punct vnd a
diesen heyratbrieff'mii meiner handtschrift und beischafft verfertigt, auch zu merer bäor^

und Adamen Xidnaus beedc burger ii

tren nachlcomen und allen ireit erli n i
den 37. tag des m/onats Aprilis.

Gracs, fieissiglichen erpeten, das sie zusaj/U
n sehadej!. Der brief ist geben x Gracs

M. Jokan Kepler

L. S.

e Erg&Disng »aide mit Rtlcli

nDd lUtliBTerwimdter in Qtn wi
lichei B^ztflhtiAg flUnd, duher

PiigJ : Hie auch HidenaoB noc]

er mit Kuplet aocb noch in spUerer Zeit in TOrtnot«
n Jahre 1601 dnidi dis Zelt seines mehnnoiiBtliiiliNi Bi
ch einem Briefe Keplei's ms, Grat. d. 30. Mai 1601 »
r BegiDa Lorentiin 1000 fl. schuldete. IFriech, Kepl«
2. Aug. 1600 unter den Orizer Voratadttiftigiiis bm
lit HendBchrift nnd Fetadiaft cur selben Zeit TBnpnA
oerli TerlieBB. (H. H. u. Staat» -Aroliv »a Wien, L
Ige, welche mit gleicliieitig dec Ueii Veceüu-SehrifttU

Original.

eyer mattiematicus, bckhenn hiemit fUrd

en Barbara weilendt Marxen Müllers wolerraaldter lanndt- '
enÄnntHchen zwayhundert gnlden Keiniach, jeden derselben zn aech-
umb solch beyratgnett vnd widerlag so in ainer summa vier-
verfangne, oder frey verfallene alles mit der bescbaidenLeit, ob aich *
weliches alles in gottes gnädigen willen steet,) so aollen berüertc
ist abReredt vnd bescblossen worden, das in der ihenigen fahrouBs welicbe
fiiU gleich halber thaill irer in dero ersten ehe erzeugten tochter namens
HJÖcht, solle für ain fahmusa geschätzt, vnd widerumb in zwen gleiche
bnen zugleich ;da aber demkhainevorhanden,al8danmergenieldter Regina
vnd was zur mamiswehr gehört vnd genennt wirdt, also auch ir meiner ■
was ihro von mir oder andern an yeczo oder khanfftig geschonckht wnrdo I
mebrers wurde znebringon, darüber soll vnd kUI ich sie i'ederzeä mit *
ter so wol vmb ir heyrath, vermacht, als vmb ir nielirers z
nit schuldig sein solle. Alles treulich vnd pei verpindung des d
ncn geschriben waren, ongeuerde. Dea zue wahrem vrkund hab ich

Sebastian Spoidl aincr c

1 Stoycr oinnemer, Hannsen Nidnana

dterschriben vnA auch ire bettschaft hieran gehangen haben-, doch inen
tEnsent fünfhundert

Speidl m. p.
Nfdniius m. n.

Hanns Nidnans m. p.

(L.S,)

(L.8.)

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Litleransrh'r B'richt CCXXUl.

Litterarischer Bericht

Geschichte der Mathematik und Physik.

Bnlletino <ii bibliografia e di storia delle seienze matematiche e
fisiche. Pabblicato da B. Boncompagni. Tomo "VI. Roma. Tipo*
grafia delle seienze matematiche 6 fiaiche 1873.

Das Angnstheft enthält die Abhandlung dea Dr. Sigmund Gün-
ther: „Die historische EntWickelung der Theorie der Stempolygone
im Altertum und im Mittelalter" iua Italienische übersetzt von Dr.
Alfonso Sparagna; femer Noten von B. Boncompagni zu einer Stelle
der Geometrie des Boetius bezüglich auf das Stemftlnfeck. Die erstere
Abhandlung ist von Boncompagni besonders herausgegeben. — Das
Septemberheft enthält ein Referat von P. Manstou Über den ersten
T^ von Cours d'aualyse de l'ecolo polytechnique. Par M. Ch. Her-
mite, raembre de l'institut, professeur ä I'ecole polytecliuique et fbla ■
facullö des scienees. H.

Jahrbuch über die Fortachritte der Mathematik, im Verein mit 1
andern Matheraatikeru herausgegeben von Carl Ohrtmann, Felix J
Müller, Albert Wangerin. Dritter Band. Jahrgang 1871 in 3.^
Hefteu. Beriin 1874. G. Eeimer. 588 S.

Der kürzlich erschienene dritte Jahrgang ist in ganz gleicher^
Weise bearbeitet wie der zweit*, über welchen im litt Der. 219. ef
gesagt ist. Titel oliue Referate kommen noch weniger vor.

lÜHntiitier Bffirki CCXXIU.

JHI/tiogra/ija pitmigmmielita polthiego I dxi aiu Jiatam^
i J-'ingki proi ich aattötotraA. JVa oirAoJ ezter»*1tat
mitj room'ey uroJtin Kopernika. I/attadtwiietaieicitlm
I Itibliotrti körmietiij, pra«rod»iet*e»}o<t toiearejfttmit
nnttk tcifigch V Pmrf*m, mupitam» i •P|r<Jaa« prtet Dr»
Ttit/ii« J!»traw»kkf» Oi^rn. JU»L &<ik. WMi^m^rdf*.
karmi tUAtr ig im Jtg M tiA äti ig» pöd >
lti7ä, — gr. 8*. 1. Bitt, m ■. 618 SS^ 4 71 Ahk.

vun ThcophU Zvhrsvsfci i

ilwi Kn?is d» • "

lUv /^ ««U be*«Md iiiB i i lm «•■de.

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^B^.. , ^4^4, Jll^lÄ» -rt» 'WM»\«ÄiÜ««N?^ ^IBBÄB,

ifta»i.l6li> ist T« ^1^^

w

UtterarüfUr Stricht CCXXUI. 21

der z. B. ein Exemplar anf der Dresdner königl. Bibliothek sieb be-
findet Die Bibliographie liefert für clie Streitfrage der Nationalität
des Copernieus übrigens, ohne es zu wollen, einen wichtigen Bei-
trag. Mit Beclt haben die Biographen dee Copernicns auf deut-
scher Seit« betont, das,? man wohl Schriften des Copernieus in
deutscher Sprache, nicht aber in polnischer besitze; dagegen
war das Argument der Polen immer das, es hätte zu des Coperni-
eus Zeiten Polnisch als Schriftsprache noch nicht esistirt, Coper-
nieus habe also überhaupt polnisch nicht schreiben können. Wie
hinfällig dieses Argument iet, zeigt die Bibliografija schlagend,
denn sie giebt unter Nr. 377 folgenden Titel eines "Werkes ans dem
Jahre 1538: ÄlgoritmuB-. To jealh aauhaLicaby: Folk&^rzecga,
■wydana: Przez Kxiedza Tomasza Kloaa etC. Cracovie eie
Officina Ungleriana 1538, unter Nr. 378 eine Neuausgabe des-
selben "Werkes aus demselben Jahre und unter Nr. 579 den Titels
Prtezrzenie Przygod awiatahick z hiegöw Niebieskick
obaezone. A'o Rok Bosy löM. Przez Mittrza Piotra 9
Prohos^czowicz etc. "Wenn also zu Lebzeiten des Copernieus
mathematische Bücher in polnischer Sprache gedruckt sind, wie jetzt
sicher feststeht, so muss doch unbestreitbar damals Polnisch Schrift-
sprache, ja schon längere Zeit Schriftsprache gewesen sei, da wohl
kaum mit einer so abstracten Sache, wie Mathematik, der erste "Ver-
such zn einer Schriftsprache gemacht sein dürfte. Base übrigens
Polnisch schon viel früher schriftlich Jixirt ist, zeigt unser Werk eben^
falls, denn der Computus manualis von 1451 (Nr. 88 der Bi-
bliografija) endigt mit einem polnisch geschriebenen Distychon;

„Duck krzyaz lucia po popyelczu szroda pyytca
Ossada moya myla swatke dny wyedzeez ma."

