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Über die Bildung des Formens^tems
der ternären biquadratischen Form. 2 7 ^
Iiiaugural - Dissertation
zur
Erlangung der Doktorwürde
der
hohen philosophischen Fakultät
der
Friedrich -Alexanders -Universität Erlangen
vorgelegt
von
Emmy Noether
aus Erlangen.
Tag der mündlichen Prüfung: 13. Dezember 1907.
Berlin
Druck von Georg Reimer
1908.
Lebenslauf.
Ich, Amalie Emmy Noether, bayerischer Staatsangehörigkeit und
israelitischer Eonfession, bin am 23. März 1882 zu Erlangen geboren, als
Tochter des Kgl. Universitätsprofessors Dr. Max Noether und seiner Ehefrau
Ida, geb. Kaufmann. Nach Ablegung der bajo*. Prüfungen für Lehrerinnen
der französischen und der englischen Spi'ache studierte ich von 1900 bis
1902 als Hörerin an der UniversitÄt Erlangen, erwarb 1903 das Absolutorium
des Kgl. Realgymnasiums Nürnberg, verbrachte das Wintersemester 1903/04
in Göttingen und war seit Herbst 1904 in Erlangen immatrikuliert.
Meine Lehrer waren in Erlangen die Herren Professoren: Gordan,
Noether, Wiedemann, Wehnelt, Reiger, Pirson, Fester, Fischer; in Göttingen:
Hilbert, Klein, Minkowski, Blumenthal, Schwarzschild. Ihnen allen bin ich
fflr wissenschaftliche Förderung zu Dank verpflichtet; meinen besonderen
Dank spreche ich Herrn Geh. Hofrat Gordan aus för die Anregimg zu vor-
liegender Arbeit und für sein Interesse während ihrer Durchftihrung.
285639
über die Bildung des Formensystems der ternären
biquadratischen Form*).
Einleitung.
Mit dem Formen&ydteBi der ternftren biqaadratkohen Form be-
Bchäftigen »ich Arbeiten von Gordan, Maisano und Pascal**). Herr Oordan
stellt das volktftndige, ans &4 Bildungen bestehende, Formensystem der
speziellen automorphen Form: f^xlx2 + (vlx3'\-x]a:^ unter Zugrundelegung
ähnlicher Prinzipien auf, wie er sie für die Formensysteme im binären Gebiet
gegeben hat.
Bei Herrn Maisano sind für die allgemeine biquadratische Form
die Formen bis zur 5. Ordnung***) einschließlich aufgestellt, sowie einige
Invarianten, Kovarianten und Kontravarianten höherer Ordnung, nach der
von Herrn Oordan in Band I der Math. Annalen für die ternäre kubische
Form angewandten Methode. Herr Pinr^ca/ beschäftigt sich, unter Benutzung
*) Ein kurzer Auszug aus Einleitung und Kapitel I ist in den ^Sitzungßber. der
phys.-med. Sozietät Erlangen 1907", S. 176 bis 179, erachienen.
**) P. Gordan^ über das volle Formen^stem der ternären biqnadratischen Form
f=xlx^+xlx^+xlx^. (Math. Annalen, Bd. XVII (1880), S. 217—233.)
O, Maüano, i) Sii$temi completi dei primi cinque gr^di della fofma ternaria
biquadratica e degP Invariantj, coyavianti o contravarianti di sesto grado. (Gioro. di
Battaglini XIX.)
2) Sui «ovarianti iadipendenti di 6^ grado nei coefQoieati d^la. forma biquadratica
ternaria« (Rend. Cire» Mat. di Palermo I, 1887»)
E. Pascal, Contributo alla teoria della fornoa ternaria biquadratioa a dell« aoe
varie decomposizioai in fattori. (Memoria premiata dalla R. Accadexnia delle scienze
fisiolie e mateinatiche di NapolL 1905.)
*♦*) Unter „Ordnung" soll die Diro^ngion in den Koeffirienten, untef »Grad** die
in den Variablen verstanden werden.
— 6 —
der Maisanoücheii Resultate, hauptsächlich mit der Frage nach dem Zer-
fallen der biqaadratischen Form in Faktoren*).
Das Ziel der folgenden Untersuchungen ist die Aufstellung des Formen-
systems für die allgemeine ierncire biquadr atisehe Form] und zwar werden in
diesei' Arbeit nur die Hauptgrundlagen gegeben, ein sogenanntes ,;i'elativ voll-
ständiges System^'**) aufgestellt.
Die Arbeit schlieft sich eng an die (jortfarzsche Arbeit an; doch
waren die dort nnr ganz im allgemeinen gegebenen Prinzipien erst im ein-
zelnen auszuarbeiten. Mit Hilfe eines Satzes Über den Zusammenhang der
Faltungen und durch Einführung der ^^Formenreihe^ (§ 1) werden die
Reduktionssätze scharf formuliert und vervollständigt (§ 3), während die
rekurrierende Aufstellung spezieller Reihenentwicklungen (§ 2) das rechne-
rische Mittel zur wirklichen Durchflihrung der Reduktionen gibt.
Der Grundgedanke der Systembildung ternärer Formen ist derselbe
wie im binären Gebiet. Ausgehend von einem ersten relativ vollständigen
System — dem System der aus dem Binären übernommenen Formen — ,
gelangt man nach bestimmter GesetzmäBigkeit zu Systemen mit immer
höherem Modul, solange bis das System eines Moduls — der Modul als
Grundform genommen — endlich und bekannt wird, oder auch bis ein
Modul sich reduzieren läßt auf Formen, die Invarianten zum Faktor haben.
.*
Durch Überschiebung des relativ vollständigen Systems über das System des
Moduls entsteht im ersten Fall das absolut vollständige System, während im
zweiten Fall relativ vollständiges und absolut vollständiges System identisch
werden* Infolge der durch Herrn Hubert allgemein bewiesenen Endlichkeit
der Formensysteme muß dies Verfahren notwendig zu einem Abschluß führen.
In unserm Fall wird der Modul (abc) des ersten relativ vollständigen
Systems (§ 4) zurückgeführt auf die Moduln J=(abcyalblcl und v^^abuj
*) Id der zweiten kurzen Note versacht Herr Maisano eine lineare Abhängigkeit
der drei'Kovarianteo 6. Ordnung und 6. Grades nachzuweisen. Im Gegensatz zu diesem
nicht ganz vollständigen Beweis glaubt Herr Pascal die lineare Unabhängigkeit der drei
Kovarianten 6. Ordnung, ebenso wie diejenige der drei Invarianten 9. Ordnung bewiesen
zu haben. Daß aber in der Tat eine lineare Relation zwischen den drei Kovarianten
einerseits, den drei Invarianten andererseits existiert, zeigen die Formeln (13), § II und
(22), § 17 Anmerkung, der vorliegenden Arbeit, wo diese Relationen explizit gegeben sind.
Nach einer Mitteilung des Herrn Pascal erklärt sich der Widerspruch durch einen numerischen
Fehler im Ausdruck seiner Kontravariante p (hier g genannt) S. 46 seiner Abhandlung.
**) Für die Bezeichnung vgl. § 3a.
(§ 5), und sodann das relativ vollständige System mod v gefunden (§ 6). Diese
Resultate sind schon in der G^or^a/ischen Arbeit für die allgemeine biqua-
dratische Form gegeben; unsere Art der Ableitung läßt sich jedoch leichter
auf Formen höheren Grades übertragen.
Als Reihe der Moduln wählen wir nun die Formen (§ 7):
Bei der Bildung des relativ vollständigen Systems mod s werden
zwei im System auftretende quadratische Formen, u^ und 4? äIs Moduln
adjungiert (§ 9 und 10) und demzufolge das relativ vollständige System
moA (s^Qjt) gebildet; es wird sodann gezeigt (§ 17), daß der Modul (ss'u)*
reduzibel ist auf die Moduln (f und t. Dadurch geht das nächsthöhere
System über in ein relativ vollständiges System mod (p, 0- ^^ ^ber das
simultane System zweier quadratischen Formen endlich und bekannt ist, im
allgemeinen Fall aus 20 Bildungen besteht*), ist mit der Aufstellung des re-
lativ vollständigen Systems mod (p, () der oben gekennzeichnete Abschluß
erreicht. Die Überschiebung dieses Systems über das System von (p, t) zur
Bildung des absolut vollständigen Systems bleibt vorbehalten.
Als relativ vollständiges System mod (p,^) werden 331 Bildungen
gefunden, die in der beigefügten Tabelle nach ihrem Grad in den Variablen
*r und u geordnet sind.
Zum Schlufi geben wir noch eine Ubersichtüber die eingeführten Symbole:
^=u\ = {abu)\ II=Hlu\^{vv,xyii\u\, L = Llu^ = {vrjx)Hlulul,
s = sl = (yv,x)\ Z=ZUi\ = (ss'nysls"^,
*) Vgl. Clebsch'Lindemannj Vorlesungen über Geometrie. (Bd. I, S. 288 ff.).
System zweier' kogredienter Formen.
Gordan^ Über Büschel von Kegelschnitten. (Math. Ann. Bd. XIX. S. 530).
System zweier kontragredienter Formen.
2
— 8 —
Kapitel I. Allgemeine Sätze über ternäre Formen.
§ 1. Faliungsprozeß. Formenreihen.
Der Grundprozeß zur Erzeugung von Formen ist der Faltangspi^ozeß^
der sich im ternären Gebiet folgendermaßen definieren läßt. Gegeben sei
ein symbolisches Produkt:
sZtl^t'iu\.
Ersetzt man die Faktorenpaare
X '•^a
sj^ ti^ti, s^u,, oder s^ii^ t^ii^ oder t^ii
bzw. durch
(stu) (prx) s^ oder s^ t^ oder t^
Faltung I II III IV,
so sind die entstehenden Formen durch Faltung aus der ursprünglichen
hervorgegangen*).
Dabei läßt sich der Ausdruck 5^C?^^< entweder als wirkliches
Produkt zweier Formen ST auffassen, oder auch als einzige Form mit
mehreren Reihen von Symbolen: 5^*C?^?<=^^*"^"nJ' + \ Im ersten Fall
sprechen wir von der Faltung der Form S mit 7", im zweiten Fall von
der „Faltung der Form A in sich". Der Kürze halber nehmen wir im
folgenden immer an (was in der Tat bei allen später zu betrachtenden
Formen der B^all ist)
^^ = 0,
(a)
für beliebiges von verschiedenes l und x und vereinigt mit beliebigen
anderen Faltungen. Es sagt dies aus, daß die Form 5i*^?<vJ eine soge-
nannte „Normalform" ist, d. h. bei Anwendung des i2- Prozesses, sowohl
nach den Variablen x und ?/, wie nach den Variablen y und v^ verschwindet.
*) Gordan, Math. Annalen Bd. XVII S. 219.
- 9 -
Die Bedingung (a) stellt also keine Einschränkung dar, sondern \&ßi sich
stets erreichen*).
Für den Zusaiinmenhang der einzelnen Faltungen gilt nun folgen-
der Satz:
Satz I. Die Faltungen I und II sind Grundfalhmgen, aus denen sich,
unabhängig von der Reihenfolge der Zusammensetzung j die Faltungen III
und IV zusammensetzen lassen. In anderen Worten: Um alle aus einem
gegebenen Ausdruck durch Faltung entstehenden Formen zu bilden, hat man
nur die Faltung I und II anzuwenden.
Beweis: Nach dem Identitätssatz, bzw. Produktsatz für Matrizen, folgt
unter Berücksichtigung von (a):
(st ai^^ — t^^ (aTSu^ = — s^ ,
istrx) =5,, {artii) = t^^
(stu)(aTx)==s^ + t^'-u^'Sj^.
Durch Zusammensetzung von Faltung I und II entstehen also Fal-
tung III und IV, und zwar ebenso bei Anwendung von Faltung II auf
Faltung I, d.h. auf die Faktoren (stu)u^u^^ wie bei Anwendung von
Faltung I auf Faltung II, auf die Faktoren (orx) s^t^.
Als Formenreihe**) definieren wir eine Anfangsform mit allen durch
Faltung in sich aus dieser hervorgegangenen Formen und bezeichnen die
Formenreihe durch die Anfangsform. Als „höhere Form" soll hierbei jede
Form mit mehr Faltung in sich gelten, während unter den gleichberechtigten
Faltungen s^ und t„ eine als höher normiert werden muß. Nach dem Bil-
dungsgesetz der Formenreihe folgt:
1) Jede Form der Formenreihe ist linear in den Symbolen der
Anfangsform.
*) Vgl. Gordan, Math. Annalen Bd. V S. 104.
**) Vgl. Clebsch, Über eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie (Abb. der
Gott. Ges. d. \Viss. Bd. XVII): § 17 und § 18 Schluß. Die „Formenreihe" unterscheidet
sich von dem dort eingeführten „eigentlich reduzierten äquivalenten System" durch das
Prinzip der Anordnung nach höheren Formen.
•>*
^ 10
2) Die Formenreihe ist bei Anfangsformen mit je zwei Reihen konfra-
gredienter Symbole eindeutig bestimmt; bei Anfangsformen mit mehr Symbol-
reihen ist sie eindeutig zu normieren durch Auszeichnung spezieller unter
den durch den Identitätssatz verbundenen Faltungen.
Nach Satz L läßt sich eine Formenreihe 5;^*^ <<(!??>?*; ^>r) nach
folgendem rechteckigen Schema anordnen:
{arx)
(ojxy
(stii)
toipjx), 6\{aTX)
ta(OTXy^\ S,(0TX)
toiprxy
V —
r — i
\V — \
#•) (stu)'
— 7
. s^(st2ty
toS^(stify-\ s'.^stny"'
sl(siuy
Man erhält hier, wenn man
1) um eine Kolonne nach rechts fortschreitet, alle durch Faltung I
aus den nebenstehenden Formen entstehenden Formen,
2) um eine Zeile nach unten fortschreitet, alle durch Faltung II aus
den obenstehenden Formen entstehenden Formen,
und somit alle durch Faltung entstehenden Formen.
p]ine beliebige Form der Gesamtformenreihe: ^ s\ (stuy oder t^s^ (or,xy
bildet den Anfang einer neuen Formenreihe, die aus all denjenigen Formen
des rechteckigen Schemas mit der Form t*„s\{stuy oder t'^s\{pTxy als
linkem oberem Eckpunkt besteht, die den Faktor f^s\ haben.
