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ARCHIV
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MATHEMATIK und PHYSIK
mit besonderer Rücksicht
auf die Bedürfiiisse der Lehrer an höheren
Unterrichtsanstalten.
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i. k. 6 r u u e r t^
fortgesetzt von
R. H 0 |i |i e,
Dr. pli. Prol an d. üniT. B«rlin.
Zweite Reihe.
Vierter Teil.
Leipzig.
G. A. Eoch*s Yerlagsbnchhandlang,
J. SeAffbvieli.
1886.
162502
Inhalts- Verzeichnis
des fiertei Teils«
JVAtfAbkuidluff. H«A. 8%iU.
Arithmetik, Algrebra und reine Analyds
oluie Integralreelinnnir*
IL Einige BemerkungeD über Tollkommene Zahlen.
Von O. Valentin L 100
II. Ueber die Bestimmung der reellen Wnneln trino-
miieher Gleichungen. Von Th« Banmgardt • . L 108
n. Znr SnmnMition endlicher Beiben Ton der Form
JShik. Von Heinrieh Simon L 107
IIL Die Modolarglefchnngen der Galoit'ichen Modoln
der S. bis 5. Stnfe. Von Georg Friedrich . II. 119
TL Symmetrische nnd complement&re Verteilung der
Indezsnmmenreste t Ar Primiahlen der Form:
p=z^+\. Von Hermes II. 207
XI. Eine einfache Darstellung der Besultante Ton swei
quadratischen Formen. Von Frits Hofmann . III. 885
XI, Ueber Froducte ans ganien Zahlen. Von B. Spo-
rer • III. 888
XV. Fortsetanng IV. 484
XV. Schüleranfgabe. Von Emil Hain IV« 448
IntegrtlreelinnBr«
- i:y VIII. Transformationen der elliptischen Integrale nnd
Functionen in Verbindung mit der Theorie der
Kettenlinie. Von Emil Oekinghaus .... ID« 825
IV
JlderAbliAiidliing. Haft. S«iU.
IX. Elliptische Integralfanctioneo nod ihre geometrische,
analytische and dynamische Bedentnng« Von
Emil Oekinghans IIL 879
XIII. lieber singolftre Fonkt« der gewöhnlichen alge-
braischen Differentialgleichnn^en 1. Ordnung. Von
C. F. E. Björling IV. 858
XIV. Theorie der Thetafnnctionen einer Voriaderliefaeii,
deren Charakteristiken sich ans gebrochenen Zahlen
zusammensetaen lassen. Von Bichard Voss . . IV. 885
C^metrie der Ebene.
II. Teilnng einer Geraden nach dem goldenen Schnitt.
Von M. Weidenholser L 108
VII. Analytisch spedfisehe GhrOsfen des IHerecks. Von
B. Hoppe JL 8S4
X. Ueber die Cnnren vierter Ordnung mit drei In-
flexionsknoten. Von P. H. Schonte flL 808
XI. Ein geometrischer Sats. Von B. Sporer. . • . III. 883
XL Lehrs&tse Tom Sehnenrierecke. Von Vr aas.Beb iif -
ner IIL 888
XI. Ein Viereckssati. Von B. Hoppe lO. 888
XL Beweis des Torstehenden Viereckssatiei. Von F.
Angnst m. 880
XL Zar Constmction der Ellipse mit Be&ataang von
Krümmnngskreisen. Von Frans Schiff ner . . III. 881
XV. Znr Figar des Feaerbach'schen Kreises. Von W.
Godt IV. 488
XV. Der Krflmmnngskreis der Ellipse. VonfB. Hoppe IV. 448
Ctoometrie des Bammes.
V. Ueber die Pascarsche Spirale. Von Anton
Sncharda II. 197
VIL Zar Theorie der Volomsbestimmnngen« Von
Frans Bogel ,. • • . II- 818
XL Conforme perspective Projection der fUehen 4utf tili-
ander. Von B. Hoppe • . • IIL 888
V
JfiarAblwBdliiig. Heft. 8dto.
XL Analytiacber Beweis sweier SltM Ton regelmftwigeB
Pyramiden und Polyedern. Von B. Hopp>e • • lY. 441
MMbaaUu
L Theorie des Gaussischen Pendels mit Bücksicht auf
die Botation der Brde. Von H. Samter . • . I. 1
IV. Aniiehnng eines der Kugel analogen Gebildes Ton
n Dimensionen auf einen Pnnkt. Von B. Hoppe II. 18ft
Optik.
XV. Ueber Befractionscnrren. Von Emil Oeking-
kaus rV. 4S9
Physik.
XIL Ueber Verteilung und Strömung der Elektricitit
anf dem Parallelepipedon. Von H. Niebour. . IV. 997
nttertriieke Beriekte.
Xm. Gauss (£1. Math.). Kanlieh (kanim. Ar.). Becknagel
(Geom.). Utb (Plan). Stegmann (Lenganer) (eb. Geom.^.
Grosse-Bohle (eb. Geom.). Petersen (Fischer-Benion)
(eb. Trig. — Ster.). Wrobel (Ster. ^ Mech.). Wal her er.
(Mech.). E.B. Müller (Anfg.). Wiese n. Lichtblau (Anfg.).
Harms n. Kallius (Bechb.). Pachmejer (Tab. Zins.).
Teixeira (J. VI.).
XIV. Aufruf (Einh. Seh.). Mach (Bild. W.). Siemens (Sonn. En.).
Günther (Geoph. IL — math. Geogr.). Kiessling (Dumm.).
Fr. Müller (KaL Tab.). Littrow (astr. K.). Cornelius
(ph. Geogr.). Snchsland (eL Met). Kuppen (Ztschr. II.).
XV. Beidt (Aul. Unt.). Simon (Ar.). Elsas (Psychpph.).
Schell Wien (opt Hir.). Mittag- Leffler (A. M. VIL). Am-
sterdam Nienw Arch. (XII.). Versl. en Meded. (L). Smiths
Inst« (Bep. 1889.). Wash. Phil. Soc (BnlL VIL). Hamb. Math.
Ges. (Mitt. VL). Viola (math. Soph.).
VI
XVI. Servns (Gesch. Fernr.). Netolicika (Gesch. Elektr.). Ur-
banitskj (Gesch. Elfktr. M«gn. im Alt). Bebber (Gesch.
Witt. K.)* Boneompagni (Bali. XYIIL — Fetr. de Dac).
EnestrOm (Goldbach — Enkl. schw.). Wisk. Gen. (Begist.).
Hnyghens (Corresp.). Krimmel (Nagel). Chaachy (Itsig-
söhn) (alg. An.). Antenheimer (Diff. Int.). Baerlocher
(Zins.). Kürten (mag. Qn.). Vor mang (red. Qners.). Syl-
vester (Arn. J. Till.). Brüssel Ak. (BnH. S. R XLVI bis
3. R. vni.).
Berichtigangen im 4. Teil.
S. 108 Z. 7 Y. nnt. statt Z setze £
1
,, 6 „ ,, ^ ist und setze ist, und
Das Wort Anwendungen gehört unter beide Zeilen als
Ueberschrift.
S. 109 Z. 7 V. ob. statt st setze ist
HO
111
112
M
W
W
n
15
W M
1»
(«+1
(n+1)
1 11 w 11 «+iy w «+i«
2 ,, ,, Der Nenner lautet 4 sin' ö
15 Yi „ statt u setze n über £
der
11
den
11 11 11
nach Bemoulli*schen ergänze Zahlen.
e=E
* •
• • •
1
•
I.
Theorie des Gaussischen Pendels mit Rücksicht
auf die Rotation der Erde.
Von
Herrn Heinrich Samter
ans Orfinberg in Schlesien.
Vorwort.
Diese Arbeit verdankt einer Anr^^nng meines hochgeehrten
Lehrers, Herrn Prot Bmns ihre Entstehung. Es sei mir gestattet,
für die mannig&chen Winke znr Anfertigung derselben dem genannten
Herrn an dies^ Stelle meinen besten Dank auszusprechen.
Der Verfasser.
Einleitung.
In der Sammlung der Göttinger Sternwarte befindet sich ein
Instrument, das Ton Dr. Mejrerstein nach den Angaben Ton GauM
1853 zur lUederhdaBg des Foucault'scben Versuches ansgefflhrt
wurde*).
GauH wtkmU iu^iher an A. Tcn HambcMt: „In der letzten
Zeit habe yäk wn£k waX der Ansf&hrung eines Apparates bescfaiftigt,
um die Foaeaaif tcfces Versuche in anderer Gestalt astzuffthn».
Ich habe ei Wt &»n. sowie F<Wf!anlt selbst, 5>e«dki u. a. sie
ausgefUnt haiiea. a^s ctnen grossen Ifaigel betrachtet, daM da»
ein Local ertefart wird, wie es an weaig Orten zw GeU/t^ i^tß^'^
der Twiliff Ji—Vj|Tiin^ B^usAci:««-'^ ;fr<. y^q^ ^n. t 2> f^^eit
• ■
• «
« • • •
•. • *2 ' -,'••'*': Shmtiri fhedrid dit ChcusiUchen Pendels
^ ' ' ' ' ,-:-".: • • • .' r .• • • • • " •
" • ■
Secchi hatte, wenn ich; nicht irre, eins von mehr als hundert
Fnss, Foucault eines von mehr als 200, Garthe 134 u. s. w. Höhe.
Mein Apparat ist in jedem Local anwendbar und zeigt schon jetzt
die Einwirkung der Erdrotation nach kurzer Zeit auf das schlagend-
ste; ich hoffe aber, da er jetzt noch unvollständig ist, die fehlenden
Stücke vielleicht successive dahin zu bringen, dass alles in höchster
Eleganz und Präcision erscheint/'
Das Gaussischo Pendel besteht aus einer massiven horizontal
liegenden Linse und der in einer cardanischen Aufhängung befind-
lichen Pendelstange. Die Achsen der Aufhängung und der Pendel -
Stange müssen sich natürlich in einem Punkte schneiden, der dem
Aufhängepunkto des correspondirenden mathematischen Pendels ent-
spricht *).
In der Sprache der analytischen Mechanik heisst das:
Der Apparat ist aus zwei starren Systemen materieller Punkte
zusammengesetzt, von denen das eine sich um eine mit dem Erd-
körper fest verbundene Achse bewegen kann, das andere aber um
eine! gegen die Erde bewegliche, mit dem ersten Systeme fest ver-
bundene Achse drehbar ist Von den beiden Achsen wird die erste
möglichst horizontal gelagert, die zweite schneidet die erste unter
einem rechten Winkel.
Im Folgenden soll die Bewegung des eben beschriebenen Instru-
mentes mit Rücksicht auf die Erdrotation untersucht werden. Dabei
wird angenommen werden, dass die erste Achse eine geringe Neigung
gegen die Normalebene zur Richtung der Schwerkraft habe, dass
ferner die beiden Achsen sich nicht schneiden, sondern kreuzen, so
zwar, dass der von ihnen eingeschlossene Winkel nicht genau gleich
90^ ist.
Bei der Integration der Differentialgleichungen der Bewegung
werden wir in erster Näherung annehmen, dass die an das Instrument
zu stellenden — im Vorhergehenden erwähnten — Anforderungen in
Beziehung auf Präcision erfüllt seien, und werden diese Annahme
erst in zweiter Näherung fallen lassen.
\) Brnns a. a. O. pag. 803.
(1
ait liäcktichl auf die Rotation der Erde.
Mettnn? der DilTerentlul gl Heilungen der Bewe^un^ und eratol
Inlcgratlou derselben.
li^ man die f-achsa eines rcchtwiakligen Coordinatenaystems in
ilie Bichtung der Verticale an einem Orto mit der geograpliischen
Rroite g', so dass dip positive Seite dcraelbL'ii iiacli uuteu gekehrt
ist, wahrend die {-achse und die ij-achso mit ihren positiven Seiten
reap. nacb Süden und Westen weisen, so sind die Differentialglei-
chuDgen der Bewegung eines freien schweren materiellen Punktes in
der Nahe des Anfangspunktes dieses Syatemcs, wenn n dio Dre-
bnngsgeschwiudigkcit dar Erde bedeutet ')
(PI . dt!
rPij
dt*'
rscbungen ge^^
Die Berflcksichtignng der nacli den bisherigen Forschungen %
radlinigen und gleich förrä igen Bewegung des Souneusystems modi-
ficirt diese Gleiclinogen nicht; die Bewegung der Erde om die Sonne
würde durch Verlegung dos Coordinateuaiifangs in den Mittelpunkt
der Sonne und die Anbringung der Differenz der von jener auf den
bewegten Körper und die Erde ausgeübten Beschleunigungen berück-
sicbtigt werden. Dieso Differenz ist vou der Ordnung der Pendel-
läDge, gemessen durch die mittlere Entfernung der Erde von der
Sonne, kann also dio Bewegung nicht merklich beeinflussen. Ferner
ist in diesen Gleichungen die Schwerkraft ah alle Teilchen des Appa-
rates in gleicher Richtung und in gleichem Maasso beschleunigend
vorausgesetzt, bei der entgegengesetzten Aunahmo erhielte mau für die
Schwerkraft eine complicirte Kräfttfuuction V, deren parlielle Diffe-
rentialquotienten bei Vernachlässigung ganz unbeträchtlicher Glieder
lineare und bis auf das Glied s i
BV
auch homogene Functionen
I Ton £, ^, Z sind, deren Coel^oientcn teils von der Krümmung der
1} Tgl. a. a. IIiLD9ca Theorie der Fcnilelbewegang. Dtniig IBS3, png. 12.
4 Samter: Theorie des Gattssischen Pendd»
Erde überhaupt, teils von der Abplattung derselben abhängig sind
und Potenzen dos Erdradius im Nenner enthalten, teils aber dem
Quadrate der Rotationsgeschwindigkeit der Erde proportional, also
selir kloin sind. Hansen hat gezeigt, dass die Berflcksichtigung
aller dieser Glieder die Bewegung selbst langer Pendel in unmerk-
licher Weise beeinflusst.
Von den hingeschriebenen Gleichungen (1) ausgehend brauchen
wir also nicht zu befürchten, für die Bewegung merkliche Glieder
zu verlieren.
Da aber in diesen Gleichungen auch der Widerstand der At-
mosphäre vernachlässigt ist, so gelten die zu erlangenden Re-
sultate nur für die Bewegung des Pendels im luftleeren Räume.
Die u-achse eines zweiten rechtwinkligen CoordinatensTStemes
falle mit der gegen die Erde festen Achse des Graussischen Pendels
zusammen, die Projcctiou ihrer positiven Seite auf die £17- ebene
bilde mit der |-achse einen Winkel ?I, der im Sinne Süden —
Westen — Norden — Osten — Süden gezählt der Bedingung
genüge. Die tr-achse liege in der durch die u- und f-achsen ge-
legten Ebene, und ihre positive Seite bilde mit der -f-C'&chse einen
Winkel /, der der Bedingung
-900<»<+9(y>
genüge und positiv gerechnet werden möge, wenn die -f- u-achse ober-
halb, negativ, wenn dieselbe unterhalb der |iy-ebene flült — unter
der Bedingung, dass die Anfangspunkte beider Systeme zusammen-
fallen. Bei Hinzunahme dieser Bedingung ist jetzt das System der
u. V, IC eindeutig bestimmt, wenn man noch festsetzt, dass die Trans-
forraationsdetcrminante der Coordinaten den Wert +1 habe. Setzen
wir
(2) rj «= UjM + ÖjV+Wa^^
so wird hiemach
u, = cos» cos K, Ug ■= cos» sin H, «3 = — sin»
ü, =- — sinW, i?2«cos8I, »3 = 0
lUj = sin / cos W, n?jj = sin 1 sin W, ID, -« cos 1
mit Eüeksicht auf die Rotation der Erde. 5
Die DifferentialgleichuDgen der Bewegung des auf der vorigen
Seite in's Auge gcfasstcn Punktes in Beziehung auf das zweite Coor-
dinatensystem werden durch Diflfereutiirung der Formeln (2) gefun-
den. Dadurch ergieht sich
d%i
^lä^+^tZi^ + ^i
dt*
dt*
^ , f du . dv , dw\
/ du , €iw\
u
€fiu
d*v
dho
I « / rfu , dv , ^ dw\
und wenn man fortan
2n(sin 9 cos i-\- cos tp sin i cos 81)
2n cos q> sin 81
2n(sin q> sin i — cos (p cos i cos W)
e
f
setzt, so erhält man durch Elimiuation aus dem vorletzten Glei-
chnngssy Sterne
(3)
d^u
d^
dt*
dho
dt*
dv dw
du . dw
^^ + ^ dt
du , rfü ,
Betrachtet man nicht mehr die Bewegung eines einzelnen Punktes,
sondern diejenige eines Systemes, so hat man die letzton Gleichungen
in den Ausdruck des d'Alomhert'schon Princii>es einzusetzen, desseu
Gestalt dadurch folgende wird:
Samter: Theorie des Gaussüchen Jodelt
— g sin iStnjhH 4~ ^ COS * Zmfiui
i
Wir wollen zuvörderst die Bewegung des ersten — also des am
die feste Achse drehbaren — Systemes materieller Punkte für sich
betrachten und unter du», d&i, dtr» die Yerrückung eines Punktes
ut, vh tri desselben verstehen, so muss, damit die Yerrückung eine
virtuelle sei, für jeden einzelnen Punkt
sein, und wenn n die Länge eines vom Punkte u», vi, tr» auf die u-
achse gefällten Lotes , 0« den Winkel bedeutet , den es mit der v
achse bildet, gezählt in einer zur vtr-Ebene parallelen £bene von
der -(-t;-achse nach der -|-u?-achse hin, so ist
Vi = riCOStff
wi'^ r» sin 01
und wegen der Bedingungen des Systemes ist für alle Punkte des-
selben
iri = 0
ici = i<r,
wo ic eine für alle Punkte des Systems constante Orösse bedeutet.
Hiemach ist
*u. — 0
ivi =» — TismiSiiCi -= — w^ic
8wi = nooBCiS^Si =» Vi 8c
in die Gleichung (4) des d'Alembert'schen Principes einzusetzen , die
dadurch in die folgende übergeht
*<»i m.- { -^ «., [^* - * ^] -h, [^ ■+ * f^J }
=z dcg COS i£mi Vi
i
Hier geben die in k multiplicirten Glieder Null, weil nach den Be-
dingungen des Systems
mü Rücksicht auf die Rotation der Erde. 7
constant ist, and ferner erhält man
ausserdem haben alle Punkte des Systems dieselbe Geschwindigkeit
und Beschleunigung; bedeutet also tf einen bestimmten unter den
Winkeln d^ so kann man die Gleichung des d'Alembert'schen Prin-
Olpes schreiben
(A) ^<J --^£mirt^ =■ 0Cg£mi ViCOS»
Bedeutet m, die Masse, v^ die v-Coordinate des Schwerpunkts
des ersten Körpers, 7\ sein Trägheitsmoment um die feste Achse, so
wird diese Gleichung
(A) dö -T^Ty^ = icgoo^im^v^
d<S
Setzt man hierin -ridt für oc und integrirt die Gleichung, so
ergibt sich als Integral der lebendigen Kraft
(B) — ' ^
*^^ \^) ^ Ä+^cos»miiri,
wo h die Integrationsconstanto , w^ die 2<7-Coordiuate des Schwer-
punktes, r^ seinen Abstand von der Drehachse, c^ den ihm zugehörigen
Winkel c bedeuten.
2.
Den bisher gleichgiltigen Anfangspunkt O^ der Coordinaten u,
V, iß nehmen wir auf der festen Drehungsachse dort an , wo sie von
der gemeinsamen Senkrechten beider Drehungsachsen getroffen wird
— in dem Specialfalle also, wo die Achsen sich schneiden, im Schnitt-
punkte beider. Den Punkt O2, wo die gegen die Erde bewegliche
Rotationsachse von der gemeinsamen Senkrechten getroffen wird,
wählen wir zum Anfangspunkte eines gegen die Erde beweglichen
Coordinatensystemes , dessen Achsen mit den drei Hauptträgheits-
achsen des zweiten Systemes materieller Punkte zusammenfallen
mögen.
Zur -|-c-achse wählen wir die in der Euhelage des Apparates
mit der 2;-achse nahe parallel und gleich gerichtete Achse des klein-
sten Hauptträgheitsmomentes, die Richtungen der beiden andern
g Samter: Theorie des GauMsudat JPeHdeU
Achsen bestimmen wir nur soweit, als wir annehmen, die a-achse sei
diejenige des grössten Trägheitsmomentes, und die Determinante der
Transformation dieses Systemes in eines der beiden andern habe
den Wert +1. Wir setzen
(5) v=ß+ßia-^ßib+ß^c
Hier ist nnn, weil die Vcrbindangslinie der Anfangspunkte der
letzten beiden Coordinatensysteme auf der «-achse senkrecht steht,
(6a) a^ O
und, weil dieselbe Verbindungslinie eine constante L&nge / hat,
(6b) ß^^y^^p
Nehmen wir femer diejenige Seite der beweglichen Drehaxe als
positiv an, welche in der Ruhelage mit der -|^o-achse den seinem
absoluten Werte nach kleineren Winkel einschliesst, und nennen wir
^19 ^s 1 ^3 d^6 Richtungscosinus derselben gegen die Achsen der a,
6, c, so wird, weil nach den Bedingungen des Systemes der Winkel
der beiden Rotationsachsen eine von x* wenig verschiedene constante
Grösse haben soll, sein Ck)sinus
(6c) öiai + fl2«s + Ö3a8 =" ^1
sein, wo h^ eine kleine constante Zahl sein wird.
Andererseits sind die Richtungscosinus der beweglichen Achse
gegen diejenigen der v und w
02/1 + 02/2 + 0*73=^8
und, da die bewegliche Achse auf der Linie 0^0^ mit den Richtungs-
ß Y
Cosinus 0, jf j senkrecht sein soll, so haben wir endlich
ß y
(6d) iio^ßi+Oißi+a^ßs)+j(a,Yi + ^9Y2+(izys) = 0
Löst man die Gleichungen (6b) und (6d) nach ß und y auf und
beracksichtigt, dass
mit Rücksicht auf die Roteition der Erde. 9
(0, ft + 0, /?2 + os ft)*+ (Ol yi + «2 y» + fls ya)*
ist, so erhält man
^ -r .0iyi+02y2+Q8y8
Die Entscheidung über das Vorzeichen lässt sich folgendermassen
^len.
Aus den eben hingeschriebenen Werten von ß und y ergibt sich
(fliA+02/?2+03Wf-(o,yi + o,y,+03y8)f = ±yr=^r«
und setzt man specioU b^ <= 0, so heisst das mit leicht verständ-
licher Bezeichnung
cos (bewegliche Achse, t^achse) . sin («• achse , Oi02)-f-8in (be-
wegliche Achse, v-achse) cos (r-achse, O^Og) «= ±1-
Hiernach ist das obere Zeichen zu wählen, wenn der Winkel
(bewegliche Achse, O^O^) = 90<>
ist, das untere, wenn er gleich 270^ ist. Zählt man aber die Winkel
von der -j-r-achse nach der +'^"^^^80, von dieser nach der — v
achse u. s. w. herum, so ist der fragliche Winkel gleich 90^, wenn
in der Ruhelage die bewegliche Achse unterhalb der festen Achse
hinläuft, gleich 270^, wenn in der Ruhelage die bewegliche Achse
sich oberhalb der festen Achse befindet. Man kann aber auch immer
das obere Zeichen festhalten, wenn man nur bestimmt, dass l im er-
steren Falle positiv, im. anderen negativ gerechnet werden soll. Das-
selbe Kriterium soll auch dann noch gelten, wenn b^ nicht genau
NuU ist
3.
Zur Ableitung der Bewegungsgleichungen führen wir die Euler-
schen Grössen p, q^ r ein. Es ist
1) Hier soll, wie im Folgenden überall, unter der^Quadrntwurzel ihr po-
sitiTer Wert renunden werden.
10
Samten Theorie dee GaMMsi§d^ Pemdeh
P =
'dt
«s^ + A^ + y»
(7)
~dt
«i^ + A-37 + yj
dt
dt
dt
dt
4-ftl* + n
dt
Umgekehrt gelten bekanotlich die Fonneln
(8)
dcL^
IT
«1»— «55
^' = ftr-ftg
dt
yt^—y^q
da^
dt
«sPi — V
— ßiP — ßir
ysp-yi»-
dt
— «i9--«iP
ft^-ft«
— S^ c» V. O —
dt
ri9 - yiP
Zwischen den p, g, r besteht eine Bedingnngsgleichnng, die sich
durch Differentiation der Gleichnng (6c) nnter Benntzung der eben
hingeschriebenen Fonneln in der Gestalt
(9)
Oj Os ^9
«1 «1 «5
p q r
0
ergibt. Es lassen sich anch die Variationen der Grössen Oj, a^ etc.
in analoger Form wie die Differentialqnotienten durch drei Grössen
p\ q\ ^' ausdrftcken , deren Ausdrücke aus denen der p^ g, r her-
vorgehen, indem man statt der Differential quo tienten die Variationen
der Grössen a^ , a^ etc. schreibt Sollen die Grössen p\ q\ r' eine
virtuelle Verrückung darstellen, so müssen sie der Gleichung
0, 0, Oj
(10)
p q
0
genügen.
Durch Differentiation folgt aus den Gleichungen (5)
a h c
(11)
du
dt
«» «8
p q
mü Rüeksicht auf die Rotation der Erde,
11
(11) * -J—
dw
dt
l
yi-v
öl 0» 03
a b e
Xi r« re
+
ßi ßi ßi
p q r
p q r
H ^% Os
a b c
^1 ß% ßi
+
Vi y% n
p q r
p q r
and analog gelten auch die Gleichungen
Ju =
O2 «3
P 3
(12) dt;
Vl-Di^
dw
l
n Yt 79
I I f
p q r
Ol ^% Ö3
+
Vi
^^^ ßl /^« ß^
-«' ^' ••'
p 5 r
+
a b c
ßi ßt ßi
P' a' r'
a b c
Yi Yt y»
p q r
Bevor wir die Gleichungen (11) nochmals differentiiren, betrachten
wir allgemein einen Ausdruck von der Form
f l P
«1 «t «8
p q r
iro die \, \, p beliebige Constanten sein mögen.
Durch Differentiation folgt hieraus:
ilp dq dr
dt dt dt
p 3
r
l l P
+
f i
P
«1 «« «s 1 »ir — «3(7 «39— «i**i«i(Z-««P
l5S--('v-^)<'-«'«)
f l P :— («aP-«iO(i»p— fr)
«1 «f «s i
-(•
W-«ip)(^— W
12
Samter: Tkaorit du Gmusiadkm Pmdds
Berechnet maii die Prodacte nach dem Moltiplicationstheorem für
Detenninanten, so erkennt man, dass sich die Besoltate in einfacher
Weise addiren lassen, so dass der gesuchte DüEBrentialqnotient
schliesslich wird
Analoge Gleichungen erhält man, indem man statt «i, ot,, o,
resp- ßu ßt^ ß% resp. y^, y„ y, setzt
dp dq dr
dt dt dt
l I P
—
«1 «1 «8
Somit eriieUt die Bichtigkeit der Gleichaogen
(13)
dt*
dp dq dr
dt dt dt
a b c
+
«1 Ä, 03
ap-\-btt\-cr, p«-|-5«-|-r»
o«i-f*««t+«^, o,p-|-«rt-|-«,r
dp dq dr
dt dt dt
O, Ä, c
+
A> ßti ßi
ap+bp+cr, pMV+^*
yi-b,=
dp dq dr
dt dt dt
0„ ü,, O3
+
_
yit y« ys
Oiyi-Hiy»+«3y» yiP+y^+y»»-
d?
dp dq dr
dt dt dt
a, h^ e
+
yi> yti y»
+
Vl-»»!^
<lp c2g ^
^ ^ cft
Ol Of «8
Pi Ä ft
Die Ausdrücke (11), (12) und (13) sind in die Gleichung (4) des
d'Alemhert'schen Principes einzusetzen, dazu ist — weil die Grössen
msSr Raekiicht au/ die Rotaium dir Erd§,
13
v'i ü\ *"' nicht Yon einander unabhängig sind — die mit dem La-
grange'schen Coef&cienten l moltiplicirte Gleichung (10) zu addiren.
l^achdcm die Snmmation über die Massenpnnkte des zweiten Körpers
ausgeführt ist, ist dann die Oleichung (A) pag. 7. noch hinzuzufügen,
nachdem in ihr dö und -^ durch die Qrös»enp'^y resp. die Grös-
sen |>, 9, r und ihre Differentialquotienten ausgedrückt sind. Nun
ist aber
de d(y-ach9e, OiOf)
dt ^ dt
8c » j(v-achse, O^O,)
ß Y
cos(o-achse. O^O,) — ^ ; sin(v-achse, 0^0^) == j-
-sin(r, 0,0,)—^ j^
cos(t^, 0,0,) ^j ^ ^ .
somit ergibt sich:
dö
dt
1 dß^l dy
Y dt '^ f dt
ic -iß-^ßiy
Berücksichtigt man die Werte der ß undy pag. 9., so erhUt man
ohne Schwierigkeit
(14)
0, Of 0,
de
dt
ßl ßt ft
Oiri-Hiri-Hsys
ic
Ol Ö, Oj
n y« rs
v' <i r^
flA+OfÄ-HA
14
Samt er: Theorie des Gaussischem Pendels
tfia
Öl flj fls
flj Oj fls
ßi ßi A
•
yi Vi ys
p q r
/) g r
</p c2g dr
^ di di
ßi ßi ßi
(oiyi+öjya+osys)*
OiTi+Otrt+OsYi
P^+q^+r* ßiP+ßifthßar
öl yi-Hiy«+08ys
wo für die BilduDg des zweiten DiffcroQtialqaotienten wieder die
allgemeine Bemerkung pag. 11. und 12. benutzt worden ist
Um auch v^ durch die neuen Variablen auszudrQcken , nehmen
wir an, das vom Schwerpunkte des ersten Körpers auf die u-achse
gefällte Lot habe die Länge «i und bilde mit der Linie Oj^O^ einen
in demselben Sinne wie a zu zählenden Winkel ^y so ist
(14a) »1 — #, cos (*! + (», Oj o,))
«I
Vi-h'
[cosi|(Qiyi+a2y2+03ys)+sinti(aiJJi+o,ft+Oaft]
Die Ausdrücke (14) und (14a) sind in die Gleichung (A) ein-
fach einzusetzen.
Bei der Summation über die Massenteilchen des zweiten Körpers
ist zu beachten, dass die Achsen der a, &, c Hauptträgheitsachsen
sind, also
sein muss. Wir setzen ferner
Smibi'+Ci^) « A, SnHW+a.^) = B, 2nH{ai^+bi^) = C
2mtai •» m^a^, Smibi = m^b^^ £miCi »» m^c^^
WO tn^ die Masse des zweiten Körpers bedeute.
• • jr du dv du) ^ d*u rf*t> rf*tr
Die Ausdrüche von du, ^t;, dir; -,-.-. ^. ^. ^
zerfallen von selbst jeder in zwei Teile, deren einer den kleinen Ab-
stand der beiden Achsen der cardanischen Aufhängung enthält, wäh-
rend der andere davon unabhängig ist Diese letzteren Teile für sich
1) Der Bachstabe % wird in dieser Bedeutung bald nicht mehr gebraucht
werden.
mit Räcksieht auf die Rotation dtr Erde.
15
componirt müssen — die der Erddrehnog proportionalen Glieder,
vorläufig bei Seite gelassen — genau den Ausdruck des d'Alembert'-
schen Principes für das gewöhnliche Drelmngsproblem liefern unter
dem Einflüsse der parallelen Beschleunigungen
jf=--^8in»; Z = ^cosi, r=o.
Die weitläufigen Zwischenrechnungen können deshalb hier über-
gangen werden, sie liefern das Endergebniss:
j^P
f^
Ap':^ + Bq'^+Cr
dt
^gm^%vi%
dt
-»' ^' -'
p q r
O} h^ Cf
«1 «2 *8
dt^
P
P
Ap
Bq Cr
-{-gm^COSi
P' ^ r'
O, ^2 <?«
yi y« y»
Die von der Erddrehung abhängigen, den Abstand / nicht enthal-
tenden Glieder gehen aus
(B)
^ _ /, dui
■^fZmi\^6wi —
. dwi\
+e^mi(Sui'^--dvi-^j
hervor; hier brauchen wir nur das Glied mit — k zu betrachten,
da aus ihm die mit — / und -^e proportionalen Glieder — wie man
sich durch Betrachtung der Ausdrücke für die Yariadonen und Dif-
ferentialquotienten überzeugt — durch gleichzeitige cyklische Ver-
tauschung der in den Gruppen
«1» A> yr» ««> Ai y«i «»»ft^y»;
enthaltenen Glieder hervorgehen. Es ist aber
p q r
P' i' r' 1
•
oi bi a
—
ai bi Ci
ji y« ys
n Yi y»
p
Oi
ß
fl r 1-1»]
i bi Ci I
i A ft IJ
1) £■ iit hi«r wi« im Vorhergehenden erwfthnt wurde — tanichft /
remmdülMigt wofdcn.
16
iSaiiif«r: Theorie dee
Pei^deU
Man erkennt sofort, dass die Glieder mit ^\ qq\ rr' sich gegen-
seitig aufheben, und dass der Factor von qr* im ersten Prodncte der
Parenthese als solcher von — rq* im zweiten Gliede auftritt Man
erhält also z. B. als Factor von qr'—rg^ ' x
Nach den Bemerknngen der vorigen Seite hebt sich bei Aus-
ftthrang der Snmmation hier alles auf bis auf das Glied
— Zfmat^iß^Yi - ßsYft) = — 8«i
Ebenso erhält man natürlich — 8)02 ^s Factor von (rp^-^pr*) and
— Sffs als Factor von (pg'— gp'), und der Factor von —h wird somit
P P^
Wie hieraus dieFactoren von — / und -\-e hervorgehen, ist auf der
vorigen Seite bemerkt worden. Die betreffenden Determinanten
stimmen mit dieser in zwei entsprechenden Yerticalreihen überein,
lassen sich also addiren, und so ergibt sich schliesslich als Beitrag
zum d'Alembert'schen Princip
q' q B(— «2 * — /?«/•+ Y^)
Die die Erddrehung nicht enthaltenden, der ersten Potenz des
kleinen Abstandes l proportionalen Glieder zerfallen in solche, die
die Differentialquotienten von /), g, r enthalten, und solche, in denen
dieselben nicht vorkommen.
Da die Snmmation hier nichts Bemerkenswertes bietet, so be-
trachten wir ein beliebiges von den erwähnten Gliedern, wie es aus
ilTi— ^7» "{-dvi
hervorgeht, also das Glied
l
öl Ö« Ö8
ßl ßi ßs
•
L p' q* r'
dp dq dr
dt dt dt
(n hi a
Qi hi a
+
Yi Y% Y9
•
Yx Yi ra
P' q' r'
dp dq dr
dt dt dt
0|
Oj 0,
ßt
hßs
mä Rütksidit aif/ dit RoUUion dtr JErtU,
17
Ol a, Og
€ip dq dr
dt dt dt
ai bi a
yi r% n
•
Oi hi a
—
ßt ßi ßs
P'^r'
ßi ßi ßi
—' ^' -'
p q r
dp dq dr l"!
dt ^ ^\\
öl Ol 0» I
n Yt Ys IJ
Hier heben sich in je zwei übereinander stehenden Prodacten
die Tenne mit ß^y^, ß^y^ ß^y^ fort, zn jedem Gliede mit ß^y^ in der
ersten Reihe findet sich ein solches mit — ß^y^ in der zweiten Reihe,
so dass das Ganze sich linear homogen in
ßiYz—ßzYt ^ «n ßiYt — ßiYi — «11 ßiYf —ßiYt — «»
ausdrücken wird. Man erhält als Factor von
Kr'-fl3p')(j,|-a.J)-(0,p'-0.a')(«,|-.,*)
m' ^' m"
p q r
dp
^ dt
«1 ii «8
cn hi a
+p'
dp dq dr
dt dt dt
Ol 0, Og
ai hi a
Die Factoren von a, und c^ gehen ans diesem Aasdmck durch
cyklische Yertanschong aller in ihm vorkommenden Oroppen von
Grössen hervor; dabei ändern sich die Determinanten natürlich
nicht, und der Beitrag dieser Glieder znm d'Alemberfschen Prindp
ist zQsammengefasst:
dt)
ff 4r^
•löf 0»
«1 ^ ^1
-f (aip + Oj^ + Ojr
dp dq dr
dt ^ dt
•i (^% «s
(H h^ e^
A* A* dt ^^^ enthaltenden, aber von der Erdrotation freien
Anh. lOT llifth. «. Pkfa. t. Btikt, T«a IV. 9
18
Samter: Theorie des Gaussiechen Pendels
Glieder, die die erste Potenz von l enthalten, gehen, abgesehen von
dem Factor . ' ^ ans dem folgenden Gliede hervor:
+
P' a' r'
«1 a, a,
ßi ßt ß»
n Yi Ys
.1
a.7+ft.72+c,y3 YiP+Yi9+Ysr
öiP +023 +03»- P^+q^+r*
öift + «>«ft + fl8ft ßiP + ßia + ßsr
p q r
Ol 0, Os
Yi Yt ys
p 5 r
o« *• c»
ßi ß% ßz
Hieraus ist wieder sofort zu ersehen, dass das Ganze sich linear
homogen in
aip +Ļ5 -^Cir l>*+2*+r*
Oißt^ + hiß^ + Ciß^ ßxP + ßiq+ß^lr
öiP +«2« +Osr ^8 + 5« + r«
öiyi+a2y2+03y3 yiP+y2 5+y3»-
ftys— Ay2 = «i» /^syi— fty3'=«2> Ay2--ftyi
»3
darstellen lassen wird; so ergibt sich im vorigen Ansdmcke als Factor
von «1
(a^r'-Osp')
aip-\-biq'\-Cir ' a
p^-Jrq^+r'^ r
— (Q2P'— Ol 2')
— (o,/ — C.7)')
+ (hip' — aiq^)
= a,
— Ol
p2^g2^^2 ^
Oil^+öjg + Os*' a
aiP+i2<Z+Ö3»' Ö2
l'*+3*+»-^ 9
aip + i« 2 + c,r a^p'+ h,- q* + <?,• r'
p*+q^+r^ pp'+aa'+rr'
P*+5*+»-* PP'+qQ*+^'
Permutirt man alle hier vorkommenden Gruppen von Grössen cy-
klisch, so erhält man nach einander die Factoren von a^ und «3;
dabei bleiben die Determinanten ungeändert, nach Ausführung der Sum-
Itn^
mation erhält man als Factor von
der Relation
Vi-h'
bei Berücksichtigung
mü Rücksicht auf die Rotation der Erde.
19
OiCft + ögOfj + flsaa = b^
aip + Qg^+Hsr Oip + b^q+c^r p^ + q^ + r^
diP+Q^q'+a^r' a^p+b^q+Cfr pp'-^-qq'+rr'
was zur Gleichung des d'Alembert'schcn Principes hinzuzufügen ist.
Aus den von der Erdrotation abhängigen Gliedern {B) pag. 15.
folgen auch solche, die der Grösse -jy^ ^ - proportional sind; so
Vl-t>i'
ergibt sich als Factor von
le
Vl-V
£mi
[j Oi hi Ci
«1 «1 «s
\p q r
fll Qj Og
a» ftf Ci
•
yi y« ys
—
«2 "'ä "s
•
p 5 r
P (Z *•
Man erkennt sofort, dass die Elammergrösse linear homogen in
gV-r'g, r'p— pV, p'q — q[p
darstellbar ist; z. B. ergibt sich als Factor von qr —r*q in der Paren-
these
— ai(Oi ßi + Qtßi + Os /'s)
«1 «2 «s
Ol hi
Ci
Ol Oj 03
+«1
Ol «2 «3
yi ya ys
}'i 72 ys 1
ai b* ci
+«1
Ol
0,0,
i Yi y» ys
wie aus den Identitäten der orthogonalen Substitution folgt. Der
Factor von r7=F=, wie er im d'Alembert'schen Principe auftritt.
ist hiemach
Vl-V
£fni
[I üi hi Ci
\p' «' ♦•'
|p g r
Der Factor von
(Ojft + Oj/Jj + Oafs)-
oTi «2 ors
P' </ r'
•
p iq r
ai hi a ! 1
.1, a, Os
yi y* y» ' J
//
Vi -Dl
2
ist
20
£mi
Samten ThearU des Gauaiseken Pendele
[ai bi Ci
«1 «f «8 .
r\aibi Ci
L|p q r
ii 0, Os
ßi ßi ß^
p q r
üi bi a
p q r
1 Ol 0» 1 1
' g'r'IJ
0
.(öiyi+0iyi+ö8yi)+
p g r
was auf ganz analoge Weise wie das Vorhergehende einleuchtet
«1 «j «•
•»' y«' •.'
1* *• <?d|l
•i
A
Auch der Factor von —
Ik
-7===, nämlich
yi yi y«
m*' ^' •.'
p g r
arf bi Ci
P' 9
— I yi y« ys
p 5 r
Qj Qj 08
yi y« y3
p g r
yi y« ys j +
p' 3' r'
fli ii Ci
ßi ßt ßt
p q r
Oi hi c«
ßl ß%ß^
p' g' r*
Oj Of Os
ßl ßißt
p' g' r'
Ox Of 08
A ßt ß^
p q r
]
ist linear homogen in
gV — r'g, r'p^p'r, p'q-^q'p
und man erhält z. B. den Factor von gV — r'q in der Parenthese in
der Form
(c.yi — a^y8)(0iy, — Ojy,) — (0,7,— ft.7i) (osyi — Oiys)
+ (r.|Ji-a,l58)(aift-fl,ft)-(a.ft-5.ft)(a8ft-ailS8)
= — cia^Oi 02 — Ct ttf (1 """ ''^i*) ~ ^* Qf ''^i •^s
+ a«08 «1 «,+^,08 (1 — «!*) + hi Oj tfj ff8
— «4
«1
fff
«8
Ol
Qs
08
fll
^
Ci
+ 08^1 — Ü^Ci^
Der Beitrag dieser Glieder zum d'Alembert'schen Principe ist
hiena eh
»^^ "» LI«, «,«ts
«1 «2 fifS
Ol 0, 08
+
Oj &s C)
r'p
P'ü
— r'q «8 Ol 1-1
— pV 5, 0,
— g'p <?i 08 |J
Die dem Quadrate des Abstandes der Achsen der cardanischen
Aufhängung proportionalen Glieder sind bei den Näherungen zur
Lösung des vorliegenden Problemes übergangen worden; um ihre
Gestalt zu zeigen, habe ich sie noch in den Ausdruck des d'Alem-
bert'schen Principes aufgenommen, will hier aber die complidirt^
mit Räcksiekt auf die Rotation der Erde.
21
Rechnnngen, ans denen sie resnltiren, übergehen. Das d*Alembert'-
8che Prindp ergiebt nach allem Vorhergehenden
(15) Ap'^+B^^ + Cr'%
+
dt
P' i r'
p q r
Ap Bq Cr
+
dt
Vp' p fi(Yi«—ßi/ - <*S
I r' r (Hyte—ßzf—»$k)
P'
«1
!?»_ )/ äp dq
+ '^l)
r'
Os
4-(«^P'+«»2'+«»»"')
H dt
rfr
c2£
Ol
Ot
09
o«
6,
Ci
+
+
Vi
^H
(Ojft + Ojft+Oj/Jj)
+
Of hf C^
n Yt Ys
Qi Os O5
I P' ü' r'
I «1 a, Os
|]
3 *•
Oj ft,%
!>' «' r'
+/ I (Oiyt + O^yi + Oa/s) \p q r
Of &f c^
Of bf Cf
Ol Of 0$
«1 «f «8
df 5^ <!s
/'l ft ft
Ol •« O3
(Ol/t
[I p' q' r' »1 *f <?» 3V — /^ Ol o« 1 1 I
|) g r . Ol 0, fla + ^'p-pI'' ^« *« (
}
P fl' *•
p fl r
«1 «2 ttj
n
+ (0ll> + »«3 + «8**)
+ 3»
Ol 0, Os
1^1 ß% ßs
p q r
•»' ^' m'
p q r
1> 3
/
p q r
— biÄ
p 3 r
Ol 0, Os
Ol 0, Os
Ol 0, Os
Ol 0, Os
ri yt n
. Yi Y% Yi
p q r
P'
g'r'
.(Ol yx + 0, y, +0,ys)«(Oi /»!+ 0, ft + Os /?s)
22
Samten Theorie des GaussUchen PendeU
ilp dq dr
dt dt dt
Ol fl«
ft ßt ßi
•i t'« ^s
Yi Yt Yz
OiP + M + Ojr a,(3i+'^,i?3 + 031^3
I
(Oift+o«ft+«3ft)(<Jiyi-f o«yt+<»sys)
•»' -' -'
i> 5 «"
Ol flj «S
ffi ff« er«
«1 0« Oj
yi y« ys
•»' -«' -'
p 9 >"
— gm^^mi
CL^ b^ c^
3
/> 5
+ g cos /
"l
"»
«s
1
ßt
/»»
/?,
+
p'
9'
r'
Of bf e^
Yi Yi ys
P' <i r'
— gnitCOSi
Vr-v (
COS/j
Oiyi+^tya+osys
•l ßl + «2 /^8+ Oj /?s
+ sin /j J
flj 0, Cj
yi yi r»
!>' «' r'
4.
Man kann aus der vorstehenden Gleichung sofort ein Integral
nämlich dasjenige der lebendigen Kraft ableiten, indem man fOrMie
Grössen p\ q, r' die Elementarrotationen pdt^ qdt^ rdt setzt, die
wenn sie an die Bedingung
pdt Ol
«1
qdt üf
««
rdt Cj
«3
0
gckntlpft sind, eine virtuelle Verrückung darstellen. Dann verschwin-
den eine Reihe Glieder, weil in den betreffenden Determinanten zwei
Reihen nur durch einen constanten Factor dt verschieden sind, oder
weil die Grössen
qr — r'q, r'p—pr, p'q-q'p
gleich Null werden. Man erhält nach Ansftlhrang der Integration
mä ROeksieht auf die RoUUion der Erde.
23
p q r
(16) }(V+Ä2'+G-»)+ ^^ («,7>+«,5«,r) 1 0, 0, 0,
Oj b^ e^
ttj 0, Oj •
Vl-Di^
fiiji*
yi yi Y$
p q r
+ i7'n*'C08i j :^;?== (Ol ft +0, /?,+ 0,15^^
-~^:| I cos *i (flj jJi + 0, /?, + 08 /?s)— sin ii (o, y, + 0, y,+ 0^
+
wo h* die Integrationsconstante bedeuten möge. Hier ist das Inte-
gral der lebendigen Kraft für den ersten Körper (B) pag. 7. be-
da
nutzt worden, ^ ist aus (14) pag. 13. entnommen, und w^ auf
analoge Weise wie rj ((14a) pag. 14.) berechnet worden, nämlich
folgendermassen
M?! = ÄiSin(t-f-(«'5 0^0^))
Die Differentialgleichungen der Bewegung können aus der Gleichung
(15) dadurch erhalten werden, dass man die Factoren von p', q\ r*
wai beiden Seiten der Gleichung resp. einander gleichsetzt. Wir
werden später die dritte Bewegungsgleichung, also die durch Gleich-
setzung der Factoren von r' entstehende hinschreiben, weil wir sie
allein explicite brauchen werden.
Bei der Behandlung des Drehungsproblemes werden die Differen-
tialgleichungen im allgemeinen mit yidt^ y^dt^ y^dt multiplicirt und
addirt ^). In dem Falle , wo auf den bewegten Körper dann nur
constanto parallele Beschleunigungen wirken, ist die entstehende
Summe ein vollständiges Differential; allein schon in dem Falle, dass
der um einen festen Punkt drehbare Körper ausserdem dem Ein-
flüsse der Erdrotation unterworfen ist, gelingt es im allgemeinen
weder auf diesem noch auf einem anderen Wege ein vollständiges
Integral der Bewegungsgleichungen zu erhalten. In unserem Falle,
wo das System aus zwei starren Systemen zusammengesetzt ist, kön-
nen wir um so weniger erwarten, ein vollständiges Integral zu er-
halten.
1) IL a. Hansen a. a, 0. pag. 32 ff.
24 SamUr: Tksarü des GmusUehm FmdA
Statt noD, wie gewöhnlich, die DifferentialgleichuDgen resp. mit
Yidt^ y^cUy y^dt zu maltipliciren and dann zn addiren, können wir
aoch in der Gleichung (15) des d'Alembert'schen Principes y^dt^
y^di^ y^dt resp. für p\ q\ r* setzen, müssen dann aber, da yxdt^
y^dty y^dt im allgemeinen keine virtuelle Verrückung darstellen, den
mit dem Lagrange'schen Coefficienten A muitiplicirten Ausdruck bei-
behalten. Man erkennt sofort, dass bei dem crw&hnten Verfahren
eine Reihe von Determinanten fortfällt, weil in ihnen zwei Horizon-
talreihen dann nur durch den constanten Factor dt verschieden sind.
Bei Ausführung der Integration ist Folgendes zu beachten:
1) Die auch im gewöhnlichen Drehongsproblem auftretenden
Glieder geben integrirt
2) Die von der Erdrotation abhängigen, in der Determinante
q* q KCy^e—ß^f—aJc)
r' r diyse — ßif—a^k)
vereinigten Glieder werden nach den Gliedern der dritten Ycrtical-
reihe geordnet, dann sind die Coefficienten derselben die Unter-
determinanten
y,rcft— ya^cft — rfyi, y^pdi-^y^rdt '^ dy^
y^qdt^y^pdt'^-dyt ^
3) Ton den mit / a proportionalen Gliedern fällt dacgenige mit
dem Factor
fort, weil bekanntlich
ist Die folgende Determinante wird nac h Gliedern der ersten Hori
zontalreihe geordnet, und ergibt
dtit\(h[q(pyi-'m)+r(pyt—''yi)]+^t[p(m—py%)+^(m - *•/«) ]
+ öl [pipyi - «yi) + »"(^/t - ^s )] + as[p( py» —*•/!)+ «(«y» —n^)]}
= bx
<H h <^i
rf/i ^yi dys
p q r
+ («lO« + ««*2+ff8^«)
Ol 0« Os
p q r
dyi dy^ dya
mit Rücksieht auf die RoUUion der Erde,
25
4) Die von der Natur des ersten Körpers abhängigen Glieder
fallen aus dem bereits erwähnten Grunde sämtlich fort. Der £in-
fluss dieses ersten Körpers bleibt nur implicite in der Grösse l ent-
halten.
5) Der Coefficient dieser Grösse gibt nach den Gliedern der
zweiten Horizontal reihe entwickelt
— ^(«1 (r2«3 — ys «2) + o«(/8 «1 — Yi «z)+Hiyi ^t—yt «i))
= — Ä(aift+fl2(?2+a3W
6) Die folgenden Glieder werden, sofern sie nicht ganz fort-
fiallen, analog dem vorhergehenden nach den Gliedern ihrer ersten
Horizontalreihen entwickelt und mit Uttlfe der Identitäten der ortho-
gonalen Substitution reducirt Speciell ist noch
Ol
0,
0»
ßi
ßt
^3
p'
3'
r'
= ("1 "l + "« «j ^-^s •'s)«'* "" *1<^*
Nach Ansfahrong der Integrationen ergibt sich:
(17) Anp-[-Bi^+cy^r-\-\ («)'.*+ ©rt'+Sy»')
a^ b^ c^
+bi|^yi ^y» ^y8|+(«i««+««*«+as<^)
Hl
yj n
Ol Q, Qj
Os \ <?,
Ol flj 0»
S<^)
p q T
dy^ d
y% dys 1
}
+
ä/{'-''
+»tßt-\-'sßi)(<H^n+ ^'fft+^^rt)
+ (««i'^n H-«i<'y» + "i^n)
S?/l-
a^ b^ Cf
yi y% y»
0| 0} O5
+ 0, y2+ 0, ys) («1 ^/i + ^1 ^y« + ^2 ^ys)
O) b2 ^2 I i
— (ffi^yi+«2^y2+«5^y9) ßi ß^ ßtlt
,0t 02 fl| I '
26
Samter: Theorie des Gausnseken FendeU
+
a, 6, ^2 n
n yt "y» "■ / '
— I (Myi+My«+«s^ys)
o, h^
Ct
«1 «2
OfS
Ol 0,
Os
HU? f >
— 13^ |(Oiyi+o«y2+08ys)(Oii>+o,H-08*-)—M(oiri-l-oir2+osy8)J
+^mj^COßi
Vi=V'
Es wurde schon pag. 23. erwähnt, dass die dritte Bewegunga-
gleichnng Anwendung «finden würde: dieselbe soll nämlich benutzt
werden, um die Grösse k ansisndrücken , deren Wert in die vorig
Gleichung zu substituiren ist. Die dritte Bewegungsgleichung lautet
+«s
dp dq dr
dt dt dt
«1 02 O3
+
a^ h^ C]
0
OlP+Oj^+V O3
^fiig
+(»2P-a»9)(a,(«ft+/yi)+<'»(«ft+/y«)+03(eft+^ys))+*
«2
*2
^2
—5 0,
p 02
0 03
i*ma ( / ^i> , dq . dr\
+(Q,H-"«rt-«8»*) (o»p— Ol«)— MCo»? — "i«) I
(flißi+Osßi+CaßiXfli /i-ff« Y»+o»Y»)
+
X
mit Rücksieht auf die Rotation der Erde,
27
1 'i+Yi^tYs-^OaYi »iH-o»3+«»«'
«ift+<»»M-o»/J. 0 ßiP-\-ß,9-\-ßa^
»lYi+^tYi+OsYs YiP+Yti+Ys'' p'+aH"^*
Ol ö« Os
ßi ß% ßz
dp dq ilr
dl dt dt
oiyi+öjyj+oays
COS»,
Pat-^isPs ) I yi yi
Bei der Ableitung dieser Formel ist benatzt worden, dass in einer
Reihe von dem kleinen Abstände l and der Erdrotation abhängiger
Glieder die Determinante
P
r
r
'3
als Factor auftritt, worin
per,— g«! =» —
dtti
dt
Coefficient von r ist. Die Glieder, die diesen Goefficienten haben, lassen
sich — was angewendet wtrde — zu einer einzigen Determinante
zusammenfassen.
Fem er ist in einem der vom ersten Körper abhängigen Glieder
das Multiplicationstheorem der Determinanten benutzt worden.
9.
Bei der Behandlung des Problcmes der Drehung eines schweren
Körpers um einen festen Punkt hat sich Lagrange genötigt gesehen
beschränkende Voraussetzungen über die Natur des bewegten Kör-
pers zu machen, indem er annahm, dass zwei Hauptträgheitsmomente
desselben einander gleich seien, in der Achse des dritten aber der
Schwerpunkt des Systemes liege. Dieselben Voraussetzungen macht
Hansen^) bei der Behandlung des ausser durch die Schwerkraft
1) m. m. O. pttg. 2S. t
28 Samt€r: JTUone du GoMMuektn yPuMi
noch durch die Erdrotation beeinflassten Eörperf . Danach hätten
wir zu setzen •
Bei der Unvollkommenheit mechanischer Instrumente Iftsst sich in-
dessen immer nur erwarten', dass diese Voraussetzungen nfthenings-
weise erfOUt seien, und wir werden deshalb hinfort annehmen, dass
Ä—By Ofy b^ kleine Grössen seien, deren Producte mit anderen
ebenso beschaffenen Grössen oder mit sich selbst wir stets yemach-
Iftssigen werden.
Sind femer die an das Gtiussische Pendel in Beziehung auf
Präcision zu stellenden Anforderungen nähemngsweise erfüllt, so ist
der Abstand l der beiden sich kreuzenden Geraden gering, ebenso
der Cosinus ^i des durch die beiden A<fl|gf>n der cardanischen Auf-
hängung gebildeten Winkels; wir werden nun kflnftighin die GrMkB
bi' und Py sowie ^^l vernachlässigen, und wollen ein mit \l HB^
portionales Glied in (17) , weil es zugleich die Zeit als Factor ^i-
hält, nur beibehalten, um zu zeigen, dass es sich gegen ein anderes
durch Elimination von l erscheinendes Glied fortheben wird; auch
die Grössen h^ und Ib^ werden von jetzt ab unterdrückt werden.
Wir fahren femer die Bezeichnungen ein:
und werden künftig auch die Grössen Jl und Ji^ vernachlässigen.
Nach der Bedeutung der Grössen H, S, S (vgl. pag.^4.) ergibt sich
a
« B+C-Ä jg ^ C+Ä'-B^ ^ ^ Ä+B^C
E'^ 2E^ ' E 2E'^^' E ^ 2E
T
Auch die Grösse ^ wird unbedeutend sein, denn einmal wird der
erste — um die feste Achse schwingende — Körper bei zweckmässiger
Constraction des Apparates an Masse gegenüber dem um die beweg-
liche Achse schwingenden Körper bedeutend zurücktreten, und femer
werden auch die Massenteilchen desselben eine viel geringere Ent-
fernung von der Umdrehungsachse haben, als die des zweiten Kör-
pers — speciell die der massiven Linse. Der Umstand, dass der
Hauptteil des Gaussischen Pendels* eine an einer verhältnissmässig
leichten Stange befindliche schwere Linse ist, bewirkt femer, dass
die den Schwerpunkt enthaltende oder doch in seiner Nähe vorbei-
mä Radaiehi auj dU Rotation der Erde. 29
gehende Hanpttrftgheitsachse diejenige dei kleinsten Trägheitsmomentes
18t, mit andern Worten, dass die Grösse j, von geringem Betrage
sdn wird. Wir werden dieselbe indessen nicht den anderen eben
betrachteten Grössen an Ordnung gleichstellen, da sie wegen der be-
deutenden Masse des Linsenkörpers jedenMs grösser als ^sein wird.
Spätere Betrachtungen sollen nns ein Urteil über den Betrag von
Q
-^ verschaffen. '
Nennt man v den Winkel, welchen die bewegliche Achse mit
Ibrar Frojection anf die Ebene der Achsen der beiden nahe gleichen
Banpttrftgheitsmomente bfldet and rechnet v positiv, wenn die (pag.
1^ iJs positiv definirte Seite der beweglichen Rotationsachse in der
^Utelage des Apparates oberhalb der a-5-ebene liegt, negativ, wenn
A6 unterhalb derselben hingeht, — und nennt man femer f» den von
der -^^fl-tLchse nach der -f-^'^chse und in dieser Richtung ev. weiter
ra zählenden Winkel, den eben jene Projection mit der '{-o-dichBe
bfldet, so ist
ai=:C0SfftC0SV
Ot '^ SlUfftCOSV
0« -» sinv
Nun wird bei zweckmässiger Gonstruction des Pendels dg sehr klein
ein, und wir werden
sinv — > V, C08V == 1
aetzen dürfen, so dass
Ol — cosfh Of — ainfs i,— >v
T
wird, und Produote, wie o^-^ stets zu übergehen sein werden.
Femer wird auch die Neigung i der festen Achse g^gen die
Horizontalebene als gering angesehen, also
sin««"!, C08«=l, afi'^bfi=^0
gesetzt werden können. Eine sehr kleine Grösse ist femer ~^f
einmal weil die Masse des ersten Körpers gering ist, und dann weil
der Abstand «| des Schwerpunktes des ersten Körpers von der festen
Achse sehr gering sein wird, vom Mechaniker sogar fast gleich Null
wird gemacht werden können, wir können aber jedenfalls die Grösse
•• ^^ veroadilisrifleo.
30
SamUr: Th*orie da Gaustisehen Pmdtls
Diese Erwägangen anf die Gleichnngen (16) and (17) anwen.
dend, erhält man nach Division derselben durch E, da
= 1 + J, -^ ^ 1-J ist:
E
E
(19) i (pH-3«+ I r«+^(p«_5«)) + '^« («,p+a„+«3r)(0rf,-0,5
+j5
Ol a» 0
n Yi n
p q r
E (Oift+0,ft)«
7^
2E
-™^+
+
E
E
qnH
E
{ lMi+^ißt)+<hyi+hYA^tY^
coß»i tiri+ösyi
+ ^ (y,'~yi*)-^/*(/ft+^«3)^y3
^2eJ /(Myi+Z^j^y«— My«)+*(«i^yi+Myi-My«)
+ -^y [/(Arfyi-/J^y,)+*(Myi-««rfyi)]
1 »4^
rfp+«,<ig-|-«gcir)(a,yi— Oiy,)4-of8
+
öl 0, 0 \
p a ^ \\
dyi dYi dys '/
/ ((oiA+fl«A)^y8+(o«yi -Oiy2)(ai^yi+My2+Mys))
mfCfU
E
+
- r-/i^Mi+««'^«+«»^3)+^A' ifß,dt+
BehaDdelt man schlieBslich auch die Gleichung (18) auf die ange-
gebene Weise und berechnet aus ihr gleich den Wert von -^ so er-
hält man
mit Rücksicht auf die Rotation der Erde*
31
(21)
l 1 iCdr , C ^ , , ^^
E -r o,«,-o,«, \Edi+2E ^<rfP-riq)-f(ßtP-ßtq)-
+<-2pg-|7«(y»p+yi2)-/(ftH-A«)-*(«iP+«i«)]
•*(o,p— o,g)]
+
E
[«»«8(f-«r)-a,«,(g+pr)
+ ^^
öiy«— o»yi
£: (Oi/Ji-|-a,i52)(a,yi+a,y,)
(^(n.+M^.)[- '-^^^^
+
aiyi+«»y«
]-
0} Qf 0
dp dq dr
^ dt dt
- ^Woift-02ftH-a»yi-*2yi]
+
^*^'i
Ol A+ojft '
yi y«
cos *i — Oj/?! — fljj^j
sin«! •iyi+a2y2
I)
Setzt man diesen Wert von ^ in Gleichung (20) ein, so ergeben
jetzt die beiden Gleichungen (19) und (20) bei Berücksichtigung der
Bedingungsgleichungen des Systemes
Öl«l + ^t^t + Ö8«8 = \^
fll
0«
«1
«»
p
(Z
= 0
durch nochmalige Integration die Bewegung des Gaussischen Pendels.
6.
Der Weg der Integration ist aber derjenige der successiven
Approximation, d. h. man nimmt zunächst an, dass die Entfernung
des Körpers aus der Gleichgewichtslage so gering sei, dass man ihre
höheren Potenzen gegen die niedrigeren vernachlässigen könne, nimmt
dann in den betrachteten Gleichungen immer die nächst höheren
Potenzen des Ausschlags hinzu, bis die Näherung genügend scheint.
Man hat für die weitere Behandlung des Drehungsproblems drei
Winkel ^, ^, % eingeführt, die mit den Coefficienten «^ , /?i , yi etc.
der orthogonalen Substitution durch die Gleichungen
32 Samter: Theorie des Gaufsisehen Pendels
«1 = — 8in;i^8intf;-}~cos2COS if^cos^
ßi = Binxco8t^-f-co8x8int/;co8^
yi =■ — C08x8in^
«2 ■- — cos^sintf; — Binxco8tf/cos^
ßf « cos X C08 tf; — sin % sin V' cos^
Yi «« sin X sin 1^
«3 -=- cos \lf sin ^
j3j -» sin ^ sind-
y3 « cos ^
zusammenhangen. Es bedeutet dabei i'^ den Winkel, welchen die
+ c-achse mit der +«^-ach8e bildet Dabei genauer Erfttllung aller
Anforderungen an Präcision der Winkel ^ in der Ruhelage genau
gleich Null ist, so eignet sich eine Entwickelung naeh Potenzen von
ö" am besten für den Zweck der successiven Näherung. Der Winkel
tp wird von der durch die r-achse und die »r-achse gelegten Ebene
mit der durch die feste Drehachse und die Schwerkraft bestimmten
Ebene gebildet. Endlich bedeutet % den Winkel, den die c-ir-ebene
mit der ac-ebene bildet, und die beiden letzton Winkel sind auf der
südlichen Hemisphäre im Sinne der Erdrotation, auf der nördlichen
im entgegengesetzten Sinne zu zählen.
Die Bedingungsgleichung des Systems
constitnirt zugleich einen Zusammenhang zwischen den Winkeln, ver-
möge dessen sich einer von ihnen, z. B. x^ aus den beiden andern,
also O und tf;, berechnen lässt.
Wir werden bei allen folgenden Entwickelungen nur bis zu
vierten Potenzen von ^ aufsteigen, weil sich bei Berücksichtigung
dieser schon complicirte Formeln ergeben, die charakteristischen
Züge der Bewegung aber durch die höheren Glieder kaum wesentlich
alterirt werden. Weil wir [nun später die mit b^, v, l etc. multi-
plicirten Glieder erst in zweiter Näherung behandeln und bei dieser
— also bei Berücksichtigung von sogenannten Störungen erster Ord-
nung stehen bleiben wollen, so wird es genügen in allen mit jenen
kleinen Grössen multiplicirten Gliedern die beiden niedrigsten Po-
tenzen von ^ zu berücksichtigen, die in ihnen vorkommen. Schliess-
lich werden — wie erwähnt — die Producte jener kleinen Grössen
künftig unterdrückt werden.
1) u. a. Hansen, a. a. O. pag. 20.
mit Uli'-' s,'r!,' auf' iJ'i Ii''a'h>-i <lr I''.r,J(-. "*"
■>,)
Mit IJcrücksicbtiguug dieser IJoinerkungon liuilot man jene Re-
lation zwischou den ^, t^, x durch Substitution der auf der vorigen
Seite gegebenen Werto von «„ |5j, y^ in die Bedingungsgloichung
wie folgt
bi ^ cos/wT - sin X sin 1/;+ cos^cosi/; Tl— -^- + '^,^JJ
-f- sin^f -cosjjsini/; — sinj^ cos^ (l — "ö"4~ 0?))
-J- vcos^O
Der Winkel ^' + x+f* ist in der Ruhelage der Winkel, um den die
bewegliche Achse von der festen Achse absteht, und dieser war bis
auf kleine Fehler gleich ;y detinirt, also wird
cos
sm(x+ilf+ti) « 1 -b, ^ co8^cos(xH-f*)+i' -2-co8*i|;cos(xH-m)
- -^cos^i/^cos*(x+/i)
= sini/;-f-biC0si;' — vOcos^V^4" o cos-i^siny,
wcuu uian die Entwickelung nur soweit treibt, als es zur Substitntiou
des Wertes von (x+M) i" denjenigen von cos(x+ «l'+f*) "ötig ist.
Somit wird
cos(x+^H~^) == tj— v^cü8t^-|- ^ sin 1/; cos u;
4- Y(cos*^sinv^— Jsin^cose^;
(1) 2 = v — iji— 14— b,4-v»coso - -^ miiucosip
&^
— . fcüs^vfeinc-jsim^'cos»;';
mit hinreidieiider Genauigkeit
•^ 4M Katk. «. PkjB. SL Iteik«. T«ü IT. 3
34 Samt er: Theorie des Gaunsischen Pendelt
Auch die Grössen p^ q^ r sind durch die Grössen i^, t^, % aud
ihre Differential quotienton auszudrücken, und zwar ist *)
. = l^ + cos^^-^ = ^'^^+-^^~r^'-n
q=^ snixsinO^-^y +cosx^
p =. — cosxsini'^ — +sin x^
Aber aus Gleichung (I) folgt
dix-i-'^) d{ifvosiU) d^ . ^^ ^ t/ti;
dt dt dl 2 dt
d^ ^^ d\\f
— iy^ . sinT^cosM'(cüs''i^— J) — . (cosi/;cos3i/;— Jcos2V;)-^
^,,. d{nco^^\)) ^ diy . ^^^ , diu
€W dt '2 dt
€l^ O* ^/i'»
— t^^ -^sintt'cosi;>(cos-r^— i)— ,;.cosi^(Gcos3v^— 2cosiiO ---
also — ^ und v als Grössen erster Ordnung aufgefasst — bis auf
Grössen zweiter Ordnung
r/(^c0Si!') tHitsuixi;)
Es leuchtet hienach ein, dass, während ;) und q Grössen erster
Ordnung sind in Beziehung auf die Grössen ^? Tr, v» ^i; r von der
zweiten Ordnung in Bezug auf dieselben ist.
Eine Grösse von besonderer Kleinheit ist diu llotationsgeschwin-
digkeit der Erde. Dieselbe beträgt in Wiukelmaass 15'',041, also
1 «).
in Bogenmaass Vnnvi Wir werden daher, ohne die Grenzen der
zu Grunde gelegten Genauigkeit zu verengern, sicherlich in den mit
n multiplicirten , also den Grössen e, /, k proportionalen Gliedern
nur bis zu dritten Potenzen von & anfzusteigen nötig haben, dort
aber, wo c, /; k mit anderen kleinen Werten, wie d oder l multi-
plicirt auftreten, nur bis zu Quadraten von &.
1) u a. Hansen, pag. 30.
2) Hunscn a. a. O. pag. 34 f., wclchur pag. 31. n als eine Grösse zweiter
oder höherer Ordnung bezeichnet.
mit Rücksicht auf die Rotation der Erde.
35
Unter dieser Yoraossetzung erkeuut maa leicht, dass in der
A C
Formel für v; die ersten mit dem Factor ^ multiplicirten Glieder
iL hl
von der zweiten Ordnung in t^, n etc. sind, ebenso wie das Glied mit
dem Factor mj«, , wenn man diesen als von der ersten Ordnung
rechnet, alle übrigen Glieder aber von höherer Ordnung sind.
In der Gleichung (20) kommt nun vor
/
-/ ^^Ä(ölft + Ö2i?2 + «8/53),
im Ausdrucke für t. ist also die Grösse in der Parenthese mit
Ot er, — a« et
•l**2
2"1
zu multipliciren und das Product nach der Zeit zu integriren. Bei
der Entwickelung des eben hingeschriebenen Factors ist demnach nur
ein Aufsteigen bis zu Grössen zweiter Ordnung in ^ und v nötig,
und da sich herausstellt, dass derselbe von 1 nur um Grössen zweiter
Ordnung verschieden ist, so kann man das betreffende Glied der
rechten Seite von Gleichung (20) einfach hinschreiben, indem man den
Ausdruck in der Parenthese in Gleichung (21) integrirt und nur die
aus der ersten Zeile desselben entspringenden Glieder vierter Ord-
nung hinzufügt. Um die Kichtigkeit der über den Ausdruck
__ Qift + Ma + oA
aufgestellten Behauptung zu beweisen, entwickeln wir zunächst die
**ij ft» yii G^- "üch Potenzen von ^ und erhalten
«4 =- cos(x+t^) — oos;(cosv^ y.^ " :^J
o, = - - sin (x + ^>) + sm xcos ^) \^,^ - ^5^
«3 = cös il' y^ ^J
ß, «sin(%+i/;) — cos'/sin./;^-^— ^j
ßi = cos(x+i|') + «»iXsiu 4' y-^- — 2IJ
( ^\
36 Samt€r: Theorie des GausttMchen Pendels
>'i «=• - COS 2:
M)
y, = sin j- (i^ - g)
Hiermit wird
«•ift+'A+Js^s = 8in(3(+<>'+u)-|-v»sini(;— ;-^ 8iniCoos(x-ff«)
r-j«, — a^rr, -= — sill (;( + t^ + ft) -j- COS V' siu (.u -f ;C) ^
und da wir die Entwickoluiig uur bis zu Quadraten von ^ zu treiben
brauchen, so entnehmen wir einfach von pag. 3:5.
siu(x + V' + ^) = 1
cos(x+^) «sint^
8in(x + jit) -» cost^
Demnach erhalten wir
&^
0, «, - Oj «, -. — ^1 — - C08> j
womit die obige Behauptung bewiesen ist.
Wenn wir jetzt die Gleichung (20) mit Rtlcksicht auf den Wert
von
-f^^(\ßi+^^ß^+^'M^it
hinschreiben, so dürfen wir von vornherein mehrere Glieder, die sich
als solche von der fünften Ordnung erweisen, bei Seite lassen; wir
wenden ferner auf die Reduction der Gleichung (20) nur noch die
Identitäten
(ßiP — ßs ^y^^ ^ — ^ßi (o^p — «1 <z) =• — ''«3
mit Raduieht auf die Rotation dtr Erde.
37
an, aod erbalten bei passender Anordnung der Glieder die Gleichung
(22) YiP-{-ytt^ ||(y,- l)r -y rfr(i»*sint(>+^*cos2v)}
~^y\(/ßi+l'<',)dYi-i-(/ßi+ka^)dYr-(fßi+kai)<lYi\
<2^
A T
wo nntcr ^] die im Aasdrocke von v, vorkommenden mit v^mnl
tiplicirten Glieder zasammengefasst sind. — In dieser Gleichung und
in derjenigen der lebendigen Kraft (19), sind jetzt Entwickelangen
nach Potenzen von ^ vorznuehmen, die — wie erwähnt — im all-
gemeinen bis zur vierten Potenz von S-^^ in den mit kleinen Grössen
mnltiplicirten Gliedern höchstens bis zur dritten, in den mit zwei
kleinen Factoren, wie / und n behafteten Gliedern höchstens bis zur
zweiten Potenz von ^ getrieben werden sollen.
38
Samter: Theorie des GnussUchcn Pendels
7.
In allen Gliedern, in denen man Grössen dritter gegen solche
erster Ordnung vernachlässigt, ist
p^ cosx^-r,+sinx:i7-. (Z = sin^^ — + cob^
dt
dt ;
dt
dt
und da nach pag. (33) mit Vernachlässigung von Grössen zweiter gegen
solche nullter Ordnung
(a)
dx
dt
dtjß
dt
ist, so hat man hei der erwähnten Genauigkeit
f/f^sin^) dy^ r/(^co8x)
(h)
P
dt
dt
■» Q
dt
dy^
dt
und mit derselben Genauigkeit
(c) «1 = cos(x+i/;) = 8infi, ««= — 8in(x+i/0
(d) «iP + ffiS «= sinfip+cos|ii<j[ = 02/> — Oi(Z
cos^
- — ^^cos(x + fO ^ -
dt
(^sin^)
Mit derselben Genauigkeit ergibt sich
(0)
a, Og 0
}i 72 }'a
p q r
Y% («2 P — Ol (?)
-;^(^sint/0
(0 öl ßi + 0» 1^2 4- 03 1^3 == 1 (vgl. pag. 36.)
und wo — wie im Gliede ^/(Oi/^i+Og/?») - das Quadrat von ^
nicht vernachlässigt werden darf,
Ol 71 + 02 72^ -^cos(x-ff*)
(g)
Für die Umgestaltung der Gleichung (22) gilt
(h) I (v^siny/ +-^C08 2V')^r = r(v^sini/; + YC0s2tp)
— / r{(Tsinv' + i'>cos2ii')^^^+(i'>'^cosf/»- ^^ 2\ii2y\i) d\\)\
nur RmduidU
4it Bmtmtmtm der Erde.
39
(i)
Temachlässigt nuui im fol^odeo Aasdrocke die Grösse t n , da
Dor in dritte Potenzeo tod ^ mnltipiicirt auftritt, so erhält mao
/^*
«9 £e Brittzofif^a po:^. 24. angewendet worden sind. Derselbe Aus-
r-fH—rcl^d^Jifilßz+ktUt^) ^ 2^ +vOsin !/;+ ^ cos2ipj
— iif.=UFw / .!J^ifi^(^cos^co8fl — vsiuB).
Sr 2ii& fer Formeln (b) ergibt sich ferner
D V^-f — 7^-i-h^ / W^ -^J (Yl'^P - y»^'« - '2pqdt-^'2pq
r^O
/•
ijite^ntioiisconstanto hodotitot, dlo /ii .. fioNchlagcn wird.
^ÜstURJL von ^ und drr Krdrotittlnii tibhütigigen
Benutzung der Kormolii (li) nur nlno Inl
40 SaMter; Theorie des Gauttischem Pendels
(n) (er, dp 4- »2 ^9) (0« Yi "~ ^1 y«) — "3(^9 ^P — a, rij) —
— «s[(«i + Og) ffp + (cYj, — Oi)f/<J[],
wobei bonatzt ist, dass
ö«yi — öiy« = ~8in(f«+X)^ = — cost^^ — —«8
ist. Nan ist
«1 « co8(x+t^) =» sinft, ofj = — sinCx+V') «- — cosfi,
also mit Bcnatzuug dieser Relationen and von (d)
— «8[(«i + <^i)(^P + («« — -«1 V^
— — 2^cosV^f/(/)sinfc — qcos(i) = +2^co8t/; -y-^(^sint/;)<f<
(0) / ((Oi/^i+fl8i^»yya+(a2yi—iiiy2)(«i''yi4-My«)— ^«8(01/1— «1/1))
r
wo c die Integratiousconstante bedeutet, die mit 1 za j, geschlagen
wird. Hier ist (b) benutzt worden.
(P) / — («? 1^1 — «1 ßi) («1 ^Yi + «2 '^Yi + ^^«3) — co"st
wegen der eben unter (0) erlangten Relation
Ol Yi + «2 '^y2 = — ^^«3
(q) / { (ö« f^Yi — öl tlYf) — (Qjj a^ — 0, 02) («1 rfy, + o, </y, +^«3)
+ (flii' + fl«(Z)^M — Const
nach dem unmittelbar Vorhergehenden und nach (b).
Lässt man in den folgenden vom ersten Körper abhängigen
Gliedern gleich fort, was von höherer als der dritten Ordnung ist,
so folgt
P j^ ;, _ j[i r Qiyg-ogyi [YiP+Yfq+73r
mü RBtkticAt au/ dit Rolalim da- Erda.
Aber ea ist hier zn setzen
• ,j-,+ r,jF, 9siQ^i "ift + HjlSg = 1
-P,p-ft2+(<i,;'+"f9)('>i/'. + '^tW-i'('',-A)+«(D»-ß
= p(co8(i — 8iu{;[-j-tf))-}-g{8in/i— cos(^+tf'}) — 0
— / cotev{sinic*--ri (#8im(') / #co8t('-^(*8inv)fI(
nach (d), UDd hiernach
— j K^dtr^^ j» C08 iiJ '^(ffBimf-Wi
— ^ / 'ft (cos()^-«;.+(i)+sin*8in(H-f)2-)
= — '-v,- / rf«(t]+ -q- 8inu/co8iC+ -y sintficosiC)
nach p«g. 33 f.
?"^'
b,i-?™f/tf*sinOcoB*rf*,
womit gezeigt ist, dasa das der Zeit proporlionnle Glied in Gleichung
(22) aufgehoben wird.
Sodann 8CtKen wir
Qf — >tCOS>}
bf = *i sin (j,
wo «I den Abstand dos ScbwcriianktL's des zweiten Körpers von der
Aclisc des kleinsten llaupttrikgheitEinonientcs und t, den im Sinne der
wachsenden tl' zu zahlenden Winkel bcdontet, den das vom Schwer-
punkV! anf die (.-acliso gotdlltc Lot mit einer Parallelen zur a-achBe
bildet Dann wird
ZU «etzen sein , da ja in den Gliedern mit kleinen Coefßcienten nnr
42 Samt er: Theorie des Gaussischen Pendels
dio beiden niedrigsten mit ihnen mnltiplicirten Potenzen von ^ be-
bebalten werden sollten. Ebendeshalb wird schliesslich noch
fffnjt^
1 / ^co8t(;(costi^sin^ — sinti)r»
E '
Durch die erwähnten Umgestaltungen, und wenn man alle be-
h! r
diesen Rednctionen sich ergebenden Constanten zu -=, resp. ~;
schlägt, ohne deshalb die Bezeichnungen zu ändern, geben die Glei-
chungen (19) und (22) in die folgenden aber
<« (f )•+ (»" - i' ) m'
(^2) (** - sJhJ-K J'-eJ 'n''*""*'+ ü^'^'^l')
-Ui- 2^,)*»- 2nC08y (l - £,)/»* COS(V'+«) d»
+ 2n COS 9 ,jT, I *rf^(d^co8tpco8H — V sin IS)
+S, :^y ,„,4 (,„.♦,- a|i!^
+ i' f^'^^^^'% (*8ini>») = ~ —^J»*siaH>co»^(U
+ «»,• /V8inCdt-^.,y*8in(z+4)<ö
_j_?^f? / d cos t (»in «1 — cos », * 8ini(») eö.
mil Rürl^iichl anf <lir
Ente Annlberniig znr zweiten Iiitegnitloii der Dlfferentltl-
glelehnngen der Bewegung:.
Um die ersten iDtogralo (^3) und (24) der Bewegnngsgleichnngen
nochmals za iDtegriren, will ie)i den Wog successiver Approximation
einschlagen, und werde in erster Näherung die mit den kleinen
Factoren
2\
*»T "H «1. l>i
behafteten Glieder TemachltLssigen , zugleich aber auch die dritten
und vierten Potenzen von 9.
Ich setze also für die erste Nabernni;
(26, ,.^-^^r+l(^-f^y
WO jetzt einfach mit Vernachlässigung von t
n ^ 2nsinqp
zu setzen ist, F' nnd /•" sich aber von Constanten um Grössen
unterscheid en, die wir iii der ersten Nftberang nnterdrficken wollen.
Abgesehen von einer Constanten im Ausdrucke von k" haben wir
.-E?^»«os(, + ^)+ =
H^
1) DiMM Glioil kommt wfgan UntorirOpknrg Ton i in t in der Qleichang
44 Samter: Theorie des Gaussisehen Pendels
+ J p8inx5^(^co8x) + Ocosx^(^8iux)}
+ 2nC08g)f 1— 2^j3"*C08(V> + fI)^ ^nC08<pC08!l^*C08ti/^
+ V -^,»C08qp8in«^^+^^**^8iin/;
Wir haben hier Productc der Grössen
T
immer vernachlässigt.
So ist es gekommen, dass die Grösse ^l im Ausdrucke der h"
und JT' nicht mehr explicite vorkommt, und wenn sie auch implicite
im Ausdrucke von
X — 2 — 'Z^ — f* — ^i + wcost/; — -^sintl)COStlf
{^*
— -j (cos» V' sin v» — ^ sin ip cos V')
vorkommt, so kann sie nach Ausführung der betreffenden Rech-
nungen doch immer nur als Factor einer anderen kleinen Grösse
erscheinen, und wird deshalb auch in unsere schliesslichen Ergeb-
nisse gar nicht eingehen, weil wir die durch Producte der störenden
Kräfte bewirkten Aenderungon der Bewegung von der Betrachtung
ausschliessen.
Wenn nun auch bj in die Störungen erster Ordnung gar nicht
eingeht, so soll doch nicht behauptet werden, dass die Sorgfalt, die
bei Anfertigung der cardanischeu Aufhängung darauf verwendet wird,
dass die Schneiden auf einander senkrecht stehen, ungerechtfertigt
sei, weil immerhin Glieder mit den Factoren
mil RückiüAl auf dit Ralalian dtr Erdt.
vou merhlichctn EintliiESO aaf das Endresnitat sciii kOnntoD.
DasB ^] im Aasdrncko von % erscheint, ändert an der Bewegung
nicbta. da dieselbe ja schon dnrch die Variablen & nnd •p allein be-
stimmt ist ^).
Um die Bedcntnng der in den Gleicbnngeu (25) nnd (26) als
constant angcsebeucn GrAasen 7.a erkennen, die mit A* nnd F' be-
zeicbnet sind, denke man sich das Pendel ans der Gleicbgewicbtslage
um den Wiukel ( entfernt nnd dort mit einer Geschwindigkeit v in
derRicbtoDg angestoascn, die anf der dnrch die Lotlinie nnd den
Schwerpnnkt des Pendels bestimmten Ebene senkrecht steht, dann
wird — da ja der Schwerpnnkt des Ganzen vorlüufig als in der e-
achae liegend nnd diese in der Rahelage mit der ir-achse zasammcn-
fallend angescheu wird — fUr den betrachteten Anfangspunkt der
Bewegung
'}»
dV
wumit k" Qud r' durch zwei andere Grösaseu t nnd v ausgedrückt
sind, die eiuc einfache mechanische lledentnng haben. Snchl man
umgekehrt c und v durch h" nnd i'' auszndrUcken , eo werden ihre
Werte mehrdeutig. Denn aus der zweiten Gleichung folgt :
and dies in die erste Gleichung snhstitnirt, liefert
..=,.(--"C(...^.)+-(._^iy)+»^..
aud nach einigcu Reductionen, wenn
I) Die wahre Bcdeutang der eardanischen Aufhängung beruht in der Tut
nicht anf einer iii«chuni*chcn, aondern einer geomeCriscIiEn Belrachtane. Dieia
lehrt, d«M t(kr kleine Werio ron b, die gebr&aeh liehen AniaehUgc de« Appa-
rat«! rtmtlich mOglich aind, und daas Oberhaupt nur, wenn b| einen bcli^ht-
liehan — mit Leichtigkeit in Tcrmeitlcnden — Wert hat, nicht mehr amt-
liche grOaieren Autachllg« m errdehen aind.
40 Samter: Theorie de» Gaussischen Pendeis
- 4 Z ••» = a, 4 (a" - e r (l - ^^.)) = b,
-IT" + 4 1^ - 27j) ""
gesetzt wird:
(«)
wo man fttr t^ zwei positive reelle Wurzeln gefunden hat, deren
grössere wir mit e^ weiter bezeichnen wollen, während wir fQr die
kleinere die Benennung £'' einführen wollen. Unter c und c' wollen
wir fernerhin wesentlich positive Grössen verstehen.
Wir können jetzt noch F' und /*" durch «- und «'- ausdrücken.
In der quadratischen Gleichung (e) für £^ ist nämlich
'* =-4i^»' *- + '-^4««
* 4cü=«
' tu- Cü' \ 2A/
Setzt man ferner fest, dass unter w derjenige Wert von
m'+iV-&
c Y
verstanden werden soll, der mit V gleiches Vorzeichen hat, also
auch im allgemeinen mit t» im Vorzeichen übereinstimmt') — wenn
nicht gerade
ü<.<^^(i -Q
ist — , 80 erhält man die Relationen
r^ lütt'
(30)
A"= a>Ht-+("} + co>tf (l -;^j_^
1) In dem Spcciulfalle, wo /"= 0 ist, sull ut Auch positiv gerechnet
werden; oß soll also positiv sein, wenn das Pendel im Sinne der wachsenden
y heromschwingt oder durch die Ruhelage geht, negativ im anderen Falle.
Mi^ RSeksickt auf du Rotation dtr Erde, 47
Um jetzt die DiffereotialgleichungeD (25) and (26) za integriron,
diff
setzen wir den Wert von 3- aus der zweiten in die erste ein, und
erhalten
_«Ä — ^«
(f)"+r-(>-r^)'+.r.(.-,^)+
Maltiplicirt man die Gleichung mit 4^', so Iftsst sie sich schreiben
(^y=-'--+.^(v-.r.(.-,4))
--(^-•r(-&)r
also nach den Bezeichnungen unter {6) der vorigen Seite
dt —
Va+ft;^— 4a>"«^
Aber der Neoner hat nach der vorigen Seite (f) genau die Null-
stellen ff' und ff'', also wird
iit '
y4a)'»(ff« — >«)(d*— ff'')
und nach den Regeln der Integralrechnung
2 I /TTZTsF'
«-^T 0:1 arc taug |/L^-
2(0
wo <o die Integrationsconstante bedeutet Hieraus
(31) ^« — ff'co8'(w<+iy) + ff''8inV«+^)»
wo jetzt
— -a<Q = fi
die Integrationsconstante bedeutet Mau erkennt, dass ff und t' resp.
der grösste und der kleinste Wert sind, die ^ anoehmen kann.
In dem Ausdrucke fflr »'
^ nEr+4 V 2e)
dOrfen wir unbedenklkb den zweiten Teil vemachllssigen. Die
48 Samter: Theorie des Gaussutchen I^ndels
Wirkung dieses Tennes wächst — wie Hansen *) gezeigt hat — mit der
Länge des Pendels, and die Schwingungsdauer wird für das Secun-
denpendel dadurch um ihren drei- bis viertauseud-millionsten Teil,
fClr ein 900°^ langes Pendel auch erst um ihren viermillionsten Teil
geändert. Unter der Schwingungsdauer soll nämlich die Zeit verstan-
den werden, die von einer grössten Elongation des Pendels bis zur
nächsten verstreicht. Dieselbe wird hiernach
^ V am.
Aus den Gleichungen (29) und (30) folgt
^'^^^U^-H^ -Ä))
Die kleinste Elongation hängt also — freilich in geringem Masse —
von der Erdrotation ab, und ist, selbst wenn die anfänglich dem
Pendel erteilte Geschwindigkeit Null ist, nicht gleich Null, während
CD in diesem [Falle einen geringen negativen Wert hat Soll wie wir
festgesetzt haben £ >> e' sein , so muss der anfängliche Soitenstoss
der Bedingung genügen
9.
Um die Grösse ^ durch Integration als Function der Zeit zu
ermitteln gehe ich auf Gleichung (26) zurück, die vermöge der Glei-
chungen (30) und (31) sich folgendermassen schreiben lässt
dt
^2y 2e)'^&^ 2V 2EI
CQgf*
' e* cos'(a}« + ^) + €* sin* (cd^ -j- ^)
und integrirt
I) a. a. O. pag. 35.
mä Bieksieht <mi/ die BoUUwh der Erde. 49
32) y - v^o « 2^1 —g^^^-l-arctang r^tang(a>/4- i;) \ ^
gibt, wo ^0 ^^^ IntegratioDsconstante bedeutet
In den grössten Elongationen des Pendels wird der zweite Teil
dieses Ausdrucks gleich Null; der Wert, den der Winkel ^ in der
grössten Elongationen bat, erleidet also eine der Zeit proportionale
Aenderuug, was man — ffir den Fall, dass das Pendel durch die
Euhelage bindurcbschwingt, z' also Null wird — so auszudrücken
pflegt, dass die sogenannte Schwingungsebene eine der Zeit propor-
tionale Drehung mit der Geschwindigkeit |m — ht,) erfilhrt. Die
Theorie ergibt also bei Vernachlässigungen von ^ gegen 1, die be-
kannte Erscheinung. Das Glied
_e C
das im Ausdrucke von ^ — tffQ vorkommt, würde sich übrigens auch
aus der Hansen'schen Formel für v— ^o ergeben haben, die mit
unseren Bezeichnungen lautet:
V— n
2«+K E «+arctang (^-tang(»t-f-i;)j
Hansen betrachtet nämlich ein — übrigens, unrealisirbares — Pendel,
das um einen mit der Erde fest verbundenen Punkt in jedem Sinne
ohne Reibung drehbar ist. Er nimmt an, dass dem Pendel um die
durch diesen Aufhängungspunkt und den Schwerpunkt gelegte Achse
eine Botationsgesch windigkeit n erteilt sei, die das Pendel, wenn sie
positiv ist, auf der südlichen Hemisphäre im Sinne der Erdrotation
auf der nördlichen im entgegengesetzten Sinne bewegen, wenn sie
negativ ist, aber die entgegengesetzte Wirkung äussern würde. Eine
solche Geschwindigkeit um die genannte Achse besitzt aber auch das
Gaussische Pendel, denn dasselbe erhält durch die Erdrotation um
jene Achse die Drehungsgeschwindigkeit
e
^ «= nBmq>
im Sinne der Erdrotation auf der nördlichen, im entgegengesetzten
&nf der südlichen Halbkugel, wo ja sin 9 negativ ist.
1) Hansen n. a. O. pag. 86, S) a. a. O. pag. 86. nnten.
50 Samter: Theorie des Gaussischen Pendels
Wir haben also, wenn wir unsere Formel aas der Hansen'schen
ableiten wollen,
zu setzen und erhalten
n — — nsmgp« — «
. ,C e C
womit die Uebereinstimmnng unseres Gliedes mit dem Hansen'schen
constatirt ist.
Um über die Grösse der Wirkung dieses Gliedes ein Urteil zu
gewinnen, werden wir das Verhältniss -^ des kleinsten Träghoits-
momentes zur halben Summe der beiden grösseren Hauptträgheits-
momente unseres Pendels untersuchen.
Da das Pendel aus einer leichten Stange besteht, die am Ende
eine schwere Linie trägt, so wird es — bei alleiniger Berücksichtigung
der Linse — darauf ankommen, das Verhältniss des Trägheitsmomentes
iner solchen um ihre Umdrehuugsachso zu demj enigen um eine Achse zu
berechnen, die auf dieser senkrecht steht. Die Linse sei aus zwe
Kugelsegmenten zusammengesetzt Bedeutet d die Höhe, l^) den
Radius der ebenen Begrenzuugsfläche eines solchen, q die Dichtigkeit
des homogen gedachten Körpers, so ergibt sich als Trägheitsmoment
desselben um die Umdrehungsachsc
3 + 5 ) •
'Biso für eine bicouvexe Linse mit gleichen Radien der sphärischen
Begrenzuugsflächen, der Dicke 2d und dem Durchmesser 21 1
wo
die Masse der Linse bedeutet.
1) In dieser Bedeatang wird der Buchstabe / bald nicht mehr gebraucht
werden.
mü BMdcsicht mtf die Rotatiom der Erde»
51
Andererseits findet sich als Trägheitsmoment der Linse um eine
durch ihren Mittelpunkt gehende zur Umdrchungsachse senkrechte
Achse
(II) F^Qnd(iefil^^id* + lt^)^M
1^1 4
<*+
Um eine mit der letzten Achse parallele, im Abstände e^ von dieser
befindliche Achse ist das Trägheitsmoment
(III) E^m\ c,2 +
/* 7 4
5
^+t-
C F
Im folgenden Täfelchen sind die Grössen jrfji und -^^ mit dem
il
Argumente y tabulirt, als Extreme, zu welchen die Linse degeue-
riren kann, sind die kreisförmige Scheibe fttr t » 0 und die Kugel
d
fQr
/
1 mit in dasselbe aufgenommen worden.
djl
CiMl»
F: Ml*
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
05
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,33333
0,16667
0,33225
0,17766
0.32926
0,20926
0,32520
0,25746
0,32132
0,31632
0,31923
0,37692
0,32076
0,43124
0,32782
0,46957
0,34223
0,48267
0,36579
0,46-204
O.iÜßXßJ
0,40000
Da der AbsUad der letzterwähnten Achse von der Linse im
n dem Dimensionen derselben ziemlich gross ist, werden
wir fiär untere Zwecke in dem Ausdrucke
52 Samt er; J%eorie des GausstMchen Pendelt
^ l^ "T" 3f/ä
das zweite Glied des Nenners gegen das erste vernachlässigen ddrfen.
Wir betrachten folgende Specialfälle:
1) Die Engel.
Hier ist
d
C c^^
l 1
^^ c. ^ 6,325
-0,001
^^^ i-¥o
2) Die ebene Scheibe.
Hier ist
d
l
-0; ^,,-0,01 für
C2 : / « 5,7735
= 0,001 für Ca : / = 18,2575.
3) Die Linse, deren
d
7 = 0.45
ist Hier ist nämlich , wie man durch Differentiation findet, das Ver-
hältniss C : Äfr\ so klein als möglich. Für diese günstigste Linsen-
form ') ergibt sich
C : Afc^^ = 0,001 etwa für c^il ^ 17,9.
Jedenfalls ist aus diesen Betrachtungen klar, dass die Herab-
C
drücknug des Wertes von ^, auf 0,001 immer zu erreichen ist,
braucht doch bei günstigst möglicher Linsenform der Durchmesser
der Linse kaum kleiner als der neunte Teil der Pendellänge zu sein.
Hiernach wird die Drehung der sogenannten Schwingungssebene
jedenfalls kaum um mehr als den zweitausendsten Teil ihres Betrages
e C
durch das Glied —j 1^' verringert.
1) Es soll nicht behnnplet werden, dass im Falle --- *» 0,45 die für die
Zwecke des Apparates günstigste Linsenform sich ergebe, sondern das,
dann jenes Verhaltuiss am meisten herabgedrückt wird.
mü Raehsicht auf dU Rotation dir Erd$. 53
Die Tom AnfhäDgangsponkt nach dem Schwerpunkte des Pon-
delB gezogene Gerade schneidet eine in der Entfernung 1 vom Auf-
liftDgnngspiuikte befindliche Ebene im Laufe der Zeit in einer Gurre,
deren Gleichung wir ermitteln wollen .^)
In dieser Ebene gehe die -f-^ftchse nach Stlden, die -f-y'^cl^s^
nach Westen, so ist
x = v^cos(v' + H)
y = ^8in(yj"^)
und setzt man
80 wird nach Gleichung (32)
(33) tang(y;-A/+«) = :-tang(«<4-i?)
cos {(ot-f-ti) — ^'»co8«(^_3/-^fl)4.€i8in*(y'— Jlf+«l)
sin {(ot-\-ri) - a'2cÖ8^(^--3/-j-«) + «=''sin»(^--iif+«)
Durch Substitution dieser Werte in die Formel
*^ « £*cos«(a)i+i;)+£'«sin»((ö/+i/)
ei^bt sich nach geringen Reductionen
;»«cos«( e> — 3/+ g) ^*sinH^—M+n)_^
und hieraus folgt das Resultat ') , .,da8s das Pendel sich auf der
Oberfläche eines geraden Kegels mit elliptischer Basis bewegt, deren
Azen stets mit der Winkelgeschwindigkeit
«««»(i-gl)
ihre Lage gegen den Meridian des Beobachtungsortes ändern.^
1) Hanam, a. a. O. pag , 37.
S) Haufen a. a. O. pag, 37. antciL'
54 Samten Theorie des GaueeUcken Pendele
10»).
Wir gehen etwas näber aaf den Fall ein, wo der seitliche Stoss
BO geführt ist, dasi nahe
€ = «'
ist, wo also nahe
V — m-f-nsinqpfl — j^j
ist. Es sei
«' — « — y
nnd y in Beziebang auf t nnd e' eine kleine Grösse.
Dann folgt ans Gleichung (33), wenn zugleich, wie künftighin
immer der Kürze halber
gesetzt wird,
tang(v+* — a— fO — tang((ö*-t-i;) — ^tang(«<+ iy)
(35) ,(;-.a_a + ^-(-(a,-(-f)« — ^8in2(w«+iy).
Die Zeit, welche — die Erdrotation fortgedacht -— zn einem
Umlaufe des Pendels erforderlich wäre, wird also durch die Erd-
drehung modificirt.
«9 hat jetzt nahe den Wert
ist also positiv, wenn der anfängliche Stoss das Pendel im Sinne der
wachsenden, negativ, wenn er es im Sinne der abnehmenden tp be-
wegt, t ist positiv auf der südlichen, negativ auf der nördlichen Halb-
kugel. Die Zeit eines Umlaufs wird also vermehrt, wenn das Pendel
im Sinne der Erdrotation läuft, vermindert, wenn es im entgegen*
gesetzten Sinne umläuft.
Die Gleichung (35) gibt für * - 0 «)
1) Hansen «. a. 0. pag. 39.
9) Hamen a. a. O. pag. 40.
mü Rücksicht auf die Rotation der Erde*
55
Die Zeit, in welcher das Pendel i Umläufe macht, wird«. gefun-
den, indem man
^ — a + H — fi « +2 in
setzt, wo das obere, resp. untere Zeichen gilt^ jenachdem m positiv
oder negativ ist
Bedeutet t die Zeit des t-maligen Umlaufs, so ist also
±2i7i « (Q) + f)T— ^8in2(ai« + i?)
Also mit successiver Approximation
— Oö-f-f — « \ 0)/
2ü)T =. ± ^ni (l — M
8in2(or « +
o>
Durch diese Substitution erhalten wir in zweiter Näherung
±2/^«(ai+f)r±.-f/^''*
2€ Ol
(36)
,'4-^)
«o + f
-¥('40+9)
Bedeutet demnach t, die Zeit eines Umlaufes des Pendels im
Sinne der wachsenden, tt eines solchen im Binne der abnehmenden
^, so ist
(37) „-„--$, (t+ty^
Hierus folgert Hansen, dass der Unterschied (r,— T|) von der
anfänglichen Elongation i des Pendels von der Lotliiie unabhängig
sei, wenn das Pendel genau in einem Kreise laufe, dass dieser
Unterschied sich aber wenig ändere, wenn die Bahn von einem
y
Kreise wenig verschwinden, • also klein sei.
1) Hansen erhftlt pag. 40. a. a. O. den Factor 1 4* o '° l^olge einet
Rccbenfebleri ; der Untenebied iet nicht weseDtlfcb.
56 Samttr: Theorie des Gaueeisehen Jodele
Nach Oleichnng (86) ist die Zahl der Umläufe des Körpers in
einem mittleren Sonnentage
, 86400
={•+-: ('+0)
— 2n
nnd hiemach die Zahl der ümlftafe, die das Pendel in derselben
Zeit vermöge der Erddrehong mehr oder weniger macht,
86400
— 2n
.0+0-±2^.....,0-&)(.+0
wo das untere Zeichen gilt, wenn die Umläufe im Sinne der ab-
nehmenden, das obere, wenn sie im Sinne der wachsenden ^ statt-
finden.
Nun ist
86400
-^ n = 1,0027
nichts anderes als das Yerhältniss des mittleren Sonnentages zum
Sterntage. Die Zahl der vom Pendel innerhalb eines Sterntages
mehr oder weniger vollführten Umläufe ist demnach
±8in^(l-,|,)(l + 9
Läuft also z. B. das Pendel an einem der beiden Pole im Sinne
der Erdrotation, so macht es für den mit der Erdo fortbewegton
Beobachter in einem Sterntage
(-r.)(>+0=-s+;'
Schwingungen weniger, im entgegengesetzten Sinne laufend aber eben-
soviel mehr, als es, wenn die Erddrehung nicht vorhanden wäre,
C y
ausführen würde. Bei Vernachlässigung von ^ und — gegen 1 ist
das genau eine Schwingung — ein Resultat, dass sich a priori
hätte einsehen lassen.
11.
Das von uns betrachtete System ist seiner Lage nach zu einer
bestimmten Zeit t vollständig bestimmt, wenn man die Werte zweier
Variablen & und ^ zu dieser Zeit kennt — haben wir doch vermöge
des Zwanges des Systems die beim Drehungsproblem sonst noch ge-
brauchte Grösse % durch & und i/; ausgedrückt. Es war nämlich
bis auf Grössen zweiter Ordnung in ^, v, b^, etc.
mit RMckticht auf die Rotation der Erde. 57
X = ö — V - f* — ^1 + V^COS y; — ö Siß?» COS V'
and bei VernachlftssigaDg der Grössen zweiter Ordnung gegen die
anderen:
3: = 2 -"*""'* ""^^
Hieraas folgt, dass eine im^Pendelkörper feste Ebene eine der
Zeit proportionale Drebnng erfährt, die derjenigen der sogenannten
Scbwingnngsebene dem absolnton Werte nach gleich, dem Sinne nach
aber entgegengesetzt ist
Das hätte aas der Elgenttlmlichkeit des Zwanges der cardani-
sehen Aofhftngnng sich a priori erschliessen lassen, nnd ist aach
schon vorher bemerkt worden ').
Während also Hansen ^) für sein anrealisirbares Pendel findet,
dass eine Ebene, die za einer gewissen Zeit dnrch die Rahelage dos
Schwerpunktes and den Peudclkörper gelegt und im Pendelkörpor
fest bleibend augesehen wird, in jeder grössten Elongation wieder
die Rahelage des Schwerpuuktcs iu sich enthält, finden wir hier,
dass eine solche Ebene eine der Zeit proportionale Drehung im
Sinne der Erdrotation erfährt. Freilich hätte ans einer Hansen'schen
Formel •), die wir fftr unsere Zwecke
X-Const+n'^l-^,)<
schreiben wollen , dieses Resultat sich auch ableiten lassen , weil
nach pag. 50. zu setzen ist:
n' « — M sin <p
indem der Siun der wachseudcn Azimuthc t/; auf der sttdlichen
Hemisphäre mit dem der Erdrotation übereinstimmt, auf der nörd-
lichen ihr entgegengesetzt ist
1) VgL Bruns a. a. O.
2) a. a. O. pag. 41. f.
3) a. a« 0. pag. 41. unten.
58 Samter: Theorie des Gauseüehen Pendele
§3.
Fernere AnnfthemiigreD zur Intefration der BewefrniifBgrleiehiiD^B«
12.
Wir haben bisher die Gröscen h" and r'alsConstanten der
ersten Integration angesehen, in Wahrheit sind sie aber Functionen
der Zeit, und die Ausdrucke von h" und -^ finden sich auf pag.
44 f. Sieht man 7t' und T' nicht mehr als constant an, so werden
die Grössen i und e', die sich aus den Gleichungen (30) pag. 46.
durch h" und F' einfach ausdrücken lassen, auch nicht mehr con.
stant, ebensowenig aber auch die in der zweiten Integration durch
die erste Näherung erlangten „Cöhstanten,^' rj (pag. 47. unten) und
a (pag. 53.). Um von den erlangten Integralen zu richtigeren ttber-
zugehen, wird man also die Grössen
von nun ab als Functionen der Zeit ansehen, die sich freilich von
Constanten wenig unterscheiden, und wird sich zu jenem Uebergange
der Methode der Variation der Constanten bedienen, die Hansen zu-
erst atlf die Theorie des Pendels angewendet hat. Der Uebergang
wird aber hier wesentlich einfacher sein als bei Hansen, weil wir
uns auf Glieder vierter Ordnung in & in den Hauptgliedem be-
schränkt,^ und dieselben in die. die Bewegung störenden Glieder
mit aufgenommen haben. Der Weg, auf dem Hansen zu genaueren
Formeln gelangt, ist der folgende ^) :
(31) &'^ - ««cos«(a)i+i?) + «'*sin*(o)*+iy)
(32) VI — « -'i\-\-\t-\-Sirct8Jigy-'taLUg((ot -{-ri))
wo
Vo = « - a
^«nsing>(l-^)
gesetzt ist, waren die in der ersten Näherung erlangten Integrale
der Bewegungsgleichnngen.
1) Hftosen, a. a. 0. pag. 43. R.
mit Rackäiehi auf die Rotation der Erde, 59
In ihnen sind jetzt rechter Hand die Grössen
als Tariahel zn betrachten. Da die Form der Integrale in der
zweiten Annäherung dieselbe bleiben soll, so müssen auch ihre voll-
ständigen Differontialqnotientcn nach der Zeit gelten. Es mnss also
sein
dt^€U'^dsdt'^ dt' dt '^Bri dt
(I)
dip ^'P _i da B^ de d*p dt' Bip drj
H "" ^"T" dt'^dt dt^ ä? di^ dri dt
Nnn sind in erster NäberuDg 0^ und ^ so bestimmt worden^ dass
d{9*) a(^j) d^p _ dtp
dt '^ dt * dt'' dt
ist Hieraus folgen die vier Gleichungen
(A) -^ — - cö(«* — «'*)8in( w t+fi)cos(n t+i?)
^^^ ^"" ^ £«C08«((»«+17)^-£''8in^a)i+^) "* '+ ~&^
(C) 0 - €C08»(oo<+i7) ^ 4-€'sin2(ü)i+i7) ^
— («*-«'*)8in(o}«+i7)co8(eö<4-t?)^
da i' dt
(D) 0 — ^ — ^i ^8in(a>^+i7)cos(«<+i/)
+ it V 8iD(w^f iy)C08(a<+l?)+ ^ ^
Die Gleichungen (A) und (B) müssen differentiirt noch gelten,
also ergibt sich vermöge der Relation ^)
1) HAuen a. ft. O. pag. 45.
60 Samt er: Theorie dee Gaussisehen Pendels
^"^ W «»^^+-^3- - 2« -j- ^sm(<ot-\-ti)cos{(at+ri)
+2£' -^ 1 8iD(»<+i?)c08{a}«4.i/)— I (£«-€'«) ^ cotß(wi-\-fi)
(fltp 2mn* d& , / di' ,(U\ m
Wir hatten die Werte (31) and (32) von ^> and v durch Inte-
gration der Differentialgleichungen
<-) (S)'+*'(|)' =«"-.«■■ |'=r-^^
(26) o»^-f(^««r'
erlangt. Durch Differentiation dieser Gleichungen mit Rflcksicht
auf die Variabilität von f und h!' ergeben sich andere Gleichungen
für -v j- und -^ die mit den Gleichungen (11) verglichen, zwei neue
Differentialgleichungen fQr die Grössen £, e' und 17 liefern müssen.
Durch Differentiation von (25) und (26) ergibt sich:
d& d^&
^dt d?'
(III) ^«^«-2^^^- -^+2f^^ + -^
und nach Substitution des Wertes von ^ ans der zweiten in die
erste von diesen Gleichungen
d& d^& d^ {dipV o dO r <i^^^ (irdtp , dh
und mit Bücksicht auf die Gleichung (26)
(26) ^-f+^«f+^
unter Vernachlässigung von f* gegen 00' ^)
1) cf. pag. 47. unten.
mit Rüekneht auf du RotaHon dir Erde.
Öl
dJ^ d^ dT
nv^ "^^ «^_L «*•«'* , di dt dt
dt*
^
d&
dt dt
an)
<^V _ _ 2(pgg' ^1 1 <^^'
Demnach findet sich durch Yergleichang dieser beiden Glei-
chungon mit den Gleichungen (II)
(di' ds\ (o ca dti
dh' d^ dV
dt
dt
dt dt_
dd^
dt'
<^) G J - *' c?)|i (**^»* (a>*+i?)-f '»flin«(a)i+i7)
+ ^ J(««-*'*)8in2(«*+i,)=^,^
Setzt man zur Abkflrzung
^dh' dw dr*
(G)
dt
d&
dt
iÜ dt
dt
djr
dt
G')
Hl)
so findet sich durch Auflösung der Gleichungen (C), (D% (£), (F)
dt ds* dt] da
"»^ di' dT' dt' iü ^
di - -2^p«"'2(a)«+ij)+^,sin«(«t+i,)
(38)
t_» Z^«' Hf
dt/ g(g»cos^( wH- 1/)-;^' ^in»(Q)<-t-<?)) , ^gg'8in2(<o<4-iy)
da On'cos2(G>t+fi) H(i*+s'*) . ^, . ,
1) Bei Hanicn pag. 51 a. a. O. resp. D und A\
S) a. a. O. pag. 4f.
62 Samt er: Hieorie des GauMsitchen PtndeU
Man erkennt sofort, dass im Falle « « e' die Formeln für t-
, da
und -^ unendlich grosse Werte ergeben, und im Falle, wo # — f'
einen im Verhältniss zu « und £* «ehr kleinen Wert hat, -^t und —
sehr gross werden. Hansen hat daher für diese Fälle andere Ya-
riablen für c, s', 17, a eingeführt, und für dieselben analoge Differen-
tialgleichungen gegeben. Ich will indessen künftighin jenen Fall, wo
die Formeln ungültig werden, von der Betrachtung ausschliossen. In
die Formeln (38), in denen rechter Hand f, e', 17 und o als constant
angesehen werden, sind jetzt successive die Glieder von — und — -
aus (27) und (28) pag. 43. f. einzusetzen.
13.
dF*
Die beträchtlichsten Tenne von h" und — r- sind
" '^ 3 \dtj'^ E 24
dT d_ /e^ dyA
dt '^dt\3dt)
Nun war
?^^^, ^«^^ =„«'+!*»
wo der zweite Teil gegen den ersten öbergangen werden kann. Also
wird
ivr _ M^ ^3 ^
Ä "" 3 €Ö
Von diesen Gliedern kommt bei Hansen nur das letzte vor,
dass bei ihm der Term
dr 2 ,^d^
-dr-3^''^dr
fehlt, erklärt sich daher, dass er in erster Näherung den unsrigen
ganz analoge Differentialgleichangen integrirt, speciell eine der
Gleichung (26) analoge, die in unserer Bezeichnung lautet:
wUi RSeksieht auf die Rotation der Erde. 63
in zweiter Nfthernng setzt er nun
di '^8in»(> ^
wo Hansen's k' unsere Grösse F* bedeutet , das ändert aber die Be-
deutung der Grösse k' — T', die er immer
setzt. Hieraus ergeben sich im allgemeinen unwesentliche Abweichun-
gen meiner von Hansen's Resultaten; nur wird das Ilansen'sche der
Zeit proport ionale Glied in der Veränderung von o bei mir um seinen
achtfachen Betrag vermehrt erscheinen.
Vermöge der Glieder
dt '^ 3 dt* eU '^
findet Hansen ^) ausser sehr geringen periodischen Variationen der
Grössen b, «', 17, o noch der Zeit proportionale Aendcrungen von rß
und ff, nämlich
dl? = -Tljr «,(€»+£'*)<
(39)
öa « -^ oiie't
Nun ist jetzt zu setzen :
d-* =» £*COS*((ö<4"^ + ^^)+^'*8i^*(<*>*"h^"f"^^)
- «« COS« [fl)(l - ^(B^+B*'))t + ri] + £'« sin«[fl)(l - ^(B*+B'*))t+ri]
Hiernach ergibt sich für die Schwingungsdauer im definirten
Sinne der Wert
00(1 — fj(«* -(-«'*)) «^ • 1«^ • ^^
Bevor ich die Wirkung des obigen Wertes für da betrachte,
will ich mein Glied
dr 2 ,^ de
1) «• ft. O. pag, 86.
^) Mit einer no wesentlichen Aendening a. a. O. pag. 44.
a) a. a« 0. pag. 49,
64 Samter: TKeone des GauisUehen Pendelt
in die Differentialgleichungen einführen, will aber zuvor allgemein
untersuchen, was aus den Differentialgleichungen (38) wird, wenn in
dr dh"
-^ ein Glied vorkommt, das in —jr kein entsprechendes hat In
diesem Falle hat man
diff
ar ^ dip dr ^^ dt
i^ = jr, ^--7i
dt ' d^ dt dt ri^
TiT ^dT
H
(40) G -- + o,(f2_ jijjj8in(^^^^)c^j8(ß^^^)
wo, wie im Folgenden immer
dt
gesetzt, und die Gleichung (A) (pag. 59.)
^ ^ =• — (»(e^ — f'*) sin («« + ^) cos {tut -f i?)
benutzt ist Setze ich den Ausdruck (40) in die Differentialglei-
chungen (38) ein, so erhalte ich mit Rücksicht auf die Gleichung
(31) ^5 = f2co8«(a,i-|-,;)-f.f'2sin»((ö«+r/)
cZf _ ^ t2L
dt '^ " Cö(f^ — £>^)
de^ __ , _i^ _
dt — "*"©(£*—£'=*)
(41)
dl] n'H cos2(£o^4-^) — 8iii*(üj^+t/)
dt '^ ~ tü(s^ — £'')^ m\{a)t'{-r])vos(cdt-\-7j)
da H «'2 cos^(ü)< + 5):iii!il2*i co<+^/)
dt *^ ft)(£*— f'^)* ü\i(fat'\-i])co%{fot-\-7i)
Führt man in diese Differentialgleichungen
H =- '';f - I «"'^J = -ä "^'«'(^^ -f'*)siu(arf+i?)cos(a)<+i?)
ein, so ergeben dieselben
mit Rächficht auf die Rotation der Erde. 65
€U 2
-j^« 7^ mi'* Hin (au + ri) cos (tat +ri)
dl' 2
jl^ = — 3Co«V8in(«<-f-iy)cos(fo^-f-iy)
dri 2 £«£'« ^, , ^
^ -30» ^TZT^ cos 2(0)^+17)
da 2 tois^
2 ««€' 2 tost' 8^ + £'«
= 3-2 3-2" ^2-372 cos 2(0)« -f-iy)
Diese Differentialgleichungen sind zu integriren, und die auf
diese Weise erlangten Variationen der Constanten derart zu bestimmen
dass sie zu einer bestimmten Zeit, etwa ^0 = ^ (pag. 47 f.) null
werden. Zu dieser Zeit ist aber rj = 0, Also erhält mau
Je'« — i^fVsin^w/
1 th'^
^'^^S -2 27^ sin 2»«
6a = Iftoes't — ^f«' "2-4^-72 sin 2a)t
Von diesen Gliedern ?st das einzige merkliche
öa = ^ tote't^
CS ist gerade achtmal so gross als das von Hansen erhaltene.
Fassen wir beide Glieder zusammen, so erhalten wir
Die sogenannte Schwiugungsebene erführt also ausser der durch die
Erdrotation bewirkten Drehung noch eine von dieser unabhängige.
1) Da dieser Wert von der Erdrotation unabhängig ivt, so muss ein ent-
sprechendes Glied in der Theorie des gewöhnlichen sphärischen Pendels ror-
kommen. Für dieses ist ^ "^ U } ^^ setzen, und man erhält als Anfang
einer Rcihenentwickclung mit Hülfe von elliptischen Functionen (nach Vor-
lesungen Yon Herrn Prof. Bruns, vgl. auch Schellbach. Ellipt. Int. und
Thetafnnctioncn § 193)
i/u Matk. «. PkTi. 8. B«ik«, TtU Vf. ^
66 Samter: Theorie des Gaussischen Pendels
»
Auf pag. 48. wurde erwähnt, dass, selbst weun das Pendel keine
anfängliche Seitengeschwindigkeit erhält, «'einen von Null verschie-
denen Wert hat, es wird nämlich
CD
und hiermit
da tf£«/
Im Falle, wo der Soitenstoss null ist, wird also die Geschwin-
digkeit, mit der die Schwingungscbeno sich dreht, vermindert. Ihr
Wert wird
und man findet, dass das Zusatzglied nur in dem Falle kleiner als
ein Tausendtel des Hauptgliedes ist, wenn
1
19,36
oder in Winkelmass
e < 20 57', 5
ist, welcher Wert bei den Vorsuchen indessen überschritten werden
dürfte. Wird s' grösser, so wächst damit die Wirkung unseres Stö-
rungsgliedes, und es wird, um die Bewegung der Schwinguugsebene
von allem anderen als der Erdrotation unabhängig %u erhalten,
darauf ankommen, s' gering zu machen.
U.
tir*
Vernachlässigt man in den folgenden in //' und —j- vorkom-
C C
menden Gliedern zunächst v; v gegen 7« so werden dieselben
df' C[ „d»/ ^ d(9 sin f)\
-f- ^* cos* "^ Si ( ~ ^^^®^ f// ^^®^" '''w
oder einfacher
E
mü Rücksicht auf die Rotation der Erde,
67
.ir C( „<i* , ., , dr\
Man kann nm diese Glieder zugleich zu bebandeln H
fiP'
dt
in
die Gleicbnngen (41) pag. 64. einsetzen und dazn recbter Hand die
dem Gliede
r
entsprecbenden fügen; ans diesem Gliede folgt
a^
O
dt
1^ V
»-S
E «(«* — e'^) sin ( cot + ^) cos («/ + */)
and die vollständigen Diffcrentialgleicbungcn werden somit
dt
s'H
sr
dr
dt
©(««—£'«) £ a>V — «'*)
€lr
dB^ iH C ^'^ dt
dt ^ «r*«— *'<\ • ü: ui^(f^^
Mi*—i'*)^E «»(£*- e'=^)
titf
2ss'
C(£«C08«(a)t + 1?) — f**8in«(a)/ + rj))
r/(r«)
2£;o>*(«« — «'*)*sin {lat + ri) cos (u)t + i/)
da His'^coBHat + t]) -t^8in»(cat + ??))
cÄ " co(£'*— «'^)*8in {aU + 1?) cos {mt + «?)
Cef'cotg2(«)«+i?) r/(r*)
+ ««(£"—£'«)«
r/«
Den Zuwacbs, den die Grössen f, « ', i?, « durcb die betracbteten
Glieder erbalten, die übrigens — wie man sich, nach ihrem Ur-
sprünge suchend, leicht überzeugt — den Einfloss der cardanischen
Aufhängung oder des Zwanges des Systems enthalten, findet man
demnach durch Integration, wie folgt:
68 Samt€r: TTieon'e de» Gausshchen Pendd*
. t' r C fr*
^^ co(g»^ f-atj^y ^COtg2((o< + i|)A
wo
ist, uud überall rochier Hand Constanten derart hinzuzafQgen
siud^ da88 für ( -» ^^ « 0, also 17 » 0
werde.
Es ist nun nach pag. 53.
