Archiv der Mathematik und Physik

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ARCHIV

der

MATHEMATIK und PHYSIK

mit besonderer Bücksiebt

auf die BedUrfhisse der Lehrer m höheren

Unterrichtsanstalten.

Gegründet von

J. A. 6 r H B e r t,

fortgesetzt von

R. H 0 p p ft

Neunundftinfzigster Teil.

^ •

^„ .

Leipzig,

C. A. Koch's Verlagsbucbhandlung,

J. Seagbusch.

1876.

162466

Inhalts -Verzeichniss

des HeHiMiflfHifiigstei Teils«

JüderAbliwidliiBg. lUft 8«ii«.

Methode und Primeipieii.

VI. Uebcr die Bolle der Erfahrung in den exacten
Wissenschaften. Von J. Hoftel. Uebersetfet Ton
Felix Müller I. 65

Arithmetik, Alfehra und reine Analysis
ohne Inteirralreehniuif •

XI. Frodnct eintr nnendlichen Factorenreihe. Von

G. Dobinski I. »8

XIII. Das allgemeine Zerlegungsproblen der Deler-

minauten. ' Von Siegmund Günther .... II. 190

XIV. Studien zu Fürttenau's neuer Methode der Dar>
Stellung und Berechnung der WurEelo algebraischer
Gleichungen durch Determinanten der Coefficienten.

Von Hans Naegelsbach 11. 147

XVI. Ueber kubische Gleichungen. Von Eduard

Liebrecht IL «17

XXIIL Beitrag lur Theorie der Unterdeterminanten. Von

F. Hosa . IV. 387

XXIV. Ueber UnterdeteroMnanten einer adjungirten Deter-
minante. Von F. Hoia IV. 401

XXV. Ueber das Multiplicationstheorem zweier Deter-
minanten nten Grades. Von F. Hosa . . . . . IV. 403

n

JMderAbhandlQDg. Heft. Seit«.

Integralrechnanf.

XVI. Ueber einige besiimmte Integrale. Von Edoard

Liebrecht IL 218

XIX. Beitrag zur mechanischen Quadratur. Von Li-

gowski III. 329

XIX. Note Aber lineare Differentialgleichungen. Von

Simon Spitzer . III. 334

Cleometrle der Ebene.

IL CuDstroction der Dnrchsehnittspnnkte tod Geradeo
mit Kegelschnittslinien. Von Gustaf Ad. V.

Peschka L 18

III. Beiträge zur Lösung einiger -bekannten geome-
trischen Aufgaben. Von Mendthal I. 39

VIII. Bemerkung ther Symmetriekcgelschnitto des Drei-
ecks. Von Emil Hain L 83

IX. Beziehungen eines Dreiecks zu einer Geraden. Von

Emil Hain L 87

XVIII. Ueber den Feuerbach'schen Kreis. Von Emil

Hain IIL 328

XIX. Beitrag zur Theorie der Cissoide. Von Karl

Zahradnik III. 335

XX. Theorie der Kardioide. Von Karl Zahradnik IV. 337
XXL Pol und Polare des Dreiecks. Von Max Grein er IV. 351
XXII. Les poljgones rayonn^s et les polygones ^toil^.

Far Georges Dostor IV. 375

XXVII. Ueber eine Classe irrationaler Symmetriepunkte des

Dreiecks. Von Emil Hain • IV. 415

XXVIII. Allgemeine Beziehungen der Symmetriepnnkte eines

Dreiecks. Von Emil Hain IV. 420

XXX. Eine geometrische Aufgabe. Von Eduard Lieb-
recht IV. 445

XXX. Eine Quadratur. Von Karl Zahradnik ... IV. 448

Geometrie des Baumes.

I. Ueber den Znsammenhang gewisser Sfttze, welche
sich auf geschlossene Reihen geometrischer Gebil'Je
beziehen. Von F. August L 1

m

•ttdMAbhMdluff. Htft S«iU.

IV. Propri^t^ noufelles dea poly^dret r^uliers con-

Texet. Par Georges Dostor I. SO

V. Ein Theorem Aber die conforme Abbildoog der

Fliehen auf Ebenen. Von B. Hoppe I. 59

VII. Der KOrperinhalt des senkrechten Cylinders ond
Kegels in der absolute^ Geometrie. Von A. Ton

Frank I. 76

XVIL Principien der Flichentheorie. Von B. Hoppe . III. 2S5
XX VL Beispiel der Bestimmung einer Fliehe ans der

Indicatrix der Normale. Von B. Hoppe . . • IV. 407
XXIX. Untersnchnng Ober die biniren lateralen Geraden.

Von F. E. Thieme IV. 4S6

XI. Hohe des Schwerpunkts eines Pyramidenstutzes,
dessen Dichtigkeit Ton der untern bis zur obem
Fliehe sich progressiT Terindert Von F. E.

Thieme L 101

XV. Beitrag zur Kenntniss Ton der Bewegung eines
schweren Punktes auf Botationsflichen mit Tcrti*
caler Axe. Von Theodor Bertram .... II. 193

Physik.

XL Ein Beitrag zur Messung der elektromotorischen

Krifte Ton Stromquellen. Von Kfllp I. 103

XI. Ueber das Verhiltniss Ton Stromstirken einer Kette

zu einem einzigen Elemente. Von Kfllp ... L 106

XL Ueber das Verhiltniss eines kleinplattigen Ele-
mentes zu einer Kette Ton grossplattigen Elementen.
Von Kfllp L 108

XL üeber die Bestimmung des Leitungswiderstandes

der Metalle. Von Kfllp L 109

XL Zur Theorie des Maximums der Stromstirke. Von

Kfllp L 111

XII. Ueber die Abhingigkeit zwischen Magnetismus und

Hirte des Stahles. Von Ch. Buths IL -113

Amfgaliea,
X Uebnngsaufgaben. Von Emil Hain ...... I. 93

IV

Litterarisehe Berichte.

CCXXXIII. Thomae (Th. best. Int. — Diff. Gl. 4* 0.). Moroff (geom.
Grondbegr.). Enneper (eil. Fct.). Rrnse (eb. Geom.).
Cremona (g^om. proj.). Hochheim (parab. Cv. S. O.).

CCXXXIV. Hess (Polyg. — Polycd.). J. A. Serret (Trig.). Klin-
genfcld (darst. Geom.). Steiner (graph. Zus. d. Kr&fte).
Popper (Loftballon). Einbeck (Locomot). Moennich
(soheinb. Orts&nd.). Stark (Axenänd. d. Erde), von Mil-
ler-Hanonfels (Kometen). Mohn (Meteor.). Howe (Ur-
krftfte). Härder (Molec, Ges.). Hirn (th. d. 1. chal.).
Scheffler (Wftrmeth ). Thal^n (Erdmagn. — Spectr.).
Reg. Soc. sc. Upsal. (Acta YIII. IX.). Catalan et Man-
sion (NottT. Corr. I. 4. 5. 6.).
CCXXXV. Sater (Gesch. d. M*). Boncompagni (Bull. YIII. 7 bis 12.)*
Scheffler (Nat Ges.). . Mansion (Lc^oos). H6hr (Ar.).
Matthes (Ster.). Nagel (Aufg.). Stegmann (Ster.).
B rem i kor (6st. Log). Dick mann (Dcterm.). Hatten-
dorff (Riemann part. Diffgl.). Weber (Abelsche Fct).
Strcisslcr («larst. Geom.). Günther (Einfl. d. Himmkp.).

CCXXXVI. Ganther (Z. d. math. bist. F.). Stüssi (Zinsr). Rosen-
berger (Buchst. R.). Schurig (Geom.). Nagel (Ster.).
Hu gel (reg. Pol.). Renshaw (Kcgschn.). Baff (phys.
Mech.). Recknage4 (Exp. Phys.). Trappe (Pliys.).

Druckfehler.

S. 351. Z. 10 y. oben statt

351.
353.
353.

354.
355.
355.
356.
359.

132.
132.
133.
138.
139.
142.
144.
144.
146.
339.
355.
355.

5 - unten

6 - oben

10 - unten

11 - -

2 - oben

13 - unten

8 - -

6 - -

18 - oben
20 - -

8 - -

9 - unten

Teü LVn.

Fauf
2

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...)))

123

0,588

die Trennung

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Integral
Integral

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welche

- keinen oder einen -

- Rechenaufwand -

»((

A

Intervall
Intervall

a/

num.

welchen

keinem oder einem

Rechenarbeit

„nur* zu streichen
statt p lies d
355, 356 und 357 ist in den Gleichungen, mit Ausnahme der vier

letzten auf S. 357, überall l statt b zu setzen.
358. Z. 1 V. unten statt Conductoren lies Conductor
In der zugehörigen Fig. 2. dem A^ diametral gegentlber am inneren
Kreise fehlt A^'.

Teü LIX.

S. 61. Z. 9 V. oben statt pq-^-im lies pq — im
100. - 2 - unten - Dobidecki - Dobiiiski
217. - 8 - oben - geometrischen - goniometrischen

1—«-« 1

218. am Ende

l — er^

•..• • • • • • I r ' -V • ." .• • ***• i '

I.

Ueber den Zasammenhang gewisser Sfttze^
welche sich auf geschlossene Reihen geometrischer

Gebilde beziehen.

Von
F, AuguaU

Der elementarste von der Art von Sätzen, mit welchen sich die
folgende Untersachnng beschäftigt, ist der, dass, wenn zwei Seiten
eines (der Lage nach) veränderlichen Dreiecks, welches einem nn-
vcränderlichen Kreise eingeschrieben ist, je einen unveränderlichen
und dem ersten concentrischen Kreis berühren, die dritte Seite einen
dritten jenen ebenfalls concentrischen Kreis berührt.

Bei weitem weniger elementar ist der Poncelet'sche Satz:
(Poncelet, Trait6 des propri6t6s projectives des figures pg. 361):
Wenn zwei Seiten eines einem festen Kreise eingeschriebenen verän-
derlichen Dreiecks je einen von zwei unveränderlichen Kreisen be-
rühren, die mit dem ersten Kreise derselben Kreisschaar augehören,
so berührt auch die dritte Seite stets einen unveränderlichen Kreis
derselben Schaar.

Beide Sätze lassen eine Erweiterung auf Polygone zu, und man
gelangt durch eine einfache Betrachtung endlich zu dem interessanten
Satze:

Wenn ein Polygon zugleich einem festen Kreise ein- und einem
andern umgeschrieben ist, so lassen sich denselben Kreisen unzählig
viele Polygone von derselben Seitenzahl in derselben Weise ein- und
umschreiben. Die beiden Kreise können bekanntlich auch durch zwei
beliebige Kegelschnitte ersetzt werden.

TtULUL 1

erster Gattuug fabrteu, wie dies Jacobi and Clcbach nachgewiesen
haben. (Jacobi, Uober die Aawcudung der elliptiscbeu Traussccn-
deoten auf ein Problem der Elemeiitargeonietrit', Grelle Bd. III;
Clebsch, über eiueu Satz vou Steiner etc., Crello Bd. 63),

ObscboD bierdurcb der Zusamineutiaiig jener Theoreme aufjjedeckt
ist, bleibt es doch wüusdienswert , diesen Zusanitnonbang ancb in
geumetrisehcr Weise klar zu Ic^cn, alsu eintn Satz aufzufinden, aus
welchom sich die genannten Theoreme durch inüglicbst einfache
geometrische Betrachtuugen ableiten lassen. Biese Erwägung veran-
lasste mich zu der foigeudeu Arbeit Als einen geeigneten Aasgaugs-
punkt habe ich den Satz vou deu Stciner'sebeu Polygonen in etwas
erweiterter Form erkannt. Die Uutersuthung führte mich zugleich
auf einige analoge Sützc für rüunilicbe Gebilde, die, soviel mir be-
kannt ist, noch nicht anderweitig vcrÖlTentlich sind. Wie mir nach
Vollendung dieser Arbeit bekannt wurde, sind die Stcincr'schcn
Polygone von ücrru Boeklund in den Academicschriften von Land
geometrisch behandelt; doch ist mir die Arbeit selbst bisher nicht zu
Gesicht gekommen. Um eine gewisse Uebersicht auch über diejenigen
Schlicssungstheoremo zu geben, die weniger einfachen Charakters
sind, also nicht ohne WciUtcs aus den in der folf^endcn Arbeit be-
bandelten hergeleitet werden können, bemerke ich, dass Clebsch im
63sten Baud des Journals fUr reine und angewandte Mathematik einen
derartigen Satz für algebraische Cnrven beliebigen Goscblcchts auf-
gestellt hat Herr Darbonx hat einen Scblieasungssatz veröffent-
licht, bei welchem es sich um Polygone handelt, die einer von drei
Gonfocalen Flächen zweiten Grades eingeschrieben und zugleich den
beiden andern umschrieben sind. Ausserdem hat Herr Darboux iu
seiner Abhandlung: Sur une classe remarquable de eourbes et de
Burfaces etc. (Mein, de Bordeaux t. IX 1873 Note II pg. 123 ff.) in
ausführlicher Weise das Poncelet'ache Theorem und eine Reihe
von Erweiterungen desselben bebandelt, und zwar mit Hilfe einer
sehr einfachen und interessanten Methode. Herr Felii Klein in

auf gexchloatiene Reihen geometrischer Gebilde hezielteiu 3

München hat die Güte gehabt, mich auf einen Schliossnugssatz für
geodätische Polygone auf Flüchen zweiten Grades aufmerksam zu
machen. Auch der im vorigen Teile (LVIII) pg. 216. publicirte Lehr-
satz, eine gewisse Raumcurve sechsten Grades betreffend, gehdrt dem
Gebiet der Schliessungstheoreme an.

I. Torbetrachtmigeii.

Wenn ich in diesen Vorbetrachtungen etwas weiter zurückgreife,
als es dem Gcometer von Fach nötig erscheinen möchte, so geschieht
dies in der Ueberzeugung, dass, je weiter die mathematischen Disci-
plinen aus einander gehen, das Bedürfniss um so grösser ist, durch
einleitende Betrachtungen das Verständniss von Specialuntersuchungen
zu erleichtern.

1. ' lieber Flächen zweiten Grades und gewisse auf ihnen befindliche

Linien.

Bekanntlich liegen auf jedem einfachen (einschaligen) Hyperboloid
zwei Schaarcn von Geraden (Geueratrices). Jede Gerade der einen
Schaar schneidet jede Gerade der andern Schaar, ist aber windschief
zu einer Geraden derselben Schaar. Jede Tangentialebene schneidet
das Hyperboloid in zwei Geraden, die verschiedenen Schaaren ange-
hören und sich im Berührungspunkte schneiden. Umgekehrt ist jede
durch eine Generatrix gelegte Ebene eine Tangentialebene des Hyper-
boloids. Auch die übrigen Arten von Flächen zweiten Grades ent-
halten in sich gerade Linien, dieselben sind aber imaginär, und können
sowol durch die Kechnuug, als auch durch die v. Stand t'schen geomc-
triachen Beobachtungen in ihrer Bedeutung erkannt werden. (Vgl.
V. Stau dt Beiträge zur Geometrie der Lage. Nürnberg 1856 — 60 und
F. August Untersuchungen über das Imaginäre in der Geometrie.
Berlin 1872 Programm der Friedrichs Realschule).

Der Durchschnitt zweier Flächen zweiten Grades ist eine Raum-
curve vierten Grades R^-y eine solche heisst erster Art im Gegensatz
za den Raumcurven vierten Grades zweiter Art, durch die nur eine
Fläche zweiten Grades gelegt werden kann, und welche mit zwei
windschiefen Geraden zusammen den Durchschnitt jener Fläche mit
einer Fläche dritten Grades bildet. Im folgenden ist nur von den
Kaumcurven erster Art die Rede. Durch eine solche R^ lässt sich
eine Schaar von Flächen zweiten Grades legen, unter denen im all-
gemeinen vier Kegel sind, und zwar geht durch jeden Punkt it des
Baumes, der nicht auf R^ liegt, eine solche Fläche. Die Tangential-
ebene in n schneidet diese Fläche in zwei (reellen oder imaginären)
Geraden, deren jede die R^ zweimal schneidet. Man verbinde irgend

auf gesehlotsene Reihen geometriicher Gebilde beziehen, 5

die Ebene e schneidet, jede Tangente dieses Kegelschnittes entspricht
also zweier Geraden von /i aus verschiedenen Schaaren. Irgend einer
andern Geraden der Ebene e entspricht ein nicht aufgelöster Kegel-
schnitt auf ff\ dessen Ebene durch n geht. Einem beliebigen Kegel-
schnitt Ä"'* auf /i entspricht ein Kegelschnitt A'*, welcher den Kegel-
schnitt T'^ in zwei (reellen oder imaginären) Punkten berührt, da
ja der Kegelschnitt K^ den Kegelschnitt r*, in welchem der Berüh-
rungskegcl von 71 die Fläche f^ berührt, in zwei Punkten schneidet.
Umgekehrt entsprechen jedem Kegelschnitte K'^ in «, welcher T'*
doppelt berührt, zwei Kegelschnitte K^^ und K^^ auf /j, während
einem andern Kegelschnitte Z^' der Ebene c, welcher T'^ nicht dop-
pelt berührt, eine Raumcurve vierten Grades auf /i entspricht, deren
Eine konische Secantenschaar durch n geht, und umgekehrt Jeder
andern Raumcurve vierten Grades auf /« entspricht dagegen in e eine
ebene Curve vierten Grades, welche r'* viermal berührt, und welche
ausserdem zwei Doppelpunkte hat, weil durch n zwei Secanten von
-R4 hindurchgehen. Eine weitere Fortsetzung dieser Betrachtungen
ist fär unsere Zwecke entbehrlich.

b. Wenn man den Projectionspol n im Speciellen auf /j selber
wählt, und wenn man die völlig unbestimmte Projection von 7t ausser
Acht Ifisst, so wird die Abbildung von /j in e ein- und eindeutig
d. h. es entspricht jedem Punkte « in /g ein Punkt «' in «, und
nmgekehrt Die Punkte, welcho dem Pol it unendlich nahe sind,
projiciren sich in die Punkte der Geraden, in welcher die Tangential-
ebene von /i in n die Bildebene e schneidet. Die beiden Generatriccs
Ö, und G^ der Fläche /i, welche durch tc gehen, projiciren sich in
zwei Punkte y^ und y,'» ^^^® übrigen Generatrices der ersten Schaar
in Gerade durch y^', die der zweiten Schaar in Gerade durch y/.
Die säramtlichen ebenen Schnitte von /i, welche durch n gehen, pro-
jiciren sich als die sämmtlichen Geraden in ^ und umgekehrt Jedem
ebenen Schnitt von /i, der nicht durch tt geht, entspricht ein Kegel-
schnitt durch y/ und y2. Jedem Kegelschnitt in «, der durch yj'
und ys' geht, entspricht in f^ umgekehrt wieder ein Kegelschnitt, da
y, und der projicirende Kegel ausserdem die Geraden G^ und G^
gemein haben.

Einer Raumcurve vierten Grades R^ auf ff entspricht im All-
gemeinen in e eine ebene Curve vierten Grades, welche in y^ und y<'
Doppelpunkte hat, und umgekehrt, jeder ebenen Curve vierten Grades
i?^' in e, welche in y^' und y^' Doppelpunkte hat, entspricht in/j
eine Raumcurve It^-y denn der projicirende Kegel 7tR^\ welcher vier-
ten Grades ist, schneidet /^ im Ganzen in einer Curve achten Grades,
von der sich aber die beiden Doppelgeraden G^ und G^ abtrennen,
80 dass als nicht singulärer Bestandteil eine Raumcurve vierten Grades

Bicb in ähnliclie und paarweise übulieliliegonile Itcgel sc Loiltc mit
parallcteD Asymptoten {also auch mit parallelen Axcu). Ist noch
spccielter n ein Nabelpuukt von /"j, so werden y^' und y^' die Kreis-
Itunkte von e, und die silramtlicheu ebenen Scbnitte von /( projicircn
sieb in die sämmtlichen Krei^io von e und umgckclirt. Ist eudüch /*,
eine Kugel, so ist jeder Fuulit n: derselben als Nabelpuukt anzusehen,
und weun man von ibm aus die Kugel auf eine Ebene c projicirt,
woIcIiQ der Taugen tialebcno in n parallel ist, so erliält mau die bo-
Itanntc stcrcographiscbe Prejcctiou, in der sieb jeder Kugel k reis
wieder als ein Kreis abbildet. — eine Projection, welche bekanntlich
die wichtige Eigenschaft der Cunformität besitzt.

3, Nol't-eniligt Punkte bei Iläteheln von Carvcn ilritten Gradi:».

Eine ebene Curvc dritten Grades C^ ist durch neun ihrer Punkte
im Allgemeinen eindeutig bestimmt. Durch acht beliebige Punkte
lassen sich unendlich viele sulehe Curven legen; diese bilden «iueu
cbeuen Curvcübüacbcl drilteu Grades. Irgend zwei dieser Curven
haben aber noch einen neunten Punkt gemein, und durch diesen
mOsseo alle Curven des IlUscbels hindurchgehen. Die neun Durch-
Bchuittspunkte zweier Curven dritten Grades, oder die neun Funda-
mcutatpnnktc eines Büschels von Curven dritten Grades können also
nicht willkürlich gewählt werden; sondern nur acht sind beliebig, der
neunte (notwendige) ist durch die acht Übrigen bestimmt.

Ordnet man nun die sechs Durclischnittspnnktc einer ebenen
Curvc Cj' und eines Kegelschnittes A,' in drei Paare o,'o,', [i^'ß^'
und )',Vi't 80 schneidet jede der drei Verbindungslinien Ä B'b jo
eines Punktpaares die CV noch in einem Punkte, bezüglich in f^'ßa'y^',
die in einer Geraden liegen. Denn durch die nenn Punkte n'ß'y'
geht erstens die Cnrve C^', zweitens die drei Geraden A'li'f/y die
zusammen eine anfgelüstc Curvc dritten Grade.« bilden ; also sind jene
neun Punkte die Fundamental punkte eines Buscbela von Curven
dritten Grades. Durch jedeu Punkt i' der Ebene lässt sich eine
diesem Büschel zagcbörige Curve legen. Wflhit man nun S' auf AT,',
so muss die Curvc, da sie sieben Punkte mit K^' gemein hat, aUe

tKuf ge*chlo3sen§ Reihen geometrischer Gebilde hexiehen* ^

Punkte von K^ enthalten, also aufgelöst sein in K^ nnd eine Gerade,
welche natürlich durch die drei Punkte a^'ß^'y^! hindurchgeht.

Statt des Kegelschnittes K^' kann man nun auch zwei Gerade
wählen, welche die Q' in »/ft'y/ ^^^ ^tßtYt schneiden, so dass
man deu specielleren Satz erhält:

Verbindet man die Schnittpunkte zweier Sccanteu einer C3' paar-
weise durch die drei Geraden o^'a^'^ ßiß%\ yi)t\ so liegen die dritten
Schnittpunkte dieser drei Geraden mit Cg', nämlich «s'/?aVs' wieder
in einer Geraden.

Dieser Satz lässt noch mannigfache Spccialisirungen zu, die
namentlich dadurch gewonnen werden können, dass man einige der
betrachteten Punkte unendlich nahe rücken, also die Secanten in
Tangeuten tibergehen lässt Er bildet den Ausgangspunkt für die
Betrachtung der Steinerschen Polygone.

II. Die Steinerschen Polygone in weiterem Sinne.

Man kann dem zuletzt erwähnten Satze auch folgende Fassung
geben:

Verbindet man einen festen Punkt k* einer ebenen Curve dritten
Grades C,' mit einem veränderlichen «' derselben Curve durch eine
Gerade, welche Q' noch in ß' schneidet, zieht von ß' nach einem
festen Curvenpunkto ft', der dritte Durchsclmittspunkt sei y', von y'
nach einem festen Curveupunkte v\ der dritte Durchschuittspunkt
dieser Geraden sei 6', dann ist der dritte Durchschnittspunkt der
veränderlichen Geraden a'd' mit C3' ein fester Punkt p', den man
üuden kann, indem man den dritten Durchschnittspunkt c' von l!v'
bestimmt, nnd alsdann den dritten Durchschuittspunkt von a^'i <ler
eben q' ist

Die vier Seiten des veränderlichen, der C3' eingeschriebenen ein-
fachen Vierecks a'ß'y'6' gehen also je durch einen festen Punkt der
Curve C3'. — Setzt man nun von 6' die Construction in analoger
Weise fort, zieht also von 6' eine Gerade nach einem festen Curveu-
punkte t', nennt den dritten Schnittpunkt s\ und von e' eine Gerade
nach dem festen Curvenpunkte v\ deren dritter Schnittpunkt f ist,
so geht auch die veränderliche Gerade a'i^ durch einen festen Curven-
punkt g>'. Man hat also ein Sechseck, welches mit dem Viereck
analoge Eigenschaften besitzt, und kann in derselben Weise zu einem
Achteck, Zehneck, und allgemein zu einem 2n Eck übergehu, so dass
man folgenden Satz aussprechen kann:

8 August: üeber den Zusammenhang gewisser Sätze, welche su^

Wenn man einer ebenen Curve Q' ein veränderliches
2n Eck einschreibt, dessen Seiton alle bis anf eine als
dritte Schnittpunkte mit der Gurve einen festen Punkt
haben, also ebene Strahlbüschel beschreiben, so h^t
auch die letzte als dritten Schnittpunkt mit der Gurve
einen festen Punkt, dessen Lage man constructiv aus
derjenigen der übrigen bestimmen kann, ohne das ver-
änderliche 2n Eck selbst zu construiren.

Dass der Satz auf Polygone mit gerader Seitenzahl beschränkt
ist, ist leicht zu erkennen. Denn verbindet man die festen Curven-
punktc A.' und ft' mit dem beweglichen Curvenpunkte ß' und verbindet
die dritten Schnittpunkte a'y' dieser beiden Geraden, so kann der
dritte Schnittpunkt J' von a'y' mit C^' folgeudermassen gefunden
werden: Die Verbindungslinie von A' und ft' hat als dritten Schnitt-
punkt mit Cg' den festen Punkt <p', die Tangente in dem veränder-
lichen Punkte ß' schneidet C^' noch in dem veränderlichen Punkte ß^
und die Gerade «p'/^o' schneidet C^' zum dritten Mal in dem gesuchten
Punkte I'. Der Punkt |' aber ist veränderlich; er könnte nur fest
sein und mit <p' zusammenfallen, wenn dies ein Doppelpunkt von C^
wäre, also mit k' oder ft' zusammenfiele, in welchem Falle der Satz
überhaupt illusorisch würde.

In der oben mitgeteilten allgemeinen Form ist der Satz bei
Steiner und bei Glebsch nickt ausgesprochen, vielmehr sind gleich
speciellere Fälle ins Auge gcfasst, die sich aus ihm ohne Weiteres
ergeben Während nämlich das Zusammenfallen zweier aufeinander
folgender der festen Punkte AV'v'... eiufach einem Ausfall beider
gleichkommen würde, kann man offenbar zwei nicht aufeinander fol-
gende, soweit man sie beliebig wählen darf, zusammenfallen lassen.
So hat nun Steiner besonders den Fall behandelt, wo die Punkte
abwechselnd mit k' und ft' zusammenfallen, bis auf den letzten, der
durch die übrigen bestimmt ist, also im Allgemeinen nicht mit ft'
zusammenfallen wird. Man kann nun aber fragen, wie A' und fi'
liegen müssen, damit der letzte Punkt von selbst mit ^' zusammen-
falle. Dieses Problem hängt natürlich auch von der Seitenzahl 2n
ab, seine Lösung liefert die eigentlichen Steiner sehen Polygone,
deren Seiten abwechselnd durch zwei feste Curvenpunkte k' und ft'
hindurchgehen, während ihre Eckpunkte veränderliche Punkte der C^'
sind, deren einen man willkürlich wählen kann.

III. Geschlossene veränderliehe Polygrone, welche Baumcurven
vierten Grades und erster Art eingreschrieben sind.

Einer Raumcurve R^ sei ein Viereck mit den Eckpunkten aßy^
eingeschrieben. Man projicire die Figur von einem beliebigen Punkte

mf/* getcktöMsene Reihen geometrischer Gebilde beziehen^ 9

n der Raumcnrve ans auf eine beliebige Ebene «, (welche nicht dnrch
Ä geht). Dann projicirt sich R^ in eine ebene Curve C^\ die Punkte
ußy6 in die vier Curvenpunkte a^ß'y'6\ und wir bezeichnen wie oben
den dritten Durchschnittspunkt von C^'

mit aß' durch k\
mit /5'/ durch ^',
mit y 6' durch v',
mit Ä'a' durch p',

dann ist ^' so zu construiren, wie es oben augegeben war. Lassen
wir nun das Viereck aßyd sich dadurch verändern, dass

aß stets die Gerade nV schneidet,
ßy stets die Gerade n^k\
yö stets die Gerade nv'j

80 bleiben fi'v' fest, also nach n auch p', und die Gerade Sa schneidet
stets die Gerade tcj»'. Die einzelnen Seiten des Vierecks beschreiben
also Secantenschaaren der Raumcurve i?^ (siehe oben I, 1.)* Wir
sind somit auf einen Satz geführt, der sich wieder auf Sechsecke,
Achtecke, und allgemein 2» £cko übertragen lässt, und dann folgender-
massen ausgesprochen werden kann:

Wenn jede der Seiten eines veränderlichen, einer
Raumcurve Jt^ eingeschriebenen 2n Ecks, bis auf eine
einer Secantcnschaar angehört, also ein Hyperboloid
beschreibt, so ist dasselbe mit dier letzten Seite der Fall.

Bemerkung. Verbindet man die Eckpunkte eines der Raum-
curve Ri eingeschriebenen 2n Ecks aßyd . . . mit dem Scheitel eines
der vier Kegel zweiten Grades, welcher durch R^ gehe, so schneidet
jede dieser Verbindungslinien die R^ noch einmal. Diese zweiten
Schnit^unkte seien bezüglich «iftyi^i... Die Seiten des durch sie
bestimmten Polygons und die entsprechenden Seiten des Polygons
aßyö; also beispielsweise aß und a^ßi gehören conjngirten Secanten-
schaaren an, da sie paai-weise in einer Ebene liegen. Wir erhalten
demgemäss zu dem eben besprochenen Satze den folgenden

Zaaatz. Wenn jede Seite eines veränderlichen 2n-
Ecks, welches einer R^ eingeschrieben ist, einer Secan-
tenschaar von 774 angehört, so kann man derselben R^
auch eine Schaar von 2n Ecken einschreiben, deren Sei-
ten der Reihe nach denjenigen Secantenschaaren an-
gehören, welche denen der ersteren Polygone bezüglich
conjagirt sind.

10 Augntt: Ueber den Zusammenhang gewisser Sätze, weiche sich

In Bezug auf die SpecialisiruDgen des Hauptsatzes kann natürlich
die Analogie mit den Sätzen über die S t ei ne^r sehen Polygone aach
verfolgt werden. Lässt man also etwa zwei unmittelbar aufeinander
folgende Seiten des Polygons zusammenfallen, so ist es so gut, als
üele ein Eckpunkt und zwei Seiten ganz aus dem Polygon heraus.
Dagegen können zwei nicht uumittelbar aufeinander folgende Seiten
derselben Si cantenschaar angehören. Man könnte namentlich die
erste, dritte, bis (2n — l)to Seite des Polygons aus derselben Scbaar
wählen, und die zweite, vierte, bis (2» — 2)te aus einer zweiten Schaar;
dann wird die letzte (2w)to Gerade im Allgemeinen einer dritten
Schaar angehören, die aber bei besonderer Wahl der beiden ersten
Schaaren mit der zweiten derselben identisch werden kann, so dass
man ein der R^ eingeschriebenes 2u Eck erhält, dessen Seiten ab-
wechselnd je einer von zwei Sccantenschaaren angehören. Noch
specieller können diese beiden Schaaren conjugirte Secautenschaaren
werden, also demselben Hyperboloide angehören. Es existirt also
folgender speciellero Satz:

Wenn sich auf einem Hyperboloide eine Raumcurve
vierten Grades R^ befindet von der Beschaffenheit, dass
ihr ein geschlossenes 2n Eck eingeschiieben werden
kann, dessen Seiten abwechselnd je einer der beiden
Schaaren von Generatrices des Hyperboloids augehören,
so lassen sich derselben 7?^ unzählige geschlossene 2u-
Ecke derselben Art einschreiben, und zwar kann jeder
Punkt der 7^4 als erster Eckpunkt gewählt werden.

Die Frage, wie die betreffenden Secautenschaaren in jedem Falle
gewählt werden müssen, kann natürlich leicht auf die analoge Frage
für die ebenen Curven dritten Grades roducirt werden, die in den
Arbeiten von Steiner und Clebsch erledigt sind.

Man kann nun danach fragen, ob die eben behandelte Eigenschaft
der Raumcurven vierten Grades sich abermals auf andere Gebilde
übertragen lässt. Eine solche Uebertraguug könnte etwa durch Pro-
jection der Figur von einem beliebigen Punkte n auf eine beliebige
Ebene e geschehen. Man würde dadurch auf einen Satz über ebene
Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten geführt werden, der
aber nicht einfach genug ist, um ein besonderes Interesse zu erregen;
der vielmehr um einen treffenden Ausdruck Steiners zu gebrauchen,
eine blosse Carricatur der einfacheren Sätze sein würde*).

Ein Fall aber ist es, der besondere Beachtung verdient, und mit
dem wir uns im folgenden beschäftigen werden.

•) Steiner, Systcmatis^'hc Entwirkclungen, pg. 270 unten.

auf geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen, \\

IT. Der Poneeletsche Satz.

Wählt man nämlich als Projcctionspol n den Scheitel eines der
Tier Kegel, welche durch A4 hindarchgehn, und als Bildedene «, der
bequemeren Ausdruoksweise wegen, obwohl dies an sich nicht nötig
wäre, die durch die drei Scheitel der drei andern Kegel gelegte Ebene,
die bekanntlich die gemeinschaftliche Polarebene des Punktes n für
alle Flächen /j ist, welche durch Jt^ hindurchgehen, so projicirt sich
irgend eine Secanteuschaar von R^ in die Schaar der Tangenten des-
jenigen Kegelschnittes L^^ in welchem das von der Secanteuschaar
beschriebene Hyperboloid ä, die Ebene e schneidet; conjugirte Se-
canteuschaareu projiciren sich in dieselbe Tangentenschaar (1, 1 und 2),
nicht conjugirte in verschiedene; die sämmtlichen Kegelschnitte J^'
gehen durch die vier Schnittpunkte von J?^ mit e, bilden also in e
einen Kegelschnittbüschel. R^ selber projicirt sich in einen Kegel-
schnitt IC^ der ebenfalls jenem Büschel angehört. Schreibt man nun
der R^ ein Viereck c(ßy6 ein, so wird, wie wir gesehn haben, wenn
^9^ ßy^ y^^ Secantenschaaren beschreiben, auch da eine solche be-
schreiben, und das veränderliche Viereck aßyS projicirt sich in ein
veränderliches Viereck a'/3'y'd', welches dem Kegelschnitt K^* ein-
geschrieben ist, während jede seiner Seiten einen Kegelschnitt der
Schaar L'^ berührt. Das Analogo gilt für 2n Ecke. Hierdurch
erhält man eiueu Satz, der sich von dem erweiterten Poncel et sehen
scheinbar noch dadurch unterscheidet, dass das Polygon eine gerade
Seitenzahl hat. Da aber der Kegelschnitt Ä^' auch zur Schaar L/
gehört, 80 können wir die eine Seite des Vierecks z. B. y'ö' so wäh-
len, dass sie K2 berührt, so dass also y' und ö' zusammenfallen, und
das Viereck aß'yö* in ein Dreieck übergeht, oder, um es anders
auszudrücken, wir können die Gerade y6 so wählen, dass sie durch
n geht, also die konische Secanteuschaar durch n beschreibt, und
können die verschwindende Seite in der projicirten Figur unberück-
sichtigt lassen. Ebenso können wir von einem 2w Eck zum (2n — 1)
Eck übergehen. Um aber gar keinen Unterschied in der Betrachtung
der 2n Ecke und der (2n — 1) Ecke nötig zu haben, können wir die
Seiten des ebenen Polygons abwechselnd verschwindend und nicht
verschwindend wählen, d. h. das Baumpolygon aus Secanten beliebiger
Scbaaren altemirend mit Secanten der konischen Schaar zusammen-
setzen. Wir sind somit auf den erweiterten Ponceletschen Satz ge-
führt, den wir folgendermassen aussprechen können:

Wenn sich in einer Ebene e ein Kegelschnittbüschol
V befindet, und einem ihm angehörigen Kegelschnitte
K^ ein veränderliches Dreieck, respective n Eck ein-
geschrieben ist, dessen Seiten bis auf eine je einen der

12 August: üeber den Zusammenhang gewisser Sätze, welche sich

Kegelschnitte des Büschels umhüllen, so umhüllt auch
die letzte einen Kegelschnitt des Büschels.

Insbesondere können die Seiten alle denselben Kegelschnitt be-
rühren, so dass man folgenden Zusatz erhalt:

Wenn in der Ebene e zwei Kegelschnitte so liegen,
dass sich ein Polygon zugleich dem einen ein- und dem
andern umschreiben lässt, so haben unendlich viele Po-
lygone dieselbe Beziehung zu diesen Kegelschnitten und
man kann als ersten Eckpunkt eines solchen Polygons
jeden Punkt des ersten Kegelschnittes wählen. (Damit
das Polygon reell werde, müssen sich aber von jenem Punkte reelle
Tangenten an den zweiten Kegelschnitt legen lassen.)

Dass man in der Tat die hier in Frage kommenden ebenen Ge-
bilde als gegeben betrachten und daraus die räumlichen Gebilde (R^
und den Punkt n) bestimmen kann, und zwar mit einer gewissen
Willkürlichkeit, das bedarf wohl keines genaueren Nachweises. Da-
gegen ist der zuletzt ausgesprochene Satz noch nicht vollständig
erwiesen. Bekanntlich wird nämlich jede Gerade einer Ebene von
zwei Kegelschnitten eines in dieser Ebene befindlichen Büschels be-
rührt. Wenn also sämmtliche Seiten eines dem Kegelschnitte K^'
eingeschriebenen Polygons bis auf die letzte beständig einen zweiten
Kegelschnitt L^' berühren, so berührt die letzte beständig einen
Kegelschnitt derselben Schaar, während sie in jeder besondern Lage
noch einen zweiten berührt, welcher sich indess mit dieser Lage
ändert. Denkt man sich also das Polygon in irgend einer besondern
Lage gezeichnet, und findet man, dass die letzte Seite den Kegel-
schnitt Z^' berührt, aber ausserdem noch einen zweiten Kegelschnitt
der Schaar L^^^ so ist noch zu untersuchen, ob bei der Veränderung
des Polygons Xg,©' oder ob L^' unverändert von der letzten Seite
berührt wird. Wir nehmen deshalb im Räume einen beliebigen Punkt
7t an, legen durch K^' einen Kegel, der n zum Scheitel hat, und
durch Z»j' ein Hyperboloid A«, welches als Pol von e den Punkt ir
hat, und nennen den Durchschnitt des Hyperboloids und des Kegels
R^. Da die Seiten aß\ ß'y' etc. sämmtlich X,' berühren, so sind
die Ebenen naß' etc. Tangentialebenen von h^^ enthalten also sämmt-
lich je zwei Generatrices coujugirter Schaaren von ä,. Die eine
dieser Generatrices in der Ebene naß' schneide R^ in den Punkten
«gjjj (deren Projectionen natürlich a' und ß' sind); die derselben
Schaar angehörigo Generatrix in der Ebene nß'y* schneidet R^ in
zwei Punkten, deren Projectionen ß' und y' sind, aber der erste
dieser Punkte muss von ß^ verschieden sein, weil die einer nicht
konischen Schaar angehörigen Generatrices gegen einander windschief

auf geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen, 13

sind; wir nennen diesen Punkt /J^, so dass also ßiß^ die Oeneratrix
des Kegels ist, welche durch ß' geht Denken wir uns diese Be-
trachtung fortgesetzt und die Punkte ßtß^^ yiy% auch verbunden, so
erhalten wir ein veränderliches geschlossenes 2n Eck f'iOißißi..,^i^f^
dessen Seiten abwechselnd 2 Secantenschaaren angehören, nämlich der
konischen und der einen Schaar des Hyperboloids ^21 durch Projec-
tion der Figur auf die Ebene e erhalten wir ein veränderliches ge-
schlossenes 2n Eck, das dem Kegelschnitt L^' umschrieben, dem
Kegelschnitt K^' eiDgeschrieben ist, wodurch auch der zweite der
oben ausgesprochenen Sätze bewiesen istr Schliesslich sei zu diesem
Beweise bemerkt, dass das hier gewählte räumliche Polygon die über-
sichtlichste Anordnung hat, dass man aber allgemeiner ein Polygon
hätte zu Hülfe nehmen können, dessen Seiten teils der einen Secanten-
schaar auf A«, U^\\s der conjugirton, teils endlich der konischen Schaar
angehören, wenn nur die Anzahl aller eine gerade ist, die zwischen
n und 2n liegt

T. Der Steinersehe Sati Aber die Kreisreilieii

nebst Erweitemngren.

Aus dem Ponceletschen Satze lassen sich nun noch einige andere
Sätze herleiten, in denen der Stein ersehe Satz über die Kreisreihen
als ein speciellcr Fall enthalten ist

Haben wir nämlich ein Hyperboloid, oder da es hier auf die
Realität der Generatrices nicht ankommt, eine beliebige Fläche zweiten
Grades f^^ und auf derselben eine Raumcurve Jl^, und projiciren wir
die /?4 wieder von einem der vier Kegelscheitel n aus auf die Ebene
«, welche durch die drei andern Kegelscheitel geht, so sei die Pro-
jection von Jl^ wie oben der (doppelt zu denkende) Kegelschnitt Ä^',
der Durchschnitt von f^ mit e sei Xj', so dass L^' der Berührungs-
kegelschnitt des Tangen tenkegcis von n au /^ ist, und es gehen wie-
der sowohl K2 als L/ durch die Schnittpunkte von R^ mit e. Ins-
besondere können K^' und L^' so liegen, dass ein veränderliches n Eck
a'ß'y' ,., zugleich dem Kegelschnitt K^^ umschrieben und dem Kegel-
schnitt Ijf' eingeschrieben ist (also gerade umgekehrt wie oben).
Legt man alsdann durch n und jede der Seiten dieses n Ecks Ebenen,
so erhält man eine veränderliche körperliche Ecke mit dem Scheitel
JT, deren Seitenebenen die Ji^ doppelt berühren, und deren Kauten
durch L^' gehen, also Tangenten an/, sind. Da nun die Tangente
einer Fläche auch jeden ebenen Schnitt berührt, dessen Ebene durch
sie hindurchgeht, und da ebenso jeder ebene Schnitt einer Fläche,
dessen Ebene eine beliebige auf der Fläche befindliche Curve berührt,
selbst diese Curve in demselben Punkte berührt, so schneiden die

Raumcurve li^ befiudet, von der Art, dass iu ciuer der
vier Scbaarcu von ebenen Schnitten der Fladie, welche
die Äj doppelt beröhreu, eine geschlossene Reibe von
ft Schnitten besteht, deren jeder die beiden Nachbar-
achnitte berührt, so bleibt die Reihe geschlossen, wie
man auch den ersten Schnitt der Scbaar wählt Die Ver-
bindungslinie der beiden Berührungspunkte jedes Kegel-
schnitts mit J?4, sowie die gemeinsame Tangente zweier
einander berührender Schnitte einer Schaar, schueiden
sich iu dem Punkte n, durch welchen die Ebenen der be-
trachteten Scbaar von Scbuittcn hindurchgehen.

Im besondern kann die A4 sich auch iu zwei Kcgclschultle anf-
Idscn, für die dann derselbe Satz gilt, nur dass von duu vier Sebeitela
« der durch ilj gehenden Kegel zwei unbestimmt werden, dass also
nar zwei Schaaren eigentlicher Kegelschnitte auf /i existiroii, welche
jene beiden Kegelschnitte beidbreu.

Projicirt man uuu die in diesem Satze auftretenden Gebilde von
irgend einem Punkte p aus wieder auf eilte bcliebii;c Ebene, so er-
hält man mit Rücksicht auf die in der Einleitung besprochenen Eigeu-
echaften folgende Satze:

1. Wenn man den Pol q beliebig w&hlt

Eiuc ebene Curve vierten Grades C\' mit zwei Doi>pel-
pnnkton, welche auch durch zwei Kegelschnitte ersetzt
werden kann, wird von einem Kegelschnitte viermal be-
rührt Es giebt vier Schaaren von Kegelschnitten, die
sowohl C/ als jenen Kegelschnitt doppelt berühren, und
zwar geht die Verbindungslinie der BerUbrnngspunkto
eines der Kegelschnitte einer Schaar mit C^' stets durch
einen festen Punkt n'. Irgend zwei Kegelschnitte einer
solchen Schaar, welche sich gegenseitig berühren, ha-
ben als gemeinsame Tangente eine Gerade, die eben-
falls dnrch n' gebt, und der Ort des BerUbrnngspnoktea
i{st ein Kegelschnitt Wenn eine geschlossene Reihe von

atr/* geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen. 15

fl Kegelschnitten in einer solchen Schaar existirt, von
denen jeder die beiden Nachbarkegelschnitte berührt,
so bleibt dieRciho geschlossen, wie man auch den ersten
Kegelscchuitt aus der Schaar wählen mag.

2. Wenn man q auf/s wählt.

Eine ebene Curve vierten Grades mit zwei Doppel-
poukten, welche auch aus 2 Kegelschnitten bestehen kann,
wird von vier Schaaren von Kegelschnitten, welche durch
die zwei Doppelpunkte gehen, doppelt berührt. Die
Yerbinduugslinie der beiden Berührungspunkte geht für
alle Kegelschnitte einer Schaar durch einen festen Punkt
n\ Irgend zwei Kegelschnitte einer Schaar, die sich
gegenseitig berühren, haben als gemeinsame Tangente
eine Gerade, die ebenfalls durch n* geht, und der Be-
rührungspunkt liegt auf einem festen Kegelschnitte, der
auch durch die Doppelpunkte von i?^ hindurchgeht.
Wenn eine geschlossene Reihe von n solchen Kegel-
schnitten existirt, von denen jeder die beiden Nachbar-
kegelschnitte berührt, so bleibt die Reihe geschlossen,
wie man auch den ersten Kegelschnitt aus der Schaar
wählen mag.

Da alle Kreise einer Ebene charakterisirt sind als Kegelschnitte,
welche durch die imagiuären Kreispunkto der Ebene gehen, so ent-
hält dieser Satz als speciellen Fall den Satz von Steiner über die
zwei Kreise berührenden Kreisreihen in sich.

3. Wählt man endlich noch specieller als Projectionspol q einen
Paukt auf 7^4, so wird die Protection von E^ eiue Curve dritten
Grades C^' uud eine unbestimmte Gerade, deren zwei Schnittpunkte
mit Cg' die Doppelpunkte vertreten, und wenn man nun die Gerade,
auf welche es weiter nicht ankommt^ ausser Betracht lässt, so erhält
man einen Satz für beliebige Curven dritten Grades, der sich fol-
gendermassen aussprechen lässt

Durch zwei beliebige Punkte a'ß' einer ebenen Curve
dritten Grades C^' gehen vier Schaaren von Kegelschnit-
ten, welche dieselbe doppelt berühren. Die Verbindungs-
linie der beiden Berührungspunkte jedes Kegelschnittes
einer Schaar geht durch einen festen Punkt n\ der auf
C3' liegt, die gemeinschaftliche Tangente zweier sich
berührender Kegelschnitte dieser Schaar geht durch
denselben Punkt n'\ der Ort der Berührungspunkte ist
ein Kegelschnitt, der auch durch die zwei Punkte a'ß'

woüu nß = u.2ff, also |3 = -.2ji ist, wo « und n ganze Zahlen sind;
dann bedeutet n die Anzahl der Glieder einer geschloBseuen Reihe
t» die Anzahl der Umläufe. Nun ist aber ci = jr — ^ = 2w— y^— 2n— .
woraus man erkennt, dass wenn man aus der Scbaar der Kreise,
denen die geachloaseuen Reihen angehören, zwei Parallelkreise wählt,
es auch in der einen Scliaor der Kreise, weiche diese Imiiloii Parallel-
kreise berühren, geschlossene R<;ilien giebt, die n, Glieder entlialtcu

u, u 1
und sich nach a^ Umläufen schliessen und zwar ist — -J-- .~ -.

Projieirt man nun die Figur von irgend einem Kugelpnnkte 9
siereographisch , d. h. auf eine Ebene parallel der Tangentialebene
in ff, so werden alle Eugolkreisc iu Kreise projinirt, nnd mau erhält
den Stcincr'scbeu Satz, zn dessen vollstäudigcm Beweise noch der
leicht ZB fuhrende Nachweis gehört, dass irgend zwei (einander nicht
schneidende) Ereiso der Ebene stei'eograplnsch iu zwei parallele und
gleiche Kugelkreisc projicirt werden können. Aus der oben gemach-
ten Bemerkung kann mau dann folgern, dass, wenn in einer Scliaar
von Kreisen, die irgend zwoi Kreise berObreu, gOBChlossene Reihen

avf geschlossene Reihen tjeometrischer Gebilde beziehen J 7

existiren, auch der grösste und kleinste Kreis dieser Schaar von einer
Schaar von Blreiscn berührt wird, in welcher geschlossene Reihen

existiren, und es besteht die Relation - + = ^ in derselben Be-

n 71-1 J

deutung wie oben. Es bedarf dann nur noch weniger Betrachtungen,

um zu dem St ein er scheu Satze über Kugelreihen zu gelangen, der

folgendermassen ausgesprochen werden kann:

Irgend drei Kugeln werden von vier Schaaren von
Kugeln berührt, und alle Kugeln einer dieser Schaaren
werden von einer zweiten Schaar von Kugeln berührt,
zu der jene drei Kugeln gehören. (Die gemeinschaftliche
Enveloppe beider Schaaren ist eine merkwürdige Fläche
vierten Grades, die zu den Darbouxschen Cycliden ge-
hört.) Wenn in einer von zwei derartig conjugirten Ku-
gelschaaren geschlossene Reihen von n Gliedern mit u
umlaufen existiren, deren jedes Glied die beiden Nach-
barglieder berührt, so existiren ebenso in der andern
Schaar geschlossene Reihen von n^ Gliedern und u^ Um-
läufen, und es ist wieder:

Berlin im August 1875.

An die vorstehende Abhandlung schliesst sich der in N. XVIII.
des vorigen Teiles bereits mitgeteilte

„Lehrsatz, eine gre wisse Baumcurre sechsten Grades betreffend.'^

Bei der Anordnung ist es übersehen worden, dass er zu derselben
in Beziehung steht.

D. Red.

T«U LIX.

Dieser Anforderung wird jedoch nicht iiniDor durch die wirkliche
Verzeichnung des Kegelschnittes selbst GciiOgo geleistet werden, wenn
man mitunter auch ohue besonderen Zeitaufwand eine hinreichende
Zalil von Punkten, welche dem Kegelechnitte angehören, au^ndcn,
und durch eine continuirlichc Curve verbinden könnte.

•) Uebcr die LOiung vorbriciihm-wn Problcmcs finden giKh untrr Anderm
•nch gcditgcne Abhnndlungcn in den Silin n^^herii'htrn der k, fc. Akademie
der Wi>»enlcll»ftcn in Wien, und iwsr »on Herrn HudolT Niemtschik , Band
LIX: Ucbcr die Construction der Dun-)uehnilli)innkte von Kreinrn und Kegel*
»chnittilinten. [l'n* Prindp der LOtung i»t: Dureh den Kcgnlschnill wird ein«
FUrhe S. Grade« und durch den Kreii eine Kugel derart gelegt, dara beide
Fliehen sich nach Kreiien ■ehneiden, welche ihrerBeit» die gegebenen Gurren
in deren eigenen Schnitlpunkten treffen]; ferner von Herrn Rudolf Slaudigl,
Band LVIII: Ucbcr die Durebtührnng verHchic-dcner, dio Curvon S. GmdM
betreffenden Conitmrtionen mit Hilfe von Kegel- und Cyllnderfllrbcn; — und
von Herrn E. Kuulny; Ücber die Condroction dci Durchleb niites einer Qe-
raden mit den KegelachnilUlinien. [Anaendung der Parnllel- und Central-
Projection eine» Kreises].

von GeraJen mit KfgeUvhnittsh'uien. 19

Obwohl man die Genauigkeit dnrch die Anzahl der zu verhindeu-
deii Carvenpuukte steigern kann, so wird denn doch andrerseits die
Deutlichkeit und Uebersichtlichkeit der Zeichnung durch viele Hilfs-
coDstructionen mitunter in einer Weise geschädigt, dass sich das
ünzweckmässige einer solchen Bestimmungsart nicht verkennen lässt.

Es soll nun in folgendem eine Reihe geometrischer Constructionen
angeföhrt werden, welche die directe Bestimmung der gemein*
sameu Punkte einer Geraden und eines Kegelschnittes
auf einfache Weise ermöglichen.

1. £s sind die Durchschnittspunkte d^ und tl^ einer
Geraden / mit einer durch ihre Axen AA' und Bß' ge-
gebenen Ellipse zu bestimmen.

a) Die Lösung des gestellten Problems kann entweder auf rein
analytischem oder auch auf synthetischem Wege erfolgen, und müssteu
beide Lösnngsweisen selbstverständlich zu gleichem Resultate führen.

Wält man (Fig. 1.) die grosse Axc ^1^1' der Ellipse als Abscis-
senaxe und die kleine Axc BB' derselben, als Ordinatenr.xe, so ist
bekanntlich die Mittolpunks-Gleichung der Ellipse:

aV+Ä*^*=-«**^ I)

wobei a= OA und b = OB ist.

Beschreibt man ferner über der grossen Axo als Durchmesser,
einen Kreis K, so ist dessen Gleichung:

F2+a:2 = a* H)

Obige Gleichungen können auch in. folgender Form gebracht werden :

yt ^ *'^(a2-^*) I)

F*=-a« — Ä« II)

Durch Division beider erhält man: -- = ,^ oder:

y^ b^

l=\ ..III)

d. h. y^die zu den nämlichen Abscissen gehörigen Ordinaten r und y

2*

von Geraden mit KegelschnituUnien, 21

Macht man OE » OB und verbindet den Schnittpunkt m der
Geraden / mit der Ellipsenaxe BB' mit dem Punkte E^ zieht man
femer durch Ä die Gerade -4 A/ parallel zu mE^ so verhält sich, wegen
Aehnlichkeit der Dreiecke mOE und MOAi

mO : MO ^ EOiAO ^hxa

Verbindet man nun den Schnittpunkt S der Geraden / mit der
Axe AA' mit Af, so werden die drei Geradon 05, mS und AfS alle
zu 03/ parallelen Geraden in dem Verhältnisse MCimO => aib teilen.

Fällt man daher von den Schnittpunkten D^ und D^ des Kreises
JTmit der Geraden MS Senkrechte auf AA\ so wird:

Z>jOi : rf|Oi = /JjOj, : d^O^ =» ilfO :mO = a:b

Da nun die Punkte </| und il^ der Gleichung III) genügen, so ge-
hören sie offenbar der Ellipse an, und sind somit Schnittpunkte der
Geraden / mit derselben.

b) Geht die Gerade / (Fig. 2.) durch den Mittelpunkt der Ellipse,
so braucht man bloss durch deren Schnittpunkt m mit dem über der
grossen Axe beschriebenen Kreise K eine Parallele zu AA\ und durch
ihren Schnittpunkt n mit dem über der kleinen Axe verzeichneten
Kreise K eine Senkrechte zu AA^ zu ziehen, um in dem Schnittpunkte
dieser beiden Geraden einen Punkt N der entsprechenden Kreissecante
ONy resp. Dj^D^ zu erhalten.

In Folge der Aehnlichkeit der Dreiecke Nn m und onO verhält

sich:

No: no =» mOinO = a:b.

Verbindet man nun O mit iV, und fällt von den Durchschnitts-
pimkten D^ und D^ der Geradon ON mit K eine Senkrechte auf
AA\ so ist:

d. h. die Punkte d^ und d^ der Geraden l gehören dieser als auch
gleichzeitig der Ellipse an, sind somit die Schnittpunkte der ersteren
mit der Ellipse *).

*) ad b) Geht / (Fig. 2.) durch den Mittelpunkt der Ellipse, so ist be-
kanntlich die Gleichung der letzteren:

aV+**«* = «*** I)

Die Gleichung der Geraden / hingegen:

y = aj.tgff.

, j^- a'siii'« + 6'«ia*«

rf,o — rf,o ■= yP+ä* = -r^— "^ — ■

y a* si u'n -f fc* cos *«
G'iiiÄäe .Ifr dunhjjefOhrten ConMrnrlioii ist;

mp == No = aima aiid Oo =fi,coso, also

NO = yiw^+'Öö^ = yä»sin*ir+T»cös»n.

Aus Vtll) Tulgt:

dl 0 : n = i : y^'"siD=(<4^"*cös*o ;

unrt ivf il DO = a imil 0« = ft. i»I :

0(/, : OD, = On ; OA',
wTaut rrhcllt, dass rf, der gcsDchu Schnittpunkt »ei.

von Geraden mit KegeUchniUslinien. 23

Punkte rf, die schiefe Projectioa jener Kreistangente ist, welche nach
der Umlegung in die Bildebene durch d^p^ repräsentirt erscheint, und
dass die gegebene Gerade / als die schiefe Projection einer in der
Kreisebene liegenden Geraden zu betrachten sei.

Um die Letztere gleichfalls in der in die Bildebene gebrachten
Lage darzustellen, hat man bloss zu beachten, dass der in der Bild-
fl&chtrace E^ gelegene Punkt ö der Geraden / sich selbst entspricht,
und dass der Punkt p , als der Schnittpunkt der Geraden l mit dp
die schiefe Projection eines Punktes pq sei, welcher sich nach der
Uinlegung in der Geraden ei^pQ yorfindeu muss.

Die Verbindungslinie der schiefen Projection d irgend eines Punktes
der Ehene E mit dem um deren Bildflächtrace Et umgelegten Punkte
d^ wird bekanntlich der „Tcilstral'' genannt, und entspricht dem-
selben für alle Punkte der nämlichen Ebene E die gleiche Richtung,
oder mit anderen Worten, die Teilstralen aller Punkte einer Ebene
sind untereinander parallel.

Bezeichnen wir daher mit pq den um Eh in die Bildebene ge-
drehten Punkt py so muss pp^ parallel zu dclQ sein. «

Die Gerade dp^, resp. Iq repräsentirt somit die um die Bildfläch-
trace Eh umgelegte Gerade, deren schiefe Projection l ist:

Die schiefen Projectionen di und rf^ ^^^ Punkte r^^ und rf2^
welche /q mit dem Kreise Kq gemein hat, werden offenbar die Schnitt-
punkte der Geraden / mit der Ellipse abcd darstellen, und sind die-
selben nach dem Vorigen einfach zu bestimmen, wenn man d^^d^
parallel zu tl^^ii^ parallel zu dQd zieht.

Das Verfahren bleibt dasselbe, wenn anstatt conju-

girter Durchmesser die Axen der Ellipse ab und cd (FigA.)
gegeben sind.

Es ist diessfalls <?o^ <^cr in die Bildebene umgelegte Kreisdurch-
messer, dessen schiefe Projection die Ellipsenaxe cd repräsentirt.
Hiemach wird der Teilstral dd^ senkrecht zur Bildflächtrace Eh der
Kreisebene sein.

Nebenbei sei bemerkt, dass das hier rein constructiv erlangte
Resultat Tollkommen mit dem vorher auf analytischem Wege gefun-
denen fibereinstimmt

Denn, da dp parallel zu d^pQ und parallel zu ab^ und ebenso

ddffO parallel zu pp^r ist, wird offenbar pr = dO gleich der kleinen
Halbaxe ^, und p^r ^ d^O^ gleich der grossen Halbaxe a sein. Hier-

andererseits F^M= AB+FiM, auch FtM= NM,

d. Ii. jedem einzelnen Punkte der Hyperbel entspricht die
Eigcntümlicbkoit, einen gleichen Abstand von einem fixp|n
Punkte Ff und von einem feste« Kreise K zu besitzen.

Der fixe Punkt F^ ist auch diessfalls der eine Brennpunkt der
Hyperbel, der M,tlelpunkt des festen Kreises K fiUlt mit dem zweiten
Brcnnpunlit F, zusammen , und der Radius dieses Kreises K ist der
reellen Hyperbelaxe AB = '2a gleich.

y) Für die Parabel wird der feste Kreis Ä in eine fixe Ge-
rade L (Fig. öc) Dbergehcn, wodurch nnmittclhar der bckanuten

) Slciiipr, Sjntli etil die Gconipln<

von Geraden mit Kegelschnitttlinien. 25

Eigenschaft der Parabel, dass jeder ihrer Punkte il/von einem
fixen Punkte (dem Brennpunkte F derselben) und von einer
festen Geraden, der Leitlinie X, gleich weit abstehen, ent-
Bprochon wird.

Behufs Ausführung der folgenden Constructionen wird es noch
nötig sein, die nachstehende Aufgabe zu lösen:

„Durch zwei Punkte F^ und F^ sind an einen gegebe-
nen Kreis K berührende Kreise zu führen (Fig. 6.)"

Da der zu suchende Kreis K^ resp. K^ durch F^ und F^ gehen
muss, wird dessen Mittelpunkt in eine Gerade / fallen, welche durch
den Halbirungspunkt n der Strecke F^F^ geht, und auf derselben
senkrecht steht

Legt man nun durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis JTo, der
den gegebenen Kreis K m D und E schneidet, und bestimmt man
den Schnittpnnkt P der Verbindungsgeraden DE mit F^F^^ so gilt
in Bezug auf das Vorliegende der bekannte Satz:

PD.PE^ PF^.PF^ IX)

Zieht man weiters an den gegebenen Kreis K die Tangenten P/?,
und Pi^„ so ist offenbar:

PB^^^~PB^^= PD,PE^ PF^.PF^ X)

Aus der letzteren Relation folgt, dass Pl)^ und PB^ auch als die
Tangenten eines Kreises angesehen werden können, welcher durch
F, und -Pj geht Die Berührung dieses Kreises K^ resp. K^ mit den
Tangenten PB^ resp. PB^ muss sonach gleichfalls in B^ resp. B^
stattfinden, woraus unmittelbar folgt, dass die Kreise, welche PB^ und
PB^ in i?i resp. B^ berühren und durch F^ und F^ gehen, gleich-
zeitig eine Berührung mit dem gegebenen Kreise K eingehen müssen.
Die Mittelpunkte d^ und d^ der zu suchenden Kreise K^ und K^
liegen sonach einerseits auf l und andrerseits in den Verbindungs-
geradcu F^By und F^B^^ welche letztere selbstverständlich zu den
gemeinschaftlichen Tangenten PB^ und PB^ senkrecht stehen.

3. Es ist eine Gerade l (Fig. 7.) und eine Ellipse durch
ihre Axen, oder, was gleichbedeutend ist, durch die
Brennpunkte und die Länge der grossen Axe gegeben,
man soll die Schnittpunkte derersteren mit der letzteren
direct bestimmen.

Beschreibt man aus dem Brennpunkte Fj als Mittelpunkt, mit
einem der grossen Axe AB ^ 2a gleichen Radius einen Kreis JST, so

26 Peschka: Constrttction der Üurchschnittspttukfe

haben, wie bereits gezeigt ^urdo, alle Punkte der gegebenen Ellipse
die Eigenschaft, von diesem Kreise und einem festen Punkte F^ (dem
zweiten Brennpunkt) gleich weit abzustehen. Man kann hiernach die
einzelneu Punkte der Ellipse als Mittelpunkte von Kreisen ansehen,
welche den Kreis K berühren unil durch den Punkt F^ gehen.

Unter diesen Kreisen werden nun jene aufzufinden sein, deren
Mittelpunkte gleichzeitig auf der Geraden l liegen. Besagte Kreise
werden nun aber überdiess noch durch einen zweiten Punkt F^ gehen
müssen, welcher mit F^ verbunden, einer zur Geraden / Senkrechten
entspricht, und von l den gleichen Abstand, wie F^ besitzt

Hiermit ist die vorliegende Aufgabe auf die vorhergehende zu-
rückgeführt

Legt man nämlich durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis J^,
so wird derselbe den Kreis K in den Punkten D und E schneiden,
während F^ F^ und DE sich in P treffen werden. Zieht man von P
die Tangenten an K und verbindet F^ mit deren Berührungspunkten
B^ und i^s, so erhält man in d^ und d^ die gesuchten Kreismittel-
puukte. Nachdem nun d^F^^=^ <h^i und d^F^'^^ d^B^ ist, werden
die Punkte d^ und d^ als Punkte der Ellipse und der Geraden l
gleichzeitig die Schnittpunkte der letzteren mit der Ellipse reprä-
sentiren.

Soll die Aufgabe möglich sein, d. h. soll die Gerade l die
Ellipse wirklich schneiden, so müssen, wie aus den angestellten
Betrachtungen folgt, die durch die Punkte F^ und F^ geführten Kreise
K^ und iTs, welche den Kreis K zu berühren haben, wirklich vor-
handen sein. Dieser Fall tritt offenbar nur dann ein, wenn F^
innerhalb der Kreislinie K liegt Hierin wird also das Kennzeichen
für das wirkliche Vorhandensein der Schnittpunkte einer Geraden
mit einer Ellipse liegen.

4. Eine Hyperbel ist durch ihre Axen, resp. durch
die Brennpunkte F^ und F^ (Fig. 8.) uud die Länge der
reellen Axe gegeben; man soll die Schnittpunkte d^ uud
rZg einer gegebenen Geraden / mit der Hyperbel direct
construiren.

Beschreibt man aus dem einen Brennpunkte F, mit einen, der
reellen Axe gleichen Radius einen Kreis K^ so haben alle Punkte der
Hyperbel die Eigenschaft, von diesem Kreise K und dem zweiten
Brennpunkte F^ der Hyperbel gleich weit abzustehen. Alle Punkte
der Hyperbel sind demnach Mittelpunkte von Kreisen, welche durch
Ff geben und den festen Kreis K berühren.

von Geraden mit Kegelschnitulinien, 27

Unter allen diesen Punkten werden auch hier jene Mittelpunkte
tt} and (tf festzustellen sein, welche einerseits in der Geraden l lie-
gen, andrerseits aber Kreisen entsprechen, welche ausserdem, dass
sie dorch F^ gehen, noch durch einen zweiten Punkt Fj, welcher in
Bezog auf die Gerade / symmetrisch zu F^ liegt, geführt sind. Die
oben ausgesprochene Aufgabe redncirt sich demgemäss auf die:

„Durch zwei Punkte F^ und F^ ist ein Kreis K^ resp. K^ zu
legen, welcher den Kreis Ä' berührt."

Legt man wieder, wie in den beiden vorher besprochenen Auf-
gaben durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis Kq, welcher K in D
nnd E schneidet, und zieht man vom Durchschnitte P der Geraden
DE und F^F^ Tangenten PB^ und PB^ an den festen Kreis K, so
erhält man die gewünschten Kreismittelpunkte <f| und d^ als Schuitt-
ponktc der Geraden l mit den Verbindungslinien B^F^ und B^F^ der
Berührungspunkte B^ und B2 mit dem Centrum des Kreises K,

Da aber fi^F^ » d^B^ und il^F^ = d^B^ ist, so sind d^ und ti^
die gesuchten Hyperbelpnnkte, welche zugleich der Geraden l ange-
hören, also die Schnittpunkte der ersteren mit der letzten sind.

Diese Schnittpunkte d^ und d^ sind offenbar nur dann reell,
wenn sich die zugehörigen beiührendon Kreise wirklich construiren
lassen, nämlich dann, wenn der Punkt ^3 ausserhalb des Kreises
iT fällt.

Fällt der Punkt F3 zufällig in die Peripherie des Kreises JT, so
ist constructiv bloss ein Kreis möglich, nämlich jener, der durch F^
geht und den Kreis K in F^ berührt

Es hat denmach auch die Gerade / mit der Hyperbel bloss einen
Punkt <2| gemein, d. h. die Gerade / gpht diessfalls in eine Tan-
gente an die Hyperbel im Punkte d^ über.

Das hier Erwähnte gilt selbstverständlich auch in Bezug auf
die Ellipse.

5. Es ist eine Parabel durch die Directionslinie D
nnd den Brennpunkt F^ (Fig. 9.), sowie eine Gerade / ge-
geben; man soll die Schnittpunkte der Geraden mit der
Parabel direct construiren.

Jeder einzelne Punkt der Parabel hat bekanntlich von dem Brenn-
punkte F^ und der Leitlinie (Brennpunktspolare) D einen gleichen
Abstand, d. h. die Parabelpunkte repräsentiren die Mit-
telpunkte von Kreisen, welche durch F, gehen und D
berühren.

von Geraden mit KegehchnUtsUmen. 29

Ebene B projicirt, und die Resultate dieser Projection durch K^ und
iTj dargestellt, so werden diese Letzteren, wie bekannt, gleichfalls
als irgend welche Kegelschnitte bildlich repräsentirt erscheinen.

BeU^chtet mau die Projectionen m^^ und m^ irgend eines Punktes
m des Kegelschnittes /T, und legt man durch die beiden Projections-

stralen C^mmy^ und C^mm^ eine Ebene P, so wird die Projections-

cbene B von derselben in der Geraden m^m^ geschnitten. Die ge-
nannte Ebene P enthält aber auch die Verbindungslinie der beiden

Projectionscentra Q und Q, welche Gerade CjCg die Projectiousebeue
B in S schneidet Aus dem Gesagteu geht hervor, dass auch die

Gerade m^m^ durch den Punkt S gehen muss.

Nennen wir der Kürze halber die Punkte Wj und m,, welche
Projectionen eines und desselben Punktes m der Kegelschnittsebene
IC oder des Kegelschnittes Ä^ selbst sind, „entsprechende Punkte",
so lässt sich behaupten, dass sich die sämmtlichen Yerbin-
dungsstraleu entsprechender Punkte in einem und dem-
8 elben Punkte <S schneiden werden, und zwar in jenem, welcher
mit dem Burchschnittspunkte der Yerbindungsgeraden beider Pro-
jectionsoentra mit der Bildebene B zusammenfällt«

Femer schneidet die Ebene E des im Räume befindlichen Kegel-
schnittes K die Projectionsebene B nach einer Geraden «.

Projicirt man nun irgend eine Gerade l der letztbenannten Ebene
£, indem man C\ und C^ als Projectionscentra voraussetzt, gleich-
falls auf die Ebene B^ so müssen sich beide Projectionen l^ und l^
in einem Punkte t der Geraden s schneiden, welcher Punkt gleich-
zeitig der Schnittpunkt der erwähnten Geraden l mit der Bildebene
B ist, und mit jenem der Projectionen l^ und l^ zusammenfallen muss.

Kennen wir analog der früheren Bezeichnung, Gerade /, und l^,
welche Projectionen einer und derselben Geraden l in der Ebene E
des Kegelschnittes K sind, „entsprechende Gerade", so folgt,
dass die Schnittpunkte aller entsprechenden Geraden
aufeiner und derselben Geraden, und zwar in der Trace
s ihrer Ebene E auf der Projectionsebene B liegen
müBsen.

Zieht man demnach in den entsprechenden Punkten m^ und m^
der Kegelschnitte K^ und K^ Tangenten an letztere, so werden sich
dieselben in einem Punkte t der Geraden « begegnen müssen, nach-
dem dieselben die Projectionen der Tangente an den Kegelschnitt K
im Punkte m, also entsprechende Gerade sind.

KegelBchnittes K, durch oiuc Gerade l,, so werden sich dicso beiden
Geradeu in einem PuuktG r der ßildflllcbtrace « jener Ebene E
schneidon, in welcher der Kegelschnitt ^, dessen centrale Pro jectionon
Ä'j nnd Kt sind, liegt. Einen zweiten Punkt u crbUt man als Srbuitt
der entsprechenden Geraden bij/j, und m^Pf Durch die Punkte r
nnd u ist nun die Gerade «, d. i. die Traco der Ebene des gegebenen
KegelBchnittcB, votlstiiudig bestimmt.

Wäre beispielsweise die eine Curve, etwa der Kegelschnitt /IT,
nicht wirklich gezeichnet, und sollt« man jenen ibni angc-
hOrigen Punkt n, finden, welcher dem Punkte a^ des Kreises K^ ent-
spricht, so hat man vor Allem bloss zu bedenken, dass o, auf dem
Strale Sa, liegen niuss. Zieht man weiters etwa die Gi'rade a,m,,
80 wird die eutsprechendc Gerade a,>nj einerseits durch m, .nnd
andrerseits dnrch d^n Punkt t gehen, in welch' Letzterem die Ge-
rade otvi, die Trace t schneidet. Der Schnitt von m^t und OfS be-
stimmt demnach den gesuchten Punkt oi.

Diesen allgemeinen Entwickeln ngen zufolge wird ea nun keinen
weiteren Schwierigkeiten unterliegen, folgende Aufgaben zu Iflsen.

Ein Kegelschnitt (Ellipse Fig. 12.}, welcher durch
twei Tangenten und drei seiner Punkte' bestimmt ist,

von Geraden mit KeyeUchnituUnien. 31

Dod eine Gerade sind gegeben; man soll die Schnitt-
punkte dieser Geraden mit dem Kegelschnitte dircct
construircn.

Die beiden Tangenten seien «j* und t^^ die drei gegebenen Punkte
seien a^byc^^ und der hiedurch bestimmte Kegelschnitt sei kurz mit
K^ bezeichnet Die gegebene Gerade sei l^.

Wird nun den beiden Tangenten t^^ und t^ ein Kreis K^ ein-
geschrieben, so kann derselbe ebenso wie K^ als die Projection irgend
emes im Räume befindlichen Kegelschnittes K angesehen werden.
Die den Punkten a^b^c^ entsprechenden Punkte (tib^c^ erhält man
als Schnittpunkte der Geraden a^ «S, b^ S und c^ S mit dem Kreise JT^,
wenn S den Schnittpunkt der beiden Tangenten t^^ und t^^ darstellt

Als Schnitte der entsprechenden Geraden a^b^^ und a^b^ ergibt
sich a und als jenen von a^ci und a^c^ erhält man /?, welche Punkte
mit einander verbunden, dem Gesagten zufolge die Trace s der Kegel-
schnittsebene E bestimmou. Suchen wir nun die der gegebenen Ge-
raden li eutsprechende Gerade l^. Der Punkt y, in welchem l^ die
Trace s schneidet, liegt selbstverständlich auch in Z^; femer begegnen
sich Z, und 04 c, im Punkte /„ weshalb, wenn man /j mit S verbindet,
der dem Punkte /i eutsprechende Punkt in /g gefunden wird. Man
erhält sonach die Gerade /g durch die Verbindungslinie der Punkte
y und /j. Diese Gerade l^ schneidet den Kreis K^ in tlg^ und d^K
Letztbezeichnete Punkte sind nun offenbar jene, welche den Schnitt-
punkten der Geraden ^ mit dem durch *i', <i^, Oj, *i und cj gege-
benen Kegelschnitte K^^ entsprechen, und welche man unmittelbar in
di^ und nf]^ findet, wenn man die Ycrbinduiigsgoraden Sd^^ und Sd^^
bis zum Schnitte rZ,* und r/j* mit der Geraden Zj verlängert.

Auf ganz gleiche Weise kann die Aufgabe auch dann gelöst wer-
den, wenn etwa anstatt der Punkte b^ und q die Berüh-
rungspunkte p^^ und pi^ der Tangenten t^^ und fj^ mit dem
Kegelschnitte K^ und ausserdem ein Punkt o^ der Curve
gegeben sind, indem es offenbar ganz gleichgiltig ist, welche Lage
die in Fig. 12. gewählten Punkte a^b^ und Ci gegen einander haben,
daher man anstandslos, ohne eine Aenderung in der Lösung des Pro-
blemes herbeizufQhren, auch jene von aj, />,^ und p^^ annehmen kann.

Auch in dem Falle lässt sich die Aufgabe leicht durchführen,
resp. auf die vorhergehende reduciren, wenn der Kegelschnitt
durch 5 Punkte aib^c^tti und e^ gegeben ist, indem sich mit
Hilfe des Pascal'schen Satzes, „dass die 3 Schnittpunkte der
Gegenseiten eines dem Kegelschnitte eingeschriebenen
Sechseckes auf einer Geraden liegen'^ ^^ ^^^^ diesen Punk-
ten die Tangenten des Kegelschnittes leicht construiren lassen.

welcher den Taugcoten f,' und ',' eingeschrieben ist. Der Schnitt
der beide» letzteren erfolge in S. Vermöge der demselben beigelegten
Bedentuug, lassen sich nun mit ZabilfoDahme der Geraden o^iS und
li^S die den Funkten n, uud h^ eutsp rechen den Punkte a, und &j im
Kreise Kg auffinden.

Die Verbiiiduogsgerade a^^i i°^ die Tangente t,^ schneiden sich
in p, , welchem Punkte auf a^hi der Punkt p^ entspricht, und zieht
man von dem so erhaltenen Punkte p^ an den Kieis K^ eine Tan-
gente (j*, so wird dieselbe offenbar entsprechend der Tangente t,' sein.
Nun schneiden sich die Geraden a,£, und a^b^ in a, während sich
die Tangeuten t,' nnd ig° im Punkte ß begegnen; es wird daher aß
resp. » den geometrischen Ort der Schnittpunkte aller
Paare entsprechender Geraden (die Trace der Kegelschnitts-
ebene E) ropräsentiren.

Um nnn die Schnittpunkte d,* nnd d,* der Geraden t^ mit f,
anfza6nden, ermittle man die derselben entsprechende Gerade ^ ein-
fach dadurch, dass man zvei Punkte der letzteren aufsucht. Der
eine Punkt y ergibt sich als Schnittpunkt von ', mit der Trace t;

ton öeraden mit KtgtUchnituUnUn, 33

der Kwdte Pookt r^ hingegen wird sich als deijenige Punkt der Ge-
raden If ergeben, welcher zugleich in o^^ liegt und dem Punkte r^
(Schnittpunkt von a^b^ und l^) entspricht.

Die Schnittpunkte von r^y resp. /^ mit K^ sind somit d^ und d^
welch' letzteren in dem Kegelschnitte K^ die verlangten Schnittpunkte
d^ und d^^ entsprechen.

Dass die L()sung der gestellten Aufgabe ganz unabhängig von
der Lage der Punkte a^ und b^ sei, ist selbstverständlich. Dieselben
können daher, ohne dass eine Aenderung der Construction hiemit
verbunden wäre, auch in die Berührungspunkte von je zwei
der gegebenen 3 Tangenten ttbergehen.

Dies berücksichtigt, lässt sich auch folgende Aufgabe auf die
eben besprochene zurückfahren:

8. Es soll der Durchschnitt einer Geraden l^ mit
einem durch 5 Tangenton ty^h^tt^tx^t^^ gegebenen Kegel-
schnitte iT] direct gesucht werden.

Nach dem Brianchon' sehen Satze lassen sich sdir einfach die
Berührungspunkte dieser Tangeuten bestimmen.

Der genannte Satz lautet: ),Die Verbindungslinien der
gegenüberliegenden Eckpunkte eines dem Kegelschnitte
umschriebenen Sechseckes schneiden sich in einem ein-
zigen Punkte." Das Fünfeck Ä^B^C^D^E^ (Fig. 15.), welches
durch die gegebenen 5 Tangenten gebildet wird, kann uämlich als
ein Brianchon'sches Sechseck, in welchem zwei Seiten in eine zu-
sammenfallen, angesehen werden.

Sei oj^ d^ Berührungspunkt von i^ resp. Ä^B^^ so ist dieser
Punkt als der sechste Eckpunkt des gegebenen Polygons, und Ä^ii^
sowie B^a^ als zwei verschiedene Seiten desselben aufzufassen. Es
sind sodann J^ und B|, A^ und C\, D^ und a^^ offenbar als gegen-
flberli^ende Punkte des Sechseckes zu betra(^ten, welchen Punkten
nrit einander verbunden der gemeinschaftliche Schnittpunkt M^ ent-
spricht. Verbindet man daher B^ mit E^ und A^ mit C|, so erhält
man den Berührungspunkt a^ als Schnittpunkt der Geraden M^D^
mit A^ B^ resp. t^. Ein zweiter Berührungspunkt kann auf die gleiche
Weise leicht aufgefunden und somit die gestellte Aufgabe, bezü^ch
der Bestimmung des Durchschnittes in der Form, wie unter Auf-
gabe 7) besprochen, durchgeführt werden.

9. Eine Gerade l^ (Fig. 16.) ist gegeben, und eine Hy-
perbel ist durch zwei conjugirte Durchmesser A^B^ und

T«aux. 9

von Geraden mit KegeUchnüulinten. 35

Da die boiden Büschel d und e in Bezng anfeinander projectivisch
sind, so werden es auch die genannten Pnnktreihen sein.

Nun sind jene Punkte cL^ und d^ der Geraden 7, in welchen je
zwei entsprechende Stralen der Büschel d und e zusammentreffen,
einerseits Punkte des Kegelschnittes und andrerseits Doppelpunkte
der Punktreihen A^B^C^ und A^B^C^. Um letztgenannte Doppel-
punkte d^ und d^ zu finden, verbindet man (Standigl, Neuere Geo-
metrie, Seite 140.) A^Bj^C^ und A^B^C^ mit irgend einem Punkte M
eines beliebig gewählten Kreises JT, und bestimmt die zweiten Schnitt-
punkte fXtßiYi ^^^ <>^s^sy« dieser Verbindungsstralen mit dem Kreise
K, Verbindet man weiter den Schnittpunkt a der Geraden aißf und
a^ßi mit jenem p von a^y^ und a^Yi dui'ch eine Gr^ude ö^d^ und
zieht man S^ M und f^^ 3/, so wird / von diesen letztbezeichneten Ge-
raden in den verlangten -Punkten d^ und d^ des durch abcde gege-
benen Kegelschnittes getroffen.

Es ist der Schnitt einer durch ihre Axen gegebenen
Ellipse mit einem Kreise zu construiren, dessen Mittel-
punkt mit dem Mittelpunkte der Ellipse zusammenfällt.

Verzeichnet man über der grossen und kleinen Axe der Ellipse
die Kreise K und k (Fig. 18.) *) und zieht man durch den Mittel-
punkt O beliebige Transversalen , von denen jede die ^beiden Kreise
in zwei Punkten or| und y,, a^ und y^ • • • schneidet; fällt man ferner
von ajo, . . . Senkrechte zu AB^ und führt durch yj, y2 • • • Paral-
lele zu AB^ so schneiden sich je zwei dieser Geraden in Punkten
AA^s • • • der Ellipse.

Beschreibt man nun über der Differenz der Halbaxen der Ellipse,
also über der Geraden AE als Durchmesser einen Halbkreis, so wird
von demselben der gegebene Kreis K^ in einem Punkte p geschnitten.

Das Dreieck ApE ist bei p offenbar rechtwinklig. Dreht man
dasselbe um den Mittelpunkt O, so wird es endlich auch eine Lage
''lAh annehmen, in welcher die beiden Katheten desselben parallel
zu den Axen der Ellipse laufen, wobei also P^^ P^ . . . Punkte der
Ellipse vorstellen werden.

Nachdem aber der Punkt p bei seiner Drehung um O den Kreis
Kx beschreibt, so werden P^P^ , , , auch auf dem Kreise K^ liegen,
hiemach also die Schnittpunkte des Kreises K mit der Ellipse ABCD
bestimmen. Soll das Dreieck ApE die genannte Lage einnehmen,

*) Standigl, SitauDgsberichte der k. k. Akademie der Wiasenscbaften in
Wien.

8*

36 Peschka: Constructton der Durehschnittspunkte

80 muss pE II ABj oder was dasselbe ist, es muss ^ cti yj P^ « ^ ^^P^
folglich auch ^ a^OA = ^ AEp werden. Trägt man also den letzt-
bezeichneten Winkel von AO aus auf, so erhält man eine Transver-
sale a^Oy für welche der EUipsenpnnkt P^ gleichzeitig auf K^ liegt.
Die anderen drei Schnittpunkte PiP^P^ sind zu P^ in Bezug auf die
Ellipseuaxen symmetrisch gelegen.

Auch auf eine einfache empirische Weise lassen sich
die Schnittpunkte einer Ellipse E mit einer beliebigen
Curve C (Fig. 19.) auffinden.

Ist beispielsweise die Ellipse E durch ihre Axen AB und CD
gegeben, so kann man einzelne ihrer Punkte auf folgende Weise be-
stimmen:

Trägt man nämlich mittelst eines Papierstreifens die Länge der
grossen Halbaxe AO von einem Punkte p aus auf und wiederholt
das Gleiche von demselben Punkte p mit der kleinen Halbaxe OC,
rerschiebt man ferner den Papierstreifen auf der Zeichnungsfläche

in der Weise, dass die Halbaxendifferenz ab mit ihren Endpunkten
stets auf den Axenrichtungen liegt, so beschreibt der Punkt p die
Ellipse E. Ist nun C die vorerwähnte beliebige Curve, so hat man
den Papierstreifen in jene Lagen zu bringen, in welchen der Punkt a
auf CD, der Punkt b a,uf AB und p auf der Curve C liegt. Die dem
Punkte p entsprechenden Curvenpunkte D^D^ . . , sind die gesuchten
Schnittpunkte der beiden Curvcn untereinander.

Brunn, den 24. December 1874.

Aufgabe. Eine Ellipse ist durch zwei conjugirte
Durchmesser gegeben-, es sind die Schnittpunkte dieser
Ellipse mit einer Geraden L zu finden, welche zu dem
einen der beiden Durchmesser ab parallel läuft

Um vorstehendes Problem zu lösen, dQrfte es zweckmässsig er-
scheinen, folgende Bemerkungen vorauszuschicken.

Sind tj und t^ (Fig. I.) zwei aus C projicirte perspecUvischo
Punktreihen, d ihr Schnittpunkt, t^^ und u^ ihre Gegenpunkte, so gilt
iür jedes Paar entsprechender Punkte a^ und a^ bekanntlich die
Relation:

von Geraden mit KegeUchnituUnien. 37

^^^ Oder

Dieses Prodact ist coDStant and wird die projectivische Potenz
genannt

Denkt man sich die Reihe t^ um ihren Schnittpunkt d mit der
Reihe t^ so lange gedreht, bis sie mit der letzteren zusammenfallt,
80 erhält man zwei aufeinander liegende projectivische Punktreihen,
welche in dem Schnittpunkte d^d^ ihrer Träger i^t^ einen Doppel-
punkt besitzen.

Wird durch C ein Stral so gezogen, dass er mit ^ und t^ gleiche
Winkel einschliesst, so schneidet derselbe die Träger t^ und t^ in
zi?ei entsprechenden Punkten d^^d^^y welche nach der Drohung zu-
sammenfallen, also den zweiten Doppelpunkt repräsentiren.

Aus dem gleichschenkligen Dreiecke Cv^d^ folgt, dass Cv^^d^v^
und da auch Cv^ ==* <^«h wird: d^^v^^ d^u^ d. h. der eine Doppel-
punkt d^ ist vom Fluchtpunkte t*x ebenso weit als der zweite Doppel-
punkt d^ ?om anderen Fluchtpunkte v^ entfernt, oder: die Doppel-
punkte liegen zu den Fluchtpunkten sjrmmetriscb.

Die vorher unter a) angeführte Relation auf den Punkt d^^d^^
Obertragen, lautet sonach : % rf,^ X «'s^^* = "i oj X »jOj ■=■ ^d^y^v^d^.

Nachdem aber die Punkte €l^ und d^^ nach vollbrachter Drehung
ZQsammenfallen, ist: t^^d^^ ^u^d^^ und ebenso v^d^ ^ v^d^-^ ^% wird
daher auch:

Sind somit bei zwei aufeinanderliegenden Punktreihen die Flucht-
pirokte und ein Paar entsprechender Punkte gegeben, so lassen sich
die Doppelpunkte leicht finden.

Dieses der zu lösenden Aufgabe zu Grunde gelegt, wollen wir
a und 6 (Fig. II.) als die Scheitel zweier projectivischer Stralen-
büschel annehmen, von welchen sich je zwei entsprechende Stralen
in einem Punkte der Ellipse schneiden. Diese Stralenbttschel geben
im Schnitte mit der Geraden L zwei aufeinander liegende projectivische
Punktreihen, deren Doppelpunkte offenbar die Schnittpunkte der Ge-
raden L mit der Ellipse liefern werden. Es handelt sich sonach blos
um die Ermittelung der bezeichneten Doppelpunkte, um die gestellte
Au^be als gelöst betrachten zu können.

Der Stral ab schneidet die Gerade L im Unendlichen, während

Mendthal: Betträge zur Lösung einiger bekannten geom. Aufgaben- 39

m.

fieiti%e znr Losung einiger bekannten geometrischen

Aufgaben.

Von
Mendthal,

Yorbemcrkung. Bekanntlich wird jede durch einen beliebigen
Pol P gelegte Secante durch dessen Polare und den Kreisumfang
bannonlsch geteilt, und man kann in jeder solchen Zusammenstellung
den Pol als Projectionsmittelpunkt, die Polare als Projectionsaxe
und die zu beiden Seiten der letzteren gelegenen Umfangspunkte je
emen z. B. a oder b^ (Fig. 1.) als harmonisches Bild des anderen,
z. B. Ton oj oder b betrachten. Auch kann man ebenso z. B. von
einer beliebigen Linie p^ c ihr harmonisches Bild p^ Cj, von Punkt tl^
das harmonische Bild Punkt dy u. s. w. entwerfen.

Diese Umbildung lässt sich für die anschauliche Behandlung einiger
Aufgaben und Lehrsätze zweckmässig verwenden, wofür diese Zeilen
einige Beispiele liefern sollen.

1. Aufgabe. Durch gegebene Punkte o, b und c sollen die Seiten
eines in den Kreis K eingeschriebenen Dreiecks gelegt werden:

Auflösung. Verbindet man die Punkte a — b^F^ durch eine ge-
rade Linie und wählt den Punkt, dessen Entfernung von seiner Polare
PiPf durch a — b halbirt wird, als Projectionsmittelpunkt — d. h. den
Punkt P, für welchen a— ft die Linie gleicher Potenzen mit Kreis K
darstellt — so werden die harmonischen Bilder von a und b auf den
enteprechendeu Richtungen Fa und Fb sich unendlich weit entfernen,
und diejenigen aller Linien, welche a oder b berühren, entsprechend
parallel zu Fa oder Pb erscheinen.

Mtndthali Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom, A^fgahen, 41

Das harmonische Bild OißiYi des Dreiecks aßy wird demnach
ein bei Oj rechtwinkeliges sein, dessen Seite y^ß^ ein Durchmesser
des Kreises Je ist

Die vorliegende Aufgabe wird demnach darauf zurflckgeffthrt,
durch zwei gegebene Punkte die Katheten eines rechtwinkeligen
Dreiecks zu legen, dessen Hypotenuse der Durchmesser eines ge-
gebenen Kreises ist.

Um die Figur nicht zu überladen, werden in Figur 4. nur die
harmonischen Bilder a^ik) — ^^ und c^ der Punkte abc gezeichnet.
£m Halbkreis über b^<^ schneide den gegebenen Kreis in den Punkten
Oj und a^ deren jeder ein harmonisches Bild ck^/^i/i und n^ß%yt des
za findenden Dreiecks aßy darstellt.

Man ersieht zugleich in welchen Fällen zwei, eine oder keine
Lösung möglich ist

Bemerkung. Diese Auflösung gilt auch dann, wenn nur einer
der gegebenen Punkte innerhalb des Kreises k liegt

3. Aufgabe. Die vorhergeheudcn Aufgaben für den Fall zu lösen,
wenn die Punkte a, b und c ausserhalb des gegebenen Kreises k
hegen, ihre Verbindungslinien aber denselben schneiden.

Auflösung, ttßy (Fig. 5.) sei das gesuchte Dreieck, in dessen
Seiten die Punkte a, b und e liegen sollen. Die Polare von a sei
TPPi ui^d p ihr Schnittpunkt mit bc,

Constmirt man nun einen Projectionsmittelpunkt Pj, für welchen
ap die Linien gleicher Potenzen mit dem Kreise k ist, so wird das
harmonische Bild dieser Figur folgende Eigenschaften besitzen. Die
Bilder der in a sich vereinigenden Linien werden parallel der Linie
Pia^ ebenso die Bilder der in p sich vereinigenden Linien parallel P^p.

Da die Linie ppi die Berührungspunkte trifft, welche den von a
an den Kreis k gezogenen Tangenten angehören, die harmonischen
Bilder dieser Tangenten aber einander parallel werden, so trifft das
harmonische Bild der Linie pp^ den Mittelpunkt des Kreises Ar, die
beiden Systeme paralleler Bilder stehen auf einander senkrecht und
es wird aus den gegebenen Stücken nach ihrer harmonischen Um-
bildung in Bezug auf den Projectionsmittelpunkt P| sich das Schema
Figur 6. darstellen.

Die Punkte b^ und c^ sind die harmonischen Bilder der Punkte
i und e\ das harmonische Bild et, /?, y^ des zu suchenden Dreiecks ist
%o zu zeichnen, dass die Seite

Wird hiebei nun einer der Schenkel des Winkels Pba, (Fig. 7.)
z. B. Pb parallel der Liuie ab, und gewinnt die Lage P/'j, wahrend
der Schenkel Pa in die Lage i'o gelangt, eo würde auch das ont-
sprcchende barmonischo Bild a^yt der Dreieckseite uy parallel zn
Pbf oder ab worden.

Für diesen Fall aber wird die Dreieckscite ay in die Linie ay,
übergehen, glcicbfalls als solche parallel der Linie ab werden aud die
Aufgabe darauf zurückgeführt sein, ein in den Kreis k eingeschriebenes
Dreieck zu zeichuen, dessen Seiten

aß durch Punkt e
ßff durch Punkt o
geben, während ay^ parallel ob wird.

Der Punkt o lässt sich nach der gegebenen Horleituiig bestiranion
oder auch ohne Constrnction des Punktes P finden, da aus der Gleich-
heit der Winkel aPo — bPb^ — abP sich das Rochteck ao X ab
gleich der Potenz des Punktes a für den Kreis k ergicht

Mendihali Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom. Aufgaben. 43

Dieses Gesetz folgt andrerseits auch aus der Gleichheit der Winkel

aoß =» jJy«« = aylf

and ist Ton Giordano Ottajano für die Lösnng der hier behandelten
Aufgaben (Memorie della societä italiana, Verona. 4. Band) benutzt
worden, indem er ganz in derselben Weise noch einen der anderen
beiden Punkte in unendliche Entfernung verlegt und dadurch die Auf-
gabe erhält, ein Dreieck in einen Kreis zu beschreiben, dessen eine
Seite einen der Lage nach gegebenen Punkt berührt, während die
beiden anderen Seiten gegebenen Linien parallel gerichtet sind. Den-
selben Gang der Lösung benutzt er für das einzuschreibende Vieleck,
dessen Seiten gegebene Punkte berühren sollen.

£s lassen sich aber noch weitere Folgerungen ziehen, indem auch
für jede andere Lage des Winkels aP6, z. B. für a^Pb^ aus der
Gleichheit der Winkel a^Po^ b^Pb^ ^^ a^b^P die Gleichheit des
Rechtodui o^o X <>s^s ^i^ ^^^ Potenz des Punktes o, für den Kreis k
sich ergiebt

Es lässt sich ausserdem sehr leicht nachweisen, sei es unter Her-
anziehung der obigen Betrachtungen, sei es durch nachträglichen Be-
weis vorhergegangener Annahme, dass dieses Gesetz für alle Lagen
der Punkte abc, innerhalb oder ausserhalb des Kreises, volle Geltung
hat, so dass man im Stande ist, jede der hier vorgetragenen Lösungen
unmittelbar oder mittelbar für jedwede Lage der Punkte abc anzu-
wenden, nachdem man dieselben mit Hilfe des Punktes c entsprechend
vorbereitet hat

4. Aufgabe. Es sind in der Ebene eines Kreises k beliebig viele
Punkte gegeben; man soll ein in den Kreis beschriebenes Vieleck
zeichnen, in dessen Seiten je einer jener Punkt« liegt.

Auflösung. In Figur 8. seien z. B. a, ä, c, rf, e, / die gegebenen
Punkte; die entsprechenden Eckpunkte des zu zeichnenden Vielecks
seien oi, ftc, pd, etc bezeichnet, je nachdem sie durch die auszuführende
Construction mit a und J, b und c, c und d etc. durch die Vielecks-
Beiten zu verbinden sind.

Nach den vorher entwickelten Gesetzen lassen sich nun die Punkte
a und b längs ihrer Verbindungslinie so verschieben, dass a in eine
beliebige ausserhalb des Kreises gelegene Linie mn fällt; diese neue
Lage der beiden Punkte werde mit a^ und b' bezeichnet. In der-
selben Weise lässt sich aus der Verbindung von *' mit c der erstere
Tunkt gleichfalls in die Linie mn verlegen und werde daselbst mit
\ bezeichnet, während die zweite Lage c des Punktes c mit d ver-

neo kano.

Construirt man nan den Punkt P, für welchen mn die Linie
gleicher Potenzen mit Kreis k ist, und zieht Figur 9. die Liuien l^a^,
Fbi,Pci, Pdi, femer, entsprechend aneinanderschliessend , im Kreise
k des genaunten Linien parallele Sehnen, so worden diese unabhängig
Tom Anfangspunkte ihrer Yerzetebnung, paarweise Je einen Bogen
von gleichbleibender Länge umochliessen und deshalb zwischen An-
fangs- und Endpunkt dieser Verzeichnungen einen Kreisbogen von
gleichbleibender Länge ergeben, wo auch immer mit der Verzeich-
nung begonnen wird, welcher entweder eine, oder — wie hier — zwei
Vieleckseitcn umfassen mnss, je nachdem eine ungerade oder gerado
Anzahl von Punkten gegeben war.

Für ersteren Fall bat man von dem ausserhalb mn gebliebenen
Pnnkt eine Secanto durch den Kreis k zu legen, so dasa ihr inner-
halb des letzteren gelegener Teil gleich der Sehne des Schlussbogena
wird,

FUr den anderen Fall hat man Ober der Verbindungslinie der
beiden ausserhalb mn gcblieboncn Punkte einen Kreisbogen zu zeich-
nen, welcher den erwähnten Schlnssbogen im Kreise k zu einem Voll-
kreisB ergänzt Die Schnittpunkte dieses zweiten ßogens mit Kreis
k bilden dann Eckpunkte des gesuchten Vielecks, oder vielmehr ein
harmonisches Bild derselben in Bezug auf den Projectionsraittelpunkt
P. Selbstveratandlich wird auch fOr die ausserhalb mn verbliebenen
Punkte deren Verlegung oder harmonische Uehcrtragung zur Ans-
fQbrung der eben erwähnten CoDstmction zu verwenden sein. Die
Richtigkeit des Verfahrens findet ihre Darlegung in den vorangegan-
genen Betrachtungen.

Man kaun aber noch nach einer anderen Uethode bei der LO-
sang dieser Aufgabe verfaliren.

Seien a, b, c, d (Fig. 10.) die gegebenen Punkte. Verbindet man
a mit b, c mit d nnd verlegt beide Punktenpaare, ab nach b^by, ed
nach e,(f, und zwar so, dass b^ und c^ auf einnDdcrfallen, go fallen
auch die entsprechenden beiden Vielcckseitcn anfeinander und a, und

Mendthal: Beiträge xur Lösung einiger bekemniin geom. Aufgaben, 45

dl sind als zwei unmittelbar Mntereinanderfolgende Punkte für die
Verzeichnung des Vielecks zu betrachten. Demnach wird der Punkt
bc ausfallen und an Stelle der beiden Punkte ab und cd Punkt e^d^
treten.

Man wird bei einer ungeraden Zahl von Punkten zuletzt noch
drei ttbrig behalten, und damit nach einer der angegebenen Methoden
die verlangte Figur anfertigen können.

Bei einer geraden Anzahl von Punkten werden nur noch zwei
Qbrig bleiben, deren Verbindungslinie unmittelbar einen der verlangten
Eckpunkte ergiebt

Wenn in Fig. 11. durch abed vier ttbrig gebliebene Punkte, durch
a&, bc^ cd und ad die vier Eckpunkte eines durch jene vier Punkte
bestimmbaren Kreisvierecks bezeichnet werden, so ersiebt man ohne
Weiteres aus der Figur, wie nach Ausschluss der Punkte b und c
die Verbindung von a^ und rfj, welche aus der Verschiebung von b
nach 5j und von c nach c^ aus den Punkten a und d sich entwickeln,
unmittelbar der Eckpunkt %^j, gleichbedeutend mit ady gewonnen
wird.

Bemerkung. Mit der hier angewendeten harmonischen Projec-
tionsmethode lassen sich einfache Beweise für geometrische Lehrsätze
herleiten, ohne das Gebiet der ebenen oder elementaren Geometrie
za verlassen. Zur Erläuterung diene folgendes Beispiel.

Der bekannte Satz über das Pascalsche Sechseck ergiebt sich in
einfachster Weise nach der angeführten Methode, wenn die Verbin-
dnngslinie von Schnittpunkten zugeordneter Seiten ausserhalb des
Kreises fällt

Da aber die Mittellinie zvdschen Pol und Polare stets ausserhalb
des Kreises fällt, so erscheint zunächst das in Rede stehende Ver-
fahren dann unbrauchbar, wenn die erwähnte Verbindungslinie den
Kreis schneidet Aber auch ftlr diesen Fall ergiebt sich in der er-
wähnten Richtung ein sehr einfacher Beweis.

abcdef (Fig. 12.) sei ein Kreissechseck. Es soll bewiesen wer-
den, dass der Schnittpunkt von af und c^^ in einer Geraden mit den
8chmt^)unkten ab — de und bc — ef liege.

Der Schnittpunkt von ab und ef liege in «, der von bc und de
in 0; sucht man denjenigen Punkt P, für welchen aß die Linie
gleicher Potenzen mit Kreis k darstellt, und entwirft aus P als Pro-
jectioQsmittelpunkt das harmonische Bild der ganzen Figur, so ent-
steht das Schema Fig. 13., worin die gleichen Bezeichnungen bei-
behalten sind. bpt^Pt wird ein Parallelogramm, adp^ und cfp^ sind

eelben in glcichcD Entfernungen einen beliebigen Punkt /' als Pro-
jectJonsmittelpunkt aud eine Linie pp, als Projectionsaxe , entwirft
darauf ein harmoDiscboa Bild der ganzen Figur, so entsteht das
Schema Fig. lö., worin die Bilder gleiche Bezeichnung mit ihren
Gegenständen erhalt«n haben.

In dieser Figur sind also die Linien AB, AA^, BBi, ferner die
Punkte ab nnd endlich die Richtung der Linie aß gegeben; der
Punkt Y '^^ >''"> B" ^u zeichnen, dasa tiß jiarallel ihrer gegebeneu
lUchtnng wird. Dieses folgt eiufach daraus, dass die Bilder der
Punkte C und c in unendliche Eutferuong gefallen sind.

Zieht man aa^ und ££, parallel zu AA^ oder BB,, femer die
Linien a&, und £a,, so wird ßi nnd «, bestimmt; deshalb wird ßiß
sich von «, a nm eine bekannte Lauge unterscheiden. Nennt man
diesen Unterschied ä, so wird d,o =: i-|-</, wenn ßiß ^ x gesetzt
wird. Nennt man ferner die Lauge ß,ßi = n, die Länge njo = m
nnd die Teile der Linie j-j'i nach den Bezeichunugeu der Figur, so
wird man aus

nach beliebigen elementaren Methoden z constmircu und damit a, ß
nnd Y bestimmen können, welche als harmonische Bilder ohne Wei-
teres zu den entsprechenden gesuchten Pnnkton der ursprOnglichen
Figur ftlhren.

2. AoflOsnug. (Fig. 16.) Uan ziehe inaerhalb eines gegebenen
Winkels ABC durch den festen Punkt p eine Linie, welche die
Schenkel des Winkels in a und c schneide. Zieht man aus p parallel
zn den Schenkeln des Winkels pn uud py und lisst diese beiden
Längen sowie By und Ba ihrer Grösse nach unveräudert, während
der Winkel ABC sich beliebig Öffnet oder scbliesst, so werden a, c
nnd p in einer geraden Linie bleiben.

Hat man nun ein belicbigeB Vieleck ABCD. .. (Fig. 17.) nnd

Mendthal: Beitr&je zur Lösumj einiger bekannten geom- Au/gaben, 47

för jeden Winkel einen gegebenen Punkt ppiP^^y zieht die Paral-
lelen pb^ und pl^^ piCi und />iC2, |>2^i ^^^ p««^ . • • und verändert
noD die Winkel beliebig, während die Lungen der Vieleckseiteu, der
Parallelen und die Lage ihrer Fusspunkte auf den Seiten unverändert
bleiben, so werden bp c, cpi rf, dp^ c ... je in einer Geraden bleiben.

Man wird also den ganzen Vieleckzug längs einer geraden Linie
80 auftragen können, dass die Punkte bpcp^dp^e , , , in derselben
liegen, wenn man auf die Beibehaltung ihrer Entfernungen verzichtet,
während die übrigen Längen, bb^^ h^B^ Bb^^ h^c , . . unverändert er-
scheinen. (Fig. 18.)

Man wird aber auch in der neuen Lage durch jeden beliebigen
anderen Liuienzug h^^pc^p^d^p^e^ . . . dieselben Punkte mit einander
verbinden, welche durch ein gleiches Verfahren in der ursprünglichen
Figur sich ergeben hätten.

Wendet man nun auf das System bpcp^dp^e ... die harmonische
Projection an, indem man wieder in gleichen Entfernungen zu beiden
Seiten der Linie pp^pz . • • den Projectionsmittelpunkt und die Pro-
jectionsaxe legt, so erhält man nebenstehendes Schema Fig. 19., in
welchem die harmonischen Bilder der um ppip^ . . . sich drehenden
Linien als in bestimmter Hichtung liegende Parallelen erscheinen.

Man ersieht ferner, dass die Schnittpunkte ^3, Va' . . . in einer
Linie mit C liegen, dass man also an Stelle der Linien jBC, CD
eine einzige Linie B^D^ setzen und durch die beiden Richtungen
ijXs ^^^ ys<^ die Abhängigkeit der Punkte b^ und e^ von einander
damit festhalten kann.

Die Herstellung der ursprünglichen Figur würde demnach die
Verringerung derselben um eine Vielcckseite und um einen Punkt p
gestatten. Man würde nunmehr auch in der ursprünglichen Figur
diese Reduction vornehmen können, nachdem man durch die harmo-
nische üebcrtragung den Gang und die Richtigkeit derselben er-
fahren hat

Wendet man nun die zu Fig. 17. und 18. gehörigen Entwicke-
Inngen auf die vorliegende Aufgabe an, nämlich durch drei gegebene
Punkte die Seiten eines in ein gegebenes Dreieck eingeschriebenen
Breiecks zu legen, so werden also darin AB^ BC^ CD die drei Seiten
dos gegebenen Dreiecks darstellen, während in DE eine einfache
Wiederholung der Seite AB anzunehmen ist, die mit dieser gleiche
Länge hat.

Beijenige Zug b^c^d^e^^ der darin für ^63 und De^ gleiche Län-
gen ergiebt, löst die Aufgabe.

Mendlhal: Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom, Aufgaben. 49

6. Aufgabe. In ein gegebenes Vieleck ein anderes zn beschreiben,
dessen Seiten je einen gegebenen Punkt berühren.

Auflösung. Diese ist bereits in der vorhergehenden Auflösung
mit enthalten.

Die Yerlegnng der Punkte p in eine gerade Linie, die Reducirung
derselben auf zwei und dio endliche einfache Lösung fOr den Rest
der Figur erfolgt in der beschriebenen Weise.

Es erhellt aber bei Verfolgung dieser Lösung sofort, dass die
erwähnten Reductionen sich auch an einzelnen Abteilungen des ge-
gebenen Vielecks vornehmen lassen, wie überhaupt hier ein grösseres
Gewicht auf die Darstellung des Systems, als auf dessen Anwendung
gefalle ist, wobei sich noch mehrfache Kürzungen finden dürften.

Schlussbemerkung. Es konnte selbstverständlich nicht die Ab-
sicht sein, vorhandene zum Teil sehr schöne Lösungen der hier be-
handelten Aufgaben verdunkeln zu wollen, sondern nur die zweck-
mässige Verwendung der harmonischen Projection an diesen Aufgaben
zu erläutern.

Wenn aber andrerseits z. B. fUr die geradlinigen Aufgaben die
Steinersche Lösung bedeutend eleganter erscheint , so bedarf es, um
dahin zu gelangen, eines allerdings genialen aber immerhin eignen
Lehrgebäudes über die Abhängigkeit geometrischer Gestalten.

Dasselbe gilt von den Göpelschen Entwickelungen , Grelle J. f.
d. r. u. a. M. Band 36. Seite 317 u. ff., während Poncelet zu imagi-
nären Vorstellungen im Zusammenhango mit der Lehre von den Kegel-
schnitten und stereometrischen Projectionen greift, dagegen der hier
gewählte Weg das Gebiet der elementaren ebenen reinen Geometrie
nicht verlässt Aber auch für die Behandlung der Kegelschnitte dürfte
der hier eingeschlagene Gang sich eignen, da jeder harmonische Pro-
jectionsmittelpunkt als harmonisches Bild eines Kreises denselben
Kreis wieder liefert, wenn als Projectionsaxe die Polare des Punktes
gewählt wird; dagegen die beliebig audere Lage der Axe als harmo-
nische Bilder eines Kreises die verschiedenen Kegelschnitte ergiebt
nnd die Behandlung deijenigen Aufgaben gestattet, welche in den
genannten Göpelschen Untersuchungen enthalten sind. Vielleicht ge-
währt eine geschäftsfreiere spätere Zeit eine nähere Entwickelung
dahinreichender Gedanken.

Königsberg im Winter 1874 zu 1875.

ttüUX.

Do »ton PfopTÜU* nouvtUes des palliares rigulkrt convexe»» 5l

■ •

di^e COAI^ oompris entre les denx plana OAC et OA/, est la
moiti6 de l'ane de ces parties; donc on a le diMre CO AI = — •

D est Evident d'aiUenrs que Tangle ÄCl = ^ ^ -.

Cela pos^, projetons sor la face ACO chacone des trois aotres
&ees C/0, AIO et ACI da t6tra^dre lACO, noiis obtenons l'^galit^

ACO « CIO . cos ACI+AIO . cos OA,
ou

ACO « CIO . cos - + AIO . cos - .
attenda que la face ACI est perpendicolaire sor la face ACO.

Mais noiis avons

le triangle ACO = ir.AC

n
le triangle CIO =:{r,CI*=- ^r.AC cos -

et le triangle AIO = ^p . 4/ = ^p . ^Csin — .

II Tient donCy en substituant et en divisant par iAC^

r ^ r cos*-+p8in —cos — ?

7t 7t

&]8ant passer rcos'~ dans le premier membre et divisant par sin-t
on tronve la relation.

a^ , 7t 7t

(I) rsin — -=* pcos —

qoieiiste entre le rayonrde la sph^re inscrite et le rayon
9 de la Sphäre tangente aux arStes.

Appliqnons cette formnle aox cinq poly^dres r^goliers convexes;
notts t^rtiuiions les r^sultats suiTants:

T^traHre, tt = 3, m = 3; rsin60^== pcosÖO»; rV3 — p.
Hexa^dre, n — 4, m =» 3; r8in45<> = pcosöcy^; r^2 « q.
Octa^dre, n=r3, m — 4; rsinGO^ — pcos45<>; ry3 = pV2.

Dod^ca^dre, n«5, m — 3, rsin36««pcos6(^; rVlO— 2V5 — 2p.
Icosa^dre, n — 3, w«5; r sin 60® «p cos 360; 2rV3 — p(y5+l)-

4*

Dostor: Propn€t€8 nouveäes des poUfhdres r€guliers convexee, 53

Octft^dre, n = 3, m«4; R-=^ryS.

Dod^caÄdre, » « 3, m = 3; i2(y5-fl) — ry3(10 — 2V5).

Icosa^dre, n = 3, t» = 5; Ä(y5 + 1) ==^3(10— 2 V 5).

Oneo conclut que, si dcQx poly^dres conjagu^s (Fhexa^dre
et Toctafedre, ou le dod^ca^dro et l'icosaMro) soiit inscrits dans
ane memo Sphäre, ils seront anssi circonscrits k une
meme Sphäre, et r^ciproqueraent

4. Relation entre les rayous R, r et q des trols sph^rea«
Faisons le produit des deox ^galit^s (U) et (I), nous aurons la ro-
lation remarquable

2>-r 27t

(IV) i?rsin — = p^sin — •

qni, 6taDt appliqa^e aux cinq poly^dres r^galiers convexes, donne:

Tara^dre, Rrsinl20^ =- ^«8inl200, Rr = q^.
Hexa^dre, ÄrsinOO» « p28iul200, 2Rr = g^ys,
Octaödre, Rrsinl20^ =- p2sin900, Rr^S = 2q^.

Dod^ca^dre, i?r sin 72« = ^'-^810120^ RrVlO-{-2yb = 29V 3.
Icosaödre, Rrsml2Q^ «= p» sin 72^, 27iVy3 = Q'^ViO+2y/6.

Nous voyons par ces valeurs que:

Dans le t6traödro regulier, le rayon de la Sphäre
tangente aux six aretes est nioyen proportionnel entre
le rayon de la sph^re iuscrito et celui de la Sphäre cir-
coüscrite;

Dans rhexaödre et rocta^drc reguliers, qui sont in-
scrits dans la memo sphere, Ics rayons de deux sph^res
tangentes aux aretes sont entre eux dans le rapport de
2 ä v3.

Dans le dod^ca^dre et ricosaedro reguliers, qui^ont
inscrits dans la meine sphere, les rayons des deux sphe-
res tangentes aux aretes sont entre eux dans le rapport

de yiö+2V5 ä 2V3.

5. Relations partieuH^rcs entre les rayous R, r et g des trols
sph^res. Les valeurs trouv6es aux n^ 1, 2 et 3 pour ces rayons
permettent de verifier les 6galites suivantes:

Hexa^dre, R^ ^ g^-^r^-,

r — 9-
doDC il vieDt la Tsleur connue
(T) sin<.= -

LeB inclinusons mutaellos des facea, dacs les poly^dres regulier«
convexea, soot ainsi

T6tr*6dre, sinn = -^, co86crt = y3, 2« — 7O031'43",6.

Octaftdre, sin« = 1/3, sfco — ys, 2it = 109»28' 16",4.

Dod^caidre, ain« — -7— , cot« = iCVö— 1),

y 10— 2y5

20 = 116« 33' 54"^.

Icosaödre, bid« — -^^, taDger=J(y6+l)», 2o-.13ö''ll' 22",75.

7. ExpresBlon des rajons S, r tt ff des troU sphtres en raleor
de l'artte a et de rineUnaiiei mataelle 2o des bces. Le triaagle
rectangle OCI nons fonrnit Is valenr

r—OC-" CltViS OIC = C/tang«;

Dos ton Propri/tit nouvelles de* poljfhdres r^guliers eonv^^es. 55

et, comme on a par le triangle rectaogle ACI

CI =- AIcotACI — ^ cot -•

il nons viendra

(Vn) 2r — acot - tang «.

MuIüplioDB cette dgalitä membre k membre par (UI), nons aurons

n

(VU) 2R = a tang - tang a.

m

Enfin dans ccs deux expressions rempla^ons r et R par leurs
Talenrs qae foomissent (1) et (II), nous obtiendrons

n
cot —

^ cosa
n

C08-

(IX) 2p « a tangtf.

cos—
m

Ces expressions nous permettcnt de calcoler les valenrt des rayons
des trois sph^res; elles sont:

T^tra^dre, r — j^aye, p =» Jay2, Ä =■ Jaye.

Hexa^dre, r^^a^ p = i^V^i ^ ^ ^«1/3.
Octa^dre, r — » iay6, p = i«, Ä =« i«y2.

Dod^ca^dre, r«JaJ/?^=^J^,p=MV6+l)^Ä=ia^

Icosa^dre, r«~y3(y5-fl)*, p-HV^+l), Ä-WlO-f-2y5-

8. Expressions direrses du Tolnme d'nn poly<ftdre regulier eon«
lexe. Soit N le nombre des üaces du poly^dre. Cbacone de ces faces
sera la base d'une pyramide r^gnli^re ayant son sommet au centre
0 du polyMre.

Le triangle ABC est Tun des n triangles dont se compose la
hce ayant son centre en C. La surface de cette face sera donc

n.ABC^ ^AB.CI'^cia.gi cot— « tna*cot-.

2rtsiig — coto,

2ÄCot-coto,

n
cos-
2 (f — - cot«

tirtflB des relaÜoDB (VI), (711) et (IX); ello so changcra doDs 1«
snwantei

(XIII) r " i JV»r»taiig - cot»«,

DoMtor: Propri€t€s nouvelles des polghdrea riguUers convexes» 57

(XIV) V = jAnie^cot« - cot» ~ COt«a,

(XV) V^lNno^ tang - sin 2o cos a.

n

Enfin nous pouvons oxprimer V exclusivemont cn valeur de Ä,
r et Q.

En effet, pnisqae les trianglcs rectangles OAI et OC/ donnent
a = ^UB = 2yÄ»— ^«, C/« V^~r^ il viendra encore

(XVI) V^ iiVnr V(iü«— ^^)(p2— r2).

9. Appliquons ces formales aux cinq polyödres reguliers con-
Texes; nous obtenons pour leurs voiumes les expressions suivantes:

T6trafedre: r=~aV2 = Sr^yS

8 j
-3«

-|äV3.

Hexa^dre:

F— a»

= 8r»

— 2p V 2

= |äV3-

Octaödre:

F= ia V 2

= 4rV3

= |»Y2

10

Dod^ca^dre:

^— 3-r»f390— I74y5

= i(.Vl5(Vö-l)»

=. jÄV3(10+2y5).

Icosaödre:

r=^a»(i+y5)«

5

-3VV3(y5-l)*
2

-J2e»(y5-i)

- 3i2VlO+2>/5-

10. Supposons que l'hexaödre regulier et Tocta^dre r6galiers
soient inscrits dans la meme spMro; leurs voiumes seront entre eux

comme les quantit^s ^y 3 et ^ ou cömme 2 est ä y3; or nous

savons (n^ 4) que les rayons des sph^res tangentes aux aretes de ces
deux poly^dres sont dans le memo rapport. Donc

Lorsqne l'hexa^dre et Tocta^dre reguliers sont in-
Bcrits dans la meme sph^re leurs voiumes sont entre eux

Hoppe: Ein Theorem iOter d, conforme Abbildung d. Flächen auf Ebenen, 59

V.

