Full text of "Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen"

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Neue 

Grundlagen 
einer Theorie 
der 

allgemeinen . 





Adolf Krazer, 
Friedrich Emi 
Prym 




NEUE GRUNDLAGEN 

EINER THEORIE 

DER ALLGEMEINEN THETAFUNCTIONEN 

VON 

D«. A. KRAZER .-si. Dh. f. prym 

f»:«»-t.»W>K UKK MAIhhMATIK AN PK« rSIVtHIIlil l'li* 'KEÄP''I1 I>E1S II AI UKMAT1K AS l'EB l Sl VERS1T U 

>TR-\**III IUI *-| KÜHl'lli». 

hTKZ ZVSAM MENUEFASVl" UND IIEHAl^UE<JEBKS 
von 

Dr A. KRAZER. 




LEIPZIG. 

DRÜCK UND VKKLAO VON II. O. TECH N K K. 



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196288 

viL 10 !3!5 

• ■ -5 



Vorwort, 



Die vorliegende Arbeit enthält die Resultate jener Untersuchungen, welche 
mein hochverehrter Lehrer und ich während der Jahre 1883 — 1888 gemeinsam an- 
gestellt haben. Diese Untersuchungen lagen Ende 1888 soweit ausgearbeitet und zu 
einem geschlossenen Ganzen vereinigt vor, dass bei weiterer gemeinsamer Thätigkeit 
die Herausgabe derselben im Laufe der nächsten zwei Jahre hätte erfolgen können. 
Da wurden wir, die bis dahin täglich zu gemeinsamer Arbeit zusammengekommen 
waren, durch meine Berufung hierher getrennt und erkannten, nunmehr ausschliesslich 
auf schriftlichen Verkehr angewiesen, bald, dass unter so geänderten Verhältnissen bis 
zur Veröffentlichung unserer Untersuchungen in der von uns beabsichtigten ausführ- 
lichen Weise noch eine Reihe von Jahren erforderlich sein würde. Nun schien es 
uns aber aus mehrfachen Gründen wQnschenswerth , die Resultate unserer Unter- 
suchungen baldmöglichst in den Händeu der Mathematiker zu sehen, und wir be- 
schlossen daher, dass ich aus unseren Mannscripten einen Auszug veröffentlichen solle, 
der die von uns gewonnenen Resultate vollständig enthalten, zugleich aber auch einen 
genauen Einblick in die angewendeten Methoden gewähren würde. Indem ich diesen 
Auszug hiermit der Öffentlichkeit übergebe, will ich es nicht unterlassen, zur Orien- 
tirung des Lesers das Folgende hinzuzufügen. 

Als Herr Prym im Jahre 1879 seine Untersuchungen über die allgemeinen 
Thetafunctionen mit p Variablen und rationalen Charakteristiken begann, waren nur 
wenige dahiu gehörige Formeln bekannt. Diese Formeln bezogen sich fast aus- 
schliesslich auf Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus halben Zahlen gebildet 
sind, und zu ihrer Ableitung wurde ausnahmslos der auf funetionentheoretischen Be- 
trachtungen beruhende llermi te'sche Satz in Verbindung mit der Methode der un- 
bestimmten Coefh'cienten angewendet, ein Verfahren, das in den wenigsten Fällen die 
wahre Natur der mit seiner Hülfe erhaltenen Formeln erkennen lässt. Für seine ersten 



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- IV — 



Arbeiten*), die zu Anfang des Jahres 1882 abgeschlossen wurden, hatte nun Herr 
I'rym sich die Aufgabe gestellt, die bis dahiu bekannten Relationen zwischen Theta- 
functionen mit denselben Parametern aus einer einzigen Formel, der von ihm mit- 
gctheilten und bewiesenen Riemann'schen Thetaformel, auf directem Wege abzuleiten 
und neue Systeme specieller Formeln aufzustellen, zugleich aber auch eine allgemeinere, 
die Rieiuann'sche als speciellen Fall enthaltende Formel zu finden, die ein Findringen 
in das Gebiet der Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus beliebigen rationalen Zahlen 
gebildet sind, ermöglichte. Die vorgesteckten Ziele wurden nun zwar erreicht, jedoch 
musste zur Ableitung der Hauptformel immer noch die Methode der unbestimmten 
Coefficienten verwendet werden. 

Der entscheidende Fortschritt in der angegebenen Richtung wurde gemacht, als 
Herr Prytn im Juli 1882 fand, dass man für die Kie mann 'sehe Thetaformel ausser den 
beiden von ihm schon veröffentlichten Beweisen noch einen dritten von ganz anderen 
Gesichtspunkten ausgehenden Beweis geben könne.**) Das eingeschlagene Verfahren 
bestand darin, dass man in der die linke Seite der Formel bildenden ip fach un- 
endlichen Reihe neue Summationsbuchstaben vermittelst einer linearen, schon von 
Jacobi***) zu ähnlichem Zwecke angewendeten Substitution einfahrt« und hierauf die 
Summation von der ihr anhaftenden Beschränkung durch Einschiebung eines diseon- 
tinuirlichen Factors befreite. Aus der linken Seite der Riemann'schen Thetaformel 
ging alsdann durch directe Umformung die rechte hervor. Damit war ein Priucip 
gewonnen, das, in richtiger Weise verallgemeinert, von fundamentaler Bedeutung für 
die Theorie der Thetafunctionen zu werden versprach. In der That gelang es bald 
darauf Herrn Prym, mit Hülfe dieses Princips eine Thetaformel t) herzustellen, 
welche seine frühere Hauptformel an Allgemeinheit übertraf, und unsere nun beginnen- 
den gemeinsamen Untersuchungen zeigten bald, dass mau auf dem betretenen Wege 
noch weiter gelangen könne. 

Der Gedanke, eine mehrfach unendliche Reihe, bei der jeder Summations- 
buchstabe die ganzen Zahlen von — oo bis -j- oo durchläuft, dadurch umzuformen, dass 
man au Stelle der Summationsbuchstaben vermittelst einer linearen Substitution neue ein- 
führt, findet sich schon in Arbeiten von Eisenstein +1); allein dort wird ausdrücklich die 



*) Prym, Untersuchungen über die Uiemann'ia-he Thetaformel und die Kiemaou'scbc 
CbarukterUtikentheorie. Leipiig 1HSS. Teubner. 

Prym, Kurze Ableituug der Riemann'nchen Thetaformel. (Journal für r. u. a. Matberunük. 
Hü. 93, pag. 184 

I'rym, Ein neuer Beweis für die liieniaan'avbeThetuformcl. i AcUimuthemiitica, Bil.3,pag.Sul) 
Jucobi, Theorie dur elliptiaeben Functionen, aus den Eigenschaften der Thetaieihcn 
abgoleitct {Goaammelte Werke, Bd. 1, png, f><>3) 

t) Prym, Ableitung einer allgemeinen TheUforruel. (Act» matheuiatica, Bd. 3, ]ag. 2t «Vi 
tt) Eiacnttei», Beitrüge ».ur Theorie der elliptischen Functionen. VI. Genuud Unter- 
suchung der unendlichen Doppelproducte, ruh welchen die elliptischen Functionen als Quotienten 
r.nnatnmengfaetzt sind. (Journal für r. n. a. Mathematik, Bd. 36, pag. 173, 190, 230} 



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Bedingung geseilt, dass die Coefticienten der Substitution ganze Zahlen scieu. Auch 
die von Herrn Schröter in seinen auf die Theorie der Modulargleichungon sich 
beziehenden Arbeiten *) angewendete Methode zur Ableitung von Thetaformeln beruht 
auf der Anwendung von linearen Substitutionen mit ganzen Zahlen als Coefticienten und 
ist wohl ana dem Grande nicht weiter verfolgt worden, weil schon iu einfachen Fällen 
die Bestimmung der Sommation für die neu eingeführten Summationsbuchstaben be- 
deutende Schwierigkeiten verursacht. Der Gedanke dagegen, unendliche Reihen der 
angegebenen Art durch eine lineare Substitution, deren Coefticienten beliebige rationale 
Zahlen sind, umzuformen, ist zuerst von Herrn Pryni ausgesprochen und durch Ver- 
bindung mit dem Gedanken der Einschiebung eines discontinuirlichen Factors fruchtbar 
gemacht worden. 

In weiterer Verfolgung dieser Gedauken stellten wir uns beim Beginne unserer 
gemeinsamen Untersuchungen im Jahre 18815 zunächst die Aufgabe, ein Product von 
11 Thetafunctionen mit verschiedenen Parametern in ähnlicher Weise umzuformen, wie 
es kurz zuvor für ein Product von n Thetafunctionen mit gleichen Parametern ge- 
schehen war. Zu dem Ende führten wir in die dem Producte der n Thetafunctionen 
entsprechende iip-fach unendliche Reihe an Stelle der np Summationsbuchstaben 
fM (t) »rai, » — , ■ w « neue Summationsbuchstaben n'*K r ^ M- *, durch eine lineare Sub- 
stitution, die in jeder ihrer Gleichungen nur Grössen »» und « mit demselben unteren 
Index enthielt, ein und suchten alsdann die Coefficienten der Substitution als rationale 
Zahlen so zu bestimmen, dass nach Einschiebung eines passend gewählten discontinuir- 
lichen Factors das vorgelegte Thetaproduct in eine Summe von Thetaproducten über- 
ging. Es zeigte sich, dasa die gestellte Aufgabe identisch ist mit der Aufgabe, eine 
Summe von n quadratischen Formen mit je p Veränderlichen durch eiue lineare Sub- 
stitution der eben angegebenen Art mit rationalen Zahlen als Coefticienten in eine 
ebensolche Summe zu transformiren, und es wurde dadurch die Theorie der hierher 
gehörigen Thetaformeln auf eine rein arithmetische, im Abschnitte des ersten Theiles 
entwickelte Grundlage gestellt. Alle diese Formeln sind in der im 3. Abschnitte auf- 
gestellten Formel (6>), die wir als die Fundamentulformel für die Theorie der Theta- 
functionen mit rationalen Charakteristiken bezeichnen, als specielle Falle enthalten. 
Die Gewinnung dieser Fundamentalformel gelang uns im Jahre 1884, und aus ihr 
leiteten wir dann zunächst die beiden im 4. und 5. Abschnitte mitgetheilten für die 
allgemeine Theorie der Thetafunctionen wichtigen speciellen Formeln ab. 

Unsere nun beginnenden weiteren Untersuchungen bezweckten die Gewinnung 
charakteristischer Formeln für Thetafunctionen mit denselben Parametern, oder, da 



*) Schröter, De aoquatiooibus modularibu». Inaugural- Diwertation, KOnigaber« 1854. 
Schröter, Über die Entwickelung der Potenien der elliptischen Traoscendcnten » und 
die Tbi-ilunK dieser Fonctionen. Habilitationsschrift, Breslau 18&6. 



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— VI - 



eine jede solche Formel zur Grundlage eine orthogonale Substitution mit rationalen 
Zahlen als Coefticienten hat, die Gewinnung charakteristischer orthogonaler Substitu- 
tionen der angegebenen Art. Ein wesentlicher Schritt in dieser Richtung war von 
mir schon im Jahre 1892 gemacht worden, als ich mich mit der Aufgabe beschäftigte, 
hus der von Herrn Prym kurz zuvor gewonnenen, schon oben erwähnten allgemeinen 
Forniel eine speciolle Formel abzuleiten, die für die Thetafunctionen, deren Charakte- 
ristiken aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind, dasselbe leistet, wie die Riemann'sche 
Formel für die Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus halben Zahlen gebildet 
sind. Die zu diesem Zwecke damals von mir construirte, mit Dritteln ganzer Zahlen 
als Coefficienten gebildete und der in meiner Habilitationsschrift*) aufgestellten Theta- 
formel zu Grunde gelegte orthogonale Substitution liess sich nämlich infolge ihrer 
charakteristischen Bauart ohne Mühe verallgemeinern und führte so zu jener merk- 
würdigen mit r" 1 " ganzer Zahlen als Coefficienten gebildeten orthogonalen Substitution, 
welche der am Ende de3 5. Abschnittes aufgestellten, schon früher von uns veröffent- 
lichten Formel zu Grunde liegt. In Verfolgung des angegebenen Zieles stellten wir 
uns nun die Aufgabe, alle orthogonalen Substitutionen zu finden, deren Coefficienten 
halbe Zahlen sind, und gelangten bald auch zur vollständigen Lösung derselben. Unter 
deu so erhaltenen Substitutionen zeichneten sich gewisse durch ihre reguläre Bauart 
aus, und von ihnen ausgehend erhielten wir dann, nachdem wir ihre wahre Natur 
erkannt hatten, durch Verallgemeinerung ähnlich gebaute orthogonale Substitutionen 
mit r Mn ganzer Zahlen als Coefficienten. Die so gewonnenen charakteristischen ortho- 
gonalen Substitutionen finden sich im 0. Abschnitte; die ihnen entsprechenden Theta- 
formeln dagegen werden im 7. Abschnitte aufgestellt und in Bezug auf ihren inneren 
Zusammenhang untersucht. Der 8. Abschnitt endlich enthält einige für die Anwen- 
dungen wichtige specielle Formeln. 

Schon vor dem Abschlüsse unserer auf die Theorie der Thetafunctionen mit ratio- 
nalen Charakteristiken sich bezieheuderrUntersuchungen hatten wir uns, angeregt durch die 
Arbeiten der Herren Hcrmito**), Thoruae***) und Weber f), im Laufe des Jahres 1883 
wiederholt mit dem Probleme der Transformation der Thetafunctionen beschäftigt, jedoch 



•) Kraier, Ober Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus Dritteln ganter Zahlen 
gebildet aind. (Malhem. Anpalen, Bd. 82, pag. 416) 

**) Hermite, Sur quelques formales relative» ä la transforuiation de» fonetion« elliptiques. 
(Journal de MathvmatiquM pure« et apptiquees, Se'r. II, t. III, ptg. 2G) 

Hermitc, Sur la thüorie de la tranaformation de» fonetion» abelienoes. (foropUs 
rendaa, t. XL, pag. 249 u. flg.) 

••*) Thomnc, Die allgemeine Transformation der Functionen mit beliebig vielen Variabein. 
Inangural- Dissertation, Güttingen 186». 

t) Weber, Über die unendlich vielen Formen der »-Function. (Journal für r. u. a. Mathe- 
matik, Bd. 74, pag. 57) 

Weber, über die Transformationstheoric der ThcU- Functionen, in» Besondere d-rcr 
von drei Veränderlichen. (Annali di Matematiea, Ser. II, t. IX, pap. läfl) 



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— VII - 

dabei, der herrschenden Anschauung folgend, nur solche Transformationen in den Kreis 
unserer Betrachtungen gezogen, denen ganze Zahlen o, t>, c, t> als Transforniations- 
zahlen entsprechen. Ks war uns aber damals nicht gelungen, unsere Untersuchungen 
in dieser Richtung zu dem gewünschten Abschlüsse zu bringen. Wir hatten uns 
nämlich die Aufgabe gestellt, die Transformation der Thetafunctionen auf demselben 
Wege, den wir für die Ableitung der auf Thetafunctionen mit rationalen Charakte- 
ristiken sich beziehenden Formeln mit Erfolg betreten hatten, also durch directe Um- 
formung der Thetareihen durchzuführen und auf diese Weise auch die gesammte Trans- 
formationstheoric auf eine von der Methode der unbestimmten Coefficienten unabhängige 
Grundlage zu stellen; bei diesen Untersuchungen waren wir auf Schwierigkeiten ge- 
stossen, die uns zunächst unüberwindlich schienen. Da erkannte Herr Prym im Früh- 
jahre 188f>, dass man gewisse Thetaformeln als Transformationsformeln, denen ge- 
brochene Zahlen a, b, C, t als Transformalionszahlen entsprechen, auffassen könne, 
und formulirte daraufhin das Problem der Transformation der Thetafunctionen in der 
im 1. Abschnitte des zweiten Theiles mitgetheilten allgemeinen Weise. Damit war der 
Hann gebrochen, der bis dahin auf der Transformationstheorie gelastet hatte, und nun 
konnten wir das Problem der Transformation in dem oben ausgesprocheneu Sinne mit 
Erfolg in Angriff nehmen. 

Zu jeder Transformation gehört eine bestimmte positive Zahl (, die eine ganze 
rationale Function der Transformutionszahlen o, 6, c, b ist und welche die Ordnungs- 
zahl der Transformation genanut wird. In der älteren Theorie, die nur ganze Zahlen 
als Transformationszahlen kennt, treten für t nur ganze positive Zahlen auf; in der 
vorliegenden Theorie dagegen kann / mit jeder rationalen positiven Zahl zusammenfallen. 
Eine Transformation, für die t — 1 ist, wird eine lineare Transformation genannt, da in 
diesem Falle die ursprüngliche Thetafunction mit den Argumenten « und den Para- 
metern a, von einer einfachen Kxponentialfunction abgesehen, sich stets linear durch 
Thetafunctionen mit den Argumenten v und den Parametern b ausdrückt. Der Schwer- 
punkt der neuen Theorie liegt in der linearen Transformation; mit den daiiin gehörigen 
Problemen beschäftigten wir uns während der Jahre 1885 — 1887. 

Zunächst leiteten wir durch directe Umformung der Thetareihe die drei im 
2., 3. und 4. Abschnitt« mitgetheilten Transforraationsformeln I, II, III "'\ 0<q<p, ab, 
Die erste dieser Formeln wird dadurch erhalten, dass mau in der Thetareihe au Stelle 
der p Sumraationsbuchstaben in durch eine lineare Substitution mit irgend welchen 
rationalen Zahlen als Coefficienten p neue Summationsbuchstaben » unter gleichzeitiger 
Einschicbung eines passend gewählt«» discoutinuiriiehen Factors einführt. Die zweite 
Formel, die wohl jedem, der sich mit der Transfonuationstheorie beschäftigt hat, 
bekannt ist, entsteht dadurch, dass man in der Thetareihe an Stelle der Parameter a 
neue Parameter b eiufUhrt, die sich von den ursprünglichen um ganze Vielfache von 
xi unterscheiden. Die dritte Forniel endlich, die als die Verallgemeinerung einer zu- 



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— VII! — 

erst von Jacobi •) für Thetafunctionen einer Variable aufgestellten fundamentalen 
Formel anzusehen ist, wird dadurch erhalten, dass man die j)-fach unendliche Theta- 
reihe durch Einschiebung eines gewissen den Werth 1 besitzenden Factors in eine 
Ü' + !?)-fach unendliche Reihe verwandelt, bei dieser die Sunimationsordnung ändert 
und alsdann q der p + q Summationeu ausführt. Die directe Ableitung dieser dritten 
Forniel gelang uns erat, nachdem Herr Pryin die dem Falle jj = 1 entsprechende 
specielle Formel auf directem Wege gewonnen und einen strengen Beweis für die 
Zulässigkcit der erwähnten Änderung der Summationsordnung gefunden hatte. Die 
drei durch die Formeln I, II, Iii" dargestellten linearen Transformationen bezeich- 
neten wir mit T Jf T, n T in<i) und nannten sie elementare lineare Transformationen. 

Die weitere Aufgabe bestand nun vor allem darin, nachzuweisen, dass mau 
jede lineare Transformation T aus Transformationen vom Typus T Jt T n , T n/ zu- 
sammensetzen könne, dann aber auch darin, fflr jede solche Transformation T die ein- 
fachste Art der Zusammensetzung zu finden. Zu dem Ende betrachteten wir zunächst 
diejenigen, von uns „singulare" genannten, linearen Transformationen, bei denen die 
Transformationszahlen b sämmtlich der Null gleich sind, und fanden, dass jede solche 
singulare Transformation S sich aus drei, oder in speciellen Fällen aus weniger als 
drei Transformationen vom Typus T n T u zusammensetzen lässt. Nachdem dieser 
einfachste Fall erledigt war, beschäftigten wir uns mit der Zusammensetzung der all- 
gemeinen linearen Transformation aus elementaren, und es gelang uns, auch in diesem 
Falle die gesteilte Aufgabe vollständig zu lösen. Es ergab sich nämlich, dass mau 
jede nicht singulare lineare Transformation T auf mannigfache Weise aus zwei singu- 
lären linearen Transformationen S', 8" und einer für die Transformation T charakte- 
ristischen Transformation jT ///( , , der Gleichung T — > ST //f ; ,> S" entsprechend, zusammen- 
setzen kann, und es zeigte sich zugleich, dass die sämmtlicben linearen Transforma- 
tionen in />+l streng geschiedene, den Typen 8, S'T /llW S", S'T w . tl S", . . ., 
8'T ll/il , l S" entsprechende (.'lassen zerfallen, in dem Sinne, dass eine lineare Trans- 
formation nur einer dieser p -f- 1 Classen angehören kann. Die Lösung der gestellten 
Aufgabe erforderte langwierige, mit zahlreichen Schwierigkeiten verknüpfte Unter- 
suchungen. Die erhaltenen Resultate sind im 5. Abschnitt« mitgetheilt. 

Eine lineare Transformation kann man, wie schon vorher bemerkt wurde, auf 
mannigfache Weise aus elementaren Transformationen vom Typus T n T lt , T IU zu- 
sammensetzen, und es entspricht zugleich einer jeden solchen Zusammensetzung eine 
bestimmt« Art der Zusammensetzung der zur Transformation T gehörigen Formel aus 
Formeln vom Typus I, 11, III. Je einfacher ab|r die Zusammensetzung der Trans- 
formation T sich vollzieht, um so einfacher gestaltet sich auch die Zusammensetzung 

*) Jacobi, Fundament» novu theoriae fuoctionum ellipticarum. Königt-bur« 1S29, |mg. 165, 
Forme) 9 (Gesammelt« Werke, Bd. 1, pu ? . 217, Formel 9) Man vergleiche auch die im Folgende» 
citirle Arbeit von Rotenhain, pap. 395 — 397. 



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— IX — 



der ihr entsprechenden Formel. Dieser Umstand war bei unseren soeben besprochenen 
Untersuchungen über die Zusammensetzung linearer Transformationen aus elementaren 
massgebend. Wir haben die verschiedensten Zusammensetzungen studirt und uns 
schliesslich fUr die im Texte mitgetheilten als die einfachsten entschieden. Die darauf- 
hin erhaltenen allgemeinen Transformationsformeln erschienen aber zunächst nicht in 
conciser Form; dieselben enthielten vielmehr in den auf ihren rechten Seiten stehenden 
Summen Gruppen von Summanden, die zusammen die Summe Null hatten und die 
daher aus den Formeln ausgeschieden werden mussten, wenn diese in der ein- 
fachsten Gestalt erscheinen sollten. Erst nach mehrfachen Versuchen und nachdem 
ich insbesondere die bei der Zusammensetzung auftretenden Summen G{a], H[x], die 
von ähnlicher Bauart sind, wie die sogenannten G ausstehen Summen, einer ein- 
gehenden Untersuchung unterzogen hatte, gelang es mir, dio Formeln von allen über- 
flüssigen Summauden zu befreien und in die jetzt vorliegende endgültige Gestalt zu 
bringen. Der 6. Abschnitt enthält die so reducirten Formeln, vier an der Zahl; 
dieselben entsprechen den vier bei der linearen Transformation zum Zwecke der Formel- 
bildung unterschiedenen Füllen. Die Zusammenfassung dieser vier Formeln in eine 
einzige Hauptformel und die Special isirung dieser letzteren für den Fall ganzzahliger 
Transformationszahlen bilden den Abschluss der auf die linearen Transformationen sich 
beziehenden Untersuchungen. 

Nachdem so das Problem der allgemeinen linearen Transformation der Theta- 
funetionen seine vollständige Erledigung gefunden hatte, konnte nun schliesslich auch 
daB Problem der nicht linearen Transformation mit Erfolg behandelt und zu einem 
befriedigenden Abschlüsse gebracht werden. Die allgemeine nicht lineare Trans- 
formation kann nämlich unmittelbar aus einer linearen Transformation von allgemeinem 
Charakter und zwei ganz speciellen nicht linearen Transformationen zusammengesetzt 
werden. Die der ersten dieser drei Transformationen entsprechende Formel ergiebt 
sich ohne Mühe aus der im 6. Abschnitte gewonnenen Hauptforme); die den beiden 
nicht linearen Transformationen entsprechenden speciellen Formeln dagegen sind schon 
im 4. Abschnitte des ersten Theiles abgeleitet worden, können aber auch, ohne Rück- 
sicht auf die dort angestellten Untersuchungen, durch ein directes, wohl zuerst von 
Rosenhain *) angewendetes Verfahren erhalten werden. Diese drei Formeln, in 
passender Weise zusammengesetzt, lieferten die im 7. Abschnitte mitgetheilte Haupt- 
formel für die nicht lineare Transformation und damit den Schlussstein für die ganze 
im zweiten Theile dieser Arbeit entwickelte Transformationstheorie. 

Die vorstehenden Ausführungen werden den Leser über den Inhalt der vor- 
liegenden Arbeit genügend orientirt haben. Es erübrigt nur noch, mit einigen Worten 

•) Rotenhain, Memoire mr les fonetioaa de dem variables et a qoatre periodet, qm 
aont les inrerse« de« fonetiona ultra •elliptiquea de la premiere clasi«. (Memoire* pruaeotea pur 
divers aavaot« ä l'acadt-inie de» scieoce» de l'itwtjtnt national de France. Scieoce» matb et pbya. 
t. XI, pa«. 861) 

Ki«i*n nod Ii,»», Tb»t»roBctt»»«t>. b 



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X — 



auf die Bedeutung der entwickelten Theorie hinzuweisen. Da ist denn vor allem der 
einheitliche Charakter der angewendeten Methoden zu betonen; es liegt ihnen aus- 
schliesslich das Princip der directen Umformung der Thetareihe zu Grunde. Nur 
durch consequentes Festhalten an diesem Principe konnte das vorgesteckte Ziel, die 
Theorie der Thetafunctionen auf naturgeruässe Weise zu entwickeln, erreicht werden. 
Auf Grund der Untersuchungen des ersten Theiles stehen jetzt die Thetafunctionen, 
deren Charakteristiken aus r 1 '" ganzer Zahlen gebildet Bind, gleichberechtigt neben den 
bis jetzt fast ausschliesslich betrachteten Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus 
halben Zahlen gebildet sind. Die Untersuchungen des zweiten Theiles dagegen haben 
die Trauaformationstheorie von den bisher bestandenen Beschränkungen befreit und 
die endgültige Losung der dahin gehörigen Grundprobleme gebracht Im Übrigen 
glauben wir weniger auf die gewonnenen Resultate als auf den Umstand Gewicht 
legen zu solleu, dass unsere Untersuchungen der mathematischen Forschung ein neues, 
weites Arbeitsfeld eröffnen. 

Von der Aufnahme, die dieser Auszug findet, wird es abhängen, ob wir später 
einmal unsere gesammten auf die Thetafunctiouen sich beziehenden Arbeiten ver- 
öffentlichen. 



Strassburg i. E., im Oktober 1891. 



A. Krazcr. 




Inhalt.. 



Krster.Thttil. 

Theorie der Thetafonctionen mit rationalen Charakteristiken. 

Seil« 



ICrjUT Ab-chiiiU: Über die l'unvergenz der Tiietareihe. — Pimpe Dotipitiiinun , Formeln und 

Sä-.;,e über '] neUfn:ietie.rien :( 

Zweiter A Ijsi-hii iit : Alg«-t r.D.-.. I. ■ Unterteilungen . '■> 

Dritter Abschnitt: Aufati dbng der Fundamontalformcl de» cr*teu Theilea 16 

Vit-rter Ab.elmitt: Kr--.tR Kyiecialiftirunu' ■■'.er Kundtun c?ntnirortn»t 

Fünfter Abschnitt: Zweite Spvcial'-Mi mig der Kinhlatnr-iita^tormel . . - ■i'.i 

■Sechster Abacbnitt: Aut-teilun^ «im^r für die Theorie der Thetut -Hichoneti * .. )■'. .^-'Il ortho - 
gonalen Ulf ichüDgenajitenie - 39 

Siüb'Jiiter Ati-chnitt : Aufstellung der 1 hetafurinelu , wnleh'- den im vorigen Abaei:nitte ge< - 

woimciiL-n orthogonalen rv-ibeti'- ntionen entapreeben 47 

Achter Abschnitt: Einige Anwendungen der im vorigen Abachnitte aufgehellten Thetafornu-ln 65 



Thnnrift ri»r TranHformation der ThntafTintitinnRn. 

KrMer Abschnitt: Einleitung in die Tran^forniiitionatheorio .... <H 

Zweiter Almebrütt: Die enl<- i-lementiire lineare Tninsiorruntioii 70 

Dritter Abachnitt: Üie tweiti- elcmentiue lineare Trui;»foniiatkiii 78 

Vierter Abtehuitt: Die dritte elementare lineare Transformation . . . ... . ül 

Fünfter Abschnitt: ZuaumroenaeUuiig der allgemeinen linearen Transformation aus elementaren 90 
Sceheter Abschnitt: Aut'-tidf-ing der /.i der allgi-meinoii linearen Tran-formation gehöriger. 

IVt-qfurmel 100 

Siebenter Abschnitt: Von den nicht linearen Transformationci: l'J.'i 



Berichtigungen. 

8eite 10, Z. 9 v. o. leae man „£ £ a .x x ." atatt „£ £ a ,z x u ", 
Seit« IS, Z. 6 t. u. leae man ,,*<i»» = ,<"> 8 i^<< «UU „*<*°> ^ •'<" l- 1 ^", 

Seite 17, Z. 10 v. u. le*e man »T«JI.(f | f , tjf ,|( atatt „T «jjj, e*J"' ) c' 1 f."''", 

Seit« 19 iit in der Formel (F,) unter dorn ersten £ der HncbaUbe a angefallen, 

Seit* 71, Z. 6 t. n. leie man „mit t , ao geht" iUtt „mit *, ao geht ", 

Seite 86, Z. 6 t. u. leae man „t„ - c„ t^" «tatt „t lt — c„ - ■ — c^", 

Seite 108, Z. 2 ». o. leae man „(r»^)"" Btatt „(rtJ,,)*"", 

Seite 110, Z. 14 t. o. leae man „— " atatt „x", 

Beite 188, Z. 4 v. u. leae man „Abschnitte" Matt „Artikel". 