^ cos ^ «=» e cos (tot 4- rj) cos (M — 8) — f 'sin (o)« + ?/) sin (iW— H)
^sin«;; — «cos(cio< + i^)sin(3/— Ä)-|-e'8in(arf4-^)co8(Af— W),
und setzt man bei der Differentiation ikf constaut voraus, was in den
Endformeln einer Vernachlässigung von Grössen fünfter Ordnung
gegenüber solchen vierter Ordnung entsprechen würde, so erhält mau
— ^(^siny) = (o(£sin(A/— Vl)sin(ü}«-|~iy) — €'cos(i»f— )H)cos(arf-f"^))
r -• — '^cosv' ..(Osin«/' ) =
|{(£-f')*cos«(^~«— a)f-i?)-(i+f')*cos«(M— «+w<+i?)}
~ ^ {(««.£')8eos(3f-a— D)t— iy)siu(A/— « — w<-i?)
ilt A
-j-(g-j-,')«cos(ilf— «l+a)< + t/)sin(M— * 4-wt + iy)}
if« cos 2i^ '-^ « ^1 (£»- f'«)cos2(3f-9r)[(« -- «')«sin2(3f— 91- cot— iy)
+(£+£')*8in2(Af-9I+a>t+i?)]
mü Rückaiehi auf die Rotation der Erde, (39
-\ ^^—^ [co82(Af-9t)8in2(Jf~9l)
— cos2(3f— «)8iii(4a>«-Hi/ ~2il/-f-29l)]
+ ^— ^— ^^-^-[co82(Af-.«)8in2(il/-?()
+C082(Jlf— a)8iii(4oo(+4iy+2J/-2«)]
-«'(*-0*[8in2(3f~a)cos(4(o<+4iy-23f+29t)-8in2(3/-9l)co82(3f+7y)]
— «'(e+£')*[8in2(Jlf-8t)co82(il/— 21) -8in2(il/— 9l)co8(2M- 2«
+4««+4i?)]}
Bei der Aii8fÜhniDg der Integration kann man M in allen — die
trigonometrischen Functionen von (a>t4~^) enthaltenden Gliedern —
als constant ansehen. Dann wird
y ^«C082^r« ^(f - «'«)cos2( Jf -«)[(« -«•)2co82(3/— St— wi-iy)
— (€+€')*C082(3f-9t-f-(0<+iy)]
+ ^ («*+e'*)co82(3/-90[(e-«0*co8(4(ö/-f 4i?— 2Af-f 29t)
— (c+€')«C08(4(«-f4i?-f2A/— 29t)]
- ^f«'8in2(JW-9t)[(« -£')*8in(4(cöt+iy)-2(Af-9t))
— («+e')*8in(4(ß)<4-i?)+2(3f-9t))]
+ Je /^(£«— £'*)*8in4(3f— 9t)ftt •
Die Glieder dieses Ausdrucks bringen bis auf das letzte — speciell
wegen des hinzutretenden kleinen Factors öv nur sehr kleine pe-
riodische Aenderungen in e und i' hervor, ebenso wie die in ii und
de' (pag. 68.) vorkommenden mit der kleinen periodischen Function
r' proportionalen Ausdrücke sehr gering sind. Daher wird es ge-
nügen, mit alleiniger Berücksichtigung des letzten Gliedes
zn setzen und diese Gleichungen unter der Voraussetzung der Va-
riabilität von
70 S amier: l^orU des GauetUcken Pandel»
ZU integriren. Sollen die Yeränderangen von c and e' im Anfange
der Zeit, wo M^ ^q ist, nnll werden, so erhält man
(42)
««' 3S;*(*'-*"> l^f (cos4(3f-a) . cos4vro)
— Formeln, die in der Nähe des Aeqnators unbrauchbar werden, weil
im Nenner
f-nsincp(l-~;)
vorkommt Hansen ^) hat für diesen Fall bei ähnlichen Gliedern
Reihenentwickelangen nach Potenzen der Zeit vorgenommen. Die-
selben werden hier ergeben:
*« — — gg^*'^**"'* *M<8in4Vo+2f«*co84yo)
(j
ö«' — ^j^ €(6* — t*^)m{t sin 4y'o + 2f «» cos 4y'o)
wo wegen der Kleinheit von f im genannten Falle das dem Quadrate
der Zeit proportionale Glied nicht in Betracht kommt
Im allgemeinen Falle aber erkennt man, dass speciell die Grösse
e\ weil ihre Variation den Factor c' nicht enthält, wegen des Factors
f im Nenner beträchtliche Variationen annehmen kann, deren Be-
trag von cos4^^, also von dem Winkel abhangen wird, den die
ursprüngliche Schwingungsebeue gegen die feste Achse der cardani-
schen Aufhängung bildet. Im Maximum resp. Minimum wird die
(j
Klammergrösse in (42) + 2, t; wollen wir nach frtlheren Betrachtan-
gen » 0,001 setzen.
Demnach sind Maximum resp. Minimum von dt' — bei Vernach-
lässigung von i^ gegen i*
, 0)6313714
oi*M •=» ± ^^QQQ-cosecy
also z. B. fttr das Secundenpeudel, fttr das (o^ 9 ist, und unter
einer Breite von 42<^ 19'
1) a. a. O. pag. 57.
mit RScktieht ou/ dit Rotation dir £rdi
DDd Z. B. fOr
ein Wert, der die Bewegung der SckwiugiiDgsebcnc acbon in mcrk-
Hchcr Weise xa beeinänssea im Stande iat. Aber t behält nicht Bciaen
Wert, es ändert sich periodisch in folgender Weise:
Anftnglicb vollfahre das Foadol sogenannte ebene Schniagnngeu
DDter zweckiQ&ssigst mCgIichem Azimatbe, d. h. os sei
coa4vo = 0
oder das Pendel schwinge anfönglich unter 22'',b oder 67°,5 oder
112,5 oder 157,5 gegen die feste Achse, so wird dadurch das oben
berechnete Uaiimom resp. Minimum der Variatiou von e' auf die
Hftlfte herabgo drückt. Diese ebenen Schwingungen gehen ^an &1I-
mftblich in elliptische Ober, deren kleine Achse nach
TTT— - Sternstanden
2sin«
ihr Maximum erreicht, dann gehen die Schwingungen allmfthliuh
wieder in ebene über und zwar in derselben Zeit, hierauf beginnt
das Pendet elliptische Schwingungen in der entgegengesetzten Rich-
tung anazuführen, deron kleine Achse nach genan derselben Zeit
einen Maximalwert haben wird. Hierauf gohcii die Schwingungen in
derselben Zeit wieder in ebene Ober, und so geht es fort. Die
Drehung der Schwingungsebene wQrde durch die betrachteten Glieder
fffthrend -j— — Stemstunden beschleunigt, während der folgenden
TerzOgert werden u. s. f. und zwar immer um denselben Betrag, so
dasB die Wirkung der betrachteten Glieder sich in je -: — Stern-
" ' Bin V
standen aufhebt
Ob diese eigentümliche Wirkung des Zwanges unseres Systcmcs
wirklich zu beobachten sein wird, muss dahin gestellt bleiben; es
ist leicht möglich, daas höhere Glieder eine paralysironde Gegen-
wirkung darauf ausüben. Es wird aber immerhin zweckmässig aeiu,
auch wogen dieser Glieder das Verhältniss t, so weit als mOglich her-
abzudrücken , weshalb auch lange Pendel sich besser zu den Be-
obachtungen eignen werden, als kurze.
I W«rt, den Hidmd dn OAeren ■!■ Beiapicl wlhlt.
^
72 Samter: Theorie des Gauasischen Pendeln
15.
Setzt man nach pag. 67. den Wert von
60 ergibt sich bei Einführung der Bezeichnungen
p cos a «= f ) ^
p sm <y « e' )
H = -G)* p* I ~"ßl — 2cos*2a-j g'^'^C 8m2Af'+sin43i' — j,— -
H y-^-^(8in2(ycos«2Af'+sin4aco82ilfco82Jlf')
4- ^55^~^\sin4 Ji '(3-C084a)+88in2 Jf 'cos2a)
+ ^^°^^^^^"^^^((cos2itf^~8in^3/08in2tf+co8»3f^sin4g)|
Femer kann man noch bilden:
, ,p* (1— cos4M' . 20/ * I X
16 t 2 ^'^^ (fl>*+^)
--28in2a8in23fsin2(a)«+i/)(l+co823f»co82((i)t4-i/))
+sin*2<y(l+cos2M'cos2(öi«+7?))
4cos«23f'y--^^^4"^^^^^^
^y j-|^ {sin*2ilf 'sin4(ca^+i/)— 4sin2(Fsin23/'co82(cö«+«?)
— 2sin2(Fsin43f'co8(M/+r/)
— 2sinä2(F(cos2Af'sin2(ü)«+i?)+cos«2Af'sin4(ö)«+i?)}
Um nun die Variationen von ri und a zu bestimmen, haben wir
die eben erlangten Ausdrücke für H und -— nach einander noiit
cotg2(a)< 4-^)9 cotg(öi«+^)» tang((öt+7/) zu multipHciren und dann zu
integriren.
Nach pag. 68. ergibt sich somit der folgende Ausdruck für dri^
wo in den trigonometrischen Functionen oat für (ot'{-ri ge-
schrieben, und rechter Hand noch die passende Constante hinzuzu-
denken ist:
mü Rücksicht auf du Rotation dtr Erde. 73
s C Q* ( 1
— jg8in2tf8in2Ar'(/ntanga)e+4co8*öX)
— j^sm2acos'2as\u2M*lnfi\n2cot
— 22 8in2(FC082<J8in43/'(/;* tangcö<+4cos*w«+co82o)0
— 7^8in'2aco82(icos2J/'
— Äö8in'2(rco823f' sin2o9<
— 7^8in*2acos2(Fco8*2M '8in2(»«
lo
— jg8in*2(Fcos^Af'((öt+f8in4ö)*)
-|- Tj 8in2crco8*2a8in4Af'/n8m2co t
+ Tg sin2(F(8iu2A/ '4-i8in4Af 'C082cr)(/ntaDgarf-|-4c08*ax)
+ rg 8in2(J8in2a)/(cos*23/'8in2<j+8in4tfC08*ilf '00823/')
4- ^ 8in2<j[8in43f '(3 -cos4tf)+88in23f 'co82tf]
X pntaDg2(ö/+4c08*2ö)«+Zn8in4(o<]
+ ^8in2a(<a)-H8in4(o«)[8in2a(coB2Af'— sin'M')
lo
+cos*3f'8in4a];
Durch den Strich ist angedcatct worden, wo die vom ersten Teile
von irj (pag. 68.) herrührenden Glieder aufhören. Ordnet man die
Glieder von dfi 80, dass man die dor^Zcit proportionalen Tenne vor-
anstellt, dann die periodischen folgen lässt, so erhält man den fol-
genden Ausdruck, bei dem in den trigonometrischen Functionen jetzt
1} *=> 0 gemacht ist, was der Bedingung ^ = 0 entspricht, und Con-
atanten hinzugefügt sind, die bewirken, dass zur Zeit < « 0 alles bis
auf die logarithmischen Glieder null wird:
74 Samier:^7%eoru des Gaiusüchen Pendel»
c p* ( ri
ö^*- — 5 cÖ8«2ä r* [32 8iii»2ilf '— TVsin*2tfco82aco823f'
— jg 8in«2tfco8«2ilf '+TVMn2a8in4aco8«3f '
+ jg 8iu«2tf(eo82Af '— 8in«ilf 0 1
+ ^2 8in2«/[co82tf8in*23f' — 8in*2a(c082Af '— 2co8*2ilf ')
— 28iii«2<Jco82a(cos«2Af'— 2cos23/'cosA/')]
+ j28^*°^H8in*2Af'— 28ia«2a(cos»2Äf'—cos2Jf' +s\n*M')
+28in2a8in4aco8*3f']
— 55 (co82ci(X— l)[8in2tfco82a8in4Ji'+28in2<j(co82o)<+l)
X 8m43f' (1— i-Hcos4tf)
— 48in2tfco82(F(co82a><+l)siD2A/']
— rg Znsin2oi«(8iD2ili '8in2aco82tf~| 8in4ilf ' 8in2(rco8'2a)
— ^ (lntSing2G}t-\'lnsmi(ot)[ßm2GsiU'iM*
— 28in2(FC082(F8in2ilf '— j8in2(F(3— cos4<j)8iu43f' ] |
Die logarithmischen Glieder lasseu sich auf folgende Weise zu-
sammenfassen :
— r^ Zri8in2w«in2ili *8in2aco82a(l— Jco823/'co82tf)
4- öö (^'>tang2a)<-|-Zn8in4oOsiu2i)/'8in2(rcos2<j(l 'ico82A/'co82<j)
« g2^'*2C"°2ikf'8in2(FC082a(l— lco82aco82J/')]
Diese Grösse war nun in Beziehung auf die Integration constant
wir hahen also als passende Integrationsconstante rechter Hand
dieselhe Grösse mit dem negativen Zeichen hinzuzufügen, womit be-
wiesen ist, dass diejenigen Glieder in obigem Ausdrucke, welche
Unstetigkeiten in der Bewegung hervorrufen Mrürden, fortfallen.
Die periodischen Glieder in di] sind, wenn wir co8'2ff als nahe
bei 1 liegend voraussetzen , völlig unmerklich ; die der Zeit propor-
tionalen Glieder bewirken dagegen eine Vergrösserung der Schwin-
gungszeit, deren Wert mit Berücksichtigung von pag. 48 jetzt wird:
Mit RütlcMÜil a*f dit RotaHoH dtr Erdt. 75
+8in»Af'[l-4sin»W]))l |
Den Fall t = (', wo diese Formel nubrancbbar wird, baben wir von
Tomhereio Ton der Betracbtutig aiiBgescfalosseD. Ist c' bo klein, dasB
vir sein Qaadrat gegen daBjt'iiige von t vernacliiassigen dOrfeu, bo
erkennt man, dasB fUr = = 0,001 dag neu erhaltene Glied imUsximo
nur ein Zweitansendtel deB UauptstfiningsgliedeB ausmachen kann,
die Scbwingongsdauer also für ili<ii kaum in der Praxis vorkommoa-
den Wert f — jt nm hOchsteD<;
ihres Betrages vermehrt wird. Aber sin*23f' ist nicht immer genaa
gleich Eins. In je
Scosecqo StemstnndeD
wächst sin*2Jf' von 0 bis 1, (üMt dann von 1 bis 0 n. s. f. Nach
einem Satze der Iiitegralrechtinng baben wir in einem solcken Zeit-
räume sin' 23/' im Mittel=j zusetzen und finden so, dassz.B. das Se-
cnndeDpcadcI täglich im Durchschnitt if^ Schwingungen weniger macht,
als es ohne den Zwang der cardanischen Anfbängnng machen würde,
dass es also im Mittel tftglicli nm ^ Schwingungen zorDckbleibt.
Das zwei Secnndeii scbwingeude Pendel würde in cardauischer Anf-
b&ngnng schwingend für t — j, durchschnittlich pro Tag yg^ Schwin-
gungen weniger machen.
Setzt man ( — £ , 80 Bind die entsprechenden Zahlen ^ resp.
rill' Merklich dürfte diese Wirkung der Aufhängnngsart also nicht
16.
Nach pag. 66. ist
, 1 /'p'3in*jcos*(Mf-{-i;) - p'eos'
_i_ _^^<^
Bin( ciii-{Hi)cos(aX-|-t))
CMnacosa P „ , .
sin*« /* „ co8*B P „
vi5?2s/ ""'«"•''- i?sra/ «•"
+ 5^^,/»-»-«'^.
76 Samt er: Theorie des Gaussuchen Pendels
WO in den trigonometrischen Functionen wie im Folgendon tot für
^* + ^ geschrieben ist. Es wird
Wo \ "''*" [Ä
C Q^
^" "" £ CO »20 { ^^*^ |gkcos*2tfsin4il/7wsinoj«
+ Tg (sin23f' +ico82<ysiu4A/')(^»tangco«+4cos*efl<-f /n8in2aK)
+ 8 (^»-H8in2(ioO(sin2tfcos*23/'+sin4acos*3/' c os2Af' )
-f- Jog (i»tgw<-|-4co8*co«-f co82(«4-i^»tg2(«-f 2co8*2»<
+ i/nsin4cöO(sin4jM''[3— cos4tf]-f8sin2ilf'co82a)
+ jg (sin2ax+«ö)+isin4cöt)(sin2a[co82A/'— sin*Af' ]+cos*3f '8in4cr) 1
— cos'tf — ööCOS*2tfsin4i»f '/ncosooe
+ Tg (■— intgco«— 4cos'w«+'«8in2a>0(flin2Af '4-isin4Af' cos2(f)
+ 8 (««— i8in2w<)(8in2tfcos«23f '+sin4tfco8*if 'co82Jf 0
4- Y28 ('»*tg»^+^08*a)<-|-cos2co<— jZntg2co< — 2co8'2(i9t
— iZn8in4co<)(sin2(F[cofl2 Jf '— 8in«3/ ']+co8«Af '8in4a)]
sin2<y r
4- -^ sin«2ilf' («aH-j8in4aX)—2sin2asin2Jf '(/ntgQ)«+4co8*a}t)
--^in2(rsin4M'(/ntg2o)t-j-4cos'2o)^-f~2nsin4oie)
-sin«2aco82JI/'8in2oof -2sin»2acos*2Jlf/«ü>-f-5^5^) ]|
Hier sind noch rechter Hand Constanten derart hinzuzufügen, dass
da zu einer bestimmten Zeit t^ null werde. Ordnet man die Glieder
von da analog denen von di^, so erkennt man leicht, dass die loga-
rithmischen Glieder sich wieder gegen einander aufheben, so dass
nur bleibt:
^« « I —^ jg[sin2(F(4co82ilf '-|cos*2Af' )
+ 2sin4acos3/ 'sin33/'— isin6(F(2co82M '-f COS22A/')]
— g2 (sin2Af '8inasin3tf+(3sin4a+14co8*(Fsin*(F — cos*a)sin4A/')
— - rrtgCOs2a)^(8in4Af '(9--4cos2a--3cos4a)-|8sin2A/'(3cos2ff— C084a))
mä Rücksicht auf die Rotation der Erde. 77
+ j2g8in2arf(8in2o(2— 5co82M'+4co843f')
4-8in4cr(2co843f'— 2cos2Af'+4)~8iii6a(2+4cos23f*))
+ r2gC084arf(8cos2ösin2 Jf '+2co8*2 aBiniM)
-f- r^öSin^iötCS— J cos2Af )8in4co<|
wo rechter Hand noch pa88ende Con8tanten hinzuzufügen 8ind. Die
periodischen Terme sind völlig unmerklich, der der Zeit proportionale ist
lCp«8in2tf
n2tf ^ C/£«+«'«V
^a ^'^^ ^ 2ÄA"£^- rV "''"^'
4 E cos
wo — wie leicht zu sehen ist — F einen Factor bedeutet, der stots
seinem absoluten Werte nach unterhalb 1 liegt ; sieht man wie bisher
i' gegen s als klein an, so erkennt man , dass für ^^ = 0,001 dieses
Glied 750 mal kleiner ist als das Hauptstörungsglied
f (ose't
Hiermit schliessen wir die Discussion der der Eigentümlichkeit
des cardanischen Zwanges entstammenden Olieder.
17.
«1-1/
In -j- kommen folgende Glieder vor:
1 — 2f)^^^^^^^*'^^^ -r- — »cos^x^costf/cosH^*
dt
Das erste von diesen Gliedern tritt bis auf den Factor
schon bei Hansen auf. Denn da Hansen die Azimuthe ^ von der
Meridianebene zählt, während wir sie von der durch die feste Achse
gelegten Yerticalebene ab rechnen, so ist unser (l-f-^) nichts anderes
als Hansen's } und das Glied
2ncosg?cosy^*-i-
das bei Hansen in -^- (bei uns -^ j vorkommt, ist abgesehen von
genanntem Factor der obige erste Term. Es genttgt also auch auf
l) Hansen n. a. O. pag. 51 iinteiL
73 Samter: l%eorie dta Gauisitehen Penddä
das Resultat der Integration bei Hansen') zn verweisen, die nur un-
merkliche periodische Glieder liefert, denen bei nns der constante
Factor yA — ^Ej hinzuzufügen wäre. Auch das Glied
— nC0Sg)C089l^^*C08'I'3- =» -j- =17
das in die Differentialgleichungen pag. 64 zu substituiren wäre, kann
nur bei der Integration unmerkliche periodische Glieder in de, 6t\ dtj
und öa liefern. Denn nach pag. 68 ist
,9^ cos 4» = c cos («< -f ^) C08 (Af — «) — £'sin (wt + v) sin (-Äf — 8)
in t9"— steckt aber der Factor
sin (lat + fj) cos (cot + V)
also wird in jenen Differentialgleichungen die rechte Seite eine ho-
mogene Function ungeraden positiven Grades von s\n(a)t-\-fi), cos(oi><-f-^)*
18.
Wir gehen zur Ermittelung des Einflusses über, den der erste
— mitschwingende — Körper auf die Bewegung ausübt. Dieser
Körper hat beim Gaussischen Pendel die Form eines Ringes, in einer
von Dr. K. Onnes in Groningen 1879 gegebeneu Einrichtung*) die
eines soliden Cylinders, der von beiden Seiten mit je einem keil-
förmigen bis zur Mitte seiner Höhe reichenden Einschnitte versehen
ist, der auf dem anderen senkrecht steht.
Wir gehen von den Gleichungen aus:
7,M^in+)\» 2^w,«,,^ ... ^* . 2! X
Ä"= — e['^u) "^ -^-(^wn + sm*, — — smHcosH)
dr' Tt « rf'(dsin4») , ^m,«, _ ,, . ^ . , .
-^. — ^^cos4> \j^^ ^'+^-^'^co8H8inh — -»siP^'COBh)
^ _27\<i(^sin4>) d*(^sin4>)
dt '^ E dt ' dt^
-f ^~-^>cos4»(sin*j— ^sin+cos^i) ^
+ ?^*^sin+(8ini,-^sin + cos»,)
JSä dt
1) a. a. O. pag. 61.
3) Zeiuchrift für Instrumentenkande Bd, III, pag. S59.
mit Rüeksicht auf die Rotation der Erde, 79
Wenn wir bei der Differentiation und Integration, wie bisher in
der zweiten NäUbrung, f gegen <a vernachlässigen, so ist nach pag. 68
^ — — — w-^^cos^»; — ^ — « — a)*^8m +
und somit wird
H =z -^= -,?«*i^*sin4»co8 + -f-^^-^^co8^'(8in*i — ^sin + cosij)
_, 7', a>2;^8in^./f/(08in+) ^ <l^\
lil
+ ^-^ ^sin + (sin ij — ^ sin 4» cos i^)
G= («*|- «^ cos Hy^8in«+ + ^-^ sinn ^ sin +
i/« (cu«|^~?^*co8hy*8in^.co8 4. + ?^sinhi^co8 +
wenn man also zur Abkürzung
fl>'* « w*;^' — ^-cosh; 91 -^E ^*"*^
setzt, 80 erhält man einfach
und bei Substitution dieser Ausdrücke in die Differentialgleichungen
pag. 61
— •= psin(a)< + 7;)(£COs((ö<+t?)sin+-i'sin((oe+iy)co8+)
— «= __ cos (cöt + V) (^ cos (ü)< + 1?) coS'{» -|- f'sin (cot+t?) sin t]»)
f--^S?^(tco8(a,/+,)sin+-*'8in(«t+i,)co8+)
+ ^^^^^^(«'8in («*+„) sin + + £ cos («.«+ ij) cos +)
^ „ ^!g!^i±.;»i (j cos (»« + ij) sin + - j'sin (»t + ij) cosy.)
- ^^J^l (t 'sin («t + 1,) sin + + 1 cos («« + ij) cos *)
80 Samt er: Theorie des Gaussüchen Pendels
Weil nun nach pag. 53
f'sin ( ©< + 17) = ^ sin {^ — Af + ?t) « ^ sin (4» - 3/ ')
ist, so ergiebt sich
€ cos (ü)< -}-»?) sin t|» — f 'sin (a)< + iy) cos ^ = ^ sin 3f'
B COS (o)« -|- iy) COS ^ + f 'sJn (w' + ^) s»n 4» = ^ cos M'
nnd demnach
dt S
dt ii^«n(w<-fi;)8inJW'
de' S
rfT "= ii5^ ^* (^' + ^) ^^8 ^^'
dfl S
^ •= — ^-(^— 7ij(*C08(a)^ + iy)sinil/'— £'sin(cDe-f i7)cos3f')
Der Ausdruck von S besteht aus zwei Teilen, deren zweiter g^&
in diese Gleichungen substituirt die rechten Seiten zu linearen homo*
genen Functionen von sin(a)< + iy) und co8(co«-f-*/) macht, und bei
der Integration nur kleine periodische Functionen liefert, so zwar,
dass der absolute Wert von 6b und 6b' nicht grösser als
- j «. = — sin ^
werden kann; m^ ist die geringe Masse des ersten Körpers, «j der
Abstand seines Schwerpunktes von der festen Achse der Aufhängung
nnd wird vom Mechaniker nahe gleich null gemacht werden können;
schliesslich war ja ^ der Winkel, den das vom Schwerpunkte des
ersten Körpers auf die feste Achse gefällte Lot mit der gemeinsamen
Senkrechten beider Achsen bildet, tj wird demnach fast gleich null
sein, wenn der erste Körper symmetrisch gebaut und homogen ist.
Hieraus folgt die Unbeträcbtlichkeit von 6b und 6b' . In 6ri und 6a
bringt die Substitution von g^ & allerdings Variationen hervor, die —
weil B im Nenner in der zweiten Potenz, im Zähler in der ersten
t
Potenz vorkommt — für ganz kleine Grund von b unbrauchbar sein
werden; das hat seinen inneren Grund darin, dass das betrachtete
Glied die Gleichgewichtslage des Systemes verändert, wie später zu
zeigen sein wird. Die Substitution
iRftf Rüekticht auf die Rotation der Erde. 81
briDgt in den Yariationen viel grössere Tenne hervor. Denn es war
t^^sin^ » I cos (w^ + t;) sin ifcf'+ «'sin (ü)<4-r/) cos Af',
und, dies in die Differontialgleichnngen der vorigen Seite einsetzend,
erhält man:
dt
dt
• — — (j^ sin 2itf '— jsin 2Jlf 'cos 2 (w* -|- 1?)
+ ^sin«ikf'sin2(ö)<-f t?))
- « + ^ Q sin 2ifcf '+ 1 sin 2Jlf 'cos 2 (<»* + 1?)
+ ~cos*iW"sin 2 («* -|- ri)\
dti «'«,« + €'« fi,'2
<2t 4cft * I* — c* 4g)
«'* i'«cos«Jldr'+£«sin«ifcf' , , .
""■;S" 2(g^--i'^) cos2(cD^+t,)
da co'* «'
^Ä w;^«=7ii(co8 2il/'-cos2(ca<+t?)^
— j^ sin 2M 'sin 2 ( w* + 1?)
Hieraus folgt dnrch Integration bei Vernachlässigung von f gegen
CO und passende Bestimmung der Constanten der Integration
Ji « — gj (cos 2Jldr'— cos 2.|,o)
+ j— 2 sin Af '(€ sin Af' [cos 2 ©*— 1] + i'cos 3f 'sin 2ca0
w'« e
Jf ' =. 5j(cos2Af '— cos 2+o)
CO 0|
»'«
+ T— i cos Af ' (6 sin iW'sin 2(ot — i'cos Af '[cos 2ort — 1])
^^ - - 4ir^+;(,7i;.)tJ8in2Af'-^sin2^o)
0)'« c'«cos*Af'+€»sin«Af' . ^
^ sin 2(0*
4(0« I«— «'»
m'««' .... w'*f€'
— ^ sin 2 Af '(cos 2ioi — 1)
Ank. dar IbU. «. Pkye. S. StiU. '
32 Samt er: Theorie des Gaustischen Pendels
WO ^f, 8s\ dtj^ öa iiSüc t = t^ = 0 zu null werden. Der einzige hier
vorkommende der Zeit proportionale Term bewirkt eine Veränderung
n
der Schwingungsdauer, die durch dieses Glied statt -
wird. Die Schwingungsdauer wird vermehrt, wenn
m^ 81 cos i, 7\
ist, vermindert im entgegengesetzten Falle.
Projicirt man demnach den Abstand des Schwerpunktes von der
festen Achse auf die gemeinsame Senkrechte beider Achsen, so wird,
wenn jene Projection p^ in der Ruhelage unterhalb der u-t>-ebene
liegt und so beschaffen ist, dass
7/12 Cj ^ E
ist, die Schwingungsdauer vermindert; wenn }ene Brüche gleich sind,
nicht geändert; im allgemeinen aber vermehrt werden.
Die anderen Glieder in den Variationen, die auf der vorigen
Seite stehen, sind teilweise völlig unmerkliche periodische Glieiler,
teilweise periodische Glieder von beträchtlichem Maximalwerte, welche
sogar unbrauchbar werden, wenn f sehr klein, der Bcobachtungsort
also dem Aequator nahe ist.^) Die Natur der Variation von «' be-
wirkt wieder, (wie die Glieder pag. 69), dass, wenn das Pendel auch
ursprünglich sogenannte ebene Schwingungen ausführt, dieselben all-
mählich in elliptische, dann wieder in ebene übergehen u. s. f., und
dass die kleine Achse der Ellipse dann am kleinsten bleibt, wenn
cos2tj^o = 0 ist, d. h. wenn man das Pendel unter 45^ oder 135® gegen
die feste Achse anstösst. Nur bei dieser günstigst möglichen Anfangs-
lage der sogenannten Schwingungsebene wird im Laufe der Bewegung
die Wirkung von t' auf die Drehung derselben allmählich wieder
aufgehoben. Ob diese Wirkung, sowie die directe Wirkung in 6a —
wie sie auf der vorigen Seite erhalten wurde — merklich ist, das
hängt von dem Werte von
4ü)f 4ü)t\^ wgCj ^/
1) Für diesen Fall würde eine Reihenentwickelaog analog der von pag. 70,
zum Ziele führen.
mit Hüekneht auf die Rotation der Erde,
83
ab, den ich leider nicht taxiren konnte, weil mir eine Kenntniss der
Dimensionen des Apparates fehlt.
19.
Diejenigen Störnngen der Bewegung, welche durch die Existenz
eines kleinen Abstandes zwischen den Rotationsachsen bedingt sind,
werden durch BerQcksichügung folgender Glieder erhalten:
//
2^,p(d|ni)y_fl^^^,^.^.^
Mit vorläufiger Uebergehung des letzten Gliedes in -j- bilden wir
dt
dh" ilni^Cid(&sin'lf)d^(d-Sin'}f) 2gmi
dt
E
iÜ
efts --^/^sin.;-(^sin.^)
und da bei Vernachlässigung von f gegen cd
cZ2(^sin;)
dt^
» — w^^sin-J»
iät, so erhält mau mit Einführung der Bezeichnung
"" E E
dh" d
-r-«2a)"«;^sin^-(;:^sin.W
und hieraus
dj^
dt
a)"*d-^siu!'C0BJ'
G -= —
H =
(ü"^%^%\\i']f[d{d^%\\i'}f)
d&
dt
c-
dt
— ^cosi^] = ü)"«^«sin».>
ü)"*i^*sin4'C08>
Durch Vergleichung dieser Werte mit denen von G und // pag. 80
unten, erkennt man , dass die jetzt gesuchten Variationen der Con-
stanten einfach gefunden werden können, wenn man nur in den pag. 81
gefundenen co"^ statt co'^ schreibt
84 Samt er: Theorie des Gautsiacken PentUU
Wir schliesseu also nnmittelbar, dass der Aasdmck der Schwin-
ge
gangsdauer vermöge der betrachteten Glieder statt -nach pag. 82
wird Da nun naheza E -> 1/4 c^^ ist, so ist nahe
^- li'+i)
Nach dem, was über das Vorzeichen von l festgesetzt wurde, wird
also die Schwingungszeit vergrössert, wenn in der Ruhelage des Appa-
rates die bewegliche Achse unterhalb, vermindert, wenn dieselbe
oberhalb der festen Achse liegt Bei der Vollkommenheit der mecha-
nischen Technik wird - kaum grösser als 0,0001 sein, die Schwin-
gnngszeit wird also durch diesen Fohler kaum um mebr als ein
Vierzigtausendstel ihres Betrages modificirt werden.
Ausserdem bringt der betrachtete Fehler periodische Variationen
der Constanten mit beträchtlichem Maximalwert hervor. Dieser
Maximalwert ist z. B. für da, wenn 8in2<|^ »■ 0 ist,
ÖttM =
®"*^'' „ ^j«|cosec<p f2lm^c^ 9^^\ 1
4(of (€* — «'"«) "" . /, ~C\ \~E E^tj-^tZI^,
Da nun nahezu
und
1-2^-= 1
2^«_^/=i 0,0001
gesetzt werden kann,
13714 wk'
^"^'"Sjöoö?^::^»^^'^''^
so erkennt man, dass dieses periodische Glied mindestens für diejeni-
gen Werte von b sehr merklich sein wird, welche das Hauptstörungs-
glied in der Bewegung der Schwingungsebene:
zu einer merklichen Wirkung gelangen lassen.
«tSr RBekMiehi auf du BotaHon der Erde. 85
lieber die Stönuig von i' könnte nnr dem auf pag. 82 Gesagten
ganz Analoges hinzugefügt werden. Jedenfalls ist die höchste Sorg-
falt aaf ein 'genaues Sichschneiden der Achsen der cardanischen Auf-
hängung zu verwenden.
Das letzte Glied in -^ ist zwar von der Ordnung oben vernach-
lässigter Glieder, soll aber berücksichtigt werden, weil es einen der
Zeit proportionalen Term liefert. Wir setzen es in die Gleichungen
pag. 66 ein, und erhalten mit
"--We dT "^2£-(* -'*)«*" 2 («« + ,,)
di «' WjCjforfC^*)
ds^ e m^c^ledid^*)
dt "" m(««— «'«) E dt
dfi , «' rruCmU «, , , v
da m^c^le «*+«'* m^c^le
dt 2E 4 («* — €'») E
cos2(a?<+^)
Bei der Integration ergeben sich fast nur unmerkliche periodische
Glieder, das einzige der Zeit proportionale Glied
wird, wenn nfthemngsweise E '^ m^Cf* gesetzt wird,
da = — nmuwt
Bei dem angenommenen Werte von - ergiebt sich, dass die Ge-
schwindigkeit der Schwingungsebene um ein Zehntaosendtel ihres
Betrages vermehrt wird, wenn die bewegliche Achse unterhalb, um
dasselbe DIaass vermindert wird, wenn dieselbe oberhalb der festen
Achse hinlftufL
20.
Wenn der Schwerpunkt des Hanptkörpers um j^ von der Achse
seines kldnsten Trägheitsmonientes entfernt liegt, % den im Sinne
der wachsenden ^ zu zählenden Winkel bedeutet, den das von jenem
36 Samten Theorie des Gaussisichen Pendels
Schwerpunkte aaf die genannte Achse gefällte Lot mit der Richtung
der a-achse bildet, so sind die Glieder
in Betracht zu ziehen. Nun gilt mit Vernachlässigung von Grössen
zweiter Ordnung
d% d^
also
(I) "- dt-2 9^
& /dh" di dr'\
dd^
dt
ve^ • dt'^ld^ dt ^dt dtj)
Aber vermöge der Gleichung (I) verschwindet die in eckigen Klam-
mern eingeschlossene Grösse. Also wird immer, wenn eine Gleichung
(I) existirt,
(II) G=l» I"
Bei unserer Bedeutung der Grössen ä" und —tt ergiebt sich
Wir haben Producte, wie bij?2? immer vernachlässigt, setzen hier also
cos(af + i,) = sin (■^' + fi — tsj) ; sin(x + ^) = cosO} + ^ — 4)
Durch Substitution dieser Werte in die Differentialgleichungen pag. 61
müssen sich Glieder ergeben, die denen von pag. 79 ganz analog
sind, und aus ihnen dadurch hervorgehen, dass man 4'H~~^ — 4 ^^^
^ schreibt und
mit Rücksichi auf die Rotation der Erde. 87
setzt Nun wird
S ^&
€C08(oe-j-i2)c08('^'-|-f4— *2)+«'8m(cö<+i?)8in(+-|-^— 1,) « ^co8(ilf '+fi— 4)
folglich werdeu, durch Sub8titation der auf der vorigen Seite 8teheQ-
dcn Werte von G und Hin die Differentialgleichungen, die rechten
Seiten der8elben homogen und linear in sin (cot -^-tj^ cos (oo^ -|~ ^)-
Die Variationen von öe und öe' werden also den unmerklichen
Maximalwert
haben, während die Ausdrücke für öfi und öa freilich fUr sehr kleine
Werte von s unbrauchbar sein werden, was wiederum seinen Grund in
der durch die betrachteten Glieder hervorgebrachten Yoräuderung der
Gleichgewichtslage des Systemes hat. Wären die Glieder übrigens
merklich, so wtürden sie von dem Winkel
abhangen, welchen die ursprüngliche Schwingungsebene mit einer
Richtung bildet, die von dem aus dem Schwerpunkte auf die c-achse
geflülten Lote um 90^ im Sinne der abnehmenden '^ absteht, also auch
von dem Winkel, den die Richtung jenes Lotes mit der ursprüng-
lichen Schwingungsebene bildet.
21.
Den Einfluss eines Unterschiedes zwischen den beiden grösseren
Hauptträgheitsmomenten ergeben die Gleichungen
___ j }^^sinx^2(^ COS x) + ^cos x~^(&sinx)^
Da X von —^ nur um einen constanten Winkel verschieden ist^),
so müssen — wenn bei der Differentiation f gegen co vernachlässigt
wird — auch die Relationen
1) Natürlich bis auf GrOssen sweiter Ordnung, die wir Temachl&siigen.
83 Samt er: Theorie des Gaussischem Pendels
itatt haben; da aber
ist; so folgt hierans
dh" ( d d \
-^- -2^/»«^*co83(^(^co8 7)— ;^8mx^(^sinx)j
dr*
(? - —: (— z^«*(;^co8« x-^ Bin^x) ^+2z^co«^»8iii x cos x^^^^^)
Nnn ist xCx+'t') ^^i^® Grösse zweiter Ordnung, also wird
ö — — ^a>^co8 2x
JT= — -^ai«^8in2x
und die Snbstitation dieser Ausdrücke in die allgemeinen Diflterential-
gleichungen pag. 61 muss auf der rechten Seite Ausdrücke hervor-
bringen, die aus denen der Differentialgleichungen yon pag. 79 oben
n
hervorgehen, wenn man ^ — 2x für ^ schreibt und
setzt. Sodann ergiebt sich auf die mehrfach erwähnte Art
« cos(m/4-^) cos 2x— e'sin (w'+iy) sin 2x ■=• — ^ cos (+-4-Jlf' +2fA)
f cos (a><+i?) sin 2x+«'8in (af-f-iy) cos 2x = + ^ sin ('|»-f-if '+2^)
und auf ähnliche Weise
^to%{^M'+2^) = «co8(Mf+t?)cos2(3/'+fi)-.i'sin(oK+iy)8in2(ilf'+f*)
^8in(++Jlf' +2fi) — £COs(oK+iy)sin2(Jf '+ft)+«'sin(cD<+iy)cos2(3f '+fi)
Die Differentialgleichungen pag 79 ergeben also:
^* — ^/ö)8in((»<+^)(«co8(co/-|-i;)co82(ilif +fi) --e'8in((»<+i2)sin2(3f4-;*))
Mit JUeinctt auf (fit BtHatüin tUr EH*. 89
dT""" ;i^i«>*<"H-^)(«08Cox+i))co82(Jtf'-|-t.)
— t'«in(oH-^)«ii»2{Äf +f*))
4-«'«Il(wtf»l)C082(M'+(l))
— *'riii(nw+ij)8in2(3f+(*»
+^—p^iH<ot-\-7i)(tcm(0i+it)»m2(Ae+ii)
+I*nD(MH-1j)C082(3f4-f.))
und bei AtufOhrniiK dor Integration unter Vernachiassigatig too f
g^en n erh< nun:
i' ^{C082(JM'+^)-C082{+,+,.))
— K^ual(itäaaicotl2(M'+ii)+i'eoac^nii2(M'-\-ft))
— ^in(iX((C0s(araiD2(Jir-]-fi)+t'sia«)'C0BS(Jf-|-f>))
df,-
rj(8in2(ilf+,i) - Bin2{+o+(i))
+^8inoKf-j— 7i8in(i»(sin2(3f'+n)— coB(o<«iH2(jlf+c))
*" ~ 2f^cS^(wn2(3f+,*)-BiD2(+o+^)H-^ȟMiii2(Jf+C)
wo ät, it". St], 9a znr Zeit / — ^ — 0 oder für »j — 0 nnll werden.
Eine Keihe von Gliedern werden wieder fOr den Fall ^ — 0 nngttltig,
fOr den dann Reihe nentwickelungen Torzunebmea wkren. Die Grösse
wird, da die a-achse die des grössten Haapttragheitamomentes sein
sollte, weeentlich positiv sein, sie wird von dor Beschaffenheit der
IJnsfl abhangen, ob diese homogen und prUcise gearbeitet ist. Eanm
wird J grösser als ein Unnderttansendtel sein, weil ja in A nnd B
gleichzeitig das wirksamste Glied »4c,* ist. Ftlr diesen Wert ist
90 Samt er: Theorie des Gaussischen Pendels
Ja} 137Un
~W *" ^QQQQQ cosecy -= 0,1077 coseccp
wenn man anuimmt, dass das Pcndol ein Secundeupendel ist Und
dann würde das Maximum von öa für sin 2(4^0 -4~f^) ^ ^ ^^^ ^ *^ Q
iaM = 17,44 fc'cosecip
also würden diese Störungen immerhin für solche Werte von c' merk-
lich sein, die das Hauptglied
zur Erscheinung kommen lassen.
Die Variationen hangen von dem Winkel (+o + ^) oder auch von
9Q0 — ^^ — ^^ d^ h von dem Winkel ab, unter dem die a-achse in
der Ruhelage gegen die anfängliche Schwingungsebene geneigt ist.
Jedenfalls erscheint bei Anfertigung der Linse die grösste Sorg-
falt in Beziehung auf Form und Homogeneität geboten.
22.
Der Neigungswinkel v der beweglichen Achse gegen die Ebene der
a—b erscheint in den Formeln mit der Grösse ^ multiplicirt, deren
Maximum wir auf 0,001 taxirt haben; wenn also v ungefähr f^ be-
trägt — was sicherlich ein der Vollkommenheit der Technik nicht
entsprechender Wert sein wird — so wird schon
Q
^, V — 0,00001
Die Wirkung des Fehlers muss also schon deshalb sehr gering sein.
Die vorerst zu berücksichtigenden Glieder sind
^n 2C _ ,d(^8in'l') rf(^cos+)
Ä'--v^cos+-^-^j ^— -
dr C d{^C0h'}f)f^d&
dt ^ e'^ dt
(^^J-dsin+J/dsin+))
C / d^ d* \
-{- ^v^cos 'l' ( ^cosK^(^cos^)— %^sin4»^(^sin+) )
Da nun bei Vernachlässigung von f gegen o
(I) ^(^cos'V) = — w^^cos'I'; ^(^sin^J») =• — w*^sin +
und ausserdem
mü Rüdesicht amf die Rotation der Erde, 91
ist, uDd ferner aus (I) folgt
(^^ {& cos ^)\ == — 0)2 ^« C08» + + F (M')
wo F{M') eine uns nicht weiter interessirende Function von M' allein
bedeatet, so ergiebt sich
% - 2 1. {J^(^8in*)(^J^*^^
+i^co8+~(^in+))}
fzr'
~i = I*' j(^^"'^-^y^cos+-(co«^2co8*|~w«^«8in»^^
-^ — -Tjv |--2co*ö'*cos*^^.(^8in^')— o)*^*8in +008*1' ^^cos+
+ ^^(^8in+). iT[3f')}
^ « ^,V(— 2ca-d3c083^H-C0»^38in2^C08H-i^(3/')^C08+)
Demnach wird
^ ^ ,^-2^}(-2co*^«cos«++nM0)(^/^in4,)--^co8 + ^^^
rfr
— w^^^sin-j» cos d j(& C08^/)-}-^in +-rr J I
H^ ^vl-- Sö^^cosV+cj^d^cosrf F(^')^C08^|
Von dem in H allein vorkommenden Gliedo
7^.VG)*v^'C08V
erkennt man auf oberflächliche Betrachtung, dass bei seiner Sub-
stitution in die allgemeinen Differentialgleichungen pag. 61 der Nen-
92 Samt er: I%eon« des Gaussitchen PendeU
ner ^' sich forthebt, und die rechten Seiten sich vermöge des pag. 68
gegebenen Aasdmcks von ^cosv als homogene Functionen ungeraden
Grades von sin(co<-|-iy), cos(ü)<+^) darstellen lassen, also integrirt
durchaus unmerkliche Variationen liefern. Die andern Glieder von
G und H lassen sich auf die Form
6r «iS sin V /f-»5cosv
bringen, wo
5 — ^v |— 3w»;?^»cos*v+F(Jlf' )^|
gesetzt ist. Also sind die Differentialgleichungen pag. 79 unten an-
wendbar, und man erkennt, dass nach Forthebnng von & die rechten
Seiten dieser Differentialgleichungen sich wieder als homogene Func-
tionen ungeraden positiven Grades in sin ((Xit-^ti)^ cos (cor 4~^) ^^'
stellen lassen, die Integration also nur völlig unbeträchtliche Tenne
liefern kann.
dr
Indessen kommt in --j- noch das Glied
at
v^ncoBq>smn'-^
vor. Dasselbe ist von der Form eines auf pag. 85 betrachteten
Gliedes, und da dieses von merklichen Termen nur einen der Zeit
proportionalen in da geliefert hat, so können wir direct schliessen,
dass das oben hingeschriebene Glied als einzig wahrnehmbare Störung
•=• jgnCOSySin^f
liefern muss. Aber selbst dieses Glied würde, wenn das Pendel einen
ganzen Tag am Aequator schwingen würde und so aufgehängt wäre, dass
91 = ±1
ist, d. h. dass die feste Achse von Westen nach Osten aufgelagert
ist, bei den angenommenen Maximalwerten von ^und v nur eine schliess*
liehe Abweichung von 3",2 ergeben. Ein Fehler v in der Lage der
beweglichen Achse gegen die Ebene der beiden grössten Haupt-
trägheitsmomente wird also, wenn sein Wert f^ nicht überschreitet,
sicher nicht zur Erscheinung kommen — es wäre denn in Gliedern
die ausser v noch eine andere kleine Grösse zum Factor haben.
mit Rückncht auf die Rotation der Erde,
93
23.
Um den Einfluss einer geringen Neigung der festen Achse gegen
den Horizont auf die Bewegung des Apparates zu untersuchen, gehen
wir von den Gleichungen
dP
dF* { C\
— « a>>td>sinv4'''C08 9>co8V[i(l — ötJ
dm
dt
ans, von denen das letzte Glied in
dr
dt
mit dem eben betrachteten
Gliede in der Form übereinstimmt. Dieses Glied liefert als merk-
liche Störung nur
6a « ncos^ cosW» (l — ögj «,
wegen der es sich empfehlen wird jene Neigung % so gering als
möglich zu machen, die feste Achse aber weitest von Westen nach
Osten aufzulegen^ damit der absolute Wert von cos VI klein bleibe.
Da zwischen den Gliedern
ä" — — 2o}*idcosv'} -jr = Gjl^i&Bin^
dr
dt
die Relation
dr Id^
dt '^ 2 3v/
stattfindet, so ergibt sich nach pag. 86
G^ =- i ^ iS" ^^ — «*»^C08y»
H
dT
dt
fo^i^ sin tp
und die Differentialgleichungen müssen aus den pag. 79. gegebe-
nen hervorgehen, wenn man
setzt und für
5— w*»^
Hinyf resp. cosy^
— cosv resp. sinyr
schreibt. Man erh< so die Difforentiali^AicIiiuigeii
94 Samt er: Theorie des G aussuchen Pendels
dB
TT ■=» foism (w<+^) COS 3/'
».^
^ — ^FL f^ cos («/ + ?7)cosAf'+ ^2ZI7-iSiu(ci)^ + i?)8inA/'
da cDis . - CDi«'
Die Integration gibt bei Vernachlässigung von f gegen m und passoi\,-
der Bestimmung der Constanten
Öi « — tC083f'(C08M«--l)
Öe' « i sin M' sin g)<
Äiy ==- "2 — ;^ cos 3/'sin w« jj — 72 8in3f'(cosai«--l)
> i *
^a = "ä — Tj sin M'(c08 cot — 1) — -^ — ;^ cos M* sin ©f.
Diese Glieder sind für kleine Worte von i unmerklich; die Aus-
drücke für örj und öa werden freilich für kleine Werte von f un-
brauchbar, aber das kommt daher, dass wir bisher die c-achse als
in der Ruhelage mit der ?r-ach8e zusammenfallend angesehen haben,
während sie vielmehr mit der {;-achse zusammenföllt. Das wird sich
bei der späteren Untersuchung der Gleichgewichtslage zeigen.
24^).
Wir haben von der vorhergehenden Betrachtung die sogenannten
Störungen zweiter Ordnung ausgeschlossen. Dass sie teilweise nicht
unbeträchtlich sind, lässt sich folgendermasseu einsehen:
Die beträchtlichsten Störungen sind von uns durch Integration
der Differentialgleichungen *)
dfj
ilt
€la
'dt - 8 ""
1) Hansen a. a. O. png, 58 f.
2) Tgl. pag. 61. und 65. nnten.
mk Rmdaieki amf dk Bolaäom der Erde. 95
gefanden worden, indem rechter Hand s und i' als constant ange-
sehen wurden. Das ist strenge genommen nicht richtig, wir haben
vielmehr znr Ergänzung nach Variation der rechten Seiten in die
Gleichungen
die im Laufe der Untersnchang erhaltenen Variationen von t nad t'
einzusetzen '). Snbstitnirt nuw z. B. die pag. 81. erlaugten Variationen,
and zwar nur die wegen des Kenners f bedeutendsten Glieder der-
selben, so erhält man
^ ~ -'(C08 2ilf'— C08 2^o)
und hieraus dnrch Integration und passende Wahl der Constanten
öfi = 0;
3ai'«(e«--««) ^ 3©'«
6a =
gj| co8 2«^o* ■~i28P (^* -" «'*)(siJi 2A/'— 8iu2^o)
Wenn hier auch das erste Glied durch passende Wahl von v'o
zum Verschwinden gebracht werden kann, so ist der zweite Term
wegen der Factors P im Nenner doch fllhig die Bewegung sehr zu
modificiren. Glieder von ähnlicher Natur und ebenso beträchtlicher
Grösse — wie wir sie eben als Wirkung des ersten, mitschwingen-
den, Körpers erkannt haben — werden erhalten, wenn mau in die
auf der vorigen Seite unten stehenden Differentialgleichungen die der
cardanischen Aufhängung cutstammenden Variationen von pag. 70.
einsetzt — oder die Variationen 6s und 6£\ die in Abschnitt 19. be-
trachtet sind und von der Existenz eines geringen Abstandes zwischen
den Achsen der cardanischen Aufhängung herrühren, — oder die
Variationen, die ein geringer Unterschied zwischen den beiden grös-
seren Hauptträgheitsmomenten erzeugt.
25.
Wenn der Apparat absolut vollkommen gearbeitet wäre, so fiele
der Schwerpunkt in die Achse des kleinsten Trägheitsmoments, diese
1) cf. die oberflächlichen Betrachtangen pag. 70. f., 88., 84. and 89.
96 Samt9r; Theorie des GausMiiehen Pendels
in der Ruhelage in die Vertic&le , nnd ebenso fiele die to-achse —
da < » 0 w&re — in die Verticale; somit wäre in der Rohelage
^ — 0. Der Apparat schwingt jedenfalls nm die Richtung der
Schwerkraft, nnd wenn wir den Wert ^' finden können, den ^ in
der Ruhelage hat, so haben wir den Winkel bestimmt, den jene
Richtung — wenn der Schwerpunkt in der c-achse läge — mit dieser
bildet Wir werden den Winkel O' ohne die letzte Voraussetzung
berechnen.
Um &' und yr' *^ den Wert von t/t in der Ruhelage — zu
finden, suchen wir ^) die Maximalbedingungen des Ausdruckes
„ Osinysin^t
welcher bis auf einige — hier weggelassene — kleine Glieder, die
im Endresultat« nur Producte kleiner Werte liefern würden, mit
dem Ausdrucke rechter Hand in Gleichung (23) pag. 42. aberein-
stimmt. Differentiirt man diesen Ausdruck, nachdem man ihn durch
sn^<^ ^j^^|. jjj^j^ jjj^gjj ß. ^jjj^ ^^ gQ erhält man als Gleichungen
für ^' und v'
(I) t cos ^^'^'4- - smiw'+fL—i^) - ^^ ^'sin y^' sin i, - 0
(II) — »sin v'^'H- - ^'cos(v'+|*-h)— ^^ ^'cos y^'sin i^ - 0.
Die zweite Gleichung wird nach Division durch ^'cosv^' und
Auflösung von cos(^'4'f^'~4) ^ tangti'' linear und ergibt
-cos(|Ä— 4)— -p- sint,
tangv —
^ 8in(f* — tj) + »
1 /«• , V ^*i . \
8iu^' = N ycos(^-^).- — srnh )
COSy' = NV'^%^^^^^ ^**V
WO
1) Abweichend von Hansen, der pag. 55. a. a. 0« einen anderen Weg
einichlftgt.
mit Rüeksieht auf die Rotation der Erde, 97
N » |/(2co8(,-g-5^ sin ^) + (^;8in(, - ^)+.y
gesetzt ist. Setzt man diese Werte in die Gleichnng (I) ein, so er-
hält man nach einiger Rednction
wird
Durch ^ und y/' ist die Gleichgewichtslage bestimmt. Speciell
1) für ^^sinij-O, ^-0
^=t; taugvr'«0
2) für - - 0, t - 0
sin t, '; tang y^' « — od
3) für t-0, ^^siui, «0
O' = -, tang 1//' = cotg (u — 4).
In der pag. 52. definirten sc^ebene hat der Paukt, um den das
Pendel schwingt — wie leicht zu sehen ist — die Coordinaten
yo = — ;-cos(fi — ig) +-r7^^^H-
26.
Das der Untersuchung bisher zu Grunde gelegte System der ti,
V, tr eignet sich nicht, um darin Beobachtungen anzustellen. Zu
diesen wird mau im allgemeinen sich des zuerst eingeführten Sy-
stemes der |, 17, i bedienen und in Beziehung auf dasselbe die Coor-
dinaten eines im Pendel festen Punktes a\ b\ c\ der der Achse
des kleinsten Trägheitsmomentes nahe liegen wird, in's Auge fassen*
Die Transformation der Coordinaten geschieht durch die Gleichungen
(2) pag. 5. und pag. 9. mit Rücksicht auf die Ausdrücke der U|,
üt, Us etc. und der Oj, /?i, y^ etc. Man gelangt dabei schliesslich —
bei Yemachlässigung der Prodncte von a' and b' mit andern kleinen
Werten — zu den Gleichungen
Areh. der lUth. u. Fkjs. %
98 Samt er: Theorie des Gaussischen Pendds
§ = — ZsinW-^sin ip+a* sin (yi — H) — 6'co8 (fi — H)
+<?'8in^co8(v' + a) + c'iCosa
1? « icosll^8inv' + o'co8(ft-'H)+y8in(f*— W)
+ c' sin d' 8in («^ + W) + c't sin »
Da {; im YerhältDiss zu den anderen Coordinaten geringen Aen-
derungen unterworfen ist, so eignen sich zur Beobachtung nur £
und t;.
Um die Variationen dieser Grössen zu erhalten, bat man in die
Ausdrücke der i und ri die im Laufe der Untersuchung erlangten
Werte der 8t ^ ös\ ötj und öa einzusetzen; und, da wir Producte
kleiner Grössen vernachlässigen, so ist diese Substitution nur in
Jj — c'8inv^cos(«/'+8)
i;, = c'sini/^sin(y4"®)
nötig; da wir in den Störungsgliedern aber nur die beiden niedrig-
sten Potenzen von v^ berücksichtigen, so hat man einfach
ri\ =-c^8in(v+a)
zu variiren nach £, c', rj und a ^). Setzt man in die entstehenden
Gleichungen z. B. die durch den Fehler i bewirkten Variationen
pag. 94. ein, so müssen sich - wie a priori klar ist — die Glieder
c'»cos9( und c'* Sinti in J und ri wieder fortheben.
Die Resultate der ersten Näherung stimmen mit Rücksicht auf
die durch die Erdrotation bewirkte Drehung einer im Pendelkörper
festen Ebene mit Hansen's Ergebnissen überein.
Von den Hauptgliedern der zweiten Näherung erscheint das
Ilansen'sche Störungsglied ijicose't der Bewegung der sogenannten
Schwingungsebene bei uns verneunfacht — was auf ein Versehen von
Hansen zurückzuführen ist.
1) Dabei ergeben sich genau die Ausdrücke von Hansen a. a. 0. pag. 55.
bis auf den hier hinzugefügten Factor c'.
mit Rücksicht auf die Rotation der Erde, 99
Eine durch durch die cardanische Aufhängung erzeugte periodi-
sche Ungleichheit in der eben erwähnten Bewegung ^) wird nur für
Tcrhältnissmässig grosse Werte von ^ eine dadurch hervorgebrachte
Ycrändemng der Schwingungsdauer wol niemals merklich sein. Die
grösste Herabdrückung des Verhältnisses j, erscheint geboten.
Störungen, dadurch entstehend, dass die Achsen der Aufhängung
sich nicht genau rechtwinklig schneiden, oder dass die beweg,
liehe Achse mit den Achsen der grösseren Hauptträgsheitsmomente
nicht genau in eine Ebene fällt, oder dass die Achse des kleinsten
Trägheitsmomentes in der Nähe Schwerpunktes vorbei geht, ihn
nicht enthält, haben sich nur völlig unmerklich er ergeben.. Der
Umstand, dass an der Bewegung ein Körper von geringer Masse
beteiligt ist, oder dass die Achsen der Aufhängung einen ge"
ringen Abstand haben, erzeugt periödfSTJhe — vielleicht nicht unbe-
trächtliche — Variationen in der Bewegung der Schwingungsebene '),
der letztere Umstand bringt aber auch eine der Zeit proportionale
Aenderung derselben hervor, deren Wahrnehmbarkeit zweifelhaft
bleibt, während beide Umstände die Schwingungsdauer modificiren.
Ein Unterschied zwischen den beiden grösseren Hauptträgheits-
momenten erzeugt periodische Störungen in der Bewegung der
Schwingungsebene, die aber nur bei einiger Beträchtlichkeit des
Fehlers zu beobachten sein dürften ^).
Wegen einer durch| das Vorhandensein einer geringen Neigung der
festen Achse gegen die Horizontalcbene erzeugten der Zeit propor-
tionalen Variation der Bewegung der Schwingungsebene erscheint os
vorteilhaft diesen Fehler weitest hcrabzudrücken und die genannte
Achse von Westen nach Osten aufzulagern.
Einige durch Variation der Coustanten gefundene sehr beträchtliche
Störungen zweiter Ordnung ^) lassen vermuten , dass die Art und
Weise, in welcher jene Methode angewendet wurde, für eine wei-
tere Behandlung des Problems nicht brauchbar sein wird.
1) Dieselbe ist eine StOrung zweiter Ordnung (cf, pag. 70 f., 95 f,).
2) cf. die Bemerkung der vorigen Seite.
3) E^ sind die in den Anmerknngcn 1) dieser Seite betrachteten.
100 Misceiien,
n.
Miscellen.
1.
Einige Bemerlcaiigreii ttber Tolllconiniene Zahlen.
Der Aufsatz des Herrn Seelhoff: „Ueber vollkommene Zahlen,
insbesondere aber die bis jetzt zweifelhaften Fälle 2*^(2*1 — i)
2*6(2*7 — 1) und 2"(2W — D" (Hoppe, Archiv. 2. Reihe, Band 2.
1855. S. 327. ff.) gab mir Veranlassung meine darauf bezüglichen Rech-
nungen aus dem Jahre 1872 wieder durchzusoheni, und möchte ich
mir erlauben , einige Bemerkungen an den bezeichneten Artikel an-
zuknüpfen.
Der Verfassser gibt
2*1 — 1 = 13767 . 164511 353 ; 2*7 _ i — 2351 . 59862 819377
und
2M— 1 = 69431.129728784761.
Zunächst bemerke ich , dass hier der erste Factor von 2*^ — 1
nicht 13767, sondern 133^7 ist, was schon aus dem Umstände folgt,
dass der in Frage stehende Factor die Form 2Äl.y\'l haben muss.
Ferner fügt der Verfasser hinzu, dass in jedem Falle jeder der
Factoren prim ist. Dem muss ich in Bezug auf den zweiten Factor
253 __i widersprechen, denn es ist
1 29 728 784 761 -= 6361 . 203 94401 .
Mersenne sagt in Mcrsenni Cogitata physico-mathematica Pari-
siis 1644, praefatio generalis § XIX : Ubi fuerit operao preüum advertere
• • •
•• •
• • • •
• * « •
• : '• • : • '
• • * • • • • •
• • ••••« •
• • • • • • •
MUe^lUn,
101
XXYIII nameros a Petro Bongo pro perfectis exhibitos, capite XXYIII
libri de namens, (der Titel dos Baches lautet: De mystica nomero-
rnm significatione) ; es erschien in 10 Auflagen, (die erste 1583 — 84,
die letzte 1684) non esse omnes perfcctos, quippe 20 sunt imperfecti,
adeoat solos octo porfectos habeat, videlicet 6,28,496,8128,33550336,
8589869056, 137438691328 et 2305843008139952128 ... Porro
nomcri perfecti adeo rari sunt, ut undecim damtaxat potaerint hacte-
nns inveniri: hoc est alii tres a Bongianis differentes: neque enim
alias est alias perfectas ab illis octo nisi saperes exponentem name-
ram 62, progressionis daplae ab 1 incipientis. Nonas enim per-
fectas est potestas expoaentis 128 minus 1. Decimus, potestas ex-
ponentis 128 minus 1. Undecim denique potestas 258 minus 1, hoc
est potestas 257 uuitate decurtata, multiplicata per potestatem
256. etc.
Beweise fttr die im vorstehenden Citat gegebenen Behauptungen,
sind mir in der mathematischen Litteratur nicht bekannt. Zwar
stellt E. Cb. Catalan in seinen Melanges mathömatiques , Bruxelles
Tom. 1. 1885 p. 376. den Satz auf, dass, wenn 2^— 1 = einer Primzahl
p ist, auch 2P — 1 wieder eine Primzahl ist; aber den Beweis bleibt
er schuldig. Wäre diese Behauptung richtig, so würde allerdings
folgen, dass 2**^— 1 prim ist, da
eine Primzahl ist.
27 — 1 « 127
Um nun etwaige fernere hierauf bezügliche Rechnungen zu er-
leichtem, gebe ich den Wert von k für diejenigen Zahlen 2^ — 1,
welche ich bisher als zerlegbar gefunden habe; dies ist der Fall für
l =» 59, 73, 79, 83, 113, 131, 191, 233. Für alle Zahlen 2^—1, für
die Primzahlen A i=^ 2 bis A « 257, erhält man daher folgende Zu-
sammenstellung.
1) Als Primzahlen erwiesen sind die Zahlen:
2« — 1 -.2+1; 2» — 1 -2.3 + 1; 2*— 1 = 2.5.(3)+l;
27— 1 = 2.7. (3«) + l; 2^» — 1 = 2.13.(3«.5.7) + 1;
217—1 -2.17.(3. 5. 257) + l; 2»9— 1 == 2.19.(33.7. 73)+ 1;
231 — 1 -« 2.31.(3«.7.11.151.331) + 1.
2) Nach dem obigen Oitat von Mersenne sollen ferner
2«7 — 1, 2"7_i^ 2«67— 1
Pijmzahlen sein, was noch zu erweisen wäre.
3) Zerlegbar sind dageger
• » •• •* *»• ••• .
' -102 mieiUn:
2"— 1 « 23.89 « (2.114-1)(23.11 + 1)
223—1 = 47.178481 « (2. 23+1) (2*. 23. 485 + 1)
2»— 1 « 1103. 233. 2089 = (2.29. 19)+1) (23. 29+1) (2». 29 .9+1)
237-1 « 223.616318177= (2.37. 3+1) (2^37.520539+1)
2"--l « 13367.164511353 - (2. 41. 163 + 1) (23. 41 .501559 + 1)
2*3—1 -431.20408568497 -(2. 43. 5.+ l)(2*.43. 29663617 + 1)
2*7 — 1 « 2351.59862819377 - (2. 47. 25+1) (2*. 47. 7960 4813+1)
2" - 1 « 69431 . 6361 . 20394401
«(2.53.655+!l)+(23.53.15 + l)(25.53.12055+l
2W - 1 = 179951 .p59 - (2 . 59 . 1525 + 1) .^59 ]
273- 1 « 439.^73 - (273.3 + l).p73
279—1 « 2687.^79 -=. (2.79.17+1) .p^j,
283-1 = 167/^,3 « (2.83+l).;>83
2"3__i «339l.p,i3— (2.113.15+l).pi,3
2«3i-l « 263.;),3, = (2.131 +l);>,3i
2^w-l = 383.p,9, « (2.191+1). pi9i
2«33-i «. 1399 .p,83 - (2.233.3+l).p233
4) Demnach bleibt noch für ;. = 61, 71, 89, 97, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 199, 211, 223, 227, 229,
239, 241, 251 zu untersuchen, ob 2^—1 in Primfactoren zerfällt
oder entgegen der Behauptung Mersenne's.eine oder mehrere dieser
Zahlen prim sind.
Ich bemerke übrigens, dass von 237 — i an der zweite Factor pa
in ein oder dem andern P'all sehr wol selbst noch in Primfactoren
zerfallen kann, doch erscheint mir eine dahin zielende Untersuchung
bedeutungslos. Die unter 1) und 3) gegebenen Zahlen sind in der
Form 2A/Z + 1, resp. (2A5; + 1)(2«A^ — 1) geschrieben. Versteht man
nämlich unter z und y ungerade Zahlen, so muss jede Zahl 2^- — 1
(X ungerade Primzahl) von der Form 2A2 + I sein, und ist 2^ — 1=-
P1P2P3 ""* sö ^^^^^ ^^^^ leicht zeigen, dass einer und nur einer der
Factoren p die Form 2Aä + 1 haben muss, während alle anderen
Factoren von der Form 2«A2/ + 1 sind, wo a > 1 ist.
Ferner ist stets
l'l \ / A—l
2A-I — 1==\2 +1/U ^ — l/=OniodA
G'^'+OG'-^'-.)^«
Ist also A so beschaffen, dass sowol A, als auch -h- prim sindj^nd
MisctlUn,
103
1—1
X-1
2 2
dass 2 4~1 nicht durch k teilbar ist, so kann 2 — 1 keine
Primzahl sein. Durch diese Schlüsse oi^bt sich auf die einfachste Weise
dass 2»— 1, 2M-1, 283—1, 2'3i— 1, 2*9i-l keine Primzahlen
sein können.
Berlin, April 1886.
G. Valentin.
2.
Ueber die Bcstimmungr der reellen Wurzeln
trinomlscher Gleiehungren.
Das im zweiten 1885 erschienenen Teil dieses Journales, von
Herrn Sanio angegebene Princip der Glcichungs-Auflösung durch
Beihen bietet, soweit es sich um reelle Wurzeln handelt, in gewissen
Fällen rechnerische Vorteile.
In Nachfolgendem möge die Anwendung dieses Principes auf die
Bestimmung der reellen Wurzeln trinomischer Gleichungen dargetan
werden, wobei nur diejenigen Fälle berücksichtigt sind, in denen
positive Wurzeln vorhanden sind. Die negativen Wurzeln ergeben
sich dann durch die Substitution
X
— 9
Es kommen daher folgende Gleichungs-Formen in Betracht:
a5"* + a«* — 6 «- 0 1.
a;»*— aaJ" — 6 = 0 2.
aj"» — aa;»»-f* « 0 3.
in denen m und n ganze positive, a und b positive Zahlen seien.
m ^ n).
Erste Form.
x^-\'€U[i^ — b — 0
Die gegebene Gleichung wird auf die Form
104 Mitcellen.
1
m
b+J-]
gebracht, and mittelst derselben die nachfolgende Reihe gebildet:
1
m
" " i'+y
1^
m
'"['+y
1^
m
" W^
in der
0<c<oo
ond sämtliche Wurzelwcrte positiv zu nehmen sind. (Letzteres gilt
für sämtliche nachfolgenden Zahlenfolgen).
Diese Reihe strebt der gesuchten Wurzel als Grenzwert zu, was
sich leicht ergibt, wenn man den Verlauf der beiden Functionen
m
(1)
geometrisch darstellt.
Für Ä « OD ist
v+^W
MitcelUn»
105
m
Ferner ist
yj = *
cL h. für positive Werte stets positiv, woraus der Verlauf der Curve
(1) za ersehen.
Zweite Form.
i>ifi
oa^« — ft = 0
Man benutzt die Gleichung
1
m
nnd bildet die entsprechende Reihe mit beliebigem posit. Anfangs-
wert Die Brauchbarkeit dieser Reihe erhellt wiederum aus der
geometrischen Darstellung der Functionen
Vi
X
m
in welcher wieder auf den Verlauf der höheren Differentialverhält-
nisse keine Rücksicht genommen ist.
Dritte Form.
x^ — ax^-^-b = 0
Im vorliegenden Falle ist die angegebene Methode nur dann
vorteilhaft, wenn die beiden etwa vorhandenen Wurzeln sehr von
einander verschieden sind. Anderenfalls convergircn die Reihen zu
langsam. Für die beiden Wurzeln sind zwei verschiedene Reihen
erforderlich.
Zur Bestimmung der kleineren Wurzeln bildet man unter Be-
natzung der Gleichung
1
die erwähnle Reihe, in der man
106 MwMm.
1
m — n
wählt
Zur Bestimmung dor zweiten Wurzel dient die Gleichung
m
X = (ac* — b)
In der zugehörigen Reihe wählt man
1
m m — n
<«o<a
Wendet man die beschriebene Methode beispielsweise auf die
Gleichung
Ä^^ + ic — 100= 0
an, so findet man
setzend Folgendes:
rci = 2,481
«, = 2,4988
a?3 — 2,4992
X4 -= 2,499203.
Th. Baumgardt,
stud. electrotechn.
3.
Teilung einer Creraden naeh dem goldenen Schnitt«
Die Gerade AB = a ist gegeben. Man errichte auf ihr das Lot
i?6'«2a, halbire den Winkel BAC durch die Transversale ADi
dann ist BD gleich dem grösseren Abschnitt des nach dem goldenen
Schnitt geteilten AB.
Es verhält sich nämlich
MisceUen.
107
also
daher ist
w. z. b. w.
BD \ CD => AB \ AC ^ 1 : Vh
BD: BC ^l\l-\- V/5
BD
2a
\ 5-1
1 + V5
a
Linz, April 1886.
M. Weidenholzer.
4.
Zur Sammation endlicher Reihen Ton der Form 2kuk,
Bfldet man aus den reciproken natürlichen Zahlen die Tcil-
snmmen
H = h «« = l + ii *3 = l + i+i, ••• «n - l+4+i+-4- ~ •
so besteht die Beziehung
von der Herr Mansion gelcgentlic}! Gebrauch macht *). Man kann
dieselbe erhalten, indem man die Brüche, die die Summen auf der
linken Seite bildcu, in der Form
».l+(n-l)J+(»-2ji+ ... +2.-^+1.^
zusammenfasst und hierzu gliedweise die Identität
0=-l.l + 2.i+3.i+... 4-(n-l).-j^j+n.^-n
addirt
Dasselbe Verfahren wollen wir auf eine ganz beliebige Reihe
anwenden. Aus
1) „Sur la s^rie harmonique et la formale de Stirling^. Matheiif. I.
S. 169, aach Mcisenger of Math. XI. S. 38.
108
MücelUn,
ü,=
«*1
cr,=
«h+w«
v> =
«*l + «J + «3
folgt
-|- ... -{- 2f*»-i + tt»,
und, wenn wir hier
addiren and wieder sabtrahiren, ergibt sich
oder auch
N » M
l^Ärtijk = (n + l)2:tt* — ^(fi, 4-^*2+ •• +w») (1)
1 1 1
Die Samroirung von ükuk ist somit zurückgoftthrt auf die Sam-
mirung der einfachen u-Reihe und der sammatorischen Function ük
derselben.
Die Formel ist übrigens ein spocieller Fall des AbeFscben Satzes,
wonach
Anwendungen.
»—1
£ukVk= £ Uk(vk'—Vk^i)'\'UnVn
ist und ans dem sie für vk=zk heryorgeht.
Es ist bekanntlich
. n
H ^'^2* n+l
(2) 2;8inA;a; — r sin^-a:
smg
fcosfc.-_i_eos^^,
8in|
wie man z. B. finden kann, indem man die geometrische Reihe
n
2^*^ summirt und Reelles und Imaginäres trennt
1
MüeeUen,
Sei nun uk «= sinkx^ so haben wir nach (1)
109
wobei
M HM
£ksmkx = {n+l)£smkx- £Uk,
also
. flß . kx . k-^1
sin^ t/» =. sin g-sin 2~*
ilcos^— COS^Ajä + QJ,
2 sin 2 -^Ci =ncos2 — cos« ^co&c +sin Q^sinibx
St. Setzen wir für die Summen ihre Werte and maltipliciren wir
X
nochmals mit 2 sin 5, so folgt,
X •• nx n-f-2
48in*2 £Uk = nsina; — 2sin ttcos — s~«
« {n-\'l)smx — sm(n-\-l)x.
Setzt man hier n — 1 statt n und zieht das Resnltat von dem
eben erhaltenen Ansdrnck ab, so entsteht
X
48iu*2 ^M = sin« — sin(n + l)x+sinna;.
Demnach ist
{3a) Zk^inkx = (tt+ lUn- 2Uk
1
(w + l)sinftf — nsin(n4-l)a?
4 sin* 2
Ebenso findet man für ujk -» cos A:x die Formel
(3b) Skcoshx =
(w4-l)C0Syig— nCOS(n+l)ac •— 1
4 Sin* 2
Beide Formeln lassen sich auch herleiten , indem man die Formeln
(2) unter dem Summenzeichen nach x differentiirt.
Bildet man mit Hilfe der Formeln (3)
cos y £k sin kx-\-siny £k cos kx
cosy£kcoskx—siny£k^mkx^
so erhält man allgemeiner
und
IIQ MiscdUn,
i:A;8inrÄ:a;4- ) — (^+ l)8in(yMP +y)— n8in(n + ly + y) — siny
' 4 sin* 2
(4)
" /, , V (n + l)cos(7w4-y)— nC08(n + laJ+y)C0Siy
2.A; COS («X + y) ■=■
* 4 sin*
woraus für y « 0 wieder die Formeln (3) entstehen.
Summation gleich hoher Potenzen der natürlichen
Zahlen.
Wählen wir m* « ätP, so geht (1) in
(6) IjkP+i = {n+VjZkP -2;(1 + 2P + 3P+ ... -\-1cV)
1 1 1
über, und diese Formel ermöglicht die successive Berechnung von
Zk^ £k^^ Lk^ u. s. w., iohne Zuhilfenahme der Theorie der arith-
metischen Reihen höherer Ordnung.
Zunächst ist nämlich nach (5) für p » 0
Zk = (w-f l)n— 2'Jb,
•"'^ "" 2 ^ 2"^2
also
Für /) = 1 kommt
also
32;fc^ = („ + l)*„-(^i)^' = (»-±y-^'(2„+2-l)
und endlich
n^ . n* . n
2;^.2= J;,(n+l)(2n+l) =-3+2+6
/) = 2 ergibt
^n(»+l)»(2»+l)-iXfc3-l„(„+l)(2«+l) - j^ „(„+1),
und man erhält
MiscelUn* } } 2
Sei noch i? = 3, so wird
-SA* = („+1)2:*»- 1; (^ + 1*+ 1*).
woraus
5
4
oud schliesslich
30
folgt. Ebenso ergibt sich
Formel (5) gestattet ferner einige Bemerkungen über die all-
gemeine Form der Potenzsummen.
n
Zunächst lässt sich durch Induction zeigen, dass EkP eine ganze
rationale Function von n vom Grade /j + I ist. Denn sei dies für
ein bestimmtes p der Fall, so dass
gesetzt werden kann, wobei die Coefficienten von p abhangen wer-
den, so ist nach (5)
also
- {p)pEkP - (p)p^i£kP'^ - ... ,
and hier bilden die rechts stehenden Summen nach der Voraussetzung
eine ganze rationale Function (p-^l)iQVL Grades, so dass das erste
Glied der rechten Seite den Grad des ganzen Ausdrucks bestimmt.
Ist also 2kP vom Grade i> + 1 , so ist hiemach SkP^^ vom Grade
^ + 2; nun ist aber für i? =• 0, 1, ... die gemachte Annahme erfüllt,
weil Sh^ eine ganze, rationale Function von n vom Grade 1, Zk^
eine eben solche vom Grade 2 ist; mithin gilt die behauptete Eigen-
schaft allgemein.
112 MUcdlen,
Was die Goefficienten betrifft, so sind dieselben im allgemeinen
bekanntlich von der Bernonllischen abhängig ^) , indessen sind vier
Eigenschaften derselben sofort zu übersehen.
1) Die Function enthält kein von n freies Glied. — Denn ffir
n = 0 moss die Samme verschwinden, also (77)0 = 0 sein.
2) Die Summe der Coefficienfen ist gleich eins. — Dies folgt
anmittelbar aus der Substitution n = 1.
3) Der Coefficient des höchsten Gliedes ist gleich dem reciproken
Wert des Exponenten desselben.
Denn sei dies in EkP der Fall, so dass also
so ist der Coefticient von nPi^ i^ ZkP-^^^ wie aus (6) ersichtlich,
1
(l>)p+i P+1 1
Die Voraussetzung trifft aber für i» » 0, 1, ... zu, gilt somit allgemein.
4) Der Coefficient des zweithöchsten Gliedes ist unabhängig von
p und stets gleich \,
Ist nämlich in ZkP dieser Coefficient (ip)? — ^, so hat in SldP'^^
der Coefficient von nP+i nach (6) den Wert
(l>)p4-i + i— i(2>)p-fi _ 1
1 + (pWi '"^'
bleibt also unverändert. Nun ist für /> = 1, 2, ... jener Coefficient
wirklich i, er behält also immer diesen Wert
Mit Hilfe dieser 4 Regeln ist es leicht, die fraglichen Summen
bis Sk^ aufzustellen.
Berlin, im Juni 1886.
Dr. Heinrich Simon.
1) Man Bühe z. B. die Arb'.it von Arndt, Crcllo Joiirn. Bd. 31. S. 249.
Friedrich: Die ModmlarjfUidkuitgen der Gaioie* ecken Module etc. HQ
m.
Die Modulargleichnngen der Galois'Bchen Moduln
der 2. bis 5. Stufe.
Von
6«trg Friedrich.
* ' I : . ^ ■
EiDleitoDg.
B Untenochniigen aof dem Gebiete der ellip«
B beschlftigeD sich mit der Aofttdlong der
ftr diejenigen Mflgezeidineten Haoptroodoln der
nar bei den weodmlo e ^^f^ Identft&t coogmenten
üves Argamentes m nngeftadert bleiben, Modoln dieser
nr bis einschliesslich der fünften Stnie, nnd zwar sind
Seite her wohlbekannten : das Doi^l? erbiltaiss,
, die Oktaederimtionalität nnd die Ikosa^
Dm diese vier Hanptmodnln sieb bei linearen »•
selbst linear sshstitniren, lo hat infolgedessen die
die Eigenschaft, in sich themgehen, wenn der
6tr transformirte Modnl gleichseitig gfwisKn line-
iterworien werden. Ton dieser Eigenschalt
die ngdMirigen Mndnhuigieichnngen in der
Moddargieichnng hat mai
dareh EinngliWn
, nach F(
fir die M«faria
Tifl HL
J.14 Friedrich: Die Afodulargleichungen der
Dieser Ansatz rührt von Herrn Professor Kloin her, dem ich
die Anregung zu diesen Untersuchungen verdanke, und ist von ihm
in seinem Aufsätze „Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen"
(Mathem. Annalen Band XVII, Seite 69) im November 1879 zur
Sprache gebracht worden. Die folgende Untersuchung, die sich die
wirkliche Durchführung dieses Ansatzes zum Ziel gesteckt hat, gliedert
sich in drei Teile. Im ersten Teil werden über die zu betrachtenden
Moduln zunächst diejenigen Sätze zusammengestellt respective ent-
wickelt, welche für die Theorie der zugehörigen Modulargleichungcn
nötig sind, urd wird damit eine allgemeine Orientirung über die in
Betracht kommenden Functionen gegeben. Zunächst wird die Exi-
stenz dieser und nur dieser vier ausgezeichneten Hauptmoduln aus
dem Gresichlecht des Fundamentalpolygones nachgewiesen. Darauf
wird die Abhängigkeit der Moduln vom Hauptmodul der ersten Stufe,
der absoluten Invariante «/(cd) durch fertige Gleichungen angegeben.
Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, bei gewissen linearen Sub-
stitutionen in sich überzugehen, und diese Substitutionen sind, auf
der Zahlenkugel interpretirt, Rotationen, welche gewisse Figuren in
sich überführen, die mit den regulären Körpern in enger Bezidiung
stehen. Dadurch gewinnt die Theorie dieser Moduln Anschluss an
die Theorie der Drehungen der regulären Körper, wie sie
von Herrn Professor Kloin in einer Reihe von Aufsätzen in den
mathematischen Annalen, besonders im IX. Bande („Ueber binäre
Formen mit linearen Transformationen in sich^) und dann neuerdings
in dem Buche „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung
der Gleichungen vom fünften Grade" dargolegt ist, welchem letzteren
daher ein Teil der zur Verwendung gekommenen Formeln entnommen
ist Schliesslich werden dann noch im ersten Teile die linearen
Substitutionen der Moduln und ihre Zuordnung zu den linearen co-
Substitutionen festgelegt. — Im zweiten Teile werden die besproche-
nen Moduln einer Transformation n. Ordnung unterworfen, wobei der
Transformationsgrad n stets teilerfremd zur Stufe g angenommen wird,
da sich dadurch die Untersuchungen wesentlich vereinfachen, und
werden dann die zugehörigen Modulargleichungen hinsichtlich Grad,
Irreducibilität und Vertauschbarkeit des ursprünglichen und des trans-
formirten Moduls untersucht. Weiter besitzt die Modulargleichung
eine gewisse Anzahl simultaner Substitutionen des ursprünglichen
und des transformirten Moduls, die die Gleichung in sich überführen,
und wird dann weiter die Zuordnung dieser Substitutionen festgestellt.
Hieran schliesst sich die Untersuchung der Ausdrücke, welche beide
Moduln enthalten und bei den simultanen Substitutionen derselben in
sich tibergehen, eine Fragestellung, die durch Einführung homogener
Veränderlicher sofort aufs Gebiet der doppeltbinären Formen führt.
Durch einfache Schlüsse und Verwendung weniger Sätze der Inva-
Galots* sehen Moduln der 2» bis ^, Stufe, XX5
riantcntheoric gelingt es, für allo in Betracht kommenden Fälle
nachzuweisen, dass die Modulargleichung ans einer endlichen Anzahl
doppeltbinärer Formen rational zasammcnsetzbar ist — Nachdem
dieser Nachweis geführt ist, wird im dritten Teile die Untersnchung,
entsprechend den vier Moduln, in vier parallel nebeneinandergehende
Untersuchungen gespalten, in denen fUr jeden dieser Moduln aus-
gerechnete Formeln fürs volle Formensystem, und schliesslich fertige
Modulargleichungen für die niedersten Transformationsgrade angegeben
werden.
Die hier gefundenen Resultate finden sich bereits mitgeteilt in
einer Note des Herrn Professor Kloin „Neue Untersuchungen über
elliptische Modulfunctionen der niedersten Stufen^' (Sitzungsberichte
der mathematisch-physikalischen Klasse der Kgl. sächsischen Gesell-
schaft der Wissenschaften, Sitzung am 2. März 1885, Seite 79 ff.)
Zugleich spreche ich noch au dieser Stelle meinem verehrten Lehrer,
Herrn Professor Klein, meinen lebhaftesten Dank aus für die vielen
Anregungen und Förderungen in meinen Studien, und insbesondere
bei der vorliegenden Untersuchung.
Georg Friedrich.
Capitel I.
Qalois'sohe Hauptmoduln der zweiten bU fOnften Stufe.
§ 1.
Die modulv q zur MentiUU congruetUen StihstUutionen und ihre
Fundamentedpolygone.
Die modnlo g zur Einheit congruenten ganzzahligen linearen
Substitutionen der Determinante 1
worin a, /?, y, d Ganzzahlen sein sollen, die den Congruenzen genügen
cf = <5 ^ 1 (mod q\ ß^y =i O(mod q)
wofür im Folgenden auch kurz
o:P:y:d^l:0:0:l (mod q)
geschrieben werden soll, bilden bekanntlich eine in der Gesamtheit
der linearen ganzzahligen Substitutionen der Determinante 1 ent-
haltene ausgezeichnete Untergruppe vom Index
116 Friedrieki Die Modulargleichungen der
-rK-?)
(1)
wo n über alle in g enthaltenen Primzahlen c zu erstrecken ist,
and X = 1 für 9 » 2, sonst a; « 2.
Die Gesamtheit der linearen ganzzahligen Substitutionen der
Determinante 1 gibt Veranlassung zu einer Einteilung der &)-Ebeue
in Felder, die die fsanze Ebene einfach und lückenlos überdecken,
und deren jedes sich in jedes andere durch eine der ebenerwfthnten
Substitutionen überführen lässt Diese Felder sind dadurch noch
nicht völlig bestimmt und kann man als solche z. B. Figuren an-
nehmen, welche aus zwei mit einer Seite aueinanderstossenden Kreis-
bogendreiecken mit Winkeln -ö-* y* ^ bestehen, so dass sich die
Ecken mit -» an den Stellen
^/« = -J4-iV^), ad-ßy^l
1t
die Ecken mit ^ an den Stellen
a + ßi^* ^ ^^
endlich die mit 0 auf der reellen Axe befinden *). Ebenso gilt auch
jede in der Gesamtheit der linearen Substitutionen enthaltene Unter-
gruppe, vom Index fi — also insbesondere auch die Eingangs er-
wähnte ausgezeichnete Untergruppe der modulo g zur Identität con-
gruenten Substitutionen — zu einer Gebietseinteilung Veranlassung,
die so angeordnet werden kann, dass jedes Feld derselben, jedes so-
genannte Fundamentalpolygon der Untergruppe, aus je fi Feldern
der ersterwähnten Haupteinteilung besteht Die fi Felder solch eines
Polygones gehen aus irgend einem Felde der co-Ebeno durch eben-
soviel Substitutionen her\'or, von denen keine aus einer andern dnrch
eine der Gruppe angehörige Substitution abgeleitet werden kann. Bei
der im Folgenden ausschliesslich zu betrachtenden Gruppe d^r modulo
1) Ueber dleso grundlegenden S&tze aus der Theorie der Modolfnoctionen
vergleiche man etwa Herrn Dodekind's „Schreiben über die Theorie der
elliptischen Modulfunctionen'S Borchardt's Journal, t. 83. p. 965 ff.), femer
Herrn Hurmitz' Aufsatz: „Grundlagen zu einer indcpendenten Theorie der
Modulfunctionen und der zugehörigen Multiplieatorgleichnngen". CMathem.
Annalen XVIII, p. 52S ff.), endlich vor allem Klein „Zur Theorie der ellip-
tischen Modulfunctionen, Annalen XVII, p. 62 ff.
Galois'schen Moduln der 2. bis ö, Stufe. 117
9 znr Identität coograenten Snbstitationen bilden sie insbesondere ein
,,volles System modulo q incongrnenter Substitutionen''
bei denen filr kein Wertepaar Ick* eine Relation
auifiki yk : ii^ €ii^' ßk^iyi^i ^k^ (mod g)
existirt. Solcher Wertesysteme gibt es natürlich gerade P.
Die Kanten, welche das Fnndamentalpolygon begrenzen, hangen
vermittels der Substitutionen der Untergruppe paarweise zusammen.
Durch stetiges Deformiren der Fläche im Sinne der Ändlysis situs
und Zusammenfügen der entsprechenden Kanten erhält man eine
geschlossene Fläche von gewissem Geschlecht, dem Geschlecht der
Untergruppe 'j. Das Geschlecht p des Fundamentalpolygones für die
modulo Q zur Einheit congruenten Substitutionen, des sog. Funda-
mentalpolygones der pteu Stufe lässt sich mittels des Euler'schen
Polyedersatzes
o+£=- i:— 2(p — 1)
bestinmien, worin O die Zahl der Felder (Ebenen) des Polyeders, E
die der Eckpunkte, K die der Kanten bedeutet, und sich diese Zahlen
auf die ursprüngliche Einteilung des Polygones in r Felder beziehen.
O ist also gleich P zu sdzen. Diese P Felder (Doppeldreiecke) er-
geben JT » f P Kanten. Bei der Bestimmung von E beachte man,
dass wenn im Fnndamentalpolygon an einer Stelle o> » (»^ t Felder
zusammenhangen, dann an jeder äquivalenten Stelle
"" a-^ßfOQ
je ebensoviel Felder zusammenhangen müssen. Denn üben wir zu-
nächst eine lineare Substitution auf die co-Ebene aus, so bedeutet sie
auf der, durch das Deformiren erhaltenen, geschlossenen Fläche, (die
wir uns vielleicht in der bekannten Weise als eine Kugel mit p Hen-
keln vorstellen) zufolge der einfachen, lückenlosen Ueberdeckung der
co-Ebene mit Fnndamentalpolygonen , und da wir es oben mit einer
ausgezeichneten Untergruppe zu tun haben, eine ganz bestimmte
(d. h. eindeutige) Verschiebung und Yertauschung der Felder, so dass
jedem Feld ein bestimmtes neues Feld entspricht und die gegen-
seitige Lage der Felder gegeneinander eben infolge der Natur der
ausgezeichneten Untergruppe erhalten bleibt. Hangen also an einer
I) Annalen XVII, p. 65. Citata mit blofier Angabe der Seüensahl nnd
Bandsahl beliehen sich anf die Klein' schni Arbeilea«
IIQ Friedriehi Die Modularghichungen der
Stelle X Felder zusammen, so gehen diese t Felder in r andere über,
die au einer Stelle, und geschlossen, zusammenhangen, so dass an
dieser neuen Stelle nicht mehr und nicht weniger als t Felder zu-
gammenstossen können. Wenn wir jetzt die Zahl E bestimmen
n n
wollen, so ergeben die P Dreiecke mit Winkeln « • "ö i 0 erstlich
n
2P Ecken mit Winkel -^ . Da von diesen je sechs in einem Punkte
zusammenstossen , wie sich leicht ans der Betrachtung des Funda-
mentalpolygons ergibt, so liefern diese 2r Dreieckszipfel insgesamt
^P Punkte. Die noch übrigen P Ecken gruppiren sich in Cyklcu
zu p; denn wenn co » toc ein Eckpunkt des Fundamentalpolygones
ist, so hangen dort wegen der Substitution
Q Dreiecke mit der, dem Winkel 0 entsprechenden Ecke im Cyklus
P P P
zusammen, und ergeben sich so - Punkte, so dass £ gleich 0 -h ~
wird. Daher ist
Ist Q Primzahl, also
so wird für p > 2
(p + 2)(p-3)(p-ö)
P
24
und dies ist null für p » 3 und p » 5. Ist g nicht Primzahl , so
wird
und dies ist für p _. 6 sicher grösser als null, p » 4 ergibt, wie
leicht zu verificiren, p = 0, ebenso noch p = 2.
Das Fundamentalpolygon für die modulo p zur Ein-
heit congruenten Substitutionen hat also nur in den
Fällen p » 2, 3, 4, 5 das Geschlecht Null.
Galois' sehen Moduln der 2, bis 5, Stufe, 119
§2.
Die zugehörigen Han/ptmoduln der 2. hia 5. Stufe,
Wenn das Fundamentalpolygon das Geschlecht Null bat, so
kann man stets eine einfachste Function annehmen, die im gesamten
Fundameutalpolygon jeden Wert nur einmal annimmt^). Diese
Function bezeichnet man als einen zur Untergruppe gehörigen Haupt-
modul. Sei m solch ein Hauptmodul, so ist natürlich jede lineare
Function desselben m = — ^— , (wobei a, h^ c, d nicht reelle ganze
Zahlen zu sein brauchen), ein ebenso berechtigter Hauptmodul, und
da m' von drei willkürlichen Constanton (den Verhältnissen
a ibicid) abhängt, so kann man m\ und somit dem bei der
Betrachtung zu Grunde zu legenden Hauptraodul noch an drei be-
stimmten Stellen des Fundamcntalpolygones beliebige Werte vor-
schreiben. Als Function von o) betrachtet, bleibt der Hauptmodul
bei. allen zur Untergruppe gehörigen (o-Substitutioneu ungeäudert
Die Moduln, welche zu der ausgezeichneten Untergruppe der modulo
Q zur Identität congruenten Substitutionen gehören, bezeichnet mau
aus einem später noch anzuführenden Grunde als Galois'sche Mo-
duln. Galois'sche Hauptmoduln existiren also nur bis einschliesslich
für die fünfte Stufe.
Alle Functionen von co, welche bei den nämlichen Substitutionen
ungeäudert bleiben, und im Fundameutalpolygon keine wesentlichen
Singularitäten zeigen, drücken sich rational durch die zu dieser Sub-
stitutionsgruppe gehörigen Hauptmoduln aus. Insbesondere ist der
Hauptmodul ./, der bei allen (»-Substitutionen ungeäudert bleibt,
durch jeden Galois^schen Hauptmodul der pten Stufe rational dar-
stellbar, («/(cd) ist bekanntlich die absolute Invariante des elliptischen
Integrals erster Gattung mit dem Periodenverbältniss o und identisch
mit der Valenz des Herrn Dedekind*)). J nimmt in jedem der
P Felder des Fundamentalpolygones jeden Wert je einmal an, jedem
Wert J entsprechen also P Punkte des Polygones der pten Stufe,
also auch P Werte des Hauptmoduls n», der etwa, um die Ideen zu
tixiren, so festgelegt sei, dass den drei Werten ooo) ^\ Q>o' ^^^
Werte i»o, w^o', w»o" von m entsprechen. Umgekehrt gehört zu jedem
Werte m ein Wert ./ und besteht daher zwischen m und J eine
Gleichung von der Form
J, q>{m) -1- y\>{m) — 0,
U Vergl. Annslen XVII, p. 64.
S) Vergl. ADoaleD XIV, p. 112, ISO. XVII, p. 65 und Dedekind
Crelle's Journal t. 83, pg* 374.
120 Friedrich: Die Afodulargltidiungen der
worin <p and \p ganze rationale Functionen Pter Ordnung von m
bedeuten. Diese Gleichung mnss für die zu (»= —i+jV— 3
äquiyalenten Werte o>, d. h. für «/ » 0 lauter dreifache Wurzeln m
ergeben. Denn nähert sich J dem Werte null , so rücken die ent-
sprechenden Punkte m zu dreien in die zu « = — ^4- ^ V— 3 äqui-
valenten Punkte zusammen, d. h. werden je drei der zu einem be-
stimmten Werte J gehörigen Werte m einander gleich. Ebenso sieht
man ein, dass diese Gleichung für J= 1 lauter Doppelwurzeln und
ftikr «/ -« OD (9^0) lauter p fache Wurzeln ergeben muss. Diese Eigen-
schaften zusammenfassend* kann man daher die zwischen J
und m bestehende Gleichung in der Form schreiben
Ji (J— 1) : 1 = F,(m)» : F,(i»)» : FJ^myi (2)
Fj, F2, F, sind darin ganze Rationalfunctionen der Ordnungen \P^
4P, -P zwischen denen die Identität bestehen muss
Diese Gleichung (2) hat eine wesentliche Eigenschaft, welche
ein Mittel an die Hand gibt, die Functionen von F^, F,, Fg für die
verschiedenen Stufen aufzustellen.
Durch diese Gleichung wird nämlich eine conforme Abbildung
der P-blattrigen «/-Ebene auf die einblättrige m-Ebene veranlasst
Die Blätter der ersteren hangen bei «/ » 0 in Cyklen zu 3 , bei
J= 1 zu je 2, bei «/= 0» in Cyklen zu je p Blättern zusammen.
Weitere Verzweigungen sind nicht möglich, da sonst das Geschlecht
der Fläche nicht null sein könnte. Die J-Fläche ist also regulär
verzweigt:, die zn einem Werte J gehörigen P Werte m stellen die P
Functionen dar, die in den «/-Ebenen gleichverzweigt sind, sich also
rational durcheinander darstellen. Da sich jeder Zweig durch jeden
andern und umgekehrt rational darstellt, so kann diese Abhängigkeit
nur linear sein , d. h. die einzelnen P Functionen m hangen mittels
linearer Substitutionen zusammen. Diese linearen Substitutionen bil-
den eine Gruppe von P Operationen (die identische Operation W -» m
mitgezählt). Da bei diesen Substitutionen der Wert von J nicht ge-
ändert wird, so folgt:
Die Gleichung (2) geht bei P linearen Substitutio-
nen des m in sich über.
Da weiter jede lineare (ganzzahlige) (o-Sobstitution zwar den
Wert J ungeändert lässt, den Wert m aber im allgemeinen ändert,
so folgt:
Galois' sehen Aioduln der 2, bis 5, Stufe, lOj
Die Galois'schen Hanptmoduln der 2. bis 5. Stufe
sabstitairen sich linear, wenn ihr Argument wganz-
zahligen linearen Substitutionen der Determinante 1
unterworfen wird.
§3.
W^Ure Discussion und Aufstellung der Deflnüionsgleichungen für die
zu betrachtenden Hauptmodidn.
Um einen weiteren Aufscbluss über die Gleichung (2) zu er-
halten, betrachten wir die durch sie hervorgerufene conforme Ab-
bildung der /^-blättrigen ^-Ebene auf die einblättrige m-Fläche.
Diese Abbildung ist überall conform, mit Ausnahme der ./=■ o, 1,
OD entsprechenden Stellen der iw-Ebone, deren Werte tn sich aus
jr^(fn) — 0, respective F, — 0 oder /J — 0 ergeben. Zerschneiden
wir jetzt die y-Ebcne längs der reellen Axe in P positive und ebenso
▼iel negative Halbblätter, und denken uns etwa die ersteren schraf-
firt , so haben wir in der »»-Ebene eine Einteilung in P schraffirte
und ebensoviel nicht schraffirte Felder. Die Begrenzungslinien der-
selben mflssen im allgemeinen stetig verlaufen, d. h. dürfen keine
Ecken zeigen, mit Ausnahme der ./ «= 0, 1, oo entsprechenden Stel-
7t TC JJC
len, an denen sich Ecken mit den Winkeln ^. g. — bilden.
Nun geht Gleichung (2) bei P linearen Substitutionen des m in
sich über. Dabei werden die Werte J erhalten, die Blätter der J Ebene
jedoch vertauscht Für die f»-Ebene bedeuten diese linearen Sub-
stitutionen lineare Transformationen, bei denen die P schrafBrten
Felder der Gebietseinteilung ineinander übergeführt, untereinander
vertauscht werden; ebenso werden natürlich die nichtschraffirteu
Felder vertauscht. Diese Vertauschungen bilden ebenso, wie die
linearen Transformationen von Gleichung (2) in sich, eine Gruppe
Interpretiren wir jetzt die Werte von m auf der Zahlenkuffel
bedeuten die linearen Transformationen Rotationen um die beide
bei der betreffenden Transformation festbleibenden Punkte, Rotatio
der Kugel um die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte als A
Sollen eine Anaahl solcher Rotationen eine Gruppe bilden so mft ^
sich die Axen derselben in einem Punkte des Kugelinneren h -^
den *). Durch eine lineare Transformation der Kugel nnd H^^*'
1) Anoalen IX, pg* 186 ff.
122 Friedrich: Die ModulargUichungen der
ist irrelevant, da ja eben m noch linearen Transformationen
beliebig unterworfen werden kann — kann man dann noch erreichen,
dass der gemeinsame Axonschnittpuukt in den Kagelschnittmittel-
punkt fällt
Die Substitutionen von Gleichung (2) in sich bedeu-
ten daher, auf der Zahlenkugcl interpretirt, Rotatio-
nen der Kugelfläche um centrale Axon.
Bei diesen Rotationen wird jedes Feld in ein congruentes über-
geführt, d. h. die P schraffirteu Felder der Kugeleintei-
lung sind unter sich congruent, und ebenso die Pnicht
schraffirteu.
Was die gegenseitige Lage dieser Felder betrifft , so folgt aus
der regulären Verzweigung der J-Ebono, dass an den F^(m) «» 0 ent-
sprechenden Stellen abwechselnd je drei schraftirte und ebensoviel
nicht schrafürte Felder im Gyklus zusammenhangen, ebenso au den
F^{m) «= 0 entsprechenden Ecken 2 sdiraffirte und 2 nicht schraf-
firte mit Winkeln j, endlich an den Stellen F^irn) ==« 0 je 2 Felder.
Jetzt greife man eines dieser dreieckigen Felder heraus,' etwa
ein der positiven J-Halbebene entsprechendes (schraffirtes) und ver-
binde die drei Ecken durch Hauptkreisbögen. Dann lässt sich stets,
und zwar, wie Herr Schwarz gezeigt hat*), mittels eines gewissen
Quotienten zweier hypergeometrischen Reihen, der mit s bezeichnet
sei, die positiye J-Halbobene auf dieses Kreisbogendreieck auf ein-
deutige Weise conform abbilden, so dass den Punkten J«0, 1, oo
gerade die Ecken des Dreiecks entsprechen. In den durch Spiege-
lung des Dreiecks an den Seiten erhaltenen symmetrischen Dreiecken,
die natürlich dieselben Winkel tragen , nimmt dann J vermöge der-
selben conformen Abbildung jeden der negativen J Halbebene au-
gehörigen Wert einmal an, d. h. es wird die gesamte J-Ebene auf
ein Doppeldreieck abgebildet. Durch diesen Spiegelungsproccss kann
die Function a(J) über das Doppeldreieck hinaus weiter analytisch
fortgesetzt werden.
Wir haben nun nur noch einzusehen, dass die Fortsetzung der
Function s durch Spiegelung an den Seiten der Kreisbogeudreiecke
identisch ist mit der Fortsetzung der Function m(J) über die reelle
•/-Axe durch Spiegelung, d. h. haben einzusehen, dass die Felder der
1) lieber diejenigen F&Ilef in denen dio Gaussische hypergeometrische
Reihe eine algebraische Function ihres 4. Argumentes darstellt. (Crelle's
Journal t. 75) pg. 311).
EagrleiDtöiluug KreiHbogondruiecko sind. Hätte die Gloicbang (2)
laatcr reelle Coortii.'iouteii , so wilro das selbstverstäudlich , da dann
niitcr dcu ItegrcnzuLgsliuiou der Kugcireldcr der dar reellen m-Äie
eütapreuhcüdc Haüptkreis ist, (denn reoUeD Werten vt entsprechen
dann reelle WerU' J) und daher infolge der Kugelrotationen alle
Seiten der Kn gel leider Krcisbogcndreiccke sind.
Ver viel IUI tigeu wir jetzt das ebenbescliriebonG Kreisbogendreieck '
dureli dio /' Rotationen , wcklio die Felder der ursprUng'icIieu Ge-
bietseinteilung ineinander Überführten, so entsteht nnf der Kugel
ein Netz von r Dreiecken. Diese mögen die Winkel i, ß, y haben,
ODtaprodieiid den Stellen, wo die dreieckigeu Felder die Winkel
ä' >)• ' aufweisuiii dann müssen die Zwischenräume zwischen den
entsprechenden Druieckszipfeln dio Winket -^ — o, ^~ß, — — ;•
haben znfulgo der Periodicit'it der Kugcldrohuugen , welche den ho-
treffeudeu Punkt fest lassen. Die Zwischenräume zwischen den Dreiecken
entsprechenden nicht Bchraflirteu Gehioten der ersten Kugeleinteilung,
und möHseu untereinander congrucnt sein, da sie durch die Kugel-
rotatioueu gleichfalls auseinander hervorgehen, und sind der Zahl nach
gleichfalls J'. Sie sind sicher Kreisbogendreiecke, da die Winkel
-g — a, n — ß, " —y je /' mal auftreten, und ausser diesen 3P
Winkeln keine weiteren für die P congnienten Kroiahogenpolygonc
der Z wisch enr&umo vorhauduu sind. Da weiter dio Seiten dieser
ZwiBcliendrc lecke yicicb denen der Dreiecke mit den Winkeln «t, ß,
y sein müssen, so ist das nicht auders mOglich, als so, dass die
Zwisehendreiocko dieselben Winkel haben, wie die ersteren Dreiecke,
d. h. die Wiukel c
Dio Zwischendreiecko
' aiud den anderen Dreiecken natürlich nicht congrucnt, sondern sym-
metrisch. Wir erhalten also dieselbe Kngoleinteiluug , wenn wir das
erste angenommene Kreisbogeudi'eicck, das die Winkel .t> .y - hat,
durch dio /* Rotationen vervielfältigen, oder, wenn wir durch Spiege-
lung die Function < fortsetzen. Da dio 2 P durch Spiegelung erhaltenen
Dreiecke die Kugel lückenlos überdecken , so bildet die Function >
die F-blättrigo ./-Ebono conforra und eiu deutig auf dio einfach
überdeckte Kagel ab. Jedem Punkte der ./-Ebene entspricht ein
Punkt t uud ebcuso ein Punkt i» auf der Kugel, d. h. jedem Zahlen-
werte 1 entspricht oin Wert m und umgekehrt jedem Werte m ein
Wert *. Daher müssen m und n durch eine bilinearc Gleichung
veibnndeu sein, und wir können statt m ebensogut auch « als den
124 Friedrieh: Die Modulargleickungen der
Galois'schen Modal der ptcn Stufe betrachtea. (Da übrigens 9 so
gewählt werden kann, dass in den drei Ecken eines Dreiecks m *— «
wird, so sind m und 9 sogar direct identisch). Hieraus folgt:
Durch Gleichung (2) werden die 2P Halbblätter der
«/Ebene auf 2P congruente resp. symmetrische Dreiecke
der Zahlenkugel abgebildet
In der Zahlen ebene für m erhält man eine Gebietseinteilung in
2 P Kreisbogendreiecke', die durch Spiegelung (Transformation mit-
tels reciproker Radien) an den Seiten auseinander hervorgehen.
Durch diu Substitutionen, die Gleichung (2) in sich überführen, wer-
den diese Felder untereinander vertauscht.
Wir beachten noch, dass jeder Kugelkrcis, von dem ein
Stück bei dieser Einteilung zur Verwendung kommt,
vollständig auf der Kugel zur Einteilung benutzt wird,
da an jeder Ecke nur Winkel der nämlichen Grösse auftreten, und
zu jedem der dort zusammenstossenden Kreisbögen ein anderer ge-
funden werden kann, der mit ihm den Winkel n bildet Diese Kreise
auf der Kugel sind Bilder der reellen Axe der «/-Ebene.
Die Einteilung der Kugel in die 2 P Dreiecke wird viel über-
sichtlicher, wenn wir die Dreiecke in gewisser Weise zusammenfassen.
Greifen wir nämlich die Punkte heraus, an denen je 6 Dreiecke
(mit Winkel wj zusammenstossen, so vereinigen sich diese 6 Drei-
ecke zu einem grösseren, gleichseitigen sphärischen Dreiecke mit den
drei Winkeln — . Denn zunächst setzt sich an die dem Winkel
Q
n
- gegenüberliegende Seite ein symmetrisches Dreieck an, und diese
beiden bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln
n n ^n
♦ ~ f «-, und solcher Dreiecke stossen in jeder Ecke mit Winkel
-^ je drei zusammen und bilden eben das gleichseitige Dreieck mit
o
2»
den Winkeln — . Auf diese Weise erhalten wir eine neue Kugel-
einteilnug in ^P gleichseitige, congruente Dreiecke, von denen in
jeder Ecke je q zusammenstossen. Bei der dritten Stufe erhalten
7t X n
wir auf diese Weise aus den 24 Dreiecken mit Winkeln 3 ' ö ' ~3
zwei verschiedene vollständige Einteilungen, die die Kugel einfach,
aber vollständig bedecken.
GaioU'sektn Moduln der 2, bia ö. Stufe. 125
Im Falle p — 2 erhalten wir zwei congruente Dreiecke mit
Winkeln tc, te, tt, d. h. zwei Halbkageln, die in je sechs congruente
Teile durch die Kreisbögen geteilt sind, die von den Polen des die
Halbkngeln trennnenden Hauptkreises «(fiter Winkeln von a- gegen-
einander geneigt ausgehen. Von den sechs äquidistanten Aequator-
punkten betrachte man drei um -^ entfernte als Eckpunkte des
Dreiecks; sie sind durch F^{m) ^ 0 bestimmt. Die drei
zwischenliegenden Aequatorpunkte haben die Bedeu-
tung der Scitenmitten und sind durch F^{m) =: 0 be-
stimmt, endlich die Pole sind durch F^(m) » 0 gegeben.
In den Fällen p»3, 4, 5 haben >vir auf der Kugel respective
4, 8, 20 congruente Dreiecke, von denen uii jeder Ecke gerade 3, 4,
respective 5 zusammenstossen, und es ist nicht schwer einzusehen,
dass solch eine Kugeleinteilung mit der Kugeleintci-
lung identisch sein mnss, die man erhält, wenn man ein
reguläres Tetraeder, respective Oktaeder oder Iko-
saedor, central auf die umbeschriebene Kugel pro-
jicirt. Zugleich erkennt man, da die Eckpunkte dieser Einteilung
deiyenigen Stellen der ursprünglichen Einteilung entsprechen, wo
n
Dreiecke mit den Winkeln - zusammenstiessen , dass die Ecken
Q
der obenerwähnten rei;ulären Körper durch F^{m)
gegeben sind. F^im) verschwindet an den Stellen, wo der
n
Winkel » auftritt, d. h. ergibt, gleich Null gesetzt, die
Kanten mitten der regulären Körper und en dl ich /^^(m) »^0
stellt die Flächenmitten oder präciser die Central-
projectionen der Flächenmitten unserer regulären
Körper auf die Kugel dar.
Es ist hiernach nicht schwer, bei geeigneter Fixirung der
Lage der regulären Körper gegen das Coordinatensystem die
Functionen F|, F,, F^ für die vier Stufen wirklich aufzustellen und
sei in Bezug darauf auf das bereits erwähnte Buch des Herrn Klein,
insbesondere auf Seite 47. ff. und 60. verwiesen, in welchem jedoch
die /\, F^^ F3 entsprechenden Formeln auf anderem Wege abgeleitet
werden, nämlich aus den Substitutionen, die den Rotationen analy-
tisch entsprechen. Wir werden bei den folgenden Untersuchungen
der Gleichung (2) die nachstehenden Gestalten für die verschiedenen
Stufen geben, wobei wir noch homogene Yariabeln m^^ m^ ( — »mj
einführen, um den Punkt m <» od nicht auszuzeichnen.
126 Friedrich: Die Modulargieichungen der
Für die zweite Stufe erhalten wir, wenn wir den Modul der
zweiten Stufe mit 6 *^ -}- bezeichnen :
Gewöhnlich betrachtet man jedoch als Galois'schen Hauptmodul der
2- Stufe nicht die eben definirte Function d, die man als Diederir-
rationalität bezeichnen könnte, sondern das zur absoluten Invariante
J gehörige Doppelverhältniss iL, dessen Abhftn[;igkeit von J sich mit-
tels der Gleichung ausdrücken lässt'):
27(Xin,— AjAg^)» (3a)
6 und k hangen linear miteinander zusammen und kann man dieser
Abhängigkeit wegen der Sechswertigkeit von 6 und k G verschiedene
Formen geben.
Für die dritte Stufe verwenden wir die Gleichung:
^:y-l:l-=64(ai»fl,~V)»:-(a,6— 20a,V~^^)*:(öiHÖa,aj3)3; (3b)
für die vierte Stufe:
, : (oj >«~33oi V— 33o, V+ö2'^)* • 108(oi»Oj— a^ojö)* (3c)
endlich für die fünfte Stufe:
J: J— 1 : 1 « (— t/i*<^+228i/i>*i72S -494i/i^<> 1?8^^-22817,%^*+l^2«^2
: -(i?i^f 522i;,25^,5_iooo5,^^»o^^io_|o005i/i'%^ -522i7i VH%=»«)»
: 1728(i7,"i7,+lliy,«i?,«-i7i V*)* (3<i)
Die Gleichungen (3ä), (3c), (3rf) sind als Tetraedergleichung, Okta-
edergleicbung, Ikosaedergleichung, die Grössen a ==» - , o = '.
^ ==. 54 als Tetraederirrationalitftt, OktaederirrationaÜtüt, Ikosaeder-
irratlonalität bekannt. Die P linearen Substitutionen, welche die
Gleichungen (3a) bis (3d) in sich überführen, sollen im Folgendcu
auch kurz als „Substitutionen der pten Stufe" bezeichnet
werden.
1) Man vergleiche z. B. Annalcn XIV, p. 114., oder Dcdckind in
Crellc's Journal t. 83, pg. 284. Die dort mit i; = va1(w) bi»zeichneto GrOsse
ist mit der absoluten Invariante J identisch.
Galois*schen Moduln der 2, bis «5. Stufe, 127
Wir schlicssen hieran einige Bemerkungen, die die Stollang
der soeben durchgeführten Betrachtungen zu früheren
Untersuchungen kennzeichnen sollen. Zunächst hätte man dio
Gleichungen (8) noch kürzer ableiten können, wenn man auf den im
bereits erwähnten Buche „Theorie des Ikosaeders u. s. w." mit-
geteilten Bt weis (pg. 115. ff.) Bezug nahm, dass es nur fünf endliche
Gruppen linearer Substitutionen gibt, nämlich die cyklische Gruppe,
die Diedergruppo, Tetraedergruppe, Oktaedergruppe und Ikosaeder-
gruppe. iVIan sieht leicht ein, dass dio P Substitutionen der pten
Stufe keine cyklische Gruppe bilden können, und nur im Falle p»2
eine Diedergruppo, dass daher Gleichung (2) für p « 3, 4, 5 durch
eine Gruppe von Tetraodersubstitutionen, Oktaedersubstitutionen
respoctive Ikosaedersubstitutionen in sich übergeht, und dass daher
Gleichung (2) für die zweite Stufe die Hedeutung einer gewissen
Diedergloichung, für die dritte Stufe die einer Tetraedergleichung
u. s. w. hat. Dann kann man (1. c. pg. 49, öO) für diese Gleichungen
Formeln, wie die Gleichungen (3) angeben Weiter vergleiche man
Annalen XIV. ppr. 148 IF. Dort zeigt Herr Klein, dass die Galois-
scbe Rosolventc der Transfonnationsgleichung der Transformation
»»-Ordnung der absoluten Invariante Jnur in denjFällen n«2, 3, 4, 5,
das Geschlecht null hat, dass sie weiter in diesen 'Fällen die gleiche
Verzweigung hat , wie die Doppel verhältsnissgleichung, respective
Tetraedergleichung, Oktaedergleichung oder Ikosaederglcicbung , und
dass diese Gleichungen die einfachsten Formen sind, die man der
Galois'scben Resolvente der Transformationsgleichung der Transfor-
mation 2. bis 5. Ordnung von J erteilen kann. Beachtet man noch,
dass die Gleichungen (3) ihre eigenen GaIois*scbeD Resolventen sind
(vergl. Ikosaeder, pg. 92.), so ist damit auch die Bezeichaung „Ga-
lois'scbe" Moduln erklärt. Weiter werden in dem erwähnten Auf-
satze noch Formeln angegeben, welche direct den Uebergang von
den Transformationsgloichungon für J zu den Galois'schen Resol-
venten vermitteln, und schliesslich werden aus diesen Formeln für
dio vier einzelnen Irrationalitäten explicite Potenzreihen abgeleitet,
die nach Potenzen von </ =» e'^^ fortschreiten.
Um endlich m auch als Function von od zu betrachten, zeichne
man sich die Fundamentalpolygone der vier Stufen, indem man etwa
in der a>-Ebene 2/^ Dreiecke in cutsprechender| Weise an einander-
setzt , wie die 2P Felder auf der Kugel aneinandergesetzt sind.
Man erhält so ein noch in vieler Hinsicht willkürliches Fundamental-
polygon, dessen Kanten sich dann durch modulo p zur Identität
congruente Subsitutionen binden müssen, und dem man etwa die in
der Figurentafel anj;{»gebenon Formen geben kann (Fig. 2. für die
2. Stufe, Fig. 3. und 4. für die 3. und 4. Stufe, das Polygon für die
128 Friedrich: Die ModulargUiehungen der
5. Stufe besteht aus fünf congruenten nebeneinander gelegten Teilen
wie Fig. 5.). Je nachdem man irgend eines der P Doppeldreiecke
der o- Ebene einem der P Doppeldreiecke der m-Ebene zuordnet
(beide Doppeldreiecke bestehen aus einem schraffirten und einem
nicht schraffirten Dreieck, die an der dem Winkel ^ gegenüberlie-
genden Seite aneinander hangen) , erhält man P verschiedene Func-
tionen von CO, die dann eindeutig in der gesamten oi-Ebene fort-
setzbar sind, und nach dieser einmaligen Zuordnung eines Werte-
paares (m, Q)) eindeutige Functionen von co darstellen, die nicht ge-
geneinander verzweigt sind. (Die Function m(J) ist jedoch P-deutig
und sind auch ihre einzelnen Zweige bei J = 0, 1, oo gegeneinander
verzweigt).
§4.
Genatterer Verfolg der vier einzelnen Modul/undionen,
I. Das DoppelTerhaitniss war durch die Gleichung definirt:
J:J '1:1 = 4(Xi2— XiX,+V)*:(2V-"3iLi%-3XiV+2V)*
:(A,«X,-X,i,«)« (3a)
Merkwürdige Punkte der X-Ebene sind die Punkte A = i±iV^
entsprechend J=0) mit der Multiplicität 2, sowie A = 0, 1,00
(entsprechend J—qo) und A — — l,*i, 2 (entsprechend «7=1) mit der
^lultiplicität 1. Verbindet man diese Punkte unter Beachtung ihrer
Multiplicität durch Kreise und beachtet, dass auch die reelle X-Axe
in die Abbildungsfigur eingehen muss, so erhält man unschwer die
(jebictseiuteiluug der A-Ebene. (Vergl. Tafel, Figur 1). Bezeichnet
man das schraffirte Dreieck mit den Ecken J, J + iV— 3, 1 als
Dreieck /, so geht das Dreieck mit den Ecken 2, ^ - iV-^ 3, 1 aus
ihm durch die Substitution X' "=> 7 hervor, die mit A bezeichnet sei,
ebenso das Dreieck mit Ecken i, i - iV— 3 , 0 durch die Substi-
tution A' = 1 — A , die mit B bezeichnet sei. Die übrigen Dreiecke
entstchoQ aus / durch die Substitutionen ABA, AB, BA, oder in k
ausgedrückt k' = t^t» respective = —r— und tzzä- ^^^ Symbol
AB soll dabei besagen dass auf k erst die Substitution Ä, und dann
B auf A(k) ausgeübt werden soll, also B(A{k)), Daher muss man
bekanntlich bei dieser Bezeichnungsweise consequenter (k)AB schrei-
ben, welcher Schreibweise wir uns im Folgenden anschliessen wollen.
Schreiben wir die Substitution der Gleichung (Sa) in sich homogen
in der Form
Gahis'schen Moduln dir 2, bU 5. Stufe. 129
wobei dio noch bis auf einen gemeinsamen Factor unbestimmten
Zahlen o, 6, c, d so normirt sein sollen, dass ad— 6c — 1, so lauten
die „Doppelverhältniss-Substitutionen'^ homogen
(4)
entsprechend der Identität 1, iL'« 1
„ .Operation^, 1'— 11;
i,'=±(ii-i,), As'-±^,
A,'-±i., i.'=±(-ii+W,
AB i'- ^ •
In der Abbildungsfigur ist in den einzelnen Feldern die Operation
angegeben, durch welche sie aus dem mit / bezeichneten hervor-
gehen. Die Gestalt des Fundamentalpolygones der zweiten Stufe ist
von anderer Seite her bekannt (YergL Tafel, Fig. 2.). Bezeichnet
man
die Operation cd' =» w + 1 ^^^ ^^
die Operation «' « mit T,
so gehen die einzelnen Felder aus dem mit /bezeichneten Ausgangs-
feld, (das die Ecken — i + iV^, +i + iV--3» »«> liat), durch
die ihnen eingeschriebene Operation hervor.