Ein Theorem Aber die coBforme AbbUdnng der Flächen

anf Ebenen.

Von

B. Hoppe.

Das Endziel des gegenwärtigen Anfsaizes ist folgendes Ergebniss:

Kann man auf einer reellen Fläche eine stetige Schar
imaginärer Linien analytisch darstellen, deren Bogen-
element constant null ist, so ist die Aufgabe der confor-
men Abbildung eben dieser Fläche auf der Ebene gelöst

Seien u, r die rechtwinkligen Coordinaten des Punkts auf der
Ebene, in welchem der Punkt mit den rechtwinkligen Coordinaten
jc, 3f, 2 nach Aehnlichkeit der Flächenelemente abgebildet werden soll.
Der Ort des Punktes (xyz) braucht allein durch die Relation

pdx'\'qdy-\-rB» « 0 (1)

bestimmt zu sein, wo j9, g, r die Richtungscosinus seiner Normale
bezeichnen und als Functionen zweier der 3 Grössen x, ^, z gegeben
sind. Die Aufgabe der Abbildung besteht darin, x, y, z als Func-
tionen yon «, V darzustellen, welche den 2 Gleichungen

dx dx ^^dy dy ^^Bz dz

©■+ ©•+ ©■- ©■+ {ty+ m <«

genügen. Erstere drflckt aus, dass das Element der gegebenen Fläche,
waches in dem rechteckigen Elemente dudv abgebildet wird, selbst

dtr Flächen auf Ehtntn, 61

folglich ist

fi» :== J- r

Setzt man diesen Wert in die Gl. (5) (6), roaltiplicirt sie der Reibe

nach mit

— », t, 1, —l

so giebt die Summe der ersten und dritten:
die Summe der zweiten und vierten:

v+'''(-s-s)-'«+*"(^-i)

Beide Gleichungen sind identisch.

Betrachtet man u, v jetzt als Functionen von x, y^ so hat man
folgende Relationen zwischen den alten und neuen Differential-
quotienten :

dx ^dy ^dx ^dy dv ^ 8v , du ^du
du du dv dv dy dx dy dx

und Gl. (7) geht über in

(M ± tr) gy = (q^+r») g^ (8)

Ist nun

/(«» y) =* const. (9)

das Integral der Gleichung

Ipq ± tr) dx+ (q*+r^ dy ^ 0 (10)

80 ist die allgemeinste Auflösung der Gl. (8)

u+w = F{f(x,y)) (11)

Vermöge Gl. (1) lässt sich Gl. (10) auch schreiben:

±^irdx = r(qdz — rdy) oder
^idx » qdz — rdy

Ausserdem ist

— pdx = qdy-^-rdz

Die Summe der Quadrate beider Gleichungen giebt:

(p« — 1)8x2 ^ ^g2^r^)^Sy*^dz^)

Difs giebt nach (11) die AbbUdnngBrelatioii:

-<^')

welcbe fOr F(k) —• x nnter dem Namen „stereogtaphische Projection"
bekaont ist

Als ein zweites Beispiel roögä die Cnrve

der Flächen auf Ebenen, 63

dioien, deren Bogeuelement nnll ist Sie erzeugt die EegelflAche

Setzt mau eine Function von u-\-%v^ z. B. (ii-|-^)^ für e, to erhält
mau als Abbildungsrelation:

9

In beiden Beispielen, welche aus bekannten Abbildungen ent-
nommen waren, war es leicht nach Aufstellung der Erzeugenden die
reelle Fl&che zu finden, der sie angehört Wollte man einen gleichen
Weg in weiterm Umfange einschlagen, d. h. erst eine Curve suchen,
deren Bogeuelement null ist, dann eine von ihr erzeugte Fl&che als
reell bestinmien, um schliesslich deren Abbildung auf der Ebene nach
dem vorstehenden Satze zu erhalten, so würde sich zeigen, dass sich
die Lösung der ersten Aufgabe sofort in voller Allgemeinheit darbietet,
die Hauptschwierigkeit dagegen in der zweiten liegt. Aus

ergiebt sich nämlich:

a(a;+»y).a(aj— ty)- — a««

eme Gleichung, die man in folgende drei zerlegen kann:

8(a;-f-»y) = dv
d{x — iy) ■=» — tt*9t?
dz ■=» udv

Um sie zu integriren hat man zu unterscheiden, jenachdem u constant
ist oder nicht Im ersten Fall erhält man:

x-\-%y — 1> \

X — iy z^ a — c*t> > (14)

wo o, &, c beliebige complexe Constanten sind, und die erste Glei-
chung, die nur v definirt, keine Constante zu haben braucht

Ist u variabel, so kann man qti f^ ^ setzen; dann kommt:

dargestellten Geraden nicht ia sich begreift.

Hoüel: lieber die Äoüe der Erjahrung in den exacten tVissenschaften, ^5

VI.

lieber die Bolle der Erfahrung in den exacten

Wissensehaften.

Von

M. /. Hoüel^

Professor der Mathematik in Bordeaux.

▲ «« der Zprary Jadnoty Ceskyeh Mathsmfttikn, 1875.

Mit Bewilligung des YerfasBen übersetzt

von

Br. Felix Mtlllev.

Crest daiifl e« m^iie reonsil (VArekiT der Kathunfttik) qa*a
pftm , il y a dooie ans le premier traTail qae j*aie frit snr oa
sajet, et qai contenftit le germe des id^es qae j*fti depais d^ve-
lopp^B et ^eUirciea. (Lettre de M. J. Hoflei.)

Die Mehrzahl der Erscheinungen, welche wir mit unsem Augen
wahrnehmen, ist einer exacten Bestimmung nicht fähig; und wenn
sich diese Erscheinungen wiederholen, so haben wir kein Mittel, uns
ihrer vollkommenen Identität zu vergewissern. Doch gibt es einige,
— und dies sind natürlich die einfachsten, — deren Bestimmung mit
hinreichender Annäherung und Sicherheit möglich ist, so dass die
Vngewissheit, welche wir bestehen lassen, für uns ohne Nachteil ist.

Ist eine exacte Yergleichung möglich, so können wir zum Stu-
dium der Gresetze für die Beziehung einer Erscheinung zu einer
anderen schreiten-, und sind diese Gesetze einfach genug, so dass es
ims gelingt, sie zu erkeimen, so bildet ihre Gesammtheit den Gtegen-
Btand einer exacten Wissenschaft

TeULDL 5

66 Boüel: Üebtr dU Rolle der Erfahrung in den exaelen WüientctaJIeH,

Der Ban einer solchen Wlssenachaft setzt sieb im Wesentlichen
ans zwei getrennten Teilen zusammen: der eine, welcher auf der
Beobachtung und der Erfahrung beruht, besteht darin, Tatsachen xn
sammeln und daraas dnrcb Induction die Gesetze und die Principicn
zn gewinnen, welche der Wissenschaft als Grundlage dienen soUcn;
der andere Teil, der nur ein Zweig der allgemeinen Logik ist, be-
Bcbllftigt sich damit, diese Grundprincipien mit einander zu combiniren,
am daraus die Darstellung der beobachteten Tatsachen zu gewinnen
and überdies neue Tatsachen vorherzusagen.

Die Beobachtung der Tatsachen kann, im Allgemeinen, nicbt mit
strenger Sicherheit statthaben, und ist niemals eine vollständige.
Nichts kann nns also a priori die Ueberzengnng gewähren, dass die
Gesetze, welche die Induction lieferte, alle wahr, noch dass sie alle
hinreichend sein werden.

Man wird ihre Unrichtigkeit erkennen, wenn sie durch logisches
Verfahren miteinander verbunden, auf widersprechende Folgerungen
fahren, oder wenn die neuen Tatsachen, welche sie vorhersehen
lassen, in Widerspruch mit der objectiven Wirklichkeit stehen.

Andrerseits kann es geschehen, dass die angenommenen Gesetze
nicbt alle verschieden und unabhängig voneinander sind, und dass
ein^e derselben einen Teil der Folgerungen ausmachen, welche man
dnrdi Combination der andern gewinnen kann.

So sieht man, welche Rolle bei der Begrandnng der Principiea
demjenigen Teile der Wissenschaft zukommt, der sich nur mit der
Combination der Friucipien beschäftigt, ganz abgesehen von ihrem
experimentellen Ursprung und von den Beziehnngeu, welche ihre
Folgerungen zu den wirklichen Tatsachen haben. Dieser Teil der
Wissenschaft hat festzustellen : erstens, ob die Principien untereinander
verträglich sind, nnd dann, ob sie nicht auf eine geringere Anzahl
zurdckgefllhrt werden kOnnen. Eine Wiasenschaft, welche auf Prin-
cipien gegründet ist, die diesen Bedingungen genügen, ist absolut
wahr, vom rationellen und vom abstracten Gesichtspunkt ans, selbst
wenn sie sich mit den wirklichen Tatsachen, welche sie darzustellen
bestimmt war, nicht in Uebereio Stimmung befinden sollte. In diesem
Falle mnss man sich an den experimentellen und inductiven Teil
halten nnd die fundamentalen Hn>othcsen ändern. Der rein logische
Teil ist, obwohl nnanwendbar geworden, doch unanfechtbar.

Dieser logische Teil der exacten Wissenschaften macht das ans,
WM man Mathematik im eigentlichen Sinne des Wortes nennt.
Die Mathematik zeri&llt ihrerseits wieder in die reine Mathematik,
welche die logischen Theorien enthftit, die auf das Stadium all»

fiberseki wm Ftlix MüUer. ' 67

Classen Ton Tatsachen ohne Unterschied anwendbar sind, nnd in die
angewandte Mathematik, welche von der Anwendung dieser
allgemeiaen Theorien auf besondere Classen von Tatsachen und von
den besonderen Methoden handelt , welche sich am besten für jede
dieser Classen eignen.

n.

Man nennt ein Verfahren, welches eine Erscheinung in eine
andre überführt, eine Operation, so dass also einer Folge von
Erscheinungen eine Combination (Verknüpfung)*) von Operationen
entspricht.

Um die Logik auf die Combination der Operationen anwenden
zu können, ist es keineswegs nötig, die Realität der Operationen und
die Art und Weise, wie sie sich vollziehen, zu kennen. Es genügt,
gewisse abstracto Eigenschaften dieser Operationen festgestellt zu
haben, die man combinatorische Eigenschaften nennen
könnte**). Man kann eine abstracte Theorie der Operationen aus-
bilden, welche einzig auf die Betrachtung dieser Eigenschaften ge-
grOndet ist. Eine solche Theorie würde die gewöhnliche Algebra
als besonderen Fall umfassen ***).

Da die Zahl das Gesetz ist, nach dem eine Grösse durch Addition
ans gleichen Einheiten gebildet wird, so ist die Arithmetik nichts
Anderes als die abstracto Theorie der Combination derartiger Ope-
rationen.

Die Operationen können einfache sein, wie es die Grundopera-

*) 8. E. Schröder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipiig 1873,
I, ISO. D. Ü.

^ Um ein Beispiel lu geben, so beruht die Theorie der algebraischen
MaltipUcttion ganz und gar auf den Eigenschaften, welche durch folgende
Gleichungen ausgedrückt werden:

1 «. Für a^a', b = b' ist o . 5 = a', b' (Eindeutigkeit) ;

2®. (a -|- 6) c = o . c -f 6 . c (Distributive Eii^enschoft) ;

3 <*. a,b z=zb,a (CoraroutntiTe Eigenschaft) ;

4^. (a . 6) . c = a . (6 . c) (Associative Eigenschaft) ;

5®. 0X0 = 0;

6«. aXI =«.
(Üeber die Elementarroraussetzungen , aus denen sich alle Fundamental-
gesetie der Operationsverknfipfung folgern lassen, siehe Schröder, L c. p. SS5.
D. Ü.)

*^ VgL K Schröder, Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra,
Stuttgart 1874. D. Ü.

bination meiBtens nach speciellen Gesetzcu far jeden besonderen F&U
Tor sieb gebt, ohne dass man sie allgenieineu Verfahrangaarten unter-
werfen kann.

Die zusammengesetzten Operationen lassen sich im Allgemelaen
auf einfache zurückfahren. Diese Zerlegung der Operationen in ihrs
Elemente ist es, welche die sogen, analytischen Theorien (die
analytische Geometrie, die analytische Mechanik, cti.-.l kennzeichnet
Synthetische Theorien dagegen nennt man solche, auf die man
nnmittelbar die znaammengesetztcu Operationen anwenden kann.

Der wesentliche Unterschied zwischen den analytischen und den
synthetischen Theorien besteht also darin, dass die Operationen in
den ersteren einfache Eigenschaften haben, welche an die Stelle meh-
rerer combinirter Operationen allgemeine Verfahrungs arten zn setzen
gestatten, und welche gesctzmässig zusammenhängende nnd dirccte
Methoden für die Lösung der Probleme Hefern. In den synthetischen
Theorien dagegen verbietet die Verwickelung und die grössere Ver-
schiedenheit der Operationen die Bildung einfacher Begeln für ihre
Anwendung, nnd die Lösung ist, obwohl sie weniger Zwischenglieder
erfordert, gewöhnlich das Keanltat eines Umhcrtappeus, das Uebnng
abkürzen kann, weit mehr als allgemeine Methoden.

Die GrAssen (Qnanta)*) lassen sich einteilen in discrete
oder namorische nnd in concrete oder stetige Grössen.

Die discreten Grössen lassen sich zusammensetzen ans Ele-
menten, welche als identisch angesehen werden in Bczng auf die-
jenige Eigenschaft, nach der die Gattung der Einheit, welche zu-
gleich die Gattung der Grösse ist, benannt wird. Die discroto Grösse
wird gebildet durch Wioderholnng oder Vervielfältigung der
Einheit. Das Gesetz, nach dem diese Operation vor sich geht, heisst
eine Zahl. Eine discrete Grösse ist vollkommen bekannt, wenn ihre
Gattung und ihre Zahl gegeben sind.

*) Beitininite, darcli ein Merkmal oder ilarch eine Gi
T«ila Biner Manalgfalligkoii, Kieaann, Ucbcr die H/iiuthcBi
BKtris IQ Oruod« liegcD, p. 3. D. Ü.

übersetzt pon Felix Müller. 69

Die mathematische Theorie der discreten Grössen beschäftigt
sich nar mit den Zahlen, durch welche sie dargestellt werden, ohne
Rflcksicht auf ihre Gattung. Da die Zahlen mit vollkommener Ge-
nauigkeit definirt und untereinander verglichen werden können, so
bietet sich ihre Theorie unmittelbar mit aller Strenge dar, und die
Arithmetik der ganzen Zahlbn bildet den einfachsten Zweig der reinen
Mathematik.

Wir wollen es hier nicht unternehmen zu prüfen, welchen Anteil
die Erfahrung an der Ausbildung der Arithmetik, der elementaren
wie der höheren, hat. Wir wollen hier nur bemerken, dass, wenn
auch die Erfahrung, — d. h. die Prüfung der aus einzelnen Beispielen
durch Rechnung erhaltenen Resultate, — häufig ein mächtiges Hülfs-
mittel für die inductive Untersuchung der verborgensten Eigenschaften
der Zahlen gewesen ist, sie dennoch, als Basis der Priucipien und
der Beweise, eine sehr eingeschränkte Rolle spielt, wenn sie über-
haupt sich hier irgendwie einmischt*).

Die concreten Grössen werden durch einen stetigen üebergang
von der einen zur andern (durch Addition) gebildet. Sie werden so
angesehen, als besässen sie von Natur in allen ihren Teilen dieselben
Eigenschaften, nämlich die, welche ihre Benennung ausdrückt

Diejenigen concreten Grössen, welche sich unserer sinnlichen
Wahruchmung darbieten, können nicht mit vollkommener Genauigkeit
bestimmt uud mit eiiiaudor verglichen werden, wie die discreten
Grössen es konnten; und dieses liegt teils an der Unbestimmtheit
ihrer Grenzen, teils an der Unvollkomnienheit unserer Sinne und
unserer Bcobachtungsmittel. Man kann sie also nicht direct einer
mathematischen Theorie unterwerfen, und ist gezwungen, ihr Studium
durch das idealer Grössen zu ersetzen. Letztere werden durch die-
jenigen Eigenschaften definirt, deren Existenz in den materiellen Ob-
jecten annähernd festzustellen unsere mehr oder weniger groben
Bcobachtungsmittel gestatten.

So rauss dem Studium der Ausdehnung der reellen Körper, deren
Gestalt weder vollständig bestimmt noch vollständig beobachtet werden
kann, ein abstractes Studium idealer Körper vorhergehen, idealer Ge-
bilde, welche mit Hülfe eines vollkommen exacten Mass Verfahrens
streng bestimmt sind. Dieses letztere Studium wird von selbst zurück-
geführt auf das Studium solcher Figuren, denen eine oder zwei ihrer
Dimensionen genommen sind, und schliesslich auf die Betrachtung
eines Punktes, der jeder Ausdehnung haar ist

*) Man vergleiche, was Schröder Über den Anteil der Erfahrung an der
Aosbildong der Arithmetik sagt, I. c. p. 72, 99, 112 u. 113. D. Ü.

Btracte Mechanik, wolcbo den HypothescD der Geometrie gowisse
andere hinzufügt, die mehr oder weniger direct durch die Errshmng
veranlasst sind. So operirt sie mit geomctriachcu Körpern, indem sio
den Eigenschaften derselben die Idee der'MasBo hinzufügt, und die
Körper den Ursachen der Bevfegung unterwirft, die man Erfifte
nonnt; und diese Kräfte werden durch die Wirkung deüuirt, welche
sie v^rmGge der zugestandenen Gesetze ausüben oder auszuüben streben.
Don verschiedenen Zweigen der Physik der reelicn Körper entsprechen
besondere Zweige der abstracten Mechanik, welche sich auf neue
Hypothesen stützen, die man so wählt, dass eine Behandlung nach
mathematischen Metboden ermöglicht wird, und dass man daraus
Kcsultate herleiten kann, welche den darzustellenden ErschciauD(Een
möglichst nahe kommen.

Es ist für diese rationellen und abstracten Wissenschaften von
wesentlicher Bedeutung, dass man die Hypothesen, an und für sich,
— welche a priori wesentlich willkürlich gewählt werden können und
nur der Bedingung unterworfen sind, sich einander nicht zu wider-
sprechen, — unterscheidet von dem Werte der Hypothesen, unter
dem Gesichtspunkte ihrer Anwendungen. Jede abatracte Wissenschaft,
welche auf widerspruchslose Hypothesen gegründet und in Ueberein-
stimmung mit den Regeln der Logik entwickelt ist, ist in sich ab-
solut wahr. Aber sie kann sehr wohl keine Beziehung zu den
natürlichen Erscheinungen haben und sich als falsch erweisen, wenn
man sie unter dem Gesichtspunkte ihrer physikalischen Wahrheit prflft.
Dieses wird eintreten, wenn die Hypothesen irrtümlich oder unvoll-
ständig gewählt worden sind, sei es in Folge einer Inductiou, die aaf
zo ungenaue oder zu beschränkte Beobachtungen gegründet wurde,
sei es in Folge unerlaubter Vereinfachungen, die man gemacht hat,
um die mathematische Behandlung der Erscheinungen zu erleichtern.

Wir wollen nna nicht länger bei diesen allgemeinen Betrach-
tungen anf halten and uns darauf beschränken, deren Anwendungen
auf die einfochste der physikalischen Wissenschaften : anf das Studium
der Körper hinsichtlich der Ausdehnung, d. h. anf die Geometrie
za entwickeln.

IV.
HingicfaÜich der Ausdehnung unterscheidet sich ein Körper vom
andern nur durch seine Grenzen. Das Studium der Ansdehnnng wird
sich also ausschliesslich auf die Grenzen der Körper richten müssen.
Zwei Körper, welche dieselben Grenzen haben, sind, vom geometri-
schen Gesichtspunkt ans, identisch.

Übtrtetxt von Felix Müller, 71

Ebenso wie man die Form eines materiellen Körpers erkennen
würde, wenn man die Hülle^ die ihn omfasst, davon losmachen könnte,
ohne ihn umzugestalten, so wird man den idealen Körper als von
einer HQlle ohne Dicke nmgeben und die Materie des Körpers von
dieser Hülle losgelöst oder als nicht vorhanden annehmen. ]5iese
Hülle oder Oberfläche ist es, welche, im eigentlichen Sinne des
Wortes, den geometrischen Körper bildet. Aehnlich wird das Stu-
diom eines Bestandteils der Oberfläche sich zurückführen lassen auf
das Studium der Grenzen ihrer Teile, oder der Linien, und das
Stadium der Linien auf das ihrer Grenzen, d. h. der Punkte.

Die Geometrie ist vor Allem auf die Hypothese von der Existenz
eines unbeweglichen und unbegrenzten Raumes gegründet, in welchem
man einen Ort, den ein Körper in einem gegebenen Zeitmoment ein-
nimmt, eindeutig bestimmen kann, und in welchem die geometrischen
Körper sich fortbewegen lassen, ohne irgend eine von den Eigen*
Schäften, welche dem physikalischen Begriffe der Festigkeit entspre-
chen, zu verlieren. Man nimmt an, dass zwei feste Körper, welche,
an jeder für sich, mit einem dritten zusammenfallen können, auch
miteinander zusammenfallen können, in welchen Teil des Baumes man
anch den einen oder den andern versetzt

Die Eigenschaft der Unveränderlichkeit der Figuren, welche
wir zum Anfangspunkt genommen haben, kann, ebenso wenig wie die
der Unbeweglichkeit des Baumes, eine strenge Definition zulassen.
Wir können, in der Tat, nur relative Aenderungen der Figur und
relative Fortbewegungen wahrnehmen. Alles was wir in Bezug auf
die absolute Identität eines Ortes und einer Form behaupten, ist
einzig auf die Identität unserer sinnlichen Wahrnehmungen gegründet
Die Hypothese von der Unveränderlichkeit der Figur kann folglich
nicht auf Erfahrungen beruhen, die uns befähigen, der Wirklichkeit
imendlich nahe zu kommen, und die eine objective Gewissheit bieten.
Wir nehmen diese Hypothese an, weil sie uns mit unsem physiologi-
schen Eindrücken übereinstimmend erscheint, und weil sie auf die
einfachste Weise die Erscheinungen erklärt, welche auf unsre Sinne
einwirken.

Diese Hypothese brauchtnicht von vom herein in ihrem vollen Um-
&ng angenommen zu werden, und das Studium der Geometrie zeigt,
dass ihr voller Inbegriff sich als eine Folge aus gewissen passend
gewählten besonderen Fällen ergibt.

Wird der Begriff der Unveränderlichkeit der Form zugestanden,
80 gibt uns die Erfahrung selbst den Begriff der Möglichkeit der Yer-
Bchiebnng eines unveränderlichen Körpers im Baume, wie wir ihn
kennen, an die Hand; ebenso wie eine ebene oder sphärische Figur

übersetzt von Felix Müller, 73

Ans der Erfahrnng wissen wir, dass es eine Fläche gibt, welche
durch Umklappen auf sich selbst zu liegen kommt, welche also eine
gerade Linie, mit der sie 2 Punkte gemeinsam hat, ganz und gar
enthält*). Diese Fläche ist die Ebene.

Dieses sind die fundamentalen Hypothesen, auf welche die ersten
2ß Sätze Euklid's sich stützen, und welche zum Beweise für die
Existenz der Parallelen führen. Man könnte das Studium der Geo-
metrie verfolgen, ohne eine neue Hypothese zuzulassen; und die Ar-
beiten von Lobatchefsky und J. Bolyai haben gezeigt, dass die obigen
Hypothesen ganz allein genügen, eine voUsändigo Geometrie aufzu-
bauen, welche diejenige als besonderen Fall umfasst, die uns die Er-
fahrung als die mit den wirklichen Eigenschaften der Ausdehnung am
meisten Obereinstimmende zeigt

Diese allgemeine Geometrie kann bis an's Ende entwickelt wer-
den, ohne dass uns etwas zwingt, einem gewissen Parameter,
d. h. einer in den meisten Massbestimmungen vorkoninienden Con-
stante, einen bestimmten Wert beizulegen. Sie ist, fjr.nz unabhängig
Ton dieser Bestimmung, absolut wahr; und wenn uus die Erfahrung
einen Raum lieferte, in welchem die fundamentalen Massbestimmungen
filr einen andern Wert dieses Parameters ausser Kuli bewahrheitet
würden, so wären für diesen Raum alle erhaltenen Folgerungen rich-
tig. So hat Herr Beltrami gezeigt, dass die ebene Geometrie von
LübiitcLefsky und Bolyai ihre volle Verwirklichung iindet auf den
Oberflächen mit constanter negativer Krümmung**).

Um aber eine mit der Erfahrung möglichst vollständige üeber-
einstimmung zu erhalten, ist man darauf geführt, unter allen Werten,
welche der in Frage stehende Paranittor ***) aimchinen kann, den Wert
Null zu wählen, der sich zugleich lüs derjenige eigibt, welcher dem
einfachsten und am leichtesten zu behandelnden Falle entspricht. Man

•) Man hat einen Bewiis für diese Kigenschnft ßcgebon, indem man von
der Definition einer Ebene aU Ort einer Geraden , tlic auf den beiden Sehen-
kein eines WinkeU gleitet, aasging. Siebe V. Valeriani, -Giomale di Matema-
tiche. t VH, p. 376.

**) Saggio di interpretazione della Geometria non - eaclidea. Giornalo di
Matematiche VI, p. 285.

•••) Dieter Parameter kann nicht allein negatire Werte annehmen, welche
der Geometrie von Lobatchcfskj oder der hyperbolischen Geometrie, wie
man sie in letzter Zeit genannt hat, (Siehe Klein, Math. Ann. t IV, p. 577)
«ntsprechcn wflrden, sondern auch positive Werte, wie in der elliptischen

Geometrie, wo die Linien kfirzesten Abstnndes sich in mehr als einem Pankto

treffen können.

metrie. Diese Wafcl des Parameters enispricbt, in ihrer elementaren
Form, der Hypothese einer einzigen Richtung fOr den Parallel tsmas.

Bis zu welchem Punkte war diese Wahl durch die Erfahrnng be-
dingt? Das wnsste man vor den neueren Untersuchungen von Logendrc
und Lobatchefsky nicht mit Bestimmtheit Man wusste hereits, dass
die schärfsten Beobachtungen bisher keine Differenz mit der euklidi-
schen Geometrie ergeben hatten. Aher erst diese beiden Geometer
bewiesen, dass wenn die UcbereiDstimmung für Figuren von grossen
Dimensionen stattfindet, sie nmsomehr iür Figuren kleinerer Dimen-
sionen stattfinden mass, und ihre Scblttsso haben der experimentellen
Voriiication der enklidischen Hrpothcse einen Wert und eine Bedeu-
tung gegeben, die unvergleichlich höher sind als das, was man Ana-
loges fUr die anderun physikalischen Wissenschaften erhalten kann.

So konnte, wie man weiss, die Erfahrnng zu den ersten Erfindern
der Geometrie nicht sprechen. Sie sttttzcn sich, ebenso wie beut
noch sehr viele moderne Mathematiker, hei ihren Beweisen auf Evi-
denz-GrOnde, auf Anschaunngs-Grttnde, um Schlosse za umgehen. Sie
vermehren lieber die Zahl der Axiome und vermeiden die PrOfung
dos Axioms, .weil es „evident" ist. Die euklidische Hypothese ist zn
dem geworden, was man Evidenz (Anachanung) nennt; sie ist be-
rechtigt, den beiden Hülfemitteln des Erkennens, der Erfahrung und
der logischen Behandlung, als vermittelndes Dritte beizutreten, and
an der Fruchtbarkeit der einen wie an der Sicherheit der andern
Teil zn nehmen. Für uns ist die Anschauung nichts anderes als eine
Erfohmng, die so oft wiederholt ist, dass die Macht der Gewohnheit
uns das Bewusstsein davon geraubt bat, und deren Resultate, dorch
das Gedächtniss bewahrt, uns jedesmal, wenn wir darauf zurfickkom-
men wollen, einer tatallcblichen Reproduction aberhehen. Es ist ans
nnmflglich, ihre Wesenheit zuzugeben, da es so bequem ist, sich auf
sie zu berufen, wenn die sicheren Gründe fehlen.

Man hat bemerkt, indem man teils nach einer geometrischen
Construction, teils nach den Angaben eines geübten Auges urteilt,
dass wenn man eine zu einer Geraden parallele Linie um einen ihrer
Punkte noch so wenig dreht, ein Treffen heider Linien stattfindet.
Das hat genügt, diese Tatsache unter die Principien aufnehmen zu
lassen, und man hat sie daselbst behalten, weil alle ihre Folgerungen
sich jederzeit in Uebereinstimmung gezeigt haben mit den verscbie-
densten Erfahmngeh des Lebens und mit den genauesten wissen-
BchafUichen Messungen.

Somit scheint nni festgestellt zn sein, 'dass die Geometrie, wie

Mberseta von Felix Müller. 75

die Mechanik, die Optik, die Theorie der Wärme und der Electricität
ins zwei Teilen besteht: 1) ans einem physikalischen Teile, der
zwar beschränkter ist als in den übrigen Wissenschaften, in den aber
die fundamentalen Hypothesen Aber die Eigenschaften des Baumes
gehören; er umfasst zugleich die Anwendungen dieser Wissenschaft .
aaf das Studium der Natur, auf praktische Astronomie, Geodäsie,
Topographie etc.; 2) aus einem theoretischen und abstracteu
Teile, der die Hypothesen, die der physikalische Teil geliefert hat,
welcher Art sie auch immer seien, in's Werk setzt; er allein hat An-
spruch auf den Namen „cxacte Wissenschaft'S Diesem Teile allein
kommt die mathematische Gewisshoit zu, die sich nur auf die
Ueberoinstimmung der Hypothesen mit ihren Folgerungen, und keines-
wegs auf den Wert der Hypothesen selbst bezieht. Die Prüfung der
Hypothesen gehört ausschliesslich dem physikalischen Teile an, den
dieselben in die cxacte Wissenschaft einzuführen und dann ihre Rich-
tigkeit, sei CS direct, sei es nach ihren Folgerungen, zu ermessen hat

VII.

D«r Körperinbalt des senbrechteD Cylinclers and Kegels
in d«r absoluten Geometrie.

Herrn A. v. Frank.
Profctlor an iler Gewrttioscliulc in

Das VerfaLreu in der absoluten Geomctm: den Baumhihalt ciucs
Körpers zu finden, ist dcmjeniacn ganz ähnlich, wclchta iu der ana-
lytisubun euklidiscbou Gcometrio oingcschlagon wird; nur mit dem
Uiitcrselkicde, ias& dio uuunillicli iiahi^u pni'allclcu Ebenen die dns
Körperclemeut begrenzen, in dor absoluten Geometrie iu Flächen
gleichen Abatandcs Übergeben.

Um die hier notwendigen Fläch cnbc Stimmungen vornehmen zu
köuneu, musa mau sich erinnern: dass der Flüchenraum irgend einer,
in der FlÄche gleichen Abstandcs = h liegenden Figur, zu dem
Flüchcnraume d<ir Projection derselben anf die zugehörige Ebene ein
constautca VerhilltuiBs be itzt, welches, wenn wir mit /' den Flileheu-
raum der Figur, mit /jenen der Projection bczoichucn, durch die
Gleichung

r-^^.

ausgedruckt ist*).

*) pag. 76. Ark. 64. der abs. Gcum. t. Friirhnur.

in der absoluten Geometrie, 77

Bei der vorliegenden Aofgabe werden wir beide Körper von kreis-
förmigem Querschnitt voraussetzen ; der Flächenraum eines Kreises
Tom Halbmesser «= r ist aber nach Art 59 des angeführten Werkes
gleich

«Ä:«(«* + «~*— 2) 2)

mid auf Grundlage dieser und der Formel 1) wollen wir die Lösung
der Aufgabe bewerkstelligen.

I. Cylinderinhalt.

Den Cylindor denken wir uns nach oben von einer zur ebenen
Basis zugehörigen Fläche gleichen Abstandcs = h begrenzt Die den
Cylinder erzeugende Gerade steht in jedem Augenblick senkrecht auf
der Basis, daher, wenn wir im Abstände x und x-^dx von denselben
Flächen gleichen Abstandes legen, wir Querschnittsfiguren erhalten,
deren Projection stets der Basiskreis ist. Bezeichnen wir mit r den
Halbmesser der Basis, mit/' die Fläche der Querschnittsfigur, end-
Uch mit dp das zwischen den Flächen gleichen Abstandes enthaltene
Körperelement, so haben wir sofort

dp = f'dx 3)

Der Flächeuraum der kreisförmigen Basis ist nach 2)

wA;«(e* + r»— 2)
nach 1) ist aber:

ü+rs-2)f*-

/'^«fe«V«*-t-« *-2>/r "t* ] 4)

daher:

/ ?

dp = nlc^

CF+e"»"-2)(-

Die Integration zwischen den Grenzen 0 und h giebt sofort als Cylin-
deriohalt:

p = !±*(eI-|-rF-2)(aV_,-7 + |) (I)

Durch Einführung der hyperbolischen Functionen erhält man etwas
compendiösero Formeln,

Es wird dann:

p=-^(2Cogj^-2)(2@m^+^)
oder auch:

p-«*»(«oä"^-i)(©h,^+^) (D

tin der abtohtttn Geometrk, 79

dp^2nk*((i0^^^-l\(i0f^*^dx 9)

Nan ist aber:

go§*^«=6:oS^e;os|--®m^@inJ 10)

^ Vereinfachimg führen wir folgende Bezeichnungen ein:

(So«>^ffo»*^— l=a

H)
©inj = i

Durch Benotzong dieser Schreihkürzung, und unter gleichzeitiger Be-
rücksichtigung der Werte 8) und 10) erhalten wir Gleichung 9) in
folgender Form:

b

do^j^Va-b^ . ®in| — «oS'^lcto

Durch die Integration des vorstehenden Ausdruckes zwischen den
Grenzen 0 und k^ wird der Körperinhalt des Kegels gefunden; zeigen
wir vorläufig diese Integration nur an, so haben wir:

=¥{«»»E/K-ft/"S'"'s+"

h h

-Si.rv„-rp/e..|<i«'if-. /«..-If }

• A

Die Auswertung dieser 3 Integrale ist nun sehr einfoch; man erhAlt
nach einigen Reductionen, und weil

ya—b* - (Soi^jem^

ist, den Wert:

Ol iler aWblMi O^owutrU. 81

Um zo zeigen wie man ans den Fonneln der absolntei G^me«-
trie jene der enklidischen erhält, wollen wir in Gleichung (11) f&r
die Charakteristik des Raumes k^ den die euklidische Geometrie spe-
daUsirenden Wert

h = unendlich gross

einl&hren, mttssen jedoch vorher die hyperbolischen Functionen in
Reihen entwickeln. Es ist bekanntlich:

Sin« — « + 3j + g-j + ...

«o&«-l + 2j + jj + ...
Gleichung (11) wird mit diesen Werten:

Kflrzt man durch # und k ab und hebt h heraus, wobei man zu*
^eich auch gleichen Nenner stellt, so kommt:

V+m^+"7 V^+3!ifc»+-7
warn man mit k^ im Zähler hinein multiplicirt, so hat man:

, . „, K3-I+-) 0+2^+-) " K2-I +-) (^+3&)

(^+2iī+"7 V+31P+-7

oder auch:

^21^-^3!^2!3!ifc*^- 8! 2! 2!3!ifc»

xik>A

P w^ Jgh

V + 2IP+ ••■~Jr + 3!Ä;«+ ••)

Führt man die hier angezeigten Operationen aus und bemerkt
zugleich, das für 2; »od der Nenner gleich 1 wird, im Zähler alle
Glieder verschieden, welche k cuthalten, so erhält man:

P-?(^-*«)

UlhO.

daher:

die bekannte Formel für den Cabikinhalt des aenkrectiteii
der caklidischen Oeometrie.

Die Gleichung (It) l&SBt sich noch in einer anderen Form dar-
stellen.

Der Neigangsninkel a, wetuben die Erzengeudu mit der Basis
oinsctalic«st, war nach Gleichaiig 7)

®in;

Nun ist aber:

smu — . — —

®in^" )/lio9»jaoä»~l

Bin« 16)

Bezeichnen wir endlich mit 9 den halben Winkel au der Spitze
des Kegels, so ist:

C08V =

t.fSoil 17)

Die Werte 16) nnd 17) eingesetzt bringen die Gleichnis (II) auf die
Form:

p — nfc-(»C08ip— A) (II')

weUher Aosdntck dadurch bemerkenswert ist, dass derselbe keine
bjrperboliscben Functionen enthält

j^atii.* Bmnm-kung Über J^mmetnekegdtckmHe i/«t l>r€itekM. 83

vm.

Bemerkung Aber Symmetriekegebeluiltte des Dreiecks.

Von
Emil Hain.

I.

Ist r« der Abstand eines Punktes X von der Seite BC des Drei-
ecks ABC'j so ist X ein Symmetriepunkt dieses Dreiecks, wenn atu
«ine Dach b nnd e syromt* trische Function der Seiten a, 6, c ist und
n, xe durch cyklische Yertanschung aus xa erhalten werden.

Liegt irgend eine Reihe von Punkten X so, dass die Normalen
^rselben der Relation:

(iiTa'{-biXh'\-CiXc = 0

Oeuflge leisten, wo o^^ic^ constant sind, so liegen die Punkte X auf
einer Geraden. Sie heisst eine Symmetriegerade des Dreiecks, wenn
h eine nach b und c symmetrische Function der abc ist und &i, e^
*u^h cyklische Ycrtauschung aus oj erhalten werden.

Liegt hingegen eine Reihe von Punkten X so, dass man hat:

99at9^'^guxi*'{-gceXc'^'{'2ghe!nare'\'2geasresra'\'2gakXaXh — 0

^0 die gaa und gbe constant sind; so liegen die Punkte X im Allge-
mdnen auf einem Kegelschnitt. Er heisst ein Symmetriekegelschnitt
^es Dreiecks, wenn gaa und gbe nach b und e symmetrische Func-
^onen der aic sind und durch cyklische Yertanschung aus einander
erblten werden.

Ist der Punkt JT, dessen Normalen paphpe sind, ein Symmetrie-
^^'i so nennen wir ihn den Symmetriepunkt pa- Ebenso heisst die
°y^etriegerade, deren Gleichung:

Hain: Bemtrhmg Mber l^mm€iri«kegeJscknüU d«s Drnteks* 85

Wegen ^ ^ 1, 0, 0 ist aber Sa ^ 1, I» — Ic » 0; somit gma = lm^
^ ««. ^^ » 0. Demnach ist die Form jedes dorn Dreieck polar ent-
sprechenden E^elschnitts: (^, 0).

in.

Sind P und Q Symmetriepnnkte des Dreiecks nnd treffen die
Geraden PA nnd QA die BC in Pa nnd Qa, so liegen die Punkte
P^Qa anf einem Symmetriekegelschnitt.

Um mittelst dieses Satzes, der ans dem Camot'schen Theorem
hergeleitet werden kann nnd zuerst Ton Steiner angestellt wurde,
die Gleichung dieses Kegelschnitts zu finden; setzen wir P^po,
Q = qa» Es ist dann:

Pa^O, ph^ pe
Qc^O, qbi qe

Nach Einfiüimng dieser Werte in die allgemeine Form (gaaj gu) er-
halten wir:

giihpb^'\-gccpc^'\'^gbephpe — 0

ghbqb^ '\'geeqc^'\'^gheqibqc — 0

woraus:

flr» ^ 2pcqe 2ycgcPflgo

ghe^ Pbqe '\-ptqk'^ Pnqaiphqe-^Peqi»)

gee 2y6g6 ^paqaphqh

ghe pbqs '•\-pcqb "^ Paqaiphqc-i-peqh)

Biese Gleichungen berechtigen zur Annahme, dass:

ghk =■ ^p€ qepnqa , gcc = 2pa qapb qb^ gbe = ^ paqa{pbqe "{-pc qb)

Die Form des Symmetriekegelschnitts ist dann:

{2pb qbpe qe , — pa qa ( P6 2c -f- pc Jft)]

Ihre Richtigkeit wird durch Einsetzen der flbrigen Werte für die
Punkte PaOa bestätigt.

Es entspricht also jedem System zweier Symmetriepunkte des
Dreiecks ein Symmetriekcgelschoitt, welcher durch die Schnittpunkte
der Ecktransyersalen der beiden Punkte mit den Gegenseiten geht

Hain: Bezi^ung^n wiu DreMct mu einer Geradmu 87

IX.

Beilehiiiigm eines Dreiecks zu einer Geraden«

Von

Emil Hain,

I.

Trifft eine Gerade die Seiten BC des Dreiecks ABC in Ä\ so
bilden die (reraden ÄÄ' ein Dreieck, dessen Flächeninhalt gegeben
ist durch den Ausdruck:

4Fi7aoj«

WO ahcF Seiten nnd Fläche des Urdreiecks bezeichnen, nnd

die Gleichung der Geraden A*B'C' in trimetrischen Punktcoordinaten
ist, das Dreieck ABC zum Fnndamentaldreieck gewält.

Man findet zunächst:

AA'=0 b^ c,
BB'iSOi 0 ci
CC'=ai bi 0.
Das von drei Geraden

gebildete Dreieck hat zum Flächeninhalt O den Ausdruck:

abcFJ*

O -

Jßd^J^

Hain: Bezukungen eitles Dreieeks tu nner Geradm.

89

Sonacb ist lff'C" =

— e<ii abi — Äöj

boi — bc^

abi — ba^ cb^

— bCj CQi'-^ac^

Cb^ '^COi

Die Werte dieser Determinanten sind:

bica^bi^^abi^i — ^ ^1 <*i)
c (ab^ Ci -{-b ü| Oj — ca^bi)

Sie werden dnrch cyklische Vertauschung aus einander erhalten.
Ist öj eine Symmetricgerado des Dreiecks, so ist auch o(Ä<?iai +
€€1^ bi — ab^c^) nach b und c symmetrisch. Die A*\ das sind die Mitten
der AA% liegen also in einer Geraden. Sie ist zugleich diejenige, in
wacher nach Gauss die Mitten der Diagonalen eines Viorseits liegen.
Wir wollen sie deshalb die Gaussische Gerade der A^ in Bezug auf
das Dreieck ABC nennen.

Es kann gefragt werden: von welcher Geraden a^ ist die Gaussi-
Bcbe Gerade eine gegebene a'7

Dann hat man das System der Gleichungen:

abciC^-^acaib^ — a^b^Ci = a'
— b^Ci<ii'-\^bcaib^'{'babiCj = b'
•^cbc^<ii — <^aibi'\^cabiCi = c'

woraus:

h<fi

«1 =

— 6« +bc &'
+ cb — <?« c'

(a5'+Äo')(a(?'+<?a')

= 2abe(bc'+eb') = be'+cb'

Die Harmonikale des Punktes bc'-\-cb' ist: (oä'-}-*«') (ac'4- <?«')•
Somit ist die Gaussische Gerade der Harmonikaien des Punktes
biZ+eb' die Gerade o'.

Die Gaussische Gorade der Harmonikaien des Punktes b'{-e ist
die Harmonikale des Inkreiscentrums. Die unendlich entfernte Ge-
rade entspricht sich selbst als ihrer Gaussischen (Geraden.

construirt man die Harmonik^en eines Punktes P in Bezog nnf die
BD erhaltenen drei neuen Dreiecke; so bilden diese ein Dreieck mit
dem Flächeninhalte 9, so dass:

9 —7

9f(2:o,ya)»nnpa

wenn P^pa oad £0^x0 — 0 die Gleichung der Geraden A'B'C
ist. Zorn Beweise dieser Formel constrairen wir die Harmonikale
von P in Bezug aof das Dreieck AB'C. Wir ziehen also die Ge-
raden PA, PB', PC' and verlängern dieselben bis za ihren Gogen-
aeiten in diesem Dreieck. PA treffe B'C in Aa, PB' die AB in
C«, PC die AC' in £.. Ferner treffe A^Ba die AB in c;', A„Cm
die ^C in £■'. Es ist dann Ba'Ca die Harmonikale von i* in Bezog
anf das Dreieck AB'C Wir erbalten:

^' = 0

"i

-».

3' = -c'

0

<h

c- = i.

— a

0

'A =0

J».

— P»

'B's-.,p,

"iPc+OlP«

— c,pt

■C' = -a,p,

-»iP.

«iP«+*iP»

A. = i,pt+c,J)c

— Ojp»

— "iP*

B. = c,p.+b,p,

0

+.%P.

C. = »iP.+«iP.

+«iPi

0

SO ist:

jlaBaS ffl,pip« pe(*+4iP0 — P*(ajPa + S,i>l)

j*aC» = Qiptpc — Pe(o,pa+CiP«) P*(«+Cil'e)

Ferner trifft Ja fifl die .^J' in C^' und .i4a d die ..!£ in £a. Dann ist:
B«'= i+c,pe 0 —<HPt

Ca'm i+*ip» — «iP* 0

B,'Ca,'^a,ptpt pe(«+6iP») P»(« + C,pe)

Nun haben wir die Formel ftlr 4> in I. zu benflUen.

Bainx Bvtidmngem eme$ Dreiecke «u emtr Gtradtn*

91

d

Die Bechmimg gibt:

3€»ilp,

^•S

«l)a[aiPa -^öpa + C^rft+^^Pc — 2apa) ^Oj^a]

Hieraas folgt:

Die Determinante ^ kann nur dann Null werden, wenn *»JS»jpa-*0
d. h. wenn P aaf der Geraden a^ selbst liegt Die Ba'Ce! fallen
dann mit der o^ zusammen.

Ist die Gerade a^ die Harmonikale des Punktes pa, ist also
n, z=p^p^; 80 ergibt sich:

4^

243FiIapa

i7(4ip6+ 4c|i« — 6apa)

Ist P das Inkreiscentrum, so sind für den Fall 46-|-4c = 5a zwei
der Harmonikaien einander parallel.

IV.

Trifft eine Gerade die Seiten BC des Dreiecks ABC in A\ und
constmirt man von einem Punkt P in Bezug auf die neu so ent-
Btandenen Dreiecke AB'C die Harmonikaien BdCa^ so treffen die
^iCa die BC in Punkten einer Geraden. Dieser Satz, der von
Cayley herrtthrt, wird bewiesen, wenn wir den Schnittpunkt ^ der
^iQj mit BC suchen. Es ist:

BtlCa^ OtPhpe

Pd^ + hPh)

Phi^ + C^pe)

BC=1

0

0

^ = 0

Pb{s + Cipe)

— pe{i+hPh)

Bi = '-pa(i+Cipe)

0

Peii + Oipa)

Q =pa(i+biPh)

—pbii + thpa)

0

^lOt=phpe(B + aiPa)

PcPa(B + b^pb)

Papb(t + €tpc)

Daraus geht hervor, dass die B^C^ eine Symmetriegerado des Drei-

ecks ist and die A^ in einer Geraden liegen. Die Harmomliale von
P in Bezug luif das Urdreieck ABC trifft die Oerade a^ in dem Paukte

Es li^ sonach auch der Schnittpankt der Harmonikalen von P in
Bezog anf das Urdreieck mit der oj in der Geraden der A,. In
dieser Fassang, welche eine symmetrische Eigenschaft der Harmoni-
kalen aller Dreiecke ans einer Geraden hegreift, hat Cayley obiges
Satz bewiesen. Deshalh wollen wir die Gerade der At die Cayl^-
Bche Gerade des Fnnktes pa bezflglich der Geraden a^ nennen.

Ist Ol =ptpc d. h. die Earmonikale von pa, so ftllt die Cayle;-
scbe Gerade mit ihr zusammen. Die Harmonikale ^es Pnnktes
entspricht sich also selbst als ihrer Caylßy'scfacn Geraden.

Man kann fragen; fOr welche a^ ist die Cayley'sche Gerade be-
züglich eini-B Punktes pa eine gegebene a'? Es ist dann:

ipaptpiOt-h Pi*P*h + J"*l''!*<'l = •*'
Ptpa'Oj + ipapiptii + pc'paO^ — *'
Pa'ptOi + papt'hj +2paptFeCi— c'

a Pi'pe pbPt'

b' "ipaptpc pt'pa

"' P'Pi* 2pop»pe

= ptpe (3 a'pa — b'pt — c'pc)

Für welche o, bezfiglich des Punktes pa ist also die Cayley'sche Ge-
rade die Harmouikale des lukreiscentrums ? Hier ist:

«' — 1, Ol — J>»pe(3|>o— p»— Pe)

Die Cayley'Bche Gerade der o, bezüglich des Punktes pa ist: piptUt +
OjPq), wenn (} =- Soipa- Ist nun a^ seihet die Cayley'scbe Gerade
der a, bezüglich desselben Punktes, so ist:

"t^PtPcit+'hP'), • = io,Pa
<hPa — P'PtPtit+OjPa) , «1 = Sotp, — ittlpa

Die Cayley'scbe Gerade der Cayley'Bcben Geraden der o, bezttg-
lieh des Punktes p« hat also die Form:

P»P«(5e+o,pa).

Wien, December 1875.

Bain: UAtmgiomfyahm. 98

X.
üebnngsavfgabeiu

Von

Bmil Hain.

1. 8fttxe ttber Breleeke mit einer Mittelseite«

Ist im Dreieck ABC die eine Seite BC » a eine solche Function
der beiden andern Seiten b und c, dass a ein Mittelwert zwischen
diesen Seiten ist; so kann die Seite a die Mittelseite dieses Dreiecks
geBannt werden. Die gewöhnlichsten Fälle sind dann:

2a

— Ä + c

a».

^bc

2
a

Eis DreiedE, in welchem die Mittelseite einer dieser Functionen ent-
■pncht, faeisse bzhw. arithmetisch-, geometrisch-, harmonisch-propor-
tional. Für solche Arten von Dreiecken gelten dann verschiedene
Beziehimgen, deren einfachere hier folgen und Ton welchen die meisten
^e Umkehmng zulassen.

1. Die Höhe auf die Mittelseite eines arithmetisch-proportionalen
Dreiecks ist das harmonische Mittel der andern Höhen.

2. Der Inkreisradius eines arithmetisch-proportionalen Dreiecks
iit tf eich dem Drittel der Höhe auf die Mittelseite.

3. Die^ Inkreisradien zweier flächengleicher arithmetisch-propor-
tionalen Dreiecke verhalten sich umgekehrt wie die Mittelseiten.

94 Batn: Üel>ung»<iu/yah€H.

4. Die Flächen zweier arithmetisch-proportionalen Tangenten-
dreiecke eines Kreises verhalten sich so wie die Mittelseiten.

5. Der Radius des die Mittelseite eines arithmetisch-proportio-
nalen Dreiecks von Aussen berührenden Ankreises ist gleich der Hohe
auf die Mittelseite.

6. Das von den Summen je zweier Seiten eines arithmetisch-
proportionalen Dreiecks als Seiten gebildete Dreieck ist ebenfalls
arith metisch-proportional.

7. Werden die Seiten eines arithmetisch-proportionalen Dreiecks
um gleich viel verlängert oder verkürzt; so ist auch das aus dieseu
Seiten gebildete Dreieck arithmetisch-proportional.

8. In einem anthmetisch-proportioiialen Dreieck ist nie das
doppelte Rechteck aus den die Mittelseite umschliessenden Seiten
gleich der siebenfachen Summe der Quadrate dieser beiden Seiten.

9. Ist in einem Dreieck auf eine Seite die Höhe gezogen und
ist sie arithmetische Mittelseite für die so entstandenen Teildreiecke,
so sind die beiden andern Seiten gleich laug.

4

10. Wenn der Sinus eines Winkels in einem beliebigen Dreieck
sich verhält zu seinem Cosinus wie das dreifache Rechteck aus der
Gegenseite und aus dem Umkreisradius zum Rechteck aus den beiden
andern Seiten; so ist das Höhenfusspunktdreieck dieses Dreiecks
arithmetisch-proportional

11. Sind in einem Viereck die beiden Diagonalen gezogen, und
sind für die so entstandenen Dreiecke, deren gemeinsame Spitze im
Diagonalschnittpunkt liegt, die Seiten des Vierecks arithmetische
Mittelseiten; so ist das Viereck ein Kreistangcnteuviereck.

12. Die Höhe auf die Mittelseite eines geometrisch-proportionalen
Dreiecks ist die mittiere Proportionale der beiden andern Höhen.

13. Haben zwei geometrisch -proportionale Dreiecke gleichen
Flächeninhalt, so verhalten sich ihre Umkreisradien ebenso wie die
Würfel ihrer Mittelseiten.

14 Haben zwei geometrisch-proportionale Sehnendreiecke eines
Kreises gleichen Flächeninhalt, so sind ihre Mittelseiten gleich lang.

15. Sind zwei geometrisch-proportionale Dreiecke einem und
demselben Kreise eingeschrieben, so verhalten sich ihre Flächen-
inhalte wie die Würfel ihrer Mittelseiten.

16. Haben zwei geometrisch-propoitionale Dreiecke die Mittd-
Seite und deren Gegenwinkel gleich, so sind die Summen der Quadrate
der andern Seiten in beiden Dreiecken gleich.

Bain: üthungtaufgohen. 95

17. Wenn i^ einem Viereck die Diagonalen gezogen sind, so
atstehen vier Dreiecke, wovon jedes eine Seite des Vierecks enth&lt>
Sind diese Dreiecke in Bezog anf die Viereckseiten geometrisch-
proportional, dann sind die Rechtecke aus den Cregenseiten des Vier-
edcs einander gleich.

18. Die Höhe auf die Mittelseite eines harmonisch-proportionalen
Dreiecks ist das arithmetische Mittel ans den beiden andern Höhen.

19. Haben zwei harmonisch-proportionale fl&chengleiche Dreiecke
die Gegenwinkel der Mittelseiten gleich, so verhalten sich diese um-
gekehrt wie die Summen der beiden andern Seiten.

20. Die Quadrate der Mittelstiten zweier flächengleicher harmo-
nisch-proportionalen Sehnendreiecke eines Kreises verhalten sich um-
gekehrt wie die Summen der beiden andern Seiten.

21. Ist das Quadrat einer Seite eines Dreiecks das arithmetische
Ifittel aus den Quadraten der beiden andern Seiten, so ist das aus
den Summen je zweier Seiten dieses Dreiecks als Seiten gebUdete
Dreieck harmonisch-proportional.

22. Sind in einem Viereck die beiden Diagonalen gezogen und
ist in jedem der vier Dreiecke, deren gemeinschaftliche Spitze im
Diagonalcnschnittpunkt liegt, die Viereckseite harmonische Mittelseite;
80 sind die Summen je zweier reciproken Gegenseiten einander gleich.

23. Nur im gleichseitigen Dreieck ist jede Seite das arithmetische,
geometrische oder harmonische Mittel der beiden andern Seiten.

24. Ist eine Seite eines Dreiecks sowol die mittlere Proportio-
nale als auch das arithmetische Mittel der beiden andern; so ist das
Qoadrat der Mittelseite das arithmetische Mittel der Quadrate der
beiden andern Seiten und das Dreieck ist gleichschenklig.

25. Ist die Mittelseite eines geometrisch-proportionalen Dreiecks
auch harmonische Mittelscite, so ist das Dreieck auch arithmetisch-
proportional.

26. Liegt die Mittelseite eines arithmetisch-proportionalen Drei-
ecks einem Winkel von 60^ gegenüber, so ist das Dreieck gleichseitig.

27. Haben zwei flächengleiche Dreiecke, das eine arithmetisch-,
das andere geometrisch-proportional, eine und dieselbe Mittelseite;
so ist das sechsfache Rechteck aus dem Inkreisradius des ersten und
ans dem Umkreisradius des zweiten Dreiecks gleich dem Quadrat der
Mittdseite.

28. Zerlegt jede Diagonale eines Vierecks dasselbe in je zwei

95 Bain: ütbtngBaufyaheH,

Dreiecke, bo dass die Diagonalen arithmetiache, geometrische oder
harmonische Mittelseiten bilden, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

29. Es gibt keinen Punkt in der Ebene eines gleichseitigen
Vierecks, dessen Verbindnngsgeraden mit den Ecken Dreiecke hilden,
die in Bezug auf die Qaadratseiten arithmetisch, geometrisch oder
harmonisch-proportional wären.

2. Sftlaie Aber die TransTersaleK, welche die Seiten eines Dr^teeks

in drei gleiche Teile teilen.

Auf den Seiten i?, C des Dreiecks ABC seien die Pnnkte Ae and

1 a

Ai 80 gelegen, dass BAe » AeAh »* AhC « ^BC -» =• Für die

Transversalen AAc nnd AAh gelten ausser den bereits im ArchiT
(LV. 331. LVn. 324.) mitgeteilten Beziehungen noch folgende:

1. Die Schwerpunkte der Dreiecke AhBeCa und AcBaCb fiallen
mit dem Schwerpunkt des Urdreiecks zusammen.

2. Die Paare der Geraden AcBe und AhCb schneiden sich im
Schwerpunkt des Urdreiecks.

3. Die Paare der Geraden BaCb und CaBe^ als auch die Paare
der AhCa nnd AcBn schneiden sich in drei solchen Punkten, die als
Ecken ein Dreieck bilden, dessen Schworpunkt mit dem des Urdreiecks
zusammenfällt.

4. Wird eine Seite eines Dreiecks in drei gleiche Teile geteilt
und jeder Teilungspunkt mit dem Gregeneck verbunden; so ist das
Rechteck aus dem Umkreisradius des ganzen und aus dem des mitt-
leren der drei so entstandenen Dreiecke gleich dem Rechteck aus
dem Umkreisradius der beiden andern Teildreiecke.

5. Sind p, potf, Qaay Qah die Inkreisradien der Dreiecke ABC^
ABAey AAc Ab ^ ACAh\ so ist:

1 + ^-1 = 2:(i+i)

6. Sind «, tac^ taa, tob die Paralleltransversalen (Archiv LVU. 438.)
der Dreiecke ABC^ ABAc^ AAcAh^ ACAh\ so ist:

7. Zieht man durch die Ecken eines Dreiecks zu den Oegenseiten
Gemde, welche diese in drei gleiche Teile teilen und bildet aas je

tiain: Üebungtau/ge^eh, 9 f

drei abwechselnden Transrersalen ein Dreieck; so verhält sich der
n&cheninhalt jedes dieser beiden Dreiecke zu dem des Urdreiecks
wie 7:9.

8» Die Dreiteilongspnnkte (Abj Äc) der Seiten eines Dreiecks
Hegen in einer Ellipse, deren Gleichong:

22a^Xa^ — bHabxaXb = 0

wo xa die Normale eines Punktes auf die Seite BC ist.

8. Tersehiedene Breleeksfttze.

1. Aus den Summen je zweier Seiten eines Dreiecks als Seiten
kann immer ein anderes Dreieck gebildet werden. Sind a, by e die
Seiten des ersten Dreiecks, also h'\-Cy <?+«> a-^-b die des zweiten,

so ist der Flächeninhalt des letzteren = '^ahc(a-^b-^c).

2. Sind o, 5, c die Seiten eines Dreiecks, so kann immer ein

Dreieck mit den Seiten VaA-j-ao, Vic+ca, ^ca-^-ah construirt wer-
den. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist die Hälfte von dem
Flächeninhalte des Dreiecks mit den Seiten a+i, *+<?, c+a.

3. Sind o, 6, c die Seiten eines Dreiecks, so kann immer ein
Dreieck construirt werden, dessen Seiten V^^+c*, Vc*+a*, l/a*+ft*
nnd. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist — \ VaV+ft'c'+cV.

4. Sind r und q Um- und Inkreisradius des Dreiecks mit den
Seiten a, A, c; ^' der Inkreisradius mit den Seiten o-f"*» *"l~<^> ^"^^
80 ist ^' = V2r(?.

5. Wird auf der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ausser-
halb (innerhalb) desselben eine Seitoechte errichtet, so ist der dop-
pelte Abstand des Gegenecks der Basis von dieser Normalen gleich
der Summe (Differenz) der Abstände der andern Ecken von derselben
Geraden.

Wien, October 1875.

WH ut. 1

98 kUceilen.

XL
Hiscellen.

1.

Prodaet einer unendliehen Factorenreilie«

Im Folgeodai wird bewieseD, dass

4 H

[tangar].Vtaug2a;.>/tang4a;.ytang8fl5 . . . =« [2sina;]* (I)

Setzt man in der identischen Gleichung

28in*a
tanga = . ^ '
^ sin 2«

der Reihe nach:

a « a;, 2af, 4a;, . . . 2«-1|b

80 erhält man:

tanga? = -.

2 sin'«

sin 2a;

'^t0iXLg2x = 8in2x.-7==

y sin 4a:

* / V2

y tang4a: « y sin 4a; . 4

y sin 8a;

-1 2^-2 ^^

ytang(2--ia;) ■= y8in(2"-ia;).^j^

ysin(2"a;)

MsceÜen, 99

and nach Multiplication dieser n Gleichungen:

4 8 ___ g**-^

[tangx].l/tang2x.ytang4cYtangac . . . l/tang(2**-iiir)

2.V2.y2.y2 . . . y2.[8ingp _ 2. 2*. 2^2^ ... 2^'*~\[sina?3»

^* 2**""^ 2**""'^

y8in(2^a;) V8in(2"aj)

^ 2 ^ ^ . [sinxY _ _[28in^]2_

"~ 2^-^ "" 2*»2^'^

y8in(2"a;) y2 8in (2»»a;)

das ist: (II)

, * 8^—- - f-ll^ [28ina:]»

[tanga:].ytang2x.ytang4«.ytang8x . . . ytang(2"-ia;) — ^^:ii

ysin(2«^
Der Nenner dieses Ausdrucks lÄsst sich in folgender Reihe entwickeln:

gn— 1 2^

ysin(2»»x) =y{l— [C08(2*a;)]2j

=* 1 - ^ [C08(2^x)y + ^"^ f ,2 ' [C08(2»a:)]^-. . . (a)

welche converglrt, wofern nur x nicht von der Form

hn

für ganze Zahlen Jfc, ä ist. Für n = oo verschwinden alle Tenne
ausser dem ersten; daher hat ohiger Nenner den Grenzwert 1, und
es resultirt die zu beweisende Gleichung (I).

Formel (I) kann man auf andere Art dircct erhalten. Setzt man:

4 8

[tangir].ytang2x.ytang4a:.ytaug8x ...=•/
so ist

logtanga;+ilogtang2aj-}-ilogtang4a5+ilogtang8a:4- . . . = logJ

Durch Substitution von w = 2«, 4a;, 8x, 16a;, 32ic ... in eine bekannte
Formel:

logtangö = — 2[co82r-|-Jcos3M?+lco85M?+}co87MT+ . . .]

7*

iÖO MiiCMÜtn.

erhält man die Gleichungen:

logtang« « — 2[co8 2a; + icos6«+icosl0«-f-!co8l4fl;+ . . .]
ilogtang2iB «= — [co8 4x+ Jco8l2«-|-4co820a;+ico828«-|- • • •]

Jlogtang4a: = — J[co8 8x + Jco824a;+lco840r+5c08Ö6«-|" • • •]
ilogtangS« «= — J^[cosl6it-|-Jco848a:+ico8 80a;+ . . .]

und durch Addition

log«7 = — 2[co82fl;-|-^co84a;4-ico86fl:-f ^C088x4-ico8l0a;-j~ • • •]
Und weil

21og[28inx] =— 2[co82fl:+icO84ar4-ic086x4-ic088fl!+ . . •]

80 ergieht sich:

logJ« 21og[28in«] = log[28in«]*
woraus:

J«[28ina:]*

was in beweisen war.

Durch Substitution der Werte

1

**°^* ^ cotg*
wird hieraus:

4 8

[cotg«].ycotg2x.ycotg4r.Vcotg8j- . . . =- [Jcosecx]* (HI)
Die Formeln (I) und (III) lassen sich auch schreiben:

4 8

Vtang2r.>'tang4x.Vtang^ . . . = 28in2x; (lY)

4 S

Vcotg2jr,ycotg4x.> cotgöjr , . . = icosee2x (V)

O. Dobiciecki,

T<rrlintker m Warechan.

* • " J

MisceUen, lOl

2.

H5he des Sehwerpuiktes eines Pyramidenstatzes, dessen Biehtisrkeit
Ton der antem bis znr obem Flllehe sieh progrressi? yerllndert.

Es ist von mir in dem Archiv Teil 58. Seite 185 etc. ein Aufsatz
Aber Grenzwertrechnnng erschienen, welche auf höheren Bildungs-
anstalten die Integralrechnung teilweise ersetzt; mit dieser Rechnuug
soll obige Aufgabe gelöst werdeu.

Es sei g die Grundfläche einer Pyramide, h ihre Höhe ; man teile
die letztere von der Spitze an in n gleiche Teile, lege durch jeden
Teilpunkt eine Ebene, parallel zur Grundfläche und stelle auf jede

Dnrchschnittsfigur ein Prisma von der Höhe -h\ der Rauminhalt des
ssten Prismas ist:

Die Dichtigkeit d^ Pyramide sei an der Spitze d^^ an der Grund-
fläche ^, so ist die Dichtigkeit des a;ten Prismas

dx-do+lid^-do)

folglich das Gewicht des betreffenden Prismas :

Nimmt man hiervon den Grenzwert der Summe von a; = m bis a; » n,
so ist das Gewicht des Stutzes von der Höhe (l \h%

Multiplicirt man das Gewicht des Prismas Pz mit dem Abstände

desselben von der Grundfläche, d. i. (l JA, so erhält man das

Moment desselben in Beziehung auf g :

fic' x^ x^ ac*

Nimmt man hiervon den Grenzwert der Summe, so ist das Moment
des Pyramidenstutzes:

-\[^-'S)3^^^-^^

• _•

lOß

• •

• ••

• ••

• •

MisceUen.

Die Höhe des Schwerpunktes über der Grundfläche g ist

5-#

G

d. L

5 —

Hebt man den Bruch mit (l )^ä, setzt f 1 Ja = Aj

ordnet, so ergiebt sich:

und

8

Bezeichnet d^ die Dichtigkeit an der obern Fläche des Stutzes, so ist

m
rfj « do + -K— ^), oder d^ —

Wenn man diesen

1 —

Wert von d^ einträgt, so erhält man:

n

S =

2

5

m'

Nun ist aber -^

n'

9'

daher

?=K?.'»

trägt man dies ein, so ist:

zig+^V99i + ^gx)^d^-hl(^9 + ^V9ffi + ^9i)htd^

(9 + ^V99i + ^9i)di + (3g+2Vgg,+g,)d,

Setzt man in S die Dichtigkeit gleichförmig, also rf^ « i/g, so ergiebt
sich als Schwerpunkt des Pyramidenstutzes

denselben Ausdruck erhält man, wenn man den Unterschied der

MiaceHen. lOg

Momente der ganzen Pyramide und dos abgeschnittenen Stflckes durch
den Banminhalt des Stutzes dividirt

Wird gi » 0, so ist die Höhe des Schwerpunktes über der Grund-
fläche:

^^b^V'^d^T^'

ein Aasdruck, der in § 9 des angeführten Aufsatzes gefunden worden ist

Plauen i/V. den 16. Dec. 1875.

F. K Thieme.

3.

Etil Beitrag mr Messniig tor elektrometoriseheB Erftfte Ton

Stromquellen*

a) Absolute Messungen.

Die Wirksamkeit einer Stromquelle häugt ab von der elektro-
motorischen Kraft und von dem Widerstände in der Quelle selbst
Das Ohm'sche Gesetz gibt Mittel an die Hand, diese Stücke auf be-
stimmte Masse zurückzuführen und ihre absoluten Werte darnach
auszumitteln. Die absolut^ Werte der elektromotorischen Kraft E
und des Widerstandes W einer Stromquelle ergeben sich durch Com-
bination der Resultate einer hinreichenden Anzahl von Versuchen,
die man auf verschiedene Arten einleiten kann. Das Verfahren, wel-
ches ich einhalte zur Messung der elektromotorischen Kraft £, besteht
in Nachstehendem.

Bezeichnet S die Stromstärke , W den Widerstand im Elektro-
motor und E die elektromotorische Kraft der Quelle, so besteht wenn
kein Neusilberdraht weiter eingeschaltet ist, die Relation:

Wird nun ein Neusilberdraht von der Länge l eingeschaltet, welcher

S
die Stromstärke iS auf - herabbringt, so hat man für diesen Fall die

Gleichung:

^«_Jl_ 11

Aus 11. entsteht:
und mit Hülfe von I:

104 Mücellen,

E-^Sl — nE
oder:

E =

n— 1

Wird nun n «= 2 so ist £ = Ä J IV, d. h. die elcktromotorisclie
Kraft E ist gleich dem Prodocte der Stromstärke S bei keiner wei-
teren Drahteinschaltung und der Länge l des Neusilberdrahtes, der

die Stromstärke iS auf » zurückbringt

In der Physik von KOlp Band m Seite 349 wird E bestimmt
durch die Gleichung:

in welcher S und S^ die Stromstärken bei zwei yerschiedenen Lei-
tungswiderständen bedeuten; dieselbe geht in E^SA über, wenn
1 — 0; iS| »> |/S und für /j » 2 gesetzt wird.

In der Gleichung: E » SJ wird der numerische Wert durch die
£inheiten, welche der Stromstärke und dem Widerstände zu Grande
liegen, festgestellt

Ein Zinkeisenelement A gab bei keiner weiteren Drahteinscbal-
tung eine Ablenkung von 64^ 15\ um eine Ablenkung von 46^ an der
Tangentenbussole zu erhalten, welcher Winkel dem halben Tangenten-
wert von 64^ 15' nahezu entspricht, so musste ein 1,3 Meter langer
Keusüberdraht eingeschaltet werden, in diesem Falle ist:

E — tg64* 15 X 1,3 = 2,e95;

d. h« die betreffende Kraft ist 2^695 mal grösser als digenige, wache
bei dem Leitungswiderstande eines Keusilberdrahtes von einem Meter
Länge und 1,5 Millimeter Dicke eine Ablenkung von 45^ an der
Bussole hervorbringt

b) Relative Messungen.

Handelt e« sich um das Terhältiüss iw«ier StroroquelleB , so ist
Iblgondes TeriüunNi nuiukahen, Ftr die rm Stn>»queüea bestehe

\

ftr Quoüi? .4:

'•"*w-t-# ^^*-* n.

Müctlkn, J05

und

^^w^ ni.

fE&r Quelle Bi

IV.

wenn S and S^ die Stromstärken bei keiner weiteren Drahteinschal-
tnng, E und E^ die elektromotorischen Kräfte, und l und /^ die-
jenigen Drahtlängen bedeuten, welche ihre Stromstärke auf den nten
Teil zorackführen.

Aus I. und II. erhält mau:

inalog ans HL und lY.:

E — 7 . V.

n — 1

£, - ^V VI.

* n — 1

WO durch DiTision von V. und VI.:

^ = -^ vn

hervorgeht; d. h. die elektromotorischen Kräfte zweier Stromquellen
sind direct proportional den Producten aus den Stromstärken bei
keinen weiteren Drahteinschaltungen und denjenigen Drahtlängen,
welche im Stande sind ihre Stromstärken auf den nten Teil der ur-
sprünglichen Stärken zurückzubringen.

Wird /S => iS| dann entsteht ans Vn.:

E^ l_

E.'^l,

d. h. die elektromotorischen Kräfte verhalten sich wie die eingeschal-
teten Drahtlängen, welche die Nadel von einer gleichen Ablenkung
auf eine geringere Ablenkung zurückzubringen im Stande sind; ein
Verfahren was Wheatstone einhielt bei der relativen Messung der
elektromotorischen Kräfte von Stromquellen. (Siehe Physik von Külp
Band UI Seite 350).

Das obige Zinkeisenelement A verglich ich mit einem anderen B
das bei keiner weiteren Drahteinschaltung eine Ablenkung von 70^ 15'
an der Tangentenbussole zeigte. Um nun eine Ablenkung von 54^ 15'
zu erhalten, welcher Winkel dem halben Tangentenwert von 70^15'
sehr nahe entspricht, so musste ein 1,10 Meter langer Draht einge-
geschaltet werden, es besteht die Gleichung:

106 MUcelkn.

E^ _ tg64 X 1,3 2,695

El "" tg700 15' X 1,1 "" 3,063

£ : £i = 1 : 1,13.

oder:

Da bei meiner Tangentenbussole nur auf ^ Grad genau abgelesen
werden kann, so nahm ich bei dem Element A nicht 46^ 2', sondern
46® und bei dem zweiten Element B nicht 54® 19' , sondern nur
54® 15'. Kttlp.

4.

lieber das Terhältniss der Stromstttrken einer Kette lu einem

einzisren Elemente«

a) Gleich starke Becher.

Für eine Kette von N gleich starken Elementen besteht der Aus-
druck:

Ne

und für ein Element der «achstehende:

-i- II.

Wird die Stromstärke S der Kette auf - durch eine Drahtläiige i
gedämpft, so wird:

- ^^ m

n Nw-\'g-\~l

erhalten. Die Gleichungen I. und n. liefern:

iVfl(n— 1)
ö =

und für n « 2:

^= l

5 = ^ IV.

zieht man schliesslich II. in Betracht, so bokommt man:

Ä:«=» N{w-\-g):l V.

d. h. die Stromstärke einer Kette verhält sich zur Stromstärke oines
Elementes wie das Product aus der Zahl der Becher der Kette in
den Gesammtleitungswiderstand — Dämpfungslänge — eines Ele*
jnentes zur Dämpfungslänge der Kette.

Mucdlm. 107

Sind in obiger Proportion alle Grössen bis anf / bekannt, so kann
die Dämpfdngsläuge durch Rechnung gefunden werden, rtian hat:

Zwei gleich starke Zinkeiseneleroonte gaben das Nachstehende:

tg70 2.118

tg65^30'"" 190

1,252 = 1,242.

oder:

Dass die Elemente auch wirklich gleich waren, ergibt sich wie

folgt:

118 ^ W'\-g oder:

w — 118—4-1 = 74,

da 44 der Widerstand in der Tangoutonbussolc, ebenso ist:

190 = 210+44 oder: ,
iü = 73,

woraus die Stärkegleichheit der Elemente hervorgeht.

b) Ungleich starke Becher.

Sind die Elemente, welche zu einer Kette verbunden werden, un-
gleich, so ist die Rechnung für zwei Elemente, folgende. Es bestehen
fSir diesen Fall die Gleichungen:

s = -r^-nr I.

w-Y-w^-Yg
und:

, « -^ II.

Bringt man die Stromstärke 8 auf - herab, so ist:

£ ^ ?lt_^[_„ III

aus I. und III. wird wieder:

(JK + A\)(n-1)

woraus für n == 2:

«= /

5 = -^-'+-^ IV.

108 Mücelien.

hervorgeht, und endlich anter Berücksichtignng von n.:

S (E+E^).(w+g)

E.l

V.

sich ergibt; d. h. die Stromstärke der Kette verhält sich zur Strom-
stärke dos Vergleichelementes wie das Product ans der Summe der
elektromotorischen Kräfte der Elemente in den Gesammtleitungswider-
stand — DämpfungsläDgo — des Vergleichelementes zum Producte
aus der Dämpfungslänge der Kette in die elektromotorische Kraft des
Yergleichelementes.

In dem Ausdrucke Y. kann man auch fOr die elektromotorischen
Kräfte die Producte der Stromstärken bei keinen weiteren Drahtein-
schaltungen in ihre Widerstände — Dämpfungslängen — setzen, wo-
durch derselbe in folgenden übergeht:

S _{Ws-^W^$^)W

s " Wsl '

Für eine grössere Anzahl als zwei Elemente, wird die Rechnung
auf eine gleiche Weise geführt.

Die experimentelle Bestätigung der Gleichung: Y b) behalte ich
mir vor. Külp.

5.

lieber das YerhUltniss eines kleinplattlgen Elementes zu einer

Kette von grossplattigen Elementen.

Die Relation für das kleinplattige Element ist:

und die betreffende für die Kette von N gleich starken Elementen,
die folgende:

^-N^T— «•

s

Durch eine Drahtlänge Z, wird S auf - gestillt, wodurch man erhält:

^•-■j,-^^- m.

MUedUn, 109

Die GleichaBgen TL. und IIL geben den Aosdrnck:

S j .

der für f»B 2 in:

B-^ IV.

übergeht, worans anter Zuziehung von I. die Proportion:

eatsteht, d. h. die Stromstärke eines kleinplattigen Elementes yer-
bfilt sich zur Stromstärke einer Kette von grossplattigen Elementen,
wie die Dämpfnngslänge der Kette zum Prodncte aus der Zahl der
Becher in den Gesammtleitungswiderstand — ' Dämpfungslänge des
kleinplattigen Elementes.

Für zwei gleich starke Elemente zur Kette verbunden und einem
kleinplattigen Elemente von nur halb so grossen Platten, erhielt ich
das folgende Kesultat:

tg5l0 30^ 232

tg660 45' ""2X212
oder:

0,540 « 0,547.

Da die verschiedenen Untersuchungen alle nach demselben Prin-
cipe ausgeführt werden, so ist es am Platze das Verfahren zu be-
nennen, und schlage vor dasselbe mit dem Namen „galvanische
Dämpfungsmethode^^ zu belegen. Külp.

6.

lieber die BesÜmmmiig des LeitmiigswiderstaBdeB der Metalle.

Der Leitungswiderstand der Metalle kann auch mit Hülfe der
figalvanischen Dämpfhngsmethode'^ ausgeführt werden. Man hat in
diesem Falle die Gleichungen:

a^^ T

«nd

8 B

n "■ W+x+X °*

wo jc den Leitungswiderstand des eingeschalteten Drahtes, von ge«
gebener Länge, dessen Widerstand bestimmt werden soll, uid l die-

1 10 ^isrelUn.

jenige Länge Neusilberdraht — Znschusslfinge — bezeichnet, welche
man noch hinzufügen muss, um die Stromstürke S auf — vollständig

herabzudrücken. — Die Länge des einzuschaltenden Drahtes muss
marn jedoch so wählen, dass durch dieselbe S allein nicht schon

S Sf

— oder gar kleiner als - wird. Da die Widerstände der Metalle

n n

mit Kupfer als gutem Leiter verglichen weräen, so richtet man sich
am besten bei der Wahl der einzuschaltenden Länge nach dem schlech-
testen Leiter. Wird zwischen den Gleichungen I. und II. E eliminirt,
so ist:

und für n = 2:

d. h. der Widerstand des betreffenden Metalls ist gleich der Däm-
pfungslänge des Elementes — da W^ w-\-g^l — weniger der Draht-
länge k — Zuschusslänge — welche noch eingeschaltet wurde, um S

auf 2 genau zurückzuführen. Wenn die Zuschusslänge A = 0, so
ist a; = W d. h. gleich der Dämpfungsläuge selbst

Für einen zweiten Draht von anderem Material, aber von gleicher
Länge und gleichem Querschnitt hat man analog:

folglich :

Werden die Differenzen {W—k) und (TT— A^) die Leitungs-
factoren der entsprechenden Metalle genannt, dann ist das Verhält-
niss ihrer Widerstände gleich demjenigen ihrer Leitungsfactoren.

Als Beleg mag folgender Versuch dienen. Nachdem 150 die
Dämpfungslänge des vorhandenen Zinkeisenelements, das eine Ab-
lenkung von 61^30' gab, gefunden, so wurde ein Kupferdraht und
Eisendraht von gleicher Länge und gleichem Querschnitte nach ein-
ander eingeschaltet, um die Zuschussläugen 141 und 95 zu finden;
man hat hiernach:

X _ 150 -141 1

x\ "" 150—95 ^ 6,11'

d. h. die specifischen Loitungswiderstände — Leitungsfactoren —
meiner Drähte verhielten sich wie : 1 : 6,11.

Wird die Leituogfähigkeit des Kupfers gleich 100 gesetzt, so ist

die des Eisens in diesem Falle 16,36 *).

Kttlp.

6.
Zur Theorie des Maximums der Stromstärke.

Der Wert der grössten Stromstärke ist:

E

S

2VWG

wo man fOr TF, die Dämpfungslänge des Elementes weniger dem
Widerstaade in der Tangentenbassole setzen kann, es ist nun:

2V(l-g)G

Wird G^ — > ^ ist femer g sehr klein, und kann gegen l vernachlässigt

werden, so ist:

E

d. h. das Maximum der Stromstärke ist in diesem Fall gleich der
elektromotischen Kraft dividirt durch die doppelte Dämpfungslänge.

F^ einen anderen Maximalwert besteht analog die Gleichung:

und hieraus:

S:Si « El^xEJL,

d. h. die beiden Maximalwerte stehen alsdann in einem zusammen-
gesetzten Verhältnisse, im directen Verhältnisse ihrer elektromotori-
schen Kräfte und zugleich im umgekehrten Verhältnisse ihrer Däm-
pfoDgslängcn.

Für £ = JBi ist:

*) Um üic VeiBDche bequem antf&hreo sn könnoo, so fertigt Herr Mecha-
niker Waiblcr in DArmstadt einen Rbeostaten mit Feder und Zfthler für die
ganzen ümdrehnngen an, der zu empfehlen ist; auch sind bei demselben em-
pfindlicbo Tangentenbnssolen zn haben, die den nöUgen Grad der Feinheit
betiuen.

112 MitcdUn.

d. h. die Stromstärken der beiden Maximalwerte verhalten sich um-
gekehrt wie die Dämpfungslängen.

Wird 1 = 1^^ 80 ist:

d h. die Stromstärken der beiden Maximalwerte stehen im directen
Verhältnisse ihrer elektromotorischen Kräfte, und endlich wenn S^S^^
so wird:

d. h. die elektromotorischen Kräfte verhalten sich gerade so wie ihre

Dämpfungslängen.

KOlp.

Rutht: üeber die Abhängigkeit zwischen Magnetismus und Härte etc. 1J3

xn.

Ueber die Abhängigkeit zwischen Hagnetisrnns und

Härte des Stahles.

Von

Herrn Dr. Ch. Ruths,

Lehrer an der Gewerbeschule zu Dortmand.

I.

Die bekannte Eigenschaft des Stahles, durch Anlassen zu ver-
Bchiedenen Oxydationsfarben bequem in verschiedenen Härtegraden
dargestellt werden zu können, bietet uns ein Mittel dar, den Einflnss
der H&rte oder der dieselbe bedingenden Molecularkräfte auf den
Magnetismus der Körper (zunächst des Stahles) einigermassen stu-
diren zu können — eine Untersuchung, welche mit Rücksicht auf die
magnetische Moleculardrehuugs-Theorle nicht ohne Interesse sein wird.
Zwar haben wir in der Oxydatiousfarbe des angelassenen Stahles kein
scharfes Kennzeichen über die Härte einer Stahlmasse; halten wir
dieselbe aber in Ermangelung eines besseren einfachen Prüfungs-Mit-
tels einmal fest, so wird man innerhalb gewisser Grenzen — insbe-
sondere, wenn es sich um Vergleichuug von Stahlmassen handelt,
deren Dimensionen nicht allzusehr von einander abweichen — die
Oxydatiousfarbe als ein sicheres Moment zur Beurteilung «ler relativen
Härte betrachten können.

Die Resultate nun, welche bis jetzt von verschiedenen Beobach-
tern bezüglich der Grösse der Magnetismen verschieden harter Stahl-
stäbe erhalten wnrden, sind, soweit mir bekannt, kurz folgende:

a) Inducirter (temporärer) Magnetismus. Alle Be-
obachter stimmen hier in dem Satze überein, dass bei übrigens gleichen

TtU LIX. 9

114 Ituths: Üeher die Abhängigkeit

Verhältnissen ein weicherer Stab eine grössere Menge Magnetismus
temporär annehme, als ein härterer Stab. — Ich werde in der Folge
hierauf, sowie auf einige spcciellc Andeutungen verschiedener Physiker
wieder zurückkommen.

b) Remanentcr (permanenter) Magnetismus. Hier sind
die Ansichten geteilt; ich teile deshalb die Resultate der verschie-
denen Exerimentoren kurz mit:

Coulomb*) fand für einen bei HS?® C. gehärteten Stahl-
stab (Länge == 162 mm., Breite = 14 mm., Dicke —

5 mm.), dass derselbe durch Anlassen zu Temperaturen von
15® bis 1250® C. successive mehr die Fähigkeit, Magnetis-
mus zurückzuhalten (Coercitivkraft) verliere, woraus folgen
würde, dass ein weicherer Stab weniger permanenten Magne-
tismus annehmen könne, als ein härterer. Ein cylindrisches
Stahlstück (Länge = 336 mm., Dicke = 4 mm.) gab je-
doch gerade das entgegengesetzte Resultat. Doch sollen
dann stets im Innern des Stabes ausser dem Indifferenz-
punkt in der Mitte noch zwei solche zu beiden Seiten auf-
treten, welche dann, wenn das Verhältniss von Länge zu
Durchmesser unter 30, mit dem Indifferenzpunkte in der
Mitte zusammenfielen.

Das Resultat, dass ein weicher Stab weniger Magnetismus zu-
rückhalten könne, als ein härterer, geht auch aus den Versuchen
folgender Beobachter hervor:

Müller**): Versuche mit Stäben von 167 mm. Länge und

6 mm. Dicke.

Plticker***): Versuche mit harten und angelassenen Stahl-
knöpfen von 14 mm. Länge, 8 mm. Durchmesser, welche
von Magneten abgerissen worden waren.

Wiedemannt): Versuche mit Stäben von 220 Länge und
13,5 mm. Dicke.

Diesen Beobachtern stehen aber entgegen:

Hansteentt), der auf Grund von Versuchen mit Stahlstäben
von 43 Lin. Länge, 1,1 Lin. Dicke dem weichen Stahle
grössere Coercitivkraft zuschreibt, als dem harten Stahle.

*) Vergl. Biot, Trait^ de Physique, Tome III, pag. 108 etc.
•*) Pogg. Ann. Bd. 85. S. 157.
) Pogg. Ann. Bd. 94. S. 28.
t) Pogg. Aon. Bd. 106. S. 169 etc.
tt) Pogg* Ann. Bd. 3. S. 286.

zwischen Magnetismus und Barte des Stahles. 115

Lamont*) tritt gleichfalls für diese Ansicht in entschiedener
Weise ein, Vorsuche mit Stäben von 81,2 Lin. Länge, 1,5
Lin. Breite nnd Dicke mitteilend.

Die hiemach stattfindenden Widersprüche in den Angaben ver-
schiedener Beobachter einesteils, andernteils aber die oben berührte
Wichtigkeit des Gegeiistaudos mit Rücksicht auf die magnetische
Drehungstheoric, veraulassteu mich, in dieser Beziehung eigene um-
fassende Versuchsreihen mit Stahlstäben von den verschiedensten
Dimeusionen anzustellen, indem ich stets solche von gleichen Dimen-
sionen aber ungleicher Hürte der Einwirkung gleicher inducirender
Kräfte unterwarf und beziehentlich inducirten und remaneuten Magnc-
tismos untersuchte.

n.

Bei der Auswahl des von mir angewandten Materiales musste ich
zuvörderst in Rücksicht ziehen, dass bei sehr langen Stahlstäben eine
gleichmässigc Härtung mechanisch fast nicht err(dcht werden kann,
wodurch dann in der Regel durch die mangelnde Structurhomogeneität
auch eine uugleichmässige Verteilung des Magnetismus im Innern der
Stäbe stattfindet. Ich habe daher bei meinen meiste a Versuchsreihen
englischen Stahldraht verwandt, der in zahlreichen Dickeuverhältnissen
im Handel vorkommt, und indem ich über eine Länge der einzelnen
Stäbe von 120 mm. nicht hinaus ging, suchte ich vielmehr die ver-
schiedenen Aeuderungen des Axcnverhältnisscs (Länge zu Dicke) durch
Aaswahl verschiedener Dicken zu erreichen. — Ich teile indessen,
aus den von mir an ca. 50 Stahlstäbeu angestellten Versuchsreihen
nur die Beobachtungen an einem Satz von 120 Stäben mit, weil die
flbrigeu im Wesentlichen doch nur die später gezogenen Folgerungen
bestätigen. Von diesen 120 mm. langen Stäben gebe ich in der fol-
genden Tabelle die Dimensionen etc.

Nr.

Gewicht in

Radius

Volumen in

Axen-Verh.

mgr.

in mm.

cub. mm.

approx.

I.

1990

0,85

272

70

IL

4310

1,20

542

50

UL

6220

1,45

792

40

IV.

10550

1,90

1360

30

V.

17500

2,45

2261

25

VL

25650

2,95

3279

20

*) Hdbch. d. Magn. S. 849, S50, 258, 953, 883.

116 Rutha: Ueber die Abhängigkeit

Von jeder solchen Dimension (jeder Nummer) lies« ich 3 Stäbe
verfertigen, die aus demselben Drahtstücke genommen wnrden and
bei deren Auswahl, soviel äusserlich erkennbar, auf möglichste Homo-
gcneität gesehen wurde. Sämmtliche Stahlstücke wurden nun in
der bekannten Weise vollkommen (glashart) gehärtet, sodann von
jeder Dimension ein Stück durch nicht zu schnelles einmaliges Er-
hitzen im Sandbade und nachheriges langsames Abkühlen zur Oxyd.-
Farbe „dunkelgelb" und ein desgl. zur Oxyd.-Farbe „dunkelblau"
gleichmässig angelassen. Da zu gleicher Oxydati ous-Farbe bei der-
selben Stahlsorte und übrigens gleichmässiger Behandlung wohl der
gleiche Molccularzustand vorausgesetzt werden darf, so sehe ich auch
bei einer später vorzunehmenden Vergleichung meiner Versuchsrosul-
tate die Stahlstücke derselben Oxyd.-Farbe als von gleicher Strudur
an. Hiergegen könnte man zwar noch einwenden, dass, insbesondere
bei dickeren Stäben, durch die Operation des Härtens und Anlassens
nur die Oberfläche eine bezügliche Veränderung erleidet, während
der innerste Kern weich bleibt; da aber nach den bekannten Ver-
suchen von V. Feilitzsch auch der Magnetismus eines Stabes sich
zuvörderst in den äussersten Schichten ansammelt und erst mit wach-
senden inducirten Kräften (mit der Annäherung an das Maximum) in
das Innere eindringt, so wird doch dieser Umstand bei den folgend
mitgeteilten Versuchsresultaten, wo die dickeren Stäbe von ihrem
Maximum noch weiter entfernt sind, die gezogenen Schlussfolgerungen
wohl kaum wesentlich beeinträchtigen.

III.

Die Magnetisirung der vorbeschriebenen 120 mm. langen Stäbe
geschah zuvörderst mittelst einer Spirale von 2a = 120 mm. Länge,
r = 9 mm. mittl. Radius und n = 320 Windungen tibersponnenen
Kupferdrahtes. Ein dieselbe durchfliessender Strom von der Inten-
sität i übt nach W. Weber*) auf einen in ihrer Axe liegenden, von
der Mitte um b entfernten Punkt eines inducirten Stabes eine elektro-
magnetische Scheidungskraft aus:

Die mittlere Wirkung auf einen symmetrisch gegen die Mitte in die
Spirale eingebrachten Stab von der Länge = 21 wird daher sein:

^ =ä:/[('+,-=^.r+('+<JTs?r']-»

♦) ElcktrcKlyn. Mnssbcst. S. 546.

xmUchen Magnetismus und Bähe des Stahles. X17

oder nach AasfÜhrung der Integration and Einführung der speciellen

Werte:

Jr== 31,1.»,

welcher Wert jedoch ^vährend der Dicke der Stäbe nur ein annä-
hender ist Die Stromstärke i wurde mittelst einer Tangentenbassole
in der gewöimlichen Weise, in Erdkraft ausgedrückt, ermittelt.

Das in den Stäben inducirte Moment wurde mit Hülfe einer
Bassole bestimmt, welche aus einer an einen Coconfaden aufgehängten
15 mm. langen parallelepipediscben Nadel bestand, auf welcher der
Länge nach ein 80 mm. langer dünner Messingzeiger aufsass. Dieser
spielte über einem in ^ Grade geteilten Kreise mit Spiegelunterlage
sodass man man mit Hülfe der Lupe ^^ mit Sicherheit schätzen konnte.
Diese Bussolo wurde auf Null gestellt und in der Ost -West -Linie
senkrecht zur Richtung des magnetischen Meridianes die obengenannte
Spirale in die constante Entfernung R^ von derselben gebracht Ein
durch die Spirale geleiteter Strom verursachte eine Ablenkung, die
aber durch einen von der Nord-Süd-Seito genäherten harten,
knneu Magneten also compensirt wurde, dass die Nadel abermals
anf Null einstand. Hierauf wurde der zu magnetisirende Stahlstab
in die Spirale eingeschoben und die nunmehr erfolgte Ablenkung der
Bassolen-Nadel abermals auf Null zurückgeführt, jedoch durch einen
in der Ost-West-Linie senkrecht zum magnetischen Meridian von
der entgegengesetzten Seite her der Nadel genäherten Compensations-
Magneten, dessen magnetisches Moment M (in Erdkraft ausgedrückt),
Bowie dessen Polabstände D (Entfernung der Wirkungs-Centren des
freien Magnetismus von der Mitte des Stabes) vorher vermittelst Ab-
lenknngs-Beobachtung ermittelt worden waren. Ist nun R die Ent-
fernung der Mitte dieses Magneten von der Bussole, R^ diejenige der
Mitte der zu messenden Stahlstäbe vom Momente M' (zugleich der
Mitte der Spirale) und D' die Polabständo der letzteren, so besteht
für den Fall, dass sich die Wirkungen der beiden Magneto auf die
Nadel aufheben, die Relation:

2MR 2M'R'

{R^—D^)" (R'^ — D'^y

woraus das unbekannte Af' , in dem bekannten Moment M des Com-
pensationsmagneten ausgedrückt, resultirt:

^ " R' (ä2 — Z)V -^

Betreffs der Magnetisirung der Stäbe füge ich noch hinzu, dass
dieselben in fester Lage in die Mitte der Spirale eingebracht wurden,

118 Ruths: üeber die Abhängigkeit

worin sie ca. 1 Minnte verblieben, wäbrend dessen das indacirte Mo-
ment auf die vorbeschriebene Weise gemessen wurde. Die Induction
wurde nun nicht durch Stromunterbrechuug aufgehoben, indem ich
die Wirkung des beim Ocfifnen in der Spirale statttindcnden Extra-
stromes auf die Quantität des zurückbleil^enden Magnetismus vermei-
den wollte; ich zog es vielmehr vor, den betr. Stab möglichst ohne
Erschtttterung aus der Spirale nach derselben Seite auszuziehen.

Nach jedem solchen Versuche wurde selbstredend controlirt, ob
die Stromstärke unverändert geblieben war, und ob der an der Nord-
Süd-Seite genäherte Hülfs-Magnet noch die Wirkung der Spirale auf
die Bussole paralysirte.

Nachdem dergestalt sämmtliche Stäbe bei derselben Stromstärke
geprüft waren, wurde der Strom unterbrochen, sämmtliche Magnete
entfernt und nun zur Messung des remanenten magnetischen Momentes
der Stäbe geschritten. — Zu dem Endo wurden die vorher inducirtcn
Stäbe in der Nord-Süd-Linie in die constante Entfernung E^ von der
Mitte der Bussole gebracht. Die hierdurch bewirkte Ablenkung wurde
hierauf durch den, schon bei der Bestimmung der inducirten Magne-
tismen verwendeten Maassmagneten (Compensationsmagneten von Mo-
ment M) durch Annähern desselben an die Bussole in die Entfernung
R in der Nord-Süd-Stellung auf Null zurückgeführt Unter Zugrunde-
legung dieses hat man, wenn D resp. Z>' wie oben die Polabstände
des Maassmagneten (M) resp. des zu messenden Magneten (3f' ) be-
zeichnen, die Relation:

M M'

(R^+D^)i^ {R'^+D'^)i

woraus :

,,, [R'^+ Z)'«li

Nach Vollendung dieser Versuchsreihe wurde eine zweite iuducirende
Kraft in gleicher Weise, wie vorher, angewandt, ohne dass die Stäbe
zuerst durch entgegengesetzte Ströme entmagnetisirt worden wären.

In dieser Weise bestimmte ich für mehrere aufsteigende Strom-
stärken die inducirten und remanenten Magnetismen der einzelnen
Stäbe. Zuletzt unternahm ich noch eine Magnetisirung mittelst eines
Elektromagneten mit zwei aufrechtstehenden Schenkeln, welche letz-
teren innerhalb der Grenzen von 3 — ca. 40 cm. vermittelst eines
eisernen Ankers, worauf sie aufsassen, einander beliebig genähert und
von einander entfernt werden konnten. Bei der Magnetisirung wurden
diese Schenkel stets in eine solche Entfernung von einander gebracht,
dass die zu magnetisirenden Stahlstäbe ca. 5 — 10 mm. auf Beiden

tmischen Magnetismus und MSrte des Stahles» X19

auflagen. Nach dem Aufsetzen der Stäbe wurden dieselben mittelst
eines gewöhnlichen Stahlmagneten nach der Methode des einfachen
Striches behandelt und hierauf ohne Erschütterung mit beiden Polen
zugleich von dem Elektromagneten über einem vorher untergelegten
Eartenblattc abgeschoben. Dieses Verfahren wurde mehrmals wieder-
holt, bis ein erneutes Aufsetzen den remanenten Magnetismus nicht
weiter yermehrte.

Bezüglich der in die obigen Formeln für die magnetischen Mo-
mente eingeführten Polabstände Z>' der untersuchten Stäbe (Entfer-
nungen der Wirkungs- Centren Ton der Mitte der Stäbe) füge ich
noch Folgendes hinzu : Wenn wir annehmen, dass für Stäbe der glei-
chen Dimensionen mit zunehmender iuducirender Kraft die einzelnen
Teile der Stäbe ganz in gleichen Verhältnissen an Magnetismus zu-
nehmenl, so können wir eben für diesen Fall die Polabstände Z>' als
constant annehmen, sonach uns mit einer einmaligen Bestimmung
dieser Grössen für den remanenten Magnetismus begnügen, um bei
den inducirten Magnetismen sodann die gleichen Werte einzuführen.
Von dieser Annahme ausgehend habe ich für die gleiche Dimension
nach dem Ablenkungsvcrfahren D' nur einmal, nachdem die grösste
Stromstärke eingewirkt hatte, für annähernd die Entfernungen R^ be-
stimmt und die also gefundenen Werte in die obigen Formeln ein-
geführt Ich habe diese Abkürzung der Beobachtungen hauptsächlich
deshalb eintreten lassen , weil bei der jedesmaligen Bestimmung von
jy die Zeitdauer meiner Versuche in solcher Weise würde verlängert
worden sein, dass es mir Ermüdung halber nicht möglich gewesen
wäre, alle Versuchsreihen für einen Satz zusammengehöriger Stäbe
ohne Zeitunterbrechung vornehmen zu können. Eine jede derartige
Unterbrechung würde aber — wohl deshalb, weil das remanento
Moment der Stäbe schon nach einigen Stunden abgenommen hat —
einen Bruch in der Folge der Beobachtungsreihen herbeigeführt haben.
Aus diesem Grunde sind mir z. B. die sämmtlichen Werte der magne-
tischen Momente bei grösserer Stromstärke für die in IV. aufgeführten
parallolepipedischen Stahlstärke unbrauchbar geworden. (Ich habe dort
nur die ersten und die mittelst des Elektromagneten erhaltenen End-
werte angeftlhrt).

rv.

In der folgenden Tabelle I. gebe ich eine Reihe von inducirten
Momenten der vorgenannten Stäbe, welche unter Einwirkung der in
der gleichen Horizontalreihe in der ersten Vertical-Columtie befind-
Hchen magnetischen Scheidungskräfte dem im Früheren Bemerkten
gemäss erhalten wurden. In Tabelle II. gebe ich eine Reihe von

120

RutfiMi üeber die Abhängigkeit

remanenten Momenten, die nach Einwirkung der in der ersten Co-
lumue verzeichneten magnetischen Scheidungskräfte in den St&ben
zurückbleiben. Die magnetischen Schciduugskräfte sind in der Hori-
zontalcomponente H der erdmagnetischen Kraft, die magnetischen
Momente in Millionen dieser Kraft ausgedrückt. — Zur Erläuterung

TmbeUe I.

Magneti-
sche
Schei-
dungs-
kraft.

I.

Radius — 0,85 mm.

Axen-Verh. = 70

n.

Radius = 1,20 mm.
Axen-Verh. — 50

ni.

Radius »1,45 mm.
Axen-Verh. =40

Glas-
hart.

Gelb.

Blaa.

1

Glas-
hart.

Gelb.

Blau.

Glas-
hart.

Gelb.

Blau.

300

489

712

1468

1,40
1,64

1,84
2,16

1,76
1,88
1,96
2,16

1,84
1,92
2,04
2,16 1

3,41

3,85

4,01

|4,25

3,64

3,92
4,22
4,32

3,69
4,00
4,21
4,32

2,37
3,41
4,29
5,76

5,24

5,88
6,23
6,68

5,52

6,21
6,92
6,89

TabeUe II.

Magneti-
sche

I.

Radius = 0,85 mm.

U.

Radius =1,20 mm.

III.
Radius — 1,45 mm.

Schei-

*

Axen-Verh. — 70

Axen-Verh. —50

Axen-Verh. «= 40

dungs-
kraft

Glas-
hart.

Gelb.

Blau.

Glas-
hart.

Gelb.

Blau.

^hiX ««>»>•

EU«.

204

0,333

0,600 j 0,652

0,891 1,091

1,091

0,365

1,535

1,817

300

0,454

0,640

0,689

1,091

1,204

1,204

0,747

1,762

2485

378

0,488

0,660

0,703

1,108

1,256,
<

1,256

1,025

1,823

2,247

489

0,520

0,675

0,716

1,145

1,306

1,306'

1,381

1,852

2,333

712

0,538

0,679

0,729

1,172

1,330

1,330

1,747

1,898

2,400

1011

0,542

0,681

0,735

1,182

1,337

1,337

1,962

1,981

2,423

1468

0,545 0,683

0,740

1,196

1,346

1,346

2,042

2,057

2,456

Behandlung

mit
Elektroinagn.

0,712

0,918

0,963

1,483

1,593

1,593

2,422

2,562

2,922

Nach demÄn-

lassen und er-

oenter Mag-

netisining.

1,056

—

—

—

—

—

3,056

—

\

atfischen Magnetumus und Härte dts SitMhU»,

121

der letzten Horizontalreihe der Tabelle II. sei noch bemerkt, dass
ich zur Controlirnng der Versuche ztilctzt noch ein Anlassen der glas-
harten und gelben Stäbe zur Ox.*Farbe dunkelblau unternahm und
dieselben hierauf mittelst des Elektromagneten von Neuem magnetisirte.

Iidiclrte MagneHsmeiu

IV.

V.

VI.

Radius»« 1,90 muL

Radius —2,45 mm.

Radius = 2,95 mm.

Axen-Verh.«30

Axen-Verh. — 25

Axen-Verh. — 20

Olat-
kart

Gelb.

BUn.

Glas-
hart.

Golb.

Bhiu.

Glatt-
hart.

•

Gelb.

Blau.

5,92

6,97

6,73 5,45

10,20

10,61

8,32 j 10,91

12,36

6,91

7,83 ; 7,51

7,52

11,89

12,02

11,15

13,68

15,32

7,69

8,28

8,65

9,2^

13,05

13.68

13,27

15,73

18,28

8,98

9,03

9,27

j 10,69

14,52

14,92

15,65

18,56

19,09

Remanente Ma^netlsinen.

IV.

V.

VI.

Radius = 1,90 mm.

Radius — 2,45 mm.

Radius — 2,9.) mm.

Axen-Verh. « 30

Axen-Verh. «25

Axen-Verh.— 20

ST ö^i^.

Blau.

Glas-
hart.

t

Gelb.

Blau.

GUs-
hart.

!

Gelb.

Blan.

1,245

1,456 : 1,851 0,865 11,781 2,086

1,246

1,483

1,537

1,819

1,606 2,306 11,717 ;2,212' 2,602

2,084

2,002

1,995

2,084

1,716

2,508

'2,508

2,375

2,834

2,838

2,317

2,125

2^

1,791

2,617

3,351

2,507 1 2,941

3,600

2,508

2,230

2,561

1,888

2,733

4,383

2,526

3,010

4,751

2,617

2,306

2,733

1,969 2,800

4,870

2,562

3,029

5,283

2,675

2,336

2,835

2,006 ' 2,875

5,142

2,588

3,172

5,430

2,693

2,380

3,352

2,858

3,370

6,073

3,515

4,390

6,823

3,969

3,790

2,563

2,322

—

—

—

122

RuthMi üeber dU Abhanffigkeä

Um die Einsicht in die weiter anten gezogenen Folgerungen ans
den soeben mitgeteilten Versuchen zu erleichtem, gebe ich femer in
Tabelle III. und lY. die Quotienten, welche man erhält, wenn man
das Prodüct aus der magu. Scheiduugskraft und den in II. gegebenen
Volumen der Stäbe in die verzeichneten magnetischen Momente divi-

TabeUe

Magneti-
sche
Schei-

I.
Radius = 0,85 mm.

n.

Badius»l,20mm.

III.
Radius » 1,45 mm.

dungs-
kraft.

01m-
hart.

a«ib.

Blau.

1

OlM-

hart.

0«lb.

BUq.

Glas-
hart.

Oelb.

BUn.

300

489

712

1468

17,2

12,3

9,5

5,4

21,6

14,1

10,1

5,4

22,6

14,2

10,5

5,4

21,0

14,5

10,4

5,3

22,4

14,7

10,9

5,4

22,7

.15,0

10,9

5,4

10,0

8,8
7,6
4,9

22,1

15,2

11,0

5,7

23,3

16,0

12,3

5,9

Talb«Ue

Magneti-
sche
Schei-

I.

Radius «0,85 mm.

n.

Radius -> 1,20 mm.

in.

•

Radius = 1,45 mm.

dungs-
kraft.

Glas-
hart.

Gelb.

Blan.

Olu-
bart.

Gelb.

BUo.

1

Glas-
hart.

1

0«lb. ! Bk«.

1

204
300
378
489
712
1011
1468

6,0

5,5
4,7
3,9
2,7

1,9
1,3

2600

10,8

7,8
6,4
5,0
3,5
2,5

1,7
3370

11,7
8,4
6,8
5,4
3,7
2,6
1,8

3530

8,1
6,7
5,4
4,3
3,0
2,1
1,6
2730

9,9

7,4
6,1
5,0
3,4
2,4

1,7
2940

9,9

7,4
6,1
5,0
3,4
2,4

1,7
2940

2,2
3,1
3,4
3,5
3,1
2,4

1,7
3050

9,5

7,4
6,0
4,7
3,3
2,5
1,8
3230

11,2
9,1
7,5
6,0
4,2
3,0

2,1
3680

zwtMi^en Magnetitmus und Härte dt» Stahles,

123

dirt Bei Tabelle III. liegen die Momente der Tabelle I., bei Ta-
belle IV. diejenigen der Tabelle II. zn Grande. In der letzten Hori-
zoutalreibe der Tabelle IV. sind einfach nur die Quotienten aus den
Volnmeu in die, in der vorletzten Horizontalreihe der Tabelle II.
verzeichneten Momente gegeben.

OL

rv.

Radius = 1,90 mm.

v.

Radius = 2,45 mm.

1

VI.
Radius »2,95 mm.

Glu.
hart

a<d>.

Blan.

Glan-

liurt.

t

1

Qelb,

1

BUo. !

1

i

OUa-
bart.

Gelb.

BUa.

14,ft
10,4

7,9
4,5

17,1

11,7

8,5

4,5

16,5
11,3

8,9
4,6

8,05
6,8
5,7
3,2

15,0

10,8

8,1

4,4

15,6

30,9

8,5

4,5

9,7
6,9

5,7
3,2

11,1

8,5
6,7
3,8

12,5

9,5
7,8
3,9

!¥•

IV.
Badius=.l,90mm.

V.

Radius =-= 2,45 mm.

VI.
Badins = 2,95 mm.

OIu-
Uri.

0«lb.

Blau.

1

Glas-
hart.

Gelb.

Blon.

1

aut-

htrt.

G«lb.

BUn.

4,4
4,4
4,0
3,4
2,6
2,0

1,4
2460

5,2
3,9
3,3
2,7
1,9
1,4
1,0
2100

6,6
5,6
4,8
3,9
2,8
2,0

1,4
2490

1,9
2,5
2,9
3,0
2,7

2,1

1,5

2670

3,9
3,2

2,7
2,2

1,5

1,1

0,7

1550

4,5
3,8
3,3
2,6
1,8
1,3
0,9
1940

1,8
2,1
2,2
2,2
2,0
1,5

1,1
2080

2,2
2,0
1,8
1,5

1,1
0,8

0,5

1210

2,3
2,0
1,7
1,3
0,9
0,7
0,4
1180

124 Ruths: üeber die Abhängigkeit

Von meinen zahlreichen weiteren Versuchen teile ich nur noch
folgende mit, weil sich dieselben auf Stäbe von sehr bedeutendem
Querschnitt beziehen. Die in Rede stehenden Stäbe waren 4 parallel-
opipedischc Stahlstflcke aus englischem Guss-Stahl von den Dimen-
sionen: Länge «» 57,5 mm.. Breite « 12 mm., Dicke « 0,5 mm. Dire
resp. Härten waren: Glashart, hellgelb, kirschrot und blau.

a) Diese Stäbe wurden zuerst mittelst eines Stahlmagneten
(Moment = 1060000 H) nach der Methode des einfachen Striches
behandelt Eine hierauf erfolgte Messung der remanenten Magnetis-
n^n ergab, in Maassmagnet {M= 1110000 H) ausgedrückt, die Werte:

Glashart Gelb Rot Blau

0,180 0,215 0,221 0,239

b) Die Stäbe wurden nunmehr mittelst einer gleicblan^en Spi-
rale bei aufsteigenden Stromstärken ii) derselben Weise wie die an-
geführten cylindrischen Stäbe maguetisirt. Unter Anwendung von
Stromstärken, die Ablenkungen von 31,3**, 55,4^ und 64,7^ an der
Tangenteilbussole entsprachen, fand ich die inducirten magnetischen
Momente genannter 4 Stahlstttcke, zu denen ich noch ein ausgegltihtes
weiches Eisenstück von gleicher Grösse hinzufügte:

fanden sich:

Glashart

Gelb

Rot

Blau

w. Eisen

1,619 M

1,933

1,975

2,178

2,639

3,612

4,208

4,091

4,585

5,645

4,661

5,445

5,532

5,946

6,835

lach derlnductiou remanenten Momente der4Sta

Glashart

Gelb

Rot

Blau

0,211 M

0,239

0,248

0,279

0,435

0,406

0,406

0,381

0,657

0,564

0,551

0,500

c) Nach Behandlung mittelst des Elektromagneten ergaben sich
endlich die remanenten Momente:

Glashart Gelb Rot Blau

2,328 3f 1,572 1,460 1,110

V.

Der Discussion meiner Versurhsresultate muss ich vorausschicken,
(jass — ^ie direct einleuchtend und auch durch Versuche leicht er-
kennbar — einesteils die ursprüngliche moleculare Beschaffenheit, die

zwischen Magnetismu» und Barte des Stahles, 125

wohl in der Regel für irgend zwei im Handel vorkommende Stahl-
stäbe keine gleiche sein wird, andern teils aher, selbst wenn das
letztere der Fall wäre, die nur angenäherte gleiche Molecnlarbeschaf-
fenbeit der Stäbe gleicher änsseriicher Härte oder gleicher Oxyd.-
Farbe (s. U.) die Ergebnisse der Magnetisirung in solcher Weise
beeinflassen, dass man durchaus nicht diejenige Präcision der Resul-
tate wie z. B. bei der Magnetisirung weichen Eisens erwarten darf.
Es werden daher — insbesondere bei geringeren magnetischen Schei-
dnngskräften sowie bei den remanenten Magnetismen, wo die Cohä-
sionskräfte einen bedeutenderen Einfluss äussern mflssen — hin und
wieder die Stäbe Abweichungen von der mittelst violer Versuche fest-
gestellten Regel zeigen, und weiter auch nur annähernd eine exact
mathematisch ausdi'ückbare Beziehung zu einander erkennen lassen.
Dies berücksichtigend habe ich die in III. erörterte einfache Versuchs-
Methode fOr hinreichend genau gehalten und ferner die folgenden
Schlussfolgerungen von diesem Gesichtspunkte aus gezogen.

Fassen wir nun zunächst die inducirten Magnetismen ins
Auge, so lassen sich folgende Schlüsse ziehen:

1) Zunächst zeigt die Betrachtung der Verticalreihen der Tab. I.
Q. ni. den schon von Wiedemann *) ausgesprochenen Satz, dass sich
die von aufsteigenden inducirenden Kräften in einem Stahlstabe zum
^ten Male inducirten magnetischen Momente einem Grenzwerte —
dem Maximum — nähern. Femer zeigen die Horizontalreihen der
Tab. I., sowie die unter IV b. mitgeteilten Versuche, dass bei Stäben
gleicher Dicke die gleiche inducirende Kraft in einem weicheren Stahl-
stabe ein stärkeres Moment inducirt, als in einem härteren Stabe,
was auch aus den Angaben von Barlow**), Müller***) und Wie-
demann t), wenn auch nicht in so evidenter Weise, wie aus den
niitgeteiltcu Versuchen hervorgeht

2) Tab. L zeigt, dass die weichen Stäbe sich ihrem Maximum
&n inducirtem Magnetismus anfangs rascher nähern, als die harten
Stäbe, dass aber umgekehrt bei vorgeschrittener Magnetisirung die
harten Stäbe rascher wachsen, als die weicheren Stäbe. Beide scheinen
Ar dünnere Stäbe ein und denselben Grenzwert zu erreichen, sodass
&I80 für diese das magnetische Maximum von der Härte unabhängig
wäre.

♦) Pogg. Ann. Bd. C. S. 239. und Bd. CVI. S. 297.
♦•) Gilb. Ann. Bd. LXXIII. S 230.
) Pogg. Ann. Bd. LXXXV. S. 157.
t) Pogg. Ann. Bd. CVI. S. 170.

126 Rutht: lieber die Abhängigkeit

3) Die Betrachtang der in ein und derselben Horizontalrdhe
stehenden Werte der Tab. III. zeigt für dünne Stäbe, die ihrem Maxi-
mum bereits nahe gerückt sind (bei der magn. Schcidnngskraft 1468),
nahezu eine Coustauz dieser Werte, während man bei Vergleichnng
verschiedener Dicken der gleichen Härte und bei der gleichen schon
bedeutenderen Scheidungskraft eine Abnahme der verzeichneten Werte
gewahrt. Es folgt hieraus, dass die magn. Momente der ihrem Maxi-
mum nahe gerückten dünneren Stäbe bei gleicher inducireuder Kraft
den Querschnitten der Stäbe (die im Yerhältuiss der eingeführton
Volumen stehen) annähernd proportional sind. Für dickere Stäbe
sinkt indessen das Verhältniss der Momente unter dasjenige der Quer-
schnitte herab-, möglicherweise gilt jedoch der gezogene Schluss auch
für das (hier nicht erreichte) Maximum der dickeren Stäbe.

4) Ueber den Einfluss der Länge der Stahlstäbe auf deren in-
ducirtes magn. Moment habe ich in lY. keine Resultate mitgeteilt,
weil ich in dieser Beziehung aus Mangel einer genügend grossen An-
zahl von Versuchen einen entscheidenden Schluss nicht ziehen kann.
Es liegen mir jedoch über das Läugen-Verhältniss 1:2 Versuche vor,
wonach im Maximum der Erregung bei gleicher inducireuder Kraft
die magnetischen Momente sich bei dünneren Stäben wie deren Län-
gen verhalten. — Die Gültigkeit dieses Schlusses auch für andere
Längenverhältnisse vorausgesetzt, würde demnach aus 3) u. 4) folgen,
dass bei dünneren Stäben das Maximum der magn. Erregung annähcmd
dem Volumen proportional sei.

5) Dividiren wir die in Tab. I. verzeichneten Momente der
Stäbe I. und IL, welche mittelst der stärksten magn. Scheidungskraft
(1468 H) erhalten wurden (wo dieselben ihrem Maximum nahe waren \
durch die in II. gegebenen Gewichte (= 1990 resp. 4310 mgr.», so
erhalttm wir im Mittel den Wert 1010. Führen wir für die Ilori-
zontalcomponente H der erdmagn. Kraft deren (experimentell be-
stimmten) absoluten Wert = 1,92 ein, so wäre hiernach das Maximom
magnetischer Erregung der Masseueinheit des Stahles in absolutem
Maasse ungefähr = 1010.1,92 == 1960, ein Wert, der hinter dem von
V. Walte nhofen*) für Eisen gefundenen Maximalwert (2100) zurück-
bleibt. Vergl. auch die Versuche mit den parallelepipedischen Stahl-
stücken und dem weichen Eisenstück in IV b.

Gehen wir nun zur Betrachtung der remanenten Magnetis-
men über, so ergeben sich auf Grund der Tab. II. und IV. die
folgenden Schlussfolgerungen:

*) PogS- Ann. Bd. CXXXVIL 8. 526.

ntischen Magnetismus und Härte des SttdiUs, 127

1) Tab. n. lebrt, dass die nach Aufhebung der ersten induciren-
dcn Wirkungen in den einzelnen Stahlstäben zurückbleibenden Mo-
mente sich einem Grenzwerte (Maximum) nähern, was bei weichen
Stäben eher als bei harten Stäben geschieht Femer lässt sich aus
der aufj&nglichen Zunahme der Werte der harten Stäbe III., Y. und
TL in Tab. IV. folgern, dass die remanenten Momente anfangs rascher
wachsen, als die bezüglichen inducirenden Kräfte. (Dieselben Schlüsse
hat bereits Wiedemann*) gezogen).

2) Was nun die Grösse der von den yerschiedeneu Stahlhärten
zmUckbehaltenen Magnetismen anbelangt, so werden bei schwächeren
iDdocireudeu Wirkungen (s. Tab. ü.) die weichen Stäbe stärker rema-
nent magnetisch als die harten; da aber, wie eben bemerkt, die
ersteren ihrem Grenzwerte bereits nahe gerückt sind, während die
l^zteren noch stärker anwachsen, so tritt, jedoch nur bei dickeren
Stäben, der Fall ein, dass mit wachsenden inducirenden Kräften der
remanente Magnetismus der harten Stäbe dei^enigen der weichen
&berholt Ob dies geschieht, hängt nach meinen Versuchen von dem
Axen-Ycrhältniss (Yerhältniss von Länge zu Dicke) der betreffenden
Stäbe ab, und tritt dann ein, wenn das letztere unter dem Wert
30-40 liegt Uebertrifft also die Länge der Stahlstäbe deren Durch-
messer um das 30— 40 fache, so werden mit unseren Magnetisirungs-
mitteln die weichen Stahlstäbe stärker remanent magnetisch als die
harten, ist jenes Yerhältniss geringer, dann ist die Sache umgekehrt.
Mit Evidenz geht dies aus den in der letzten Horizontalrcihe der
Tab. n. mitgeteilten Resultaten des Anlassens der glasharten Stäbe
L, in. und lY. hervor ♦*). — Mit dieser Tatsache sind femer die in
I. erwähnten Widersprüche der Angaben verschiedener Experimen-
tatoren aufgeklärt, indem sich aus den angegebenen Dimensionen der
betreffenden Stäbe leicht berechnen lässt, dass die Resultate jener
Beobachter mit dem Yorhergehenden in Einklang stehen.