• Die vier angehängten Tafeln enfbalten unter I und 11 Initialen *
) Handschriften, unter Nr. III Wasserzeichen des Papieres der
Handschriften und Buchdruckersignete, endlich unter Nr. TV Facsi-
Kiile des Titelblattes der „Practica deutsch Magistri Johannis yon
Krakaw auf das Jahr tautenth fünf hundert nid . iij.".

Thom, 2. Januar 1874. M, Curtze.

]

4

I

^^^ „Duck krzysz lucza po popyelcza szroda pyywa ^H

1^^^ Ossada moya tnyla sieathe dny wyedzecz t»a." .^^|

^^^ Die vier angehängten Tafehi enthalten unter I und 11 Initialen ^H
P'äSs Handschriften, unter Nr. III Wasserzeichen des Papieres der
" 'Schriften und Buchdruckersignete , endlich unter Nr. TV Facsi-
des Titelblattes der „Practica deutsch Magistri Johannis yon

I

blioteca Malematiea Italiana dalla origine della
ai printi anni del seeolo SIX, coinpüate dal DoU. Ing-m
Pietro Riccardi etc. Modena 1870—72, fascicolo 1°-

J;;XXrX S., 3 Blatt, Sp. 1 — 96; Sp. 97— 256; Sp. 257— 432;
äp. 433—656, 2 Blatt und Sp. 1—16.

pfe rorßßgenden rier Hefte der Bibtioteca MatemalVt

owtrBt raiQdt I

I bfttet 1

Khliographie. Es wiie «oU t

ähnlichen sieb er&eoe. Kam sieh, aü «dcbrr 1

Beine Au^abe er&Kt, Bit wc fcha Traae er i

bai. Auf seine Arbeit I

nendou, wekbe, wie kk 1

A. Erlocke i

boit selbst sp€

Der bis jetit «zsdiae» cxite Bsad dn totem TeOe« oifiart
dio Werke von ^frae« bis Kiretofftr di Kire\*ff»» mtomm
Dor zweite Band wird die Vcito toq Z. hb Z bcingcB, der iwtte
ToU dann eine systemHäxke Uebeiä^ ia jetzt war a^tbsbeÜKk
aofgefBhrtea Weite. Der Appendie* entUlt wskt eiiter Dnck-
feblersammlaiQ BOd Comaiani tti Afgiumli,

e ds BeicUiahig-
feck wUln wir zwei berifcateKiWW Cmrdmmm od GmliUi. D«
AzOd Csr<U«# C»Bf— iy waw— Mto ■ Am^ lÖOL— 1566 üb-
tmi Spate 248— iGO; der Aztikri Gata*i GMOms ^ Am, U64-
lUa ortrecftt ^ m ^abD 503— ä«Ä Tn des » Zötsdinaa
BAnhxs itf itets m denAitftd, ^ Om

I laifind^Tateser ^ Tiiwche», diss er idn
V«ffk in solcher Was« KutiUrCB BSge las as da» ^oÄlklie Eade,

MoAaadertte fiib^An Weise n bekaadda. Das Bank dirfle leider
bald za den Setten&üten da Literatar fgehSeem, da es mir in 390
Sxeagiktea gedmcfcl ist

r

Lelirbücher, Sammlungen und Tabellen.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Von Dr. Karl Hei
rieh LiGraemann. Leipzig 1871. B. G. Tenbner. 174 S.

Nach Angabe im Vorwort bat sich der Verfasser bei Bearbeitimg
des Lehrbuchs streng Byatcmatiache Anordnung des Stoffes zum Ziel
genommen. Dieser (Jesichlspnukt ist denn -anch unverkennbar als
höchste Norm, und man darf sagen mit Glllck znr Durchführung ge-
langt In der da™ gewäLlton Form und Methode ist der Verfasser
grossenteils selbständig productiv zu Worko gegangen, lieber die Be-
rechtigung der getroffenen Wahl lässt sich streiten, und wird wol dio
Billigung schwerlich eine ungeteilte sein; doch ist dieselbe zu sehr
aaf Umsicht und richtige Auffassung gegründet, als daas sie sich so-
fort von der Hand weisen Hesse. Die erste wesentliche Abweichung
vom Gewöhnlichen deutet der Verfasser mit den Worten an: er habe
die in mehreren Lehrbüchern an die Spitze gestellten allgemeinen
Gmndfiätzc als unnützen Ballast Über Bord gewoi-fen. Statt derselben
bepnnt das Werk mit „einleitenden und allgemeinen Bemerkungen".
In ihnen sind — das erscheint als ihre eigentliche und Hauptbedeu-
tung — die Motive und Gesichtspunkte der theoretisch didaktischen
Massnahmen dargelegt, d. h. es wird dem Schiller ein Veretändnisa
erölTnet, warum man so und nicht anders zu Werke gehen raoss.
Hier könnte man fragen, ob es überhaupt möglich sei, das Warum zu
erklären ohne vorher oder doch gleichzeitig eingehend und spociell
das Was zu erörtern. Dass gleichwol auf Grund von Begriffen und
Kenntnissen, die sieb selbst beim Anftnger voraussetzen lassen, das
Wesentliche in der Kürze geleistet ist, wird man zugestehen könneu,
-wenn man von demjenigen luholte absiebt, der das Notwendige über-
schreitet. Allerdings geht die Einleitung in Erörterung dos Allge-
meinen und in Aufstellung von Gesetzen etwas zu weit, und gelangt
dadurch zu complicirteu Sätzen und Kegeln, welche der AnfiUiger
Bchwerlich verstehen wird. Allein gerade diese sind es, die am wenig-
sten in der wissenschaftlichen Praxis wurzeln, nur um der Systemati-
Bining willen jiünstlich hergestellt sind, und ohne Nachteil für da,s
Ganze wegbleiben können. Wozu kann es z. B. dienen, in einer Pro-
gression von S Gliedern (den 3 directen Rechnungsarten) schon ein
umfassendes Gesetz zu bezeichnen, an welches mau bei der Praxis
nie zu denken Anlass hat? Hier wird das Einzelne leichter einzeln
verstanden. Dass dies geschieht, dass die Gesetzmässigkeit, Analogie
ond Parallelität zum Bewusstseiu gezogen, durch üobersichüichkeit das
Behalten erleichtert wird, dafür ist in anerkennenswerter Weise reich-
lich, u. d. durch die tabeUariBchQUcberaicbtäei Ovcta&a^iKa^'LäÖMai.

j inve

I anzQi

24 LilUrarUchfr Bcr.chl CCXXIII.

uud Namen, gesorgt. Ist im VoratehendeB ein mischädliches üe
maas gckcmizeichnct, so bleibt ndch ein einzeln siebender verde
lieber Fehler zn erwähnen. Die Einleitung beginnt mit der falsche"
Definition: inverae Rechnungsarten seien solche, welche zur Verklei-
nerung einer Grösse dienen — einer Bestimmung, weiche schon mit
dem nächst folgenden Satze im Widersprach steht, da darch 'Messen (was
daselbst inverso Eechnangsart genannt wird) doch gewiss nichts
verkleinert wird. Man braucht also gar nicht erat au Opcratioueu
mit Brüchen und negativen Zahlen zn erinnern, um die ganzliche ün-
haltbarkeit der Bestimmung nachzuweisen. Doch auch wenn bddes
nicht entgegenstünde, würde ea noch zwei wichtige Entscheidungs-
gründe ge^en. „Inverse Operation" heisst schon etwas anderes, und
die gebräuchliche Bedeutung ist ans dem Wortsinn von invertere hin-
reichend verständlich; die Erklärung im Lehrbuch kann daher nur
die Folge habeu Begriffsverwirrung zn erzeugen. Die Subtraction ist
nicht absolut invers, sondern die inverse Rechnungsart der Addition,
ebensogut wie die Addition von der Subtraction- Ist A das Umge-
kehrte von iJ, so ist B das Umgekehrte von A. luvorse Operatiüu
einer vorliegenden heisst die Aufsuchung eines Datums der letzten!
aus deren Resultat und den übri^jen Datis, unterscheidet sich also VOK
ihr nur durch veränderte Fragestellung, nicht durcn die DefinitioU'
gleichnng. Mit dem Misbrauch des Wortes „invers" steht nun in
eiuem leicht begreiflichen Zusamineuhaug, dass das Lehrbuch die Be-
ziehungen der Inversion gar nicht kennt. Es macht keinen Gebranch
davon, dass die Subtraction, Division, RadicuTing und Logaritbmirung
durch blosse veränderte Fragestellung aus Addition, Multiplicatiou _
und Poteuziruug hervorgehen, sondern detinirt jede Operation für sieb,
uud wenn gleich die Bemerkung der Reciprocität in den Sätzen vor-
kommt, so ist sie doch viel zu sehr in den Winkel gestellt, als dass
der Schüler inne werden könnffi, dass es sieh bei je 2 oder 3 inversen
Operationen nur um eine einzige Beziehung handelt.