Nachbemerkung. Eine Ausnahme erleidet Satz I in dem Fall, wo
die Zahlen // und // (bzw. /// und v) gleich Null werden, Faltung I, II und IV
also nicht mehr existieren, wohl aber Faltung III (bzw. IV). Als Formen-
reihe bezeichnen wir in diesem Fall das Diagonalglied des Schemas:
*) Hier, und ähnlich im folgenden, ist der mit :^ bezeichnete unten stehende
Teil an die ebenso bezeichnete rechts oben befindliche Stelle des Scheraas anzusetzen.
11
in V ^ f*
t
a
«^ bzw. /^
r
.s-,.
^
In Übereinstimmung mit dem Fehlen von Faltung I und II reduziert
sich in diesem Fall die Reihenentwicklung nach Polaren der Formenreihe
stets auf das Anfangsglied; es gelten aber die Sätze über Reduzenten.
§ 2. Reihenentwicklungen nach Polaren der Formenreihe*).
Für Formen mit n Variablen sind zwei Arten von Reihenentwick-
lungen explizit aufgestellt**):
1) für Formen mit je einer Reihe kontragredienter Variablen:
<?^J eine nach Potenzen von n^ fortschreitende Reihe, deren Koeffizienten
^ Normalformen" sind;
.2) für Formen mit zwei Reihen kogredienter Variablen CC"**^J
eine Entwicklung nach Polaren der Elementarkovarianten (Polaren der
Formenreihe ^^'^), die ternär folgendermaßen lautet:
, . C)C)
Wir kombinieren beide Entwicklungen, indem wir für Formen mit je zwei
Reihen kontragredienter Variablen:
,1» *n— l fl «.,ti ^.y —X „x
*) ^ gl- Study ^ Methoden zur Theorie der ternären Formen (Teubner 1889) IL § 7.
Unsere Ableitung gibt im Unterschied von der dortigen die ilethode zur raschen rech-
nerischen Bestimmung der numerischen Koeffizienten ('pr^. Die Cleb8rh'Stu(fi/sche Ent-
wicklung würde bei Spezialisierung a), a') lauten:
C^tuyu^^-''r-^slHl-^(tuvy = 2:C^r,['i('^^y^''^^ v^P,(n^ = .Tuv\
prff ■ - UV
läßt also nicht die Vereinfachung zu, die bei . unserer Entwicklung schon im Laufe der
Rechnung eintritt, wenn man weiß, daß alle Glieder mit dem Faktor u^ auszulassen sind.
*) Gordan, Über Kombinanten. § 2 und 5 (Math. Ann. Bd. V).
«*'
— 12 —
Entwicklungen nach Potenzen von u^ aufstellen, deren Koeffizienten zu-
sammengesetzte Polaren der Formenreihe s'^tlu^u^ sind, genommen nach
den Variablen x und u.
Es genügt, die Keihe für je zwei kohtragrediente Symbol- (bzw.
Variablen-) reihen aufzustellen, da sich durch Zusammenfassen von je zwei
Symbol- (Variablen-) reihen zu einer einzigen neuen Reihe Formen mit mehr
Symbol- (Variablen-) reihen auf diesen Fall zurückführen lassen.
Um zu erreichen, daß alle Formen der Formenreihe nur je zwei
Symbol- bzw. Variablenreihen enthalten, spezialisieren wir:
a) o = st^ a) y = m^i
b) 5 = 07, h) v=xy
und führen die Entwicklung für die Spezialisierung a), a') durch.
Durch direkte Übertragung der Entwicklung I erhält man zu-
sammengesetzte Polaren für Formen C'?^?0'''C^""^^/» während für Formen
(stuy u\~''v\s'^tl'~^tl anstatt zusammengesetzter Polaren Glieder solcher ent-
stehen, deren Auswertung die Einführung immer neuer, erst am Schlüsse
gleichzusetzender Hilfsvariablen nötig macht, wodurch die Rechnung un-
nötig kompliziert wird.
Wir schlagen deshalb einen indirekten Weg ein, indem wir die zu-
sammengesetzten Polaren aller Formen der Formenreihe, also Ausdrücke
p?(.9^/.)^-?+n V
darstellen durch die Anfangsglieder dieser Polaren und durch Umkehrung
des entstehenden rekurrierenden Gleichungssystems die gewünschte Ent-
wicklung nach Polaren erhalten.
Nach dem Übertragungsprinzip gilt für die i-te Polare einer Forai
5i*C:[^^*C]^A (^<^0 folgende Entwicklung*) (der Fall X>n führt durch
*/
die Entwicklung von [5"^]^«+«-/. auf den ersten zurück):
*) Gordan^ Die Resultante binärer Formen (Kap. I, § 5). Rend. Circ. Mat. di
Palermo XXII. 1906.
13
'm\/ X
und entsprechend für die x-te Polare von m^?<;:: [//^?<:j]r''
Darch Multiplikation folgt, unter Einführung von Spezialisierung a) und a')
\s'"^f^(stny u^ ^ r'==:Sc,^'(stxuvy(ßruvysl'-'^tl^^ (Jtuvy-'' (stuY"^ ^t^-'v^-fi
und daraus, durch Entwicklung nach Potenzen von ti^ unter Auszeichnung
des ersten Gliedes (-2" bedeutet, daß das Glied r = 0, p = auszulassen ist)
und Berücksichtigung von (ä) S. 26
(II.) ^'^
(./-)(;•) ((>)(^) für A<?/
und entsprechend für die übrigen Zusammenstellungen der Zahlen A, a\ x^ v.
Der Ausdruck s'^J^^"^ (Jiniif (stifyu!^'"'Vj ist also zurückgeführt auf eine zu-
sammengesetzte Polare, und, unter Anwendung der Identität
auf eine Summe von analog gebildeten Ausdrücken, die höheren Formen
der Formenreihe entsprechen.
— 14: —
Durch Iteration gelangt man zu der Entwicklung:
X
Die numerischen Koeffizienten C^^^ berechnen sich eindeutig und rekurrierend
aus den Koeffizienten cv^, c^^ des durch Iteration von (II.) entstehenden Glei-
chungssystems (vgl. das Beispiel S. 42). Analoge Entwicklungen ergeben
sich bei den übrigen Spezialisierungen.
§ 3. Reduktio)iss(7tze.
Die bekannten Sätze über die Reduktion von Formen und Formen-
systemen sollen nun mit den Paragraphen 1 und 2 in Zusammenhang ge-
bracht werden, wozu einige aus der Theorie der binären Formen über-
nommene Definitionen nötig sind.
a) Wir bezeichnen als relativ volhtändiges System modulo einer vor-
gegebenen Reihe von Formen, ein System von Formen von der Eigenschaft,
daß alle durch Faltung eines beliebigen Produktes dieser Formen ent-
stehenden Bildungen sich ausdrücken lassen als ganze rationale Funktionen
der Formen des Systems, bis auf ein additives Glied von Ausdrücken, die
durch Faltung der Systemformen mit dem System des Moduls entstanden sind*).
b) Wir nennen eine Form dann reduzibel^ wenn sie sich ausdrücken
läUt durch Formen, die Invarianten zum Faktor haben oder durch ^höhere
Formen"; d. h. durch höhere Formen der Gesamtformenreihe, der die Form
angehört, oder durch Formen, die die Symbole des Moduls in höherer
Ordnung enthalten.
Die Sätze über Reduzenten**) lassen sich nun in ihrer allgemeinsten
Form in folgender Weise aussprechen:
Definition: Ein Reduzent ut eine reduzible Formenreihe.
Satz IL Ist die Anfangsform einer Formenreihe reduzibel dadurch^
daß eines ihrer Glieder durch Faltung mit einem Reduzenten hervorgegangen
ist (einen Reduzenten zum Faktor hat), und ist die Schlußform der Fo7*men-
*) Gordan-Kerschensteiner y Vorlesungen über Invariantentheorie. Bd. II. S. 227.
*♦) Gordan^ .^lath. Annalea Bd. XVII. S. 222.
— 15 —
reihe aus eben diesem Glied durch Faltung entstanden^ so ist die Gesamt-
fomnenreihe reduzibel*).
Beweis: Die Formenreihe entsteht aus dem Anfangs^lied durch
Faltung iiv sich, also durch höhere Faltung mit dem Reduzenten einerseits,
durch Faltung des Reduzenten in sich andererseits. In beiden Fällen lassen
sich, nach § 2, alle Formen der Formenreihe darstellen als Polaren (Über-
schiebungen) über die Formenreihe des Reduzenten.
Der Schluß von der Anfangsform auf die Gesamtformenreihe hat
nicht mehr statt bei den übrigen Reduktionsmethoden. Es sind dies
1) die sogenannte „doppelte Reduktion^.
Wir verstehen darrfhter die Reduktion eines Ausdrucks, der zwei
voneinander unabhängige Reduzenten zum Faktor hat, auf doppelte Art,
wodurch Relationen zwischen den höheren Formen entstehen, auf die redu-
ziert wurde.
Durch systematische Anwendung der „doppelten Reduktion^ muß
man einerseits alle Relationen erhalten**), andrerseits hat man, wenn die
„doppelte Reduktion", auf verschiedene Ausdrucke angewandt, keine neuen
Relationen liefert, sowohl ein Kriterium fOr die Unabhängigkeit der höheren
Formen wie eine Kontrolle der Rechnung.
2) Faltung mit zei'fallenden Formen.
Unter „zerfallenden Formen" sollen — mit geringer Verallgemei-
nerung des gebräuchlichen Begriffs — Formen verstanden werden, die sich
ausdrücken lassen durch Produkte von Formen niedrigeren Grades und durch
„höhere" Formen. Produkte von Formen gehen bei einmaliger Faltung
*) Die VereinfachuDg, die durch Satz II eintritt, läßt sich ao folgendem Beispiel
zeigen: Für die spezielle Form f=x\x2'\-x\x^-\'xlx^ ist ala%ul Reduzent. Daraus
folgt nach Satz II die Reduktion der Formenreihe 0y(&Px)O^u^ui = al(abu) — äyby(abu)^
da 0i^=aybl(abuy aus dem Glied al(jabu) durch Faltung entstanden. Bei Gordmi^ a. a. 0.
S. 231, wird hingegen die Reduktion der Formen
dy(9vx), dy(J>vx)\ Ol, OKß'vx), Ol(J>vxy
einzeln durchgeführt.
**) So wurden beispielsweise durch ^doppelte Reduktion" gefunden: die Reduktion
der Form al (§ 10), der einzigen bei Mai^ano überflüssig ins System aufgenommenen
Form; sodann die in der Anmerkung zur Einleitung erwähnten Relationen zwischen den
3 Kovarianten und den 3 Invarianten.
3
— le-
in Produkte über; ebenso Produkte von nichtUnearen Formen bei zwei-
maliger Faltung bei den Spezialisierungen a') und b') (§ 2) nach dem
Produktsatz :
1 1 1 -^ o *
Erste Polaren (Überschiebungen) und gewisse zweite Polaren zerfallender
Formen sind also wieder zerfallende Formen. Es folgt:
Ein durch einmalige (bzw. zweimalige) Faltung mit einer zerfallenden
Form entstandenes Glied einer einmaligen (zweimaligen) Oberschiebung
über eine zerfallende Form wird selbst eine zerfallende Form:
a) wenn die nächsthöheren Formen in der Formenreihe der zer-
fallenden Form zerfallen oder reduzibel werden, oder auch wenn bei ein-
maliger Faltung die Spezialisierungen y^uv oder v=^xy eintreten;
b) wenn die übrigen einmaligen Faltungen auf höhere Formen fuhren
(vgl. § 12, Ä //, und Hlkrix)).
Ein solches Glied einer Überschiebung kann auch zerfallen:
c) wenn die Übrigen einmaligen Faltungen auf niedrigere Formen
führen, die unabhängig von der Faltung mit der zerfallenden Form zer-
fallen, d. h. sich ausdrücken lassen durch Produkte und durch die zu
reduzierende Form, wobei man sich aber jeweils erst durch Rechnung über-
zeugen muß, daß der numerische Koeffizient des betreffenden Gliedes nicht
identisch verschwindet. Es ist dies nichts weiter als ^doppelte Reduktion^
der niederen Form (vgl. § 23, C. H^^OHu) (Osii)).
Zerfallende Formen entstehen durch alle einmaligen Faltungen mit
Funktionalindetermanten*), außerdem durch gewisse höhere Faltungen. Es wird
Analoge Formeln gelten für die dualistischen Formen
(ai im) r^ und (a t ini) r^ .
*) vgl. Gordan^ a. a. 0. § 3.
— 17 —
Nach den Sätzen dieses Paragraphen ergibt sich für die Aufstellung aller
irreduziblen Formen, die aus der Faltung von S mit T entstehen, folgende
Kegel :
Man gehe, bei den niedrigsten Faltungen beginnend, auf beliebigem,
vorher festgelegtem Wege (z. B. zeilenweise oder symmetrisch zum Diagonal-
glied) so weit in der Bildung der Formenreihe ST voran, bis man an eine
Form gelangt, die einen Keduzenten zum Faktor hat Die durch diese
Form definierte Formenreihe ist auszulassen, sobald die Schlußform die in
Satz II aufgestellte Bedingung erfüllt. Nach Ausscheidung aller reduziblen
Formenreihen sind durch Anwendung der doppelten Reduktion alle übrigen
reduziblen, ebenso alle zerfallenden Formen zu entfernen. Stellen der Ge-
samtformenreihe, die durch unabhängig voneinander reduzible Formenreihen
doppelt Überdeckt sind, geben Anlaß zur Reduktion von höheren Formen
(vgl. § 11, D).
