Archives du Musée Teyler

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MUSÉE TEYLER

Série Il, Volume XI.

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PARIS, LEIPSIC,

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TABLE DES MATIÈRES.

Avis.
Fondation de M. P. TEYLER VAN DER Huzsr à Haarlem.

Programm der Teylerschen Theologischen Gesellschaft für das Jahr 1908, 1909,

Programma van Teylers Tweede Genootschap voor het jaar 1908.

Description phonétique des sous de la langue frisonne parlée à Grouw,
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Les courbes de plissement chez les mélanges binaires de substances
normales, et sur le pli longitudinal, par J. J. van Laar

Haisceaux de courbes planes, par J. DE VRIES.......................
Sur une relation entre les valeurs k des solutions salines, par E. van
Dan. VD ed =: «ee eR do OE RER
Les vecteurs dans la géométrie différentielle, par J. DE VRIES.........
Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. van
DRE NE = eee 35. & 0 © Ee eine poeme ee eee = (en ee core eee
Sur les configurations combinatoires et sur la multiplication de confi-
SUPE. [Pies A BARRE RE re = see eee. inte
Théorie générale de l'association de molécules sembables et de la

combinaison de molécules différentes, par J. J. van LAAR

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ARCHIVES

DU

MUSÉE TEYLER

SERIE TL, VOL. XI.

Brentere partie.

LIBRARY
NEW YORK
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GARDEN,
HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES.
1907.
PARIS, LEIPSIC,

GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE.

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En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire Gasves
de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des
Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier
dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa
responsabilité.

Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront, d’abord
la description scientifique des principaux instruments de précision
et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les
résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur
moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces
collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront
accordé l’usage.

En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas
occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives
seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont
rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée
à l’Institut par son fondateur.

Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de
s'adresser au Secrétaire de l’Institut,

E. VAN DER VEN.

HAARLEM, janvier 1881.

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TABLE DES MATIÈRES.

Description phonétique des sons de la langue frisonne parlée
à Grouw, par L. P. H. Ersxman.

Les courbes de plissement chez les mélanges binaires de substances
normales, et sur le pli longitudinal, par J. J. van Laar.

Faisceaux de courbes planes, par J. DE VRIEs.

Sur une relation entre les valeurs k des solutions salines,
par E. VAN DER VEN.

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FONDATION

DE

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À HAARLEM.

Directeurs.

L. P. ZOCHER.

P. LOOSJES.

Mr. A. W. THONE.

J. J. VAN OORDE.

J. A. FONTEIN.
Secrétaire.

Mr. A. A. VAN DER MERSCH.

Trésorier.
P. DROSTE.

Conservateur du Cabinet de Physique.
Dr, E. VAN DER VEN.

Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie.
Prof. Dr. EUG. DUBOIS.

Bibliothécaire.
J. J. VERWIJNEN.

Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures.
TENUES

Conservateur du cabinet numismatique.

MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES.

De la première Société ou Société de théologie.
Prof. Dr. $. CRAMER.
Prof. Dr. I. Je DE BUSSY.
Dr. J. G. BOEKENOOGEN.
Prof. Dr. D. E. J. VÖLTER.
Dr. A. C. DUKER.
Prof. Dr HE J. ELHORST:

De la seconde Société.

Dr. E. VAN DER VEN.

J°. DE VRIES.

Prof. Dr. HUGO DE VRIES.

Prof Den V5 BOK

Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE.
E. W. MOES.

DESCRIPTION PHONETIQUE
DES SONS DE LA LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW

PAR

L. P. H. EWKMAN.

Tout bon Frison est d'opinion, me semble-t-il, que c’est dans
la région qui l’a vu naître que l’on parle le plus correctement
la langue frisonne. Comme je ne puis ni ne veux décider en cette
matière, j'ai ajouté au titre de mon essai ,parlée à Grouw”, car
ma connaissance de la langue est basée sur des études phonéti-
ques que j’ai faites pendant un séjour de quelques semaines dans
ce village et sur les informations que j’ai recueillies depuis de la
bouche de quelques personnes natives de cet endroit Je laisse
done à de plus experts que moi la décision à ce sujet et me
borne à communiquer dans les pages suivantes les résultats de
mes propres recherches !).

CHAPITRE I*.

La méthode d’expérimentation.

Les matériaux que j'ai recueillis sont de deux sortes, parce
qu’ils ont été obtenus, d’une part par la méthode objective et de
l'autre par la méthode subjective.

Dans mes recherches objectives je me suis servi des appareils
du Laboratoire Physiologique d’Utrecht, qu'il suffira de nommer
ici puisqu'ils ont été décrits minutieusement autre part ?). Il est

1) Je me fais un devoir d'exprimer ici ma reconnaissance à la Société , Provin-
ciaal Utrechtsch Genootschap voor Kunsten en Wetenschappen”, qui a bien
voulu m’accorder une subvention en vue de ces études.

2) Onderzoekingen Physiol. Lab. der Utr. Hoogeschool, Série V, N°. 1. —
Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie.

ARCHIVES XI. 1

2 DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA

nécessaire cependant de mentionner quelques modifications dans
la méthode:

1° Pour mesurer l'écart des mâchoires, au lieu d'employer des
moules de cire !),je me suis servi de quelques billots d’ébonite de
petite dimension ayant respectivement 1, 2, 4 et 8 mm d’épais-
seur, dont un (ou quelques-uns superposés) était mis entre les
dents de devant du sujet d’expérimentation.

2° L’enregistrement des mouvements de la lévre supérieure a
été amélioré de telle sorte qu'il a été possible de donner des
valeurs proportionnelles aux courbes du même sujet d’expérimen-
tation pourvu que les circonstances ne subissent pas de modification
pendant l'expérience. Au lieu du tambour ordinaire de Marry je
me suis servi d’un „volume-recorder” système BRoDIE ?) avec
un levier d'aluminium qui, à partir du pivot, avait une longueur
de 21 centimètres. La vérification s’effectuait en posant le coussinet
rempli d’air dans un petit réservoir d’eau et en comparant les
mouvements du ,recorder” avec la quantité d’eau repoussée ou
admise. L’échelle obtenue d’après cette méthode était très régulière
et donnait par mm. d’ordonnée une différence de volume de

1 : 2
15 em. Le coussinet avait 5,5 cm de longueur. Supposé que la

lövre pesät sur le coussinet sur une largeur de 4 cm et d’une
hauteur de 14 em — lesquels chiffres sont plutôt trop bas que
trop élevés — dans ce cas 1 mm d'ordonnée représenterait un

épaississement ou un avancement de la lèvre supérieure de
wa! x 1} mg mm.

Dans la transmission aérienne des lèvres et des muscles extrin-
sèques de la langue la pression a été légèrement augmentée, afin
de faciliter l'enregistrement du mouvement rétrograde des lèvres
et de l'élévation du fond buccal au-dessus de l’état normal.

3° Non seulement les mouvements de la mâchoire inférieure,
des deux lèvres et du fond buccal, mais aussi les vibrations des
cordes vocales ont été enregistrées. Cela a été fait selon la méthode

E. A. Meyer °); cependant le défaut d’espace dû à l’emploi de la

1) Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie, page 103.

2) BroDte, Journal of Physiol. Vol. 27, p. 473. Pour l’examen de mes propres
sons du hollandais selon cette methode, voir: Onderzoekingen Physiol. Lab. der
Utr. Hoogeschool (5) V, page 30, 1905.

3) Die Neueren Sprachen, Bd. VIII, Heft 5.

LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 3

bande mandibulaire et du coussinet !) a été cause qu'il a fallu
remplacer par un plus petit appareil le disque de bois de Meyer
avec son bord vertical en carton. J’ai choisi à cet effet un petit
tambour de 32 mm de diamètre et profond de 8 mm, lequel,
posé sur le lig. cricothyroide était fixé au moyen d'un cordon
entourant le cou, la peau faisant l'office de membrane.

Je m'étais d’abord assuré que le chiffre noté d'après cette
méthode représentait en effet celui des vibrations des cordes vocales.
J’ai obtenu ce résultat en chantonnant quelques notes et en
enregistrant au moyen de l'appareil les mouvements du larynx.
Le nombre de vibrations par seconde obtenu de cette manière
sera comparé ci-dessous avec les chiffres des vibrations des notes
musicales que je voulais obtenir.

G (sol) 98 97
A (la) 104 109
Be fst), „119,5, ,.122
c (do) 120,5 129
d (ré) 136 145
e (mi) 150,5 162
e’ (do) 260 259.

En continuant mes expériences je me suis aperçu que le tambour
posé sur la pomme d’Adam inscrivait distinctement les vibrations
des cordes vocales causées par la prononciation des sons u:, 0:.
9, t:, y, e:, @ ?) et quil restait presque insensible aux sons
a:, a, €. Cette observation s’accordait entièrement avec une expé-
rience antérieure d’après laquelle je sens plus distinctement les
vibrations au-dessus des cordes vocales 3) en prononcant la première
série de sons, et au-dessous, même jusque dans la fossette de la

1) Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie, page 102.

*) Les caractéres phonétiques dont je me sers dans cet article sont ceux de
V Association Phonétique.

3) On peut s’en assurer au moyen de l’experience de A. Ziinp Burauer (Neuere
Sprachen, Bd. XI, Heft 9, p. 527) qui réussit encore mieux quand on remplace
la boite de carton avec bouton par une boite de fer-blanc (p. ex. de poudre
dentifrice Odol) contenant une ou deux monnaies d’assez grande dimension,
florins ou pennies. Si l’on met cette boîte sur le cou au-dessus de la pomme
d'Adam on entendra distinctement bruire les monnaies en prononcant les sons
u: etc., tandis qu'on n’entendra rien ou presque rien en prononcant a:, a et €.

1*

4 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

gorge, avec la seconde série. C'est ce qui m’a amené à placer le
tambour, comme il a déjà été dit, sur le lig. cricothyroïde en
suite de quoi il m'est possible maintenant d’enregistrer les vibra-
tions des cordes vocales avec toutes les voyelles.

Dans le cours de mes recherches à Grouw je me suis aperçu
que pour une catégorie de sujets il est utile d’être pourvu de
trois ou quatre tambours dont le bord est plus ou moins creux
à cause des différentes formes du cou.

4. Dans certains cas enfin j'ai recueilli dans un phonographe,
tout en les enregistrant, les mots-clefs, mais l’appareil employé
étant défectueux, cette partie de mes expériences peut être consi-
dérée comme plus ou moins avortée. Pourtant je suis convaincu
qu'un bon phonographe pourrait rendre d'importants services, ne
füt-ce que pour rafraîchir plus tard les impressions reçues quand
il s'agirait d'employer les matériaux obtenus par les expériences.

Dans des recherches comme celles qui nous occupent il faut
absolument profiter de l'assistance d’autres personnes. Aussi est-ce
avec reconnaissance que je fais mention ici de l’empressement
qu'ont mis les habitants de Grouw à m'aider. J’adresse particu-
lièrement mes remerciments au consistoire de l'Eglise Mennonite,
qui a eu lobligeance de mettre à ma disposition pour mes expé-
riences un local de son temple (fama:ja), ainsi qu'à monsieur
B. H. Gorrer, secrétaire communal, sans l’aimable assistance
duquel je n’aurais pu faire qu’un travail insuffisant Car c’est lui
qui m’a indiqué les mots-clefs et m’a procuré les personnes devant
servir aux expériences. J’ai vu plus tard que ces mots avaient
été si bien choisis qu'il n'y manquait qu'un ou deux sons.

Je n'avais fait, avec intention, aucune étude préalable du frison,
parce que je voulais écouter sans prédisposition et ne pas habituer
mon oreille à des sons défectueux. J'ai aussi évité soigneusement,
en élaborant mes matériaux, de consulter ce que d’autres avaient
écrit sur cette matière !). Ce que j'offre ici à ceux qui s'intéressent
à ce sujet repose exclusivement sur mes recherches personnelles.

Les personnes ayant servi aux expériences, au nombre de 20,
appartenaient presque toutes à la classe ouvrière Tous ces sujets,
sans exception, sont nés à Grouw, parlent toujours frison et la

1) Le lecteur trouvera une bibliographie sur ce sujet à la page 1527 de la
„Geschichte der friesischen Sprache” par THEODORE Siess dans Paul’s Grundriss,
Bd. I, Lief. 6.

LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 5

plupart ont de la peine à s'exprimer en hollandais. Quelques-uns
même ne le savent pas. La plupart d’entre eux n'avaient jamais
quitté le village, „jer net fon t plak ‘Pov vest” comme ils le disaient.
Les exceptions seront indiquées ci-dessous. Ils étaient cinq femmes

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et quinze hommes, à savoir:

I. J. G., homme, 27 ans. XI K. S., homme, 42 ans.
II. H. O., homme, 22 ans. XII. 8. S., homme, 30 ans.
III. A. M. B, femme, 20ans; XIII. J. D., homme, 17 ans.

parle le hollandais.

IV. T.S., homme, 31 ans; sait XIV. S.L., homme, 18 ans.

le holl.
V. B. d. V., homme, 22 ans. XV. G B., femme, 22 ans.
VI. U.B., homme, 20 ans. XVI. W.P., homme, 25 ans,dont

10 ans sur mer, revenu
il y a 2 ans.

VII. F.d. V., femme, 20 ans. XVII. S v.S., femme, 46 ans, a
passé 3 ans 4 Amsterdam
il y a 25 ans.

VIII. D.L., homme, 34 ans; a XVIII. B.H.G., homme, 41 ans,
été à Groningue pendant demeure à Grouw depuis
18 mois en 1890 et 791. 1883.

IX. S.M., homme, se fait XIX. B v.S., homme, 15 ans.
entendre en hiver dans
des sociétés frisonnes.

X. G.H. femme, 17 ans. XX. S. v. D., homme, 23 ans;
depuis 3 ans à Amster-
dam, où il parle ordinaire-
ment frison.

Avant de commencer l'enregistrement j'ai représenté en écriture
phonétique, me fiant à mon oreille, la prononciation des mots à
écrire, évitant ainsi de prendre connaissance de l'orthographe
frisonne usuelle. Pour mettre mes sujets d’expérimentation à leur
aise je commençais toujours par leur demander de compter, après
quoi M. Gorrer leur disait les mots-clefs. Quand j’eus acquis
moi-même quelque aptitude à prononcer, j'ai pu me dispenser
de l'aimable assistance de M. GoRrTER.

6 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

L'écart des mâchoires.

Parmi mes sujets d’expérimentation il y en avait quatre
(XVII—XX) dont j’inscrivais la prononciation seulement suivant
louïe. Parmi les autres il y en avait six qui, par timidité ou
pour d’autres causes, mouvaient si peu la mâchoire inférieure
qu'il était impossible de mesurer l'écart des mâchoires. Chez le
reste il y avait une différence notable entre les mouvements des
mâchoires: un des hommes (IX), qui dit et chante souvent en
public pendant l'hiver, avait une prononciation bien articulée !)
et une des femmes (X) pronongait tout aussi distinctement. On
peut donc s'attendre à trouver pour ces deux personnes, dans le
tableau des écarts des mâchoires, des chiffres différant sensiblement
de ceux des autres.

La liste suivante comprend les mots dont j’ai examiné les sons
selon la méthode objective et la subjective. Pour plus de clarté,
j'ai mis à côté de la transcription phonétique l’orthographe frisonne
usuelle et la traduction en hollandais telle que me l’a donnée
M. Gorrer.

Phon. Frison. Phon. Frison.
ion ien 1 olva älve 11
wa: twa 2 t6: laf toalf 12
treva trije 3 tretjon tretjin 13
fjouor fjouwer 4 Jictjon fjirtjin 14
ff ff 5 fiftjon fijfjm 16
sais seis 6 sekstjan sechstjin 16
sain saun 7 sontjon santjin 17
at acht 8 axtjan achtjin 18
njdgon njuggen 3 njogantjon njuggentjim 19
tsian tsien 10 twaintax tweintich 20

1) Une chose curieuse à noter, c’est qu'à mon second séjour à Grouw, cet
homme, après s’étre fait entendre plusieurs fois en public pendant deux ans,
avait conservé, il est vrai, une articulation distincte, mais avec un mouvement
très minime des mâchoires. Il y avait aussi fort peu de variation dans les
mouvements de ses lèvres. J’ai trouvé p. ex. le même arrondissement des lèvres
pour u, 6, à, 6, y, @ et ce; c'était celui que l’on observe d'ordinaire pour %
(voir Tableau ITI).

LANGUE FRISONNE PARLÉE 4 GROUW. 7

Phon. Frison. Phon. Frison.

"jun on twaintex ienentweintich 21 sontax santich 70
triton tritich 30 taxtax tachtich 80
fittax fiirtich 40 njogantas njuggentich 90
Jiftax füftich 50 hondat hondert 100

sekstax sechstich 60 tu: zon tuwzen 1000

Phone Hrıson. Trad. Phones on br sde

bwatsja boartsje (tls) jouent. a:mor amer seau.
mudika moaike tante. moan moarn matin.
kee: rja kuyerje (als) se pro- va: ksja waaxje (ils) gran-
menent. dissent.
rpoate short ryuchten droit et frjemd Frjemd étrange.
sljucht sincère.
blvaja bloeije (ils) fleurissent. swann soannen. (les) fils.
mula mile bouche. groyt great grand.
sndon sneun samedi. atezan’dy:vals 'tis'n c'est une croix
‘krys. duvels kris. du diable.
a: ion aeijen œufs. bljou mar bliww mar restez seule-
ment.
fo: la fôalle poulain. teksal tizel timon.
heo hea foin. poy pong bourse.
brötson britsen cassé. sjedzja siedsje (ils) sèment.
bluad bloéd sang. tsjerko tsjerke église.
bre: ga brégge pont. ‘hunakara hounnekarre voiture tirée
par un chien.
brea brea pain. _ ‘pwatlrad poûtlead crayon.
skroan skreaun écrit. kwab kwab lobe.

Les écarts des mâchoires pour les voyelles principales de ces
mots ont été mesurés et réduits à leur valeur réelle en mm. suivant
la méthode que j'ai décrite ailleurs ').

Le tableau I. donne un aperçu des valeurs absolues trouvées,
exactes à un quart de mm. près, rangées dans l’ordre des voyelles
proposé par TRAUTMANN et les moyennes calculées ainsi pour
chaque voyelle. Quelques-uns de ces mots ont été écrits plus

1) Archives Teyler, série II, T. VII, 2% partie.

8 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

d’une fois avec le même sujet d’expérimentation ; d’autres n'étaient
pas assez distincts pour être mesurés.

Au bas de chaque colonne se trouve la moyenne pour tous les
sujets de la voyelle à laquelle elle est destinée, et à la fin du
tableau il a été ajouté une colonne contenant la moyenne de
toutes les voyelles pour chacun des sujets et le chiffre final
5.75 mm. la même moyenne pour la totalité des sujets.

Pour faciliter la comparaison, j’ai mis aussi sous les moyennes
des voyelles qui correspondent entièrement ou à peu près avec
les voyelles hollandaises celles des écarts de mes propres mächoires
et lä-dessous les mots-clefs dans lesquels ces sons s'entendent.
Si l’on considère qu’à cause de ma profession je me suis habitué
à bien articuler en parlant, on peut conclure des derniers chiffres
obtenus que les Frisons en général font mouvoir la mâchoire
inférieure d'une façon marquante en parlant.

On voit aussi que mes sujets d’expérimentation peuvent être
divisés sommairement en trois groupes, savoir:

I—IV, qui ont en moyenne un écart des mâchoires de 3 à 5 mm.
VV HI ” » » » 5 ” 7 »
IX—X » ” ” » 7 ” 9 ”

ce qui, rattaché au chiffre final déjà nommé (575 mm.) nous
permet de considérer le 2nd groupe (V— VIII) comme le type de
la prononciation des Frisons de Grouw par rapport à l'écart des
mächoires.

Ce qui est surtout remarquable c’est l'écart assez considérable
avec u comparé à celui avec y, qui est minime. Cela se voit
encore plus clairement dans le tableau ci-dessous, dans lequel,
prenant les valeurs trouvées comme point de départ, j'ai rangé
les voyelles suivant le tableau des voyelles de l'Association Pho-
nétique. Il ne faut pas perdre de vue que celui-ci est fondé sur
la distance entre la langue et le palais.

Ce n’est pas ici qu'il faut considérer en détail la question de
savoir s’il faut, en établissant un système de sons, prendre comme
point de départ l'écart des mâchoires ou la distance entre la
langue et le palais. Mes recherches m'ont amené à adopter la
première méthode. En tout cas, en comparant ce premier tableau
avec celui de la page 27, on verra que les deux méthodes don-
nent des résultats à peu près semblables.

Ve)

LANGUE FRISONNE PARLEE à GROUW.

[==]

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aoc U
or 19
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75 (02 € 5
7 je
2 TEE tue ac af :
50 a a 50

La voyelle neutre a a aussi obtenu une place dans ce tableau,
Les écarts des mâchoires pour ce son étaient si différents qu'il
était inutile de les mesurer. Me fiant à mes oreilles je lui ai
donné une place moyenne.

Les mouvements de la lèvre supérieure.

Cette partie de mes recherches ne m’a pas procuré autant de
données que la précédente. Il y avait pour cela trois raisons, savoir:

1° malgré toutes les précautions il arrivait de temps en temps
qu'il se produisait une légère fuite pendant l’enregistrement et
il s’en suivait naturellement qu'on ne pouvait se fier aux résultats
obtenus sur la feuille enduite de suif.

2° il arrivait quelquefois au sujet d'expérimentation d'être ner-
veux, de sorte que le style ne restait pas suffisamment en repos

ARCHIVES XI. 2

10 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

entre deux mots prononcés. Il en résultait qu’il était impossible
en ce cas de mesurer les courbes avec l'exactitude nécessaire.

3° dans la plupart des cas, après avoir écrit la première feuille
contenant les chiffres, je me suis aperçu que le coussinet des
lèvres n'était pas bien placé, de sorte que même en cas d'épais-
sissement de la lèvre le style restait au-dessous de la ligne
normale. C'est pourquoi j'ai laissé hors de considération les cour-
bes des nombres prononcés, à l'exception de celles de tó: lof et
de twaintex pour autant qu'on peut s’y fier.

C'est à cause des deux premières raisons que je n'ai pas inscrit
les chiffres des sujets d’experimentation III, IX et X.

D’ailleurs il me semblait de peu d’importance de fixer d’abord
pour chacune des voyelles la moyenne pour chaque sujet d’ex pé-
rimentation, comme il a été fait pour les écarts des machoires,
et de me servir des résultats ainsi obtenus pour établir la moyenne
générale ; car souvent, lorsqu'une page était écrite, mon sujet enle-
vait l'appareil pour le remettre en commençant la page suivante,
de sorte que seulement les mots écrits sur la même page peuvent
être comparés mutuellement. Car il suffit de presser le coussinet
d'air avec plus ou moins de force pour obtenir des amplitudes
respectivement plus grandes ou plus petites.

Beaucoup d'efforts ont déjà été faits pour remédier à cet incon-
vénient, mais jusqu'ici ils n’ont produit aucun résultat.

De ce qui précède on peut conclure que les chiffres trouvés
pour chacun des sujets d’expérimentation ne peuvent pas être
comparés avec ceux des autres. J’ai cependant établi la moyenne
de toutes les valeurs pour chaque voyelle, et cela pour les raisons
suivantes :

1° les mots ont été prononcés dans un ordre des plus irrégu-
liers, de sorte qu’on trouve sur la même feuille des mots avec
épaississement des lèvres, avec amincissement des lèvres et sans
l’un ni l’autre. Avec un si grand nombre de mots on élimine à
peu près la faute qui est le résultat de ce que le coussinet a été
appuyé avec plus ou moins de force.

2° ce n'est pas mon intention d'établir des mesures absolues
comme pour l'écart des mâchoires. Je désire seulement établir
au moyen de mes données dans quels sons, en langue frisonne,
il y a soit épaississement, soit amincissement des lèvres, ou ni
l’un ni l’autre, et lequel de ces trois phénomènes se présente le
plus fréquemment, afin d'en tirer, sil est possible, une con-

LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 11

clusion concernant l'arrondissement et l'élargissement des lèvres.

Le Tableau II donne les différents, résultats à un quart de
millimètre près, mesurés au point où l’écart des mâchoires est
au maximum pour la voyelle. L’amincissement des lèvres est
indiqué par le signe —. Dans la première colonne on trouve
indiqué par un chiffre ordinaire après le numéro du sujet d’ex-
périmentation celui de chaque feuille. Sous chaque groupe se
trouve la movenne pour la voyelle en question, et lä-dessous,
pour la comparaison la moyenne !) de mes propres mouvements
des lèvres pour la même voyelle en hollandais, si celle-ci se ren-
contre aussi en frison.

eee BER x
Suivant page 2 ces nombres multipliés par > indiquent ä peu

près le véritable épaississement ou amincissement horizontal en
millimetres.

Ce Tableau donne lieu aux observations suivantes:

Sujet d’expérimentation I. Le coussinet d’air a été, en
général, suffisamment appuyé, comme l’indiquent les nombres
pour w (13,50 — 14,50) comparés 4 ma propre moyenne de 13,50.

Le maximum d’amincissement des lèvres de la feuille 3 n’est
inférieur que de 0,50 à celui des autres feuilles du même sujet,
de sorte qu’on peut admettre que pour celle-là aussi le coussinet
a été suffisamment appuyé.

Sujet d’expérimentation II. Le coussinet a été suffisam-
ment appuyé, car le maximum d’amincissement des lévres pour
toutes les feuilles est de 2,50 millimétres au moins. La feuille 5
seule fait exception, mais là l’épaississement des lèvres pour u
(dans ‘hunakara) surpasse les deux autres (de feuille 4) ensemble.

Le léger &paississement des lèvres pour a dans ‘pwatlrod doit
naturellement être attribué au w qui précède.

Sujet IV. D’après mes annotations j'ai remarqué avant l’ex-
périence que cet homme mouvait fort peu les lèvres et ne les
avançait point. Ceci correspond entièrement avec les chiffres du
Tableau.

Sujet d’expérimentation V. Je trouve dans mes anno-

1) Ces chiffres ont été pris dans l’article sur ,De Registratie van de bovenlip-
bewegingen bij het spreken” par L. P. H. Erskman. Verhandelingen van het
Physiol. Labor. à Utrecht, (5) V, p. 33, 1905.

+

12 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

tations que celui-ci à également peu d'action des lèvres, ce qui
est confirmé par les chiffres du Tableau.

Le peu d’épaississement des lèvres dans la prononciation de
la voyelle de bwatsjo, swann, et kwab est di apparemment à l’in-
fluence du son qui précède.

Sujet d’expérimentation VI. Le maximum de 18 mm
d'épaississement et de 5 mm. d’amineissement est une preuve
suffisante que le coussinet était bien fixé.

Sujet d’expérimentation VII. Mon annotation „articule
très bien avec les lèvres” est confirmée par les chiffres assez
élevés que donne le Tableau pour les voyelles arrondies.

Sujet d’expérimentation VIII. Pour ce dernier sujet aussi
le coussinet a été bien fixé comme le prouve le maximum de
5,50 mm. pour l’amincissement des lèvres.

Si d’aprés ce qui précéde on peut constater en se fondant sur
le Tableau que l’action des lèvres existe à des degrés différents
chez les Frisons de Grouw, on verra en comparant avec les chiffres
de mes propres voyelles qu'en moyenne leur action est très inférieure
à la mienne. Pour un maximum moyen d’épaississement de 9,25 mm.
chez les Frisons il y a chez moi un maximum de 13,50 mm. ce
qui, multiplié par = selon page 2, donne respectivement 1 mm.
et 1,50 mm. Je n’ose pas décider si cette circonstance est due au
caractère de ma profession, qui m’oblige, comme je l’ai dit plus
haut, à articuler toujours distinctement, mais s’il en est ainsi, Je
n’atteins à cette articulation plus distincte que grâce à un mouve-
ment plus fort des lèvres, car l'écart de mes mâchoires !) est
en général inférieur à la moyenne des Frisons, comme on le voit
par le tableau suivant:

onen OD Go sO ses St Gam
Sons frisons: 0,0055:p0) 96» 6 7,25. 7,50 7,50 6,75.5.25 8,15 5 a2
Les miens: 2,25 1,75 5,25 4 5,50 7,25 8,75 8,50 5,75 3,25 4 3,25 3.

Pour obtenir quelque sécurité en cette matière il faudrait expé-
rimenter sur une dizaine de Hollandais de la classe aisée parlant
une langue entièrement exempte d’influences dialectales.

De même qu'avec mes propres voyelles ?) on observe ici deux

1) Archives Teyler, Série II, Tome VII, 2i®me partie.

*) Verhandeling van het Physiol. Lab. te Utrecht (5) II, p. 202, 1901.

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. 18

sortes d’épaississement ou d’arrondissement des lèvres, savoir: un
arrondissement très prononcé avec et un plus faible sans avan-
cement des lèvres. Il n’y a que fort peu de variation dans l’amin-
cissement ou élargissement des lèvres. Ces phénomènes sont dis-
tinctement indiqués dans le tableau ci-dessous, où les décimales
ont été négligées dans l'indication des écarts des machoires

|

3 8 Voyelle d’arriere. | Voyelle moyenne. Voyelle d'avant.
fafa Pl Dr nee | ae ne ci
58 Non-arr. Arrondie. | Arrondie. || Non-arr. Arrondie.
A £ arr.
2-3 | | ly 7.50
3—4 | || | à — 0.50 |
4—5 | || ö 4.25 | |

| ne MW 9-25) | | a @ 3.75 |
5—6 ou) 318 | u7.50 | E — 1595 ot 5.50 |
6—7 ò 4.756 6.50) ce 1.50 e —1.75

ati) — 1.75! | |

7—8 9 295 | |

d-1.50a-1.25 | | |

Lors de mon deuxième séjour à Grouw, j'ai déterminé de vue,
en tant que mes sujets d’expérimentation étaient disponibles, le
mouvement vertical et horizontal et le degré d'avancement des
lévres. Le résultat se trouve indiqué dans le tableau ci-dessous.

Arrondissement des lèvres.
Nature des | Avancement +! ==
lèvres. | des lèvres. | Voy, d’arriere. Voy. moyenne., Voy. d'avant.
| |

I épaisses moyen | hor. vert. vert.

Il |assez épaisses! assez fort | id. hor. id.

V | ordinaires | uul | vert. | vert. id.
VI |assez épaisses moyen hor. id. id.
VII id. assez fort id. hor. hor.
IX id. | presque nul id. id. id.
X id. assez fort id. vert. vert.
XII id. | presque nul id. hor. hor.
XIII id. | nul id. id. | id.
XIV épaisses moyen id. id. id.

J'ai aussi essayé alors de dessiner de grandeur naturelle l’ouver-
ture des lèvres de quelques-uns de mes sujets d’expérimentation
pour les voyelles les plus importantes (voir Tableau III). Quoique
cette partie de mon examen ait laissé à désirer parce que je n'ai
pu y consacrer plus de temps, elle a pourtant montré

14 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

1° qu'en prononçant les voyelles arrondies les dents inférieures
ne se voient pas;

2° qu'avec quelques-unes de ces voyelles les dents supérieures
se voient distinctement et rétrécissent souvent assez considérable-
ment le lumen de l'ouverture des lèvres;

3° que la grandeur et la forme de l’ouverture des lèvres pour
la même voyelle sont très différentes pour les différents individus;

4 que dans l’examen phonétique d’un groupe de personnes il
est tout aussi nécessaire de déterminer la grandeur et la forme
de l'ouverture des lèvres que les mouvements de la langue, de la
mâchoire etc.

La seule méthode à laquelle on puisse se fier pour cet examen
me paraît être la méthode photographique, au moyen de clichés
simultanés en face et en profil. La cliché en profil est nécessaire
pour déterminer le degré d'avancement des lèvres. On voit par
le tableau ci-dessus que cet avancement est très variable. Ceci
est confirmé par mes annotations sur la voyelle dans dyvals et krys:

Il. pour dyvals lèvres beaucoup plus avancées que pour krys;

V :
2 ” ” ” ” ” 7 ” » ” ?

V I: ” » ” ” » ” ” „ ” ;
IR i , nullement avancées ainsi „ x A
x I I ” ” ” 2? ” » ” „ ” ;
X I I I > ” ” ” ” ” ” ” ” ” ;
Del DVA EN ne tout aussi a a E S

Il est digne de remarque quon seraît tenté en considérant le
Tableau II de faire des conclusions tout opposées concernant les
mêmes sujets. Cela prouve que l’épaississement et l'avancement
des lèvres ne sont pas proportionnels.

Durée et vocalisation des sons.

La méthode d'enregistrement de la lèvre inférieure et des muscles
extrinsèques de la langue n'étant pas encore assez avancée pour
qu’on puisse convertir les courbes en valeurs absolues, je ne
parlerai pas longuement de ces courbes et les considérerai seulement
comme des moyens d’analyser les autres.

A la fin de chaque séance je faisais tourner plus rapidement le
tambour noirei pendant que le sujet prononçait quelques mots qui

LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. 15

devaient servir à résoudre certains problèmes assez importants
pour le jugement précis d’une langue, savoir :

1° olva et ion, pour voir si le Frison a comme le Hollandais ce
que Sweet nomme clear beginning !) ou comme l’Anglais ce qu’il
nomme gradual beginning. Je regrette de devoir dire que dans les
courbes obtenues je n’ai rien trouvé plaidant en faveur d’une de
ces hypothéses. L’oreille cependant permet d’entendre distinctement
un clear beginning et même le glottal stop chaque fois qu'un mot
est prononcé séparément ou avec emphase.

2° pwatlead, kwab, twaintex et treia pour voir si la consonne
après une explosive soufflée est entièrement ou partiellement
soufilée.

3° pwatlwad et kwab pour examiner si les explosives d et b à la
fin d'un mot sont entièrement ou partiellement vocaliques.

On sait que l'enregistrement des vibrations des cordes vocales
demande de grandes précautions et qu il rate complètement quand
le tambour (voir p. 2) ne s'adapte pas hérmétiquement sur le
larynx. Considérant que je n’ai eu qu'un seul tambour à ma
disposition, il n’est pas étonnant que dans plusieurs cas les
vibrations des cordes vocales n’aient pas été inscrites et que par
conséquent l'expérience ait raté. Parlons done des cas où elle
a réussi.

Les deux exemples des pages 16 et 17 peuvent servir à montrer
comment on peut déterminer par la combinaison des courbes le
commencement et la fin de chaque son. Ce sont des reproductions
de mots prononcés par le sujet d’expérimentation II.

Les courbes doivent être lues de gauche à droite. L’abaissement
de la mâchoire correspond à celui de la courbe; de l’épaississement
et de l’amincissement des lèvres résultent respectivement une
élévation au-dessus et un abaissement au-dessous de la ligne
normale; la tension et le relâchement des muscles du fond buceal
se marquent successivement dans la courbe par une élévation
au-dessus et un abaissement au-dessous de la ligne normale Les
points synchroniques ont été mesurés au compas en direction
horizontale à partir de l’are au commencement de chaque courbe.
Pour plus de distinction les limites des vibrations des cordes
vocales ont été indiquées par de petites lignes pointillées.

1) Sweet’s Primer of Phonetics, 214 Ed., § 117.

16 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Fig. 1 représente le mot ‘pwatlrd !). En commençant les mâchoires
sont fermées. Au point 1 commence la tension de la lèvre supé-
rieure pour le p, suivie

Fic. 1. ‘pwatled. immédiatement par celle

de la lèvre inférieure à 2.

machoire. La tension extréme dans
les deux lévres est atteinte

à 3,et immédiatement après

lèvre supérieure. (4) la mâchoire commence à
lèvre inférieure. descendre. Le léger rehaus-
sement dans la courbe du

fond buccal est dû en grande
partie à cette descente de la

fond buccal.
TE nat bmi cordes vocales.
AAA AA AA EERENS mâchoire, car le recul de la
langue pour le w avec l’a
qui le suit se fait par le m.
stylo-glosse et n’exerce aucune pression sur la pelote du fond buccal.
On peut donc admettre que l'explosion du p a lieu à 4 et que c’est
là que commence le w. Le relâchement produit dans les lèvres
par cette explosion dure jusqu’à 5, où elles s’épaississent pour la
formation du w. Ce n’est qu'à 6 que commencent les vibrations
des cordes vocales, de sorte que la premiére partie du w (de 4
jusqu'à 6) est soufflée. A 7 on peut considérer w comme fini et
c'est là que commence a, car là les deux courbes des lèvres des-
cendent, celle de la lèvre supérieure très subitement même. Près
de 8 commence une forte descente dans la courbe du fond buceal,
jusqu’au-dessous de la ligne normale. Cette descente était prévue
parce que c'est à présent le tour du ¢ et qu'en pronongant ce
son, du moins quand il succède à une voyelle d’arriere, le fond
buccal se lève entièrement à un léger degré. On peut s'en assurer
aisément en appuyant le pouce dessus. La courbe des cordes
vocales fournit une autre preuve que { commence à 8, car c'est
précisément à ce point là que s'arrêtent les vibrations. Il s'ensuit
que a (avec le on-glide) est entièrement vocalique.

A 9 se trouvent la fin de t et le commencement de J, car
c'est là que la mâchoire recommence à descendre et la courbe
du fond buccal à remonter. C’est en même temps le point où les
vibrations des cordes vocales recommencent, d’où l’on conelut

1) Ce sujet n’a pas prononcé ‘pwgtlrad, comme les autres.

LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. RF

que / est vocalique de prime abord. Ce son se termine a 10, car

là commence subitement dans la courbe du fond buccal par suite

de la voyelle d’avant E, une tension accompagnée d’un léger
abaissement dans la courbe de la mâchoire

La limite entre # et d est à 11 dans la courbe du fond buccal,

où la tension commence à diminuer. La fin de ce dernier son et par

conséquent du mot entier est facile à trouver. car à 12, où s’arrétent

les vibrations des cordes vocales, la mâchoire est exactement à la

même hauteur qu’à la fin de ¢ (9), et c’est là aussi que les lèvres,

de même que le fond buccal, reprennent leur position normale.

Fig. 2 donne les différentes courbes pour in. Les limites de

chacun des sons sont claire-

Fic. 2. ion. ment indiquées dans la

machoire. courbe du fond buccal. Le

son à amène toujours une

lèvre supérieure. tension très forte, sinon la

lèvre inférieure. plus forte, du fond buccal.

La ot la montée commence

dans la courbe (1) le son à

commence. La comparaison

avec la courbe de la mä-

choire montre que le sujet

a d’abord ouvert la bouche

et n’a commencé à parler

RASE que quelque temps après.

cordes vocales. C'est à 2 que commence

temps %o sec. la voix; on peut donc

admettre que le temps entre
1 et 2 a été occupé par le clear beginning ou par le glottal stop,
Là où la tension dans le fond buccal a atteint son apogée (3) on
peut supposer que la voyelle va perdre le caractère de à, etque la
transition régulière au second élément de la diphtongue commence.
L’amincissement graduel des lèvres !) joint à une légère élévation
de la mâchoire peut amener à conclure que 2 est non-arrondi.
Jest à 4, où se montre de nouveau une élévation de la courbe
du fond buccal, que commence le n, qui comme son final cause

1) Dans l'original le point 3 des lèvres est plus à gauche. En général cette
reproduction n’a pas bien réussi. Pour mesurer les courbes je me suis servi,
autant que nécessaire, de photographies agrandies.

ARCHIVES XI. 3

18 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

toujours une assez forte tension dans un fond buccal plus
ou moins mou, comme l’a déjà observé M. ZWAARDEMAKER |).

Les vibrations des cordes vocales s’arrêtent à 5, de sorte que la
seconde moitié de n, qui s'arrête à 6 selon la courbe du fond
buceal, est soufflée, ou du moins chuchée.

C’est de la manière décrite ici qu'ont été recueillies toutes les
données pour les représentations graphiques et les tableaux de

chiffres (Tableau IV).

Les chiffres romains représentent les sujets d’expérimentation.
Dans les représentations graphiques soufflé est indiqué par une
ligne ordinaire et vocalique par une ligne pointillée. Partout où
manque une partie de la représentation graphique il a été
impossible de déterminer par les courbes la limite des sons; 1a
où la ligne entière fait défaut, l’appareil pour Vinscription des
vibrations des cordes vocales a refusé tout service. En cas de
besoin l’espace destiné pour un son a été divisé en trois parties
égales pour représenter le caractére du son au commencement et
à la fin. Pour quelques sons, comme w et 7, la partie du milieu
a été dessinée parce que souvent la transition du vocalique au
soufflé et vice-versa avait lieu précisément au milieu.

Comme je l’ai déjà dit plus haut, je considère comme commen-
cement du w dans pwatlead le moment où l'explosion du p
commence et comme point final l’endroit où commence l’amineis-
sement des lèvres, de sorte que l’off-glide de w est compté avec
a. De la même manière tous les off-glides sont joints à la voyelle
suivante; ainsi celui qui suit J dans lead, v dans olva, t dans tax
de twaintan.

Le on-glide aussi est considéré comme appartenant à la voyelle,
done à la voyelle a dans pwat, ro dans lead, a dans kwab, > dans
olva, ai et a dans twaintax, ia dans ion.

Il suffit d'un coup d’eil pour voir qu’ après une explosive w
peut être soit entièrement ou en partie vocalique, soit entièrement
soufilé. En calculant on obtient le tableau suivant:

1) Onderzoekingen Phys. Lab. te Utrecht, 5° série, 1° partie, p. 108.

LANGUE FRISONNE PARLEE 4 GROUW. 19

Mot | Vocalians | 2/3 vocal. | 1/2 vocal. | 1/3 vocal. ‘Souffle Total
| | —
w dans ‘pwotlrad 3 4 2 3 il 13
w , kwab 4 2 | + | 0 il 11
w , twaintar 6 | 3 | 1 | 2 aay 14
ry treo LS tel ES 4 MNT
LL , ‘pwotlned 5 | > | u 0 Ze 10
er Ml oma RR ad ig?)

On ne peut donc pas établir de règle générale, mais dans la
plupart des cas (35 sur 59) la voix commence avec l’explosion
ou immédiatement après

Trois fois on a prononcé “potlrad au lieu de ‘pwatlrad, mais
cette circonstance est sans influence sur ce qui nous occupe ici
Au contraire, on peut s’attendre à ce que. en passant de p. {, k
sur une voyelle quelconque dans une syllabe accentuée, la voix
commence le plus souvent en même temps que l’explosion ou
tout de suite aprés. Mais quand la syllabe n’est pas accentuée,
comme tax dans (waintax, la voix commence régulièrement avec
l’explosion.

Le tableau suivant offre une solution concernant les finales d et b.

| | |
Mot | Vocalique | 2/3 vocal. | 1/3 vocal. | Soufflé | Total

d dans ‘pwatlrod 6 4 0 0 10

b 3, kwob 6 4 1 1 a!
| | |

11 Os | ARC SAAN 21

Le b et le d sont donc généralement à la fin d’un mot ou
entièrement vocaliques ou soufflés seulement dans leur dernière
partie. Cette partie soufflée doit être considérée comme chuchée,
du moins si les cordes vocales passent de la voix à la position
de repos par celle de chuchotement, comme l’admettent la plu-
part des phonétistes.

Jonsidérant que, selon le Tableau graphique, ce que nous venons
de dire est vrai aussi pour n dans ian, il me semble permis

ah

20 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

d'établir comme règle générale qu'une-seule consonne finale
vocalique à la fin d’un mot est ou entièrement voca
lique ou chuchée seulement dans sa dernière partie.

Le n devant ¢ dans twaintax, c.-à-d. une consonne vocalique
devant une soufflée, est sans exception entièrement vocalique.

A propos de twaintax il est important de remarquer que I,
VIII et XI ont prononcé twaindax et que V a chuché le a ou
ne l’a pas fait entendre du tout.

La voyelle a devant ! dans ‘pwatlrod est régulièrement vocalique
jusqu'au moment où l’occlusion se fait. Dans 2 cas seulement sur
12 la voix cesse un peu plus tôt.

Le a qui termine olw et treia est vocalique jusqu’à la fin; dans
4 cas seulement sur 18 il est soufflé, ou plutôt chuché à la fin.

Les chiffres du Tableau IV donnent lieu aux remarques sui-
vantes au sujet de la durée des sons:

Dans le tableau de ‘pwatlrad le signe (E) sous II signifie que
celui-ci a prononcé led au lieu de lead; de même le signe (2) sous V,
Va en VIII signifie que ces trois sujets ont dit pot au lieu de pwat.

Pour calculer les moyennes pour tous les sujets d’expérimen-
tation, j'ai fait entrer en compte la moyenne des mots prononcés
par un seul et même sujet, p.e. sous le p de pwatlrad :

11020 1,0410 — 17.0115:

Il a pu arriver qu’en négligeant les millièmes de seconde il est
résulté un écart d’un centième de seconde dans le total.

Ce qui attire en premier lieu notre attention c’est la grande
conformité dans la durée des consonnes:

w de ‘pwatlrod a une durée moyenne de 0.08 sec.

» … kwab als = 5 ROOS
VRD a “ en ROO SR
AS ED Ren a N OO SM
ds mwatlrad , , = A > KOST,
v , ol ae = x » WOE »,
nm » on EN. in 5 OO
le premier t „ ftwaintexr „ , 4 | 5 ODD s
le second # , nl N a = OUD de
t , tre Bene Mu À = OOS og
pr pwailmd > à B EROMAS
k „ kwob ME £ uf EO SLS

! „ olva dans le seul cas mesurable dure 0.09 „

LANGUE FRISONNE PARLEÉ à GROUW. 21

Au moyen d’une comparaison enfin on peut trouver la moyenne
du b de kwab. En soustrayant 0.15 (durée de a dans ‘pwatlrad)
de 0.22 (ab de kwab) on obtient un reste 0.07 pour la durée
moyenne de b.

Nous pouvons par conséquent admettre que toutes les consonnes
nommées ci-dessus, les vocaliques aussi bien’ que les soufflées,
durent en moyenne 0.08 à 0.09 seconde Il y a une divergence
pour le p et le k, mais la cause apparente en est que ces con-
sonnes ne deviennent perceptibles au commencement d'un mot
qu’à l'instant de l’explosion, de sorte que celui qui parlait n'avait
pas le moyen de controler la durée de l’occlusion. Je traiterai
ci-dessous le second ¢ de twaintox.

Nous allons maintenant comparer les consonnes qui n’ont pas
encore été nommées à celles que nous avons déjà traitées.

Le n de twaintox peut être déterminé approximativement en le
comparant avec d’autres consonnes.

ain de twaintex ont ensemble une durée de 0.23 sec.
ab de kwab 6 pl A 5 00T 0,22 gee:
at de ‘pwatlrod , i 2 010.00 —0.20Disec.

Considérant qu’une diphtongue dans une syllabe fermée doit
durer plus longtemps qu'une voyelle brève, il résulte de ces
chiffres que le n de ain doit être très bref, plus bref que le b de
ab, sinon il ne resterait que 0.01 de sec. pour la seconde partie
de la diphtongue ai, en admettant que a a la même durée que
a, soit 0.15 sec. Supposons maintenant que dure aussi longtemps
que ¢ ou / dans ‘pwatlrad, savoir 0.05 ou 0.04 sec. — et cela ne
peut pas être loin de la vérité — il restera pour 7 0.03 ou 0.04
sec. De cette façon il est possible de faire le calcul suivant:

durée d’une consonne ordinairement 0.08 à 0.09 sec.
„det + U de ‘pwatlrad 0.05 + 004 — 0.09 sec.
A „ntt „ twaintox 0.04(0.05) + 0.05 = 0.09 à 0.10 sec.

Cela nous mènerait à conclure que deux consonnes consé-
cutives formées au même endroit dans la bouche et
appartenant à des syllabes différentes durent ensem-
ble autant qu'une seule consonne,en ce sens que la
durée est également partagée entre elles.

22 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Il faudrait des expériences spéciales pour décider si cette règle
est applicable aussi à d’autres groupes de deux consonnes et à
d'autres langues.

Il ne faut pas s'étonner d'ailleurs que le x de twaintax soit
particulièrement bref, puisque toute la syllabe tax se prononce
rapidement.

Considérons maintenant la durée moyenne des voyelles. Les
mots olva et ion m’embarrassent, parce qu’on n’atteint pas le but
pour lequel ces mots ont été choisis. Comme il a déjà été dit
plus haut, j'avais espéré de pouvoir déterminer si les voyelles
initiales de ces mots ont ,gradual” ou bien „elear beginning”, et
maintenant que je ny al pas réussi je pensais pouvoir du moins
déduire de mes données quelques conclusions au sujet de leur
durée Or, cela peut se faire si l’on considére les mots seulement
comme isolés, car alors les voyelles commencent au moment méme
de la vibration des cordes vocales, parce que ce n’est qu'à ce
moment qu’elles sont perceptibles à l’oreille. Mais le résultat est
tout autre quand on les considére comme prononcés dans une
phrase, car alors les cordes vocales se mettront à vibrer au
moment où la mâchoire descend et non quand elle est arrivée
à la position la plus basse pour la voyelle. Pour être exact nous
devrons donc, en parlant de la durée des voyelles, faire mention
de deux valeurs différentes pour 9 et pour 7, comme nous l’avons
fait dans le Tableau IV, l’une se rapportant au mot dans la
phrase, l’autre au mot isolé

Les tableaux donnent les valeurs suivantes pour la durée
moyenne des voyelles et des diphtongues:

9 de olva prononcé isolément . . . . . . . 0.08 à 0.09 sec.
RER NEN al dans une phrase .. 0.14 à 015 ,
Or sg DU OL bead EMER ret. A Een tome RON :
@ pr Wob VOTE) ee rr 2 ee UD 5
E) DOTE NARE ILEUS TN, SPER S x
a , twain: (wemsp 21). ) 2) 2m. OMD EMO 20
% „ wn prononcé isolément........ 0.20 M
a A 7 dans une phrase . . 0 25 =
Ee — AEN Er NE UN) 5

La durée de 5 dans olva a été obtenue en diminuant 0 23 sec. et
0.17 sec. (durée de ol) de 0.08 à 0.09 sec, qui est la durée moyenne
de toutes les consonnes. Remarquons encore que dans le seul cas

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW 93

où / était mesurable isolément, le tableau indique une durée de
0.09 seconde.

Pour trouver la durée de ro dans ‘pwatlrod j'ai diminué la
moyenne, 0.61 sec., de la somme des moyennes 0.12, 0.08, 0.15,
0.05, 0 04 et 0.08 sec

On trouve la durée de si dans trsio en soustrayant de 0.55 sec.,
moyenne du mot entier, 0.16 sec. pour fr et 0.10 sec., durée de
a dans olve. Cela correspond assez bien avec la moyenne des
valeurs 0.24 sec. et 0.31 sec. qui se trouvent dans le tableau.

Si nous distinguons approximativement trois sortes de durée
de la manière suivante:

a bref,
a moyen,
a: long,

les mots ci-dessus seront représentés de la manière suivante: oluo,
‘pwatlwad, kwab, twaintar, van, treia, tandis que le signe pour les
voyelles longues reste disponible pour les cas comme u: dans
tu:zam qui seront traités plus tard. Le plus souvent ces signes
peuvent être omis si l’on fait précéder un texte phonétique de
quelques remarques générales concernant la durée des sons. Pour
distinguer p. ex. les sons excessivement brefs, comme Ea dans
‘pwatlrad et a dans twaintex il suffit de remarquer d’une manière
générale que dans les syllabes non-accentuées la voyelle devient
plus brève.

Les données manquent pour le mesurage exact des parties
composant une diphtongue. Mais il est évident que a dans ian a
une durée moyenne égale à celle des consonnes, c.-à-d. 0.09 sec,
en admettant que à cesse au moment où la tension du fond de la
bouche commence à diminuer.

Le résultat final des observations nommées ci-dessus c’est qu'il
y a entre les consonnes et les voyelles les proportions suivantes:

Consonnes brèves 0 04 à 0.05 sec
= ordinaires 008 à 0.09 „
voyelles brèves 0.15 à

diphtongues brèves 019 à 020 ,
moyennes 0.25 à 0.29 ,

”

Finalement j'ai fait des recherches pour m/’assurer si h était

24 DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE TA

vocalique ou non. Dans ce but j'ai fait prononcer à mes sujets
d’expérimentation ‘hunakara et da ‘makara, enregistrant comme
d'ordinaire au moyen d’un tambour tournant rapidement. Le
résultat fut que sans exception h se pronongait sans voix dans
‘hunakara et était vocalique dans da ‘hunakara.

Les courbes ci-jointes peuvent servir d’exemple Les courbes
des léyres ayant échoué ont été éliminées. Il faut lire de gauche
à droite, mais mesurer les points synchroniques en partant des

A

arcs à droite Les limites des vibrations des cordes vocales sont
indiquées comme ci-dessus par des lignes pointillées. Là où e

Iles
s'arrêtent un moment se trouve naturellement le k. Du reste, les
courbes s'expliquent d'elles-mêmes. Avec ‘hunakara le fond de la
bouche est déjà tendu, avant que les cordes vocales commencent
à vibrer; le mot commence done par un son soufflé, savoir h.
Avec da ’hunakara les vibrations des cordes vocales commencent
déjà avant que le fond de la bouche soit tendu et elles continuent
sans interruption jusqu'à k Il s'ensuit que h est vocalique

‘hunakaro. da ‘fiunakara.

mâchoire.

fond buceal

temps X Sé

cordes voca

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROOW. 25

Le résultat obtenu correspond entièrement avec celui que Ernst
A. Meyer dit avoir obtenu pour l'allemand, le suédois, l'anglais
et le hongrois: ,das H zwischen stimmhaften Lauten selbst ist
stimmhaft, stimmlos dagegen in absolutem Anlaut und nach
stimmlosem Laut '). Je puis ajouter que les expériences que J'ai
faites à plusieurs reprises m'ont prouvé que la même règle est
valable pour ma propre prononciation du hollandais.

CHAPITRE IL.

Jusqu'ici je me suis occupé presque exclusivement de décrire les
matériaux que j'ai obtenus par mes recherches expérimentales.
J'ai maintenant l'intention de mettre les résultats obtenus en
rapport avec ce que j'ai noté à la seule audition, et je tächerai
de donner une plus ample description des différents sons qui se
présentent dans le dialecte frison de Grouw.

Base d’articulation ou position de la bouche.

A

Les organes de la parole sont à l’état normal, sauf quelques
déviations individuelles qu'il n’est pas nécessaire de mentionner
parce qu’elles se présentent dans chaque peuple. Les mouvements
de ces organes sont en général peu énergiques et par conséquent
plus ou moins vagues; il s’en suit que les voyelles ont une
tendance à dégénérer en diphtongues, parmi lesquelles il y en a
une ou deux où l'accent tonique est incertain.

Généralement les écarts des mâchoires sont assez larges ; par
contre un notable pourcentage des Frisons de Grouw n’ouvrent la
bouche que de quelques millimètres.

La même incertitude se présente par rapport aux lèvres: la
plupart ont une action assez énergique des lèvres, accompagnée
d'un avancement bien prononcé, de sorte que les voyelles d’avant
arrondies sont dûment développées. D'autre part cette action est
assez faible, témoin des mots comme mudiko, où le son w est à
peine perceptible et est causé parce que l'écart des lèvres après
m commence au milieu et s'étend ensuite peu à peu dans une
direction latérale Cet w faible se développe en un son plein p.e.
dans mwora (= mur).

1) Ernst A. MEYER, Stimmhaftes H. Neueren Sprachen, Band VIII, Heft 5.

ARCHIVES XI. 4

26 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

La langue est couchée plate et large dans la bouche et en
prononcant les voyelles d'avant touche les dents inférieures, ce
qui fait que la voyelle 2 dans une syllabe non-accentuée ressemble
souvent plus ou moins à &. Ici également on observe quelque contra-
diction. D'un côté p. e. il est souvent difficile de décider si g et g sont
explosifs ou fricatifs, p.e. njogan, bogen Le g a même parfois
quelque tendance à disparaître, tandis que simultanément la voyelle
précédente se modifie. C’est ainsi qu’au lieu de la prononciation
ordinaire njogantax j'ai noté deux fois la prononciation njo.ntax.
Une autre conséquence du peu d’activité de la langue se trouve
dans la disparition régulière (vocalisation) de r devant s, 2, f, d,n,
p.e.: höndat (cent) et dans la vocalisation de n devant s et 7, p.e.:
fé:stor (fenêtre), fomü:j0 (remontrance, c.-à-d temple mennonite), jE:s2m
(Irnsum). De l’autre côté r devant une voyelle est une roulée bien
articulée et se prononce sans exception avec la pointe de la langue.

Les consonnes tf, d, n et l se forment à 1 ou 2 millimètres en
arrière des dents supérieures et quelquefois tout contre. (Je parlerai
plus tard de l’exception que fait n dans un seul cas.) La consonne
l est neutre, mais a plus de tendance a être creuse que palatale.

Le z et le v ne se présentent pas à la tête d'un mot, / et 5 n'existent
qu’individuellement au lieu de sj et de zj,

Le j se présente fréquemment et forme toutes sortes de combi-
naisons, comme: bj. fj, gj, kj, 4, mj, nj, rj, sj. tj, blj, pri, sky, st,
tsj, vrj, etc.

Outre les consonnes vocaliques qui peuvent se trouver à la fin des
mots dans toute langue (l, m, n, 9 et r) on y trouve aussi b et d.

Les consonnes p, t, k ne sont pas aspirées.

Le clear beginning ou glottal stop ne s’entend distinctement
qu’au commencement d’un mot (ou syllabe) isolé ou prononcé
avec emphase dans la phrase.

Le frison ne connaît pas de voyelles nasales, excepté là où la
consonne n se vocalise.

Le système de voyelles est très étendu, avec beaucoup de
diphtongues et de triphtongues. On trouve souvent 2 dans les
syllabes faibles, et n est souvent syllabique

L’assimilation est très fréquente en frison. Ma connaissance de
la langue est insuffisante pour pouvoir établir des règles.

Les consonnes sont toujours très brèves.

L’accentuation est en majeure partie la même qu’en hollandais
et en allemand.

LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. 27

Description des sons de la langue.

Les sons du dialecte frison de Grouw se trouvent rangés dans
le tableau ci-dessous d’après le système de |’ Association phonétique ;
done l’&cartement des mâchoires dans la prononciation des voyelles
y est négligé. En comparant ce tableau avec celui de la page 9
on verra que de |’élimination de ce facteur résulte principalement
une différence par rapport à w, qui se trouve placé un peu plus
haut et y qui occupe une place un peu inférieure.

| Laryng. | Uvul. Vélaires ‘Palatales Linguales Dentilab. Lab.

Plosives.... ? | kg | | td | pb
8 Nasales..... | 7 | | on | | m
5 ‚ Laterales... | | | l
= Roulées.... | | | | " |

Fricatives... hf xg AN ae | fuv| w

Fermées. ... | | 4 Up | (u y)

Mi-fermées. . | u ö | | ‚ (u 6)
É ce wee te (0 #)
B Moyennes . . | | | à 4 be | (à 6)
> | |

Mi-ouvertes. | | | 2 we € | | (2 ®)

Ouvertes... a a | |

ua, du, da, di, ou, ai, ari, Ei, ra, ei, ir, ia, by, Pa, wy, wi,

Noi, oua, Eia, aria

LES VOYELLES.

Mouvements des lèvres et des mâchoires.

Pour faire suite à l'étude détaillée des mouvements des lèvres
dans le Chapitre I nous observerons ici que w et y, quand ils
forment la seconde partie d’une diphtongue, ne sont jamais les
sons pleins représentés par ces caractères. La langue conserve la
position du son précédent, et l'arrondissement des lèvres ne
s'accentue que par le relèvement de la mâchoire. Celle-ci n’atteint

pas complètement la hauteur normale pour w et y. Exemples:
- 4

28 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

kou (= vache), grow (= Grouw), ‘bro:speyt (= pompe à incendie),
groyt (= grand).

Pour les mouvements des mächoires nous renvoyons au
Chapitre I”. Mais il faut ajouter ici que à dans les sons composés
di, at, ei, @i est proprement 1, parce que la mâchoire n’atteint
pas la hauteur normale pour ce son.

Narrow et wide.

Afin d'éviter autant que possible les accents signifiant tendu
(narrow) et relâché (wide) j'ai choisi par opposition aux voyelles
tendues w et e les signes uU et & pour indiquer les voyelles corres-
pondantes relâchées. Pour les sons o il m'était impossible d'éviter
un accent, de sorte que o ou 6 (tendu) est opposé à à (relâché).

Dans le dialecte frison de Grouw sont

tendus (ou souvent mi-tendus): u, 0, y, db, à, e et &;
relächös: u, 0,9, a, d, 4, @, E et 6.

Timbre, durée et accent.

Les voyelles simples peuvent être brèves ou longues. Deux de
celles-ci ne sont que faiblement plus longues que les premières
et peuvent donc en être distinguées en les nommant moyennes.
Les voyelles longues qui sont réellement longues de durée sont
celles qui se présentent aussi comme brèves ou qui se trouvent
devant r.

Les diphtongues sont brèves ou longues. La durée des premières
surpasse d’un tiers seulement celle des voyelles simples brèves
(voir page 23). La durée des dernières, qui sont faiblement plus
longues que les premières, surpasse de la moitié environ celle
d’une voyelle simple brève. On pourrait par conséquent leur
donner le nom de moyennes. Seul ai est ou bref ou réellement
long.

La partie accentuée d’une diphtongue dure un peu plus long-
temps que l’autre partie.

Dans les triphtongues la proportion de ava aux autres est
égale à celle d’une diphtongue longue à une moyenne.

En général toutes les voyelles, lorsqu'elles ne sont pas accen-
tuées, perdent une partie, mais une très petite partie de leur
durée et de leur timbre

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. 29

Dans le dialecte frison de Grouw se trouvent les voyelles,
diphtongues et triphtongues suivantes 1):

Voyelles brèves. — u — mula (= bouche) etc.

0. — poy

(= bourse) etc.

9. — olva (= onze) ete.

a. — axt (= huit) etc.

€. — tretjan (= treize) etc.

E. — sEmar (= été, subst.) etc.

à — sin (= son, pron. poss.) etc.

krys (= croix) ete

6. — brotsan (= brisé) etc
Voyelles moyennes. — 0°. — to'laf (= douze) etc.
e. — hel (= entier) etc

Voyelles longues. —

0)

9
as.
€

E

a

u:. — tu:zan (= mille) etc

:. — gabö:ran (= né) etc.

:. — son (= sept, sable) ete.
— a:mar (= seau) etc.

:. — bre:ga (= pont) etc.

2. — E:ran (= oreilles) etc.
:. — ti:d (= temps) etc.

y:. — dy:val (= diable) etc.

ÿ

:. — fip:raz (= gai) etc
@:. — kerja (= (ils) se proménent) etc
Diphtongues brèves — ai. — sais (= six) etc.
iB. — fintjan (= quatorze) etc.

Diphtongues moyennes. — va.
ou.

9. — moan (== matin) etc.

ji. — loia (= paresseux) etc.

. — grow (= Grouw) etc

sd. — vel (= nous) etc.

. — hro (= foin) ete

. — tei (thé) etc.

v. — friozon (= Frisons) etc.

. — grbyt (= grand) ete

ey.

— bluad (= sang) etc.
— kou (= vache) etc.

— sndan (— samedi) ete

à. — staitsja (= (ils) heurtent) ete.

— ‘brd:speyt (pompe à incendie) ete.

1) Il se pourrait, quoique ce soit peu probable, que ma liste de sons ne soit

pas tout à fait complète.

30 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Diphtongue longue — a:i. — arion (= œufs) etc.
Triphtongues ordinaires. — ui. — muöiko (= tante) etc
oud. — fjouor (= quatre) etc.
sia — treia (= trois) ete
Triphtongue longue. — ma:ia (— mai)

De même que wöi (voir p. 25), ir fait exception à la règle que
dans les diphtongues et les triphtongues l’accent tonique tombe
sur la première partie, vu que dans cette diphtongue l’accent est
instable

Ces remarques générales faites, les voyelles longues et les
moyennes peuvent étre distinguées dans les textes phonétiques
par le même signe (:) et des diphtongues et triphtongues il n’y
en a que deux, savoir a:i et a:io qui exigent le signe de longueur (:).

Une. transition aux diphtongues est formée par les combinaisons
avec w, comme:

wo. — skwora (= grange), mwora (= mur), brwörn (= frères),
!jòpgwòd (= jeunes gens), skwon (= souliers), pluriel de
sku:x, spwonn (= copeaux), pluriel de spuan etc.
Dans ces mots la majorité prononçait wo. Les autres
faisaient entendre uö avec le même accent tonique sur
chacune des parties (level stress).

wo. — swony (= cygnes) etc.

wa. — ‘pwatlrad (= crayon), dwaran (— portes), pluriel de
do:r, ete.

wa:. — twa: (= deux) etc.

we:. — kwe:la (= gazouiller) etc.

Voir aussi page 39.

Description des voyelles.

Bien que pour un phonétiste le caractère des voyelles soit
suffisamment déterminé dans la plupart des cas par les caractéres
indiqués dans le Tableau des sons, les observations suivantes
concernant quelques-uns des sons ne me paraissent pas superllues.

u, Ua, où, ou. — Le son relâché u que quelques-uns font entendre
diffère très peu du son tendu u. Quelques-uns des sujets d’expé-
rimentation prononçaient guad au lieu de guad. Il y en avait
deux qui disaient bluja au lieu de bluaya.

Le son a de va se forme par le désarrondissement graduel des

LANGUE FRISONNE PARLÉE Ä GROUW. 51
lèvres et le retour de la langue à sa position neutre. En même
temps, la mâchoire, qui, comme nous l’avons vu ci-dessus, est
assez abaissée en pronongant u se relève un peu.

Pour la seconde partie des diphtongues ow et ow, voir p. 27.

Du reste le son u (p.e. tu:zon, mula) concorde !) avec celui
qu’on entend dans le français foule, l'allemand Schule, le hollandais
koel. Le son u de guad est celui du londonien good, de l'allemand
und, du hollandais boer.

o:, ou. — En hollandais 0: a souvent, par suite de l’arrondis-
sement croissant des lèvres la nature d’une diphtongue. Dans le
dialecte frison de Grouw ce n’est pas le cas.

Le son 0: (p.e. to:laf) concorde quant à l’acoustique avec celui
du hollandais boom.

En général ow fait l’effet d'un son plus ou moins plat, parce
que la première partie se forme avec la bouche un peu plus
ouverte que pour o:, ainsi oTu. Une assez grande minorité pronon-
cait kou, now et skout comme ko:, no: et sko:t, c'est à dire avec le
même son que dans to:laf. 5

Quand la diphtongue ou est précédée de 7, elle a souvent
quelque ressemblance avec öu (voir page 34), de sorte qu’on peut
entendre dire dans une boutique tantôt bljou mar (— restez
seulement) tantôt bljüu mar ou une des formes intermédiaires.
Proprement ce j est un # ou 1 très bref, surtout quand on change
o en 6. C’est tout simplement pour des raisons pratiques que j’ai
choisi le signe j (Voir page 38).

0, 0:, 09, ot, wor. — La voyelle à a dans ces cinq cas le son de
o dans le hollandais et l'allemand geboren.

La voyelle à dans des mots comme op (= sur), njògan (= neuf)
etc. a un son un peu plus ouvert que mon o dans le hollandais
op, qui pour ma sensation et mon ouie est plus fermé que le son
o: du hollandais boom.

J’ai observé une déviation dans la prononciation de la locution
généralement connue rjòzt = sljoxt, où à propos du j on peut
faire la même remarque que dans la phrase bljou mar citée plus
haut. Trois de mes sujets d’expérimentation prononçaient à peu
près ridat & slıöxt, c.-à-d. que le son après r et sl était décidément

1) Dans la comparaison avec d’autres langues il s’agit seulement de la
ressemblance acoustique et non de la durée.

32 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

autre que j, et qu'à la voyelle suivante la langue, encore sous
influence de 1, n'avait pas tout à fait pris la position à.

En prononcant le a de la diphtongue 6a (pe. mon) les lèvres
se désarrondissent et la langue quitte la position à pour être
portée un peu en avant

Pour wi dans muika ete. (Voir page 25.)

:, où, 9w. — Il n’y a rien de particulier à mentionner au
sujet du son >. Il est semblable à celui du français poche, de
l'allemand Ross, du hollandais ros et est done moins ouvert que
celui de l’anglais pot.

0, Gs, Gl, 0:0, 10:02: Je traite a et a: en même temps parce

,
que ces deux sons sont généralement difficiles à distinguer. a est
presque toujours at (sans retirer la langue autant que possible),
et le son de a: concorde presque toujours avec celui du francais
âme et de l’allemand Vater, mais non avec l’a palatal du hollan-
dais vader. Plusieurs pronongaient a: comme at: et a comme an.
Ceux-là seuls qui savaient bien le hollandais faisaient entendre le
a: palatal en parlant frison. Aussi est ce grâce à eux que j'ai pu
décider dans des cas difficiles si c'était a: ou a: que j’entendais.

La voyelle brève a dans la diphtongue a (p.e. twaintax) est
évidemment sous l'influence de 1’; suivant, car elle est un peu
plus avancée que l’a: dans amor et aan.

E, Ei, iR, ka. — L’E du dialecte de Grouw s'entend e.a. dans
l'allemand Ehre et le hollandais leer Pour distinguer ce son relâché
du son tendu e qui sera traité ci-dessous. j'ai été obligé de me
servir d’un signe spécial. Je n’ai pas choisi I parce que ce signe
sert à désigner un son plus fermé que e, celui qu’on entend dans
les mots hollandais ik, wil 1), ete. Dans la prononciation de la
plupart des habitants de Grouw la voyelle de Ek (= je, aussi)
est plus ouverte que celle du mot hollandais 1k (= je). Du reste
Ve bref est loin d’être stable : il varie entre I et E.

L'accent tonique dans la diphtongue iE est incertain, comme
je Vai déjà dit; tantôt on dirait qu'il tombe sur 7, tantôt on
simagine l'entendre sur E. Je n’ai observé cette singulière diph-
tongue que dans firtjan et firtax.

Entre les deux sons de la diphtongue na, on ne fait point entendre

1) Dans ma prononciation du hollandais li de ik est plus fermé que le de eer.

LANGUE FRISONNE PARLÉE 4 GROUW. 33

un à ou j comme son intermédiaire (glide). La seule chose qu’on
ait à faire c’est de porter la langue en avant pour former E et
ensuite de la retirer lentement jusqu’à la position neutre pour 2.

e:, ei. — Ces sons concordent entièrement avec ceux que l’on
entend dans les mots hollandais heel (== he:l) et zee (— zei), c-à-d.
qu’a la fin d’un mot e: devient clairement une diphtongue, tandis
qu’en syllabe fermée on n’observe que fort peu ou aucunement le
caractère d’une diphtongue dans le son e:. La prononciation de
cette voyelle est celle qu’on entend dans l’allemand geben

à, i:, 7a. — A la fin d’un mot 1% ne devient point diphtongue.
On prononce done jyni (= juin) et non jymij.

Dans les syllabes finales non-accentuées on passe rapidement
sur % dont on fait presque un ja bref, p. ex.: ‘fro:lio (= femmes),
“mendia (= lundi).

dy, do, d:, y, y: sont les voyelles arrondies d’avant. — Le son
p est celui du francais peu et du hollandais beuk Seulement, dans
ma prononciation la voyelle de ce dernier mot a la nature d’une
diphtongue : arrondissement des lèvres s’accentue progressivement,
de sorte que ¢ finit par se changer en y; je prononce done bóyk.
Mais il y a beaucoup de Hollandais qui disent bg:k. Dans le frison
de Grouw on entend dy, p.e.: gróyt (= grand) ete.

Il y a encore un ¢ qui, se terminant par un désarrondissement
des lèvres, devient diphtongue et se prononce da, p.e.: sndon
(— samedi). Telle était la prononciation de six de mes sujets
d’experimentation. A l’encontre il y a celle de douze autres qui
formaient la première partie de la diphtongue un peu plus ouverte,
de sorte qu’elle ressemblait plutôt à la voyelle du hollandais deur,
ainsi: snétan. C'est pour cette raison que dans les Tableaux ce
mot a été inscrit dans deux colonnes. Il en est de même de
skrdon (= écrit) et skrétan.

La prononciation sndT:n et skrdT:n ne se rencontrait que spora-
diquement; sndé:n et skré:n ne s’entendaient jamais.

Le son correspondant relâché ¢, qui concorde précisément avec
le hollandais dewr, je ne l'ai observé que comme voyelle longue
et devant r, p.e.: fld:rox (= gai). Chez quelques-uns le son inter-
médiaire de ¢: à r (on-glide) était si distinct qu’ils disaient en
réalité da.

ARCHIVES XI. 5

34 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Au sujet de y et y:, il n’y a rien de particulier à observer
qui n'ait déjà été mentionné.

Les voyelles palatales (mixed de Sweet) dans le dialecte de
Grouw sont: &:, wi, ü et a — Le son & ne se rencontre que long
et est toujours suivi de r, p.e.: ka:rja (= (ils) se promènent).
C’est une voyelle mi-ouverte, un peu arrondie, légèrement tendue
(low-mixed-narrow-round), pour laquelle on relève fortement le palais
mou. Pour ses qualités acoustiques on peut le comparer à la voyelle
de l'anglais fur (fä:) dans le parler londonien. Un de mes sujets
prononçait kd:rj9, comme dans le hollandais dewr; un autre disait
keiarja, comme dans le hollandais kwieren et il y en avait deux
qui pronongaient kaarja.

C'est à peu près le même son, également avec le voile du palais
sensiblement levé, mais non-arrondi et un peu plus ouvert, que
l’on entend dans la combinaison a, p.e.: staitsja (— arrêtent),
fleitsja (= sifflent) ete. C'est la même diphtongue que celle qu’on
entend dans le hollandais lui (lat), kwieren (kaiara) ete., mais non
dans stuiten qui se prononce steyto. Je n'ai entendu ce dernier
son à Grouw que dans le mot ‘bro-spayt.

6. — Cette voyelle, p.e. dans brötson (— cassé), est un peu plus
ouverte que celle du hollandais put. La mâchoire a à peu près la

même position que pour 7; la langue est relâchée, la pointe touche
à peine aux dents inférieures, les lèvres sont légèrement arrondies.

a. — Cette voyelle ne se rencontre que comme son final de
diphtongues ou de triphtongues, ou séparément dans des syllabes
atones, p. ex.:

ian (= un), hea (= foin), bluaje (= fleurissent), tian (= ton),
treia (= trois), maa (= mai), ete.

tretjan (= treize), da 9:da (= le vieux), hindat (= cent), to-laf
(= douze), twainlox (= vingt). etc.