Das Charakteristiscbe des Lehrgangs besteht nun darin, dass im
ersten Teil des Buchs sämmtliche Rechnungsarten ausschliesslich auf
die natürlichen (d. h. reellen positiven ganzen) Zahlen augewandt, und
erst im zweiten Teil succeasive die analytischen, d. i. die negativeu,
die gebrochenen, die irrationalen Zahlen eingeführt werden. Zunächst
also unterscheidet sich die hier vorgetragene Theorie als reine Arith-
metik von der, oft fälschlich Arithmetik genannten, allgemeinen Grös-
senlehre. Doch von letzterer ganz abgesehen, bleibt noch ein Eigen-
tümliches in der Reihenfolge der Betrachtung. Da nämlich jede der
Inversionen zu einer Erweiterung der Zahlenreihe führt, so liegt es
nahe, dieselbe auch im Lehrgang sofort an jede inverso Rechnungsari
anzQScbiiessi^n, und in der Tat lia.Xie'n «q\ Svft WjüwSfta dieser Vet-

rr

LüterarhfJter Bericht CCXXIII. 25

knüpfong mehr oder weniger Raum gegeben. Der Verfasser iat, zu-
gnnsten der systematischen Ordnung, hierauf nicht eingegangen, er
hat sich seibat dadurch nicht beirren lassen, dass fast die ganze
Fruchtbarkeit mancher Operalionsbegriffe erst mit der erweiterten
Zahl beginnt, und, sieht man das Resultat an, so muss man zuge-
stehen, dass dadurch eine grosse Vereinfachung gewonnen ist. Die
HanptrechtfertigDng liegt aber in der Vermeidung eines pädagogischeu
Uebelatandea, der gewiss schon Manchen gegen die Methode der reinen
Arithmetilc eingenommen hat. Die eingeschobene Abänderung der
Betrachtungsobjecte vesirt den Geist. Beim yorliegcnden Lelirgang
liingegen lernt der Schüler zuerst die O^rationen auf festem Terrain,
nnd kann nachher die Aufmerksamkeit ungeteilt auf die Abänderungen
und die dadurch bedingten Folgen richten.

Der dritte Teil enthält die Lehre von den Gleichungen, welche
recht passend iu Gruppen eingeteilt werden, der vierte einzelne nu-
merische Algorithmen. H.

Die Elemente der Arithmetik für den Schulunterricht bearbeitet
von H. Soogor, Direktor der Realschule zu Güstrow. Zwei An-
hänge: 1. Historische Notizen. 2. Doutscb-französiscbos Vokabularium,
Schwerin i./M. 1874. A. Hildebrand. 193 S.

Das vorliegende Buch giebt keine Unterweisung, setzt vielmehr
diese als vorher- nnd nebeugehend voraus, und enthält nur eine wol-
geordnete Aufzeichnung dos Lehrstoffs. Das Bedürfniss einer solchen
' ist wol nicht fraglich, und der Gebrauch bedarf keiner Besprechung.
Die Art der Beai'beitung kann offenbar nicht ganz unabhängig von
den didaktischen Giniudsätzen sein. Es ist daher sehr zu billigen,
dass die Definitionen wesentlich neu auftretender Begriffe stets in
extenso, von den durch sie und mit ihnen eingeführten Elementen
hingegen nur die zu erklärenden Kamen aufgefülirt sind, nnd sowol
in Betreff jener als auch ausserdem über den Zusammenhang der
Disciplinen genügende Rechenschaft gegeben wird. Soviel sich hier-
aus erkennen lässt, ist die Auffassung eine vernünftige und gediegene
zu nennen. Auch die Wahl der Begrenzung ist eine angemessene,
und an Vollständigkeit schwerlich etwas zu vermissen. Das Elemen-
tare aus der Zahlentheorie ist mit in den Bereich gezogen. Es ver-
dient coustatirt zu werden, dass die Bedeutung von „Algebra" hier
ränmal richtig bestimmt ist als Lehre von der allgemeinen Grösse.
Einen grossen Teil des Buches füllen die dem Ganzen nachfolgenden
aber zu den einzelnen Capiteln gohürigen Aufgaben. Sie sind einfach
und iustructiv gewählt. Der erste Anhang handelt 1. von der Dar-
stellung der Zahlen, insbesondere voa der &^'caÄ\i!ä'Jasa'&"asssKwSissa,

J

IMterari^htr Bericht CCXX/tJ.

den gricctÜBchen, römischtMi, indiach- arabischen Zoblzeidmt, den Dfr-
ämal brechen, von Leibnitz's dyadtschem and Werneborg'a dodekafi-
BCbem S>'stem; II. von der Entwickclong der A]gebra bb zom Ei^
des 16. Jabrhnnderta bei dim Griechen, Römern, Arabern, in Italien,
Dentschland, den übrigen Ländern; III. von den algebraischen Zei-
chen, insbesondere fQr die Potenzen. Der zweite Anhang ist eiM
recht nützliche nnd dankenswerte Arbeit, wiewol nur als ein Anfing ]
zu betrachten. Eine deßnitive Vollendung lässt sich nicht von räntn
Autor allein erwarten; erst die Erfahmngen Vieler kennen die De»-
derata mit der Zeit liefern. Weit mehr als in der Elemeotannathe-
matik macht sich das BedUrfniss in der hohem Mathematik geltend,
wo ein beständiger litterariscber Verkehr über die Spracbgr«nzes
hinwog besteht; doch ist bis jetzt keine entsprechende Uatemehmnng
bekannt. Was die Anordnung betrifft, so scheint die alphäbctisclu
nicht wol geeignet; aach hier ist die aachliche EinteQiing gewählti
nnr würde bei einigcrmasBcn grösserm Umfang die Einteilung nodi
1 Objecton nicht ansreichcn, während die Bedeformen in bantäm 6e-

I misch folgen. Aach in letzterer Beziehung würde ein einäMihca Oni*' m
^^^■■ngsprincip sehr wol möglich nnd am Orte sein. H. ^^^H

^^^^ Lehrbuch der ebenen Geometrie. Nach Grundsätzen Bolyaia ^^^§
Gyamasien nnd Realschulen bearbeitet von Hermann Wagner, Dr.
phil. Lehrer der Mathematik in Hamburg. Hamburg 1874. Lucas
Gräfe. 150 S.