4) Fasson wir die Werte der letzten Horizontalreihen der Tab. lY.
ioB Auge, so bemerkt man mit zunehmender Dicke bei den glasharten
Stäben anfangs annähernd eine Constanz, bei den angelassenen Stäben
aber ein bedeutendes Sinken der verzeichneten Werte. Hieraus folgt,
<ias8 nur für dünne und harte Stäbe der gleichen Länge das rema-
nente magn. Moment bei vorgeschrittener Magnetisirung den Yolumen
oder Querschnitten proportional sei, während aber für grossere Dicken
ond weiche Stäbe das Yerhältniss der remanenten Momente weit unter
dassjenige der Querschnitte herabsinkt.

•) Pogg. Ann. Bd. CVI. n. C.

**) Eine Bildung von Folgepnnkten, wie dieselbe Coulomb beobAchtete (•. I.)r
konnte ich bei meinen Stäben nicht wahrnehmen.

128 RnthMi lieber die Abhängigkeit

VI.

Anknüpfend an I. will ich die Hauptmomente meiner Yersuchs-
resultate nochmals knrz zusammenfassen:

Da die Magnetisirungs-Curven *) für die indncirten Magne-
tismen der weichen Stäbe stets über demjenigen der harten Stäbe
verlaufen, und schliesslich bei dünnen Stäben nahezu den gleichen
Wert erreichen, müssen wir schliessen, dass die Molecular-Kräfte,
welche die Härte eines Stahlstabes bedingen, die Grösse des durch
eine magnetisircnde Kraft indncirten magn. Momentes herabmindern.
Diese Herabminderung ist relativ bedeutender bei geringeren magneti-
sirenden Kräften, sowie, in Uobereinstimmung mit den Gohäsions-
erscheinungen (Elasticität uud Härte), bedeutender bei harten und
dicken Stäben. — Bei dünnen Stäben, die ihrem Maximum nahe
gerückt sind, treten diese Einflüsse jedoch mehr zurück, sodass ein
Unterschied zwischen weichen und harten Stäben dann nicht mehr zu
bestehen scheint; in diesem Falle können auch die indncirten Mo-
mente annähernd dem Volumen proportional gesetzt werden. Ob dies
Letztere auch für dicke Stäbe Gültigkeit hat, ist eine offene Frage,
deren experimentelle Beantwortung wegen der Schwierigkeit das
Maximum der magn. Erregung zu erreichen immerhin in Frage ge-
stellt erscheint.

Der nach geschehener Induction in den Stahlstäben zurück-
bleibende (remanente) Magnetismus zeigt ein wesentlich anderes
Verhalten als der inducirte Magnetismus:

Hier verlaufen nämlich die Magnetisirungs-Curven der weichen
Stäbe anfangs zwar auch über deiyenigcn der harten Stäbe, mit zu-
nehmender iuducirender Kraft überholen aber umgekehrt bei den
Stäben, deren Länge ihre Dicke weniger als ungefähr 30 mal tiber-
trifft (deren Axenverhältniss unter 30), die harten Stäbe die weichen.
Es folgt hieraus, dass die remanenteu Magnetismen zum Teil von
denselben Factoren, wie die iuducirten Magnetismen, abhängen (wie
denn ein remaneutcr Magnetismus ja auch eine vorhergegangene In-
duction voraussetzt); eine demgemässe l i ebereiustimmuug zeigt sich
jedoch nur bei dünneren Stäben, deren Axenverhältniss grösser als
ungefähr 30, sowie bei schwächeren inducirenden Wirkungen, in
welchen Fällen dann, wie bei den indncirten Magnetismen, die weichen
Stäbe stärker bleiben, als die harten (hierher gehören die Versuche
von Hansteen und Lamont, s. L). Bei dickeren Stäben und grösseren

*) Die magn. Scheidungskrftftc mis Abscisscn, die rnngn. Momente als
Ordinaten aufgofaset.

zwiMchen Magnetismus und Härte des Stahies, t2d

indocirendeo Kräften tritt aber der Einflass der voransgegangeuen
Indaction, resp. gewisser Factoren, von welchen dieselbe abhängt,
eatschieden zurück, sodass nunmehr die harten Stäbe stärker bleiben,
als die weichen (hierher sind die Versuchsresultatc von Cpulomb,
Müller, Plücker und Wiedemanu zu rechnen, vergl. L). Aus dem
Vorangegangenen mflsseu wir den interessanten Schluss ziehen, dass der
remanente Magnetismus des Stahles von bestimmten, mit den Härte-
verhiltoissen zusammenhängenden Factoren abhängig sei, welche,
wenigstens fUr stärkere inducirende Wirkungen, zum Teil von dem
rorher indncirten Magnetismus nicht beeinflusst würden, sondern in
^gener Weise von den Dimensionen der Stahlstäbe abhängig wären.

In weiterer Verfolgung dieses letzteren Schlusses habe ich noch
uniassendere Versuche angestellt und hoffe, demnächst dieselben mit
interessanten Schlüssen auf das Wesen der auch oben in Betracht
kommenden sog. Coercitivkraft vorlegen zu können.

Dortmund» im Mai 1875. •

'•^lix.

9

jaO Gialker

, /to a/fyf>,ri^ ZerUfunfsprMc. </- Delerminänten.

xni.

Bas allgemeine Zerlegungsproblem der Determinaiiteiu

Von

Siegmund Gü.nther. ^

§. 1. Kaum war die Determinante als selbstständiges combina-
torisches Symbol jin die Wissenschaft eingeführt, so begannen auch
schon die Versuche, die praktische Berechnung solcher Formen durch
Zerlegung derselben in andere von weniger Elementen zu erleichtern.
So entstanden jene freilich durch inductives Tatonneraent gewonnenen
Sätze von Laplace^), deren Gesammtheit die Nachwelt, wenn auch
etwas uneigentlich, mit dem Namen des Laplace 'sehen Zerlegungs-
theore'mes belegt hat Allgemeinere Untersuchungen über die Zer-
fällnng einer Determinante in Aggregate von Minoren-Producten hat
später Cauchy*) angestellt, und solbstvorstäudlich hat auch Jacobi
in seiner fundamentalen Abhandlung den Gegenstand berührt ^). Er
begnügte sich sogar nicht mit der Behandlung des einfacheren durch
Laplace's Vorarbeiten bereits eiuigcrmasscn aufgehellten Falles,
welcher die gegebene Form in eine Reihe von Producten aus je zwei
Determinantenfactoren entwickeln lehrt, sondern Hess die Anzahl
dieser Factoren ganz unbestimmt. Allein obwol Jacobi' s Beweise
der hier in Frage kommenden Lehrsätze völlig einwurfsfrei genannt
werden mlüssen, so kann von seiner Behandlungsweise doch mit Fug
das behauptet werden, was man den Deductionen der alten griechi-
schen Geometer nachzusagen pflegt: es wird die Ueberzeugung von
der Wahrheit des Behaupteten erzwungen, ein Einblick in das eigent-
liche Wesen der Sache aber nicht gewährt. Zum grossen Teile trägt
daran Jacobi 's abgekürzte Schreibweise die Schuld; denn wenn bei
irgend einer Gelegenheit das quadratische Arrangement der Elemente

Gäniktr: l)as atlgtmeine ZerlegungsprobUni der Deferminanfen, 131

gebieterisch gefordert wird, so ist diess sicherlich hier der Fall. Ge-
wisse Specialfälle ^) finden sich bei Jacobi allerdings eingehender
discutirt vor; allein besonders für die praktische Ausfuhrung solcher
Zerlegungen giebt er so gut; wie gar keine Anhaltspunkte.

Man kann auch nicht sagen, dass seit seiner Zeit wesentliche
Fortschritte gemacht worden seien. Für die Mehrzahl der vorhan-
denen Lehrbücher bot die Materie, als nicht mehr den eigentlichen
Elementen angehörig, keine Veranlassung zu Reformverauchen , und
da man die sicheren Tatsachen besass, bekümmerte man sich auch
sonst wenig um die Grundlagen. Nur das Baltzer'sche Werk^)
macht auch hier, wie in anderen Fragen, eine Ausnahme; indes war
auch ihm noch eine zu grosso Küi*ze geboten, um Anfängern leicht
verständlich zu sein. Der Zweck dieser Abhandlung ist nun zunächst
der, die Laplace*sche Methode in umfassender Weise zu discutiren
und mit möglichst einfachen Hülfsmitteln einen Beweis für dieselbe
zu erbringen. Jedoch glauben wir so auch noch einen weiter über
das unmittelbar gesteckte didaktische Ziel hinausgreifenden Zweck zu
erreichen, indem wir auf Grund eines neuen Satzes ein einfaches und
naturgemässes Verfahren zur wirklichen Bildung der einzelnen Aggre-
gat-Glieder gewinnen.

«

I^ Laplace, Hcchcrchcs 8ur le calcul integral et sar lo Systeme du
moode, M^m. de l'acad. des scicnees, anqec 1792. IL S. 304.

2) Cauchy, Memoire sur les fonctions qui ne pcuvcnt obtoiiir que dcax
Taleurs Egales et de signes contraires pnr suite des transformations opdr^es
eotre les variables <iia'elles rcnferment, Joiini. de l'ccole polyt., Tome X.
S. lOl ff.

3) Jacobi, De roruiationc et proprictutibus Detcrminantiuni} Journal f.
d. reine u. nngcw. Mathem., 23. Band. S. 293.

4) Ibid. S. 294 ff.

5) Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, Leipzig 1S57.
§. 4, L (Entsprech?nd in den späteren Auflagen).

§. 2. Die Aufgabe, welche wir uns zunächst stellen, wird also
folgendermassen zu formuliren sein:

Gegeben ist eine Determinante nten Grades

J =

fl«jj . . . flM,n

dieselbe soll in ein Aggregat von zweigliedrigen Pro-
docten umgewandelt werden, deren beide Factoren be-

9*

132 Günther: Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten,

Züglich Unterdeterminanten vom Grade p«n) und (n — p)
sind.

Biese Aufgabe zerlegt sich folgerichtig in zwei Teile: Es soll
nämlich erstens eine allgemeine Methode angegeben werden, nach
welcher diese Zerlegung praktisch vorgenommen werden kann, ohne
dass das Uebersehen irgend eines Gliedes möglich wäre; natürlich
müssen wir zu diesem Zwecke die Anzahl der vorkommenden Ent-
wickelungs-Glieder a priori anzugeben im Stande sein. Zweitens ist
das Ergebniss der Zerlegung in Gestalt einer independenten Formel
hinzustellen, in welcher als symbolische Ausdrücke lediglich die ge-
wöhnlichen Summenzeichen auftreten dürfen.

Zur Erleichterung gehen wir von einer Voraussetzung aus, welche
scheinbar allerdings den Charakter der Allgemeinheit alterirt. Als
erstes Glied der zu bildenden Reihe soll nämlich das folgende gelteü:

I

a

i>i

a

15P

Op,!

Op^p

öp+l,p+l

«i» ♦ \,n

«MJ»+1

On,«

welchem oflfenbar das positive Vorzeichen zukommt. Dass jene Be-
schränkung in Wirklichkeit nur eine scheinbare ist, kann leicht ein-
gesehen werden, indes werden wir zum Schlüsse unserer Unter-
suchung noch einmal speciell darauf zurückkommen.

§. 3. Bezeichnen wir in jedem der einzelnen Producte, an deren
Bildung wir nunmehr herantreten, den ersten Determinantenfactor mit
/, den zweiten mit //, so können wir zunächst einmal die Festsetzung
machen, dass Determinante / vom p ten, Determinante n vom ^w — p)-
ten Grade sein soll; ferner können wir bestimmen, dass die erste
Verticalreihe von Determinante / stets den zweiten Index 1 besitzen
soll, und zwar soll jede einzelne Determinante so beschaffen sein^
dass sowol die ersten als auch die zweiten Indices ohne jede Inversion
von links nach rechts, beziehungsweise von oben nach unten, aufein-
anderfolgen.

Unter diesen Umständen wird in einer gewissen Anzahl der
Determinanten / das Element %,! den oberen Eckplatz links ein-
nehmen. Wir wollen demnach bestimmen, in wie vielen Gliedern öjb
Determinante / stets das nämliche Element o^,! an der bewussten
Stelle aufweist; diese Anzahl sei M.

Denken wir uns die Determinante d ganz ausgerechnet, so kommt
das Element a„i im Ganzen (n — 1)1 mal vor. Denken wir uub «»-

(I -

Günther: Das allgemeine Zerlegung^rohlem der Determinanten, 133

dererseita die von uns angestrebte Reihe bereits gebildet, so wird es
an jenem Platze M mal erscheinen, jedesmal zunächst multiplicirt
mit einer ersten ünterdeterminante von /, also mit {p — 1)! Gliedern
und dann noch mit der Determinante JJ, also mit (n— jj)! Gliedern.
Es besteht sonach die Identität

M

(n-D!

(p-l)!(n-p)r

und es handelt sich weiterhin nunmehr darum, diese 3f Glieder wirk-
lich zu finden.

Hiezu dient der Satz:

Man bilde aus den Zahlen

2, 3, 4 ... n

sämmtliche Combinationen ohne Wiederholungen zu je
(p— 1) Elementen und setze jeder einzelnen Con-plexion
noch 1 vor; alsdann ist sie bezüglich die Reihe der
zweiten Indices der ersten Horizbntalröihe von Deter-
minante /, während die ersten Indices ausschliesslich
Einheiten sind. Die Bildung der Determinanten // er-
hellt dann unmittelbar.

Um die Wahrheit dieses Satzes einzusehen, genügt es zu zeigen,
dass ^f dem Numerus Combinationum ohne Wiederholungen von
(n— 1) zu je (p — 1) Elementen gleich ist In der Tat ergiebt sich
aus der Definitionsgleichung

(n-1)! = [(^— l)(n— 2)... (n— p-f.l)].[(n— pXn— p— 1) ...3.2.1]

nnmittelb^r

1/= (»-!)'

(„_l)(„_2)...(n-H-l)_ (f-l)

= iV . C (n — 1}.

§. 4. Betrachten wir z. B. die Determinante

«171 %»Ä ^jS ^>i ^Ith

«3,1 öjj,2 ««93 ^»4 ^2l5

%il %i2 ^>8 %14 ^?5

^4M ^4fl% ^i>S ^4»i ''iJö

I « 51 ^5i8 ^5>3 %j4 ^5»6

und setzen (n —p) == 2 (also p = 3) , so haben wir die Elemente 2,

4.3

3, 4, 5 zu je zweien zu corabiniren und erhalten ^— 2=6Complexio-

134 Günther: Das allgemeine Zerlegunynproblem der Determinanttn.

nen. Wir formiren dieselben nach den bekannten Regeln der com-
binatoriscbeu Analysis der Ordnung nach und bekommen , indem wir
die Einheiten vorsetzen,

123 134 14 5.
12 4 13 5
12 5

Demgemäss sind die ( A/ == 6) Aggregat-Glieder, welche das Ele-
ment 0^,1 an den ihm angewiesenen Platze haben, die nachstehenden :

^Ul ^1% ^i3

«2»1 ^?2 ^«'8

^i\ ^3^2 ^'a^s

»1,1 «1,2 ai,5

^ttt ^fi ^?6

^91 ^3« %?5

*

, ^2>1 ^?3 ^2>6 '

<*3n %>8 «'siS i

<^474 «4i6
«514 ^5^5 '

«4^3 ^4l4

Ö5»3 '^hii

^45» ^454
^5i2 «5»4

;öH1 «11» «H4

I '^il ^2*2 ^»4

^311 «31« «3i4

1 «111 «li3 «1?4

I

; «2il «2?3 «2i4

I

' «Sil «318 «3i4

«1»1 «li4 «li5

«2il «2>4 «2i5

«3iJ «3l4 «3>5

^4i3 ^415
«5">8 «5i5 1

«4i2 «4i6
«5>2 «515

' «4lf «41»
<*5i2 «5i8

' Ehe wir die folgenden Aggregat-Glieder ermitteln, wollen wir uns
zuvor überzeugen, welches Vorzeichen jedem der ersten M Glieder
zuzuteilen ist. Hiezu verhilft uns der bereits früher aufgestellte
Satz«):

«

Wird eine Determinante nach den Elementen einer
bestimmten Reihe in erste Unterdeterminanten zerlegt
und will man wissen, welches Vorzeichen das mit o,-,*
multiplicirte Glied dieser Zerlegung erhält, so unter-
suche man, ob

eine gerade oder ungerade Zahl ist; im ersten Falle ist
das positive, im zweiten das negative Zeichen zu neh-
men. Natürlich wird vorausgesetzt, dass die Determi-
nante in ihrer Normalform S±,a^^^ ... «♦•,« gegeben war.

Denken wir uns nun aus den bereits entwickelten ein beliebiges
Product herausgegriffen, dessen Determinante / von der Form

Günther: Das {ülgemeine 2krlegungsprohUm der Determinanten» 135

«1,1 <h't»i «1»»« • • • ^i>»p_i
^n ^'sj»! ^»»t • • • ^»«p— 1
^3?! ^8?«» ^1«« • • • ^'*p-.l

op^i ap^»^ Op^B^

^i"Vl

sein wird. Die mit dieser multiplicirte Determinante II enthält ein
bereits an sich wolgeordnetes Diagonalglied und trägt deshalb von
selbst das positive Zeichen, so dass es also lediglich auf das erste
Diagonalglied

«191 • Ö2i»i • ^3»t • • • ^i«p_l

der Determinante / ankommt.

Das erste Element ist «i,,, also tritt der Factor ( — 1)^+^ vor.
Dann erscheinen alle diejenigen Elemente, welche in der ursprüng-
lichen Determinante / den ersten Index 2 besassen, in der neuen

Determinante 5- — mit dem zweiten Index 1, an Stelle des zweiten

Index aber ist («1— 1) zu setzen. Ebenso tritt in der hieraus ab-

32/
geleiteten Determinante x r. — an die Stelle der Indices 3 und

^ bezüglich der Index 1 und («2—2).

In dieser Weise fortschliessend erkennen wir:
Das Diagonalglied

öj,l • «21«» • ^9»« • • • ^>»p_l

erscheint multiplicirt mit folgenden Factorcn:

1+1 l+«,--l H»,-2 l+»,-8 i+, -(p-i)

(-l).(-l) . (-1) . (-1) . (-1) ^

d. h. wenn wir die hier auftretenden Summen wirklich
bilden, so erhalten wir das Diagonalglied von Determi-
nante /in folgender Form:

[

(-1)

2 + ^--^2 .=0-1

^ »=i

X

öl,l . Oj,«! . «3«»

«P9»»-l *)•

*) Den in der eckigen Klammer befindlichen Bruch findet man , indem
man von (1 + 1+ 1 + •.• + Ui»fl)) die Summe (I +2 + ... -|-/> — 0 =^

— — sobtrabirt. ücbrigens scheint das hier inductorisch abgeleitet« Theorem

136 Günther: D<u allgemeine ZerlegungsprobUm der Determinanten,

In dem von uns oben angezogenen Falle ist ein für allemal

2 + ^p^p^ _

Dagegen hat man für die 6 Complexionen zweiter Indices der ersten
Diagonalen, bämUch für 1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 2, 5; 1, 3, 4; 1, 3, 5;
1, 4, 5 resp. die folgenden Summen S:

,j-)-,, = 2+3 = 5; «,-)-,,=» 2+4 == 6; «j+ä^ = 2+5 — 7;
«i+*8 =• 3+4 = 7; «i + »2 = 3 + 5 = 8; «i + «2 =- 4+5 = 9;

soweit sind die Factoren jeder sechs Determinanten beziehongsyreise
die folgenden:

3+1 6+1 7fl

(-1) = + 1; (-1) =~i; (-1) = + 1;

7-1 1 8+1 ft+1

(-1) =+1; (~1) =-1; (-1) =+1.

Als rein empirische Controlc mag noch die sonst übliche Vor-
zeichenbestimmuug einen Platz finden. Die sechs Glieder sind diese:

<'lil ^»2 ^18 ^4i4 ^äir.» ^111 ^«?2 «394 Ö4»S ^5i5 5 "li| ^?« ''3'5 ^'4^3 ^ö>4>
^lU ^>3 %74 ^4^2 ^5?5i ^'m ^g^S ^375 ^4»2 ^5^5 "lU "i'ii ^i5 ^4^2 ^o»»«

Die ersten Indices sind hier wolgeorduet und es muss also die
Zählang der Inversionen an den zweiten vorgenommen werden. Diese
sechs Complexionen bieten deren nun bezüglich 0, 1, 2, 2, 3, 4 dar,
also entsprechen ihnen die Vorzeichen +, — , +,+, — , +, wie
auch wir gefunden haben.

6) Günther, Lehrbuch der Dctcrminantcnthcorie, Erlangen 1S75. S. 45.

§. 5. Die M Glieder, welche bisher betrachtet wurden und nun
sowol ihrer Zusammensetzung als auch ihrem Vorzeichen nach völlig
bekannt sind, besassen in ihrer Determinante 1 als erste Colonnc
stets die nämliche

^1>I ^^1 ^iM • • • ^pn*

Nunmehr setzen wir fest, dass für jedes der noch übrigen Glieder
die erste Colonne von Determinante / diese sein soll:

^PHiI ÖP+2?1 Ö^f3?l • • • ^nfv

bei coDseqaentcr Anwendung zur independcnten Bestimranng des Vorzeichen!
jedes willkürlichen Deterniiuanten^Glicdes dienen zu kOnncn, ohne irgend eine
InTersioDS'AbzfthInng.

Gßnther: Das aUgemeine Zerlegunysprohlem der Determinanten. 137

Damit ist zugleich aasgesprochen, dass Determinante / vom Grade
(»—j»)» Determinante // dagegen vom Grade p sein soll.

Die Anzahl dieser noch nicht gebildeten Glieder ist leicht an-
zugeben, bezeichnen wir sie durch iV, so finden wir geradeso wie
oben (§. 3.)

p!(n — p — 1)1
Auch die Bildung der einzelnen Glieder ist jener früheren analog:
Man bilde aus den Zahlen

2, 3, 4

n

sämmtliche Combinationen ohne Wiederholungen zu je
(n—p — 1) Elementen und setze jeder einzelnen Complo-
xion noch 1 vor; alsdann ist sie bezüglich die Reihe der
zweiten Indices der ersten Zeile von Determinante /,
während die ersten Indices ausschliesslich Einheiten
sind.

Behalten wir unser bisheriges Beispiel bei, so haben wir, da

4

(n—p — 1) = 1 ist, im Ganzen :: Combinationen zu bilden und er-
halten so die vier Complexionen

1

2

1

3

1

4

1

5.

liefert uns .

^^^ 3?!!-^

Determinantenproducte :

«H3 ^Ui %15 !

»1,2 «1,4 aj,5

«411 «4*2

^2f,} ^i4 ^v5
^353 ^394 ^3>5
«1?2 ^113 ^>5

1

*4>1 «4>3
«55J «5i3 1

«2^2 ^'4 ^?5
^>2 ^3>4 ^5
^H« ^13 ^i4

«411 «H4

«2 2 ^13 'h^b
«J?2 «3»3 Ö3»6

•
1

«4J1 «4^5 '
^5>1 ^5 '5

^3^2 «29» Ö2?4
^>2 ^»3 Ö8»4

Auch die das Vorzeichen bestimmenden Betrachtungen reprodu-
ciren sich im Wesentlichen, indem man sofort bemerkt, dass es nur
wiederum auf den Charakter des ersten Diagonal-Gliedes von Deter-
minante / ankommt. Da das linke obere Eck-Element diossmal nicht

y^^ 0*/.'/.*-r z^ o'o

«>';^ «-/4i-**^ c*v^i^ --

^4U:- <^h't^\ «V-U:, «-.^^

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fc#///>i( J/^'fi-yJiWfü fci/;h für di^ zuletzt gifimdeDCii (A" = 4 G:it-3£T ,^
Kin ti'it e|4 ^ ^ , ^^ ,

r I; -4 h ^-J; J; ^-1) « + i; (-1; =i-

Hi4'\U*n m\r JH/i ummt^j I{/'t»ultat/* zu^-ammen, so findfn wir si»edtll

-♦-^^ f ^^4»i''ftf« ' '^' ^ ''i-a«*i4«9jß — -^ ± «411 «578 • '2?±a,^a^<i3^

'f-Xl «4t|^'Ä'*'^ l.«l»t«»iJ»«rt»ft— ^±«i)la615•'^±«l1«<H^S^>4•
|. 6. Hu(!b«n wir Jetzt don Zorlegungsprocoss durch eine all-
g<iriK'lufl Form<»l darjcustelleii. Indem wir za jeder der bereits be-
kiifinttm Doterminanten / die zugehörige Determinante II fügen,
liuden wir

Güntktri JJan aUgemiine ZerUgungsprobiem der Dettrminantin, 139

J =

^»1 • • • ?ii»«

flu,! . . . Onn

(« = «4-1, l+2...n-p+l)

(— 1)

X

«211 ^>«i <»f?»t • • • ^f'p-l
^H ^5»! ''SiÄt • • • «3»»p-l

oj»,! Op^i apiB^

«i»^p_l

j 0^+152 ö^-»-l^...«f+l»«|-l <>p-fl)«|+l...ap-M,8,>-I <l^-fl)i, + l«*«Ap^l,H

' öp+2,2 «j> + 2,3 ...0^»+ 2^,-1 a2»+2)fi+l.**<I|y+2^t~l Oi»+2,f, + l.. .aj»+2,H

«w^ ««»3

<*•!,»,— 1 an,f,-fi . . . On^i^^i Om^,^! . . . aii,N

(f^ «^. m-t-1, m+2...p+2)

[

3„_^^_4 -(n--p)»*='-:P-l

2

(-1)

X

*=!

öp+iji fh^hh ^p\U% • • «p f ii'«.p-i

öp+2,1 ap+2,«. öpf 2,^ ••• Op+2,<^_^j

i

Op+3,1 «Pf 3^, «p+S,/, ... «Pf 8,«„_^_i
fln^l ÖH5<, «H»fi . . • «Wj/^ _|

«llt «113 ••• «li<i-l «11<i+l ••• «li^t-l «l^'tfl "^ «1?H

«252 «273 ••• «2?<|-1 «2?^+l ••• «2»^-l «gi^fl ••• «2i»

«J?2 '^^3 • • • «3">'|-1 «3?^ M • • • «3?*t-l «3?'t+l • • • «31»

«P?2 «P»3 • • • «P5<. -1 «P^'i-l-l • • • «Pi<t-1 «P5<tf 1 • • • «iPJ»

Die den Sommenzeichen oben beigesetzten Klammern besagen,
welche Wert« jedes einzelne s und t anzunehmen vermag *).

♦) Eine künccrc Bezeichnung der einzelnen Glieder könnte miin durch

140 Günther: Das allgemeine Zerhgungsprohhm der Determinanten.

Fragen wir schliesslich, wie gross die Anzahl der in diese Reihe
eing(^ngenen Glieder sei, so' müssen wir die für M und N gefun-
denen Werte addiren. Es ist

n!

wie dies denn auch aus Jacobi's allgemeiner Formel (s. o. §. 1.)
sich ergeben hätte.

§. 7. Wie gleich anfangs bemerkt, galt die ganze bisher durch-
geführte Untersuchung nur für den Fall, dass das erste Glied der
Reihe ein bestimmtes sei. Heben wir jetzt diese Beschränkung auf,
indem wir die Annahme macheu, irgend eine Unterdeterminanto pten
Grades sei als Determinante / des ersten Gliedes gegeben, etwa diese:

^pl»! ^PplW« • • • ^Vpi^p

Um nun gleichwohl das bisherige Verfahren auch hier anwenden
zu können, verfahren wir folgeudermassen: Wir machen diejenige
Colonne, welche als zweiten Index die Zahl w^ trägt, -zur ersten,
diejenige, welche den zweiten Index 1 hat, zur zweiten, die bisherige
dritte zur zweiten etc., und endlich die bisherige {w^ — l)te zur frjten;
dadurch multiplicirt sich die ganze Determinante mit dem Factor
( — l)«"!. Bringt man ebenso die bisherige ip^Xxi Colonne unter den
nämlichen Bedingungen an die zweite Stelle, so tritt der Factor
(— 1)»»-2 auf und so schreitet mau foit, bis endlich die früher |?te
Colonne nun durch die u-pte ersetzt ist; der dadurch entstehende
Factor ist

Anwendaog der Differentialqaotienten gewinnen, indem man z. B. statt der
ersten der vier obigen Determinanten den Aasdruck

setzte; allein die Ucbersichtlichkeit würde aus dieser Sabstitation gerade keinen
Vorteil ziehen.

Güniher; Den allgemeine Zerlegung$problem der Detenmnanttn» W\

«r, — 1-f-jrj— 24--. •+«•» — P Em—- n

(—1) = (-1) '=' ^

GaDz ebenso wie mit den Colonnen verfahre man nun mit den Zeilen ;
hiedurch erhält mau den Factor

(— 1) «(-1)

£vk 0 —

— 1\ *=i ^

nnd die Peterminante d seihst hat folgende Gestalt angenommen:

(-1)

X

Ot^^w^ ... Öhr,, fr a»^,! ^».,2 ... «ri,»»— 1 ^f^^M'^■\-l ... Ot?,,«

<lf|,V, ... OM)» Ö»I»1 ^«,2 ... a»)fff|->l aM)fF|-fl ...^»iH

Diese Determinante besitzt allerdings nicht die von nns zn Grunde
gelegte Normalform, kann aber leicht auf dieselbe redncirt werden,
wenn man sie mit einer Hülfsdeterminante

a/,/ a/,// . . . ö/,j»r-/ a/,^

a;/,/ a]i,jj . . . ajjyN-j aji^

aN-l^l ay^Jiil . . . üN-hN-l aN-hN

vergleicht.

Soll z. B. in der oben betrachteten Determinante fünften Grades
die Unterdeterminante

Ǥ,2 02,8 flj?*
^4)« ^4>3 ^4>4
^öi2 ^69S <*6i4

als Determinante / des ersten Beihengliedes erscheinen, so setze man,
da der Exponent von (—1) jetzt den Wert 8 annimmt,

142 Günthtr: Das aligemwu ZtrlegungsprobUm der Determinante,

*^it% ««18 «214 ^11 ^i5

^4it ^4>S Ö414 ^1^1 ^4>Ö

^5>2 ^5>8 ^5?4 ^551 ^öiö

^1« «HS ^1?4 ^>1 «1»5

«S>2 «S»S «S>4 Hm Htb

a//,/ «//,// a//,/// a//,7r a/i,F

a///,/ a;/i,j/ a/7/,/77 ö777,/r ^IJUV

aiVyi ajv,ii aj\\jii ajv^iv a/r,F

ar,7 ar,77 «r,77/ ar,7F ar,r

entwickle diese Hülfsform genau nach den in §. 5. und 6. gegebenen
Regeln und setze zum Schluss

//=-22, ///=23, ////=

7/ / = 42, // 11 = 43, // /// =

IIII^b2, 11111^53, III III ^

IV 1=12, IV 11=13, IVIU =

V 1= 38, V //^ 33, r /// —

JedenfalU wird lediglich bd einer derartigen Behandlungsweise
das wichtige CoroUar der La place 'sehen Theoreme dem Aufllnger
vollständig klar werden, welchem zufolge, wenn p{n—p) ein Rechteck
eräüiende EleB^ente sich annulliren, die Determinante selbst als Pro-
duct zweier Determinanten vom pten und (n — p)teü Grade sich dar-
stellen lässt. Ist nämlich in der Determinante J das Elementen-
Rechteck *)

24,

//r— 21,

/ F = 25,

44,

U IV — 41,

// r=45,

54,

/// IV = 51,

/// F = 55,

14,

IV IV^ 11,

IV V — 15,

34,

V IV — 31,

P' F =- 35.

a»!,«»,

Ot^tW^ • •

• «P.)«<^p

0

0 .

. . 0

ö|r,,ic,

flij^ir, . .

• %'»<'p

0

0 . .

. . 0

•

• • • •

""n-p-r«"» • •

• ^*H-;»-l'*^>

0

0 .

. . 0

%-P'«'«

''»„-plM't • •

• %-F'«*j»

0

0 .

. . 0

rinrrt. man

Hnrpli #>inn Pnl

cm VATI Poihp

iivprfj

mar*.

linnorp

n wp

Jp.hpti

die Factoren

(-1) . (-1) ... (-1)'' . (-l)** ^ (-l)** " '...(-1) =P

entsprechen, jenes Rechteck in die untere linke Ecke des Quadrates,
so resultirt

*) Die Doppclstriche der Einfassung sollen hier nicht etwa besagen^ «Iass
man es mix Matrizen, somlcrn letliglicb, lium nun es mit rcehteckij^en Si'he-
maten zu tun habe.

Günther: Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten, 143

^^r.

«1»"

«8,«

■ • • •

^^.Omw^On^

• •••••

a«,»r,4-l

• • • •

0 0

...0 af„i

•••ÖWa)!»!— 1

«»„»i + l

...öp,,n

0 0

• • • •

... 0 flp,,i

••• ^ti)!»!— 1

«••»«', 1 1

... (•V^fft

• • • •

[

= (— 1)

X

]

ai,ifj Oj,»,

OljW

^»wi ^%iw% • • • ^»«',

öll,«»! <lM)tP, • . . ^n^w

X

''"k-p'^ * • • ^»M-p*^*-^ %_yi«'i-|-l • • • '^"«-p»"

IMe hier gegebene Regel, das Vorzeichen des im gegebenen Falle
allein übrig bleibenden Gliedes zu bestimmen, halten wir für neu;
erst durch sie erhält der so sehr verwendbare Satz die rechte prak-
tische Braachbarkeit

§. 8. Man erkennt leicht, dass die hier gegebene vollständige
Discassion der Zerlegung in zweigliedrige Summen auch die mehr-
gUedrige involvirt:

Soll eine Dbterminante ausgedrückt werden als eine
algebraische Summe von Gliedern, deren jedes aus ADe-
terminantenfactoren besteht, so führt man dies Problem
direct auf das im Vorstehenden gelöste zurück.

Der Grad der ursprünglichen Determinante sei w, die Grade der
Unterdeterminanten , von denen immer je h mit einander multiplicirt
in der Reihe erscheinen sollen, seien bezüglich g^^ g^^ 9z " ^a? wobei
natürlich

144 Günther: D(Ut allgemeine Ztrlegungsprohlem der Oeterminanten.

smn muss. Dass die Anzahl der Reihenglieder dann

n!

9i^'9t^'

9k

!

istV lässt sich durch luduction unmittelbar aus der von uns bereits
bewiesenen Relation ableiten. Was dann die Zerlegung selbst angeht,
so kann mau dieselbe in folgender Weise bewerkstelligen:

Man betrachte zunächst den früheren Fall gegeben
und zerlege die vorgelegte Determinante in ein Aggregat,
dessen Glieder bezüglich durch Multiplicatiou zweier
Determinanten vom (n — gh)ten und ^/,ten Grade entstehen.
Jedes einzelne dieser Glieder behandle mau ebenso; die
beiden Factoren jedes Aggregat-Gliedes werden nun-
mehr Determinanten vom (n -^a — <7A_i)ten und ^A-iten
Grade sein. Diesen Weg conscquent fortsetzend gelangt
man schliesslich dazu, die ursprüngliche Determinante
in Form einer Summe darzustellen, deren einzelne Sum-
manden Producte aus /^Determinanten vom resp. g^^ 9t - - -
ghtGn Grade sind.

Sollen wir etwa die siebenreihige Determinante .

«lU «1^2

«H3 «1?4 «115

«116

«117

^51 ^12

«2i/«2i4 «Äiü

«2i6

«217

%51 <h^9

«3i3 «8ii «310

«8i6

««17

^m «41«

«4i8 «4i4 «4i6

«416

«417

«5»! «ölt

«äiS «6i4 «5i5

«5i6

«6i7

«651 «6?a

«6i8 «614 «6i5

«616

«617

«7n «718

«713 «7i4 «7i6

^*716

«717

so zerlegen, dass ä = 3, ^, = 2, ^r^ = 3, i^a = 2 würde, so müssen
wir zunächst wiederum eine arbiträre Bestimmung treffen, in welchem
Cyklus die ZerfäUung vor sich gehen soll. Am .naturgemässesten
werden wir handeln, wenn wir nach den im Schema angegebenen
Linien zerteilen (ind als erstes Glied der zu bildenden Reihe das
Product

«Sld «3i4 «3i5

+

«111 «llt

«211 «212

«4l5 «4l4 «4lö
«5i3 «5>4 «5l5

«616 «6i7
«7 16 «717

gelten lassen. Alsdann ist der Charakter des Zerlegungsprocesses
völlig bestimmt; ist z. B. als Determinante III die folgende

Günther: Deut allgemeine Zerleyungsproblem der Determinanten. 145

gegeben, so erkennt man sofort, dass dieselbe in der erst gebildeten
Reihe in Verbindung mit der Determinante

^lif ^18 ^l?4 ^lib *Hil

^2 ^'i^ ^>4 ^»6 ^>7

^3»2 ^»8 ^>4 ^395 ^>7

^4)« ^4^3 ^4i4 ^Ith ^4M

^hi% ^18 %i4 ^6*6 ^5»7

auftritt. Handelt es sich dann darum, das Vorzeichen des Gliedes

^'j?« ^lib

<H-^ «216

%9S ^3>4 ^3^7
^4?3 «4^4 "497

"6id "5?4 ^hft

i ^791 ^96

a priori zu bestimmen, so ist zweierlei zu tun. Man muss vorerst
das Vorzeichen des Productes aufsuchen, so lange es nur aus zwei
Gliedern besteht; hier ist

also haben wir den Factor (— 1)®+' = — 1. Der Fall, in welchem
die erste Colonne nicht mehr als ersten Index 1, sondern eine andere
Zahl aufwiese, lässt sich sofort auf diesen zurückführen, wie wir
gleich zeigen wollen.

Denn wenn wir jetzt den zweiten Teil unserer Aufgabe in Angriff
nehmen, müssen wir darauf achten, dass unsere Determinante fünften
Grades nicht in der Normalform gegeben ist; denken wir uns aber
wieder eine Hülfsdeterminante 2 ± a/,/ au^i aiuyiu aiv^ir ar,r ein-
geführt, so erhellt, dass die ersten Indices beider Determinanten die
gleichen sind, und dass, um von der zweiten auf die erste zurück-
zugehen, die zweiten Indices lediglich um eine Einheit vermindert
werden müssen. . Wir müssen demnach eigentlich das Zeichen des
Productes

a/,7 ö/,/v

ajlhll auhiu aiii^YJ
ajv^ij aiY^jii a/r,r/

aVfii av^iiJ «F,ri

ermitteln; hier ist
Tcnux.

10

alBO tritt
drei Dete

Es unterliegt wohl keinem Zweifel, dass anch in diesem allge-
meinen Falte die Vorzoieheabcstimmung an? einer independenten,
aller Wahrscheinlichkeit nach freilich höchst complicirten Regel ent-
nommcn werden kann. Wir begnügen uns jedoch, dies für die prak-
tisch wichtigste Specialität direct nachgewiesen, im Uebrigeu aber
einen Weg angedeutet zu haben, wie die Zerlegung sich factiscb be-
werkstelligen IftSBt

Naegelshacht Studien zu Fäntenau*» Methode. 147

XIV.

Stadien zu Ffirstenan's neuer Methode der Darstellnng nnd
Berechnung der Wurzeln algebraischer Gleichungen durch

Determinanten der CoefBcienten.

Von

Herrn Hans Naegelshach^

GymJiasialprofrssor in Zweibrücken.

Die neue Methode Fürsteuau's, von ihm hekannt gemacht in zwei
Abhandlungen, Marbnrg 1860 und Marburg 1867, in weiteren Kreisen
wohl bekannt geworden durch ihre Aufnahme in Dr. Günther's Lehr-
buch der Determinanten, beruht darauf, dass durch Elimination aus
einer unendlichen Anzahl von Gleichungen die dem absoluten Wert
nach kleinste, resp. grösste Wurzel einer algebraischen Gleichung
gefnnden wird als Quotient zweier Determinanten von unendlichem
Grad. Durch eben solche Determinanten lassen sich dann auch die
Coefficienten derjenigen Gleichung X:ten Grades darstellen, welche die
h kleinsten, resp. grösstcn Wurzeln der gegebenen Gleichung zu Wur-
zeln hat. Von einem Paar absolut kleinster oder grösster complexer
Wurzeln lässt sich also die Summe und das Product durch solche
Determinanten darstellen. Indem mau statt der unendlichen Deter-
minanten solche von endlichem, allmählich wachsendem Grad nimmt,
erh&lt man Näherungswerte für die Wurzeln. Die Annäherung beruht
darauf, dass bei wachsenden Exponenten gegen eine Potenz der gröss-
ten Wurzel die gleich hohen Potenzen der übrigen Wurzeln immer
mehr verschwinden. Hier zeigt sich die Verwandtschaft der neuen

10*

l48 Naegelsbach: Studien zu Fürstenau^s Methode

Methode mit einer schoa von Daniel Bernoulli vorgeschlagenen, von
Euler, Fourier, Stern weiter ausgebildeten Methode, nach welcher
von den mittels der Newton'schen Formel zu bildenden Summe der
gleichen Potenzen ausgegangen wird, und ebenfalls die Coefficienten
der Gleichung bestimmt werden, welche die k grössten, resp. kleinsten
Wurzeln der gegebenen Gleichung zu Wurzeln hat. Die Rechnung
selbst gestaltet sich schliesslich bei beiden Methoden ganz gleich.
Es soll durch diese Bemerkung keineswegs der Wert der neuen Me-
thode herabgesetzt werden, sie hat ohne Zweifel ihren eignen theo-
retischen Wert und in Bezug auf praktische Anwendbarkeit scheint
sie einer weiteren Ausbildung fähig zu sein, die ihr den Vorzug vor
jener älteren Methode verleihen dürfte.

Für den Verfasser dieser Abhandlung hat die neue Methode
besonders deshalb Interesse gehabt, weil sie in nahem Zusammenhang
steht mit einer Classe von symmetrischen Functionen, die er in einem
Programm des Zweibrücker Gymnasiums vom Jahr 1871 ausführlich
behandelt, und dann wiederholt angewandt hat in Abhandlungen, die
in der Zeitschrift für Math. u. Phys. niedergelegt sind. Ist /x =» 0
die gegebene Gleichung, so sind diese Functionen nichts andres als

die Coefficienten der Entwicklung von z- nach fallenden, resp. stei-

genden Potenzen von a?, und Fürstcnau's Determinanten sind die Dar-
stellungen dieser Functionen durch die Coefficienten der Gleichung.
Aus diesem Zusammenhang ergibt sich eine wesentlich vereinfachte
Ableitung der Methode, eine bequemere Darstellung und der genaue
Ausdruck des Fehlers, den ein beliebiger Näherungswert in sich
schliesst. Durch den letzteren erhält man Aufschluss über die Art,
in welcher die Annäherung vor sich geht, und die Möglichkeit, Cor-
recturen anzubringen, welche die Genauigkeit wesentlich vergrössem.
Der letzte Punkt soll in einer folgenden Abhandlung untersucht wer-
den, üeber den vorletzten Punkt ist zu bemerken, dass mein Freund,
Dr. Günther, bewiesen hat, dass die aufeinanderfolgenden Näherungs-
werte der Wurzeln sich als aufeinanderfolgende Näherungswerte eines
unendlichen Kettenbruchs darstellen lassen. Der Schluss aber, den er
daraus gezogen hat, dass nämlich die Näherungswerte abwechselnd
grösser und kleiner als der wahre Wert sein müssen, ist nicht richtig.
Der fragliche Eettenbruch kann auch negative Zähler enthalten, und
dann verlieren seine Näherungsbrüche jene Eigenschaft.

Die Eenntniss der Fürstenau'schen Abhandlungen ist bei dem
Folgenden nicht vorausgesetzt. Was von des Verfassers eignen
früheren Arbeiten zur Anwendung kommt, soll, soweit es das Ver-
ständniss erheischt, kurz wiederholt werden.

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

149

Es sei

§. 1.

die gegebene Gleichung, so ist, wie bei Baltzer, Theorie und Anwen-
dung der Determinanten, 4 Aufl. §. 10, 9., zu finden:

a)
wobei

b)

r=a)

— «= 2: («1»'... ««).«-'••»

«^(«1 ...Cfw)

Dabei hat man auch noch

aH^ «HS...an*-^ «^«•»-i+»'

c)

(a,** ... Ofn) •== -S«!« «j* ... er««,
a-f6-|-...«=r

d. h. kurz ausgedrückt: (cfi**...««) ist die Summe der Combinationen
rtcr Classe mit Wiederholungen der Elemente a^.,.an gerade
wie die Coefficienten von fx selbst die Summe der Combinationen
ohne Wiederholungen derselben Elemente sind. Aus der Defi-
nitionsgleichung ergibt sich noch unmittelbar, dass (a^^ . , , an) =^ 0 ist
für r -=—1, —2, ... — (w— 1) und gleich 1 fOr r = 0.

Ganz analog ist nun auch, wie ich in dem erwähnten Programm
gezeigt habe.

d)

Für die («j-»' ... «n) gilt als Definition noch immer die b), wenn man
dort r negativ nimmt. Statt der c) aber hat man

e)

Man könnte also sagen, (cyi~*'... a») ist die Summe der Combinationen
(— r)ter Classe mit Wiederholungen der Elemente cri...aH, doch ist
der Ausdruck unverständlich ohne die beigegebene Gleichung e).

Für die («i*' . . . of«) , für die ich die Bezeichnung Divisionscoeffi-
cienten vorgeschlagen habe, folgt nun aus a) und d), gültig für jedes
ganze r, die identische Relation

150 Naegelsbach: Studien zu FUr.ttenaü's Methode

Eine zweite wichtige Identität, auf welcher die Resultate dieser Ab-
handlung wesentiich beruhen, ist die folgende:

(««-.• |r"«n) (%-.H-«n)

... + (— !)• C* («i»^-« . . . Ofn) == («/... dn-i) '

r

Dabei bedeutet C« die Summe der Combinationen oter Classe

(«„_,.|.r"«„)

ohne Wiederholungen der ?* Elemente «„-|\fi, ofn— 14-2, ... «k. Diese
Identität ist ein besonderer Fall einer allgemeineren, die ich in der
Abhandlung Über die iudependente Darstellung der Bernoulli'schen
Zahlen, Jahrgang 19. der Zeitschrift für Math. u. Phys. p. 220, be-
nützt habe. Für den besonderen Fall gibt wohl den einfachsten Be-
weis die Identität der Entwicklungen von

a; — «n-.-j 1) (^ — ft|»-»|2) ... (« — «n) , 1

Ein besonderer Fall der g) ist wieder die Relation

h) (»/... ««) = («i*" . . . «n-l) + ein («1*'""^ . . . «n)

welche sich auch leicht aus b), oder aus c) und e) ergibt, und daraus
abgeleitet

.. (^1 ...«#-!'' «1+1 ... er«) —(«1 ...«ic-l*^ «jfcfi ...cr„) , ^, V

' «jk — flff- ^ * '

Einige weitere, in der Abhandlung nur zu Umformungen angewandte
und zum Verständniss des Ganzen nicht wesentliche Identitäten sollen
noch hier ohne Beweis zusammengestellt werden. Bezüglich des Be-
weises muss ich auf das Programm verweisen. Man hat allgemein
bei Determinanten nten Grades

k)

^(«1 ...««)

\ («!«• . . . «n), («/ . . . «n) ... («,»' . . . (Tn)

(cri*»»-l . . . «h), (a,^-^...a„) ... (cf/-! ... a„)

(«,"-hH . . . an), («jP-»» M . . . «h) . . . («/-»»+ 1 . . c,^)

und deshalb auch

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

151

1)

= («102...«^)-«

(iri^^+ff-i ... an), {a^P^'^ ... »«) ... (V+»"^ ... ««)

Um aber solche Determinanten durch die Coefficienten der gegebenen
Gleichung auszudrQcken, dient die Identität

m)

(a^ff-l . . . «h), («1*"^ . . . «»), («i'-i ...an) ...
(of^ff-H-i . . . an), («,«-•» H . . . a„), (aj<-n+ 1 ...«„).. .

. . . («!«• . . . Cf„), («j» ...an), («1*^ . . . «n)

. . . («i--! . . . an), («i'-i . . . an), («1«'-"^ . . . a»)

(-1)

J-f f-|- . . . 9^Mh~

■ ■ ■ («!«-"+> . . . «»), («,»—+» ...«„), («j«^*» ...an)
H.n—l

•\ C/05 C7j|, . . . C/w-h; — 2, C» — f) ...C7w— II— 2i C7i*— M»

.. . C/|fl— <-i, Cm — 1-{-\, «• . C/M>— «— 1, t7{0.8-|.i, . .. C7t0-.g— 1
...CfD—t^'^ Ow—t, '" Cto—6—2, Cu -8, ».'Cw — g— 2

Die erste Determinante ist vom nten Grad und die q, s, t . . .
tt, t?, w sind steigend geordnet. Die zweite Determinante ist vom
{lo — q — n4- 1) ten Grad. Die Indices der C nehmen in jeder Colonne
von oben nach unten je um 1 ab, und für diejenigen C, deren Indices
grösser als n oder negativ werden, ist Null zu setzen. Determinanten
von der Form der ersten aber von niedrigerem Grad lassen sich,
ohne die Form zu verlieren, durch Ränderung leicht auf den nten
Grad bringen.

Endlich lässt sich das Product zweier solcher Determinanten
nten Grades in eine einzige solche Determinante, bei der aber auch
die Indices in den verschiedenen Zeilen um andere Zahlen als 1 diffe-
riren, verwandeln durch die Identität

152

Naegelsbach: Studien zu Färstenau^s Methode

n)

X

(a/...OfH), («/...ff«) ... (or,^..a„), icCi^..,an)

(«l»--! ... Oh), (a,»-l . . . «n) ... («i'-^ . . . «h), («1*^* . . . «~)

(«/... of„), («i*...««) ... (ofi"...«»), («i**...crH)

(«/-''...er«), (Cfi«- « . . . «n) ... (cfi''-«...«H), («!»-«...«„)

(«/-*'... a«), («1»-^...««) ... (rfi*-^...crn), (cti"'"^...«»)

(a/-*...a«), («i«-*...ffn) ... («I «'-*... flfn), (»,•*-*...««)

Diese Formeln sind sämmtlich Identitäten nnd bleiben richtig,
auch wenn unter den a gleiche Werte vorkommen. Im Folgenden
denken wir uns durchaus die a ihrer absoluten Grösse nach geordnet,
so dass «1 die kleinste, an die grösste unter den Wurzeln der Glei-
chung fx = 0 bedeutet. Bei complexen Grössen vertritt der Modul
die Stelle des absoluten Wertes.

Zu den Fürsteiiau*schen Resultaten führt uuu einfach die Unter-
suchung, fttr welche Werte von x die Entwicklungen a) und d) con-
vergent bleiben. Man findet sofort, dass für wachsende r das Ver-

hältniss 7~7c:t--*^ sich dem an nähert, wenn a» ein einzelner ab-
\a^ , ..an)

solut grösster Wert ist, und ebenso, dass ?— L— r-~~; sich dem

Wert a, nähert unter der entsprechenden Bedingung. Sind aber
{ir»-i urd «H absolut gleich, so findet man für jenes Yerhältniss andere
Ausdrücke, die durch Elimination die übrigen Resultate geben. Ehe
wir darauf im nächsten Paragraphen eingehen, sei noch, um später
Weitläufigkeiten zu vermeiden, bezüglich der Bezeichnung folgendes
festgesetzt. Es ist immer

9**
hx'

(x-

'€tj)(x

«i)(aJ
■a^)(x-

«2) (x ■

«s) (x

a^){x-

a^) ...(x-
■a^) ... (x
•«») ... (x
Ofj) . . . (ac
a^)...(x
«4) . . . (« •
«5)...(aj-

a„-.l) c= aj»-l + 6^1 a:»»-2+ . . . Gn-i
■an~2) « a:»»-2+//iX— 3+ ...Hn-2
-an-d) = X**~^ + Ji x»*- * + ••• «^»»-8
■«»»-4) — fl-''-*+Qja'»*-5+... Qn-4
an) «= x^-^ + KiX^-^+...Kn^i
dn) — X*''-^+LiX*'-^+... Ln-2
au) — x*'-^-\' M^x*'-^ -}-,.. Mn^i.

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

153

Die ersten Ableitungen dieser Ansdrücke mögen dann dnrch einen
Accent bezeichnet werden, so dass man z. B. hat

§. 2.
Ist an ein einzelner absolut grösster Wert, so nähert sich mit
wachsendem r («1*'...«^) dem Wert -—r, , denn man hat

(aj''...OM)

J(ttl,..an)

... er

n-2

«,* ...ttj^-ä^

«H», an" ...a«"-2^ ««*•+*-*

r+n-1

ClrH^ ««* ... an**~^

Hier werden in der letzten Colonne alle Gljeder null für r = oo
mit Ausnhanie des untersten, die Determinante reducirt sich auf
J{a^,..au-i\ und man hat

a-rf H-l

(«,^ . . an) = «kH "-1 . -~7

Hieraus folgt, dass für wachsende r immer näher wird / ' i" --^ =»«»>.

In der Tat, man hat wegen («i»'...«») — «i«(«,*'-i... «„) + («/... ir»-i)
für jedes ganze r identisch

1)

K*^-» . . . «h) "^ ^- + (a,r-i . . :an)

Wenn also der absolut zweitgrösste Wert rf„-i ein einzelner ist, hat
man nach demselben Princip mit wachsendem r immer näher

!•)

«^«»-1

_;li

154

Naegelshack: Studien zu Fürslenaü's Methode

Ist zweitens an^i »— tfn, so hat man wieder

+»-1

_,\r-|-i»— 1

aber für r » <x> bleiben nun in der letzten Colonne die beiden letzten
Glieder endlich. Entwickelt man dann die Determinante nach Partial-
determinanten der beiden letzten Zeilen, so erhält man

wenn r-f-^ gerade:

H n

wenn r'\-n ungerade:

(«1*'...«»)

Ä«^.Ä-a^

{««^^»-8+««'Äi-ö+...},

oder anders geordnet
wenn r gerade:

wenn r ungerade:

(_l)»-l.e„r+»-2

ha .A-.a
»1 ••

'1>

(ai*'...tfii)

*«.i-^«.t

Aa « A— a

<5|

WO also Ci und c^ von r unabhängig sind.

Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Divisionscoefiicienten
nähern sich also abwechselnd zwei verschiedenen Grenzen, dagegen

wird mit wachsendem r immer genauer . ^_^" ^^ . = ««*. In der

Tat, aus der Gleichung g) folgt für i « 2 und a«-! = — «h die
Identität

(«j«' . . . CTh) « »»•(«i''"^ • • • «h) + (V • • • «n-2),

der Darsfellung der Wuruln algebraischer Gleichungen, IJö

demnach hat man identisch

^^ («,--« . . . a«) ^ "^ "^^ («1^-2 . . . „^)-

Ist demnach an-s absolut <C oh-2> so wird bei wachsendem r immer
genauer

je nachdem r gerade oder ungerade.

2*> dr-i" J > = «■«*+(- 1)" (-^- ) .^ " Oder

Seien nun drittens die beiden grössten Wurzeln conjugirt com-
plex, und zwar an «= Ä(co8y+t.sing)), an— i -= i2(cos9 — ».sin<p),
on-i aber absol. <C i?, so dividiren wir wieder in der Determinante,
welche («j»* . . . f/„) darstellt, die letzte Colonne mit Ä*'+~-i, und multi-
pliciren dafür aussen mit dieser Grösse. £s werden wieder für r» od
alle Glieder der letzten Colonne mit Ausnahme der beiden untersten
Tcrschwinden. Wird sie dann nach Partialdeterminanten der beiden
letzten Zeilen entwickelt, so erhält man

ha ha ..SinO)

X l^o^"^-sin(f4-l)ip+i/il?H-8 gin(^^2)g>+ ... ^«-2.-R^.8in(H-n

Hier ist ersichtlich das Yerhältniss zweier Divisionscoefficienten von
r abhängig. Nun ist aber, wenn zur Abkürzung

HQ.Ii**-H\nrq> + Hin^-^s\n(r+l)q>+ ,.. = Ar und
i/o.if»'-2cosr<p+iy^Ä«-«COS(r+l)g)+ ,..^ Br

gesetzt wird,

(«/li ... an) = Ä;^fir~~sin"i M'-cos2g)+/?r8in2ip),

ßr+H-2
» »t--l '^

(»i*"""^ ...««) = V — r : (^r COS Gp — Br sin g>).

'*% **»— 1 ^^^ V

156 Naegehbach: Studien zu Fümttnau^s Methode

Hieraus ergibt sich

vri r^ -- ^2/ cos 29 + ;4;: sin 2<3p j •

(«i»'-! ...er«)
(ft ^-^ g x2iZcosy =» Älcos^j+lfsi^^^j^Äcosy

= Ä.+ii* (cos 2^ ^. f sin 2^) = ie» + (^Srr^:^.

Andrerseits aber ist auch

^- / r 1 \ = ^ l COS g)— -r- smoo )

also

und

Diese Werte gleichgesetzt geben

»2 I ( V^^ . . . «h) _ («1»' . . . «w)^ , -^j (0f/-g . . . ffw) (g^»' . . . gn)
"*■ («1''-* ...«•)"■ («i»'-! . . . «n)« "•" ^ (g/-l . . . «n)«

und hieraus

j^^ («1*^ - » ' gn)^ — («1*'-*"^ ... ff») («1^-^ . . . gft)

und dann sofort auch

2ÄC0Sa) — (V '" gw)(V^ ... «n) — K'"*"^ ... Cfn)(gi''-^ ... «n)

Man hat also gefunden, welche Ausdrücke fttr ein unendlich wach-
sendes r sich immer mehr dem R^ und 2/2. cos 9) nähern. Um auch
hier wieder die Näherung controlircn zu können, gehe ich zurück
auf die Identität, die für jedes r gilt Man hat aber, in Determi-
nantenform und mit Hülfe der g) die Identitäten

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen,

157

(«/■"2...««), («/-l ... Oft)

(fif/...cfn), («M-i-f-«») («i''.-«») ~»nOH-i(ax'*-i...a„)+(üri«'+l...a„-2)
"" ,(ai«'-l...a„), (a/...iifM)

(«!»•...»«), (cr/+i...an-2)
und

4)

(aH_i4-««) +

(flf/-l...an), («i^..«n)
(ai«^-2...««), (ai''-l...an)

j(«,^-i...a»), (tfi''+^..cr,.-2)

(oi*'-^...«fH), {«l^..ß••)

Ist also «n-2 absolut > ofn-a, so wird bei wachsendem r immer
genauer

3*)

(ai»-l...cifH), (crl^..a„)

=«■+(¥)

^*ii-l Ä.-^ril— «ii~2.^r

Ä'

«n-2 ^^" ^ -4r* + -Br*

4»)

(«ir-l...««), (ai'*...»n) I

158 Naegeinbach: Studien ztt Fürstenau^x Methode

2Ä.C08g)+(^'y

A'«^_2Sm^ ÄMr* + -Br*)

Bei den Ergänzungsgliedcni sind die Zähler von r abhftugig, die
Nenner aber sind constant Man hat nämlich

^r*+^r* ^ £ Z yy,ft.i?2».~4-(*+.)cos(ifc — 0<p =- C,

Da femer ^a^^a^_y = -4*«-2+-ö*»«-2, hobt sich dann der Nenner
ganz weg.

Sind endlich an and otm-i rein imaginär, so hat in den vorher-

n
gehenden Formeln rp den Wert » Es ^^d dann mit wachsendem 9

(-l)«jÄiÄ»-a-.fliii— » + ...}

H »—1

immer

mehr

(«l2.

. . . «n)

«

Ä2.|h-

ha ha

-2
-l

nnd

l?2«+n-l

(a,2«H ... an) = I— X"" (-l)*+M/AÄ"-«-//3Ä~-5 + ... j

=— 1 7 . ^2t f 2.

fla nn ,

n n —l

Hieraus folgt sofort
Qnd

^2f-f-2 =» — -42»44 -=■ -f"'^2«f6 = ... = 2/2a+l.

Man hat demnach fttr unendliche r auch

Fttr endliche r aber hat man wie in 2)

fi\ K*" Li:.?»«) _ j I («/ ^ • • J'»i-2)

^^ («1^-« . . . «h) -"- -r (;,^r-2' . . „^-) '

bei wachsendem r also immer näher

5.) .%-"-^,=-«»+(""^^y'""V*;--^f^.

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, 159

Dass daneben anch die 3) und 4) ihre Gültigkeit behalten, ist selbst-
verständlich.

Es lässt sich nun auch leicht angeben , welchem Werte in - den
vier Fällen sich der Rest nähert, wenn dieser nicht von einer ein-
zelnen absolut grössten Wurzel abhängt, sondern von einem Paar
gleicher entgegengesetzter reeller Wurzeln, oder einem Paar complexer
Wurzeln. Ich will hier nur die wichtigsten Fälle ausführen.

Ist erstens an ein einzelner absolut grösster Wert, und dann

«fj«-i « R.(cosip'\-i.sinfp)y iifi»-2 =» Ä.(cosy — t.sin^),

und setze ich wieder

»7o-R"~*8inrg)+«^i^~*8iJ'^(»'4*l)9+ ••• "" -^r,
•/oÄ"-8co9g,-|-y^i2»»-4cos(r-|-l)y+ ... — Br,

so wird für wachsende r immer näher

^ ' K^-i ... er«) ^ ''-"*■ W 'Vl^H-a"^^ * ^ '

Ist im dritten Fall

an = Ä(cosy-f**wnv), «H-i = Ä (cos y—» sin 9),
tffi-9 -» Ä'. (cos 9'+»- 8"! y')» «^»-8 — Ä'. (cos ip* — t . sin 9')>

und setzen wir noch

Qoi?"-*8inr9)'-f Qii2»»-«8in(r + l)9)'4. ... — Ar',
Qoi2*-*cosry'+OiÄ"-*cos(r4.1)9'+ ... =r Br\
so kommt

3»»)

(ai'^...an), (aj^^^..,an)

(«1*^-1 ... ffn), (cfi*"...««)
_^ j /Ä;y+— « 1 R.Ar^\A' r^i-- Ar A'r^%R'

|(ori''-l...aH), («i''+^..a„)

(«i«'""* ... ««), («i*" ... «h)

2Äcosy+i^^ j ga^.33«^>nv.sin9' Ä.Ä' '

160 Naeyeisbach: Studien ztt Fürstenau's Methode

Die Fälle, wo es 5 oder mehr absolut grösste Wurzeln gibt, sind
hier abcrgaugen. Der wichtige Fall, wo eine Gleichung lauter con-
jugirt complexe Wurzeln mit gleichen Moduln besitzt, wie es z. B.
bei den aus binomischen Gleichungen hervorgehenden Gleichungen der
Fall ist, wird von FUrstenau durch Veränderung der Variabein auf
die vorhergehenden Fälle zurückgeführt.

§. 3.

Aus den gewonnen Resultaten lassen sich nun zunächst Schlüsse
ziehen auf die Vorzeichen der Divisionscoefficienten.

Ist un eine einzelne absolut grösste, und zwar positive Wurzel,
so folgt aus 1^) und 1^), dass, wenn r einmal gross genug ist, dass
überhaupt die Näherung beginnt, was im Folgenden immer voraus-
gesetzt sein soll, dass dann die (r// . . . «n) immer das gleiche Zeichen
behalten. Dass es aber das -|- Zeichen ist folgt dann daraus, dass

für sehr grosse r («j» . . . ««) == —7, positiv ist.

Ist aber cth negativ, so folgt aus denselben Gleichungen, dass dio
(«i»"...««) abwechselnd positive und negative Zeicben haben, und
zwar ist für sehr grosso r

a) wenn n = 2w» ist, ga^ negativ, f/„Mw-i =* | ± je nachdem

( ungerade ( ( gerade .

*• \ gerade ' ^^°*^^*^ ^«^ ...«.)=( ± je nachdem r j ^^^^^^^ ,

b) wenn « = 2m-f-l ist, ga^ positiv, ««»■+M-1 = { 4^ je nachdem

Also ist überhaupt, sobald die Näherung beginnt, ((Yj» ...««) = {± je

- . f gerade
nachdem r ^ ^^^^^^j^-

Ist «w-i = — lY» so folgt aus 2»), dass («Z+^-a»,) und {a^^..,€tn)
gleiche Zeichen haben. Nun ist a) für gerade r («,*" ... un) =

^ -r— T l^o«i.**"^+^Ä««""*+ ••• }; der erste Factor ist

positiv für n = 2m und n = 2^4-1} das Zeichen hängt also nur vom
zweiten Factor ab. Ebenso ist

b) für ungerade r («,•• ...«„)« ^^ — hhlS" I ^1*«""^ +

M •»

-fls"«**"^"!" ••• 1» ^^^ ^™^ Factor ist immer negativ, das Zeichen

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. \ß\

hängt nur vom zweiten Factor ab. Man kann dann als Regel ans-

, j- / . XI., abwechselnde > „ . .

sprechen: die (crj»^... of»,) haben ^i^^pUp /Zeichen, jo nachdem

l«i«H— ^+£r,«n"-4+ ... gleiche ) ^ . . , ,

^,a„n-3+Ä3«n--ö+... Verschiedene ) ^^^"^^^ ^*^'^-

Ist itn = Ä. (cos qp-f"* -sing?) nnd «h-i = R.{cosip — i'.sin^), so
folgt ans 3») , dass (a,»' . . . «h)* — («i*-^ . . . orn) (a/^^^ ...an) und
(«1*"""^ ... «••)* — («1*^"^ ... «*»)(«!*■ ... cr,i) immer gleiche Zeichen haben.

Da aber für r «=00 der letzte Ausdruck gleich t^ — r^ (Ar^-^-Br^)

•^ a h a ■
n »—1

wird, sieht man, dass diese Ausdrücke immer positiv sind. Für die
(«y/...cf„) selbst folgt daraus, dass (aj**-! ... er») und («1»'+^ . . . «n)
entweder verschiedene Zeichen haben müssen, oder dem absoluten

«T -* u (ö^ir . . . «n) ^ (»1*'+^ . . . Wn) .

Wert nach 7 — z-\ : > -7—7 r se^i muss.

Aus 4^) aber lässt sich Folgendes schliessen: Ist cosg) positiv,
so muss («1*'''^ . . . «w) (a/ . . . «„) — {«i*^"2 . . . «v„) (c^i»* f 1 . . . rr„) immer
positiv sein. Wenn also drei aufeinanderfolgende Divisionscoefficienteu
zwei Zeichenwechsel enthalten, folgt darauf wieder ein Zeichenwechsel,
also kommen von da an nur Zcicbeuwechsel. Daun wird nach dem

( ti ^ f 1 a \

Vorhergehenden / ^ "•— !L absolut immer kleiner, nähert sich also

der Null oder einer endlichen Grenze, was nicht sein kann. Dem-
nach können hier nie zwei Zeichenwechsel aufeinander folgen. Zu
demselben Eesultat gelangt man auch so: Aus der obigen Bedingung
folgt, dass, wenn einmal auf eine Zeichenfolge ein Wechsel folgt,
dann notwendig wieder eine Folge kommt Es bilden also in diesem
Fall die Coefficientcn im Allgemeinen Zeichenfolgen, unterbrochen von
einzelnen Zeichenwechseln. Es können aber auch nicht von einem
bestimmten Punkt an die Zeichen immer gleich bleiben, da man sonst

wieder zu dem Schluss käme, dass das Verhältniss / ^ "' ;- sich

einer bestimmten Grenze nähert. Diese Art des Zeichenwechsels mag
eine reihenweise heissen.

Ist aber cos tp negativ , so muss («i**"* . . . «h ) («j'' ... an) —
(ai*'-^...of«i) («!»'+ 1... an) immer negativ sein. Daraus folgt: Wenn zwei
Zeichenfolgen nacheinander kommen, muss dann wieder eine Folge
kommen, also fortan nur Folgen kommen.« Dies ist wieder nicht mög-
lich, also können nie zwei Zeichenfolgen nacheinander kommen. Man
kann aber auch so schliessen : Wenn nach einem Wechsel eine Zeichen-
folge kommt, muss dann wieder ein Wechsel kommen. Im Allge-

162 Nacgelshac.hx Studien zu Furstenau» Methode

meinen bilden also die Zeichen Wechsel, unterbrochen dnrch ein-
zelne Zeichenfolgen. Es können jedoch nicht nur Zeichenwechsel

von einem bestimmten Punkt an kommen, da sonst wieder / ^ "' ~-

sich einer bestimmten Gränze nähern würde. Diese Art des Zeichcn-
wechsels mag auf- und abspringend heisseu.

Sind die beiden grössten Wurzeln rein imaginär, so folgt aus 5»),
dass («i*'...or„) und (a/'^...««) immer entgegengesetzte Zeichen
hab.en müssen. Demnach wechseln bei den Zeichen der Divisions-
coefficienten immer einzelne Zeichenfolgen und Zeichenwechsel ab. Es
bildet dieser Fall den Uebergang zwischen den beiden rorhergehen-
den Fällen. Dass auch hier wieder (of/...a„)^--(a,»"-i...cr„)(«j*'+i...rfw)>0,
folgt schon aus dem Gesetz der Vorzeichen. Aus 4) folgt noch, dass

(cy/- !...«„) ( «i'"+i . . . an)

mit wachsendem r immer näher

(«1*— ^ ...««) (c'i'" ••• ^**)

Aus diesem Allen geht hervor, dass sich schon allein aus dem
Vorzeichen der aufeinanderfolgenden Divisionscoefticienteu entscheiden
lässt, wie die absolut grösste Wurzel beschaffen ist. Abgesehen von
dem Fall nämlich, wo ein Paar entgegengesetzt gleicher grösster
Wurzeln vorhanden sind, hat man

eine grösste positive Wurzel, wenn die Divisionscoefticienten immer
positiv sind,

eine grösste negative Wurzel, wenn sie immer abwechselnde
Zeichen haben,

ein Paar grösster complexer Wurzeln, deren reeller Teil positiv,
wenn die Zeichen reihenweise,

ein Paar grösster complexer Wurzeln, wenn sie auf- und ab-
springend wechseln,

ein Paar grösster, rein imaginärer Wurzeln, wenn immer abwech-
selnd zwei Zeichen positiv und zwei Zeichen negativ sind.

Dass dabei unter Umständen eine längere Reihe von Divisions-
coefficienten entwickelt werden muss, um den Fall zu entscheiden,
ist einleuchtend. Wenn z. B. ein Paar complexer Wurzeln mit posi-
tivem reellen Teil vorhanden ist, aber dieser sehr klein ist gegen den
imaginären Teil, so kann eine ganze Reihe von Coefticienten nur ab-
wechselnd Zeichenwechsel und -Folgen zeigen bis einmal zwei Folgen
nacheinander kommen. Die Betrachtung der Näherungswerte selbst
aber zeigt bald, welcher Fall vorliegt.

der Darstellung der Wurzeln algehraischer Gleichungen, lß3

Die Resultate des vorigen Paragraphen lassen nun auch erkennen,
in welcher Art die Annäherung in den einzelnen Fällen vor sieh geht.
Allgemein ist soviel zu sagen, dass, wenn hei den für die Fehler ge-
fundenen Ausdrücken r nur im Exponenten des echten Bruches vor-
kommt, dessen allmähliches Verschwinden überhaupt die Ursache der
Annäherung ist^ dass dann, wenn überhaupt einmal die Näheruug be-
gonnen hat, auch jeder spätere Wert dem wahren Wert näher liegt
als irgend ein vorhergehender. Wenn aber der Ausdruck des Fehlers
auch ausserdem noch r enthält, so geschieht die Annäherung nur im
Allgemeinen, und es kann recht wol ein späterer Wert vom wahren
mehr differiren als ein früherer.

Ehe wir auf die einzelnen Fälle eingehen, sei noch festgesetzt,
dass die durch die Formeln 1), 2), 3), 4), 5) gegebenen Näherungs-
werte zur Abkürzung resp. mit a-r-i, x\-.2^ -ß*r-i, (2Äcos9))r-i,
— i2*r-2 bezeichnet werden.

1- Ist an ein einzelner absolut grösstcr positiver Wert und unter
den übrigen Wurzeln

a) «n-i ebenfalls ein einzelner absolut grösster positiver Wert,
so bleibt Xr immer grösser als an; der Fehler wird mit wachsendem
r immer kleiner.

b) Ist «n-i ein einzelner absolut grösster negativer Wert, so ist
arr zu gross, wenn r gerade, zu klein, wenn r ungerade; der Fehler
wird mit wachsendem r immer kleiner.

c) Sind «M-i und aH-2 ein Paar absolut grösster entgegengesetzt
reeller Werte so kann xr immer grösser, oder immer kleiner, oder
auch abwechselnd grösser und kleiner sein als Om. Der Fehler ist
bei xr\2 kleiner als bei xr.

d) Sind «w-i und «^-2 ein Paar absolut grösster conjugirt com-
plexer Werte und ist der reelle Teil positiv, so geschieht die An-
näherung reihenweise ; die Fehler werden nur im Allgemeinen immer
kleiner.

Ist der reelle Teil negativ, so nähern sich die Xr auf- und ab-
springend dem w«, aber auch hier geschieht die Annäherung nur im
Allgemeinen.

e) Sind an-i und orM-2 rein imaginär, so sind abwechselnd zwei
Näherungswerte zu gross und zwei zu klein. Der Fehler wird für
xr^2 kleiner als für xr.

1(54 Naegelsback: Studien zti Fürstenau*s Methode

2. Ist ttH ein einzelner absolut grösster negativer Wert, und unter
den übrigen Werten

a) a„-i ein einzelner absolut grösster positiver Wert, so ist xr
abwechselnd zu gross und zu klein, und zwar algebraisch zu klein,
wenn r ungerade, zu gross wenn r gerade; der Fehler wird mit wachsen-
dem r immer kleiner.

b) Ist «1,-1 ein einzelner absolut grösster negativer Wert, so ist
Xr immer zu klein. Der Fehler nimmt ab wenn r wächst.

c) Sind ffw-i und cr„_2 ein Paar absolut grösster entgegengesetzt
reeller Werte, so können die Xr immer zu gross, oder immer zu klein,
oder abwechselnd zu gross und zu klein sein. Der Fehler von «r+s
ist kleiner als der von Xr.

d) Sind cfM-i und «»»-2 ein Paar absolut grösster conjugirt com-
plexer Werte, und ist der reelle Teil positiv, so nähern sich die xr
auf- und abspringend dem «n. Ist der reelle Teil negativ, so nähern
sie sich reihenweise dem «„. Der Fehler nimmt nur im Allgemeinen
ab mit wachsendem r.

e) Sind «n-i und a„-2 ein Paar conjugirtcr rein imaginärer
Werte, so sind abwechselnd zwei Näherungswerte zu gross und zwei
zu klein. Der Fehler ist für arr+2 kleiner als für xr.

3. Sind an und cn-i ein Paar'absolut grösster entgegengesetzt
reeller Werte, so betrachten wir zuerst die Reihe der geraden Nähe-
rungswerte , d. h. diejenigen , für welche r = 2» ist. Ist in diesem
Falle («i^« ... cf„) positiv, so sind für positive wie für negative cf„-2
die Näherungswerte immer grösser als cf„^; für ««-3 = -— <yh-2 sind
sie entweder alle zu gross oder alle zu klein. Sind dagegen die
(aj2» ,,, ttn) negativ, so sind für positive wie für negative «„-2 die
Näherungswerte immer zu klein; für ««-3 = — «w-2 sind sie ent-
weder alle zu gross oder alle zu klein. Betrachten wir dann die
Reihe der ungeraden Näherungswerte, für welche r = 2«+li so sind,
wenn («,2*^^ ... «„) positiv ist, die Näherungswerte bei positivem
«„-2 zu gross, bei negativem zu klein; für cr„-^ = — 0^-2 entweder
alle zu gross oder alle zu klein. Ist aber (aj^«!! ... an) negativ, so
sind die Näherungswerte bei positivem a»_2 zu klein, bei negativem
zu gross; wenn f^„-3 « — «11-2, eines von beiden.

In all diesen Fällen erhält man also bei der Reihe der sämmt-
lichen Näherungswerte abwechselnd zu grosse und zu kleine nur dann
immer, wenn entweder («i»". ..a«) und («i*** ^. . .»m) gleiche Zeichen haben
und «w-« negativ ist, oder wenn («,**...«„) und (*^i*'+^ ... «„) ver-
schiedene Zeichen haben und an -2 positiv ist. Sind crft-2 und an~3

fUr Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. 165

ein Paar conjugirt complcxer oder rein imaginärer Werte, so zeigen
die Näherungswerte ein analoges Verhalten wie in den beiden ersten
FäUcn.

4. Sind €tn und or„ i ein Paar absolut grösster conjugirt com-
plexer Werte, so ergibt sich aus Gleichung 3) sofort, dass, weil der
Nenner des Fehlei*s immer positiv ist,

a) wenn an-2 positiv ist, Ä,-i* zu gross ist, wenn (aj«'...cf„)
positiv und («,**— ^ ... «„) negativ ist; dass dagegen R\^\ zu klein
ist, wenn {n^^ ...an) negativ und («i*'"^ ... «r») positiv ist Im Falle
also der reelle Teil der complexen Grösse negativ ist, sind auch die
Fehler für /?*r— i im Allgemeinen abwechselnd positiv und negativ, es
werden aber dazwischen auch zwei zu grosse oder zwei zu kleine
Werte aufeinanderfolgen. Drei zu grosse Werte könnten möglicher-
weise aufeinanderfolgen, wenn die aufeinanderfolgenden Divisions-
coefficienten di(^ Zeichen hätten («i**"^ . . . «m) = — , («i** ..««)= — ,
(flfj'^+i ...«„)=-{-? («1*"^^ ••• «^m) =^ +• I^ass es nicht der Fall sein
kann, ist besonders zu beweisen. Nun hat man in diesem Fall nach

§. 3.

(cf/ ... a»)(of/H ... of„) < («1*'"^ ... ««)(«/ ^^ ••• «♦•)

folglich auch

(a^* ...an) ^^^^, (^/J"^ •" ein)

(fr/-! ...«„) -^ («i'^+l ...Uu)

Ist nun R\ \ \ zu gross, also

d. h.

(Ofi'^+l ... Cfw), (tf/+^ ... «n— 2)

>o,

so ist um so mehr

(a7+r— ^ > «-2,

(flfi»- . . . er»)

> aH-2,

(«/-i ... an)
also

(ofj»* ... cf„) <; (V^i . .. (r„).c«-2,
oder

! («!*' . . . cr„), («1*'+^ . . . «H-2)

j («i'^-^ . . . «m), («i*" . . . an-2)

<0,

d. h. i?V-i zu klein. Ebenso ergibt sich umgekehrt, dass immer,
wenn /?> 1 zu gross ist, R^r^i zu klein ist Rr^ ist immer zu gross,
also findet immer höchstens eine Zeichenfolge statt. Ebenso erledigt

sich der Fall, wo {«i''-^ . . «n) =■ +, («/... ß«)='+, («1*'+^...««)= — ?
(c4''+2... «„)=—, in welchem nie Ä^-i, Rr^ und JR*r+i zugleich zu
klein sein können.

166

Naegelsbach: Studien zu FUrstenau's Methode

Der Fall, wo der reelle Teil der complexen Wurzeln positi? ist,
erfordert eine weitere Untersachnng. Es sei zunächst («fj'^-i ... «„)
negativ, (a^** ... ein) und alle folgenden Divisionscoefficientcn bis
(«1»-^ ... cth) incl. positiv, («!•...««) wieder negativ. Wie wir in
§. 3. gesehen haben, ist dann

(er/ ... an) ^ (a/+i ... a«) ^ '" (a^"^ ... an)'

Da aber

(a/+i ... an-'2)

für jeden Wert von r sich dem «»-2

(cri*" . . . an^2)

nähert, so ergibt sich, dass, wenn irgend einer der Werte
(«/+» . . . an)y («•• *«+!... «••-2)

(a^r+o-i . . . cm), K»-+«...cr„-2)
(ai''+i...an), («/^^ . . . ai»-2)
(aj^ . . . an), (öf/^^^ . . . ff n-2)

positiv ist, alle vorhergehenden bis

positiv sind; und dass, wenn irgend
(«1» -1 ... «n), («1» ... an-2)

(«l'-^ ... «„), («i»-l ... an-2)

einer negativ ist, alle folgenden bis

negativ sind. Hat man umgekehrt eine Reihe negativer Divisions-
coofficienten vor sich, so dass («i**-^ ...««) positiv, (a^^ .., an) und
alle folgenden bis (cj'-i ... cm) incl. negativ sind, und («,*... a«)
wieder positiv ist, so ist nach §. 3. wieder

(o,»'+l ...an) K»'-f2...«n) («1»-! ...an)

(ftl*^ . . . CTh)

aber jetzt folgt aus

(cr/+i . . . Ofn)

(ai«-2 _ jy^J

(g^*--!-« . . . «w)
(ai»^+«-i ... an)

> «»-2

umgekehrt, dass

negativ ist Dem-

(a/+ « . . . «n), («!••+« »^^ . . . an-2)
(er,»»«-i...a„), («/♦«... «„-2)
nach sind, wenn eine dieser Determinanten negativ ist, auch alle vor-
horgchondon , soweit sie dieser Reihe angehören, negativ; und wenn
eine derselben positiv ist, sind alle folgenden, die dieser Reihe an-
gehören, positiv. Aus Beidem ergibt sich, dass, wenn der reeUe Teil
der complexen Wurzeln positiv ist, die Fehler bei der Berechnung
von /?r' reihenweise positiv und negativ sind. Doch könnte nach dem
lUiherigcn eine solche Reihe sich auf ein einziges Glied reduciren;
dass dies nicht der Fall ist, zeigt die folgende Untersuchung.

Nach §. 3. ist in diesem Fall immer

(«/-i ... an)(a^' ...an)> (a,*'-^ ... cr„)(a/+i ... a«)

demnach, wenn (fi»-2 ... «„) und (a,»—^ ...««) negativ, («/... «m)
and («/***' ...«») positiv sind, ist

dfr JJar Stellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

167

Ist also

80 ist um so mehr

and wenn

ist am 80 mehr

(«1-

'"^ ... «

(«,'-'

. .. «w)

1

(«1-2

... an)

(«1-^+'

. . . «»)

(«,' .

.. «n)

(«/+1
(«l' .

. .. «n)

(«,'-1

... tf»)

> a»i~2,

> «H-a,

< ««-2,

(«1*^-2 ... «r)

< «»-2,

mit andern Worten: wenn
i8t, ist immer

negativ
positiv, and wenn

(c/-i ... «n), («/ ... «»»-2)

(ofi»" ... a„), («i'^^ ... «H-2)
das letztere negativ ist, ist immer das erstere positiv, es sind also
immer wenigstens zwei aufeinanderfolgende Fehler positiv. Ist aber
(ai»'-2 ... (tn) and («1*""^ ... of«) positiv, («1*^ ... «„) und («/l^^ ... ««)
negativ, so ist immer noch

•

(ffj*— ^ ... ctn) ^ (cf/-^ ... ttw).
(a/-2 ... a^) ^ («j»- ... «„) '

also auch noch, wenn

nm 80 mehr

and wenn

(«,•■-»

... €iy/^

(«,••-2

... Ofn)

(«.•^+'

... <>'»»)

(«l-^.

.. ««)

(«/+1

... Off»)

> aH-2,

> crn-2,

am 80 mehr

(aj*' ... Ufn)

(«1^-2 ... „^)

< «H-a,

<C «'n-a.

Dies heisst aber jetzt: wenn

(«1*-! ... flf»), (aj»- ... Of^_2) j

positiv

168 Naegelsbach; Studien zu Färstenau*s Mdhode

ist, 80 ist I ,* V , '., xi negativ, und wenn das

' I (V ••• ^n\ (a/+^ ... ftn-2), ^ '

letztere positiv ist, ist das erstere negativ. Es sind also immer wenig-
stens zwei aufeinanderfolgende Fehler negativ.

Im Ganzen bat sich ergeben, dass, wenn aH-2 positiv ist, die
Fehler der Rr^ bezüglich der Zeichen ganz dieselben Gesetze be-
folgen, wie die («/ ... a,») selbst. Für die Fehler der (2i2co8<;p)r
gilt das Nämliche, nur spielen hier die (ofj''-i ... an) und (ai»*-2 ... an)
die Rolle, welche vorher die («/ ... (Xn) und (ai**—^ ... ««) spielten.

b) Ist «,1-2 negativ, so sieht man aus 3) sofort, dass der Wert
Ä*r-i zu gross ist, wenn r gerade und («i** ... ß«) und (a^-^ ... On)
positiv sind, oder wenn r ungerade und (er/ ... a«) und (a»*-!... ttn)
negativ sind; ebenso dass R'^r-i zu klein ist, wenn r gerade und
{a^ ... ctn) und (w^**""^ ... «»») negativ sind, oder wenn r ungerade,
und («1»* ... oTw) und («i*""^ ... a«) positiv sind.

Daraus ergibt sich nun, dass, wenn der reelle Teil der complexen
Wurzeln positiv ist, die Zeichen der Fehler im Allgemeinen Wechsel
enthalten aber unterbrochen durch einzelne Folgen. Die letzteren
ergeben sich dort, wo die {a^^ ... ««) das Zeichen wechseln. Haben
nämlich (01**^* ... an) verschiedene Zeichen, so ist leicht zu sehen,
dass die Fehler von R\-.2 und Rr^ verschiedene Zeichen haben, also
eine Zeichenfolge entsteht, das Zeichen des Fehlers von -R*r-i mag
ausfallen wie es will. Auch hier ist erst nachzuweisen, dass im Falle
(«i*'-i...aH) = — , («,»•... An) = +? (ai»'+^..o„)=-f, (ax*'+2...o„)«— ,
(ai»'+3 ... «n) = — , nicht R^r^i und R\^\ beide zugleich mit i?r*
zu klein oder zu gross sein können. Der Beweis ist analog wie oben.
Ebenso wenn («i*"-^ ... er«) = + , (cf/ ... «„) = —, (ai*"+i ... an) == — ,
(ai''+2 ... an) = +.

Der Fall, wo der reelle Teil negativ ist, erfordert nähere Unter-
suchung. In §. 3. wurde gefunden, dass, wenn (0^^^^ ... an) und
(oi»*+i ... an) gleiche Zeichen haben, dagegen {a^^ ... a„) das ent-
gegengesetzte, dass dann immer

(g/ ... CCn) (ci*"*^^ ... ctn)

(cfi»— 1 ... an)^ («!*■ ... «„)

Sei nun
K2.-1 . . . cr^ « 4-, (^^28...^,,) «4.^ («i2'+i...an)=-— , ...

oder

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

169

eine Reihe von Divisionscoefficientcn , bei welchen die ausgelassenen
Glieder nur Zeichcnwechsel enthalten, so hat man Ä*2«-i zu gross,
und Ä^-i resp. Rht-2 zu klein. Für dazwischen liegende Näherungs-
werte aber hat man, wenn

immer auch

(«^2«+a ...„„)

(a,28i«-l ...,,^)

<«n-2,

d. h. wenn

I («12* M...«^), K2.M+l...<rH-2)

>o,

ist immer auch

(«l2«+a . .. „„)^ («j2a f af 1 . . . «^.2) 1 ^ ^

oder: wenn J?S«+a zu gross ist, sind auch alle vorhergehenden N&hc-
ningswcrte, die dieser Reihe angehören, zu gross. Umgekehrt aber
ist, wenn

(«l2»fa...«,^)

(«j2a+a-l...cr„)

> «n-2,

immer auch

(«j2»miL_«^

> an-2,

d. h. wenn

(„^28+a-l . . . a^), {a^2s+a . . . „^^2)

<o,

ist immer auch

(«,«•+«+! . . . an), («i2a+a f 2 . . . «„^g)

<o,

oder: wenn i?*2«M-i zu klein ist, sind auch alle folgenden dieser
Reihe angehörigen Näherungswerte zu klein. Das analoge Verhalten
ergibt sich auf demselben Wege auch in den drei noch möglichen
Fäüen, nämlich bei Perioden von Divisionscoefßcienten , welche ent-
weder die Zeichen haben:

(«i2«-i...«^) = -, («i2*...«„) = -, K2«+i...«^)«+, ...
(«i2*-i . . . «^) = +, («,2* ...«„) =^ -|.

oder

152 Naegelsbach: Studien zu FÜrstenau*8 Methode

n)

X

(«/...«fn), («/-«h) ... (of/...««), (ai**'...«H)

(«!•'-»• II... a^), (ai^-^+i . . . «h) . . . («!'-*• *^^ . . ««), (ai«'-"+i . . . «m)

(ai-*l«-l...an), (ai-^*»-l...CfH)...(ai-«+*-^..cirH), K••-^..crH)
(«i-*+~-2...«^), (a,-fl"-2...an)...(<Vi-«l»-2...crH), K^-^...«^)

(ai-*...an), («i""^... er«) ... («,~<»...a«), («/...«h)

(a/. ..«„), («,«...«„) ... (al^..an), («i*'...crH)
(«l''-^' . . . «n), («!*■'*. ..«n) ... («i""^...««), (ai*^-<'...Cfn)

(a, *'-*...««), («,«-*... ffn) ... («/-*...«»), (ai*^"*...«n)

Diese Formeln sind sämmtlich Identitäten und bleiben richtig,
auch wenn unter den a gleiche Werte vorkommen. Im Folgenden
denken wir uns durchaus die et ihrer absoluten Grösse nach geordnet,
so dass a^ die kleinste, an die grösste unter den Wurzeln der Glei-
chung /« = 0 bedeutet. Bei complexen Grössen vortritt der Modal
die Stelle des absoluten Wertes.

Zu den Fttrsteiian'schen Resultaten fübrt nun einfach die Unter-
suchung, für welche Worte von x die Entwicklungen a) und d) con-
vergent bleiben. Man tindet sofort, dass für wachsende r das Ver-

hältniss /—*-?" *■"; sich dem Oh nähert, wenn «m ein einzelner ab-

solut grösster Wert ist, und ebenso, dass 7-lv-i ~~\ sich dem

Wert c, nähert unter der entsprechenden Bedingung. Sind aber
on-i urd on absolut gleich, so findet man für jenes Vorhältuiss andere
Ausdrücke, die durch Elimination die übrigen Resultate geben. Ehe
wir darauf im nächsten Paragraphen eingehen, sei noch, um später
Weitläufigkeiten zu vermeiden, bezüglich der Bezeichnung folgendes
festgesetzt. Es ist immer

gx «=• (a;—«i)(ic — «,)...(« — «M-i) = x^-^ + G^x*^^-^ .,, Gn-^i,
hx — (« — «iXar— ffg) ... {x — an-2) « x*''^+IIiX*'-^+ . .. ^'„-2,
i^ «r (« — «,) (x — «^)...(x — c'«-8) = x**-^+Ji x^-* + ,., y^_8,
q^^ (x-^ai)(x—a^).,.(x-a„.4) -= ar"- -»-[- Q,a-»-5-t- ... Q^_^^
k^ « (a: — of2)(ir — 1^3) ... (x - an) =- x*'-^ + KiX*''^+ ... Kn^i^
(, — (aj— a8)(ic-04)...(a: — c/h) « a:»*-2-|.Xi x"-3^., _^^_^^

der Daratellnng der Wurzeln aigebraucher Gleichungen.

153

Die ersten Ableitangen dieser Ausdrücke mögen dann durch einen
Accent bezeichnet werden, so dass man z. 6. hat

/'a^ =» (an — CTj) («n — a,) . . . («H — «n-l) -= ga^.

§. 2.
Ist €tH ein einzelner absolut grösster Wert, so nähert sich mit
wachsendem r (a^^...an) dem Wert —p , denn man hat

(ttl''...ffH)

J(a^...an)

»1 >

...er

H-2

«jHn-l

a,o, a,i ... a,~-2^ a/ < "-l

a^-lO, a^_ii ... «^.iH-2, a„-i*^fH-i

^(«1 . . . On)

r+n-l

r+ii-1

a••^ a«* ... ttn^^^j 1

Hier werden in der letzten Colonne alle Gljeder null für r = ao
mit Ausnhame des untersten, die Determinante reducirt sich auf
^l»i...aN-i), und man hat

(ff/ . . . an) « «H»^^ «-1 . -77

Hieraus folgt, dass für wachset de r immer näher wird ; :7- — t — «h.

[Oj^ * ... «h;

In der Tat, man hat wegen (a/...aH)«-«,t(ffi''""^...cifii) + («i'"...«fn-i)

far jedes ganze r identisch

1)

(ff / . . . «h)

(a/...<y„-i)

(«/~>...<rH)"''*- + (a/--i...a„)

Wenn also der absolut zweitgrösste Wert ffn-i ein einzelner ist, hat
man nach demselben Princip mit wachsendem r immer näher

1')

_Ar4H-2 /'«

'•»-1

172 Naege Isbach: Studien zu Fiirstenau* s Methode

und

(ai2r...„^_2) - ^"-2. Qoa«_2«-4+Q2a„-2'*-6 + ...'

Jo nach dem Zeichen des Bruches werden sich also die Näherungs-
werte im Allgemeinen vorhalten wie im Falle a) oder b). Doch ist
ein Unterschied dabei. Wenn nämlich die Annäherung reihenweise
geschieht und man weiss, dass Ä^2«-i zu gross, Jtht-i zu klein ist,
so kann^ man daraus, dass -R^2s+2a-i zu gross ist, nicht schliesscn,
dass alle vorhergehenden Näherungswerte bis R^28-i zu gross sind,
sondern nur, dass die mit ungeraden Indices zu gross sind. Ebenso
lässt sich, wenn i2*2sf2a-i zu klein ist, nur schliessen, dass alle fol-
genden Näherungswerte mit ungeraden Indices bis R^t-i zu klein
sind, und analog für /2^2«f2a. Es können also dann zwischen ü?^2«-i
und Rht—i statt eines Zeichenwechsels mehrere, oder auch nur
Zeichenwechsel eintreten. Doch soll hierauf nicht weiter eingegangen
werden, und ich wende mich zum Fall

d) wenn an -2 und an-z ebenfalls ein Paar absolut grösster com-
plexer Wurzeln sind. Es sei dann wieder an-2 = A''(cos'p' + /8in(p')?
und aw-3 == Ä'(cos(p' — isiutp'). Hier lässt sich ein festes Gesetz
nicht aufstellen. Man erkennt wohl , dass , wenn cos 9 == + und
co8<p' = — ist, die Annäherung im Ganzen abwechslungsweise ge-
schieht, und einzelne Zeichenfolgen eintreten, wenn t bei den (aj^...an)
ein Zeichenwechsel, oder befden (a^^...a„-.2) eine Zeichenfolge ein-
tritt. Wenn aber ein Zeichen Wechsel der («j» . ..«»,) mit einer Zeichen-
folge der (cfi** . . . «„-2) zusammentrifft, folgen zwei Zeichenfolgen auf-
einander, und der Fall kann sich so compliciren, dass eine ganze
Reihe von Fehlern gleiche Zeichen haben und mithin der Charakter
der Annäherung ganz verwischt ist. Dasselbe Verhältniss findet statt,
wenn cos<;p = — und cosq)' = -{- ist. Haben coscp und cosg)' gleiche
Stichen, so findet im Ganzen die Annäherung reihenweise statt, es
können aber auch ganze Reihen von Zeichenwechseln eintreten.

e) Wenn cf«-2 und a„-.s ein Paar rein imaginäre Werte sind,
so findet sich, dass im Ganzen Zeichenwechsel und Zeichenfolgen ab-
wechseln. Wenn jedoch für die Zeichen der (a^»^...««) ein Ueber-
gang statt findet, kann eme Reihe von Folgen oder eine Reihe von
Wechseln entstehen.

5) Der letzte mögliche Fall ist der, dass an und or«— 1 ein Paar
coi^'ugirte rein imaginäre Werte sind. Ich untersuche hier nur die
Art der Annäherung, die bei Anwendung der Formel 5) statt findet.

a) Ist an-2 positiv, so sind abwechselnd zwei Näherungswerte
zu gross und zwei zu klein.

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, 173

b) Ist rrK-2 negativ, so ist dasselbe der Fall. Der Unterschied
ist der, dass wenn (ffj*'-2... a^) und (a/-i...or„) gleiche Zeichen haben,
ihnen in a) zwei zu grosse Werte entsprochen, in b) dagegen ein zu
grosser und ein zu kleiner. In beiden Fällen ist der Fehler für
R^T^2 kleiner als für R\.

c) Ist «w-a = — cfn-2, so verhalten sich die Näherungswerte wie
in a) oder b).

d) Ist aw-2 = i2'(coS(p'+*8i"<P') und f<'w-8 = -R'(cosg?' — /sincp'),
so bilden im Allgemeinen die Vorzeichen der Fehler abwechselnd
Folgen und Wechsel, bei den Uebergangsstellen der («/... an-2) aber
können drei oder mehr Folgen oder Wechsel aufeinander folgen.
Die Annäherung findet nur im Ganzen statt.

e) Sind endlich «n-2 und cth-s ebenfalls ein Paar rein imaginäre
Werte, so können die Näherungswerte entweder alle zu gross, oder
alle zu klein sein, oder sie können auch abwechselnd zu gross oder
zu klein sein. Der Fehler bei 72^^+2 ist kleiner als bei R\.

§. 5.

Das Resultat des vorigen Paragraphen ist nun das Folgende:

Die Näherungswerte sind immer zu gross im Falle l)a; und
unter Umstünden auch in den Fällen l)c, 2)c, 3) und 5)e.

Die Näherungswerte sind immer zu klein im Falle 2)b, und
unter Umständen auch in den Fällen l)c, 2)c, 3) und 5)e.

Die Näherungswerte sind abwechselnd zu gross und zu klein in
den Fällen l)b und 2)a, und unter Umständen auch in den Fällen
l)c, 2)c, 3) und 5)e.

Von den Näherungsweiten sind abwechselnd zwei zu gross und
zwei zu klein in den Fällen l)e, 2)e, 5)a, 5)b, 5)c, unter Umständen
auch in 3).

In all diesen Fällen kann man also, wenn einmal genug Nähe-
rungswerte berechnet sind, um auch auf die Natur der zweitgrössten
Wurzeln schliessen zu können, für jeden späteren Näherungswert
a priori mit Sicherheit wissen, ob er zu gross oder zu klein ausfällt.

Wenn sich die Näherungswerte den wahren Werten reihenweise
oder auf und abspringend nähern, so kommt es darauf an, ob dies
Verhalten von den grössten oder von den zweitgrössten Wurzeln her-
rührt. Im ersten Fall, also bei 4)a, 4)b, 4)c und 4)e lässt sich für
einen Teil der Werte auch a priori bestimmen, ob sie zu groF

*
«

174 Naegeläbach: Studien xu P&rsUnau^» Metftode

za klein aits&llen. Im zweiten FaU dagegen, also bei l)d, 2)d, 4}d,
5)d, nnd u. A. bei 3) kann man nor a poBteriori schliessen, ob die
einzelnen Werte za gross oder zn klein sind.

Die Annäherung kann rasch, kann aber auch sehr langsam er-
folgen, wenn die absolut grössteu Wurzeln nicht viel differiren. Eine
raschere Annäherung lässt sich erzielen, wenn man Correcturen an-
bringt, die sich aus der in jedem Fall bekannten Form der Fehler
ergeben. Dies soll, wie schon gesagt, Gegenstand einer weiteren Ab-
handlung sein, und sei hier einstweilen nur soviel bemerkt, dass sich
dabei auch in den Fällen, wo die erste Annäherung nur einseitig ge-
schieht, abwechselnd zu grosse und zu kleine Näherungswerte ergeben.

§. 6.

Um die kleinste, resp. die zwei kleinsten Wurzeln zu finden,
erhält man die Formeln auf dem nämlichen Wege aus der Entwicklung

von y nach steigenden Potenzen von x. Ich stelle sie hier kurz zn-

sammen und immer gleich neben den genauen Wert den Wert, welchem
sich der Ausdruck fttr grosse r nähert Man hat also:

K a»

oder »V+C-D-^f^r""""'^^.

je nachdem r gerade oder ungerade.

^^^ »«■»WM \"i ..»»^w/ c=s ff « 4- V"l "'»»w/} v^a —^n/

(ai-»^2...«„), (ai-«'-i...an); :(ai-»-2...ofn), («i-»-!...««)

«jX -»"^ «-3 /a^ la^ RA-r^ 1 — «j A^r

«•+(?)

Z'a.Sing) u4«_r + JB«-r

4«)

(«i"»— »...DTh), (Clf3-»"f ^...tt«)

(«,-»^-2 .,^^)^ (cj-»*...««)

(«,-''-^..IY«), (Clfi-»'...tf„)

(«^-»^-2...«»), (cfi-^-^..«;)

= 2ÄC0S 9+ [^) jr^~ . ^(^2_^ + ^i^^, •

lirr Dantelhng der WutuIh algtiraiirker GlnrJiangtn, \75

(«.—"...»„) - •> + (IT, —»...«„)- ^^+1,«^ *ra.4-r-.

AuB dioscu Formeln dqh kann mau auf die Vorzeichen der
(«1^'... itn) und anf die Art der AnnäheniDg schliessen wie im vorigen
Fall. Mao erh&lt die nämlichf^n Resultate mit einer eiosigen Ans-

£, -r+--l

nähme. Es ist nämlich wieder (a^"...o„) = -^ fOr r = oo.

Diesmal ist aber das Vorzeichen von /"., abhängig nicht nur von «„
flondern auch von Avn Übrigen Wurzeln, und kann sowohl positiv als
negativ sein. Deswegen sind, wenn n, positiv ist, die («,'"'...aR)
entweder allp posisiv, oder auch alle negativ. Ebenso sind, wenn a,
negativ ist, die («,-■''...0.) abwechselnd positiv nnd negativ, nuui
kaun aber nicht behaupten, dass sie fOr gerade r positiv nnd fOr
ungerade negativ sind, es k&uu auch umgekehrt der Fall sein. In-
wiefern sich hierdurch die Gesetze der Annäherung modificiren, ist
leicht zu flbersehen.

S. 7.

Anf dem nämlichen Wege erhält man nnn auch sehr einfoch die
Coefficieuten der Gleichung, deren Wurzeln die 1 grössten oder die
u — 1 kleinsten Wurzeln der gegebenen Gleichung sind, voransgesetzt,
dass die darauf folgenden Wurzeln kleiner, resp. grosser sind. Ans
der Gleichung g) nämlich folgt

{0/+-'...«,)= C («/+-»...M- C* («/+-»...«.)+...

"— .fi""» -»-(fr-"»

... (-X)'-l C («/-' ... «,.) +(<l/+*-l ... Bn-*).

Mittels dieser Gleichung erliält man wie oben, indem man in der
letzten Oolonne für jedes Glied den ihm entsprechenden Wert einsetzt,

j{V...a-), («.Hl...„„)...{B,r+,

+

176

Naegehbach: Studien zu Furstenau-s Methode

(ofj'^-^ ... an) ... («/ M-1 ... a^, (tt^r^k \ 1 ^ „^) ,, (aj»+«-i _ „u)

6*) —

(ai*-i...of„), (a/...a„) ... (ai»+«-2...f „)

(«1»— l..an), («1**..««)

(ai'-+-2.a„)

zuletzt für ifc == «— 2

6«»)

(cfi»-i...a,.), (cir/. ..«„)...(«/+»-«. ..«„), (a/+'-i...a«)

(ai*—^ ... «m), (cfj»'...«M) ...

(«/+*-2...««)

a . 1 , ••• ff

(a,»-i. ..«»), (cf,*'...üf«) ... («1» **-2...o„)

C» +

Ebenso erhält man mit Hülfe der Gleichung g)

(«,-»• f»»--^.a„)= C^ («i-»'+"--2..<^„)— C^ («!-♦•+«— -3..«^) -f.

««•••««-1

...4.(_i).i-.-i c«- • K-'-^.«H)+(«n-.-n-»+»' '-1..«^.,).

«I-«H-.

7)

(al-^..ftH), («1-»+^..««) ... (a,-*-+"-'-^..«H)!

= C'»*-» +

(«j- •• .. Oh), («1-*^+^ .. ««)... (crj-» +"-»-2 .. «^)^ (^^_ . ^j-r f »i-i-l .. «^)f

(«j-*^-*..«,,), («,-»*..««)...

(a,-^+H— 2..«^)

der Darstellung der Wurxeln algebraischer Gleichungen.

177

7»)

(a^-r^Kan) ... (ai-'^+»-i..a„), (cf,-'+*+i..a„) ... («i~'^+*»-^-^.er«)

(öi~*'""^..a«), (aj-^..««) . . .

(«j-r+H-f-2..c„)

(Cfl ... «h) ... (Cfi ... On)i («1 ... a«) ... («1 ... Ow), («n— i-l-l ... ««)

^H-.-*-l _|-

n— I

— r— 1 — r

(«1 ...ttn), («1 ...ffw) . . .

(«1 ... an)

zuletzt für k = n — i — 2

(ai-*^-!. ..««)... (ai-^+"—-»...<Yn), (ai~'^^"-'-^..aM)

7b)

(cTi-*""^...«»!), (ai-''...«n) ... (ai-'^+»»~*"2...of„)

(«1-*-^..««) ... («,--+»»-*-8. ..««), (««— +1-*'+»-'-^..«^)

C^ +

«i - «^,-

(aj-»'-i...an), (ai'"'^...aH) ...

(«j-r^n— 2.. „„)

Bei all diesen Formeln wird der Fehler im Allgemeinen kleiner
mit wachsendem r, nnd verschwindet ganz für unendlich grosse r,
wenn dem absoluten Wert nach otn-i << tfn-i+i. Dies lässt sich
allerdings aus der Form, in welcher die Fehler hier erscheinen, nicht
ohne Weiteres erkennen, allein es lassen sich die Ausdrücke so um-
formen, dass das Gesetz zu Tage tritt Ein ähnliches Verfahren als
das, welches zur Gleichung k) führt, gibt nämlich identisch für den
Fehler in der Gleichung 6»)

(a/+^-2..„^)

TftU LEL

12

178 Na eg eis back: Studien zu F&rstenau*s Methode

;(ai''-^..aw_,cf«-»4.i) ... (aj*'+*-*...an-,«»-, 1 1), («/ «*+!...«„_, cr«-,-4.i) ...
(«/""^...«M-i «!•-#+ 2) ... (a,»^^*-^...«,»-, «„«,^-2), (»i'^^ * > i...üf«-, a„-,f 2) ...

(gi''~^..aw--t ein) _.^ai»'<*-i...aw-«cfn), (a/4 *-l-i...g^_,- g^)

'(«/"^...«H-tCfM-i^i), (a/...a«_,f;„_,-^i) . . .

• •

wobei die Ausdrücke in der letzten Colonne des Zählers dieselbe Be-
dentang haben wie in der Abhandlung über die BemouUi'schen Zahlen,
Jahrgang 19. der Zeitschrift für Math. n. Phys. p. 220, nämlich

Cr2 („jr+,-8...„^^,)-(....+ (_l).-l C-l (V-.-H-)
w— »-|-2 N «— lf2 H

U. 8. W.

Hieraus erhält man dann z. B., wenn unter den Werten «, ...«n^i
der letzte ein einzelner absolut grösster ist, und sie alle absolut kleiner
als die Werte ««-i+i ... «n sind, wenn ferner r so gross ist, dass man
statt der Divisionscoefficienlen die Ausdrücke setzen kann, denen sie
sich nähern, und wenn endlich zur Abktlrzung {x — «i)...(a- — «h— i)«^
und (x — «„—.-f-i) ... (ar — ffH)=*x gesetzt wird, für den Ausdruck des
Fehlers

\««-f+2/

t a„ ,( x**»»— 1-1-1/ * «^ .•! ff«-i — «n-i-|-l a .,ft."0

I \ n-.,-^2 1 c^,-i-2

Für 1 = 1, ÄJ=— 1 giebt dies wieder die 1*); für « = 2, ä;« — 1
und an =» Ä(co8g?+*8i'*9)5 *'»»-i = Ä(cos^ — tsincp) gibt es die 3*).
Es reducirt sich nämlich der Fehler auf

/«w~2\

V Ä )

V äür;. \ ^- -2 [Ä sin (H-n— 1)9 — «n-2 sin (r+n— 2)9>]

— -4„-2 [ä cos (r-f-n— 1)9> — «11-2 COS (r-|-w— 2)g)] } .

der Dcurstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

179

... (cf/ » •-2... a„_,a»), (cifi'^+«-i ... a„-^ : «n-if 1 ... «n-i)

(a/ » «-2... dn-^f^n-i^l)
(«^^+•-2 ^^ ff^__^. o„.,^2)

(«l»'+»-2 a,^,.«^)

In analoger Weise lassen sich die übrigen Ausdrücke der Fehler
umformen, welche in diesem Paragraphen enthalten sind.

Noch sei bemerkt, dass es nicht nötig ist, besonders zn nnter-
snehen, ob aw-, <^ ««_,>!. £s ergibt sich dies von selbst daraus,
dass die Verhältnisse sich bestimmten Grenzen nähern oder nicht.
Femer, dass die Identitäten ungestört bleiben, wenn auch unter den
übrigen Wurzeln gleiche vorhanden sind. Endlich, dass sich, wie
Fürstenau bemerkt hat, die Determinanten iten Grades zurückführen
lassen auf Determinanten 2ten Grades, deren Elemente selbst Deter-
minanten vom i — Iten Grad sind, indem man die Sätze von Deter-
minanten adjungirter Systeme anwendet.

§. 8.

Es ist nicht notwendig, dass man beide Reihen der Divisions^
coefficienten entwickelt, denn jede der obigen Determinanten, welche
die eine Art der Coefficienten enthält, lässt sich auch darstellen als
eine Determinante, welche die andere Art enthält. Es lässt sich
nämlich jede durch Rändern so auf den nten Grad bringen, dass sie
den gemeinsamen Charakter nicht verliert und nur aussen durch eine
Potenz von (ff,®...«n) oder («j-« . . . «^) multiplicirt ist Die Gleichung
1) liefert dann die gesuchte Transformation.

Es sollen hier nur die wichtigen Fälle, wo n — t =» 2, und wo
» =» 2 ist, durchgeführt werden. Da sich im Folgenden die Divisions-
coefficienten immer auf die sämmtlichen a beziehen, mag zur Ab-
kürzung statt (V- ••*»•) W geschrieben werden. Es ist

(— n)»-2

(-«+2), (-W-3) ... (■
(-n+l), (-n+2) ... (.

(-n), (-n+1) ... (■

•1)
2)

3)

-n+2), (-2n+3), (— 2n+4) ... (-w)

180

Vo

tgthbach; Sludit« » /SrttenaK'f if<(W<

(0), (1), (r-n+2), (r-n+3) ... (r-1)
(-1), (0), (r-«+l), (r-»+2) ... (r-2)

(-")-'

(-

(-

-2), (-1), (r-n), (r— »+1) ... (r-

-3)

-.+1), (-.+2), (.^2.+3), (r-2,-H) ... (r

-»)

-n), (r-«+l) ... (.— 3)1

-2^+3), (r-2»-H) ... (r-n)!

Qutz ebenBO ergibt sich auch

C^_l,,(_„ j (,....,.,-.-.('-"+1), (-»+« ...(-2)

(-r-2), (-r-l)l (-„)-! ,^_2,^)(^_2,^, ,,_„_,,„

ind

(_,_!), (-r+l)j

(-r-2), (-rt i

(.,...«.)-'-'

(1), (r-.+2), (r-n+3) ... (.—I)
(0), (r-«+l), (r-»f2) ... (r-2)

' '

(-.+3), (i-2n-H), (r-2M-5) ... (r— +1)

Sonach üt

8)

(-r), (-r+

(-r-1), (-r)

(r-,), (r-.+l) ... (r-3)

1 (r-2»+3), (r-2,-|-4) ... (r-.,)

(_,-!),, _,) 1 > " -|(,_^i,, (,^-„+2) ...(,— 2) 1
(-■-2), (-r-1)

|(r-2n-H), (r-2n4-S) ... (r-^-l)!

'(-r-l), (-r+l)
1^— r— 91 l—r)

(r-n+1) .

. (r-3), (r-1)
. (r-4), (r-2)

(r-2n-H) .

. (r-.), (r-,+2)

(r-«+l) .

. (r-3), (r-2)

(r-2n-H) .

. (r-n), (r-.+l)

ehalten gebt hervor, dass die Näherungswerte fOr
e 7) ergibt, der Reibe nach die n&mlichcn sind als
erhalte, wenn ich das Prodnct der Wurzeln durch
ftberangswerte für a,...«)) dtvidire, welche die 6) er-
lie N&beningswerte fär "i + oj, welche die 7'') ergibt,
die nSmlicben sind als die, welche ich erhalte, wenn

der Darstellung der Wurzeln algebrcuscher Gleichungen,

181

ich von der Summe der Wurzeln die Reihe der Näherungswerte für
a,-f-«4..--f~*'M abziehe, welche die 6^) ergibt Zusammengehörend
aber sind nicht zwei Werte, die demselben r entsprechen, sondern
zwei Werte, die zwei aufeinanderfolgenden r entsprechen.

Ganz ähnlich ist nun weiter für t — 2

|(r), (r+1)
:(r-l), (r)

(0),
(-1),

(1)
(0)

... (n-3), (r-fn-2), (r+^-l)
... (n— 4), (r-l-n-3), (r-\-n-2)

(-»+2), (-n+S) ... (-2), (r-1), ft;)

C«, ...«'»)■■+»(-»)»

(-r-n), (-r-n-fl) ... (-t— 3)

(_^_2„+3), (_r_2n-H) ... (-r-n)

Ebenso

i(r-l), (r)
!(r-2), (r-1)

-(«1 ...«»)'-»+»(-»)»

(-r-n+1), (-r-«+2) ... (
(_^2n44), (-r-2n-f5) ... (-

—2)

und bei Yersetzang der letzten Colonne an den Anfang

t

■1), (r+l)\
-2), (r)

= (-1)»-» («1 ...«„)'+»-» (-n) X

(1), (-r- n4-2), (-r-n+3)

(0), (-r-n+1), (-r-n4-2)

... (■
... (■

■1)
■2)

(-n-l-3), (-r-2«-|-4), (-r-2nf5) ... (-r-«+l)

Demnach ist

9)

(r), (H-l)
(r-1), (r)

iC»— 1), (r)
|(r-2), (r-1)

(-i)-c-

(— f— n), (-r— n+1) ... (-

■3)

und

S")

(r-1), (r+1)
(r-2), (r)

(r-1), (r)
(r-2), (r-1)

(D-

(-r-H-1) ... (-r-3), (-r^l)

(_r-«+l) ... (-r-3), (-r-2)

Aus diesen Gleichungen lassen sich analoge Schlttsse ziehen wie ans
8) und 8*).

182

Naegelsbach: Studien zu F^rstenau*8 Methode

§. 9.

Die Resultate des §. 7. erlauben nun auch, wie Fürstenau in
seiner ersten Abhandlung gezeigt hat, Ausdrücke aufzustellen, die
gegen einen der mittleren Wurzelwerte convergiren, oder gegen Summe
und Product von einem Paar solcher Wurzolwerte, vorausgesetzt, dass
alle übrigen absolut grösser oder kleiner sind. Von praktischem Wert
dürfte nur der erste Fall sein, und für diesen will ich nur die For-
meln hier aufstellen.

Es sei also absolut genommen «»-i-i <C. ««-t <1 «h-i+i, so gibt
die 6»>)

10)

(«/-!. ..«r„), (a/...€tH) ...(«i»^+'-2...«^), («/+••••««)

(«j»-l...cf^), («/...«h) ... (a/+'~^..«H)

•

-1

•
1 •

• •

• • •
1 •

•

r+i— 3

•
• • •

• •

• • •

-1

•

...«n)
•

• 4

» • • •

(«1-

• •

. .a„)

•

(«

• • ■

• •

• • •

•

• •

ctn-i+Rest,

wo der Rest mit wachsendem r immer kleiner wird. Ebenso gibt
aber die 6)

10»)

(«j»"...««), (V*"^— «»») ... (V^*-'»h)

• •

• • •

• • •

On)

• •

•

• • •

•

• • •

-2

t • •

*

1 •

• •

• • •

(«,r+l

• • •

...«1

• •

•

•

• • •

-1

• • •

•

«n)

= 0H— «-{-Rest.

Die linke Seite der 10^) lässt sich mittels der Gleichungen n) und 1)
auch noch verwandeln in das Verhältniss zweier Determinanten vom
nten Grad mit Divisionscoefficienten als Elementen. Eine Erleich-
**'nng der Rechnung gewährt dies nicht, ist aber immerhin interessant
T, um auch diese Formel noch anzugeben. Man findet

der LkursUäuitg der Wurzeln algebraischer Gleuhunyen.

183

lO»»)
(-2),

(0) .. (»-.-3),

(-1) .. (n-.-4),

(r-t-7i— .— 2) ..(r-fn— 2)
(r4-»— t— 3) ..(H-n— 3)

<(-0, (-.4-1) ..(n-2.-2), (r-f,._2,-l)..(r-|-n-f— 1)

'(-r-0, (-t—i+l) .. (-H-n-2.--2), (n— 2i-l) .. (n-<— 1)

l(_^_„-)-l), (-_r_„+2) .. (-r-,--l), (-0

..(0)

|(0),
(-1),

(1)
(0)

.. (n-.-2),
.. (n — »■ — 3),

(r+n-
(r-fn-

.—2) ..(H-n-2)
•i — 3) ..(r-|-n— 3)

(-i+1), (-i+2) ..(»-2.-1), (r+n-'2i-l)..(r-\-n—i-l)

(—r-0, (— r— .-fl) .. (-r-l-n— 2e-2), (n-2.-2) .. (n—i-2)

(_r_„-|-l), (_,_„+2) .. (-r-.-l), (-.-1) .. (-1)

= «h,_, -j- Rest.
Man hat also x. 6. für die dritte Wurzel einer Gleichong 5ten Grades

(-1), (0), (H-1), ('•+2), (H-3)

(-2), (-1), (r), (r-fl), (r+2)
(-r-2), (-r-1), (0), (1), (2)
'(-r-3), (-r-2), (-1), (0), (1)
(-r-4), (-r-3), (-2), (-1), (0) I

P), (1), (H-1), (H-2), (H-3)

-1), (0), (r), (H-1), (H-2)

—2), (-r-1), (-1), (0), (1)
•3), (-r-2), (-2), (-1), (0)
:-»— 4), (-r-3), (-3), (-2), (-1)

wobei noch die Gleichung 1) erlaubt, alle Exponenten der Divisions-
coefficienten um gleich viel zu erhöhen oder zu erniedrigen, oder
auch im Zähler und Nenner um verschiedene Grössen, wenn mit der
entsprechenden Potenz von C« multiplicirt wird.