Kapitel II. Relativ vollständige Griiudsynteiiie.
§ 4. Erstes relativ vollständiges System.
Wir beschränken uns im folgenden auf die biquadratische Form, mit
Ausnahme des ersten Satzes. Doch lassen sich, bei passender Wahl der
Moduln, die Resultate der §§ 5 und 6 leicht auf Formen höheren Grades
Übertragen, ebenso wie sie lUr die kubische Form gelten*).
Man erhält ein erstes relativ vollständiges System für Formen be-
liebigen Grades nach dem bekannten Satze:
*) Für die^kubische Form lauten die ent^prechendeD, analog abgeleiteten Formeln:
1 2
(ab€)alOfj ^' = 3 (s^y) («•»«) («i/^) 4- 3 ^*^y ^x • (^y^), (IV.)
s = (abc) (abu) (acu)(bcu), /l^=^(abcy a^b^Cx,
(aduy=^UxSj
a^ = ^Uj.'/l, a^(aöw)=0, a<^(aduy=s,
a%=J, al(a0u)=O.
f (1.)
- 18 —
Satz III. Die aus dem binären Gebiet übernommenen Formen^ d. h.
diejenigen Formen^ die aus den Systemformen der entsprechenden binären
Form nach dem Clebschschen Ubertragungsjjj'inzij) durch Ränderung ent-
stehen^ bilden ein relativ vollständiges System mod (abc).
Beweis: Einer biuäreii Relation, die aussagt, daß die Formen (^1,...(^^
ein vollständiges System einer binären Grandform bilden:
a'-F(Q')^0 = 2\(ab)c^ + (bc)a^ + (ca)b^]ipr)
entspricht durch Känderung die ternäre Relation:
Q--F{Q;)=:^u,'(itbcj(p,.
Dies ist aber die Definitionsgleichung für ein relativ vollständiges System
mod (abc). FUr die biquadratische Form besteht das System der über-
nommenen Formen aus folgenden Formen:
f=al', e = etul = (abuyalbU K=^Klu\'-=(aeu)ulaiei',
j = ^f}j == (a u)* ti%] v = ul = (abu)* ,
unter denen die vier ersten ein relativ vollständiges System mod {(abc)^ v)
bilden.
§ 5. Zumckführung des Moduls (abc) auf die Moduln J und v.
Der nur durch einen Klammerfaktor gegebene Modul {abc) ist in
Übereinstimmung mit der Definition (§ 3, a) auf Formen des Systems zurück-
1 —
aj a,M, = g- ai •Ut = ^S-U;c. (2.)
(3.)
0(t) = (tt,^y = -lS'a, + lT-a.+ ^S''0-^^ul-S'T.
18
18
(4.)
Reihe der Moduln: (ahr); J; s; t (das System des Moduls t bestellt aus der einzigen
Form 0-
*) Gordan-Kersckensteiner^ a. a. 0, S. 134.
— 19 —
zufuhren. In anderen Worten: die Formenreilie {abc) ist eindeutig zu
normieren (vgl. § 1).
Es wird sich zeigen, daß die Formen:
J^{abGfalblci, v=^{abuf
als Modul genügen, d. b. daß die Formen
J = (abcy alblcl^ a^ = {abc))(bcuf al^ a\=^(abcf{bcuyal^ i=a\:^{abcf
die Formenreihe (abc) definieren.
In der Formenreihe a, fehlt die Form a\ nach der Identität:
a\ = (abcy a^(bcu) = o ^^» • {abcy = ^ i-u^*
Zur Zurückftthrung eines Moduls auf einen höheren haben wir nach
der Definition die allgemeinsten Faltungen oder auch alle speziellen in Be-
tracht kommenden Faltungen mit dem Modul auf Faltungen mit dem
höheren Modul zurückzuführen.
Die allgemeinsten Faltungen entstehen in unserm Fall aus den
Ausdrücken:
(abc)alblc]^ (abc)alblc]a^b^c^
(aas den kubischen Formen übernommen),
(abc)a^byC,alblc
2
X
(aas den quadratischen Formen übernommen) und durch Polarisation dieser
Ausdrücke.
Zur Berechnung dieser Ausdrücke durch die Polaren von J und der
Formenreihe a^, bzw. deren Anfangsglieder, schlagen wir, wie in § 2, den
indirekten Weg ein. Wir entwickeln die Polarenglieder
•
(abcfalblc^^j a^{vx%J){yyz)(vzx) a^a^a,=^(abc)(bcxi/)(bcyz)(bczx)a^aya^ usw.
als lineare Aggregate von Ausdrücken mit dem symbolischen Faktor (abc)
und erhalten durch Umkehrung des Gleichungssystems die gesuchten Re-
lationen, sowie eine Relation zwischen den nach verschiedenen Kombina-
— 20 —
tionen der Variablen geuommeneii Polaren. Zur Aaswertung dient der
Identitätssatz und der Produktsatz fUr Determinanten.
Das Gleichungssystem lautet fUr (abc)alblc^:
1) 2a,{yijzyal=^6(abc)alblci^6 2(abc)alblb,c]c,*),
3 3
2) d(^abcfal by, ■ (xyz) -i 2:a\(yyzfdi-(xijz)=2 2:(abc)alblbACy
— 4 2:(abc) a,a,j a, b] b^ c] c,,
3
3) a^ (yxy) {vyz) (yzx)a^a,ja, = 2 2{abc)a^a,ja, b] b^ctc^^
3
3 1
4) -S a,(yyzyal-'^2:al(yyz)\il'(xyz)+^t'(xyzy = 6i:(abc)a^^
Daraas folgt für (abc)alblc^„ und darcb analoge Kecbnung fUr (fl6c)ö*6Jc'a,ft,c„
(abc)a^byC,alblcl'.
(^abc) ai bl ci='^(abcyalblci- (xyz) + ^ a,(yxy)(yy3Xyzx)a,a,a,
2
-12*'(^^)\
3
'X
2 1
(IV.) ((^f^c)alblcla^b^c^==:^(abcyalb,^b^c,c^-(x^^
- g aj (yxy) (vzx) a\ • {xyz\
(abc^aj^c,albl(i'^=^^(abc)\ilblcl'(xyz).
Wir haben somit ein relativ vollständiges System mod (^/, v) erhalten, be-
stehend aus den vier Formen: f^S^KJ.
Es folgt daraus: Alle nicht ans dem binären Gebiet übernommenen
Überschiebungen von / über #, ebenso wie die im Binären auf (a6)* redu-
zible Überschiebung (adu)^ lassen sich ausdrücken durch Symbole J und v.
*) 2 bezieht sich auf die durch zyklische Vertauschung der Variablen aus dem
3
Anfangsglied entstehende Summe über drei Glieder. Die Gleichungen gelten auch einzeln
für jedes Glied der Summe.
— 21 —
Wir erbalten die für das Folgende grandlegenden Redaktionsformeln,
durch Spezialisierung von Entwicklung IV, oder kürzer durch direkte
Rechnung (Vertauschen der Symbole), für a^(a0uy, a^Qxduf^ (aduy nach
folgendem Ansatz :
a^(adu^=(abc)(bc7i)(abuy— w((ibc) (bcu) \(bcit) ci^''n^'{(ibc)\'^^
1
a%{adiif = {abcf (abiCf — ^(abcf \(bcti) a, — n^*Qibc)\^
für {aeujy. («6^0«^fi^=|%0^y.^)ö:+ j(^2/.^y,
{a b n) (a c vf bl =^~u^(^9^ au x) (ß auy + j (|/ aii xf :
(1.)
1 .
(«£«)l=e»"/'-3»V«. + 3»4'«r-
18"'
a»(adu) =
al=^J
#
#
(«ö«y=o
rt,(a^u)'
5
-ßfl'r + ß".-"'
0«'
al(ffeu) =
{aOuy^j
a9(aeHy =
aU«g»y =|ff:
«"'
Wir nehmen dazu die ebenfalls aus der Reduktion des Moduls (abc) ent-
standene Formel:
(2.)
3 1 •
Aus den Formeln (1.) U7id (2.) und den für die Grxmdfoi'm v analog
gebildeten Formeln leiten sich alle späteren Reduktionsfot^meln durch Polari-
sation aby ausgenommen die Relationen für die zerfallenden Formen. Aus
den Formeln (1.) sehen wir:
•) Oof^dan-Kersckensteiner, a. a. 0. S. 92.
22
Es führt die Formeiireihe: a^^(aOuf auf Symbole v allein,
a^ auf Symbole ^ und r,
{aO'iif auf Symbole y, ^ und i/,
(aOitf bei Faltung I auf Symbole •;* und r,
(aOtCf bei Faltung II auf Symbole -^ und i^.
Wir können also ersetzen:
1) mod (-^, 1^) : Faltungen mit j durch entsprechende mit {aOuf
oder {aOiCf;
2) mod (v)\ Faltungen mit ^ durch entsprechende mit a^ oder a^(ciOif)
oder auch durch spezielle mit (((6u)'^ (die nur zu einmaliger
Faltung I führen).
Es wird insbesondere:
(a Oiif a] ei=z - (Jyxf mod v,
1 ..
(a e iCf a, ö, = - ^ 0'2/''^)' niod v^
6
(aOnJ %}\ = ^ (/f^ivf mod ?/,
{aO}i)(adv)v^%f^=^ — w{4nvf mod r,
(aO^Cf a,j r^ r=~(^Ju vf J^ mod r.
§ 6. Zurückführung des Moduls (V, i/J aw/ rf^n Modul (v).
Die Reduktionsformeln des letzten Paragraphen geben uns das Mittel,
direkt das relativ vollständige System mod v aufzustellen; wir werden sehen,
daß wir dem System der übernommenen Formen nur die Formen J und
(aJu) = N beizufügen haben (analog wie bei der kubischen Form und über-
haupt allgemein gültig).
Wir betrachten zur Reduktion des Moduls J alle speziellen in Be-
tracht kommenden Faltungen, d. h. die Faltungen des relativ vollständigen
Systems mod (^, v) mit dem System von ^, und gehen aus von den in
den Koeffizienten niedrigsten Formen, den Faltungen von / mit J.
— 23 —
Zur Reduktion der Formen (ciJuf^ {aJiif^ {aJuf ersetzen wir nach
§ 5 die Symbole d durch niedrigere Formen der Formenreihe, d. h. ivir ent-
wickeln die Ausdrücke
a^h^QyQuf^ a^{adu)b^{hOiif ^ a^(adu) b^{bOuy
m
1) nach Polaren der Formenreihe a^ (Symbole J und v)^
2) nach Polaren der Formenreihe b^{bdiif (Symbole v)
und erhalten die Reduktionsformeln (Rechnung siehe unten):
a) (g J ny = l (Bvxf - | /■ al -^u^-e, (»yxf + ul j^ if- ^ s
(3.) b) {aJny ^^^eX»vx\
c) (a^^^)^ = glg;~A//-^^.>g^+>^^^^e.
(Zu den gleichen Resultaten führt auch die doppelte Reduktion der Aus-
drücke al(beu)\ al{bdu)\ al{a6uy(beiCf und al(ae%C)(beuy nach Elimi-
nation von af).
Aus den Formeln (3.) folgt, daß (aJuf Reduzent ist in bezug auf
den Modul n Daraus ergibt sich:
1) Die Reduktion des Systems von/:/: DieFormenreihe(^J'wy=a^(g^/wy
hat den Reduzenten {a/luf zum Faktor.
2) Die Reduktion des durch Faltung mit dem Modul /l entstandenen
Systems:
Die Formenreihe {d/liCf hat den Reduzenten {aJttf zum Faktor.
Für die Formen (dJu) und J^ ergibt sich:
1 1
Aus dem Reduzenten (ßJu) folgt aber die Reduktion des durch
Faltung mit dem Modul .</ entstehenden Systems.
4
— 24 —
Das relativ vollständige System mod v besteht also aas den sechs
Formen:
Als Beispiel zur Reihenentwicklnng in § 2 geben wir die Ableitung
der Formel (3.)a ansfilfarlich, bei späteren Rechnungen soll direkt die
Schlußformel III aufgestellt werden. (Polaren verschwindender Formen
sind schon während der Rechnung ausgelassen; die erste Zeile gibt die
nach Entwicklung II eingetragenen Werte, die zweite Zeile die, mit der
letzten Gleichung des Systems beginnend, rekurrierend gefundenen Schlußwerte.)
Es folgt nach Entwicklung II:
1) m = 3. n=4. Ä = 2. /a = 0. v^x^l,
— — ,<ft2 i
-^u,ial(aeu)^b{■lnlia,iae^(y]b' + ^vl•[al(aevy]b\
2) wi = 2. w = 3. il=l. iu = l. v=x=l.
a»(aeu)b^O^='l K(«ÖM)*Ä,-«..fl^(«ö?0(flöÄ)Ä,| +la%(bduy
- 1 \al{bdu) (aOu) - u, . «J {aOb) (bOu)]
= \{aJuyVl[a,{a6ny]b^l^[a\(ae^iyyf
3) m = 2. n=3. 1 = 1. /u = l. v=l. x=>2.
\
n
— 25 —
4) «1=1. n = 2. il = 0. ,u = 2. v = x = l.
= [ai,(aeuy^b + l[al(aduf]'f-lu,.[al(aduf]b.
5) m=l. n=2. 1 = 0. /i — 2. v=l, x = 2. («>>v).
6) m=l. n = 2. i = 0. ;M = 2. »'=1. «=3.
a»(aebfb» = [as(ad iCf] b\
7) m=2. n = 4. iL = 2. /i = v = ;f=0. (Nach Entwicklung!).
10
8) w=l. n = 3. A = l. /< = 1. v = x = 0. (Entwicklung!).
4(«g«)(&g») = j- [al(aeuy]-f-\u,'{al(aeuj\ b.
9) m = l. n = 3. iL = l. /t = j«=l. }/ = 0. (Entwicklung!).