Es ist der ausgesprochene Zweck der vorliegenden I

] eines ncncn Lehrbuchs, die EntJeckung von Lobatschcwaky, Bol)«i

j und Riemann, dass der Raum ein empirischer Begriff sei, in dtt

I Grundlagen der Geometrie zur Geltung zu bringen nnd dadurch db

Anfangsgründe der Disciplin von Bunkelheiten zu befreien. Ehe wfr

' darauf eingehen, wie der Verfasser seine Aufgabe angreift, ist es wol

an der Stelle einen Irrtum zu berichtigen, welcher in Betreff jener

Entdeckung gäng nnd gebe ist Man pflegt dieselbe so zu deuten,

als sei durch sie bewiesen, dass der RanmbcgrifF sich in anderni Falle

befände als die übrigen mathematischen Begriffe, ja sogar, wie Einige

i meinen, als habe dadurch die Geometrie etwas von itu'er festen Be-

I gründung verloren; man giebt zu, dass Eant, sofern er die UnabhSn-

l^gkelt der mathematischen Erkcnntnisso und Denkformen von der

I Erfahmng lehrte, im einen Ponkto, dem dos Raumes, geirrt habe,

denkt aber nicht daran, daas daraus weit mehr folgt, und von Jedem,

der nicht von dem in der Philosopliie herrschenden Aberglauben ein-

I genommea ist, ohne Mühe verstanden wird. Hätte Kant seine Lehre

bewiesen, so hätte Riemann den YeÜ« v

Lilterarischet Stricht CCXXUI. 27

mttBBen; an ^e Existenz einee aolchen Fehlers aher denkt kein Mensch,
also ancfa nicht an die eines Beweises, am wenigstens die, welche in
diesem Pnnkte Kant folgen; sie verraten, indem sie den Irrtum ein-
ränmen ohne zn wissen, wo er begangen ist, dass sie von Evidenz
nichts gewusal, vielmehr Kant als Prt^beten geglaubt haben. — Posi-
tive Ergebnisse lassen sich nnn leicht folgende ziehen: 1) Ans der
Widerlegimg Eaitfe in dem einen Punkte folgt die Niclitigkeit seiner
Lehre von der Erkcnntniss apriori im ganzen; denn os ist widernnnig
zu Bagen, es könne vielleicht anderes Wissen apriori geben: vielleicht
wissen ist eben kein Wissen. Wissen apriori im Kant'schen Sinne
ist nichts als nncontrolirte Meinnng, vor jeder Erfahrung wissen heisst
nnr, die Erfahrung nicht kcnuen, durch die ^vir dazn gelangt sind.
2) Indem Riemann bestimmte empirische Grundelemonte des Ratim-
begriffs nachwies, hat er der Geometrie nichts entzogen, sondern eine
Änfklämng hinzugefügt, wo die Ansicht vom Apriori eine leere Stelle
gesetzt hatte. Die Geometrie ist also zur Erfabniugswissenscbaft nicht
degradirt, sondern erhoben worden. 3) Dia Sicherheit der geometri-
schen Grundbegriffe und ihrer Anwendung auf die Wirklichkeit ist
durch die Entdeckung ihres empirlEchen Ursprungs weder vermehrt 1
noch vermindert. I

Obwol nun Riemann's Leistung nicht bowoI in dem genannten I
Gesammtresnllat — denn dieses war bekannt und jedem Unbefangenen
von selbst dentlich — sondern in der Ansführnng lag, so hat er ca
doch bei dessen Nachweis bewenden lassen nnd ist an die psycholo-
gische und logische Frage gar nicht herangetreten. Es blieb daher
ZOT didaktischen Verwertnag erst noch mancher Schritt zu tun übrig,
□nd man durfte einen, wenn auch nnvollkommcn gelungenen Versuch,
wie ihn der Verfasser unterninmit, immer hochschätzen. Doch so
wenig er es auch sichtlich hat au Fieiss fehlen lassen, und so gnt
er aach die elementare Seite aus der Bolyai'scheu Arbeit heraus-
gefunden hat, so findet sich doch zwischen dem Richtigen soviel Fal-
sches, dass das Ganze dadurch fast entwertet wird. Einiges lässt sich
leicht berichtigen, z. B. die Erklärung: „Eine gerade Linie ist eine
solche Linie, welche durch zwei in ihr liegende Punkte völlig be-
stimmt ist". Das würde heissen, die Gestalt der Linie sei durch 2
Punkte bestimmt. Es liegt aber vielmehr die vorh er erklärte Vorana-
eotzuug der Uiiveränderlichkeit der Raamgcbilde bei Transposition
zugrunde, an welche letztere als einzig mögliche Vai'iation gedacht
wird. Statt „welche" muss os also heissen „deren Lage". — Nach
Definition der Geraden hatte die der Richtung keine Schwierigkeit.
Statt dessen wird dazn ein sonst nicht vorkommendes nnd ohne Er-
klärung gelassenes Wort „Nachbarpunkt" verwendet, um eine kaum
e Definidon unterstützt duicU eiue ^\äkta!^ uäcis ^>asäfj^

1

28 liUtraritAtr BtriAl CCXJCJU.

ErläDtening zustande zn bringe]

aufgestellt and leidit bewiesen, dass die Summe zweier

! Winkel kleiner als 2 Bechte, als neuer Salz aofigopTvelKa; itixt

Sreiockswinkel ist kleiner als 2 Bechte — und es folgt da aoat
BeweiB, dessen Sinn nicht wol zu entritseln ist — Ten tief engre-
fenden Fehlem aber genüge es, zwei zu nennen. Punkt, IJnie, FUde
, werden onCDdlich kleine Teile des Raumes genannt, was TensstKA

auf unklaren Begriffen des Verfassers vom Unendlichkleinen benlit;
auch hatte die Erklänu^ des Cnendli<:kkleinea nicht fehlen dfirfen-
Diese, den ersten geometrischen Begriffen widerstreitende Bestimmimg
I steht znar flberall wo sie vorkommt überflüssig, doch wiederholt sie sieh

I BO oft, dass sie irreleitend und störend wird. — Femer bewdsl der

I Veriasser, dass sich die Summe zweier Winkel eines Dreiecks dmi:h

wiederholte Verwandlung bei unvcrändfaler Summe aller 3 Winkd
beständig verkleinern lässt, meint aber damit bewiesen zu haben, daai
I sie sich beliebig klein machen Hesse. Mit diesem Trugscbloss wird

seine Parallelentbeorie, auf die er Gewicht legt, hinällig. — Me-
_ jenigen Partien, in welchen nicht gerade principielle AbhOlfe nötig

^^^■war, sind iu Euklidischer oder doch ahnlicher Weise behandelt.

1^ zu

I "

Das Vorwort beginnt mit der Ankündigung, dass die ParaUelen-
tlieoriü ohne Grundsatz bewiesen sei. Der Tmgschlnss ist hier kein
versteckter; denn gleich nach Beweis derÜmkehning des Parallelon-
aatzea wird der ümkehmng der Satz selbst substituirt, nämlich im
Zusatz zu der Aufgabe, durch einen Pnnkt eine Parallele mit oiner
Geraden zu ziehen, indem daraus gefolgert wird, es sei uur eine
Parallele möglich. Im allgemeinen charakterisirt sicli die Darstellung
durch eine grosse Kürze, die hauptsächlich davon herrührt, dass un-
an^esprochon bleibt, was man an der Fignr sehen kana. Sie ist
hinreichend zur richtigen Leitung der Vorstellung; in Hinsicht auf
logische Geistesentwickelong ist dagegen kein sonderlicher Fleiss an-
gewandt, und GS macht den Eindruck, als solle man mit dem Pensum
nur recht bald fertig werden; es würde daher nicht lohnen auf manche
unzureicheudG Schlüsse hinzuweisen. Das Buch besteht aus 5 Talen,
«Ämlich 1) die Gnmdlehren, 2) vom Kreise, 3) vou den geometrischen
JProportioüoa, der Gleicblieit. Kai "fitö^otvimtttKÄäi. lisx Vielecks, 4)

Lehrbuch der elementaren Geometrie für den Schulgebrauch be-
arbeitet vou Carl Kioseritzky, Oberlehrer an der St- Annenschnle
zu St Petersburg. Erster Band: Planimeixie. Mit 205 Holzschnitten.
St Petersburg 1873. G. Hassel. 93 S.

Lititrarilcher ßenchi CCXXIII. 2'

Ton den Vorhältnissea beim Kreise, der Berechnung der regelmäsai
gen Viclccko und der Zahl n, 5) von den Tranaveraalen, der harmo-
nischen Teilung und den Aehnlichkuitapnnktcn.