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Erster Theil. 

Theorie der Thetafunctionen 

mit 

rationalen ( 'harakteristike n. 



Erster Abschnitt. 



über die Convergenz der Thelareihe. — Kinige Definitionen, Formeln nnd 

Sätze Aber Thetafanclionen. 



1. 

Unter einer /» fach unendlichen Tlietareihe versteht man eine p-fach unendliche 
Keihe, bei welcher der Logarithmus des allgemeinen Gliodes eine ganze rationale Function 
zweiten Grades der p Summutionsbuchstaben ist. Eine solche Reihe kann, wenn 
die Summationsbuchstaben mit m,,m it tM, bezeichnet, immer in die Form: 

for «, |. x 21 i' « u ,;>v+> £ 
-vi ST» "=<" = l '■=> 



2 



2' 



T.v. — — X II, , 



gebracht werden, bei der die \p(p + 1) Grössen a,, ll =a fl -„, die p Grössen fc^, und 
die Grösse c von »»,, m p unabhängig sind. 

Die erste Frage ist die, welche Bedingungen die Grössen a, b, c erfüllen müssen, 
damit die aufgestellte Reihe absolut convergire. Bezeichnet man aber den reellen Theil 
von a„ u mit r^^, so ergibt sich sofort als notwendige Bedingung für die absolute 
Convergenz der Tlietareihe die, dass der Werth des Ausdruckes: 

Ii = 2,' 21 »v 

stets gegen — oo gehe, wenn irgend welche der p ganzen Zahlen t» ihren absoluten 
Werthen nach über alle Grenzen wachsen, und es lässt sich weiter an der Hand der 
dann immer bestehenden Darstellung von Ii: 

*-1V( ■". + ,£ »':+ r >> + • ■ + 

+ "nV* + » X £ "' 3+ + r£ m ") 



+ 



r <l>> 



zeigen, dass diese als nothwendig erkannte Bedingung für die absolute Convergenz der 



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- 4 - 



Thetareihe auch hinreichend ist; in dieser (Jleichung bezeichnet allgemein r' v 'l die De- 
terminante: 



'n 



'v: 



» i. -i 

''«.-1 



r,_, ,_, r, 



• • r,,_ ( 



'>-l I »'■-IS 
IV t IV 3 

wobei v, p, O Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . . ,/> bezeichnen, die auch theilweise oder 
sämrotlich einander gleich sein können, und der Kall v — 1 in der Weise aufzufassen 
ist, dass die Determinante sich alsdann auf das einzige Element r K , a reducirt. 

Die angeschriebene Darstellung von K zeigt aber weiter, dass die für die Form 
7? gefundene, zur absoluten Convergenz der »-fach unendlichen Thetareihe nothweudige 
und hinreichende Bedingung durch das System der p Bedingungen: 

»Yi<0, '»<0, -f <0, <0, 

und dieses endlich durch die Bedingung, dass die quadratische Form R eine negative Form 
sei, ersetzt werden kann. 

2. 

Unter der Voraussetzung, dass für reelle x der reelle Theil der Form: 

•i—r •<'•">> 
A = 2." E «,... x»x„ 

eine negative quadratische Form ist, kann die Form .1, unter Anwendung einer der 
froheren analogen Bezeichnung, gemäss der Gleichung: 

r, + " -r s + • - - + 



/ ci" «" n" ; Y 

«('•+." '«+.«"■«■»+■■■ +;.>> 



1 



1,-1 



als Summe von p Quadraten linearer Functionen der x dargestellt werden, und man 
erkennt zugleich, dass die reellen Theile der p Grossen: 



" 1 " „"■' „v 



-II -II 

atlich negativo Werthe haben. Die Determinante a^; ist mit der Determinante 
a ii°» ■ ■ • a rr ^ er quadratischen Form A identisch, und es folgt daher auch, dass 
diese Determinante stets einen von Null verschiedenen Werth besitzt. 



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-- ö - 

3. 

Man gehe jetzt auf die in Art. 1 aufgestellte allgemeine Thetareihe zurück, 
uehme an, «las» die reellen Theile der in ihr vorkommenden Grössen a die angegebenen 
für die absolute Convcrgenz der Reihe nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 
erfüllen, und betrachte die Grössen b als unabhängige complexe Veränderliche. Der 
Werth der Reihe soll als Function dieser Veränderlichen aufgefasst und, nachdem man 
noch statt des Buchstabens b den Buchstaben u< gewählt, die Grösse e aber gleich Null 
gesetzt hat, mit 9(ic t | u? s ' . . . | it-,,) bezeichnet werden, sodass also: 

"»i=-!-* m / =-r* 21 21 "u/a "'., •".,• + 4 21 '»„™ u 

«■,>- 2 mmm 2 

ist. Die Function 9(tc l | iCj | . . . | ist dann eine eiuwerthige und für alle endlichen 
w auch stetige Function der coniplexen Veränderlichen tr lr «>, welche den 

Gleichungen: 

(I 0 ) &(u\ . . . >, -f ,t< . . . «>) = »•(*'■, •■• ■ ■ ■ , ">) , (r= _, „ ^ 

(2 0 ) e-(w, + «„.... | «> + <v) ■= »<«•, .... »v ' ' '•-'-"» 

genügt. 

In die in Art. 1 aufgestellte ;>-fach unendliche Thetareihe führe man weiter an 
Stelle der Grössen b u b t , . . ., bf, die Grössen u\ -f- c, , tc* H- r. , . . ., u^, -f- c,, ein, indem 
man unter w lf ir s , . . . , w,, wieder unabhängige complexe Veränderliche, unter c, , c„ . . ., e p 
willkürliche complexe Constanten versteht. Bringt mau dann, was immer und nur auf 
eine Weise möglich ist, dieses < ■onstantensjstem mit Hülfe reeller Grössen <jr, h in die 
Gestalt: 

p—p »• )<—p 
h x ni + 21 g h a u , \ h t ai -f- 21 ij^a. U, tu + 21 (j„a l fi 



und setzt gleichzeitig: 



U —f, i, — p — /, 

c -= 21 21 a f ,p'j f .y., +2 21 t/Jtr,, + h ,,%»), 
.. = i ,.■=! ..-1 



so entsteht die allgemeinere Function: 



* 21 I"-., 



"•■-+ x »Y^-r« 2," 1' ■„■l», + >„l(»,'+i„', J -)i' I^tj.I'^V"" 

= 2 2 e " 1 "'" 1 



*>l , — — * 



welche ihrer Entstehung gemäss mit der vorher gewonnenen einfacheren Function 
fr(w, | . . . I te p ) durch die Gleichung: 

- ' H „ = 1 h ,. t 

>' — v = >■ « —I' 

2.' 2." ••„„ ^j>„' + » 21 ?„<«-i, +*,.«'> 



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- « — 



verknüpft ist und in dieselbe übergeht, wenn die Grössen <j, h sämmtlich den Werth 
Null annehmen. Jede Function von der Form 

*[!::::?](«. i.-i «v) Theta- 
function genannt werden. Entsprechend den Gleichungen (1 0 ), (2 0 ) bestehen für sie 
die Gleichungen: 

(i) »R: ■::;]Ki...|Hv + Ä »i...i.^ = *p:;:^]f« ; j...|,r,|...|« > )e' ; '^ ( , 
(^) *[?.:::£](*, + «.. I ••• i «v + «,.) = *[:::::?](», !••• 1 «•„) 

Das Symbol möge die Charakteristik der Thetafunction heissen und, 

wenn kein MisBvcrstandniss zu befürchten ist, kürzer mit [j] bezeichnet werden. Die 

Charakteristik [^'] = + £ + möge die Summe, die Charakteristik 

[Ii:] = Ii:::!;:?] Diff ™ d ' r Charakteristiken [:], [;] genannt 
werden. Eine Charakteristik, deren Elemente für v = 1 , 2, . . j) d**n Bedingungen 
0 < </, < 1, 0 < /», < 1 genügen, möge eine Normalcharakteristik genannt werden. 
Zwei Charakteristiken J^J, sollen codgruent genannt werden, wenn ihre ent- 
sprechenden Elemente sich nur um ganze Zahlen unterscheiden; im anderen Falle 
mögen sie incongruent heissen. Eine Function & [J] (tc, | ... | «>), deren Charakteristik 
eine Normalcharakteristik ist, möge eine Noruialfunction genannt werden. Zwei 
Functionen fl-f^jf«', |...| w f ) und 9 [*.J (ir, | . . . \w^) sollen nicht wesentlich verschieden 
genannt werden, wenn ihre Charakteristiken einander congrueut sind; im anderen Falle 
mögen sie wesentlich verschieden heissen. 

Die p Grössen «.-„, . . ., w p sollen die Argumente, die \p(j> -\- 1) Grössen 
a l0 ,- = a,,-,, die Parameter der Thetafunction genannt werden. In den Fallen, wo die 
Ausdrücke für die Argumente einer Thetafunction sich uur durch untere Indices unter- 
scheiden, möge es erlaubt sein, hinter dem Functionszeichen nur den allgemeinen 
Ausdruck für die Argumente mit Weglassung des Iudex in doppelte Klammern ein- 
geschlossen zu schreiben, also # statt (W| | . . . | w p ); im Anschlüsse daran 
möge dann das Grössensystem tc l | . . . | w, einfacher mit (w), ein System ir, -j- Ä , | . . . j w,. -f- J r 
mit (w -f- und endlich noch ein System von der Form: 

tc t + \xi -{-V^a,,, | • • • tr, -f- h p ui + Zg^a,,. , 

wenn es das Argumeutensystem einer Thetafunction mit den Parametern a bildet, 
symbolisch mit (tv +\'\) bezeichnet werden. Das Vorhandensein der Parameter a 
soll nur dann bei der Bezeichnung der Function und zwar in der Form #[^]((k'X, 
Elim Ausdruck gebracht werden, wenn gleichzeitig Functionen mit verschiedenen Para- 
metersystemen betrachtet werden. 



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- 7 — 



Es sollen noch einige Formeln aufgestellt werden, die im weiteren Verlaufe 
der Arbeit als Hülfsforineln wiederholt zur Anwendung kommen. Zu dem Ende mögen 
unter g\,---,ff f , h'i f ...,h' p irgend welche reelle Constanten, unter <p lt ... , <p pt 1r lf ...,tt> e 
dagegen irgend welche ganze Zahlen verstanden werden; es bestehen dann die Formeln: 



U mm. j> ii p f*-*P 



(CO 



- > -. r » — ^11 »Ii 



(z>) *[:]|« + |;j)-*p]M« 



• Z n yll . 9f , - i £ 9 „ «-„ + * .T , - V - ¥/ , *„) »i 



Die früher aufgestellten Gleichungen (1), (2) sind als specielle Fälle in der Formel (D) 
enthalten. 



Es sollen jetzt speciell Thetafunctionen mit rationalen Charakteristiken, d. h. 
solche, deren Charakteristiken nur rationale Zahlen als Elemente enthalten, betrachtet 
werden. Eine Thetafunction mit rationaler Charakteristik kann stets in die Form: 



Ol I • • ■ I «>) 



gebracht werden, wobei r eine positive ganze Zahl, die «, *' irgend welche gauze 
Zahlen bezeichnen. Diese Function soll eine zur Zahl r gehörige Thetafunction ge- 
nannt, und von allen diesen Thetafunctionen soll gesagt werdeu, dass sie die zur Zahl r 
gehörige Gruppe von Thetafunctionen bilden; in dieser Gruppe kommen r** Normal- 
funetionen vor, und jede andere Function der Gruppe ist von einer dieser r** Norraal- 

•p~ 

funetionen nicht wesentlich verschieden. Die Charakteristik 



80Ü, 



L r J L' 

wenn dadurch kein Missverstandniss zu befürchten ist, zur Abkürzung mit [-£-] und 
entsprechend die zugehörige Thetafunction mit ^[—jt« 1 ) bezeichnet werden. 

Die r 1 * zur Zahl r gehörigen Normalfunctionen sind stets linear unabhängig, 
d. h. es kann zwischen ihnen, bo lange die w den Charakter unabhängiger Veränder- 
lichen haben, niemals eine Relation von der Form: 



• j 



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- H 



Vr (IC, ■ • • «>) 



bestehen, bei der die f** Buchstaben C t . von if> unabhängige Grössen 

bezeichnen, die nicht alle den Werth Null besitzen. 

Der Quotient irgend zweier zur Zahl r gehörigen Thetafunctionen soll ein 
zur Zahl r gehöriger Thetaquotieut genannt, und von allen diesen Quotienten soll 
gesagt werden, das« sie die zur Zahl r gehörige Gruppe von Thetaquotientcu bilden. 
Ein jeder solcher zur Zahl r gehöriger Thetaquotient: 

*|;>, ••■ .<,:• 

genügt den Gleichungen: 

<l ur, l • ■ + rxi\- ■ ■ tc,) (J r {u\ ■■■ u; ■ • • u;\, 
Q> i'fi + rat , ■ • • | M\. -f- ra i t) = <<!r (k'i ■ ■ ■ \ «*>) 
und ist also eine 2/i-lsich periodische Function der cotuplexen Veränderlichen 
if, «j ... tv , welclie die 2/* <frössensystenie: 

rm <» ...<>, ra tl \ ra lt . . . j ra rl , 

0 ... o , r « lf r«, 2 ... rfi,», 

0 j 0 J... » jti , rat,, ru ty . . . . ra,,,. 

als Periodensysteme besitzt Ist umgekehrt der aus irgend zwei Thetafunctionen ge- 
bildete Quotient Q(u t ... w,.) eine 2j»-fach periodische Function der compleien Ver- 
änderlichen ic,,...,u r , welche die soeben angeschriebenen 2p Grössensystemo als 
Periodensysteme besitzt, so kann man die Function QUt\ .... tc^) von einem con- 
stanten Factor abgesehen immer durch Einfuhrung passend gewählter neuen Ver- 
änderlichen m'| , . . . , Wp in eine Function Q r (w, j . . . \ ü f ) der vorher betrachteten Art 
verwandeln. Man erkennt daraus, dass die Bedingung der Periodicität, sobald man 
sie für den Quotienten irgend zweier Thetafunctionen stellt, mit Notwendigkeit auf 
Thetafunctionen mit rationalen Charakteristiken führt, und weiter auch, dass die Ein- 
theilung dieser letzteren Functionen in Gruppen, wie sie oben gemacht wurde, eine 
wohl berechtigte ist, da allen aus je zwei Thetafuuctionen einer Gruppe gebildeten 
Quotienten die nämlichen, der betreffenden Gruppe eigentümlichen 2p Periodensysteme 
zukommen. Die r*r — 1 speciellen zur Zahl r gehörigen Thetaquotiente», welche ent- 
stehen, wenn man die von verschiedenen r* f — 1 zur Zahl r gehörigen 
Normalfunctionen durch theilt, sollen die zur Zahl r gehörigen Normal- 
quotienten genannt werden. Bei der Untersuchung der zur Zahl r gehörigen Theta- 
functionen und Thetaquotienten wird man sich auf die Betrachtung der r-f Normal- 
functionen und r*'' — 1 Normalquotienten als Grundfunctionen beschränken. 

Die in den weiteren Abschnitten dieses ersten Theiles durchzufahrenden 
Untersuchungen bezichen sich ausschliesslich auf Thetafunctionen mit rationalen 
Charakteristiken. Der Zweck dieser Untersuchungen ist die Aufdeckung der zwischen 
den genannten Functionen bestehenden Beziehungen. 



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Zweitor Abschnitt. 
Algebraische Untersochnngen. 



1. 

Die am Ende des vorigen Artikels erwähnten Beziehungen zwischen Tbcta- 
funetionen mit rationalen Charakteristiken gelangen durch Form ein zum Ausdrucke, 
die sämmtlich aus einer einzigen Fuudamentalformel abgeleitet werden können. Um 
eine Grundlage für die Herstellung dieser Fundamentalformel zu gewinnen, empfiehlt es 
sich, zu?or die nachstehende algebraische Untersuchung anzustellen. 

Gegeben seien die beiden quadratischen Formen: 

A — 2 £ (ti^u-Zf, xl -f- (tu^Xf, ay ~f" ' ° ' ~f~ "J»! '^^■ r I. )> 

u _ "7 "F (C ;W + CjW + ••• + C-ttWth 

dabei seien die w;> Veränderlichen x ebenso wie die np Veränderlichen y von einander 
unabhängig, es seien ferner die Grössen a%- =• a% sämmtlich von Null verschieden 
und ausserdem so beschaffen, dass für reelle x der reelle Theil der Form A eine 
negative quadratische Form ist, es seien dagegen die Grössen b^'j, — zunächst 
keinen Bedingungen unterworfen. Man stelle die Frage, welchen Bedingungen die 
Grössen a, l noch genügen müssen, damit die Form A in die Form B übergeführt 
werden könne durch eine lineare Substitution mit nicht verschwindender Determinante 
von der Form: 



(«) 

u — 1 , 2 , . . . , ;> , 



deren Coefficicnten r sämmtlich rationale Zahlen sind, und deren Systeme (6,), (5,),.. ., yS,) 
nicht zerfallen; dabei wird ein System (S f .) ein zerfallendes genannt, wenn in Folge des 
Verschwinden« gewisser seiner Coefficicnten rSr'w der n Grössen yj,' 1 , i/f , .. yl" nur 

Kr.nu uo.l F*tn, Tl<«»fuiielioBci. 8 



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— 10 — 



in tu der n Gleichungeu des Systems (5,,) vorkommen, «nd zugleich diese m Gleichungen 
keine der n — m übrigen Grössen y enthalten. 

Als nothwendige und hinreichende Bedingung für die Möglichkeit dieser Über- 
führung findet man, das» die Coefficienten a, h der Formen A, IS sich in die durch 
die Gleichungen: 

.#-^/?/?^-, c*-,''wv (;::::;, ;:;..:;) 

bestimmte Gestalt bringen lassen, wobei die <!„,,■ n (1> Grössen bezeichnen, die aiimnit- 
lich von Null verschieden und ausserdem so beschallen sind, dass filr reelle x der reelle 
Theil der Form SSa^-x^x* eine negative quadratische Form ist, wobei ferner die 

/", ff von Null verschiedene, im Übrigen aber keinen Bedingungen unterworfene rationale 
Zahlen sind, und wobei endlich die )>, <j positive rationale Zahlen von der Beschaffen- 
heit bezeichnen, dass filr die mit ihnen als Coefficientcn gebildeten Formen: 

P = p- j- 1 ' -f fl*'ix^ -\ f- p^x^' , 

eine nicht zerfallende lineare Substitution von der Form: 

X'» = l "yt) -f- H^ift: -\ f- P*Ufl , 

- + + h f**y>, 

= (~i:yi) 4. / -j. y. f">tj "i, 

deren Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind, existirt, welche die Form P in 
die Form Q überführt 

Erfüllen die Coefficienten a, b die angegebenen Bedingungen, so entspricht zu- 
gleich jedem solchen Systeme von n" rationalen Zahlen t eine in ihren Coefficienten r 
durch die Gleichungen: 

Ja) 

bestimmte, in ihren partiellen Gleichungensystemen (&',), (S t ), . . ., (S,,) nicht zerfal- 
lende Substitution (Sj mit rationalen Zahlen als Coefficienten und nicht verschwindender 
Determinante, welche die Form A in die Form Ii überführt, und es uinfasst die Ge- 
saramtheit der auf diese Weise construirbaren Substitutionen (S) alle überhaupt exi- 
stirenden Substitutionen der angegebenen Art, welche die Form A in die Form H 
überführen. 

Mau wird hier noch bemerken, dass die in der angegebenen Weise gebildeten 
Substitutionen (S), insofern als ihre Coefficienten von den Grösscu a^- vollständig un- 
abhängig sind, die Überführung der Form A in die Form B auch dann noch bewirken, 
wenn man bei den in A und B vorkommenden Grössen a,,^ von den oben gestellten 
Bedingungen absieht. 



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- 11 — 



Auf Grund des im vorigen Artikel Gefundenen reducirt »ich die Aufgabe, alle 
den geinachten Voraussetzungen entsprechenden Forinenpaare A, B, welche so beschaffen 
sind, dass die Form A sich durch eine Substitution CS) von der angegebenen Art in 
die Form B überführen liisst, zu bestimmen und zugleich für jedes solche Formenpaar 
alle Substitutionen (S) der angeführton Art, welche diese Überführung bewirken, an- 
zugeben, auf die einfachere, alle mit positiven rationalen Zahlen ]), q als Coefficienteu 
gebildeten Formenpaare P, Q, welche so beschaffen sind, dass die Form P sich durch 
eine nicht verfallende lineare Substitution (?'), deren Coefficienten / säninitlich rationale 
Zahlen siud, in die Form Q überführen lässt, zu bestimmen und zugleich für jedes solche 
Formenpaar P, Q alle Substitutionen ( 7") der angeführten Art, welche diese Überführung 
bewirken, anzugeben. Diese Aufgabe soll jetzt behandelt werden. Dabei nehme man 
an, was ohne Beschränkung der Allgemeinheit geschehen kann, dass die Form P eine 
willkürlich gewählte sei. Die vorher gestellte Aufgabe kommt dann darauf hinaus, zu 
der willkürlich gewählten Form P alle nicht zerfallenden Substitutionen T zu finden, 
welche die Form P in Formen Q überführen. 

Man kann zunächst eine speciello Substitution: 

y» = u -f //•-W/*' -f j,'«y-'i -f • • • + p-*-r,y(.K-t\ 4. pU>\y\«- u _|_ y... f 
., -' = — s n >y 1 + ;/ s )/ s -f- p" y 11 + 1- pt«-"y— * -f- pi»y— -f ,/»> , 

^ X' 18 ' = S'*'!/'*' -f- ;/' t/ ' + ■ • - -f -f- |>l»y«-l; y»i } 

j-lK-iy __ _ .s<-*-*>y:«- r -(. ;/»y—l/ 4. y»J f 

wobei für v = 1, 2, . . ., m: 

j/i; 4- _j ^ = s m) 

gesetzt ist, angeben, durch deren Anwendung die Form: 

P = v n> x >;•' 4. ^»i^t:' -| 1_ ^'-»jcCt 5 

in eine Form Q, nämlich in die Form: 

Q «. s <» s t«ytyi>' + jpit/*- 1 1- ««-»Vy «y— 1 * + s^t/""* 

übergeht, und sodann aus dieser Substitution die allgemeinere: 

-fd) = /<0f*i^y»iyi) _l ^»/'"jjOy» _|_ . . . _|_ fu^^ivy«-!! /uty», 

a (S » = — s<»y» + /(« p»> j,f«y*> -f ^ #*>/<«> j><«y»-i» 4. /<*y«:, 

^) x (ai = — s< !l y«> 4- \- P' <*•) p(»y('-u 4. f<'y »! , 

ableiten, in der für v = 1, 2, . . ., n : 

pi»t>,i)' 4- jt'uw 4- ■ ■ • 4- /> ^,, << ,), = lw 



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- 12 - 



gesetzt ist, und durch welche die Form P in die Form: 

Q = i i ^»yy -f r'*>>ys)y:»,' -j (. ^"-^l^p'^y-^ + Ä^y 1 ' 

übergeführt wird. Bei dieser Substitution (f) sollen /<" , ?*> , . . ., von Null ver- 
schiedene rationale Zahlen bezeichnen; man wird aber bemerken, dass dos Gleichungen- 
system (T) auch dann noch eine, wenn auch zerfallende, Substitution, welche die Form 
J' in eine Form Q überführt, darstellt, wenn man die Grössen f<*>, . .., /<"' theil- 
weisc oder auch insgesammt der Null gleich setzt, für dagegen die gemachte Vor- 
aussetzung aufrecht hält. Setzt man dagegen <"> = 0, oder, um sogleich den allge- 
meinsten Fall einzuschliessen , = f> = . . . = = 0, während von Null 
verschieden sein soll, so verliert das Gleichungcnsysteni (T) seinen ursprünglichen Cha- 
rakter, da in diesem Falle die ersten v Gleichungen desselben in s< l > =0, x»> = 0, 
.... *"> = 0 übergehen. Entfernt man aber dann diese v Gleichungen aus dem 
Gleichungensysteme (T) und setzt an ihre Stelle die Gleichungen x [>) ~ y, x if ' — y"' 
. . ., x w = y , so stellen diese zusammen mit den »i — v noch übrigen Gleichungen 
des in der angegebenen Weise specialisirten Systems (T) eine zerfallende Substitution 
(TJ dar, welche die Form P in eine Form Q überführt, und welche im Folgenden als 
der den Werthen <<» = #*> = . . . — /"> = 0, <■:■->' =1= 0 entsprechende specielle Fall der 
Substitution (T) angesehen werden soll. 

Die gewonnene Substitution (T), die im Folgenden, insofern sie zur Zahl n ge- 
hört, mit (T"') bezeichnet werden soll, ist von besonderer Wichtigkeit. Man kann 
nämlich eine jede Substitution (J 1 " 5 ), welche die Form P in eine Form Q überführt, 
in der Form (2*"°) — (T < " > ) (T "') zusammensetzen aus einer in ihren Parametern t 
passend bestimmten Substitution (T l " ) und einer Substitution (T ''"'), welche aus der 
Gleichung i 1 " 1 =» y und eiuem die Grösse y nicht mehr enthaltenden Systeme von 
n — 1 Gleichungen besteht, das, für sich betrachtet, eine zur Zahl u — 1 gehörige 
Substitution (T*" -1 *) bildet. Ist dies geschehen, bo kann man in derselben Weise die 
Substitution (T [ — n ) in der Form (l*' - ") « (x" 1-1 ) (T '""") zusammensetzen aus einer 
in ihren Parametern passend bestimmten Substitution (x'" -1 j und einer Substitution 
( r 1 "-"), welche aus der Gleichung *"•-«> = y-" und einem die Grösse y-'> nicht mehr 
enthaltenden Systeme von n — 2 Gleichungen besteht, das, für sich betrachtet, eine 
zur Zahl « — 2 gehörige Substitution (T 1 *-* 1 ) bildet. Fährt man so fort, so ergiebt 
sich schliesslich, dass jede Substitution (T" 0 ), welche die Form P in eine Form Q 
Uberführt, mag dieselbe eine zerfallende oder eine nicht zerfallende sein, sich aus n 
Substitutionen von der Gestalt (T*"'), (T (,) ), (T 10 ) beziehlich, unter Hin- 

zuuahme identischer Substitutionen, zusammensetzen läBst. Beachtet man dann noch, 
dass man auch umgekehrt immer wieder eine zur Zahl n gehörige Substitution (T), 
welche die Form P in eine Form Q überführt, erhält, wenn mau in derselben Weise, 
wie es soeben zur Erzeugung einer gegebenen Substitution (J'*') geschehen ist, n Sub- 
stitutionen von der Gestalt (T"), (!*-"), (t"), (T Ui ) beziehlich, unter Hinzu- 



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- 13 - 



nähme identischer Substitutionen, zusammensetzt, so ergibt Bich schliesslich, dass man 
alle Substitutionen (T), welche die Form P in Formen Q überführen, erhält, wenn 
man bei der soeben definirten Substitution (J'"') die in den » erzeugenden Substitu- 
tionen (T) im allg emeinen Falle vorkommenden $«(»» + 0 Parameter sich im Gebiete 
der rationalen Zahlen frei bewegen lässt, jedoch so, dass niemals die in derselben er- 
zeugenden Substitution vorkommenden Parameter gleichzeitig den Werth Null annehmen. 
Damit kann aber die Aufgabe, alle Substitutionen (T), welche die Form P in Formen 
Q überführen, und daher auch die früher gestellte specicllcrc, alle nicht zerfallenden 
derartigen Substitutionen (T) anzugeben, als gelöst betrachtet werden. 

3. 

In diesem Artikel soll noch gezeigt werden, wie man alle Substitutionen (J), 
welche eine gegebene Form P in eine gleichfalls gegebene Form Q überführen, er- 
halten kann, sobald eine Substitution (T) bekannt ist, welche diese Überführung be- 
wirkt. Bei der Lösung dieser Aufgabe erkennt man sofort, daas man, sobald eine Sub- 
stitution (7) =- (7"), welche die Form P in die Form Q Überführt, bekannt ist, 
alle überhaupt existirenden Substitutionen (jT), welche diese Überführung bewirken, 
aus der Gleichung (T) = (2") (A') erhält, wenn man darin au Stelle der Substitution 
(Ä') der Reihe nach eine jede der überhaupt existirenden mit rationalen Zahlen als 
Coefncienten gebildeten Substitutionen, welche die Form Q in sich überführen, treten 
lässt, und hat damit die gestellte Aufgabe auf die einfachere zurückgeführt, alle mit 
rationalen Zahlen k als Coefncienten gebildeten Substitutionen (A*) zu bestimmen, welche 
die Form Q in sich überführen. Die Lösung dieser Aufgabe soll jetzt zum Schlüsse 
für eine beliebig gewählte Form Q angegeben werden. 