= o,+Rest,

§. 10.

Um die gefundenen Ausdrucke auf die Form zu bringen, von
welcher FOrstenau ausgegangen ist, wende ich die Gleichung m) an.
Ich erhalte aus ihr für «=0, »=1, < = 2, ... » = n— 2, M>=r-t-n — 1

(«/... «h) = (— l)»*

0, Cq ... Cr— 2

0, 0 ... c,

184

A*«^y€/f ^flcir Sfmdtem am Fm

fkrg-^O, « — 1,<»2,

= • — 3, r = r^-« — 2, fr =r-|-« — 1

C^ Cj — Cr + l

0, 0 -Q

für 4 — 0, «■"!, ««=2,... •=»■ — 3, r = r+» — 3, «e-=r-|-» — 1

Ci, (^ Q _ G+1

^ <^ £^ Ci — <i

0, 0, 0 -. c.

I

ftr q-

— r, #«» — Ä+lt '=• — »+2,... «= — 3, r= — 2, w-

C» — If C» ... Cr'-t

— 1

10,

... Cm^l

ftr g= — r, #=— r+1, «= —

«+2,... »=—3, r=— 2, w=— 1

_. ^-r+»-2 l^-«i G»-2 ... CV-4 I

I 0, 0 ... Gi-a ;
ftr 5=— r— 1, j— r-j-l, «=— n-|-2,... u— 3, r=— 2, «?—— -1

(«r"'"««)* («1-'^+^.«»);

(«i"^-'^"«»), K'-*' -..«»)

— c«-^+«^

Cw — 3) Cii— 1 ... tor^S) Cr— 1

Cn—Zj CW— 2 ... Cr— 4, G-— 9

0, 0 ... G— 2, c;

0, 0 ... CW-3, Oi-i

Diese die C enthaltenden Determinanten geben, abgesehen von
Tertanschnngen in den Zeilen und Reihen, in die Gleichungen 1) bis
5) eingesetzt, die von Fürstenan zuerst g^^benen Formeln.

f. 11.

Es mögen nun noch an wenigen Beispielen die Resultate des §. 4.
gezeigt werden, und zwar sollen solche gewählt werden, bei welchen
sich das Gesetz der Annäherung bald erkennen lässt. Wie man bei
langsamer Annäherung durch Yertauschung der Yariabehi eine raschere

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

185

Convergenz erzielen kann, ist von Fürstenau selbst gezeigt worden.
Die Berechnung der Divisionscoefficienten geschieht entweder durch
einfache Division, oder bequemer mittels der Gleichung f).

Ites Beispiel: a;'~7a;+7 =0.

(0) «1

(—3) =-7-i

(1) -0

(—4) —7. (-3). 7-1 7-1

(2) -.7.(0) = 7.1

(—5) —7. (-4). 7-1=— 7-1

(3) =7.((1)~(0))«

— 7.1

(-6) =(7.(-5)-(-3)).7-i^ 6.7-2

(4) =7.((2)~(1)) =

= 7«.l

(-7) =(7.(-6)-(-4)).7 1^ 5.7-2

(5) =7.((3)-(2))=

: — 7«.2

(-8) =(7.(-7)-(-5)).7-i=: 4.7-2

(6) «7». 8

(—9) =-22.7-«

(7) - — 78.3

(—10) = — 17.7-3

(8) — 7M0

(—11) 13.7-3

(9) = — 73.29

(—12) = — 69.7-*

(10) — 7*. 13

(—13) 52.7-4

(11)«— 7*. 39

(—14)^ 39.7-4

(12) «7*. 120

(-15) 204.7-6

(13)^ 7». 52

(—16)=— 152.7-5

(14) = 7M59

(—17) = — 113.7-5

(15)^ 7^484

(—18)^ 587. 7-0

(16) —7«. 211

( 19)=-— 435.7-«

(17)«— 7«. 643

(—20) = -322.7-«

(18) - 7«. 1961

(-21) = -1667.7-7

(19)=— 7^.854

(—22) 1232.7-7

(20) = 77. 2604

(—23) = — 910.7-7

Ans der ersten Reihe sieht man, dass «j negativ ist, ans der
zweiten dass «j positiv ist Man bildet nun die Reihe der Näherangs-
werte fOr <<3 nnd erhält:

(3)
(2)
(4)
(3)

(1) _
(4)

(!)
(5)

= — 2

(+)

(-)

(+)

(-)

(7)
(6)

21
8

(8)
(7)

10
3

(9)

(8)

=

29
10

(10)
(9)

-

91
29

= --«=-2,625 (+)

'""" n ' — ' ~~* ö^ööö ... \"~~)

2,9 (+)

W- -55 = -3,137... (-^

184

Naegelsback: Stutiien zu Furslvutu's Methode

fftrg^O, f — 1, « = 2,... tt = ii — 3, ü = r4-n — 2, to «r+ii— 1

Cfj O^ ... w+i
Oj) C/j ... C/f*

0, 0 ... Q

für g=-0, f -=»1, < = 2, ... u«n — 3, r = r+H— 3, w — r-(-» — 1

^1? ^» ^A ••• ^»"+1

0, 0, 0 ... c^

wegen

— r, ««= — *»"hli '■= — n4-2,... tt= — 3, t?= — 2, w

— 1

(a,-r...«^)=(_CH)--+..-l

v^— 1» CW ... Cr— 2
(5»_2, G»-l ... Gw»

0, 0 ... C^i

für ^=— r, «=s— r+1, <=— n+2, ... u= — 3, » — — 2, «?=— 1

(tf,-^..l^,), («,-^+^..«h)

= Cm-'^+»^2

G»— 2> Cii— 1 ... Cr— 3
Cm— 9) Cm— 2 ... Cr— 4

0, 0 ... 0,-2

für 5= — f—l, *=« — H-1, <= — n-|-2,... u-=— 3, r=— 2, w— — 1

— — C«-»'+«^

Cm-2, C||-1 ... Cr-3, Cr-1

Cn— 8j CW— 2 ... Cr— 4> G-— 2

0, 0 ... Ch-2, Cn

0, 0 ... O»-«, Cm-1

Diese die C enthaltenden Determinanten geben, abgesehen von
Tertanschnngen in den Zeilen nnd Reihen, in die Gleichungen 1) bis
5) eingesetzt, die von Fürstenan zuerst gegebenen Formehi.

§. 11.

Es mögen nnn noch an wenigen Beispielen die Resultate des §. 4.
gezeigt werden, und zwar sollen solche gewählt werden, bei welchen
sich das Gesetz der Annäherung bald erkennen lässt. Wie man bei
langsamer Annäherung durch Yertauschung der Yariabeln eine raschere

der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

185

Convergenz erzielen kann, ist von Fttrstenau selbst gezeigt worden.
Die Berechnung der Divisionscoefficienten geschieht entweder durch
einfache Division, oder bequemer mittels der Gleichung £)•

Ites Beispiel: x« — 7a;+7 -» 0.

(0)=1

[—3) =-7-1

(l)-0

[—4) =7. (-3). 7-1^ 7-1

(2) -=.7.(0)-=7.1

[—5) —7. (—4). 7-1— 7-1

(3)-7.((l)-(0))-

— 7.1 (

[-6) =(7.(— 5)-(-3)).7-i=-6.7-2

(4)=7.((2)-(l))-

7».l

(—7) =(7.(— 6)— (— 4)).7-i^ 5.7-2

(5)=7.((3)-(2))=

—7». 2

(—8) -(7. (-7)— (-5)). 7-1^ 4.7-2

(6) = 7». 8

(—9) = 22.7-«

(7) -—7». 3

(—10)^ 17. 7-»

(8) -7M0

(—11) „—13.7-3

(9) =. — 7». 29

(—12) = — 69 . 7-*

(10) — 7*. 13

(—13)^ 52.7-*

(11) 7*. 39

(—14)«— 39.7-*

(12) -7*. 120

(-15) 204.7-5

(13) 7». 52

(—16)^ 152. 7-5

(14)=-.7M59

(—17)« — 113.7-5

(15) 7^484

(—18)^ 587.7-«

(16)— 7«. 211

(—19) 435.7-»

(17) 7«. 643

(—20) 322.7-«

(18) - 7«. 1961

(-21) 1667.7-7

(19) —7^.854

(—22) 1232. 7-'

(20) — 7^.2604

(—23)== — 910.7-7

Aas der ersten Reihe siebt man, dass «s negativ ist, ans der
zweiten dass «i positiv ist Man bildet nnn die Reibe der Näbemngs-
werte für o, nnd erhält:

— 1

(J)
(2)

(1) 7

(3)

<^=-2
(4)

m 4

(ö)

(+)

(-)

(+)
(-)

(T) =-"8 --2.625

(7)

(?)

(8)

(10)
'(9)

= "^~ ~^ "^ ""^ ö^ööö ...
5

29
10

91

2,9

— 29 '^ — 3,137 ...

(+)
(-)
(+)

(-)

186

Naegthbachx Studien zu Fursteitaü's Methode

(11)

39

(10) ~

13

(12)
(11)^

120
39

(13)

364

(12)

120

(14)

159

(13)

52

(15)
(14)

484
159

(+)

— 3,076 ... (— )

= - 715; = - 3'033 ... (+)

= — To 3,057 ... (-)

-T ?^ = - 3,044 ...(+)

(16)
(16)

(VI)
(16)

(18)
(17)

(Ü)

(18)

(20)
(19)

1477
484

643
211

1961

= — 3,051 ... (— )
= — 3,0473 ... (+)

= - -?Tö- = - 3,0497 ... (-)

643

5978
1961

2604
854

—3,04844 ...(+)
—3,04918 ...(—)

Die Werte uftbern sich dem wahren Wert abwechsclud von oben
und unten, wie die daneben geschriebenen Vorzeichen der Fehler er-
kennen lassen. Der wahre Wert liegt also zwischen den beiden letz-
ten. Zugleich erkennt man, das «^ positiv sein muss. £8 wäre frei-
lich noch immer möglich, dass es auch einen imaginären Teil besässe,
der aber jedenfals so klein ist, dass er bei dieser Annäherung noch
keinen Einflnss ttbt

Bilden wir nun ebenso die Näherungswerte fttr «,. Es ergibt sich

-3)

-4)
-4)

-5)
-5)

-6)
-6)

-7)
-7)

-8)

-?)
-9)

-9)

^ = 1,166 ...

6
5

5
4

28
22

= 1 -1,2

1,25

1,27 ...

22

—10) 17

—11) 13 ^'^ • •
~^" ^^ = 1,31...

-12)
-12)

69

69_

fco — IjVJj ...

—13) - 52
Hier erkennt man sofort,

—13) 52

—14) '" 39
—14) 273

X^ööö ...

2()j i,ut>ö ...

^ -1342

—16) ~ 152 ~ '-''^^ -

—16) 152

-16)
-15)

-17)
-17)

113

1,346 ...

-^-^ =1347
-18) - 587 ^''**' -

—18) 587
'436

436
'322

-19)
-19)

1,349 ...

x^öOK/u ...

-20)

Z:20)_2254_

—21) 1667 ~ ' •■■

-21)

_16!Z_13530
—22) — 1232 "~ ^'^^'^ "•

—22) 1232

=23) = ^iÖ"" ^'^^^ •"

dass sich die Werte einseitig nähern,

der DarsUlluwf der Wurzdn cd*j%braischer Gleichungen,

187

dass also auch der letzte Wert zn klein ist. Daraus «gibt sich wie-
der, dass «4 positiv ist. Was diesen Wert selbst betrifft, so hat man
nach §. 7 und §. 8

(18), (19)
(17), (18)

(17), (18)
(16), (17)

(19), (20)
(18), (19)

(—21) _ 1667
• (_20) ~ 322 ~ ' ■■•

'»«8»

(18), (19)
(17), (18)

— 7.

(-22)
(-21)

1232.7
1667

= — 5,173 ... •= ojBj.

Beide Werte sind algebraisch zu klein. Man würde daraus finden

(18), (19)
(17), (18)

und

(17), (18)
(16), (17)

(19), (20)
(18), (19)

(18), (19)
(17), (18)

(18)

1667 . 643

322 . 1961 " '* ' ■ ■ "° "*

(18)
(19)

1232 . 7 . 1%1
1667 . 5978

= 1,69705 ... = oj

Von diesen Werten ist der zweite, also auch der erste zu gross.
Man findet auch keinen zu kleinen Wert, wenn man von dem Fro-
dnct «,«2 ausgeht Man hat zwar

(-20), (-19)
(-21), (-20)

!(-21), (■
|(— 22), (-

■20)
■21)

(17) _ 643 ■ 7
'*(18)"~ 1961

2,2952

«1«} zu klein.

and

K-
!(-

■21), (■
-22), (-

■20)!

•21)1

(■

■22), (-

■23), (■

(-23), (-

21)
22)

(18) _ 1961
■ (19) ~ 854

2,2964 ... •=> d] (<2 zu gross.

aber die Werte von «, werden die nämlichen wie oben.

188

Satgtlihack: StuditM zm fmr.

2 tes Beispiel: x*+2x*+a3c— 1 = a

(0)-l

a) = -2(0)--2

(2)=-2(l)-3(0) = l

(3)— 2(2)-~3(lH-l(0)«5

(4)=-2(3)-3(2>fl(l)=-15

(5) 2(4)— 3(3H-1(2) = 16

(6) = 18

(8)= 160
(9)=-5
(tO)— 569
(11) - 1313

;-3)-l
^)=3(-3)=3
-5)=3(-4)+2(-3) = ll
-6) =r3(-^)-|-2(^)+l(^3) = 40
-7) = 3(-6)-|-2(~o>+l(-4)=145
-8) = 3(_7)-|-2(-^)+l(— 5) « 526
;— 9)=1908
—10) = 6921
—11) = 25105
—12) =91065
—13) =- 330326
—14) = 1198213

(12)=— 924

Hier zeigt sich sofort, dass <4 und «, ein Paar complexe Wurzeln
sind, deren reeller Teil negativ ist, desgleichen dass «i positiv ist
Berechne ich das letzte zuerst, so kommt

(-3)

1

(-4)

~3

(-4)

3

(-5)

~11

(-5)

11

(-6)

~40

(-6)

40

(-7)

"145

(-7)

145

(-8)

""526

(-8)

526

(-9)

~1908

(-9)

1908

(-10)

"6921

(-10)

6921

(-11)

"25105

(-11)

25105

-12)
-12)
-13)
-13)

= 0,33 .-

= 0,2727 ...
— 0,275 ...
= 0,27586 .-

= 0,275665

0,2756813

0,2756827

0,27568213

= 0,275682205

= ^^ä =0,2756822049

19065

91065
330326

(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
(+)

-14)

Qao^26

1198213 - 0,2756822034

(-)

der Dcurattüung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

189

Die Vorzeichen der Fehler lassen wieder erkennen, dass die
beiden andern Wurzeln complex mit negativem reellen Teil sind. Der
letzte Näherungswert ist gewiss zu klein, der vorletzte könnte zu klein
oder zu gross sein. Für die beiden Wurzeln «^ und a^ lässt sich
nach §. 8 mit Hülfe der gefundnen Werte von a^ sofort ein zu grosser
and ein zu kleiner Wert von R^ und 2Rcos<p angeben. Da es mir
aber hier wesentlich um den Wechsel in den Vorzeichen der Fehler
za tun ist, will ich die ganze Reihe hersetzen, und nur vorher noch
bemerken, dass wegen 6W « — 1 hier einfach nach §. 8

und

(r)(H-l)
(r-l)(r)

(r-1), (r+1)
(r-2), (r)

= (-r-3)

i (r-1), (r)
|(r-2), (r-1)

(D-

(-r-2)

ist.

Man hat ftbr R^

11
3

40
11

145
40

526
145

1908
526

6921
1908

25105
6921

91065
25105

330326
91065

1198213
330326

= 3,666 ...

= 3,636 ...

= 3,625

(+) -^

(-) -

and fOr 2Rcoaq>

3,6275 ... (+) —

3,62737 ... (+) — ~~ — — 2,275665 ...

3,6273659 ... (+) —
3,62736506 ...(-) —

3,62736506 ... (— ) —

7
3

25
11

91

40

330
145

1197
526

4342

1908

15750
6921

57131
25105

207235
91065

751717
330326

— 2,2727 ..

= — 2,275

— — 2,27586 ...

3 tes Beispiel: «j^— 6«*-|-3«»— 8«« — 5a5— 2 — 0.
(0)«1
(1)=6

(-)

(+)
(+)

(-)

(+)

3,627358 ... (— ) — ^ - — 2,2756813 ... (-f )

= — 2,2756827 ... (— )
2,27568213 ... (+)

== — 2,275682205 ... (-)

3,62736508 ... (+) — ^^~ 2,2756822049 ... (— )

190 Naegelsbach: StudUn zu FUrstenaü's Methode

2)=6(1)— 3(0)«33

3)-=6(2)— 8(1)+8(0)«188

4):^6(3)— 3(2)+8(l)+5(0)=xl082

5)«6(4) -3(3)+8(2>f5(l)+2(0)=6224

6)===6(5)-^3(4)+8(3)+5(2)+2(l)==35779

7)-»205664

8>»1182225

9)==6795874

10)==39065224

11)=224561400

— 5)=1.2-i

-6)-2-i.(-Ö(-5))— 5.2-2

-7)=2~i.(-5(~6)^8(-5))=9.2-3

-8)=2-i.(— 5(— 7)— 8(— 6)+3(— 5))=47.2-*

—9)«2-i.(—5(— 8)— 8(—7H-3(—6)-6{-5))«=— 487.2-6

— 10)=2-i.(~5(-9)-8(-8)+3(-7)— 6(-6)+(— 5))=2047.2-«

— ll)=2-^(-5(-10)— 8(-9)+3(-8)~6(-7)+(-6))«-2391.2-"*

—12)— 28753.2-8

— 13)=230713.2^*

—14)=— 828257.2-^0

— 15)=252361.2-"

— 16)«16100751.2-i2

Es ist soBAch «5 positiv, «i und «^ sind complcx mit negativem
reellen Teil. Als Näherungswerte der 05 erhalte ich nacheinander

6
1

33
6

188

33
1082

188

6224
1082

35779
6224

= 6 (+)

« 5,5 (-)

= 5,69 ... (— )

« 5,755 ... (+)

« 5,752 ... (+)

« 5,7485 ... (+)

der DarateUung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.

191

2^664
35779

1182225
205664

6795874
1182225

39065224
6795874

224561400
39065224

5,7481 ... (— )

5,74833 ... (— )
5,748376 ... (+)

— 5,7483737 ... (+)

5,7483709 ...

Aus den Vorzeichen ersieht man, dass «n und «g ein Paar complexer
Wurzeln sind mit positivem reellen Teil Vom letzten Wert ist nicht
sicher, dass er zu klein ist

Um et] und a^ zu berechnen habe ich

(-6), (

:-5)

16 8

(-7), (

-6)

2* 2»

(-7), (
(-8), (

-6)

:-7)

316 79
~ 2« ~ 2«

(-8), (
(-9), (

:-7)
;-8)

6592 824

"■ 2» ^2»

(-9), (

:-8)

140960 8810

(-10), (

[-9)

— 2»» "" 2*

(-10), (

[-9)

3025792 94556

(-11), (

[-10)

2« "^ 2'

(-11), (
(-12), (

;-io)
:-ii)

64574272

^^ SS3S

214

1008973

2»

(-12), (

[-11)

1378369792

10768514

(-13), (

[-12)

— 2**

2»

(-13), (

:-i2)

29413614848

114896933

(-U), (

:-i3)

218

210

(-14), (

(-13)

: 627786694656 _

1226145888

l(-15), i

(-14)

— 2*® ~"

2"

(-15), i

[-14)

13399245795328

13085200972

(-16),

(-15)

^ 2*« ""

2*^

192

Naegelshack: Stmtfien zm FuntemoM^M Methode.

Man hat demnach als Kahemngswerte für B*

2i5

= 0,202 ^

(+)

2.1006973

79

10768514

2.79
824

^ 0,191 ^

(+)

2.10768514
1148%933

2.824

8810

= 0,1870 ...

(-)

2.114896933
1226145888

2.8810
94556

= 0,1863 ^

(-)

2.1226145888
13085200972

2.94556
inn«Q7Q

=- 0^8743 ...

(+)

= 048739 ... (— )

0^8744 ... (— )

0487411 .-

0^87409

Hier Iftsst sich ans den Vorzeichen der Fehler anf die vorher-
gehenden Wurzeln mit Sicherheit nicht schliessen. Es könnte «s
positiv sein, es könnten aber anch «3 und «4 ein Paar complexer
Wurzeln sein. Dass in diesem Fall der reeUe Teil positiv ist, ist
nur wahrscheinlich, nicht gewiss. Fbenso ist von den beiden letzten
Werten nicht mit Sicherheit zu sagen, ob sie zu gross oder zu klein
sind.

Ffir 2/2 cos 9> werden die beiden letzten Näherungswerte

(-14), (-12)
|(-16), (-13)

(-14), (-13)
(-15), (-14)

— 0,5856559 ...

(-15), (-13)
(-16), (-14)

(-15), (-14)1
i(-16), (-15)

— 0,5856556

Für «3 und «4 endlich findet man aus den letzten Werten
R'* — 1,85649 ... , 2ä'cos9'« 0,83727 ... .

Beitrug zur KeuatDiss tod der Bewegung eines scliveren
Punktes auf Botationsflächvn mit Tertlciiler Axe.

Theodor Bertram,

Qjmnaaiallehrer in Bielefeld.

Die folgenden Entwicklungen sollen einen Beitrag liefern zur
Eenntnisx von der Bewegung eines materiellen Punktes,
der gezwungen ist, sich unter dem Einfluss der Schwer-
kraft auf einer Rotationsfläche zu bewegen, deren Axe
verticat steht. Zunächst werden die Bewegungsglf^icbungen, soweit
es möglich ist, allgemein für Rotationsflftcben mit verticaler Aie iiite-
grirt werden, um dann an der Hand der so gewonnenen Resultate die
Bewegung auf dem Botations-Paraboloid und -Kegel einer
eingeheuderen L'ntersuchuüg zu unterwerfen.

§. 1. Bewegung auf der allgemeinen RotatloBsflKehe

x*+y*-nzy = 0.

Die Glcichuug a^*+y*— /(i)^ = 0, oder kürzer F{x,y,z)^Q^
stellt eiue auf rechtwinklige Coordinaten bezogene Rotationsflficbe dar,
deren Rotatiousaxe zugleich Aie der x ist. Die Meridiancnrve hat
die Gleichung r=/(i), wenn r die Abscisso in dem Coordinaten-
systeme eines Meridian Schnittes bezeichnet. Die AI
Entwicklung wird nicht beeinträcbtjgt, wenn wir die
weglichen Punktes gleich der Einheit setzen; nehmen
die Richtung der Schwerkraft derjenigen der positiv
gesetzt, so sind die allgemeinen Bcwegnngsgleichut^cn i
bekanntlich gegeben durch folgende Gleiclmugeu:

II 1) j.i

194 Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung

worin N den noch unbekannten Normalwiderstand der Fläche be-
deutet und der Kürze halber r= — -—-- ^ ^ ^ .,^ ^ . ge-

setzt ist.

vm+ (r)'+ m'

Da die resultirende beschleunigende Kraft sich in jedem Moment
aus der parallel der Axe der z gerichteten Schwerkraft und dem Nor-
malwiderstande der Fläche zusammensetzt, welche für den Fall un-
serer Rotationsflächen in ihrer Richtung immer diese Axe schneidet,
so wird die Resultirende mit der Axe der z immer in einer Ebene
liegen.' Für die Projection der Bewegung auf die Ebene der xy
können wir somit von dem Flächenprincip Gebrauch machen. Das-
selbe ergiebt

III. xilg -ydx = C.iÜ\ oder r^ .dm = C'.cft,

wenn C eine noch zu bestimmende CoDstante , und [r, od] die Polar-
coordinaten für die Projection der Bahn auf die Ebene der xy be-
zeichnet.

Da femer die von dem Normalwiderstande der Fläche geleistete
Arbeit in jedem Momente gleich Null ist (sie steht ja senkrecht auf
der Bahn des Punktes), so liefert uns das Princip der lebendi-
gen Kraft ein anderes erstes Integral unserer Gleichungen 11,

wenn v die Geschwindigkeit des Punktes und C eine zweite willkür-
liche Constante bezeichnet

Zur Bestimmung der Constanten C und C^ genügt die
Kenntniss des Bewegungszustandes an einem bestimmten Puukte. Der
Punkt A [a^, yo> ^] *of der Fläche -F == 0 habe die Coordinaten

^ =- ^; yo ="0; a!o = /Wi

und dort möge der bewegliche Punkt [3/ möge kurz ihn bezeichnen]
eine Geschwindigkeit vq, in der Richtung der Taugente an den durch
A laufenden Parallelkreis, besitzen, so dass, wenn auch die Zeit
von dem Momente an gerechnet wird, wo ilf sich in A befindet,

^i)t=, °= "o "*• ^*'"' f°'8* *"" ^- '0 (|'),=o - ^^ (l)/=o = ^
=zf{h).VQ\ und aus IV. V =* —2gzQ'\-C^ oder C'= 2^ä+V.

Wir erhalten somit folgende zwei DifferentialgleichuDgen erster
Ordnung:

eines sthuertn Piiahlei auf Raiationtß&chen mit verlicaUr Axt.

Diese verbinden wir mit der Gleichung der Fläctie
'"+>■ -/W,
und ilireni ersten Dilfei-entinl
V. x,U+yds-n^).f{,).d,.

(x'+j')[rf.'+rfjl-y(«)vw'.<!='+.i'./m',rfi'i

oder

«•)'[(;Ä)"+@)']=«-)"n.)-.e)'+.'.A«'i

woraus, mit Rilcksicht anf IV», leicht abgeleitet wird:
Durcli Einsetzen dieses Wertes in III*. Undet mftn dann

vn. „,. _ + »/7,.r.[2j(4-.)+..1-.../w' ■ Tsr ■''"■

Für das Bogendiffercntial der Bahn folgt aus IV*. und VI. mit Rück-
sicht auf » = 3: ■ '

Auch der Winkel, den die Tangente an einem Pnokte der Bahn
mit der Tangeute des zugehörigen ParallelkreiscH bildet, lässt sich
leicht bestimmen. In dem Elemcntardreieck RPQ, sei FR ein Ele-
ment der Bahncnrvc d»; PQ sei der durch P laufende Parallelkreis,
und QB der durch R bestimmte Meridian irgend einer Rotations-
fläche. Da in Q die Parallelkreiae und Meridiane sich : '
achneiden, so ist

da

wenn ila das Bogendifferentiat des Farallelkreiaes bezeichnet

196 Bertram: Beitrag zur Kenntnus von der Bewegung

aus III». folgt aber

da _ vq ./(h) _ vq . f(h) ,
^'dt r f(z) '

also

IX. COST =

Durch die bisher gefundenen Ausdrücke ist es möglich, alle
wesentlichen Elemente der Bahn durch einfache Quadraturen zu finden,
sobald die Function f{z) specialisirt ist. Ist f{z) aber eine transcen-
dente Function, so bieten sich der Integration zu grosse Hindemisse*,
ja schon bei algebraischer Form von f(z) werden die Integrale als
Argument eine Quadratwurzel aus einem Polynom 5ten und höheren
Grades der Variabelen entthalten, wenn f{zY ein Binom nur vom
2ten Grade mit zwei verschiedenen Parametern ist

Die einzige Fläche, welche ein algebraisches Integral ergiebt, ist
die Cylinderfläche

man findet aus VI. und VII. leicht durch Einführung der Werte

woraus ersichtlich, dass die durchlaufene Bahn bei der Abwicklung
des Cylinders auf einer Ebene eine Parabel darstellt

Die Kugel

hat wegen ihrer praktischen Bedeutung für das Pendel schon aus-
reichende Untersuchungen gefunden. Aber schon für diese Flüche
werden jene Quadraturen elliptische Integrale. Letzteres gilt auch
von dem Rotations -Paraboloide und -Kugel, wie wir im folgenden
sehen werden. Die übrigen Rotationsflächen 2ten Grades führen schon
zu höheren Transcendenten.

§. 2. Bewegnng auf dem Rotations-Parabolold.

Die Gleichung eines Rotations-Paraboloides dessen Rotationsaxe
zur Axe der «, und dessen Scheitel zum Coordinateü- Anfang ge-
nommen wird, ist

eüuf ichietren Punkits auf RnlalioinJIScIiM mit vtrlicaltr Axt- 19?

30 dasB die Fanction fU) in den FormBln des §. 1. zu ersetzen ist
dnrch '}/-l€a; aUo /'{s) = [/^V Es ergiebt sich daraus fQr die

Componente der Geschwindigkeit des beweglichen Punktes genommen
nach der Axe der = der Ausdruck:

= +y2a

Das doppelte Vorzeichen weist scbou daranf bin, dass die fiewegnng
eine auf- und absteigende sein wird, nnd veranlasst die Bestimmung
der Höhe nnd Tiefe, zwischen denen das Steigen nnd Fallen statt-
findet

dz
Die Geschwindigkeitacomponente -^ wird Null für die beiden

Wert«

sehen wir eüso zu, welche Richtung die Beschlconignugscompoueute
■j-i für diese beiden Werte erhalt. Es ist aber

S- + VV

'V^m

X

rm^4

worans unmittelbar folgt, dass

Wv -* ~ "■ ö" <; **' ^^ n*«l»'Jein "u ^ '^'igK

'+5

•'

/

/ f

^ . *

• -»-*

/

f '.

/

(

I

' ■ 0

f^/ y. -^-^

/

/ ' / / /,

/"

\

t^ -X^VijcAiz T

eines schweren Punktes emf Rotationsflächen mit verticaler Axe, 199

_ ParaUelkreis 2».ar,

es ist aber dieser Ausdruck constant nur für ac* =» « Const., d. h. die
Meridiancune muss eine Parabel sein.

Noch eine Bemerkung über das Vorzeichen der Constanten a in
der Gleichung x^-\-y^ =^ 2az möge hier Platz greifen. Dasselbe ist
stillschweigend als positiv angenommen, d. h. das Paraboloid mit seiner
concaren Seite nach oben gerichtet, also ganz auf der positiven Seite
der 2 vorausgesetzt Sollte a <^ 0 sein, so würden nicht alle bis jetzt
gemachten Schlüsse stichhaltig sein; es würde h auch negativ sein
müssen. Eine einfache Zerlegung der wirkenden Kräfte (die Be-
schleunigung und Centrifugalkraft) in ihre Componenten längs Flächen-
normale und in der Tangentialebene zeigt aber schon für für diesen
Fall, dass der bewegliche Punkt beständig fallen muss. Die Bahn
würde somit sich nach unten in's Unendliche ersrecken; da besondere
Eigentümlichkeiten ihr fehlen würden, so mag dieser Fall von der
weiteren Untersuchung ausgeschlossen bleiben.

Zur Vereinfachung wollen wir |die beiden die Grenzebenen be-
stimmenden Werte von z so bezeichnen, dass z =» y immer die obere,
z = ß die untere Ebene bestimmt; so dass also

^ vo* ^ ( y wenn vq > V2^ ^ = * = f '^ ^^^ ^^ ^ ^^ •

a

Setzen wir ausserdem — 9^*9 ^^ erscheint die Formol I. in folgen-
der Gestalt:

Die Zeit t ist hierdurch als ein elliptisches Integral

y
der Variabelen z gegeben, deren Grenzen z sind.

/»

Führen wir folgende Substitution ein:

g— «.Ar^sinV . y— g
* = ^i — 7 2«;»8 — » worin P = '

so erhalten wir, wenn 1 — Äj^sinV = A^tp gesetzt wird:

IIT ^=X ^ 2(g-a) dip

i^g Vy— « ^9

2(ß} £<'*'••: £<u5Ty av JT'^rt.rjin »»n »^ fi<%-mij

7 I T

./

Integriren wir also IlL vcn j = ;Jbiä3=x,, so erhalten wir die
Zeit /,, welche vom Beginn der aaf>teigenden Bewegung
Ton der unteren Grenzebene aus, bis dahin verflossen ist, wo
der bewegliche Pankt bis zar Höhe a = Sj gestiegen ist,
in der Formel:

IV. /. = 2l/''r- • 1 £K)-^. «Hl"-''^^-""^ j .

Es ist hierbei nnr das positive Torzeichen zn berücksichtigen, weil
-. fftr die aofsteigende Bewegung positiv ist. Die Grenzen der
Variabclen entsprechen sich in folgender Weise

z 0,. (p . . . u •

Eine zweite Substitution:

» = y— (y— /J)8inV,

y — ß

für welche ebenfalls k* = ^3- sein möge, transformirt U. in

V. rft -= If |_2 l/y— "; . Jrlf, d^ \ \

die entsprechenden Grenzen sind

*) nurc(;f : Theorie der clliptiMchen Functiuiieii § 22.

eines schweren Punktes auf Rotationsflächen mit verticaler Axe. 201

sin^i/;

'/

0

I 7t

0

es wächst also \l> bei abnehmenden z. Integriren wir nun von 2 = y
bis 3 = Z2, so erhalten wir die Zeit ^ von Beginn der fallen-
den Bewegung von der oberen Grenzebene aus, bis zu dem Mo-
ment, wo der bewegliche Punkt bis zur Tiefe « = »2 ge-
fallen ist, in der Formel:

VI.

u

V

^9

E{it^).

dz

Hier war das negative Vorzeichen zu berücksichtigen, weil ^ für die
fallende Bewegung negativ ist. Die entsprechenden Grenzen sind

... ^

'f'i

ti<

u

0

Aus den beiden Gleichungen IV. und VI. lassen sich für die Be-
wegung des Punktes wichtige Resultate herleiten.

Zunächst geben beide für die Zeit, welche der bewegliche
Punkt gebraucht, einmal um von der unteren zur oberen
Grenzebene zu steigen, das andere mal um von der oberen
zur unteren zu fallen, denselben Wert. Denn es entsprechen
diesen Fällen folgende Integrationsgrenzen

für IV. z

7

<P

7t

2

U

0

K ß

, für V. z :

7

9>

n

2 .,. M

71

2

/dip n

2f-; und weil cosa»ii/ir= cos^ =0, so folgt aus IV.,

0
wie aus VI. unmittelbar (wenn E{K) kurz durch E bezeichnet wird)

vn.

r= 2J/

y — o

2^7

,E

Wenn femer der bewegliche Punkt von irgend einer Höhe aus-
gehend, nachdem er einmal die obere und einmal die untere Grenz
ebene passirt, wieder zu derselben Höhe gelangt ist, d. h. wenn -
alle Werte von /5 bis y einmal aufsteigend und einmal fallend durch-
laufen, so wird das Argument u um 1K wachsen. Führen wir dies
ein, und berücksichtigen die Relationen:

\ 1 '7?:. »-*-^Z', «- — »El -'M*: •::*? TW *— '2Ä' :^ ^i»?

IrstJW'r,*.- iii T >:^ Irr rs- Zrl* f ir^* ^-eLk-V^r H:!-!- x, 4^, nidi
fA tcj- j^r,;f'^7L, ir#» l^'-i-ea L/-rz.-.i IV. ti-i VI:

d, k da% ?rt<rii^*:n oü-I Fiüen des bew-glicbea Paaktos
jz«rht \$* rion\%< h M*T sieb: di*^ I>acer riü-r solchen Pe-
riode; i»t 2r

Hh^f^rtUflifcü »ir Uf^b di^ Zeilen, wvl'be der beuc-^übe Pankt
^ftiffun^Ait , txhUiüX nrn \on d'/r naterea Grenzvl^ne bis zur Hübe
z -= z^ 7,n %V'Aiif',n. ilüÄ aridere mA um von der oberen bis zur gleichen
Ti'-f^^ z ^=^ z^ zu fülhn,

¥'ür da* nämliche z g^-ben die b^iiden angewandten Sabstitutions*
fon/j''ln:

bicTans folgt nach einigen Rednctioncn

cos^
co«*t^ -= 8inV[l — Ar^sinV], oder siny =* --.- 5

durch Diflerentiation folgt

und da

, ,• sin tl; ^
cos <pr^9 «« — Ä: « -j^dtif,

_ sin tt' K

costp = Vi — 8in»<p == k' -j—, und ^9 =- ^ \

so folgt:

d(p dtif

Da die entsprechenden Grenzen go

^1
... t/;

sind, so ist

n
2

I jft

^9 J ^

2 t|/»

n «I», 0 0

eines schweren Punktes auf Rotationußächen mit t>€rticaUr Axe, 203

d. h. «*, = Ä — u, für « = sj «= Äj. Setzen wir daher in VI. fttr m,
das Argument K — Wj ein, so erhalten wir den Wert von <t, welcher
der Höhe a = «j entspricht. Nun ist aber

,w«. V ,, ^y V I ,o sin amu. cos amu
E(K-u) = E-E(u)+k-. ^^^

folglich

h = ^* hl

d. h. der bewegliche Punkt braucht dieselbe Zeit, ob er

, ( oberen \ ^ ^ ( f&lit ) , .

nun von der ( . ; Grenzebene J . • ♦ } bis zur

l unteren ) ( steigt )

Höhe z = 2i, oder ob er von der Höhe « *= «j bis zur
f oberen \ ^ , ( steigt ) T^ o* • a

Junterenr"^"^^^^^^ (fällt J ^^« ^^^^«"'^ ''"^

Fallen geht symmetrisch in Bezug auf jede Grenzebenc

vor sich.

Gehen wir nun zur Untersuchung des Winkels w über.

Aus r^dca =» ^oV^aÄ.cÄ und r^ = 2az, folgt unmittelbar mit Rück-
sicht auf den Wert von dt in H. :

• ^^^q:^l/V^/-Zlg. ^^ .

^^r a.g z y_(-,_«)(2_|3)(2_y)

Berücksichtigen wir,.dass

60 ergeben sich uns durch Anwendung der beiden oben schon ein-
geführten Substitutionen:

IX. cfa,= Tj/t^I.^=-^^^^.- ""---

X — ^—^ sin V

y

Int^piren wir die Gleichung VIH. von go = 0 bis g> = <pi , so ent-
spricht dies einer steigenden Bewegung des Punktes von a == /5 bis
z «: 2^ , wir haben somit das positive Zeichen zu nehmen. Bei der
Gleichung IX. würde dagegen das negative Zeichen zu wählen sein,

wenn wir integriren wollten zwischen den Grenzen ^> , df*

204 Bertram: Beitrat/ zur KenntnUs von der Betceguuy

die fallende Bewegung des Punktes von z = y bis 2 =» 3g entsprechen
würde. Der Winkel w wird selbstverständlich immer vom Ausgangs*
punkt der Bewegung an gerechnet.

a y — ß
Bezeichnen wird kurz ~ 5^* und •— beziehungsweise mit

m und 7», so ist die nächste Aufgabe, die beiden Integrale

Vi 9%

i4-w>sinV * ^9' J 1+nsinV

0 0

auf die Normalform zu reduciren.

Das erste verwandelt sich durch die Identität ^ , -^=»1 —
msinV

1-f-msinV'

/l dtp P^^ r ^ sinV dtp

l-|-msinV^9 J ^<P t/ lH-msin*g> ^<jp
0 0

Setzen wir m== — A;*sinam^, so wird durch Einführung von tp^^^amu^

1 d<p \_ C ^* • sin^amil . sin^omuj

i -{- m sin*9 ' ^9 ^ ^ J 1 — 1^ sin*am^ . sin^amwi* ^

/

tang amA P k^ . sin amA . cos amA . d(MnA . sin^amU]
=== **i "1 ^amA J 1 — ifc* sin*am-4 . sin*am«4, * ^ '

0

0

oder nach Jacobi's Bezeichnung

J l-|-msin*^ ^n^r j^mA
0

tangaw-4

Das zweite Integral wird durch folgende Identitäten reducirt:

J^.d^ l-j-nsin*i|; — (n+^sin*^ ^^

i-j-nsinV*^ l+'isin^tfr ' d'i\)

d^ 7i+Äp^ nsin*i(> rft^
"" ^/t^> n ' f-f- n sin*V; * J^

Setzen wir n = — i*sin*amÄ, und führen 1^2 ==* amu^ ein, so wird

/^/l^rft/; , '>+^* tangamjö _, ^.

1 +Tsin^ij; = ^ + "V- • JamiT'^^'^^^^'

eines schweren Punktes auf Rotationsflächen mit verticaUr Axe, 205

Nun ist I und ebenso

y—ß

m = — ^ Jc^z= — khiVL^amA 1 n = — «= — khm^amB

also I also

— a

taDg'am^ = ^ ;

y j5 — a
p y — a

tSkUg^amB == -

a

y r* y — a

Es lassen sich also die Integrale von YIII. und IX. folgender-
massen ausdrücken (da t = — 0^

IX'. «»2 = l/_r • -^^" . «a — f . n («s, B).

r . « y

Noch sind die Parameter A und jB zu discntiren. Aus den
Substitutionen

— = — k^sin^amB. — "3^^ == — A;*sin^rtm.4

y P

geht hervor, dass A und B nicht reell sein können, weil weder

y — ß a

— - - noch — ßk^ zwischen den Grenzen 0 und —k^ liegt. Es

a y — ß

ist — p^•* stets positiv, und — zwar negativ aber dem absoluten

p y

Werte nach grösser als k^. Wir mtlssen demnach setzen

A = lA, und B = K+iB.
Es ist aber leicht zu zeigen , dass B = — A sein muss. Denn

o ^ y — Ä

— sk^ und — - — - sind die negativen reciproken Werte von sinV

und sin^i/' die demselben Werte von «, nämlich ««=0, ent-
sprechen; wie uumittelbar an den Substitutionsformeln ersichtlich.
Für solche Werte haben wir aber oben nachgewiesen, dass die Argu-
mente die Relation

erfüllen müssen. Das ist für iA und K-^iB nur dann möglich, wenn
B == — A. Bezeichnen wir die constauten Coefficienten kurz, wie
folgt:

20Ö Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung

»SO haben wir

^ wonn ^iv^araiA

, K—iA) )

XI. CO, = C'ti^ — i n(u^, K— lA) ) P

Zur weiteren Untersuchung führen wir die beiden Functionen Z(u)
und S(u) ein, welche mit dem Integrale 77 durch folgende Relation
verbunden sind :

n(«,a)=„^(«)+ilg|^^5.
und ausserdem noch die Eigenschaften besitzen, dass

S{u—2K) «= 0(m) = e(w+2Ä);
Z(-t*)=— Z(ii); Z(0) « ZCä-) = 0; Z(u) = Z(u+2K)',

Z(K-\-m) ^^Z{K-—u).

Die Gleichungen X. und XI. werden dadurch zu

- . - . , . ^Uh — iA)

«1 » [C+tZ{iA)] u,+il lg 0^7^' .pj) '

Für die Coefficienten von u^ und u, erhält man Umformungen durch
die Relationen

tZ(iA) =-tang am(^, k').Jam{A, ^') + 2kTk^ + ^^^' ^'^'

eZ(ir-.^)- + Ä: Jam{A,k') 2Jr."jr' "" -^(^' ^ >•

Es ist nämlich

und

tang am (^, Ä;') . dam(A, k') == Yj^-)

■gSinomM, ArQ. cosam(^, Ä?^) l/ — aß

Jam (Ay k') V y(y — a) *

wie leicht aus Hin^am(K — iA) = gefunden wird.

Mit Rücksicht hierauf wird

eines schweren Punktes auf RoicUionußächen mit verticaUr Axe. 207

C-\-iZ{iA) = k5 •y=+2^+^^^' *'^ = C'-iZ(K-iA).

Bezeichnen mr diesen Wert kurz durch P, so werden unsere Glei-
chungen X. und XI. folgende Gestalt annehmen:

X'. „,=.p.^+^.-,g^U_^J,

XI'. -^-^--^-i'^eWiui-^K-i/y

In dieser Form lassen sie unmittelbar mehrere Eigentümlichkeiten
der Bahn unseres beweglichen Punktes erkennen.

Erstens nämlich ist der vom Radiusvector beschriebene
Winkel Ä, wenn der bewegliche Punkt von der unteren
zur oberen Grenzebene steigt, derselbe als wenn er von
der oberen zur unteren fällt. Denn beide Gleichungen geben
für das Argument u = K den Wert

xn. Sl^ P,K.

Lassen wir ferner das Argument um 2K wachsen, so erhalten wir
mit Rücksicht auf die oben angeführten Relationen der 6-Functionen:

d. h. der Winkel © wächst in Perioden, und zwar ent-
spricht der früher schon gefundenen Periode 2T der Win-
kel 2Ä.

Um den Winkel zu finden, den der Radiusvector beschreibt, ein-
mal wenn der bewegliche Punkt von der 1 . J Grenzebene

) fäUt ) ^.

i ateifft ( ^^ Höhe z = z^^ das andere mal wenn er von dieser

Höhe . = ., zur { °^^^°^ } Grenzebene { ^J^* } , bedienen wir

uns der oben gefundenen Relation Wi — iT— wg. Dieselbe in X'. ein-
gesetzt ergiebt

dies Resultat sagt aus, dass das Wachsen des Winkels a> sym-
metrisch zu jeder Grenzebene vor sich geht; der Radius-
vector beschreibt in beiden eben gesuchten Fällen den-
selben Winkel.

Eine zur Beurteilung der Abhängigkeit des Winkels ic vor

208 Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung

Zeit t sehr vorteilhafte Umformung von X'. und XI'. lässt sich leicht
mit Hülfe der Relation

vornehmen; es wird dadurch

PK[^. - , ^ sin am w^. cos am f*i'
», = £- [EM-k* -j^^

I Fl .1 ^(^^i — *-^) I i'^f »oSinamUj.cosami^ ^^ ^ ) 1

PK

' S(u,^K+iA) PK

oder mit Rücksicht auf IV., VI., VII., XII.

•^ I Fi-i ^K — »^) , PÄ (,„ sin am Mi.cos am 1*1 \]

In beiden Gleichungen haben wir dasselbe Glied —e, welches der

Zeit t proportional ist; dazu kommt noch ein periodisch waclisendes
und abnehmendes Glied. Für w = 0, K, 2K^ .. . verschwindet das
periodische Glied. Denken wir uns nun die Meridianebene des z. B.
in der unteren €rrenzebene liegenden Ausgangspunktes der Bewegung
gleichzeitig mit dem beweglichen Punkte, nach derselben Richtung hin,

Sl

mit der constanten Geschwindigkeit — , in Bewegung gesetzt, so wird

der bewegliche Punkt anfangs der Ebene vorauseilen, seine Geschwin-
digkeit wird sich aber immer mehr verringern, so dass er bei seiner
Ankunft in der oberen Grenzebene von der Meridianebene wieder
eingeholt wird. Von da aus wiederholt sich symmetrisch das Um-
gekehrte, der Punkt bleibt anfangs zurück, mit wachsender Geschwin-
digkeit jedoch eilt er der Ebene nach, um sie in der unteren Grenz-
ebene wieder zu erreichen. Das periodische Glied giebt immer den
Winkel Ja an, um welchen der Radiusvector von der beweglichen
Meridianebene absteht. Auch von diesem Winkel lässt sich unmittel-
bar durch Vergrösserung des Argumentes um 2K und durch Anwen-
dung der Relation u^ == K—u^ nachweisen, dass diese Differenzen
Jca periodisch nach 2T sich wiederholen, und ihrer Grösse nach
symmetrisch gegen die beiden Greuzebenen verteilt sind. Letzteres
wird sofort ersichtlich durch Anwendung der Gleichung

t jcJhHrot PtutkttM a»if SotatioiußaeliM mit «trtiealir Axt.

Der Winkel t zwischen der Bahn- nnd Parallelkreistangente
ei^ebt sieb ans IX. S- 1- nnmittelbar darch Einsetsen der Werte
/(«) — yä^ nnd /(A) — yä^, nänüich

'"=/;

Kl'-)

-V:

iß+r-'Y

Ea wird r — 0 für m — ß nnd ■ — )■) d. h. die Bahn berflhrt die
beiden den Grenzebenen cnUpreohenden Forallelkreise. Weiter er-
giebt sich leicht dorch Differentiation, dass

T fQr . - ^

Der Wiuliel t ändert sieb also in fönender Weise; in der unteren
Orenzebene ist er Nnlt, beim Steigen des Pnnktes wAcbst er bis zn

_ Bzt)! UTA ar Ai-n Wnpt sinr ^ ''"^? ■

r-tP

oberen Grenzebeno nimmt er wieder bis Nnll ab. W&hrend t bis
jetzt oberlialb des Parallelkreisea lag, befindet er sich beim Fallen
des Punkt«! inuner onterbalb desselben, erreicht wieder in der Mittel-
ebene a = > Bein Maximum nnd nimmt Ton da wieder ab, bis er
in der unteren Grenzebene wieder zu Nnll wird. Immer aber hat t
in demselben Paraltelkreise denselben Wert, nur liegt er abwechsehid
ober- nnd nntePhalb des Parallelkreises.

, wo er den Wert sinr ^ j-f, annimmt; von da bis zur

Aus dem Maximalwert sinr ^ ~XÄ ^'^'^'^^ man, dass für y » ^
T — 0 ist; wie auch natOrlicb, da der Punkt iu diesem Falle einen
Parallelkreis beschreibt. Den Wert k- kann r nur annehmen, wenn
ß = 0 ist; dies ist aber nnr möglich, wenn og — 0 oder A — 0;
ersteres wtkrde die Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit sein, wo
der Punkt auf einem Meridian sich bewegen mBsate; das zweite
ebenüüls eine Bewegung auf einem Meri(Uan bedingen, da im 8d
pnukt des Paraboloids eine jede Richtung der Anfangsgeschwinc
mit der Tangente eines Meridians znsammen^t, der Punkt alsi
immer in der verticalen Ebene desselben verbleiben muss. In 1

Fällen ist aber offenbar der Winkel * — » ■

T«a LIX. u

210

Bertram: Beitrag zur K^nntnUs von der Bewegung

Da auch die Geschwindigkeit des beweglichen Punktes für
jedes z den gleichen Wert hat, wie Gleichung

zeigt, so können wir die särnrnüichen bis hierher erhaltenen Resul-
tate kurz in die folgende Tabelle zusammenfassen, aus welcher die
Eigentümlichkeiten der Bahn und der Bewegung des Punktes klar
ersichtlich werden.

für

ist

a =

ß

«1

y

^

ß

«1

y

u =

0

«1

K

2ä^— t*i

2K

2ä'+u,

3K

t —

0

h.

T

2r— *i

2T

2T+t,

3T

CO —

0

CO,

Sl

2Ä— «1

2Sl

2Ä4a),

SSI

^/»=—

0

+^»1

0

— ^Wi

0

-f ^/Cö,

0

T —

0

h

0

—^1

0

+T,

0

V =

Vß

»1

Vy

^1

Vß

«^1

vy

H

/?

4.K^Ui

AK

^T—t^

4r

4Ä— o,

4A

— ^«1

0

—^1

0

»1

Vß

Man liest aus dieser Tabelle sofort ab, dass die Bahn, welche
der bewegliche Punkt beschreibt, periodisch aus congruenten
Stücken besteht, die sich in der Weise zu einem Ganzen ver*
binden, dass eine in einer Grenzebene beginnende Periode durch den
Berührungspunkt mit der anderen Grenzebene in zwei symmetrische
Hälften geteilt wird.

Der Winkel Sl lässt eine einfache Grenzbestimmung desselben
zu mit Hülfe des sogenannten Maximum -Minimum -Theorems. Zu
dem Ende gehen wir zurück auf Formel IX., welche zwischen 0 und

2 integrirt Sl giebt,

n
2

^_l/g»y Vy~« r ^^d^

Nun ist

n
2

n
2

j 1 — ^-^sin«ij; J l-^^sin«ij;

wenn R ein Wert von dii> ist, der zwischen dem grössten und klein-
sten Werte von J^ liegt, welche diese Function innerhalb des Inter-

valls

2 annimmt; dies sind aber

)

( tektotrtn Panklti au/ RolatiorußäcAtH

'M

- geht dorch die Snbstitotion bId^ =

80 dass wir ftlr H folgende Grenzbestimmong erhalten;

Da a eine negative Grösse ist, ao folgt bierans, dass der Winkel
einer Periode (2i3) immer grösser ist als 180**. Es werden demnach
die höchsten ond tiefsten Punkte der Bahn anf den zuge-
hörigen Parallelkreisen (nach Art des Foucanlt'seben Pendelversachea)
ein Vorrücken im Sinne der Beivognng erleiden. Der beweg-
liehe Punkt kann nur dann wieder zu seinem Ausgangspunkte zurück-
kehren, wenn Sl in einem rationalen Verhältnisse zn n st£bt

§. 3. BeweroBf auf den Kotati«ukefel.

Legen wir das Coordinatensystero so, dass die Rotationsaxe znr
Axe der i und die Spitze des Kegels zum Anbngspunkt der Coor-
dinatea wird, so ist

a'+y* = **. tang'^

die Gleichnng des Kegels; 6 ist der Winkel zwischen Generatrir ""•*
Axe.

Znnflchst sei wieder die Einschränkung auf die obere nach
offene Hälfte des Kegels gemacht; da für die untere dieselbei
raerkangen gelten, wie fUr das Paraboloid anf der Seite der
tiven •.

Setzen wir in die betreffenden Gleichungen des S- 1^-
/(«) — «. tang«, /"(.) = tangÄ, /(A) — Ä.tangd
ein, so erhalten wir

212 Bertram: Beitrag zur Kenntnis« von der Bewegung

K(»-.)(^-.|"-»|')

I. 3- = TcosÄ.V%-

Das Trinom 2ten Grades «*— »^ — h^ ist gleich («— »i)(« — «t )
wenn

und zwar ist z^ ^ ä, jenachdem vq ^ Vä^^.

Bezeichnen wir also wieder

z^ mit y, h mit ft wenn üq > y/ip,

in beiden Fällen aber z^ ^^ ^9 C% ^^^ negativ, da A ^ 0 sein mnssj,
so haben wir nun

Da js nicht negativ werden kann (mit Kttcksicht auf die gemachte

dz

di

dz

Einschränkung), so wird ;;^ = 0 nur für » — /3 und « = y. Bildet

dh
man die Beschleunigungscomponente ^ und setzt diese Werte ein,

so findet man:

©L>°> ©)„,«>.

d. h. « «. y ist ein Maximum, « = /J ein Minimum für ». Der be-
wegliche Punkt oscillirt auch hier wieder zwischen zwei Grenzebenen,

z=2 ß der unteren, « = y der oberen. Für den Fall vq =» Vhg fallen
beide Ebenen zusammen, d. h. der Punkt beschreibt einen Parallel-
kreis; die Umlaufszeit wird in diesem Falle r= 2^.tangA. 1/-.
ist also von der Höhe abhängig.

Zur Bestimmung der Zeit t bilden wir aus II

1 z.dz

m. dt

cos*.V2^ V— («—«)(«— ft(»—y)*

und transformiren dies durch dieselben Substitutionsformeln wie in
§. 2.

«nea teiwertn Ptmktti amf Ralatioiußäcken mit vtrliealer Axt. 213
C08dYsty(y— a) -^V

a = y— (y — |J)8mV, ** - ^Z^ Ä**"»*

V. ^ ^ ,^, r-(y-f)Bi°v

C08*Y2^(y— «) ^*

Hierin ist wieder das Vorzeichen entsprechend einer steigenden oder
fallenden Bewegung gewählt; es sind nämlich die entsprechenden

Grenzen der Yariabeln z\ ... 9

n

2» z

ß
.. . ^

2-

' ß b

Nach einigen Umformungen, analog denen in §. 2., ergiebt sich:

COSÄ.VStyCy — «)l ^9 ' '^ ^V)
V. dt , /- U^ + (y—^)^ifdrif\ .

Integriren wir nun IV'. für eine steigende Bewegung, V. für
eine fallende, und erinnern uns des in §. 2. benutzten Ausdruckes

r dq>

für # -7i~> so wird

VI.

^ C0B«.y2^(y— a)l ^^'^ ^L '^' -^amui Jj

coso.y2^(y— «)

Ans beiden Gleichungen folgt zunächst der gleiche Wert von r,
welchen der Punkt braucht, einmal um von der unteren Grenzebene
zur oberen zu steigen, das andremal um von der oberen zur unteren
za fallen, nämlich

coso.y2^(y — «)

Femer ergiebt das Wachsen des Argumentes u um 2K folgende
Relation :

214 Bertram: Beilrag zur Kenntniss von der Bewegung

d. h. das Steigen and Fallen ist periodisch nach 2T.

Ebenso folgt die Symmetrie in Bezug auf die Grenzebenen
ganz analog §. 2. durch Anwendung der Relation % = K — Uj. Die
Entwicklungen dieser Resultate mögen hier übergangen werden, da
sie genau so wie in §. 2. erfolgen.

Der Winkel m bestimmt sich aus den Gleichungen r»s.tang^,
r^dm = VQ.tsjigi,h,dty mit • Rücksicht auf III,

TV j -r—JiöjA— ^

^8in^.y2^ »y— («—«)(»—/?)(«- y)

Dieser Ausdruck formt sich durch die beiden Substitutionen

ß — aU^sin^fp 2.VQ.h J(pdq>

*"" 1— A?«8in«^ ^" "* "" sin^. V2^(y— «) * /?— «Ä:*$in*9*

'^ ^'^ '^^ ^ * 8in6.i/2fr(y— «) [y— (y— «»inV]^'!'

Der constante Coefficient transformirt sich leicht, mit Rücksicht auf
a^.»,—— ^Ä; es wird

2,vo,h ^ 2 y^^

sin d . V2g (y — a) sin * . V y — o **'^^'

Nach einigen Umformungen erhalten wir somit

_2V^^l_l (d(p dq> )

2 V— aß dtif

sin«. V(y-«)y ■ Fl _ rzif güH^l^^"

Integriren wir die erste Gleichung für eine steigende, die zweite ftlr
eine fallende Bewegung, so erhalten wir mit Rücksicht auf die in §. 2.

d(p

. 9 V ^ f wenn
msinr(p)Jq>

gegebene Relation für das Integral / .^^ .

— ßh* = — Ä:*8in*am^ und — - — - =— ife*sin*amJ? gesetzt wird:

eines schweren Punktes at^f Rotationsflächen mit verticaler Axe, 215

Nun ist, wie in §. 2. schon gefunden,

JamA f y p — «

tangamg __ 1 l/y(y— «) ^.l/yfy — «) .

JamB i V — aß f — aß

somit erhalten wir:

Die Parameter A und J? haben wieder dieselben Werte wie in §. 2.,
es ist also: A = iA^ B = K—%A\ demnach

Hiermit die Ausdrücke für »Z(/^) und «Z(ir— tM) aus §. 2. ver-
bunden und das Ganze in die Gleichungen für m eingeführt ergiebt:

Beide Gleichungen ergeben sofort für den WinkelA, welchen der
Radiusvector bei der Bewegung des Punktes einmal von der unteren
Grenzebene zur oberen, das andremal von der oberen zur unteren,
beschreibt, denselben Wert

Ganz analog den Entwicklungen in §. 2. folgt dann durch Vermehrung
des Argumentes u um 2K die Periodicität des Winkels &>,

216 Bertram: Beitrag xur KenntnuM von der Bewegung etc

indem der Periode 2T eine ebeasolche des Winkels 2Sl entspricht.
Auch das Gesetz der Symmetrie für den Winkel o» in Bezog
anf die beiden Grenzebenen folgt auf die frühere Weise.

Der Winkel r zwischen Bahn- und Parallelkreistangente bestimmt
sich leicht zn

COST =- — /, " .== = - 1/ . a I

fsV2g(h

Die Bewegung wird nach den bis jetzt erhaltenen Resultaten,
in ihrer allgemeinen Gestalt hinlänglich bestimmt sein; es gelten für
dieselbe ebenfalls die am Ende des §. 2. entworfene Tabelle und
daraus gezogenen Resultate.

Zum Schluss möge noch auf die Abhängigkeit der Zeit t und
des Winkels m von dem Winkel 6 hingewiesen werden. Die Zeit ist
unter sonst gleichen umständen umgekehrt proportional dem cos^
d. h. sie wächst mit i ; der Winkel co dagegen umgekehrt proportional
dem sin^ d. h. nimmt ab bei wachsendem d. Für dasselbe ß und y
ergiebt sich, dass die Bahn des beweglichen Punktes auf dem Kegel
für ein grösseres d ein immer breiteres Ringstück mit immer grosse-
rem Radius ausfüllt; woraus jene Abhängigkeit leicht erklärlich wird.

MtMcelUn. 217

XVI.
Hiseellen.

1.

üelier kubisebe 01eiebiiii8:eii.

Bekanntlich hat eine kubische Gleichung eine oder drei reelle
Wurzeln, je nachdem die Cardanische Formel in reeller oder imagi-
närer Gestalt erscheint. Folgender Beweis dieses Satzes, der gewöhn-
lich anf geometrischem Wege dargetan wird, dürfte sich durch Ein-
fachheit empfehlen.

Die Gleichung x'-{-«a^+* = 0 hat wenigstens e ine reelle Wurzel
p und ist daher mit (a:— i>)(«*+|wj+«) äquivalent

Setzen wir die Grösse, welche in der Card. Formel erscheint,
276*-}"^' ^ ^ ^öd den Ausdruck 4q — p*, welcher bei Auflösui^
der Gleichung x^-\'px'\'q =» 0 sich ergiebt, =n, so bandelt es sich
hier nur um den Beweis, dass N und n gleiche Zeichen haben. Je
naebdem N und n gleichzeitig positiv oder negativ sind, werden dann
die beiden noch übrigen Wurzeln imaginftr oder reell sein. Aus

folgt

a « q—p*, b « — jjg

oder wegen n «— Aq — />*

N= 27gn4«-w)+4(n— 3«)« = 108(?»-273«fi-f 4n»— 36n«g
+ 1082«n— IO83» — 4n8— 36n»g-}-81n5« = n(4n«— Song + 81g«)

oder N «= n(2«— 9g)* = w(2p*-f■3)^ woraus die behauptete Zeichen-
gleichheit von N und n sich ergiebt

Dr. Eduard Liebrecht

218 MiscelUn,

2.

lieber einlire bestimmte Integrtüe.

A.

Im Folgenden wenden wir die bekannten Kelationon an:

"=» _1 1 yg ea^-|-g-fl;r

nfi n^+a^" 2a« + 2ac«''— c-««

a^ an

e^ +e

2

3 -^»(-1)"+* _ 1 ^

ri n^+a^ 2a« a ±

^ H=«(«i)n+l(2n-l) ^

Zi (2n— l)»+a« 2 ^ _^

5. -S cosw^ — — i+i. ^

^ Sin — s^ — ^

1 111- sinj^

/cosaxdx fc ^ . ^

0

Die Relationen von 1 — 4 kann man unter Anderem dadurch
finden, dass man in den unendlichen Producten fOr sinus, cosinus,
tangens und cotang. das Argument imaginär nimmt, dann logaritbmisch
differentürt u. s. w. Nr. 6. rührt von Laplace her.

Setzt man nun in 6. successive & » 1, 2, 3 ... in infin. und ad-
dirt alle Resultate, so kommt

/ cosa«cte(^^:^+2H:^2+P+P^

""2X1+2+3 + -7
oder

Miscellen, 219

nx ctif

Durch Yertaaschnng von x und o mit resp. — ■ und — erhält man

J cosoxcfe {+~,-l "^t'^Z) - ^log (l - r ^)

n>0, a>0

and durch Differentiation nach a

.00 , ,

n

flO,

oder mit Rflcksicht auf / = «

0

/-

anc

Bin ax — :3— : die = 5 — r^ •

e^ — 1

Genau nach derselben Methode ergeben sich bei Anwendung der
Formeln 2—4 noch folgende bestimmte Integrale:

/

y co8«*«te(i-i.-|;^)=»iog(i-«-")

COS«» • gH«-!. t-«x ^ - 2;, '08 -^

«2» — 1

/

und durch Differentiation noch 3 andere.

B.

Wir setzen in Formel 6. o = 1, 2, . . . n und addiren alle Re-
sultate, so kommt

P dx n

I WjI^ (C0Sa;+C0s2a;+ ... cosim:) =0^^^*''"^^*''" •* *'"'**^

0 .

oder mit Berücksichtigung von 5.:

220 MiseeUen.

ging

nnd nach einigen leichten Rednctionen, wenn man noch 2b statt b
nnd 2a; statt x setzt:

/<fa 8in(2» + l)g
6*-t"** sin«

yg e8>-fl— 2g-
2* «» — 1

3m»

Läset man n ins Unendliche wachsen, so ist anch

00

P dx 8in(2n

•=a) t/ **+«* Sil

+l)x ni^+1
sin« ^2*«2*-.l"

Diese Formel lässt sich direct anf folgende Weise verificiren.

Nach Dirichlet (vgl auch Schloemilch's Compend. d. höh. Analys.
n 133) ist für n = OD

CD

0

nnter der Voraussetzung, dass für h^co^mf(hn) —0. Diese Vor-
aussetzung trifft für unsern Fall f(x) =» .^ , # zu, und es ist daher

/8in(2yi+l)g €lx _ / 1 . 1 . 1
™7 sin« b^+x» "" ^ V26>"*"*«+7r»"*"ft»+4;r»

0

oder mit Rücksicht auf 1.

,. /*sin(2n-|-l)a; dx n «a+l .

bm / — ^-r— ^ m — s ■" öl :5ä — ? wie oben.

^ sinac Ä*+^ 2d c*»— i

0

C.

Schon bei Abel, später bei LionviUe findet sich als specieller
Fall eines sehr allgemeinen Integrals der Wert von

/

7t

cos^-^ysinay _, n

MiicaUmu 221

Wir geben hier 2 directe Entwickelnngen dieses Integrals, die
erste nur unter Yoraassetzung eines ganzzahligen a, und setzen

1) /(«) » rmi^iiia

J sin^

n

mithin

n<^^'t)-f

n

a

cos^ysin(o -|- 1)^ dq>

sm^

n
2

; ^(Sina^C08^-)-C08a^SlB9>)

n n

% 2

=. / ^^ +y cos-ycoBo^dv.

0 0

Letzteres Integral lässt sich mittels partieller Integration ersetzen

n
2

durch / cos^~^^sina9)sin^c^9 und es ist daher

/ C08*»-*9)Si

n
2

/(a+l) = y liny (cos'y+sinV) - /(«)

0

also (fttr ein ganzes a) f{a) » Const nnd es bedarf znr Ennittelang
▼on Const nur eines speciellen Wertes von a z. B. » 1. Da nun

n
2

80 ist überhaupt

n
2

cos*~^^sina^rfV n

/

sin9 2

0

2. Ein anderer Weg zur Auswertung dieses Integrals, ist fol-
gender:

Fttr positive (auch gebrochene) a gilt die Definitionsglei

222 MUcdUn.

/

und wenn x = (l+V — ltang9)y gesetzt wird,

ra =

/

cos^g)
oder

0

und durch Tr^mung der Reellen und Imaginären
1 ) / stf^-^ «-*C08 {x tgq>)(fx ^ C08^9 cos afp Fa

0

OD

2)

/ ac«-^«-«sin(a?tg^)€to «= cos<»^8ina9 J^a

d<p

Multiplicirt man (2) mit -:: , so kommt

^ ^ ' sin^cos^'

/

n n

2 2

^ 8in(a;tang ip)dtp ri C ^^ C08*'"~^y singy

f

" ' sing)

0

Setzt man links sctangg) » ^^ so erhalt man durch Umkehrung der
Integrationsordnung

/

, • OD w

^<fycos^~^y singy 1^ /^ -i -«^ Psmz.xdz (Vx^4"^)*

sing» ^^v v' (x^+Ä*)a»

oder

2 « »

/

0 0 0

wie oben abern(dt Ausdehnung der Gilügkeit auch auf gebrochene
positive Werte von a,

D.

Raabe giebt in Crelle's Journal XXYIII S. 112 folgende RelaÜon:
1

/

log r{x + k)dx — ifelogife — fc+ilog(2«)

AiUeeiUn, 223

Dieselbe Gleichheit beweist Stern in seiner Schrift: Zur Theorie
der Eoler'schen Integrale, und reproducirend 6. f. Meyer in seinem
Werke über bestinunte Int(^[rale S. 157 und 158. Ich habe nnn ver-
sucht, den Beweis auf folgende Weise zu fahren.

Nach dem bekannten Gauss'schen Fundamentalgesetze über die
Gammafunctionen besteht die Gleichung:

n r\a'{'A^ Tna. n-~»+i (27r)T' ,

die ausserdem auch durch Dirichlet, Schloemilch u. A. bewiesen ist.
Nehmen wir beiderseits die Logarithmen, so kommt

2 logr(a+-j = logFna— («a — i)logn-t-— g— log(2?r).

k
Setzen wir nun - » a; und lassen n unendlich wachsen, so ist, nach-

dem mit - ^ dx multiplicirt worden, gemäss dem Begriffe bestimmter
fi

Integrale:

/l n 1
logFxdx = lim - (logFna — (na— i)logn -| ö~^^8(2^))

a

= lim (-logrna — älogn) + ^log(2»);

11=00 \** /

die übrigen Glieder ö~logn — ö"^^^^^^) verschwinden für n = oo.

Es kommt nunmehr darauf an lim (-logrna— a log n) zu finden.
Zu diesem Zwecke substituiren wir - statt n, «=od, und erhalten
lim (?—£-?— alog«)+aloga, so dass jenes Integral

- ilog(2«)+aloga+«.lim (»Og^-'^Og»)

«=« \ • /

Setzen wir

logA — »log 3

U = 7 r — »

z(z =od)

so erscheint u unter der Form ^, darf also nach der bekannten d

0
Cauchy'schen Regel so behandelt werden wie ^- Hiemach ergiebt

sich durch Differentüren ii = — 1 — logaf-f-yr-x« Uoter den viel-

224 MUeelien,

r'(z)

flachen Darstdlongen für -p— (vergl. G. f. Meyer best Integrale)

giebt es eine die hier am kürzesten zum Ziele führt nämlich

1

r

r?"/'^['^"£=^] ^^^"^-^^

0 log-

snbtrahirt man hiervon

1

log» = y — j (1 — »'-^), so folgt

0 log-

"=-+A(,-^-f-ä-;^+fT)

0 log- log- log-'

X X X

1

log-

weil wegen x<^\ nnd « = oo das Integral verschwindet Hiemach
ist endlich / logra;<to = ilog(2;r)+aloga— a oder

a

1

/ logr(a?+a)rfjr — ilog(27r) + a log a—a.

Setzt man die Stirling'sche Reihe für logTa als bekannt voraus, so

log JT« — - z log z

kann man unmittelbar i* — -. r-^ finden. Es ist nämlicb

•»(«■od)

log ra = ilog(2a^)+(a-l)loga-«+^^ - ^ ^3+ ...

WO die B die Bemoullischen Zahlen sind, mithin

log/V-ologa log(2agg) logg ^ix»-^ _i
a(«oo) " 2a ■<■ a ""^"*"^a»" ^

wie oben.

Liebrecht

Hoppe: Principien der Flächentheorie, 2^5

xvn.

Principien der Flächentheorle.

Von
R. Hoppe.

Die gegenwärtige Bearbeitung der Flächentbeorie reiht sich einer
grossem Anzahl ähnlicher Arbeiten an, welche in neuster Zeit in
französischen und italienischen Journalen erschienen sind. Das er-
wachte Streben, die Methode in successiven Schritten dem Ziele einer
allseitig befriedigenden und dadurch definitiven Gestaltung zuzuführen,
wovon dieselben Zeugniss ablegen, wird auch den neuen Versuch
rechtfertigen, welcher das gleiche Ziel verfolgt Es liegt mir jedoch
ob, kurz zu bezeichnen, worin er sich unterscheiden soll, und in-
¥riefem ich ihm einen Fortschritt vindicire. Ein Teil der betreffen-
den früheren Arbeiten hat, wie wir es verlangen müssen, in der Tat
das Ganze der Theorie in Auge, sie lassen sich aber in der Wahl
ihres Ausgangspunkts und ihrer Einführungen — anscheinend, denn
Erklärung darüber wird nicht gegeben — durch apriorische Argu-
mente bestimmen, die ich nicht für entscheidend halten kann; sie
wählen dazu eine zu breite Basis, und erschweren infolge dessen den
Einblick durch einen zu grossen Formelapparat. Andere Bearbei-
tungen hingegen sind mehr auf eine geeignete Basis bedacht gewesen;
aber sie richteten sie nur auf leichte Herleitung gewisser Theoreme
ein. Wir müssen beide Forderungen vereinigen. Die Principien
müssen disponibele Werkzeuge der Untersuchung in allen Bichtungen
sein, ebendarum aber auch eine leichte Handhabung gestatten, sich
daher in Einführungen auf den geringst möglichen Umfang beschrän-
ken. Ueber die Bichtigkeit der Wahl kann nur der Erfolg ent-
scheiden. Der Punkt, in welchem die Methoden aus einander gehen,
und der bestimmend für die ganze fernere Gestaltung wird, ist die

TeULlX. 15

226 Hoppe: Prtneipitn der Flächenikeoru,

Einfühning der Fondamentalgrössen zweiter Ordnung; denn die Gauss-
schen erster Ordnung sind allen gemeinsam und es ist kein Grund
erdenklich davon abzugehen. Ich habe nur zu ihrer Bezeichnung
des leichtem Schreibens und Lesens wegen die kleinen Buchstaben
e, /, g statt der grossen gewählt Die von mir aufgestellten 3 Funda-
mentalgrössen 2. Ordnung sind auch schon frflher in Anwendung
gekommen; doch nehme ich auf die betreffende Arkeit keinen Bezug,
weil sie im übrigen keinen Berührungspunkt darbietet Einziger Be-
stimmungsgrund war mir vielmehr, dass die theoretisch wichtigen
geometrischen Eigenschaften und Bedingungen im einfachsten Connex
mit den Werten und Belationen jener 6 Grössen stehen. Die Theorie
wird aus folgenden 3 Abschnitten bestehen: I. Entwickelung der
theoretisch wichtigeif geometrischen Beziehungen auf allgemeiner
Grundlage. U. Besondere Liniensysteme, nämlich Krümmungslinien,
asymptotische Linien, orthogonal geodätische und Abbildungs-Linien-
systeme. IIL Besondere Arten von Flächen, welche sich dadurch
auszeichnen, dass sie Lösungen von Problemen zulassen, die allgemein
nicht lösbar sind. Die einfachsten Sätze der Curventheorie (Bd. 56.
YII.) und der Cinematik (Bd. 55. IX.) setze ich als bekannt voraus.

I« Entwickelang der tlteoreUseli wlcbti|i;en geometrisel&eii
Beaiel&iiiliren auf allgemeiner Grundlage*

§. 1. Bestimmung von Punkten und Linien auf einer Fläche.
FondamentalgrSssen 1. Ordnung. Eine Linie als Ort eines Punktes
(rrya), den derselbe bei Variation des Parameters u erzeugt, ist be-
stimmt durch die Functionen

X = x(u) ; y = y (tt); s « z{u)

Yarürt die Linie mit einem zweiten Parameter v und erzeugt eine
Fläche, so ist diese bestimmt durch die Functionen

X = x{uy v)\ y = y (tt, v) ; « = «(t*, v)

Dabei erzeugt jeder Punkt der obigen Linie , u = const., eine neue
Linie auf der Fläche, die wiederum bei Variation von u dieselbe
Fläche erzeugt. Demnach durchkreuzen sich in jedem Punkte 2 Linien,
genannt die Parameterlinien (u) und (r), welche bzhw. bei allein
variirendem u und allein variirendcm v erzeugt werden. Sofern durch
die Werte von u und v der Punkt (xyz) oder der Punkt (uv) be-
stimmt ist, kann man u, v Coordinaten desselben nennen ; zum Unter-
schied mögen sie superficielle Coordinaten heissen. YMrx^u^
y « t>, « = 0 gehen sie in ebene cartesische Coordinaten über.

_ Boppt: Prbieipitn dtr HachtnAwrit. 28?

Bew^ «ch der Punkt (»p) beliebig, d, h. bd beliebiger gfeich-
zeitiger Variation Ton u und », längs der 'Placbe, so ist das Element
der erzeugten Linie dt aoBgedrückt darch

3<» = 3^»+V+3»'

Das Resultat der Einffibrung dieser Werte bat in Bezog auf Su, Sv
die Form:

3*« = edu*+i/Sudi>+ffdv* (2)

wo

•=e)v©v(^)'

-©'+(|)V(£)-

gesetst ist Ke Coefficienten t,/,g beissen die Fundamental-
grössen 1. Ordnung. Sie baben für alle Linien «, die von dem-
selben Punkte ausgehen, in diesem dieselben Werte, w&breud das
TerblUtniss

für verschiedene Linien verscbieden ist

Unter dem Winkel zwischen 2 sich achneidenden Linien >, »'
versteht man den, welchen ihre Tangenten im Schnittpunkt bilden.
IMe Richtungscosinus der erstem Tangente sind nach dem Obigen:

8x Sw~ 9u

g- -o -p^-— -.===-^ : etc.

Bezeichnet also # den Winkel zwischen t nnd »', denen die Werte
k und V entsprechen, so findet man:

" y{e +2A +?i»K« + 2A'+sf')

Ist insbesondere »' die Parameterlinie («), also fc'= 0, und (
# Aber in #(,, so ist

aau4-/8p

cos#o =

VeyeSu*+2/Öuat.+jai.*

228

ßoppe: Prwapien der FlSekaUheorte.

Lässt man endlich aocb # in die PanuneterÜBie (r), ^^ in £> flb»-
gehen, so wird du = 0, also

C08l> =

V^ü

(6)

Da Diin yebu und ygdv die Werte Ton 8« bzhw. f&r dr ^ 0 imd
d» =- 0 sind, so folgt, dass e, g die Quadrate, /* das mit dem Conniis
des Winkds zwischen den Parameterlinien multiplicirte Prodnct der
beiden Parameterlinieneiemente, jedes dividirt dnrch das Parameter-
increment bedeuten.

Ans dieser Bedeutung folgt, dass «, /; g nnabhAngig von der
Lage der Axen der x, y, z sind

Sind nmgekebrt anf zwei Flächen, die man in denselben Para-
metern ff, V darstellt, die Werte von «, /, g dieselben, so sind nach
Ol. (2) anch die Längen aller entsprechenden Linien gleich; folglich
kann man die eine Fläche dnrch Biegung ohne Dehnung oder Con-
traction auf die andere legen, und man hat den Satz:

S. L Alle Flächen, die, bez&glich auf dieselben Pa-
rameter, gleiche Fnndamentalgrössen erster Ordnung
haben, sind auf einander abwickelbar.

Endlich folgt noch ans (4) und (6), dass

und

/=0
e+fik+k')+gkk'z=0

(7)

die Bedingungen des rechtwinkligen Durchschnitts bzhw. der Para-
meterlinien und zweier beliebigen Linien sind.

§. 2. Berthrnngsebene und Xormale. Die Oleichungen der
Tangente einer Curve # auf der Fläche sind:

Setzt man fär dx, dy, da ihre Werte (1) und eliminirt du, dv, bo
kommt:

dx dx

8i di ^"""^

By dp

8» Bz

= 0

(8)

Hoppe: PrindpUn der FUetitraheorit. 229

das ist die Gleichung eioer Ebene. Da aie Sh, 9c nicht euUiitlt, so
gilt sie gleicherweiee fQr die Tangenten aller Carren, die durch den
Pankt (ue) gehen. Die so hcstimmte Ehene, in welcher demnach
all«! dieco Tangenten liegen, hoisat die BerUhrunggebenc, ihre
Normale im Berührnngspnnht errichtet die Normale der Fläche.
Die RicIitungdcosinDS der einen wie der andern p, q, r mOasen den
Coefficienten von £, i;, £ proportional sein; daher hat man:

Sy 8y

S, S.

8x S-,

a R

; gt —

S. R

; ri =

S, R

8. dl

3< dx

8, 8,

a R

iS R

ii ii

Zar Beatiramnng von ( nimmt man die Qnadratsamme der 3 Grftaseu;
dann kommt:

ti^eg—f* (10)

Da die Normale auf allen Tangenten senkrecht steht, so ist fttr
Jede Variation längs der Fläche

pae+4as+r3« = 0 (11)

Der Formel (6) lässt sich jetzt eine zweite an die Seite stellen ;
es ist _ _

f=VegC(i9D; 1 — VeyBinZ) (12)

$. 3. FllebeBelement. Denkt man ein Flächenstack Si. von der
Parameterlinie (u) bei variirendem v erzeugt, so nimmt es, wenn v
in v-^dv übergebt, um den unendlich schmalen Streifen S52 zwischen
2 consecutiven Paramcterliuien (u) zn. Dieser Streifen wird zugleich
mit dem Flächenstttck Si von der Parameterlinie (r) hei variirendem
u erzeugt, und sein Increment d*Sl, das er bei Uebergang von u in
u-|-^ erhält, ist das nach allen Richtungen unendlich wenig ans-
gedehnt« Bogenviereck zwischen 2 Far consecntiven Parameterlinien
<u) nnd (f) und heisst als solches das Element der Fläche, in dem
Sinne dass durch Integration nach u nnd v daraas die Fläche ß er-
balten wird. Dieses Bogenviereck lässt sich als ein Parallelogramm
in der Berakmngsebene betrachten, dessen 2 an den Pn
Btossende Seiten die aof den Tangenten der Parametei
tragenen Linienelemente

bilden mit dem Winkel D zwischen sich. Der Inhalt isi

das ist nach (12):

a»a = Veett.yyödsinz)

8»a=^i8u8t., oder ß — //(au3p

230

Hoppe; Principien dtr Ftächentheoriß.

Gemäss dieser geojoeietrischen Bedeutung der Grösse i kann man die-
selbe den Flächendifferentialquotienten nennen.

§. 4 K9rpereleraent. Denkt man einen Körper P von einer
Fläche, ausgedrückt in den Parametern u^ v bei Variation mit einem
dritten Parameter w erzeugt^ so ist, wenn w in u^-f-^^, übergeht, das
Increment des Körpers dP die unendlich dünne Schale zwischen 2
consecutiven Flächen. Während nun das Flächenstück Sl die Schale
dP erzeugt, erzeugt das Flächenelement d^Sl das nadi allen Bich-
tungen hin unendlich wenig ausgedehnte Körperelement d^P, in
Gestalt eines Prismas auf der Grundfläche d^A und von einer Höhe
gleich der Projection der Yerrückung des Punktes {uv) auf die Nor-
male der Fläche. Die Projectionen der Yerrückung auf die Axen
der ir, ff^ 9 sind

also ihre Projection auf die Normale

folglich ist das Körperelement

a«p = Äa»Ä « Af ÖMÖt; oder
8»P= TduBvdw

wo nach Einführung der Werte (14) (9)

dx dx dx

du dv dw

^ ^ 8y

du dv Sw

ds d» dz

du dv dw

w

(14)

(15)

wird.

(16)

§.5. FundamentalgrOssen zweiter Ordnung. Als Fundamen-
talgrössen 2. Ordnung betrachten wir folgende drei:

8«x 8«y 8»»

(17)

Hoppe: Prificipien der FVkhentheorü, 231

Aach diese sind unabhängig von der Lage der Axen der or, y, z^ wie
eine Orthogonalsubstitation fttr x, y, z leicht zeigt Yermittelst ihrer
lassen sich nnn die Ck)varianten (d. i. mit der Axenlage variirenden)
2. Ordnung anf je 3 Covarianten 1. Ordnung nnd Invarianten (d. h.
von jener unabhängige) 2. Ordnung zurückführen, in folgender Form :

d^x dx dx

d^x dx . dx .

dp „^^iff^^

dp j^ A T ^^
dv du*^vv

(19)

gültig für jede Lage der x Axe, so dass die Coefficienten dieselben

bleiben, wenn x in j^ und z^ p ia q und r übergeht Um die Coeffi-

dx
cienten zu bestimmen multipliciren wir die Ö Gleichungen mit k-

nnd nehmen die Summe der je 3 analogen für x^ y, z. Dabei ist
hinsichtlich der linken Seiten zu beachten, dass durch Differentiation
der Gldchnngen

erhalten wird:

dx dy dz

dx . dy . dz ^

du du * du du * du du *
dvdu*dvdu*dvdu' ""
dudv*dudv*dudv* "^

(20)

(21)

Dann kommt:

232 Boppe: Principien der FtSehentkeorie.

k%=>Be+B,f ) (22)

— F « J« + ^j

(23)

.. 3«

Multiplicirt man dieselben Gleichungen statt dessen mit g-» so giebt
die Summe der analogen:

i|«B/+^,^ / (24)

--F^Hf+H^g

h9 \

(25)

Hiernach sind je 2 der 10 Coefficienten durch 2 lineare Gleichungen
bestimmt, aus denen ihre Werte leicht hervorgehen. Multiplicirt man
endlich statt dessen mit p, so giebt die Summe der Analogen:

und die 2 letzten Gleichungen sind identisch erfttlli Sofern die ge-
fundenen Werte unabhängig von der Axenlage sind, ist die anfäng-
liche Aufstellung gerechtfertigt.

§. 6. Relationen zwischen den FnndamentalgrSssen. Differentürt
man die erste, zweite, vierte der Gl. (18) (19) nach t?, die zweite,

dritte, fünfte nach w, so erhält man je 2 Ausdrücke für g-^» SX«'

g-^f die einander gleichgesetzt 3 Gleichungen ergeben, sämmtlich
von der Form

in der sie mit Hülfe derselben Gl. (18) (19) dargestellt werden können.
Da diese für jede Axenlage gelten, so muss

Boppt: PrincipUn der FUehtnlktorie.

sein. Unter den bo entstebeuden 9 GloichuDgen ist eine ftlr sich vod
selbst erfUlt; die flbrigen geben flbcreiDstimmeud nur folgende 3 nu-
abh&ngigen Resoltate:

,/f,afd,SfS,d,ll!, 8.8, 8/8/(
"•" >■ r St. S+^'a» Su+fo äi.~8i 8«"' 8u 8» j

+2iOe-F/)^£+(E/-Fe) ^ - 0 (27)

+2(£S-/y)^+{/i-£/)| = 0 (28)

Die erste, welche nir die Gauas'scbe Relation neunen können,
ist wichtig, sofern sie zeigt, dass die Grösse EG — F' fllr bestJmmte
Parameter nur von Fundamental gtiisscu 1. Ordnung abhängt, folglich
nach §. 1. anf allen aaf einander abwickelbaren Flächen denselben
Wert hat.

§. 7. Belation iwlsehen den KrHmroanKen berfthrender Cnrres
(HensnlerVher Sats). Maltiplicirl man die erste der 61. (21) mit
t*u*, die zweite und dritte mit ökSi', die vierte mit Bo' und addirt sie,
so kommt:

wo die vollständigen Differentiale goi
liebten Ricbtnng l&ngs der Fläche, d
Cnrve s zn nehmen sind. Wendet
Carre an, düvidirt beide Gleichnngeu
letztere nach dem Kramninngswinkol

''8i3* + «at5.+'"9T3«"

234 Hoppe: Prmeipien der IVicheniheorie.

Da die 2mal 3 Factoren zur Linken die Richtungscosinas der Flächen-
normale und der Hauptnormale von s sind, so drttckt die Linke den
Cosinus des Winkels zwischen beiden Normalen aus. Setzen ¥rir
diesen « ö, so wird die Gleichung:

g^cos»- ^^2^2fdudv+gdv^ ^"^^

Die Grösse zur Rechten hängt nur von m, v und g- ab, welche einen

Punkt und eine Tangentialrichtung bestimmen, ist also dieselbe för
alle Curven s auf der Fläche, die sich im Punkte (uv) berühren.
Wir legen nun allen diesen Curven diejenige zugrunde, in welcher
eine durch die Flächennormale und durch jene Tangente gelegte Ebene
die Fläche schneidet. Diese ebene Curve, kurz bezeichnet durch den
Normalschnitt im Punkte (uv) fUr die Richtung (9f*, dv), hat die
Flächennormale zur Hauptnormale, also ist für sie d » 0. Femer

drückt Y ^^^ Krümmung, k- den Krümmungsradius der Curve s aus.
Bezeichnet also p den Krümmungsradius des Normalschnitts, so ist

1 Edu^'\-2Fdudv-^Gdv*

g^ eBu*'\-2fSudv-\-gdv* ^^^^

woraus verglichen mit (30):

g^ — p cosö (32)

Wir haben demnach zur Charakterisirung der Fläche in einem Punkte
von jetzt an nur die Krümmungen von Normalschnitten zu unter-
suchen.

§. 8. Summe der Krttmmungen zweier sich unter rechten Win-
keln schneidenden Normalschnitte. Ohne Rücksicht auf die Bedeu-
tung der Buchstaben hat man die identische Gleichung:

(e'\-2fk+gk^)(E'^2Fk'+Gk'^+(e+2fk'+gk'^)(E+2Fk'\-Gk^
^2{e-^f(k+k')+gkk']\E+F(k+k')'\-Gkk'\

'\'(eG'-'2fF+gE) (k-^k')^ (33)

Haben jetzt e, /, ^, k, k' die Bedeutung von §. 1., d. h. sind k^ k'

die Werte von k- für 2, im Punkte {m) sich schneidende Curven,

so ist nach Gl. (7)

«-f/(ifc4-Ä;')+^^Äj'— 0 . (7)

die Bedingung, uuter der die Curven sich rechtwinklig schneiden.
Dies angenommen reducirt sich die Gleichung auf

Boppt: Princ^en dtr Ftäckeoihtarit. 235

= (eG~2fF'i-gE)(k^ky (34)

D« blerin E, F, O noch beliebige GrOsBeu sind, so setzen wir

E = e; F = f; O =^ g
dann kommt:

(«+2A+ffi»)(« + 2A-'+fft'*) = iHh-k')* (35)

Die vorige Gleicbnng dnrch diese ili«'idirt giobt:

E-\-2Fk-\-Gk* E-^2Fi'+Gk'* eG — 2fF-\-gE
t-\-2fk+gk*'^ e-\-2fk'+gl/^' ~ *»

worin nocb immer E, F, G beliebige Grössen sind. Erteilt man ibnen
Ihre Bedeutung (17), so drttcken uach (31) die 2 Terme zur Linken
die ErüQunQDgen der 2 Normalschuitto für die Richtungen der T^-
geilten der 2 genannten Carven hus. Bezeichnen also 9, q' die
Krflmnumgsradien zweier sich rocbtwiaklig schneidenden Normal-
schnitte, so ist

11 eG-~2fF-\-gE

f+f' 1> *"*'

dv
Da die Rechte uoabhftngig von q- ist, so bat man den Satz:

S. 2. Die Snmme der KrUinmungeu zweier sich recht-
winklig schneidenden Normalschnitte ist fQr dei
stimmten Schnittpunkt cnnstant.

§. 9. Hauptkiümmnnge». Der Ausdruck (31) von - varii:

mit u, D und g~ "• '^1 also für einen festen Punkt (wo) nur 1

indem die Normalschnittsebene um die Normale rotirt. Biffer
man unter dieser VorauBBetznng Gl. (31) nach k, so kommt:

afcW~Jr|

f+gk e + 2fb-^gk* I

:i!;i-i:fi'+i^ri'

wo zur Abkürzung

ff=i(«+2A+fftr

gesetzt ist Verschwindet dieser Ausdruck för jedes k, so ist -
staut, ein Fall den wir spi^ter betrachten. Verschwindet er n
bestimmte Werte von k, so entsprechen diesen ein Maximum ui

236

Hoppe: Principien der Fläckentheorie,

Minimum von - ; denn, wenn nicht alle Krümmungen gleich sind, so

muss bei einer vollen Umdrehung mindestens eine ein Maximum und
eine ein Minimum sein, daher muss die quadratische Gleichung,
welche k bestimmt, nämlich

EF

ef

GE

<7«

k +

FG

fg

it««0

(38)

immer 2 reelle ungleiche Wurzeln haben, deren eine der Maximal-,
die andere der Minimalkrümmung entspricht Die 2, durch diese
Wurzelwerte bestimmten Normalscbnitte heissen die Hauptnormal-
schnitte, ihre Krümmungen die Hauptkrümmungen, ihre Ebenen
die Hauptnormalebenen, ihre Tangenten die Hauptkrüm-
mungstangenten, und deren Richtungen die Hauptkrümmungs-
richtungen.

Sind Xtj, k^ die Wurzel» der Gl. (38), so wird

FG

fg

= JI/;

GE

ge

-Af (*,+*,)-,

EF
«f

"Mk^kt

(39)

worans dnrch Verbindung:

t
£

h+f^)-\-ghh -
h+k,)-\-Gk,h =

0
0

(40)
(41)

Erstere Gleichung sagt, dass die Hauptkrümmungsrichtungen auf ein-
ander senkrecht stehen; die Bedeutung der letztern wird in §. 13. zu
Tage kommen. Da sich also die Hauptnormalschnittc rechtwinklig
schneiden, so ist nach Gl. (36), wenn p,, g^ ^^ Hauptkrümmungs-
radien bezeichnen:

l l^^eG^2/F+gE .

Setzt man femer in Gl. (33) k=k^j k'=Ii^^ und erst c, /, ^r für
Ey F, G^ dann umgekehrt £, F, G für c, /, ^, so erhält man nach
Gl. (40) (41):

(e'\'2/ki+gk^^)(e+2/k^+gk^^) = t^{k,,-k^)^ (43)

(E-f 2FÄri-f-(?ÄT,«)(£;4-2Fibj+GfV) = {EG — F*){k^ -ik,)« (44)

und nach Division, zufolge (31):

1 EG—F^

P1P2

t'

(45)

Da jetzt Summe und Product der Hauptkrümmungen bekannt ist, so
ergeben sich beide einzeln als Wurzeln der Gleichung:

Hoppe: Principien der FlSchtntkeorw.

237

(46)

Um jedoch za finden, welche Wurzel zu k^, welche zu h^ gehört,
untersuchen wir direct die Differenz heider

Nach Gl. (31) ist sie

^~ e+2/k^+gk,^ e+2/ifc,H-^V

Dies multiplicirt mit dem aus (43) bekannten Product beider Nenner
giebt:

e + 2/k,+gk,* «+2/Ä:,+^V

M^ik^^k^)^

(h-h){-

EF

+

GE

9^

(^+*»)-2

FG

fg

Kh]

und nach Einführung der Werte (39):

zf =

FG \ k^^k^

fg '

>t

(47)

Die gefundenen Resultate vereinfachen sich, wenn man fUr E^
f; G ihre Werte aus den GL (23) (25) substituirt; denn dann wird

EF

1 ef

and man findet:

GE

g^

iH^J,)t*',

FG

fg

=^jt^

(48)

(49)

ih 9t 9i 92

woraus :

9i9s

HJ^—JH^ (50)

h-

— H+J^ — J
2J

h-

^H+J^ + J
2J

1 ^~H— Jj4-zf. 1 J?+Jt+zf

^] 2 pg 2

(51)

(52)
(53)

Die Gleichungen, welche die Hauptkrflmmungsrichtungen und Haupt-
krümmungen bestimmen, lauten jetzt:

238 Hoppe: pFtncipien der FlSchentheorie.

•/Ä;«+ {H— J^)k—H^=^0 (54)

{^+H^(^^+J,^^JH, (55)

§. 10. Sphärische KrAmmung:. Wie anfangs §. 9. erwähnt, wird
- constant^ also die Krümmungen aller Normalschnitte, die durch

einen Punkt gehen, einander gleich, wenn 61. (38) unabhängig voa
k gilt, wenn also

= 0
ist, drei Gleichungen die sich auf folgende 2 reduciren:

EF

= 0;

GE

ge

-0;

FG

fg

E

e

F

f

G
9

(56)

Im allgemeinen bestimmen dieselben einen oder einzelne Punkte; ein
solcher Punkt heisst ein Nabel punkt In besonderen Fällen geben
sie nur eine Relation zwischen u und v, bestimmen also eine Linie,
Nabellinie. In Nabelpunkten und Nabellinien heisst die Fläche

sphärisch gekrümmt. Nach (31) werden die 3 Quotienten ^ -;
daher ist

E

e

(?=.?

(57)

§. 11. Krttmmnngsmass. Zieht man von einem festen Punkte,
z. B. dem Anfangspunkte der xyz eine Gerade von der Länge 1 in
der Richtung der Normale einer Fläche, so ist der Ort des Endpunkts,
dessen Coordinaten also ^^ q^ r sind, eine Kugelfläche vom Radius 1,
auf welcher jedem Punkte der Fläche (xi/z) ein Punkt der Kugel-
fläche (pqr) entspricht. Beschreibt nun der Punkt (xyz) den Umfang
eines unendlich kleinen Flächenelements d^Sl^ so beschreibt der Punkt
(pqr) den Umfang eines uuendlichkleinen sphärischen Flftchenolements
d^m. Den Quotienten

nennt man die Krümmung der Fläche, in analogem Sinne wie
in der Curventheorie der Quotient ^ die Krümmung der Curve ge-
nannt worden ist, nur war es daselbst die Tangente, mit welcher
vom Anfangspunkte eine Gerade von der Länge 1 gezogen ward,
deren Fndpunkt dann auf der Kugel die Curve r entsprechend der
vom Berührungspunkte gleichzeitig durchlaufenen Curve # beschrieb.
Ebenso wie dort werden wir auch in der Flächentheorie jede vom

Hoppe: PrindpUn der FtMentheone.

239

Punkte (pqr) beschriebene Curve die Indicatrix der Normale für
die von ihrem Fosspnnkt gleichzeitig beschriebene Curve nennen.

Um den Wert der so definirten Erümmnng zu finden, wenden
wir eine der Formeln (9) auf die Kugelfläche an, wo der Grösse t
die Grösse t^ entsprechen möge, während p, ^, r auch hier die Rich-
tungscosinus der Normale ausdrOcken*, dann ist

P'i

dq

du

dq'
dv

dl-

du

dr

dv

und nach Einführung der Werte (19)

P^i =

"t+'^t 4+''t

9z . dz ^' I ^

8^ 8y

8tt 8v !

Der letzte Factor ist «= pt, der erste nach (50)

t

PiP«

folglich

U

oder

PiP«

(58)

8*fl) <^8u3p 1
8*Ä tdt«dv ^Ps

(59)

S. 3. Die Krümmung der Fläche ist also gleich dem
Product der Hauptkrümmungen. Infolge dessen können wir
ehie Fläche positiv oder negativ gekrümmt nennen, jenachdem
die Hauptkrttmmungen gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben.
Der Grenzfall, wo eine Hauptkrümmung null ist, kann entweder auf
der ganzen Fläche oder längs einer Linie oder in einem blossen
Punkte stattfinden. Im ersten Falle wird durch die Eigenschaft eine
besondere Art von Flächen dcfinirt, deren Theorie im 3. Abschnitt
behandelt werden wird; im zweiten ist die Linie der Nullkrümmung
gewöhnlich die Grenze zwischen zwei entgegengesetzt gekrümmten
Teilen einer Fläche.

§. 12. Redttction der Krttmmung eines beliebigen Xormalsehnitts

auf die Hauptkrttmmungen. Bezeichnet ^ den Winkel zwischen der

8v
beliebigen Tangentialrichtung o^ "^ ^ und der ersten Hauptkrümmungs-

richtung gr ="^i> so ist R— -^ der Winkel zwischen eben jener

240 Hoppe: Prtncipien der Flächentheorie,

dv

der zweiten Hauptkrümmungsrichtang K- = kf, Daher erhält maB

die Werte von cos^ und sin^ aus der Formel (4), wenn man bzhw.
k' — A?] und k^ setzt Nun hat man vermöge der GL (40) :

e+f(k+k^)+gkk^ = {/+gh)(^-k^
e+/(k+h)+gJck, = (/+gkt)(k-k^)

t + VK +9h^ = (f+gh) (h -h)

Demnach gehen die genannten Ausdrücke über in

cos*^

sin»'^

e+2/k+gk* k^—k^

Ebenso hat man vermöge der Gl. (41):

E+2Fk^ + 6? V = (^+ ^h) (h - h)
E+ 2FJb2+ (?V =— (^+ (^h) (*i — h)

demzufolge die Formel für die Krümmung eines Normalschnitts (31)
angewandt auf die Hauptkrümmungen ergiebt:

Qi ^ f+gh ' p8 /+g^2

Aus vorstehenden 4 Ausdrücken setzt sich zusammen:

cos*^ sin^^ _ (^+^^i)(^-— M^~(i^+g^)(i^-^i)^
(fi '^ (f% '^ (e+2/k+gk^){k^^k^)

2Fk + Ok^ — F{k^ + k^) — Gk^k

X

e + 2fk+gk^
das ist nach (41) und dann nach (31)

E'\'2Fk+Gk^ 1
^ e+2/Är+flfA:» ^p

also

1 cos*-^ . 8in*d ,_,

(61)

Auf Grund dieses Resultats kann man die Beziehungen zwischen

den Krümmungen der Normalschnitte folgendermassen constructiv

dv
darstellen. Denkt man auf der variabeln Tangentialrichtung g~ *= *

eine Strecke R abgeschnitten, so sind 72, ^ die Polarcoordinaten des

Hoppe: PrmeipUn der FlScheniheorie, 241

Endpunkts P auf der BerühruDgsebene für den Berührungspunkt M
als Anfangspunkt Lässt man den Punkt P um M als Mittelpunkt
einen Kegelschnitt beschreiben, so wird dessen Gleichung

^ (J?cos^)2 , (Äsin^)«
^= ä ^ b

identisch mit Gl. (61), wenn man

a ^ ; o =■

setzt Diese Gleichungen kann man entweder durch

Ä««= p; a= p,; i = p,
oder durch

iE«= — p; a=— p,; 6= — pa

erfüllen. Ftlr positive Krümmung, wo P|, p^ gleiches Vorzeichen
haben, können a und ä, weil nie beide negativ sind, nur positiv sein,
und p hat dasselbe Vorzeichen. Für negative Krümmung hingegen
sind beide Bestimmungen von a, h zulässig. Folglich ist der Ort des
Punktes P für positive Krümmung eine Ellipse, für negative eine
Verbindung zweier Hyperbeln von gemeinsamen Asymptoten. Unter
allen Umständen aber ist der absolute Wert des Bollmmungsradius p
dargestellt durch das Quadrat des Radiusvectors. Da, im Intervall

Ton ^ = 0 bis ^ = R, p von p^ bis pj variirt, so muss - im Fall

negativer Krümmung einmal null werden und sein Vorzeichen wechseln;
dies geschieht, wo der Radiusvector in die Asymptote übergeht Ist
aber die Krümmung des Normalschnitts null, so sind es nach §. 7.
die Krümmungen aller Curven von gemeinsamer Tangente gleichfalls.
Diese Nullkrümmungsrichtungen, deren in jedem Punkte einer negativ
gekrümmten Fläche 2 existiren, nennt man die asymptotischen
Richtungen. Man findet sie durch Auflösung der Gleichung

£+2FÄj + G^Ä;« = 0 (62)

nach k.

§. 13. Variation der BerUhrungsebene. Variirt der Berührungs-
punkt {xyz) der Berührungsebene

beliebig, so erhält man durch Differentiation bei constanten $, 17, (
als zweite Gleichung der Goincidenzlinie :

Die Goincidenzlinie geht also durch den Punkt {xyz) und ist Tan-
gente der Fläche.

T«fl LIX. 16

i

242

Hoppe: PrindpUn der FlSchentkeorie,

Bezeichnet v den Brehnngswinkel, so ist ihr Richtongscosinus
gegen die x Axe:

JLJ9 ^
dv r dr

Hdu'\'Jdv

dv

8y
« du

du

+

ffidu'-\~J^dv

dz

•• dv

und, wenn man f^ ^, r die Werte (9) setzt:

Hdu'{-Jdv
tdv

das ist nach (23) (25):

/

du

dx

dv

+

tdv

/

du

dx

^ dv

tdv

~ Edu+Fdv

dx

^ Fdu'{-Gdv

(63)

Nimmt man zur Bestimmung von dv die Quadratsumme der Analogen,
so kommt:

(tdv)^ = g(Edu+Fdv)^—2/(Edu+Fdv)(Fdu-\-Gdv)
-i-eiFdu-^-Gdv^
= (eG — 2/F+ gE) (Edu^ + 2Fdu dv + G dv^)
-'(EG — F^)(edu^+2/dudv+gdv^)

also

(64)

Bezeichnet a' eine Curve, deren Tangente die eben bestimmte
Coincidenzlinie ist, und werden die Tangentialrichtungen von a (Bahn

des Punkts (xyz)) und «' bestimmt durch die Worte k~ ^ k und k\

cu

so lässt sich das Resultat (63) schreiben:

dx

8i ^+^^

(65)

Hoppe: Principien der Flächentheorie.

243

vX ox

Mnltiplicirt man einzeln mit g-» öt* so giebt die Summe der Ana-
logen:

e

e+fh'

f+g^'

idv
tdv

E+Fk
f F^-Gk

f
9

E-^Fk

woraus durch Elimination von 8v:

E'\'Flk'\'k')^Gkk' — 0

(41)

Diese Gleichung zeigt zuerst, dass die Tangenten von s und s'
in reciproker Beziebuug stehen. Man nennt darum die Coincidenz-
linie der Berührungsebene die conjugirte Tangente zu derjenigen,
welche die Richtung der Variation des Berührungspunkts bezeichnet-,
und umgekehrt ist dann lctzt<^re die conjugirte Tangente der Coin-
cidenzlinie.

Femer ist aus §. 9. bekannt, dass die Gl. (41) verbunden mit

der folgenden

e+f{k+k')+gkk'==^0 (7)

welche Bedingung des rechtwinkligen Durchschnitts von s und «' ist,
die Bedingung ausmacht, unter der die Tangenten beider Curven
Hauptkrümmungstangenten sind. Hieraus folgt der Satz:

S. 4. Conjugirte Tangenten bilden immer und nur
dann rechte Winkel, wenn sie Hauptkrümmungstangenten
sind. Oder umgekehrt:

Notwendige und ausreichende Bedingung der Haupt-
. krümmungsrichtungen ist, dass sie 1) senkrecht auf ein-
ander und 2) conjugirt sind. ♦

Gl. (41) differentiirt giebt:

(F+ GkY dk' = (EG — F*) dk

daher variiren k und k' auf positiv gekrümmter Fläche in gleichem,
auf negativ gekrümmter in entgegengesetztem Sinne. Da aber die
conjugirten Tangenten bei Rotation um den Berührungspunkt gleich-
zeitig in die Hauptkrümmungsrichtungen fallen, so folgt, dass sie von
diesen aus auf positiv gekrümmten Flächen, in gleichem Sinne rotirend
in verschiedene Quadranten, auf negativ gekrümmten einander ent-
gegen rotirend in denselben Quadranten treten und sich einander
begegnen. Letzteres geschieht f ür ä? = A;', also nach Gl. (41) für

i;+2i^+öib« — 0

16*

244

Hoppe: Prindpien der FtäeMemikeorU.

d. L nach S- 12- ^ d^i* asymptotischen Richtung, nnd man hat den

Satz:

8. 5. Die asymptotische Tangentialrichtnng ist sich
seihst conjngirt

§. 14. Taiiation der Normale. Die Normale hat denselben
Drehongswinkel v wie die Berühmngsebene, and eine gleichgmchtete
momentane Botationsaxe. Es bleibt daher nnr ihr Drehpanktsabstand

Ä = —

dpdx-\--dqdy-{'drd»

nnd ihre Gleitnng l&ngs der momentanen Botationsaxe

^^-si

zu berechnen. Der Weit des Zälders von R ist bereits nach GL (29)
bekannt, nnd vermöge (31) nnd (64) wird daraus:

p

dp

dx

5

dq dy

r

dr

dz

R

gdv^

9t Qf

Qi + Qi—9

(66)

Der Ausdruck von Q aber, entwickelt nach Elementen der dritten
Verticalreihe, enthält als Coefficienteu die in §. 13. ermittelten Rich-
tungscosinus der Coincidenzlinie der Berührungsebene, so dass

nnd nach Einsetzung der Werte (65)
30«

~tdv\f+gk F+Gk

~~ tdv WfF

e E

k +

f F

go

-}

oder, weil die Klammer nach §. 9. für A; » ä:^ nnd k^ verschwindet:

dQ

tdv

f F

go

(A.-^^)(Ä._4,)

(67)

Hiemach ist die Gleitung constant null und der Drehpunkt
Coincidenzpunkt in Nabelpunkten der Fläche, in jedem andern Punkte
findet dasselbe statt bei Variation in den Hauptkrümmungarichtungen.
Bei beliebiger Variation stellt dQ den normalen Abstand zweier con-
secutiven Normalen dar.

Hoppe: Principien der Flächentkeorie, 245

Die Lage des Brebpankts, resp. Coincidenzpunkts erhält man als
Endpunkt der Strecke B anf dem positiven Arme der Normale ab-
geschnitten. Coincidenzpunkt wird er zweimal, fdr p = p^ und g =* g^.
Bzbw. wird hier auch Ä = pj und P2- ^^^ Orte der letztern 2 Punkte
heissen die Mittelpunktsfläcben.

§. 15. BediBgang eines Kormalensystems. Eine Gerade

= -T-^ ^ -= R (68)

a b e ^ '

Tariire mit 2 Parametern u, v. Fttr beliebige Variation ist dann

hx = 3a-|-JB8a-f-a9i2
8y = dß+Rdh-^bdR
dz =8y+Ä8<?+<?aÄ
woraus :

adx-\-hdy'^cdz = a3a-|-&3j3-|-c8y-f-8Ä

Soll nun die Gerade Normale einer Fläche, (xyz) ihr Fusspunkt sein,
so muss die Linke verschwinden. Dann wird a8ar|-&8/3+i?8y ein
Differential, nämlich von —R. Die Bedingung ist also: •

8

dr

V^8i+*8t.+ "8uj = 8i*r 8^+*87+"8t;j

oder:

Ba 8a , Bb Bß^^ Bc By __ Ba 8« , 8ä Bß .Bc^ By
Bv Bu~* Bv Bu^ Bv Bu 8t* 8r ' 8m 8ü ' 8m 8ü

Immer und nur dann, wenn diese Gleichung erfüllt ist, ist das System
von Geraden (68) ein System von Normalen einer Fläche.

§. 16. Torsionswinkel einer Curve aaf der Fläche. Bezeichnet,
wie in §. 7. ß den Winkel zwischen der Hauptnormale einer Curve *
auf der Fläche und der Flächennormale, femer a, &, e die Bichtungs-
cosinus der Binormale, o^, &i, c^ die der Hauptnormale, so dass ^

l>^+3*i+**^i = <^os6 (70)

pa -{-qb -f-rc = — sinö

wird, endlich r und ^ den Krümmungs- und Torsionswinkel, so hat

man:

Q Q 8«^ B Bx

8a,-=a8^-g^8r; «i = g^ g^

und findet nach Differentiation der Gl. (70):

ai8p+6i8^-f-Ci8r— a^sin© — — 8©sin©

246 Hoppe: Principien der Flächentheone,

Setzt man für dp, dg, dr ihre Werte aus (19), so kommt:

sinö '

wo zur Abkürzung

gesetzt ist. Zur Bestimmung dieser Coefficienten hat man zun&chst:

Afdu-^-Ndv = Oj^dx-^-b^dy+c^dz = 0 (72)

Um eine zweite Bestimmung zu erhalten, lassen wir die Curve 9 von
einer zweiten Curve «' rechtwinklig schneiden. Für erstere sei

Ä- « A;, für letztere = h\ Die Tangente von «' bildet dann mit der
Hauptnormale von « den Winkel ö — R, daher ist

8me=«.| + 6,| + *.|. = (3^+^*')^ (73)

Eliroinirt man zwischen den 3 Gleichungen

»-\-fQc-\-k')-\-ghk' = 0

e+m'+gk'* - (^)'
« und ifc', 80 findet man:

und, wenn man nur die 2 ersten subtrahirt:

woraus:

|:^e(Ä:-A:')g (74)

Jetzt werden die Gl. (72) (73):

M'\'N1c = 0

3f -f iy^Ä;' ^tik-'k')^ sine
woraus:

lf«tJfe^8ine; ivr =— ^^sine

Hoppe: Principien der Flächentkeorte, 247

und Gl. (71) wird:

du*

das ist nach (54):

du*

3^ — ae = « -gy j(ifc — jfcj) (Ä; — Ä^g)

Der Torsionswinkel einer beliebigen Corve auf der Fläche ist also:

/Bu*
t g^ J(k—ki) (k — k^) (75)

§. 17. Blegrungr und Abwickelung. Variirt eine in Parametern
t», V dargestellte Fläche, so betrachten wir den durch die Werte von
u, V bestimmten Punkt als beständig denselben, desgleichen eine Linie,
wenn sie der Ort identischer Punkte ist, und ein Flächenstttck, wenn
es identisch begrenzt ist.

Eine Fläche biegen heisst sie so verändern, dass alle begrenzten
Linien auf ihr gleiche Länge behalten.

Wird eine Fläche gebogen, so folgt, dass alle begrenzten Flächen-
stücke, insbesondere die Flächenelemente constanten Inhalt haben.

Eine Fläche auf einer andern abwickeln heisst sie durch Bie-
gung (und Transposition) in letztere übergehen lassen.

Damit also eiue Fläche Sl auf einer andern Sl^ abwickelbar sei,
muss jede irgendwie begrenzte Linie s auf ihr, also auch das Quadrat
des Linienelements

da* = edu*'\'2fdudv'\'gdv*

und, da es für willkürliche du, dv gilt, auch die Coefficienten e, /, g
auf Sl und Ä^, in denselben Parametern dargestellt, gleichen Wert
haben, und umgekehrt; der Satz lautet:

S. 6. Kotwendige und ausreichende Bedingung der
Abwickelbarkeit ist, dass 6, /, g auf beiden Flächen
gleich sind.

In diesem Falle ist offenbar auch t und das Flächenelement tdudv
gemeinsam, desgleichen die Krümmung der Fläche

J^ EG^F*

weil sie nach Gl. (26) in e, /, g darstellbar ist.

Die Aufgabe, alle auf der Fläche Ä^ abwickelbaren Fläch«*'- "

248

Hoppe: Principien der Flächentheorie.

ZU finden, besteht demnach in der Integration der Gl. (3), worin c,
fy ff gegeben, d. h. aus Sl^ zu entwickeln, und «, y, a gesucht sind.

§. 18. Mittelpanktsfl&chen. Die Gleichungen der beiden Mittel-
punktsflächen sind nach §. 14.

Durch Differentiation gemäss den Formeln (19) erhält man:

Bezeichnet man durch ^j, ^, r^, f, die Werte von p, (^fi *•» * auf der
ersten Mittelpunktsfläche, so findet man durch Anwendung der For-
meln (9) auf die vorstehenden Differentialquotienten:

Pih =

du

etc.

Hieraus folgt, dass

dass also (S. 7.) Die Normale der Mittelpunktsfläche
parallel der Berührungsebene, ihre Berührungsebene
parallel der Normale der ürfläche ist.

Die Herleitung anderer Eigenschaften versparen wir, bis durch
Einführung geeigneter Parameter die Untersuchung vereinfacht werden
kann.

§. 19. Parallele Flftchen. Trägt man auf der Normale vom
Fusspunkt P aus die constante Strecke c ab, so ist der Ort dos End-
punkts P' eine Fläche, deren Gleichungen sind:

woraus nach (19)
8t*

«+P^; y'=y+g<?; »'— »+rc

*- I ,^ V 8a? , ^, dx

(l+^<?)g;,+^i^g-; etc.

dx dx

(76)

etc.

Hoppe: PrindpUn der Fläehentheorie, 249

folglich

d. h. die Norjnale der Fläche P ist auch Normale der Fläche P\
und beide Flächen haben den constanten normalen Abstand c, sind
demnach einander parallel.

Wendet man jetzt die Formeln (9) auf die Fläche P' an, fftr
welche die Grössen p, q^ r noch gelten, so findet man:

folglich ist

Je l-^J^c

pt\ etc.

oder nach (50)

Differentiirt man partiell die Gl. (76) mit Anwendung der For-
meln (18), so kommt:

8*45' 3a5 j dx .

wo gemäss den Definitionsgleich ungen (17) E\ F\ G' die Funda-
mentalgrössen 2. Ordnung für die Fläche P' sind und der gegen-
wärtigen Rechnung zufolge die Werte haben:

r^a + Ho)F+H,cG = f^+F {l-t»c (^ + J-)} [ (78)

Femer ist nach (19), angewandt auf beide Flächen

^= fT^"^ A. TT ^ =. frf^^' JLrr ^~

250 Hoppe: Pnndpien der FlädienAeorie.

Mtütiplicirt man erst mit ^* dann mit 7—» nnd addirt jedesmal die

Analogen, so kommt, mit Anwendung von (23) (25):

•

^E= H'{e — Ec)+H^'{f-'Fc)
-F^^ H'{f — Fc) + H^'{g-Oc)
^F^ J'(e^ Ec) + J^\f— Fe)
— (7 = r(f^ Fe) +Jt(g-' Ge)

woraus, nach umgekehrter Auflösung:

(79)

V Qi)\ 9%) ' QiQt

^ \ Qi)\ qJ ^^ Mi

Wendet man jetzt die Gl. (50) auf die Flächen P' und P an , so
kommt:

9i92 \ 9J \ 9%) 9i 9i \9i "^ 9J 9i 9% 9iW

oder

«i et \ 9t/ \ qJ

-^,(l_£Vl_f)=J- (80)

Pi 9% \ 9t) \ 9%l 9i 9%

und nach Division heider Gleichungen:

Hiermit verbunden GL (80) in der Form

9i9i^ (pi — <?)(p8 — c)
gieht:

9i "= Pi — <?» 99 = Pa— <? (Öl)

S. 8. Die Hauptkrümmungsradien paralleler Flächen
differiren um deren Abstand.

Ferner ist allgemein

Hoppe: Pnneipkn der Ftächentheorie.

251

^=Qi9i

f= PiP«

JyF

(hQ%

9 = Qiff%

EH
FJ

FH
GJ

(82)

Wendet man diese Formeln auf die Fläche P' an und schreibt die
Gl. (79) wie folgt

80 wird

QiQ%

f = 9x9%
das ist nach (78):

HyE'

J^F'

H^F'
J^G'

-E'e-, f'^QiQi

— /"c; g' = pi^2

E'H

F'H
G'J

— F'c

-G^c

•■='('-^)+^''C-;+ü-''i
«'-'('-^)+^"(s+y-^'

(83)

§. 20. Colneidenzpunkte der Parameterlinien. Jede von beiden
Scharen von Parameterlinien kann dreierlei Form haben, entweder
bestehen sie ohne Durchschnitt nvben einander, oder sie schneiden
sich in einem variabeln, oder in einem festen Punkte. Der zweite
Fall bringt Verwickelungen in die Rechnung; das System wird als-
dann von einer Curvo umhüllt, auf deren einer Seite jeder Punkt 2
Wertsystemen (ttt?), auf deren anderer er keinem Wertsysteme ent-
spricht Im dritten Falle braucht man nur den festen Punkt als
Centmm zu betrachten, von dem die Parameterlinien als Strahlen
aasgehen ohne es rückwärts zu überschreiten; dann wird wieder jeder
Punkt durch ein* Wertsystem (uv) vertreten.