La prononciation diffère beaucoup: on entend p.e toutes sortes
de nuances entre ion et wn. Dans les nombres entre 13 et 19
jai hésité entre a d’un côté et e ou E peu accentué de l’autre.
Ainsi: treljon. treljen et tretjen. ete. La prononciation prédomi-
nante cependant est un son exigeant la configuration suivante
de la bouche: mâchoire modérément ouverte, un peu plus que
pour i, de sorte que pour la diphtongue 1% l’écartement des
mâchoires augmente un peu; langue en position neutre et
non tendue; lèvres ni arrondies ni retirées Après une voyelle

LANGUE FRISONNE PARLEÉ À GROUW. 35

(avant dans une diphtongue (dan, hea) la langue peut prendre
& peu prés la position d’une voyelle d’avant, de sorte qu’on
obtient un son tenant le milieu entre a et e ou wr, donc: ien,
here 1). Par contre tous mes sujets d’expérimentation disaient: treia,
teksol, tsjerka, bwatsjo, mudika, njdgon, a:mor, olva, sjedzja. Il y en
avait un qui prononcait le a de trea en arrondissant notable-
ment les lèvres.

LES CONSONNES.

Les consonnes, soit vocaliques soit soufflées, sont toujours
relachées.

Laryngales. — ? et h. — Pour ? voir pp. 15 et 26; pour À
vocalique et h soufflé voir p. 24.

Le h soufflé ou, si l’on veut, une aspiration s'entend quelquefois
devant un mot commençant par w, r ou j. C’est ainsi que j'ai
noté pe: hwana (= coq), hwantsja (= cochet), hwôtsjo (— petit
chapeau), hrjiat = sljoxt (= droit et simple), hròpt (= (il) appelle).
hrekt (= (il) tend), hjrran (= cheveux), à côté de wana, wantsja,
wotsja, rjoxt = sljoxt, ropt, rekt, jeran.

Le dernier de ces mots est le seul au sujet duquel j’aie fait
des recherches spéciales. Le résultat a été que trois de mes sujets
disaient hjrron, et que cinq pronongaient jrran, ne faisant aucune
difference entre ce mot et jeran (— années).

Plosives. — Les plosives vocaliques aussi bien que les souftlées
se trouvent soit au commencement, soit au milieu, soit à la fin ?)
d'un mot On les prononce avec peu d’énergie. Seul le ¢ au
commencement d’un mot semble faire exception. Je trouve du
moins plus d’une fois dans mes notes que le ¢ de taykja (= (je)
remercie) et de fu:zan se prononce avec énergie mais sans aspi-
ration.

D'après la p. 19 le glide après une plosive au commencement
d'un mot est vocalique dans la plupart des cas. L’oreille perçoit
la voix en même temps que l’explosion.

1) Pour le son a dans va et 6a voir pp. 30 et 82.

*) Pour autant que j'ai pu m'en assurer g, g4 ou g n’est jamais consonne
finale, à moins que le mot suivant ne commence par une voyelle ou une con-
sonne vocalique.

De

36 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

La plosive vocalique à la fin d’un mot est d’après p 19 ou

|

entièrement ou pour les °/; vocalique et presque jamais soufllée.
Mais dans la majorité des cas elle fait à l’oreille l'impression
d'être ou entièrement ou partiellement soufflée Cependant elle ne
dégénère jamais en un tou p soufflé Voici ce que j'ai noté à
ce sujet:

vocalique soufflée soufflee à la fin.
Fremd 10 6 2
kwab l ú 5
bluad 1 1 1
Nasales. — Les nasales se forment de la maniére ordinaire. La

lettre n seule donne lieu à quelques remarques, savoir:

1° n se vocalise devant s, r ou j, c-à-d. la pointe de la langue
ne ferme pas complètement le passage de l’air sortant de la fosse
buccale !). En outre, la voyelle précédente, ou au moins la dernière
partie de cette voyelle se nasalise, p.e : vazdia (— mercredi),
foma:ja (= temple mennonite), je:sam (— Irnsum), rjoxt 2 sljèt
(— droit et simple), ete

Dans le mot foma:j2 cependant les circonstances sont un peu
différentes: sous l'influence du son j le n s’est changé en N qui
s’est vocalisé, comme on s'en aperçoit aisément à la position
de la langue. Ce N ne se présente que sporadiquement en consé-
quence de son assimilation avec une consonne palatale qui le
suit. C’est de la même manière que dans le parler rapide n et m
devant une consonne labiodentale se changent en m (— labioden-
tale nasale).

2° Quelquefois la vocalisation se fait avant le d, qui alors
disparaît Je n'ai observé ce phénomène qu'après » dans bro:spayt
(= pompe à incendie) et dans ‘frisl5:/bòpa (— vive la Frise!).

3° Dans le parler rapide n fait souvent office de voyelle,
p.e.: tu:zn (= mille), brötsn (— cassé), swann (— fils), spwonp
(= copeaux), etc.

4° En prononcant n dans gè:n9 (= florin), rò:na (— rouge), on
courbe la pointe de la langue en haut et on l’appuie derrière les
gencives contre l’arch (Sweet) de sorte qu'il y a articulation

1) C’est pour cette raison que dans la transcription phonétique je supprime
n, que je remplace dans les syllabes accentuées en notant la voyelle comme
longue,

LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW 37

LES

dorsale. De cette manière on donne à 1’): qui précède un son
sourd qui a beaucoup d’analogie avec u. Un seul de mes sujets
appuyait la pointe de la langue contre les dents inférieures et
articulait par conséquent avec la partie qui se trouve en arrière
de la pointe de la langue et que les phonétistes anglais nomment
blade. Je n'ai pas observé cette particularité dans d’autres mots.

Latérales. — Me référant à ce qui a été dit du / à la page 26,
j'ajouterai ici que je n’ai entendu distinctement la palatale que
dans le mot bilja (= mugissent) et que pour l'oreille hollandaise le
lereux au commencement des mots lEan (= salaire), lrona (= avenue)
et pleax (= fléau) est très remarquable. Dans les mots comme
loft (= air), Yoxt (= lumière), lay (= long) je n'ai observé rien
de particulier au sujet de J.

Consonne roulée. — Le son r est toujours vocalique et vibré et
ne se prononce jamais autrement qu’avec la pointe de la langue:
rjoxt (— droit), brétsan (= cassé), kw:rja (= se promènent), fjouar
(= quatre) ete. On le vocalise ou on l’assimile avec la voyelle
précédente devant t, d, n, s, 2, p.e.: twa: a:mas (— deux seaux)
à côté de a:mar, fintjon (= fjirtjin), hondot (— hondert), bwatsja
= boartsje), ma:t (= hollandais: Maart), gjetsjo (— hollandais:
Geertje), höd (= hird), pròtos (= protters), moan (= moarn), East
(= hollandais: eerst), hindaz ey kei (= hynders en kij), etc.

On le supprime aussi quelquefois devant m et b. J’ai noté:
dermai (= hollandais: daarmee) et demai, fobei (— hollandais:
voorbij), fama:ja (= temple mennonite; hollandais: vermaning),
mais harman (= Germain).

Le r ne disparaît pas devant un n faisant fonction de voyelle,
p.e.: Erp (= oreilles).

Entre r et une plosive il n’y a généralement pas de glide
clairement perceptible. Je n'ai entendu qu’une fois tsjeraka (— église)
au lieu de fsjerko. Pour hr voir p. 35.

Fricatives vélaires. — x, 84; t+, g. — Les Frisons de Grouw ne
sont pas d’accord en ce qui concerne les fricatives d’arriére. Ils
les articulent de deux manières, savoir par le palais mou (x, g+)
et un peu plus en avant, à peu près à la limite du palais mou
et du palais dur (z+, g). Une recherche spéciale à ce sujet, em-
barrassée par l’articulation peu énergique mentionnée p. 25, a
produit le résultat suivant:

38 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

njogan 7 fois| 7 fois) 1 fois)
fugal Op geal Ota El
bre:ga LORS Se rap all

Ragan Se a AC
da:ga 1. WANN STH
fre:gja wh In
Fag’ lady alle One |
act | 9
riet = slioxt | | 9 | 4
jet | 33 | 8
twain tas | | 10

L'écart dans raga/ledy doit évidemment être attribué à ce que &
de rog devient vocalique sous l’influence de la consonne suivante.
Le g de fre:gja doit probablement être mis sur le compte de la
consonne palatale 7 qui le suit Si on ne fait pas entrer Eag-+lrdy
et fre-gja en ligne de compte, la prononciation g se présente
38 fois, g4 19 fois et g 4 fois On peut done admettre comme
règle que la fricative d’arrière vocalique est g. Par contre, le
tableau montre que la fricative d’arriere soufflée est presque
toujours x.

Voici les irrégularités que j'ai constatées dans la prononciation
de mes sujets:

Il y en avait 10 qui pronongaient sekstjon,

3 ” ” sextjan,
4 ” ” sexttjan,
1 , prononçait — sewstjan.

14 pronongaient sekstax,
3 5 SETHLID,
1 prononçait sextox.

11 pronongaient va:ksja ou va:k/2,
D . VA:TS9,

2 , NORDEN

LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 39

Il y en avait un qui disait zroyt au lieu de gréyt, un autre
ou/g-ôsts au lieu de ow/göstos; ce dernier probablement sous l’in-
fluence du hollandais.

Fricative palatale. — Le j se prononce avec peu d'énergie et
approche, surtout après une consonne, le son de i bref. Cependant
j'ai préféré la transcription 7 pour ne pas augmenter sans nécessité
le nombre, assez grand déjà, des diphtongues et des triphtongues
Pour hj voir page 35.

Fricatives linguales — s, z — Ces sons se forment ordinairement
avec la pointe de la langue à quelques millimètres derrière les
ineisives d'en haut. Dans cinq des onze cas que j'ai observés inten-
tionnellement, la pointe de la langue se trouvait tout près des
dents inférieures ou les touchait.

Les sons s et z ne sont pas fortement sifflés, parce que l’ouver-
ture entre la langue et les gencives est assez large. C'est pourquoi
ils ont souvent, en combinaison avec un 7 qui les suit, la nature
de s/ et de 25. C’est ainsi qu’on entend à côté de bwatsja, sjrdzja,
Isjerka, ete., la prononciation bwats/a, s/jed259, ts/erka, etc. et même:
bwatfo, fedza, tferka, etc. A remarquer que dans ces combinaisons
les lèvres sont toujours entièrement désarrondies, comme en
anglais.

Labiales. — f, v; v; w. — Les consonnes f et v ne donnent lieu
à aucune remarque spéciale. Le son représenté par +, pe vot
(— quoi) est identique à la labiodentale qu'on entend dans le
mot hollandais wind: dans le frison de Grouw cette consonne est
régulièrement fricative, par exception elle est plosive. Sauf dans
quelques cas sporadiques le v n’est pas précédé d’une autre consonne.

Le w (voir p. 30) est bilabial, la langue ayant la position de la
voyelle suivante. Excepté lorsque il résulte de hw (p. 35), il se
présente toujours précédé d’une autre consonne, p.e.: twa: (= deux),
kwab (= lobe), swann (= fils), fwar (= pour), swi:r (= lourd) ete.

Exceptionnellement on prononcait v au lieu de w. J’ai entendu dire

twa: et tvaintes 3 fois,
kvab 1 fois,
svanan 4 fois,
SVL? 1 fois,

kyvrada 1 fois

40 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

CHAPITRE Il.

J'ai profité de mon séjour à Grouw pour me faire lire quelques
textes en prose et en poésie. Ils fournissent la matière pour le
troisième et dernier chapitre de mes recherches. A côté du texte
en orthographe ordinaire frisonne se trouve la traduction aussi
littérale que possible en français d’après le texte hollandais qui
m'a été gracieusement procuré par Monsieur B. H Gorter et

Monsieur S van DorsseEn.

PHRASES DETACHEES.

Transcript. phonétique.

Eg ben ga’bo-ran ta’grou.

Ek ‘va:j9 ta JE:som.

Eg be jer ‘net fon t plak
“Pov vest.

‘snéan to ‘medio “twa en
twaintag4 ou’ gdstas
‘njoganijan ‘hindat
en ‘trea.

‘frisla: ‘bipa !

at Ez ’ö.rl “u:ra “ruajan
nar jena’vo:d(a).

lai da ‘hola ‘hev(g) gonox ?

vet bena mai ys “fi:van.

maln) he:r vil 'e:vM vat
"fre:gj2.

nou sE va ba’guna.

vol mo(n)he:r t fe:star
"riopnho:da ?

Orthographe frisonne.

Ik bin geboaren to
Grou.

Ik wenje to Irnsum.

Ik bin hjir net fen 't
plak Of west.

Snjeun to middei
twa en tweintich
Augustus njug-
gentjin hündert
en trije.

Fryslän boppe!

’t Is oardel
roeijen nei Earne-

A
ure

woude.
Lei de holle heech
genöch ?

Wij binne mei üs fi-
ven.
Menhear

hwat freegje.

wol even

Nou scille bi-
gjinne.
Wol menhear ’t fin-

ster iepen hälde?

wy

Traduction française.

Je suis né à Grouw.

Je demeure à Irnsum.
Je n’ai pas quitté cette
localité.
Samedi après-midi
vingt-deux août dix-
neuf cent trois.

Vive la Frise!

Il faut une heure et de-
mie pour ramer | d’i-
ci] à Earnewoude.

La tête était-elle [cou-
chée] assez haut?

Nous sommes cinq.

Monsieur veut de-
mander quelque
chose.

Maintenant nous al-
lons commencer.
Monsieur veut-il lais-
ser la fenêtre ou-

verte ?

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW.

Transcript. phonétique.

vot lait ar 9 ‘jeld int
‘la:d, mem!

ha j t ‘sop ‘op?

Ek sel da ‘tei ma ‘seta.

gran ma ‘fwot.
‘hart Bz nett) ‘tys.

‘va he(t) tot ‘sain?
da ‘skwala giat ‘dan.
at ‘hu:z rz ‘grdyt.

da ‘mwora ‘stiat ‘brik
‘de "ke:st op ‘rekaja

de ‘lait ar, = ‘sait ‘neat.

"jo:mgabetsja.

ou ‘hait, ‘dow di ’fizr
bòpa da ’stjern venas-
t(a)! eg ba’taykja dei,
dot ek da’he:la “dai dey
‘qguad(h)at ') “prjoua
moxt(a). ‘klean
‘piton, ‘rondorviz *) ey
go’sont(h)at *), ‘roloz
vot mei ‘Issta, vot mei
‘tsje:stog via, halv)
Ek ‘hoen. ‘tayka, ‘tanka
de(r) fwar, ou “be:sta
‘hait in a “he:mal *)!
man rag4’lrdn®) vöda®)

En,

Orthographe frisonne.

Hwat leit er in jild
yn ’t laed, mem!

Hawwe jo ’t sop op?

Ik scil de thé mar
sette.

Gean mar foart.

Heit is net this.

Hwa hat dat sein.

De skoalle giet oan.

't Hus is great.

De mürre stiet bryk.

Der kinst op rek-
kinje.

Der leit er, en seit
neat.

Joungebetke.

O Heit, dû dy fier
boppe de stjerren wen-
neste! Ik betankje dy,
dat ik de hiele dei dyn
goedheit prjüwe moch-
te. Klean en iten, on-
derwys en gesontheit,
alles hwet my lêstte,
hwet my tsjinstich
wier, haw ik hawn.
Tanke, tanke der for, 6
beste Heit yn ’e himel!
Myn eachlidden wirde
swier, en ik moat to

1) A proponcer lentement: ‘guadhait.
2) On proponce aussi: Pdndar’viz.

3) ” LA ”

gasònthait.

4) Prononciation hollandisée; devrait être: hrmal.
5) On entend aussi: rogde'lrdn.

6) Aussi: wöro.
ARCHIVES XI.

41
Traduction francaise.

Que d'argent dans le
tiroir, mère!

As-tu mangé la soupe?

Je vais toujours faire
le thé.

Va-t'en.

Père n'est pas à la
maison.

Qui a dit cela?

La classe commence.

La maison est grande.

Le mur déverse.

Vous pouvez compter
là-dessus.

Le voilà par terre et
il ne dit rien.

Prière du soir.

6 Père, toi qui de-
meures loin au-dessus
des étoiles, je te rends
grace d’avoir pu du-
rant toute la journée
éprouver ta bonté. Vê-
tement et nourriture,
instruction et santé,
tout ce qui me plai-
sait, tout ce qui m'était
utile, je l’ai eu. Je t’en
remercie, à bon Père
[qui es| aux cieux!
Mes paupières s’alour-

42
Transcript. phonétique.

‚en Ek malt) ta
‘bed. for) kwekja min
‘vürago" bea tr da’swiata
‘sliap, en ‘vekja') fwa(r)
min ‘be:d, 92 Ek net vit,
dot ek in a ‘vro:d ben;
vont ‘(d)ou, ow ‘leava
‘he:ra, ’sjoxst(o) olas,
eek do
‘kwrada ‘mis:skan *), oz
at’tsjistar ws. “tek “net
om at ‘kwea, dot Ek ter
"jvad’dian ha; far) jou
at met d(m) min ‘sr lox-
‘maitsar, di ’ala’frvada
‘ben ‘bei(h)em ‘ropt, der
at novt >) gE(n) *) naxt
Pa:man.

sun:r

!jest(a) olas,

vil.

yt: riman en teltsjas
fan da brwirn * halbats-
ma:. fired prentaya.

?yt fon ‘hu:s bei da
bu:r.

da ‘mwanti:d.

at ljoxt “brekt tro da
‘griana ga’ dintsjas. da
‘klok ‘slaxt “jelva ‘fi-van
da’ wilda ‘fugals “tj erm-
ja ut ‘field. da “wana

1) A proprement parler
2) Ou: 'mé:skan.

Orthooraphe frisonne.

bed. Forkwikje myn
wirge troch de
swiete sliep, en weitse

lea

foar myn béd, as ik
net wyt, dat ik yn’e
wrald bin; hwent dû,
o ljeaven Heare, sjuch-
ste alles, hearste alles,
ek de kweade minsken
as it tsjuster is Tink
net om it kwea, dat ik
dy hjoed dien haw;
forjow it my om myn
sillichmeitser, dy alle
froede bern by him
ropt, der it nea nin
nacht wirdt.
Amen.

4
Ut: Rimen en Telisjes
fen de Broerren
HALBERTSMA.

Fjirde Printinge.

Út-fen-hûs by de
boer.

De moarntiid.

It ljocht brekt troch
de griene girdynkes.
De klok slacht heal-
wei-fiven.
fügels

De wylde
tjirmje oer 't

DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA

Traduction frangaise.

dissent et je dois me cou-
cher. Ranime par le doux
sommeil mes membres fa-
et veille devant
mon lit quand je ne sau-
rai pas que je suis au
monde; car tu vois tout,
6 Dieu très bon, tu en-
tends tout, les méchants
aussi quand il fait nuit.
Ne pense pas au mal que
je t'ai fait aujourd’hui;
pardonne-le-moi, pour | l’a-
mour de] mon Sauveur,
qui appelle à lui tous les
enfants sages, la où il

tigués

ne fait jamais nuit.
Amen.

Extrait de: Rimes et
Contes des Frères
HALBERTSMA.

4ieme Edition.

En visite
chez le fermier.

Le matin.

La lumière pénètre au
travers des petits rideaux
verts. L’horloge sonne qua-
tre heures et demie. Les
oiseaux nocturnes font en-

vaitsa, mais cela ne se dit pas à Grouw.

3) A proprement parler pro, mais cela ne se dit pas à Grouw.
4) nen est tombé en désuétude.

LANGUE FRISONNE PARLÉE à

Transcript. phonétique.

‘krant, en da 'lepkoz
‘liapa in a ‘frna, da
‘protas ‘kwe:lo en "tsjo-
tarja op at ‘ulabuad en
da ‘skwasjan. da ‘?dta-
fa:r *) ‘klapholzot. da
‘ljorkon ‘sjoya ur a
‘skwora, da ‘?0:da “mem
et) to ‘klok. ,*’bouk”,
‘sait sa”), „do: möst ar
‘a:koma*), fay ko! = “ri-
pa *’hkdo en da ‘faint:
doy ken do "ro:d “bu:r
jet vot ‘leap bljoua.”
„guad', sait *’bouk, z
‘orjout orrz in 9 ‘?E-
gan, à ‘strikt ur a“rwada
"ro:na ‘wagon. so ‘skout
da ‘gikda "bein wr a
bets’planka,'klait (h)ar
‘van, ? “ropt *’hedo en
da faint.

‘de(rymar Ez ‘alae in
t ‘spur. da ‘faint ‘jout
da ‘ket ‘wast on ‘lits
"jefto ‘hea, en *heda
ba’gu:(t) ta “mpoksjan.
#beiko, di da ‘he:la’naxt
òp da ‘?o:d ‘bu:r sin
‘bru:k ‘lain het, ‘rekt
(h)em ‘yt, en do butyz-
‘dû:r ‘Pytgronda, ‘snd-
falt ar op ot “hiam om,

Orthographe frisonne.

fjild. De hoanne kraeit,
en de lipkes hepe yn’e
finne. De protters kwe-
le en tsjotterje op it tile-
boerd en de skoarstien.
De earebarre klaphal-
zet. De ljurken sjonge
oer ’eskurre. De âlde
mem heart de klok.
„Bauk”, seit hja „dü
mast er ôf komme, fan-
ke! en roppe Hidde
en de feint: den kin de
äldboer yette hwet liz-
zen bljuwe”. „Goed”,
seit Bauk, en wrjûwt
e'ris yn ’e eagen, en
strykt oer ’e reade rou-
ne wangen. Hjaskouwt
de gledde billen oer ’e
bêdsplanke, klaeit hjar
oan, en ropt Hidde en
de feint.

Dermei is alles yn ’t
spier. De feint jowt de
ky earst in lyts jefte
hea, en Hidde begint
to mjoksjen. Byke, dy
de hiele nacht op de
äldboer syn broek laein
het, rekt him tit, en de
büthüsdoar ütgeande
snuffelt er op it hiem
om, en siket de on-

1) "jerabora ou 'Eabara est tombé en désuétude,

2) ja ne se dit pas.
3) On dit aussi ‘oukòma.

GROUW. 43

Traduction française,

tendre des cris plaintifs
au-dessus de la campagne.
Le coq chante et les van-
neaux sautillent dans le
pré. Les étourneaux ga-
zouillent et gringottentsur
le faite du toit et sur lache-
minée. La cigogne claquet-
te Les alouettes chantent
au-dessus de la grange. La
vieille mère entend l’horlo-
ge, „Bauk”, dit elle. „vous
devez vous lever, ma fille!
allez appeler Hidde et le
valet; alors le vieux fermier
pourra rester couché encore
quelque temps”.— , Bon”,
dit Bauk, se frottant les
yeux et passant les mains
sur ses joues vermeilles et
Ses fesses lisses
glissent sur la planche qui
borde le lit, elle s’habille et
appelle Hidde et le valet.

Après cela tout est en
mouvement. Le valet don-
ne d’abord aux vaches une
petite ration de foin et Hid-
de se met à brouetter le fu-
mier. Byke !), qui a été
couché toute la nuit sur le
pantalon du fermier, s’éti-
re et, sortant par la porte
de l’étable, flaire partout
sur la propriété, cherchant

rondes.

1) — Aide, nom propre donné
souvent à des chiens.

6*

44

Transcript. phonétique.

& ‘stkat do ‘ropgo:zn
op. *’bouk set no: ‘fy:
dan, en “heyat a(t) ‘tsja:
velar Ur. „ma vet mata
‘PEK wot “out ‘ha,’
‘sat so, = ‘skout ot
‘ra:m op, 2 ‘smit da
fe:stoz ‘iopon, dot sa
tsjen 2 mwòro ‘stwitsjo.
‘now stelt sa (h)ar ‘tsje-
pa ‘trwa:ja in a loft,
ë ‘sjoxt mat am pe:r
‘froanlaka’eragan’eu-r-
ol in a ‘bli:do ‘da:ga
rom. at ‘ljaxta ‘grion
fon a "semer’krita ‘ski-
mat tro da ‘tsjòka ‘doua.
at ‘jongwod ‘hafalt in a
lizn om. da ‘ropaintsjaz
‘vragalja nai ha ‘ta, en
‘lanhalzja om an ‘ha:n-
fol’bjena da’?a:da’mem
Let at ‘molkan in a ‘tsje-
na 'rEna. sa E2 ‘likvol
a(n) ‘mÊ:ska fon ‘ssks-
tax "ji:r, en ‘dors ‘telt
sa da ‘tuna ‘mar ‘op,
dot a da ‘lady ‘kniazo,
z ‘set om op a ‘tsjena,
en let at "molkan (djar
‘ytrena, dot at ‘bru:st.
de(r)maï völt) ta ‘spot-
skutal (d)ar ‘plain, at
"tsj:led ‘fe:stkila, da
pôle ‘o:slain da ’?a:da
‘lia ‘bènta vöt fon a
‘sta:l “hela, em ba’ge:(t)

Orthographe frisonne.

ganzen op. Bauk set
nou fjûr oan en hin-
get it tsjernwetter oer.
„Mar wy matte ek
hwet ljocht ha”, seit
hja en skouwt it ræm
op, en smyt de finsters
iepen, dat se tsjin ’e
mürre stuitsje. Nou
stekt se hjar tsjeppe
troanje yn ’e loft, en
sjocht mei in pear
frjeonlike eagen oeral
vn’e blide dage om.
It ljochte grien fen’e
simmerkrite skimert
troch de tsjokke dau-
we. It jonggoed haffelt
yn’e liezen om. De rop-
einkes wraggelje nei
hjar ta, en langhalsje
om in hânfol beane.
De âlde lit it
molken yn 'e tsjerne

mem

rinne. Hja is lykwol
in minske fen sekstich
jier, en dochs tilt se de
tine mei op, dat hjar
de hidden knieze, en
set him op ’e tsjerne,
en lit it molken er
útrinne, dat it brûst.
Dermei wirdt de spat-
skûtel er op lein, it
tsjernlid festkile,
pols oanslein. De âlde

de

loaye bûnte wirdt fen

DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Traduction francaise.

les délivres. Bauk allume
alors le feu et pend la mar-
mite contenant l’eau de la
baratte. „Mais nous avons
aussi besoin de lumière”,
dit-elle. Et elle lève la fe-
nêtre et ouvre les volets
avec tant de force qu'ils
heurtent contre la murail-
le. Alors elle met sa jolie
frimousse dehors et de ses
deux yeux doux regarde
de tous les côtés dans l’au-
rore riante. Le vert clair
du ,polder” intérieur est
faiblement visible à travers
l’épaisse rosée. Les jeunes
bestiaux happent çà et la
les glaïeuls. Les canards
domestiques s’approchent
en chancelant et tendent
le cou pour avoir une poig-
née de fèves. La vieille mè-
re verse le lait caillé dans
la baratte. C’est une femme
de soixante ans et pourtant
elle soulève le tonnelet à
s'en faire ma laux reins et le
pose sur la baratte et laisse
couler le lait caillé si fort
qu’il en écume. Ensuite on
pose la sébilette !) dessus,
on fixe lecouvercle avec des
coins, on attache le piston.
On sort le vieux paresseux
brunot de l'écurie et il se
met à baratter de telle fa-

t) = rabat-créme.

LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW.

Transcript. phonétique.

ta "tsjz:jon, dot ot “hu-z
‘droynt en da ‘bint
‘krrokja. now at "Poor
‘folk set ta ‘melkon,
ba’ge:t de 'ro:d ’bu:r
(h)em ‘Ek lo ‘resp. hei
‘stiat op, en ‘klait(hjem
‘oan, = ‘snsit fwar at
‘folk elk an ‘tsjok ‘Pòm-
stek ‘brea. oz dot ‘dion
Es, ‘fa:gal ar at ‘mes
9:0, = ‘stekt at in 9
‘skia. hei 'nemt da‘brel
yt at ‘festorbayk, em
ba’ge:(t) ta ‘ls:2n im a
„raiz nar t "he:malso
jaryzalam’’.

at ‘melkan Ez ‘dion
at ‘folk komt ba da
‘hod. da ‘?a:da
nemt sin ‘ron ‘bre:t-
ska:da "wotsja ’79:9, em
‘bet. da ‘faint ‘gobat
axtor da ‘huad vai, ey
‘gi:zjanda tsjem *’bouk,
‘tra:pot ar har òndar-
vilns op 9 ‘tjenp, dot
sa at ‘laitsjan ‘Pek net
‘Pinho:da ken. ‘elk nemt
sin stek ‘brea, ‘lait at
op a ‘knebal, en “it ar
fon. da “?o:da “mem Ez
‘bay dot at ‘var ford:rja
sel, sa het at (h)ar "jös-
torjo:n in t "krysstötsn.
da '?o:d ’bu:r ‘kla:gat

‘man

Orthographe frisonne.

’e stâl helle, en bigint
to tsjernjen, dat it hüs
droant en de bynten
kreakje. Nou it oar
folk sit to meltsen, bi-
gint de äldboer him ek
to rissen. Hy stiet op,
en klaeit him oan, en
snijt foar it folk elk-
mes in tsjok omstik !)
brea. As dat dien is,
faget er it més 6f, en
stekt it yn’e skie. Hy
nimt de brul út it fin-
sterbank, en begint to
lezen yn’e Reis nei it
himelsce Jeruzalem.
It meltsen is dien.
It folk komt by de
hird. De äldeman nimt
syn roun breedskade
hoedke ôf, en bidt. De
feint gobbet efter de
hoed wei, en gyzjende
tsjin Bauk trapet er
hjar onderwiles op ’e
teannen dat se it lait-
sen ek netynhälde kin.
Elts nimtsyn stik brea,
leit it op ’e knibbel, en
yterfen. De äldemem
is bang, dat it waer for-
oarje scil, sa het it hjar
jisterjoune yn ’t krús
stitsen. De âldboer kla-
get ek oer jichte en de

45

Traduction francaise,

con que la maison tremble
et que les poutres craquent.
Maintenant que les autres
domestiques sont occupés
à traire, le vieux fermier
se met à faire ses prépara-
tifs. Il se lève et s’habille
et coupe pour chacun de
ses gens une grosse tranche
de pain. Quand cela est
fait, il essuie le couteau et
le remet dans le fourreau.
Il prend les lunettes sur
l'appui de la fenêtre et
se met à lire dans le
, Voyage à la Jérusalem
céleste”.

On a fini de traire. Les
genss’approchent du foyer.
Le vieillard ôte son cha-
peau rond à large bord
et prie. Le valet, regarde en
riant derrière son chapeau,
sourit à Bauk en clignant
des yeux et lui appuie en
même temps son pied sur
les orteils, de sorte qu’elle
aussi ne peut s'empêcher
de rire. Chacun prend son
quignon, le pose sur le ge-
nou eten mange. La vieille
mère a peur que le temps
change, à cause de la
douleur lancinante qu’elle
a sentie hier soir dans sa
croupe. Le vieux fermier se

1) Omstik = tranche coupée tout alentour,
donc tranche entière; sijdstik — demitranche.

46
Transcript. phonétique.

‘pek ur ‘ject en do ’sle-
ma ‘ti:d. hei ba’skröbat
at jonfolk, dot sa sa
wu: dwe:lsk net ve:za ma-
ta, vont (d)ot (h)ar da
Erp jet vol ba’ka:ga
„oda kena. ‘de(r'mai oz
da ‘kopkaz am ‘pontsjoz
‘opbéragan !) bena, ba-
‘re:da da’ fra:lia da’ tsje-
na, em ‘bjena da tinn en
‘a:dy yt. da’mo:lia gron
von t’sjedridn ov "laik-
ja da ‘semardikjaz ‘op
da ’70:d’man ‘bljout in
a hédz huka om da ‘fu-
kan ta ‘la:pjan, em ba-
‘sjoat da ‘kiba mar da
‘brel op a ‘nes.

‘groustar vEagan.

‘rola, ‘rola, ‘vetor-
['vEagan,
‘rola em ‘bru:z om t
[ o:da ‘grou!
mirv a:daen fwar yz '#2-
Con

‘flragan, ‘stouan om yz
['grou.

1) A Grouw on ne
dit pas waiböragan.

Orthographe frisonne.

slimme tiid. Hy bi-
skrobbet it jongfolk,
dat se sa oerdwealsk
net wêze moatte; want
dat hjar de earen vette
wol bikôge !) wirde
kinne. Dermei, as de
kopkes en pantsjes wei-
berge binne, biredde de
frouljue de tsjerne, en
bjinne de tinen *) en
aden *) út. De manljue
geane oan ’t sjeadri-
den, of leikje de sim-
merdykjes op. De ald-
man bljûwt yn ’e hirds-
hoeke om de fûken to
laepjen, en bisjocht de
kobbe mei de brul op
'e noas

Ut: Rimen en Tellsjes.

Grouster Weagen.

Rolje, rolje, wetter-
[ weagen!
Rolje en brüs om ’t
[âlde Grou.

Myriaden for us eagen

Fleagen, stauwen
[om ús Grou.

DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA

Traduction francaise.

plaint aussi de la goutte et
des mauvais temps. Il gron-
de les jeunes gens | et leur
dit | d’être moins bruyants:
car pour eux aussi les mau-
vais jours peuvent venir.
Puis, quand les tasses et les
soucoupes ont été mises
de côté, les femmes pré-
parent le beurre et net-
toient les vases et les bas-
sins à lait.
vont transporter les carrés

Les hommes

de gazon, ou hausser les
digues d’été. Le vieux reste
au coin du fover pour
réparer les nasses et regar-
de la poche de la nasse, les
lunettes sur le nez ...

Vagues de Grouw.

Roulez, roulez, vagues
[d eau,
Roulez et écumez autour
[du vieux Grouw,
Des myriades devant nos
[yeux
Volaient, s’amoncelaient
[autour de notre Grouw.

1) Littéralement: qu’on pourra leur mor-

dre les oreilles.

2) Tinen = vases au col étroit.
3) Aden — bassins plats en cuivre. On

y verse le lait pour l’écrémer.

LANGUE FRISONNE PARLEE à GROUW.

Transcript phonétique.
‘rolje, ‘rolja ys fa ber,

‘hida ‘friazan "bljoua
[ ved.

‘SEMIATMOIN.

À;

vot bes(t) tow ‘leaflak,
“rizanda ‘sEmarmoan,

(a)t Dpgrondo ’sentsja
‘la:kat mei ‘oan.
(a)t ‘wantsja kra:it: "kür-

[ka’luu !
at ‘douka ropt! "ruku-
[‘kuuw !

‘pek vol “Ek ’sj079
‘flb-racx fon ‘ton.

2.

"rolaz vot ‘lebat
‘dôxt ar nou ‘sinaz bei.

‘fa:ltsjaz ey "kjeltsjas,
“hindaz ey ‘kei;
‘qwoskaz di ‘snetarja,
’skjvpkaz di ‘blstarja,
‚lamkaz di ‘spreya,
‘ny:vara "blei

3.

(a)t ‘ljorkj(o) in a ‘vdl-
| kan,

x.

Orthographe frisonne.

Rolje, rolje us foar-
[by!

Hirde Friezen bliu-
[we wy.

Ut: Rumen en Teltsjes

Simmermoarn.

1.

Hwet bistou ljeaflik,
rizende simmer-
[moarn !
't Opgeande sintsje
laket my oan.
't Hoantsje kraeit:
[koekeloe!
't douke ropt: roe-
[koekoe!
Ik wol ek sjonge,
fleurich fen toan!

2.

Alles hwet libbet

docht er nou sines
[by,

Foaltsjes en kealtsjes,
hynders en kij;

Goeskes dy snetterje,
skiepkes dy bletterje,

Lamkes dy springe
nuvere blij.

3.

't Ljuerkje yn ’e wol-
[ken,

47

Traduction française.

Roulez, roulez en passant

[devant nous!
Nous restons des Frisons
[endurcis.

Matin d'été.
1

Que tu es charmante,
Aube du jour d'été,
Le soleil levant
Me sourit.
Le coq chante:
[coquerico !
Le pigeon roucoule:
[roucoucou!
Je veux chanter aussi
D'un ton gai.

2.

Tout ce qui vit
Y ajoute du sien,

Poulains et veaux,
Chevaux et vaches:
Oisons barbotants,
Brebis bêlantes,
Agneaux bondissants,
Excessivement con-
[tents.

3.

L’alouette dans les
[nues,

48 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA

Transcript. phonétique.

(a)t ‘Painsj(a) in this
[zag ‘wat,

(a) “moskj(a) en t
['‘sweltsja,
'zelk ‘sjoyt sin ‘hat.
d(a) 'Eobarn ‘klaparja,
‘lepkaz ‘vjdk'vaparja,

‘skriaz op a ‘heka

‘ropt: ‘gritow ‘grit.
4,

(a)k

vua fwar grey
| ‘go:na,
do ks je(t) ta shapan lai,

(a)t vz mei sa ‘noflak
Pir op 9 ‘dar.

‘protoz di ‘tsjotorja,
d(a) ‘ekstaz di ‘skalarja,
‘robe Es ‘fld:rox,

‘rk ben at ‘mar.

(yt: “fri:s ‘liatabukja
fwar ‘elkan ian).

Orthographe frisonne.

t eintsje yn ’t lizich
[ wiet,

’t Moskje en 'tswealtsje,
elts sjongt syn liet.
d’Eabarren klapperje,

leapkes wjukwap-
[perje,

Skries op ’e hikke

ropt: grito, griet !

4.
'k Woe for gjin goune,

det ’k yet to sliepen
[lei,
t Is my so nochlik
ier op ‘e dei.

Protters dy tsjotterje,

deksters dy skat-
[terje,
Alles is fleurich,

ik bin it mei.

W. Disxsrra.
(út: Frysk Lieteboekje
for Eltsenien).

Traduction française.

le caneton dans
[l’eau bordée de
[glaïeuls,
Le moineau etl’hiron-
[delle,
Chacun chante sa
[chanson.
Les cigognes claquet-
[tent,
Les vanneaux bat-
[tent des ailes
Le francolin sur la
[barrière
chante: grito, grite!

4.

Jene voudrais pas pour
[un florin
A - ra
être encore couché,

J'ai tant de plaisir
le matin de bonne
[heure.
Étourneaux gringot-
[tants,
Pies jasantes,

Tout est gai,
je le suis aussi.

(Extrait du: Chanson-
nier frison pour tout
le monde).

Transcript. phonétique
‘skEpas saykjo.
Ne

fo jet ma!) ‘net,oz ‘bola

[‘vintsjaz vario,

en Ekoan t ru:r min

[‘saykja spy ;

os 'kru:29 ‘eKagan t ‘gle-

[do ‘skep m'a: ;
jet ma ‘net.

2;

fo'jat ma net, oz mili-

l’un ‘stjeran,

en t froanlak ‘mwantsya

[mei ba'skint,

en dou swiot ‘dro:m hest

[in a ’se:fto 'fjeron;
fout ma ‘net.

3.

Jo jet ma net, 92 ‘wre:da

| ‘touarflragan

mei ‘sleyarja de(r) ‘god

[at wol.

az Ek 'ompolskjo mai da

[dra fwar ‘Kagan ;
fajet ma ‘net.

4,

fajet ma ‘net, 92 'vre:(d)

| da ‘stwarman ‘bilja,

en t ‘Inban ‘hryot don

(a ‘triat ;

oz ver fo'slaın dan Ime:(t)-

[tou “rid(a) en 'filja ;
fajet ma met.

1) Ou met.

ARCHIVES XI.

LANGUE FRISONNE PARLÉE

Orthographe frisonne.

Skippers-sankje.
L

Forjit my net, as bolle
[wyntsjes waeye,
En ik oan ’t roer
[myn sankje sjong;
As kroeze weagen ’t
[gledde skip omaeye;
Forjit my net.

2.

Forjit my net, as mil-
[lioenen stjerren,
En ’tfrjeonlîk moan-
[tsje my biskynt,
En dou swiet droam’
[hest yn’e sêfte fearren;
Forjit my net

3.

Forjit my net, as wrede
[touwerfleagen
My slingerje der God
[it wol.
Asik ompolskje meide
[dead foar eagen;
Forjit my net.

4.

Forjit my net, as wreed
[de stoarmen bylje,
En ’t libben hinget
[oan in tried;
As wy forslein oan ’t
[needtou ride en fylje;
Forjit my net.

49

à GROUW.

Traduction française.

Chanson de marinier.
je

Ne m'oubliez pas quand souf-
[flent les vents bouffis,
Et qu’auprés du gouvernail
[je chante ma chanson ;
Quand des vagues crépues
[caressent le glissant bateau,
Ne m'oubliez pas.

2.

Ne m’oubliez pas quand des
[millions d’étoiles
et la lune bienveillante
[m’éclairent,
Et quand dans les plumes mol-
[les vous avez de beaux rêves,
Ne m’oubliez pas.

3.

Ne m'oubliez pas quand de
[cruels orages
Me lancent où Dieu le veut,

Quand j’erre, la mort devant
[les yeux,
Ne m'oubliez pas.

4,

Ne m’oubliez pas quand les
[tempêtes cruelles rugissent,
Et que ma vie tient à un fil;
Quand vaincus nous coupons et
[écorchons nos mains à la
[corde de sauvetage,
Ne m'oubliez pas.

50 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA, ETC.

Transcript. phonétique. Orthographe frisonne.

5. 5.
fo'jet ma met o(s) ‘swata Forjit my net,as swarte
[‘tomaleragan [tommelweagen
utru:zalja ot ‘va:rlvas Oertrtizelje it war-
(skep, [leas skip,
en ola e:lo'menty ‘tsjen En alle eleminten tsjin
[ys ‘teagan ; [us teagen ;
fo'jet ma ‘net. Forjit my net.
6. 6.

forjet ma met oz v'ain- Forjit my net, as w’ein-
[ley ‘jet fa'seyka, [ling yet forsinke,

n'le:ra ina ‘djepa ‘sei; En teare yn’e djippe
[sé ;

vol ‘don mai ‘trjenyp om Wol den mei triennen
[(m)a ‘teyka ; [om my tinke;
fo'jet ma ‘net. Forjit my net.

ut: Rimen en Teltsjes.

AMSTERDAM, avril 1906.

Traduction francaise.
5.

Ne m'oubliez pas quand de
[noires vagues roulantes
Culbutent sur le bateau sans
| défense,
Et quand tous les éléments se
[liguent contre nous,
Ne m'oubliez pas.

6.

Ne m’oubliez pas quand enfin
[nous coulons à fond,
Et chavirons dans la mer
[profonde,
Veuillez alors penser à nous
[avec des larmes;
Ne m’oubliez pas.

|

VIT | 25)! 3501 3.75

II) —|| 4501 2.50

|

loyelle = — 3.75
ıollandaise bet

koe: rja

Moyenne

on

mulo

hòndet, poy

Mot-clef

rjdxt

sljdet

sain
fo:la
alva
fiowor

det, aatjon
toxtox

mudike
sontjon, sontax.
Moyenne

kwab

IV 7. 7. [450 476) 4,756 |». | 4 —

V| 750 han) 1,50[4,50| 4, | 3.50 | 3.95 1560/5.50/2 6 6,
6, 5,00

VI 64.76) 0.75) 5.75)a50 660 | 5, — [5.75|5.75| 0,50 | 7.

716
Vil 550) 6,60 | 5,50 6.
6,60 | 6,
025
6.25 |6.50 5,76 — 4.25
€ [10,60 9.26 6.25) 5.25|5.76 1350 | 7,25
6.50 | 776
|
KE

wan S50

5,60
1.75

hoor

hoot

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1175

2,60

4.50

7.50 4 | 6.

6. [5.25] 4 | 4.75 9.50 | 6. 7.50) 6. | 15. | 576011
925 1 10.25

8,25 576 | 6.25 735 | 6.50 | 835 | 11 7.30 | 9,
5. 625 5.50

7.25 |6.25| 550! 7 860! 7 4 7,25 | 635 | 7.75
9. 7, 5.
9.50

6. | 8. 6. S50 — -

13:75 | 11. | 9.75 1450 7 10, | 9.75 | 950 13. 12,50 14.75
7 1450 725

7,50 16.75] 10.50 8 L1076 12.50 1175 1025| —

hoor

5.50

7,50

450

9.25

10,

4.75

10.75

12,

8.50 | —

13, 118.75 14,

11.50 _

Moyenne

750| 8.

11. | 13.25

12. [11,75

8.75
haat

Moyenne

7.25

14.

trotjan

6. 1576

friemd

sjedejo

fietjon, fietow

5) 8.50 2.50) 4

8. 1,50) 2,50

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2 4,50 6 gr 5,50 0,50 0 - 0,50 0 0 1.50) — 1.50 0.50 0 0,50 | — 0.25 — 0.50 1.50 1. 1.75! 1.50 || 5,50 | 5.50
4 14. 8.50 —2. |—0,50 — 1.50 | —1. — 2, — 2, 0
N 14,50 — 1.50 | |
II, 2 | 9.25 | 9.50 5.50 | 6,50 0 1. 0 —1.50) —1. -3. | —3. | | — 2.50! — 2. 0 1. 4. 3
3 4, 11.50 8.50 - 3. 1. — 0,50 — 3, — 3,50 | — 2, | — 9) — 2.75) — 3, | 0 2.50 | 4.
3 0 | — 1.50 | — 2,50 =e
N 5.50 1.50 0 — 2.50 | | — 1.75
4 9 3 — 1.50 — 3.50
7 8, —1. 0
IV, 1 | 5.50 1. 5. 2,50 0 | | ik
9 6.50 8.50 2,50 150 | 1.75 | 5.50 | 3. 0 0 0 0 0 0 0 — 0.50 — 050 0 0 1° 3.75 | 3. 6.25
3 1.25 3.50 . 0 0 0 0 0 0 0 | 3 1.50
Vor 3 | | | |
8 ans | 6. 5.50 5. la. | 2, 3.50 1. | | | | | | 1. | | 15:50!
4 2.50 | 6.75 1. 0.50 0 0 0 0 0 0 0 2.50 9.
5 0 4,50 | 0 = 0 0 0 | 4 7.
6 | 0 0 0.50 | 0 0 0 0 | 0 0
VI, 1 11.50 |
2 | 6.50 (48.50 | 13,50 16. 3,50 6. 5650| 0 | 2 | 450 | 650|| 1.50) 6. |—450|—275| —2, 2,50) — 1. 5. || — 3.95 — 1,50|— 5.50|| —1.50 ||— 4.50] —3. | —92. | —5. ||—650| —3. |—0.75| —2. |—2. || —1.50 || 1. | 4.50/9.50/ 2. || 6.50 || 9.75 |14.50
2 8. — 4,50 | |
VII, 1 7 | | | | | |
2 | 10, | 10. 9.15 || 9. 10. 10. 7. 4,50 | 6. 9,50 | 9.50 3,50 | 3. — 3.50) — 0.50 — 1.75) —5. 0 0 0 — 1,50! —3, — 0,50 || — 0.50) Ah, 0 — 9,50 DE 2. 0 | 0 |—0.50 0 6.50 || 8 | 8. 18.50 || 8. 12.50 | 12.50
2 8.75 | —4: | |
VIII, 1 1, | | | | | | I) Le
2 7. 1.15 | 9. | | a, 2. 0.75 —2, — 0.50 = 2,50 | 0,75 0.75 | 6.75
8 1. | 9, 8,50 | — 0.25 — 4,50 (= 3.76 —4. I —3. ||—4.50|/— 1.50 | 8.75 5. || 325 10,50 | 11.50
4 10. | —4, |—250 — 3175 — 5,50 AGE | | — 5,50 | |

Moyenne

3.75 6.50 | — 1.25 — 1.75 — 1.75 — 1.25 —0.50 1.50, 5.50 3.75 4.25 7.50

Voyelle

5.75 3. 7.75
hollandaise

beut put buut

III.

II V VI IX XII XIII XIV
u de mula >, == = N SS —=— <>
comme

6 de t6: lof > Ls mulo ea ze N

d de njdgon a = nn — Zu) SB ren

Le EN

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@ de hee: rjo alva LES mala njogan alva

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VII

VIII

IX

ze

Xa

XI

XII

I 52 x [Total
Il |
Ila |
Il |
IV | 0.45
B
| 0.73

| 0.08 | 0.07 | 0.55

Fu 008 | 0.07 | 0.56

VII | 0.03 [045
0.04

10.08 | 0.05 [0.64

|
|

| 0.07 | |
| |

0.05 0.07 0.05

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En mini Ia HH 0.20 | 0.06 N (#) 0.05 | 0.07 IL} 0.18 | 0.07 0.12 | 008 | 0.45 IT| 028(0.19) | 0.08 | 0.14 | 0.50
|
md HH 0.10 | 0.07 | | Ha | 0.18 | 007 0.20 0.45 Ia | 0,35 (0.16) | 0.13 | 0.14 | 0.62
| | | 9
| III | 0.06 | 0.08 0.17 0,31 | „52
EH — Wii H+ | | | Il | 0.53
| | IV IV | | 0.07 | 0.49
tt = H Vl ++ v | | = |
0.30 | 10.06 | 0.67 Vv | 0.06 0,45 V
À a) a L | |
hl wis tt LH vI 0.08 | 0.12 | 0.63 VI VI
|
VI HH | Tzzscch VIT VII 0.05 | 0.53 vil VII
Vi — lit lat van tt —— Lel Vite er er tn) I 0.10 | 0. | 0.56 VIIT | 0.10 | 0.05 0.40 VIII | 0.48
0.10 0. | 0.5 x |0. ).07 1.05 | 0.42 x
mind ike + IX BE nn Il Ix ut ie le a ays we
mw 0.05 | 0.05 | 0.15 | 0.53 | 0.12 | 0.12 x
IX mt LEL fare De + x Sun a = if X | |
| m x | 0.15 | 0.15 | 0. | | 0.91 XI
2 lan ile Run] a! XI 015 | 012 | 0.1: 0.80 XI | 014 | 009 | 0.05 | 0.08 | 0.39
Xa — HH Hl Wij HH le ale wl die)
| XII x Ï } 0.67
XL Hl + vijl ++ | 2 na
N Moyenne 10.08 0.15 | 0.05 Moyenne 0.08 Moyenne | 0,23 (0.17) 0.08 010 | 0.48
i
t w an, m bt 2 4 t r Et a 1 a n
I | I I pa prs Se t w anr n t a x | Total (a 7 Total
| T 1 1
D Mn Il Ben eed | | |
Ie I | | | 015 | 0.07 0.13 | 0.35
Ha HH Ha À UI | - 4-4 II | (0.08)
| | | ae
| IT | 0.15 | 0.12 | 0.09 | 0.36
IN nie = Et iz Winn IV Ia | Ha | 0.10 | 0.07 0.52 (0.13)
| | = |
7 re Be ee QUE LR ee ei PURE A LES ler TIT | 0.05 | 0.06 | | 045 IIT | 0.05 | 0.06 0.47 III | 0.14 | 0.13 | 0.10 | 0.37
IV tt i ae - V m a u = 2 2 | 2 2 (0.08) |
4 IV | IV | 0.15 | 0.08 0,67 Do |
a. SR ES EN vH nn pee VI | Un | | ) Ni |
V | 0.09 | 0.09 | | 0.73 V 0.70 7 |
VI VI bee EEE 7 |
| Au vr {007 Loos | 020 | 0,05 | 0.08 | 0,07 | 0.55 VI 0.48 | |
} Tr SE ee LE EP ES 4 | | | VI
NUR ese fom cl Vil VII VII | 0.05 | 0.05 | 0.19 | 0.06 | 0,06 | 008 | 0.07 | 0.56 VII a |
iet ul... VIII ii te == VII | 0.04 | 0.06 | 0.03 | 0.45 VI vin |
| | ! | |
XT md nues hk x Ge ee eee ee Ree 4 . ARS) IX | 0.05 | 0.04 IX | 0.05 | 0.09 0.24 0.07 | 0.45 | | À
Im [| IN is Kl pa | 2 é : i TX | 0.18 | 0.04 | 0.08 | 0.30
ee med en] elite En ET Re ere! ee X | 0.09 | 0.14 | 0.22 0.06 | 0.08 | 005 | 0.64 X | 0.08 | 0.13 0,31 014 | 0.66 (0.14) |
Xa | 0.16 (042 | 025 | XI | 0.67 X | 0.19 | 0.07 | 0.12 | 0.38
= x | | 0.14) |
ie Xb | 012 | 0.13 0,23 | XII | 0.08 | 0.06 | 3.43 Lau)
Xb HH --- en | | | stan |
XI XII | | | |
| | | | | |
S41 | len EE Se XIII | \ 002 | 0.07 | XIV |
| | | | |
XI fr SEE T T ;
Il mi Ar Moyenne 0.56 Moyenne | 0.08 |o.08 0.55 0.35
XIV zeg

LES COURBES DE PLISSEMENT

CHEZ LES

MÉLANGES BINAIRES DE SUBSTANCES NORMALES,
ET SUR LE PLI LONGITUDINAL

PAR

J. J. VAN LAAR.

$ 1. La possibilité du type III dans le cas x — 0? (« = 0).

Dans notre dernier Mémoire dans ces Archives [(2) T. X, Deuxième
Partie] nous avons traité déjà deux cas spécials, le cas 5 —0
(b, — b,) et le cas x — 1 (p, —p,). Dans le premier de ces cas les
calculs nous ont fait voir, que le Type III est impossible pour les
mélanges binaires de substances normales, lorsque /? = b, —b, = 0;
quant au deuxiéme cas, nous avons démontré la possibilité du

Type III, lorsque n= Tt — 1. Pour des valeurs de Op > 1
1

1
et < 4,44 nous aurons le type normal II; lorsque # se trouve

entre 4,44 et 9,90, le type III se présentera, et pour toutes les
valeurs de 49,90 on aura le type anomal I.

Les figures suivantes donnent une idée de ces transformations
successives des trois types différents. Ils sont tracées toutefois pour
une valeur de x une peu différente de l’unité, parce que pour
a=1 la branche AR,C, coinciderait avec la droite AB (v= b).
Avec cette valeur de a(>1) correspond une valeur 9, au lieu
de 4,44 pour le point Q, et une valeur 4, au lieu de 9,90 pour
le point P.

ARCHIVES XI. 8

BINAIRES

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. FA

Dans la fies Ta (65> 120) on a
encore le type II; dans la fig. 1b
(9 — 0,) un point d’inflexion Q se
presente dans la courbe de plissement;
la fig. le (9 > 0, <0) nous fait voir le
type III avec deux points de contact
R, et R,’ des lignes spinodales avec
la courbe de plissement. Ce type dis-
parait, lorsque le point double P se
présente pour la valeur 9—6,, où
R, et R,’ coincident en P (fig 1d);
pour des valeurs de #>9, le type
III passe dans le type I (fig. 1e).

Nous connaissons done de la courbe,
qui sépare le type JI du type III,
seulement les points P et Q (voir la
fig. 2), et le cours plus précis en est
tout-à-fait inconnu jusqu'à présent.

C'est pourquoi nous avons indiqué cette courbe préalablement

par une ligne dottée.

Maintenant nous discuterons un troisième cas, annoncé déjà
dans notre Mémoire précédent dans ces Archives (1. c.), c.-à-d. le
cas a —0 (a, —a;),. ou bien x — 0".

CREER

L’équation de la spinodale, viz.

ET = + [x (A —x) (av— fB va)? +a(v—b)?], ... (a)

devient dans ce cas:
2

RT = —

Gh

(lo)? a, +a, (v—b)?],
1

La=lra, + xa étant maintenant —=L’a,. Avec

PER ON ed
=o ; Nw
v
on aura:
b b,+2/
a= Gi Be —w (l + n&),
done
2a, à 2
RT— [et onu + (1—0(1+n0)].... (1)

54

LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

\

A

N
N

IT

AAN

N

\\

MN
N

\

PA EA"

N

b

Fig. 2.

L’&quation générale de la courbe de plissement en projection
U,%, C.-à-d.

(av — P ra): [A —2x)v — 3% (1 — x) 2] +

LE [3 (av —2 a) (cv—2/2 a) + — (vb) (v—8b)

x (1 — 2) mi
se transformera en

(— Pr a) [A — 2a) v — 3x (1e) 2] +

+ 3a, (v—b)? (a) (2 a) + “3 re = 2 = |:
ou bien

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 55
ie 4 b
— ar Brol 1a) 32 (i—2) | + 60% Bi a!

et) (st)

alla) ang
ou encore:
ee | 1—22) — 32 (1—x le 6(4 a
=)
u 0

a (1—a)
: : PB b i
En substituant maintenant pour tes leurs valeurs, on obtient:

n3o3 [(1 — 22) — 3x (1 — x) nw] —6n°w? (1 —w (1 + nx))? —

_ (l—o( +n2))(1—30(1+n2)) 9
z(1 —x) ek ©

Le contact d'une ligne spinodale avec la courbe de plissement
sera donné par la condition

dy 2 heek
ar REL en PE fo ea (c)

F'—0 étant l'équation de la courbe de plissement en projection
v,x. Car dans un point de plissement on aura:

Gr te

8 af F
Nous caleulerons done les valeurs de ar et nay, au moyen

; oF
de l’equation (2). Pour 3x nous trouverons:

= = nos [—2—3(1— 22) no] — 12n%w? (1 — 2) (— on) —
3(1— 2)? (— own) (1 — 32) (1— 2)? (—3wn)
TE x(1— x) mar
„dealer
x? (1 — x)? (E— 23);

lorsque nous écrivons pour abrévier:

all + NX) = 2.

56 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

Après quelques réductions on trouve donc:
DEE deint 6 nw (1—z)? (1—2z)
Sr mien [—2—3(1—2x) no +12(1—2)]+- er +

(1 —z)* (1— 32) (1 — 2x)
x? (1 — x)?

- (3)

oF
Pour Sa nous trouverons:
@

PE [—32(1—2)n] + 3no? [1 — 22) — 32 (1 —x) no] —

do
— 12720? (1 —z) (—(1 + nz)) —12 n?0 (1 —2)? —
aloe? (—C +22) (1—3z)__ (1—z2)3 ( )

xv (1 — x) x (1 —x) à
ou bien
DA en
= = 3niu? [A —2x) —4x (1 —x) no} —12n?» (1 —z) (1—22) +
ISCH! + ne) (1 —z)* (1 — 22)
Aie) = .. a(®

Maintenant nous calculerons la valeur de iC zy
p,T

Pour l’expression générale nous avons trouvé autrefois:
te)

Zala (v —b)?

iS) js Fi RT DE
da a Wy lc 2 el, (v FE b)?
RT DE

Cela devient done pour a — 0:

Dries

En da =; 2)?
c.-à-d. en substituant pour RT sa valeur, donnée par (1):
es if Ë
re een en i
a (1— x) nt? + (1 —2)?
ou bien
( dv ) ICT) na]
dx x (1 — x) nw? :
done

(2) Alt + zeen:

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 57

Or, comme w = a nous aurons:
dw = by dv
dx v? da’
et on obtiendra:
aN ek (eee a À
1) N à D
3
13 étant = nw et Bi ==
v v

Nous transformerons maintenant les expressions (3) et (4), en
substituant pour 1— 2x sa valeur, tirée de l’&quation de la courbe
de plissement (2). Cela donne:

6 (1 Se) En (A — 2)? (1 — 32)

1— = —
No nw? a (1 — x)

+ 3a (1—2) no,

ou bien, en posant

HSE
CE en ee 3. (6)
3 (1 — 2)?
(1 — 2a) nw = 6 (1 — 2)? + (1 — 2) (1 — 32) u + une:
OF
Pour — nous trouvons done:
9%
of 1 =2)2
tw il 2— 18 (1— 2)? — 3 (1— 2) (1— 32) u — all er

md u 2
+12 (1 | + 6n?do? (1 — 22) u + ee =. pu — 2)? +

LH) — 32) us + |.

ou bien
i nn ned Loe
ons | D + 6(1— 92) u +
+ 6 (1 — 2) 32) u? + (1 — 32)? us | le et (3a)

; ex oF ;
L’expression pour = devient, w (1 + nx) étant — 2:
@

3 (1—z)2 4.(1{—z)2
ga [6u—z) (LZS) U + I N dE =

do u u
— 12 n?w (1 —z) (1 — 22) + 6n? wz (1 — 22) u

58 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

ou bien
dF

2 5 Lee 2
Sr —3n?o E BL +(1 —22—21)u |. . . (4a)

Enfin nous pouvons écrire pour (5):

0@ A |
GE) ne’ (FU). Ofek. vee (OH)

La condition (c) devient maintenant:

(2 of oF
— = YY — D
dz/,r do dt

c.-à-d. :

9(1—z)?

(—8 + 242— 182°) — — rg 6(1— 2z)u + 6(1—z) (1—3)u? +

+ (1—3z)?u3 =3 (1 +u) Dies) tes: (lest),

u

ou bien, après réduction:

6 (1 —z)?

(— 11 + 182 — 922) — — + 3 (—1— 224+ 327)ut+

u

+ 3(1— 62 + 722) u? + (1 —32) u? — 0.

On peut diviser cette équation, après multiplication par u, par
(w + 1)?, et l’on obtiendra alors la relation simple

(1 — 3z)?u? + (1 — 67 + 32?)u —6(1—2)2 — 0... . (a)

Cette relation, combinée avec l'équation de la courbe de plisse-
ment, ¢-a-d.

à 3 (1 —2)°
(1 — 2%) nw = 6 (1 — 2)? + (1 — 2) (1 —3 2) u + 2)
et avec
B 39" pole
DIE Ee. z=u(l+na),
donne la solution de notre probl&me.
En posant
a. : el aile je
(1 — 2) [A — 32) 0 + 3(1 — 2) (2 ee | =? (A

on aura:
(1 — 2a)? nw? = P2,

DE SUBSTANCES NORMALES ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 59

ou bien
n'w? — 4x (1 — x) n*0? = P?,
e.-à-d
1 — 2)?
PAIE Da Mel = ) 5
u

done

no=— |/ De ie (y)

Le signe + ne satisfera pas.

Pour x nous aurons en vertu de 1 — 2%) nw — P:

ett) EL SEHE BER)

Nw
La valeur de w peut être calculée de 2—w (1 + nz), donnant:
Ee OE AT SERRE C)
Et finalement on obtient la valeur de n au moyen de

No 7
PE ee Me ne (D)

@

Pour chaque valeur de z on peut donc calculer la valeur cor-
respondante de u au moyen de l’équation quadratique («). Alors
les équations (2), (y), (0), (&) et (p) donneront successivement les
valeurs correspondantes de P, nw, x, w et n. [En vertu de la rela-
tion (6) la valeur de u ne peut pas être négative |.

: f 0 ;
Dans notre cas, où x — G?, la relation n = sak deviendra:

H 1

Et puisque dans le do-
maine du type III la
valeur de 4 doit être
nécessairement <@,, où
6, représente la valeur
de @ dans le point double
P, on aura aussi:

nn.
Fig. 3. Pour le point double
nous avons trouvé autre-
fois 6, = 2,22, done », ——0,55. Il faut done que la valeur de

n soit > — 0,55.
ARCHIVES XI. 9

60 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLNAGES BINAIRES

Or, le calcul des formules («) jusqu’à (p) donne une allure
pour la courbe n = f(z) comme l'indique la figure 3. Et tout
comme dans le cas x — 4 (b, —b,), que nous avons discuté dans
notre Mémoire précédent, le type III sera done également impos-
sible dans le cas x — 4?, que nous venons de discuter.

Voici d’ailleurs un résumé des diverses valeurs correspondantes.

u
>
=

|
hy |

No x w n
1 0,500 0 0 0,333 1 0
0,9 0,711 —0,0187|—0,0938| 0,107 | 0,903 | 0,0264
0,8 1,074 + 0,0510 — 0,3893 0,566 1,020 — 0,582
0,7 1,693 \—-0,1408|—0,4822| 0,646 | 1.012 |— 0,477
0,6 2,893 |4-0,2001 —0,5111| 0,696 | 0,956 |— 0,535
0,5 6,000 + 0,1250 | — 0,4270 | 0,646 0,776 |— 0,5502 ;
0,494 | 6,326 |+ 01148 — 0,4184 0,630 | 0,758 — 0,5502 doa

0,49 6,593 | 0.0986 — 0,4093 | 0,620 0,744 |— 0,5502
0,48 7,290 | —- 0,0657 — 0,3908 0,584 0,708 |— 0,5517
0,47 8,120 |+ 0,0248 | — 0,3728| 0,533 0,669 — 0,5574
0,46 9,051 | — 0,0110 | — 0,3592| 0,485 0,634 — 0,5665
0,40 25,15 — 0,8148 — 0,8492| 0,0203 | 0,417 |— 2,035
0,33 ee) — D — 00 0 0,333 —

Dans le point double la courbe n= f(z) présente donc un point
d’inflexion, et il n'y aura jamais deux valeurs de z pour une
même valeur de n, d’où résulte l’impossibilité du type III dans
le cas présent.

Il parait done, que la ligne dottée de la fig. 2 rencontre la courbe
DBAC" dans le point x — 6 = 2,9, et que le type III existe done
seulement dans le domaine très restreint entre x — 4 et x —1,
lorsque les valeurs de 4 sont supérieures à 2,89, resp. 444 Il faut
done, que les deux températures critiques soyent assez différentes
entre elles, mais que le rapport "/r, ne dépasse pas la valeur
0, du point double. (Voir la fig. 2).

Remarque. Nous insistons encore une fois sur le fait, que les
résultats numériques de notre examen subiront une modification,
quand 6 n’est plus indépendant de v et de 7, ou bien quand l'une
des composantes ou les deux seraient des substances dites „asso-
ciatives”. Alors les types III et I se présenteront déjà pour des
valeurs de @ plus faibles, les valeurs de x restant les mémes —

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 61

mais qualitativement tout restera le même. Cela est déjà clair par
le fait, que l'introduction de la supposition tout-à-fait générale

b, = au lieu de la supposition simplifiée b, —b, (voir notre
premier Mémoire dans ces Archives) n’a changé rien du tout
quant à l'existence d’un point double dans la courbe de plisse-
ment pour certaines valeurs correspondantes de 4 et de x; et
également par le fait que les calculs pour la limitation du type
III (dans le second Mémoire dans ces Archives, l.c) peuvent

être effectués dans le même cas général b, by Les phénoménes

restent done entiérement identiques pour des couples de valeurs
pour b, et 6, très différents, et ne changeront donc essentiellement
non plus, quand un couple de valeurs, se rapportant p e. aux cir-
constances critiques de l’une des deux composantes, subit des
variations, soit par association, soit par d’autres causes, lorsque v
ou T varient — de même que p.e. les phénomènes critiques pour
une substance simple ne changeront pas essentiellement, quand b
n’est plus une constante, mais dépend de v et T, ou bien lorsque
cette substance forme des molécules complexes.

$ 2. Quelques remarques générales.

Maintenant nous tacherons de trouver la solution du problème
de contact d’une spinodale avec la courbe de plissement dans le
cas le plus général, que x et 9 ont tous les deux des valeurs
quelconques. Mais auparavant quelques remarques très générales.

Résumons encore les conditions du problème.

Le simple contact est donné par les deux équations

ER PEO, ee

ee
BEA UNE LIT

F—0 étant l'équation de la courbe de plissement. Puisqu’il y a
deux variables v et x, cela implique pour un couple de valeurs
de x et 4 une (deux ou trois) valeur distincte de v et une (deux
ou trois) valeur correspondante pour x.

Mais si l’on pose la question: queiles sont les conditions pour
que deux points de contact coincident en un seul point de con-
tact Q (point d’inflexion de la courbe de plissement), nous avons
encore la condition supplémentaire

d?v
a.
9*

62 LES COURBES DE PEISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES

Cela donne, puisque
(Ee) BEDE
da sorte OR O0?
F(Es + Ee) FE + Eep) 0,

NDE ze =) BEN 2)
TE EINE NEN pr

Zp

la relation

1

Mais comme F,: F,—=— p‚ nous aurons aussi:

Be ER Ut ie en GR

Les trois relations donneront done une relation 4 — f(x), étant
la condition pour que se présente le point d’inflexion Q sur la
courbe de plissement, c.-à-d. la transition du type Il en III. Dans
la figure 2 /— f(x) représente donc le lieu des points Q, indiqué
par la ligne dottée.

Lorsqu'il y a seulement un seul paramètre, comme dans les

cas x — 0, n—=1, x — 0?, ou bien dans le cas que nous supposons
constant l’un des deux paramètres, nous pouvons facilement
démontrer, que dans la représention graphique de la fig. 3 la
courbe n — f(z) aura une tangente horizontale dans le point P, qui
correspond avec le point double de la courbe de plissement.

Car v et x étant dans ce cas, en vertu de (7), des fonctions de
n, lorsque n est le paramètre variable dépendant de x ou de 6,
nous aurons — en differentiant l'équation de la courbe de plisse-
ment #—0 par rapport à v:

OF oF dx oF dn

— + — + —
av ox dv on dv ,
puisque n et x sont aussi des fonctions de v.
En écrivant maintenant — pF, au lieu de F,, nous obtenons:
5 ‚de ‚dn
Fr — opE 0.

— + Fo =
Ù » dv N dv

Mais puisque #,—0 pour le point double, et parceque F, ne

sera pas, en général, zéro dans ce cas — il faut nécessairement
que nous ayons:
dn dn
=), rte)
dv : dz :

lorsque z dépend de v seulement.

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 63

C’est done une propriété générale, et nous pouvons demander
si dans le cas x — 4, que nous avons discuté dans notre Mémoire
précédent dans ces Archives, il y a vraiment un point d’inflexion
Q, avec contact avec la spinodale, dans la courbe de plissement,
qui coincide avec le point P. En d’autres termes, on n’a pas de
certitude, si le leu des points Q (la ligne dottée dans la fig. 2)
rencontre le lieu BPA des points P dans le point x — 0.

Pour avoir cette certitude, il faut done substituer les valeurs
de v, x et p du point double P dans l’&quation (8), pour examiner
si ces valeurs satisfont 4 cette équation.

Nous calculerons done les valeurs de F., F,, et F. pour le cas
TIC

Dans notre deuxième Mémoire dans ces Archives nous avons
trouvé pour ce cas:

oe ; 5 3w?(1 —w)* Ce go) wy (1- w)*(1- 30) (1 2%),
ie ay ae |
oF 6 y (1—o)? (1 — 2 w)

me Ce) Te ai |

Nous avons par conséquent :

MF 6y(l—) (1—3u) 6 y? (1 —w)? (1—3w) (1 —2x)

LE DETTES SI ae ee
wt zo): zul: 2 ye doe dh 1—2 2%)? (a
x? (1 —x2)? a3 (A—x)i Ze
d2F A 6 w? ; 5 aie 9 a
a AT | — 2 (1 —w) — 2 (1 —w) (1—20)| =
— à ES 1 (2—3 l
ONU) + aa) (MN DEE rin a re mera (b)
ek a 18 y° CES (1 —2.)
Bee colo) ze) 5
6 y° Ma)? (1—2 w) ) (1— 2%)
za (lo): tl)
2 es b, "
La grandeur » représente ici =a tandis que y =

a va
—p+x, où p désigne — L,

64 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

dv

Enfin la grandeur y = est donné par (Ces Archives, lc.)
os

dw yo (1 —w)?
(=) = ee ee (d)

Pour le point double P nous avons trouvé autrefois (voir notre
premier Mémoire dans ces Archives) pour le cas 7—@6:
oe NENDE AAD ISEEN a EE)
yp? == 9/4(2 +13) ; zl) == ALB) ; w= 1/o—' 4-6 —1- 2),
done

1 — 2% =! (6 — 2) = 1/2 ~2(—14+ V3) ; ae

ver
Pour ya? on obtient par suite, en substituant:

DER 2y (1 —w) (1 —30) 3y(1— 2x) y?

ov? x (1 —x) [s— | æ(1—x) Ter
te ee Dee ln
æ? (1 — 2 as Peters lkr

3, (2 +13)

[3 — 41” 6 (1 +173)21 “D+ Tees) +?4(2+173) (2 v3): | =

OT aes
21-6 (1 +13) (LB)? Pete

EU
+ 5/2 (6 + 31/3) + 6 (2 + v3) —

= — !1312(1 3—1)2[3— 31 3—9+ Pot ol 3 +12+617 3] =
= — 8g 2 (2—1°8) (2 + Pla 3) =

—— 412 (2—1°3) 9+ 51-3) =— 41-2 (3 +13) =

"= — 41-6(1 4+ V3).

2

à
Pour yor en trouve:
ek 2 w? :
Sel —6y[1 + ae (1 —w) (2—30) | =

k(+178)
1h (—A + 3)

= 3} ı 6A +1-8)[1 + ds Der

DE SUBSTACES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL 65

a Gilet)

eh] 5 4 = =
—3/o6 (A+L alt: 15

=o 6(7+31°3).

9

oF
La grandeur ere devient :

Ree) 3 w?(1—w)(1— 2w) nn er de
mines mA =

94 (2 + 3) 1 — 3/3 8) ( [13
— 611173) 14 a i Sen i axe —

Th 6 (1418). 9/4(2+1 8) (A! el B) — "Js S|
in 144173) ei

173— 92
Zi il) [1 a u Say

31-84 +8) (2+ EESTE Sr
Te (1 3)? ri

= —6(1— 1/3173) [4 —3 +1/3(1 + 1-3)] =
= — 6(14— 1/3 3) (1 +13) =
=—413.

à dw
Finalement nous calculons pour la grandeur re :
pT

à ee ier 6 (À + 173). Isl 3 (1 —/s Aa) ee
dx Is A + 1/3)
EMILIA
(13)? à
= Lh bate a

La relation (8) devient done:

—416(1 +3) + 4/312 (— 413) + So. Pe ~6(7+ 313) —0,
ou bien

—41-6— 121-2 — 64, 1/6 + "sr 6 + 121/2—0,

et nous voyons, que la condition (8) est vérifiée en effet par les
données du point double P, et que la courbe QP (voir fig. 2)
rencontre la courbe BPA dans le point P. Car cette courbe BPA
est donnée par les équations

: F
F—0 ; ee, 5 dE = RES BERT 4 € (a)
ox

66 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

tandis que la courbe QP est donnée par

dF oF 92 F Sei EF
+9. =0 ; “2 +295 rel, (5)

F=0 = :
ox dw ox

2 900m dw?
Et nous avons vu que les trois équations («) sont compatibles

avec les trois équations (3), lorsque x — 4.

2 5 eat MOE > à
Remarque. Dans le point double, où se =0, ——0, l'équation
n Cw
oF oa ‘ ENNE : 5
an —() se trouve toujours vérifiée identiquement, mais
€ w

il n’en faut pas conclure, que la spinodale touche la courbe de
plissement dans le point double.

Car = — — ; —

prend alors la forme indéterminée °/o.
Il en est de même avec le point d’inflexion. Car
(= 5) VDD i er Be ok | of
5 mi Dj 3 SS
da? pT | 2 AL dw P 2

prend alors également la forme indéterminée "no.

Nous savons maintenant, que la courbe QP rencontre la courbe
BPA dans le point P, où x —4 Lorsquil y a intersection, il
existe encore un domaine du type III à la droite du point P,
e-à-d. un domaine, appartenant au type I. où la spinodale touche-
rait deux fois la branche ©, C, (voir fig. te) de la courbe de plisse-
ment. Mais alors la fig. 3 présenterait un minimum à la droite de P.