4(ae6)(&g80 =| [4 (aö«)'] Ä - j «,. [«K«^")'] *'•
4*
— 26
Ans 1) and 4) folgt:
{aJuy=- a, b, + 5 /•«' + 5 «x*«r K - 20 "»•^' *' ~ 12 "»**•/"•
(Zur Umrechnnng in Symbole vgl. § 8 und 9.)
Formel (3.)a ließe sich noch kürzer durch direkte Übertragung von
«''S.
Entwiüklnng I unter EinfUbrang der Hilfsvariablen w=^xub berechnen,
wäbrend schon bei Formel (3.)b and (3.)c der von uns eingeschlagene Weg
der einfachere wird; bei (3.)b weiß man im voraus, nach § 9, daß alle
Glieder mit dem Faktor u^ auszulassen sind. Man erhält zur Berechnung
von (3.)b und (3.)c:
(3.)b) 1) a,{aeu)h,(heuf^l{aJuy + l[a,{aeuf^^
K^ o\rj üb
2) o,{aeu)b,ibeuy=Maeuf]^ 6+l?[4(«ö«r]^;
uö ^^ üb
(3.)c) 1) a,{a0u)b,{beuy = l («J«)*+|K(a<?«r]^ ^+ il)t«*(«ÖMr]^^
2) a^(«ö«)Ä*(6Ö«y = |[4(«ÖM)*J^ .
Nachbemerkung: Analog berechnen sich die nach § 5 reduziblen
Überschiebungen von / über j. Es wird
(4.)
27
j 7
«? = -
^ + .,"*•(»,
(4.)
10 ' ' 2
4 3
Aus (3.) und (4.) folgt, durch Übertragung aus dem biuären Gebiet,
(ßO'uf = -^j-fmoA.v*). Die übrigen Formen der Formenreihe {Oö'uf und
die Form $^ sind reduzibel auf Symbole v. Wir können also ersetzen:
mod V : Faltungen mit f-j durch entsprechende mit (ßffuf.
Es wird ferner:
(^ a' xy = \ /■• A. Og, {» »'£)=- N.
Kapitel III. Das relativ vollständige System mod («, (>, 0>
§ 7. Überblick über die Bildung des Systems.
Um von dem relativ vollständigen System mod r zu dem relativ
vollständigen System mit nächsthöherem Modul überzugehen, hat man nach
der Definition § 3 das System von v in bezog auf diesen höheren Modul
zu bilden und mit den Formen des relativ vollständigen Systems mod v
zu falten. Nun aber steht y==ul als Kontravariante 4. Grades der Form f
dualistisch gegentiber. Betrachten wir daher v als Grundform, so erhalten
wir ein relativ vollständiges System von sechs Formen mod y(v)=(pyixy=s^.
Wir haben also zur Bildung des relativ vollständigen Systems mod s
(System III) zu Uberschieben
System I: /, ö, K, ;, J, N über
System II: y, H=^(vviXyul%L\^ L=(vrix)Hlulu]^^ g=(rrixyHl^ G=^Hlulu*y (yox).
Es wird sich zeigen (Formel (13.)), daß die Form g reduzibel ist, daß
also System II nur aus fünf Formen besteht.
*) Gordan-Kerschensteiner^ a. a. 0. S. 181.
— 28 —
Im Laufe der Rechnung werden die quadratidchen Formen
als Moduln adjungiert, sodaß mau ein relativ vollständiges System mod (ß^(f^O
erhält; und zwar soll der Modul ((>, t) als höherer Modul als der Modul s
gelten.
Die Anordnung der einzelnen Formen soll nach der Ordnung in den
Koeffizienten erfolgen.
Wir normieren die Faltung
höher als die Faltung
Dadurch ist nach § 1 und § 3b die Reihenfolge der einzelnen Formen
gleicher Ordnung eindeutig bestimmt.
Die Bildung der Formen gleicher Ordnung wird tabellarisch durch-
geführt:
I. Angabe, welche Formen von System I und II miteinander zu
falten sind, um die bestimmte Ordnung in den Koeffizienten zu erzielen.
II. Aufstellung der irreduziblen Formen nach dem Schema der
Formenreihe.
III. Reduktion der reduziblen oder zerfallenden Formenreihen oder
Formen, d. h. derjenigen Stellen, wo die Gesamtformenreihe abbricht, und
dadurch der Nachweis, daß alle irreduziblen Bildungen mit den angegebenen
erschöpft sind.
IV. Folgerungen, und zwar 1) Angabe neu entstandener Reduzenten,
2) Angabe derjenigen Formen, die nicht in Produkten mit Formen des
gleichen Systems in Faltung mit Formen des andern Systems eingehen.
Es wird sich zeigen, daß nur auftreten:
1) Faltungen von je einer Form von System I mit einer Form von
System IL
2) Faltungen von Potenzen von ö, bzw. //, oder von zwei Formen
des einen Systems mit je einer Form des zweiten Systems.
— 29 —
Wir werden folgendes Schema zur Faltung erhalten:
System I gefaltet mit System II
1. Ordnung /'
2. „ ö
5. . e^K
2. Ordnung v
4. „ n
6. r, L,a.
8. „ (yax), IT-
10. , HL
6.
T
6\,hj
12.
Il\
Zur Rontrolle der Rechnang dienen, anßer der „doppelten Redaktion'' ,
die beiden speziellen Formen:
1 .
I.
/= 2xix^. a\ = ^ nl. s= ^f. a\ = - - iO. Jl = ^^ 6.
II.
(, = 0. t=0.
Nachbemerkung: Den Formeln (1.), (2.), (3.), (4.) entsprechen fllr die
Grundform v die folgenden:
(5.)
(y Tj xf = A
(i/ 1] xy =
(vr]x)*=g
ri,(yi]x)='0
n,(ytjxy=:B
H,(vrixy^O
ni=o
ni(^pt]x) =o
iil(rf]xy=c.
A==
B
r=
2
1
G
5
G
2
3 ■■' "*
7
6
3
X ^ y
J 4
18 ''
I ' 2 *^ 3
9
^2 *^ 2
(6.)
3 1 4 1 r
30
a) (yaxy =^^(Hsuy-^vsl- ^u^-s^(Hsuf + tt^lj.y-l^Qts'uy^,
(7.) b) (vaxf jQS^iHstc),
(8.)
c) (v axy = -^ s^-j^Z- ,| n, .sl + — ul-s*]
§ 8. Formen dritter Ordnung (System III).
Faltang von f mit r.
ff, • • •
• ff' • •
Irreduzible Formen:
• • • •
. . . «t = «.
Reduktion: a\ = i^iu^ (Formel (2.)).
Folgerungen: 1) a^ ist Reduzent
2) / tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen (;) in Faltang
mit V ein. Das Gleiche gilt fUr v in bezng anf f.
§ 9. Formen viertel' Ordnung (ßystem III).
Faltang von d mit v.
Irreduzible Formen: (9vxf dy (ßvx) $1
— 31 -
Reduktionen: Ans dem Rednzenten al durch doppelte Reduktion der
Ausdrucke al{abu)^ ^J^r? «t^y(«Äw) nach dem Ansatz:
^ (&yx) = al (abvx) (abu) — g- (ry, a;)^ = a^ 6^ (ab vx) (abu) + ^ (yv^xf
2
= aj (aÄi^) — al b^ (abu) = 2 aj ä^ (aöu) = « «r ((ibu)y
ffl(»yxf=-ali7byxy--^(vr,xy=^a,b,(9)yxy+'^(vy,xy
= t^f-2alb,+albl^^s==2alb,^2albl + ^s=^li^f^lalb^^y,
0l(9yx) = al b^(ab vx) (abu) = a\ b^ (abu).
Es entstehen die Formeln:
ei(9yx) ^(i
ÖJ(^ya:) =
ff^^ul=u\^Q (adj. Modul, §7).
Folgerungen: 1) ffl(&vx)^ ist Rednzent
2) r tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen (g) in Faltung
mit 6 ein.
§ 10. Formen fünfter Ordnung (System III).
Faltung von
K^ y, J mit y^
f mit H.
Irreduzible Formen:
K.
A)
(Jcvxf
(kvxf
K.
2
V
K,(kvxy
5
- 32
•
ijvx)
B)
(^jvxf
• 1
(aHu)
D)
•
Reduktionen :
•
^r
C)
1
(aHuf
a„(a Hu) a„ (a Huf
<
A) Formenreihe Kli Reduzent a\.
Form KKkvxf: Reduzent ei{&vx)\
(kvx)^ Ky(kvx)^ Kl(kvx) sind zerfallende Formen nach § 3.
B) Form (;Va;)*=(aöi/a?)* = at-ö+ÖJ-/'-4atö,-4a,{a^-ö,--(a^yj;)|*
+ &al\a,e^-{aevx)Y^Q'f^^ie-'^al{aevxy +A:ay^^^
5
{jvxy = p . /+ g^ i ö • mod {J , v\ (vgl, § 5 Schloß).
C) Form /ll\ Reduzent öj.
Formen J^y und Jl\ Reduzent a\ oder ^ durch Ersetzen der
Form J durch niedere Formen der Formenreihe (§ 5 Schluß), d. h. durch
doppelte Reduktion der Ausdrücke
öf^.ö^o <^9(^\0y und öf^öt-
Die doppelte Berechnung von ^ gibt Anlaß zur Reduktion der
höheren Form a^.
33 —
Redaktionsformeln:
a) Jl^lal-^(asuy+lie + lul-(2al-ty
(10.) b) Jl^-^a, + lu,{^al-lt},
c) Jt = al-^t. ,
Ableitung der Formeln:
a) fl;, «t = 3 i ö= [a,],, + j [al\, + ^[a»(ad uy], vx' + ^[al(ad tif] vx
-7 ««-[4]' - g w.- [alCa^uy], j^,
j 9 2 1
V) a» ald, = = [a*],. + 14 [«»]»>+ 5 [«* («0«)*],, yx* + ^ [«^ (a öm)*], vi'
"14 »X • [4].« - 24 "* • t'^* ('^ ^ ")1v« »'^ ,
= |^i-2"x-^t -4«? + 20 "*'*'*'
+ 2 "«• Kl»' + i2ö"'"'^"*^'*^"^*l'''*^*'
c) a*, Öt = «^ = [4]h + ^ [4 (rt ö?0*Jr. »^N
2
D) Redaktion von «^ durch doppelte Redaktion von Jl (C).
7*
34 —
Die übrigen Reduktionen darch Rechnung, die der in § 9 dualistisch
entgegengesetzt ist.
Reduktionsformeln :
(11-) (^ = -a^+ -i(^.al + -^u,.t,
«* (aHtif ='^ iv — jT- {asuy,
a*sit (als Modul adjungiert).
Folgerungen:
1) (jrxy, Jl^ a]j(aHii) sind Reduzenten.
2) V tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen in Faltung
mit K,j, J ein; das gleiche gilt von / in bezug auf ^ und von j in bezug
auf y, da d,(&'j\v^xf nach § 11 B reduzibel wird.
§ 11. Foititen sechster Ordnung (System III).
Faltung von
d\ f'j, N mit v,
d mit H.
Irreduzible Formen:
A) (9^vxy
ex»'vx)\
D)
(»fix)
(&rixy
(ßHu)
9.
B) a,(Jvx)
«*0"»'^').
ej9rixf
(ßlluf
H^idHu), 6,(6 Hu)
Öl
C) K,
6,(6 HuJ
ff„ (6 Hu)
Reduktionen:
A) (dV.r)* zerfällt nach Formel (3.)a:
{aJaxy = U9'vxy-y.al{v9xy==\j' + f'Jl.
— 35 —
B) a.ijrxf zerfällt nach Formel (9.)a, indem wir nach §6 Schluß
/•; durch {öd'uf ersetzen, und die Reduzibilität von ö^ beachten:
Formen a^{jvxf und al{jvxfi Reduzent a^ und [jvxf\
al {jvxj = aj (;Va:y — 2 o, (;Va:)^ (/r au) + (;Va:)^ (;V tJi^ .
C) Formenreihe iV^^; Reduzent ^^
Ozvo-) und iV^^(nya:) zerfallen als Überschiebung über Funktionaldeter-
minanten nach § 3.
D) Ubet'sicht über die Reduktionen:
a) Formenreihe OfjH<^\ Reduzent al{aHu). (Führt auf Formen mit
höheren Symbolen.)
b) Formenreihe d^Hy. Reduzent al{aHu) durch doppelte Reduktion.
(Führt auf Formen mit höheren Symbolen und auf höhere Formen der
Gesamtformenreihe, d. h. auf die Formenreihe ÖJ.) Wir betrachten an
Stelle von O^H» die Formenreihe 0^{&rix) {6 Hu) =^O^H^ + Ol^ ersetzen darin
die Symbole durch die niedere Form (a6?i), gelangen so zur doppelten
Reduktion der Formenreihe a'^^(aHu)(abu) = 0^H^+ ^0^ mod s bis zur End-
form a]b,{bHit){abu) = ffljH^ + ^e^^.
c) Formenreihe öj: Durch doppelte Reduktion derjenigen Formen,
die zugleich den Formenreihen 0,jH» und 01H<^ angehören — d. h. der Formen
der Formenreihe O^^II^ — auf Formen mit höheren Symbolen einerseits, auf
Formen mit höheren Symbolen und auf die höhere Formenreihe ÖJ
andererseits.
d) Formen OH&rix), Öj(d/;.T)% e\[»rix)\ Durch doppelte Reduktion
mittelst des Reduzenten a analog der Rechnung von § 9.