Mathematiache Aufgaben Knm Gebrauche in den obersten Claaaan
höherer Lehrauataiten. Aua den bei Abiturienten-Prüfungen an preuasi-
schen Gymnaaien und Realacbnlen gestellten Aufgaben auagcwäblt und
mit Hinznfügnng der Resultate zu einem Uebuugsbuche vereint von
H. C. E. Martus, Professor an der Königstädtiachen Kealschule in
Berlin. Erster Theil: Aufgaben. Dritte Auflage. Leipzig 1874.
C. A. Koch. 210 S.

Da bei der Auawahl der Aufgaben für Abiturienten mit grösstar ]
Sorgfalt auf bestimmte Erfordernisse geachtet worden musa, nament-
lich dasa eine jede bei ihrer Behandlung Gelegenheit giebt, von den
in den verschiedenen Gebieten erworbeneu Kenntnissen Gebrauch zu
machen; dass der "Wortlau» der Autgabe so klar gefasat iat, daaa die
Schüler daa Geforderte ohne üeberlegnng erkennen ; dasa die Aufgabe
xa ihrer Lösung nicht eines ungewöhnlichen Kunstgriffs bedarf; daaa
sie sich dennoch elegant, wo möglich auf mehreren Wegen losen lasae;
dasB endlich die vollständige Entwickelung von den Abiturienten in
der vorgeschriebenen Arbeitszeit wirklich geliefert werden könne; da
man überdies diejenigen Aufgaben bevorzugen wird, deren Resultat
ein einfachea ist, wo sich abgerundete Zahlen ergeben, die "Wurzeln
aafgehen — so milasen, nach Anaicht des Verfassers, Aufgaben, die
nach aolchen Erwägungen als passend befunden wurden, Prüfsteine
für Klarheit und Sicherheit erlangter Kenntnisse zu sein, gesammelt
nnd geordnet, ein für den mathematischen Unterricht sehr förderbchea
Uebungsbuch bilden. Zu einer solchen Sammlung hat, wie derselbe
sagt, der Professor Dr. Gmnert schon im Jahre 1861 Öffentlich auf-
gefordert. Der Verfasser hat sich dieser Arbeit mit treuem Fleisse
gewidmet, und es sich angelegen aein lassen, das Werk zu der so
chraktcrisirten, erwarteten Vollendung wirklich hinzuführen. Was das
vorgefundene Material noch vermissen liesa, hat er aus eigner Er-
findung nach gleichem Massstabe der geforderten Sorgfalt ergänzt,
nnd die im Laufe der Zeit sich darstellenden neuen Erfordernisse in
den neuen Auflagen erfüllt Ohne auf den Specialinhalt einzugeben,
welcher keiner Bemerkung bedarf, empfehlen wir das Buch in dem |
Sinne, wie es der Titel ausspricht.

1

Lütrarutitr BtriiM CCXXIII

Trigonometrie.

L ■obszOgtan tovibbrejt^e. Nemcly eddig megoldadaa fil
, ueve^etesf'iJ! a szali^yos het-, kilencz-, €% löbb n
< b&nnclf köriv härom cgyeidö reszre osztiUa miitzm pm-
' tUMiggal; a szabalyos sokszOgük ältaliuos egycnlcle 6s &z ebböl ibl}ö
fcUObb cgj'cQlt^^tek. Iita Dr. Weiez Jözsef. Badapest 1874. Njic
matoU az athcnoenm iifoiiid^äbon. — 51 S.

Die Uebcraetznng des ungarischen Titels ist; Nene Entdedtnngen
tm Gebiete der Geometrie und MathcmaHI.', naroeutlich: die Einscbrä-
bttng der rogelmäBsigea Sieben-, Nenn- und mebrerer andern Viel-
ecke und die Teilnng eines beliebig gegclicncn Kreisbogens in 3 gleiclie
Teile mit geometriscbcr Pünktlichkeit, die allgemeine Gleichung der
regolmlLssigcn Vielecke nnd die Auflösung der damit identischen hfihem
Gleichungen. Eiuo dcntacLe Uebcrsetzung hiervon ist vorhanden, und
im Veriage des Unterzeichneten zu beziehen.

^

Perd. Tettey & Co. in Peet

Geodäsie und pralitische Geometrie.

Peet 1

Lehrbuch der froien Perspektive für Oberrealschulcn,
nOBlon, Lelirerbildungs-AuBtAltun und höhere Bürgerschulen. Ton
Franz SmoHk, OberrealBchulprofesaor und Mitglied der k. k, Prä-
l'ungBkomniiHsion für allgemeine Volks- und Bürgerschnlen iuBudw^,
Mit soclis litbographirten Tafeln. Prag 1874. F. Tempsky. 124 S.

Was liier froie Perspective genannt wird, ist nur, was man ge-
wöhnlich unter Perspective versteht; der VorfaSBCr setzt sie zwei ver-
Bchiedonon Methoden entgegen, gegen welche sie bisher zu sehr zu-
rückgesetzt worden sei, ohne diese nfther zu bestimmen. Die erste
Abteilung des Buchs bestellt aus einem theoretischen und einem prakH-
Bchen Teile. In eraterera werden die Beziehungen zwischen dem Ob-
Jeut und dem Bild erürtei't und auf diejenigen festen Elemente za-
rüekgeführt, welche nachher die Kichtpunkte der Constmction bilden;
letzterer behandelt die Constructionsaufgaben in einer ausgewählten
KolUenfülgo von Beispielen vom Einlachem zum Complicirteren hin
aufsteigend mit besondurcr Berücksichtigung vorkommender Fälle.
Die Darstellung ist, soweit sie reicht, klar und leicht faa.slicb. Doch
der GoUbte vorgisst leicht manche Dinge auszusprechen, die der ün-
kaadige nicht vissen kann nnd die er Mühe hat zu erraten. DieaCF

LttUTarUchcr Bericht CCXXIII.

Iffangel zeigt sich besonders am Anfang und Ende der einzelnen Ana-
dnandersetzungen, am Anfang wol hauptsächlich infolge davon, das«
nirgends im allgemeiuen davon die Rede ist, in welcher Weise das
Object als gegeben zu betrachten sei^ und am Ende wird oft abge-
brochen, ehe man recht sieht, dasa das Ziel en-oicLt ist. Die Lösungea
begnügen sich mit dem speciellcn Nachweis der Punkte, auf dio es
ankommt, and überlassen es dem Schüler, von der Theorie Gebranch
zu machen. Eine vollstiindigo Dorchfühning wenigstens bei den ein-
fachen Gmndaufgahen würde die Dentlichkeit sehr gefordert haben.
Die zweite Abteilung behandelt die perspectivische Darstellung schiefer
Ebenen nnd ihrer Eeziehnng zur geraden Linie und za den Körpern,
die dritlfi die Schattenperspcctive. H.

Vermischte Schriften. Teile von Zeitschriften.

Polytechnische Bibliothek. MonatlichesVerzeiehniss derinDentsch-
land und dem Auslande neu erschieuenen Werke ans den Fächern
der Mathematik und Astronomie, der Physik und Chemie, der Mecha-
nik und des Maschinenbaues, der Baukunst und Ingenieurwissenschaft,
des Berg- und Hüttenwesens, Mit Inhaltsangabe der wichtigsten Fach-
zeitschriften. Redigirt von Hugo Händel in Leipzig. Verlag von
Quand u. Händel. N. 1. 13 Seiten.

Eine vollständige Liste der blossen Titel aller wissenschaft-
lichen Werke und Journalartikel aus bestimmten Fächern würde offen-
bar für diejenigen, welche umfassende Arbeiten für Litteraturkennt-
niGB machen, eine grosse Erleichterung sein. Insofern würde sieb an
die vorliegende Unternehmung manche Hoffnung für die Zukunft an-
knüpfen, wenn wir von dem Zweck der beschleunigten Nachricht Über
das Erscheiueu der Schriften, welche gleichfalls willkommen sein kann,
auch absehen. Was aber die Vollständigkeit, namentlich der Inhalts-
verzeichniase der Jonmale betrifft, so giebt die erste Nummer, für
Jannar 1U74, indem sie 7 Journale, und zwar 1 theoretisches und 6
technische, aufführt, dazu allerdings wenig Aussicht; auch ist nicht
wol abzusehen, wie auf dem kleinen Räume bei der Ausdehnung
fib^^ viele Fächer das Versprochene geleistet werden kann, H,

1

I
I

Methode und Principien.

mungsabkürzungen , dem rechnenden Publicum, iusbesoudere
1 niederen nnd höheren Schulen und au Semi-

«r^«- BerriJit CCXXUl.

oarieD edt BeräckGicbtJgtmg empfohlen vOn Dr. Ed. Müller, 1
sdinidirector za Nenstrditz. Nenstrelitz 1873. Bamewilz. 15 S.