Il se pourrait cependant, que la courbe QP touche la ligne BPA,
mais cela n'est pas vraisemblable, car alors nous aurions trouvé
pour le cas a — 4? dans la fig 3 un maximum à la gauche du
point P, correspondant à un point d’inflexion Q dans la courbe
de plissement.

s 3. La possibilité du Type III dans le cas général
ROO.
L’équation #—0 de la courbe de plissement peut s’écrire [voir
notre premier Mémoire dans ces Archives, équation (a) ]:
= (1g)? | (122) — 30 (1—2) 20] + 3 (pi? 1-9) (129) +
teste:
PA em BAS ep) ae

Sea 0:22)

où g—yno et p—(l+nz)o.

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 67

oF 5 P -
Pour =; nous avons trouvé [voir Le le premier membre de
l'équation (b)]:

IF À ke
ae Agt Ap) 12029 9°)

9%
—3(1—p)|—(—p)(A— A —2q) +

ay D D a)
U

9
+24—q)1—29)q+(1—p)(8—49 9]

+3 (1—p) [d- p)(1—3p) — 24 — 2p) (1 —q)q]u +
+3 (4 — p)3 (4 — 3p) (4 —2q) u? + (1 —p)? (1 — 3p)? u?

où
eee See ED
TE
dF A 3 w(1
Pour 7. nous trouvons Ne premier membre de (€) x ee :
w

RE er
U

dw w

142 TT +p(l—g)(1—29)| —

—[(—p)(—3pg—21—2ppA—0| u|,

ou bien

oF Sp == — q)° |
El [UO apt + an + oF] —|

(c)
ad pa + ale]!

. . . GERT da
Maintenant il faut déduire la valeur générale de = )
Dans notre deuxiéme Mémoire nous avons trouvé déja:

ee _ BRT—2a1/a( —p)’

dae) +r RT—2,1—p? ’
a zb | b ==)

pue. lt";

Mais en vertu de l'équation (a) du $ 1 (voir plus haut) on a:

2 ( 2
R = a n(e—# A + a (1 —p}] ;
ARCHIVES xed 10

68 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

done
2 ie [ea a? (55°) +a Tk [eraa
EE GER 1 Late (oe Pie i +a(1—p)? je af, (1 — p}2
Or,
Fant no a ee nn

par conséquent:

ae No [FO —2)(1l—no y)? ve Ne ze
> “7 ne o : i

Bae

GG) (4),

x (1 —a) (Ll —now)?

Mais comme

on aura:
de) tw [2 (12) g+ Na
Den D 2 (1 —z)(l—q)?
ou bien
ee N; nor (L— 2) (=) y (lp) CR
VE x (1 — x) (1 — g)?
done
When)
(3 )=- afro, l—q Ik
c.-à-d
dw So |) w? : (1 —p)? I
ei. y = lg I
ou bien
d m)
eS == a(t =p) it Sr MERE (d)

La condition d’un contact de la ligne spinodale avec la courbe
de plissement, c.-à-d.
DE
pT ae ° Io ;

devient done:

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 69

Après réduction convenable de l’équation (b) on peut donc écrire:
A—15q? +8qÿ)—6p(1—q—6q? +4q°) + 3p? (1— 9q? + 6q*) —

u

p) [A — 2q + 29?) —
— 4p (1 — q + 9?) +3p?]u+ 3 (1 —p) (1 — 3p) (1 — 2q) uw? +
+ (1 — p)? (1 — 3p)? ui |
— 34 p) (A —p) u — a) (She or saga
— [p? (4—q) — 2p (A + q) +q|u|=o.
La seconde partie du premier membre de cette équation devient:

3 (t1— p) (1—9)? q°
u

— 3 (1 —p)? (1 — q)° q— |
—6(1—p)? | p—3q+q?) +4? | w+ 6(I—p)q [p—3q+q*) +9? |—
—3(1—p)q [pr 4—q)—2p(t+q) +a] ut

+3(1—>p)? |p? (4—q)—2p(1 +9) +4q| u?
ou bien

a Se
3(1 ae PL Bla [(1—2q—q?)—p (8 —8q + 3q2)| —

ANNE SONT EE ETS (2—10q+3q*)| w+
=o (lp)? (pe (4g) 2p (1-9) +qlu?.
L’&quation entière devient donc:
[A — 3q — 99° + 119?) — 3p (2— 6q — 2q? + 6q*) +
+ 3p? (1—3g—q? +3q°)| ee Pr

g?:)+p2:(5—10g+3g?|u+

+ 3(1—p)|(1 —2q—q?)—2p(3— 6q

+3(1—p)? [(1—q) — 2p (8 — 3g) + p? (7-79) | w+
+ (1 —p)? (l— 3p)? u? —0,

ou bien
(1 — 9) [ (1 —2q—11q?) —6p (1 —2q—3q*) + 3p? (1— 24 —3q?)] —

6 (1 —p)(1—q)?q?
2 m. 09 +3 (1—p)? | (I—2q—q?)—p(5—l0q +39?) Jut
+ 3(1—p)? (lL—q)(l—6p + Tp?)u? + (1—p)* (1— 3p)? us =0. . (e)

10*

70 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINATRES

Avant de procéder plus loin, nous examinerons si cette dernière
équation devient identique aux équations, que nous avons déduit
dans les cas spécials x = 6 (q —0) et x — 1 (p= q)

Lorsque g — 0, l'équation (e) devient:

(1—6p + 3p?) + 3(1—p)? (l— 5 p) u + 3(1— p)? (l— 6p + Tp*)u? +
(Lp)? (l— DE U

c.-à-d. avec u’ = (1 —p)u:

(1— 6p +3p*) + 3(1—p)(1l— 5p) uw’ +3 (1L— 6p +7 p?)u/?+ (1l—3p)? v3,

A

tout-à-fait identique à l'équation sur le page 43 de notre deuxième
Mémoire dans ces Archives. Cette équation était divisible par
(u + D}
Avec p —q l'équation (e) devient, après division par (1 — p)*:
en CODES = De
(L—6p — 9p?) — ar NE 3(1—6p +3p°)u +

+3(1—6p +7p?)u? +(l— 3p)? ui —0,

x)? et encore identique à l’équation, que nous avons
déduit sur le page 48 du Mémoire cité, et qui était divisible par
(u 1)2.
Nous présumons donc que l'équation (e) est peut-être divisible
par (1—pju + (1—g), ou bien par [(l —p)u + (1—4q)]?.
Posons
(1—pju =",
alors la relation (e) devient, après multiplication par w’:
(1— 3p)? wW* +3(1—q)(1—6p + 7p?) w3 (ISD) G
— p(— 109 +3q?) |w? +(1—q)| (l1—2q— 11g?) — 6p(1 — 2g —39?) +
+ 3p? (1— 2qg—3q?)|u’—6(1 —p)?(l—q)*q?7=0.
Cette équation est en effet divisible par u’ + (1 —q), et donne:
(L—3p)* ws + 2(1—q)(l— 6p + 6p?) uw? + rer
—6p(l—2q—q?)+3p? WSE) wu’ —6(1—p)? (l—q)q? =0.

Mais cette derniére équation est divisible encore une fois par
w + (1 —q), et le resultat sera:

(1

3p)? uw? + (1—q)(1—6p + 3p?) u’—6(1—p)? q?=9, . (1)

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. gal

étant la condition la plus générale de contact d’une spinodale
avec la courbe de plissement. La grandeur w y est donnée par

ren UNE ve
x(l—x) 1—q

u
La relation (l) se transforme en
(L— 3p)? u’+(1— 6p + 3p°)—0,

uw?
lorsque g=0 et W= A (1 —p)?. (Ces Archives, L c. p. 43).
Et pour p=g on peut diviser (1) par w + (1 — p), et l’on obtient:

(1 — 3p)? wu —6(1—p)p? —0,

ou bien (l— 3p)? u— 6p? =0,

/

U Kas y? re
lp mlm

lorsqu'on introduit u —

Nous transformerons maintenant l'équation #— 0, ¢ -à-d. l’&qua-
tion (a) de ce paragraphe.
Après multiplication par y celle-là devient:

(L—q)> | w(L—2a)—3qu(1—zx)] + 3y?(lL—p)? (l—q)(l—2q)+

pr) (3p) _
x (1—z) =

’

donc avec x (1—x) = —

v2 (Lp)? f
ag: | #22) 39, m ] +3 y20—p2 (20+
+ yp? (l—p)(1—3p)(l— gw’ = 0,
ou bien

12 eg
a—q?| a rat

On y tire:
Er Do ON De
EDER =p 29) +0 — py — Sp’
um Ld a9):

done

72

LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

nn Nr bes ih Val
=, op ne ED ya
3q = — 3(1— 29) Ag): De: u
lorsqu'on remplace w par (1 — p) u.
Mais de
a 2
wd) 1— 79
il s'ensuit:
2 sl—a) u
p lp )
Sg
de sorte que nous obtenons:
Pin DES
sb) Lg en an
= Er =p 3 (1— 2q)u—(l1— 3p) U | =

1
ee (A—2qu—(1—3pu=N, .... (2)
on peut résoudre:
u
UE = Tp? DD OS do 00 (3)
4u + G = 2
at
ce qui donne:
x 1 ae (4)
— 9 — == —
v2 U) ei
Pour y on trouvera:
y Se (5)

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 73

Et par conséquent pour = y — x:

QQ = — > + = SC SAT (6)
2 RA
en
1 1— 9
En posant aes — «, nous avons done le système d’équations

suivant:

(1 — 3p)? u? + LA —6p + 3p?)u—6q? =0

N=*9/,,—3(1—29)u—(1 — 3) u?

4 (Ed)
1 u, a a@2N 1 Ils «2 N |

= — == eene Writer 5 ee
P 2 4aeutatN? ° 2 “4au+ at N?

On peut done, lorsque p et q sont donnés, trouver u de l’équa-
tion quadratique en u; ensuite la grandeur N sera connue, et

a
enfin les deux grandeurs Pe et x.

Nous fesons remarquer (comparer le premier Mémoire dans ces
Archives, p. 14 et 15), que l’on a:

dahin: ppl nr,
done
b x fp 1
ï gee

Et parceque

0 0 1
ae m ; rrd En ;
on aura aussi:
mir 1/ \?
EON EL + A Sa
= SE) ’ = (1 + n)? ERROL sity AP

Quand on connait done n au moyen du second équation (8),
on aura également les valeurs de 9 et de x, qui correspondent
aux valeurs choisies de p et q.

Inversément on a donc aussi, pour un couple de valeurs quel-

conque de @ et x, les valeurs de x et w (ou de p=), qui cor-

74 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES

respondront au point (points) de contact de la spinodale avec la
courbe de plissement.

Le probléme a ainsi trouvé sa solution théorique, et il nous
reste encore d'introduire la condition (8) du § 2 pour le point
dinflexion de la courbe de plissement, pour obtenir la relation
cherchée 9— fx) e-à-d. le lieu des points Q (voir fig. 2), qui
sépare le domaine du type IT de celui du type III.

On pourra également parvenir a ce résultat, en déduisant la

valeur de <= au moyen des équations précédentes, et en posant

d : À
alors ap — 0. Mais les calculs deviennent tellement compliqués,

que nous nous abstiendrons de ces évaluations sans résultat
sensible. |

Nous savons donc seulement jusqu'à présent, que le lieu des
points Q rencontre le lieu des points doubles P dans le point
z — 0 (b, =b,); d’ailleurs les données du point Q pour n—1
nous sont connues.

$ 4. Le pli longitudinal.

J'ai démontré dans des Memoires antérieurs, qu'il peut se pré-
senter — aussi bien dans le cas du type I dans la courbe C,C,,
que dans le cas du type II dans la courbe (A près de C, —
une température de plissement minimale, et qu’il commence done
à se former à une température déterminée 7, (la température de
plissement dans le point (,), en partant de C,, un pli séparé,
lorsqu'on abaisse la température. Ce pli se réunira plus tard (à la
température de plissement minimale) avec le pli principal (ou
bien avec son pli latéral) dans un point double homogène. Il
s'ensuit, que — par exemple chez le type I — à des températures
plus basses le pli principal sera toujours ouvert du côté des volumes
petits, de sorte qu’il ne sera plus possible de rendre homogène
par une pression, quelque grande qu’elle soit, les deux phases

séparées.

Considérons cependant spécialement le cas du type II. Ici la
marche ordinaire est la suivante À une température déterminée,
allant de températures plus élevées à des températures plus basses,
une spinodale touche en R, la branche AC, de la courbe de plis-
sement. Il commence à se former de la façon connue à l’intérieur
de la connodale proprement dite une nouvelle ligne connodale

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 75

fermée, laquelle à une température plus basse commence à émerger de
la connodale proprement dite, et donne naissance à un nouvel pli
(látéral), et en même temps à un équilibre entre trois phases (voir
les figg. 4a et 4b). Ce pli latéral s’est présenté déjà en beaucoup
de cas avant que le pli séparé commence à se développer autour
du point C,. Les deux plis coincideront plus tard (à la température
minimale en D), et formeront à partir de ce moment un pli
latéral continu (fig. 4c) !).

Fig. Aa,

Or, le point D sera situé dans le cas particulier b,=b,
toujours dans le voisinage immédiat de C,. Lorsqu’on a par

it | Pn,

exemple dans ce cas m: pi, T, sera = 0,99, lorsque 7,

désigne la température dans le minimum en D. Le pli longitu-

1) Dans ces figures et dans quelques-unes des suivantes les lignes spinodales ont
Pair de se toucher dans le point double homogène D au lieu de s’entrecouper,
comme il faut.

ARCHIVES XI. 11

76 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

dinal proprement dit autour de C, n'existe alors que chez des
pressions très élevées (fig. 4b), tandis que le pli ouvert de la fig. 4e
peut être désigné difficilement comme un pli longitudinal ; plutot
c’est le pli latéral du pli transversal, qui s'est réuni avec le pli
longitudinal original. Une élévation de la pression amène ici

toujours un rapprochement des
7 deux phases liquides coéxistantes;
seulement chez des pressions fort
élevées ces phases commencent à
se diverger.

Le calcul nous apprend, que
re dans le cas tout-à-fait général

bb, le point D peut s'approcher

À Co B

LT LE re

Fig. 4b. Fig. 4c.

beaucoup plus du point R,, et aussi que la température dans le
point de plissement C, peut étre relativement haute, de sorte que
le pli longitudinal, contrairement à ce qui est représenté dans la
fig. 4a, sera déja présent autour de CO, longtemps avant qu'il
commence à se former un équilibre entre trois phases en M. (voir

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. AT

les figg. 5a et 5b). Le coincidence de ce pli longitudinal, qui aura
déjà une étendue considérable, avec le pli latéral se présentera par
suite beaucoup plus dans le voisinage du côté 1,2 du triangle de
trois phases; de sorte qu’aprés la réunion le pli prendra l'allure
désignée dans la fig. 5c, et elle conservera assez pur le caractère
du pli longitudinal proprement dit. D'abord une élévation de la
pression amènera un rapprochement des deux phases (cette partie

Fig. 5a. Fig. 5b.

peut être fort restreinte, mais elle existera toujours); puis une
élévation plus avancée de la pression fera diverger les phases 1
et 2, jusqu’à ce que les valeurs de x, et x, tendent pour p=
à des valeurs limites, sans que le pli longitudinal — comme on
le croyait autrefois [voir e.a. van DER Waats, Cont. II, p 190
(1900)] se renferme jamais. Car en vertu du minimum en D le
pli longitudinal entoure toujours le point C,. Seulement à des
températures plus hautes que T,, où le pli longitudinal n'existe
pas encore, on aura un domaine de homogénéité chez des pres-
sions élevées. Mais alors le point de plissement P appartient au
pli latéral du pli transversal, et non au pli longitudinal. Cela est
11*

78 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES

représenté e.a. dans la fig. da. après que la connodale fermée est
émergée en M de la connodale proprement dite du pli transversal ;
ou bien dans la fig. 4b, avant que le pli longitudinal s'est déve-
loppé autour de (,.

Il va de soi, que le cas peut se présenter, que le pli autour
de C, coincide avec le pli latéral sur le moment même que
celui-ci apparait avec son point de plissement en dehors du pli
latéral, comme nous le voyons dans la fig. 6a; mais cela implique
nécessairement une relation entre 9 et x, et c'est donc toujours

un cas très particulier. La
PB naissance du pli latéral

aurait lieu alors dans le
minimum en D. Après la
coincidence le pli présente-
ra l’allure, désignée dans la
fig 6b. Maintenant une élé-
vation de la pression fera
diverger les deux phases

1 et 2 dès le commencement.

Mais il peut arriver éga-
lement, que le pli longi-
tudinal autour de C, ren-
contre la connodale du pli
transversal avant que la
connodale fermée est émergé
de ce pli (fig. 7a). Alors
l'équilibre entre trois pha-
ses ne se développe, comme

Fig. be. dans les figg. 4a et 4b, au

pli transversal (duquel un

pli latéral prend naissance), mais au pli longitudinal autour de

C,. Celui-ci se perce alors plus en avant dans le pli transversal,

jusqu'à ce qu’il rencontre en D la connodale isolée fermée (fig. 7b),

après quoi aura lieu la réunion avec cette connodale dans le
domaine irréalisable (fig. 7c).

Ce pli sera maintenant le pli longitudinal proprement dit, qui
se présente dans la plupart des cas chez les mélanges de sub-
stances partiellement miscibles. Mais il ne faut pas oublier, qu'il
peut se présenter aussi bien le cas des figg.5, avec celui des
figg. 6 comme cas de transition.

79

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL,

A

U

Fig. 6a.

—G
===

i

N

Fig. 7b.

Fig. 7a,

80 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

Le caleul (voir le $ 5 fera voir, que le cas de transition se
présente, lorsque le rapport 9 des températures critiques des deux
composantes est dans le voisinage de Punité, pendant que le rap-
port des pressions critiques est en même temps assez grand.

Les figg. 8 et 8a donnent également une idée claire de ces
relations différentes. (La température de ©, y est supposée plus
basse que celle de R,, mais cette température peut être aussi
plus haute). Les points de plissement p’ de la partie R,A au

Fig. 8.

dessous du point de rebroussement #, sont les points de plisse-
ment irréalisables (voir aussi les figg. 4—7); c’en est également
le cas avec les points de plissement p de la partie R,M au
dessous de M (alors la connodale isolée fermée n'a pas encore
émergé de la connodale proprement dite); tandis que les points
de plissement P au dessus de M sont toutes réalisables.

Nous concluons donc de ce qui précède, que dans tous les cas,
où se présente un véritable pli longitudinal de l'allure de la
fig. 5e ou Te (lorsque le minimum D est dans le voisinage de R,),

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 81

le point de miscibilité critique M des trois phases ne se trouvera
pas nécessairement sur le pli longitudinal (voir fig. 5a); et aussi,
que le pli longitudinal avec son point de plissement P ne coïn-
cidera pas toujours avec le pli transversal lui-même, mais qu'il
peut coincider également avec le pli latéral de ce dernier pli; de
sorte qu'il n'y aura pas d'équilibre entre trois phases sur ce
moment, e-à-d. qu'il n’y aura pas de phase gazeuse (voir fig. 5c).
Seulement les deux phases liquides coincideront dans ce cas.

Le cas, désigné par les figg. 6a et 6b sera — il va sans dire —
toujours fort exceptionnel; et l’on pourra en calculer les condi-
tions. On trouvera ce calcul, et celui qui donne la position des
points R,, D et M dans le paragraphe suivant.

Il ne sera pas superflu peut-être de faire remarquer, que la
composition x, de la phase gazeuse, aussi bien dans la fig. 4a que
dans les figg. 5a, 6a ou Ta, ne soit nullement identique à la com-
position des deux phases liquides coincidentes 2,2, comme M. van
DER Lee le croit avoir démontré dans sa Dissertation (1898) | voir
les pages 66—69, 73—74 et Thèse III; aussi van pen WAALS,
Cont. II, p. 181 (1900)|. Nous savons maintenant, que lorsque x,
se trouve entre z, et x, à de basses températures, cela ne conti-
nuera pas jusqu'à la coincidence de x, et x,. Ce serait en effet très
accidentel; en général l’un des deux maxima, p.e. dans la courbe
p,x, situés entre x, et z, dans le domaine labile, sera sorti en
dehors avant que x, et x, seront coïncidés. Voir les figg. 12—19b
dans mon Mémoire dans ces Archives (2) 8, 1904, et aussi les
fige. 12a—12f dans les Versl. K Akad. v. Wet. du 5 Avril 1905
et le § 8, p. 669—670, avec la Note sur le page 665. Déja dans
une publication antérieure. (Versl. K. Akad. v. Wet. du 27 Juin
1903) j'avais démontré cela amplement, et M. KuENEN parvenait
indépendamment un peu plus tard (Versl. K. Akad. v. Wet. du
31 Oct. 1903) à la même conclusion '). De plus, en 1900 M.
SCHREINEMAKERS avait déjà démontré expérimentalement ce phé-
nomène (Z. f Ph. Ch. 35, p. 462—470), exactement pour le même
mélange (phenole et eau), pour lequel M. van per Lee croyait
pouvoir démontrer théoriquement, que x, serait — 22 ?).

1) Voir aussi KuENEN, Theorie der Verdampfung und Verflüssigung von Gemi-
schen, Leipsick 1906, p. 170, Note.

?) La supposition ©, —x,, dans le point M mene d’ailleurs, comme les calculs
nous apprennent, 10n seulement à des résultats singuliers, mais aussi à des
conséquences très absurdes.

82 LES COURBES DE PLISSEMENT CHES LES MÉLANGES BINAIRES

Enfin je veux encore remarquer, qu'on trouve peut-être dans
allure particulière de la représentation p,T de la courbe de plisse-
ment (fig. 8) dans le voisinage du point D l'explication d’un
phénomène fort énigmatique et inexpliqué jusqu’à présent, observé
par M. Gururie et par M. Roramunp [Z f Ph. Ch. 26, p. 446
(1898)| ') chez leurs expériments; ¢ -à-d. l'apparition, suivi par la
disparition d’un opalescence manifeste, en ¢lévant la température
au dessus de la ,température de miscibilité critique”. Cet opales-
cence pouvait être observé souvent jusqu’à 10 degrés au dessus
de la température critique.

Dans la fig 9 on voit clairement,
comment il est possible, que dès qu’on
a atteint le point critique M, la homo-
généité des deux phases liquides n’est
que temporaire: lorsque la substance
est renfermée dans un tube fermé, de
sorte que la pression peut atteindre
des valeurs relativement hautes, il
peut arriver qu'on rentre en A dans
le domaine de hétérogénéité, et qu’on
atteindra seulement en B de nouveau

le domaine de homogénéité, pour y
demeurer à jamais. Mais pour cela il
faudra nécessairement, que la phase
gazeuse disparaisse depuis M; la phase
liquide doit donc remplir presque entièrement le volume du tube.

Nous répétons, que l’explication précédente n’est qu’une suppo-
sition plus ou moins vraisemblable, trouvant son appui dans
l’allure de la courbe DMAB dans le voisinage du minimum D.
Mais il se pourra très bien, que d'autres facteurs, encore inconnus,
entrent ici en jeu, ou accompagnent le facteur, que nous venons
de décrire.

$ 5. Détermination du minimum 2.

Nous déterminerons le point D comme le point double homogène
de la courbe spinodale, correspondant à la température 7% Or,
nous aurons pour ce problème les équations suivantes:

1) Voir aussi FRIEDLÄNDER, Ueber merkwürdige Erscheinungen in der Umge-
bung des kritischen Punktes. Z. f. Ph. Ch. 38, p. 385 (1903).

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 83
0
TE sts ee) A

de sorte que les valeurs de 7, x et v seront toutes les trois com-
plétement déterminées Alors la valeur de p peut étre calculée de
Péquation d’état

L’équation de la spinodale est la suivante :

RT = À [x (1 —2) (av — Bra)? + a (v—b)?],

ou bien avec

Galea, a ; le
a a v v

Da? 2 2
AN m) |=

v va u? v

ne [2 Ae) (Ina (p-+2))? + (pto)? (I—(1+n2)o)? |,. . (1)

c.-à-d avec les notations connues:

RTG nw [2 (1 —a«)(l— gq)? + (p + x)? (À en D] rae Cla)

oi
9%
(1 — 2x) (1 — q)? — 2a (1 — 2x) (1 — g)no + 2 (p + x) (1 — p)? —

— 2 (p + x)? (1—p)nw = 0,

— 0 donnera maintenant:

ou bien avec nw = Er
p + x
2x (1 —%
Att ADL + D —p} —

— 2(p + x)(1—p)q —0 . . (2)

à A
Br. 0 donne ensuite:
dw

a (1 —a) MM —20(1 —q)n(p +2)| +(p + 2)? \(t—p)? —
== ol —p}(l + nat) (M

© (1 — x) |(1—q)? —2q(1—q)| + (p + x)? ne — p)? —92p(1 — p)| ie

ou bien
a (1 — 2) (1 — q) (1 — 30) + (9 + 2)2 (1 —p)(1 — 3p) =0. . (3)
ARCHIVES XI. 12

84 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES

L’équation derniére nous fournit:

1— p) (1 — 3p
x (1 — x) =—(p + x)? = su Beds Kote (a)

tandis que (2) donnera:

ml —
SRO ee) (en ++,
Man a—g?: FH =

1 — Ir =

ou bien, avec («):
een
NN Pig

2 (1 — 4)?

e.-à-d.

1— 25 | —2(y+2)(1—p)? + 2(p+2)\ pali) |: de

or een en en

CSP
em 3
ae gg) = (2)

Il s’ensuit des équations (a) et (/):

1 a er za
Say (Ll — 34)?

4(p +2)! l—p)
(1—q)* (1-39)?
Apres simplification de l’expression entre | |, et en rangeant

suivant les puissances ascendantes de 4, cela deviendra:

= [ ap [a— 391-9] 2_(1-3p)(1-9)3 (1-39) |

APE DUSS pi, 9 :
Lae gna? (3—p)—6p9(1 +p) +
+39? (1 +5p + 2p?)—4q3 (2 + 3p) + 6q* |;
ou bien

4(p+x)? (1 —p) (q — p)? (69? — 8q +(8—p)).
G4) 29

On trouve done pour ~ + x:

(en: deze: | EC)

(e+ i= AAD (p— 4)? Ou? — 84 + Ep)

—

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 85

Et en vertu de («) on aura ensuite:

D en NE) U ee AS
Ba Ou Ep (6q? — 89 + B —D)) fi

La valeur de RT, peut être calculée maintenant au moyen de
l'équation (la):

_ 2e? en 20) ACTA)
on B no | AG 9) Neg 59 "(3 —p))
(al BE (bop) | |
a) (ee)
ou bien
En (1 — q)* (1 — 39) Ba Lee
De Een (6g? — 84 + opt ae

idd

Mais comme l'expression entre [ ] sera —2(p—g), on aura
finalement :
«2 (1—q)* (1 — 39) ie
ER a) \ Bandar nl tra 16
b, (p—4q) (6g* —8q + (8 pP)

RD =

: 2
“puisque n= -——:
b, /
I] nous reste encore à déterminer la valeur de la pression dans

je point D. Or, Péquation d’état de M. van per Waats donne:

pn BES ne SPAN RE Lu Ge
vb ve v(1—?h) v2 a?
donc
FR a?

P= v(l =p) © (p +7)? ,

L Dre
ou bien, DT étant =o:

RT. © a?
P= —=— DT in
B EF b
Avec (4) et (6) cela devient:
Gia

Be 2. (psg)
be (= END 8 + (8 —#))

w? (p tee.

Gt

EE en

il De

86 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

c.-à-d
P, — a? De : den) (1 — 39) 1—3q |
THS Ap) (69 —8q + Bp) | Ap)
ou enfin
pel PES EN
Nr: 4 (1 —p) (p—q)? (69? — 8q + (B—p))
Lorsqu’on introduit maintenant la pression critique P, =a ,
1
a,
nous trouverons avec 7 = p?:
Ba Linnea eg)
Py Te ND (6q? — 89 + (3—p)) |
ou bien en fesant usage de (4):
P; (p+a)? 4p—1—q =
— — 2 w2 — = > = . - . . . . .
De | PR 1 — 3q a

Les équations (4), (5), (6) et (7a) déterminent maintenant les
valeurs inconnues de a, w, T et P, quand les valeurs de 4 et a
sont données. Car avec un couple arbitraire de valeurs pour p et q
on peut calculer p + x de (4) et x de (5); nous aurons donc aussi
la valeur de p. Les valeurs de w et n sont données ensuite par

1 q
mes U2), (p+2)—% — w(p+0)
f : ee els We we |
et on aura RT, de (6), puisque a Cie TD RTE

Enfin P, sera donné par (7a) On peut calculer ensuite les valeurs
de 9 et x, celles de p et n étant connues. Inversément on pourrait
partir de 6 et x et déterminer les valeurs correspondantes de
toutes les autres grandeurs.
a) Dans le cas x — 1, c-à-d. p — q, on aura:
EES

Pa ma er
ND = 27 Ue = re)
P, ye
donc toujours négatif.
La valeur de w se réduit avec p=q à w =p ne , de sorte

P+ TL
que nous aurons:

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 87

ner (2) Sear
puisque dans le cas x —1 on a v—b pour la branche entière de
la courbe de plissement C,A. |

Mais lorsque p = q, l'équation (@) devient:

x (1 == — (p + 2)?,

et ils n’extistent point des valeurs réelles pour p et x, qui satis-
feront à cette équation; résultat évident, parce qu’en vertu de
allure rectiligne de C,A il n'existe pas de pli longitudinal dans
le cas nr — 1.

b) Dans le cas x — 6, c.-à-d. b, = b, , g=0, nous aurons:

TREND

2
5 = 27 w? (p ae GR le,

done toujours positif, parceque po sera >!/,, par suite
4p — 1 positif.

On aura donc dans ce cas une coincidence du pli longitudinal
avec le pli latéral du pli transversal, comme dans la fig. 4c.
Comme nous l’avons déjà remarqué, le point D se trouvera alors
dans le voisinage immédiat du point critique Cy, et le pli longi-
tudinal existera seulement chez des pressions fort élevées.

Pour contrôler les résultats obtenus pour le cas 7 — 6, nous
verrons, si ces résultats mènent à l’expression

2
Te D ne à de (a)
1 —t,
trouvée dans un Mémoire antérieur (V. K A. v W. 7 Juin 1905,

p.23). La grandeur 7 est ici la relation Ir, où 1, représente

la température du point C;.
Lorsque g — 0, p —w, les formules (4), (5) et (6) deviendront:

COE) a ee a a)
ge dl 1 a?
mn J sae ; RT, = 2 b, ;

parce qu'on aura p=o=1 et x—!}, pour T—T,, de sorte que

2 n 1 =
l’equation (1%) se transformera avec q —0 et Bir Kan
1

: N d
ep, NOUS trouvons done pour 7:

88 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAJRES

Ta 2

REC << |
7/0, ee)
done, en supprimant Vindice d:

el ; en ONE ng
12 T

comme autrefois (1. c.).
2

T 5
Pour TEE: nous trouverons maintenant:

LE
4
N 1 Cee RL
1—7 19 (1 — w) (3— o)
7 3—o
L'équation (a) sera done équivalent à

il
Ar Teen) me doo a’ (b)

et se sera cette relations, que nous voulons vérifier.

Or, on aura:
1 1
a en a aS Bo

D’ailleurs nous trouvons pour (1 — 2a)? — 1 — 4% (1 — x):

A tee
ST, EE

c.-à-d.

Le): 1
DUR Ale en

[42]
| CNET SZ
ET CM 5 a

Pour p on obtient donc:

1 1 1 (l—o)?
parame 4-4 V.

ou bien

pot ale; otter,
done

(2 — w)? il (2—w)? — (1—w) (3—w)
PME Tea, 17 AEN

e -a-d.

1
Wa TT IG =a

et c'est bien la relation (b)

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 89

§ 6. Détermination du point de miscibilité critique M.
Nous avons vu, que le point D est donné par les équations
of af
RE aie ares Sa Duce ae dr ane)
RT =f étant l'équation de la spinodale. Comme l’équation de la
courbe de plissement en projection wv, x est donnée par
1
= an + IK 4) = (i)
dv dv \da/ yr à
le point double de la spinodale, déterminé par («) sera toujours
un point de la courbe de plissement.
Nous pouvons démontrer encore, que dans la représentation

p,T la courbe de plissement aura un tangent verticale dans le
point D (voir fig. 8 et 8“). En effet, de

RTS

mee But, = RC" at)

il s’ensuit:

dp/n 28 \èp/n Av \ap
ge of 9
Or, dans le point double D on a = —0 et = =O, de sorte
: ox ov
que dans ce point

dT
Ip a=
‚pP pl

Le point M, où commence l’équilibre entre trois phases, sera
donné par les quatre équations (4° se rapporte à la phase gazeuse;
les indices a et b aux deux composantes):

Ds NE MM HEAO (2)

Les deux premières équations déterminent seulement la coëxis-
tence d'une phase gazeuse avec une phase liquide. Le fait, que
cette dernière phase est une phase critique x,,, est représenté
par la troisième et la quatrième équation, qui déterminent la
courbe de plissement.

Comme nous avons vu déjà dans le $ 5, les trois équations (@)
détermineront les trois grandeurs inconnues x, v et T dans le
point D (la pression p sera donnée par l'équation d'état). De même
les quatre équations (?) détermineront les quatres grandeurs in-
connues p, T, x et +’, tandis que les deux volumes wv et v’ seront
donnés par deux équations d'état.

90 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

Pour u, et «, nous pouvons écrire:

2.02
Ha = Op On x =) + RT log (1 — 2) |

| à (2
Tr Ci, — (2 sie (1 — %) —) + RT log un

C, et ©, étant des fonctions de la température seulement, tandis
que (2 est donné par
q

OS | pdv — pv.

Les relations u, =’, et wy —w, donnent done:

ie 73 - 3/7 2€ ‚2 |

RT log Se (eee 7) |
| x HN

je 5 2.0 „|

RT log = (a2) td A) 5)

et on trouvera par substraction:

x 1—x af 930
WIT pa ae

Cette derniére équation, combinée avec une des deux précédentes,
sera done équivalente au système u, — u, 1, — Wy.
Or, avec l’équation d’etat
a RT

Da 2 wine

nous trouvons pour 42:

ORT log wb) + — —p»,

done
9.2 RT (22 a, a ov 1 da WW
Aal Den Non arr v2 ox on de 4 ane
on bien
2.02 RIT 1 da
ENT EE Leg cise

av . . ? a
parce que les termes avec == disparaissent en vertu de l'équation
€

d'état. Avec
da db €

en . DE oef AJ
dx mer 5 dx =

nous obtenons done:
9.02 Za Va a ) N
ei ke B.

— — a ar
Ox V ! ys

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL, 91

De même on trouvera:

Les grandeurs a et a’ sont différentes entre elles pour la phase
liquide et la phase gazeuse, puisque x et x’ sont différents.
La relation (2) donne donc:
a 1—7 La Een = Zl
RT log BEET —2a 3 ß = ek

2

ou bien, quand on peut négliger la densité '/ de la vapeur à
côté de celle '/, de la phase liquide:

x = la > a
RT log 7 Et Eg qe?
e.=à-d
BT x 1—r 2a ß
ao log ae, == es — u PR AI AU (2a)

D'ailleurs la première des équations (1) donnera:

RT log == 5= (= Mg yr
a an 2a 2p ne
N i) reper’ (Sf) ape.
En négligeant de nouveau la densité de la vapeur, cela devient:
1—x p a ( 2a AN
RT log 7 „= =p RD an a ee LU,
—p(v—v)—pr étant — RT, tandis que les termes avec pf

A 2 ee ® , .

euvent être négligés également. Pour -;--; nous avons écrit
© v—b

RTE 1)

P
OPE = p CA alpa ?
finalement :

ml) an oy fo (Eu 2)

Les équations (la) et (2a) nous fourniront x’ et p, lorsque T et
æ sont connus, 4/» étant sensiblement = 4/5 et @/y2 = 4/p2.

Mais pour le problème, que nous étudions, la connaissance de 2’
nous est totalement indifférente, et quant à p — cette grandeur
aura dans la plupart des cas une valeur tellement faible dans le

ARCHIVES XI. 13

RT
vo” —b’=v étant = Ta . Nous obtenons donc

92 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

point critique M, que nous pourvons écrire p —0. Le point M sera
déterminé alors seulement par les équations RT—f et F—0.

La coincidence des deux points M et D sera déterminée par
(a) et (>) combinés, c.-ä-d. par les équations

De DE A m g
Ma Mask RTS or ot =) 5)

Alors on aura aussi #— 0. Ce sont done cinq équations pour
a, af, p et T (v et v’ seront donnés par deux équations d'état),
de sorte qu’il y aura une relation entre les deux paramètres
0 et x, comme nous l'avons déjà remarqué dans le § 4.

Dans le paragraphe suivant nous chercherons cette relation, en
supposant p= -à-d. nous transformerons les équations déjà
obtenues .dans le $ 5, en introduisant cette valeur spéciale de p.

La courbe 4 — f(x), que nous trouverons ainsi, formera donc
sensiblement la séparation des deux domaines, c.-à-d. de celui
où p est positif, et celui où p est négatif. Dans le premier cas
on aura un pli longitudinal, qui rencontre le pli latéral du pli
transversal; dans le second cas on aura le véritable pli longitu-
dinal, qui rencontre le pli transversal lui-même.

$ 7. La relation /— f(x) pour p — 0.

Il s’ensuit de l’équation (7) du $ 5, que la pression P de-
vient = 0, lorsque

q=4p—1.
Nous aurons donc, q étant = nw (g + x) =(l+72)o:
er ifs
done
n(p + 2%) p=(l + na) (4p— 1),
ou bien

Ap
"= 0(p—3a) +a.
On aura aussi:
1—gq=—2(1—2p) ; 1—3q—4(1—3p) ; p—q=1—3zp,
et les équations (4), (5) et (6) du paragraphe 5 deviendront:
64 (2p — 1)" 8(2p—1)_
(Lp) 6p? —Blp +17 3 DT ge Bip +17

(p. + 2)? =

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 93

a+ NME ae
b, ° Wp? —81p +17

RE, — 64

Mais puisque (voir $ 5)
Cee ae 21
DES git ke,
où T, est la température critique la plus basse, ou aura aussi:
BEG
m = 216 5 me ni 27

RT,,

— |
On peut done écrire, 9—no (p+) étant —4p—1, donc w — en) :
8 (2p— 1)3 _ @+»? 2p—1
Ol Aer ip eit : D 1-p
4p—l p(g—32) +2
(= Hg ’ =
pip—3%) + x ya (1)
N (DEE)?
na, Ca |
(EEM à SEP
D mal te Tord ha

Pour une valeur donnée de p on trouve donc successivement
2%, P+X, 9, n, w, Ty, 6 et 7; par conséquent, 9 étant —f, (p),
az — f, (p), nous aurons aussi la relation 4 — f(x).

Calculons encore, pour compléter les données, la valeur de T,,
c.-ä-d. de la temperature dans le point critique C,.

Alors ®/,—=p—1, et l'équation de la courbe de plissement se
réduit à

(1 — 2x) — 32 (1 — x) no — 0,

N 1 8
c-à-d., parce que (1 + nx)» — 1, done w — EE ar us
7 n
ONE gn
(1 — 2x) — 3a (1 — x) er
On y tire:
Pca) 2 a 5

D’ailleurs l'équation de la spinodale (voir $ 5) donne pour p = 1:

9 2
RT, = nor — x) (1 —4)?,
/
13*

94 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

donc a = 2 t {
ave = == Gg =
DUC ‚avec, b, etd — ne 2) — TT (p + 2)
2a? 4 2
Ro ocr emer recy (ee zo) (1 pe (pta)
Avec
22 4 27
Be Bean

cela devient:
I A | a N
DE AS ep? ASE) nan (p+) … On
Au moyen des équations (1), (2) et (3) on peut construire mainte-
nant le tableau suivant.

—— = — nee Ne pe

p \v(l—e) a (p +2)? | q | n | o | Im/T, 0 | TT
| | ze [= os
1 | 0,250 0,500 | ®=20 1 w=V9.0-"2) 0=3//20'2| 1,000 |0= 27/8 Ò| 1,000 | 1,000
095 | 0218 | 0,321 | 314 | 528 0,633 | 0,790 | 0,150 | 0,871 | 0,534
0,90 | 0,187 | 0,49 |120 | 3,21 1,06 | 0,710 | 0,278 0,835 | 0,404
0,80 | 0,124 | 0,145 | 298 | 158 | 907 10616 | 0,497 | 0,867 0,281
0.70, 0,070 | 0,076 | 0,747 | 0,788 | 385 | 0,541 | 0,659 | 1,06 | 0,219
0,60 | 0,022 | 0,022 | 00864 | 0272 | 959 |o497| 0,783 | 9,07 | 0,195
0,55 | 0,0054 | 00054 | 0,0096 | 0,093 95,3 0482 | 0824 | 498 | 0,189

0,50 |0 = 160° |0 = 160° 0—2560"| 0 — 1602 2=1/s0 2 0,500 | 0,844 œ=1/320 ?| 0,250
| |

Pour x, et 70/7, nous trouvons:

ni 0,95 0,90 0,80 0,70 0,60 0,55 0,50
00 0,327 0,264 0,174 0,106 0,048 0,020 0— 40?

Zul 02/0 0,164 0,352 0,788 1,52 348 825 copes

Lorsque p — 1 — 0, on obtient pour (p + x)? la valeur

1 1
Sn
Ò
La valeur de » devient n — 5 zE = O; celui de w tend à p—1.
18 27
PE r al OÙ — 150.
Pour T, on trouvera 3 “50
Je : Zu er
La valeur de 7° deviendra = — — — (1—nœp)?. Or np=3,
1 4 p? 4
In D al ;
0 3 : = = AT 27 | 2 D) 4
done T, Me ge lg

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 95

Quant à la limite p= '/, (1 + d), on trouvera les valeurs suivantes.

(p + x)? = 1603 x 8x ij, — 2560" : =" |s 0-
Pret i RES =
a Un: T, = Go — Ugo — "ln — 0,844
| 1 8
Zu (x) ‘Bo — 3292 led (Ip ): ae =}.

Pour x, nous trouvons %, = (1 + fn) — (1 + lon) — 4/on = 402,
de sorte que nx, devient = 1}.

E
On aura done pour ;,°:

T,
T _ 27 1 48 LE
Ders (ti (1682+492)) —
a =
dn

Nous dressons maintenant le tableau suivant, déduit de celui
que nous venons d’évaluer.

p= J» | 0 | = Inte 1-2, | 1m | Tot, | Tir,
| |
An thd | son be | 0,50 0,50 0 0
095 | 1,15 | . 1,87 1,63 0,33 0,32 0,16 0,15
0,90 | 1,20 2,48 2,06 | 0,26 0,25 0,35 0,28
ne 115 | 358 307 | 017 | 0,14° 0,79 0,50
0,70 | 0,94 457 | 485 | o11 | 0,076 1,52 0,66
060 | 048 | 513 | 106 0,048 | 0,022 3,48 0,78
055 | 019 | 4,98 | 963 0,020 0,0054 | 8,25 0,82
Gee OTIS Se Nl Meg Darling ONT by 0,84
| |

Nous avons échangé entre eux T, et T,, p, et p,, b, et b,, de
sorte que les valeurs de 4 et de x sont les valeurs réciproques de
celles du tableau précédent. Maintenant toutes les valeurs de x sont
devenues positives, c.-à-d nous avons déterminé la partie EFGH
de la courbe 4 = f (x), et non la partie HF’ G’ H’ (voir la fig. 10).
Au lieu de a, et x, nous avons maintenant 1—x, et 1—%,.

96 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

ns

P sera done positif (le pli longitudinal rencontre le pli latéral
du pli transversal) pour des valeurs de 4, supérieures à celles du
tableau précédent (x > 1), et négatif (le pli longitudinal rencontre
le pli transversal lui-même), lorsque les valeurs de 9 sont infé-
rieures à ces valeurs. Quand x < 1, on aura le contraire. (voir
fig. 10).

Si l’on suppose toujours x => 1, le véritable pli longitudinal se
présentera donc, lorsque @ est <1 ou ne dépasse pas par beau-
coup la valeur 1. (1,20 tout au plus).

Dans la théorie ordinaire x, et T,, sont souvent confondus avec
To et T,; nous voyons que la différence peut être assez forte.

Pour p — bl, = 0,6 le cas de transition, où les points D et M
coincident, donne p. e. (7, et T, comme dans le premier
tableau) :

EAS = Da — 01022
Tol Ti 3,9 = OCR

La fig. 11 représente alors l'allure de la branche supérieure de

DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 97

la courbe de plissement, et la fig. 12 donne les valeurs de T pour
les points de cette courbe. La tem-

2:0 cd) pérature critique 7, n'est pas seu-
lement supérieure à T,, mais même

à T,; le pli longitudinal sera donc déjà présent sur la surface y
à des températures relativement fort élevées. En abaissant conti-
nuellement la température, le pli s’étendra de plus en plus sur la
surface w, et atteindra à une température un peu au dessous de
T, le pli transversal. (point critique de miscibilité) Pour réaliser
ce cas il faut done, que T, soit environ 2-fois T,, tandis que p,
ne soit que le ‘/; de p,. Alors le point D (M) sera situé sur la
droite dj» = 0,6.

Pour p, — 0,8 la différence entre x, et x, n’est pas si grande
(0,17 et 0,145). To/r, sera alors — 0,79, Tm/r, —0,50, et le pli
longitudinal commence à se former à une température plus basse
que T,. La valeur de @ sera alors = 0,87, celle de x — 0,28; la
température 7, sera done aussi inférieure à 1.

Nous terminerons ici notre examen des conditions d'existence
du pli longitudinal; ce que nous venons de discuter suffira pour
se former du moins une idée de ces conditions; le traitement
tout-à-fait général serait presque impossible par la longueur des
calculs.

Le résultat principal est ceci: le pli longitudinal peut se présenter
chez les mélanges de substances normales; il n’est pas nécessaire

98 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES

que ces substances (ou l’une des deux) soyent anomales, comme

on le croyait autrefois.

Il dépend seulement des valeurs de 0 = T:/r, et x — P2/p,, quelle
sera l’allure partculiére du pli longitudinal. Mais que ce pli existe
toujours — du moins dans le cas du Type II (et III) — cela

nest plus douteux.

1906—1907.

73).

Note. (voir p. 72

Nous avons écrit:

Or, lorsque nous écrivons:

sa PARTS

ae (lx) a ? M= Na,
les équations (7) se transformeront en

(1— 3 p}? @2v2 + (1— 6p + 3 p?)v—6q? —0

M=3q—3(1—2q) «2v—(1— 3p) a3?

fr deli? Vin à dy 4 dl Hm!
ih (oO) Er ee)
Et on pourra écrire pour y—g + x et «(1 —x):
v v
OET OAN EEE we

7

FAISCEAUX DE COURBES PLANES

PAR

Je DEV RIES:

Dans le travail actuel, j’ai réuni les résultats des recherches de
différents géométres sur les faisceaux ponctuels de courbes du

a

n° degré à n? points de base distincts.

Polaire d’un point par rapport à un faisceau.

§ 1. Considérons le lieu & des points de contact des tangentes
menées par un point quelconque P aux courbes c” d’un faisceau (c’).

Sur une droite d issue de P, le faisceau détermine une involu-
tion du n° degré; il est clair que les 2(n—1) coincidences sont
les points de contact de d avec 2(n—1) courbes c”.

Par P il passe une courbe c'; soit d, la droite qui la touche
en P. Il est évident que sur d, une des coincidences de l’involution
se confond avec P.

Par suite, le lieu cherché est une courbe du degré (2n — 1) que
je nomme la polaire de P. ')

Soit A un des n°? points de base de (c"). Sur la droite PA, les
groupes de l’involution définie par le faisceau se composent du
point A et de (n—1) points variables. En écartant le point fixe,

A

on a affaire à une involution du degré (n— 1), à 2 (n — 2) coïn-

1) On la trouve déjà chez STEINER (Journal für Mathematik, 1854, t. 47, § 21).
Il l'appelle „äussere Panpolare”.
Emit Weyr (Sitzungsberichte der Akademie, Wien, 1870, t. 61, p. 82) l'a définie
de nouveau.
Une étude systématique se trouve dans un mémoire de M. Guccra (Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo, 1894, t. 9, p. 1).
ARCHIVES XI. 14

100 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

cidences. Il en suit que la droite PA touche la polaire dp
en A.

Soient P et Q deux points quelconques. Les polaires Pp et By
auront en commun les n? points de base et les 2(n — 1) coinci-
dences de Vinvolution marquée sur la droite PQ.

Il est clair que les intersections restantes se trouveront dans les
points doubles du faisceau. !)

Donc, il y a, dans le faisceau, 3 (n — 1)? courbes à point double *)

$ 2. Aux points de la droite PQ il correspond un faisceau de
polaires dont les pôles sont situés sur PQ.

Supposons que la polaire #, ait un point double D. Les polaires
du faisceau dont les pôles se trouvent sur DS, seront touchées
en D par cette droite. L’involution marquée sur DS aura un
point triple en S, de sorte que la courbe c* menée par S aura en S
un point d’inflexion.

Réciproquement, chaque point d’inflexion d’une c” se confond
avec un point double d’une polaire. Par suite, le röseau des
polaires ne contient qu’un système simplement infini de courbes
à point double.

Donc, la polaire $, est, en général, une courbe de la classe
(2n — 1) (2n — 2).

Du pôle P on peut mener à æ,, à l'exception des n? droites
PA, 3n (n — 2) tangentes.

Donc les tangentes d'inflexion d'un faisceau du n° degré enveloppent
une courbe de classe Bn (n — 2). 3)

Considérons la polaire D, du point de base A. Puisque l’invo-
lution définie sur une droite ménée par A ne fournit que 2n —4
points de ®,, cette courbe aura un point triple en A.

Il en résulte que trois courbes c* ont un point d'inflevion en A.

De plus, on en déduit que par A on peut mener 3n (n — 2) —9
tangentes à &..

Donc, chaque point de base est situé sur 3 (m — 3) (n + 1) tangentes
d’inflexion.

1) Comp. WEyR Le.

*) STEINER (Journal f. Math. 1853). Un faisceau de courbes de genre p à o
points de base, à tangentes variables, possède (6 + 4 p — 1) courbes à point
double (CAPORALI).

3) WEYR, |. c.

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 101

Satellite d'une courbe polaire. Enveloppe des bitangentes.

§ 3. Soit C le point de contact d’une courbe c* avec une droite
d issue du point P. Considérons le groupe de (n— 2) points S
que d a encore en commun avec cette courbe. Si Pon fait pivoter
la droite autour du pôle P, de sorte que le point C engendre la
polaire dp, les points S décriront une courbe sp que je nomme
la satellite de Pp.!)

Cette courbe passe (n — 2) (n + 1) fois par P; en effet, si d se
confond avec une des tangentes menées par P à la c” qui passe
par P, un des points S coïncide avec ?. Puisqu’une droite arbi-
traire d contient, à l'exception de P, 2 (n — 1) (n — 2) points S, la
satellite est une courbe du degré (n — 2) (Bn — 1).

Soit A un point de base de (c"). Parce que la droite PA est
touchée, hors du point A, par 2(n—2) courbes c", la satellite
doit passer autant de fois par À. Donc chaque point de base est
un point multiple d'ordre 2(m— 2) sur op.

Puisque la polaire @p est touchée en A par la droite PA, la
satellite op aura cette droite pour tangente multiple d'ordre (n— 2).

Les intersections des courbes D» et op se rangent en quatre
groupes.

D'abord, (n—2)(n +1) d’entre elles sont confondues en P.
Puis, en chaque point de base, il y a 2 (n — 2) intersections.

Un troisième groupe est formé par les points d’inflexion dont
la tangente passe par P; il est clair qu’en un tel point, les deux
courbes se touchent. Ce groupe représente done 6n (n — 2) inter-
sections.

Finalement, dp et sp se coupent en les points de contact de
chaque bitangente qui passe par P.

Or, on a
(2n —1) (n — 2) (Bn — 1) —(n—2) (n + 1) —2 (n—2) n? —

— bn (n — 2) = 4n (n— 3) (n— 2).

Par suite, les bitangentes dw faisceaw enveloppent une courbe de
classe 2n (n — 2) (n — 3). °)

§ 4 Soient C, et C, les points de contact d’une bitangente
issue de P, S,(k—1,2,...,n—4) ses intersections avec la courbe

1) J. DE Vries, Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1905, t. 13, p. 749.
2) J. DE VRIES, l.c. p. 750.

14*

102 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

ec" correspondante. Puisque le groupe S, appartient aux deux points
C, et ©, de la polaire, la satellite aura les points S; pour points
doubles.

D'une manière analogue, on voit que les (n— 3) points S qui
correspondent à un point d’inflexion dont la tangente passe par
P, sont des points de rebroussement de la satellite

La courbe satellite possède 2m (n — 2) (n — 3) (n —4) points doubles,
3n (n— 2) (n— 3) points de rebroussement, n°? points multiples d'ordre
2(n— 2) et un point multiple d'ordre (n — 2) (n +1).

Done, op est de la classe

(n — 2) (3n —1) (Bn? — Tn + 1) — 4n(n — 2) (n — 3) (n — 4) —
—9n(n—2)(n—3)—2n? (n—2)(2n—5)—(n—2) (n +1) (n? —n—3)=
= (n — 2) (Bn? — In + 2) = (n— 2) (n—1) (5n—2).

Pour le vérifier, considérons les tangentes de sp issues de P. Ce
sont les 2n(n—2)(n—3) bitangentes et les 3n (n— 2) tangentes
d’inflexion qui se croisent en P, tandisque les n° droites PA sont
des tangentes d'ordre (n—2) pour op. Or, le nombre 4n(n—2) (n—3) +
+ 3n (n — 2) + n? (n — 2) = (n — 2) (in? —9n) s'accorde avec le
nombre des tangentes menées par le point multiple ?; en effet,
on a (n — 2) (ön? — In) + 2 (n — 2) (n + 1) = (n — 2) (in? — Tn + 2).

La satellite est, en général, une courbe de la classe (n — 2) (n — 1)
(bn — 2).

$ 5. Considérons maintenant la satellite de la polaire d’un
point de base, A. Chaque droite issue de A porte 2 (n — 2) points
de contact C et, par suite, 2 (n — 2) (n — 5) points S.

Il s’agit de’trouver combien de fois un de ces points S se
confond avec A.

Considérons, avec Emm Wryr (le), le lieu des intersections
d'une courbe c” avec la droite qui la touche en A. Il est clair
que c’est une courbe du degré (n + 1) ayant un point triple en À,
puisqu'elle a (n —2) points en commun avec une droite quelconque
menée par A. Je la nomme la courbe tangentielle de A.

Par le point triple A, on peut tirer (n + 1)n—12 tangentes a
cette courbe

Done, il y a (n +4) (n — 3) bitangentes de courbes ec" qui ont un
de leurs points de contact en À. |

On en déduit encore que le lieu (S) passe (n + 4)(n — 3) fois

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 103

par À, de sorte que le degré de la satellite 54 est 2(n— 2) (n— 3) +
+ (n + 4) (n — 3) = In (Nn —3).

$ 6. Considérons les intersections de la satellite 5, avec la
polaire D,. Il est évident que le point A en absorbe 3 (n +4)
(n — 3), tandis que chacun des autres points de base B en contient
2 (n— 3). En effet, la droite AB est touchée par 2 (n — 3) courbes
ce”; à chaque point de contact il correspond un point S qui se
confond avec le point de base B.

Les courbes 5, et d, se touchent évidemment aux 3 (n— 3)
(n +1) points d’inflexion dont les tangentes concourent en A.

Les intersections restantes des deux courbes sont situées en
couples sur les bitangentes issues de A.

Or, on a

3n (n— 3) (2n —1) —3 (n + 4) (n—3) —2 (n— 3) (n? —1) —
— 6 (n—3) (n +1) =4 (n— 8) (n—-4) (n + 1).

Chaque point de base est situé sur 2 (n—3)(n—4)(n +1) bitan-
gentes.

Nous avons vu que, par un point quelconque, on peut tirer
Qn (n—2)(n—3) bitangentes. Il en résulte que les (n—3) (n + 4)
bitangentes dont un des points de contact se trouve en A, touchent
l'enveloppe des bitangentes en ce point de base.

Les points de base sont des points multiples d'ordre (n + 4) (n—3)
pour l'enveloppe des bitangentes. *)

§ 7. Sur chaque bitangente issue de A, la courbe 5, a (n—5)
points doubles, tandis que chaque tangente d’inflexion passant
par À porte (n—4) points de rebroussement. Donc:

La satellite d'un point de base est une courbe du degré 3n (n— 3)
et de la classe (n—3)(5n?—7n—6). Elle possède 2 (n +1) (n —3)
(n— 4) (n —5) points doubles, 3 (n + 1) (n — 3) (n — 4) points de rebrous-
sement, (n?—1) points multiples d'ordre 2 n— 3) et un point multiple
d'ordre (n + 4)(n — 3).

Par le point multiple A on peut tirer à 5, un nombre de tan-
gentes égal à (n — 3) (5n? — In — 6) — 2 (n — 3) (n— 4) =(n + 1)
(n—3)(5n—14) Elles sont représentées par 2(n + 1)(n—3) (n—4)

1) J. DE Vries, l.c. p. 751.

104 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

bitangentes, 3(n+ 1)(n—3) tangentes simples (tangentes d’in-
flexion de courbes c”) et (x? —1) tangentes multiples d’orde
(n — 3).

La courbe des inflexions.

§ 8. Le lieu des points d’inflexion, J, du faisceau (c”) passe
trois fois par chaque point de base. Parce qu’une c” générale
possède 3n(n— 2) inflexions, elle aura en commun avec le lieu
(I) 3n (n — 2) + 3n? points. Done, le lieu (7) est une courbe du
degré 6(n—1), douée de n? points triples

Les 3(n—1)* points doubles du faisceau sont aussi des points
doubles de (1). Puisqu’en un tel point se confondent six intersec-
tions des courbes c” et (I), elles y ont les mêmes tangentes.

Il va sans dire que (7) ne saurait avoir d’autres points doubles.
Afin de démontrer qu'elle ne possède pas de points de rebrousse-
ments, on peut déterminer son genre en faisant usage d’une
relation bien connue, due à M. ZEUTHEN. !)

Supposons qu’il existe entre les points de deux courbes c et
c' une correspondance où chaque point P de ¢ correspond à /” points
P' de «, tandis que chaque point P’ détermine /? points P. Sup-
posons, de plus, qu'il arrive 7’ fois que deux points P’ coincident
et y fois que deux points P se confondent. Alors les genres p et
p’ des deux courbes sont liés par la relation

2 (p—1)— 22 (p'—1) =y— 7.

/

Soit P’ le point d’intersection d’une droite quelconque c' avec
la tangente d'une €” en un point de base. Considérons la corres-
pondance entre P’ et les 3n(n— 2) points d’inflexion P de la c’.
Alors on a

P = 3n (n — 2), i =U BRU p'—=0,

et, par suite,

y =2(p—1) + 6n (n — 2).

Il s’agit maintenant de déterminer le nombre 7.
Si une c* possède un point d’undulation, de sorte qu’elle ya un
contact quadriponctuel avec sa tangente, on a affaire à deux points

P confondus.

1) Math. Annalen, 1870, t. 3, p. 150.

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 105

Puis, chaque point double de (1) absorbe un certain nombre
de points P confondus. On peut le déterminer en considérant un
faisceau de cubiques.

En effet, puisqu’un point de rebroussement de (J) ne saurait pro-
venir que de la coincidence de deux inflexions, ce qui ne peut pas
avoir lieu sur une cubique, la courbe des inflexions d’un faisceau
(ce?) possède un nombre de points singuliers qui équivaut à 9 x 3+
+ 12—39. Donc, elle est du genre p—4x11x10—39= 16,
Par conséquent, on a y=2x15+6x3=48. Il en résulte que
chaque point double d’un faisceau absorbe quatre couples con-
fondus de la correspondance.

$ 9. Afin de déterminer le nombre des points d’undulation, il
nous faut considérer une courbe auxiliaire, lieu des groupes de
3n (n — 2)(n— 3) points V que les courbes c” ont en commun
avec leurs tangentes d’inflexion.

Parce qu'en un point de base il se croisent 3(n +1) (n—3) tan-
gentes d’inflexion, le lieu (V) passe autant de fois par les points
de base. Par suite, il a en commun avec une c” du faisceau
Bn (n — 2) (n — 3) + 3n? (n + 1) (n — 3) points. Donc:

La courbe résiduelle (V) est du degré 3 (n — 3) (n? + 2n — 2); elle
possède n° points multiples d'ordre 3 (n + 1) (n — 3) !).

Si lon fait se correspondre les points J et V d’une même tan-
gente d’inflexion, les rayons OJ et OV d’un faisceau de droites,
à centre O, se rangent en une correspondance avec les nombres
caractéristiques 6 (n — 1) (n — 3) et 3 (n — 3) (n? + 2n — 2),

Chacune des 3n (n — 2) tangentes d’inflexion issues de O repré-
sente (n — 3) coincidences de cette correspondance. Les coincidences
restantes, au nombre de 6(n—1)(n—3) + 3 (n—3)(n? + 2n — 2) —
— 3n (n — 2) (n — 3) = 6 (n — 3) (Bn — 2), proviennent d’autant de
coincidences [= V.

Dans un faisceau (c") il y a 6 (n — 3) (Bn — 2) courbes douées d'une

EN

tangente à contact quadriponctuel ?).

$ 10. Comme on a vu, chaque point double du lieu (J) contient
quatre couples coïncidants de points P correspondant à un point
P' de la droite auxiliaire c’. Done, on a y —6(n— 3) an — 2) +

De. DE VRIES, 1. C. p. 752.
*) J DE Vries, Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1906, t. 14, p. 844.

106 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

+ 12 (n — 1)? = 30n? — 90n + 48, de sorte qu’on trouve pour le
genre de (1)
p = 12n? — 39n + 25.

Maintenant on peut affirmer que la courbe (1) ne possède d’au-
tres points singuliers que les n? points triples A et les 3(n — 1)?
points doubles qui coincident avec les points doubles du faisceau.

En effet, on a 4 (6n — 7) (6n — 8) — 3n? — 3 (n — 1)? =

= 12n? — 39n + 25.

En resumé, nous avons trouvé:

La courbe des inflexions est du degré 6(n—1) et de la classe 6 (n — 2)
(An — 3). Elle possède 3 (n — 1)? points doubles et n° points triples.

§ 11. En faisant se correspondre les points tangentiels d’un même
point d’inflexion, on obtient dans un faisceau de droites, à centre
O, une correspondance symétrique, à nombre caractéristique 3 (n — 3)
(n — 4) (n? + 2n — 2). Puisque chaque tangente d’inflexion menée
par O, en absorbe (n — 3) (n — 4) coincidences, le nombre de coin-
cidences provenant d’une coïncidence VV’ est égal à 6 (n — 3)
(n — 4) (n? + In — 2) — 8n (n — 2) (n — 3) (n — 4) = 3 (n — 3) (n — 4)
(n? + On — 4).

Le faisceau (c") contient 3(n—3)(n — 4) (n? + 6n — 4) courbes
douées dune bitangente dont un des points de contact est un point
d’inflexion. !)

Il est clair que les courbes (1) et (V) se touchent en les 6 (n — 3)
(3n—2) points d’undulation. Outre ces points et les intersec-
tions absorbées par les n? points de base, elles ont en commun

18(n—1) (n—3) (Nn? + 2n— 2) — In? (n + 1) (n—3) — 12 (n—3)(3n—2)

points. Il en resulte:
Tl y a 3(n —8) (Bn + 3n? — 36n + 20) points d'inflexion qui sont
en même temps un des points tangentiels d'un autre point d'inflexion.

La courbe bitangentielle.

§ 12. Considérons maintenant le lieu des points de contact, T te
T’, des tangentes doubles du faisceau. Pour abréger, je le nomme
la courbe bitangentielle (T).

Comme on a vu, chaque point de base est point de contact de

1) J. DE VRIES, |. c. t. 14, p. 844.

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 107

(n — 3) (n + 4) bitangentes. Parce qu’une c” générale possède
1
yr m — 2) (n? — 9) tangentes doubles, le lieu (7) a en commun

avec une c* quelconque n° (n — 3) (n + 4) + n (n—2) (n? —9) points.
Par conséquent, la courbe bitangentielle est du degré (n—3)
(2n? + En — 6). !)

Les points doubles D du faisceau sont en même temps des points
multiples de la courbe (7).

En effet, par un tel point on peut tirer (n? — n — 6) tangentes
à la courbe c” qui y passe; puisqu’une telle droite est une bitan-
gente impropre, les points D sont des points multiples d'ordre
(n — 3) (n + 2).

A l'exception de leurs intersections situées en les points doubles
D et les points de base A, les courbes (T).et (J) ont en commun

6 (n — 1) (n — 3) (2n? + 5n — 6) — 6 (n — 1)? (n — 3) (n + 2) —
3n? (n + 4) (n — 3) = (n — 3) (3n° + 6n? — 48n + 24) points.

On peut le vérifier en observant que les deux courbes se touchent
aux points d’undulation, tandis qu’elles se coupent en les inflexions
dont la tangente touche la c” correspondante ailleurs. En effet, on a

12 (n — 3) (8n — 2) + 3 (n — 3) (n — 4) (n? + 6n — 4) =
= (n—3) (8n3 + 6n? — 48n + 24).

§ 13. Considérons le lieu des points W qu’une c” a encore en
commun avec ses bitangentes.

Parce qu’un point de base porte 2 (n —4) (n—3) (n +1) bitan-
gentes, la courbe (W) passe autant de fois par les points de base.
Le nombre de ses intersections avec une c” du faisceau égale done

2n? (n — 4) (n — 3) (n + 1) + +n (n—2) (n? — 9) (n — 4).
La cowrbe résiduelle (W) est du degré
5 (n—4) (n — 3) (5n? + 5n — 6). ?)

Par la correspondance entre les points T et W d’une même
bitangente, les droites du faisceau O se rangent en une correspon-
dance avec les nombres caractéristiques (n— 4) (n — 3) (2n? + 5n—6)

1) P. H. ScHouTE, Wiskundige Opgaven, 1886, t. 2, p. 307.
2) J. DE VRIES, l.c. t. 13, p. 751.
ARCHIVES XI. 15

108 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

et (n—4)(n—3)(5n? +5n—6). Toute bitangente issue de O
représente 2(n—4) coincidences. Les coincidences restantes pro-
viennent des coincidences T= W. On retrouve de cette manière
le nombre des bitangentes qui sont en méme temps des tangentes
d’inflexion (tangentes #3).

Considérons maintenant la correspondance entre les rayons OW,
OW’. C'est un système symétrique à nombre caractéristique

4

> (n — 4) (n — 3) (Dn? + 5n—6) (n— 5). Chaque bitangente menée
de O en absorbe (n — 4) (n — 5) coincidences. Donc, le nombre
des coincidences W=W’ est égal à

(n— 3) (n—4) (n—5) (Bn? + 5n—6) — 2n(n—2) (n— 3) (n—4) (n—5)—
= 3 (n — 3) (n — 4) (n — 5) (n? + 3n — 2).

A

Si deux points W coincident, on a affaire à une tritangente.
?
Puisqu’une telle droite représente trois bitangentes, de sorte qu’elle
8 , 1
porte trois coincidences W = W’, nous venons de trouver:
Un faisceau (c") contient (n — 5) (n — 4) (n — 3) (n°? + In
tritangentes. *)

2)

$ 14 On peut établir une correspondance entre les points P’
d'une droite ec’ et les groupes de n (n — 2) (n? — 9) points T= P
de la courbe bitangentielle, de maniére que chaque groupe contient
les points de contact d’une c" avec ses bitangentes.

Dans la formule 2% (p— 1) — 2 P(p —1) =y —y’ on a alors
3 =n (n— 2) (n° —9), ff =1, y =0, pf =0. Done

y = 2 (p—1) + 2n (n — 2) (n? — 9).

Soit n= 4. Les coincidences de deux points P sont fournies
par les points d’undulations et par les points de contact des
bitangentes impropres. En effet, on vérifie aisément que chacune
des (n — 3) (n + 2) tangentes issues d’un point double D remplace
deux bitangentes de la courbe générale. Les 27 points D d’un (c*)
fournissent 27 x 6 x 2 = 324 coincidences. Parce qu’il y a 60 points
d’undulation, on trouve y = 384. Par suite 384 —92 (p— 1) + 112,
d'où p= 137.

Puisque la courbe bitangentielle est du 46° degré, il faut qu'elle
possède un nombre de points singuliers qui équivaut à

1) J. DE VRIES, l.c. t. 14, p. 844.

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 109

= 45 x 44 — 137 = 853. Il est clair qu'ils sont représentés par

les 16 points octuples A et les 27 points sextuples D. Par consé-
quent, la courbe (T) ne peut avoir d’autres points singuliers.

$ 15. Soit n—5. Alors on a encore affaire aux points de
contact des 306 tangentes ts, ($ 11). En effet, une telle tangente
a un contact simple et un contact triponctuel; donc, eller emplace
au moins deux bitangentes.

Eu égard aux points multiples que la courbe (T) possède en
les points A et D, on trouve 2p — 137 x 136 — 25 x 18 x 17 —
48 x 14 x 13 —=2246. Parce que ?=240, on a y —2(p—1) +
2% —=2724. Les points D et les points d’undulation donnent
48 x 28 + 156 = 1500 coincidences. Il en résulte que les 306 tan-
gentes fs; fournissent 1224 coincidences; par suite, une telle
tangente en fournit quatre.

Si l’on a n>5, les tritangentes donnent lieu à un nouvel
groupe de coïncidences.

On trouve

2p = (2n3 —n? — 21n + 17) (2n5 — n? — Zn + 16) —
—n?{(n? +n—12)(n? +n—13)—3 (n—1)? (n? —n—6) (n° —n—7),
d’ou
p = 8n> —19n! + 14n? + 120 n? — 240 n + 73.
Done, on a

y = 6n> — 36n' + 24n? + 222n? — 444n + 144.

Les 3(n—1)? points D fournissent 6 (n—1)? (n —3) (n + 2)
coincidences. Puis, 6 (n — 3) (3n — 2) coincidences proviennent des
points d’undulation et 12 (n—3) (n— 4) (n° + 6n—4) des tangentes
b3. Les coincidences restantes proviennent des (n—5) (n— 4)
(n — 3) (n? + 3n — 2) tritangentes; chacune d’elles en fournit six.

Les courbes tangentielles d’un point de base.

§ 16. Nous avons vu que la courbe tangentielle d’un point de
base A est du (n +1) degré ayant un point triple en A, où elle
est touchée par les tangentes aux trois courbes c” sur lesquelles
A est un point d’inflexion.

Soit A’ un des points qu'une courbe €" a en commun avec la
droite qui la touche en A (point tangentiel de A); soit, de plus,

15*

110 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

A” un des points tangentiels de A’ (point tangentiel du second
ordre). Sur chaque c* il y a (n— 2)? points A”: convenons de
nommer courbe tangentielle du second ordre le lieu des groupes de
(n — 2)? points A” appartenant aux courbes du faisceau.

En général, considérons le lieu, (A”) des groupes de (n — 2)”
points tangentiels du m‘ ordre d’un point de base.

$ 17. Soit r, le degré de cette m’ courbe tangentielle. Désignons
par @,, et par /?,, le nombre de branches de cette courbe passant
par le point de base A et par chacun des autres points de base B.

La courbe (A”~) du point A a en commun avec la polaire
®, les points tangentiels A”), du (m—1) ordre, dont un des
points tangentiels coincide avec A. Ces points sont au nombre
de (@„— 3); en effet, parmi les courbes c” pour lesquelles A se
confond avec un de ses points tangentiels du m’ ordre on trouve
les trois ©” qui ont un point d’inflexion en A.

Les courbes (A”~') et & y sont touchées par les trois tangentes
d’inflexion; par suite, elles y ont en commun 3«, ; +3 points.

Parce que les autres points de base, B, sont des points simples
de la polaire @,, nous aurons la relation

CNT) t= En ones + (mn EEn

Considérons maintenant les intersections de la courbe (4-1)
avec la polaire ;. Elles ont en commun les /,, points A”V dont
un des points tangentiels 4” coincide avec le point de base B.
Il est clair que 3/5, intersections sont réunies en B, tandis que
le nombre des intersections situées en À et en chacun des points
de base restants est représenté par «,_, et par /» 1. Par suite
nous aurons

(Zn — 1) Bal fam + Omi ae (n? = 1) es he linke (2)
En observant que la courbe (A”) contient les (n — 2)” points

tangentiels A” d’une courbe c”, on arrive à la relation

Nin, — En En: —41) 8, (NI) 2 ECM)

§ 18. Afin de trouver une équation aux différences finies qui
ne contient que la fonction r,,, il nous faut éliminer les fonctions
Er EL Dr.

En remplaçant, dans (3), «, et /?, par les expressions tirées des
des équations (1) et (2), nous aurons

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 111

NT», = n> (2n a 4) Emi (n° + 2) Ami + (n? a 1) Pt | ne (n a 2)” .

Eu égard à la relation (3), on peut remplacer @,,_; + (n?—1) Pu-ı
par nr„_1— (n— 2)" 1. Par suite, on a

Em = (n? —n — 2) vn + (Nn +I) mn — 23" ..... (4)
Eu combinant cette équation avec la relation analogue
Tm = (n? — 2 —2) ma + (n + 1) (n — 2)” ?,

on trouve l'équation homogène

Tm — (Nn — 2) (n + 2) mat n — 2)? (n +1) T-2= 9... (5)
Soit 7, —%" une solution particulière. Par substitution, on trouve
x? —(n—2)(n + 2)4 + (n—2yP (n +1)=0,
d’où
2—=n?—n—2 ou ı=n—2.
Done, la solution générale a la forme
Im Cy N — Rn 2 6, (B — 2)".
En remplaçant, dans (4), m par 2 et 7, par n + 1, on trouve
T, =(n +1)(n? —4).
Donc les constantes c, et c, vérifient les relations

(n + 41) (n? + 4) =c, (n? —n — 2)? + ¢, (n—2)?,
n+1=c, n—n—2)+c,n—2),
Finalement, on trouve pour le degré de la courbe (A”)

m+ 1)"—1

Tm == (n + 1) (n — 2)” D Puce ae ae (6)
Des équations (1) et (2) on déduit
Gm — [Pm = — 2 (@m_1— [Pm-1) »
Par suite, on a
ENTF P)E- in... (7)

En faisant usage des relations (3) et (6), on trouve

ny (mn — "tn + APH + A(n? — 1) (— 9)", . (8)

n°? Am (n — ON | (n + m Hl — In + 1 + (— Q\m (9)

«(wen Sele ane

112 FAISCEAUX DE COURBES PLANES.

Lieu des points sextactiques.

$ 19. Supposons qu'une courbe c” ait en A un contact du 4°
ordre avec une conique c?, de sorte que 5 de leurs intersections
sont confondues dans À.

Elles auront encore en commun (2n —5) points R.

Désignons par e le degré de la courbe (2), lieu des groupes
de (2n—5) points R situés sur les courbes c” du faisceau. Soient
a et /? les multiplicités des points de base A et B.