— 36 —
e) Formen 0'^^{dHuf und ff^^^f^rjxf: Durch doppelte Redaktion der
Aasdriicke Jl(aJuy und {aJvxf mittelst der Reduzenten Jl und {aJxCf.
f) Formen IJ^ und Hl\ Zerfallende Formen. Ergibt sich bei Hl
durch doppelte Reduktion des Ausdrucks -^(aziz^f oder auch durch direkte
Berechnung der Produkte (aj)% «>ö,,j durch Formen des Systems. (Die
analoge Berechnung von {ci^ gibt eine Relation zwischen zerfallenden
Formen.)
g) Reduktion höherer Formen dadurch, daß Formen der Formen-
reihe ö • H zwei Reduktionsmöglichkeiten zulassen (zwei reduziblen Formen-
reihen angehören) und zwar:
g durch doppelte Reduktion von 0\{dri:^\ läßt Reduktion d) und e) zu;
s\{Bsu) durch doppelte Reduktion von 6\{dri£) : läßt Reduktion c) und d)zu
s\(ßsuf durch doppelte Reduktion von ö^//,? : läßt Reduktion a) zu und hat
Reduzent öj (ßvxf zum Faktor;
s\ durch doppelte Reduktion von ^//^ : läßt Reduktion a) und c) zu.
Der Nachweis der Unabhängigkeit der übrigen Formen ergibt sich
durch doppelte Reduktion der Formenreihe JliaJuf'^iO]^.
Ansfuluntng der Reduktionen:
Die Existenz der Reduktionen a), b), c), d) ist a priori klar, da nach
dem angegebenen Bildungsgesetz die bei der doppelten Reduktion ent-
stehenden Relationen von einander unabhängig sind. Bei den Reduktionen
^)i ^9 S) ^^^ durch Rechnung nachzuweisen, daß keine Identitäten ent-
stehen.
Wir geben, symmetrisch zum Diagonalglied in der Formen-
reihe d'H bis zur Form 0^ vorangehend, teilweise mit Andeutung der
Rechnung, auch die durch Reduktion a), b), c), d) gewonnenen Formeln,
da sie zum Teil bei Reduktion e), f), g), zum Teil später Anwendung
finden.
37
1) H^ und Hl uach f). Nach dem Ausatz*)
a,-b\=v-a^bl—(aHu){bHu)b^<^t'-Oybl—f'a^{aHuy—{abu){aHti)b^+{abuyb^,
al-bl=bl^ |a,.«.-(avviw)i'<-' r-a^bl -2«, b^{aHu){bHu)-^(asuf{b$nf
.^*'albl-2a^{aHu)(abn)-^{asu)\bsu)''+{9t]xf{eHuf
entstehen unter Eintragung des Wertes von O^H» die Formeln:
a) H»^ 2 a^'al+2 vO^i&vxf + 2f-a,\aHuf- 2 6^,
^^^■^ b) m^(aiy-^2ei+lidsuy^^^s.y-lif-y-lfiasu)\
2) e„H» nach b):
aliaHu)(abu)^[al{aHu)]-s,+y'[al{aHny]=a^b^(aHu){abu)
+ a,{abT]x)(abti){aHu)c^ d^{ar].T){dHti) + ^ei+^ivTjxy.
l^ach den Formeln (5.) und (11.) folgt:
S) d^H»{6Hu) berechnet sich nach b) analog wie d,,Hy.
ö, Ht, {dHxi) <-.-(?? (Öi/?0 - \ (ßsuf .
4) d^H»{»i]x) nach b); ö*(6^ija;) nach d) (vgl. §9):
ei(»tjx)^lali,abu)<^-l(i»(fx).
*) Das Zeichen c an Stelle des Gleichheitszeichens bedeutet, daß Produkte
aus Uae mit höheren Formen, als die durch Faltung III und IV entstehenden, aus-
gelassen sind.
— 38 —
5) e^Hl nach b), öj//, nach a),
aas a]j{aHb){bHii)\ ans a]i{Hab) {abii)\
S\H^ nach b) nnd dadurch d\ nach c),
aas a^.{bHu)(abu):
ö,^*<-'-2Ö»/4-^4>(ÖÄM)'+g*.,-9ia,«--Ö,-gÄ,-g«a„
ÖJ^*«-" 3 ^,-g «*(ö*«<)'+ (j*^-^ ^'ö^
öj/^t-'ljö, — göj + ^g*^ und daraas
6) 0^,(6 Huf nach e):
(nach Formel (3.) c),
(nach Formel (10.) a),
7) d^(9}7:c)* nach d) und e). Daraus Redaktion der höheren Form g.
Nach analoger Rechnung wie in § 9 folgt:
= -y-l(9(f^y + -f^f-a]+y-t (nach Formel (11.)).
— 39
Nach entsprechender Rechnung wie oben folgt:
(nach Formel (3.) c),
(« ji^xy=-Uj + 6 [Jl] a' - 4 [Jl] a -\-J\'f
(nach Formel (10.)):
gö',(.9,,ao^=-A^-|4'-|(^P^r+|v^+£/-«^,+g/--^
tind durch Vergleichen der beiden Werte von 0\{&iixy nach g):
(13.)*) 0^g^2sl + 2{»ifxr + \iJ~tj.a]^lf^t.
8) eiH^{eiIu) nach a) und b), daraus 0^(0 Nu) nach c) (Formen
mit dem Faktor it^ verschwinden):
9) eiH^{9rix) nach a) und b), daraus 0]j(&rix) nach c). Öj(^i?a:)
nach d), daraus Reduktion der höheren Form sl(ßsu) nach g)
(Formen mit dem Faktor u^ verschwinden):
*) Es ist dies die in der Anmerkung zur Einleitung erwähnte Relation
zwischen den drei Kovarianten 6. Ordnung und 6. Grades.
6
40 —
eiH^(&r}x) = Uatu) + leiX&r]x)-lsl(esu),
^S»V^)^l4(.0su),
(14) 4 (ßsti) = ^ 6>, (^px) + 1 («/«).
10) 6\H% nach a) und durch Reduzent dK&vxy^ ^,,H9 nach a) und c),
^ nach c), daraus Reduktion der höheren Formen s%{Osuy und
s\, nach g):
Nach a) 0'JIl=[a\{aIluy]b'Jr\[a\]^-\Hl{yrixy
Durch öJ(^»'x)^ ö',i^^ = [ÖX^''^-)*], +^[<»t]'^^* -|4(Ö*w7
=9 «■•«K-^*-i-^4(ö*M)*+^(»'e^)*.
Nacha) <^,/4= -K(«^«)]^ö'-|[«U«^«)^6*-TK]^^+-n^K]
iC^
^\u,\a\{aHuy]b'
Nachc) «?^,Ä,: a»,(^a6)(6i/M)= i(a<u7-ö',/4(Ö/ru)(i?ija;)+^Ä,'(»'i?a:)»
^\e^^m=\e,Hl^6',H^-u,.[a\{aHuy\b'+\m{vrixy,
- 41
0\H9 = - i^'-«' + j|^' +2 (»'P^)'-2 («^'0' + 27*'-»x- j2 '^•"
Nach c) ö; = ^ i<-\s\^ .l|ö^_ l|(,.p^7+|(«^„)^
Nach g) aus den zwei Werten für 6\Ill:
(15.)
Nach g) aus den zwei Werten für 6\H^\
(16.) ,t = ^-^•.«J+^^^^-|(a/M)^-|^(v(>x)Hl/.,4-|^^»^
Formel (16.) gibt die Grundlage zur Reduktion des Moduls {ss*uy^
Formel (13.) zur Reduktion des Systems von s. (§ 17.)
Folgeinmgen:
1) a,(jvx)\ e^H^, ^K^rjx), 0\{6Huy sind Reduzenten, a,{jvx)\
H^ und Hl zerfallende Formen.
2) Die Form des Systems II: j(v)='g = (yrixyill ist reduzibel.
3) V tritt, da die einzige kontragrediente Form g reduzibel wird,
überhaupt nicht in Potenzen oder in Produkten mit Formen des gleichen
Systems in Faltung mit System I ein.
tritt nur als Kontravariante betrachtet in Produkten oder Potenzen
in Faltung ein, und entsprechend // als Kovariante betrachtet (vgl. § 13 B).
§ 12. Formen siebenter Ordnung.
d'K mit V,
Faltung von \ Ä, y, J mit //,
f mit L, a.
G*
42
Irreduzible Fonnen :
{KHuJ
B)
C)
0''?^)
E)
a
{ki,xy
Kl
{krixj H,{kr,x)\K^{krixy
K,{kr,xy
•
V) 11,
•
H,{jnx)
{aLiiJ
{aLuJ
1
ai{nLuy
K,{Knu)'
D)
{JHu)
ai(aLuy
o
Reduktionen:
A) (ß'K ^i ^y zerfällt als einmalige Überschiebmig über die zer-
fallende Form (ß'^vxf.
B) Formenreihe Hi,K^\ Reduzent II »6 r^
Formenreihe K]j(KIIu)\ Reduzent a]j(aJhi).
Formenreihe Kl(kt]x): Reduzent öj(d^.r).
Die daraus sich ergebende doppelte Reduktion der Formenreihe Ä^^ gibt
Anla£ zur Reduktion der höheren Formenreihe (jrjxf.
(KIIu)^ (krix)^ K^{krix) zerfallende Formen nach § 3.
H^^KHu)^ K^(KHu) zerfallen als entstanden durch einmalige
Faltung mit der zerfallenden Form K^ikrx) und der Funktionaldeterminante
Kl = ei(adu) = al(aeu) mod v\
Der doppelten Darstellung von K^ entspricht eine Relation zwischen
zerfallenden Formen.
Es wird:
-f-vOi (Produktsatz) mod(0,
— 43 —
= a^ (aHuy-e + al- ö, = -Ö, (eHxC/-f-(fi' a/.
(17.)*) = a^Ö,,,^- 0l-a,^ + f'e^(0H„y + e-a^(aHu)\moä (i'O.
Die Formen Z^», H^ (krjx), Hl, Hl (kTjx) zerfallen als entstanden darch
einmalige Faltang mit den zerfallenden Formen H^ nnd H^ (vgl. § 3.
2), a) und b)).
Es ist H, = H» (oßu) <- [/4]- - f. H^ (e Hu). (Spezialisierung y = uv
von 2)a).
H, (kr]x) = H, a„ - H^ ö, ./, H^ a^ = ^ [//,] a-\H^ a,„ (§ 3. 2) b).
C) Formenreihe {jrixf: Reduzibel durch doppelte Reduktion der
Formenreihe K^ nach B); nach dem Ansatz:
= ^{jn^y mod (^, 5, p, ^ ^, ^). (Vgl. § 5 >Schluß.)
Der analoge Ansatz gilt bis zur Schlußform der Formenreihe:
Form {jrixj: Zerfällt 1) durch zweimalige Polarisation der Relation
fUr die zerfallende Form Hl ((12.) b);
2) durch direkte Berechnung des Produktes a^^dl\ dadurch Zer-
fallen der höheren Form (JHiif. Es wird: ^
*) Produkte von Formen, unter denen eine Kontravariante ist, wie in diesem Fall
f'Ol'h, sind bei allen Relationen zwischen zerfallenden Formen weggelassen, da sie
bei der Anwendung der Formeln bei System «/r keine Bedeutung haben.
— 44 —
(18.) . '
nach dem Ansatz:
mod (v', s, p, i, «, J)
Hl{aeiif= \ (jnuy=2ei{a0u)(aHa) + 0l- a\ (Produktsatz)
= -lfft(eiIi()(aetO=-l {a -(^6Tix)y\{aHu)-((ieu)\ (adu).
D) Formenreihe ^^ {JHu) : Rednzeiit z/^ .
{JHuf zerfallende Form nach C).
E) Formenreihe (i\{iiL\i)\ Reduzent a]j(aHit).
Formen (ciLu) und (ftQiLu): Zerfallen als Üherschiehungen über
Funktionaldeterminanten nach § 3.
F) Formenreihe al: Reduzent a]j.
Formen al und a]: Reduzent al und aj durch doppelte Reduktion
der entsprechenden Ausdrücke
Il^al und i/^a^, B^ala^ und Hya*^
(vgl. § 10. C) Reduktion von ^l und z/J).
Daraus Reduktion für die höheren Formen a^s^{asity^ als^{asiif und für
Formen in Symbolen Q^t(ci^a^^) unter Berücksichtigung von (16.):
(19.) •'•'■^""•'^'^>^--''»'"'LoiM
Form o„\ Zerfällt durch Polarisation von (12.) b oder kurzer durch
direkte Entwicklung des Produktes dl- Ol nach dem Ansatz:
' \ = äi 6,^ \a^^ - {(?e V, x)X' = - 2 a,^ (a Hu) {a0H) {aOrix) + {(TOv.xfal 0,^
— 45 —
und unter Berücksichtigung der Reduktion von Hj^jrixf {0):
(20.) a„^2al^e\ moA {s^Q,t,i).
Folgeimngen :
1) (jv^f) ^lyC-^^^'O? ^l ^^^^ Reduzenten, (jrjxf^ (JUiif^ a^ zerfallende
Formen.
2) f tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen in Faltung
mit L ein, f und daher auch K und N überhaupt nicht in Faltung mit a und
folglich auch (yax). j tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen,
J überhaupt nicht in Produkten in Faltung mit H und L ein (folgt aus
J^{/lHiC) und (JHiCf). Ebenso tritt o und folglich (yax) nicht in Pro-
dukten in Faltung mit irgendeiner Form von System I ein. Es bleiben
an Produkten in System II, unter Berücksichtigung der Folgerungen in § 11,
nur Potenzen von H und Produkte von H mit L.
§ 13. Formen achter Ordnung (System III).
Faltung von
J 'j mit r,
ö^ f.j, N mit //,
. 6 mit L, a.
Irreduzible Foi^men:
(aHu) H
a^{aHit)IIj,
^^ {&ixy .6]
e^{9ixy
— 46 —
Reduktionen :
A) J^ijyxf: Reduzeiit (fy(jyä:Y.
J^{jvxy reduzibel durch die zerfallende Form ciy^jvxy nach § 3. 2)b
unter Berllcksiehtigung des Reduzenten B^,. Denn nach § 11 B) wird:
^.Ur^r^hAj^'»)^hU^^^)+^^^^^
(Reduzent a^ und d^i).