Die Bedingung eines Durchschnitts consecutiver Parameterlinien
(t») ist, dass für irgend^ welche Variation von tt, v zwei consecutive
Punkte zusammenfallen, dass also

0; fcau+t>

du

Sv

0; |a«+^a.

du

du

0

ist, wo Bv nicht null sein darf. Die Gleichungen können entweder
durch

252 Hoppe: Principien der Flächentheorte,

oder durch

dx ^d$f ^?z dx ^By dz
du du du dv dv dv

dx dv dz

&; = «•' ^ = «5 ä;"=o; rf« = o

erfallt werden. Im ersten Falle gelangen die Parameterlinicn beider
Scharen zur Berührung. Solange man also an der Forderung fest-
hält, dass sich beide Scharen stets schneiden sollen, so hat nur da*
zweite Fall Bedeutung. Die 3 Gleichungen lassen sich in eine zn-
sammenbegreifen :

Stellt dieselbe eine Relation zwischen u, v dar, so drückt diese die
Einhüllende der Parameterlinien (u) aus. Bestimmt sie hingegen nur
einen Punkt, was namentlich dann stattfindet, wenn g nur u enthält,
weil der Punkt (xi/z) mit v allein nicht varüren kann, so ist dieser
das Strahlencentrum.

II« Besondere Unien und Uniensysteme aaf Flüclieii.

§• 21. Uebergangr zu neuen Parametern. Sind u^, v^ Functionen
von u, V, und man entwickelt die partiellen Differentialquotienten von
o;, y, z bezüglich auf %, v^, so erhält man, indem man t^, t?^ als neue
Parameter betrachtet und die darauf bezüglichen Grössen durch den
Index 1 unterscheidet, nach Einführung in I. Gl. (3) (17) (9):

* "'va«; +^^»8u du ^^^\dn)

Hoppe: PrvicipUn der Ftächentheorie»

253

V^'^Ph

an:

etc.

Hiermit ist die FnnctionsdetermiDante und ihre Inverse

du dv

t

8tt dv

du dv

-^'

du dt;
dv^ dt?j

(3)

bekannt, and man hat die Inversionsformeln:

du| t dv , du| t du

^ du, ' du ^ dt;.

du
dt;,

dir

< dt;

^^^^ •

<, duj

dt;

dt;,

du

e du
t,di«.

(4)

Diese Werte wird man in die Gl. (1) (2) einsetzen, wenn man fttr
tt, t; eine Substitution in u,, t;, ausführen und die alten Fundamental-
grössen in den neuen darstellen will. Die Hauptanwendung der Gl.
(1) (2) besteht aber darin, dass sie, wenn Ldniensysteme von be-
stimmter Eigenschaft gesucht werden, die Bedingungen darstellen, aus
denen man die zugehörigen Parameter t«,, v, durch Integration findet,
80 fem diese Eigenschaft durch Werte von Fundamentalgrössen reprä-
sentirt wird.

§. 22. Orthogonale Uniensysteme* Nach §. 1. schneiden sich
die Parameterlinien (u) {v) rechtwinklig, wenn

/=0

ist. Gilt dies für alle Punkte der Fläche, so ist das S3rstem der
Parameterlinien ein orthogonales, das Flächenelement ein Recht-
eck. Wir nennen dann auch die Parameter orthogonal.

Die wichtigsten Vereinfachungen der in I. aufgestellten Formeln,
die hier eintreten, sind die folgenden. Man hat:

d^

du«

d»a:

du dv

d««
'S?

1 d« da? 1 ds dx ^ ^
2^didi~"2^d^d^'T-^

1 de dx 1 ^ff ^^ i^ j-,
2^dt;di + 2^did^''"^

l^d^dx 1^ ^ ??_i_/3
"^ 2edu du'^ 2g dvdv"^^^

(5)

254 Bopp€i PrindpUn der Fiächentheorie.

•.dp E Bx Fdx

du e du g Sv

dp Fdx Gdx

dv e du g dv

(6)

m+it)']-" <"

„ fBE dF\ , 3« , „/ fle Bg\ ^ de ^
„ (dG dF\ „ Sg , „/ dg Se\ „dg „

(8)

Die Beziehungen zwischen rechtwinklig sich kreuzenden Normal-
sc-hnitten und ihren Krümmungen sind:

e+gkk''^0 (9)

^ + ^' = 7 + 7 ^'^>

Die Hauptkrümmungen und deren Richtungen werden bestimmt bzhw.
durch die Gleichungen:

Will man von beliebigen Parametern Wj, Vj zu orthogonalen Para-
metern übergehen, so kann man, da sich nicht beide durch eine Be-
dingung bestimmen, die eine Parameterlinienschar (u) beliebig an-
nehmen; dann wird nach (1) der rechtwinklige Schnitt der andern
(v) durch die Bedingung bestimmt:

^^ c^t* ~dv "^-^^ \(^u dv '^vu cvj'^^^dudv ^ "
oder nach (4):

(du du\dv (^ ^^ du\ dv

welche die Integration der Gleichung

Hoppe: Principitn der Ftäehentheorie,

255

erfordert Ist ihr Integral

9(ui, v^ = const.

80 ist

§. 23. KrUmmanirslinieii« Krümm ungslinie heisst auf einer
Fläche eine Linie, deren Tangente in jedem Punkte Hauptkrttmmungs-
tangente ist. £s wird dazu die Existenz zweier Hauptkrümmungs-
richtnngen vorausgesetzt. Fehlen dieselben für einen Punkt, wie z. B.
in einem Nabelpunkt, so lässt sich dieser noch als Endpunkt der-
jenigen Erümniungslinien betrachten, welche in unendlicher Nähe die
Richtung nach ihm hin verfolgen. Abgesehen von diesen Endpunkten
schneiden sich in jcdom Punkte der Fläche 2 Krümmungslinien recht-
winklig. Demnach besteht das System der Krümmuugslinien einer
Fläche aus 2 Scharen, deren eine von den Normalschnitten grösster,
die andere kleinster Krümmung berührt wird. Zwei Linien derselben
Schar können sich nicht schneiden, ebensowenig eine sich selbst. Ein
stetiger Uebergang von Linien einer Schar in die andere ist nur durch
das Gleich werden beider Hanptkrümmungen möglich, kann also nur
in Nabelpnnkten stattfinden.

Nach I. Gl. (38) ist die Bedingung einer Krümmungslinie:

GE

EF

ge

dv , FG\ldv\'' ^

du

(13)

dv

Hieraus ergeben sich 2 Werte von ö-» welche den 2 Scharen ent-
sprechen.

§. 24. System der Krttuimaugslinien« Sollen die Parameter-
iinien selbst Krümmungslinien sein, so muss die Gl. (13) durch dv=0
und durch 9tt=0 erfüllt werden, aber nicht durch jeden andern Wert.
Folglich ist hier

EF
ef

= 0;

Dies ergiebt:

FG

fg

= 0;

GE
ge

>

<

0

/==0; Fc=0

Betrachten wir zunächst die unmittelbaren Vereinfachungen, welche
eintreten, wenn t*, v Parameter der Krümmungslinien sind, so wird
die Krümmung eines Normalschnitts:

Edu^'\-Gdv^

das ist bzhw. für ein constantes v und ein constantes u:

(14)

256 Hoppe: Prindpien der Fläckentkeorie.

1.^; 1=^ (15)

Qi e if% g

Fttr beliebig bewegte Normale wird die Gleichung des Drehongswinkels

a,. = (^%(^' (16)

e * g

die Richtongscosinus der momentanen Rotationsaxe

Bx ,. dx ^

öu ov

^di •' «*^

die Gleitang der Normale längs derselben
Der Torsionswinkel einer beliebigen Curve 8

also der einer Krttmmungslinie

Von den Differentialformeln §. 22. sind hier bemerkenswert:

dp E dx 1 Sx

du e du Qi du

dp G ox 1 ex

dv g dv Qi dv

sofern daraus folgt, dass längs den Krümmungslinien

dpidqidr ~ dxidyidz (20)

ist Diese Eigenschaft ist hinreichend um eine Linie als Krümmungs-
linie zu bestimmen. Denn, setzt man nur voraus, dass

dp dx dq 8y , dz dz

ÖU du ou du du du

sei, so erhält man nach I. 61. (19):

dx dx

nebst analogen Qleichnngen fflr y nnd z, woraus:

Btf - (m-H)ei H^g - (m- H)f

Hoppe: Prindpien der Flächentkeorie. 257

oder nach I. 61. (23):

Nimmt man jetzt den Parameter v, über den noch zu verfügen bleibt,
orthogonal zu u, so folgt:

/-O; F=0; m=.f
was zu beweisen war.

Die Relationen zwischen den Fnndamentalgrösson reduciren sich auf

Hieraus ergeben sich 2 nützliche Formeln. Infolge der Gl. (15) ist

8v ~ cv h~~ E Vöi; E dv)
das ist nach (22):

dv ^ 2E\ gEfdv 2^ \ gjdv
und analog: \ (23)

au "" 2G \^ eö) 8u "" 2G V Pi/ ät*

Wie schon in §. 14. bemerkt, hat die Normale, bei Variation in
einer Hauptkrümmungsrichtung, und bei keiner andern, wofern sie
sich nicht parallel bleibt, einen Coincidenzpunkt; demnach erzeugt
sie bei Variation längs einer Krümmungslinic, und )bei keiner andern,
eine ab?rickelbare Fläche. Auch diese Eigenschaft kann als Definition
dienen.

Will man von beliebigen Parametern u^^ v^ zu Parametern der
Krttmmungslinien u, v übergehen, so findet man diese durch Integration
der zweiten Gl. (1) und der zweiten Gl. (2), wo die linke Seite
null ist

§. 25. Ableitung des Krflmmungslinlensystemes aus der Indi-
<^trix* Die Aufgabe ein Erümmungsliniensystem zu finden ist leichter«
wenn nicht die Fläche, sondern die Indicatrix der Normale (s. §. 11.)
gegeben ist Nach Gl. (19) ist

dx dp, dx dp

TtULU. 17

258 Hoppe: Prindpien der Flächentheorte,

woraus:

wo

and analog y und z. Hiemach sind die Gleichungen der Fläche be-
kannt, sobald (] und q^ gefunden sind, vorausgesetzt dass p, ^^ ^
in orthogonalen Parametern u, v gegeben sind.

Eliminirt man x zwischen den Gl. (24), so kommt:

nebst 2 Analogen für q und r, deren jede die Folge der beiden übrigen
ist, so dass man durch Verbindung nur die 2 unabhängigen erhält:

bekannte Grössen sind. Eliminirt man einzeln g^ und (j, so kommt:
8»p, 8p,8log-g, _ a?, i j 8-Ri

3m 3t; "" 3m 9t; 3r 3t* ^i?,i2o8t;

> (27)

3u3t; *" 3t; 3t* 3t* 3i; *^i2i/?23t*

Hat man durch Integration einer von beiden Gleichungen Qi oder Qt
gefunden, so ergiebt sich bzhw. g^ oder ^^ ohne neue Integration aus
Gl. (26), und dann ist durch (25) die Fläche in Parametern der
Erümmungslihien dargestellt. Da die allgemeine Lösung 2 willkfif
liehe Functionen einer Variabein enthält, so ergiebt sie eine Classe
von Flächen, welche durch gemeinsame Indicatrix charakterisirt ist.
In analoger Weise ergab sich in der Curventheorie aus der specifi-
scheu Gleichung, d. i. aus einer Relation zwischen 2 Indicatricen, eine
Classe von Curven. Im gegenwärtigen Falle werden die Dimensionen,
welche bei den Curven ganz beliebig angefügt wurden, durch die
Krümmungsradien p^, p^ eingeführt

§. 26. Orthogonale Flachensysteme. Ist in jedem Punkte der
Schnittlinie zweier Flächen der Winkel zwischen den Normalen beider
ein rechter, so heissen die Flächen orthogonal. Schneidet nun eine
Flächenschar eine andre, und ist jede Fläche der einen Schar mit

Hoppe: Ptincipien der FlächentheorU,

259

jeder Fläche der andern orthogonal, so bilden beide Scharen ein
einfach orthogonales Flächensystem. Drei einander schnei-
dende Scharen von Flächen bilden ein dreifach orthogonales
Flächensystem, wenn je zwei von ihnen ein einfaches bilden, wenn
also in jedem Schnittpunkte die Normalen der 3 sich schneidenden
Flächen normal zu einander sind.

Variirt nun ein Pnnkt (xyz) mit 3 Parametern t*, v, w, so ist er
der Schnittpunkt der 3 Flächen u = const., v «= const, w =» const,
sowie der Schnittpunkt der 3 Parameterlinien (w), (v), («?), d. i. der
Schnittlinien jener 3 Flächen, Linien in welchen bzhw. (v, tr), (tr, w),
(u, v) constant sind. Die auf die 3 Flächen bezüglichen Bestimmungs-
grössen mögen durch dieselben Buchstaben mit den Indices 1, 2, 3
bezeichnet sein.

Wir nehmen zuerst an, dass die 3 Flächenscharen, welche von
den genannten 3 Flächen bei Variation von bzhw. w, w, m? durch-
laufen werden, ein dreifach orthogonales System bilden,
tiven Richtungen der Normalen seien denen der x, y, z
gewählt, so dass

Pi P% Pi

Die posi-
congruent

ni 3« 3»

+ 1

^1 ^i ^8

wird*, dann giebt eine dreifache Entwickelung der folgenden Deter-
minante:

dx dy ." di

dx dx dx
du dv dw

dy dy dy^
du dv dw

dz dz dz
du dv dw

( dx ay • dz\

(

8« . h , (''\,

-(

IX

^«äi^ + ^^a

ay

+ ••»3^)

und man hat:

dx . dy _. dz
P^du + ^du^^'^du

dx . dy . dz

^»ai + ««ai + *'»aii

dx . ^ _i 8«

K

= 0
= 0

woraus, mit nachfolgender Anwendung der Analogie:

17*

/

260 äoppex Principien der Flächentheorie.

dx _ «pi .
du ti

du t^

dz «rj

du t^

dx %p2 .
8ü " «j '

dy %q^

dt> ^ '

dz %r^
de t^

dx _ «ps .
dw t^

9y _»38

öw t^

dz xrj
dw t^

(28)

und nach Verbindung:

A-O; /i=-0: /i^O (29)

und nach partieller Differentiation:

9/j d'^x dx^y d^y dy 8^ dz_

8«* dudo dw* dudt dw"^ dudv dw

dx^ ^x_ öy _a«y , 8«^ 5^g .^Qv

"• 8o 8m? 8u"' 8r 8ir8M "'"8^ dwdu

nebst 2 analogen Gleichungen, durch deren Verbindung hervorgeht:

0 = -^4- ?^^ 4-^^ = 2(— -?*^- 4-^ -A'^- 4-^ -^^)
8w ' 8ü '"8u? \8«i 8v8w '"8t* 8i?8t^ '"8m dvdw)

Setzt man die Werte (28) ein, so kommt (mit HinzufQgung der 2
analogen Resultate):

^1 = 0; /^2 = 0; ^3 = 0

Dies in Verbindung mit (29) zeigt, dass die Parameterlinien (u), (r),
(w) sämmtiich Krümmungslinien, und zwar auf je beiden Flächen,
die sich darin treffen, sind. Wir haben den Satz:

S. 9. Die, ein dreifach orthogonales System bilden-
den 3 Flächouscharen schneiden sich gegenseitig inihren
Krümmungslinien.

Wir sehen jetzt von der ersten Flächenschar ab und nehmen an,
dass die Flächen v = const. und w = const. ein einfach orthogonale«
System bilden, wählen aber auf ersteren die Parameter «, w?, auf
letzteren t*, v orthogonal, während die Parameterlinie (u) beiden ge-
meinsam bleibt Erstere Bedingung ist ausgedrückt durch

PiP^+^Qi+^ir^ = 0 (31)

letztere durch

Die Tangenten der Parameterlinien (r) und {w) fallen dann bzhw.
zusammen mit den Kormalen der Flächen v » const. und w == const.
d. h. es ist:

Hoppe: Principien der Flächentheorit. 261

(32)

dx dy dz

dx dy dz \

woraus nach (31):

dx dx ^^dy dy ^.dz dz
dv dw *" 8ü 3m7 "• dt) dw **"

Die Differentiation dieser Gleichung nach u ergab oben Gl. (30).
Wendet man anf sie die Proportionen (32) an, so erhält man:

wo

1 3a; 1 9a5

Pq Oiff p^ OD

gesetzt ist. Diese Gleichung zeigt, dass F^ nnd F^ nur gleichzeitig
versehwinden können, und man hat den Satz:

S. 10. Ist die Schnittlinie eines einfach orthogonalen
Flächensystems Erümmungslinie auf der einen Flächen-
Bchar, so ist sie es auch auf der andern.

Sind femer a, b, c die Richtungscosinus der Tangente der Para-
meterlinie (u), so ist

dx dy dz

"""^^du' ^^^du^ "^^^dii,

WO A; = 63— i, daher

da d^x ^^ dk dx

dw dudw *^ dw du

dxda ^^dy db ^^dz de 7 rr _i ^^

das ist ="0, wenn die Parameter orthogonal und i^=0 ist. Ebenso

hat man:

dx da , dy db , dz de ^

^ Q

dw dv^^ dw dv dw dv

Sofern beide Grössen null einander gleich sind, ist nach §. 15. die
Bedingung erfüllt, unter welcher die Tangenten an die Parameter-
linien (u) Normalen einer Fläche sind, und man hat den Satz:

S. 11. Wird eine Flächenschar von einer andern
längs ihrer Erümmungslinien orthogonal geschnitten,
so lassen sich beide von einer dritten Flächenschar
orthogonal schneiden.

262

Hoppe: Principien der Flächentheorie.

§. 27. Mtttelpunktsflftehen in Beziehunsr za den Krflmninii^s-
llnlen. Differentiirt man die Gleichangen der ersten Mittelpunkts-
fläche (§. 18.) partiell nach den Formeln (5) und (19), so kommt:

du

(33)

8^
dudv

1 8pi8« , 3*p^ i
Qidu 8tt "* du* ^ f

1 9£i dx , d^Qi
Q2 du dv ~^ dudo^

i

(34)

8p«

= ~'2'eAv~fj£ + ^'£'^^"P

wo C, C" nicht in Anwendung kommen. Hieraus ergiebt sich:

Pi*i

8Pi

9y

nebst 2 analogen Gleichungen, denen zufolge

6a;

(35)

_i_ dx 1 dy

^* " "" y^ ät*' ^^ "" "" yl äi*'

1 dl

»•i = —

y edu

Die Fundamentalgrössen der Mittelpunktsfläche werben ihrer Definition
gemäss:

dt» dl?

(

(36)

^ ~ \du) ' ^^~du y~Qj2Edo '

'.-(-^)'k(Äm-(ii')+'('-ä"

^1 - P, 8u ' ^^ - "• ^1-27; 8tt V qJ

Die Richtungscosinus der Tangente der Parameterlinie (u) auf der
Mittelpunktsfläche sind:

(37)

1 dx^ _

1 hl

1 8gt

Dies längs derselben Linie b^ differentiirt giebt:

üoppt: Prinäpien der FlSchtnlhtorie.

Diese Gleichung zeigt, dass die Haaptnormale von «, mit der Fläcben-
Dormale zuBammen&llt. Hieraus folgt, dass die Binomuüo von «,
der Tangente der Parameterliiiio (r) parallel, and die Krümmung
von «t die des berührenden Normalscfanittes ist.

Ferner ist

3»! = ye^ÖM = 5-^9« also

f, = 9i-|-con8t. (38)

Han kann daher die Gleicimngen der ersten Uittelpnnktsfläche (§. 18.)

anch schreiben:

dx,
1 = 1, — (»i ^ const.) g— ; etc.

Demzufolge ist die Erümmongstinie (w) die EyoWente der Cmre «i.
Die Hanptresultate sind folgende.

S. 12. Jeder Krammungslinie auf der Urfläcbe ent-
spricht ihre Evolute anf der zugehörigen Uittelpnnkts-
fUche.

S. 13. Die Tangente der ErflmmangBlinie ist parallel
der Normale der Mittelpunktsfläche, die ihrer Evolute
parallel der Normale der Urfläche.

S. 14. Die Hanptnormale der Evolute ist Normale
der Hfittelpnnktsfläche.

§. 28. Asymptotische Ltnlen. Durch jeden Punkt einer negativ
gekrümmten Fläche geben 2 Normalscbnitte, deren Krümmung in
diesem Punkte null ist. Asymptotische Linien heissen dann
diejenigen Linien auf der Fläche, welche in jedem Punkte einen Nor-
malachnitt von NuUkrümmung berühren. Hiernach schneiden sich in
jedem Pnnkte der negativ gekrümmten FlAche 2 asymptotische Linien.

Wendet man den Meusnier'schen Satz, nach welchem

ist, auf die asymptotischen Linien au, so ist hier -• folg
weder ?- oder cos 8 durchweg null, das heisst:

S. 15. Eine aeymptotiich
oder ihre Hanptnormale, mi
ebene berttbren die Fläche.

Die Bedingnng einer asymptol

Edu*+2Fdud

Sollen die Pusmeterlinien (u)
wird die Bedingnng

£=-0,

Demnach treten in manchen For
Insbesondere gehen in i. b. 6. die

t*dF JB^ 3A

FÜB~'-'\Bu~3i>)'
Die KrQmmnng eines NormalHcIini

die Summe der Erümmangen zwe
Nonnalschnitte

9 9
das Product der HauptkrOmmange

die einzelnen Hanptkrttmmnngen

die HanptkrammnogBricbtnngen

Die Boziehnng zwischen conjngirtoi
die Werte k und k' bat, ist hier

Rnfipe: Principien der FJärhenthtarK. 265

Der DrehungBwinkcl v der Normale bei beliebiger Variation wird hier
bestimmt durch

3v' = ^(«e«»— 2/3uSp+ff3B«) (47)

ihr DrehpanktsabBtand rom Panktc (xyi) ist

„ 2 t^duSe

"" Fedu* — 2/eu5r+ gSv* ^^'

ibre Gleitung längs der momontancu Botationsaxu, drron Achtung
durch dt) = — i-?u ausgedruckt wird, oder der kflrzesto Abstand con-
secoäver Normalen ist

Der TofBionswinkel einer Curve « wird hier

,.9+/f-*!!=»»f! <50,

Die asymptotischen Xinien werden am leichli'stfn aus den Krüm-
mnngslinien, und diese am leichtesten ans jenen gcrmiden. Bezeichnet
der Index 1 die Zugehörigkeit zu den ErUmmungslinien, so ist in den
Gi. [2) E '^ 0; G ^ 0; Fj = 0 zu setzen-, mau hat also zunächst:

^8

>)Vc,(^y=o, ..(-.)-+«.g.)'-o)

9u, 9t4| fle, ?t>i

was anf die Gl. (39) führt, die hier lant«t:'

Wendet man statt dessen die Gl. (2} mit vertauschtoi
an, so lauten sie:

3% öiij '' 9i

Atj 8di "■" 3ui 3p, "^

266 Hoppe: Principien der Flächentheorie.

9

§. 29. Kürzeste Linien. Ist « eine variabele Verbindungslinie
zweier festen Punkte auf der Fläche, und bezeichnet ös die Variation
ihrer Länge, so nimmt die Länge von irgend einem momentanen
Werte s an momentan zu oder ab, jenachdem ds positiv oder negativ
ist. Bei derselben Variation in umgekehrtem Verlaufe muss also
bzhw. 8 von demselben momentanen Werte an momentan ab- oder
zunehmen. Solange daher ös positiv oder negativ ist, kann s in
entgegengesetztem Sinne variiren, mithin ist der momentane Wert
nicht der kleinste. Folglich ist notwendige Bedingung einer kürzesten
Verbindung zweier Punkte:

Stellt man s als Integral zwischen constanten Grenzen dar, so lautet
die Gleichung:

Aus der Gleichung 8«* = Sx^-j-öy^+S«* findet man:

dsSds == dxöox-\-ByöBy'\'dzddz
Ausserdem hat man:

(OX VV vZ \ iVX V V o z \

+ 87*^^ + 1^^^ + ^*^'

Integrirt man dies zwischen den Endpunkten von *, so verschwindet
das Integral der Linken, weil x, y^ z in den Endpunkten unveränder-
lich sind, desgleichen das Integral der Summe der 3 letzten Tenne,
d. i. der Grösse dd« der Bedingung gemäss, und es bleibt:

P (d'^x d'^y d^z \

Die Bedingung, unter der die Linie auf der Fläche liegt, lautet:

pdx-\-q8y-\-röz = 0

Multiplicirt man sie mit A9«, integrirt zwischen denselben Grenzen
und subtrahirt von der vorigen Gleichung, so kommt:

/|©-A.)a.+(g-.,)%+(g->^)«.}8.-o

Macht man einen der 3 binomischen Coefficienten, z. B. den von d«
durch Bestimmung von l zu null, so enthält das Integral nur die 2
unabhängig variabelen da;, dy -, damit es also bei jeder Variation ver-
schwinde, muss

Hoppe: Principien der Flächentheorie, 267

8*05 8*y 3*a

sein. Da die linken Seiten sich verhalten wie die RichtungscosinuB
der Haaptnormale von «, so hat man den Satz

S. 16. Die Haaptnormale einer kürzesten Linie fällt
zusammen mit der Normale der Fläche.

Offenbar ist jedes Stück einer kürzesten Linie auch kürzeste Linie
zwischen seinen Endpunkten; folglich ist die Eigenschaft einer Kürze-
sten unabhängig von den Endpunkten.

Femer bestimmt die Eigenschaft S. 16. eine Ciasso von Curven
anf der Fläche. Denn diesem Satze zufolge sind die Kichtungscosinus
der Hauptnormale gegebene Functionen von (u, v), also bleibt nach
Elimination von w, v eine Relation zwischen ihnen übrig. In der
Cnrventheorie (Bd. 56. S. 59. Aufg. 3.) ist gezeigt, dass durch eine
solche eine Schar von Curven bestimmt wird, deren jede eine beson-
dere Tangente hat. Ist also ein Punkt und in diesem die Tangential-
richtung gegeben, so ist die Curve bestimmt

Wir betrachten nun die Kürzesten als definirt durch die Eigen-
schaft S. 16., dann gehen durch jeden Punkt der Fläche Kürzeste in
allen Tangentialrichtungen. Dies gestattet einige unmittelbare An-
wendungen auf das Frühere.

Der in §. 7.. eingeführte Winkel S ist bei einer Kürzesten null;
daher ist ihre Krümmung gleich der des berührenden Normalschnitts,
ihre Schmiegungsebene dessen Ebene, ihre Binormale Tangente der

Fläche.

*

Nach S. 14. entspricht einer Krümmungslinie auf der zugehörigen
Mittelpunktsfläche eine Linie von der Eigenschaft S. 16. Wir können
daher jenen Satz so aussprechen:

S. 16. Die Evolute der Krümmungslinie ist Kürzeste
anf der zugehörigen Mittelpunktsfläche.

§. 30. Orthogonal geodtttische Liniensysteme. Es seien jetzt
die Parameterlinien («) eine beliebige Schar Kürzester; dann ist die
Bedingung :

8 /9x 9t*\ r) fdy du\ 8 (dz du\

WO T den Krümmungswinkel bezeichnet, oder, da v constant ist:

8 (dx 8u\ du ,

268 Hoppe: Principien der Flnchentheorie.

d^x du 3w j^ dx du d du

du^ 8* 8t ' 9u 8t St* 8« "* ^ '

uX

Multiplicirt man mit w-* so ist die Summe der 3 Analogen:

{:

df i^^\^\_ ^ du
dt^'^^dijds + ^d^ds^^

Wird nun die Schar der Kürzesten von den Parameterlinien (t?) recht-

dfi
winklig geschnitten, ist also / = 0, so erhält man, weil k- nicht null

sein kann:

öv

folglich ist e Function von u allein. Man kann nun für du substi-

du
tuiren -7- ; dann wird

\du) + \du) + \du) ~

und der neue Wert von e ist 1, also

und die Gleichung für das Linienelement lautet:

8,8 = du^+t^dv^

Die Elemente der Parameterlinien (u\ (v) sind hiemach 8t* und tdv;
diese sind die Seiten des rechteckigen Flächenelements tdudv.

Ein Stück der Parameterlinie (u) zwischen u = uq und u^ ist also

f du^ Uj — Uo

Läbst mau diese Linien bei constanten uq und v^ mit v variiren, so
bleibt ihre Länge constant, während ihre Endpunkte auf 2 Parameter-
linien {v) fortrücken, und misst deren kürzesten normalen Abstand
auf der Fläche. Demnach sind die Linien (t?), welche die Kürzesten
(u) rechtwinklig schneiden, Linien constanten normalen Abstands, und
heissen als solche geodätische Parallelen. Das System beider
Scharen nennen wir ein orthogonal geodätisches und ebenso
die Parameter. ,

Setzt man bei Annahme orthogonal geodätischer Parameter u, v
stets

SO werden die Formeln von §. 22.

Hoppe: Principien der FlächentheorU, 269

8t;«~""'au8u+tavfc+^

3p „Sjc Fdx

9u du t^ dt7

3p 3a5 ö 8«

dv du t^ dv

(53)

(54)

ÄÖ-^^-tg^ (55)

dv du t du

(56)

— — — = /^A^ 4-^^ _:^8t
8m cv \ * t ) du t dv

Der Torsionswinkcl einer Kürzesten wird:

^^ r F(du^-t^dv^) + (G^t^E)dudv

J «Väi?+728t? ^^^^

der Torsionswinkel der Parameterlinie {u):

PFdu
^=J — (58)

§. 31. Bifferentialgrlelebungr der Kflrzesten. Die Parameter

seien orthogonal geodätisch. Für eine beliebige Kürzeste s sei

dv ' .

w- = h\ dann ist
cu '

8^ , 8a5
dx 8tt ' dv

oder, wenn man

setzt:

3« Vi + <^Är«

«A;=tg|^

8ir 8« j^SaJsinft

ds du ^^^ dv t

Dies nochmals längs s differentürt giebt mit Anwendung der For-
meln (53):

270 Hoppe; Principien der Flächentheorie,

d^X p „ o , «A8*8« I „ \8inftC08U

, / dt dx . 1 dt dx . _ \ 8in*f4 dx du . dx d /sin fi\

dx
Multiplicirt man mit 0- und addirt die Analogen, so kommt nach

Division durch sin^:

?ft ds dt

sinfi t du

(59)

Dieselbe Gleichung erhält man auch bei Anwendung des Multiplicators

dx

K-. Der Multiplicator p giobt nur die allgemein gültige Gleichung

I. (31). Folglich vertritt die Gl. (59) alle Bestimmungen. Ihre An-
wendung setzt die Kenntniss einer speciellon Schar Kürzester voraus ;
durch ihre Integration findet man das vollständige System aller Kür-
zesten auf der Fläcbe.

§. 32. Geodätische Polarcoordlnaten. Orthogonal geodätische
Liuiensysteme können dreierlei Form haben, jenachdem die Schar
der Kürzesten ohne Durchschnitt neben einander besteht, oder von
einer Curve eingehüllt wird, oder von einem festen Punkte ausgeht
Die Bedingung der 2 letzten Fälle ist nach §. 20., dass pr, oder hier <,
bzhw. längs einer Curve oder in einem Punkte verschwindet Im
letzten Falle verschwindet t unabhängig von », also für einen con-
stauten Wert u = c und, nach Substitution von U'\-c für m, für tt«=*0.
Ist letztere Anordnung getroffen, so drückt u den kürzesten Abstand
eines beliebigen Punkts vom festen Punkte längs der Fläche, d. i. den
geodiitischen Radius vector des erstem aus. Der Winkel, den
ein variabeler Radiusvector mit einem festen bildet, ist dann Function
von ü, lässt sich daher selbst zum Parameter v nehmen. Die Para-
meterlinien (r) werden concentrische geodätische Kreise mit dem
Radius u. Die Länge eines solchen Kreisbogens ist ^ ftdv\ für un-
endlich kleinen Radius, wo der Kreis eben wird, muss er aber ^fudv
sein. Folglich ist die Bedingung, unter der v jenen Winkel, d i. das
geodätische Azimut, darstellt:

lim^ = l (60)

und das Verfahren bei Ermittelung des Parameters folgendes. Man
berechne ftlr verschwindendes u

t
f(v) =r lim - und

»'=//(t.)ar

Hoppe: Principien der Flächentheorie. 271

dann entspricht den Parametern m, v' der Wert

daher ist

t^ 1 t

lim - = TT-x lim - = 1
u f{v) u

folglich ist »' der gesuchte Parameter.

§. 33. Conforme Ahbildunsr der Fliehen auf der Ebene. Eine
Fläche wird als Abbildung einer andern betrachtet, wenn man nach
irgend einem Gesetze jedem Punkte der einen einen bestimmten Punkt
der andern entsprechen lässt. Die entsprechenden Punkte und die
von ihnen entsprechend erzeugten Linien heissen dann die Abbil-
dungen von einander. So ist z. B. die Indicatrix der Normale die
Abbildung derjenigen Curve auf der Kugel, welche der Fusspunkt
durchläuft; das Gesetz ist hier die gleiche Richtung der Normalen.
Analytisch ausgedrückt wird die Abbildung, indem man beide Flächen
in denselben Parametern darstellt, so dass die Punkte (uv) sich auf
beiden entsprechen.

Das Gesetz der con formen Abbildung ist die Aehnlichkeit
der Flächenelemente. Alle Elemente der einen Fläche sind den ent-
sprechenden der andern ähnlich, wenn die von jedem Punkte aus-
gehenden Linienelemente

auf der einen den entsprechenden

auf der andern proportional sind, wenn also

ig = e ifig
ist

Das Problem der conformen Abbildung besteht also ursprünglich
in folgendem. Zwei Flächen, O und <l>'\ sind jede in besondern
Parametern (m, v) und (w", v") gegeben, wodurch (c, /, g) und (c",
f^'i g") bekannt sind. Die Parameter der einen, welcher man will,
z. D. u, r, kann man beibehalten. Dann soll man gemäss den Gl. (1),
angewandt auf <I>", von den Parametern (u", v") auf die Parameter
(»', »') übergehen, wo

e' = mö ; /' = fnf\ / = mg (61)

zu setzen ist, so dass nach Elimination von m zwei Differential-
gleichungen zur Bestimmung von u\ r' als Functionen von u", v" zu
integriren bleiben. Ist dies geschehen, so hat man:

tt' «- u; ü' « V

272 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.

Das Problem lässt sich aber in 2 einfachere zerlegen. Man
kann erst die Fläche (P auf der Ebene, dann diese auf der Fläche
<P" abbilden. Da überdies ein Parameterpar willkürlich ist, so nehmen
wir auf der Ebene cartesische Coordinaten u^ v zu Parametern. Dann
handelt es sich nur noch um folgendes Problem. Eine Fläche ist in
beliebigen Parametern gegeben ; man soll diejenigen Parameter finden,
welche bei conformer Abbildung auf der Ebene in cartesische Coor-
dinaten übergehen. Den cartesischen Coordinaten als Parameter der
Ebene entsprechen die Fundamentalgrössen

daher ist nach (61) die Bedingung:

Hiermit sind wir zu einem neuen Liniensystem gelangt, das wir
abkürzend das Abbildungsliuiensystcm nennen können. Die
Parameter heissen dann Abbildungsparameter. Dabei ist jedoch
zu bemerken, dass die das System bildenden Linien, jede für sich,
ganz beliebige Linien sind, und nur ihr System die besondere Eigen-
schaft besitzt. Das System ist bestimmt, sobald man auf der Fläche
2 sich rechtwinklig schneidende, sonst beliebige Linien als erste Puil-
meterlinien angenommen hat.

Die Formeln von §. 22. gehen hier, wo das Linienelement

ist, in folgende über:

du^ " 2t \dudu^ de de) ■•" ^'

d^x 1 /9t dx ^^ et dx\ j^ \ ,g2\

di^^2t\?cdu^dudo)'^^P ( ^

d^x 1/ dt dx dt dx\
dv^'^ 2t\diidu'^ dvdc)'^^^

dp 1/e»^^ I r»®*\

d^-^^-lK^du-^^di)

du tVdu + ^dv)

(63)

„.„_.,+^.+g,_l{(*)-+(|)>o <«,

Hoppe: Principieu dtr Flächenfheorie. 273

BE_^ Bf E-\-G dt

de du 2t dv

dO^dF E+Gdt

du de 2t du

\

(65)

Ein besonderer Fall der conformen Abbildung ist die Abwicke-
lung; hier sind die ähnlichen Flächenelemente congment.

10. Besondere Arten von Flttelien.

§. 34. Abwickelbare Flüchen. Im folgenden soll von Flächen
gehandelt werden, die auf Ebenen abwickelbar sind. Man nennt
solche gewöhnlich schlechthin abwickelbare Flächen.

Betrachtet man die Ebene , der xy als die Fläche , auf welcher
die Abwickelung geschieht, und nimmt die cartesischen Coordinaten
a? = «*, y = r zu Parametern, so wird

ds^ = dx^ + dy^ = du^ + dc^
also

e = l; /•=0; g = 1', «==1 (1)

d'^x d X d X
Femer werden auf jener Ebene k-^- frj)'" o^ä» etc. null, daher

i5 = 0-, F=0; 6? = 0
woraus :

EG — F^=0 (2)

Nach §. 17. müssen die Gl. (1) (2) auch für die auf der Ebene ab-
wickelbaren Flächen gelten; folglich ist hier

1 EG-F^ _

Hiernach ist immer eine von beiden Hauptkrümmungen null; wir
setzen :

1 = 0 ■

9i

Ist aber die Krümmung eines Normalschnitts null, so ist es nach
§. 7. auch die Krümmung jeder denselben berührenden Curve, in
unserm Falle also auch die Krümmung der ersten Krümmungslinie,
und zwar in ihrer ganzen Ausdehnung, weil Gl. (2) für alle Punkte
gilt; d. h. die erste Krümmungslinie ist gerade, und man hat den Satz:

S. 18. Jede Abwickelbare wird von einer Geraden
erzeugt, und diese ist Krümmungslinie auf ihr.

TeU LIX. 1 8

274 Hoppe: Princlpie.n der FlärhenthforU.

Feruer hat eine Normale, welche längs einer Krümmuugslmie
gleitet, nach §. 25. entweder constante Richtung oder einen Coineidenz-
punkt. Das letztere ist hei der geraiien Krümmungslinie nicht mög-
lich, weil sie selbst den kürzesten Abstand der consecntiven Normalen
misst. Folglich ist die Richtung der Normale constant Hieraus folgt
weiter, dass die Fläche längs der geraden Krümmungslinie eine einzige
Berührungsebene hat. Variirt dann der Punkt (x$/z) transversal, so
kann die Berührungsebene nur um die gerade Krümmuugslinie rotiren ;
diese bildet dann ihre Coincidenzlinie und hat entweder constante
Richtung oder einen Coincidenzpunkt. In beiden Fällen ist die Ur-
fläche Einhüllende einer mit einem Parameter varürenden Ebene,
und zwar kann sie als solche dreierlei Form haben: jenachdem die
gerade Krümmungslinie constante Richtung oder einen festen oder
einen variabeln Coincidenzpunkt hat, ist die Fläche cylindrisch, konisch
oder Tangentenfläche.

§. 35. Tangentenflftehe. Die Gerade

variire mit 0; dann hat sie einen Coincidenzpunkt, wenn

a Ba da

b Sb dß =0

c de 8y

ist. Wenn wie wir annehmen nicht a, &, c constant sind, so ist die
Gleichung identisch mit den dreien:

da = adk'\-fida'^ dß = bdl'\-fidb'^ 3y = c3il-)-fi3<?

woraus:

dx dx dk . da ^ ...

g^ = a; ai = «g^ + (^ + «*)ä;; etc. (4)

Sind a, 6, c die Richtungscosinus der Geraden, so findet man nach I.

Gl. (3):

dk

Sollen die Parameter u, o der erzeugten Fläche orthogonal sein, so
bat man dA = 0 zu setzen, und erhält:

8« =« fi9a; dß = fi8Ä; dy = |*8<? (5)

dx d(i

g^ = (^ + tt)g^; etc. (6)

Der Drebungswinkel der Erzeugenden ist Function von r; daher
können wir ihn -= v setzen; dann wird

3p»»3a*4.ai*+3r* (7)

folglieh

e = l; /=0; g^(^-i-u)*; l = ,^ + u (8)

Es zeigt sich, dass Aie Parameter orthogonal geodätisch sind.

Feraer liDdet man:

p(^(^ + «)' ,; etc.

p-\ li et«-
I Bei

Eine zweite Differentiation der 61. (4) (G) giebt:

woraus :

wenn wir zur AbkQrznng

de 8'c\

setzen. Demnach sind die Parametcriinicn auch Krttmmungslin
daher die Haoptknimmongen :

1_ JJ 1 ff _ _!!_

gl" e ^ ' Cs°" ff "^ H + u
Der Drehpunktsabstand der Erzeugenden ist

~ Sc» - — f»

Tolglich sind die Coordinaten dus Coiucidenzpunkts :

276 Hoppe: Principien der Flächen fhfiorie,

oder

0*0 *=» ffi da — fia = — fa 8fi ; etc.

Dieser erzeugt bei Variation von », wofern er mit variirt, die Eio-
httllende der Geraden (3), die Gratlinie sq der Abwickelbaren, und
zwar ist

Btq = — öSft ; Ssq = — 8ft ; ^ ~ = a

also

Dies eingeführt in (3) giebt:

OSq

das ist für constantes u die Gleichung einer Evolvente von «q, fiOr
constantes v die der Tangente. Es hat sich ergeben:

S. 19. Die Krümmungslinien einer Tangenteufläcbe
sind die Tangente und die Evolvente ihrer Gratlinie.
Dieselben sind zugleich orthogonal geodätische Para-
meterlinien.

Ferner ersieht mau aus (7) '(4) (9) (11), dass r der Krümmungs-

Winkel, a, b, c die Richtungscosinus der Tangente, g-. o~' g- die der

Hauptnormale, /?, g, r die der Binormale, V das Krümmungsvcrhfiit-
niss, also fVdc der Torsionswinkel der Gratlinie ist Geht man also
von der beliebigen Curve «o a^^s, und lässt deren Tangente die Ab-
wickelbare erzeugen, so folgen die Bestimmungsstücke der Fläche
unmittelbar aus denen der Curve.

§. 36. Abwickelang der Tangeuienflüche. Um die Tangenten-
iläche auf der Ebene abzuwickeln, haben wir nur diejenigen Parameter
Uj, i?i zu suchen, welche nach Abwickelung in ebene cartesische Coor-
dinateu übergehen. Nach (1) entsprechen diesen die Werte:

ei-9i = h^l', f,^0 (U)

Gehen wir also von den Werten (8) aus, so werden die Transforma-
tionsformeln II. Gl. (1):

du dv ' 3u do

Hoppe: Priaci/iieii dtr ftächenlhtOTie.

und lassen sich erfttUoD darcb

S? - ■»»»!

8.,
8."-

(f. + u)BiQK

1?-...

1?-

. (fi + 1»)C0BX

EUmimrt

man ui aad Pj, so

kommt:

— s-Bin» = sinx+((t-l-«)g-c08«
worsHB :

K = i — p, WO i tonstant.
Dies eingefahrt in (15) giebt :

Brj =— 8a8m(d— p)+(f»4-M)3pco8(6 — p)
und nach Integration i

u, =«cos(a — r)4-/f.3c8in{*— p) 1
r,=-«sin(d-r)+/^8i.C08{tf-P) I

Hierdurch ist für jeden Punkt (up) der Taugen tenflacbc der Punkt
(u,r,) auf der Ebene bestimmt.

Dieselben GleicbuuReu löaou glcich7.eitig das Problem der KOrze-
st«n. Denn da die Farameterlinien <u,) aad (rj) auf der Ebene
Gerade, d. i. Kürzeste sind, so sind sie es auch auf der Abwickel-
baren; und da jede Gerade auf der Ebene fUr irgend welche Werte
Ton i und «, mit der Pametcrlinic «i = const. identisch sein muss, '
so ist erstlich jede Kürzeste auf der Tau^entcnälLche durch eine der
Gl. (16), und jedes orthogonal geodätische System durch beide Glei-
cbnngeu dargestellt. Ucberdies ist bemerkeuswert,
Kürzester sich rechtwinklig schneiden, folglich bc
parallel sind, was, wie leicht zu sehen, ausscb
der Abwickelbaren ist, sofem dazu die Gl. (14) i

Die Abwickelang vertritt zugleich die confori

g. 37. Konisehe und cjlindrlscke FIXche.
raden (3) eine konische Fläche, so sind a, ß, y

278

Hoppe: Pi'incipicH der Mächentkeorie.

ist dann f& » 0; im übrigen bleibt alles, ausgenonnncn das auf die
Curvo 8q Bezügliche, in unveränderter Geltung.

Im Fall einer cylindrischen Fläche, wo a, i, c constant, kann r
seine Bedeutung nicht behalten. Setzen wir statt dessen

so wird

ap2 = 8«2+aj32+ay«

mit der Bedingung

dx dx 8a

du ' dv Sv

«1; /==0; 17 = 1; < = 1

ada-^-bdß-^cdy = 0 oder
oa+Ä/5-f-c/ == const.

welche dadurch zu erfüllen ist, dass man den Ausgangspunkt der Ge-
raden (ctßy) in ihren Durchschnitt mit einer Ebene normal zu ihr
legt. Dann sind m, v die Parameter, welche nach Abwickelung in
cartesische Cpordinaten übergehen, und zwar bedeutet v einen Bogen
der Cui've, welche der Punkt (ttßy) erzeugt, und welche die Basis
der cylindrischen Fläche heisst, und u den normalen Abstand des
Punktes (uv) von der Basis. Femer ist

E

* dv

p — pt =

[\ etc.

8« 8*«

dv dv^

0; F«0; (? -==

dß S»ß
" 8p Öp»

dy d*y
de 8p*

Die Determinante entwickelt giebt:

G = {al-^hm-^-cn)

8t

wo T Krtimmungswinkel, i, /», n Richtungscosinus der Binonnale der
Curve r, also identisch mit «, ä, c sind. Daher hat man:

G

G ^ 1^ _ 8t
g ^ 92~ dv

h. die zweite Hauptkrümmnng ist die Krümmung der Basis.

Hoppe: Principien der Flächentheorie. 279

•

Die in §. 36. behaudelte Aufgabe lässt jsich in analoger Weise

bei der cylindrischcn Fläche durchführen, wo nur 1 statt u+m zu

schreiben ist, und man findet als allgemeinste Parameter, und zugleich

als Gleichungen der Kürzesten und der orthogonal geodätischen

Systeme :

t*| «= MCOSx-f-t?sinx

Vi = — ttsinx-f-t?cosx
wo % constant.

§. 38. Fl&ehen eonstanter Krümmung. Die £j-ümmung einer
Fläche sei constant =» k\ so dass h bei negativer Krümmung imaginär
zu denken ist. Führt man orthogonal geodätische Parameter u, v
ein, 80 ist nach n. Gl. (55)

,, EG — r* \^H

^ = — ir-=-78;r» oder

Dies integrirt giebt:

«= Kco5ifcu+ F, sin fett

wo F, Fj Functionen von v sind. Machen wir nach §.31. m, » zu
geodätiBchen Polarcoordinaten, so muss für verschwindendes u

lim- «1
u

sein; dies giebt:
und man hat:

Für eine beliebige Curve b auf der Fläche hat man jetzt:

a,» = au»+(?^at.y' (i8)

Soll nun diese Curve Kürzeste sein, so ist, wie in §. 29. erklärt, die
Bedingung :

0 =/aa, = \ r -.^^ 8Sv

du
sin»*« [gf

Integrirt man teilweise, so wird dv Factor des integrirten Teils.
Werden die Endpunkte des Bog^s s als fest angenommen, so ver-
schwindet jener Factor an beiden Integralgrenzen, und es bleibt:

280 Hoppe: Prindpien der Flächentheorie.

0 = Sivd • ^"

Soll dies bei jeder Variation stattfinden, so muss sein

also, wenn c eine Constante bezeichnet,

sin*A;tAg- = sinA-c 1/ A;^ + sin^A;« ( x- 1
woraus:

a„ ^^e'± — ^ (19)

sinArwy sin^Ä?ft — sin^Ärc
Setzt man

COS^*U = COSX^COSM? (20)

so wird der Ausdruck:

P sin/rc dw

~~ i — COS^Xrc COS^M?

und giebt nach Integration:

tgw = sinÄrctg(r4-i3) (21)

Eliminirt man w mittelst (20), so kommt:

tg^-tt cos (r + /?) = tgifcc ' (22)

Eliminirt man, um einen Bogen der Kürzesten zu berechnen, dr
zwischen (18) und (19), so findet man:

8, = _^t^Jt^. (23)

ysin^Ä^ — sin^A;«?

und nach Integration:

cosÄrw = cos Ä-c cos ^• («-[-*) (24)

Dies verglichen mit (20) zeigt, dass

daher ist nach (21)

igk(8+h) = ^nkctg(r-\-ß) (25)

und in Verbindung mit (24) (22)

Hoppe: Prindpien der Flächentheorie. 281

^k(8+b) = tgkc coskuig(e+ß) (26)

Bmk{s+b) -= sukkusin(v+ß) (27)

Uotersacht man noch den Winkel ^ zwischen 2 Kürzesten s, 8\
80 ist nach I. 61. (4)

€08 d =

du du

Greht die zweite Gune vom Punkte u » 0 ans, so ist s' identisch
mit dem geod&tischen Radinsvector u, also

Dies giebt:

also vermöge (23):

au "' 8u — '

cosd = 1:5-

OU

Für M = c, d. i. nach Gl. (22) für p = — ß, ist daher ^ ein Rechter.
Hieraus erhellt die Bedeutung der Constanten. Der Winkel © = — 13
bestimmt die Richtung, der Bogen c die Länge der geodätischen Nor-
male vom Punkte u = 0 auf die Kürzeste «. Was b betrifft, so
können wir festsetzen, dass s zugleich mit r verschwindet Da nun
nach (24) für u = <? die Grösse *= — b wird, so bezeichnet b das
Stück der Kürzesten von t? =» — jl? bis r « 0.

Jetzt bildet u die Hypotenuse, c und S'\-b die Katheten eines
geodätischen rechtwinkligen Dreiecks, in welchem v-^-ß der Gegen-
winkel von «-|-^, und d der von c ist Die Relationen zwischen den
ersten 4 Stücken sind:

COSAru = COSlcCOSk(if~\'b) (29)

sin hi cos (r + ^) = sin kc cos ifc (* -j- ft) (30)

smkusm(v^-\-ß) = siak{s-\-b) (31)

Bezeichnet a den Wert von u für r = 0, so bilden die 3 Kür-
zesten u, oifks ein beliebiges geodätisches Dreieck. Die Gleichungen
gehen für r = 0; « = 0 über in

cos Ära = COS/TCOSArft j

sin ka cos ß « sin kccoskb ) (32)

sinArasin^ « B\nkb ^

282 Hoppe: Principien der Fiächen(heorie.

Die Gegenwinkel der Seiten a nnd u sind & und der Nebenwinkd
dessen, in welchen ^ für r = 0 tibergebt Letzteren dnrcb y be-
zeichnet, bat man nacb (28):

sin ^ sin ÄTM = sin kc ) «.

sinysinÄa = sin^*t• /

Die Gl. (24) (27) (28) bleiben dieselben, wenn man s+b mit c und
v+ß mit ^ vertauscht Gl. (30) ist die Folge von (24) und (27),
daher besteht sie auch nach jener Vertauschung, und man hat:

sinil*ucos^ « cos itc sin A; (*-)-*) und für r = 0
— sinAracos y =» cos^•csin^•6

Eliminirt man die Stücke &, o, /3, welche nicht zum Dreieck (usa)
gehören, so erhält man:

smku siu ks

siny

sini?

cos ks

=

cosp-f-cosycos^

siny sin >&

cosA;« — cositacos

ku

cos V

sinA;asinA:u

(34)

übereinstimmend mit den Relationen, welche an einem Dreieck auf
der Kugel vom Radius r stattfinden.

§. 39. Problem der Darstellung der Fl&ehen constanter Krflni'
mung In Coordlnaten. Um die durch die Werte von e, f^ g be-
stimmte Fläche constanter Krümmung in Coordinaten darzustellen,
ist das System von Gleichungen

dx dx ^^dy hy ^^hz hz

hu dv "^ du dv du de

zu integriren. Erfüllt man sie durch die Werte

dx dx %\VLku

g- «= — sin^siuficos A — cos^sinil; ^ -^ — r- cos/jj^sA

g- =. — sin^sm^smA-f-cos^cosA; ö"~ = , cos/üsmA

d* , ^ da siaku .

R- — Bm^cosu: ö- «=" "-,--sintt

Hoppe: PriiidpUn fier l'lächentheorie, 283

and olemiuirt dnrch partielle Differentiation x, y, z^ so erhält man 3
Gleichungen, deren erste zwei sich leicht zu zwei einfacheren ver-
binden lassen, so dass sich ergiebt:

^f , B& . dl\ . , ^ dfi , , sin^-u . 3^
cos^ I smfiK — |-g-|+sindcos^ g- = — cosArwcosfiH t~ sin^ig-

sin^(^3^+sm^g^j « - -^-cosii^^ (35)

a^ . « . S/* , . . 8inÄ?u dfi. „3^.

cos^cosftg- — sin^sm|ü ^- = cos^*usmfA-|- , cos/* ^ (oo;

Auch von diesen verbinden sich wieder die erste und dritte zu folgen-
den zweien:

cosdcosfAg +8in^g- = — cosA;tt

(37)

deren erstere mit Gl. (35) ergiebt:

cos(>co8fig^+8in<>g^ =- 0 (38)

Die letzten 2 Gleichungen umfasst die folgende:

cos ^ cos fi 3X4" sin ^5^+ cos ^r = 0 (39)

welche nur noch mit Gl. (36) zu verbinden ist, um sämmtliche Be-
stimmungen für A, ^, d zu enthalten.

Gl. (38) zeigt, dass, wenn eine der Grössen A, fi unabhängig von
tt ist, die andre es auch sein muss. In diesem Falle geben ^e Gl.
(35) (37) übereinstimmend:

^ 8i»f*g^» also ^=-1*1 — rj (40)

^0 M, Function von «, und

tj =- /siuftöA

Function von r ist. Gl. (36) wird alsdann:

1 8 (sin («1 — Vi) cos f*)

oder,

wenn

cos^
man

sin

f*

de

3 (cos Fl (

dv

:OSfi)

=

—

csinysiiifi 1

S (sin r^ cos fi)

dv

==

—

. (

ccosysiHfi 1

(41)

284 Hoppe: Principien der Flächentheorie.

setzt:

cosiku =» cco8(Mi+y) (42)

Hieraus erhellt, dass c und y, weil sie nicht von u abhangen, Ober-
haupt constant sein müssen. Die 61. (41) geben, entwickelt, die W^le:

g^ = csin(p,+y); g^ = — cco8(ri+y)tg^

woraus durch Integration:

cos fi cos (rj + y) « sin «

cos fi sin (r^ + y ) = cos « cos (er + ß)

sinfi = cos« sin (cu-f/J)

Jetzt ist nach Gl. (40)

SlUfi

und man findet nach Integration mit Hülfe der Relation zwischen m

und v^i

cos(ri + y)cosfi = sin«

cos (üt+y) sinfi = cosacos(il-|-€)
sin(Pi + y) = cos«sih(il-l-f)

Hier sind a, /5, e die Constanten der 3 successiven Integrationen.
Führt man nun die Werte der partiellen Differentialquotienten der
Coordinatcn mittelst der gefundenen Relationen auf u und v zurttcfc
so ergiebt die Integration der Ausdrücke von 8j-, 8y, dz ohne Schwie-
rigkeit:

tt\T\Jg%l

X = — r-J8in€sin(cr-}-i^) — 8inacosscos(cu+/3)( — UjCosacos«

y= — r;— (cosfsin(ctJ + ^)4-siu«8in6COS(cr4-i^)}+«*iCOS«8in«

%\tku . , /,. ,

» = — — jr-C08acos(cp-t"P) + **28ina

WO zu Abkürzung

M« = /sin(ui + y)ött

gesetzt ist. Verbindet man die 3 Coordinatenwerte wie folgt

( — arcosf+ysinOsin« — »cos«

xWki'\-yzo^t
( — a;co8«-|-ysine)cosa+2sina

so stellen diese 3 Grössen die Coordinaten desselben Punktes ftr

Hoppe: PrinapUn der FlSehentheorie. 285

andre Lage der Axen dar. Bezeichnet man sie wieder mit a;, y, 2,
so werden die Gleichungen der Fläche:

sinAru ^ , . sinku , ^ , ^, ,^^^

ar=- ~^C08(c»+/J); y « -^- 8in(cr+/J); 2 = 14, (43)

das sind die der Fläche, welche die ebene Cnrve

sinÄrti ^

x= ^^ ; y «0; » « t*,

bei Rotation um die z Axe beschreibt Für den Fall c » 1 wird
nach (42)

cosiku

«*i+y = ^; also u,« j^

und die Werte (43) ergeben:

x»+y*+>* = l.

Die Fläche geht alsdann, wofern Ic^ positiv ist, in eine Kugel vom
Radius t über. Da nun nach §. 17. alle Flächen, welche gleichwertige

e,/, y haben, auf einander abwickelbar sind, so sind alle Flächen
constanter positiver Krümmung auf einer Kugel abwickelbar. Doch
bemerkt man leicht, dass nicht die ganze geschlossene Fläche die
ganze Kugel bedecken kann, sondern entweder, für c>> 1, nur einen
Teil derselben, oder, für c<ll, die Kugel zum Teil mehrfach bedeckt.

J. 40. Kleinste Flftehen. Bedingung. Es ist die Aufgabe, unter
allen Flächen, welche von derselben geschlosseneu Linie begrenzt
werden, die kleinste zu finden. Diese kleinste Fläche hat dann der
Bedingung zu genügen, dass sie bei jeder unendlich kleinen Verschie-
bung ihrer inncru (nicht zum Umfang gehörigen) Punkte wächst,
dass also ihre Variation nie negativ ist Dann kann aber die Variation
auch nie positiv sein, weil sie sonst bei rückgängiger Verschiebung
negativ wäre. Folglich ist die Variation der Fläche

SSI = öfftdudv :=ffdidudv = 0 (44)

Berechnet man 6t aus L Gl. (10) (3), so findet man:

gSe—2f6f+edg

9t

U%+'.»%+«'^ + M.4+ !»%+«.»%

WO

286

Boppei Principien der Flächenthttorit.

1

t

8.
8i^

L, =r

dx

1

'du

1

(

.3f

8y

8;«

&•■

8y

8u

(45)

und die übrigen Coeffideaten analog bestimmt sind, oder:

-i^i+'^)>'At+'^y'-{

du

+ 'S) "

Führt mau diesen Wert in (44) ein und iutcgrirt den ersten Term
zuerst nach u Inder Ausdehnung, in welcher die Parameteriinie («)
innerhalb des Flächenstücks Sl liegt, so werden die Grenzen entweder
die Durchschnitte mit dem Umfang, in welchem da:, öy^ öz null sind,
oder, falls die Parameteriinie in sich selbst zurückläuft, ein und der-
selbe Punkt dieser Linie, also Ldx'\-M6y'\-Nöz für beide Integrai-
grenzen dieselbe Grösse. In beiden Fällen verschwindet der Ausdrack
schon nach erster Integration. Dasselbe gilt vom zweiten Term, wenn
man ihn zuerst nach v integrirt. In den übrigen Termen sind die
Factoren dar, d^, 6z für alle Flächenelementc unabhängig willkürlich«
Daher kann das Integral nur null sein, wenn es die Coefhcieuten der
Variationen sind, und man erhält:

du^^ dv

8iV 8A^_
' flu ' 8v

(46)

Setzt man für I», L^ die obigen Werte und führt die Differentiation
mit Anwendung der Formeln I. Gl. (19) aus, so kommt:

»f+?£-=-(«+^.,p,-(i+i)^

und die 3 Gl. (46) reduciren sich auf die eine:

(47)

Es hat sich ergeben:

Qt Q2

0

(48)

S. 20. Auf jeder kleinsten Fläche ist durchgängig die
Summe der Hauptkrümmnngen null.

Hoppe: Principifn der FläcHenthtorit. 287

Durch diese Eigenschaft wird eine besondere Art Ton Flächen
definirt, welche, wenn nicht ausschliesslich, jedenfalls alle kleinsten
Flächen in sich begreift. Da offenbar jeder Teil einer kleinsten Fläche
selbst kleinste Fläche in seinem Umfang ist, so ist der Begriff von
der Begrenzung unabhängig.

§. 41. Darstellung der kleinsten Fl&ehen. Löst man die Glei-

OX vX

chungen I. (19) nach n~- ^ auf, so ergiebt sich:

Bit dp . dp dx dp . dp

8t* du' 8t7 ' 8i> du*~ dv

wo

P^ — KJy; Q = KH^ ; R^ KJ-, 5 = — KH (49)

1

K

QiQ%

gesetzt ist, Formeln die gleicherweise für die y und z gelten. Setzt
man

p = siniACOStr; q = sinusinc;; r =« cosw (50)

und wendet auf die so definirten Parameter u, v die obigen Formeln
an, so lauten diese:

dx ^

K- = Pcostecost; — Qsinusinv

dx

ö~ =" -ßcoswcosr — /Ssiniisinv

cv

oy
dy

dz

d'u^- ^s^^^

dz

KT «=■ — Äsint*

Eliminirt man durch Differentiation x^ y, «, so findet man:

(dp 8ä>

(51)

(dp dR\

\dv "^g;7)co8M-f-(Ä— Q)sint* = 0

(dQ dS\ , , ,

Vä^ "" 8jJ8in~+(^-Ä)cosu = 0 (52)

(SP dR\ .

I K- — ö— I SIUM — Äcos« = 0

288 Hoppe: Principien der Flächentheorie,

Die erste und dritte Gleichung lassen sich verbinden zu

dP dR ^ ,

g— — gI7 '^ QsinucosM

Ä « Q 8in«tt
und nach Elimination von R zu

K~ « g— 8inn*4-3Q8muco8w

Dies lässt sich auch schreiben:

dp 1 a(Qsin»u)

oder, wenn man

dv sin u du

= dw (53)

smu

das ist

1

sinu

cos iw ; cot u =r t sin iw (54)

setzt:

a(PsinM acQsin^u)

dv dw

eine Gleichung die allgemein befriedigt wird durch

dT dT

Psin'H« = Q— ; Q sin*u = ^ - (55j

Jetzt bleibt noch Gl. (52) zu erfüllen, die wir mit sin^u multipiiciren
und folgendermassen schreiben:

^ ' g^^ |-(i^+S)8in»uC08tt « ü

Hier ist nach (49)

das ist auf kleinsten Flächen null ; daher geht hier die vorige Gleichung
über in

a(Q8in»u) , 8(PsinM

dt;

+ — -ä:.— ^ = 0

FIT

und nach Einführung der Werte (55) in

dv* + dw* * ^

(56)

Hoppe: Principien der Flächentheorie, 289

Das Integral dieser Gleichung ist:

2* = 9 (t? -f- »w? 0 "h vC«» — »w?» — »)
woraus nach (55):

Psin^M =« »g)'(t?4-iir,/) ~.,y (v— tti^,— »)

Qsin^ = JBsinu = g)'(t>4-»«'»»)+9'(t>— »"^, — 0

Dies in die Gl. (51) eingeführt giebt:

dx .

•K- =» sin (t> 4" »«^) ^'(^ "f" *w^» 0 + ^^J •

dx

g^ « — sin (t>+»iü) tp\v-\-iw, i) + coig.

Ä— = — »C08(t? + »»^)9'(t' + «^?04"CODJ.

g— =» cos (t> -(- IM») tp' {v 4- »'«?? 0 + coiy .

hz

g- « — <3p'(t,-f- ;«?,»)+ conj.

g- =- — »>'(t>+»tr, 0+ conj.
und nach Integration:

y=. t^(» + »«^?0+^(v — »WT»— 0 / (W)

WO zwischen den Functionen q>^ x, t^ die Relationen bestehen:

jK F, ») = »>'( F, 0 sin F; t|;'( V, t) — — t9'( F, %) ißos F

so dass nur eine der drei willktlrlich bleibt.

Betrachtet man tr, v als Parameter der Fläche, so werden, wie
sich direct aus den Werten (56) ergiebt, die Fundamentalgrössen
1. Ordnung:

e « flr = — t == 49'(»+Mr, 0 <jp'(t?— »«/?, — f)cos*»u7 (58)

Dass t ein negatives Vorzeichen erhält, ergiebt sich, wenn man die
Werte von pt, qt^ rt ihrer Definition gemäss bildet und mit (50) ver-
gleicht. Da ferner nach (50) (54)

cosr sint? .

p «■ :- ; q — » ■ : r =« ttgiw (59)

^ COSltff ' ^ costu» ' •» ^ '

T«ll UX. 1 9

290 Hoppe: PriHcipten der Fläckeniheorie»

ist, 80 findet man nach Differentiation der Gl. (56) die Fnndamentai-
grossen 2. Ordnung gemäss ihrer Definition §. 5.

(60)

— JS = C? =» »<jp' (w -f- »w^? 0 "— »<3p'(v — »tr, — i) \
F= — g>\v -f- ttr, f) — (p'(v — iio^ — i) )
woraus:

F*—EG = V(»4-»V, t^tp'iv—itü, — i)
und in Verbindung mit (58):

Die beiden Haaptkrfimmungsradien sind die positive und die negative
Quadratwurzel aus dieser Grösse.

§. 42. Krflmmnngslinieii auf kleinster Fl&ehe. Nach (49) hat
man (in Parametern u, v):

„ j^l- i—i^ ^ \

* K 4COSttl7 l y ' (t> + tW7, i) "^ y '(ü IM?, — t) )

.R L_f i , ^ \

•^ "" JT "~ 4cos»*tt? ( g)'(t? 4- %w, i) ■*" g)'(f>—»\r, — i) )

Daher lautet die Gleichung, welche die Hauptkrümmungsrichtnngen
bestimmt, I. (54):

Ü^ — COS*iw) \ —n — i — : — :: + —n : ^ }

oder:

Hier ist

— 2i2;cos»u;< —77 — i — ; ;v r, : ~A

( 9'(t? + »W, t) <p\v — IM?, — f ) )

(k — icosiw)^ I (^4"*C0S»tg)^
9'(t> -f- uo, 0 ' 9'(t; — w, — ») ***

3ü 8c

* "=» o~ ■" 5: COSnr
cm 010

Dies eingefilhrt giebt:

<p'(t+w,0(3r+»8u?)«+g>'(ü— «r,—f)(8ü-«8i^)* « 0
Setzt man

Hoppe: Prindpien der FlächentHeorü. 291

ip'(V,t)^t{0'(V,t)\^ (62)

80 zerfUlt die Gleichung in

<^'(t+ttr,t)a(t+H±^'(»— tir,— «)a(r— »ir) — 0

Die Integration ergiebt als Gleichungen der beiden Krttmmungslinien:

0(v-\'iw,i)+0(v'-itü,^i) ^ Ui = con8t )
(D(p -f 1M7, 0 — <P(ü — »M?, — t) =» wj = const. )

und ti], p^ sind die Parameter des Systems der Krümmungslinien.
Hieraus berechnet man leicht nach IL Gl. (2) die Fundameutalgrössen
2. Ordnung E^ (7, fQr die Parameter u^^ v,, und findet:

woraus weiter nach II. Gl. (15):

«i = --C?r> ffi =" Qi

§. 43. Asjmptotische Linien auf kleinster Fl&elie. Sind ««, v^
die Parameter der asymptotischen Linien, so lauten die zu ihrer Be-
stimmung dienenden Relationen IL Gl. (2):

— 1 =

1«

^ au, a»j,
^ aPi a»!

>»

Zerlegt

man

die letzte

in

do^

m* 3ttj,

Ot'g

0

m* auj

dui

" ""/i St*,'

ÖUl

"" /i ar,

so gehen die beiden ersten über in

Nimmt%ian die Quadratwurzeln positiv, so wird

3^ — ^J; ^ ; 3»» = — ^ (81*1— ar,)

folglich ist u^ Function von M^+t^it «nd t?, Function von «i^ — tj.
Eine andere Yorzeichenbestimmung würde bloss Yertauschung von u^
und r, bewirken. Da die willkürlichen Functionen ohne Einfluss auf
die Parameterlinien sind, so setzen wir einfach:

u, = tH+r, « (i-o<I>(i^+»«^,0+a + O<I>(»-»t^,-») ) ....
t,, «1*, — rj«(l+i)(p(ü+w,,')+(l — ,)0(ü— Ml?,— t) ) ^

19»

2Ö2 Boppe: Pfindpien der Flächentheorie.

Gleichzeitig ergiebt sich:

Die Relationen U. GL (1) werden nach Einsetzung bekannter Werte:

woraas:

«j « flTg «« — j— = ip,; /, — j— = 0

d^ ^ ig^[du^^+dvi^) (65)

1 ^_2 8ug8p^

Gl. (65) zeigt, dass tig, v^ zugleich Abbildangsparameter sind. Blenn
genügt indes nicht, dass sie asymptotische Parameter bezeichnen;
vielmehr müssen noch 2 Gleichungen, etwa ^-^^s'^ips) hinza-
kommen, welche die willkürlichen Functionen bestimmen.

§. 44. Fl&ehen Ton constanter Summe der Hanptkrllmmiuifs-
radien. Die Darstellung der kleinsten Flächen lässt sich zur Lösong
der folgenden weiteren Aufgabe verwenden. Sind nämlich p^, Qf die
Hauptkrümmungsradien der vom Punkte (xyz) erzeugten Fläche, so
sind nach §. 19. Qi-^c^ p^-f^c die Hauptkrümmungsradien der paral-
lelen Fläche im Abstände c, welche der Punkt ^

x'«=a; — pc\ y* "^ y — qc\ «' = « — rc (66)

erzeugt. Ist dann erstere Fläche eine kleinste, also

so ist die Summe der Hauptkrümmungsradien der letztem « 2<;.
Hiermit findet die Aufgabe:

Die Fläche allgemein darzustellen, deren Haup^krflm-
mungsradien die constante Summe 2c haben,

ohne weitere Untersuchung ihre Lösung. Die Gl. (66) stellen die
verlangte Fläche dar, wenn man darin für x, ^, z die Werte (57)i
für p, 9, r die Werte (59) setzt; sie lauten dann:

y' — i|>(»-f »tf,i)4-V'(©— tu», — ») —

COSttr

c? sint ) (67)

' «B ^^{yi^i^^i)^tp(^xi IM?, — i) — »ctgfW /

_' 'T< — ri mr j* J-■^'■^*». '**•

Der T^a.'-fc TPTf?g^.j-

//■

^3C . :vv s^V\

-*■»■« ■•

köBxa CK <^ ^.? -sfLjfa, eine ii^s ,v>i« V:\^<öv*«5 »i^** U5\>^nC!*
■1&

^cftai^ wir m *i, Äfcs >evier Pink^ *itHr F.Jicbie ä .kr Riv'i)t-

Kii^ mi.^'JL IC-ribie«, »sd Uss^a *Ü<* ^Ä^utK^^^^^üulo»» v^'^ *^^

jener Punkt die FUche Ä. so ern^ugt ^oiohjsv»it\< du^*t^ Vw^
sduebiuigslmie den Raum zwischen ihr nnd dor \vrÄU<K^T<o« KUciu\
d. L die Variation des Tolums 6P. Ein KUnuiuit du^\^ KAwmtVfc \*l
ein Prisma, dessen Gnmdfliche das Fläolionolemw\t tPi»iV^ uud dtv*M>»
Höbe die Verschiebung (69) ist; folgliob ist die Variation di« Valumi

dP^ff(pöx+q»y+ri^)thuh^

und diese mnss der Bedingung gemäss constaut null tiün« SoUt m^n
zur Abkfirzung

so lauten die 2 Bedingungen:

Beide können noch erfüllt werden, wenn nur 2 bolioblgo Flächen-

294 Hoppe: Princlpien der Flachentheorie*

elemcntc variiren, die ganze übrige Fläche hingegen unverändert bleibt
Bezeichnen wir die jenen 2 Elementen entsprechenden W€4*te dorch
^y 9l'^ 9i ^^^ ^\ Qi\ Q^'y so gehen die 61. (70) ttber in

woraus:

fi-J,+A

Qi 9i 9i Qi

das heisst: die Summe der Hanptkrammungen hat in je 2 beliebigen
Punkten der Fläche denselben Wert, ist also über die ganze Fläche
constant, und man hat den Satz:

S. 21. Auf kleinster Fläche für constantes Volum ist
die Summe der Hauptkrümmungen constant.

Die Bedeutung dieser Constanten, die wir mit a bezeichnen,
können wir leicht aus der vorhergehenden Rechnung entnehme nach
welcher für eine beliebige Fläche, und beliebige, nur immer normale,
Verschiebungen

ist Ist dann Sl eine kleinste Fläche für constantes Volum, so hat
man:

also

iSl « adP

für beliebige Verrttckung. Jetzt sei die veränderte Fläche kleinste
für das constante Volum P-i-dPy dann wird

BSl

Betrachtet man das gegebene Volum als unabhängige Variabele, die
ihm entsprechende kleinste Fläche als Function derselben, so ist die
Summe der Hauptkrümmungen die derivirte Function.

§. 46. RotatioBsflftehen. Eine Botationsfläche wird von
einer ebenen Linie erzeugt, welche um eine Gerade in derselben rotirt.
Die Gerade heisst die Rotationsaxe, die erzeugende Linie der
Meridian, der von einem ihrer Punkte erzeugte Kreis ein Pa-
rallelkreis. Ein Durchschnittspunkt der Fläche und ihrer Axe
heisst ein Scheitel oder eine Spitze, jenachdem die Axe daselbst
Normale ist oder nicht.

Hoppt! Brincipitn der FlädirnÜteorit. 295

Wir nehmoQ dio Rotationsaxo zur Aie der «, don Meridianbogcn
zum Parameter u, den RolatiouBvrinkel zom Parameter v, und be-
zeichnen vorlSnfig die ebenen carteaischen Coordinaten des Meridians
dorcb x^, «; dann sind die Gleichungen der RotationBfl&che:

* —• i^COB«; y = s'oBinv ; * ^ a

wo xo, » Functionen von u sind. Hierans folgen die- Werte der
FandamentalgrÖBBen 1. Ordnung:

Wir schreiben domgemftss die Flächengloichnngen:

X = (COBft; y = IBiBv (71)

Die Werte Ton e, f zeigen, dass die Parameter orthogonal geodätisch
sind. Bezeichnet femer t den KrttmmnngBwinkel des Meridians, so

8i

8»
8=-»"

hat man:

8.

In einem Scheitel wird % = 0, also

p = 0; 9 = 0; c — 1

in einer Spitze t = consL bleiben -p, q abhängig von c ; statt einer
Normale hat hier die Flache eine normale koniBche Fläche. Die
Fnndamentalgrössen 2. Ordnung werden;

£ = g|-; F=0\ G — tmnt

Demnach sind die Parameterllnien (u), (c), d. i. die Meridia
ParallolkreiBe, auch KrUmmnngsIinien. Infolge dessen hat ma

J^_E_8r. 1 g sinT
p,~e~8ü' itt^ g~ t

Die Gleichnngeo der Mittelponktsflächen werden;

(76)

296 Hoppe: Principien der Ftächentheorie.

. ( ^ ' \

Vi "^V+Qiq^ ^« — g^sinrlsint?

and

Die erstere ist also eine Rotationsfläche von gemeinsamer Axe, die
letztere degenerirt in die Axe selbst Die Beziehung zwischen con-
jugirten Tangenten vrird:

t%\VLXdu

Die NoUkrümmungstangenten sind bestimmt dorch

dv
du

„±1/ 1_?!

-^r tsinröt*

(77)

der Drehnngswinkel v der Normale dnrch

avS«aT»+8in»Tat^» (78)

Der Drehpunktsabstand wird: .

R = ^, (79)

die Gleitung längs der momentanen Rotationsaxe:

-aQ^üHi^Lpii-a, -(80)

die Bedingung eines Nabelpunkts:

8r sinr

(81)

Sie wird, da sie v nicht enthält, im allgemeinen durch einen Parallel-
kreis, nur fttr t ^0-^ t « 0 durch einen Punkt erfüllt Eliminirt
man t durch Differentiation, so erhält man als Gleichung der Nabel-
linie:

Aus gleichem Grunde zerfällt der Ausdruck eines Flächenstttcks
zwischen Meridianen und Parallelkreisen in 2 unabhängige Factoren:

Ä — vftdu (81)

Hoppe: Frineipuu dtr FläthmllitorU. 297

Um ein KOrpcrstück, ganz oder zum Teil begrenzt von einer Rota-
tionsfläche, za berechnen, kann man dasselbe von einer variabeln
RotaUonsflache erzeugen lassen. Man hat dann bloss f, >, t als
Fanctionen von u nnd einem dritten Parameter w zn betrachten.
Der Ansdrack des KCrperelcmcnts I. Gl. (15) geht dann nach Ein-
fQhning der Werte (72) fiber in

Säp^= (Is-cost — js-sinT|du8tidu>

dt &

Sa &
8u ^

dudvdw — tSt>S*Q

wo d'Q das Element des erzengenden ebenen Fläcbenstbcks darstellt.
Ist das KdrperstOck Ton Meridian- nnd Parallelkreisebenen begrenzt,
so zerfällt das Integral in 2 niiabbängigc Factoren:

P = rfftS*(l (82)

In (81) nnd (82) ist o der Winkel zwischen den 2 begrenzenden
Heridianebenen.

%. 47. AsTnptotlselie Linien anf RotatlonsItHeben. Die Diffe-
rentialgleichungen der asymptotischen Linien (77) geben iotegrirt:

mid uj, c, sind die Parameter des Systems. Diesen entsprechen, wie
man am leichtesten ans II. Gl (1) (2) findet, die FundamentalgrCBseo :

*. = Pi = i\^*-8«itg^j (84)

/t-i(*+8in.g^j; t, = |J/-(sini

Fl — itsinT

i 48. Orthofonal KeDdXtlsehe Systeme auf Botstl
8ind u^, V, die Parameter eines beliebigen orthogonal gt
, Systems, u, v die bisherigen, so sind nach II. Gl. (1) die
zwischen beiden;

298 Hoppe: Principkn der Flächentkeorie»

du dv * ^ du dv

Erfüllt man sie durch die Werte

duf

du =<^"''*5

du, .

OV

du t,«°*5

dv, l

dv ^e,*^*»«*

(85)

(86)

nnd elimiidrt «,, so kommt:

d% ^ , d% 'dt

Das Integral dieser Gleichung ist:

/^^ I #/,x

wo unter dem Integralzeichen h als coustant betrachtet werden muss,
und (p eine willkürliche Function bezeichnet Bildet man aus den
Werten (85) die Ausdrücke von 8mi, dt?i, und redncirt mittelst der
GL (86) V und « atf u und h als Unabhängige, so kommt:

Erstere Gleichung giebt integrirt:

»1 =yy=p + hv>'(h) - <p(k) (87)

Nach letzterer ist v^ Function von A; setzt man

so wird die Gleichung erfüllt durch

/

(89)

Hoppe :'Principkn der FlSchentheorie. 29^

Nach Einfahning der Worte (85) in U. Gl. (2) ergeben sich zunächst
folgende Ansdrficke der Fondamentalgrössen 2. Ordnung:

^ = ai^8«»H — p8in«x; Fl =- e, y— g^j srnx cosx

^1 = h^ (^gi 8in«» H — p co8*x j
das ist nach (86) and (88)

^i-^sinT+— ,-g^

^» — ?~V * äuj^
(?,»-^^-^8,nT+Ä^g^)ß»

Sollen ttt) vj geodätische Polarcoordinaten sein, so muss zur t^
unabhängig von 9^, d. i. von A, für einen Wert von u, verschwinden.
Entspricht diesem Werte die untere Grenze der Integrale in (87) und
(88), so muss sein

yW^::ji (p"(h) — 0

für jedes A, also

tp(h) = ah+b

Gleichzeitig muss u, verschwinden; das giebt: 6 » 0. Jetzt ist

Der untern Grenze der Integrale entspreche < = c; lässt man dann
u stetig in die untere Grenze übergehen, so wird

ivn -3. ._, ^»

lim

Nach §. 32. hat man daher zu setzen:

r^ ■=• / y =» arcsin - ; ä =» ösint^

dann werden nach Gl. (87) und (86) die Relationen zwischen (u, v)
und (U|, t;^):

300 Hoppe: PrincipUn der FlächentheorU,

J tit^

(90)
csinvjdu

_ • V » \j axt}

c^siu^Vi

§. 49. Conforme Abbildungr der Rotationsflftohen. Zur Auf-
findung der Abbildungsparameter u^, v^^ bestimmt durch die Bedin-
gung ^ "-^^ ^s == ^f /s =* 0, haben wir die Gleichungen zu lösen:

du Bv "^du dv

nnd erfiülen sie darch die Werte:

duf cosx, dt«! t .

du y^ ' dv "" y<j

dv^ sinx. dt^s <

(91)

du y^ 3t> ytj

cos»

Eliminirt man u^ und v^ durch Differentiation, so erhält man 2 Olei-
chungen, die sich leicht zu folgenden verbinden:

t aiog^ dt_ dn l8log<> dn

2 a« ■~8m'"5^' 2 dv +'8u"'"

Die zweite wird erfüllt durch

Die erste geht alsdann, wenn man

du j,

setzt Ober in

d*T d^T dlogt

dv* * 8to* dw
Das Integral hierron ist:

T= ^(tr+»p, 0+ 0(w^iv, — 0+/log<8w

woraus nach (92):

Bcpptt PriiicipitH der FlSeinttlitorit.

itogt, - «V+Ä, ,■) + *'(«—.>. -0+logi

oder, weDO man

#'(H',0= — ilog2g.'(ir,0
setzt:

Diea in (91) eingefOhrt giebt:*

9i^ = ^'(w-j-w, i)3(w-f-i>)-^9i'(tr — *c, — i)fl(w — ir)
3r, ^ — »9'(ip+ir, t) d(ie-f~^)~l~^'('<' — *") — O^C" — *)
und nach Int^[r«tiot), mit WegUssnng der Coustanten:
u^ = q>(«, + it:,i) + V(»> — n).-i) »
ittj:=fi(to4-ir, i) — 9(10— i'p, — «) t
woraus:

25p(w±M., ±.-) — %±ft«

oder, dnrch die inTerse Function ^ ausgedruckt

'-/^

und 7 oder if willkariiche Fnnction.

$. ÖO. AbwickelBB^ der RoUtloBslUehea anf elauder. Ist
eine Rotationsfiftche, wie bisher, iu Parametern der KrOmmiiDgBliiiien
u, t gegeben, so mnss Rlr jede auf ihr abwickelbare Rotal' — "--'^-
wenn man sie in denselben Parametern darstellt, gleicht
/=0i g^t* sein; allein die u imd e branchen nicht (
geometrische Bedentang zn haben, mithin ancfa nicht ( die I
der Meridians zn sein. Sind nnn anf der zweiten Flache
Parameter der Krflmmnugslinien, and entspricht der Pu
dem Punkte (üb), so ist die Bedingung der Ähwickelbarkei

Beschr&nken wir um auf die q>edeUe LOmiog, wo die

802 Hoppe: Principien der Flächentheorie.

wieder Meridiane, die Parallelkreise wieder Parallelkreise werden,
so ist

und da t, t' nur von u abhangen,

r = - : v' ^ cv: c constant:
<?' ' '

folglich die Gleichungen der zweiten Fläche:

t t .

jB = - COS cp ; y ~ - sine»

Die dritte Coordinate ergiebt sich aus:
sie ist daher:

• -fV^^ '»*>

§. 51. Flftehe iweiten Grades. Reduetion der Coordinaten-
grleichongr. Die Gleichung einer Fläche 2. Grades ist eine beliebige
Gleichung 2. Grades zwischen den cartesischen Coordinaten x^ y^ ti

Aai^ + By^'{'Cz^-{'2Hyz+2JzX'{-2Kxy+2Lx.'\-2My+2Nz'{-D == 0

Durch besondere Lage des Axensystems lassen sich die 10 Terme
auf höchstens 4 reduciren. Die Relationen zwischen den alten und
neuen Coordinaten seien

z «. nx'-\'n^y*'^rn2»'

Setzt man

l^Lx + My+Nz
SO kann man die Flächengleichung schreiben:

^+f*y+*'«+2|+Z> = 0 (95)

Nach Einführung der m\ y\ J wird /ggj

V — (^^ +Ä»+ Cn)a)' + (J/i +Äi»H + Öijy' + (^1,+ »»,+ 04)1'

Hoppe: Principien der Flächentheorie. 808

und Ol. (95) geht Aber in

Damit in dieser Gleichung 2. Grades die Producta y'z\ %*x\ m'y'
fehlen, hat man zu setzen:

woraus:

Dies verglichen mit den Werten (96) giebt:

(^— Ä)Z+ * JTwH- yw — 0 \

Kl+{B—h)m+ Hn^O \ (97)

JZ+ £rm+ (C— A)n=>0 *

nebst 2 analogen Gleichungssystemen, die sich nur durch die Indices
bei /, mf n, h unterscheiden; daher gilt das Resultat der Elimination
Ton 2, m, n, nämlich

A — h K J

K B—h H

J H C'-h

0 (98)

auch nach Substitution von A^, h^ fttr h^ und A, A^, h^ sind Wurzeln
derselben kubischen Gleichung. Nach Einsetzung der Wurzeln in
Gl. (97) ergiebt sich für jede derselben ein System von Werten der
U m, n, z. B. fOr h<^ die Werte Z^, m^» nj. Multiplicirt man mit diesen
einzeln die Gl. (97), so ist die Summe:

• Ä(ttj-f-*'*^i"h***H)

Vertauscht man in dieser Gleichung die beiden Wertsysteme, so bleibt
die Linke ungeftndert, und nach Subtraction beider Gleichungen er-
hält man:

(Ä— i^)(ZZ,4-mmi+niii) — 0 (99)

Sind nun h und k^ ungleich, so folgt:

W&re erstlich h nicht reell, so gäbe es eine zweite ungleiche und
conjugirte Wurzel A^, und beiden entsprechend wOrde man

304 Hoppe: Prmcipien der Flächenlheorie,

(97) durch coAJugirte l^ m^ n genügen können. Nach GL (99)
.wären dann alle Moduln derselben null, also auch l^ m^ n selbst, was
unmöglich ist. Folglich kann Gl. (98) nur reelle Wurzeln haben.

Ferner zeigt Gl. (99), dass die beiden Geraden, deren Richtungs-
cosinus die ^, m, n bezeichnen, normal zu einander sind. Unter
Voraussetzung dreier ungleicher Wurzeln A, ^], A^ genügt daher ein
orthogonales System den Bedingungen, welchem gemäss die Axen d^
x\ y', ä' bestimmt werden können.

Sind endlich A, h^ zwei gleiche Wurzeln, so werden sie durch
unendlich kleine Variation irgend eines Coefticieuten ungleich. Lässt
man nachher die Variation stetig verschwinden, so können die 2 nor-
malen Geraden nicht stetig in einander übergehen. Da alsdann die
linearen Gl. (97) 2 verschiedene Lösungen haben, so haben sie un-
begrenzt viele; nur müssen die betreffenden Geraden, wofern h^ un-
gleich ist, zur Geraden (^2^^) normal sein.

Die Fiächengleichung ist jetzt auf die Form gebracht:

Ist nun keiner der Coefficieuten A, A,, A^ null, so kanu^roan den
Anfangspunkt so verschieben, dass (ohne Beziehung zur anfänglichen
Bedeutung von a;, y, z)

t ^ f ^ t ^

(101)

•

wird; dann wird

A*«4-*,.*+M* = p=J+t;+t ^

(102)

Ist P nicht null, so kann man

P P P

(103)

setzen, und erhält:

•

iE* U* S*

-+^+- = 1 (104)

a * b * c

In diesem Falle heisst die Fläche eine centrale. Die Fläche heisst
ein Ellipsoid, einschaliges oder zwoischaliges Hyper-
boloid, jenachdem 3, 2 oder 1 der Grössen a, b, c positiv siud.
Grenzfälle, welche krumme Flächen bilden, giebt es folgende. Ist
p » 0, wo man die Gleichung in der Form schreiben kann

?*+^*+L* _ 0 (105)

Hoppe: Principieii der Flächentheorie, 305

SO heisst die Fläche ein Kegel. Ist eine der Grössen A, ä^, h^ null,
and nicht gleichzeitig bzhw. r/, r/^, r/^ null, so heisst die Fläche ein
Paraboloid; ist hingegen bzhw. r/, d^, tl^ null, fällt also eine Coor-
dinate aus der Gleichung heraus, ein Cy lind er. Das letztere findet
auch statt, wenn zwei der Grössen h, A,, k^ null sind, nachdem man
die zur dritten gehörige Coordiuate nach (106) transformirt, und durch
Drehung des Axensystems um die bezügliche Axe die beiden übrigen
linearen Tenne auf einen reducirt hat. Das Paraboloid und der
Cylinder in jenejm Falle heissen elliptisch oder hyperbolisch,
jenachdem die 2 nicht verschwindenden Coefficienten h gleiches oder
ungleiches Vorzeichen haben. Im letzten Falle heisst der Cylinder
parabolisch.

§. 52. Krttmmangrslinien auf der Fläche 2. Grades. Stellt man
die Coordinaten folgendermassen in Parametern u, v dar:

«*«a(u— «i)(«?— «2); y^ == ßiu^ßi)(v—ßi)\ 2*=y(«*— yi)(«'— y«) (1^6)

80 lassen sich die 9 Constanten er, j?, y, . . . leicht so bestimmen, dass
die Gleichung einer centralen Fläche 2. Grades (104) für ungleiche
a, b, c erfüllt wird. £s muss dann sein

a * 0 * c

<y<^i I i^Pi I yyi_,Q

(107)

«^ . ^^? . y^^^o

a * b ^ c

Die ersten 3 Gleichungen geben nach Elimination von a, ^, y

1 1 o^ ag I

Mift|=o

1 Yi 79 I
Dem wird allgemein genügt durch

aj, = X4-fia,; ft = ^ + f*ft; y« = ^ + f*yi

Führt man diese Werte in (106) ein, und schreibt für wieder v,

für orft, /?fi, yfi wieder a, /?, y, so erhält man das Resultat, welches
den Werten A = 0 ; /i = 1 entsprechen würde. Jetzt fallen 2 der
Gl. (107) zusammen, und es bleibt nur das System:

Tefl ux so

306 Hoppe: Principien der FlachenthtorU,

welches durch

erfüllt wird. Die GL (106) geben differentiirt:

^dx X ^Bx u — flf ,

2 _ = . 2 Q- = « ■ ; etc.

dx Bx
4 K- ö- «= ^5 etc. folglich

^^ 4
Damit also das System der (ur) orthogonal sei, hat man zu setzen:
ö(yi-ft)+Ä(«i-y,)+c(ft-ai)=0 oder

Dem wird allgemein genügt durch

Es hat sich jedoch oben gezeigt, dass man ohne Einbusse an Allge*
meinheit A =» 0; fi = 1 setzen kann. Dann werden die Gleichaogen
der Fläche in orthogonalen Parametern w, t:

fl;*=ra -^ - (w — a)(i> — a); y^ = ft — ^(m — &)(r — ä)

2 * — «/ X, , > (108)

Hieraus ergeben sich die Werte:

dxyz^ u — V
^^~c UV

Hoppe: Principian der Flächentheorie.

307

wo zur Abkürzung gesetzt ist

17= (w — a)(w— 6)(m — c); K=« {v'-a)(v — h)(v — c) (HO)

Die Qaadratsumme giebt:
daher nach Division:

Femer findet man:

(111)

(112)

u t — « c u — t?

4 ^ '

V

(113)

4L/ |< wp ' ' 4V J^ tip ^ '

Hiemach sind w, © Parameter der Krümmungslinieu. In diesem Falle
erhält man die Haaptkrümmnngen durch Division der vorstehenden
Grössen, nämlich:

1 _ _ ll/«*«^. 1 -__ll/

abc

UV

(115)

Die Krümmung der Fläche ist also positiv oder negativ, jenachdem
u und p gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben. Damit aber die
Ausdrücke, wie schon oben der von <, reell werden, muss wp gleiches
Vorzeichen mit abc haben. Dies ergiebt:

Das Vorzeichen der Krümmung ißt stets das von abc\ sie ist
positiv beim Ellipsoid und zweischaligen Hyperboloid, negativ beim
einschaligen Hyperboloid.

Nach 61. (103) ist nun

abc

hhih^

Da A, Aj, Aj die Wurzeln der Gl. (98) sind, so ist

hJi-Ji^ =

AKJ

KBH
JHC

(116)

(117)

Femer sind d^ d,, d^ in (1(X)) als Abkürzungen eingeführt

2(

308

Hoppe: PrincipUn der Flächentheorie,

(118)

d = LI +Mm -i-Nn

d^ = 2//2~f"-^''4"t~'^'*3

Eliminirt man /, m, n zwischen der ersten dieser Gleichaugen und den
3 61. (97), in welcheh man die Terme A/, Am, hn vorher absondert,
so kommt:

AKJ hl

KBH hm

JHC hn

LMN d

0

(119)

Diese Gleichung hat 2 analoge, welche nur in der letzten Vertical-
reihe durch die Indices 1, 2 unterschieden sind. Addirt man alle drei
nach Muitiplication mit

d d^ d^
h Aj h^

80 kommt, mit Beachtung von (118) und (102):

AKJ L

KBH M

JHC N

LMN D+P

= 0

(120)

Entwickelt man hieraus den Wert von F und setzt ihn in Gl. (116)
ein, so erhält man:

abc =» —

AKJL

3

AKJ

KB HM
JHCN
LMND'

•

1

KBH
JHC

(121)

Hiernach ist das Vorzeichen der Krümmung immer entgegengesetzt
dem der Determinante 4 Ordnung, die man nach vorstehender An-
ordnung aus sämmtlichen Coefficienten der ursprünglichen Gleichung
bildet.

Ist diese Determinante 4. Ordnung null, so verschwindet nach
(120) auch P, und die Fläche vrird ein Kegel. Fttr diesen Fall kann
man 2 der Gl. (107), deren letzte zur Rechten 0 statt 1 hat, durch
Oj = ^1 == yx '^ ö erfüllen ; die übrigen Bestimmungen bleiben un-
verändert, und die Gleichungen der Fläche in Parametern der Krftm-
mungslinien lauten, wenn wir — t«* statt w schreiben:

Boppe: PrincipUn der Flächentheorie, 309

ö — c ^. . „ . c — a

X* — a — T— tt»(p — a); y^ = b—r-u^v — b) j

gi ^ c —-J— u\t c)

i

(122)

2 r V

(123)

Die Fnndamentalgrössen werden:

« =1; / =0; ^ = — 47; *

w, rv « ^ ^ "* 1 A*<?

E=0; F=0; ö = ;p,|/ —
die RichtuDgscosinas der Normale:

"-il/S- »-!K^.> '-^KS <"«'

die Hanptkrttmmnngen:

1^0; ^ '-!/- (125),

Die Fläche ist also abwickelbar, and die Parameter orthogonal geo-
dätisch.

•

Ist statt dessen die Determinante 3. Ordnung, d. i. hh^h^f null,
z. B. Aj » 0, so ist die Fläche ein Paraboloid oder, im besondern
Falle, Cylinder. Setzt man a — yc, «yc, &yc, m^c, tyc für a, o,
&, tt, 0, and dann c:=od, wie es dem A, » 0 entspricht, so wird
Gl. (104):

^'+^'=2a (126)

und die Ol (108):

s o(^'— <»)(P— q) , &(u — &)(p— &)

* "" Ä— a ' ^ "~ a—b > (127)

2» « tt+f>— a — *)
ferner :

xj/ab y I /ab | /

u(ti — v) v(v — u)

ah

- — 4(tt— a)(t* — ft)' ^ 4(©-a)(i> — &)

p — ti I /oi u— p I /ah i (128)

^"4(m — a)(tt — i) V^' ^^ 4(»— a)(tJ — &) J^ t*r

Pi M }/ ttp • p, » {/ ttp

310 Hoppe: Prindpien der Flächentheorie,

Für die Fälle der Cylinder, wo die Relationen der Coordinaten
bzbw. lauten

^'+f'=,l; x« = 2ay (129)

a 0

stellen sich letztere in orthogonal geodätischen Parametern der Krttm-
mungslinien bzhw. folgendermassen dar:

Da indes alle hier besprochenen Probleme auf Abwickelbaren allge-
meine Lösung gefunden haben, so können wir die Abwickelbaren
2. Grades, Kegel und Cylinder, ausser Betracht lassen. Dusselbe gilt
von den Rotationsflächen 2. Grades, welche in der Gleichungsform
(108) nicht mit begriffen sind, die jedoch als Specialitäten in der
Theorie der Rotationsflächen keine instructiven Seiten darbieten.
Auch von den Paraboloiden brauchen wir nicht besonders zu handeln,
da sich durch die oben aufgestellte Substitution und Uebergang zum
Grenzwert die Resultate leicht auf sie übertragen lassen.

Für die Krümmungslinien sind noch die Nabelpunkte von Be-
deutung. Man findet aus (115), indem man Qi = p, setzt, dia Be-
dingung M = w. Dann aber muss in (108) der constante Coefficieut
jedes nicht verschwindenden der 3 Ausdrücke positiv sein. Da die
Summe der Coefficienten null ist, so ist mindestens einer negativ,
folglich eine der Coordinaten, z. B. y == 0, und man hat:

Es giebt alsdann entsprechend den Doppelvorzeichen von x und z vier
Nabelpnnkte auf der Ebene y = 0.

§. 53. Confocales dreifach orthogronales Flächensystem 2. Grades.

Lässt man a, 6, c, m, v mit einem dritten Parameter w gleichzeitig
um gleiche Incremente variiren, oder, was dasselbe ist, substitoirt
man a — w, b — w?, c — tr, u — »r, v — w für a, i, <?, u, », so gehen die
Gl. (108) über in

X'

y^ ^^—7^(u — b){v — b)(w—b) I (131)

«' = — 7— (u — c?)(v — c)(«r — c)

(132)

Hoppe: Principien der Flächentheorie. 311

Da sie symmetrisch in u, r, w sind, so folgt, dass die oben hergelei-
teten Resultate für die Fläche w =» 0, welche offenbar für die ganze
Schar von Flächen w = const gelten, auch auf die beiden Scharen
von Flächen u » const und v = const. angewandt werden können.
Demnach schneiden sich alle 3 Flächenscharen in ihren Ejrümmungs-
linien, und dass dies unter rechten Winkeln geschieht, folgt aus der
auf alle anzuwendenden Gleichung / = 0, der gemäss die Tangenten
der Schnittlinien auf einander senkrecht stehen, mithin mit den Nor-
malen einzeln zusammenfallen. Daher sind die Gl. (131) der Aus-
druck eines dreifach orthogonalen Flächensystems.

Eliminirt man je 2 Parameter, so erhält man:

a — u o — u ' c — u
a^v • b — V ' c — V

a — w 0 — w ' c — w

als Ausdruck der einzelnen 3 Flächenscharen. Die dritte Gleichung
ergiebt sich aus (104) durch die genannte Substitution; die andern
folgen durch Analogie.

§. 54. Asymptotisehe Linien auf Flftehen 2. Grades. Die Glei-
chung der asymptotischen Richtungen Edu^-\-Gdv^ ^0 wird nach
(114):

au» 3©«

und zerfällt in

VÜ+7K=0; yjj-y^^O (134)

Die Integrale können wir folgendermassen schreiben:

a

WO CT,, Vy dieselben Functionen von w,, v^ sind, wie 17 von u und
V von p, so dass f ttr r = a bzhw. u in u^ und in v^ übergeht Nach
dem Additionstheorem elliptischer Functionen, welches sich nach
Lagrange's Methode hier besonders einfach herleiten lässt, ist alsdann

(136)
y(t*--a)(u— &)(»— c)~l/(»~a)(u— Ä)(u— c) ^ V U—h){a — c)

312 Hoppe: Principien der Flächentheorie,

(137)

u — V I / »1 — a

y(M— a)(p-— Ä)(D— c) + l/(p — a)(M— Ä)(u— c) "" r {a — b)(a —

c)

Die rechten Seiten ergeben sich ans den linken, indem man r = a
setzt Nach demselben Gesetz findet man anch deren Werte, wenn
zur Linken a, &, c vertauscht werden: es rauss, wenn a in & und in
c übergeht, r^ bzhw. übergehen in

. (a-c)(ft-<?) . ^ , (a^b){c-b)
c-\ ~ und b-\ r (138)

t7| — C ti O

Lässt man nun den Punkt (xi/z) längs der asymptotischen Linie
T] « const. variiren, so hat man nach (135):

du.

und findet, nach Differentiation der Gl. (108):

Ix

8«! 4V
das ist vermöge der 61. (137):

(Vu , Vv\

Ui \n—a "^ V — a)

dx
du

w— 1?|/ (a — b)(a — c)

und nach Einsetzung des Wertes (108) von x:

dx u — Ti/ a
8^ "" 4 y C^i(ri— a)

Vertauscht man a mit b und c, so geht a; in ^ und z über. Mit Be-
achtung der Wirkung (138) auf Oj findet man:

8ui *" ~4~ J^ C^i(c— Ä)(i>i — Ä) *• 8ii^ "" ~4 ~ ^^ l7i(& — c)(i?, — o)

Die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate giebt, übereinstim-
mend mit dem aus den Fundamentalgrössen resultirenden Werte:

(139)

ds U V

8tt, 4V 17,

woraus:

dx i/ a dy |
8, '^V v.^a ds^¥

iC'-b)iV4—a)'

Hoppe: Principieu der FlächetUheorie, 313

Hiernach ist die asymptotische Linie, da ihre Richtung sich als con-
Btant erweist, gerade. Ihren Ausgangspunkt können wir noch beliebig
wählen ; er sei ihr Durchschnitt mit der Krömmungslinie v <= er, das
ist mit der Ebene a: = 0, wo, wie wir sahen, m -= pj wird. Dies gicbt
nach (108) die Coordinatenwerte

Integrirt man jetzt die 61. (140), so erhält man als Gleichungen der
asymptotischen Linie t\ = const.

(141)

Sie erzeugt bei varüreudem v^ die Fläche (104), deren Gleichung in
der Tat erfüllt wird, wenn man die Vorzeichen innerhalb der binomi-
schen Factoren von y und z entgegengesetzt bestimmt, während im
übrigen die Vorzeichen der Wurzelgrössen beliebig sind. Die zweite
asymptotische Linie u^ » const. ist offenbar in gleichem Falle: es
ändern sich nur einige Vorzeichen, wenn man u^ für v^ substituirt
Um die Fläche in asymptotischen Parametern z^, r^ darzustellen, hat
man in (108) für u, r ihre aus (136) (137) zu entwickelnden Werte
zu setzen, eine Rechnung die durch Zuhülfenahme der Analogen sehr
erleichtert wird.

§. 55. Kürzeste Linien auf Flilchen 2. Grades. Sei s der Bogen,
r der Krümmungswinkel einer Kürzesten, w, o Parameter der Krüm-
mungslinien; dann erhält man durch Differentiation der Gl. (108)
längs si

dx X I 1 Su 1 9tj\
Ss 2\u — a6« ' r — o8«/'

woraus man leicht berechnet:

oder, da nach (113)

S.» = e8«»+,8«« = "--"("-^'-^-^*) • (143)

ist:

314 Hoppe: Prindpien der FiächentheorU.

Differeutiirt man zweimal die Gl. (104), so kommt:

Nun ist, vermöge der Eigenschaft der Kürzesten and nach (112)

nnd da die Qnadratsnmme der Analogen =» 1 sein muss,
folglich, nach Einführung in (145):

- = - ly.

i£ '»«'

Diflferentiirt man jetzt die Gl. (142) (147) und substituirt die Werte
(146), so findet man:

und nach Elimination von dt mittelst (148):

dR _d(uv)
R UV

integrirt:

Ruv = h

Setzt man für R den Wert (144) und entwickelt das Verbältuisa
duidv^ 80 konunt:

Vu8ttl/F(t? — Ä) = ± Vtj8vl/l/(tt — A)
daher nach zweiter Integration:

Dies ist die Gleichung der Kürzesten. Für A » 0 geht sie in die
gerade asymptotische Linie über.

§. 56. Orthogonal geodfttische Systeme auf Fliehen 2. Grades«

Sind U|, Vi die orthogonal geodätischen Parameter» also «i — 1;
/i =" 0; ^1 — tj^^ so lauten die Bedingungen II. Gl. (1) zufolge der
Werte (113) von e, f, g\

Hoppe: Priimpien der Fläch entheoru» 315

du dv * ^ du dv

•w -(»')■ + '.■&)'

^an ist die zum gesuchten Systeme gehörige Schar Kürzester schon
aas (149) bekannt; ihre Gleichung lautet:

woraus:

I / SU , dv-i I / ev

Dies eingeführt giebt:

\du) ^ U\ 4: u—h)' \dv~) ^ V\ 4 v — h)

?!h Ott, ^ 2 1 / UV

du dv 1 y UV(u—h)(v — h)

Das Product der ersten 2 Grössen gleich dem Quadrat der dritten
gicbt eine lineare Gleichung für «j^ aus welcher der Wert

V^i--iV(^-h){v-h)

hervorgeht. Nach dessen Einsetzung hat man sogleich:

iy iT"' dc=^y~~v~

und die Gleichung der geodätischen Parallelenschar lautet:

f^y^^p^-hfB.y^-^ = «. (151)

Da hier u^ einen reellen Curvenbogen bezeichnet, so folgt durch Ver-
gleicbung der Wurzelausdrücke mit denen in (150), dass s negativ
reell ist. Setzt man e = — i, so wird

*i = y(tt-^Ä)(Ä~r) (152)

ßu \/jjj^^ -fs^y-y-^^ - 2., (153)

316 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.

§. 57. Conforme Abbildniigr der Fliehen 2. Grades auf der
Ebene. Sind %, v^ die Abbildongsparauietcr, so ist die Bedingung
e^ = ^1 ; /*! = 0. Dieser kann mau schon dadurch genügen, dass man
t^ zur Function von u und v^ zur Function von v macht, wo u, r
Parameter der Krttmmungslinien; denn dann wird

also nach einfachster Disposition

tt — t?

e, = ± -j- (154)

u,~fduy^; v,=fdvy^ (155)

§. 58. Asymptotlsehe FlXche dritten Grades und deren KrtaH
mungsUnien. Die Fläche 3. Grades, deren Gleichung ist

xyz = yc (156)

und die wir mit dem vorstehenden Namen bezeichnen, ist bemerkens-
wert, sofern sich aus ihr ein dreifach orthogonalem Fläcfaensyst^n
herleiten lässt. Setzt man

Sm - aj*+y»+««; 3n ^ yV +«»««+ «*j^« (157)

so sind x\ y\ z^ die Wurzeln der kubischen Gleichung

«6 — 3maj*+3ii«» — c = 0 (158)

in welcher demnach x mit y und z vertauscht werden kann. Gl. (156)
differentürt giebt:

yzdx-^-zxdy-^-xydz =* 0

Demzufolge muss sein:

piqir '^ yziMXixy

woraus mit Anwendnng von (167) (156):

^-Wb ^"Wk' •■=jK£

Differentürt man die erste dieser Gleichungen, so kommt:

(159)

|+|+|.0 (160)

Varürt der Punkt (xyt) längs einer Krflmmungslinie, so ist nach IL
GL (19)

Hoppe: Principien der Flächentheorie. 317

dp dq dr

^ ^ r? ör il/^ ^

px

WO / = ~l/^- Oder ^\/—' Hiernach wird Gl. (160)

'^-lxdx+idn = 0

woraus nach Multiplication mit y* -{-«*=" Sm—a?*:

dx
3mn nxSx^l(y*'\'Z^)xSx+i(3f^+z^)dn — 0

X

Addirt man die Analogen beider Gleichungen, so kommt:

dn ■» ldm\ (2m — t)dn «=» ndm
woraus:

ii=»/(2m — 0 (161)

und nach Elimination von n:

Idm »- 2(1— m)d/
iBtegrirt:

P(2i — 3w) — u (162)

Entsprechend den 2 Werten von ^

/ — m i y m* — n

wie sie aus (161) hervorgehen, erhält man fOr jeden Punkt (rt/z)
2 Werte der Gonstanten u, v, und die Gleichungen der 2 Scharen
TOn Krümmungslinien weiden nach Einftlhrung in (162):

m(2iii«-3ii)+2(m*-n)l « u ^
m(2w«— 3n)— 2(m«— n)l — ü )

Um jetzt x,y,» in Parametern der Krümmungslinien u, v darzustellen,
bat man nach einander die 2 kubischen Gleichungen zu lösen:

(164)
(,t_«),_3(!^*)*(«»_«»)= !i±?+,

Die 3 Wurzeln der letztem sind «*, y*, »*.

§. 59. Breifaeb orthogonales Flftebensystem, dessen eine Schar
asymptotische FlKehea 3. Grades bilden. Setzt man in den Gl. (163)
(156) für- die Constante c die Variabele w und für «, t; die mit w
varürenden u,, t^i, so erhält man eine Schar asymptotischer Flächen

318 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.

w = const. und auf diesen, bei allein varürendem tr, 2 Scharen
Erammungslinien, welche 2 Flächen v == const. und u = const. bildeo.
Letztere Flächen schneiden einander rechtwinklig ; durch Bestimmung
Ton tii, r, kann man bewirken, dass sie auch die Fläche ir = const.
rechtwinklig schneiden. Die Gleichungen der Flächen u «=-= const^
w = const können wir schreiben:

M — u^ == 0; x^y^z^ — • ic

wo M die linke Seite der ersten GL (163) bezeichnet. Dann verhalten
sich die Ricbtungscosinus der Normale der Fläche u = const wie

dx dy Sz

und die der Fläche w = const nach (159) wie

X y z
folglich ist die Bedingung des rechtwinkligen Schnitts:

X ox ' y oy z cz

SM/ldm 1dm ldm\ dM/ldn Idn ldn\
\x dx'^ ydy ' a dz J"^ dn \x Sx'^ y dy* z dz )

)m

8u, /l dtc ^^1 8'^ 1^1 dw\
dw \x ex"* ydy z dz J

das ist nach den Werten (157) (156) von m, n, tr:

dM ^ ^dM o ^

ö h 2 Q w* = 3 n — n

dm ' an Of

Durch Differentiation findet man:

dies eingeführt giebt:

dw
integrirt, und nach Analogie:

Demnach sind die Gleichungen der 3 orthogonalen Flächenscharen:

1 d<r fläi^eiilkeorit.

»•(2m»-3n) + 2(m»-n)J + l*y»»» = «
B»(2«* — 3n)— 2(m«-n)l + i«s

deren erste beidsD vom 12teii Grad« sind.

Anhang.

Uebenteht Aber die Probleme der Fllebentbeorle.

Im folgenden Bollen diejenigen allgemeiaen Probleme nebst ihren
specielten Ldanngen zn&amraengesbtllt werden, welche im Lanfe der
vorstehenden Abhandlang znr Besprechaug gelangt sind.

I. Darstellung der Schar orthogonaler Tnuectorien einer gege-
benen Schar von Linien.

Bedii]gaDg:/= 0 §. 22. lineare Gleichnis 1. Ordnung.
Speciello Lösungen

1) für die Fälle dargestellter Krttmmnugslinien 8. Probl. IL

2) für die Fälle dargestellter Scharen Kürzester s. Prob). IV.

3) für die Fälle bekannter Abbildnagsparameter s, Probl. V.

II. Darstellung des Systems der Krttmmnngslinien auf gegebener
Fläche.

Bedingung: / °= 0; F=0 §23. höhere Gleichung 1. Ordnung.
Ohne Bedeutung auf Ebene nnd Kugel.
Lösung nnmittelbar vorliegend

1) anf Abwickelbarer §. 34.

2) anf Rotationsfläche g. 46.
Gelöst 3) auf kleinster Fläche g. 42.

4) auf Fläche conetanter Summe der HauptkrOmroungs-

radien §. 44.

5) auf Flächen 2. Grades §. 52.

6) auf der aeymplotischen Fläche 3. G-*-''"" * '^''
m. Darstellung des Systems asymptotischer Li

Flache.

Bedingung: £ = 0; G — 0 §. 28. hfihere Glei
Ohne Bedeutung anf abwickelbaren nnd positiv ge
Gelöst 1) auf kleinster Fläche g. 43.

2) auf Fläche constantcr Summe der

radien g. 44.

3) auf Rotationsfläche §. 47.

4} anf Flächen 2. Grades g. 54.

320 Hopp ex Principien der Flächenth^orie,

lY. ' Darstellang des allgemeinen orthogonal geodäüschon Systems
auf gegebener Fläche.

Bedingung: 0 = 1 ; /=«= 0 §. 30. 31. höhere Gleichung 2. Orduung.
Gelöst 1) auf Abwickelbarer (anwendbar auf Ebene) §. 35. 36.

2) auf Rotationsfläche §. 48.

3) auf Flächen 2. Grades §. 56.

4) specielles System von Kürzesten auf Mittelpunktsflächen

bei bekannten Erümmungslinien auf der Urfläche.

V. Conformo Abbildung gegebener Fläche auf Ebene.

Bedingung: « = ^; / = 0 §. 33.
Gelöst 1) für Abwickelbare §. 36. 37.

2) für Rotationsfläche §. 49.

3) für Flächen 2. Grades §. 57.

VI. Darstellung der allgemeinsten auf gegebener Fläche abwickel-
baren Fläche.

Bedingung: c, /, g gegebene Functionen von t*, v §. 17. System
höherer Gleichungen 1. Orduung.

Gelöst 1) auf der Ebene §. 36. 37.

2) Rotationsfläche auf Rotationsfläche §. 50.

VII. Darstellung des allgemeinsten dreifach orthogonalen Flächen-
Systems.

Bedingung: /i = 0; /« = 0; /, = 0 §. 26. System linearer Glei-
chungen 1. und 2. Ordnung.
Specielles System

1) confocales System 2. Grades §. 53.

2) System asymptotischer Flächen 3. Grades §. 59.

VIII. Darstellung der allgemeinsten Fläche in Parametern der
Krümmungslinien für gegebene Indicatrix der Normale.

Bedingung: 1 lineare Gleichung 2. Ordnung §. 25. Gl. (27).
Gelöst für die Fälle, wo die rechte Seite der Gleichung ver-
schwindet, d. i.

1) wenn die stereographische Projection der gegebenen

Indicatrix aus 2 Kreisscharen,

2) aus einer Schar Gerader und paralleler Tnyectorien

besteht.

Bop pe: PriHeipi'en der flichenlhtorte.

ScbluBsbeinerkung.

Die Gestalt, weiche der analytiscbe AuBdrncii der geometriBclieit
Beiiehongen durch die Wahl der FnndEtmentalgrOssen genoDnen bat,
ze^ wo) deutlich, dass sich dieBclben in anmittelbarBter Weise den
Elemeoten der Flftehentheorie anechliesseu. Ich brauche in dieser
HiBBicht nor auf die Bedingangen der 3 Haupt- Liniensysteme Iiinzn-
weieen, deren jede von des Werten zweier FnndamentalgrOasen afa-
liftBgt. UierzQ kommt noch die Analogie zwischen deö Grossen «,/, g
und E, F, 6, welche in vielen Relationen zu Tage getreten ist. Dass
sich die Gleichungen fQr die HauptlirammnngeD einfocher in den
ZT, ^, J, Jj ausdrücken, reicht nicht hin, diesen 4 Grössen den Vor-
zog im ganzen znzngprechen ; namentlich wtlrde durch ihre Zugrunde-
legnug die Anzahl um 1 vermehrt und die Handhabnag mit einer
primitiven Relation zwischen den 7 Grössen beschwert werden.

Manchen jedoch gefällt Überhaupt eine Eutfichuidnng a posteriori
dnrch die Praxis nicht; hier ist es wichtig die Täuschungen zu ent-
hcUlen, denen vorausgehondc principielle Bestimm ungsgrUnde häufig
verfalicn. Von vom herein wird mau gewiss dem Gedanken gern
zustimmen, die Flachenthoorio mit der Curventheorie auf gemeinsame
Basis zu stellou. In der Tat haben mauche Bearbeiter der erstem
ihre Fundamentalgrüssen dircct aus den Bcstiniiimugsstücken der
Curven auf den Flächen hervorgehen lasse». Wir wollen das Unter-
nehmen nicht aus dem Erfolg beurteilen, der sich nicht gerade günstig
stellt. Es ist ein prindpiollor Grund, der ihm entgegensteht. Für
die Flächenthuorie kommt eine Rotation des begleitenden Axensyslems
nui die Tangente in Auweuduug, in der Cnrventheorie hingegen hat
nur eine solche um die Hauptnormale Bedeutung. Dieser Unterschied
bewirkt, dass, wenn man beide Theorien in ihren Fnudamenten ver-
ketten will, jedo der andern iu der Entwickeluug nur hinderlich ist.
Das Untcruehmen ist also, so sehr es auch bei obcrilächlicher Be-
trachtung für sich einzunehmen geeignet sein mag, gegen die Natur
der Sache gerichtet Wir können zur Berichtigung der Gesichtspunkte
der Leitung durch die Praxis nicht entbehren.

Die gegenwärtige Bearbeituug der FIftchentheorie vermehrt in
keinem Punkte den Umfang des Bekauuteu. Die N
decker der einzelnen Theoreme und Lösuugen sind ui
sich dies nicht in der Kürze glcicbmässig hätte durt
Weder die Deductionou noch die Anfstellungsform si
der Originalarbeiten gefolgt; an beide stellte der Zw(
düng zu einem einheitlichen Ganzen schon zu bestimm

322

Hoppe: Principün der FlächentheorU,

Nachweis der Worterklärungen.

Abbildung §.

33.

Indicatrix §.

11.

Abbildungsliüiensystem

33.

Kegel

51.

Abbildungsparameter

33.

Kleinste Fläche 40.

45.

abwickelbare Fläcbe

34

Körperelement

4.

Abwickelung

17.

Krümmungslinie

23.

asymptotische Fläche

58.

Krümmungsmass

11.

asymptotische Linien

28.

Meridian

46.

asymptotische Richtungen

12.

Meusnier'scher Satz

7.

Basis der cylindrischen Fläche 37.