Considérons la relation entre la courbe (R) et la courbe tangen-
tielle du point A. De leurs intersections /? sont réunies en chaque
point B et (Ba +3) en A. En effet, la courbe (R) est touchée en
A par les trois tangentes d’inflexion dont le point de contact
coincide avec A, et il est évident qu’une telle tangente doit étre
considérée comme une droite double, de sorte qu’un des points
R se confond avec A.

Les (n— 3) points R, que cette tangente d’inflexion a encore
en commun avec la €” correspondante seront des points singuliers
de la courbe (R).

Désignons par « la multiplicité d’un point #, parmi les inter-
sections des courbes (2) et (A’), de sorte que u de ces intersections
sont réunies en #,. Alors on aura la relation

(n + 1)e—=3(a +1) + (n?—1) +3 (Nn —3) un... . (10)

En considérant les intersections de la courbe (R) avec une c” du
faisceau, on obtient l'équation

no — a + (m? —1)P+Q@—5)........ (11)

Il est évident que les coniques c? qui, en A, ont cinq points
en commun avec les courbes c", forment un système à index /;
en effet, il arrive /? fois qu'un point R coincide avec un point
de base B. Parce que ce système est en relation homographique
avec le faisceau (c”), les intersections Q, Q’ d’une droite avec les
couples de courbes homologues se rangent en une correspondance
(2,n/). En effet, par un point Q il passe une c”, et la conique
correspondante coupe la droite en deux points Q’. Un point Q’
est situé sur /? coniques, et les courbes c” homologues déterminent

nf? points Q. Chaque coincidence étant un point R, on obtient
la relation

DER AD" OR eee ley

FAISCEAUX DE COURBES PLANES. bis

Des relations (10), (14) et (12) on déduit, par l’élimination de »
et a, l'équation

(n — 2) 5 =n (Bu — 2) —(9u — 16),

1 12 — 3u
d'où P=3u—2+ AE ON
Puisque /? est un entier, il en résulte «= 4, Cela veut dire
que par chaque point R, passent deux branches de la courbe
(R) ayant la même tangente qui y touche encore la courbe tangen-
tielle.

Maintenant on trouve
p—10_¢—15 et o—10 7 F2,

§ 20. Parce que « — 15, chaque point de base se confond 12 fois
avec un des points R. Done, le lieu des points sextactiques passe
douze fois par chaque point de base. Comme une courbe générale
du n° degré possède 3n (4n — 9) points sextactiques 1), le lieu de
ces points aura 3n (An — 9) + 12n? points en commun avec une
e” du faisceau. Donc: Le lieu des points sextactiques est une courbe
du degré 3 (8n — 9) avec n? points multiples du douzième ordre.

5) Cayrey, Phil. Trans., 1865, t. 155.

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SUR UNE RELATION ENTRE LES VALEURS
k DES SOLUTIONS SALINES-

PAR

E. VAN DER VEN.

Dans ma derniére étude ') je fus frappé par une relation
particulière, que je croyais observer entre les pouvoirs conducteurs
pour l’électricité des différentes solutions salines, selon laquelle
le pouvoir des solutions de huit sulfates serait surpassé par celui des
azotates, qui lui-ménte serait subordonné à celui des chlorures et
des chlorides. Pourtant, comme alors je ne fis cette observation
qu’en chemin faisant et que l’examen, dont il résultait, ne me
semblait pas étre entouré de toutes les garanties auxquelles le
sujet avait droit quand il se presentait comme cause principale,
je promettais alors le reprendre; et c’est dans cette étude que je
présente le résultat et les détails de cette nouvelle recherche.

Comme on se rappelera j’ai déduit le rapport des valeurs k de
celui des valeurs !/;, auxquelles se réduisent celles de la différence

, d sib. He
potentielle 7V = En des parois intérieure et extérieure des vases

poreuses, données par l’experience, si pendant tout l’examen on
se sert d’un courant d’une intensité constante et qu’on réduit les
valeurs d et m, de manière qu’il est si toutes les vases ont une
même épaisseur et une porosité égale. D'où il suit que l’exacti-
tude des valeurs ‘/; dépend en premier lieu de celle des valeurs
trouvées AV, en second lieu de celle des valeurs d et m.

Quant aux premières, elles sont déterminées dans mon étude
citée ?) au moyen de deux lames de cuivre, fixées parallelement,

1) Archives du Musée Teyler, S. II, T. X, p. 85.
*) Ibid, p. 96.
ARCHIVES XI. 16

116 SUR UNE RELATION ENTRE LES

june vis à vis de l’autre, dans un petit bloe d’ébonite; en faisant
ce bloc glisser sur le bord de la vase les deux lames glissaient,
en faisant ressort, l’une sur sa parois intérieure, l’autre sur celle
extérieure. Ces lames étaient conductivement réliées aux électrodes
d’un multiplicateur, dont j’observais les indications en six posi-
tions différentes, croyant éliminer, en prenant la moyenne des
valeurs observées, l’effet de l'épaisseur et de la porosité différentes
des parties de la parois.

Comme il yavait raison de craindre, et que cette manière de
faire ne me ferait pas connaître la valeur exacte de ZW, et que le
déplacement continuel des lames devait nuire à leur serrement
invariable contre les parois, je me suis servi dans la présente
étude de deux cilindres métalliques très minces, percés d’un grand
nombre de trous, qui s’appliquaient, l’un contre la surface intérieure,
l’autre contre celle extérieure. Ces cilindres sont encastrés dans
un anneau d’ébonite, qui repose sur le bord de la vase; ils sont
construits du métal qui fait partie de la composition du sel en
solution; en les construisant de cuivre je craignais que leur contact
nuirait à la pureté des solutions. Aussi je me suis assuré avant
chaque observation si le passage du courant principal n’avait
occasionné une différence de potentiel entre les cilindres eux-mêmes,
dont l'effet ’s ajouterait à celui de la différence des deux parois;
et s’il y en avait j'en ai corrigé les indications du multiplicateur.

La détermination de m s’est fait au moyen de la formule de

£7 Qd B
M. PorseuiLLe: m=)/ 2e dans laquelle Q représente le poids

e

de la quantité d’eau distillée, qui, dans un temps donné, s'est
écoulée de la vase poreuse, sous la pression latérale s. Pendant
mes recherches ci-dessus citées !) je me suis souvent successive-
ment servi d’une même vase pour l'examen de solutions de com-
position différente ; mais, comme je me suis aperçu que le nettoyment
de la vase, qui, en agissant ainsi, était nécessaire entre deux
emplois successifs, faisait varier la quantité Q, je me suis servi
pour mes recherches actuelles d’un assemblage de trois vases
particulières pour chacune des solutions. J’obtenais ainsi trois
valeurs indépendantes de 4V; en réduisant chacune d’elles aux
mêmes valeurs de d et de m, pour lesquelles j'ai pris d—=4mM.,
m — 0.400 mM., je me suis procuré trois valeurs, qui, en devant

1) Archives du Musée Teyler, S. IL, T. X, p. 436.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. Te

être égales, me faisaient connaître l’erreur probable du résultat de
mes recherches

Quant à la température, qui est d’une si grande influence, aussi
bien sur la résistance des solutions que sur la vitesse de leur
écoulement, j'ai tâché la maintenir entre des limites resserées,
en n’operant qu'avec des fluides dont la température égalait celle
de l’air ambiant, maintenue à + 64° F. Cette température a du
être choisie, parcequ’en voulant trouver au moyen du rapport
des valeurs '/, celles des coëfficients %, il fallut prendre pour base
la valeur de k, trouvée pour une quelconque de nos solutions au
moyen d’une méthode directe; et les déterminations de ce genre
ont été pour la plupart faites à la température 18° C.

Ajoutons encore que dans cette étude je ne me suis pas borné,
comme dans la précédente, à chercher les valeurs '/;, qui ont
rapport à une seule concentration: 5 grammes de sel crystallisé
sur 105 grammes de solution. J’y ai ajouté les solutions contenant
7.5 gr. et 10 gr. sur 100 gr. d’eau, en exceptant seulement celles
du chlorure de cuivre et du chlorure de zinc, pour lesquelles la
concentration 7.5 % a été oumise. La résistance des solutions de
ces sels est assez petite pour faire tomber les limites des erreurs
probables, qui ont rapport à cette concentration, dans la domaine
de celles des deux autres.

Les résultats de ces recherches sont rassemblés dans le tableau
suivant; les deux appendices, que je fais suivre, en contiennent
les détails, la première (pag. 122) pour ce qui regarde la détermi-
nation de d et de m, la seconde (pag. 124) pour ce qui regarde
celle de JV.

De ce tableau la premiére colonne donne les noms des sels
crystalisés en solution, la deuxième le poids de sel anhydre res-
pectivement contenu dans 105, 107.5, 110 gr. des solutions. Quand
aux poids atomiques, au moyen des quels ces poids ont été cal-
culés, il sont pris du Chemiker kalender de M. Rupour BIEDERMAN,
pour 1905.

La sixième colonne, enfin, contient les valeurs de k pour une
concentration de 5 grammes de sel anhydre sur 100 cM*. de
solution. Elles sont calculées au moyen des valeurs !/,
dans la cinquième colonne, en prenant pour unité celle trouvée
par M. Lone pour une solution de chlorure de zine de 5°/.. Ce
calcul, assez embarassant, je me le suis imposé pour faciliter la

16*

contenues

118

SUR UNE RELATION

ENTRE

LES

comparaison des valeurs k, aussi bien entre elles qu’à celles
directement trouvées par des autres opérateurs; comparaison qui
ne se fait pas facilement au moyen des données de la cinquième
colonne, à cause de l’inégalité des poids de sel anhydre, contenus
dans les solutions de chaque sel en particulier. En exécutant le
dit calcul je n’ai porté en ligne de compte que la deuxième déci-
male, les erreurs probables des valeurs 4V affectant en général
les centièmes de volt d’une unité.

Noms des sels en

2.

Poids du sel

3.
Poids

| specif. des |

4.

5.

| Pa
Sel anhydre | Rapport !/x

des

6.

| IX Ken pout
| 5 gr. de sel anh. «

solution. anhydre y compris. | solutions, | SU" 100 cM?. Sélenrs AT sur 100 cM?.

Cu SO, +5 Ag. En |
5 gr. sur 105 gr. | 959 % 5 gr. =3.20gr. 1.0310 3.14 gr. | 1.823 + 0.003 |
1:5: 5 107.5 7.5 480 , 468 4.67 , 305) 0017/59
WO oh AN 1095 6,40 „ 637 6:19! 5 „036 „012

Zn SO, +7 Aq. ies |

5 gr. sur 105 gr. = X 5 gr. = 2.82 gr 1.0280 2.74 gr 2.341 + 0.011 |

TD ur ATEN AMEN, 45 407 , | 1.657.013 152
WY ey LO 107; 5.64 „ 552 5.31 , .282 .010

Fe SO; + 7 Aq. +
5 gr. sur 105 gr. TR & gr 2.10 gr 1.0267 2.64 gr 9.290 + 0.028 |

UD SN, HUE, TES 4.05 387 SL, 1.689 .015 167
10 110 10 5.40 , 538 B „190 O11
2 Fe3S0; +9 Aq. ED

5 gr. sur 105 gr. 563 X 5 gun =3.56gr | 1.0352 3.91 gi 1.965 + 0.022

US We 7.5 , 5.34 , 525 5.23 | .478 .020 | 136
(Mt) 5 OS 1025, zele 725 6.94 , .036 .023

Ni SO, + 7 Aq. "te

5 gr. sur 105 gr. ET x gr. = 2.76 gr 1.0295 9.71 gr 3.340 + 0.018

1s MOTS 15 4.14 429 POV OR Ci} 100
LORE OE, 107 5.52 , 567 5.30 „ 1.950 .007

Cu N, Og + 6 Aq. 1

5 gr. sur 105 gr. „05 (rye = Ed 1.0246 3.10 gt 0.863 + 0.006

15 Corse |e 75 217, 367 163% |. 630 08 354
10 > 110700 10 6.36 , 495 6.06 | 485 07

Zn Ns Os +6 Aq. en |

5 gr. sur 105 gr. 308 X 5 gr. = 3.02 gr. 1.0273 2,96 gr. | 1.051 + 0.003

HD, OE IE 7.5 4.53 „ | 404 4.39 | 0.784 .007 345
Da, 110 10 , 6.04, 549 5.79 | 557.008

|
-
|

|

VALEURS £ DES SOLUTIONS SALINES. 119
de 2. 3. 4, | FF 6.
; | If 5
Noms des sels en | Poids du sel mine Sel anhydre Rapport lk | 10°X kygo o, pour
luti hyd x | specif. des 400 cM? des 5 gr. de sel anh.
Bester SIE RE VUE solutions. |°U! cM’. valeurs AV. sur 100 cM.
Pb N, 0, ar | |
5 gr. sur 105 gr. aar X 5 gr. =5.00gr. 1.0431 4.97 gr. | 0.992 + 0.007 |
DE 10725: „ Thee, TED 653 Tas .162 .004 | 212
(DEN = 110 … ; 10 , 10.00 , 901 9.91 , 567 .004
2 Fe 3(N: 05) + 18 Ag. | poy | |
5 gr. sur 105 gr. 808 X 5 gr. = 3.00 gr. 1.0235 2.91 gr. 0.922 + 0.007
mies, 1075 ; 75, 450, MU 407239 a 139° 014 324
Be, 110 , ‘i; 600°, 457 | 5.70, | .543 008
|
Ni N, O6 +6 Aq. Hen |
5 gr. sur 105 gr. 993 x5 gr. =3.14gr. 1.0255 3.07 gr. | 1.580 + 0.020
UD RME Toren Ait > 382 455 , 173 .006 202
mer ste LAO, ise 10; 6.28 „ 519 209, 0.832 .009
Cu Cl, +2 Ag. 134,5
5 gr. sur 105 gr. 1705 * 5 gr. = 394gr. 1.0352 3.80 gr. | 0.561 + 0.013
LD 107.5... TDs, 5.91 „ LIN 518 = 495
fee 110 „ (OP ee 670 mon 0.351 + 0.011
Zn Cl. 136
5 gr. sur 105 gr. 136 * 5 gr. = 5 gr. 1.0395 4.95 gr. 0.465 + 0.004
ben 1075 ,, UD % 75 , 613 7.40 , — 452
DO. 110 …, (DR 1007 842 Here 0.285 + 0.004
Ni Cl, + 6 Ag. An
5 gr. sur 105 gr. | gg X5 gr. = 2.73 er 1.0251 | 2.67 gr. | 1.229+0.005 |
Don 1075. 1 AO 353.7. |, (3169), 0.890 .009 | 295
OR 110, ,, to 5.46 „ 439 5:21 „ .685 .006
Fe, Cl. 395 |
5 gr. sur 105 gr. 395 or ob ye 1.0235 4.87 gr. | 0.583 + 0.008
ie LOTS :, IBD 15 , 344 DE 415.003 368
Beer, 110 , 10022 CLO oe 462 gl, 296 .006

Si, pour faciliter une comparaison,
de k de la manière suivante:

Cu

SO, 159
N,0, 354
Cl, 495

Zn Fe
152 167
345 324
452 368

il paraît que la règle,

Ni 2Fe3S0, PbN,
100 136

902 912
295

nous arrangeons les valeurs

0;

120 SUR UNE RELATION ENTRE LES

le pouvoir conducteur des solutions de chlorures surpasse celui
des solutions d’azotates, qui lui-même surpasse celui des sulfates,

que dans une étude antérieure !) nous croyions pouvoir déduire
de recherches, institutées dans un autre but, est trop générale. Ce
sont les solutions de chlorure de nickel qui seules y font excep-
tion, parceque leur valeur de & est inférieure à celles des solutions
des azotates de cuivre, de zine et de fer; comme l’on voit, les
solutions des sels de nickel se distinguent en général par leur
grande résistance au passage du courant.

L'examen actuel, spécialement institué dans le but de contrôler
une règle, ,trouvée” comme nous l’avons dit, „par un chemin
détourné”, conduit, du moins pour les solutions examinées, à
cette réstrietion :

„des solutions de sels, qui ont une même compo-
sante electropositive”, le pouvoir conducteur des
solutions de chlorures surpasse celui des solutions
dazotates, qui lui-même surpasse celui des solutions
de sulfates.

Nous espérons bientôt étendre ces recherches pour voir, si cette
règle vaut encore pour les solutions d'une autre constitution que
celle des sels jusqu'ici examinés.

Comme l’on voit, j'ai déterminé les valeurs de '/, pour trois
concentrations différentes; en ayant égard au but que je m'étais
proposé en commençant cette étude cela n’aurait pas été nécessaire.
Mais j'étais désireux de savoir de quelle manière les pouvoirs con-
ducteurs de solutions de concentration différente se rapportent entre
eux; et ce sont les valeurs de '/, qui nous apprennent ce rapport.

Tandisqu’en général le rapport des poids du sel anhydre en
solution ne différe que peu de 1:1.5:2, il parait que celui des
pouvoirs conducteurs est toujours inférieur à ce rapport.

En effet nous trouvions:

CuSO; ME SINR OMIC HIN OS EME ST EMA (CCl. sE
Zn SO,... 12 13180) Zn No Og. 1213842189. Zn CL — 1568
He SOs. dE: A BORMEOSMELBEND Oo 5 MMS OEM END OL Psalter Rl)

9 Fe8SOr... 1: 4381590 2Fe3(N, Os) 1:1.25:1.70 Fe; CI 1: 1.40): 1-97
NAS Ore AM OGEMETINENTEN OG 1 5E 90!

L'on voit que le rapport des pouvoies conducteurs est, en

1) Archives du Musée Teyler, S. I, Vol. X, p. 458.

VALEURS / DES SOLUTIONS SALINES. 121

moyenne, comme 1:3.3:1.8; les chlorides de cuivre et de zine
seuls, qui à leur grand pouvoir absolu joignent un petit pouvoir
relatif, font exception sur cette règle.

Entre les sels que j'ai examinés il n’y a qu’un petit nombre,
dont les solutions de concentration relative égale à celle des nôtres
ont fait le sujet d’une publication.

Il n’y a que celle de M. F. KoxLrAUSCH

pour le CS Oren SE PE EP I LOR er 3005E1appoert: 14-197
et le Zn SO, ns 179 301 5 lB TE
de M. Freunp
POUR 0 SOR 220 1 On 20 Wrap porti 6
et le Zn SO, 5% 116 10°, 183 5 VE:
de M. Lone
pour le CuN, O0; ... 5°, . 341 LORD RTP Ports 1:7
et le Zn Cl, - 452 5 630 5 es

Elles se comportent assez bien avec les resultats par nous
obtenus, aussi bien en général qu’en ayant égard à la petite
valeur du rapport des deux solutions de chlorure de zinc.

Que l'accroissement de k n’est pas proportionnel à celui de la
concentration des solutions salines, nous conduit à une conside-
ration, qui peut nous éclaircir de plus près sur le caractère de
la charge de contact entre ces solutions et une paroi poreuse.

Pourtant, dans le cours de ces recherches nous avons démontré
à plusieurs reprises !) que, du moins quant aux solutions exami-
nées, les poids T, qui dans un temps donné sont transportés par
un courant donné, sont les réciproques de la concentration des
solulions transportées.

Si done à présent il paraît, que dans 4V = u la valeur de

k n'est pas proportionnelle à la concentration, il ensuit que dans

Péquation *)
A
5 ’

S
dans laquelle Q reste constant, la charge E varie avec la con-

centration d’une solution saline.
Nous espérons qu'il nous sera donné d’examiner encore ce

en aussi.
Haartem, Mai 1907.

1) Archives du musée Teyler, S. Il, V. VIII, pp. 217—233, pp. 372—392,
pp. 502—515; V. IX. pp. 118—130, pp. 232—247, pp. 581—604.
“Tha SIT, VEND 92:

122

Diamétre à niveau d'eau.

A à mi-hauteur...
En AU TONG. en.
Epaisseur moyenne.......

Pression latérale.........

sous laq. il efflue en 1 h.

Porosité relative.........

Int. Ext.
Diamètre à niveau d’eau. 68.5 77 mM.
5 à mi-hauteur.. . 67.0 1
= au LONG ates ee ee 66.0 Ja,
201.5 220
8 — 3 —
67.2 75.3 mM.
Epaisseur moyenne.... .. d= %(75.3--67.2)=4.05 mM.

Pression laterale.........
sous lag. il efflue en 1 h.

Porosite relative

Diamètre à niveau d'eau.
à mi-hauteur..
je anton dere re

Epaisseur moyenne
Pression latérale.........

sous lag. il efflue en 1 h.

Porosité relative

SUR UNE RELATION

ENTRE LES

Appendice

Examen

Hauteur de l’eau distillée dans toutes les vases :

VASE N°. 1.

Int. Ext.

68 78 mM.

68 Was +

67 76 5

203 231 5
8 B

67.7 77.0 mM.

d = % (77.0—67.7) = 4.65 mM.
S = n. 1422, 33,85 = 2143 gr.

Q = 20.66 gr.
M DA = 2 = 0476 mM.

VASE N°. 4.

S = 1.1422. 33.6 = 2127 gr.
Q = 22.31 gr.

m= ed = 0.453 mM.
WEA SENS 7s
Int. Ext.
69.0 77.0 mM.
67.5 TADS ae
67.0 TED.
203.5 9975.
3 —
67.8 75.8 mM.
d= % (75.8—67.8) = 4 mM.
S= 7.1422. 33,9 = 2146 er.
Q = 17.475 gr.

Zu = Ee a = 0,424 mM.

18

des vases.

142 mM.

VASE N°, 2. VASE No, 3.
Int Ext. Int. Ext.
67.5 76.5 mM: 68 78.0 mM
68.0 ii 68 76:5
67.0 740 „ 67 75:5
902.5 9355 … 203 230 5
== 3 er —
67.5 75.2 mM. 67.7 76.7 mM.

d= % (75.2 —67.5) = 3.85 mM.
S = n.142?. 33,75 = 2137 gr.

Q = 23.50 gr.
Slee = = 0.445 mM.

VASE N°. 5

Int. Ext.

69 77.5 mM.
68 16.0 „
67 145 5
204 228 =
3 res

68 76

d= % (76—68) = 4 mM.
S = n.142?2. 34 = 2153 gr.

Q = 31,5 gr.
m =~ en = 0.490 mM.
VASE N°. 8
Int. Ext.
69.0 78.0 mM.
68.0 72.0 5
67.5 198, >
204.5 930.5 „
3 — =
68.2 76.8 mM.
d = % (76 8—68.2) = 4.3 mM.

S= 7.1427. 34,1 = 2159 gr.

Q = 18.3 gr.

9.
m = ©: 2 0.436 mM.

d= % (16.7—67.7)=4.5 mM.
S =n,142°. 33,85 = 2143 gr,
Q = 9.98 gr.

map = À _ 0.374 mM.

VASE N°. 6.
Int. Ext.
69.5 77.5 mM.
68.0 76.0 „
67.0 750 ,
2045 2985 ,

3 3

68.2 76.2 mM.

= % (76.2—68.2) = 4 mM.
S = 2. 1497, 34,1 = 2159 gr.
Q = 26.325 gr.

= _ d = 0.473 mM.

VASE N°, 9.
Int. Ext.
69.0 77.0 mM.
67.5 11.05
67.0 15.5 5
203.5 229,5.
3 Er
67.8 76.5 mM.

d= % (16.5—67.8) =4.35 mM.
S= x.149?. 33,9 = 2146 gr.
Q = 21.075 gr.

m= see = 0.452 mM.

_ Diamètre à niveau d'eau.
| " à mi-hauteur...
ne BY LONG en ee

Épaisseur moyenne.......
Pression latérale.........
sous lag. il efflue en 1 h.

Porosité relative.........

Diamètre à niveau d’eau.
= a mi-hauteur.. -
5 UMO ree

N

4

Porosité velative.. rare …

Diamètre à niveau d’eau.
4 à mi-hauteur...

3 & ALONG. 2...

‘Epaisseur moyenne
Pression latérale.........
sous laq. il efflue en I h.

Porosité relative.........
L

Diamètre à niveau d’eau
a à mi-hauteur. .
A ANE TON Cer. dere eee

sous lag. il efflue en 1 h.

VALEURS À DES SOLUTIONS SALINES.

VASE N°. 10.
Int. Ext.
69.0 77.0 mM.
67.5 FES
66.5 13:0),

203.0 997.5
67.7 75,8 mM.

d= %4 (75.8—67.7) =4.05 mM.
S=7. 142? .33,85=2143 gr.

Q = 19.4 gr.
mn 2 = 0.438 mM.
VASE N°. 13.

Int. Ext.

68 78.5 mM.
67 755 „
66 750%,
201 999

3 —— == +
67 76.3 mM.

d= % (16.3 — 67) = 4.65 mM.
S=7. 1422. 33,5 =2121 gr.
Q = 28.9 gr.

0
m=P Le = 0.502 mM.
VASE N°. 16.

Int. Ext.

69.00 77.5 mM.
67.25 79:50,
67.00 15.00,
203.25 228 „
3 Pe ——
67.75 76 mM.

d= % (76—67.75)= 4.125 mM.
S= 7.142? 33,875 = 2145 gr.

Q = 19.72 gr.
m= = = 0.442 mM.

VASE N°. 19.

Int. Ext.

68.5 77.00 mM.
67,5 76.50 ,
66.0 74.15 „
202.0 9383775
67.6 76.08 mM.

ARCHIVES XI.

VASE N°. 11.

Int. Ext.
69.0 77.0 mM.
67.5 165°,
67.0 16.07 .,
203.5 33957 ,
BEN rer

67.8 76.5 mM

d= 4 (16.5—67.8)=4.35mM.
S— n .142° .33.9=2146 gr.
Q=135gr.

(0
we = = 0.412 mM.

VASE N°. 14.

Int. Ext.
68.5 78 mM.
67.0 1
66.5 13 &
202 231 „
67.3 77 mM.

d= % (77 —67.3) = 4.85 mM.
S=7.142? . 33,65 = 2130gr.
Q = 31.07 gr.

O.d
m= Yr =

sis 0,513 mM.

VASE N°, 17.

Int. Ext.
69.25 77.0 mM.
67.00 16.08,
66.50 13:06 ,
902.75 SEN 5
3 — 3 ——
67.58 76 mM.

d= \% (76—67.58) = 4.21 mM.

S= x . 142% .33,79 = 2140gr.

Q = 14.55 gr.

me = 0.410 mM.

VASE N°. 20.

Int. Ext.
68.50 77.25 mM.
66.50 75.25 »
66.25 75.50 ,
201.25 228.00 „
3 - 3 —
67.08 76.00 mM.

123

VASE N°. 12.

Int. Ext.

69.5 79.0 mM.
68.0 HO

67.5 150 «

205.0 231.5 „

==, 43

68.3 77.2 mM.

d= (77.2—68.3)=4.45 mM.
Sn . 142? .34,15=2162 gr.
Q = 25.8 gr.

wee = = 0.480 mM.

VASE N°. 15.

Tot. Ext.

69.5 77.5 mM.

68.0 10:00

67.5 155 ,

205 MID
Ge eure

68.3 76.3 mM.

d= 4 (76.3 — 68.3) =4 mM.
S=n.142? . 34,15 = 2162gr.
Q = 28.05 gr.

VASE N°. 18.

Int. Ext.
69.00 78.5 mM
67.25 Hie: se
66.50 16:0) ,
202.75 B39) =
3 — 3 ——
67.58 77.3 mM.

d=\4(71.3—67.58)= 4.86 mM.
S= 7.1422, 33,79 =2140gr.
Q = 93.75 gr.

O
m = edn 0.480 mM.
Ss
VASE N°. 21.
Int. Ext.
69.375 77.000 m.M
68.000 76.000 .
67.750 75.375 „
905.125 28375 -
3 —— Bu
68.375 76.125 mM.
ligg

124 SUR UNE RELATION ENTRE LES

Epaisseur moyenne..... = 1 (76.08— 67.66)=4.21mM.d=% (76.0—67.08)=4.46 mM. d=1/o(76.125—68.375)=3.875mM.
Pression latérale. ....... jr = 7.142? 33,71 =243tgr. S=n.142?.33,54=212igr. S=7.14922.34,19 =2165er.
sous laq. il efflue en 1 h. Q = 18.71 gr. Q=164 gr. Q = 16.20 gr.
Porosité relative. ...... m= ae =0436mM. m= B ZE = 0.430 mM. m = Le = 0.413 mM.
VASE N°, 22. VASE N°. 23. VASE N°. 24.
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d'eau 70.5 78.75 mM. 1175 79.00 mM. 69.0 78.00 „
à mi-hauteur. . 67.5 THAD 2 68.00 77.00 ih 67.5 11,500
au LONG -7 65.0 76.00 , 66.00 16:00 66.0 76.75 „
203. 0 931.75 * 205.75 232.0 , 202. 5 232.25 ,
Bm 3 — - 8 — 3 3 ae
67. 7 77.25 mM. 68.58 77.33 mM. 67.5 77.42 mM.
Epaisseur moyenne. .... d= % (77.25—67.7)=4.77 mM. d= % (77.33—68.58) =4.375mM. d= %(77.49— 67.5) = 4.96mM.
Pression latérale. ....... S=7x,1492.33,85 = 2143gr. S=x.1492.34,99—918tgr. S=n.1422.33,15 = 2137 gr.
sous lag. il efflue en 1 h. Q = 18,55 gr. Q = 18.7 gr. Q = 25.725 gr.
id: e cE d = Q.d 2 d
Porosite relative. ...... m = D —— =0450mM. m= Spas 0.440 mM. m=W% ——— =0.484 mM.
VASE N°. 95. VASE N°. 96. VASE N°. 27.
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d'eau 69 77.25 mM. 69.5 78.0 mM. 69.0 77.0 mM.
= a mi-hauteur.. 65 106.900, 67.5 15:0'7%, 67.0 76:0. "5
= AUNIONT Eee 67 76.00 , 67.0 15:07 66.0 16.0
204.0 999. 50 , 204.0 998. 0 = 202.0 22905
3 — 3 —— 3 3 — 3 —— 3 ——
68.0 76.50 mM. 68.0 76.0 mM. 67.33 76.33 mM.
Epaisseur moyenne. .... d=% (76.50—68.0)=4.25m.M. d= % (76.0 — 68) =40mM. d= % (76.33 —67.33)=4.5 mM.
Pression latérale........ S=7.142?.34,0=21538¢er. S=n. ee 34,0 =2158 er. S = x 142? . 33.66 = 2131 gr.
sous lag. il efflue en 1 h. Q = 19.07 gr. = 16.7 gr. Q = 16.865 gr.
Porosité relative........ m = ee = 0444mM. m= od =0.436mM. m =P —— = q = 0.431 mM.
Vase N°. 98. Vase N°. 99. Vase N°. 30.
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d’eau 68.00 77 mM. 69.00 Hi mM. 69.00 77.00 mM.
à mi-hauteur. . 65.50 76 = 68.00 77 8 67.00 7550 „
5 autonde nee 65.50 76 2 66.75 75 5 66.50 79.1000,
199.00 299 à 203. 75 229 je 202. 50 228.25 5
- — 3 — 3 3 —— 3 —— 3 ——
66.33 76.33 mM. 67. 92 76. 33 mM. 67. 50 76.08 mM.
Epaisseur moyenne ..... d = 4 (16.33 — 66.33) = 5 mM. d= 4 (76.33 —67.92)=4.2 mM. d= 4 (76.08—67.50) =4.29 mM,
Pression latérale........ S=a. 1422 .33.165 = 2100 gr. S=a. 142? . 33.96 =2150 gr. S=a. 142? .33.75 = 2137 gr.
sous lag. il efflue en 1 h. Q = 30.5 gr. Q = 29.17 gr. Q = 30.55 gr.
eof 2 O.d Q.d 9 .d
Porosité relative........ m = Se 0.520 mM. m= WW ey 0.490 mM. m= se = 0.500 mM.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES.

125

Vase N°. 31 Vase N°. 32. Vase N°. 33
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d’eau 69.00 79.00 mM. 69.50 79.25 mM. 69.375 77.75 mM.
5 à mi-hauteur. . 67.00 TUI AE 67.25 711.500 , 67.500 Lone
3 anslonde...... 66.50 15.152, 67.00 76.50 „ 67.125 76.00 ,
202.50 232.50 „ 203.75 233.25 ñ 204.00 231.00 „
3 = = —— 3 =
67.50 77.50 mM. 67.92 77.75 mM. 68.00 77.00 mM.
- Épaisseur moyenne..... d= % (77.50—67.50)= 5.0 mM. d=%(17.75—67.92)=4.92mM. d= % (77—68) = 4.5 mM.
Pression latérale........ S=7. 142? . 33.75 = 2137 gr. S=a. 142? .33.96 = 2150 gr. S=. 142? . 34.00 = 2153 gr.

- sous lag. il efflue en th. Q = 18.90 gr. Q = 9.075 gr. Q = 11.65 gr.
a Q.
» Porosité relative........ = ad = 0.503 mM. m= tte = 0.394 mM. m= pp of = 0.395 mM.
| Vase N°. 34. Vase N°. 35. Vase N°. 36
| Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamötre ä niveau d’eau 69.00 78.25 mM. 69.25 77.50 mM. 68.50 77.375 mM.
“| à mi-hauteur. . 68.00 THA) Se 67.00 LOO a 67.00 75.750 „
nu 67.75 76.50 , 67.00 76.00 , 67.00 75500 ,
204.75 231.75 „ 203.25 230.50 ,, 202.50 298.625 ,
3 3 - — 3 —— 3 - 2
68.25 1125 25 mM. 67.75 76.83 mM. 67.50 76.20 mM.
Épaisseur moyenne ..... d= %(77.25—68.25)= 4.5 mM. 4 = %4(76.83— 67.75)=4.54mM. d= % (76.20—67.50)= 4.35 mM.
Pression latérale. ....... S= 7.142? .34.125 = 2110 gr. S=n.1492 . 33.875 = 2M45gr. S=n. et 33.75 = 2137 gr.
| sous lag. il efflue en 1 h. Q=19.15 gr. Q = 18.3 gr. ) = 18.885 gr.
i Q 3
. Porosité relative........ m= a = 0.450 mM. m=W oe = 0444 mM. m=“ 9.8 _ = 0.445 mM.
Vase N°. 37. Vase N°. 38. Vase N°. 39.
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d'eau 71.00 78.00 mM. 72 78.50 mM. 69.00 77 mM.
2 à mi-hauteur. . 68.00 76.00 „ 69 76.50 „ 68.00 77 >
4 AUVÉONd, ce... 67.25 75.50 „ 67 75. BOR 66.75 75 5
206. 25 299.50 , 208 230. 25 5 203.75 999 n
— 8 —— 3 —— 3 =
68.75 76.50 mM. 69. 33 76.75 mM. 67.92 76.33 mM.
- Épaisseur moyenne..... d@ =}/.(76.50—68.75) =3.875 mM. d = 15 (76.75—69.33)=3.71 mM. d = % (76.83—67.92)=4.20 mM.
… Pression latérale........ S=7. ee . 34.375 = 2176 gr. S=n. 142? .34.665=2195 er. S=7. 1422 . 33.96 = 2150 gr.
| sous lag. il efflue en 1 h. = 9.56 gr, Q = 12.96 gr. Q = 17.40 gr.
| Porosité relative........ m=V - oa Q = = 0.387 mM. m= B Ne 0.430 mM.
Vase N°. 40. Vase N°. 41 Vase N°. 42.
Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d’eau 69.0 77.50 mM. 69 77.5 mM. 69.50 77.5 mM.
à mi-hauteur, . 67.0 TOON 68 76.0 68.50 76.0 5
h ä au fond. ...... 66.75 76.00 „ 67 JA 67.25 Thies
| 202. 75 230.50 , 204 998 . 205.25 998.5 =
3 = 3 ——— 3 — 3 3 — a ===
t 67. 58 76. 83 mM. 68 76 mM. 68.4 76.2 mM.
Epaisseur moyenne ..... d=% (16.83 — 67.58)=46mM. d= 4 (76—68)=4mM. d= % (76.2—68.4)=3.9mM.

Pression latérale. .......

S=7.1492?.33.79 = 2139 gr.

S=7, 149?

04 —=9153gr. S=7,.149?.34.2=2159 er.

sous lag. il efflue en 1 h. Q = 18.975 gr. = 26.9 gr. Q = 29.80 gr.
1 =, 5 Q.d4 9.4 Q.d 5
Porosité relative........ m = ~~ = 0.452 mM. m = TS — = 0.473 mM. m=, 5 = 0.455 mM.

17%

126 SUR UNE RELATION ENTRE LES

17:

Détermination de JV.

d.... epaisseur moyenne.
m... porosité relative.
a. indie, du multiplicateur.

Cu SO, + 5 Aq.

5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 1. VASE N22; VASE N°. 3.
d = 4.65 mM. d = 3.85 mM. d=45 mM.
m = 0.476 „ m = 0.445 , m = 0.374 „
Œ: 09100... 0 00298 PAT œs 1600)... 0:00287PA; mn. AUD Ge 0.00426 A.

Résistance introduite: 500 Ohm.
0.00298 x 500 = 1.490 V. 0.00287 x 500 = 1.435 V. 0.00426 X 500 = 2.130 V.
Réduction à d=4 mM., m = 0.400 mM.
4 476 \ ? u 4 445 \? 4 374 \2
IDR ES MES ue = 9, =
res m) EET ae) Teer (con)
.. = 1,490 X 1.22 = 1.815 Volt. = 1.435 X 1.27 = 1.827 Volt. ..=2.130 x 0.86 = 1.828 Volt.

TE
1.815 — 0.008... 0.000064
8274+ 4 16
898+ 5 25
5.470 > f2=0.000105
3 319) ER

3.2
AV= 1.823 Volt. 0.000018

rf?
= + 0.003 V.

0.6745 17 39

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
Eek dL A757. 0100228 A ie... 30°.4... 0100220) A. a... 41°... 0.00349 A.
0.00228 X 500 = 1.140 V. 0.00220 X 500 = 1.100 V. 0.00349 X 500 = 1.745 V.
1.140 X 1.22 = 1.391 Volt. 1.100 X 1.27 = 1.397 Volt. 1.745 X 0.86 = 1.396 Volt.

12
1.391 — 0.004. . 0.000016
397+ 2 4
396+ 1 1
4.184 x f2=0.000021
ge 32 =
AV = 1,395 Volt. 0.0000035

= f2
0.6745 17 zu = + 0.001 V.
10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
1... 25°.5... 0.00174 A. a. 24,3... 0.00163 A. a... 320.8... 0.00245 A.
0.00174 X 500 = 0.870 V. 0.00163 X 500 = 0.815 V. 0.00245 X 500 = 1.225 V.
0,870 X 1.22 = 1.044 Volt. 0.815 X 1.27 = 1.011 Volt. 1.225 X 0,86 = 1.054 Volt.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 127

a

1.044 + 0.008... 0.000064
O11— 3 625
0544+ 18 324

3.109 > f2=0.001013

we ga, a
AV = 1.036 Volt. 0.000170
0.671451 = + 0.009 v.

3.2

Zn SO, + 7 Aq.

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 4. VASE N°. 5. VASE N°. 6.
d =4.05 mM. d= 4.00 mM. d= 4.00 mM.
m=0.453 „ m = 0.490 „ m=0.473 ,

ts. CU eae 000243 AE 2... Sosa 0.002724 a... 40°... 0.00333 A.
Résistance introduite: 500 Ohm.
0.00333 X 500 = 1.665 V. 0.00272 X 500 = 1.360 V. 0.00333 X 500 = 1.665 V.
Réduction à d= 4 mM.. m = 0.400 mM.

5 2 i N 2 A 6
1.665 x —* x (sm) = 1.360 x x (oo) = 1.665 x X (400) =

405 ~~ \ 400 4 400 4 400
.. = 1.665 X 1.36 = 2.274 Volt. = 1.360 X 1.5 = 2.343 Volt. = 1.665 X 1.4 = 2.324 Volt.
f?
2,274 —0.040... 0.001600
343+ 99 84
3244+ 10 100
6.941 h > f?=0.002541

3 - ‘D>
AV = 2.314 Volt. 0.004235

=f?

0.6745 Ley = + 0.014 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.
a... 31°.3... 0.00256 A. a... 30°.5... 0.00221 A. a... 31°.5... 0.00231 A.

0.00256 X 500 = 1.280 V. 0.00221 X 500 = 1.105 V. 0.00231 X 500 = 1.155 V.
1.280 X 1.36 = 1.690 Volt. 1.105 X 1.5 = 1.660 Volt. 1.155 X 1.4 = 1.620 Volt,
f?
1.690 + 0.035... 0.001089
-660 + 3 9
.620— 37 1369
4.970 © f*=0.002467
3 BNS =
AV = 1.657 Volt. 0.000411
> f2
0.6745 ~~ = - = + 0.014 V.
10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.
a. 26°.5... 0.00184 A. a... 252.7... 0.00176 A. œ... 2607... 000185 Ar
0.00184 X 500 = 0.920 V. 0.00176 X 500 = 0.880 V. 0.00185 X 500 = 0.925 V.

0,920 X 1.36 = 1,249 Volt. 0.880 X 1.5 = 1.320 Volt. 0,925 X 1.4 = 1.297 Volt.

128 SUR UNE RELATION ENTRE LES

if 2
1.249 — 0.040... 0.001600
3204+ 31. 961
Sy ele 64
3.866 5f*=0,00225
B OB
AV = 1.989 Volt. 0.0004375
> F2
0.6151 Zl = + 0018 V.

He SO, 0.40:

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 7. VASE N°. 8. VASE N°. 9.
d=415 mM. d = 4,30 mM. d=435 mM.
m = 0.430 „ m = 0.436 , m=0.452 „

a... 45°,.. 0.004926 A. nv... 440,5... 0.00416 A. a... 42°.5... 0.00376 A.

Résistance introduite: 500 Ohm.
0.00426 X 500 = 2.130 V. 0.00416 X 500 = 2.080 V. 0.00376 X 500 = 1.880 V.
Réduction à d = 4.00 mM., m = 0.400 mM.

; 3032 N 36 \ 2 ; :
2130 x — x (mo = 2,080 X zo“ (FZ) EX —* x (30) a

BAB 400 4.30 400 4,35 400
..—=92,130 X 1.11 = 2.364 Volt. — 2.080 X 1.1 = 2.288 Volt. = 1.880 X 1.18 = 2.218 Volt.
fe

2,364+- 0.074... 0.005476

LOG EC 4

HONTE 5184

6.870 > f2=0.010664

AV =2.290 Volt. 0.001777

sf?

0.6745 sos = + 0.028 V.

75 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.
a... 382.5... 0.00311 A. a... 37°.6.., 0.00297 A. a... 362.5... 0.00287 A.

0.00311 X 500 = 1.555 V. 0.00297 X 500 = 1.485 V. 0.00287 X 500 = 1.435 V.
1.555 X 1.11 = 1.726 Volt. 1.485 X 1.1 = 1.648 Volt. 1.435 X 1.18 = 1.694 Volt.
fi

1.726 + 0.037... 0.001369

is 41... 1681

6944+ 5... 95

5.068 > f2=0.003075

De WO

AV = 1.689 Volt. 0.00050

2

0.6745 15 = + 0.015 V.

129

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES.

10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.
a... 30°... 0.00215 A. Care 299200021 1EAR Gn I 10/00206 2A.
0.00215 X 500 = 1.075 V. 0.00211 x 500 = 1.055 V. 0.00206 X 500 = 1.030 V.
1.075 X 1.11 = 1.193 Volt. 1.055 x 1.1 = 1.161 Volt. 1.030 x 1.18 = 1.215 Volt.

Ff?
1.193 + 0.003... 0.000009
dei - ar 84
45+ 3 625
3.569 > f2=0.001475
Jim De
AV = 1.190 Volt. 0.000246
0.6745 Le = + 0.011 V

2 Fe 3 SO, + 9 Aq.

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 10.

VASE N°. 11.

d= 4.05 mM. d=435 mM.
m=0.438 „ m=0.412 „
Ee. 89.25... 0.00322 A. x AA ODD AI

Resistance introdnite: 500 Ohm.
0.00416 X 500 = 2.080 V.

0.00322 X 500 = 1.610 V.

VASE N°. 12.
d=445 mM.
m = 0.480 „

w... 38°... 0.003804 A.

0.003804 X 500 = 1.520 V.

Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM.

438 \?

} 4
1.010 rs X (jo

= 9.080 x ad

HAN?
400

4
58 en 4
1520 x 4 x (

ZO
TD ©

..= 1.610 X 1.18 =1.900 Volt. = 2.080 X 0.975= 2.050 Volt. = 1.520 X 1.3 = 1.976 Volt.

he
1.900 — 0.065. . 0.004225
2.050+ 55... 3025
BEE ff... 121
5.896 > f2=0.007371
3 re
AV = 1.965 Volt. 0.001228
E Sens
0.6745 1 5 = + 0.022 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 10.
a... 84°... 0.00259 A.
0.00259 X 500 = 1.295 V.
1.295 X 1.18 = 1.528 Volt.

VASE N°. 11.
uw... 38°... 0.00304 A.
0.00304 X 500 = 1,520 V.
1.520 X 0.975 = 1.482 Volt.

f?
1.528 40.050... 0.002500
482 + Cod 16
424 — 54... 2916
4.434 > f?=0.005432

AV = 1.478 Volt.
> f?

0.6745

0.000905
= + 0.020 V.

VASE N°. 12.
a... 90°,3... 0.00219 A.
0.00219 X 500 = 1.095 V.
1.095 X 1.3 = 1.424 Volt.

SUR UNE RELATION ENTRE LES

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 10.
a... 242,75... 0.00167 A,
0.00167 X 500 = 0.835 V.
0.835 X 1.15 = 0.985 Volt.

VASE N°. 11.
0 oe) ol. 10 00220VA%
0.00226 X 500 = 1.130 V.
1.130 X 0.975 = 1.102 Volt.

VASE N°. 12.
a... 23°5... 0.00157 A.
0.00157 X 500 = 0.785 V.
0.785 X 1.3 = 1.021 Volt.

f?
0.955 — 0.051... 0.002601
1102 + 66... 4356

021— 15... 225
3.108 2 f*=0.007182

39, Lt
0.0012

AV = 1.036 Volt.
5 f2
0.6745 1 oe = + 0.093 V.

Ni SO, +7 Ag.

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 13.
d= 4.65 mM.
m = 0.502 „
a... 41°.5... 0.003857 A.

Résistance introduite: 700 Ohm.

0.00357 X 700 = 2.499 V.

VASE N°. 14.
d= 4.85 mM.
m=0.513 „

a... 41°.25... 0.003853 A.

0.00353 X 700 = 2.471 V.

VASE N°. 15.
d= 4.00 mM.
m = 0.480 ,
a... 39.5... 0.00326 A.

0.00326 X 700 = 2.282 V.

Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM.

502 \?

= (
0) Bei Beet
TEER ANT

4 (ge 2 4 (
= 94 4 22 |) = 09 = à
LAX Les X zo) 82x — x

ASO
x00) ~*°

.. = 2.499 X 1.35 = 3.374 Volt. =2.471 X 1.36 = 3.359 Volt. = 2,982 x 1.44 = 3.286 Volt.

ip
3.374 +0.034... 0.001156
3594 19... 361
286— 5h... 2916
10.019 > f?=0.004433
3 sa me:
AV = 3.340 Volt. 0.000739
LL aS, liz ©}
0.6745 1 SE = + 0.018 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 13.
a... 36°.3... 0.002854 A.
0.00284 X 700 = 1.988 V.
1.988 X 1.35 = 2.693 Volt.

VASE N°. 14.
a... 350,6... 0.00276 A.
0.00276 X 700 = 1.933 V.
1.933 X 1.36 = 2.698 Volt.

f 2
9.693 + 0.032... 0.001024
98— 33... 1089
61 — Mans 0
7.982 > f?=0.002113
CHENE So
AV = 9,661 Volt. 0.000352

af

0.6745 L~ Sg

= + 0.013 V.

VASE N°. 15.
a... 84°5... 0.00206 A.
0.00206 X 700 = 1.848 V.
1.848 X 1.44 — 2.661 Volt.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 131

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°, 13. VASE N°. 14. VASE N°. 15.
a... 29°... 0.00206 A. a... 28°.5... 0.00201 A. a... 27°.5... 0.00192 A.
0.00206 X 700 = 1.442 V. 0.00201 X 700 = 1.427 V. 0.00192 X 700 = 1.344 V.
1.442 X 1.35 = 1.947 Volt. 1.427 X 1.36 = 1.968 Volt. 1.344 X 1.44 = 1.935 Volt.
1.947 — 0.003... 0.000009
.968 + 18... 324
935 — 15... 295
5.850 > f*=0.000558

3 —— 3.2 — —
AV = 1.950 Volt. 0.000093

0.674517 zE = + 0.007 V.

Cu N, O, + 6 Ag.

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 16. VASE N°. 17. VASE N°. 18.
d=4.125 mM. d=421 mM. d= 4.86 mM.
m = 0.442 „ m =0.410 „ m=0485 „

a... 33°... 0.00248 A. a... 35°... 0.00270 A. a... 33°... 0,00248 A.

Résistance introduite: 300 Ohm.
0,00248 X 300 = 0.744 V. 0.00270 X 300 = 0.810 V. 0.00248 X 300 = 0.744 V.
Réduction à d = 4. mM., m = 0.400 mM.

9x2 2 2
0,744 X rs *( = 0.810 X zr * (466) 0.774 X u x (Fo) =.

4.125 400 491 400 4.86 400
= 0.744 X 1.184 = 0.881 Volt. 0.810 X 1.05 = 0.851 Volt. = 0.774 X 1.15 = 0.856 Volt.
| dog

0.881 +- 0.018... 0.000324

Sate Aare 144

EE en 49

2.588 = f?=0.000517

gie BEE 3.2 ———___—

AV = 0.863 Volt. 0.00086

rf:
0.6745 L~ = + 0.006 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 16. VASE N°, 17. VASE N°, 18,

a... 26°... 0.00178 A. a... 28°.5... 0.00201 A. a... 26°5... 0.00180 A.
0.00178 X 300 = 0.534 V. 0.00201 X 300 = 0.603 V. 0.00180 X 300 = 0,540 V.
0,534 X 1.184 = 0.632 Volt. 0.603 X 1.05 = 0.633 Volt. 0.540 X 1.15 = 0.626 Volt.

f?
0.632 + 0.002... 0.000004
633 + Bir 9
626 — As: 16
1.891 > f?=0.000029
DE Ii
AV = 0.630 Volt. 0.000005

rf 2
0.6745 vas = + 0.002 V.

ARCHIVES XI. 18

132 SUR UNE RELATION ENTRE LES

10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 16. VASE N°. 17. VASE N°, 18.
. 20°.5... 0.00136 A, a... 23°... 0.00154 A. a... 21°.2... 0.00141 A.
0.00136 X 300 = 0.408 V. 0.00154 X 300 = 0.462 V. 0.00141 X 300 = 0.493 V.
0.408 X 1.184 = 0.483 Volt. 0.462 X 1.05 = 0.485 Volt. 0.423 X 1.15 = 0.486 Volt.
f?

0.483 — 0.002... 0.000004

.485 Dor 0

.486 lene 1

1.454 > jk =0.000005

3 DN
AV = 0.485 Volt. 0. 000001

Ef?
0.6745 ET ra = + 0.001 V.

Zn N,0, + 6 Ag.

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 19. VASE N°. 20. VASE N°, 21,
d= 4.35 mM. d= 4.46 mM. d = 3.375 mM.
m=0.436 „ m = 0.430 „ m=0413 „
. 37°.25... 0.00294 A. a... 40°... 0.00334 A. a... 39°... 0.00319 A.
Résistance introduite: 300 Ohm.
0.00294 X 300 = 0.882 V. 0.00334 X 300 = 1.002 V. 0.00319 X 300 = 0.957 V.
Réduction a = =4mM., m = 0.400 mM.
436 430 13
Scere =
SS a: x x (Goo) re m x ( 0) es 55 ‘i G a 7) =.
.. = 0.882 X 1.2 =1.059 Volt. = 1.002 X 1.04 = 1.042 Volt. = 0.957 X 1.1 = 1.052 Volt.
fr
1.059 +-0.008. . 0.000064
.042 — Ons St
052 Ir 1
3.153 ard. 000146
3 — PO —
Ave = 1. 1.051 volt. 0. 000025
0.6745 17 21 = 4.0.0033 V.
7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE Ne, 19. VASE N°. 20. VASE N°. 21.
moon Aa RU ODISSEAS 0.30% OL OOR GEAN a... 29°.5... 0.00212 A.
0.00188 X 300 = 0.564 V. 0.00216 X 300 = 0.648 V. 0.00212 X 300 = 0.636 V.
0.564 X 1.2 = 0.678 Volt. 0.648 X 1.04 = 0.674 Volt. 0.636 X 1.1 = 0.699 Volt.

ij
0.678 — 0.006... 0.000036
ON 10: 100
699+ 15... 995
2.051 > f?=0.000361
AV = 0.684 Volt. 0.0006

0.6745 L7 a. En = + 0.005 V.

VALEURS Á DES SOLUTIONS SALINES.

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 19.

i)
0.00143 X 300 = 0.429 V.
0.429 X 1.2 = 0.515 Volt.

0.515 + 0.008...
.502 —

21°.5... 0,00143 A, Ct
0.00161 X 300 = 0.453 V.

0.483 X 1.04 = 0,502 Volt.

VASE N°. 20.

f?
0.000064
Omer 25

505 — De 4

3
AV =

0.6745 17

5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 22.
d=4#27 mM.
m = 0.450 „

a... 38°... 0.00304 A.

0.00304 X 300 = 0.912 V.

0.507 Volt.

Wiis 982 mt.
Résistance introduite: 300 Ohm.
0.00304 x 300 = 0.912 V.

> f2=0.000093
32

0.000016
2
_ = + 0.008 V.

y
PA

3.2

PbN, Os.

VASE N°. 93.

d = 4.375 mM.

m = 0.440 „
0.00304 A.

24°... 0.00161 A. ele
0.00153 X 300 = 0.459 V.

0.459 X 1.1 = 0.505 Volt.

Meee

VASE N°, 21.
23°... 0.00153 A.

VASE N°. 24.
d = 4.96 mM.
m = 0.494 ,
35°... 0.00270 A.

0.00270 X 300 = 0.810 V.

Réduction à 4 — 4 mM., m = 0.400 mM.

4 450 \ ?

440

4 2
0.912 X pare X (5) 0.810 x

4 v 494 \? _
4.96 (5 i.

.. = 0,912 X 1.07 =0.976 Volt. = 0.912 X 1.11 = 1.012 Volt. =0.810 x 1.22 = 0.988 Volt.

[>
0.976 — 0.016... 0.000256
1.012+ 20 400
0.988— 4 16
2.976 > f*=0.000672
3 —— 3.2, —______
AV= 0,992 Volt. 0.000112
s f2
0.6745 L” = + 0.007 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 22.
a... 32°... 0.00237 A.
0.00237 X 300 = 0.711 V.
0.711 X 1.07 = 0.761 Volt.

VASE N°. 23.
1918176 .. 1000281 A,
0.00234 X 300 = 0.702 V.
0.702 X 1.11 = 0.772 Volt.

he

0.761 — 0.001... 0.000001
112+ 10 100

J54— 8 64

2.987 > f2=0.000165

AV = 0.162 Volt. 0.0000275

> f2
0.6745 L” = = + 0.004 V.

VASE N°. 24.

a... 29°... 0.00206 A.
0.00206 X 300 = 0.618 V.
0.618 X 1.22 = 0.754 Volt.

134 SUR UNE RELATION ENTRE LES

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
VASE N°. 22. VASE N°. 93. VASE N°. 24.
2262. 00017 SPAN ce 250. .10 00169 A. a... 230,95... 0.00155 ‘A.
0.00178 X 300 = 0.534 V. 0.00169 X 300 — 0.507 V. 0.00155 X 300 = 0.465 V.
0.534 X 1.07 = 0.571 Volt. 0.507 X 1.11 = 0.563 Volt. 0.465 X 1.22 — 0.567 Volt.

f2
0.571 + 0.004... 0.000016
HAE 16
567 0e: 0
1.701 = f*=0.000032
— 3.2 ——
AV = 0.567 Volt. 0.000005

0.6785 105,6 = + 0.0015 V.

2 Fe3(N, O,).

5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 95. VASE N°. 26. VASE N°. 27.
d = 4.25 mM. d= 4.00 mM. d=45 mM.
m=0444 „ m = 0.426 „ m=0.431 „

a... 35°... 0.00270 A. a... 340,5... 0.00264 A. a... 912:... 1000298 PAN

Résistance introduite: 300 Ohm.
0.00270 X 300 = 0.810 V. 0.00264 X 300 = 0.792 V. 0 00298 X 300 = 0.894 V.
Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM.

4 444 \ 2 4 426 \ ? 4 431 \*
2 a ef 4 : =
0,810 X x ( ) 0.792 XX Ge) 0.894 X 75% m ) pi

425 © \ 400
.. = 0.810 X 1.16 = 0.940 Volt. = 0.792 x 1.13 = 0.905 Volt. = 0.894 X 1.03 = 0.921 Volt.
ft
0.940 + 0.018... 0.000324
905— 17 289
CHA 1
2,766 > f2=0.000614
— 10 —
AV = 0.922 Volt. 0.000102

Sf?
0.615135 = + 0.007 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
a... 30°... 0.00221 A. ann 299.5), ..) 0100211. Ar «a... 32°... 0.00237 A.

0.00221 X 300 = 0.663 V. 0.00211 X 300 = 0.633 V. 0.00257 X 300 = 0.711 V.
0.663 X 1.16 = 0.769 Volt. 0.633 X 1.13 = 0.715 Volt. 0.711 X 1.03 = 0.732 Volt,
f?
0.769 + 0.080... 0.000900
.115— 24 576
.132 — 7 49
2.216 2 f* =0.001525
3 3.2 —
AV = 0.739 Volt. 0.00025,

sf?
EL Sg = + 0.011 V.

VALEURS Æ DES SOLUTIONS SALINES.

135

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau,

nm... 24°... 0.00161 A. (nee
0.00 161 X 300 = 0.483 V.

0.483 X 1.16 = 0.560 Volt.

0.560 + 0.017...
319 — 24
„550 + 7

1.629

3
AV = 0.543 Volt.

23e.
0.00153 X 300 = 0.459 V.
0.459 X 1.13 = 1.519 Volt.

0.00153 A. a... 26°... 0:00178 A.
0.00178 X 300 = 0,534 V.
0.534 X 1.03 = 0,550 Volt.
f?
0.000289
576
49

yp? =0. 000914
3.2

0.000152

Sf 2
0.6745 ı 5 = + 0.008 V.

Ni N,O, + 6 Aq.
5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
VASE N°. 98. VASE N°. 29 VASE N°. 30
d= 5 mM. d=4 mM. d=429 mM.
m = 0.520 „ m = 0.490 „ m = 0.500 „
. 252.5... 0.00173 A. . 23°.5... 0.00156 A. wm... 23°... 0.00152 A.

Résistance introduite: 700 Ohm.

0.00173 X 700 = 1.211 V.

0.00156 X 700 = 1.092 V.

0.00152 X 700 = 1.064 V.

Réduction à d= F6 mM., m = 0.400 mM.

LUX — ne) à 1.092 x —

ch 1.064 X

is x (55) ae

..—1.211 X te = 1.636 Volt. = 1.092 x ates = 1.562 Volt. = 1.064 x 1.45 = 1.541 Volt.

1.636 + 0.056...
182%
39...

.562 —
541 —

4.739
PES
AV = 1.580 Volt.

> £2
0.6745 1 =f

BE

f?
0.005136
324

1521

sf? =0, 004951

0.00083
= + 0.02 V.

1.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 98.
a... 18°.8... 000123 A. ar
0.00123 X 700 = 0.861 V.
0.861 X 1.35 = 1.162 Volt.

1.162 — 0.011...
191 +
HOTU?) GES
3.520

AV = 1.173 Volt.
0.6745 L~ En

VASE N°.
18°.2...
0.00119 x 700 = 0.833 V.
0.833 X 1.43 = 1.191 Volt.

ore

29. VASE N°. 30.
0.00119 A. Daos WED OMME AN,
0.00115 X 700 = 0.805 V.
0.805 X 1.45 = 1.167 Volt.
f?
0.000121
324
36

> f:=0.000481

0. 00008
= + 0.006 V.

136 SUR UNE RELATION ENTRE LES
10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

a... 14°... 0.00090 A. a... 129.5... 0.00080 A. eee

0.00090 X 700 = 0.630 V. 0.00080 X 700 = 0,560 V.

0.630 X 1.35 = 0.847 Volt. 0.560 X 1.43 = 0.801 Volt.

12°.75... 0.000851 A.
0.00081 X 700 = 0.567 V.
0.567 X 1.45 = 0.818 Volt.

f:
0.847 + 0.025. .. 0.000625
80i— 21... 444
818 — An. 16
2.466 > f =0! 001082

3 = 3.2
AV = 0.822 Volt. 0.000361
Spe = é
ga = + 0.009 V.

0.6745 [7 -:

Cu Cl, + 2 Aq.

VASE N°. 31. VASE N°. 32. VASE N°. 33.

d=5 mM. d =4.92 mM. d=45 mM.
m = 0.503 „ m=0.391 „ m = 0.395 „
Coe Seen 0 OO SPAN . 249,5... 0.00165 A. a... 249... 0.00161 A.

Resistance introduite: 400 Ohm.
0.00118 X 400 = 0.472 V. 0.00165 X 400 = 0.660 V.
Réduction à d= 4 mM.,

0.00161 X 400 = 0.644 V.
m = 0.400 ve

Me sa 4 391 395
042% = X (Ga) 0.660 rop X a7) 0.664 x (FP
= 0.472 X 1.26 = 0.595 Volt. = 0.660 X 0.8 = 0.528 Volt. = ae x 0.87 = 0.560 Volt.
f?
0.595 + 0.034... 0.001156
528— 33... 1089
560— 1 1
1.683

AV= 0. 361. Volt.

f? =0.002246

0.000374

Fz
0.6745 |“ (at = + 0.018 V.

10 grammes de sel sur 100 gr.
VASE N°. 32.
0.00104 A. RE
0.00104 X 400 = 0.416 V.
0.416 x 0.8 = 0.333 Volt.

VASE N°. 31.
@... 12°... 0:00076 A; ela
0.00076 X 400 = 0.304 V.
0.304 X 1.26 = 0.383 Volt.

Go

0.383 + 0.032...
.333— 18...
338 — 13

1.054

3
AV = 0.351 Volt.
0.675, —

=f
32

d'eau.
VASE NC. 33.
15°. . 0.00097 A.
0.00997 X 400 = 0.388 V.
0.388 X 0.87 = 0.388 Volt.
f:

0.001024

324

169

sf=0. 001517
3.2

0.000253

= + 0.011 V.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 1837

Zn Cl.
5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
VASE N°. 34. VASE N°. 35, VASE N°, 36
d=45 mM. d = 4,54 mM. d= 4.35 mM.
m = 0.450 „ m = 0.444 „ m = 0.445 „
nde 0001117 a... 16°.5... 0.00108 A. a... 16°... 0.00104 A.

Résistance introduite: 400 Ohm.
0.00111 X 400 = 0.444 V. 0.00108 x 400 = 0.432 V. 0.00104 X 400 = 0.416 V.
Réduction a ar =4mM., m = 0.400 mM.

4 450 MAN? 445 \2
2 Terz x (Gn) er = x (6) N)
= 0.444 X 1.02 = 0.453 Volt. = 0.432 X 1.08 = 0.467 Volt. — 0.416 X 1.140.474 Volt.
ne
0.453 — 0.012... 0.000144
MI 9... 4
AL. 9... st
1.394 Ef? = 0.000229
3 Sogn
AV = 0.465 Volt. 0.000038

=f?
0.6745 Kar; = + 0.004 V.

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 34. VASE N°. 35. VASE N°. 36.
a... 10°.5... 0.00067 A. a... 10°.5... 0.00067 A. @... 10°... 0.00064 A.
0.00067 X 400 = 0.268 V. 0.00067 x 400 = 0.268 V. 0.00064 X 400 = 0.256 V.
0.268 X 1.02 = 0.275 Volt. 0.268 X 1.08 = 0.289 Volt. 0.256 x 1.14 = 0.292 Volt.

f?
0.273 — 0.012... 0.000144
285 Br 28: 16
Kn 49
0.854 Sf? = 0.000209
3 ae ar) TRES
AV = 0.285 Volt. 0.000035

2 f?

Ni Cl, + 6 Ag.
VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE No, 39.
d=39 mM. d=3.7 mM. d=42 mM.
m = 0.360 „ m = 0.387 „ m = 0.430 „
We 31°... 0.00292 A. a... 34°... 0.00259 A. a... 31°... 0.00296 A.
Résistance introduite: 500 Ohm.
0.00292 x 500 = 1.460 V. 0.00259 X 500 = 1.295 V. 0.00226 x 500 = 1.130 V.
Réduction à d=4mM., m = 0.406 me
4 360 \ ? 4 387 430
140% Ri) 1.295 x Fr x (Gen) 1.130 x — as xn) =

..— 1.460 X 0.84 = 1.226 Volt. = 1.295 X 0.94 =1.217 Volt. = 1.130 x 1.1 = 1.243 Volt.

138 SUR UNE RELATION ENTRE LES

f?
1.226 — 0.003... 0.000009

217 — 1a. 144

243 + 14... 196

3.686 > f* = 0.000349

AV = 1.229 Volt. 0.000058

Sie
0.6745 rer + 0.005 V.
7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE N°. 39.
a... 29°... 0.00206 A. Coe ler OON AN. a... 249,5... 0.00465 A.

0.00206 X 500 = 1.030 V. 0.00191 X 500 = 0.955 V. 0.00165 X 500 = 0.825 V.
1.030 X 0.84 = 0.865 Volt. 0.955 X 0.94 = 0.898 Volt. 0.825 X 1.1 = 0.908 Volt.

hie
0.865 — 0.025... 0.000625
Boels): 64
908+ 18... 324
2.671 5 f?=0.001013
= aS
AV = 0.890 Volt. 0.00017
» f2
0.6745 1/ = = + 0.009 V.

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE N°. 39.
a... 23°... 0.00153 A. a... 22°... 0.00146 A. a... 20°... 0.00132 A.
0.001538 X 500 = 0.765 V. 0.00146 X 500 = 0.730 V. 0.00132 X 500 = 0660 V.
0.765 X 0.84 = 0.643 Volt. 0.730 X 0.94 = 0.686 Volt. 0.660 X 1.1 = 0.726 Volt.

f?
0.643 — 0.042... 0.001764
.686 + loos 1
726+ 41... 1681
2,055 > f? =0.003446
3 IN
AV = 0.685 Volt. 0.000574

0.6745 L/ LE. = + 0.016 V.

2 Fe3 (Cl).

5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau.

VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42.
d=4.6 mM. d=4.0 mM. d=39 mM.
m = 0.452 „ m = 0.473 „ m = 0.485 „

COS OLOOLOL BAS 6: 1825. 000087 À a... 12°... 0.00076 A.
Resistance introduite: 500 Ohm.
0.00104 X 500 = 0.520 V. 0.00087 x 500 = 0.435 V. 0.00076 X 500 = 0.380 V.

VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 139

Réduction à d=4 mM., m = 0.400 mM.

452 \2 4 (413 4 485
0.520% Fe x (Gop) 0435 x x (Gop) 880 x 35% (m
.. = 0.590 x = 0.572 Volt. = 0.435 X 1.4 = 0.609 Volt. = 0.380 X 1.5 = 0.570 Volt,
f?
0.572— 0.011... 0.000121
6094 95... 625
aoe stal 169
1.751 5 f?=0.000915
3 FT ER eas
AV = 0.583 Volt. 0.0001525
0.6745 L/ tle = + 0.008 V.

7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.
VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42
. 12°... 0.00075 A. a... 9°,5... 0.00061 A. a... 82,5... 0.00055 A.

0.00075 X 500 = 0.375 V. 0.00061 X 500 = 0.305 V. 0.00055 X 500 = 0.275 V.
0.375 X 1.1 = 0.410 Volt. 0,305 X 1.4 = 0.426 Volt. 0.275 X 1.5 = 0.411 Volt.

f:

0.410 — 0.006... 0.000036
496+ 10... 100
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1.247 > f?=0.000161
gs heeg
AV = 0.6 Volt. 0.000027

0.6751 SL = + 0.003 V.

3.2

10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau.

VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42.
a... 8°... 0.00052 A. aw... 62.5... 0.00044 A. a... 6°... 0.00040 A.
0.00052 X 500 = 0.260 V. 0.00044 X 500 = 0.220 V. 0.00040 X 500 = 0.200 V.
0.260 X 1.1 = 0.280 Volt. 0.220 X 1.4 = 0.308 Volt. 0.200 X 1.5 = 0.300 Volt.
f?
0.280 — 0.016... 0.000256
308+ 12... 144
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0.888 5 f?=0.000516
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AV = 0.296 Volt. 0.000086
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0.6745 1“ 1 = + 0.006 V.

ARCHIVES Xi. 19

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ARCHIVES

DU

MUSÉE TEYLER

SÉRIE II, VOL. XI.

Deuxième partie.

LIBRAR
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DE
HAARLEM. — LES HÉRITIERS LOOSJES.
1908.
PARIS, LEIPSIC,

GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE.

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En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire
de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des
Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier
dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa
responsabilité.

Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord
la description scientifique des principaux instruments de précision
et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les
résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur
moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces
collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront
accordé l'usage.

En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas
occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives
seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont
rapport 4 une des branches, dont la culture a été recommandée
à l’Institut par son fondateur.

Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de

s'adresser au Secrétaire de l’Institut,
E. VAN DER VEN.

HAARLEM, janvier 1881.

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PROGRAMM

DER

TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT
ZU HAARLEM

fiir das Jahr 1908.

Die Direktoren der TEYLERSCHEN Stirtung und die Mitglieder
der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben keine Ant-
wort erhalten auf die Frage:

„Wie verhält sich der Calvanismus unserer
Tage zu dem des 16. Jahrhunderts hinsichtlich
seiner Lehren?”

Ausgeschrieben sind noch die folgenden Preisfragen :
l. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1908:

„Was ergibt sich aus den Schriften des Eras-
mus über seine theoretische und praktische
Stellung zur Religion?”

2. Zur Beantwortung vor 1 Januar 1909:

„Die Gesellschaft verlangt eine systematische

Auseinandersetzung der sittlichen Gedanken

in Boendale’s ,Lekenspieghel” und in der gleich-
zeitigen niederländischen Literatur.”

3. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1910 sind nochmals aus-
geschrieben die folgenden Preisfragen :

1. ,Die Gesellschaft verlangt eine Antwort
auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum |
gespielt im Niederländischen Protestantismus
vor 1618; welche Einfluss haben Luther und die
deutsche Reformation auf die Niederlande und
auf Niederlander getibt und wie ist es zu erklä-
ren, das diese Richtung gegentiber anderen in
den Hintergrund getreten ist?”

2. „Wie verhalt sich der Calvinismus unserer
”
Tage zu dem des 16ten Jahrhunderts hinsicht-
lich seiner Lehren?”

Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an
innerem Wert, die ausgehändigt wird, sobald die gekrünte Arbeit
druckfertig vorliegt.

Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei-
nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit
Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll-
ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preisbe-
werbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen der
Gesellschaft als Eigentum anheim, welche die gekrönten, mit
oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass die
Verfasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben dürfen.
Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit dem
Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit oder
ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren
Falle nieht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender
nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf
ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versiegelten
Namenszettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden
an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER
VAN DER HULST, te Haarlem.”

PROGRAMMA

VAN

TEYLERS TWEEDE GENOOTSCHAP

TE HAARLEM,

voor het jaar 1908.

H.H. DrRECTEUREN van TEYLER’S STICHTING en DE LEDEN VAN
TryLeR’s TWEEDE GENoorscHAP hebben besloten voor het jaar 1908
de volgende prijsvraag uit te schrijven:

Eene zoo volledig mogelijke opsomming van
de schilderwerken, die zich vöör 1566 in de
Noord-Nederlandsche kerken en kloosters be-
vonden, en ten tweede: een beredeneerde lijst
van de thans nog aan te wijzen schilderwerken
van Noord-Nederlandschen oorsprong. van vóór
genoemd jaar afkomstig.

Sedert men meer de aandacht is gaan schenken aan de voort-
brengselen der schilderkunst in Nederland uit den vóórreforma-
torischen tijd, is het gebleken, dat een groot aantal van deze
kunstwerken in Noord-Nederland ontstaan is. Terwijl oude schrij-
vers als van Manper slechts betrekkelijk weinige Noord-Neder-
landsche schilders in dit tijdperk wisten te noemen, en van deze
weinigen slechts een klein getal kunstwerken konden aanwijzen,
is sedert door het onderzoek der archieven en de groote vlucht,
die de beoefening der kunstgeschiedenis genomen heeft, het getal
namen aanzienlijk uitgebreid, en wat van meer beteekenis is,

hetgeen de dragers dezer namen hebben voortgebracht is niet
zoo onbekend meer. Het werk van AELBERT VAN OUWATER en
GEERTGEN TOT SiNT Jans te Haarlem, van CoRNELIS ENGEBRECHTSZ.
en Lucas vAN Leypen te Leiden, van JACOB CORNELISZ. en PIETER
Arrtsz. te Amsterdam, van Ernst MAELER en MACHTELT TOE
Borcop te Kampen, van JAN VAN Score. te Utrecht, van JERO-
nimus Bosch te ’s Hertogenbosch, enz. enz. kunnen wij thans
overzien, niet het minst dank zij de vele en zeer vruchtbare
onderzoekingen van onze oostelijke naburen.

De overlevering, dat de Beeldenstorm in 1566 nagenoeg alle
kunstwerken in de bedehuizen der Noord-Nederlandsche gewesten
heeft vernield, verdient, door de resultaten van deze onderzoe-
kingen, geen onbeperkt vertrouwen meer. Om echter het veld
van onderzoek ten deze goed te kunnen overzien, is het noodig
dat ten eerste zoo volledig mogelijk aangewezen worde, wat er
vóór het jaar 1566 aan schilderwerken in onze kerken en kloos-
ters aanwezig was, en ten tweede: dat er een beredeneerde lijst
gegeven worde van de schilderwerken van Noord-Nederlandschen
oorsprong, die thans nog aan te wijzen zijn. Tot het eerste dient
de beantwoorder van deze vraag te komen door een nauwgezet
onderzoek van de bestaande litteratuur en van archiefbescheiden
over de bedehuizen. Bij de tweede lijst moet de afkomst der
te noemen schilderwerken zoo nauwkeurig mogelijk worden na-
gegaan, met vermelding van bestaande afbeeldingen.

De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een
gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen,
ter innerlijke waarde van f 400.

De antwoorden moeten worden ingezonden vöör of op den
Isten April 1910, opdat zij voor den 1sten Mei 1911 kunnen be-
oordeeld worden.

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, En-
gelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed en
leesbaar geschreven zijn door eene andere hand dan die van den
opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar geheel
worden ingezonden: geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte
ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs
worden toegelaten.

Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genootschaps,
dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder vertaling, in

zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met
toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het
Genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde stuk-
ken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen,
hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers;
in het laatste geval echter niet zonder zijne toestemming.

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken
aan de schrijvers verleend, dan ten hunnen koste. De in te zenden
antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk
onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk
ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en

woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis
vom wylen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem.

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TABLE DES MATIÈRES.

Les vecteurs dans la géométrie différentielle,

par J. DE VRIES.

Sur le transport des liquides par le courant électrique,

par E. van DER VEN.

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FONDATION

DE

P. TEYLER VAN DER HULST,
À HAARLEM.

Directeurs.

L. P. ZOCHER.

P. LOOSJES.

Mr. A. W. THÔNE.
J. J. VAN OORDE.
J. A. FONTEIN.

Secrétaire.

Mr. A. A. VAN DER MERSCH.
Tresorier.
P. DROSTE.

Conservateur du Cabinet de Physique.
Dr. B. VAN DER VEN.

Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie.
Prof. Dr. EUG. DUBOIS.

Bibliothécaire.
J. J. VERWIJNEN.

Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures.
JEE

Conservateur du cabinet numismatique.

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MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES.

De la première Société ou Société de théologie.
Prof. Dr. 8. CRAMER.
Prof. Dr. 1. J. DE BUSSY.
Dr. J. G. BOEKENOOGEN.
Prof. Dr. D. E. J. VOLTER.
Dr. A. C. DUKER.
Prof. Dr. H. J. ELHORST.

De la seconde Société.
Dr. E. VAN DER VEN.
Je DE VRIES.
Prof. Dr. HUGO DE VRIES.
Profs Wik, IES ds BEORT
Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE.
E. W. MOES,

LES VECTEURS DANS LA GEOMETRIE DIFFÉRENTIELLE

PAR

JDE VRIES.

INTRODUCTION.

$ 1. Dans les pages suivantes je me propose de donner quel-
ques applications du calcul vectoriel à la géométrie différentielle
élémentaire.

Convenons de désigner par A, B, &.... des vecteurs (droites de
grandeur et direction données).

Soit A, un vecteur unité ayant la même direction que N.

En écrivant A — A %,, nommons le facteur A le module ou
le tenseur de U.

Désignons par A + VB le vecteur qu'on obtient par la construc-
tion bien connue de la résultante de deux vitesses.

Il en résulte que tout vecteur % peut s'exprimer, à l’aide de
deux vecteurs donnés A et B, par une formule

F=aU+PB,
où « et /? sont des nombres (grandeurs scalaires).

Cela revient à dire que trois vecteurs complanaires vérifient une
relation de la forme.

a +558 +yC—0.

Soient A,, B, et ©, trois vecteurs unité rectangulaires, issus
du point O. Un vecteur quelconque %, également issu de O, peut
être représenté par la relation

S —=2A, +yB, +26,
où x, y, z sont les coordonnées de l'extrémité de %.

Supposons que x, y, z soient des functions d’un paramètre t, de
sorte que % est un vecteur variable. Convenons d'écrire

srl).

ARCHIVES XI. 20

142 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Il est clair que l'expression

im PU a) el)
(A t = 0) ARE

ds

définit un nouvel vecteur que nous désignerons par } ou par Fre
§ 2. Nommons produit scalaire des vecteurs U et B la quantité
scalaire définie par
OS) =A Beos (CB),
où A et B sont les modules des deux vecteurs.
Il est évident qu’ on aura
(A B) = (B Y),
et que la relation
(3 6) = 0
exprime que les vecteurs § et G sont rectangulaires.

Puisque la somme algébrique des projections orthogonales des
côtés d'un polygone fermé sur un axe quelconque est nulle, on
déduit de la définition du produit scalaire l'identité

UFS... NU) (AG). ..+ AR).

Soient A et B des fonctions d'un paramètre { Evidemment,
on aura
(CB 2034 HUB).
En particulier, il résulte de la relation
(CITE EN
qu’ on a

A, A) —0.

Done, la dérivée d'un vecteur unité variable est un vecteur
perpendiculaire au premier vecteur.

$ 3. Nommons produit vectoriel [UB], de deux vecteurs Wet 5,
un vecteur © dont le module est égal à AB sin (A, B). tandis
que sa direction est normale au plan mené par NW et B (ou paral-
léle à ces vecteurs). et que, vu de l'extrémité de ©, le vecteur A
doit tourner dans le sens opposé au mouvement des aiguilles d’une
montre afin de coincider avec le vecteur Ÿ.

De cette définition, il résulte

[ABJ [BA].

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 143

Soient #,, G,, 9, des vecteurs unité orientés de sorte que

Alors, on aura évidemment encore
%,=[(6,9,] et G6,=[9, 51]
Soit D — 5 + C.
Alors on a
PED] — fl B] + PS).

Pour le démontrer, observons en premier lieu que le tenseur
d’un produit vectoriel peut être représenté par l’aire du parallé-
logramme défini par les deux vecteurs.

Par suite, les tenseurs des trois produits vectoriels sont propor-
tionnels aux hauteurs b, c, d des parallélogrammes correspondants,
le vecteur A étant considéré comme la base. Il est visible que d
est la diagonale d’un parallélogramme dont b et c sont deux
côtés adjacents. Or il suffit de faire tourner ce parallélogramme
autour de l’axe U, de manière que tout point décrit un quart
de cercle, pour obtenir trois vecteurs proportionnels aux vecteurs
LD], [AB] et [UG].

Donc, on aura [4,8 + ©] = [AB] + [AC].

S'il s’agit de vecteurs variables, nous aurons visiblement

DS RSI PET
§ 4 Considérons encore le produit scalaire défini par
S=(A[BE)).
Posons [BE] =D. Alors on a
D = B C'sin (B, 6),
S= A D cos (A, D).

Or, A cos (A, D) représente la hauteur du parallélipipède défini
par les vecteurs U, B, ©. Par suite, la quantité scalaire S repré-
sente le volume de cette figure.

En particulier, la relation

( [BC]) — 0
exprime que les trois vecteurs sont complanaires.
Donc, elle est équivalente à la relation
aU +58B+yC—0.
20*

144 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Courbes gauches.

$ 5. Une courbe de l'espace est le lieu des points P dont les
coordonnées cartésiennes %, y, z sont des fonctions continues d’une
variable ti; nous supposerons ces fonctions développables par la
formule de TayLor aux environs de toute valeur ¢ comprise dans
un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées.

Soient, de nouveau, X,, B,, ©, des vecteurs unité ayant la
direction des axes OXY, OY, OZ de sorte que ©, = [2, 3, ].

Soit % le vecteur OP. Alors on a .

SM ty, 20.

Joignons le point P à un point voisin P*, pris sur la courbe,

défini par la valeur {+ h du paramètre ¢. Soit ©, un vecteur
unité avant la direction PP*. On aura

d'où l’on trouve

NT — s . G
lim eG, lm
(=0) h (h=0) fb
Puisque le quotient G:h tend vers la dérivée de l’arc s, on
obtient

ov d Ay 5 ds

2) dr dt = " dt

/

Le vecteur % a visiblement la direction de la tangente en P.
En particulier, si le paramètre t est l’arc de la courbe, le
vecteur unité de la tangente est défini par

ds
ata ae oo ee

Sy,
Ÿ

Soit 9 le vecteur OQ d'un point Q (&,n,5) de la tangente; on
aura
Cela revient à
(E23 x) MN, + (nyy) B, + C—z2—Az) ©, —0,
équation qu’on ne peut vérifier qu’en posant
E—x— x — 0,
n—y—Ày =),

EG == (0),

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 145

Par suite, on trouve

ee le à Le 9
- 7 EI REN (2)

Ce sont les équations de la tangente.

$ 6. Menons un plan par la tangente en P et le point P*,
correspondant au paramètre ¢ + h.

Soit Q un point quelconque de ce plan.

Représentons par © et 9 les vecteurs PP* et PQ.

Puisque la tangente en P a la direction du vecteur %, on
aura

(6 [3 GT) — 0.
Il est visible qu’on peut poser
GF Eh + EWG +t eG’ +i HR
Done, on obtient
CS" GI = À [SSI HEFT + à AS [FE] HER]
Parce que
(9 C3’ 31) — 0,
on trouve, en écartant le facteur ! h?,
(OHS) + sh OL ED + gl? (S [3 R]) — 0.
Lorsque le point P* tend vers P, le plan PP*Q tend vers une
position limite, celle du plan defini par l’équation
(9 [3 |) = 0.
C’est le plan osculateur en P.
Nous venons de trouver que le plan osculateur est déterminé
par les deux vecteurs 3 et 3”.
Il est clair qu’on peut écrire
DiN +08",
équation qui entraine les trois relations
Evi +ux,
nt et,
Cz +uz.

On en déduit l’équation du plan osculateur:

(a 1% x’ a’
1E | =O eat (3)
Ere wees, we’

146 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

§ 7. Le plan osculateur sera indéterminé si les vecteurs 4%” et
ÿ” ont même direction.
Alors on aura 3’ =A’, et par suite

(© [3 3”]) =4 (9 [3 FI) — 0.

En appliquant de nouveau la formule de Taylor, on arrive
maintenant à l’équation

(9 [8° FI) == 0.

Il est visible que la condition 3/—=A} définit un point où
la tangente a trois points consécutifs en commun avec la courbe.
Convenons de dire que la courbe y a une inflewion linéaire.

Puisque la condition F”— 2%’ équivaut aux équations

//

DD UN ED A ne Eee en 0 aM!)

une courbe gauche ne possède, en général, pas d’inflexions li-
néaires.

Supposons que P* soit un point d’interseetion de la courbe
avec le plan osculateur en P.

En appliquant de nouveau la formule de Taylor, on pourra
remplacer l'équation

(© [FH] —0

par celle-ci

BAND + LAR HD —0.

Si l’on a

18 8 Dalutalrse ante ab MG)

on trouve h= 0.

Alors le plan osculateur de P aura quatre points consécutifs
en commun avec la courbe.

Convenons de dire qu’elle y a une inflexion planaire.

Les inflexions planaires d’une courbe sont définies par la con-
dition

À Bi Hud +ı = 0,

ce qui revient à

/ y’ 2
DU. 2 ONDES Ee dl (0)
m ZZ att
y 2

$ 8. Dans ce qui suit, nous prendrons pour variable indépen-

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 147

dante l’are s de la courbe Alors on a, en premier lieu, pour le
vecteur unité de la tangente

RULES, /

OS FF ds.

Parce que la dérivée d’un vecteur unité est perpendiculaire à
ce vecteur, le vecteur 5,” est perpendiculaire à la tangente. Mais
nous savons que le vecteur #7 appartient au plan osculateur;
donc, il a la direction de l'intersection du plan osculateur avec
le plan normal.

Par suite, la normale principale est définie par le vecteur %,”.

Posons

% —PY..

En vue d'obtenir la valeur du facteur P, considérons l’indica-
trice des tangentes, c. à. d. la courbe sphérique, lieu de l'extrémité
du vecteur variable T, transféré de manière que son origine
coincide avec O. Il est clair que le vecteur #.”, étant la dérivée
de Z,, aura la direction de la tangente à l’indicatrice. Done, on aura

où s désigne l’are de l'indicatrice, ou, ce qui revient au même,
l'angle que la tangente fait avec une direction fixe.
On sait que le quotient ¢ = ds: do est appelé le rayon de courbure.
Maintenant nous pouvons écrire

1 :
ee Oe

§ 9. Introduisons le vecteur unité défini par
Be oe)

C’est un vecteur perpendiculaire au plan osculateur de sorte
qu'il a la direction de la binormale.
En vertu de la relation
B, Ti) —0,
on aura d’abord
(B, EM) zin (B, di) = 0.
Done, en tenant compte de la relation

BT) BIN,

nous aurons

148 LIES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Puisque le vecteur B’, est perpendiculaire aux vecteurs T, et
B, il doit être proportionnel au vecteur ®B;-

13 prop 1

En considérant l’indicatrice des binormales, on trouve facilement

RECON: CAS 3
que le module du vecteur B’, est égal à a où /? désigne l’arc de

ds
l'indicatrice ou bien l'angle de deux binormales consécutives.
: ds ;
Appelons, comme il est d'usage, 7 — 18 le rayon de torsion. Alors
( if)

nous avons la relation

dB 1

1
NEER (5)

§ 10. En différentiant l’&quation
Pi Eni Er Dull
nous trouvons
D = C2 B] + (2, dl
ou, tenant compte des équations (7) et (9),
A/ 1 fi l (ed a
Pi 7 Bus = Li An:
On en déduit finalement la relation
de 1 1
a a LI

Si l’on introduit les cosinus des angles que font la tangente,
la binormale et la normale principale avec les axes d’un système
cartésien, on tire des formules fondamentales (7), (9) et (10) les
formules bien connues de Frenet.

Surfaces.

Plans tangents.

$ 11. Si, dans la formule
BA, +y¥S, +26,,

on suppose que x, y, z dépendent de deux paramètres u et v, le
vecteur % définit une surface.

On peut, d’une infinité de manières, établir entre w et v une
dépendance propre à définir une courbe, et cela de telle façon
qu’ à un certain couple (w,v) il correspond toujours le même
point P de la surface.

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 149

Posons
u=gp(), v— w(t).
La tangente à la courbe correspondante est déterminée par le
vecteur

IG: Sp dut cent Alb à
dé maw Zien rn + Sy

Il résulte de cette relation que toutes les tangentes A la sur-
face en un point P sont situées dans le plan défini par les vecteurs
Su et ¥, (plan tangent).

Ces vecteurs ont visiblement la direction des tangentes en P
aux courbes u — const. et v = const.

Soit Q un point quelconque du plan tangent, $ — OQ son vec-
teur. On aura

DFA Fu + 4 Bo,

équation dont on déduit facilement l'équation du plan tangent,
savoir

Surfaces réglées. Développables.

$ 12. Supposons que les vecteurs G et 9, dépendent d’une
variable v.
Alors le vecteur % défini par la relation

représente une surface réglée, ayant pour directrice la courbe
© — g (v).

En donnant à v une valeur fixe, on obtient les vecteurs des
points d'une génératrice. Le paramètre u mesure le segment qu’il
faut porter sur la génératrice, à partir du point de la directrice,
pour obtenir le point correspondant P.

Le plan tangent en P est déterminé par les vecteurs :
9% ù _
ren er CT
zn en I us.

2 2

Supposons que le point P décrive la génératrice correspondante
ARCHIVES XI. 21

150 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

à une certaine valeur de wv, de sorte que les dérivées (’ et 9,’
sont constantes. Alors le plan tangent tournera, en général, autour
de la génératrice.

$ 13. Cherchons en quels cas ce plan reste invariable, si le
point de contact décrit une génératrice.

D'abord, si l’on a &—0, le vecteur %, aura la direction du
vecteur 9,’, de sorte que les plans tangents de tous les points d’une
génératrice coincident.

C’est le cas d’une surface conique dont le sommet est déterminé
par © = const.

Si 9,’=0, le plan tangent est déterminé par les vecteurs $ et
9,. Parce que 9, a une direction constante, on a affaire à une
surface cylindrique, ayant pour directrice la courbe ©.

Finalement, il nous faut considérer le cas où les vecteurs 6,
9, et 5,” sont complanaires, de sorte que le plan tangent, étant
déterminé par les vecteurs 9, et ,’, est indépendant du valeur
de u.

Soit alors

HAN, Tue OR)

où A et u seront des fonctions de ®.
En différentiant l’équation (12)

%=6+uS,
par rapport à la variable v, on obtient
D — © +uÿ,’.
ou, en tenant compte de (13),
DO FUN:
Considérons maintenant, sur la surface, la courbe définie par

la condition
u+u—= 0.
Pour ses points P, on a
5 eel QC OR en
Done, au lieu de déterminer le plan tangent par les vecteurs
9, et 9,,, on peut le définir par les vecteurs %,’ et %,”. Cela
revient à dire que le plan tangent coincide avec le plan oscula-

teur de la courbe qui est le lieu des points Py.
Par suite, toute surface réglée dont le plan tangent reste inva-

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 151

riable si le point de contact parcourt une génératrice, peut être
engendrée par les tangentes d’une certaine courbe gauche (aréte
de rebroussement).

C’est une surface développable.

Soit donnée la courbe gauche définie par ¥ — f (s).

Il est visible que la surface réglée, lieu de ses tangentes, est
déterminée par

5 uf.

Le plan tangent de cette surface contient les vecteurs 3° + u”

et ®’. Done, c'est le plan osculateur.

$ 14. Considérons le produit
$/ 4 os /
SCHOOL ar (dE)
S'il est nul, la surface réglée sera développable; s'il ne s’éva-
nouit pas, on aura une surface gauche.
Examinons le lieu les binormales de la courbe %—f (s).
Cette surface est définie par

Minnie Lee, auto hbase (15)
On aura

DE EB B

|=

Done, le lieu des binormales est une swrface gauche.

De même, les normales principales d'une courbe gauche engen-
drent une surface gauche.

En effet, puisque cette surface est définie par

on trouve

CHEN 5) EB) +

1 1
LÉ (TT j= ee
Surface polaire.

§ 15. Soit M un point queleonque dans le plan normal de la
courbe 4 = f(s), M le vecteur O M.

En exprimant que le vecteur PM est perpendiculaire à la
tangente, on aura la relation

KOE 0. ss (17)

152 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Représentons ce produit scalaire par p (s).

Si M est un point de l'intersection du plan normal de P avec
le plan normal du point voisin, défini par la valeur s + h de
are, le vecteur M vérifie les équations

p (s) —0 et Psa ie) EU

En faisant tendre vers zéro l’accroissement h, on arrive aux
équations
p (s) =0 et DRS:

Done, le vecteur d’un point M de la caractéristique du plan
normal, ou droite polaire, doit satisfaire à l’&quation qu’on obtient
en différentiant, par rapport à s, la relation (15).

On trouve

1 eres i et :
Cie 5) B) (7) EN;
ou
(RPB). posters te HIE
De cette équation, il résulte que la projection orthogonale du
vecteur PM sur la normale principale est égale à oe, de sorte que
la droite polaire est perpendiculaire à la normale principale; donc,
elle est parallèle à la binormale.
La surface réglée engendrée par les droites polaires est done
définie par
MY + OD PUB une erkers order AO)
Il va sans dire que cette surface polaire est développable.
Pour le vérifier, appliquons (14).
On aura

+ B 0
OG =F + oP +e, =} = ie +e B,

kl 0 N of 0
S=— (B, —£3,) BBI) EBV) — or BD) = 0
Donc, les droites polaires sont les tangentes d’une certaine
courbe, l’arête de rebroussement de la développable.
Parce qu’on a

0 0
MM inne: B, Ho B, + ud,’ Se a (a
on obtient l’aréte de rebroussement en posant u — — 9’ 7 (comp.

avec $ 15).

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 153

.

Done, cette courbe est déterminée par
A=F+oB, —0rB,......... = (20)

Il est clair qu’elle est en même temps le lieu des centres des
sphères osculatrices de la courbe %-

§ 16. La tangente à cette courbe est définie par

v=, + a : D: B, VB m
ee à Tamm — (1 B, — oe Bs,

ou bien
pme 78 (21
Ne: (g y 1 \ )
Cette expression montre, de nouveau, que la tangente est
parallèle à la binormale.
Si la dérivée W est constamment nulle, le lieu des sphères
osculatrices se réduit à un point.
Done, les courbes sphériques sont caractérisées par la relation

ARE) ORE RENE à Fee castes (22)

Désignons par s* l'arc, par T,*, B,*, B,* les vecteurs fonda-
mentaux de la courbe A. Tenant compte de la relation

SR RE
ds LE 2
on déduit de (21)
ds* | 9 PEN ge
ar di: ER 4 (28)
pourvu qu’on pose
Sian = B, re ie) el cà ee ie te . . . . . . (24)
Si, pour abréger, nous écrivons
ds*
dam“)

nous aurons, en vue de (7),

Posons

154 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Alors, il résulte de (25)

Puis, il suit de
DT, *]—=— DB: 5,]
qu'il faut écrire

== C

En appliquant (9), on trouve

a
—
bo
OC
LEZ

: : IS zie 5 oy SE
RE Een (29)
ds* 6 ds 50

et, par suite,

Courbes sur une surface. Notations.

§ 17. Considérons, sur la surface § =f (u,v), la courbe définie
par u= Œ(t), v— y (2).
Il est clair qu’on aura

dy d$ )=(4)
dt dt dt
En désignant par | WA | le tenseur du vecteur A, nous pourrons
écrire

ds a8]? |< fe 2 is 792 C AN | 2 /
—-)—|-0 | = |" ,r2 x lee
en | d | dew +}, y | du | U + Fu) wv +| Be Vv

Pour abréger, posons

Alors nous aurons la forme fondamentale
dede +2 F dwdd Gide? ze. (33)
Parce qu’on obtient, par différentiation,

Du = Lu Jr ne D PO +2, C1,
Bolt Yoon ae eo Oa,

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 155

les quantités scalaires H, F, G vérifient les relations
RE rt
E > L,, re Y, a u ?

DM PERS ner SCO CPE
Bere. |

Pour les lignes coordonnées v — const. et u — const. on aura
9 9 9 zj

ds, = Edw et ds, — G d .
En prenant s, et s, pour nouvelles variables, on aura la relation

ds = POE FG derde +48... MU. (35)

où E, F, G sont maintenant des fonctions de s, et s,.
Il s'ensuit que les lignes coordonnées formeront un réseau
orthogonal si l’on a

pe=0til eerbaar mur. 10, % (36)

Considérons deux courbes tracées sur la surface, définies par
& =f (s) et S—p(s5), où s et o réprésentent les ares de ces lignes.

Soit enfin 4 langle qu’elles font entre elles.

On aura visiblement

ds oes
ds. DE CETTE

ou

ds ds cos 0 = E du du + F (du dv + dv du) + G dv dv . . (37)

ou bien

$ 18. Pour définir la normale à la surface on peut considérer
le produit vectoriel

On aura
N= fa, Ui + B, +2 CA, + y DB, +6),
ou bien
N = (tu Yo — Lo Yu) ©, + (Yu 20 — Yo Zu) U, + (Eu Lo — % Lu) Do
On en déduit

(=S GR EUR —e x.) (Ea) — (Saur)? = EG — F?.

156 LS VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Donc, si l’on pose

on aura

Si l’on différentie les relations
(N, a) =) et (ler À ») == 0,

on trouve

(i Buu) Sr (Mi Du) == 0, | Qù D uv) ar (Qu D) — 0, |
(MN, Sur) zie OÙ Vu) —— 0, | (MN, À vv) =r (MN, v D) = 0. |
Posons, pour abréger,
ela Buu) = I, (N, Vu 7) — M, (MN, Do a == N STONE (41)
Alors on aura encore
Qhs Ou) = L, | Qu Do) = —< NM, | (49
MF) =— M, | RS. bb NS
Remarquons encore la transformation suivante.
On a

L= Gb Bu) =p (ER Fu) =e (Bin [Bu Fe).

Or, on peut écrire
(Sun [Bu ®ve) => (Gun A, Sr Yuu B, air Zum &,) (Yu Zo) A, ah (Zu Ly) B, Be
zh (x Yr) &,)) ri Guu (Yu 2) ar Yuu (Zu Xp) + Suu (Lu Yi).
Par suite, on obtient
| Uuu Vy Vy

L= | Yuu Yu Yo | 5 Tal MOTOS DTA CT (43)

Zuu Zu Zo |

D'une manière analogue, on arrive aux relations

| Lun Vy Vy Too Vy Vy
M= | Yur Yu Yo |: AA) el N — | Aan Ui, tn RH ERA)
Zuv Zu Zy ey v Zu Zo |

|

§ 19. Parce que les vecteurs N,, et Jt, sont perpendiculaires
à N,, de sorte qu'ils appartiennent au plan tangent, on pourra
poser

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 157

Nau —À Bu + u D
ot
Nip = 0 But 6 Vo,
où À, u, oe, « sont des fonctions de u et v.
De la première de ces relations, on déduit, par multiplication
scalaire avec %, et %,, le couple
(My u Fu) = | Bu E + u (Fu RR |
(Ni Fo) =M( Eu Do) + | De |?- |
Donc on a le système
Ku — À Ou ru we ’
—L—=AE +uF,
—M=AF +uG.

En éliminant À et «, on trouve facilement
H? Ny, = (FM — GL), + (FL—EM)%,..... (46)

D'une manière analogue, on aura

HW, = (FN — GM) §, + (FM— EN)¥, .... (47)

Courbure des lignes tracées sur une surface.

§ 20. Considérons une courbe définie par les relations u— (s),
v= y (s), où s désigne l’arc.

Soit @ langle que fait la normale principale à la courbe avec
la normale à la surface. On aura visiblement

cos 0 = (MN, B) =o (M, Ty’) =e Ì, 37).

Or, on a

ey = Bun? + 2 Bw WV + FrV? + HU" + Hr”.

ds?
Puisque
(Ny Su) =0 et (N, Br) = 9,
on trouve
cosO =o (Lw?+2Muw'v'+ Nv’),
ou bien

cos 6 _ Ldu? + 2M du dv + N dv?
0 Edu? +2Fdudv+ Gd?
ARCHIVES XI. 29

158 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

D’après cette formule bien connue, il suffit d'étudier les rayons
de courbure des sections de la surface avec les plans menés par
la normale (sections normales).

§ 21. Considérons une telle section normale. On a d’abord

Or, on trouve, en différentiant l'équation

(x, = a.

la relation

, ay AN, d$}
gp. WE à) 1
(x, de J * ( ds ds me

Par suite, on obtient

ge (ene à EN. (50)

ds ds

Soit w un paramètre dont dépend la position du plan mené
par la normale, de sorte que 9 — f (w).
S

Il est clair que X, ne dépend pas de w. Done, on aura oh = 0
d? N, ens
et nt ln Od ies athe keet A (51)

Pour un maximum ou minimum de oe on aura

s

aa 0 =) rat

En tenant compte de (50) on peut remplacer cette condition
par

AN, dF (2 d2$

dsdw ds ds ds dw

Eu régard à (51), on aura done pour les valeurs extrömes de ¢

En Ee DE DRE ee La AT (52)

En différentiant, on tire de

ds]?
ds

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 159

encore les relations

dj d? = 3 5
ee et Sb (53)
et
d? = a
(a, IE Ne (54)
dont la seconde exprime que le vecteur = 4 appartient au plan
tangent.
Finalement, il résulte des équations (52) et (53) que les vecteurs
AN, dy
"Hae a es
sont placés le long de la méme tangente.
On a done
AN, d$}
Mon Er ERE, (55)
et, en vertu de (50),
da = —u ds E = —
NT NTM EE 5

Par suite les valeurs extrêmes de » sont caractérisées par la
relation

§ 22. L’équation (56) peut s'écrire dans la forme
Du du + Br do = — 0 (M, du + NR, dv).

En effectuant la multiplication scalaire avec les vecteurs %, et
3, on trouve le couple

E du + F dv — o (L du + M dv), |
F du + Gdv=e(Mdu + N dy). \

En éliminant v, on obtient la relation

E du + F dv, L du + M dv en
Fdu + Gdv . M du + N dv OU

qui fait connaître les directions des tangentes dans les sections
normales où ¢ est maximum ou minimum (sections principales).
22*

160 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

En éliminant du : dv, on parvient à l'équation quadratique qui
fournit les valeurs extrêmes de ».

we Pe, En na
SOS ei Neem
Parce qu'on a
2 Ren TE (EM + FL)?
HO REA a m
f(0)=EG—F?>0 et ne ee)
les racines de (58) sont toujours reelles.
En les désignant par o, et o,, on a
AN, _ 1 dé & se day
ds, o, ds, fas; 0, ds,

On en déduit facilement la relation

Er an aoe ad

9

Si l’on prend pour paramètres, au lieu de u et v, les arcs
s, et s, des sections principales, les deux produits scalaires du
premier membre auront la même valeur, parce qu’ils représen-
tent tous les deux la nouvelle valeur de 47. Donc les vecteurs
d :

BY ds font entre eux un angle droit.

ds, © em,
Les valeurs extrêmes du rayon de courbure se trouvent donc

dans deux plans rectangulaires (plans principaux).

§ 23. Maintenant on a, en vertu de (50),

Tan À asin as: as, ds os, ds/ \ds, ds ‘os, ds
Or, on a. en vue de (56),
RE nde
as, 0 As,

On en déduit la relation

en B) B (EEE ii

ès, 28; 98,

D'une manière analogue, on trouve

(ee a8 en
os) 0s, j

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 161

Done, l'équation (59) peut être remplacée par

= (SG) + (Qe):

ou encore par la formule bien connue

ET CUP, (60)

= SS nn Oo DP na Soe LO

9 0 95
En effet, on a ds’ — ds + ds,, de sorte qu’on peut poser
li cos et dn sin p.
ds ds |

2

Par l'introduction des paramètres s, et s, l’&quation (57) se
change en
E*ds, , L*ds, + M*ds, |

G*ds, , M*ds, + N*ds, | er

Or, parce qu’elle doit fournit les directions principales repré-
sentées par ds, —0 et ds, —0, il faut qu’on ait

wii

Cela équivaut à la relation

RES or... ae (61)

08, AS, LOS, 0985

ou bien à

do =/\ oe an 2 ON)

98, IS, Ose. O85

Il va sans dire que À et « sont des fonctions de s, et ss.

Lignes de courbure.

$ 24. Considérons, sur la surface 5 — f (u, v), une courbe définie
par u—œp(s), v= w (s).

Les normales menées à la surface en tous les points de cette
courbe forment une surface réglée

THUN.

Elle sera une développable si les trois vecteurs %.,, N, et N,, sont
complanaires.

162 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Puisque les vecteurs %, et N,. sont perpendiculaires à %,, cette

condition peut être remplacée par
d$} AN,
m klad (CG)
ds ds

Parce que cette relation a la même forme que l’&quation (56),
on en déduit que les valeurs du rapport du : dv auxquelles
correspondent les développables engendrées par les normales à la
surface, sont définies par l’&quation (57).

Cela veut dire que les courbes homologues enveloppent les
tangentes principales.

Elles se nomment les lignes de courbure de la surface, tandis
que les développables qu'elles déterminent, sont appelées leurs
normales.

En tenant compte des résultats obtenus dans le $ 28, on peut
caractériser les lignes de courbure par la relation

Oe re

pourvu que ces courbes soient prises pour lignes coordonnées.
En effet, on retombe alors sur la condition

HEC?

Il va sans dire que les lignes de courbure sont définies par la
relation (57).

§ 25. Considérons maintenant deux surfaces et supposons que
leur intersection soit ligne de courbure sur chacune d'elles.
On aura les relations

| dt —_ „dt
ds ads ds ds —

Parce que

la relation évidente

entraîne celle-ci

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 163

De même, on trouve

Par suite, on a

(N/A, = const.

Cela signifie que les deux surfaces se coupent sous un angle
constant tout le long de leur intersection (Joachimsthal).

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous le méme
angle en tous les points de leur intersection et si cette courbe
est ligne de courbure pour l’une des surfaces, elle l’est aussi
pour l’autre.

En effet. on a d’abord

(Mt, N,*) = const.

a he (nr) — à

et, par suite.

Or, de la relation

on déduit

(a, - 434 1) == 1 N as =.

ds u ds

CEE

Parce qu’on a en outre

(a, Bh") 0, (x,» 28) —0 ot (x, 98) =0,

ds

Done, on aura

les deux vecteurs

ds ah.
ds Fi ds

sont perpendiculaires aux vecteurs

JU et ot.
Par suite, on a
ives à AN,“
ds TRE

ce qui démontre la proposition.

164 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

$ 26. Considérons un système triple orthogonal de surfaces.
Soit
& =f (u, v, w).

Supposons que les surfaces que l’on obtient en donnant succes-
sivement à u, v et w des valeurs constantes, se coupent à angle
droit tout le long de leurs courbes communes.

Alors on a visiblement

(Su dr) — 0, (8: Ow! = 0, (Bw Du | = 0.

On en déduit, par différentiation, le système d’équations

(Bu Bow) a (Fo du) == 0,
(Ye Bun) Ir (Sw Sw) = 0, \
(du dur) “x (Fu Dre) 0 ]

Il en résulte qu’on a
(Gu Bou) — 0, (Fe du) — 0, (Sw Fur) = 0.
Or, les trois relations
(Bw Fw) =9, (Sw Fu) =9, (Sw Fe) = 0
montrent que les vecteurs

Bw» du et Do
sont complanaires.
En conséquence, les intersections de deux surfaces u — const.,
v =const. avec une surface w — const. sont des lignes de courbure

de la dernière surface.
Done, les surfaces d’un systéme triple orthogonal se coupent
suivant leurs lignes de courbure (Dupin).

Réseaux conjuguées.

§ 27. Supposons que le réseau des lignes coordonnées u = const.

x

et v — const. satisfasse à la condition

ee a (65)

Elle fait voir que, tout le long d’une courbe u = const., les
vecteurs
G = Dus O, = Suv et Br

sont complanaires.

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 165

Cela revient à dire que la surface

F+ wG (u — const.)
est développable.

Les génératrices de cette développable sont visiblement les
tangentes menées aux courbes v = const. en leurs intersections
avec la directrice u — const.

D'une manière analogue, la relation (65) entraîne que la déve-
loppable circonscrite à la surface § le long d’une courbe v — const.
est engendrée par les tangentes aux courbes u — const.

Il y a donc réciprocité entre la direction de la tangente à la
courbe de contact d’une développable circonscrite et la direction
de la caractéristique du plan tangent à cette développable.

On l’exprime en énonçant que les courbes w — const. et
v= const. constituent un réseau conjugué.

En particulier, un tel réseau consiste dans les lignes de cour-
bure. puisqu’elles sont définies par les conditions

Bur = À Du LA u Dr et (Fu Dr) == 0
Il est visible que c’est le seul réseau conjugué orthogonal

+

$ 28. Nous venons de voir qu'un réseau conjugué est caractérisé
par la relation (65). Il est clair qu'elle peut être remplacée par

CAE ERA Me eG)

En vertu de cette équation, si l’on différentie les relations

AR), (GR) =O,
on obtient le couple d’équations
CE) ORNE Na) = ron)

Maintenant, soit la surface rapportée à un système quelconque
de lignes coordonnées « — const. et /? = const.
Alors la première des relations (67) peut s’écrire sous la forme

Ee da Ee Any ey Cs da 4 om ze 0
da du op du va d 7 ap dv Tai;
ou bien

ps om, da Oa + es NR, da òf + ee A, d> Òa +

da da da OP 0/2
rs) SE. 2 NA
ee) oe)
© di FU :
ARCHIVES XI. 23

166 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.
ou encore
Ldada + M(dadf + da) + Ndf0/3—0 . .. (68)

Il est visible que cette relation permet de définir, par une
équation différentielle, le système de courbes qui est conjugué à
un système donné.

Lignes asymptotiques.

§ 29. Eu égard à l'équation (66), la relation
Lu 2 Mid dei N du =O), ae Oo)

définit, sur la surface À — f (u,v), deux systèmes de courbes qui
sont caractérisées par la propriété que leurs tangentes engendrent
une développable circonscrite à la surface.

En d’autres termes, en tout point de ces courbes, nommées
lignes asymptotiques, le plan osculateur se confond avec le plan
tangent à la surface.

Parce qu'on a maintenant, en vue de (67),

IE ee a ( 7/0)"
on obtient, en différentiant l'équation

u), 0,
le couple de relations

(x, EN | (x, ay) = (0, 0.) a

ds?

d’où il résulte, de nouveau, que le plan osculateur touche à la
surface.

Réciproquement, si le plan osculateur d’une courbe de la sur-
face se confond avec le plan tangent, de sorte que les relations
(71) sont vérifiées, la relation (70) est également vérifiée. Par
suite, les tangentes de la courbe engendrent une développable
circonscrite à la surface.

Si l’on prend les lignes asymptotiques pour courbes coor-

données u = const., v—const., on aura, en vue de (69), L—0
et N — 0, ou bien

(=o à (x, HE) 0 NBA ey

1 ou? av?

Cela s'accorde visiblement avec (71).

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 167

Courbes géodésiques.

§ 30. Considérons, sur la surface ¥ — f (u, v), une courbe dont
le plan osculateur contient la normale de la surface.

Cette propriété s'exprime visiblement par une relation de la
forme

ee de She DU es ae Ts (73)

En désignant par w, u/ et vw’, v” les dérivées du premier et
du second ordre, par rapport à {, on peut remplacer cette relation par
NM, —/|) (Fu w + Do v) Sr (Fun uw? + Fun wy + ov yr + Vu Whe a= À v”).

Par la multiplication scalaire avec les vecteurs #, et #,, on en
déduit le couple d'équations

O—A(Eu + Fv’) Hu Bud) Ww? + 2 (Fo B) WU + (Doo DV? + Eu” + Fe", |

De (Fu ie tv’) u Bau 3) w2+9 (Fu 5) a + (Bar 3,)v? ne Gut. | (74)

Or, en différentiant les équations

Gus) =L, Hi) =

par rapport à w et v, on trouve

LEE) BB) + Ge Bu) = Fo LED) | gs
2 (Gun Fa) — Le, Swe) + (Gu Fu) = Fy 2 Fw F)—=G | À

Finalement, on déduit des équations (74) et (75), l'équation
) q ) |

Qu’ + Fy’, Eu’+Fv'+1E,u?+E, uv + (FF, —bG.)v?

: à ; — 01016
Fw + Gov’, Fu’ + Go’ +(F,,— tH, w? + Gu’ + 1G, ef? ini?)

En prenant pour variable indépendante le paramètre w, cette
yg £ i dv d?v +1.
équation donne une relation entre m et due: Donc, elle définit

L Mu
un systéme doublement infini de courbes

On les nomme les géodésiques de la surface.

§ 31. Afin que les courbes v—const. soient des géodésiques
2 1 ,
il faut que (76) soit vérifiée en posant u’—1, w”—0, v’—0,
v’ —0. Par suite, on obtient la condition
EF EE — EF =0.

Si l’on suppose, de plus, que les courbes w= const. soient les
23*

168 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.
trajectoires orthogonales des géodésiques v — const., de sorte que
He 0 on aura E;—0Met
ds? = E (u) du? + G (u,v) dv?.
En posant E’ du = dw, on trouve finalement
dede GW, Vaduz zu)

Il est clair que w désigne l’arc 5 de la géodésique v = const.
Parce

ne dépend pas de v, deux trajectoires orthogonales w= const.
déterminent sur les géodésiques v= const. des arcs égaux.

Surfaces gauches.

§ 32. Soit donnée la surface réglée gauche
5 (u,v) = G (v) + u ÿ, (v).

La perpendiculaire commune à deux génératrices voisines est
caractérisée par un vecteur A} vérifiant les relations

(9, Ay) — 0 et ((9, + AH,)As) — 0.
Donc, ce vecteur satisfait encore à la relation

Quand l’une des deux génératrices tend vers l’autre, la perpen-
diculaire tendra vers une position limite.
Le point où elle rencontre alors la génératrice s'appelle le point
central.
La courbe lieu des points centraux se nomme la ligne de stric-
tion de la surface réglée.
Elle peut être représentée par une relation u — ¢ (w).
Si l’on prend pour variable indépendante le paramètre v, l’&qua-
tion (78) donne pour la ligne de striction la relation
ee i GS \ ae 0
dv dv 4
qui, en vertu de

dj d6 du «
a san B rd

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 169

peut être remplacée par
(GS 3 FeO SG. 2200520 (19)
C’est l'équation de la ligne de striction. Si l’on a
Oe ur Ce ie (80)
DAA, +4 D, +7G,,!
où & 7, 6, À, w » sont des fonctions de v, (79) peut s’écrire sous

la forme
EN Anw Oo) (ME + 2 +?) u=0.... (81)

§ 33. Soit 0 la distance de deux génératrices voisines, M, un
vecteur unité avant la direction de leur perpendiculaire commune.
Alors on a

AXE:
Parce que M, est perpendiculaire aux vecteurs 5, et 9, + 49,,

on aura

[9,,9, HADJ MN, sine,

e étant l’angle des deux génératrices.
De là résulte,

AV sin €

4 B ù [ GE Er

A la limite, on trouve donc

TT NT ER (82)
où
Pete
€

s'appelle le paramètre de distribution.
En vue des équations (80) on peut remplacer (82) par
(+ Vutdaw) MN, +(n+uu+uu) D, + (6 +ru +vru)C, =
er OND + (he =H) Gh,
où les accents désignent des dérivées par rapport à v.
Cette équation entraîne visiblement les relations
E— (ur )k+Vu+aiuw = 0, |
n —(vh)k+uwu+uw—=0,,
5 (hu) k +r'u +vruw —=0.

170 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

On en déduit, par élimination de w et w’,
E — (u NME GRAS
y=), uw, w | =O.
(Aw), ,v

En résolvant cette équation par rapport à k, on obtient

a (uv) NA
10 —— CONTANT
& yv Vv (Au) y” v

Puisque, d’après une transformation bien connue, X (uv)? = 2 4’?
on aura finalement
EN

§ 34. En prenant pour directrice la ligne de striction, on aura,
en vue de (79),
(8 9, =0.

Il en suit que le vecteur 9,’ est perpendiculaire au plan des
vecteurs W’ et 9,, c’est à dire au plan central (plan tangent au
point central).

Le plan tangent en un point P quelconque de la génératrice
p contient les vecteurs ©’, 5, et uw,’

Soit y langle entre © et 9,, 8, un vecteur unité perpendi-
culaire 4 9, et 9,’.

Remplacons © par les vecteurs |S’ cosy|9, et |©’ sin y | &,.

Soit M — |G siny|K, +uH,’. Il est visible que le plan tangent
en P est défini par le vecteur M et par la génératrice p. Done
Pangle p qu'il fait avec le plan central est égal à langle entre
M et K,. Par suite, on a

. (84)

§ 35. Le cône directeur de la surface réglée © + wH, est repré-
senté par w,. Le plan tangent à ce cône est fixé par les vec-
teurs 9,’ et 9,, tandis que le plan tangent à la surface réglée

: ler, 5
est défini par les vecteurs — ©’ +9,’ et 9,
u

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 171

Ces deux plans sont parallèles si l’on a w=. Cela veut dire
que le plan asymplotique d’une génératrice g est parallèle au plan
tangent 7, du cône directeur le long de la génératrice paral-
lèle à g.

Cherchons le point de g, où le plan tangent /' est perpendicu-
laire à 7',. Parce que /’ contient les vecteurs 9, et ©’ +u,’,
tandis que J’, est déterminé par 9, et 9,’, il faut que 9,7 soit
perpendiculaire à & + u,’. Or, il résulte de

(9 + 09,7) 9,/)=0
la rélation
(&'5,) + ul 8,1? =0,
qui d’après (79) définit le point central.
Done le plan central est perpendiculaire au plan asymptotique.

Lieu des centres de courbure principaux.

§ 36. Considérons la surface I, lieu des centres de courbure
principaux. Il est clair qu’elle est constituée par les arêtes de
rebroussement des deux familles de normalies.

Elle se compose, en général, de deux nappes ').

Supposons que les lignes de courbure soient prises pour courbes
coordonnées.

Une de ces nappes peut être représentée par

Me — + ¢, N:
Soit N" le vecteur défini par le produit vectoriel

Re mo à me) |

dU AV
Parce qu'on a
am, __ 38 EKE:
2 a et AS TER EE
OU ou + Er) d
on obtient
Ya) a IR ) à
am Ee € AY ms e, € MN, at € 9 1 es 901 SE
aU Ò U ù U uae Sty mie
SMrA) ech eo
CSU Se ee EK ee —e OS | doi
vv VM Lau i) ot EX 0, dv ar U

1) Dans le cas des surfaces de révolution l’une des nappes est remplacée
par l’axe.

102 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

et, par suite,

SHOP Jig [ x, =] (80)

Done, le vecteur N® est collinéaire avec le vecteur #,.
Cela revient à dire que la normale à la nappe /'" est parallele
à la tangente de la ligne de courbure correspondante.

§ 37. Considérons [expression

Mo — (a ae) |

du av
En differentiant

à M 90,
Dr 7
on trouve
32 DO do, „de an, ak eg woh on; ae
dudv wv | Au AV vum! 0, dW AV

A (1) .
D'après (85), N, est proportionnel à %,. Parce que &, est
perpendiculaire à N, et à $,, on obtient
92 MM
eer) ee OU EMO:
En conséquence, les courbes le long desquelles une nappe de
T est touchée par deux normalies de différentes familles, sont
conjugées.

§ 38. Pour le carré de l'élément linéaire de 7, on a
5 a PEM 2 à Mi IM aM 2
En Cue een =) du dv + | ==
a )

dso” ==

S
= dv?,
ou Ò Uu dv 02

ou bien

ay? Djek he 00, do, MDN Op —2n Nocera ee
ds —( 1) du? + 2—1—1 Qu dv + || —1 ) + AL) 18. [2 dv?,
ow du ov I\ av 0, |

x

ou encore

9 9 — =
ds = de + (204) Gr. ....... (86)
0
En vue de l’équation (77), il en résulte que, sur la nappe J”,
les courbes v — const. sont des géodésiques, tandis que leurs trajec-
toires orthogonales sont réprésentées par v, (w, v) = const.

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 173

Congruences de droites.

$ 39. Un ensemble de droites dépendant de deux paramètres
peut être représenté par

G+uH,,

pourvu que les vecteurs © et 9, soient des fonctions de deux
variables, v et w. On l’appelle congruence de droites.
La surface

G = ¢ (v, w)

est nommée le support de la congruence.

Il peut arriver que © ne dépend que d’un seul paramètre; le
support est alors une courbe, et les droites de la congruence
passant par un point du support constituent un cône. Enfin, si
G se réduit à une constante, on obtient l’ensemble des droites
menées par un point.

Si l’on établit une relation entre v et w, on a affaire à un
système simplement infini de droites de la congruence qui consti-
tuent une surface réglée.

$ 40. Considérons toutes les surfaces réglées passant par une
droite de la congruence. Leurs points centraux sont déterminés par

la relation
d® d$, Ge: Fe:
“dt dé Je: 2 7) me

où ¢ est la variable dont dépendent v et w.
On peut la remplacer par

(GC dv | dw Se dv 28, dw )
av dt ow dt av dt dw dt
é 9, dv _ aH, dw?
av dt aw dt

U — - 9

ou encore par
(G, 91) dv? + [(Gyw Div) + (Gy Do) ] dv dw + (Sw Oro) dw?

ve Oude? + 20, bu) do (jaer (O0
En posant
ee
(6, nee oy (91 Di = F, a Se (88)
| ue > (Hin)? = G,

\ (©, Dix) — ’
ARCHIVES XI. 24

174 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

on aura la formule
__ ed? + (f + f’) du dw + g dw?

¥ E dv? +2 Fdvdw+ Gdw °° °° (eo)
Posons encore
dw 7 RME
4 EAST 2. Ae (90)
Nous aurons alors
ee an id Me (91)

7 E+2Fg +Go?

§ 41. Introduisons, au lieu de v et w, les paramètres « et /?
définis par
Gie (Ua) ei — Gal.)
Nous allons montrer qu'on peut les choisir de manière que la
formule (91) obtienne la forme

où g, désigne le rapport df? : de.
Il est clair qu'on a

918 = Dw VB + Din WB.

\ Op == 6, Va Ge Wi, \ Dye = Dry Vy + One Wa,

| Gg 6,08 + 6, we

Po

Afin qu’on ait
ici OF et | i, — 0
il faut que les deux relations
((G, Vu + Ow (Ore Vs + Di ws)) + ((G, Ug + G&G, wg) (io Ve + Diw Wa) —\ |).
(Or V, + Diw w ) (Div vg Ar Die We)) =0
soient vérifiées
En posant

W, : 0, Yi et We : Ve — Go)
on peut les écrire sous la forme
e+f* (qi + 42) +919: =9, |
E+F(q, +gq2:) + Gq19: —0.)
Puisqu’on peut satisfaire à ce couple de conditions, il est pos-
sible de réduire l’&quation (89) à
e, da? +g, df?
EtG 82. FIG SEE RON De

U= —

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 175
Pour A — const. et pour « — const. on trouve

AG

Ui =—+> et Ua = :
En remplaçant, dans (94), e, et g, par —H, wu, et —G, Us,
on obtient
E, wu, da? + Gy u, d/??
Hy dat +\G, dp?

U

Ici le dénominateur représente le carré de l’&lement linéaire
de l’indicatrice de la surface réglée. L’angle de deux indicatrices
mesure donc l'angle des plans centraux aux surfaces réglées
correspondantes. Dösignons par w langle entre une indicatrice
- quelconque et l'indicatrice /? — const. Alors on a

Gy dp?
En, dai Go df

E, da?

Bade ade À va

COS? © =

Par suite, on trouve la formule de HAMILTON
1 Ur 6082 0 + Ma siemens ee (9D)

On nomme points limites les points centraux definis par w, et
w,. Les surfaces réglées qui y correspondent sont appelées surfaces
principales.

$ 42. Considérons de nouveau l’ensemble des surfaces réglées
menées par une droite de la congruence. Nous allons montrer
qu'il y a, sur la droite, deux points où toutes les surfaces réglées
ont le même plan tangent.

Parce que le plan tangent est déterminé par les vecteurs 9, et
G,+u:, ou bien par 9, et (6, + q ©) + u (9, +49), 1a
position du plan tangent sera indépendante du rapport q si les
trois vecteurs 9,, ©, + uw, et G, + u ÿ,, sont complanaires.

Alors il existe une relation de la forme

À (G, + U Dix) ue u (Gu aia (tl Dix) = Dr ER uch 02 E20 (96)

En effectuant la multiplication scalaire par $,, et par 9, on
trouve, en vue des notations (88)

A(e + Eu) + «(f+ Fu) —0, |

A (f + Fu) + u (g + Gu) — 0. | =)

24

176 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

On en déduit l’&quation

Eur Ci OU | ae
Fu+f, Gut+g

Ses racines définissent deux points qu’on nomme les points
focaux de la droite, tandis que les plans tangents fixes correspon-
dants s’appellent les plans focaux.

§ 43. Cherchons si l’on peut arranger les droites de la con-
gruence de façon à obtenir des surfaces développables.

Exprimons que les vecteurs 9,, (Qi + q Dw) et (©, + q Gy)
soient complanaires.

Cela revient à écrire

NOG el DE ON ME Do (99)
La multiplication scalaire par 9, et par 9, donne les relations

A(e +F)V+u(E+F)=0,|

Dr MORTE (100)
1(f + gg) +u(F + Gq) =0. |
Par suite, l'équation différentielle
edv + fdw, Edv + Fdw | __ doi Pe (101)

fdv+gdw, Fdv + Gdw

définit deux familles de développables. Il est évident que par chaque
droite de la congruence passent deux développables.

Cherchons les points de contact de cette droite avec les arêtes
de rebroussement de ces développables.

On a, en vertu de (100),

e+fq E+ Fg

Vega) FANG
En désignant par m la valeur commune de ces deux fractions,
nous pouvons écrire, au lieu de (89),

TENEN
(m+ q) (F + Gq)
En conséquence, on aura
ri EE el

Gm Gan Teena tes (102)
et, par suite,

(Eu + e) + q (Fu + f)=9, |

(Fut f’) + q (Gu + g) =0. |

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 177

En éliminant g, on obtient finalement la relation

Eu+e,Fu+f da
Fu +f", Gu+g

’

qui fait voir que les points de contact de la droite avec les deux
arêtes de rebroussement coincident avec les points focaux.

$ 44. Le lieu des points focaux sera, en général, une surface à
deux nappes.

Si la congruence a pour support une courbe, de sorte que ses
droites constituent un systeme simplement infini de cönes ayant
leurs sommets sur le support, cette courbe fait partie du lieu des
points focaux et s’appelle courbe focale.

Il est clair que le lieu des points focaux peut encore se composer
de deux courbes focales.

Si l’on prend pour support une des nappes de la surface focale,
l’&quation (96) est vérifiée par w— 0. On a donc

NO re OO

Il en résulte que le vecteur 9, appartient au plan tangent du
support.

Par suite, les droites de la congruence sont tangentes au lieu
des points focaux.

En substituant w —0 dans (102), on vérifie aisément que les
équations (100) donnent u — 0, de sorte que (99) devient

AG, +196, = §,.

EN

On en déduit que le plan tangent à une surface focale est en
même temps le plan focal correspondant au point de contact.

§ 45. Supposons que les droites d’une congruence soient nor-
males à une certaine surface § =f (v, w).

Parce que 9, doit être perpendiculaire aux vecteurs %, et Fw,
on a les relations

E 2 Don
(G, +uö + 550) 0,)=0,
(Ge + u Div ar op 91) 9.) =O,
ou bien
> du : = U
5, | — = Om == ==()), 2 a+
(G, 9,) + = 0 et (&9,)+ = 0 (104)

178 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

Ces équations entraînent la condition suivante
2 de
ah (Goi) ae... dos)

aw Vv

Cette équation équivaut à
(, Dw) Zs (Ge 55 iv)
ou à
AB APR NE Re CRT IDE)
On peut écrire cette condition sous une autre forme,
Soit « langle que la tangente à la courbe w — const. fait avec
le vecteur 9,. Alors on a
(G, 9,) =| G, | cos «.
D'une manière analogue on aura
(8, 91) =| ©, | cos 3.
Soit
E, dv? +2 F, dv dw + G, dw?
le carré de l’élément linéaire du support © = y (v, w), de sorte que

|G, |? = E, et None Cn

Maintenant il est clair que la condition (105) peut être rem-
placée par

à E,? cos «) = Se (GS cos ß) PORT)

oe

Parce qu’on a f=’, une congruence de normales est caractérisée
par la propriété que les points limites coincident avec les points
focaux. Donc les plans focaux d’une droite sont rectangulaires

Si la condition (106) est vérifiée, les relations (104) font connaître
un système simplement infini de surfaces parallèles ayant en
commun les normales.

§ 46 Soit donnée une surface © — p(v,w) rapportée à un
réseau de lignes coordonnées orthogonales, de façon qu'on a

ds? = A? dv? + C? dw?.

Considérons la congruence formée par les tangentes aux courbes
w — const. La surface donnée fait alors partie du lieu des points
focaux.

Posons
G,— AY, eb. Ot ONO ee (NOS)

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 179

On aura visiblement

Oris

Done on obtient
IS (G, U) == 0, == (OM U) = C (6, U),
= (G, A.) = 0, 0) == (G,, A.) iC (C, An):

En vertu de (98), le deuxième point focal d’une droite est
défini par

En vue de (101) les courbes déterminées sur la surface & par
les développables du second système répondent à la relation

(fF—gkH)dv+(fG—gF)dw=0...... (110)
ou
| (6, U) (WU Ue) = (G, Ww) (AU)? | dv +
ate | (G: U) (A)? =; (6, 2 1w) (U, A.) | dw = 0 CES (111)
Soient y et y les angles que le vecteur ©, fait avec les vec-
teurs A, et An. Alors l’angle des vecteurs WU, et U, est égal
à +(y— 7), puisque les trois vecteurs ©,, %, et A, étant per-
pendiculaires au vecteur %,, sont situés en un plan.
L’équation (111) se transforme en
| 21, | (cos y cos (y — y) — cos y) dv +
+ | Ue | (cos p= COS y COS (y — 1)) dw — 0,
ou bien en
feinismu de An [sin glu 0 2. 222. (112)
Parce que le vecteur N, est complanaire avec ©,, U, et A,
on à
sin y — cos (Ni, A) et sim y — cos (Rı U).
Done, l'équation (112) peut être remplacée par
CON) dE AC, du 0.202000 Re! (113)
Or, on a
L=-(6,R)= (AH + A My) RN) = A oi),
et
NO OS Dt,
Par suite on peut remplacer (113) par

L dv + M dw — 0,

180 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

ce qui démontre que le système de courbes que nous avons en
vue, est conjugué aux courbes w = const.

Done, sur les nappes de la surface focale, les deux familles de
développables de la congruence déterminent deux réseaux de
courbes conjuguees.

§ 47. Afin que les deux points focaux de toute droite coinci-
dent, la relation
CN ORNE een eg
doit être vérifiée.
Cela revient à
(C1 Wir) Qe Wie) = (Gi Yin) An),
ou bien à
COS w COS (y — 4) = COS y.

On satisfait à cette relation en posant

sinyp—0 ou sin(p—yz)—0.

Pour sin (y — y) =O on aurait %,,—+%,,, et, par suite,
+ FG. Alors la congruence serait représentée sur la sphère
de rayon unité de manière que le carré de l'élément linéaire
aurait la forme do? — Ed (u + v)?. En posant u + v — 0, on aurait
5— const. ce qui est impossible.

Done on doit poser sin y — 0. Cela signifie que les vecteurs ©,
et A, sont collinéaires. On peut écrire alors

PEN CAR LE
Par suite, on peut remplacer la relation
(Gr PR ae be ee ee lei
par celle-ci
Grea wll a BAC verster Vs RO

Or, les vecteurs G,, et A, — 6,: A déterminent le plan oscula-
teur à la courbe w= const de sorte que cette condition exprime
que le plan osculateur se confond avec le plan tangent à la surface
focale.

Donc, si sur chaque droite d’une congruence, les points focaux
coincident, la congruence est constituée par les tangentes à un
système de lignes asymptotiques de la surface focale.

Cela s'accorde avec la propriété démontrée dans le $ 46, puisque

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 181

les asymptotiques doivent être considérées comme une famille de
courbes qui se confond avec la famille conjuguée.

$ 48. La congruence se compose des normales à une surface,
a on a f—/*, ou bien
(Gy Un) == 0 ALES eter a Nel eel valle oe (1 18)

x

Alors le vecteur U, étant perpendiculaire à ©, et à U,, sera
collinéaire avec N,. En vue de (116) le plan osculateur, défini
par ©, et A,, contient la normale de la surface focale.

Done, une congruence de normales se compose des tangentes à
une famille de géodésiques de la surface focale.

§ 49. Considérons la congruence
G(v) + uH, (v, w).
Parce que ©, — 0, on a
f=0 et g—0,
de sorte qu’en vue de (98) les points focaux du second système
sont définis par
(EGER Sf BG om ss se = (LI)

Done, sur toute droite, les deux points focaux se confondent, si
Von a

ou bien
(6, 91) (Dre)? = (©, Die) (Div Our),
ou encore
co (Gp, Dr) cos (Gy 5 Din) coe (Diss Dia): )- 02). (121)

Jela veut dire que le plan (,,%,,,) est orthogonal au plan
(Dir, Du). Par suite, la normale H, du second plan appartient au
plan (©, , Six).

Or, le cône formé par les droites de la congruence qui se
croisent en un point P de la courbe G, est touché par le plan
(ou, Bin).

Afin que tous les plans tangents du cône passent par la tangente
(§,, il faut que ce cône dégénère en un faisceau de plans ayant
pour axe cette tangente.

Supposons que v représente l’arc de la courbe ©.

En désignant par T,, ®, et B, des vecteurs unité ayant la
direction de la tangente, de la binormale et de la normale prin-

ARCHIVES XI. 25

182 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE.

cipale à la courbe focale, on peut représenter la congruence par
G+uÎT, cos w + (PD, +q BV) sin wl,

où p et q sont des fonctions de v.
Afin que les relations

v=9(), w=y(t)

définissent une développable, il faut que l’équation
dre 89,
CLP A ER
( dt L°1 di }) >

(v O, [9 (Qu v Ir One w’)]) = 0)

ou bien

soit vérifiée
On trouve en premier lieu v’=0, ou v= const., et, par suite,
le faisceau de droites dont le plan x contient la tangente G,.
Puis, on obtient, en employant les formules (7), (9), (10),

p £ ke S S
(=. [ cos w + PD, sin w + qB, sin w) ce COS W + p a sin w—

Vrt Die ah ke
q — sin w —q— sin w tp D, sin w + q À, sin w) v +
T /

0
S

+ (—T, sinw+ pS, cosw + qh, cos w) w) | ) Or lee)
On peut réduire cette relation à la forme
Bad IE POE

Parce qu'il en suit À — 0, il suffit de considérer dans le produit

vectoriel de (122) les produits [B, $,]=®, et BB, 3,] =— J.
On trouve alors
ou sin w = 0,

D D? + q? Noa: j
ou L cosw + EE pq gp) sin wl,
T

d’où, parce p? + q? — 1,

DE 2
ig HE = SiGe 2 Siete: (123)

Il est clair que sin w —0 correspond à la développable formée
par les tangentes de la courbe focale.

L’&quation (123) définit visiblement la développable qui est
l’enveloppe des plans x.

LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 183

$ 50. Afin que |
G(v) + uQ, ww)
représentente une congruence de normales, il faut que, d’aprés (105),
la condition
a

ow
soit vérifiée, ou bien la relation
(OLED ARCS RAS (124)

Cela veut dire que les droites de la congruence se rangent en
cônes de révolution.

En effet, pour v= const., on trouve que l'angle entre la droite
de la congruence et la tangente de la courbe focale est constant.

Considérons, en particulier, la congruence où cet angle est
droit, de sorte que la congruence se compose des normales d'une
courbe donnée.

Elle peut étre représentée par

G (v) + u(B, sinw + YP, cosw),

où v désigne de nouveau l’arc de la courbe.
Alors on aura
3 sin w cos W COS W
== 9 D
DUR D.

Ge —-

T Q Z

Diw = B, cosw— JY, sinw,

et, par suite, puisque ©, = %,,

Gn (G, Du) =a = 2, a = (G, Dir) == 0,
ij a (G, Gino) = 0, g == (OF Ore) == 0,
E=(9.) = k gee 2s pk tt 1 , ae

TE 0” T

En vue de l’&quation (119) on obtient pour les points focaux
du deuxième système

0
S

COS U

Done, la surface focale est définie par
OPOE ig Wa re 17 (125)

A

Dans tout plan normal à la courbe focale, les points focaux
sont donc placés sur une droite parallèle à la binormale, et pas-
sant par le centre de courbure.

25*

184 LES VECTEURS DANS LA GEOMETRIE DIFFERENTIELLE.

Par suite, la surface focale est la surface polaire de la courbe
focale.
Les développables sont définies par

Fdv + Gdw = 0,
ou bien par

ou encore par

w= |“ + const. ste oe pr ER

§ 51. Considérons la congruence définie par les deux courbes
focales © — g(v) et 5 — À (w).

En posant v= (t) et w — w(t), on obtient une surface réglée

& (wu, t) =uG+ (1—u) H.

Le plan tangent à cette surface est déterminé par les vecteurs

Had et Feud, + (1—u) H, w’.

Afin que la surface soit développable, il faut que la position
du plan tangent soit indépendante de w, ou bien que les vecteurs

6—9, Gr —H,w et ©, w’

soient complanaires.
Done, on a la condition

vw ((6 — 9) [G, 91) =

En posant v —0 ou wW=0, on trouve les cônes qui ont leurs
sommets sur l'une des courbes focales et passent par l’autre.
La relation

(@ — 9) [6, 8,1) =0

exprime que les tangentes aux courbes focales en les points
d'appui de la génératrice sont complanaires.

Par suite, on trouve la surface développable ayant pour direc-
trices les deux courbes focales.

SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR LE COURANT
ÉLECTRIQUE

PAR

E. VAN DER VEN.

MEY

Dans la mode, dont les liquides sont transportés par le courant
électrique, il ne restait jusqu'ici qu'un détail non suffisamment
éclairci.

En effet, si les poids de solutions d’un même sel de concen-
tration différente, transportées dans un même temps, seront les
réciproques du degré de concentration et que

Id
M=?
km? )
représente la force transportante, alors — si J, d et m ont une
valeur constante — le coefficient de conductibilité k devra être

proportionnel à la concentration. Et nous savons que ceci n’est
nullement le cas: qu'au contraire, quand la concentration augmente,
la valeur augmenter d’une manière loin de proportionnelle.

A la fin de notre dernière étude *) nous espérions pouvoir
expliquer cette contradiction en supposant dans l'expression

1}
EAV——.S'
q )

1) Archives du Musée Teyler, S. IL, T. VILL, p.p. 93—110, 199—233, 363 —390,
498-515. S. II, T. IX, p.p. 97-130, 218 —253, 572 — 604.
2) Archives du Musée Teyler, S. II, T. X, p. 86.
8) ” » “ » „ „Xl, „ 121.
©) n n ” n ” ” X, n 92.
ARCHIVES XT. 26

186 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

la valeur de Æ variable avec la concentration. Mais cette suppo-
S

Q

de la viscosité des fluides de concentration différente, dont nous

sition implique cette autre, que la valeur de — soit indépendante

savons qu'elle augmente avec celle-ci.

L'examen, dont les résultats sont publiés dans les pages suivantes,
nous a appris que la contradiction citée n’est qu’apparente ; qu’elle
s'explique par le fait que pour chaque degré de concentration
l'influence de la viscosité sur la quantité T, transportée par le
courant, ne diffère pas de celle exercée sur la quantité Q, expulsée
par la pression S du fluide sur la paroi de la vase poreuse; en
d'autres mots, que c'est la force ces S qui elle-même est propor-

Q
tionnelle à 4V et par conséquent la réciproque de k. D où il
suit que la valeur de la charge E est constante pour toutes les
concentrations; du moins pour celles dont nous nous sommes
servis pour nos recherches.

Ce sont done les quantités 7 affectées de la viscosité c.-à-d.
celles dont nous observons le transport, qui sont les réciproques
du poids de sel anhydre continu dans l'unité de volume.

Ces quantités ne sont pas proportionnelles à 4V, elles ne sont,
par conséquent, pas les réciproques de la conductibilité k des
solutions transportées; elles diminuent, par lors, plus rapidement
qu'il ne serait le cas si l’influence de la viscosité, croissante avec
la concentration, n’obstruait pas de plus en plus le transport. Si
cette influence était constante, les quantités transportées de
solutions de concentration différente seraient les réci-
proques de leur conductibilité individuelle; elles diminue-
raient moins rapidement qu'à présent.

Un examen spécial de la mode dont la viscosité obstrue l’écou-
lement des quantités Q, expulsées par la pression S, fait la base
de ses recherches.

Il comprend deux séries, chacune de six vases poreuses et se
rapporte à trois solutions de deux sels, le sulfate de cuivre et le
sulfate de zine, contenant respectivement 2%, 5, 7% grammes de
sel anhydre, équivalent quant au sel de cuivre à 3.91, 7.82, 11.72
grammes, quant au sel de zine à 4.09, 8.19, 12.28 grammes de

sel erystallise.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 187

Les dimensions des vases, savoir: leur rayon moyen (r), épais-
seur moyenne (d) de leur paroi, (d) sa porosité relative (m), déter-
3 ul. Ss BEER ;
minée selon la formule: Q=—7 de M. Poiseuille, !a pression
(S) exercée sur la paroi par une colonne d’eau distillée de 142
mM. de hauteur et le poids (Q) de l'eau, expulsée par cette pres-

sion en une heure, sont rasemblés dans le tableau suivant ').

Vase | r | d | m Ss | Q

il 33.4 mM. 4.35 mM. 0.485 mM. 2.115 gr. 26.36 gr.
2 31 „ hr ae A85 ', 0% , 25.45 ,
BA eS 2 … DES ABT 090 , 20.90 „
a ER GB ba a; 03 93.84 ,
5 BEM BO Ann MH 20.10 „
6 32.75 , 5.95 „ 467 , .058 , 18.40 ,
7 330 Le 5.00 , 492, 090 „ 24.35 „
8 CERA A854 467 , Sens 23.15 „
9 33.5 „ Cure: HO, AA … 93.74 ,
thn 336% 40 , 400 , MIT 3 12.31 ,
il aes ea 0"; 490, A Re 24.60 „
12 33.0 Dee ODER, 450 , .090 , 17.45 ,

En commençant par la solution la moins concentrée les trois
solutions furent successivement poussées, pendant une heure, par
la paroi de chacune des vases d’une série au moyen de leur
pression latérale; en ayant soin toutefois que pendant chaque
écoulement la température de la solution était comprise entre
des limites réserrees.

Les parties de cet examen, trois pour chaque vase, se succédèrent
immédiatement, mais non sans que je m'étais assuré par la com-
paraison des poids spécifiques des quantités successivement écoulées,
que les parois ne contenaient plus rien de la solution, qui les
avait tout à l'heure rempli.

Quant aux valeurs des différences potentielle (/V), elles sont
été déterminées de la manière, indiquée dans mon étude antérieure.

Pour borner les déclinaisons de l'aiguille astatique, intercalée
dans le fil qui réliait les bornes des deux cilindres métalliques,

1) Une appendice (pag. 198) contient les détails des observations.

188 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

il m'a fallu introduire une résistance de 600 ohm. Comme dans
cette étude je n'avais affaire qu'à la proportion des valeurs 4V
et que la résistance introduite était la même pour chaque obser-
vation individuelle, je n'avais pas à craindre que l’introduction
d’un facteur si considérable fit passer l'erreur probable des ampères
observés considérablement agrandie dans la valeur des volts;
comme cela aurait été le cas si j'avais eu en vue de déterminer
les valeurs absolues des différences potentielles.

Cu SO,.
71,, gr. de sel anhydre équivalent à 11.73 gr. de sel erystallise.
5 ” nn ” ” ” 7.82 ” » ” ’
2 4 | 2 ” ” ” ” ” ” 3 u 9 l ” ” ” ” ’

sur 100 grammes d’eau distillee.
111.73 gr. de la fe solution (poids spéc. 1.0752) ont une vol. de 103.92 cM*,
ROSE RE 5 5 5 “DY Aat en ep Uae:
LOSS 5, os Be : ÿ 5 leid .
de sorte que 100 eM3. des solutions successives comprennent respectivement:
7.217 gr., 4.855 gr., 2.467 gr. de sel anhydre,
et ces nombres sont entre elles, comme

2.93 8) Use; SB

HE
Les poids transportés en une heure, par un courant d'un ampere, sont:
Tij“. 5% 21,9],
Vase Ne. lc [6:82,27 10.25 gr. 21.40 gr.
RER D ER SIDE 12.40 , 24.10 „
ON 32.021000 15.04 , DOGO es
ant MIE OD 10.60 „ 19.81 ,
Dieter. COLD: 2 10.40 „ 19/00
us ON LUNDI 14.35 , 98.50,
Les inverses de ces nombers sont entre elles comme:
pl 10 |
3008: 4595 1
OS NOM aly) |
OO MEET AS 1
PB a et) 1
SL 205 1

ou, en moyenne, comme:

Oi: |

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 189

S
Les pressions latérales sont:

71/5 Plo 5 %o 21/2 °lo
Vase’ N°, 1... 2274 gr. 2216 gr. 2168 gr.
a nr 54 , 2196 „ 49 ,
MOOD Aïe 90m 49 ,
Se ee once 40 , 83 „ 35 ,
en AN Gi 2210, 62
Le lOc 36 , PATTIES > 26 ,

Q.

Les poids, expulsés en une heure, par la pression latérale des solutions

sont:
71/2 lo 5 lo « 21h lo
Vase N°. 1. 20.45 gr. 23.50 gr. 25.80 gr.
= ss 17.65 , 20.58 , 23.50 „
= nd. 14.76 , 18.50 , 19.80 ,
2 a A 16.35 , 19.60%, 25.12) 5
a med: 11.85 „ 13.61 „ 15.50 ,
AE. 14.20 , 16.716, 17.90 ,
5 st
K=-—.S
Q A
Les forces transportantes sont:
71a lo
: BREI A ets LL a
Vase ‚NS, bs 5 30 45 9974 gr. = 758 gi
8.02
9 eS 9954 — A
a » 2... 765 2954 , 1024 ,
10.03
= D Seen SL ae — 15280,
14.76 2947 1528
6.64
Au ee a) == 910
eier. OO
6.70
DE 7 = 128
” ” 11.85 2267 ” 1286 9
et. ws, = 1504,

190

Vase N°.

d'où il suit:

ou, en moyenne,

SUR

ake"

LE TRANSPORT

5 Po

10.25

_ 23.50
12.40
OD

10 60
TD
= 10.40

DES LIQUIDES

. 2916 gr.

de „2210,

13.61
14.35
NBG) >

242 lo

21.40
RED
94.10
9350) a
29,60
19.81

4 as 9125

4... 93.10 : Ma

= 19.60 9

Be 1167

>: 15.50 2
ORF

6. 28.50 2196.

19:90 7%

— 75 9 Sol

102471328:
1928571873

== 310: 21180

—11290 IBE
= 1594 : 2197 :

: 1800
2919
3129
: 1840
2749
3385

fe = ed ei bei

B g GT ant 290215:

1180 ,
1693 ,
DOM)
1500 er
2212 „
3129 ,
1840 ,
2742 ,
33855 ,
1.27

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 191

AV

Les rapports des différences potentielles sont:

Molo 5%o Ll Po

VaSe NL TETE 7 OMS 0 95 ni er 3961219
ape ae ADs 150: 9662) 504.1 28:20:07
le ii 192: 984 : .584 — 1 JA: UI
nd OON son: FIT 05
PET IS saris} ees ile 267 eile!
Bas m6 98: 206: 908 = 1 92:09

La moyenne de ces rapports est comme

1 : 130 : 2.09.

K
Am ae
Tp “Io 5% 21,9%

Vase N°.1. E' nn — 07 Br = a= — 1014 EB” = == — 1158
7 = = = 2 a Sem ne = 1423
en = ET UMS ae — 1907 = raat —
NU à Ste ti) oS == 955 LE = 1014
Bo = = =r Ee — 1585 = ze — 1534
AL aie — 4736. BE == — 1764 = = — 1774

Pour les charges moyennes, qu'une vase obtient par Je contact des trois
solutions de concentration différente, on a done successivement:

1442 + 99.8 ; 1433 + 107.9 ; 1446 + 99.2

de sorte que ces charges sont ostensiblement égales.

Zn SO,.
11, gr. de sel anhydre, équivalant à 12.28 gr. de sel erystallise.
DUR | co „ 5 WEI. our à
Ula on à 5 BML CNE ;

sur 100 grammes d'eau distillee.

192 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

112.28 gr. de la 1° solution (poids spee. 1.0772) = 104.65 eM°.
ACEI IE gy a YE 5 (CO 5 MOT) =S MDI
102/09 Ne : (oui 4 264) — 101.40 ,

de sorte que 100 cM’. des solutions successives contiennent respectivement
7.166 gr., 4.851 gr., 2.464 gr. de sel anhydre
nombres qui sont entre elles comme

2.91 : 1.97 GA]

I

Les poids transportes en une heure, par un courant d’un ampere, sont:

7p “lo 5 %o Zi, Vo
Vase N°: 72... 16:80) gr. 10.36 gr. 19.90 gr.
Seen 18:40, 1220 25.47,
UT OT Ce Uy at 15.250, 31.35 ,
eee ID ER SIDE 19106 23.30 „

DAS Mees) 3 MS 15.38 5 31.46 ,

Mh SAO; 25-80 904, 17.34 ,

Les inverses de ces nombres sont entre elles comme:
903-2192
SLA 2:07
3.04 : 206
SOME
Sal ON 204
III

= — à

ou, en moyenne, comme:

3.01 : 1.99 : 1

S.
Les pressions latérales sont:

71) lo 5 “lo 21/3 Vo

Vase N°. 7.... 2242 pr. 2194 gr. 2145 gr.

a NO ee 69 , 2220. le

nn ORE UD > % „ Tims

=o ap MO 82 „ oo) 0 83 „

aegis lee 66 , je 68,

5 sae Al, DER 44

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 193

Q

~~?