Jedem Punkt m des Fundamentalpolygones entsprechen 6 Punkte
A(a)), jedem äquivalenten Punkte , ^ dieselben sechs Punkte iL
Ordnet man aber einem Werte cd einen bestimmten Wert il(oD) zu
und geht vom Punkte cd auf irgend einem Wege zum äquivalenten
y-j- dcD
Punkte ra' über, so geht l vermöge der conformen Abbildung
der CD -Ebene auf die il-Ebene in einen ganz bestimmten (im allge-
AHk. d«r lUth. «. Fkyi. S. B«ih«, T«U IV. 9
130
Fritdriek: DU AMuiargleickungen der
meinen andern) der ebenerwähnten 6 Werte X Ober. Um die sechs
Functionen k(m) zu unterscheiden, verabreden wir, dass die Func-
tion X, welche das mit / bezeichnete Feld der od -Ebene auf das mit
C bezeichnete Feld der X-£bene abbildet, (C bedeutet dabei eins der
Symbole I^ A^ B^ ABA, ABy BA) mit Ic bezeichnet werde. Diese
5 Functionen hangen durch die Belationen zusammen
, A/ , li — 1 , 1
^ABA = V. 7 ; ^AB = \ ; ^BA =
il7-l
1-A/
(5)
die man auch kurz in der Form schreiben kann
U « C(li)
(5a)
Es sei hier noch erwähnt, dass die Operationen .4, B die Periode 2
haben, d. h. il* « 1, -ö* =» 1 ist, und dass zwischen ihnen die Re-
lation
AB AB AB = 1
besteht
y-4- dco
Geht man vom Argument o der Function Ic über zu , ^ ,
und bestimmt mittels der conformen Abbildung, wie sich Xc linear
substituirt, so erhält man, zunächst für die Substitutionen /S, r,
8T8^ STy 7!8, und damit für allejihnen modulo 2 congraenten (ihr
Verhalten modolo 2 ist in der 3. Columne angegeben) folgende Ta-
belle:
(6)
Operation
CO Sahst.
a:ß:y:d(inod2)
1
flo'« CO
1:0:0:1
S
co + 1
1:0:1:1
T
1
CO
0:1:1:0
STS
CO
00+1
1:1:0:1
ST
-.1
co-fl
1:1:1:0
TS
— 1+co
CO
0:1:1:1
Galois* sehen Moduln der 2, bis 5. Stufe,
131
ll
kl
kB
Xasa
Xas
ksA
k' -X
A'== A
A' « A
r-A
A'«A
A' = A
1
k
1
k
A
A — 1
1-A
A
A — 1
1-A
1 k
k
A — 1
1— A
1
A
1
A
A
A— 1
X
k 1
l-k
1
A
A
A— 1
1— A
1
A
k-1
1
1
1
A — 1
A — 1
k
1 — A
1 — A
1 — A
A
k
1
A'— 1
A— 1
A-1
1
1
1 — A
A
A
A
1-A
1-A
Ueber die Structur dieser Tabelle sei noch bemerkt , dass bei der
co-Snbstitution, die A/ in D{ki) verwandelt, kc die Sub-
stitution C-^DC erfährt, wo C-^ die inverso zu C ist, Denn
erfahrt ki die Substitution Z>, d. h. wird
so erfährt
dieselbe, d. h. es wird
Xi « D{ki) « (A}) A
A/-C-i(Ac) = (Ac)C-i
A/' = (Ac)e-iZ).
Uebt man noch beiderseits die Substitution C aus, so entsteht gerade
A/ « (kc)C-'^DC,
Endlich beachte man noch, dass die drei Substitutionen S^ 2 und
STS (moduh 2) die Periode 2 haben, ebenso A, B, ADA. Die Zu-
ordnung der (»-Substitutionen zu den Doppelverhältnisssubstitutionen
kann man also so festlegen, dass man zweien der ersteren zwei der
letzteren zuordnet. Dies ist auf G verschiedene Weisen möglich, und
diese sechs Möglichkeiten finden sich gerade bei den sechs Func-
tionen Ac.
II. Die TetraedcrirrationalitSlt war durch die Tetraedergleichung
definirt :
JJ-\ :\^^\(a,^u- r//)3:-(aiß~20aiV-8«2^)*:(«i*+Ö«i«/)^ (36)
Merkwürdige Punkte der a-Ebene s'nd:
]^32 Friedrich: Die Älodulargieichungen der
a — 1, a. a', ao (J=0) mit der Multiplicität 2 ;
1±V3, a(l±V3), a»(l±V3) (^ = 1) mit der Multiplicität 1
0, —2, —2a, — 2a>, (J=- od) mit der Multiplicität 2.
a bedeutet hier die complexe dritte Einheitswurzel
2in
3
« = — ffiV — 3 = c
Auch die Tetraedersubstitutionen lassen sich aus zweien zusammen
setzen. Wir benutzen hierzu etwa
eine Operation Ä der Periode 3, die a = 0 und a « oo festlasso :
eine Operation B der Periode 2, die l+VS und 1— V3 festiasse:
a + 2
Die Totraedersubstitutionen lauten dann
1, Ä, ABÄ^, A^BÄ
A, BÄ, AB, SAB
A\ BA\ ABA, A^B.
Dabei ist
^»«1, ^2 = 1, AB AB AB = \.
Homogen mit der Determinante 1 geschrieben lauten die Sub-
stitutionen:
A: Oj' = ±_ a*a„ a,'= ± aa^
Dem Fundamentalpolygon der dritten Stufe kann man die Gestalt
Figur 3. der Tafel geben. Um die 12 Functionen a(G)) zu unter-
scheiden, sei wieder ac die Function, die das Feld C der a-Ebeno
auf das Feld 1 der a>-Ebenen abbildet. C ist eine Tetracdersub-
substitutiou der Form A^B^'A^B'' ..., und zwar diejenige, durch
welche das betrachtete Feld C aus dem mit 1 bezeichneten hervor-
geht. Als Feld 1 nehmen wir etwa dasjenige, das sich von a = 0
aus an die negative reelle Axe der a-Ebene anschliesst. Diese 12 Func-
tionen verhalten sich natürlich den cd -Substitutionen gegenüber ver-
schieden. Wieder ergiebt sich analog wie beim Doppelverhältuiss
dass durch die ©-Substitution, die ac in D(ae) überführt, ax die
Tetraedersubstitution E-^DE erleidet, wenn ae = E{at). Es ist
Galois*8chen Moduln der 2, bis ö, Stufe,
133
dann CE ^ C\ E ^ C\ JE? =• C^^C und oc erleidet, also die Sub-
stitution (f-^CDC-^C*. Daher genfigt es, für eine Function oc die
Zusammcngohörigkoit der co -Substitutionen (die modulo 3 zu betrachten
sind) mit den Tetraedersubstitutionen festzustellen. Führt man dies
für die Function ai aus, die so normirt ist, dass sich S und A^ 1
und B entsprechen, so erhält man folgende Tabelle:
G>-Subst
a:ß:y:8 mod 3
a-Subst.
1, (a'«-(o
1:0.-0:1 oder 2:0K>.2
1
S, co-fl
1K>.1:1 „
2:0:2:2
A
^y a>+2
1:0:2:1 „
2:0:1:2
A^
0:1:2K) „
0:2:10
B
c — l+w
IS. ^^—
' (0
0:1:2:1 „
0:2:1:2
BA
1 o
0:1:2:2 „
0:2:1:1
BA^
CD
' 1+©
1:1:1:2 oder 2:2:2:1
ABA*
ST j-^
1:1:2K) „
2:2:10
AB
1:1:0:1 „
2:20:2
ABA
' l+W
1:2:2:2 „
2:1:1:1
A^BA
G)
' 1 — Ol
1:2.0:1 „
2:10:2
A^BA*
' 1 — CO
1:2:1.0 „
2:1:20
A^B,
Die dritte und vierte Reihe der Tabelle gibt das Verhalten der
y-l-'JcD
d-Subtitutionen modulo 3) an, wobei die Subssütutionen . g- und
^ ___o bei der nichthomogenen Schreibweise als identisch zu be-
trachten sind.
III. Die Oktaederirrationalit&ty definirt durch die Gleichung:
J:J- 1:1 « io^^+U OiS^+o,»)»
:: (oi"-33o, V- 33o, V+o,") : 108(oi»o,-o,V;4
(3c)
134 Friedrieh: Die Modularpleichungen der
Die GebietscinteiluDg der o-Ebeno durch die conformc Abbildang ist
nach denselben Methoden, wie in den beiden vorhergehenden Fällen,
unschwer festzustellen. Die Oktaedersubstitutionen setzen sich wieder
aus zweien zusammen, etwa aus
der Substitution A von Periode 4, welche o «= 0 und o « oo
festlässt,
o' = to, und
der Substitution B von Periode 2, welche o «= — 1 + y 2
und o «= — 1 — y 2 festlässt,
^ 1+0
homogen lauten diese Substitutionen
1 I • 1 *
8
(9)
^ : Ol' « ± ,^;;r32 (— Oj+O,), Og* = ± ^^^ (o,+Oj)
Die 24 Oktaedersubstitutionen stellen sich in den Formen dar
C, DC, CA, DCA,
wo C eine der Substitutionen 1, -^1^ BA^B, A^BA'^B\ D eine der
Substitutionen BA^, AB ist. Dabei ist wieder ^l*^ = 1, /?* = 1.
ABABAB « 1. Wir bezeichnen wieder eines der schraftirten Felder
mit /, etwa dasjenige, das bei o = 0 den Winkel -^ zeigt und sich
an die positive reelle Axe anlehnt, und unterscheiden dann die
Felder nach den Substitutionen C, durch die sie aus / hervorgehen.
Dem Fundamentalpolygon der 4ten Stufe kann man die Gestalt
Fig. 4. der Tafel geben. Die einzelnen Fuuctiunen oc(w) legen wir
wieder dadurch fest, dass sie das w-Feld / auf das Feld C der 0-
Ebene abbilden. Die Function 0/ erleidet bei der o-Substitution S
die Oktaedersubstitution A, bei 'f die Substitution B, bei der co-
Substitution S^7y'S^7^' ... also die o-Substitutionl D= At^Bf^'A^
B^ ...,0« aber die Substitution C-^DC,
Weiter beachte man, dass das Doppelverhältniss als Modul der
zweiten Stufe natürlich auch ein Modul der vierten Stufe ist, allerdings
nicht ein Hauptmodul, es muss daher A rational durch o ausdrückbar
sein. Es wird genügen, wenn wir für 01 und Xi diese Rationalfunc-
tion aufstellen. Man wird zu diesem Zwecke in der Doppelverhält-
nissgleichung (3a) etwa setzen
Galoit*Mchen Moduln der 2. bis 3, Stufe, 135
damit muss gerade die Oktaedergleichang (3c) entstehen. Hat man
dann ein Wertesystem aQia^ia^i . . . :h^ gefunden, (was am ein-
fachsten und ohne übergrosson Rechnungsaufwand durch Ausprobiren
geschieht,) so setze man etwa - — o/ und untersuche, indem man
irgend einen speciellen WertI w, etwa in einem Zipfel des Funda-
mentalpolygones, ins Auge fasst, welchen Wort für dieses 00
annimmt, d. h. welche der Functionen leim) man so erhält. FtÜirt
man dies durch, so erfährt man, dass
'"''- ''' (10)
/07»~ ly
W+ 1)
Um den Zusammenhang zwischen ks und od zu erhalten, hat man
hierin nur ki und 01 durch C^H^b) und D'\od) zu ersetzen.
Es existirt jedoch noch ein anderer Zusammenhang zwischen
o und k. Das Fuudamentalpolygon filr o ist »nämlich geometrisch
ähnlich (im Yerhältniss 1:2) mit dem viermal nebeneinandergelegten
Fundamen talpolygon für A, also mit dem fttr y ;^_ 1 '» wo Aq und
Ao' die Werte von A bei w =» -|- 1 respective ai= »oo sind. Ist nun
Od die Function , die bei a> — ^ den Wert 0, bei w =- » 00 aber o«- 00
hat, bo ist direct
9
l/i(2o)— io
Ist A'o = 00, 80 setzen wir zanächst Const •» c-^l'n, so wird
lim l , /M2«)-^ I « cYi(2») - io
"x»-!'»»^« |/l(2»)_i
Ao'
136 Friedrich: Die Modulargleichungen der
Auf diese Weise ergibt sich ^)
oK») « y 1 — ;i/(2w) « Vii(2w) (11)
Was die Zaordnang der »-Sabstitntionen za den Oktaedersub-
stitaüooen bei den einzelnen Functionen od betrifft, so ergibt sich
wieder, dass bei 0/ den co-Substitutionen S und T die Oktaeder-
subsütntionen Ä und B entsprechen, bei oe also C^^AC rcspective
O-^BC.
IT. Die Ikosaederlrrationalitftt, definirt durch
(3d)
: 1728(iy,"i?,+ifc V - nii?f ")^
In Betreff der Gebietseinteilung der i^-Ebene vergleiche man die Fi-
gurentafel in dem bereits mehrfach erwähnten Klein 'sehen Bnche.
Die Ikosaedersubstitutionen setzen sich aus folgenden zusammen,
(vergl. Ikosaeder, pg. 40, 41 ff.):
5
Der Operation A der Periode 5, 17'= ci/, wobei e *— e
homogen geschrieben
i7i' = ±«'i7i, i72'-±«*i?t (12a)
und der Operation B der Periode 2:
homogen:
1) Man rergleicbe Annalen XIV. p. 155. Die in der Note „Neue
Untertnehongen über elliptische Modnlfnnctionen der niedersten Stafen** mit-
o*— 1
geteilten Formeln des Herrn Fricke % = VA»» t~;r (4) » und X(fio») =
2o
1 — 0* (18*) gelten, wie man ans der dort angegebenen Fixirang der Fanc-
tionen 0, ersieht, für A = XaBA. und o=zoßA*B and können ans den hier an-
gegebenen Formeln (lO) und (11) iunmittelbar abgeleitet werden; man hat
nnr 0/ and Xi an ersetzen durch respective (o)(BA^B)^^ ■= — und
Gäloü'tchen Moduln der 2. bis 5. Stufe. 137
(12b)
Die Ikosacdersubstitationen lauten
wobei
fi-O, 1, 2, 3,4; v«0, 1, 2,3,4.
C ist die Substitution A^BA^BA^B, in iy geschrieben:
Das Fundamcntalpolygon der fünften Stnfe besteht aus 5 neben-
cinanderliegenden congruenten Teilen , deren jeder die Gestalt Fig. 5.
der Tafel bat. Die 60 Functionen 17 unterscheiden wir wieder analog
wie bisher. Bezeichnen wir das in 17 — 0 an der positiven reellen
i^Axe anliegende schraffirte Feld mit 1, so entsprechen bei der
Function rii{'o) den o -Substitutionen £>, Tdie ij-Snbstitutionen A^ B,
der M-Substitution ^T/' — S^T^'S^T^' ... aber D — AMBf^'A^B^'
... bei fji, bei der Function i/c aber C-^DE,
Sollen wir umgekehrt zu der Ikosaedersubstitution D (oder all.
gemeiner zu der Substitution D der pten Stufe), die die Function
me erleidet, die co-Substitution aufsuchen, so suche maA die der
Substitution D von mi entsprechende Substitution von me auf: es ist
wie leicht einzusehen, CDC-^\ diese stelle man in der Form
A^Bf^'A^B^ . . . dar, so gehört zur Substitution D von m« die («-Sub-
stitution S^Tt^'S^r^'. , . .
§5.
ModulforfMn,
Ebenso, wie wir für die Modulfunctionen A, a, 0, 17 ho-
mogene Yariabeln einführten, können wir auch für o» homogene
Yariabeln einführen , und erhalten dann für A^, A^ u. s. w. Modul-
formen.
Setzen wir
138 Friedrich: Die ModulargUichungen ier
80 wird *)
J: ^— 1 : 1 = (7jj(a;„ w,)^: 27^3K, «i)*- ^K, «'s), (13)
wobei
Der Accent bei 2Z* bedeutet dabei , dass die Combination fi = 0,
V -= 0 ausgeschlossen werden soll. Da nun F^', F^^ und F^d von
der Ordnung 6 resp. 12, 24, 60 für p = 2, 3, 4, 5 sind, so kann
man für q = 2Jund p = 3 direct setzen
(14 ab)
J3(»(m„ m^) =* -^(^1, w,),
80 sind dadurch i^X^ als Modulformen (— 2)ter Dimension, a^ und
o, als solche ( — l)ter Dimension definirt.
Wollten wir ebenso mit Ojo, tind i/,, t;, verfahren, so erhielten
wir Formen derlDimensionen — J bezüglich — J. Um dio dadurch
herbeigeführte Vieldeutigkeit zu vermeiden, setzen wir bei der
vierten Stufe
(14c)
-'^«^(öi, Of) = ^7^3^(t«l,*"2)-^(<*'l,tt'2)
so ist, da auch die 2te und 3te Wurzol aus ^^ noch eindeutige Func-
tion von wj, wj ist*), o^ und o^ als Modulform (— l)ter Dimension
detiuirt.
Analog setzen wir bei der fünften Stufe
^1 = 02^'\ ^2 = V27.^3. ^", ^3 - ^^
Da -^r. und -rf^- coustaut sein sollen, so müssen g^^.d^^-^P und
g^.d^^-^p von der nullten Dimension sein, d. h,
3r» — 5/) = — 1, 2n — 5j? = — 1,
also z. B.
p «= — 1, m =- — 2, n ■« — 3.
Daher setze man
1) Man vergleiche z. B. HurmitE, Anoalen XVIII, pg. 546, 554.
t) Vergl. ibid. pg. 555.
Galois'sehen Moduln der 2» bis 5. Stuf*,
139
^(^sv^''t::$- ^»^n^v,)=,/^':^^
(14d)
60 sind anch i;^ und tji als Modulfonnen , nnd zwar der Dimension
-f-1 definirt
Diese Formeln setzen uns in Stand, direct die Znordnnng der
homogenen »-Substitutionen zu den noch bis auf einen gewissen
Factor unbestimmten homogenen linearen Substitutionen der Modul-
formen A„ kf u. S' w. aufzustellen.
Bei dem Doppelverhältniss war
bis ani dritte, rcspectivc zweite Eiaheitsworzeln. Ans diesen Glei-
chnngen folgt
y bedeutet eine bier iiiebt näber iu Betracht kommende sechste £in-
beitswurzel. Durch diese Formeln sind l^ und Ag (bis auf die
sechste Einheitswurzel /) als eindeutige Functionen von o/j, o», und
k bestimmt, als Modulformcn.
Wenn wir jetzt die Function k = ij herausgreifen, so entspricht
der Substitution *S, d. h. (»' = w + li homogen geschrieben:
w.
die Substitution
Dabei bleibt sowol
als auch
+ «„ «,'= ±(«li + OI,)
^ - k'
^' '^ ^' (f*«i+ w •
140 Friedrich: Die Modulargleichungen der
nngcäbdort, und wir erhalten:
h =. rV^-V^ 2-U-3i*+'ik*- g, - **•
also nicht
Bei der Substitution r, d. h. €«'= , homogen:
der ;t' » 1 — A. entspricht, bleiben g^ und ^3 gleichfalls ungeändort,
und so kommt
A, - yV4.y^^2A»— 3iL«-3A + 2 ^, ^ '^^
Den Substitutionen A und i^ entsprechen also homogene Substitu-
tionen der Determinante — 1.
Ganz analoge Rechnungen haben wir jetzt bei den anderen Stufen
durchzuführen.
Bei der dritten Stufe ist
f(a,6-.20ai3a,3-8a,«) « ^/2^,g^,
bis auf zweite, bezüglich dritte, Einheitswurzcln. Aus diesen Glei-
chungen lassen sich jedoch nicht a^ und a^ direct, sondern nur a^^
a^a^ und o^^ berechnen, und zwar ergibt sich
, _ 4y27 aV~l) ^s
«1 — y- i a6-20a3-8'^,'
4V27 a(a3 — 1) gf,
<H<h-Y' —7— «ü_20a^-8 ' ^,'
^2-, 4y27 a3~l ^3
«« — y- ,• a«-20a»-8'^,'
)^ bedeutet hier wieder in den drei Formeln die nämliche sechste
Einheitswurzel.
Galoix* sehen Moduln der 2, bis 6. Stufe.
141
Setzen wir a — «i, und unterwerfen die Formeln der Substitution
so entsteht:
wobei mit (a,^)' u. s. w. bezeichnet ist, was aus a^^ u. s. w. durch
die obenangeführte Substitution entsteht. FQr a^ und a^ folgt
hieraus:
also zwei nur durchs Vorzeichen unterschiedene Substitutionen der
Determinante
2in
3
a
Bei der Substitution
a + 2
a— r
OJ
1^
Cd
wird
«6— 20a3 — 8 zu —27
a3 — 1 zu 9 , IL = 9; rrj.
(a— 1)» (a — 1)*
(a-1)» -"(a-l)^
und so folgt
(a,a,y « - i (£±2i(£.-zi) ^^ . -i(a,+2a,) (o,-«,),
d. h.
wy
a
2V = — 1^/1 — 1 ^»/i.2 » — ir/L—«^^«
i(a-l)»a.
««i~«.)S
1 1
«i' = ± yz:3(«i+2a2); (h' = ± yz::^(<*i— ^)'
Wir erhalten also zwei Substitutionen der Determinante +1-
Weiter bei der vierten Stufe setzen wir (bis auf dritte, be-
züglich vierte Ein hei ts wurzeln)
1 2
yiü8
und erhalten daraus:
]^42 Fr 14 dr ich: Die Modulargleichungtn der
o,« =y .Vl08 -«^14^4 + 1 • 6^
0^02 = y'.y 108 o» + 14o* + l'^^
4
^« ^y o«+i4o,+i' «.
y' bedeutet hier eine zwölfte Einheitswurzel. Legen wir wieder die
Fanction oi zagninde, so ergibt die Substitution o/'^-co-}-!,
t •
o '^ toi
d. h.
, — 1+* . 1 + *
also zwei Substitutionen der Determinante —1.
Ebenso ergibt die Substitution w' «- , o' = — zn — das
° w l-f-o
Resultat
(0,0,)' i(o,*-oA
d. h. also
i i
zwei Substitutionen der Determinante -|-1.
Endlich bei der fünften Stufe bilden wir
yi728 ' '' '' V1728V27 '
und erhalten
^1 "• y y27 /i(ty, 1)^3(7/, 1) • (/s*
%♦?»=)' V27 F,(^, l).F,(i?, l)-^,,'
, ,, _1 J^«(*?. 1) ?«
''»=>' y27 F,(ij,l).Fj(»j, l)j,,
/' bedeutet hier eine dreissigste Einheitswurzel.
Galois'schen Moduln der 2. bis ö. Stufe,
143
d. h.
Bei der Substitution f/==w4-l> ^'==*^^» (*
Substitutionen der Determinante +1-
Ebenso ergibt die Substitution
2i7t
5
• e ) ergibt sich
OJ
OJ
(v,*)'- s::,[-(*-«*)7 +(«*-£»)?-»
5,'
Vi >
('7l'7«)'
bv
[- (£ - £*),+ £»-t»)]C(e« -«'),+(,- «*)],,„,
also
7i' = ± :^[-(t-**)7i+(«»-*»)v*] ,
>?*' = + :^ [(«*- - i'hx + (* - «*)%],
also wieder Sabstitutionen der Determinante -|-1.
Kapitel II.
Die Modulargleiohungen der Qalois'sohen Moduln der 2. bis 5. Stufe.
§ 6.
Transformation n. Ordnung und Repräsentanten,
Unter Transformation n. Ordnung einer Modulfunction /(»;) ver-
/C+Dw \
steht man den üebergang von /(w) zu /( . , „^ j* wo unter A^ B
C, D vier ganze Zahlen der Determinante AD—BC ^ n verstan-
den werden sollen. Wir werden im Folgenden unter /(w) stets einen
Galois'schen Hauptmodul der g ten Stufe (q » 2, 3, 4, 5) verstehen.
Jede Zahl . T „^^ lässt sich zunächst in der Form darstellen
A-f- Bot
144 Friedrich'. Lrit ModmlaryUieimmgem der
C+Dm "^ « a+ßm (nae+rdi'{-(nße+Sd)m
A-{-Bi0 ^ , . 1 r±if "* {naa+yb) + (nßa+6b)m*
wobei die Ganzzahlen a, 6, c, d, a^ ß^ f^ 6 den Bedingangen ge-
nfigen:
od ßy mm \^ ad 6tf — 1,
a:6:e:i/^l:0:0:l (mod p).
Denn Gleichnng (15) erfordert nnr, dass
nac-j-yd — fC,
noa-|-y* *=■ fA,
nPa-f& = «^,
WO e entweder in allen vier Gleichungen gleich -|-1, oder fiberall
gleich ~1 zn setzen ist; ohne die Allgemeinheit zn beeinträchtigen,
kann man f » 4~^ setzen. Weiter erkennt man, dass die ganz-
zahlige Bestimmung mindestens eines Systems Ton Zahlen o, 6, e, c2,
«» ßt y^ ^9 so dass a:&:c:i/^ 1:0:0:1 modp, sobald n tei-
lerfremd Q ist, nnd unter dieser Voraussetzung allein
werden die folgenden Schlüsse Geltung haben, stets
möglich ist. Insbesondere ergibt sich noch, dass
A: Bi Ci D=:nainßiy :6 (mod p)
Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit kann man daher unter
(1 y-Wo»\
verstehen, wobei nur ad — /Jy « 1 zu sein braucht.
1 y-4--0Atf
Von den unendlich vielen Werten - rfi~ ergeben nun diejenigen
noch den nämlichen Wert/, welche durch eine modulo q zur Iden-
tität congruente lineare Substitution (der Determinante 1) aus ein-
1 y-j-Jw 1 y« -f- ^t*"
ander hervorgehen. Seien - . ^ und - , / zwei solche
Werte, und sei also
n a+/J« ~ ^ I T 1 yi-Mjft>
a -\- O- r- 5 —
d. h. es mnss
Galois*Mchen Moduln der 2. bU 3. Stufe, 145
(a:b:c: €1^1:0:0:1 modp, ad—bc « 1),
so verlangt dies:
eö = nßiC-^-d^d^
ina «=» nofja-}-yi^>
inß •- nßj^a-\-6jf^
oder aufgelöst:
rf — f («1« - fty),
6^0 modn
sein. Femer ist noch
a : ß : y : 8 ^ Ol : ß^ i Yi : dl mod g.
Es genü^,: also, anstelle aller Wertesysteme a»: ßni y* : i*^ welche
zn a: ß : y : i modulo q congraent sind , nnr solche zu betrachten,
die nicht durch eine Substitution w' = , , (a :6:c:rf=l:0:0:l
1 Vjr "T* öftio
modo, ^^Omodn) ineinander überführbare Werte - -r-ä" ^r-
geben. Solcher Werte gibt es aber soviel, als der Index der Gruppe
a:b: c: d^l :0:0:1 mod g, b^O modn beträgt, d. h. der Index
der Gruppe, welche den beiden Gruppen a: b : eid^l :0:0:1 mod p,
und 6 — 0 modn, gemeinsam ist. Der Index der ersteren Gruppe ist
aber P— —Uli |j (vergl. Gleichung 1), der Index der letz-
teren Gruppe hingegen ')
N^nn(l + \) (15)
WO n über alle in n enthaltenen Primzahlen zu erstrocken ist.
Diese beiden Congruenzgrnppen haben, da ihre Stufen n und g tei-
lerfremd sein sollen, eine Gruppe vom Index P.N gemeinsam'),
1) Man Tergleiche etwa bei Herrn Hnrmitz (Annalen XVIII p. 56S)
oder bei Herrn Dedekind (Crelle's Journal 83. Bd., Seite 2fS), wo die
n&mliche Ansahl linear anabhftngigen Werte . , _ Ar Transformation
n. Ordnung des Moduls der I. Stufe abgeleitet wird.
2) Man Tcrgleiche Annalen XVII. p. 67. Die Verwendung der Reprä-
sentanten in der Form - ^ , ^ findet sich snerst bei Herrn Klein, An-
n a-^pv»
nalen XIV. p. 130. (Vergl. Annalen XVIII. p. 666).
ArA. dM HAtk. «. Phjs. 2. Bailie, T«i' ^ 10
X46 Frtädriekz Ifie Modular^iekuttgem dtr
und man darf sich daher bei der Transformation m. Ordnung des
Moduls der pten Stnfe auf die Betrachtung von PN ,,repräsentiren-
den" Argumenten - %o* ▼<» PN Repräsentanten be-
schr&nken, oder: /(») geht durch die Transformation nter
Ordnung in PA' verschiedene Werte/(- rj^) über.
Diese PN Repräsentanten zerlegen wir nach dem Verhalten von
aißiy i 6 modulo ^ in P Gmppen von je N. Die solch einer Gruppe
angehörigen Za;lilen -~S-^- sind durch modulo g zur Identität con-
gruente lineare Substitutionen ineinander überfQhrbar, nicht aber die
1 V—^Oot
Zahlen - ^To^ einer Gruppe, die wir als „inbezug auf die Gruppe
b^O mod n relativ inäquivalent" bezeichnen könnten, da zwei Zahlen
- ^-r-j- und - --r-^ — , wenn sie (kberhaupt durch eine lineare Sub-
stitution der Determinante 1 ineinander flberf&hrbar sein sollen, es
mittels einer Substitution mit 6^0 modn sein mQssen. Wenn aber
diese Zahlen durch eine Substitution cv' = — rr — auseinander her-
vorgehen, so gehen die Zahlen . .. und ^ . ^ durch eine Sub-
stitution
, c-f-c/w , ne-\'dnot
nvß «= n — r- 7 — d. h. n-j* «=» — i— ,
a -f- ontu a-f-o no»
auseinander hervor, bei der der e cutsprechende Substitntionscoef-
ficient ^Omodfi ist: man kann daher die einer Repräsentanton-
I X
gruppe angehörigen Werte ~^^ als „inbezug auf die Gruppe
e^Omodu relativ inquivalent" bezeichnen.
Bezeichnen wir die N zur Gruppe a:/?:y:^^l:0:0: l(mod p)
y-f-Ow
angehörigen (inbezug auf c^modn inäqnivaleuten) Werte . ^
mit Mo, »1, vi^ ... vtx^i , so lassen sich die zur Gruppe a i ßiyiö
^^Q*ßQ*7o*^o (inod p) gehörigen Repräsentanten iu der Form
" T a^^'i^ ^0 ~ <^o /o *= ^) darstellen, wo für oßx die Werte
wo«i . . . aijv'_i zu setzen sind , denn diese Ausdrücke stellen N in-
bezug auf die Gruppe b^Oaiodn^ d. h. überhaupt inäquivalente
Werte dar.
Galoü'nchen Moduln der 2. bin ö. Stufe» 147
S 7.
Die zugehörigen ModtUargleichungen,
Beschränken wir uns zunächst wieder anf die i^ Repräsentanten
9 80 erhalten wir über die Lage derselben dorch fol-
» • • . '
n n n
gende Ueberlegnng Rechenschaft.
In der o>-Ebene haben wir zunächst drei Oebietseinteilnngen:
Erstens die der Gesamtheit der linearen Substitutionen entsprechende
Hanpteinteilnng in Dreieckspaare. Zweitens die Einteilung in
Fnndamentalpolygone der p-ten Stufe. (Jedes derselben enthält P
Felder der ersten Gebietseinteilung). Drittens die Einteilung in
die zur Gruppe y^o med n gehörigen Fundamentalpolygoue, deren
jedes aus N Dreieckspaareu der ersten Einteilung besteht Da n und
Q teilerfremd sind, so können wir in der o»-Ebene noch eine vierte
Einteilung erhalten , deren Felder aus N Fundamentalpolygoneu der
p-ten Stufe, oder was auf dasselbe hinauskommt, aus P Fundamental-
polygoneu der dritten Einteilung, jedenfalls aus NP Dreieckspaaren
der ersten Einteilung, bestehen. Diese grossen Polygone sind die
Fnndamentalpolygone zu der den beiden Gruppen a:&:cuZ ^1:0:0:1
(mod p) und c^o (mod n) gemeinsamen Untergruppe vom Index NP^
inbezug auf welche die NP Repräsentanten co« und , ^ (nicht
1 y-f- dfi9x \
T-Q — »i inäquivalent sind.
Sei Pq solch ein Polygon, so enthält es gerade N Punkte
a>0) 0)], ... ck)A^-i, welche mit einem beliebigen Punkte «durch mo-
dulo p zur Identität congruente Substitutionen verbunden, und inbezug
auf die Gruppe 7 = 0 mod n iuäquivalent sind. Wir können sie also
gerade als die cox der ersten Repräsentantengruppe verwenden, die
- sind dann die Repräsentanten der ersten Gruppe. Wir können
uns also die Transformation n. Ordnung in der Weise veranschau-
lichen, dass wir zu x ^f((o) einen zugehörigen Wert a>, und zu die-
sem die N entsprechenden (Ox im Polygon der 4. Einteilung auf-
suchen. Bildet man dann von diesen cox die n-ten Teile, so hat man
COx
die N der ersten Gruppe entsprechenden Argumente — des trans-
formirten Moduls. Ueberstreicht jetzt o sein Fundamentalpolygon der
p-ten Stufe, so überstreichen die tax gleichfalls N Fnndamentalpoly-
gone der p-ten Stufe und diese setzen sich zum Fundamentalpolygon
CUx
Pq der vierten Einteilung zusammen. Die Argumente -- von y ttber-
io»
148 Friedrieh: Die ModulargUichungen der
Streichen dann eine zu Pq geometrisch ähnliche (auf -verkleinerte)
fi
Figur Pq\ die ein Bild für die Werte ist, welche y annimmt, wenn z
snccessive sämtliche Zahlenwerte annimmt. Um die Riemann'sche
Fläche flher der y-Ehene zu erhalten, hat man daher nur das Polygon
Pq' mittels der Function /(«') auf die y-Ehene ahzuhilden. Die Kan-
ten dieses Polygones Pq' binden sich durch die Substitutionen, die ans
»' « \Lß (**-/^'y-' = l'ö'O:! mod ^) entstehen, wenn w, w' durch
n«, n«' ersetzt werden, also durch die Substitutionen »'=- ^ttzä"»
und da ainßiyiö^ 1:0:0:1 mod p d. h. die Kanten von P" sich
durch modulo p zur Identität congmente Substitutionen binden, so
ist die Riemann'sche Fläche für y eine geschlossene, und
da Po ^^^ ^0 AUS einem Stfick bestehen , eine aus einem Stfick be-
stehende Fläche. Beachtet man noch, dass Pq i^ gleicher Weise ein
Bild der Riemann'schen Fläche für x ist, wie Pq fär y, so folgt:
Zwischen x «/(w) und y— /{ — ) besteht eine irr e-
ducible algebraische Gleichung fpiry) *=» 0, die sowol
X als y bis zur N-ien Potenz enthält.
Es ist nicht schwer einzusehen, dass auch zwischen x und den
zu den übrigen P — 1 Repräsentantengruppen
ir«+*q«x (, = o,i...iv-i)
gehörigen Werten y ebensolche irreducible Gleichungen, der Zahl
nach noch P-1, bestehen müssen. Denn die Werte -^, o^""
lassen sich auch in der Form schreiben
yo+«^o —
fyo kommt nur modulo p in betracht und kann daher ^ 0 modn
gesetzt werden) dann ist/f — j nach den Sätzen des vorigen Capi-
iQ\% m\i fi-'T o ] durch eine lineare Gleichung verbunden.
Hieraus folgt:
Die PiV Werte y, in dies; durch die Transformation
n-terOrdnung übergeführt wird, sind die Wurzeln einer
Galoit* sehen Moduln der 2, bis ö. Stuft. 149
Gleichang F{xy)=0 die sich in P irreducibie Gleichungen
iV-ter Ordnung für y spaltet^)
Statt der spezielleren Repräsentanten w' «- - ^ , . * können
wir wieder für jeden Repräsentanten mittels einer Substitution
I , , (= 1 med p)
einen solchen der Form ^T „ einführen. Daher schreibt sich
A-f-Bta
die Modulargleichung auch in der Form
-M-°h.(!^:)]-5h'-'(S-S]
izzNP
= 2;a,y = 0
wenn das Argument von x mit (d^ bezeichnet wird. Die beiden Pro-
dncte bestehen aus je NP Factoron, nnd ist in deren zweitem Gliedo
f über alle NP Repräsentanten zu erstrocken. Die Coefficicnten a,
sind Functionen von x^ nnd zwar rationale, da sonst einem Worte x
mehr als NP Werte y zugeordnet wären.
Greifen wir jetzt einen der Repräsentanten heraus, etwa
setzen also
0)0
-Z>o+^o~'
und unterwerfen y^ «- /(«') einer Transformation n. Ordnung, so er-
halten wir eine ähnliche Modulargleichung F'=0. Hier wollen wir
C—Aw'
jedoch den Repräsentanten die Form r) i o / geben, wo ^,i/,C,D
die nämlichen NP Wertesysteme durchlaufen, wie oben. Diese
Zahlen bilden natürlich gleichfalls ein volles Repräsentantensystem, weil
sie sich nach dem Verhalten von — D: B:C: — A (modulo g) in P
Gruppen von je N inäquivalenton Werten teilen lassen. F' kann
daher in der Form geschrieben werden
-pM->-K^^)1
4- '(:^TSf)] -'■<>""=''
1) Man Tergleicbe bei Herrn Gi erster, Annalen XXI pg. 9 fil
150 Fritdrieki Die MMukHyUkkmmftm Str
Unter den Wnrzeln dieser Gleichung ist nun sicher eine and nur eine
gleich f{<oaf^) — x, n&mlich die dem Repräsentanten
Z>o+J5o«' - Q + AX
— mO
entsprechende, d. h. flir alle Wertesjrsteme ay, fOr welche F{xy) — 0
ist, ist anch F(yx) » 0, d. h. F{xy) und F(yx) mflssen bis auf einen
Factor h» flbereinstimmen, so dass
d. h. es ist ^ = ± 1. Hieraus iolgt:
Die Modulargleichnng F(a^) » 0 geht bei Yertau-
schung Ton x und y bis auf einen eTentnellen Zeichen -
Wechsel in sich Ober.
Da weiter F^xy) aus P irreducibeln Factoren 9i(ay) besteht,
so folgt:
Bei Vertauschung von x und y bleiben die Factoren
fpiixy) entweder (bis auf einen eventuellen Zeichenwechsel)
erhalten, oder vertauschen sich (teilweise oder s&mtlich)
paarweise.')
§8.
Die SubstütUicnen der Modülargleichung in sich.
Es sei nun Wi(xy) = 0 der zu den N Repräsentanten - ^ , J^
gehörige Factor der Modulargleichnng, so ist also
x « /(«), yx « / 1 Tä ~" I
oder wenn wir
ff»+ ßi (Ott — O, + pi (0 X
setzen, wird
(Die verschiedenen lu'x ergeben selbstverständlich die nämlichen Werte
X,) Daher ist
1) Vergleiche Gier st er, Annalen XXI, p. IS ff.
GaloU'sehen Moduln der 2, bü 5, Stufe.
151
fPii*!/) = Vo
('^Mimm-«^^^H'^))
Wx
wenn ^q dor zu den Repräsentanten — gehörige Factor ist. £r-
n
setzen wir noch wx durch Wx, g( > , ^ — j) durch «?( » , ^ 1»
80 wird
<r^(<r,y) = vo (''(f^^^). y (?)) = »o(«',y) - 0
_ß,ißrj "^ ^'(^) ^'ir ßine andere der durch Gleichung (2)
dofinirten P Moduln der ^-ten Stufe ist Daher muss (Po(x'y) mit
<Pi(xy) bis auf einen Factor identisch sein, der im allgemeinen nicht
mit tpQ und q>i zugleich null ist. Ist x' mit x durch die Substitution
der ^-ten Stufe,
ax-\-'b
X
verbunden, so ist
<pi(xy)
cX'\-d
(ex — a)^
/--dx+b \
Jeder Factor <p« kann also aus q>o abgeleitet werden,
indem man die Yariabele x in q>Q einer Substitution der
p-ton Stufe unterwirft. Es ist leicht einzusehen, dass man
erstlich so alle Factoren aus <Po ableiten kann, und dann wegen
des Gruppencharakters der Substitutionen der p-ten Stufe, dass man
so aus jedem Factor q>i alle anderen ableiten kann. Hieraus
folgt:
Ucbt man auf x eine Substitution der p-ten Stufe
aus, so werden in F(xij) = nq>i(xy) die Factoren 9 nur
vertauscht.')
Da weiter ±.F(xy) = F(ya?) « Tltpxiyx) und jedes q>n{yx) gleich
einem q>i(xy) sein muss, so folgt:
Auch wenn man auf y eine der Substitutionen der
p-tcn Stufe ausübt, werden die Factoren ^i nur vor-
tauscht.
Da man aus einem Factor fpi{xy) also die andern in einfacher
Weise durch lineare Substitutionen ableiten kann, so genfigt die Ab-
leitung eines derselben, und kann man daher einen einzelnen alt
1) Vergleiche bei Herrn Gierster Annalen XXI, 9.
252 Friedrieh: Di* Modularglekhutigen der
Modnlargleichnng für die Transformation n. Ordnung bezeichnen,
und zwar wollen wir von den P Factoren 9« im Folgenden stets 9^0
heransgreifen.
Wenn so das Prodnct F bei P^ Simnltansnbstitntionen in sich
übergeht, so mnss jeder der PFactoren 7» bei P simultanen
Substitutionen des x und des y in sich übergehen.') Denn
übt man auf x eine der P Substitutionen der p-ten Stufe aus, so
geht q>i in einen andern Factor <px über, und <px geht nur durch
eine ganz bestimmte Substitution des y in tpi über.
Dabei ist jedoch Folgendes zu beachten. Die P^ Simultansubsti-
tutionen setzen sich zusammen aus der „Doppelidentität^' x' = x,
y'»y; ans 2(P -1) Substitutionen, bei denen nur x oder nur y
substituirt werden, nnd endlich aus (P-~l)' eigentlichen Simultan-
substitutionen, bei denen x und y substituirt werden. Die erstgenannte
Substitution x'=ar, y'=y lässt natürlich alle Factoren uugcändert,
^e2(P — 1) zweiterwähnten Substitutionen lassen keinen Factor nn-
geändert, nnd jede der übrigen (P - 1)' lässt einen oder einige Fac-
toren in sich übergehen. Jeder Factor geht bei P— 1 Simultan-
substitutionen (ausser der Identität x'=^x^ y'« y) in sich über, was
P(P— 1) eigentliche Simultansubstitutionen ergäbe; da aber nur
(P — 1)' solcher Simultansubstitutionen existiren, so müssen einige
derselben wiederholt auftreten. Es seien nun g>i{xy) und q>x(xy) zwei
Factoren, welche bei der Simultansnbstitution
«'-Z>(x) = (aj)Z>, y'-£(y)-(y)A;
in sich übergehen, d. h. es sei
fp*{(x)D, (y)E) = (pi(x,y)
(p»({x)D, (y)E) - 9*(ir,y)
Vi(a^iy) = 9«((«)C;y)
9,((*)D, (y)i5) = g>x((«)C,y)
«g>,((x)CD, (y)E)
=zq>i{(x)CDC-\{y)E)
D = CDC'^
und
und sei ferner
so ist auch
d. h.
Daher muss
sein. Zwei Factoren qn und tp» haben also dann und nur dann eine
Simultansubstitution gemeinsam, wenn sich zur Substitution C (die
^i in 9>» überführt) eine Substitution D so finden lässt, dass DC « CD.
1) ibid. pg. 11.
Galoia^Mchen Moduln der 2. bis ö, Stufe. 153
Gehen (pi aud (pn bei der Substitution x'» D{x)y y'» E{y) in sich
über, 80 tun sie es natürlich auch bei Iterationen a;'=2>'(x),
y ^ t?(y) u. s. w. Zählt mau diese mit, so müssen sich gerade
P — 1 solcher Simultansubstitutioucn Z), E zeigen. Da sich femer
alle Substitutionen einer Stufe aus zwei passend gewählten Substitu-
tionen zusammensetzen lassen, (zwei beliebige Substitutionen können
auch nur eine Untergruppe ergeben,) so dürfen zwei Factoren
q>i^ q>x nie zwei Paare Simultausubstitutionen von der
Eigenschaft gemeinsam haben, dass sich aus den Substi-
tutionen des X, oder des ^, alle Substitutionen der betref-
fenden Stufe zusammensetzen lassen.
Hieraus folgt noch: hat ein Factor q>x(xy) der Modular-
gleichung die Eigenschaft, in sich überzugehen, wenn x
und^ simultan den nämlichen Substitutionen unterworfen
werden, so ist direct (fti^y) = ±:(pi(yx). Denn wäre q>i(f/x)
gleich einem anderen Factor q>n{xy)^ so hätten ^i und 9« die näm-
lichen P Simultansubstitutionen gemeinsam, (da z und y den näm-
lichen Substitutionen unterworfen werden sollen,) und da das nach
dem ebenbewiesenen Satze nicht möglich ist, muss q>i{xy) » ± 9'»(^')
sein.
Hat man nun für eine der Functionen x = /(co), also etwa für
mj{io) der früheren Bezeichnung, die Modulargleichung q>o(xiyj) "== 0
aufgestellt, so erübrigt noch, für die übrigen P — 1 Functionen m«
dasselbe zu tun. Man hat zu diesem Zwecke einfach x und y simul-
tan je den nämlichen Simultausubstitutionen der p-ten Stufe zu unter-
werfen, da die Functionen n.j mit mj durch diese Substitutionen
zusammenhangen und erhält so im allgemeinen für die P Functionen
P Modulargleichungen, von denen jedoch einige oder alle identisch
sein können, jenachdem q>Q in sich oder in einen anderen Factor
übergeht, wenn x und y simultan den nämlichen Substitutionen unter-
worfen werden.
§9.
Zuordnung eler Simultansubttäutionen,
Nachdem wir erkannt haben, dass die Transformation n-ter Ord-
nung der Galois'schen Hauptmoduln p-ter Stufe durch eine Gleichung
ff i^y) ^ 0 charakterisirt ist, die x und y bis zur iV-ten Potenz ent-
hält, und bei P Simultansubstitutionen des x und y in sich übergeht,
schliesst sich hieran die Aufgabe, diese Simultausubstitutionen wirk-
lich aufzustellen. Da jeder Substitution, des x sowol, als des ^,
eine lineare üo-Substitution entspricht, so hat man zunächst zu unter-
suchen, wie die o»-Snbstitntionen einander zugeordnet sind.
(16)
154 Friedrich: Die Modulargleiehutgtn der
Es wordo also das Argument von x der Sabstitntion
unterworfen, ebenso das von y der Snbstitntion
Sollen nnn diese Substitutionen im eben definirten Sinne einander
zugeordnet sein, so mnss, wenn die Repräsentanten in der Form
1 Vj, -4- 8k(o ^
»» — - I tf ^» «x:px:y*:öx = 1:0:0:1 mod p,
angenommen werden
l^^ + ^^«+?i>>,"+^nax + g,a)
%.+/»x^ a + .iZ^jLÜ?
a-t-/y« ^ nax + /JxW
sein, d. h.
(cyx4- y^») + «^y« + ^^») <» __. (wcffx -f- rfyx) + (ncjgx + ^^^») Q>
» (««X + y/Jx)+ «(/Jffx 4- ^/^x) w ■" (riaax + 6yx) + («a/Jx + &^x) W ^ ^^
Da nun
n((aan-{-yPx)(ßy*'^Mx) — («yx+y^x).n(/Jax+^/?x)
«n(c^ — j3y)(ax^x — /^xyx) •=» »
naox+*y*)('»^/^* + ^^*) — (nc«x+rfyx)(na/Jx+*^*)
= n(arf — 6c)(ax^x — i^xyx) =« ti
to wird die Gleichung (16a) sieber erfüllt, wenn
«y*4-y^x «= «(wccfx+'^y«)
»(a«x + y/3x)=- e(na«x+^yx) ' ^
w (/?« X + 8ßx) = € (no/5x + bdx)
wobei « 1= + 1 ist. Nach a, ä, c, J aufgelöst, ergeben die Gleichun-
gen (17)
a « t[aax6x — /Jcxyx+y/^x^x — i/5xyx]
6 = nf [— «Oxßx + /^«x* — y/^x* + ^«»/Jx]
nc « f[ayx^x — |3yx« + y«x* — «yx^x] (^^^
d «• «[— «/Jxyx+/Joxyx — y/?x4x+^«x^x]
Gatei^tdun Ji6di,hi d„ 2. bis 5. Sluft.
Ohne Beeiaträcbtignng der All gerne inhoit können wir i — -j- 1 setzoD;
es bedeat«t dies nur, dass die beiden Substitationeo
e-i-dn , — c — dia
M — — i"^- UDÜ w = i—
w^-bto — a— 6»
als gleichwertig betrachtet werden. Ferner mosB noch
tfyA— /S)'.» + )'ä-*-i)'-5x = 0(modn) (19)
sein, damit c gaaK/.ahlig werdo. Denken wir ans a, ß, y, S gegeben,
so können wir Ober diese Werte, die ja nur iaaila!oif in botraclit
kominen, so verfUgeo, dass Gleichung (19) erfüllt wird, da n and f
teilerfremd sein sollen. Da endhch
..■.ß.-r.-.i.
»Q folgt noch, dass zwischen den Grössen
die Relationen bestehen
1:0:0:1 (mod«)
b, c, <l und <
a-.b-.ne-.d^ a:nß:Y'-i (modalOft)
.ß,Y.i
(20)
Damit ist dio Zuordnung der x-Sabst itationen za den
f -Substitutionen bereits geleistet. Man hat zu einer x-
SubstitutioD nur (in der Ende § 4. angegebenen Weise) die u-Snbsti-
y+6w
tution -■x.g ■ und zu diesem Wertesystem a:ß:y:S Tcnniltels Glei-
chnng (20) das entsprechende System a-.b-.eid zu bestimmen. Dann
findet man mittels der S 4. angegebenen Formeln und Tabellen ZD
,_e+da
a+ba
die y-Snbstitution zunfichst fflr die mit tn/ bezeichnete
Function und dann für jede andere Function »c.
Es genügt diese Zuordnung für zwei goeignete Paare Simnltan-
substitutioneu aufzustellen. Denn gehe die Gleicbnng vi''!/) =0 in
sich aber erstlich bei der Substitution x' — C'(x), y'^= ^'i(y) nud
ferner bei x' -= D {x), y' = i?, (y), ao entspricht der z- Substitution
CfD'C... eo ipso die y- Substitution C\v D," C,' . . . , und da sieb alle
SubstitutioDcn der p-tcn Stufe aus geeigneten zweien durcli Combi-
nation nud Wiederholung zusammensetzen lassen, so werden wir etwa
zu /-= J(/) und / =- ö(z) dio eatsprechcuden y- Substitutionen anf-
auchen, nnd haben damit die Frage nach der Zuordnung der Simnltan-
snbstitutionen erledigt
Am dufachfiten stellen sich die Verbältnisse dar, wenn •
modulo Q, dann ist einfach
a-.b:c;d= u :ß:y.i (mod p)
d, h. j: und ff orfahien simnltan dio nltmlichen Substitutionen.
= 1
156 Friedrieh : Die Modmlaryleiektmgen der
Als der nächst einfachste Fall ergibt sich n = ~ 1 moehUo ^
ffir diesen wird
a:b:e:d^ a: — ßi-^yiö (modp)
and CS zeigt sich , dass die hierher gehörigen drei Fälle n ^ — 1
mod 3, 4, 5 sich nach fibereinstimmenden Methoden behandeln lassen.
Hiermit sind ffir p » 2, 3, 4 sämtliche Fälle erschöpft, und es
bleiben noch drittens die beiden Fälle n^±2 mod b^ die sich
gleichfalls zusammen behandeln lassen.
§ 10.
Der Fall n ^ 1 (mod p).
Hier handelt es sich am die Anfstellang einer Modnlargleichang
tp (xy) » O, die in sich überseht, wenn x nnd y den nämlichen linea-
ren Substitutionen unterworfen werden. Führen wir, um die dabei
auftretenden Nenuer zu vermeiden, homogene Variabeln em, setzen
also « « - f y = - . so erhalten wir, da x und y bis zur JV-ten Po-
tenz ansteigen, eine doppeltbinäre Form virix^p^y^) -^-ter Ordnung
in beiden Variabelreihen, die bei P Simultansubstitutionen von X|, x,,
^1, y^ in sich flbergeht.
Soll die homogen geschriebene Modulargleichung dabei (nicht
blos bis auf einen constanteu Factor) in sich fibergehen, so mfissen,
wie leicht einzusehen, die Substitutionen die Determinante -{- 1 haben
^19 ^19 ^19 t/i bedeuten Modulformen, und die den linearen o-Substi-
tutionen entsprechenden linearen Substitutionen dieser Modnlformon
haben beim Doppelverhältniss , der Tetraeder- und der Octaeder-
s
Irrationalität zunächst noch die Determinante — 1, bezfiglich a » y 1,
sie können jedoch, wie es bereits geschehen, durch einen Zusatzfactor
(», bez. a) auf die Determinante 1 gebracht werden, was ffir die
nichthomogenen Substitutionen, also auch ffir die nichthomogen zu
schreibende Modulargleichung ohne Einflnss, ffir die folgenden Be-
trachtungen (mit homogenen Variabeln) aber wesentlich vereinfachend ist.
Ffir die Untersuchung der Eigenschaften und Aufstellung der
oben bescbriebeuen doppeltbinären Formen bieten sich zwei Wege
dar. Nach der einen Methode schreibt man zunächst doppeltbinäre
Formen der verschiedenen Ordnungen mit unbestimmten Coefficienten
hin, unterwirft sie den Simultansnbstitutionen, wobei man noch durch
zweckmässige Abkfirzungen die Rechnung sehr vereinfachen kann,
und vergleicht die neu erhaltenen Formen mit den alten. Dadurch
GalniKMchtn Moduln der 2. hü ö, Stufe. 157
ergeben sich eine Reihe Relationen zwischen den Coefücienten nnd
findet man dann mit verhältnissmfissig nicht übergrossem Rechnnngs-
aufwand für die ersten Ordnungen bis etwa zur sechsten, dass alle
in Betracht kommenden doppeltbinären Formen der verlangten Sub-
stitutionseigenschaft sich aus einigen wenigen Formen niederer Ord-
nung und derselben Eigenschaft rational zusammensetzen.^) Dieser
directe Weg Hess jedoch nicht übersehen, dass auch die Formen bo-
liebighoher Ordnung rational aus denen niederer Ordnungen zu-
sammensetzbar sind. Dieser Nachweis ergibt sich in ziemlich einfacher
Weise, wenn man das Formensystem mittels einiger invarianten-
theoretischer Sätze aufzustellen sucht, wie es im Folgenden gesche-
hen soll.
Setzen wir in (pi^ix^y^y^) einmal Xj » ^j, a;^ *» y^, so erhalten
wir eine einfachbinäre Form der 2iV-ten Ordnung:
die bei gewissen P Substitutionen in sich übergeht. Solch eine Sub-
stitution sei
jTj' ■= aa?! -f~ ***> ^i = ^ 4" ^« ? (^' — bc »^ '\-l)
Dann ist also
*(afii «,) = ^(axi-i-bx^, cx^+dXf)
folglich
djfjxjx^) __ 8»(flar|+&a^, ex^ + dx^) ^^^I^S^ijjj!^! <^i +^«)
dx^ *" d^axi-^-bx^) * 8 («Tj -}-€&,)
und daher
8a;(aa?i-f&c„ cx^+dx^)
d. h. auch die Form
dtlf , 8i(;
1) Aaf dieieoi Wege suchte ich zonftchtt das rolle System der Doppel-
Terh<nissformeii ond der Tetraederfonnen aofsostellen ; die wachseode Com-
plicirtheit der SobstitotioDeo beim Oktaeder ond Ikosaeder drängte jedoch daso,
einen andern Weg so soeben, nnd so gelangte ich so dem hier dargelegten
Wege.
158 Fritiriehi Die ModukirgkickungtH dkr
geht in aicfa Aber, wenn a^, x^ und y^, y^ simoltan den n&mliehai
Substitutionen unterworfen werden, die ^(oc^ory) in sich flberfÜlhreB.
Diese aus ^ abgeleitete Form
bezeichnet man bekanntlich als erste Polare von ^(x^x^ nach y.^)
Es leuchtet ein, dass bei Fortsetzung dieses Prooesses, d. h. bei
Bildung von
u. s. w. sich dieses Verhalten fortsetzt. Zugleich ist infolge des
Eulerschen Satzes
Vi («i'tyiy«) — V (*i's)
V's («i^fyiy») — V (*i'i)
u. s. w. wenn :r| « y^, ar^ » y^ gesetzt wird.
So erhalten wir durch iV^malige Ausfflhmng dieses „Polarisations-
Processes'' eine doppeltbinäre Form, die in den beiden Yariabelreihen
x^x^ und tfitf^ je von iV-ter Ordnung ist, und ungeändert bleibt, wenn
auf or^, fl?}, yx, y^ die Substitutionen ausgeübt werden, die fpix^x^y^y^)
ungeändert lassen. Bezeichnen wir die i\r-malige Polarisation von
^(^i^s) durch eine eckige Klammer und den Index N^ also \,^{sr^x^)'\if^
so ist
d. h. 9 und \y']N können sich nur um Glieder unterscheiden, die für
x^y verschwinden, den Factor x—y^ homogen x^y^—x^y^ tragen.
Daher ist
^li'^v'^ttrt) is^ oiuo doppeltbinäre Form, die in beiden Yariabel-
reihen von der Ordnung N—1 ist. Uebt man jetzt auf (21) eine
der Simultansubstitutionen von 9 in sieb aus,
«/ — oa?! -|-tet, a^' = car, + dx^ y/ = ay, + fty,,
y«'= cyi+^y%'i {ad -he — 1)
SO geht fp und [t);]ir in sich über, r^y^—x^y^ wird aber bekaiiutlich
1) Man rergleiche etwa Clebteh, Binftre Formen S. 13 oder Clebsch-
Lindemann, Vorletnngen über Geometrie S. 203 ff.
Galaii'n-itH Moduln da- S. liU 5. Stuf«.
! ft' Vi I I rtyi+Äj/j »^1+''^» I i -^ '' 1 1 yi .V» I ~ I yr y» I
Wegen dieser Eigenschaft heisst die Form a-,j;rj— argy,, die man auch
mit {xy) bezeicbnet, die identische Covariaute. Da also 71,
[^^N und {x<j) UDgeilndcrt bleiben, so rouas bei der AusfahruDg der
SimnltansubstitutioneQ auch 7, nngeündert bleiben; daher ist 7), in
der Form darstellbar
9>, (irji»3/,j(j) = [v, (iia-jir,i»)]A-_i-(-(irj).<p,(i,a-,y,j.,)
WO qpj in sc und y von der Ordnung ^—2 ist uud bei den PSimul-
tansnbstitntionen iu sich übergeht; <p^ ist daher wieder analog dar-
stollbar. Ti (XittUitit) ist eine eiiifacbbinlire Form Uiir Ordnung 2A'— 2,
die jetzt mit 7^.v-2(x,3,) bezeichnet sei. So erkennt man schlieas-
lich, dass ip in der Form darstellbar ist')
Die Modularglcicbuug setzt sieb also mittels Potenzen
der identisch euCovari ante aus Fnlarcucinfaebbinärer
Formen mit i* Substitutionen in sich rational zusam-
men.
Die Darstellbarkeit der doppcltbinUren Formen mittels Polaren
und Potenzen von (i?/) ist übrigens nicht eine Folge der speci eilen
Eigenschaften der Form f^r^ir^y^yi) — diese Eigenschaft zieht nnr
besondere Eigenschaften der Formen v» (»"i'») nach sich — sondern jede
doppeltbinare Form lässt sich in dieser Weise darstelleu. Denn
qj (a-iijS-jirj) als Form SiV-ter Ordnung bat '2N-\-\ (homogene) Cocffi-
ciont«n, 7.,A-a{3-,3-g) bat ebenso 2A'— 1, n. s. f. bis ytC^i^-i) drei
nnd <fa (rift) ^= ''.v einen Coefüoicnten hat. Gleichung ('22) bat also
rechts
(2A--f l) + (2A--l)+(2A:-a) + ...+3 + l = (A'+l)(A'-f 1)
Coefßc Jen teil , und ebensoviel hat die doppeltbinare Form auf der
linken Seite.
Wir haben nun ünnitcbst alle einfach binaren Formen mit P
Snbsdtationen in sich aufzustellen- Jede solche Form setzt sich ')
I) Man vergleiche Clcbich, Binlrc Formen § T. Dia liler gegeben« Ab-
leitung ä\nt» Satici rmdet sich bei Herrn Gordan. Aniialen 3 („Ueber dia
BHilaiig der Rfinlwnw eweier Gieichungen.") p. 3G4.
s) Annale!) 1\ p. 194 ff. (BiaSre FonDcn mit SubitiiBtionea in lieh)
nnd Ikosaeder p. 4S ÜF,
160 Friedrich: Die Modulargleiehungen der
rational aus Potenzen der wohlbekannten Formen F^ix^x^^ -^C^^)«
^s (^1^) zasammen, (die in den Gleichungen 2. und 3. auftreten,) and
kann daher in der Form angenommen werden
wo €tßy Ganzzahlen, axhu beliebige Zahlen siud.^ Zwischen den
Formen Fj, F^, F^ besteht natürlich die Relation
Da von den Formen (pi die Polaren zu bilden sind, und die Polare
einer Summe gleich der Summe der Polaren der Summanden ist, so
genügt es also, von allen Formen
F^^Fj^F^^
diejenigen zu polarisiren, die gerader Ordnung sind und bei den Sub-
stitutionen der p-ten Stufe in sich übergehen (den Factor -^ 1 erhaU
ten). Haben diese Substitutionen die Determinante 1, so erhalten
F^\ F^^ und F^e dabei einen Factor, dessen absoluter Betrag 1 ist.
Dieser Factor kann also nur 4- 1 oder eine Einheitswurzel sein, (eine
zweite, dritte, vierte, oder fünfte) da andere Irrationalitäten in den
Substitutionsformeln nicht auftreten, und werden daher bei jeder
Stufe Formen Fj^', Fj^^ Fj^ ungeändert bleiben, wobei v «* 5 an-
genommen werden kann. Man wird also die Einheitswurzeln bestim-
men, die Fl, F^, Fl bei den Simultansubstitutiouen als Factoren er-
1) Dieses Verbalten hut, wie die iDTariantentheorie seigt, seinen Grand
darin, dass sich za F, als Grundform F, als Hesse'sche Form, F, als Func*
tionaldeterminante von F, ond F. ergibt. Die Identität F,* = Ft* + ^a^ "^
nur ein Specialfall des allgemeinen Sattes, dass twischen Grandform, Hesse*
scher Form und Functionaldeterminante stets eine gewisse Identit&t besteht.
Zugleich sei an dieser Stelle auf den Unterschied hingewiesen, der zwischen
unsera specicllen Betrachtungen und den allgemeinen üehcrlegungen der Inra-
riantentheorie besteht. Er beraht im wesentlichen darauf, dass wir hier nur
die endliche Anzahl linearer Transformationen in Betracht ziehen, die die
Formen F,, F,, F, in sich überführen. Die Inyariantentheorie operirt jedoch
mit allgemeinen Formen (mit allgemeinen Coefficienten), und mit der Gesamt-
heit der linearen Transformationen. Sie zeigt, dass man das nämliche Resultat
erhält, ob man erst die Grundform einer linearen Transformation unterwirft und
dann ron der transformirten Form die Hesse'scbe Form und die Functional-
determinante bildet, oder ob man erst von der Grundform die beiden andern
Formen ableitet und dann transformirt. Bleibt noch, wie es hier der Füll ist,
die Grundform bei einer (endlichen) Anzahl linearer Transformationen unge-
ändert, so müssen es infolgedessen auch die abgeleiteten beiden Formen bei den
nämlichen Transformationen bleiben.
^ fi _, 2v, 0 ^ " ^^ pv Torausscben kann ; die Zahl dieser Formen
ist sichor cndlicb und wird aicli im allgemeinen noch mitteh der
Identität F," ■= /i^+FaC erliel)lich reducircn lassen. Ist nun
) Form beliebig liober Ordnung, so IHsst sie sich in ein Prodact
ans Potenzen der ebenorwäbuten Formen Gg zerlegen. (Diese Zer-
legung braucbt nicht auf nur eine Weise möglich zu sein.) So sei
F= F^'F^F^y
and seien E^E,E^ n. 8. f. die aus &'„ (7^, G^ u. s. f. gebildeten
Polaren gleicher Ordnung in beiden Toriabetreihcn , so ist zufolge
Gleichung (22)
'oB,;*.'£s-/nK/«.
- [G^'cG,P«G,
\ die Ordnung von F mit 2i bezeichnet wird. Die zu berech-
nende Polare der Form 2?-tor Ordnung drückt sich also
rational durch die Polaren >;,£,... und Polaren von
Formen (21 — 2)-ter und niederer Ordnungen aus. Ebenso
ist die Polare der Form (2i— 2)-ter Ordnung wieder auf Polar
niederer Ordnungen zurUckführbar, und so folgt:
Die Modulargleichnng ist im Falle n = 1 morfu/o j
rational aus e^ner endlicheu Anzahl Polaren (£■) und Po-
von {xi/) darstellbar.
Die Modulargleichnng kann also in der Form geschrieben werden
Rat(M, E„K„E^...)=0
oder wenn wir gerade und ungerade Potenzen von (xy) trennen:
Bei Yertanschung von x nnd y entsteht, da {ry) das Zeichen wechselt,
£i, E, n. s. w. aber unverändert bleiben,
Vil/jSi^i'^t) = ±wi^i^iVt!/i) = ^■i — iiy)-ffi
also entweder gi — > Ä, oder 9 = (xy) . Ä, Letzteres ist aber nicht
mßglit;]), da cp iraducibel sein soll, und wird daher
ipl_xy) = <p(sx) — R{{Ty)\ E, £, E^ . . .)
- -tk. i*t Kitb. s. Flija. S. Stih«. T*U IV. I I
162 Friedrich: Die Modulargleiehun^en der
Die Modulargleichung bleibt also bei YertaaschuDg Ton
X and y nngeände'rt.
Zuletzt sei noch darauf hingewiesen, dass in diesem Falle n ^ 1
sämtliche P Moduln dieselbe Modulargleichung ergeben, da die P— 1
übrigen Modnlargleichungon aus einer erhalten werden, wenn man in
ihr X und y gleichzeitig den nämlichen Substitutionen der p-ten Stufe
unterwirft.
§ 11.
Der Fall n = -- 1 modulo p.
Hier entspricht der Substitution S^ d. h. o' » w -|~ 1« homogen
d. h. aißiyii = 1:0:1:1, die Substitution 1:0: — 1:1, d. h. »i'— ±»i,
«,' — ± (— Wi+fl»»)? nichthomogen w' « w — 1, d. h. S — 1.
Der »-Substitution r, d. h. o)'= , homogen «i'«±«tf
w,' — » + (ö,, (a:ß:y:ö ^ 0: + 1: T 1«0) entspricht ebenso »,' = ^ «t,
o)2'=»±Wi (a:/J:y:^^ 0: + l:±l:0), nichthomogen w'— » »
d. h. T.
Entspricht nun bei der Function xj (also aj oder 0/ oder i|i),
auf deren Betrachtung wir uns hier beschränken wollen, der o-Sub-
stitution T die Substitution:
«1 = ± {<^i+b^h ar«' ■= ± (cxi + ^i)
80 lautet die zugehörige ^-Substitution:
y/ « q: (aa?i + bx^) jf,' = ^ (carj -f da;,)
da die Substitution g>i' «- T «»si «'s' = de «^ durch Combination der
beiden Substitutionen töj' =- ± w,, co,' — HF *öi und aij' = — W|,
«,' =— Q), entsteht, deren ersterer die Substitution y^ = ± («yi+^^i),
y,' «=■ ± {cy^-\-dy^)^ deren letzterer aber y,* « — y,, y,' -« - y« ent-
spricht, da y„ y, (a^, o,, o,,og, i/i, i/f) Modulformen ungerader Ord-
nung sind. (Bei der zweiten Stufe findet dieser Zeichenwechsel nicht
statt, da Ai, A, Formen —2-ter Ordnung sind, und überdies — 1 ^-|-1
modfdo 2 ist.)
Wir haben daher für p -= 3, 4, 5 folgende Systeme von Simultan-
Substitutionen :
Galoü'teken Moduln der 2. bis 5. Stufe.'
163
Fflr die dritte Stufe:
±1
±««6,;
±1
= Z7==s (<»i+2«»)> <h' = ,7== («1 — «»)>
*i'
y:=3
+ 1
y=3
V— 3
(*i+ 2ft»), V = .-5= (»1 - *»)•
(24a)
y=3
Fflr die rierte Stofe:
1-.-
±-72'''»
±1
Pl —
0, =
p*
y2
y2
fti
(24b)
y=2
+ 1
(— »1 + o»), <»«' = y= (oi + o»).
Pl' = y~ (— Pl +P»). P»' = T
Endlich für die fflnfte Stufe:
y^
(Pi +pi^i
ni-±^*vi, v,'-±i*v*, C' = ±«*£i,
±1
±1
&' - ± «»r,
(24c)
"»'' = 75 f- <• -**^ *»»+ ^**-*'^ '' J' 1* = 75 K«*-*')'?i+(*-**)''«3'
+ 1
Ti
i.' = 75 [- («-«*) f.+ (**-*») £,], &' = 75 [(«*-«»)?!+(*-«*) ft)]-
Dabei sind die transformirten a, o, 17 respective mit b. p, 2; bezeich-
net. Man erh< die Snbstitationen fttr &|, b^] Pi« P»; iin ig aas denen
fttr «1, o, ; Oj, o, ; 17^, 1/21 wenn man überall iv dnrch - = a<, t durch
T « — », « durch - « £* ersetzt Dabei geht V-^-S «=» a— a* über
in «« — « = —1/1:3, V::2 = »Y2in — »y2 = — V^, während
y5 = f-j- £* — «*— €» seinen Wert behält
Betrachten wir zunächst nur die ersten Substitutionen der drei
Stufen, (die man mit x' — A(xh y' *- -^(y)"^ bezeichnen könnte,) so
erhalten wir die ^-Substitutionen« die n ^ -f~ ^ ^^^ P entsprechen,
(also den ^ -Substitutionen identisch sind,) wenn y^, y^ ersetzt werden
durch 2^2, ^1, oder allgemeiner yy^ y*y^. Man wird nun versuchen, ob
sich durch geeignete Wahl von y und y* auch die übrigen (mit B zu
11*
164 Friedrich: Die Modulargleiehungen der
bezeichnenden) Substitutionen n = — 1 auf die Substitutionen » ^+1
zurückführen lassen. Das gelingt in der Tat für alle drei Fälle.
Erstens bei der dritten Stufe 'geht
wenn ^,, b^ durch yft^, y'&, ersetzt werden, über in
y — 2, y' « — 1 gesetzt, entsteht gerade
^l' - ± y= (2&, + *l), V = + y= (-*2-H.)
Geht /(o] 02^1^2) ^61 ^61^ zun = — 1 (modS) gehörigen
Tetraedersubstitutionen in sich über, so geht /(a^, o^,
2^2, -^Äj) bei den zu n^ + l(°*od3) gehörigen Tetraeder-
substitutionen in sich über. Dasselbe Verhalten zeigt auch
f(2a^ —Ol, 6], h^). Nun ist nach den Untersuchungen des vorigen
Paragraphen
/•(oj, oj, 2*2» — ^) « g)(oiO«&i*a) « Rat((aÄ), JEJ, (oj «2 *| ^2)1 -E«..)
(Es können auch ungerade Potenzen von (ah) auftreten, da man noch
nicht weisss, ob auch f(a^^a^^2h^^ — h^) = ±/(*i'^2i 2a2i —«1) ist.)
Jedenfalls wird
wo Eq die a^b^—a^i entsprechende Form o^ 61 -{~ 202^2 ist.
Genau dieselben Schlussweisen führen zweitens bei der vierten
Stufe zu dem Resultat, dass wenn fio^o^PiPi) bei den Substitutionen
(24b) in sich übergeht, dann /'(oj,02»~7'2il'i) = ^(^i^^PiPi) bei den
zu n ^ 1 mod 4 gehörigen Substitutionen in sich übergebt, und dass
daher
AölÖ2PiP2) = Rat(0,Pi + 02P2l ^l(öliÖ2— P2.|>l), E^ . .)
Endlich ergibt sich drittens bei der fünften Stufe, dass die
Modulargleichung für n ^ — 1 mod 5 die Gestalt haben mnss
wenn 9>(i7ji72!^iis) ^^i den zu n^-^-l mod 5 gehörigen Substitutio-
nen in sich übergeht So ergibt sich das Resultat:
Galoü'tchen Moduln dtr 2, bis ö* Stufe,
165
Aoch für n^ — 1 mod q lässt sich die Modularglei-
chang ans einer endlichen Anzahl Formen rational zu-
sammensetzen.
Auch heidenzan^ — 1 gehörigen Modalargleichan-
gen ist der ursprüngliche und der transformirte Modul
vertausch bar. Denn sei q>{xy) = o solch eine Modulargleichung
für xj « a/, oj oder ly/, und sei
Da
so ist
9> («y) ==* ± Vx (yx)
Vn U(f )~S A(x)) « <p* (yx)
Führt man diese Operation x' = A(x), y'=: -4(y)-i p— 1 mal aus, so
entsteht, da A-iQ-^) = A ist,
(px(A{f,), -4(z)-^) = 9x (yar) und y'^ (^(x), -4(y)-i) =. g)x(a:y)
<]P und (px haben also diese Simultansubstitution gemeinsam. Da fer-
ner noch
9 (xy) = 9 (Bx By) « g)x (^y B,) =• <jpx (y«)
so haben <p und 9« noch eine zweite Simultansubstitution x* « ^(«),
/ => j?(^) gemeinsam, haben also alle Substitutionen gemeinsam und
müssen daher identisch sein, so dass q>{xy) ^ +q>{yx)
Uni nun noch aus der Modulargleichung für xi die für xc abzu-
leiten, hat man einfach x und y durch Cx-^, Cy-^ zu ersetzen, (da
XI = C-^{x'e) u. s. w.) und erhält g)(Ge--\ Cy-i) = 0. Bezeichnet
jetzt C'i die Substitution, die aus C entsteht, wenn A mit A-^ ver-
tauscht wird, so ist auch
9 (W C-^ (y) C-i) = q> {(x) C-W, (y) C-^C^) = ^ (x, (y) (>-iC,)
Man erhält also auch die übrigen Modulargleichungen für die Func-
tionen o-c, indem man auf y (oder x) in (p{xy) die Substitution C-^C,
ausübt. Die Modulargleichung für xc wird von der für eine andere
Function xd im allgemeinen verschieden sein, ausser wenn
Ist D =- BC, so ist Dl = J5Ci und D-^ = C'^B^ also
Z)-iZ>i — C-^BBCi « e-iCi
d. h. die Modulargleichungen für xe und xbc sind identisch. Man
erhält daher |P verschiedene Modalargleichangen für
die P Functionen x.
166 Friedrich: Die ModukuyUichmgen d»r
§ 12.
Die FSÜe n= ±2 modulo 5.
Zunächst der Fall ii = + 2 mod 5!
Hier entspricht der Sabstitntion /S(^ 1 :0:1: 1 mod 5) die 8«b-
stitQtion 1:0:2:1 mod 5, d. h. iS^. Der Sabstitution T(=0:l:4:0
mod 5) entspricht eine Sabstitntion 0:2:2:0 mod 5, d. h. eine 8ob-
stitntiou der Form
, (b€o+2)+bdon
" '-5ao + (5Äo + 2)«
wobei
25ao<^,-(5i^+2)(5*o+2) « 1
Solch eine Substitution ist 2. B.
, 12+5io ^ 1 , , ^ ^ .
« - ^+2« - ^ 1-' d- ^- ^^^^
Der Substitution T des Argumentes von 17 entspricht also ß^Tß^Tff
für das Argument von t Bei der Modulargleichung für tii und ti
haben wir also die Simnltansubstitutionen
und
V « (12) J?, £• - (t) ^«J?^»i?il« = (D CA
fertig ausgerechnet:
fit' » ± ^%y nt' = ± «^„ f/ = ± «:„ £,'-+€*& (25a)
und Vi'-±Y^ [-(«-«*)i?i+{«*-«»)i?2],
- (25b)
?t' = T y5 [-(€»-^%-H^ -oa,
^' = + 75 [(^-Oti+(«*-^)W
Die Substitution, welche {; erleidet, kann aus der Substitution des ti
gefunden werden , indem man in dieser überall i durch c' ersetzt,
wobei y5 « € — «*-£*-}-£* das Zeichen wechselt.
Wir stellen noch einige besonders einfache Simultansubstitutionen
auf. Der i;-Substitation C = A*BA^BA*B entspricht, wie eine kleine
Rechnung ergibt, die (-Substitution C, und so erhalten mr
Gahärtcitn ifodaln der 2. Aü 5. Htuf».
■±1,.
--Tv^, :.'= + £«- ?,■•= + £,
(25c)
Eudlich ergeben ganz analoge BctracbtungcD, wio wir eie {% 6) über
die Vertauschbarkeit des ursprünglichen und des transforinirteii Mo-
duls austeilten, dass bei Vertauschung von t; und t die Modular-
gloichnng in sich übergeht, wenn ninu uacli der VerüiuGchui;g uocli
t durch — r ersetzt, also bei der Simultanaubstitutiou
V-±&i
> + £,. £,'-±1,. &'-±ih
(25d)
Der för den Fall ?. = -|- 1 angewandte Weg der Aafstellung des
vollen Forüiensystcms versagt hier, da die bctreffcndeu Foruiea nur
in sich übergeben, wenn man i],, % und f„ £j don uämlichon Sub-
stitntioncn unterwirft. Ausser dem selbstverstflndlicjien, aber in der
Durchführung complicirten Wege der Aufstellung mittels unbcstimni-
ter Coeflicientcn bieten sich jedoch zwei andere Wege dar, um das
volle Formensystem zu den Substitutionen (20) zn ermitteln. Der
erstere rührt von Herrn Gordan') und beruht auf der Weiter-
bildung gewisser invarianteutbeoretischer Prozesae. Da Herr Gordan
jedoch dabei auch Formen in Betracht zieht, die in beiden Variabel-
roihen von verschiedener Ordnung sind, so erscheint mir für meine
Zwecke der zweite Weg einfacher, der sich an die Theorie der
Gleichungen 5. Grades anschliesst, nnd der im Folgenden dargelegt
werden soll.
-I'
fSr die beiden Gerade uschoaren eines Hyperboloides, so dass alsu
jedes Wertepaar ij, £ einen Punkt desselben darstellt. Unterwerfen
wir ein gegebenes Wertesystem ij,, »jj, £,, ^ den 130 homogenen
Simultansabstitationeu, die den 60 nichtho möge neu Ikosaedcrsubstitu-
tJonen entsprechen, so ergeben natürlich je zwei nur durch dasVorzoichon
Wir interpretiri'
) Grössen »; •= — und £ — ^ als Parameter
unterschiedene Substitutionen den nftmlichen Pnukt
Vi it
nnd der
Pnukt, der das ersigeuanutc Wertesystem i;,, ij^, £,, ^ darstellt, er-
hält €0 Lagen. Da die 120 Substitutioueu eine Gruppe bilden, so
werden durch jede dieser Substitutionen die 60 Punkte zwar permu-
tirt, in ihrer Gesamtheit aber erhalten.
Behufs Anfstcllnng einer geeigneten Gleichung far die Fl&che
2-ter Ordnung führen wir Ponlaederco ordinalen ein, d. h. fünf homo-
gene Coordinaten igiz^r^jizgiif, zwischen denen die Identität besteht
t) Ucbcr rliu Aa6(>>ung der Glckhungun
168 Friedrieh: Die ModuktrgUiekwigen der
^+H+H + ^+H-0 (26i)
Setzen wir jetzt
H — «S?i— ^iii+ «Sti+ «*^«{« (»)
80 erfdllen diese zi gerade die Bedingung (26a), d. h. sind Pentaeder»
coordinaten. Ausserdem ist noch identisch für jedes Wertesyatem
Vu v^y tu t»
^*+^*+%*+^*+ V = 0 (26b)
und dies ist die Gleichnng der Fläche 2. Ordnung, auf der wir die
Grössen 171:7s ^^^ Si^Ss iuterprctircn. Unterwerfen wir jetzt 17^, tj^^
2^1, {^ den Simultansubstitntionen , so ergibt eine kleine Rechnung,
dass bei den Substitutionen (25a) «0, «j, z^, 23, z^ respective übergehen
in %, ss, 23, 24, «Ol (cyklischo Yertauschung,) während (25b) dieselben
Grössen ^y ^9 «21 ^9 '4 überführt in «09 ^ ^n ^) ^' Weiter kann
man sich auf elementare Weise überzeugen, dass man durch Gombi-
nation und Wiederholung dieser beiden Operationen, nämlich der
qrklischen Yertauschung, welche die Indicesreihenfolge {klmn in Jdmni
verwandelt, und der zweiten Operation, welche iklmn in iiknm vei^
wandelt, sämtliche geraden Yertanschnngcn der Indiccs erhält, d. h.
sämtliche Indicespermutationen mit gerader Anzahl Inversionen (bei
denen also eine gerade Anzahl Male ein höherer Index vor einen
niederen Index tritt). Es können nur Permutationen mit gerader
Anzahl Inversionen entstehen, da zb^i^^^4i ^^^ ^i'^HH^ ^^^
HH^iHH ^^^^ gerade Anzahl Inversionen haben. Bei der Substitution
(25d) gehen jedoch 2^, 2|, zj, «g, 24, über in 2^, 2^9 ^4) ^» ^9 ^* b- ^s
entsteht eine Permutation mit einer ungeraden Anzahl Inversionen,
und so können wir durch Combination und Wiederholung der Sub-
stitutionen (25) sämtliche 120 Permutationen der zv erhalten. Eine
doppeltbinäre Form q>{viVii\i%)'i welche bei den 240 homogenen
Simultansubstitutionen ungeändert bleibt, muss sich daher, da zufolge
Gleichungen (26)
*?!?! = 5 (20 + «^1 + «S + ^\ + ^H)
ViU « — 5(«o + «*«l + «S + ««3 + «^«4)
V^it ^ ö(2y + £*2,4-£32,4-«»23-f 124)
ist, als homogene Function von 20, 2^, 2,, 23, z^ darstellen, die bei
sämtlichen Yertauschungen der fünf Grössen 20, 2^, 2,, 2,, «4 bis auf
Gahü'sckrn iloJuln der 2. bU S. SU/fi.
einen Factor +1 in sich übergeht, i]. li. muss aich rational aus den
symmetri sehen Functionen der i, und der Wurzel aus der Discrimi-
nante, Fl^yt (if— n), zuBammenset/en. Da letztere bei ungeraden
Vertausch an gen der i das Zeichen wechselt, wälirend die symmetriachen
Functionen nngoündert bleiben , so scliliesst man in ganz ähnlicher
Weise wie im Falle n = -|- 1 mod g, dass zunilcbst nur das Quadrat,
also das Prodnct /7,>t(t, — ii), neben den symmetrischen Functionen
auftreten kann, und da dieses selbst symmetrische Function ist, so
sind nur die symmi'lri sehen Functionen der z ins Auge zu fassen,
deren jede eine Form <p (i?, i?, ti £») ergibt- Diese symmetrischen Func-
tionen dracken sich aber bckaiLiillich rational aus durch die Coeffi-
cienteu der Gleichung
oder, was auf dasselbe hinauskommt, durch die Potenzsnmmeu
für • = 1, 2, 3, i, 5. Und diese ergeben dann, in vn vn £n £i •""-
gerechnet, folgende Formen'), die das volle Formcnsystem ansmactien:
I) Uieie Formeln sowie die fceumetriechcD Belrachluagfa, insbeiondcre dio
EinHlbninS ^^^ Fliehe 9. Ordnung sind, wie bereit! erwähnt , der Theorie der
Gleichnngen ävs 5, Grude», niid iwnr inshMondero der Theorie der Ilaupl-
gleicbongeti i' + ai* -f 61+ c = 0 entnommen und «ei deher nuf das Kl ein-
gehe Werk, inEbesondero auf Buch H. Cspilel 3 veru-ieien. Der Qcdiinken'
gang ist dort gerade umgehehrl, wie hier. Dort werden iiinlcbit die
LBgrange'aehen Ansdr&eke
f, - ^ + ,\+,",,+i'%+,''., (.■ = 1, 2, 3, 4)
«ing<rahrc, und dadurch eine gewitae Fliehe 3. Ordnnns, die Hnaptfltche
Zr»* = 0, in die FlSehe P|Pj + /i,Pj ^= 0 irnnafunnirt. Die Geraden der bei-
den Sehnarea werden dann durch die FamoioCer
Pj^
Pa
und
^_i
Pj
Pi = äijfi,, ;ij öijfi], Pa = 5i,f*,, pi = bkfUt
170 Fritdrick: Di« Modulargleidntngen der
Endlich, was 4en Fall n = 3 mod 5 betrifft, so gdiem die
gehörigen Formen in sich Ober darch die Snbstitationen
•»,'-±«»^1, V-±«*9„ f,'=±«*fc, fe* = ±«& (29»)
v*-±ji [(«* - «») •/,+ (e - «*) •? J,
fi' - T :j75[-(«»-«*)t,+(«-«*)M,
und ergibt sich wieder, dass wenn (pivuvt^tuti) eino z« fi^2
gehörige Form ist, dann <f> (vu vt^ ~~ ts) In) ^^^^ zu » ^ — 2 mod 5
gehörige Form ist, und so lautet das volle Formensystem n ^ ~ 2
mod 5
(29b)
V-y.»c,«W )
(30)
Capitel III.
WIrkIlohe Aufiteilung der Modulargieiohungen.
§ 13.
Die DoppelverhällnitsmodulargUichungen.
Dieselben bleiben ungeändert, wenn l nnd ft simultan den nftm-
lichcn Sabstitntionon nnterworfien werden, da der Transformationsgrad
n angerade, also = 1 modulo 2 angenommen ist. Es genügt, von den
Simnltansnbstitationen die folgenden zu betrachten:
A. Ai' = ± iX^ A,' - ± .A,, |i,' = ± tfi„ f»,' = ± t>,
B. A,' - ± i{-Ai+A,), A,' = ± .A^ »•,• ■=±.(-»»1+».,), fH' - + .>,
wobei in den Snbstitationen einer Zeile entweder iinr die oberen oder
nur die onteren Zeichen zu nehmen sind. Die Formen
F, = 2A,» — 3A,«A,— 3AiA,«+2A,»
F, - A,«A, - A,A,«
Galou'nchtii AMuln dtr 2. bis 5. Stuft.
171
zwischcD deuen noch eine Identität 4F,' ^ /",*-(- STJ'a' besteht, ueh-
mcB bei der Substitution A rospoctivc die Factoren — 1, +(, ±_i,
bei der Substitntiou li aber respeetivo —1, ±_i^ ^i; F,^, F,* imd
/j* nelimeu also den Factor — 1, so dass die pag. 160 mit v bezcich-
DEtc Grösse hier gleich 2 isL Wir erhalten also als Formen der
niedersten Orduuiigen, durch deren Polaren sich Alles ausdrücken
lassen musa:
F.Fa« (8, Ordnung); /JF,
Fl«, V, F,* (12. Ordnung); F,F,^
(6. Ordnung) und F,' (4. Ordnung).
Durch passende Verwi'inlung der Ideutitiit (22) erkannt mau,
dass sich lFi\-, die sedistu Polare von F,*, darstellen Itisst durch
{F,*)j nnd Polaren von Foriiicii y. und 4. Ordnung; ebenso ist die
6, Polaro von Fj* darstellbar durch (Fg*)« und Formen niederer Ord-
nung. Untorsudit man so allo- die oben angefflhrtou Formen, nud
beachtet noch die Identität i^\^ == ^i'+ 27 Fj*, so ergibt sich schliess-
lich, dass sieb das volle Formensystem ausser aus ('liF'i~f*i''i)^ ^i'
sanunengesetzt aus
IF.F^^U; (F^F^),; {F,%
Aosgerochnct lauten diese Formen
1. ,i, -(V*-V.)"i
2. Die vierte Polare yon F^Fs* = ij%"— 3i,*i,H-4ii*is*-3'li^'lj*
C, = i,*(15,UiV»*-lß*'i(«s''-Hf»*)
+ii>ia(40t<,'fi ,-90f. , V»'4-64fi,fi,3 -I5^s')
+i, Vdöf ,'- 9ÜK,>j-f 1 44fi, V,"-90^,f«t'+l W)
+I,is3( - 15*». '+<!4t' ,-V*-90 ,*, 'mH-Wf ifn*)
3. Die dritte Polaro von F^Fg = 2i,^Aj— 5ii*V+5*i"V— 2iliVi
+i,V(-f.'+3^.t'.'~f.^)+V(fi'Hi-f,*'.=') (31b)
i. Die zweite Polaro von F,* = k^^—'^^,n^+3k^%»'-2k,l,^+^f^ :
C, = A,»(2f-,*-2f.,H,+Hs")+i,Aä(-af.j*+4^,t»,-2^,*)
+V(fj'-2p,f,+2H,') (31c)
Um jetzt dio Modularglcichnug für Transformation h. Ordnung auf-
zustellen, berechnen wir zunilchst den Grad iV= ii/Jll-j--) der
Gleichung und schreiben dann alle Glieder (i.^y^Cj'Ct'C^* hin, für die
2a-\'2b-{-Ze-\-\d = N ist, und erhalten die Uodulargleichung
172 Friedrich: Die Modulargleichungen der
2:«x(A^)a«x Q*x Ca^ C*^ « 0,
X
in der nur noch die Coefficienten a« zn bestimmen sind.
Zu diesem Zwecke setzen wir für A nnd fi die Reihenentwicko-
lungen nach Potenzen von q « ^""^ ein. Die Theorie der elllpti-
liehen Functionen zeigt, dass wenn ot^ und oi^ die beiden primitiTen
Perioden des Legendrc'schen elliptischen Integrales 1. Gattung mit
dem Doppelverhältniss x* sind, und man ^ =- w, e*'''" =: q setzt,
alsdann x' » A in die Reihe entwickelbar ist ^)
- 165[1— 85-1-443« — 192g8-|-718«* — 2400g»-|-73525« ...J (32)
nnd dass %* gerade die als Doppelverhältniss bezeichnete Modul-
fnnction ist, nnd zwar A/^, wie man erkennt, wenn man 5»0(cv»»ao
setzt. Um auch für ^ eine Reihe zu erbalten, kann man etwa den
Repräsentanten- oder no^ verwenden und erhält
lA = A^Cnw) ^ 162»* [1 -%«+44<22" ...]
Da die obigen Formen C^, Q, Q fttr die Einsetzung der Reihen
wegen ihrer verbältnissmässigen Complicirtbeit unbequem sind, so
empfiehlt es sich, etwa die folgenden einfacheren Grundformen ein-
zuführen :
Z>,-2(7,-^,-;i»(4^i2_4^^^^+„^«)^A,A,(-4^,»+10^i,i2-4^,*)
«=(2AiM,-A,|M,-A,Ui+2A,^,)« (33a)
==VA,(2M,V2-3^iV2'+^if*2')+^i*^*(-3^iV2+6."iV8»-3^fi,3)
«^(2^11111— A,/*,— A,^,-f2A,^)(Ai*A3,-A,A22)(fi,»fi2-fiifi,»)
1) Man vergleiche bei Sohncke (Crelle'8 Journal 16, p. 113 ff.) oder
Jacobi FondamentaS 6*- (Werke Band l, Seite 236, Formel 10). Dabei
ist (cf. pg. US)
GaloU*tchen Moduln der 2, hU ö. St^fe, 173
Weiter beachte man , dass die Ordnung *N der Modulargleichang
wegen des ungeraden Transformationsgrades sicher eine gerade Zahl
ist Da nun Q die einzige auftretende Form ungerader Ordnung
ist, so können nur gerade Potenzen von Q vorkommen, d. h. das
volle Formensystom besteht aus A^^ D^, D^^ Q^. Für C^^ füluren
wir wieder eine vereinfachte Form ein:
Nichthomogen geschrieben lautet dieses definitiv zu Grunde zu legende
volle Formonsystem
Z>4«(2-i-f*+2A,*)(A« -A)(fi«-fi),
A«•a*-A)«(fi»-fi)^
wobei noch D^Dq — D^^^O ist
Für die niedersten Falle gestaltet sich die Rechnung folgender-
massen :
Transformation dritter Ordnung.
Die Modulargleichung ist vom 4. Grade und hat daher die Form :
q> - aV + /^^2A + yA*+^A - 0.
Die Reihen nach Potenzen von q fÄr i4„ D^ D^ beginnen respective
mit q\ q\ q\ Die Reihen für A^\ A^D^, D^^D^ also mit respective
5*1 3*1 3^1 9*- ^^ ^" ^ *^^® Potenzen von q verschwinden müssen,
darf zunächst das Glied Dj« nicht auftreten (y —0), ebenso
A^D^(ß « 0). Weiter ist
^,2 = 256V [1-32(2 . . .]» A ^ 512^[1— 32« ...].
daher ist . ^ ^
256«.a+512./J-0,
a:/J-l:— 128
und die Modulargleichung lautet:
^^' (1-^)4 « mi^a--lM^ ^ Mif2-.Ä-^+2A|») (35a)
174 Friedrick: Die Modulargleichungen der
Transformation fünfter Ordnung.
Die Modulargleichnng ist von 6. Ordnung und lautet
Da X » 16gT . . . , fi « I65* T • • • » und die Reihen fOr D„ -4,,
Z>4, Z)^ mit 2®, 2*, 5^ g^* beginnen , so beginnen die Reihen für dio
sieben in der Modulargleichnng möglichen Glieder respective mit
5^ 9^ 9*1 9'» (Z^ 5^ 9^*> ^ind es ergibt sich durch Vergleich der
Reihen (die bis ^ zu benutzen sind)
a:|3:y:6:£:t2^ — 0:0:0:1:- 16 .512 : 9.512 : 32.27.512,
und so lautet dio Modulargleichnng:
^a» — 2«Z>,Z)4+9 .512i48Z>4 +27 2^^D^ - 0 (35b)
oder
(^_^)6==512A(1 ~A)fi(l-^)[16(2-iL-^+2Af4)»~9(iL. f4)«(2- A-^+2Af4)
-32.27A(1— A)fi(l--f*)].
Endlich die Transformation siebenter Ordnung.
Die Modulargleichnng ist von A. Ordnung und lautet
«1 D/+a8Z>,«^8+a8D,« J8H-«4D,.4,3+a5^,*+aeZ>,«Z>^
"* Uo.
Das Glied D^D^ ist nicht mit hingeschrieben, da es gleich D^ ist
Die Reihen für /.\, A^^ Z)^, Z>g beginnen mit g^, g^, g^, g^^ und da-
her die Reihen für die einzelnen Glieder mit resp. g^ 1?*. g*, g^,
g8, gio, g»*, g*ö, g^8. Daher ist a, = o^ « Oj ^ a^ «» 0.
Die ausgerechneten Reihen, deren man zur Berechnung der Coef-
ficienten 05, og bis a^Q bedarf, lauten:
A=16g[l—8g+44g«—192g8+7lV—2400g5+7352g«— 20992^7
+56549g»-145008g»+356388g^0- 844032g"...]
fi«16g7[l~8g'...];
(A— fi)««256g«[l— 16g+152g»-17.64g8+4.1611g*— 32.1037g^
+2.76575g6—l6.40407g7-}-2.1266491g«— 16.581955g»
+4.8096545gio_i28.838243g"...] ;
A(l— A)fi(l— fi)-256g8[l-24g+300g«-41.64g»+2.9063g*
-32.3297g-»-8.67287gß - 8.308931g74-10401573g8- 16.2542583g»
+4.37351 497gio_>i6 32467557g"...] ;
Goloit'ttktn Moduln der 3. bit J. Siti/e.
2 -i— (i+2Afi=2[l— 8g-fGV -H.3253-1-3.5125*-16.35V
+3.64009« -8.73539'4-25G.6575«— 8.56805g«
+128.9151g'o -32.906337"...];
A(lL?i)^!5TZ:^=2"[l-40g+8845»-256.55-/+2.897853*
—128,l5I5l5''-|-16114742l38 -8.194 909l")95'-f 120822155938
-32,2702785355^+144388840013'"— 16.226616994135"...];
(2— i-^+3 V)^32[l— 409+15.64^' - 32.5353'+512.485q»
—16.19200326+256.1304053«— 8.40637 085-;'+512,562l885g8
— 8.2928 486 9059''+128.13814035I3<('"— 32.389 46139085s"...];
{2— i— fi+2ip)3(i— ^)'=2"g''[l— 402+920.v''-32.485aH-4-5281l5*
— I6.152513r'+2.1234 10239«— 8.279 1083-V+2.917345 27V
—8.17317770399"...];
(2— i-f<+21f.)(i— /i)*=2'V[l— 4O(i+8803»-32.455g3+8.219 71g*
— IG.l 1 7 023fr*+4.4352623g« -8.180 789 85g'...] ;
(2-i -^+2if.)*A(l— i)fi(l— f.)=-2'n3»[l— 4O9+219.49»— 64.2159^. .];
(i-/i)'l(l— i)(.(l -fi)=2"V''[l-*05-]-
Unrch don Vergleich der cinzoluen PotoDzen von q erlialten wir
2"a5:2X:2"a,:2"o«:2"rt!,:2'«aio=l— 1:76:— ll70:-3375:864000,
oder
256a5:a«:fl,:nB:as:a,o = 1 : — 2048:19.128:-585: — 64,3375:864000.
Daher lautet die Modulargleichung :
Af* -256.2048D4D,»+256.19.128-4,D,D4 — 256.585VD*
— 64.256.3375ö,fl^+25G.864O0O.4,Dß = 0,
{l—t'f = 25GA(l-i)f.(l— ^)X (35c)
/204a(2-A— ti+2ifi)*-19.128.{2-l-fi+2A^)3(i-^)*\
\ +585{i-^)<(2-l-(.+2ip) /
j +64.27.125(2— i-fi+2A^»)^(l-i)ti(l-f/)* l
{ — 256.27,125.i(l-iV(l-fi)(l-j»)' )
Zur Coütrole für die Richtigkeit der Reiben dienen die Glieder mit -
9"; sie massen gerade Null ergeben. In der Tat ist, wie leicht J^
nachznrectinen,
176 Friedrich: Die ModuhrgUidiungen der
16.22661 699413=32.38946139085-76.8.1731 77039+1170.8.18078985
+3375.64.215440.864000.
Die Gleichungen für n -« 3 und n = 6 finden «ich , allerdings
auf anderem Wege abgeleitet, (durch mehrmaliges Quadriren der
8 8
entsprechenden Modnlargleichungen für Vi = u, Vfi » v), bereits
bei Jacobi (Fnndamenta § 29, Werke Bd. 1., Seite 122 und 123),
sowie bei Cayley in den Philosophical transactions Yon 1874, Bd.
164, Seite 450 und 451). Im Vergleich mit dem dort nötigen Bech-
Dungsanfwand fahrt die hier dargelegte Methode, wenigstens in den
Fällen »=7 3 und 5, schnell zum Ziel ; auch hat man durch Berech-
nung noch einiger weiterer Glieder der Boihen beliebig viel (Jon-
trolen für die Richtigkeit der numerischen Rechnung. Aehnliche
Gontrolen sind übrigens auch bei den späteren Beispielen von Mo-
dnlargleichungen angewandt worden .
§ 14.
Die Tetraedennodulargleichungen.
liier haben wir die beiden Fälle « ^ +1 und n = — 1 modulo 3
zu unterscheiden und getrennt zu behandeln.
1) r =+1 mod 3.
Die zugehörigen Formen bleiben bei den Simnltansubstitutionen
und
«1' =■ ± y= («1 +2aj), o,' = ± y=(«i — ««)»
ungeändert. Die Formen
F, — Oi'as — oj*,
/'2«a,«-20ai»a,3+a8«,
erhalten bei diesen Substitutionen respective die Factoren a, 1, a^,
und 1, 1, 1. Die niedersten in Betracht kommenden Formen sind
also
F^ (6. Ordnung); F^F^ (8. Ordnung); F^^^F^^ (12, Ordnung),
Galoia'ächm Moduln der 2. 6if ö. Stufe. 177
von denen wegen der Identität 64Fi8-|-/;2 _ ./^^a n^,, ^^^a die fol-
genden drei in Betracht kommen :
deren respective 3., 4., 6. Polaren laoten
(36)
An Stelle dieser Formen, die mit A^ = (oi^s — os^i)* das volle Form-
system bilden, führen wir für die numerische Dehnung mit den
Potenzreihen nach q bequemer ein:
(37)
D^ = K6^2*-Q) =-(«iS-V)(*iM-8^iV)
-(V+Baia83)(V*,-V),
Z>6 = 7^(-5Q+28^Q-33^,3)
- - (aiS-«2*)(V«'jr- V)(«i Vä+«j«/i*— 2aj^*2*).
Nicht homogen geschrieben lautet das volle Formensystem
(38)
/^^ =, (l-a3)(8&+i>*)4-(l-Ä8)(8a + o*)
Z)g =. (1— a3)(l--!»3)(2-a«Ä — ai>)
Zwischen diesen Formen besteht noch eine Identität, die man durch
Polarisiren der aus ^i^F^ -]- F,* «=> F^ abgeleiteten Identität
64Fi6 + Fi3F22 — Fi^F^a « 0 erhält
2) w ^ — 1 m 0 d u 1 0 3.
Wir haben iu den Tetraederformen für n^-^-l nur h^b^ durch
— 2*2, />! zu ersetzen (oder a^, «2 durch — 20^, «i), und erhalten
so das Formensystem:
▲reh. der Math. u. Phys. 2. Reihe« T. IV. 12
(39)
178 Friedrich: Die ModulargUichungen der
Aus Z>a : E^ = 0^3^ — ISa^Wi^ + 36a,aj«&,&j«
— 8a, V + 8«! V + 8a,»*i' ;
Aus Z)^: E\ — 8(aiS— ««*)(V*2 - V)
+ (V+8a,a,»)(V+8Ä,V),
wofür wir einführen
^4 - K^4 + ^^s) - («1* + 8aia,8)( V+ 8Äi V). (39c)
Ans Z>e folgt ebenso eine Form Eq. Diese Form ändert jedoch bei
Vertauschung von a und b ihren Wert (nicht blos das Vorzeichen).
Schreiben wir die Modnlargleichnng, nach Potenzen der Form E^
geordnet:
R(ab) - Ro(EiE^E^) + E^,R,(E^E^E^) + E^KR^(E^E^E^) ....
und vertauschen a und &, so soll R(ba) « J:i7(a&) sein. Bilden wir
also
Ä(o6)-Ä(M = I^6(a*)-^6(M]ßi+[^6*(a*)--K6^^)]Ä,+ ...,
so ist dies entweder gleich 2R(ab) oder gleich 0. Ersterenfalls ent-
hielte aber A(ab) den Factor E^iab) — E^iba) , was wegen der Irre-
ducibilität von R(ab) nicht angeht. Oder der obige Ausdruck ist
gleich nul]. Dividirt man dann rechts durch Eß(ab) — E^iba) was im
allgemeinen sicher von null verschieden ist, so bleibt rechts" ein
ganzer, rationaler Ausdruck (iV— 6)ter Ordnung, der für alle ver-
möge der Transformation n . Ordnung zusammengehörigen Wertepaare
a, b verschwindet; da aber die Modulargleichung von iV. Ordnung
sein soll, so kann nicht bereits ein Ausdruck (iV— 6)ter Ordnung,
gleich null gesetzt, die Transformation kennzeichnen, dieser Aus-
druck musN vielmehr identisch verschwinden, d. h. i^j, R^ u. s. w.
identisch null sein. Die Modulargleichung lautet daher einfach
/Zo(A'iArt/'^) — 0, /tJi^^aJK^ bilden das volle Formensystem
w =r — 1 niod:J und es ist R(ab) -= +i?(^»a), da E^iab) = E^iba)^
K^ijta) "^ /'^a(Äa) und E^(ab) = E^{ba), Nicht homogen lautet das
volle Formensystem :
E^ — 2+oÄ,
£3 = 8— 36a^-|-18a«&»— a8^»S-8a3-8Ä8 (40)
J5;4 = (8a -t-a*)(8Ä -}-&*).
Gahit*sch€n Moduln der 2, bis 5. Stufe,
179
Behufs Bestimmung der noch unbestimmten Coefficienten in der Mo -
dalargleichung benutze man die Reihe ^)
o « ^Qq\[l —532 + 32^ -1983«+121V— 74452^0 ..]
Beispiele von Modulargleichungen sind
(41)
für n « 2: E^^-^-E^ =0
n — 4: Z)e-32Z)3«-|-5.2%D4— 5«.2«.3»11V „0
n « 7 : (140i42« - 27 D^)* + 27il2(Z>8* - 896Z>ß) — 12800 A^^ - 0
§ 15.
Die Oktaedermodulargleichungen,
1) n « 1 modulo 4.'
Bei den hier in Betracht kommenden Substitutionen :
A)
Vt'=±
1—
y2
p«
und
Pi' = ± y-32 ("" Pi +P«)' P«' ^ ± yll^^P^ "^ P*^ '
erhalten die Formen
Fi = o,« + l4oi*o,*+o,8, •
Fj = Ol« — 33 0,8 oji* — 33 o^* 0,8 + o,»«,
F^ = Ol OjC^i* — oj*)
respective die Factoron 1, — 1, 1 und 1, —1, — 1. Die niedrigsten
in Betracht kommenden Formen sind daher -Fj, F,*, Fg*, von denen
noch F,* « Fl*— IO8F3* durch die andern darstellbar ist. Das
volle Formensystem lautet daher:
1) -4g « (oii), — oaPi)^
2) Die vierte Polare von Fj,
1) Mao vergleiche z. B. Ikosaeder n. t. w. pg. 188. oder Annalen XIV
pg. 157.
IgO Friedrich: Die jkfoduiargUichungen der
+I60, o^^p^^p, + o,W + 5^2 V (42)
3) Die sechste Polare Yon F^K
Sei diese mit Q bezeichnet, ebenso die dritte Polare von Fj mit Q,
so ist znfolge Gleichnng (22):
(a, ß Zahlenfactoren). Daher führen wir anstelle von Cß ein :
Z>e - Q« = {o^p,+o,p^no,W-o,W)^ (42b)
Nichthomogen lantet das volle Formensystem:
Z>4 = 5oV* + ö* + 16o»|) +36o«p« -f 1 6op8 + 1)* + 5 > (43)
/>6-(^+p)*(l-öV)' *
Hieraus folgt das volle Formensystem n^ — lmod4, indem p^,
p^ durch ps, — |)t ersetzt werden; es lautet:
(44)
Nichthomogen :
E^^l+op
A4 -= 1 — 16o;> + 36oV— 16o3;,3^o4^4^5^4^5p4 (45)
JE;ß = (l-op)V-p¥.
Was Reihenentwickelungen für o betrifft, so beachte man, dass
4
Nun war
XbM =- 16 ;^i:+23+2g*"~j '
also ist
oiM = 2 r+23M^ VTT.
= 22*[l-222+5g*-1026+18(?8-325»o^555^2...] ») (4G)
1) Man vergleiche etwa Ikosaeder pg. 132, oder Annalcn XIV. p. 157,
oder endlich bei Sohncke, Crelle's Journal 16, pg. 133.
Galois*schen Moduln der 2. bis 5» Stufe, 181
Beispiele«
11 «3 E^^-E^^O (47a)
aasgerechnet:
n — 5 20Z>e — 4i4,Z)4— ^,» — 0 (47b)
aosgorechnet:
n « 7 79Ej^^ — 78-B,*A\ — V -h^^Ej^E^ =- 0,
aasgerechnet:
o84^8+28op(o*+p*)(2oVH-5^+2) ) _Q .47.
— 16op(4oV*+8o^/|S+7o*pH-7ö*p*+8op44)4-100oV ) ^
Die Gleichangen für o sind identisch mit denen fOr yx, wie sie
sich z. B. für n » 3 und n-»5 bei Cayley finden (Philosophical
Transactions 165, pg. 451).
§ 16.
Die Ikosaedermodulargleichungen.
n ^ +1 modulo 5.
Die niedersten in Betracht kommenden Formen sind F|, Fg, f^
(vergl. Gleichung (3d)), nnd so lautet das volle Formensystem:
1) ^8 — (>?ife— ^«fi)S
2) Die sechste Polaro von F^:
(48a)
3) Die 10 te Polare von F^:
(48b)
/?,o=22.17.(i?,%»o+,y,%^0)^66(i7,V-'/fV)(21^,V+175,yAAf2*
+450vA2'tiV+450,y,V:i%*+175iy,,7,*J:/J,+21^,*f,*)
+^i'^&*^+10*^,Wi&^+45^,^,«J:,V+120«i7i'^Ä3j^'
+210^;,,V£.^fe^+252S,^,5t,V+210^,Vti%*
+120S3,^,'f,'f,3+45«^^2^^8f^8f^2^10«i7iVJ:,%4-^2n,^^.
182 Friedrieh: Dit MoAilargUickungtH der
4) Die 15. Polare von F,:
(47c)
+175,,S»?,%M-176ihV&»ÜM-75%VCi*£,+ll%»fc»)
+975.j,Vti%^+2275,,«i,,«f,«£i»+3003.?,Vt,'{i*
+2275,,V£.*&M-975„»,,»fJt,»+225v,VfeV
Ihr Quadrat ist rational ansdrflckbar durch ^, £>«, i>io, nad hat
man, nm dies einznsehen, die Identität F,*— 1728Fs'— F,* drcissig-
mal polarisirt zu denken.
Ist »5 — 1 modnlo 5,
so ist in den ebenangeftthrten Formen nnr d^ za ersetzen dnrch
tt, — Ci, nnd lautet das volle Formensystem:
(48)
Et - 42(,,&-,^)(,iV+-?«»fi»)->?i*ti«+6V%fi'ft •••;
£,0 = 22.17(v,i«>y»+„«>f^W) + 66(,xV-h»*Ji')(21i?,*t,*
- 1757,<7Ä*& . . OH-?!"?! ••- 10 Wi'ti + 45«, A V& T • • ••
Zwischen diesen Formen besteht wieder, analog wie bei n ^ -f~ 1<
eine Identität
Im Falle n^2 modnlo 5 hatten wir gefunden:
i - v,V+Vi»&»-.?,»fe»+7,V+io,.i7«Si£»(-'?i»&%+'?i*9,t,»
Endlich im Falle n = — 2 modnlo 5:
-io./,%tif,(,i%*C,+.?.'«?«£i»+>7,%V-%»fi*W-
GaloWschen Moduln der 2. hü 5, Stufe.
183
Für die numerische Berechnang der noch unhestimmten Coefficienten
bedienen wir ans der folgenden Reihe ^)
+G0
m ■mmCO
— 00
(49)
Beispiele.
(50)
n — 2: 9 = 0
fi « 3: t/;, « 0
i» = 4«): V— -Bß^-O
n « 6 : 11 . 17Z>6*— 18 • 49i4,Z>,o+121 . 16i4,»Z>e— 17.73il3i«« 0
n«7: i/;»«-y;f=3 0
n =. 8: g^i* + Vi*i3:i — **!* = 0
n - 9: 11.17V+6.49£i*£io+11.16.53V^
— 17.577£ii2«o
n = ll: 11.17/>6* — 18.49^,Z>,o-11.8.335^»Z>6
— 17. 75841^,« «0
n - 13: g>^hi - Vi**i*+*iZi* - 0.
1) Man vergleiche Ikosaeder, p. 132, oder Annalen XIV, pg. 157 ff.
3) Die Gleichungen fftr n = 2, 3, 4 sind bereits Annahm XIV, pg. 163
mitgeteilt.
Inhalt.
Einleitung 113
Capitel I.
Galois'sche Hauptmodnln der 2. bis 5. Stufe.
§ 1. Die modulo p zur Identität congrnonten Substitutionen und
ihr Fundamentalpolygon 115
§ 2. Die zugehörigen Hauptmoduln der 2. bis 5. Stufe .... 119
§. 3. Weitere Discussion und Aufstellung der Definitions-
gleichungen für diese Moduln 121
§ 4. Genauerer Verfolg der Tier einzelnen Modulfunctionen . 128
§ 5. Modulformen 137
Capitel II.
Die Modulargleichungen der Galois'schen Hauptmoduln der
zweiten bis fünften Stufe.
§ 6. Transformation n . Ordnung, Repräsentanten 143
§ 7. Die zugehörigen Modulargleichungen 147
§ 8. Die Substitutionen der Modulargleichungen in sich . . . 150
§ 9. Zuordnung der Simultansubstitutionen! 153
§ 10. Die Fälle n = +1 modulo g 156
§11. Die Fälle n =- 1 modulo p 162
§ 12. Die Fälle n=±2modulo5 166
Capitel III.
Wirkliche Aufstellungen der Modulargleichungen.
§ 13. Die Doppel verhältnissmodulargleichungen 170
§ 14. Die Tetraedermodulargleichungen 176
§ 15. Die Oktaedermodulargleichungon 179
§ 16. Die Ikosaedermodulargleichungen 181
Hoppe: Anziehung eines der Kugel analogen Gebildes ete, 185
IV.
Anziehung eines der Kugel analogen Gebildes
von n Dimensionen auf einen Punkt.
Von
R. Hoppe.
Einleitung.
Das Gesetz der Newton'schen Anziehung einer homogenen Kugel
ist bekanntlich in den 2 Sätzen enthalten:
Die Anziehung der Kugel auf einen äussern Punkt ist gleich
der ihres Mittelpunkts mit vereinigter Gesamtmasse.
Die Anziehung einer coneentrischen Hohlkugel auf einen Punkt
innerhalb ihrer iuucrn Oberfläche ist null.
Beide Sätze gelten fttr keine andere Dimensionszahl als 3, wenn
die Anziehung der (— 2) teu Potenz der Entfernung proportional ist.
Man kann jedoch das Newton'sche Gesetz auch folgendermassen aus-
sprechen :
Ein Punkt zieht alle auf dem Radius normalen sich perspectivisch
deckenden Flächenelemente gleich stark an.
Erweitert man diese Hypothese von 3 auf n Dimensionen, so
ist statt des Flächenelements ein Element von n — 1 Dimensionen
zu setzen. Daraus geht hervor, dass die sich auf n Dimensionen
entsprechende Anziehung der (1— -n)ten Potenz der Entfernung pro-
portional sein muss.
Es ist der Zweck des Folgenden zu zeigen, dass unter dieser
Annahme jene 2 Sätze von jeder Dimensionszahl gelten.
186 Boppe: Änaekung eines der Kugel analogen GehUdee von
Wir nenDen den Ort eines Punktes, dessen n Goordinaten » die
Bedingung
erfüllen, die runde ndehnung fOr den Radius c und den Anfiuigs-
punkt als Mittelpunkt
§. 1. Anziehung auf einen äussern Punkt
Der Mittelpunkt O der runden n-dehnung F, deren Radius »c,
sei Anfang der n Goordinaten x, ..., die'a; Axe gehe durch den an-
gezogenen Punkt P^ für welchen a; «- a >> c sei. Die Dichte von
F, die Masse von P und die Anziehung der Masse 1 auf die Masse
1 in der Entfernung 1 seien » 1.
Wir schneiden F durch die lineare (n— 1) dehnung
X B const
Der Schnitt 8 ist eine runde (n — 1) dehnung, deren Radius
Goncentrisch mit/S construiren wir die runde (n— 1) dehnung T mit
dem Radius p. Bei Variation von g variirt die Grenze (Umhüllung)
von T proportional p""-^ und sei
U — Nq^-^
Dann ist N eine bloss von n abhängige Zahlengrösse. Nun hat U
in allen Punkten denselben Abstand
von P\ folglich ist seine Anziehung auf P
I7_
und deren Gomponento in der Richtung nach O
a — X
U
r«»
Aus U und F erhält man S und F durch Integration
• c
8 — r^Bg-, V= r Sdx
0 -«
n Dimensionen auf einen Punkt,
187
Bezeichnet M die Anziehung von V auf P, so erhält man nach Ein-
setzung der Werte :
c •
-c 0
c t
p»»-2gp
— c
0 [(o -«)«+,«]
N
2i
Die Ausführung der erstem Integration gibt:
2
oder
7 =
Das letztere Integral geht durch die Substitution
über in
9 « (a— aj)tg^; e = (a— aj)tga
c a
3/ « iV jdx rsm^'^^d&
(1)
(2)
(3)
(4)
Für x » +c verschwindet e, also auch a; daher gibt die teilweise
Integration:
ydtt
(a — 0?) sin*^^ « x- 3«
das ist
— -c
ilf
-/ (a«4-c« — 2aaj)*
(5)
Dies Integral ist verschiedener Form für gerades und ungerades
n. Wir behandeln jeden Fall einzeln und fügen zu Af, iv; K die
Dimensionszahl als Index.
188 Hoppe: Anzitkmmg eiius der Kugel amUogen Grades von
§. 2. Ungerade Dimensionszahl.
Setzt man
h — --T— ; Ä« = — j — r— r= — (6)
SO kommt:
(a — ac) (c* — ax) » — j- — (»* — Ä:*)
(g+c)»
0« = «C72
daher
1
(7)
also
c2"«'iVa„+j rjr(»-j-l) {u-l)!2-
V!»+i ^,7" -füi-TW " r-3 "• (2» -1-1)'^^^^"^^
Bezeichnet E den Coefficienten des Integrals und Q das Integral, so
dass
so ist
1.3...(2n— l)n F2M1 1
x!/ = — r
(»—!)! 2«-l a"--' (1 - Ä:)'-»«+l
Um zuerst die Form von Q zu untersuchen, schreiben wir
dann ist ersichtlich, dass Q ganze Functionoti von k ist, da ^ in
keinem Nenner eintritt, ohne sich gegen den Zähler zu heben. Zum
Grade der Function tragen die Terme (- | nicht bei, folglich ist
es der Grad von z^,(l — z^)**-^dz^ das ist der (2M-|-l)te.
n Dimtnnonen auf einen Punkt.
189
Setzt man nun
80 wird
BQ
dk
PdZ
I dk
Q
dz-Zk (Zk =- Z für « — ifc)
1
/
a»z
Bk*
(dz\ /azA dZk
"^'^Kdkjkydk )^dk
?k^
V
(8)
Für jedes h > w — n ist w — ä — 1 ^ n — 1, enthält also Z nach
m — h — 1 Differentiationen noch den Factor s^ — ib', nnd verschwindet
der betreffende Term in der Samme (8); obere Grenze der letzteren
ist demnach m — n.
Für Ä < I» -1 ist der Factor 1 — «* «= 1— i?* noch vorhanden.
Nach Substitution von k ^ 1 verschwinden daher die betreffenden
Terme, und es bleiben nur die Werte:
n — 1 bis Ä — I» —
n
Das Integral im Ausdruck (8) verschwindet für jedes m, folglich ver-
schwindet die rechte Seite für w<;2« — 1. Es bleiben nur zu
untersuchen die Werte:
fii = 2»— 1 wo Ä — w — 1
wi = 2n wo Ä«n — 1 und
Sei
n
pm
Setzt man also k => yz^ so wird
— ^ 2*** —
Nun ist
[
8ik«
«1 H
n
ferner
190 Boppt: Anziehung eines der Kugel anaiogen Gebilde» von
(ar* - Ar«) [(1 — ««) (z^ - ifc«) J«-^ - (1 — z«)»-^«* — **)*
— ««(1— ««)••(«« — ifc«r-l
daher
Väfc^A — ^. ^-^ k^'2 p ^
r3t.-i /3t.^ 1 ^H-i H :
and nach Gl. (9)
Die negative Summe beider ist
Demnach verschwindet Q mit allen Differentialqnotienten bis zum
(2n)ten, hat also den Factor
(1 - ^-)^+l
Nach Gl. (7) ist jetzt
2c2»+i
und C anabhängig von k.