Mittelpunktsfläche

14.

Bertihrungsebene

2.

Nabellinie, Nabelpunkt

10.

Biegung

17.

negative Krümmung

11.

centrale Fläche

50.

Normale

2.

conforme Abbildung

33.

Normalschnitt

7.

einschaliges Hyperboloid

51.

orthogonale Flächen

26.

Ellipsoid .

51.

orthogonal geodätische Para

-

Flächendiflferentialquotient

3. .

meter

30.

Flächenelement

3.

orthogonale Parameter

22.

Fläche 2. Grades

51.

Paraboloid

51.

Fundamentalgrössen :

L. 5.

parallele Flächen

19.

Gauss'sche Relation

6.

Parallelkreis

46.

geodätischer Kreis

32. ,

positive Krümmung

11.

geodätische Parallelen

30.

Rotationsaxe

46.

geodätische Polarcoordinatei

i

Rotationsfläche

46.

(Azimut, Radiusvector)

32.

Scheitel ^

46.

Hauptkrümmung (Richtungen

1

sphärische Krümmung

10.

Tangente)

9.

Spitze

46.

Hauptnormalcbeue

9.

superficielle Coordinaten

1.

Hauptnormalschnitt

9.

Tangentenfläche

35.

Hyperboloid

51.

zweischaliges Hyperboloid

51.

Hain: Ueher den I^euerbach* sehen Kreis, 323

xvra.

Ueber den Fenerbach'schen Kreis.

Von

Emil Hain.

I.

Die Seitenmitten und Höhenfussponkte eines Dreiecks liegen auf
einem Kreise, welcher der Fenerbach'sche Kreis genannt wird.

Sind ABC die Ecken, A' die Seitenmitten und Ha die Höhen-
fusspunkte des Dreiecks; so hat man in trimetrischen Punktcoordi-
naten:

^'— 0

c

b

B' -c

0

a

c' — h

a

0

Ha = 0

cosy

cos/?

Hb — cosy

0

cosa

He = cosB

cosa

0

wo a and o Seiten nnd Winkel des Urdreiecks bezeichnen.

Sind xa die Coordinaten irgend eines Punktes des Feuerbach-
schen Kreises, so kann man setzen:

Um die gaa und gbe zu bestimmen, fahren wir die Werte fOr A^ and
Ha ein und erhalten:

gbb C08y*-|-^« cos/3^+ ^9^ cos/Jcosy = 0

21*

324 Hain: Ueber den Feuerbach* sehen Kreis,

woraus sich ergibt:

9bb _ _^ 2^>C08/? gcc 2c cos Y

gbc a ghe a

Diese Ausdrücke berechtigen zur Aufstellung des Feuerbach'scben
Kreises in der Form:

-Sacosarra* — £axhXe = 0

Ihre Richtigkeit wird durch Einführung der übrigen Werte der A'
und Ha bestätigt.

n.

Um die Coordinaten des Mittelpunktes F des Feuerbach'schen
Kreises zu finden, betrachten wir zunächst das Mittendreieck A'B'C\
Das Umkreisceutrum desselben ist F. Fällen wir von F auf ß'C
und BC Perpendikel, welche in ^/ und A^ treffen; so ist:

^/F==^co^a, A,'F+FA^^^

Fl* T

FA^ = - — 2 cos« = gCOsC/J— y)

wo « r F Winkel, Umkreisradius und Fläche des Urdreiecks be-
zeichnen. Man hat ferner:

ZFA^= Z^ — ^2:cosa = \(Shn—r — Q)

wo ha die Höhen und p den Inkreisradius des Urdreieckes bezeichnen.
Für die Coordinatenwerte von F kann man den symmetrischen Factor
der FA^ ausscheiden, so dass:

F^ cos(/S — y) ^ coaa+2co8/Sco8y
Der Feuerbach'sche Punkt ist also ein Symmetriepunkt 6. Dimension.

m.

Die vierfache Summe der Quadrate über den Ver-
bindungsgeraden der Ecken eines Dreiecks mit dem
Feuerbach'schen Punkt desselben ist gleich der Summe
der Quadrate über den Seiten des Dreiecks vermehrt um
das dreifache Quadrat über dem Umkreis radius desselben.

Es ist:

y

Hain: (Jeher den Feuerbach* sehen Kreis. 325

FA^ = FB*^+AB'^--'2FB'. AB' COS FB'A
Man hat ferner:

FB'=^, AB'=\

Somit:

IV.

Der Fenerbach'sche Kreis geht durch die Mitten der
oberen Höhenabschnitte.

Die Seitennormalen Ton A , dem Höhenschnitt H nnd der Mitte
A^ von AU sind:

2F

A =— 0 0

a

H ^2rGOBßcosy 2rco8yco8a 2rC08aC08/J

F

A^^ — \-rcosßcoBy rcosycos« rcosacos^

Setzt man diese Werte für A^^ in die Gleichung des Feuerbach'schen
Kreises ein nnd beachtet man die Ausdrücke:

2F

^acosa « — = 2Zacos/?COS7
r

SO erhält man:

F^ cos Ä

l^acosaaJo* = [-3JViIcosa

ZaxhXc = (&cos/J+<?cosy)+2Fr7Ico8a

Liegt also A^ auf der Peripherie des Feuerbach'schen Kreises, dann

ist:

„ , /fcosa rcosa
r7Ico8a-| «— (ftcosp + ccosy)

Diese Gleichung geht über in:

F

rcosa+**cos/3c08y «= —

AH'\- HHa = AHa

326 Hain: üthtr den Feuerbach* sehen Kreis.

V.

Die Radical-Axe des Umkreises und des Feaerbach-
sehen Kreises ist die Harmonikale des Höhenschniites.

Die Gleichung des Umkreises ist: Zax^c=0. Somit bezeichnet

einen Kegelschnitt, der dnrch die Schnittpunkte des Umkreises und
des Feuerbach'schen Kreises geht Weil aber

2aC0Saxa^ '= £axa£cOBaxa — £axbrc

so kann die vorhergehende Gleichung auch noch geschrieben werden:

£axn£ cos axa — 2£axbXc-\~ l£axbXe = 0

Setzen wir nun iL = 2, so folgt:

Sa Xu 2^ cos aoTa := 0
£axa = 0 = £cosaxa

Die erste dieser Gleichungen ist die der unendlich entfernten Ge-
raden in der Ebene des Dreiecks, die zweite ist die Gleichung der
Harmonikaien des Höhenpunktes; somit ist diese die Verbindiings-
gerade der beiden endlichen Schnittpunkte beider Kreise.

VI.

Der Ort der Punkte, deren Polaren in Bezug auf den Umkreb
und den Feuerbach^schen Kreis einander parallel sind, ist die Centrale
dieser Kreise. Zwei Gerade £a^ x«, >= 0 und Sa^x^ = 0 sind ein-
ander parallel, wenn:

»1 h <^\

I '

' oj 6, c, «0
^ a b c

Die Polare des Punktes ia in Bezug auf den Kegelschnitt

ist die Gerade:

Somit sind die Polaren von la in Bezug auf den Umkreis nnd dea
Feuerbach*schen Kreis die Geraden:

Z(2oCOS4.|„ - ijc— c|6)i„ == 0 = Sa^xa

Der Ort der Pankte |n, ftlr weicht! diese Geradea einander parallel
sind, iflt dio Carvc:

hX(-{-eti, cxa-\-axc axh-\-bxa

= \ 2acmaxa 2AC0B|3xt 2ccoiyxc

= S!a'a"(a*Xa* — bcxiirc) =

= j»^-c»— „*

Die DetermiDante wird hier Nnll ftlr a-n = cos (J cos )■ uDdarn=coso,
weil ia beiden Fällen zwei Zollen gleich werden. AoBserdeni ist für
Xa = bc

Za'a" {a*xa* — bc XiXc) — 0

Folglich liegen der Uöhenschnitt H, das Umkreiscentram U und der
Schwerpunkt S mit F anf dieser Cnrve, d. h. aaf einer Geraden.
Denn die andere Gerade, welche dieser Gleichang noch angehört,
muBs die unendlich entfernte der Dreieckebene aein. Man nennt jene
die Eoler'scbe Gerade^ ihre Form ist: an'a". Ferner ist aus den
Formen

(7= cos«, /•=C08« + 2C08/JC08)'

Ä= COSK-f-'^OBjScOaj', H^ COB^COSy

ersicbtlich, daas V and F, S and H zugeordnete harmonische Punkte
sind.

Hach diesem ist also die betrachtete Cnrve ein System von zwei
Geraden. Und zwar findet man:

ZaV(o«a-a'— icrwrc) = Stta'a"xa.2:axa
weil

6'ä"+cV'= a'a"

Nun gilt die Gleichang

2g<u,Xa*+2S:g^,XiXc =0

fbr ein System von zwei Geraden, wenn:

32S Hai*: Cther dem Femer^mtirtd^ J&bs.

ym fdk 9^

gu gu 9hc =Z!S = Ö

$<• gdk $cc

In nnserem Fall ist:

^M = 2aa*a^^ gw = — anThc

Sind also aln: die Seiten eines Dreiecks, so ist:
Wien, im Jaimar 1876.

XIX.
Miscellen.

EIh Beltrsg rar aeeluiDlselien Qiudratar.
Za meiner Abhandlung im 58. Bande N. VI. gebe ich i

Nach §. 6. No. 6. itt

1—121»

1) F=F,-\- j2 -^-

negen No. 2. und No. 4. ist also aocb;

2) J'n')dx = l(yo+yt)+ ^-^^i^-

Da fix) = a^-\ra,x+afX*, 80 ist:

2<H« -/'(*) -r<0)
mithin oncb

/x 1 — 121* X

0

Beznchnen vg, yt> y«. y« -•' i^it-3. ysn der Reihe aaoh die
werte:

/(s-m), /■(5 + w). - A(2n-l)^-i

/({2«-l)| + U),

330 Miseetten,

80 ergiebt sich, wenn f{x) nach Potenzen von x entwickelbar ist,
durch wiederholte Anwendung von No. 3. und zwar am so genauer,
je kleiner h ist:

^ 1 — 12X* A*

+ -32— (^'('^) -/'(War

Fttr 1 = i und 1 = 0 ergeben sich die bekannten Formeln:

mA

5) fmdx = h(i/(0)+f{h)+/(2h)+ ... .

+/(n~l)A) + J/(nA))-(/W)-/'(0)) j2 ond

mA

6)//(.)<to =Ä(^Q) +/(f ) +/(¥)+ ...

+/((2»-l)^))+(/'(nA) -/'(O)) ^.
Ist/(a;) =aQ-|-^*'l~%*^~f'^8**"l~^4^ ^ ^*^ man:

es ist also der in §. 2. Nr. 2. für // gegebene Ansdrack:

_ 3-20(A»+ft«)+240XV ^*

^ = 24Ö (^ (^^""-^ ^^^^1

nnd daher nach §. 2. No. 1.

X

7) //(ie)«te- 24(A»%«)^^^ -12|4*)(»o+y.)-a-12A»)(«n+^))

3_20(A»4-fi«)+240AV» „ „, ^

"• 24Ö "~^-^ ^'~-^ ^"'^4!

Ffir f4 = 0 ergiebt si9h die einfachere Formel

/» _ 3 201* X*

8) / f(x)dx = 2£p(yo+2(12A»-l)yi+y,)+ ^^^ (/"'«-/"'(O) )j^^.

Für A =- 1 und A = J entstehen:

X

9) y/(*) «te = § ( /(O) + 4/ (^) +/(x) ) - ^^ (/'"(x) -/"'(O) ) j-.

OQd

10)

//W- = = (a/(|) + ..®+3/(|))

+ 2io('""(')-/"'«>»i!'
Durch wiederholte Anweadnog der Formeln No. 7. bis 10. erhält man

KähemngBwerte für / /(x) rfi.

Um halbconvergfinte Reihen fflr das Integral in No. i. zn er-
halteo, kann man setzen:

>^
11) y/W^-|(y.+»+».+s.+ ■■• !*)--^(7^i"-*"-'

V d^ /x=nk \ dx' /x=0

Wählt man zur BeBtimmnng der Coeflicientco Ar fUr f(x) den
Aosdnick e', so ist:

//(a)dr = «»*— 1;
ferner

(.-'»+<+'v (1 +^+,,»>+ ... rf"-- ■

- l.^+t-'^)^ ^^rrf

-T-(«^-l)

Sins

332 MiMcäkn.

Es ergiebt sich daher nach No. 11.

©inj ^ ^^^•

und aach

12) ^(H^ir!*'^'-l + 2— T-

Da die rechte Seite eine gerade Function von h ist, so hat man auch

©ittg

Setzt man 5 r == ^, so ist -42r-i die 2rte Ableitong Ton F

©in 2

fllr A — 0.

Aus A.SodAA = 2K©tn5 ergiebt sich, wenn man die (2r-|-l)te
Ableitung bildet und hierin A ^ 0 setzt:

(2r+l)Aar = 2(1 . g^i + (2r+l),^^i + (2r+l),2^

+ (2r + l)2r^)

oder auch:

14) (2r+l){2X)2r « i+(2r+l),2M,+(2r+l),2^^3+ ...

+{2r+l)2r22r^la,.,.

Ftür X«^ erhält man hieraus die Bemoulli'schen Zahlen mit
abwechselnden YonBeichen.

Es lässt sich V auch direct nach Potenzen von h entwickeln.
Aus

®'»2

(2p)!
ergiebt sich durch Mnltiplicatioii:

15) ^„-1 = X^r- (2r),^-ÄiV--« + (2r),^^J5, **■-«+ ...

4r_2

+ (-l)''-4r-^ar-i-

Um die Abhängigkeit der A von il aDzndenten, kann man statt Ai,—i
auch A2r-i setzen, es wlkrde alsdann

Asr-i ■= (—!)'+• £sr-i sein.

Kach No. 11. ist nun

16) //W^= 5(yo+s»+y*+y6---!flh.--2i*'"'Kir-iA»';r>0
uad

6' (2r)!

Bezeichnet man die ersten Glieder der rechten Seiten in No. 16. und
17. dnrch F, nnd /i so ergiebt sich

/""

/■i(l— 12>t')-fJi(12A'— 1)
12(A»-^*)

~ 12(A'-ft')^<f'-' '^ - 12ft*)+^a,-i (12i'-l)) tV-l (^ r>l
Der Rest beginnt also mit der vierten Potenz von h.

Ea Usst sich leicht nachweisen, dass der Coefßcient A»r~i eine
Bemoulliscbe Function ist Da

k ttoäiÄ r«ii+»)* gn^i*i
2^. *"^H^*-i + ^-iJ

@in

ist, so hat man nach den vom Prof. Dr. Hoppe in seiner Differential-
rechnung Capitel 8 gegebenen Deünitiou der BemouilHschen Functionen:

also auch:

Es ist aber:

gi«Cl-l) =-C-l)-v-(i), »i«
9iar(l+i) — vilri— 1) mitbin
fir(il+i) =«Mr(l + i) und

Jb,(i) -<P!r(i+i).

Kiel im Mfirz 1876.

^

334 Miscellen.

2.

Kote Ober lineare Differential-Oleiehmi^ii.

Petzval stellt im 1. Bande seines Werkes „Integration der linearen
Differential-Gleichungen^' und zwar Seite 193 diejenige lineare Diffe-
rentialgleichung 2ter Ordnung auf, deren allgemeines Integrale

ist, unter C^ und C^ willkürliche Constante und unter qo^ und 9^
beliebige Functionen von x verstanden.

Nach Petzval ist nämlich diese Differentialgleichung nachfolgende:

-<Pi<Pi')y = 0 (2)

Ich will nun g>i und tp^ specialisiren, und setze erstens:

woselbst m und n constante Zahlen, und q>(x) eine beliebige Function
von X bezeichnet.

Hieraus folgen zunächst nachfolgende Gleichungen:

ffPi(x)tix = mg)(ir), fg>^dx = nq>(x)
und sodann:

(p^(x) = m<p\x), ^2 = nip'(x)

Setzt man diese Werte in (2), so erhält man eine Gleichung, die
durch n — m dividirt, folgende Gestalt hat:

<p'(x).y''-[(m+»»)<p'(x).(p'(x) + <p''(x) V+mfi[<]pV)?.y = 0 (4)

deren allgemeines Integrale:

ist Man überzeugt sich leicht, dass im Falle

ist, der Differentialgleichung:

9' Wy - l^m g>'(x) <p\x)+ q>'\x) ] y '+ m* [ip'(x) ] V = 0
genüge geleistet wird durch

woselbst wieder (\ und C^ willkürliche Constante bedeuten.

MUcelletu 335

Ich setze zweitens

Nimmt man beiderseits die Logarithmen, so erhält man:
f<Pj(x)dx ^ m log t/;(x), fq>f{x) dx -=^ n log ^»(x)

and wenn man differentirt, so erhält man:

Durch Einführung dieser Werte in die Gleichung (2) erhält man
nach einiger Reduction:

rif(x) t^(a:) ^'{x) y"— ij;(x) [i//(a:) ^"(x) ^{m+n — l)f^'(x) t|;'(x) ] y '

+ wn[ij;'(x)j»y = 0 (5)
Dieser Gleichung genügt also

unter ^(x) eine bestimmte Function von x und unt^ m und f^ con-
stante 2^hlen verstanden.

Setzt man m=^n^ so geht die Gleichung (5) über in :

i^(x) ^(x) ip'(x)y"- ij;(x) [t^(x) i^"(x)+ (2m - 1) t/;» V''(x)]y'

und das Integrale dieser Gleichung ist:

y = [i^W]*".[C'i + Cilogt^(x)]

wenn wieder, wie früher, C\ und Q willkürliche Constante bedeuten.

Wien, den 28. März 1876. Simon Spitzer.

3.

Beitrag zur Theorie der CIssoide.

Bezeichnen wir mit m die Cotangente des Winkels, welchen die
Verbindungslinie eines Punktes der Cissoide i und des Coordinaten-
anfanges mit der x Achse einschliesst, so lassen sich die Goordinaten
eines beliebigen Punktes der Cissoide als rationale gebrochene Func-
tionen des Parameters u^ ausdrücken*), nämlich:

*) Archiv d. Math, and Phys. 56. Teil pg. 144.

336 MüceUen.

" ~ 1 + «»

(l)
a

Als Gleichung der Verbindungslinie zweier Punkte uj, u, der Cissoide
ergab sich uns:

Vier Punkte u^, f«s, ti,, u^ liegen auf einem Kreise, wenn sie der
Bedinguttgsgleichmig'

«*l + «*« + «*S + «*4=»0

genügen. Für einen Krümmungskreis ist u^ = u^ ~ u^ ^ u , daher ist

der Parameter des Schnittpunktes der Krümmungssehne uu^ gleich
— 3u, somit die Gleichung der Krümmungssehne

6»V — (1 4- 7tt«)x-fa = 0 (2)

Die Derivation dieser Gleichung nach u ergibt

und setzen wir diesen Wert für u in die Gleichung (2) ein, so er-
halten wir nach einiger Umformung

woraus folgt, dass „die Einhüllende der Krümmungssehnen
der Cissoide, wieder eine Cissoide ist und zwar eine
Affine der gegebenen".

Prag, Februar 1876. K. Zahradnik.

Zahradnik: Tlieorit der Kardiotdt.

XX.

Theorie der Kardioide.

A. Xakradnik.

1. Die Kardioide*) ist eiae Epicyktoide, deren Erzeugnugskreia
denselben Halbmesser hat wie der feste Kreis. Ihre Gleichung ist:

Ans dieser Glcicfanng erhellt, dass der Anfangspunkt der Coordinaten
und die imaginären Kreispanfcte Boppolpunkto (u. z. Spitzen) der
Kardioide sind; demnach besitzt die Kardioide die Maximalzahl der
Doppelpunkte, welche Überhaupt eiur Curvc vierter Ordnung haben
kann ohne in Curvcu niederer Ordnung zu zerfallen, ist somit vom
Geschlecht Null, d. h. die Coordinaten eines beliebigen Punktes der
Curve lassen sich als algebraische rationale gebrochene Functionen
eines Parameters von demselben Nenner darstellen. Als solcher Para-
meter ergibt sieb der Halbmesser eines Kreises, der die KUckkebr-
tangente der Kardioide in ihrem reellen RUckkchrpunkte berOhrt**).
Jeder Kreis schneidet die Kardioide in acbt Punkten, hat aber die
imaginären Kreispunkte mit derselben gemeinschaftlich, was fflr vier
Durchschnittspunktc zählt, ferner geht er durch den reellen """''""■>--
pnnkt der Cardioidc nnd berührt die RUckkchrtangento
Punkte, was ffkr drei Dnrchscbnittspnnkto zählt, zusamm
Bomit erObrigt bloss ein Durchschnittspunkt , dessen Li^
Orttgse des Halbmessers des Kreises eindeutig abhängt

*) Erachirn in Wcyt'e „Archiv mHlheniHiik; n fiiihy." Bd. 1.

■•) Dicun Fnnmetrr wendcle zuerst Dr. Em. Weyr an in «ein
Ina; „LemnilriiH in rationaler Behandlung." K. bOhm. Ocsellarh.
■ehaften. Prag IST3.

TMIUX.

338 Zahrad

Die Gleicli&ng des bee

wo V dessen Halbmesser b

FnbreD wir für a;'-f-
erbalten wir nach Unterdr

Führen wir nan diesen W<
wir nach Unterdrückang di

Dnd mit Rücksicht auf Gl.

Diese Gleichangcu neb

setzeu, wir erhallen so

als die verlangte Gleichung

DnrcbschalttspiiBkte
2. Die Parameter der

mit der Kardioidc erhalten
Gl. (7) in die Gleichung d<
Btcbeuder biquadratiscbon Q

Zahradnik: Theorie der Kardioide. 339

Zwei der Durchschnittspankte bestimmen die Lage der Greraden,
es müssen demnach zwischen den Parametern der Schnittpunkte zwei
Relationen stattfinden, iind diese ergeben sich ans Gl. (8). Sie sind

Wi = 0

wo (u)jk Combinationen der Parameter der Schnittpunkte kter Classe
bedeutet.

Für «3 = M4 = tt geht die Secante in eine Tangente über und
die Gleichungen (9) nehmen dann nachstehende Form an:

Uj -f- wj = — 2u
Uju^ = 3.

Diese Gleichungen können wir durch nachstehende quadratische Olei-

chung ersetzen:

t^+2ut + S^0 (10)

deren Wurzeln die Parameter wj und t«j sind.

Die Gleichung (10) besagt uns, dass die Tangente in einem be-
liebigen Punkte der Kardioide dieselbe in weiteren zwei Punkten
schneidet; dieselben sind entweder reell oder imaginär, je nachdem

u^ 1/3
oder mit Rücksicht auf Gl. (6), je nachdem

> a

^<y3

ist. Diejenigen Punkte, welche den Parametern u = ±y3 ent-
sprechen, sind Grenzpunkte und sind bestimmt durch den Halbmesser

a
^ "^ i ~7ö; sie sind Berührungspunkte der Doppeltangente, was wir

später nachweisen werden.

Die Parameter der unendlich fernen Punkte der Kardioide er-
geben sich aus der Gl. (7), wenn wir

(l + u2)» = 0
setzen; wir bekommen so

zweimal, d. i. die unendlich fernen Punkte der Kardioide sind ima-
ginär und wir können leicht erweisen, dass sie mit den unendlich
fernen Kreispunkten zusammenfallen.

22*

340 Zahradnik:

Ans Gl (7) folgt

Für w = + »■ geht diese Gleic

was ZQ erweisen war.

3. Die Gloicbung der Si
Pnnkte UjU, der Kardioide ist

Uad — «,»)

1 (1 +».*)*

Nach knrxor Umformnng
Beseitigung des gcmeinscbaftlii

I ^ y

I 1— u," 2«,

I — («J+«,) 2 w,'+Uj*»

Für u, = uj = n geht die Sc
erhalten so ans Gl. (11)

Mullipliciren wir die dritte S
subtrahireu dann dieselbe von

Hier können wir mit dem Factor (1 + »*) kDrzen und wir erhalten
30 die gesuchte Gleichung der Tangente:

(l_3«»)^-f-«(3-i.»)y = 4«. (12)

Diese Gleichung ist in Bezug auf u vom dritten Grade d. b. aus

Zakradail:; Thtorie dtr Kardioitte. 341

eiaem beliebigen Punkte (xy) kann -man zur Kardioidc drei Taugnitou
legen, und die Parameter der Boiühningepunktc sind die Wurzeln
der Gl. (13) in Bezug auf n. Die Zahl der Taugent<
Punkte gibt uns die Clasee der Cnrvo; die Kardioii
eine Curve vierter Ordnung und dritter Clasi

Die Ricbtungsconstante der Tangente i§t nach Gl.

_ 1— 3w*

Die Tangente ist zur J-Axe parallel, wenn
1

" iys

ist, BtGht senkreubt zu dieser Axe in den Punkten, dci

sind, und da die Gleichung der Tangente filr beide
sich nicht ändert, nfimlicb

so ist crsicbtlicb, dass diese znoi Tangenten in eine zu
n&mlich in eine Doppeltangente, wie wir schon im Ai
haben.

Asymptoten.

4. Die Asymptote ist eine Tangeute im unendlicb
der Curve; wir erbalten demnach die Gleichnngon de
der Kardioide, wenn wir in die Gleichung der Tangente
der unendlich fernen Punkte einfuhren. Ans den Ol. (

Etla Parameter der unendlich fernen Punkte, und zwa
Werte zweimal. Führen wir nun diese Werte in die
so «4ialten wir

als Gleichungen der Asymptoten. Dieselbefi sind in
schneiden sich in einem reellen Punkte auf der J-Ax
femnng a vom Anfangspunkte der Coordinaten, d. b. im
des Gmndkreisee.

342 Zakratiuik: Jltforit der Kardiaide,

5. Die Glcichang der Normale im Punkte » ist:

H «(3— ti*)r _ 4^ (1—1*^)1

^ (1+

oder nach einer kleinen Redaction:

0(1 — 3««)— xf«(3 — tt»)](l+t*V + 4at*(l+tt»)« = O.

Diese Gleichung "können wir mit dem gemeinschaftlichen Factor
(1+u^), welcher von den imaginären Kreispnnkten herrührt, teilen,
nnd so erhalten wir als Gleichung der Normale:

(1 - 3t*-)^ — u(3— tt»)x+4m* = 0. (13)

Diese Gleichung ist in Bezug auf w vom dritten Grade, woraus er-
hellt, dass man aus einem beliebigen Punkte (x, y) der Ehene der
Kardioido an dieselbe drei Normalen föUen kann, und deren Fnss-
punkte ergeben sich als Wurzelii der Gleichung (13) in Bezng anf ».

InTolutlonskesrclselinitt.

6. Die Tangente T im Punkte u der Kardioide schneidet die-
selbe in ferneren zwei Punkten m^, u^\ die Tangenten dieser Punkte
7*1 und r, nennen wir zwei coiyugirte Tangenten.

Für dieselben können wir sogleich nachstehende Sätze erwähnen,
welche sich leicht beweisen lassen*).

Conjngirte Tangenten der Kardioide bilden eine
quadratische Involution.

Jedes Paar conjugirter Tangenten bestimmt auf der
Doppeltangente zwei Punkte, welche die Berührungs-
punkte der Doppeltangente harmonisch teilen.

Bewegt sich die Tangente T auf der Kardioide, so ändert der Punkt
(T, Tg) seine Lage und beschreibt einen Kegelschnitt^ den Weyr-
schcn Involutionskegelschnitt. Die Gleichung derselben können
wir leicht ableiten. Die Coordinaten des Punktes (7\ Tg) seien «, y;
dann sind die Parameter der Berührungspunkte der aus dem Punkte
(r, Tg) zur Kardioide gelegten Tangenten gegeben durch die Glei-
chung (Art. 3.)

yZA — |^«_3,4j s= 0.

y * ' y

•) Orunert „Archiv für Math, und Phys." Bd. 58. pg. 80.

Zahradnik: Theorie der Kardioide, 343

Zwischen den Wurzeln und Goefficienten dieser Gleichung bestehen
aber nachstehende Relationen:

3a;

»

4a — X

y

Nun ist aber (Art 2.)

Mj-|-Mj = — 2tt

t«! uj = 3.
Führen wir diese Werte in die obige Gleichung, so erhalten wir:

4a — iP

^ y

EUiminiren wir aus diesen Gleichungen u und ti,, so erhalten wir:

bx^ — 22aa: — 27y » + 8a« = 0

als den verlangten Ort des Punktes {T^T^iy nämlich eine Hyperbel.
Ihre Gleichung vereinfacht sich, wenn wir den Mittelpunkt der
Hyperbel zum Anfangspunkte der Coordinaten wählen, wir erhalten so

Der Involutionskegelschnitt bei der Kardioide ist eine Hyperbel,
welche durch die Berührungspunkte der Doppeltangente hindurchgeht.

Kubisehe Involution.

7. Unter einer jeden Richtung können wir drei parallele Tan-
genten zur Kardioide ziehen. Diese Tangenten schneiden die Doppel-
tangeute der Kardioide in einem vertauschfähigen Punkttripel, denn
mit einem solchen der drei Punkte sind die übrigen zwei eindeutig
bestimmt. Diese Punkttripel bilden auf der Doppeltangente eine
kubische Involution.

Ein jedes solches Punkttripel S^, Bj, B^ besitzt die Eigenschaft,
dass der mittlere Punkt B^ die Entfernung der beiden anderen ^

344 Zairadnil:! JTuorie dtr Kardioiit.

B,, B, in der Weise teilt dass sich die EntfomuDgcD B^O^, B^B^
vom MitU^lpiiDktc der Gmadkreisc unter eiucm Wiokel von 60 Grad«)
projieiren *).

Es ist nämlich die Richtongsconstante der Tangeutt^:

Richt«ii wir diese Gteichmig nach den Potenzen von u ein, eo er-
halten wir:

Die Wurzeln dieser Gleichung u, , u«, t% sind Parameter der Berflh-
ruugspunkU; der Tangenten, wukhc wir nnter einem Winkel, dpsseo
Tangente gleich X ist, zur Kardioidc gezogen haben. Die Tangenten
sind demnach aach involutorisch , denn mit dem einen BerQhniDgs-
punkte u sind vermöge der obigen Gleichung auch die Qhrigen zwei
BerObrnngspunkte der zn 7'u parallelen Tangenten gegehen. Die
Relationen, welche zwischen den Parametern solcher drei Berfthrangs-
pnnkte bestehen, ergeben sich anmittelbar aas der ohigen Qleichonf,
sie sind

Lösen wir diose Gleichungen nach (u,-|-u,) und %u, aof, so er-
halten wir:

»i+«t-

«1«, -

1+3«'

r die Gleicbnng

2(1+.') ,,

ableiten können. Dieser Gleichungen bedflrfen wir zum Nachweise
obengenannten Satzes.

Tangente im Pnnkte u der Kardioide schneidet die Doppel-
im Punkte B. Verbinden wir diesen Punkt mit dem Mittel-

ehe Dr. Em. Wcyr: Gnindsügo eii^cr Theurie der cabiechen Involn-
}hini]lDDg«a d. k. bOhm. Gescilich. d. Wruenicb. Prng IST«, towit
Jeber metriache Winkeltelalionen der Cardioido" SiUb. d. k. bOhm.
d. WiiHPich. Frag.

ZatradniL: Theorie Hrr Kardiaidt. 345

punkte des Grandkrekos C, so ist die Tangonle des Winkele, den
die Gerade BC mit ücr AbBcisseiiaxe bildet, gleich — w, wie inaa
sich leicht ilurcii Bochnung uberzeagcn kann. Eine zur T„ parallele
Tangeute beBtimmt auf der Doppel tangente dea Pankt B^, nod die
Tangente der Geraden £,C mit der X-Aie ist gleich — 14; ähnlich
ist die Tangente der B^C mit der X-Kne ^eich — ug. Bezeichnen
wir nan den Winkel BgCB, — 8, 30 iat

Führoa wir die Werte für n^ — u, nud u,ut in diese Glcichnng ein,
so erhalten wir:

tga = V3
daher

Ebenso können wir dartan, dass der Winkel -ÖgCS, = 60", (oder
dem SapplemeBtarwinkcl 12U''), voraus auch dasaelbo für den Winkel
BjCB^ folgt, wonüt der erHähnte S.itz als bewiesen erscheint.

Erointe.

8. Die Anzahl der Normalen, die wir von rinem Pnnktc anf
die Cnrve fftllen känaen, bestimmt die Classe ihrer Evolute, somit
ist die Enveloppe der Normalen bei der Eardioidc d. i. ihre Evolnte
der dritten Classe.

Die Normale X schneidet die benachbarte Normale JV' in einem
Punkte der Evolute; ist nun die Gteichnng der Normalen (13)

(l_3t.»)y_(3 — „»)h^+4««= 0

so ist die Gleichung der benachbarten Normalen

6"y+(3— 3a')ir — 4a = 0. (14)

Lösen wir nun diese zwei Gleiclinngen nach x und » nnf. hu erhalten
wir die Coordinaten des Schnittpunktes

4a(l+3u»)

' = -3(1+^

'-3(1 + »»)»

als Gleichungen eines veränderlichen Punkt
dioide, somit die Gleichung der Evolnte soll

Wir erhalten ihre Gleichung in der For

346

Zahradnilc: Theorie der Kardioide.

wir ans den Gleichungen (13) nnd (14) oder ans den Gleichnngen (15)
den veränderlichen Parameter u eliminiren. Zu diesem Behufe ordnei
wir die Gleichungen (13) und (14) nach den Potenzen von u^ nnd wir
erhalten so

im»— 3yu«+(4a— 3a:)u+y=-0 (16)

3a^«— 6yi«+(4a — 3«) = 0 UT)

Multipliciren wir die erste Gleichung mit drei und dio zweite mit «,
so erhalten wir durch Subtraction

— 3^»+2(4a— ar)w + 3y = 0

(1«)

eine Gleichung, welche uns die erste der zwei Gleichungen vollständig
ersetzt. Eliminiren wir nun aus Gl. (17) und (18) den ParametcT «,
so erhalten wir

0

-3y

0

— 6y
Zx

2(4a— 3a;)

-3y

4a— 3«
— 6y

3y
2(4a— 3a;)

0

4a — 3«

0

3y

0.

Nach einfacher Umformung geht diese Determinante tiber in:

2a
(4a— 3a;)a;
0

—3 4a — 3a?
3y* 2a 0

4a— 3« 3y»

= 0

oder aufgelöst:

12aV + (a?[4a — 3a^] — 3y«)([4a— 3a-]»+V) =0.

Diese Gleichung der Evolute können wir vereinfachen, wenn wir den
Anfangspunkt der Coordinaten in den Doppelpunkt der Evolute ver-
legen, durch parallele Verschiebung der F-Axe. Dies geschieht, wenn

wir setzen

4a — 3a; = 3|

und diesen Wert in die obige Gleichung einführen; wir erhalten so

Kl*+y*)*-\al{i^-\-y*)^^. ■ (19)

Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung der Kardioide.
so erkennen wir, dass die Evolute der Eardioide wieder eine Kar-
dioide ist, für welche der Radius des Grundkreises ein Drittel ^
gross ist, wie bei der gegebenen Eardioide.

Zahradnik: Theorie Her Kardioide, 347

Barehsehnltte eines Kreises mit der Kardloide.

Die allgemeine Gleicbang des Kreises lautet:

fl;*-f-y* — 2px — 2qp -|- m* = 0

Die Parameter der Schnittpunkte erhalten wir, wenn wir die Werte
für X und y aus 61. (7) in die Gleichung des Kreises einfuhren.
Ordnen wir das Resultat der Substitution nach den Potenzen von u,
so erhalten wir:

mV+(2m«4-8ap)u» — 16agu-f-(16a2 — 8ai)+m^ = 0. (20)

Jeder Punkt schneidet die Kardioidc ausser in den imaginären Krcis-
punkten in ferneren vier Punkten, deren Parameter die Wurzeln der
Gleichung (20) sind. Aber schon drei Punkte bestimmen die Lage
des Kreises, somit muss zwischen den Parametern der vier Schnitt-
punkte eine Relation stattfinden, welche uns angibt, wann yier Punkte
der Kardioide auf einem Kreise liegen. Dieselbe erhellt schon aus
der Gleichung (20), nämlich

(t*)i = ^+«s+«8+«4 -- 0. (21)

Es ist dieselbe Bedingungsgleichuug, aufweiche wir bei der Cissoide*)
gekommen sind, es gelten demnach jene Sätze, die wir unmittelbar
aus dieser Gleichung für die Cissoide entwickelt haben, auch f(ir die
Kardioide, z. B.

Schneiden wir die Kardioide mit einem Kreise in den
Punkten t^, u^, wg, u^, und durch die Punktepaare u^, u^
und 1*3, tt^ legen wir zwei andere Kreise, welche die Kar-
dioide in den Punkten ^3, v^ rcsp. r^, v^ schneiden, so
liegen diese neuen vier Schnittpunkte t?^, v^^ 173, v^ auf
einem Kreise.

Krfi mmnugskreis.

10. Wenn drei der Schnittpunkte zusammenfallen, das ist
fi, a== W3 =» W4 = tt, geht der Kreis durch drei benachbarte Punkte
hindurch, wird zum Krümmungskreise. In diesem Falle geht die
Gleichung (21) über in

t*j + 3tt = 0. (22)

Vermittelst dieser Gleichung können wir den Krümmungshalbmesser
in einem beliebigen Punkte der Kardioide construircn. Nach der

♦) Siehe Arch v für Math, und Pbvs. 56. B«!. pg. 144.

Gleichung (6) ist « = -■ wo v

cuteprcchoDden KreiseB bczoichi
die GIcichQDg (22} ein, so erba

?.^

oder

•4

Wir verbinden Bomit den Pnnkl
dinatca 0, nnd enichteu in di
eine Senkredite, welche die ^-A
u entsprechenden Kreises schneid
wir nnn einen Kreis vom Halbn
tangcnte der Kardioide in ihrem
anf derselben Seite, wo sich d'
H, als den Schnit^nnkt des B
Senkrechte im Uittelpnkte der i
u im Mittelpunkte C des gesni
der gesuchte Krflmmnngshalbme

Bezeichnen wir den Ponkt
können wir nachstebenden Satz

Die den SchnittpDnkt<
dioide conjngirtcPnnkte I

Aas der Gleichung (20) fol|
«.«(«). ^ 2
m»(«)g ^ 1(
mHu\ = li

Für einen KrAmmnogskreis gebt

M.--a..-'^'-«f+^'

Zahradnik: Thiorie dir Kardütide.

Abs diesen Gleicbangen folgt:

16a»

P =

^a + »"') ,25,

3(1+«*)* '^^^

«-3(1 + «»)»■

Vergleichen wir diese Gleicbni^en mit den Gleicfaimgen (Iß), so seben
wir, daaa sie gleich sind, was natOrticb klar iat, da der geometrische
Ort der Mittelpunkte der Krümmongskroise tind die Enveloppe der
l^ormalen einer Cnrve identisch sind.

B«etlflcatloii der Kardioide.
11. Die Bogenl&iigo einer Cnrve ergibt sich nach der Formel

-Mm+m-

Bei der Kardioide haben wir

8att(3— tt»)
" (!+»»)>

dy 8<l (1 — 3w*)

/* du ^** ■ /i

Nebmon wir das Integral in den Grenzen 0, qo, so erl
balbe BogcnltUige der Kardioide, somit wird die ganze B<

Qnadrolnr itt K«r4toide.

12. Die Fläclie einer Carve ergibt sich Dach der !

350

demoacli fBr '

lutcgrircD wii
Flacbe der K

und setzen wi

and die Fl&cli
Prag, Fe

XXI.
Pol nnd Polare des Dreiecks.

Max Greiner.

Die Grandlagen nacfastehoader Entwicklangen bilden die bei
Qreieckflslltze:

Verbindet man oinoa beliebigen Funkt der Ebene mit dei
eines Dreiecks und zieht in diesen bczflglich der beiden D:
Seiten zu des Verbiudcnden die vierten barmoniHchen Linien, sc
diese die gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks in drei P
die einer Geraden angeboren

Schneidet man die Seiton eines Dreiecks mit einer bei
Transversalen nnd constrnirt auf jeder Seite bcztkgUcb der
des Dreiecks za dem Schnittpunkte der Transversalen den
harmonischen Pnükt, so gehen die VerbiiiduDgsliuiou dieser
mit den gegeuübcrliegenden Ecken dos Dreiecks durch ein«
denselben Funkt

Zufolge dieser beiden Sätze entspricht somit hczttglict
testen Dreiecks jedem Punkte der Ebene eine und nur eine
nnd jeder Geraden ein und nur ein Pnnkt.

Es handelt sich nnu zunächst darum, zwischen zwei solchi
sprechenden Gebilden eine Beziehung festzustellen. Seien di<
chnngen der festen Dreicksseiten :

A — ao»;+a,y+o,i -= 0

352

Greiner: Pol und Polare des Dreiecks

und xqi/qssq die homogenen Coordinaten eines Punktes, far weldien
die Gleichung der entsprechenden Geraden bestimmt werden soll, so
ergeben sich zunächst für die Yerbindungslinien dieses Punktes mit
den Ecken des Dreiecks die Gleichungen:

B+kC^O-, C+fiA^O; ^-f-vi?=0

und da sie den Punkt (xqPqZq) enthalten, hat man:

also sind ihre Gleichungen:

Die Gleichungen ihrer vierten harmonischen Linien bezQglich der
Dreiecksseiten sind demnach:

BCo + CBo=:0', CAq+ACo = 0', AB^-^-BA^^O

Die dem Punkte (xqPqZq) entsprechende Gerade muss aber nadi
Satz (1) durch die Schnittpunkte dieser vierten harmonischen Linien
mit den Dreiecksseiten gehen, also muss ihro' Gleichung zusammen-
fallen mit den drei Gleicbuugcu:

X^(BCo + CBo) + kiA^O
(A^(CA^+ACo)+(iiB^O
v^(ABo-{'BAo)+ViC=^0

und somit ist:

i.

= l^iC^

= ViBo

Ih

AjCq

- v^Aq

*»

- A,i^o «

=- f*1^0

folglich:

%

*

Bq^^O

An^O

i» =

ii

•

f*2 = f*l

V«

^qBq

Co

Führt man diese Werte von ^2(1^1'^ in obige Gleichungen ein, so
fallen die Gleichungen in die einzige zusammen:

oder symbolisch:

ABoCo + BAoCo + CA^^o = 0
P(0) «0

(3)

Hiermit ist für jeden Punkt der Ebene die Gleichung seiner
entsprechenden Geraden festgestellt. In der Möglichkeit der Bestim-
mung der Grössen A, /i, v liegt zugleich auch eine Beweisführung des
Satzes (1).

Es ist nun femer zu untersuchen, wie es sich mit den sämmt-

i
I

G reiner: Pol und Polare des Dreiecks. 353

liehen Punkten verhält, deren entsprechende Geraden durch einen
festen Punkt gehen.

Sind cr^+j?J5+yC=0 und a'A + ß'B+y'C=^0 die Gleichun-
gen von irgend zwei Geraden, so stellt die Gleichung:

(«+Aa')^+(/3+A/5')^-f ()<-(- V)^= 0

eine Gerade dar, die durch den Schnittpunkt der gegebenen Geraden
geht. Sei (a-jy^sj) ihr entsprechender Punkt, so müsste nach (3) ihre
Gleichung auch die Form haben:

und somit hat man:

kB^C^ = a+Xtt

kA,B, = y+A/

Durch Elimination der Grössen k und k ergibt sich hieraus die Glei-
chung der Ortscurven des Punktes (a-^yis^)

Oder: ^5(a/J'-a'/3) + ^C(ya'— y'a)-f^C(/J/— 0'y) = 0

Dreht sich also eine Gerade um einen festen Punkt, so beschreiben
die entsprechenden Punkte für die zeitweiligen Lagen der Geraden
einen Kegelschnitt, der dem festen Dreiecke umschrieben ist. . . (4)

Hat der feste Drehpunkt die Coordinaten xqi/qZq^ so ist:

aAo + ßBo + yCo-O
a'Ao + ß'Bo+Y'Co-0
woraus folgt:

Die Gfleichung der Ortscurven wird also:

ABCo + BCA^-^-ACBq = 0

oder symbolisch:

n(0) = 0 (5)

Es gehört also zu jedem Punkte der Ebene ausser einer Geraden
noch ein ganz bestimmter dem Dreieck umschriebener Kegelschnitt.

Sei nun /(ar, y, s) == 0 die Gleichung einer Curve dritter Ordnung,
so stellen bekanntlich die Gleichungen:

TeU LIX. 93

354 li rfiinf.r: Pol und Polare des Dreiecks.

^/•'(^o)+y/'(yo)+^/'W=0 und

die erste und zweite Polare des Punktes ixav^z^^) Bezüglich der Curve
dritter Ordnung dar.

Betrachtet man nun das Dreieck als eine Curve der dritten Ord-
nung, deren Gleichung f= ABC = 0 ist, so ergibt sich hierfür:

f'(y) = ABCi+ACbi-\-BCa^
f'(z) = ABc^ + AC\ + BCa^

also gehen die Gleichungen der ersten und zweiten Polaren eines
Punktes (iTo^o^o) bezüglich des Dreiecks ABC gerade über in:

PvO) = 0 und n(0) = 0

Man kann demnach die Gerade P(0) die Polare und den Kegel-
schnitt 77(0) den Polkegelschnitt des Punktes (0) bezüglich des Drei-
ecks nennen.

Mit Anwendung dieser Bezeichnungen lässt sich nun Satz (4)
unter Berücksichtigung der Gleichung (5) in folgender Weise aus-
sprechen :

Dreht sich eine Gerade um einen festen Punkt, so beschreibt ihr
Dreieckspol den Polkegelschuitt dieses festen Punkti's (6)

Ebenso gilt der umgekehrte Satz:

Durchläuft ein Punkt einen dem Dreiecke umschriebenen Kegel-
schnitt, so dreht sich seine Dreieckspolare um den Dreieckspol dieses
Kegelschnitts .' (7)

Sobald eines der entsprechenden Polgebilde des Dreiecks gegeben
ist, so lassen sich die beiden andern unzweideutig sowohl auf analy-
tischem Wege als auch conslructiv ermitteln. Ist nämlich ein Punkt

(0) gegeben, so kann man seine Dreieckspolare mit Hülfe des Satzes

(1) construiren; zieht man alsdann durch den Punkt (0) irgend zwei
Gerade und bestimmt hierfür nach Satz (2) die Dreieckspole, so ist
durch diese und die Ecken des Dreiecks der Polkegelschnitt des
Punktes (0) unzweideutig bestimmt

Die Gleichungen der Polgebilde r{{)) und 21(0) sind nach (3)
und (5) von vornherein bekannt, sobald die Coordinat^n des Punktes
(0) gegeben sind.

Um zu einer gegebenen Geraden r(0) den Drcie<;kspol und den
Polkegelschnitt zu construiren, wendet man Satz (2) und das eben
Erwähnte an. Ist die Gerade durch eine Gleichung:

Grtiner: Pol u»d Polar/- J« DreUck^. 355

gegeben, so braucht man nur za berQcksicbtigen, dais im Falle Funkt
(jc^yaxti) ibr Dreieckspol sein soll, ihre Gleichung

AB^C^ -\- BAoCa+ CAaBo = 0
sein muss, folglich;

ka = B^t\ ; kß = Ä^Ca \ ky = A^B^ oder
«^ = ßB^ = j-Co

woraus sich dio Coordinatcn des Poles bestimmen lassen (S)

Da nun A^ = C^ nnd B^ = |Co ist, so geht die Gleichung (5)
des Polkegelsclinitts üher in;

nßAB-\-t.yAC-\-ßyBC -^0 (9)

Ist der Polkcgelschnitt gogehen, so ergibt sich constructiv sein
Dreieckspn] als Scfauittpunkt der Drcieckspolarcn irgend zweier Punkte
dnasclben. Nach Satz (1) lässt sich dann hierzu die Dreieckspolare
constrniren.

Im Falle aber der PulkegclHchuitt durch eine Gleichung von der
aBC-ltbAC-\-cAB = 0
gegeben ist, so folgt aus Gleichung (fi):

ka ^= A(,\ kb = B^; kc = C^ oder
n : 6 : c = ^0 : ö„ T Co
woraus die Coordiuaten des Poles sich ergeben, während für die
Gleichung seiner Polaren folgt:

Abe-\-liac-lrCab = b (10)

Hiermit ist der Zusammeniiang der drei Polgebilde des ~
genugsam erläutert.

Einen weiteren Aufscbluss über die gegenseitige Lagt
gebilde erh&lt mau, wenn man von der Gleichung:

Z7(0) = BCAn-\-ACBa+ABC,, = 0

anhebt und sich hieraus durch partielle Differentiation ns
die Gleichungen verschafiFt:

n(0)'(ff) =- A{B^l^,+ CJ.,)-\~B(A^c^-\-C^•H)^C(A^^-\■
n(0)'(i) = A{U^c^-\-CJ,t)-\-B[A^Ct-\-C^<i^)-\-C(A^-\-

356 G reiner: Pol und Polare des Dreiecks,

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit a-^, yo? %
nnd addirt, so folgt:

xo n(oy(x) +yo n(0)'(y) + ^ n(oy(z)

= 2{ABoCo+BAoCo + CAoBo) - 2P(0)
folglich :

F(0) = xoin(oy{x)+yoin{oy(y)+zoin{oy{z) = o

Da aber der Ausdruck rechts nichts anderes als die Polare des
Punktes (0) bezüglich des Kegelschnitts 11(0) darstellt, so folgt:

Die Dreieckspolare eines Punktes ist zugleich die Polare dieses
Punktes bezüglich seines Polkegelschuitts. . . . ^ (11)

Es sind also auch die Verbindungslinien des Poles mit den
Schnittpunkten seiner Polaren und seines Polkegelschnitts Tangenten
an diesen (12)

Um die Gleichung der Tangeute in irgend einem Punkte (3*1^1 Zj)
des Polkegelschnitts zu erhalten , multiplicire man obige drei Glei-
chungen der Reihe nach mit a-j, y^, zj, wodurch folgt:

x,n(oy(x)-\-y,n(oy(y)+z,n(oy{z) = o oder

A(BoC,+B,C,) + B{A^C, + A,Co) + C(AoB^+A^Bo) = 0

Man hat also insbesondere für die Tangenten in den Eckpunkten des
Dreiecks, da hierfür C\ = 0 und B^ = 0, oder A^=0 und Q =» 0,
oder ^1 = 0 und B^ = 0 sind, die Gleichungen :

i^6'o-(-i^o^' = 0; ACq + AqC=0', ABq+AqB = 0

Diese Gleichungen repräscntircn aber nach früherem die in den
Dreiecksecken gezogenen vierten harmonischen Linien, welche, wie
eben bewiesen, zugleich Tangenten des Polkegelschnitts sind. . . (13)

Sollte die Dreieckspolaro eines Punktes diesen Punkt selbst ent-
halten, so müsste:

Po(0)=0 oder SA^B^Co^O

sein; dieser Bedingung genügen aber die sämmtlichen Punkte des
Dreiecks, und es folgt:

Liegt der Pol auf einer der Dreiecksseiten, so ist seine Polare
diese Dreiecksseite selbst. Es kann somit eine Gerade der Ebene
nicht mehr als drei Punkte enthalten, deren Polaren durch diese
Punkte selbst gehen, und diese sind die Schnittpunkte der Geraden
mit den Dreiecksseiten (14)

Soll der Polkegelschnitt in ein Linienpaar zerfallen, so hat man
Bedingungen :

Grein tri Pol und Polare des Dreiecks.

357

n(OY(x) = 0

£liiniiiirt man aus diesen Gleichungen die Grössen -4, J5, C, so folgt:

= ooder

\

A)-^0^0

«0
«2

'3

^0
^2 1

0

Da aber die letzte Determinante nicht Null sein kann, solange die
I>rciecksseiteu sich nicht in einem und demselben Punkte schneiden,
so bleibt die Bedingungsgleichung:

welche erläutert, dass nur den Punkten des Dreiecks selbst als Pol-
kegelschnitte Linienpaare zukommen.

Liegt also der Pol (0) z. B. auf der Dreiecksseite -4, so ist :

nnd somit die Gleichung des entsprechenden Polkegelschnitts

Es besteht demnach ein solches Linienpaar einerseits aus der-
jenigen Dreiecksseite, auf welcher der Pol liegt, und andrerseits aus
der vierten harmonischen Geraden, die aus der gegenüberliegenden
Dreiecksecke gezogen ist (15)

Den Eckpunkten des Dreiecks entsprechen als Polkegelschnitte
die durch sie gehenden Seitenpaare.

Es ist nun ferner zu untersuchen, wie es sich mit den Dreiecks-
polaren verhält, deren Pole sämmtlich einer Geraden angehören.

Seien xqi/qZq und Xj^i«! die homogenen Coordinaten irgend zweier
Punkte, so sind «"o+Axj, yo"l~%ii ^q-^-^i die Coordinaten eines
Punktes ihrer Verbindungslinie; die Gleichung seiner Dreieckspolaren
ist somit:

oder

3r)8 Grein er: Pol und Polare des Dreiecks.

AB^Co + BA^Co + CA^B^
+ k{A{B^C,+B^Co) + B{A^C, + A^Co) + C(A,,B, + A,B^))
+ k^{ABiCj + BA^Ci'i-CAiB^) = 0

oder der Kürze halber:

Eliminirt man aus dieser und aus der nach k diifcrentiirtcn Gleichung:

die Grösse A, so ergibt sich als Gleichung der ümhüllungslinie sämmt-
lieber Dreieckspolaren, die den Punkten der Geraden (0, 1) entsprechen:

Sei

aA-\-ßB + yC=0

die Gleichung der Geraden (0, 1), so ist auch

aA^ + ßBo + YCo==0

und somit:

ka = BoC^ — B^Cq-, kß^ A^Cf^ — A^C^', ky^A^B^ — A^B^

Berücksichtigt man diese Gleichungen bei der Umformung der Gleichung

so folgt als Gleichung der Umhüllungslinie sämmtlicher Dreiecks-
polaren, die den Punkten der Geraden {ciA'\-ßB'\-yC =^ 0) ent-
sprechen :

q> = ^««^-f B2^2_|^Cy— 2^5aj? — 2^Cay— 2J?C/37 . . (16)

Da aber die sämmtlichen Polaren der Punkte der gegebenen Geraden
Tangenten dieser Curve q> sind, so müssen nach (14) auch die
Dreiecksseiten selbst, als Polaro der Schnittpunkte derselben mit der
gegebenen Geraden, Tangenten der Umhüllungscürve sein; demnach
folgt der zu (6) reciproke Satz:

Durchläuft der Pol eine Gerade, so berühren seine Dreieckspolaren
einen dem Grunddreiecke einbeschriebenen Kegelschnitt (17)

Betrachtet man die Gerade (ctA-^-ßB-^yC -=- 0) als die Polaro
des Punktes (0), so ist:

« =r Är^o^o ; ß = ^•A>Q) ; y = ^'A^ü

und somit:

— 2AqBqCq{ABCq-\'BCA^-\-ACB^) =0 . . (18)

Grein tri Pol und Polare des Dreiecks 359

Da von oiaem Punkte aus an einen Kegelschnitt nicht mehr als
zwei Tangenten gezogen werden können, so folgt zugleich der Satz:

Auf einer Geraden kann es nicht mehr als zwei Punkte geben,
deren Droieckspolaren durch einen und denselben Punkt gehen. . (19)

Denkt man sich zu den sämmtlichen Punkten einer Geraden G
die Polkegelschnitte gezeichnet, so enthält nach (6) jeder derselben
die sämmtlichen Pole der durch den jeweiligen Punkt der Geraden G
gezogenen Geraden; somit enthält also jeder Kegelschnitt auch den
Pol der Geraden G selbst, und da dieselben überdies noch durch die
Ecken des Grunddreiecks gehen, so folgt der Satz:

Die Polkegelschnitte der Punkte einer Geraden bilden einen
Kegelschnittbüschel, der zu Grundpunkten die Ecken des Dreiecks
und den Pol der gegebenen Goraden hat (20)

Da aber den Punkten der Geraden G zunächst Polaren ent-
sprechen, die alle den Umhüllungskegelschnitt q> berühren, so folgt:

Die Polkegelschnitte der Tangenten eines dem Grunddreiecke
einbeschriebenen Kegelschnitts 9 bilden einen Kegelschnittbüschel,
der zu Grundpunkten die Ecken des Dreiecks und den dem Kegel-
schnitte q> entsprechenden Punkt hat (21)

Denkt man sich* zu den Strahlen eines Strahlbüschels mit dem
Mittelpunkte M die Unihüllungskegelschnitte cp gezeichnet, so bilden
diese eine Kegelschnittschaar, deren Elemente notwendig die Polare
des Punktes M zur Tangente haben müssen, wodurch sich der zu
(20) reciproke Satz ergibt:

Die sämmtlichen UmhüUungskegclschuitte , welche den Strahlen
eines Strahlbüschels entsprechen, berühren die Seiten eines Vierecks,
das aus den Seiten des Grunddreiecks und den Polaren des Büschel-
niittelpunktes besteht (22)

Die Pole der Strahlen des Strahlbüschels sind aber die den Um-
hüllungskegelschnitten entsprechenden Punkte und liegen nach (6)
auf dem Polkegelschnitte des Büschelmittelpunktes; somit ergibt sich
der zu (21) reciproke Satz:

Die Umhüllungskegelschnitte, die den Punkten eines dem Grund-
dreiecko umschriebenen Kegelschnitts entsprechen, berühren die Seiten
des Grunddreiecks und die Polare des gegebenen Kegelschnitts. (23)

Verschafft man sich zu den vier einer Geraden angohörigen
Punkten, deren Coordinaten:

360 Greiner: Pol und Polare dw Dreiecks.

seien, die Polkegelschnitte, so sind deren Gleichungen:

A^BC+BqAC+CqAB = JI(0) = 0

AiBC+B^AC+CiAB = 77(1) = 0

{Ao + XA,)BC+(Bo+lB^)AC+(Co + lC\)AB == 77(0) + i /I(l) = 0

{A^+l,A^)BC+(Bo+iiB,)AC+(Co+(iC^)AB = 77(0) +^ 77(1) = 0

Auch aus diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass die Polkegel-
schnitte der Punkte einer Geraden einen Kegelschnittbüschel bilden,
ausserdem folgt aber noch, da das anharmonische Yerhältniss der

vier Punkte - ist, und das anharmonische Verhältniss der vier Kegel-

schnitte oder respective das ihren Tangenten in den Grundpunkten

A
des Büschels ebenfalls - ist, der Satz:

Das anharmonische Verhältniss von irgend vier Punkten einer
Geraden ist gleich dem anharmonischen Verhältnisse der entsprechen-
den Polkegelschnitte (24)

I Insbesondere sind auch die Polkegelschnitte von vier harmonischen
Punkton in harmonischer Lage 0)

Verbindet man den Pol (0) mit den Schnittpunkten der Polaren
P{0) und des Polkegelschnitts, so sind die beiden Verbindungslinien
U(0) und F(0) nach (12) Tangenten des Polkegelschnitts 77(0)-,
somit hat man die Gleichung:

77(0) ^ k U(0) F(0) -f fiP2(0)

Setzt man in dieser Gleichung statt xyz die Coordinaten des Pols,
dann gehen 77(0) und P(0) über in dA^B^Co, während f7(0)F(0)
identisch Null wird, da beide Tangenten den Pol (0) enthalten; man
hat also zur Bestimmung der Grösse fi die Gleichung:

oAqBqCq = fi,dA^ Bq Cq

__ 1
oA^BqCq

P(0)«

XU(0)V(0) = 77(0) —

öA^BqCq

somit ist die Gleichung des Tangentenpaares:

r(0) = SA^B.Oo mO) - P(0)« = 0
oder umgeformt:

2^(0) - A^Bo^Co^+B^A^^Co'+C^A^^Bo^

-A^BoCoiABCo + ACBo-^-BCA^) = 0 . . • (26)

Grtiner: Pol und l'uUtre des Itrtitdct.

Da aber nacb (18):

V{0) = ^*S(,'(^o'+-S'VC'o»-fCV*o*

— 2A^B^Co(ABCo+ÄCB„ + SCA^) = 0
so folgt;

V(0) = TiO)—A^B(,C^n(0)

Zufolge dicBPr GleiuhnDg mass der Kegelschnitt <p{0) durch die
Schnittponkte des Tangenten paarcs T(0) mit dem Kegelschnitt« 17(0)
gehen; somit ist T(0) selbst Tange ntt-npaar des Kegelscboitta v(0).

£s berührt demnach der UmhuUungskegolschuitt einoü Punktes
die Seiten des Grunddreiecks und den Pulkegelacboitt dieses Punktes
in dou Schnittpunkten desselben mit seinen Dreieckspolaren. . . (2B)

Die Droicckspolaro eines Punktes ist also die Kegel schniltspolare
dieses Punktes sowohl bezüglich seines Polarkcgelachnitts, als auch
bezüglich des entsprechenden Umhüllungskegel Schnitts (29)

Sind zwei Folkcgelschnitte 11(0} und 11(1) mit ihren ent-
sprechenden Polen (0) und (1) gegeben und denkt mau sich für den
Kegelschnitt 7T(0) die Polare des Punktes (1) nnd für dun Ecgd-
schnitt 17(1) die Polare des Punktes (0) gezeichnet, so werden die
Gleichungen dieser Polaren sein:

^,77CO)'(x)+y,n(0)'Cy)+«,77(0)'(z) = ü und

a-o/7(i)'(x)+yon(i)'Cy)4-»on(i)'W = 0

Diese beiden Gleichungen fallen aber in die einzige zusammen:

A(BoO, + B,Ca)+ B{Ai,Ci + AjCo) + C'(A^iB,+A^Bf,) ~ 0

somit folgt:

Zeichnet man za zwei beliebigen Punkten die Polkegelschnitto
und zu jedem Punkte die Kegelschnittspolare bezüglich des ihm nicht

entsprechenden Polkegel schnitt s, so fallen die beiden P"' '" "=—

nnd dieselbe Gerade zusammen

In Bisherigem wurden nnr die allgemeinen gegi
ziebnngen zwischen den Lagen and Gleichungen der
gebilde erläutert, ohne dabei anf besondere Lagen d<
siebt za nehmen.

So kann man sich zunächst die Aufgabe vorlegt
Polkegelschnitt zu bestimmen, dessen Mittelpunkt sein >
Dreieckspol ist.

Sei

77(0) — ABC'o-^ACBo-\-BCAf, =-0

362 Greiner: Pol und Polare des Dreiecks,

m

die Gleichung des gesuchten Kegelschnitts, dessen Mittelpunkt und
Dreieckspol zugleich der Punkt (0) sein soll, so hat man die Glei-
chungen : *

und hieraus ergibt sich:

k _ k

^ = rTTZTTi ^0 = TZ :"\ Cq =

Vi — Vo* <?0«1— ^l«o' ^ OO^I — «1*0

also folgt als Gleichung des gesuchten Kegelschnitts:

AB (Vi — *i<?o) («^o«! — <?i«o) + ^^( Vi — *i«^ü) («0*1 — ^i*o)

oder die symbolische Gleichung:

I7(«) = 0 (31)

Für die Gleichung seiner entsprechenden Polaren folgt aber:

P(s) = A {h^c^ - h^c^) + B(c^a^ — CiOo) + Cia^h - « A) = 0 (32)

Nun lässt sich aber leicht beweisen, dass die Gerade P(«) nichts
andres als die unendlich ferne Gerade der Ebene ist; denn sei

die Gleichung derselben, so müssen in ihr die Coefficienten von /
und y Null sein; also:

aaji-f-/J&i+y^i = 0

Durch Elimination der Grössen a, /3, y aus den drei letzten Gleichnn-
gen folgt nun die Gleichung der unendlich fernen Geraden:

0

ABC

«0 *0 ^0

«1 h ^1
welche mit Gleichung (32) vollständig zusammenfällt.

Will man sich aber zur unendlich fernen Geraden P(s) den
Dreiockspol verschaffen, so hat mau nach Satz (2) auf den Seiten
des Grunddreiecks sich zu den Schnittpunkten der unendlich fernen
Geraden bezüglich der Ecken des Dreiecks die vierten harmonischen
Punkte zu zeichnen, die in diesem Falle die Mitten der Dreiecks-
Hen werden; die Verbindungslinien dieser Punkte mit den Gegen-

Greinen Pol und Ptdare des Dreiecks, 363

ecken des Dreiecks sclmeiden sich alsdann im gesuchten Pole, der
hier nichts andres als der Schwerpunkt des Dreiecks ist Somit folgt:

Der Droieckspol der unendlich fernen Geraden ist der Schwer-
punkt des Grunddreiecks; oder umgekehrt:

Die Dreieckspolare zu dem Schwerpunkte des Grunddreiecks ist
die unendlich ferne Gorade (33)

Diese Sätze sind gleichlautend mit denen üher Kegelschnitte, da
man den Schwerpunkt auch als den Mittelpunkt des Dreiecks an-
sehen kann.

Die Verbindungslinien der Ecken des Dreiecks mit den auf den
Gegenseiten liegenden Schnittpunkten der unendlich fernen Geraden
sind parallel diesen Gegenseiten und sind nach (13) die Taugentei)
des Polkegelschnittes 11(8) in den Ecken des Dreiecks, weshalb der
genannte Kegelschnitt der an Inhalt kleinste sein muss, der dem Drei-
ecke umschrieben werden kann. Hieraus folgt zugleich:

Der einem Dreiecke umschriebene Kegelschnitt vom kleinsten
Inhalte hat den Schwerpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt. . . (34)

Die Gleichung des dem Schwerpunkte entsprechenden Urahtillungs-
kegelschnittes wird:

Mit Zuhtilfenahme der Gleichungiu (31) und (32) folgt hiefür die

Gleichung:

P(«)*— 4i7(«) =- 0 oder:

n(s)-iP(sr = 0

Nun ist aber JP(«)* eine constante Grösse, da P(a) == 0 die Gleichung
der unendlich fernen Geraden ist; somit ist der dem Schwerpunkte
entsprechende ümhüllungskegekclmitt ähnlich seinem Polkegejschnitto
und liegt ausserdem mit ihm ähnlich und concentrisch; hat also zum
Mittelpunkte ebenfalls den Schwerpunkt des Dreiecks (35)

Für jede durch den Schwerpunkt des Grunddreiecks gehende Ge-
rade ist der Umhüllungskegelschnitt eine Parabel, da unter den Tau-
genten dieses Kegelschnittes sich «nach die Polare des Schwerpunktes
oder die unendlich ferne Gerade botinden muss und diese nur Tan-
gente einer Parabel sein kann. Da unter den Strahlen eines Strahl-
büschels sich immer ein und nur 'in Strahl befindet, c|pr durch den
Schwerpunkt des Dreiecks geht, so muss unter den Umhüllungskegel-

364 Greiner: Pol und Polare des Dreiecks,

schnitten, die den Strahlen dieses Büschels entsprechen, sich imm^
eine und nur leine Parabel befinden. Sonach folgt unter Berücksich-
tigung des Satzes (22):

Unter den Kegelschnitten, welche die Seiten eines Vierecks be-
rühren, befindet sich immer eine und nur eine Parabel.

Verlegt man aber den Büschelmittelpunkt des Strahlbüschels nach
dem Schwerpunkt des Dreiecks, so entspricht jedem Strahle als Cm-
htillungskegelschnitt eine Parabel, die die Dreiecksseiten berührt

Den sämmtlichen Punkten des dem Dreiecke umschriebenen kleifi-
steu Kegelschnittes entsprechen als Polaren die durch den Schwer-
punkt gehenden Strahlen und als ümhüUungskegelschnitto die sämml-
lichen dem -Dreiecke einbeschriebenen Parabeln (36)

Den sämmtlich unendlich fernen Punkten der Ebene, die man
als der unendlich fernen Geraden angehörig betrachten kann, ent-
sprechen als Dreieckspolaren, die Tangenton des dem Grunddreieckc
umschriebenen kleinsten Kegelschnittes; und als Polkegelschnitte die
sämmtlichen Kegelschnitte eines Büschels, der die Ecken des Grund-
dreiecks und dessen Schwerpunkt zu Grundpunkten hat .... ßV

Will man nun den geometrischen Ort aller Punkte, deren P(J-
kegelschnitte Parabeln sind, so braucht man blos für die Gleichoog-*

BCAq'^ACBq'^ABCq = 0

in welcher die Coefficienten von x*, y* und xy die folgenden sind:

-^0*0 ^O"!" -^0 ^0 ^0 "f" Q ^*0
A (*0^J +*1^)+ -^0 («0^1+ öl Co) + Co (flo*! +«i *o)

die Bedingung aufzustellen:

Formt man diese Gleichung um, so ergibt sich als Gleichung des
Ortes der Punkte (0) gerade:

(p(s) ==» 0 .

Den sämmtlichen Punkten des dem Dreiecke einbeschriebenen Kegel-
schnittes, der den Schwerpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkte hat,
entsprechen demnach als Polkegelschnitte Parabeln, welche dem Drei-
ecke umschrieben sind (^)

Da aber eine Gerade der Ebene mit dem Kegelschnitte q>(s) uicbt

Greiner: Pol und Polare des Dreiecks, 365

mehr als zwei Punkte gemein haben kann, so folgt anter Berück-
sichtigung des Satzes (20), dass sich in einem Kegelschnittbüschel
nicht mehr als höchstens zwei Parabeln befinden können.

Den Punkten jeder Tangente des Kegelschnittes q>(8) entsprechen
also PolkegelscLnitte, welche einen Kegelschnittbüschel bilden, der nur
eine einzige Parabel enthält ^ (39)

Ein derartiger Kegelschnittbüschel hat aber zu Grundpnnkten die
Ecken des Dreiecks und den Dreieckspol der Tangente des Kegel-
schnittes g)(«), welcher auf der unendlich fernen Geraden liegt; es
gehört also nur einem Kegelächnittbüschel mit einem unendlich fernen
Gmndpunkte eine einzige Parabel an (40)

Es ist nun von einiger Wichtigkeit, den Fall zu untersuchen,
wenn der Pol in den Höhenschnittpunkt des Dreiecks rückt

Die Gleichungen der Dreieckshöhen sind:

^(a^CQ + aiCi) — C(ao*o+ «i^i) = ^ (1)
C(aoÄo+Vi)-^(Vo+Vi) =-0 (2)

^(*o^o + Vi) — ^ («0^0 + «i<?i) = 0 (3)

Seien x^y^z^ die Coordinaten des Höhenschnittpunktes, so folgt aus
den Gleichungen (1) und (2)

' ~ %^o+«i<^i ' ' ~ ' Vo +Mi
somit ist die Gleichung der Dreieckspolaren des Höhenschnittpunktes :

ABqCq-^ BAqCq-\- CAqBq « 0 oder:

-^(*o^ + Vi) + 'ö(«o^o + öi^i) + ^'(*o^ + *i«i) *=" 0

oder symbolisch:

P{h) = 0 (41)

Für die Gleichung des Polkegelschnittes, der dem Höhenschnittpunkte
entspricht, folgt somit:

n(h) — Aö(Vo+*i^i)(«o<?o+öi^i) + ^C'(Vo+*i^i)(öo*o+«A)

+ i?C(aoCo-fa,Ci)(aoio+«iM=0. .(42)

Soll nun der geometrische Ort aller jener Punkte bestimmt werden,
deren Polkegelschnitte gleichseitige Hyperbeln sind, so ist der Punkt
(0) blos 80 zu wählen, dass in der Gleichung

ABCq-\'ACBq+BCAo — 0
die Summe der Coefficienten von x^ und y* gleich Null wird, also:

366 Greiner: Pol und Polare des Üreierks.

oder:

Der geometrische Ort der gesachten Paukte ist somit die Höben-
schnittspolare.

Ben sämmtlichen Punkten der Höhenschuittspolare entsprecbei
also als Polkegelschnitte lauter gleichseitige Hyi>erbelu (43}

Diese Hyperbeln müssen aber zufolge des Satzes (20) einen Ke^-
schnittbtischel bilden, der zu Grundpunkten die Ecken des Dreieck«
und den Höhenschnittpunkt hat. Daraus ergibt sich zugleich:

Alle gleichseitigen Hyperbeln, die einem Dreiecke umschriebea
sind, gehen sämmtlich noch durch einen vierten Punkt, nämlich dordi
den Höhenschnittspunkt dieses Dreiecks.

Unter den dem Granddreiecke umschriebenen Kegelschnitten be-
findet sich insbesondere auch ein Kreis, dessen Gleichung erbaltim
wird, wenn man in der^ allgemeinen Gleichung für die dem Dreiecke
umschriebeneu Kegelschnitte :

aBC-\-ßÄC-\-yAB == 0

den Coefficienten von xy gleich Null und die von x^ und y* einander
gleich setzt; folglich:

«Vo + Z^^o^o + y^o^o *= «*i^i+/^«i^i + yflA
Aus diesen beiden Bedingungsgleichungen folgt:

«0*1 + «1*01 h^i + *i^i
«0*0 ^1*1» K^Q — K^i

Vi + Voi «0^1 + «1^0

a = ^

/?==f*

y = ^

f*(«ü^ + öi^)(*o<^— *l^)

= f« (&o=^ + *i *) (^o«i — ^löo)

= fA(eo*+ <?i^)(ao*i — «i*o)

Somit erhält man als Gleichung des dem Dreiecke umschriebenen
Kreises .

K = ÄB(c^^ + Ci2)Mi - ai*o) + ^(^W + *i*)(^u«i - ^i«o)

+ ^C'(ao2+n,2}(Vi ~*i^o) = ^

Die Coordinaten seines Mittelpunktes 0 ergeben sich aus deu Glei-
chungen:

Greiner: Pol und Polare des Dreieck*.

367

oder:

worin «, /3, y der Kürze halber wieder vorige Bedeutungen haben.
Es worden somit:

^n = X

al

«0

a<

-« ^

«0

'0

a ^ß

Co^l

= yA

«0

a

-0

ß -7

Substituirt man in diesen Ausdrücken die Werte für a, /?, y und
reducirt, so hat man:

äq = v(V+«i*)(Mo+Vi)^

Ci = v(co*+Ci«)(rto*o+öiMp

wobei der den Grössen -4^, i^o, Co gemeinschaftliche Factor ^ den
Wert: (Vi"" Vo)(<^o«i"~<^i«o)(«o*i — «A) *>at.

Für die Gleichung der Dreieckspolaren des Kreismittelpunktes M
ergibt sich nun:

I

P{m) =

+

+

(V + ^i*)(ao*o+»i*i)

... (44)

und für die Gleichung des Polkegelschnittes, der dem Mittelpunkte
des dem Dreiecke umschriebenen Kreises entspricht, hat man:

+ i/C(ao«+a,2)(6oCo + Vi) = 0 . .(45)

welche bezieh uDg!
umschriebenen Ei
di-eiecks entsprech

AuB dieser B
Kegelschnitte ause
einem nnd densell

In jedem Drei
umschriebenen Ki
selben Geraden an

Sei nun M t
Kreises, S der Si
femer A„, i(«, C,
die sich ergeben,
Coordinaten der F
Geraden MSH:

Setzt man nun doi
so sind nach Fral

wodurch die Glcicl

0 reiner: Pol und Polare des Dreiecks.

36Ö

Sei Punkt 0 nun der Pol der Geraden MSH^ so hat mau biefür die
Gleichungen:

A> =

Ä

C„ =

«'«i(fty-^yi)' ^^^ft(yi«-y«i)' ' yyx(«i?~«ft)

Der Polkegelschnitt /7(<]r), der dem unendlich fernen Punkte Q der
Geraden MSH entspricht, geht zufolge (6) und (37) durch den Punkt
0 (als Pol der Geraden MSH) und durch den Schwerpunkt S des
Granddreiecks, so dass seine Gleichung wird:

AB, AC, BC

-^^0^ '^^O? -^0^0

AgBgj AgCsj BiCa

= 0

oder:

= 0

Nun ist aber:

AB, AC, BC

m(ß«i-^ßi^)^ ßßi(yi^—y^i\ ^^lißiY^ßYi
y, ß. «

ABaßdaß, +ail5)yj -2a,/Jiy) + ^Cay((«yi + <'iy)A - '^"inß)

+ BCßY((ßn+ßtY)^t-^ßiYi^) - 0

«ft + «i/3=-(V+q»)y

«yi +«iy = — (^0*4- V)i^

Die Gleichung des Polkegelscbnittes n(q) geht somit über in:

^Ä((co»+^,»)y,-h2«,ft)+Ja(*o'+*i')ft+2«iyiH-^^K'+«i')«i

+2ftyi) « 0

Da aber nach (45):

und nach (42):

ABajß^-^ACa^y^ + BCßiYi == n(h) == 0

ist, so wird:

n(q) = 77(m) + 222(Ä) = 0

Nach Vorigem ist aber

— n{8) =^ n(m)-' n(h) = o

Somit ist das anharmouische Verhältniss des Kegelschnittspaares
n(m), I7(A) zum Kegel schnittspaare 11(8), Il{q) gleich — i; und

Teil LIX. **

370 (j reiner: Pol und Polare des Dreiecks,

folglich ist nach (24) auch das anharmouische Verhältniss der Punkt-
paare M^ n und Ä, Q gleich — ^; also:

HS' HQ~ *
Weil aber Q der unendlich ferne Punkt der Geraden MSH ist, so ist;

MQ

und somit ergibt sich:

HQ ^

MS
SH^^

d. h. in jedem Dreiecke liegt der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt«
des dreieckumschriebenen Kreises und dem Höhenschnitte auf einer
Geraden und zwar so, dass ersterer von den beiden letzten Ent-
fernungen hat, die im Verhältniss 1 : 2 stehen. *

Es soll nun untersucht werden, wie es sich mit den entsprechen-
den Polen einer Reihe von Polkegelschnitten verhält, welche einander
ähnlich sind.

Sei «oüac*+an3^^+<«M+2aoi^y + 2ao2«+2aj2S^=0 die Gleichung
eines Kegelschnittes, so besteht für den Winkel « seiner Asymptoten
die Gleichheit:

Da nun alle Kegelschnitte mit gleichen Asymptotenwinkeln einander
ähnlich sind, so müssen für ähnliche Kegelschnitte die Ausdrücke für
k einander gleich sein.

Für den Polkegelschnitt des Punktes 0 hat man aber:

«00 = ^o^o<^o + -^o^^o + Q^»*o

«u =• ^oVl+^0«l^l+^0«l^l

2aoi = ^(Vi 4-*iCo) + ^ («o<^i +«i<?o)+ ^o(öo*j +<»A)

und somit ergibt sich als Gleichung für den geometrischen Ort aller
Punkte 0, deren Polkegelschnitto einander ähnlich sind:

X =^ [V(Vi-Vo)'+^o'(^o«i-<a«o)'+Q'Mi-«A)'

— 2^o^o(^o<^i — *i<^o)(^o«i — ^i«o) — 2^oQ(Vi — ^i<'o)(«o*i — öi*ö)

Greiner: Pol und Poiare des Dreiecks . 371

oder, wenn man die Bezeichnungen von (3^ und (41) einf^rt, so
folgt:

Betrachtet man den Punkt 0 als variabel, so stellt die Gleichung:

«pW — AP(Ä)»«0 (47)

die gesuchte Ortscurve dar, welche ein Kegelschnitt ist, der den Um-
hfillungskegelschnitt <jp(«), welcher dem Schworpunkte des Grunddrei-
ecks entspricht, in den Schnittpunkten desselben mit der Höhen-
schnittspolaren P{h) berührt.

Liegt man der Grösse k nach und nach alle möglichen Zahlen-
werte bei, so erhält man lauter Kegelschnitte, deren Punkte die Brei-
eckspole einer gewissen Gruppe ähnlicher dem Dreiecke umschriebener
Kegelschnitte sind.

Jede Gerade der Ebene hat aber mit jedem der Kegelschnitte:

q>{s) — U\hY = 0

im Allgemeinen zwei Punkte gemein; und da den Punkten einer Cre-
raden Polkegelschnitte zukommen, welche einem Büschel angehören,
so folgt der Satz:

Unter den Kegelschnitten eines Büschels gibt es höchstens zwei
die derselben Aehnlichkeitsgruppe angehören.

Aus der Gleichung:

(«oo + «ij)^

geht hervor, -dass man für i == 0 den Ort aller Punkte erhalten muss,
deren Polkegelschnitte Parabeln sind; die Gleichung dieser Ortscurve
ist also: g>(«) = 0 was mit dem in (38) Gefundenen übereinstimmt:

Für iL = 00 ist der Kegelschnitt eine gleichseitige Hyperbel und

folglich

P(h) = 0

die Gleichung des geometrischen Ortes aller Punkte, deren Polkegel-
schnitto lauter gleichseitige Hyperbeln sind, was schon in (43) er-
wähnt wurde. Da jede Gerade der Ebene den Kegelschnitt höchstens
iu zwei Punkten und die Gerade P{h) blos in einem Punkte treffen
kann; so folgt, dass unter den Kegelschnitten eines Büschels, sich
höchstens Parabeln und immer eine und nur eine gleichseitige Hyperbel
befinden.

24*

372 G reiner: Pol und Polare des Dreiecks.

Dia Tangenten des- Kegelschnittes ^>{s) haben unendlich ferne
Punkte zu Dreieckspolen und haben mit dem Kegelschnitte g>(#) nur
einen einzigen Punkt gemein; daraus geht hervor, dass wenn von den
Grundpunkten eines Kegelschnittsbtischels der eine in der ünendhch-
kcit liegt, so geht durch diese vier Grundpunkte nur eine einzige
Parabel. Durch die Richtung, in welcher der unendlich ferne Punkt
gelegen ist, ist dann zugleich die Richtung der Parabelaxe gegeben.

Irgend eine feste Gerade G der Ebene wird nun von den Kegel-
schnitten, welche von der Gleichung: 9(«) — ilP(Ä)* = 0 bei sich stets
ändernden A, vorgestellt werden, in Punktepaaren gesehnitten, denen
als Polkegclschnitte immer die Kegelschnittpaare einer und derselben
Aehulichkeitsgruppe im Kegelschnittbtischel , der zur Geraden G ge-
hört, entsprechen.

Da aber die durch die Gleichung (jpCs) — AP(ä)* = 0 repräsentirten
Kegelschnitte selbst einen Büschel bilden, so sind die auf der Ge-
raden G von ihnen ausgeschnittenen Punktepaare in Involution. Es
folgt somit der Satz:

Die Polenpaare der paarweise auftretenden einander ähnlichen
Polkegelschnitte eines und desselben Büschels gehören einer Involution
an (48)

Dieser Involution kommen aber stets zwei Doppelpunkte zu, wo-
von der eine immer der Schnittpunkt der Geraden G mit der Höhen-
schnittspolarcn V(K) ist, während der zweite als Berührpunkt des-
jenigen Kegelschnittes erhalten wird, der überdiess noch den Kegel-
schnitt <;p(«) in den Schnittpunkten der Höhenschnittspolaren berührt
Den Doppelpunkten entsprechen nur gleichsam Doppelkegelschnitte,
wovon der eine immer eine gleichseitige Hyperbel ist, der andere
aber einer Aehulichkeitsgruppe angehört, die von vornherein durch
die gegenseitige Lage der vier Grundpunkte bedingt ist.

In Früherem wurde erläutert, dass die Kegelschnittspolare des
Punktes 0 bezüglich seines entsprechenden Polkegclschnittes zugleich
seine entsprechende Dreieckspolare ist, dass also die Tangenten,
welche vom Punkte 0 an den Kegelschnitt 17(0) gezogen werden
können, denselben in Punkten 1 und 2 berühren, die der Dreiecks-
polaren P(0) angehören.

Da aber die Punkte 1 uud 2 als Berührpunkte des Polkegel-
schnittes auch diesem angehören, so bestehen die Gleichungen:

1^(0) = A^B^C^-\- A^C^Bq'\- B^C^A^ = 0

(j reiner : Pol und Polare des Dreiecks. 373

Die Gleichangeii der Dreieckspolaren der Punkte 1 und 2 sind aber:

A^B^C-^- A^C^B-^-B^C^A = 0

Aus diesen und den beiden obigen Gleichungen folgt aber so-
fort, dass die Polaren der Punkte 1 und 2 auch den Punkt 0 ent-
halten (49)

Die Gerade 0,1 hat aber als Tangente des Kegelschnittes 11(0)
im Punkte 1 die Gleichung:

x,in(oy(x)+y,in{oy(i,)+z,in{oy(») = o

oder:

A(BoC, + B^Co) + B(A^C\+A^Co) + C'iA^ßi+A,Bo) = 0

Sei Punkt k der Pol der Linie 0,1, so muss sein

k k ^ k

Da aber Punkt 1 auch auf den Dreieckspolaren des Punkte» 0 liegen
soll, so ist:

Fi(0) = A^BqCo + B^A^Co+C^A^Bo = 0

und hieraus:

A^BqCq

Bq^i 4" -^iQ) = —

^0

A^C\-\- A^Cq — ^

'o

und somit:

^*~ A^oQ' A^o^o' ^i^o^o

oder:

—^kB^C^ _ A^ . ^iBiA^C^ _ ^0 . Z_^M)^o _ ^0

T ""^,' k 4' ^ ^1

Dividirt man die Gleichung:

HiCO) = B^C^Aq+A^C\Bq-\-A^B^C^ = 0

mit der Grösse A^B^C^^ so folgt:

und folglich:

A+B+-C\ = '^

374 Greiner: Pol und Polare des Dreiedcs.

d. h. der Pol k der Geraden 0,1 liegt auf der Dreieckspolarcn des
Punktes 0. Ganz ebenso lässt sich zeigen , dass der Dreieckspol des
Punktes 2 ebenfalls auf der Geraden P(0) liegt

Nach (41) müssen aber die Dreieckspolaren der Punkte 1 und 2
durch den Punkt 0 gehen, und somit kann unter Beracksichtigiing
des Satzes (19) der Pol der Geraden 0,1 nur zusammenfallen mit dem
Punkte 2 und der Pol der Geraden 0,2 nur zusammenfallen mit dem
Punkte 1.

Das Dreieck 0,1,2 hat also die Eigenschaft, dass die Yerbindongs-
linie zweier Eckpunkte die Dreieckspolare des dritten Eckpunkte
ist (50)

Ist eine Ecke des Dreiecks gegeben, so sind die beiden andern,
als die Schnittpunkte der Dreieckspolaren und des Polkegelscbnittes
vollständig bestimmt.

Der Polkegelschnitt irgend einer Ecke des Dreiecks geht durdi
die beiden andern Ecken und berührt hierin die beiden Seiten des
Dreiecks.

Bekanntlich stellt die Gleichung:

eine Curve dritter Ordnung dar, welche durch die Gerade A' in drei
Wendepunkten geschnitten wird, deren Tangenten die Geraden i4,
B, C sind. Rückt aber die Gerade A' in die Unendlichkeit, so geht
die Curvengleichung über in:

ABC+ |ü = 0

worin fi eine Constante bedeutet

Für diese Curve der dritten Ordnung, die also drei unendlich
ferne Wendepunkte hat, gelten nun ganz dieselben Polarbeziehungen
wie für das Dreieck ABC^ da mau hiefür ebenso als Gleichungen
der ersten und zweiten Polaren eines Punktes 0 die Gleichungen

p(0) c= 0 und n(0) =- 0

hat, die unabhängig von der Grösse fi sind.

Dostor: Les polygones rayonn€8 et les polygonts €toU€s» 375

xxu.

Les po]ygones rayonn^s et les polygones ^toil^s.

Par

Georges Dostor.

1. Definition. Nous doanerons le nom de polygone rayonn6
k tout polygone compos^ alternativement d'angles saillants et d'angles
rentrants, et tels que les c6t^8 de cos angles sont deux par deux en
ligne droite.

Tels sont les polygones ABCDE (tig. 1) et ABCDEF (fig. 2)

2. Chaqne c6te . du polygone rayonn^ Joint les sommets de deux
angles saillants, en passant par les sommets de deux angles rentrants
qoi leur sont contigus.

Ainsi, dans le polygone rayonn6 ABCDE (fig. 1), la droite AB^
joignant les sommets des angles saillants A et B^ en passant par les
sommets a Qi h des deux angles rentrants contigus, est un c6t6 du
polygone.

De meme dans le polygone ADCDEF (fig. 2), les droites AB
et EF sont des c6t6s.

3. Un polygone rayonn6 a autant de cötes que d'angles saillants
et que d'angles rentrai

Qaand nous parlerons des sommets ou des angles d'un polygone
rayonn^, nous n'entendrons parier que des angles saillants de ce
polygone, abstraction faite des angles rentrants, ä moins d'avis contraire.

4. II est Evident que, si Ton parcourt, dans le meme sens, le
contour d'un polygone rayonn6, ou trouvera nn meme nombre ;> de

37() Dostor: Lex polygones rayonn€s et les polygones ÜoiUs.

*

sommcts ä droitc de chaqae cote ot anssi un memo nombre q de
sommets ä, gauche de chaqae c6t6; et, si n designe lo nombre des
cotes de ce polygone, on aura n = /) -{~ 5 4" 2.

Dans le pontagoue rayonn6 ABCDE (fig. 1), on a /> = 1 et
(2 = 2; et dans Thexagone rayonn6 AßCDEF (fig. 2), p est ^gal ä 1
et q est egal ä. 3.

5. Un polygone irayonnö est dit de Tespöce c, lorsque le pIns
petit des dQux norobres p Qt q est 6gal k e — 1.

6. Si Tun des deux nonibres /? et 5 est nul, l'autre sera ^gal
a n — 2, ot Ton aura c= 1; dans ce cas le polygone sera convexe.
Donc les polygones c'ouvexes sont de premi^re cspece. Les
aiigles rentrants y sont 6gaux chacun a deux anglos droits.

7. Au moyen d'un polygone convexe ahcdefg.., (fig. 3) de »
cöt6s, on peut avoir tous les polygones rayonn^s de « cöt^s.

8. Le polygone convexe est de prcmi^re esp^ce.

Pour obtenir le polygone rayonnö de deuxi^me espöce ayant
n c6t^s, on suivant le p^rimetre dans le meme sens, on prolonge les
cötes de deux on deux, jusqu'ä leurs intersections mutuelles.

Ainsi les cötes ab et cd se coupeut en A\ les cöt^s cd et ef
en B'\ les c6t6s ef et ga se rencontrent en C', les cötes ga et o*
en Z>'; et ainsi de suite.

Si le polygone convexe donn6 a un nombre impair de cötes,
c'est-ä-dire si « est premier avec 2, tous les cöt6s de ce polygone
aurons 6t^ prolong^s dans les deux sens, et, apr^s avoir d^termin^ «
intersections de deux cöt^s adjacents k un meme troisi^me cöte, on
sera revenu au premier point d'intersection obtenu.

Si, au contraire, le nombro n est pair, comme le cas se präsente
dans la figure 2, on partira du premier cöt6 ah de Thexagone ahcdef^
et Ton prolongera les cöt^s de deux en deux, ce qui foumira les
trois sommets -4, B et C; puis on partira de meme du second c6t6
bc en eflfectuant des prolongements analogues, ce qui donne les trois
autres sommets Z>, E et F.

9. On obtient le polygone rayonn6 de troisiöme esp^ce
ayant n cöt^s, en prolongeant de trois en trois les cöt^s du poly-
gone convexe de n cöt6s jusqu'ä leurs intersections mutuelles. Ainsi
les cöt6s ab et de se coupent en A ; les cöt^s de et ga se rencontrent
en B\ ga et cd se coupent en C; et ainsi de suite.

Si le nombre n des cöt^s du polygone convexe est premier avec

Do 8 ton Lea polygones rayonn^x et Us polygone$ itoiUs, 377

*

3, toas les c6t^8 de ce polygono aoront 6t^ prolong^s dans les denx
sens, et, apr^s avoir d^termin^ n intersections de deax c6t^s adjacents
k deiuc c6t^ contigus, ou sera revenu au premier point d*iutersection
obtenu.

Si, an contraire, le nombre n est divisible par 3, comme cela
se präsente pour Tenii^agone, on fera les prolongements indiqu^s, en
partant d*abord du premier cot^, puis du second et enfin du troisi^me
cöte. On trouvera ainsi que renn^agone rayonn6 de troisi^ine esp^co
(iig. 4) se compose de trois triaugles, dont les neuf sommets termi-
nent les neuf rayons d'une Atolle.

10. On obtiendra les polygones rayounes de n cotes, qui sont
d'une osp^ce sup^rieure h la troisi^rae, eii prolongeant, dans les deux
Bens, les cdt^s du polygone convexe do 4 en 4, de 5 en 5, . .. de

n

— 2 n — 2 , n— 1 n—\

2 en — ö~ ou de ^ en — ö"" s'*^^*'^*^ Q^® ** ^^^ P*"" ^^
impair.

11. On voit ainsi, d'apr^s ces constructions, qu'il y a autant
d'especes de polygones de n c6t6s, qu'il existe de nombres entiers
inferieurs ä la moiti^ de n ou de n-j-1, suivant quo n est pair ou
impair. La premi^re esp^ce de ces polygones est le polygone con-
vexe de n c6t6s.

II y a 2 esp^ces de pentagones, 2 esp^ces d*hexagoues, 3 d'hepta-
gones, 3 d'octogones, 4 d'enn^agones et de d^cagones, et ainsi de suite.

12. II est ais6 de s'assurer que le polygone, ayant n c6tes, de
Pespöce |), peut s'obtenir au moyen du polygone, ayant n cdt^s,
de Tesp^ce p — 1, en prolongeant dans ce demier les cötes de deux
en deux, dans les deux sens.

Ainsi le polygone ÄBCDEFG (fig. 3) s'obtient aussi, en pro-
longeant de deux en deux les cöt6s du polygone A' B* C D' E^ F* G^
de Tesp^ce imm^diatement inf^rieure d'une unit^. £n effet les c6tes
A*B' et C'Z>' se coupent en C; C'iy et E'F' en B; E'F' et G'A'
en A-, &A' et B*C' en G\ B'C et D'E' en F,, D'E' et F'G' en
JS; F'G' et A'B' en D.

13. On voit encore que les sommets des angles saillants du
polygone d'une esp^ce quelconque sont les sommets des angles ren-
trants du polygone de Tesp^ce imm^diatement sup^rieure.

Dans le polygone A'B'C'iyE'F'G' (fig. 3), les sommets A\ B\
C, . . . des angles saillants sont les sommets des angles rentrants
du polygone ABCDEFG de Tespöce imm^diatement sup6rieure.

378 Dostori Le8 polygones rayonn€s et le$ pofygoties itoiUs,

14. Th^rdme I. La difförence des angles saillants de
deux polygones rayonn^s, ayant le m6me nombrc de
cot^s mais 6tant de denx esp^ces cons^cutives, est con-
stante et ^gale ä quatre angles droits.

D^signons par Sp^\ et ^^ les sommes des angles saillants des
deux polygones cons^cnÜfB de n cdt6s A'B'C* ... et ABC, . . (fig. 3),
quo nous supposerons Tun de Tesp^ce p — 1 ei l'antre de Tesp^ j».

Tirons les droites AF, FD, DB^ . . . ; nous formons un poIygone
convexe de n cot^s AFDB . . . ; sur les cötös de ce polygone s'ap-
puient les n triangles AFE\ FDB\ DBF\ . . . dont les angles au
sommet, E\ B\ F\ ... sont eganx aux angles saillants de Tesp^ce
p — 1; nous avous donc

Sp-i = 2n droits —(E'AF'\-E'FA']-B'FD + B'DF+..,).

Mais la somme des angles entre parentb^ses ^gale la somme des

angles du polygone convexe AFDB,,, de n cöt^s, moins la sonune

des angles saillants du polygone rayonn6 ABCD ... de Tespece p\

eile ^gale par suite

(2i»— 4) droits — Sp.

On a donc

Sp-i = 2n droits — [(2n — 4) droits —Sp],
d'oü on tire
(I) ;S^i — <Sp = 4 angles droits.

15. Corollaire. Dans tont polygone rayonn^, la diff^-
rence entre la somme des angles rentrants et celle des
angles saillants est constante et 6gale k quatre angles
droits.

16. Th^or^me II. Dans tont polygone de m c6t6s et de
Tesp^ce p, la somme Sp des angles (angles saillants) est
^gale k autant de fois deux angles droits, quMl y a
d'nnit^s dans le nombre de c6t^s diminu^ du double
nombre de l'esp^ce.

Par r^galit^ (I) nous avons

Sp = Sp—i — 4 angles droit«;

donnant k p snccessivement les valeurs 2, 3, . . . /)-i, p et observant
que Si =« (2n — 4) droits, on forme les 6galit68

Sf = (2n— 4) droits —4 droits,

^5 =- iSj — 4 droits,

Sp «« 8p-i — 4 droits.

Do stör: Les polffgones ragonnis et les polygonts iloiUs, 379

Ajoatant ces p — 1 ^alit^s membrc k membre et r^duisant, on ob-
tient la valeor

Sp = (2n— 4) droits — 4(jb — 1) droiU = (2«— 4p) droits,

DU

(II) Sp = 2in'-2p) angles droits.

17. Corollaire. Si n est pair, Tesp^ce la plus 6iev^c sera
marqa^e par le nombre ^ ; donc on aora

(in) ^4(»-2) = 2[n — (n — 2)] droits = 4 angles droits;

et si n est impair, Tesp^ce la plus 6lev6e sera marq.uee par le nombre

—^ \ par suite il viendra

(IV) S^(n-i) = 2[n — (n— 1)] droits = 2 angles droits.

II s'ensoit qae La somme des angles da polygono ray-
onn6 de Tesp^ce la plus dlcv^e, parmi ceux d'un roerae
nombre de cdt^s, est ^gale a quatre ou h deux angles
droits, snivant que le nombre des cöt^s du polygone est
pair ou impair.

Ainsi la somme des angles du triangle, du pentagone de 2^^^
esp^ce, de Theptagone de 3^™« esp^ce, de Tenn^agone de 4*"« esp^ce,
etc. est ^gale k deux angles droits.

18. Th^ordme III. Dans tout polygone rayonnö, la
somme des angles ext^rieurs, qu'on obtient en prolon-
geant les c6t6s dans le m6me sens,' est ^gale ä autant de
fois quatre angles droits qu'il y a d'unit^s dans Tesp^ce
du polygone rayonn^.

£n effet la somme des angles, tant ext^rieurs que saillants, est
6gale h autant de fois deux angles droits que le polygone a de som-
mets ou de c6t^s; mais, si le polygone, suppose de n cot^s, est de
i'esp^ce Pj la somme des angles saillants sera

^ = 2(n— 2p) angles droits-,

on a par suite, pour la somme S des angles ext^rieurs

iS= 2n angles droits — 2(n — 2p) angles droits
ou

>S=(2n — 2n+^) angles droits;
donc

(V) S=:p fois 4 angles droits.

Dans le pentagone de 2*»« espöce, la sonune des angles ext6rieurs
est de huit angles droits.

380 Dos ton Les polygones rayonn€s tt les polygones &oU€a,

§ n. Les ptlygfiies myonn^ regvllers.

19. TWor^me I. Dans un polygone rayonn6 regulier,
de n c6t^s et de l'esp^ce />, chaqae angle saillant est

egal k l'exc^s de deux angles droits sur — angles droits;

et chaqae angle rentrant est egal k Texc^s de deux angles

, .. 4(p — 1)

droits sur — angles droits.

Car les n angles saillants sont ^gaux entre eox et lenr somme
est ^gale k (2n— 4p) angles droits; de mSme les n angles rentrants
sont eganx entre eux et leur somme est 6gale k 2w — 4(p — 1) angl«
droits.

20. Corollaire. Dans un polygone rayonne regulier, la difference
entre an angle rentrant et un angle saillant est 6gal k Tangle an
centre du polygone regulier.

21. TMordme II. La surface du polygone regulier de
n cotes et de Tesp^ce p est

, Tt p .
sin— cos-«

(VI) P^nRK \ ; .

p — 1

cos n

n

Joignons le centre O ä un sommet A de ce polygone (fig. ^)
et aux deux sommets voisins Ä' et E* du polygone regulier de »
c6t6s et de Tespöce p — 1, qui sont situ6s sur les cöt^s issus du
sommet A dans le polygone de l'esp^ce p. La surface de notre
polygone se composera de » quadrilateres tels que AA^OEf oa de
2n triangles tels que AA'O. Noiis aTons donc

P=^2n.AA'0.

Or, dans le triangle AA'O^ le cöt^ AO est 6gal au rayon R du cerdc
circonscrit au polygone donne; l'angle OAA^ est la moiti6 de Tangle
A'AE ou la moiti6 de la n^^^ partie de (n — 2p)n^ de sorte que

OAA' = Ti—'n,,

et rangle AOA' est la moiti6 de la n«»« partie de quatre angice

droits ou 6gal & ^r- = ~ La surface de notre triangle AA'O est

ainsi 6gale k

. » p

• Ar^A^ • ^ A Af Sm-COS-«

1 »2 8^" AOA .sm OAA ^ n n ,

^^ sin^'O ^*^ P^^T"'

cos^ n

n

Jjostor: Les polytfones rayonnix et lea polyyonea iloilia, 381

doQC ou a

. n p
am -cos- n

p = „Ä«. " » .

/>-— 1

C08^ 1t

n

22. Corollaire I. Le rayon r du cercle inscrit dans notre

polygone rayonn^ regulier est ^videmment ^gal ä ifsiii0^il' =

(it p \ p

Äsinl^ — ^) = i^ cos -7t; par consequent nous avous aussi

sin
(VII) P^nRr.- **

p-1

cos^- n

n

23. Corollaire II. Le demi-cöt6 ^ = "ö" ^^ polygone regulier

Stallt 6gal ä RcosOAA' = Rcos(n — -n) = Rsin-n. il vient en-

core

. n p
sin — cot- n

(Vni) . P = inaR . —V-,—-

p — 1

cos^^ n

n

24. Corollaire UI. On d^duit de \k que

(IX) , n . TC . ^ ^?^

sm— 8in— sin— cot- n;

P= \nar . z — = nr* — z — == \na^

. P P — 1 P P — ^ . P P — 1
sin -«COS — n cos-TTCos^ n sm-wcos^ tc

n n n n n n

§ III. Les ptlygf les ^toil^.

25. Definition. Parmi les polygones rayonn^s, les ans se com-
posent de polygones convexes distinets, d'autres an contraire ont un
p6rim^tre.

Selon Tosage, nous dounerons le nous de polygone 6toil^ k
tout polygone rayonn^ dont les cöt^s forment une suite continaO)
tels qu'en les parcourant dans le mSme seus, on revienne au sommet
de d^part, apr^s avoir pass^ par tons les autres sonimets et une
senle fois par chacun d'eux.

Tels sont le pentagone (tig. 1), l'heptagone (fig. 3)

382 Do 8 ton Lea polygone» rayonnis et Um polygonts ^loiUa,

26. Th^or^me I. Etant donn^e ane courbe convexe
divis6e en n parties cons^cutives aux points 0, 1, 2, 3, ...
(fig. 6.), lorsqu'on* Joint ces points par des droites, de p en
/>, k partir de Tun djeux, de 0 par exemple, on formert
an polygone ^toil^ si los nombres n et p sont premiera
eutre eux et Ton n'en formera qu'un.

En effet, si, ä partir da point 0, on Joint les points de di?iaoii
de p en p, jusqn'ä ce qa'on ait tir^ n droites^ on aora franchi sac-
cessivement des nombres de division de la courbe exprim^s par

(1) p, 2p, 3p, ... np.

Pour trouver les points de division par les quels ou aora pass^
11 suffira evidemment de sopprimer, dans chacan de ces n nombres,
le plus grand multiple de n qui y soit contenu; les restes obtenus
marqueront les points de division de la courbe qu'on aura reli^s. Or
je dis que les n restes aiusi obtenas sont tous diff^rents.

Car soient r et r' deux quelconques de ces restes; les deui
nombres correspondants de la s6rie (1) seront de la forme

ap = j3«-|-r, a'p = jS'n -[-»•'•
Si les deux restes r et r' pouvaient etre ^gaux, on aurait

ap — «'p = ßn — ß'n OU (a — a)p = (ß — jS')n,

et le produit (a — a')p serait ainsi divisible par «; or n est premier
avec p, par suite il diviserait la difference « — «', ce qui est impos-
sible, puisque a et a' sont moindres que n,

Donc les n restes de la suite (1) sont tous differents; et, comm^
il sont moindres que »i, ils sont form6s par les n nombres entiers
0, 1, 2, 3, ... (n — 1) infdrieurs k n, pris dans un certain ordre.
Ainsi, en joignant les n points de division de notre courbe, de p en
Pj par une ligne brisee continue, on aura pass^ par tous ces n points
et une seule fois par chacan d'enx; donc le polygone r6sultant sera
6toil6 et de Tesp^ce p.

27. Corollaire I. D est Evident que le p6rim6tre de notre poly-
gone 6toil^ sons-tend np divisions de la courbe^ ou p fois la courbe
elle-mßme.

28. Corollaire II. Si les nombres n et p avaient un diviseor
commun e/, on verrait, par un raisonnement analogue, qae le poly-

91

gone, fonn6 en les points de p en p, n'a que - c6t6s et que 8on

P
p6rim^tre sous-tend ^ la courbe.

I

Dos Ion Le» polygones rayonaitt et lea polygones itoUi», 383

29. Tb^or^me IL II existe autant de polygones ^toil^s
de n cotes, qu'il y a d'unit^s moins uBe daBS la moiti6
da nombre qui exprime combien il y a de nombres en-
tiers inf^rieurs ä n et premiers ayec lui.

Soient, en effet, 1, a, 6, c, ... n — c, n — ft, n — a, n — 1 les nom-
bres entiers, qui sont inf^rieurs ä n et premiers avec Ini. Divisons
une courbe formte convexe en n partics, et joignons les points de
division de 1 ä 1, de a en a, de & en 6, ... de n— 1 ä n— 1. Chacun
des nombres 1, a, *, ... (w — 1) 6tant premier avec n, on obtiendra
de la Sorte autant de polygones ä p^rimdtre continn, qu'il y a de
nombres entiers, inf^rieurs ä n et premiers avec lui.

Mais ees polygones sont deux ä deux de mSme esp^ce. Car le
polygone, qu'on obtient en joignant les points de division de p en
p, a j5 — 1 sommets d'uue part de chacun de ces cöt^s et n — p — 1
sommets du cöt^ oppos^; et le polygone qa*on obtient en joignant les
points de division de n — p ä n — p, a aussi n — p — 1 sommets d'une
part de chacun de ces c6t§s et par suite />— 1 sommets d'autre part;
donc ces deux polygones sont de meme esp^ce.

Or deux de ces polygones sont convexes; parsuite, si a exprime

combien il y a de nombres införieurs ä n et premiers avec lui, il

existera autant de polygones etoil^ a^^ant n cdt^s qn'il y a d'unit^s

a — 2 a
dans — g- =2 — ^*

On trouve ainsi qu'il y a 1 pentagone Atolle, 2 heptagones ^ilös,
1 octogone 6toil6, 2 enn^agones Steiles, 1 d^cagone ^toil6, etc.

§ IV. Les polygoies iimWh r^gdiers.

30. Consid^rons un polygone regulier de n cdt6s et de Tesp^ce
V\ ce polygone sera 6toil6 si p est premier avec n. Le cöt6 C de
ce polygone, exprim^ en valeur du rayon R du cercle circonscrit sera

^ W

C-= 2Äsin-;r.

n

Cette formule nous donnera les c6t6s des polygones r^guliers
6toü^8 de 5, 8, 10, 12, 16, 20 et 24 c6t^s.

31. Pentagone regulier ^toil6. Nous avons n «= 5 et p = 2;
il viendra donc pour la valeur du c6t6

2« /

C7 = 2Äsin -.- = 2iesin 72« = \R VlO+2 y 5

384 Dostor: Les pohfgone» rayonnfs et lex polygones /toiUs.

On trouvera ensuite la surface P de ce pentagone au raojen de la
formule (VI), qui donne

n cos 36" 4 co8*3b*'

cos^

ou

P=^R^VbO—22 yb

32. Octogrone r^grulier ^toiU. Puisque n = 8 et p = 3, on a

C= 2i28in-g- « 2Äco8g = /?V2+V2;
smg^ C08-Ö- ®"^ 8

cos ~pr ^^8 j

33. D^casrone regulier ^toil^. On a ici n»10, p = 3; parsnite
C = 2Ä8in^ = 2Äsm54« = iÄ(y5+ 1);

...„, ^^"1Ö*^''^1Ö ,„„, sinlgOcosM" ,^„, sinl8»8in36»
cos c •

ou

Appelons C^ et C^o les cöt^s du pentagone et du d6cagoue 6toil^«j
qui sont inscrits dans le meme cercle de rayon i^. Noüs avons

Donc le cöt6 du pentagone regulier etoil6 est Thypo-
t6nus^e d'un triangle rectangle, dont les deux cdtes de
rangle droit sont le rayon et le cöt^ du decagone r^ga-
Her Steile.

Si nou8 repr^sentons de memo par P^ et Pjo les surfaces de ces
deux polygones, nous aurons

.■ Les po/yjone« rayonnfs el Its polggonet floiUa.

de Sorte que /',„ = 2l\. Donc

La sarface du d^cagone regulier £totl6 est double de
la surface dii po^ntagoue regulier ^toil6.

§ V. liCs |i«I;g*B«s regillen umtcim 4'n ■•wkre fklr'tlc ti,\i%.

ä4. Tli^orJioe. L'aire d'un polygoae regulier convexe
d'nii nombrc pair de c6t^8 est egale au p^rim^tre du
Polygone regulier convexe d'un nombre do cöt6a deux
fois luoiudre et inscrit daas lo meine cercle, multiplie
par la nioitie du rayon do ce cercle.

Soit AB (fijr. 7) lo cöte du polyguDO regulier de 2ii cöt^s iuscrit
dans le cercle 0, Tirous les rayona AO et ItO et rocnons rapothßmo
OL La surface /' du cc polygone sera

MenoQB la corde AC perpciidieulaire sur le rayoD BO, qu'elle
coupe en D. Los dcux trianglcs rcctangles ABD et BIO 6tant
Bcmblables, nons avons l'^galite

AB _ An
BÖ~ oi '
qui donue

BO
AB X Ol = AD X BO =• AC X Y'

II vieudra par suitc

BO
J>^aACX^ •

oü 7iAC' est le p^rim^tre du polygone regulier iuscrit de n eät6s et
BO le rayon de ce cercle. Notre proposition se trouve donc d^-

35, Ce th^orfmc fouruit imm6diat«inent l'expresBion de
face des polygones rcgulicrs conveios de 6, 8, 10, 12, 16, 2(

cCt^s.

SnrAtce de rhexa^ne regulier. Nons avons n = 3 et
fiy3; par cODS^quent il vient

A = »Ä«V3.

386

Dostor: Les polygones rayonnis et Um polygonts HoiUs.

Sarfiiees de Toeto^one r6^ier. Posant n = 4 et AC===R^%
noas avons

Sarfoee du d^eagone r^^ulier. Poor n = 5, noas avons AC^
iÄVlO--2V5, de Sorte que

P,o = iÄ^VlO— 2y5.

^urfaee da dod^ea^ne r^^alier. Si n » 6, il viendra AC^R

et par snite

Pi, = aß«.

Polysrone r^gralier de 16 c^^t^s, n — 8 donne ^C=äV2— y2;

on a donc

Pjg = 4Ä2y2 — V2.

Polygone r^gralier de 20 e^U», Pour n =« 10, on a -4C«
^ÄCVö— 1), de Sorte que

Polygone r^^ler de 24 edt^s. Si n = 12, on aura AC^
y2 — yS; par suite il viendra

Pg^ « 6Ä5iy2— ys.

.- Btilrag nrr Theorie dtr VaUrdttenaiitanltn,

xxni.

Beitrag znr Theorie der ITDterdetemiiiitnteii.

1) Bokanntlich lässt sich jede Determiuante nten Grades in
Teilproducte zerlogeo, dereu jedes aus 2 lluterdeterminantea besteht,
wovon entere den Grad k und letztere {n — k) besitzt. Z. B.

,"11

"ij "ij «»* "is;

"Hl

a»i «M «« o«»| "11

"h

"13

1*1

<ht "i»|

<4.

"M «83 "M «aii ~ ;«w

"M

"»sl

"M "«•,

a«

"« «49 «u a«! <»8,

"st

"«1

«iS "»S

"Sl

Obj <H» «M "Hil

i"n

+ 1"«

'«öl

»1»

3

■fcä-i:

«3« »SS|

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"M

21.

, K* "ifii _!_ 1

"« <Hi

«3» <»»3]

_ |«M «»1

" Um "ssI

_ j"M «isl

388

Uoxa: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.

Führt man eine kürzere Bezeichnongsweise ein, nach Art jener,
deren 8ich Sylvester bedient, indem man die Indices in 2 Reihen
schreibt, oben die der Colonnen und unten die der Zeilen, so lautet
die frühere Formel

+

+,;

:i2 3 45i
1 2 3 4 5|

4 5
l2 5

45
14

jl 2 3
113 4

1 23

23 5

123
123

123
135

12 3,
2 45

4 5|
45!

j4 5

|2 4

14 5
113

+

+

123
124

123
145

11 2 3
3 45

;4 5;^;i23i

i3 51^.12 5:

4 5

|2 3|

14 5
12

123
^2 3 4

45;
3 4i

45
15

Hieraus ist das Bildungsgesetz der Partialproducte ersichtlich.

Die oberen Indices folgen in natürlicher Ordnung, die unteren
aber bilden Combinationen der Arten und (n — Ä:)ten Classe der Ele-
mente 1, 2, 3 ... n.

Die Anzahl sämmtlicher Teilpunkte ist

u)°(»-J"

Das Vorzeichen richtet sich nach der Anzahl der Inversionen
sämmtlicher unteren Indices, dieselben als eine Complexion betrachtet

Diese, wie allgemein bekannt, von Laplace herrührende Est-
Wickelung, lässt sich jedoch verallgemeinern, indem man die oberen
Indices auf dieselbe Weise combinirt, wie die unteren.

Auch für das Vorzeichen jedes Teilproductes lässt sich eine all-
gemeinere Regel aufstellen, die auch dann gilt, >ivenu die oberen
Indices nicht in natürlicher Ordnung folgen. Unseres Wissens ist
eine solche Verallgemeinerung noch nicht versucht worden und daher
dürfte die nachfolgende Abhandlung als eine wesentliche Vervoll-
ständigung der Laplace'schen Zerlegungsformel günstige Au^bme
erwarten.

2) Es sei eine Determinante nten Grades

^n

Ojl

«IH

«Hl

a>m

123 ... nl
123 .*.. n'

(1)

Betrachten wir ein beliebiges Element apq^ welches in der /)ten
Zeile und ^ten Colonne liegt.

Entwickelt man dn nach Elementen der 2>ten Zeile oder gten
Colonne, so erhält man bekanntlich

Hozai Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten, , 389

j^ = 2:(— i)p+9.öpy.^f„_i. (2)

Hier bedeutet z/h-i jene Unterdeterminante erster Ordnung und
(« — l)ten Grades, welche entsteht, wenn in dn sowohl die /»te Zeile
als auch <jrte Colonne weggelassen wird. Das Summenzeichen S be-
zieht sieb auf Summanden, welche dadurch gebildet werden, dass einer
von den Indices pq constant ist, während der andere alle Werte von
1 bis n der Reihe nach durchläuft. Die Anzahl aller Summanden ist
daher n und ihre Vorzeichen werden durch ( — 1)p+« bestimmt, wobei
(p+tf) die Anzahl aller Zeilen und Colonnen bedeutet, welche man
durchschreiten müsste, um vom ersten Elemente a,, bis zum Ele-
mente apq zu gelangen, wozu aber auch die Zeilen und Colonnen zu
rechnen sind, in denen o^ und opq liegen.

3) Auf ähnliche Weise lässt sich auch dn-i entwickeln. Zu
diesem Zwecke wählen wir uns aus dn ein beliebiges Element a«
heraus , welches mit apq weder in der nämlichen Zeile noch Colonne
liegt und 'bestimmen, in der wievielten Zeile und Colonne von dn-i
dieses Element erscheint. Wäre /) >> r, so hätte die Weglassung der
pten Zeile auf die Anzahl der Zeilen, welche in dn-\ zwischen dem
ersten Elemente und an liegen, keinen Einfluss. Wäre jedoch /> <C ^.
80 stünde in dn-i das Element ar$ in der (r — l)ten Zeile, weil
zwischen der ersten und rten Zeile eine weggelassen wurde. Dasselbe
gilt bezüglich der Colonnen. Hieraus ist ersichtlich, dass wenn die
Indices pr eine Folge bilden, d. h. in natürlicher Ordnung folgen,
die Anzahl der Zeilen um 1 vermindert werden muss und wenn die
Indices qs eine Folge bilden, dass die Anzahl der Colonnen um 1
vermindert werden muss. Bezeichnet daher a die Anzahl der Folgen ^
in den Complexionen pr und qs^ so muss

z/„_i = 2:(— l)*-+»-«.ar,.^/H-2. (3)

Hier bedeutet ii/H-2 jene ünterdeterminante 2ter Ordnung und
(n — 2)ten Grades, welche aus dn—i entsteht, wenn man jene Zeilen
und Colonnen weglässt, in denen das Element an vorkommt. Auch
kann man /Ih-2 unmittelbar aus dn erhalten, wenn man jene Zeilen
und Colonnen weglässt, welche durch die Elemente opq und fira gehen.

4) Nun sind wir auch im Stande die Fri^e zu beantworten:
Welches ist die Summe aller Glieder einer vollständig entwickelten
Determinante dn^ in denen zwei beliebige Elemente opq und ort als
Factoren vorkommen ? Die verlangte Summe folgt aus den Formeln
(2) und (3) und hat den Wert

^ = {—l)^.apq.ars,Jn-2^ (4)

wo

m '^ p-^-q-^T-^-B — ct.

390 ' Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.

So z. B. ist in der DetcrmiDaute

' «11 • • • ^5

®51 • • • ^h '

die Snmme jener Glieder, welche die Elemente a^^a^ enthalten, gleich

(-1)"«52«46

«11 «13 «14

«n «w ««4

«51 «5S «54

oder die Somrae jener Glieder, welche 033051 enthalten, gleich

j «1« «14 «15 I
(—1)" 03305, Ogg 024 ajjj.

I «41 «44 «45 1

5) Eine weitere Frage wäre, wie viele solche Sommen S^ über-
haupt aus Jh möglich sind. Gewiss so viele, als Producte ap^.an
so gebildet werden können, dass p verschieden sei von r und q von t.
Hierbei kann p mit q sowie r mit s auch gleich sein. Die Indices
pr und qs bilden daher Combinationen der Elemente 1, 2, 3, ... «
zur 2ten Classc. Da jede solche Combination sowohl für pralsaach
qs gesetzt werden kann und weil es erlaubt ist, sämmtliehe Combi-
nationen, die an Stelle von pr oder qs stehen, umzukehren (zu variireD),

so ist die Anzahl aller möglichen Producte upq.ors gleich ^(ol •

Entwickelt man die Determinante ^/h— 2, so erhält man (n— 2)1
Glieder, welche* mit opq.ars multiplicirt und den entsprechenden Vor-
zeichen versehen, die Summe S2 geben. Solcher Summen sind aber

2(0) , folglich entsprechen sie

2(;y.{n-2)! = Q.„!