Les poids, expulsés en une heure par la pression latérale des solutions,
sont:

71, fo 5 Po 21, lo
VaseëN? dm 1812007: 20.47 gr. 24.55 gr.
en. di 102007. 17.53 , Al
Mer co 100 16.84 , 20.63 ,
Cl IRRE 10.35 , lan €
ank eis 10:25 eee 20.84 , 22.27, >
SADE, 1548 , 1730

Les forces transportantes sont:

Vase aN tek

. 2978 , — 1195 ,

Vase N°. 7.... Gage . 2194 gr. = 1110 gr.
Tes - 2220 , — 1558 „
9 nor. 2296 , = 2017 ,
OC SA — 2602) 9,
ao dsl. ess Olt Ty 1 — 1924...

19... +. 2192 , — 1984 ,

ARCHIVES XI. Patt

194

d'où il suit:

I BAGS 8

ou,

KCR

SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

en moyenne, comme:

21), Lo
Vise NON TE Le AD or GAT er:
25.47 5
\ 9 _ ae
CR dcr AMI —
: NE a be pr De.
23.30
10.20 ‚9183 "= 4899
RATE
ie soo
i SU LORIN Lee, 914% „ — 2144,
LS le ge De AG 213675200
= 1195 : 1558 : 2660 — 1 : 1.30 : 2.20
=De Vil 3 SRN) =i BEN BDT
= 1949 : 2602 : 4329 =1 : 1.34 : 9.99
= 1415 : 1924 : 3063 — 1 : 1.35 : 2.16
== Wig Wg EL SEEN ee
Kk": K"=1:1.88: 2.16.
AV.
Les rapports des différences potentielles sont:
Ty lo Bo 21h Plo

Vase N°.

”

”

”

Ze
8.
9!
10.
Wile
12.

AWE?

AVES AV 08716

— |
0

Dene So——ales

966: .356 : 2.094 — 1 :
LS LOG EME DS le:
199 Dot 3641
918.7 2256.2 SI: IE:
990): 929602100411

ou, en moyenne, comme: 1 : 1.33 : 2.04.

7
7: Of, 5 Vo
= N Bene
in = =
on
=. =, een =
m om

1.32:
1.40:
1.31
1.39:
1.35
1.31

2.04
1.97

: 2.08

2.11

: 1.99
: 2.02

21}; Jo

u — 90%
on — 1950
= — 1734
oe = 4831
5 — 1674
2144 _ 970

PAR LE COURANT ÉLËCTRIQUE. a 195

Pour les charges moyennes, qu'une vase obtient par la contact des trois
solutions de concentration différente, on a done: |
1303 + 105 , 1319 + 103 , 1404 + 109,
de sorte que, en ayant égard aux erreurs probables, ces charges sont osten-
siblement égales.

Il paraît de ces tableaux:

1°. que les poids des solutions salines de concentration
différente, transportés dans le même temps par un cou-
rant d'intensité constante, sont — à cause de la viscosité
différente de ces solutions — les réciproques des poids
du sel, contenu dans l'unité de volume;

2°. que les valeurs des forces transportantes (k) sont
directement proportionnelles à celles des différences
potentielles (4V) et, par cela, les réciproques des coeffi-
cients de conductibilité des solutions;

3°. que les vases poreuses, au moyen desquelles te transport
s’est fait, sont d'une nature très différente, les poids (Q) expulsés
par des forces à peu près égales, variant pe. entre 27.55 gr. (vase
N°. 7) et 11.75 gr. (vase N°. 10) pour une solution contenant
2% °% de sulfate de zine et entre 25.80 gr. (vase N°. 1) et 15.50 gr.
(vase N°. 5) pour une qui contient 24% de sulfate de cuivre;

4. que la différence des résistances, qu'une vase oppose à
l'écoulement d’une solution contenant 72% de sel et à celui
d'une solution qui en contient 2% % est loin d’être égale pour
chaque vase; elle varie pour les solutions de sulfate de zine entre
6.02 et 2.25 gr. et pour les solutions de sulfate de cuivre entre
6.77 et 3.07 gr.;

5°. que des environ deux cent valeurs de la charge libre,
qu'entre les limites de l’erreur probable une vase peut obtenir
quand elle vient en contact avec une des solutions de concen-
tration différente, il y a quant aux solutions de sulfate de zinc
193 et quant à celles de sulfate de cuivre 113 qui coincident, ce
qui, en ayant à la grande difficulté des recherches de ce genre,
ne nous fait pas douter à l’égalité des trois charges.

Il nous reste encore à examiner, surtout dans le but de véri-
fier ces recherches, jusqu’à quel point le rapport des valeurs 1/;
qui en resultent, est en concordance avec celui trouvé dans mon

DT

196

SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

étude „sur une relation entre les valeurs k des solutions salines.” *)
Il faut pour cela réduire les valeurs observées 4V, au moyen

Id

de Péquation 4V = ]

lesquelles nous prenons d = 4.00 mM. et m =

In
v

= à une même valeur de d et de m, pour

0.400 mM. Le

tableau cité plus haut (pag. 192) nous fournira les données, dont
nous avons besoin pour cette réduction.

En faisant ainsi nous trouvons:

VaserNO mi

2

Cu SO,

T2 Plo
4 ‚400 235
0.708 X 435 X 160

_400 _ 235

.750 X 175 x 160
400 _ 218

792 X 475 > 160
900 X u x ze
: 492 © 160
‚400 207

S34 X 450 X 160
400 2185

918 X 595 X 160

6

ou, en moyenne:

Il

1.062.

0.928.

1.911.

1.050.

0.959.

0.944.

5.884

0.981 + 0.063.

Zn SO,.

Ti, Lo

400 242

400 — 218

Vase N°. 7... 0.876 > 500 x 160 = 1.060.

.966 X 185 X 160 = 0.963.

400 _ 221

NS X 460 X 160 = ‚936.

1.122 x eo
LEO)
‚400 240
POOLS 490 * 160 —
400 — 203

160

.102.

.990 X 195 X 160 — 025.

ou, en moyenne:

1.018 + 0.053.

Done les valeurs '/; des deux solutions de concentration égale
sont entre elles comme 0.981 : 1.018 — 1 : 1.04; et dans l’étude
que nous venons de citer nous trouvions ?) pour ce rapport:
1.395 : 1.657 = 1 : 1.2. Si nous comparons les valeurs de k, trou-
vées par plusieurs savants par des méthodes directes, il paraît
qu'entre les limites des erreurs probables le coëfficient de conducti-
bilité électrique d’une solution de sulfate de cuivre est égale à
celle d’une solution de sulfate de zine de concentration égale.
Tandisque selon l’un de ces savants ces solutions-ci sont tant soit

peu mieux conductibles, l’autre attribue la priorité à celles-là.

Venu à la fin de ces recherches, je veux encore relever qu'elles
font voir, comment les deux lois du transport des solutions salines,
; ER: ee ae :
que jusqu'ici nous déduisions de l’observation seule. sont le résultat
du concours de trois forces: la différence potentielle du courant

1) Archives du Musée Teyler, S. Il, T. XI, pag. 115.
2) Ibid. — pag. 118.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 197

aux deux parois d’une cloison poreuse, l’action de la charge
libre du fluide contenu dans ses pores et la résistance opposée
au mouvement du fluide par sa viscosité.

Il est clair que, ce rapport consol étant trouvé, il n’est plus
longtemps nécessaire de limiter la validité de ces lois aux solutions
salines seules; qu’elles sont les lois selon lesquelles le cou-
rant electrique transporte chaque fluide par une cloison
poreuse.

HAARLEM, janvier 1908.

198 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

Appendice

1.

Examen des vases.

Hauteur de l’eau distillée dans toutes les vases: h = 142 mM.

VASE N°. 1. WASE Nowe
Int. Ext. Int. Ext.

Diamètre à niveau d'eau. 68.5 mM. 76.5 mM. 68.5 mM. 77.0 mM.

5 „ mi-hauteur... 67:00 TOM = 660 „ 215.02
aumton dr. 65.0: „ ARO 64.0 … TED)
200.5 226.5 , 198.5 297 0
3 3 — 3 —— 3
66.8 mM. 75.5 mM. 66.2 mM. 75.7 mM.
Epaisseur moyenne...... d = % (75.5—66.8) = 4.35 mM. d = 4 (75.7—66.2) = 4.75 mM.
Pression laterale......... S=7X142? X334X gr. =2115gr. S= X 142? X33.1X1 gr. = 2096 gr.
sous lag. il efflue en 1 h. Q = 26.86 gr. d’eau. Q = 24,45 gr. d'eau.
Porosité relative......... m= = = 0.485 mM. m= Ee = 0.485 mM.
VASE NC, 3. VASE N°. 4.
Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d'eau. 67.5 mM. 76.5 mM. 68.5 mM. 77.0 mM.
» mi-hauteur... 65.5 75.0 66.0 15:0)
au fond... 65.0 15 00 63.0 . 75.0
198.0 296.5 197.5 227.0 ,
u 3 - 3 - Zn
66.0 mM. 75.5 m.M. 65.8 mM. 75.7 mM.
Epaisseur moyenne....... d = MK (75.5— 66.0) = 4.75 mM. d= % (75.7—65,85) = 4.92 mM.
Pression laterale......... S=nX1422X33.0xX1gr.=209%0gr. S=nX1422X32.IX1gr. = 2083gr.
sous lag. il efflue en 1 h. Q = 20.90 gr. d’eau. Q = 23.84 gr. d’eau.
Porosité relative......... m = af = 0.467 mM. m= À = = 0.487 M.
VASE N°. 5. VASEANCAG:
Int. Ext. Int. Ext.
Diamètre à niveau d'eau. 68.0 mM. 77.5 mM. 67.00 mM. 77.0 mM.
» mi-hauteur.. . WD TAO 65.50 „ EN —
ET RN gren ome 65.0 , 745 „ 64.00 , 76.0
200.0 2970 , 196.5 298.0,
3 ——— 3 — 3 -
66.7 mM. 75.7 mM. 65.5 mM. 76.0 mM.
Epaisseur moyenne...... d= % (75.7 — 66.7) = 4.00 mM. d= % (76.0—65.5) = 5.25 mM.
Pression laterale......... S=nX1422%X33.35X1gr.=2109gr. S=nX142? X32 75X1gr.=2058gr.
sous lag. il effluait en 1 h. Q = 20.10 gr. d’eau. Q = 18.40 gr. d'eau.
A à Q.d =e O.d
Porosité relative ........ m= “2 — 0.455 mM. m = À =~ = 0467 mM.

S S

Diamètre à niveau d'eau.
5 „ mi-hauteur...
= au fond...

Epaisseur moyenne......
Pression laterale.. ......
sous lag. il effluait en 1 h.

Porosité relative.........

Diamètre à niveau d'eau
en „ mi-hauteur...
5 ALONG tree

Épaisseur moyenne.....
Pression latérale.........

sous lag. il effluait en 1 h.

Porosite relative...... ..

Diamètre à niveau d'eau.
5 „ mi-hauleur...
austond sara nce 20

Epaisseur moyenne......
Pression latérale.........

3

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE

VASE N°. 7.

Ext.
77.00 mM.

76.0 mM.

(76.0—66.0) = 5.00 mM.
42% X 33.00 X 1 gr. =2090 gr.

d'eau.

Int.
67.25 mM.
66.25
6450 „
198.0 „
3
66.0 mM.
= 4
gs 1
Q = 24,35 gr.
m= Od

= 0.492 mM.

VASE N°. 9.

Int.
68.25 mM.
67.15 „
65.00 „

201.00 EN
67.0 mM.

% (76.2—67.0) = 4.6 mM.
n X 142? x 33.5 X 1 gr. = 2121 gr.

Q = 93.74 gr. d'eau.
OF dar
= 5 M.
VASE N°. 11.
Int. Ext.
690 mM. 77.0 mM.
66.0 165 „
650 , 76.0
200.0 „ 999.5

3 =

66.7 mM.

3

Ext.
77.5 mM.
75.5 ,
155,
298,5 .
76.2 mM.

76.5 mM.

% (76.5—66.7) = 4.9 mM.
S=n X 142? X 33.35 X 1 gr.

Q = 24.6 gr. d'eau.

Q
= — 0,490 mM.

m =

=9115gr.

199

VASE N°.8

Int. Ext.
68.5 mM. 77.0 mM.
670 , 15.0 „
65.0 „ AMD.
200.5 , 226.5

3 —— 3 —

66.8 mM. 75.5 mM.

d= % (75.5— 66.8) = 4.35 mM.
= 142? X 33.4 X 1 gr. = 215 gr.
AE = 93.15 gr. d'eau.

ONG
m= D .4 = 0.476 mM.
S
VASE N°, 10.
Int. Ext.
69.0 mM. 77.0 mM.
67.0 76.0 ,
65,5 75.00
201.5 28.0 ,
3 - 3 ——
67.2 mM. 76.0 mM.

2 (76.0—67.2) = 4.4 mM.
a X 1492 X 33.6 X 1 gr. = 2197 gr.
Q = 12.21 gr.

Q.d

d'eau.

= 0.400 mM.

VASE N°. 12.

Int. Ext.
67.75 mM. 77.25 mM.
66,25 , 75.50
66.00 75.00 „
198.00 „ 997. 95 7
66.0 mM. 75.9 mM.

% (75.9—66.0) = 4.95 mM.

S= X 1422 X 33.0 X 1 gr. =2009 gr.
Q = 17.45 gr. d’eau.
ae
m= = a = 0.412 mM.

S

200 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

Détermination

de
She ST Iss OF Of OZ: qe 1% IRRE VE Vv. 11722
Cu SO.
Vase N°. 1.
71, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution 1.0752.
S' = 1.0752 X 2115 gr. = 2274 gr.
f= 1 Amp: Transport.
gh Om Os — 9h 10m 8s ... 10 gouttes.
(OMS 20 16 10 5
20 16 30 22 10
30 22 40 28 10 5
40 28 50 29 10 5
50 29 10h 0 25 10 5
Poids des 60 gouttes: 60 gouttes.
= 16:82} er;
AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
18°, correspondant à une intensité de 0.00118 Amp.
AV’ — 600 X 0.00118 — 0.708 Volt.

à gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Podis spécifique de la solution: 1.0479.
S” = 1.0479 X 2115 gr. = 2216 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
” — 93.50 gr.

T=1 Amp. Transport.

gh Om Os — Qh {Om Os ... 16 gouttes.
10 0 20 6 IG
206 30 20 16 $
30 20 40- 0 15 5
40 0 50 21 16 5
50 21 3h 0 37 16 5
Poids des 95 gouttes: 95 gouttes.

1057er:

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 201:

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
23°.5, correspondant à une intensité de 0.00159 Amp.
AV" — 0.00159 X 600 = 0.954 Volt.

21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
Ss” — 1.0251 X 2115 gr. = 2168 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
0” = 95.80 gr.

TS Amp: Transport.

gh Om Os — 9Jh 10m 8s ... 31 gouttes.
1018 20 0 30 =
20 0 30 13 31 5
30 13 40 2 30 N
40 2 50 10 31 h
50 10 102 0 18 ahi.
Poids des 184 gouttes: 184 gouttes.

7” — 9140 gr.

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp.
AV" — 0.00259 X 600 = 1.554 Volt.

MaseeN:s, 2.
Cu SO,

7'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0752.
S’ = 1.0752 X 2096 gr. — 2954 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q’ = 17.65 gr.

ARCHIVES XI. 28

202 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

ME mMp: Transport.

go Om Os — 9h 10m 355 ... 19 gouttes.
10 #35 20 15 11 A
20 15 30 10 11 à
30 10 40 9 11 A
40 9 50 2 11 a
50 2 10h 0 47 12 4
Poids des 68 gouttes: 68 gouttes.

P= 8:02 gr.

AV.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

19°, correspondant a une intensité de 0.00125 Amp.
AV’ = 600 0.00125 — 0.750 Volt.

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 10479.
Sa 104790209657, 2196er.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q" = 90.58 gr.

TA mp: Transport.
gh Om Os — 9h 10m 105 ... 18 gouttes.
10 10 20 6 18 “
20 6 30 15 18 5
30 15 40 10 18 5
40 10 50 32 19 x
50 32 10h 0 22 18 a

Poids des 109 gouttes: 109 gouttes.
T” = 12.40 gr.

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
24°, correspondant à une intensité de 0.00161 Amp.
AV" = 0.00161 X 600 = 0.966 Volt.

21), gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
Ss” = 1.0251 X 2096 gr. = 2149 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
9" — 23.50 gr.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 203

IT=1 Amp. Transport.

gh Om Os — Qh 10m Ss ... 34 gouttes.
10 8 20 13 34 5
20 13 30 5 34 5
30 5 40 2 34 5
40 2 50 0 34 ge
50 0 10h 0 16 35 5
Poids des 205 gouttes: 205 gouttes.

Ti Ie Ar er.

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp.
AV!" = 600 0.00259 — 1.554 Volt.

Vase N°. 3.
Cu SO,
11, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0752.

S’ = 1.0752 X 2099 gr. = 2247 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:

Q' — 1476 gr.
Amp: Transport.

9h Om Os — Jh 10m 15s ... 15 gouttes.
10 15 20 98 15 =
20 28 30 0 14 =
30 0 40 14 15 5
40 14 50 31 15 =
50 31 10h 0 10 14 5
Poids des 88 gouttes: 88 gouttes.

T = 10.00 gr.
AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
20°, correspondant à une intensité de 0.00132 Amp.
AV’ = 600 X 0.00132 = 0.792 Volt.

28*

204 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distlllee.
Poids spécifique de la solution: 1.0479.
S” = 1.0479 X 2090 gr. = 2190 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” = 18.50 er.

I=1 Amp. Transport.

9h Om Os — 9h 10m Is ... 22 gouttes.
101 20 15 23 5
20 15 30 25 23 5
30 25 40 5 22 5
40 5 50 21 23 N;
DO 10E 0 0 22 5
Poids des 135 gouttes: 135 gouttes.

T” = 15.04 gr.

Ay.
Resistance introduite : 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
2495, correspondant à une intensité de 0.00164 Amp.
AV" = 600 0.00164 — 0.984 Volt.

2'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
Ss” = 1.0251 X 2190 gr. = 2245 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
QV ==19:80 er:

I=1 Amp. Transport.

gh Om 05 — 9h 10m Os ... 40 gouttes.
10) 40) 20 4 41 5
% 4 30 8 42 7
SOMS 40 6 42 5
40 6 50 8 ho: (Me,
50 8 1067077 42 5
Poids des 249 goultes: 249 gouttes.

T" = 99.60 gr.

AV.
Résistance introduite : 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

34°5, correspondant à une intensité de 0.00264 Amp.
1V'"— 600 0.00264 — 1.584 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 205

Vase N°. 4.

7! gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifigue de la solution: 1.0752.
S’ = 1.0752 X 2083 gr. = 2240 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q = 10.35 gr.

I=1 Amp. Transport.

9h Om Os — 9h 10m 34s ... 13 gouttes.
10 34 JDN 12 ef
SOS 30 19 13 5
30), 19 40 27 13 ES
40 27 Om 13
50 31 10h 0 35 13 5
Poids des 77 gouttes. 77 gouttes.

116 Gamers

AV.
Résistance introduite: 600 Olm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

22°5, correspondant a une intensité de 0.00150 Amp.
AV' = 600 0.00150 = 0.900 Volt.

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0479.
S” — 1.0479 X 2.083 gr. = 2183 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” — 10.60 gr. d’eau.

I=1 Amp. Transport.

gh Om Os — 9h 10m 15s ... 19 gouttes.
10 15 20 98 19 4
20 28 30 10 18 5
30 10 40 24 19 =
40 2% 50 8 18 7
50 8 10h O 12 19 a
Poids des 112 gouttes: 112 gouttes.

TOG:

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
29°, correspondant à une intensité de 0.00206 Amp.
AV" = 600 0.00206 = 1.236 Volt.

206 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

21), gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
Ss" = 1.0251 X 2083 gr. = 2135 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
QV =I Aer:

I=1 Amp. Transport.
gh Om Os — 9h 10m 15s ... 35 gouttes.
10 15 20 3 34 5
20 3 30 10 35 5
30 10 40 4 34 3
40 4 50 13 35 5
50 13 10h 0 9 LUS

Poids des 207 gouttes: 207 gouttes.
Pe =A Siler:

AV.

Résistance introduite : 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
38°, correspondant à une intensité de 0:00304 Amp.
AV” — 600 0.00304 — 1.824 Volt.

Vase N°. 5.

71), gr. de sel sur 100 gr. d'eau.
Poids spècifique de la solution : 1.0752.
S’ = 1.0752 X 2109 gr. — 2267 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q = 11.85 gr.

i= A Transport.

9h Om Os — 9b 10m 335 ... 11 gouttes.
10 33 20 36 11 5
20 36 30 45 11 5
30 45 40 35 11 5
40 35 50 28 11 h
50 28 10h 0 17 11 Bs
Poids des 66 gouttes: 66 gouttes.

176.70 gr.
AV.

Resistance introduite: 600 Ohm.

Pendant le transport l’aiguille avait une declinaison de 21°, correspondant
à une intensité de 0.00139 Amp.
AV’ = 600 0.00139 — 0.834 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 207

5 gr. de sel sur 100 grammes d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0479.
S” = 1.0479 X 2109 gr. = 2210 gr,
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” = 13.61 gr.

Amp: Transport.
9h Om Os — Ph 10m 55 ... 17 gouttes.
10 5 20 16 17 5
20 16 30 19 17 5
30 19 40 28 17
40 28 50 O 16 A
50 0 10h 0 6 17 4

Poids des 101 gouttes: 101 gouttes.
T” = 10.40 gr.

AV.
Résistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

26°, correspondant à une intensité de 0.00178 Amp.
AV” — 600 X 0.00175 — 1.068 Volt.

211, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
S” = 1.0951 X 2109 gr. = 2162 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
0" = 15.50 gr.

I=1 Amp. Transport.
gh Om Os — 9h 10m 55 ... 31 gouttes.
10 5 20 12 31 à
20 12 30 1 30 =
30 1 40 8 31 af
40 8 50 14 31 :

50 14 108 0 5 30 5

Poids des 184 gouttes: 184 gouttes,
T'"— 19.60 gr.

AV.
Resistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

37°5, correspondant à une intensité de 0.00298 Amp.
AV" = 600 0.00298 = 1.788 Volt.

208 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

Vase N° 6.

11}, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0752.
Ss’ = 1.0752 X 2074 gr. = 2930 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q' = 14,20 gr.

= 1 Amp. Transport.
9h Om 05 — 9h 10m 975 ... 19 gouttes.
10 27 20 4 17 5
20 4 30 0 17 5
30 0 40 37 18 5
40 37 50 32 17 5
50 32 1020) 27 17 5

Poids des 105 gouttes: 105 gouttes.
TAM ber:

AV.
Résistance introduite: 600 Ohm,
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
23°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp.

5 gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0479,
S” = 1.0479 X 2074 gr. = 2173 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
O6 le!

T=1 Amp. Transport.

gh Om OS — 9h 10m Ys ... 24 gouttes:
10 2 200 a 24 4
20 7 30 13 24 5
30 13 40 17 94 i
40 17 50 19 24 5
50 19 10h 0 17 24 5
Poids des 144 gouttes: 144 gouttes.

T” = 14.35 gr.
AV
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

28°5, correspondant à une intensité de 0.00201 Amp.
AV" = 600 X 0.00201 = 1.206 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTIQUE 209

21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0251.
Ss" = 1.0251 X 2074 = 2196 er.
sous quelle pression il effluait en une heure:
97 0er:

IAA mp: Transport.
9h Om Os — 9b 10m Ys ... 47 gouttes.
(US 20 5 47 i
20 5 30% 7 47 5
30 7 40 1 46 5
40 1 50 3 47 =
50 3 10h 0 4 47 5

Poids des 281 gouttes: 281 gouttes.
T' = 98.50 gr.

AV.
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

39°, correspondant a une intensité de 0.00318 Amp.
AV” — 600 X 0.00318 = 1.908 Volt.

Zn SO
Mise No
71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0772.
S’= 1.0772 X 2090 gr. — 2251 gr,
sous quelle pression il effluait en une heure:
Ver.

I=1 Amp. Transport.

gh Om Os — Jh 10m Os ... 11 gouttes.
10 0 20 38 11 2
20 38 30 25 11 4
30 25 40 14 10 a
40 14 50 48 11 5
50 48 10» 0 18 10 =
Poids des 64 gouttes: 64 gouttes.

71’ = 6.80 gr.

AV.
Résistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
22°, correspondant à une intensité de 000146 Amp.
AV’ = 600 0.00146 = 0.876 Volt.
ARCHIVES XI. 29

210 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

» gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0497.
S" = 1.0497 X 2090 gr. = 2194 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q" = 93.41 gr.

IT=1 Amp. Transport.

9h Om Os — 9h 10m 175 ... 18 gouttes.
1017 20 8 17 5
20 8 30 35 18 :
30 35 40 20 17 =
40 20 DOW eb 17 5
50 5 10h 0 22 18
Poids des 105 gouttes: 105 gouttes

T" — 10.36 gr.

AW,

Résistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
27°.5, cerrespondant a 0.00192 Amp.
AV’ = 600 0.00192 = 1.152 Volt.

21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0264.
Ss” = 1.0264 X 2090 gr. == 2145 gr,
sous quelle pression il effluait en une heure:
OMAN DIET

I=1 Amp. Transport.
gh Om Qs — 9h 10™ 16s ... 34 gouttes.
10 16 20 5 33 >
2075 30 14 34 5
30 14 40 6 33 hd
40 6 50 16 34 o
50 16 10h 0 8 33 à

Poids des 201 gouttes: 201 gouttes.
hier:

AV.
Résistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
37°.5, correspondant à une intensité de 0.00298 Amp.
AV" = 600 0.00298 = 1.788 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 21%

Vase N°. 8.

71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0772.
S= 1.0772 X 2115 gr. = 2278 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure.

Q' = 16.28 gr.
T=1 Amp. Transport.

9h Om Os — Qh 10m 945 ... 15 gouttes.
10 24 20 35 14 5
20 35 30 13 14 4
30 13 40 8 14 is
40 8 50 29 15 5
50 29 10h 013 14 Ps
Poids des 86 gouttes: 86 gouttes.

T" —8.45 gr.

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.

Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
24°, correspondant 4 0.00161 Amp.
1V” = 600 0.00161 — 0.966 Volt.

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids specifique de la solution: 1.0497,
S” = 1.0497 X 2115 gr. = 2290 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” = 17.53 gr.

I=1 Amp. Transport.
9h Om Os — 9h 10m 135 ... 22 gouttes.
10 13 20 3 21 5
20 3 30 20 29 4
30 20 40 15 21 ñ
40 15 50 8 21 5
50 8 10h 0 93 29

SS]

Poids des 129 gouttes: 129 gouttes.

T” = 12.30 gr.

AV.

Resistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une declinaison de
30°.5, correspondant a une intensite de 0.00226 Amp.
AV” = 600 0.00226 — 1.356 Volt.

29*

Le
fear
we

SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

21, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée.
Poids specifique de la solution: 1.0264.
Ss" = 1.0264 X 2115 gr. = 9171 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:

MEER
T=1 Amp. Transport.

gn Om Os — 9h 10m 15 ... 41 gouttes.
(D 20 8 41 5
20 8 30 2 40 9
30 2 40 11 41 >
40 11 50 4 40 3
50 4 je OR 41
Poids des 244 gouttes: 244 gouttes.

T" — 95.47 gr.

AV.
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

41°, correspondant à une intensité de 0.00349 Amp.
AV’’ = 600 0.00349 — 2.094 Volt.

Vase N°. 9.
71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0772.
S’ = 1.0772 X 2121 gr. = 2284 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
0 = 15.40 gr.

I=1 Amp. Transport.
gh Om Qs — 9h 10m 98 ... 18 gouttes.
10 2 I 7 18 5
20 7 30 9 18.7 jé
30 9 40 22 18 n
40 22 5013 F7) :
50 3 10h 0 17 LS 5

Poids des 107 gouttes: 107 gouttes.
0.32 Er.
AV.
Resistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport Vaiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
22°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp.
AV = 600 0.00153 = 0.918 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 213

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids specifique de la solution: 1.0497.
S”= 1.0497 X 2121 gr. = 2296er.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” — 16.835 gr.

I=1 Amp. Transport.

9h Om Os — Qh 10™ 19s ... 26 gouttes.
10 19 20 10 25 =
20 10 30 21 26 5
30 21 40 14 25
40 14 50 9 25 3
50 9 10h 0 5 25 5
Poids des 152 gouttes: 152 gouttes.

T” — 15.25 gr.

AV.
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
28°.5, correspondant a une intensité de 0.00201 Amp.
AV” — 600 X 0.00201 Amp. = 1.206 Volt.

21, gr. de sel sur 100 gr. d’eau
Poids spécifique de Ja solution: 1.0264.
8" 1.0964 2191 gr. = 2177 gr.
sous quelle pression il effluail en une heure:
Q’” = 20.625 gr.

I=1 Amp. Transport.
gh Om Os — 9h 10m Os ... 50 gouttes.
10 0 90" 11 51 5
20) a 30 0 50 a
30. 9 40 9 50 :
40 9 50 8 50 5
50 8 10» 0 8 TDs

Poids des 301 gouttes: 301 gouttes.
T" — 31.35 gr.

ay,
Resistauce introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
39°, correspondant à une intensité de 0.00315 Amp.
AV" = 600 >< 0.00318 = 1.908 Volt.

214 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

Vase N°. 10.

71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0772.
S’= 1.0772 X 2127 gr. = 2286 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:

Q’ = 9.50 gr.
I=1 Amp. Transport.
gh Om Os — 9h 10™ 965 ... 15 gouttes.
10 26 20 25 14 5
20 25 30 39 14 5
30 39 40 31 14 »
40 31 50 3 15 »
50 3 10h 0 10 14 ;
Poids des 84 gouttes: 84 gouttes.
TS gr.
AV.

Resistance introduite:
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
27°, correspondant à 0.00187 Amp.
AV’ = 600 0.00187 = 1.122 Volt.
5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0497.
S” = 1.0497 X 2127 = 2233 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” = 10.35 gr.

I=1 Amp. Transport.
gh Om Qs — 9h 10m 165 ... 29 gouttes.
10 16 20 3 91 :
20 3 ann 117 99 5
30 17 40 5 21 à
40 5 50 16 29 a
50 16 10h 0 5 21 5

Poids des 129 gouttes: 129 gouttes.
Te 1206 er.
AV.
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp.
AV” — 600 0.00259 = 1.554 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 215

21/, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée.
Poids specifique de la solution: 1.0264.
S= 1.0264 X 2127 gr. = 2183 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Oven:

I= 1 Amp. Transport.

gh Om (5 — Qh 10m 5s ... 39 gouttes.
LOS FAV) fl 39 7
OD Hi 30 4 39 A
30 4 40 0 39 hs
40 0 50 12 40 a
50 12 LOOR 39 £
Poids des 235 gouttes: 235 gouttes.

T" = 93,30 gr.

AV.

Resistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
43°.5, correspondant à une intensité de 0.00394 Amp.
AV" = 600 0.00394 — 2.364 Volt.

Vase N° 11.

71, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids specifique de la solution: 1.0772.
S'— 1.0772 X 2115 gr. — 2974 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:

Q' = 16.25 gr.
I=1 Amp. Transport.

gh Om Os — 9h 10m 20s ... 17 gouttes.
10 20 20 33 17 5
20 33 30 14 16 =
30 14 40 0 16 »
40 0 50 17 17 5
50 17 10h 0 16 16 5
Poids des 99 gouttes: 99 gouttes.

flO over:

AV.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
23°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp.
AV’ = 600 X. 0.00153 = 0.918 Volt.

216 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES

à gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0497.
S” = 1.0497 X 9115 gr. = 9917 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q” = 20.84 gr.

Tr Amp: Transport.

92 Om Os — 9h 10m {0s 25 gouttes.
10 10 20 10 25 5
20 10 30 10 25 5
30 10 40 8 95 5
40 8 Ke 7 25 2
0 7 10h 0 9 95 3
Poids des 150 gouttes: 150 gouttes.

T" — 15.38 gr.

AV.

Resistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison
de 29°, correspondant à une intensité de 0.00206 Amp.
AV” = 600 0.00206 = 1.236 Volt.

21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0264.
S!" = 1.0264 X 2115 gr. = 2168 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Oer:

I=1 Amp. Transport.
gh Om 05 — 9h 10m 95 ... 45 gouttes.
10559 20 8 45 5
20 8 30 8 45 ;
30 8 40 9 45 5
40 9 50 45 5
50 8 102 0 11 45 a

Poids de 270 gouttes: 270 gouttes.
131.46 er:

AV.
Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de

38°, correspondant à une intensité de 0.00304 Amp.
AV!" = 600 0.00304 = 1.824 Volt.

PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE, 217

Was oa Nota De

7'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1 0772.
S’ = 1.0772 X 2089 gr. = 2250 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Q’ — 13.45 gr.

IT=1i Amp. Transport.

9h Om Os — 9h 10™ 15s ... 10 gouttes.
10 15 20 44 10 3
20 44 30 28 10 5
30 28 40 0 9 5
40 0 50 44 10 5
50 44 102 0 19 9 4
Poids des 58 gouttes: 58 gouttes.

10 S0er;
AY.

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
24°, correspondant à une intensité de 0.00165 Amp.
AV’ = 600 X. 0.00165 — 0.990 Volt.

5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée.
Poids spécifique de la solution: 1.0479.
S” = 1.0479 X 2089 gr. = 2199 gr.,
sous quelle pression il effluait en une heure:
" — 15.48 gr.

Tr Amp: Transport.

9h Om Os — 9h 10m 185 ... 14 gouttes.
10 18 20 36 14 4
20 36 30 19 13 be
30 19 40 14 13 5
40 14 50 10 13 3
50 10 10h 0 9 13 =
Poids des 80 gouttes: 80 gouttes.

TOL
AV.

Résistance introduite: 600 ohm.
Pendant le transport l’arguille du multiplicateur avait une déclinaison de
30°, correspondant à une intensité de 0.00216 Amp.
AV" = 600 X 0.00216 = 1.296 Volt.

ARCHIVES XI. 30

218 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES ETC.

21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee.
Poids spécifique de la solution: 1.0264.
S'” = 1.0964 X 2089 gr. = 2144 gr.
sous quelle pression il effluait en une heure:
Der

I=1 Amp. Transport.
gh Om Os — 9h 10m 195 ... 26 gouttes.
10 19 90711 25 :
20 11 30 8 25 5
30 8 40 5 25 5
40 5 50 0 25 2)
50 0 10h 0 20 26 a

Poids des 152 gouttes: 152 gouttes.
TN Mer:

AVE

Résistance introduite: 600 Ohm.
Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de
39°.5, correspondant à une intensité de 0.00334 Amp.
AV" = 600 X 0.00334 = 2004 Volt.

ARCHIVES

DU

MUSÉE TEYLER

SÉRIE II, VOL. XI.

Troisteme partie.

LIBRARY
NEW YORK
BOTANICAL
GARDEN
HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES.
1909.
PARIS, LEIPSIC,

GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE,

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Ira | Arial

An IT ER

1 0 1909

APR

ANS: Er

En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire
de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des
Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier
dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa
responsabilité.

Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord
la description scientifique des principaux instruments de précision
et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les
résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur
moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces
collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront
accordé l’usage.

En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas
occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives
seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont
rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée
à l’Institut par son fondateur.

Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de

s'adresser au Secrétaire de l’Institut,

E. VAN DER VEN.

HAARLEM, janvier 1881.

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CN VARIE.

PROGRAMM

DER

TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT
ZU HAARLEM

fir das Jahr 1909.

Die Direktoren der TEYLERSCHEN Stirrune und die Mitglieder
der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben in ihrer
Sitzung vom 21 Oktober 1908 ihr Urteil festgestellt über eine in
holländischer Sprache verfasste Antwort auf die Frage:

„Was ergibt sich aus den Schriften des Eras-
mus tiber seine theoretische und praktische
Stellung zur Religion?”

Die Antwort, die das Motto trägt:

Valt den boom ten eersten slach nyet
Daervan is clein swaricheit
Hij en groyt op eenen dach nyet
Die volhert en wint den strijt.
(Mey-liet).

hat zu grosse Gebrechen, als dass ihr der Preis zugesprochen
werden könnte. Sprache und Stil sind sehr mangelhaft. Die Ein-
leitung des Stoffs ist wenig glücklich und hat zur Folge, dass
der Verfasser umständlich breit wird und fortwährend in Wieder-
holungen verfällt. Oft werden Ausspräche von Erasmus, die sich
widersprechen, neben einander gestellt, ohne dass versucht würde

den Widerspruch zu erklären. Dagegen erkennt die Gesellschaft
gerne an, dass die Antwort Fleiss und Ausdauer verrät, das es
vornehmlich im zweiten Teil nicht an scharfsinnigen Bemerkungen
fehlt und dass der Verfasser sich streng an seine Aufgabe gehalten
hat. Darum wurde beschlossen, dem Verfasser, wenn er seinen
Namen bekannt macht, eine Summe von fl. 200 zuzuweisen. Doch
kann seine Arbeit nicht unter die Werke der Gesellschaft auf-
genommen werden.

Ausgeschrieben bleiben die folgenden Preisfragen:

1. Zur Beantwortung von 1 Januar 1909:

„Die Gesellschaft verlangt eine systematische
Auseinandersetzung der sittlichen Gedanken
in Boendale’s „Lekenspieghel” und in der gleich-
zeitigen niederländischen Literatur.”

Zur Beantwortung vor 1 Januar 1910:

2. „Die Gesellschaft verlangt eine Antwort
auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum
gespielt im Niederländischen Protestantismus
vor 1618; welehen Einfluss haben Luther und
die deutsche Reformation auf die Niederlande
und auf Niederländer geübt und wieist es zu
erklären, dass diese Richtung gegenüber ande-
ren in den Hintergrund getreten ist?”

3. „Wie verhält sich der Calvinismus unserer
Tage zu dem des 16ten Jahrhunderts hinsicht-
lich seiner Lehren?”

Als neue Preisfrage, zur Beantwortung vor 1 Januar 1911.
wird ausgeschrieben :

4. „Die Gesellschaft verlangt eine Studie über
die Religiosität der ländlichen Bevölkerung
Frieslands von heutzutage.”

Erläuterung: Die Gesellschaft verlangt nicht sowohl eine Be-
schreibung der Bevölkerung nach ihrer Zugehörigkeit zu den
verschiedenen Kirchen und religiösen Richtungen, als vielmehr
eine Untersuchung nach der Religiosität der Individuen in den
verschiedenen Kreisen, nach möglicherweise vorhandenen Eigen-
tümlichkeiten dieser Religiosität im Vergleich zu derjenigen in
andern Gegenden unserer Vaterlandes, sowie eine Erklärung
dieser Eigentümlichkeiten aus der Herkunft der Bevölkerung
oder aus anderer Ursachen.

Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an
innerem Wert, die ausgehändigt wird, sobald die gekrönte Arbeit
druckfertig vorliegt.

Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei-
nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit
Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll-
ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preis-
bewerbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen
der Gesellschaft als Eigenthum anheim, welche die gekrönten,
mit oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass
die Verfasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben
dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit
den Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit
oder ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren
Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender
nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre
Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versiegelten Namens-
zettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die
Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER
VAN DER HULST, te Haarlem”.

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2

TABLE DES MATIÈRES.

Sur les configurations combinatoires et sur la multiplication de

configurations, par J. A. BARRAU.

Théorie générale de l’association de molécules semblables, et de la

combinaison de molécules différentes, par J. J. van Laar.

Sas AM BSG 3.1AAT

At daad beset) i il CLA u end PAI Wa ht lita wel he

ede) Be hay CU GET URI

mr ais Me amhali Are aff ee ah adds mild,

wa MA: cn tan un ehh St ue ir

FONDATION

DE

P. TEYLER VAN DER HULST,
À HAARLEM.

Directeurs.

ies ZOCHER:

P. LOOSJES.

Mr. A. W. THONE.

J. J. VAN OORDE.

J. A. FONTEIN.
Secrétaire.

Mr. W. F. ©. C. PIJNACKER HORDUK.

Trésorier.
J. J. DOEGLAS.

Conservateur du Cabinet de Physique.
Dr. E. VAN DER VEN.

Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie.
Prof. Dr, EUG. DUBOIS.

Bibliothécaire.
J. J. VERWIJNEN.

Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures.
IE Er EU

Conservateur du cabinet numismatique.

MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES.

De la première Société ou Société de théologie.
Prof. Dr. S. CRAMER.
Prof. Dr. I. J. DE BUSSY.
Dr. J. G. BOEKENOOGEN.
Prof. Dr. D. E. J. VOLTER.
Dr. A. C. DUKER.
Prof. Dr. H. J. ELHORST.

De la seconde Société.
Dr. E VAN DER VEN.
J°. DE VRIES.
Prof. Dr. HUGO DE VRIES.
JEG Ops Wht, IP, di, IBILION,
Dr. H J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE.
E. W. MOES.

SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET
SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS

PAR

J. A. BARRAU.

$ 1. Definition, détermination analytique.

Une Cf. est qualifiée combinatoire, quand il est possible de
noter ses points (Æ,) par les combinaisons de p-ième, ses droites
(Hij) de! (p + L)-ième, ....... ses E, par les combinaisons de
(p +)-iéme classe de N lettres, de sorte qu’un E, est situé dans
un E,, chaque fois que les lettres de la notation de l’E, se trouvent
parmi celles de la notation de l’Z;.

Les Off. réciproques, où la notation des E, comprend (p —x)
lettres, sont contenues dans la même définition, parce qu’on peut,
sans ambiguité, remplacer toutes les notations par leurs complé-
mentaires.

Pour la construction des Cff combin., il y a plusieurs méthodes
géométriques '), dont on doit regarder comme fondamentale celle
de CAYLEY — SCHUBERT — VERONESE; aussi la classe des Cff. combin.
est souvent désignée avec les noms de ces géométres.

Une méthode analytique qui, pour le cas p —2, détermine les
points de la Cf. combin, est obtenue par l’extension d’une con-
struction statique de M. Jung ?). En effet, écrivons une matrice
de nombres algébriques:

a, ee Oki |
b b b
1 TS see ele n+1 .
N lignes,
area : \ 5
a 2) = aie elles Ant |

satisfaisant aux conditions:

1) Comp. la Dissertation de l’Auteur (Amsterdam, 1907), p. 57.
*) Annali di Matematica, 2° Ser. XII p. 169.
ARCHIVES XI. 31

220 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

Oy ae On Seo ay Shy se D Sa == ce soon =,

et désignons, dans un espace Æ,, par une combinaison de deux
lettres, ch par exemple, un point, dont les coordonnées homogènes
sont les sommes des nombres dans chaque colonne, à partir de
la ligne c, jusqu’à la ligne Ah, donc:

(reason) (Gi TEE er te h
(Crt ar di An goo Jr):

La notation inverse he donnera le même point, toutes les coor-
données ayant changé de signe; et trois points comme ch, hr et
re seront situés dans une droite chr, parce que dans la matrice
de leurs coordonnées tous les déterminants d’ordre 3 égalent zéro:

(ch) + (hr) (re) =O.

Pour p> 2 cette méthode, qui n’exige que quelques additions,
n’est plus applicable, il faudra alors recourir à la fondamentale:
prendre arbitrairement N points dans un LH, et former les équa-
tions de tous les E,_, passant par p de ces points, enfin l’inter-
section de ces E,_, avee un #,,_,,, donne les points de la Cf. voulue.

§ 2. Première Extension de la Classe des Cf. combin.

Exposons ici une méthode qui, pour p= 2, donne encore les
Off. combin. ordinaires, mais qui reste applicable pour p> 2 et
définit alors une nouvelle classe de Cff., méritant toujours la qua-
lification de „combinatoire”, et comprenant la classe ordinaire com-
me le plus simple des cas particuliers.

A cette fin, composons un agrégat de nombres:

di Ute Ap Tor Ago--+Gap +... Antti Ant? + + + + A+4i,p
bi: bio ... bi,» Doa Do, ae be,» OND ord Dr Dn+1,2 GSD bite
21,1 Zia eee Zip 2921 229... Say ce... Tn411 2n41,2 ce. 2nHi,p

satisfaisant aux conditions:
Co Ar Orr Vin Ar Cie Vi,9 SP domo. Ar Ci» al
Oo, 0 + Co Vor An 03,9 Lo, 9 Sr do ao ar Cop Lo, p == 0

er eel 0 (elle edi, ine Lomo OPOE ete) OPO dn PORT

1 : x Y ze
Cn41,0 Su Cn+a,1 Uni À Cn41,2 Urost Caen Lat, p — 0 ;

où x parcourt toutes les lettres a,b, ....... us

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 221

Formons ensuite pour chaque combinaison de p de ces lettres
les déterminants d’ordre p dans les (n+ 1) colonnes principales
et considérons les valeurs de ces (n + 1) déterminants comme
coordonnées homogènes d’un point en Æ,, que nous indiquons par
la combinaison choisie. Alors, dans une méme colonne principale,
les (p + 1) déterminants contenus dans une combinaison de (p + 1)
lettres, satisfont en vertu des conditions imposées à une relation
linéaire et cette relation reste la même pour les déterminants cor-
respondants dans chaque autre colonne principale. Pour cette
raison, dans la matrice des coordonnées des (p + 1) points, tous
les déterminants d'ordre p égalent zéro, et les points sont situés
dans un seul #,_ı.

Pour p= 2, on retrouve les ternes de points comme ab, be, ca,
situés dans une droite abe, done les Öff. combin. ordinaires.

Pour p—3, quatre points comme abe, abd, acd, bed ne sont
plus situés dans une droite (comme dans les Cff. de VERONESE),
mais dans un plan abed.

Deux plans abcd et abce ont un point abe en commun, ils
déterminent done un E, '); le plan abde a ses points abd et
abe dans cet E,, les trois plans déterminent un E,; dans cet H;
sont situés aussi les plans acde et bede, parce qu’ils y ont trois
de leurs points, cet Æ; reçoit donc la notation abcde.

En continuant ce raisonnement on trouve des Æ, notés par les
combinaisons de 6-ième classe. ensuite des Hy, My .... Em,
ou 7, satisfait à la relation récurrente:

OPA — ne ta

En général, pour p quelconque. on obtient des Cll. combinatoires,
réalisées en éléments linéaires, dont les nombres successifs des
dimensions forment une suite arithmétique de deuxième ordre ?),
définie par les deux termes initiaux :

N, = 0 n,=p—l
et par la relation récurrente:

Ny = 2 Nii — Nz-2 + (p — 2).

1) Un exemple numérique suffit pour prouver qu’ils ne sont pas, générale-
ment, contenus dans un £3.
?) Excepté quand p — 2, elle devient alors la suite naturelle.

31*

222 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

Par l'intersection des Öff obtenues avec un Æ, quelconque on
peut, ici aussi. abaisser d’une quantité égale la dimensionalité de
tous les éléments de la Cf. à la fois.

§ 3. Notations incomplétes dans les Cff. combin.

Dans chaque intervalle entre deux nombres successifs n, ; et
n, de dimensions des éléments des Cf. précédentes, on peut inter-
caler un nombre », =n, —(p —2), pour lequel il y a des espaces
diagonaux '), qui contiennent un nombre fixe d’éléments de moins
de dimensions de la Cf. et qui sont contenus en nombre fixe dans
des éléments de dimensionalité plus élevée.

Pour p—3 par exemple, la notation abcde signifie, comme
nous avons vu, un E,, contenant les cing plans abed,.,.., bede,
dont chaque paire, comme abcd et abce, détermine un Æ,. Un
tel Æ, est indiqué sans ambiguïté par la notation incomplète abc (de),
VE, abcde en contient visiblement dix.

De même la notation abcd(ef) dénote un E,, déterminé par
les deux E, abcde et abcdf; la notation complète abedef, qui
représente un Æ, de la Cf. contient 15 de ces incomplètes; et
ainsi de suite.

Rien n'empêche enfin de considérer aussi des notations comme
ab(cde), abc(def),...ab(cdef), abc(defg) ete., avec une signifi-
cation analogue, seulement le nombre de dimensions de ces éléments
diagonaux pourra être égal à celui d’une sorte d’éléments mêmes,
sans équivalence dans la structure de la figure totale, celle-ci de-
vient alors une Cf. non-homogène. ?)

Dans la Cf. totale on peut toujours, en ne regardant que deux
sortes d'éléments (originaux ou diagonaux), isoler un nombre de
sub-Cff, nous en signalerons une classe spéciale, caractérisée par
une propriété remarquable

En effet, isolons les éléments indiqués par une notation complete
de (N — 2) lettres, avec ceux indiqués par une notation incomplète
du même nombre (N — 2) de lettres avec les 2 autres entre paren-
thèses, la dernière notation peut, dans ce cas spécial, être remplacé
sans ambiguité par ces 2 lettres seules. Alors, en vertu de la

1) Pour les Cf. p—2 ces E,, sont identiques aux Hy, de la Cf.
2) ,ungleichmässig”, comp. ZINDLER, Wiener Sitz. ber. 98, p. 507.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 223

signification géométrique des notations, un élément de première
sorte !) sera contenu dans un de l’autre sorte précisément quand
les deux lettres de la notation incomplète ne se trouvent pas toutes
les deux parmi les (N — 2) de la complète.

Mais dans la Cf. combin. ordinaire 2 lettres indiquent un point,
(N—2) lettres un Hy 3 et un point est contenu dans un Ex;
quand les 2 lettres se trouvent toutes les deux parmi les (N — 2);
le diagramme de cette Cf. est donc parfaitement complémentaire
à celui de la Cf. isolée en question.

Comme exemple, nous prenons N — 5, on obtient:
d’une part la Cf. (10,) plane de DesarGuES avec le diagramme
suivant,

points

ab ac ad ae bc bd be cd ce de
abo 7 | NT. JAN | | |
abd| I se T | |
abe 1 iG: | DA |
acd | 1 1 | | | E | er | 7

droites Ace | 1 | i | | | | | 2

ade D Jr | ss | De
bed RR | ES PET 7 |
bce en | it 7 | | JE hal
= Dt NE
cde | | | | | J. | N |

où I dénote l'incidence d’un point dans une droite;
d'autre part la Cf. (10,) de points et d’ E,, située dans un Hs,
avec le diagramme complémentaire:

1) Par l'intersection avec un Æ; la dimensionalité de ces éléments peut être
abaissée jusqu’à ce qu’ils soient des points.

9294 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

E,
abisachiad, ae. D bd lbels icdicemmade
ae | |r| z | zu |
abd a Rae jel AB
abe | df I th) JE | Jh eel sl PT
aloe | NS IE) Sa
points acel I | JE E E | r | I | Ï
ade ENT | Al ea I | | JE |
bed a ee) = zj ee uf 5 | ZEN JT
bee | | ler) re er PA:
bde| I 2 ra NE | id m
edey 1 | I AE aie) a | |

On peut construire cette Cf. indépendamment en prenant pour
six points, dont les notations contiennent une même lettre, les
sommets d’un simplexe fondamental en Ws,

abe = 100000 acd = 000100
abd = 010000 a ce = 000010
abe= 001000 a de = 000001

Pour les 4 autres points, qui ont à satisfaire aux relations d’in-
cidence, le nombre de solutions est encore &°, une de ces solu-
tions est:

Bed N et bae=0. 74,070
bee=1 0—1 0—1 0 cde= RINDE

s 4. Deuxième Extension: Off. combin. imprimitives.
Méthodes géométriques spéciales.

La première extension ne concernait pas les notations des élé-
ments ou la loi de leurs incidences, mais seulement le choix des
éléments à représenter par ces notations; nous nous proposons
maintenant de donner une extension aux notations aussi, tout en
conservant la loi des incidences.

1) Un autre exemple de Cff. complémentaires est donné Nieuw Archief voor
Wiskunde. 2° Ser. VIII, p. 196.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 225

A cet effet, nous introduisons, sans nous occuper provisoirement
des éléments géométriques qu’elles pourront représenter, des notations
imprimitives de mn lettres, divisées en m systémes de n lettres,
de sorte qu’on considére comme identiques toutes les formes d’une
notation ot les systémes entre eux, aussi bien que les lettres d’un
méme systéme, sont permutés d’une maniére quelconque.

Aux éléments de l’autre sorte nous donnons des notations où est
ajouté, dans un seul des m systèmes des notations précédentes, un
nombre fixe » de nouvelles lettres !), et nous considérons comme
incidents deux éléments de sorte diverse quand la notation du
second élément peut être obtenue de l’autre précisément par la
methode définie.

I] résulte toujours un schéma de Cf. combin. imprimitive, com-
posé par exemple pour m—2. n—=2, » —1, N—6 de 45 nota-
tions (ab) (cd) et 60 notations (ab) (cede), la Cf. est une Cf. (45,, 60, ).

En effet, (ab) (cd) est incident avec (abe) (cd); (ab) (ede);

(abf) (ed); (ab) (edf),
(ab) (cde) est incident avec (ab) (cd); (ab) (ce); (ab) (de)
En général m—n— 72, » — 1 donne des Cf:

| ie (2)! Nt) | m (5)! i

dont nous voulons montrer qu'elles peuvent être réalisées en points
et droites dans un plan.

Il suffit pour cela de noter N points du plan avec les lettres
a,b,c... . et de désigner par (ab) (cde) le pôle de la droite ab
par rapport à la conique abcde; par (ab) (cd) le lieu des pôles de
ab (ou de cd) par rapport aux coniques du faisceau par a, b, cet
d, c’est-à-dire une diagonale de abcd. Alors (ab) (ed) et (ab) (cde)
sont incidents, donc:
les diagonales de tous les quadrangles complets, dont les sommets sont
choisis parmi N points donnés, forment une Cf. combin. imprim.

Et réciproquement:
les points-diagonaux de tous les quadrilatères complets, dont les côtés
sont choisis parmi N droites données, forment une Cf. combin. imprim.

Pour m= 2, n quelconque, » —=—1 on obtient une Cf. imprim.
en prenant N points a, b, c . ... dans un Æ, ; et en construisant
les hyperspheres E};_s, passant par tous les groupes de n qu’on peut

1) » est négatif, si les lettres sont supprimées (comp. § 5).

926 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

choisir parmi ces N points. Par la notation imprim. de 2x lettres
on désigne alors lH,» linéaire radical des deux hypersphéres
indiquées par les deux systèmes d’imprimitivite. La notation
composée de n et (n—1) lettres au contraire doit représenter
l'E, 3 par lequel passent tous les E,_, radicaux de l’hypersphère
fixe par les n points avec les hypersphères du faisceau, déterminé
par les (n— 1) points. La loi d'incidence est ainsi satisfaite, la
Cf. est réalisée en H,_3 et Eu», dont les dimensions peuvent, par
intersection, être abaissées à 0 et 1 resp.

ll est à remarquer que la Cf. obtenue est spéciale: elle est
inscrite dans une Cf. primitive, parce que ses E,_; sont tous con-
tenus dans les Æ, > désignés par les combinaisons de (n—l)-iême
classe des N points

1

$ 5. Méthode géométrique générale.

La possibilité, en éléments linéaires. de toute Cf. combin im-
prim. est assurée par la methode suivante.

Indiquons par a, b,c... . des points en nombre N et situés
dans un E, (x à choisir convenablement), et désignons par une
notation imprimitive (m et n quelconque) le lieu géométrique
(toujours linéaire) des points, dont les distances à tous les n points
dans chacun des m systèmes, sont égales entre elles, de sorte que,
par exemple, (abcd) (efg h) soit le lieu des points P pour lesquels:

Pab Be Pd et). Pe— Pi — rg — Fh.

La méme signification est attribuée aux notations avec lettres
ajoutées ou supprimées, alors on a évidemment satisfait à la loi
des incidences d’une Cf. combin., les limites (positive et négative)
entre lesquelles il existe encore des éléments qui correspondent aux
valeurs de » dépendent des valeurs de x et de N.

Les Cff. obtenues par cette méthode ont toutes la propriété
spéciale que leurs éléments sont des sections d’éléments d'une Cf.
combin. ordinaire, qui sont les lieux des points a distances egales
des n ou (n ++) points d’un même système, visiblement ces
éléments satisfont entre eux à la loi d'incidence combinatoire.
Inversement les éléments des Off. obtenues ont des sections mutuelles
qui sont éléments d’une Cf. primitive, de cette manière la notation
prim. abedefgh est la section de 35 éléments imprim. (abcd)

(efgh), etc.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 227

Pour mettre en évidence que cette propriété est vraiment spéciale,
il suffit de comparer à la Cf. (45, , 60,) du § 4, celle qu’on obtient
en construisant, pour six points a, b, c, d, e, f de l’espace ordi-
naire, les 45 droites (ab) (cd) et les 60 points (ab) (cde) suivant
la méthode des distances égales, et en projetant la Cf. dans
l’espace sur un plan. Alors les droites comme (ab) (cd); (ac) (bd)
et (ad) (bc) passeront par un point abed, la projection du centre
de la sphère par a, b, c, et d, et la Cf. possédera 15 de ces points
diagonaux. Mais avec la construction du § 4 une telle situation
est impossible, (ab) (cd), (ac) (bd) et (ad) (bc) étant les trois
diagonales d’un quadrangle complet abed.

Par le principe d’intersection on peut, dans la Cf. totale et
générale, aprés avoir isolé les éléments de notations voulues,
réduire à zéro la dimensionalité inférieure, de sorte que la Cf.
isolée commence par des points.

En résumant, nous avons:

la figure complete des sections des E,_, de bissection orthogonale
des distances mutuelles de N points en E,, contient des Off combin.
prim. et imprim. de toutes les notations possibles, les dernières pour-
tant dans une forme géométrique spéciale.

§ 6. Méthode par Multiplication de Coordonnées; sa
Signification géométrique.

Comme premier exemple, nous appliquons cette méthode à la
construction de Cff. combin imprim. planes pour m—n—2,
v==1 (comp. $ 4), composées de points aux notations (ab) (cd),
et de droites notées (ab) (cde).

Nous partons d’une Cf. prim. avec points ab et droites abc et
dont nous supposons données les coordonnées homogènes des points,
par rapport à un système fondamental de situation générale:

Lab > Yad » Zab
Bars saan (ea
ete.
Pour déterminer alors un point (ab) (cd), nous lui attribuons
les coordonnées qui sont les produits des coordonnées correspon-
dantes de ab et cd, done:

Cab Cea » Ya b Ye dy fab Zed »
tous ces points constitueront la Cf. imprim. voulue. En effet, trois
ARCHIVES XI. 32

228 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

points comme (ab) (cd), (ab) (ce), (ab) (de) seront collinéaires,
parce que:

Cay : Lea Ya vb: Yea Zab- Sea Le à Ye d Zed
Lay Lee Ya b + Yee Zab Zee — Lad- Ya b+ Zav: Lee Yee Zee — 0 9
Cay + de Ya be Ya e Zab- de Lae Ya e ?de

les points cd, ce, de étant collinéaires dans la Cf. prim. initiale.

Mais on voit, que ce procédé est également applicable 4 la
construction de Cf. imprim de notation plus compliquée, soit du
type du § 1, soit de celui du § 2, la seule restriction étant que
les éléments de dimensionalité inférieure soient des points, condition
à laquelle, par le principe d’intersection, on peut toujours satisfaire.

La méthode subsiste encore quand m>2, les coordonnées de
la Cf. à construire sont alors les produits des correspondantes de
m points de Vinitiale, indiqués chaque fois par la notation im-
primitive, bref:

les points d'une Cf. imprim. (m et n quelconques, » positif) peuvent
être définis par la multiplication des coordonnées des points d'une
Cf. prim. *)

La multiplication des coordonnées correspondantes de deux points
a une signification géométrique très simple: une collinéation qui
laisse invariants les sommets du simplexe fondamental, et trans-
forme le point-unité dans le point P (ou Q), transforme aussi le
point Q (resp. P) dans le point PQ, le ,produit” de P et Q.

De méme la collinéation qui transforme le point-unité en P
(ou Q, R, PQ, PR, QR), transforme QR (resp. PR, PQ, P, Q, P)
en PQR et ainsi de suite.

Pour obtenir une Cf. imprim. on n’a done qu’ à former les
„produits” de tous les m-uples de points étrangers dans une Cf.
prim., c’est-à-dire de points dont les notations n’ont, deux par
deux, aucune lettre en commun.

1) Quand le système fondamental par rapport auquel on exprime les coordon-
nées est de situation générale envers la Cf. les Cff. obtenues sont générales aussi.

Un système fondamental spécial pourra nuire à cette généralité ; par exemple,
si on emprunte les coordonnées de la Cf. initiale aux méthodes des $ 1 ou § 2,
les Cff. inprim. (m—n—2) montreront la même propriété spéciale que nous
avons rencontrée dans le § 5, savoir que les éléments (ab) (cd), (ac) (bd), (ad) (bc)
sont linéairement dépendants, sans que la loi des incidences l’exige.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 229

$ 7. Multiplication de Configurations.

Dans ce $ nous supprimons la condition que les CF dont nous
traitons soient combinatoires, les seules restrictions maintenues sont:

que les éléments d’une sorte soient des points;

que les éléments de l’autre sorte soient des variétés algébriques
Ei, de degré g et de dimensionalité d quelconques;

que chaque Æ contienne un nombre fixe de points de la Cf;

et, réciproquement, que chaque point soit incident avec un
nombre fixe des E. !)

Supposons maintenant données deux Öff. de points et d’ E, no-
tées resp. par

T= jA,, Bap et W=jA% „Bil,

c'est-à-dire composées de A (resp. A’) points et de B (resp. B’)
éléments E (de même sorte pour les deux Cff.), chaque point étant
situé dans b (resp. b’) des E, chaque E contenant a points. ?)

Quand alors on „multiplie” tous les points de J par tous les
points de ZI, on obtient un nombre AA’ de points, situés a para
dans des variétés E du même type projectif avec les E des Off.
facteurs.

En effet, cette multiplication étant une collinéation, les E en
nombre B de J deviennent, multipliés par les A’ points de II,
des E en nombre A’B; de même les E de II deviennent AB’ des
mémes variétés, la figure résultante en contient (A’B + A’B).
Chaque point de cette figure est situé dans b des E du premier,
b’ du second système, nous avons donc obtenu une

CE (AA iy , (AB + AB).

On voit pourquoi les nombres a ont été pris égaux pour les
deux Cff., sans cela la Cf résultante serait devenue non-homo-
gène (§ 3).

1) On pourrait encore supprimer quelques restrictions, sans que la méthode
ne deviendrait inapplicable, quoique son caractère devrait se modifier selon le
cas, mais pour la présente étude nous ne visons pas à cette généralité extrème.
(comp. Dissert. § 1).

2) Des classifications systématiques de Cff de points et droites dans le plan,
de points et plans dans l’espace, ont été entreprises par M. M. KANTOR, SCHROE-
TER, MARTINETTI, DE VRIES, DAUBLEBSKY VON STERNECK (chercher sous Q 4 a
dans la Revue Semestrielle des Publications Mathématiques).

32%

230 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET

Le produit de deux Öff. une fois défini, rien n’empéche de mul-
tiplier un nombre quelconque de Off., le résultat est alors une

CL (AAG IAC Hr Ha ABA IB):

L’application de cette méthode nous fournit, en partant de
quelques Cff. „indecomposables” initiales de types connus, un
nombre illimité de Cff plus compliquées, dont:

1°. le mode de composition est parfaitement déterminé,

29. l’existence (resp. la réalité) géométrique est assurée, quand

elle l’est pour les facteurs.

Signalons encore le cas, où les facteurs sont des Cf. du même
type, mais de position géométrique diverse, leur produit devient
alors une , puissance” avec la notation:

Of ABA CN), DAB)

Remarquons enfin que la méthode est en quelque sorte la réci-
proque de la multiplication polaire '), qui repose sur les theorèmes
suivants:

les variétés polaires premières d'un point par rapport à un
système linéaire d’E;_; en Æ, forment un système linéaire d’E,..ı et:
les variétés polaires premières de tous les points d’un Æ par rap-
port à un seul Z%_, forment un système du degré y, composé de
CNT

Pour obtenir le produit polaire de deux Of.
TAB Ne —— PAG bal,

composées de points et d’Æ', on choisit un E,_, de situation gé-
nérale et construit les E,_, polaires de tous les points de J par
rapport à cet EH} ,, ensuite les £’,_, polaires de tous les points
de II par rapport à tous les Æ;, obtenus. Le nombre de ces
HE’, est AA’, en suite des théorèmes énoncés ils ont entre eux
les mêmes dépendances qui valent pour les points des Cf. J et IT,
ils forment donc avec (AB’ + A’B) variétés E _, ; de classe 7 une

a (an EE)

c'est-à-dire précisément la réciproque du produit des Off. I et II
par la méthode de ce $.

1) Comp. Dissert. p. 46.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 231

Dans celle-ci on opère avec un système configurant de colliné-
ations, comme dans l’autre avec un système analogue de pola-
rités.

$ 8 Produits intérieurs d’une Cf.

En traitant (§ 7) de la p-iéme , puissance” d’un type de Cf,
nous avons imposé la condition que les facteurs soient de position
diverse, sans quoi la formule générale ne serait plus applicable.

Examinons maintenant le cas, où les Of. facteurs sont identi-
ques quant à leur position aussi; quand p= 2, les points d’une
Cf.}A,,B.{ sont done multipliés par ces points mêmes. Les
points résultants doivent étre divisés en trois classes:

1° les produits PP d'un point par soi-même, en nombre À;

2°. les produits P, P, de deux points d'un même E, en nom-

bre $b(a— 1) À;
3°. les produits PQ de deux points qui ne sont pas situés dans
un même E, en nombre !}A —b(a—1) —1} A.

Chaque E de la Cf. initiale est multiplié par tous les A points,
le nombre des E résultants est done AB, contenant chacun a
points. Mais les points résultants ne sont plus équivalents, ceux
de notation PP portant, comme on le vérifiera aisément, b des E,
ceux de notation P, P, ou PQ au contraire 2b.

La figure totale devient ainsi une Cf. non-homogène :

Of. Al + 13 A (4 — Dim, $4 Bla |

Il reste à examiner, s’il est possible d'isoler dans cette figure
des éléments des deux sortes, constituant ensemble une Cf. ho-
mogene.

A cette fin, il convient de rappeler ce qu’on entend par le reste
d'un point d'une Cf.

Quand on supprime dans une Cf. un point donné et tous les E
qui le contiennent, l’ensemble des points et des Æ restants est le
premier reste de ce point.

Quand on supprime encore les points de la Cf, situés dans les
E déja supprimés, on obtient le second reste et ainsi de suite.

Or la Cf. non-homogéne totale contient assurément des Cf. ho-
mogénes bien déterminées, quand les restes de tous les points (soit

232 SUR LES CONFIGURATION COMBINATOIRES ET

premiers, soit seconds, ou d'ordre élevé) sont eux-mêmes des Off.,
de la même notation pour tous les points !).

Dans le cas des premiers restes, cette Cf. homogène, le produit
intérieur premier de Vinitiale, contient les 4A (A—1) points de
classes P,P, et PQ; dans le cas des seconds restes le produit
intérieur second contient les 4 {A— b(a—1)—1} À points PQ;
dans les deux cas la composition ultérieure de la Cf. dépend de
la structure de ces restes.

Comme un exemple de produit intérieur premier, prenons la
Cf. initiale (10, , 15,) de points et plans dans l’espace ordinaire,
dont les points sont notés par les combinaisons de deuxième classe
de cinq lettres et dont la structure (non-combinatoire!) est donné
par le diagramme ?) :

points:
ab ac ad) ae NEC (bd) bes vide Tice cd

(If ab | ae | | bd | | cd

(2) RE | | be ce

(3) || ad N be ea

(4)| ab | ad | be de

(5) | ab | ae | be | ce

plans: (7) | | | | bd | be | ce cd

(9) | | bc | bd | | \de || ‘ce

(13) Waa | ae bd | be

(15) | | ac | ad | be bd |

1) C'est-à dire composés des mêmes nombres d’éléments avec les mêmes nom-
bres d’incidences. Dans nos exemples ils sont aussi du même type, les Cf. ini-
tiales choisies étant toutes régulières.

2) Comp. Nieuw Archief voor Wiskunde 2° Ser. VIII, p. 198.

SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 233

Le reste de chaque point (comme le diagramme le montre im-
médiatement pour le point ab) est une Cf. (9,), identique au
N°. I de la classification de Marrinerti!), le produit intérieur
premier est done une Cf. (45, , 90,) de points et de plans. En
effet, le point (ab) (ac) est situé dans les plans:

(ac) (3); (ao) (4): (ad): (ae) (6);
(ab) (11); (ab) (12); (ab) (14); (ab) (15).

Comme exemples de produits intérieurs seconds, partons des
C#. planes (16,, 12,) A et B*), dont les restes seconds sont les
deux types A et B de Cff. (6,, 9,). Les seconds produits devien-
nent deux types de Cff. régulières:

(48, , 144,) A et B.

Mais une série entière d’exemples est donnée par les Cff. combin.
imprim. (m—2), comme obtenues par la méthode du § 6. En
effet, le second reste d’un point ab est la Cf. des (N — 2) lettres
restantes; la Cf des points (ab) (cd), de classe PQ, est le produit
intérieur second de la Cf. primitive.

Des considérations parfaitement analogues, bien que de plus en
plus compliquées, sont applicables pour p>2; pour p—3, par
exemple, la figure totale contiendra des points des classes PPP,
ren, banken POMP IDs et: BOR.

Ici encore nous pouvons citer les Cff. combin. imprim., un point
comme (ab) (cd) (ef), produit de trois points mutuellement
étrangers, étant de la classe PQR, la Cf. de tous ces points est
un produit intérieur troisiéme de la Cf. primitive.

1) Atti della R. Accademia Peloritana XV.
2) Réciproques des Cf. de Hesse et de DE Vries, comp. Dissert. p. 108, 113.

:

Lee > [ A a

a ich Pee

ob rend a Be Henn,
(Ah eh eerie wae la Nee gt boa
halo abend al to nr Le AAE
DATA atas ALITY) Ae ly GU) Be Por reds dey etais: qi

Ver (PA Ethuldianl Mile ch Jey {ah he fo Ero bibs, ” ee
A gal 4 16) (vip wes ‚x Ds D 2 F ae (i nf.
Bu ar (ll is iy) nt IM i "ie i ah, AT 1} (Ab!

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CAR LA Monte Mb der ton U LE IE EDEN we + EI SAN
Gite tbe aftanse, ‚va dine ND re Ki orn
ie Gigi Ne éd ant GON TIL) ent Le Bi

ch ANR SPL AT met.

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mer ui ols Mrt to Pen ll Mee eid Er ass dura ity à
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ROR VS a OX RL Le TRUST"

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SEU BOE foe tae HE Re as oc te eat oh BD eek wie NE

il

THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION
DE MOLECULES SEMBLABLES,

ET

DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES

PAR

J. J. VAN LAAR.

§ 1. Association des molécules d’un corps simple.
Lorsque deux molécules simples 77,0 s'associent” en une
molécule (H,0),, on aura dans le cas d'équilibre entre les deux
sortes de molécules:
—u, +2u, —=0,
où “, représente le potentiel thermodynamique moléculaire des
molécules doubles et «, celui des molécules simples.

Or, on peut écrire d’après des déductions connues !):

à

[2 — RT xn, log xn,] + RT log c, |

u == &
; on;
’
fi, — (0, — - [2 — RT zn, log En, ] + RT loge, |
E 5 ON» |

où C, et C, sont seulement des fonctions de la température,
données par
GE ot D (og Tir Ehle) — T(s1)0
0, EE k, T (log ES 1) ae L(e;)o => T(s2)0

id
1

et où {2 représente:

DS [paw — m.

1) Voir e. a. Ces Archives, Série 2, T.X, Première partie: L’expression pour
le potentiel moléculaire, etc. (1905).

ARCHIVES XI. 33

236 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

Nous supposons connue la signification des grandeurs k,, (e,),,
(S,)o, %,; ete, tandis qu'on a:

(Gy === == — 2 — a

= =
(Ds =m Dar PD zn,

On aura done:

a 0 2’
(— 0, +20,)— |, +2

= In. | + RTC lage, +2 log 0) = 0,

lorsqu’on écrit 2’ pour 2 — RT zn, log zn,.

Nous voulons introduire maintenant le degré de dissociation /?
des molécules doubles en molécules simples. Lorsque f est une
fonction quelconque, homogène et du premier degré par rapport
aux quantités moléculaires n, et n,, on aura évidemment:

af of
— =o Le
f lon, an,
Mais comme n, = 1—/?, n, —2/?, quand on part de 1 molécule

double, on peut écrire:

ee rs) oF + NE

n IN,

Or, on aura identiquement:

of of dn, of dn,
a on, aß on, df?’

done

of ih DTE Re

0? nm, mM,

Et de (a) et (b) il s'ensuit:

af US CHE 9 2. e
se —f—-ßB ag 2—_—f + (li) (c)
relations, qui permettent de remplacer les deux variables n, et n,
par le seul variable /?. En vertu de (b) on peut écrire maintenant:

2

à (2°
(—C, +20) — + RT log 0,
Mais
_ besiB : BEEN 2
me ame

par suite

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 237

C, BT. 4/9?
ml Sd
On aura done finalement:
6 9.02’
log 1 TP — — RT — eR Te te) oe int ete
; a nae
et il s’agit de déterminer la grandeur — 2 . Or, pour celà il nous

faut une equation d'état, p. e. celle de M. van per WAALS:

où
b—b, (1— f) + Wb, + 7 (—bd, + 2b)
a= (1— fB)? a, + 2(1 — f) 2/8 ao + 4P? a.
Mais comme évidemment

dy —= "40, ; We fed,

on aura:
a=(1—/)?4,+2(1—f) fa, + Ata, =a,,

de sorte que la grandeur a pour un corps simple, consistant par-
tiellement de molécules doubles et de molécules simples, sera
indépendante du degré de dissociation P, et toujours égale à a,
(e-à-d. lorsqu'on considère une quantité moléculaire double du
corps étudié).
En écrivant
—b, +2b, = 4 b,

où Ab représente l'augmentation du volume moléculaire b, lorsque
une molécule double se transforme en deux molécules simples,
nous aurons donc:

a = Const = a,

bob.
En supposant b, et b, indépendants de v et de 7, nous trouvons
par conséquent de

LOERT a

vb v?

pour | p dv expression :
337

238 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

a
vw’

[ pdv= (1 +) RT log (v—b) +

parceque dans cette intégration la grandeur / doit être supposé
constante !).