Die empfohlenen Abkürzungen bestehen oineateils in der Be-
; von Eigenschaften einzelner Zahlen, andemteils in der Ter-
; des Kopfrechnens -mit dem Schreibrechnen. Von ersterer
Alt iiessen sich leicht weit mehr nennen; wer riel rechnen muss, er-
findet äe sich selbst, and wer das nicht kann, we
dk mügeinlten nicht recht zn gehrauchen. FOr die Schule möchte
t« tielt doch empfehlen, das Schnellrechnen lieber ans dem Sicher-
reduKB herFOrgehen zn lassen, welches der Verfasser nach blosser
Enrituumg gar nicht weiter in Betracht zieht. Die letztere Art be-
steht im wesentlichen darin, dass man, statt mehrere Reihen Ton
Ziffern ZD nachfolgender Addition hinzuschreiben , jede Colnmne Ba
skb im Kopfe rechnet und nur die Snmme notirt Gegen dieses
Verfaliren ist der Einwand sehr begründet, dass man sich dadnrch
der (>>ntroIe des Kesultats beraubt, was sowol für den Lehrer als
aoch ftlr den, welcher es im Leben anwendet, ein offenbar» Nacb-
tvil ist- H.

Verwendung der Geometrie zum Beweise arithmetischer Lehi^
satxe. Dr. Karl Heinrich Liersemann. (Beilage des 4. Jahm-
iKriehtes dor König Wilhelms- Sehnle zu Beicbenbacb in Schleöea,]

l>er Vürfasser erbebt seine Stimme dafür, dass man die Aii&iig&-
grüudß der Arithmetik an die Geometrie animüpfe. Die Aosßhrung
(.-uthält nicht« oenes. Die Motiviruug besteht aus lauter absprecben-
d«it' Urtuilen über gewöhnliche Methoden ohne Angabe, wdche er
nwiflt Auffallend ist, dass er dabei sein eignes Lehrbuch Töllig igno-
rirt, Wßlclies in ganz entgegengesetztem Sinne verfasst ist. IL

^H Litterarisclier Bericht

^^m ccxxiY.

^^^f Geschichte der Mathematik und Phygil
W Enlletino di bibliografia c di storia delle scienze ma

Geschichte der Mathematik und Physik.

di bibliografia c di storia delle scienze matematicbe e
ßsiche. Pubblicato da B. Boncompagni. Tomo VI. 1873. Tomo
TU. 1874. Eoma. Tipografia delle sdcnne matematiche e fiaiche.

Das Octoberheft von B. VI. enthält einen Brief von C. F. Me- J
□ abrea an den Heraasgeber über den Gültigkeitsbezirk der Lagrai^e- '
sehen Reihe, als Autwort auf die Abbandlnng von Angelo Genocchi
über das Leben nnd die Schriften des Felico Chiö, B. IV. S. 363—
380; dann ein rnblicationsverzeichniss. Das Novemberboft enthält
eine Abhandlung von Gottfried Friedlein über den Mathematiker
Hypsikles; dann eine kui'ze Antwort von (jenocchi an Menabrea.
Daa Decemberheft enthält eine Abltaudlnng von Domenico Chelini
über geometrische Interpretation von Formeln, welche in der Lehre
von der Ausdehnung, der Bewegung und den Kräften von Bedeutung
sind; danu einen Brief von Louis Poinaot an Chelinij dann Zu-
gaben und B'jrichligungen zu den 2 Abbandlungen von Biadego Über '
10 Briefe von Lagrange (S. 101.) und von Boncompagni über eiiiö i
Stelle in der Geometrie des Boetius (S. 341.) von Boncompagni;
dann Publicatioaen.

Der Jahrgang VII. beginnt ipit einer Abhandlung Über daa Leben I
und die wisaenschaftlicben Arbeiten des gegen Ende December 1872 |
Terstörbenen, William John Macquorn Hankino von Mariano Quer-
cia, gelesen ira Athenäum zu Venedig am 13. Febr. 1873, welche
das Januarheft einnimmt.

Lttferariaeher BtrUii CCXXIV.

i.ehrbiicher, Sanunloiigeii und Tabellen.

Leitfaden der ebenen Geometrie mit Benatznng nenerer A
nngswetsen für die Schule bearbeitet toq Dr. Hubert '.
Oberlehrer am Kaiserlichen Lycetim in Uetz. In 2
Die goradlinigcn Figuren und der Kreis. II. Die Kegelschnitte s
die Elemente der neueren Geometrie. Erster TheiL Leipzig 1871.
B. G. Tenbner. 132 S.

Der Verfasser sagt im Torwort: ^Ich habe in dieser Arbeit von
Anfong an versui'ht, soviel es mir möglich schien, AnschauTingsiT eisen,
welche der Geometrie der Lage entnommen sind. In den Lehrslofl
duiuöechton." In der Tat ist jedoch mehr gescliehen, als man faier-
nach erwarten würde, nnd mau anch schon in andern LebiMeben
fiudet Es ist der An^g einer wirklich organischea ümbildang der
Geometrie ton der Euklidischen Grundlage ans im Sinne der nraen
Geometrie. Das Lelubnch leitet mehr dazn an, ins onendlidtc amt
SUna m finden, als znm Bewosstsein zu bringen, was fBr l
Fudonuig notwendig nnd gerade ansrdchend ist
gdit es jedoch mit grossO' H&ssigung und Umaidit vor, obae dn
Boden encter Berufe n verlassen. Was davon etwa tarne ABsaakaa
nadteo k&nat«, ist aiefaer niclil der Toideni nunactoeibeu. Ifa^
mala ist die Eingangs^klining n«icr Begriffe im An&ag der Ab-
sduiilt« fb- den ünkmdtgen weht wol versttitdlidi, nd wird es enl
b«i sfKCKll« AnwendsBg. Aesdemgai des Antfaracto wftrdn Us
n jedm FtBe abbdfsB UueL Es «iid beMxfa, da- Ktek, mia
jefe aadera Cam, tane sich als Tieletk nrnneadid UöMK SdM
VmthlM. Die Bf tih«^ i» ftbcA, ibs sack wätmig, iam tim
sttk*» Bctndlw fc^ ücht h dw Lehn na da Jimrm bI
WfclWiiiihlliii

LitlrrarUdiir Bericht CCXXIV. Sfi-

Ala zugezogen aus der nenern Geometrie aiiid besonderB zu nenneHj
d&B Princip der DnaliUit, die Congrnenz und Symmetrie der Figuren,
die harmonischen Punkte uud Transversalen des Dreiecks, die Fotenz»
linieu uud Ereispolarea ; manches andere ist eingewebt. H.