§. 3. Gerade Dimensionszahl.
Das gleiche Resultat lässt sich auf gleichem Wege durch andere
Transformationen fttr M2h gewinnen. Sei
wo
Qi - /^6 [(1 - «') (»' - *»)]"-»
fi Dimensionen auf einen PunkU
1
Sabstitairt man
191
so kommt:
1
und wenn man wieder « statt y schreibt :
1
Q =,/raK^-'*><^-"*')>"^'
(10)
Sei jetzt
dann wird
(11)
B
0
Es ist zuerst zn beweisen, dass dies eine ganze Function Ton k ist,
nnd der Grad zn bestimmen. Wir setzen
B
'^-('-"»'/(^
(sing>cos(p)^89>
+ife«sinV
dann ist
nnd es lässt sich teilen:
wo
Setzt man
so wird
B
Ä"i = r 8 ^ ^ ' > +(— ^')"-R^i
* ^/ cosVH-*^8in*<p * ^ ' ^
0
T = (1 .Jk«)2'«(sin g)COS 9>)2" —(—*?*)?
(1 — Ä?*) sinV — g
r
cos*y 4" ** sin V "" 1 "" df
das ist, da Zähler und Nenner fOr 9 = 1 verschwinden, ganze Fonc-
192 Hoppe: Amiehunff einet der Kugel analogen GebüdeM von
tion (2n— l)ten Grades von q und bei constantem tp gao^e Func-
tion (4n — 2)ten Grades von k.
Bezeichnet £xp(A') die Gradexponenten der ganzen Function K
Ton k^ 80 ist hiemach
Exp(i?»i) = 4n — 2 (12)
Dnrch teilweise Integration erhält man:
R
^~"" 2(m — 1) J (8in<;pcosg))2«-i3<p g^(cosV-f^*sinV)^-«
_ i!^\ a - ib«y2n.i f (Bmyco8g))gH-2cos2y8y
2(n-l)^^ ^ •/ (cosVH-^sinV)"-^ ^^
0
insbesondere
* 2 ^ ' J C08*g)
ljp)2n-2cos2g)d<p
+ Ä;*8in*y
« (2n — 1)(1— ifc«)2'»-2 y (8in9C08y)2»»-2ay
9-- 1
-^^(l+^-«)Ä"-l,
woraus mit Anwendung von (12) zu ersehen, dass
Exp(i2«2) «4« — 4 (14)
Keducirt man das Integral (13) nochmals durch die gleiche teil-
weise Integration, so stellen sich die ursprünglichen Formen wieder
her und man findet:
(15)
^- - ln.X[L 2) {V (^ ■- ^^B.-^^^. .(2n-2)7.*-,^
Die Gleichungen (12) (14) bestätigen den Wert
Exp (l^m) = 4» - 2m
Wird dieser zur Rechten von Gl. (15) zugrunde gelegt, so ergibt ihn
auch die Linke; folglich gilt er für jedes grössere m und n.
Nun ist
daher
Exp (Q) = 2n
fi Dimerutonen auf einen AmH
193
Differentürt man nan den Aosdrnck (11) von Q successive
2n —2 mal nach ib, so behält der Coefficient stets den Factor 1— X;,
und das Integral verschwindet für i; = 1 nebst seiner ersten Ab-
leitung. Folglich verschwindet Q nebst seinen 2n— 1 ersten Dif-
ferentialqaotienten für i; » 1, hat also den Factor
(1— (;)2»
und der ergänzende Factor ist constant
Hiermit ist für gerade and ungerade n bewiesen, dass
A/«
2c»
NnC
an-l ^'"^
(16)
§. 4. Erstes Anziehungsgesetz.
Nach Ol. (16) und (7) hat man jetzt:
n-S
e-(i-^)-«y?y'[(i-,«)(«-*«)]' 3,
wo C unabhängig von k. Setzt man i; -> 0, so kommt:
1 1
/«•— 8 yi H— 8
3 „n-1
2 2
2r(?+i) 2(«-i)r(?+i)
und nach Yergleichung mit dem Ausdruck (2):
yn
C = i
^Nni^
Dies in Gl. (16) eingeführt gibt:
M,
- " a— 1
Wie anfangs angezeigt, gilt also der Satz:
Eine homogene runde ndehnung zieht einen äussern
Punkt ebenso stark an als ihr Mittelpunkt mit ver-
einigter Gesamtmasse.
ArelL d. lUih. u. PliTfl. 9. Seihe, T» IV. 13
194 Hoppe; Anmekung emeä der Kugel tuuUogem GMdeä «o»
§. 5. Anziehung anf einen innern Pnnkl
Betrachten wir jetzt den Fall a <^e^ so wird die vorige Beck-
nnng sehr wenig modificirt. Um über die Vorzeichen sicher ra sein,
braucht man nur stets mit positiven Grössen zu rechnen, namentlidi
die Integralintervallo ins Positive zu legen. Zunächst gilt 61. (1)
ohne Unterschied. Zwischen die Grenzen — c und c fällt der Wert
a; » a, wo a — x sein Yorzeicheu wechselt Teilen wir hier das
Intervall, so bleibt das Integral im untern Teile — c<ix<^a im
gleichen Falle, und behalt seine Transformationen. Im obem Teile
a<^x <^c setzen wir
g ««= (a; — o)tg^; e ^ {x - a)\%ß
dann ist voraus bekannt, dass der obere Teil negativ ausfialien mnss:
es kann nur sein
a a ^ J
M^ N{ fdx y sin««-2^a^— jdx j ^m^'^^ht)
— c
Bei teilweiser Integration / dx -» ar — a verschwindet der integrirte
Teil auch an der Uebcrgangsstelle , und man findet nach Wieder-
einführung von X für a und J^, dass sich die zwei Teile zum Aus-
druck (5) zusammenfttgeu , der nun nicht weiter geteilt zu werden
braucht.
Jetzt ist statt des negativen k das positive
c-f-a
einzuführen und vom Ausdruck (6) die positive Wurzel von «' an-
zuwenden, die für « =« c
wird. Statt Gl. (7) erhält man dann:
Das Integral ist dieselbe Function von h wie das Integral (7) von k ;
sein Wert ist also wie bewiesen
und man findet:
^^" ~ a^'^ \l + h) ^ a--i \c)
II Digunsu>nen auf eimn AfiiC
§, 6. Zweites Anziehungsgesetz.
195
Bezeichnet Wu das Volnm einer runden ndehnung vom Radius
Oy so verhält sich
daher ist die Anziehung von F« auf den innem Punkt os — a
Mn
das heisst:
a»->
Eine runde ndehnung zieht einen innem Punkt so
stark an als eine concentrische runde ndehnung, deren
Grenze durch jenen Punkt geht.
Sei a<ih <ic. Dann ist die Anziehung der 2 concentrischen
runden ndehnungeu mit den Radien b und e gleich stark, folglich
die der Schale, vrelche ihre Differenz hildet, — 0, und man hat das
anfangs angezeigte zweite Gesetz:
Das homogene Gebilde zwischen den Grenzen zweier
concentrischen runden ndehnungeu übt auf einen Punkt
innerhalb der innem Grenze eine Anziehung = 0.
Bemerkungen.
Da der Inhalt des Grenzgebildes von V
dV
= 37
ist, so gelten beide Gesetze auch von der Anziehung des Grenz-
gebildes.
In Anwendung auf ebene Gebilde ergibt sich, dass die auf die
Ebene beschränkte Anziehung einer Kreisfläche und KreisUnie auf
einen äussern Punkt a; — a bzhw.
2R(^ 4Rc
auf einen innem Punkt x = a bzhw.
— 2Ra, 0
ist. Zur Yergleichung sei angefahrt, dass fOr Anziehung in (-'2)ter
Potenz die Anziehung der Kreisfläche auf den Punkt x « a ^ c
bzhw.
18^
196 Hoppe: Aimektm§ emei dtr Kugtl aiuUogem Gabildes Hc,
filr den elliptischen Modnl
k=z
a-f-<?
ist, ein Wert der fOr a — od and a -==» 0 das Gesetz erf&ilt, in der
NUie des Kreises nnendlicb wird. Nach Potenzen Ton k entwickelt
gibt dies flkr äussern Punkt:
für iimeni Fankt:
"^^k); yW-ifc«(l+J*«+^**+... )
Variirt k von 0 bis 1, so wachsen ip{k) und ff>(k) beständig, während
sich der Pnnkt bzhw. ans unendlicher Feme und aus dem Mittel-
punkt dem Kreise nähert, bzhw. von 1 und 0 bis oo . ^(0) — 1 ent-
spricht dem Oesetzo, ^0) — 0 hing^en dem der vollen Kreisfläche
nicht, sondern ist nur dem des Kreisrings, wo statt a^:a^ zu setzen
ist (c* — b^):a*\ Imc » 0; lim5 = 0; lima » 0, wegen Unbestimmt-
heit vereinbar. Hier gibt es dafür eine Wurzel der transcendenten
Gleichung
^(k) « 1
nämlich
- = 0,74763
c
welche dem Gesetze fftr die volle Kreisfläche entspricht.
Suchardit: Utter <tie nMdoTieAc Spirak,
Ueber die Pascal'sche Spirale.
Anton Sucharda,
Lchrrr um k. k. UbtirulgymniiiDm in Tiib
I.
Es sei mir grsinttot, in don foigcndon Zeilen auf zwei Erzcngnngi-
«rten der PaacalVben Spirale (Lima^oa de Tascal), die meinei
WisaoDS noch nirgODds Erwähnung gefandea haben, aufmerksam 7a
machen und ans den sich hiebet ergebenden Tangente o-Constractionen
einen neuen Beweis für die Richtigkeit der bekannten Tangcntcu-
CoDHtrnctiou in einem Pnnkte der Conchoide abzuleiten.
Eine kreiakrummo Kante K vom Radius 2r drehe sich um ihren,
zur Projectioüs-Ebene M normalen nnd von dieser im Funkte « hftl-
birlen Durchmesser Ö in gleichförmiger Winkelhewegung. Sie werde
zugleich von einem sich gleichförmig bewegenden Punkte p durch-
laufen '), dessen Winkelgeschwindigkeit dem Drittel der ihrigen gleich-
kommt. Untersuchen wir die Orthogonal -Projection der absoluten
Trojectorie von p iu die ProjectJons-EbeDe.
Die Orthogonal- Projection von Ö ist der Punkt O', die der he-
weglicben Kante in ihrer Anfongelago K', nnd diejenige des Paoktea
1) Du allgemeine Encnganga-Oeaeti von ipblriaeh«n Carrea durcb
Drehung fliner Krciikinl«, die durch einen phjsitcbeo Fankt darchUaho wird.
«It BQch die bieiiDi berrorgehende TiDgcDtfncoaitnictioQ mit Hilfe einai
KrUle-FHallelogiunmet Terdeoke ich den VortrLgen dei Henn Prof. Freni
Tiller Ober die organiicbe Geoneuie •- der k. k. bOha. techoiicbea Hoch-
■cbnle in Freg.
198 Sueharda: Ueber die FascaPadiM Spirak.
p, welcher mit einem Endpunkte des zu O normalen Dtirchmessen
F znsammenfUlt, p^. (Fig. 1) ^)
Nach ToUfflhrter Umdrehung am den Winkel a gelangt die Kaote
K nach 'ir, ihre, den Punkt O^ enthaltende Projection ist 'JT^, wel-
ches selhstTerständlich mit E^ den genannten Winkel a einschlieaat
Der Punkt p durchläuft unterdessen in der Kreiskante einen , dem
Winkel 0 zugehörigen, Bogen und gelangt nach «p. Um dieses «p
zu finden, genflgt es bekanntlich ') den Punkt in der Kante wfthrend
ihrer Bewegung Ton K bis 'K für unbeweglich au&ufassen, nachher
erst aus seiner relativen Ruhelage, die wir nun mit pa bezeichn^i
wollen, um den Winkel » im gehörigen Sinne zu verschieben.
Hiemach lässt sich ^p^ leicht auf folgende Art bestimmen: Den-
ken wir uns 'K nach M klinogonal so projicirt, dass die Projection
«"A^^ mit dem Originale ^K congruent sei.
Der Punkt p, welcher zuerst in relativer Ruhe vorausgesetzt
vrurde, und folglich in einem der Endpunkte des nun in «P zu suchen-
den Durchmessers geblieben ist, projicirt sich selbstverständlich in
p«^^, welches mit dem erwähnten Endpunkte zusammenfällt
Von den Klinogonal- und Orthogonal-Projectionen einzelner Punkte
der Kante ^^ liegen die ersteren in **K^^y die letzteren in «A^; je
zwei entsprechende in einer Normale zu <"A^.
Die Klinogonal-Projection ^^ von p in seiner eigentlichen, also
absoluten Lage *'p muss notwendig mit dem Endpunkte eines, dem
Centri- Winkel » zugehörigen Bogens von **K^^ zusammenfallen, wel-
cher p«^^ zum Anfangspunkte hat; die zugehörige Orthogonal-Projection
fällt — nach dem Erwähnton — mit dem Fusspunkte der von *^^^
zu ^K^ gefüllten Normale zusammen. Für successiv grössere und
grössere Werte von a erhalten wir bei einem, dem angeführten ana-
1) £1 lel bemerkt, daas in diesem AafsaUe gemäss der von Prof. F. Tilser
eingeftthrten BoMiohnungsart, p^ die Orthogonal-Projection des Punktes p, p|
dss derselben entsprechende Bild beseichnet; pJl and p^ beliehen sich anf die
Klinogonal-Projection.
9) Vergl. Prof. Tilser's Vorträge, oder Duhamers Analytische Mechanik.
Suekarda: Ueber die Fcuicai'sche SpiraU, 199
logen Verfahren (also unter stetiger Benutzung der erwähnten Klino-
gonal-Projection) eine beliebige Anzahl von Orthogonal-Projectionen
des beweglichen Punktes p. FQr a — te ist in der Klinogonal-
Projection der Bogen x- aufzutragen, und wir erhalten die Orthogonal-
Projection */> in ^p^, welches — weü ^K^ mit K^ zusammenfallen
mnss -~ in K^^ enthalten ist. Es ist leicht einzusehen , dass ^p^ die
zugehörige Hälfte von k^ halbirt
Suchen wir nun die Polargleichung der, durch die erwähnten
Projcctionen von p gebildeten Curve für ^p als Pol und K^ als Polar-
achse.
Nach dem Camotschen Satze schreiben wir:
rS x%f o fS I r>r «. r2
TplapI^ « QlopJ^^ QI TpP -f. 2 O^ V O^ V cos«
oder, weil
a
(1)
tpi opT «. p^ Qiopi « 2r cos ^ . O^ V — r ist :
Q* =» r* (l + 4C0S*5+4C08 5C08aJ
welche Gleichung, da
o et
cos« «- 4C0S*ö — 3C08ö
auf die einfachere Form
Q — rf4cos*5 — ij
gebracht werden kann.
£8 erübrigt nun, den Winkel a durch die Anomalie g> zu ersetzen
Aus dem Preiecke 0^'^^^p^ folgt nach dem Sinus-Satze:
a
sin (p = 2 cos 5 sin (« — 9)
Die linke Seite dieser Gleichung durch das mit sing> äquivalente
Product 2 cos ^ sin ^ ersetzend, finden wir durch Vergleich, dass wenn
cos g = cos I (2)
wäre,
sin(a— 9) ssinö*
200 i Suekard»: ütUr dU PtucaTtd» SpiraU.
gesetzt werden mflsste ; und es sind diese Prämissen anch voUkommen
2m
berechtigt, denn beide liefern fftr 9 einen nnd denselben Wert q-*
Durch Substitution aus (2) in (1) erhalten wir nun:
r(4c08*|— 1^
oder schliesslich, l + cos^ anstatt 2 cos'» setzend:
Q — r-(2cosg)+l)
als die gesuchte Polar-Oleichung.
„Die Orthogonal-Projection der absoluten Trajectorie in eine zur
„Achse O normale Ebene ist somit eine Pascal'sche Spirale.^^
Aus der im vorigen angeführten Erzeugungsart ergibt sich aoch
eine besondere Tangenten-Constmction.
Man braucht da nur in Erwägung zu ziehen, dass die Tangente
von ^^ nichts anderes ist als die Orthogonal-Projection der Tangente
des Punktes ^ zur sphärischen Curve, ferner dass letztere Tangente
identisch ist mit der Resultante zweier auf p in seiner Lage ^ ein-
wirkenden Kräfte, deren eine sie zur rotirenden Bewegung mit der
Kante, die andere zum Durchlaufen derselben zwingt Die erste die-
ser Kräfte wirkt in der Tangente *^ des Kreises Ö; welchen der
Punkt durchlaufen würde, bliebe er in der Kante unbeweglich, die
andere ist "/»n, nämlich die Tangente der Kante k in ihrer mit *k
bezeichneten Lage.
Weil die Winkelgeschwindigkeit der Bewegung in der letztgenann-
ten Kante dreimal kleiner ist, werden die Bahnen, welche der Punkt
in demselben Zeiträume in der einen und in der anderen Richtung
zurücklegen würde, sich zu einander verhalten wie der Radius ru des
Kreises Ü zum Drittel jenes vom Kreise K, und die Componenten
des zugehörigen Kräfteparallelogrammes werden folglich diesen Längen
proportional sein; die Diagonale seiner Projection ist die gesuchte
Tangente der Spirale.
Denken wir uns folglich (Fig. 1) in '^p^ eine Normale zu O^^
von der Länge ru « &^p^ so errichtet, dass ihr Endpunkt m^ von
^p^ aus genommen, nach der Seite hin gelegen erscheine, nach wel-
cher der Punkt von ^ sich hinbewegt, so haben wir schon die Pro-
jection einer Seite des Kräfteparallelogrammes, dessen andere, ihr
benachbarte, sich orthogonal in ^k^ klinogonal in der Tangente
SMciarda; Uthtr dit Ptuta^ida Spirale.
*pitn" zu "K" projicirt, den Punkt x zum Eudpankte habend, dessen
Klinogonal-Projection von y" uiu die Strecke 0 absteht. Die Ortho-
gonal-ProjectioD dieses Punktes liegt in der ans n" za 0''^' gefoU-
ten Nonnale, folglich in n', wodurch auch die andere Seite der
PanüielogTamm-Projection beatimint erscheint. Fügen wir nun noch
die zwei gegenUherU elenden bei , so ist die dem Punkte "p' zngebö-
rige Diagonale '^'q' die gesuchte Tangente.
Es sei gestattet zn zeigen, wie diese Constructioa auf eine be-
deutend beiineraerc zuröcligefllhrl werden kann.
Man sieht leicht ein, dass boi einem, zu dem angeführten nor-
malen Parallelogramme die entsprocbende Diagons'e znr angeführten
Tangente normal, folglich zur- NoiJia'e paraUel sc'u mOsste. Dieses
Parallelogramm erhalten wir auf folgende Weise:
Eine seiner Seiten sei "p'O'; weil 0'"^" normal ist zu "^'n",
genügt es, in Befolg der bereits erklärten Const LTiction , auf 0'<^"
das Drittel O'p' dieser Länge aufzutragen; durch die aus t' zn Ö'"p'
Parallele wird die dem Pankt« o' gegenüberliegende Ecke i' des ge-
snchton Parallel ogrammes bestimmt Die Diagonale Oh' ist zor Nor-
male von "p' parallel.
Schon früher wurde erwähnt, daas 'p' die zugehörige Hälfte von
K' halbirt; folglich wird die verlängerte Strecke 0'''p" mit Hilfe des
um O' als Centmm mit dem Radius r beschriebenen Kreises L' in
drei gleiche Teile geteilt. Die zu i'"p' durch O' parallele Gcrado
trifft folglich 'p''^" in dem uns bekannten Punkte i'. Somit ist sie
mit der vorher erwähnten Diagonale identisch, und b'"^', als zu ihr
parallel und den Punkt "p' onlbaltend, die Normale der Spirale in
diesem. Unsere Construction ist also die folgende;
zn erhalten ( die
Wir bestimmen "p", und darauf "^"O', nm n
Normale zu 11'"^' ist die gesuchte Tangente.
Um diese Construction schliesslich noch von "M" auabb&ngig zn
erhalten, erwägen wir folgendes:
Die Gerade "p'';j' wird von L' im Punkte w' getroffen. Die
durch O' und w' bestimmte Gerade treffe "Ä'" in einem gewissen
Punkte u'. Ans bekannten Gründen ist
202 Suckmrda: ÜAer du Piueafwekt SpiraU,
Setzen wir nun der Kürze wegen
Wkl. ^p'w'O' — 'p"w'^' — ß
so ist der Gleichheit der vorangeflihrten Strecken zufolge:
und
folglich
also der Pnnkt n' mit ''p" identisch. Hieraos geht hervor, cbm
*it"0' den Kreis L' in demselben Punkte schneidet, in welchem die-
ser von ^p^ getroffen wird.
Unsere Construction ist also schliesslich folgende:
Wir machen "^'V') am lo' zu erhalten, dann w'O', und erhalten
vi Die Normale in "^^ zu v^^ ist die gewOoschte Tangente.
n.
L&ngs einer Schranbencnrve A^ deren Achse O zur Orthogonal-
Projections-Ebone M normal, die Tangenten aber unter dem Winkel
o geneigt sind, und deren Leitcylinder den Halbmesser R besitzt,
bewege sich der Mittelpunkt einer kreiskrummen Kante B vom Radios
r, deren Ebene hiebei zur genannten Projections-Ebene parallel ver-
bleibe. Durch diese bewegliche Kante wird die unter dem Namen ge-
wundene Kreiscylindcrflächo') bekannte RQckungsflftche erzeugt.
An diese sei bei der, durch eine beliebige, gegen die Projections-
Ebene geneigte. Gerade S gegebenen Parallel-Beleuchtung die Grenz-
isophote') zu coustruircn.
Bekanntlich igt die Orthogonal-Projection der Curve A ein Kreis
Ä' vom Radius A, welcher die Orthogonal-Projection Ö' der Achse
O zum Mittelpunkte hat. (Fig. 2.) Durch einen beliebigen, von der
Projections-Ebene um die Strecke £a-"i2tga entfernten Punkt a
1) 2) VergL Barmeiter: Theorie a. Daratellaog der BeleachtUDg getets-
m&stig gesUlteten Flicben.
F
icharda; Uthtr die PateaVache Spmi(e.
jener Acbse denken wir uns Parallele zu allen Tangenten oinca
Schraube nganges. Ihre Spuren füllen, wie leicht eiiizusebun , den
Kreis A' vollständig aus, hier mit ihren eigenen Projoctionon za-
sammenfallend. Durch die Spur ra der dorch a zu £ paraUeloo Go-
raden und durch jeden der genauntoii Punkte, z. B. durch "p, iat
die Trace *ß einer, mit den zu S parallelen Tangential- Ebenen de»
durch die Tangente Ta der Scliraabcncurve bestimmten, die ROckungs-
fläche längs des KroiscB *Ö berührenden Cylindcrs gegeben.
(Diese Traceu bilden somit ein Stralenbüachcl vom Centrum b
Es ist einleuchtend, dass jedem Punkte *«' der Carve A' als
Orthogonal-Projection des Berührungspunktes der Tangente *?' auf
diese Art ein bestimmter Punkt ^p' der erwähnten Cnrvo entspricht.
Die Tangente des erstcren ist parallel zur Normale des letzteren in
Bezug auf die genannte Curve. Zu jedem Punkte "a' gebärt nun
ein Kri'is "B' vom Radius r. Es ist das die Orthogonal- Pro jection
der, dem Mittelpunkte ^a zugehörigen Erzengenden "B. Die Be-
rUhruuppnakto von "B' mit dem zu *li' parallelen Tangenten ge-
hören bekanntlich schon der Ortbogonal-Projection der gesuchten
Grcnzieophote an. Ex sind das die in dem zu ■''R' normalen Durch-
messer 'O^ enthaltenen Punkte *(', -"u'. In Berücksichtigung dieses
Umstandes, als auch der gegenseitigen Lage der Punkte 'a' und "p'
gelangen wir zu folgendem Schlüsse:
Konnte dnrch entsprechende Viertelamdrehung des Kreises k'
in seiner Eigenschaft als Träger der Pnnkto *a' und der Gerades
*/j', der Punkt "n' mit "p' zur Deckung gebracht werden, so wür-
den anch die Geraden "D' nnd ^R' zur Deckung gelangen. Hier-
aus folgt aber:
Ebenso wie die Geraden "R', bilden auch alle Durchmesser ^D'
ein Stralcubtkschel.') Sein Uentrum n' kann durch entsprechende
rückwärtige Drehung von m' leicht ermittelt werden. Da nun aber
jeder von diesen, den Punkt «' enthaltenden Durchmessern zwei von
'a' um r abstehende Punkte -"i' ^u' der Gronzisophoten-Projection
enthält, gelangen wir zu folgendem Schlueso:
I
1) Gelegentlich dar Durt-hiicbt einer Zeichnung wnrdo ich eiast tob
B«rm ProL Tilter »nf dieien Cmiund infmerksim geoucht und Teruilkin,
den dieibeiflglichen Bencii la eibrlcgen.
204 Suekmrdai üeber die PiueaCatkt Spinae.
,4)ie Orthogonal-Projection der Grenzisophote in eine rar Adue
„der Schraobencnrve normale Ebene, ist eine Gonchpide anf drcolarer
,,Basi8."
Es sei nor nebenbei bemerkt, dass fOr besondere, leicht n er-
ratende Lagen der Spnr m diese Cniire in zwei concentrische, oder
aber in zwei congmente nicht concentrische Kreise übergeht, und
dass somit eventnell die behandelte Grenzisophote als Dnrchschnitt
der Rflcknngsflftche mit zwei geraden Kreiscylindcm anfgeCEMSt wer-
den kann.
In der Folge wollen wir unser Augenmerk ausschliesslich Jenem
Falle zuwenden, wo m in A^ enthalten, d. i. der Neigungswinkel von
S gegen die Projections-Ebene gleich o ist In diesem Falle liegt
auch n^ in Ä^^ und die Conchoide wird zur Pascal'schen Spirale.
(Fig. 3.) Wir sind somit zum zweiten Male bei der Eingangs dieser
Zeilen angefahrten Gurre angelangt
Da einem jeden der mit ^D^ bezeichneten , im Punkte n^ der
Gurve Ä^ zusammenlaufenden Projectionen ein Durchmesser '/> im
Räume entspricht, welcher den zugehörigen erzengenden Kreis in den
zwei Grenzisophoten-Punkten ^i^u trifft, folgt hieraus: Die sämt-
lichen Durchmesser D im Räume schneiden eine Mautellinie C des,
die Schraubencurve projicirenden Kreiscylinders. (Ihre Orthogonai-
Projection ist der mit n^ zusammenfallende Punkt Cf )
Da ferner dieselben je einer in den zur Projections-Ebene pa-
rallelen Ebenen des erzeugenden Kreises enthalten sind, und jeder in
dessen Mittelpunkte die Leitcurve trifft, bilden sie ein gerades Konoid.
Die Pascal'sche Spirale kann folglich als Orthogonal-Projection der
Schnittearve dieses Konoids mit der RQcknngsfläche aufgefasst werden.
Vcrsnchcn wir. diesen Umstand benutzend, für einen Punkt a'
der Pascarschen Gurve die Tangente zu constrairen. Diese ist be-
kanntlich identisch mit der Orthogonal-Projection der Tangente zu
der erwähnten Raumcnrve.
Letztere Tangente erhält man als Durchschnitt der, dem Punkte
a zugehörigen Tangential-Ebeneu beider ihn enthaltenden Flächen.
Dem Punkte a gehört die Erzeugende ab des Konoids, von der die
Leitcurve im Punkte h getroffen wird. Die Tangeute bc zu dieser
bestimmt mit der Leitgeraden des Konoids und seiner Richtuu^s-Ebone
ein längs ab berührendes hyperbolisches Parabüloid. Ein beliebiger
Punkt c von bc projicirt sich in c^ in die Projections-Ebene M, Die
Sueharda: Üiber du PaieaCi^e SpiraU.
Gerade e'V' ist die OrtkogoDal-Projection der Trace des| erwähnten
Paraboloids in der, durch c znr Projections- Ebene parallelen Ebene
Mt. Die Panllele a'd' zn i't' ist die Orthogonal- Projectiou der
Geraden, welche mit al, die Taiigential-Ehenc im Paukt« a zum
Paraboloid bestimmt. Sic trifft die Ebene AA im Punkte d; difl
Trace der c-rwäbuteii Tangential-Ebenc in Mc ist Tolglich dg || ab.
Die in M^ enthaltene Trace der Taugen tial-Ebcue des Punktes
o zur RUckungsfiäche ist zu oft normal und vom Mittelpunkte e des
Kreises, welcher die Trace des, dem Fnrkto a zagchürigen bertthren-
dendea Ereiscyl Inders bildet, um dio Stii^kc r ^ ah entfernt.
Ihre Orthogonal-Projection muss folglich den Punkt e' cntbalteii,
för den es gilt: c'e' li a'b'. Dio Nuioiale durch e' zu c'e' trifft d^p
in /'; / ist folglich der gemeinsame Punkt der Tracen beider Tan-
gential-Ebenen, somit /a die gcsacbte Tangente der Ranmcarvo, f'a'
folglich die gesuchte Tangeuto der Spirale. Auch diese Constructioo
kann ohne Schwierigkeiten auf diu oinfocbste zurückgeführt werden,
wenn man berücksichtigt, dass
alb' : i V = d'c ' : ;^ - <7V : B 'a' = e'7' : cV'
Um also die Tangente des Punktes ;> zu erhalten '), errichten
wir in diesem zu der Goraden p^t, welche auch den Punkt q enthalt,
eine Normale. Nnu wird jn- = «ti, rs >= gp aufgetragen, und nach-
dem wir in r nnd i Normalen zu pt errichtet, dio erste von ihnen von
der zor Tangente des Kroiaca Ä' in q parallelen Geraden im Punkte
1 getroffen, endlich ix parallel zu ;m gezogen; ju ist d<c gesuchte
Tangente. Um die Auftragung der vorcrwähntfiii Strecken zu ersparen,
benutzen wir direkt die Puukte p und q.
Weil np zu ;>« normal ist, benutzen wir, i''e vorboschriebene
Constructioo bei p, q, n wiederholeud — wobei anstatt der Parallele
ZOT Tangente des Kreises A' folgerichtig eine Normale zu derselben
angewendet wird — eine Parallele zur Normale des Punktes p.
Wir errichten also in p und q Normalen zn jm ; die cratere von
iboea wird von der zu O'q parallelen Geraden in u durchschnitten.
Nnn ist uv || itp, nnd nv |>arallel zur gesuchten Normale. Doch auch
1) Von DUD an
jcben Spirale; die i
Prof. Tilser mit p„
bedeutet Fig. 3 daa nnmiUelbsre Bild
Dmittelbaren Büdrr der Ponkle p, q, .
Ii, . . . beieichnet.
■ner Paickl-
. «iad naeb
206 Sueharda: Ueber dm Bueatseke SpinU.
dieses lässt sich noch vereinfiEtchen. Die Gerade O'q trifft ntoilfcA
den Kreis A' im Punkte ^; da nun ^ nqk ^ ^ onu^ latl^lnöy and
folglich ist hp die gesachte Normale.
Die Gonstruction, auf das Einfachste zorflckgeffthrt, ist demnach
die folgende:
Um die Tangente des Punktes p zu erhalten, ziehe man pn^ um
den Punkt 9, dann qO^ um den Punkt k zu gewinnen. Die Senk-
rechte zu kp durch p ist die gesuchte Tangente.
Die in den vorigen Zeilen angeführte Ck>n8truction Iftsst ,8ich
unter strenger Verfolgung des in II eingeschlagenen Weges sehr leicht
bei allen Conchoiden — zu denen bekanntlich die Pascal'che Spirale
zählt — in Anwendung bringen.
Man braucht da nur — vorausgesetzt der allgemeinste Fall —
zu berücksichtigen, dass nun die Gurve Ä^ — die sogenannte Basis
der Conchoide — eine ganz beliebige Form haben, und der Punkt
C - der Pol — nicht in derselben enthalten sein wird. Dies hat
zur Folge, dass die Leitlinie der von uns angewendeten Rflckungs-
flächc nunmehr keinem Kreiscylinder, sondern einem, durch A' be-
stimmten, orthogonal*projicirenden, angehören, und dass die Leit-
gerade unseres Konoids keine Gerade dieses Cylinders, sondern eine
mit diesem parallele C sein wird. In Anbetracht dessen, dass die
Conchoide auch jetzt als Durchdringung der genannten zwei Flächen
aufzufassen ist, kann Schritt für Schritt die in II erklärte Tangenten-
Construction verfolgt werden.
Um die am Schlüsse angeführte Vereinfochung derselben ver-
werten zu können, wolle man (Fig. 3) berücksichtigen, dass qO* eine
Normale zur Basis ist, und dass ferner kCp mit qu parallel, folglich
zu pC^ normal sein muss.
Der Punkt k darf demzufolge nun nicht in A^^ sondern im
Durchschnitte von qO^ mit der in C' zu pC^ errichteten Normale
gesucht werden.
Folglich: „Soll die Tangente zu einer Conchoide, deren Basis
„und Pol bekannt sind, in einem Punkte constmirt werden , verbinde
„man den Pol mit demselben durch seinen Radius-vector. Von die-
„sem wird die Basis in einem, dem gegebenen entsprechenden Punkte
„getroffen. Seine Normale zu derselben trifft mit der Normale des
„Poles zum Radiusvector in einem Punkte der Normale des gegebe-
„nen Punktes zusammen. Seine Normale ist die gesuchte Tangente."
Tabor, im März 1884.
HtrmtMi S^mwutriMche und eompkm§i^Ubr€ VerUäuttg etc. 207
Symmetrische und complementäre Verteilung
der Indexsummenreste r für Primzahlen von der
Form:
Von
J. Hermes.
Da in der Kreisteilnng die Summe der Indices zweier aufeinander
folgender Zahlen : ind a + ind (o -{- 1) = r mod ( p — 1) darauf hin
untersucht wird, ob sie ungerade oder durch 2, 4, 8, ... 2*" teilbar
ist und hievon zunächst die betreffende Zerlegung der Zahl p in »die
Summe von Quadraten *) und somit auch eine Art der Auflösung
des Problems im wesentlichen abhftngt, so dürfte es von Interesse
sein, auf die Verteilung der Zahlen x n&her einzugehen. Hiebei
bieten sich die im Folgenden angegebenen Sätze dar, die sich gut
zur Controle oder auch direct zur Aufetellnng der r brauchen lassen.
Denken wir uns p — 1 Fehler in Form eines Quadrates ange-
ordnet und als Eingänge h der Vp— 1 horizontalen Reihen, von oben
nach unten gehend, die Zahlen:
%^ ; iVi^', iVF^', (i+i) Vj^=i; iVp^'^
1) Tgl. Lagrange: r^lation dei ^aationt nnm^riqaei: Note U. Baeh-
mann: Lehre tod der Kreifteilang, 10 te Vorleiang. Richelot: Grelle Journal
Bd. IX pag. 215 ff. Jacobi Bd. XXX pag. 167.
208 Bermesi S^fmnuinteke und com/^ewtmUMrt VtrUikuig de.
etc. und als Eingänge h* der verticalen Reihen von links nach rechts
gehend, die Zahlen:
*^. i(p-i);!Kp-i); (i+iXp-D; Kp-D ...
benutzt und nun für irgend eine primitive Wurzel Cj in Bezug auf
alle a von 1 bis p— 1 die Summe indo-)-ind(o-}-l) = r mod(/i--l)
gebildet, so wird jedes r (als A-f^V dargestellt) zu einem bestimmten
Felde gehören; hiebe! werden aber, weil bekanntlich:
inda-j-ind (« + !) = ind(p— o)+lnd(ii — a— 1) niod(p — 1)
nur die Hälfte der Felder getroffen und zwar jpdes zweimal mit Aus-
nahme eines einzigen, das nur einmal, nämlich fftr:
erfolgt
Fs bleiben also ^(p — 1) Felder leer und zählen für Null, ein
Feld (Hauptfeld) zählt für Eins und i(p — 3) Felder für Zwei.
Jedes Feld mOge nun durch da^enige o {oder auch — (o+l)}
bezeichnet werden, aus dem sich das betreffende r ergab.
Es gelten dann folgende Sätze:
1) In der oberen Hälfte des Quadrats {wo das Legeudre'sche
Symbol :
C
)
denn inda-f-ind(o-|*l) ist eine gerade Zahl} entspricht jedem vol-
len^ Felde ein in bestimmter Weise (vgl. 5) symmetrisch liegendes
volles Feld, mit Ausnahme des Hauptfeldes, das sich selbst ent-
spricht und seines (je nach Wahl der primitiven Wurzel f,) rechts
resp. links liegenden Nachbarfeldes, das sich auch selbst entspricht.
Die Zahlen a und u^ dieser beiden Felder sind:
^ und ^-iV^IIiCVi^-l)
(o(o-f-l)\
-^ — ' — ^1— — Ijdenn
indo-)-ind(a-)-l) ist eine ungerade Zahl} entspricht jedem vollen
2) Die Worte n^oW^ und ^leer^ können bei 1) und 8) anch mit ein-
ander yertanicbt werden.
BtrmtM: Sj^mmetrischt und comphmentäre Verteüung ekk 209
ein in derselben Weise wie vorhin symmetrisch liegendes leeres
Feld {complement&re Beziehung} und mnss daher die erste und letzte
Horizontalreihe dieser Hälfte, ebenso wie die zweite nnd vorletzte
etc. zusammen für 2^^— 1, also die untere Hälfte im Ganzen für
JVp-12 Vj^—l « ^Y" z&Wen, mithin die obere für ^-g-.
3) Die erste Horizontalreihe beginnt mit 2/^^^ leeren Feldern
\ fi ^2 >, dann folgen 2^-^ volle, worunter die beiden sich selbst
entsprechenden Felder.
4) Eine Veränderung der zu Grunde liegenden primitiven Wurzel
t^ in eine andre b lässt die Gesamtheit der in der untern Hälfte
des Quadrats befindlichen Zahlen a invariant, ebenso wieder die in
der unteren Hälfte des übrig bleibenden Teiles befindlichen Zahlen
und so fort bis zur ersten Horizontalroihe. Auch hier bleibt die
Gesamtheit der in der rechts liegenden Hälfte vorhandenen a in-
variant und wieder die Hälfte des Qbrig bleibenden Teiles und so
fort bis zu jenen leeren Anfangsfeldern {analog den quadratischen
Nichtrcstcn, den quadratischen, aber nicht zugleich biquadratischen
Resten, den biquadratischen, nicht zugleich 8ten Potonzresten otc...|
Jede dieser Gruppen wird also im Ganzen für eine solche Zahl
zählen, die ^0mod4 ist, mit Ausnahme der beiden sich selbst ent-
sprechenden Felder, welche zusammen für 3^ — lmod4 zählen.
5) Legen wir im Folgenden eine solche primitive Wurzel s zu
Grunde, dass £* = 2mod/) und & «= 2*"-a'-i, so lässt sich die Sym-
metrie zweier zusammengehöriger Felder r==»Ä-}-A' und T^^h^-^-h^
durch diQ Bedingung:
ä-|1a'+A,+V= - -|sEi^ mod(p -1)
angeben, woraus folgt:
/i+Äi = 0 modVp — 1
{also wird z. B. einem Felde in der Horizontalen mit dem Eingange
jyp_l ein Feld in der Horizontalen (i+}+i)V'p — 1 entspre-
Ä'-i- h *
chenj: es wird nun aber . ' nicht ^0 mod(/> — 1), was eine
yp- 1
völlige Symmetrie herstellen würde, sondern für die erste j „ .
resp. eine andre I ^^"^ontale
wird :
resp. 1 1 + y7=! (*'+ Äi') = - 2* ""*' mod V^^T
▲reb. der Matb. n. Pb JB. 2. Beibe, T. IV. 14
Hiednrch tritt also eioe Abweichnng von der völligen Symmetrie in
Betreff der Vertic«len ein, und ertcheint die Tert«iliu)g uf den et-
Bten Blick nnr^elmlBsig.
6) Dei 2f +lte Feld gebort m a — 1.
Beiapiflle: fi — 2; t — 6. (Ah Einginge sind nnr die Expo-
nenten von 2 angegeben, z.B. ^+2^ durch Ol angedeutet, nnd statt
h' deryp— Ite Teil vob A' geaetztj.
Tabelle o
CC
1 0
Ol
k
4
I
1
■ 1«
. 6
5
0
2
Ol
3
7 .
4
Für ^ = 8, t
I — » 3
116 laatet die ente Hotiiontele:
13 I 12 I 123
5|l28l
013 012 0123
Ftlr (i — 4, c =■ 11490 folgen nach den ersten 8 leeren Feldern
« = 27567, 8786, 5271, 17684, 5081. 5826
dann die sich selbst entsprechenden 32766, 30728 dann 1 etc.
lis. Bilden wir b(« + 1) = pmodp ftr a -
- und fflr
_P -1
80 ergibt sieb :
iVp-KVp-i-l)
and Pi = — (~i^) ^'^^P
Herme 9: Sjfmmetrisehe und eompUmentäre Verteitung eie, 211
P» = *x* = - (-Iß-) modp
und es wird
Wir können daher die Congruenz
oder auch
x(x+l).yh,+ l) = - (^) mod;>
inda-+ind(a:+l)+indy+ind(y+l) = -^|jjzi^mod(p---l)
Tgl. Satz 5)
1) durch JB = y ^ a identisch mit a-i ^ y^ = — (cf-|» 1)
befriedigen; dies sind die sich selbst entsprechenden Felder, das
erste einfach, das zweite doppelt zählend.
Nnn lässt die Congruenz
RS= -(^)mod|i
noch p — 3 Wertepaare R und ;S zu , wo iZ und 8 verschieden, aber
es werden ofifenbar nicht alle Gongruenzen x{9^\)^R {und dazu
y{y\'^) = ^\ möglich sein, sondern, da zugleich (2fl:-}-l)' = 4ß+l,
so muss das Legondre'sche Symbol :
4Ä+1
(^)-+
p— 1
sein und dies findet in 2"" ^^^^ mitibi statt, also bleiben
Fälle übrig.
Existirt nun ein a, für welches a(a-}-l) = /2 modp, und ist
hierin i2== £^''«'modp, {wobei p eine ungerade Zahl sei, und also
— '^^— j — — 1 resp. -|»1 wird},
so muss aucli wegen der vorausgesetzten Existenz von a, das Symbol
14»
212 Htf**ii l^/mmttrütke und eomplemutUn Vtrlahmg «le.
4Ä + 1 = tl»i +2* + 1 = ,1*,
sein, wo k^\.
Mnitiplicirt man diese Congnienz mit i-^p-i*, so erhält man, da
1=-(P-1),
das ist:
(p-1)
1
16 .
1 + ^ — 3F. — = j«'a-2*-2 ''p modp
Da die linke Seite l-}-4iS ist and einer Potenz von e congrnent
so entscheidet der Exponent, ob f )"^+l oder = — 1 A h.
ob y(y-f-l) = iS modi> möglich aufzulösen oder nicht
Der Exponent 2*q — 2^— 2'«p ist aber gerade, wenn » >0,
tt also der oberen Hälfte des Quadrates angehört, dann gibt es
also ein entsprechendes Feld ß aus ßiß-^-l) = S (vgl. Satz 1).
(a(a+l)\
■ — I«» — 1, so ist auch
yiy+V^^S unmöglicJi, und das entsprechende Feld ist leer (vgl.
Satz 2).
Da inda-f-ind(cr4'l) ^ ^''P™od(|7— 1) ist, so muss auch Satz
4) gelten, denn R ^ (t^)*^ ^ {${^^^ ist ein 2^ter Potenzrest, ^und
und R gehören also in dieselbe Gruppe, die von n abhängt
Die ersten 2" Felder enthalten solche r ^ indo-f-ind(o4-l)
die durch 2^ teilbar sind, und zwar ist in den ersten 2^-^ Feldern
r « 2^.2«! in den folgenden 2^--^ Feldern t « 2^(2», — 1). Da
nun €* = 2 und e,^ = 2»>, so ist Ä = fi' = 42»» resp. 42»»-i. Soll
also a existiren, so muss 42»»+^ ±1 resp. 42»»-j-l quadratischer Rest zu
|j = 22^+1 = 4^~^+l8e*D' Satz 3) ist daher bewiesen, sobald
gezeigt wird, dass die um 1 vermehrte oder auch {wogen 4*»(|> — 1)
^ _ 4m unji f — j «. _j_ 1 j verminderte ungerade Potenz von 4
quadratischer Nichtrest, dagegen eine um 1 vermehrte oder vermin-
derte gerade Potenz yon 4 quadradischer Rest zu i? — 4^*" ist.
Der Fall ( ) ist auf die drei andern zurückftthrbar , indem
das Symbol
" .M
>■+!
B§rm4*: ^mmetrUeht nnd eompkmmiär» Verltilung eic.
C-^)-C^)C-^)
ist, nod n DDD entweder ungerade, oder falls es noch gerade, eine
abermalige Zerlegung des 'Jten Factors gostaUct. Da ferner die drei
Divisionen
als Reste resp.
a) i' + l oder —(x'—l)
b) x'-l oder — (z' + l)
c) i'+l lassen, wo r<;»
und relativ prim zn «, wetm » relativ pritn zu r, so bleibt bei ilcm
bekannten Algorithmus des Jacobischeu ReciprocitAtsgcsetzes in un-
serm Falle f ,T 1 , wenigstens eine der beiden im Zähler
oder Nenner betiadücben, ebenfalls za einander relativen Prim-
zahleo, immer von der Form iÄ-j-li weil dies ursprüuglicli der Fall
war, auch darf das vor die Klammer gezogene Minuszeichen bei a)
und b) fortfallen und so wird:
( ^ 1 schliesslich : ( ^~-r ) = ( f )
oder
Wenn aber » nnd t
nnd t einen Factor 2" gemein haben, ^ > 0, wird für
schliesalieh
erhalten. Ebenso ist aach
and somit Satz 3) bewieson.
Zu 6). Das 2H-lte Feld gehört zn t— *, mithin folgt ans (*=2,
indem
•C^>'
1 kli Dlviaor nar bei c) Anflreten.
214 Hermei: Sj^mmetrische und eompUmeniSre VerUütuig «le.
(i^+A)_Q.+.«
3- 1 ,
a -» —TT- ■=» 1.
'^=-j _ inBetracht.
Wir wollen jedoch nur den spedellen Fall n = 2^"^ hervorheben,
für welchen
nnd
(^)=(t)-+'
{^-)=(l)-(9=-
wird. Die zugehörigen R sind hier 2~^*^^""( 2~y ^^ ^^^^'^
hanpt independent zu entscheiden , ob ein einzelnes Feld voll oder
leer ist, mnss in Bezug anf das zugehörige R^ (so dass indlZ-»H*A'
/4R 4-l\
ist} nach dem Reciprocitätsgesetze f ■ — j — +1 oder —-1 er-
mittelt werden. Handelte es sich aber um die DurchfElhning fdr sämt-
liche Felder, so kann man folgende drei Wege einschlagen, von denen
der letzte bei grösseren p ^) am schnellsten zum Ziele führt
I) Durch Multiplication der oben aufgestellten Ausdrücke für
die Symbole: ( — ^-J und ( — — ) ergibt sich leicht folgender
Satz :
4) Die Kntschoidnng, ob ;>=2* -{~1 Primzahl oder nicht, kann nach dem
Fermat'schen Satze durch Rechnung erfolgen, da im ersten Falle
«j* '"'*" « 2''modp
sein mttsste
Findet dies nun nicht statt, nnd ist also p=P zerlegbar, so sind die Prim-
factorcn wie bekannt in arithmetischen Reihen mit einer bestimmten Differenz
h enthalten. Dies führt auf den Algorithmus der snccessiven Diyision.
„Stellt man P in der Form a\bg-\-cq^-{- ... dar, wo 9 ein Glied dieser
arithmetischen ^ ^P sein möge, so wird, wenn 9^ die nftchste um h kleinere
Zahl bedeutet,
P=a-fÄ& + (?Ä«+...+ (Ä + 2cÄ + ...)(Zi+(c+...V4-..
« öi+ftiQ,+Cigi*+..., wobei aj < ^j,
indem
Barmt*! S^meiritcht und eompUmmtar» Verttämiff Her «ta, 215
7) Wird * — (2M — 3)*, J'i» = r,i„inodp, r,f„+r._„ — r,
und ~2~~''' "^ **" K^^^^^'' *" '^^i J^ nacbdera in A-|-A' = md(+r)
üDd in h-\-h'= indri, oder aucb in h-\-h' = ind(— r„— 1) das zu
Grunde liegende ii gerade oder uügerado , das enlsprecheude f'eld
h-^-h' voll oder leer. Docb werden hieboi, indem man n die geradea
Zahlen von 0 bia ■ ^~ durchlanfcn läSBt, nicht Bftmtliche
vollen Felder getroffen,
IT) Man schreibe in alle j> — 1 Felder statt der obigen nur in
-^- Feldern bofindlicLcn o das zagohörige ±ff ^ -5— 1 „balbi-
roudo Anordnnog der Beete"! und /u jedem ü die um -|- 1 algebraisch
vermebrlo Zahl E'.
Da Eich nun die 4 fachen R nämlich 4R ~ /f, in derselben
Horizontalen befinden, so entsclicidet ilbor ein Feld li die zu R,
geschriebene Zahl Rj, je nachdem sie mit einem qu ad rat lach im Reste
in der oberen, oder mit einem Nichtreate in der unteren Hälfte
identisch ist
III) Man wende abwechselnd mit dou oben angofübrlen SÄIien
1) und 2) {symmetrische und coraplemenläre Beziehung j , nachdem
man in alle p— 1 Felder die zugehörigen R direct oder besser sym-
bolisch geschrieben, folgenden Satz au {supplementäre Beziehung]:
8) Das Feld R ist mit Feld ^ - R
folglich auch Feld ( -Ä) mit Feld -f^p^— Ä
zugleich entweder voll oder leer, denn
<■+«■+«'.■+...-».+
gcscUl wird nnd
4, =m-\-b + 2ch+ ...
etc. So lange nun j^ yP, verdcn durch dies Verffthreu Ji'e Reste
IlMi, schneller (and i
•riedernm [Dr die g^i/P bpquomer und zuerst HiuiuFBhrcn ist. Denn l&isl
mHD nur PrfDitiih1«n ta, w&hrend min bei den grftsteren q diranf keine RDck-
sieht m nehmen bnincht."
- ,,. 1
216
Btrmtt: i^pKmetrüdit und complementärt Vtrltilwg e(e.
4ä+1 = -[4^5-2^ — ä) + 1] modi»
also auch, da
Führen wir hienach das obige Beispiel p — 17, fi=*2, c = 6
durch , 80 ergibt sich zuerst aus den Congruenzen €* = 6, «• ^ 2,
«* = 4, e» == — 1, £»« = + 1 die Tabelle der R
W
Tabelle 22
— CO
1
0
Ol
4
00
1 1
—1
4
1
2
—2
8
—8
0
6
-6
7
—7
Ol
h
—5
5
—3
3
Es möge nun o^n bezeich-
nen, dass das durch die
Anwendung der genannten
Sätze in bestimmter Rei-
henfolge auftretende nte
Feld leer, 2,n und 1,» dass
es voll sei und rcsp. für zwei oder eins z&hlt, so ergibt sich ent-
sprechend:
TabeUe c* *)
OD
0
Ol r~
I
— 00
0,5
0.6
1.1
1
2.15
0.8
2.16
0
2.14
0.12
0.4
Ol
2.3
2.10
0.13
h
1
2.2
0.7
0.9
2.11
Hiebei treten zwei „Folgen'^ auf ^). Die erste umfasst nur das 3te
Feld der ersten Horizontalreihe 4, welches nach Satz 3) voll ist,
aber als Hauptfeld einfach zählt 1,1. Die zweite Folge beginnt mit
Ä=;— 4; voll 2,2 nach Satz 3). Hieraus nach Suppl. -5; voll 2,3.
Nach Comp]. 7 ; leer 0,4. Nach Suppl. 1 ; leer 0,5. Nach Symmetr.
— 1; leer 0,6 etc. und bricht mit Ä = +^i voll 2,16 ab, weil die
supplementäre Beziehung den nicht existirenden Wert Ä = 0 ver-
langt
Lässt man nun die Decimalen fort, welche je nur die an sich
gleichgültige Reihenfolge bezeichnen und addirt paarweise, so erhält
man nach einander die Summen e^ e*, e*, e®.
5) vgl. Journal lür reine und angewandte Math. Bd. S7. pag. 86.
6) Bei |«=3, cr=n5 treten drei Folgen auf. (Allgemein?)
jffermet: Symmi Irische und complementäre Verteilung efe.
217
e»
f«
fi
c«
0
3
3
2
2
4
7
15
2
0
2
8
4
2
6
Die Differenzen e geben dann bekanntlich die Orandzahlen der
bei der Kreisteilnng erforderlichen Zerlegung in Quadrate
1>= 17 « (— 3)»+2»+2« - (— i)t-f (— 4)» = (— 1)« modle.
Die Vorzeichen der e werden fülr verschiedene primitive Wur-
zeln ii znm Teil andre.
Königsberg i. P. den 22. Jannar 1886.
218
liiaceüem
VlI.
Miscellen.
1.
Zur Theorie der YolamsbesUmimiiigreii«
Die AnsdehDbarkcit des CoordinateDbegriffes ermöglicht die
directe Lösung von Aufgaben über Yolamsbestimmiingen von Kör-
pern, welche von mehreren Flächen begrenzt werden, die auf ge-
wöhnlichem Wege« nnr mittelst umständlicher Zerlegungen auszufahren
sind.
Seien f, f^, f^, <p, ^i, <Ps sechs Flächen, welche einen Körper
einschliessen, dessen Rauminhalt bestimmt werden soll. Je zwei der-
selben f und 9, fi und <P] fs und (p^ sollen aus Flächen allgemeinerer
Art F, F^ , F^ durch Specialisirnng der in ihren Gleichungen vor-
kommenden Constanten hervorgehen, nämlich es werde:
1)
2)
3)
aus
aus
F,(a:,y,«,f*)«0 für! '*''''« ^^ = ^'
aus F^ix^ y, Ä, v) = 0 für 1
^2 = U
V, F2 = (P2
'0
Zweien unendlich nahen Werten einer dieser Coustanten , etwa A,
entsprechen zwei unendlich nahe liegende Flächen der Gattung F^
für die Grenzwerte il «=» Aq und y ««^ A, gehen dieselben in die ge-
gebenen den Körper begrenzenden Flächen f und q> über. Werden
MUctlUn. 219
für jede der CouBtanten Jl, fi, v ein Paar unendlich naher Werte
gesetzt, so GQtH[)ricbt dies dreien Paaren vou nnendlicb nahea Flä-
choD, die im allgcinciDcn einen Eürper von nnendlicb liloinen Dimen-
sionen begrenzen, der also als Vuliimselcnient angenommen werden
kann.
Vorausgesetzt, dass den x, y, » dio 'l, t>, v eiadeatig entsprechen,
können letztere Constanten als ueuo Variabelu eingeführt worden;
durch diese naheliegende, der Natur der Aufgabe am besten ent-
sprechende Wahl der Coordinaten, erj^eben sieb sehr einfache Grenzen
des den Rauminhalt J darstellenden dreifachen Integrals, es wird
Qämlicb :
'-/,/■/
r bedeutet,
I erb alten
wo /i die Functiunal- Determinante dos Systemcs x,
welches durch AaHitsung des Systems 1) 2) 3] nach a
wird; CS ist
b) " = ^ ^ Fl- >f i.
eine Function der Variabein ?., fi, v.
Der betrachtete Fall Iftsst noch eine weitere Verallgemeinerung
zu, vielmehr es kann der allgemeine Fall, wo die Flächen f nnd qt,
f, nnd g-„ f, und if-. m keiner Beziehung zu einander stehen, also
wenn dieselben nicht durch Specialisirung der Werte gewisser Con-
atauten entstehend gedaclit werden, auf den eben betracbl«ten zu-
rückgeführt werde». Werden nämlich drei Functionen gebildet:
6)
fslf+(l-J),p = 0
7)
-f. = i>i.+(J-c)». -0
8)
F,= vi, + (1 -v),, = 0
to geht
F für i - 1 in 1 - ü
A = U in qp = o
-F, für fi = 1 iu (, - 0
,. = 0 in », - 0
Ft für V ^ 1 in f, = ü
V - 0 in y, = 0
220 Miscellen.
Der Rauminhalt wird daher :
0 0 0
-///
Jdl.dpL.dv
wo ^ wieder die FanctioDal-Determinante des Systems
M^y\l.fi.v) ist
Mit Vorteil kaDn mancbmal von dem Satze Gebrauch gemacht wer-
den, dass J.D==1 ist, wenn Z> die Fanctional-Determinante dos
Systems:
f» —
Vi — fi
V « a \ bedeutet
Beispiel I. Der Rauminhalt eines Körpers ist zn besimmen,
welcher durch drei Paare Ebenen begrenzt wird, deren Gleichungen
aus den folgenden entstehen, wenn der Reihe nach « — «^ *""«!»
/J — /^o» /^ ■" ^5 y — Yo- y — yi gesetzt wird.
— ax -}"* *■ ^
Es sind Ebenen, welche sich paarweise in 3 sich nicht begegnenden
Geraden schneiden, welche in Coordinaten-Ebenen parallel zu Axen
liegen und vom Ursprung die Entfernung k haben.
Zunächst ist
«:y:»:l-ifc(l+/J4./?y):iKl + y+«y):A?(l+« + a(3):l-a/Jy
Daher nach Einsetzung der partiellen Differontialquotienten in den
Ausdruck für d:
■» - (i-!|i,)« '"l'+y+'y'' i+«+"C. rii+ß+ßr)
1.^(1+«+./!), i+zi+fc «d+rt-")')
(i-.W'>-)'«''(i+f+r«)'-«^"(i+«+"«' )
wird der RanminLuIt :
Die lotegration dieBes aleebraiacheii ÄusOnickes bietet kein weiteres
lotereBse.
Beispiel 2. 8 Punkte /", P, P, P4 /'^ Pg P, /'^ bestimmen einen
Körper, dessea 6 Seitenflächen
PiPtPtP^ PiPfPtPi, PiPtP,PB
PjP^PgP,, P]P,PsPg, PjPsPs^i
parsbolifichc Hyperboloide sind, von denen je zwei- benachbarte in
einer Geraden, der Verbindungslinie zweier gegebener Punkte sich
schueideu.
Um den Raumiubalt zu beatimmcn, stttbcn zwei Wege offen. Es
können die Gleichuugeii der SeiteuSächcu aufgestellt und nach der
angegebeueu Mctbode vorgegangen werden, oder es kann das folgende
einbcherc Verfahren gewählt werden, wobei von dem bekannten
SatKC, dass bei dieser Art windschiefer Flttcben die eine Schaar Er-
zeugender von der anderen proportional goscbnitteu wird, vorteilhaft
Gebrauch gemacht werden wird.
Der beliebiijc Punkt x, y, * entstehe durch den Schnitt dreier
noeb uüber zu bistimmcudeu windsubiefen Flächen obiger Art, n&m-
lich E^iC^Ki.
K^ schneide den Körper i
11, Vi; 9.10 liege i
der Flache 1 .
9,1 10.2
a windschiefen Vierecke, 9, 10,
!.3.4; daau ist
12.5 lt. 6
222 MüeelUn.
9.1 — a. 1.4, 12.5 = a.5.8
10.2-=»a.2.3, 11.6 — a.6.7
E^ schneide den Körper ebenfalls in einem windschiefen Vierecke.
insbesondere 9.10 in 13 nnd 11.12 in 14.
Dann ist
9.13 12.14
9. 10 ""12.11 ""
oder
9.13 = i.9.10, 12.14 « &.12.11
oder wenn man statt der Strecken die Coordinaten einfahrt:
jc,9 = a:i + o(ar4— a:i)+i[ac,— arj + aCarj— a^— a?4+iri)]
Endlich schneide E^ die Gerade 13.14 im Punkte {P) x^ y, «,
so dass ist:
14.13 ^
oder
oder
+ ac («1— a?4— a^5+a«) + *<? (^i - ««— ^Jg+Xe)
+ oÄc (— a-i+a;«— ara+ar^-l-irj— arg+ar^ - x^) ^
y, X sind analog zusammengesetzt.
Sei
X4— X, = Ji, «1— arj+xj— X4 — I4
Xg -Xj = I2, Xj -X4— Xs+iP» ^ lö
X5— Xj — I3, Xj — xg — xg+xe « le
so ist
y — yi+aiyi + *^«+<?% + a*^4+«ö'?6+*ö^6 + fl^»/7
« = 2, +afi + *S2 + cf3 + abi^'-\-ac!^+bcj^']-affcti
Werden nun a, b, c als veränderliche Grössen betrachtet, so ent-
spricht einem Wertsystem von abc ein einziger Punkt, da die letztem
Gleichungen in Bezug auf x, y, z linear sind; der Aenderung z. B.
von a bei constanten &, c ein Fortschreiten des Punktes in einer
der durcb die Kanten 1.4, 6.8, 6.7 and 2.3 repräBeiitirt^n Schar
von Krzeugendeii au gehörenden Geraden, während Aendeningcn von
fc, c bei conslanlen ac, ni, zwei andere Systeme hervorbringen, denen
beziehungsweise die Kanten 1.2, 4.3, 5.6, 8.7 und 1.5, 4.8, 3.7,
2.6 angehören. Diese veränderlich gedachten GrOssen als neue
Coordinaten eingeführt, und die partiellen DifferentialqnotieDten ge-
bildet, wird die Functional-Determinante :
\i,+''U+>'h+^'h, h+'-u+oh-h^i, is+<iis+6i«+«ii, i
^ — I iJi+fi»)i-fciis+Äci)7, %+<'»?.-|-c»!8+o'^l7i Va+^li+^le+^t-Vi 1
': !r,+ic,+^i+i.c„ c,-|-«5,4-^C8+'"'C7, C3+"5;f.-Mi:G+''*c, I
Die Grenzen des dreifachen Integrals werden bei dieser Wahl
des Coordinateusystema sehr einfache Boiu Die Snmniirung in Be-
zug auf a erstreckt sich von o = 0 bis n = 1, ebenso für 4 von
6 = 0 bia 6 = 1 und fOr c von c = 0 bis c ^ 1, Der Rauminhalt
dieseB KOrpers repr&sentirt sich daher durch:
-///^
Obige Determinante lässt sich umformen; die erste Colonne mit n,
die zweite mit b, die dritte mit c multiplicirt hat zur Folge, dass in
allen Elementen n^'^,, aber)-, und abd^ als Summanden erscheinen;
dnrch Verwandlung in eine Determinante 4tcn Grades, können diese
Grüssen licrans geschafft werden-, es ist dann
1—1 —1 —1
abci},, oiii+aiijt-}-ac7;s,
aicC,, flEi+«*£*-f'"4
die zweite, dritte und vierte Zeile durch abc dividirt, giebt:
—1, —1, —1
H,i*+^ ft4-^+^. k+h^h
6c+ c "^'b
Die Integration führt auf algebraische Ausdrücke mit Coefficien-
ten der Form X±(sr„!^if) und 2:±{1.3>«.y».jp).
224
MtMctlUn,
2.
Analytiaeh ipeeillaehe OrVssea des Yiereeks.
Sind {x^y^(^y^{x^y^(x^y^ in der UmÜEUigafolge die Ecken
eines Vierecks V fÄr den Schwerpunkt der gleich belasteten Ecken
als Anfang, so kann man setzen:
M — Mj; jr, = — ti — u,;
r8-=ti+ui; a?4 — — t»+t4
Sei nnn
Fil — /««8K; VB— /y«aK; FD— /jcy8K
Dann ergeben sich folgende einfache Ansdrficke:
__ ^. . n2u,ti«t7 — tue .fw — Sut^jV,
SV
3V
il - ^ ; Ä^ g V^" 6
Bedingung dafür, dass alle Trägheitsmomente fQr Axen, die durch
den Schwerpunkt gehen, gleich sind, ist:
-4— Ä — oco* -yo*; D ^ XQyQ
Beide Gleichungen haben in u, t^ die Form:
Setzt man zur Abkürzung
a
ßr
' * vi
1 '^
tu
kn
; 2/-
Vff
80 lautet die Lösung:
2 -ce+a(-'f + Q)
V'
cd+Hf+Q)
c* — ab
wodurch das 4 fach unendliche System trägheitscentrischer Vierecke
dargestellt ist. R. Hoppe.
Oekinghaun: Transjormationen der Integrah und Funcii&nen tte, 225
V.
Transformationen der elliptischen Integrale
und Functionen in Verbindung mit der Theorie
der Kettenlinie.
Von
Emil Oekinghaus.
Fortsetzung Tun Teil II. Nr. VII.
Dritter Teil.
xn.
Da die elliptischen Functionenibei manchen dynamischen Problemen
mit grossem Erfolg verwertet werden können, so werden wir die-
selben nnd zwar mit Anschlnss an die bisher entwickelten Reihen
auf einige einfache Beispiele jener Art beziehen und wollen unsere
Betrachtung zunächst darauf richten, die mechanische Bedeutung des
elliptischen Integrals der ersten Art, also
/d(p
Vi - ««sin^«
vermittelst der Kettenlinie zu definiren.
In der X-Achse dieser Curve schwinge ein Punkt um die An-
fangslage in Folge der Wirkung einer Kraft hin und her. Wir
setzen voraus, dass die wirkende Kraft einfach proportional sei der
trigonometrischen Tangente des Tangentenwinkels der Kettenlinie, so
dass also far die Oscillalionsphase x des schwingenden Punktes das
Gesetz der Bewegung durch die Formel
2) p gtgi
cbarakterisirt wird.
^ lUXk, 1. rkjv. t. B«ih«, T«U IV. 15
226 Oekingkaus: Trant/armatioHen der tlUptuchtn JmiegraU
Darin bedeutet p die Acceleration der Bewegung und g die der
Schwere.
Die bekannte Bewegnngsgleicbang
ist demnach jetzt
vdv ■» — gtg(idxj
and
also gebt in Folge dieser Sabstitntion die letzte Oleicbnng in
vdv ^= —gdy
Ober. Integrirt man, so folgt
iv^=-^2gp+a
Im Mittelpunkt sei die Oeschwiadigkeit = e, demnach bat man
schliesslich
3) r« — c«+2^ — 2flry.
Diese Formel können wir in folgender Art deuten:
In der Kettenlinie bewege sich von einem durch die Ordinate
h' bezeichneten Punkte ohne Anfangsgeschwindigkeit ein materieller
Punkt in Folge der Schwere hin und her. Die Geschwindigkeit in
der tiefsten Lage sei e, dann ist dieselbe im Punkte xy durch
und im tiefsten Punkte durch
c» = 2g{h' — 1)
bestimmt
Aus der Differenz beider Formeln ergibt sich
4) »•"C«+2^-2flry.
Demnach kann in Folge der Uebereinstimmung beider Gleichun-
gen 3) und 4) die oscillirende Bewegung in der JT- Achse auch in dem
Sinne definirt werden, dass man sagt, die Geschwindigkeit im Ab-
stand X von der Gleichgewichtslage ist gleich der Fallgeschwindigkeit
des Punktes von h* bis g in der Kettenlinie. Zur Ableitung der Be-
wegungsgleichungen kann man also 2 Ausgangspunkte wählen, die
dx
zu demselben Ziele führen. Da nun cie = — - , dx ^ dg coli, igds=z$^
#s = yS ^ 1, 80 hat man das Zeitintegral
und Functionen in Verbindung tnii der Theorie der KtitenUnie. 227
5) . = /^^_^=.
Die Rednction desselben anf die Nornudform der elliptischen Inte-
grale basirt anf den Substitutionen
woraus
und
^ _ P dZ
Sabstitairen wir ferner hierin
woraus also
so resulürt
_ 1 P dtp
^ ' " Vi^CV +/)c/ yi~z«iin^'
Der Modulus h&ngt von den Grenzen des Integrals ab.
Der Ausdruck für y ist demnach:
vergleiche Till 8).
Aus dem Endintegral
irergl. a. a. 0.)« folgt also auch
12) ti-j/j.^ ir-(/j.7,
woraus
228 OskinghauM: Transjorwuttionen der tUipHiektn htUgmh
13) i "" T'
also
27 bedeutet die Schwingungsdauer.
Die verschiedenen Phasen der Bewegung können non bei An-
wendung der Reihen in Functionen der Zeit leicht bestimmt werd«i
Die Zeit t rechnen wir vom Mittelpunkt der Bewegung an. Die
Phase X wird nun durch
14) «7-8 [Y^z^t^^^f-^ 3 r^«"«^ 2r+ö i:::^"''2r ••;
als Function der Zeit bekannt
Die Amplitude oder Schwingungsweite ist demnach
15) A = 8 [jzz^t + l r-7«"*"5 r=^+ 'V'
Die Acceleration der Bewegung oder ^tg^ ist gleich
16) p=j^ [l---q*^^^¥T'^ 1^^^^''W '^T^^^^'l^ ')'
Die Geschwindigkeit
oder
17)
4kn / q nt ^ ZiU ^ bnt \
« -r U'=?''''2r"l-5«'''''2T+l=?5C08 2y-...|
Uebrigens kann die eine Reihe leicht aus der andern abgeleitet
werden.
Im Anschluss an diese Erörterung wollen wir auch noch die
Bewegung eines schweren Punktes in einer Kettenlinie betrachten.
Hierfür ist das Integral
P ds _ p ydy
^ '^/ i^9(h'-~y)J y-2i^(y + l)(y-l)(y-Ä')'
Infolge der schon oben angewandten Substitution erhält man
oder
und I\inetion€n i» Verbindung mit der Theorie der Ketienimie. 229
19)
«--^(£V-tg9(-^-»')).
Berflckaichtigt man nan die in 104) abgeleitete Qleichnng, so geht
1 / .8to5»C08£\
die folgende Reihe henror
+ ... )•
Die halbe Schwiaguigneit ist ako
und
xni.
Wir haben am Schlags des 11. Teiles die folgende Relation ab-
geleitet
4 4
l+Vfsiny ^/ Vg . «tt 1 Vg^ . Znu , \
21)
die wegen ihrer einfachen Form zu einer genauem Untersuchung
wohl geeignet erscheint. Wir wollen zeigen, dass dieselbe mit dem
Problem der Pendelbewegung im verticalen Kreis in Verbindung steht
Analog unsem frühem Betrachtungen soll die Function
4 4
22) ^ = Hl^^y^""2i--3 1=y?™2Jf+->)
durch die Abscisse eines Panbtes einer Kettenlinie definirt werden.
Indem wir also wie frflber
23)
2 '
setzen, ergibt sich
230 Oekingkaut: Trantformationen <Ur ilUpHseken /nte^rolt
und ans
y— 1 1
ssinqp' — —TT» y —
y+1' ^ cosa
folgt
25) tgi« = V« Billy,
wonach sin am u leicht durch d bestimmt werden kann.
Ans der Hanptformel ergibt sich durch Differentiation and dar-
auf erfolgter Division beider Gleic*hungen nach einer kleinen Um-
wandlung
Ferner ist
_ , „ jr- JE 2n*/ q nu , 2q* 2nu , \
27) tgi««--^^ — iZ*Vi=?^'ir +i=^*'^'X-+-j- -i
Und aus 25 folgt bei Einftlhrung der bekannten Reihe sin am u
28) tgia-^^^ ir4''"2Ä+i^«'^2z+-J-
Um nun diese Ableitung in dynamischem Sinne zu deuten, trans-
formiren wir das Integral
Vi -Z» sin 9^
V
vermittelst der Ordinate y um in
29
** y V(y*-l)((l+«)*-(l-*)y)
welches Integral auch mit dem analogen für die Rectification der
elastischen Curve in Uebereinstimmung gebracht werden kann.
Hier wollen wir indessen anstatt y den Ausdruck ^^^^ ein-
setzen, man erhält
s
30)
k
und nuMdoDM in fn-AinJung n
' lÄeon« dtr Kttttalmit. 231
DDd dieseR lotegral läast eine ÄQWonduDg auf die Pen dol beweg d Dg
zu, und zwar fflr OscillatioQCD. Znm festen Ereis bennUen nir den
Einheitskreis der Kcttentir'c, welche den Scheitel derCnrve berührt.
Das bekannte Zeitintegral ist
>'aff(sini«*— sini»*)'
worin a der RadiaR des Kreisea, « der Polarwinkol der grSssteD
Elongation, wo |diu Bewegung oboo Anfaugagcachwiadigkeit beginnt,
und 9 der veränderlicbe Winkel iat.
Die UebereinatimniaDg beider Integrale basirt auf den folgenden
Die üeb
\ IdaotitäteD
oder a = tg Jn',
4* = ^
uud man bat demuacb dio nonen Ablcitunguu
3») tM»-y5.(i^^""2r-ri-,. „
worin 2T die Schwingangsdaner bezeichnet.
Die letzte Formel kann auch unter Benutzung v
wie folgt getichheben werden
— — =— cm — — -l_ ^—. Bin
)
tgift-
Da ferner
4x
linJaVl
vx
•21 ~^ 1— g''
»in.5^ +
^~y¥'
l + y«slny 1+tgjJ
1 jr=v'3«>si(i*i
-+ V
1-
-tgia
= l«(45<'+*a),
80 iat
34) . = logtg(45'+f). y = ^.
wodurch man noch eine zweite Reihe zur Berechunng von 9 \
der Zeit gewinnt
232 OekingkauM: Trantformationen der eüipUadktn Inißgrate
35) Jlogtg(^450+ jj - ifT-^Biüg^ - 3 li^BlOg^
"^5 1— yg*'"**»" •••'
deren Ableitung vermittelst der Eettenlinie sehr einfach ist
Interessant ist noch, dass der den Polarwinkel ^ halbirende
Durchmesser auf der Tangente des an der Bewegung mit teilnehmen-
den Punktes xy der Kettenlinie stets senkrecht steht
Bezüglich der letzten Formel erinnern wir an die in XL 65) ab-
geleitete, welche wir auch hier vei wenden können. Die obige geht
demnach in folgenden Quotienten Aber
36) tg(450+J^)
(i+2y cißin ^+^/q) (i W«»ßm5 +y g»)^
{l-^Vqs\^^+Va) (l+2yg>sing,+Vg8) ...
Diese neuen Formeln, welche die Amplitude der Bewegung als
Functionen der Zeit darstellen, zeigen wiederum, wie sehr die
Kettenlinie sich den verschiedenen Modificationen ungezwungen
anbequemt und zu neuen Verhältnissen Veranlassung gibt. Aach
die oben erwähnte Integralformel für die Rectification einer elasti-
schen Curve ist einer analogen Deutung fähig , wie wir jetzt zeigen
wollen.
Wie die Mechanik zeigt, ist die Formel der elastischen Gnrve
dnrch
37) Qy « A^
definirt. Es ist die Curvc, welche entsteht, wenn ein langer feiner
elastischer an einem Ende befestigter Stahldraht von einer in seiner
Längsrichtung wirkenden Kraft angegriffen und in einer dnrch das
feste Ende und die Richtung der Kraft gehenden Ebene gebogen
wird.
Aus der bekannten Formel für den Krümmungsradius ergibt sich
AY
38) y =
(l+y*)«'
Die Multiplication dieser Differentialformol mit 2dy und darauf er-
folgter Integration gibt
und Functionen m Verbindung mit der Theorie der Keitenlinie, 233
und da der Bogen
iS = / yr+y'« dx •
so ist
5-2^» ' '^^
oder
,r
ViA* — C* + 2C' * y* — y*'
40) S — 2A*
y{ll*-{C*—2A*)){C*-{-A*—y*)
Soll Dan dies Integral mit dem vorhin gefdndenen
41)
(l-,)u- f , '^^ , , V
ttbereinstimmen, so ist zn setzen
C* - 2A* = 1, C»+2A» - (rZ^)*'
woraus
^ (!_,)«• ^ -(1-.)«
also
also ist auch
42) 5- _-..^«^^^y^.,.
Bei den Oscilladonen des Pendels und der entsprechenden Be>
wegung des Punktes in der Eettenlinie bewegt sich also auch in der
elastischen Curve ein dritter Punkt und zwar in gleichförmiger Qe-
2a
schwindigkeit -7^ v/y. Die für diese Bewegung charakteristische ela-
stische Curve ist deijenige speciclle Fall dieser an Formen reichen
Linien, in welchem Maximal- und Minimalwerte von y yorkommen,
wie die Mechanik dies nachweist. Fig. 3.).
Um nun auch für die besprochene Curve Reihenentwickelungen
zu geben , führen wir den Winkel a ein , welchen die Tangente mit
dp
der X-Achse einschliesst Demnach ist ^ — tgo und ans der Diffe-
rentialformel folgt
234 Oßkinghaus: Trantformationen dtr tlUptitchsn ItUegruU
Vermittelst dieser Formel wirjd
4«8iDicö« - (i-f «)«—(! -«)«y«
dadurch wird aus der Reihe 26)
die jetzt also geometrisch deÜDirt ist
dx
Da ferner — die auf die X-Achse der Kettenlinie projicirto
dx
Bewegung des Curvcnpunktes xy darstellt, wonach also ^» = ir
4 4
•0 dau _
Integral
46) Vi,
7 Ki-(T$.T«""*"*
Bei der betrachteten Bewegung der im Kreise, der Kettenlinie,
und der elastischen Curve einhergehenden Punkte ist noch zn be-
merken, dass die in den letzten Cnrven sich bewegenden Punkte
immer in gleicher Entfernung von der XAchse sich befinden, deren
14-«
Minimum durch y — l, deren Maximum durch y — r— ^— mit den
entsprechenden Winkeln m = 180^, und m — 0 ist. Bei weiterer
Untersuchung der angedeuteten Verhältnisse wird man noch manches
Bemerkenswerte finden.
XIV.
Die folgenden Betrachtungen beziehen sich auf die in U. Formel 31
abgeleitete Reihe
1 . l/l — / 1 — ^ q . nu . 1 q^ . Snu
jarcsmj/ -^-^^ ^^^ - HV"" 2^+31+?"° 2i^"^*"*
und Functionen in Vtrhinduntf mit der 7*keori€ der KettenUnie. 235
in welche wir die Relation Jam{u-\-iK^) ^ -^icotiLmu einführen.
Unter Benutzung einer bekannten Formel der algebraischen Analysis
erhält man für den Ausdruck zur Linken die cotnplexe Form
und rechter Hand hat man
q . /«« aK' A 9 /1 + ? . *» I .1—« «"»X
daher hat man die beiden :Rciheii
1 . i/l — d , (1 + 9) . nu , 1 , ,(l+9») .
8m
2ä^
+ •••
47)
1, Vl + ^-j-V^— »; . (1-9)...»««
;log
Vl+»'
V^TIjI^lCOSgjp
, 1 . ,(1 — «») 3»«. ,
Vermittelst einer Transformation kann letztere wie folgt dargestellt
werden
48)
, , / , (1 — q) . nu
V(iT^')-rf <.
1 , .1—9» . 3«u , \
Wir setzen fest, dass
49)
X
^i , 1 — </ . nu 1 , .1 — 9* . 3«f» , \
+ 9^
die Abscisso eines Punktes einer Kettenlinie bezeichne, wonach also
wegen y — —'s — die Beziehungen bestehen:
50) y» = .. ■ ,> .. »» — » 7r-rT/T>« ^ —
(l+»')-rf
(1+«')^
(i+»')y*-i
-^====== über in
236 04ki»fkam§t lirm^formmHomm Ar iBiih'niiii Jhfcyh
Öl) U - rx7 f , ^ ,
'+• J K<^-..(^-J^)(4p-,-
oder in Folge Ton y ■- -— j in
€08 0
52)
5
Wir ffthroB, am dieses Intefral ni rednciren» eil
und es resoltirt
54) ^-"^rp/vi-y'ain,»
Vermöge lY. Formel 72) ist
iticx ^> K-'E , 2j»« / 2?V «« 4^ 8«» , \
Femer ist
sind' — -, = «' ^ I .
also nach Formel 61)
56)
^^^^ "" (1 - z')K \yw ^^° 2Ä: "" r+i« **° "2]^ +• • )
Man wird ferner finden, dass
-^°'\ 1-.'— ' ^+7 = 1+7""^*
1 — 7-r~> sin ^
ist, und demnach wird
T = arcsm y ^blj
Indem man nun II. 34) benutzt, besteht demnach die Reihe
und f^meiiontn in Verbindung mit der Thnorie der KettenUnie, 237
67)
f...
Eine weitere Redoction des Integrals fährt auf folgende Trans-
formationen:
8in(2(» — t) — psUiT,
58)
JT—
worin also
2o)
oder auch
2o> -« aresin
t/ Vi — «*sina)*
X -f aresin ( fir7 8>» A
Benutzt man eine bekannte Reihe far (o -« am — ^ — so folgt
arcsm ^ — -, ^^-^ + arcsm ^/ ^ ^^. ^^^.
59)
2 J
. 1/1+«'^-»' . l/l-«'^— /
Da ferner
zf »
_»(£--f»)
""2 JT "^
so geht nach Substitution der in 55) für cosd' entwickelten Reihe
der obige Ausdruck Aber in
60)
K—E 2n*
K +jr«
/ 2^* nu 4^* 29Stt , \
«
, JT— £ 2«V 2?* «tt
«* =r T=r I:; iCOS-rr —
K JT« Vl-9*^^^~^ "7
oder auch nach einer Umformung
%'
61)
J:— JE 2»»/ 2g» JW» \
i:— £; 2««/ 2?* »u , \
238 Oekinghau$: Trans/armalionen der eüipiisckeH integraU
Die in ihren Folgen bemerkenswerteste Transformation beodrt
sich anf die Formel 35) in IL, da dieselbe analytisch-dynamischei
Interesse darbietet. Die Formel ist
62) 5arcsin|/i±^ ]—A « !g? « 1 g* ^."^
, 1_9^_ . 2jw*
Nun fahren wir ein
(nu 1 g' . «u 1 ^ . 2irtt , \
«^-^V8Ä:+2i+^™F+ir+?^^^F+--j
63)
wodurch also
y^ = ^ . ^ Oder y = — : —
Vermittelst dieser Substitutionen sind wir demnach auf eine Sinos-
linie gekommen, worin die Yariabele x der Gleichung durch eine Beibe
dargestellt wird. Vermöge 87) kann auch y durch eine solche be-
stimmt werden, n&mlich durch
Wir wollen indessen diese Curve weniger in geometrischem als
im dynamischen Sinn betrachten, indem wir dieselbe mit der Bewe-
gung eines schwingenden Punktes in Beziehung bringen. Zu dem
Ende sind noch folgende Betrachtungen einzuschalten.
Das Integral
J Vi — a* sin 9*
1 — y«
wollen wir vermittelst der Formel A — -t—x — ^ umformen.
Wir finden nach einigen leichten Entwickelnngen
66) ^ f , ■»
V i/(^-:-±^)(^-ifj)
Setzen wir ^-j—, — p, so wird die Reduction dieses Integrals auf
und Functionett in Verbindung mit der neorie ' der Kettenlinie. 239
66)
u(l j-V) _ r dx
2 J Vi — p*8illT
fahren, and hierfür besteht die Bedingnngsgleichnng
67)
Demnach ist a; = t.
68)
Benatzen wir endlich noch die Landen'sche Sabstitatlon, so resnltirt
I
u p dia
^ J Vi— «*8ma)"
8in(2« — t)
1— «'
T-r-^sinx
Folgende geometrische Betrachtang wird ans von Nntzen sein.
Wir beschreiben mit dem Radins = Eins am C einen Kreis,
ziehen einen Darchmesser AB and bestimmen darin eine Strecke
CO = \jl.*' ^^"^^ darch O gehende Sehne DE bilde mit dem
Darchmesser den Winkel r. Der demselben entsprechende Winkel
zwischen DB nnd dem Darchmesser ist dann gleich od. Siehe Da-
r^ge § 4<^.
Wir denken ans nnn den Winkel t mit der Zeit wachsend oder,
was dasselbe ist, wir lassen die Sehne DE in constanter Winkel-
geschwindigkeit -=- am den Pankt O rotiren. Demnach ist
T —
29K
and also anch
— s' . Sin
8in-=r
2n<
69)
70)
240 Oehimfkmmii TVmnqfvrmaiioiMk dar elHpiUehen InttffraU
70)
/da
Vi— «»sin'i«
Wie man sieht, stimmt die obige Gleichung fOr y mit der be-
kannten Bewegangsgleichung für Schwingungen nach dem Gesetz
/», — hy flberein. Die Yergleichnng bietet manches Anziehende.
Hat z. B. der Winkel t die Grösse ^ erreicht, so ist der schwingende
Punkt in seiner Grenzlage 1/ rT:~7 angelangt und kehrt in seine
mittlere Lage zurück, wenn t von ^ bis n und demnach o bis i;
wächst Bei weiterer Drehung von DE ergeben sich die Bewegungen
im entgegengesetzten Sinne. Sobald D nach E gelangt, wächst
V bis f +-^9 und die Zeit, welche während dieser Bewegung verfliesst,
ist iT, Die durch O gehenden Sehnen bestimmen demnach Bogen
gleicher Zeitdauer, welchen Oscillationen von halber Periode ent-
sprechen.
Bevor wir aus den letzten Integralen wichtige Folgerungen ziehen,
möchten wir noch beiläufig auf folgendes aufmerksam machen.
In der Planetenbewegung ist die Gleichung
71) JB+fsin£?=^-^.
unter dem Namen des Eepler'schen Problems bekannt.
Nehmen wir an, dass die Curve von einem Kreise nur wenig ver-
schieden, mithin e ein kleiner Bruch sei, und femer, dass die Zeit
vom Aphel an gezählt werde. Dann können wir die Gleichung, in
welcher E die excentrische Anomalie, i die numerische Excentricität
1 -. und S die innerhalb der Zeit t überstrichene Fläche des
Radiusvectors bezeichnet, mit der Reihe
V
72) -^+4«*8in-^-yr
identisch machen, falls ^ hinreichend klein ist, um vernachlässigt
werden zu können. Indem wir also annehmen, dass 9, f, z bestimmte
Grenzen nicht flberschreiten, erhalten wir durch Vergleichen
2nv S TU
K^)' ö* "" 2"
73) E^—. -r = ^. £ = 4^«
Dann bedeutet T' die volle Umlaufszelt, und es ist
und Functionen ru Verbindung mit dtr TlKorit dtr Kttttntiitit.
Demuacli ist die eiceDtriscIie Anomalio
'i^)Sv^-
(i+>:
durch ein elliptisches Integral der 1. Art ausgedrückt, worin das
vollständige Ä sich auf den Modulus ^^ bezieht. Die Amplitude
schreitet der Zeit proportional fort. Ist ( gleich der halben Uuilaufs-
zeit, ao wird E zu n.
Für die Erdbahn ist £ - 0,01675, woraus 3» - 0,00418. r/ = 0,00001
als Mass der Genauigkeit folgt. Für Venus und Neptun ist der
Grad der Annäherung noch grösser, indem für den ersten Planeten
I = 0,00681, 5* — 0,00170, ^ = 0,000002 ... für den zweiteo
E =. 0,00917, q* — 0,00229, q* = 0,fJü0005 ... Die übrigen Planeten
entfernen sich schon zu sehr von der Kreisbahn, ah dass e' ver-
nachlässigt werden dürfte.
dE
Wir differculiiren 71) nnd 75), eliroiniren j^
und beachten, dass
^ = l-ftcosi.' ist. Dann resultirt, wenn a — 1
und £» verschwin-
dend klein ist,
r-"'l/. ^ .m"'
Oüsr
7e, .-j/i+..+a.„.^S
HierauB folgt für von der Kreisform wenig abweichende Ellipsen eine
einfache Conatruction, vermittelst der Zeit den Ort des Planeten zu
bestimmen. Wir nehmen an, dass vom Apholinm aus zugleich mit
dem Himmelskörper ein zweiter Punkt seine Bewegung bcgiout, mit
gleichförmiger OeschwinUigkeit fortschreitet nnd mit dem ersten im
Perihelium anlangt. Diese Bewegung finde statt in dem die Ellipse
nmschliessenden Kreise. Der letzten Formel gemäss verbinden wir
den der Zeit ( entsprechenden Punkt des Kreises mit dem Gravitations-
centmm durch den Radiusvector r und beschreiben um das Centrnm
mit ihm einen Kreisbogen bis zum Durchschnitt mit der Ellipse.
Dieser Schnittpunkt ist der gesuchte Ort des Planeten zur Zeit '.
Knb. dn Hl», i. Vi-j*. 3. Keil», Ten IV. > 6
4
242 OMkingkauMz Trat^sformatioHen der Mptiseken JiiUgraU
Wenden wir auf 75) das Additionstheorem an mit der Annahme,
dass beide Integrale sich znm ?ollst&ndigen Integrale K ergänzen, so
wird ^(F+Fi) ^E+E^, nnd da F+F'^ K, so ist Ä+JB- — 180»,
Die diesem Fall entsprechenden Anomalien E nnd E' ergänzen sich
also zu 2R, nnd die Bedingnngsgleichnng hierfür ist
Um zn sehen, bis zn welchem Grade der Genanigkeit diese ein-
fache Relation gflltig ist, wollen wir den strengen Wert derselben
berechnen. Ans den Formeln
r"2+2"°^' r"" 2"+2**°^
erhält man ohne Mflhe:
t ?f* ^ sinJB+sin(gsinJg) tg^(l+f)i5;
7») tg y. tg y, « sinjg;.» 8in(«sin£) "" \%\{X—i)E
Bei £ « 0,01675 ist ^ = 0,0000007 ..•
Die Relation ist demnach hinlänglich genau.
XV.
Legendre hat in der Theorie der elliptischen Functionen Reihen-
entwickeluugen fOr die unvollständigen Integrale der 1. und 2. Art
entwickelt, worin die Glieder nach den Sinns der Vielfachen der
Amplitude fortschreiten. Da aber die Convergenz derselben keine
bedeutende ist, indem fttr grössere Moduli eine nicht geringe Anzahl
von Reihengliedem berechnet werden müssen, so ist man genötigt
zu den bekannten Näherungsmethoden seine Zuflucht zu nehmen,
unter welchen die von Jacobi gegebene
J. yi-»»8iny~»-y/ ^ cos-y + g» cos -y + • • •
23Vi-=l^SS7« + y«' 1 + 2«« cos '^* + ...
ziemlich rasch zum Ziele führt.
and Functioatn in Vtrblnduny n
- KtUeolinit.
Diß JD XIV. entwickolten Gleichongca geben, wie wir jetzt zeigea
wollen, eine rasche AaSösung des Problems, wenn wir uns einer
Formel bedienen, welche Lagrange zuerst gegeben bat. Sie bezieht
sich anf die Auflösung der Gleichung
. - .+./(.)
worin f eine gegohono Function, a eine kleine GrOsse bezeichnet.
Die Aufgabe ist nun die, die Unbekannte i nach Potenzen von a za
entwickeln. Sie wird dargestellt durch die Reihe
'-t-wmi-2 j, 1-31 ^ +■■■»! di»-i
Indem wir also suf die geuaDnten Belationen in XIV.
»•-»+rqfr«»»+»i^«»ä»+ir|^»»3»+...
=^)/^/-(•^^)■.-■^°^''■^
* = :r' tg(r-n,)-,'tgM
uns beziehen, schreiben wir die erste Gleichung wie folgt
Vermittelst der Lagrange'schen Formel wird man also ^. welches
dnrch ein elliptisches Integral der ersten Art, nämlich
Vi— 71* sin T*
bestimmt ist, nach Functionen der Amplitude v zu entwickeln haben.
Die einzige Schwierigkeit besteht also nur darin die Potenzen von
worin a; = 2t gesetzt ist, und die Differeutialquotienten derselben zu
berechnen. Die entstehende Reihe wird rasch couvergircn, da o = 4^*
eine im allgemeinen kleine Zahl sein wird. Die letzte Reihe schrei-
ben wir kurz
f{x) = 08ini-fisin2i + cBin3i + <i8in4z+...
and man findet der Reihe nach
18'
244 Oekinffhaus: DremsformcUionen der eltiptUcken Integrah
/•(«)* — a* sin 35*4* 2öÄ sin x sin 2a? -(-&* sin 2x*+2oc sin x%m^'\- Alu 3dc*
4- 2a€2 sin X sin 4x -f- 2ae sin a; sin 5z 4~ 2^^ süi 2^ sin da;
-|- 2^sin 2fls sin 4x . . .
/(aj)« « a»8inx84.3a%sina;«sin2aj4-3ad«8ina;sin2ar«4.Ä8sin2a:»
4- 3a*c sin x^ sin 3x -f* ^^'^ sin a;^ sin 4a; -f- 6a^c sin a; sin 2a; sin 3as
/(a;)* « a*sina;*+4a^i8iaa;^sin2a; + 6a*i*sina;*sin2x*
4- 40^0 sin a;^ sin da; .. .
f{x)^ = a*sinx^4-5a*Äsina;*sin2a;-f-...
/•(a;)® •=• a«siua;^ + ...
Bei der Berechnung der Differentialquotienten ist es gut, die
Potenzen von Sinus durch vielfache von x auszudracken. Wir be-
nutzen daher die Formeln
2sina;* =» — cos2a;-|-l
2* sin a;^ — — sin 3a; -f- 3 sin a;
2*sina:*= cos 4a;— 4 cos 2*4- 3
2^siux^= sinö« — 5 sin 3a; 4- 10 sin a;
2'^sina;«=»— C08 6a;4-6cos4a; - l5cos2a;4-10
Zufolge dieser Formeln hat man die folgenden Ableitungen
^-^^ = a«sin2a;+2Ä«sin4r4.3c«sin6a;4-4<i*sin8x
4- o* (3 sin 3« — sin x) 4- 2ck? (2 sin 4a; — sin 2«)
+ arf (5 sin 5x — 3 sin 3a;) 4- 2a« (— 2 sin 4a; 4- 3 sin 6a;)
4- hc (5 sin 5a; — sin x)'\-2bd (3 sin 6x — sin 2a;) 4* • • .
^^t- - ^{98in3a; — 3sinx)4-3a2Ä(— 2sin2a;4.4sin4a;)
3a^»*
4- -j- (- 2 sin X 4 25 sin 5x— 9 sin 3x)4-ä8 (9 sin 6x— 3 sin 2x)
3a^c
4 — j- (25 siu 5x — 18 sin 3x4- sin x)
4- 3a2d (sin 2x — 8 sin 4x4- 9 sin 6x)
4" 6aÄc(9sin6x — 48in4x — sin2x) ...
j^ = a*(8sin4x— 4sin2x)+ia3Ä(28inx4-125sin5x~8lsin3x)
4- 4a3(? (— 24 sin 4x 4- 3 sin 2x4- 27 sin 6x) -j- . . .
und ^nctionen in Verbindung mit der Theorie der KettenUnie. 245
-^ - jg(6258in5*-4058in3a:+108ina:)
+ öa«& (5 sin 2x — 64 Bin 4x + 81 sin 62;)
d^(fx)^
-^L = a«(2438in6a;— 1928in4aj+158in2a?)
Die entwickelten Glieder reichen zur genauen Berechnung des
Integrals ans. Setzt man nun diese Ausdrücke in die Lagrange'sche
Formel ein, entwickelt die Coefficienten abc ... nach Potenzen von
q in Reihen und ordnet nach den Sinus der Vielfachen von r, so
resultirt schliesslich
^(P)J Vl-p^sinr«
80) =- 2r— 4(3« - 25«+63»o — ...)8in2T+2(3g* -163»+...) sin 4t
40 504
-y(g«-93'o + ...)8in6T+35g«8in8T-^2»08Jnio^^.^.
Nach Potenzen von q* entwickelt würde man haben
81)
n p dt
— 2r — 48in2T.5a+6sin4T.g4+(8sin2r — iaj^8in6T)5«
— (32 sin 4t — 35 sin 8t) 2« + (120 sin 6t — lOOJ sin 10t; 3»0-.. . .
Stellen wir nun das Zusammengehörige übersichtlich zusammen
so ergibt sich folgendes:
Um das elliptische Integral
r du)
82) / . — —
,/ yi — a* sin CO*
zu berechnen, bestimme man vermittelst der Formel
83) tg(T— (o)=a'tg(o
die Amplitude t, und man hat
84) ^ /"-=lf===:T-2(g«-23«+6g»«-...)8in2T
+(3^— 16g8+...)8in4T
-^(«*-V^+..)8in6T
. 35 , 252
+ 2"«^8in8T --ygiOginiQ^
246 Oekinghaus: Tran»format\immi dtr elUptiteken HitgrmU
Diese Reihe convergirt sehr schnell, da in den meisten FUleo 9,
welches sich auf den Modolus » bezieht, ein kleiner Brach ist Selbst
in dem angünstigen Falle » » 0,99 ist die Potenz q^^ — 0,00000002^.
weshalb wir dieselbe vernachlässigen können. Ist s* ^ ^ so reichen
schon 3 Glieder hin, am der Rechnang bis aaf 7 Dedmalen richer
za sein. Demnach ist in diesem Falle
85) ^ r -j==J^====z= T-2g«sin2T+34*sin4T— ...
^tJ y 1 — Ä*sin «'
Zar Berechnnng von K kann man sich des in Formel 49) m.
gegebenen Ansdracks
8«^
JT —
(1-yo*
bedienen. Fttr nicht za grosse Werte von p = 5-7—7 woraas « — rr^»
ist aach die Reihe 81) recht braachbar. Beispiel. Es möge berechnet
werden
so»
6
/* dm
I Vi —i sin»«
Aus tg (t — ») = «'tg 00 folgt für CO => 30<> T — 520 12' 27", üTid da
5« « 0,0018674, ^ = 0,0000035 ist, so folgt
n
1 8540747 ^ ^ 0,907553, woraus v « 0,535622
Wir erwähnen noch des folgenden wegen, dass, wenn die Reihe
81) differentürt und darauf r = 0 gesetzt wird, folgt
^) (Yq:Jj^- 1-4^+lV -32ff«+763«-168g»o^...
Wir ziehen ferner hier die Formel 111 in VI. an, setzen darin 9 » 0
wodurch
Ö7) n ^ •^■*" 1 — 3*""1 — 3«"*" 1 —gio + •• •
- 1 + V+4g*+4^8+8^»o
und erhalten dadurch ein Mittel, die Constanten der vorhin ent-
wickelten Reihen hinsichtlich ihrer Richtigkeit zu prüfen. Multipli-
cirt man demnach die letzten Reihen, und geht bis ^^^ so ergibt
sich bis zu diesem Grade genau identisch 1*1.
iiHtl FiineliontH in Vcrhuidmig mit dtr TKtor
Um Doch für das folgende alles beiBammen zq haben, benntzon
r in V. Forraei 87) für 91 - 0, aiao
Indem wir sie mit 66) maltiplicirea erhalten wir
89) ifxj - 2- V+lV— ^' + 1013' — 2369"
Aehnlich findet man
(S+^)'= 16*''* - V + "3» - 192«»+718g'0
..)
Wir gehen jetzt daza über, eine Reihenent Wickelung für die
elliptiEchon Integrale der zweiten Art durchzuführen. Hierfür stehen
verschiedene Wege zu Gebote, welche die Theorie der elliptischen
Integrale angibt nnd die sieb beziehen auf die bekannten Relationen
sinqs^dip Ji* — E
r
Wir wühlen davon die erste, die wir in folgender Weise zu on-
scru Eatwickelnngen benutzen.
Die differentiirte Gleichnng 61) ist
+ 8CV — lV)<;os4t
— 60[g*-9g")cos6T
+ 280/ cos 8t— 1008g"c08 10t4- ...
wir moltiplicjren sie mit 2sinT*» 1 — cos2t, wodurch rechter Hand
die Reihe in 3 Teile zerfAUt, deren 2ter bei der Integration auf In-
tegrale von der Form
/
4cos2fcos2»< :
8in2(n4-l)t Bin2(n — 1)<
248 Otkingkausi Tran»fonMiiofHm dtr dUpiMtm ImHgvmh
Btösst, 80 dasB man nach Dnrchfülhning derselben folgendes Besnltat
gewinnt
'^^ Äi^^.y y^T5^i = 2^-««""2«'+^')""2-
+2(V— 16«8)8in4T
— sin 2t + 4(^-29«+€gio)(T-H8in4T)
— 2( V - 16g«) (J 8in6T + sin 2t)
+ 20(g«-V0)(j8iB8^^|ain4T)
— 70s8(JlsinlOT + j8in6T)
+ 2525»0(jsinl2T+Jsin8T)— ...
Der 1. Teil der Reihe ist das bekannte Integral
n n dx
Wir bezeichnen den zweiten Teil kurz mit R^ so dass man 94)
gemäss die Relation hat
94) F(p.)-£(p.) - 4p«V)+ §P*- ä
Die Theorie dieser Integrale leitet aber folgende Formel ab
95) £(pO -= -p8inT+(l+|,(£(,a,) + i(l-p*)F(p.).
damit können wir £0»^) der vorher' gehenden Gleichung eliminiren,
wodurch
96) /'(nf)— ip« V) = — i)8inT+(l+p)J5;(,a,) + i(l — P*)^i»t)
- 2ir^-
Hier heben sich einzelne Glieder fort, so dass folgende Beziehung für
E[g(ü)i deren Entwickelang in's Auge gefasst ist, gewonnen wird:
(1+p)^,«) = iF(px)+psinT~^|,«Ä
Nun ist aber bekanntlich
2K ^K ^. (l+O, P==T^
G0 Gl)
demnach
und Functionen in Verhindung mä der l%€on€ der Kettenlinie. 249
4^(s«) « (1 +«')!? orT)+2(l-a08mT-^-^(l-«')«Ä,
d. L
97) 4JE;(,a,) « (l+«')*^(2T-%«...)8in2T+...)
-(l-«')*^\-8in2T+4(9«...)(T+j8in4r)...)
+ 2(l-~Ä')8inr
Aus diesen Entwickelungen geht hervor, dass fVl — «*8in (o^ilto
Dach r und den Sinus von r, 2r, 4t fortschreiten wird. Wir werden
die Constanten K etc. vermittelst der Reihen fortschaffen and geben
der letzten Reihe deshalb folgende Einrichtung:
98) '^-^^1^2 -- T-2(iz«~2i2«+6gW)gin2T+(33*-16g«)sin4T
- 3-(5^— 9g»o)sin6T+^g8sin8T
252
- ([^0\2(a«-2g6+6g»«)r~(H-3<z4 -16g8)sin2T
~i( V+1 95Ö)sin6T-H(52«+18g «0)sin8T
— 738sinl0T+2l3i0sinl 2t)
. 27r (l^O .
Aus diesen Substitutionen geht nun zunächst folgende Reihe hervor:
« T(l ^ 32(g*— 8g«+423»-176g^o^...))
+ 88iDT.(/{l—8/z«4-42f/-17V+63V- 20405««+...)
+ 2 sin 2t (3(z* - 32g4 + 202^6 — 960g8 + 37942«0)
— sin4T(52*—64g6+4325Ö— 20482*0)
+ 4 sin 6t (28^« - 384g8+ 24345^)
— i8in8T(4558-640gi0)
+^sinlOT.<2io
Da aber das Integral noch mit einem Factor versehen ist, so
scheint es geeignet zu sein, unter Benutzung der Formel 87) diesel-
ben in der Reihe aufgehen zu lassen, wodurch wir schliesslich fol-
ide definitive Lösung erhalten. Es ist
250 Oekingkauit jDranMformatiim§n dtr tllipiUektn /»ftyWt
= ^(H-3*-7^+3V-lllg«+322giö— ...)
+2iinc(l— 6(r«+28g* -1083«+868g* — 1158g»H-.-.)«
■fi8in2T(V— 208* + 863«— 280g«+77igW— ...)
— iiin4T(6fl*— 4V+196g«— 0765»»+...)
+j8in6T(lV— 136g8+506g*ö-...)
— i BinSr (45g»— 4609i«+ . . .)
+TViialOf(1545iO— ...)
Aach diese Reihe convergirt recht gnt, so dau in den meiiteii
Fällen der Anwendung wenige Glieder zur genauen Beredumng hin-
reichen. Fflr das vollständige E. . ist r « ff zn setien, weshalb
man auch noch die Reihe gewinnt
Wir können noch eine zweite Methode mitteilen.
Die in XIY. Formel 69) anfgesteUte Reihe d. i.
102) ^__8,nT-^^^^-^,8m;^+3;3^sin^+...j
zu welcher das Integral
103)
/da _J. r dr
Vi— ««sin w« "" 1 + »V l/; /l— «'\ ; ~
nebst der Oleichnng
104) tg(T — w) — «'tgw
gehört, bestimmt bei gegebenem Argument v die Amplitude (o oder t.
Die Umkehrung der Reihe wUrde demnach das Argument als eine
Function von t darzustellen haben und zwar in der Form
TtV
sin«- — asinT-f-Z^sinSr-j-ysinÖT-f-.. .
wonach die Olieder nach den Sinus der ungeraden Vielfachen von
T fortschreiten.
Um die obige Reihe dementsprechend einzurichten, benutzen wir
die in 88) gegebenen Formeln, und man kann
und Functionen in Verbindung mä d$r Theorie der KetUnUnie, 251
V
1 — »'
1±^ durch g+V+fl®
49S
zK
ersetzen. Daher ist
worin wir o? -» j»r schreiben und die Sinns nm entwickeln. Demnach
ist abgekürzt
104) (qr^^^q^) sin T — a sin o^-fft (3 sin x—i sin x^)
+c (5 sin OB— 20 sin x'+iesin«*)
-H(7sinaj— 66sin««+112sina^
— 64sina5^) u. s. w,
Ordnen wir nach Potenzen von sina; so resnltirt
105) (5 + 25*+g*)sinT — 8ina;(a4-3Ä+5ef+7d...)
— 4sin«»(Ä+5c+14d+3a5+55/)
+16sinaj«(c+7rf+27«+ 77/. . .)
— 64sina:7(d4.9e+44/)
+ 256 sin «»(«+11/)
— 1024sinajy
Berechnet man die Coefficienten dieser Reihe, so wird die letzte
Reihe znr folgenden
106) (g+23Ö+(z»)8inT - sinx(2+V+6g*+8g'+133»+125ii)
— 4sin«8(g»+5^+14g7+3lg9+552^i )
+16 8in«ß(3Ö+7g'+27g»+77g")
— 64 sinaj' (37+9^11+445")
+2568inaj9((7»+llg")
-1024sina;"(«"...)
Diese dividiren wir durch den Coefficieuten von sinoc und erhalten
107) (1 ~45«+l2g* ~32g8+76g8— 1682i0)sinr
— sin« — 48in«»(3«+g* + 4g«+g8+6g*ö)
+ 16sin«'i(g* +3«« +9g«+15g»o)
— 64sinx'(3«+5g8+183W)
+ 256sin«»(g«+7gW)
— 1024sin«ii(g»0)
252 Oekinghaus: IVanaformationen der elitptu^en IntegraU
Bevor wir diese Reihe umkehren, bemerken wir noch folgendet.
Hat man eine Reihe, welche nach ungeraden Potenzen yon x fort-
schreitet, auf die Form
108) y = aj — Bä'+C«*— ZJx^+iSte» — i^Icli
gebracht, so findet man mittelst der Methode der unbestimmUm
Coefßcientcn die Umkehrung derselben, welche wir ohne weitere
Zwischenrechnung wie folgt niederschreiben
109) X — y+Bt^ + (3B*'-Oy^+12Ifi -8BC+Z))y7
+(552?* - bbB^C+lOBD+bC'-E)^
Die Anwendung dieser Reihe anf die obige gibt schliesslich als erstes
Resultat
Ttti
110) sin^ - (1- V+12g*— 323«+76g« — 1683W)8inT
+4(3«— ll^+76<2«— 411g«+1886gW)sinT»
+ 16(2g*-375«+3982«— 32052iO)sinT«
+ 64 (5^« - 131g«+ 1918gi0) sin T^
+ 256 (I458 — 476gi0) sin t»
+ 1024 (42^10) sin t"
Will man indessen die Reihe nicht nach Potenzen von sinx,
sondern nach Vielfachen dieser Amplitude t entwickeln, so benutzen
wir die Relationen
2*sina:3 = — sinSx+Ssina;
2* sin«* — sin 5« — 5 sin 3« +10 sin a;
2^sina;' = — sin 7«+ 7 sin 5«— 21 sin 3« +35 sin«
28sina;» = sin 9jc — 9 sin 7« +36 sin 5« -84 sin 3« +126 sin«
2Wsina;" =- — sinlla;+ll8in9a;-55sin7a;+165sin5fl;— 330sin3j;
+462 sin«
Diese Substitutionen führen endlich zu der gewünschten Reihe, so
dass man das Resultat in folgender Art definiren kann:
Wenn das unvollständige elliptische Integral 1. Art
__ r dm
«/ Vi — a^sinoö^
0
zur Berechnung vorliegt, so hat man zunächst mittelst der Formel
tg(T— 0)) = «'tgw
und F\inetionen in Vsrbindung mit dtr Tkwrit der KtUtfdini; 253
den Winkel r zn bestimmen, und der Wert des Integrals ergibt sieb
dann ans
sin-^ - (1 -3«-g*+2« + 2g«— 2giO)8inT
— (3^ - 2* - V + V+ 15«iO)8in 3t
110) +(2g*— 2g«— 15g8+15giO)sin5T
— (5g« - 5g8 - 56giO)sin 7r
111) + (IV - 1 V^)8in 9t
— (42gW)sin 11t +,..
Diese Reibe bietet insofern Vorzüge, als die Coefficienten von q
klein sind, weshalb sie rasch convergirt
K 1
Wenn t = 90® ist, wird » ■* « nßd tg(o=» —,.
Aus der zn diesen Ableitungen benutzten Reihe 101) lassen sich
noch Folgerungen ziehen, welche mit den Entwickelungen in I. in
Beziehung stehen. Die Resultate konnten übrigens auch noch aus
andern Fundamentalformeln gewonnen werden, so z. B. aus II. 31).
Die Entwickelungen führen zu den eben mitgeteilten Formeln.
Die Formeln 125) bis 128), femer 68) u. a. m. können gleich-
falls mit Erfolg zur Berechnung von u dienen. Sofern q^^ vernach-
lässigt werden kann, hat man demnach folgende Hülfswerte zu be-
stimmen :
112) tg2v; = ^cos<p, smT — ^^-qj^tgl^,
8iö2y = jq-^,tgiT
und es ist
•
nu 1
113) <'<'S2^=V**)'
Ebenso lässt sich die Reihe
114) \r - r+^cosg^-i 1+^ cos 2^ + . . .
hierzu verwerten, wenn man das 2. Glied transformirt. Setzt man
q^ cos 01^ = ^1 80 folgt aus der letzten Reibe
115) y^-h+h - 0
^dt also
254 Oekinghausi TVansfornuUümen der dUpiUehäm IniBprala
80 resaltirt als zulässiger Wert
y — cos(60<>+f)
Hat man demnach ans den obigen Formeln y bestimmt, so eingibt
sich ans
cos 3* — iy
116) cos 2^ — cos ^ — 1^ —
Die vorstehenden Resultate zeigen, wie reich an Beziehongen
die eingeftthrten Transformationen sind. Man wird bei Darchsicht
der gegebenen Entwickelnngen noch manches finden, was analytisch
verwertet werden kann.
XVI.
Wir haben schon früher die Methode des Imaginairen benutzt
um zu neuen Resultaten zu gelangen. Wir wenden sie auch jetzt
noch einmal an zu dem Zwecke, die in XL Formel 64) gegebene
Reihe einen Weg aus dem Reellen ins Imaginaire und wieder zurflck-
ins Reelle machen zu lassen.
Bei diesem Gang der Untersuchung nehmen wir Bezug auf die
bekannte Relation der algebraischen Analysis
117) ilogji^-tarctgor.
Um nun für unsere Reihenentwickelungen diese Formel nutzbar
zu machen, bemerken wir, dass nach bekannten Methoden der Theorie
der elliptischen Functionen folgende Transformationen bestehen:
S. Schlömilch, Compendinm II. S. 417.
Ersetzt man
z durch — und zugleich u durch s'u,
z
so verwandeln sich
Kin zK, K' in z'(K' — iK)
118)
q in —3,
und Ftmeii9MU im VßrhmAing mit der Tkeoru der KeitmUme. 255
sinam« cosamu
Bin am u m »—r—- — » cosamu m -z ,
jennu ^amu
^amfi in ^ .
Diese Relationen führen wir nnn in
gnycoay
wodurch folgende Gleichung
, . sin y cos <p
entsteht, die vermittelst der genannten Relation in die neue
--rv. 1 . «sinycoscp Vg . »u , , Vö* . « ««* •
119) iarctg ^ "i4^«°Y+*r+?^^°^T+-
flbergeht
Nach Dur^ge § 58. ist
1— ^ ssinam^cos am ^u
l+J ^am^
Indem wir diese Bemerkung benatzen, schreiben wir die letzte
Gleichung um in
120) iarctg^j:p = j^8in2]^+ij-:j:^8in32^+...,
die man wieder mit bekannten Reihenentwickelungen der elliptischen
Functionen vergleichen kann.
Die vorletzte Reihe kann nochmals transformirt werden, wenn
man die Formeln benutzt, welche den Uebergang von q* in q etc.
bestimmen.
Man wird folgende Relation finden:
4 4
121) iarctg(V«8mam«) - i^:^8in2Z+*l+y?'^^2^+- •
256 Oekingkaua: Transformationen der eiUpiisehen Inisgrale
«
Das sinamu kann hiernach wie folgt bezeichnet werden:
4 4
122) sinamu - y;tg2^^^^^8m^+i i_i_,/^8MP —
Auch die Fnndamentalformel
4 4
-,>«x 1 4- Vasin (p ./ Vg . TTi* , Vfl3 .«,«». \
ergibt auf diesem Wege noch zwei bemerkenswerte Reihen, die ans
der transformirten
log
4 4 4 _
1— y— 9 -^^ i+gV— 2 ^^ i-gV — 5 2ir
vermittelst Yergleicbnng der reellen und imaginären Teile hervor-
geben.
4
Hierzu müssen wir zunächst die Werte für V — 1 einsetzen. Die
Wurzeln der Gleichung «*+l ™ ^ sind aber — ^ (1 ± ») und
^(-1+.).
Der Ausdruck links geht demnach für den 1. Wurzelansdnick
über in
lAz'sinqp l/ä? sinqp /-^
, ^+K T^' + r T "^'^""^
log
'l/zz' sing? l/?l' siuip ^33:
Die Analysis leitet aber für logaritbmischo complexe Zahlen die
nachfolgende Gleichung ab
Log(M+*v) = }log(w»+y*} + iarctg^+Log(+l).
und FSiH^ionen in Verbindung mit der TTheorie der Ketttnlmie, 257
Dcmzafolge zerlegt sich der obige Logarithmns in
siiiqp
' sing»
-}log 1-
^ V 2 J
Bemerkt man aber, dass
arctgaj+arctgy = arctg j;^
ist, 80 haben wir als Resultat der Transformation den complexen
Ausdruck
i+V'2
^^+^
ilog
l«y5^?m?
,smq>
womit die Untersuchung für den linken Teil der obigen Oleichung
beendet ist.
Die rechte Seite wird unter diesen Umständen zur folgenden,
welche indes noch mit 2V2 multiplicirt worden muss:
Vq
1+5 8in2Ä:+i^ «' i+?
(1-Vg»— t(l+t/g») . 3»H
sin
'IK
-i^«* 1+56 «"&äÄ- -^^«' i+i^ ""7 2Jr
+ +
Also erh< man nach Sonderung des Reellen und Imaginftren
i+y^-^/ÜE? . ..«»«P
124) iV21og
+ zz'
4*
l_V2i^'«'°? + .'?iJ?
S (1— V«) . »u , ,* ,(1— Va«) . „«••
♦ ^(i— Va*) . ^ »« *, ,(1— V«') . ,«»
2«
+
+
Yatk. n. Phyi* >• S«Ui«. TtU lY.
17
258 Othingkaus: Drans/ormationen der elliptiBehtn Int§^ruU
VS«'
8in^
125) lV2«rctg— ^,=
1— «1
J*
+ -
Die letzte Formel ist unter anderm auch aus dem Grande be-
merkenswert, weil sie zu einer neuen Darstellung von n in Beihen-
form benutzt werden kann. Ist nämlicb 2 » 1, also «'= 0, so wird
9 — 1. Setzen wir also zunächst u — ^, g> « 90^, so ist
2i
n
126) iV2arctg =
1-'-
Z
wobei man bei variabeln Moduln auf das Vorzeichen 1 7 n
achten hat.
Fflr « = 1 besteht demnach folgende Relation
127) i^2.«»i+§--g-5+|+n-iVr5+-'
und weil
so folgt durch Combination
Tri 11 ^, ^_1_l1—
8 ^^^"■■^^■"3"" 5+ 11 ""13"*" 19 21 + 29 •-'
128)
g(V2+l)- 1 — 7+9— 15 + 17 — 23"''25'"3l"^-"'
oder
TT 1 1^ 1 1^ 1 1^ 1 j^
16 ^^2~^^ ""375+ 11713+ r9T21+ 27~729 + •• ^' '' ^•
Vermittelst Multiplication und Division lassen sich noch leicht ver-
schiedene Producte und Reihenquotienton ableiten.
und Functionen in Verbindung mit der Theorie der Kettenlinie. 259
Wird in der Reihe 126) 1 — / Null gleichgesetzt, so geht der
z
n
ArcostangeDS in ö über und die Reihe bezieht sich auf den Moduius
1
Die beiden Hauptentwickelungen können übrigens durch eine in
der Einleitung gegebene Transformation vereinfacht werden. Sie
gehen dann über in
129) JV^21og
\/2z z
1+1/ , C08<p+-C08a)*
Wz z
l/2« z
WZ z
130) iV2arctg
y -. cos (p
1 7 cos 9*
z
1+9 ""*'2Ä'^»'^^ l-fT* ^^^^^K
welche auch noch wie folgt geschrieben werden können:
131) iV^21og
\/2z z
1+1/ — ,cosamu+;^cosamtt*
z
— y -, co8amt« + ->cosamtt*
nu
g. — g -
»u
r» — fl""i
rl — ^-i
""■ i ■ * I \ COSö A », 1 9 T T COSi 4^ -^
^gf + //-i 2ä ' '(2[»— <7~i 2ä
1 — / COS am t«^
132 iV2arccos
v^+$
cos am ti^
17*
260 Oekinghausi Trans/ormationen der eUiptiseken ImUgraU
_x «i+^I! C083 — -i ?y=^ co«7 —
Aach diese letzte Formel kann wiederum zn neuen Beilienent-
wickelungen benutzt werden. Indem wir nämlich die Eingangs ge-
gebenen Substitutionen einführen, geht der Ausdruck zur Linkei
über in
JV2arc cos
^ cos qfi .
J/W%!^
Demnach wäre dieselbe in geeigneter Form zu entwickeln.
Wir benutzen für diese cyklometrische Function die entsprechende
Formel der Analysis:
Arcco8(tt4-w) =» arccos- +»log(|)-|-g),
Setzen wir ^ ^^ ^ = i4 so ist demnach
l — Ai
Arccos
1
= arccos
Da aber
1 cos<p
arccos, / ^ = arccosv^Ä-— j- i
cos <p* d
V-
1 + . -J.-
SO ist die erste Reihe
cos 2j^ cos3 2^ cosö ^
133) iarctg (v.-^J - -r^jr^.. -^^] + ,---5+^,1+^^-
oder
und Functionen in Verbindung mit der Theorie der Kettenlinie. 261
sm
7tu
2k
7tU
134) iarctg(V.8in.p)=^^,^j+J^^^+i^j,p^+...