Versteht iiihr unter /'>"> (p, v = 1 , 2, . . . , n) irgend n* rationale Zahlen, für 
welche die Gleichungen: 

p«"—!,-' f<v". + /-,)«o (<•••'-;.•,*•„ ) 

bestehen, und deren Determinante L in Folge dessen einen von Null verschiedenen 
Werth besitzt, und setzt alsdann, indem man die Adjuncte von / < '-'° ) in der Determinante 
L mit A«"*' bezeichnet und unter *<■> . . . «<*> eine beliebige aus den Zahlen -f- 1, 
— 1 als Elementen gebildete Variation versteht: 

L,^ ' . L ' \ <i ) 

so führt die mit diesen rationalen Zahlen k als Coefncienten gebildete Substitution: 

x'-n = j'i» ,/n _|_ i-ds) y*> _j_ . . . 4. /j>") y (-, f 



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14 - 

stets die Form: 
in die Form: 

Ober, und oä wird zugleich durch die Gleichungen (A~) unter den über die Grössen /, * 
gemachten Voraussetzungen die uligemeinste derartige Substitution dargestellt. 
In der Substitution (Ä") ist als specieller Fall die Substitution: 

= 1 2 *'^-- s y ■ + t *£ y: + . . . + f -'<" y u) , 



•*fl'- J — Jl 2a 1 '" 

*<* * »/" + *' 9 , V : + ••• + * * y* , 



*'"=« 1 .</" + ' -\~ !/'>+ •■•+«-?- V', 
wobei t = I- 1, und: 

-f ,/•*: -f . . -f. = s 

gesetzt ist, enthalten, die man als die einfachste nicht zerfallende Substitution (A'), 
welche die Form Q z in die Form <?„ überführt, ansehen kann, und aus der man sofort 
die allgemeinere derartige Substitution: 

se^iV" ,n , tP'W* - * ■ir i> ('- ) q"" ... 

^ = * 4 - y n + * - </■' + •'•■!-' s - — y r . 

.,;.") = f - -. 1 j''-f { * y* + + * y*\ 

« s « 

wobei * = 1 1 , und: 

qMf.iv 4. f /--!fS.i' -| -|- = J 

gesetzt ist, ableiten kann. Bei dieser Substitution bezeichnen r'»-, . . . , i<"> zunächst 
von Null verschiedene ratiouale Zahlen. Da aber die Substitution (K) auch dann noch 
eine, wenn auch zerfallende, Substitution, welche die Form in die Form & über- 
führt, darstellt, wenn man die Grössen t theilweisc der Null gleichsetzt, 80 soll für das 
Folgende die Bedingung, dass die t sämmtlich von Null verschieden seien, fallen ge- 
lassen werden. 

Die gewonnene Substitution (K), die im Folgenden, insofern sie zur Zahl w 
gehört, mit (K'"') bezeichnet werden soll, ist für die Substitutionen (A'_) von derselben 
Bedeutung, wie die im vorigen Artikel aufgestellte Substitution (T) für die dort be- 
handelten Substitutionen (T). Es kann nämlich gezeigt werden, dass jede Substitution 
(A" l " : j, welche die Form Q x in die Form Q t überführt, sich aus « Substitutionen von 



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- i;> - 

der Gestalt (K (K l8> ), (R ül ) ber.iehlich, unter Hinzuuabme identischer 
Substitutionen, zusammensetzen liisst, und daraus folgt weiter, das« man, da auch um- 
gekehrt immer wieder eine zur Zahl n gehörige Substitution (K), welche die Form 
Ql in die Form Q, überführt, entsteht, wenn man m Substitutionen (K M ), (K ( "~"), 
(K w ), (K (i> ) in dieser Weise zusammensetzt, alle Substitutionen (A*), welche die 
Form Q; in die Form Q t überführen, erhält, wenn man die in den n erzeugenden 
Substitutionen (KT) vorkommenden ^ n(n + 1) Parameter sich im Gebiete der rationalen 
Zahlen frei bewegen lüsst, jedoch so, dass niemals die iu derselben erzeugenden Sub- 
stitution vorkommenden Parameter gleichzeitig den Werth Null annehmen, und zugleich 
einer jeden der n in den « erzeugenden Substitutionen vorkommenden zweiten Ein- 
heitawurzeln unabhängig von den übrigen sowohl den Werth + 1 als auch den Werth 
— I annehmen lässt. 



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Dritter Abschnitt. 
Aofstellnns der Fundanwntalfonnel des ersten Theiles. 



l. 

<i»-gobcn seien zwei quadratische Formen: 

y>- - " v " ? (,,;;,; yj> + + . . . + e*W) , 

,H = I ,U'=I 

die in ihren Coefficienten a, b so beschaffen sind, dass der reelle Theil einer jeden von 
ihnen eine negative quadratische Form ist, und dass zu ihnen eine Substitution (S) 
der früher angegebenen Art exiatirt, welche die Form A in die Form B überführt 
Weiteren Bedingungen sollen die Formen A, B nicht unterworfen sein, und es soll auch 
von der im vorigen Abschnitte eingeführten Beschränkung, dass die die Substitution 
(S) bildenden partiellen (ileichungensysteme (S,), («S,), . . . , (S f ) nicht zerfallen, hier 
abgesehen worden. In diesem Artikel soll gezeigt werden, dass jeder Substitution (>S) 
eine charakteristische Thetaforinel entspricht, und es soll zugleich die alle diese For- 
meln umfassende Fundatuentalformel aufgestellt werden. 

Zu dem Ende ordne man eiiier jeden der n quadratischen Formen: 

,t<" = i' , - "1 : *'xa«W*x?, A»>-Z "s'a^^ 

eine Thetafunction, welche die Coefficienten der betreffenden Form als Parameter ent- 
hält, zu, al«o fflr v = 1, 2, . . . , n der Form A (,i die Function: 

«i^+k = 2. 2. <•„„■■■<„ H' ~ T~ A ■»,< 

indem mau dabei unter «',", uT , • ■ ■ , «;'' beliebige complexe Veränderliche versteht, und 
bildo das Product der h Functionen »i[i^"}j X) , »f«' 11 j>,„i») • ^J"'" 1 ])»; man erhält 
dann die Gleichung: 



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- 17 - 



_, . .+, -,....4« r £' iM. l .:'»:Ni, ,: * +~ l ; ! . < ; ) ) 

bei dir für ft = 1 , 2, . . . , )) das System der n Sutnmatiouäbucbstabeii »i'„ l) , m\* [ , . . ., m;" ) 
abgekürzt mit [?«„J bezeichnet ist, und das dem bestimmten Indes [t entsprechende 



Zeichen 



H andeuten soll, dass nach jedem der n Suminationsbuchstaben 

I-...J 

c<. bis -j- zu äummiren 



Inj 

, »»„ von 



Die auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende M/>-fach unendliche Reihe 
soll jetzt dadurch umgeformt werden*), dass man an Stelle der Summationsbuehstabcn 
»i neue Sunituationsbuehstaben ;i einführt mit Hülfe der Substitution: 



r„< , = « i + t :; i! »r + - + r»: ) 



IL = 1, 2, p, 

welche aus der früher aufgestellten, die Form A iu die Form B überführenden Sub- 
stitution (S) abgeleitet wird, nachdem man deren Coefticienten rlT' entsprechend den 
Gleichungen: 



/('•"-'• » \ 



wobei c',;"" eine ganze, r„ eine positive ganze Zahl bezeichnet, als Quotienten ganzer Zahlen 
dargestellt hat, und bei welcher daher die Zahlen c, r den Bedingungen: 

I«'^ c e>A«'»''«^^' weun /«.«• = .,* \ 

t-i •"" " •" 0 , wenn ff ö, \ - 1 * 

genügen. 

Bezeichnet man die Determinante 2,' 4- fL"'clf ,) . . . cT' der » a Coefficienten des 
Systems (£„) mit ^ und die Adjuncte von cjT* in dieser Determinante mit «f, 0 "' , so 
folgt aus den Gleichungen (S) durch Auflösung: 



(SV) 



f = i. 2, ■ ••,;>■ 

*) Man vergl. biezu die AbbuiidluBg: lYvm, Ableitung einer atigemeinen Thetaformel 
(Acta mKthematictt, lld. 3, pag. 216), in welcher die nachstehende Unterjochung für einen »peciellon 
Fall vollständig ausgeführt ist. 

K«A»k and !•«»». TfaoURtactiuiirn. .1 



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- 18 - 

Durch Anwendung der Substitution (S) geht aus der Gleichung (F) die Gleichnng: 

T *F ( c tf' -P) + * .?> + • ■ ■ + .<•>) 

hervor, wenn man die Grössen f durch die Gleichungen: 



»„IV = C„ «„ -f- <„ (/„ + • • • -f- c„ , 

p = 1 , 2, . . . , />, 

deliuirt; und es ist dabei für p = 1, 2, . . . , p die auf der rechten Seite vorkommende, 
durch das Zeichen £ angedeutete Summation nach »iL", «!,"■', . . , h,,"' in der Weise aus- 

zuführen, dass man an Stelle des Systems der n Summationsbuchstaben , w}f > , . . ., m)"' 
ein jedes der Werthesystenie treten lässt, welche siel» dafür aus den Gleichungen (6;,) 
ergeben, wenn man eine jede der n Grössen »i},", in) 1 ' , m' f " } unabhängig von den 
übrigen alle ganzzahligen Werthe von — <x> bis -J- 3Q durchlaufen lässt. Man erkennt 
aber leicht, dass man dieBe Summation auch so ausführen kann, dass mau die n Grössen 
nj,", mJ?'. . .., durch die Grössen: 

in denen zur Abkürzung: 

«„ = »•„ ((/„ ' f („ -f- (/„ «;, -f- • • • -f «... J , 
«...• = »•., (r/„ -f- </i «« +•••-(- <'.i ) • 

gesetzt ist, beziehlich ersetzt, sodann für n, 1 ,' , , . . . , n'" ) ein jedes System von ») 
ganzen Zahlen, für welches die Zahlen: 

c ^+... + cr»;: 1 , W»? + ••• + <'!;•"«::':, , ^ ,.^-f--- + «r 

ganze Vielfache von r„ sind, und jedesmal für aj< l> aj*' . . . «1/ eine jede der J" H 
Variationen der Kiemente- Ü, 1, 2, ^, — 1 zur »"*' Classe mit Wiederholung ein- 
führt, endlich die dann entstandene Summe durch die Anzahl der Normallösungen 
des Congrnenzensystems: 




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- 11) - 



rM? *» ! + «tf"*«' + ••• + 'fV') = 0 (mod. J,), 

+ <C I xL") 0 fmod. z/..), 



theilt; dabei ist, wie itu Folgenden, allgemein mit M der absolut« Werth der Zahl M 
bezeichnet, und es sind bei einem auf die ganze Zahl M als Modul sich be- 
ziehenden Systeme linearer Congruenzen Normallösungen diejenigen genannt, welche 
ausschliesslich von Zahlen au« der Reihe 0, 1, 2, . . . , M — 1 gebildet sind. Führt 
man dieses Verfahren der Reihe nach für p — 1, 2, . . . , p durch und niultiplicirt 
hierauf linke und rechte Seite der entstandenen Gleichung mit s, .« s . .. s p , so geht aus 
der Gleichung (F,) die neue Gleichung: 

(F, , *, * • • • s,.»t" ! U«) ♦(«»U • • • »(♦«'"i«, 



-22 



hervor, bei der die Summation in der soeben angegebenen Weise zu geschehen hat. 

Die hierbei nach den « auszuführende Summation kann von der ihr anhaften- 
den Beschränkung befreit werdeD, indem man den Ausdruck: 



e > 



bei dem zur Abkürzung für p = 1, 2, . . ., p: 

+ + ••• + 

gesetzt ist, und das Zeichen £ andeutet, dass für *"!'!'"' " nach von 0 bis r„ — 1 
zu summiren ist, hinter £ als Factor einschiebt. Da nämlich der Ausdruck F immer 

n 

den Werth Null besitzt, wenn an Stelle der n solche ganze Zahlen gesetzt werden, für 
welche die np Grössen: 

V« « > 

H — 1, 2, • , p, 



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- 20 - 



nicht säniintlich ganze Zahlen sind, dagegen den Werth Eins, wenn die soeben an- 
geschriebenen np Grössen säiumtlich ganze Zahlen sind, so erleidet durch Einschiebung 

des Factors 7"' der Werth der Summe keine Änderung, aber man kann alsdann das 

... + » 

Zeichen 21 durch das Zeichen £ ersetzen, das andeutet, dass nach jeder der 

•I >l 

vp Grössen n von — oo bis -f- 00 zu summiren ist. Multiplicirt man dann noch linke 
und rechte Seite der so entstandenen Gleichung mit rjr; •••»"", so erhält man aus der 
Gleichung (F,) die Gleichung: 



-II I 

u f n 



.1 =p II — pr- , " 1 \ / - '\ 



Die Gleichung (2'',) geht aber unmittelbar in die zu Anfang dieses Artikels 
erwähnte Fundamentalformel Aber, wenn man die auf ihrer rechten Seite hinter den 
ersten beiden Sunioienzeichen stehende >i;j- fach unendliche Reihe durch das mit ihr 
identische Product der « Tbetafunctionen 



!>!! 



u r 



i i' = 1,2. . . , »< 



ersetzt, und man erhält so die 

Ftotdamcntalformel für die Theorie der Tlutlafunciionen mit rationalen Charakteristik n 
in der Gestalt: 



-22 













_ <• -J 



r-f 

I 'J 



fr 



Bei dieser Formel sind die Grössen ti und t» mit einander verknöpft durch die Glei- 
chungen: 

v;" - «L n) «!' v + < , "«S? > + ••• + cl" 1 «Jr 1 , j„ - r„ «"> + + ••• + < u » «•„" ) ) , 



r » (,) — . ,.1*") U (>J 



u - 1, 2, . 



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- 21 - 

die u, ß sind lineare Formen der a, ß definirt durch die Gleichungen: 

r,. (<,'"•<" + .'!;"«.!;' + ••• + , p<!> = 4'" fr;;' + <;» -i- ■ • • + «T P ;: . 

^' - r„ «••>«!» + «r .<« +•••+ , «» - er *?> + er ^ +...+ <r ^ , 



und es deutet das Zeichen an, das« für ,',7/,,*. nach «'^ von 0 bis zl u — 1, das 

Zeichen das« für ■'■ '." nacl1 von 0 bis r » ~ 1 z " »""»roiren ist; die mit 

s,, s t ,...,s r bezeichneten ganzen Zahlen endlich sind, da allgemein s u die Anzahl der 
Normallösungen des oben angeschriebenen Congruenzensystems (/)„) bezeichnet und daher 
von den Werthen der Grossen r _ , cJ)'°Hv> « — i, u, . . , »0 abhängt in jedem speziellen 
Falle besonders zu bestimmen. 



Aus der Formel erhält man durch passende Änderung der in ihr vorkom- 
menden Variableu ii, r die allgemeinere: 



r 

■ i) , it) 



ff' H"> 



r ~ 



l_ r 



1.1 



wobei: 



X r ' =' ' iV'.. " r " " / f 

«= 2*, * Z + *<" , , <f = 2*/ i« L + p;' 7 • 



In dieser Formel bezeichneu , A u >( , pj' 1 , ö|"> ^' ' ' 4 >*p beliebige reelle Grössen, 

l5 !."( ,= ''!' '*) irgend 2»j> ganze Zahlen; unter x^, Ä',,'^' '-^ sind Grössen 

verstanden, die sich aus den x, X iu derselben Weise zusammensetzen, wie die Grossen 
u, ß aus den «, ß; die Grössen p, a sind definirt durch die Gleichuugen: 



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— '2-2 - 



u — 1, 1', . . ., />, 

und unter y^', ('. ') endlich sind Grossen verstanden, die sich aus den 

y, i in derselben Weise zusammensetzen wie die p, a uns den p, tf. 

Liisst man bei festgehaltenen Werthen der x, k, p, tf an Stelle des Systems 
der 2np Buchstaben y, d alle Systeme von je 2wp ganzen Zahlen treten, welche den 
Bedingungen 0 < y»;> < r„ — 1 , 0 < <?<;> ^ ^, - 1 (;,= ',; *; ' ;) genügen, so erhält 
man aus der Formel (Ö') ein System von N -= . . . . . . J" speciellen Formeln, 

von denen aber jede auf ihrer rechten Seite dieselben A f Thetaproducte enthält. Um 
einen Einblick in die Natur dieses Gleichungensystenis zu erhalten, setze man zur 
Abkürzung: 



-I- x" 1 
J 

0<U + j,n 



+ 9"' 



r 

rt 1 " + 



4- l a) 



im 


+ ;■»> 












r 








r 


1- 





r- »«.-=■. /„(■) ;(') \ ~<»A 
V vi" J :v| •" f "l v vi <" " " r " I 



aus der Formel (ö') geht dann die Gleichung: 



hervor, und die Untersuchung des soeben dehnirten Systems specieller Thetaformeln 
ist damit zurückgeführt auf die Untersuchung des Systems jener N linearen Glei- 
chungen, welche aus der aufgestellten Gleichung (6) hervorgehen, wenn man darin an 
Stelle de» Zahleucomplexes |$] die vorher definirten N Complexe von je 2»»p ganzen 
Zahlen treten lässt 

Bezeichnet man wie bisher die Anzahl der Normallösungen des Congruenzen- 

systems: 

(D h , r u £>;"4'> 0(mod.^, 0|>od.<). r ^=0(mod.Jj, 



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— - 



welche die gleiche ist, wie die Anzahl der Norwallösungeu des Congruenzcnsystems: 
(DL) r r £d** t )x lt >~0(mtn\.J ), r 2.V -•>*<*);. O(mo<l../ ),..., r 2j"ii [n "x i " Ofmod..J j 

V *V '* r= |'' •" "1=1'' ' "r l * ' '' ' 

mit v> ferner die Anzahl der Normallösungen des Cougruenzensystems: 

(CO Fc<; 1 >^i=0(mod.rO, '^k**^ O(iuod.r J «Ktuod.r ), 

welche die gleiche ist, wie die Anzahl der Normallösungen des Congrueuzensystems: 
(CO £^'^;>H- 0(m«d.r,), £^'>^ O.n.od.r,), . OOnod.r,) 

mit s„' und setzt zur Abkürzung: 

-A .Sj . . » ^^"j • • • s^A , 

so ergiebt sich, dass man die A r Summanden der auf der rechten Seite der Gleichung 
(C) stehenden Summe in A" Gruppen von je . . . s^s,' . . . s p gleichen Summanden 
ordnen und daher die rechte Seite der Gleichung (G) selbst durch das s, . . .s p s t ' . . .s p - 
fache einer Summe von nur A" Summanden ersetzen kann. Weiter folgt aber auch, 
dass die A T Iineurcu Gleichungen, welche aus der Gleichung ((>) in der oben angegebenen 
Weise hervorgehen, in AT' Gruppen von je s, . . . s p s,' . . . s p unter einander nicht wesent- 
lich verschiedenen Gleichungen angeordnet werden können, und es reducirt Bich daher 
schliesslich das in Kedc stehende System von A : linearen Gleichungen immer auf ein 
System vou A" linearen Gleichungen, die nur A r ' Grössen X und A r Grössen ¥ ent- 
halten. Zur wirklichen Durchführung dieser Reduction müssen aber die Zahlenwerthe 
der Grössen c und r bekannt sein; solange dies lücht der Fall ist, wird das genannte 
nicht reducirte System von A T linearen Gleichungen die Grundlage für die weiteren 
Untersuchungen zu bilden haben. 

Das in Rede stehende System von N linearen Gleichungen dann nach den 
Grössen X als Unbekannten aufgelöst werden. Zu dem Ende multiplicire man linke 
und rechte Seite der Gleichung (G), indem mau unter [£] einen beliebigen der N auf 
der rechten Seite dieser Gleichung bei Ausführung der Summation auftretenden Zahleu- 
complese versteht , mit Cr\ r und suminire für * !' *" ' " nach y 1 '» von 0 bis r —1, 

f51 [*\ ' ' " " 

nach von 0 bis 2^—1. Unter Berücksichtigung der Relationen: 

u 0, wenn nicht für jedes n und v : «'^(mod^), ffi ^'''(inod.r.), 

5 "[$][?] '[?][?] = A', wenn für jedes p und v: ^(mod.J,,), $ ^(mod.r.X 
erhält man dann ohne Mühe, wenn man zuletzt noch den Accent bei den Buchstaben 
«, ß unterdrückt, die Gleichung: 

Ans dieser Gleichung geht aber, wenn man darin an Stelle des Systems der 2np Buch- 
staben er, ß alle Systeme von je 2np ganzen Zahlen treten lfisst, welche den Be- 
dingungen 0 < ojj' <; , — 1; o< ?0;''< r „- 1 (" -- 1 ! s | '") «enögen, ein System 



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•24 



von A' linearen Gleichungen hervor, weiches die gewünschte Auflösung des ursprüng- 
lichen, aus (G') angeleiteten Systems von A' linearen Gleichungen nach den Grossen A" 
nl» Unbekannten darstellt 

Die Gleichung (6") ist entstunden, indem man die N speuiellen Gleichungen, 
welche in der Gleichung (6') enthalten sind, linear verband. Aus diesen X Glei- 
chungen lassen sich aber weiter auch, indem man nur einzelne, passend gewählte unter 
ihnen linear verbindet, Gleichungen in grosser Zahl ableiten, von denen jede mehrere 
Grössen A" und mehrere Grössen V" enthält, und bei denen als Coefficienlen aus- 
schliesslich Grössen (' und C~ l auftreten. Von der Aufstellung solcher Gleichungen 
soll aber hier abgesehen werden, und es möge bezüglich der Behandlung eines dahin 
gehörigen speciellen Falles auf die frühere Untersuchung*): „Über ein für die Theorie 
der Thetafunctioncn fundamentales System linearer Gleichungen" verwiesen werden. 



Mau nehme jetzt an, das» drei in ihren Coefhcienten a, b, r den für Para- 
meter von Thetafunetionen bestehenden Bedingungen genügende quadratische Formen: 

,1 ="v"" v r (V'\a:"X" + -\ !- «" •x'-V,), 

C — "i"' ' Z ' ie 1 ' . -"i^ 1 ! + t**KsWz'*\ -{ «- *'>.*'>£>■>•) 

, _ i „ • „ i '' " *■ •" " " " ' 

gegeben seien, die zudem so beschaffen sind, dass die Form A durch Anwendung der 
Substitution: 

(*> V; : = C ■;) 

bei der die c ganze Zahlen, die r positive ganze Zahlen bezeichnen, in die Form Ii, 
die Form B durch Anwendung der Substitution: 

os) .v. y;: ),.;vV.o.. r , (-;;!;;:::;) 

bei der die d ganze Zahlen, die s positive ganze Zahlen bezeichnen, in die Form C, 
und daher auch die Form A durch Anwendung der aus (S) und (S,) zusammengesetzten 
Substitution: 

os) v ,^= (:::::::;) 

bei der: 

er-V«^ (-:::;;.::;;) 

ist, in die Form V übergeht. 

') Vrym, Untersuchungen über die Kiomannm-hc Thetaformel und die ttiemann'«eue 
Charaktcriitikentheorie. V. L-iprij? 1882. Tculmer. 



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- 25 — 

Nach Früherem cutspricht dann zunächst der Überführung der Form A in die 
Form Ii durch die Substitution (S) die in Art. 1 aufgestellte Forme! (0), bei der das 
auf der liukeu Seite stehende Thetaproduct als Parameter die Coefficienten a der 
Form A, als Argumente von einander unabhängige Veränderliche n enthält, während 
die auf der rechten Seite der Formel vorkommenden Tlietaproducte als Parameter die 
Coefficienten b der Form Ii, als Argumente Grössen r enthalten, die mit den Grössen u 
durch die Gleichungen: 

m r Hl >«-£fi*w e:::I; ::;) 

verknüpft sind. # 

In gleicher Weise entspricht weiter der Überführung der Forin Ii in die 
Form C durch die Substitution (.S',) eine der Formel (0) analoge, mit (0,) zu bezeich- 
nende Formel, bei der als Parameter des auf der linken Seite stehenden Thetaproductes 
die Coefficienten b der Form B, als Parameter der auf der rechten Seite vorkommenden 
Tlietaproducte die Coefficienten c der Form C auftreten. Als Argumente des auf der 
linken Seite stehenden Thetaproductes nehme man die auf der rechten Seite der 
Formel (0) vorkommenden oben definirten Grössen v und verwende mit Rücksicht 
darauf zur Bezeichnung der Argumente der auf der rechten Seite vorkommenden Tlieta- 
producte den Buchstaben w. Die Grössen «• sind dann mit den Grössen t durch die 
Gleichungen: 

( J >) s„«v = n - i «C f u p 1-1,5....,.) 

verknüpft, mit den Grössen u dagegen durch die Gleichungen: 

w wc -^^"'v- Czl: ;:::::;) 

Endlich entspricht der Überführung der Forin A in die Form C durch die 
Substitution (>%) eine der Formel (0) analoge, mit (0 S ) zu bezeichnende Formel, bei 
der als Parameter des auf der linken Seite stehenden Thetaproductes die Coefticieuten a 
der Form A, als Parameter der auf der rechten Seite vorkommenden Tlietaproducte 
die Coefficienten c der Form C auftreten. Als Argumente des auf der linken Seite 
stehenden Thetaproductes nehme man die in der Formel (6») vorkommenden Grössen «, 
dio Argumente der auf der rechten Seite vorkommenden Thetaproducte sind dann mit 
den auf der rechten Seite der Formel (0,) vorkommenden Grössen w identisch. 

Die Formeln (0), (0,), (0,) siud dann nicht unabhängig von einander. Leitet 
man nämlich aus der Formel {©,) durch passende Änderung der Argumente eine der 
Formel (0') des vorigen Artikels analoge, mit (0,') zu bezeichnende Formel ab und 
drückt mit Hülfe dieser Formel ein jedes der auf der rechten Seite der Formel (0) 
vorkommenden Thetaproducte als lineare Function von Thetaproducteu mit den Argu- 
menten tt> und den Parametern c aus, so erhält man eine mit (0,1 zu bezeichnende 
Formel, welche ebenso wie die Formel (0,) das Thetaproduct (r((M< l >;i m di|»« l *J (S) . . . 

ix a 

(„j als lineare Function von Thetaproducten mit den Argumenten w und den 
Parametern c darstellt und sich von der Formel (0,) nur durch die Form unterscheidet, 

Kkauk oiij l'nvJt. n.rUf'jocUnr.cn- 4 



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- - 



in dem Sinuc, dass diese beiden Darstellungen and (& t ), wenn man bei jeder von 
ihnen die Charakteristiken der auf ihren rechten Seiten vorkommenden Thetaproducte 
auf Normalcharakteristiken reducirt und alsdann Glieder, welche dieselben Thetaproducte 
enthalten, vereinigt, nicht von einander verschieden sind. 

Aua den in den Art. 2 und 3 des vorigen Abschnitts erhalteneu Resultaten 
geht hervor, dass jede Substitution (S) der früher betrachteten Art, welche eine Form 
A in eine Form B überführt, sich aus einer endlichen Anzahl ausgezeichneter Sub- 
stitutionen (S) zusammensetzen lässt Verbindet man die>es Resultat mit dorn soeben 
gewonnenen, so ergibt sich, dass man die Formel (ö), welche der Überführung der 
Form A in die Form B durch die Substitution (ß) eiU.-piicht, auch erhalten kann, 
indem man die den ausgezeichneten Substitutionen (S) entsprechenden Formeln <ej>), 
(©') in oben angegebener Weise verbindet. Man kann sich demnach bei der Her- 
stellung specieller Thetaformeln auf diejenigen charakteristischen Formeln (6»), ((■>') 
beschränken, welche den durch die Untersuchungen des zweiten Abschnitts gewonnenen 
ausgezeichneten Substitutionen {S> entsprechen. Von diesen Formeln sollen in den 
zunächst folgenden Abschnitten diejenigen, welche für die Theorie der Thelafunctionen 
von Bedeutung sind, aufgestellt und in die einfachste Gestalt gebracht werden. 




Vierter Abschnitt. 
Erste Special isirung der Fnndamentalformel. 



1. 

Anknüpfend an die Untersuchungen des aweiten Abschnitts kann man das 
folgende Resultat aussprechen: 
Die Form: 

A V«^.(j)<>>*;>^! + pvxtvx«) + ■■■ + i**x<;>*;>) , 

bei der die p irgend welche positive rationale Zahlen bezeichnen sollen, geht durch 
Anwendung der Substitution: 

ja; = • pmtf» + + ^ y« + . . . + p<.y ; - » + y ; > ^ 

- - *"y;' + ^»y« + ^ 4 y?> + • + j^y;-" + #>, 

(S) *»> = - + i^y«» + • • • + p ( *y;-" + y;> . \ (s„) 



f» — 1. 2 j> , 

wobei allgemein: 

gesetzt ist, Ober in die Form: 

n -T V «,,.(« n y;y^ + ^y«?* + • + «'•y;>y; 1 ). 

bei der: 

,/n = «(Ojiny« , = s<*>s<»y»> »> — s<— n s (.y.) j g (v = s i«) 

ist. 

Unter der Voraussetzung, dass die Grössen a^ u - den für Parameter Ton Theta- 
functionen bestehenden Bedingungen genügen, die p aber positive ganze Zahlen sind, 
soll jetzt diejenige Thctaformel, welche der Oberführung der Form A in die Form Ii 
durch die Substitution (S) entspricht, aus der in Art. 1 des dritten Abschnitts auf- 
gestellten Fundamentalformel (6>) abgeleitet werden. 

4* 



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- 28 - 

Zu dem Ende bat man die in der Formel (&) vorkommenden Grossen ä^. ,.. ., 
a '*l-> ty'l ' ■ • •< ^!" ' Cm» I*' "= 1 > - • ■> P) die Coefficienteu der soeben aufgestellten 
Formen A, Ii und zugleich die der Formel (&) zu Grunde liegende allgemeine Sub- 
stitution (S) in die hier vorliegende specielle Substitution (.S'j übergehen zu lassen. 
Man erhält dann die gewünschte Thetaformel zunächst in der Gestalt: 

«.i. __••'-> u iii-i pä-in r^l 

" L o J L o J L „ _ 

dabei ist zur Abkürzung: 

0.1, 

gesetzt, das Zeichen 21 deutet an, dass nach jedem der np in den linearen Formen: 



J . . [» , : ,; f«' , '-« , -* J M 



*T — -f v (*<" (««> - .«) + - «<?') + ■-• + »"- (<- - «■;■) + » < > : ; , j. 