BecJienbnch fOr Gymnasien, Bealschulen, Gcwerbesclmlen, höhere
Bürgerschulen, Seminare etc. Von Christian Harms, Profesaer
an der Realschule in Oldenburg, und Dr. Albert Kuckuck, ord.
Lehrer am Berlinischen Gymnasium zum grauen Kloster in Berlin, j
Dritte Auflage. Oldenburg. 1874. Gerhard Stalling. 262 S. I

Das vorliegende Bechenbuch unterscheidet sich von andern nicht '
durch wesentlich neue Gesichtspunkte oder abweichende Grundsätze,
zeichnet sich aber aus durch die Vielseitigkeit, UmBicht und Klarheit
in der Berücksichtigung der au ein Bolchea zn stellenden Anforde-
mngen. Auf diese näher einzugehen, ist hier keine Veranlassung:
einzeln sind sie allbekannt, nur vergisat mau leicht eine Über die
andre und sieht ihren Umfang für zu gering an. Kinige Bemerkungen
mögen gentlgeu. Alle vorgängige Anleitung und Erklärung dessen,
was zum Verstiludniss gehört, ist grnndaätzlich ausgeschlossen. Da-
gegen wird man keine notwendige Angabe über das vennissen, was
reine Sache des Gedächtnisses ist und auf factischcr Festsetzung be-
ruht ; numerische Angaben findet man immer gleich an der Stelle, wo
sie zuerst gebraucht werden. Es ist dies in der Tat ein Vorzug, denn
Manche wissen beides nicht von einander zu unterscheiden. Hervor-
zuheben ist ferner, dass die Anwendungen des Rechnens nicht von
der directen Eiuübnng der Operation geschieden auftretfin. Vielmehr
wird bei der Einübung die Fragestellung auf alle möglichen Weisen
gewandt, so dass der Schüler die Bedeutung der Operation fortwäh-
rend im Bewusstsein erhalten muss, und jede mögliche Anwendung
zugleich lernt. Hiermit steht in Verbindung, dass die f(ir das prak-
tiBChe Leben bestimmten Aowendungen, auf welche reichlich Rück-
Biciit genommen ist, schon vollständig in der gebräuchlichen Form
kIs Bespiele für die einfache Operation aufgegeben werden. Der
zweite Teil des zweiten Cnrsns handelt dann insbesondere von den ^
wichtigsten praktischen Rechnungsarten. Resultate sind nie ai^-

Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. FQp !
Gymnasien und Gewerbeschulen bearbeitet von Friedrich Hof-
mann, Professor der Mathematik am k. Gymnasium zu Bayreuth.
In drei Theilen. Erster Theil: Arithraetisclic Aufgaben. Zweiter |
r Xbeil: Algebraische Aufgaben. Sechste mit Rttcksicht auf

1

I

w

t das neu

) l&ae (d

l-seher Bericht CCXXIV.

das neue Mass- und Münz^ystem omgearbbitete und vermehrte
läge (des 1. u. 2. Tb.) dritte (des 3. Th.). Eajrenth 1874
I rieh Grau. 804 S.

Die neue Auflage der im 217. litt. Ber. besprcrclienen Aufga
' Sammlung unterschoidet sich durch Einfflhrnng der Markreohnni

\ wodurch die auf Müiiüen bezüglichen Capitel Acnderungen erfahren

\ haben. U.

^^ '
Funk

Gr e om e t r i

Conforme Abbildung einiger Flächen, welche den unendlich ff
Punkt enthalten, auf den Kreis. Von Dr. 0. Hentschel, Gymuas
lehrer in Salzwedel. Berlin 1874, S. Calyary u. Co.

Die nach Aehnlichkeit der Flächenelemente abgebildeten Flfic
sind Ebeueu unter folgenden Begrenzungen. Ein Hyperbelzweig 1j
grenzt zwei unendliche Flächenräume gegen einander, beide Zw
haben einen solchen zwischen sich; die Parabel begrenzt ebenf
zwei gegen einander; Ellipse, Ereia und Lemniscate den Flächenr
ausserhalb. Zur Lösung der Aufgabe wird die Ebene durch ,
orthogonale Currenacharen erzeugt, deren einer die Grenzlinie 1
gehört, und die Abbildungsfunction durch eine nach den Cosinog j
Sinus der Vielfachen desjenigen Parameters , welcher am Bande o
Btant ist, fortschreitende Reihe dargestellt, dann deren Coefficiog
durch Einführung des Randwerts bestimmt. Die Reihen lassen i
in den genannten Fällen Bummireu und ergeben sehr einfache Res
in geschlossener Form. Auf jede analytische, d, h. directe ]
folgt unter dem Namen „synthetische Lüsung" eine vermittelte d
vorgtingige Abbildung auf die Halbebene.

Die prismatischen und pyramidalen Drehtmgskörper. Von ]
C. Heinze, Professor am Gymnasium zu Cöthon. Separat-AJ
aus dem Schulprogramm 1874. Mit einer lithographirten
Cöthen 1874. Otto Schulze. 22 S.

Die Körper, um deren Inhalt aber echnung es sich hier J
sind begrenzt Ton zwei ähulichen Vielecken in parallelen ]
deren homologe Ecken sämmtUch untereinander, ausserdem 1
mit den Nachbareckeu durch Gerade verbunden sind, und i
liehen Fi&chen, welche eine den Ebenen parallele, an zwei sncc
Scitenkanten gleitende Gerade erzeugt. Die seitlichen Flächea ■
also entweder Dreiecke oder windschiefe Regelfiächan, üb \

r Bericht CCXXIV. -

37

Falle Faralltrapeze. Die Methode ist rein synthetiach und beruht auf
Zerlegung in Pyramiden, doch schreitet die Deduction in allgemeiner
Form ohne Hülfsbetrachtung und succeasives Aufeteigen fort. Erst
wird die Simpson'scho Formel bewiesen, dann die Darstellung des
Mittel Schnitts in BestinunungaBtücken der Endflächen hergeleitet.
Kach Einsetzung von dessen gefundenem Werte, hat der Ausdruck
dea Inhalt« die Form:

^=U (/<]+/*+

cos(t-.p) ,— -

wo /oj/s die Endflacheu, h ihren normalen Abstand, rp den Winkel,
nm den ihre Stellung difierirt, bezeichnet, nud t unter gewissen Be-
achränkungen durch die Gleichung

definirt ist, unter a, b, ... die Seiten der Endfläche G ^fg oder f^^
verstandeiL Die notwendigen Unterscheidungen sind aus der obigen
Definition des Köi-pers ersichtlich. Die Darstellung ist im ganzen
leicht fasslich, leidet aber stellenweise an Ungenauigkeit dos Aua-
dmcks, der leicht genug zu bessern gewesen wäre, dem Leser aber
überflüssigerweise eine jedenfalls grössere Mühe des Euträtselns auf-
erlegt. H,

Nautik.

Memoria aobro la Tolocidad y estabilidad de los solidos sniner-
gidoB y flotantes en un fluide. For Enrique Eeriz. B^celona.
1872. Narciäo Ramirez y C. 32 S.

Memoria sobro la navegacion a^rea. Per Enrique Heriz.
Barcelona 1872. Narciso Ramirez. 11 S.

Die beiden Schriften unterscheiden sich dadurch, dass die erstflre
das geaammto Thema der Bewegung durch FlOssigkeiten mittelst re-
guJirter Kräfte, d. i. das Schwimmen und Fliegen, in grösstem Um-
fange behandelt, die letztere dagegen sich auf die LuftscMfifahrt be-
schränkt. Beide verfahren indes in gleicher Art: aie besprechen alle
erdenklichen Punkte, die dabei in Betracht kommen können, ohne
bei irgend einem zu verweilen, ohne mathematiache oder technische
Fragen in Angriff zu nehmen, ohne erfinderisch zu combiniren. Die
Gegenstände der Hauptabschnitte der eratem sind die Gestalt der
[achwimmendon und submarinen) Fahrzeuge, ihre Bowegtmg und ihre

Btrieki ccrxrv.

lg

^

ffi«rbei wird ifie elementare ThMVie, zwir I
taifT teek not kncbtrefmiodlictier ErktKran;, rargetneoi, b
1 beispißisweiae B^rechimiij Maaugaft gt, ■
I Ketorra (3«g«l. Bad. Sc&nmbe, BaOen) AmctgegMecB, T«^
[ zwiach«« dm Wirinn^vn angestdtt, wiewol inavT av be-
ti^äch lad bekannt«, reslüirb? TerwendmigsweiaeB mit ^ igefaiid w
Kmensinaeii. Anch wird das Schwimmen und FBegen d^ Tien, die
ßewegnng der Geschoaie in Betracht gezogen. So wen^ daa Gaue
aoefa Neoßa bietet, so ist wenigstens aiuoerkennfn, dus adti dv(^
gängjff ein nichtiges 0rteil und vielseitige Kerattniss des C
knnd glettt

Vennischte Schriften. Teile von Zeitschriften.