Die zweite Reihe ist dagegen
coscp
135)
TtU
c«82^
TtU
- nu
(2^
oder
-j-H^}_^-l + *oJ -.fl-j---
136) — ilogT-^ — 7 — ; —
TTU
wodurch wir wieder zu nnserm Ausgangspunkt zurückgekehrt sind.
Ueborsieht man die bisher gewonnenen Resultate, so lässt sich
nicht läugncn, dass die durch Kreis und Kettenlinie vermittelte Trans-
formation für die geometrische Darstellung der entwickelten mannig-
faltigen elliptischen Functionen sich wirksam und erfolgreich erwiesen
hat. Der Vorzug geometrischer Methoden zur Interpretation analy-
tischer EntWickelungen besteht darin, dass die gesamten Eigen-
schaften der durch eine geeignete Transformation eingeführten Curve
wie hier der Kettenlinie in den Dienst der analytischen Processo
gestellt und letztere ausser durch die geometrische Deutung ihrer
Ausdrücke und der dadurch bedingten klareren Uebersichtlichkeit
noch durch neue und nicht unwichtige^ Entwickelangen bereichert
werden können.
Vierter Teil.
xvn.
Der in IX. entwickelte Fall des durch elliptische Functionen
und die Kettenlinie dargestellten casus irreductibilis Hess die Frage
offen, ob auch die durch die Cardanische Formel lösbaren Fälle
vermittelst dieser Curve in geometrisch analytischer Methode erledigt
werden können.
262 09hiHghau$: Transformationen der eüiptU^en ImUtfrmlB
Insofern dies der Fall sein sollte, wflrde ein inniger meri^rtt^
digcr Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Kettenlinie nit
denjenigen der Lemniskate and gleichseitigen Hyperbel bestehen, der
wichtig genug erscheinen könnte, die von nns in firüheren Abhaad-
Inngen mitgeteilten Lösungen der reducirten kubischen Gleichangei
bezOglich der letztem Curven durch die Kettenlinie yerallgemeiiien
zu lassen.
Wir werden zeigen, dass diese merkwürdige Curve nicht nor die
durch die Cardanische Formel repräsentirten FflUe , sondem wank
eine ganze Gruppe analoger Gleichungen in eleganter geometnachGr
Fassung und Lösung darstellt, welche den Vorzug groaser EiniEuk-
heit besiut und zi * Entwickelang neuer interessanter VerlüUtniise
Veranlassung gibt.
Um nun diese Eigenschaften abzuleiten., bezeichnen wir die den
Abscissen a;, 2^;, 3a;, 4a;, ... no; entsprechenden Ordinaten mit y, yi,
^89 ^4) * " y^^ ^^^ analog die Bogen «, s^ ... ««.
Demgemäss bestehen folgende Relationen
Vi 2 ""• /^ 2~
1)
^*y- «-«* «8*. — ^8«.
Vz = 2 ' *3 " 2
^nx -|- ^-«x ^HX _ ^-«jc
tfu •=» 2 ' *»• — 2 '
Bevor wir verallgomeincrn , wollen wir den Fall y^a^ besonders
betrachten. Wir erheben
Vi 2
zur 3. Potenz, woraus
y
oder
3 e^+3e» + 36-»+e"»»
3 ^+er^,A^ + e-')
V ^ö + 3
Da aber
und Functionen in Verbindung tnit der Theorie der Kuttenlinie, 263
€^+«-
8x
y3 =
80 geht die vorletzte Gleichang Aber in
d. i. in
2)
welche kubische Gleichung 1 reelle und 2 iroaginaire Wurzeln hat.
Um dieselbe durch die Curve selbst auflösen zu lassen, bemerke man,
dass aus der Gleichung fflr ^s in Verbindung mit
die Relation
3)
folgt.
2
y8+*3 — «^1 ys— *• — «"^
Aus diesen folgt
s s
4) «•="Vy8+*8i «-*=yy8— «8
so dass, wenn mr noch die bekannte aUgemeine Eigenschaft
'8 = yyi?^=^
beachten,
5) «» = V yj + yy,»-! und «~* - Vys - Vya'-l
ist. Addiren wir beide Ausdrücke und dividiren durch 2, so resul-
tir: die reelle Wurzel
6)
der Gleichung
yy8+ Vy8'-i+>^y8 - Vy8^-i
y'-Jy — iy3 = ö.
deren Auflösung sich durch Eleganz und Einfachheit auszeichnet.
Die trigonometrische Auflösung geben wir nachher.
In analoger Weise potenzlren wir die Gleichung
«* — er*
8
woraus
264 09kingkaua: TraiuformtUionen der tUifftiseken Intmprmim
, e^ — Sg' + ae-* — 6-««
' "■ 8
oder
^ 2 2 '
d. i.
Dio Auflösung erfolgt wie oben, man hat
8) e'=Vi/V+l+*3, e-'->^yV+l-V
dio Wurzel b ist demnach
« s
Beide Lösungen entsprechen den auf die kubischen Gleichungen
x^^px'\'q — 0
sich beziehenden Fällen der Cardanischen Formel. Setzt mai
nämlich aUgemein
X X
a a
t 4-«
y « a ^ — ,
a«
80 erhält man
y'-3a*.i^ — ^ ya — 0.
Die Identität mit
«' — JiX — 5 «— ü
gibt die Bedingungen
l/T 3^
Führt man dieselben in 6) ein, so folgt dio bekannte Formel
Da ya > als a sein muss, so ist demnach 27g^ > 4p*.
und nmefwiwa in Vtrbinibiiig Mit der Theorie der KelleniiAie.
265
Dos vorläalige RoBuItat dioaer UnterBucbangen besteht also dariu,
dasa die EctteuliDio ein ausgezeichneter Repräsentant derjenigen Art
von Curven ist, welche eine geometrische Darstellung analytischer
oder algebraisuher Functionen in anschaulichster Weise gestatten.
In den folgenden Erörternageu werdeu wir dio Grösse a gleich
der Einheit nehmen, da die Resultate einfacher und Übersichtlicher
worden und die Wiedereinführung von a koinc Schwierigkeit hat.
Hat man eine Kcttcnlinie gezeichnet, so reicht dieselbe für alle
Fälle ans.
Das Absolntglied ergibt die Ordinate y,. Die entsprechende
Äbscisse 'dt ergibt durch Teilung die von x und damit die Warzel
y. Bezüglich der Gleichung '<^+i*~i»a = " 'ässt sich ebeuBO ein-
fach ans dem Absolutglied die zugehörige Ordinate Ja^Vl+^B*
durch Abtragen yon «3 auf die Jf-Achse und das Ziehen einer Ge-
raden vom Scheitel puukt nach dem andern Endpunkt gewinnen. Die
Wurzel a ist dann die Frojectieu von ^ auf die Tangente. Die letz-
tere möge mit der -?-Achse den Winkel S, mit der y-Achse den
Winkel ? cinschliessen.
Auch hier bezeichnen wir die den Abscissen x, 2ir, ... nas cot-
sprechenden Winkel der Tangenten mit den Achsen durch i,, Ä,
. . . 6„t csp. ;, tj ,.. E» und beachten, dass
Fuhren wir diese Subütituiioneu in 5) ein, eo rosullirt
10)
e* — Vcofi^s,
■ VtgJ'i
tf=.i(ycoti(ä+Vtgi«s).
Da aber
1
ist, so erhält man schliesslich
11) Vl«i*3 = tfii£,
welches die bekannte Htktfsformel der trigonometrischen AuHösnng ist.
Wir haben in der Abhandlung über die Eigenschaften der Lcm-
niskate eine Anwendung dieser Cnrve auf ein bekanntes Problem der
Astronomie gegeben nnd zwar auf das der Bewegung eines Kometen
iu einer Parabel. Fur die Kettenlinie würde sich die Anflösnng
folgendermassen gestalten.
266 Oekingkaus: Tramformationen der elHptitchen InttgraU
In der Oleichnng
führen wir statt 8 den entsprechenden Wort tgd and aasserdem
2tgd = tgiü
ein. Demnach ist
12) tgi.,+itgK-K.
Die Bcwcgnngsgleichung ist
13)
tgi^+itgi«»
-2^
Demnach ist
ZQ
setzen
14)
*»
t
3ib
t
e
Ans dieser Relation erkennt man, dass der Bogen «g propor-
tional der Zeit t wächst, nnd dass die gleichförmige Bewegung des
dem Kometen entsprechenden Punktes durch den Ausdruck
definirt wird.
3^
Wie aus der genannten Abhandlung zu ersehen ist, ist die dort
auftretende tg29> mit unserer jetzigen «s, also mit ig 6^ identisch,
daher ist
Bezeichnen wir die vom Radiusvector R beschriebene Fläche
mit F, so ist
lö) -i^^i^+i^i^^ also - i#3
Da aber nach der Theorie der Kettenlinie «3 ebenfalls die von den
Achsen, der Curve und der Ordinate y^ begrenzte Fläche ausdrückt,
so folgt der Satz, dass die auf die Kettenlinie sich beziehenden
Flächenräume analog wie in der Parabel der Zeit proportional wach-
sen, indem
Ferner ist
q ,,, _ 1 _ 1 1 _i y_
nnrf FunctioHtH u Vtrbiniuiy mit <kr ThaorU ifar KtUtttUnü. 267
also folEt aus der Relation — = - , das« das VerhaitnisB dor Ordi-
uaten ^^ und y duruh dcD RodiusToctur der Parabel bezcicbnot wird.
In der Theorie der Plauetenbewcgung erhält man bekanntlich
die mittlere Anomalie M aus der exceutriachen E durch die Formel
Anrlog wie bei dieser elliptiscbon Bewognng die Anomalie M durch
die gleich fürniige Bewegung in einem Kreise dargestellt wird, tritt
bei der parabolischen anstatt des Kreises die Kcttuulinic als Cnrre
der mittleren Bewegung auf, 80 dass also beide Curven sich gegen-
eitig enlBprechen.
XVI n.
Die vorhin gegobono Darstellung der Wurzeln der kubischen
Gleichungen behandelte nur eine apccielle Anwendung der Ketten-
linie.
Der allgemeinsten Betrachtung liegen nun die beiden Gleichungen
zu Grunde. Die erst« erbeben wir zur n. Potenz, man bat demnach,
wenn zunächst n ungerade ist
17) 2''r=«-+.,,.'-^l' + V-
:-("-S)' + e-
Sämtlicbe Glieder sind ungerade Potenzen von c, die zn zweien in
der Perm e»" + e— "" auftreten, und da dies gleich 'hjm ist, so ro-
Bultirt
18) 2"-'^» = ii„-|-n,yH-2+»jy"-* ■■■ + ""-' V-
s
Die vcracliiedcnen Werte von y sind demnach durch y, y^, y& ...
ausgedrückt, y^ ist nach früherem = 4j/^ — 3y, demnach kann man'
yi und s'lgemeiu //» durch y darstellen.
Für gerade « hat man
19) 2»-Iy'' = !/H + Tijyn-2+n»y--* -■ +i"»»
3
wodurch allgemein folgende Gleichungen bestehen:
268 Otkinghaus: Transformationen der eüipiucken JnlegraU
20)
«11
y' — jy- 1^8 = 0,
r — r+g—gy* — 0,
& ö S I ö 1
r - jy' + -j^y - j^ys « 0,
6 3 . . 9 , 1 4
^2^+16«^ 32-32«'«-^'
und analog
21)
**+ 2-2^» = ^i
, I 5 - , 5 1 _
7 7 7 1
T- 4* "T g» t- 54* 54*7 ^
Die Gloicbangen mit geraden Potenzen von y rcduciren sich aaf
die übrigen. So gebt die Gleicbung
^ - 2^+16^ 32 - 52^« •= ^
durch Substitutionen
über m
wie ohnedies klar ist. Alle Gleichungen dieser durch die Ketten-
linie dargestellten Gattung haben eine positive reelle Wurzel, die
übrigen sind complex. Wählen wir als Beispiel die Gleichung 5.
Grades
x^ — px^-^qx — r =» 0
oder
22) x^+px^+qx'-r « 0,
1 Vtrbwduig mit der Thiorit dtr KtlitiiKmt.
ei) besteht eine BodiDgungsgleicliang zwischen p und q, indem aas
der allgemcinerii Gleichung für y
23) y»-^aVs
hervorgeht, dass
24) p» = 5g,
ri6
«**~16'''=°
Bio redscirte Gleichung wäre demnach allgemein
2f.)
■P-^bpir'-\-\p''x
-0, 3125r»>V.
Hat dieselbe eine poaitiTe reelle Wurzel, und sind die Qbrigen
complex, so kann dieselbe vermittelst der Eettenlinie in folgender
Art aufgelöst werden, wobei wir aber nur die reelle Wurzel borück-
sichtigeu.
erhält man
woraus
^&f-i_^— &.r gS/ g— fix
und da
so ergibt die Addition
2G) y = — ^ 2
die Subtraction
27) » = y.V+i +« - Vy.B'+i-
so dass man Tflr das obere Zeichen
28) .-^^+yw-^^+Vi'-V^-
für das nntere Zeichen
-Vi^+yi-'+^+Vi-Vi-'+L
als Wurzeln der Gleichnng
270 Oekingkaua: Tran^Jarmationen der tViptiMcktm ItUtgrmlm
30) «*qF5|)x»+|p»a; — r = 0
hat.
Man sieht, dass formell diese Lösang mit der fllr die knbisdie
Oleichang in Uebereinstimmnng steht, wie dies auch mit der gonio-
metrischen Relation
31) yt^ffcS«tgi£
der Fall ist
Die Auflösung der Gleichungen 2in4-l Grades ist hiemach klar.
Im einfachem Fall hat man für n = 2fii-f-l
32)
^ 3
Im allgemeinen sind — ö~ Bedingnngsgleichungen zu erflülen.
Man wird schon bemerkt haben, dass die hier aufgestellte Classe
von Gleichungen derjenigen entspricht, deren sämtliche Wurzeln bei
ungeradem n reell sind, und welche in der Theorie der Gleichungen
irreductibel genannt werden. Es sind dies die Gleichungen, welche
die Beziehung zwischen dem Cosinus eines Winkels und seines fi-
fachen ausdrücken.
Hinsichtlich der in den oben entwickelten Gleichungen auftreten-
den Coefficienton erwähnen wir noch, dass dieselben mit den in der
bekannten Gleichung
n(n^-l) . 3 , n(n«-l)(n^-3») . .
gmna; -« nsiux ^ ^ ^ Sing^-j 1 9 3 4 5 ^ina:^ — ...
in gewisser Beziehung stehen.
XIX.
Wir teilen zum Schluss noch einige bemerkenswerte Eigenschaften
der Kettenlinie mit, die sich den vorhin entwickelten anschliessen
und durch Einfachheit empfehlen.
Wie man schon an den in 11) und 31) durchgeführten Beispielen
für den 3. und 5. Grad bemerkt haben wird, sind trigonometrische
I ytrbiitilung mU dir Thro
Baziohutigen zwissLen den darcb dio n Tangenten mit den Acbeen
gebildeten Winkeln vorhanden, die wir folgendermaBBcn bezeichnen.
tgit,= tgii*.
Der Nachweis dieser RelatioDen ist ans den Eigenschaften der
Kettenhnie leicht za geben, e bezeichnet, vile bekannt, den Winkel
der Knm Curvenpuukt xy gehörenden Tangente mit der l'-Achse. Die
übrigen lassen sieb demnach durch die erste sämtlich berechnen.
Addirt man beide Verticalreiheu , so entsteht eine fUr n »oc leicht
anzugebende Relation, nnd zwar
34,
tgiti + t«Jfi + tgK ... =
1-tgit
Bei anderer Anordnung hat man ferner
Weil der Bogen * — cot £ d. i.
» = i(cotit -tgiO,
so lassen sich für Et in endlichen Reihen ebenfalls analoge Rela-
tionen anfstellen. Ferner folgt aus
35) Vm
durch Multiplifition
37)
Ebenso folgt aus
xuden ergibt sich demnach
272 Oehingkaus: Trangformaiionen der elliptiMcken IntegroU
40)
sowie aas diesen
«m +« — ^--n sin it
41)
Aus den hieraus abgeleiteten ergibt sich femer
42)
und darch die Multiplication beider resnltirt
43) «m* — »H* = ^m-i-n . «m+H . Bm^n-
E» sei m « n-^a, dann ist
«* n+a« — 8K-¥a ==»«» + 3a . #a,
**M+te— »*H+(*-l)a = *2H+o(2^• — l).#a.
Werden diese Gleichungen addirt, so verschwinden linker Ha
alle Glieder bis auf 2, und man hat
44) «*»ifJka — «»* •= «a(«2H+a + «2ii + 3a4-«2M + 5«...«2« + (2A; — l)fl
Aus der Reihe
45) — « »2w+a + «2M + 3rt ... *2« + (2Ar -l)fl
folgt f ttr a » 1 und für 2n geschrieben n
46) ^ — = #H+i+«ti4-3+«Hf5 ... +«H+2fc — 1.
Für n = 1 ist
47) *=» »2 + »4+«C ••• +*2*.
o
Aehnlich ist
und Functionen in Verhindunif mit der T/teorif der Ketlenlinie. 273
Aus der allgemeinen Reihe
49) — ^ — «= «n<|-a-{-«N+Sa4~'M-f&i ... «n+Cak-Da L
Xa '
oder auch aus den vorhergehenden kann man noch die folgenden
50) ^?=«, + .M ^'-^+.5+'T
und andere ohne Mühe ableiten.
Die ans 26) 27) folgenden Formeln
M N
y+» « ^yfi+ Vy»* — 1, y — # «= Vy„ — yy^«— 1^
M
bieten ein ausgezeichnetes Mittel dar, Ansdrflcke wie y^, worin A
eine positive, n eine ganze oder gebrochene Zahl bedeutet , mittelst
der Kettenlinie auf das einfachste geometrisch zu construiren (Fig. 4).
Indem wir also daran erinnern, dass
y+9 = cot^f, y - # — tg^f,
ergibt sich ans der Formel
51) cot^f - Vy,.+yy„«-l -y^
die Bestimmung
52) y„ = -g-- , cot \i « ycot if-
welche in Folge von
i4 — cot-ö"
in die bekannte
1
*"• ""sinfn
llbergeht
Um dies nun geometrisch zu benutzen, beschreiben wir um den
Coordinatenanfangspunkt mit der Constanten der Kettenlinie, also hier
mit einer Länge — 1 einen Kreis, errichten im Schnittpunkt des-
selben mit der JT- Achse eine Normale zu letzterer, tragen die OrOsse
A nach Einheiten der Constanten darauf ab und verbinden den End-
ponkt mit dem Anfangspunkt durch eine Qerade. Diese schliesst,
'--r KkIIl «. Fhji. S.Bd]M,T. IV. 18
274 Oekinyhaua: Tratu/ormationeH der dl^'atka» JmJtfrmit
wie man sofort sieht, mit der F- Achse den Winkel |c« da. Der
Der eine Schenkel des doppelten Winkels trifft nnn die Normite ii
einem Pnukte, welcher vom Anfangspunkt nm die Ordinate y« ent-
fernt ist Mit ^M ist aber xuy mithin anch durch Teilung letzfaror ii
n Teile or, demnach y nnd « bekannt, und die Wurzel folgt aus der
Summe
coti« «- Vcotif« — y+*.
Ist A grösser als die Einheit, so geht bei wachsendem A die Coi-
stmction dnrch die eine Hälfte der Gnrve, für ^ <C 1 durch die ai-
dere Hälfte fort bis zum Unendlichen und umfasst demnach alle Fälle.
Zugleich bemerkt man, dass die Wurzelgrösse fElr ^4 ^1 durch y±«
bezeichnet ist.
In derselben Art, wie wir aus cot^f« die i»te Wurzel ziehen,
kann auch die mte Potenz letzterer, also cot^e"* constructiv beatimmt
werden, so dass also überhaupt die Kettenlinie für gebrochene Wate
.von fi die Construction von Ausdrücken wie
auf das einfachste und allgemeinste vermittelt
Wie aus den bisher gegebenen Entwickelnngen und Resultaten
wol zur Genüge hervorgegangen ist, besitzt die Kettenlinie aosge-
zeichnete Eigenschaften , welche sie einer weitern Untersuchnug wol
wert erscheinen lässt und zwar um so mehr, als die Theorie der
elliptischen Functionen in ihren Reihenentwickelungen durch diese
Eigenschaften in geometrisch klarem Lichte erscheint Auch die auf
die Gleichungen sich beziehenden Untersuchungen scheinen anziehend
genug zu sein, um zu weitern Entwickelnngen Anlass zu geben and
die Aufmerksamkeit auf eine Curvo zu richten , deren Eigenschaften
im Vorstehenden nur angedeutet, keineswegs aber vollständig er-
schöpft sind.
Z u s a t z.
In den bisherigen Entwickelnngen haben wir auf die Trans-
formationen der elliptischen FuDctionen dritter Art keine BllckiiGht
genommeu. Indem wir hier das Versäumte nachholen, erinnern wir
zunächst an die bekannten Relationen derselben : S. Schlömilch,
Compendium, S. 336, 459.
iu>d F^cHoHrn h Vtrhrnihmg WÜI itr Throne iltr Krtliuli
log
l—h-^hcoB<pcoBq>i aa8<Pf—YH 1 —k)(k^—h) ainy ainy, ainy^
tganitt
^01»)-" + ^-^-^
VA
k
/dx
0
n.«.,.
-t'x»)
1 — q A Ä • 1 — q*
«■ ■•■
,, ij- , sin ,;■ -1- T^~i I
Die zweite Formel transformireD wir vermittelst der dritten, be-
achtcQ, dasB «1+«» ■= Ä^r v — s ist, fuhren noch ein A — feinv",
f
TTT r^ . — j wt, nnd erbalten nach
dnctiou fUr das obere Zeichen
kiia
Jlog
" "" ' Vi — i^Binv" "
das obere Zeichen
^^inyieoait' i /^y — £'
tsin^^^coav i/^'P ~^''
und also aoch durch Trsngfonnation eine zweite Reihe
K 1-t-^v
i^.«»]t- "»■»++ i;:ji"°-T "» li ■•
1 kann aber v =- aran nach Beliehen verfugen, und beispiela-
^6 OekiHskau$: TroHtformatioiuH der ^UplitdM UHfrmh
weise a -» K
g. demnach Bin ».=^~=j, cos^ - }/j^,
Jif) = yk' setzen, dann folgt aas der letiten Fomel
Älog
*^r i+Jfc' 1
— y 1— ^
welche man mit den Formeln 1) bis 4) in Teil 11. vergleichen ntge.
Setzt man noch K — u, also J ^ k', ao resultirt
Wird in der 2. Reihe u » ^, also J«p — k' gesetzt, so folgt
+ . sin w cos w
11 ^» « .na , ^ , Ä« I
*^^^ .. ,..8inT^^°r-::?^^°"Ä-'-*r:?'^^'ir + -'
welche transformirt in
,, l-^-ksin^ yq , na . Vfl3 3«a , . .
** ®1 — ÄJöinv' 1 — q 2K * 1— g* 2a • »
Die Differentiimng dieser Reihe wflrde auf bekannte Formeln
fahren. Man kann in den obigen Gleichungen flbrigens anch ^ — f
and a^= u setzen.)
Indem wir jetzt wieder zu den Hauptformeln zurückkehren, fUuea
wir die Transformationen ftlr das untere Zeichen durch, wonach
Uj — ttg » u ist. Die Werte fttr sin ^^ sin 9)1, cos y^ cos ^s sind aas
der Einleitung bekannt, und es bedarf nur noch der volhitändigen
Reduction auf die Yariabelcn, ium schliesslich das folgende Besoltat
zu haben:
11 l + ^^ytg4^» + Uy-Ä;V4rtg<ptg4^
**"l+ifc'^9tg+*-(^<p-ifcV+tg<ptg+ '^
q . na , nu . Iq* , 2na . 2nu
j£-^ sin;^ sm :k- + iz:^ si° IT «*" k
. ig» . Sna . Snu
+
VtrbiitituHg mir dir Thtorit dtr Ktil
4nii . 2nu
" 1-5»*
-./
Vi—** Bi
-J\
Unter andern kann man dieser Formel ancb diese Gestalt gebou:
l4-i'^ tg+' — (V--'--')i'itg, tgv "^
+ li$(l 2!"».-'^+ 5').!«
Im Falle 7 = v bat man noch
., 1 -**Bmy*
''°*l-2(l-S'<()tin»'+4'«in»' ~
+ j^(^l--25>c».Tp +!V»l»Tf
«reiche fOr u — ^ wieder in die schon oben abgeleitete Reibe
In ri fibei^eht.
Die hier entwickelten Resnltate itetgeu, daas auch die elliptiscboa
Fonctionen dor dritten Art einer erfolgreichen Transformation ftthig
sind, wodurch sie sich denen der 1. und 2. Art ergänzend ao-
schliessen. Bei aufmerksamer Betracbtnng der bisher dargestellten
Functionen und Reihen wird man erkennen , dass dieselben noch
weiter transformirt werden können, wenn man die in der Einleitung
gegebenen Formeln benutzt. So wttrde man fUr die Reihe
.?!^>i.
"•j. 1'«' „,„ 3"" I y g* ,
'2y+-;
die Formeln 19) des I. Teils zn benutzen haben. Nach Darch-
fübriing der Rechnungen folgt
278 O eking hau$i Tnuigfarmaiionm dtr O^jfiud^ Jmt9gnii€ 0fe»
V
Vo* bnu yq' 7nu
3sn»
+ ...)
l/^ — C08 9 2«/ V« . »1» V^ .
Beide Reihen dividiren wir durch einander and trtmfbnniren dtt
Quotienten vermittelst der Methoden, welche im OompendiiiB fOB
Schlömilch S. 417. angegeben sind. Es resnltirt die neue Formel
_?__ • — ^ ' ?!!? g^ . bnu
1 1— g«^^°21C "^ l-g«^^° 2^ ^ l--g«°°2Ä'
tgamu - y;k'2il «u , ^ 3«ii "?-" 6^^
nnd mit ihr stehen, wenn man in entsprechender Weise TorfiUirt,
noch zahlreiche andere in Verbindong. Da diese TraasfomiatioMft
interessant nnd anregend sind, so empfehlen wir die Durcharbeitong
derselben dem Leser auf das wärmste.
Die Quellen, welche ich bei der Aosarbeitang dieser Abhandlniig
benutzt habe nnd denen ich zu grossem Dank verpflichtet bin, sind:
Schlömilch, Gompendiam der höheren Analysis. Dorige', Theorie
der elliptischen Fnncvionen.
Emmerich, im Jnli 1884.
Elliptische Integral functionen
und ihre geometrische, analytische und
d}Tiami8che Bedeutimg.
Emil Oskinghaus.
TninNromiiition der :t, Intefralfunctlu)]
Dio gcomo tri sehe Int£rprctatioD dor im 2. Teil eatwickelten
dritten lutegralfunction fuhrt, wie wir im Folgcnüon zeigen worden,
zur geometriGc)ieii Darstellung des ÄdditioDatheorcms der eliiptiBcheii
Integrale l. Art mit drei Variabelen, und zwar vermittelst der Kegel-
schDittc. Die Leichtigkeit, mit welcher die Eigenschaften dieser
Curven sich mit denen ihrer Int^gralfuDctionen verschmelzen, erlaubt
CS, diese Aufgabe in mehrfacher Art zu löseti und ausserdem einen
analytischen Ausdruck zu gewinnen, der auf einfachste Weise die
Abhängigkeit der Amplituden dieser vier Integrale darstellt und
von geometrischen Rücksichten frei ist. Vorauf geht die Ableitung
einer neuen i. Integralfunctiitn, die den Vorzug besitzt, dass ihr Mo-
dulus rational ist, und zum Schluss haben wir noch die schon früher
erwähnten hyperelliptischen Integralfunctioneu tu den Kreis der Be-
trachtung gezogen, um zu untcrsurhen, in wie weit die aus der Theorie
der Kegelschnitte gewonnenen Kesultato einor Verallgemeiuerung
fähig sind.
280 OekinghauMi EüiptM^ hUitgr^J^WKthmm
Die § 29. entwickelte Integralfiinctioii
riiV
+'
smid'—T) = — smr
werden wir im Folgenden transformiren. Wie daselbst ansgefllhit,
ist sie ein analytisch geometrisdier Ansdniek der Abtalagigkeit
zwischen Kreis und Kegelschnitt nnd dadurch aasgezeichnet, dass der
Modolus der Function keinen Parameter des Kegelschnitts enthilt
R bezeichnet (Fig. 15.) die Entfernung des Kreiscentnuns tob einen
Brennpunkt, « den Radius des Kreises und t die Winkel, welche R
mit den nach den 4 Schnittpunkten beider Curven gezogenen Brenn-
strahlen einschliessen. Dieselben sind Wurzeln der folgenden Glei-
chung
a-|-ftsinT4-<;cosT4-<2sin2T-|-«cos2T — 0,
worin
? -- 1 - ;ir + i* * ( 1 - :? j - ^- - ^ 7 cos «,
-i 2£^l-^8ina,
2. = _2,(i-^*)cos«+2«f
d , _/ R*\ . ^ p R ,
yt-^i^^y}— \f) sm 2«— c ^ - sin «,
-j » J£»f 1— j jcos2a— « - -cos«.
Die Polargleichung ist
Für das Folgende ist nun die Bemerkung sehr wesentlich, dass
die Vorzeichen der Integrale mit den entsprechenden Wurzelyor-
zeichen der Gleichung übereinstimmen.
Wir erinnern nun an die bekannte Relation der ellipUschea
Integrale
und Art gtcmttriKh*, OHa^liiekt und di/iiamüelie Bedeutung.
3) £(f.)+f«liir-(l + ,-)i(<ji»)+(l-f)f(3i»).
iR,
Ist.
Wir habeo aber aber a. a. O. uachgewiesen, iloss die Relation
J)
^0,
iR
.(«+.)■"
bcsU-Lt. Die Formel 3) gibt dahur auf alle Werte aaegedehnt
5)
.jy.-'^.
'■"+.
und mnBs noch mehrfachen Transformationen unterworfen werden.
Zanäuhst moss der Muiiulns der Fuuction durch die Coustauten
der Gleichung, die bekanntlich auch durch eine Gleichung 4. Grades
ausgedrückt werden kann, dargestellt werden.
Wir bilden ans den Beziehungen 2) den Quotienten
6) '- = — ^tsino,
Die letzte Function geht daher in
7) rA-(,''.)+_'5i.i„,=2f. !.,„..
über. Es wlro demnach sinn" durch dio Constanten n, i und ieint
vermittelst einer Gleichung für siui zu entwickeln.
Wir multi|)liciren ia den Kelittionen '.
sin a und bilden die Differenz
d mit coBD, und e mit
rfcos« — es
Entwickelt man femer
^■)-
Eo folgt aus beiden Formeln
282 OtkinghauMi EUiplUek% Imttgrai/mmtioiw
also
8)
dcoia — e — H" (1+cot«*),
-c=±)/c«-6«-
2bee
ftcoti
sino*
d
oder
,^uy^^-i^y
2bce
d ^'
9) sin a> « ;7 .
--66-J/V-*«---
2c d» + e»
Wir bilden jetzt die Differenz von a — 0 and finden
a — e
-.-?+.-(.-?)-"--^
ersetzen hierin sina^ durch den vorhin gegebenen Wert und erhalten
(iR*\(6cot«— e)*
*^
Da aber bcoia—c nach 8) bekannt ist, so erhalten wir ans der
R
letzten Relation den gesuchten Modulus - , welchen wir kurz durch
p bezeichnen wollen und damit die Lösung des folgenden Theorems.
§ 33.
Die 1. Integralfunction der Gleichung
o+ftsinT + ccost+rfsin2T+«cos2i — 0
wird dargestellt durch
r ^^ - + r ^^^« I r j^
/ Vi— p^siuT^« V i/l-p«sinVV Vl-p^sinr,»
'^J Vl-p^siÄ^'*^'
ihr Modulus ist
Hnd ihn yrem*ttilctf. aHoisHtche und Osaamitelie Bidtului-s-
,_4rf b*,l -c*d+2bce
P o 4aW— 4cri»+4AdB — Ä»c
10) oder
,, 6 aed—hl^-de — jic*
P "" e aM - oi»+i(fe — i b'e
nod ihre Amplitailon sind >VurzeIii dnr Gleichang.
Um die 2. IntegralfuDction herzasteUen, ist zanächsi die Samnie
8inr| + Biut,+atii ta + BinTi aus den Constantoü zu ermittoln. Diese
leitet sich ohuo Mübo ans der typischca Gleichung ab, nnd sie ist
Doniuach geht die KcJatiou 7) nach Festsetzung der Vorzoicbea
■ über in
be—cd-\-dy c*— 6»-
11) £{EpT)+p.^J^
Qtid das EndrcBDitat ist:
Dio zweite Integralfnuctiou der Gleichung
a -[- ft sin r-|- (? cOB t-\- d sin 2t -f-e cos 2t ^ 0
wird durch
12) / Vn^p*sin
+ y^Vr-p* sin r,**h^
+ / V'r-r"BiLil3*dTj4- / Vi— p*ainT4*«lT4
dargestellt, deren Modnlas
itl b*d^c*d + '2bee
P ~ 7 4aAr/-4c«i"+46.fe— fi"c
iat und deren Amplituden « aus den Wurzeln der Gleichung her-
vorgehen.
Zieht man indessen vor, den Modulus der IntcgralfunctioD aus
den Constanten der biquadratiachen Gleit^ung
tgit*-^tgii3+ütgit»-utgit+D = 0
20 berechnen, so ist derselbe
284 OekiHghaM»: EUiplItek» JiHtgnJfmulümn
imd die Fnnctionon sind
14)
r Vi — p» sin V '^»i + /* Vr^p'sinV dr,
14) +y*yi-i>»8inT7 dT,+yVl-p«8inVrfT4
2py4(^— c)^z>— i)H-4M»— c^jci-B+Djcz^« 1)— (^*"~ cy
(^-OM-(i-^+/>)*
Der« Modnlus dieser Functionen ist stets rational. Für ^ = C
wird derselbe nnll, wie es sein mnss, weil alsdann
tgi(i^i+ ^«+i^»+i^4) - iZ:^^ zo Null wird.
Als Beispiel wählen wir die Normalen der Ellipse.
Der Schnittpunkt der 4 Normalen habe die Polarcoordinaira
R(a). Als Variabeln nehmen wir die bekannten excentrischen Winkel:
sino) ■= -. cosflp ■■ 1-
Die Normalengleichnng ist
a-fftsing)+ccosg)+^wn2g)+«cos2<p — 0,
worin
a — 0, ft « a cos a, c — dsina, d =» n»» « « 0.
Wir setzen bei Berechnung des Modulns
p — - also p — -
voraus. Man erhält die Curve
V coso' sma^
oder auch
und Hr* fiamtlritdu, aaafyHitlu viuf dfnamüeht Btdnliuig. 2Sb
Dio 2. 1 Utegral fanctioQ wird dann, wenn wir den
Ellipse
n / Vi — p" 8ia V* d<p
dDrcb S bezeichnen, zu
15) S,+^ + Ä,+S« = + y Vd^rii«'— a»C08«»
Die Normalen, welche von der oben angegebenen Curve an die
Ellipse gezogen werden können, begrenzen demnach Bogen, deren
Snmme einen einfachen algebraischen Ausdruck bat.
Wir haben acbou früher die gcomotri schon Verhältnisse, be-
sprochen, welche aus der Verbindung von Kreis und Kegelschnitt
hervorgehen. Man kann indessen weiter gehen, und diejenigen Ver-
hältnisse, welche die KocÜficatiouen derselben berühren, aus der Ver-
bindung zweier Kegelschnitte entwickeln. Wir wählen als erste
Ellipse diejenige, deren Gleichung
als zweite, welche die erste in 4 Punkten schneidet,
:-:+K-'-
Die Centrale beider, also R, schliesse mit der a-Acbse den Winkel
a, mit der a'- Achse den Winkel c ein, endlich sei ß der Winkel
zwischen beiden Achsen, also
Als Variabete wählen wir wieder die bekannten excentrischen
Winkel, durch welchen das elliptische Integral der 3. Art
a f |/l — ^Bin9>«<(v =5
sich darstellt und wollen die von beiden Kegelschnitten begrenzten
Bogen mit Hülfe der 3. Integralfnnction durch eine Relation mit ein-
ander verknüpfen.
Die <p erhält man wieder aus der bequemen Gleichung
286 Oektnghauii EWptUeht Integral/ttiteiiamem
worio
o - y (o* sin ß* + Ä« cos ß* + 2Ä« sin c«)
Ä «=- — 272a(a'* sin jJ sine +*'* cos j5 cos«)
16) c » 2i2Ka''co8/3sinc — 6'^sin/3cose)
d^ - abc^sinßcosß
« = — y (a» sin i?« — &« cos /J») — y (a* cos jJ« — A« sin /J*^
worans vermöge der Formel
die Relation
^i(Vi + V%+Vi+V4) = j
a6
2 ^ sin 2ß
17) tg i(g)i + Vi + <P8 + Vi) = o*4-ft* a'»+ft'<
folgt Die £g> bleibt bei constantem j7 oder bei nnveräoderter
Achsenrichtung constaut. Für die 2. Ellipse besteht aber ein ana-
loger Ausdruck zwischen den excentrischen Winkeln ^ nämlich
2 -7j sin 2ß
tg i( V'i + V'j 4- Vs + V4) =* ^«4^« a'M-*^*
i-i?iiy-i^riryi«>8 2?
und deshalb ist
tg i(<Pi + y » + ys + ^4) ^ ?A ?^
Sind daher beide Ellipsen ähnlich oder gleich, so erhftlt man
die Identität
18) g>i+9>t + fPi + fPi = '^i+i^i + ^s + ^Ay
wonach die Summe der excentrischen Winkel in beiden ähnlichen
Ellipsen dieselbe ist.
Die Constanten der obigen Gleichung werden sehr einfach, wenn
der 2. Kegelschnitt eine gleichseitige Hyperbel ist Sie sind Ar
tiiiH ihn ytomtlriteAt, aaali/Hivht und JfKamiKhr
.1 = R*C08 2l~a"'-\- COS 2^
b ^ -2aRcosiß+t)
19) r = —2bRain{ß + t)
d— iMbaiaSß
« = ~lc»coa2/J
Man niiDint nun noch an, das ß — 46° und ü^cosät ^ a* Ist,
so wird a und t gleich null und dor Modulua der IntegralfuncÜon
wird dadurch sehr vereinfacht \>\a erste ßodingnng verlaugt die
Parallelilflt der Asympioteii und der Aclisen der KIlipse, die zweite
zeigt, dass die Hyperbel durch das Ellipienccntrum geht. Zugleich
ist ß-\-t - 90« — o.
Der Modulns wird bestimmt darch
p ~ ^ d*-\-\b*'
b
Dod da p' sein muss, wenn die Integral fanction durch Ellipsen-
bogen dargestellt werden soll, so erhalt mau
und aus dieser Bedingungsgleichong die Cnrve
20) £•;<:«/ = i**>— aS*
als geometrischen Ort der Mittelpunkte oller gleichseitigen Hyperbeln
von oben vorgeechriehener Lage, welche in der Ellipse Bogen be-
grenzen, welche durch folgende Relation mit einander verknapft sind:
S. + S,+S, + S4 = 25+2cj/^ - J^
Andere Ableitungen gewinnt man noch, wenn man die Gleichang
der Hyperbel in die der Asymptoten Übergehen lässt. Es entwickeln
sich dann Formeln, welche noch ziemlich einfacher Natnr sind.
Wir wollen indessen diese Beziehungen liweier einander schnei-
denden Geraden für die Ellipse hier nicht weiter erörtern.
288 Oßkinphaus: Eüipiud^ InUyni^uiteUomem
§ 3L
Das Additionstheorem für S elllptiteke iBtegnle.
Wir haben schon in § 23. einen analytischen Ansdnick flir dii
Theorem gegeben, welcher sich als eine ddchong 4. Grades da^
stellte. Anch die vorhin abgeleiteten Relationen würden wiederm
eine analoge Gleichung hervorgehen lassen, wenn man im Modilns
der Integralfonctiou
-s f-^~==== - 0,
t/ yi — p^smr*
die Constanteu durch
A = tgiT, + tgiT, + tgiT3 + tgiT^
n « JStgir, tgTj, C - 2;tgiT, tg jT^tg Jtj etc.
oder anch durch
i? « i + atgK,
/>- ctgK
darstellt. Die daraus hervorgehende Gleichung bestimmt 4 Wnneln
für tgiT4, die demnach das Problem in voller Allgemeinheit lösra.
Wir werden indessen diesen Weg nicht verfolgen, sondern Tielmehr
untersuchen , ob das fragliche Additionstheorem fttr 3 Yariabeln sich
aus den Eigenschaften der Kegelschnitte ableiten Iftsst Es Hast lidi
nun in der Tat der Beweis führen, dass dies Theorem sowol auf
verschiedene Art lösbar, als auch einer sehr ansprechenden Daratal-
uug fähig ist. Die Frage ist also nun die, mit Umgehung einer
Gleichung höheren Grades eine einfache geometrisch discatirbare
Beziehung zwischen den Amplituden der Integralfunction
21) ± F(g>i) ± F((p^) ± F(ip^) - F(ip^)
zu finden, also ip^ zu bestimmen, wenn die Amplituden fPi<p^s Bebst
dem Modulus h bekannt sind.
Die in § 29. entwickelte Function
und Art gtometriKit, cmali/Hscie und d/fnaniitche Hrdcutuni/.
•2) C *''"'
- (E+,)'
djS,
^■ÖS~. TT.
bildet die Basis der nachfolgeaden Untersacliunt^cR.
ZunUchst bemcrlit mAD, dasB der Modulus
nur vom Vcrbältniss
- abh£Lngt. Da, aber k
- bekannt. Jedem wi"kUrlicbeD It eutspricht deraoacli
be-
stimmtes » als Radios e'me^ Kreisea. Üa aber aacb &j3-^9^ gegeben
nnd demnacb 3 Durcltscbuittspankte des Kreises und Kugdschaitts
bekannt siud, ao bemerkt mau sofort, dass das vorliegende Theorem
biusichtlicb seiner Lösung auf das Problem zurückgeführt ist, aus 3
Pnnkten eines Kegelschnitls bei gegebenem Brcnnpaukt die Curve
zn conatrniren.
Die analytische Geometrie der Ebcno zeigt aber, dass es m'tg-
lich ist, durch 3 Punkte einen Kegelschnitt zu legen, wenn einer
seiner Breunpuuktc bekannt ist.
Wir bczeiehnon die Radicnvectoren des Brennpunktes mit r, die
Eiceutricität durch e und bezeichnen den unbekannten Winkel zwischen
li und der grossen Achse mit a und, wie bekannt, mit i die Winkel
zwischen li nnd den Radieuvectoren r.
Die Polat^loichung ist demnach
wonun
Tind
folgt.
Wir fuhren ein
1 — ecos(n — r)
r-p + «rCOS(o-»)
p -!-«'■ (coB neos r+ sin a sin t)
290 Oekinghauii EXlipHteU InUptUfimdiomm
rCOST — X, rsinT — y,
ecosa = ßj esina — /
und erhalten folgendes Oleichnngssystem
23) P + ßfh + nft = ri
In demselben sind xyr bekannt Man findet
oder, wenn wir die Dreiecksbezeichnnng ^ einftbren
d. 1.
J4; p — j
worin die Determinante A den doppelten Inhalt des Dreiecks swischen
den 3 Kegelschnittspunkteu bezeichnet.
Ebenso findet man
,, ^ „.„ „ n (a^8 — a?>) + ^^(«1 — gg) + *'>fa — «i)
25)
/j - e cos « = ü^y» - y») +'-t(yf - y>) +«•»(»1 -y|)^
woraas durch Division
26) tff« — — ^i(^< "- ^s) + rtjxs — «i) + rs(gt — g,)
"" »"iCy«— y8)+»'»(y8— yi)+«*«(yi— y«)
Diese Formen haben wir noch einer Transformation zn nnterwerfen,
welche sich auf dio Darstellung der r, a;, y durch kj ^ bezieht
Wie aus der Fig. 15) hervorgoht, ist
r« = Ä«+«»+2Ä#cosd
oder
r» - (Ä+«)« — 4Äsin}^«
also auch
o„, r 2yi-fe«si^p» 2z/(i^)
Die Radienvectoren r sind demnach durch kd^ dargestellt
i tkre gtoBHiriMche, analytUcht und dfiiamincfit Btilmli
Wir traiiBforimreii jetzt
indem wir
y = »ainff
einrühren. Daher ist
a-sjfs — »-jj/, — /.'«(sin^a — sinSj) -|-»'sin(»3 — ff,).
Bilden wir nun ^-^t jia — 3-3 j » , bo verschwinden die Glieder von
und es bleibt
Za-.ya— i^y, = 4«»Bin ä(tf, — *,) sini(9s — *») sin ^(93 -*,).
Man bemerke noch
li 1+4' , \-^k-
je nachdem II .s ist.
Die Umgestaltung von fi(*»yj — a-jy,} fuhrt auf
r,<*(^(8inff,-8in*,) + BiuC«„-ff,) )
= j:^Bini(ff, — »jKcosi&jCOsi^a -t'sin iff^sin j»-,),
tmd demnach ist, wenn kar? &(it^#) durch ^ bezeichnet wird,
^i,sjrii(S,-^B)(cosJ?jCOji^a— t'9ini(f|9ini3-3)
esinn—
29)
(1 -fc')* . sinJCÖi— tf-j)aini(ffj - ^ajalnifffa— ffj
1 Ai(coa'&j— coijf'a) I A,{coB.'>3 — cos9, ) f ■iateosa^-coBft,)
iuJ(ff,-&,)9iai(ffj-tf3)8iai(S3— e.)
1 A,C9in»g— sia3-äl+A,(sinffa— siu9i)-f-Aa{sin^, -sinfr,)
"=°*''='2(l_f) sini(5,-e,)8"inl(>i,— 9j)BiDi(>a-ffi)
Diese Relat'oucn geben die Lösuug des Problems, da die Ele-
mente des KegelBcbnitts e und p als Functionen der Amplituden nod
des UoduloB aus denselben bcrvorgcbeu.
Wie schon oben bemerlit, ist bei gegebenem « auch R bestimmt
Dnd umgckebn, die Lage des Kreises gegen den Kegelschnitt ergibt
sich aus
„„, ._ A, (costf ,- costfjj+A^fcogjfa— cosfr, H-^(cosOi — tf»)
' i,(sinff,— sinea)+>i,(Bin#,— sin*,) +Ä,{Bin*, -sin»,)'
292 Oekinghauii Eü^iUiieke hUegrm^imeiiomm
Die Schnittpunkte beider Carven geben dinn «oglninh mit da
3 gegebenen Amplituden ^i^^^s ^^^ ^^ gesochte vierte ^4.
Ist eins der Integrale negativ, so wird auch, wie ans der Figir
hervorgeht, die entsprechende Amplitude negativ. Wir mttssen hier
erwähnen, dass die Ableitung nur für 3 von einander verschiedfliic
Werte von ^ gültig ist Den Ausnahmefall discntiren wir nachher.
Noch bemerkenswerter, als die eben entwickelte Ableitung ist
die nachfolgende, für welche die Construction eines Kogelsdiaitti
nicht erforderlich ist. Um dieselbe zu umgehen, machen wir von
einer Relation Gebrauch, die, wie wir früher gezeigt, mit der Glei-
chung
tgi^*-iltgJ^+i?tgid«-Ctgi^+D - 0
verknüpft ist, nämlich
tgi(^i+^t+^s+^4)
1-J9+D'
Indem wir dieselbe auf die Amplitudengleichung anwenden , resaltärt
mit Rücksicht auf die entsprechende Fig. 15), in welcher wir ^j^t^s
und ^4 als 2 rechte Winkel nicht überschreitend annehmen nnd ^4
negativ setzen wollen
Das hieraus sich ergebende a substitniren wir in 30) nnd erhalten
die schöne Formel
31) tgJ(^, + ^,+^3-i^4)
A,(cos^2 — cosv^g) 4- A^(co8^3 — cos^j ) -f- ^aCcos^^ — COS^g)
"" " Aj(8in^g — siuvfa) + A2(siii^3 — siui^,) -|- ^(sin^^ — sin^s)
welche demnach von geometrischen Rücksichten frei einen rein
lytischen Ausdruck darstellt und das Additionstheorem in ein£ach8ter
Art löst.
Diese Fundamcntalformcl kann auch in folgender Form ge-
schrieben werden:
32) tgJ(^i+^, + ^3-^4)
C08^i(^a — -^3) + C08^a('^3 — ^1 ) + COS^y(Aj — Ag)
" sin^i(^, - \) + sin^jCAj - \) + sin^jCA , - A,)
welche auch einer geometrischen Gonstruction zugänglich ist.
Man kann auch speciell tg^4 berechnen, und indem wir ^&=s^
einführen, haben wir das Theorem:
und i'Ari gtoBUirüeK«, analftüdu und dfmiiiiiaclie Bedtulung,
Das Additioiiatbeorem der elliptischea latogralo der 1. Art mit
'A Variabeleu, diirgestellt durch
F{n)-\-F{f<^)-\-F{cp^) = F(,pi)
fiiidet hinsiclitlich der gesuchten 4. Amplitude q>i Eoine Lösuug durcb
die Formel
tgiCTi + fi+Va — <r*)
'^ siii:Jv,{ii — As)+ain2 ipW — A,) +8in2iya('S — \)
oder anch durch
34) tgi9>.=
\3in(yt— ya)BiDi(ipi— y,— i)),)+A,Biii(y3 -Ti)Bmi(iia -gj— Ti)
Vin(9'j— "ps)cosi(f,— y,— 9>a)-( i,8in(?i3 -(p,)coäJ(g),— ^p^— Vi)
-|- Vin('p,— ip,)aiii^( fs— Vi— ffa)
Dae Additionsthcorem für 2 Variabetn
wflrde demnach durch folgende Relation i
ain y, *( 1 — ^) -• sin ^,'(1 — A, )
35} tgi(q>,-i-<p^~ip^)'
die sich aus den <
Lösung erhalten.
siniy, cos?i,{l — X) — ain^jC08(p;( 1— \)
1 Formeln ohne Mühe ableiten IHsst, seine
§ 35.
Die oben mitgeteilten Relationen setzen voraus , dass die Am-
plituden von einander vorachieden sind. Ist dies nicht der Fall,
sind also 2 derselben einander gleich, so müssen die Formeln einer
Transformation nnterworfon werden, die auf weitere Eieenschafteu
der Kegelschnitte gegründet ist. Sind nämlich 2 Amplituden gleich,
eo bedeutet dies geometriBcb das Zusammenfallen zweier Schnitt-
punkte des Kreises und Kegelschnitts in eiuen Berührungpnnkt bei-
der. Der Kreis wird zum Bcrührungskeis und die vorhin gegebenen
Ableitungen werden aus dem Grunde unbestimmt, weil bei bekanntem
Brennpunkt zwei Punkte des Kegelschnitts zur Constmction desselben
nicht hinreichen. Dennoch ist die Aufgabe, das Additionsthoorem in
der Form
F{<Pi)-\-2F(<Ft) - Fif*)
294 Oekingkaut: EiHpHsdU IniegrtUfimeiitmm
geometrisch darzustellen, lOsbar, wenn wir beachten, dass der Kreii-
radius im Berührungspunkt Normale des Kegelschnitts wird, und wir
die geometrischen Verhältnisse betrachten, die daraus hervorgehen.
Bezeichnen wir den Winkel, den diese Normalo mit der XAchss
einschliesst, durch 6,*und den Winkel, den sie mit dem zugehörige
Brennstrahl r^ » r, bildet, durch y^, so ist leicht nachzuweisen, daa
sin/s — esinO ist
Die jetzt zu Grunde liegenden Gleichungen sind denmach
- ■= 1— ecos(a — T,),
p
-— 1 — ecos(a — T,),
sinyj « «sin(^, — o)
Aus ihnen resultiren
rj — p C08T|4"tga8inTj
rjSinys sin^, — cos^t^^
r^ — p cos Tj -|- tg a sin t.
r, sin 72 sin ^^ ^ cos ^s tg a
Hieraus lässtsich tgo auf doppelte Art ausdrücken
weshalb auch
_ sin y^ sin (t^ — t^) + cos (&2 - ^j) — cos (4>, - v^)
bekannt ist.
Wir führen ein
dann ist
tga '
cos — ^ — cos -— ^ - - -
»•i
y, = ^8— T,
(r^ — p) sin ^2 — Tt sin y^ cos r,
(r, — j9) cos i^j — rj siny, sin Tj
und bei Einführung von p
ui\d ihn gtomelritehe, anafylüeht Und ifynamiichi Bedtuluiig, 295
■i.».(g...(r.-r.)-^:)-cMi.,.(Sg-:;)
coe^.l — *^cos(y,— y,)— - )+sint,siny, | — ^ —~\
Bin #,ros(y, - Yt) - cobi, ainy, - ']'^^(siii3,-coat,Biny,)
8inTj{C0BTj+Biüt,tg^j) — ^*(tg5-j(l— C0SIiC0Bt,)+C08Ii8iQI,)
Wir bemerken nun, dasB die Formen
Bin#, , coaiftj + i'sini;?,
«"•'^-äirfi-'^'' '^•'«^^ ^ —
noch einzofohren sind, daher folgt aas der letzten Formel
_ coB i»i'+coBitf,*;+ f^fsin j V+Bin jg,')— 2AiA,
— ijfc»BJn*,+ ^ (C08*&,* — *!'*aiQi*.*)— r»
' ' ' sm J| • ■ ' ' tg iT,
Der Zähler dieaes Bruches Iftsst sich noch sehr vereinfachen,
und indem wir auch hier die bekannte Relation
i9,+»s -i»« — 2
cdnfaiirei), erbalten wir
37) tgi(», + 2*,-*,)-
4i,{coB i^t* - ^'sin i5,*) — iW cos*, — t» sinö, sin*,
und diese Formel bestimmt die Amplitude ^^ der Function
7 Vi — fc'sinj*,« J Vi— i*Bini*,» t/ yi-Ar"8ini»4*
Indem wir das Resultat in etwas anderer Form darstellen, ge-
staltet sieb das Theorem wie folgt: Die Lösaog der Additionsaaf-
gabe der elliptischen Integrale
296 Oe hing haus: Eüiptiiche JntegralfwteihneH
38) tgi(9^, + 2g),-g)s)-
sin y^ cos y^ (^i — J^)*
z/s(co8 2^2 + ^i^ 9%*) — ^1 ^s C08299 — 1^ sin^i cos ^ sin 9^ oos f^
worin g)j nnd g>s von einander verschieden sein mflssen.
Ist endlich noch ^i -» 0 nnd demnach
2F(9,) = F(98)
so ergibt sich die Amplitude 73 ans
1 — d^ cot 9}
39) t« 1(29,-98)
1+z/,' ^,
Aus diesen Entwickelungen geht hervor, dass die elliptischen
Integral functionen in Verbindung mit der Theorie der Keg^achmtte
erfolgreich auf die Additionstheoreme angewandt werden können, nnd
dass, wenn analytische Entwickelungen ihren Weg dorch geometrische
Gebiete nehmen, ungleich mehr Ausbeute zu erwarten ist, als wenn
jedes Gebiet gesondert für sich allein durchforscht wird.
, 36.
Auch die Integralfunction
J J/l-^sinTs» J yi^-i^sint^^
verdient einige Beachtung, da sie wie die vorhergehende za ana-
logen, wenn auch nicht so einfachen Resultaten führt.
Es ist zunächst
also
also
r = p^er COS (a — t),
P + ß^i+yyi = »-1
P + ß^i+Y^i =«•«
p+ß^i+rvs — »'s-
/3 = ccoscf, y = 6sina,
,» = Ä»+r« — 2ÄrcosT,
und üirt jiDMMrwdb«, aaalj/liieht Und dfnamiieh» Badtutung. 297
r R \l K^. ,
- = - COS F+ 1/ i — j- Bin I"-
Dtr Modulus werde durch *,
bezeichnet.
Wie frflhor fiudet man aus den obigen GleichnogCQ dio Unbe-
kanntoQ
4gint(r,
n(..
r,) sin i(Ti — t,) sin K^a — ti)
, 8iQ<^
eBiao -= \
VggCOSt| — ^) pCOB_V+^»/
pCOBt)
ain(t,— T,)
1 roa E, -|- ^1
^ / Bin t, »inrj \
\pCOBt. + ^S 9C0IT| -\- dt)
e C08 rt ■" i — — ~ — ~ — : i
£ BIP (Tt - tg)
g COBt, + ^1
Hieraos kann e berechnet werden. Da hierdurch der Ke^lscbnitt
in seinem Achsen verliaitnias - bekannt ist, so 'st auch p als Brenn-
punktsordinato und demnach auch j und R bekannt. Der Winket «,
der die I.aee des Kreises gegen die Achse bestiramt, folgt ans der
Division der letzten Formeln.
Er kann aber auch auf anderra Wege dargestellt worden, wenn
wir die bekannte Formel für die Winkel der Amplitndensnmme ein-
fahren.
Das Endresultat würde sein:
42) 18Kt, + t. + ^»-
■i)-
-2??«
Da aber e, -, sino, cosa gegeben sind, ao ergibt sich damit auch
die gesachte Amplitude i« nnd das Ädi<rtionsthcoreM
findet damit sciuo Lüsung, welche wir wenigstens noch erw&hnen
wollten.
298 Oekingkau»: EOiphsdu Initgratfwteliomem
S 37.
Die hyperelliptisehen InteyralftuietioBeB.
Wir haben in S 1- &im der Gleichung
nnd ihrer Ableitung
dm
= 4»'«-3ii»«+2te— c
7 Functionen abgeleitet, deren erste
<2flS| %^ dfiBji oxi
war. Damit sind diese Functionen noch nicht erschöpft; von den-
jenigen, die noch erwähnt zu werden verdienen, filhren wir an
1,1 i ^ I ^
52^»"* dJ'* dJ* dJ
(«i*+«)a? (^M^)^ (^'+»)ö^ (**'+**>5^
an — e
~ («,M-«)(«t»-H»)(«s*-h»)(«4H-«)
(''»'+*>^ (**^»>^ ('»+">S^ ^**+"^ä^
(«.*-h»)(«,»-h»)(«8M-»»)(«iH-»)
(^+**)8i' (^«+**)ä^ (^+'*^ä^3 (^♦+~^&,
1
(«l+»)(«J+»)(«8+«)(«4-H»)
«
u. a. m.
Ans der ersten erhalten wir noch
Vermittelst der in § 1. ausgeftthrten Transformation ergeben
und ihre gtemtlruche, aiialj/'itfht und ifynamitcie Bideulung. f
sich daraus ueao Faactionen, die als ErgäQzaog der frllhern ange-
RchcQ werdun künneu , nnd wolt^^hu auf hyperelliptiacho Integrale
fahren.
Bei der Äufatelluug der liitegralfuuctionen der Kegelschnitte
fanden wir das Differeutial
/ |/(i"-.')(i'+3(f-lJ!+.)'))(,'+°,(i>-(Ä--)'))
worin ^jx^r^ri die Absciasi'ii der Ellipse bezeichnen, welche den
Schnittpunkten von Kreis und Ellipse zukommeu. Der Kadins des
Kreises ist «, und die Knlfeniung »diies Mittelpunktes vom Ellipsen-
ccntrum R. Die FuDcIion ist unabhiLogig von 'lern Winkel c, wel-
chen R mit der .Y-Achse einschliesst.
Es ist DDn vor allem notwendig, zncrgt die Vorzeichen der Inte-
grale zu bcBtinimcii, und zwcitene die Constante aus den Bedingungen
der Aufgabe zu eutwickelu. Denn eine Untersuchung zeigt, daes
die Vorzeichen mehrerer Inlegralfunctioneu nicht immer mit den-
jenigen ihrer durch eine Amplitudctigleichung verknüpften Wurzeln
übereinstimmen.
Die Vorzeicheu lassen sich nun am bequemsten Duden, wenn
durch bestimmte Voranssetzungen über die Constanton R und » die
Integrale auf wo möglich einfachste Formen gebracht werden. Wir
setzen also voraos, dass
und die obige Function wird durch Einsetzen dieser Substitutionen
integrabel
Nach genauerer Untersuchung des hieraus folgenden logarithmi-
Bchen Integrals findet sich durch geometrischen Nachweis, dasg das
Int^ral in
b*
logtgVi+logtgVs+logtgTs- logtgy.^log^-,, ^^
oder auch in
worin tp der cxcentrische Winkel ist. hervorgehend aas
300 O^kinghaut: EUiptUth» InUgralfunelumm
Die Constante des Integrals ergab sich durch eine Orenzlage des
Kreises, vermöge welcher 2 Wurzeln verschwinden. Die Indices be-
zeichnen zugleich die entsprechenden Quadranten, wobei wir anneh-
men, dass in jedem ein Schnittpunkt erhalten sei.
Multipliciren wir das letzte Integral mit der geraden Fonction
a^— a;', SO bleiben die Vorzeichen des nenen
/?
wie frfiher, und man findet nach Feststellung der Gonstanten
wobei wir bemerken wollen, dass 94 — a cos a, also a-^-fpA^^QO ist.
Multipliciren wir das Integral dagegen mit der ungeraden Func-
tion a^y so verändern sich auch die Vorzeichen und man findet durch
eine geometrische Untersuchung
2ab
cosa.
Die Vorzeichen der hyperelliptischen Integrale sind damit fest-
gesetzt, bei den verschiedenen Lagen des Kreises zur Curve moss
nur bemerkt werden, wenn ein Schnittpunkt beider aus dem einen
Quadrant in einen andern tritt. Bei dieser Aenderung wechseln auch
die Vorzeichen.
Um die Integrale auf die Normalform zu bringen, fahren wir
den oben genannten excentrischen Winkel ein, und man findet
^Vi
{^-(r:j^T^^^^^^
_j_ . d9>
Sv^-m^
{R-\-»)*—b*
siD <ft*j{l + jiH^Hipsin q»,« j
)
(1 - (B^^i* 8in»4«)(l +j,_ (Ä_,,, sin ^4*)
und ihrt gtomelrUdu, anaiyliieht und dj/namiic\e BedeuUing.
Die Amplitnden sind durch die Relation
^ii — «P« — «Ps + V^^O
mit einander verknüpft. Eine zweite folgt aus § 16., f. 194.
Soll der Winkel f nicht von der 6- Achse an, sondern von der
grossen Achse an gezahlt werden, fObren wir also ein <f. => 90"— v'-
80 wDrden sich die Formeln in folgende verwandeln, wenn wir noch
die folgenden Bezeichnnngen der Moduli
k* = -
f
>'(r-i!"«iii*,>){i+i"«iiiv,')
■/(l— *»8ini(»*)(-+i»sini;),»)
*) J V
woraus noch iür k:=l die hyperelliptische Jutegralfiinction
J Vi— w4iuv,* J Vl-«»3inV J Vi— "*(
-/
Vi— u*8ini(»s*
yi— tt*ainw*
hervorgeht. Als Bedingung gilt
«•+.■ - «■.
Ebouao geben aus den Orandgleichnngeo hyperelliptische lute-
grale der 2. Art hervor, z. B.
^/KO
')('
nnd analoge andere.
Die bisher betrachteten Integrale bezogen sich auf die Klltpse.
Für die Hyperbel muss zunächst das im Integral vor dem Wurzel-
zeichen stehende '- als fi* in die Wurzel genommen und alsdann wie die
übrigen mit negativen Zeichen versehen werden. Alsdann kann man
einfahren, und man erhält das elliptisclie Integral
302 Oekinffhauti Süiptueke Imitgralfkmeimmmm
— er
Sabstitnireii wir hierin
sm
^ r (Ä + *)« + 6«-"°^
,, ((/g+^)»-a»).((iZ-^)«+a«)
80 folgt
J yrn^sTne»""
Dagegen führt die Mnltiplication beider letegrale mit x anf ein hy-
perelliptisches
r ds ^
J vT— ifc«8ine»)a — Z«8ine«) "* ^» ^ -
vT— ifc«8ine»)(l — Z«8ine«) "" ^' *""(*+»>»+**
Die Constanten dieser allgemeinen Integrale sind anf dieselbe
Art zn bestimmen, wie es vorbin bei den speciellen geschehen ist
Dabei kann das Kreiscentrum entweder in die X- oder in die F-
Achse verlegt werden, es verschwinden alsdann 2 lutegrale für jede
dieser Lagen, nnd die Gonstante setzt sich ans 2 gleichen Integralen
zusammen, deren obere Grenze ans der auf eine quadratische Glei-
chung reducirten Amplitudenglcichung bestimmt werden kann. Da
die Ableitung derselben weiter keine Schwierigkeiten macht, wollen
wir zu denjenigen Intcgralfunctionen übergehen, die wir Arüher schon
eingehender discutirt haben, und welche von Determinationen frei
sind.
Als Grundlage dient auch hier wieder die Function
dx
J J/(x«-a«)(
aV_. .„. .„... . a«
C
^H- -, (*'-(Ä+')'))(«^H^ (6«~(Ä - *)«))
a^* . y*
Vermittelst der Ellipsengleichung -^-|~ It^ ^ setzen wir anstatt
«•— a* den entsprchenden Wert — T^y^ein und beachten
b^xdx-^a^ydy = 0.
Daher wird das Integral
lad Äff gtomt&inAt, ana^tUtU mtd tfymmüdt* Btitulung,
■f:
}/(«»+ ^#M«-«)V(^! («+')' -b') -«')
Die weitere Transfurmation geschieht mit Hülfe der Wiokel »,
welche die EreiBradien i nach den Schnittpunkte n von Kreis uod
Ellipse mit der Ceotrale R einscbliesseD. (S. Fig. 6.).
Ans der Formel
x»-\-y» - ß'+«» — 2-R*eo8*
folgt vermittelst der Ellipaengleichung
K» = ^ ({Ä— »)»-6»44H*8ini*,»)
/>"
y* ~ j((,» — (i£ — s)* — 4Ä«8inie»)
Im letzten Integral multipliciren wir Z&hler nnd Nenner mit x, fahren
alsdann die als Functionen von ^ dargestellten Werte ron x' nnd
xilx in dasselbe ein und erhalten die einfache Beziehung
Werden hierin die Werte von x nnd y eingesetzt, so erhält i
die gesuchte hjrperelliptiscbe Integralfonction
./ KO-»--^-.)-"
■»»')('+(S=
Um die Vorzeichen der 4 Integrale zd bestimmen, setzen wir
« =. + Ä
wodurch das Integral
^fSh '" *« **' '8 i*. tg Jff, - *4 18 i*»
übergeht Aus der Formel für x folgt nämlich
X — asinj*.
304 0€kimghmua: EHHiptUdM hUegnJfiMeimm§m.
Wir bnden aber oben
fl?4 "• aco8« *— a sin 94
woraus
oder
tg|^ «> coto
folgt
Die Amplitndengleichang
((Ä-f«)«(a28io«2+Ä2co8a2)--a2Ä2)tgid*— 2ij««(Ä-|-j)sin2otgJ^
4-(2(a«8Jna«+^cos««)(Ä«-«2)+4*«(a«co8ir«-fAin««)— 2aV)tgJ5«
— 2c2#(Ä— *)8io2atgi^(Ä-*)a(a28ina«-|-*«c08ft«)— a%« = 0
hat demnach fQ**
R
a — b a-\-b
~T~' '""2"
die Wurzel coto, was sich durch eine Probe bestätigt Die Zeichen
bleiben also wie früher, und indem wir im Anschluss an die Fignr
3 posiÜTe Wurxeln ^i^^^s und eine negative ^4 annehmen, und
noch die Integrale kurz durch H bezeichnen, erhalten w*>
Um die Constante zu finden, drehen wir den Kreis in die Lage,
in welcher sein Centmm in die XAchse fällt. 2 Integrale ver-
schwinden, und C setzt sich aus zwei andern zusammen, deren obere
Grenze aus der Amplitudengleichung für o »• 0 gefunden wird. Die
Gleichung ist
tgi^((Ä+»)* -a«)-2(a«-i22-|-«^ -2^)tgid^2^(Ä-«)2--a« =• 0
und
C - 2H(d^).
Man kann diesen Relationen noch eine interessante Seite ab-
gewinnen, wenn wir die Art und Weise nochmals in Betracht ziehen,
welche zur Berechnung des Modulus It^ aus der Amplitudengleichiing
tgi^-iltgi^+i^tgi^a-Ctgi^+JD-O
führte. § 21.
Derselbe wurde dort durch
■ (•MMMiclt, mabfliteht und dfitamirdit Stdeutung.
dargestellt. Die Jaraus bervorgelieiideji 2 Werte steln-u nun
den beiden Moduli der hyperelliptischoii Function
^/,
l/(-.-=^.>'"**')('+,i
in einfacher Bezielimig. Beneicliuen wir sie durch
jSini^*!
J' + 2(l — -B + 0+ V(Ä-0'+ir-B+Dfl
C+2Z)(l-i + ZH-y(J -C)'4-(l — fi+D)")
so ßndet man
int
f' =
l'* = -
t' -
<Ä-.)'-4'
4i7>
"(Ä-
I Daher geht die hyperelliptische Function üher in
./ Vd — i»Bini*»)(l — l^siuJS«)
^ worin der Fignr gemäss — (' positiv ist
Es hcdarf noch der Angabe der Ampliludo ^9 der Constanten
2//(i^). In der eben abgeleiteten Gleichung dersc-lbea mUssen noch die
sich auf die Eitipse beziehenden ablln durch die Constanten AB
CD der trigonometrischen Gleichung ausgedruckt werden, was mit
HOlfe der Formeln in § 31. geschehen kann. Mau tjodet nach einigen
Rechnnogcn
,^ , 1 fi , ,., (A-C)'+a-B+D-\-ViA-(rHl ."^W)')'
womit das Theorem seine definitive Lösung erhalten hat.
ih. a. Fhjt. 1. U*lk«. Till IT.
306 Oekinghaus: Elliptische Integralfundionen
Setzt man für die Ellipse
so wird die FuDCtiou zu
■f
j/.'-WsM»-
C\
Die Fundamentalformeln für die Hyperbel führen zu analogen
Functionen.
Ans den Entwickelnngen geht hervor , dass mit jeder biqnadia-
tischen Gleichnng eine hyperelliptische Integralfnnction verbnnden
ist, deren Wurzeln die Amplituden bestimmen, während die Modali
aus den Gonstanten der Gleichung hervorgehen. Die Constante der
Function ist wieder ein Integral, dessen obere Grenze vermittelst
der letzten quadratischen Gleichung bekannt ist, und es erübrigt nur
noch, die aufgestellten allgemeinen Theoreme wie früher die sped-
ellen auf bestimmte Beispiele anzuwenden.
Wir wollen noch zum Schluss den bisher entwickelten Functionen
eine Bemerkung beifügen', welche sich auf eine Transformation des
Integrals
f
i{\ -k'^üntp^) (1— i^sing)«)
bezieht. Die Einführung von tg 9 tg r// = r^ bewirkt, dass dasselbe
in ein elliptisches Integral erster Art übergebt, nämlich in
/^, ^ ^ n dxj,
J ^/l-v^.8iny^^
Für die Integralfunctionen von Kegelschnitten und Kreisen,
welche wir durch
d{^
dargestellt haben, ist demnach die Relation
V.
zu benutzen, da
und ihre geometrische, anafytisehe und djfnamiiche Bedeutung. 307
4R« AR*
k^ ==
a^^{H^8)^
-Z»
(Ä-,)«— 6«
ist.
Das Endrcsaltat der darchgcführten RcchouDgen ist
/
dtff
K^
ARs
^^^R^s)i (/i-l-,)«-.^,«
Sin 9^
welclics noch einer Untersuchung wert erscheint Wir werden daTou
in der Theorie der Lemniskaten Gebrauch machen.
80*
308 Schoute: Ueber die Curven vierter OrdwuHg
\
X.
Ueber die Curven vierter Ordnung mit
drei Inflexionsknoten.
Von
P. H. Schoute.
Dritter Abschnitt.
(Der Weyr'sche Satz and seine daalistischo Umlcehning.)
32. ,,Der Büschel der Kegelschnitte durch die nnendlich femen
Endpunkte A und B der Achsen eines gegebenen Mittelpunktskegel-
schuittes A' (Fig. 32), den Mittelpunkt ' C dieser Curvc und einen
beliebig auf ihr gewäliltcu festen Punkt 1\ enthält vier Kegelschnitte,
welche K in irgend einem von 1\ verschiedenen Punkte Q bertthren
Die Berührungspunkte Q von A' mit diesen vier gleichseitigen Hyper-
beln sind die Schnittpunkte von K mit einer gleichseitigen Hyperbel,
welche, wenn der Punkt l\ auf A' dem Punkte 1\ diametral gegen-
über liegt, als II(1\A^ ^2^; ^) zu bezeichnen ist. Jeden dieser Tier
berührenden Kegelschnitte schneidet A' noch in einem vierten Punkte,
den man findet als den zweiten Schnittpunkt von A" mit den Tangen-
ten im Berührungspunkte Q des betrachteten Kegelschnittes mit K
an n{l\Ä^l\B; C) angelegt
Von den vier Berührungskegelschuitten ist immer ein Paar reell
und ein Paar imaginär.'*
Dieser Satz wird der Hauptsache nach bewiesen sein, sobald
nur gezeigt ist, dass jeder Schnittpunkt Q von A' mit der gleich-
seitigen Hyperbel HU\A^ l\b\ C) der Berührungspunkt ist von K
mit einer der gleichseitigen Hyperbeln des Büschels, und dass um-
gekehrt jeder Berührungspunkt von K mit einer der Corren d"
Büschels auf der gleichseitigen Hyperbel H{P^A^ F^B\ C) liegf
mit drei liißexianihioltn, 300
Wir beweisen, dass die durcli den bestimmten ScLnittpQDkt U
voc K mit i/{P,^, P,Ü- C) geführte Curve des Büschels den Kegel-
Bchnitt A' in Q berührt, and soeben dazu die VcrbiDdungslinie der
bcideu noch unbekaniitcu Sebnittpuulftc von K mit dieser Carve des
Büschels, die durch H, angedeutet werden mag. Wir tun dieses in
der von Joachimstbal augegebeucu Weise mittelst des Salzes der aus-
sagt, dass drei Kegolschnitte , welche zwei Punkte f^emein haben,
uinander zu je zweien uocb in drei Pnukte paaren schneiden , deren
Verbind nngslinion durch einen Punkt geben.'] Betrachten wir dann
erst K, Hq und die aus den Geraden t'I\ und QT zuBammengesetilo
Curve zweiter Ordnung — wobei QT zu VA parallel ist — als die drei
Kegelschnitte, welche zwei Punkte, die Punkte /', und ü, gemein
haben, so finden wir, dass die gesuchte Verbindungslinie den Schnitt-
punkt V von Tl\ und CA enthalten muss. Und bostrachten wir
nachher A', Hq und die Combination der Gerade (7", mit der zu BC
parallelen Gerade ÜU als die ebenfalls dure-b /*, und U gebenden
Kegelschuitte, so ergiebt sich der Schnittpunkt K' von F^ü und t'B
als ein Pnnkt der gcanchtcu Verbindungslinie. Also ist VW die
Verbindungslinie der beiden noeb nubekannten Schnittpunkte von A'
nnd J/f. Aber nach Artikel 3 ist die Gerade VW, wie ihre Cou-
1) „neber die NonnaUn der Ellipse und Jcb EtlipEOiOs" (Crelle's Jonmot
fQr reiae nnd nngsH'Hndtc Mathemalik, Band XXVI, Scito 17!).
Der hier angewendete Sati wird leicht gBOiD«tri»ch bewiesen , wenn die
Ewei deo drei Kegelichniticn gemeingamen Funkte inaginBr sind. Projicirc
man nlmlich in diesem Falle die ITIgnr go auf eine andere Ebene, daai dieae
beiden Funkle in die imaginAcen Kreiapunktc diceer Ebene hineinfallen, so pro-
jiciren die drei Kvgelaclinillc aicli als Kreise, and man weiss, dasi die drei
Foteoilinien von drei tu je zweien gcnamrnencn Kreisen darch einen Funkt,
den PotcMpankt, gehen. Und nun steht der Fall, worin die iwei femeiiisamea
Funkte raell sind, als a-Satz dieaem 6-Satz gcgendber (Artikel 34).
Einen anderen gcooietriBchen Beweis des Satzes kann man der Tbeorie
der quadratischen Punktinvoluiionen anf den KegeUcbnillcn entnebmeo. Setit
m&n ulkmlich als bebannt vorsua, dass die Verbind angst inien der Paare ein-
Knder entsprechender Funkte einer quadratischen loTolution auf einem Kegel-
schnitte durch einen Punkt, das InTolutiouacentnim, gehen — und ea kann dies
geometriach bewiesen werden (Reye, a. a. O., II. Abteilung, Seite IIS) — ao
werden die Verbindangsünicn der beweglichen Scbnillpunktpasre vom Kegel-
schnitte K, mit den Curten des Ton AT, und £, bcslimmloti Bflschcls durch
einen Packt gehen; d. h. wenn /, /,,,, I,,,, J,,, die Verbindungslinien der
den drei Kegelschnitten gemeinsamen Funkte, der beweglichen SchnittpunkCe
von K^ nud A,, von AT, nnd Kj und Ton K^ und A^ andeuten, sa liegt
der BchuiUpDokt vcn I,„ und ',,, als Invaiutionscenlmm aui dem von nnd
'■•s gebildeten ErgelGchniite des BQschels und, da es im allgemeinen nicht
^
310 Schoute: Ueber die OtrvM vierier Ordnung
Btruction zeigt, die Tangente in Q an H{P^A^ P^; C, Q). Deshalb
geht die Sehne VW durch Q, fällt einer der beiden noch nnbekann-
ten Schnittpunkte von K und Hq in Q, und borflhren also die Correi
K und Hq einander in Q. Und weil die Sehne VW weiter die Tan-
gente von H(l\A^ P^B\ C, Q) in Q ist, ist der zweite noch za findende
Schnittpunkt von K und Hq also der zweite Schnittpunkt von K
mit der Tangente von H{P^A^ P^B-^ C, Q) in Q.
Setzen wir umgekehrt voraus, dass K von irgend einer Gurre
des Büschels in Q berührt wird, so wird ohne Mühe bewiesen, dan
Q ein Punkt von Hi^P^A^ P^ü\ C) ist. Denn die Verbindangslinie
VW der beiden Punkte, welche K und die berührende Cnrve ausser
P] und Q noch gemein haben, geht dann der Voranssetzang nach
durch Q, und hieraus folgt nach der Urokehrung des Satzes von Ar-
tikel 3 unmittelbar, dass der Punkt C ein Punkt von H{P^A^ P%B\ Q)i
also Q ein Punkt von H{P^A, P^B; C) ist.
Ist K eine Ellipse, so hat der durch C gehende Zweig von
i/(Z',il, Pg/i; C) immer zwei reelle Punkte, der andere Zweig nie-
mals einen reellen Punkt mit A' gemein. Ist K eine Hyperbel, so
hat jeder der beiden Zweige von H{P^A^ P^B ; C) einen reellen Punkt
mit K gemein. Es sind von den Borührungskegclschnitton also alle-
mal zwei reell und zwei imaginär.
33. „Der Büschel der Kreise durch den Mittelpunkt C einer
gegebenen gleichseitigen Hyperbel // (P^ig. 33) und einen beliebig auf
ihr gewählten Punkt P^ enthält vier Curvcn, welche H in einem von
Pj verschiedenen Punkte Q berühren. Die Berührui^gspunkte Q von
// mit diesen vier Kreisen sind die Schnittpunkte von H mit einem
Kreise, der den diametral gegenüber Pj liegenden Punkt P^ von H
zum Centrum hat und durch C geht. Jeder dieser vier berührenden
Kreise schneidet // noch in einem vierten Punkte P, den man findet
als den zweiten Schnittpunkt von // mit der Tangente im Berührungs-
punkte des betrachteten Kreises mit 7/ an den Kreis der vier Be-
rührungspunkte angelegt.
Von den vier berührenden Kreisen ist immer ein Paar reell und
ein Paar imaginär."
Deuten wir zur Abkürzung den aus P^ als Centrum durch C
beschriebenen Kreis mittelst des Symbolcs Kr(l\\ C), den durch irgend
einen Punkt Z gehenden Kreis des gegebenen Büschels mittelst des
Symboles Kr (Z) an, so wird der Satz der Hauptsache nach bewiesen
sein, sobald nur gezeigt ist, dass jeder Schnittpunkt Q von H mit
dem Kreise Kr^P^j C) der Berührungspunkt ist von // mit einem
der Kreise des BüBchels, nnd dass nmgekelirt jodor Berühriiiigspunkt
rou H mit einem Krdse dos BttsclieU auf dorn Kreise AV(i*,; C) liegt
Ist nuQ ü Gin bestimmU'r Selmittpunht von H and -ftrr{/j; C) and
QM die Tangente von H xa W, bo wird natli Artikel 2 der Winkel
CQN and nach Artikel 4 der Winkel PiQl\ von Paraüeleu zu den
Asymptoten CJ, C K von f/gob£Qftet. Es sind also die Winkel /',<2iVnod
CQP, einander gleich. Aber in dem gleich scLenkei igen Dreiecke QP^C
ist der Winkel CQP^ dem Winkel QVP^ gleich, so dass auch die
Winkel P^QNMUik QCl\ einander gleich sein müsacu. Und nun zeigt
die Gleichheit dieser beiden letzteren Winkel offenbar, dass der Kreis
Kr{iü in Q von QN berührt wird, dasa dieser Kreis in Q also H
berührt.
lat umgekehrt gegeben, dass W in Q von einem Kreise Kr{(i)
des Büschels berührt wird, so beweist mau ebenso ohne Mühe, dass
Q ein Punkt des Kreises Kr{^l\; C) ist. Ist yiV die gemeinschaft-
liche Tangente von II und Kt(.Q) in (^, so hat man einerseits nach
den Artikeln 2 und 4 die Gleichheit der Winkel i*,QJV und CCiP^,
andererseits in A'r(Q) die Gleichheit der Winkel P^QN und QCP,;
also sind auch die Winkel CQP^ und QCP^ einander gleich and ist
Q ein Punkt des Kreises Kr[P^-, C).
Ist weiter H der zweite Schnittpunkt von der in U an den Kreis
ÄV{/s; C) angelegten Tangcnta mit dem berührenden Kreise A'r{<i),
so kann man zeigen, dass die Geraden P,U und P^R antiparallel
sind in Bezug auf die Asymptoten von II, d. h. dass R ein Punkt
von H ist. Ist nämlich S der auf dem Kreise Ar ( ii) diametral gegen-
über Q liegende Punkt, so sind 1\R und CS parallel; denn P,R ist
antiparallol zu <IN in Bezug auf die Achsen von // (Artikel 6), QiV
antiparallel zu yc in Bezug auf die Asymptoten von H {Artikel 2),
also PiR senkrecht auf (iC (Artikel 5) und deshalb r,« parallel zu
der Senkrechten CS auf cy. Ferner ergiebt sich also
SR = P^C = Vl\ = QP^.
Und die gleichen Strecken SÄ und QP sind parallel, da sie beide
andparallel sind zu P^P^ in Bezug auf SC und CQ. Also ist das
Viereck QP^RS ein Parallelogramm und sind auch die Geradon RP,
und üQ parallel. Also werden die Geraden ÄP, und HP^ antiparallol
sein in Bezug auf die Asymptoten von H, wenn die zu ihnen psnil-
lolcn Geraden SC und Sy es sind. Und diese sind es , da sie senk-
recht stehen anf den Geradon QC and yjV, die es sind.
Der Kreis Kril\; C) schneidet den durch P, gehenden Zweig
der fi immer in zwei reellen Punkten, den anderen Zweig niemals in
312 Schonte: üeber die Curven vierter Otdmmg
ciocm reellen Punkte. Es sind also von den vier berfifarenden Kreisen
allemal zwei reell und zwei imaginär.
34. „Die tangentielle quadratische Transformation, welche die
Normalcurve ÜT^ erster, resp. zweiter Gattung in ihren Rflckkefar-
schnitt üT, resp. H überführt, ist identisch mit jener der Sehnenptare
von K^ resp. /f, welche auf diesem Kegelschnitte vier Pnnkte be-
stimmen, deren Normalen von if, resp. Anti-Normalen von ^m
Bezug auf irgend eine Gerade CR durch einen Punkt gehen/^
Der sich auf die Normalcurven K^ erster Gattung beziehende
Teil des Satzes ergiebt sich unmittelbar aus einer Yergleichang der
aus den zweimal citirten Untersuchungen folgenden Yerwandtschaft
der Sehnenpaare mit der von mir gefundenen Verwandtschaft der
Geraden p und p' (Fig. 21 und Fig. 23).
Zum Beweise des sich auf die Normalcurven K* zweiter Gattung
beziehenden Teiles des Satzes liefert der vorhergehende Artikel ein
Kettenglied. Aus der Betrachtung der Figur 26 folgt nftmlich un-
mittelbar nur, dass die Schnittpunkte der einander entsprechenden
Geraden p und p' mit H auf einem Kreise liegen — denn p and p'
sind offenbar antiparallel in Bezug auf die Achsen von H — aber
noch nicht, dass der diese Schnittpunkte enthaltende Kreis darch C
geht. Und nur wenn auch dieses bewiesen ist, ist nach Artikel 9 den
sich auf die Normalcurven A"* zweiter Gattung beziehenden Teil des
jetzigen Satzes bewährt. Sind uuu N^ und N^ die Schnittpunkte von
p mit H, so beweisen wir umgekehrt, dass die Sehne p^, welche die
beiden übrigen Schnittpunkte von // mit dem durch C\ Nj^ N^ ge-
legten Kreise verbindet und also antiparallel ist zu p in Bezug auf
die Achsen von //, d. h. ebenso wie p' senkrecht steht auf CP, mit
p' zusammenfällt, indem sie CP in dem Punkte 7'^* schneidet, wofür
nach Artikel 27 die Relation CP = 2Pq'C besteht. Nennen wir dazu
den Schnittpunkt von p^ mit CP, der mit Pq' zusammenfallen soU^ P^
so bemerken wir, dass parallele Verschiebung von p, welche ebenfalls
eine parallele Verschiebung von pi herbeiführt, die Punkte i\ und
P® eine quadratische Involution auf CP erzeugt, welche C zum
Centralpuukt hat. Und nun zeigt der vorhergehende Artikel mittelst
eines berührenden Kreises durch C (Fig. 33), dass die Potenz dieser
Involution die negativ genommene Grösse ^CQ!^ ist; denn wenn T
der Schnittpunkt ist von P^R mit CQ und U die Projection von P,
auf CQ, so ist TC = CL\ da P^C « CPg, u. s. w. Also ist (Fig. 26)
was den Satz beweist.
'/ drei ioj(«ziD"it«o(en. 3131
36. „Weuii der Punkt P, {Fig. 32) den Kegelachiiitt K beschreibt,
so nmhilllt die gleichseitige Hyperbel HiP^A, Pili; C), welche in K
die Bcrtthruags punkte mit Curvcn des Büschols der durch A, B, C
und P, gehenden gleichseitigen Hyperbel einschneidet, die Noriiial-
cnrve C* ors'^r Galtung mit den Inflexionsknoten A. IS, ü und dem
Wondescbnitte AT'v
Wenn /",' ein nnmiltelhar an /*, greuueuder Punkt von A' ist,
nnd Pf auf K diesem Punkte diametral gegenüberliegt, ao ist die
geauchte £nvelopi>e der Ort des vierten Sctinittpunkles der gleich-
seitigen Hyperbeln H^P^A, /'jB; C) und H{P^A, Ptll\ C). Da die
Asymptoten der einen dieser Corven zn jenen der anderen papatlol
sind, so wird dieser vierte Schnittpunkt n, mit dem den beiden Curvcti
gemeinsamen Punkte 6' ein den beiden Curven gemeiusamcs Asymptoten -
recbteck n,C liefern, dessen zweite Diagonale als die Verbindungs-
linie der Centra der beiden Hyperbeln die Tangente in P^ an A' ist.
Der dem Punkte /', von K entaprecbende Puukt i, der Enveloppo
wird also gefunden, wenn man im diametral gegenüber /', liegenden
Ponktti /'. von A' die Tangente an A* bestimmt und auf die von die-
ser TangL'ute in die Achsen von A'bostimmten Segmente CR und CS
ein Rechteck beschreibt; der vierte Eckpunkt dieses Rechtecks ist
dann n,. Also ist die Verwandtschaft der Punkte P^ uud n, mit
jener der Punkte 'i und <;' von Artikel 22 (Fig. 21 uud 23) ideuiiseb,
nud der Ort der Punkte n, deshalb die oben angedeutete Normal,
curvo C* erster Galtung.
36. „Wenn der Punkt /■, (Fig. 3;!) die gleicbseitige Hyperbel H
bescbreibt, umhüllt der Kreis AV{7',; 6'), welcher in // die Re-
rQhrungspunkte mit durch C und Pf gehenden Kreisen clnsuhneidct,
die Normalcurvo C'* zweiter Gattung, welche C zum reellen lu-
Hexio US knoten und II zum Wendeschnitte hat."
Ist P,' wieder ein au /', grenzender Puukt von //, und licijl l\'
auf H diesem PuAkte diametral gegenüber, so ist die gesuchte Ein-
hüllende der Ort des zweiten reellen Schnittpunktes der beiden
Kreise Kr(l\\ C) und KtII\'\C). Dieser zweite reelle Schnitt-
punkt T^i ist aber offenbar der symmutrischo Puukt von C in Bezug
auf die Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Kreise, d. b.
iu Dezug auf die Tangente von H in I\. Also ftudot man den dem
Punkte /*! von // eutsprechendon Punkt «, der gesuchten Curve,
wunn mau aus C eine Senkrechte auf die TAUgnuto iu /', fällt und
diese Senkrechte von C aus nach der cutgugeugesetzten Seite hin
verdf ■*"" Ort von n^ die Lemniskate, welche iu Ar-
314 Schoute: Ufhrr die Curven vierter Ordnung
tikel 22 als die Normalcurvc 6'* zweiter Gattung mit dem Centnim C
und dem Weudoschnitte // gefunden ist
37. „Durch einen beliebig gewählton Punkt P eines Kegel-
schnittes K gehen vier einem bestimmten Poldreiccke ABC von K
umschriebene Kegelschnitte, welche A' in einem von P vcrschiedencfl
Punkte Q bertlhren. Die Berührungspunkte Q von K mit dicseo vier
Kegelschnitten sind die Schnittpunkte von K mit dem am ABC um-
schriebenen Kegelschnitt«, welcher in Bezug auf das amschricbeiie
Dreiseit abc der Tangenten in A^ B^ C den Punkt P zum Brianchon*-
schen Punkte hat. Jeder dieser vier berührenden Ko^olschoitte
schneidet A'noch in einem vierten Punkte /?, den zweiten Schnittpankt
von K mit der Tangente im Berührungspunkte Q dos betrachteten
Kegelschnittes mit K an den um ADC beschriebonDn Kegelschnitt
der vier Berührungspunkte angelegt. Von den vier Berühruugskegel-
schnitten ist allemal ein Paar reell und ein Paar imaginär. Und
wenn P den Kegelschnitt A' beschreibt, so umhüllt der um ABC be-
schriebene Kegelschnitt der vier Berührungspunkte dio C*, welche
yl, B^ c zu Knotenpunkten und A' zu Wendeschnitto hat.**
Der Satz dieses Artikels, von welchem ich der Hauptsache nach
an einer anderen Stelle *) einen analytischen Beweis gegeben habe,
wird mittelst centraler Projection aus den vorhergehenden Sätzen
abgelesen. Er umfasst die beiden Fälle eines ganz und eines nur
teilweise reellen Poldreiecks und bedürfte nur noch einer Erläuterung
in Bezug auf die Auffassung des Punktes 7', als Brianchon'scher
Punkt.
Der Brianchon'sche Punkt eines Kegelschnittes A' (Fig. 34) in
Bezug auf das umschriebene Dreiseit abc der Tangenten in ^1, jö, C
ist bekanntlich der Schnittpunkt S der drei Geraden AD^ BE und
Cl\ welche die Berührungspunkte ^l, 7^, 6' der Seiten a, i, c mit den
gegenüberliegenden Eckpunkten verbinden. Auf irgend einer dieser
drei Geraden AD trennen aS und der Eckpunkt D die Polaro BC
von 1) in Bezug auf A' harmonisch vom gegenüberliegonden Berührungs-
punkte .1 ; denn die Diagonale DS des Vierecks DCSB wird von den
Ecken 7>, b und den beiden anderen Diagonalen BC und EF be-
kanntlich harmonisch geschnitten.
Erstens ist nun in Fig. 32 der Punkt P^ der Brianchou'sche
Punkt der gleichseitigen Hyperbel H{P^A^ PoB\ C) in Bezug auf das
umgeschriebene Dreiseit der Tangenten in ^4, B^ C. Denn es ist die
2) „Notiz Ober die Lcmnihkatc" (Sitzungsberichte u s. w. Band LXXXIX.
2to AbteilunJ,^ Seite 1265.
V drti lHßa\
315
Tangente in A die Asymptolö P^A, die Tangenlo iu B die Asymptote
PJi, dio Tangente in C die zweite Diagonale PJ\ iIcs auf /',/'i i"
Ä^ eingeacbri^bcnori Recht^chs; also ist P^P^P^ daa Dreiaeit der Tan-
genten und sind /'„.-l, P^B, P^C dio Verbindungslinien der Eckpunkte
dieses Drciscits mit den Berübrungspnnkten der gegenUberliegcndcti
Seiten. Aber es geben diese drei Geraden dnrcb P,.
Zweitens ist in Fig. 33 >ier Punkt J\ der Briancbon'sche Funkt
des Kreises Kr(P^; C) in Bezug auf das umgeschriebene Dreiseit
der Tangenten in den beiden imaginären Kreispnukten und in C.
Es sind nämlich für diesen Fall die von r, nacb den imaginären
Kreispunkton gefQlirteu Geraden und die Senkreclitu CM in C auf
PjPs die Seiten des nm geschriebenen Drciseita; also ist es onmiltol-
bnr klar, dnes der gesuchte Briancbou'seho Pnnkt liegeu mnss auf
der VcrbindnogBlinie CT, des Berührungspunkts (: der Seite CM
mit dem gegenöberlieeonden Eckpunkte /'j. Und weiter ist der ge-
auubto Punkt auf dieser Verbindungslinie CP^ durcli C und die Polare
von Pf iu Bezu}; ftuf AV (/-',; C), welcbo in's Unendliche verscbwnn-
dvn ist, barmoniscb von P^ getrennt; also iat er der Punkt P,, wel-
cher 80 liegt, dass P,C:= CP, iat.
Endlich erkennt man leicht, dass die centrale Projcction dio
Kelation von S (Fig. 3i) zum Kegelschnitte A' und Dreiseile abc
nicht aufbebt. Di'shalb ist, wie es im Satxe angegeben ist, auch im
allgemeinen Falle Pj der Briancbon'sche Punkt von A' iu Bezug auf
das Dreiseit der Tangenten in A, H, f.
38. „Durch jeden Pnnkt P einer 6'* können rier die Curvo iu
einem von P vorschicdenen Punkte Q berlUirendo Tangenten gelegt
werden. Die vier Berti hrungspnnkte Q dieser Tangenten liegen all -
mal in einer Geraden p, die Tangente des Wendeschnittes A' von C*
im Punkte /", weleher bei der Transformation der Curve iu ihren
WendeBchnitt dem Punkte P entspricht Jeder der vier Tangenten
schneidet die C* noch iu einem vierten Punkte H, welcher mit dem
ßerUhrangspunkte Q einen durch die Inflexionsknoton von C* geben-
den Kegelschnitt bestimmt, der im Punkte Q von p berührt wird.
Von den vier Taufjenten sind allemal zwei reell nnd zwei imaginär.
Und wenn P die Curve C* durchläuft, so umhUllt p selbatveratandlich
den Wondoschnitt A'."
Wendet mau auf don Satz des vorhergehenden Artikels dio Trans-
formation an, welche dio dort iiuftrotonde C* in ihren Wendeachnilt
überführt, so erhält mau den obigen Satz, Da er für die Lemniskate
316 Schoute: Ueber die Curven vierter Ordmumg
<lcr Hauptsache nach schon 1873 von Prof. Dr. Emil Wcyr*) aof-
godci'kt ist, bczcichno ich ihn als „Weyr 'sehen Satz^S
Jetzt wende ich mich zu einigen Entwickclnngon , die mit dei
behandelten Sätzen in Verbindung stehen.
39. „Wenn von den vier Basispunkten A^ B, C, P (Fig. 35) dnei
Büschels von Kegelschnitten der Punkt P auf einem gegebenen K^el-
sclmitto K liegt, so wird K von jeder Curve dieses BaschcU ausser Pnoek
in drei Punkten Q^, Qg, Q^ geschnitten. Diese von den verschiedenen
Cuncu des Büschels auf K bestimmten Punktetripel bilden eine
kubische Involution auf A^ Die Involutionscurve dieser luvoIntiOBY
(l. h. die Enveloppe der Verbindungslinien (^l^Q^^ Qt^i^ Q\Qt '^^ ^
Kegelschnitt J^ welcher die Seiten des Dreiecks ABC berührt Die
Berührungspunkte D der gemeinschaftlichen Tangenten v von K
und J mit A' sind die Doppelpunkte, und die Schnittpunkte V von K
mit J sind die mit einem Doppelpunkte eine Gruppe bildenden Ter-
/weigniigspunktc der Involution.^)
Ist ABC ein Poldreicck von A' (Fig. 36), so treffen anch die
Tangenten d in den Punkten V an A" den Involutionskegelschnitt J in
den Berührungspunkten T der gemeinschaftlichen Tangenten v von K
und J mit J. Für diesen Fall ist J zu bezeichnen als der in ABC
beschriebene Kegelschnitt, für welchen die Tangente p in P au A"^
die Pascarsciie Linie ist in Bezug auf das von den Berührungspunkten
der Seiten des Dreiecks ABC mit ./ in J eingeschriebene Dreieck.
l.s sind dann von den vier merkwürdigen Dreiecken DTV allemal
zwei ganz reell und zwei ganz imaginär. ^^
Die Punktetripel U^Q^Q^^ (Fig. 35) bilden eine kubische Involution
auf A% da irgend ein Punkt von K ein einziges Tripel Q^Q^Q^ be-
istimmt. Die Enveloppe der Verbindungslinien Q^Qs, Q3Q], QiQ% ist
ein Kegelschnitt, da sie aus jedem Punkte Q| von K zwei Tangenten
zulässt, die Verbindungslinien dieses Punktes Q^ mit jedem der beiden
diesem Punkte zu einem Tripel der Involution ergänzenden Punkte
(^.j, (l;^. Dieser luvülutionskegelschuitt J berührt die Seiten des
Dreiecks ABC^ da jede Seite BC dieses Dreiecks mit der Geraden,
welche von dem gegenüberliegenden Eckpunkt A nach P führt, ge-
paart einen Kegelschnitt des Büschels bildet und also als Verbindungs-
\\) ,.Dio Lciiiiii»kate in rationaler Behandlung" (Abhandlangen der kgl.
böhm. Gesellschaft der Wissensch., VI. Fulge. 6. Bnnd, 1S73).
4) Man vergleiche ,,GrundzOge einer Theorie der kubischen Inrolutionen'*
von Dr. Emil Weyr, auRscrord. Mitgl. der k. böhm. GcscUsch. der Witsen-
schaft, Prag 1874.
i drei JfljlazHiflibioMn. M.T 1
linia zweier dem uaroliclieQ Tripel angehörenden Punkte orscUeint.
Jede gemeinschaftlielio Tangonto v von K und J verbindet als Tau-
genl« von J zwei dem nämliclicn Tripel angchüreude Punkte vou
A', welche zusammonfailen in einen Doppclpunkt D der Involution,
da diese Gerade i' auch den Kegelschnitt fC lierQlirt-, unigekehi-t ist
die Tangente au K in einem Doppelpunkte D der Involution oiTonhur
Tangente von J als Verbiudnngsliuie zweier Puukte eines nitmlidien
Tripels der Involutiou und deshalb gemeinschaftliche Taugeute von
K und J. Da die einem gegebenen Punkte vou A' zu einem Tripel
ergänzenden Punkte die zweiten Schnittpnnkte vun K sind mit den
aus dem gegebenen Puiiktu au ./ möglichon Tangeutua, und diese
Tangenten zusammenfallen, wenn der auf A' gegebene Punkt ebenfalle
auf J liegt, also eiu Sehnittpunkt V vou A' und J ist, fallen die
einem Puukte V y.a einem Tripel ergänzondun Punkte zusammen iu
einen Doppelpunkt D, und ist jeder Punkt V also eiu ^ erzweigungs-
pnukt; umgekehrt ist jeder Vorzwei guiigspunkt der Involution eiu
gemeinschaftlicher Punkt V von A und J.
Ist nun weiter AÜV ein Poldreioek von K uud J also dem Pol-
dreiecke AliC von K eingeschrieben, so ist J bekanntlich einer ein-
fach unendlichen Anzahl von Poldreieckeu von A eingeschrieben und
nmgekehrt A' einer einfach aiiendlichen Auzalil von Poldreiccken
von J umgcachiieben^}. Also muss die Polaro irgend eines Punktes
Q von A' diesen Kegelschnitt in zwei in Ue^ug auf J zu einander
conjugirte Punkte sehneiden, d. h. die Schul ttpuuktenpoare vou diesen
Polaren mit A und -/ treuneu einander harmonisch. Fällt nun Q in
eiuen Doppelpunkt D (Fig. 3ß) der luvolution, so sind nach den ge-
fundenen Resultaten V und T die Schnittpunkte der Polare ä ia
Bezug auf J mit J. Und da einer der Schuittpuukte dieser Geraden
mit A' in l' fällt, so muss der harnionischea Lage zufolge der andere
Schnittpunkt auch in V liegen uud TV also die Taugente sciu von
Der vorgeführt« Satz steht iu inniger Verbindung mit dem des
Artikels 38. Die dort auftreteuden vier Berührungspunkte Q von A'
mit Kegelschnitten durch A, B, C\ I' sind nämlich die Doppelpunkte
D der vou diesen Kegelschnitten auf A' bestimmten kubischen luvo<
lution. Und der um AUC beachnebene Kegelschnitt, welcher iu Bezug
ouf das umgeschriebene Dreiseit abe der Tangenten in --1, ß, C den
Punkt P zum Bri a ach on' scheu Funkte hat, ist, da er durch die vier
Punkte ii geht, offenbar die Polarfigur von J in Bezug auf A'. Dieser
Znsammenhang lehrt uns einerseits, dasa die Tangenten von A' iu
&) Rcfc, ■. u. 0., II. Abteilung. Seite I3ä, S tc Nute,
318 Schonte: Ueber die Curven vierter Ordnung
den Punkten It des Artikels 38 den dort gefundenen Kegelschnitt
berühren und also die gemeinschaftlichen Tangenten von K and
diesem Kegelschnitte sind. Und andererseits zeigt er für die Invo-
Intionscurve «/ au, dass sie die Tangeute ;> in P an A' in Bezog auf
das von den Berührungspunkten der Seiten des Dreiecks ABC ge-
bildete Dreieck zur PascaFschen Linie hat, und von den vier merk-
würdigen Dreiecken DTV allemal zwei ganz reell und zwei ganz
imaginär sind.^)
Ist ein Kegelschnitt K' eiuer einfach unendlichen Anzahl von
Poldreiecken eines Kegelschnittes A' eingeschrieben und A' also cioer
einfach unendlichen Anzahl von Poldrciecken von A"' nmgoschrieben,
so sagt man bekanntlich A'' ist A' harmonisch eingeschrieben und
K ist K' harmonisch eingeschrieben.^) Ist ein Kegelschnitt K* bo-
beschrieben in einem Dreiecke dessen Eckpunkte auf einem Kegel-
schnitte K liegen und giebt es also eine einfach unendliche Anzahl
von Dreieckeu, welche zur gleichen Zeit um K' und in K beschrieben
sind, so sage ich K' ist K dreieckig eiugeschrieben und K ist K*
dreiseitig umgeschrieben. Nach dieser ßezeichnungsweise kann man
dann sagen, der Involutionskegelschnitt J dieses Artikels ist in dem
ersten Falle eines ganz willkürlichen Dreiecks ABC dem gegebenen
Kegelschnitte K nun dreieckig, in dem zweiten Falle wenn ABC ein
Poldreieck von K ist diesem Kegelschnitte aber sowol harmonisch
als dreieckig eingeschrieben. Und in diesem letzteren Falle ist die
schon in Artikel 33 aufgetretene Polarügur von J in Bezug auf K
diesem Kegelschnitte zu gleicher Zeit dreieckig und harmonisch um-
geschrieben.
40. Sind 7', U^ V (Fig. 37) die Eckpunkte i, u, o die gegen-
überliegenden Seiten eines Dreiecks, berührt der Kegelschnitt K die
Seiten u und v dieses Dreiecks in den Eckpunkten I' und U und der
Kegelschnitt A' die Seiten v und t in den Eckpunkten 2' und F, so
sind die Kegelschnitte K und K' einander sowol harmonisch als
dreieckig eingeschrieben, sowol harmonisch als dreiseitig umge-
schrieben, d. h. A' ist A harmonisch und dreieckig eingeschrieben
und harmonisch und dreiseitig umgeschrieben. Diese merkwürdige
Lage von zwei Ki^gelschnitten A und A' tritt mit einer einzigen
leicht zu kennzeichnenden Ausnahme ein, sobald irgend zwei der vier
genannten Lageverhält uisse sich zu gleicher Zeit auftun".
6) Es bildet, wie ich meine, der Satz dieses Artikels den Weg, welcher
am schnellsten zum Weyr'schen Satze führt. »
7) Eine analytische Behandlung dieses Materiels giebt Ficquet a, a. O«,
tome I, page 506, etc., eine synthetische Reye a. a. 0., II. Abteilung, Seite
191 — 216.
mit drei Jnßexionsknoteu. 319
Sind Ut und Ut' zwei in der Nähe von U (Fig. 37) auf t lie-
gende nnd von u und v harmonisch getrennte Punkte, so ist das
Dreieck T Ut cy ein Polardreieck von A'. Nimmt man nun an, dass
Ut und Ut' sich auf t bewegen , dass sie mit Beibehaltung der har-
monischen Lage in Bezug auf U und V dem Punkte U immer näher
treten, so ist dieses Poldreieck von A' bei seiner Grenzlage des Zu-
sammenfallens von Ut und Ut' mit U dem Kegelschnitte A' umge-
schrieben; denn indem die Verbindungslinie der mit U zusammen-
fallenden Punkte U und U' offenbar die bestimmte Gerade t durch
U bleibt, so bilden TU und TU' in der Grcnzlage zwei einander
im Punkte T von K' schneidende auffolgende Tangenten von K'.
Also ist K' dem Kegelschnitte K harmonisch eingeschrieben. Und
wenn man nun zeigen will, dass K umgekehrt dem Kegelschnitte K'
harmonisch umgeschrieben ist — was mit dem vorhergehenden be-
kanntlich immer Hand au Hand geht — , so kann man auf das
Dreieck Ul'uW die nämliche Betrachtung anwenden.
Für den Beweis, dass zwei Kegelschnitte K und A'', welche in
Bezug auf ein Dreieck TUV die angegebene Lage haben, auch die
drei anderen Beziehungen zu einander zeigen, wird es nun genügen
die darbei zu verwendenden Dreiecke anzuweisen. £s zeigt das in
K' beschriebene Poldreiock TVtVt von A, dass A" dem Kegel-
schnitte A harmonisch umgeschrieben, das um A beschriebene Pol-
dreieck UTuTu' von A', dass A' dem Kegelschnitte A'' harmonisch
eingeschrieben ist. Weiter lehrt das zugleicher Zeit in A" und um
K' beschriebene Dreieck FÜ,I7c', dass A' dem A' dreieckig einge-
schrieben und A dem A^' dreiseitig umgeschrieben ist. Und endlich
folgt aus dem zu gleicher Zeit in A' und um K beschriebenen Drei-
ecke VTwTo'j dass A' dem A dreiseitig umgeschrieben und A dem
A' dreieckig eingeschrieben ist
Zeigen zwei Kegelschnitte A^ und K' zwei von den vier Paaren
einander bedingenden Lagenverhältnisse, welche wir betrachtet haben,
so kommen mit einer einzigen Ausnahme neben diesen auch die bei-
den anderen Paare vor. Im allgemeinen veranlasst nämlich die Ver-
einigung von zwei der vier Voraussetzungen notwendig das Auf-
treten eines Dreiecks TUV. Für eine der sechs Combiuationon mnss
aber eine Beschränkung angegeben werden. Weiss man nämlich,
dass A dem A"' dreieckig eingeschrieben und zu gleicher Zeit drei-
seitig umgeschrieben ist, so kann es sich wie io Fig. 38 ereignen,
dass die Tangenten u und t in v 2iU K und A' die Kegelschnitte K*
und A in Berührungspunkten von verschiedenen gemeinschaftlichen
Tangenten v von A und A' schneiden. Und in diesem Falle treten
neben den gegebenen Lageverhftltnlftnea die beiden anderen Paare
nicht auf.
320 Sehouie: Üeber die Curuen vierter Ordnung
Die von dem Dreiecke TÜV herbeigeführte merkwflrdige Lig«
von zwei Kegelschnitten wird nan selbstverständlich angetroffen beim
Kegelschnitte K und seinem Involntionskegelschnitte J in dem zweitii
Falle des Artikel 39, ebenso zwischen K und der Polarfigur tob J,
welche in Artikel 37 auftrat So würde man z. B. auch hienv
folgern können, dass der Mittelpaukt dieser durch A^ B^ C und die
vier Punkte Q gehenden Polarfigur K^ in den besonderen F&Uen dor
Artikel 32 und 33 auf K liegen muss, da dieser Punkt mit den u-
endlich fernen Punkten von K ein Polardreieck von A, bildet, wel-
ches wegen der merkwQrdigeu Lage von K und K^ zu einander L
eingeschrieben sein muss^).
Jetzt gehe ich zu den dualistisch entgegengesetzten Sätzen Aber.
Diese mögen hier aber wieder ohne selbständigen Beweis und in
abgekürzter Form erscheinen.
41. „Der Büschel der Parabeln, welche die Achsen a und h
eines Mittelpunktskegelschnittes K (Fig. 39) und eine beliebig ge-
wählte Tangente p^ dieser Curve berühren, enthält vier Paribdn,
zwei reelle und zwei imaginäre, welche K auf einer von p^ verschie-
denen Tangente q berühren. Die vier Tangenten q sind die gomeio-
schaftlichon Tangenten von K mit der Parabel, welche die Achsen
von X berührt in ihren Schnittpunkten mit der Tangente p^^ dio der
Taugente ly^ diametral gegenüber liegt, d. h. mit der Parabel, welche
die senkrechte Projectiou F von C auf p^ zum Brennpunkt nnd die
zu CF in Bezug auf die Achsen von X antiparallcle Gerade d zur
Directrix bat. Und diese Parabel umhüllt die Normalcurve K^ er-
ster Gattung, welche X zum Kückkebrschnitte hat, wenn p sich K
umhüllend bewegt".
„Der Büschel der Parabeln, welche das Centrum C einer gleich-
seitigen Hyperbel H (Fig. 40) zum Brennpunkte haben und eine be-
liebig gewählte Tangeute p^ dieser Curve berühren, enthält vier Pa-
rabeln, zwei reelle und zwei imaginäre , welche H auf einer von p^
verschiedenen Taugeute q berühren. Die vier Tangenten q sind die
gemeinschaftlichen Tangenten von X mit der Parabel, welche C zum
Brennpunkte und die der p^ diametral gegcuüber liegende Tangente
p^ von X zur Directrix hat. Und diese Parabel umhüllt die Normal-
curve X^ zweiter Gattung, welche i^zum Rückkehrschnitte hat, wenn
p^ sich H umhüllend bewegt".
8) Man vergleiche Piquet a. a. 0. tomo I, 518. probl^me 6.
it drti lafittioruknotm.
821
„Der BUscIiel der ßinc^in Polarilreiseite alie eioes Kegel schDittes
K eingescbriebeueri Kegelschnitte, welche eine beliebig gunithlte
Tangente p, von A' berUliren, enthält vier Curven. zwei reelle und
zwei imagiuäre, weiche üauf eiucr vuu p, verschied eneu Tangente q
berühren. Die vier Taugeuten q bIuiI dio gcuieiuschafüichea Tan-
genten von K mit dem iu abc beschriebenen Kegelschnitte, welche
in Bezug anf das eingeschriebene Dreieck der Beruh rnngspunUte von
den Tangenten a, 6, o die Gerade p, zur Pascai'scbe Linie hat. Und
wenn p, sich K umhllllend bewegt, so umhüllt dieser Kegelschnitt
der vier Tangeuteu q die Curve Ä*, welche a, b, c zu Rückkehr-
doppel tan geu teil und K zum Kückkehrsuhnitte hat".
i'i. ,,Jl'iIu Taiiijunte p einer K* Bchuuidut die Uurve noch in
vier Punkten, zwei reellen und zwei imagiuäi'en, für welche die Tan-
genten q allomul durch einen Punkt l' gehen, den Uerllhruagspunkt
der Tangente /-' des Rückkelirschnittea K von K*, welche bei der
Tranafoi matioü der Curve Ä* in ihrem HUckkehrschnitt K der Ge-
radon p cnts]iricbt, u. s. w.".
Diese dualistische Utukebrung des Weyr'schen Satzes wird selbst-
verständlich mittelst der Gesetze der Dualität aus Artikel Üä ab-
gelesen, FUr die Fälle der Noruialcurven gebe leb aber noch
einen selbständigen Beweis des Satzes , welcher sich auf die bekannten
Eigenschaften von Evolute und Anti-Kvolutc stützt.
Jede gleichseitige Hyperbel des von den Punkten vi, B, C, P,
(Fig. 32) als BasiapuDktc bestimmten Büschels, welchen wir in Artikel
32 betrachtet haben, schneidet £ ausser ^'^ noch in drei Punkten Qj,
Qj, Q( und die Normalen n,, 7>g, n, von K in diesen drei Punkten
schneiden einauder nach Artikel 8 in einem Punkte iV von der Nor-
male n, von K in /',. Nun ereignet es sich beim Büschel der gleich-
seitigen Hyperbeln wie wir fandeu aber viermal, dass zwei von den
drei beweglichen Schnittpunkten (j,, Q^, Ü, von K mit eiuer der
Curven des Büschels in einen Berährmigspunkt Q zusammenfallen,
dass also von den drei ausser n, aus einem Punkte iV von iij an K mög-
lichen Normalen zwei in eine Normale n zusammenfallen; deshalb
entbält «1 vier Schnittpunkte X von aufeinander folgenden Normalen
von K, d. h. vier Schnittpunkte -v mit der Evolute, welche, da «,
ihr in einem anderen Punkte berührt , also von der sechsten Ordnung
ist. Und nun liegen die vier Fusspuukte Q der vier Normalen auf
einer durch A, B, C gehenden gleichseitigen Hyperbel; also gehen
die vier Normalen » durch einen Punkt, d. h. die Tangeuten n der
Evolute in den vier Schnittpunkten iV mit einer Tangenton n, be-
gegnen sich in einem Punkte. Da nun dio Normalcure Ä* erster
i
322 Schonte: Uthtr die Curven vierttr QrdmtKg e/e.
Gattang die Evolnto eines bestimmten Mittelpnnktskegelachii'ttes I
ist, so ist die Umkehrung des Wcyr^scben Satzes fOr diesen Fall der
Hauptsache nach bewiesen. Und nun kann die Uebertragang dieici
Beweises auf den Fall der Normalcurve K^ zweiter Gkittang, wobei fie
Artikel 9 und 31 eine Hauptrollo spielen, dem geneigten Leter
flberlassen werden.
43. „Jede Curve C^ wird von den Tangenten ihres Wende-
Schnittes nach unveränderlichem Doppelverhftltnisse geschnitten. Jede
Curve K*" wird von ihren eigenen Tangenten in vier Punkten von
unvcrändorlichom Doppelverhältnisso geschnitten^^
Indem ich die dualistische Umkehrung dos Artikels 39 dem Leser
ttberlasse, beendige ich diesen Abschpitt mit dem obigen Satze, wel-
cher in seinen beiden Teilen sich selbst dual entspricht. Die Wah^
heit des ersten Teiles leuchtet unmittelbar ein; denn das vorgefahrte
Doppelverhältuiss ändert sich nicht, wenn man von irgend einer
Tangente q^* (Fig. 41) des Wendoschuittes zur nächstfolgenden Tan-
gente q^* tibergeht , da die Verbindungslinien der an einander gren-
zenden Schnittpunkte von q^ und q^' mit C^ nach dem Weyr^schea
Satze in einen Punkt Q von C^ zusammenkommen. Und der dem
ersten Teile dualistisch entsprechende zweite Teil des Satzes wird
auf ganz ähnliche Weise bewiesen ^).
9) Dieses DoppeWcrhältniss ist nach Wcyr das aequianharmoiiische («Dit
Leroniskate in rationaler Behandlung^, Art S).
liacellen.
Ein fccuiiititrlsclier Safz.
Es sei ans gestaltet im Folgenden einen geometrischen Satz zu
veröffentlichen, auf welchen wir gelegentlich anderer Untersnchnngen
geatoBsen sind.
Es sei irgend eine Involution AA^BB^CC^ ... anf einer ge-
raden Linie gegeben, und durch A ond ^, seien irgend zwei Linien
gezogen und auf diesen Linien irgend zwei feste Strecken UU^ und
y\\ angenommen. Ziehen wir nun DU, BL\, B, 1' und B,\\, so
bilden diese vier Linien ein Vierseit, dessen 2 von BB^ verschiedene
Diagonalen sich in G schneiden mögen. Sei ferner S der Schnitt-
punkt von UUi und IT, und P und Q auf den Linien AU und
A, r, so gewählt, dass z. B. /' und A in Bezug auf U und ü, con-
jngirt harmonisch liegen, so gilt folgender Sat£ :
„Der Ort des Punktes ff ist ein Kegelschnitt K.\ der durch S.
„P, A und die heidcn Doppelpunkte der Involution geht, wenn an
„Stelle von B und ß, andere Paaro von Punkten der Involution
„treten, ond die beiden durch O gehenden Diagonalen des Vierseits
„gehen durch 2 feste Punkte dieses Kegelschnitts."
Schneiden sich nämlich BU, und ß, K, in a, , BU und Bfl\ in
o,, Bf und B,y in «, and BU, und B^V in a^, so bestehen die
Oerter der Punkte k, nnd er, aus Kegelschnitten, welche durch die
324 MUaUtn.
Paukte S und dio beiden Doppelpunkte der Involotion gehen. T«-
bindcn wir nnn irgend einen Punkt «] der Punktrellie det eim
Kegelschnitts mit dem Punkt a^ des andern, so moss a^a^ notweidg
durch den4ten Schnittpunkt der beiden Kegelschnitte gehen, da dte
Pnnktreihen a^ und «s einander conform sind, und 3 der Sdn&t-
pnnkte der beiden Kegelschnitte sich selbst entsprochen. Dam
folgt, dass a|a, durch einen festen Punkt R geht Ebenao gdit %%
durch den festen Punkt T.
Da überdies die Punktreihen «,, a,, «„ «4 alle unter ndi pio-
jectivisch sind, so folgt femer, dass auch die Strahlenbflachel m^
und Ofa4 projectivisch unter sich sind, der Ort des Punktes O ato
ein Kegelschnitt ist. Dass der Kegelschnitt K^ durch die weiten
genannten Punkte geht, zeigen spedelle Lagen der n^n^ und €^4.
U.
Tritt nun die involutorische Reihe ins Unendliche and sind
Doppelpunkte die imaginären Kreispunkte im Unendlichen, so er-
halten wir in Bezug auf IJU^ und V\^ die Bedingung ÜU^ tenkrecM
auf VVi und können den Satz nun folgendermassen anssprechen:
^Sind 2 sich senkrecht kreuzende Strecken AB gegeben, nid
„gehen durch diese Endpunkte die Seitenpaare eines Rechtecks, so
„ist der Ort des Schwerpunkts des Rechtecks ein Kreis, und die Dia-
„gonalen des Rechtecks gehen alle durch 2 feste Punkte des Kreises,
j,die Rechtecke sind also alle unter sich fthnlich.^
„Ist insbesondere der Punkt D so gelegen, dass er der Höhen-
„schnitt des Dreiecks ABC ist, so wird der Kreis zum Fenerbach-
„schen Kreise des Dreiecks AßC\ die Diagonalen des Rechtecks gehen
„durch die Schnittpunkte von AD und BC^ BD und AC. In diesen
„Falle gehen tlberdies die Umkreise allee dieser Rechtecke durch
„den Schnittpunkt von AB mit CZ>."