Gliedern der ursprünglichen Determinante Jn^ Hieraus ist ersichtlich,
dass wir auf diese Weise ( „ ) mal mehr Glieder erhalten , als durch

unmittelbare Entwickelung von Jn. Wählen wir eine beliebige Com-
bination pr aus, behalten dieselbe constant und lassen qs aUe mög-
lichen Variationen durchlaufen, so erhalten wir 2(2) Werte ftr^
und hiermit zusammen

(;).(n-2)I

n!

Boza: Btitrag tur Thtorit Her UnterdtlerninaiiUn, 391

TOD einander verBchiedcno Glieder der DeterniiDante jin, die also
znsammeD /*« geben müsBon. Dataer lOsst sich */« in TeUproductc
von der Form ^ zerlegen. Nan könnea aber die constanteu ludicos,

seieo es pr oder 17«, auf („j verschiedene Arten gebildet werden,

folglich sind („] verschiedene Entwicklungen von ^h in Teilproducte
Sf möglich. Endlich können wir noch bemerken, dasa die Summe
aller S^ jedes Glied von Jh (oltnal enthalten rouss.

6) Betrachten wir pr als conslant, so werden je zwei Werte von
S2 sich bloss dnrch die Ordnung der Indices q» also hioas durch das
Vorzeichen unterscheiden nnd können vereinigt werden, wodurch die
Summe

T, - (-1)- 1.^ 2 [. A-. - (-1)-| « ;|. A-. (6)

entsteht. Dasselbe gilt, wenn qa als coustant angeschen werden.
Solcher Summen 7*, gibt es daher f„] , von denen \V\ genügen, um
alle Glieder der Determinante /i^ zu bilden. Es lOsst sich also <4n
\ Arten in Teilprodncte von der Form T^ zerlegen, indem

'0'

1 die constaDton lodic«», seien es pr odor qs, aus den Eiomentcn
1. 2, 3, ... n combioirt nod jede solche CombinatioB mit allen Com-

binatioson derselben Elemente der Reihe nach zn ! vereinigt.

Z. B. ''

•^iSl, |l 3l 12 41 !l3|

:2 4; |13|_|3 4] '12|
^"i24Ml3l I24I I13!'

I12 3 4|_il2| 1341 1131 12 41. [141 2"
|l234|~;23| [141 |23ni4|+t23| 1

1141 12 3| |l 41^^12 31 ,1

+ 11

I12 3 4l_j23| |14]_|23| illlij^Sj 11

|l 2 3 4! ~~ |1 2I ^3 4! |l 3! !2 4! + |1 4! ■ I2

|23| |14|_^23l MI , ;23l jl

+ I23I I14I 24! |l3'^^:3 4ni

392 Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.

Solcher Entwicklungen sind (9) = ^ möglich. Aus diesem Beispiele

ist ersichtlich, wie praktisch unsere Regel für das Vorzeichen jede«
Toilproductes ist, indem dasselbe bloss aus den Indices der ersU^n
üntcrdeterminante folgt. Auch muss bemerkt werden, dass dieses
Vorzeichen auch aus der zweiten Unterdeterminante auf gleiche Weise
folgen würde, wie später allgemein nachgewiesen werden soll.

7) Beschränken wir uns bei der Entwicklung der Determinante
^n bloss auf solche Arten der Entwicklung, bei denen die Indices pr
und qs in natürlicher Ordnung folgen , so wird immer a == 2 sein
und setzen wir

80 muss

''\.^fn-2. (6)

Aus dieser Formel ersieht man, dass das Vorzeichen jedes Teil-

productes bloss von der Summe i^ der Indices der Determinante j ^ :
abhängt.

8) Kehren wir nun zur Formel (4) zurück und versuchen die
Unterdeterminante -^«-2 zu zerlegen. Diese Determinante entsteht
bekanntlich dadufch, dass man in Jh jene Zeilen und Colonnen weg-
lässt, in denen die Elemente apq und ara vorkommen. Es sei nnn
atu ein beliebiges Element von ^/», jedoch so gewählt, dass es mit
keinem der beiden Elemente apq^ ara in einer Reihe liegt.

Um //fi_2 nach der P^rmel (2) zerlegen zu können, ist es not-
wendig zu wissen, in der wievielten Zeile und Colonne von Jn-2 das
Element atu vorkommt. Wäre p^r^t und (Z>*>w, d.h.
bildeten die Comploxionen jyrt und qsu keine Folgen, so hätte das
Weglassen der pien und rtcn Zeile, sowie der qten und »ten Colonne
keinen Einfluss auf die Position dos Elementes at«. Wenn jedoch
diese Complexionen auch Folgen enthalten, so entspricht jeder solchen
Folge, die bezüglich der letzten Indices t oder u stattfindet, eine
Verminderung der Anzahl der Zeilen oder Colonnen um 1. Wenn
z. B. jp <C i wäre, so würde zwischen der ersten und tteu Zeile die
pte Zeile fehlen. Dasselbe kann man von den Colonnen sagen.
Bezeichnen wir daher mit ß die Anzahl der Folgen in den Com-
plexionen prt und qsu bezüglich der letzten Elemente t und w, so
stellt t-^-u — ß die Anzahl der Zeilen und Colonnen der üntetdeter-
minante Jn~2 dar, welche vom ersten Elemente an bis zum beliebigen
atu vorhanden sind. Daher kann nach der Formel (2)

Jn-2 = £ (-1)'+'«-/' . atu . ^H-3 (7)

floiai Btitrag Tur ITitoTit tUr UnUrAltrminantm, 39S

gesetzt werden, wobei d^-a jene Unterdetermioante 3ter Ordnnng
und ('I — 3)teD Grades bcdeatet, welche aus ^«-g entsteht, wcnü man
jene Reihen weglässt. in denen atu vorkommt, ^.,-s kann auch un-
mittelbar aus /fn duri;h Weglassang jener Reiben, in denen opf, cr,
und a,u vorlionimen, gebildet werden. Das Sunimcnzeicbon £ bezieht
sich auf solche Summanden, welche entstehen, wenn einer von den
Indiccs iH constant ist uad der andere alle Werte mit AaEnahme der
glcicfanamigeu Indiccs in a^ und an nacheinander annimmt. Wenn
z. B. t coustant ist, so kann u alle Werte von 1 bis n mit Ausnahme
von q und i annehmen. Jedenfalls enthält also die Summe £ hier
immer (n — 2) Summanden.

9) Bezeichnen «„, a,„ aj„ drei beliebige vcrBchicdencn Zeilen
und Colonncn angehörige Elemente der Determinante Jn, so ist die
Frage, welches die Summe jener Glieder dieser voUstÄndig entwickel-
ten Beterminauto ist, in denen alle drei Elemente als Factoren vor-
kommen. Aus der Vereinigung der Formeln ('S), (3) und (7) folgt
die verlangte Summe

Si — (— !)•'•-'■• ap,ar.a,n^n~3, (8)

weuD

i,-p + q + ' + - + ' + '
und

h - «+?.
«3 bedeutet also die Summe der Indiccs der j.'(|jcbeneu Elemente nnd
)>3 die Anzahl säniutlicher Polgen in den Conipluxionen prt und q»u.

So z. B. wäre die Summe jener Glieder dcr^ Determinante

darzustellen, in denen die Elemente a^a^og^ als Factoren vorkommen.
Die Summe

und

ls = 4,

folglich ist

Auf gleiche Weise erhielten wir die Summe jener
die Elemente an<Hi'*bA vorkommen:

394 Hoza: Beitrag zur llitorit der UnterdetermÜMuUeA.

10) Fragen wir nach der Anzahl aller Sommen S^ liinsichtlich
der Detenninante Jn^ so ist leicht einzusehen, dass dieselbe gleich
ist der Anzahl aller möglichen Producte o^.aTs.atn. Da die Anzabi
der Combinationen von n Elementen 1, 2, 3, ... n zur 3t^i Qasse

gleich istf«) und jede solche Combination sowohl for die Indices

prt als auch qau gesetzt werden kann, und weil entweder die erstei
oder die zweiten Indices nebstdem auch permutirt (Yanirt) wefdei

können, so erreicht die gesuchte Anzahl die Höhe 31 (^| -

Entwickelt man ^/«-s, so erhält man (» — 3)1 Glie^ier, daher
repräsentirt jedes Sj im Ganzen (n — 3)1 verschiedene Glieder von
/in und sämmtliche S^ enthalten also

3!(;)V-3)! = (J)„:

Glieder aus der Determinante /In- Da letztere bloss h! Glieder ab-
hält, so müssen, wie später bewiesen werden wird, auf diese Wei«

immer (o) gleiche Glieder zum Vorschein kommen. Es ist hicrai

der Schluss nahegelegt, die Determinante Jn lasse sich auf ( ^ ) Art£i
in Teilproducte von der Form S^ zerlegen.

11) Nehmen wir an, die Indices pH und q^i, folgen in natöiü^b^r
Ordnung, so muss sein

und ^

S^ = ( 1 )*« . ap^ Ort atm dn -3- \ ?

Permutirt man entweder prt oder qi^n und zwar durch successi^f
Vertauschung, so ändert sich bei jedesmaliger Vertauschung zwekr
Indices die Anzahl der Folgen um eine ungerade Zahl, folgbch ent-
spricht jeder Vertauschung eine Veränderung des Vorzeichens.

Vereinigt man aber sämmtliche so erhaltenen Producte S,, »
erhält man

öpf fl^ OpM

T3 = ( 1)'» arg CLrt dm ^n-%

atq au atm

.CSU

= (-1)'. * , Jn-i. u-:-

prt
T, repräsentirt die Summe von 3 ! Producten von der Form S^ Die
Anzahl Mer möglichen T, ist daher (o) -

Hma: BeHrag xur Theorie der UnlerdtteriHinaalen. 3P5

Weil nun ^»-s boi vollständiger Entwickctnng (ii — 3)'. Glieder
enthält, Bo kommen in T^ im Ganzen 3!(n — 3)! vorscbicdone Glieder
von d„ vor, und weit

'(s)

80 genügen („j solche Teilproducte T^ zur vollständigen Entwicke-
Inng von Jn- Folglich mnsB sein

/f„ = Z{-l)-.|«''^"|^„_8 (U)

wo das SnmmenKCichen S sich auf Summanden bezieht, welche eut-
Btoben, wenn eine Zeile der ludices, entweder qm oder pH, constaut
ist, während die andere alle Combimitionen der StenClasse der Ele-
mente 1, 2, 3 ... » der Keihe nach dnrchl&nft.

Da nun die constanten lodices auf („) Arten aus den Elementen
1, 2, 3 ... n combinirt werden können, so stellt die Formel (II) im
Ganzen l.,| verschiedene Entwicklungsarten von ^h dar, d. b. Jn

lässt sich auf („| Arten in Teilproducte von Unterdeterminanten
3tcr und (n— 3)ter Claase zerlegen.
So ist z. B.

I123 45|_j2 3 5i ]! 41 12 3 5 14: |2 3 5j 114:

|l 2 3 45j~|l 2 3t'.4 5! 12 4!' 35|"*"|1 2 5| ' Is 4!

■235' [14;_j235l ■14' 2351 14! ^SSI 1 41

"'"il3 4! ■ i2 5[ |l3 5|':2 4| + ;14 5!\2:(| ,2 3 4:'|l5!

+

|2 3 51 [14i_|2 3 5| ,1 4: 2 3 5 141
l235|'ll4' |24ör :i 3i"'",345 ' 1 2!"

Diese Entwicklung enthält („) = 10 Teilproducte und könnte

auf 10 verschiedene Arten gesch
Zeichens ans der Summe der Ind
fttr die praktische Berechnung gec
angefahrten Beispiele, dass das V
der Indiues des zweiten Factors je
Summe sämmtticher Indices ist stet
die Summen m den Factoren zugle
Zahlen sein.

12) Durch fortgesetzte Zerlegu

396 Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten,

z/h-3 =- ^(— l)*+*-y.a«.^/H-4. (12)

Hier bedeutet orx ein beliebiges Element der Determinante Juj jedoch
darf dasselbe mit keinem der Elemente opq, ar$^ af„, denen eben ^»,-3
entspricht, in derselben Eeihe liegen, //n-4 ist jene Unterdetermi-
nante 4ter Ordnung und (n — 4)ten Grades, welche aus ^n durch
Weglassung der^^ten, rten, <tcn und t'ten Zeile nebst der gten, «ten,
Uten und ac ten Colonne entsteht, y bedeutet die Anzahl Folgen in
den Complexionen prtv und qsux bezüglich der letzten Elemente v
und X. Das Summenzeichen £ bezieht sich auf Summanden, welche
entstehen, wenn einer von den Indices t\x constant ist, während der
andere alle Werte von 1 bis », mit Ausnahme der entsprechenden
Indices von oy^, ar» und afn, der Reihe nach annimmt Wäre z. B.
V constant, so würde x die Werte 1, 2, 3, ... n mit Ausnahme von
9, «, u annehmen.

13) Wählen wir uns aus den Elementen von Jn vier beliebige
jedoch verschiedenen Zeilen und Golounen angehörige Elemente o^,,
ors^ atu und avx aus, so muss die Summe jener Glieder von dn^ welche
dieselben als Factoren enthalten, durch

S^ «= ( — 1)^« -^* . opq an atu (hx ^/«-4 (13)

dargestellt werden, wobei •

und ^4 = a + /3+y.

li bedeutet die Anzahl sämmtUicher Folgen in den Compensionen

prtv und q9ux.

So ist z. B. für die Determinante

ajj ... Ojg

• • • •

^1 • • • ^

die Summe jener Glieder, in denen die Elemente 0,5, 043, o,, nnd
a^^ als Factoren vorkommen:

Si =• (— 1)^«26<»43«17^62

<*81 «84 ^ ^

*öl ^U ^ ^56

«71 «74 «76 «78 i

«81 «84 «86 «S8 I

14) Wie gross ist die Anzahl aller möglichen Producte 5^? Sie
beträgt, wie leicht zu erweisen

' ©•■

Da ^^—A ans (n — 4)! Gliedern besteht, so ropiiUcnÜreD alle ä« tm
Ganzen

'©•<.-)-(:) •

Glieder der entwickelten Detonninantc ^/n. Weil aber J« bloss n1
Glieder enthält, so werden je I . j glciclie Glieder vorkommen, woraus

man schon schliessen künute, dass J„ auf 1,1 Arten in Toilproductn
von der Form S^ zerlegt werden kann. Nehmen wir an, die Indicoi
■pTtv und qsux folgen in natürlicher Ordnung auf einander. Dun litt
^4 jedenfalls eine gerade Zahl und in Folge dessen wird

S4 = (— l)-.ap,Or.a,„«„^„-.*. (14)

15) Onrch blosse Permntation der ernten oder zweiten Indiw«
ändert aber S^ bei jedesmaliger Vertanschnng ;'.woicr Indices das Vor-
zeichen. Folglich mQsscs alle auf diese Weise gebildeten M, die Sumtni:

geben. Da 4! Frodact« von der Form Ä* ein Prodaa von der Form
7*, geben, so ist die Anzahl aller 'l\ 9\^v\\ ( . j . Wiril Xktwx 1.-111
Teüprodoct r« entwickelt

4:(n-4)!
Glieder von ^n liefert and wi.-il

SO reicbt^D ( .1 ^Iche T';iJi*r'*'!ut«! 1\ hiu, am »Jl»- *ili<akr VKü 4u
za bildt^iL F<jl^]i'h mii>* b'.-iu

wo das 6un»eiiwi';ti^4 ^' m-Jli auf buuiiuuidun \
stehe«, sevs »ämü 7/r'ixK d<^ Jii'i;i>« wiibi^iul itiL,
alle CoaböUitäoseii A^ 4t^ii (/iaM<^ df^- }:I>^Ui>4i

Reihe maA durtilliiilt. iurt ,iiimJ im ( ^ ). d J
aOtig HL Im di^ '.uuednutuu Judi'->«% auf ^.1

398 Hoza: Beitrag zmr Theorie der ümterdetermimuiUn.

combinirt werden können, so sind ( . | Terschiedene Entwiddnngoi
nach (16) möglich.
Z. B.

1234567_1234 Ö67_1235 467;
1234567""346 712 5, .3 46712 51

;123 6 45 7'_:123 7 45 6
+ ,34 6 7 |1 2 5. 13 4 6 7. 12 5,

+ . . . .
Die Anzahl aller Teilprodncte ist

Q - Q -

nnd anf ebensoviel Arten könnte die Zerlegung geschehen.

Das Vorzeichen jedes Teilproductes folgt sowohl aus den ludices
des ersten als auch aus denen des zweiten Factors, denn die Sammen
dieser Indices müssen in beiden Factoren zugleich entweder gerade
oder ungerade Zahlcti sein.

16) Wenn wir auf diese Weise in der Zerlegung fortfahren würden,
kämen wir zu folgenden allgemein gütigen Resultaten:

a) Die Summe jener Glieder der .entwickelten Determinante nten
Grades ^x, welche k beliebige aus verschiedenen Zeilen und Colonneo
genommene Elemente

^P7i ^'ÄJ ^/m? • • • ^HE

als Factoren enthalten, ist

Sk = (—1) *" ^.apqanatM ... aj^z.^»-* (17)

wobei

Ajk bedeutet die Anzahl aller Folgen, welche in den Complexionea
prt .., y und qm .., z stattfinden.

Jn-'k ist jene Unterdeterminante ^ter Ordnung und («— Xr)ten
Grades, welche aus ^h entsteht, wenn man jene Zeilen und Colonnen
weglässt, in denen die Elemente op,, ch-a, at« ... ayg vorkommen.

b) Die Anzahl aller möglichen Summen Sk beträgt ^M « ) •

c) Alle diese Summen Sk enthalten im Ganzen

Hoza: Beitrag zur Theorie der ünterdeterminanten. 399

Glieder der entwickelten Determinante Jn, also (,| mal mehr, als in
^H vorkommen.

d) Wenn die Indices prt ... y und qsu ... z in natürlicher Ordnung
aufeinander folgen, so bedeutet ku stets eine gerade Zahl und

Sk =» (—ly^.apqürsatH ... ayE^n-k (18)

e) Lässt man die einen Indices constant und permutirt die an-
dern, so entspricht jeder Vertauschung zweier Indices eine Aenderung
des Vorzeichens, und vereinigt man alle so erhaltenen Werte von 5»,
so entsteht

7> = (_1)'*|«'"--;N„_» (19)

prt . . . y \

f) Die Anzahl aller möglichen y\ ist ( , j , weil k\ Summanden
von der Form Sn zu einer Summe 71t vereinigt werden.

g) Zur vollständigen Entwicklung der Determinante dn gentigen
L j Teilproducte von der Form 2\, weil

h) Folglich muss sein

wobei Z eine Summe von ( , | Summanden darstellt, die gebildet

werden, wenn eine Zeile der Indices constant ist, während die andere
alle Combinationen A;terCIasse der Elemente 1, 2, 3 ... n durchläuft.

i) Weil die constanten Indices auf (, J verschiedene Arten com-

binirt werden können, so gibt es nach obiger Formel ( , ) verschie-
dene mögliche Entwicklungen.

qsu ... 2

k) Da der erste Factor
Grades ist, so kann

eine Unterdeterminante ifcten
prt . . . y \

400 Hoxa: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.

Jn^ S{-lp^ik^in~k (21)

gesetzt werden, wo ^k eine beliebige Unterdeterminante Ä;ten Grades
und ^/n-Jt die adjuncte Unterdeterminante (n — Ät)ten Grades bedeutet,
welche aus Jn entsteht, indem man jene Reihen weglässt, die in /Si
erscheinen. ** bedeutet die Summe der Indircs von Jk^

1) Weil aber die Ordnung beider Factoren umgekehrt werden
kann , so kann man unter ih auch die Summe der Indices von z/„-i
verstehen. Das Vorzeichen jedes Teilproductes resultirt also sowohl
aus dem ersten, als auch aus dem zweiten Factor des Teilproductes,
was auch aus dem Grunde folgt, dass die Summen der Indices beider
Factoren zugleich gerade oder ungerade Zahlen sein müssen, weil die
Summe aller Indices stets eine gerade Zahl ist.

17) Um also eine Determinante ?4ten Grades in Teilproducte aus
je einer ünterdeterminantc Ä;ten und einer (n — Ar)ten Grades zu zer-
legen, bilde man aus den Indices 1, 2, 3... 7* eine beliebige Com-
bination Ä;ter Classc. Diese setze man entweder als erste oder zweite
Indices der ünterdeterminaute ^*ten Grades und behalte sie coustant
in allen Teilproducton.

Die constautcn Indices der Ünterdeterminantc (w — /:)ten Grades
erhält man, wenn man alle Indices, die in der früheren CombiBation
nicht vorkommen, in natürlicher Ordnung in dieselbe Zeile des zweiten
Factors setzt.

Die variablen Indices des ersten Factors bilden alle Combiuationen
Ärter Classe sämmtlicher Indices. Die variablen Indices des zweiten
Factors enthalten immer alle übrigen Indices, die in der ersten Com-
bination nicht vorkommen, in der natürlichen Ordnung.

Das Vorzeichen jedes Teilproductes ist + oder — , jcnachdem
die Summe sämmtlicher Indices eines der beiden Factoren eine ge-
rade oder ungerade Zahl ist.

Hoza: Ueber ünterdeterminanten einer adjungirten Determinante. 401

XXIV.
Ueber Unterdetermliumteii einer adjangirten Determlnaiite.

Von

F. Hoza.

Der folgende Satz warde ursprünglich von Jacobi gefunden aber
von Borchardt allgemein bewiesen *). Ich erlaube mir diesen Beweis
auf eine Art zu reproduciren, die, meiner Ansicht nach, Anfängern
besser entsprechen dürfte.

Satz. Jede Unterdeterminante ^r des rten Grades einer ad-
jungirten Determinante ^' ist gleich der (r — l)ten Potenz der ur-
sprüngUchen Determinante d multiplicirt mit jener Unterdeterminante
dn^f derselben, welche bei deren Entwickelung als Coefficient der
Unterdeterminante rten Grades dr auftritt

Beweis. Es sei gegeben die Determinante

J =

«11 •

. . a^n

* .

. •

fl«l .

• • <h^n

und ihre adjungirte

d'

^Hi • • • ^wi»

wo

Aki

Bilden wir aus d und d' Unterdeterminanten rten Grades, in-
dem wir r beliebige Zeilen />|, p^ ... pr und Colonnen 9,, q^ ... qr
auswählen, so erhalten wir

*) Siehe Baltser, Determinanten, 1875, S. 58. Vergleiche aocb Qfin
ther, Determinantentheorie, 1875, 8. 77.

TeU UX. 26

402 ^^ * <* • U^^^ Unterd^terminanien einer adjungirten Determinante

dr

und

^r'

ip,j, -«Pifft

^Ptfi -^f ««t

• • • -^Pil

« • . ^

9%^f

^Pf<li -^y«* • • • "^Pf^r

Nach dem Laplaceschen DetermiDantensatze ist nun

^'r

-^•«i ••• -^/»»«y

I

^f^«i ••• -^yff,

0 ... 0
0 ... 0

ni

0 ... 0

Ap^l ... Äp^{q^^i)Ap^{q^^\) ... Ap^n

n

-4p^i ... -4^/?j-i)-4p^(gjfi) .., A

V

1 ...
0 1 ...

0
0

0
0

0
0

IV

0

0

0

Die mit I bezeichnete Abteilung enthält die Elemente von ^r
in r Zeilen und Colonneh ; II enthält die in diesen r Zeilen fehlenden
Elemente von /i* in natürlicher Ordnung udd besteht daher bloss aus
(n—r) Colonnen; III enthält in (n^r) Zeilen und r Colouuen lauter
Nullen, und IV besteht aus (n^r) Zeilen und ebenso viel Colonnen
von Nullen, bloss die Diagonale dieser Abteilung enthält lauter Ein-
heiten.

±/f =

^Plu

...a|»,9^

«P,l

...aj,,(,,-i)

«Pi(y-»i) -«fi»«

I

II

^p/i%

— «i»y?y

"V

...Op^(9,-l)

«Pr<«+^> •

..öp^f.

«Hl

• * *

...«19^

• • •

#

«11

•••«t(«i-i)

«i(«i+i)

..ain

m

IV

ö(P»~i)«

»"•«d»,-

•"r

Ö(P.-

-l;l...a(p,-l)(^j.

-1)0<P.-1)(«. + 1)-«'P,-1)«

«(p.+i)ff

,...a(p,4

')«r

«(P.

M)i-a(Pifi)(g,-

-i)«(Pi|i)(ffi+i)-

•.fl(F,+l)»

o»,^,

•flflff^

«Ml

.ö«i(g, 1) an(q^\h —öiw«

Hoza: Utb. da» MuUiplicationstheorem zweier Dtterm. nleit Grades, 403

Die Abteilung I enthält die Elemente von Jr und IV di6 Ele-
mente der a4jungirten Unterdeterm'mante Jn-r. Die Anzahl der Zeilen
and Colonnen jeder Abteilung stimmt mit der Anzahl in der gleich-
namigen Abteilung von dr überein.

Durch Multiplication der beiden Determinanten J/ und ± J er-
hält man, indem man jede Zeile der letzteren successive mit allen
Zeilen der ersteren multiplicirt:

±^^^/r'

d 0

...0

«p.l

ap,2

. . . Op^H

0 J

...0

Op.l

«P,2

. • . ^IpftM

m •

00

• •

... J

• •

• •

«P,2

• • •

... Op^n

00

... 0

«11

«IS

. . . aiH

00

... 0

«11

«M

. . . 02h

• •

00

• •

... 0

• •

• ■

an2

. ■ •

. . . Ahm

und

Nach dem Laplaceschen Determinantensatze muss daher sein
Königgräz am 8. Mai 1876.

XXV.

Ueber das Haltlplicatlonstheorem zweier Detertuinanten

fiten Grades.

Von
F. Hoxa.

Wenn man 2 Determinanten nten Grades

a^i . . . a\n

Oj Oj 03 ... On

fl«l . . . Ö«M

1 2 3 ... n

J6*

[■■ . ■,,..-.... -I

. '^ wieder eine Determinwile

M" .■:--^

"' -' .- ', ^ ] 2 3...« 1'
j.^, , ^ t verscbiedene Arten gebildet

'*' ""■ ,' ',' .«rdio erste Art, da die abrigen «ns

'" „ -.vaibmitorischeo Wege damitDii. <1M<

,-■.,■«-11 Elem.tite der Deti^nniniiite vT, 90

««.^**, . _«.i:. _ »„J.1 — •rf'«.— _ —«t.

„/;,+'■•■"' "^■' '" "~"" '"^

^^j ,ii,(j-t » ». o.oiava. wctvB fcier nar die «««
* ,^tY if*«*** »-i.".aitf BIT eiK «r Te-;I,i:*\-i»r«

**r Determinanten nten Grades

405

enthält in ihren Colonnen gemeinschaftliche
;ran8heben kann, wodurch man erhält

• = *!*, *»*, . . . bnk

«1». «1».

. . . Oj*

««»*««*t

... Og»

(Hik.OfA^

. . . Onk

ak, o», .

••«»

1 2 .

. . n

= Ä^k, Äjjk^ . . . bnk.

Die Indices k^k^ ...kn sind Variationen nter Classe, mit belie-
jigcr Wiederholung, 1, 2, ... n.

Die Anzahl solcher Variationen ist n**, folglich muss ^" aus n**
Teildcterminanten von der Form Jk bestehen.

Unter den Variationen (k-^k^ ... kn) sind erstens solche, in denen
sich kein Element wiederholt. Das sind blosse Pcrmntationcu und
ihre Anzahl beträgt n!

Jede solche Permntation kann aus der ursprünglichen Complexion

1, 2, 3, ... n

durch successive Vertauschung von zwei Elementen gebildet werden.

Der ersten Complexion entspricht die Determinante

Vertauscht man g mit A, so erhält man

^1^2 ... 0>g ... €ih ••• <Zn

12...^ ... h .. n

^kg = ^11^28 ••• bgh ..• ^kg ... On»

12...^ ... h ... n

== — öji Öy2 ... 0^4 ... ÖA^ ... ^MH

12...^ ... h ... n

— *11 *^ .•• *^A ... Ohg ... öftn« «.

Jeder Vertauschung entspricht also bloss eine Veränderung des
Vorzeichens des Productes h^k^b^^ ... bnk .

Addirt man nu^ alle so erhaltenen Teildeterminanten , so kann
man J als gemeinschaftlichen Factor herausheben und bekommt zur
Summe der andern Factoren die Determinante z/'.

Folglich wird die Summe jener dk, die durch blosse Permutation
entstehen, durch

406 Hoza Uth. das Multtplicationstheorem zweier JJeterm, nten Grades»

dargestellt werden.

dk'^J,J'

Zweitens betrachten wir solche Teildeterminanten ^t, welche den
tlbrigen Variationen {k^k^ ... kn) entsprechen. In jeder solchen
Variation sind wenigstens 2 gleiche Elemente

und die entsprechende Teildeterminante

^kX «» ^ik,*2», ... *», ... *m* . . buk

ak^ ojk« ... au. ... ak *.• ak
1 2 ... f ... m ... 11

Sei nun
so muss sein

Jede Determinante von der Form

ak^ air, ... a», ... ak . . . o»
1 2 ... Z ... tn ... n

enthält aber 2 gleiche Colonnen, welche den Elementen a«^ nnd o«^
entsprechen, folglich ist dieselbe = 0 nnd

somit auch
woraus folgt, däss

^r' = 0,

Königgräz am 7. Mai 1876.

*) Siehe Salroon-Fiodlcr, Vorle6nngen zor Einführang in die Algebr«
der linearen Transforni. Leiptig 1S63, S. IS.

und GanthcTf Lehrbuch der Dcterminantentheoric, Erlangen 1S7 5, S. 61.

Hoppe: BtUp, d. Destimm, einer fläche nvt d. Indicatrix d. Normale. 407

XXVI.

Beispiel der Bestimmniig einer Fläche aus der Indicatrix

der Normale.

Von

B. Hoppe,

Die Richtungscosinus />, g, r der Normale einer gesachten Fläche
seien in Parametern der Krümmnngslinien u, v bestimmt durch

i>±g-y(iT^)a±t'); r = V

UV

Die Werte von p, g, r als Coordinaten eines mit u, v variirenden
Pankts gedacht, stellen auf der Kngelfläche

p'+a'+r' =^ 1
ein orthogonales Curvensystem dar; denn erstlich ist

und ferner findet man:

du Sv — *' dudv^^

woraus:

Sind diese beiden Bedingungen erfüllt, so werden nach N. XVII. §. 25.
die Hauptkrttmmungsradien der gesuchten Fläche p^, ^2 <i<urch die
Gleichungen bestimmt:

408 Hoppe: Beiüpitl der Bestimmung einer Fläche

wo

gesetzt ist, und nach Integration der Ol. (1) ist die Fläche dargestellt
durch

X

-y(*»i^+*»i^)

nebst analogen Aasdrücken für y^ s.

Im vorliegenden Falle findet man die Werte:

1 uA-v « 1 tt-4-»

woraas:

und die Gl. (1) (2) lauten:

^1 4_ i_J_ ^Pi I ._J_ 3^1 _ o /q\

P2='P,+2(n + r)|^^ (4)

Der Gl. (3) kann man durch homogene ganze Functionen jedes
Grades genügen. Um sie für solche Lösungen einzurichten, setzen wir

U --" VW

dann geht sie über in

Ihre Lösung hat die Form

g^^^nyy^^n ^^ (^ ^ ft^^^) (5)

wo TK, ir,, tr, Functionen von tp bezeichnen, und n eine positive
ganze Zahl oder 0 sein mag. Nach Einführung erhält man:

{ 2w iw+\) »r/'— [(2n — 5) M? + 2n — 1] tr, '— Znw^ \ (a-|- bw^)
+ {2u.(ir+l)(^+2^)-[(2n-5)w7 + 2n-l]}6trjfV=0

0

au* der Indicatrix der Normale. 409

also znr saccessiven Bestimmfing von trj nnd tr^:

*
2w (w + 1) tr^" = [(2n — 5) w + 2n — 1] w^'+ 3nii?, (6)

tr^ tr/ (2n~5)fr + 2>i-~l

IT,' "»" tTj "" 2tr(tr-|-l) ^'^

Da für a » 1, 6 » 0, TF und ir^ identisch werden, so mnss auch sein

2tr(w+l)Tr" — [(2n—5)»r+2n— IJPf' + SnTr
Gl. (7) giebt integrirt:

(

GL (6) wird erftUlt durch

•^^ =»fo(-i)*W» ZVT2) •"

ft=:N 1

= 2:(— 1)» (n)t er»— * /"(l —0*''* *"-*"*•* 8«

/V(u^+l)~l|-ftj/j~^^

WO (n)ft den ßinomialcoefficienten bezeichnet. Jeder solchen ganzen
Function nten Grades w^ entspricht dann ein logarithmisches Integral
tf^si AUS beiden setzt sich das entsprechende W zusammen, und hier-
aus geht durch Superposition der allgemeinste Ausdruck des ersten
Hauptkrömmnngsradius

Hrroo

Pi = X r," «'i (a 4- bw^) (8)

^ «=0

enthaltend zwei unendliche Reihen willkürlicher Constanten a, 6,
gleicbgeltend zwei willhttrlichen Functionen einer Yariabeln, hervor.

Um p2 zu finden, hat man erst die Gl. (4), welche fttr unabhängige

u, V gilt, auf unabhängige r, w zu rcducirea. Hierbei geht -S^ tiber in

dpj w dpj npi «; dpj

8» V dw V V dw

gültig für die homogene Speciallösung. Dem Werte (5) entspricht
daher

p,= (2nMr+2n + l)pi— 2M?(M^ + l)g^'

= »••{[(2nM7-f 2n+l)?f, — 2«r(ir+l)ir/] («+&i£»2) — 26w(iiH-l)«r|W,'}

410 Hoppe: Beispiel der Bestimmung einer Fläche

Berechnet man den Wert der mit a mvhaplidrten Klamme, die
mit w^ bezeichnen, so findet man:

iTj «= (2nw -)- 2n -|- 1) Wj — 2w (w -|- 1) tt^

y"/ 1UA ^ r(tH-i)r(»-t-H)
- £(-1)^ («)t j,^^^:^^ T«-*

kzzH 1

k=0 0

/V(u^+l)-l}-8<j/^

und der znm Werte (8) von p, gehörige Wert des zweiten Haupt-
krümmnngsradius ist

M=ao H=eo

#•=0 »•=0

wo die d, 6 in g^ mit den a, 6 in p^ identisch sind.

Die Coordinaten ergeben sich leicht, wenn man zu den unab-
hängigen v, te übergeht Hier wird

— ö(a5±y)== pi — ä;7~"^+p« — ä;; — ^^

=» piyr±v3yiT^+p2ViT^8Vi^

T

9i^^ — 92±(9i + Q2)v''^r, _, :i i/l + t'

at^-f iPit?ö«rl/~^

2VaTvic)(l±v) r 1-f «^

;=ol V(l + vw)(l±v) * r l+»»r)

Sei zur Abkürzung

^=/v^

v»*3u

^ l/(iT«'«')(i±«')
dann lautet das Integral:

Dass keine Function von te hierzu zu addiren bleibt, ergicbt die par-
tielle Differentiation nach w.

out der Indiralrix der Narmalt. 411

Znr Bestimmnng vod S. ergicbt sich die recarreDte Pormol:
»-«-n5«-l ±?^\«-l)&,-f (r. + l)«p&.+, -0

wo Q — Va^^'nr)H±v). Eliminirt manj^,-St ...Ä-1, so kommt:

Q±-^S^ «0 0 ... 0

"Q—So ±5'-^ 2«- 0 ... 0

Q -2 ±5^ 3» ... 0

v'Q 0 —3 ±7^ ... 0

»Q 0 (

>Q+«»Ä. 0 0 0 ... -(»-!) ±(27.-1)^'

und 2war ist

In glGichrr Weise crgiebt sich:

=".ä!^^'-^+-

DQd nach lotegration:

Da der Coel^cient vod Sip den Factor i'"+' hat, bo ii
dass znin Integral keine Function vod v biumtreteD kai

412

Hoppe: Beupiel der Bestimmung einer Flache

[

§. 3.

Die Fandamentalgrössen der im vorigen dargestellten Fläche und

«1

«t%\ ö = f = Ä,V,

und / <=» 0; F = 0. Geht man za den Parametern uj
ttber, wo die Functionsdeterminaute den Wert hat

ar, ©,

80 dass

du

Wx

du

da;

h
du

rt dv

dx
dv

rt

Bf,
dx

rt dv'

dv

rt du

f,dp
rt du

wird, 80 entsprechen den neuen Parametern die Fandamentalgrössen

'.-«®)'+'(ö'-(^)"i('^i)'+^sr!
-— ©■+<'0'-^.i'-(«.^)'+-(«-ä)i

woraus:

«1 ffi

8g\»

(!)■ ®)

dpY

(I)" ®)

aus der Indicatrix drr Normale. 413

Nun ist

^(Bpdq . dg dp\ _ 8(p+g) 8(p+g) , 8(p~g) 8(p--g) , ,_^
^y^hv'^duiv)'' du dv '^ Su dv —*-*-"

folgUch

«1 ^1
^1 ö^i

= 0

Die Differentialgleichung der Krümmangslinien für die Parameter ar, y,
in denen sie firflher aasschliesslich aufgestellt zu werden pflegte, lautet:

«1 /i

8x«—

9i «1

daher entspricht die hier dargestellte Fläche dem von Fuchs in
Crelle's Journal, Bd. 58. behandelten Falle, wo das Mittelglied der
Differentialgleichung null ist Er stellt die .Gleichung der Fläche
durch ein bestimmtes Integral dar, welches als Liösung der Gleichung

8*0» 3*0» 1 3

1»

die Grosse

r

bestimmt, woraus dann die einzelnen Coordinaten durch partielle
Differentiation gefunden werden (vergl. Grelle J. Bd. 58. Seite 369.).
Der gegenwärtige Reihenausdruck der Fläche, welcher zu dem eben
genannten Integralansdruck in keiner so nahen Beziehung steht, dass
sich einer aus dem andern auf kurzem Wege ableiten liesse, hat das
besonders für sich, dass er die Goordinaten direct in Parametern der
Krammungslinien darstellt, und die Worte der Hauptkrümmungsradien,
die sich aus jenem nur durch sehr umständliche Rechnung ergeben»
auf die leichteste Weise als

dz

Pi , Qi"^ ör ^^^^' "^^ constantes v, u
zu entnehmen gestattet..

Bei der Methode des citirten Aufsatzes musste zur Bestimmung
der Krümmungslinien von den Parametern a;, y auf neue Parameter
übergegangen werden. £s ist bemerkenswert, dass auch in diesen
das Mittelglied der Differentialgleichung null ¥rird. Sei nämlich

P Q

- =-= COtt«S} - "" COtVj

woraus:

1 «... 1 — COS*f«iCOS*V*

,_„ = (p+«)!=Lp=iL*=.5^

414 Boppt: Behp. d. Bestimm, einer Fläche auM d. Indicatrix d. Normale,

dann wird

m — 9A -— ' — = — =

2
daher

(.+„)» = 4(pV+r«) = 4(p«+r»)(««+r») - ^^^^

also

2r*
r+1» = -r; — zir— ; i> — t* «" 2r*cott»«cotr,

woraas, mit Anwendang von (9):

sin tf) sin v^ sin u^ sin v^

(10)

l-{-C08tlsC0St;s* 1 — COStijCOSv,

Dnrch partielle Differentiation ergeben sich die Relationen:

du sin tig Bu ^ dv sinug dv

dv^ sint^g oü^* dvf sinrj du^

daher werden die neuen Fnndamcntalgrössen:

--•(fe)'+»(s;)'i »- !'(fe)'+»(fe)'l(äJ5)"

^-{fe)'+«(fe)"' <'-Wfe)'+"(fe)l(fe)'

woraus sofort die zu beweisende Relation

hervorgeht Es zeigt sich, dass dies von allen Parametern gilt, welche

die Gleichnng

du Sv i^Bv du

8iij Bvf'*' du^ dv^
erfüllen.

Infolge der Proportion

reducirt sich die Differentialgleichung der Erüromungslinien unabhängig
von /*2 und F^ sofort auf

das ist auf die Gleichung

\8in*t4j/ \8in»2/'

in welcher die Variabeln getrennt erscheinen. Die Integration wtrde
uns nur zu den vorher bekannten Gleichungen (10) zurfickführen.

•iaaaUr ^mjattritpunktt dt» Drtittkt. 415

XXVII.

Ueber eine Cluse Irratiouler Sriniiietriepiiobte i
Dreieck.

I.

Es gibt einen Sjrmmetrieptinkt P des Dreiecks ABV, fikr welchen
die Summe der PA ein Uinimnm wird. Wir beseichnen ihn mit M
und nennen ihn den Minimnmpnnkt. Es ist zl BMC — 130". Hier-
aus ergeben sich drei Gleicbangen für die J/^. Ihre Auflösung gibt:

MA = - ~--
F
£a* , 2F . Sa* , „ ,„

BC'-a, A ABC •= F

Diese Werte bestimmen den Ftäcbeninbalt des Dreiecks BMC
und die Normale von M auf BC. Wählen wir trimetriscfae Pankt-
coordinaten, so ist dann M^bc{m* — i*){m' — e") ein Symmetriepnnkt
6- Dimension. Da aber F durch die Seiten a nicht rational aus-
gedruckt werden kann, so gehört M zur Gmppo der irrationalen
Symmetrieponkte d. i. jener, deren trimetriscbe Punkt
durch keine rationale Function der Seiten a ausgcdrfl
können.

n.

Constrnirt man Aber den Seiten eines Dre
Ansäen gleichseitige Dreiecke, so schneiden
Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks

416 Hain: Uthtr eine Clasfte irrationaler Symmetriepuiücte de» Dreiedct»

+

Gegenecken der gleichseitigen Dreiecke im Minimom-
pnnkt. ^

A^BC sei dafi über BC nach Aussen errichtete gldchseitige Drei-
eck. Dajin ist mit der Abkürzung n' » 60^-)~^

^ = 1 0 0

-4, = — sinÖO» +siny' -fsin/J'

^^1= 0 — sin/J' +8iny'

BB^ = + sin a' 0 — sin y'

CCi = — sina' +8in/3' 0

iTi^i und CCi treffen sich im Symmetriepunkt:

sin ß' sin y* = sin (Q(fi + ß) sin (60» + y)

= *^V — 2 — + y3JV — 2 — + 73J

Wird nach Jnnen dieselbe Construction vorgenommen und sind
Af die Spitzen dieser gleichseitigen Dreiecke, so ist:

^j=+8in600 — sin(60ö— y) — 8in(600 — /J)
AAi= 0 sin(60<>— /J) — sin(60«—y)

Die AA^ treffen sich im Punkte: sin (60^— /5) sin (60^— y). Er
fällt nicht mit M zusammen. Er werde bezeichnet mit N und heisse
der coigugirte Punkt von M. Es ist:

Die Coordinaten von M und N unterscheiden sich nur im Vor-
zeichen von y3. Und zwar ist y3 im Ausdruck m positiv, in «
negativ.

m.

Verbindet man den Minimumpunkt eines Dreieckes
mit den Ecken desselben, so verhalten sich die Umkreis-
radien der drei so entstandenen Dreiecke wie die Seiten
des Urdreiecks. Die dreifache Summe der Quadrate
dieser Radien ist gleich der Summe der Quadrate Ober
den Seiten des Urdreiecks.

Für den Umkreisradius ra des Dreiecks BMC hat man:

BM.CM.BC a

ra =

4^ BMC ys

Bai»: Urber eint Gant irralioiuäUr Synimtlritpunklt dit Dreitdr*. 417

Aof dieselbe Eigenschaft A. BMC — 121>> grOndet sich auch
der Satz :

Werden vom Minimumpankte eines DreieclcB zu den
EckenGerade gezogen nnd die Höhenachnitte der so ent-
standenen Dreiecke mit einander verbunden, so batdieses
Dreieck der Hfthenschnitte mit dem Urdrefeck gleichen
Flächeninhalt. (Archiv LVII 448).

IV.

Die Hannonikalo des Punktes fo ist die Gerade ihU- Für
la ^ sin^'sin^' ist iaU = siaa'. Die Harmonikale von Jlf ist die
Gerade sin(60''+«) = «(m* — o*). Der Abstand des Punkte« mit
den Seitennormalon pa von der Geraden a^ ist: Sa^pa-.Nj, wo
JV,» -= Xn,«— aZijqcoso. Für a, = o(m»— o») ist:

— Xi, ^1 COB o = Z(m»— i») (m* — c«) (<•*- J»— c*) =
-m*,ra'+2m'2:a»+3a»i»c»-Za*(6*+c»).

Es ist also Nj unabh&ngig von m. Ist also m eine beliebige
Grösse, so haben die Uarmouikalcn aller Punkte: beim* — i*)(tn* — e*)
deu selben Dislauzneuucr. Somit hat auch die Harmonikale von
A'^Äc(ii*— i*)(n*— c*) denselben Distanznenner N,. Ausserdem
stimmt der im Archiv LVIII 168 aufgestellte Wert von Ä, für die
Harraonik^c des Inkrcisccutruma des Uitteudreiecks (des Spieker'scheu
PuuktGS) mit dem Werte von Jt^, fUr Jf und N flbcrein.

Der Spiekor'sche Punkt und derUinimnrapankt eines
Dreiecks haben also für ihre Uarmouikalen denselben
Distanznenner.

Der Abstaud d eines Punktes mit den Seitennormalen f
der Harmonikaien des Minimumpnoktes ist also:

d— £apn(n'—a*):l<l,

Ferner ist der Abstaud ä' desselben Punktes von der Hai
kaleu des Punktes A':

d' = £ap.(n*-a'):N,
Somit ist:

d-d' = (m*—n*)£ap«:N, - 2F(tn'— n*);Af,

418 üain: üeher eine Clasxe irrationaler Symmetriepunkte des Dreiecks.

Wenn die beiden Harmonikaien einen Winkel bilden , so hat f&r
jedes pa die Gleichung d — d' ^ coust keinen Sinn, ebenso kann aber
dann auch nicht d-{-d! » const sein. Die Harmonikalen sind also
parallel und li' ist negativ zu nehmen; somit gilt der Satz:

Die Harmonikaien des Minimumpunktes und seines
conjugirten Punktes sind einander parallel; ihr Abstand
ist:

V.

Werden über den Seiten eines Dreiecks als Grundlinien ähnliche
gleichschenklige Dreiecke entweder nach Aussen oder nach Innen
coustmirt; so schneiden sich die Verbindungsgeraden der Scheitel
dieser gleichschenkligen Dreiecke mit den Gegenecken des Urdreiecks
in einem Punkte und zwar far die Coustruction nach Aussen im
Punkte: 8iu(X+j3)8in(X+y) und für die nach Innen im Punkte:
siu(— A + /3)sin(— A+y), wenn X die Winkel an den Grundlinien
dieser gleichschenkligen Dreiecke sind. (Archiv LY 333).

Nennen wir den Punkt 8in(X-f-/3)sin(Jl-j-y) den Punkt A. Die
Harmonikale von l ist die Gerade sin(il-f o). Die Determinante

sin(X + a) sin(X+/5) sin(X+y)

cosa cos/3 cosy

a b c

kann in zwei Determinanten zerlegt werden, von denen jede Null ist.
Die Harmonikale cosa ist die Harmonikale des Höhenschnittes. So-
mit sind die Harmonikaien der X einander parallel und zwar der
Harmonikalen des Höhenschnittes, welcher der Punkt X = i 90^ ist.

Die Verbindungsgerade zweier coigugirten Punkte +X, — X ist:

! sin( X+«)8in( X + y) sin( X+a)sin( X+/3)
I 8in(-X+a)sin(— X+y) sin(— X+o)sin(— X+/J)

wi . x • n ^l sin (X+y) sin(X+/J)
= sin(Xf a)sin(X-a)l ^^^^^^^^ sin(X-^)

^ sin (/3 — y) [sin X* — sin a*]

Die Gerade (+X, — X) geht somit durch den Schnittpunkt der Ge-
raden siu(^— y) und sin^o8in(/3 — y):

Hain; Ütber eine Claste irrationaler Symmetriepwtkte des Dreiecke. 41d

8in(y — fif) 8lnj3*8in(y— er)
sin (a — ß\ sin y*sin (a — ß)

^ 8in(^+y) ^bc

Die Greraden (+A, — X) bilden somit ein Stralenbttscbel , dessen
Centram der Schweninnkt ist.

Der Ort der Punkte xa, deren Harmonikaien des Punktes pa
parallel sind, ist die Curve

0

Sie ist ein dem Urdreieck umschriebener Kegelschnitt. Fflr
Ta = sin(A4-/^)8in(X+y), pa = cos ^ cos y erhalten wir die Determi-
nante eingangs dieses Paragraphen. Ihr Wert ist Null. Somit liegen
die X auf einem dem Urdreieck umschriebenen Kegelschnitt

Wien, Jänner 1876.

XhXe

XcXa

Xgfth

Pbpc

Pepa

paph

a

b

c

• g /Ziehungen der Symmetriepnnkte eines Dreiecks.

420 Z^'*''''' ^ ^

xxvm.

Allgemeine Beziehnngen der Symmetaiepiuikte

eines Dreiecks.

Von
Emil Hain.

I.

P sei ein Punkt in der Ebene des Dreiecks ABC. Die PA treffen
die ßC in P«. Die Geraden PA heissoi die Ecktransversalen von P
oder kurz die Transversalen dieses Punktes; die Strecken PA die
oberen, die PPa die unteren Abschnitte der Transversalen, die AP^
die Transversalstrecken, die BPa die Seitenabschnitte.

Das Dreieck PaPhPe werde das Transversalenfusspunktdreieck
genannt; es liegt mit dem Urdreieck collinear. Die PbPc treffen die
BC in Punkten einer Geraden, der Harmonikaien von P.

Die Senkrechten von P auf die BC heissen die Seitennormalen
von P\ ihre Fusspunkte seien mit Ap bezeichnet, ihre Längen mit p«.
Befreit . von einem gemeinschaftlichen Factor können letztere als
trimetrische Punktcoordinaten gelten.

Diese Bezeichnungen reichen zur Definition einer grossen Reihe
von Symmetriepunkten aus. So z. B. ist der Schwerpunkt der Punkt
gleicher Seitenabschnitte. Das Inkreiscentrum characterisiren die
gleichen Seitennormalen, das Umkreiscentrum die gleichen oberen
Transversalabschnitte. Der Höhenpunkt ist derjenige Punkt, dessen
Transversalen mit den Seitennormalen zusammenfallen.

Hain: Ailgtmeine Beziehungen der Symmetriepvnkte eines Dreiecks. 421

n.

PA trifft BC in P«. Für P=pa ist PA = 0^ p*, pe. Somit
Bind die Seitennorraalen der Pai

Pa^ 0 Xaph ^apc

Pb ^ hpa 0 Äftpc

Pe ^ il«|)a Atfpft 0
WO

2F

Der Schwerpunkt S^ des Dreiecks PaPbPe ist der Symmetriepankt:

pa ( Aö + ^«) ^ Pa (hpb + C|)c) (2a/)a + */>* + <?Pc)

Liegen die S^ auf einer Oeraden o^, so ist:

d. h. Liegen die Scbwerpnnkte von Transversalenfass-
punktdreiecken anf einer Geraden, so liegen die Colli-
neationscentra dieser Dreiecke mit dem Urdreieck anf
einer Gurve dritten Grades.

Sind Ap die Fnsspunkte der S^itennormalen, so gibt die Figur:

Ap^ 0 p6 + PaC0Sy pc-hpaCOSfi

Bp ^pa-\-ph cos y 0 Pe-hph cos a

Cp^ pa-^-pc COSß pb'{'Pe cos et 0

Somit ist der Schwerpunkt S^ des Dreiecks ApBpCp der Symmetrie-

pnnkt:

2pa + pb cos y-^pc cos ß

Es sei xa der Ort jener Punkte P, für welche Sf auf der Geraden a,
liegt £8 ist dann:

2? a,(2xa+r> cos y + a^c cos /J) « 2:(2o,+5iCOSyH-CiCOS/J)arfl — 0

Liegen die Schwerpunkte der N ormalenfusspunkt-
dreiecke auf einer Geraden, so liegen die Schnittpunkte
dieser Normalen auch auf einer Geraden.

in.

Die Fnsspunkte der Seitennormalen eines Punktes bilden als
Ecken ein Dreieck, das im Allgemeinen mit dem Urdreieck nicht
collinear liegt. Es ist die Be4inguAg der Cotiinearit&t zu bild**-

422 Hai": Äügtmeint Bttkh

P = pa sei ein Pankt,
^ = 1

Af=Q pfc+poCOS/ pc+PaC08/l

AAp^ 0 +(pi!+paCOB/J) — (p»+p«C«8)')

Die AAf treffen sich in einem Pnnkt, wenn:

I 0 i>«+pocofl? — (pi+p.cos)') I

I — (j><+J>*ÖM«) 0 pa+piCOBJ-

I pi+peCOB« — (ya+pcCOsß) 0 I

= IKpa + piCOB)") — iKpa + PiCOSjJ) = 0

Nan ist:

ntPa+PlCOB)-) = (l + 77cO8a)/Tpa+£p«pt*C08ir+£pap6»CO8ßCOS7
n(pB+ptCOBß) = (l + i7c09(»)npo+£pnp*'cOBn+2;pap«'cOsßCOSJ'

Somit ist der Ort der Poolite r, fllr welche sich die AAf in einem
Ponlite Bclinoiden, die Cnrve:

-r ia-a(a-»*— a-(*)((;09cr — cos|Scosj') = 0

Die DiBtanz d zweier Pnulile P nnd Q mit den Coordinatcn p,
nnd 9a wird ansgcdrUclit darch die Formel:

d* = — j^£a(p(ip— (;fcl,)(pcl|i — 5t i,)
«0

Eine einfache Umwandlang gibt:

j^ __ abeSa{pt£aqa — qb£apa)ipc£nqa — qc2!apa)
{£apa.Saqa)*

Sonach ist fQr die Eatfernang a' der Punkte l'(pa, p», pc) nnd
i*{l, 0, 0):

Setzen wir iJa'* = codbI. ■= «*, so folgt:

<'(£opa)* -^ ^fic(6pi-f-cpe)(fip(-|-Cpt)— oicXoptpe

Hain: AUgimrine Bciirhvngen dtr Sj/antlriepuaklt tinti Dreitckt, 423

Nun ist:

Somit ist der Ort der Paukte P, far welche £a'* -^ t* ist, der
KegelBchnitt: ^

£a*(b*+t^—e^rJ-i-Sbc(b*+e*~2e*)xtXt = 0

FtlT Saia'*^=^, wo Kj beliebige Coastanten von d^r Dimension
Null bezeichnen, erbalten wir ebenfolls einen Kegelschnitt. £s können
also die PA ebenfalls wie die PAf fllr ein trimetrisches Coordinaten-
system verwendet werden.

Sind A' die Seitenmitten und ist die Gerade A'A" parallel zu
PA, so ist:

PA= 0 -\-pc — p»

A'A" ^ a(6p» — epc) + b (bpb+cpc) — c (bpb-i-cpc)

Die Gleichung der letzten Geraden genfigt ncmlich zunächst dem
Pankte A'^0, c, b nnd ausserdem verschwindet die Dotenninante :

I a(ipfc — epc) +b(bpl, + cpc) — «(Jpl + cpe) j
0 +pc —pt

Somit ist PA || A'A".

Die Geraden A'A" bilden ein Dreieck von der Fläche:
abcFA*

Und Bwar ist hier:

I o{8j)j — cpe) +bibpt-\-cpt) — cC*p»+«7)c) I

A — — a{cpc + apa) +b(cpc — apa) +c{cpc + apa) —
I +"(«Pfl+*P«) — fifopa+Äpi) +e{apa — bpt) I

Ferner wird A« = ^a^cXapo.opo. Die Determinanten dos N
werden also fOr endliche Ponkte pa, die nicht in den Dreiecl
liegen, nicht Null. Kein Paar der A'A" bildet ein System vc
rallelen. Diese Geraden treffen sich also in einem Paukte ant
im Symmelriepnnkt:

6c(6j>i+cp().

424 Hain: AUgemeine Beziehungen der Symmefriepunkte eines Dreiecks.

VI.

Die Distanzformel in lY. gibt:

bc (bpe -^cph) (bpb + cpe) — d^bcp^pe

Der Ort der Punkte P, für welche

AP^ = BPh ^CPt=-f
ist ein Punktsystem, gegeben durch drei Gleichungen von der Form:

hc {bpe + cph) (bph + cpe) — aHcpbpc = /* {hph + cp«)*

Die beiden andern Gleichungen werden durch cyklische Yertauschung
erhalten. Wir erhalten aus der ersten:

p6«(ftV— /•»&«)+i>c*(äV-/2c«)+/>6;)cÄ<?(ä*+c« — a«— 2/-«) = 0,

P^xPh hc{h^-\-c^—a^ — 2f^) _c^(b^—f^)
pc^^pc' bHc^'-f^) ° b^ic^—n

woraus folgt:

Pc^bl 2(c«-/«; J

a>. - y(ft8-fc«—a«— 2/2)«— 4(^2— /•«)(<?»— /»)

-2yay« — 4F«

16/^ = (a4-6+<?)2J(i+c— a)

wo

wo

Ist nun pa ein Symmetriepunkt, so muss / eine symmetrische Fanction
der Seiten a sein. Also ist der Ausdruck:

5»+c2— a»— 2/«+ *a = 2ai
nach & und e S3rmmetrisch. Es ist sonach

pt C Ot

und

pc b Oj

f6 ^ C &« — /«

woraus sich ergibt:

a,a=(Ä«-/2)(c«-/»)

[Ä* + c2 - a« - 2/« ± 2yaV» — 4F2]2 « 4(Ä«— /«) {<:«— /"«)

Hain: Aügtmniit BvUiungtn dtr Syimttritpunktt tintt Urtüekt. 42S
(b*+c'-a'-2r)'-Hl'*-r)(<^-f*)

Nno ist

(6t^-c»_.a»_^»)n_4(t»_/-«)(e*_/-») _ *„» =- 4(0»/»— 4^»)
Hierfttu crlialten wir:

2y'a*f* — iF' ±{b*+^—a*—2f*) = 0
4aV»-16F» = (i»+c»— n*)» — 4/^(**+<J— a*)+4/-*

Hier crBcfacint f nur nach b nnd c symmetrisch; mithin gilt der Satz;

Es gibt kein nngleichBcitiges Dreieck mit einem
Sf mrootriepnnkte gleicher TransTersalstrecken.

Wien, Mai 1876.

426 Tkieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden,

XXIX.
Untersnchnng über die biaären lateralen Geraden.

Von

F. E. Thieme.

Erster Abschnitt.

Ton den lateralen Geraden in einer auf der Coordinatenebene

senkrecht stehenden Ebene.

§.1. Es sei PMO Fig. 1. eine Ebene, in welcher PAf senkrecht
anf OMN] durch MP lege man eine Ebene QMPR senkrecht anf der
der ersten und zwar sei MQ senkrecht auf OMP. In der letzteren
Ebene ziehe man ABD || OM und mache BD = AB\ ferner ziehe
man in der Ebene QMPR die Gerade BC senkrecht anf MP, daher
auch parallel zu MQ^ und mache BC « BA = BE. Betrachtet man
MPals Ordinatenachse, so wird, wenn man BA^'\-a setzt, BD^ — a
annehmen, so dass man bei dem Uebergange von der einen Seite der
Ordinatenachse auf die andere mit — 1 zu multipliciren hat Bei
dem Uebergange von BA auf BC^ in der verticalen Ebene multiplidre
man mit t, so dass BC » i. BA = ia ist. Geht man von BC auf
BD über, so macht man dieselbe Operation als vorher, es ist daher

BD =- i.BC d. i. —a = t*.a, oder e« = — 1 d. i. » « V^. Geht
man daher von einem Punkte der Ebene PMO auf den entsprechen-
den Punkt der Ebene QMPR Über, so hat man den senkrechten Ab-

stand von der Ebene mit i = V— 1 zu multipliciren. Ebenso wird
man schliessen ist BE = — ia^ daher BA = — i^a=^'i'a.

Die Coordinatenebene heisse die Fundamentalebene, die senk-
rechte Ebene die Lateralebene, die Schnittlinie beider die Lateral-
ichse.

Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden, 427

Nimmt man die Ordinatenachse als Lateralachse, so entsprechen
den Punkten der

Fnndamentalebene +y? "|-^; +y» — ^» — y? +*» ""^i — ^ ^^^ Punkte der
Lateralebene +y»+wc; -j-y, — w;; — y, +«;» — y, — mj.

Verlegt man den Anfangspunkt der Coordinaten in den Punkt
— yu — ^19 so ^^s ^^ neuen Achsen den alten parallel sind, so er-
hält man als Coordinaten y+yi, »(aj+oci).

§. 2. Zieht man in der Fundamentalebene die Gerade MA^ in der
Lateralebene die Gerade J/C, so dass ^ AMO = ^ CAfQ ist, dann
entspricht jedem Punkte der Geraden MA ein Punkt der Geraden
MC der Lateralebene; wenn die erste Gerade dargestellt wird durch
y ^^ axj SO wird die Gerade der Lateralebene, die laterale Geradci
bestimmt durch y =^ tax. Hier sind MO und MB die zugehörigen
Abscissenachscn, so dass a =» ig CMQ, Die Gleichung

y = tax

bezeichnet daher eine Gerade in einer auf der Fundamentalebene
senkrecht stehenden Ebene; diese Gerade geht durch den Anfangs-
punkt der Coordinaten.

Ebenso bezeichnet

y+yi -\-Mx+Xi) «= 0

eine Gerade der vertikalen Lateralebene, welche durch den Punkt

Für zwei in derselben Lateralebene enthaltene Gorade deren Achse
parallel zur Ordinatenachsc ist, muss x^ immer denselben Wert haben,
während die eine Gerade yj, die andere y, alj Ordinaten hat.

§. 3. Die beiden Gleichungen:

y+yi+iAix+Xi) =- 0

so wie auch ihr Product:

y^+i(A+B)yx-ABx^ + [y^ + y^ + i(A + B)x,']y

+ l-'2ABx,+i(Ay^+By,)]x'\-y^y^-'ABx^^ + ix, (Ay^+By,)'^0 (I)

Stellen zwei laterale Gerade dar, wovon die eine die Fundamental-
ebene in dem Punkte — yi, — «i, die andere in dem Punkte — y„
— a?! die Fundamentalebeno schneidet; die Tangente des Winkels,
welchen die eine mit der zugehörigen Abscissenachse bildet, ist — A^
bei der andern — B,

428 Th lerne: Untenuckung über die binären latenten Geraden,

Him stelle Gl. (I) aUgemem dar dordi

y»+(a^ib)^+(c+ül)x^+ie+t/)y+(g+ih)x+k+a = 0(11)

Vergleicht man Gl. (JI) mit Gl. (I), so ist a » 0, <2 = 0, so dass
d^her die Gleichung wird;

y^+ibyx + om^+(e+if)y+(g+ih)x+h+a -- 0 (Ol)

Es ist ft « -4+J?, (? =» —--45; hat daher c einen negativen Wert,
so ist 6«> 4e; femer ist A — ib+^Vb^+i^, ß^^ib—iVb^+ic;

€ « y»4-yi» f "• *«•!> daher «i = ^j ^ "" V

Dies giebt folgende Bedingongsgleichongen:

^__. ^ = j^«^_^ ___,/«_ und 5«>-.4^,

wenn c negativ.

Es sind fUnf Elemente zu l^estimmen, dafür acht Constante ge-
geben, daher drei Bedtngungsgleichnngen.

Löst man Gl. (III) in Beziehung auf y und trägt die entsprechen-
den Werte ein, so ergiebt sich:

woraus man die beiden Gleichungen der lateralen Geraden erh&lt:
Hiernach erhftlt man aus der Gleichung

Thieme: Untersuchung über die binären laterttien Geraden, 420

y«+6jy«r—8aj«+(4+12%— (32— 4»>— 44+82 « 0:

y-2+2t(aj+2) = 0 d. L y — 2 « t(a!+2)tgll60 34',
y + 6+4i(a? + 2) = 0 jf+G - .•(a;+2)tgl040 2'.

§. 4. Wenn die Winkel der lateralen Greraden mit ihren Ab-
scissenachsen sich zn 180^ ergänzen, so wird aas 61. (I), da ^ + ^=0
igt:

+Mr,^(y,— yj —0.

Gl. (11) erh&lt die Form:

y*+ei^+ey + (g+ih)x+k+a^O (IV)

Die Bedingongsgleichungen sind:

c posiüv, Ä: = J««--i-+J-, Z=2^

Durch Eintragung dieser Bedingungsgleichnngen erhält man für
die beiden lateralen Geraden:

*+^-2-f.+'Vc(«+^)=0.

§. 5. Treffen sich die beiden lateralen Geraden in demselbea
Pankte der Lateralachse, so ist in Gl. (I) y^ = yi and man erhält:

y^+t(A+B)yx'-'ABx^'\-l2y^+i(A+B)x,']y

+ l-'2ABxi+ty^(A + B)']x+y^*-'ABx,^+ix^y^{A+ß) « 0.

Dadurch wird Gl. (II):

y^+ibyx+ex^+(e+i/)y+(g+ih)x+h+ü (V)

Die Bedingungsgleichnngen sind:

5« > — 4c,
wenn c negativ:

g^—, h=^ibe^ k = y^+-^f l^\ef.

Trägt man diese Werte ein, so erhält man als Gleichung der beiden
lateralen Geraden:

430 Tfi lerne: Unfer.tuchung über die binären lateralen Geraden

Wenn auch noch die Winke], welche die lateralen Geraden mit
ihren Abscissenachsen bilden, sich zu 180^ ergänzen, so fallen die
imaginären Coefücienten aus und die Gleichung wird:

y«4-cx«-f «y+^ar+Jk = 0 (VI)

Hier ist c stets positiv und ifc = Jc*-|-i dadurch erhält man

c

die Gleichungen:

y+l«+«V«'(* + if)=o.

§. 6. Wenn die hciden lateralen Geraden durch den Anfangs-
punkt der Coordiuaten gehen, so ist yi = 0, ar^ == 0 und Gl. (I) wird:

daher erhält Gl. (II) die Gestalt:

f/+ibi/x+cx^-=^0 (VII)

Da zwei Elemente zu bestimmen, auch zwei Constante gegeben
sind, so giebt es keine Bedinguugsgleichung, ausgenommen dass, wenn
c negativ ist, i*> — 4c sein muss. Die Gleichungen der lateralen
Geraden sind:

y+iix(b — Vb^^n^) - 0,

y+iix(b-^Vb^+ic) = 0.

Wenn die Winkel der beiden lateralen Geraden mit ihrer Ab-
scissenachse sich auch zu 180^ ergänzen, so ist in GL (VI) * «= O
und c nur positiv; dann wird die Gleichung:

yi+cx^ == 0 (Vni)

Daher die Gleichungen der beiden Geraden:

Setzt man c = 1, so stellt y^+a;^ «= 0 zwei laterale Gerade dar,
wovon die eine mit dem positiven Teile der Abscissenachse einen
Winkel von 45®, die andere von 135® bildet

§. 7. Von zwei Geraden liege die eine in der Fundamental-, die
andere in der Lateral -Ebene, sie gehen aber durch verschiedene
Punkte der Lateralachse, dann sind die Gleichungen der Geraden;

TA lerne: ünttnuchunytn über die binären lateralen Geraden. 431

Das Prodact beider ist:

+ (Ay^ + i(By, + 2ABx^))x+yty%+^^x!/t + i(Bx^yt+ABx,^) ^ 0 (IX).
Die Gleichung (Ü) wird dadurch:

y«+(a+Ä)ya: + uix«+(«+»y)y + (^+iÄ)x + it+»l -= 0 (X)

Daraas ergeben sich folgende Bedingnngsgleichnngen:

' ' a a a* a

Löst man die 61. (X) in Beziehung auf y, so ergiebt sich:

- ± i^/(a-Ä)«x+2(a-Ä) [(e-,y)_^}aH^.-ir)^J(^jO+^'
Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden:

Treffen sich die beiden Geraden in demselben Punkte^ der Late-
ralachse, so ist yj = pi und die Bedingungsgleichungen sind:

Die Gleichungen der beiden Geraden sind:

Gehen beide Gerade auch durch den Anfangspunkt der Co
naten, so ist y^ =0, yi «= 0, aPi = 0 und die Gl. (II) verei
sich in:

y«-|-(a+Ä)yx+i<»» = 0

432 Thierne: Untersuchumf über die binären lateralen Geraden,

worin c ^= ah\ die Gleichungen der beiden Geraden sind:

y'\'ax = 0, y-\-ibx = 0.

§. 8. Stellt man die erhaltenen Resultate zusammen, so ergiebt
sich:

A. Die beiden Geraden gehen durch den Anfangspunkt der
Coordinaten :

a. Die eine Gerade ist reell, die andere imaginär:

y«+(a-f»J)yar + iaA«» = 0 (XI)

b. Beide sind lateral:

y^-\'ibyx'\'cx^ = 0 (VII), wenn c negativ ist, so ist absolut i*>4<?.

c. Beide sind lateral und die Winkel derselben mit dem posi-
tiven Teile ihrer Abscissenachse betragen zusammen 180^:

y^-f c«* = 0 (VIII); c ist positiv.

B. Die beiden Geraden gehen nicht durch den Anfangspunkt der
Coordinaten, wohl aber durch denselben Punkt der Abscis-
senachse :

a. Die eine Gerade ist reell, die andere lateral:
y^ + (a+tb)yx'\'iabx^+(e + if)y + \\^{he''af) + i{]^^

b. Beide sind lateral:

^2 > — 4<? wenn c negativ ist.

c. Die Winkel der beiden lateralen Geraden mit dem positiven
Teile ihrer Abscissenachse betragen zusammen 180^:

y«4.caj«4-«y+^x+J(6«+^2) = 0 (VI), c posiUv.

C. Die beiden Geraden schneiden die Lateralachse in verichie-
denen Punkten.

a. Die eine Gerade ist reell, die andere lateral:

y*

-\-{fl-\-ib)yx-\-iabx*-\-{e-^i/)y-\-\^9 + i(af+be - ^)]x

b. Beide sind lateral;

rf<_(2»-M" M ,

+ 4' 4(J>+4»)+ i "' >■"'

fi" > — 4c, weuii c negativ.

c. Diö Wiuket dor beiden lateralen Geraden mit dem positiven
Teile iiii^r AbRcisaenachse betragen zusammen 180":

e positiv.
Hieraus ergeben aicb folgende Regeln:

1. Wenn die ein^ tiorade reell, die andere imaginär ist, so feblt
der reelle Factor von x\ der imaginäre ist ab.

2. Sind beide Gerade lateral, ae fehlen der reeUe Factor von yx
und der imaginftre von x".

3. Ergänzen sich die Winkul der beiden lateralen Geraden mit
dem positiven Teile ihrer Abscisseuachae zu läO", so fehlt das Glied
^ ganz, von x* und y der iinagiuäro Factor.

Zweiter Abschnitt.

Ton den lateralen Geraden, welche in Ebenen liegen, die Mhief
auf der Fnndamentalebene stehen.

§. 9. Es sei I'MO Fig. '2. die Fundamentalebene, PM Aie Ordi-
uatenachse nnd senkrecht aaf MO\ durch MP lege man die Ebene
MPRQ, welche mit der FundameDtalebcnc den Ftächeowiokel « bildet;
die Absei ssen ach se MQ sei senkrecht auf der Ordinatcnachse, welche
zugleich Lateralachse ist; es sei femer ABD senkrecht auf MP,
ebenso BC in der Ebene MPQR\ man mache BA — BC •= UD.
Um von BA der Ebene PMO, auf BC dor Ebeuo MR
multipllcire man die erstere mit /(a), es ist daher

BC^ BA.f(a),
ebenso ist

BD = BC.ni»fi—u),
folglich

BD= Ä^.A«)/(180»— «),
d. L

A'').A1800-«)=-l,

TiUUX.

434 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.

dies ist aber der Fall, wenn /(«) = cos «+ »sin er, daher hat man bei
dem Uebergange aus der Fundamentalebene in die Lateralebene,
welche gegen die erstere unter einem Winkel o geneigt ist, mit
cosa-^^'sinor zu multipliciren.

§. 10. Man ziehe in der Lateralebene MR die Grerade JfC,
welche mit ihrer Abscissenachse MQ den Winkel <p bildet. Wäre
MR Fundamentalebene, so würde die Gerade dargestellt durch

y = tg«p.x,

da sie aber in der Lateralebene liegt, welche unter dem Winkel n

gegen die Fundamentalebene geneigt ist, so muss sie dargestellt

werden durch: '

y = tg<p.a;(cosa-J-t8ina).

Dieser Gleichung kann man auch die Form geben:

y = x{a+%b),
80 dass

tgg) = Va^-j-Ä*, cosc = ,- -^, sino

Die Gleichung y -^ x{a-\'ib) stellt daher eine Gerade dar, welche
durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht, in einer Ebene li^t,
welche mit der Fundamentalebene einen Winkel bildet, dessen Cosinus

a

:z und die gegen ihre Abscissenachse unter einem Wink^

geneigt ist, dessen Tangente Va^-f^^. Die gemeinschaftliche Ordinaten-
achse ist Lateralachse.

Verlegt man den Anfangspunkt in einen andern Punkt, dessen
Coordinaten y, und X| sind, so aber, dass die Lateralachse parallel
zur Ordinatenachse ist, so ergiebt sich die Gleichung:

y—Vt =» tgg)(a;— a;i)(cosa4"*8ina)
oder

y = x{a'\'ih)-\-C'\'id^

welche Gleichung auch auf die Form gebracht werden kann:

A» Die beiden Gereuten gehen durch den An/angepunH

der Coordinaten,

§. 11. Die Gleichungen zweier lateralen Geraden, die in zwei
verschiedenen Ebenen liegen, welche die Winkel a und ß mit der
Fundamentalebene bilden, sind:

Tkieme: üntertuchung Über die binäreH lateralen Geraden. 435

y+Bxicosß+isinß) = 0;
ihr Prodact giebt:

y*+ic^[^C08a4--Bc08/?4-tM8ino4-^8in/?)]

+ x*AB (C08 («+/?) + 1 sin (a + j5)) — 0 (I)

Man stelle diese Gleichung dar durch:

y*+ia-\-ib)yx+(c+id)x^ - 0, (U)

80 dass

a =» ^cosa-|-i?c08/9, c = ABcos(a-\-ß)^
b « As\na'\-BBmß^ d — -^jösinCa+Z^)-

(IH)

Eine Bedingungsgleichnng ist nicht vorhanden, da vier Grössen durch
vier Coefficienten zu bestimmen sind.

Löst man Gl. (11) in Beziehung auf y^ so ergiebt sich:

y+i(a4-Ä)a; « ± ixVa*— &« — 4<j+»(2flÄ— 4</).

Man setze d<>n absoluten Wert von a*— ä*— 4c — JL,
- - - - - - 2ab — 4<2 s. fi,

80 kann man folgende vier Fälle unterscheiden:

I. n. III. IV.

A + + - -
f* + - + -

Es sei

^/WW\ *-l/^. «-J/^.

80 ergeben sich folgende laterale Geraden:

I- y+4[a— d+.(ft — a» — 0, ffl. y+J[a— «+«•(*— Ä» - 0,

»+l[«+*+»(*+')]« = 0, y+|[«+Ä+,-(j-|-Ä)]« - 0,

n. »+i[a+*+«(>— «)]x — 0, IV. y4-i[a4-»-f-.-(J— d)]x = 0,

§. 12. Bilden die lateralen Geraden mit ihren Abscissenachsen
gleiche Winkel, so ist in Gl. (I) und (UI) §. 11. A^ B, folglich:

a = AicQBa-^^CQBß) = 2-4C08 J(a4"/^)cosJ(«--^,
b ^ A(sma'\-B\VLß) » 2^sin4(a4-j?)cosi(a — /?),
folglich:

\ = tgH«+ft.

«s*

436 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.

Es ist ferner

folglich :

daher

Es ist ferner

c = A^cos(a+ß),
^«tg(a+a

2ahc

a*-&«

a* = ^*(C08«*-f-C08/3*+2C08aC08/?),

b^ = A^ (sin a^ + si^ /^* + 2 sin a sin /?),

a« — &« = A^ (cos 2ä + cos 2/? + 2 cos (o + /?)),

= 2^«co8(a+/?)[l+ cos («—/?)],
. 1.

a«— Ä«<:4^2cos(tt + /J) oder a»— Ä*<4tf und "a^y» > 1.
Hieraus folgt auch, dass wenn c negativ ist, auch b* >- a^ sein muss,
so dass 2 hi ^^ jedem Falle positiv ist.

Setzt man in Gl. (11) §. 11. den Wert von d ein, 8o wird die
Gleichung:

y^ + (a + ib)yx + ~—^(a+ib)^x^ = 0. (IV)

Die Gleichungen der heiden Geraden sind:

§. Iß. Es mögen die heiden lateralen Geraden in derselben Ebene
liegen, so ist in Gl. (I) und (IV) §.11. Z. /J = -^ « und man erhalt:

a = (^-|-J5)c08tf, c = ^^cos2a,

b — (^-f i^)sinff, d =- ^i^sin2a.
Daher

2abc

Ferner:

a« = (A+B)^ cos a\ a«— 5« — (A + B)^ cos 2a,

Ä« = (^ + JB)»sintt«.
J(unaberi8t(^4-jB)«>4^Ä, folgüch a«— *«>4c, oder ^^^ < 1.

Thieme: Untersuchung über die binaren lateralen Geraden. 437

Die Gleichung (II) §.11. erhält dieselbe Form wie (IV), aber
die Gleichungen der beiden lateralen Geraden sind :

Ergänzen sich ansserdem noch die Winkel der beiden lateralen
Geraden mit ihren Abscissenachsen zu 180**, so ist -4-f--ö = 0, daher
ö = 0, Ä = 0 und Gl. (II) §. 11. wird :

y«-f(c4-ia)rc« = 0 (Vi

Die Gleichungen der beiden Goraden sind, wenn man Vc*-|-rf*= p
setzt:

§. 14. Die eine Gorade sei lateral, die andere reell, so ist (§. 11.)
/J = 0 und man erhält: .

rt = -4cosa + JB, c==-4Bcosa, a* = -4^cosof*4-2-4JBcos«-f-^S
b — ^sino, d = ylBsincv, 4c «= '\'i:ABco^tt^

B ^ -• ^cosof = T =- a — r- a* — 4<? = (^cos« — -ö)*, daher
o ab

a*>4c, und d= ib{a± Va* — 4<?), wodurch Gl. (II) wird:

y* + {a+ib)yx + [c+iib(a±Va^—4tc)']x^ = 0. (VI)

Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden, entweder
y + i{a — Va'^-^+2ib)x^0, oder y + i(a+Va*-4ü+2Ä)a: = 0,

Bilden die Geraden mit ihren Abscissenachsen auch gleiche Win-
kel, so ist auch A ^^ B und man erhält:

a = ^(l+cos«), c « ^^cos«, ab = ^* sin «(1+ cos«) <C 2il*sin«,
^=»^8ina, d«=^*sina, rf^^oÄ,

- = tgi«, - = tga, daher rf - ^^ryj c = j^^ ,

daher rf = ^(o«+Ä»).

w

438 Thieme: Untersuchung über die hinSren tötenden Geraden.

Trägt man diese Werte ein, so ergiebt sich die Gleichung:

Die Gleichungen der beiden Geraden sind:

§. 15. Es stehe die eine Lateralebene schief, die andere senk-
recht anf der Fundamentalebene-, dann ist /} » 90^ und die Gleichun-
gen (III) §.11. neh.men folgende Gestalt an:

d
a»ilcOBa, c= — ABsmttj J5 -» -»

c ob ~~~ d
h = Jsino-I-^, d « ^^coscr, tgo « — - = — |— , folglich:

Die Gleichung wird:

y«4.(a4.iJ)ya;+[<j-fia(ıyÄ^4^^)]«« = 0. (Vni)

Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden:

Wenn die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel
bilden, so ist auch B = A^ und man erhält:

a«

a* — 6*
trägt man den oberen Wert von d ein, so ergiebt sich: o « ""Jll"»

daraus ergiebt sich d = \a{Jb±^^b^'\'^\ und daher rf=j7(**±a*);
die Gleichung der beiden Geraden ist:

y«4-(o4.j6)yaj-f A_|-^4_ j4^2ia&(*« + a«)]a;« = 0. (IX)

Hieraus ergeben sich für die Geraden /olgende Gleichungen :

Tkieme: 'Untersuchung über die binären lateralen Geraden. 439

§. 16. Die Winkel, welche die Lateralebene mit der Fundamental-
ebene bilden, ergänzen sich zu 360^, oder, was dasselbe ist, zu 180^,
so ist in den Gleichungen (II) §. 11. ß » d6(y>— o, daher:

a = {-4-|-B)cosa, c^AB^

h *= (ul--^)sina, <?=-0.
Es sei zuvörderst c positiv, so ergiebt sich die Gleichung:

y*4-(a+2&)ya;+cx« = 0. ^ (X)

Die Gleichung gelöst, giebt:

Man setze a»— &*— 4<? = A, so ist, wenn p = yi*+4a*6*,

X = pcosa, cos« = - « 2co8ia* — 1 =- 1— 2sinia*, folglich

2ab == psina,

cosi« = y^' 8in 1« = jAg^.

und venn man macht

j/4-'-*. l/^i^-'.

SO erhält man als die Gleichung der beiden lateralen Geraden:

Diese Gleichungen stelle man dar durch:

y+i«tg<p(cost-f «sinj) « 0,

y4-i«tgi/;(cosiy-[-»s"i^) "^O.
Dann ist:

a — ^ 1

cos{;

J^+ (!5iy

sint

cosiy =

smi}

y(a— ^)«+(*— a)»

ft— d 1

o+^ _ 1

i+d 1

V(a+^)«+(Ä+a)»

K^)'

+ 1

Esistabcrn*— t*>i oder a»-*>6», folglich 4o*~4n»i+i»>
A*+4o*iV(l. i. 2o»— A>p, daher a> J/^ oder «>#, es ist
also a — #, d. i. coe£ positiv, so wie coat).

Ferner ist *■+''< °*. 4/'*-|-4Ä»i4-i' < iH"*«***. d.i. 2S»+'l<#.
A < l* ~2~ ' *~*' <'■ '■ 8'"t '"* ncftstiv, w&hreDd simj einco poai-
tiven Wert hal.

Bringt man ilip Brüche („-^) «nd (^T^»)
Der, so ergicbt sich die IdenUtftt beider, daher

co8t=cos)j, — sinf^:8iuii, d.h. £ = 360" — i).
Daher siDd die Gloichungci: :

y+3:lg«>(coB{36o" — i)) + .'8in(3Gü"— 1))) = 0,

y-t-a-tgtf'(C08)) + <"8ill»l) = 0.

Statt der ersten Gleichung konnto man auch schreiben:

ff+irrlg{180»-«)D)(CO8(l8Ü"— f)) + .siM(lH0»-1j)) = 0.

Ist aber c negativ, su dass die Gleichung wird:

so wird eben so wie vorher bewiesen, dass a < 1/ „ - daher

a—9 negativ, dagegen b — i positiv, folglich J = 180"— i? ist, wo-
durch man die Gleichungcu erhält:

y+a-tgiyCcosv + Zsin?)) = 0,

Sr+ :<: lg * [cos (180"— ^) + .-sin (teO" -.,)]= 0;

die letztere Gleichoug kann man auch darstellen durch:

ff+a-tgaaO"— v)[cos(360<»— *,)+iBin{360"— t))] — 0.

Sind auch die Winkel gleich, weicht die lateralen Geraden mit ihren
Abscissenacbsen bilden, so ist A = B, woraus folgt i '^ 0, und die
Gleichung erhält die Form:

y«-[-<ijpc+c«» = 0 (XI)

worin e steig positiv und a* -^C 4c ist Die Gleichungen der beiden
Geraden sind;

Thitmt: Unleriuehung ilbtr itit hiiiäreit la'cni/en Geradtn. 441

g. 17. Stellt man die ResnlUlu fUr biliäre laterale Gorade, welche
durch den Aofangspiinkt der Coordinaten gehen, zasammeo, bo er-
giebt sich:

1. Die beiden Geraden liegen in verachiedenen schiefen lateralen
Ebenen :

y^+(rt+»)jw+(c+W)*» = 0 (U)

2. Sie liegen in verschiedenen Ebenen und bilden mit ihren
Abscissenachsen gleiche Winkel:

y' + ia+ib)yx + ''-^:^^*-'' = 0 4c>a"-6» (IV)

3. Sie liegen in derselben schiefen Ebene:

(IV)

4. Sie liegen in derselben schiefen Ebene, aber die Winkel,
welche die Geraden mit ihrer Äbscissenachse bilden, erg&nzcn sich
za leu":

&. Die eine Gerade liegt in der Fundamontal- , die
einer Lateral-Ebene:

6. Die eine Gerade liegt in der Fnndamentalebene ,
in der Latcralebeno nnd beide bililou mit ihren Absdasenacl
Winkel:

jä + (a+»)s*+-i*' (<'+»)"■'* = 0

7. Die eine Gerade liegt in der senkrechten, die andi
schiefen Lateralebene.

8. Die beiden Geraden von 7 bilden mit ihren Absc
gleiche Winkel:

9. Die Flächenwinkel der Lateralcbenen mit der Fb
cticne ergänzen sich zn 360°;

442 Tkieme: Untersuchung über die binären laUraUn Geraden.

10. Auch bilden die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen
gleiche Winkel

y*+ayx+cx*^0, 4ü > a» (XI)

B. Die beiden lateralen Geraden gehen durch einen auf der
Lateralachse gelegenen Punkt, dessen Ordinate — yi und Abscisse
Xi ist

§. 18. Man erhält die Gleichung zweier lateralen Geraden, welche
in Terschiedenen Ebenen liegen und die Lateralachse in dem Punkte
— Piy — ^1 schneiden, wenn man in Gl. (II) §. 11. setzt für y:y+yi
und für xix-^-x^^ wodurch man erhält:

(y+yi)'+(«+*)(y+yi)(«'+^i)+(<^+^(«+^i)* = o a)*

Entwickelt und ordnet man diese Gleichung, so erhält man:

yt^(a+ib)yx+(c+id)x^+(2y^+ax,+2bx^)y
+(ayi+2car,+»(*yi+2eiaH))x+y,H-öyi^+<»i'+»(^^^^

Man stelle diese Gleichung dar durch:

y*^(a+ib)yx+(c+id)x*'{'{e+i/)y+(g+ih)x+k+a - 0 QU)^
Hieraus ergiebt sich:

so wie die Bedingungsgleichungen:

h « ibe— W+-J-* l - W— i y + -^j-

Durch Eintragung dieser Werte und Lösung der Gleichung in Be-
ziehung auf y erhält man die Gleichungen der beiden Geraden, wie

sie §. 11. angiebt, wenn man daselbst für yiy-^-^ — \-r und für
a;:a5-f-T setzt

§. 19. Wenn die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen
gleiche Winkel bilden, so gilt ebenfalls (III)^ so wie die Bedingungs-
gleichungen des §. 18., aber ausserdem noch:

Thieme: Untersuchung über die binären latercden Geraden, 443

Dieselben BediDgungen als vor, mit Ausnahme der letzten, wofür man
zu setzen hat 4c < a* — b\ gelten, wenn die beiden lateralen Gerade
in derselben Ebene liegen.

Sollen ausserdem sich die Winkel zu 180^ ergänzen, so ist a-»0,
ft « 0, / = 0 und Gl. (HI)»» wird:

Hier ist ^^ = ^ x^ = ^ und die Bedingungsgleichungen sind:

^. i.-i^j_?* f^^

* = i^+l ^=4^^

§. 20. Liegt die eine Gerade in der Fundamental-, die andere
in einer Lateral-Ebene, so gilt Gl. (UI)^ mit den Bedingungsgleichungen
von §. 18., wozu noch kommt:

d^ib(a±Va^—4tc).

Die Werte von yj und ap, sind wie in §. 18.

Sind ausserdem die Winkel gleich, welche die beiden Geraden
mit ihren Abscissenachsen bilden, so kommen zu den Bedingungs-
gleichungen des §. 18. noch:

§. 21. Wenn die eine Gerade sich in der senkrechten, die an-
dere in einer schiefen Ebene befinden, so gelten ausser den obigen
Bedingungsgleichungen von oben noch:

d = ia(b±Vb^+icj'

Sind auch die Winkel gleich, welche die Geraden mit ihren Abscissen-
achsen bilden, so kommen zu den obigen BedinguDgsgleichungen
noch hinzu:

«-^^*' rf=if (**+»*)•

§. 22. Wenn die Winkel der beiden Lateralebenen sieb zu 360*
ergänzen, so wird aus 61. (III)'>:

y«+(a+Ä)y*+<«»+(«+.y)sf+0,+Ä)+fc+a - 0

444 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.

Die BediogungsgleichuDgon sind wie in §. 18., nur mit Berücksich-
tigung von d = 0.

Bilden die Geraden mit ihren Ahscissenachsen auch gleiche Winkel,
so erhält Gl. (III)*» die Form:

Es ist hier

2ce — ag 2g — ae

^^ ^ 4^~a8 ' *i ^ 4c — a'*

c ist positiv und 4<? > a^ endlich :

. ^ g^+ce^ — aeg
4c — a*

(Vergl. Archiv Tl. 58. S. 218.).

XXX.
Hiseelten.

Eine g«oinetri§ehe AtL^tle.

Vorbemerkung. Aus den elemeutargeometriBchen Anwendmi'
gen der elliptiscfaen Functionen ist unter Anderem der Satz bekannt:
Wenn 2 Kreise eine solche Lage haben, dass dem einen ein Polygon
eingeschrieben werden kann, welches dem anderen umschrieben ist,
so ist die Anzahl solcher Polygone aneodlich, und'es bestehen zwischen
den beiden Kadicn r nnd p und der Ceatrallinie d bestimmt« Rela-
tionen. Dieselben lauten beispielsweise fär das Dreieck

r« — 2rp-=d*,
für das Viereck

für das Fünfeck

9(r-\-d)V2r=g(r+d)Vr—d-f+lr~d)(r+d+{f)Vr+d~(>_
Untersuchungen über diesen Gegenstand sind *■ — ^ — *■' — -■ ti:-i— i—
(Crelle's Journal III. and XXXVUl.) angesi
Autoren Ober die Theorie der elliptisclien
Scbloemilch und Duröge reproducirt worden
Relationen, wie CS in der Natur der Sachi
Bezugnahme auf elliptische Functionen gefu
die Formel fOr das Dreieck schon Enl«r, d
Sechs-, Sieben-, Achteck Nicol. Fuss in den '.
XI. und Nov. acta Petropol. XIH. gegeben 1
Dreiecksformel von vielen Verfassern elemer
bflcher, u. A. von Unger, v. Swinden-Jaco
kftnn aber diesem Gegenstände eine — wie i

446 MiscelUn,

abgewinnen, wenn man, von der Existenz dieser Dreieeksformel ab-
sehend — wir beschränken uns der Eürza wegen auf diese — sich
folgende Aufgabe stellt:

Gegeben 2 Kreise, dem einen soll ein Dreieck so umschrieben
werden, dass es dem anderen eingeschrieben sei.

Auflösung. Der Radius des äusseren Kreises sei r, der des
inneren (berührenden) q^ die Centrallinie a, der Mittelpunkt des
letzteren sei der Goordinatenursprung. Die Gleichungen der Kreise
sind hiemach

Als unbekannt nehmen wir den Punkt A der äusseren Peripherie an,
von welchem aus die erste Sehne (welche zugleich Tangente ist)
gezogen werden soll, und setzen dessen Coordinaten

yi«=rsin<p, a-j = a-f-^'COSy.

Bezeichnen wir mit u den Winkel dieser Sehne mit der X-Achse, so
schneidet die Sehne die Peripherie in einem zweiten Punkte B, dessen

a?2 *= o — rcos(<p — 2m), y^ = rsin(g) — 2m),

wie sich entweder durch analytisch -geometrische oder rein geome-
trische Betrachtung leicht zeigen lässt Soll der Winkel u dei^stalt
bestimmt werden, dass AB den zweiten Kreis berühre, so erinnere
man sich der Bedingungsgleichung

p8(l+m«) = ii«,

wo m und n die Constanten der Geraden y = mx'{-n sind. Im vor-
liegenden Falle ist

m « ^^^^ « tangM,

g^iyg— a^yi rsin(<p— m)
n = =» atangtf.

Xi — X2 COStt ^

Die Gleichung p*(l-f-»w*) = n* geht hiemach über in die Form

ip = rsin(<p — u) — asinu

und zerfällt natürlich (wegen^^des Vorhandenseins zweier Tangenten
Yon A aus) in die 2 Gleichungen

1) p = rsin(9 — Uj) — asiuMj

2) — p = rsin(9 — tt,) — asinus

Es sind nunmehr ausser A noch 2 Punkte fixirt:

MueeOen. 447

J5 : afj = a — rC08(<p — 2t«J, y^ «=» r8iD(<p — 2u^
C i^^^ a— rC08(<p — 211,), yj « rsinC^— 214)

Es erübrigt noch die Darstellung der Eigenschaft der Geraden BC
als Tangente des Kreises x^-^-y^ » q^. Mit Benatznng der bereits
erwähnten Bedingungsgleicbung Q^il-^m^) =n' ergiebt sich:

3) ip — rcos(t«j — 1^) — aco8(ui-|~«4 — ^)

Diese Gleichung in Verbindung mit 1) und 2) reichen aus zur Be-
stimmung des Winkels 9, von welcher allein die Lösung der Aufgabe
abhangt

Die Addition von 1) und 2) giebt
desgleichen die Subtraction

6) ,-8m(^)(«C08^^+rC08(^-^)).

Aus 4) folgt

«*i+««« rsino) ^4"«*« rcosqp-f-a

6) tang^T- =» T— . cos^— « 71^»

' ® 2 rC08<p + a 2 yN

wo

jY« a*+2arcos9+r*.

Diese Werte in 5) eingetragen:

sin

^^— ^1

2 o(o4-ycosy) . rcos<p(a-f"^cos<p) . r^sinV

oder

"'^ 2 *" a*+ arcos g) + arcos g) + r* cos V -j- r»sinV

_ 9^N p_

"^ a*-|-2arcos9+r* "" y iV

Liebrecht

448 Miscellen.

2.

Eine Quadratur.

In den Hippokrateschen Halbmond soll der grösste Kreis ein-
geschrieben werden. Welches ist der Ort seines Mittelpunktes, wenn
sich der Scheitel des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks auf der
Peripherie des ihm umgeschriebenen Kreises bewegt?

Ist a der Halbmesser des festen Kreises, so ist der Ort des
Mittelpunktes des veränderlichen Kreises in Polarcoordinaten r, fpi

Die Fläche der Curve

n

F= 2 ir^dtp = |-(;f+5).

Die Fläche der Curve zerfällt in zwei Teile, in einen rationalen und
einen irrationalen Teil. Schreiben wir in den festen Kreis ein Quadrat
ein und dem Quadrat wieder ein Quadrat ein, dessen Seiten die Dia-
gonalenhälften des grösseren halbireu werden, und beschreiben aus
dem gemeinschaftlichen Mittelpui kte einen Kreis, dessen Radius gleich
ist der Seite- des kleineren Quadrats, so ist die Summe dieser drei

Flächen gleich der Fläche der Curve.

K. Zahradnik.

LüterarUcht Bericht CCXXXlIl \

Litterarischer Bericht

ccxxxm.

Methode und Prineipien.

Einleitung in die Tbeorie der bestimmten Integrale. Von Dr.
J. Thomae, Professor an der UniversitAt Freiburg in Baden.
Hallo a./S. 1875. Louis Nebert 4». 48 S.

Da man erst in neuerer Zeit angefangen bat die elementaren
Grundlagen der Integralrecbnung einer emstlicben Prüfung zu unter-
werfen, so ist es gewiss ein sebr förderlicbes Uuteniebmen , die Er-
gebnisse dieser Prüfung zum Gegenstand einer von der*Materie der
Doctrin gesonderten Scbrift zu macben; denn es dient dazu die
objective Entscheidung über die principielleu Fragen berbeizu-
fübren, wäbrend eine einem bestimmten Lebrgang vorausgescbickte
Bebandlung derselben die Basis als subjective, durch die Wahl dex
Methode motivirte erscheinen lässt. In der Tat beschränkt sich die
vorliegende Scbrift auf dio Begründung der BegrilTe und elementaren
aUgemeinen Sätze. Flciss und Sorgfalt in der Bearbeitung ist durch-
weg unverkennbar, exactes Zuwerkegehen und Bündigkeit für einen
hinreichend grossen Teil zuzugestehen, damit ungeachtet wesentlicher
Mängel das Ganze im Zusammenhang verstanden werden kann. Wegen
dieses im ganzen bewahrten Zusammenhangs ist es aber auch nicht
schwer zu erkennen, wie eine Incorrectheit im Anfang die Ursache
immer neuer Dunkelheiten wird. Der Verfasser ist nämlich noch
nicht darüber zur Klarheit gelaugt, was unendliche Grössen sind: es
fehlt in den anfänglichen Bestimmungen, so wie in principiellen An-
wendungen durchweg die Unterscheidung der Yariabeln und Constanten.
Er sagt, die Rechnung mit irrationalen Zahlen beruhe auf einer Aus-

T«ilLIX. H«fll. I

2 Litferarischer Bericht CCXXXlll,

dehnang des Gleichheitsbegriffs. „Zahlen heissen gleich, wenn man
von ihnen nachweisen kann, dass sie sich um weniger als jede dem
absoluten Betrage nach noch so klein vorgegebene (zunächst rationale)
Zahl unterscheiden." Offenbar wäre diese Differenz =0, wenn es
sich um beiderseitig constante Grössen handelte. Dann aber wäre
der Sinn: Zahlen heissen einander gleich, wenn ihre Differenz null
ist. Und das wäre keine Ausdehnung des Gleichheitsbegriffs. Die
hier gemeinte Differenz, welche allein Sinn hat, ist also eine vanabele,
der Bestimmung gemäss, trotz der Vermeidung des Namens, unendlich
kleine; die approximativ dargestellte Irrationale ist eine variabcle
Zahl, ihr ideeller Wert deren Grenzwert Zur Erleichterung des
Ausdrucks schreiben wir in vielen Fällen die Yariabele statt ihres
Grenzwerts, z. B. « = 3, 14 . . . statt ä =^ lim 3, 14 . . . und zwar
ohne Zweideutigkeit, weil unter n eine Constante verstanden wird.
Der Sinn der Gleichheit aber ist hier genau derselbe wie überall.
Daher ist nicht der mindeste Grund zur Erweiterung des Gleichheits-
begriffs. Allein die Statuirung einer solchen ist nicht bloss über-
flüssig, sondern auch falsch und unklar, falsch, sofern sie die Aus-
sage includirt, das gleich Genannte und als gleich Behandelte sei nicht
eigentlich gleich, unklar, sofern sie die Bedingung des exacten Ver-
ständnisses verhüllt, die Auffassung der gesetzmässigen Variabilität
In der Tat scheint der Verfasser Mühe darauf verwandt zu haben,
es mit der Formulirung der Definition denjenigen recht zu machen,
denen das Erlernen jener Bedingung unbequem ist, die am liebsten
solange mit unsichem Grundsätzen wirtschaften, bis sie auf einen
Fehler stossen. Die Begünstigung solcher Leser, die 9ich namentlich
durch Umgehung des Wortes „unendlich klein ^^ kund gicbt, ist um
so verwerflicher, weil die völlige Klarlegung des Sach Verhältnisses
äusserst leicht gewesen wäre.

Die hervortretendste Folge des genannten Mangels ist die Dunkel-
heit, welche beständig über dem Verhältniss der Einzelwerte der Va-
riabein zum Intervall waltet Da wir das Verhalten einer Function
im Intervall analytisch nur durch die Auffassung von Einzolwerten
fixiren können, so musste über die Beziehung zwisclicu beiden Rechen-
schaft gegeben werden. Dies ist hier nicht geschehen; vielmehr lässt
die Darstellung den Schein bestehen, als wenn die Einzel werte das
Intervall ausmachten. Namentlich wird von Rational- und Irrational-
zahlen in einem Intervall (etwa von 0 bis 1) stets so gesprochen, als
wären sie 2 coordinirte Classen von Zahlen, die sich in das Intervall
teilten. Dabei bleibt unbeachtet, dass die Irrationalen durch kein
Gesetz auf Einzelwerte beschränkt sind, sondern als blosser Rost
auftreten, während die Rationalen eine unendliche Doppelreihe von
Einzelwerten bilden, nach deren Wegnahme das Intervall so gross

Litterarischer Bericht CCXXXIIL 3

bleibt, wie es war. Wie wir ans der geometrischen Darstellung ken-

I
nen, hat das Integral ff(x) dx einen Wert nur vermöge des Intervalls,

o

das X durchläuft, und bleibt unverändert, wieviel auch Einzelwerte
von /ar, sei es auch eine unendliche unendlichfache Reihe von solchen,
beliebig abgeändert werden , da ja unendlich viele Ordinaten keinen
Teil der Fläche bedecken. Was so durch räumliche Betrachtung sofort
erhellt, folgt aber auch aus der analytischen Definition des Integrals.
Letztere gründet sich zwar auf die Einzelwerte, hebt aber die ein-
geführte Lücke durch die Bedingung vollständig auf, dass das Integral
von der Teilung des Intervalls unabhängig sein muss. Die Definition
lässt eine exclusiv rationale Teilung zu, gestattet aber auch alle ratio-
nalen Werte zu überspringen. Entweder ist in beiden Fällen das
Resultat dasselbe, oder es giebt kein Integral; nie aber können die
Werte von /(x) für rationale x einen Eiufluss auf den Wert des Inte-
grals üben. Diesen Umstand verkennt der Verfasser augenföUig,
indem er in §. 20. „Beispiele unendlich oft unstetiger integrabeler
Functionen" Fälle aufführt, wo die zu integrirende Function /(ar) für
alle irrationalen x null ist, und gleichwol ihre Werte für rationale x
noch besonders gesetzmässig bestimmt. Der Integralwert musste null
sein auch ohne jenes letztere Gesetz. Dieses hatte die müssige Be-
stimmung, dass der für solche Fälle offenbar nicht ausreichende Wort-
laut der Definition auch hier zutreffen sollte. Doch der Begriff hat
sich nicht nach dem Wortlaut, sondern der Wortlaut nach dem Be-
griff zu richten. Um Integrale von Functionen einführen zu können,
deren Einzelwerte eine vom trennenden Intervall abweichende Be-
stimmung haben, war der Ergänzungssatz notwendig: Das Integral
einer Function ist unabhängig von allen durch Intervalle getrennten
Einzelwerten derselben. Giebt es also für alle Teilungen, welche die
Einzelwerte tiberspringen, einen von der Teilung unabhängigen Grenz-
wert der in der Definition bezeichneten Summe, so ist dieser unbedingt
der gültige Integralwert. Dann fallen viele bloss durch Ungeschick
in die Betrachtung hineingezogenen Sonderbarkeiten weg, und die
Theorie vereinfacht sich bedeutend.

Wenn im Verlauf der Schrift öfters Fragen auftreten, die sich
nur unter Beschränkungen des Functionsbe^iffs entscheiden Hessen,
so ist es nicht der wahren Sachlage entsprechend, diesen Umstand
als Besonderheiten jener Fragen darzustellen. Der allgemeine Func-
tionsbegriff hat sich nach jeder Richtung hin als unfruchtbar erwiesen.
Wie der Erfolg lehrt, ist die successive Erweiterung der einzig natur-
gemässe Wog. Man sollte daher nicht den entgegengesetzten Schein
solange als möglich zu erhalten suchen. Wie nun in §. 4. der Ver-
fasser sagt, tritt der Functionsbegriff in seiner allgemeinsten (d. h.

4 LttUrarischer Berieht CCXXXIIL

doch wol allgemeineren) Bedeutang zum erstenmal bei der Lehre von
den bestimmten Integralen auf. Er rechtfertigt dadurch eine voraus-
gehende Besprechung desselben. Noch mehr gerechtfertigt ist aber
jedenfalls die Forderung, dass zur Grundlegung der Theorie nicht
Sätze verwandt werden, die sich auf den speciellcren Begriff stützen.
Da der Verfasser sie ausser Augen setzt, da er den Differential-
quotieuten in die Betrachtung zieht, einige auf denselben fussende
Sätze über Integrale als bekannt citirt, daraus den Mittel wertsatz ab-
leitet und diesen wieder für die fernere Begründung gebraucht, so
ist die ganze vorausgeheude Besprechung, abgesehen von einem gros-
sen Teile, der schon für die Differentialrechnung notwendig, und
dahin zu verweisen ist, nur eine Störung des logischen Connexes.
Der Satz über den das Integral darstellenden Summengrenzwert liess
sich ohne alle Vorbereitung auf algebraischer Basis begründen ; aus
ihm folgten dann leicht der Mittelwertsatz, die Differentiation sowie
die übrigen bekannten elementaren Sätze, und die Bedingungen der
Gültigkeit, die wie richtig bemerkt immer nur als ausreichend nie a^s
notwendig nachgewiesen werden können, lagen dann weit übersicht-
licher zutage, als es auf dem längeren und heterogen gemischten
Wege der Herleitung erreichbar ist. H.

Die ersten Sätze der ebenen Geometrie. Grundbegriffe. Winkel.
Dreieck. Viereck. Von Aug. Moroff, Assistenten an der Studien-
anstalt zu Hof. Mit in den Text gedruckten Figuren. Hof. Franz
Büching. 45 S.

Indem wir, absehend von der besondern Bestimmung für gewisse
Schulen, das Werkchen als einen methodischen Versuch betrachten,
geleitet von dem Gedanken eine vorgefundene Abneigung der Anfänger
gegen das Studium der Geometrie zu überwinden, wird es hier nur
darauf ankommen, das Eigentümliche daran herauszustellen. Eine
vorausgeschickte Besprechung der Grundbegriffe giebt zu erkennen,
dass der Weg durch den Verstand zur Anschauung gewählt worden
ist. Ein solcher hat mindestens die gleiche Berechtigung wie der
umgekehrte, bei welchem überdies gewöhnlich die Verstandesentwicke-
lung vernachlässigt, oft sogar vereitelt wird. Die beste Wahl wird
immer ein Gleichmass in der Inanspruchnahme beider Fähigkeiten
sein. Die Besprechung ist stellenweis einfach, leichtfasslich und exact,
stcllenweis wieder geschraubt und nur für Kundige verständlich, z. B.
die Erklärung der Richtung durch die Visirlinie. Doch dem lässt
sich durch den Vortrag abhelfen; wichtiger ist es, dass sich, und
zwar nicht selten, das Richtige mit Falschem untermischt vorfindet
So steht z. B. hier: „Wir sagen, der Raum sei unbegrenzt — den-
noch betrachten wir ihn als ein Ganzes —'S Diese Aufstellung ist

Litterariacher Bericht CCXXXUL 5

nicht ZH ergänzen, sondern geradezu umzukehren: Der Raum ist
unbegrenzt; man spricht oft incorrcct von ihm, als wenn er ein
Ganzes wäre und Teile hätte. Femer liest man hier die falsche Be-
hauptung: „Eine ununterbrochene Folge von Punkten heisst eine
Linie". Die Vorstellungen der Bewegung und des gleichzeitigen Statt-
findens einer Vielheit mischen sich hier unklar durch einander. Dass
unendlich viele Punkte keine Linie ausmachen, war wichtig genug,
deutlich auszusprechen. Statt dessen wird der Unterschied geflissent-
lich vertuscht, und die Lücke des Verständnisses mit dem unverein-
baren Prädicat „ununterbrochen" verdeckt Aehnliches würde viel
zu rügen sein. Auch dorn Parallelensatz ist ein falscher Beweis bei-
gefügt worden; die darunterstehende Bemerkung, der Beweis sei
offenbar correct, kann die fehlende Gedankenverbindung nicht her-
stellen. ' H.

Reine Analysis.

Ueber eine Function, welche einer linearen Differential- und
Differenzengleichung vierter Ordnung Genüge leistet Von Dr. J. Tho-
mae, Professor an der Universität Freiburg in Baden. Halle a./S.
1875. Louis Nebert. 4^. 22 S.

Der Verfasser hat in den Gott Nachr. 1874 p. 249. die Differen-
tialgleichung, durch welche diese Function definirt ist, hergeleitet,
und führt gegenwärtig die damals angekündigte Absicht aus^ dieselbe
in ausgedehnterer Weise zu discutiren. Er definirt im Artikel I eine
Function P durch ihre Periodidtät und weist im Artikel II deren
Identität mit dem vollständigen Integr&le einer Differentialgleichung
4. Ordnung nach, woraus ihre Existenz sich ergiebt Im Artikel III
wird gezeigt, wie sich eine Differenzengleichung durch eine nach
6au8S*8chen /7- Functionen fortschreitende Reihe mittelst der Methode
der unbestimmten Coefßcienten integriren lässt, im Artikel IV, dass
die Function P auch noch das vollständige Integral einer Differenzen-
gleichung 4. Ordnung ist. Im Artikel V werden die Darstellungen
sämmtlicher Zweige der Function P in den Punkten 0, 1, oo durch
bestimmte Integrale aufgestellt, im Artikel VI die Anwendung von
Integralen gerechtfertigt, welche nach gewöhnlicher Definition keinen
Sinn haben. Im Artikel VII werden gewisse Coefficienten , die den
Zusammenhang der einzelnen Zweige von P unter sich vermitteln,
durch 77- Functionen und hypergeometrische Reihen 3. Ordnung dar-
gestellt. Der Verfasser hebt noch eine im Artikel IV enthaltene
Untersuchung als von allgemeinerem Interesse hervor, in welcher eine
aus den Lösungen einer Differenzengleichung 2. Ordnung und ihren
ersten Differenzen gebildete Determinante durch 77- Functionen voll-
ständig dargestellt wird. H.

6 Litterarischer Berieht CCXXXIIL

Elliptiscbo Functionen. Theorie und Geschichte. Aeademische
Vorträge von Dr. Alfred Euneper, Professor an der Universität
zu Göttingen. Halle a./S. 1876. Louis Nebert. 541 S.

Wenn man beim Erscheinen eines neuen Lelirbuchs über ellip-
tische Functionen hauptsächlich an 3 verschiedene Darstellungswcisen
denken kann, die historische, systematische und methodische, so ist,
wie der Titel es noch nicht kund giebt, hier sichtlich die zweite ge-
wählt worden. Für die Anordnung scheint vorzugsweise die Natur
des Lehrstoffs und die Uebersichtlichkeit der Resultate massgebend
gewesen zu sein, wenn man auch in einzelnen Punkten nicht mit der-
selben einverstanden sein kann, z. B. wo die Reduction der Integrale
in einem Abschnitt beginnt, in einem viel späteren fortgesetzt wird.
Die Geschichte hat dabei in doppelter Hinsicht Beachtung erfahren,
einesteils durch den, wie sich wol annehmen lässt, vollständigen Nach-
weis der zu den einzelnen Theoremen gehörigen Litteratur und durch
viele darauf bezügliche Notizen, audernteils durch die Reproduction
der Methoden aus den Originalarbeiten, welche im wesentlichen bei-
behalten sind. Beides ist jedoch nicht ausreichend den Entwickelungs-
gang der Entdeckungen im Zusammenhange, sowie die Art und Weise
der Beteiligung erkennen und so den historischen Gesichtspunkt als
obersten oder auch nur ernstlich ins Auge gefassten erscheinen zu
lassen. Mit jener Wiedergabe historischer Methoden wäre offenbar
die dritte Darstellungsweise unvereinbar gewesen. Nimmt mau sich
zum Ziele, den gesammteu Inhalt auf kürzestem, instructivstcm und
elegantestem Wege herzuleiten, so kann man nicht gleichzeitig Me-
thoden aufbewahren wollen. Erwägt man aber, dass zu letzterem
Zwecke die Jedermann zugänglichen Originalarbeiten genügen, und
dass im ganzen schon eine grosse Anzahl von Bearbeitungen der
Theorie existirt, so wird man einen wesentlichen Fortschritt in der
Methode von einem neuen Gesammtwerke Ober den Gegenstand mehr
erwarten und wünschen als nochmalige Reproductionen, und zwar
einen Fortschritt, der das Ganze, nichts wie die Darstellung des Ent-
deckers, das blosse Theorem im Auge hat. Der Verfasser sagt nun,
dass seine eigenen Arbeiten im 9. Abschnitt enthalten sind. Dieser
handelt von der Substitution nten Grades und der Multiplication und
besteht aus Deductionen namhafter Autoren, ohne Angabe was der
Verfasser dazu getan oder daran geändert hat; eine neue Beziehung
der Theoreme unter sich tritt hier so wenig wie in den übrigen Ab-
schnitten zutage. Consequenterweise ist mit den Methoden auch die
Bezeichnung beibehalten werden, was der Verfasser mit den Worten
motivirt: „Die Theorie, wie sie Jacobi hinterlassen, kann nicht als
abgeschlossen angesehen werden, so dass wol einer spätem Zeit eine
einheitliche Bezeichnung vorbehalten bleibt." Unter diesem Gesichts-

Litterarischer Bericht CCXXXllL ^

paukt durfte wol allenfalls Jacobi die Beibehaltung der Legendre'scben
Bezeichnung rechtfertigen, wiewol er sowenig, als es. Abel getan hat,
sich daran für gebunden zu halten brauchte. Heutzutage aber ist
der Grund gänzlich hinfällig, da kein Mensch mehr daran denkt, dass
die Theorie durch neue Entdeckungen in ihren Grundzügen verändert
werden könnte. Worauf wir dann noch warten sollen, ist nicht ab-
zusehen. Es handelt sich nicht um ein Uebereinkommen über frei
zu wählende Zeichen, sondern vor allen Dingen um Anerkennung der
Sachlage, die vermöge der Inversion eine andere ist, als sie für Le-
gendre war. Die Amplitude war ein aus praktischem Grunde ge-
wähltes Functionsargument, jetzt ist sie für Deductionen eine dispo-
nibele Yermittelung, für das Functionszeichen aber ein bedeutungsloses,
entstellendes Einschiebsel. Hierüber existirt keine Meinungsverschie-
denheit; entschliesst man sich aber, der Sachlage Folge zu geben,
so ist auch die Wahl der Zeichen keine Frage mehr; denn, mögen
es Viele oder Wenige sein, die der Gudermann'schen Bezeichnung
beigetreten sind, es sind eben Alle, die jenen Entschluss gefasst haben,
und von Seiten der Uebrigen liegt kein Einwand vor. Das einzige
zutreffende Motiv für die Beibehaltung der Legendre'schen Zeichen
ist daher die Erhaltung k tont prix, und dieses ist allerdings mit
dem Geiste des Buches in voller üebereinstimmung. Was den Um-
tang des Lehrstoffs betrifft, so wird man zwar in manchen Stücken
dem Ermessen des Bearbeiters gern überlassen die Grenzen zu be-
stimmen; in der Theorie der elliptischen Functionen kann jedenfalls
darüber wenig Zweifel sein. Dass aber das von Abel so kurz und
elegant gelöste Problem der Division der elliptischen Functionen, nebst
der daraus leicht hervorgehenden Lösung für die Thetafunctionen
keine Aufnahme gefunden hat, ja nicht einmal erwähnt ist, lässt sich
kaum durch irgend welche Erwägungen erklären. Nach Behandlung
der Multiplication im letzten Abschnitt muss die Frage der Division
entstehen; hier aber bricht das Lehrbuch ab und lässt den Leser
ohne Bescheid. Bei allem indes, was im einzelnen zu misbilligen bleibt,
ist anzuerkennen, dass das Buch das Interesse der Studirenden mehr
im Auge hat, als es eine Reihe von Erscheinungen auf dem gleichen
Gebiete betätigt haben. Nachdem eine Zeitlang Methoden beliebt wa-
ren, welche die Anfangsgründe aus der Theorie der Complexen her-
leiten, also an sich Deutliches auf undeutlichen Grund stellen, dadurch
die Einbildung des Wissens mehr als die selbständige Productions-
und Urteilskraft fördern, den Studirenden gerade das verschweigen,
was sie bei Vorkommen elliptischer Integrale in eigenen analytischen
Bechnungen notwendig brauchen, um von der Theorie Anwendung
zu machen, musste eine Rückkehr zur natürlichen reellen Methode
schon als solche willkommen sein, so wünschenswert es auch war^
dass sie sich durch höhere Ausbildung mehr empfohlen hätte, gerade

g Lülerarücher Bericht CCXXXIII

um der überhand nehmenden Macht des verkehrten didaktischen
Prineips den Boden zu entziehen. H.

Geometrie.

Elemente der Geometrie. Erste Abtheilung. Geometrie der Ebene.
Systematisch entwickelt von Dr. Friedrich Krase, Oberlehrer am
königlichen Wilhelmsgymnasium zu Berlin. Berlin 1875. Weidmann.
319 S.

Das Vorliegende ist eine neue Bearbeitung der Geometrie der
Lage. Obgleich keine directo Aeusserung darüber gegeben ist, scheint
doch die Bestimmung für den Schulgebrauch teils indirect angedeutet
zu sein, teils aus dem Umfang der behandelten Gegenstände zu er-
hellen. Der Verfasser sagt, auf fremde Aeusserung gestützt: es habe
bisher nur an dem einen gefehlt, dem Principe der Projectivität auch
im Gebiete der Euklidischen Geometrie die Herrschaft zu verschaf-
fen ; er glaube mittels einer eingehenderer Gliederung der perspecti vi-
schen Lage diese Herrschaft fest begründet und die Grundlagen eines
Lehrgebäudes klar gelegt zu haben , das den richtigen wissenschaft-
lichen und didaktischen Anforderungen in hohem Grade genüge. Da
die gegenwärtige Bearbeitung die räumlichen Grundbegriffe giünd-
licher, exacter und richtiger behandelt als die meisten Lehrbü<'her der
Geometrie es tun, so ist es wol am Orte, die bestimmten Punkte zu
besprechen, welche in dieser Hinsicht versciiiedenes vermissen lassen.
Der erste bezieht sich auf die Austührungen jm Vorwort Hie r ist
das Verhältniss, in welches der Verfasser die Geometrie der Lage zur
Euklidischen Geometrie stellt, ganz ungenügend. Es trifft nicht ein-
mal genau zu, dass letztere von der Grösse, erstere von der Lage
handele: in der Euklidischen sind, gleichviel ob viel oder wenig da-
voft die Rede ist, die Elemente *der Lageubestimmung vollständig ent-
halten. Was er aber ganz iguorirt, ist das entgegengesetzte didakti-
sche Ziel beider, dass nämlich letztere die Couceutration auf die
notwendigen Bedingungen mathematischer Erkenntniss, erstere die
Ausbreitung und Systematisirung des Lehrstoffs verfolgt. Soll aber
erstere die Herrschaft im Gebiete der letzteren gewinnen, so muss
man verlangen, dass sie entweder dahin gelangt das Concentrations-
vermögen in gleichem Masse zu cultiviren oder zeigt, dass es über-
flüssig sei, was kein wissenschaftlicher Mathematiker zugeben wird.
Die gegenwärtige Bearbeitung besteht nur in Ausbreitung und Glie-
derung. Soviel mau auch Wert auf diese legen mc^, zur mathema-
*^sch wissenschaftlichen Bildung den Grund zu logen reicht sie nicht
1. Anders haben andere Bearbeiter das Verhältniss aufgefasst

Litterarischer Bericht CCXXXIIL 9

Tbomae (s. litt. Ber. 229. S. 6.) charakterisirt die Geometrie der Lage
als die allgemeinere, auf weniger Yoraassetznngen basirte, worans eine
wertvolle Verwendung für das Studium der Methodik, aber nicht für
den Elementarunterricht hervorgeht.