Annali di matematica pora ed applicata. Dirctti da F. Brio-
s-ihi e L. Cremona. Serie ü. Tomo Tl. Fascicolo L Dicembre
1873. Mflano. G. Beinardoni.

Der Inhalt des Heftes ist

SeUaefli. SnlT dso deUe linee Inngo le qnali il valore assolnto &
nna fnnaione ä costante.

Aacoti, Salla serie di Fonrier.

Ö'Ovidio. Ricerche snlla geometria Qon-eaclidea. (Unvollendet.)

Preisaufgaben

rürstlich Jablouowski'schen Gesellschaft

Ans der Hathematik und Natarwlssenschaft:.
1. Für dos Jahr 1874.

Das Problem der electrischen Vertbeiiung auf einem Condnctor
von gegebener Grestalt iat durch die biaber in Anwendung gebrachten
Methoden nur in verbältnissmäasig wenigen Fällen zur definitiven
Lösung gelangt oder einer solchen zugänglich geworden. Um die
genannten Methoden ihres speciellen Cliarakters zu entkleiden und
wo möglich auf ein allgemcinerea Niveau zu erheben, scheint es zu-
nächst wünschenawertb, wesentlich neue Falle in den Kreis der Unter-
suchungen hereinzuziehen. Demgeraäss stellt die GcseUschaft folgonde
Preisaufgabe:

Auf einem Rotationskörper, dessen Meridian
durch die Lemniscate (Cassiui'sche Curve)

dargestellt ist, soll die Vertbeiiung der £lec-
tricitftt unter dem Einflüsse gegebener äusserer
Kräfte ermittelt werden.

Die Beantwortung des Secialfalles a = b wQrde durch die Me-
thode der reciproken Radien (Methode der sphärischen Spiegelung)
auf den Fall eines Hyperboloids reducirbar, und für die Erlangung
dea Preises unzureichend sein. Pieia ^ 'Du':.a.^A'a.

2. FUr das Jatir ISTS.

Bio Frage nach der Lage der Schwingnugsebone des polarisirten
Iiichtca ist trotz maunigfatlier Bemühungen bis jetzt nicht entschieden
woriluu. bin GeaoUsuhaft stellt daher die Aufgabe:

^^fcels

Es ist durch nene Unterancl
Schwingungsebene des polari
gaitigr festzustellen.

3. FOr «los Jabr 1876.

Igen die Lage i
rten Lichtes

Trotz der meisterhaften Arbeiten Leverrier's über die Bew^
des Merkur kann die Theorie dieses Planeten noch nicht i
gültig abgeschlosBen betrachtet werden. Die Gesellschaft wfl^
eine ausführliche

Untersuchung der die Bewegung dos Merkur J
stimmenden Kräfte,

mit Rücksicht auf die von Laplace-(in der M^canique c

von Leyerrier (ia dcnAunalos de I'Obserratoire und den Coi

rondus de l'Acad^niie des sciencos), von Hansen (in d

der Kön. Sachs. GeseUsch. d. Vf. vom 15. April 1863) und I

Wilhelm Weber (vergl. Zöllner über die Natur derCometenS.f

angedeuteten Einwirkungen. Ausser der vollständigen

der Störungen ist eine Vergleichung mit den Beobachtungen nuer-

läaslich, um zu zeigen, bis zu welchem Grade der Genauigkeit sich

die eingehenden Constanteu bestimmen lassen. Die Constmction von

Tafeln 7.11T Ortsberechnung behalt sich die Gesellschaft vor zum

Gegenstand einer späteren Frei abe Werbung zu machen, Preis 700 Mark,

H i. Für das Jalir 1877.

H^ Der nach Kncku benannte und von diesem Astronomen wiilueni!
des Zeitraumes von 1819—1848 sorgfältig untersuchto Comet 1, 1819,
hat in seiner Bewegung Anomalioon gezeigt, welche zu ihrer Erklä-
rung auf die Hypothese eines widerstehenden Mittels gefahrt habea-
Da indessen eine genauere Untersuchung der Bahn nur über einen
beschränkten Theil des Zeitraums vorliegt. Über welchen die Beolh
achtungen (seit 1787) sich erstrecken, so ist eino vollständige
Neubearbeitung der Bahn des Encke'schen Cometen um so mehr
(fünschenswerth , als die bisher untersuchten Bewegungen anderer
ÜuriodiBidioa Cometen keinen anaVojea m4e.xöJ3ae\iiKtt 'SisJi'as!

ratheii haben. Die GesellBCliaft wünscht eine solche vollständige
Neubearbeitung herbeizaführon, und stellt deshalb die Aufgabe:

die Bewegung des Encke'achen Cometca mit Be-
rücksichtigung aller störenden Kräfte, welche
von Einfluss sein können, vorläufig wenigstens
innerhalb des seit dem Jahre 18i8 verflosBeneu
Zeitraums zu untcrsucheu.

Die ergänzende Bearbeitung fOr die frühere Zeit behält sich die
Gesellsciaft vor, eventuell zum Gegenstand einer Bpäteren Preia-
bewerbung zu machen. Preis 700 Mark.

Die Bewerbnngs Schriften sind, wo nicht die Gesellschaft im
sondern Falle ausdrücklich den Gebrauch einer anderen Sprache
gestattet, in deutscher, lateinischer oder französischer
Sprache zu verfassen, müssen deutlich geschrieben und paginirt,
femer mit einem Motto versehen und von einem versiegdjen Cou-
vert begleitet sein, das auf der Ausseuseite das Motto der Arbeit
trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers angiebt.
Die Zeit der Einscudniig endet mit dem 30. November des angege-
benen Jahres und die Zusendung ist an den Secretär der Gesellschaft
(für das Jahr 1874 Prof. Dr. G. Curtius) zu richten. Die Besnltate
der Prüfung der eingegangenen Schriften werden durch die Leipziger
Zeitung im März oder April des folgenden Jahres bekannt gemadit.

Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthum der Ge-
sellschaft.

be^B

Mathematische
^d physikalische BibliographST

cxxin.

GMehiehIv it«r Mklhemalfk uai Physik.

FortBcbritte, die, d. Physik im 3. 1869. i&. J. BeA.|
R Scbwalbe. 3. Abth. 8. Berüu, G. Reimer. 3 TUr. IS 1

Jahrbncfa ab. ä. Fortschritte d. Muhematik, hrsg. t. CO^
manu. F. Müller, A. Wangerin. a Bd. J. 1871.
Berlin, G. Reimer. I TUr.

Küster, C. J., Dt. Schöpffer d, gross« Reformator der J
nomie. 8 Wla, Römkc & Co. 2} Ngr.

UhrttVcber,

nnit Ta helles.

Baltler, B., die Elemente der Mathematik. 3. Bd. 4. AlL I
LBipsig, Hinet. 3 TUr.

Gallfricanp, W., d. Elemente d. Mat*.««»t<fc 4. Afi.
& iMtlohn, Bideker. äO Ngr.

DaaL, 3. AI). 2. Tbl. a Ebd. 21 Ngr.

Harns, Chr., o. A. Kncknck, Becbenbacb f.
BMlKWea, Geverbescbalen etc. a AtL a Oldenburg,

do., Bfirahate dasn. 3. Afl. a Ebd. 2| Xgr.

Paigger, F., Logarithmen-Tal £ d. ZaUen t. l bü II

fie goaioaetr. Fmkctkniea d. Winkel d. orateii QoadranieB i

n 10 Wamtem aaf 4 DediMMeUeo. & Tiieat, Lit-artisL /

iSKgr.

lrtlh»etlk, Al^bra u4 nimf imäljäs.

Gmber, K^ der aritfam. Untar. För SchAler. 1. TU.
& Cailsnhe, Groos. 14 Xgr

Llbsen, H. B^ Einleltg. in d. Infinheüal-Bedug. 5^

Her. 3 TUr. 30 Xgr.
Paiff ir, ¥^ Lehrb. 4. aO^- Elcnartar-Arithmetik od. A

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