.» — >i 2 />. 

vorkommenden c tou 0 bis J — 1 zu summiren ist, und 5 bezeichnet die Anzahl der 
Normallosungen des Congruenzensystems: 

V> + j/ 8 ' V" - * ,! V ") 0 (mod. J.i , 



i, - (i» ,, y 15 + f» lf ^' iJ + J» ,s) x ,:1> + - • • - ."-"^■■'.) _ 0 (nod. J, , 

- - (,/V" + ,W + //'V'-r ■ • + ^"-".r"" 11 -f. V 1 ) 0 (moJ. J) . 
Unter Berücksichtigung, dass die soeben genannte Zilil 5 den Werth: 

besitzt, und durch mehrfache leicht ersichtliche Umformungen kann man aber die ge- 
wonnene Thetaformel in die reducirte Gestalt: 



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- 2» 



~ 0 



«'■'■"-'V-I.» 



L o _, 



bringen, wobei zur Abkürzung für *' ' ': 

*<"'**.■> 4- + • • + s<'» i ;;> «o;;» 

gesetzt ist In dieser Formel bezeichnen äIho j/ 11 , /) ,S) , . . ., ji < " ) irgend welche positive 
ganze Zahlen, aus denen sieh die ganzen Zahlen a 1 ", s (!!) , . . ., s*"* den Gleichungen 
Ä c< = ;,(>- -|- ,,(■> -{ 1- ;/•> (v = 1, 2, . . ., ») gemäss zusammensetzen. Ferner ist: 

f. f*' = 1, 2, j<; 
weiter sind die Grössen v durch die Gleichungen: 
t<«> = ;,'*'«"> - .VW, 

i.«> = i/«««» + ;> ,:, V;" - *<«m«> , 



t<.i ^ „<;> + M <« 4- -f. . . . j. «•;-».■ + «<;>, 

ii — 1 , 2, . . ., p, 

mit den Grössen u verknöpft, und endlich deutet das Zeichen £' an, dass für * ; ' 
nach von 0 bis »<• ' " — 1 zu summiren ist 



Setzt man in der Formel (tri): 
setzt gleichzeitig für = 1, 2, . . ., )>: 

««' = % 4- + C, .... M --.i 4- c;-'>, «;-'-^ + ^', 

indem man unter 1C„ eine veränderliche Grosse, unter ^' beliebige Con- 

stanten versteht, und beachtet, dass alsdann: 

tf = <ij;' 2^>, .... r';-"-</;r ,) -(»-»)'- 4 ; 1 . = ««"„ + *. 

wird, wenn man zur Abkürzung für i» = 1 , 2, ...,«— 1 : 



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- au 

dagegen: 

«V +*?' + •■• + - *. 

setzt, so geht aus der Formel (®) die Formel: 



O. I, ... >I- -1 " * "1 



hervor; dabei bezeichnet allgemein 0[j[jti«)»» «in« Tlietafunctiou mit den Parametern 
ma,,,, (fi, = 1, 2, . . ., p), und es ist: 



wobei zur Abkürzung für ,', = , . 



gesetzt ist, und 21 andeutet, dass filr *7" nac '' von ® ^is ** zu summiren 

ist. Mau erkennt leicht, dass man diesen Ausdruck für (',,..., f auch iu die Gestalt: 

" ' * L" " s o n - 'J^ -11 -" ■ i>c, "-"' i ,- : )(-. 1 o I » - » * j«''-"-»- ic( "v«i. j 

bringen kann, wobei 2; andeutet, dasa für I ' . ,7" * "ach r£* von 0 bis v zu 

i 

summiren ist. 

Aus der Formel (77) erhält man durch passende Änderung der in ihr vor- 
kommenden Variablen w die allgemeinere: 

J" <J "I -in, 21 >,,i» 



r o r j i -»'i ■•■ 

i. . .-i - x-i '"V 

i - • ■ L A J 



(//') 

_ > 

bei der </, A beliebige reelle Cutistantcn, die i irgend welche ganze Zahlen bezeichnen. 

Versteht man jetzt unter x,, x,, . . ., x,, irgend welche ganze Zahlen, multi- 
plicirt linke und rechte Seite der Formol (//') mit: 



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31 



und summirt nach jedem X von 0 bis « — 1, so erhält umn. wenn mau schliesslich 
den Punkt auf den Buchstaben x unterdrückt, die Formel: 



an 



V j^/. M ihr + <■»% . . . fr j^ft + i ( i|> -f r'-.'il, f 



2' (*y^-4-» u ;^, 



Die Formel (H) gibt zu folgender Bemerkung Aulass. Die recht«; Seite der 
Formel (77) ist ein linearer Ausdruck von «'' Thetafuuctiouen mit den Argumenten 
nw t -f- s t ! . . . | nw H + s r , dessen Coefficicnten C von den Variablen w nicht abhängen. 
Ändert man die willkürlichen Constanten c, jedoch so, dass die mit: 

s 1 = <r + 'V + --- + <r, *,=*'•? + *? + ■■■ + <.<;> 

bezeichneten Verbindungen derselben keine Änderung erleideu, so ändern sich auf der 
rechten Seite der Formel (7/) nur die Coefticienten (' der »f Thetafuuctionen, während 
diese selbst völlig ungeündert bleiben. Nennt mau daher allgemein ein Thetaproduct 

von der Form »{w -f- <*•>]},*((«.• -f c<*% + e<"»)„ bei dem für «»—1,2 p 

e< n -f- + • • • + ^r* " s ,, '•*'> em ,/u ^ cni Conatantensysteme «i | . . . 1 s,, gehöriges 
n-gliedriges Thetaproduct mit den Variablen ir, j . . . ; w p , so ergibt sich aus der 
Formel (77) unter Beachtung, dass zwischen «'' -f 1 linearen Formen von «'* Variablen 
immer eine lineare Relation mit constanten Coefficicnten besteht, der folgende Satz: 

Zwischen -}- 1 zu demselben Constontensysteme s, | . . . | s r gehörigen n-glie- 
drigen Thetaproducten mit den Variablen «*, | . . . j ir ; , besteht immer eine lineare Ite 
lation mit in Bezug auf die Variablen tr constanten Coefficientcu. 



Man setze jetzt in den Formelu (77), (77'), (77) sämmtliche (;r«is>eii c der Null 
gleich und bezeichne die neue Grösse, in welche alsdann . . . ^ überseht, mit K, x .. .» . 
Die Formel (77) geht dadurch in die Formel: 

»•■«i - 2d K 'i \ " t""'.5« 

Über, und es ist dabei: 



S . » I llOf», . s . . . 



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I J I 3. 



wobei zur Abkürzung für J^ t> 



gesetzt ist, und 1' andeutet, das* für J,^,''!' nach von 0 bis v zu summiren 

ist; oder in anderer Form: 

( !"'»'" 



<> 



fr," * 

...*>« - 1 

L M 

wobei X andeutet, dass für ' 



a ■" 3 •;'»>*. a ... 
_.,(.,_!:■» j » - 1 » J 



I). 



»— z 

■ J' 



nach V» von 0 bis v zu sumniiren ist. 
i 

Es geht weiter aus der Formel (//'), wenn man darin noch für u — 1 , 2, . . ., p 
die Grösse h H jetzt mit nh„ bezeichnet und alle Zahlen ). der Null gleich setzt, 
die Formo): 

l>, I . . . , *-t 



1/ -r 

L »/• J 

hervor, bei der die y, h beliebige reelle Oonstant«u bezeichnen. 

Es geht endlich die Formel (//), wenn mau darin noch lür « — - 1,2,..., ;< 

X 

ij,, durch g„ — " ersetzt, in die Formel: 



u. i. 



>. 



h + ,1 
L n 



über, bei der die (j, h beliebige reelle Constanten , die x irgend welche ganze Zahlen 
bezeichnen. 

Die vorstehenden Formeln sind filr die im zweiten Theile dieser Arbeit zu 
entwickelnde Transtormationstlieorie von besonderer Hedeutuug, und es wird dort Anlass 
sein, auf dieselben zurückzukommen. 



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Fünfter Abschnitt 
Zweit« Speclallsirang der Fnndauentalformel. 



L 

Anknüpfend an die Untersuchungen des zweiten Abschnitts kann man weiter 
das folgende Resultat aussprechen. 
Die Form: 



bei der die q irgend welche positive rationale Zahlen bezeichnen sollen, geht durch 
Anwendung der Substitution: 

ga %) - (23" - + W>tf* + ■■•+ 2< r »y<"> , 
(S) - 2 «"V, ,) + - »)tf> + • • • + 2 9 <"Y;>, 

- + 2^'^» + h (29»«» - *)y;> , 

fl« 1, 2, J>, 

wobei: 

jO> 4. g<*> -J 1_ gl") = S 

gesetzt ist, über in die Form: 

ii - £ i £a^»^ + gwy^y» + ••• + • 

Unter der Voraussetzung, das» die (Frössen a,,„ den für Parameter von Theta- 
funetionen bestehenden Bedingungen geuügen, die q aber positive ganze Zahlen ohne 
einen allen gemeinsamen Theiler sind, soll jetzt diejenige Thetaformel, welche der 
Überführung der Form A in die Form B durch die Substitution ($) entspricht, aus der 
in Art. 1 «leB dritten Abschnitts aufgestellt™ Fundamcntalformel (Ö) abgeleitet werden. 

Zu dem Ende hat man die in der Formel (&) vorkommenden Grössen 

«El a ^l> b ^> ■■•> f'" l » 2 > & in ,,ie Coefficienten der soeben 

aufgestellten Formen A, B und zugleich die der Formel (©) zu Grunde liegende all- 
gemeine Substitution (5) in die hier vorliegende specielle Substitution (S) übergehen 
zu lassen. Man erhält dann die gewünschte Thetaformel zunächst in der Gestalt: 

Kiaxck und Pura, ThoUfanctionen 6 



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' — 10,1. . !— I 

V 



2 I 



- 34 - 

r- 1 



» : 



er' 5 ' 




■' • i 

o 






J 












6 



I! ( - ' l| 



dabei ist zur Abkürzung: 

6, 1, .. ."-1 

gesetzt, das Zeichen 2.' deutet an, dass nach jedem der np va den linearen Formen: 



vorkommenden «t von 0 bis s" — 1 zu summiren ist, entsprechend deutet das Zeichen 
o, i, . . . t-l 

£ an, daas nach jedem der np in den linearen Formen: 

c-tpw + *:■ + • + 

s 9 <">(|3<" + + . . . + p*;.) „ ^i;! , 
H — 1 , s 

vorkommenden 0 von 0 bis s — 1 zu summiren ist, und endlich bezeichnet $ die Anzahl 
der Normallösungen des Coograenzensystems: 

J t [rS«'" - »U» + S« 1 "^* +'•■•+ " 0 (»od. J) , 



S« 1 '^" + « S »U s ' + ••• + (*,'» - s}*'"»} o (mod. J). 
Unter Berücksichtigung, dass die soeben genannte Zahl s den Werth: 

; - 3 + tJ? 

besitzt, und durch mehrfache leicht ersichtliche Umformungen*) kann man aber die 
gewonnene Thetaforrael in die reducirtc Gestalt: 

*) Mit ii vergl. hierzu den Art. S der Abhandlung: Krater und Prym, über die Vtrallgt- 
niRiterung der Itiemannicheu TbeUformel rActa matlumatica, Bd. 3, |>ug 240 . wo diese Im- 
Wmungen in einem «peciellen Falle vollttilndig durchgeführt »ind. 



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- 35 — 



i>, i . . 

=y 9 



l 


- !u - 








0 


* 

«,'.«>< 

— J - 




• — ' 


i 

— ■ -* 



bringen. In dieser Formel bezeichnen also g (l1 , g'*', . . ., g'*> positive ganze Zahlen 

ohne einen allen gemeinsamen Factor, auch ist zur Abkürzung gW-f-fl*** H |-g : "> — .s 

gesetzt Ferner ist für p, p' = 1, 2, . . ., p: 

weiter .sind die Grössen u, v durch das involutorische Gleichungeusystem: 

$tP> = (2g"' — sW» + 2g< l >»<<fH h 2g«>K(;>, 

5P <*> = 2g< s < 1; + (2g** 1 — *•)'<*' H h 2f/ ,l M<;' , 



sl /;> ~ 2g<" «<; + 2 2 (">«;" + • • • + (2«*-» - s)n<;< , 
fi =■ 1. 2, . . ., j>, 

verknüpft, und endlich deutet das Zeichen £ an, dass für n — 1, 2, . .., » sowohl 

m.l» 

nach «,, wie nach ß„ von 0 bis s— 1 zu summiren ist 



Aus der gewonnenen Formel (®) erhält man durch passende Änderung der in 
ihr vorkommenden Variablen u, v die allgemeinere: 















.... 


."'S"-'. 



-2- 



wobei: 



» « ~ ^" + *-)*- ' 



4jti ^ 

* = - V - («.. + *«)/».< 
• r — = r 



ist, ferner xj'', _[' *' ' ' " 2>ij> beliebige reelle Grüssen, y^, d„ \fi = 1, 2, . . ., ;>) 

irgend 2p ganze Zahlen bezeichnen, und zur Abkürzung für u =- 1 , 2, . . ., p: 

+ ^ + ■■■ + 4*«? = i[» + k[» + ■■■ + = K 

gesetzt ist. 



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36 - 



Es soll jetzt der Fall, wo die ganze Zahl s ungerade ist, von dem Falle, wo 
.« gerade ist, getrennt werden. Ist: 





s eine 


ungerade Zahl, 


s = 2 s — 1 , 


man die F 


ormel <&') in die Gestalt: 
















s"9 


.'>*«. 









0, 1. . . r— 1 



r « + 2 » 



-2 



* 1 



^ '< iß + ii| 



« + 2x 



- x*"' 



-'7 l *. 2.' ("„-»„-.w 
x « 

" * * ..=1 5 ..-«=1 



ist, bringen. Ist dagegen: 

s eine gerade Zahl, s — 2s', 
so kann man die Formel {&') in die Gestalt: 



äs? 



r-r- + «"'" 

















0, I, . 

-2 o 



*' 



- A'> 



fr 



• 



X ln, 



x e 



"^1 



wobei : 



2iri 



y s V 2: !>„ + x,,)*,. , = — 2: («.. -f- x„)/J„ 

* s .«=1 

ist, bringen. 

Setzt man in den Formeln (©'), (©,'), (©,') die Grössen y, d, x, X sämmtlich 
der Null gleich, so geht die Formol {&') in die Formel (©) de* vorigen Artikels über, 
und entsprechend verwandeln sieb die Formeln (ö/), (ö/) in diejenigen Formeln, 
welche man erhalten würde, wenn man die beiden aus (ö) durch Trennung des Falles, 
wo s ungerade, von dem Falle, wo s gerade ist, hervorgehenden Formeln in die ein- 
fachste Gestalt brachte. 



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Zorn Schlüsse dieses Abschnittes sollen jetzt noch die aus den Formeln (&'), 
(©,'), (©,') für q m = tf*> = ■ • ■ — tf"' — 1 hervorgehenden, im Späteren zur Ver- 
wendung kommenden specielleu Formeln unter gleichzeitiger Einführung einer über- 
sichtlicheren Bezeichnung aufgestellt werden. 

Es geht zunächst die Formel (*>') in die Formel: 



r8;t + *) 



0.1 r-i -»■-r-'_ Jt <n 



.fr 



l_ r 

p2(f -f »_) _ 
r 



X e 



Ober, bei der r irgend eine positive ganze Zahl bezeichnet, und die Grössen h, v durch 
das involntorische orthogonale Gleichungensystem: 

r»; = (2 - r)uW + 2 + • • - + 2«« , 

2«««) + (2 - r)»w + • • ■ + 2«w, 



2 k(J»+ 2iiW + ..- + (2-f)«w, 

f» 1, 2, . . . , p, 
verknüpft sind. 

Es geht weiter die Formel (©,') in die Formel: 
" +*<•> 

««<•>)...» 




f~f 4- 25 rt -I- 25 , t>=^> m _ p— p 



r-l 



X e 



i.=i 



über, bei der r 2r — 1 irgend eine positive ungerade Zahl bezeichnet, und die 
Grössen «, v durch das involutorische orthogonale Gleichungensystem: 
rt<» = (2 - rj«<'> + 2«<*> + • ■ • + 2*<;> , 

2,,w + (2 - r)n|? + • + 2«<", 



verknüpft sind. 



2 M W + ... + (2_r)«^, 
p = 1, 2, . . ., p, 



38 - 



Es geht endlich die Formel (&*') in die Formel: 



L «+,■<•> j 



0, 1 r'-l 

-2 • 







r 





r 

«' + « 



Ober, bei der r = 2r' irgend eine positive gerade Zahl bezeichnet, und die Grössen 
u, v durch das involutorische orthogonale Gleichungensystem: 



rV<> =(1 - r')<" + 



«!?' + • • • + 



r t " — 



»♦<>> + Ü — f')«i*) H j- 



u 1 , 2, . . ., /), 

verknüpft sind. 

Bei einer jeden der drei Formeln (ö'), (*#,'), (ö,') sind unter ijl, (ft= l,2,...,p) 
irgend welche ganie Zahlen, unter j£>, *>> ('"J; \ " irgend welche reelle Grössen 
zu verstehen, während die Grössen x„, x„ (m = 1, 2, . . ., p) durch die Gleichungen: 

*, - + «?» + ••• + «? , *; - ^" + *;<," + • • • + *r 

definirt sind. 

Die Formeln (f ,'), atimmen, von den Grössen x, *' abgesehen, mit den 
in der Abhandlung: „Über die Verallgemeinerung der Riemann'schen Thetaformel"*) 
aufgestellten Formeln (»,'), (»/) Überein. 

•) AcU mathemstica, Bd 3. pag. 240 



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Sechster Abschnitt. 



Aufstellung einiger für die Theorie der Tlietafonctionen wichtigen orthogonalen 

GleichingensyRteae. 



1. 

Soll die Form: 

X = x<*>' + -f • • + 

durch die Substitution: 

ri H) = e«»yt») -f- cwy« ^ (- «o-y«), 

r«««i - e<»"y«> + c«»V*> + • • • + ct»-y>, 

/■X 1 "' — c^'y» 4- et*»y« -f- • • ■ -f c* , "V*>, 
bei der r eine positive ganze Zahl, die e ganze Zahlen bezeichnen mögen, in die Form: 

übergehen, so müssen zwischen den Zahlen c, r die \n{n -J- 1) Relationen: 

(o) c 110 »^'"'' + ^»»c»»»' -f • • • + «C— >cc«-.- = wenn > *' <o, ^-1,1 ) 

w, wenn tf < o, 

oder auch die damit äquivalenten: 

(o') e«»«eV» + c^xe») + • ■ ■ + - WeDn P . T p ' <e . P -- i.*. ) 

w 1 0, wenn p ^ p , 

bestehen. Unter Anwendung der Relationen (o) erhält man dann ohne Mühe die Auf- 
lösung des Gleichungensystems (0) nach den Grössen y als Unbekannten in der Gestalt: 

»y> _ c< m x< l; + c^r^ -f- • • ■ + c 1 "»^" , 
^ ryf») = + t<«**> H h c'"« 1 *» , 

rj/">= c"">.t">+ c<*")*<»H 1- c<"'x<->. 

Die Gleichungensysteme (0), (0') mögen orthogonale genannt werden. 

In diesem Abschnitte soll die Aufgabe behandelt werden, bei gegebenem r 
die c als ganze Zahlen so zu bestimmen, dass sie den Gleichungen (o), (o) genügen. 
Zunächst wird der Fall r = 2 erledigt werden. Die darauf bezügliche im nächsten 
Artikel folgende Untersuchung wird zeigen, dass es möglich ist, in diesem Falle alle 



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- 40 - 

überhaupt existirendeu Substitutionen (0) anzugeben: es wird sich zugleich aber auch 
ein allgemeines Princip ergeben, um für beliebiges r ebenso charakteristische Sub- 
stitutionen (0) aufzustellen, wie die im Falle r = 2 erhaltenen es sind. 



Die Aufstellung der dem Falle r = 2 entsprechenden Substitutionen (0) er- 
fordert die Lösung der folgenden Aufgabe. Es sollen die positive ganze Zahl h und 
die » ä ganzen Zahlen c so bestimmt werden, dass für jedes a und «' von 1 bis » die 
Relationen: 

4 , wenn «' = <», 
0, wenn <f ^ ff , 

oder, waa dasselbe, für jedes p und p' von 1 bis » die Relationen: 



Clloicd«) _|_ (<*«l ( (»<.'i _| 1_ ^«V'«'!: 



(«0 



0, wenn p ^ p, 



erfüllt Bind. Man findet, dass zunächst eine Reihe von Systemen desselben Typus 
existirt, welche zu den YVertheu n = 4, 6, 8, 10, ... gehören. Denkt man «ich die 
n* Grössen c in der durch das Gleichungensystem (O) bestimmten quadratischen An- 
ordnung geschrieben und setzt der Einfachheit halber an Stelle der auftretenden Zahlen 
nur die Vorzeichen 4-, — beziehlicb, so werden die zu den Werthen n = 4, 
6, 8 gehörigen Systeme durch die hier folgenden vorderen drei Schemata vollständig 
dargestellt, während das vierte Schema das einer beliebigen geraden Zahl n — 2m 
entsprechende System versinnlicht, wenn man sich noch die in den fixirton Horizontal- 
reihen offenen Plätze mit der Null besetzt denkt. 



n = Ii 



»1 


= i 








0 


0 


i+ 


! ~~ 


+ '+ 


+ 






+ + 


0 


0 


1 _ 


; + 


+(+ 




4- 




+ - 




4 


0 


0 


+ "■ 


+ 


1+ 




+ 




]— 


0 


1 o 


" + 




+ 




0 0 

~ö"i 0 


■ + 




: 


:+ 














+ 










II = % 












+ 


+ 


0 




0 


+ 








+ 


_+ 


0 


II 1) 


0 




+ 






+ 




+ 


w 


0 


0 


0 








+ 




+ 0 


0 


0 


0 






0 


0 


+ 


=1+1 


+ 


0 


0 








0 




+1+ 




0 


Ü 






» 


0 


0 


o |+| 






+ 








0 




0 — 


+ 


+ 


+ 





Ii — !m 



+ 


+ 


1 


1 




+ 




-f 




J- 






+ 






+ 


+ 


[ 










4- 


4- 


+ 


1 












+ 




+ + 












- 


+ + + 


■ 1 





+ 



1± + _i 

+ + '+, J 
+ _-[+! + 



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-- 41 - 



Ausser diesen regulären Systemen ergeben sich merkwürdiger Weise noch zwei isolirt 
stehende Systeme, von denen das eine zum Wertho « -= 7, das andere zum Werthe 
ii « ? gehört, und die durch die Schemata: 

+ + +_ + o o_ o_ o 
+ _ o o-f -f-o ii 
+ 0-0^04-0 

+ ' T] o - o - 1 — !o 

o -\ 04-0 04- 

o+o-io+o- 

o I o ■+•; — | o o j+ + 

" 11 0 0 +•"- + 

reprasentirt werden. Betrachtet man zwei orthogonale Systeme, von denen das eine 
aus dem anderen dadurch hervorgeht, das« man seine Horizontalreihen oder seine 
Verticalreihen in irgend einer Weise umstellt, oder dadurch, dass man die sämmt- 
lichen Elemente irgend welcher seiner Horizontalreihen oder irgend welcher seiner 
Verticalreihen mit — 1 multiplicirt, als nicht verschieden und schliesst zerfallende*) 
Systeme aus, so sind mit den vorstehenden alle möglichen verschiedenen zur Zahl r «= 2 
gehörigen orthogonalen Systeme erschöpft 



+ + 


4- 4- 0 


0 


0 


+ - 


0 0 + 


+ 


0 


+ o 


0 - 


V 


+ 


4-c 


o — o 






o + 


— 0 0 


+ 




<> + 


o; r + 


0 


+ 


0 0 




+ 


0 



3. 

Dem durch das obige zur Zahl w ««2« gehörige Schema repriUentirten Systeme 
der Grössen c entspricht das orthogonale Gleichungensystem: 

2a'»! = y: + y*> +, y«—« , -y»->, 

•>xW= y»._^+.y:o+y«) f 

2;«<«) — —yu-f-y* + ys)_|_y«i, 

2.r !l > = y«_y4t+,^i+.y«) > 

2a«*i_ _y») + y«;+y5i + yo, ( 



J> !<*«-») = ,/ * -.-5) _ y » ».-4)+ y » m-3. _|_ y « m -I ■ i 

2x*"'~'''= r /5'»- •0+1/2'»— <) + y»".-9)+y2,„-H) 

2 j-liu,- Ii = y» _ y < /m _ •>+. y t«-i>_|_yi«, )( 

= _ v i^-3)+yfnv-;!+.y J *_l| + y (, M ^ 

Um die wahre Natur dieses Gleichungcnsystems und damit zugleich die Möglichkeit 

seiner Verallgemeinerung für beliebiges r zu erkennen, setze man: 

*) Vergl. pag. 9. Z. ä v. u. 
K>«n uiwl l'm«, Ttieufiiiietlon«i 



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- 42 - 

*••> = «"> + P>, - «*« + t-' je"—'» - + /<«-", ^ s "-" = «<-> + <'*), 

es ergeben sich dann für die Grössen y die Werthe: 

y««> = «•» + <<*>, y< 3 = «'*> + . . . , y*'-»> - «.<—•' + y-— " - + f<", 
y* « - « (, \ y" -= u™ - * s >, . . . , y*— *> - «<"-» - /<"■>, y*-' = «'*) — <», 

und die Relation: 

x w -f. _) 1_ j!.)* _ yi,» + y*M h '/">*, 

welche der Thatsache Ausdruck verleiht, dass das Gleichungensystem ein ortho- 

gonales ist, geht über in die identische Gleichung: 

I ( lt ( 1 '-f(''0 J +(« <, + f lS ? + -- +(H' l "'*+< ( * i ) s |_( (» : "+. (,l ) i 4-(«> I!, + «' 3) ) , +-+l..^ , +«' ,) ) , l 

Von dieser Gleichung (/«„,) aus kann man aber auch rückwärts wieder zu dem Glei- 
chungensysteme (O t „) gelangen, wenn man für p = 1, 2. . . m : 

4. /i.) «= a n..-it > w w + (O +t) yi.-u ( 

setzt, und dann, nachdem man noch <' m + 1 > durch /"» ersetzt hat, durch Elituination der 
Grössen «' und < die Grössen x durch die Grössen y ausdrückt. Man erkennt daraus, 
dass in der identischen Gleichung (J im ) das Wesen des Gleichungensysteuis (O tm ) voll- 
stündig zum Ausdruck gebracht ist. 



Die für beliebiges r gewünschte Verallgemeinerung des Gleichungensysteuis 
(0 2m ) macht jetzt, nachdem die sein Wesen charakterisirende identische Gleichung iJ tm ) 
gewannen ist, keine Schwierigkeit. Um zu ihr zu gelangen, hat man zunächst die 
Gleichung (</*■■) zu verallgemeinern. 

Zu dem Ende verstehe mau unter w >>, u = 1, 2. . . . , m, m beliebige Grössen, 
unter &•*'>, . . ., f ( -" r) , u = 1, 2, m, m Gruppen von je r Grössen, die nur 

den Bedingungen: 

f> i) _|_ n- 1 ^ _j_ <0"i = 0 ).. = u* *) 

zu genügen haben, und bezeichne ferner mit p eine zweite Einheitswurzel, sodass also 
p sowohl -f 1 als auch — 1 sein kann. Die Gleichung: 



(J.,„) 



+ (,c«'l +t .'«:V + ( IP w +l i«)- + ... + ( ir (*> +( «««i)» 

. f .(, f f'4,uH ; ! + V !, .n" , /+..+ 1[ >) + ; j ! 



+ ( w l.) +( .^ ) « +(V fl +t («l)» + ... +i - lc (») +et( .v )) * 

+ ( W :^ + ( ^),- + ( 1( ,'* +| ("^ + ... + ( w («) +sr ^ )I 



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- 43 — 

die unter den über die Grössen t gemachten Voraussetzungen eine identische ist, 
bildet dann die naturgemässe Verallgemeinerung der identischen Gleichung («/»„), 
die als specieller, den Werthen r = 2, p = + 1 entsprechender Fall in ihr ent- 
halten ist. 

Setzt mau nun entsprechend den m Verticalreihen der linken Seite: 
H <n 4. /(in = x n, f tt *ii _(_ /<su = x i ( )f i«) _j_ = ji^-ir+n ( 

„oi 4. /('.. = x 't> f „<*; + ,<«, _ _ _ „. + = a «.-i H-f. . 

„■:» + /co = ^ „1^ 4. = . ( u-o ; , . >( + /:.,n = ,,<.,„ ( 

und weiter entsprechend den w» Verticalreihen der rechten Seite: 

H w> 4- /i") =, j/»> t fr !«> -j- /<*» = y+'>, . . w-i"-) 4- pf<"> = j/'"-«r+'» r 

M f) 4- fC« -= y»>, ,f<») 4- /tMi = y+»l f . . _f- p/1») = yC»-tr+») > 



„■UJ 4. — yfr) f „•<*) 4. /<»'! = y(»r) ) , _ _ ff <«) 4. p /(l,) _ j^«rj ? 

drückt alsdann aus der zweiten Gruppe von Gleichungen die Grössen tr und I durch 
die Grössen y au* und führt die auf diese Weise für die Grössen w und / sich er- 
gebenden homogenen linearen Functionen der y in die erste Gruppe von Gleichungen 
ein, so entsteht ein nur die Grössen x und y enthaltendes orthogonales Gleichungen- 
system {O rm ), welches die für beliebiges r gewünschte Verallgemeinerung des Glei- 
chungensystems (0 Jni ) bildet. 