Und ein sehr spec. Fall des letztern Satzes giebt uns als wd-
tern, uns bis jetzt noch nirgend begegneten Satz:
„Ist ABC irgend ein rechter Winkel und f&llen wir von 2 festes
„Punkten A und C auf dessen Schenkeln Lote AD und CE aaf
„eine durch B gehende bewegliche Gerade, so wird ED von eineBi
„festen Punkte G (auf AC^ BG senkrecht auf AC) unter einem
„rechten Winkel gesehen/
«4
Weingarten (Württ.), im Juli 1886.
B. Sporer.
Lchr§ltze
1 Sehne iiTlcreckc
1) Wenn einem KrGisc mit dum Mittel[mukto O ein Sobnen-
Ticreck ABC/) eiiiBmiliricbPii ist, dcsaen Diagunaleu {AC, BD) nor-
mal sind und sich im Punkte P sehneiden; ilunii haben {wenn E, F^
<?. H, K, L resp. die Mittelpunkte von AB, BC, CD, DA, AC, BD
sind) die vier Streeknn £ff, Fff, KL und Ol' denselben Halbirnngs-
punkt M.
Einem Kreise können anendlich riele Sebnenvierecke einge-
schrieben werden, deren normale Diagonalen sich in demsolbcn
Punkte F schneiden.
2) Alle Strecken, welche zwischen den Mittelpunkten der Gegen-
seiten solcher SehnenviiTeckc liegen, werden durch den Pnnkt Jf
halbirt,
3) Dia Mittelpunkte der Seiten aller dieser Seb neu Vierecke
liegen ftnf einem Kreise, der das Ccntrnm M und den Halbmesser
l/ä — *■■ bat, wenn r der Radius des nmsehrielicnen Kreises und
4) Alle Rechtecke KFGH, deren Eckpunkte die Seiten solcher
Sebnenvierecke Laibiren, umhüllen eine Kegelsuhnittsliaie , welche die
Urennpunkte 0 und I' und eine Hauptachse von der L&nge r hat
Wir teilen diese Sfttze ohne Beweise mit, weil sie teils Folge-
rungen bekannter Sätze sind, teils leicht bewiesen worden können.
Pola, im Juni 1866,
Franz Scbiffnei
k. k. ProfeBSor.
t einfache Darstellung der Resultante von ittcI quadratischen
Formen.
Sind die Zahlen a^b^ ..- so beschaffen, dass die GloicbuDgen
326 Ätuceüen.
eine gemeinschaftliche Wurzel haben, so ist damit gesagt , dasi ei
bestimmte Zahlen (aS|'), (20^«,), (x^*) gibt, f&r welche
s}'
während jedenfalls zugleich auch
von selbst erf&llt wird.
Damit ist gesagt, dass die 6 Zahlen OQtt^a^bQb^hf so beschafei
sind, dass der Kegelschnitt
und die Geraden
einen Punkt gemeinschaftlich haben, nämlich den Punkt
Xi — («1^, Xf -» (2xiX^)^ X| = (ar,*). Dies ist nur unter einer Be-
dingung zwischen den Coordinaten der beiden (Geraden a und h
möglich. Und wäre andrerseits diese Bedingung fOr das geometri-
sche Oebilde der beiden Geraden, in Verbindung mit dem Kegel-
schnitte
erfüllt durch gewisse angebbare Zahlen: X^X^X^^ so brauchte maa
Mos Xj* — > AAj, 2xiX2 » AJTs, x^* = IX^ zu setzen (je zwei dieser
Gleichungen liefern Werte fttr x^^ x^^ welche der dritten von selbst
genügen), um dann auch behaupten zu können, dass nunmehr auch
die quadratischen Formen
aoa^i*+2oiafi«j|-|-aja;j* und
Xi
eine gemeinschaftliche Wurzel -besitzen müssen.
Xi
Man kann aber die Bedingung aufstellen dafür, dass der Schnitt-
punkt zweier Geraden
auf einem Kegelschnitte 4X^X, — J^'»-0 liegt (Salmon Algebra
der linear. Transform. Art. 21.; Beisp. 16).
Diusclbo ist, wenn «,, u,, •^^''ti "»i "is ^^° Cooffioiontun des Kegel-
schnitU, gogebou durch
lu nnsorni Kallc hat man m setzen o», = ~ 1 ;
Ubrigou Cocftiuienteu verachwindcn ; and man erhält :
als die Resnltantu der lii'iiluii vorgegebeneu Formen.
Der hier benutzte GcdanbcDgang ^tUtzt siuh aaf Barnaide's
Vorschlag zur Behandlung der InvariaDtentheorie (Salmou, Algebra
orL 190).
Es Bei noch bemerkt , dass mau obige Determinante bedeutend
vereinfachen kann; uian multipticirt die beiden letzten Zeilen mit '2;
hierauf addirt mau das (~-ay}-facbe der crateu Zeile, das ^Uf
fachc der zweiten Zeile, und schliesslich das (— oo)-fache der dritten
Zeile zur vierton Zoilc; schliesslich multiplicirt man die erste Zeile
mit (— Aj), die zweite mit 2i,, die dritte Zeile mit (— A(,) und addirt
^ur t'Uufteu Zeile. Man erhält:
i,4-2A,,
-2o,»
— aA^ij+aft,» I
Die» ist aber in der Tat eine bekannte Furm der Resultante ; sie
tritt auf, wenn mau die Bedingung sucht dafür, das die als Gleichung
für i dargestellte Discriminanto von oi"-|-An:,* = U eine Doppol-
nnrzel in den l habe.
Uüncheu, Herbst 18^6.
Fritz Ilofman
328 MsctlUn.
4.
Conforme perspeetiTe Projeetlon der Fliehen mut ^iBander.
Bei Kartenprojectionen pflegen perspectivische Projectioiien der
Erdoberfläche auf abwickelbiu-e Flächen bevorzugt zu werden. Aehi-
licbkoit der Flächeneleroente bleibt dann ausser Betracht. ¥^ir woUei
nun statt dessen fragen, auf welchen Flächen die Aehnlichkeit der
Elemente mit der Perspectivität vereinbar ist
Das Quadrat des Linienelements in Polarcoordinaten r, 7, f
dargestellt ist:'
8,« — ar«+r«(cosV V+8*)
Nimmt man den Anfang der r im Projectionsccntrum, so decken sich
pcrspectivisch alle Linien, weiche bei gemeinsamen 9, tff nnr in r
differiren. Daher ist fttr jede Projcction von ds
8*,« = ari«+rj»(cosV8v«4- 3^«)
Liegt nun 9 auf einer Fläche , s^ auf deren Projection , so sind die
bei Variation von <p und ip erzeugten Fiächenelemente ähnlich, wenn
bei jeder Variation von fp und ^ das Verhältniss von d» und 8t|
dasselbe bleibt Dies erfordert, dass
sei. Die eine Lösung
8r»
r*
=
dr
r
=:
8r,
welche nur ähnliche, ähnlich liegende Flächen gibt, kommt nicht in
Betracht, folglich ist fttr unsere Frage
t+^i^O oder
rr^^ = m (const ttber die ganze Fläche)
„Die einzig mögliche conforme perspectivische Abbildung einer
Fläche geschieht in reciproken Radien/^
Von hier ausgehend ergibt eine leichte Betrachtung Folgendes.
Einer Geraden entspricht ein Kreis, der durch das Contram der
Perspective C geht, und dessen Mittelpunkt mit C auf einer Normale
zur Geraden liegt, mithin einer Rcgelfiäche eine von Kreisen
zeugte Fläche, die sich sämüich in C schneiden.
Da ilureb keinen Pnnkt cinus nichtspb&rischeD RotationBellip-
Boides mclir als ein Krcisacbuitt gebt, so Iflsst sich dio ollipBOidiscbe
Erdobcrdäche auf keiner Itogi'IHäclic , mithin auf keiner abwickel-
baren, perspectiviscb conform abbilücu.
Die aoalytisclie Daratellnug der iuverson, d. b, in rociproken
Radiuu entsprecb enden l'läulie /u einer ijcgebeueu Regulfläcbe bietet
sich diroct leichter dar als mit AnwenduQg dur geomotriBobou Be-
tracbtuug.
Die Gleichungen der Regelflftcbe seien:
wo o, b, c Ricbtnii^suusinuB der Erzeugenden, u Strecke auf ihr, a
ß, y, a, b, e Fanutionen einee von » unabbäogigcu ParainctiTS ajad.
Sei
und bezeichne der Index I die Zugehörigkeit znr luverBt-n. Dann ist
„i+ß2+yJ.
,BX^au + bß + cy
i erhält [
/, = i;y -i-, -; T-i^>; etc.
Zur Vereinfachung sei
» =: x(sinitcotii>— roBl); tt ^ *(aeoaX-\-ajBlai)
d. 1. gleich dem Abstände der Erzeugenden von C. Dann wird
Xf = -sinai(a,Bini<i-|-aC0Be>); otc.
dio iuvorse Fl&cbe zu der gegebenen .-
otc
Hier sind a,b^c, Ricbtungscosinns einer sonst beliebigen, aber zur
Erzeugenden normalen Geraden Ihre Bodoutung hat diese Gerftde
als Schinttiiinie der Ebene zwischen dem Radinsvector und der Er-
zongcndou mit der Korraalcbcui; der letztem, and m ist der Winkel
zwischen dem Radinsvector und der Erzeugenden.
R. Uoppe.
330 AiucelUn.
5,
Ein YlereeksMtz.
In dem Aufsatz VII. 2. S. 224 finden sich die Coordluaten x^
des FlächoDSchwerponkts des Vierecks in 6 Grössen uu^UfW^tf^ dar
gestellt, wo der Eckonschwerpunkt zum Aufangspunkt gewählt ist,
drückt man nun auch die Coordinaten des Diagoualcnschnitts in den-
selben 6 Grössen aus, so zeigt sich, dass deren Werte
— 3^0, -- 3.vo
sind, und man hat den Satz:
Der Flächeuschwerpunkt, der Eckenschwerpunkt und der Diago-
nalenschnittpunkt eines Vierecks liegen in genannter Reihenfolge auf
einer Geraden, deren so begrenzte Abschnitte sich verhalten wie 1
zu 3.
Diese einfache Beziehung führt auf die Vermutung, dass sie
sich auch auf einfache Art synthetisch beweisen lässt.
R Hoppe.
6.
Beweis des vorstehenden Viereckssatzes.
ABCD sei das Viereck, E der Durchschnitt, Fund G die
Ilalbirungspuukte der Diagonalen AC und BD. Teilt man KF in//,
so dass EH == lEF ist, und zieht durch // die Parallele zu BD^ so
geht diese durch die Schwerpunkte der Dreiecksflächeu ABC uud
ADC^ ist also eine Schwerlinie der Vierecksfiäche. Macht man ebenso
EJ = liEG und legt durch J die Parallele zu AC^ so erhält man
ebenfalls eine Schwerlinie der Vicrcksfiäche. Der Schwerpunkt S
dieser Fläche ist der vierte Eckpunkt des Parallelogramms über EH
und EJ. Der Schwerpunkt T der 4 Ecken ist der Halbirungspunkt
von FG. Hieraus folgt leicht, dass E, T, S in gerader Linie liegen,
und sich
ET: ES = 3: 4k
verh<, w. z. b. w.
F. August.
Zur C'oDstruction der ElUpKe mit Benatzun^ van
KrOnimun^xkrvUeD.
Sind ^.I, nnd ÜB, die Achsen einor EUiiisc, und ist CDEF
das Rechtcuk, welches diese Achsen zu Mittellinioa bat, so trifft be-
kanntlich die Sonitrechte aas C auf AB beziebungswcis AA^ nnd BB^
in den Krü mm nngsmittet packten 3/,, M^ der Scbeitel A und B.
Mit Berllcksicbligung der Symmetrie erbälr man ao leicht 4
Krümmongskreise der Ellipse.
1d Folgendem soll nun gezeigt werden, wie sich weitere 4 EUipsen-
puukte nnd deren Krllmmangskrcise ein fach ermiltelu lassen.
Die Oleichnng einer Ellipse E mit den Halbachsen a nnd & ist
A»a:»-|-aV — "'*',
die Gleichung ihrer Tangente '/' im Punkte P ... {x, y) lautet:
die der Normalen .V:
der Krilmmuugsraittelpunkt M hat dio Coordinaten:
Bilden 2\ N nud OM (der Hadinsvector des Punktes M) mit
der Abscissenachse OX bozie ha ngs weise dio Winkel t, n nnd m,
daan ist
und tangm = '' = -
Diese 3 Werte nehmen für gewisse Punkte eine sehr einfache
Form an. Liegt z. B. der Paukt P ... {x, y) so, dass
ist, (das ist der Fall,
wird
tangi = — -, tang.1
i P ein Punkt der Geraden OC ist), dann
. - und lA""" — —1 »ein.
332 MUcdUn.
Trägt man also von O ans gegen A^ zn OO = 6, gegen B zn
OH — a anf nnd zeichnet das Rechteck GOHK^ so gibt OK die
Lage nnd Richtung von OM^ GH die Richtung von N an, nnd T
mnss senkrecht zn GH oder parallel AB sein. Bedenkt man noch,
dass T auf OX ein StQck OjS abschneidet, welches im allgemeinen
gleich — ist; dass fdr den Punkt P aber aj — -^^ ^'"^j ^^^^ -'^ roit
jenem Punkte |> gleiche Absdsso hat, der im Kreise AAg nnd in der
Diagonale des Quadrates ttber AA^ liegt, so ergibt sich in nnaerem
speciellen Falle für OS der Wert ay2 oder die L&nge A^H.
Der Ellipsenpunkt F in der Rechtecksdiagonalo OC^ seine Tan-
gente T, die Normale N und der zugehörige Krümmungsmittelponkt
M können deshalb auf folgende einfache Art gefunden werden.
Man zeichnet OG ^b, OH=z a, HKn OG, OS = A^H^ durch
S die Tangente 7 ± GH oder T l AB, durch P in OC die Nor-
male N 1 GH und bringt i^^ mit KO ia M zum Schnitte.
Andere 3 Ellipsenpunkte und Erammungsmittelpunkte li^en
symmetrisch zu P und M für die Symmetralen AÄi und i?B|.
Die so ermittelten 8 Erammungskreise dflrften den Verlauf der
Ellipse in den meisten Fällen mit hinreichender Grtnauigkeit an-
geben.
Der oben eingeschlagene Weg führt auch zu beachtenswerten
Resultaten, wenn Ellipsenpunkte betrachtet werden, für welche
- = öi* T~ etc. ist, oder auch, wenn Ellipsen vorliegen, bei denen
die Achsen in einem einfachen Verhältnisse stehen.
Pola, am 17. September 1886.
Franz Schiffner
k. k. Prof.
8.
Ueber Prodncte ans ganzen Zahlen.
A.
Sind p — Oy p+a, q-^-b und q — b irgend 4 Zahlen, so ist stets
die Relation
I. (p* - a») (g« - 6*) + (og ± *p)« - (pq ± ab)*
giltig. Ans dieser Relation nun sei es uns gestattet in folgendem
einige Schlüsse zu ziehen, welche Prodncte ans 4 ganzen- Zahlen
betreffen.
1) p(p + n) (p + -n)(p + 3")- Wenden wir auf liieaes Product
die Relation I. au, so erliatteu wir sofort:
H. p(p+.0{p + 2«)(p + 3«) + «* = (p»-f3pn+«»)» uad
III. p(p + »)(p + 2,.)(p + 3,0 + "'(2p + 3..)»-=-(p»-t-3pn+3n*)',
d. Ii. mit Wortcu:
Maltipliciren wir irgoud 4 auf einanderfolgeDdo Glieder eiuer
,^ritbniet. Reibe I. Ordaung und addiren diuu das mit dem Quadrat
„der Differenz oder Sainme der beiden mittleren dar 4 Glieder , so
„erhalten wir stets ein Quadrat".
Speciell giebt Gleich. II den Satx:
„Beatebt einu arithin. Koibc I. Ordnung aus ganzen Zahlen, so
„ist das um die 4te Potenz der Differenz der Reihe vermehrte Pro-
„duct aus 4 auf einauderfolgendcu Gliedern stets ein Qoadrat" .
^
Geben wir ferner n verschiedene Werte, so ergiebt sich d
p(p+l)(p+2)(p + 3) + l
p(p+2)(;' + 4)(;' + 6)+lG
Hp+3)(p+6)(p+9)-|-81
und
p{p+l)(p+2)(/,+3) + (2p + 3)«
p(p + 2)(p + 4)(p+6)+4(p+3)"
p(p+3)(p+6)(p+a) + (2p + 9)*
Bind BtetB Quadrate, welchen Wert dio gauze Zahl p mch anoc
mag. Speciell sagt die erste der Relationen IV. aus:
„Das um 1 vermehrte Product von 4 auf einanderfolgenden
„Zahlen ist stets ein Quadrat".
2) p(i, + fl)(p+9)(p+s+n) Wir erhalten ohne Schwierig-
keit folgende Gleichangen:
V. p(p-l-..)(P+9)(l'+V+") + -/""''
VI. p(p + «}(p-i-g){p+9+'') + (ap+fl + ")*'i-"*
VII. p(p + n)(p-l-9)(P + a + ") + (2p + 3 + -»)'-4-''*
Sollen die linkeu Seiten dieser Gleichungen ganze Zahlen vorstellen,
so moss bei V. q oder n gerade, bei VI. und VII. g resp. n oder j
p-l-n gerade sein.
334 MüeelU».
Setzen wir specielle Werte fttr q und n ein, so folgt aas Y.:
p(p+l)(p + 2)(p+3) + l (n = 2 9-1)
p(P+2)(p+2)(p+3) + 4 (»--=2 5-2)
p(P+2)(p+3)(p+5)+9 (« = 2 5-3)
VIII.
'p(P + 3)(p+4)(^+7)+36 («=3 9 = 4)
P(P+ 3) (p +6) (p+ 9) + 81 (n-3 9-6)
ans VI. ond VII.:
P(p+l)(p+2)(p+3)+(2p+3)» (n-1 9-2)
i P(p+2)(p+2)(p+4)+(2jH-4)'' (n-2 9=2)
p{p+3)(p+4)(p+7)+(2p-f7H'' («=-3 9-4)
IX. l p(p+l)(p+l)(p+2)+(H-l)* (»=l «-1 «+9=2)
P(p+l)(p+3)(p+4)+9(p+2)» (n=l 9=3 9+«=4)
p(p+3)(p+5)(p+8)+25(p+4)« (»=3 9=6 P+«-8)
sind stets Quadrate.
3) p(p+«) (p + «+l)(p+ 2a +1). Wir erbalten mittelst
der Relation I.:
X. p(p+«)(p+«+l)(p + 2a+l)+(2p+2«+l)»^*- «»
XI. p(p+«)(p+« + l)(p + 2«+l) + (2p + 2« + l)»^'^^^-— t
XII. p(p+«)(p+<» + l)(p + 2i. + l) + "''^"j"^^*=:«>*
wobei stets eine der linken Seiton der beiden ersten Gleichnngen
eine ganze Zabl ist, wäbrend dies mit der linken Seite der 3ten
Gleicbung stets der Fall ist
Speciell folgt ans X. nnd XL:
, p(p + l)(p+2)(p+3)+(2p+3)» (a - 1)
ip(p + 2)(p+3)(p+5) + (2p+5)» («=2)
XIII. |p(p+3)(p + 4)(p + 7)+4(5^+7)« («-3)
p{p+4)(p+5)(p + 9) + 4(2p + 9)» (« = 4)
nnd ans XII.:
MiteeUtn. 335
p(p + l)(p + 2)(p+3) + l («-1)
P(/' + 2)(p+3)(p + 5) + 9 (« = 2)
XVII. ;p(p4-3)(p4-4)(p+7)+36 (a-.3)
p(p+4)(|> + 5)(p+9) + 100 (a = 4)
sind Quadrate.
4) ;)(p + na)(p-j-»« + «()(p4-2'»«+«). So ergibt sich uns:
fn-4-l)*o*
XV. 2>(7)+«o)(p-(-n«4-c){p4-2no-|-otf-(2p+2no+o)»--^ «*
XVI. p(7?+rta)(/)+w«+a)(|)+2n«+a)+(2p+2»a4-a)^- ^ =- w
XVII. /)(Ff'*«)(2>+^«+«)(P+2»*«+a)+r w ^y^ j
— ' — ■ «*=»'
wo bei der letzteo Glcichnng die linke Seite stets eiue ganze Zahl
ist, während es bei den beiden ersten nicht der Fall ist, wenn a
nicht gerade ist. In letzterem Fr'lo ist dies stets nm* bei einer von
beiden der Fall.
Setzen wir in Gleich. XV. bis XVII. specieile Werte fttr « und
n, so erhalten wir z. B. aus XV. und XVI.:
l>(p+4)(2i + 6)(/i + lO)+4(2?, + 10)« (««2 « = 2)
( p(p+4)(p + 6)(^+10)+9(2p + 10)« (a = 2 n - 2)
XVIII. ] 2,(p+6)(|)+9)(p + 15)+9(2!p + l5)» (« « 3 n « 2)
) Mp+ÖXl'-f 12)(p + 21)+36(p-h21)« (a = 3 « = 3)
und aus XVII.:
'•p(p + 4)(p + 6)(P+10) + 144 (a = 2 n « 2)
\ i'(;> + 6)(p + 8)(p+14) + 576 (a = 2 n = 3)
XIX. ] p(|J + 6)(p+9) (p+l5) + 729 (« « 3 n = 2)
/;>(/>+ 10)(p + 12)(pH-22)+3600 (a=-2ti = ö)
a^s vollständige Quadrate.
5) 2p{2p + 1) . 2q{2q ±_ 1). Daraus folgen sofort die Relationen :
XX. 2p(2p+l)2(?.(2(?+l)+(p-3)*«-«*
XXI. 2|>(2p+l)(2(?)(2g + l) + (p-«)*(2p + 29+l)* = ***
XXII. 2;>(2p + l)(29-l)2g+(|i+fl)«-v«
336 Misceüen.
XXni. 2p(2p+l)(2v— l)23+(i>+g)«(%i — 2g + l)« — ir»
XXIV. (2p — l)2p(25 — l)2v + (p — 3)« = x«
XXV. (2p-l)2p(2g-l)2g+(p~3)«(2p+2^-l)««y«
Setzen wir hier für p und q irgend welche specielle Werte, so
erhalten wir hieraus ebenfalls eine Reihe von Qaadraten, so z. B.:
2p(2p-|-l)(2p+6)(2p+7)+9 (q=p+^)] aus XX.
2p(2p+l)(2p-U)(2p-15)+225(2p-7)« (p+«-7) ;
aus XXI.
(2p) (%>+!) (2p-40) (2p -9)4-25 (p-H=5) ; ans XXH.
, (2p)(2p+l)(2p-f5)(2p+6)+25(2p+3)« (g=pH-3);
XXVI. \ aus XIII.
(2p-l)2p{2p-H)(2p+10)+25 (iz-p+5); aus XXIV.
(2p-l)2p(2p+g)(2p+10)+25(4p-h5)« {a-^p+6);
aas XXV.
Fortsetzung folgt.
Weingarten, im Nov. 1885. B. Sporor.
VtrUiluiig und Suamv«!/ drt Ettkirk
lieber Verteilung und Strömung dei" Elektricität
auf dem Parallelepipedon.
Von
Hermann NIebour.
Zur elcktrixclicu TerteUung auf dem PttraUelvpIpedon.
In der woiterea Ausarbcilaug der Poisaoii'scbon Theurie ilor
Elektrostatik, welche dieselbe durch Gauss Dud Green crfahreo hat,
tritt, bei der Bohandlung elektrostatischer Probleme für Conductoreu
von specieller Form, die Bedeutung der „Greca'scheii Belegung" des
betrefTeodcn Körpers in Bezug auf eiaen inneren Puukt, wie die der
„Green'scbon Fonctiou"' vor allem hervor. — Die Bestimmung dieser
GrösHCu für das Parallelepipedon vrird ans in diesem Teile aus-
schliessliiib bescliäfligeii.
Die auzuwendondo Motbodu wollen vir zunilchBt an einem ein-
facheren Fall darlegou, iudem wir aus vorweg die Aufgabe stellen:
Gegeben ist eine uuendliche planparallcle Platte von der
Dicke a und iunerhalb ein Punkt P. Gesucht wird die
dicBcm Punkt entsprechende Grei'u'scho OberAUchcnbelCKung
der Platte.
Der Gang der Lösung dieser Aufgabe ist der folgende: Wir
bestimmen die „Green'scbe Function" der gesuchten Belegung, habeu
dann also neben dem (dircct gegebenen) Potential derselbeu auf
äussere auch das auf innere Punkte and linden die Belegung ij selbst
für jeden Punkt der Oborfl&cbe, wenn wir die Poisson'scbe DÜferenUal-
gleichung :
Aiib. in H*». u. Pliji. i. Bailii, Tiil IV. >>
338 Niebour; Ueber Verteäung Wid SirötmMg
dVi dVa
dn dn
verwenden.
— 4wi^
Vi und Va bezeichnen bierin die Potentialwerte der Belegnng
in den dem betreffenden Oberflftchenponkte unmittelbar benachbarten
äusseren (a) nnd inneren (0 Punkt, n ist die innere Flftchennormala
Die Green'scho Function ist im Innern der Platte flberall ein«
deutig und stetig; sie genügt hier der Gleichung: 4^-»0 nnd ist
in allen Oberflächenpnuktcn mit dem Potential von P identisch. Zm
ihrer Bestimmung benutzen wir hier wie später die Methode der
Spiegelbilder. Dem Spiegelbilde von P gegen die Grenzebeno / der
Platte erteilen wir die Masse -f-1* Dann stimmt sein Potential für
alle Punkte der Ebene / mit dem des Poles P flberein. Fflr die
Ebene // gilt das nicht; vielmehr müssen wir, um auch hier Uebtf-
einstimmuug zu erreichen, den Spiegelbildern von P nnd P' gegen
die Ebene //je die Massen -)-l und —1 orteilen. Fahren wir in
dieser Weise fort, bis ins Unendliche hin, so findet schliesslich in
beiden Ebenen zugleich Ucbcreinstimmung statt, und es ist dcmnadi
die Green'scho Function das Pot3ntial sämtlicher aufeinanderfolgenden
Spiegelpunkte des Punktes P gegen die Grenzebenen, versehen mit
den abwechselnden Massen ± 1.
Die Aufstellung jenes Ausdruckes hat sonach keine Schwierig-
keiten. Wir nehmen die Mittelebcne zur ys-Ebene unseres Coordinaten-
Systems und legen die «-Achse durch den Punkt P, dem wir die
Coordinate 6 erteilen. Die Coordinaten sämtlicher Spiegelpnnkte
von P werden alsdann :
xa+(-.l)«J,
X wachsend von +1 bis + ^ und von — 1 bis — oo ; die zugehörigen
Massen der Spiegelpnnkte sind (—1)*+*; so dass die Green'scho
Function folgende Form gewinnt:
In der Tat hebt sich für die Oberflächenpunkte x — ± a/« die
letzte Summe fort und wird also Vi = Va. Den übrigen genannten
Bedingungen, die wir mit G. Neumann als Hauptbedingungen zu-
sammenfassen wollen, genügt Vi ohne weiteres als Potential äusserer
Massen.
Aus Tt resultirt für die Dichtigkeit der Green'schen Masaeo-
belegung beider Ebenen bei Anwendung der oben erwähnten Poiason-
schen Gleichung:
r/rr Elektricüät auf dem Parallelepiptdon, 339
1 +i^
1.
(-l)«+i(x«+(-l)«<-^)
j(x«+(-i)«a+y+y»+»«}*
r geben diesen Ansdrflcken die folgende Gestalt:
1 oo (-l)''+M*« + (-l)«a-^)
1 +*
2«
1 -00
(_l)x+l(_X„ _(_l)«a_?)
che uns sofort ihre physikalische Bedentaug erkennen lässt;
die Green'sche Belegung einer Ebene x « c (als Grenze des Halb-
ins (gedacht) in Bezug auf einen Pol von dem Vcrticalabstand i
ihr und der Masse m. Danach lautet das gewonnene Resultat:
„Um die einem inneren Punkt P als Pol entsprechende
Green'sche Oberflftchenbclegung einer unendlichen Platte
zu erhalten, denken wir uns sämtliche aufeinanderfolgenden
Spicgelpunktc des Punktes P gegen die Grenzebene der
Platte bis ins Unendliche hin construirt. Den beiden ersten
Spiegelbildern von P erteilen wir je dio Masse -j-l, dem
nächsten Paar je dio Masse —1 u. s. w. Die so bestimm-
ten unendlich vielen Massenpunkto teilen wir in solche, welche,
von P aus betrachtet, jenseits der Ebene / und solche, die
jenseits der Grenzebene II der Platte liegen, und bilden
nun für dio Punkte der ersten Art die ihnen als Pole ent-
sprechenden Grecn'schen Obcrflächcubelcgungen der Ebene /
(als Grenze des Halbraumes gedacht), für die Punkte zwei-
ter Art die entsprechenden Belegungen für die Grcuzcbene ü.
Denken wir uns endlich die Dichtigkeiten aller dieser
Belegungen in jedem Punkt der beiden Ebenen summirt,
340 Niehoun Ueber Verteilung und Strömung
80 haben wir in dieser Summe die gesuchte Dichtigkdt der
Green'schen Oberflächenbelegung der Platte in Bezug auf P.^
Hierbei mag bemerkt werden, dass, abgesehen von sogleich nt-
znteilenden Beschränkungen, dieser Satz auf jedes beliebige Polyeder
auszudehnen ist.
Man hat:
„Construirt man sämtliche Spiegelpunkte des Poles P
gegen die Grenzebenen des Polyeders bis ins Unendliche
hin, so ist die Grecn'sche Massenbelegung des Polyeders
fOr jedes der begrenzenden Ebenenstflcke gleich der Summe
der Dichtigkeiten der Groeu'schen Belegungen dieser Ebenen
(als Grenzen des Halbraums gedacht), gebildet für diejeni«
gen Spiegclpunktc als Pole, welche durch die betreffende
Ebene von F getrennt sind. — Die Massen, welche man
dabei den Spiegelbildern zu erteilen hat, sind abwechselnd
von der Grösse -j-1 oder — 1, und zwar erhalten die ersten
Spiegelpunkte von P alle die Masse -\- 1 ; den bei der
zweiten Spiegelung neu gewonnenen Punkten ist je die
Masse ~1 zu verleihen u. s. w/^
Genauer gilt dieser Satz dann, wenn sämtliche Spiegelpunkte
ausserhalb des Polyeders liegen und die erhaltenen Reihen conver-
giren. Ersteres ist zur Stetigkeit der Green'schen Function erforderlidi
und ist nur bei denjenigen Polyedern der Fall, deren Grenzebenen
n
unter Winkeln von der Form - (n eine ganze Zahl) zusammenstossen:
letzteres bedarf im allgemeinen einer besonderen Untersuchung, welche
in unserem Fall der unendlichen Platte fortfällt, weil, wegen der bis
ins Unendliche abnehmenden Glieder mit wechselndem Vorzeichen,
die Convergenz unmittelbar klar ist
Weiter erwähnen wir zu der oben gelösten Aufgabe noch, dasi
verschiedene Grenzmethoden uns ebenfalls einfach zum Ziel gefährt
haben würden.
So gelangen wir zu den oben angeführten Resultaten, wenn wir
in den Ausdrücken, die C. Neuroann mittelst der dipolaren Coordi-
naten für die Green'sche Oborflächenbelegung zweier ausserhalh ein-
ander liegenden Kugeln entwickelt, die Kugelmittelpunkte nach ver-
schiedenen Seiten ins Unendliche rücken lassen. Wir wollen einen
anderen derartigen Grenzübergang kurz andeuten, ausgehend von den
wohl neuesten Formeln dieser Art, die Mchler in den mathematischen
Annaleu Bd. 18 („Zur Theorie der Verteilung der Elektricitftt in
leitenden Körpern^^) S. 469 ff. ableitet. Aus den letzten dort gegebe-
der Elttlrieitai auf dem Paralltliplpedon. 341
nen Ausdrucken ist als Grcon'sche Function für zwei concentrische
KDgola von den Radien a — e^' und b = e''* {a <; b, der Ranm
zwitcben ihaea ala Condactor gedacht) zu entnehmon,
1
-<B ^y^i{..^.e3(«>^ae^-se.+ala•-^l)(pa-ft_
i co89,«r'+e'+f-c<>+(^+iip»-p>)
Hier ist der Kugel mittclpnnkt als Coordinatenanfang gtinäblt;
die Polarcoordinaten des Polos r siad «e» (= *o), 0,Ü und die des
variablen Punktes ee(=r), *, ip. Wir können also auch Bchreibeu;
'Vr'+V — 2no«>8*
+ _^J
^■G)'
Lassen wir nun den Kugelmittelpunkt ins Unendliche rücken, so
werden die Zlibler der Summcugliodcr sümtlicb 1 und da das erste
Glied sich fortbebt gegen das Ote Glied der leWten Summe, so sehen
wir !'( ist das Potential der Punkte — Ul ' "A vermindert um
das Potential der Punkte -ri, [i] • Ofi; * wachsend von —od bis
Jf- CD, Dur bei den letzteu Pnnkteu das Glied « — 0 übersprangoo.
Fflbreu wir jetzt nnsere alten Bezeichnungou und noser altes Coordi-
natensystem wieder ein, so ist zu setzen:
nnd dio Coordinaten der Punkte erster und zweiter Art werden:
342 NUbour: ütber Vtrteihmg und Slr9mMiig
1) ^ / 7A -a — ö. 0,0;
1 +
2---Gy
2) ( «+ i - « ) / —-^-'^- -' 0,0.
(-l-)(--J
Gehen wir hierin znr Grenze für a » oo Qber, so wird aas da
letzton Ansdrttcken:
(2« + l)a — ^, resp. 2««+*;
das aber sind die Goordinaten der Spiegelpnnkte von P^ ond wir
haben somit unsere oben abgeleiteten Formeln ans den von Mchler
aufgestellten gewonnen.
Die Mchler'schen Untersuchungen sind im flbrigen dadurch aus-
gezeichnet, dass sie die Resultate als Integrale elliptischer Functionei
ergeben. Bei unserem Grenzfall, der unendlichen Platte, könoei
genau dieselben Formen wol nicht beibehalten werden, indessen ist
es leicht in etwas analoger Weise Integrale von ^fnnctionen zu ve^
verwenden, wenn wir uns an eine Bemerkung erinnern, die Kemann
bei ähnlicher Gelegenheit macht. (Riemann-Hattendorf: Schwere,
Elektricität^ Magnetismus S. 89):
Es ist nämlich die Euler'sche Tfonction ftlr das Argument \\
r(i) = y»=yV-^^^.
oder für x -= N.t\
00
J L C"^^ -M
0
Setzen mr nun iV= (x«4-(— 1)*^ -•«^)*+y*+** und tragen
das Ganze in den für r, gefundeneu Ausdruck ein, so ergiebt sieb
als Green'sche Function der unendlichen Platte:
oder, die geraden und ungeraden Glieder getrennt:
?s
d€r EUktricUai avf dem BaralkUpipedon. 343
00
Vi = -7=====!=========-. -^ C^^Zm (e-«r(2ira+if-»)»+|f»+i«3
Die hier vorkommendon Summen sind diroct als Jacobi'sche
«^fnnction zu schreiben. Wir benatzen die Definition:
+00
und haben:
00
.__L /
\t-*i'—)*»(2at(i—x), -4o»«)-e-««-«'-«)**(2o.t.(«— a-x), •-4««t)}
y(d— *)«+»»4-«» y*j/ y*
In analoger Weise sind die beiden oben (S. 339) erhaltenen Groen-
scben Oberflächenbelegnngen der Platte amzngestalten. Wir geben
ihnen znn&chst die folgende Form:
1 d +« 1
^^"iü'di-^^
|/(»« + (-l)«*-?)+,«+y'
4ä dö _ao
V^^'^ — aZ^^»
[/(%« + (- l)«»+?)+y«+^
nnd machen hier wieder die Riemann'sche Snbstitation.
Es resnltirt:
^fzot^^ — A —4«»«]
*[2««(^ + A -4«»«1
Nach diesen einfacheren Betrachtangen sind wir in den Stand
gesetzt, die Ldsang der betreffenden Aufgaben fttr complicirtere Poly-
344 Nitbouri üeber Vtrttämng tmd SMhnmg
eder, namentlich ffXr den Fall des Parallelepipedons, fast nnmittdbar
hinzuschreiben. Wir betrachten nnr den letzteren Körper; seine
Kantenlängen (resp. parallel der a^achse) nennen wir aßy^ den
Coordinatenanfang yerlegen wir in den Mittelpunkt und Terstehei
nnter abe die Coordinaten des Pols. Wir denken nns ferner simt-
liche Spiegelpnnkte des Pols gegen die sechs Grenzebenen bis ins
Unendliche hin constmirt — ihre Coordinaten sind
— und erteilen ihnen die Massen (— l)«+*+A«fi.
Alle Spiegelpunkte erhalten ?rir, wenn wir », X, fi je Ton —od
bis 4~ ^ wachsen lassen und s&mtliche Combinationen, mit AnsschlosB
von » » 0, i — 0, ^ = 0, bilden ; denn letztere ergiebt den Ponkt
P selbst
Die Oreen'sche Function fOr das Parallelepipedon ?rird demnich
lauten:
Vi
y(a~aj)« + (Ä-y)»+(c-«)«
-00
V[xa+l^iya^x-]^-[lß+{-m--yy+lliY+(-l)fc-z]^
von der leicht zu übersehen ist, dass sie in der Tat allen Anforderun-
gen genügt Wir machen wieder die Riemann'scho Substitution und
erhalten bei Anwendung der Abkürzungen:
1,1 r dt ^"^
E inj VM_oS^ ^ )
0
l-OO ) '-00 J
oder bei Einführung der Jacobi'schen Ofunction:
der EkkirieUäi auf dem FärtMeUpipethm. 345
— «-<(«-•-•)• ^ (2« (« — « — a))\ .
. L-*(c-i)* ^ (2y< (c — «), - 4y«0 — «-«y-«-c)« ^ (2y« (y — , — c))|
Ebenso nnmittelbar crgiebt der allgemeiiie, S. 5 genannte, Sati
die Green'sche Oberflächenbelogong fOr die einzelnen Grenzebenen
des Parallelepipedons.
Für die Ebene « — +« z. B. folgt:
1 +00 Jb5?_
(-l)HH^+i^»a + (— l)«a— ,^j
[(»a + (-l)«a-^)+a/H-(-l)^^-y)«+(fiy+(-l)''(c-»^^^^^^
_ 1 d +«^
( - 1)Hai
^x«+(-l)«a-^)+(AiJ + (-l)A6-y)»+(fiy+(-l)M^-,)J
oder in dfnnctionen geschrieben:
0
.{u-^(ft-if)*^(2i5«(6-y), -4iJ«0-«-<(^-y-*)'^(2/J*(|J— y-6, -4/J««)}.
Genau entsprechend sind die Aasdrücke i/JJ und i^/ZZ, die Belegungen
/} y
der Ebenen y — 2 ^^^ '"^2 S®^^^^^« ^^ ^ ^ Ebenenstflck
« — — 2 örgiebt sich:
346 Niehour: üeber VerteÜung und Sirömung
— 1 d +®
VlV ^ -j- - £n £x 2^
An da «.oo
(— 1)^+A^
oder nach der bekannten Umformnng:
0
. { «-««-')• ^ (2y< (c - «), — 4y»0 — «-'(r-^-*)» |> (2y< (y — c — i)) j
Ohne anf eine nähere Discussion dieser Formeln eingehen za
können, bemerken wir nnr - wie aus den Formeln in & anmittelbtr
ß y
ersichtlich, dass i?/ wie rilV fftr y « ö oder « ■= ö v®™c^^ßden;
allgemein, dass die Green'sche Oberflftchonbelegnng in jedem Pnnkt
jeder Kante des Parallelepipedons 0 ist. Das mnss so sein, denn es
gilt Überhaupt von jeder stetigen Belegung jedes mit Kanten behafte-
ten Körpers; es ist eine notwendige Vorbedingung der Stetigkeit;
im anderen Falle kann die Belegung keine zusammenhangende Ober-
fläche bilden.
II.
StrQmung der £lektrieit&t auf dem Parallelepipedon.
Die Aufgaben, welche uns hier zu beschäftigen haben, sind fol-
gender Natur:
Gegeben ist ein Coudnctor von bestimmter Gestalt Durch
einen dünnen Draht tritt ein elektrischer Strom in einem
Punkt der Oberfläche ein, in einem anderen wieder ans.
Zu bestimmen sind die Werte des Gesamtpotentials für
jeden Punkt des Conductors ; womit dann auch die Flächen
Constanten Potentials, sowie die Strömungscurven der Elek-
tricität an der Oberfläche definirt sind.
Zur Lösung verwenden wir eine Methode, die C. Neomann in
den letzten Capiteln seiner Vorlesung über Elektrostatik (Ostern
1884/85) vorführt.
rlf Eleklrtdiai B«f drm Paraihhpiptdo«. 347
Unter Zugniuclelognng dor Kirthhoff'scheii Hypothesen über deü
Btationäron Zastaad wird dort als Geaamtpotential fOr jeden Punkt
'i^ »> 'p ilßS gegobenen Comiuclors abgeleitet:
('"-i).-('"-i).
hioriu bedentet J die StroniiutoueitAt, x die LGitangsfäbigkeit doB
Conductors, A und S siud Ein- resp. Ans tri ttfi stelle des Stromes and
ibro Coordtuaten sind fttr die altgemeinen Coordinaten x, g, i in die
KlammorauBdrücka eiDKtitragnu. In den letzteren ondlicb ist
Ep =
uDd Up eine in jedem Falle besonders zn bestimmende Function,
welcbu durch folgende Heilingniigeu eindcotig bestimmt ist:
Innerhalb des Conductors ist Ui' mit seinen orston Ab-
leitungen überall eindeutig und stetig, anch ist hier überall
^UP-^O; an allen Oberflitchenpunktcu genügt sie der
DiffureutiatgIcichuDg:
wo « die Oberfläche des Conductors reprilsentirt, « die innere Ober-
flächen normale.
Die Gewiuuung der Resultate nach dieser Methode fttr das
Parallelepipedon wird auch hier durch vorherige Betrachtang ein-
facherer Falle erleichtert.
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall dieser Art, indem wir
sna als Condactor den Halbraum, begrenzt durch die Ebene x == i
denken.
Zunächst wird uns die Bestimmung von Uf beachäftigon. Wir
construireu den Spicgelpunkt von p und erteilen ihm die Masse — 1.
Das Potential dieses Massoupunktes genUgt, da « = % ist, allen an
Uf geatellten Bedingungen-, ea ist daher hier:
und aus der oben genannten Relation folgt für die Gleichung der
Flächen coDstautcu Potentials:
348 Nitbouri Uebtr VtrUäung und SMfmumg
f ^ I ^ ^
— CODSt.
Die allgemeinste Lage erteilen wir den Punkten A and B^ wenn
wir als ihre tcy« Cordinaten resp. festsetzen f , 6, 0 nnd J, — 6, 0.
Die Fl&chen constanten Potentials sind alsdann:
V(^-'f)'+(yF-i)*+V V(^-'F)*+(yfH-*)M-V
= const
Wir suchen vor allem die Cnrven constanten Poteuttals an d^
Oberfl&che des Condnctors nnd haben ahi solche die Gorven:
W+(yF-*)* VV+(yf+*)*
= const.
Fflr alle Punkte einer solchen Curve ist also die Differenz ihrer
redproken Abstände von der Ein- nnd Austrittsstelle des Stromes
eine constante Grösse, und wir bezeichnen sie wegen dieser an die
Hyperbel erinnernden Definition vor der Hand als „reciproke Hy-
perbeln'S
Eine Behandlung dieser Curvengattung ist uns nicht bekannt,
und wir wollen daher mit einigen Worten ihre Gestalt erläutern, wie
auch im Anhang ein allgemeines Bild ihrer Form gegeben ist
Bringen wir die Definitionsgleichung der „reciproken Hyperbel^
auf die algebraische Form, so gelangen wir zu einer wenig aber-
sichtlichen Gleichung 8. Grades, die noch dazu nicht nur ansere
Curve t; — TT — const, sondern auch die reciproke Ellipse
l^+J^- const.
nmfasst, wegen des doppelten Vorzeichens der Wurzeln.
Dagegen hat es gar keine Schwierigkeiten die einzelnen Pankte
unserer Curve zu construiren, wenn wir nur ihre Defimtionsgleichung
in folgende zwei, gleichzeitig zu erftdlende, Gleichungen zerlegen:
1) -r- -» a
der Mtklriciai auf dtm ParalUUplpidoH.
2)
VV+f!'f + '')'
und bierin a alle möglicbeu Werte von — oc bis -f ac durchlaufen lasaen.
Wir erhalten deinnacb die Punkte unserer Carve, wenn wir am
die Ein trittB stelle einen Kreis mit dem Radius -, nm die Austritts-
■t«lle einen Bolchen mit dem Radius _- beschreiben und die
Scbnittpunkto beider markircn.
Für die Natur der rcciprokcn Hygicrbel erhellt daraus unmittelbar,
dass sie, analog der eigontlichon Hyperbel symmetrisch zur Aie AB
(der grossen Ate) liegt; ebenso wird sie auch auB zwei congruenten,
zur kleinen Axe Eymmetriacbon Aesteu bestehen, wenn man nämlich,
wie bei der Hyperbel, e nur absolut betrachtet, die positiven und
1
I wird sich
negativen Werte nicht scheidet: Die Curve -.
genau so nm den einen Punkt herumziehen, wie die Curve T' ~ p~ "
am den andern.
Endlich sind auch die beiden Urenzcurven e — 0 und e — [ao]
ohne weiteres abzulesen: c:=0 ergibt die yaxe, doppelt überdeckt
zu denken wie bei der Hyperbel selbst; c —ae repräseotirt die bei-
den Puukte A und B. Zwischen beiden Grenzcurveu ziehen sich die
Übrigen als congruente Ovale um A und B herum. Um die einielneo
in erhalten, werden wir die Radien f und ^-J der betreffenden Kreise
für die verschiedenen Werte von a tabellarisch zusammenstellen and
dann ermitteln, welche dieser Kreise gewünschte Schnittpunkte liefen.
Für die reciproke Hyperbel c — 1 z. B. entwerfen wir die fol-
gende Tabelle:
350
Niehour: Ueber Verteilung und Strömung
— 00
—10
— 1
2
3
_1
3
_1
4
0
1
4
1
3
2
3
4
5
1
4
3
3
2
6
3
1
a
a — 1
0
_1
10
— 1
_3
2
—4
OD
4
3
3
2
5
4
1
3
4
2
3
3
5
1
2
00 I
1
3
0
0
11
1
""2
_3
5
_4
5
—1
4
3
_3
2
—3
—5
OD
3
3
2
t
Nehmen wir alsdann noch als
Abstand der Punkte AB die Grösse 2
an, so liegen die in Frage kommen-
den Kreise ausserhalb einander in
den Intervallen a und 17 der Tabelle;
in den Intervallen ß und i schneiden
sie sich in den Punkten der red-
proken Hyperbel; in f und £ um-
schliesst ein Kreis den andern, und
in d endlich stellt sich die „reciproke
Ellipse^^ ein, denn hier ist
[y+H
1.
Die letztgenamito Curve ist hier
nicht zu betrachten; sie besteht m-
nächst ebenfalls aus zwei congruen-
ten Ovalen um A und B herum geht
aber mit wachsendem c in eliipscn-
förmige Gebilde (A und B umschlies-
send) über und hat als Grenzlage
die unendlich grosse Curve.
Nachdem wir somit ermittelt
haben, in welchen Curven die Flächen
Constanten Potentials von der Ober-
fläche des Conductors geschnitten
werden, sind uns diese Flächen selbst
ebenfalls bekannt. £s sind die Ro-
tationsflächen der reciproken Hyper-
bel um die grosso Axo AB] wir haben
sie als zwcischalige reciproke Ro-
tatioushyporboloide zu bezeichnen.
V
- [' In einem zweiten vorläufigen
Special falle betrachten wir einen Con-
Ö ' duetor von der Form eines senk-
rechten unendlichen Keils. Zu dem Punkte p, in Bezug auf den
wir das Gesamtpotential suchen, coustruireu wir die drei Spiegel-
pnnkte gegen die Ebenen des Conductors und haben alsdann in dem
negativen Potential dieser drei, je mit der Masse 1 versehenen, Punkte
die zu suchende Function Up,
ihr EUklriciläl mit dun Faralltkpiittdon.
Dass diese Function
V(xH-*)H-(i»-i')M-(»j.-')' V(^f-H')M-(yF-h')H-(v— )'
+ - ^J- ^
in der Tat den an V gostcllteu l)ediu);uDgeD genügt, ist unmiltelbar
ZQ übersehen, nod die Flächen coustnnten Poteutiala sind in jedem
Falle leicht daraus herzustelleu.
Verschiedene spcciulle Annahmen Uher Ein- and Austrittsstelle
des Stromes fahren zu interessanten Itesuttateu, nni aber nicht zu
sehr ins Detail zu gerateu, greifen wir nur den oinfauhsten Fall her-
aus, wo beide Punkte A und B auf der Aie des Keils sieb be-
finden.
Als ihre Cooidinaten haben wir alsdann resp. ü, 0, i und U, 0,
—i und die FIttchen coustanteu Potentials werden reprascntirt darch
die Gleichung :
Es sind das dieselben Flachen, wie wir sie fUr den Halbranm
als Conductor erhielten: ihre Schnitte mit den Grenzebenen sind re-
ciprolie Hyperbeln, sie selbst Kotation »flächen der letzteren um die
grofiBC Axe.
Die planparallele uucudliche Platte mag den letzten zu unter-
suchenden Specialfall bilden.
Auch liier nehmen wir sämtliche aufeinander folgenden Spiegel-
punkte bis ins Unendliche bin von p hinzu, und setzen U* gleich
dem ncgativeu Potential der letzteren , schreiben also , unter Be-
nutzung der Bezekbnuugsweise des 1. Abschnitts:
■ 1
Diese Function genügt, als Potential äusserer Massen, den Haupt-
bsdingougen onmittelbar; weiter aber ist:
352 Nißhour: Utber Verteilung und Strömung
\dx /Ä-^'"\c& h -
a
2 \«» / * — 2
-f.
-2x
ar« — ö +(— 1)'*J»
{(*«+(-l)''a:p- |y+(yp -y)M-(«f-i)»} '''
fdüP\ ^{j^}
\ dx /» = % ^ \dx /x — — ö
a
und hierin heben sich die Summen Glied fttr Olied fort, wie e6 er
forderllth ist.
Dagegen begegnen wir hier einer neuen Schwierigkeit, indem flir
Uf eine nicht unbedingt convergente Reihe gewonnen ist Um dii
zu erkennen, benutzen wir den bekannten Lehrsatz, dass eine Beihe
£ün convergirt oder divergirt, je nachdem
limnCl -^^?^)>1 oder < 1.
Die vorliegende Reihe formen wir in der Weise um, dass wir
den Wurzelausdruck im Nenner nach Potenzen von (yi»--y)*-K*p~^)'
entwickeln. Die Factoren der 1., 2. etc. Potenz nähern sich mit
wachsendem x unbegrenzt der Null und genügt es daher, folgende
Reihe zu untersuchen:
Für dieselbe ist
= lim
na-^-a — ( — l^Xp — x-\-e
= 1 _(_!)« ???
' a
und dieser Wert ist dann, und nur dann > 1, wenn % ungerade ist,
der ElddrieUäl UM/ dtm f^iraÜeltpipedaa.
da — st«ts ein achter Brach ist. Geht k durch dio negativen
Zahlen ins Uaendliche, wlo es hier auch zu untersuchen ist. so
kommt die Reibe:
in Betracht; obiger Grenzwert ist aladann:
-0+<-..'^)
und er igt > 1 für x gerade.
Wir sehen also, unsere Reibe für üp ist an sicli nicht unbe-
dingt couvergent; zugleich aber lehrt die letzte Betrachtung, dasi
die erwünschte Convergenz erreicht wird, wenn wir nur je zwei auf-
einander folgende Glieder nnscrer Reibe zusammenfassen, eins mit
geradem, eins mit ungeradem x, letzteres mit dem grösseren Wert
von X in der Zahlenreihe. Mit anderen Worten, wir haben zu
setzen:
Ur=
1
■y{:r,-*)» + (yp-
J^l.,t-
MVcaxtt+^rp-
+
■!c)' + r>
Dass diese Reihe in der Tat couvergirt, ergibt auch eine neue
Anwendung des erwähnten Convcrgenzsatzes auf dieselbe.
Eine andere Form für Up liefert die ira ersten Teii mehrfach
verwendete Riemanu'scbe Substitution:
_i L f^-fi
in den letzton Ausdruck.
Es resnltirt
354 Nitbour: Ueber Verteäumg umd Sirömtmg
Nach AafBtelliing von Up sind die Flächen constanten Potentiab
nach bekannter Methode zn finden. Wir haben zwei Fftlle zn achd-
den. Im ersten a) liegen Ein- nnd Anstrittsstelle des Stromes aif
derselben Grenzebene der Platte, im zweiten Falle b) auf verschie-
denen Grenzebenen.
Im Falle a) sind als Coordinaten der Punkte A und B respi
anzunehmen: 0» ^9 0 nnd 5, —^,0; die Flächen constaDten Potea-
tials werden alsdann (gleich in 3- ausgedruckt) :
Im Falle b) sind die betreffenden Coordinaten gani allgemeii,
n, b, 0, nnd —^—b, 0, die Flachen constanten Potentials Unten
zunächst:
-«[,,H-(»f-*)*+(ai.-|Y3 ,
e
0
00
Nach dem Satze ^z.g) =- e9^^e(z-]-g^g) sind aber die beiden
Summanden des letzten Gliedes gleich und kommt daher für die
Fachen constanten Potentials:
Die Flächen beider Arten sind im allgemeinen von sehr com-
c «=
0
dir EUktrieiiat au/ drm I^alltltpiptdoH. 355
plicirt«r Deschaffenheit und kOoncn hier nicht n&ber untersucht
werden.
Zu einfachen Resnitaten gelangen wir nur dann, wenn die Punkte
A nnd B in gegenüberliegenden Fankton der Platte sich befinden;
d. h. in nnserm zweiten Fall bei der Annahme b^:Q. Dann näm-
lich kommen in unserer Flftcheugleichnng die Coordiaaten p, and z^
nur in der Verbindung yii*+<j>^ vor; ca sind also die Flächen con-
Btanten Potentials Rotation sfläclien um die Axe AB. Das ergiebt
weiter als Niveancurven an der Oberfläche des Conductors die Kreise
nm A resp. um B; als Strömungscorvcn der Elektricitflt die von A
und B ausgehenden Geraden.
Nach Behandlang dieser verschiedenen Specialfälle ist unsere
eigentliche Aufgabe leicht zn erledigen. Die drei Kantenlängen des
Parallel cpipedons seien a, ß, y. Setzen wir alsdann, ganz analog den
bisherigen Ergebnissen
Ü'i-
y(ir^)H-(sf-,)»+{.,-.}''
-2^fi£u
y(«<+(-l)«x,-r)»+(l/J+{-l)?j,-y)H((.)'+(-l)%-i)*
so genflgt diese Fnnction den an U zu stellenden Hauptbedingnngen
nnd ausserdem ist für alle Oberiiächeopankte
Da nun in diesem Fall nicht, wie sonst, <^oc ist, so raassen wir,
nm U fQr FaraUelepi|ie<lon zn erhalten , noch eine nene Function /
hinzufügen, die im Innern des Conductors Überall den Hauptbedin-
gnngen (/, . ... eindeutig und stetig) genUgt und in den Oberflächen-
pnnkten die Gleichnng
,//
4n
erfüllt. Die letzte Bedingung
vieldeutige Function
rird befriedigt durch die unendlich
(r ©'■ ay
366 Ni4böuri ÜAer Vert^ätmy umd SiHhmmg
für jeden Wert von n; im allgemeinen aber »fallen diese Fane-
tionen die Hanptbedingnngen nicht. Das geschieht vielmehr nnr ii
dem Falle n = 0, und wir haben daher zn setzen:
/-y(^+y+«)
ÜP -^(«+y+,)+
• y(«F-«)M-{yF-y)H-{-^-«)»
Die Riemann'sche Substitution giebt für die letzte Orösae die
andere Form:
OD
0
und zwar ist diese Form als die allein strenge anzusehen. Denn,
analog wie bei der unendlichen Platte, wird auch hier eine Reihe,
welche üp in der ersten Form darstellt, nur bei geeigneter Zosam-
menfassung der Glieder convergiren.
Diese geeignete Zusammenfassung ist aber bei Einführung der
^functionen von selbst erforderlich; weshalb die letzte Form alleii
allen Anforderungen genügt.
Jm Uebrigen vermittelt Up die Aufstellung der Fl&chen oon-
stanten Potentials ohne weiteres in jedem spedellen Fall. Legen
wir z. B. die Punkte A und B in die Hittelpunkte zweier gegen-
überliegenden Seitenflächen des Conductors, setzen also als ihre
Coordinaten resp. ö, )0 0 und — n? 0, 0 fest; so werden vnr nach
einfachen Umformungen erhalten als Gleichung der Flftchen:
OD
dtr EUkirieUäi auf dtm PiuulUlqnpedoH.
357
Sind andererseits zwei gegeDaberliegende Ecken des Parallele-
(o fi Y o ß y\
2» 5- k nnd — ö» — s» — o) '^^' "^^p. Anstrittsstelle
des Stromes, so lautet die gesuchte Gleichung:
. _A (-"("■ ä)'+ ("-9 + (»-i)'^ X
0
Unsere Aa^be ist damit als gelöst za betrachten.
358 Bj^rling: (Jeher ginguliri Punkte der gewöhmUckm eUg^nraied^
xm.
Ueber singulare Punkte der gewöhnlichen
algebraischen Differentialgleichungen erster
Ordnung und ersten Grades.
Von
C. F. E. BJSriIng,
Professor an der Universit&t Lund.
§ 1. Die Differentialgleichang
(1) -Ydaj+Frfy=0 oder JC-f-pF^O,
wo A, r algebraische, rationale und ganze Functionen von x, p sind,
bestimmt für jedes Wertpaar dieser Veränderlichen (jeden Punkt der
Ebene) eine einzige Fortschreitungsrichtung. Ausnahme davon bilden
die Punkte, deren Coordinaten den Bedingungen ^ — 0, F= 0 ge-
nügen; dieselben werden singulare benannt.
Das Verhalten der von der Differentialgleichung definirten Func-
tionen in der Umgebung solcher Punkte ist in der bekannten Ab-
handlung von Briot und Bouquet^) untersucht worden. Von
ihren Nachfolgern auf demselben Gebiete seien hier nur Poircar6')
und Fuchs ^) erwähnt
1) Becherches inr let propri^t^ des fonctions d^finies par des iqaatioiii
diff6rentielles. § HL Journal de l'^c. polytechn. T. XXI.
2) Sar les propri^t^ des fonctions d^finies par les dqnations difffrea-
tielles, Jonm. de IMc. pol. XXVUL
9) Ueber die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleiehnng er*
ster Ordnung in singnl&ren Funkten annehmen können. Sita. Her. d. K«
Frenss. Ak. d. Wiss. 1866.
DiffirenllalgleüiuHgtn trtUr Ordnung unil traten Gradei. 359
Dor Gegenstand verdient jedoch wol auch in einer etwas anderen
Hinsicht nntersucht zu worden, und eine Vergleichang mit den ain-
gnlären Pnnkteu der algebraischen Cnrven dürfte hier an ihrem
Platze sein. Man hat diese Punkte aua zwei verschiedenen Gesichts-
ponkten, dem fnnctionen theoretischen und dem geometrischen behan-
delt Auf der einen Seite hat man — und in dieser Hinsicht ist
wol Pniseux an erster Stelle zn nennen — die Bedeutung dieser
Punkte als kritische oder „Vorzweignngapunktc " fUr die von der
Curvenglßichung definirten algebraischen Function untersucht; auf
der andern hat mau, und zwar seit einer weit entfernteren Zeit, die
Fragen nach der Anzaltl und der Beschaffenheit der Tangeuten und
Zweiffe, die die Cun'e in einem solchen Punkte besitzt, behandelt
und damit auch, insoweit es sich nm reelle Veränderliche handelt,
die Form der Curvo in der nächsten Umgebung des Punktes auszu-
mittetu, d. h. dieselbe zu eonstniiren, versucht
Die entsprechende geometrische Untersuchung der Singularitäten
der dnrch die gewöhnlichen DifTerentialgleicbungen definirten ebenen
Curven scheint sich bisher hauptsächlich, oder fast ausschtiessend,
auf jene Gleichungen von höheren Graden ah dem ersten gerichtet.
Die s. g. singulare Lösung, oder richtiger die Coincidonzcurve dieser
Gleichungen, die bekauutlich nach den Entdeckungen von De Mor-
gan (Transactions of thc Cambr. Phil. Soc., Vol. 9) und Üarboux
(Bulletin d. sciences matb^m. , J873) im allgemeinen Falle der Ort
der Spitzen der Integrale urven ist, ist seit ehedem ein beliebter
Gegenstand der mathematischen Forschnng gewesen. In den Glei-
chungen ersten Grades kann bekanntlich eine solche Curve niemals
vorkommen; statt derselben treten da nur einzelne singuliLre Punkte
auf. Ueber diese ist dem Verf. kniue andere Untersuchung in der
hier fraglichen Richtung bekannt, als eine Arbeit von Poiucari,
zu welcher er hier unten am Schlüsse zurückkommen wird. Die
vollständige ErOrtemng der Theorie von diesen Punkten ist wol je-
doch als eine Bedingnng für ein erfolgreiches Studium der Singu-
aritälen der Gleichungen höherer Gerade zu betrachten, und zwar
aus mehreren GrUnden. Von diesen mögen nur zwei hier erwähnt
werden. Erstens treten im allgemeinen in der eben genannten Coin-
cideuzcurve selber Punkte von besonderer Art (sowol generelle, als
individuelle, um einen hier unten vorgeschiagenen Ausdruck zu be-
nutzen) auf; zweitens kommen oftmals singulare Gerade als Bestand-
teile jener Curve vor. Gerade, die ob sich bisher unter bestimmte
Kategorieu einzuordnen oftmals etwas schwierig erwiesen hat, und
die in der Tat nichts anderes als die dualistisch ontfiprechenden Ge-
bilde zn jenen Punkten sind.
4
360 Björling: Ueber tinguUirt Panktt dm- gewöknHekmt ßlgtbrakd^
§ 2. Wir nehmen hier immer an, dass der singnULre Pankt der
Anfangspunkt 0(m =sy ^0) sei, nnd
Jr-.4(aj.y)+9(jr,y), F- 5(x,y)+V'(«,jf),
WO
und 9(a;,y), ^(«,y) ganze Functionen von höherem Orade als •
sind. Za solcher Form kann (1) immer gebracht werden, dvrdi
Drehung des Coordinatensystems, wenn solches nötig ist, oder in
allgemeinen durch eine lineare Substitution wie
(2) « — ouci +ftf„ y — yai + iyi,
woraus folgt
dx a.dxi-^ß.dy^
Dividirt man (1) n mal und setzt nachher a; = y «> o, so er-
giebt sich
(5) F(l, p) - 0.
Diese Oleichung giebt n-f-l« im allgemeinen yerschiedene Warte
von p, d. h. n-{-l besondere Ausgangsrichtnngen der Integralcurren
aus O. In Aehnlichkeit mit dem Verlaufe der algebraischen Gurven,
obgleich zwar in einer sehr verschiedenen Bedeutung, könnte man
also hier O als einen „(n4-l)-fftchen Punkt^^ bezeichnen.
Nur in einem Falle lässt sich der Wert von p in O nicht be-
stimmen, wenn nämlich
welches offenbar damit gleichbedeutend ist, dass A{x,y)-\-pB(x^y)
den Factor y ~px enthält. In solchem Falle gehen die Integral-
curven in allen Richtungen von O aus. Beisp. : Gewöhnlicher Basis-
punkt in einem Curvenbüschel.
§ 3. In den §§ 3., 4. nehmen wir an, dass Ä(x^y) und B{x^y)
keinen gemeinsamen linearen Factor enthalten, oder, was dasselbe
ist, dass die Curven X = 0, F=- 0 sich in 0 nicht berühren. Ist
das entgegengesetzte der Fall, so nennen wir einen solchen gemein-
samen Factor Specialfactor, die gemeinsame Tangente der
DifftrmHttlgUiehungm e
• Ordnung und trilm Gradti,
GurvcD SpecialtanesDte, und os sei nur im Torboigehen be-
merkt, dasB ein Bokber Factor offenbar sich nicbt durch irgend eine
lineare SubetitutioD wie (2) entfernen l&aet
Dnrcb hinreicbeode Vermindemng der absointen Werte von e,
y Itann man offenbar die Werte ?on X, Y zu beliebig naber üeber-
einEtimmnng mit denen von A(sc, j/), B(x^ y) bringen. In der uächston
Umgebnng des Anfangspunktes mnss also die Differentialgleichung
(1) an endlich nahe mit
(fi)
^f*,y)+pfl(*,!/)
Übereinstimmen. Diese lässt sich, als homogen, leicht integrireo.
Setzt man y = xi, so wird dieeelbo, nach Verkürzen mit x"
".•>+("+"£)"<'.■) -"i
oder mit Anwendung der Bezeichnng (5)
(7)
r + -
- 0;
folglich, wenn wir die n+1 ;>-Wurzeln der Gleichung (4), die hier
snfangi alle untereinander verschieden angenommen werden, mit
1\t Qti Qt ' ■■ ("+i bezeichnen
0)
7+ ^.
Durch Integrirung erhält man also, wenn die arbitäre Conitant«
hier, wie immer im folgenden, mit a: bezeichnet wird,
si7(i
Die Summe £ ßi ist = 1, wie sich leicht zeigt, wenn man in
der Identität
Hq,») b^ + bi = +...+bn<f »+' ßi
mit > mnItipUcirt und dann : unendlich wachsen l&sat. Folglich
erglebt sich aus (9), wenn mau - einfuhrt,
362 Björling: üeber singuUrt i\in^/« der gewöhüiektn afydtraitckem
(10) (y — Pi z)ßf . (y — p^)^t ... (y — pH4-ia^)'i»f 1 — ^
als Integral der Gleichung (6).
Wir bezeichnen nan mit iß) den reellen Teil von ß. Bekannt-
lich ist für «—> 0 die Grösse xß null, unbestimmt oder noendlicb^
jenachdem (ß) positiv, null oder negativ ist Daraus folgt:
1^) Wenn alle die reellen Grössen (ßj)^ (ßt) ... (ßn-^i) von
demselben Zeichen (also positiv) sind, giebt die Position a; = jr = 0
in (10) JT » 0. Es giebt also nur einen einzigen Wert der Intogra-
tionsconstante, für welchen diese Gleichung von den Coordinaten des
Anfangspunktes befriedigt wird, d. h. eine einzige Intogral-
curve geht durch O und hat offenbar n-j-l Tangenton. Indi-
vidueller singulärer Punkt.
2^) Wenn dagegen irgend eine oder einige dieser Grossen
ißi) " - (ßn-i-i) negativ sind, so wird die Gleichung (10) vona;»yi-iO
befriedigt, was K auch sei, d. h. eine unendliche Anzahl
Integralcurven gehen durch O^). Genereller singulärer
Punkt.
Das letztere sei nun der Fall; (/}t), {ßf) ... (ßm) seien positiv,
(Z^s+i) ••• (ßn^i) negativ. Die Gleichung (10) lässt sich schreiben
(11) (y — QiX)ßt . . . (y — Qmfe)ßm «= K(y - ^m^ix)-ßmi^i . . .
• •• (y— p»+i«)~^»+i»
wo also die reellen Teile aller Exponenten positiv sind. SämUicbe
Gerade y — ^tx <» 0, deren entsprechende Factoren auf der rechten
Seite der Gleichung (11) eingehen, berühren in O alle dadurch
gehende Integralcurven mit Ausnahme einer einzigen, welche dagegen
die übrigen (auf der linken Seite vorkommenden) berührt
Die Gerade der ersten Art benennen wir generelle, die der
zweiten individuelle Tangenten. Die Anzahl joder Art ist also
wenigstens 1, höchstens n.
Um don Satz zu beweisen, führen wir Polarcoordinaten ein,
setzend a; = rcos<jp, y » rsin tp, Qi » tgt^i. Da wird
r8in(cp — Vi)
^ * COSy;,-
und (11) kann goscbrioben worden
4) Vgl. Briut et Bouqaet, 1. c. S. 172, § 82.
DiffireiitialgltidiuHgiH #
I- Ordnung und irilm Gradet,
= ^r-(/'„^.,+-+;<„^
["ainCip— il^w-n)"]-
"■ L C0fll(7nfl J
I igt, und K. tl (coa'C,)f, = h gesetzt werden
oder, da "i (J,
1 1
kann,
__ , [siajip - U'.»-n)]-<'».-(-i - [MD(y— H^Hti)]-^»-!-!
Da die reellen Teile aller hier eingehenden Esponeoten poaitiv
sind, veracliwindpt r, was k nnch sei, für <p = -rm-]! - ■«'■+ii welche
Werte also die AuBgaDgsrichtungen der lategralcnrven aus Oim all-
gemeinen Falle angeben.
Nor für K=^ k '^O ist das Result&t ein anderes; die recht«
Seite der Gleichung (11) verschwindet; also werden dann Vj, Vt ■■■
V« Ausg&ngsrichtangen.
§ 4. Es sei nun ag ^ 0, also p :=0 eine Wurzel der Gleichung
(4), und sei pn-f i . j3„+i >= ~yn~i)i **" '^* "^ ~Ti"' ^'® ^^^
wendige und hinreichende Bedingung, dass die entsprechende Gerade
y — 0 generelle Tangente sei, ist also I- j^-r ) < 0, oder, was das-
selbe ist
(::)<-'■
^'"' ( 4- i J ^ *^ '^' dagegen y = 0 individuelle Tangente,
der Pnnkt selber kann sowol goQi-rell als individuell sein ^).
Da Äu hier nicht null sein kann (denn in solchem Falle wftre ja
y Speuialfactor) , wird die Grenze zwischen den beiden Fällen ge-
bildet von (— ~--|=:ao, d. h. ai+Sa = 0. Dannistp— 0 Dop-
pelpunkt der Gleichung (4), sei p»+i = f «■ Die Gleichung (7)
wird
5) Wenn O iadinilucller tiog. Pankt ist, mau ofTenbRr jedei {ß) podtiT
nnd < I (da jk die Brnnine aller ^= 1 iit) loin; aI(o &ach ( _La.)^^*
folglich (p ) ]> 0. I^iese Bedingang i«t also Illr ladiriduellen liog. Fnokt
Dotwendig, abtr nicht hinrdchend.
864 Björlimg: ܧUr smgMre I\mkte der gtwökiUkkem ülgekmmektn
also ergiebt tich itatt (8)
WO y — ' —r-r Qod '2)7« — 1 ; folglich Dach Integration and £!■-
«i+*i 1
fQhrnng ron - itatt «
ff
y
Durch Anwendung ron Polarcoordinaten kann diese Oleichoiig
geschrieben werden
(12) r[8in(9 — ^,)]^» . [8in(9 — v^)]^ ... [sin qi\fn — M^^.
Wir beschrinken nns hier anf den Fall, wo y, «, y, also anch
9, reell sind.
Da wird oiEsnbar, was K(h) anch sei, r = 0 für ycot9=— od,
d. h. wenn
entweder y^O^ und cot^ anendlich wächst in negativer Bich-
tnng, d. h. die Integralcnrven im 2ten oder 4ten Qua-
dranten belegen sind;
oder x<CO, und cot 9 unendlich wächst in positiver Richtung,
d. h die Integralcurven im Iten oder 3ten Quadranten
belegen sind.
In jedem Falle ist also y — 0 als generelle Tangente zu be-
trachten, obgleich die Integralcurven dieselbe nur an der einen
Seite berühren, nämlich an entgegengesetzter Seite in ihrer positiven
und negativen Hälfte (Fig. 4.).
Y kann offenbar nicht =0 sein. Wenn es unendlich ist, also
os-f-^i = 0, ist p » 0 dreifache Wurzel zu (4), sie sei ^»4.1 = ^
= ^-1. Statt (12) erhält man dann
(13) r[sin(9— ^Ji,)]/». ... [sing^]/»»-i - Äe'^^t^f+'i***?
wo
2«(fl,+^,) " ^0, 2d(a4+6,)-f.di(fl,+6,) - *i;
DifftrtnlialgIiichuHg4a trsltr Ordnung und triln Gradn.
und es ergiobt eich aus (13), dasB weDigitens uuter der oben ge-
nannteu Bcscbränkang , y =0 generelle oder individnelle T&Dgente
iit, jeuachdem d <; oder > 0 ist.
Im allgemeinen, v
man das Integral
■,[»in(»-t,)f ...[si
a P = 0 m-fache Wurzel zu (4) ist, findet
t cot"-' V + «1 cot"-' V -j- . . . + i,^a cot 9
and folglich (wenigstens unter derselben Beschränkung), da»
für Dt gerade, y — 0 immer generelle Tangente ist, mit BerQhruDg
an entgegeugesGtzter Seite in ihren beiden Hälften (Fig. 4) ;
ungerade, $
jenachdem j
— 0 generelle oder individnelle Tangente tat,
<1 oder > 0 ist.
f 5. Dass die Resultate in 5 4 auch in dem Falle gelten, wo
die biiher gemachte Voraussetzung nicht erfüllt ist, d. h. wo ein
oder mehrere Specialfactoreu (doch nicht y) vorkommen, Usst sich
folge ndermaBsen zeigen.
Die Gleichung (1) sei
+...+d^+'+d.«-V + ...) -0
(£ti nicht null)
Setzt man y = x*, so ergiebt sich nach YerkBrzen mit ^ *)
(14) (a, + M» + (»t+M''+--+<V+(«.+«A.)«+--
Wenn e^ nicht null ist, bilden die Glieder niedrigster Dimension
die Gleichung
366 Björling: UtUr singulare PktikU der gewSknUcken tJgebrmtekem
durch deren Integration nnd nachheriges Einfahren von - statt •
man erhält
(16) y:=Kx *^- "^
«1 + 2^0*
ausgenommen fflr a, -)- 21^ « 0, da
(17) y-««(Ä'-|^log(c).
Ist dagegen e^ -» 0, nnd g^ Coefficient der niedrigsten a^-Dignitlt
dz
«*•-!-"« in (14), die nicht mit s oder ^ mnltiplicirt ist; ergiebt sich
statt (15)
d»
(<»i+*o)*+fi'oa^+M ^ = ö»
also
(18) y-JT« *^- ^^"-^
ausgenommen für a|-)-(m-|-l)^o ** ^i da
(19)
y = ««M-i^Ä'-Jloga;)
Ans (16) — (19) geht hervor, dass y = 0 generelle oder indi-
vidnelle Tangente ist, jenachdem (? ) <C oclcr > — 1 ist.
§ 6. Ist dagegen |) = 0 eine m-fache Wnrzel der Oleichnng (4),
also oq « «i+^ö ■" <4+^i = ... « am-i + ^wi-2 =* 0, so erhält man
statt (15) die Gleichung
dz
oder, wenn om-^hm^i ^ ha^ t^ ^^ b^X gesetzt wird,
dz
(20) aÄ~ + Aa;+aj.^ = 0.
Um einen approximativen Ausdruck für die Integrale dieser
Gleichung in der Umgegend des Punktes a; « s = 0 zu bekommen,
fuhren wir zwei neue Veränderliche <, u ein, setzend
sc = tu, « «=» u — Uu\
dem Punkte < = u » 0 entspricht dann auch o; » s » 0.
Difftrtatialghidmugirk mler Ordnung uad trtten Gradtt.
Dadurch nird (20), nach einer einfachen Umformang,
t [1 + nu-.-> (1 - iO«] + «" (1 - 11)" ■ 'l^ - 0,
woriu die Glieder niedrigster Dimension die Gleichung
' da
bilden. Daraus ergiebt sich
>-l)m
oder nach Einfuhren von a
Ffihrt man hier Potarcoordinaten ein nnd aetiit darnach r •= 0,
iü wird die Ausgangsrichtung der Integralcurven aus O besLimml
durch die Gleichung
oder mit Auweudang der Bezeichnang in den letzten Zeilen des § 4
(.cot"-'gi „
sin V . e =0,
vodnrch das da erhaltene Resultat bestätigt wird.
§ 7. Wir behandeln nun den Fall der Specialf&ctoren. Es sei
erstens bemerkt, dass solche immer vorkommen, sobald die beiden
in X und Y eingehenden homogenen Fnuctionen niedrigster Ordnung
von ungleicher Gradzahl nnteroinandcr sind.
Es sei in der Tat
X=C[x,y)-\.,^{j:,y), Y = D{x,y)->r*P{x,y),
WO die homogenen Functionen C(x,y), D{x,y) die Glieder niedrig-
ster Dimension in X, >', resp., enthalten. Die Gradzahlen dieser
Functionen seien p, q, und p <^q-
Durch die Substitution (2) wird (1), wenn wir die Functionen
C((iz, + i3y„ /zj4-3j(,), vC"*j+fe, r^i + ät,) etc. kurz mit C^, gt,
etc. bezeichnen,
368 BjBrlingi üebtr nngnlärt JKuücte dmr gnMidiekim algthnudkm
(aiiri+/Jrfy,)(Q + g>,) + (y*i+*rfyi)(A + *i) =^
oder, wenn ^ — l^i gesetat wird,
«Q+yA+«9i+r*i+i>i(/»Ci+'A+/»9i+*fi) - 0-
Die hier oben mit A^ ß bezeichneten Functionen sind also hier
von aC] und ßC^^ welche alle linearen Factoren gemeinsam haben
repräsentirt.
§ 8. y sei nun einfacher Specialfactor, also oq «— ^> «— 0.^) Die
Gleichung (1) sei
(21) a4«*-ly+a^-V+--+V^*+«i«^+--+P(*i*"~*r
+*,«"-y+...+€^>ac"+l+di«~y + ...) -0.
Setzt man y — m\ so ergiebt sich nach Yerkürzen mit s^^^
dv
Darauf setzen wir v = p-{-'i ^o ai9+<^""0. Die Olieder
niedrigster Dimension bilden dann die Gleichung
oder kurz
(22) x«^+a» = A«,
wo
o «-
dx
«1 «1* •)
Ihr Integral ist
^iP"h^ ^^ — ^1^0
und durch Einfahren von y findet man also
kurz
,-_^^..+..^[^+,/e«f]
7) Vgl. Briot et Bouquet, 1. c. S. 181, § 90.
8) Mit kj /«, V bezeichnen wir immer irrelerante Constanteo.
DigtTtRlialgletchtingtH trtttT Ordnimg und ertim Grodtt.
- -^ X* ■\- Kx'* e'^ -\-lx* .J{x).
Die UbrigCDS einwertige Function e^ hat bekanntlich für a; — 0
eine „weaentlicb singulare Stelle", in dercu Umgebung sie „jedem
willkUrlieh angenommonon Werte beliebig nahe koramon kann".*)
Wenn ca sich aber nur um reelle Grössen handelt, verschwiu-
det bekanntlich diese Function und ebenso ihre Derivirte contjnuirlich
rur x-^iy, doch nur insofern x sich der Null von der einen Seite nftbert,
der negativen oder positiven, jonachdem a > oder <;0 ist Um zu
zeigen, dass auch J{x) für a: ■= 0 verschwindet, setzen wir a ^ — - .
wo z reell und sehr gross ist. Dadurch verwandelt sich —Jia) in
■■/•■
oder
und durch Derivircn des Zählers und des Nenners ergieht sich —■
Es folgt hieraus, dass die Gleichung (23) darstellenden reellen lotegral-
cnrven die Curve y = — — x*, und somit auch die Specialtangente
berühren, aber immer unr an der einen Seite des siugnl&ren Punktea,
5 9. Auch weun die Specialtangout« von höherer Ordnung ist,
kommen wieder nnbestimmte Integralfunctiouen von derselben Art
inm Vorschein, y" sei nun Special factor (d. h. a„ = tt, = ...
= am~i = 0, ifl = ii = . . . " 4„-i = 0) ; die Gleichung (1 ) ist dann
(24) j,"[«„ I— "+«,. + 1 ii:"-"-'y+...+i.(i« I— "+i«4.| a!"-"-l ,+■■■)]
+ <v«"+'-K=^H-"-h'(''«^*'+'i,*Vf ■■■) - 0-
Wir setzen at = [■", y = p^\-^v, also P = - (m+l)'i'+'*.^ '
die Gl. (24) wird, nach Verkürzen mit !'"('•+')
tl) Weiaritr&ii, Zur Theorie der eindeurigen RDal/tiieben FanelioMB.
Abb. d. k. Akad. d. Wh, eu Berlin. 1876,
Aieb. dar Hatlu D. Fhji. S. Stil», T. IT.
S70 Björling: üeUr singulare Punkte der gewöhnlid^ olgArmüektm
Setzen wir darauf v » ^4~^9 ^^ amQ'^'\'€Q — 0, so bilden die
Glieder niedrigster Dimension die Oleichang
die von derselben Art als (22) ist.
§ 10. Das vorige setzt voraus, dass o^ in (21) oder am in (24)
nicht null sei (sonst w&re ja p unendlich), d. h. dass nicht die
Specialtangente nähere Berflhrnng mit der einen als
mit der anderen der Curven Jr = 0, F«-0 habe. Es ist in
der Tat bemerkenswert, dass im entgegengesetzten Falle ein ganz
anderes Resultat sich ergiebt, und man im allgemeinen wieder auf
Integrale von demselben Typus als hier oben (§§ S— 5) zurttckkommt
Wir behandeln zuerst (§§ 10, 11) (21) . unter dieser Vorans-
3u' dm
Setzung Cj «" 0, und setzen da « — «*, y = u\ also p — ^' ^ »
die Gleichung wird dann
Die von den Gliedern niedrigsten (2n-^3) Grades gebildete
Gleichung wird, nach Verkürzen mit «**-• (wir erinnern, dass « « 0,
d. h. fls »- 0, keine hier zu untersuchende Tangente ist) :
durch deren Integration und nachheriges Einführen von y nnd x im
allgemeinen sich ergiebt
Hier ist y = 0 generelle oder individuelle Tangente, jenachdem
Ipj << oder > — 1 ist. Es sei auch bemerkt, dass die Berührung
der Integralcurven mit dieser Tangente niemals von höherer Ordnung
als ö sein kann.
§ 11. Das vorige setzt voraus, dass cq nicht null sei; sonst
wäre in (25) u ■= 0, d. h. y = 0, Specialtangente.
Sei nun o^ -= «^ — dg =» co — 0, also (1)
bfffirtntialfUichiiiillin erifcr Ordnung und trilin Gradti.
371
", '^V+°, •-'»■+. -.+«1 «"»+.. .+^1"+'+.. .
+p(ä,i— •y+...+Ä,>-f' + ...l = 0.
Setzt man y — i^ ao wird diese Gleiclinug
«,.-V+»,."-'.' + ...+,:,«-^+...+,^ ,-+■ + ...
+ 2|(S,'-'-'-|-..+<li«-t'-+-)-0.
Die Glieder niedrigaten (x + S) Grades bildea, nach VerlcUrzco
mit i"— 2, die Gleichung
Fur ihre Integration setzen wir «* ^ z^, und ertiatteo so
^ , (t,a+da)du
oder wcnD p,, p, die Wurzeln der Gleichung
(26)
sind
(27)
wo
(28)
? + \
-pj) = jsr.
Nach Einfahren voa t, uad darnach i/ in (27) erhält man
Die i-Axe ist also generelle Tangente, wenn entweder ( r 1 ■<— 1,
odtr im entgegengesct'.tcn Falle irgend eine der beiden GröBsen (o,),
(a«) negativ ist.
§ 12. Wenn endlich y = 0 m-fache Special langente ist, aber,
wie in 3 10, um eine Einheit höhere Beruhrang mit JT — 0 als mit
y= 0 hat, d. h. wenn in (24) auch o« — 0 ist, setzen wir
(24) wird dann verwandelt in eine mit (SM ■
872 Björling: ÜA» singulare IhuikU der gewöhmUckm migekrmiitken
deren Glieder niedrigster Dimension vom Orade (flisi4'^H"*4*U
sind nnd, nach Verkarzen mit «(••-«•)(«*+i)-i die Oleichnng
bilden. Nach Integration nnd EinfUiren von x und y ergiebt lidi
(m-j-l)aai-f.i
y"*+l «- Ex
y = 0 ist also generelle Tangente fllr (-^i~^) < ^1-
§ 13. Wenn es sich nnr nm reelle Grössen nnd Tangentea
handelt, lassen sich, mit Hälfe der elementaren Begeln tob der geo-
metrischen Bedeutung der ersten und zweiten Derivirten ff'lp) nnd
y'\ wenigstens die wichtigsten der obigen Resultate graphisch be-
stätigen, und die Form der lutegralcurven in der Umgebang des
singnlftren Punktes ermitteln.
Wir schreiben hier, der Kttrze wegen, fi nnd f^ fllr /•' ind /«".
Ans (1) ergiebt sich, durch Derivation nnd nachherige Ein-
Setzung von — -^ für p.
(29)
wo
(30)
54.F».y"-.0,
8 — X{XY^ -- j^ r) + Y(Xi r— XTi).
Wir suchen nun einen Ausdruck für 8^ wenn X
y— B+^. Daraus folgt
(31) jrr,-x.r=| j j;
+
A A.
+
V Vi
ß B^
In Folge der Homogeneität ist aber
nA = xA^-^-yA^ nB — »Bi+yB^]
— it-f 9,
9 Vi
wenn wir also
At A,
Bi Äi
mit (ili^t),
AA^
**i
uait (il^,).
u. s. f. bezeichnen, wird (31)
XT^^X^Y^ -x(A^B^)+(A^)+(fpB^)+(9ifi)'
D^trtntiabikielHingta viUr Ordnung Und eriUn Gmdtt. 373
Ebenso Godet mui
Setzen wir nna {A^B,) — n.J{x,g), oder kurz nJ, so wird (30)
S = M+t)[*J+U*,) + (^-0.) + (¥"(^)]
und, da nach § 2. K^-}-y£ — F zu setzen ist, also
(32) F(x,f) - floai«+i + (fl, + fta)i-j + (a,+i,)z"-V+ ■- +fi-y"+'.
ergiebt sieb für S folgender Ansdrock
(33) S= f{x,j,),J{s,y) [homogen vom Grade 3«— 1]
+ ^(VV,) + B(v»,) + 9[(^1't) + (9ß.)] + VC(vJ,) + (^Vi)]
+9(T*») + V(^9),).
Da nan, wie im allgemeinen der Fall ist, und wie wir bier immer
auDcbmen, die Glieder niedrigster Dimension in <p(x,g), v(^, y) vom
Grade (n-{-l) sind, so folgt, dass in diesem Ausdrucke fQr S die
Glieder niedrigster Dimension
sind
in der «weiten Zeile vom Grade
3»
„ „ dritten „
(3n + l)
„ „ Yierten „
(3n+2)
Man bat auch
,-Vi 1 »"-'+2^. I«^-"»
- 0,1, 1 -2V,
+3V. 1 «"■
-•xHMf,
+ V.
+2o,i.
- "A
-2«A
-3o,i,
-4oA
Vermittelst dieser Ausdrücke lassen sich die Zeichen der ersten
und der zweiten Dcrivirten y'(p) und g" in jedem Felde in der
Däcbsten Umgebung des singoläron Punktes bestimmen. Dioselbeu
bangen natUrlicb von den Gliedern niedrigster Dimension der Func-
tionen X, T, S ab.
g 14. Wir behandeln zuerst die Resoltate in 5 4. und nehmen
also an, dass y —0 Taugente sei (s ein Factor in F(m,y), also
og = 0}, aber nicht Speciallangente, also b^ ^ücht = 0.
374 Björling: Utber nnguläre Punkte der gewöhilickem algebnueekem
Durch O ziehen wir zwei Gerade POP' QOQ' (Fig. l.)f die mit
der X'Axe sehr kleine Winkel POX^ QOX bilden, innerhalb deren
keine andere von den die Gleichungen JT-^O, F-aGJ-^O, JF'=;0
repräsentirenden Geraden {Etilen. In den Winkelfeldem POQ^ P'Otf
kann man y als anendlich klein in Vergleich mit » anaehen; die
Zeichen der Functionen A^ B^ J^ F hangen also in diesen Fddeni
nur Ton ihren ersten Gliedern ab, d. h. das Zeichen von
Ay also auch von X, von dem Gliede oifl^'V«
Bj „ 99 99 ^9 99 99 99 ^Ö*^»
•A •» 99 99 «iVs**"*!
-^9 99 99 99 («1 4" ^o)«^ 9
folglich, da JF die Glieder niedrigster Dimension in 8 enthält, das
Zeichen dieser letzten Function von
Da nun
X ,. 8
so wird das Zeichen von
y' bestimmt vom Gliede — p^*
¥ 99 99 ,9 -f J^lpl •
£8 sei nun erstens r 1> ^^ ^^^ a'ich ^7' ^ !> 0. Die erste
Derivirte y' wird dann im Winkelfelde XOP negativ, in Q'OX' po-
sitiv, in X'OP' negativ, in QOX positiv; die zweite y" in XOP
positiv, in Q'OX' positiv, in X'OP' und QOJf negativ. In Fig. 1.,
wie immer im folgenden, giebt das obere (resp. untere) Zeichen das-
jenige der ersten (resp. zweiten) Derivirten an ; die Integralcurven haben
also in den Winkelfeldem die von den punktirten Zflgen angegebenen
Formen: sie können folglich im allgemeinen nicht die x-Axe in 0
berühren, d. h. dieselbe ist nur individuelle Tangente.
Zweitens sei ^ negativ, aber > — 1, also ^7" ^ > 0. Die
Zeichenverteilung der Derivirten , und also die Form der Integral-
curven wird dann die in Fig. 2. angegebene; die ScUussfoIge die-
selbe wie im ersten Falle: die a;-Axe ist nur individuelle Tangente.
Drittens »ei ? < — 1, also ?i-i_*o <- q. Fig. 3. giebt die
Zeichenverteilung und die Curven an; dieselben bertthren in Q 4i6
«-Axe, die nuA generelle Tangente ist,
(S4).
lilffinnlialglaichiaigei tnler Ordnung
Wir betrocliteR nan dio Grenze zwischen dem zweiten und dorn
dritten Falle "), also r' 1, oder a,-\-be, —0. n = 0 ist daca
Doppelwnrzel der Gleichung (4); das erste Glied vou F ist
(o,-|-S,)ii"-Vt «'so das ZeichcD von y" bestimmt vom Gliede
°if°»+6i)y' (%+6.)»' _
Für y > 0 ist die ZeichenverteUung und Form der lutegral-
carvon in Fig. 4. gegeben ; fQr y < 0 borUhren dagegen die Curvcn
die ic- Achse nur in den beiden andern Winkelfeldern , was mit dorn
in S 4- gefaudeuBu flborciuatimmt
Es sei nnn auch ai-j-Zi, = ü, also p = 0 dreifache Wurzel der
Gteichnng (4). Das erste Glied von Fist {oj-f 6,)ie''-V. ^K" das
Zeichen von y" bestiromt vom Gliode
FQr 6 < 0 (generelle Tangente) ist das Resultat in Fig. 3. , fUr
d > 0 (individuelle) in Fig. 2, gezeichnet Und man best&tigt leicht,
das8, wenn ji •= 0 ni-facho Wurzel der Gleicb. (4) ist, das Resultat
mit dem in § 4. gefundenen übereinstimmt.
g 15. Im allgemeinen ist die Cnrve X =^0 der Ort der Punkte,
wo s' '-^0 ist, wo also die Integralcnrren ein Maximum oder Minimum
haben. Man ersieht dann leicht, dass
links von einem .X-Zweige müssen die beiden Derivirton ent-
gegengesetzte, rechts davon einerlei Zeichen haben.
Dio Curve 7=0 ist dagegen der Ort der Punkte, wo j'^os
wird, und die beiden Derivirten Zeichen ändern. Man findet ebenso,
dass
oberhalb eines >'-ZweigeB muss y" negativ, unterhalb
desselben positiv sein.
Dio Curve S -= u ist dagen der Ort der Punkte, wo nnr die
zweite Derivirte ihr Zeichen ändert. Die durch O gehenden Zweige
dieser Corvo sind von zwei verschiedenen Arten, jenachdem ihre Tau-
genten in Oder Gruppe J = 0 oder F— '0 angehören (s, (33));
wir bezeichnen sie kurz als J- oder F-Zweige.
10) Die Grenze iwiecben dem ersten und dem iweiten Fall« (a, =0)
hat keine undare Bedenlung, aJa das» cinr J-Gerado (b. J 15.) mit rinar F-
Gcrnden in der x-Axc lu&inmenrUU, woraut folgt, du« y" in disier Axe ihr
Zeichen nicht Indert. Man vrQrde Dbrigens den eriten und den iwettrn ]
■ll „IndiTidadle Tangente mit Coni'exitftt'' nnil „J.T. mit Concavititl''
Hiebnen kOnnen. In indiricia eilen ■ingal&ren Punkten kann nur die ante
. in aolchen ■^ immer poiili
(S. di-
376 BjSrlim§: ütktr nmgmiärt iUtte db-
Dia ersten bflden den Ort der gewöhnlkhen InfleodoneB der Ii-
tegnücorven. Die zweiten geben die Bichtongen dieaer Carren ii
der nftcbsten Umgebung des AnCsngspnnktes mn. Dieses geht sowd
ans ff. 2. nnd 14. benror, wie danns, dass flkr nnendlidi Ueine a-
dp 9
nnd jr-Werte die Derivirte -^ nnendlicb wenig Tom Quotienten -
abweicht; also anch die von (1) bestimmten FortschreitQngariehtnngen
unendlich wenig von den Zweigen der Gnrve xJT-f-y^ — 0, deras
Tangenten in O durch /*(«, y) — ' 0 gegeben
In dieser Weise lassen sich die Formen der IntegrmlcurTon in
der Umgebung eines singulftren Punktes sehr leicht graphisch dar-
stellen, wenigstens sooft die Ä- und B-6erade Ton einander ver-
schieden sind. Die Zweige der Curven X, Y^S kann man in solchen
Falle approximativ als Gerade zeichnen. Wir geben zwei Beispiele*
1) ^-»»-:-*V-4a^-^, B-.»»-«V+^«f"+V.
O ist also 4-&cher Punkt Man erhftlt
die vier Tangenten sind also alle reell. Femer ist
J= 24y(« + 2y)(ap«~«y+y»);
es giebt also nur zwei reelle J-Oerade. A enth< nur den einen
reellen linearen Factor (a;— 3, lly)\ B ebenso den einzigen reellen
(«;+0,46y).
Um einen Ausgangspunkt fElr die Bestimmung der Zeichen der
Derivirten zu haben , kann man z. B. a;, y positiv , und die letztere
sehr klein annehmen. Man hat: da alle Ä^ B, F, J positiv, folglich
y' und y" negativ. Nach diesen Angaben kann man die Intcgral-
cnrven, wie Fig. 5. zeigt, ziehen ; es zeigt sich dann, dass
x = 2y und a;+y — 0 generelle, aber
aj+2y — 0 und « ™ y individuelle
Tangenten sind.
2) ^ — 3a!y— y«, J5 — — 2a;*+«y.
F ist — x^y. Der Punkt ist 3-&ch mit einer Doppeltangonte.
J ist — 6«* — 4«y+y*; es giebt also keine reollo J-6erado.
Für X und y positiv, die letztere sehr kloin, hat man f&r A^ B,
F, J die Zeichen +, —,+,+; also y' und y" positiv.
Digirtnlialglttciungtn triltr Ordimng und «raten Oraiu,
Fig, 6. zeigt dio iDtegrakurvon, Anch die einbclie Tangente iat
also generell.
Die ReBultate kOnneD leicht durch Integration bestätigt werden.
§ 16. Wenn dagegen anch b^ — Ü, und y — 0 aUo Specialtan-
gente ist, so mUssen wir. nm die Felder in der Umgebung des An-
fangaponktoH nnterschoideit zu küuncn, anch die Oliodcr hftbcror
Ordnung in Betracht ziehen. Wir nehmen also an:
no 9)], ^1 von höherem Grade als (»-f 1) sind.
In diesem Falle ist X = 0 für
(36)
^'+..
welcher Zwdg also die positiven und nogativeu .f-Foldor
scbeidot ; ebenso y — 0 für
(36) y = -^z»+,..
Man hat nun {vergl. (32) und (34))
(a?) /•(:r,y) = ,[a,^ + (o, + ftj)«--I,+ ...],
(38) J{<t,y) = j«[(o,Ä,-Oji,)ir-'-*-|-2(fl,i,-a,6,)«*-S,-h-].
und findet weiter
(39) (^-p,) = — fl.do«^ — 2a,doaa"-»j,+ ... ,
(40) ((pi(,) = i,cnia«_|_26,c„ir2"-iy+...,
(41) i^Ai) 2-i,rfu!c3'.-ij,-(3o,rio+airfi)*'"-'y'+-.
(42) (ßg>,) = 2Ä,eo''''-'y + (3*,C(,+6,c,)xi^-9y»+ ... ;
folglich durch Einsetzung in (33)
S =.y»[a,(a,i, -o,fi,)aa»-*-f-i«»«-Sy+ ...]
+ Co(*lCo— o,rio)ii:a-+l+V:(*'y+ ... ,
wo, wie Mher, dio erste (zweite, dritte) Zeile die Glieder vom Orade
3r — l(3n,3>i-j-l) enthält, und die Werte der CoefBdeDtea il, f*, v
irrelevant sind.
378 Björling: Utber ttnyiiMre Pknktt der gewlfhdkkm
Bei UntcraichuDg der die a;-Axe in O berahrendeii Zweige der
Corve iS -» 0 findet man also als ibre approximativen Anadrfldn
(43) y2„^iJ^:Z?l^V+..., nnd
(44) y = -~«*+Ai»»+....
Der Zweig (43) (offenbar ein «/-Zweig) hat mit y — 0 entfernten
Berübmng als alle die Zweige (35), (36), (44), nnd brancht also hier
nicht in Betracht gezogen zn werden. Der Zweig (44) schneidet des
X-Zweig (35), aber nicht den F-Zweig (36).
Um einen Aasgangspunkt fOr die Bcstimmnug der Zeichen der
beiden Derivirten zn bekommen, setzen wir y = 0. Dadurch wird
folglich
wodurch jene Zeichen in der a^-Axe selber bedmmt sind.
Um nun die Untersuchung soweit möglich zu veroinüachen , be-
merken wir zuerst, dass eine Umkehrung der positiven «-Richtung
die Zeichen von b^ und d^ somit auch dasjenige von {a^d^ ~^i<^)
verändert; dass dagegen die Umkehrung der y-Richtung die Zeichen
von a^ und d^^ somit auch dasjenige von c^d^ verändert Wir können
also immer die beiden Grössen
(«1 ^0 — h ^) '»"d <j^ d^,
folglich auch ( ~~^) positiv annehmen. Die Zeichen der beiden
Derivirten in der 2;-Axe sind also nach (45) 4^.
Wenn nun V^) — > ^.^ > 0, so haben die X- und F-Zweige (35)
und (36) die in Fig. 7. gezeichnete Lage. Der 5-Zwcig (44) muss
rechts oberhalb, links unterhalb dos JT-Zweiges (35) liegen, weil
(§ 15.) die beiden Zeichen rechts von diesem letzteren einerlei, links
von demselben entgegengesetzt sein müssen. Die Integralcnrven
müssen also die in Fig. 7. gezeichnete Form haben; sie berühren
also die Curve y » -x^^ und damit auch die a:-Axe in O, aber
nur an der linken (negativen) Seite.
D^trititüJjitiduaigtH trtttr Ordnung und tnUn Gradtt. S79
Auf ähDlicho WoiBO conslruirt man für
3")
0> —>^ die Fig. 9 ;
Oid^ — AiC,
das KeBultat iu Beziehnng auf die Form der iDtegralcorven wird
immer dasBclbe nod mit $ 8. ttberciustimmeui], da hier f— -
positiv angenommeu ist").
S 17. Nnn sei auch a, — 0, sowie a^ und b^ (Vgl. 5 10.). X
ist = 0 fflr
der y-Zweig ist (36), wie in vorigem Falle, Durch Benutzang der
AasdrOcke in (37) — (42) findet man weiter
S -s«C-n,6i(a,+6,)i^-6-|-lra— «ff+ ...]
die app roxi mati von Ansdrücke der die z-Axe in O berflhrsmie
Zweige der Curve S — O sind also
wo ^j, ft die Worzeln der Gleichung
sind, also
Setzt mau ntm wie Mber y — 0, so orgiebt sich
II) Eb«nao wie hier oben auf die Analogie iwitclieD anieren
trachleWn n-fachen Punliten nnd Jinjenigcn der ftlg«br»i»chen ebenen Curren
hiogedentet Kordcn lal, liegt ea nabe inr Band die in Fig. 4. and in den
Fig. T. — 9. geceichneten iDM^alcarrenfonDflD al* Infleiiont- QDd Spiti-Fonnen
leap. in beicicbaea.
380 Björlingi üebtr singulare I\inkit der gew9hilid^ mtgebruUum
wodnrch die Zeichen der Derivirten in der x-Axe bestimmt sind.
Zur Vereinfachung der Discnssion bemerken wir zuerst, dan
eine Umkehmng der positiven '-Richtung das Zeichen tou c^i ^'
gegen die Utukehrung der y-Richtung dasjenige Ton d^ ändert V4r
können somit immer alle die drei Grössen c^ht%^ positiv machen,
und darnach, ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit des Resultates,
6} = 1 setzen. Die Zeichen der beiden Derivirten in der «-Aze sind
also nach (46) gleich.
Da femer der F-Zweig (36) nähere Berflhrung mit der x-Axe
als alle ttbrigen hier vorkommenden Curvenzweige hat, ist in den
Fig. 10. — 12. jener als mit dieser Aze znsammcn&llend gezeichnet
Es sei nun 1^ o, >> 0. Aus den Gleichungen
(47) P.+*»-^;(^' »»'*--^+T)
folgt, dass 9i und Ps von entgegengesetzen Zeichen sind ; q^ sei > 0.
Ca
Es zeigt sich auch, dass — ^^ < - ist, d. h.
(^)(y-.«+«.+i-i)<^
denn dieses giebt a, > - 1 ; die X- und fi^Zweige haben also die
in Fig. 10. gezeichnete Lage.
Die Form der Integralcurven ergiebt sich hieraus; die x-Axe
ist individuelle Tangente. In den Feldern zwischen den X- und p^*
Zweigen (im 2ten und 3ten Quadranten) kann offenbar nur eine
Berahrung von der Ordnung \ stattfinden; hier ist der Platz des
berührenden Individes (s. § 10.).
^) sei 0 >> os >> — 1. Aus (47) folgt, dass p, und p, negativ
sind. Der JT-Zweig ist dagegen im Iten und 4ten Quadranten be-
legen. Das Resultat ist in Fig. 11. gezeichnet; die x-Axe, wie in
1% individuelle Tangente.
3^) os < — 1. Pi, Ps sind wieder von entgegengetzten Zeichen;
Pi sei positiv. Pi ist > — ~» d. h.
Differentialgleichungen erster Ordnung und ernten Grades. 381
denn dieses giebt o^<i — 1 ; die X- und iS-Zweige haben also die
in Fig. 12 gezeichnete Lage. Die Form der Integralcorven ergiebt
sich hieraus ; y «- 0 ist generelle Tangente, die Berührung der Gar-
ven mit derselben kann aber niemals von höherer Ordnung als 4 sein.
§ 18. Beispiele. 1) Wir geben zuerst folgende Beispiele von
singulären Punkten mit unbestimmbarer Ausgangsrichtnng (§ 2).
In den Differentialgleichungen
(b) H-« V+i>(-«+«V) = 0,
(c) -«y+*V+yM^ - 0.
(d) «y+yH-«y' = iK«H-«^rH«yM-y*)»
(e) 2a:y«+«*- 3xV"— P(2*V4-(<»— 2)y*+*--iiUFV*»-^) (m>l)
enthält A(x^ if)+P'B(xy y) immer den Factor y^px. Die Inte-
grale sind
(a)r«+y«+2.arctg* = ir,
SB
(b).V+aiogp-Ä;
(c) 2«+iog|j^p-jr;
MC
(d) oV+a«+(a+l)y- JTyay,
(e) y«— «»= Jr(y«— «^,
oder in PolarcoordkiateD
(a) r«+29 - K,
(b) f^8in*29+81ogcot9 — K,
(c) reoB^+logdn^ — K^
acotv
(d) a'rsin^+aeot^ +a+l — Ke ,
(e) tg«9— rcoE9 — Jr(f-"-«.tg«^^.aln»-«^^ — 1);
wie man sieht, hängt für r — 0 die Aosgangsrichtiing f immer von
JTab.
2) -8»V+y'+«*y+%«'"-0. 4-&cher Punkt Man hat
(S 3) F(l, p) - -F+P\ *lM> ^ - «1 P» -+1, #4 -». Ba,p)
i8t = 2, F'a.p) l+3p"i«^o <!, --2, <l, -^ = 1,^4-4.1.
Der Punkt ist generell, mit einer generellen Tangente y — 0, und
if^i indivkiiuüiAa y •-- ±0 nd 0 •>- 0.
382 Björling: lUber tingulärt Fknkia der gemöUlfAm mtgOHgKkm
Das Inte^ ist y'+a^ = K^. Die generelle nuigente tiigl
sich unmittelbar; die ttbrigen kommen ntm Vorschein für K^l\
man erhalt dann dnrch Reihenentwicklung
x« — ay«(i4-A«+^+...).
3) 2ajy+«V--y'-p(«*+y'+a^-«y^. 3-fiacher Punkt ^
hat (f 3) F(l,p) - p-p», also ei - 0, et 1, p» - +1. B(l,f)
ist =-l~p«, F'(l,p)-l-Vialso /Ji--1, A = A-+1.
Genereller Punkt mit einer generellen Tangente y *- 0, und iwei ii-
dividnellen y = ± «.
Das Integral ist t:^^ "" ^^K (^- ^^3" )• ^^^ ^ Polarcoordinates
— ~ «=- r.logrJT.cotfy - T-jJ. FOrr:=0 ist also immer ain^ssOl
Fflr JT «- OD wird die erste Gleichung y' — a^.
4) 3ai»y— y*— 3jry — p(3«*— 3x»y« — 2/). 5-&cher Punkt
Man bat ^ = Pt "" ^s "" 94 ~" ^9 Ps "" <^- "^^^ untersuchen y — 0
nach f 4. öq ist » —3, a^ — — 1, b^ = 0, also f — 1. y — 0 iit
also generelle Tangente, mit Berührung in den 2t6n und 4t6B
Quadranten.
Um P5 — 00 zu untersucben, vertauscben wir m und y. Da wird
oq = a^ "> 0, &o "" "^ 1* ^^0 Tangente ist also individuell.
Das Integral ist y
5) y^+^^+^o:^^ "" ^^V'* Un^ Fnnctionen ^ ^ von demaelbea
Grade darzustellen, setzen wir x » «i+yn ^ *^ ^n ^i^^ finden so
wo die Indices den Grad der homogenen Functionen ^ , ^ angeben.
Die Gleichung ist von der in § 9 betrachteten Art; die einzige Tan-
gente y » 0 ist Specialtangente, und die Integralfunction in der Um-
gebung des Punktes wesentlich unbestimmt
Untegral: x^+y» = Äy'e^'J
.Integral: x^+y
6) xy+y*==p(if—x'"{'xy\ fiist = l. Die einzige Tangente
y » 0 ist speciell ; hat aber nähere Berührung mit JT — 0 als mit
F — 0. oo = Äo = «1 =■ 0, ebenso c^ = 0. (8. 5 H). Ferner ist
6i — — 1, cj = 1, 4o « 1, die Gleichung (26) also — 2p»-f.8^ — a
liiff'irttlialgUicIuingtn eriMr Ordnung unfj trilin Cradti, S88
Hieraus folgt n, = ], oj <= j. Die Tangente ist also inilividaell, und,
da es keine andere giebt, auch der Punkt selbst.
(Int.: (l + Szy+yS)» = i(l + 2«,)»).
7) j^ + Siiy— 3i»s + p(— 3ay + 2«' + 3x»y») = 0. » = 2,
#1 — e» = 0, pg — ».
y =: 0 ist Special tan gen te, «o ;= t„ = oj -- 0, 4, -> — 2, Cy ^= 0-
(S. I 11). Hier ist o, — 1, 4, = 0, c, = 2, «„ -
Ol, (26) also - 3p'-|-6p = 0, woraus folgt tt, = «, ^
Tangente.
Um pj zu nntersacben, vertaaschen wir x und y. Da wird
oq '^ 0, a, =~2, 6|) = 1, also r' — — 2. Die Tangente ist generell.
■0, d„ — '2; di9
• j. Individnelle
Das Integral ist (2z
im allgemeinen Tangente i
-y")* = Kix»-2^!i). x~0 ist folglich
O, für A' = 4 tiat man aber
8) — mi"-ly»-|-(m — 4)i"+» — i^yä-f-l"!* _4tV — J^*"'
+ r«j-+p[3i-y»-[-(3-«)r+* + '<^V-'] = 0. (m<»).
(m -{- 3j-facher Punkt. Für m = 3 ist die Ansgangsricbtung
Qubestimmbar; wir nelimen also diesen Fall aus. Drei Wurzeln
der Gl. (4) sind dann dqU, die übrigen unendlich.
a) y -^ 0 ist Specialtangen to von der iu g 12 behandelteu Art,
denn oj ■= Oi "■ a» -^ Sq ^*i *" '^^ Ferner ist Co^m — 4, o, ^^ — m,
6, — 3, also p ^ ~3' """^ (wenigstens für m ^ 4) y — 0 generell
oder iadividuoll, jenacbdcm m > oder < 3 'st-
b) Um die andere Wurzel zu untersuchen, vertanschon wir x und
y. Die Methode in § 13 ist freilich nicht anwendbar, durch die
Snbgtitutiou r — i", y = u" findet man aber
folglich durch Integratiou und Wiedereinführen von x, y
y" ™. Ai»— «:"
y -> 0 (d. h. die frühere y-Axe) ist also generell oder iudividnoll,
jenachdem m < oder |> 3 ist
Das Resultat wird bestätigt aus dem Ausdrucke für das Integral:
j'-ir* = A:«» («-"+»■•).
384 Björling: Ütb9r nngulirt Pimkte der ffewökMAe»
Bern. 1. In der ZQ (1) redproken Differentialgleicbuig JK, die
im allgemeinen nicht vom ersten Grade ist, entsprechen den hier
behandelten Punkten singulare Gerade. Einem singnlären Punkte
mit unbestimmbarer Ausgangsrichtnng (f 2) entspricht in E dne
Gerade, die in allen ihren Punkten von den Integ^cnireB berOhrt
. wird ; einem n-fachen Punkte in (1) eine Gerade mit n verschiedenee
Berührungspunkten, welche sowol generelle als individuelle sein könnei.
Bem. 2. Die Curven JIT— 0, r— 0 schneiden sich Im all-
gemeinen nur in einfachen Punkten. In der Regel, d. h. wenn die
Gleichung (1) die allgemeine in ihrer Art ist, kommen also nsr
Doppelpunkte (n»l) vor. Dieselben können generelle oder in-
dividuelle sein, im vorigen Falle mit nur einer generellen Tangente.
Diese Punkte sind behandelt vom Hrn. Poincar^ (Besal, Jour-
nal de Math., S^r. 3, Tome 7, S. 386). Die „noeuds'^ and ^cols^
des Hm. P. sind dieselben, die hier oben als Doppelpunkte mit roel*
len Tangenten bezeichnet sind, jene generelle, diese individuelle',
seine „foyers'' sind meine Doppelpunkte mit imaginären Tangenten,
seine „centres'^ ein specieller Fall davon.
Lund, 1. August 1886.
: ITitnrit lUr T/ielafunc
XIV.
Theorie der Thetafunctionen einer Veränderlichen,
deren Charakteristiken sich aus gebrochenen
Zahlen zusammensetzen lassen.
Richard Voss
»US Tu lern VT.
Die Theorie der ThctafanctioDen , deren Cbaraklcristiken aus
gebrochenen Zahlen bostelien, ist der Gegenstand verschiedener Unter-
SDcbungen der Herren Prym und Krazer gewesen. Für den Fall
n = 3 der elliptischen Functionen ist sie von Herrn Krazer durcli.
geführt and zwar anf Grand der Prym'schen Thetaformela, deren
Entwicklungen in den Acta matbematica Band IH gegeben sind. In
neuester Zeit bat nun Herr Proressor Krause in seiner in den matbe-
matiBchen Annalen Band XXVI erschienenen Arbeil: Ueber Theta-
functionen, deren Charakteristiken gebrochene Zahlen sind — die
Prym'scben Formeln für den Fall zweier Veränderlichen in einer
neuen und einfachen Weise abgeleitet und zugleich unabhängig von
jenen Formeln Methoden zur Herstellung allgemeiner Thetabeziehun-
Auf diese Arbeit von Herrn Professor Krause stutzen sich nun
weaeutlicb die folgenden Betrachtungen , dereu Gang demnach klar
vorliegt. Nach Ableitung der Uaupteigenschafteu der neu eingeführ-
ten Thetafnuctioneu und nach Aufstellung der Snbstitntionstabelle,
die die einzelnen Functionen in einander überfüLrt, werden wir eine
Methode augeben, die sich naturgcmäss zur Paramctordarstcllung un-
serer Functionen im allgemeinen Falle wie für die Nullwerte der
Argumente darbietet. Die Behandlung der spociollen Fülle n ^ 3
und n "= 5 werden uns weiter zu einer Keiho vou Thetarolationen
fuhren. Für den ersten Fall worden wir zugleich die angegebeuo
Methode der Parametcrdarstellung naher durchfuhren a^A i»
düng damit nach Analogie der von Herrn Kr
Xici. in UUh. a. Firn. I. Beihe, T, IT.
S8G I'<"<- Tkeorii dtr Thelafunelwnen fi'ner VtrandtrUchn,, Jt
flnchQngQn in: Ueber ThetafuDCtionon , deren Charakteristiken &d«
Dritteln ganzer Perioden gebildet sind — zeigen, wie auch mit un-
serem Verfahren die Üarstpllung der Thctaquotieutcn auf die von
ilim angeführte Form ermliglicht werden kann. Hieran wird sich
die Entwicklung einer Reibe allßCraeinerThetaboziehnngen anschlies-
sen. Für den Fall h = 3 werden wir hierbei die Relationen zn ge-
wiunen suchen, die Herr Krazcr in der erwähuten Arbeit anfgostdlt
hat, während wir für den Fall )t ^ 5, den Unters neb un^^n des Herrn
Bianchi folgend, die 5 quadratiachen Gleichungen entwickeln werden.
— Schliesslich sollen die Prym'schcn Fundaraontalformelu auf eine
einfache nud directe Ait abgeieiiet werden.
In Bezug auf die bcnntzto Litteratur verweise ich auf;
Kranse: Ucbcr Thctafunctionen , deren Charakteristiken ge-
brochene Zahlen siud. Math. Annalen Band XXVI pag. 569.
Krazer: lieber Thctafunctionen, deren Cbarakteristikon aus
Urittclu ganzer Perioden gebildet sind. Math. Annalen
Band XXII pag, 417.
Thomae: Darstellung des Quotienten zweier Thctafunctionen,
deren Argumente sich nui Drittel der Pcridicitätsmoduln
unterscheiden, durch algebraische Functionen. Math.
Annalen Band VI pag. 603.
Klein: Zur Theorie der elliptischen Functionen nter Stttfe.
Abdruck aus den Berichten der math.-phys. Classe der
KOuigl. Sachs. Gesellschaft der WiaseuHcharten 1884
pag. 62.
Klein: Abhandlungen der Leipziger Academie. 1885.
Biancbi: Uebor die Norraalformeu dritter und fUufter Stafe
des olliplischeu Integrals erster Gattung. Uatb. Annaleti.
Band XVII pag. 2M.
Müller; Zur Trausfonnatiou der Thctafunctionen. Grunert's ^~
Archiv. 2. Reihe, Band I.
Die vorliegende Arbeit schliesst sich an die Uebnngen im mathe- — ^*
(natischen Seminar der Universität Roatock an, deren Gegenstand M»^
unter Leitung des Herrn Professor Krause ira SommerBOmester 1885 ^^)
die Theorie der Tbetafunclioncn bildete.
Ich will au dieser Stelle nicht verfehlen, meinem hochverehrten " ^
I Lehrer, Herrn Professor Krause, meinen verbindlichsten Dank aus- — ^^
insprecbeu fUr die lebhafteste Anregung und dauernde UnterstOtmng, ^^^M
die mir durch das Interesse zu Teil wurde , welches Herr Professor '^* '^^
, Knuue dieser Arbeit widmete. _
i gthrocAmtii ZaSUf r
Kiiiführangen dtr lütgenitinen Thet
EigeiuchafteH tterielbeii.
tietafanction : J^ L
,fjj,.,_g-("+=)+-("+')G+^)
od<-r was dasselbe sagt: I
so wollen wir ganz allgemeiu setzen:
wobei unter n oEdg ungerade Zubl, und unter a eiu beliebiger der 4
Indices 0, 1, 2, 3 verstaodeQ werden soll. Dann lobrt die gegebene
Definition die EiiBtenz folgender Fundamcatalgleichungen :
, u.+i)-»., W"
: ,.+.) = ».|
-2».-' -m(2.+T)
Der Ußbergang der Thetafnnctioncn in einander gcBchiotit dabei
mtcb folgender Tabelle :
388 yott: TktarU der Tketafuneiwntn eÜMr Firftirfgriftrigii, 4trm
'•&j("+i)=*.[ü<" - -
w »«
»» rt
ThetafanctioDcn nter Ordnung können wir nan beispielsweise
bilden, indem wir die definirten Functionen in die nte Potenz er-
beben. Denn dann sind die für eine Thetafunction ntcr Ordnung
charakteristischen Bedingungen erfüllt. Ebenso sind derartige Func-
tionen die Producte zu je n, also:
bei denen:
Ek= Zk^^^O modn
Solche Thetafunctionen lassen sich aber nach dem Hermite'scben
Princip darstellen als Summe von n Thetafunctionen von derselben
Ordnung und derselben Charakteristik mit n willkürlichen Constanten,
die linear von einander unabhängig sind.
Greifen wir die einfachste dieser Functionen heraus: ^^ (^~l~'')*
80 können wir dieselbe in die Form bringen:
CharakltTÜliJuii tkk aui gtbrodtiiea ZaliUn tatanmiMnlMn lam
+ <'„_+l »st") Ö»"-' ('■) + "„^.g »0 (,.) *, (,,) »,(„) a,-S(,
+ ... + ^« *oH 9, M #.-»(«)
Die Anwendang der aufgeBtellteii Sub s ti tat ionsta hello ergiebl
hieraus die weiteren Gldchnagen :
- *. "(•' + ^)= "i »,"(")+<;. ffs"-=(.-) *a''('')+...-h'„_,.i *,(«) *a'
- "„+3 ^Ot") *!(") *3(«) Ö,-- »(f) - ... - C„ e„(,.) #, (o) ff,— "(
»0 "(''+;)-'^ »«"M+''. V-''(f)*i'(<')+-..+S,+i»o('')»,
2"
-"„43 *!(") *.(") *»(") Ö„-»(t.) - ... - c« ff, W »,{„) #,
~2~
+•^„+3 U") »M U») 9,-^(v) + ... + Cn ».(f) »,(«) »o-H
Um die auftretenden CoDBtant«Q zu bestimmeD, multiplicircn wir
die linken Seiion mit &^ {" + ")' dividiren beide Seiten durch
#„"(ii) und fuhren statt der Thotafnnctioncn die elliptischen Fanc-
tionen ein durch die Oleichnngcn:
*= 7(ffa>u — 2ä'[.