Pour, 07 [p dv — pv — RT xn,: log Yn, nous obtenons done

is VE

EN |
ole) el log : a 3 == 5 — pv,

d'où il s’ensuit (a = constant):

0.0! 5, .0—b ce) RL db a ov ov

ge rg Sen = FIDL) MeO YOM OF

EN L 2 ov
Or, en vertu de l'équation d’état (2) tous les termes avec;

df

disparaîtront, et on obtiendra:

a’ RT RUN,
Cm ns — À pie) Abn de 406)

en remplaçant (1 + /):(v—b) par sa valeur (p +4) hg:

La relation (1) devient done:

4 | raj BE (pr 5) a |
DU en le —20, PC ce oe p+) 4b |: RP.
En posant maintenant:

CET 7

en = = + log RT — 1 — log 4 — log K ,..... (4)

1) En effet, y étant l'énergie libre, on aura:

Y=Vy = ne = een a]:
y Ov

: oy : B en 2 Au.
Mais comme Cr reste toujours = 0 en vertu de l'équilibre de dissociation,
t v

nous aurons simplement:

v ow v
y= Wy + | >) dv = py — | pdw,
DENT v\ov Jg Wy „Ps

d'où l’on voit, que dans l'intégration [va la grandeur @ peut être supposé

constante. Voir aussi Ces Archives, Série 2, T. IX, Troisième partie: Sur quelques
phénomènes remarquables chez la miscibilité partielle, etc. (1905), p. 43.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 239

où K sera par conséquent une fonction de la température seule-
ment, nous obtenons:

e-à-d. la relation exacte pour la dissociation des molécules doubles,
qui tiendra non seulement pour l’état gazeux, mais aussi pour
l’état liquide.

Avec les valeurs de C, et C,, désignées plus haut, on peut
écrire pour log K d’après (4):

log K=— — "} a

ht y+ Be pp =de ,

ae + 2(:
ah era (52) + log R + log T—1— log 4,

done en posant:

Sv, ki) PME A
= R Ar Bus

—k, +2k,
TE =Y 5 — (edo + 2(e)o = |

|

+ log R—1— log 4 = loge

?

où q, représente la chaleur de dissociation, absorbée par la trans-
formation de 1 Gr. mol. double en 2 Gr. mol simples chez T= 0,
nous aurons:

TN © cies esx (6)

Les équations (5) et (6) combinées nous donneront donc la
conduite entière d’un corps simple, quant au degré de dissociation
de ses molécules doubles, depuis l’état liquide jusqu’à l’état gazeux
dilué, et cela pour toutes les pressions et toutes les températures.

4 eh D + al,
Dans l'état gazeux parfait p + a =p; d’ailleurs P =: m

Ab Ab :
(le Par: où gp sera négligeable, de sorte que dans ce

cas l’équation (5) deviendra:

ri = (ga Para RO oe (5a)
mi

avec (6) la formule bienconnue de Grrrs.

240 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

$ 2. Influence de la pression.

Nous étudierons en premier lieu l'influence de la pression.

Lorsque p—0, le volume v sera— dans la phase gazeuse,
et la formule (5a) donnera 3 — 1, de sorte que dans l’état gazeux
fort dilué toutes les molécules seront simples.

Lorsque p—, la formule (5) donnera:

BURN ree
ee | —( ou wo,

selon le signe de 4b Pour les corps. où 4b est négatif, comme
chez Veau (la formation de molécules simples est accompagnée

29

. > . 0 EN A
d’une contraction du volume moléculaire), im tendra à @ , c.-à-d.

à 1. Mais pour les corps, où 4b est positif, cette fraction tendra
à 0, donc /? également à 0.
Ces relations sont représentées par les figures suivantes.

P=1 (t 1. m. sont simples).

M ze

>

3 — 0 (toutes les mol. sont doubles).
Ab négatif (eau).

Fig. 1.

P=1 (simple).

5 = 0 (double).
Ab positif.

Fig. 2.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 241

On voit done, que chez l'eau, où 4b est négatif, une augmen-
tation de la pression dans l’état gazeux donnera d’abord une
augmentation de l’association. Mais lorsque la pression devient
si grande que 4b ne peut plus être négligé auprès de v —b,
c.-à-d. quand le volume s'approche à b, comme dans l’état liquide,
association atteindra une valeur maximale (dépendant de la teın-
pérature), et décroîtra ensuite de plus en plus, pour disparaître
entièrement lorsque la pression tend à oo.

Dans le premier moment ce sera donc le dénominateur p + 4/»2,
qui dominera, en causant une augmentation du système aux

molécules doubles n, [en vertu de la relation =) : AD] i

quand v diminue; dans le dernier moment, ot v reste sensiblement
invariable, ce sera au contraire l'expression exponentielle, qui
dominera alors, en causant un décroissement du système mentionné
avec la diminution de v, en vertu du fait que le volume d’une
molécule simple est plus petit que celui de !/; mol. double.

Mais chez les substances, où db est positif, une augmentation
de la pression causera toujours une augmentation de l’association,
jusqu’aux plus hautes pressions.

Je fais remarquer encore, que la valeur de 4b (négative ou
positive) deviendra de plus en plus faible à mesure que la pres-
sion s'élève. Car dans le cas limite p=», v—b, il n'y aura
plus de différence entre le volume d’une molécule double et deux
molécules simples. Cela ne modifie pourtant en rien les consé-
quences, que nous venons de déduire; seulement l’accroissement
ou le décroissement de / en devient relativement plus faible chez
les fortes pressions.

Pour connaître plus exactement la variabilité de /? avec p, il

à >
faudra déduire la valeur de ae
c
En écrivant pour (5):
Be UG
1— f2
nous aurons, en différentiant par rapport à p (T—= constant):
2 25 \of a: “aß
EE Kind,
B 1—f*Jop ap òf op
d'où résulte :
Lil 2 _ à log | AY (7)
op LP (1 — 22) a2 DR.

242 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

3 ; LA : à log K’ Av
puisque en vertu d’un théorème bienconnu a = — - :
op RT

Nous démontrerons, que dans notre cas cette relation sera effec-
tivement vérifiée. Or, pour celà il est nécessaire de connaître d'abord
la valeur de 4v.

L’équation
(eee

y—b= p+ Ayr

donne, en différentiant par rapport à /> (p et T constant):

2 7) 1 i 1 2a av

= pP mae DUT: pt “lv: v3 af
a) “ F 4

Mais G ) = Av, e-à-d. l’augmentation du volume, lorsque
C 3 pr

une molécule double se transforme en deux molécules simples,
et nous obtenons:

4 [ 20/3 |= 1 N Ah
le prol Lap v—b’
ou bien
b
Ab + = D
AY = ——— u stents) RE

DE p Ar Alp?

où le dénominateur sera toujours positif, parce qu’un changement
de signe est exclu, /v ayant toujours une valeur finie.

Chez les gaz parfaits, où b et 7b sont négligeables auprès de
v, et fy: auprès de p, cela devient simplement:

> (gaz parfaits). . . . . . . . . . (8a)

Lorsque le volume s'approche au volume limite, v—b devient —0,
lans le cas de

et seulement dans ce cas extréme 7
liquides ordinaires on ne peut nullement confondre 4v avec Ab.
Car on aura alors:

mE RT ARL RT ING
1 ze P v vpt fo?) Aln mall = fi ie ?

où T, représente la température critique de la substance. La for-

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 243

mule (8) devient donc, en supposant (p. e. chez l’eau à 20° C)
Tr vA 298000 Lise:
Tm aen

B—!};, tandis que ;

Ab+ ld _ « j
ER Eee
Or, chez l’eau on a az nn — — 0,47 *), de sorte que l'on
aura dans ce cas:
f° _ (Pas x — 0,47) — 1/99 = — 0,41 — 0,05 — — 0,46,

A x A A 4 U LA 2 7
c.-à-d. à peu près la même valeur que celle de En Mais en général

il y aura une différence appréciable entre ces deux grandeurs. Il
se peut p.e, que 7b soit —0; alors 4v ne disparait nullement,
èv
an
lorsque une molécule double se transforme en deux molécules
simples, est du dans ce cas seulement au facteur 1 + 5 auprès
de RT dans l’&quation d'état.

Dans les cas, où 4b est negatif, comme chez l’eau, la grandeur
Av doit done nécessairement changer de signe pour une certaine
valeur de v, que nous pouvons calculer de (8). Comme nous
pouvons écrire:

v — b ink
Fre +) 4b +9 — (b, + P Ab) |=
_v—b, +4b_v—2(b, —b,)
1+/7 1+/7 ,

v— b ;
car le terme DER subsistera. Le changement de volume 4v—

Ab +

ce changement de signe aura lieu, lorsque v — 2(b, — b,).

1) Quant au facteur f—9, nous en pouvons déterminer la valeur de la manière

suivante, Pour Eon peut écrire ; 2 —1,26 ed ‚parce que a — 443, tandis que
Vv 3,18 Vo Va
v = 36,06, vo — 11,84 (1. c. dans 2), p. 13), donc v —3,18%. Or, a = RP OU
2

chez l’eau Te, — Te parce qu’à Ja température critique toutes les molécules
seront déjà simples. Nous avons par suite a» — 1,26 X 7 RT, —8,8 RT.

2) Ueber die teilweise Association der Flüssigkeitsmolecüle, Z. f. physik.
Ch. 31 (Jubelband van ’r Horr), S. 12. (1899).

ARCHIVES XI. 34

944 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Pour l’eau cette valeur de » sera !) = 2 (37,32 — 10,40) = 53,8 ccM.
pour 36 Gr., ou 1,5 ceM. pour I Gr. Ce sera done dans l’état
liquide à des températures assez hautes Aux températures ordi-
naires (ou bien aux températures plus élevées, quand la pression
est suffisamment haute) 4v sera déjà négatif comme 4b.

Mais lorsque — 4b possède une valeur plus faible, le change-
ment de signe ne se présentera que pour des valeurs de ‘/» dans
le voisinage de l’unité.

ZI
u pour effeetuer la
vérification, que nous avons annoncé plus haut. On aura, en
vertu de (5):

ac a [GD
le ih re 4

Calculons maintenant la valeur de

Mais de
(1+)RT a
ED
il s’ensuit:
(22), ge Ee, 2a Oe 2a
wv — 5)? DR Ee
de sorte que
2a | = 20/43
PE = é 2a p+r
ve vb
p + “or
v—b i 1
ji papel 7 2a v—b
CSF Toe WE p+ Au

On a done:

—b
1) 1. c. p. 18. Avec 2 = 65 X Yo = 3/50 on trouve u Et comme

(a 15°,56) v — 18,03 ccM. pour 18,015 Gr: H,O, la grandeur b sera — 16,95 ccM.,
c.-à-d. 33,90ccM. pour 36 Gr. 4,0. Pour — Ab nous trouvons 46/47 X 8,44 — 8,26 ccM.
(pour le facteur #47 voir p. 243) ou bien 16,52 ccM. pour 36 Gr. H,0, de
sorte que l’on aura avec 8 — 0,207:

=b,+64b=33,90 ; — BAb—3,42,
done D; = 37,32 ; bj 10,40

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFERENTES. 245

RT
à log KG 1 ASE p + “hr ms Av
DA ART 2a v—b RT’
ane p+ afp:
d’après la relation (8).
Pour la valeur de ur nous trouvons:
he log =) = 1 (ee 2a 30 \ 4b == 2
a ge Ep + «ya vs of REL vi of
2a 1 4b
TE Ger + RT
Ee [ Pol
SIRET 3 p+ 4y2
Nous aurons donc finalement en vertu de (7):
ie Ann [ 2 __ 2a (Av)? | | 7e
en RIRE epa “(0

à òf : ; ns
Le signe de Dar sera par suite déterminé par le signe de — 4 v,
op

puisque l'expression entre [ ] est essentiellement positive; cette

97

op
pas devenir infiniment grand. (c.-à-d. pour les états stables).
Ainsi la valeur minimale de / dans la Fig. 1 sera entièrement
déterminée par la valeur de p ou de v, pour laquelle 4 v — 0.
D’après l'équation (8) cette valeur sera donnée par
v— b
14

expression ne peut jamais changer de signe, parce que

ne peut

— À D, c.-à-d. == Abe — b,),

comme nous avons vu plus haut.
En substituant cela dans la relation (5) pour /?, celle-ci deviendra,

puisque p + @/p2 (+ A) RT
v — b
72 IK
(a: SHIRT (— Ab) HANS 6 ren 6 à (9)

équation, donnant pour /7,,i,, une valeur, qui dépendra seulement de 7’.

On peut facilement calculer cette valeur, quand la valeur de /?
est connue pour une seule valeur de v dans l’état gazeux parfait.
Car alors on aura:

34*

246 THÉORIE GENERALE DE 1, ASSOCIATION DE MOLECULES

NEIN IB ET
er,

ou bien
p? ay:
TAB) ga RE
On aura par suite:

15240 ) wrk CE — A0
= ee) RE A en (9a)
Si nous avons trouvé p.e. A —3/ Ab), on
aurait :
132
_—21/4 x 0,001 x 2,718 = 0,006116,
done

Prin = 0,078 — 1/13
Et ainsi de suite.

§ 3. Influence de la température.

Dans le paragraphe précédent la temperature était maintenue
constante, tandis que la pression variait. Maintenant nous sup-
poserons p= constant, et nous examinerons l'influence de chan-
gements de la température sur le degré de dissociation / des
molécules doubles.

Lorsque T—0, la grandeur Æ deviendra d'apres (6) = 0 xe * —0,
quand q, est supposé positif. Dans les cas de me que
nous étudions, ce sera toujours le cas. D’ailleurs, dans (5) p + @/v:
restera fini, tandis que l’expression exponentielle avee 4b tendra
ae”, lorsque 7b est Zunge comme chez l’eau, et à e-”, lorsque
4b est positif.

Dans le premier cas il dépendra done du signe de [comparer
(5) et (6)]

do + (p+ for) Ab—Q +4 Ab,
si le second membre de (5) tendra à 0 ou bien à ©. Dans tous
les cas, où 7b aura une valeur négative relativement grande,
comme p.e. chez l’eau, il se pourra donc, que la grandeur men-
tionnée — où (p + @/,2) 7b représente la chaleur absorbée par l’agran-
dissement du volume moléculaire en vertu de la transformation
dune molécule double en deux molécules simples !) — devient

1) Done (p+ 4}y)(— 46) la chaleur dégagée par la contraction du volume
moleculaire.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 247

négative, et que /? tendra à 1 pour T — 0 au lieu de à 0, comme
dans les cas ordinaires. Il y aura alors une valeur de 2 minimale
(dépendant de la pression), comme dans le cas de la Fig. 1.

Dans le second cas, c-à-d. quand ./b est positif, P sera tou-
jours — 0, lorsque T= 0.

Examinons en second lieu le cas T—=w. Alors À deviendra
d’après (6) = oo x 1=o. Encore p + “/y: = p reste fini, tandis que
l’expression exponentielle dans (5) tendra à 1. On aura donc 5 = 1,
puisque la second membre de (5) deviendra infiniment grand.

Les résultats obtenus sont représentés graphiquement dans les
figures suivantes.

6 = 1 (mol. simples)

?= 0 (mol. doubles)

Ab négatif, q, + = Ab négatif.

Fig. 3.

—
T =oo,v= oo

p=0
Ab positif ou négatif, q, + js Ab positif.
1

Fig. 4.

Après cet examen provisoire, nous déduirons l’expression générale
d/? 4 7:
pour Sr , qui nous donnera tous les détails sur l’allure des courbes,

tracées dans les Figg. 3 et 4.

248 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES
Des relations (5) et (6), c.-à-d.
2 mile CRT P+ Aye
2B = == C e = RT Ab
I — 52 D Sr PE

i No)

il s’ensuit, en différentiant par rapport à T(p reste constant):

oy EE jee dlog K’ dlog K’ af

Pile Be) TI DT MENKE
donc
CE ER Re On CA “|= ae La (10)
MATE) op REET
parce que nous savons, que à a =n , Où g représente la

chaleur totale, absorbée par la transformation d’une molécule
double en deux molécules simples.
Nous pouvons déterminer cette grandeur q de la méme maniére
EE . dv
que celle, dont nous avons déduit l'expression pour 4 v = (3) ;
2 7 p,T
On aura donc:

(= de 5 dE

DEP ran

où «=e + pv représente l’energie totale de la substance étudiée.
Or, cette énergie est donnée par la formule thermodynamique:

ù
ES le) EG) ba Ie app), + ve

où w= fp, de. Pour cette grandeur w nous avons trouvé déjà:

w = 2, RT log wb) +»

sn

‘ ete
e—2[ri(e),]+2(,k,)1T D Le

de sorte que

e | &

) Be el
wb Me

sle

et

Pour q nous trouvons done:

Q—=[— (eh + 2(e)o] + —k, +24) T + a (—2+ pv),

c.-à-d.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 249

Pour T—0 cela devient simplement q, + «|»? 7b, expression.
que nous avons rencontré déjà dans notre examen provisoire.

Il ne sera pas difficile de vérifier maintenant, si en effet nous
pouvons écrire (° LE re Or, on déduit de l’expression
pour K’ dans la forme:

vb, ails

Se Ad
’

La has hg 14 ==
K=-zT a Lae

en covet Saf, ne au lieu de p + 4/y2:
alog K’\ _ ¥ 1+ dv
oT re +o Gr nan)
1 nt v—b dv
rene = + ee à

à :
La grandeur Cr), est trouvé de l'équation d’état

(p+ 5) ot + 8) RF,

d’où résulte :

len) + +) Gr) UHR

done
( av (1 + 2) R
oT /B 2a v—b
Ce a) le (1— v3 p + Ar?
Nous trouvons donc, en vertu de (8):
d log K’ (1 +)? R
= aT ),= ae eae peer
c.-à-d.
3 = 1:6

1 : a
TAT, le +rar+ (p+) do] =

On peut écrire maintenant, comme (voir $ 2)

250 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

(CRE) = 2a (Av) "fre 2a v—b |:

of vo RT ve pta
TREC EN Mol ee 2a (Av)? 2a v—b | ä
ran lsu 0 RT een alt

où l’expression entre [ ] ne peut pas devenir négative. Car alors

2. :
cette expression changerait de signe et - deviendrait ©, cequi

est impossible dans le domaine stable.
I

) . . A

La grandeur yp aura done toujours le signe de q. où q est
donné par (11).

Si q aurait une valeur négative en vertu d’une très grande
òf H h
ay serait négatif
pendant l'intervalle, où q est négatif Dans tous les autres cas
JE
oT

La valeur minimale en M (Fig. 3) sera déterminé par g= 0, c.-à-d. :

valeur négative de 46, comme dans la Fig. 3,

sera toujours positif.

qo + YRT + (b+<) Av

Mais comme ce cas se présentera seulement pour des valeurs
de 4v négatives assez grandes, c.-à-d. dans le domaine des tempé-
ratures relativement basses, on pourra écrire approximativement
4v= Ab (comp (8)), et l’on aura:

oat yRT
Py — db
Pour 5, nous trouverons par suite, d'après (5):

ee
en El 26
( 1 — 5? » ce i Go 27 Ja RT

Ces dernières équations donneront avec l’&quation d'état les valeurs
de T, v et B dans le M. Cette valeur dépendra encore dep.

do? Q In
= T Ge Jusqu'à
140° C, car /} s’accroit depuis 0,17 à 0,55. Il sera donc improbable,

qu'à des température inférieures à 0°C. c-à-d. q, changerait

d 7
ou
de signe, puisque v et b, 4» et 7b sont déjà à peu près identiques,
tandis que y aura en général une valeur relativement faible

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTS. 251

Il va sans dire que le raisonnement précédent se rapporte
seulement aux pressions ordinaires. Quand la pression est suffi-
samment élevée, le signe de q changera nécessairement, quelle
que soit la valeur de T.

Dans notre Mémoire sur l’association?) nous avons calculé la
valeur de q chez l’eau de la relation

oe. eget 2
aT RT? PA—P2)'
en négligeant le terme - ae Mais comme nous venons de voir,

ce terme peut être supprimé seulement lorsque 4 v=-0. Or, chez
l’eau ce n’est point du tout le cas, et nous calculerons ici la
correction nécessaire en vertu de la grandeur 4 v. Cette correc-
tion sera d’après (10a):

2a (Av)? 2a li

v3 RT [1— 93 pays
v—b

Avec = — — 0,47, >: RIVE [20 (voir plus

haut) cela devient, en supprimant p:
2 x 20 x 0,221 (1 — 2 x 6/5 x 1/20) — 8,84 x 22/25 = 7,78.

2
On aura done au lieu de BOB)’

BUR) 2 3) (1—1/2 2 (1 — 22) x 7,78) = Bun (080),
comme 5 — 0,217 pour T = 20°C, done f (1 — 2?) = 0,207.

Au lieu de 1920 Gr. kal. pour la transformation de 18 Gr.
(H,0),, ou bien 3840 Gr. kal. pour 36 Gr., on trouve maintenant
3840 x 0,195 = 750 Gr. kal., c.-à-d. une valeur, qui n’est par encore
le cinquième de la valeur originelle, calculée sans considérer le
DATES

2 P
duirait ici de supposer la ,constante” K’ indépendante de /.

Comme 7; de x = —9RT, x — 0,47 = — 5150, on aura

d’après (11):

terme . On voit de cet exemple, quelle erreur on intro-

750 = q) + y RT — 5150,
de sorte qu’on trouve pour q, + yR7 la valeur 5900 Gr. kal.
La chaleur de dissociation interne sera done (à 20° C) — 5900

LV PAT
ARCHIVES XI. 35

252 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Gr. kal., tandis que la chaleur, due à la contraction, qui accom-
pagne la transformation des molécules doubles, s'élève à — 5150
Gr. kal., une valeur considérable. Il n’y reste par conséquent
pour la chaleur de dissociation totale que 750 Gr. kal. (à 20° C.).

x —k, +2k, 6
Quant à la grandeur y — ER ‚ on sait seulement que

k, =6 environ, et que 2k, >k,. Pour une molécule à 6 atomes,
comme (H,0),, on peut s’attendre à une valeur k,— 9 à peu
près. On aurait par suite y —5%/2. Avec cette valeur on trouve

Yo — 5900 — 3 T— 5900 — 880 — 5000 Gr. kal. approximativement.

§ 4. Association des vapeurs saturées.

Lorsque nous voulons étudier le changement de l'association
des vapeurs saturées, il faut prendre en considération, que la courbe
de saturation s'étend de T—0, p—0(v—æ) jusqu'au point
critique, et que par suite la température et la pression s'élèvent
toutes les deux. Or, la grandeur /> s’accroit avec la température et
décroit avec la pression; de sorte que la possibilité existe, que la
dissociation des molécules doubles atteindra une valeur maximale
dans quelque point de la courbe de saturation, tandis que /? sera
plus faible dans le point critique, et que cette grandeur s'approche
à 0 à des températures et des pressions très basses. C’est en effet
le cas avec la vapeur de l'acide acétique. En d’autres cas, p.e.
chez l’eau, la dissociation s’accroit continuellement dès le point
critique jusqu'aux températures basses.

Nous voulons examiner maintenant quelles sont les conditions
de cette double conduite.

Pour | => nous aurons:
d fl sat

df _ of SANS"
GE AA AT oT op Ghat sat

Or, d’après les relations (10) et (7) on peut écrire:

zi) FA Les | re] Gr).

à log K7
d/>
est permis quand la vapeur est suffisamment éloignée du point
critique (voir (7%) et (10%)).

lorsque nous négligeons le terme - dans l’état gazeux, cequi

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 253

Pour les grandeurs q et 4v nous aurons dans ces conditions
d’après (8°) et (11):

v Id

Le ear = (do +Y RT) + RT =Qy + (y + IRT,

le travail externe (et interne) (p + 2) Av se réduisant äpJv—=RT.
On aura done:

rer en Er =p leer „Cr Ar

La grandeur — 3 Au sera représentée par la formule

où f— 7 pour les substances normales. Nous avons vu dans le
$ 2, que chez l’eau f s'élève à 9; et pour les substances anomales,
où la dissociation des molécules doubles n’est pas accompagnée
d’une contraction de volume, le facteur f peut atteindre une valeur
encore plus élevée, savoir 14 (en supposant qu'à la température
critique toutes les molécules sont simples).

On peut donc écrire:

| a
TED (eae = „m la— BAL], ae EZ)

où q sera encore une fonction de T, c.-à-d. —q, + (y +1) RT.
Lorsque donc

Ge RE,

si df LA
on aura une valeur positive pour (Sey, ce qui signifie que (7

s’accroit avec T dans la partie inférieure de la courbe de saturation.
Alors l'influence de la température le gagnera sur celle de la
pression. Ce sera le cas chez l'acide acétique.

Mais lorsque q reste < RfT,, (2). prendra une valeur néga-

tive, et /? décroit avec T dans la partie inférieure de la courbe
de saturation. Maintenant c’est la pression, qui aura l’influence la
plus grande Ce cas se présentera chez l'eau.

On conçoit aisément que dans le cas de l'acide acétique /7
tendra à 0 lorsque T s’approche à 0, c.-à-d. que toutes les molé-
cules seront doubles pour T—0; tandis que dans le cas de l’eau

35"

254 THÉORIE GENERALE DE L ASSOCIATION DE MOLECULES

/? tendra à 1, de sorte qu’alors toutes les molécules seront simples
pour 7=0. En effet, la vapeur d'eau possède déjà aux tempé-
ratures ordinaires une densité normale (7 — 1); tandis qu’à 100°C.
la densité est trouvée de 2,5 °/, plus grande que celle, calculée de
la loi de Boyle. Cette déviation dépasse les déviations ordinaires
de cette loi dans les conditions où se trouve la vapeur d'eau à 100° C.
Quand on s'approche de la température critique, la valeur de f
décroitra dans les deux cas. Car alors T et p ne varient que très
faiblement, tandis que v décroit rapidement. Et dans la rela-
tion (5), savoir
72 J : Be Ks
Eee ou bien = TRI (v—b), So © (5a)
à : PB?
où le terme exponentiel avec /b est supprimé, ep dépendra
principalement de v—b, lorsque T reste sensiblement constant.
Chez l’acide acétique il y aura donc une valeur maximale pour /?
sur la courbe de saturation dans le voisinage du point critique.
Comme la vapeur du paraldéhyde !) présente probablement

1) Ici on a affaire avec la dissociation d’une molécule triple en trois molécules
simples. On trouvera facilement que dans ce cas tout restera le même; seule-
N

2
ar — ?
ga — By PV pa Dat
où n—3, et RfT, par m— 1)RfT., Av étant en général = (n — v=. Com-

ment il faut remplacer dans (12) le facteur

parer BAKHuis RoozEBoom, Over phasenevenwichten in het stelsel acetaldehyd +
paraldehyd met en zonder moleculaire transformatie, Versl. K. Akad. v. Wet.
Amsterdam 8 Oct. 1902; van DER WAALS, Eenige opmerkingen over den gang
der moleculaire transformatie, Ibid. 5 Nov. 1902; vAN DER WAALS—KOHNSTAMM
(1908), p. 168—174.
— ky + 2k,
ee
Le dernier est permis, parce qu’il considère seulement Ja branche-vapeur de Ja
courbe de saturation, mais il n’est nullement permis de supprimer la grandeur 7.
Nous avons vu dans le paragraphe précédent que chez l’eau y sera approxi-
mativement — 3/,. Si y serait =O, on aurait d’après (5a), savoir

BC D nr

= ind
pee Li v,

VAN DER WAALS néglige dans sa théorie les grandeurs 7 = t ab.

5 oe. IC
que pour 7— le second membre s’approche à une valeur-limite, c. à-d. R”:

Le gaz ne pourrait donc jamais se dissocier totalement (v supposé constant) et
6 tendrait à une valeur maximale. Nous savons, que c'est seulement le cas

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 255

une telle valeur maximale, sa conduite sera le méme que celle
de l’acide acétique.

Quant à la brauche-liquide de la courbe de saturation, tout
dépendra de T, parce que v—b ne décroitra alors que très peu.
La valeur de /? s'approche done ici à 0, lorsque la température
s'abaisse de plus en plus.

Nous avons vu, que dans le cas de l'acide acétique /? s’approche
à O à des températures basses aussi bien sur la branche-liquide
que sur la branche-vapeur de la courbe de saturation. On peut
se demander si dans ce cas /? (liquide) sera < ou bien > >
(vapeur) pour les mêmes températures. Or, cela dépendra d'après
(5) et (5a) uniquement du rapport

à el
dr w-bJe nt? v
où l’expression exponentielle est omis auprès de v’ (le volume

4

ADV
de la vapeur) en vertu de zou bien de la grandeur

D. al Ab
ET Te à

Mais comme on aura pour la pression de saturation l’expres-
sion approximative (/? supposé = 0)

Bed | enr RT 1 A
Ber J\v—b v2 ey

7?

on pourra écrire:
/

(7 AD == al
D be RE

aly

TRT

log

On trouve par conséquent pour À:
Wy ig Gy Ab afp [1 ed
SET Beg art SGT

dl

pour des substances comme le HI, où chez la dissociation en A, + I, > (vr, kr)
et >», sont — 0. Alors la formule de G1BBs-PLANCK tout à fait générale:
er dons
noce Ep,
j _ du
où 8 représente >r,, devient I/c, "—=ce FT, indépendant de la pression ou du
volume, et dont le second membre s’approche pour T = © ac. [Comp. mon
livre: Sechs Vorträge über das thermodynamische Potential (1906), p. 68—74].
Toutefois le résultat de M. VAN DER WAALS est exact; seulement la chaleur de
dissociation q ne renferme pas chez lui le terme ;RT.

CULES

vi

>

E DE 1, ASSOCIATION DE MOLÉ

BRAL

GE

THÉORIE

256

Lorsque 4b est positif, À sera toujours positif, done >. Et

‘(anbygoe aproe) 7 fy <b ‘msod gy

‘Sg ‘SLT

lorsque 4b est négatif, comme chez l’eau, A peut seulement de-

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 257

ATEN. — db £ RT
venir négatif, quand serait > 1 (comme - al, tend à 0). Or,

cela est fort Me car chez l’eau, où — 4b As. une

44
Se

On peut done dire, que + tous les cas le degré de dissocia-
tion / sera plus grand dans la vapeur que dans le liquide, quand
la température est la même.

L’öquation (5) nous permet de déterminer le point de la courbe
de saturation, où la valeur maximale de / se présentera dans le
cas q > RfT, (acide AE Hi pes Car de

B? ot v — b 1+8 4,

il s'ensuit:

sr a ed ke = leur

Ai Fr GP) 1 +2 m) An ee nl:

Ot
ate az do +YRT

par conséquent:

NES LU

zn ca AE NE

La grandeur a sera donc = 0, Yan

= + SE) (Gr =f Ben

où q’ représente la chaleur de dissociation interne = q, + y RT,
c.-ä-d. sans le travail externe et interne (p + %v:) Av.

Dans les figures suivantes, purement schématiques, j'ai repré-
senté graphiquement l’allure des „courbes de même dissociation”.

Dans le cas de l'acide acétique (Fig. 5) ces courbes intersectent
done deux fois la courbe de saturation; ou bien une fois, savoir
la courbe qui touche la courbe de saturation dans le point M,
où la dissociation est maximale; ou bien elles n’auront point du
tout un point d’intersection avec la courbe de saturation. Dans
les points divers de cette courbe dernière elles auront néanmoins
une allure plus raide que celle des isothermes dans ces mêmes points.

Mais dans le cas de l’eau (Fig. 6) toutes les courbes de même
dissociation n’intersectent qu'une seule fois la courbe de saturation.
Elles auront sur la branche-vapeur une allure beaucoup plus

(Fa noue) (1+

258 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

verticale que dans le cas précédent. Sur la branche-liquide de

ie
la courbe de saturation elles auront également une allure plus
raide que celle des isothermes, lorsque 4b est positif Mais quand

Ab négatif, q< Rf T, (eau).

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 259

cette grandeur est négative, comme chez l’eau, il y aura néces-
sairement un volume v = 2(b,—b,) où la dissociation est minimale,
lorsque la pression s'élève sur un même isotherme (voir Fig. 1).
Les courbes de même dissociation doivent donc toucher les isother-
mes dans les points de la droite v= 2(b,—b,). Dans tous les
points de la branche-liquide, qui sont aw dessus du point d’inter-
section S de cette droite avec la courbe de saturation, les courbes
de méme dissociation auront done une allure plus raide que celle
des isothermes; dans tous les points, qui sont au dessous de ce
point S, elles auront une allure moins raide.

11 faut remarquer encore que dans le cas de l’eau (Fig. 6), où
Ab est négatif, la branche liquide de la courbe de saturation aura
une tangente verticale dans quelque point M’ dans le voisinage
de l’isotherme de 4°C., où le volume liquide est minimale. Le
point A de cette courbe, où T = 0, /? — 0 correspondra au volume
v—b—b,. Mais comme sur les isothermes les valeurs de /
tendront à la valeur 1, lorsque les pressions deviennent de plus
en plus hautes, le volume-limite sera alors v — b — 2b,, qui est
plus petit que v = b,. [La ligne verticale v—2 (b, — b,) sera toujours
à droite de v = b,, parce que 2(b,—b,)—b,—(—b,+2b,)—b, —4b
sera >b,, Ab étant négatif chez l’eau |

Dans le cas de l'acide acétique (Fig. 5), où nous avons supposé
Ab positif, les valeurs de / tendront maintenant sur les isothermes
à 0, quand les pressions s’approchent à ©, de sorte que le volume-
limite sera —b, pour ces pressions, comme dans le point A. Ici
b, sera plus petit que 2b,.

Il va de soi, que le fait que 46 est positif ou négatif n’a aucun
rapport avec le fait que q est > ou bien < RfT,. Mais pour épargner
deux figures, nous avons combiné Ab positif avec q > RfT. (Fig. 5)
et Ab négatif avec q < RfT, (Fig. 6). En effet, chez l'eau on trouve
combiné ces deux cas derniers.

Lorsque 4b est négatif, les isothermes présentent encore des
particularités fort remarquables dans le voisinage de v —b, que
nous n’avons pas désigné dans la Fig. 6, mais sur lesquelles
nous reviendrons dans une publication prochaine.

§ 5. Les grandeurs critiques.

Nous calculerons d’abord, comme dans la théorie ordinaire, la

dp ; :
valeur de 7 sur un isotherme quelconque. Ensuite la valeur de

ARCHIVES XI. 36

260 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

2 Pr
g EI, apres quoi les relations DE, et de 0 donneront les
du? dv dv?

valeurs de v, T et p dans le point critique.

Or, il s’ensuit de l'équation d’état, savoir
ae RT ane
ae D pat

dp à
pour 4, la valeur suivante:

Jp) ART d/ RI 0G 02a

dv (v—b)! (1-4 CEE ET
ou bien

dp (HART ( v—b\ 0/7 2a

das IEP [1— Een | v3’
c.-à-d.

dp 2a | ( (1+/5) 4b\ v—b 97? ra
dv v? (v—b)? [1— nes, = =| (a)

5 of A Ls Peet
Il faut done connaitre la valeur de Sn La relation (5), viz.

pe K v—b _ AED av

différentiée logarithmiquement, donne:

=> 2/5 \ 28 1 : He 1 ae
Cee oc Ne ine Av

hr ni 7892
— 45 Li ab" ee ae 2],
ou bien
Mn 1 ( (1+) ADN AB __
PA) w ae v — b dv

= 5 (1+ en ++ un)

Nous pouvons done écrire:

A 2 1 (ee

FAP) | 1+2 De vb TE)

et nous trouverons, en posant

(+9) 4b
GE bu TAP lede net rus tee abe («)

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 261

1+7% 9 h Lof? (1—f) (1+¢)?
Rass Al
En combinant maintenant les deux équations (a) et (b), on
trouve finalement:
dp _2a__(+S)RT Fe BB (1 =f) HR’ |
dv vw? (v—b)? 1 + 1/5 (2 (12) (1 + ¥)?

ou bien

niin 1+9. HR) CRE (B)

dp 2a (1+/)kT 1 WIN (14)

dv v8 (w—b)? LPA Hp):
Cette expression ne se distingue done de l'expression ordinaire
(2 =0 ou — 1) que par le facteur 1 + !/o 31 —P) (1 + p)°, qui
se réduit à 1 +1, /? (1 — P), lorsque 4 b —0, done g=—0.

Maintenant il faut déduire la valeur de sy Mais comme (f

est un facteur en

lg °p + 4 df
Ie rae 7 d dv’
dp ere !
et parce que 7, doit être —0, on aura aussi:
d*p
Ar SH mr’
de sorte que zp sera identique à il =) Nous pren-

drons pour f le dénominateur 1 + 1/, 7 A — /)(1+ 9)”, et nous
aurons à différentier par rapport à v:

2a é : 1+/P)RT
+ maman Ee 4

Cela donne:

9
ae) À (+ 92+ B(L— B) + 0) 40 |

ed de ar

6a T 1 2(1+/P)RT a3
— [1+ 220-149)? |+ Te hy C=)
pa. an of
Wb à

36*

262 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

a?
ou bien, en substituant pour = sa valeur de (6):

1+8 Y3(1-2)(1+ 9)

1+/y3(1-)(1+9)2— zap) (LD ON
vi el) if

BLP (1 + 9) Ab ID fies

(u—b)? iB
2(1+ P)RT v — b (1 2(1 + 5) 4b eN
—b> L 2(1 +) v—b
c.-à-d
Gal” N 3 v Ep 1: ,
ha “A BN PO + of
, 2(1 +2 EL 1+ UBA) + p)
eem) |+ rd,
oe y—b d/ = 1 1
parce que re a?) aia EB (IP) ve +9)" MIE
aa ar Al A= 1

BoB) DEP +) (1 + 2p) —=1 +43) (14-9).

Comme l’expression, que nous venons de trouver, doit être = 0,
nous aurons, en multipliant par N:

[era © Trance] |+

v* 3 v

2(4 zen
= an [1 +1,PA—P)A + 9) | — ()!

Or, il s’ensuit de À — 0, d’après (14):

(1+ 2) RT 2a
(Wb)? : 98
de sorte que nous aurons:
bal ,,, A (1+/)(1+¢) v : a aon en
a Ns En re EN 2B) en
Za -
en OL LOUE) |:
ou bien
=. = (1 +1} PI—P)(1+ py) (1 +! BA—P)A+P)) —3[ N’—ete.],

done

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 263

+ "fp 8 (1—B)(1+9)2) (2+ "Io B(L— 2 (L + 9) +
+ 4/52 (1—/?) (1+/7)(1+¢@) EX 2A) +9] |=
—=3[1 +! B (1 — 7) (1 + P)°}°.

; pee Ab Pp
Cela se réduit, comme EL et — P(l—P)P(l+Y)=

BUL + 0) — BEB) A +9), à
— [2+ 2208) 149) + WR? AB) (1+ 0) +

+ PAP) (1+8)(1-9)(1+9)* | [+ 12 BABI,
c.-à-d.

Be ge BEN". suas
v—0, 2 1+3/,8(1—/)(1+9)+ Ue 2 (1—) (1—822)(1+-¢)3

En posant maintenant, pour abrévier l'écriture:

1+1Lf(1—/f) (1 +p) =m . (A)
+ 3/42 (1—3) (14+ Pp) + Ys RA—/?)(1— 32?) rs

on obtient:

Ve _ 8m? BE m?
alien arme on eos ol

Lorsque %,—=0 ou 1, v, sera — 3b, comme autrefois.

Dans le cas Jb=0, c.-à-d. quand la transformation d’une
molécule double en deux molécules simples ne sera pas accom-
pagnée d’un changement du volume moléculaire, notre équation (15)
se réduit avec p=O à

L 3 1 — 1}, 5)? : 1—'/, A
pes te Ne TEE a ur, Da)
parce qu’alors 3m? —2n— (1 + (9)? (1 —*/, P), étant

m=(1+ (lof) ; n=(1 + 7)? (1—%s B + Pe 7%).

Pour comparer les relations (15) avec les données expérimen-
tales, nous écrivons:
U dhr,
à f sera dne—.— , ob b= b, +8,4b =b, HA. bu +20
où f sera done — ar» et b= by +. = ıtP.—b, +2b;).
La valeur de b,, c-à-d. la valeur de b lorsque le volume est
très grand, sera évidemment = 2b,, puisque /? sera — | pourv =o.

964 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Nous aurons donc:

Berle +00)

Cela devient avec

v, BUL
p= 3e tf (1—2)),,
tandis que la grandeur p deviendra en vertu de («):

_(1+f)4b _ +) (—d, + 2b,) Gp
v—b vb, +3(—b, + 2b,)) %/b af 3(1—x))

v A
Or, pour = on a trouvé presque toujours une valeur dans le
De
voisinage de 2, de sorte que nous aurons:

AEN

Ier Pda) L

fet fs ;

er m?
ot fz gn Sea d’après (/?) une fonction de /? et g, c.-à-d. de
? etx. Pour obtenir par conséquent la valeur */; pour f(x+ 2 (1—x)),
on peut attribuer à /? et x des valeurs différentes. Si l’on suppose

% = 1(4b=0), on trouverait:

Mais avec 4b— 0 (9 = din la valeur de f serait d’après (15°):
lid
Sr

Comme nous avons vu déjà, f sera —1 pour /?—0 et Jl.
Pour ?=?°/,, f atteint sa valeur minimale °/,. Nous voyons done,
qu'avec Ab = 0, la valeur de f ne peut jamais devenir °/;, et nous
pourrons énoncer le thèse suivant:

Pour expliquer le fait, que duns le point critique v, — 2b,,, il fau-
drait admettre que Ab soit différent de zéro.

Nous verrons bientôt que / aurait la valeur '/; dans le point
critique, de sorte que, même à la température critique, la disso-
ciation des molécules doubles ne serait avancé que très peu. Avec
cette valeur de /? on peut calculer des équations (c):

(B= 0 20) ie 0 1070729;

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 265

Pour 4b nous trouverions par suite une valeur positive. Le vo-
lume b, des molécules doubles serait — 0,7 du volume 2b, des
molécules simples.

Avec les valeurs #—0,20, @—0,29 la valeur de f devient
en effet d’après (9), m étant — 1 + 0,08 x (1,29)? — 1133 et
m=1 + 0,12 x 1,29 + 0,02 x (1,29)? — 1,193:

f= 0,876 ='ls,
avec laquelle nous caleulons pour f(x + />? (1 —%x)) avec x — 0,70
la valeur 0,666 —*/,, de sorte que la première relation (c) se

trouve vérifiée.
Mais il se pourra très bien, que la valeur de 2(b,), dans le point
critique est différente de celle de 6. —2(b,), à des températures

plus basses et pour des volumes plus Fute de sorte que = =
= ne serait pas =F. mais = ob), yi? où 9 <1 lors-
qu'on admet (b,).> (b,),, et 9>1 quand ou suppose au contraire
(b,).<(b,),. Dans les équations (c) la valeur ?/, devrait être rem-
placée alors par °/;9, et la valeur 2 dans le dénominateur de
l’expression pour g par 20, de sorte que nous aurions trouvé
avec /?='/; pour x et p des valeurs différentes de celles que nous
venons de déduire.

d à
La valeur de RT, peut être calculée de = — 0, ce qui donne

(voir (14)):
EDIT 22a

Ce DRE x m,
c.-à-d.
2a il m
OE A EEK
ou bien, en vertu de (15):
SNS ME — an) So 16
RTS b, LE DB Scie he ae)
Avec 4b6=0 (9 =0) on aura:
‚ers ee eae le 32)? (leap P) 16
RT. 27 4, a=, sn se (LG)
8
Pour — 0 (16) et (16a) deviennent RT, — 37 5 . Et pour ? = 1
on trouve RT, == = x A Mais comme a=4a,, et b.—=2b,
8,4,

gn eh
pour / 1, nous aurons encore RT, = a

266 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Maintenant nous évaluerons la valeur de p.. L’équation d'état
donne :
2a

a
= —, xm x (a. = 0.) — =,

v OF

€

donc

A 2 Q Ue am be ZE 2
Après substitution des valeurs de v, et de — 5 — déjà trouvées,

on obtient:

OP 3 M
c.-à-d.
1 a (3m? — 2n)? (4n— 3m
Pr ( = neo) ie (17)
Pour 4b =0 cela devient, puisque
An — 3m = (1 + £2) (1 + B—3/? + Jo 23):
1 a (1+ f—3/? + fo 23) (1 — 24 P)?
Pe — 97 m ETES) EN - (17a)

Avec /? = 0 on trouve de (17) et (17a) p. = = a , et avec /ÿ =1

; équations deviennent également a
ces équations deviennent également p, — 97 =z = 97 ik

Une grandeur importante est certainement le „coëfficient critique”

Avec les relations, trouvées plus haut, on déduit facilement:

€ 2 c
ne ey Ari (18)

n?

u =

Cela devient avec 4b—0:

2 la. ne N
ak: (1— "8 + Pe 82)? LT

(18a)

Lorsque /—0, on trouve «= */; comme autrefois. Mais pour
2=1 nous trouvons u —=°,x2. Cependant „=35b,=6b, se
rapporte alors a une quantité moléculaire double. Ayant regard
à cette circonstance, on obtient encore u’ — "Js.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 267

x

Quand nous rapportons % à une quantité moléculaire simple,
comme on le fait toujours, ne se souciant point d’une association
possible, on aurait trouvé:

31+ 7 m? (dn — 3m , =
u = 8 9 ( u: a ee A (18)

ou bien (Jb = 0)

EN EEE

AE ZL Ie 2 + ls 2)? A ME Le
et on aurait obtenu „—=°/,;, pour ?—=1 (molécules simples) et
u ==? pour 5 —0 (molécules doubles).

Or, le fait qu'on a trouvé toujours pour u la valeur 0,28 au lieu
de 0,375 serait une indication certaine, que toutes les substances
soient associées partiellement, même dans le point critique.

Les valeurs 9 —1}%, p=0,29, m= 1,133, n — 1,193 (voir plus
haut) donnent pour le facteur F la valeur

_ m?(4n — 3m)

I nm

Seen

de sorte que nous trouvons pour w:
u = */, x 0,60 x 1,238 — 3}; x 0,743 — 0,279,
savoir la valeur expérimentale.

Remarque. La valeur ?='/; fut calculée de l'équation (18),
combinée avec (c). Comme nous avons vu plus haut, les valeurs
correspondantes de x et p seront resp. = 0,70 et 0,29, tandis que
5, 00 m — oe hy,

En résumant, nous pouvons dire, que les différences entre les
données critiques expérimentales et les données théoriques dispa-
raitront, lorsqu’on admet une association des molécules des corps.
Cette association devrait étre encore trés avancée dans le point

1) Pour obtenir une idée de l’influence des valeurs de 8 et p sur celles des
facteurs f et =! (1+ 8) F, nous donnerons le petit tableau que voici.

B) 1; 1/4

n=O) P=) SOD 10,969 FR = 0,684, | f= 0,942) B= 0,755
un fl 2.05 f= 0,923, F’ — 0,654 f— 0808 20789

ARCHIVES XI. 31

268 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

critique (7 —'};, done 1 — 5 —“};),; elle doit être accompagnée
en outre d’une contraction de volume quand les molécules simples
s'associent en formant des molécules doubles (x = bi/oy, — 0,70).
Alors wv, deviendra = 2b, au lieu de 3b, et «’ (v se rapporte à une
quantité moléculaire simple) — 0,28 au lieu de 0,375.

§ 6. La pression de la vapeur saturée.

L'équilibre des deux phases coëxistantes (liquide et vapeur) est
donné par la relation

(u ve (4) aa. DAS ORR ne Be BI Eh OO 2 (a)
où «, de rapporte aux molécules doubles. En vertu de l’équilibre de
dissociation — «,+2u, — 0 on aura alors également (ik, ) 1, — (45 )vap.-

Or, la valeur de «, sera (voir pag. 235 et 236):

3.02!
i Ta ak tial Led OR TERRE (b)
où
OS Sn, RT log = 2 + = PIPE Weda (c)
Soil

comme nous avons déduit sur le pag. 238. Nous aurons par suite:

2.07 v—b sn, kT 2a
—— — RT log RAT 1 b, + —1,
on, en, v—b v
2n,.RT a av ie :
parce que ( eb nae ae ou 0 en vertu de l'équation

‘ 9 0a
d'état; et a =n? a, + 20, N,A24+N" a,, done — —2n,a, +2n, a —
1 1222 29 on 11 2
1

— (MM, +R,)a, = 2a, , puisque a —=!ha,, n, =1- ff etn, —=2P.
On peut écrire pour l'expression dernière:

DE D RT 2a

hl og = a LO PaO Ne

on; zn, a v

9 (27

v —0 + En,.b, étant =v—[ (n, 6, +n, b,)—(n, +n,)b,]=
—v + n, (b, —b,).

Mais comme = a en

‚ nous aurons:

En,
32" pri v — D p + “ln , + 24 RT b
Dn, en WEN u Re) Ce de

ou bien

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 269

> —b og FOR pu oa ppt ba a
a RT log 7 i NE RT, = Dee (4)

parce que a—=a, (voir pag. 237) et zn, =1+P.
Lorsque /? — 0, l’&quation (d) se réduit à :

a
on,

= RT log (eb) pv +

e-à-d. à l'expression (c) pour £2’, cequi est évident, puisqu'il n’y
aura alors qu’une seule sorte de molécules, savoir des molécules
doubles.

or

as
Avec la valeur de Sr ‚ que nous venons de trouver, la relation
um

(a) se réduira BEAR en vertu de (b) à

v—b’ 1+/ L 1429 À ele ( v v )
RT tog (y b 14," rl, zn Tea) SAN Pre

und. (u RB RN
—2RT (0, (rn) 0

parce que la fonction de la températur C,, qui est identique pour
les deux phases, disparaîtra du résultat. (La phase-vapeur est indiquée

par des caractères accentués). Pour c, nous avons écrit —— 5 '
3

On aura donc finalement:

Pe a (11428 11+28\, a De NM )
IT pk ays RT \v 4 +" od + # RT L+/ 1+/ 5,

B 2 iA 1+ 6 46
+2(b,—b,) ee JL) + log Ter 5 + (19)

Nous étudierons cette équation de plus près pour le cas que la
température soit suffisamment éloignée de la température critique,
de sorte que nous pourrons négliger le volume v du liquide auprès

1 1 J
du volume v de la vapeur, 77 auprès de = et auprès de
1 : :
u À Alors (19) devient, puisque p + 4/y2 = «|» et p + hr =p:

ALES 4 u. als

‚b,—b, 1—$ 1 + i
log p 1+P rrti— 26 Mb + log Cea TE
ou bien
ae 1+28 aly vl), fes _ 1 1+6 er
log p A == B RT ae De + log 1 —ÿ - fe )

270 THÉORIE GENERALE DE I, ASSOCIATION DE MOLECULES

Pour f— 0, f=0 cela se réduit à
af: ay
lo = 1
| GERD
la relation bienconnue pour la pression des phases coëxistantes en

fonction de la température.
3’ — 1, la formule (194) donnera également :

Lorsque (2 = I, /

ao, ue dal,

ar

Car en vertu de (5) on aura:

4 — f} N p ay?
log Von: = log af: RT Ab,

Dar afp: DEE af:

puisque p + Uy: =p, p +: =4]/y2, et ORT RT 1 Ge
An É 3/2: 140’ .
— = D’ailleurs 32 en — 1. La relation (194) devient done:
af: 3 af v—2b, p Ay: r
irre ashi ec eu
b étant —2b,, quand 6=—1. Cela se réduit 4(7b = — b, + 2b,):
al ,, My » Ab aly2
ale DIE kart? ep; I, ware
ou bien à
1]; aly : 3 af,
2 log — = 5 RT Fi — lo RT’

parce que
m) M) p + «or : ay k 2 ef als
En eT Rn eg no

On trouve done:

: In
en du

log E ppt tl

c-à-d, parce que a=a, —4a,, v—2v,, où v, se rapporte à une
quantité moléculaire simple:

dal? pe dao,

log - BD ORT ale

Il va de soi que nous aurions pu déduire ce résultat directe-
ment, si — au lieu de (a) — nous eûmes posé (1) jig. — (43) var.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 271

Lorsque T s'approche à 0, v s’approche à b, et l’on peut écrire:

log = +,

>

dans les cas où § —0 ou 1. Mais alors 4/52 — 27 p,, 4p ="; RI,

et l’on obtient:

log —=— +1 — log 27,
Ip g

ou bien

Bu er EN,
bog B= = 27,

Or, log 27 = 3,296, done lx; (log 27 — 1) = * x 2,296 — 0,68, de
sorte que nous obtenons:

log L: — ah ( ne — 0,68)

L’expériment ayant donné approximativement pour les substances,
dites normales :

nous pourrons conclure, que — cherchant la cause des écarts
divers dans l’association des molécules — les valeurs de 5 et 3’
ne peuvent pas être toutes les deux —0 ou— 1, mais que ces
grandeurs auront des valeurs intermédiaires et différentes.

Supposons que la valeur de ¢ dans la phase liquide soit dans
le voisinage de 0 à des températures basses, et que la valeur de
6’ dans la phase vapeur soit quelconque et variable avec la tem-
pérature. Alors la relation (19%) deviendra:

afp? _ ao 1—P

log 5 Dre Lire

done — en négligeant la variabilité minime de » (dans la phase
liquide) avec T:
1 dp UP 2 ag

WR tro

Mais en vertu de (10°) on aura:

DB VAE) q
7 ey, RT!

212 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

AV à A : :
parce que le terme avec ( Ta disparaîtra, v’ étant très grand.
Nous aurons donc:
1 dp San eg

DAR MUR UN GE
Or, dans la formule générale
Bid se Ie
log Bef RPM 0)

le facteur f sera donné par

LE Bap
Mn ham!
de sorte que l’on aura:
f afp + Je ape x bcp + Bq
va ER, RT. f
a b. 4
Avec DT A.RT, et > — 9 par suite
a 7
ou a CES (21)
on trouve donc:
LA a q >
f=f+e EE (SEO LOE MD

Le facteur À peut être calculé de la relation (16), c.-à-d.

ONE CR n° (3m? —2n) -
OME OE ANSE eh. m?

Avec B,=!|s, m= 1,133, n — 1,193 (voir $5) cela devient:
8 a
BED

Bin, = x 1,116,

c

1,2
par conséquent :
a 27 1,2
Done AG

RT, = “Is x 1,075 RT, — 3,628 RT,-

Pour À nous trouvons done la valeur 3,628.

b 3, Ab
La valeur de 9 = be et + 0,2 ci sera — 1,086
v b, b, et
AO DE f Ze 1 dee 1 A
Perle 6," ian er oe ta ST

— — 4 1,43— 043.
Nous obtenons done pour f’ — À 0 la valeur 3,628 x 1,086 — 3,94.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 273

Avec p’=1, q —3 RT, [q est alors <fRT., de sorte que ?’ peut
en effet devenir —1 (voir § 4)] la grandeur f s’éléverait à 7.

Lorsque les grandeurs b, et b, sont plus grandes dans le point
critique que dans le domaine des températures relativement basses,
comme on admet dans la théorie ordinaire (b, serait — 4m, et b
dans l’état liquide — 2m approximativement, m étant le volume
des molécules), de sorte que le facteur @ obtiendrait une valeur
dans le voisinage de 2, la grandeur f’ atteindrait la valeur 7,9.

Et si en outre dans le point critique 9, serait —1 au lieu de 0,2,
la relation (16) donnerait À = 5 RIA xe = 65),,,Avee O—2
nous obtiendrions done pour f’ une valeur dans le voisinage de 14.
(comparer aussi p. 253).

Et comme avec ÿ —0 dans la phase liquide et #”—=1 dans la
vapeur nous trouverons d’après (22) pour f une valeur > f”, cette
valeur de f sera relativement très élevée.

La valeur de Brok peut être calculée de la relation
N NT Er 23
D= aE Sar aes ee a)

Le facteur f’, qui entre dans les trois relations (21), (22) et (23),
sera donné par (voir p. 272)

/ 7 = m?
ZH U Omi In) Ore nne (24)
b.
où a= VD 3
Remarque.

Lorsque 3,==0, on aura pour RT,, d’après (16):

8 a
FU =; Ta
Et pour ÿ,— 1 nous aurons:
4a
a 21 5,’
où b,, aura en général une valeur différente de b,,. Car b, —b,
et b, —2b,. Seulement quand 4b——b, +2b, —0, b, sera

=b,,. Si nous supposons done 4b—0, on aura par suite:
A Ae

274 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

c.-à-d. la température critique d’un corps où #,— 0 (dans le point
critique l'association est encore complète) sera le double de celle
d’un corps où ÿ— 1 (dans la point critique toutes les molécules
sont déjà simples). Et lorsque & possède une valeur quelconque,
nous pourrons écrire en général :

2 n? (8m? —2n)

2
TE an DAAN REN (25)

=

où 7,, se rapporte à fi —1.

4 a 4 a, 8 8 a,
Nous faisons remarquer que RT, AT = 57 IN sera = 57 De

où a, et b, se rapportent à une quantité moléculaire simple. (voir
p. 265). Mais pour comparer les valeurs de 7°, et T,,, il faut que
les grandeurs a et b se rapportent dans les deux cas à une même
quantité moléculaire, p.e. une quantité double.

§ 7. La grandeur a dans le point critique.

Il s’ensuit immédiatement de l’&quation d’état

Cape. 2
v—b y*

la relation suivante:

ee IE) EE mls + pay? Sr).

ou bien

ar), es +; mrt SR (ar). Ik
done avec = p (voir p. 260):
le (Se). = = poe [1 + +9 (5) |: . (26)

Or. dans le point critique on aura: !)

1) Comp. Die Thermodynamik in der Chemie (1893), p. 59.

SEMBLABLES, KT DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 275

a Gir),

de sorte que nous pouvons écrire:

ze). per I nergy (a
© UE hen GO [1 En 9) ( JE (26°)

d? 2 =
La grandeur (<5) peut être calculée de (5) et (6) dans la forme :

ae miel en |
1 — p? R 1+/
On obtient, en différentiant Re
2 (GE =o [ Ab ae
B(—682)\aT RT? LL v—b aes. -(v —)37
a oe
done Pe an)
=) RE: | 2 ig :
c.-à-d.
dp d ;
ar), =e (1 — 62) + El) (1 + 9],
ou bien, avec 1 + 1; B (1 — 6) (L + p)? =m (voir p. 263):
ole x? eB) 608
Gr Te Re ei

où gq’ est la chaleur de dissociation interne, c.-à-d. q sans le terme

(

rapporte au travail externe (et interne).

L’équation (26°) devient maintenant:

T dp p + oi 'faBL—P)(1+¢) 9
ar). = (+ ) [1 + m RTI,

B
Doux (p+% ;) = ep a Dee on trouve facilement de (15)

c

(p+! ;). nn un!

tandis que nous avons, en vertu de (17):
1 a ($m?—2n)’ (dn— 3m)

Ai b: m?
ARCHIVES IX. 38

et (16):

276 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

On aura donc:

et par suite:

N en m—1 A g’ 5

N m— 1
en écrivant ia "fe 2 (1 — >) (1 +).

Avec m = 1,133, n — 1,193 (comp. p.265) le facteur

4n—3m
devient — 0,87. D'ailleurs ed tas deviendra avee p = 0,29
(voir p. 264) — 0,091, de sorte que nous aurons:
1) gn en ( q'
= (ar), =4%0,87 (1 + 0,001 in)

A q/ =10RT, cela devient 4 x 0,87 x 1,91 = 6,65, c'est-à-
dire approximativement la valeur expérimentale. Mais pour des
valeurs de q’ inférieures ou supérieures à 10 RT, la valeur de f=

1% dp : Pn Widen! set ee dp
En dans le point critique, c.-à-d. la valeur de pr
serait différente.

Si dans le point critique /?, serait — 1, donc m=1, n=1, la

T dp : : ee 5 :
valeur de p dT deviendrait — 4 et ne pourrait jamais devenir
— 7, quelque grande que serait la valeur de q’.

On en conclut, comme nous avons déjà remarqué plus haut,
que les grandeurs b, et b, sont des fonctions de la température,

et que (sh) contient encore un terme avec a sans compter le

Ee
terme i).

On voit clairement de tout ce qui précéde, que la supposition
de l’association partielle des molécules peut expliquer beaucoup
de choses, surtout celles qui se rapportent aux données critiques,
mais que cette association n’est pas la seule circonstance, qui
influence les grandeurs critiques et les phénomènes de saturation,
mais qu'il faut considérer aussi d’autres circonstances, surtout la
variation de b, et b, avec la température et avec le volume.

SEMBLABLES. ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 277

SS. La grandeur ii dans l'état liquide.

Il s'ensuit de l'équation d'état

a

ma (v—b) = (1+ 2) RY,

en négligeant p auprès de “oe:

<5 Gt la), Gn) = ate Go),

done
a). -[7+ + (+ Gr HE “3-5 ale)

Cette grandeur peut devenir=0, lorsque 4b est négatif. Pour
la valeur correspondante de 7 nous trouverons alors:

1 ee en,

Chez l’eau on a trouvé expérimentalement pour la température

anf weh

: of
de la densité maximale T= 273 + 4= 277, tandis que i =-
€ p
0,045

50 —0,00225 (Mémoire cité, p. 4). Nous aurons done:

deerd ya
bo 217. 000225

160%

de sorte que nous trouverons avec /? — 0,181 (Le. p. 4):

wy
== — 1,604 + 0,847 — 2,45.
5 — À I — d == 4 —A
Die = ee. CPE rt eu

AD Dee
(voir p.242, où «|»: RT sera = 27,5), par suite:

ug
—<* = 2,45 : 16,6 = 0,148,

au lieu de 0,47 que nous avons trouvé autrefois par une méthode
différente. Mais nous verrons bientôt (p. 287) que la valeur 0,47
doit étre remplacée par la valeur plus exacte 0,144.

38*

278 THÉORIE GÉNÉRALE DE W ASSOCIATION DE MOLECULES

§ 9. Association de mélanges de deux substances
anomales.

Pour déduire les expressions pour les grandeurs / et /> (les
degrés de dissociation des molécules doubles des deux substances,
pe. de l'eau et de l'alcool éthylique), on peut suivre la même
méthode que celle du $ 1. On aura donc successivement, p.e.
pour la dissociation des molécules doubles de l’eau:

/
um, = 0, — DE + RT loge,
u, — (u, — > + RT log Co |
Pe 7 IN, eal
done
RGEC = pe > | ern
£ - On, aN» Cy

Maintenant les nombres des molécules diverses seront données par
n,=(1—2) A— Pf) ; n, =A — 2) 27 ; ni =d") ; no—x.2/,

lorsque le mélange consiste de 1—x Gr. mol. H,O et x Gr. mol.
O,H,OH. (Les grandeurs accentuées se rapporteront toujours à
la seconde substance, e.-ä-d. ici à l’alcoöl).

Or, comme par conséquent

ea 9! on, , 32! on,
DAC Vo

nous pouvons écrire:

I—a\oP/, :
Avec
OS Ring me wee
ern Ri en
EOD

on trouvera comme dans le $ 1 (a ne dépendra pas de >):

v

| — San, RT: db
=n

Doe 2

b
— (1 — x) RT —

1

es) = (1 — x) RT log

Gay Fe À 5
parce que les termes avec 5 disparaitront de nouveau, tandis que

Of?)

zn, =A—a) A+ B) + (A +7.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 279

La grandeur b sera représentée maintenant par

b= (1—2) [(1— 4), +280.) +2 LB) + 20H),
ou bien

b—(1— x) (bd, + D Ab) + x (db + 4b’) = (1 — x) bis + vb,
de sorte que nous trouverons pour

d /?
db
Quant à la grandeur a, on concevra facilement que
a= (1—2)? aa +alle) Va dio 27a’ 2=[(1—2) a, +x1/a]?,

puisque ay» = (1—/)? a, +2(1—/)2/ as +4/f?a, sera con-
stamment — a, (voir p. 237) et de même a» — 4. Pour aas a2y

nous avons écrit day d'y.
Nous aurons donc:

1 ee RE a
= ir). de Ve (n+) 4,
et par suite:

(— 0, +20,)— RT log RT + RT log (p+ 5) + RT+

a

a C,
+(p+ 2) 4b + RT log —9.
% 1
Cela devient, en posant comme autrefois

0, —20 .
Ze + log RT — 1 — log 4 — log K,
de sorte que la fonction de la température K sera donné par la
formule (6), comme dans le cas simple d’une seule substance:

Ga IK _2 + te AG
—_ —= ——— € RY .

4c, p + “lv:

Ici
(1— 5) (1 —f) . … (—5:)2P
STE zn, MT Sr
où Yn, —(1—x)(1 + /) +a4(1+4+ /%), et nous obtiendrons:
En 3? 1—ı

4, If (Le)

et par conséquent pour la relation 9 —f(p, T, x):

280 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

22

Le [i+ a ra ey) ee

K eter Ab
Pp D + aly 2

identique à (5), excepté le facteur entre [ ], qui disparaîtra quand
(N.

Pour la seconde substance on aura tout-à-fait la même expres-
sion; seulement avec cette différence, que x. 7. K et Ab doivent

être remplacés par 1—a, /?,/ K’ et 4b, et vice versa. Cela donnera:

En de (1 — x) (1 + #7) KE ae et Av
=|1+ 5 (i +) ort

(30b)

: df? d 3
Ine grandeur importante sera (22) et de même („2 )
Une grandeur importante sera \ 7, : t de même TUE)

Nous déduirons done premièrement l'expression générale pour
dj?

dx

L'équation (30a) donne immédiatement:

OL dair | a d1+/3
PAP?) de [ | ( i+ ff (i—a)? Ir dele 7)—
Ab a le ) da
RT pty) dev:

Pour «=O cela devient:

2 LGN we 2 1 ( pit) d =
Bo (1—/ ) da ee RT Aa 1+/,/ dx v? Jo’

parce que [ ] '—1. 2=/,, P=1 (pour z—0 la seconde substance
jai et
pelo En?

sera totalement dissociée) et OÙ Sn

da
Pour apg? en trouvera, en supposant v — b:

pd La db
d a d (1 oy gia dx Beis
dev? dx = b? i
c.-à-d
d a ees ao 3 /
Tr Dos Lo (— Ma, ap IE a’ 1) — La is bi SF b 12 Ar

dp tp

SEMBLABLES, El DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTS. 281

Cela devient pour «= 0:

EC) = 3 ae nad bi), ra, FI), (— Gi), +(0)5+

+7) )]

en Kr a; — (be), a, a, dd a |.

(Bo),

On aura donc:

df? 2 41/(b,»), AEN 2

Cog Nearer au no do) |=

2 Ab 21/a f ?
= mm Gye Lode ei Od. ra, J)

—b,
En auprès de 4b.
Pour le terme avee 4b dads le second membre nous pouvons
écrire :
Ab 21 a, , (bia)o y, La’; (biz), (bi),
GTR X b 2 Ze Ta EE )
AT Gg? (up, Oe li Do Ka, on

Vo
en supprimant le terme =

ou bien

1/1), (bro), (bie) Ab [ © pe (bu) ı
RT (bio)o (bie), (bio Pe Oo

parce que (p, et p”. sont les pressions critiques des deux substances)

La, Va, 21 da. 2a, dat Pe
== : MEE =

bi) U), 20 Db, | pe

(bo), étant = (L— (70) ba + 2/00 = 20d'2, et (bi, = (17) db, +
2/9, 0, = 20), puisque 6, — 1 et A, = B (potr;a— Old
seconde substance, et pour «= 1 la première substance sera tota-
lement dissociée). Et comme

aib), Dn 402 [op, == 4/b, T°
ENG TOT
on trouvera par suite:
ave (USE )ı (0%) 12 (bie),
‘es — (py) are OR Ci er hai
¢ 20 0 x ’
EL LBL 7%). 14 Te Con 3

T (bi Jo

282 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

5 Ib
lorsqu’on écrit 0 pour Tens Or, nous avons à 15° C. (les gran-
12/0

deurs non-accentuées se rapportent à l’eau, les grandeurs accen-
tuées à l’alcoöl éthylique) :

1+%,=1206 ; P,(1—8B5)—0,98 ; T gg 2215

(VA ‚a . (bz), 92,09: 0,7943 _

SE
1159
ne oe

de sorte qu’on aura:

1 190,3 Co (0,5595 — Pel)

dj (b’ 9 l 2
ig), = Bo (1) = 40 (ds 52 Ca
1 — 6,1 £
(bi2)o
Pour (bio), —v,, e.-à-d. le volume moléculaire (double) de

l’alcoül pur, nous avons écrit 92,09: 0,7943, le premier nombre
étant le poids moléculaire double de C,H,OH et le second sa
densité à 15° ©. De même (bi), —v,, C-à-d. le volume molécu-
laire (double) de l’eau pur, sera — 36,03 : 1, où 36,03 est le poids
moléculaire double de H,O.

Comme (bj), =6, +, Ab, on aura pour (bio): =b,+1.4b=2b,:

(dis) 1 — (0x), + (1— 5, ) À b,

donc

(Dis): ke / >
(bis) —1+ (1 — f,)0.

De même nous aurons, puisque (bi), = bi + / 4b’, pour
(ber basel b ib

(b55)o = (bio): + (1 — Pi) 46”,

par suite
(12) »/ /
za =l + (1 — Pf)
or CRE
On obtient done avec A, = Pi = 0,206:
df , 1—190,3(1+0,794 0’) (0,5595 — (1 +0,7940) )d
= = 103 12>) 0e ~1—6,140 (1 + 0,7940) 02

ou bien

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 283

dp 1 + 52,99 (1 + 0,7940)(1+1,8030)3 (34
emo lo) ET EO !
parce que

0,5595 — (1 + 0,794 5) = — 0,4405 — 0,794.5 = — 0,4405 (1 + 1,803 9).

- 4 ‚af df?
Lorsque Ÿ—0, expression dernière se réduit a( ) =/? (1—/?,),
0

où 2, est encore une fonction de la température. Le produit
B, (1—/,) atteindra sa valeur maximale pour %,=!h; et à
des températures suffisamment hautes, quand /, tend à 1, la

: : dj? a
valeur de /?, (1 — /?,), done aussi celle de eel , tendra à 0. Les
0

coëfficients 0,794 =1—/?, et 1,803 — (1—/7,) : 0,4405 deviendront

de plus en plus faibles lorsque la température s’éléve. Quant aux
: 14, Boll,

coëfficients 52,99 et 6,14, ceux-ci contiennent ae et en ’

et s’agrandisseront avec T dans le premier moment, de sorte que
: df Price

nous pouvons dire que la grandeur dz), — qui sera négative

0
par à — prendra d’abord des valeurs négatives plus fortes, pour

décroître enfin jusqu’à la valeur 0 quand /?, sera devenu = 1.
: à dr
Pour déduire l’expression correspondante de ee , on
ri 1

n’aura que remplacer les grandeurs non-accentuées par les grandeurs
accentuées correspondantes et vice versa, et d'échanger les indices
0 et 1. D'ailleurs 77 n’est pas — 638, mais — 517, de sorte que
fie 517 3 (bie),
T = 288 = 1,795, tandisque can
par sa valeur réciproque. Au lieu du facteur 120,3 on obtient
maintenant 9,421. Le facteur 6,140 deviendra 4,976 avec T, — 517
au lieu de 638. Finalement la valeur 0,5595 C2

remplacée par la valeur réciproque 1,787. On obtient donc:

— 3,217 doit être remplacé

dp’ Ne s(t py 10 +0 1940) (1,787-(1+0,7940')) 0”
An), EP) 14976 (1 +.0,794 0) 92
ou bien

dp’ 1—7,414 (14 0,7943) (1—1,0099) 9 pay
Gas al A) Tao (1+ 0708387 (7)

parce que 1,787—(1 + 0,7945/)—0,787—0,7949/—0,787(1—1,009 3).
ARCHIVES XI. 39

284 THÉORIE GÉNÉRALE DE 1 ASSOCIATION DE MOLECULES

Le signe de l’expression dernière sera positif, parce que 0’ possède

SA ‘Auk dr
une valeur négative aussibien que à, et la grandeur =
TA 1

d/? 5
prendra, comme ars dans le premier moment des valeurs
0
positives plus grandes quand la température s'élève, pour décroître
dp’

ie) 4 aura atteint

plus tard. Lorsque 9, sera devenu — 1, (

la valeur 0.

§ 10. Le changement du volume /V de mélanges
d’eau et d’alcoöl.

L’équation d'état
(p+ Je) (v— b) = 2n,. RT
donne pour le volume l'expression
En RT

alyı

er

en supprimant p auprès de “na.

Mais on pourra omettre ici le terme avec RT, lorsqu'on consi-
dère exclusivement l’état liquide, suffisamment éloigné du point
critique. On aura done v—#, ce qui donne pour 1 —x Gr. mol.
H,O + x Gr. mol. 0,H,O avant le mélange:

Va (1 — 2) (bio)o + © (bio) à -
Et après le mélange:
v— (1 —%) bie + rbi,
de sorte que l'on trouvera pour le changement de volume
AV =v—2,:
AV =(1—2)(P— ff) Ab + x (BR — fx) Ab... (82)
Puisque cette grandeur a été trouvée négative, on aura contrac-
tion du volume. Or, cela n’est pas possible à moins que Jb et

Av! soient négatives.

d AV
Pour — EE on trouvera:

dAV dp
dx = — (RP — fy) Ab+(F — Pr) Ab’ +(1— x) Ib Ee Ay

da
done, quand # = 0:

dj’
dx ?

SEMBLABLES, ET DE IA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 285

BAP N Va GE 7 dj? 2
UNE). (334)
parce que # — /?, et f# — 1 pour #—0.

Pour (aim), on trouvera, en parfaite analogie avec (334):

Wa), = — Bo) 40+ 40 ai), (33?)
Maintenant nous voulons montrer comment on peut déduire

dd
les valeurs numériques pour en BE # )e i ( ii»), des tableaux

qu'on a construit pour la densité de mélanges d’eau et d’alcoül
de percentage différent.

Soient les quantités des deux substances 100 — p Gr. (eau) et p Gr.
(alcoöl). Alors les nombres des molécules en Gr. mol. doubles

EN AU : NW
seront resp. “36,03 et 92,09 : On aura done pour ne. a
Ny + Ny
Nr. (ee Pad ); Ne he
er um \ eo | 9209/: mad
représentant

(100 — p) : id et p : id.

grammes, dont les volumes seront resp. (0,794 est la densité

de l’alcoël à 15°)

RSR N RES 00
RUE

ceM. Et comme le poids total du mélange sera 100 : id. Gr., on

aura pour le volume du mélange:

quand D est la densité du mélange, qu’on peut tirer des tableaux.
Nous trouvons done pour 4V =v — (vo + v,):

eS 100

hd | . (100 —»

— ((100 — Eu 0,794 36,03 * 92,09 )

dAV es ;
Pour trouver la valeur de na’ nous differentions

39*

286 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

100 — D SE 100 ( p
14 36108 3 a) = (100 —p) + dog)

donnant:

100—p dd Ki ze \= 100 dD 1
er

36,03 a dp Dr our

done pour p—0, lorsque D— 1 et 4V—0:

(EE) = —0,3603 (0,259 +100 (97). ).

dp
La grandeur = peut être calculée de

100 —p p BD
36,03 * 92,09) 92,09’

x
donnant:
100 iM

ee
36,03 92,09/ dp " “dp ~ 92,09 ’
c.-à-d. pour z=0, p—0:

dx ) 0,3603 _
dp 92,09

Nous trouvons donc:

en JE — 92,09 (0, 259 + 100 (7, ’) )=—(23, 85 +9209(7,), ).