Der Fall «1= 1, der ein Ausnahmefall ist, soll zunächst behandelt werden. 
In diesem Falle erhält man, wenn p «~ 4- 1 ist, das orthogonale Gleichungensystem: 

(0+,) xf» ~ t/ i: , - ./-•' , . . . , *<-> - „«> , 

das aber für das Folgende keine Beachtung verdient; wenn dagegen p — - 1 ist, das 
orthogonale Gleiehungensystem: 

rz"' = (2 - 4- 2y*> 4- • • + 2./", 

(„-) r*«> = 2^4.(2-,)^ 4.... 4. 2 y". 



rz"> - 2;/<" 4- 4- ■ • • -r ^ - »)./"'. 

Nachdem so der Fall m = 1 erledigt ist, sei für das Folgende m > 1 
vorausgesetzt. In diesem Falle ergibt sich aus das orthogonale Gleichungen- 

system: 

6« 



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- 44 - 

rx w - y» 4 y i) 4 ••• 4- y>4 etr-ny^"^- 9 y^'+*> - P y*", 

ni') = f +f + ..+ y>_ p y—w-t-n + p ( r _i)y^<+*> p y 

rit <'> = y> 4- y> H (-»"'— p y«-i<-H)_ p y—u+») M'— i)y lJ "' 1 , 



r*<'+» = (r — 1) y« - j/" 

ri tH-«_ _ yu + ( r _i)y> 

rx^' = - y» 

rJC (*r+ii = (r _ 1) yn-D _ y-rs> 

(0™) rx a,+*) ö j^^+i» ( r _ 1 +*:■ 



_ y<) _|_ yX-Hl _(_ y^+ül _| 1_ y»') ( 

_ y i + yr+u 4. y+.> 4. ... + y-«i 



_ y«0-j-y-v-rii 4. y*'+»i ^ f. ys* 

y*r)_f_ y (*r+l) -J-yl^-cr) _| j_ yS,) ( 



y/-fs) (_ ) >_i)yir)_(_yj'-+J) _|_ y«»--t-*i .|_ . . . _|_ y 



*• 



- y — +(»■- i)y° + y r+ri + y^ !) + • • + y*". 



rA ,n,-i,-Ln = ^._ l jy.„-ir- r | 1 _ y _ y«-l.)+y«-l'r+|i4y«-|^4-t) + ...+y*r) f 

rx (iS: in-»)- - y.;?-*r+n - y«-iö+y™-iH-i)+y".^ ""i/+«)_f hy""" p >, 

r«i""''i — — y''«~i'+« - y~-ir+») Hr-1 iy™- lr ' -Hy-- lr +» -f y.-^<-+sj-| hy n "' > . 

Uui den Bau des Systems (0™) besser übersehen zu können uud zugleich die 
Analogie, welche zwischen seiuer Bildung und der Bilduug des im vorigen Artikel auf- 
gestellten, dem Werthe r = 2 entsprechenden Systemes (Ot w ) besteht, mehr hervor- 
treten zu lassen, sollen schliesslich noch die auf den rechten Seiten von (O rm ) stehen- 
den Coefficienteu in ein quadratisches Schema eingeordnet werden. Zu dem Ende 
bezeichne man die drei folgenden, je r* Zahlen enthaltenden Complexe: 

+ 1 +1 hl r-1 —1 o(> — 1) — o -9 

+ 1 +1-4-1 — 1 r— 1 - — 1 -9 p(r-l)- - o 



4-1 4-1 1- 1 -I — 1 - - r — 1 —9 —9 -9(r-l) 

symbolisch mit: 

A B (»B, 

dann wird das System der auf den rechten Seiten der Gleichungen (0,„,) stehenden 
mV Coefficienten durch das Schema: 



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- 45 - 



A 

B A 
B A 




pB 






B 


A 

B — 
B A 







repräsentirt, wenn man sich die in den fixirten Horizontalreihen noch offenen Plätze 
sämmtlich mit der Noll besetzt denkt. 

5. 

Durch die Untersuchungen des vorigen Artikels sind unbegrenzt viele ortho- 
gonale Substitutionen gewonnen worden; eine derselben wird durch das Gleichungen- 
system (Om) geliefert, die übrigen erhält man, wenn man in (O m ) der Zahl m der 
Reihe nach die Werthe 2, 3, 4, . . . zulegt und daun zu jedem solchen Werthe von m 
das eine Mal p = + 1, das andere Mal p =. — 1 setzt; die Substitutionen der ersten 
Art mögen von jetzt an mit (Ö™), m «=» 2, 3, 4, . . . , die der zweiten Art mit (0™) , 
m — 2, 3, 4, . . . bezeichnet werden. Alle diese Substitutionen lassen sich nun, wie 
zum Schlüsse gezeigt werden soll, aus passend gewählten Substitutionen von der Form 
(07t), {0%) unter Hinzunahme identischer Substitutionen zusammensetzen. 

Erweitert man nämlich die Substitution (OTl) , nachdem man vorher darin die 

Grössen : 

.... x<"; y<'>, y<«>, y'J 
in neuer Bezeichnung durch die Grössen: 

y'— T ^", .... »*»'»; tr+ll f , . . . , jfi-r) 

ersetzt hat, durch Hinzunahme der (m — l)r identischen Gleichungen: 
ry"> = r*», ry«» 1 — r<<«, . . ., ry*"— = r.r>-"> 

zu einer der Zahl mr entsprechenden orthogonalen Substitution (O^J und setzt die 
beiden Substitutionen (0? m ), (O rm ) zusammen, indem man die auf den rechten Seiten 
von (0+,) vorkommenden Grössen y durch die ans (0' rn ) dafür sich ergebenden linearen 



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— 16 - 



Formen der z ersetzt, so entsteht eine neue orthogonale Substitution, welche, da es 
auf die Bezeichnung der Variablen nicht ankommt, mit (Or n ) identisch ist. Damit ist 
zunächst bewiesen, das* man für jedes m von der Substitution (of m ) zu der Sub- 
stitution (0~,) gelangen kanu, indem man die eratere unter llinzunahme identischer 
Substitutionen mit einer Substitution (07i) zusammensetzt. 

Erweitert man feiner die Substitution (ptJ) durch llinzunahme der r iden- 
tischen Gleichungen: 

zu einer der Zahl (»« l)r entsprechenden orthogonalen Substitution (O rw+l ) und 
gleichzeitig die Substitution (()*), nachdem man darin zuvor die Grossen: 

*<", a<*'). y>\ y«>, ytD 

in neuer Bezeichnung durch die Grössen: 

y»-lr+l) y«»-i r+»| ^ _ y*+ir). , : ■■■ - i , -f i , .'.;"-i,+rv < j< ••.+!') 

ersetzt hat, durch Hinzunahme der (m — IV identischen Gleichungen: 

»y» ~- / -'i , ry 11 =» rt<*>. . .., ,y ,7,TT " — r 

gleichfalls zu einer der Zahl im -4- l)r entsprechenden orthogonalen Substitution (0, m M ) 
und setzt dann die beiden Substitutionen (O^-h), zusammen, so enUteht eine 

neue orthogonale Substitution, welche mit der Substitution (Ot m +i) identisch igt 
Damit ist bewiesen, das« man von der einem beliebigen Werth«; von »i entsprechenden 
Substitution (0,t,) zu der dem Werthe m -+- 1 entsprechenden Substitution (otm+i) 
aufsteigen kann, indem man die erstere in passender Weise mit einer Substitution (0^) 
zusammensetzt. 

Aus dem Vorstehenden ergibt sich nun ohne Mühe das Endresultat, dass jede 
Substitution (of*) , m = 3, 4, . . . durch Zusammensetzung von m — 1 passend ge- 
wählten Substitutionen (ö£), jede Substitution (0~j, m = 2. ?>, 4, . . . durch Zusammen- 
ssetzung von »i 1 passend gewählten Substitutionen (07t) und einer einzigen Sub- 
stitution (07i), jedesmal unter üiuzunahmc identischer Substitutionen erhalten werden 
kann; ein Resultat, das auch durch die Betrachtung der den genannten Substitutionen 
entsprechenden identischen Gleichungen (.7, m ) hätte erhalten werden können. 



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Siebenter Abschnitt. 



Aufstellung der Thetaformeln, welche den in vorigen Abschnitte gewonnenen 
orthogonalen Substitutionen entsprechen. 



l. 

Anknöpfend an die Untersuchungen des vorigen Abschnitts kann 
folgende Resultat aussprechen. 

Sind q, ö = 1, 2, . . ., n, die w* Coefficienten eines orthogonalen Glei- 
chungensystems, so geht die Korm: 

a-t "i'«,„- o« + « + ••• + *;■*?) 



durch die Subatitution : 



(SO 



r4 ,> -e» , V; ) +«- ,,) Sf? l + •• +c (, " > ^, 
u = 1, 2, . . ., 

über in die Form: 

b = y w + + • • • + jW> • 

Unter der Voraussetzung, dass die Grössen a^„- den für Parameter von Theta- 
functionen bestehenden Bedingungen genügen, soll jetzt diejenige Thetaformel, welche 
der Überführung der Forin A in die Form Ii durch die Substitution iS) entspricht, 
aus der in Art. 1 des dritten Abschnitts aufgestellten Fundamentalformel (ö) abgeleitet 
werden. 

Zu dem Ende hat man die in der Formel (fe>) vorkommenden Grössen a^l 
a '"i' • > • ■ •> 0*> f*'*™ 1» 2, . . j>) in die Coefficienten der soeben aufgestellten 
Formen A, B und zugleich die der Formel (&) zu Grunde liegende allgemeine Sub- 



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- 46 — 



»titution (S) in die hier vorliegende specielle Substitution (S) übergehen zu 
Man erhalt dann die gewünschte Thetaformel*) in der Gestalt: 



=2» 



Ar' 1 ]! d 



_ »■ . L »■ J 



'' I fe**>Tt . . . 



i 



L r J 



&«■">». 



Die in dieser Formel vorkommenden Thetafuuctionen besitzen alle die nämlichen 
Parameter 0»^, und es sind dieselben daher nicht mehr in die Bezeichnung auf- 
genommen; die Grössen u, v sind mit einander verknüpft durch die beiden Gleichungcn- 
systeme: 

rt™ = c l,1 > «|J> + c ( »"«;f> + • • • + c'* 1 ' , m|» - e*"> rj, 1 » + t" !) + • - • + e iu > r„"' , 



p - i. * /' 



es ist weiter die auf der rechten Seite angedeutete Summation in der Weise aus- 
zuführen, das8 man nach jedem der 2np in den linearen Formen: 



Äjr J - „<„» + + ..• + i<"> , = r (J('> + c'»»> tf> + -.. + c<"> ^ , 

/• = i. s, . , r, 

vorkommenden «, 0 von 0 bis r — 1 summirt; es bezeichnet endlich s die Anzahl der 
Normallöaungen deB Congruenzensystems: 

J"i x >*> + ^»-.^ + . + ,J-« t y., . 0 (m()( , r)f 



c .r -|- <■ .< -f- • - -f- c * 0 (mod. r). 

Aus der gewonnenen Forme) (8) erhält man durch passende Änd 
ihr vorkommenden Variablen k, v die allgemeinere: 



der in 



V*g S84). 



•) l'rym, Ableitung einer allgemeinen Thetaformel. Formel {#) (Acta 



Bd. 3. 



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- 49 



(*0 



0,1.. ,r-l 



./Iii -:JI 

' +V I x<" 
r 



-dl . <« 



« (n -|-?" 



C«'"> ...» 



L >■ 



Me- 



ie-* 



wobei: 



— /k 1 ;» Npi" 



In dieser Formel bezeichnen pj,"\ (^"''^ ^'V beliebige reelle Grössen, 

j£\ ^"J* '•";) ir 8 0D <« 2»J» 8 anze Zahlen ! unt * r #\ ^X-^""3 8indGrÖMen 
verstanden, die sich aus den x, A in derselben Weise zusammensetzen, wie die Grössen 
ä, ß aus den a, 0; die Grössen p, ff sind definirt durch die Gleichungen: 

ft> „ju; + c <i.) ,(» + ...+ c n -) q> « t <u: ,<.) + e m> „(«) + . . . + c (. .) a ( ; ) , 

jw _ e .« ■ ,o) + c («) # .« + . . . + c (t.> ,w f - e (v _ e ,«» .i.) + ^ d r> + . . . + c i«.> 4* , 

Ü"- c" V* + e"« ,;?>+ ■ • ■ tf> a<" - c«" ■> «£> + t"«> <> + •■• + c ( "> ,<;>, 

p — 1 , s, . . ., p, 

und unter ^*>, ^ *' " ; ") endlich sind Grossen verstanden, die sich aus den 

y, i in derselben Weise zusammensetzen wie die p, ö aus den p, ff. 



Aus den im vorigen Artikel aufgestellten, dem allgemeinen orthogonalen 
Systeme (0) entsprechenden Formeln (ß), (&) können jetit die den speciellen ortho- 
gonalen Systemen (0^), (o£,), (0^,) , m — 2, 3, 4, . . . entsprechenden Thetaformeln 
abgeleitet werden. 

Lässt man aber zunächst die Coeffkienten c des Systems (0) in die Coeffi- 
cicnten des Systems (<)7i) übergehen, so geht aus der Substitution (S) eine Substitution 
hervor, welche man auch aus der in Art. 1 des fünften Abschnitts aufgestellten Sub- 
stitution (S) erhalten kann, wenn man darin i/»> — j*« = .••=— qi*> — . 1 setzt. Die 
dem Systeme (0^) entsprechende Thetaformel (&') ist daher keine andere als die 

Kiaui ood P>t«, Tfc«UfuncliöMO, 7 



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Formel (ö'> de» Art. 3 deB fünften Abschnitts. Führt man darin an Stelle der will- 
kürlichen Variablen m neue Variablen w, t ein, indem man für p. = 1, 2, . . ., p: 

n'u' - « v + e, «!;* - «v + <?\ «»" = «•., + r 

setr.t, wobei tr„ eine willkürlich veränderliche Grösse, ('„' aber Veränder- 

liche bezeichnen, welche der Bedingung: 



+ + . .. + £>-o 

genügen, so nimmt dieselbe die Gestalt: 



d [V + K ' r 'j : '«" + * ri n 



X c 



'S 



#[ 8 ' : '+"'-^'Ji,f 



l.f . 



Xt 



an, wobei die rechts augedeutete Summation so ausiuführen ist, dass [^J die Reihe 
der >*p zur Zahl r gehörigen Normalcharakteristiken durchläuft. 

Ist r eine ungerade Zahl, r '>>■' — \, so kann man die Formel (©7;) in die 

Gestalt: 



r — 1 



X f. 



\ x <• 



t « 1 V _ 



frP + — X ( ",llV - «" 
L r J » 



II . 



X c 



.r = l 



X < 



X c 



ist dagegen r eine gerade Zahl, r « 2r', in die Gestalt: 



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- 51 - 



(«CO 



IX'' 



»[' + *- *<*•»] tfw- 



x c M=1 

r ,- £ !•„ ^ — fy) 

X e " =l 

briugen, und es ist im ersinn Falle die Sumniation in der Weise auszuführen, dass 
die Reihe der r*' zur Zahl r gehörigen Noriualcharakteristiken, im zweiten Falle so, 
dass [A] die Reihe der r' 1 ' zur Zahl r' gehörigen Normalcharakteristiken durchlauft 
In einer jeden der drei vorstehenden Formeln sind unter ij„, ijl, (/t = 1, 2, . . ., p) 
irgend welche ganze Zahlen, unter x<-'>, x™ irgend welche reelle Grössen 

zu verstehen, während die Grössen x„ , x'„ (p = 1, 2, . . . , p) durch die Gleichungen: 
x — *<'> -f x' 3 > H l-x"i x -= x* 11 + x'W H 1- x'c» 

definirt sind. Bei deu Charakteristiken der Thetafunctionen ist, wie von jetzt an 
durchweg, die in Art. 4 des ersten Abschnitt« besprochene kürzere Schreibweise an- 
gewandt 

3. 

L5sst man weiter das der Substitution (S) des Art. 1 zu Grunde liegende all- 
gemeine orthogonale System (0) in das in Art 4 des sechsten Abschnitts aufgestellte 
System (Ö rai ) Ubergehen, so geht aus der Formel (ß) die diesem Systeme entsprechende 
Thetaformel (e>, m ) hervor. Man erhält dieselbe dadurch bei passender Wahl der Be- 
zeichnung in der Gestalt: 

frgrt-U) -). pny ^,p«> -(- f.*»]) . . . + 

»([«•"» -f ■+- • ■ • »giet*' -f- <<*"*)$ 



-V 



(»r„) 



-2 

[•] 



r.^ — »<*n rv*> «<»i r.<" , > »iWi 

*L ,.--J («<"+ J («"> + «"«>).•■ »-|_^ — =ü — J««w<— +<><<'"» 

r.(n_.(«n r.(S) _,(')"] rV^-ot"'! 



x e 



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wobei zur Abkürzung: 



gesetzt ist. In dieser Formel bezeichnen die «- unabhängige Veränderliche, die t da- 
gegen Veränderliche, welche den Bedingungen: 

C + tr + ... + <r = o C"1:V.:::3 

genügen, und es ist die auf der rechten Seite angedeutete Summation in der Weise 
auszuführen, dass jede der m Charakteristiken J^-J , • • j^. J unabhängig von den 

übrigen die Reihe der 7'*J* zur Zahl r gehörigen Normalchaiaktcristiken durchläuft 

Aus der gewonnenen Formel (© rm ) erhält man weiter durch passende Ände- 
rung der in ihr vorkommenden Variablen er, t die allgemeinere: 

♦[.^ ,) - i^V»° ,, ]('f <,, +« l,, l#[ i ^'+« (,,, ](«- i,! +< (,, J) • •[ , '""'-y , " ,> +- , -"}y 



N' 



X c 



c " 

t ^')-.'« + i«'=2« + ^] (|( ,n +|( „ >) . ..^ 7 ^%>'-^'.' + fl ,«.»] (lt .-) +ff «..» ) 

■v^[(fW+(M7+''+('r-''j ll ) : !r] 

e " 

^[(i ,> -n^ , -(-': ,, -:: ,, )< ,,+ - • ■ + (^- ? ^)<!" ,, -(';- , -^i ,, )'!r 1 ] 

bei der <>, (; */./:.';) irgend 2mp ganze Zahlen, «);»>, .... x>'\ 
*^' r) . . ™) 2' Mr ^ , beliebige reelle Grössen bezeichnen, während die Wissen 

> (,' ilVs ""i) l ' l,rcn *'' e Gleichungen: 

x«; 1 = *<;" + *<„*> + ••• + , «™ = v 11 + *r> + ••• + *r 

definirt sind. 



X e 



Xe 



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~ •).•} - 



In Art. 5 des sechsten Abschnitt* ist gezeigt worden, dass man alle Sub- 
stitutionen (Ü rm ) aus passend gewählten Substitutionen von der (iestalt (0^ 
unter Hinzunahme identischer Substitutionen zusammensetzen kann. Verbindet man 
dieses Resultat mit dem in Art 3 des dritten Abschnitts gewonnenen, so erscheinen 
die den Systemen (07i), (ßrö entsprechenden Formeln (ö r 7), i^rt) als die Grund- 
lagen für das ganze System der Thetafomieln (ö r .,), in dem Sinne, dass aus Formeln 
dieser Art durch rationale Verbindung die sämmtlichen Formeln (0™), (&7m), >«— 2,3,4,... 
erhalten werden können. 

Die Formel (ör~) ist schon in Art. 2 aufgestellt worden; die Formel (fc>4") 
soll jetzt in der einfachsten Gestalt aufgestellt werden. Zu dem Ende setze man in 
der Formel (Örm) tu = 2, g = -f- 1; man erhält dann, wenn man noch die Bezeich- 
nung in passender Weise einrichtet und einige leicht ersichtliche Vereinfachungen 
vornimmt, die gewünschte Formel in der Gestalt: 

frjj + x<»>] -f *H>) *[-J + *<«>](,*«> + 



(#) 



- 7- 27 
X e X e 



2 

[;] 



Xe r Xe 
X e 



Dabei bezeichnen die 2p Buchstaben tc unabhängige Veränderliche, die t dagegen Ver- 
änderliche, welche den Bedingungen: 

F> + + . . . + . 0, tf" + C + • • • + C - 0 * = " 

genügen ; ^ , ^ (p = 1, 2, . . . , p) bezeichnen irgend 2p ganze Zahlen, x<" 1 • 
«2 M> , «i** 1 , •••• C-i'.* ,) 4r i> beliebige reelle Gössen, aus denen sich 
die x, x zusatnint-nwtzen gemäss den Gleichungen: 



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- 54 - 



x„ ^ x<*» + x;;- 1 h j- *<y + + -i — -f x;," 1 , 

5;, = «i'«>-f- ■ ■ • + + • ■ + «m"'; 

die Stimulation endlich ist in der Weise auszuführen, das« die Charakteristik f*J die 
Reihe der r** 1 zur Zahl r gehörigen Normalcharakteristiken durchläuft. 

Mit Rücksicht auf die hier aufgestellte Formel (©40 kann man endlich noch 
bemerken, dasB sie nicht wesentlich verschieden ist von jener Formel, welche aus der 
in Art. 2 aufgestellten Formel (©,7) hervorgeht^ wenn man darin r durch r oder, was 

dasselbe, r in neuer Bezeichnung durch 2r ersetzt. 



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Achter Abschnitt. 
Einige Anwendungen der im vorigen Abschnitte aufgestellten Thetafurmeln. 



1. 

Um die Bedeutung der im vorigen Abschnitte aufgestellten Thetuformeln zu 
zeigeu, sollen jetzt von den zahlreichen Anwendungen, welche sie gestatten, einige be- 
sonders wichtige mitgetheilt werden. 

Man verstehe unter v H , u = 1 , 2, . . ., p, unabhängige Veränderliche, unter 

c„, »= 1, 2, ...,/>, willkürlich wählbare Constanten, unter , IZ°£'\ aber 
Constanten, welche den p Bedingungen: 

«;" + <H i-a^'-o >-i.*.. ,p) 

genügen, und führe in die Formel (B, m ), nachdem man darin p ■= -f- I gesetzt hat, 

diese Grössen v, c, a an Stelle der Grössen tc, t ein, indem man für '='•*■ 

— > • ». • i» 

rtr*" — »• + r& ( " 4- O — 2)c , 



r/" 1 = rr*' 1 ' 



rt< %r — *> 



r< (.^it = _ ^ + ,-(,- _ l)s<;-»- <r - 2)c, , r£" -(r — l)r, - r - (r - 2)t 
setzt, wobei: 

<;» = „<«, + „<., + ...+ «<* 
ist. Aus der Formel (Ö rm ) geht dann die Formel: 

fr £ ri «» + rt iD) ^ (( rs ü> _|_ fl <»)^ ... fr fl,-sl">-» + «<»>} 
fr { v + «" } »( f + « m i ■■■ M v + a<~>) 



(F> 



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hervor, vermittelst welcher jedes Thetanroduct von der Form: 
»(v + «"»II »iv + . . . »«» + «r'-:jl . 
bei dem die konstanten a den ;j Hedingungen: 

«{fH h — 0 <" -»,*. ./» 

genügen, durch die r" 1 zur Zahl r gehörigen Nornialfuuctionen ausgedrückt 
werden kann. 

In der gewonnenen Formel (F) sollen weiter für die konstanten c, a tn" Theile 
der IVriodicitütsmodulen eingeführt werden. Zu dem Ende verstehe man unter x„, x' u , 

<•>, a< r) t~°; , ;.*'."',,; m ) ganze Zahlen, welche den 2p Bedingungen: 

+ < a) H h «JT' = 0 < «'. ( ." + "2" + • • ■ + ~ 0 i» =»■*.•.. » 

genügen, und setze für IZXt''.".»* : 



Unter Anwendung der Ufllfsformcl pag. 7 geht dann, wenn man noch zur Ab- 
kQnungftr;-^;,;": 

<' + ««■'+•.. + «;;< = <>, + + • • • -h - «; 

setzt, aus der Formel (Fl die Formol: 

» [C>» 3 [!"]«•■> •••• [^]*'» 



~3 

i;] 



• ['"'7'"'<":]w • [•-7 ,, "+'^]p»- • ['"- ! V^>, 



!1. 



X e 



X« 



hervor, vermittelst welcher das Product: 



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von zur Zahl m gehörigen Theiafunctionen durch die zu einer beliebig gewählten 
Zahl r gehörigen Thetafunctioneu ausgedrückt werden kann. 
Setzt man für p = 1, 2, . . ., j>: 

ft"J a«*J — «<»-») — o , «<•> == = • • = «'<"-" = «' , 

«J- = (l -,«)«,, «;»> = (!-,»)«„, 

so geht das genannte Thetaproduct, von einer Expouentialgrösse abgesehen, in 
*"[2]H Aber. 

2. 

Es soll endlich gezeigt werden, dass die zu irgend einer Zahl r gehörigen 
Thctaquotienten Additionstheoreiue von der Beschaffenheit besitzen, dass die dem 
Argumentensysteme (w + t) entsprechenden Werthc dieser Quotienten sich rational 
durch die den Argunieutensystemen («?) und (/) entsprechenden Werthe ausdrucken 
lassen, und dass dabei als Coustanten, von r'* B Eitiheitswurzeln abgesehen, nur die 
den Argumentensysteineu (0) entsprechenden Werthe dieser Quotienten auftreten. 

Um diese Additionstheoreme zu erhalten, setze man in der Formel (0^) 
pag. 53 für p = 1, 2, . . ., p: 

t^-v )t , v <JJ"-0, 

uf — 0 , f «> = = • ■ • = tf > - 0 , 

9 „ — 0, ^ = 0, 

ferner ein Mal: 



„HD B d') „(«D 



ii r ' ' >' r ' « r ' ' * r ' 

(in '(km „'(»II „M'l 



x'"U= ... x !lr| = " x' <:,1, = 



indem mau unter den a, a ganze Zahlen versteht, welche den 2p Bedingungen: 

„ül> + . + «<M + «!».) + . . . _f_ „(Irl = 0 , 

«im + . . . + « <"> + „wi + • • + «w = 0 
genügen, ein ander Mal: 

x II) _ K " . . . „IUI _ P " x l*U «» ... x<*r) „ 

i> ' ' h r ' n r ' 1 p 



(,. = !, »,...,,.) 



a'dn «(in ß Mi> ö i*o 

*"(•!> = P " , . . • , »Mr) = |V_ „',!!> _ , . . . , X (tO _ *>_ , 

M r ' r ' " r ' ' ^ r ' 

indem man unter den ß, gleichfalls ganze Zahlen versteht, welche den 2p Be- 
dingungen : 

Kb»»i oiii r«iH. TbM.funcUotjca H 



- 58 - 

ß; U} + ■■ • + ß?°+ß?" + ••• + ä 1 " = ° 

genügen, und setze noch voraus, das» für ft = 1, 2, . . , p: 



sei. Dividirt man dann die beiden auf die angegebene Weise aus (ö'^) hervorgehen- 
den Formeln durcheinander, so erhält man das gewünschte Atlditionstheorem der zur 
Zahl r gehörigen Thetaquotienten in der allgemeinsten Gestalt: 

»[^'](0! ■ ■ ■ »[^-'].oi »["',"'](„» ■ ■ »["~]w »f + '■> 



2 



4« -;'>!»['-;">} 



t<ti v ' 



(5 



•[ : --r>»»hr> 



0» 



— r 2 ,V/ 



Durch passende Wahl der Zahlen u, ß kann die erhaltene Gleichung auf verschiedene 
Weisen in eine einfachere Form gebracht werden. 



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Zweiter Theil. 



Theorie der Transformation 

der 

Thetaf imct tonen. 



Erster Abschnitt. 
Einleitung in die Transfonuationstheorie. 



Gegeben sei eine Function definirt durch eine j>-fach unendliche 

Reihe vermittelst der Gleichung: 

..,..,1. £ £ «^^•(•n,, + D J< >«n lU '4-» u -i + * £ + i'^+^f."') 