,= s-Bn(u)
Saun folgt das Gleichnngsay stein
■Ml
'(»+t)=
t, dn-M + ., iln-'(n) cn"<u) Jj+...
390 VoBs: Theorie der Theiajunetionen einer Veränderliekenf deren
S" n—l 9> fl 9- 1
+ ...+c»8n(u)cii-«(t»)^^^P
N
Sfer '" ^»4-— j-CiCU»(i.)+c,cn»-»(«)dn»W^+...
- c» sn (t.) dn— «(u) ^^ff^
_____ _ c, + c,8Il»(«)^,H-... +c^8n->(u)^
2
W" '° (~+-;*^i8n-(«)+c,gn-2(«)^, + ...
+ ^n+1 «^ W 57^ + ^fi+3 ^° («> ^"^ W sn— »(u) ^-|L^ + . . .
"IT 2
Hierin denken wir nns die Potenzreihen der elliptischen Fanc-
2Jr
tionen, deren Argnii^^nte u nnd u -] sind, eingeführt. Die Goeffi-
cienten der ersten Entwicklang stellen bekannte Functionen von d-m
dar, während die der letzten bekannte Functionen von d-m nnd ^«(^/n)
sind. Endlich möge noch der Quotient — ah/ \ — M ©ine nach
Potenzen von u fortschreitende Reihe entwickelt werden. Die Con-
itante berechnen wir dabei nach dem Theorem von Maclaurin, die
ttbrigen Coefficienten sehen wir aber als Unbekannte an und bezeich-
nen sie mit ^j, y^i • • • Durch Gleichsetzen der Glieder gleich hoher
Potenzen von u erhalten wir alsdann eine Fülle von Gleichungen
C^arakteriffiktH lieh aui g^rodieHin Zahlen zM»ammm>tliea lanim
391
mit den UobekannteD e und g- Aua dicson Glcicbuagca lassen Bicb
die Unbekannten aU rationalB Functioueu der Gröaseti 9n und &a(V>)
beGtJmtnen, w&brend sich zwiscben diesen GrÖsseu selbst eine Reihe
Ton Beziehangen ergeben werden.
Die Reibenentwicklnngon der eltiptiBchon Functionen mit dem
Argament u linden wir in der Arbeit von Hrn. AlUllor pog, 166. Für
die Übrigen eüiptiachen Functionen wollen wir sie, soweit wir spftter
von ihnen Gebraach nmcben, angeben:
.(«+^#)
»■»,(■/.)
+"■■
vcww + ».')+ 2»."»,>»,v;.) + . . .
/ .ins ». »,('/.) *.
■ VC'.)
. ttJä-i
+ 2! »TV W.) iVC/.)(».'-9.')-2».'9.'».'(';.)J
, / , 2ri »,»,(';.) ».V ».(■;.) ».(V.l
Y ,iK\ Vi'!'/.) , , V9.
I 3 ' »il'M
■2!V*» VC/-)'
»i'iv.) ».(■;■) <>.('/.)
V(V.)
2»,> W ('/.) + 2 V».'( '/.) Vi V.)
-».^';.)e,■(7.)(»l■+^')J +■■■
'»r+T)=v'5iÄf;;")+"' '^v 5?w.]
+ "4 ^. ^M {2V».'»,'('/-) +3 W('/.)».-('/.)
- ».■('/.) »,'(';.)(»,< + v)j + ■ •■
V , 2jt\ v»,'('w , . ».'».'»■'(';.)».(■/.)».('/■'
j^'Uj,
■2!V».'('/.)('
-»oVW».'('/.)(»,' + »/) +
.,1-1
392 Vott: Tkeork der Tketa/uHetionm emtr VtHbtitriieka»,
9
cn
( >^ VW/'«) „ »o»»i('MV(V.)»t(V.)
+»*l! Ä?V Wj!) l" 2V*W('/«) + 8*,**.V/-)*.«(V.)
+ V(V-) V(V-) (V - *o*)S - . . .
Y 2JC\ VV(%) . V»j(V«)»,'(V.J»«(V.)
+"*1wi4o?ii;){-2*o*vv(V-)+3<^,*<^AV.)V(V.)
+ V(V«) V( V«)( V - V)} - • • •
+«*l! w tl^vj r2*o*»w(v.)+4<^,*<^Av-) v(v.)
+ V(V«) *.»(V«)(V - V)} - • • •
'( ,2K\ V Mi/») o V*«» ».(V«)»«(V«»«'(V»)
<^l,"+";rj"i^,''V(V«)~" V ■ *o*(V.
rf»
+«*l"! V' lAit") {- 2*<»**»*V(V«)+2^,**i»(V«) MV-)
+ V(V«) V(V«) ( V + V)} - . • •
«/ , 2jr\ V V(V..) . V*«* »i('/«)»«(V«)»a'(V»)
+ "* • ti V ■ ^7(ii) r 2*0**3» v(V'«) + 3»,**,«(v«) v( V«)
+^o*(V«) VC/«) (V+ V)) - • • •
,Y . 2ä\ V V{V«) R V<»«*»i('/»)»i(V«)V(V.)
+ "* ll % ' P^^) {- 2^**»'*»*(V«) +4 V*i»(V«) *.•(»/«)
+ V(V«) V(V»)(V+ V)} -. • .
15 gtbrochenrn Zahlt« tu»aJHmen$t1ttn laisei
PoramcUrdartletlung im allgemeine)! Fall u
ihr Argtimtiiiie.
; für die Nullieertc
Wir greifOD einen beliebigeu ThelAquotientcn heraus und wenden
tat Zähler und Nenner das gezeigt« Verfabreu an. Alsdann ist an-
mittelbar klar, dass die veränderlichen Thotaqootienten sich sämtlich
auf eine Hiilfsvariable , nämlich oine der 3 elliptisclien Functioncu,
and zwar mit Hölfe von Q nadrat wurzeln redncireu lassen. Die Cun-
Btanlen, eiaschlicsslich der Quotienten der Nnllwerte, können wir da-
gegen als Functionen zweier Grössen dantellen, z. B. der beiden
Grössen
*,{'/:,*) . *.(■/-, t).
Dabei besteht zwischen diesen beiden Grössen eine Gleichung, die
vom n^-llen Grado ist, sobald n eine Primzahl bedeutet. Ist aber
I H eine zusaromengcsetzte Zahl, so wird der Grad eine complicirto
Form annehmen.
In welcher Weise nun die Reduction der Constantou vorzunch-
D ist, wollen wir knrz andeuten:
1) Zu Folge der Formeln diis Additionstheorems •)
,, ^^L+•v^
.{?)!i(^r)M'f)/_Le)'i(i)'iM
"vG')-v(-)
I) cf, Jacobi: QetaDimeUe Werke I. pftg. GI3.
894 Fo««s TVoTM tUr TkeU{funclianm% «Mtr VirärndvOektm^
^0 A /w*"r*h^\
'■(")'.(y) »■(:)'.(")'.(y)'.(y)
1 —
&)v(¥)
V
(
1 —
*0»
e)v(¥)
werden alle Aasdrttcke von der Form:
wobei m und «ii alle Wertcombinatioiieii ans den folgenden Zahlen
beigelegt werden
»•: 0, ±1, ±2, ... ±^-5
"H- 0, ±1, ±2, ... ±^^i
anmittelbar dargestellt werden können dnrch die beiden Quotienten:
o. /!/ — : und ^ ,-. z\ « — 1, z, ö.
GtanttftTMlftm «M au» ^rocAtn
i ZahUn zu$atnmituttttn latitn.
Berücksichtigen wir nun die Bclationen:')
die für jeden Wert von x gelten, so lenchtet ein, dasa sich diese 3
Quotienten dnrch die verlangten ansdrUcken iBssen. — AllerdtDgi
treten noch die Nuüwerta selbst anf, deren Bedaction qde sofort
boflcliäftigen wird.
2) Wir betrachten den Ansdrnck;
indem wir unter 9'u(i''t'] einen beliebigen RepriLseutauton verstehen
wollen. Mit Benntzang des Hermite'achen Princips erfolgt dann:
-,-',+',
+•••
Bestimmt man die Coefücientcn nach bekannten Uethoden. so
ist klar, dass dieselben sich rational dnrch die nrsprünglichen and
transformirten Moduln darstellen werden. Um weiter die tronsfor-
mirten Uodnln anf die zu Grunde gelegten Formen zu bringen,
machen wir Gebranch von den Beziehungen *)
c.(m^').c..(2„")...c('4^m°)
) sind wir im Stande, die AnsdrUcke:
I) el. JMobl. p*s. SM.
i) cf. KOaigib«rgBr; die Traneformatiaa , die MnltiplIctüoQ aed die
HodnUrglelchDOgen der ellipüicben Fapctioaea. ptg. T*.
396 Vott: TTheoru der l^eta/unctionen einer VeräMderUekem,
sowie die analogen, die von diesen nor durch die Indkes ▼encUedm
sind, in die gewünschten Grössen überzuführen.
3) Was schliesslich die Quotienten der Null werte betrifft, so
brauchen wir nur zu beachten, dass z. B. ist:
Diu Anwendung des Multiplicaüonsthcorems f&hrt dann zum ZieL
§3.
Der Fall n « 3.
Bestimmung der ComtanUn, Gewinnung wm TheimrekUionen.
Wir erhalten für diesen Fall aus B) das Gleicbuugssystom:
?*^^±i^.dn'(n+^ » c,dn»H + c,duM
+ c,sn(»)cn(t»)-Vr-
— <!g8n(u)dn(«)äni
^1^ " c,+c,8n»(u)^;-c,8n(»)cn(«)dn(«) J*l|
+ cj cn(M) dn(»0 a >%.>
Führen wir die Reihenentwicklungen der elliptischen Functionen
ein, so ergeben sich bei Gleichsetzen der Goefiicienteu gleich hoher
Potenzen von u die Gleichungen:
1) <?i — ^^3 » -^; cj -- ^^^^^^
5) cj+c,^ — T»'* ^ <^i + ^^«— — ^s"
aumtkUTlHiktn ncA aua gtbraditntn ZakUii zutaaimtnitrttn laiitit. 397
7) »,»,9.'V(i)+»a'(i)». ■«)»!(«».(« .-.VAVd)
8) J, V».'Vtt)-3»."»."(l)V(i)»,tt)».(l) - '.VW.'(i)
9) »,»."»,■(4) -3!>.'(j)»,'(i)»,(J]»,{H - «.».»..».'(i)
10) 9,VV(i)l3^iV*j* + Ci(VH-3V)l — 2yjVWi)V(i)
-6*,V».«,(i)».(il9,'(B+3»,"H)9,(i)i-'V»,'<l)»,'li)
-2».«8,>»,'(JI+»,"(i)V(i)(V-VI
11) -»,"»,V<J)i3«,w-«.(V-3V)l - 2j. W».(i)V{J)
-6s, »,»9,'»,>»i(i)».(i)"."(S)+3»o'(i)Mi)l«V!>. ■»»,'(!)
- 2»."».»,'«) + V(1)V( ))(•'.'+ .V) I
12) :.^,WA'(iK».'+V) - 2», W».<l)».'(!l
6».»oV>Ai)»i(l)».(i)+3V(i)»,(i)|2W(i)».'(4)
+2»,'»!"»i'(«-»o'(i)»,'(J)(»,'+»,'))
Diese 12 Gleichungen werden scbou genügen, uns z
TOn Relationen zwischen 0« ni)d OntJ) zu führen.
Durch Combinntion von (1) mit (5) und (G) eriialteu wir doa
I' aus dl
-c,VMs = V*s*(i) + V*i*(i)
aus dem die Oleiehnngon rasnltiren:
I
öj
W(i) + ga'g»^i)
icliuiig;
Durch Ersetzen der den GrCason gi und c, zukommendui
hält man weiter aua (7):
die indeaaon vermöge der Glei
3
Ubereebcn in:
Werte er-
AClQ Vüääi 7]Imm*üi Ar TWta/iiMciiMMa tuMr PSnnlAAriHi&Mi.
(B)
V(i){*.»*.»(iH-W(t)l-*o*t*.»i'(t)+8*.«*o«(l)«,«(i)*rfiWI)
*«»(*)l*«»*i«(i)+*i«*o«(W-*tV»i*(i)+8*,«*A«(i)»i*(i)*.(iWi)
V(i) l»i» V(i) - W(i)l -*,«*.*,•(*) 4 8*,»»,»o«(i)*,«(i)*^t)»^)
wahrend ans (8) ond (9) in Verbindung mit (2) und (3) horroigdt:
*.V(t)-*A»(i) -3*. Mi)^.l(i)
Mit Rflclcsicht auf (A') liefert dies System sofort:
Combiniren wir aber die 3 Gleichungen von (C) mit einander, to
finden wir durch Multiplication aller 3:
*o«*o'(t)-V*i»(i)-Ki'*.»(i)- 18. V(i)VaWt) (gj
nnd durch Addition resp. Snbtraction die bekannten, direct ans dem
Additionstheorem abzuleitenden Formeln:
*i*.(i)-K.*t(i) = *o*o(i)^;^^,
V.(t)+*.».(i) = *»*»<*) öiäf^)
^ (F)
Zar GewinnüDg weiterer Relationen wollen wir ans (10) ... (12)
die Unbekannten e and y eliminiren. Verwerten wir dabei (F) sowie
die im vorigen Paragraphen bereits erwähnten für jeden Wert des
Arguments geltenden Beziehungen, so erfolgen die beiden Systeme:
Gtarakltritläitn tkli i
( gtbroduntn ZahUa lunitiiBfaHluH Imnk.
»••(VI»)».'!»)— V(l)V(».'(i))=2».'»."'V(H».'(H(».'(l)-H>.'(4))
»i'('V(HV(t)— V<i)».Vt))=2VV».'(i)V(»(V(J)-V(i»(0)
V('VH)»,'(4)— V(l)V(i))-2''.'»."'V(4)'V(i)<V*-»i'(i))
und:
(H)
V(»i'(i)V(i)+''.'(i)»,'li)l-29.'(i)9,'(i)V(JI(».'»i'rtH»,'».'(i))
V(V(i)V(4)+V(t)».'(J))=2V(i)'VIJ)V(iKW()HV»oM))
V(9.'lJ)'','liH'>.'(i)'i.'(tB-2''.'(ilVli)«.'(!)(»,'».>(j)+»,>»,.(J))
dervn letztes noch in die eiufachere Form gebrucbt werden iidna;
2V »i'(l)-».'(t)
2V ».'lt)-»,'(H ,
??.' V(t)+».'(t)
Diese 3 GleichungeD lassen sich nun auf eine ciozigo redoriren
mit llinzunahme von;
»,'»i(H-V(4)-V(H
».=*,(})- »,'(1) -».'(4)
So»,», = 2»,(4)».(4)9.(41 IKi
welche Formel auch unmittelbar ans dem Additionstheorem flioast.
Mit Hülfe der soeben benutzten Gleichungen Itann man ferner
(0) in eine andere Form kleiden. Wir wollen aber die 3 Gleichnngen
(6) unter einander combiniren, um zu erbalten:
». Mil lA'(4)''i'(4l+Wo'l4)V(4l
». »,(4) " ' V(4
. ».(4)
. ».(4)
■.'(4)»,'(4)+3V(4)'.'(4)
l/»,MiVi4)+3Vi4TV(4i I
■ ' »ü'(4)»,'(4)+3V(4)»,'(4)
9, »j(4) |/»,'i4)'>.'i4)+3».'(4)»i'(4l
». ».(4) ~ ' »,*ll)s.'(S)+3V.4)'>.'(4)
Schliesslich mt}gen noch 2 Oleichungssysteme hervorgehoben wei
deren eins:
400 Voit: Hnorit der TkttafmetioHm einer VerMitdeHiA»»,
(M)
*,2(V(i)»s*(i) -S»o*(i) V(i)) - 2*o«(i)*i»(i)»t*(iK*o*»M)
-*t«»Ai))
V(*,*(i)V(i) -39o*(i)V(i)) - - 2*«2(i)V(i)»,«(i)(*o*»o*(i)
-K.«».«(i))
V(V(i)*i*(i) -3*»*(i) V(i)) - 2V(l)*»»(i)»«"(i)(V»t«(i)
leicht aas (H) abzuleiten ist, während das andere:
W(i)-Ps^/(i) = ^,(i)h(i) 1^ (3V(i)-*i*{t))
durch Transformation von (B) mit Anwendung von (J) hervorgeht
In analoger Weise können wir nun, um neue Beziehangeii u
erhalten, auf andere Thetafunctionen dritter Ordnung unsere Methode
anwenden.
Hr. Krazcr hat in seiner Arbeit pag. 445. und ff. 21 sohher
Thetafunctionen augegeben. Wir sehen indessen davon ab, mit ihrer
Hülfe neue Systeme aufzubauen.
§4.
Parameterdarstellung für den Fall n = 3.
Die in § *J. angedeuteten Bemerkungen mögen für diesen Fall
näher durchgeführt werden, doch nur insofern, als sie sieh auf die
Reduction der Constanteu beziehen, da die der veränderlichen Theta-
quoticnten unmittelbar zu erledigen ist.
1) Ausgehend von den Formeln
■m
OMrabtrtttiUn (icl a
I gtbrochtiuit ZailiH !
,_ /'_±}\ Ml ».('/■) X *ili! Ml *>.('/■) V'/.'
, {'_±1\ Mi MU X ?"tii M? ».'i/»' »■('/■)
neht nftn, dasa die Ausdrucke:
_ •i'(Ü »i'l'/.)
ȟ'(i) VW.)
dnrcb die heideu Quotientün:
».(11
- ^^ "
dargestellt sind. Da
■un:
V(i)
V VlJI,
, , V Vli)
V »,'(»
».' »."(il
»sW
1
V(i)
V + VMil
».■^»." Mi)
welche BeziehnngeD für das Argument t/, dieselbe Form behalten,
80 sind damit alle auf den rechten Seiten in den 3 vorigen Glei-
chnngen auftretenden Quotienten zurückgeführt auf
wenn wir zunilchBt noch von den Nnllwerlen absehen '''•* "'•« vnrbin
Eo ancb hier auftreten.
A>*k. in Hftth. 1. Plijrt. 3. Riil». Tiil IV.
402 Voia: Theoru der TkUafuitetionen einer VeräMderUdkHf ekrem
2) Betrachten wir nun den Aasdmck:
nnd groifen, am einen bestimmten Fall vorzoflihren, den Repräsen-
tanten: ^o(Zvj 3r) herans, so ergiebt die Anwendung des Hermite
sehen Princips die Oleichnng:
^o(3t>, 3t) dp» ^t«(t^, T)
ans der dnrch Yermehrnng am halbe Perioden erfolgt:
^g(3t;, 3t) Jro» V(t>, T)
^s'K t) ^o(0, 3t) - ^1 -1" *» ^3«(t,, r)
Werden die Constanten in bekannter Weise bestimmt, so erhalt man
mithin:
»o(3t>,3t) »0» ■ V »,«faT) /V.V0,3r) \
VC«»,») *o(0,3t) '=' •^■T" V *o*(«',*) \V*o(0,3t) *y
Termehron wir hierin o um ^ , setzen v — 0 and ervägen weiter,
dau zn Folge der frtther angegebenen Boziehnngen zwischen den
■rsprflnglicheu und transformirten Moduln sein mnss:
MO, 3t) «p »o*(i)
*3(0, 3t) " *3 *,«(i) '
so folgt:
*o»(i) " ~ ^M'
Ebenso erhalten wir:
V -«»1 1 VW»)
V
*0»(T/,) V(t/«)
1 --
vCi') V(!±-')
Ctonutfo üfÜM litt aw gibrochauH Za
Ganz dftiselbe Verfabren bei ZngnitideleKUDg deB Ansdracki
angewandt, liefert die Gleichaiigen:
-!^ -i + Vll
V(i) ' + V(l)
VW,)' ■* ~
1 + VW,!
+ VW.)
t'\
Wir finden demnach das Reanltat, dass die GrSBsen
.-m
■ 1 +
9.S
(t')
sowie deren analoge mit Bezug auf (1) sicli in die gewünschte Form
bringen laaBon.
3} Was endlich die ConHtanteD betrifft, deren Argumente gleich
nall sind, BO wollen wir die Transformation nar far einen Quotienten
dorcbfübren. Nehmen wir den Quotienten -^-j, so folgt mit Anwen-
dung des Multiplicationsthooroms :
V(i) (Vi) »M)i
V »Ai) ' V(4) f
Mit Racksicht auf jene Gleichungen, die die rechts anftretenden
Ausdrucke Überführen in / = ^^. . geht hervor, dass ^^ ba-
ttimmt ist aus "
Auf diese Weise haben wir die Möglichkeit der Bednction aller
CoDstanten anf deren zwei dargelegt Ob es mon gerade geeignet
ist, die von ans gewählten beiden Ausdracke zu Omnde za legen,
nm die flbrigen aof sie zn beziehen, ist nicht weiter jnntersacht
worden.
Jedenfalls aber wird bei wirklicher Dnrchfthrang der hier nor
im Prindp angedeuteten Methode an Beispielen die Wahl jener
Ausdrucke auf die Rechnung von wesentlichem Einfluss sein.
§5.
UeberfUhrung der Thetaguotient&n
in die von Hr, Kremer eingegebene Form,
Hr. Krazer hat in der anfangs erwähnten Arbeit die von ihm
aufgestellten Thetaquotienten sämtlich durch eine passend gewählte
Hülfsvariable Z ausgedrückt, wobei die Constanten als Functionen
einer neu eingeführten Grösse z dargestellt sind. Die dann erhal-
tenen Resultate sind allerdings sehr einfach, dorch dürfte es schon
schwer werden , für den Fall n -» 5 die passenden Grössen aufzu-
finden, durch die eine Darstellung der Thetaquotienten ^n analoger
Weise ermöglicht würde, während bei unserer Methode unmittelbar
klar, wie die Parameterdarstellung vorzunehmen ist Wir wollen nun
versuchen, auch von unserem Verfahren aus zu jenen von Hm.
Krazer entwickelten Formen zu gelangen. Dazu wählen wir die 3
Quotienten:
^{0 I « I -ajCv) • ^{0 I « I — a}(t;) ' ^{0 | a | —a}(»)'
Um diese Thetaquotienten in unsere Form zu übertragen, ver-
weisen wir auf die Bezeichnungen, deren Hr. Krazer sich in seinen
Untersuchungen bedient hat. Er setzt allgemein:
und bezeichnet dann:
[:,] - w
^[4 (i]=[:.]-H^ [?1=[1]-W'
e — " r ; « = r
Weiter fuhrt er zur Abkurz
«HM*[i+flw»[i-n<»)
» w(0) »[»+fl(o) »:^n(o) .
i'i
»[,](,.)'r -»MW, »[»](0)'i
Alsdanu werden jene Ausdrücke Obergehco iu roBp. :
?,W!
«,M»,(»+V.)».(«->/.)
2n»-t/9
. .f,(") ».(■+'/.) ».(•^■U
«>■(— 2«-f-i/8)
2niT/j
• ».(")».(>•+•;.)»,(»-■/.)
Wir betrachten nun die Tbelafauctioneu einzelD , indem nir auf
jede das Herniite'scbe Princip anwenden. Es folgt:
».(»iT/,)'.
-o,l-±il,f
».■(±2H-'W
-.,,V)'-H,»,(i>)»,(rt"+i',».(t;)»,W«,(")
:,lt,(.)"+e,»,W»,M"-«,»,(.)9,(e)ä,(.)
',»oW'+«.».M»,W'-«.a,W»,W»,W
wobei sich für die Constanten die Werte ergeben:
k
_ VWi)"i'/. -n».
> — ~ *„i ' 1 «i — + ff
».''>.'W.)+V».'('/.l ■
406 Vot$t 7%»urit Ar TkrtufwuHoMm tmr Fiiaifc'ifiliii,
MithiB eriMlten irir>
1)
*«(.)• ~^**/»
2)
»HCt»)»
V VW V
) VW.) , M") W(»/«)+VV(»/«)
J *? "^ *,»(») v»,v
Vt>) »,(>)»,(«>) »,«K»/t)\
.. »{-}(.)» «'^*^*
^^ *p I « 1 -«fw ^»(»/j} _ •»!(•) *t*(»/j)
V(»/«) . VW V»«*(*/»)+VVW»)
{
. Vt>)»i(t>)Vt.) V(t/,))
T VW *o*tV
Ferner ist;
^^'^ *,(r)*,(H-t/,)*,(r-T/,)
•sd die TOD 2 »bfatagige Gröne yj!*:
*.(*+*)♦•(«' + *4^) »» (• - ^
oder e« laneii sich beide Grossen in die Form bringen:
^'ChantkitfUtikta itcA ohjt g^brockenrn Zahltn
^o' (t/s) __ VW ^."(i/a)
y/e.
^oW^.M^W^^'^'^^C4-0^^(V)
»•"{•)
*„*,«
Es Laudolt sieb nun zunächst darum, die Gleichuugen (R^) cf.
Krozer pag. 437 hcrzustollon. Und zwar werden wir TcrsnchoD, den
2tfin Teil dieser Beziehnugou abzuleiteu, da, wenn dieser bekannt,
auL'li sofort die 4 ersten Beziohungun gefunden sind. Ein Blick anf
jenen Teil der Gleichungen Dua, die die 3 ton Potenzen
(0)3'
{0)8' (0)» • CO)«
dnrcb die Grosso t darstellen, zeigt, dass, wenn wir einen dieser 4
Quotienten als gegeben ausohen, dio 3 übrigen sich ala Wurzeln einer
kubischen tileichusg darstellen lassen müssen. Diese kubische Glei-
chung können wir uns aber loicht dadnrcb borstelieu, dass wir die
Teilnngsgleicbung der elliptischen Functionen, die vom 4 ton Grade
ist, durch Elimination einer der Wurzeln anf eine Gleichung Stcn
Grades rcduciren. Um indcasou dio auftretenden Worzelgrössen za
vormeiden, wollen wir direct von der Teilungsgleichung ausgehen.
Dieselbe lautet bekanntlich:
i'3*-6fcV-|-4(l + i')«-3"0i
ihre Wurzeln sind:
»■(—')
'"■<-^)
Beachten wir dann, dags die Grössen
^^Pülwei
(0)8 '
irer Form lauten;
408 y»**i ntom dtr TlMitfimeliime» mmt Vtr/MiriUktH,
(0)«" *,« • (Ö? Wf~*
(0)» - V
(0)» ~ V
nnd erinnern wir ferner tn die im vorigen Paragmphea gewonaeMn
Besielinngen:
e — 1
»■•(t) ».. -»WH-»)
— 1
CS Folge deren wir eriialten:
(0)» , ,MV) _WL_, ,^*\V)
80 kommt die Untersnchang darauf hinaus, die Wurzeln jener Olei-
chung durch die Bezeichnungsweisen des Hm. Krazer anszudracken.
Das gelingt aber leicht, sobald wir die Teilungsgleichung so umge-
wandelt haben, dass ihre Wurzeln, von Nullwerten abgesehen, sh
Mi) ^^vV)
Mir - ^^.^-1)
Dazu nehmen wir in der Teilungsgleichung die Substitution tot;
OiamklfrUdkM lich an* ■/ebro<Aentn ZahUn i
■ W(i)'
Mit Hülfe der Theorie der syramctriscbcD PuDctionen kann man
raoH zonacbBt ableiten
and weiter:
"+" tT(r-T>j +
+ »
deren Wurzeln gorado Jie Quadrat« iler vorhergehendes lind, tito
sanmebr die gewllDBchte Form haben i
Treffen wir nan die völlig willkürliche Annahme, dass
(0)' 1+8.'
Hein möge, so erhalten wir ~ wegcD der zwischen deo CoefficienteD
nnd Wurzele einer Gleicbnng bestehenden Belationea —
W. (0)' _|_ (0)* ?_
l*^"W)«
;r.+
(«' (/>+")• "^m" (?-')' "^ (!'+')■ (1* -")■ (!-<•)■
W JW (0)' 1 (1+8.')'
W tf+")' (!'-•)' ~ >' »-■•)'
Ana dielen Gleichnngen bestiramen sich aber die 3 G
410 Vot$i Tk$ork dtr Thttafimctionen einer Verätukrliektm^
genau so wie bei Hrn. Krazer, nftmlicli:
(0)» 1 l-fSy» 1— »
(^ "° » 1—«» 1+23
(0)» 1 l4-8i3 1-«'» 3
(Ro)
(0)S 1 Hft,« l-e~ '' t
Demnach sind die anprttnglichen Quotienten dargostollt durch:
V(i) (!-«)* . »i*(t/,) 9a»
*j*(i) " « (1-«») ' *s*(T/s) ~ 1-«»
M't-) '^^"^^ v(V)~ '''"'*'
^8
Mit Hülfe dieser Gleichungen sind dann aach [die 4 ersten Be-
ziehungen in (Bq) gefunden:
».(j).,('4->.(=i-')
*»V(W8)
• ;
(Ro)
*»V(i) " "°i+*i.'
z
».v(V) 1+2«
— Vs»»
CharokiirMktn lifh aus gthrackentn ZahUn zmammtnnlttu laii
Nachdem wir bo die Gloichnngeu (/i!^} entwickelt haben, wollen '
wir auf die Darstellang der Tbelaquoticaten eiugehcD. Wir briogen '
dieeelben dazu auf die Form :
wodurch wir zar BeatimmuDg der CoDBtantcn n, b, c gewisse Gloi-
chnngen erhalten. In denselhen treten aber nicht allein AoBdrUcko
der vorhin betrachteten Art anf, sondern Ubcrhaujit Ausdrücke von
der Form, wie wir sie in § 4 behandelt haben. Dioaelben wären non
natnrgem&BS sämtlich durch die GrOsso « auszudrücken. Ohne Schwierig-
keiton lässt sich dioa dorchfUhren-, indessen woHcn wir in den ge-
wählten Beispielen zeigen, wio man auch mit HUlfe einiger Relationen
einfach zum Ziel kommt
Beispiel 1:
Wir bringen den Thetnquotienten auf die Form:
a + bZ
and erhalten für a und b dio Bestimmnngsgleichttngen :
-2«.T/g
-v^<s...(^>.('-='))
~ v.(i)».('4-)».(^')vw.)
-•.•.(i)».(i±-'),.(!=-')v(.U j
In BeracksichtiguDg der Gleicbnogen {Rg], zu denen wir woitur
hiniafUgen :
».VI-;.)-».».'!'«
a».''i(';.wwi)'>.'(»;i)
412 V9*9i Tktorm dtr Tketa/mmeihttem Hiter Verändtrüekem^ dtrm
finden wir dann:
^ »WT/,»/(t/,)»,(t/,)
*~3»' VW,) *«
* = 6«'|/ä=?j^
^m+8«»)
Sabstitniren vir diesen Wert Ton & in die 3 te der Bwntimmnngi-
gleichnngen und nehmen die Formeln lünza:
*o*»o(»/.)- W«/.) - -«**'Sm*/.)+M»/.))
die nni da* Additionstheorem nnmittelbar liefert, so «rgiebt «ieh:
*-V (i_Ml+8^ ^».«(T/l) ♦««(»/i)*.«(»/.)+M»/.)»sV/.)
Den Ton • anabhftngigen Factor kAnnen wir aber leicht durch
■^n-i^ anadrttcken nnd nrar in der Form:
^ »,V/i) »o*(»/.)»i*(*/i) +♦,'(»/.)».•(*/.) ■■'"''*,*(»/,)
also wird:
-(^ + 2^>Kt^
(1+8**)
Beispiel 2:
Wir geben dem Qaotienten die Form:
dann müssen o, 6, c sich bestimmen lassen ans.
0
«•»/. W(Wi)+v»o»(»/») Mi/»)
- vF.v(v*.< W^') *« C-x)- W(j)*o(^0 *« C-i-' ))
CliarakltrUtOc*n iitA «tu g^raehtiitH Zaklat maiam
Die beiden oraten GleichuHgen geben uns:
-i>(»oV^/s)-V»'('.'j))'fj
"'V(t/.)(''o»»(W,)+*,*«{»/.))
Mit DeuutzaDg der vorhin erwilhiiten RelatiODBO, die Doch yer-
mebrt werdeu mUgeu um
geht DBch Mattiplicatioii beider Seiten mit
hervor:
oder:
3. *3 *a*{V.)
y{l-^)»(l+Si.ä)
DiesLT Wert vod fr in die erste Gleichung substitairt, giebt:
Zn genau demselbeu Ausdruck für a wäre man im ersten Beispiel
gelangt, weun mau den dort erhaltenen Wert von b in die erste der
BetümmungsgleichnngeD eingesetzt hätte. Demnach rcsaltirt wiederum
Was schliesslich c anlangt, so eriunern wir au die 3te Form, in
die wir die Tcilnugsgleichung übergeführt hatten. Aus ihr folgt nämlich:
^il »A^)
) daaa uns die 3te Bestinimungsgkichnng für e liefert:
414 F«««.* l%mri§ der Tkeia^tHHontm nmer VerämUrUektm,
oder:
e —
3 ■
y(i-ii»)M-i-^)
Mit der Bestimmang der Constanten im 2teii Beispiel isl a-
gleich die der Constanten im 3 ton Beispid gegeben. Stollni wir die
Resultate zusammen, so haben wir also:
^HW« __ 1 (1+2^-3..^
+ (-*/«'»'_e'/««')S^yjj)
' Vi-»»)» (1+8»»)
»t:!^ - T (1+2^ - 3.«z
^{0 a - a}(ti) » '
y(l-»»)«(l+8,»)
d. h. genau dieselben Formen, die Hr. Krazer in seiner Arbeit pag. 447
für unsere 3 Quotienten aufgestellt hat.
S6
Der Fall n — 5.
Für diesen Fall nimmt das System (B) in § 1 die Gestalt an:
+ Ca dn(u) cn*(u) ö^ + c^ 8n(u) cn(u) dn«(u) -\i- + c^ sn(u) cn»(u) -^^
074 -p 1*4 Oliv»/ ^»*v»y "" \»y ^4 -p *'5 0M\ -/*'•• \-/ ^
t
S
+ cj cn(u) dn*(ii) ^ — c^ sn(u) dn(ii) cn«(ii) ^ — <?6 »»(«) cn^W -^r|-
CkarakUnstiken meh au» gebroektnen Zahlm xutammenßttten lassen. 415
*.«
— C4 8n(«) cn(u) dii(u) ötj — cj cij(«) dn(u) 8n'(u) a. » 1 »
V ■*" T/ "" *^ 8n*(u) +<;, sn« (tt) ^ + <?a 8n(u) ^
9* 4 9 €
+ c4CD(tt) dn(u) 8n>(u)^4»"^^^ ^°^**^ ^^^**^ ^"«1^
Fahren wir wiederam far die elliptischen Fanctionen die Reihen*
entwicklnngen ein und setzen die Coefficienten deijenigen Glieder
einander gleich, die gleich hohe Potenzen in u enthalten, 60 resnl-
tiren die Gleichungen:
3) y- «,,,;,;
4^ . *''^'/6> •
6) VC/s)- -*,(ciV+'',*i**.H-«»V)
7) -5d,» V( V6)*.(V5)*.(V»)V(V6)-f^, »o'»,*»aVU)
8) -5.V( V6>*,(V6) V( V6)»3(V5)+yi *.*»,»(V6)
- 2j, V»»**«( Vs) V(V6)-10y, •V*.*«-»**i(V6)'-^(V6) V(V»)
+5V('/&)V(V»){*o*(V5)V(V6)(ßo*+*«*)-2V*.**.*(V.)
H-4V*i*(V5)V(V6)}
= 2y, i^,»*,V^o(V»)*«*( V6)-1Q», *o'*.**i( Va)^.( V6) V( V»)
+ &»0*(V4)*t!(V6){<^0*(V6)*««(V6)(V-*0*)-2*o*W(V»)
416 V»»»'. TUtrit dtr Tielmfimetiuuit mur VtrMnHwiHtitm,
- 2j^V*.**a(V»)*i»(V6)+ 10», V*,»^AV»)*.{V»)».('/.)
etc.
Wir bestimmen die Werte tob e„ «,, «« nod erhalten:
Ct, et »OB (5) und (6) mit Hfllfe von (1):
c, V*.»*.» - <^«V*,»(V6)+*oV*.»(V6) - V(Vj)(*tH-V)
«4 dnerseits aw( (7) and (8) mit Bcnntsong von (4):
I: 6*oV(V6)*,(V6)*«(VjW(V6) -*tV('/5)»l»(V»)
- -c,vV(V.»(V5)+Vo*(V.))
II: 6<>,d,«(V6)*,('/6W(V6)*,(V6) -*.V(V*)*i»(Vs)
andererseits ans (9), indem wir c, durch den gefandenen Wert er-
setsen:
llI:5»oV(V6)V(V6)*l(V»)*.(V6)-V(V6)(*0<>t*.»(V6)-|-*0<^.*.»(V»)
Elimiuiren wir gleichfalls iu dou 3 Übrigen Gleichungen die Un-
bekannten mit Ausnahme von e^, so finden wir weiter:
IV: <^o*o(V6)**'(V5)( WC/s) + W('/6)) - »,*»oVk)W»oVk)
+ W( Vs)) + 2 W( Vs) V( V»)(*«*(V6) *.*( V») + 5*x»( Vs) *.»{»/6))
V : *o».(Vj)*,*(V»)( W(V6)+V^*(V6)-P,*0*(V6)(*0*»0»(V«)
-»»»V('/«))+2W(V«)V(V6)(»«''('/6)*,*(V6)+5*,»('/6)*.*('/«))
-5*o»*,«»0«(V5)V(V6)*»*(V6) •= - 5c4*«'^,*»,«»,('/6)»,*( '/«)*.(»/•)
VI: Vo(V5)*I*(V5)(V»«'(V6)+»S»*3*(V5))-3»0*(V6)*l*(V6)(^H-V)
+5*0*(V«)V('/6)(*,*»,**/(V6)+2V*«»(V»)*.'(V4))
- - ««*0»*.**5*( V.V(V6)-5«'o*»t*( V6)*,('/6)*s(V5))
Ans diesen 6 Gleichungen, die nur die Unbekannte «4 enthalten,
kann man eine Beihe von Relationen herleiten. Da dieselben aber
teilweise zu complicirt sind , wollen wir ans auf die Angabe einiger
derselben beschränken. Die beiden ersten Gleichungen etgeben:
1
m
5V.(';i)V("si -».».('»»,*(';•) *.'».».•(•;>)+*>».
(A) ^H
6»,»,'(';>)».('/.)-V.('/i)9i'("s) ».'»A'C/d+äA
Vermöge der Oleicbaog;
■
W(';»)-«,'»."i'w - ».'».'(';•)
■
■
».'('»»i'(Vs)-6»,'('/s)»!'('/i) - 8„'(Vi)
»i'(Vs)»j'('/s) -6V('W»i'('li) = «u'C/i)
etc.
gebt (A) über in
1
»o'».('/s)«.,'(';i)+V».(Vt)»,j'(';!) - »,w.l':i)«..
(Vsl
,A. ■
CoinbiuireQ wir dann in mit I ond II, so folgt:
■
(B) ^H
Ferner erbalten wir aas IV nnd V;
■
».'».•»i'cwwi'w - vpw) +*o">.'V('W(V('/s) -
Otc.
vp;
1
Zu neuen Beziebungcn gdangcu wir, wenn wir i
betrachten :
""'■
indem wir dieselbe genau so bßbandeln wie *j(« -|- '/s)'.
^H
Die sich ergebenden Beziehungen stellen wir gleich
Dieselben sind, wenn wir zur Abkürzung setzen:
^^H
»,'('W-VlVs) = ».,(';s)
■
dagegen: 3,'(''i) + VC/J - «s.l';i)
■
■'s)
■i'/i) ^H
(D) ^H
, Aith. 4M lUtk. _^^
■
^
418 Vösm: TTieorie der Theiqfunetion»n einer Veränderliehenj deren
»o'^^'CVs) tf«'0/<)+ WC/5) en'Ok) &,■' »,0/5) tf„(^/s)
*,* V(V6) «»*(V6) - V*»*(V6) «,I»(V6) ■" '».^ <^0(V6) MV«) ^^
a-o''MV6)e,,»(V«)- V*o*(V5)«M*(V5) ~ -!^«'*,(V6) »«(Vs)
nnd:
(F)
Vgil*(V5)fl,»'(V6)-4»,«»,*»,«(V6)<^/(V5)tfM»(V6) _ »0» »0O/5) gt«(V5>
*8''ö».*(V6)ön*(V8)--**0**.**l*(V6)V(V6)ö«*(V6) ~ '»S» ^»(Vfi) MVs)
etc.
Die Parameterdarstellung ist dem vorigen Fall analog [dnrchza-
fflbren. — Dieser Fall n => 5 hat sich fOr die Algebra yon schwer-
wiegender Bedeutung gezeigt. Hr. Eronecker hat mit seiner Hälfe
die AnflSsnng der allgemeinen Gleichung 5ten Grades gegeben.
cf.: Sur la risolution de l'dqnation du cinquiöme degrä.
Comptes rendns des s^ances de TAcadömie de Paris 1858:
§7.
Methoden zur Herstellung allgemeiner Thetabeziehungen.
Ebenso wie in der Transformationstheorie können wir hier ganz
allgemein die Frage stellen: Es sollen die allgemeinsten Beziehungen
zv^ischen den Thetafunctionen nter Ordnung entwickelt werden, die
sich aus den Thetafunctionen bilden lassen, deren Charakteristiken
gebrochene Zahlen sind. Es ist klar, dass zwischen je n-\-l solcher
Functionen, als Thetafunctionen nter Ordnung betrachtet, die die-
selbe Charakteristik besitzen, mindestens eine lineare Relation be-
stehen muss, dass ferner dies Resultat sich noch vereinfacht, wenn
alle Functionen entweder gerade oder ungerade sind. Die Bestim-
mung der Constanten ist vermöge der im ersten Paragraphen an-
gestellten Betrachtungen leicht durchzuführen.
(^arakUri$tOc4u «icA au§ gtbroekwen ZahUn zusamm€ns€izen kutM, 419
Fttr die Aofstellang solcher allgemeinen Relationen sind folgende
2 Sätze von grosser Bedeutung :
1) Wenn eine Function von v den Bedingungen Genüge leistet:
80 ist sie bis auf eine Constante bestimmt.
2) Dasselbe gilt, wenn sie den Gleichungen genügt:
^/ I \ ^/ X — »«»(2r-fT)
f(v+r, t) =:/(ü,T)«
2niPln
In beiden Fftllen sind die Functionen, von constanten Factoren
abgesehen, resp. gleich &^(nv^nx) und e ^ ^$(nv -\- px^ m) d. h.
gleich Ausdrücken, die in der gewöhnlichen Transformationstheorie
eine fundamentale Bolle spielen. — In Bezug auf die zweite Bemer-
kung verweisen wir auf pag. 284 sequ. des 32ten Bandes des Crelle-
schen Journals. Bilden wir nun solche Functionen, die jenen GJbdi-
chungen genügen, so erhalten wir z. B.:
n-i r «4-01 "-^ ■" « »»Vi»»-i r t+r 1
n-l -«»(^+t)ri rfl+Ol
,•-1 -«»(H-Ö»-! rj+OT
Hierin werden die Constanten bestimmt, indem man dem Argu-
ment V einen bestimmten Wert beilegt. Weiter folgt, dass wenn 2
Funtionen nter Ordnung, die denselben Bedingungen genügen, fttr n
S7*
420 Vost: Theorie der Tketajunetümen einer VeränderlkheH^ deren
von einander verBchiedene Teilwerte der Perioden einander gleich
sind, dieselben dann überhaupt gleich sein mflsseiL Nehmen wir
z. B. die Functionen:
2 2
nnd
2
0
■.^^>H.vy-
80 Stimmen dieselben mit einander ttberein fllr die Werte:
Mithin resnltirt die Oleichnng:
(6)
Ebenso ist:
.•"•"''"'■V»ra<«>-[i>-""'"''
(7)
2 ., .. 2
— «
^"*"-'''-f«+']<..-[i^] •-"'""'■"
2:rö-
U+O.
da beide Seiten einander gleich sind fttr die n verschiedenen Werte:
-(,+»!-
au« gtbroehfutn
11 +t,.
ij+ii.
toi
...-(, + £-. + 1);-'-^
Die hier aufgeatellten Beziehougoa, deren Anzahl wir noch he-
liebig Termchrcu küuneu, lassen sieb darcb Substitution —
Feriodea in bedentend aligemeinerer Form darstellen.
Vir baben dieselben ho gewählt , dasa für den Fall » = 3 ans
ihnen jene 4 Gleichoagen (A), ... (D) fliessen, die Hr. Krazor pag.
132. seiner Arbeit angefahrt hat. In der Tat. Geben wir von den
beiden ersten Gloichuagen ans and vermehren das Argument v am
— |- - , so geben dieselben mit Rllckiicbt auf die in § 1. ange-
gebenen Fondamestaleigenschaften über in:
- '■■?'•■
'.-H.-H-.J' '
^2»(-{t,+r,)
- , i, -■'■"'■"■■ -2»- k.+'.läp -H +0 I
(ifciji
'9[i+,]W»[t+,+ffl(»)»[H-l-fl(») -
+ .~'''"'"'''''W£+i!]W»[»-K+H-K''KH-£+/i— IW
+ ."''"''"^'Wt -fflW »[t-K-(i+"W 9[*+t-/i— ]< -Jl
und:
." ', »[4-h](<')»[»-Hri-«-)»'-h-flW -
— »/„iRj. — ■/i»»**H-')
'/■»•(•H-')
422 Voss: Theorie der Th^e^wM^mieik <«Mr VerSitiirlkk»», dermt
Bedienen wir uns nun der zn Anfang des { 6. angeftthrten Ab-
kfltznngen and ziehen die anftretenden Exponentialfactoren in die
Constante hinein, so kAnnen wir beide Gleichungen auch achreiben:
* I f-/» t-H I /»
+« » *{*+f-/J I H-t-ZH- I H-:-/»-«l(«')S
nnd:
oder, wenn die Bestimnrang der Constanten in der Weise erfolgt,
dass • = 0 nnd [*] — — [n+fl gesetzt wird:
(A) X [(•/ 1 «?+« I «7-«)-|-T (.?+/» I •?+/»+« I *»+/»-«)
+« («7-^ I >7-/H-« I n-ß-»)\X
. /» I t-f.» * I £+/» , , .
+T T tf jAH-c-^ I *+-/»+« I *-K-/J-«»IW]
* I ij I» I t+i? £+»7 1/»
(C) T [(,,)H-t (i?+ft»+T (i;-|S)»]X
X*{*-h I H-rl-l» I i+ij-fflW
- 1 (£ I f+/5 1 f-/J)[t ^{H-aW
* I £+<» ^ I f+n
* I :-/» f-H I /»
Die Gleichung (5) liefert uns, wenn wir die Constante in der Art
bestimmen, dass wir v — 0 nnd i; = £ <=< 0 setzen :
Charakterislikta tieh aus gtbreeiin:
Die 3 gefundenen Gleichungon entsprochen den Gteichunßen (A),
(C) nnd (D) bei Hr. Krazer. Während wir aber unter 1 a ] und
I ß I ganz bestimmte CbaraktcriBtiken verstehen, so bezeichnet Ilr.
Krazer für diese Gleichnngen mit | a \ eine beliebige von | 0 | ver-
schiedene Charakteristilt nnd mit | j3 | eine solche, die keiner der 3
Charakteristiken [Oj, [«], [— d] cougrueut ist. Erwägen wir aber,
dasB fOr die ttbrigeu Repräsentantce analoge SäUe wie für 9a(mi, »t)
entwickelt werden können, so ergiebt sich leicht mit deren Anwen-
dung, dass auch unsere 3 Gleichungen unter den von Hrn, Krazer
getroffenen Annahmen gelten , nachdem uocb in den beiden letzteren
für I j3 I die Charakteristik | a \ getreten ist.
Durch Vermehrung des Arguments « um - -f- - laBBen sich
endlich auB (6) und (7) die Gleichungen herstellen;
'(l-ßfli+v-ßH')'
und:
(B,)
°(!-.)'»|i-K-„|(,).
1 1/- 1 1+«,
C-' I •? i I £
AehDüch gebaute Beziehungen kSnnen wir aber nach Analogie
der Betrachtungen, die nns auf (6) und (7) geführt haben, in eolcber
Anzahl gewinnen, daBs das Resultat ausgesprochen werden darf; Die
Gleichung (B,) gilt unter den allgemeinen Voraussetzuugeu , wie sie
für die Charakteristilteu I a ] uud | ß ] vorbin gegeben sind.
So sind wir von einem ganz neuen Verfahren aus zu denselben
Resultaten gelangt, die Hr. Krazer auf Gmnd der Prjrm'schen Thetfr,
fonneln abgeleitet hat.
424 Vo89i Theorie der Tketa/untUonen einer Veränderliehen, deren
Für n » 5 kann man in ähnlicher Weise allgemeine Theta-
relationen aufstellen. Wir wollen ans aber für diesen Fall der Kate-
gorie der quadratischen Gleichnngen zuwenden, deren Ableitung in
genau derselben Weise erfolgen soll, die Hr. Bianchi pag. 251 seiner
Arbeit gegeben hat
Wir definiren dazu die 5 Grössen xq(v)^ ... X4(v) durch
8)
x^(v)
«aW
x^(v)
?»-0
0
0
3.
U
4
W
(v)
W
Für diese Producte, die uns Thetafunctiohen 5ter Ordnung re-
Präsentiren, bestehen mit Rücksicht auf
-^\in^^^-0^
(9) *,[^^jw=^,[yw.±5»*
folgende Gleichungen:
«o(— v) = — Xq{v) ; a:,(— v) « — x^(v) ; XgC— ü) — — x^{v) ;
(10) irs(— v) « - x^iv) ; x^i— v) « — iri(t>) ;
2nis
^. (i; + Vö) « ^.f l(t.) ; ^. (t^ + t/6) - X. (t;) ß"" ö «""''* ^^^^ + ^/*^
Von den 15 Producten, die sich zu je zwei in den Grössen x
bilden lassen, sind nun nach dem Hermite'schen Princip 10 von ein-
ander linear unabhängig, so dass sich die übrigen 5 durch diese dar-
stellen müssen. Zur Gewinnung dieser 5 Gleichungen bemerken wir,
dass eine lineare Relation von der Form:
LOtkXiXk
n lieh niu gtltroclieneii Zahlen iu'aniiiiE>ii<(i«> (oimh.
inischoa don 10 Producten x,xt ntcbt bestehen kann. Denn ans der
Existeuz derselben würden bei Vermehrang dos ArgnmeatB uro r/s
nach einander 5 Glcicbnngen folgen, die vermfigo
skb ersetzen liesaen durch
"141^1*1 + '»*»'.«! —0
(11) ao,a-(|a,+oj4i3i4 = 0
"oa^o's+iu'eitf, = 0
Das Bestehen dieser 5 Gleichungen ist aber unmüglicb, da z. B.
für I, ^ 0 nicht notwendig zj oder x^ zn verschwinden braachen. —
Demnach müssen iu den 5 gesuchten Beziehungen die Quadrate
iq', ... ir^* dorch die Productc j.r» linear ausgedrückt sein. Und
zwar wird dabei die Gleichung in ■j^'' nur sokbe z.rt enthalten kön-
nen, die bei der Substitution «-|-T/fi ongeändert bleiben, d. b. sie
wird die Form haben:
Die VonnebruDg des Arguments im '/ö führt dann zu den 4
weiteren Gleichungen:
i,»4-ai5i4 + ii^fl — 0
»■a" + -"ofi + ^**^» = 0
Dabei ergeben sich, wenn wir für c resp.
fttr die Constanten a, b die Werte:
■ Vs nnd — '/b setzen.
-A-'/.) , .
>.■(-'/.
",(-'«»■(-'/«)'
»,(-'/.) ».(-'W
oder mit Hfllfo voo (10):
',(0). .
.,■(0) .,(0)
«i(0)»,(0) «,(0)
so dasB zwischen a und b die Gleichung besteht
426 Vota: T%ßorie der T^eta/unetionen tmer VtrindmrlkAtH^
1
a
Mithin laaten die 5 qaadratiBchen Oleichnngen nach Enetmg
der X durch die TheUproducte:
0
0
w-
n»*,[*](0)
n»*i[*l(0)
0 L*J 0
3
w
+T
Ä»*i[2l(0),
17»»,
0
(0)
^*4i]w^*4i
(r)-0
nv[{]w-
n»,
1
(0)
77*,
2.
(0)
77^,3 (»)77»,
4
w
+
n»,
^*i J (0)
5] W n*.
F*"
0
W-OJ
üvßjw-
"*i[l](0)
-■ ffl
(0)
77*1
[a<
i>)n&,
4
(»)
+
n<^, i](0) LU L3J
— 0
77 V
k
3
W-
■ra
i?*i U (0)
^^ißj^o)
n», [*]{») 77», [*](„)
+
n^|(0)
"*,[J](0)
77»,
2
(f) 77*,
4
W-0
(HarakttriMtitm neh aui gtbrachtntn Zahlin i
,J(0)
1
+ -
■.B<"-.[3<'
^n.,[gwn»,ß]w-o
Ueber die Ableitang der qnadratiBchen Gleicbangeu far den all*
gemeinen Fall verwelaon wir auf: Klein, elliptische Functionen nter
Stnfe pag. 81.
Beirei* der Prgn'tchen Thetafonnelrt.
nuj = (l — n)0i-|-üj4-... + 02i.
'"<»-f,+(l~")«i+- ■+"*.
nua« — iJ,+t^ + ... + {l— njüa«
und TerBuchen zwei Aasdrücke zn bealimmon, die jene Bedingongen
erfüllen, wie wir sie zn Anfang aneerer Betracbtnngea bei den nen
eingeftlbrten Thetafanctionen aafel^llten.
Ein eolcber Ansdrnck ist nnn:
da er als Function von v angesehen, die Gteichangen befriedigt:
-m-[2vr\-T)
Dnrch diese beiden Glcichnngen ist onaer Prodnct (1) bit aaf
e Yoa ■!> unabbängigo Conbtaüto bestimmt.
Bilden wir weiter das Prodncl:
wobei g, h alle Worte von 0 bis r
- 1 annthmen sollen, so gebt das-
428 Vüga: Jledrie der Thtta/unetiontn einer VerinderUekm «fc.
selbe, als Function von u an%efasst, bei der VermehniDg von tvu
die Einheit über in:
a^[f+i](u,)« *'
\'nnig{h+l)
Da wir aber unbeschadet der Richtigkeit annehmen können, da»
auch h'\'l alle Werte von 0 bis n— 1 durchläuft, so finden wir also,
dass bei der Vermehrung von vi um 1 das Product (2) nngeindert
bleibt Ganz dasselbe gilt ferner von der Summe:
»-1 9n
0 1
0
h
(u.)r*/-^'^* (3)
Diese Summe erfüllt aber, wenn sie als Function von v betrach-
tet, mit ip(vi) bezeichnet wird, die weitere Bedingung:
So haben wir zwei Ausdrücke: (1) und (3) der verlangten Art ge-
funden. Wir erhalten demnach:
1
S
%nigh
Die Constante e ist jedenfalls unabhängig von v. Sie h&ngt aber
auch nicht von t ab. Denn bezeichnen wir die linke Seite mit F^
bilden die Differentialquotienten von F nach v und r, so erfolgt:
2n 32^
Derselben Bedingung genügt die rechte Seite, so dass die Con-
stante auch von r unabhängig sein muss. Zu ihrer Bestimmung die
Thetafunctionen durch die Fourrier'schen Reihenentwicklungen er-
setzt, ergiebt:
1 «= cn
oder es ist:
— V» nigh
Das ist die Gleichung (0|), wie sie von Herrn Prjm aufgeatellt
ist — specialisirt für den Fall einer Veränderlichen. Die Entwick-
lung der Formel {61) erfolgt in analoger Weise.
XV.
Miscellen.
Ueber Rerractlonscurven.
Eiu Lictatstralil, welcher ans einem Mediam in ein anderes Über-
tritt, erleidet an der Grenzfläche beider bekanntlich eine Ablenliung,
in Folge deren Pnnkte, Linien und Flächen verschoben erscheinen,
venn die von ihnen ausgebenden Strahlen gebrochen io'a Aage ge-
Uogen. Diese Refraction hängt wesenilich Tom Brechungsexponenten
beider Mittel ab, nnd mit Hülfe des bekannten Brechungsgesetzes ist
die scheinbare Abweichung der betracht-eten Objecte analytisch be-
stimmbar, wenn ihre Grenzflächen nnd Cnrven gesetzmässig verlaufen
Da die allgemeine Behandlung des Problems für den Durchgang
eines Strahls durch n Medien nicht loicht ist, so beschränken wir
uns anf den einfachen Fall, die Gleichung der ebenen scheinbaren
Bildcurve aus der gegebenen betrachteten abzuleiten. Einzelne darani
resultirende Ergebnisse werden vielleicht ncn sein.
Zunächst soll der Ort angegeben werden, in welchem ein Punkt
der betrachteten Curve oder Fläche erscheint.
Wir lassen von dem Punkte P einen Strahl PA ausgehe n , wel-
cher mit der Verticaleu I'U zur Grenzfläche IIA den Winkel ß ein-
Bchticsst, diesem eulspricht an der Durcbgangss teile in A ein zweiter
a, nach welchem gemäss des Brechungsgesetzes sinnen sin j9 der
Strahl iu der Richtung ^C in das Auge tritt
Wir lassen ferner einen zweiteu , dem ersten unendlich nahen 1
Strahl von P ausgehen und in's Augo eintreten. Da das Auge nop T
I
480 MüeäUm.
in geraden Linien sieht, so wird es den Punkt P im Conrergen-
pnnkt P^ der aastretenden Strahlen erblicken.
Die Normale yom Auge znr Trennnngsfläche beider Medien m
a, Sie sei zugleich die JT Achse, und die Gerade, in wekher jeae
Flache durch eine durch a und P gelegte Ebene geschnitten wird,
sei die FAchse. P ist demnach durch d^e Coordinaten x^ bestimmt.
Der ihm entsprechende Bildpunkt P' habe die Coordinaten XY. Die
Aufgabe besteht darin, letztere als Functionen der erstem danrasteUea.
Wir bezeichnen die Projection von P'A und PP' anf die FAchse
bezüglich durch v und /.
Demnach hat man folgende Relationen
sina -" nsin/J,
jr= vcota,
v+f^xtgß.
Aus der ersten folgt durch Differentiation
COSaiia •* nco^ßdß^
aus der zweiten mit Berücksichtigung, dass X constant iat,
aus der dritten
wdß
dv
Hieraus findet man
oder
cos/?*'
und
V cos a X
-r 5 aa ßOt O Si ~ »
sino' cosp'n
X sin a cos «*
V ■■■ "* am'" »
n COSp*
X COStt*
nCOSp^
Wird hierin a durch ß und darauf /? durch x und v ausgedrückt,
so resultirt
nx*X - VÖc«"- (t,+/)«m»)», n» — 1 « m*.
Aus
a; sin o cos o*
n COSp*
erhftlt man
und feiner wegen «-{-/'«y — F die bekannte Gleichung der Evo-
lute eines Kegelschnitts
Ersetzen wir in
(nX)i-\-mi(y-
ß durch a und tg a durch — r~i.- inder
auBdrOcken, so kommt schliGsslich
r den cob durch durch tg
("iV i^L±3)l ■^'-M'''
so folgt für
- xi
woraus endUch durch Einaetzeu \
U die Besiehnug
ril. yS^Cel — (nJ)l)
hervorgeht.
Die I. bis in. gegebenen Formeln enthalten die Auflöanng der
Aufgabe. Mit ihrer Iltllfe kann man die Coordinat^n xy des betrach-
teten Punktes F durch die Coordinaten XY des Bildpunktes dar-
stellen :
Liegt nun eine Gleichung zwischen xy vor, so resoltirt durch
Einsetzen der hier für xy gegebenen Ausdrücke
Gleichung der Qildcnrve, Denkt mau sich beide nm die A^Achae
gedreht, so erhalt man entsprechende Rotationsflächen, die gesetz-
massig von einander abbangen. Nehmen wir an, dass das Auge un-
mittelbar Über der Trenn ungsfläche heider Medien sich befindet, ho
wird a — null und die obigen Gleichungen werden
es dar- ^^1
i durch I
j
I
482 UUetUtH.
woraas
Die Einfachheit dieses Aasdrucks lässt eine Anwendung auf di
Parabelevolate zu, deren Gleichung ^ = ibc' ist
Denken wir uns diese Corve oder deren entsprechende RotaÜoss-
fläche von einem Auge in ohen angegebener Lago betrachtet, so er-
gibt sich ans der Formel
dass die Gleichung der Bildcurve oder Fläche ebenteJls durch eine
Parabelevolnte charakterisirt wird.
Aus der Beziehung
Uff 1
folgt, dass für a » 0 das Bild der Geraden y — ibx gleichfalls eine
y Y
Gerade sein wird. Wird in der letzten Formel - — tg/J, 7=.— tg«
gesetzt, so folgt sina = n8in/?. Ist 8in/3 = -, so tritt totale Re-
flexion ein.
Im Nachfolgenden wollen wir einige Anwendungen des yorbin
Entwickelten geben, welche durch Beobachtungen von Refractionen
im Wasser leicht bewahrheitet werden können. Es möge die Bild-
curve einer horizontalen Geraden gesucht werden, welche in der
JTFEbene liegt und die Entfernung h von der FAchse hat. Demnach
ist X ^ h die Gleichung der Horizontalen. Vermöge lY. hat man
sofort die gesuchte Bildcurve
--ö''^+")'((A)-0
Y* \ /AM
oder
Da für JT » 0 F unendlich wird, so nähert sich die Conre der
FAchse, also der Trennungsgeraden asymptotisch. Eine Horizontal-
ebene scheint sich demnach im weitem Verlauf der Oberfläche zu
n&Wn, ohne aiD je zd erreichen. Je kleiner a ist. um so mehr *
nähert sich die Gerade der Trennnogscbcue und scheint dar
Bchwebeu, wenn a zu null wird. In dieser Grenzlagü oiacheu vermöge
der Formel ain^ = - die auatretcndcn Strahlen mit dorn Einfallslot
einen rechten Winkel. Das Auge sieht den Gegenstand nach hori-
zontaler Richtung in der l'AchEe. Man kann die VerhällJiisBe auch
ans einer andern Formel ableiten nnd erweitern, wenn wir etwa X
vermittelst einer Function von xy ausdrUckeu. Bezeichnen wir ij
durch /, y durch g^ so hängt die Bestimmung von X von folgender
Gleichung ab
ai)* + 7'(A-l)»+(-^" -^) iXi)*~2a{Xi) - "-^ ^ U.
Ist hieranE X berechnet, so ist auch nach frQbcrem ¥ bekannt:
Nähert sieb das Auge der Ohertläcbe, wird alBO a kleiner, bo folgt
aas der Formel
-=H(«-^r
beim Sehen in verticaler Richtung nach der JVÄchse, dass keine
Strahlen mehr ins Ange dringen, wenn
fil<
oder A < my
(-'+V")"-
ist, wenn also dio Grenzlagc der totalen Reflexion Überschritten wird.
Soll umgekehrt die Bildcurve oder Fläche zur horizontalon Geraden |
oder Fläche werden, so ist x = Conat. zu setzen und die Gleichung j
der gesuchten Cnrve w'rd
mV -- (^-Al>
Diese Linie ist nm so starker gekrümmt, je grösser der Brechunga-
ezponent ist. Die ihr entsprechende Rotationsfläche, welche dem be-
trachtenden in der Achse befindlichem Ange die conveie Seite zukehrt,
scheint sieb demnach in einer Ebene auszudehnen. Setzt man ferner
voraus, dasa die Relation der Geraden
r=U4-a)tg^
für die gebrochenen Sirahlen bestehe, so erhält man
.nx(i+;^"«(i-)'
I
434 MUcelUn.
y-atg€+(tg/J-f.^)jr,
woraas ebenfalls eine Gerade
y « aigß+n
hervorgeht.
Schliesslich wollen wir noch die Gleichung der Bildcanre einer
zur Trennnngsebene senkrechten Geraden anfsnchen. Demnach ist za
setzen y » Const = 5, so dass die Biidcnrvo dnreh folgende Gieichnog
repräsentirt wird:
Auch hier ist die betrachtete Gerade die Asymptote der Bild-
cnrve, welch letztere für Jt— ^ ihre grösste Ansbiegnng erreicht,
wie ans dem Dififerentialquotienten
tiY w«_y» 2Jr--o
hervorgeht. Man kann diesen Fall wie die vorhergehenden in der
Natur leicht studiren, wenn man bekannte Refractionserscheinnngen
im Wasser in oben angegebener Form zum Ausdruck bringt.
Emmerich, im November 1884.
Emil Oekinghans.
2.
lieber Prodncte ans ganzen Zahlen«
FortieUung von Nr. XI.
6. Wie wir sahen, existirt in bezug auf ein Product von 4 Fac-
toren eine Fülle von Relationen, welche dasselbe durch ein Quadrat
zu einem Quadrat ergänzen. Dies legt die Vermutung nahe,. dass
auch in bezug auf mehr Factoren solche Relationen Geltung haben,
und in der Tat finden wir ohne Schwierigkeit, dass dies z. B. für 6
Factoren der Fall ist. Gehen wir nämlich wie bei A) von dem Pro-
dncte (p*— a*)(2*— /3*)(r* - y*) aus, so finden wir, dass die Relation
glltlg ist.
Da es uomilglicb ist die aus dieser Relation reaultirendeD Formeo
auch nur annäberDd zu fiiiren, so wollen wir udb auf eioea speciellea
Fall bescbränkeu , auf dea Fall nämlich , wo p = q:=r isL liier
orgiebt fiicb uns die Relation:
XXVII. (p»_a»)(p»-3»)(j,*-,.»)+(«/iy+p»(«+?+r))'
^\p^+aß+ßy+ay\Y
Sei nun feruer hier z. B ; ti-\-ß-\-y — U, so folgt sofort, dass
stets ein Quadrat ist. So erhalten wir ■/.. U. folgende Quadrate, wenn
wir alle Factoren um a-\-ß vergrösscrn:
ip(p+»)(p+'-i)(p+4)(7'+5)(j>+6)+36 („ - 1, ß ~ 2)
p(H-l)(p+3)(p+5)(p-f7)(p+Ö)+U4 (a - 1, ß - 3)
P (p+2)(p+2)(,,+4Hp-i4)(p+6)+a56 (b - 2, |S = 2)
p(p+l)(H-4)(p+6Kp+9)(pflO)+400 (a=l, ß=4)
p(p+2Kp+a)(p+7)(p-l-8Hp+10)+900 («-2, /i-3)
p(p+lKp+5;(p+7)(p+ll)(p+12)f2916{« = l, ß = b)
7. Wenden wir ferner die Relation XXVll. auf das aus 6 auf-
einanderfolgenden Zahlen an, so linden wir ferner, dass
, p(p4.1)(p-|-2)(p+3){p-l-4j(p-[-5)+A (15+(2p+5)'j»
XXIX. jp(p4-l)(H-2)(p+aKj.-|-4}(;,-(-5)+g>,(15-7(2p+5)*)»
' p(p+I)(p+2Hp+3)(p4-4)(p+5)-|-A(15-9(2p+5J*)»
Quadrate ganzer Zahlen sind.
8. Bei'or wir das Gebiet der Produkte aus 6 ganzzahligon Fac-
toren verlassen, wollen wir noch eino andere Ausnutzung der Glei-
chung XXVII. andeuten. Schreiben wir die erwäbnte Oleichnog
nämlich in der Form:
XXX. p»{p»4.„ß+|S),+«y)''_(pt-B»Kp»-;ä'Kp'-)^) -
80 erhatten wir ebenfalls eine Fülle von Relationen. Wahlen wir
z. B., a, ß and y so, dass <>j9-j-;JH~''/ verschwindet, so erball«n wir,
wenn wir auch hier anstatt p eine entsprechend vermehrta Zahl ein-
setzen, z. B. die ganzzaliligen Quadiate:
436 MUrelUn
(H-4)«-pp (p+3) (p+5) (p+Ö) (p-f 8) («-ff-J)
(p-f 16)«-pp (p+12) (p-f 20) (p+32) (p-h32) («-^-4)
(H-36)«-pp (p+27) (p-M5) (p+72) (p+72) (a-^«6)
p«- (p-2o) (p-2a) (p-„)(p^) (p+2ii) (jp+2o)
|(p+6)«-p (p+3) (p+4) (p+8)(p+9) (p-l-12)
(a=3, ^=+6)
XXXI./(l'-K)*-PP(p-f-3)(r+9)(l»+12)(p+12) (a=3, P- «6)
i(H-2)* -VP(p+\) (p+3) (p-|-4)(p-M) (a-2, /J^ 1)
;p+6)«-p (p+3) (p+4) (p+8) (p+9) (p-f 12)
(«-3, P 2)
f(p+12)«-p (p+8) (p+9) (p+15) (p+16) (p+24)
(«-4, /J 3)
(p+12)«-p (p+6) (p+10) (p+14) (p+18) (p+24)
(«-12. /J- -4)
\
Zum Scblnsso wollen wir noch bemerken, dass die BetrachtaogeB
sich aach auf Prodncte ans mehr als 6 Zahlen ausdehnen lassen.
So gilt z. B. für 8 ganze Zahlen als Factoren der Satz, dass
n (n+1) (n+2) (n+3) (n+5) (n+6) (n+7) (fi+8) + IC 3(n+4)«
Stets ein Quadrat ist.
Weingarten, im Nov. 1885. B. 8porer.
3.
Zur Figur des Feuerbach'schcn Kreises.
Verbindet man einen Punkt des einem gleichseitigen Dreieck
umschriebenen Kreises mit den drei Ecken, so ist von den erhaltenen
drei Sehnen eine immer gleich der Summe der beiden anderen ; man
kann sich die Frage stellen, ob es auf dem umbeschriebenen Kreise
eines beliebigen Dreiecks Punkte mit ähnlichen Eigenschaften giebt
Es sei ABC ein ungleichseitiges Dreieck, a<^h < c, so fragen wir
nach solchen Punkten P auf der Peripherie des Umkreises , für die
von den drei Sehnen PA^ PB und PC eine der Summe der beiden
anderen gleich wird. Jcnachdem der Punkt P auf dem Bogen AB
oder /7Coder CA liegt, findet nach dem sog. Satze des Ptolemäus
eine der drei Gleichungen statt
Muc€lUn*
437
oder
oder
PB.b+FC.c^ PA.a
PC.e+PA.a'^ PB.b
Gleichzeitig soll aber entweder P^+-P^—^ oder PB+PC^PA
oder PC-\'PA'^PB sein. Geht man die 9 möglichen Combinationen
einzeln durch, so findet man leicht, dass es immer vier Punkte der
verlangten Art giebt; Pj und P^ auf Bogen AB^ P^ und P4 auf
Bogen CA, Dabei ist:
I.
e-\-b c — a b-\-a
A,, PtB+P^C-'P^
^^"^ -Sä-*»' PaB+P,C-P.^
Die Punkte haben auf der Peripherie immer die Beihenfolge:
AP^P^BCP^P^A,
£ino Parallele zu AB durch C treffe den Umkreis in C\ Dann
ist aus dem Viereck AP^BC
Piil.a+P,B.& — PiC.c
und aus Viereck AP^BC\ da jBC— 5 und ^C— a
Pii4.6+PiB.a = PiC'.c
Aus diesen Gleichungen folgt:
(Pi5— Pj^)(Ä — a) « (PiC— PiC>
oder nach I.
P^Cifi-a) « (PjC— PiC')c
Da sich aber aus Viereck ABCC* ergiebt
5»— o« — CC'.c
so erhält man durch Division:
P^C __ P^C-'Pya
438 MuetüsH.
Auf fthnliche Weise leitet man die folgenden Gleichmigen ab:
AA' B& CC
= K
IL
P^—P^A' _ ~P>B + P,B' ^P^C+P^C
AA' "" BB' CC' "■ ^
-Pg^+Pg^^ ^P^B+P^B' ^p^C+p^C'
AA' "■ BB' "" CC "■ ^
P4^ + P4^^ _ P^B + P4B' ^^-j-P^C ' _
^i4' "" j^ü' ■" CC ~ *
Die Gleichungen I. und U. lassen sich nun in bemerkenswerter Weise
weiter geometrisch aosdenten.
Ein Kreis P, Badius r, werde von einem Kreise JT, Badins e,
im Punkte P von innen berQhrt. £ine Sehne AB von Kr. i^ be-
rflhre JT in C. Dann ist PC die Halbirungslinie des Winkels APB^^
nach einem bekannten Satze ist also
PA PB PA^PB _ PA'\-PB
CA'^ CB^ CA^'CB'' AB
Ist nun D der Schnittpunkt von AP mit Kreis JT, so ist
P4« PA^ PA
CÄ^'^ PA.DA "" DA
Da aber P der äussere Aehnlichkeitspunkt beider Kreise ist, so ist
PA r_
DA ^ r—Q'
OS ergiebt sich also
PA-^PB 1 / r
Sind daher Kreis P und Punkt P fest, ^ und B aber so beweglich,
dass — ^^ — constant bleibt, so berührt AB beständig einen and
denselben Kreis Ä, der P in P von innen bertOirt, und dessen Radios
Q sich aus
Pii + PJg 1 / r
^lö '"r r— p
ergiebt.
Lässt man in ähnlicher Weise — -r^ — constant bleiben, so
urahtltlt AB einen Kreis, der F m P -^
Radios durch die Olcichaug
1 aussei) berührt, und dessen
f r — f
bestimmt ist.
Wendet man diese Bcmerlinngcii auf die Gleiebungoo II. an, so
lehrt z. B. der erste derselben, dase die Geraden -^.1', BU', CC"
Taugenten eines Kreises A', sind, der den ursprünglichen, er heisse
von nun an /', in 1\ von aussen berührt Der Bodius p, von A'j
bestimmt sich ans:
■ r r— ft
Aohnlichos ergiebt sich aus den drei Übrigen Gleichungen II.
Nun sind, wie leicht zu sehen, die Pnnkto A UV die Mitten der
Seiten in dem Dreieck, das vou den drei Geraden AA', BB' und
CC gebildet wird. So ergiebt sich also der Fcncrbacb'sche Satz:
Die vier Kreise, die die Seiten eines Dreiecks bo-
rohreu, bertthren auch denjenigen Kreis, der durch
die Mitten der Dreiecksseiten geht.
Kerner erbellt: Verbindet man einen der Berflhrungs-
pnukto auf dem Feaorbach'Bchcn Kreise mit den Mitten
der Dreiecksseit en, so ist von den drei Verbindnngs-
Eobnen allemal eine gleich der Summe der beiden an-
deren.
lieber die Lage der vier liirührnngspunklo auf dem Feuerbach-
sehen ICrcise kann man ferner aus den Gleichungen I. einfache Fol-
gerungen ableiten. Die Gerade AB werdo von /",/', im Punkte D
getroffen
so ist:
AD
^P^APt
Da aber
db"
Wkl. I'APt
= Wkl. PiBPt,
BO ist
^PiAPt
PjA.PfA
d^iBP,
PfBi.P^B
und daher mit Rtlcksicht anf die beiden ersten ülcichungcn I.
Auf dasselbe Verhdituiss wird man aber auch gi^fuhrt, wuun tn-M
den Schnittpunkt von AB mit ^^^4 aufsucht, ea acbneidon »ich also ^
'',Pi und PtPt auf AB.
440 ÄüsmOem.
Nennt man das dnrch die Halbiningspankte der Seiten eines
Dreiecks gebildete Dreieck korz sein Mittendrmeck, so hat man den
Satz: Die Diagonalpnnkte des Vierecks der Bertthrangs-
pnnkte anf dem Fenerbach'schen Kreise fallen in die
Seiten des Mittendreiecks.
Ans den Yeriiältnissen, nach denen diese Seiten dnrch die
gonalpnnkte geteilt werden, ergiebt sich: Die Yerbindnngs-
linien der Diagonalpnnkte mit den gegentiberliegendea
Ecken des Mittendreiecks schneiden sich in einem
Punkte, nnd dieser, wie man leicht erkennt, liegt anf dem
Fenerbach 'sehen Kreise.
Noch eine andere geometrische Folgerung kann man aoa den
Gl. I. ableiten. Anf einem Kreise F mit Radins r liege der Punkt
M, Um M sei mit dem Radins m ein Kreis geschUigen. X sei ^
Potenzlinie der Kreise F nnd M, Eine Gerade Ton M ans schneide
F nnd L ia F nnd N. F und L werden in P nnd N Ton önem
Kreise K berflhrt, dessen Radius g sei. Liogt nnn etwa iV aosaer^
halb des Kreises F, so ist, weil es auf Z* liegt,
NM*—m* — NM.NP= NM^^-NM.FM
oder
m« — NM. PM
d. h. die Kreise K und M sind orthogonal, und femer ist
PM[ PM^ PM f^
~m*~ '^ PM,NM^ NM^ r-^g
da man P als Aebnlicbkeitspunkt von F und K ansehen kann. Hftlt
man also P fest und lässt Punkt und Kreis M vaniren, während
PM
— constant bleibt, so berührt die Potenzlinie von F nnd 3f be-
m
Ständig densolben Kreis K^ der F in P berührt, sein Radius q er-
giebt sich aus
m f r-^-Q
PM
Jenacbdem — > 1 oder <C 1 , wird F von K aussen oder innen
berührt, was positiven oder negativen Werten von q entspricht.
Wendet man diese Bemerkung z. B. auf die erste der Gl. I. an,
so ersieht man ans derselben , dass , wenn nm A^ B und C Kreise
bezüglich mit den Radien c — 5, c+a nnd i+a geschlagen werden,
die drei Potenzlinien dieser Kreise und des Kreises F den oben mit
A| bezeichneten Kreis berühren. Man kann die Lagebe^ehnngen, die
iliteeltt».
441'
sich hierans crgcboii , auch in folgende Aassage znsammenfosBen :
Dio fierahraugskrcisG einos Dreiecks berühren jede Seite in vier
Puukten, die paarweise gleichen Abstand voq der Uitte der Seite
haben. Schlagt mau um die Mitte nun einen Kreis durch
zwei dioBer BerUhrnngspnnkte, so ist die zu ihm oder
dorn Feucrbachschen Kreise gehörige Petenztiuio die
ausser den drei Dreiecksseiten vorhandene vierte ge-
meioBcbaftliche Tangente der entsprechenden Bertlh-
rungskrciSB. Dr. W. Qodt.
AnHlj-tischur Benvb zweier Sitze toh rc^lralssIgeD Pyramiden
und Polj'edsrn.
Der erstere Satz lautet:
Dio Summe der Projectionen der Sciteukanten einer »seitigen
regelmässigen Pyramide auf eine beliebige Gorade ist gleich der «-
fachen Frojectiou der Höhe.
Frejicirt man die Kanten erst anf das Uöhenlot und auf 2 dazu
orthogonale Äxen, dann von da aaf die belicbigo Gerado, so sind die
erstem Projectionen gleich der Höhe, die letztem = 0 nach dem
Satze, dass die Summe der Sinus oder Cosinus einer arithmetischen
Reibe, welche die Periode durchläuft, = 0 ist; folglich bleibt nach
zweite^- Projcclion nur die >< Fache der Höhe übrig. Obwol hiernach
der zn beweisende Salz eine leichte Felge des angewandten Satzes
ist, so mOcbte doch auch der folgende directe Beweis nicht obna
Interesse sein.
Legt man durch die Spitze der Pyramide 3 beliebige orthogoualo
Axen der t, g, i, so sind die Coordinaten einer Ecke dor Grundfläche
* = oÄ + a«, y = pft+i«. , = yA + cu
WO k die Hübe, u dor Eckradius der GrnndÜäche o, 0, y dio Kich-
tungscosinus von h, und a, b, e die von u sind. Die Summe über
alle Ecken der Urundflache genommen giebt:
.Tr- «ofi + uZo; etc.
daher bleibt nnr zu beweisen , dass £a >= 0 ist. Nun hat man,
wenn die beuacbbarto Ecke durch einen Strich unterschieden wird:
na + ^6+yc = 0i <,a-\-ßH-yc-=0 (1)
aa' + (.i'4-«' = C08*
442 I/ucWZm.
wo ^ den Winkel zwischen u nnd u' bezeichnet. Eiiminirt man e^
c\ 80 kommt:
aa'+W— (crÄ — /Ja)(«6'-/Ja') = y«C08^ (2)
Eiiminirt man e zwi8chen (1) und
80 findet man:
(1 — ««) Ä«+ 2aß a6 + (1 — /J«)a« = c«
oder, aufgelöst nach 6:
woraus:
•^ 1 — a"
Dies in Anwendung auf beide Ecken in Gl. (2) cingefflhrt giebt:
aa'+p^' — (l--ft*)C08^
woraus :
(1 — a«— a«)(l — ««— a*«) - {oa'— (1 - a«)c08^}«
oder
(1 - a«) sin«^ — a«+ a'« — 2aa' cos ^
and angewandt auf die andere Nachbarecke:
(1 — a«) sin« 4^ — a«+ a"« — 2aa"cos4^
Dies subtrahirt giebt nach Division durch a'—a":
a'+o"— 2a cos ^ «- 0
Nimmt man die Summe Aber alle Ecken, so kommt:
Sa (2 — 2cos^) = 0 oder 2:a — 0
was zu beweisen war.
Ans diesem Satze folgt leicht der zweite:
Die Summe der Projectioneu der Eckradicu eines regelmässigen
Polyeders auf eine beliebige Gerade ist » 0.
Eine Gerade durch den Mittelpunkt normal zu einer Seite ge-
zogen ist gemeinsame Axe einer Anzahl regelmässiger Pyramiden,
deren Seitenkanten die Eckradien des Polyeders sind. Das Tetra-
eder ausgenommen, sind erstlich alle Eckradien einfach in diesen
Pyramidenkanten begriffen, ausserdem sind immer 2 Pyramiden von
gleicher Seitenzahl so gelegen, dass ihre Höhen gleiche entgegen-
geset^i^te Strecken auf jener Axe bilden. Das gleiche gilt dann von
Jtfi.«a,n. 443-
den Projectiunen der llöbea aof die beliebige Gerade; fOr je 2 ent-
Bprechande Pyramiden hebt sich das Gleichviel fache der Hdheupro-
jectionen, also nach dem ersten Satze die Summe der Projectioneu
dorKanteu, auf, mithin auch die Somme der Projectiouon aller Eck -
radien. Beim Tetraeder bat man nur 1 dreiseitige Pyramide nnd
einen aaf der Axe liegenden Eckradins; dieser ist 3 mal so gross
als die Hohe jener und ihr entgegengesetzt, folglich anch hier der
Satz zn treffend.
Dieser zwuitti Satz folgt auch ohne den ersten leicht daraus,
daes der Mittelpunkt der Schwerpnukt der gesamten (gleich be-
lastetenj Ecken ist. Denn die Projection dos Radins einer Ecke auf
eine beliebige Gerade mnltiplicirt mit dem Gewicht der Ecke ist
deren statisches Moment in Bezug auf eine durch den Mittelpunkt
normal zur Geraden gelegte Ebene, so dass die Summo null sein
mnsB. Der crstcrc Beweis lässt erkennen, wie sich der Salz e
tem liesse ant' ein Polyeder, das nnr die angewandten Eigenschaftall
hat. R. Hoppe.
Der Krflmmun^krds der Ellipse.
Es ist in neuster Zeil von mehreren Seiten als wanBChenswert
bezeichnet worden, dass man auf Schulen, wo die Lehre von den
Kegelschnitten getrieben wJnl, auch den Krümm ugskreis, namentlich
der Ellipse mit in das Bereich dieser Ductriii ziehen konnte. Dabei
ist es erklärte Bedingung, dass keine Differentialrechnung, Überhaupt
kein Uebergaug zum Grenzwert in Anwendung kommen darf. Fügt
man hinzu, dass auch die analytische Geometrie ansgescbjotsen sein
soll, so ist diese Bedingung schon in der ersten mitenthaltou , denn
analytische Geometrie im corrcctcu Sinne erfordert Differcntiolrcch-
nnng. Dagegen kann es nicht verwehrt sein Coordinaten anzuwen-
den; denn das wUrde eine willkürliche Beschränkung im Gebrauche
von Hülfslinien sein. Im Grunde dienon dieselben nur znr Verein-
fachung des Ausdrucks und leichtern Orientirung, sind aber priucipiell
nicht notwendig.
Alles geforderte wollen wir in der noch weiter gehenden Bodio-
gong vereinigen, dass keine genetische Betrachtung zugezogen werden
soll, mit Ausnahme der einen, welche der in Bede stobendeu Auf-
gabe vorausgeht, nämlich der Erzeugung der vorliegenden Corvo
durch den Punkt. Es soll also nur von uu veränderlichen Grössen
444 ÄTuetUen.
and LftgeQ die Rede sein. Erst bei dieser Conseqaeaz der BeiebrftB-
knng ist es leiclit zn controliren, ob eine vorsteckte Anwendong tob
Grenzwerten vorkommt
Im genannten Sinne ist es nun an8ore Aufgabe den Begriff des
Krümmangskreises nnd die zur Constraction erforderlichen Bestim-
mnngen herznleiten.
Beschreibnng der Figur.
Eine Ellipse E ist gegeben. Auf ihr liegen die Punkte P, Pj,
iV, iV] und zwar P und P^ zwischen N nnd N^, Von P ans ist eine
Normale nach innen gezogen; auf ihr liegen die Punkte M and M\
Durch Af' und P, geht die Gerade M'Q. Um Jf and M' sind
Kreise K und K' durch P beschrieben; K' schneidet M'Q in Q.
Zur Ermittelung der Normale ist die Gerade PL gezogen, die
dann nicht weiter vorkommt
Erzeugung der Ellipse.
Die Ellipse E ist der geometrische Ort des Punktes P, dessen
Coordinaten die Werte haben
X '^ acOBq), y = &8in<p (1)
Von ihren Halbaxen a, 6 sei a die grössere. Sei P ein beliebiger
bestimmter Punkt auf ihr, Pj mit den Coord'naten
Xj «= acos^i, y = Äsin^i (2)
ein zweiter. Von ihm wird die Ellipse beschrieben, indem
<;Pi von g) — 2R bis g) + 2R (3)
beständig wächst Dementsprechend ist der diametrale Punkt von
P Anfang und Ende der erzeugten Linie. Nachdem dies festgesetzt,
Kann man sagen:
„Zn grössern Erzeugnngswinkeln {q>^ gehören grössere Ellipsen-
„bogen ; der Erzeagnngswinkel jedes Punkts eines EUipscnbogens ist
„demnach ein Mittel zwischen den Erzeugnngswinkeln seiner End-
„punkte."
Bestimmung der Normale.
Die Grerade PL bilde mit der x Axe den Winkel d*. Auf ihr
begrenze der Punkt V die Strecke PL* = u ; dann sind seine Coor-
dinaten
jCj «a flp-f'**<^8i^, jfs «■ y-f-ttsin^
445
Sei V ein Paukt aaf E und ^ sdn Eraeagangs winket; dann ist
auch
X| » acos 9s ; ^f » 6 sin ^^
daher nach Vergleichnng
a(cos g»2 — cos <p) — t» cos ^ ; &(sin 9», — WQ 9») —» t» sin d» (4)
woraus nach Elinr'nation von u:
tg^ ^cot5^ (5)
Fflr gegebenes ^ entspricht dem nur ein einziger Wert von 9)9. Ist
dieser = 9)], fällt also L' in i\, so hat PL ausser P keinen Punkt
mit E gemein. Fflr Kreis und Ellipse ist eine solche Gerade eine
Tangente. Ihre Richtung wird nach Gl. (5) bestimmt durch
h
tg^ — cot 9
Gibt man PL diese Richtung und setzt zur Abkflrzung
e «" yä«siiiV+^*co8*9 (6)
80 erhält man die Werte:
a h
cos^ — ±-8ing); sin^ >» ^-cos^) (7)
nnd kann nach Einsetzung in (4) daraus berechnen:
cos(9s — 9>) » 1 das ist 9s — 9
folglich gibt es in Jedem Punkte von E eine Tangente.
Vermehrt man nun die Neigung ^ um einen Rechten, so geht
die Tangente in die Normale Aber; daher sind
«0 — « — usin^, ^0 "■ y+ttcos^
die Goordinaten eines Punkts M* auf der Normale, der auf ihr von
P ans die Strecke u begrenzt Fflhrt man die Werte (7) ein und
wählt die unteren Vorzeichen, so wird
und die Strecke ist nach innen za gerichtet
Das Vorstehende sollte nnr an Bekannte 4M
das Folgende nicht nötig za wissen, dasa (Bip0
446 Miäceüen.
dass die GL (8) die Normale bestimmen, da wir keine Eigenscliaften
Ton ihnen anwenden. Wären also Tangente nnd Normale unbe-
kannt, so würden wir direct durch die 61. (8) die Gerade bestim-
men, anf der M* liegen soll. Wir gehen erst jetzt zn unserer Auf-
gabe über.
Bestimmung des Krümmugskreises
Wir ziehen die Gerade P^M', Sei
dann ist
daher
und nach Einführung der Werte (8) (1) (2)
««—1*1« = 4sin«^\7"^ • ^ W
wo
€tbu
wenn man, analog (6),
setzt. Unter den Werten von u zeichnet sich derjenige ans, für
welchen V mit 9f 9 verschwindet; dieser sei ^; dann hat man:
Setzt man nun
so wird
ü - ^* _ (a«-J«)8in ?l^gi„?L±3S? ^^qj
Ist e nicht null, so kann man eine positive Geisse
^ < abs. -= — r; -
Wählen und die Ellipsenpunkte N und iV^, zwischen welchen /^j
liegen soll, durch die Goordioaten
iOieeUtn. 447
^» } -=. aco8(, T 2t), Jj } - *8in(»T 2tp)
bestimmen. Dana ist
fp — 2^ < y, < fP-{-2y> oder
-»<^^<t oder
^H% b^^^ JIM
Da Dan wegea der Grenzen (3) von q>i der abs. W. von -^ —
stets im ersten Quadranten liegt, 39 ist aoch
abs.[(at-Ä«)sin '^sin ?i±??] ^ (a«-&«)abs. sin^^^abs.^ '
folglich hat nach Gl. (10) U^ and nach Gl. (9) aach u^— tij' gleiches
abi
Vorzeichen mit — . das ist mit f.
c *
Zieht man demnach am M' dnrch P, also mit dem Radios ^t
den Kreis K'j welcher die Gerade ikf'Pi in Q trifft, so ist
Jf'Q -.11 = ^4-«; 3f'Pj— 14
daher bzhw.
M'Q^M'F^ für «^0
*
aud da P^ jeder Pankt des Ellipsenbogens NPNi sein kann, so
liegt bzhw. NFN^ innerhalb oder aasserhalb K'. Dasselbe gilt
aber aach vom Kreise JT, weil er bzhw. kleinern] oder grossem
Badins als K' hat, folglich liegt K' nicht zwischen NFN^ and JT,
and kann flberhaopt kein Kreisbogen von P ans zwischen ihnen
liegen, dessen Mittelpunkt aaf der Normale liegt
Hat ein Kreisbogen von P aas einen Mittelponkt ausser der
Normale, so schneidet er in P die Kreise K und K\ letztem sowol
für positives als für negatives t; daher ist der ^e Zweig von P
an ausserhalb iT' fdr f >>0, also aoch aasserhalb £7, der andre in-
nerhalb JT' fQr £ < 0, also auch ionerhalb E, folglich liegt der Kreis
aof keiner Seite zwischen E ond K.
Es hat sich ergeben, dass zwiseben E ond K von P
Kreisbogen möglich ist
448 Ißtedhm.
Ist zwischen einer Gurre nnd einem Kreise von einem gemein-
samen Punkte beider aus kein Kreisbogen möglich, so heisst ersterer
der Krümmungskreis der Curve in diesem Punkte.
Hiemach ist K der Krammungskreis der Ellipse E in P; er ist
dadurch bestimmt, dass sein Mittelpunkt auf der Normale liegt und
auf dieser nach innen zu eine Strecke ^-^ -^ begrenzt.', die seinen
Radius darstellt. R. Hoppe.
6.
Schiller-Aufgabe.
Die nach der Zahlenform des dekadischen Systems geschriebene
Gleichung
(«23)«- («5x29)
soll aufgelöst werden.
Wir bekommen:
(100« + 23)« - lOlCDx + 5029
20««— 11« — 9
- 4- ?? O- y
*"'^40"^40
Für die Antwort kann nur das positive Zeichen gelten. Man
erhält 123«— 15129.
Wien, November 1 886. E m i 1 H a i n.
Litterariseker Berieht Xlll. \
Litterarischer Bericht
xm.
Lehrbücher.
Die Hauptsätze der £lementar-Mathematik. Zum Gebrauch au
höheren Lehranstalten. Bearbeitet von A. F. 6. Th. Gauss, Professor
am Gymnasium zu Bunzlau. Erster Teil: Arithmetik und Plani-
metrie. Mit 130 Holzschnitten. — Zweiter Teil: Stereometrie und
Trigonometrie. Mit 53 in den Text eingedruckten Holzschnitten.
Zweite, verbesserte Auflage. Bunzlau 1885. G. Kreuschmer. 163 -}~
67 S.
Die erste Auflage ist im 221. litt Ber. S. 1. besprochen. Die
daran gemachten Ausstellungen sind in 2. Auflage nicht berücksich-
tigt. Der Logarithmus wird auch hier durchweg als trauscendente
Function zweier Zahlen behandelt, und es bleibt dem Schüler die
Erkeuntuiss ganz vorenthalten, dass derselbe nur der Quotient zweier
Functionswerte je einer Zahl ist. Es mag ja recht nützlich sein die
Allgemeingültigkeit der Operationssätze für jede Grundzahl im Be-
wusstsein zu erhalten ; aber dazu ist jene Unkenntniss nicht nötig,
es geschieht weit besser durch Herausstellung des Sachverhalts,
welcher die Allgemeingültigkcit überall, wo sie stattfindet, als selbst-
verständlich erscheinen lässt. Einige ausgeführte Verbesserungen
sind in derVorr3de genannt. Die Definition von „grösser und klei-
ner'' ist durch eine besser zutreffende ersetzt. Ferner wird der
Unterschied zwischen der „constantou'^ und der „werdenden'^ Null
betont. Vor diesem tropischen Ausdruck, den h'eilich der Kundige
zu deuten weiss, ist sehr zu warnen, und der Satz (S. 19.): „Das
Zeichen 0 hat zwei verschiedene Bedeutungen'^ — zu verwerfen.
Die Verschiedenheit der Nullen hat schon MBm^^ ' ^'^*^' ver>
▲rch. d. Math. n. Pbyi. 8. Beihe, TtU lY. Htf^
2 UtUrarUcker Bericht XllL
dreht und zum Yerständniss der Inünitesimaltheorie unfähig gemacht.
Jede reelle abstracte Zahl kann nur gleich, grösser oder kleiner sein
als eine andere. Dieser Satz darf nicht in Zweifel gestellt und ihm
widersprechende Gedanken und Phantasien erregt werden. Der
genannte Tropus überträgt ein Attribut auf einen Gegenstand, dem
es nicht zukommt (etwa wie „der lederne Handschuhmacher"). Die
Null ist eine Coustante, keiner Verschiedenheit fähig, kann also nicht
werden. Das Werden kommt als Attribut einer Veränderlichen zu,
die nur den Wert 0 annehmen kann, in dem Augenblicke aber, wo
dies der Fall ist, von keiner Null irgend diifcrirt. Die vom Ver-
fasser gewählte Ausdmcksweisc nennt nun die Null werdend statt
einer von 0 verschiedenen Grösse, geht noch weiter und Iftsst statt
letzterer die sogen, werdende Null sich von der constanten Null
unterscheiden ; um die Verwirrung vollständig zu machen, wird dann das
Verschiedene durch gleiches Zeichen 0 ausgedrückt. Erstores charakteri-
sirt die tropische, letzteres die symbolische Ausdrucksweise. Was die
Würdigung beider betrifft, so ist erst kürzlich von pädagogischer
Seite ein Aufsatz (von Friedr. Meyer) gegen den Gebrauch sym-
bolischer Ausdrücke \\\ der Elementarmathematik aufgetreten, wel-
cher zeigt, dass derselbe unnötig und unnütz ist Wir stimmen dem
Urteil vollkommen bei, besonders in Anwendung auf Grenzwerte und
unendliche Grössen, um die es hier handelt, behaupten aber auch
ein gleiches von der tropischen Redeweise. Hat mau das Nötige
correct in eigentlichen Worten ausgesprochen, so ist gar kein Be-
dürfuiss zum Tropus oder Symbol zu greifen. Unschädlich würde der
Gebrauch beider sein , wenn er erst eingeführt würde, nachdem der
Schüler mit der Saciie vorlier bekannt und vertraut genug wäre um
den eigentlichen Sinn nie zu verfehlen, liier sehen wir das Gegen-
teil: der verführerische Tropus soll die Brücke bilden zum Ver-
ständniss eines neuen Begriffs. Selbst dann noch könnte die an-
fängliche Undeutlichkeit wieder gehoben werden, wenn hinreichende
Erklärung und Uebung nachfolgte. In der Tat folgen im Buche
manche tadellos richtige Angaben, welche zur Erklärung notwendig
gehören. Erwägt man aber, dass in der ganzen Arithmetik keine
Anwendung davon vorkommt, so kann man nach diesen bloss mit-
geteilten, dann nicht wieder erwähnten, also auch nie geübten Sätzen
offenbar keine solche Wirkung auf Vertrautheit erwarten, dass sie
sogar in tropischer und symbolischer Weise dargestellt noch deutlich
wären. Im Buche scheint das Symbol (0 statt der verschwindenden
Variabein) das einzige Motiv für den Tropus zu sein. Man lasse
das an jener Stelle ganz müssigo Symbol weg , und es fehlt jeder
Grund von einer werdenden Null zu reden; für den Satz, dass 0
nicht Divisor sein kann, gibt es dann kein irre machendes Aber.
Den Anfänger mit dem Wesen der unendlichen Grössen in der KOrzo
Lilterarüchtr Baicht Xlll. 3
bekannt zq machen, was jene SU>lle wol boabsiclitigt , kann bei cor-
rectem Verfahren ganii nützlkli sein, doch Teilneliiner an der vul-
gären Begriffsverwirrung soll er nicht werden. Ehen darum sind
jene Symbole, welche die Meinung erwecken, dass die Null ein
rätselhaftes Doppolwesen sei, als verderblich in jeder Hinsicht zn
verwerfen.
Im übrigen ist in der Arithmetik Handies kürzer behandelt, die
Lehre von den arithmetischen Reihen höherer Ordnung weggefallen.
In der Geometrie und Trigonometrio sind einige wesentliche Ver-
mehningen und Vereinfachungen im einzelnen genannt. H.
Lehrbuch der kanfmänniHchen Arithmetik. Zum Gebrauche fQr
Handels -Lehranstalten und fUr deu Sclbstuntorricbt Von Dr. Ernst
Kanlich, Director der Prager Uitndelsakademie. Vierte, umge-
arbeitete und vermehrte Auflage. Prag 1885. Jgaaz FnchB. 378 S.
Das sehr reichhaltige, mit Umsicht und Sorgfalt bearbeitete
Lehrbuch besteht ans "2 Teilen, von denen der erste das Bechneu im
allgemeinen innerhalb der dem Zwecke angemessenen Grenzen, der
zweite das kaufmännische Rechnen umfasst. Jener ist, mit Voraus-
setzung dcü Rechnens der Elementarschule, eine Unlorweisnng im
schnellen und sidicrn Rechnen mit Zusammenstellung aller erforder-
lieben Einführungen, uamentlich iu Uctreff der Einheiten von MOuze,
Mass und Gewicht. In der 4. Autlage hat insbesouderc die Berech-
nung der Wechsel und Effecten eine durchgreifende Umarbeitung,
die Gold- und Silber- und die Üittnzrechnnng, sowie die Uercchnung
der Coutocorreuto eine wcsentlicLc Erweiterung erfahren. Die
Uebungsaufgabou sind entsprechend vermehrt. Von den sogenannten
Uaauceu sind nur jene liervorgohobon , welche der Vertlnderung am
wenigsten unterliegen, da ein Lehrbuch es vermeiden niuss sich iu
Einzelheiten von fraglicher Wichtigkeit zu lerBplittern. U.
Ebene Geometrie fQr Schnleu. Von Dr. Georg Recknagel,
Professor für Physik und teobnische Mechanik, Rektor der k. In-
dnstriescbule zn KaiBorslautnrn. Dritte, verbesserte und vermehrte
AuHage. München 1885. Theodor Ackermann. 208 S.
Die 'i. AutJa^c ist im 23U. litt. Der. S. 32 besprochen. In der
Vorrede zur dritten entschuldigt der Verfasser durch vorzeitigen
Druck der ersten Bogen, dass der angefochtene Beweis für den
rallelcnsatz seine Corrcclion im Texte noch nicht erhalten ha'
4 Litterarischer Bericht XIIL
befriedigende Erklärung über den Sachverbalt und räumt die Not-
wendigkeit eines "Axioms als Ausdruck der specifischen Eigenschaft
der Ebene ein. Befriedigend ist die Erklärung, sofern es sich nur
um den vorliegenden Fall handelt; im Interesse allgemeiner ex-
actcr Logik 'möchte noch einiges hinzuzufügen sein. Hat sich
gezeigt, dass eine Schlussweise bei weiterer Anwendung zu falschem
Kesultatc führt, so ist sie auch von vornherein nicht evident;
es kann dann nicht genügen ihr fernerhin zu misstrauen, sondern
es ist, zur Erhaltung wissenschaftlicher Competenz, geboten den be-
gangenen Fehler der Schlussweise zu enthüllen. Im vorliegenden
Falle liegt der Irrtum auf der Hand und ist im citirten Berichte
kurz ausgesprochen. Wiukelebenen und Parallelstreifen sind keine
Grössen, wiowol sie in mancher Beziehung den Grössen analog sind.
Anwendung von Sätzen über Grössen auf jene Begriffe sind also
Analogieschlüsse, womit bekanntlich logische Fehler bezeichnet wer-
den. Die Analogie kann dazu dienen Gesetze aufzufinden, aber nicht
zu beweisen. Die Fassung jener Stelle der Vorrede scheint den An-
spruch zu enthalten, als solle ein unzureichender Beweis solange für
bündig gelten, bis eine falsche Consequenz der Schlnsswoiso ent-
deckt sei.
Ein zweiter im citirten Berichte erhobener Einwand ist insofern
bcrücksichtijijt, als für einen unzureichenden Beweis die als notwendig
anerkannte Ergänzung gesucht ist. Der zu beweisende Satz heisst:
Man kann die Seitenzahl eines eingeschriebenen Vielecks so ver-
grössern, dass sich dessen Umfang der Kreislinie als Grenze nähert.
Dass derselbe nicht bewiesen werden kann , lässt sich im voraus er-
sehen , weil die Länge einer krummen Linie keine detinirte Grösse
ist. Wir wissen nur, dass sie grösser als die Sehne ist, von der
Differenz beider aber gar nichts. Der angebliche Beweis beginnt:
„Nehmen wir an, es gebe einen grössten Umfang, dem man sich
durch Vermehrung der Seitonzahl beliebig nähert." Diese Annahme
ist dunkel ausgedrückt, jedenfalls ist es eine Annahme, keine Be-
hauptung. Auf dieser Annahme basirt alles folgende und so auch
der Schluss auf die Richtigkeit der Thesis. Formell ist also gar
kein Beweis beigebracht. Man könnte nun, noch fragen, ob dio Rich-
tigkeit der Annahme sich begründen lässt. Zunächst ist es strenge
Cünsecjuenz, dass, wenn der Umfang des eingeschriebenen Vielecks
wächst, während er doch immer kleiner bleibt als der Kreis , ein
Greuzwort des Umfangs existirt. Da hierzu die Differenz des Um-
faiigs und ihres Grenzwerts bestimmend ist, so ist letzterer als Ge-
rade zu (lenken. Dass di(^se Gerade nicht gleich dem Umfang eines
inneren Vielecks sein kann, ist aus dem Vorhergehenden klar. Was
also „grösster Umfang" genannt wird, könnte nur eine krumme Linie
LilUrarisdir Btr!cM XW. 5
sein. Untor wcicboa Linien jener Umfang die grösste sein soll, ist
sclüccfaterdiDga nicht zu versteLeu; vielleicht ist es ein mUssiges Bei-
wort zur Benennung, oder vielleicht soll auch damit angedeutet soin^
daaa die Linie alle ei ngesch riebe neu Vielecke nmapannt. Duss nun
irgend eine krumme Linie, die obigen Grenzwert darstellt, inj letz-
teren Sinne existirt, ist völlig unbegründet; denn C9 gibt unendlich
viele geschlossene krnnime Linien von jeder gegebenen Länge, die
ganz oder zum Teil im Inncru der Vielecke liegen. Int nun aus
Vorstehendem ersichtlich, das die vorliegende Betrachtung nicht zum
Ziele fuhren kann, ao bandelt es sich um einen Curroi?tionB Vorschlag.
Wir lassen ileu Lehrsatz als Lehrsatz stehen, müssen dann natürlich
voraussetzen, dass die Schüler fähig sind den Sinn üii begreifen
Zuerst werde bewiesen, dass bei fortwübreudi'r Vermehnjng undVcr-
kürzuug der Seiten, der Umfang des eingeschriebenen Vielecks sich
eiuer beslimmteii Länge als Grenze nfthert (uns ja hier ohne Aus-
führang als deutlich betrachtet wird); dann, dass diese Grenze bei
jedem Wege der Annäherung dieselbe ist. Letzteres kann leicht ge-
echeheu, indem man aus einem n eck der einen Oonatrnctiou und
einem tneck der audern durch Verbindung der nücbstliogeudon
Eckeu ein (m-|-n)eck bildet, dessen Umfang danu als gemeinsame Fort-
setzung beider Anuähcrnngswege eraebeint. Nachdem beides be-
wiesen, doänire man die Länge des Kreises als diese (einheitliche)
Grenze. Dann ist der Beweis des anfänglichen Satzes vollstäudig.
Vermehrt ist die Auäago nm einige neue Aufgaben im Anhang.
Leitfaden für den Unterricht in der Planimetrie bearbeitet von
Dr. K. Uth, Prerekter am König!. Realgymnasium in Wiesbaden.
Mit vielen in den Tp:(t gedruckten Figuren. Dritte, vermehrte und
verbesserte Auflage, Cassel und Berlin 1886. Theodor Fischer.
111 S,
Das Lehrbuch ist zuuächst für das Kasseler Gymnasium be-
stimmt; CS ward eiu neues bearbeitet, weil unter den Lehrern der
Mathematik keine Einigung über die Auswahl eiues der verliandenen
orziolt werden konnte. Als obersten Gesichtspunkt stellt der Ver-
fasser den logischen Zusammenhang der Siltze auf. Obwol er hier
nur von der Einteilung uud Anordnung spricht, so lässt sich auch
anf Begrilfsbestimmung und Dcduciionsweise davon Anwendung machen.
Es ist anzuerkennen . dass sich das Lehrbuch von den meisten tra-
ditionelle» logischen Mängeln frei erhalten hat. Doch stösat mau
auch ausnahmsweise anf unerhörto Behauptaugen, z. B. eiu matbc-
. matischer Punkt lasse sich nicht als h'~
ß LiiUrarücker Berkht XllL
lässt sich doch kein Körper als hcwegt denken, ohne dass tdoe
Punkte sich bewegen. Znr Erklärung des Winkels sind die Elemente
vollständig gegeben: Darstellung der Richtung — ein Strahl, Dar-
stellung des Richtungsunterschieds — Winke! d. i. Figur bestehend
aus 2 Strahlen, Orössenvergleichung der Winkel — durch Deckniig,
nebenbei Yeranschaulichung durch Drehung eines Strahls. Die Za-
sammenstellung dieser Elemente lässt Deutlichkeit vennisaeiL Soll
der Winkel den Richtungsunterschied oder der Richtungsunterscbied
den Winkel erklären? Das bleibt nach den Worten des Baches,
welches nur eins zum Prädicat des andern macht, fraglich. Die daranf
folgende Anwendung deutet auf die letztere, falsche Mdniing und
verleitet zur Unklarheit. Da Richtungen keine Grössen sind, sich
also nicht subtrahiren lassen, so ist der Richtungsunterschied das,
was Erklärung fordert, die Winkclfigur das Mittel, wodurch wir die
qualitative Verschiedenheit der Richtungen quantitativ fixiren. Der
Vortrag im Buche wendet sich mehr und mehr zur Yerkehrang der
Sache und lässt es scheinen, als begründete der Richtungsunterschied
den Begriff des Winkels. Nachdem er den Schüler hinreichend con-
fus gemacht hat, um vor dessen logischer Aufmerksamkeit sicher zu
sein, tritt er plötzlich mit einem recht kurzen, einfachen Schein-
beweise für den Parallelensatz auf, worin er das anfängliche Rriterinm
der Gleichheit und Ungleichheit der Winkel fallen lässt und ein neues
unterschiebt, das erst auf Grund des Parallelensatzes dem erstem
äquivalent sein kann. Wo die wissenschaftliche Wahrheit bei Seite
gesetzt, die mathematische Dialektik zur Taschenspielerei gemacht
wird, brauchen wir vom Uebrigen nicht zu reden. Ein solches Buch
gehört nicht in den Schulunterricht. Wäre der Verfasser selbst durdi
seinen Trugschluss getäuscht worden und hätte seiner Ueberzengung
gemäss geschrieben, so wusste er doch, dass ausser ihm niemand den
Parallelcnsatz beweisen kann, und würde gewiss nicht unterlassen haben
seine Entdeckung dem gelehrten Publicum vorzulegen. Hoppe.
Die Grundlehren der ebenen Geometrie. Von A. Stegmann.
Dritte, verbesserte und vermehrte AuHage, herausgegeben von J. Len-
g a u e r , Studienlehrer am k. Ludwigsgymnasium zu München. Kemp-
ten 1886. Jos. Kösel. 217 S.
Die 2. Auflage ist im 231. litt. Bericht, S. 30 besprochen. Die
daselbst bemerkten Fehler sind in der gegenwärtigen Auflage mit
einer Ausnahme berichtigt, das Lehrbuch erscheint, davon abgesehen,
jetzt tadellos correct Nur im 266. Lehrsatz bleibt der Rüge unge-
achtet die zweite Thcsis stillschweigend unbewiesen, wird aber im
folgenden angewandt Es ist klar, dass hier ein Grundsatz, als Ver-
LiUtr,
Uchtr BtrUht Xlll.
tretcr der DoGiiition der Krcislängc, odor eben diuso Dcfiiiitioii sulbat
DDnmglliiKlicIi Dütwendig igt. Ausser den inohrfacLoQ Qcrichtigungi'tl
uuterscbi'idet sicli die 3. Aiiflagf» von den frülicrn durch eine karzt^re ■
FaBsuug der ücucisc und durcii dnu roicbhaltigi) Sammluug von
Uebangen. Dieao bestehen aus Rechnungsaufgabeii , zu bowoisBodeii
LehrBälzen and Conatructionsanfgaben. H.
Ebene Trigonometrie zam Gebrauche an LandwirtBchaftsBcbalen,
höheren Bürgerschule Q und ähnlich organisirteu AdsIaICcu, sowie auch
zur Sclbatbelchrung. Von Dr. A. Grosse-Bohlc , ordentlichem
Lehrer an der Landwirtschatisacbule zu LUdingbaaSR». Mit 5U in
den Teit gedruckten Abbildungen. Freiburg i. ßr. 18Ö5. Herder.
56 S.
Das Lehrbuch /eidinet sich durch AuslUhrlicblioil aus, befriedigt
in Betri'ft' der Lcichtfasslicbkcit, guten Ordnung und Ucboraichtliciikeit,
Z4:igt aber nicht die gehörige Umsicht in der Bearbeitung, sofern dariu
manches Notwendige vergessen ist. Das Fehlende braucht nur ge-
nannt zu werden um es mit Leichtigkeit zu ergänzen. Der Begriff i
cinor Function — uäinlich einer eindeutigen Function einer einzigen
Veränderlichen, wie sie Ja in der Trigonometrie allein vorkommt — ,
ist crklilrt, aber unvollständig, denn bei der wiederholt au sgesji rocke- i
iien Bedingung gleichzeitiger Veränderung fehlt jedesmal die, dasa
die Function durch ihr Argument bestimmt sein inuse. Verändert
sich z. B. eine Seite eines Dreiecks mit ihrem Gegenwinkel, so ist
sie doch nicht dessen Function, weil sie nicht durch Um bestimmt
ist. Erst bei der Anwendung wird einmal diese Bedingung hinza-
gefügt, das geschieht dann unberechtigterweise, wenn es in der Er-
klärung gefehlt hat. Ferner wird sehr ausfuhrlich der Variationssiun
der trigonometrischen Functionen im ganzen und im einzelnen erörtert;
obwol sich aber hieran die Erklärung der unendlichen Werte anf ganz
leichte und natürliche Weise augeschloasou hätte, werden die sym-
bolisch als Werte eingeführten Zeicheu :o und — » ohue alle Er-
klärung aufgestellt. Ferner ist die Erweiterung der Functionen über
den Quadranten hiuaus und das Gesetz der Vorzeichou eingehend
besprochen, dagegen bei den Quadratwurzel ausdrucken gar keiue Rück-
sicht darauf genommen, das Doppel Vorzeichen einfach weggelassen.
Hier genügte eine blosse Hinweisung auf das Gesetz der Vorzeichen,
nm in der Formel nur die absüluten Werte beachleu zn dürfen.
Anders aber ist es bei den Additionsformeln ; deren AUgemeingUltig-
keit muss bewiesen werden, und das ist nicht gesuhehen. Vorge-
nannte vier Mängel werden hoffentlich in einer neuen Autlage ergänzt J
werden ; dann wtlrde das Buch in jeder üinsicht empfehlenswert si
fc
8 LiiUrariich^r Btrkht XllL
Die ebene Trigonometrie and die sphärischen Grandformeln.
Von Dr. Julias Petersen, Docent an der poljtechiiiBcheii Schale
zu Kopenhagen, Mitglied der königlich dänischen Akademie der
Wissenschaften. Ins Deutsche übersetzt anter Mitwirkung des Ver-
fassers von Dr. R. von Fischer-Benzon, Oberlehrer am Gymna-
siuro io Kiel. Kopenhagen 1885. Andr. Fred. Host a. Sohn. 67 S-
Lehrbach der Stereometrie. Von Dr. Julias Peters es, etc.
wie oben — 94 S.
Der Anfang des erstem Lehrbuch macht durch Gründlichkeit
den Eindruck, als ob es gelte die Basis einer analytischen Theorie
zu legen. Es geht der Trigonometrie vorbereitend voraas die Lehre
von der Addition der Strecken (auf der reellen Axe) aud tou der
Winkelmessung und Winkcladdition. In der Tat bildet die Trigo-
nometrie einen Uebergang zur Analysis, und es ist nicht za bestreiten,
dass die Orientirung in beiden genannten Gegenständen zur Vertraut-
heit mit der Trigonometrie und ihrer geschickten Handhabung not-
wendig ist. Auch wollen wir die Wahl dos Verfassers jene Lehren
besonders voranzustellen als berechtigt und auf gutem Grunde bcm-
hend auerkcinien. Wollte man aber darüber hinaus den Schluss
ziehen, es sei ein Mangel der gewöhnlichen Lehrbücher, dass sie nicht
ein gleiches tun, so ist an folgendes zu erinnern. Jene zwei Lehren
geben ein Ideenbereicb von geringem Umfange, mit dem ein Schüler
auch im eigentlichen Cursus leicht vertraut werden kann. Erwägt
man überdies, dass es sich empfiehlt, den Zweck jeder Einführung
sobald als möglich sehen zu lassen, so ergeben sich auch hinreichende
pädagogische Gründe gegen die Aussonderung. Unabhängig von die-
ser Frage ist noch eine Ausstellung an der gegenwärtigen Anordnung
zu maclien. Die Lehre von der Winkelmessung beginnt mit Fest-
setzung der Einheit. Dies mag dem Bedürfniss des gelehrten For-
schers entsprechen; dem des Anfängers entspricht es nicht, weil es
den psychischen Erkonntnissgang geradezu umkehrt. Es wird ihm
eine irrationale Reductionszahl geboten, die er vor der Hand unmoti-
virt hinnehmen mnss, in dem Glaubeu, dass der Weg des Verständ-
nisses über diese Reduction hin führte, was gar nicht der Fall ist
Er weiss nämlich aus der elementaren Kreislehre, dass der Centri-
winkel dem Bogen proportional ist. Daran schliesst sich die Fest-
setzung: der Winkel als Zahl soll dem Kreisbogen vom lladius 1,
auf dem er als Ceutriwinkel steht, gleich sein. Die Beductionszahl
der Winkeleinhcit kann er dann, wo nötig, daraus leicht berechnen.
Da diese jedoch nur in transcendouten Gleichungen und unendlichen
Reihen, nicht hingegen in der eigentlichen Trigonometrie vorkommt,
so ist sie nur eine abgezweigte Folge eines einfachen, leicht verst&nd-
LÜUrariscSir Btricht XJU.
lieben ZasanimcDhangs ; es ist unuatürlich uiid orschwiTond sie anders
als dem wirklicheu Ideengang g^fitss tiinzuffilireo.
Die Bebaiidlnng der TrigoiioiDctrio selbst bcschräukt sieb uicht
auf die Principicn, d. h. uotweiidigen Grundlagen und Elemeutar-
aafgaben, sondern charaktcrisirt sicL durch reichale Eutfaltang der
aoi der Trigonometrie liervor^eh enden Fähigkeiten und durch Uebuu-
gen, welche die vielseitigste Praxis im Auge haben.
Das Lehrbach der Stereometrie bat mit den gewöhnlicben nur
die oberste Einteilung gemeiu: Loge von Geraden, Ebenen und Kugeln i
die körperliche Ecke-, Polyeder und mnde Körper u. zw. Prismen
und Cylinder, Pyramide and Kivel, Kugel, reguläre Polyeder. Hier
ist zn bemerken, dass die elx'ii- und krumm fläch igen Gebilde nicht
wie gewöhnlich getrennt wcrdeu. Dann aber folgen einige dem gegen-
wärtigen Lehrbnche cigcntu in liehe Absclinittc: Coiigrueux, Symmetria
and Achnlichkeit; Oberfläche; Volumen ;KegBlsehnitle. Charakteristisch
ist besonder j, duss nirgends eine systematische Erschöpfung der ein-
zelnen Themata angestrebt wird, dass vielmehr der Lehrgang stets
in schnellem Schritte auf die Sätze von grösster Bedeutung nach
einfacher Deductionsmetbode ansgelit und damit abschliesst, ohne
einen Einblick zu gewähren, eb mit diesen Sittzen alle elementaren
Fragen erledigt sind. Die Lehre von den KegeJaehnilteu beginnt mit
Dednction der Fücaleigi-uschaftou nach bekannter Methode aus dem
ebenen Schnitte des geraden Kegels. Uebungen, an Zahl
85, folgen auf einige Abschnitte.
1
i
Leitfaden der Stereometrie nebst 134 Uobungsaufgabcn. Zum '
tiebranche ati höheren Lehranstalten bearbeitet von Dr. £. Wrobel,
Gymnasiallehrer in Rostock. Rostock 1836. Wilh. Werther. 102 S.
Es ist zu bemerken und anzuerkennen, dass Vollständigkeit in
den Priucipieu zum Ziele der Bearbeitung genommen sind, und mag
in dieser Hinsicht als ßeisjiic] genannt werden, dass der principiell
so wichtige, und doch so häufig ohne Üeachtung in den Elementen
flbergangcni) Htercomctrisclie Pytbagoräer hier nicht fehlt. Auch zeugt
die sichtliche Systematik nud der Conncs der Sätze von Sorgfalt. '
Die Beweise sind meistens in extenso ge^-eben, nur selten abgektlrzt.