B) Die Formen H^ (»'rjaf , Hl(»'rix\ Hl (ß'tjxY zerfallen als entstanden
durch sukzessive einmalige Faltung mit den zerfallenden Formen H^ und ÄJ,
bzw. H^a^ und Hla^ nach § 3. 2)b) und nach der Relation:
H, Or r^xf = 2 77, r/^ . /- 2 7/, ./,^. h^.
C) Formenreihe (f^Ori^T- Reduzenten Uj und (jrjxy.
Form (i^{jrix) zerfällt: Reduzent «^ und einmalige Faltung mit
der zerfallenden Form {jqxf nach § 3, 2)a (Spezialisierung y=suv).
Form a^Hj zerfällt: 1) durch einmalige Faltung mit der zer-
fallenden Form dyijrxY]
2) durch spezielle zweimalige Faltung mit der zerfallenden Form
(jr/xf; daraus eine Relation zwischen zerfallenden Formen.
Aus (ty (jyxf: = 61-6^ + 2(1^ Hj mod (5, (>, t, «, J).
3
Aus Of^i^f: 0^61-6^— ,y a,j Hj mod (9, p, t, i, j)
(Produkte mit Kontravarianten sind ausgelassen),
nach dem Ansatz:
0^\ay{cihuj6\ + \ay{cihu)6l{^^^^^
und Vertauschung der Symbole in a^{iihii){dbn^6\^.
47
D) Formenreihe N^(NHu)x Reduzent Jl.
{NHu)j (nijx)^ N^(ni]x)j II^(NHu) zerfallende Formen (vgl.
§ 12 B), (^NHuy zerfällt durch einmalige Faltung mit der Form {JHh)\
E) Formenreihen 6>,L^, 6f(0Lu)\ 6^ {»Ix):
Reduzenten: O^H^, 0\{eHu)\ e\(ßrix).
Formen (öLw), (&lx), L^, L^(ßLu)^ O^^Lu), L^{&lx), 6i(^9lx),
ij, Ll{6Lu)^ 0](6Lu) zerfallen. (Den zerfallenden Formen von § 12 B)
dualistisch entgegengesetzt).
F) Formenreihe 6^{&axy. Reduzent aj.
Formen (J^ox) und (&axy zerfallen, als entstanden durch ein-
malige Faltung mit der zerfallenden Form a^; 6^ durch zweimalige Faltung
entstanden, zerfällt, da die Formenreihe al (aOtt) d\^ ^ H] (jrjx) ^ mod u
lo {Sj p, t, tj J) :
0, = a, (abuy = al (abuf • $1.
Folgerungen: 6^ oder 6^K tritt nicht in Faltung mit // ein; 6 nur
als Kontravariante betrachtet in Potenzen oder Produkten in Faltung mit X,
überhaupt nicht in Faltung mit a und (yoxy
N tritt nicht in Produkten in Faltung mit irgend einer Form
von System II ein, ebensowenig wie mit Potenzen oder Produkten von Formen
von System IL Es bleiben an Produkten in System I, unter Berück-
sichtigung der Folgerungen der letzten Paragraphen, nur Produkte /*•;, J •;,
Potenzen von 6 und Produkte von d^K.
§ 14, Formen neunter Ordnung (System III).
Faltung von
e^K mit H,
K^j\J mit L,
y, J mit <7,
f mit IP.
— 48
Irreduzibk Formen :
■ {KLuf
(Je Ix) ...
K,(Klxy .' . • ,
Z, . (airuf (aH^uy
ij, • a^{aWu)\
Reduktionen :
A) die Formen Il^^krjxy^ Il^^krjxy^ imkrjxf zerfallen als entstanden
durch sukzessive einmalige Faltung mit zerfallenden Formen.
B) Formenreihen K,L,, Kf(KLu), Kf{klxy.
Rednzenten: O^H^^ a]^{aHii)^ O^^^&rjx).
Formen K,, K^(KLu\ K^{klx), {KLu)\ {klxf zerfallen als Über-
schiebungen Über Funktionaldeterminanten (§ 3).
Formen L,, L,(KLu), L^{KLu)\ L,(klx), U{klx)\ LI, Ll{KLu),
Ll{klx), L\, Ki(KLity, K^{klxy zerfallen als entstanden durch ein-
malige Faltung mit den zerfallenden Formen:
L^, H,{KHu\ L,{»lx), m, LI, LKOLn), K\{KHu)^ 6,(&lx)
nach § 3. 2), a) und b).
C) Formenreihe {jlxy-, Reduzent (j^jxy.
Formen {jlxy und Lj(jlx): Entstanden durch einmalige Faltung
mit der zerfallendmi Form (jrjxy.
D) Formenreihe Ji{JLxC)\ Reduzent J'l.
Formen (JLuy, {/iLuy-. Elinmalige Faltung mit der zerfallenden
Form {/llluy.
E) Formenreihe (joxf: Reduzent r/^ durch Ersetzen vonj durch niedrigere
Formen der Formenreihe (§ 5):
al (aOuy=z - (jaxy. . . al{aeaxy=^(joxy.
49
F) Formenreihe Jl: Redazent al.
Form J^: Redazent al durch Ersetzen von J darch niedrigere Formen
der Formenreihe:
2
a^al = ^J„ modv,
Folgerungen: Nur die Form j tritt in Faltung mit a und (yox) ein.
N tritt nicht in Faltung mit L ein, da die J^ entsprechende Form
iV; zerfällt.
§ 15. Formen zehnter Ordnung (System III).
( 6\ f.j mit L,
Faltung von ^
^ [ 6> mit Ä^
Irreduzible Formen:
A) ^ ^ B) ^ ^ '
(OHhCf (dlPiif
Reduktionen:
A) und B): Zerfallen der übrigen Formen durch einmalige Faltung mit
zerfallenden Formen.
C) Zerfallen der übrigen Formen nach § 13 B) durch dualistisch ent-
gegengesetzte Betrachtung.
Folgeimngen:
ff^'K tritt nicht in Faltung mit L ein; entsprechend W^L nicht in
Faltung mit K. IP und IPL treten nicht in Faltung mit 6 ein.
Das Schema zur Faltung § 7 ist somit bewiesen.
7*
— 50 —
§ 16. Formen IL, 12., 13., 15. Ordnung (System HI).
11. Ordnung.
\6K mit I,
KJ mit H\
j mit {vax),
f mit HL.
Faltoug von
Irreduzible Formen:
C) iyaj), D) (a,H.L,u)\
12. Ordnung.
f Ö" mit i,
Faltung von \
^ l Ö mit H^L.
Irreduzible Formen:
UiO,H.L,u').
13. Ordnung.
Faltung von K mit H-L.
Irreduzible Formen:
(K,H.L,uy
Ä%{K,H-L,uy.
15. Ordnung.
Faltung von K mit //j.
Irreduzible Form:
H) (KH' uf.
'
— 51 —
Reduktionen :
Formen Hf^^HJi. Redazent Lf ans der Relation:
{vlx)L\^^^W mod(a,5).
Zerfallen oder Rednzibilität der übrigen Formen nach den Be-
trachtnngen der früheren Paragraphen.
Folgerungen:
Nach dem Schema zur Faltung § 7 und den Folgerungen der §§ 8
bis 15 sind hiermit die irrednziblen Formen des Systems III (117 Formen)
erschöpft.
Kapitel lY. Das relativ volistHndige System mod (ff.t).
§ 17. Reduktion des Moduls {ss^uy und des Systems von s.
Zur Bildung des nächsthöheren relativ vollständigen Systems hat
man nach Analogie von § 7 das System von s in bezug auf den nächsten
Modul p(s) = (ss'uy zu bilden und mit den Formen des relativ vollständigen
Systems mod s zu falten. Es soll gezeigt werden, dafi bei Einführung
des Moduls ((>, ^^^ höheren Moduls
A) der Modul (ss'uy reduzibel wird,
B) das System von s aus der einzigen Form s besteht.
A) Die Reduktion des Moduls (ss'u)* ergibt sich sofort aus dem durch
Formel (16.) § 11 gefundenen Reduzenten sl. Aus
b f ' 5^ ' 15
folgt dnrch Polarisation von x nach v,:
^foi0l + fal(attiy^^lll+li.iasuy^
und damit die Reduktion des Moduls (ss'uy.
*) Aus Formel (21.) folgt die in der Anmerkung zur Einleitung erwähnte
- 62 —
B) Die Reduktion von Z=(ss*uf = d{s) und daraus die Reduktion
des Systems von s ergibt sich durch Ersetzen der Form Z durch die
niedrigere Form g\ nach Formel (8,)b, § 7 unter Berücksichtigung der
Relation
^I = sl{yv,xf-\Z
Die Form gl hat nach Formel (13.), § 11 den Reduzenten sl zum Faktor.
Es wird, nach Formel (8.) und (16.):
gl^^Z+^Ue^j+^^iiasuJ mod (p, t),
nach Formel (13.), (14.), (15.), (16.):
*
4 . 2 . 1
= ^ z • «^ — ^ « • {asuj + J- 6 mod (p, ^) :
(23.) Z=2^•öJ + |^.(a5^^)'^-;JJ.Ö mod (p, 0-
Das relativ vollständige System mod {(ss'uf^ p, t) geht also über in
ein relativ vollständiges System mod (p, ^), und aus diesem entsteht durch
Überschiebung tiber das bekannte System zweier quadratischen Formen das
absolut vollständige. Zur Bildung des relativ vollständigen Systems mod (p, t)
haben wir, da nach Formel (23.) das System von s sich reduziert auf die
Form 5, das relativ vollständige System mod (5, p, t) tiber s und Potenzen
von s zu überschieben. Es wird sich zeigen, da£ Potenzen von s nur mit
System I in Faltung eingehen.
Relation zwischen den drei Invarianten 9. Ordnung, unter Anwendung von Formel (10.) c
9X 4ft 'S*? ^ A
(22.) ^ -" 5 3 9
9J. 1*> ^ J.
— 53 —
Als ^höhere Formen^ definieren wir unter den Formen gleicher
Ordnung und gleichen Grades diejenigen, die aus höheren Formen des
relativ vollständigen Systems mod (^, (>, durch Faltung mit s hervor-
gegangen sind, indem wir die Faltung mit s nur als Polarisation der ur-
sprünglichen Formen betrachten. Dadurch ist die Anordnung der einzelnen
Formen eindeutig bestimmt [vgl. § 1, Formenreihen 2)].
Es wird beispielsweise:
{e^{eHu),s,\Cf höher als s^{{eHu)\s,uy),
{0^{OHu)\s,it) höher als {e^{eHn\s,u)\
Wir teilen das entstehende System in die vier Teilsysteme:
System Sj : Entstanden durch Faltung von s und Potenzen von s mit
System I.
System s^ : Entstanden durch Faltung von s mit System IL
System Sjjj\ Entstanden durch Faltung von s mit den einzelnen Formen
(ohne Produkte) von System III und mit Produkten von je
einer Form von System I und II.
System Sjy\ Entstanden durch Faltung von s mit Produkten von je einer
Form von System I und III, II und III, III und III.
Bemerkt sei noch, daß von jetzt an alle Formeln mod (p, t) zu ver-
stehen sind, von Formel (27.) an mod(p,^, z, J, höhere Formen), ohne daß
dies jedesmal ausdrücklich angegeben wird.
Zur Reduktion stellen wir die früher gewonnenen Formeln zusammen:
4 1 ^
(24.) j
Sy
*) Der kürzeren Schreibart willen nehmen wir daa Glied der Überschiebung an
Stelle der vollständigen Überschiebung \{dlluy\^s als Form des Systems auf. Bei Auf-
Stellung von Formeln werden alle Überschiebungen durch ihre Anfangsglieder ersetzt;
z.B.: (ö,(ö//«),»,m)* durch d^(fiHu)(d8uy.
- 54
^ = 24-3 *^i
(24) 5r=2t.a*,+|i(«*«)*-ij-<?,
2«a*-Ji(a«M)*+g^J-tf[,
5rJ = 0, 5rt=0.
Folgey^ungen :
^li sl(6su)^ sls^, slO^ sind Rediizenten.
§ 18, System s^,
Falmng von (' ""' ^' *• '''^'^' f'^'^""' ^^
^ [s'mitd.K.
Irreduzible Formen.
5. Ordnung.
{asu)'^ (asuf] (asuy\ (asuf.
6. Ordnung.
(dsu) {Osuf (esiif (dsuY
s^ s^(0sii) s^{6suy s^(esuy
56
7. Ordnung.
. (Ksuf (Ksuf (Ksuf
B) .,,
A) Äj Si(Ksii) St(Ksuy St(Ksuf
C) (Jsu), (Jsuy.
si
8. Ordnang.
(Nsuy
A) s,(asu), tj(asu)\ Sj(asu)\ B) -,»7- ,
10. Ordnung.
A) Sj{Jsu)f B) s»{6s'u)\
11. Ordnang.
Reduktionen:
Die Fonnenreihen
haben den Rednzenten «^(^^u) znm Faktor, sj und (Jsuf durch Znrttck-
gehen von / and J aaf niedrigere Formen der Formenreihe:
sl(6su)(a6uy = ~^sj,
s%(6su)(aeuy=^(Jsuf,
sl (6 s uj (a <?«)' = ^ (^«m)*+ \ sj.
8
— 56 —
Formen s^s^, und s^^s%,: Reduzenten s%(dsu) und d^r-
sl s^, = 4 ^»f — 4 (^^ *^)7 4 4'=4 ^&f ^&f—^'Uaf (ß^ '^^)-
Formenreihe Sj^^suJ: Reduzenten Jj und (Jsuy.
Folgerungen:
s tritt nicht in Potenzen in Faltung mit f^j^JjN ein. f^jjJ^N
treten nur in Produkten mit kontragredienten Formen in Faltung ein, die
aher bei den Produkten mit / noch quadratisch in x, bei den Produkten
mit J noch linear in x sein können; d. h. folgende Produkte von Formen
sind zu betrachten:
/.(0,i), /.(1,A), /.(2,^), y.Cu,0), NnnäJ^iO.l) ^.(1,A) (i>0),
wobei (^, l) eine Form //ten Grades in x^ iten Grades in u bedeutet.
oder K treten nicht in Potenzen oder Produkten mit beliebigen
Formen in Faltung mit s oder s^ ein.