♦[:ji"».-2 7 ** = ""' 

m l ,...m fl 

die Parameter a,,^ = <i^> sollen dabei nur der für die absolute Convergenz der Reihe 
notwendigen und hinreichenden Bedingung, dass ftlr reelle x der reelle Theil von 
£ £a /t/ ,x M x f ,- eine negative Form ist, unterworfen sein; die Buchstaben »«, , u f 

sollen ferner unabhängige complexe Veränderliche, die Buchstaben </,, ■■ ,<J t , /»,,...,/*, 
beliebige reelle Constanten bezeichnen. Die so detinirte Function *[j]ä«Ju genügt 
dann den Gleichungen: 

»[:](«. • • ■ «. + «'• • • 1 - *[:](«. i • • i <u*>' n> , 

und es sollen die in diesen Formeln auftretenden 2p Systeme gleichzeitiger Ände- 
rungen der Variablen ti, | w, | . . . u,, : 

»« ■ o ... | o, o„ ' . . . |«„, 

<> */ ... 0, a lt a„ a pt , 



0 | 0 ... ai „ a iF . . . a PF 

die Periodensysteme der Fuuctiou *[)[J(mJu genannt werden. Versteht man weiter 
unter x,,...,x,, A,,..., X? beliebige reelle Grössen, so Roll jede» System von 
p Grössen von der Form: 



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- CrJ - 



., ,.=J, I. 

x,xi -f 2.* A„rt,„ x.iti + 2,"A r ,«;„ ... x r xi + 2' ;.„«,. v 
?=> ' c-« e=' 

ein System gleichze itiger Änderungen der Variablen m genannt werden. Man bilde 
nun mit Hülle von 4p* rationalen Zahlen 0,,,, b„, , C^,, b„, (ft, v = 1, 2, . . ., p) die 
2p Systeme correspondirender Änderungen der Variablen m: 

-'i I ■ ^21 • ■ ■ A p \ > B n ■ • • 'V'> 

A l: A tl . . A pi; ;>'„ ; // iä [ . . . | B pt , 



A ip \A. lp . A pp , B h , j V/,., . , 

wobei für u, t' 1, 2, . . ., p: 

= n,,,jn -f- 2.' b,„«„„, = (»fi-t» + 2' b,„«,,„ 

•.-=» ' r-i 

ist, und «teile sieb die Krage, ob es immer oder nur unter gewissen Voraussetzungen 
über die rationalen Zahlen ü, b, C, b möglich ist, die Variablen u l n 4 . . . | u p mit p 
neuen Variableu v, t, ; . . . v p durch eine lineare Substitution mit nicht verschwinden- 
der Determinante derart zu verknüpfen, dass den 2p Systemen A, B von Änderungen 
der Variablen « 2p Systeme von Änderungen der Variablen v entsprechen, welche 
als ilie 2p Periodensysteme einer Function *| '_[([>)}» angesehen, also durch passende 
Wahl ihrer Reihenfolge in die Form: 

sei 0 . . I 0, b n l b n . . . U, lt 

0 | iti ! . . . ' «), b, t \b„ ... b,, t , 



0 ! 0 ... I ni, b lp b ir | . . . 

gebracht werden können, wobei allgemein b„- — 6.-. ist, und für reelle x der reelle 

Theil von £ ^b^^x^x,.- eine negative Form ist. 

« »• 

Die zwischen den u und t' aufzustellenden linearen Gleichungen sind schon 
vollständig bestimmt, sobald man nur den ersten p Systemen des ersten, die Grössen 
A, B enthaltenden Schemas die ersten p des zweiten, die Grössen ni, b enthaltenden 
Schemas als entsprechende zugeordnet hat, und zwar können dieselben nur die l'orni: 

*< »i, = yl,,r, -}- A lt r t + • ■ ■ + A, p r p , 

»«' "« — A n v t + A;.»; -!- \- At,v r , 

m ,1, — A, x i\ + A pt r, + --. + J, ,,,<•,, 

besitzen. Die aus den />* Grössen A gebildete Determinante ,J A — 2' |- A u A ti ...Ä tp 
muss dabei entsprechend der vorher gestellten Bedingung einen von Null verschiedenen 
Werth haben. Diese Bedingung soll zunächst als erfüllt vorausgesetzt werden; es 
lassen sich dann auch umgekehrt die v linear durch die « ausdrucken in der Form: 



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— Ü3 — 



r, = A„u t + A„ «,+ ••• + .l^iv , 

J „ ' 'V = ^i* w, + ^,„»« j + ■ • • + /I,, «,. , 

wobei A M , die Adjunete von A ¥ , in der Determinante bezeichne*. Mit Hülfe dieser 
Gleichungen ergeben »ich jetzt für die den Änderungen B der Variablen u entsprechen- 
den Änderungen b der Variablen v die Ausdrücke: 

— . 2JA v iB e ,, b t , = £A t *B 9 ,,..., >> pr ~= 2^A VP B V ,, <»=m,. ..») 
.i <«=i .i i — i jp-i 

und es ist zu untersuchen, ob diese Grössen 6 den vorher für sie aufgestellten Be- 
dingungen genügen. 

Diese Bedingungen verlangen zunächst, das* für jedes s und t von 1 bis p 
b„ = b,-. sei. Man beweist leicht, das* die \p(p — 1) Gleichungen b„ *=b,; durch 
die \p(p— 1) Gleichungen: 



- — r 

2.' (A^B,,: — A/. tBf,,) = <> 



.=1 



ersetzt werden können, und weiter, das» die nothwendige und hinreichende Bedingung 
für das Bestehen dieser letzteren die ist, daas zwischen den rationalen Zahlen a Ht) 
b,,,, C,„, b„. die p(2p — 1) Relntionen: 



<*.) 



- (a.^c,,,- — a,,, c,^) = (», £ <>.„&,„• — b, u b, u ) = <>, 

-i- (o,^b. u - — c,,.b,„ = ..' , 

.=»i 0, wenn ^ p , 



bestehen, in denen < eine zunächst nicht näher bestimmbare rationale Zahl bezeichnet. 

2. 



Genügen 4;)* Grössen ti„,, b„ C^r, fy,, (f, *' — 1> 
so besitzt das (Quadrat der aus ihnen gebildeten Determinante: 

a M . . . a, r b,, ... b lp 



p) den Delationen (I,), 



1).- 



o,.i . . . a^, b p i . b l p 
c M . . . c,, b,, ... b,, 



stets den Werth und es besteht daher für den Werth d der Determinante I) selbal 
die Gleichung: 



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wobei to eine zweite Emheitswurzel bezeichnet*); es bestehen ferner zwischen den 
Elementen ü„ r , b u ,, b,,, der Determinante I) nnd ibren Adjuncten 0„, b,,,, C,, b„ T 
die Beziehungen: 

0„, = «{'""'b,,,, b M , = — mr* - („,, 

<«.,» - 1. 1. . . -, f) 

(,., = — oit*~ b, lt , b„, w* p_ o UI . 

Fülirt man diese Ausdrücke in die bekannten Gleichungen, welche zwischen 
den Elementen einer Determinante und ihren Adjuncton bestehen, an Stelle der letzteren 
ein, so erhält man die Relationen: 

'If (a„.b„> - ■ a,,..b,..) = 0, SU,.*,.; - c„-.b„.) = 0, 



*-f . , . /, wenn u. — u , 
»=i () , wenn /» ^ u. 



Diese Relationen (X,) sind eine Folge der Relationen (X t ), da zu ihrer Ableitung nur 
die Existenz dieser letzteren vorausgesetzt wurde. Man kann aber auch rückwärts von 
den Relationen (X,) aus wieder zu den Relationen (X,) gelangen, und es ist daher 
einerlei, ob man den 4p 1 Grössen Q, b, c, b von Anfang an die Bedingungen (%) oder 
die Bedingungen (X,) auferlegt, 



3. 

Erfüllen die 4p 1 rationalen Zahlen a, b, c, b die Gleichungen (X,) oder die 
damit äquivalenten Gleichungen (X,), was von jetzt an immer vorausgesetzt werden 
soll, so hat nicht nur die Determinante d.\ der Grössen A stets einen von Null ver- 
schiedenen Werth, sondern es ist auch, wenn nur die vorher mit t bezeichnete Grösse, 
was daher von jetzt an auch noch vorausgesetzt werden soll, positiv ist, bei reellen x 

der reelle Theil von XI^,, ^!,/ immer eine negative Form**). 

/< v 

Mit Hülfe des ersten Resultates lässt sich nun aber auch zeigen, dass die im 
vorigen Artikel eingeführte, mit «a bezeichnete zweite Einheitswurzel stets den Werth 
+ 1 besitzt. Zu dem Ende bilde man das Product der beiden Determinanten: 





. . 0 


- b„ • • 


- b, , 






- . a lf . 


b„ . . 


b„ 


0 


. . ni 


— bi,, • 


• — K ,, 




a, , . 


- . a,,,. 


b,„ . . 




"u ■ 


■ ■ 


a u . . 


(X/. i 








b„ . . 


. b lf , 


Ol r ■ 


. . a FI , 


a,,, . . 


a,. ; . 






• *•>/• 


t>, i • ■ 


• K>- 



*) Ei wird im nächsten Artikel bewiesen werden, dass im vorliegenden Falle <n nur den 
Werth -4- 1 besitzen kann. 

»*) Zum Beweise dieser beiden Satze vergl. Weber, Über die unendlich vielen Formen der 
» Function. (Journal für r. u. a. Mathematik, M. 74, j»a K . 67.) 



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- 65 - 

von denen die erste, wie man leicht sieht, den Werth J A besitzt, die zweite aber deu 
Werth nt p hat, und zwar in der Weise, dass man die Verticalreihen der ersten mit 
den Horizontalreihen der zweiten componirt. Die dann entstehende neue Determinante 
besitzt, wie unmittelbar ersichtlich, den Werth J A . t p , und es kann daher die Grösse w, 
da J A von Null verschieden ist, nur den Werth + 1 haben. 



Man nehme nun an, dass gegeben seien eine Function <r[j]l[w]|a und 4;>* 
rationale Zahlen o„,, b ur , t lir , \>,,, (ft, v — 1, 2, . . . , p), welche die Bedingungen (% t ) 
oder die damit äquivalenten (Xj) erfüllen. Man setze dann: 

(\) A,,, =» a, u xi -f- Zb r ,a„,, (2) B,„ = c,„jr< - + ZK.a,,,, k—i.» ,) 

bezeichne die Determinante der p* Grossen A mit d A , die Adjuncte von in dieser 
Determinante mit A u , und definire p neue Variablen v und \p( p ■+- 1) neue Para- 
meter b implicite durch die Gleichungen: 



(3) «„ =» £ A t ,,\\, (4) B^— - £ A^yb,^ Kv-U - .p. 

* 1 r_l >-=l 

oder auch explicite durch die damit äquivalenten: 



2,' j4„ r ii„, 



(6) i, e =^j- E A ur B M „. 



A ..-1 



('.e~».s ;■' 



Unter Beachtung des vorher erhaltenen Resultates, dass die Grössen b als Parameter 
einer absolut convergenten Thetareihe betrachtet werden können, lässt sich dann als 
Transformationsproblem für die Function ♦[j](«]|o die Aufgabe bezeichnen, die Function 
*['] l t , ''l u durc l> Functionen ^[f.jftji» auszudrücken, und es gehört auch in das Bereich 
der folgenden Untersuchungen, die Frage zu beantworten, ob das so gestellte Problem 
für jedes System von rationalen Zahlen o, b, c, b, welches den obigen Bedingungen 
genügt, lösbar ist 

Das gestellte Problem ist vollständig bestimmt, sobald die 4p* rationalen 
Zahlen 0, 6, r, b gegeben sind. Man denke sich dieselben zur Charakterisirung der 
Transformation in ein quadratisches Schema von der Form: 



0„ . 


a, f . 


b.i • 


• .b lp 








■ • kpi> 






b u 


■ bi r 


c„, .. 


W 




..b,„ 



Kit»! vtli PkTM, 



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— <>6 - 



gebracht Dieses System von 4p* Zahlen soll dann die Charakteristik der Trans- 
formation, die vier Räume, in denen die Grössen 0, b, c, b bezieblich stehen, der erste, 
zweite, dritte, vierte Quadrant der Charakteristik genannt werden. Wenn kein Miss- 
verständnisB zu befürchten ist, soll die Charakteristik zur Abkürzung mit: 



c„, b, 



bezeichnet werden. Die in einem Quadranten vorkommenden Zahlen sollen die Elemente 
des Quadranten genannt werden. Besitzen alle ausserhalb der Hauptdiagonale eines 
Quadranten stehenden Elemente den Werth Null, die in der Hauptdiagonale stehenden 
Elemente aber den nämlichen Werth fr, so soll dies dadurch angedeutet werden, 
dass man: 

w . . . 0 



0 



IC 



in den betreffenden Quadranten setzt; dabei ist der Fall «7 = 0 nicht ausgeschlossen, 
in diesem Falle soll jedoch auch die kürzere Bezeichnungsweise, dass man in die Mitte 
des Quadranten eine Null setzt, erlaubt sein. Endlich soll es noch gestattet sein, die 
zu der Charakteristik T gehörige Transformation kurz als die Transformation T zu 
bezeichnen, und es ist dabei immer vorausgesetzt, das« die Zahlen a, b, c, b dio Be- 
dingungen (%), ($ 4 ) erfüllen; die Zahl t soll die Ordnungszahl der Transformation 
genannt werden. 



Ist das im vorigen Artikel gestellte Transformationsproblem für irgend zwei 
specielle Charakteristiken: 



r = 



;löst, 



kanu man aus diesen Lösungen immer dio Lösung desselben Problems für 



die Charakteristik: 



ableiten, deren Elemente sich aus den Elementen von T und T zusammensetzen mit 
Hülfe der Gleichungen: 



b; t = £(V<W + b e»W> 
e=i 



e— -p f ti v—f 

c,,, -= -£ (Of, c, ( , -f c f ,b^), bj,', = H (b f , -f by.b^pi. 
e=i i—i 



{u, t - 1. t. . . ,p) 



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- 67 - 



Unter den gemachten Voraussetzungen kann man nämlich einmal die Function ^[i]^«JU 
durch Functionen ^^fj^J« ausdrucken, wenn man den Zusammenhang der Grössen tt 
und a mit den Grössen v und b in der vorher angegebenen Weise durch die Gleichungen: 

(1) 4,, — a r ,*i+ Z b„a M ,, (2) — c,„»i £ br,o„„ , = 

(3) w,. — - . 2; Af.,v,, (4) , 2;^ w ,&, ef >, ? = i. ».....,) 

(5) u, — — 27 Au,tt„ , (T>) ft„ — £ A„,JL il [».f-i, »,. ..« 

de6nirt. Man kann weiter aber auch eine jede der bei der ersten Transformation auf- 
getretenen Functionen d [JJ |ft')» vermittelst der zweiten Transformation durch Functionen 
*[j.i](»Je ausdrücken, wenn man den Zusammenhang der Grössen v und 6 mit den 
Grössen w und c durch die Gleichungen: 

*— r , , '"p \ 

(!') A', t , = Q fl a( + £ b 9 ib,,, (2) B, ( , = c e ,*» -f- 2,* bj«t,Mj i».c = i,*.- • • j») 

(3'; v,= Ä, v u- t , (4') JK<,-± *£ Ar,c 9 „ (..«-i.».. . 

(5') 1^=*^ £ A, t v,, (6') c,,„ = — 2T Ä ti .B ra ( C ,«-i.*, j»> 



definirt, wobei .J.,' die Determinante 2? + A\,Ä n . . . 4* der P* Grössen Ä, A', t die 
Adjuncte von Ä, v in dieser Determinante bezeichnet In Folge dessen lässt sich daher 
auch die ursprüngliche Function <r[']M)a durch Functionen # ['.. J (to% ausdrucken, 
und man zeigt leicht, dass die auf diese Weise entstehende Darstellung der Trans- 
formation T" entspricht. 

Die Charakteristik T" soll die aus den Charakteristiken T und T' zusammen- 
gesetzte Charakteristik genannt werden, und es soll die Beziehung zwischen den drei 
Charakteristiken T, T und T" symbolisch durch: 

fixirt werden. Dass man ebenso aus mehreren Charakteristiken T l} 2\, T m , 
nachdem man dieselben in eine bestimmte Reihenfolge gebracht hat, durch Zusammen- 
setzung eine neue Charakteristik T l T t ... T n erzeugen kann, leuchtet unmittelbar 
ein, und das vorher erhaltene Resultat lässt sich entsprechend dahin verallgemeinern, 
dass man aus den Lösungen der den Charakteristiken T, , T t , . . . , Z'. entsprechen- 
den Transformationsprobleme immer durch passende Combination die Lösung des 
der zusammengesetzten Charakteristik T t T t . . . T» entsprechenden Transformations- 
problems erhalten kann; es soll daher auch die auf diese Weise entstandene, der zu- 
sammengesetzten Charakteristik T l 2% . . . T m entsprechende Transformation aus den 
Transformationen T lt T t ,..., T M zusammengesetzt genannt werden. Die Ordnungs- 

9* 



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- 68 - 



zahl der zusammengesetzten Transformation ist gleich dem Producte der Ordnungs- 
zahlen der einzelnen Transformationen. Bei dieser Zusammensetzung der Transforma- 
tionen gilt, wie aus der Natur der Operationen klar ist, das Associationsgesetz. 

6. 

Unter allen möglichen Transformationen gibt es eine, welche dadurch 
gezeichnet ist, dass bei ihrer Anwendung: 



v. 



"r, 



I = I. *, 



wird; dieselbe soll die identische Transformation genannt und mit J bezeichnet werden; 
sie entsteht, wenn man Q„ — - • = a r . } , <= b„ = • • = b,, — 1, alle übrigen Grössen 
a, b sowie sämmtliche Grössen b, c aber der Null gleich setzt; es ist daher: 

... 0 0 ... 0 



0 . . . 1 
0 . , . 0 



0 ... 0 

1 ... 0 



o ... o ! o 

die zugehörige Ordnungszahl hat den Werth 1. Setzt man die Transformation J auf 
eine der beiden möglichen Weisen mit einer beliebigen Transformation T zusammen, 
so entsteht, von der Bezeichnung der Variablen und Parameter abgesehen, stets die 
Transformation T wieder, d. h. es ist JT — T, TJ = T. 
Zu einer gegebenen Transformation: 



T — 



gibt es immer eine andere: 



b» r 



_ _> " ; 



t 



welche die Ordnungszahl besitzt, und welche durch die Gleichung: 

TT- 1 -.] 

vollständig bestimmt ist. Diese Transformation 2 1 soll die zur Transformation T 
inverse Transformation genannt werden. Oass auch umgekehrt T~ l T ■= «7, also auch 
T die zu T~ l inverse Transformation ist, leuchtet ein. Führt die Transformation T, 
auf eine Function »[jj^'jL, angewandt, auf Functionen 90 fl,nrt die inTerse 

Transformation T~\ auf eine Function &[j](je]j» angewandt, umgekehrt zu Func- 
tionen fr[j.]|«J. zurück. Sobald also das Problem, die Function *[j]i»iju durch 



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- 69 - 



Functionen auszudrücken, für jede Transformation gelöst ist, erscheint auch 

das umgekehrte Problem, die Function & [j] {v^ durch Functiouen fr[y]jw). aus- 
zudrucken, da es nach dem soebeu Gesagten nichts anderes ist als wieder ein Trans- 
formationsproblem, ron selbst gelöst. 

Eine beliebige Transformation T kann man immer aus n Transformationen, 
yon denen w — 1 , etwa T lt . . . , Ty—i , T,+i , . . . , T 9 willkürlich angenommen werden 
können, während die n u durch diese und die Transformation T eindeutig bestimmt ist, 
zusammensetzen in der Form: 

= l l . . . 1 1 , ... J H . 
Setzt man nämlich, indem man die zu den gegebenen Transformationen 1\, . ... 7V_, , 
7',+,, J„ inversen Transformationen mit T, ', . . ., T~\, T7+ t , . . . , T," 1 
bezeichnet: 

t, - 27J1 . . . jr'rrr' . . . 

und fuhrt das so bestimmte T, in die obige Gleichung ein, so wird dieselbe richtig. 
Umgekehrt folgt aus der obigen Gleichung, sobald man sie als bestehend roraussetzt, 
für T. immer der aufgestellte Ausdruck. 

Dieses Princip der Zusammensetzung einer gegebenen Transformation T aus 
mehreren, ist für die im Folgenden zu entwickelnde Transformationstheorie als ein funda- 
mentales anzusehen. Durch passende Anwendung desselben kann man nämlich die 
Lösung des allgemeinen Transfortnatiousproblems reduciren auf die Lösung einer ge- 
ringen Anzahl einfacherer Transformationsprobleme, welche mittelst direkter Methoden 
behandelt werden können. 

Die Ordnungszahl t der Transformation T ist in Folge der über die Grössen 
a, 6, C, b gemachten Voraussetzungen eine positive rationale Zahl, und zwar für den 
allgemeinen Fall willkürlich annehmbar. Hat diese Zahl den speciellen Werth 1, so 
soll die zugehörige Transformation eine lineare genannt werden. Die linearen Trans- 
formationen sollen zunächst behandelt werden, und zwar sollen in den nächsten 
Abschnitten jene einfachsten linearen Transformationen betrachtet werden, aus denen 
sich, wie später gezeigt werden wird, die allgemeine zusammensetzen lässt. Diese 
einfachsten linearen Transformationen, die im Folgenden „elementare" genannt werden, 
ergeben sich durch direkte Umformung der Thetareihe und sollen vorerst ausschliess- 
lich von diesem Gesichtspunkte aus betrachtet werden. 



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Zweiter Abschnitt. 



Die erste eh'rorniare lineare Transformation. 



1. 

Eine erste Umformung der Function »[jjML, wird dadurch erhalten, dass 
der die Function darstellenden Reihe an Stelle der Sammationsbuchstaben 
m, , m, , . . . , /? neue Sumtnationsbuchstaben », , n t , ttj, einführt mit Hülfe 
einer linearen Substitution von nicht verschwindender Determinante: 

r-w, = </„«, +rf„M s H \->l,i» P , 

rm, =(/ lt n, + r/ rt ».H M, *", , 



rwi,, = dij.tt. -f~ dtp»! -f" ' • ' "f" <//.,->V , 

bei der r eine positive ganze Zahl, die rf ganze Zahlen sind. Bezeichnet man die 
Determinante der p' Zahlen rf mit /) und die Adjuncte von in 

dieser Determinante mit <!'„,, so folgt aus den Gleichungen (S) durch Auflösung: 

/>«, — r(<fu in, -+• (/,'*>», + f- </,',»»,,) , 

^ 7)», = r(di,m l + ,1'ntUi + ■ • • + </;,,»>,,) , 



Du,, = r(rf,' , ,mi, -f H f- d' t , p m t ). 

Um Weitläufigkeiten in der Darstellung zu vermeiden, soll die Untersuchung 
zunächst für den Fall, wo alle Grössen g und Ii den Werth Null haben, durchgeführt 
werden. Es geht dann aus der Gleichung: 

— »....,+* 2.' 2* ■ •„„ ■ i» m 4- S 2" ~„ 

"i • ■ ■ *v 

durch Anwendung der Substitution (S) die Gleichung: 

hervor, wenn man die Grössen h und r durch die Gleichungen: 



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- 71 - 

| h"'P M —P l «=P 

Irr — ~i £ £ drM'W' a "f' » V, = —Edy„U u (r, ,p) 

definirt, und es ist dabei die auf der rechten Seite augedeutet« Summation nach den n 
in der Weise auszufahren, das« man an Stelle des Systems der p Summationsbuch- 
staben n, , , . . ., n y ein jedes der Werthesysteme treten lässt, welche sich dafür aus 
den Gleichungen (ß') ergeben, wenn man eine jede der p Grössen m, , m,, . . ., 
unabhängig von den übrigen alle ganzzahligen Werthe von — <x> bis +00 durch- 
laufen lässt. Man erkennt aber leicht, dass man diese Summation auch so ausfuhren 
kann, dass man die p Grössen n, , . . ., n r durch die Grössen: 

»■ + $;> »* + • • •> »y+ jj, 

in denen zur Abkürzung: 

Vi = r KiP, + <W» H r- <?ipQ f ), 

h = f(4p, + (ÜsQi H 1- <U,.Qy), 



9, = > (<Wi + <^«e» H V <i?p(>,) 

gesetzt ist, beziehlich ersetzt, sodann für »j, , n t) . . ., n y ein jedes System von p ganzen 
Zahleu, för welches die Zahlen: 

rf n»i H H <ipi»p, <*»», h rf,*'',,, • • , '^»m H h rf,,,», 

ganze Vielfache von r sind, und jedesmal für o, p 4 . . . q p eine jede der LP 
Variationen der Elemente 0, 1, 2, . . ., D — 1 zur p** Classe mit Wiederholung 
einführt, endlich die dann entstandene Summe durch die Anzahl $' der Normal lösungen 
des Congrnenzensystems: 

»(du x t -f- tlüx, H (- d'i p x f ) = 0 (mod. D), 

r(di,x, + 4«. -I h dipX,) = 0 (mod. D), 

r{d„ x x t + <l f * Xi H J- rfp,«p)= 0 (mod. Z>) 

theilt. Multiplicirt man dann noch linke und rechte Seite der entstandenen Gleichung 
mit s, so geht aus der Gleichung (F,) die neue Gleichung: 

o,, t '^(.4%4)+« * (^4)-. 

f *r i 

hervor, bei der die Summation in der soeben angegebenen Weise zu geschehen hat 

Die hierbei nach den w auszuführende Summation kanu von der ihr anhaften- 
den Beschränkung befreit werden, indem man den Ausdruck: 

-.'rTMK 

2 ' ~ 



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- 1J — 



bei dem zur Abkürzung: 



'/„ff, + (/„ffj H -f <A ,.«,., 

'/««i + </ a tf » H H , 



ff,, = + '^»«t H ■ + <^°V 

geaetzt ist, hinter S als Factor einschiebt Da nämlich der Ausdruck JF immer den 

n 

Werth Null besitzt, wenn an Stelle der « solche ganze Zahlen gesetzt werden, für 
welche die p Grössen: 

f '»"i + ■ • • + r «i + • • • + '',.»»,, • • •> <'i,.»i + 1 h ^j,»^ 

nicht sämmtlich durch r theilbarc ganze Zahlen siud, dagegen den Werth Eins, wenn 
die soeben angeschriebenen p Grössen sämmtlich durch r theilbare ganze Zahlen sind, 
so erleidet durch Einschicbung des Factors F der Werth der Summe keine Änderung, 

aber man kann alsdann das Zeichen S durch das Zeichen S ersetzen, das 

andeutet, dass nach jeder der p Grossen n ron — co bis + oo zu summiren ist. 
Multiplicirt man dann noch linke und rechte Seite der so entstandenen Gleichung mit 
rf, so erhält man aus der Gleichung (F t ) die Gleichung: 



0,1... ,b— I II, 1 . .. , r— I — X 

~ 2 2 



- 2 



, 's- 's" w( v+ + *;') + *V (». + ) (« r + ; -.) 
i_i ■ =! .=i 



Die Gleichung (f' s ) geht aber unmittelbar in die gewünschte Thetaformel über, 
wenn man die auf ihrer rechten Seite hinter den ersten beiden Summenzeichen 
stehende p-fach unendliche Reihe durch die mit ihr identische Thetafunction ersetzt 
Man erhält so diese Formel in der Gestalt: 



D.I.. .0—1 D.I.. 



Ivb, 



Oe> rrs'H«h= 2 2 & 

* 

und aus ihr durch passend« Änderung der in ihr vorkommenden Variablen u, v die 



V,l />— I 0,1,. , r— 1 

(i) r'.'»[:]i«j.= 2 2 » 



-f 9 

l) 

i + • 
l_ r j 



0*J»e 



i=i 



in der ff, , . . ., y e , A, , . - ., h,, beliebige reelle Constanten bezeichnen, aus 
die g, h ebenso zusammensetzen wie die Q, « aus den p, ff. 



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- 73 - 



2. 

In der Formel (1) setze man nun, indem man unter k lf ...,Jc p , 
beliebige reelle Constanten, unter *, , . . . , Xp , A, , . . . , l p beliebige ganze Zahlen ver- 

steht und mit k, l, x, l die aus diesen Grössen gebildeten Formen: 



k M = £ d, M k r , 



% it ^= £ (itpXyj 



l f , ^ r £ <K,.I., 



(.« = 1. S p) 



— r £ d^X, 



bezeichnet, für p =• 1, 2, 

</« = y (*, + *,) , K = J, (t + l- ) - 

multiplicire linke und rechte Seite der entstandenen Formel mit: 



--V z <A 



-tu £ 
>— x 



und summire allgemein nach x,, von 0 bis r — 1, nach k„ von 0 bis D — 1. Man erhält 
dann, wenn mau noch mit s die Anzahl der Normallösungen des Congruenzensjstems: 

(C 1 ) >> £di /t z t , e= 0 (mod. r) , 'ifd^x,, = 0 (mod. r), . . . , 2? r/,„x., • = 0 (mod. r) 
,.=i ,,=i ,,=i 

bezeichnet, die Formel: 



0, I, . ,,r— I 0, 



(I) 



2 • 



r 

I + l 

L D J 



Die gewonnenen Formeln (1), (I) stehen, wie aus dem Gange der letzten 
Untersuchung erhellt, in der Beziehung zu einander, das« jede von ihnen als die Um- 
kehrung der anderen betrachtet werden kann; sie können aber auch als nicht wesent- 
lich verschiedene Formeln angesehen werden, wenn man beachtet, dass ebenso, wie die 
Formel (I) dadurch entstanden ist, dass man in der die Function d^jßwja darstellen- 
den unendlichen Iteihe an Stelle der Summationsbuchstaben m neue Summations- 
buchstaben n durch die Substitution (Ä) einführt, die Formel (I) dadurch erhalten 
werden kann, dass man in der die Function #[*]^ti)» darstellenden Reihe an Stelle 
der Summationsbuchstaben n die m als neue Summationsbuchstaben einführt vermittelst 
der zu (ß) inversen Substitution (S'). 



3. 