Doch darf man zu den gerechtfertigten Abkürzungen gewiss nicht
rechneu die Anwendung unzureichender Gründe in den Beweisen, die
bisweilen vorkommen. So ist im Beweise zum Lehrsatz 2. voreilig
behauptet, dass '-i Gerade auf \erKchiodenen Ebenen verschieden sein
müssten , im Beweise zum Euler'schen Polyedergatz von m > » auf
»1 — n-\-l geschlossen. Die Berichtigang dieser Fehler wOrdc einige
10 Liiterarücher Berieht XIIL
Worte mehr orfordern, aber keine Schwierigkeit machen. Der Ver-
fasser betont im Vorwort, dass or der Körperberechnnng den Ca?a-
lieri*8chen Satz als Grundsatz untergelegt hat, ein Verfahren das mit
Nutzen für Orieutirung auch von andern Lehrbüchern befolgt wird.
Die Anordnung des Ganzen ist die gewöhnliche. Die Figuren stehen
weiss auf schwarz im Texte. H.
Die Physik in elementar-mathematischer Behandlung. Ein Leit-
faden zum Gebrauche an höheren Lehranstalten. Von Lr. E. Wro-
bel, Gymnasiallehrer in Rostock. L Die Mechanik. (Statik fester
Körper. Dynamik fester Körper. Statik und Dynamik der Flüssig-
keiten und Gase.) Rostock 18ö5. Wilh. Werther. 317 S.
Im Jahr 1879 erschien ein Buch von nahezn gleichem Titel von
demselben Verfasser und ist im 255. litt. Bericht S. 30 besprochen
worden. Gleichwol ist das gegcnwärtigo nicht als 2. Auflage des
erstem bezeichnet, und keine Aeusseruug des Vorworts erwähnt das-
selbe, während doch die Aussage, die Mechanik der Flüssigkeiten
und Gase sei „nunmehr als 3. Teil hinzugekommen^^ indirect etwas
verrät, zu dem es hinzugekommen sein muss. Es genüge za Consta-
tireu, dass das neue Buch noch dieselben Irrlehren vorträgt wie das
alte (z. B. die Behauptung: eine Kraft allein könne nur eine gerad-
linige Bewegung bewirken). Die neuen Teile sind nicht besser; in
der Hydrostatik wird behauptet, ein eingetauchter Körper verliere
einen Teil seines Gewichts. H.
Anfangsgründe der Mechanik fester Körper mit vielen Uebungs-
aufgaben zum Schulgebrauche au Gymnasien und vorwandten Lehr-
anstalten. Von Dr. Job. Chr. Walborcr, Professor am königlichen
Gymnasium in Amberg. Fünfte, durchgesehene Auflage. München
1885. Theodor Ackermann. 166 S.
Die 2. Auflage ist im 228. litt. Bericht S. 34, die 4te im 241.
1. B. S. 43 bosprucheu. In der gegenwärtigen sind die daselbst ge-
rügten Fohler berichtigt, sonstige Voränderungen nicht angezeigt.
H.
Sammlungen.
Planimetrische Koustruktiousaufgabou nebst Anleitung zu deren
Lösung für höhere Schulen. Methodisch bearbeitet von £. R. Mül-
ler. Oldenburg 1886. Gerhard Stalling. 66 S.
LUUrariacher Bericht XllL \\
Es sind Strecken und Winkel gegeben als Bestimmungsstücke
für Dreiecke, Vierecke, Kreise, geometrische Oerter, die zu zeichnen,
und deren Construction zu beschreiben ist. Im 2. Hauptabschnitte
kommen Verhältnisse vor. Voraus gehen die Fundamentalaufgaben.
H.
Sammlung geometrischer Konstructions-Aufgaben zum Gebrauch
an Seminarien sowie zum Selbstunterricht. Von B. Wiese und W.
Lichtblau, Königlichen Seminarlehrern. Mit 145 in den Text ge-
druckten Holzschnitten. Hannover 1885. Carl Meyer. 220 S.
Die Aufgaben nebst Anleitung zur Lösung sind darauf berechnet)
dass der Seminarist sich ohne Hülfe eines Lehrers mit der Schul-
geometrie im gehörigen Umfange vollständig vertraut machen könne.
Sie sind daher in grösster Vielseitigkeit gewählt und in 26 Para,
graphen nach den Arten und Thematen übersichtlich geordnet.
H.
Rechenbuch für Gymnasien, Realgymnasien, Ober-Realschulen,
Realschulen, höhere Bürgerschulen, Seminare etc Von Christ.
Harms, Professor an der Ober-Realschule in Oldenburg, und Dr.
Alb. Kallius, Professor am Königstädtischen Gymnasium in Berlin.
Zwölfte Auflage. Oldenburg 1885. Gerhard Stalling. 262 S.
Die 6. Auflage ist im 251. litt. Bericht S. 36 aufgeführt Die
etzige ist durch Substitution neuen Textes für eine Stelle, die neuen
Gesetzes wegen ausfallen musste, den frühern Auflagen conform ge-
macht worden. H.
Tabellen.
Zinseszins- und Rentonrechnungs-Tabellen. Verfasst von Pach-
raeyor, Hauptmann a. D. Würzburg 1885. J. Staudinger. 41 S.
Das Buch enthält 3 Tabellen. Das anfängliche Capital ist = 1.
Das eine Eutree gibt die Jahre von 1 bis 100, das zweite die Pro-
cente 7 von n = 1 bis 20, die erste Tabelle das wachsende Capital
bei Zinseszins, die zweite bei jährlichem Zuschuss von 1, die dritte
das Capital dividirt durch die jährliche Rente, sämtlich auf 5 Ziffern.
Voraus geht die Anweisung zur Rechnung. H.
12 Lüterartscher Bericht XllL
Vermischte Schriften.
Jornal de Sciencias Mathernaticas c Astronomicas publicado pelo
Dr. F. Gomes Teixeira, Professor ua Escola Polytechnica do
Porto, Antigo Professor na Uuiversidade de Coimbra, Socio da Aca-
demia Real das Sciencias de Lisboa, etc. Vol. VI. Coimbra 1885.
Der 6. Band enthält folgende Abhandinngen und Noten.
M. d'Ocagne: Ueber eine Polartransformation der ebenen Gar-
ven. — Studie der Streckengeometrie.
J. d'Almeida Lima: Ucbcr eine Curvo 3. Grades.
E. Cesäro: Arithmetische Bemerkungen.
R. Ferreira dos Sauctos: Ueber den Wechsel der unab-
hängigen Variabel n.
F. Gomes Teixeira: Einleitung iu die Theorie der Functionen.
— Nekrolog J. A. Martins da Silva, geb. d. 22. Aug. 1858, gest. d.
12. Nov. 1885.
Ch. Hcrmite: Ueber die Legendre'schcn Polynome.
R Guimaraes: Anwendung der Cykloide zur graphischen Lö-
ung einiger geometrischen Aufgaben.
H. da Fonseca Barros: Note über die elementare Anwen-
dung des Parallelepipeds.
A. Schiappa Monteiro: Untersuchungen bezüglich auf den
variabeln Kreis, welcher 2 gegebene Kreise uuter gegebenen Winkeln
schneidet.
J. A. Martins da Silva: Ueber 3 von Lipschitz in der Theorie
der elliptischen Functionen gegebene Diflfcreutialrelationen.
L. Woodhouse; Fundamental priiicip der Theorie der algebrai-
schen Gleichungen.
H. Ic Pont: Neuer Beweis der Sätze von Pascal und Brianchon.
— Geometrische Note.
J. M. Rodrigues: Ut'bor eine periodische Gleichung.
II.
Aniiuairo de rObservatoire de Moiitsouris pour 1886. Paris,
Gauthicr-Villars.
LäUrariseker Berieht XllL
13
Ontre les renseignements pratiqoes qa'il contient cliaque ann^e,
il contient un r6sum6 des observations faites depuis 1873, de uom-
breuscs applications de la Meteorologie k la cultare du fromeut
et de la vigno, des tableaux indiqnant Tinflueuce de la Climatologie
sar la mortalite, un tr^s curieux Chapitre donnant les r^sultats des
analyses chimiques de l'air et de Teau, cnfin un Memoire sur les
microbes de Tatmosphdre de Paris, sur les bact^ries de Tcau de pluie
et des atmospbdres confin^es des navires, etc. (In-18 de 600 pages,
avec planches en couleurs, ügures et diagrammes, 2 fr.)
Gautbier-Yillars.
Mathematische Preisaufgabe
der
Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft
für (^as Jahr 1889.
Obgleich durch die Untersuchungen von Borchardt über das
arithmetisch-geometrische Mittel ein gewisser Zusammenhang der
Thetafuuctiouen mehrerer Yariabelu mit mehrfachen Integralen nach-
gewiesen worden, und obgleich die Ausdehnung des Abel'schen Theorems
auf vielfache algebraische Integrale schon Jacobi nicht unbekannt
war*j, so schoineu doch selbst die betreffenden Doppeliutegrale noch
keiner erschöpfenden Betrachtung unterworfen worden zu sein. Da
sich nun zeigen lässt, dass wenn z. B. d^ ^^ ^2 ^a ^i ^0 gewisse einer
sogenannten Rosenhain'schen Gruppe (Crello's Journal Bd. XL, S. 342)
angehörige ThetafuncUonen zweier Yariabelu u und v bedeuten, die
Determinante
d& d&i oO'^
du du du
\ dv dv dv
*) Siebe Crelle's Journal Bd. VIII, S. 415, sowie Rosenhain in seinen
an Jacobi gerichteten Briefen, Grelle Journal Bd. XL, wo auch lategrale von
P n dtdu
der Form / / Z/^J^ betrachtet werden, in denen F(<u) das Product von
sechs linearen Factoren .4 + -ß/ + Cii ist. Vergl. ferner die Nöther'schen Ar-
beiten in den Göttingcr Kachrichten, 1869 Nr. 15 und Bd. II der Mathemat.
Annaion, S. 293.
LitUrarueher Betickt XIII.
dem Prodact ^3 ^4 ^5 proportional ist, so ergibt sich daraas (Leip-
^\ , y = (^*) eine Gloichung
dxdv
von der Form dudv= ... ^-.. Die Gesellschaft wünscht
eine eingehende Untersnchnng der allgemeineren
T^ 1- * 1 A t:^ Prf(xy)dxdy
Doppelintograle von der Form / / ,_ . wo /
eine rationale Function sei, in ihrem Zasammen-
hange mit den Thetafunctionen zweier Yariabeln
Preis 1000 Mark.
Die anonym einzureichenden Bewerbnngsschriften sind, wo nicht
die Gesellschaft im besonderen Falle ausdrücklich den Gebranch einer
anderen Sprache gestattet, in deutscher, lateinischer oder
französischer Sprache zu verfassen, müssen deutlich geschrieben
und paginirt, ferner mit einem Motto versehen und von einem
versiegelten Couvert begleitet sein, das auf der Aussenseite das Motto
der Arbeit trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers
angiebt. Die Zeit der Einsendung endet mit dem 30. November
des angegebenen Jahres, und die Zusendung ist au den Secre-
tär der Gesellschaft (für das Jahr 1886 Geheimer Rath Professor
Dr. Wilhelm Röscher, An der 1. Bürgerschule 4) zu richten.
Die Resultate der Prüfung der eingegangenen Schriften werden durch
die Leipziger Zeitung im März oder April des folgenden Jahres be-
kannt gemacht. Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigen-
tum der Gesellschaft.
W. Rotoher, Präsei.
W. Hankei. A. Letkien. R. Leuckirt. H. Lipsiut. W. Soheibn^r.
Q. Voigt. F. larnoke. F. Zirkel.
Leipzig, im März 1886.
LitUrariMcker Berickl XIV.
Litterarischer Bericht
XIV.
Methode und Prindpien.
Anfruf zur Begründung t
„DoatsclienlLinhoitsschnlvereinB",
Der Aufruf ladet zu einer coDstituirendeii Versammluug in Han-
nover am 5. Octoher A. i. ein uud ist von 12 UuiveraitlLtalehreni
und 15 Direcloren, Gymnasial- und Realscba Hehrem nnterzdclniet.
Der Verein nimmt zum Ziele, daas au Stelle des Gymoasiuma und
Realgymnasiums die Eintieitsschule trete, „welche Bich den Kern der
alten humaniBtisch-gymnasialeo Bilduug, das Studium der classischeu
Sprachen, besonders auch des Griechischen, nnd dor historischcD
Wisaeuscbaften, bewahrt, dieselbe aber durch zeitgemfisso Reform der
Methode (uameutlicb des fremdsprachlichen Unterrichts), sowie auch
durch eine massvollu Verstärkung der neueren Sprachen, voruebmiich
dos Französischen , und der mathematisch naturwissouschaftlicheu
Lehrfächer neu kräftigt uud vcrjOugt" Sie soll also ftlr alle höhere
Bildung die gemeinsame Grundlage geben und nur der Stufe nach
unterschiedou die andern VorhilUangsaustalten , die Mittelschule mit
zwei fremden Sprachen uud die Volksschule ohne solche neben sich
haben.
Der Gedanke, vou der Scbeidnug der Gyranasieii uud Realschulen
zur Einheitsschule zuiackzukchren ist hier nicht zum erstenmal an-
geregt und besprochen. Auch bieten Beobachtung und Ueherleguug
Grnnd nnd Antass genug ihn in Betracht zu ziehen, Erslens hat
der anfäuglicho Plan der Errichtung von Roalscbnleu die Scheidung
weit principieller aufgefasst ata ihre spätere Gestaltung. Concessjonen
van beiden Seilen führten zu einer Annäherung, deren Grenze bloss
durch Opportun i tut gegeben war; ein ideelles Ziel war nicht erreicht,
flherhauiit nicht abzuaebeu : als solches konnte daher nnr die Wieder-
Inb. i. Halb, n, Fbii. %. B«I1ib, lull IV. Hall i. 9
I
16 Lm^rarueker BeriAt XIV.
Vereinigung erscheinen. Zweitens ist es wol anerkannter pädago-
gischer Grundsatz, wo möglich die natürlichen Aulagen unabhängig
vom späteren Berufe zur reifen Entwickelang zu bringen. Die Schei-
dung der fundamentalen Unterrichtsanstalten greift der Wahl des
Berufs vor. Aus diesem Gesichtspunkt stellt sich die Einheit des
fundamentalen Unterrichts als die normale Anordnung dar; es mOssen
spcciclle Gründe vorliegen, ehe man davon abweicht
Dem gegenüber tritt ein anderer Plan auf, welcher den genann-
ten als überilflasig erscheinen laasen will. Mao fordert einen ge-
meinsamen Unterricht für alle Yolksclassen mit Abschlnss io drei
Stufen, derart, dass die Mittelschule auf dem Standpunkte beginnt,
der in der Volksschule erreicht wird; nach Vollendung des Gursus
der Mittelschule soll dann der Schüler die Wahl haben zum Gym-
nasium oder zur Realschule überzugehen. Das Für und Wider zu
erörtern würde ein nutzloser Abschweif vom vorliegenden Thema
sein. Jedenfalls steht sichtlich soviel entgegen, dass der Plan nicht
in naher Zukunft in Angriff genommen wird. Nur das berührt das
Gegenwärtige, dass die zweite Idee weit entfernt ist, den Keni der
ersteu in sich au&unehmen. Im Gegenteil wird durch sie die prin-
cipiell zugrunde liegende Hauptforderung, dass der Scholanterricht
im ganzen Umfang des Gymnasiums der fundamentalen Gesamtbildong
gewidmet sein soll, ignorirt und beiseite geschoben. Denn der letztere
Plan schliesst die fundamentale Ausbildung mit der Mittelschule ab
und macht die bisherigen obcrn Gymnasialclassen zur Fachschule
neben der Realschule.
Zur Beurteilung des vorliegenden Projects wird es nicht nötig
sein alle erforderlichen Fragen zu besprechen, wei! dies wol schon
reichlich geschehen ist. Einige Punkte jedoch pflegen dabei über-
sehen zu werden, und solche mögen hier hervorgehoben sein. Zu-
nächst ist es die Frage nach den zulässigen Beschränkungen der
Pensa ohne Beeinträchtigung des Unterrichtszweckes, deren Not-
wendigkeit allgemein einleuchtet, wenn die Schule die Real- und hu-
mane Bildung im gehörigen Masse umfassen soll. In Betreff der
Mathematik ist diese Frage von J. K. Becker ausführlich in einer
Schrift behandelt Hierin werden jedoch manche Uuterrichtsgcgen-
stände für unerlässlich erklärt, bloss weil deren Kenntniss für gewisse
Berufszweige erforderlich sei. Mehr als in irgend einer andern
Wissenschaft kann man wol in der Mathematik vom fundament^en
Unterricht verlangen, dass der Schüler diejenige Selbständigkeit und
Fähigkeit zu eigner Controle gewinne, vermöge deren er sich die
durch den Beruf geforderten Kenntnisse selbst verschaffen kann.
Wollte man daran festhalten, dass alle besonderen Kenntnisse nur
lAttirarischer Benckt XIV. 17
die materiellen Träger der allgemeinen Geistesentwickelung sein sol-
len, 80 würden die mannichfaltigen Ansprache an Aufnahme einzelner
Gegenstände in den Lebrcnrsns einer einfachem Würdigung unter-
liegen.
Der Idee der Einheitsschule liegt nun die Voraussetzung zu-
grunde, dass jeder Unterricht, der unter den verschieden veranlagten
Geistern von der einen Ciasso auf ihrem Entwickelungsgang nicht
entbehrt werden kann, für alle übrigen mindesten forderlich ist, und
dass, wenn überhaupt eine höhere Ausbildung beabsichtigt wird, dies
Verhältniss nicht auf einer Mittelstufe seine Geltung verliert, sondern
bis zu Ende bestehen bleibt. Die Vertreter der Idee müssen dartun,
dass die Mathematik bis zur höchsten geforderten Stufe auch dem
Philologen, die Kenntniss der alten Sprachen auch dem Mathematiker
nützlich sei, u. s. w. Zu dem, was hierüber viel gesagt worden ist,
mögen nur zwei Punkte als Ergänzung treten, von denen nicht die
Rede zu sein pflegt. Die Forderungen humaner und überhaupt
höherer Bildung würden zusammenfallen, wenn man das Wesen der
erstem in der historischen Auffassung des Unterrichts in allen
Wissenschaften sähe, nämlich in folgendem Sinne. Für ein dynami-
sches Problem ist bekanntlich die momentane Lage des Massen-
systems zu irgend einer Zeit ein unzureichendes Datum-, es muss
auch der momentane Bewegungszustand gegeben sein. Dem analog
würde ein Unterricht, der Begriffe und Ideen nur nach heutiger Gel-
tung, Wörter und Formationen nur nach heutigem Gebrauch ,. doctri-
näre Sätze nur nach heutigem Standpunkt der Doctrin mitteilte, der
höhern Bildung nicht genügen; es muss auch die Kenntniss der Ent-
stehung dieser Elemente hinzukommen. Actuell ist der Unterricht
in der Geschichte Mitteilung der Vorgänge aus der ganzen Vergan-
genheit; sein instructives Element aber liegt darin, dass er in der
Kenntniss der Entstehung der Gegenwart das richtige Vcrständniss
der Gegenwart eröffnet. Eine Frage kann es noch sein, wenn letz-
teres der Zweck ist, ob, warum und wie weit wir in das Altertum
zurückgreifen müssen; doch ist gerade von dieser Seite kein Zweifel
laut geworden. Factisch und bewusstcrweise steht die heutige euro-
päische Bildung auf dem Boden der classischcn alt griechischen und
römischen. Die Notwendigkeit des Erlcrnens der lateinischen Sprache
ist durch die Bestimmung für die liealschulen I. Ordnung anerkannt.
Es handelt sich um die Berechtigung der griechischen als allgemein
obligatorischen Unterrichtsgegenstands. Diese ist insofern in anderm
Falle, als sie nicht die Wurzel moderner Sprachen ist, wie die latei-
nische. Ob der vielfache Gebrauch griechischer Ausdrücke in deut-
scher Rede und Schrift hinreichendes Motiv sein könne das Erlernen
des Griechischen allgemein zu fordera, ist erwogen worden; doch ist
18 LiUerariidUr BeridU XIV.
dabei die Hauptsache ausser Betracht gelassen. Bei feststehend«!
Benennungen, von denen allein die Rede zu sein pflegt, kommt die
Kenntniss der fremden Sprachen wenig oder gar nicht zustatten, um
verstanden zu werden. Der bei weitem grössere Teil der zur An-
wendung kommenden griechischen Elemente aber sind Bezeichnungen
fflr Abstracta, teils ohne Definition zu augenblicklicher Verständigung,
teils mit einer später kaum mehr beachteten Definition, von denen
man nie vorher weiss, ob sie in Aufnahme kommen, und welchen
Veränderungen ihre Bedeutung unterliegen wird. Erwägt man, dass
solche Anwendungen in allen Abstufungen der Dauer von den fest-
stehenden bis zu den momentanen beständig vorkommen, so zeigt
sich, dass der Begriff eines Fremdworts in gewöhnlicher Ausdehnung
unhaltbar ist : ein im Deutschen gebrauchter griechischer Ausdruck
ist nicht ein deutsches Wort, das aus dem Griechischen stammt,
sondern ein griechisches Wort, das Deutsche mit deutscher Flexion
gebrauchen. Der Besuch des Ausländers kann uns recht augenehm
sein; mit Erteilung des Bargerrechts aber muss man sparsam ver-
&hren. Noch gibt es wenige Gelehrte, Lehrer und wissenschaftliche
Schriftsteller von Ruf, die nicht das Gymnasium besucht und griechisch
gelernt hätten, daher kann man die Erfahrung nicht wol gemacht
haben, welcher Verschiebung bis zur Unkenntlichkeit die griechisch
benannten Begriffe ausgesetzt sein wflrden, wenn der blosse Usus den
Wortsinn bestimmte. Von dieser Seite ist, wie es scheint, die Frage
noch nicht betrachtet worden. Hoppe.
Der relative Bildungswert der philologischen und der mathematisch-
naturwissenschaftlichen Unterrichtsfächer der höheren Schulen. Vor-
trag gehalten vor der Delegirtenvcrsammlung des deutschen Beal-
schulniäunervcreins zu Dortmund am 16. April 1886 von Dr. E. Mach,
Professor der Physik an der deutscheu Universität zu Prag. Leipzig,
1886. G. Freytag. Prag, F. Tempsky. 29 S.
Diese Schrift steht in naher Beziehung mit der soeben bespro-
chenen (betreffend die Einheitsschule) : die Gegenstände sind dieselben,
die Tendenz die entgegengesetzte. Der Verfasser will den Unterricht
im Griechischen und in der Mathematik, wenigstens in den obern
Classen, facultativ machen. Er führt mit klarer Beredsamkeit, unter-
stützt durch zahlreiche Beispiele, die Vorzüge philologischer wie
mathematisch naturwissenschaftlicher Bildung vor, um mit dem Urteil
zu schliessen, dass all dieser Gewinn einen sogrossen Aufwand an
Zeit und Mühe nicht wert sei, wie die höhern Schulen nach jetziger
Einrichtung ihn fordern. Auf Detailfragen geht er fast gar nicht
ein; vielmehr behält es sein Bewenden beim Abwägen des Fflr und
Wider unter einem Titel zusammengefasster allgemeiner Begriffe. Die
Beispiele Bind gut gewählt znr Vergegenwärtigung, doch ist ilaraoa
nicbt zn ersehen, ivas wesentlich ond massgebend ist Zwischen
fundament&ler Bihlnng and pcripheriaclieai Wissen wird lieiu Unter-
Bchicd gemocht. Aufl^l liger weise sind die Beispiele bezQglich auf
Naturwissenschaften sämtlich aus dem Gebiet neuester Entdeckung
und Forschung entnommen, als süllteu die SchDier nur über recht
vieles Interessante mitsprechen lernen, ohne diiss sie mit den Ele-
menten vertraut zu sein brauchten. Von den im vorigen Bericht
hervorgehobenen Pankten ist auch hier keiner berührt, namentlich
von Erzielnnu „hisloriach" wlsseuschaflücher Bildung durch den
böhem Unterricht nicht die Rede, Im ganzen macht die Schrift
nicht den Eindruck relHicher Ueberiogung, vielmehr scheint sie haupt-
sächlich darauf berechnet den Gleichgesinnten Mut zu machen.
Hopp.
Erd- und Himmelskunde.
I
L'eber die Erhaltnng der Sonnen -Energie. Eine Sammluag von
Schriften nnd Discussioueu von Sir William Siemens, F. fi. S.,
D. C. L., LL. D., Ph. D., Mem. Inst. C. E. Aus dem Englischen
tkbersetzt vou C. E. Worms. Mit 6 in den Text gcdnickten Holz-
schnitten und einer lithographirtcn Tafel, Berlin, 1886. Julius Sprin-
ger. 150 S.
Die erste Abhandlung des Verfassers aber den Gegenstand tat
von 1883. Die gegenwärtige bat die in der Zwischenzeit erfolgte
Bereicherung anscror Kenntnisse von der Sonnen-Physik in sich auf-
genommen, die ihm in allen Stacken Bestätigung seiner Ansicht ge-
liefert bat. Die grosse Man uich faltigkeit der in Betracht gezoge-
nen Gegenstände macht es uns nnmüglich einen zusammenfassenden
Bericht aber die Ausführungen xn geben. Wir müssen uns damit
begnügen das Wesen der vom Verfasser vertretenen Hypothese her-
auszustellen. Es bandelt sich um Erklärung des Ersatzes an Energie,
welche die Sonne durch Ausstrahlung in den Himmelsraum in so
ungeheurem Masse beständig verlieren muss. Siemens nimmt hierzu
an, daas der Himnielsranm mit wägbarem, wiewol äusserst verdünntem
Stoff erfüllt ist, nennt als Constituenten Wasserdarapf und Koblen-
sfturo nnd betrachtet diese als die Massen, auf welche die ans-
gestrahlte Energie übergeht. Letztere wirkt auf deren Dissociation ;
vermöge der Rotation der Sonne werden dann die Stoffe vom Aequa-
tor ausgeschleudert, müssen sich den Polen nähern , werden wieder
angezogen, gelangen znr Verbrennung, geben Wärme an die Sonne
20 Läierariseher Bericht XIV.
zurück and fliessen wieder nach dem Aeqnator ab. Auf diese Wöse
bleibt ein Teil der ausgestrahlten Energie der Sonne erhalten. Man
kann sich den Sonnenkörper so erweitert denken, dass er die drca-
lirenden Gase mitumfasst; dann erscheinen die genannten Vorgänge
als innere ohne Verlust; die nach aussen dringenden Strahlen ent-
halten der Hypothese zufolge die wirklich verlorene Energie. An die
Abhandlung schliesst sich nun die durch sie hervorgerufene Corre-
spondcnz. Hunt stimmt den Ausfahrungen zu, doch scheint ihm die
Dissociation der Gase unnötig. Morris äussert, dass, indem die
durch Zersetzung abgekühlten Gase von den entfernteren Wärme auf-
nähmen und so der Sonne zuführten, ein Perpetuomobile geschaffen
wäre, und findet das verdächtig, andrerseits dass durch Ausschleude-
rung von Stoffen die Rotation der Sonne Verlust erleiden mOsste.
In der Beantwortung geht Siemens etwas weiter auf Erfahrungen
und Rechnung ein: der Rotationsverlust sei vorhanden, doch reducire
er sich auf die Reibung der Gase. Archibald macht den Einwand,
dass die Gentrifugalkraft der Sonne am Aeqnator viel zu gering sei
um Körper auszuschleudern. (In der Rechnung ist ein Fehler auf-
fällig: ^ Mercurs-Abstand » 16 statt 3} Millionen Meilen.) Sie-
mens erwidert, dass es sich nicht um Uebersteigung der Schwerkraft,
sondern um die Statik zwischen den Gasen an Aeqnator und Polen
handele. Fitzgerald stellt 4 Einwände auf; die 3 ersten von
gleicher Tendenz behaupten als Folge der Erfüllung des Raumes
mit Stoffen, dass Sonno, Erde, Mond und Planeten immer mehr die-
ser Stoffe an sich ziehen, sich ferner die Erde immer höher mit
Wasser bedecken müsste. Offenbar kann auch das Entgegengesetzte
eintreten, die Atmosphäre mehr und mehr weggefegt werden. Da
Siemens von freiem Sauerstoff und Stickstoff im Himmelsraume
nichts sagt, wenn uns nicht etwa die Sonne durch Zersetzung des
Wasserdampfs immer von neuem mit Sauerstoff' (freilich auch mit
Wasserstoff) versorgen soll, so wäre es wol unausbleiblich, dass
Wasserdampf und Kohlensäure allmählich alle hnh verdrängt hätten.
Zieht man diese Betrachtungen zu, so lautet der Einwand: Durch
die stoffliche Raumerfüllung werden die Atmosphären unberechen-
baren Veränderungen ausgesetzt; es bleibt zu erklären, wie die der
Erde sich so äusserst constant erhalten kann. Wodurch die Regu-
lirung geschieht, erklärt auch die Antwort von Siemens nicht Auf
den vierten Einwand, die Stoffe im Himmelsraum müssten auch das
Licht der Sterne absorbiren und die entfernteren unsichtbar machen,
sagt Siemens nur, einige Sterne seien auch nach Ansicht von Astro-
nomen wirklich unsichtbar. G. B. S. macht Anwendung von der
Theorie auf die Urzustände der Erde, die dann Siemens näher er-
läutert. Faye wendet ein, erstens dass jene Gase bei 2000facher
Verdünnung noch immer der Bewegung der Erde einen zu grossen
lÄUerarucher Btriehl XIV.
21
Widerstand leiaton würden, Kwcitens dasfl dio Majaen der Himmels-
kitrpGr eineu schnellen Zuwacha erfahren mllssten. Siemens er-
widert, dass er ausscrhall) der Grenzen der Dissociation eine weit
gröasero Verdünnung augenommoii habe, and Haas in Bezug auf An-
sammlnng von Massen bereits G leidige wicht eingetreten sein müsse.
Hirn berecliuet den Grad diifscr Verdünnung und findet, dasa er
nicht geringer als 10"^ seiu darf. Er erinnert, d.iss bei Aunahmo
einer Raamorfiillung, ;^u der wir getrieben werden, die Eigenschaften
des Erfflllenden noch dahingestellt bleiben Itönnen, und nicht gerade
der Körperwett entlehnt zu werden brauchen. Ausserdem tritt er
dem schon vorgekommenen Einwand bei, dass das Licht der entfern-
teren Sterne vollkommen absorb'rt sein niQBslfi. Siemens Stellt
die Richtigkeit der Rechnung in Zweifel, verwirft jede Uoberschrei-
lung dos Materialbegi-iffs von Seiten der Hypothesen und 7eigt die
Möglichkeit, dass die Absorption des Lichtes iDckonliaft sei, ao dass
GiDige sehr entfernte Sterne mit teilweise getilgtem Spectmm doch
noch sichtbar worden, während Millionen anderer ungesehen existiren.
Faye teilt einen Brief von Spoerer mit, worin dessen Boobachtüngs-
resultate über die Bewegung der Sonne» Hecken enthalten sind. Aas
diesen geht hervor, dass keine durcbgeliende Bewegung von den Polen
nach dem Actiuator auf der Sonne slatttindet, eine Tatsache die auch
der von .1. Ilerschel odoptirtcn Erklärung für die Entstehung der
Sonnenflecken als Wirbel aus jener Bewegungsricbtung entgegensteht.
flirn gibt Ucchenseliaft über seine Rechnung: die Temperatur der
Sonne, von der Siemens behauptet hatte, dass sie böchstens 3000
Grad sein könne, muss weit höher sein, weil concentrirte Sounen-
ntrablen Diamaut entzünden und Platin schmelzen können, und durch
' concGDlrirto Slralilung nie eine Temperatur hervorgebracht werden
Icaiiu. welche die der Würniequelle üborateigt. In BctreiT des bo-
»echneten Widerstands der Gase gogeu die Planeten macht er gel-
tend, dasa die durch Geschosse und Meteorsteine bestätigten Gesetze
auch anf die Planeten Anwendung haben müssen. Die Erwiderung
-von Siemens enthält nichts wcaentiich entkräftendes für beide Ein-
wände von Hirn. Dem letztern Einwand Iftsst sich oFTcnbar keine
Sicherheit zuschreiben, da das Widerstandsgesetz nur empirisch ge-
wonnen, allein auf Vi sc osi tat der Gase berahend erscheint, deren
Exi8t«nz bei jenem Gr^e der Verdünnung durch nichts erwiesen ist.
Eine hier folgende Bemerkung von Faye ist nebensächlich, Im
letzten Artikel gibt Faye eine Beschreibung eines Wirbels, wie er
auf der Erde bei Orkanen vorkommt, .und wie er auf der Sonne als
Flecken sichtbar wird, und erklärt gegen einen Einwand vonYoang
den Umstand, dass wir von Rotation keine Spur sehen, durch die
scheinbaro Laegsamkeii. Der Anhang enthält 3 Artikel. Abney:
Sounenticht und ditfuses Tageslicht in bedeutenden Höben beobachtet.
22 ljUUrari$€kßr
Liveing: Dissoclation von verdftnnten Gasverbiadangeii. C.W.
Siemens: Das Abhängigkeitsverh<niss zwischen AiustnhliiDg und
Temperatur. H.
Lehrbuch der Geophysik und physikalischen Oeogn^ihie. Von
Dr. Siegmnnd Oftnther, Professor am Gymnasium zu Ansbach.
Zwei Bände. II. Band. Mit 118 in den Text gedruckten Abbildun-
gen. Stuttgart 1885. Ferdinand Enke. 670 S.
Der erste Band ist im 4. litt. Bericht, S. 48 besprochen. Im
zweiten werden folgende Gegenstände behandelt Magnetische nnd
elektrische Erdkräfte, und zwar Magnetismus und Elektricitftt in den
oberflächlichen firdschichten, Theorie, Polarlichter; Atmosphftrologie,
u. zw. Eigenschaften, Gestalt und Ausdehnung der Atmosphäre, Be-
obachtnngs- und Berechnnngsroethoden , meteorologische Optik, G^
witter, kosmische, dynamische Meteorologie, Klimatologie, angewandte
Meteorologie; Oceanographio und oceanische Physik, n. zw. Eigen-
schaften des Meerwassers, Physiographie der Meeresbecken, Tempe-
ratur, Salzgehalt und chemische Zusammensetzung, Wellen, Ebbe,
Flut, Strömungen, Eis des Meeres; dynamische Wechselbeziehangen
zwischen Meer und Land, n. zw. Verschiebungen der Grenzlinien,
Kttstenbildnng, Charakteristik und Classification der Inseln ; das Fest-
land mit seiner Süsswasserbedeckung, u. zw. Geogonie und Geognosie,
orographischer Bau und Bodenplastik, Schnee und Eis der Hoch-
gebirge, Gletscher, stehende und fliessende Gewässer, Morphologie
der Erdoberfläche; Anhang: Biologie und physische Erdkunde in
Wechselwirkung. H.
Gmndlehren der mathematischen Geographie und elementaren
Astronomie zum Gebrauche in höheren Mittelschulklasson und bei
akademischen Vorträgen. Von Dr. Siegmnnd Günther, Professor
am Gymnasium in Ansbach. Zweite, durchaus umgearbeitete und
vermehrte Auflage. München 1886. Theodor Ackermann. 151 S.
Der Verfasser motivirt die Herausgabe (in 1. Auflage) dadurch,
dass er es nötig gefunden habe „auf die unglaublich geringfügigen
Kenntnisse der Lernenden'^ mehr Rücksicht zu nehmen, als es in den
sonst vortrefflichen vorhandenen Lehrbücher geschehe. Ausserdem
werde „der dem Anfänger allein naturgemässe geocentrische Stand-
punkt gemeiniglich allzufrüh verlassen, so dass dann natürlich aucb
die coppernicanische Weltanschauung nicht sowol gelehrt als vielmehr
dem jugendlichen Geiste aufgezwungen'^ werde. Diese oberflächliche,
leicht hingeworfene Aensserong bedarf sehr dar Richtigstellnng. Die
heutige Lehrmethode hat es aiciit odt ptolomüscher und coppemi-
LUterarücKer
'ichi XIV.
caaischer Wellanschaauiig zu tun, sondorii mit Beobachtung nnd |
ErklaruDg (Theorie), Dio Beobachtung oiior Erscheinungabeschroibung i
bat üicbt den geocontriscfaen , sondern den skopocentri sehen Stand-
puokt-, Ton da geht die Erklärung auf den geocentriachen, dann heüo-
cen tri sehen über. Das geschieht auch hier; was aber das Ver-
weilen auf dem einem und andern betrifft, so kann man wol verlangen,
dasa auf jedem das Nötige vollständig gesagt ist, dass namentlich
die Beschreibung die Erscheinung nicht verschweigt, welche hernach
Gegenstand der Erklürnng sein soll. Dio Priicision der Angaben
kann gering sein, doch darf die Uiigonauigkeit nicht durch Wider-
Bprüchc mit der vorgetragenen Theorie den Schüler vexiron; auch
darf die Angabe nicht dem Anblick ohne Instrumente widerstreiten.
Auf geringe Vorkimntnisse haben sehr viele Lehrbücher Rücksicht
genommen; erste Regel ist aber jedenfalls gute Orilnuug des Vortrags:
man darf den Schülern nicht Kuronten, dass sie sich eine Gesamt-
vorstelluDg aus vielerlei Bedingungen und Angaben zusammensetzen.
Gegen alle diese selbstverständlichen Regeln fehlt das vorliegende
Lehrbuch in äugen fälliger Weise. Der erste Satz; „Dio Bahnender
Gestirne sind auaualimslos kreiaffirmig uud parallel zu einander" —
sowie der zweite, widerspricht geradezu dem, was bald nachher Über
die Kigenbewegnng folgt. Die Üchanptung, die Himmelskngel
drehe sich in 24 Stunden nm dio Weitaxe, widerlegt sich durch den
blossen Anblick im Winter und Sommer. Dass die Fixsterne vor-
eilen, der Mond /urQck bleibt, ist nirgouds geaagt. Aus welchen ob-
jectiven Angaben soll aicli der Schüler diese unentbehrliche Eenntniss
entnehmen? Was zum Verstehen nötig ist, scheint der Verfasser
nicht tthorlegt zn haben. Im Vorwort steht die Erklüfung, dass der
Verfasser seine „einfachoro" Ableitung des Satzes von der „Nadirflut"
(der Verfasser verwechselt sich mit dem Monde!) mehrfachen An-
fragen gegenüber aufrecht hält Hiernach ist er also auf seinen
Fehler aufmerksam gemacht worden, will ihn aber uicht bcrichtigou.
£a handelt sich nicht um eine andre Ableitung eines Satzes, sondern
nm Erklärung einer Erscheinung. Die angebliche Erklärung der
Flut auf der dem anziehenden Körper abgekehrten Seite der Erde
ist gar keine: sie gibt keine Ursache an nnd läast dio Erscheinung
als paradox stehen, der angeführte Grund aber für die Meinung, dass
jene Flut kleiner sei als auf der zugekehrten Seite , würde nur dio
entgegengesetzte Eracheinang, geringere Ebbe oder gröaaere Flut er-
klären. Der Verfaaser führt also fort sich einer Verbreitung von
Irrtümern schuldig zu machen, was in Anbetracht soinor günstigen
Stellung in der Publicität um ao nachdrücklicher zu rllgen ist.
Hoppe.
24 LäterarüdMr Bericht XIV,
Grandzüge der astrouomischon Zeit- und Ortsbesümmang. Von
Dr. W. Jordan, Professor an der technischen Hochschnle za Han-
nover. Mit zahlreichen in den Text gedmekten Holzschnitten. Berlin,
1885. Julius Springer. 390 S.
Dies vortreffliche Buch zeichnet sich durch ausreichende An-
gaben im gesamten Umfange der den bezeichneten Grogeustand be-
treffenden Fragen aus. Es gibt Auskunft über begriffliche Festsetzung,
Beobachtung, Messung und Berechnung, ohne Voraussetzung theore-
tischer und technischer Routine, verstftndlich auf Grund gewöhnlicher
Schulbildung. Sein Gebrauch beschränkt sich nicht auf astronomi-
schen Beruf. Durch Vollständigkeit und gute Ordnung eignet es sich
besonders zum Nachschlagen in unzähligen vorkommenden Fällen.
Der Präcisionsgrad ist auf 1 Secunde angegeben. Der ,^tronomi8chen
Zeit- und Ortsbestimmung'^ geht voraus ein Capitel: „Allgemeine
Vorbereitung der Zeit- und Ortsbestimmnngs-Aufgaben'^ H.
Die Dämmerungserscheinungen im Jahre 1883 und ihre physi-
kalische Erklärung. Von J. Eiessling, Professor am Johannenm
zu Hamburg. Mit fQnf Holzschnitten. Hamburg und Leipzig 1885.
Leopold Voss. 53 S.
Das Vorliegende ist ein Auszug aus einer beabsichtigten Bear-
beitung des Dämmcrungsproblems. Es werden die Vorgänge der
zwei vulcanischen Ausbrüche, 1831 im Meere bei Sicilien, und 1883
auf der Insel Krakatoa, dann die dem letzteren folgenden Abeud-
dämmcrungserscheinungen auf der ganzen Erde beschrieben. Die
Färbung des Himmels hat ihren Grund in der Diffraction der an
schwebenden Körperchen (von Asche oder Nebel) gebeugten Sonnen-
strahlen, aus der ein vollstiindiges Farbeuspectrum erzeugt wird, aber
nur der am stärksten gebeugte rote Strahl unverdeckt bleibt Be-
dingung der Farbeuerscheiuung ist, dass sich homogene Staub- oder
Nebelscbicbtcn in gleicher Höhe bilden, was sich wieder daraus er-
klärt, dass sich die grösseren Körpereben schneller senken als die
kleinern. Es werden nun 3 Phasen oder auf einander folgende Act«
der Dämmerung unterschieden und beschrieben; dann wird im An>
schluss daran Erklärung mit Abbildung gegeben, die indes viel an
Klarheit vermissen lässt. Der Verfasser eilt von einem Gegenstande
zum andern, ohne gehörige Auskunft gegeben zu haben. Der Strahl
wird nur bis zum Object verfolgt, aber nicht bis zum Auge. Durch
welche Reflexionen er dahin gelangen soll, mag sich Jeder selbst
denken. Der rote Strahl bleibt freilich bei jeder Reflexion rot; aber
Begrenzung und Deckung der verschiedenfarbigen Felder ändern sich
im allgemeinen. Die Erklärung ist demnach mindestens sehr besse-
rungs- und ergänzungsbedttrftig. H.
Kalender-TabcllßD. ZuBommcngestellt vod Dr. Felix Uüller,
Oberlehrer am KOnigl. Luisengyiiinasium zu Berlin, Berlin 1685.
Georg Reimer.
Drei Tabellen, deren jede auf 2 OctavBciten neben einander,
also anf einer zuglcicli ^u Übersehenden Fläche steht, entbluten direct.
ohne Ucchuung abzulesen, folgande Dilta,: die erste den Wochentag
für einen beliebigen Mouatstag eines beliebigen Jahres von 1 bis 200()
p. Chr.; die zweite den Monatstag von Ostern, Himmelfahrt nnil
Pfingsten für jedes Jahr von 600 bis IüS9 nach jniianiscbem, von
1583 bis l'Mif nach gregorianiachem Kalender; die dritte für die-
selben Jahre zuerst die Epakte, d. h. diejenige Zahl, welche das Alter
des Mondes am Schlüsse des Jahres in Tagon ausdruckt, oder die
Anzahl der dem letzten Neumonde eines Jahres noch folgenden
Jahrestage, dauu fttr jede Epakte diejenigen Tage , an welchem an-
nähernd Neumond stattfindet, möglicherweise um 1 Tag vom wirk-
lichen abweichend. Voraus geht Erklärung und Gebrauchsanweisung.
H.
4
Astronomischer Kalender für 1885, Nach dem Muster dea
Karl von Littru w'schen Kalenders herausgegeben von der k. k. j
Sternwarte. Nene Folge, Vierter Jahrgang. Wien, Carl Gerold'a
Sohn, 147 S.
Die 3 ersten Jabrgäu);e sind im 271,, 276. und 1. litt. Bericht,
bzhw. S. 3i), 46 und 53 besprochen. Die Beilagen des vierten ent- |
halten einen Artikol über das Fernrohr und die regelmässigen Fort- |
fühmngen der frilberu .irlikel. H.
Gruiidriss der physikalischen Geographie, Für höhere Unter- 1
richten stalten bearbeitet von C. 8. Cornelius. Sechste, verbesserte '
Aoflago. Mit eingedruckten Holzschnittea. Halle a. S, 1886. II. W. j
Schmidt. 257 S.
Das Ducti behandelt in 12 Capiteln folgende Gegenstände: Be-
schaffenheit der Erde im allgemeinen, Gestaltnng des Festlandes,
das Wasser, die Wärme, Winde, Feuchtigkeit, Luftdruck, Magnetis-
mus der Erde, Elektricitdt der Atmosphäre, optische Erscheinungen,
Veränderungen der Erde , Boschaffeuhelt der Erdrinde , Geschichts
der Erdbilduug — und gibt dadurch eine gute Uebersiuht Über die J
Fragen, deren Erforschung der physikalischen Geographie zunächst ]
obliegt H.
Die gcLiieiuscbaftliche Ursache der olectrlschen Meteore und des ^
Hagels erklärt von Dr. E. Suchsland, Oberlehrer an der lateini-
26 LUUrarittAer BeridU XIV.
sehen Haoptschalc der Francke'schen StiftODgeo za Halle a. S.
Halle a. S. 1886. H. W. Schmidt 59 &
Es werden znerst die bisherigen Erklämngsversnche geschichtlich
zasammengestellt, dann folgt eine Kritik der einzelnen Omppen,
dann als Vorbereitnng zur Entwickelnng der eigenen Ansicht des
Verfassers der Nachweis, dass die Gase mit den Metallen, also anch
nnter sich, in eine elektrische Spannnngsreihe eintreten. Non er-
klärt der Verfasser die Regenwolke für eine Reihe sich einander
einhallender voltaischer Lnftelemente mit Einlage von Wassertropfen,
deren elektrische Spannungen sich einander heben, aber auch unter
Umständen anfsummen können, im letztem Falle die Wolke zur
Gewitterwolke machen. Ist die Spannung sehr gross, so hat sie
thermische Wirkung, welche die Hagelbildung erklärt Er wendet
dann die Theorie zur Erklärung bisher nicht erklärter Erscheinungen
an. H.
Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben von der deutschen
meteorologischen Gesellschaft. Redigirt von Dr. W. Koppen,
Hamburg, Seewarte. Zweiter Jahrgang 1885. Berlin, A. Asher u. Co.
Der 1. Jahrgang ist im 4. litt Bericht S. 53 besprochen.
H.
irMhfr Btrlchl XV.
Litterarischer Bericht
XV.
Methode und Principien.
Aiildtuiig zum mattiPinatiseliPti Unterricht an hflLcron Schulen. %
Iloransgcßii-bnii von Dr. Fr. Rnidl, Professor am GymnaRiam zn
Hamm. Berlin 188G. G. Grote. a52 S.
Es ist das llauptverdicost dieser Arbeit, die grosse Anzahl didak-
tisclier Fragen, welche der tnatbematischo Unterricht darbietet, ent-
faltet und mit grosser Umsiebt und Vielseitigkeit ohjectiv behandelt
zu haben. Der Verfasser hat es fUr nötig befunden das Untemehmen
in der Eiulcitung zu rechtfertigen. lu der Tat steht diesem derselbe
Widerwille entgegen, dem alles unbefugte Hatgeben zu begegnen
pflegt. Doch war es wol uicbt der richtige Stutzpunkt der Moti-
viruug, den jUugcrn Lchreru zu diesem Zwecke erst didaktische M&ngcl
vorzuwerfen. Der Widerwille ist sehr natürlich, weil meistens die
Ratgeber verlangen, dass mau mit ihren Augen sehen soll, anstatt
sieb iü bemllhen eine dauernde Leistung iu Klarleguug der Sache zu
schaffen. Viel treffender iüt der nur kurz berührte Punkt, dass es
selbst deu tUbigen Lehrern nur iiUlzlich seiu kann , sich der GrQudü
ihrer Erfolge bewusst zu werden. Deuu je leichter jeuiaud Erfolg
findet, desto woniger bringt seiuu Tätigkeit jenes Bewusstsoin zuwege,
desto weniger competeut wird er im Urteil, und desto Iciclitfir verfiHilt
er in deu Irrtum unwesentliche Accidentien, die ihm gerade eigen
sind, für massgebend zu halten. Dos vorliegende Buch lässt das
Strebeu erkennen, in dem giosseu cnipirischeu Material die objectiven
Haltpuukte zu gcwiuuen, und ein solches wird gewiss bei vielen
Lehrern Interesse finden, gleichviel ob sie davon directe Anwendung
machen wollen. Laut der Einleitung wird der Fortschritt vom Be-
sondern zum Allgomeiueu gewählt. Dies ist jedoch ein Vorsalz, dem
Kbon der Titel des 1. Teils uud des 1. Paragraphen widerspricht.
, i. Matk. u. Fbf>. i. Kaihg. Teil IV. U*n 3.
28 Litteranscher BeriAt XV.
Die Regel ist richtig, wo die Erkenntniss ganz von vorn anfängt, nnd
in der Rechtfertigung denkt wirklich der Verfasser nur an diesen
Fall; hier, wo er zu intelligenten Fachgenossen spricht, hätte er die
Entscheidung in jedem Punkte dem Bedürfhisse vorbehalten mflssen.
Es ist unstreitig ein Ausgehen vom Allgemeinen, dass als erste For-
derung aufgestellt wird, sich den Zweck des Unterrichts klar zu
machen. Dieser wird für Gymnasium und Realschule in unbeschränk-
ter Idealität aufrecht erhalten: es sollen, ohne Rücksicht auf künfti-
gen Beruf, Fähigkeiten entwickelt werden; alles positive Wissen,
dessen Erwerbung auf der Schule gefordert wird, soll nur als Mittel
dazu dienen, und mag später in Vergessenheit kommen. Dieser
Grund ist anzugeben, wenn jemand fragt, warum der künftige Theologe
Jurist u. s. w. Mathematik lernen muss. Wenn gleich nachher der
Verfasser seinen Satz wieder beschränkt: der Beruf habe doch £in-
fluss, da nfbnches dazu erforderliche Wissen nur in früher Jugend
erworben werden könne — so ist zu erinnern, dass das so bezeich-
nete Wissen keine Ausnahme bildet, weil es in der fundamentalen
Geistesentwickeluug mit begriifen ist Mit Recht wird aber bei dieser
Gelegenheit betont, dass in der Amtstätigkeit viele Fälle vorkommen,
wo ein richtiges Urteil über fremde Wissenszweige von grosser
Wichtigkeit ist. Das nächste Thema ist der sprachliche Ausdruck.
Die Mathematik fördert dessen Präcision, während die Gewandtheit
durch andre Fächer gegeben werden muss ; sie duldet kein Phrasen-
tum ; bei jedem Worte muss ein Begriff sein ; der Schüler ist hier in
der Lage seine eignen Gedanken auszudrücken. Von der formalen
Verstandesbilduug als Frucht der Mathematik sagt der Verfasser, sie
werde oft zu eng aufgefasst. Diese Aeusserung verrät aber, dass
dieselbe überhaupt noch ein vager Begriff ist. Hier wäre es an der
Stelle gewesen der eben vorhergegangenen Verurteilung des Phrasen-
tums zu gedenken und dem Bogriffe einmal die präcise Fassung zu
geben. Der Verfasser erwähnt zwei Fähigkeiten, die in der formalen
Verstandesbildung enthalten sein sollen: das Vermögen zu schliessen
und verschiedene Wege zum Ziele zu wählen. In Bezug auf das
erstere sei die A\ irksamkcit des mathematischen Unterrichts über-
einstimmend anerkannt. Daher scheint es ihm nicht nötig, diese
Seite weiter zu beleuchten. Doch nimmt er dabei ungeprüft den
vulgären Irrtum auf, als wenn die Form der Schlüsse die wunder-
bare Kraft hätte zu überzeugen. Hätte er die Rolle dieser Form
untersucht, so würde sich ergeben haben, dass sie nichts ist als
zweckmässige Ordnung der Gedanken, und hieraus das allgemeinere
und besser zutreffende Resultat von grösserer Tragweite : Der Schü-
ler lernt durch die Mathemalik Gedanken tixiren und ordnen mit
dem Erfolge durch Orieutirung zu überzeugen — ein Erfolg der in
mathematischen Dingen gewiss und sichtlich ist, aber in vielen an-
Litlerariicher Btrieht XV,
deren nicht tchlt In BetreJf des zweiten Vermögens betont der 1
Verfasser wol mit Unrecht die Verschitjdcnheit der Methoden.
Es wird wol mit gutem Grunde moisteaB fUr misalich gehalten, mehr
als eine Methode für einen Satz zu zeigen. Jode verliert dann, eben
weil sie nicht notwendig ist, au Wert und Beachtung. Der wichtigste
Pnnkt ist ohne Zweifel vielmehr, dass der Schüler durch Beweis und
Aufgabe setner Rede ein Ziel zu setzen gewöhnt wird, im Gegensatz
zu dem zwecklosen Herumsprechen. Sehr deutlich tritt der Vorzug
der Mathematik in dieser Hinsicht hervor bei der Auflösung der
Gleichungen, Ausserdem wird dio Anschauung (Raumsinn und Uebung
de« Auges) und das Gedächtniss nach ihrer Mitwirkung besprochen.
Nachdem Zweck und Aufgabe des Unterrichts erörtert sind, handelt
es sich um die Mittel. Unter „Methode" wird hier ebensowol die Lehr-
weise als auch der Lebrgaug verstauden. Die Methoden werden
parweise als Uci;cuaittzo hingostullt, wiuwol ein ausschliesaender
Gegeusatz aus der Darstellung nicht hLTvorgeht. So stellt der Ver-
fasser als Lehrweiscu die „docireude" und die „heuristische" gegeo-
fiber. Trotzdem er vou letzterer behauptet, der Sinn sei aus dem
Worte klar, au können wir von beideu Benennungen nur das Gegen-
teil aussagen: crstore bezeichnet überhaupt nichts unterscheidendes,
letztere etwas andres als laut der Ausführung gcmoint ist. Docircn
bedeulvt hier abhaudulu, ohne Controle deü VerstJlndnissus , mit der
blossen Fordcraug das Vorgetragene im Gedächtniss zu behalten.
Worum Coutrole und Nachhülfe des Verstand ui^scs fehlen mnss, ist
nicht dargetao, mitbin in die Charakteristik ein accidenteller Mangel
eingemischt. Die Vorführung des „heuristischen" Verfahrens gibt
eiue grosse Anzahl mann ich faltiger Fragen, dio dcu Schüler zu eigner
Beobachtung nötigen. Auf Uinluitung zur Kntdcckuug duea für die
Docthn weseutlichcu Salzes ist es hier nicht abgesehen. Wären aber
auch dio Frageu darauf berechnet, so würde der Schüler wenigstens
keinen bewussteu Anteil an der Aufüiidung haben; daher passt auch
das Attribut „heuristisch^' nicht. Wollte man den Schüler zam Mit*
wisser dos Flaues der AufHnduug mauheu, so müsste die Methode
ganz in dio analytische übergehen, von der nachher die Rede ist
Im Lebrgaug werdeu synthetische und analytische Methode nnter-
scbicden, im gewöhnlichen Sinuc. Die Vorzüge der letztem sind die
bekannteu: sie lehrt rational, stets den bewussten Zweck im Auge.
In einem Punkte aber weicht der Verfasser doch sehr stark vom
Gewöhnlichen ab, Es hat doch stets als unbestritteuer Satz gogolton:
die Schul mathematik muss synthetisch sein; auf synthetischem Wege
allein kann diejenige Reife der Gcisteseut Wickelung erreicht wordes^J
welche den Studircuduu der Mathematik für das analytische Betreibe
befähigt. War der Verfasser andrer Ansicht, so durfte er doc
die Gesichtspunkte, die so augenfällig zu jener Ueberzeugnng führe
3»
so Lüterttriseher ßeridä XV,
nicht ignoriren. Er überspringt die weite Klnft zwischen den Stand-
punkten nnd setzt stillschweigend voraus, der Schüler wäre sofort
ein Meister, sobald er die Werkstatt eines Meisters gesehen hätte.
In Wirklichkeit empfindet der Schüler die Mitteilung des Warum nur
als Vermehrung seiner Last, die ihm die synthetische Behandlung
durch Kürze und durchschauliche Vorführung viel leichter macht,
während der merkliche Gewinn mindestens ebenso gross ist Zu dem
Gesagten gab zunächst das durchgeführte Beispiel eines analytischen
(im eigentlichen Sinne heuristischen) Beweises Anlass. Es gilt das
gleiche, d. h. das analytische Verfahren wird sich ans dem genannten
Grunde als unzweckmässig erweisen, überall wo der Plan einer be-
sondern Erklärung bedarf. Nun gibt es aber auch Lehrgegenstände,
die ihrer Katur nach den Plan an die Hand geben, vor allen die
Gleichungen (1. Grades mit 1 oder mehr Unbekannten ohne Deter-
minanten und 2. Grades), wo Zweck nnd Mittel in einfachster Weise
vorliegen. Hier tut der Schüler bei eigner Uebung keinen Schritt
ohne zu wissen, wozu. Was die Analysis der Constructionsanfgaben
betrifft, so handelt es sich hier um eine Hülfe bei der Ueberlegong
im Suchen nach der Lösung, nicht um eine Methode des Unterrichts.
Die sogenannte analytische Geometrie für die obem Glassen pflegt
nichts als synthetisch betriebene Coordiuatenlehre zu sein. Im Lehr-
gang stellt der Verfasser ferner „euklidische^^ und „genetische^' Me-
thode in Gegensatz. Da er aber die ganze Forderung der erstem
ausdrücklich auch an die letztere stellt, nämlich die streng logische
Bündigkeit, so ist der Gegensatz hinfällig; denn es kann doch kein
Princip der „euklidischen" Methode sein, ohne systematische Ord-
nung und GruppiruDg — welche die „gcuctische" Methode auszeich-
nen soll — zu Werke zu gehen, üeberdies ist die Benennung
„genetisch" zu verwerfen, welche auerkauntermassen einen andern
Sinn hat, nämlich den, auch vom Verfasser nebenbei zugelassenen,
dass die Bewegung der Gebilde in die Betrachtung gezogen wird.
Es folgen nun besondere methodische Regeln mit Bezug auf logische
Verstandesbilduug, sprachlichen Ausdruck, Raumsinn. Beim ersten
der 3 Themata wird die Unterschiebung der Anschauung für Beweis,
dann der dialektische Betrug und dessen Verteidigung gerügt. Zu
letzterer Rüge hätten die zablrcicbcu Lehrbücher aus neuster Zeit
reichlichen Grund dargeboten; doch geschieht dessen keine Erwäh-
nung, dass es nur wenige sind, die sich logische Ehrlichkeit zum
Gesetze machen, und, was das Verfahren erst recht als Taschen-
spielerei charakterisirt, dass vor dem Betrüge durch mangelhafte Er-
klärung ein Dunkel über den Begriffen erhalten zu werden pflegt,
welches die Täuschung begünstigt. In Betreff des sprachlichen Aus-
drucks werden eine Reihe incorrcct gefasster Stellen aus Lehrbüchern
aufgeführt und kritisirt. Wir sind sehr entfernt der Kritik Pedanterie
LilUrarUcher Bfricki XV,
31
vorzuwerfen, weuii wir aach maoihem Tadel tropischer Ausdrncks-
woiso von Sciteu aailrcr Autorou niuht beitreten, mücbten aber in
gleicher Form auch dem Verfasaor seine l'\-ldur vorhalten, Er wendet
sehr hftufig den Ausdruck .,raÖBlidi8te" {z. B. Kür^u) an. Ist etwa
uino Kürze mOglicfaci' als ilie andre? und wenn es bedeuteu soll
leichter möglich, ist die grilssere Leistung an Kürze etwa Joicbter
als <tio geringere? Nach seinen strengen GruuiaäLccn durfte doch
der Verfasser an einer so ganz uulü[;iR':)icu vulgären Itodeweiso sich
nicht beteiligen. Was Über liildnng de« UaumBinna gesagt ist, be-
scbriLnkt sich auf das F'igurenzdchneu au der Tafel als ciu/.ign Ge-
lügcuheit dazu. Ueber deu Umfang und Begrenzung des LuhrBtüffs
lOsst der Verfasser verschiedene Stimmen reden. Es bändelt sich
hier am Aufnahme der sphiiriseben rrigouomotrie, der Kugelschuitte,
der Differentialrechnung und der DeterniiMaiiti.'D in den Schulcuraus.
Zunächst ist xu erwQlnii'u, duss einige von eiQ''r Kluft zwischen der
Schul- und Universitütrdoctrin t(esproehou liaben, di:i sich iufolgo
der Fortschritte der Wissenschaft erweilire, wenn diu Schule nicht
auch ihrerseits ihr Pensum ausdcliuc. Der Vcifasser weist solche
Zumutungen, die sich uir^unds auf tdare Darlegung stützen, zurUck:
die 8:hule hat nichts mit der Erweiterung der Wissenschaft zn tun;
die Eundamontatbildnng fordert stets dasselbe. In der Tat ist gar
uicht zu ersehen, wie ciue Kluft entstehen kann, wenn die Uocenteu
uicht ohne allen Grund ihre Voraussetzungen erhüben. Im Uebrigeu
hätte man wol vom Verlasser gegendbcr den diveri^irenden Meinun-
gen eutacbeidcude GrundsUtzo erwarten dürfen. Es ist gar nicht in
Betracht gezogen, dasa für die mathematische Uoctriu eine so deut-
liche Scheidung von Natur gegeben vorliegt; dio vorbildende Ductriu
ist synthetisch speciell, die frei wissenschaftliche analytisch und da-
iiebeu synthetisch, in beiden Gestallen unter ganz neuer allgemeiner
Auffassung. Ucr Schritt von der einen zur andern muss mit Bewnsat-
sein getan werden; wer Mathematik lernen will, darf nicht Knecht
seiner Gewohnheit sein, sondern musa seinem Verstände vertrauen.
Ueber die 4 genannten Fäeher entscheidet der unbestrittene päda-
gogische Grundsatz: was angefaogen wird, muss auch imselhon Cursus
zu Verstäuduiss, Vertrautheit und Uebuug gelangen. Diese Bedingung
erfüllen ohne Zweifel die 2 erstgenannten (die Kegelschnitte natürlich
aynthetiBcb betrieben). Es fragt sich nur, ob Zeit dazu ist. Zeit
dafür zu verlangen ist bei den Kegelschnitten wol gar kein Gruud;
hei der sphärischen Trigonometrie spricht manchea dafür. Die
Differential rech nung auf der Schule anzufangen, würde geradezu
zweckwidrig sein. Sie bietet den Eingang zur Anatysis und kann
ohne diese uicht in ihrem Wesen begriffen werden. Dagegcu gibt
es eine elementare Inhnitusiualthcorie, die sich für dio Mitlclclasson
nicht nar sehr wol eignet, sondern uicht einmal eiuo Vermehrung
32 Litieranscker Berkkt XV.
des Stoffes bilden würde, lodern sie eine didaktische Teriegenheit in
Betreff der incommensnrabeln Verhältnisse, der Kreisrechnnng nnd
aberhanpt Inhaltsrechnnng mit einem Schlage beseitigt und der tuI-
gären Unklarheit Aber den Infinitesinalbegiiff ein Ende macht. Auch
von der Determinantentheorie gibt es einen Kreis von Sätzen, der,
wenn einmal in Prima die Combinationslehre aufgenommen ist, in
Yerbindang damit znm reifen Abschluss gebracht werden kann. Zeit
dafQr zn fordern ist natürlich kein Grund. Es folgt nun noch ein
Gapitel: Der Lehrplan und seine Hülfsmittel — dann der 2. Teil
des Buchs, welcher die mathematischen Disciplinen einzeln behandelt
Hierauf können wir nicht wol eingehen, da für einheitliche Zusammen-
fassung kein Haltpunkt dargeboten ist Hoppe.
Die Elemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Functionen-
theorie. Von Dr. Max Simon, Oberlehrer am Lycäum zu Strass«
bürg i. E. Strassburg 1884. R Schultz u. Comp. 77 S.
Der Verfasser äussert im Vorwort: wenn die Lehrbücher der
Schul-Arithmetik es an deijenigen Gründlichkeit fehlen lassen, welche
zum Studium der Mathematik erforderlich sei, so habe man nicht in
erster Linie diesen Mangel zu rügen, sondern vielmehr die Schuld
davon dem Umstände zuzuschreiben, dass der mathematische Schul-
unterricht kein festes Ziel habe. Er wolle jetzt als dieses Ziel die
Functionentheorie betrachten. Unter diesem Gesichtspunkt soll nun
hier die Schul-Arithmeük behandelt werden. Offenbar ist hiermit
eine Kluft zwischen Schule und Universität nicht bloss statuirt, son-
dern erst geschaffen. Das Ziel der Schule ist nicht Functionentheorie,
sondern Entwickelung von Fähigkeiten, die auch denen, welche nicht
Mathematik stndiren, zu gute kommen soll. Mit diesem Ziele im
Auge versäumt die Schule nichts, was zur Grundlegung der höhern
Theorie notwendig ist. Zurücksetzung der Gründlichkeit und logischen
Strenge zugunsten der Leichtfasslichkeit beruht anf einem Irrtum.
Es ist gerade das Kriterium der beiden erstem, dass sie zur Einfach-
heit führen, und durch ihre Vernachlässigung wird es den Schülern
leicht gemacht — nicht, zu lernen, sondern ohne zu lernen zur Ein-
bildung des Wissens zu gelangen. Ist die Schulbildung, wie sie nach
eigenem Zwecke sein soll, vorausgegangen, so hängt es nur von den
Docenten ab im vollen Anschluss auf sie zu bauen; eine Kluft würde
nur eine selbstgemachte sein. Was aber auch für Mängel sich noch
in der Vorbildung finden, so ist es doch weit leichter das Versäumte
später nachzuholen als diejenige Unklarheit wieder zu heben, welche
die hier dargebotene Vorbereitung auf die Functionentheorie mit sich
bringt Charakteristisch im ganzen ist, dass das Bekannte und Leichte
mit unnötig vielen Worten nnd mehrfacher Wiederholung vorgetragen,
Litlerariicher Derkht XV. 33
die mehr Äufiiierksomküit erforilcnidBii logiathi'ii Fragen liiiigegen,
sowie allcB Scliwiorige, nar kurz berührt werden. BcweiBO jjibt der
Verfasser selten und dann unvollstiladiBi mi!ist beruft er sich auf
andre Antoren. Dii' GreiiKen Jit Sehnlaritlimctik werden in den
üeberschriften nur durch die Basis der nitürliclion Logarithmen and
im Vortrag dorcti Znnichuiig unendlicbnr Ri-ihen üb orscb ritten. Za
den aagenfiilligsU'n Fehlern und Unklarheiten gehören die folgenden,
Die Erklärung der Irratimiiil^abl fangt richfig an, schlieast aber mit
Confnndirang von Grenzwert und Variabehi. Der Verfasser hält sich für
berechtigt auf Grand einer Definition der Gloicheit das Ungleicbo gleich
2a nennen. Er behauptet die complexe Zahl lasse sich auf einer
Geraden abbilden, sagt aber nicht, wie; von der Abbildung auf der
Ebene ist nicht ilio Rede. Die Gleichungen sollen den Begriff der
Function liefern; was nber und wovon es Function ist, bleibt ver-
schwiegen. Der binomische LehrsalK wird von ganzen auf beliebige
Exponentou ausgedehnt, nach Convergenx und GoltiF^koitsgrenze der
m dem Behufe gebildeten Reihe aber nicht gefragt. Der Beweis
wird angeblich durch den Schluas von n auf n + l geführt; es wird
aber vergessen, die liichtigkuit fUr einen möglichen Aufang darzutnn,
da man Ja durch Addition von Einheiten aus ganzen Zahlen nieht
zu Brachen gelangt. Die kindliche Darstellungaweise, welche, abge>
sehen vuu einigen dann und wann eingemischten gelehrteu Brocken,
du Niveau der Schultironen nie vcriäsat, Jässt vermuten, dass der
Verfaasor. fern von aller Spcculation , alles nicht besser und nicht
schluchter gegeben hat, als er es selbst verstand. Nur wollen wir
wUnschcu, dass uieb eine so mangelhafte Ausbildung nicht weiter
Ubertrftgt, und raten daher Jedem vom Gebrauche des Buches ab.
Hoppe.
Ueber die Psyehophysik. Physikalische und crkenutnissthoore-
lische Betrachtungen. Von Dr. Adolf Elsas, rrivatducenten der
Physik a. d, Univ. Marburg. Marburg 1886. N. G. Elwert. 76 S.
Der Verfasser bestreitet die Richtigkeit der Herleitung, durch
welche Fechner vom Weber'sehen Gosetne aus zu seiner Grundformel
gelangt. Nach erstorem ist die natcre Grenze des Reizunterschiedes,
bei welcher er empfunden wird, dem Reize proporüoual. Fechner
fragt weiter, wie gross die Empfindung ausserhalb dieser Grenze ist,
nud misst sie schliesslich durch den Logarithmus des Quotienten des
actuellen Reizes und seines Minimums, bei welchem Empfindung
Btattündol. Es liegt auf der Hand, dass dies kein Resultat eines
Schlusses sein kann; die B'ormel steht mit der Weber'sehen in kei-
nem Zusammenhang, als dass diese den Nullpunkt der Empfindung
bestimml, und zwar spricht Fechner gleich anfänglich von andern
34 LüieraruiAer Btrkkt XV.
Dingen als Wober. Es handelte sich hier nm eine Definition der
fimpfindnngsgrösse, deren Wahl ihm g&nzlich freistand. Ebenso will-
kOrlich stellt der Verfasser eine andre gegenfiber; die Abweichnng
beider zu zeigen war ein annötiges Bemühen. An seinem Znwerito-
gehen sind folgende Ansstellnngen zu machen. Im voraus sei be-
merkt, dass von den 2 Ungleichnngen Ende Seite 3 die zweite falsch
ist, indem sie mit der ersten gleichbedentend ist, statt das Gegenteil
davon aaszudrflcken. Femer ist nirgends in Betracht gezogen, daaa
Weber's nnd Fechner's Formeln das Minimum einzeln -empfindbarer
Reize zur Gültigkeitsgrenze haben. In Anwendung auf kleinere Reize
würde die erstere eine Empfindung des Unterschiedes statniren, wo
die Reize selbst nicht empfunden werden, die letztere eine negative
Empfindung ergeben. Hätte der Verfasser dies beachtet, so würde
er seine Bemerkung über unbewusste Empfindungen nicht gemacht
haben. Ferner ist es dessen beständige Voraussetzung, dass Fechner
sein Mass der Empfindung als Folge der Weber'schen Formel er-
scheinen lassen wollte, aber keine Aensserung desselben angeführt,
aus der zu ersehen wäre, dass Fechner das zußülig an derselben
Stelle mit dem Weber'schen R-^Rx stehende dR mit diesem ver-
wechselt, beides als gleichbedeutend betrachtet hätte (woraus dann
der auf S. 17. bezeichnete Widerspruch zwischen Gl. (8) und der
missverstandenen 61. (4)). Um diesen Punkt dreht sich das ganze
übrige unerquickliche Räsonnement Endlich fehlt dem Ganzen die
Pointe, solange von keiner Anwendung der willkürlichen Formel die
Rede ist Die Formel definirt die Empfindung durch physische Ele-
mente; ihr zufolge hat mau unter Empfindung noch keinen psychischen
Gegenstand, sondern eine Function von Reizen zu verstehen; folglich
tritt Fechner mit ihr noch gar nicht in das psychophysische Unter-
suchungsgebiet ein; isolirt, wie sie hier allein vorkommt, ist sie be-
deutungslos. Beim Uobergang zum zweiten Thema, erkenutniss-
theoretische Betrachtun<^en, spricht der Verfasser unerwartet die
Meinung aus, seine Kritik sei zu Ungunsten der Fcchner*schen For-
mel ausgefallen, wovon der Leser nichts gemerkt hat, sowenig als
von ersterm überhaupt etwas gegen dieselbe beigebracht worden ist
Dieser zweite Teil behandelt die Frage: Ist die Empfindung eine
Grösse? Selbständiges Urteil scheint sich der Verfasser nicht zuzu-
trauen; er lässt sich überall durch fremde Acusserungen leiten, ohne
aus denselben eine entschiedene Ansicht über die Bedingungen einer
Grösse zu gewinnen. Unter der Menge des Angeführten kommt,
freilich gar nicht als notwendiger Anfang hervorgehoben, in der Tat
auch mehrmals die Hauptbedindung einer Grösse, die Fixirung der
Gleichheit, vor. Soll die Empfindung Grösse sein, so muss man
wissen, wann zwei Seelen und wann eine Seele in getrennten Zeiten
gleich stark empfinden. Dies würde noch immer nicht die Möglichkeit
Literarischer Berickl XV. 35 "
einer AdditiQü, milhiii aui^li iiivht cinur MoBeiiiig ergeben. Ob aber
Fcchuor EtQcb nur jctic Gruudbcdiiiguug 7d ermilcn gesucht habe,
darüber sagt der Vürraaser kein Wort. Seiner scblicsAlichtD ab-
sprecboudcn Verurteilung aller Psycbuphysik fehlt alle Begründung.
Hoppe.
Optische Häresien. Von Robert Schcllwion. Halle a. S.
1886. C. E. M. Pfeffer. 98 S.
lu dieser Schrift unterliegen zwei veraehiudeno Beatandteilo der
Beurteilung, ein philosophischer und ein physikalischer. Der Anfang
lltsst erwarten, dnss der Verfasser sich vom Kant'schcD DualismuB
von Denken nnd S"in frei gemacht habe. Aber indem er beides in
dos Snbject verlegt, trägt er aucli die unvermittelte Zweiheit in das
Subject über. Dass mit Beginn des BewuastseJns das Subject sein
Erzeugniss als Übject aus sich herausstellt, dass also der Gegensatz
Bedingung des Bowusstseins ist, wird lichlig bemerkt, anch mag dem
Verfasser gestattet sein , nicht jensoit der Grenxe des Bewnsstsoins
mit seiner Betrachtung zurückzugehen; nur folgt aus dieser Bescbrän-
kung nicht, dass Objectivität und Subjcutivität, ja uicht einmal, dass
Objeut nnd Subject einen uriin länglichen, unerkl Urbaren Gegensatz
bilde — jeder Teil der Enh; z. iJ. ist Objcct der Erdanziehung nnd
doch der ganzen homogen, ebenso kann auch die Emptindang als
horoogeuer Teil des Ich dessen Objcct sein. Ist nun aber auch die
Bildung von Objecteu angenoiuineu, so folgt weiter noch uicht dsraas
die vom Verfasser plötzlich nutergesch ebene und als „wahres Object"
bezeichnete Objectivität. Kann der Verfasser nicht angeben , womit
denn das erzeugte Objei-t llbcrcinstimmen soll um wahr zu sein, bq
bat anch jene Bezeichnung, mit der er sich um das „Ding an sich"
hemmredeu will, keinen Sinn. Die ciupirischen iiediugungeu der
Objectivität, die sich freilich uieht ableugnen Hessen, werden nun
ohne Motivirung nachgeholt, doch fehlt darin alles Haltbare, was Be-
deutung bat. Diu Geltung für alle Zeiten und olle Menschen ist gar
nicht erwähnt, dagegen werden zwei ganz illusorische Bestimmungen
fOr die Objectivität aufgestellt, denen zufolge das Unvermögen des
Menschen anders zu sehen für das ohjectivo Sein des Gesehenen
Gewähr leisten soll, Diu uugcnUgeude Autfussaug des Begriffs der
Objectivität hängt ohne Zweifel mit dem Titel der Schrift und der
Art des Auftretens des Verfassers zusammen. Kr nennt die Salze
der tbeoruiiseben Optik Dogmen und iu Bezug auf dieselben seine
Aofslellnngeii Ketzereien; weil nach seiueu BegiifTen das einzelne
Subject im einzelnen Falle diu Gewährleistung für die Objectivität
findet, ohne dass ein wisse nsuhaftliches System zu eiistiren braacht,
so erklärt es sich, dass er iu allen Lehren der Optik blosse Glav
36 [Murarischer Berieki X F.
Sätze sieht. Der physikalische Teil der Schrift handelt zaerst von
»^Polarisation des Körperlichts^^ dann von Gontrast und Polarisation,
dann von Gresichtswahmehmnngen und Nachhildern. Die Ober das
erste Thema angestellten Betrachtangen gehen von der Annahme
ans , dass jeder beleuchtete Körper ausser den reflectirten Strahlen
auch ein nach allen Richtungen gleiches Licht, das Körperlicht, aas-
schickt, an das zweite knflpfeu sich 11 Versuche mit Angabe der
Erscheinung, aber ohne Angabe, was dieselbe zeigen soll. Aach die
Behandlung des dritten Gegenstandes bietet nichts dar, was die Auf-
merksamkeit auf sich lenken könnte. Hoppe.
Vermischte Schriften.
Acta Mathematica. Zeitschrift herausgegeben von G. Mittag-
Leffler. 7. Stockholm 1886. F. u. G. Boyer. Beriin, Mayer a.
Malier. Paris, A. Hermann.
Der 7. Band enth< folgende Abhandlungen.
H. Poincar^: Ueber ein Theorem von M. Fuchs. — Ueberdas
Gleichgewicht einer rotirenden flüssigen Masse.
£. Phragm6n: Ueber ein Theorem betreffend die elliptischen
Functionen. — Ueber die Begrenzungen von Cöntinua.
H. Krey: Ueber Systeme von Plancurven.
R. Lipschitz: Arithmetische Herleitung einer Relation von
Jacobi.
£. Netto: Zur Theorie der Elimination.
G. Cantor: Ueber verschiedene Theoreme aus der Theorie der
Punktmengen in einem nfach ausgedehnten stetigen Räume. 2. Mit-
teilung.
H. Gyld6n: Die intermediäre Bahn des Mondes.
G. Runge: Ueber die auflösbaren Gleichungen von der Form
«* + tia; + v — 0. — Ueber die Darstellung willkürlicher Functionen.
/* sin ctx dx
-j-T- rx~ä "^^ verwandte Integrale.
0
M. Falk: Beweis eines Satzes aus der Theorie der elliptischen
Integrale.
H. Minkowski: Untersuchungen über quadratische Formen.
1. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebe-
nes Grenus enthält.
S. Pincherle: Note über ein bestimmtes Integral.
LUltrarudier Biricht XV.
Di« Bibliolheca MatLi'Dintka eiitbält ausBur der Bibliographie I
Notizen von S. Günther (Krtiuüuug des „Baculus geonietricns"),
L. do Marchi (3 Uauusi-r. des Maurolicine}, (i. Eneström (Con-
dorcot: EsBais d'aualysc), Q. Cantor (Nekrolog Ludwig Scheefer)
— und 8 ÄnfgabcD. H
Deel XII. Amsterdam 1886.
Nicuw Arcbicf voor Wiskuude.
J. F. Sikkea.
Der 12. Teil enthält folgende Äbhandlnngeo.
P. H. Schoute; Ueber die Coustruction uuicDrsaler Ctmren "^
durch Funkte nad Tangenten.
F. J. van den Bürg: Ueber ein gewisses Spiel.
P. van Geer: Formeln zur BeBtimmang des Wertes des raensch-
licben Lebens.
J, de Vries: Ueber ebene (Jnrvon der 3. Ordnung.
F. Fl. van Kooten: Der mittelbare Fehler tu Boobachlangen
zur Bestimmung mehr als einer Unbekannten.
L. Janse Bz: Veränderung des rechtwinkligen Coordinaten-
systoms. — Ueber die graphische Auflösung des spbäriaehen Dreiecks
und darauf gegrüudeU^r uautii)i;hcr und astronomischer Aufgaben,
(Forts, v. Dee! XI.)
J. Cardinaal; Das Kegelschnittnetz and ein daraus abgeloitctei
ebenes System.
L. Landrä: Wert einer Leibrente und Kaufanmmo einer Lebeni-
versiuherung. — Ueber das Risico der Auszahlung bei einer Lebens- .
Versicherung.
6. Scheuten: Die endliche Trauspositiou eines festen Körpers.
0. van Aller: Einzelne Bemerkungen in Botreff der Unler-
Buchnug der Couvergeuz oder Divergenz unendlicher fortlaufender j
Bdben. ,
B. P. Moors: Einfaches Mittel um der Wage t>oi jeder Be> <
lastong unmittelbar die grösstc Empfindlichkeit zu geben, deren'sie '
fähig ist.
Verslagen cn Mededeelingeu der Keninklijke Akademie van
Wctenscbappeu. Afdectiug Naluurkundc. Derde Rcoks. Eerste Deel.
Amsterdam 1885. Jobannes Müller
Im J. Teile sind folgendi' mathematisch physikaliidie Arbeiten ,
enthalten.
C. ä. C. Grinwia: Die vollstäudige Virialgleichung.
38 LäUrwriscker Berieki XV.
D. Bierens de Haan: Baastoffo für die Geschichte de^mathe-
maUschen and physikaliscbon Wissenschaften in den Niedorlaudeo.
T. J. Stieltjes: Einige Bemerkungen Aber die Yerftndening
der Dichte im Innern der Erde
H. A. Lorentz: lieber die Anwendung des zweiten Gesetzes
der mechanischen W&rmetheorie auf die thermoeloktrischen Erschei-
nungen.
J. G. Kaptoyn und W.Kap toyn: Die Sinus 4. Ordnung (Bericht).
y. A. Julius: Beitrag zur Theorie der capillaren f^-scheinun-
geu (Bericht). H.
Annuai Report of thc Board of Regeuts of the Smithsouian In-
stitution showiug thü Operations, cxpenditurcs and condition of thc
institution for the ycar 1883. Washington 1885.
Der Anhang berichtet über die Fortschritte mehrerer einzelner
Wissenschaften, unter denen die Mathematik nicht berQcksichtigt ist,
die Physik auf 58, die Astronomie auf 78 Seiten , nebst Litteratur-
verzeichniss. H.
Bulletin of the Philosophical Society of Washington. Vol. YII.
Coutaining the minutes of the socicty and of the Mathematical
Section for the ycar 1885. Publishod by the Cooperation of the
Smithsonian Institution. Washington 1885.
Das Bulletiu der mathematischen Section enthält, k^uz udiT im
Auszug, folgende Arbeiten.
G. L. Raven6: Theorie des Mercur.
M. Baker: Eine Gruppe von Kreisen, die mit dem Fcucrbach-
scbcn Kreise in Beziehung stehen.
Kumme 11: Kann die Anziehung einer endlichen Masse unendlich
gross sein? (Die einer stetig ausgedehnten Masse, welche der Ver-
fasser allein betrachtet, kann es natürlich nicht.) H.
Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft iu Hamburg. No. 6.
Ausgegeben im März 1886. Redigirt von Ahlborn, Wagner und
Bock. 1886.
Mitgeteilt sind folgende Vorträge (Referat) und Abhandlungen.
Bock: üeber Potentialwerte verschiedener Kräfte und Folgerun-
gen daraus.
Kopeke: Ueber Differentiirbarkeit und Anschaulichkeit will-
kürlicher Functionen.
Liittrariischer Bericht XV,
39
Böger: Durch 5 Punkte eine Curve 2. Ordnung zu legen.
H. Schubert: Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare
Bäume beliebiger Dimension.
P. Jaerisch: Ueber das Gleichgewicht einer elastischen Kugel
— eines Kreiscylinders.
W. Bock: Ueber eine neue zahlentheoretische Function.
H.
Mathematische Sophismen. Herausgegeben von JohannViola.
Zweite, vermehrte Auflage. Wien (1866). Carl Gerold's Sohn. 23 S.
Es sind 16 Fälle übereilter Folgerungen aufgestellt, durch welche
in der Tat für eine gute Ucbung in mathematischer Logik Stoff dar-
geboten wird. H.
Mathematische
und physikalische Bibliographie.
XIII.
Gesehlclite der MAthemAtlk and Physik.
Jahrbach üb. d. Fortschritte d. Mathematik. Begründet v. C. Obrt-
manu, hrsg. v. M. Henoch u. E. Lampe. 15. Bd. Jhg. 1883. 3. Hft.
Berlin, G. Reimer. 7 Mk.
Methode und Prineiplen«
Schüler, W. F., d. allgem. Derivation, e. neuer Grundbegriff d.
Funktionenrechnung, hier insb. d. Differentialrechnung. Ansbach,
Brügel <& S. 3 Mk.
Lehrbücher.
Gallenkamp, W., die Elemente d. Mathematik. 5. Afl. 1. Tl.
1. Heft (Arithmetik u. Algebra.) 2. Hft (Planimetrie.) Iserlohn,
B&deker. 2 Mk. 20 Pf.
Sachse, J. J., d. prakt, geistbild. u. erziehl. Uuterr. im Rech-
nen u. in d. Raumlehre. 2. Tl. Didaktik d. Rechenunterrichts.
Osnabrück, Wehberg. 2 Mk. 75 Pf.
Sanimlongen*
Braun, W., Rechenbuch f. d. unteren Klassen V.Mittelschulen.
3. Tl. Augsburg, Rieger. 90 Pf.
Fuss, K., Sammig. d. wichtigsten Sätze aus der Planimetrie ii.
Stereometrie. Nürnberg, Korn'sche B. 75 Pf.
— dasselbe. Für Lehrerbildungsanstalten. Ebd. 75 Pf.
Kleyer, A., vollständ. gelöste Aufgaben-Sammlung a. allen
Theilen d. Rechenkunst etc. 251.— 265. Heft. Stuttgart, Maier.
^ 25 Pf.
lAtttrarUcKer Bericht XV L 40
Litterarischer Bericht
XVI.
Geschichte der Mathematik und Physik.
Die Geschichte des Fenirohrs bis auf die neueste Zeit. Von
Dr. H. Servus. Mit acht in den Text gedruckten Abbildungen.
Berlin 1886. Julius Springer. 135 S.
Die Geschichte des Fernrohrs wird in 2 Zeitabschnitte geteilt,
deren erster mit 1650 schliesst. Sie geht nicht auf die Entdeckung
der optischen Eigenschaft des Glases zurück. Die Lichtbrechung des
Glases, die Combination der Linsen zur Yergrösserung und Yerdeut-
lichnng waren l&ngst vorher bekannt und in industrielle Verwertung
übergegangen, ehe eine Anwendung zum Fernsehen gemacht ward.
Mit dieser Entdeckung beginnt hier die Geschichte und zwar fällt
sie nnbezweifelt in das Jahr 1608. lieber den ersten Erfinder der
Fernrohre haben zwar nicht lange nachher NachArschungcn statt-
gefunden, doch tritt der Entscheidung ein eigentümlicher Umstand
entgegen. Es sind Zeugnisse dafür vorhanden, dass zwei Mechaniker
in Middelburg, Zacharias Jansen und Lippershey, um dieselbe Zeit
Femröhre verfertigt und dem Prinzen Moritz von Nassau solche
tberreicht haben. Dieser erkannte die Wichtigkeit der Erfindung für
militärische Zwecke und legte jedem von beiden Geheimniss auf. Die
Massrogel war unwirksam, weil ihr das Bekanntwerden und die Nach-
ahmung vorausgegangen war und sich bald durch ganz Europa ver-
breitete. Sie hinderte aber die Erfinder ihre Priorit&t zu wahren
und die Nachahmer ihre Quellen anzugeben. Der Verfasser erklärt
Lippershey für den wirklichen Erfinder, führt aber als Grund nur an,
weil dessen Zeugnisse sicherer seien. Dieser Vorzug berührt jedoch
offenbar die Frage gar nicht; denn keins von beiden Documenten
enthält eine Aussage über die Unabhängigkeit der Verfertigung. Da-
gegmi macht eine Privatmitteilung, nach welcher ein Zufall dem
Lippefahey nähere Kunde von Jansen's Arbeit zuführte, es wahr*
Anik i. Mgth. V. Pbyi. 2. Beihe, Teil I Heft 4. 4
41 ZAttmwwAer Berieki XYL
scheinlich, dass letzterem die ErfindoDg zuzuschreiben ist An der
Verbesserung der Femröhre hat zuerst Galilei dnrch selbständige
anhaltende Versuche gearbeitet Kepler pflegte hauptsächlich die
Theorie und stellte eine Dioptrik auf, die indes nicht das richtige
Brechungsgesetz zugrunde legte. Beide machten in ausgedehntem
Masse erfolgreiche astronomische Anwendung. Kepler bemerkte zuerst
die Ungenauigkeit des Vereinigungspunkts der an sphärischer Fläche
gebrochenen Strahlen, deren Beseitigung das Ziel der Bemühungen
in jenem ersten Zeitabschnitte blieb. Die Namen Teleskop und Mi-
kroskop hat zuerst Demiscianus statt der vorher gebräuchlichen
lateinischen und italiäniscbeu aufgebracht Descartes fand das rich-
tige Brechungsgesetz und gab eine Theorie der Fernröhre mit genauem
Brennpunkt, jedoch mit Anwendung elliptischer und hyperbolischer
Linsen. Divini, Toricelli, Campani, Neille, Reine, Cox, Auzout und
Borel verfertigten Objectivlinsen mit immer grösserer Brennweite bis
zu 600 Fuss. Um letztere anzuwenden wurden sie ohne Rohr dem
Ocular gegenüber befestigt Huyghens erfand eine neue Art des
Schleifens der Linsen-, schon vor ihm hatte Gascoigne das Mikro-
meter erfunden, das gleichfalls Huyghens anwandte. Hooke und Fon-
cault schwächten zur Sonuenbcobachtung das Licht durch vielfache
Reflexion an Planspiegeln. Im zweiten Zeitabschnitte entdeckte zuerst
Newton die Farbenstrahlteilung als grösste Ursache der Ungenauigkeit ;
da er jedoch die Abweichung als proportional der Brechung für alle
Körper voraussetzte, so ergab sich die Hebung der Farbenteilung
durch Combiuatiou unmöglich. Zu gleichem Resultate ward Euler
durch seine Theorie infolge falscher Hypothese geführt. Ohne Theorie
gelang es Dolland achromatische Linsen durch Gombination herzu-
stellen. Später verbesserte Euler seine Theorie. Die ferneren Be-
strebungen sind nun auf die Beseitigung der Dispersion gerichtet.
Hierbei geht die Schrift auf die Anwendung der Spiegelteleskope noch
nicht ein und behandelt dieselbe dann besonders im 3. Abschnitte.
H.
Illustrierte Geschichte der Elektricität von den ältesten Zeitem
bis auf unsere Tage. Für weitere Kreise bearbeitet von Dr. Eugen
Netoliczka, Kaisorl. Ratb, Professor der Physik in Graz, Ritter
des k. k. Österreich. Franz Josef-Ordens, etc. Wien 1886. A. Pich-
ler's Witwe u. Sohn. 288 S.
Die Geschichte der Keuntniss und Doctrin der Elektricität teilt
sich, infolge der Eigentümlichkeit des Gegenstandes, in 3 Haupt-
abschnitte. Eigentümlich ist der Elektricität unter den Naturkräften
die grosse Mannichfaltigkeit der sich auf die Afifecte aller 5 Sinne
erstreckenden Erscheinungen, deren viele zum Bestände der Körper
nicht zu gehören scheinen. Die Geschichte des ersten Zeitraums von
LäUraruchtr Btriehl XVJ.
4& '
den Ältesten Zeiten bis zum ITtcn Jahrhundert enthält nnr Aufzeich-
nangen solcher beobachteten Eracheinungen, welche die AafmerkBam-
keit erregt, aber nie weitere Nachforschung zar Folge gehabt haben.
Recbaet mau zu diesen die gewähDlich(.>n Krscheinangea wie Blitz
und Actioneo der lebenden OrgnuiBnien, auch wol deu Magnetismus,
so sind schon eine grössere Anzahl von Eigenschaften der Eloktricitftt
im Altertum bekannt gewesen, ohne dass eine Idee von deren Zu-
sammenbaug aufkam. Dieser Sachlage entsprechend werden in der
vorliegenden Schrift, nach kurzer Charakterisiruug der älteren Periode,
jene Aufzeichnungen erst da angeknüpft, wo die Bedeutung der alten
Beobachtungen ans Licht tritt; denn erst hier ist es von Interesse
den aUoälen Spuren der Beachtung nachzugehen. Die zweite Periode,
welche noch vor 1700 beginnt und bis in die Mitte des lUten Jahr-
bonderls reicht, charakterisirt sieb mit dem Beginn und Wachstum
der wissenscbaftlicheu Forschung durch eine Reibe zahlreicher sich
8cbneil folgender £utdeckaDgen. Im ITten Jahrhundert wurden die
Anziehnug in weiterem Umfang, die Leitung, das Leuchten und Kni-
eten), zuletzt erst die Abstoasung bekannt. Die Entdeckung der
meisten Eigenschaften fällt in das 18 tc, sowie auch die Eründung
mancher Vorrichtungen, Elektrisirmascbine , Leidener Flasche, Blitz-
ableiter u. a. Mit dem 19ten erhält die Doctriu eine wesentliche
Ergänzung dnrcb die Entdeckung der Berti h rnngseiek tri dtat und des
Blektromagnetismus. Die Gescbicbte dieser Entdeckungen ist eine
sehr einfache: die Zeitfolge ist auch ziemlich die sachliche, also kein
mehrfacher Gesiebtspunkt in der Anordnung ei forderlich; die Nach-
richten rufen keine kritischen Fragen hervor. Dieser Natur ent-
sprechend hat auch der Verfasser eine jede kurz, einfach und leicht
rerständlich dargestellt. Im Umfang der 2tca Periode kann es, ge-
mäss dem damaligen Standpunkt der Doctrin, in der Tat keinen
merkbaren Unterschied macbeu, dass das Buch, wie der Titel sagt,
„für weitere Kreise" also auch für Nichlgelehrto bearbeitet ist. Ganz
verschieden hierin ist die 3to Periode, wo sieb die Elcktric.itätslehre
za einer viel verzweigten Wissenschaft entwickelt hat. Sic charakte-
risirt sieh besonders durch die technischen Verwertungen der Elek-
tricitÄt zur Telegrapbie, zur Belriebskraft, zur Beleuchtung, zur Heil-
kraft u. a. Der Geschichte dieser ganz neuen Wisseuscbaft ist der
gröBSte Teil des Buches gewidmet. H.
Elektricität und Magnetismus im Altertume. Von Dr. Alfred
Ritter von ürbanitzky. Mit 9 Abbildungen. Wien, Pest, Leip-
zig (1886). A. Hartlebcn. 284 S.
Der Verfasser vcrmisst in den vorausgegangeneu Bearbeitangea^
der GeBcfaichte der Elektricität und des Magnetismus die BerDcl
43 LüUrariackMr BmdU XVL
sichtigung des Altertnms. In der Tat nehmen die Nachrichten ftber
die betreffenden Kenntnisse der Alten eine ganz verschiedene Stellnng
im Entwickelungsgang der Toctrin gegenüber den Forschnngen der
Neuzeit ein. Sie verbreiten nicht Licht, sondern stellen d^ letzteren
nur Fragen, und nur eine derselben, betreffend die Anziehung, ist es,
an welche die Forschung in ihrem Beginn anknüpft. Daher ist es
unzutreffend, wenn der Verfasser behauptet, die neue Doctrin stünde
auf dem Boden der alten. In welcher Weise die alte Greschichte be-
handelt worden, und sachgemäss zu behandeln ist, spricht der vorige
Bericht aus. Wol aber mag dem Verfasser zugestanden sein, dass
diese Behandlung nicht allseitig genug gewesen ist, und dass die auf-
gefundenen Nachrichten eine ergänzende Fortsetzung verlangen. Jeden-
falls ist die Bemühung des Verfassers alle bezüglichen Nachrichten
zu sammeln und zu verwerten dankenswert Das Buch teilt sich nach
den Gegenständen: Magnetismus, Bernstein, Nordlicht, Blitz und Elms-
feuer, angebliches Wissen der Alten in Bezug auf atmosphärische
Elektricität Ergibig ist das Suchen nach bescüglichen Stellen nicht
sonderlich gewesen; den grössten Teil der Schrift bildet eine leichte
Kritik über die Meinungen von Autoren der Neuzeit H.
Handbuch der ausübenden Witterungskunde. Geschichte und
gegenwärtiger Stand der Wetterprognose. Von Dr. W. J. van B eb-
ber, Abtheilungsvorstand der deutschen Seewarte. Stuttgart 1885.
Ferdinand Enke.
Das Buch besteht aus 2 Teilen: Geschichte der Wetterprognose
— und gegenwärtiger Zustand derselben. Zahlreiche Urteile der
Fachpresse bekunden, dass das Werk eine vorzügliche Leistung sei.
H.
Bullctino di bibliografia c di storia delle scienze matematiche o
fisiche. Pubblicato da B. Boncompagni. Tomo XVIII. Roma 1885.
Tipografia delle scicnzo matematiche e fisiche. 4^ 720 S.
Der 18. Band enthält folgende Abbandinngen.
A. Favaro: Ungedruckte Documente für die Geschichte der
Galileianischen Manuscripto in der Biblioteca Nazionale zu Florenz.
— Schlüsse in Betroff des unbekannten akademischen Opponenten
gegen den Vortrag von Galilei über die Dinge, welche im Wasser
verharren oder sich darin bewegen. — Nicolaus Coppernicus von
Leopold Pro wo. Zweitor Band: Urknndon. Berlin 1884. Weid-
mann. — Anhang zu don Studien über das Lebon und die Werka
von Prosdocimo de Beldomandi, Mathematiker in Padua im 15.
Jahrhundert.
A. Gen 0 Chi: Noch ein Bruchstück der kubischen und biqua-
Lüterarischer Bericht XVI, 44
dratischcn Reste. — lieber das Gesetz der Reciprociät von Legendre
ausgedehnt auf die Nicbtprimzahlen. — lieber einige Sätze, welche
zu diesem Gesetze führen können. — lieber die Erweiterung eines
Lemmas von Gauss.
L. Krön eck er (übers, von A. Sparagna): lieber die Geschichte
des Gesetzes der Reciprocität von Legrendre.
G. B. Biadego: lieber das Leben und die Arbeiten von Al-
berto Castiglano.
G. £neström: Bibliographische Notiz über die Uebersetzungen
von Euklids Elementen ins Schwedische. (S. unten.) — lieber ein
Theorem von Goldbach. (S. unten.)
M. Steinschneider: Studien über Zarkali. Fortsetzung.
A. Marre: Notiz über das Leben und die Arbeiten von FrauQois-
Joscph Lionnet. — Verzcichniss seiner Arbeiten.
P. A. Bertauld: Die geometrische Zahl Platon's, zweite Inter-
pretation von J. Dupuis. Paris, Hachette. — Die geometrische
Zahl Piatons. Dritte Abhandlung, Auszug aus dem Annuaire de
TAssociation pour Tencouragement des ^tudes grecques en France.
Von J. Dupuis. Paris, Hachette.
C. Le Paige: Parallele und axiale Coordinaton, Methode geo-
metrischer Transformation und neues Verfahren graphischer Rechnung
hergeleitet aus der Betrachtung paralleler Goordinaten von Maurice
d'Ocagne. Paris 1885. Gauthier-Villars.
A. Forti: lieber die Sonnenflecken. Historische Bruchstücke.
E. Catalan: Eine Polemik zwischen Goldbach und Daniel Ber-
noulli.
M. Ch. Henry: Ungedruckte Correspondenz von d'Alembert mit
Gramer, Lesage, Clairaut, Turgot, Castillon, B^guelin u. a.
F. Porro: Notizen über das Leben und die Schriften von Gui-
seppe Zecchini Leonelli, Mathematiker in Cremona. — Ungedrnckte
Schriften desselben, nämlich I. Satz von LeonellL H. Directe und
graphische Approximation, zurückgeführt auf die Differenz einer
UneDdlicbkleiDcn, welche die 2 proportionalen geometrischen Mittel
gibt. (Beweis am Schluss.) HL Ueberraschende Eigenschaft der
Quadratwurzel von 3.
Besonders herausgegeben sind die 2 Artikel von Eneström, welche
hier folgen.
Publicationsverzeichnisse sind im je 2ten Heft H.
Sur un th^or^me de Goldbach lettre de M. Gustave Enest röm
ä D. B. Boncompagni. Extrait des Atti dell'Accademia Pontificia
de*Nuovi Lincei t. XXXVffl. Rome 1885. 4« 1 S.
Euler schreibt an Goldbach, dass er dessen, ihm mitgeteiltes
45 Lüterarischer Berkkt XVI.
Theorem, Dach welchem jede gerade Zahl eine Summe zweier Prim-
zahlen ist, fftr gewiss halte, obgleich er es nicht beweisen könne.
H.
Notice bibliographique snr les traductions en Sn^dois des £l6-
ments d'Enclide. Par Gustave Enoström ä Stockholm. Extr. du
BuU. di bibl. e di st d. sc. m. e. f. t. XVIII. Rome 1885. 4^. 13 S.
Der Artikel enthält das chronologische Yerzcichniss der schwe-
dischen Uebersetzungen von Teilen der Elemente Euklids, die seit
1774 erschienen sind. Die Namen der Herausgeber sind: M. Strömer,
G. L. Lithander, G. F. Lutteman, P. R. Bräkenl^elm, H. Falck, E.
G. Björling, P. N. Ekman, A. Rnndbäck, H. Heikel, G. G. H&llström,
H. A. Witt, F. A. A. Lundgren, M. E. Areskoug, A. Sjöstrand, A.
"Wiemer, Yngve Nyberg, G. A. Weström, Gh. F. Lindman, C. 0. Ruth,
G. Dillner, A. E. Hellgren. Die Ausgaben sind für den Schulgebranch
bestimmt, enthalten daher manche Hinzufftgungen und Weglassnngen.
H.
R^ponses aux questions. Bibliotheca Mathematica 1885. n^ 4.
Stockholm. Soussignö par B. Boncompagni. 4^. 1 S.
Der codex Ottobonianus der Yaticanischen Bibliothek enthält ein
Lehrbuch betitelt: summa artis geometriae, im Jahr 1414 copirt und
vom Gopisten dem Petrus de Dacia zugeschrieben. G. Eueström bat
die Frage gestellt, ob es noch andre Copien gibt, wo Petrus de Dada
als Autor bezeichnet wird? Der Verfasser beschreibt eine gekaufte
Copie von 1365 und führt eine andre von 1389 in der Yaticanischen
Bibliothek an; in beiden wird Petrus de Dacia als Autor genannt.
H.
Register naar eene wetenschappelijke verdeeling op de werken
van het Wiskundig Genootschap : „Een onvemoeide Arbeit komt alles
te boven^S gedurende het tidsverloop van 1818—1882. Amsterdam
1885. J. F. Sikken. 445 S.
Das von einer Gommission bearbeitete Register der Arbeiten der
Wiskundig Genootschap ist nach den Wissenschaftszweigen geordnet
und enthält eine grosse Anzahl gelöster Aufgaben, zuerst ganz spe-
cieller, dann mehr und mehr allgemeiner. H.
Liste alphab^tique de la correspondance de Ghristian Huy-
gens qui sera publice par la Soci6t6 Hollandaise des Sciences ä
Harlem. Harlem (1886). Jean Enschede et iils. 4». 15 S.
Die Directoren der holländischen Gesellschaft der Wissenschaften
beabsichtigen, eine neue Ausgabe aller Schriften von Chr. Huyghena
■iicitr Stricht XVI.
unter dem TiUil „Oeuvres Compl^tcs de CbriBtiaan Baygens" za tet
austalt«u, welcüo aacb diu zum gröaaten Teil Doch uDgcdrackte C
respoudenz desselben euthalten soll. Eine von der königlichen Aka-
demie der WtBsensc haften in Amsterdam eruanutc CommiBsiou ist
mit der Redaction beauftragt uud gibt im Gegenwärtigen das alpho-
betiHcho Verzcichuiss 1) der an Huyghena gerichteten, 2) der von ihmj
gCBchriobeDen Briefe heraus. H. ^
Nekrolog des K. Württemberg! Beben Obers tndieurats Dr. Chri- '
Blian Heinrich v. Nagel {Separat-Abdruck aas dorn CorreBpou-
denzblatt für d. Gel. nud Realschulen. WUrtt. ISSi]. TUbiugen
18M. Franz Fnea. 18 S. Unterzeichnet; Otto Krimmel.
Chr. H. Nagel, Sohn Eines Schneiders, geboren 1803 in Stutt-
gart, bcsDcbte das Gymnasium daselbst, stodirte in Tubiugen Theo-
logie, indem er gleichzeitig einige mathematische Vorlesungen hört«,
diente bis 1827 als Ticar, doctorirte und habilitirte si'jb dauu au der
Universität Tübingen. 1830 ward er Lebrcr der Mathematik am
Gymnasium in Ulm, welche Stadt von da an sein Wohnsitz geblieben
ist. 1844 ward er Hector an der daselbst zu organi sirenden Real-
anstalt, bei deren Jubiläum 1869, er zum Obcrstu dienrat ernannt
ward. IVlb legte er sein Amt uieder uud starb 1882. Unter seinen
Schriften sehr verschiedenen Inhalts wird als Hauptwerk das Lehr-
buch der Geometrie genanut, welches bis in die ucneate Zeit viele
Auflageu erfahren hat. Seine vor allem neuneuswerten Verdienste
sind die Hebung des mathematischen Unterrichts und sein Wirki
für Errichtung von Roalanstalten und Fortbüduugsscbulen, um derenl
willen er Reisen durch Dcutschlaud macl
chls und sein Wirke^^H
igsscbulen, um derentl^^H
1
Analysis. ^^H
, Louis Cbauchl'^^H
Berlin 1885. JuliaJ^|
Arithmetik, Algebra und reine Analysis.
Algebraische Analysis. Von Aog u s ti
Deutsch herausgegeben von Carl Itzigsohi
Springer. 398 S.
Die gegenwärtige Ausgabe ist ein Glied in einer Reibe, deren
Fortsetzung die Verlagshaudluug verspricht. In diesen litt. Berichten
Bind bereits 3 U Übersetzungen älterer Werke besproeheu: Maxwell,
Lehrb. d. Elcktr. u. d. Magn. 278. 1. B. S. 21, Fourier, anal.
Th. d, Wärme, 6. 1. B. S. 17, beide übersetzt von Weinstein, Enler,
Kinl. in d. Anal, d. U dl üb rsetzt von Maser, 10. 1. B. S. 11
sämtlich imaelbeuVe 1k b n Der im Vorwort^ von Itzigsoha
ausüesprocheno Zweck d g Lnterncbmens ist es, das Studium
' historischen Entw kl g d mathematischen WissenBchafteit_
47 LUUrari$€k«r Beridä XVI
dnrch billige Ansgaben bedeutender Werke in deutscher Sprache zu
erleichtem und zu fördern. Gauch3r'8 Werk wird hier in einen ge.
wissen Gegensatz zu dem von Enler gestellt und zwar betont, dass
Euler's Fnnctionsbegriff sich mit dem des arithmetischen Ausdrucks
deckte, Cauchy hingegen ihn auf die Stetigkeit baute. Wir können
aber weiter hervorheben, dass Euler bei ausserordentlicher Produc-
tivit&t in Methoden und Resultaten der Begründung der Principien
noch keine Aufmerksamkeit zuwandte, dass Lagrange zwar in In-
geniosität und Eleganz der Methoden einen Fortschritt über ihn
hinaus bezeichnete, die Principien aber auf keinen hohem Stand-
punkte hob, dass dann Cauchy zuerst einen ernsten Anfang mit
strenger Gmndlegung der Infinitesimalrechnung machte. Die Gegen-
stände der einzelnen Capltel sind der Reihe nach folgende: Reelle
Functionen; unendliche Grössen, Stetigkeit und singulare Werte;
symmetrische und alternirende Functionen, Anwendung, homogene
Functionen; Bestimmung der ganzen Functionen ans Einzelwerten;
Bestimmung stetiger Functionen 1 Variabcln aus Bedingungen ; Con-
vergenz und Divergenz der Reihen : imaginäre Ausdrücke ; imaginäre
Functionen; convergente und divergente imagioäro Reihen; Wurzeln
algebraischer Gleichungen; Zerlegung der rationalen Brüche; recur-
rente Reihen. Hierauf folgen 9 Nachträge. H.
Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung mit zahlreichen
Anwendungen aus der Analysis, Geometrie, Mechanik, Physik etc.
für höhere Lehranstalten und den Selbstunterricht bearbeitet von
Friedrich Anten heimer, gew. Direktor des zürcherischen Tech-
nikums zu Winterthur, Herausgeber von „Bernoulli's Vademekum
des Mechanikers^^ von „Bernoulli's Dampfmaschinenlehre*^ und von
den „Aufgaben über mechanische Arbeit^^ Dritte Auflage. Mit 152
in den Text eingedruckten Holzschnitten. Weimar 1887. Bernhard
Friedrich Voigt. 522 S. (Pr. 9 rak.).
Exactes Verfahren in Begriffsbestimmung und Herleitung hat sich
der Verfasser nicht zum Gesetz gemacht, dagegen charakterisirt sich
das Buch durch reichliche Entfaltung des Lehrstoffs , durch welche
Theorie und Anwendung zur Vertrautheit gebracht werden. Diesem
Zweck entsprechend werden Differential- und Integralrechnung, beide
einander schnell folgend, nicht sogleich in vollem Umfange vorgetra-
gen, sondern erst Anwendungen eingeschaltet, dann die Theorie fort-
gesetzt. Der erste Teil macht Anwendung der Differentiation auf
Maxima und Minima , aufCurven und auf Reihenentwickelung, Anwen-
dung der Integration auf Inhaltsberechnung, Schwerpunkte, Bewegung,
Trägheitsmomente y Reibung, Festigkeit, Gravitation, Gleichgewicht
und Bewegung im Wasser u. a. Der zweite Teil fasst nun die Fragen
LitUrarUchtT Btriüht XVI.
mehr allgemein theoretisch anf. Bei der Integralrochiiuiig treten hier I
zuerst die Differentialgleichungen auf und unter den Aufgaben solche, j
die sieb auf schwingende Bewcgang beziehen.
ZinscszioS', Renten-, Anleihen-, Obligatio nen-Rechuang. Haod-J
buch von V. Baerlocher. Mit fünf Tafeln von Fidor Thoman.|
Zarich ISae. Orell Füssli u. Co. 249 S.
Der Verfasser verbiiidet mit der Herausgabe dieses Buches den 1
Zweck, auf die Anwendung der Mathematik in der Nationalökonomie, '
die bisher immer vermieden worden sei, hinzuwirken. Deu Grund
dieses Zuatandea sieht er in üem Mangel an Hiltfsmittoln: zwar gebe
OB Bearbeitungeü für diejenigen Zweige, welche der Wahrscheinlich-
keitsrechnung bedürfen, uamcutlich das Vursicheruugsweseu, dagegen
finde man solche für die niedere polytischo Arithmetik nur in Eng-
land und Frankreich, u. a. vou Sprague, Gorapertz, Woolhouse,
Thomau, Achard, Dormoy, Cbarlon. Das Gegenwärtige stellt ans
deren Arbeiten das erforderliche zusammen. Es werden darin sicben-
stelligo Lügaritbmen gebraucht. Die Abschnitte des Buchs behandeln
nach einander: Die Zinsrechnung, Routenrouhuung, Anleihenrechnung,
ObligationenrecUnung, Theorie der Konten mit Terminen, welche iu
geometrischer oder arilbmetiscber Progression wachsen oder abneh-
men, und ihre Anwendung auf die Anleihen- und Obligationenrech-
nnng. H.
Theorie der magischen Zahlen-Quadrate und Kreise. Voi
B. Kürten in Köln. Köln 1886. Heinrich Theissing. 69 S.
Die Schrift ist eine Anweisuug zur Bildung magischer Quadrate
mit mancherlei Abäudcniugen der Aufgabe und Einführung von Ue-
dinguntjeii, begleitet vou historischen Angabcu.
Die reducirten Quersummen und ihre Anwendung zur ControleJ
von Rechnungs-Ergeboissen iu leichtfasslicher Anweisung für Baa<r
and KechuuDgs-Beamte, KauHcute und Landwirthe, sowie statisUschan
nud soustige wissenschaftliche Recbuer. Vou Friedr. VormoufffJ
Techniker, irUher Lehrer der Mathematik und Mechanik an den
technischen Fachschulen zu Neustadt in Mecklenburg. Mit einem
Vorworte vou Prof Dr. Förster, Geh. Reglern ngsrath und Dirvctor
der Kgl. SUsmwarte zu Berlin, Eborswalde 16ä6. Peter Wol&am'ia
Akademische Bucbhaudlung. Iti S.
Allen Interessenten der Recheukuust wird dSs soeben i
Buchhandlung iTscbieneno Böchleiu über die reducirten QnerJ
■ ammen sehr willkommen sein. In diesem Büchlein ist ein uralte
''4
e
I
49 LiiUrartMckmr Btriekt XVI.
aber in neuerer Zeit in vielen Rechenbflchem ganz nnberdcksichtigt
gebliebenes Controlvcrfahren für die Richtigkeit von Additions-., Sob-
tractions, Maltiplications-, Divisions-, Potenzirangs- nud Radicimngs-
rechnangen eingehend and fasslich erörtert. Der ansehnliche Nutzen
dieses Controlverfahrens für die Sicherung von Rechnungsergebnissen
ist auch dadurch bezeugt, dass der Director der Königlichen Stern-
warte zu Berlin, Professor Dr. Förster, das Büchlein auf Wunsch
seines Verfassers mit einem Vorwort vorsehen hat, in welchem eine
kurze Erläuterung der historischen und methodischen Seite der wich-
tigsten Sache gegeben wird. Der Ladenpreis des Bflchleins ist mit
0,50 Mark so gering angesetzt, dass Jeder der mit Additions-, Malti-
plications- und Divisionsrechnungen häufiger zu tun hat, bei der An-
schaffung desselben seine Rechnung finden wird.
Peter Wolfram's akad. Buchhdl.
Vermischte Schriften.
American Journal of Mathematics. Simon Newcomb, Editor.
Thomas Craig, Associate Editor. Published under the Aaspices
of the Johns Hopkins University. n^tty^ndzanf ileyxog ov ßlino-
liivav. Volume VIII. Baltimore 1886.
Der 8. Band enthält folgende Abhandlungen.
P. A. Mac Mahon: Ueber Seminvarianten.
J. Hammond: Syzygie-Tafeln für die binäre Quintic. — üeber
Perpetuauten mit Anwendung auf die Theorie der endlichen Quan-
tics. — Das Cubi-Quadric-System.
P. Soelhoff: Prüfung grösserer Zahlen auf ihre Eigenschaft
als Primzahlen. — Neue Methode der Unterscheidung zusammen-
gesetzter von Primzahlen und der Auffindung ihrer Factoren.
E. McClintock: Analyse von Quiutic-Gleichungen.
Th. Craig: Ueber lineare Differentialgleichungen, dereu Funda-
mental-Integrale, die successive Derivativen derselben Function sind.
— Ueber die linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung.
E. H. Moore und C. N. Little: Note über Raumteilungen.
A. V. Lane: Note über eine Roulette.
H. B. Fine: Ueber die Singularitäten von Curven doppelter
Krümmung.
J. C. Fiel d 's: Ein Beweis des Satzes — Die Gleichung f(x)=-0
hat eine Wurzel — wo f(z) eine holomorphe Function von z ist. —
Ein Beweis des Additionstheorems der elliptischen Function. -•
Liltcraritehrr flwwAf XVI.
ssl
.tu-
Symbolisflio eiidlichc Lüsungen der Gleichung 5^ ^^ x'"g und Lfl-
suugGD durch bestimmte lutcgralo.
Svlvestur: Voilesmigen über die Theorie der RcciprocaDten.
CharlotloAngas Scott: Dio liinomiBcbe Glcichuug i'— 1=0.
F. fj. Cole: Ein Beitrag zur Theorie der allgcmeiuen Qleichaug
6. Grades.
H. PoincarS: Ueber die Abel'aclieu Functionen.
S. Newcomb: Kiue verallfuiueiuLTte Theorie der Combinalit
vou Beobachtuiigou zum Zweck die besleu Resultate zu orlaugen.
H.
BuMoKdb de rAcad^roic Koyale des sdences, des lettres et des
beaux-arts de Bclgiiiue. Bruxellos, F. Hajez.
In den Biludea XLVI 2ter bis VIII 3ter Keile, Jahrg. 47 bis
53. Jabr KIS bis 18&1 sind folgende matbema tische Arbeiten eot-
batten.
Folie: Princip der Theorie der Bttschel. 46. — Existenz und
Grösse der täghcben Präcessiou und Notation bei der Hypothese
eiuer starren Erde. 3.
Polio nud Le Paige: Ueber einige Siltze betreffend die Flä-
chen bilherer Ordnung. 48. — Ueber die Curven 3. Ordnung. 1.
Saltel: Die arguosiscbe Classification der algebraischen Curven
im Räume, oder Erweiterung des argucsischeu Principa auf diese
Curven. 46.
Le Paige: Ueber dio vielfachen Punkte der höhern Involutio-
nen. 40. — Ueber gewisse Covariantcn der binUren algebraischen
Formen. 49. — Ueber gewisse Covariauten eines k übe- bi quadra-
tischen Systems. 4ö. — Ueber die geometriscbo Darstellung der
Covariauten einer biquaJra tischen Form. 5U. — Ueber die Theorie
der Polaren. 1. — Ueber gewisse Covarianten. 1. — Uehor die
Theorie der binären Formen für mehrere Reihen von Variabein. 2.
— Ueber eine geometriscbo Darstellung zweier einfürmigeu Trans-
formationen. 3. — Ueber die Curveu 3. Ordnung. 4. — Ueber
einige einförmige geometrische Transformationen. 4. — Ueber die
Flächen 2. Ordnung. 5. — Ueber die Erzeugung gewisser Flächen
durch quadrilineäre Büschel, ä. — Ueber die qnadrilineäre Form and
die Flächen 3. Ordnung. 8.
Van Kysselberghe: Beschreibung eines parabulia eben voll-
kommen isochronen Regulators. 46.
Mansion: Beweis eines Satzes bezüglich einer bemerkenswerten
I Determinante. 46. - Ueber die Elimination. 40. — Mehrere Noten
Hr Elimination. 47. — Fnndamentales Princip bezDglicii der Be-
51 LimrmtutUr BmidU XVL
rflhrang zweier Fl&cheii mit gemeinsamer Erzeugenden. 8. — lieber
die Theorie der elliptischen Functionen. 8.
E. Weyr: Bemerkungen über die Existenz der Evolution bei
den Cnnren 3. Ordnung 4. Glasse. 49.
GataUn: Magisches Quadrat der Villa Albani. (Rom). 2. -
Einige elementar geometrische S&tze. 4. - Note über eine Do[^-
reihe. 5. — Ein Satz (Zahlenth.). 6. — Ein Satz aus Arithmetik
und Algebra. 6. — Einige arithmetische Sätze. 7. — Anwendung
eines neuen Prindps der Wahrscheinlichkeit 8.
Teixeira: Integration einer Classe partieller Differentialglei-
chungen 2. Ordnung. 3.
Genocchi: lieber die Functionen von Prym und Hermita 4.
— Hinzuftgung dazu. 5.
Renke r: Bestimmung des Verhältnisses der Haupttr&gheits-
momente des Erdsphäroids. 5. — lieber einen Satz der Mechanik
anwendbar auf Systeme in periodischer Bewegung. 8.
De Tilly: lieber den Satz von Ghasles betreffend die Central-
axen. 5.
Jamet: Verallgemeinerung einer Eigenschaft der Flächen 2. Ord-
nung. 6.
i
• • •
• • •
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Teil IT.
Textur,
• y • •••
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Jd. Sch iffn er: Zu r ConsiriLction der £lh/tsc mi^ Bcnuixung
von Ir lim miung^, Kreislinien.
M: Oe^inohau.^ T/h'nh.^rhe JnicgrxOfxJ-ndiontn,
1.1
^^TFvTli.U.T^^-JC'! .'v^ ^'-VfwtX-LO-
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