Für Produkte mit der Funktionaldeterminante KjK'(p,((p^f oder 6)
gilt nämlich die Relation zwischen zerfallenden Formen:
K* <f^^ {(i6u) (p^^ f*(ipOu) — 6 '{(pau) .
Das oben stehende Schema zur Faltung von System Sf ist somit
bewiesen.
§ 19. System Sj^.
Faltung von s mit v\H\L\ H^.
Irreduzible Formen:
6. Ordnung.
8. Ordnung.
10. Ordnang.
12. Ordnang.
r
(Hsu) {Hsuf
. {Lsuf {Lsuf
(B'suf.
st] . ;
s, ' . ;
4=J;
Beduktionen :
Formenreihen s^(Hsu) und s^^Lsu): Reduzent 4-
2
Formenreihe s^: Reduzent 4 a^s //^4 = .y^a-
-^ 57 —
(H^su)* zerfällt aus Formel (7.)a- (vgl. § 11. A). Darans: Zerfallen
von (i7-L,Ä,w)*.
Folgerungen :
s^ tritt nicht in Faltnng mit System II ein.
y tritt nur in Produkten mit kontragredienten Formen,
H^in Produkten mit Formen (l,A), (2, iL), (3, A) (i beliebig), als
Kovariante betrachtet, in Faltung ein.
a und (yax) treten überhaupt nicht, L als Funktionaldeterminante
nicht in Produkten in Faltung ein (die vollen Überschiebungen über Ko-
varianten von System III werden reduzibel).
Als Produkte von System I und II bleiben:
§ 20. Formen 7. Ordnung (System Sj^i).
Faltung von s mit /-i/, a^, aj.
Irreduzible Formen:
s^(asu)^ ay(asu)j Sy^asu^^ a^^asuf^ s^{asuy^ a^iasuf^
üyS^j aySy(asu), al(asu)^ a\(asuf.
Reduktionen:
Die selbstverständlichen, aus direkter Faltung mit den Reduzenten sl
und s^{Hsu) hervorgehenden Reduktionen sollen nicht erwähnt werden, eben-
so wenig das Zerfallen von Überschiebungen mit Funktionaldeterminanten.
Form a^Syiflsuf und alSy{asuf: siehe Formel (19.), § 12;
a^s^ {asiCf = Uy {avxV2 uf {vxV2v) = 0.
Formenreihe a\Sy\ " Reduzent s\{d$u) durch Zurückgehen von a\ auf
niedrigere Formen, d. h. durch doppelte Reduktion der Ausdrücke s\{a6s){a0u\
s%{a08){aOuy nach dem Ansatz:
1 1 12
sl{a6s) {a6u)=[{a6uf]s^+ ^ [a^{a6uf]s^+ ^ [aKadufjs = ^ a>^ — g- a^sl^
sl{a6s){a0uf=^^[a^{a6uy]^s^+j^[al{a0uy]^s=^--^al^
{alb,{abu) = 0).
8*
- 58
Es entstehen die Formeln:
(25.) 4 ,
OyS^asuf^z-i.dl-j^iH^ a^sjasuf==0^
als^{asuf=0.
Folgervngen:
1) UyS^ißsufj alSy sind Reduzenfen.
2) Es ergeben sich die Werte der in § 19 als redazibel erkannten
Formen {Jsuf, {JsuY; ebenso för die entsprechende Pormenreihe {agu)\ die
bei Faltnng mit v darch den Redazenten g^ Anlaß zur doppelten Reduk-
tion gibt
(26.)!
Aus Formel (24.) nnd (26.), mod (t, J) (vgl. S. 71):
(27.)
a)
b)
c)
{aguf:
{agu:f
{agu)*:
■■2a,s,{asu)—al{asuf,
— al(asuy.
«
§ 21. Formen 8. Ordnung (System s,j^.
Faltung Yon s mit den Formen 4. Ordnung (System III). (§ 9).
Irreduzible Formen:
(&vx) s, , ((&vx^ } * , «)
{&vxys,
((&rx\s,u)\{e,suy
iii9yx)\s,uy,{e,(_9ux),s,uy,(dlsu)
{(&vx),s,u)\id,su)
{ii9vx)\s,u)\e s,
{(a vx)\ s, u) s,, (e^ (»vxf^s, u)
((avx),s,uy,(e,suy
(d],su)
«^
(0,(»vx),s,u)\
— 69 —
Reduktionen :
((&yx)^s^u)s^ zerfällt als Oberschiebung ttber Fonktionaldeterminanten
nach § 3.
Formenreihe {(&rx)jSjuys^: Reduzent sl und s^^Oyi
^ ^ (Produkteatz.)
0y(&ysu)Sy==0ySyS^ =—^Oy{9vsuf.
Formenreihe dySy{0sti): Reduzent aySy[asuf durch doppelte Reduk-
tion der Ausdrücke :
aySy{a8uf{abu) und aySy{a8iLf{ahu){8huy^
dySy{d8uf durch doppelte Reduktion von {aguy{abu){bguy.
Formenreihe Oy{&i'x)Syi Reduzent d^^Sy aus 0y{&vz)Sy^c^y{abu)8y.
Formenreihe {Oy[d'vxf^s^u)i Doppelte Reduktion der Formen der
Formenreihe 0y{dvsit)8^^ die zugleich den Formenreihen {{&vx)suy8y und
Oy{S'vx)Sy angehören.
Form {Py{&vx\s^u) zerfällt als einmalige Überschiebung ttber die
Funktionaldeterminante 0^ {&vx) = al (abu).
Form {&vxy^s^uy: doppelte Reduktion des Ausdrucks {aJuy{Jsuy
oder auch von {Oguy aus den Formeln (27.) und analog der Reduktion
von (jrixy (§ 12 C)).
Durch doppelte Reduktion enteteben die Formeln:
0=^dySy{68u)-'^{»i^suyidsu)'-^{H8u),
0=^,5 {Osuy~{9i^8uy{0suy^^ {Hsuy,
(28.) f)^{9v8uy{esuy'\'2dy{Si^su){e8uy^^ei{esuy~
o=»OySy(0suy+^0y(d^8u)(dsuy,
0= O^S.S^^^S^, O=^0yS,Ss{08U), O^0ySy8<^{d8Uy
(entspricht (0y{&vxy^8^uy ...).
— 60
Folgerungen:
1) d (ßvx)s,, (&su)(dsu)s„ d^(»ysu)\ {9vsuf{6suy sind Re-
düzenten.
2) Die Formen vierter Ordnung (5, A), (6, iL) uaw. treten nicht in
Faltung mit s^ ein.
3) Für die Formenreihe {Oguy ergehen sich nach (27.) unter Be-
rücksichtigung der Reduktionen dieses Paragraphen folgende
Formeln:
(290 c) (09u)*=20l(0suf~{Hsuf,
g9{0gu)=(S^su)(9vx)s^-0^(&vx)(&ysu),
g»(Oguy^\s^0\, g»(0guy^\ei(esu), g9(eguy^Q.
§ 22. Formen neunter Ordnung (System s^).
Faltung von s mit den Formen fünfter Ordnung (System III) und dem
Produkt ^-1/ (§ 10).
Irreduzible Formen:
A)
(kvxys^^ ((kvx)\s,u)
(kvxys.
{(Jcvxf^ s. u^j KyS^
((jcvxy^ 5, uf
{(kvxy^ s^ u)s^ , {K^ {kvxy^ 5, u)
(K.suy
{{kvxy^ 5, uj
^
(^K,suy
(K^su)*
{Klsuf,
B)
D)
{jvx)\ s, u)
(aHu)$^^ (a^su)
{(jvxy, s, uJ
C) s^(^Jsu)^ {J^su)^
#
{(jiHii)^ 5, w)^, (^{aHuy^ 5, u)
{aHuys^^ {a^suy
{a\ su)
((a Hn\ s^ u)*
(J^aHu)^ Sy uy^^ (aHuy^ s^ uy
(a^suy, (a^{aHu),s'uy, (a^(aHuy^,s,u)
(aJaHu\s^uy.
— 61 —
Reduktionen :
A) Die Redaktionen folgen direkt ans den Reduktionen von § 21
durch einmalige Faltung. Die Formenreihe K^s^{Ksuf hat die Reduzenten
a^Sy{asuy und 0ySy(dsuy zu Faktoren. Daraus Zerfallen der höheren
Formen K^(Ksuy^ K^(Ksuf nach dem Ansatz:
= aySy (asuf (aOu) = K^Sy {Ksuf = 0^ s^ (Osuf (aOu) •
B) Formenreihe (^jvxfSyX Reduzent alsy aus {jyxysy=^3alsy(a6uy.
({jrxy^suf: Reduzent alSy aus {{jvxf^s^uf=^^^alSy{a0uy(6su).
C) Formen Jy{Jsuf und Sy{Jsuf\ Reduzent Qy aus Formel (27.)a.
2
Form ^ySy\ 1) Reduzent aj^^ aus a^d^ySy^^JySy\
2) zerfällt nach Formel (27.)a durch doppelte Reduktion des Aus-
drucks {Jsvxf.
Daraus: Zerfallen der höheren Form a^s^.
D) Formenreihe {all\ifs^{asu)\ Reduzent aySy{asuf durch doppelte
Reduktion der Formenreihe \aySy{asuf\v^x\ Redaktion von {aUuf s^{asiif
aus aySy(asuf und aySy(asuf. Daraus Reduktion von (a^,^,^)*.
Formenreihe a^(aHu)s^: Reduzent alSy. a^^s^ durch doppelte Reduktion
des Ausdrucks (^Jsvxf^ da a]^5^ nicht aus dem reduziblen Glied alSy^w^x)
der Form a^(aHu)s^ durch Faltung entsteht.
Formenreihe (ajjSuy: Reduzent als^ aus als^Sy^=^ — ^a1j(Hs7iy.
Form {a^(aHv)^ s,ic) zerfällt als Überschiebung über eine Funktional-
determinante.
Es entstehen die Reduktionsformeln:
a) = (a liuy {a s u) s^ — a^(as u) (Hs uf — a^ (a Hu) (a s tc) (Hs u) ,
b) = (a Huy (a s w)' s^ — a^ (a Hu) {a s zif (Hsu) ,
(30.) ^ ^ V ; V Ji
= a^ (aHu) 5^— ^ aj (Hsu)^ = aj (Hsuf^ . .. = aj^^.
— 62 —
Folgerungen:
1) U^-'^yKi ^r^n ^^{^siCf und folglich N^(^Nsu)\ {aHv)^(asv)s^^
a^(aHu)s^j a^Hsuf sind Redozenten; a^s^ ist zerfallende Form, die bei
allen ein- und zweimaligen Faltungen in zerfallende Formen übergeht
2) Die Formen 5. Ordnung (5, l)^ (6, X) usw. treten nicht in Faltung
mit s^ ein.
§ 23. Formen zehnter Ordnung (System Sjj^).
Faltung von $ mit den Formen sechster Ordnung (System III). (§11).
Irreduzibk Formen;
A)
(S^vxfs,
(9^vxys,s,,d,(9*vxys^,
B)
a,(jvx)s,
{aXJvx\ s, m)'
(a,(jvx),s,uy
(al(jvx),s,uy
{a,(jvx),s,uy
{a\(jvx\s,uy,
C)
((.^jja;)',*,«)
{(&n'^%s,uy,ieHu)s^,(e^su)
{0,(9vxy, 8, u)
{{6 Hu), s, m)», ((OHuy.s, u)
{(&rix), s, uy, (6,suy
(dlsu)
«
«
((dHu\ s, uy, ((dHuy, s, uy
{H^(0Hu),s, uy, {e^(dHu), s, uy, {e^(eHuy,s\,u)
{(6 Hu), s, uy
(e,suy,{d^CeHu),s,uy
{d\(eHu),s,uy.
Reduktionen:
A) die Formen {(O^voc)\$^uy^ ((dVa;)',^, w)^ zerfallen:
n>
(&vx) (ß-vsu) (ßrpsu) = {&vx)ü^s^f —(J^^x^s^s^, = ^20'(S'VX)SyS^'\'(9vx)-s\.
Übrige Formen: entweder Reduzenten zum Faktor oder einmalige
Faltung mit zerfallenden Formen.
B) Reduzent ar^s^ und {jrsu)Sy.
— 63 —
C) 1. Formenreihe (ßHufs^: a) Redazent (aHuf(asu)s^\ b) doppelte
Redaktion der Formenreihen (ßgufg^ und gy(cigitf (bguf (abu).
Daraus Redaktion der höheren Formen {d^siiy^(^H^(dHu)^s^uy and
{a^*b\^s^uy [letztere Form an Stelle von {H^suy\
2. ((ö-i^x), ^, w)*: Redazent {a^suf.
3. ((^&7}xy^$juy: Redazent s%Sy aus (f^rjsit^ (IIsu).
Formen (d'rjx)s^^ (&rixys^^ (('^'?^)^ ^)^0^ ^i^n zerfallen durch
Faltung mit der zerfallenden Form a^s^.
4. Formenreihen H^(OH%i)s^y 0^(dHu)s^^ H^(ßrix)s^^ ^ri(ßv^)^n**
Redazenten a^{aHu)s^ und oi]jS^.
Formenreihe (P^^&qx)^ j>\ uy: Redazent a^^^Hsvy [mit Ausnahme
von (ß\(OHu)^s^iiy^ das ans dem Glied a\(bsu){H8u) durch Faltung
entsteht].
5. {H^{&rix)^s^u)^ (IT^(9rix)^ Sy ny: doppelte Reduktion von
a^{aHu)s^(abu) und g»{Ogu)gy.
Formenreihe (H^{&rjx)ySyity: Reduzent ((^yxy^s^uy s^.