: dD
Or, les formules de M. meenen !) donnent pour (5 la
6

valeur — 0,00188. Nous aurons par suite:
——) = — (23,85 — 17,31) = — 6,54.
0
En comparant ce résultat avec (334), on a done (/?\/="/5):

‘I, av +ab( EL ) Bene ee
0

EENDEN TE TE

Pour ( he ry: on trouvera facilement (D — (0,794)? ) :

AV 100 dD
> — 36,08 (1— 0 an + 0,799: io NE

c.-à-d.

1) Voir LANDoLT und BORNSTEIN, 2ieme édit., p. 224.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 287

d AV Lb ;
=e — 9,35 + 5716 ( CE SS
Les tableaux cités nous fournissent pour Ga) la valeur

+ 0,00310, de sorte qu’on aura:

_dAV.
La comparaison avec es donne immédiatement (9, — |; ):
amb
Ab + 4b noe Ln (545)

Les relations (34) et (341), que nous venons de déduire, nous per-
mettent maintenant, en connexion avec les expressions (31) et (31%)

: zE) dr ) À Rs AW
pour Ä et TE x de calculer les valeurs de db et 10’,

pation’ celles: de a RE ir, — 0" Aves (bu), = 36,03 ct
1
(bs), — 92,09 : 0,7943 — — 115,9 (voir p.282) ces relations devien-

2 . . à d /?
dront, en écrivant pour abrévier y et y’ au lieu de en et
0

4, x 115,9 0’ + y . 36,030 —— 6,54 |
41, x 36030 + y’- 115,99’ = — 8,37 |
ou bien
yO + 2,504 0’ —=— 01845) (35)
y! 9’ + 0,247 5 = — 0,0722 |
Ces deux relations seront satisfaites par les valeurs suivantes:
do—= — 014 ; d——0,114,

avec lesquelles correspondent d’après (314) et (312) pour y et y’ les

valeurs
y= 0,764 : 4 — 0,319 =

En effet, avec /?,(1— /?,) —0,1636 ou trouvera:

1+ 53,0 x 0,910 x 0,740 D 1 + 35,690 |

Een |
eu > 17339 |

/ = 0,1636 — = 497620310877 916367 Fe |

done

288 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

SD ve an
= 0,1636 ~ 0,887 = = 0,1636 KS 4,668 — — (),764 |
NEE En

Les équations (35) donneront maintenant avec les valeurs, trou-

vées pour y et 7’:

— 0,764 0 + 2,554 0’ = — 0,1815 |
0,319 0’ + 0,247 d = — 0,0722 ee
ou bien
— 0 + 3,040’ — — 0,238
0 + 1,29 0’ — — 0,292
4,63 0’ = — 0,530
do = — 0,114.

Pour 0 on aura ensuite:
0 = — 0,292 + 0,148 — — 0,144.

Nous trouvons done pour à et 0’ des valeurs beaucoup plus
petites que celles que nous avons calculé autrefois (l.c. p.12).

En premier lieu nous tirämes alors la valeur de ( TO
du tableau sur le pag. 225 (Lanporr und BornsTEIN 2°"° édit.), où
les valeurs de p/ sont des procents du volume, tandis que dans le
calcul présent cette valeur est tiré du tableau sur le pag. 224,
où les valeurs de p sont des procents du poids. Or, la dernière
valeur étant — 0,00310, la première devrait être — 0,00310 : 0,794 —
0,00390, tandis que le tableau donne 0,00516, une valeur beaucoup
trop grande. Pour le second membre de l’équation dernière sur
le page 286 on avait par suite:

1 100
— — 45,38 (— 0,206 + 0,516) — — 45,38 x 0,310 — — 14,07.

au lieu de — 8,37, done pour le second membre de (35) la valeur
— 14,07: 145,9 = — 0,1214 au lieu de — 0,0722.

Mais en second lieu les valeurs de y et y’ &taient simplement
0,1636, tandis que les relations (31) nous ont fourni les valeurs
exactes — 0,764 et + 0,319, qui different beaucoup des valeurs
approximatives A, (1— /?,) et /%° (1L— Pr) = 0,164. La valeur de

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLKCULES DIFFÉRENTES. 289

y est devenu même négative, en vertu de la valeur négative de
ö et de la valeur positive du coéfficient 35,69, due à la valeur

négative de l’expression Ve Pers (1 + 4/5 0) = 0,56 —1—*/; 0 =

= — 0,44(1 +1,805 0). D’ ne cette valeur positive, savoir 35,7,
est excessivement élevée.

Ff d/? ae.
La valeur négative pour y= = signifie que le degré de
0

dissociation /? des molécules doubles de l’eau ne subit pas un
accroissement, quand on ajoute une quantité minime d’alcoöl à
l’eau pur, comme dans les cas normaux — mais un décroissement.
Il est évident que ce décroissement est dû au décroissement de
= le Ab

la grandeur exponentielle e ” , puisque “/,» devient de plus
en plus petit lorsqu'on remplace l’eau par l'alcoël éthylique, la
pression critique de l’alcoël étant moins élevée que celle de l’eau,
tandis que — 4b est positif. Le décroissement de /? en vertu de
la grandeur @/,: le gagnera dans le premier moment, lorsque x
est encore très petit, de l’accroissement de /? en vertu de la dilu-
tion par l’aleoöl. La valeur normale de y, c-à-d. 0,16, en est
réduit à — 0,76.

A l'autre côté (x — 1) la valeur de 7’ subit un agrandissement
par l'influence de la grandeur exponentielle mentionnée, savoir de
0,16 à 0,32. Ici la grandeur «/,: deviendra de plus en plus grande,
lorsqu'on remplace l’alcoöl par l’eau.

Les deux facteurs considérés réunis, c.-à-d. la valeur plus exacte

pour Gr), et les valeurs plus exactes pour y et 7’,

ont modifié fortement les résultats obtenus. Au lieu de 0 = — 0,47
et 0’ —— 0,045 nous avons trouvé maintenant 0 = — 0,144 —
——1},; et d =—0,A14—=—/, à peu près. La valeur de 0 est

devenu trois fois plus petite, et celle de 0’ trois fois plus grande.
Nous faisons remarquer encore, que la valeur trouvée pour 0

A s 2 av
s'accorde très bien avec celle que nous avons calculé de ar

(voir p. 277), c.-à-d. à = — 0,148.

Remarque. Dans nos calculs précédents nous avons identifié
souvent 4b avec Av. Les grandeurs observées, savoir la contraction
du volume de mélanges d’eau et d’alcoöl, donnent toujours dv.

290 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

B à RUN Av Av :

C'est pourquoi 0 et 0’ désignent done — et — —. Mais pour cal-
Vo Vi

euler les valeurs de Ô et 0’ nous avons déterminé les valeurs

de y et y. Or, celles-ci ne contiennent pas (voir pag. 280) Av,

E v —b de v —b
mais 4b + Te: D'après la formule (8) 4b + TE a
—b 3
— AV (1 Ben. 5 Ie et l’on calcule facilement que le facteur
1— 2 == aura la valeur 0,912 au côté de l'eau (x— 0) et la

valeur 0,895 au côté de l’alcoûl (x —1). Dans les expressions pour
y et y” nous aurions done dû remplacer 0 et 0’ par 0,9 0 et 0,9 à.
Mais l'influence de cette correction ne sera pas très grande.

$ 11. La chaleur de mixtion ©

L'énergie d'un système quelconque est donné par la formule
bienconnue (voir pag. 248):

@

ù
e— 2 [n,(e,),] + 2(,4,) T+ T? un Cor es

Où w =|p dv = (1+/) RT log (v—b) + —, de sorte que nous aurons:
ez [n(es)o] + Qu by) T— = + pr,

parce que pendant la différentiation par rapport à T tous les
nombres moléculaires n,, n,, ete., et par conséquent aussi /? et",
restent invariables. On aura done:

e= (1 —x) [ (ex), + ke T] + z[(e'i2), + ke 7] — 5 + pv.
Tei
(edo + bio T = (eo + B (edo + 220) #4, T+ A (Kk, +2) T,

ou bien

(ex) + kT = (@1)o + hy T + (go + YRT),

et une expression semblable pour les grandeurs accentuées.
Pour Q—:—((1—x)69+ xe,) nous trouvons done, en écrivant
ao pour 4/y— pv:

Q=(1 cae) (2 — fo) di + a) On
a a a’
- = (ads 5 ar

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 291

où qg; — 4e + yRT et q';—q'o + Y RT représentent les chaleurs de
dissociation internes des deux composantes, c.-à-d. sans le travail
externe (et interne) (p + 4/v2) Av. (comp. pag. 249).

Or. on aura d’après de réductions connues:

a ((—a)va, +z1a@,)?

Bt VEEN
(1 — ©) à “A La?
aa KE bis b 12 atte: by à ri Bis ) ’

de sorte que nous obtenons finalement:
Pr ET, ZE : VfR’ An a su
QA Br u)

a a, ) &(1L—x) MAL Te an,
2 (pi (bie), is b Die ï 2 bio bis ‘

ou bien, puisque bis — (bi) = (? — /%) Ib, ete.:
Abe ‚gb
(ro) a+ 2 (B — B) Hit A—2) (BB) rp +
B Dia

aaa OZEAN (TZ dee LL
EPA) tp ba 1 parts 1). (36)

Nous voulons déduire de cette expression pour la chaleur, due
à la mixtion de 1 —x Gr. mol. (à 36 Gr.) H,O et x Gr. (à 92 Gr.)

C,H,OH, les valeurs de GS), et Gi 7) . Les grandeurs

fet />” étant des fonctions de x, on aura évidemment (voir l’ex-
pression avant-derniére pour Q):

= [re + (1—2) 4 qi + lai + bt di+
+ = Cr Cm Wij) Ae ge +
sap avg +020 (TE et) ] +2 er aide

Pour +=0 cela devient [P= fo, 2’ =1, b = by = (bio):

dQ LE dj? 21 / er a 1
(5: Baie iz), uud; Deer (Do ij) +

df la, Wa?
us — Ab WENN ==
D Ga)! € =). + ( cs Teed (b + d
ce qui se réduit à

ARCHIVES XI. 40

292 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

(=) = GD. (a+ Feo >) + 1 — P57)9% + (Bia) Unna

PVC. La,

mn nn + A 7 —
(dis)o (b 12) É

c.-à-d. à
dj? ( a, ) EN “a =
= em ne a
a ur (Dio), ; Par Pas); ne (D'i) Way Ee
, / a
a ((b io —— (b 2)1) (ba? :
12 0

Or, (bid — (bio), = (1 = Bes ) A b’, tandis que

a,

+ = (os dir ig Allg),

q bel (Do qi (bo)? q Jo

où (q), et (q’), désignent les chaleurs de dissociation totales des

deux composantes pour æ— 0. (comparer (11) sur le page 249).
Nous trouvons donc:

d
En ik 2 (Q)o + 4/5 (go + (bo), P,....-. (374)

lorsqu’on écrit:

> Go a’, oa) =

dx 0 / (b 12) 0 (b’ 12)

La grandeur (b’:), P représentera la chaleur de mixtion differen-
tielle proprement dite; e-à-d. sans les termes avec q et q’ qui se
rapportent à la chaleur, due aux changements de la dissociation

des molécules doubles des deux composantes. Il est évident que
cette grandeur sera toujours positive.

: d
On concevra facilement que l'expression analogue pour Gas

sera :

dQ / /
Ge rd +45 + Ov)P...-. (87)

Maintenant nous pourrons tirer des conclusions sur le signe des
deux grandeurs trouvées; mais d’abord il faudra connaître les
valeurs numériques de q et q’.

La formule (10%) sur le page 250, savoir

al

q 2 WE TRS
RT? = 30555 PU D RT

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 293

donnera pour q une valeur différente de celle que nous avons
calculé sur le page 251, puisque la valeur de 0 a été trouvé plus
faible que celle trouvée autrefois. Avec la valeur plus exacte
nous trouvons (comparer p. 281—282):

ruse lag eli (bie), 4a, (bio), Go

—= = H ] alle )
nr CO En nn OPA:
donc avec %/p, = 7 RT, (supposé qu’à la température critique toutes
les molécules seront simples), */; = 1 — 5, — 0,794 et d = — 0,144
(chez l’eau):

ot — 14 RT, x 0,886 = 12,4 RT...

0

Pour RT nous trouverons par suite (1 —288 et T, = 638):

UT

Pour l’aleoöl on aura de même:

in 14 RT! x 0,910 = 12,7 RT”.,
1

et

Klo,
pit = 12, is — 19,7 x 1,795 = 29,9.

parce que L + */; 0’ =1 — 0,794 x 0,114 — 0,910 et T}/ — 517.
D'ailleurs nous aurons:

2

v—b BE
m —=2(1+Pß) als
done — 2 x 1,206 : 27,5 — 0,088 chez l’eau, et — 2 x 1,206 : 22,9 —
— 0,105 chez l’alcoöl.
Pour l'expression entre [ | on obtiendra maintenant:

4 — 0,197 x 27,5 x (0,144)? x 0,912 = 1 — 0,102 = 0,898 (eau)

4 — 0,197 x 22,9 x (0,114)? x 0,895 — 1 — 0,052 = 0,948 (alcoöl),
B(1— 2?) étant = 0,206 — 0,009 = 0,197, (0,144)? — 0,0207 et
(0,114)? = 0,0130.

Et comme nous avons trouvons autrefois pour q=q’, en négli-
geant le facteur [], la valeur 3840 Gr. kal. pour une quantité
moléculaire double, on aura plus exactement:

(9). = 3840 x 0,898 — 3450
(9), = 3840 x 0,948 = 3640.
40*

294 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Pour calculer maintenant les valeurs de (q), et (q’),, il faut
connaître les valeurs de q; et qi’. Or, comme nous avons:

a a
=: + Qo Dti 5 |

(bio), (b12)o
/ / a, / es a, /
aan: bi) Sr / Ab ER it 7 )
(4), =4 5) q (ean |
nous caleulerons d'abord les valeurs de fi aA ù et vw Tie 4
On trouvera (voir plus haut) avec R— 1,992:
hs ) 0 — 12,4 RT, x 0 = — 24,7 x 638 x 0,144 — — 2260 |
12
wey i: 0’ = 12,7 RT/x 0’= — 25,3 x 517 x 0,114 = — 1490 (à
12
par suite:
qi = 3450 + 2260 — 5710 |.
qi, = 3640 + 1490 — 5130 |
Les valeurs de (q), et (q’), seront données par
, ne a, a’; 7 Ab
(Orik USE Ab— gr Pi), 0’ x Fb’ |

5 7 CRUE , Gti, AD |
(Qo =i + UE Ab = qi + Bar ù x zie

Ab
Pour Zy nous trouvons:

diie > „bio __ 0,144 _ 36,03 _ 1,26
AETR 6) me 0114 115,9: 322

— 0,393,

de sorte que l’on aura:

(9), = 5710 — 1490 x 0,393 — 5710 — 580 — 5130
(4), = 5130 — 2260 : 0,393 = 5130 — 5770 — — 640

Nous pouvons done écrire:

(9), = 5710 — 2260 — 3450 | (g'), = 5130 — 5770 = — 640 |
(9), =5710 — 580 = 5130 | (q’), = 5130 — 1490 — 3640 |

Toutes ces grandeurs sont positives, excepté (q’), — la chaleur
de dissociation de l’alcoöl dans un milieu purement aquatique —

A ; 3 a
qui sera négative en vertu de la valeur trés élevée de Gene b’.
12/0

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 295

Les expressions (374) et (37?) deviennent maintenant (comp.
p. 287):

LE — 0,764) x 3450 + 0,794 (— 649) + (Bu); P |

dQ | %
Ce) 0,319 x 3640 + 0,794 x 5130 + (bis), P |

d
ou bien, en écrivant pour abrévier (3) =a Qo je A). 1)
À 0 Der
(b's) P= Me et (bio), == M, 6

We, = — 2630 — 510 + M, =— 3140 + M,
Q = 11

où M, et M, seront les chaleurs de mixtion différentielles propre-
ment dites, dont les valeurs sont toujours positives (voir p. 292).
On voit bien que la chaleur, due au changement des degrés de
dissociation des molécules doubles de l’eau et de l’alcoöl, sera
. P } dj?
négative au côté de l’eau (x — 0), puisque =) =y et (q’), sont
0

tous les deux négatifs.
Il s’agit maintenant de déterminer les valeurs de M, et M,.
Nous aurons:

M, € (Her (B12) 4 ut Ka), 12) El = er

War oa Verl:

done (voir p. 293 et 294)

MART 7 RT |?
— |V 15750 x 3,217 — ı 13080 |? = (150670 — 1-13080)?,

ou bien
M, = (225,1 — 114,4)? = (110,7)? = 12250.

Pour M, = (b,), P nous trouverons par suite:

(bo
(bie),

On obtient done finalement:

M, = 12250 x — 12250 : 3,217 — 3890.

296 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Qo = — 3140 + 12250 = 9140 |!)
GS EEE Spule

tandis que les expériments donnent des valeurs négatives, puisque
le mixtion dégage de la chaleur. Le changement de la dissociation
des molécules doubles de l’eau et de l’alcoël pendant la mixtion
ne suffit done pas pour expliquer le fait que la chaleur de mixtion
des deux substances est négative au lieu de positive, et il faudra
done nécessairement que p.e. les molécules simples de l'eau se
combinent avec les molécules simples de l’aleoöl, pour former un
hydrate C,H,OH.H,O avec dégagement de chaleur.

Pour calculer la valeur de cette chaleur dernière, nous déter-
minerons d’abord les valeurs de @ et Q’, des expériments de
M. Bose ?).

Quant à Q%, le tableau sur le page 601 Le. donne:

x—0 | 0,05 | 010 | 0,15

|
09 mee 148,6 | 237,5 | 265,9

170,33 | 0! 116,7 | 186,8 | 208,3

|

On trouvera done par interpolation linéaire:

x — 0 | 0,05 | 0,10 | 0,15

|
159 |—0—0) 191,0 193,6 | 216,1,

| |

valeurs, qui obéissent à la formule d’interpolation
— Q = 2893 x — 9350 x? — 220025,

donnant pour — @:

1) Le fait que les valeurs trouvées pour Q', et Q' sont sensiblement iden-
: a Er :
tiques, est purement accidentel. Si, au lieu de m —7RT,, on avait introduit
2
Ay

p.e. 5 —6RT, , on aurait trouvé pour Q, et Q des valeurs inégales.
2

2) Zeitschr. f. physik. Chemie 58, p. 601—602 (1907).

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 297

— 0 — = — 2893 — 18700 x — 66002?,
done pour Q, la valeur — 2890.

La valeur de Q’; peut être trouvée des données suivantes.

1—z=0 0,05 | 0,10 | 0,15

0° |—Q=0) 26,8 | 45,4 | 61,1

17°,33 | ol 147 | 28,1 | 402

| |

Pour 15°C on aura par suite:

0,10 | 0,15
|
304 | 43,0

|

Ces valeurs seront comprises dans la formule

— Q= 353 (1 — x) — 590 (1 — x)? + 1000 (1 — x)?

—Q=0| 16,3

donnant pour — q’:
‚ dQ
IST au
d’où l’on déduit pour 9, la valeur — 350.
En écrivant done H’, et H’, pour les chaleurs de hydratation
différentielles, nous trouverons au lieu de (38):
RME N en)
YY, = 9120 + H,—— 350 |

— 353 — 1180 (1 — x) + 3000 (1 — 2)?,

de sorte qu’on obtient pour H’, et H’;:
H’, = — 12000; HA’, —=— 9470.

Il nous reste encore de déduire une formule, exprimant H,
done aussi H’, et H’,, en fonction de x, /?, 9’, a (le degré de disso-
ciation du hydrate et q, (la chaleur de hydratation pro Gr. mol.).

Le nombre des molécules simples H,O sera — (1 —x)2/; et
celui des molécules simples C,H,O0H,=«.2/". Lorsque la valeur

298 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

de x est 1), il se formera donc 2.2/2’ Gr. mol. du hydrate,
e-à-d. x.2/7 (1— eu) Gr. mol du hydrate non-dissocié.
On aura donc:

(1 — x) (1 — 2) Gr. mol. doubles H,0 ; (1—x) 2? — 2.2/7 (1—«)
Gr. mol. simples H,O
Nt 0 , CO, 4,08; 2.28) —2.2 (Le)
Gr. mol. simples 0,H,OH
&.2/3 (1—«) Gr. mol. C,H,OH.H,0.
Et le nombre total des molécules sera:
N—=(1—s) (1+ B) rv (Lt B) (Lt).
L'équilibre
CAH OH... HOC ORE

est done donné par la relation

[(1 22) 28 —2.27'(1—a)] [ee AO
2 .2/’(1—a) x N Se

où Ky, sera une fonction de la température, et (par 4/2) de la
composition du mélange x. Quand la valeur de x est très faible,
on peut écrire:

22 Xa

2 (1 —a) x (1 + Eje Ku;
ou bien
CAEN et
x ES ÉTÉ ERA RP (40)

La chaleur de hydratation peut être représentée (quand on
suppose que la grandeur “/» ne subit aucun changement par la
formation du hydrate) par

le A a) AG A See (41)
où q, est la chaleur de formation du hydrate. Cette chaleur sera

d
negative (dégagement de chaleur) Pour H’%) = > ) on obtient
> 0
donc
Taf, == 2 (A == ao) (Qu) DO AC MONT MONTS DES (42a)

dH
De même nous trouverons pour H’, — (ai)
ar 1

SEMBLABLES, El DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 299

puisque dans le voisinage de 3— 1 (x ‘/,) l'expression (41) pour
H deviendra H = (1—2) 2/5 (1—a) q,, où « sera donné par (40), ¢.-a-d.

1 a bee bes ;
N rer Ar K,, tandis que /?, —1. Et comme les valeurs
ES B

de «oet «,, (qi), et (gr), seront différentes entre elles, on concevra
facilement que H’, et H’, auront en général des valeurs également
différentes, et que la différence entre H’, = — 12000 et H’, = — 9500
ne renferme aucune contradiction principielle. Cependant nous
n’insisterons plus longtemps sur ce sujet encore peu étudié. *)

Nous voyons de tout ce qui précède, qu'il reste toujours quelque
incertitude quant aux valeurs de (7, 4b, etc.; surtout à des tem-
pératures relativement hautes, où les changements de b, et b,
avec la température et avec le volume deviennent évidents. On
aura à étudier alors la double influence de la variabilité de /? et
des grandeurs b, et b,.

Mais qualitativement notre théorie est en parfaite concordance
avec les résultats des expériences. Par exemple, la chaleur de
mixtion de mélanges d’eau et d’alcoöl, qu'on a trouvé négatif à
des températures ordinaires, deviendra de plus en plus faible
quand la température s'élève. Finalement la valeur de Q changera
de signe et deviendra positif. Car en premier lieu le hydrate
C,H,OH.H,O se décomposera de plus en plus, de sorte que la
grandeur 1—« et avec elle la chaleur de hydratation H tendront
rapidement à 0. Et en second lieu, à des températures encore
plus élevées, la chaleur due à la dissociation des molécules doubles
de l’eau et de l’alcoül, deviendra de plus en plus faible à mesure
que les grandeurs / et /? s'approchent de l'unité. Alors on n’aura
plus que la chaleur de mixtion simple M, due au changement de
la grandeur 4/3. Il y aura alors absorption de chaleur par la mixtion
comme dans tous les cas où les composantes sont normales dès
le commencement. Dans le cas de mélanges d’eau et d’aleoöl les
composantes ne seront tout-à-fait normales qu’à des températures
relativement élevées (à 200° C. environ).

On remarquera encore que la grandeur @, deviendra positif plus

1) Nous faisons remarquer encore, qu’en vertu de la dimivution du nombre
total des molécules du mélange par la formation du hydrate les formules (30%
et (30%) sur le page 280, et de même (31% et 31%) sur le page 283 subiront des
modifications, et qu’on trouvera par suite des valeurs différentes pour 7, 7’, d et 0’
(comp. p.287). Les valeurs, trouvées pour Q', et Q', dans la formule (38), se
modifieront donc également, et avec elles les valeurs de H’, et H’,, calculées de (39).

ARCHIVES XI. 41

300 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

vite que @%, cette dernière grandeur étant à 15°C. d’après (39) =
— — 2890, tandis que la première est seulement = — 350 Gr. cal.,
e-à-d. chez les mélanges d’eau et d'alcoöl éthylique. Le lecteur
interessé comparera le travail cité de M. Bose, surtout le tableau
sur le page 601 et la fig. 3 sur le page 602; aussi les quelques
lignes théoriques sur le page 612, où on fera bien de ne prendre
trop au sérieux ce que M. Bose a remarqué sur mon Mémoire
original sur l’association (déjà cité plusieurs fois).!)

La théorie précédente sur la dissociation de mélanges de deux
substances anomales peut être appliquée directement sur la disso-
ciation électrolytique d’une substance dissoute dans l’eau. Notam-
ment les formules (304) et (302) sur le p. 280 donneront complète-
ment les degrés de dissociation du sel (/?) et des molécules doubles
du dissolvant (7). Lorsque celui-ci est une substance normale, on
aura seulement la formule (304).

Dans le cas de mélanges de deux sels fondus, les formules (304)
et (300) donneront également les degrés de dissociation /> et /2”
des deux sels, et l’on pourra étudier l'influence de la présence de
l’un des sels sur le degré de dissociation de l’autre, et cela pour
des quantités différentes des deux substances.

Mais toutes ces questions seront étudiées plus tard dans un
Mémoire spécial, où nous considérerons aussi quelques problèmes,
liés étroitement à la dissociation des substances dissoutes et à l’asso-
ciation des dissolvants; pricipalement les modifications de l'allure
des courbes de fusion et de celles d’évaporation par l’anomalité
des deux composantes du mélange binaire.

DEUXIEME PARTIE.
THEORIE DES MELANGES BINAIRES, QUAND UNE COMBINAISON
PEUT SE FORMER.

§ 1. La valeur du potentiel thermodynamique total.

Supposons qu'on a 1—x Gr mol. de la première et x Gr. mol.
de la seconde composante, et que y Gr. mol. des deux substances

1) Vois aussi Zeitschr. f. physik. Chem. 61, 255—256 (1907), où j’ai repondu
aux affirmations de M. Bose.

SEMBLABLES ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 301

A et B ont formé la combinaison binaire AB. Alors nous aurons
pour le potentiel total Z:

Z=(i—a—y)(C,+ RT log c,) + (x —y) (C, + RT log c,) +

UC Eloge) > 8 0)
où

ke u Rig la at LN
= = Eje nj And

(2)

puisque +n, =(1—a—y)+ (@—y)+y=1—-y.
Mais en vertu de l'équilibre de dissociation de la combinaison
on aura:

c.-à-d.
(C, + RT logc,) + (C, + RT log c,) —(C,+ RT log c;) —0,. (3)

où u, — C, + RTloge,, ete. sont les potentiels moléculaires des
trois substances. [Les grandeurs C, ete seront des fonctions de la
température (et de la pression) seulement, lorsque nous supposons
que les substances se trouvent dans l'état gazeux, ou bien dans
l’état de mélanges liquides ou solides idéals, e.-ä-d. qu’il n’y a point
d'influence mutuelle des composantes].

L'expression (1) se simplifiera done considérablement, et l’on peut
écrire, en remplaçant c, et c, par leurs valeurs, données par (2):

Z=(1 —»(0, +RTlog >") bie #(0, +RT log; —), . (la)
NE EP EEEN OS EIT ES FETTE TEE |

où la grandeur y sera déterminé par (3), c.-à-d. par

Gien
Cs

RT log = C,—C, —C, = RT log K,

lorsque K représente la soidisante ,constante” de la dissociation.
Cette constante sera donc une fonction de la température (et de
la pression) seulement et ne contiendra plus les grandeurs x et y
dans le cas de gaz ou de mélanges liquides (ou solides) idéals.
L’équation (3) peut done être remplacée par la relation bienconnue

Gre 8
u ne a (3)
ou bien, en vertu de (2), par

(1—2—y) (ry) 7
HE

302 THÉORIE GÉNÉRALE DE 1, ASSOCIATION DE MOLECULES

Lorsque la combinaison ne présente aucune dissociation (cas limite
purement théorique), la grandeur A’ sera = 0, done C,—C,—C, =

——o. Il s'ensuit immédiatement que C,=—o, puisque C,
et C, auront des valeurs finies. Et u, — ©, + RT log e, sera par suite
également = — w, c, étant — 1 pour æ— 1}, done RT log c,— 0,

quand il n’y a point de dissociation.

Nous avons donc le résultat, d’ailleurs évident:

Quand le degré de dissociation de la combinaison est absolument
— 0, le potentiel moléculaire u, de cette combinaison sera — — ® .

C’est cette circonstance cardinale que M. Ruer n'a pas pris en
considération dans son Mémoire récent sur les combinaisons bi-
naires!), par quoi il a été séduit de représenter l’allure de la fonc-
tion Z dans sa figure sur le page 358 d’une manière tout-à-fait
erronée (voir notre figure 7). Il
en tire la conséquence tout-à-fait
absurde quil y aura toujours une
démixtion en deux phases de com-
position différente, représentées
par les points a et b!

S'il avait pris en considération

Fic. 7 (impossible). Fie. 8.

pour un seul moment le fait qu'une démixtion n’est pas possible
dans le cas de gaz et de mélanges liquides (ou solides) idéals,
M. Rurr aurait supprimé sa figure et sa conclusion déconcertante.

L’allure exacte est donné par les figures suivantes, combinées

1) Zeitschr. f. physik. Chem. 64, pag. 357—373.

SEMBTABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 303

en une seule figure résumante (Fig. 8), où j'ai représenté la courbe
Z— f(x) pour Ko (dissociation complète) et deux valeurs de
K intermédiaires (p. e. K=10 et K=1). La représentation dans
le cas K—0,1 a été resté inachevée, parce que la valeur de Z
pour «='/, est déjà par beaucoup inférieure à celle de A ou de
B, tandis que la courbe Z=f(x) dans le cas K=0 coincide avec
les axes verticales x — 0 et s—1, la valeur de Z étant = —«.

Comme on voit bien, il n’y a maintenant aucune nécessité
d'une démixtion quelconque.

Une telle démixtion peut se présenter, lorsque le mélange se

trouve dans l’état liquide ou solide, mais alors les grandeurs C,

Fic. 9. Fre. 10.

et C, renfermeront encore des termes avec ax? et « (1—x)?, où
æ représente une grandeur, dont la valeur est une mesure pour
l'influence mutuelle des deux composantes. Nous reviendrons bientôt
sur ce sujet important, nous contentant pour le moment de donner
dans les figg 9 et 10 les possibilités que nous discuterons ample-
ment dans les paragraphes suivants.

Ces deux possibilités — c-à-d qu'il se présente deux domaines
de démixtion distinctes a—c, et b—c,, ou bien un seul domaine
de démixtion a—b, — auront une condition de transition, que

nous déduirons théoriquement dans le $ 5.
On ne peut répéter trop souvent, qu’il n'est aucunement permis
d'attribuer aux grandeurs déterminantes d'une combinaison des valeurs,

304 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

qui sont indépendantes du degré de dissociation (donné par K) de
cette combinaison.

Car toutes ces grandeurs sont liées entre elles par des relations
diverses, et nous avons vu p.e tout-ä-l'heure, que si K aurait
la valeur-limite 0, e-à-d. qu'il n’y aurait aucune trace de disso-
ciation, la valeur de u, sera tout-à-fait déterminée par cette cir-
constance et sera — ©. Et également dans les cas intermédiaires
les valeurs de u, et de Z pour «='/, seront — en vertu de la
relation (3) — toujours entièrement déterminées par la valeur
de K, quand les valeurs de «, et «, sont données.

Avec les valeurs connues de u, et «,, a, et a,, b, et b, pour
les deux composantes on pourra donc construire la totalité de la
conduite des mélanges différents de ces composantes, depuis x — 0
jusqu'a x= 1,— lorsqu'on connait la valeur de la constante K de
la dissociation de la combinaison qui peut se former, et en outre
les valeurs de a, et b, de cette combinaison, où a et b sont les
grandeurs bienconnues de l'équation d'état.

Pour justifier maintenant quelques détails de l’allure des courbes
Z— f(x) pour des valeurs différentes de K (Fig. 8), nous déter-
minerons en premier lieu la valeur de Z pour x —!}, (le point C).

L’équation (la) donnera tout de suite:

re
Zz, = la (Ci + Oi) + Je RT log N D

ou bien d’après (30):
Zu =o (Cy + C3) + le RT log KT
D'ailleurs (3%) donnera pour #— t/,:

Cle

c.-à-d. avec y — Jo — 2:

y)? = Ky( — y),

12 Ü ; 1 RN nar A .
d’où l’on obtient 2? = zj’ Par conséquent:

4
a Ve — la V ai
di DU avc lu NT a la K+1

Pour =a on trouvera done:

SEMBLABLES, EL DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 305

y VK+i-vVK_ gen Le
1 en = K+1—v kK),
Ty wK+1+ı K

et l’expression pour Zi, deviendra:

Zij, = (0, +0,)+RTlog[i KV K+1—ı K)]... (4)

Puisque les équations (14) et (32) sont tout-ä-fait générales, la
relation (4) tiendra vrai quelque que soit l’état particulière du
mélange (gazeux, liquide ou solide) et quelque que soit l'influence
mutuelle des deux composantes, comprise dans les grandeurs C,,
C, et K.

Lorsque K=0 (aucune dissociation), on aura * K+1—W K=1,
done

Zy, = {2 (C, + C,) + RT log Ko. (K=0)... (42)

Et lorsque K = « (dissociation totale), on trouvera:

RI == 77 NEI
K+l—ı K= (boss = 1)= “Kx —
done BER.
ı Kı Kel N=!%,
et par suite:

Z,—=!1s(C, + C,) + RT log il. (Keo)... (4?)

Remarque. Quand il n’y a point d'influence mutuelle des deux
composantes, les valeurs de C, et C, seront indépendantes de z,
de sorte que ces valeurs seront les mêmes pour #—!} que pour
x — 0, resp. x— 1. Le point P dans la figure 8 donnera alors la
valeur de 1, (C, + C,) pour = '/., et la distance PC représentera
la valeur de Zi, — ‘lo (C, + C,), done de

kTlog[ı KV K+1—1/K)].

Cette valeur variera depuis — pour À —0 jusqu'à — AT log 2
pour, K— oo.

La valeur — RT log2 pour K=o n’est autre chose que l’abais-
sement de la valeur du potentiel total de quantités égales des
deux substances après la mixtion, en vertu du soidisant ,,paradoxe
de Gibbs”. Car avant le mélange on a Hs »(C, + C,). Et après le
mélange Z sera = 1/.(C, + C,) + ae lo + Yo RT log ' =
— Ia (C, + C,) + RT log 1. On n’aura dans ce cas que les seules
composantes, sans qu'aucune combinaison intervienne.

306 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

En second lieu nous voulons calculer la valeur générale de

Si

SL exprimée en C,, C,, K, x et y, pour déduire ensuite les
ieee VA ;

valeurs particulières de 3, pour GO Sith Dre

ce calcul nous supposerons K independant de x et y; en d’autres

termes, nous supposerons qu'il n’y aura pas d'influence mutuelle

des deux composantes. On aura alors, en différentiant (14) d’après x:

or (0, +0) — RT log oa + RT log ee =
û 1—a—y ù Ty
sn RT| (1—2) + log rn ge lag =)
ou bien
dy
a EY Fe IE
dy dy dy

ae | | RUE Ne ||
ay 1er te at -
| eh =) li

Pour l’expression entre [ ] on peut écrire:

les x 1—x a 1 dy
( 1—a—y je an u di = x

ou

(1— 2%) y a (1—a) (1—2y) dy

CC aa

Il faudra done déterminer la valeur de ae Or, la relation
(35), c.-à-d.

C2 u) ==),
ou bien

donnera tout de suite:

dyp de ols
AREA 1 —2y oes eg vel che lee (5)

SEMBLABLES, ET DE JA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 307
Nous aurons par conséquent pour l’expression entre [ ]:

(22) Pa a (1 —a) (1— 2)
(Cet Ne

c.-à-d., en remplaçant (1—#—y)(x«—y) par Ky (1 — y):

iS 2s 1 «(1 —x) 1 — 22)
Ki=y) ~ Kl Ky (1 — y)? ?

ou bien

her Ne x (1 — x)
K 1—y Kal y(1—7)
Mais cela sera — 0 en vertu de (3°), de sorte que nous pouvons

er dz
écrire pour —:

EC HO) RP ogg... (6)

Pour «=0(y=0) on aura done:
9
GE). —=(—C, + C,) + RT log (x—y)——,.. (6%)
c.-à-d. la courbe Z— f(x) touchera toujours l’axe x — 0 dans le
point À (fig. 8), et cela indépendant de la valeur de K.

De même cette courbe touchera l’axe x — 1 dans le point B,
car pour —=1 (y —0) on aura maintenant:

(5). =(— 0, + C,)— RT log (1 — x — y) — +0. 3 (6%)

9%
Pour «= '/, on aura Zr Jay — 1, done lo ie
= 2 c A ly ) gay I
et nous aurons simplement:
aS DER Oe sie ky eb sm . (6e)
ine

c.-à.-d.:
Pour x—!}; la tangente dans le point C sera toujours (Fig. 8)
parallèle à la droite AB, indépendant de la valeur de K.
Les relations (64) et (6°) tiendront vrai également chez les
ARCHIVES XI. 42

308 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

mélanges non-idéales. Car lorsque les deux composantes s’influen-

cent mutuellement, de sorte qu’il peut se présenter des domai-

nes de démixtion, l'expression (6) contiendra encore un terme
2 — 7%) 2

— ie ee an: Car urn (comp. (b) dans

la note sur la page 314), où «, et u, sont donnés par les expres-

sions (124) et (134) sur la page 313. Or, ce terme étant toujours fini,

Bis Ye
ai ae ip lan — — o, resp. + oo pour æ—0 et.

De même lorsque 4b (p. 313) n’est pas—0, de sorte que les
expressions (124) et 134) devraient être remplacées par (12) et (13).

Quant à la relation (6°), celle-ci contiendra en général encore
un terme avec «, puisque pour æ—!}, les termes avec « dans
(12) et (13) disparaîtront dans l'expression — u, + u, seulement
dans le cas que 4b—0 et b, —b,. La tangente dans le point
C ne sera donc pas exactement parallèle à la droite AB lorsque
a n'est pas — 0.

§ 2. L'expression générale pour la dissociation
de la combinaison.

Nous voulons déduire maintenant en premier lieu une expres-
sion plus précise pour la constante de dissociation A de la com-
binaison.

Lorsque nous avons en général 1 —«—v,y Gr. mol. de la com-
posante A, «—v,y Gr. mol. de la composante B, et y Gr. mol.
de la combinaison Ale By. ‚la relation (b) sur la page 236 deviendra:

af i inet eee

ay oe on, In, Wan,

de sorte que nous pourrons écrire, au lieu de l’équation

d.0/ 29 a
WC, + 7202 — C3) — E ee el? sa =| ats

lon, 23n, | on,

+ RT (v,logc, + v,log ce, — log c,)—=0,

l’équation

2.0 C°
(10 +720, 0) +5, + BT log 0, BE (a)

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 309

où

v a
+ —— pv.

Q/ = zn,.RT log on 5
1

Pour la grandeur a nous aurons:
a=(n, La, +m,ıa,+n,1a,)?,

si l’on admet les relations de BERTHELOT, c.-ä-d. da —1/4,@, ,
ds = 1 a,4,, Ag = 4,4.
On aura done:

a=[i—¢—»,y)va, + er, ya, +yVa,]?,
ou bien
a—[(1— x) a, + 2a, —y (vba, +,ba, —1/a;)]?.

Avec
‚ra, +v,l-a, —la,=—4a

cela devient par suite:
a= ((1—%) la, +2a, —y 4a)’.

En supposant maintenant /a—0, ce qui veut dire qu'il n’y
aura point de changement („contraction”) de l’attraction molé-
culaire lorsque la combinaison se dissocie, nous pourrons écrire
simplement:

Cie (LN BE Gia Phas ss aan (7)

indépendant de y.

La supposition 7a—0 est certainement fort plausible, car les
attractions mutuelles de p.e. 2 Gr. mol. de la premiére composante
et de 3 Gr. mol. de la seconde composante ne seront pas modifiées
quand les molécules de ces deux composantes ne sont plus isolées,
mais se trouvent réunies dans la combinaison A,B,.

De même nous obtiendrons pour la grandeur b—n,b, +n,b,+n,b;:

b—=(1=%)b; Herb, —y 46, nn. (8)
où
v,0,—v,0, —b,— Ab

ne sera pas en général — 0. On peut s'attendre toujours à quelque
changement (contraction) du volume moléculaire.

/

nde ee AE 0
Dans la différentiation

on peut done regarder a comme

constant par rapport a y, et nous aurons (comp. page 238):
42%

310 THÉORIE GÉNÉRALE DE I ASSOCIATION DE MOLECULES

6 sn, RT
TON Te — (7, Sr IRT log — 5 +0, + >—1)RT+ — nn Ab, . (b)
: db :
puisque sn, —1—(r,+r,—1l)y et Bij 4b, tandis que les
ù 5 Px
termes avec = disparaîtront. En remplaçant Zu par sa valeur
+ dlp
Ê os la relation (a) peut s’écrire maintenant:
Ci Co? RL
log 1 en = C,—v,C, + C:) pO I ea

— ART —(p + ah) 10 | RES

Avec
ei Caen Coste 0s = 5 77
RT + 0 log RT — 0 —
cela devient:
ne wo th,
=e aM... (9)
Cs (p + v2)

tout-à-fait analogue à l’&quation (5) sur la page 239.
Pour K’ nous trouverons, en remplaçant les grandeurs C, , C,
et C, par leurs valeurs (voir p. 239):

do

RE CR NN TR Te (10)

> Z(v,(s,),) +0 log R —0 |

fi é

Y= Rr rks) ; Yo = Z(r;(@1)0) ; 9= Er, =, trl
Les équations (7) et (8) combinées donnent finalement:

uch do ae
= TI a Aly + ae) A | Ki.) u
ESE

Pour l'état gazeux le second membre devient simplement

do
DD tem tl) a
eT!*"e Elp, la formule bienconnue de Gripes.
Pour l'état liquide et solide on aura dans le cas particulier que

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 311

4b=0 et a—=1 (la combinaison est AB, et la dissociation n’en-
gendre pas de changement de volume), en remplaçant v par b:

OS Ue a) a) ant gee LE Bu > rine
gld ai (Goe an

où K sera par suite encore une fonction de x par les grandeurs a et b.
Seulement dans le cas que les pressions critiques des composantes
ne diffèrent que très peu, on pourra regarder Ä comme indépen-
dant de x.

§ 3. Les domaines de démixtion, et les relations
pour la connodale et la spinodale.

Lorsque la phase homogène (liquide ou solide) se partage en
deux phases séparées, l'équation de la connodale T=f(x) du
domaine de démixtion (du pli sur la surface 7) peut être trouvée
des relations suivantes :

(ia = (io 5; Mall: Hr. (a)

où a et b désignent les deux phases différentes. En vertu des
relations

Gok, ea nee, 2h 0 2 (0)

c.-à-d. des relations pour la dissociation de la combinaison AB
(nous supposerons dans la suite », ==», — 1), nous aurons alors
également:
(#3)a = (#3)0 5

de sorte que les deux composantes et la combinaison se trouveront
toutes les trois en équilibre entre les deux phases.

Les relations (a) donneront x, et x, en fonction de T, les gran-
deurs y, et y, pouvant être éliminées au moyen des relations (0).

Il faudra done connaître les expressions exactes pour u, etu,.

Pour
2.0’

on,

uw, =C,— + RT log e,

on trouvera avec l’expression connue pour 2’ (comp. p. 238):
p

nil ob ded

v—b A
a UE v—b an, von,

zn,

#,=C,— [ RT log | +RTlog cı,

ot

312 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

C, =—k,T (log T—1) + fe,» —T(8,)]:

dv > A 2 = LA
Les termes avec = disparaîtront en vertu de l’équation d état.
1

0a

ob
Et commes— binen — 2 Gala), tonvaurars

on,

Y Al nt R DAG
CARTER lee en Er va, +RTloge,,
ou bien

2a
b

u‚=(0,+RT-RTlogRT)+RTlog 5 + Ge bak a, ) +RTloge,,

en remplaçant v par b, tandis que p est omis auprès de “[»:.
D'ailleurs nous aurons:

a 21 a La
pz bs EEn La, Ei (b, ra — 9210 Kan)
_ bhra(b,va—2bla,)ta,b a,
b, b? 1
OVA
iw b, b? b,

Or, on peut écrire d’apres (7) et (8):

b, ha—bva, = [(1—2)b, ha, + 2b, -a,] —[(1—2)b,a, +
+26, Va, —ydb.va,]
—=s(b, a, — D, Wa) +yAb.va,.

On trouvera done pour u,:

[eb ~a,—b, a, )+y4b.~a,]?

Y/ m a We f pu
DC +RTlog 5 TU a db, [d—2)b,+2b,—y 4b]? +R! loge, (12)
où Of = C, + RT— RT log RT — =

1

En supposant /b=0, et en nögligeant la faible variabilité de

RT log 43 avec x auprès de celle de + (donnée par le troi-

siéme terme du second membre de (12)), nous aurons donc appro-
ximativement:

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 313

lorsque C/C + RT log 5 et r= LS bi
1
Avec
(bia, —b, Wa)?
by
on trouvera par suite:
gue ax : lay
erh: Tr + AT log pag ee (124)

Le terme avec «x? possède donc la même forme que dans le
cas d’un mélange de deux composantes qui ne se combinent
pas. On comprendra que c’est seulement le cas, quand on peut
négliger la valeur de 4b.

Pour «, nous trouverons de même:

a (1—2)(b, a bra) + 1b.1/a, ]°
= C/+ RT log 73 ee b, gs, a TE Le

REC = . 5 (ES)
où Of = C, + RE — RT log RT— gE
2
Cela deviendra avec Jb=0:
een, a (1 — x)? 3 Les Ye
ee (1 +r) (1 + rz)? os 1—y’ en
lorsque C,’ = C + RT log 47; tandis que 1 + r= - .
1

Les relations 5 deviendront maintenant:
a

lt ee |
| (l+rz,)2 (+ Sn ul es ee =) + (14)
er a (le)? Ad | ("=")
RTi+r| (lar)? (lr)? = se 5 al

où la grandeur y sera donnée par 11%, c.-à-d. par

de ee

u |) TR
d’où résulte (comparer (3%) et (3°) ):
a (1 — x)

SR Er er me

Les équations (14) détermineront, en connexion avec (114), les
fonctions

314 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Ne ET) ; Gi = fr (T),

c-à-d. l'équation de la ,connodale”.
Mais puisque ces fonctions dernières ne pourront jamais s’écrire

dans une forme explicite, et parce qu’aussi l’expression pour 5

deviendrait fort compliquée, nous préférerons de déduire l’&qua-
tion de la ,spinodale”. Cette courbe dernière touchera la courbe
connodale dans les points æ —0 etr—=1(T=0) et dans le point
critique, et ne s’éloignera donc jamais beaucoup de la connodale.
L’allure et les transformations successives de la spinodale nous
fourniront done également une idée assez exacte de l'allure et
des transformations de la courbe connodale.
La spinodale est donnée par l'équation bienconnue

eZ
Se EU RE ee Oe PS Cl Cat Oe ete Cie (a)
Mais comme
VA dZ')
ET rar Tay (6)
on aura:
d?Z A dias
da? = — = Be ne Color ae Golo Go € (c)

oek Ca ee DREES kern
où les différentiations TE désignent des différentiations totales par

: rt à oir + eg Car seulement da
rapport à æ, savoir — Pon ar & ns ce cas on

1) En effet, nous aurons en général:

2Z OZ 9Z
zn dm + 3 Ons ns ml Ev Y) ur HE — ray) tg + Yu, =
—_1l— Du Tu . .. @
07 __dZ On, DIOR
nz on ae TE = (Teles OR oe Be (b)
= 0Z OZ
donc a 3 mld:

dZ_ 0% , dy _22
dae oa” onda 7 ox’

A
Mais puisque étant ay —0 en vertu de l’équi-

libre de dissociation, on aura aussi:

az lu az
Er ; mEt):

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 315

peut différentier (b) par rapport à x, puisque cette équation ne
tiendra vrai que dans le cas d'équilibre de dissociation. Et cet
équilibre passe seulement dans un nouvel état d'équilibre, lorsque
la grandeur y varie avec x.

Quand nous nous bornons dans la suite au cas dit symétrique,
c.-à-d. b, —=b,, de sorte que la grandeur r devient — 0, l’équation
(12°) devient simplement:

„= Che ‘+ ax? + RT log Zen.
Il s’ensuit:
die 1 ‚Uy 4 aay
tar Rt | —— Bee: aera + dz |
4 x dy
—2ax—RT er (1—2—y)(1—y) de

Mais nous avons d’apres (5):
Ay eae a= 2
dx K+11—2y’
de sorte que l’on obtient:

du, 2) RT p 1 1—2x I:
meee he 1— 1 —y a rent, 7)

d2
Cela donnera done pour veal

d?Z il du, Rn 1 1-22 x
de? «dx «x ee Le Kal 1-27 Tg 2-05)

Cette expression s’annulera quand

2a2(1— 2 —y)

in 1 1 1-22 x
PR = Sy 1—y
Mais en vertu de (3¢) on LES ARR)
peut remplacer 7 zi Pa ode

et nous obtiendrons:

2a 2 (1— 2 — 7) eee) a
y I= ~ A—a2)(A—2y)+y(1—2a) ”

1+ ——

1—a 1—2y

IL

done

RTS ee (Aa) (0 — 2 y); eS (16)

ARCHIVES XI. 43

316 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

l'équation cherchée de la spinodale dans le cas 4b —0 et b, =),.
Il ne sera pas difficile d'exprimer T tout-à-fait en x. Car il
s'ensuit de (3°):

\

de sorte que nous obtenons (A = 2):

ASE

T=ae(1—z2) a]
par suite, en posant æ (1 —x) =z:
T=az ieee _ Rd ee: (162)

- IT R Pata rel ie As
L’expression pour TE peut être déduite immédiatement de (164).

En effet, la relation
Az
f &? (: :

Ke
donne:
dT ( 1222 422 1a OET
5) nn BE PN en i :
N ea and
done
62
in Won Ss Oet
oe DRIN 9.3 log K
(RES)? nat
Mais
LRU
ALT RT
où Q représente la chaleur de dissociation de la combinaison; par
suite :
ben
dT Wiz Ae
de FRET: K Que
LES en
(RS 1)

=f:
done, en remplaçant d'après (167) T par (1— a :

SEMBLABLES, ET DK LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 317

62
ar ER (1 — 22) (me ae
dx 4z \ Yo Er Tha TA LAN ar RAR RQ > (
CA) eue “apy eel
= dr dr, dz dT fs
RA EE Fan 2e).

Les formules (16%) et (17) réunies déterminent entièrement
allure de la spinodale des domaines de démixtion.

$ 4 Discussion de Vallure de la spinodale.
Transformations successives des domaines de démixtion.')

Lorsque la constante de disso-
ciation K est relativement faible,
l’allure de la spinodale, c.-à-d du
domaine de démixtion, sera re-
présentée par la fig. 11. Il y aura
deux domaines séparées, l'un entre
la composante À et la combinaison
AB, l’autre entre B et AB. Les
points M, et M, sont les points
critiques de miscibilité; ils seront

donnés par = — 0, c'est-à-dire
d'apres (17) et (16%) par

2% (1 —%) =! (K+1) |
I GE NA 1, |

Lorsque K=0 [la combinaison ne se dissocie point du tout:
cas limite théorique quand dans (114) ce —01]. a. (1 — x.) sera — ‘5,
done rx —1, (+14 )—021,(et 0,79), T = "le 1}, —0,09%6,%.

ENE WE

On voit que 7, deviendra = 0 quand a —0, c.-ä-d. les domaines
de démixtion disparaitront en même temps avec l'influence mu-
tuelle des deux composantes. Dans la suite nous supposerons
toujours « > 0.

1) Le contenu de ce paragraphe a été exposé déjà par moi dans l’assemblée
de la section des sciences physiques et médicales de la Société Provinciale
d@ Utrecht, le 2 Juin 1908.

43%

318 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

Il ne faut pas s'étonner du fait que pour K=O x, n’est pas — !},,
c.-ä-d. que le point critique M, n’est pas situé au milieu de A et AB,
car en supposant le cas symétrique (r—=0, b, —b,) par rapport
aux composantes A et B, on n'aura pas de symétrie entre A et
AB, ou B et AB.

Quand la valeur de K devient plus grande, les points #7, et M,
s’approcheront de plus en plus de la droite AB, où x = '/., parce que
x. (1 — x.) s'accroît d’après (18) avec K. Quant à la valeur de 7,
celle-ci s'élèvera également (par z.) avec K.

Avec T—0 correspondront toujours les valeurs z — 0 et 1, et
zx —!} , quelque que soit la valeur de X. Car en vertu de (16+)
T deviendra = 0, quand z—0, donc x — 0 ou 1. Et comme pour
T—0 la valeur de X sera toujours — 0, la valeur z='/,, done

; : 4
z— 1}, satisfera également la relation (164), 1 — a étant alors=0.
den : :
Les valeurs de 5 dans les points A’ et B(T 0 2 Diet)

dx
resteront finies, la formule (17) donnant alors (2—0, X—0)

dT ;
dert Quant au point C(T=0, x—!'}), on y aura @—=!lı,

= dT : :
TU ae ae ‘la, done également fini. Car dans le dénomi-
nateur de (17) le facteur I — x “223 Q tendra à 1, puis-
8 ¢ CSN 2 ‚ P

ug
que K contient d’après (11%) un facteur exponentiel e FT, qui
s’approchera plus rapidement de 0 qu’une puissance quelconque

; 62 :
de T. D'ailleurs dans le numérateur de (17) 1 — ect deviendra
Rn) =
=1— */, = — 1/3 tandis que la valeur de ce = „= i=.
K+1
où y=r—!h,, sera — + 1 lorsque x s'approche à ‘ du côté de
&< 1], et =—1 quand x s'approche à '/, du côté de z > !/5,

la valeur de 1—2y étant toujours positive, puisque y est <1},
des deux côtés de x — !),.
dT \
Il va de soi que les valeurs calculées pour = dans les points
A’, B’ et C resteront les mêmes quelque que soit la valeur de c,
parce que dans ces points X est toujours — 0. Dans les figures

suivantes on aura done la même direction initiale des branches
différentes de la spinodale.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 319

Quand on fait subir par suite à la combinaison pure (= |: )
une élévation de température depuis T—0 jusqu'à T—o, cette
combinaison parcoura la droite AB sans se partager en deux phases
séparées — pourvu que les conditions de la fig. 11 soient remplies,
c.-à-d. que la valeur de K n’est pas trop grande. Cette combinaison
se dissociera dans la phase homogène (liquide ou bien solide) à
mesure que la température s'élève. À T— «, la combinaison sera
tout-à-fait dissociée.

Lorsqu'on opère de même avec une mélange de A et B, où
p.e. > 0<1},, on aura effectivement un mélange de A et AB,
qui se partagera immédiatement en deux phases de composition
différente (p.e A’ et C, a et c,, etc.). Dans ces deux phases dis-
tinctes la dissociation de la combinaison s’avancera de plus en
plus; à une température suffisamment élevée on aura atteint la
connodale du domaine de démixtion, où l’une des deux phases
disparaîtra tandis que l’autre subsistera ; et dès lors nous n’aurons
qu'une seule phase homogene, dans laquelle la combinaison se
dissociera davantage quand la température s'élève.

Nous avons suffisamment élucidé maintenant la Fig. 11, et nous
pouvons procéder plus loin.

Quand la dissociation de la
combinaison est plus prononcée
depuis les températures basses,
c-à-d. quand la valeur de la con-
stante c dans (114) est plus grande,
ou obtiendra, après avoir par-
couru des stades intermédiaires,
allure de la Fig. 12 avec deux
tangentes verticales en D, et Æ,
(resp. D,.et-E,).

Il va de soi que ces tangentes
verticales sont données par la
relation

mx 1 a ?

Les | AE -% Q

42 \h
qui rend = = oo d'après (17). Le facteur (1 Zei) sera

toujours positif, parce que z ne peut pas devenir >'/,, la valeur
maximale de %(1—x) étant —!/,, tandis que K + 1 sera >1.

320 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES

Lorsque la valeur de ¢ est encore plus élevée, on aura le cas de
transition, représenté par la Fig. 13.

Les points D, et D, se seront
B rencontrös sur l’axe AB en D), et
la spinodale (et également la con-
nodale) aura dans ce point un
„point double”, c.-à-d. les deux
branches de la spinodale s’y entre-
coupent, puisqu'il y aura en même
temps une tangente verticale, et
une tangente horizontale en vertu
du facteur 1 — 2x dans le numé-
rateur de (17).

Avec une valeur de ¢ un peu
plus grande, le cas de la Fig. 14
se présentera avec deux tangentes
horizontales en P et Q, au lieu
de deux tangentes verticales en
D, et D, ;il s’est formé dès main-
tenant une branche isolée de la

Fie. 13.

spinodale.

Le point P est un point fort
remarquable; il n’est autre chose
que le point de transition de la
combinaison AB. Car lorsqu’on
échauffe la combinaison pure,
celle-ci parcoura d’abord l'axe
CP sans se décomposer visiblement,
quoique se dissociant peu à peu

Res dans la phase homogène. Mais à

la température, qui correspond

avec le point P, la combinaison se décomposera tout-d-coup; e.-à-d.

elle se partagera en deux phases distinctes a et b, dont l’une consiste

principalement de la composante A avec un peu de la combi-

naison partiellement dissociée, tandis que l'autre consiste pour la

plus grande partie de la composante B, également avec une quantité
relativement faible de la combinaison partiellement dissociée.

Ce sera donc en apparence comme si la combinaison se soit
décomposée en ses composantes pures, ce qui serait en effet le cas
(pratiquement) quand A’a et B’b sont très peu éloignés des axes

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 921

AA’ et BB’. Mais la propre cause de cette décomposition subite
ne sera pas autre que celle-ci: qu’en vertu de la dissociation
relativement forte dans la phase homogène les deux composantes
ne peuvent plus longtemps rester ensemble dans la phase homogène,
puisque la quantité de ces composantes est devenu peu à peu si
appréciable, qu’une démixtion doit se présenter. *

Aussitôt que cette séparation des deux composantes a eu lieu, la
combinaison se dissociera de nouveau, pour rétablir l'équilibre
perturbé de la dissociation, et de nouveau les composantes formées
se sépareront; et ainsi de suite jusqu’à la disparition totale de la
combinaison comme telle.

Dès ce moment la combinaison (partiellement dissociée) existera
seulement dans les phases homogènes, représentées par a et par b,
mélangée avec l’une de ses composantes, À ou B.

Dans le point Q les deux phases séparées n'auront pas encore
la même composition en vertu de l'allure particulière de la spinodale
(et de la connodale correspondante) avec ses deux maxima en M,
et M, et son minimum en Q, mais ces phases se combineront
néanmoins dans le point Q en une seule phase homogene — la
combinaison pure déjà relativement fort dissociée, qui se disso-
ciera de plus en plus à mesure que la température s'élève.

Le point Q sera dès maintenant le point critique de miscibilité
proprement dite du domaine de démixtion élargi entre P et Q. “A
des températures supérieures à celle de P on n’aura done qu’un
seul domaine de démixtion, où la combinaison pure (partiellement
dissociée) ne peut pas exister; à des tempèratures inférieures à celle
de P nous aurons deux domaines
de démixtion distinctes, où la 4 AB B
combinaison pure partiellement Q
dissociée est réalisable sans qu’elle
se sépare en deux phases de diffé-
rente composition.

Quand la valeur de cest devenu
encore plus grande, les trois points
M,, M, et Q coincideront en
un seul point critique de démix-
tion @, dont la température tendra
à une valeur limite, lorsque c
tend 40, comme nous le verrons 4’ IB’
bientöt. Au contraire, le point P Fie. 15.

322 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

s'abaissera de plus en plus à mesure que la grandeur e prend
des valeurs plus élevées; ce qui veut dire que la température de
„transition’’ de la combinaison deviendra de plus en plus basse,
de sorte que la combinaison pure peut exister seulement, sans se
décomposer, à des températures relativement inférieures.

$ 5. Considérations analytiques sur le cas de transition
de la Fig. 13.

Le point double D dans le cas de transition (Fig. 13) est donné,
comme nous le savons, par les conditions analytiques
af of
quand f— 0 représente l'équation de la spinodale. On aura done
d’après (17), puisque en vertu des deux relations premières

ar prend la forme

dx Oi

he, a Gti

ER. Ne ee RES
EEE Ge meer
Il y aura alors une tangente horizontale et une tangente ver-
ticale, c.-à-d. un point double, où les deux branches de la spino-

dale d’intersectent.

L À 3 li
Nous nous souviendrons que le facteur € — Kyi) ne peut

jamais devenir — 0, tandis que 1 —-

62 0 7
Kaj ® se rapporte aux

points M, et M,.

Avec x—1};, 2—1/,, la seconde équation donne:

a (Æ+1) (1 a etat K*
Kx NME K (K +1)?

ou bien
Get) (19)
RR aS Beet RCE
L’&quation de la spinodale (16) deviendra avec z — 1}, :

PAL
a = raza! TER N IN

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 323
Ce sont les deux relations (19) et (20), combinées avec (114), savoir
Yo —1
r Y+1 - [4
re (e.) 1

qui détermineront entièrement le point D.
Il s'ensuit des équations (19) et (20):

HU nD
IK == ar he Ten TT Mi. res (21)
done
ee
a a? 2
ou bien
LER a 1 0

ae AO TE

On aura par conséquent:

Ainsi, avec des valeurs données de Q et «, les valeurs de T et
K dans le point D seront connues.

Quand nous supposons, pour simplifier, les facteurs T’*'! et
BB 1% Pp

N é Pr 3

(3) dans la formule pour K sensiblement indépendants de 7,

nous pouvons écrire, en identifiant q, avec Q(R— 2):

Cela donnera donc d’après (21):
of Kem Ket,
où K est déterminé par (22). La relation

sable ea | 207
alle 1 + ai

a?

1+V 144%

(24)

sera par suite la condition, qui devra étre rempli pour que le
cas de la Fig. 13 peuve se présenter

Lorsque ¢’>c,, on aura le cas des Figg. 14 ou 15, et quand
e’<c,, nous aurons le cas des Figg. 12 ou 11.

ARCHIVES XI. 44

324 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

«= 2000 (Gr. Kal); Q= 1600 (Gr. Kal.)!},

on trouvera:

K= 1 | zu.) DRE —= fo (— 1 + 1589) = 0,4434,

a? 2500
D = FO NG ay

tandis que €, deviendra:

x 0,4434 — 277°,

C= 0,4434 677 — 0,4434 x 17,94 — 7,96.

On peut se demander, s'il est possible que les points M, et M,
coincident en même temps sur l’axe AB que les points D, et D,

(voir Fig. 12). Or, cela impliquerait 1 — KT = 0, donc avec z —1},

TE.

En vertu de l’équation (22) pour K on aurait alors:

= — 3, par suite = — ee (25)

Q
Lorsque = 1, 1/3, comme dans notre exemple précédent, où

ur 6
= — 0,80, la valeur de Kp sera < 1}, done 1 — Ei négatif pour

di A at 2 ho il! 2
2—/,, c-a-d. a négatif quand «<'/., et nous aurons néces-

sairement un maximum M, à la gauche de D (Fig.13) et de
même un maximum M, à la droite de D.

at x 10 dT sn

Mais si au contraire = > {jh 1/3, la valeur de dz sera positif à

la gauche de D, c.-à-d. les maxima M, et M, auront déjà disparu
avant que le cas de transition se présente.

La valeur de K sera devenu alors déjà trop élevée pour qu’une

. . . OAD “
valeur de z<'/, puisse satisfaire la condition 1 re et
la spinodale présentera un point de rebroussement R, au lieu des

1) Q et @ doivent être exprimés en Gr. Kal., parce que nous avons exprimé
également R en Gr. Kal. (R = 2).

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 325

points M, et D, à tangente horizontale, resp. verticale, lorsque
la valeur de c’ aura atteinte une certaine valeur assez élevée.
La Fig. 16 indiquera maintenant l'allure de la spinodale dans

B’ gee ee
Fie. 16. Fre. 17. Fre. 18.

le cas de la Fig. 12, tandis que les Figg. 17 et 18 indiqueront
le cas de transition, correspondant avec la Fig. 13, et le cas que
la branche isolée CH,PH, s'est déjà formé (comp. Fig. 14). Dans
le cas de la Fig 17 les „pointes” en R, et R, commencent à
s’arrondir, puisque en vertu du facteur 1 — 2x dans l’expression

(17) pour = cette grandeur dernière deviendra — 0.

Nous pouvons démontrer facilement que les relations (22) et (24)
pour le cas de transition de la Fig. 13 ne subiront aucune modi-
fication, quant à la Fig. 17, bien que la rencontre des deux parties
du domaine de démixtion se fait maintenant d’une manière un
peu différente.

Car les points P et Q, où l’axe z—=!/, rencontre la spinodale,
seront donnés par l'équation (16%) de cette spinodale, combinée avec
æ— 1}, C-à-d. z=a2(1—-2)='/,, done par l'équation (20), savoir

K

nl =
TES Ket:
Quand les courbes OL, OL, et OL, (Fig. 19) représentent done

le second membre de cette équation en fonction de T pour trois
= @
valeurs différentes de & (K=c’e 2”), il sera évident que l’on
aura 0, 1 ou 2 valeurs de T qui satisferont l’&quation mentionnée
A4

326 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES

— c.-à-d. 0, 1 ou 2 points d’intersection de la droite C—AB avec
la spinodale (Figg. 16, 17 et 18; 12, 13 et 14) — à mesure que la
courbe OL aura 0, 1 ou 2 points en commun avec la droite OS,

Fra. 19.

la bisectrice de l’angle droit TOM. Car alors le second membre
sera — T. Or, comme la valeur de Ä est exponentiellement = 0
pour T=0, tandis qu’elle tendra à oo pour 7/’=o (en vertu du
facteur supprimé 7°*' dans la formule 114 pour X), la valeur de

Vins tendra pour T=0, resp. T = oo asymptotiquement

aux valeurs 0, resp. 1 (comp. fig. 19), ou bien !/

Ia | 24 a
resp. !/;@. C'est pourquoi il y aura foujours une valeur de cf,
pour laquelle la courbe OL touche (OL,) ou (OL,) intersecte
(deux fois) la bisectrice OS.

Et nous voyons tout de suite que la condition pour le point
R(D) sera:

K

op he Ei id

Car alors la direction de la courbe OL sera la même que celle
de la droite OL (tg p= 1). On trouve donc:
Ja a | d'A

VE Er
K+1
: à log K RS
ou bien avec = = + Q: '/, a? Kel (en vertu de (20)):
ı K Q

=

?

Be Remy eet RUE DE
par conséquent:

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 327

LV KD,
comme autrefois (comp. (19)).

Nous reconnaissons immédiatement de la Fig. 19, que les points
P et Q s’approcheront de plus en plus aux points O et N à
mesure que la valeur de c’ s'élève. Les valeurs limites pour c’ — oo

(K—o à toutes les températures) seront donc:
Tee de (Ga a ay oe oa (26)

Mais pour des valeurs de c’ relativement élevées la valeur de
T sera déjà très peu éloignée de !/, a.
Quant aux valeurs exactes de Tp et T,, on pourra les calculer de

AT K pa Lt
— = —— !: — PAU
a K+1 ’ K=ce y
donnant:
F Er 16 T?: a? si
de OT
ou bien avec =. — 0} EN:
a a
MSpace ©?
ce a AP 92 ñ

c.-à-d.
4
log {—62 Ar 6 = log GR

Avec p.e. a = 2000, Q — 1600 (voir p. 324), c’-=10 on trouvera
(€ > 7,96, la valeur de oe done deux points d’intersection P et Q),
puisque «= 1,6:

on oe

log eo: © = 2,30,

d’où résulte:
VAR Or —072,
donc
209) 8 lee

(point de transition) (point critique de miscibilité)
Car on aura avec ces valeurs de 9:
log 0,202 + 3,90 — 2,30 ; log 1,076 + 2,222 — 2,30,

ou bien
— 1,60 + 3,90 —2,30 ; 0,073 + 2,222 — 2,30.

328

THÉORIE GÉNÉRALE DE L ASSOCIATION DE MOLECULES

En résumant,nous aurons par suite [ comp. (24),(18),(22),(26) et(25)]:

PRE
de <c
en

'
re

deux domaines de démixtion distinctes, avec deux points
critiques M, et M,,0ü2.—=x. (1—x.) =!J (K+1),T,-=a2,1 !]5;
s’approchant à z — 1/6, T. = heal 3=V,1« lorsque K—0.
Cas de transition. Les deux domaines s’unissent en un
seul domaine de démixtion à une température

3 or ee
Tp = ae oe

a 8Q

.

Un seul domaine de d&mixtion, avec point critique Q, dont
la température s'approche depuis 7, à Tg —'/‚« lorsque
ce devient oo, et un point de transition de la combinaison,
dont la température 7» s’approche depuis Ty à 0 (c’= ©).

Dans le cas de transition les maxima en M, et M, ont déjà

disparu (Figg. 16—17), quand 5 = Eu:

La température critique s'élève done depuis 0,1 « (c/— 0) jusqu’à
la valeur T,(e— c;), donnée par (22), valeur qui dépendra du rap-

Q : à RUN: |
port ; et ensuite depuis cette valeur dernière jusqu'à '/, @ (c= ).

La valeur mentionnée de T, sera = !/, Q pour de petites valeurs

Q fi cu
de a , S'approchant done à 0, quand @ tend à 0; et elle sera = !/, «

Al

‘A
mi

pour de grandes valeurs de ¥.

Nous faisons remarquer encore que
dans beaucoup de cas le domaine ho-
mogène isolé entre Pet C (voir Fig. 15)
sera très étroit, de sorte que les con-
| tours PE,C et PE,C se confondront

avec l’axe C—AB. Notamment ce

sera le cas, quand la valeur de « est

très élevée, c.-à-d. quand les deux

composantes ne se mélangent point du

tout pratiquement. Les courbes A’Q
fe En et B’Q coïncideront alors également,
Fig. 20. quant à leur partie inférieure, avec
les axes A’A et B’B. (Fig. 20.)

AIB B

Cette allure des courbes CE, P et A’ Q ne se présente pas dans
notre exemple précédent, savoir « = 2000, @ = 1600, ce — 10.

SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 329

En effet, de la formule (164), c.-à-d.

il s'ensuit:
EN A AN 8

a2?
done approximativement, quand z est dans la voisinage de '/,:

ee ee à

HALS
Cela donnera avec K — 10e 27:

T= 650: 100: 150° 200. 2507 300 “360

—1 0,99 0,96 0,91 0,84 0,75 0,64 0,482
K+1=1 1 1,003 1,048 1,183 1,357 1,694 2,084

1,018 1,084 1,0045

On voit done que le point P (le point de transition de la com-
binaison) se présente à une température un peu au dessus de
900° (sur la p. 327 nous avons calculé 205°) Car à partir de
cette température 4z devient > 1, ce qui est impossible. Et à une
température dans le voisinage de 360° (le calcul sur p. 327 donna
aussi 560°), où 42 devient de nouveau <1, on aura le point ®.
Les valeurs de z, que l’on trouve pendant une courte intervalle
au dessus de 360°, correspondront aux points entre Q et 47;,
resp. M, (voir Fig. 14).

Le plus grand écart entre CP et CE, P se trouve à T= 150°
environ, où 42 = 0,954, done (1—-2x)? — 0,046, 1 —2x— 0,214,
2 = 0,39.

Seulement avec une valeur de « beaucoup plus élevée par
rapport à celle de @ le cas de la Fig. 20 pourrait être réalisé.

Comme nous avons remarqué déjà sur le page 315, nous nous
sommes bornés au cas dit symétrique, ce -à-d. le cas que les volumes
moléculaires b, et b, des deux composantes sont égaux. Le calcul
se simplifie alors considérablement; notamment l’équation de la
spinodale (16) ou (16a) devient très simple, et la discussion facile.
Les deux parties des figures diverses seront identiques, et les points
P et Q à tangente horizontale se trouvent sur l'axe C—AB.

330 THÉORIE GÉNÉRALE DE I ASSOCIATION DE MOLECULES

Mais lorsque b, u cette symötrie disparait, et la discussion

deviendra plus difficile. Mais du reste toutes les particularités des
domaines de démixtion que nous venons de déduire resteront
debout — du moins qualitativement. Nous nous abstiendrons
d'élaborer plus loin ce problème, puisque les considérations des
pages précédentes suffiront sans doute pour se former une idée
assez exacte de la déformation du domaine de démixtion, lorsqu'une
combinaison intervient, soit que cette combinaison posséde la
composition simple et symetrique AB, ou bien qu'elle aie une
composition différente.
Hilversum, 1902 et 1908

ERRATA ET APPENDICES.

Page 235, lire zn,.log sn, , au lieu de zn, log En,.

243, ligne 2. La valeur !/, doit être remplacée par la valeur
plus exacte 1: (voir p. 293), et la valeur — 0,47
(ligne 4) par — 0,144 (voir p. 287). Les valeurs, don-
nées sur la page 244, ligne 1, subiront une modification
correspondante.

248, ligne 4 et 10 d'en bas, lire n,, au lieu de »,.

250, ligne 6 d’en bas, lire Ces valeurs etc., au lieu de Cette
valeur etc.

„ 251, ligne 9 d’en bas, lire pas encore, au lieu de par encore.

Le calcul sur les pages 251—252 subira une modification
en vertu de la valeur corrigée de 4v (comp. p. 287
et 293).

„ 253, ligne 10 et 13. Quant aux valeurs 9 et 14, comp.
p- 273 et 293.

276, ligne 10, lire Avec q’, au lieu de A qe

» 277, ligne 9 d’en bas. Dans le calcul suivant la valeur 1,37

”

AD ae
pour y 2 est pas exact. Nous aurons plus exactement
(comparer (8) sur la p. 242):
— Ab 1 = ( ee
DEP Eas A So ee

done

SEMBLABLES ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 331
— dv ehe à =
DANSE SE D v — b
1 — 2 ——
v — b v

Or (comp. p. 293)
v 1 ah 27,46

rise ee
par suite
ey 1,604 1,604 __
u DT neo

puisque 1—2 = = 1 — 0,0878 — 0,912.

Nous faisons remarquer, qu’en général les valeurs
numériques de notre problème (c-à-d. de la première
partie de ce Mémoire, pp. 235—300) ne peuvent pas
encore être calculées avec l’exactitude désirée; il faudra
se contenter provisoirement avec des approximations
plus ou moins satisfaisantes.

Page 290, ligne 2 d'en bas, lire 9° — 9’, au lieu de #”’ — Ph.

ARCHIVES XI. 45

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