Es soll jetzt nachgewiesen werden, daBS die durch die Formel (I) repräsentirte, 
durch Einführung neuer Summationsbuchstabeu vermittelst einer beliebigen linearen 
Substitution mit rationalen Coefticionten bewirkte Umformung der Function »[j]f«]|« 

Kum um» Pbi«, Th.tofnnction«. 10 



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- 74 - 



eine Transformation dieser Function im Sinne der im ersten Abschnitte entwickelten 
Transformationstheorie ist Zu dem Ende deßniro man 4p* rationale Zahlen o,,,, 6,,,, 
C«,, b„, (p, v — 1, 2, . . ., p) durch die Gleichungen: 



I,»,...,j0 



wobei die d, d', D die in der Formel (I) vorkommenden Grössen bedeuten, beachte, dass 
dadurch eine lineare Transformation bestimmt ist, und führe diese Werth« in die 
Gleichungen (1), . . (Ii) des Art. 4 des ersten Abschnitts ein. Die Gleichungen (5), (6) 
gehen dann in die hinter der Formel (F t ) des ersten Artikels stehenden, die Grössen 
t>, b mit den Grössen m, a verknöpfenden Gleichungen über, und man erkennt daraas, 
dass die Losung des durch die Charakteristik: 



bestimmten Transfonuatioiisprobletus durch die vorher aufgestellte Gleichung: 



(I) 



V.l,...,i)-- 1 0,1,. — I 

V 




tut v z _ 
_7 * .=1 



geliefert wird, wobei die Grössen v, b mit den Grössen n, a durch die Gleichungen: 

i i >>=»> 

i\ = — £ d, H U,,, b T s=. - T £ £ d.„d t y(t,,„ <s.- = i.». ..,,) 

verknüpft sind; wobei ferner die g, k beliebige reelle Constanten bezeichnen, aus denen 
sich die y, h mit Hülfe der Gleichungen: 



g, <= r £ d',„g„, 



h y =^ 2* dmh ft 



(►= 1, «..-.. J.) 



zusammensetzen; wobei weiter die auf der rechten Seite angedeutete Summation in der 
Weise auszuführen ist, dass von den in den linearen Formen: 



q. — r 2. d, H g lt , 



ö. — ~ f/ r „ff^ 



vorkommenden Grössen p, ff allgemein nach p,, von 0 bis I) — 1, nach c« von 0 bis 
r — 1 zu summiren ist; wobei endlich s' die Anzahl der Normallösungen des Con- 
us: 



(( ') r 1 d lr .x ft ^ 0 (mod. D) , r l *„ ^ 0 (mod. //),.•■, » JE 1 r/;„ 0 (mod. D) 
,.=i h ~\ 

bezeichnet. 



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- 75 - 

Entsprechend wird die Lösung des durch die Charakteristik: 



rr'- 



bestimmten inversen Transformationsproblems durch die vorher aufgestellte Gleichung: 



T 


0 


0 


1) 



0. 1, ■ . '— I 0,1, , . fr— I 



(i) 



k + i 



i+i 

L D J 



«-1 



gegeben, da diese letztere durch Umkehrung der Formel (1) entstanden ist. Es sind 
dabei die Grössen v als unabhängige Veränderliche, die Grössen 6 als willkürlich ge- 
gebene Parameter zu betrachten, während die Grössen «, a als Functionen derselben 
durch die Gleichungen: 

— 2) £ d>/>Vrj "ei. — j)t £ 27 <f fp.r'—i, *,.--,>•> 

bestimmt werden; es bezeichnen ferner die /.-, I beliebige reelle Constanten, aus denen 
sich die k, l mit Hülfe der Gleichungen: 



k\ = £ dtuk,, 



/., = r £ d, u t, 
>=i 



zusammensetzen; es ist weiter die Summatiou in der Weise auszuführen, dass von den 
in den linearen Formen: 



A„-=r2' rf* A. 



C«<.i,t....,ji) 



vorkommenden Grössen x, A allgemein nach x, von 0 bis r — 1, nach A, von 0 bis 
J) — 1 zu summiren ist; es bezeichnet endlich s die Anzahl der Normallösungen dea 
Congruenzensysteras : 

H"P ¥—P M—l' 

(C) 27 (fi,,x„ = 0 (mod. r) , 27 rf t ,, Xf, = 0 (mod. r) , . . . , £ d Ph x„ = 0 (mod. r). 

Aus den Formeln (1), (I) als Hauptformeln folgen einige specielle Formeln, 
die für das Folgende von Wichtigkeit sind. 

Setzt mau in den Formeln (1), (I) r = 1 und beachtet, dass die Anzahl der 
Normallösungen des Congrueuzensystems: 

"£d[, t x„ - 0 (mod. D) , *£ d ltl x„ = 0 (mod. D), ...,"£ d PI , x,, = 0 (mod. D) 

h^l f=l 

D'* - ' ist, so ergiebt sich, dass die Lösungen der durch die Charakteristiken: 

10* 



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76 - 



T,, = 



D 


0 


0 





^*p> 


0 






0 









bestimmten Transformationsprobleme durch die Formeln: 



(1.) 



ti <> /* 



■ „ -2- V J M 



gegeben werden, bei denen die Grössen u, a mit den Grössen v, b durch die Gleichungen: 

h—p h—P h'—p 

v, = Ed, h u h , &„ — X 2,' d, h d, u a llfl , (». >• — i.s, . ... j»t 

oder durch die damit äquivalenten: 

verknüpft sind; bei denen ferner die A, i beliebige reelle Constanten bezeichnen, 

aus denen sich die Grössen f , 7t, k, l mit Hülfe der Gleichungen: 



>==,. 

k u = 2' dypl,, 

1=1 



A, — 2." dr^hf,, 



0. = I, » j>) 



i; bei denen endlich die auf den rechten Seiten angedeuteten Summa- 
tionen in der Weise auszuführen sind, das» nach jeder der 2p in den linearen Formen: 

= 27 A„ = 2: d'^k, (.«.» = 

vorkommenden Grössen p, A von 0 bis D — 1 zu »iimmiren ist. 

Setzt man dagegen in den Formeln (I), ff), indem man unter q eine ganze, 
zu r relativ prime Zahl versteht, d n =</,, = ••• = d yi . — q, alle übrigen Grössen d 
aber der Null gleich, so ergibt sich, dass die Lösung der durch die Charakteristiken: 



3/.- 





0 


o . • • — 
1 






0 

r 


0 





tt: 



JL . . . o 



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- 77 - 

bestimmten Trausformationsprobleme durch die Formeln: 



\v-r vi 

,(» + -> ' 
r 



0.) 



Die Grössen «, « sind hier mit den Grössen r, b verknüpft durch die Gleichungen: 

— ii r , — '! a,.', 

oder durch die damit äquivalent€n : 



«- = 7 •* . 



a^f' — f Ks , 

wahrend die g, h, k, l beliebige reelle Grössen bezeichnen. 

Aus den Formeln (I t ), (Ij) ergibt sich endlich, 
die Lösungen der durch die Charakteristiken: 



!*■. -l.t,...,rt 



T,,- 



1... .. 

• • • 
o ... 1 

» 




• 


9 • • ■ 0 

0 . . . 9 



T7. - 



? ... 0 
0 . « 



0 . . . i. 



bestimmten Transformationsprobleme durch die Formeln 
(I,) 



<t, »j» L 9* J 

r "l 

i,. ,1, L 9 J 



— tni£ i^l u 



gegeben werden, bei denen die Grössen «, o mit den Grössen i>, 6 durch die Glei- 

b.,- — q*o,*, i'.-'-i. ,» 



oder durch die damit äquivalenten: 
verknöpft sind, während die g, h, h, l beliebige reelle Grössen 



<W — Ks> 



iM, V-l. *, ,).) 



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Dritter Abschnitt. 
Die iwelte elementare lineare Transformation. 



1. 

Eine zweite Umformung der gegebenen Function: 

p /■'=■/> f-/> • 

"V- ."V 

wird dadurch erhalten, dass man im allgemeinen Gliede der die Function darstellenden 
Reihe an Stelle der \ p(p -{- 1) Parameter a Ht >- (a,,,,- =» o/^; n, u' ■= 1, 2, . . p) 
iptp-f" 1) neue Parameter b,,^Q>^^ — • Z»^> ; ft, jt'= 1, 2, p) einfuhrt, die sich 
von den Parametern a nur um ganze Violfache von xi unterscheiden. 
Zu dem Ende setze man für p — 1, 2, . . ., p : 

indem man unter den c ganze Zahlen versteht, welche den Bedingungen e Hh ' = e,, w 
(p, u' — 1, 2, . . ., p) genügen, im Übrigen aber keiner Beschränkung unterworfen sein 
sollen, und führe die so definirten Grossen b an Stelle der Grossen a in die obige 
Reihe ein. Man erhält dann die neue Gleichung: 

H=p t>'=r h=p 

m i t * - • t 

f—P p'—P H*»P 

x 

wobei zur Abkürzung für p — 1, 2, . . ., p: 



gesetzt ist, und aus dieser, indem man die auf ihrer rechten Seite stehende p-fach 
unendliche Reihe durch die mit ihr identische Thetafunction ersetzt, sofort die Formel: 



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- 7!' - 

£ £*„■*,?,■ *i ~ £ 

(in »[:](«». -»iti«^^ 1 ^ 

wobei: 

r,=H r , </.,-= + twsri, 

.►, • -= i, », . 

»■=1, 

Hr = y, , K = lt. + \ e,, — £ r,, tj. 

, -i 

ist. 

Durch Uuikehrung der Formel (II) entsteht die Formel: 

h—r " =f .'• =p 

(ii) »ßji*-»|;>i.r 

wobei : 



w.n'-i. »,..., 
i. jjj 

i"u = , /» = — i f,'»' + ^ e " 

ist. 

Die Formeln (II), (II) stehen in der Beziehung zu einander, dass jede von 
ihnen als die Umkehrung der anderen betrachtet werden kann; sie können aber auch 
ah nicht wesentlich verschieden angesehen werden, da man die Formel (II) aus der 
Formel (II) auch dadurch erhalten kann, das* mau allgemein e„ h - durch — e^^ ersetzt 
und im Übrigen die Bezeichnung in passender Weise einrichte*. 



2. 

Es soll jetzt nachgewiesen werden, dass die durch die Formel (II) repräsentirte 
Umformung der Fuuction 4t|^J(m)u eine Transformation dieser Function im Sinne der 
im ersten Abschnitte entwickelten Transformationstheorie ist. Zu dem Ende definire 
man 4j>* rationale Zahlen a^,, b,,,. c„ r , b„, (p, v = 1, 2, . . ., p) durch die Gleichungen: 

1, wennu-r, 
* 0, wenn u ^ v , 

»- >.» *■) 

h _ 1 , wenn fi =- i», 

wobei die r,. r = c,,, die in der Formel (II) vorkommenden Grössen bedeuten, beachte, 
dass dadurch eine lineare Transformation bestimmt ist, und führe diese Werthe in die 
Gleichungen (l), (C) des Art. 1 des ersten Abschnittes ein. Die Gleichungen 
(5), (6) gehen dann in die hinter der Formel (II") stehenden, die Grossen v, b mit den 
Grössen «, a verknüpfenden Gleichungen über, und mau erkennt daraus, dass die 
Losung des durch die Charakteristik: 



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- 80 - 



l . . . o 

0 . . . I 



" 



I ... 0 
0 ... 1 

bestimmten Transformationsproblem» durch die vorher aufgestellte Formel: 



(-,.1 ='►,.'' 



wobei: 



f. «=• M, , 



«= A, -j- 1 ► — £ c ty g. 



(».•--»,« >■) 



ist, geliefert wird. 

Entsprechend wird die Lösung des durch die Charakteristik: 

l ... 0 1 



27/- 



o.i 



l.o 



0 . . t 

bestimmten inversen Trausformationsproblems durch die vorher aufgestellte Formel: 



wobei: 



" v >•''-!• •>■ -p 



k,. — , 

gegeben, da diese letztere durch Umkehrung der Formel (\\) entstanden ist. 



1. i, ...,p) 



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Vierter Abschnitt. 
Die dritte elementare lineare Transformation. 

1. 

Aua den in Art. 1 des ersten Abschnitts angeschriebenen 2p Periode 
der Function &[j]i[Mju bilde man 2p Systeme correspondirender Änderungen: 



;i=l 



der Variablen «, m s ; . . . w,, , indem man in den ersten y der ;> Horizontalreihen 
die beiden darin vorkommenden Periodensysteme, nachdem man vorher noch dos links 
stehende mit Minuszeichen versehen hat, mit einander vertauscht. Man erhält auf 
diese Weise die 2p Systeme corre*pondirender Änderungen: 

a n . ..|n.,, <!,,+,, ... «,, . —^1 ... 0 0 0, 



0 ...| 0 | xi . . .( 0, « lrfl . .. | « vv+l 1 « 7+lv+l '.. . a,..^,, 



0 ... 0 Ö ...!T4, «I, I • • • . «9J> <VH>. 

für welche: 

«v+u+i = a <+2;t s •= ■ • — et,,,, «= 1 , b H — b„ • • • «~ b 1q •= l , 

Ca *= «üi = • - • = c,,, = — 1 , b v+ i i+l = b„ + * , H = • • • = b,.,, = 1 

ist, während alle übrigen Grössen 0, b, C, b den Werth Null besitzen, und durch die 
eine lineare Transformation bestimmt wird. Um die dieser Transformation entsprechen- 
den, im allgemeinen Falle durch die Gleichungen: 

v, — 2 vl.,,n„, & =» ' - 2.' A„,H„» v — l - *> •--.<•) 

U A ,,=| J ,l 

gegebenen Beziehungen, welche die Grössen i<, b mit den Grössen «, a verknüpfen, zu 
erhalten, bezeichne man mit Jf die stets von Null verschiedene Determinante ry Uo 
Grades: 

11 



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- 82 - 



u ll "II 



"i 9 



und fiBr x, k = 1, 2, . . . , q mit n«j die Adjuncte von a»> in dieser Determinante. 
Es ist dann: 



I *=■! '-'I 
>• V 



SM, 



• J ,« *= l '— 1 
1»-»+ 1. -; + *■ . • . » 



1 '— ' ' -» • 1 



!", '■'- 1. 2 V 



\,. = 1, 1, . . ., , > == v + I , v -r 



-5 + 1. • ..!■> 



Die so definirte Transformation soll aU dritte elementare Transformation ein- 
geführt werden, und es handelt sich darum, die ihr entsprechende Thetaformel durch 
direkte Umformung der ursprünglichen Thetafunction zu erhalten. 



Um die gewünschte, der definirteu Transformation entsprechende Umformung 
der Function *^]([m|. *u erhalten, bedarf man einer Formel aus der Theorie der 
Fourier'schen Reihen, die zunächst aufgestellt werden soll. 

Ks bezeichne f(x) eine reelle oder complexe Function der reellen Veränder- 
lichen x, die für alle der Bedingung — ^ < x < -f- | genügenden Werthe von x sammt 
ihrer ersten und zweiten Dorivirten einwerthig und stetig sei; dann gilt die Gleichung: 

(//,) /"(<>)= V / fUj, dx. 

-1 

In Bezug auf diese Gleichung ist im Auge zu behalten, da*s die auf ihrer rechten 
Seit« stehende Reihe den Charakter einer Doppelreihe hat, d. h. aus zwei selbständigen 

Keihen, u 0 -f- m, -f- m, -f- |- m„ -f- • • - die eine, «_ t -|- t'_» + \- u ._, -\ die 

andere, besteht, von denen jede für sich convergirt. 

Die Formel (//,) ist ein speciellcr Fall einer allgemeineren, Buf eine Function 
von mehreren Veränderlichen bezüglichen Formel, welche mit ihrer Hülfe abgeleitet 
werden kann. Bezeichnet nämlich f(x i x, | . . . | x,) eine reelle oder complexe Function 
der q reellen Veränderlichen x, , x ; , x,,, die in dem durch die Bedingungen: 

-}<*■<+!, —*<*!< + 4 r - • • - - 

bestimmten Grössengebiete sammt ihren Derivirten . , ■ ■ , 

<■*<, ■ cx- 

einwerthig und stetig is^ so besteht die Gleichung: 



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+ i +1. 

(*,) AOL-, o)-" /^ I .../rf*/(*.|...|* f )^ ,( " , ' , + "'" + N * ,) "'i 

-4 l 

eine jede der 3 auf der rechten Seite vorkommenden Summen bat dabei deu Charakter 
einer Doppelsumme, auch kann man die q Sumuiationcn beliebig umstellen. 

3. 

Mit Hülfe der soeben aufgehellten Formel (// f ) soll jetzt die in Art. 1 in 
Aussicht gestellte Umformung der Function: 

u-rsji u ■ 1* ' f' 

-» +• 27 2.' •«„•(*„ +^1 •»•„• -;• .vi+i £ f*« + (•« + ***•") 

durchgeführt werden. Zu dem Ende setze man: 

£ 2" .„ „- r„ x„ . + S V ,„ »„4-27 <"V + 3 U - + ' 

wobei die a, u, m, y, h die im allgemeinen Gliede der obigen Thetareihe vorkommen- 
den Grössen, die x reelle Veränderliche bedeuten, und führe diese specielle Function 
an Stelle von /(x, I • • • | * y ) in die Formel (II,) ein; mau erhält dann die Gleichung: 

+ \ +\ f—t "'--j f~l r ?'—p -1 

» . "u ' 

-i -i 

und weiter, indem man den auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden Aus- 
druck als Factor zum allgemeinen Gliede der Thetareihe hinzunimmt, für die Function 
9 '] ("}, nach passender Vereinigung zusammengehöriger Theile den neuen Ausdruck: 

4-1 

—*. -•£>, ..-)-» -ie -f." 

<*•.) »[:]>«*.- 2 2 2 dx,,'", 

"V •"'9 *VM "V' .,....,»„./ «/ 

wobei zur Abkürzung: 

«>«=> 2. 2: «„„• (m„ + x„ -f (»»,.• + + ;;,. ) 

+ 2 V (m„ 4- *„ 4- 9,)\«u + V («, + <J<) «... + (A, - «.)»«] 
..=-1 L ^4-1 J 

* " > •■ • 

4-2 2.' «„(/««/ 4- 2," 2J <!,,■(>», + 'j,)[m,' +<),■) + 2 2 (»m»4-(/,)(k, -f /<,,tO 
/■=! •=?+' ••=.•+! -=v+i 

gesetzt ist. ■ 

Ii» 



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■ 



- 84 - 

Die gewünschte Umformung der Function wird jetzt dadurch erhalten, 

dass man auf der rechten Seite der Gleichung (F t ), nachdem man sich von der Statt- 
haftigkeit dieser Operationen Uberzeugt hat, die an letzter Stelle stehende, auf die 
Grössen «, , «, bezügliche Summation mit der an erster Stelle stehenden, auf die 
Grössen w», , m t bezüglichen den Platz wechseln lüsst, und alsdann die auf die 
Grössen m,, w, bezügliche Summation ausführt. Man erhält dann die Gleichung: 

+ _ + * + * 

(n) ^[:]iia,= 2 2 ( < u < I d ^ e '" tt > 

— n — a 

bei der zur Abkürzung: 

<£,> — 2" 21 a uli x„x„ +2 2" x,, «„ + 27 (im, + «/.'ia,, — (»i„ — 
,,=i ,,=1 t—i L 

+ 2 27n M ^.3r»'+ 2" 2.' <i„- (w, + ff,) (>», +«,■) + 2 27 ;/.) (n r + *.ai) 

gesetzt ist, und bei der schliesslich noch die q auf die Grössen x bezüglichen Inte- 
grationen auszuführen sind. 

üm dies Ziel zu erreichen, bringe man <b a , indem man zur Abkürzung 
für ft — 1, 2, .... q: 

Z [m, + 2! (m, -f ff,)a„ - (»„ - /<„)*»] = k„ 
setzt und die in Art. 1 deiinirten Grössen b und v einführt, in die Form: 

«,,■(*, + *«)(*,• + K-) + *..., (»«. - *,.) - *..•> 

-f 2 2?' 2 / &„,{»„ - h u ) (m, + ;/.) -f 1 F //„•(»/, + «. t (mj,- -f ,/,-'> 

j 1 ,-,+1 .'=v+l 

-f 2 T( M> , - /,„)(«„ + </,. *0 + 2 2.' (m, + t,,)(v. + h,xi) 
,,=1 <^t+i 

- lv , 2." 2 «„'„- m„ «„• + 22 /<„ * <. 

j;' ,,'t=i 

Die Ausführung der auf der rechten Seite der Formel (F t ) stehenden Integrati 
reducirt sich dann auf die Auswerthung des Integrals: 

11— 1 h'~V 

■ L * 2" 2" »..,<• (*,. (V+V) 



Den auf der rechten Seite im Exponenten stehenden Aasdruck kann man aber, wenn 
man unter Anwendung der in den Art. 3 und 4 des ersten Abschnitts eingeführten 
Abkürzungen mit p lr ]>,, . . ., j>, die Constanten: 



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- 85 - 

— «11 ) Pi = "(TT . ■ • ■ > IV-« =* . — " . 

mit Z, , / , /, die Ausdrücke: 

n (,) »"> 

h = + (x, + *,)+... + (* v _, + v o + „';; <*, + *,), 

a u a,, » u 



"hm 

bezeichnet, in der Form: 
V £ «„ .„.(x. + l.) (av -f- *„•) — /), (x, + f,)» + (a, + W -\ + !»,(*, + I,)» 



als Summe von q Quadraten linearer Functionen der x darstellen und erhält dann mit 
Hülfe der Formel: 



bei der p und l coraplexe, Ton der Integrationsvariable x unabhängige Grössen be- 
zeichnen, deren erste der Bedingung au genügen bat, dass ihr reeller Theil wesentlich 
negativ ist, und bei der die auf der rechten Seite stehende Wurzel so auszuziehen ist, 
dass ihr reeller Theil positiv wird, für J den Werth: 



wobei endlich das Froduct der q auf der rechten Seite stehenden Wurzeln, wie un- 
schwer zu zeigen ist, zu der einzigen Wurzel: 



Führt man diesen Werth in die Formel (i^) ein, ersetzt in neuer Bezeichnung 
die Summationsbuchstabeii , m^, , . . . , mp durch n,+i , «, +> , . . . , n p und definirt 
Grössen g', h' durch die Gleichungen: 

g'„ = — h u , g, =~ g,\ K,~g>,, — <.■•— ».*.••■.«; >=?+i. *-■-»..... ?) 

so geht aus der Gleichung (/•'„) die neue Gleichung: 



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- 86 — 



" .,,7 - ± '«> '.'W » ~ 



X V e— 1 • ~ l *=' 

V- •> 

und hierau§ schliesslich, wenn man die auf der rechten Seite stehende n-fach unend- 
liche Reihe durch die mit ihr identische Thetafunttion ersetzt, die Gleichung: 



u-l 



hervor, welche die gewünschte Umformung der ursprünglichen Function #(*Jf«)« 
darstellt. 



Das Resultat der Torhergehenden Untersuchung lüsst sich nun, wie folgt, aus- 
sprechen. Die Lösung des durch die Charakteristik: 

o.. o o ... 0 I i ... o o , , 



— l 



0 0 
0 1 



0 0 



0 0 



— 1 0 

U 0 



0 0 



0 0 . . . 1 0 . . . 0 

o o ... o o ... o 



1 0 ... 0 0 ... O 
0 0 ... 0 0 ... 0 



0 0 
0 1 



0 0 ... 0 0 ... 1 



- b» - 1 • 



bei der: 

<VM f+ i = Qv+»^-r« = • • • = <W = 1, b,, = 

Cll = f« — • • ■ ~ t,,. «= — 1 , b.H-lj+l = bg4-*7+» — • • " = IW = 1 

ist, während alle übrigen Grössen a, b, c, b den Werth Null besitzen, bestimmten 
TransformationsproblemB wird durch die Gleichung: 

geliefert, bei der: 



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- 87 - 



r - = £' ä '" u * • = ~ £' £ fl " r '<* " i? 



I — ■ U », - ,«> 



(..,<• —1, »,..,?) (j. — 1.J,....»; » = v+l. H-*> ■■•>*'> ('.>'=i + l, j4-»,...,p) 

— — >v » Ä « = .</« • = 9' • Ä » = ; 

<«-l.« V) (► =..,+ !,, + » ,) 

->;,' ..-i «'-i 

ist, während den Werth der aua Parametern der ursprünglichen Thetafunction ge- 
bildeton Determinante: 

(x, X = 1, J, . . . , q) aber die Adjuucte von a ri in dieser Determinante bezeichnet, 
nnd bei der endlich die auf der rechten Seite stehende Wurzel so auszuziehen ist, 
dass ihr reeller Theil positiv wird. 

Durch Umkehrung der Formel (m (,) ) erhält man als Lösung des durch die 
Charakteristik: 



7—' 



u . 


0 


0 


. 0 


- 1 


0 . 


. 0 


0 . 


.: 


0 


0 . 


. 0 


1 . 




0 


0 . 


. 0 


0 


- 1 


o 


1 . 


. <J 


0 . 


. 0 


l> 


0 , 


. 1 


0 . 


. o 


0 


0 . 


. 0 


0 . . 


. 0 


0 


U - 


. o 


0 . . 


o 


o 




• • • = C, ? 1 , 



u -2 



=■••• — b„ — — 1 , 



bei der: 

«II = «« ! 

ist, während alle übrigen Grössen a, b, c, b den Werth Null besitzen, bestimmten, 
dem obigen inversen Transfonnationsproblems die Gleichung: 



(III <T ') 



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- 88 ~ 



bei der jetzt die v als unabhängige Veränderliche, die b als willkürlich gegebene 
Parameter, die k, l als beliebige reelle Constanten tu betrachten sind, au« denen »ich 
dann die Grössen «, a, K, T vermittelst der Gleichungen: 



tu -1, *, 



(•=»+1, ?+*. 



JJ 4 ' »=i i=i 

&„ =* l„ , J„ = — k„ , It, = i. , /, = /, 

(„=1, J, ... ,) (,-^+1,? + » 

i, bei der ferner: 



ist, während z/ 4 9> den Werth der aus Parametern der Function tf['|i;t'ji> gebildeten 
Determinante: 

J*- - + M s/ .. 

tlr'i (x, A = 1, 2, . . ., g) aber die Adjuncte von b ti iu dieser Determinante bezeichnet, 
und bei der endlich die auf der rechten Seite stehende Wurzel so auszuziehen ist. dass 
ihr reeller Theil positiv wird. 

Die dem Werthe q = p entsprechenden Transformationen (T /;/( ,,>) , (T~* :p .) sind 
von besonderer Wichtigkeit, und es sollen daher die ihnen entsprechenden Formeln 
zum Schlüsse hier noch aufgestellt werden. Zur Ableitung dieser Formeln hat man 
in deu Formeln (III 1 * 1 ), (III ) und den darauf bezüglichen Gleichungen q -= p zu 
setzen. Man erhält dann als die Lösungen der durch die Charakteristiken: 



2 V» = 



1 . . . 0 
0 . . . 1 



- \ . . . 0 

I 

0 1 



— 1 



— 1 



bestimmten Transformationsprobleme die Gleichungen: 

(in 1 '") ^[^^»/^V^-'^^^y,,,, 

+ 

(ffi<") » v = V'V »r;- jiH ; it 



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bei denen für p, fi — 1, 2, ■■■,}>: 

a «=1 



7 *' - 



- 89 - 






«„ 


Hl 


*=»> _ 

£ t«. u t>« f 










II» 





% = — K, K=9*t » 1 = — *(i » 

tl— £ £ ü fl)t 'UpUp-, V= £ £ brsv,.Vu' 

"a «— 1 y=J J * .=1 ,,'=1 



ist, während /3 ay d h die Werthe der aus den Parametern der Thetafunctionen ge- 
bildeten Determinanten: 

4„ «■ £ + o„ <j 4 , ...«,,, , z/» = 2* 4; i» n & M . . . b, ip , 

ü,x, b,i (x, X 1, 2, . . ., p) aber die Adjuncten von a,i, b,i in diesen Determinanten 
beziehlich bezeichnen, und die auf der rechten Seite stehende Wurzel in jedem Falle 
so auazuziehen ist, dass ihr reeller Theil positiv wird. 



I pH»*. TlvUtuntli<.i.,.ii. IS 



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Fünfter Abschnitt. 
Zusammensetzung der allgemeinen linearen Transformation ans elementaren. 



1. 

In den drei vorhergehenden Abschnitten sind drei Arten Ton elementaren 
linearen Transformationen, T t , Tu, Tm, gewonnen worden; es «oll jetzt nachgewiesen 
werden, dass jede lineare Transformation T sich aus solchen elementaren zusammen- 
setzen liisst. 

Zu dem Ende stelle man in T sowohl die 2p* rationalen Zahlen a, 6, als 
anch die 2tf rationalen Zahlen c, b als Brüche mit gemeinsamem Nenner dar, indem 
man für u, v «= 1, 2, . . ., 



i, Pf" , „ y « » s = ^ ' 



setzt, wobei die a, ß, y, & ganze, r und s positive ganze Zahlen bezeichnen, und der 
Fall nicht ausgeschlossen ist, das« ein Factor von r gleichzeitig Factor aller Zahlen 
a, ß und ein Factor von s gleichzeitig Factor aller Zahlen y, d ist, und ebensowenig 
der Fall, da«s eine der beiden Zahlen r, s oder beide der Einheit gleich sind. Die 
lineare Transformation T nimmt dann die Gestalt: 



>>■> 



« f 



an, und es bestehen zwischen den ganzen Zahlen tt, ß, y, i die — 1) Relationen: 



(7.) 



U, wenn p ^ p , 
oder die damit äquivalenten: 

-1' (tt u ,ß„; — ««,•.&/> = 0, i' v».oV. — ?y.d,,.) = 0, 
•—I «=1 

(7'.) 

»-'' rs, wenn /* — u, 



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- 91 



Handelt es sich uun um die Zusammensetzung der vorliegenden Transformation T 
aus elementaren, bo hat man zunächst die Werthc der Zahlen ß ins Auge zu fassen 
und in Bezug auf sie die folgenden drei Fälle zu unterscheiden: 

Fall I: Die Zahlen ß seien sämmtlich der Null gleich; 

Fall II: Die Zahlen ß seien nicht siimnitlich der Null gleich, und es besitze 
ihre Determinante d-, — X 4- ß n ß„ ■ ■ • ß fP einen von Null verschiedenen Werth; 

Fall III: Die Zahlen ß seien nicht siimnitlich der Null gleich, es besitze aber 
ihre Determinante d ? den Werth Null. 

Diese drei Fälle sollen der Reihe nach behandelt werdeu. 