6. (H^(OHu)ySyU) zerfftllt durch einmalige Faltung mit der zer-
fallenden Form (6y(d'vx)jSyn) nach §3. 2), c); d.h. durch doppelte Re-
duktion der niedrigeren zerfallenden Form {Il^suy-^)
= ^~H^(0Hu)(6su) + d^(6sii)(IIsii)-^~H^(esu){Hsu)
*) Das Zeichen = bedeutet, daß Produkte von Formen niedrigeren Grades aus-
gelassen sind.
9
64 —
Durch doppelte Redaktion entstehen nach 1. and 5. die Formeln:
= ö, (Ö*m) {Hsuf + \ H^{eHv) (Osuf- j <?, {6 Hu) {dsu) (Hsu)
(31-) n _
- 1 <?, (dHuJ {dsu) - {asuj- 6, (bHuf-a^ (asuf- 6^,
ih{eHu){esuf-ie^{eHn){esuy{Hsu\
a, («5 uf K^{bsuf - ö, (esu)\Hsuf + 6 ö, (<?//«) (Osuf (IIsu),
i(Hff(diix), s, «), 0=H»{d^su) (_Hsu)-A0\(Hsu),
Folgerungen:
1) {eHufs^, H»{dHu)s^, 0^(6 Hu) s^, H^{9r]x)s^, ^(d'?^-)^,
(JH^(ßrix),s,u), (0^{&7]x),s,tiy sind Reduzenten.
2) s' tritt nicht in Faltang mit den Formen (5, ).) nsw. 6. Ordnang.
§ 24. Formen ii. Ordnung {System s^j) .
Faltang von s mit den Formen 7. Ordnang (System III) (§ 12).
Irreduzible Formen:
A)
{(Jcrix)\s,u)
(KJkT]xf,s,u)
(K,suy
{{KHnf suy
#
«
({KHu)\s,uy
((KHuf, s, u)*
(iK^iKHu)\s,uf,
B) {(jvx),s,u)\ (Jljsu) 1 (OV), *,«)',
C) {J,sn),
D)
(aLuyStj ((liSuy
(ai(aLuy^ SjUy.
— 65 —
Reduktionen:
A) Redaktion oder Zerfallen darch einmalige Faltung mit den ent-
sprechenden Formen in Symbolen O-H.
{K^(KHu)\s,u) und {K^{KHu)\s,uf\ Zerfallen nach §3. 2), a),
durch Faltung mit KK^Ksu), Kl{Ksu)\
(K^(KHu),s,uy=(al'0^^,s,uy: Zerfallen nach §3. 2), b), aus der
zerfallenden Form Kl(Ksuf.
B) Formenreihe (jr]x)s^: Reduzent {jvxfsy.
Form Hj(jr]su)(Hsu): Reduzent {jvx){jvsiCf.
Form Hj(JT]x)(Hsuy. Zerfällt durch Reduktion der zerfallenden Form
{(JTjxy^Sjuy durch den Reduzenten {jvxfs^ (Formel (18,) a):
C) Reduzenten J^s^ und J^^Jsuf.
D) Reduktion und Zerfallen durch einmalige Faltung mit den ent-
sprechenden Formen in Symbolen f-H.
E) Aus (30.) c ergibt sich die Reduktion der zerfallenden Formen-
reihe (a^suy:
= a^ (Hsuf (asvxy = a^ (Hsuf (avrjuy-i- 2 a^ (arrju) (vtisic) (Hsuy = ö «o iflsuy^
= a^ay {Hsuy (asvx) (asu) = a^ (avrjuy (Hsuy (asu) + a^ (ariju) (ytjsii) (Hsuy(asu)
= g a^ (asuy.
Folgerung:
s^ tritt nicht in Faltung mit den Formen 7. Ordnung ein.
§ 25. Formen 12., 13. y 14,, 15. Ordnung (System Sju).
Faltung von s mit den Formen 8., 9., 10., 11. Ordnung (System III)
(§ 13—16).
Irreduzible Formen:
12. Ordnung.
^. (C^»?^)*, s, u)
9*
66
{{OLuf, s, u)\ {(eLu)\ s, n)
Reduktionen: Die dnrch direkte Faltang mit Rednzenten oder zer-
fallenden Formen entstehenden Reduktionen sollen nicht mehr erwähnt
werden.
B) Zerfallen von ((aHu)Hj, s,u) und (a^(aHu)Hj,s,u) als Über-
schiebung über Funktionaldeterminanten.
Zerfallen von (a^(aHu)Hj, s, iif: Doppelte Reduktion der zerfallenden
Form K.ö;»]r„. (§13. C)
= -^(0e'r]su) (de' ti) (6 Hu) ($' Hu) <?; (ÖÄ «) = - 1 ö, (a Hu) Hj (a s uf .
C) Aas den Formeln (31.) ergibt sich die Reduktion der zerfallenden
Formen
[L^(tfi>M)]-, und [6,(0Lvy\^,d. h. der Produkte [61- H]^, und [a* • (6^»«)»]-.:
= dl(dstt)\Hsu), = [L^(öLtt)]-.- 7 [<?,(öLm)]-.,
O = al(asuy(bHuy(bsu) + Qe,(0Lit)\6su)(Lsu),
(i=:di(esu)(Hsuy aus o=e](eLu)(dsu)(Lsuy
(Reduzeut aUHsuf).
Irreduzible Formen.
13. Ordnung.
A) {{KLa)\s,xif', ((KLuy,s,uy,
B) (i, s u)\
C) (((fH'uy, s, uf.
i4, Ordnung.
A) ((aLuy Lj, s, tiy,
B) (ieiPuy,s,uy.
67
15. Ordnung.
Reduktionen: Zerfallen von (K^{KLuy^8^u)^^ (H^^OWuy^ s^ti)^
((K, H'L^uy^Syu) nach § 3. 2), c); d, h. unter gleichzeitiger Be-
trachtung der zerfallenden Formen (Ki^KLuf, s, w)^ (H^^OH'ufy s, uf,
{{K, H' L, u)\ 5, u)\
Folgerung: s^ tritt nicht mit einzelnen Formen von System III in
Faltung ein.
§ 26. System s^y.
1) Faltung von s mit System I • III.
Reduktionen: Nach den Reduktionen der letzten Paragraphen
{alSy^(aHuy(asu)s^ usw.) lassen die Formen (0, X), (1,^), (2, i) nicht die
Faltungen I und III gleichzeitig zu; /, J^ iV tritt also nach § 18, zur Bildung
von System Sjy^ nicht in Produkten in Faltung ein.
j tritt nicht in Faltung ein, da nach den gleichen Reduktionen den
zu j kontragredienten Faltungen
(Ky(kyxy^SjU)^ {(ß^Tlx)\s^u) usw.
die zu j kogredienten Faltungen entsprechen:
Ky{kvxysi,^ (d^Tjxys^ usw.
2) Faltung von s mit System II-III
d.h. von s mit //•(!,*), H'(2,Ji), //•(3,A).
Irreduzible Formern
{a,^H,s,u)\ {{aHuf'H,s,u)\ {(aHuf'H,s,u)\
{(aLuy^H,s,u)\ {{aLuy'H,s,u)\ ((aH'uy-H.s.uy.
B) (al'H, s, ^/)^ (a, {aHuy^H, s, uy, (a.^aLuy-H, s, uy.
— 68 —
^ {(dLuy-H,s,u)% {{0Luf-H,s,u)\ {(eWuf'H,s,u)\
D) (e^(eHuf-H,s,u)\ {e^(eLtif-H,s,u)\
E) (liKLuy.H,s,uy, {(KH^uy-H,s,uy.
{ayxy-H,s,uy, {(jvxy-H,s,uy, {Uv^yH,s,uy, (/r,.//,.,«y,
{Lj - H, s, uy.
Reduktionen: v tritt analog wie j nicht in Faltang ein.
B) and D). (o* .//, ä, uy nnd (Öj-1/, *, «)* zerfallen aus Formel (27.)c)
und (29.)c) anter BerOcksichtignng von (gHuy^—^S'a:
{fll'H, s, uy=^ (asuy-a, (01-H, s, m)*= - 1(Ö5m)*. a;
daraas Zerfallen von {a^(aHu)-H,s,uy, (6^(6Hv)'n^s,uy.
(0l-H,s,uy, {0\,'H,s,uy und daraus (e\id Hu) • H, s, uy
zerfallen nach § 25, Formen 12. Ordnung C).
3) Faltung von s mit System III* III,
d.h. von* mit Formen von System III : (3,i)-(3,X), (3,i)-(2,i), (3,i).(l,/),
(2,A).(2,i), (2,i).(l,i),
IrreduzthU Formen:
A) (rtj-a',5, m)', (a* • aj , s, m)*, (a^ 'a^(aHuy,s,uy.
(a,-Hi,s,uy, {(aHuy.Hf,s,uy, {(aLuy-IIj.s.uy,
((o L uy ' Hj , s, uy, {{aH* uy 'Hj,s, uy.
— 69 —
Reduktionen:
Produkte II- III sollen, bei gleicher Ordnung in Symbolen v and /*,
ala höher gelten wie Produkte III -IIL
Die Reduktionen entstehen zum Teil durch Relationen zwischen
Produkten (Syzygien), zum Teil durch Ersetzen der Produkte durch die
entsprechenden zerfallenden Formen und Reduktion der Faltung dieser
Formen mit s. (Produkte, die Kontravarianten enthalten, sind stets aus-
gelassen, da sie in Produkte übergehen.)
A) f quadratisch, Symbole r in beliebiger Ordnung.
Nach § 11, Formeln (12.) und durch analoge Rechnung gilt:
2) = a,-b\ + f.a^(aHuy-e^-^H^,
3) = aJ.iJ.-^K2ö»,.
Daraus folgt:
4) = 4.6»,OV.a:) (aus 3)),
5) L^(6Lu) = -a,- 6, (6 Huf + 1 «' • (^ ^«)' + | ^l • H (aus 2)),
6) L»(eLu)=-ea,'b^(bHuy + 2al-(bHuy-^el'H (aus 1)),
7) = a,'(bHuy + f-(_aLuy +-0 ,■ H (ans 1)),
8) O = a,'{bLuy + l{0Huf-H
9) 0==(aHuy-{b Huf + 2 (ö Huf -H
(aus 7)),
10) = a,(aiJtt)'.6,(6//tt)' (aus 5) und 6)),
11) = [al'b^{bHu)]-^ (ans Formel (30.) b)).
— 70
Die Redaktionen von
(Formeln (31.) und (32.)) geben zusammen mit den Formeln 1) bis 11) die
Redaktion aller Faltungen von s mit Produkten, die in den Symbolen / qua-
dratisch, V beliebig sind.
B) Produkte von je zwei der Symbole /, ö,/; v in beliebiger Ordnung.
Nach den Formeln (17.), (18.), (20.) und durch direkte Rechnung
gelten die Relationen:
1) Q = a,'e,^ + \e^{aHuy + \f^{eHiL)\
2) o^d,.e,^ + \e.(eHxif
Daraus folgt:
(direkte Rechnung
analog A 1)).
3) 0^^a,^{eHuf + e^(aLiLy^^2f'{eLuf\
\ (aus 1) und A6)),
4) = 3 ö, . (a Huf + f^(0L u)' + 20^ {aLziY]
5) = a,.(öi«0\ = e,'(alAiy, 0=(aHuf-(ßHuf (aus 3), 4) und A 8)),
6) = a,'6l + e,'al + f-d^(dHuy + d'a^{aHuy (Formel (17.)),
7^ n-fl fpj./t a rnfj.A^j.^ f FT [»"»löge Ableitung wie von 6)
Daraus folgt:
8) = a,'{jvxy-^f-Hj (aus 6)),
9) = (aHuf-<Jvxy-2a,.Hj (aus 8)),
10) = e^' {jvx)\ = e-Hi (aus 7) und 8)),
11) = a,.Ö?-|(;V)*
12) o^ai.ep^-lunxf-liJHufl
(Formel (18.)),
— 71 —
13) O = al'0i~}^a, (Formel (20.)),
14) = 0,-61, 0==a^lfj (§13.C)).
Die Formeln sind so weit geführt, bis die Produkte polarisierbar werden;
d. h. daß darch Faltang nar ein neues Produkt entsteht dadurch, daß
a) die Faltung des Produktes in sich reduzibel wird,
b) die übrigen durch Faltung entstehenden Produkte reduzibel werden
oder auf Kontravarianten führen (vgl. § 3. 2), a) und b)).
Formeln 1) bis 5) geben die Reduktion aller Faltungen von s mit
Produkten, die aus Oy-O, durch Faltung entstehen,
Formeln 6) bis 10) die Reduktion derjenigen Produkte, die aus
(ly'Ol durch Faltung entstehen.
Nach § 24 A) zerfallen, unter Berücksichtigung von Formeln 6) bis
10), die Faltungen von s mit Produkten, die aus a^-Oy entstehen.
Es wird:
= al {asuy dy^ {esu)\ = al(asu) 0y^ (0suy - K^ {KHiif (Ks u)^
= al (asu:)'' Oy^ (ßsu), = a^ (asu) Oy^ (0sti)\
O = al(((su)0yXOsti).
Die Reduzenten:
{(jrix)\s,7ty [aus (aris^^iHsu). §23. C 3)],
{Hjipix), s, uy [§ 24, B], (iJnu)\ s, 2iy [§ 24, C],
{a^suj [§24, E]
geben zusammen mit den Formeln 11) bis 14) die Reduktion aller aus
(fy'Ol^, «r-^M «>*^i entstehenden Produkte.
Unsere bisherigen Rechnungen lassen sich zusammenfassen in der
Schlußfolgerung :
Das relativ vollständige System mod (p, besteht aus folgenden
331 Formen und Teilsystemen, die wir anschließend auch tabellarisch ge-
ordnet wiedergeben:
12
72
u,
System I
System II
System III
1 Form 1
6 Formen
5 Formen
117 Formen
Relativ vollständiges System mod (^, (>, t)
[s. Tabelle I].
System Sj
System Sji
System Sm
System Sjy
1 Form ]
35 Formen
9 Formen
125 Formen
32 Formen
[s. Tabelle II].
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