In dem Hauptstück über die Grundbegriffe finden sich 3 Stellen,
welche der Ergänzung bedürfen. Bei Einführung der Bewegung (§. 4.
S. 3) fehlt die notwendige Voraussetzung des Grundbegriffs der Con-
gmenz. Wird diese Voraussetzung nicht ausgesprochen, so bleibt eine
Unklarheit für die ganze Folge zurück. Schreibt man einem Kaum-
gebilde Bewegung zu, so gehört dazu die Vorstellung, dass es bei
Ortsveränderung dasselbe bleibe. In der Physik beruht diese Iden-
tität auf der Materie, in der Geometrie, welche davon abstrahirt,
kann sie nur in der Congruenz bestehen, man müsste denn den Be-
griff der Bewegung weiter ausdehnen wollen, als es hier und gewöhn-
lich geschieht Der Mangel macht sich besonders bei Erklärung der
Geraden bemerklich. Zweitens ist die Erklärung einer Strecke (§. 4.
S. 5.) nicht in Uebereinstimmung mit der Anwendung. Nach jener
giebt es zwischen 2 Punkten nur eine Strecke, nach dieser 2 ent-
gegengesetzte. Letzteres ist richtig, die Erklärung ist zu berichtigen.
Drittens ist (§. 7. S. 6.) bei Verschiebung einer Geraden nur von
Verschiebung in sich die Rede; wie es mit der Verschiebung nach
aussen steht, fehlt jede Erörterung. H.

^I^ments de g^om6trie projective. Par Luigi Cremona, Di-
recteur de T^cole d'application des Ingenieurs ä Rome, traduits, avec
la collaboration de Tanteur, par Ed. Dewulf , Chef de bataillon du
G^nie, Officier de la Legion d'Honneur, etc. Premiere partie. Paris
1875. Gauthier-ViUars. 272 S.

Die Bestimmung des Buchs ist es nach Erklärung des Verfassers,
die Kenntniss der Theorien und Methoden der neuern synthetischen
Geometrie, von Camot, Brianchon, Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles,
Staudt u. A. sämmtlich in der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts
geschaffen, auf den italienischen Schulen zu verbreiten. Obwol er
dem Werke in keiner Hinsicht Originalität zuschreibt, so ist dasselbe
doch keine blosse Reproduction; die einheitliche Verarbeitung nach
dem Gesichtspunkt leichtest möglicher Aneignung ist jedenfalls eine
Leistung, die ihm als eigene zukommt. Er deutet dies nur in Form
einer Rechtfertigung an, indem er sagt, dass er sich an den Gang
der einzelnen Autoren nicht gebunden habe. Eine gleiche Freiheit
nimmt er zum Zwecke der Verdeutlichung und Vereinfachung auch
in Anspruch, indem er sich nicht auf exclusiv planimetrische Be-
trachtung beschränkt, vielmehr öfters auch Raumgebilde ausser der

10 LitterarUcher Bericht CCXXXllL

Ebene zuzieht. Eine dritte Licenz, zu der er sich bekennt, ist, das«
er nur selten die Quellen citire, auch bisweilen andere als die ersten
Bearbeitungen angebe; er habe bei den wenigen Citaten allein den
Zweck, die Jugend mit den Namen der grossen Meister der Wissen-
schaft bekannt zu machen. Gegen das Verfahren an sich, nur unter
anderm Gesichtspunkte, würde nichts einzuwenden sein; bei Anwen-
dung oder Verbreitung längst bekannter Sätze und Methoden denkt
man gewöhnlich nicht daran, ihre Entdecker zu nennen, und oft
wird man Veranlassung haben auf eine leichter zugängliche Sduift
als auf die Originalschrift zu verweisen. Mit dem hinzugefügten
Motiv hingegen, wenn man von dem vorliegendem Falle und den
Personen absieht, auf die es sich hier bezieht, wird die Maxime einer,
unserer Zeit durchaus nicht fremden, intriganten Agitation prodamirt,
welche unter dem obigen Vorgeben durch vorzugsweise Citation be-
rühmter Namen die unverdiente zeitweilige Berühmtheit zu schaffen
und zu vermehren, die ihr entgegenstehenden Leistungen in Unbe-
kanntschaft zu erhalten sucht. Da der Verfasser, natürlich ohne es
zu wollen, diese Taktik durch Bekeuntniss zu jenem Motiv selbst in dem
flagranten Falle gutheisst, wo der verschwiegene, weniger gekannte
Autor wirklich dasselbe geleistet hat — denn meistens wird das ver-
schwiegen, was die Richtung des bevorzugten Schriftstellers kreuzt
— so ist voller Grund gerade hier auf die Verwerflichkeit des Prin-
cips, welches unter populärem Titel angekündigt nicht nur einer
grossen Ungerechtigkeit, sondern auch einer Verzögerung der Fort-
schritte der Wissenschaft dient, aufmerksam zu machen. Doch nur
gegen das Princip soll hier Einspruch erhoben werden; im Vorwort
finden sich die Entdecker der Reihe nach aufgeführt, auf welche im
Hauptwerke kein Bezug genommen werden konnte. H.

Ueber Pole und Polaren der parabolischen Curven dritter Ord-
nung. Von Dr. Ad. Hochheim, Oberlehrer an der Höheren Ge-
werbeschule zu Magdeburg. Halle a. S. 1875. Louis Nebert 4®.
16 S.

Die Schrift untersucht nach einander Gestalt, Lage, Eigenschaften
der konischen, der geraden Polare, die Durchmesser einer paraboli-
schen Curve 3. Ordnung, die Pole einer Geraden, Beziehungen der
Polaren zu einander, die gemischte Polare zweier Punkte, Polaren,
deren Pole auf einer parabolischen Curve 3. Ordnung liegen, die
Hesse'sche Curve einer solchen Curve, die harmonische Polure, den
begleitenden Kegelschnitt, die Polokonik und gemischte Polokonik
•»weier Geraden. H.

Uüerariscker Bericht CCXXXl V. 11

Litterarischer Bericht

CCXXXIV-

Geometrie.

Ueber gleicheckige und gleichkantige Polygone. Von Dr. Ed-
mund Hess, Privatdocent an der Universität Marburg. (Aus den
Schriften d. Gesellsch. z. Beförd. d. gesammten Naturwiss. zu Mar-
burg. Bd. 10, 12. Abhdl.). Cassel 1874. Theodor Kay. 133 S.

Ueber zwei Erweiterungen des Begriffs der regelmässigen Körper.
Von Dr. Edmund Hess, Privatdocent an der Universität Marburg.
20 S.

Unter dem Namen „gleicheckige, gleichkantige Polygone" werden
solche Polygone gerader Seitenzahl eingeführt, deren Winkel, bzhw.
Seiten sämmtlich, deren Seiten, bzhw. Winkel alternirend gleich sind,

f _

wie Rechteck und Rhombus. Der Betrachtung solcher Polygone gehen
einige allgemeine Anordnungen und Sätze, ebene Vielecke überhaupt
betreffend voraus. Die folgenden Capitel handeln von den verschie-
denen Arten und Varietäten der gleicbeckigen Figuren, den vollstän-
digen durch die (n-{-7<) Kanten eines gleicheckigen 2necks gebildeten
Figuren, einer anderen Art der Entstehung gleicheckiger 27iecke, den
verschiedenen Arten und Varietäten der gleichkantigen Figuren und
deren wichtigsten Eigenschaften. Wir müssen es denjenigen, denen
es Vergnügen machte sich an dergleichen Excursen zu beteiligen, über-
lassen davon Kenntniss zu nehmen.

Bot die erste Schrift noch zu geringen Anlass, gewisse Mängel
in Angaben und Begriffsbestimmungen zu erwähnea, so können die-
flelben um der zweiten willen, in der sie stark vermehrt auftreten,

T«U UX. Ben 2. 2

12 Litterarischer Bericht CCXXXIV.

nicht unbesprochen bleiben. Die Beschlagnahme allgemeiner Termini
(Art, Fignr, regelmässig, u. s. w.) für specielle Begriflfe mag in den
Grenzen einer Abhandlung bei consequcntcr Beschränkung gestattet
sein; nur muss der Autor sich des Doppelsinns bewusst bleiben, den
eine fernere Anwendung seiner Ausdrücke herbeiführt, und sich selbst
für jede daraus entspringende Undeutlichkeit verantwortlich machen.
Bei Vorkommen eines einzelnen doppelsinnigen Wortes pflegt der
Leser bereitwillig die Entscheidung durch nachfolgende Aeusserungen
abzuwarten. Folgen aber bald nach einander 5 doppelsinnige Aus-
drücke, so ist es gewiss keinem Leser zuzumuten, die entsprechenden
32 Deutungen durchzuprobiren. In ähnlichem Masse häufen sich in
der Tat hier die unvollständigen Angaben und halb erklärten Be-
nennungen. Kante soll beim Polygon etwas andere« sein als Seite;
Kante ist erklärt, Seite nicht. Ob unter Polygon der Linienzug oder
das Flächenstück zu verstehen sei, bleibt in der ersten Schrift un-
entschieden; die zweite hebt den Zweifel nicht, sondern vervielfältigt
die Ungewissheit noch sehr durch Uebertragung auf räumliche Ge-
bilde. Der Gebrauch des Wortes Oberfläche stimmt nicht mit dem
geiÄÖhnlichen; doch fehlt hier jede Definition. Alles vermisste auf-
zuführen würde nicht lohnen, auf den ferneren Inhalt der Schrift
können wir aus dem genannten Grunde nicht wol eingehen. Kur
über die Aufstellung des Themas der Betrachtung sei bemerkt, dass
dieselbe in viele überflüssige und zum Teil nicht zutreffende Worte
eingehüllt ist. Regelmässig heisst offenbar nichts weiter als ^wxch
Regel bestimmt; durch welche Regel, sagt das Wort lucht. Seine
anfängliche Usurpation für die 5 regelmässigen Polyeder hatte sich
keines Widerspruchs zu versehen, weil keine Anwendung des Wortes
im allgemeinen Sinne denkbar war. Eine gleiche Benennung für
Polyeder unter erweiterten Bedingungen ist dann keine Erweiterung
des Begriffs der regelmässigen Polyeder, sondern bestreitet das
Recht der ersten Usurpation, consequenterweise verurteilt sie sich
zugleich selbst. Es wird dem Verfasser gewiss nicht in den Sinn
kommen, dass seine Polyeder eine bedeutungsvollere Begrenzung der
Regelmässigkeit für die Geometrie darbieten als die bekannten fünf.
Warum klammert er sich dann an einen unrechtmässigen Namen an
und lässt nicht die Sache für sich selbst sprechen? Hätte er statt
Namen anzuführen kurz und bündig die Bedingungen für die sog.
Platonischen, dann die Poinsot'schen Polyeder ausgesprochen, so wäre
es daran anknüpfend leicht gewesen die selbst gewählten Bedingungen
deutlich zu fonnuliren und zu motiviren. Dies geschieht jedoch nicht;
vielmehr lässt er, als wenn der Nimbus gerade sein Zweck und Streben
wäre, letztere aus eingestreuten Andeutungen gemischt mit Folgerun-
gen, man sieht nicht, wo sie herkommen, erraten. H.

Litterartscher Bericht CCXXXlV. lä

Trigonometrie-

Trait6 de trigonom^trie. Par J. A. Serret, Membre de Tln-
stitut, Professeur au College de France et ä la Facult6 des sciences
de Paris. Cidqui^me Edition. Paris 1875. Gauthier- Villars. 336 S.

Das Werk giebt sich durch seinen elementaren, methodisch ge-
ordneten Lehrgang als Lehrbuch für Schulen zu erkennen und zeichnet
sich als solches durch Ausführlichkeit, exacten Ausdruck und elegante
Darstellungsweiso aus, beschränkt sich jedoch nicht auf die notwen-
digen Grundlagen, sondern verwebt damit eine grosse Menge des
Wissenswerten ohne gerade ein umgrenztes Thema erschöpfen zu
wollen. Logische Gründlichkeit wird man zwar selten vermissen; doch
wird sie in Punkten, wo sie eine eigens darauf gerichtete Aufmerk-
samkeit erfordern würde, wie z. B. bei Grenzwerten, Convergenz der
Reihen u. a., ohne weiteres als Nebensache bei Seite gesetzt-, dass
i%x^x steht als unbewiesener mitten unter bewiesenen Sätzen, so
als ob der Schüler nicht darauf achten sollte. Das Buch ist in 6
Capitel geteilt: 1) Circuläre Functionen 2) Construction und Gebrauch
der Tafeln 3) das geradlinige 4) das sphärische Dreieck 5) Moivre-
sche Formeln und höhere Theorie der Kreisfunctionen 6) Auflösung
der Dreiecke mittelst der Reihen uud Diferentialformeln. H.

Geodäsie und praktische Geometrie.

Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von F. A. Klingen-
f eld, ordentl. Professor der darstellenden Geometrie und der mecha-
nischen Technologie au der k. polytechnischen Schule zu München.
Band IIL Mit vier Tafeln. Nürnberg 1876. Fnedr. Korn. 96 S.

Dieser dritte Band tritt als Vermehrung eines schon wiederholt
aufgelegten in 2 Bänden bearbeiteten Lehrbuchs auf, damit es den
Bedürfnissen der technischen Hochschulen entsprechen könnte, wozu
die Behandlung der Schatteuconstruction und der Perspective erfor-
dert wurde, die anfänglich noch fehlte. Der Gegenstand ist nicht
dasjenige Zeichnen, welches das Bild zur Entnahme der exacten wirk-
lichen Anordnung und Abmessung durch einfachste Beziehung dazu
entwirft, sondern dasjenige, welches dem Totaleindruck dient. Aus
diesem Grunde wählt der Verfasser bei der Parallelperspective , mit
Verwerfung der 2 oder 3 orthogonalen Risse, den einen Riss auf der
schräg gestellten Tafel. Ausser der Schatteuconstruction im 6. Ab-
schnitt, werden im 7ten und 8ten noch die Parallel- und Central-
perspective behandelt, worauf schliesslich Aufgaben folgen. Die geome-
trischen Grundlehren werden hier als bekannt vorausgesetzt. H.

a^

14 Lüterarischer Bericht CCXXXIV.

Mechanik.

Die graphische Zusammensetzung der Kräfte. Ein Beitrag zur
graphischen Mechanik von Friedrich Steiner. Mit 27 in den Text
gedruckten Holzschnitten. Wien 1876. Carl Gerold's Sohn. 40 S.

Die hier behandelte Doctrin beruht auf einer bekannten reciproken
Beziehung zwischen Geometrie und Statik. Man kann im Interesse
der Statik die Zusammensetzung der Kräfte auf constnictivem Wege
ausführen; man kann aber auch umgekehrt in rein geometrischen
Interesse von den in der Statik gewonnenen An«chauungen und Me-
thoden Verwendung machen. Von letzterem Gesichtspunkte aus hat
die Methode von Bellavitis für die Geometrie der Ebene einen hohen
Grad der Entwickelung und Ausbildung erfahren. Für die gegen-
wärtige Schrift hingegen ist die Aufgabe der Statik allein massgebend;
ausserdem umfasst sie von Anfang an die 3 Dimensionen des Raumes.
Im Grunde müssen beide Auffassungswoison dieselbe Theorie ergeben;
nur entwickelt sich diese in andern Richtungen und begrenzt sich
unter der statischen weit enger als unter der geometrischen; denn die
Aufgabe der Statik ist durch die Reduction des Kräftesystems,
welches hier zunächst als Pyramide der Kraftlinien construirt, dann
auf das Raumpolygon zurückgeführt wird, erledigt, während sich fttr
die geometrischen Verwendungen keine Grenze ersehen lässt

Die Darstellung lässt in den ersten Elementen Klarheit vermis-
sen, wodurch jedoch die Deutlichkeit auch im weiteren merklich be-
einträchtigt wird. Der Verfasser sagt: „Das Wesen der Kraft ist
uns unbekannt". In der Tat zeugt die ganze Einleitung von einer
Unbekanntschaft mit dem Wesen der Kraft, wie sie nur bei Solchen
vorkommt, die dem Studium der Mechanik fern geblieben sind, und
sich mit vulgären Vorstellungen begnügen. Ihr zufolge soll die Kraft
die Ursache der Ortsveränderuug sein, u. a. dergl. Der Unbestimmt-
heit, in welcher für den Verfasser der Begriflf der Kraft schwebte,
mag es wol zuzuschreiben sein, dass er sich über die Anfangsgründe
der Statik, die Bedingungen des Gleichgewichts gar nicht ausspricht,
sondern sofort zu Constructionen schreitet, ohne nur die Vorstellungen
fixirt zu haben, ob die Angriffspunkte frei oder so und so verbunden
gedacht werden sollen. H.

Praktische Mechanik.

Ueber die Quelle und den Betrag der durch Luftballons geleisteten
Arbeit. Von Josef Popper. Mit 1 Tafel. Sitzber. d, k. Akad. d-
W. LXXI. 2. Abth. Aprü. Wien. 1875. 37 S.

Lüterarisehtr Bericht CCXXXIV. 15

Es wird die bei Füllung aufgespeicherte and die beim Steigen
geleistete Arbeit eines Luftballons berechnet und gleichgesetzt, und
zwar besonders erst für leeren Ballon, dann mit Gas, dann mit warmer
Luft gefüllten. Gleich von Anfang aber wird als null betrachtet das
Gewicht des Ballons, der Luftwiderstand, die Variabilität der Erd-
anziehung und der Temperatur. Es ist demnach weder auf Erreichung
grosser Höhen noch auf schnelles Steigen gerechnet-, vielmehr handelt
es sich nur um die schliesslich gestellte Frage, ob sich der Luft-
ballon mit Vorteil zur Hebung von Lasten, namentlich aus Schachten,
eigne. H.

Theoretische Untersuchung der Constructionssysteme des Unter-
baues von Locomotiven. Von Johannes Einbeck, Ingenieur, Mit-
inhaber der Firma Einbeck u. Vetter in Frankfurt a. M. Mit 11
lithographirten Tafeln. Leipzig 1875. Leopold Voss. 127 S.

Im Anfang der Schiift wird ausgeführt, und daraus der Anlass
zur gegenwärtigen theoretischen Untersuchung genommen, dass die
Locomotiven in Betreff des Oberbaues, des krafterzeugenden Bestand-
teils, schon sehr frühzeitig ihre definitive Gestalt gewonnen haben,
indem die vom Engländer Stephenson construirte Maschine dauernd
als Vorbild einer grossen Zahl verschiedener Systeme diente. Von da
waren alle Verbesserungsversuche darauf gerichtet den Unterbau so
zu coobtruiren, dass alle Störungen beseitigt und ein gleichmässiger
Gang erzielt wurde. Nach einem kürzern Abschnitt über die Zug-
kraft werden die Bedingungen eines solchen unter Berücksichtigung
aller erfahrungsmässigen Störungen einer eingehenden und ziemlich
ausgedehnten Rechnung unterworfen. H.

Optik.

Untersuchungen über die scheinbare Ortsveränderung eines leuch-
tenden Punktes, herbeigeführt durch ein von zwei parallelen Ebenen
begrenztes, lichtbrechendes Medium. Mathematisch-physikalische Ab-
handlung von P. Moennich, Rostock. Mit vier Tafeln. Rostock
1875. Wilh. Werther. 47 S.

Die Schrift behandelt die im Titel vollständig ausgesprochene
leichte Aufgabe mit grosser Ausführlichkeit und leicht verständlichem
Vortrag. Die möglichen Fälle werden zuerst für ein Auge, dann für
zwei, einzeln durch Rechnung gelöst, die Abhängigkeit der Ablen-
kungswinkel und Entfernungsänderungen discutirt und die Maxima
und Minima ermittelt H.

16 lAUerarucher Bericht CCXXXIV.

Astronomie und Meteorologie.

ücber die Möglichkeit einer Axonänderung der Erde. Von
Friedrich Stark, Major im kgl. Bayerischen II. Infanterie-Regi-
ment. München 1875. Theodor Ackermann. 32 S.

Die Schrift führt uns Gedanken eines Laien über die Bildung
des Erdkörpers vor. Doch selbst in dieser Kategorie steht sie hinter
den zahlreichen Schriften über das beliebte Thema zurück, sofern sie
keiner Art Fähigkeiten kund giebt, die etwa für den Mangel an Sach-
verständniss entschädigen könnten. Die Anschauung ist so wenig ent-
wickelt, dass, häufig wechselnd, von Axenstellung im Baume und im
Körper die Rede ist, als ob beides dieselbe Sache wäre. Noch mehr
aber vermisst man die Fähigkeit des verständlichen, unzweideutigen
Ausdrucks : bei Beschreibung von Vorsuchen fehlen die notwendigsten
Angaben, auch bleibt das Ziel sehr im Dunkeln. Ebenso wenig ist
ein geordneter Gedankengang durch das Ganze zu entdecken. H.

Die Gesetze der Kometen, abgeleitet aus dem Gravitations-Ge-
setze von Albert R. v. Miller-Hauenfels, Professor a. D. in
Graz. Graz 1875. Leuschner u. Lubensky. 118 S.

Nach Ansicht des Verfassers sind die Kometen Gasbälle, die durch
einen im Welträume gleichmässig vorhandenen, zur Anziehung der
eigenen Masse hinzutretenden Druck, hervorgebracht durch ein äusserst
dünnes Gas, zusammengehalten werden. Unter dieser Annahme unter-
sucht er nach einander: die allgemeinen Gesetze für einen Gasball
im freien Räume, die Dichte und Temperatur der Himmelskörper,
iusbesondere der Kometen und Meteoriten, die Gestalt der schweif-
losen Kometen, die Gestalt und inneren Bewegungen der geschweiften
Kometen und schliesst mit Betrachtungen über den wahrscheinlichen
einstigen kometarischen Zustand der Planeten. Die Untt:r8ucbnng
nimmt in jedem einzelnen Fragepunkte einen recht gründlichen, ex-
. acten Anfang, doch werden die Rechnungen nicht viel weiter geführt,
als ihre Entwickelung in bekannten mechanischen Theoremen bereits
vorgefunden ward; von da an werden noch eine Zeitlang die Vor-
gänge an den Teilen ohne Rücksicht auf das System verfolgt, und
endlich bringt die lose Phantasie mit AusserachÜassung aller Causal-
Verbindung das gewünschte Ziel herbei. Die Schweife sollen aus Teilen
der Kometen entstehen, welche zuerst nach der Sonne zu abgerissen,
um den Kometen herum weit nach der abgekehrten Seite hin fliegen,
dann von ihm wieder zurückgezogen werden. Hier beruht aber allein
die Abtrennung auf einer, noch dazu falschen, Rechnung. Es ist nicht
beachtet worden, dass die Anziehung der Sonne durch die Centn-

LÜter arischer Bericht CCXXXIV, 17

fugalkraft im Schwerpunkt aufgehoben wird, daher die Abstände des
neutralen Punkts nicht in zweiter, sondern in dritter Potenz in An-
rechnung zu bringen sind. Doch, wo auch immer der neutrale Punkt
liegen mochte, es ist unbegreiflich, wie der Verfasser einer Kraft, die
momentan null, vor und nachher, sowie in der Umgebung, unendlich
klein ist, die Wirkung einer plötzlichen, tumultuarischen Bewegung
zuschreiben konnte, welche die abgetrennten Teile fortschleudern
sollte. Ebenso fehlt aller Grund für die fernere Bewegung, wie er
sich dieselbe vorstellt. H.

Grundzüge der Meteorologie. Die Lehre von Wind und Wetter
nach den neuesten Forschungen gemeinfasslich dargestellt von H.
Mohn, Professor der Meteorologie an der Universität zu Christiania,
Director des k. norwegischen meteorologischen Instituts. Deutsche
Originalausgabe. Mit 24 Karten und 35 Holzschnitten. Berlin 1875.
Dietrich Reimer. 304 S.

Dieses bereits ruhmvoll anerkannte Werk kann man unbedenk-
lich den grössten didaktischen Leistungen zuzählen, die auf irgend
einem wissenschaftlichen Gebiete betätigt worden sind. Es gehörte in
der Tat eine seltene Begabung dazu,. bei Behandlung eines Gegen-
standes, der mit der Zeit so grosse Dimensionen angenommen hat)
und der theoretischen Concentration einen so hartnäckigen Widerstand
darbietet, wie die Meteorologie, die beiden auf dem Titel genannten
Ziele, Einführung in den Standpunkt der neuesten Forschungen und
Gemeinfasslichkeit, so vollkommen vereint zu erreichen. Physikalische
Einsicht und richtige Logik, welche man wol sonst geneigt wäre als
selbstverständliche Voraussetzungen unerwähnt zu lassen, müssen gleich-
wol factischon Zuständen gegenüber als Auszeichnungen genannt wer-
den, welche dem Vorliegenden ohne Einschränkung zuzuerkennen sind.
Namentlich hat es der Verfasser verstanden, ohne Unterbrechung des
Connexes der Darstellung die hypothetischen Elemente sammt den
mehr und weniger sichern Folgerungen sichtlich geschieden zu er-
halten von der Mitteilung und Anordnung der Tatsachen. Obwol die
Aufgabe der Meteorologie in der Erforschung der Ursachen der Ver-
änderung der Zustände liegt, so bringt es doch ihre Eigentümlichkeit
mit sich, dass bei weitem der grösste Teil des Vortrags der Auf-
fassung der Zustände selbst gewidmet sein muss, dass es daher erst
einen umfangreichen Lehrstoff rein beschreibend zu behandeln giebt,
ehe von Ursachen, d. h. von der in Atmosphäre factisch wirksamen
Combination derselben, nicht von den experimentell darsteDbaren
Wirkungsrelationen, welche letztere zur Auffassung beitragen und sich
von der Beschreibung nicht sondern lassen, klarerweise die Rede sein
kann. Im Zustand der Atmosphäre scheiden sich 5 Elemente, die in

18 Lüterarischer Bericht CCXXXIV,

den ersten 5 Capiteln behandelt werden: Temperatur, Wasserdampf-
gehalt, Druck, Wolkeubildung und Niederschlag. In Betreff eiiMJS
jeden werden die Instrumente und das Beobachtungsverfahren, die
eingeführten Gradirungen und Classificirungen , die Statistik der Re-
sultate, die sich local und temporal ausdehnt, und deren Verwendungs-
weise beschrieben. Die locale Darstellung wird nach wenigen Bei-
spielen durch Karten vertreten. Hierauf handelt das sechste Capitel
vom Wetter, wo nun das Zusammenwirken aller vorher betrachteten
Umstände discutirt wird. Besonders ausführlich werden die Voi^ftnge
bei den Wirbeln und deren Bewegungen erörtert Es folgen dann
noch 3 Capitel über die Stürme, die Gewitter, die Klimatologie und
Vorausbestimmung des Wetters. Das Buch war 2 Jahre früher in
norwegischer Sprache erschienen. Die Karten der isothermischen
und isobarischen Linien sind nach Dove und Bucban mit Benutzung
des später hinzugekommenen Materials construirt, die Karten über
den Druck der Wasserdämpfe neu entworfen. Als Hauptquellen führt
der Verfasser die klimatologischen Mitteilungen in der Zeitschrift der
österreichischen Gesellschaft für Meteorologie und die Publicationen
des meteorological office in London, der schottischen meteorologischen
Gesellschaft, des niederländischen meteorologischen Instituts sowie
die Jahrbücher und Bulletins der übrigen meteorologischen Central-
anstalten an. H.

Physik.

Die beiden ürkräfte der Natur. Ein Beitrag zur Phjrsik und
Astronomie von H. C. Howe. Lübeck 1876. Rudolf Seelig. 98 8.

Eine Probe von unentwickeltem Denkvermögen ip einem Grade,
wie es nur bei keinem oder ganz erfolglosem Schulbesuch vorkommen
kann, und wo man gern jeden Versuch einer Verständigung aufgiebt,
in starkem Contrast mit dem Umfang herbeigezogener Kenntnisse
von physikalischen Gegenständen. H.

Das Moleculargesetz mit besonderer Anwendung auf das Wasser,
den Wasserdampf und die Luft. Von P. E. Härder. Hamburg 1866.
Otto Meissner. 168 S. — Ergänzungen und Erläuterungen zum
Vorstehenden. 1874.

Mit dem Moleculargesetz bezeichnet der Verfasser die von ihm
hypothetisch aufgestellte Relation

zwischen dem Druck P, der Temperatur T und der Dichtigkeit m

LUterarischer Bericht CCXXXIV. 19

eines voUkomraeuen Gases. Der Ausdruck wird zwar durch voraus-
gehende Betrachtung motivirt, und tritt der Darstellungsform nach
als Resultat auf, doch beschränkt sich die Betrachtung auf beliebig
ausgesonderte Teile in speciell gewählter Anordnung und bleibt weit
entfernt von einer wirklichen Deduction. Der Hauptrelation wird

eine zweite

F2 = T-{- Bm\

zur Seite gestellt, worin V die Atomgeschwindigkeit bedeuten soll.
Beide haben im Grunde mit Molecularvorgängen nichts zu schaffen,
da solche weder untersucht worden sind, noch von der untergelegten
Beziehung der summarischen Grössen K u. s. w. auf Bewegung der
Atome irgendwo Gebrauch gemacht wird, so oft sie sich auch erwähnt
findet Daher ist ein priucipiell theoretischer Fortschritt in der Auf-
stellung nicht wol ersichtlich ; es kann sich bloss noch darum handeln,
ob dieselbe den Wert einer empirischen Formel hat. Dem ent-
sprechend werden dann auch im Verlauf der Schrift die Gonsequenzen
der Relation für das Verhalten des Wassers, des Wasserdampfs und
der Luft enti^ickelt Die Vergleichung derselben mit Versuchsresul-
taten, auf die es jetzt ankam, da von ihr allein noch ein günstiges
Urteil zu erwarten war, ist eine äusserst dürftige, und selbst die
wenigen Angaben zeigen keine befriedigende Uebereinstimmung. Durch
die 8 Jahre später erschienenen Ergänzungen und Erläuterungen, in
welchen der Verfasser gewisse Mängel der Begründung einräumt, die
Aufstellung selbst aber aufrecht hallen will, ist nicht das mindeste
gebessert Zum grössten Teil sind sie auf fernere Stützung der un-
genügenden Vorbetrachtungen gerichtet, die sie aber nur vervielfältigen
und mit überflüssigem Wortreichtum umgeben. H.

Exposition analytique et experimentelle de la throne m^caniqne
de la chaleur. Par G. A. Hirn. Troisiöme edition, enti^rement
refondue. Tome second. Paris 1876. Gauthier- Villars. 435 S.

Dieser zweite Band schlicsst den ersten Teil der mechanischen
Wärmetheorie. Er enthält davon das 4te und 5te Buch. Ersteres
beschäftigt sich ausschliesslich mit den thermischan Motoren, letzteres
behandelt nach einander folgende Themata: die absolute Wärme-
capacität der Körper, die innere Arbeit an sich betrachtet, die Zer-
legung der innern und äussern Arbeit in ihre verschiedenen Factoren,
das Gesetz, welches das Atomvolum, das interatomische Volum, das
zur Erscheinung tretende Volum, den innern und äussern Druck und
die absolute Temperatur verbindet, die Ausdehnung des Gesetzes für
Wärmequantum und Temperatur auf Liquiden und die Allgemein-
gültigkeit desselben. Es folgt dann noch ein Rückblick, eine kritische
Besprechung einzelner Punkte und allgemeine Schlüsse. H.

20 Utterarischer Bericht CCXXXIV,

Die Theorie der Wärme. Von Dr. Hermann Scheffler. Mit
einer Figurontafcl. Braunschweig 1875. Friedrich Vieweg und Sohn.
71 ß.

Aus einem beigefügten Prospect ersieht man, dass das Vorliegende
als Probestück aus einem Universal werke, die gesammte Naturwissen-
schaft einschliesslich der Naturphilosopie unter dem Titel : „Die Natur-
gesetze" umfassend, ausgegeben wird, um im voraus Gelegenheit zu
einer Beurteilung darzubieten. Gleich der Anfang der Schrift, in
welchem der Verfasser eine Originalhypothese aufstellt, zeugt von
einer seltenen Unfähigkeit seine Gedanken mitzuteilen. Man bleibt
dabei in Zweifel, ob er selbst die fehlenden Bestimmungen hinzu-
gedacht und nur vergessen hat sie auszusprechen, oder ob ihm das
Bcwusstsein der Erfordernisse eines klaren Gedankens günzlich abging.
Das letztere wird, wenn man weiter liest, das wahrscheinlichere. Die
Neuzeit ist sehr ergiebig an litterarischen Erzeugnissen, die mit Welt-
ideen auftreten ohne von den elementaren Bedingungen exacter Auf-
fassung eine Ahnung zu haben. Wir können nicht auf jedes der Art
ausführlich eingehen. In Betreif des gegenwärtigen ist zu wünschen,
dass das beabsichtigte Unternehmen nicht zur Ausführung kommt

H.

Jordmagnetiska bestämniugar i Sverige under ären 1869 — l^Tl.
Af Roh. Thalön. Med 2 taflor. Till Kongl. Vct. Akad. inlemnad
den 13 december 1871. Stockholm 1872. P. A. Norstedt och söncr.
40. 80 S.

Om Spektra tiUhörande yttrium, erbiura, didym och lanthan. Af
Roh. Thal^n. Med en tafla. Till Kongl. Vet. Akad. inlemnad den
9 September 1873. Stockholm 1874. P. A. Norstedt 0. söner. 4*^-
24 S.

Redogörelse för en ny method att modelst magnetiska mätningar
undersöka jemmalmfält, jemte anförande af nägra i sammanhang dcr-
med anstälda experimenter. Af Rob. Thalen. Öfversigt af K. Vct
Akad. förh. 1874. Nr. 2. Stockholm. 15 S.

Om de isodynamiska ytorna kring en vertikal magnetstang, ineti
tillämpning häraf vid un pä magnetiska mätningar grundad under-
sökning af jemmalmfält. Af Rob. Thal6n. öfv. af K. Vet Aka^.
förh. 1874. Nr. 5. Stockholm. 13 S.

Om magnetiska mätningar ä jemmalmfält Af Rob. Thal^Q-
öfv. af K. Vet Akad. förh. 1874. Nr. 8. Stockholm. 21 S.

Recherches sur les spectres des m^talloüdes. Par A. J. -Xng-
ström et T. R. ThaUn. (Extr. des Nova Acta R Soc. Sc. üpsal.,

Lüierariacker Bericht CCXXXIV. 21

s6r. m. vol EX.) Avec 2 planches. Upsal 1875. Ed. Berling. 4<>.
34 S.

Vier von diesen 6 Arbeiten handeln vom Magnetismus, zwei von
Spectralanalyseu ; schliessen wir uns in der Betrachtung dieser Schei-
dung in 2 Classcn au. Die erste Arbeit ist ein Bericht über Mes-
sungen, welche der Verfasser im Laufe dreier Jahre in dem Teile
von Schweden zwischen Umei (Nordende) und Schonen (Südende)
angestellt hat um die erdmagnetischen Constanten zu ermitteln, eine
Untersuchung, welche vor ihm von Angström, Lemström und Lundquist
begonnen und gefördert worden war. Es ist dies ein Landstrich, in
welchem die localen Störungen besonders hohe Grade erreichen. Die
Schrift enthält die Beschreibung der Instrumente, des Beobachtungs-
and Berechuuugsverfahrens, die Aufzeichnung der Beobachtungsresul-
tate und die Bestimmung der Constanteu.

Die dritte, vierte und fünfte Schrift haben die Entdeckung der
Eisenerzlager auf magnetischem "Wege zum Ziele, was jedoch auch
Anlads bot, eine geometrische Aufgabe in analytischem Interesse zu
verfolgen und zu lösen. Im dritten Artikel wird das Messungs-
verfahren und die Construction der isogonischen und isodynamischen
Linien, welche 2 Pole, einen des Maximums, einen des Minimums der
Ablenkung, umschliessen, beschrieben, erstere entsprachend der Wir-
kung einer verticalen Magnetstange und des Erdmagnetismus, letztere
der Wirkung dieser zwei und eines fernen Deviationsmagneteu. Um
auch auf die Tiefe des Centrums der Eisenmasse zu schliessen, werden
im vierten Artikel die isogonische und isodynamische Fläche berechnet.
Der fünfte Artikel enthält theoretische Betrachtungen, welche die zur
Ermittelung der Lage eines Eisenerzlagers anzustellenden Intensitäts-,
Inclinations- und Declinatioiis-Beobachtungen leiten, und handelt zum
grössten Teil von der Bestimmung des Südpols der Eisenmasse. Der
zweite Artikel ist ein Bericht über Versuche, welche darauf ausgingen,
die Spectra des Yttriums und Erbiums, sowie die des Didyms und
Lanthoms gesondert zu erhalten, was in der Tat gelang, mit dem
Resultat, dass die anscheinend gemeinsamen Linien nur je einem von
beiden Stoffen angehörten. Die sechste Schrift, noch von Angström
bearbeitet, nach seinem Tode von Thalen zusammengestellt und heraus-
gegeben, ist eine umfassende Abhandlung, welche die gesammten Unter-
suchungen über die Spectra der Metalloide hinsichtlich des bis jetzt
Erreichten entwickelt ohne über Specialversuche zu berichten. Sie
handelt nach einander von den Spectren der alkalischen und alkalin-
erdigen Metalle, dann des Kohlenstoffs und seiner Verbindungen,
dann des Azotes und seiner Verbindungen, stellt dann die Versuchs-
weisen zusammen, erörtert die Bestimmung der Wellenlängen und
giobt schliesslich die Tabelle der Eesultate. H.

22 LkUrarudier Bericht CCXXXIV,

Verschiedene Schriften, Zeitschriften.

Nova Acta Regiae Societatis Scicntiarura üpsalicnsis. Seriei
tcrtiae vol. VIII. 1873. IX. 1874. 1875.

Der Inhalt des 8tou Baudcs an mathematiscbeii aud mathematisch
physikalischen Abhandlungen ist folgender.

H. Gylden: üntorsuchungeu über die Rotation der Erde.

R. Hoppe: Systeme gleicher Linien und Flächen begrenzt durch
gemeinsame Radien.

M. Falk: üebor die Integration partieller Differentialgleichungen
uter Ordnung mit 1 abhängigen und 2 unabhängigen Variabeln.

L. A. Forssman: Von den Relationen zwischen dem Nordlicht,
den magnetischen St rungen und den meteorologischen Erscheinungen.

Göran Dillner: Abhandlung über höheren geometrischen Calcul.

Der Inhalt des 9ten Bandes ist folgender.

G. Lundquist: Ueber die Reflexion des Lichtes an der Ober-
fläche isotroper Körper.

Otto Pettersson: Untersuchungen über die Molecularvoluraina
einiger Reihen von isomorphen Salzen.

C. F. Lindman: lieber eine transscendente Function.

Herman Schultz: Mikrometrische Beobachtungen von 500
Nebelflecken.

H. Hildebrand Hildebrandsson: Ueber die obem Ströme
der Atmosphäre in ihrer Beziehung zu den isobarymetrischen Linien.

A. J. ingström und T. R. Thal^n: Untersuchungen über die
Spectra der Metalloide. H.

Nouvelle Correspondance Math^matique. Publik par Eugene
Catalan, ancien 61^ve de Tecole polytechnique, Docteur fes scienccs,
Professeur k Tuniversit^ de Li6ge, etc. et Paul Mansion, Docteur
special en scieuces math6matiques, Professeur ä l'universit^ de Gand.
Tome I. Mons, 1874. 1875. Hector Mauceaux.

In Betreff der 3 ersten Lieferungen verweisen wir auf litt Ber.
228. Der Inhalt der, besonders an Aufgaben reichen 3 übrigen an
Aufsätzen ist folgender.

P. Mausion: Principien der Theorie der Determinanten nach
Baltzer und Salmon (2 Artikel).

Litterarischer Bericht CCXXXIV. 23

J. Neuberg: Ueber 2 Probleme von Simon Lhuilier.

E. Catalan: Ueber einen geometrischen Ort

L. Saite] : Sätze aber die Curven and Flächen 3. Ordnnng.

E. Catalan: Ueber die binomische Formel.

De Tilly: Note tlbcr das Princip des arithmetischen Mittels
nnd dessen Anwendung auf die mathematische Theorie der Fehler.

B. Nicwenglowski: Note über die Bogen sphärischer Curven.

P. Mansion: Ueber eine Maximum-Frage, Huygen'sches Problem.

E. Catalan: Ueber die Asymptoten der algebraischen Curven.

H.

Mathematische
und physikalische Bibliographie.

CXXXI.

Methoden und Princlplen.

Bert hold, G., Jobu Holland u. d. Monismus d. Gegenwart 8.
Heidelberg, Winter. 2 Mk. 80 Pf.

Howe, H. C, d. beiden Urkräfte d. Natur. 8. Lübeck,
Seelig. 1 Mk. 60 Pf.

Scbeffler, H. , d. Naturgesetze u. ibr Zusammenhang m. d.

Prinzipien d. abstracten Wiss. 1. Tbl. l.Lfg. 8. Leipzig, Förster.

10 Mk.

Lehrbtlelier) Sammliingen und Tabellen«

August, F., d. Elemente d. Arithmetik f. d. Mittelklassen höherer
Schulen u. z. Kepetition in d. oberen Klassen. 8. Berlin, Winckel-
mann <& S. 1 Mk.

Frischauf, J., Lehrb. d. allg. Arithmetik. 3. Aufl. 8. Graz,
Leuschner & L. 2 Mk. 40 Pf.

Gerlach, H., Lehrb. d. Mathematik. 1. Tbl. 3. Aufl. 8.
Dessau, Reissner. 2 Mk.

Hermes, 0., Elementaraufg. aus d. Algebra. 8. Berlin, Winckel-
mann & S. 1 Mk. 60 Pf.

Huther, P., Resultate z. 7. Aufl. d. Sammig. v. arithmct. Aufig.
in systemat. Ordug. 8. Regensburg, Pustet. 1 Mk.

Paulson, A., Lehrb. d. Planimetrie. 2. Aufl. 8. Dorpat,
Schnakonburg. Geb. 3 Mk.

Petrick, C. L., Multiplications-Tab. geprüft m. d. Thomas'schcn
Rechenmaschine. 1. Lfg. 1—1000. Fol. Berlin, Nauck. 3 Mk.

Renkewitz, Tb. G., Anfangsgründe d. Arithmetik u. d. Tri-
gonometrie. 2. Aufl. 8. Neuwied, Heuser. 1 Mk.

Arithmetik y Algebra nnd reine Analjals«

Boltzmann, L., zur Integration d. partiellen Differentialgleichgn.
1. Ordnung. 8. Wien, Gerold*s Sohn. 30 Pf.

Diekmann, 0., Einleitg. in d. v. d. Determinanten u. ihrer
Anwendung auf d. Gebiete d. nicdern Mathematik. 8. Essen, Bade-
ker. 1 Mk.

Faa de Bruno, F., Theorie des formes binaires. 8. Turin,
eipzig, Brockhaus' S. 15 Mk.

LUttrarischer Bericht CCXXXV, 24

Litterarischer Bericht

ccxxxv.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Zweiter Theil.
Vom Anfange des XVII. bis Ende des XVIII. Jahrhunderts. Von
Dr. Heinrich Suter. Mit zwei lithographirten Tafeln. Zürich 1875.
Orell Füssli u. Co. 378 S.

Die Abfassung des Buches giebt als obersten Gesichtspunkt zu
erkennen die Charakterisirung des Fortschritts der Wissenschaft in
ihren verschiedenen Zweigen und Richtungen. Es ist keine Zusammen-
stellung der Litteratur und Biographie, in der man etwa jede Notiz
nachschlagen könnte. Es berichtet nicht über die einzelnen Arbeiten
und Facta als gesonderte Gegenstände, wenn es auch beispielsweise
solche vorführt. Biographische Angaben finden sich, ausser dem
jedesmal beigefügten Geburts- und Todesjahr, nur bei wenigen her-
vorragenden Autoren und nur in der Kürze vor. Vielmehr sind die-
jenigen Leistungen, welche von Folge für die fernere Zeit waren, die
also eine Kette von Untersuchungen hervorriefen oder im Entwicke-
lungsgang einen namhaften Fortechritt bezeichneten, ausschliesslicher
Gegenstand der Darstellung. Doch, fern von einer Schilderung in
allgemeinen Worten, bleibt diese Darstellung stets innerhalb der Ma-
terie der Doctrin, welcher die Auffassung des Verfassers nur den
verbindenden Gedanken leiht. Dass irgend eine Partie überflüssig
lang ausgesponnen wäre, wird man sicher nie finden; ein näheres
Eingehen auf manche Arbeiten, auch solche die einen gewissen Ruf
in neuster Zeit haben, würde man für wünschenswert erklären können ;
die Grenzen scheinen in dieser Beziehung so eng als möglich gezogen

Teil LIX. Heft 3. 8

25 Litterarischer Bericht CCXXXV.

ZU sein; bei alledem bleibt es eine sehr anerkennenswerte Leistung,
dass die Knappheit der Angaben* nirgends Unbestimmtheit mit sich
führt, nirgends Ergänzung vermissen lässt, um das Mitgeteilte für
sich zum deutlichen Verständniss zu bringen; auch fehlt es innerhalb
desselben nicht am litterarischeu Nachweis. Der gegenwärtige zweite
Teil des Werkes setzt den Standpunkt der Wissenschaft im Beginn
des behandelten Zeitraums als bekannt voraus, und gruppirt die von
da an neu hinzutretenden Entdeckungen in einer der Zeit ihrer Ent-
stehung entsprechenden Reihenfolge. Als vor Descartes'sche werden
bezeichnet die Logaritlmien, die Inhaltsbestimmungen, die Tangenten
der Curven, die Maxima und Minima, die Wahrscheinlichkeitsrechnung,
die Zahlentheorie, die Perspective. Es folgt dann die Cartesische
Geometrie, die mathematischen Principien der Naturlehre, die Diffe-
rentialrechnung. Von dieser an die Entwickelung des hohem Calculs,
die Fortschritte der Mechanik, die einzelnen Zweige der reinen Ana-
lysis und Geometrie, endlich die Mechanik im 18ten Jahrhundert.

H.

Bulletino di bibliogfatia e di storia delle scienze matematicbe e
fisiche. Pubblicato da B. Boncompagni. Tomo VIII. Roma lö75.
Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.

Der Inhalt der letzten 6 Hefte ist folgender.

7. Heft B. Boncompagni, tiber einige Briefe von Evangelista
Toricelli, von P. Marin Mersenne und von Frangois du Verdus.

8. Heft. L. Am. S6dillot, grosse Herbstexecution, Briefe an
Dr. Ferdinand Hoefer betreffend die mathematischen Wissenschaften
der Indier und den Ursprung des Sanskrit

9. bis 12. Heft L. C. B6ziat, das Leben und die Arbeiten
von Johannes Hevelius.

Publicationsverzeichnisse im 8. 10. und 12. Heft. H.

Methode und Principien.

Die Naturgesetze und ihr Zusammenhang mit den Prinzipien der
abstrakten Wissenschaften für Naturforscher, Mathematiker, Logiker,
Philosophen und alle mathematisch gebildeton Denker. Von Dr. Her-
mann Scheffler. Erster Theil. Die Theorie der Anschauung oder
die mathematischen Gesetze. Mit 26 Figurentafeln. Erste Lieferung.
Mit 4 Figurentafeln. Leipzig 1876. Friedrich Förster. 460 S.

Litterarischer Bericht CCXXXV. 26

*

Der Verfasser legt sich das mathematische Gebiet, von dessen
Inhalt er wol nur durch LectOre mancherlei äusserliche Kenntniss
erhalten hat, zurecht, setzt die G^^nstände gemäss seinem davon
erhalteneu Eindruck in Beziehung und giebt den Beziehungen Namen.
Der Vortrag ist durchweg imperatorisch absprechend, also wol für
Unkundige bestimmt, die geneigt sind sich jedes Urteil dictiren zu
lassen. Wissenschaftliche Ergebnisse wird man in dem ganzen volu-
minösen Buche nicht linden; doch muss man wol einräumen, dass
die Abfassungsweise dem Geschmack und der Geistesrichtung zahl-
reicher Individuen, die sich heutzutage ais Philosophen betrachten,
entsprechen mag. H.

Legons d'analyse intinitesimale. Par Paul Mansion, Docteur
special en scicuces math^matiquos, Professeur ä Tuniversite de Gand.
I. Objet de Tanalyse infinitesimale. IL Propri^ti fondamentale des
fonctions d*une seule variable ou th^or^me de Rolle. Gand, Ad. Hoste.
Mens, H. Manceaux 1876. 30 S.

Die Schrift lässt etwas anderes erwarten als sie in der Tat bringt.
Sie ist keine Grundlegung der Priucipien der Analysis, keine metho-
dische Bearbeitung des Lohrstoifs, überhaupt kein Ganzes, sondern
behandelt nur einzelne Partien aus den Elementen der Functions-
theorie, und zwar gerade solche, die von Natur zu einfach sind um
eines Aufwandes au Scharfsinn zum Verständniss zu bedürfen. Es
wird zuerst der Grund, warum man in der Analysis Grössen als
variabel betrachtet, an einigen Beispielen von Maximis und Minimis
gezeigt, dann einiges zur Erklärung dos Functiousbegriifs aufgeführt,
dann die Namen, die Lebenszeit und Nationalität der Entdecker im
Gebiete der Infinite siraaltheorie zusammengestellt. Jetzt folgen, ohne
jede Erklärung in Betreff der unendlichen Grössen, der Grenzwerte
und Differentialquotienten, mit unmittelbarer Anwendung dieser Be-
Begriffe, die Sätze über Abhängigkeit des Wachsens der Functionen
vom Vorzeichen der Differeutialquoticnten, schliesslich der Taylorsche
Satz mit Beschränkung auf erste Ordnung. Es lässt sich daher nur
annehmen, dass die vorliegenden abgesonderten Stücke eines Vortrags
aus irgend welchen individuellen Motiven zur Publication ausgewählt
sind. H.

Lehi'bücher, Sammlungen und Tabellen.

Lehrbuch der Arithmetik für Untergymnasien, Unterrealschulen,
Volksschullehrer-Seminarie» und zum Selbstunterricht. Von Danie^
Höhr in Schässburg. Erster Theil. (Für die erste und zweite Klasse).
Hermannstadt 1876. S. Futsch. 152 S".

27 LUterarvtcher Bericht CCXXXV.

Das Lehrbuch umfasst ausschliesslich das gemeine Rechnen mit
discreten Zahlen ohne Anwendung von Buchstaben. Die Methode ist
sichtlich auf Entwickelung und Inanspruchnahme des Selbstdenkens
der Schüler eingerichtet Sie macht zwar nirgends Gebranch von
dem formellen Ausdruck allgemeiner Sätze, Beweise und Gleichungen;
gleichwol ist jede specielle Aufstellung beiden derart entsprechend,
dasB der Schüler im bcsondem Beispiel stets Schlüsse macht und
Gleichungen löst Der Schluss wird freilich stets zudictirt, doch finden
die formellen Mittel der Evidenz Ersatz durch die Einfachheit der
vorgeführten Fälle. Auf synthetischen Fortschritt durch Zusammen-
setzung aus gewonnenen Elementen und durch Schlusskett^n hat sich
das Lehrbuch nicht eingelassen. In der Tat ist dies auch der Sach-
lage ganz gemäss; vor einem solchen Fortschritt muss der formelle
Ausdruck eintreten, was über die gegenwärtigen Grenzen hinaus ein
Ueberstreifen in die Algebra sein würde. Man kann nicht aus flüssi-
gem Material ein Gebäude aufführen, aus Specialbetrachtungen ein
System bilden, so Viele auch, angeregt durch Beispiele besonders
begabter Geister, die ohne die formellen Hülfsmittel ihre Fähigkeiten
zu bedeutender Höhe gesteigert haben, in die Illusion verfallen sind,
als liesse sich durch eine dem entsprechende Methode ein gleichem
oder noch mehr leisten, wie durch das gewöhnliche formelle Ver-
fahren. Das Buch ist in 6 Abschnitte geteilt, die einzeln behandeln
die Rechnungen mit Zahlenverbinduugeu mit Rücksicht auf Rechnungs-
vorteile, die Teilbarkeit ganzer Zahlen, die 4 Species in Brüchen,
erst ohne, dann unter Veränderung der Brucheinheit, die Decimal-
brüche, die einfachen Vcrhältnissrcchuungen. Der Vortrag ist klar
und leicht verständlich, auch im Sinne höherer Auffassung stets cor-
rect. Auf Erörterung der einzelnen Punkte in freier Form folgen
Beispiele und Aufgaben, welche letztere indes eine besondere Auf-
gabensammlung nicht entbehrlich machen sollen, dann mitunter Regeln
betreffend verschiedene Wege zu gleichem Resultat. H.

Inleiding tot de Studie der Stereometrie. Door Dr. C. J. Mat-
thes, Hoogleeraar aan het Athcnaeum Illustre te Amsterdam. Am-
sterdam 1876. C. G. van der Post 32 a

«

Die Schrift behandelt 80 Sätze nebst zugehörigen Folgerungen
über die Stellung von 1, 2, 3 Ebenen und Geraden zu einander. Die
Beweise sind ziemlich kurz gefasst, und der Fortschritt in der Be-
trachtung ein ziemlich schneller, so dass die Auffassung eben nicht
leicht ist, insbesondere da sie nach 8, wol kaum zur Erklärung aller
Gegenstände hinreichenden Definitionen durch keine weitere Erörto-
-ung unterstützt wird. Eine Ebene wird delinirt durch die Bewegung
er Geraden bei unveränderter Richtung längs einer Senkrechten.

Litterarischer Bericht CCXXXV. 28

Hieran schliessen sich 7 Folgeniugcu ohne alle Angahe, wie sie dar-
aus hervorgehen sollen. Jede würde für sich genng zu denken gehen
um nur zu entscheiden, ob sie wirklich daraus folgt. Die Figuren
sind weiss auf schwarz in den Text gedruckt. H.

»

Zweiter Anhang zu der ebenen Geometrie. Von Oberstudienrath
Dr. von Nagel, Ritter I. Cl. des k. württemb. Kronordens uud des
k. württemb. Friedrichsordens. Aufgaben zu üebungen in geometri-
schen Berechnungen. Mit 10 Holzschnitten. Zweite neu bearbeitete
Auflage. Ulm 1876. Wohler. 50 S.

Die vorliegenden Aufgaben verbinden die Anwendung geometri-
scher Sätze mit der Uebung im Rechnen und bieten namentlich rtick-
sichtlich des letztem vortreffliche Gelegenheit, das Bewusstsein der
Bedeutung und der Erfordernisse zu entwickeln. Die Einteilung
schliesst sich allein der Geometrie an, während die arithmetischen
Forderungen mannichfaltig sind. Demnach braucht der Schüler die
Vorstellungen nicht zu wechseln und die anzuwendenden Sätze nicht
weit zu suchen; dagegen ist der Rechnungsansatz und die zum Ziele
führende Operation ganz seinem freien Urteil überlassen. Grosse
Ansprüche an die Fähigkeiten werden in dieser Beziehung nicht ge-
macht; dass den Anforderungen auch tatsächlich entsprochen wird,
kann man bei diesen Aufgaben sicher sein; gleichwol wird man wol
einräumen, dass die Entwickelung des Urteils beim Rechnen oft sehr
ein Bedürfniss ist. Da die meisten Aufgabensammlungen das ent-
gegengesetzte Ordnungsprincip befolgen, indem sie Reihen von Bei-
spielen für einertei Operation aber aus vielerlei verschiedenen Sphären
entnommen aufstellen, wo die Uebersetzung der Daten in die arith-
metische Form oft die hauptsächlichste und durch Regeln und An-
weisung kaum zu mindernde Schwierigkeit macht, wo demnach das
Urteil über die Operation vorweggenommen ist, also eine Hauptübung
ganz wegfallt, so nimmt in der Tat die gegenwärtige Aufgabensamm-
lung eine sehr berechtigte, durch die übrigen noch nicht genügend
vertretene Stellung ein. Die Zahlenwerte der Daten sind grössten-
teils willkürlich gewählt, selten aus der Wirklichkeit entnommen, bis-
weilen theoretisch bestimmt. Auflösungen sind nicht dabei Den
Gesammtumfaug der Sätze bildet die elementare Planimetrie. H. •

Die Grundlehren der Stereometrie. Von A. Stegmann. Mit
265 Lehrsätzen und Aufgaben zur Uebung und 7 Figurentafeln.
Kempten 1876. Jos. Kösel. 88 S.

Das Gegenwärtige ist die Fortsetzung der im vor. J. neu erschie-
nenen „Grundlchren der ebenen Geometrie" s. litt. Bericht 231. S. 30.

29 Lüterarischer Bericht CCXXXV.

Dass auch auf diesem Felde die Darstellung sich nicht bloss an Vor-
gefundenes a^nlehnt, dass viohnehr der Verfasser zur Erfüllung der
Tielscitigen Anforderungen an correctcn und concinnen Ausdruck^
Strenge, systematische Ordnung, üebersichüichkeit und Einfachheit
selbständig mitgewirkt hat, ist unverkennbar. Auch ist es nur zu
billigen, dass er auf manche aus einseitigem Princip hervorgehende
Neuerungen nicht eingegangen, sondern im ganzen bei der euklidi-
schen Form geblieben ist. Dass aber in irgend einem Punkte eine
sichtlich definitive Gestaltung gewonnen sei, die nicht weitere Besse-
rung suchte, lässt sich von der vorliegenden Bearbeitung gewiss nicht
sagen. Viele Dinge, jedes ftli* sich von geringem Belaug, sind augen-
fällig nicht so, wie man es verlangen muss. Warum steht Lehrs. 9.
getrennt von Lehrs. 2., da doch beide im Grunde dasselbe sageu?
Er mussto directe Folgerung sein. Im Beweise zu Lehrs. 2. ist die
Hülfslinie überflüssigerweise parallel angenommen. Ebenen werden
wiederholt der Lage nach verschieden genannt; wodurch könnten sie
sich denn sonst unterscheiden? Grössere Desideraten treten bei den
Sätzen über den Inhalt der runden Körper und ihrer Oberflächen
hervor. Die Cylinder- und Kegelfläche werden durch Rollen auf der
Ebene bestimmt. Dies hat keine methodische Schwierigkeit, nur muss
man- vorher das Rollen ohne Gleiten am Kreise erklären. Hier aber
ist auf die Bedingung des Nichtgleitens mit keinem Worte Rücksicht
genommen, ja nicht einmal durch die Benennung, wie etwa Rollen,
die Vorstellung auf die bestimmte Bewegungsart gelenkt, vielmehr
heisst es Bewegung, bei der nach einander verschiedene Punkte zur
Berührung kommen, wo also die Gleichheit der Flächenstücke gar
nicht daraus folgt. Der Beweis ist demnach ganz lückenhaft. Bei
der Bestimmung der Kugelzone soll die Höhe in eine so überaus
grosso Anzahl gleicher Teile zerlegt werden, dass die Meridianbogen
zwischen den entsprechenden Parallelkreisen und die zugehörigen
Sehnen „für einander genommen werden dürfen". In der Figur seien
die Teilbogen „der Anschaulichkeit wegen grösser dargestellt". Kann
man den Schülern solche Albernheiten weiss machen wollen? Wie
sich Deductionen, die auf unendlich kleiner Teilung beruhen, streng
und einfach geben lassen, ist eine hinreichend bekannte Sache, dass
man solche unzählige mal gerügte Fehler in neuen Lehrbüchern nicht
fiiehr erwarten sollte. H.

Logarithmisch -trigonometrische Tafeln mit sechs Decimalstellen.
Mit besonderer Rücksicht auf den Schuigebrauch bearbeitet von Dr.
C. Bremiker, Professor und Sectionschef im Königl. Geodätischen
Institut in Berlin. Vierte durchgesehene und verbesserte Stereotyp-
Ausgabe. (Pr. 4,2 Mk.). Beriin 1876. Nicolai. 542 S.

Litterarischer Bericht CCXXXV, 30

Die Tafeln eothalton die Logaritbmcn der Zahlen von 1 bis
100000, die der Kroisfuuotioucn mit Winkelteilung bis auf 10 Secun-
den ohne Unterschied für kleine und grosso Winkel, die Additions-
und Subtractionslogarithraen auf 3 Bruchstollen, neu berechnet, die
Länge des Längengrades der Erde für jeden Breitengrad, den Loga-
rithmus des Krümmungsradius der Erde, den Flächeninhalt des Vier-
ecks zwischen 2 Meridianen und 2 Parallelkreiscn , die LjLngen-,
Flächen- und Körpermasso, Gewichtmassc, Münzgewichte und Gehalt
in allen Ländern. Voraus geht eine ausführliche Anweisung zum
logarithmischen Rechnen. Bei Empfehlung des Gebrauchs sechsstelliger
Tafeln wird der Grund geltend gemacht, dass überhaupt keine Messung
auf mehr als 6 Stellen genau sei, dass daher eine Kcchnung mit 7
Stollen das Resultat nicht richtiger machte. Gerade dieser Umstand
spricht aber vielmehr für Anwendung von 7 Stelleu. Die Rechnung
lässt sich relativ zu ihren Daten mit geringer Mühe bis zu beliebiger
Genauigkeit führen. Es wäre Verschwendung der kostbarem und un-
ersetzlichen Mcssungsresultate, wenn man die Messungsfehler mit den
in letzter Stelle unvermeidlichen Rechnungsfohlern vermischen und
dadurch die Unsicherheit vergrössem wollte. Mindestens eine Stelle
mehr zu rechneu, als man genau angeben kann, wird sich stets em-
pfehlen. Was die Empfehlung der vorliegenden Tafeln für den Schul-
gebrauch betrüQft, so scheint dabei wol nur au solche Schulen gedacht
zu sein, wo noch 7steliige eingeführt sind, was doch gewiss auf den
wenigsten der Fall sein wird. Zum Erlernen der logarithmischen
Rechnung sind 5 Stellen vollkommen ausreichend. Diese Zahl em-
pfiehlt sich durch den wesentlich geringem Gesammtumfang der Ta-
feln. H.

Arithmetik, Algebra und reine Analysis.

Einleitung in die Lehre von den Det4)rminanten und ihrer An-
wendung auf dem Gebiete der niedern Mathematik. Zum Gebrauch
an Gymnasien, Realschulen u. andern hohem Lehranstalten, sowie
zum Selbstunterricht bearbeitet von Dr. Josef Diekmann, Ober-
lehrer am Königl. Gymnasium zu Essen. Essen 1876. G. D. Bae-
deker. 88 S.

Die gegenwärtige Bearbeitung der Determinantenlehre für den
Schulgebrauch zeigt manche eigentümliche Seiten, deren Würdigung
wol eine Frage von Interesse sein kann. Sie gehört zu denjenigen,
welche ihren Ausgang im Spocielleu nehmen, und zwar hat sie dies
noch consequenter durchgeführt als die andern, hat aber den Haupt-
nachteil der Specialbetrachtung glücklich vermieden. Denn diese geht

31 Litterarischer Bericht CCXXXV.

hier nicht aus einem Annehmen an gewohnte Weisen der Schüler
hervor, wodurch so häufig das Erlernen neuer Prineipicn vereitelt
wird; vielmehr ist durchgängig der specitische Charakter der Deter-
minantentheorie gewahrt, und die spccielle Deduction repräsentirt
sichtlich die allgemeine. Gleichwol möchte auch so die Wahl der
Methode nicht ganz gerechtfertigt sein. Die Allgeraeingültigkeit des
speciell erwiesenen Satzes wird verstanden, aber die der Determinan-
tentheorie eigenen weitgreifenden, und doch so einfachen und durch-
schaulichen Schlussweisen kommen nicht zum Bewusstsein; die De-
duction führt daran vorbei, und wenn sie auch, wie es teilweise ge-
schehen ist, erwähnt werden, so können sie nicht so zur Beachtung
gelangen, als wenn das allgemeine Resultat direct auf kürzestem Wege
durch sie gewonnen würde. Der Verfasser räumt nun ein, dass viel-
leicht manche Herleitungen noch durch einfachere vertreten werden
können. Haben wir hierbei nur solche im Sinn, die sich direct auf
Determinanten wter Ordnung anwenden lassen, so ist wol vor allen
das Theorem der Multiplication ein Beispiel der Art, wo durch Auf-
lösung zweier Gleichungssysteme das Product der Determinanten ein-
facher gefunden wird, als es hier geschieht. Doch auch die Addition
gehört dahin; denn obwol man hier mit Anwendung der ünterdeter-
minanten sofort zum Ziele gelangt, so kann man auch ein gleiches
ohne Reflexion auf dieselben durch ein Schlussverfahren erreichen,
das für sich instructiv ist. Wie diese Beispiele, so deutet auch manches
andre darauf hin, dass es dem Verfasser überhaupt wenig um Ein-
fachheit zu tun war, dass ihn vielmehr vorgefasste Grundsätze davon
zurückhielten. Die einfachen Methoden sind da, und brauchen nur
gewählt zu werden; warum es nicht geschieht, ist im einzelnen nicht
zu ersehen, aber auch die Tendenz, aus d6r es sich erklärt, erscheint
ganz unmotivirt. Der Verfasser beruft sich im Vorwort auf die Zu-
stimmung aller Schulmänner darin, dass die Determinantenlehre von
den Permutionen unabhängig zu machen sei. Ob er irgend ein Urteil
der Art aufzuweisen hat, möchte bezweifelt werden, doch liegt wenig
daran, wenn es sich wie hier auf nichts gründet. Welchen Erfolg
aber hatte die Vermeidung der Permutationen für die gegenwärtige
Gestaltung der Doctrin? Die Definition der Determinanten rausste
bloss deshalb unvollständig aufgestellt, und in Betreff der Vorzeichen-
bestimmung auf später verwiesen werden, wo sie hernach doch durch
Permutation geschieht. Hieraus konnte der Verfasser ersehen, dass
seine Tendenz gegen die Natur der Sache gerichtet war. Die
Permutation ist so eng mit dem Wesen der Determinanten verknüpft,
dass mit ihrer Abtrennung der Auffassung ein Bedeutendes an Deut-
lichkeit entzogen wird. Auch die vom Verfasser erhobene Frage, an
welcher Stelle die Determinautenlehre in den Schulcursus einzufügen
sei, entscheidet sich in Anbetracht der Verwandtschaft des Gegen-

Lüterarisdwr Bericht CCXXXV. 32

Standes dahin, dass sie der Lehre von den Combinationen und Per-
mntationcu, welche ihre natürliche Vorbereitung bildet, unmittelbar
zu folgen hat, mit dem doppelseitigen Gewinn, dass diese, bisher ein
ziemlich heterogener Lehrgegenstand ohne recht ersichtlichen Zweck,
sich dann erst in ihrer Fruchtbarkeit enthtült, und ihrerseits die zur
Auffassung der Determinantenbildung erforderliche ordnende An-
schauung anbahnt. Die Antwort des Verfassers, welcher den Anschluss
an 4ie Lehre von den Gleichungen befürwortet, erledigt die Frage
nicht. Wie und in welcher Glasse sollen dann die Gleichungen ge-
trieben werden, damit ein Anschluss möglich ist? Denn die gewöhn-
liche Methode, von der abzugehen noch kein Grund vorliegt, enthält
nicht das mindeste, was auf Determinanten hindeutete.

Mit Verwerfung der Pormutationen bevorzugt der Verfasser den
Gebrauch der ünterdeterminanten in den Herleitungen der Sätze.
Also wo man auch im ganzen operiren kann, soll man lieber zer-
spalten! Das heisst doch geradezu den Zweck der Determinanten an-
nulliren, eine Einrichtung treffen und dafür sorgen, dass sie so wenig
als möglich zur Geltung komme.

Einen grossen Teil der Schrift, nimmt die Behandlung der Glei-
chungen der 4 niedrigsten Grade ein. Er steht in sehr geringer Ver-
bindung mit der Determinantenlehre, scheint den pädagogischen Ge-
sichtspunkt ganz zu vergessen und zeigt mehr den Charakter einer
gelehrten Untersuchung. Doch auch in letzterer Eigenschaft lässt er
Zweck und" Ziel der vielen formellen Betrachtungen sehr im dunkeln.
Was kann uns z. B. veranlassen, die 2 Formen, in denen sich die

Auflösung einer quadratischen Gleichung nach x und - darstellt, un-
ter eine gemeinsame zu vereinigen? Hat es irgend einen Sinn, dass
sie hier die allgemeinere genannt wird?

Den Schluss bilden Anwendungen der Determinanten auf die
analytische Geometrie der Ebene. H.

Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf phy-
sikalische Fragen. Vorlesungen von Bernhard Biemann. Für
den Druck bearbeitet und herausgegeben von Karl Hattendorff.
Mit in den Text eingedruckten Holzstichen. Zweite Auflage. Braun-
^chweig 1876. Friedrich Vieweg u. Sohn. 328 S.

Da die in dieser Schrift dargelegte Methode von Dirichlet und
Kit^mann hinreichend bekannt ist, so wird es genügen die Gegenstände
zu nennen, über welche die Vorlesungen sich erstrecken. Nach einem
historischen Ueberblick über die durch physikalische Fragen hervor-

33 Linerarischer Bericht CCXXXV.

gerufenen Untersuchungen der partiellen Differentialgleichungen werden
zuerst die Priucipien der Theorie der bestimmten Integrale, dann die
Theorie der Fourier'schcn Reihen vorgetragen. Es folgen dann die
Hauptsätze ilber die gewöhnlichen linearen Differentialgleichnngen und
die Untersuchung der linearen partiollen Differentialgleichung 2. Ord-
nung, beide mit einigen Beispielen. Angewandt wird die Theorie auf
die Wärmeleitung in homogenen feston Körpern, die Schwingungen
elastischer ^örper und die Bewegung der Flüssigkeiten. Die erst«
Frage wird gelöst für eine Vnzahl verschiedener Greuzbestimmungen,
erst bei linearer Bewegung, dann nach 3 Dimensionen. In Beü-eff
der zweiten wird erst die Lösung für eine gespannte Saite, dann die
allgemeine Theorie, dann die Lösungen für einzelne Grenzbestimmungen
gegeben. In Betroff der dritten sind es die allgemeinen Bewegungs-
gleichungeu, die Fortpflanzung der Schwingungen in einem iacompres-
sibeln Medium und die Bewegung eines festen Körpers in einer un-
begrenzten incompressibeln Flüssigkeit, insbesondere die einer Kugel

H.

Theorie der Abel' sehen Functionen vom Geschlecht 3. Von Dr.
Heinrich Weber, Professor an der Universität zu Königsberg.
Beriin 1876. Georg Reimer. 4«. 184 S.

Diese gekrönte Preisschrift behandelt ein abgegrenztes Grebicl
aus der Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlecht 3. Sie
beginnt mit der Untersuchung der Bedingungen sechsfach periodischer
Functionen, indem sie die 6 gleichzeitigen Perioden der 3 Argumente
auf 3 gleichzeitige und eine gemeinsame Perlode reducirt, führt dann
die ^ Functionen von 3 Argumenten ein und untersucht besonders
ausführlich die Gruppirungen der Charackteristiken. Der 2 te Ab-
schnitt handelt von den algebraischen Functionen vom Geschlecht 3
und ihren Integralen, der 3te von den Aberschen Functionen, der
letzt« enthält die Lösungen der 2 Fundamentalprobleme, des Riemann-
schen Problems und des Jacobi*schen Umkehrproblems. Abgesondert
aus dem Zusammenhange würden einzelne Mitteilungen aus dem reichen
Inhalt zu schwierig und upzureichend sein. H.

Geometrie.

Elemente der darstellenden Geometrie der ebenen und räumlichen
Gebilde. Zunächst für Realschulen. Von Josef Streissler, Pro-
fessor an der Staats -Oberrealschule und Privat- Doceut an der k. k.
Universität in Graz. Mit 324 Figuren und 8 Tafeln. Brunn 1876.
Carl Winiker. 276 S.

Litterarischer Bericht CCXXXV, 34

Das vorliegende Lehrbuch bewahrt mehr den exact theoretischen
Charakter als es wol sonst bei rein technischem Zwecke der Fall zu
sein pflegt. Ekesteils sind die Begriffe und Ausdrücke den wissen-
schaftlichen adäquat, andernteils werden die theoretischen Kenntnisse
in ziemlich grossem Umfang in Anäl)ruch genommen und vorausge-
setzt, so dass sich die Bestimmung kund giebt, die darstellende
Geometrie auf den vollendeten allgemein theoretischen Cursus der
Geometrie folgen zu lassen, den sie nur nach der ausschliesslich con-
structiven Seite hin weiter entwickelt. Auf einem solchen Standpunkt,
wie er hier erreicht sein muss, stellt man indes auch Forderungen
an den Lehrgang, in Bezug auf systematische Behandlung, regebrechten
Fortschritt, sichtliche Zielpunkte und vollständige Auskunft über alle
notwendigen Fragen. Hieran lässt es das Lehrbuch namentlich im
Anfang, d. i. in dem vorbereitenden Abschnitt über graphische Ope-
rationen in der Ebene, sehr fehlen. Es findet sich kein Wort davon,
was erlernt werden soll, welche technische Mittel zu Gebote stehen,
und statt jeder Auskunft über das Verfahren nur die kurze Angabe
dessen, was das Verlangte nach bekannten Sätzen der Geometrie sein
muss. Wie man im allgemeinen eine Curve zeichnet, ist nirgends
gesagt; dennoch wird die Construction der Evolute als Mittel zur
Auffindung des Berührungspunkts einer Tangente aufgestellt. Aller-
dings kann man dies in verschiedenem Sinne recfttfertigen ; nur sollte
über den Sinn kein Zweifel sein. Bei den räumlichen Gebilden liegt
die Aufgabe der Darstellung von selbst weit deutlicher vor. liier
sollte man meinen, könnte man nicht in Zweifel sein, welche Fragen
von vorn herein zu beantwortet waren. Dennoch sucht man vergeb-
lich nach den elementarsten Dingen , z. B. wie die 2 Projectionen
einer Figur in der Zeichnung zu einander liegen sollen. Ueber sehr
ausführlichen stereometrischen Betrachtungen wird ganz vergessen,
was geschehen soll. Die behandelten Gegenstände sind die Ortho-
gonalprojection der Raumgebilde auf einer, dann auf 2 Ebenen, Orts-
veränderung der Raumgebilde, Aufgaben über die gegenseitigen Be-
ziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, Projectionen
begrenzter Ebenen und ihre Merkmale, Strahlenflächen, die Prismen-
fläche, regelmässige Flächen, die Kegel- und Cylinderfläche, wind-
schiefe Flächen, Rotationsflächen, Schattenconstructionen, perspectivi-
Darstellung. H.

Astronomie und Meteorologie.

Der Einfluss der Himmelskörper auf Witterungs Verhältnisse.
Vortrag gehalten zu Nürnberg und München von Dr. Siegmund
Günther. Nürnberg 1876. Hermann Ballhom. 42 S.

35

Der Vi
ständig uuc

zufuhren, wclcbo auf Entscheidung über die bezeichneten Fragen ge-
ricbtet sind. Er teilt sieb das Feld im voraus nach den MögUcbkeitOB
ein, Qud zeigt, dass in der Tat kein denkbarer Caasalnexus cxistirt,
der nicht schon namhafte Nachforschnngen erfahren hätte. Natfirlich
waren hier mehr negative als positive Ergebnisse zu berichten. Zn
eigener begründeter Kritik war kein Raum, es musste genOgcn die
Kritik der snccessiv erueucrtcn Uutersuchung zur Geltung zn bringen,
und sich dieser gemäss kurz zu erklären. Dem Vortrag angehängt
ist der Nachweis der Littcratar nebst rcichhalügen Notizen über die-
selbe. H.

Litterarischer Bericht CCXXXVL 36

Litterarischer Bericht

CCXXXVL

Geschichte der Mathematik und Physik.

Ziele nnd Kesultate der neaeren mathematisch-historischeA For-
schang. Von Dr. Siegmnnd Günther, Privatdozent am K^.
Polytechniknm zu München. Erlangen 1876. Eduard Besold. 133 8.

Der in der Orazer Natorforscherversammlang unter obigem Titel
gehaltene Vortrag erscheint hier umgearbeitet und ausführlicher zu-
gleich mit angefügten Noten, welche die einzelnen berührten Themata
weiter verfolgen und so einer durch die Umstände auferlegten Kürze
nachträglich abhelfen sollen. Der Verfasser tritt zu Gunsten des
historischen Studiums der Mathematik ein, das, wie er findet, ab-
weichend von dem Verhalten anderer Fachwissenschaften, die mehr
an ihrer Geschichte festhielten, heutzutage weniger als früher ge-
pflegt würde. Auch nach der Umarbeitung hat die Schrift den Cha-
rakter eines Plaidoyers behalten, in welchem der Verfasser durch an-
gezogene Beispiele das Interesse für jenes Studium zu wecken sucht.
An dieser Eigenschaft ändern auch die Noten nichts. Wenn die ge-
wählten Beispiele nicht besonders instructiv sind, so liegt die Schuld
nicht bloss an der Schwierigkeit allgemein Verständliches ausser dem
Zusammenhange zu geben, sondern vor allem daran, dass der Ver-
fasser von vom herein den principiellen Fragen, die hier einer Klärung
warten, nicht näher tritt, sich mit allgemeinen Terminis begnügt,
ohne deren Inhalt zu discutiren, namentlich also ohue Erörterung
lässt, was zum historischen Studium gehört, ob er von Kenntniss-
nahme des fernen Altertums oder von Continuität der Forschung
spricht. Bei diesem einen Tadel können wir es bewenden lassen.

Teil UX. Heft 4. 4

37 Lüterarischer Bericht CCXXXV2

Wollten wir auf das Einzelne eingehen, so müssten wir es doch in
Beziehung zur Ankündigung auffassen. Wo sind nun die Ziele und
Resultate der neuem mathematisch-historischen Forschung zu finden?
Wo sind Ziele kenntlich gemacht? Was sieht der Verfasser als Resul-
tate an? Wo ist überhaupt von neuerer Forschung anders als negativ
die Rode? Nach den ersten Seiten wird die Absicht vergessen, und
kommt iiä Verlaufe der Schrift nicht wieder zum Vorschein, H.

Arithmetik, Algebra und reine Analysis-

Die Zinsrechnung sammt Anwendungen. I. Heft Die Zinsrech-
nung. Für die obern Klassen von Realschulen und Gymnasien, filr
Handelsschulen und Seminarien, und zum Selbstunterricht. II. Hefl
Die Verzinsung periodischer Zahlungen. Von Heinrich Stüssi
Zürich 1876. Cäsar Schmidt, kl. 8«. 263 S.

Das Buch handelt ausschliesslich von derjenigen Rechnung, welche
Zinseszins zugrunde legt^ mit Voraussetzung der Lehre von Potenzen
und Logarithmen, und hat die Bestimmung die Kenntniss dieser Rech-
nung mehr durch die Schulen zu verbreiten, damit der Bürger die
darauf beruhenden Einrichtungen verstehen und beurteilen kdnne.
Jedes der beiden Hefte enthält die 4 Teile, theoretischen Teil, Auf-
gaben, Tabellen und Auflösungen. Der Vortrag ist im ganzen klar
und verständlich, das eigentlich Theoretische exact, und, was auf Her-
kommen beruht, was also kein Denken ergeben kann, wird nicht, wie
so häufig, zu erklären vergessen. Doch kommen auch Ausnahmen
vor. Seite 8. ist „Betrag des später fälligen Capitals^^ zweideutig, ^
muss heissen „gegenwärtigen Betrages Seite 5. lässt die Ausfübnmg
über Verzinsung in unterjährigen Terminen den Leser im Stich, der,
da vom nominellen Zins bis dahin nicht die Rede war, zunächst an
den effectiven Zins denken muss, durch das Weitere natürlich zweifel-
haft wird, aber keine rechte Entscheidung findet (das Resultat ist
durch Druckfehler noch einmal im Sinne des effectiven). Obwol durch
Beispiele und spätere Erörterungen jede Zweideutigkeit nachträglich
gehoben wird, so hätten doch gleich in erster Aufstellung solche ver-
mieden werden sollen. Im übrigen zeigt die Abfassung, was durch
Verbindung von concinner, correcter Erörterung, Formel und Beispiel
an Deutlichkeit geleistet werden kann, und kann als Muster der Dar-
stellung gelten. Die Tafeln erstrecken sich auf 100 Jahre und die
Monate eines Jahres, berücksichtigen die Zinsfüsse 2^, 3, 4, 4^, 5, 6
Procent und sind auf teils 5, 6 und 7 Bruchstellen berechnet, das
Anfangscapital stets =1 gesetzt, die entsprechenden Logarithmen
nebengestellt. H.

Litterarischer Bericht CCXXXVl. 38

Die Bachstabenrechnnng. Eine Eiitwickelung der (besetze der
Gmndrechnungsarten rein aus den Begriffen der Zahl und des Zählens
als Grundlage fttr den Unterricht Von Dr. Ferd. Rosenberge r.
Jena 1876. Hennann Dufft. 150 S.

Das Vorliegende ist erklärtermassen kein Schulbuch zu unmittel-
barem Gebrauch, wenn gleich die Idee der Abfassung einzig und allein
aus dem Schulunterricht fliesst und demselben gewidmet ist. Die
wahre Bestimmung ergiebt sich beim ersten Blick als eine logische
Revision der elementaren Doctrin, hervorgerufen durch sehr gewöhn-
liche Misgriffe, deren der Verfasser zwei anführt, nämlich die Um-
gehung der Schwierigkeiten, die in der Anwendung der Grundrech-
nungen auf negative, imaginäre Zahlen u. s. w. liegen, durch fremd-
artige Definitiondn, dann die willkürliche Zusammenstellung der Sätze
ohne sichtlichen Zusammenhang. Statt des letztem, der nichts prin-
cipielles enthält, Hessen sich wol manche andere Punkte nennen.
Wesentlich aber ist jedenfalls der erstere, der zwar nicht zum ersten-
mal enthiült wird, doch mehr Beachtung verdient, als er gefunden
hat. Es ist dem Verfasser vollkommen beizustimmen, wenn er die
Auskunft unnötig nennt. Es ist unnötig, bei Definition der entgegen-
gesetzten Grössen auf räumliche Darstellung überzuspringen, es ist
auch unnötig, einen andern als den auf blosser Wiederholung beruhen-
den Zahlbegriff zugrunde zu legen, um zur strengen Entwickelung des
allgemeinsten Zahlbegriffs zu gelangen. Dass die gegenwärtige Be-
arbeitung sich denjenigen zugesellt, die die einheitliche, rein arith-
metische Methode zur Durchführung bringen, ist an sich zu schätzen ;
unterscheidend für sie ist, dass sie die logische Seite der ^Arithmetik
durch besondere Ausführlichkeit in den Vordergrund stellt, also die
gangbaren Irrtümer und den gewöhnlichen Mangel an Rechenschaft
über die Grundbegriffe für wichtig genug hält, ihnen mit allen Mit-
teln reichlicher Auseinandersetzung entgegenzutreten. Freilich hätte
die Darlegung noch sehr an Deutlichkeit gewinnen können, wenn die
Ausführlichkeit mit Concinnität und Vermeidung des Ueberilüssigen
verbunden aufträte; indessen kann man mit dem Getanen schon zu-
frieden sein.

Fragt man nun aber, ob die logische Revision selbst richtig voll-
zogen sei, so zeigt gleich die erste Erklärung, welche nur eine ge-
dankenlose Wiederholung eines häufig vorkommenden Fehlgriffs ist,
das Gegenteil. In der Tat findet mau in manchen Lehrbüchern auf-
gestellt. Rechnen sei die Verknüpfung mehrerer Zahlen zu einer; aber
trotzdem wird in denselben Lehrbüchern der Begriff im richtigen
Sinne geübt, und im Widerspruch mit der Erklärung unter dem Worte
das verstanden, was der Schüler factisch beim Rechenunterricht tun
lernt, was er daher einzig und allein darunter verstehen kann, r"

4*

39 LiiUransdier Berieht CCXXXVL

lieh die Tranfiformatioii der durch Operationsverkotlpfting oder dorch
Bedingungen bestimmten Zahlen in dekadisch geschiiebene oder aD-
gemeiner in zweckentsprediend gestaltete Zahlen. Der Verfasser des
gegenwärtigen hingegen hat nicht nur die falsche Eridäriuig aa^
nommen, sondern bemüht sich auch sie consequent festzuhalten und
zu realisiren, verursacht sich dadurch Schwierigkeiten, und bewirkt,
dass manche Erörterungen je wortreicher desto dunkeler ausfalleo.
In der genannten Frage kann von verschiedener Ansiebt nicht die
Rede sein. Wird aus den Zahlen 3, 7, 4 durch Verknüpfung eine
Zahl 3.7-f-^ gebDdet, und diese eine in der Form 25 dargestellt, so
sind dies zwei Acte, beide nötig um zum Zweck zu gelangen. Welchen
von beiden man aber Rechnen nennt, wird niemand in Zweifel sein,
sonst kann man es in jedem Rechenbuche sehen, dass der erste stets
in der Aufgabe schon vollzogen und der zweite allein es ist der vom
Schüler verlangt wird. Nicht minder deutlich zeigt sich der Sach-
verhalt in der Buchstabenrechnung. Die Verknüpfung der Zahlen a,
5, c zu der einen Zahl ah-\'C giebt nichts zu rechnen; dagegen nennt
man die Verwandlung von ab-^-ac in a(b-]-c) eine Addition, die um-
gekehrte eine Multiplication. Wird der Verfasser hier behaupten,
das Rechnen bestünde in der Verknüpfung ab-\'ac einerseits, 0(1-^ c)
andrerseits? Welches Motiv hat er dann, die Oleichheit beider so
verschieden gebildeter Zahlen zu lehren? Die ganze Theorie der Buch-
stabenrechnung besteht dann aus Lehren, die mit seinem Begriff des
Rechnens nichts zu tun haben; denn alle handeln von Umformung
der Buchstabenausdrücke. Das eben ist der grosse Mangel in der
anfänglichen Begriffsbestimmung, dass ihr gegenüber die Doctrin
durchweg ig^nz unmotivirt auftritt Die Acte der Transformation zn
motiviren ist der Verfasser sichtlich bemüht, doch wird das Mislingen
nur durch den Wortreichtum verhüllt, der durch selbstgemachte
Schwierigkeiten hervorgerufen ist

Auf die falsche Definition des Rechnens sind gewisse Logiker
offenbar dadurch verfallen, dass sie beim Nachdenken über das Wesen
der elementaren Operationen diese aus ihrem Zusammenhange mit
der Theorie lösten, und so nach Abstraction von Sinn und Bedeutung
nur mit dem Willküract der Verknüpfung zu tun hatten. Allerdings
kann man ja, nachdem einmal das Rechnen durch Ausübung bekannt
ist, schlechdiin und ohne Bezugnahme auf irgend welche Transfor-
mation sagen: Multiplicire die Zahl mit a, tubtrahire dann b u.s.w.
Dann scheint es, und namentlich während man definiren will, was
mit diesen Acten gemeint ist, als w&re die Rechnungsart, auch wo
nan vom Fadt nichts weiss, an sich ein geschlossener klarer ßetgntf'-
Dabei wird aber übersehen, dass dieser Begriff in nichts zerfließ^
wenn das Resultat der Operation ein neues Ding sein und nicht ein^

LitierarUchir Beruht CCXXXVI. 40

Platz iB derselben Zahlenreihe einnehmen soll. Hiervon kann man
abstrahiren, im Augenblicke wo man die Definition aufstellt; aber es
existirt keine einzige Anwendung, in der nicht die bei Seite gescho-
bene Bedeutung sieb mit Notwendigkeit geltend machte.

G^hen wir nun weiter auf den Inhalt der Schrift. ein, so ist es
bei ihrem vorwaltend logischen Gesichtspunkt vor allem ihr Verhalten
in Betreif der negativen und gebrochenen Zahlen, wovon ihre Leistung
abhängt An Vorsicht lässt sie es niciit fehlen. Dass sich z. B. die
Vertanschbarkeit der Factoren nicht ohne neue Begründung auf nega-
tive anwenden lässt, wird hervorgehoben. Doch die Furcht vor Fehl-
schlüssen lehrt nicht auf die leitenden Punkte aufmerksam sein. Statt
soviel von den Schwierigkeiten zu reden, wie es hier bei Einführung
der Brüche geschieht, hätte der Veifasser die Frage beleuchten müssen:
Sind alle Grössen unbegrenzt teilbar? Was berechtigt uns, wenn sie
es nicht sind, oder wenn unter der Allgemeinheit dieser Fall mit be-
griffen ist, Brüche einzuführen? Hierüber schlüpft er mit der einge-
schalteten, offenbar unwahren Behauptung hinweg „da jede Grösse
bis . ins Unendliche teilbar ist*'. Bekanntlich giebt es zwei verschie-
dene Gründe der Berechtigung. Erstlich lassen sich in vielen Fällen
die negativen, in vielen Fällen die gebrochenen Zahlen wirklich dar-
stellen. Auf diesen allein hat der Verfasser geachtet-, nur verschweigt
er leider beidemal die Einschränkung. Zweitens kann die Rechnung
mit negativen, mit gebrochenen Zahlen positives, ganzzahliges Resultat
geben, und da kein theoretisches Resultat letztes Resultat ist, so be-
hält auch das negative und gebrochene Resultat unter allen Umstän-
den Bedeutung durch seine weitere Anwendbarkeit Der letztere ist
unstreitig der Hauptgrund; denn aas ihm leuchtet die Berechtigung
des factisch geübten Verfahrens ein, welches gar nicht nach der Be-
schaffenheit des Resultats fragt Dass der Verfasser ihn ganz igno-
rirt, ist ein grosser Mangel; denn es sind infolge dessen auch die^
Beweise weggeblieben, die zur Begründung notwendig waren.

Aus dem Vorstehenden erhellt wol zur Genüge, dass der Ver-
fasser seine Aufgabe nicht bewältigt hat; es hatte aber nicht sowol
den Zweck seinen Versuch abzuweisen, als vielmehr die Durchführ-
barkeit seines Gedankens darzutun. H.

Geometrie.

Elemente der Geometrie. Leitfaden für den Unterricht in Pla-
nimetrie und Stereometrie. Von Dr. Kurt Schurig, Oberiehrer an
der k. Gymnasial- und Realschulanstalt und Lehrer der Mathema*^**

41 Litterarischer Bericht CCXXXVL

an der k. Baugcwerkenschalc zu Plauen i. V. Zweite, verbesserte
und vermehrte Auflage. Mit 210 in den Text gedruckten Figuren.
Plauen, 1876. A. Hohmann. 111 S.

Das Buch ist zum Gebrauch an der Baugewerkenschulc inTlauen
speciell bestimmt. Absehend von allem Zweck der Ausbildung für
mathematisches Studium und Entwickelung productiver Fähigkeiten,
ist es nur darauf berechnet der Aneignung des Lehrstoffs in gehöri-
gem Umfang auf kürzestem und bequemstem Wege zu dienen. In
dieser Eigenschaft bleibt aber sorgfältige Bearbeitung, concinner Aus-
druck, Einfachheit der Darstellung, gute Auswahl des praktisch Nutz-
baren und Reichhaltigkeit anzuerkennen. Weniger notwendig wäre
es wol gewesen sich jeder misbräuchlichen Terminologie, die in halb-
gebildeten Kreisen Fuss gefasst hat, anzuschliessen ; denn in der
Materie praktisch, in der Form unpraktisch zu sein, ist doch keine
Vorschrift für den Techniker, wenn gleich der Wunsch mit jenen
Kreisen Fühlung zu behalten auch dies erklärlich macht H.

Lehrbuch der Stereometrie zum Gebrauche bei dem Unterrichte
in Gymnasial- und höheren Realanstalten. Von Oberstudienrath Dr.
von Nagel, Ritter 1. Cl. des kgl. württemb. Kronordens und des
kgl. württemb. Friedrichordens. Mit vielen dem Text beigedruckten
Holzschnitten. Vierte vermehrte Auflage. Ulm 1876. Grebrüder
Nübling. 118 S.

Das Lehrbuch will, wie der Verfasser erklärt, von dem Gesichts-
punkts beurteilt sein, dass der Hauptwert des mathcmatischou Unter-
richts in der innem bildenden Kraft ruht, welche dieser Wissenschaft
innewohnt, in dem Sinne für Wissen und Wissenschaftlichkeit, welche
sie durch die strengste Logik, die sie charakterisirt, zu wecken ge-
eignet ist, und in der Sicherheit und Zuversicht, mit welcher der
Schüler durch sie in seinem Denken vorwärts schreiten lernt. Fragt
man, was die gegenwärtige Bearbeitung für diesen bildenden Zweck
getan hat, so ißt in der Tat ein Punkt zu nennen, in welchem sie
bessernd vorgegangen ist. Die Kugel, welche gewöhnlich nur als einer
unter den Körpern, die man in den Elementen zu betrachten für got
findet, und noch dazu als letzter behandelt wird, nimmt hier voll-
ständig die Stelle ein, welche der Kreis in der Planimetrie behauptet;
die Lehre von der Kugel, nämlich als regulirendes Element, nicht als
Object der Messung, folgt unmittelbar auf den Abschnitt von der
Stellung der Ebenen und Geradon. Dass die den Kreissätzen analogen
Sätze von den Schnitten und Berührungen der Ebenen und Geraden
mit der Kugel und von den die Centricwinkel messenden Normal-
bogen sehr zur Orientirung in den räumlichen Verhältnissen beitragen,

Litterarischer Bericht CCXXXVl, 42

dass sie schon an dieser Stelle leicht zum Verständniss gelangen, da-
her hier ihren geeigneten Platz haben, leuchtet auf den ersten Blick
ein. Ueberdies macht der Verfasser mit Recht darauf aufmerksam,
wieviel Aewendungen die Kugelsätze in fremden ünterrichtsgegen-
8tll,nden, der Geographie u. a. haben. Können wir dies als einen
wesentlichen und definitiven Fortschritt der Methode verzeichnen —
denn wieder daVön abzugehen ist kein Grund ersichtlich, da weder
ein Zusammenhang zerrissen, noch das Pensum im ganzen verlängert
worden ist — so steht im übrigen, namentlich aber im Betreff der
Ausführung im einzelnen, das Lehrbuch noch ganz auf dem gewöhn-
licheii Niveau. Die Sätze des ersten Abschnitts, welche doch gerade
die Bestinmiung haben, eine üebersicht über die räumlichen Lagen
zu geben, mit den Verhältnissen vertraut zu machen, sind noch ge-
rade so bunt, als wäre es der erste Versuch, sie der Reihe nach aus
einander zu beweisen, kein Fortschritt vom Einfachen zum Mannich-
faltigen, von der parallelen zur rechtwinkligen und dann zur schiefen
Lage. Ebenso wenig ist in den übrigen Abschnitten ein ordnendes
Princip zu erkennen, während die Ordnung der Abschnitte selbst eine
recht vernünftige ist: auf die Kugel folgt die Ecke und das sphäri-
sche Dreieck, dann die Körper, alles bis dahin nach allgemeinen
Eigenschaften, zuletzt die Inhaltsberechnungen. Incorrecte Ausdrücke
kommen bisweilen vor. „Die Geometrie ist die Lehre von den Raum-
grössen" ist eine Behauptung, deren Unwahrheit auf der Hand liegt
Die Geometrie handelt ziemlich ebensoviel von Dingen, die keine
Grö-ssen sind, wie unbegrenzte Gerade und Ebenen, deren Schnitt-
punkte und Schnittlinien u. s. w. und ein Kreis gilt ihr nicht für
dasselbe als eine gleichgrosse Gerade. „Zwei Ebenen fallen in einem
Teile ihrer Punkte zusammen". Was heisst „ein Teil der Punkte"?
Da die Punkte der Ebene keine Zahl haben, so kann es doch auch
keinen Teil dieser Zahl geben. Beide Ausdrücke entsprechen einer
mangelhaften Entwickelung des Denkens und stehen in schroffem
Gegensatz zu dem oben aufgestellten Gesichtspunkt. Doch diese for-
mellen Fehler sind verschwindend gegen die Unklarheit, mit welcher
die Inhaltsberechnung aus den parallel begrenzten Elementen vorge-
tragen wird. Das einzelne Element, vnrd behauptet, aber nicht er-
klärt, habe keinen Einfluss auf die Grösse des Körpers. Dennoch
besteht der Körper als lauter solchen Elementen. Wie soll der
Schüler das zusammenreimen? Gerade das war ja zu zeigen, wie die
Grösse des Körpers durch die Grösse des Elements bedingt ist Da
der Verfasser wol kein Verständniss vom Unendlichkleinen hat, so
wollte er, wie es scheint, die Schwierigkeiten der unendlich kleinen
Differenz durch jenen Machtspruch dem Blick entziehen. Doch an-
statt denselben daran vorbei auf die Hauptsache zu lenken, verdeckt
er lieher gleich das ganze Object seiner Betrachtung. Merkwürdig

43 LitterarifrJier Bericht CCXXXV2

ist, dass er die Beweisart in der Vorrede hervorbebt. ^ Es ist mir
wohl bekannt, was sich gegen diese Beweisart einwenden läset Aber
ich könne keine andere, die den Namen einer elementaren mit Becfat
verdiente." Trotz dem, dass ihm die Schwäche bekannt war, und
trotz dem ausgesprochenen Grundsatz strengster Logik entscheidet
er sich für das Ungenügende. In der Tat liegt aber die Schuld an
etwas ganz anderem als an der Wahl des Deductionsweges. Streng,
elementar und ohne grosse Umständlichkeit lässt sich die bezeichnete
Methode durchführen. Nur muss man die unendlichkleinen Grössen
nicht ignoriren, sondern ihre Bedeutung und die darauf basirten
Schlüsse erklären. H.

Die regulären und halbregulären Polyeder. Mit 1 Tabelle und
113 stereoscopischen Figuren. Von Dr. Th. Hügel, k. Bector an
der Gewerbschule zu Neustadt a. d. H. Neustadt a. d. H. 1876.
A. H. Gottschick-Willer. 4^ 20 S.

Die Schrift ist eine Sammlung von einfachen Grössenrelationen,
welche sich zwischen den Bestimmungsstticken der regulären Polyeder,
nicht bloss der unmittelbar vorhandenen, sondern auch mancher durch
eigene Constructionen hinzukommenden, finden lassen. Sie geht nach
keiner Seite hin auf Erschöpfung eines Bezirks aus, behandelt viel-
mehr jedes Einzelne als Gegenstand eigenen Interesses, wie es der
Bestimmung zu Uebungsaufgaben entspricht. Die Herleitungen sind
meistens direct, nicht in synthetischer Verkettung von einander ab-
hängig, und werden mit einfachen zur Hand liegenden Mitteln ohne
Kunstgriffe m aller Kürze vollzogen. Was halbreguläre Polyeder,
goldenes Polyeder u. s. w. genannt wird, sind nur Ergebnisse solcher
Constructionen, die zu einfachen Relationen führen; unter diesem
Gesichtspunkt werden die archimedischen, antiarchimedischen, Rhom-
ben- und poinsot'schen Polyeder behandelt; eine Discussion giebt bei
jeder neuen Figur die Haltpunkte der geordneten Vorstellung. Be-
sonders empfehlend ist die Beigabe der stereoskopischem Darstel-
lungen. H.

The cone and its sections troated geometrically, by S. A. Ron-
shaw of Nottingham. London 1875. Hamilton, Adams, and Co.
40. 148 S.

Die hier gewählte Methode nimmt zwei charakteristische Normen
für sich in Anspruch: sie soll die Eigenschäften der Kegelschnitte
erstens aus deren Lage im Kegel, zweitens geometrisch herleiten.
Der Verfasser bezeichnet sie selbst als Rückkehr zur Methode der
Alten, findet jedoch Gründe sie überhaupt zu bevorzugen, und beruft

Läitranseher Bericht CCXXXVI, 44

Sieh in dieser Beziehung auf den Vorgang Hamilton's. Die Berech*
tigong des Versnchs von vornherein zugestanden, darf man indes wol
an die Ausführung der Idee die Forderung steUen, dass sie derselben
auch ganz entspricht und in Allgemeinheit der Auffiassung der ein-
schlagenden Fragen sowie in Eleganz der Deduction etwas mehr leistet
als das Vorgefundene. Ist einmal der Kegel in seiner Beziehung zur
Schnittfigur zum Gegenstand des Interesses gemacht worden, so war
die Frage nach der Gestalt des Schnitts einer bdiebigen Ebene jeden-
falls erste und Hauptfrage. Ein solcher Schnitt wird hier gar nicht
erwähnt; es kommen nur Schnittebenen senkrecht zur Projections-
ebene der Kegelaxe vor, kein Wort davon, dass andere dieselben
Figuren ergeben. Ferner hätte man wol erwarten dürfen, dass die
Deduction, wenn auch nur in manchen Punkten, mit der Ausgangs-
betrachtung in Connex bleiben, und einige neue Beziehungen der
Curvenmerkmale zum Kegel enthüllen würde. Es behält aber sein
Bewenden bei einer einzigen: aus dem* Schnitt in jener spcciellen
Lage wird die Focal-Eigenschaft hergeleitet; nachdem hiermit eine
für sich ausreichende Bestimmung der Curve gewonnen ist, bleibt
die Darstellung bis ans Ende innerhalb der Ebene und kommt nicht
wieder auf den Kegel zurück. Demnach ist die Zuziehung des Kegels
nichts weiter als ein zurückgeschobener Ausgangspunkt und ohne
allen Einfluss auf die Methode. Wenn endlich die letztere geometrisch
genannt wird, so trifft 'dies nur insofern zu, als der Leser zu bestän-
diger Vergleichung mit der Figur genötigt ist Coordinaten kommen
nicht in Anwendung; dadurch wird aber die Rechnung, aus der doch
alle Herleitung besteht, nicht kürzer, sondern nur mtÜievoUer durch-
zulesen. Die Figuren sind mit grossem Aufwand an Raum, aber
geringer Sorgfalt ausgeführt So fäUt z. B. ein Kegelschnitt zum
grossen Teil ausserhalb des Kegelbildes. H.

Physik.

Lehrbuch der physikalischen Mechanik von Dr. Heinrich Buff,
Professor der Physik an der Universität Giessen. In zwei Theilen.
Mit zahlreichen in den Text eingedruckten Holzstichen. Brannschweig
1874. Vieweg und Sohn.

Indem wir dieses Buch, welches nach dem Erscheinen der ersten
Lieferung im 220. litt. Bericht genannt worden ist, nach seinem Ab-
schluss noch einmal aufführen, gesciiieht es nur um zu constatiren,
dass auch die drei übrigen seitdem erschienenen Lieferungen das Urteil
bestätigen, mit dem wir es damals abgefertigt haben. Die ganze volu-
minöse Schrift ist nichts als eine Zusammentragung vorgefundenen-

45 Litterarischer Bericht CCXXXVl.

Lehrstoffs ohne jeden Hinblick auf das Bedürfhiss dessen, d^ davon
Gebrauch machen soll. Sie ist das (ktgenteil von dem, was die An-
kündigung auf dem Umschlag als das Streben des Verfassers bezeichnet
Der ZurttckfUhrung der Lehren auf die Erfahmngsgrundlagcn hat sich
kaum ein anderes Lehrbuch der Physik in dem Masse aberhoben als
das gegenwärtige. Die Sätze, ohne Angabe was daran und wodurch
es gesichert ist, werden schlechthin als Resultate, man sieht nicht
wovon, aufgestellt. Dies kann natürlich nicht von denjenigen Partien
gelten, welche speciell auf Gegenstände neuerer Forschung eingehend
die Originalarbeiten auch in der Form der Darstellung benutzen
konnten. Die Sorgfalt in der Sicherstellung und die klare Bezeich-
nung des Zieles, der man hier begegnet, steht in auffälligem Gegen-
satz zur Behandlung der allgemeinen Theorie. H.

Compendium der Experimental-Physik nach Jamin's Petit Trait^
de Physique deutsch bearbeitet von Dr. G. Recknagel, Professor
für Physik und techn. Mechanik, Rector der königl. Industrieschule
in Kaiserslautern. Stuttgart 1876. Meyer u. Zeller. 875 S.

Das nach dem Erscheinen der ersten Lieferungen zweimal, in
den litt Berichten 222. und 225., besprochene Werk ist jetzt vollendet
und enthält nun in 7 Abschnitten die Lehre von der Schwere und
der Elasticität, der Wärme, der Reibungselektricität, den elektrischen
Strömen, dem Magnetismus, dem Schall und dem Lichte. Der Giarak-
terisirung des zweiten Abschnitts entsprechen auch ganz die folgenden.
In allen Punkten findet man dasselbe correcte Zuwerkegehen : aus-
gehend von der unmittelbar aufgefassten Tatsache führt der Vortrag
durch das Experiment zur Theorie hin,'' so dass von Anfang bis Ende
deutlich wird und sich beständig überschauen lässt, auf welchen Tat-
sachen, Annahmen und Bedingungen jede Lehre beruht Das Com-
pendium ist daher, hinsichtlich der allein in Betracht kommenden
Abschnitte 2. bis 7., denjenigen seltenen Erscheinungen zuzuzählen,
welche alle didaktischen Anforderungen in vollem Masse erfüllen.

H.

Schulphysik. Bearbeitet von Albert Trappe, Professor und
Prorector an der Realschule am Zwinger zu Breslau. Siebente, ver-
besserte und vermehrte Auflage. Mit 250 in den Text gedruckten
Abbildungen. Breslau, Ferdinand Hirt 280 S.

Die neue Auflage ist auf dem in den früheren Auflagen ernstlich
verfolgten Wege der Emendirung, namentlich im Gebiete der Mechanik,
fortgeschritten, und auf einen Standpunkt gelangt, welcher der heuti-
gen höheren Schätzung des physikalischen Unterrichts entspricht.

i

lAtterarischer Ben'rht tCXXXVl 46

Die vielen Irrlehren, welche man vor nicht gar langer Zeit noch
unter dem Verwände, bei der geringen mathematischen Entwickelungs-
stafe der Schüler auf exacte Darstellung verzichten zu müssen, hegte,
sind nicht nur beseitigt, sondern es sind auch direct die wichtigsten
Sätze ausgesprochen, welche denselben entgegenstehen und zu den
richtigen Vorstellungen den Grund legen. Um so mehr als dies
hoifeu lässt, dass der Verfasser auch den letzten Rest der alten Irr-
lehren gern fallen lassen und methodischen Verbesserungen femer
Raum gönnen wird, mag folgendes bemerkt sein. Von der Centri-
fugalkraft sagt das Lehrbuch, sie höbe die Centripetalkraft auf. Da-
mit steht aber die kreisförmige Bewegung offenbar im Widerspruch;
denn bei Null-Kraft kann nur eine geradlinige gleichmässige Bewegung
stattfinden. Da die Wirkung der Centripetalkraft allein der Kreis-
bewegung entspricht, so folgt, dass die sogenannte Gentrifugalkraft
nicht als Kraft in Rechnung kommen darf. Bei deren Einführung
hätte der Begriffsverwirrung, der hier durchweg Vorschub geleistet
ist, clurch reichliche Aufklärung über den Sachverhalt gewehrt werden
müssen. Hieraus erhellt zugleich, wie wenig es genügen kann, wenn
das Lehrbuch den Satz aufstellt: Ein bewegter Körper kann nur durch
eine Kraft zur Ruhe kommen. Ist es denn so schwer oder überhaupt
schwerer den vollständigen Satz zu verstehen, dass jeder Bewe-
gungszustand nur durch eine Kraft geändert werden kann, dass Ab-
lenkung aus der Richtung, Beschleunigung und Verzögerung stets
oiner Kraftwirkung zuzuschreiben ist? Femer wäre in methodischer
Beziehung eine deutlichere Scheidung des mathematisch logischen
Elements zu wünschen. Vom Parallelogramm der Kräfte, wie über-
haupt von priucipiellen Sätzen, verlangt man keinen mathematischen
Beweis, sondern klare Entfaltung des Sachverhalts; hier beeinträchtigt
es nur die unbefangene Auffassung, wenn man Beweis darüber schreibt
und die Meinung erhält, als ob man beweisen wolle, was ja doch
nicht geschieht. Dagegen hätte wol die Existenz des Schwerpunkts
förmlich bewiesen werden können, da sie eine strenge Folge der
vorhergehenden Sätze von Hebel und schiefer Ebene ist Die gegen-
wärtige Darstellung lässt es so scheinen, als verstünde sich dieselbe
von selbst, was doch nicht d(T Fall ist. H.

Preisaufgaben

der

Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft

in Leipzig.

IhtlM^matisoh-iiatwwisseMcluiftlielie Sedion.

1. Far das Jahr 1876.

Trotz der meisterhaften Arbeiten Leverrier's ftber die Bewegung
des Merkur kann die Theorie dieses Planeten noch nicht als end-
gültig abgeschlossen betrachtet werden. Die Gesellschaft wünscht
eine ausführliche

Untersuoiiang der die Bewegung des Merkar
bestimn&enden Kräfte,

mit Rücksicht auf die vpn Laplace (in derM^canique Celeste), Ton
Leverrier (in den Annales djB TObservatoire und den Comptes
rendus de TAcad^mie des Sciences), von Hansen (in den Berichten
der Kgl. Sachs. Gesellsch. d. W. vom 15. April 1863) und von
Wilhelm Weber (vergl. Zöllner über die Natur der Cometen,
S. 333) angedeuteten Einwirkungen. Ausser der vollständigen Be-
rechnung der Störungen ist eine Vergleichung mit den Beobachtungen
unerlässlicb, um zu zeigen, bis zu welchem Grade der Genauigkeit
sich die eingehenden Constanten bestimmen lassen. Die Construction
von Tafeln zur Ortsberechnung behält sich die Gesellschaft vor zum
Gegenstand einer späteren Preisbewerbung zu machen. Preis 7(X) Mark.

2. Für das Jahr 1877.

Der nach Encke benannte und von diesem Astronomen während
des Zeitraumes von 1819—1848 sorgfältig untersuchte Comet I, 1819,
hat in seiner Bewegung Anomalieen gezeigt, welche zu ihrer Er-
klärung auf die Hypothese eines widerstehenden Mittels geführt haben.
Da indessen eine genauere Untersuchung der Bahn nur über einen

beschränkten Theil des Zeitraums vorliegt, Aber welchen die Be-
obachtungen (seit 1786) sich erstrecken, so ist eine vollständige
Neubearbeitung der Bahn des Encke'scben Cometen nm so mehr
wünschenswerth, als die bisher untersuchten Bewegungen anderer
periodischen Cometen keinen analogen widerstehenden Einfluss ver-
rathen haben. Die Gesellschaft wünscht eine solche vollständige Neu-
bearbeitung herbeizuführen, und stellt desshalb die Aufgabe:

die Bewegung des Encke'schen Cometen mit Be-
rOcksichtigung aller störenden Kräfte, welche
von Einfluss sein können, vorläufig wenigstens
innerhalb des seit dem Jahre 1848 verflossenen
Zeitraums zu untersuchen.

Die ergänzende Bearbeitung für die Mhere Zeit behält sich die
(Gesellschaft vor, eventuell zum Gegenstand einer späteren Preis-
bewerbnsg zu machen. Preis 700 Mark.

3. Ftlr das Jahr 1878.

Die EntWickelung des reciproken Werthes der Entfernung r zweier
Punkte spielt in astronomischen und physikalischen Problemen eine
hervorragende Rolle. In der Theorie der Transformation der ellipti-
schen Functionen wird die zuerst von Cauchy entdeckte Gleichung
bewiesen

wo* 4ffo* 9nä* Hnä*

T

fir* 4;rr» 9yrr* Xtnr^

— 1 + 2« «'+2« «•+2« ^ +2«"" «• ...

in welcher mit RQcksicht auf die zu erzielende Genauigkeit die positive
willkürliche Constante a so gross gewählt werden kann, dass die

Exponentialgrösse e ''* vernachlässigt werden darf. Alsdann hat man

^«l+2«""^+2c""^+2e" «• -f...

eine Beihenentwickelnng von ungemein rascher Convergenz. Es steht
zu erwarten, dass eine auf die vorstehende Formel gegründete Ent-
wickelung der Störungsfnnction in dem Problem der drei Körper sich
für die numerische Rechnung als vortheilhaft erweisen werde.

Die ßesollschaft wOnscht eine onter dem angedeu-
teten Gesichtspunkte aasgeführte Bearbeitong des Stö-
rongsproblems zu erhalten.

Indem sie dem Bearbeiter die Wahl des besonderen Falles über-
lässt, in welchem die numerische Anwendbarkeit des Verfahrens ge-
zeigt werden soll, setzt sie voraus, dass das gewählte Beispiel hin-
länglichen Umfang und Wichtigkeit besitze, um die Tragweite der
vorgeschlagenen Methode und ihr Verhältniss zu den bisher ange-
wandten hervortreten zu lassen. Preis 700 Mark.

4. Für das Jahr 1879.

Durch die in den Abhandlungen der Kgl. Sachs. Gesellschaft der
Wissenschaften von W. Hankel veröffentlichten Untersuchungen ist
nachgewiesen worden, dass die Thermoclektricität nicht nur auf den
hemimorphen Krystallen auftritt, sondern eine an allen KrystaDen
wahrzunehmende Eigenschaft ist, soweit deren krystallinische Structur
und materielle Beschaffenheit überhaupt ein Entstehen und Anhäufen
der Elektricität bis zu einer durch unsere Instrumente nachweisbaren
Stärke gestatten. Die erwähnten Abhandlungen umfassen ausser den
hemimorphen Krystallen des Boracites und Quarzes die symmetrisch
gebildeten Krystalle des Idokrases, Apophyllits, Kalkspathes, Berylls,
Topases, Schwerspathes, Aragonites, Gypses, Diopsids, Orthoklases,
Albits und Periklins, und lehren nicht nur die Vertheilung der Elek-
tricität auf den in den verschiedenen Formen vollkommen ausgebilde-
ten, sondern auch auf den durch Anwachsen und sonstige Hindemisse
in ihrer Entwickeluug gehemmten Individuen, sowie auf den Bruch
oder Anschlagen der Durchgänge künstlich erzeugten Begrenzungs-
flächen kennen. Es scheinen nun unter allen zwischen der Wärme
und der Elektricität beobachteteten Beziehungen die thermoelektrischen
Erscheinungen am geeignetsten, eine nähere Kenntniss des Zusammen-
hanges zwischen den genannten beiden Agenticn zu ermöglichen, und
es wird daher von der Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft für
das Jahr 1879 als Preisaufgabe gestellt:

Auf streng physikalische Versuche gestützter
Nachweis der Entstehung der auf Krystallen bei
steigender und sinkender Temperatur hervor-
tretenden Elektricität (Thermoelektricität, Pyroelek-
tricität, Krystallelektricität) und der durch Bildungs-
hemmnisse oder äussere Verletzungen derselben
in der normalen Vertheilung entstehenden Aen-
derungen.
Preis 700 Mark.

i

Dio anonym einzureichenden Bewerbungsschriften sind, wo nicht
die Gesellschaft im besondern Falle ausdrücklich den Gebrauch einer
anderen Sprache gestattet, in deutscher, lateinischer oder
französischer Sprache zu verfassen , müssen deutlich geschrieben
und pagin irt, ferner mit einem Motto verschen und von einem
versiegelten Couvert begleitet sein, das auf der Aussenseite das Motto
der Arbeit trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers
angiebt. Die Zeit der Einsendung endet mit dem 30. November
des angegebenen Jahres und die Zusendung ist an den Secretär
der Gesellschaft (für das Jahr 1876 Geh. Hofrath Prof Dr. Haukel)
zu richten. Die Resultate der Prüfung der eingegangenen Schriften
werden durch die Leipziger Zeitung im März oder April des folgen-
den Jahres bekannt gemacht

Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthum der Ge-
sellschafL

J

tete
rur

lä

Mathematische
und /»Aysikalische Bibliographie.

cxxxm.

Oesehlehte der Mathematik und Physik«

liiemanD's, B., gesammelte mathemat. Werke u. wiss. Nach-
l$8s. Hrsg. V. H. Weber. 8. Leipzig, Teubner. 16 Mk.

St odnicka, F. J., Augustin Coucby als formaler Begrander der
petenninanten-Taeorie. 4. Prag, Calve. 2 Mk.

Wild, n., Zum Gedächtniss an M. H. v. Jacobi. 8. Leipzig,
Voss, 80 Pf.

Wöckels, L., Geometrie d. Alten in e. Sammig. v. 850 Aa%.
11. Afl. 8. Nürnberg, Korn. 1 Mk. 80 Pf.

Methoden und Principien.

Mo r off, A., d. ersten Sätze der ebenen Geometrie. 8. Hof,
Büching. 80 Pf.

Secchi. wA., d. Einheit d. Naturkräfte. 3. Lfg. 8. Leipzig,
Frohberg. 3 Mk.

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Frischauf, J., Uebungen zu d. Elementen d. Geometrie. 8.
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Heilermann, H., Lehr- u. Uebungsb. ^. d. Unt in d. MaUie-
maük an Gymn., Real- u. Gewerbeschulen. 2. Tbl. 1. Abth. Ebene
Geometrie. 2. Afl. 8. Coblenz, Hergt. 75 Pf.

Kahler, H. G., logarithmisch-trigonometr. Handbuch. 13. Asg.
8. Leipzig, Tauchnitz. 3 Mk.

Köster, T. E., Material f. d. Unt. in d. Arithmetik u. Algebra.
3. Afl. 8. Oldenburg, Schmidt. 2 Mk. 50 Pf.

Mehl er, F. G., Hauptsätze d. Elementar-Mathematik. 8. Afl.
8. Berlin, G. Reimer. 1 Mk. 50 Pf.

Teil LI

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