In dem ersten Falle, wo sununtliche Zahlen ß den Werth Null haben, kann 
mau die lineare Transformation T, wenn man die dann stets von Null verschiedene 
Determinante £ + d„ 8 U . . . ö Pf der p* Zahlen d mit , und für u, v = 1, 2, . . . , p 
die Adjuncte von d„, in dieser Determinante mit ö'^, bezeichnet, in die (Jestalt: 



7' = 



bringen, wobei die Zahlen y, 6 den \ p(p — 1) Bedingungen: 

- (y,.Ö.:. — y..-.d„.) = 0. 



t«, .«■=!,» P) 



genügen. Ist aber dies geschehen, so lüsst sich die Transformation T sofort der 
Gleichung: 



7 = 



t» . i 



I 



1 ... 0 



. 1 



0 • — 



entsprechend aus elementaren linearen Transformationen vom Typus T Jf Tu, T s be- 
ziehlich zusammeusetzen. 

Eine jede lineare Transformation, bei der die Zahlen ß siimnitlich den Werth 
Null haben, soll eine Biugulüre genannt werden. Das vorher gefundene Resultat lässt 
sich dann so aussprechen, dass jede singulare Transformation aus drei, oder in specielleu 
Füllen aus weniger als drei, elementaren singulären Transformationen vom Typus T, , T„ 
zusammengesetzt werden kann. 



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- 92 - 



3. 

Bevor zur Behandlung des zweiten und dritten Falles geschritten wird, soll 
zur Orientirung Folgendes Torausgeschickt werden. 

Setzt man zwei singulare Transformationen : 









b'„, 



S" = 





0 







mit der zu einer beliebigen Zahl q < p gehörigen, im Anfange des Art. 4 des vierten 
Abschnitt« angeschriebenen elementaren Transformation in der Reihenfolge S', 

S" zu einer Transformation: 

so ist in der Transformation: 

c* , b„ , 



für jedes p und v von 1 bis p: 



b„, — 2." b,,a„ , , 



c,= 2'c,c^.+ 2 o.,c;;, — 2" a;,b., + 2: c;,b,; r ,, b„, . — zb;,c;, 4- x b;,,b:,, 

>=l .-v+l '=1 V-rM «-1 >,-^l 



und man schlieft daraus, das* die zu der Transformation T gehörige Determinante 
d-^ = £ K b u 6^ . . . bpp immer einen von Null verschiedenen Werth besitzt, wenn 
q p ist, dass dagegen, wenn q < p ist, die Determinante d-^ den Werth Null be- 
sitzt, und zugleich ihre sümmtlichen Unterdeterminanten p — V", p— 2"°, q -f 1*° 
Grades, nicht aber ihre sümmtlichen Unterdeterminanten g ,cn Grades verschwinden. 



4. 

Mit Rücksicht auf das im vorigen Artikel gewonnene Resultat soll jetzt zu- 
nächst untersucht werden, ob jede lineare Transformation T, bei der die Determinante dp 
einen von Null verschiedenen Werth besitzt, sich aus zwei passend gewählten singu- 
lären Transformationen S', S" und der Transformation T lllip) der Gleichung: 

r-s'r„ lW s- 

entsprechend zusammensetzen lüsst 

Bei der Durchführung dieser Untersuchung findet man ohne Mühe, dass die 
Transformationen S', S" auf unendlich viele Weisen so bestimmt werden können, dass 



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— 1)3 



die letzte Gleichung erfüllt ist, und dass man alle der aufgestellten Gleichung ge- 
nügenden Paare zusammengehöriger Transformationen S', S" erhält, wenn man in S" 
an Stelle des Systems der p* Grössen b" alle möglichen Systeme von p* rationalen 
Zahlen, deren Determinante /i^.. nicht verschwindet, einfahrt und dann zu jedem 
solchen Systemo an Stelle der übrigen in S', S" vorkommenden Grössen a', c', V, a", c" 
die aus den Gleichungen: 



(«, » J-) 



- j h .:' 



b" 



„_1 J_l ' -3 f <V 



in denen allgemein die Adjuncte von ß M , in der Determinante fyi, die Adjuncte 
von b^', in der Determinante bezeichnet, sich ergebenden rationalen Zahlen 

treten lässt. 

Durch Einführung passend gewählter specieller Werthe für die Grössen b" 
kann man den Transformationen <S', 5" eine besonders einfache Form geben. Setzt 
man speciell bü = bis = • • • = t>p P = r , alle übrigen Grössen b" aber der Null gleich, 
so wird: 



V 



bj, , «= ß„ , , 



1 



V = u , 

c 

0, wenn w ^ , 



= r, wenn v = p ( 
"* = 0, wenn v ^ ft. 



Bildet man die diesen Zahlen entsprechenden Transformationen A", S", indem man 
zugleich die mit 0,,, bezeichnete Adjnncte von /} M in der Determinante dp von jetzt 
an mit p^ r bezeichnet, und fuhrt dieselben dann zugleich mit den durch die Symbole 
T, T ni <j, t bezeichneten Transformationen in die Gleichung T = S' y /f/(Jj) A'" ein, so 

erhält man diu Gleichung: 



r 



* 



9... 
r 



c;.r 



» . . . 0 
0 . . . 1 



1 ■ • • 0 



0 l 



. . . 0 






0 






r 






r . . . 0 




o . . . r 



und weiter, indem man auf der rechten Seite sowohl die an erster, wie die an dritter 
Stelle stehende singulare Transformation nach dem in Art. 2 Gezeigten aus elemen- 
taren Traneformationen zusammensetzt, die Gleichung: 



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- 04 - 




r,.» 



0 

(, ... ' 



riJ, 



f* J, 



1 



_I_ 



welche die gewünschte Zusammensetzung der gegebenen Transformation aus 
taren darstellt. 



Im Anschlüsse an das am Ende des Art. 3 ausgesprocheneu Resultates soll 
jetzt weiter untersucht werden, ob jede lineare Transformation T, bei der nicht nur 
die Determinante J„ sondern auch die s&mmtlichen Uuterdetermiuauten p — l«*", 
p — 2™*, q -f- l Uo Grades von verschwinden, von den Unterdeterminanten 
g UB Grades aber wenigstens eine einen von Null verschiedenen Werth besitzt, sich 
immer aus zwei passend gewählten singulären Transformationen S', S" und der Trans- 
formation T inW der Gleichung: 

T.^ S'T m ^S" 

entsprechend zusammensetzen laust. 

Bei der Durchführung dieser Untersuchung mag für das Folgende zunächst 
vorausgesetzt werden, dass sjiociell die Unterdeterminante g t,B Grades: 

ßit flu ■ ■ ■ ßii 
ßn flti • ■ • ß*; 



All ßii 



von Null verschieden sei Man findet dann ebenso wie in dem früheren Falle, wo 
/tf von Null verschieden war, das« dio Transformationen iS", S" auf unendlich viele 
Weisen so bestimmt werden können, dass die Gleichung T = <S" T t]l ^S" erfüllt ist. 

Für den vorliegenden Zweck genügt es, unter den unbegrenzt vielen möglichen 
Bestimmungen der Grössen o', c', b', ü", c", b" eine solche herauszugreifen, bei der die 



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- 95 - 

Transformationen S', S" eine übersichtliche Form erhalten. Zu dem Ende bezeichne 
man mit ß,,- (t, «'= 1, 2, . . q) die Adjuucte von ß,, in der Determinante Vp, setze: 

i • '=■» 
(>■;. — v - ß-'iß. ', 

und definire Grössen J, 0, 5 durch die Gleichungen: 

£~» ™« « a » — £ 9 f ,,u,,, 

fl — 1 V '-r' V*" /a a ,\ /,- = , + l., + > f\ 



1 »'^f 
* 1 i — l 



(» -l. » ■) \ 

/.«■ =7+1. 1 + t p\ 



::) 



1 / *=' \ 

i. » — r - ( . — £ t P». . j , 

Grössen qr, tf» durch die Gleichungen: 

1, (>■■■■■ -22 "t-) (♦•< <■•:;.-...:; j 

Eine Bestimmung der gewttnschten Art wird dann durch die Gleichungen: 



5'. 





K, 


0 • 


• 0 






0 








»9+1 7+1 • 










in 


• • ■ S."7 


?rv+l ■ • 


■ 


[ 

— . — — 








«n 


. . . 0|, 


«iH-' • • 


• **lp 


01! • 


• ßll 


/*17+1 


■ • 




...«,, 


« ?f +i • • 


■ «?f 


0,1 


■ 


ßl »+l 


■ • flu- 




. . . 6f+i, 


0 . . 


. 0 


0 . . 


. 0 


fcrt-lf+l • 




e„ 


. . . Q F1 


0 


. 0 


0 . . 


. 0 







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- 96 - 



7 0 • • 



r 



II 



r 



V» 0 
r 



^i, r ... 0 — rffy+u 




• • • <Pn t>ri+i • • • ti 



0 ... 0 0 



dargestellt Aus diesen singulären Transformationen S', 8" und der Transformation T nr q) 
kann man die gegebene lineare Transformation T in der Form: 

T-S'T^S" 

zusammensetzen, und man kann daher die Transformation Tauch, da jede der beiden 
Transformationen 8', 8" als singulare Transformation sich nach Art. 2 au* elemen- 
taren Transformationen vom Typus T r , T /r zusammensetzen lässt, T ]ilU ) aber selbst 
eine elementare Transformation ist, ohne Mühe aus elementaren Transformationen 
•zusammensetzen. * 
Auf Grund des gewonnenen Resultates kann mau, wie in Art. f> des ersten 
Abschnittes gezeigt ist, auch die der Transformation T entsprechende Thetafonnel aus 
Thetaformeln, welche elemeutaren Transformationen entsprechen, zusamraonsetzen. 
Hat man aber im Laufe der Untersuchungen des folgenden Abschnitts schon die- 
jenige Thetaformcl aufgestellt, welche der im vorigen Artikel behandelten Trans- 
formation T, bei der ^ einen von Null verschiedenen Werth besitzt, entspricht, so 
kann man mit deren Hülfe die der hier vorliegenden Transformation T entsprechende 
Thetafonnel auf bedeutend einfachcrem Wege erhalten. Es beruht dies darauf, daas 
man die vorliegende Transformation T in der Form: 



aus der Transformation: 



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- 5)7 - 



7' — T T°~~ ^ 

J — ■ l iit<r) J ;//(») 



0 0... 0 0...0 0...0 





1 0 

0 0 



0.0 0 
0.0 0 



o . . . o o . 

0 ... 0 - 1 



und der Transformation : 



Pi »i-i 

r 



0 . . . 0 


(» 






r 











0^ 




.. ^ 


%7-< 




r 


r 


r 


r 


r 


r 


r 


r 


!r±ü 


«7+1 » 


''-H-iv+i 


. 'h-j. 






"Hl ?+• 


_ V-L? 


r 


r 


r 


r 


r 


T 


r 


r 














•'H-i ... 




r 


r 


r 


r 


r 


r 


r 


r 














Virt-i 


_ >V 


a 


« 




s 


* 


i 


* 


» 



V . . . y vi d 9-?+i 
V.,, * 4+lt4 ., 

« s « 



Vl-lJv 



0 0 
0 I 



. 0 
. 0 



0 0 



0 I 



0 0 



. 1 

. o 



0 0 



I 0 



o o ... o o 



-1 0...0 0...0 



»V 



r 



'»f 
I * 

,*f+l* _>V+<rH 
« « 



s 



»Vi 



S » 



Pf 

1 



bei der die Determinante der /»* im zweiten Quadranten stehenden Grössen von Null 
verschieden ist, zusammensetzen kann. 



Es erübrigt jetzt noch, im Anschlüsse an da« im Eingänge des vorigen 
Artikels Bemerkte, den allgemeineren Fall zu behandeln, der durch die Voraussetzung 
charakterisirt ist, dass die Determinante: 

K«»/'» tinl Pmim TtfUfiifictioliau 13 



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- 9* - 



ß". 

'S-, 



h t zwei beliebige Combinationen der Zahlen 



wobei >», , Wj, f/i v und h 1( . 
1, 2, . . . , p zur fl 1 *" Classe ohne Wiederholung bedeuten, eine nicht verschwindende 
l'nterdeterminante q"' Grade» von J f ist, während alle Unterdeterminanten höhereu 
Grades verschwinden. Dieser allgemeinere Kall kann aber unter Benutzung der im 
vorigen Artikel für den specialen Fall gewonnenen Resultate leicht erledigt weidet). 

Zu dem Ende bezeichne man die von »i, , m 2 , . . . , »i, verschiedenen Zahlen 
aus der Reihe 1, 2, p in der natürlichen Reihenfolge mit m^, , »v+t« - »t p , 
ebenso die von «, , n t , n f verschiedenen Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . . , p in 
der natürlichen Reihenfolge mit » v -fi, «h-»» • •> n v unt ' deßnire alsdann zwei elemen- 
tare lineare Transformationen vom Typus T, durch die Gleichungen: 



K = 



Xu ... Xip 




0 


X ,,\ . . . Xfp 








Xu 


• 

. . . x ip 


o 


* 


• 




* 


■ • • **p 



K" — 



*I>1 ■ ■ ■ */>!■ 



0 .... 

Xj,| . . . Xpf, 



wobei für jedes p von 1 bis p: 



*rä f = 1 



ist, während alle übrigen Grössen x', x" den Werth Null besitzen. Bezeichnet man 
dann die zu den Transformationen K', K" inversen Transformationen mit K~\ K~ x 
und setzt aus diesen und der Transformation T eine neue Transformation: 









t = 


»■ 


r 










du » 










r/t - 



der Gleichung: 

gemäss zusammen, so ist in dieser für jedes p und v von 1 bis p: 



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- 99 - 



es hat folglich in dar Transformation T die Unterdeterminant« q" n Grade» V- = £ 
±ß n ß ti .-.ß„ der Determinante Jß, da sie mit der Determinante identisch 
ist, einen von Null verschiedenen Werth, währenl alle UnterdeUrminanten q+ l" a 
Grades verschwinden, und es lässt sich daher nach dem im vorigen Artikel Bewiesenen 
die Transformation T am zwei singulären Tramformationen S', S" und der Trans- 
formation T ///(r , zusammensetzen in der Form: 

T = S T lltM S". 

Aus der die Transformation T definirenden Oleichung folgt aber unmittelbar: 

7= K' TK" 

und hieraus weiter, indem man T durch 5' T Itl <i) S" ersetzt und die beiden singulären 
Transformatioueti K' S' tu einer einzigen S', die beiden singulären Transformationen 
S" K' zu einer einzigen S" vereinigt, schliesslich die Gleichung: 

T=S'T wll S". 

Damit ist aber bewiesen, dass die Transformation T, bei der die Unterdeterminante 
q ,a Grades t/,"""' der Determinante J H einen von Null verschiedenen Werth besitat, 
während alle Unterdeterminanten höheren Grades verschwinden, sich aus zwei singulären 
Transformationen S', S'' und der Transformation 2" m <») der Gleichung T«- S' T ia w S" 
gemäss zusammensetzen lässt, und sie kann daher auch, da jede der beiden Trans- 
formationen S', S" als singulare Transformationen sich nach dem in Art. 2 Gezeigten 
aus elementaren Transformationen vom Typus T t , T„ zusammensetzen laut, T JU :fl aber 
selbst eine elementare Transformation ist, ohue Mühe aus elementaren Transforma- 
tionen zusammengesetzt werden. 

Überblickt man zum Schlüsse noch die in diesem Abschnitte gewonnenen 
Resultate, so lassen sich dieselben zu folgendem Gesammtresultate zusammmenfassen: 

Sieht man von dem Falle ab, in welchem die lineare Transformation T eine 
singulare ist, und in welchem zu ihrer Zusammensetzung aus elementaren Trans- 
formationen nur Transformationen vom Typus T lt Tu verwendet zu werden brauchen, 
so erfordert die Zusammensetzung einer linearen Transformation T aus elementaren 
ausser Transformationen vom Typus T t , Tu immer die einmalige Auwendung einer 
Transformation vom Typus Tut- 

Die sämmtlichen linearen Transformationen T zerfallen in p -f- 1 strenge ge- 
schiedene Klassen, welche den Typen: 

S, ITT^S", S-T tn nS", ., S T^s", 

wobei S, S', S" singulare Transformationen bezeichnen, entsprechen; in dem Sinne, 
dass eine Transformation <S sich niemals auch in der Form S' T m ii)S" darstellen lässt, 
uud eine Transformation S' T l/l{i >S" weder sich auf eine Transformation S reduciren, 
noch sich auch in der Form S' T in W)S", wobei q ^ q ist, darstellen lässt 



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Sechster Abschnitt. 



Aufstellung der zu der allgemeinen linearen Transformation gehörigen Thetaformel. 

1. 

Nachdem im vorigen Abschnitte nachgewiesen worden ist, dass sich jede 
lineare Transformation T aus elementaren linearen Transformationen, Tt, T tl , Tm, 
und daher, mit Rückzieht auf Art. ö des ersten Abschnitts, auch jede zu einer linearen 
Transformation gehörige Thetaformel aus den im zweiten, dritten und vierten Ab- 
schnitte aufgestellten, den elementaren Transformationen entsprechenden Thetaformeln 
zusammensetzen lässt, soll jetzt der Aufbau der zur allgemeinen linearen Trans- 
formation : 







r 


r 











gehörigen Thetaformel in Angriff genommen werden. Auf Grund der im vorigen 
Abschnitte erhaltenen Resultate hat man dabei in Bezug auf die Transformation T 
die folgenden vier Fälle zu unterscheiden: 

Fall I: Die Zahlen ß seien sämmtlicb der Null gleich; 

Fall II: Die Zahlen ß seien nicht sämmtlich der Null gleich, und es besitze 
ihre Determinante 4 f einen von Null verschiedenen Werth; 

Füll III: Die Zahlen ß seien nicht »ämmtlich der Null gleich, und es besitze 
die l.'nterdetermiuante q l ' u Grades V, = 2." + ßnßn ■ ■ • ^ er Determinante ^t-, einen 
von Null verschiedenen Werth, während alle Unterdeterminanten q + l" n (irades von 
J ? verschwinden; 

Kall IV: Die Zahlen ß seien nicht sämmtlich der Null gleich, und es besitze 
die Unterdeterminante q UB Grades V'"' a) = 27 + ß», ß m , . . . fl„ m der EVterminante J., 
lineii von Null verschiedenen Werth, während alle Unterdeterminanlen q -+- l 1 ™ Grades 
von J-, verschwinden. 



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- 101 - 



2. 

Der zweite der soeben aufgestellten vier Fülle soll zuerst behandelt wordeu. 
In diesem Falle wird die Zusammensetzung der vorliegenden Transformation T aus 
elementaren durch die am Ende des Art. 4 des vorigen Abschnitts aufgestellte 
Gleichung geliefert, und um die zu der Transformation T gehörige Thetaformel zu 
erhalten, hat man die sechs Thetaformeln, welche den sechs auf der rechten Seite der 
erwähnten Gleichung stehenden elementaren Transformationen entsprechen, aufzustellen 
und dieselben alsdann nach der in Art. :"> des ersten Abschnitts gegebenen Vorschrift 
zusammenzusetzen. 

Es entspricht nun zunächst der durch die Charakteristik: 



bestimmten elementaren Transformation die aus der Formel (1,) des zweiten Ab- 
schnittes ftlr </,,, — 0„, unmittelbar hervorgehende Thetaformel: 



wobei: 



4~' »CO«. -"2"» 



L h J 



|r,.'= I. t ,) 



' = £ ßn, Mi. , 



*>,.• = £ £ ß,,,ß,» a„„-. 



Der durch die Charakteristik: 

1 . . . o 



0.1 



bestimmten elementaren Transformation entspricht ferner die ans der Formel (II) des 
dritten Abschnitts för ^, = £ a u ,ß,, bei passender Wahl der Bezeichnung hervor- 
gehende Thetaformel: 

£ £ £<>,,,■<,■.*,'"■>*•-£ £ °,. 



t=l ■■-! 



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wobei: 



l<>> 



I...' = I, *. . ;.i 



1=1 



Der durch die Charakteristik: 



i ... *i 



<> . . . i 



■ i 



o i 



bestimmten elementaren Transformation entspricht weiter die aus der Formel (III ' ) 
des vierten Abschnitts bei passender Wahl der Bezeichnung hervorgehende Thetaformel : 



(3) 

wobei : 



- 's *»*■«• 



a. s> = 



(r. T-l.ä. ..;.J 



«(*) *=■> 



ist, während ^7, den Werth der aus den Parametern tf's der auf der linken Seite stehen- 
den Thetafunction gebildete« Determinante 2T+ • • C- (Cf»'-!,-' P' 

aber die Adjuncte von A*- in dieser Determinante bezeichnet, und die auf der rechten 
Seite stehende Wurzel so aufzuziehen ist, das* ihr reeller Theil positiv wird. 

Der durch die Charakteristik: 



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- 103 



bestimmten elementaren Transformation entspricht weiter die au» der Formel (I,) des 
zweiten Abschnitts för q «=- rs dp bei passender Wahl der Bezeichnung hervorgehende 
Thetaformel: 



U.I.. ,rtJ.~ I 



wobei : 



Der durch die Charakteristik: 

l.o 



1 . . . 0 



0 . . . I 



bestimmten elementaren Transformation entspricht weiter die aus der Formel (II) des 

t—p 

dritten Abschnitts für e„, ^= rsA f £d u ,ß',, bei passender Wahl der Bezeichnung her- 

•— i 

vorgehende Thetaformel: • 



wobei: 



r»i . -.1 ml i -l 



Endlich entspricht der durch die Charakteristik: 



,J, ... 0 


0 


0 . . « .i, 






-J - 0 

.* 


0 





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104 



bestimmten elementaren Transformation die aus der Formel (I s ) des zweiten Abschnitts 
für q = sJ t -, bei passender Wahl der Bezeichnung hervorgehende Thetaformel: 



(6) (, 
wobei: 



r 



"+<> 




I lül 



••».*•- -.#1 



Man setze nun zunächst die Formeln (1), (2), (Ii), (4) zusammen. Zu dem 
Ende hat man die in der Gleichung (2) auf der linken Seite vorkommenden 
Grössen t/ 1 ', b" ! als nicht verschieden von den auf der rechten Seite der Gleichung (1) 
vorkommenden Grössen r*' , f/ li anzusehen und zugleich für jedes v vou 1 bis p: 

</,' = J -f- (»,) , /if' = /<, zu setzen; die auf der linken Seite der Gleichung (3) 

vorkommenden Grössen t^*>, A l! > als nicht verschieden von den auf der rechten 

Seite der Gleichung (2) vorkommenden (irösaon t ,ls ', i 1 *', »/*', und ebenso die auf 
der linken Seite der Gleichung (4) vorkommenden Grössen t |J1 7 U 3 \ g {i \ 7i (a) als nicht 
verschieden von den auf der rechten Seite der Gleichung (3) vorkommenden Grössen i'*>, 
i (S >, </">, zu betrachten, sodass alsdann allgemein d. h. für x ™ 2, 3, 4 die auf 
der linken Seit*" der x 1 *" Gleichung stehende, Thetafunction mit der auf der rechten 
Seite der x — l 1 * 6 Gleichung, entweder allein, wie bei den Gleichungen (2l, (3), oder 
als allgemeines Glied einer Summe, wie bei der Gleichung (1), vorkommenden Theta- 
function identisch ist. Nachdem dies geschehen, ersetze man in der Gleichung (1) die 
auf der rechten Seite hinter dem Summenzeichen stehende Thetafuuction durch den 
aus der Gleichung (2j dafür »ich ergebenden Ausdruck, nachdem man zuvor in dieser 

letzten Gleichung die auf der rechten Seite vorkommende Function # J d''"' \it) mit 

Hülfe der Gleichung (3) durch die Function J(i;f s >^ ( *, und diese letztere mit 

Hfllfe der Gleichung (4) durch Thetafunctionen mit den Argumenten t Jt uud den 
Parametern W*> ausgedrückt hat. Man erhält dann nach einigen leicht ersichtlichen 
Umformungen die zu der Transformation: 



gehörige Thetaformel in der Gestalt: 



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— 105 - 



e c 



0,1 rtl.f—X 

x 2 «r«i«/.--«*j » 



wobei : 

y, — £ ß ',„tj,, , 



0 +J_ 
"r»J f 

"V J 



u f. 



(», ,•-!.»....,,) 



* £2:2:^1,,, 



0.1,...,.> 4 -l ~ £ £ £ V,,V M X> + *£ £ ' J'' ("r + l .£«,..1',, 

ist, während in Übereinstimmung mit der in Art. 1 des ersten Abschnitts gewählten 
Bezeichnung: 

T x> + £ ß„. <*„,.•) = A» , („.►=!,» 

gesetzt und mit .J.« die stets von Null verschiedene Determinante £ 4- ^4 , , A iS ... A,. p , 
mit X, die Adjuncte von .4», in dieser Determinante bezeichnet ist. 



3. 

Di« soeben eingeführte, von den ganzen Zahlen ff,, a t , a f abhängige 
Summe G [a, a t ...ff,,] , für die im Folgenden auch das kürzere Zeichen G [ff] an- 
gewandt wird, ist im Allgemeinen nicht ftlr jedes Wcrtheaystem ff,, ff ? o p von 

Null verschieden. Es ergibt sich nämlich, das« diejenigen Systeme ganzer Zahlen 
ff, ff, , für welche G föj eiueu von Null verschiedenen Werth besitzt, identisch 

sind mit jenen Systemen ganzer Zuhlen ff, , ff. , ff,, welche den Gleichungen: 



- £ £ £ »»'*■+ »2.' £ (..+ 4 £..,.,o 



- 1, 



• » 1, 2, 



in denen p<'>, .... (£' («=■!, 2, .... »♦> die säinmtlichen Normallösungen des 
Congruenzensystems: 

Khamii und l J «T*, Tli«t»riui«tion«c 14 



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- 100 - 

\C) 2 2 a,iß,„{> u (UmoilJi), . .., 2 2 «,,./*,„ p„- : 0 i'uiod. z/,) 

„■ . ,.- . 

bezeichnen, genügen, und weiter, das« diese Zahlensysteme sämuitlich durch das 
(ileichungensystem: 

<>, = «► + 2." («.,, — ß.u X„) ;■) 

geliefert werden, wenn mau darin uuter a l , ö„ , <s p irgend eine Lösung der 
Gleichungen (£') versteht, für die x, A aber der Keine nach alle möglichen Systeme 
von je 2p ganzen Zahlen setzt. Auch ergibt sich die Gleichung: 

2 2: 2- ... ,^ 1 272.- (s. + » 2 . .♦..) 

= e 6 [«,... <>,.]. 

Unter Benutzung dieses Kesultates kann man die am Schlüsse des Art, 2 auf- 
gestellte Thetaformel, wenn man für v = 1, 2, p: 

2({r,,.x„ — /J,„A,,i = 

setzt und mit n die Anzahl der Normaltösungen des Congrucnzensyatems: 

n % • 0 (mod. rsi/y"). ^ 0 (mod. rsJ t -, ... — 0 (mod. rsJ t1 ) 
bezeichne», in die reducirte Gestalt: 

3 + ° + 'i 



«•». 27 2:27 -') -"'- ,„..„. *. + * r2: ' (»,+ 5 2 »„s,)v" 

X > e & 



1 «<j 



v-v 

bringen. 

1 

Aus der gewonnenen, der Transformation 'j'''' 1 ' 3 '*' entsprechenden Thetiiformel 
und den beiden noch übrigen in Art. 2 aufgestellten elementaren Thetaformeln (;>), (fi) 
soll jetzt durch passende Verbindung die der vorgelegten linearen Transformation T 
entsprechende Thetaformel gebildet werden. Zu dem Ende setze map in der Formel (5): 

.'/■" = (i>- + *• + «j.) , C - , n - 1. * 



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107 - 



betrachte die in dieser Formel vorkommenden Grössen »•'■''. 6"' als nicht verschieden 
von den auf der rechten .Seite der Formel (F.) stehenden Grössen f l4) , U i} und 
weiter die in der Formel Ca) vorkommenden Grössen p"" 1 , /i' 1 ', t*''\ als nicht ver- 
schieden von den auf der rechten Seite der Formel (5) stehenden, durch die soeben 
gemachten Festsetzungen mitbestimmten Grössen <ß h ih >, i^, i*. E* wird dann die 
auf der linken Seite der Formel (5) stehende Thetafuuction mit der im allgemeinen 
Gliede der auf der rechten Seite der Formel (F,) stehenden Summe vorkommen- 
den identisch, ebenso wird die auf der linken Seite der Formel (0) stehende Theta- 
fuuction mit der auf der rechten Seite der Formel (5) stehenden identisch, und man 
erhält, indem man in der Formel (/'',), nach vorhergegangener Multiplication derselben 
mit die auf der rechten Seite hinter dem Sumnionzeicheu stehende Theta- 

funetion durch den aus der Gleichung (5) dafür sich ergebenden Ausdruck ersetzt, 
nachdem man zuvor in dieser letzten Gleichung an Stelle der auf ihrer rechten Seite 
stehenden Thetafunction den aus der Gleichung (6) dafür sich ergebenden Ausdruck 
eingeführt hat, die tu der vorgelegten linearen Transformation T gehörige Thetaformel 
nach ziemlich weitläufigen Umformungen in der vorläufigen Gestalt: 

w> »*sr »\ß«>»- v 4, ' fii, <» I*] 

c,l,....r.3,-l tt.1, Y -l - * t £'i r '„' *i + £'„ip*i- 1 £ £ {r, „<>,, ,',,-a, - * t £ 'i, ». 

x 2 2 * ' 



1 * 

x c • # 



r 



wobei: 

* — -'s £S£ («■»• KM»' - 2 *V 0- /«,/ + 0.„ <V'<,. V)*«' - r ' ; -Ei' «5 y.» *».« («.* - /»«'V) * ' • 



«rc«) = £££ 'tr£ (*.H-if«,^ru) (*,• + 4 Ea.vfrv)*«-, 1 , f f y.,«« (*. + if «.,•/»,„•)«». 



I', 



P (.,r' = l,*, 

V, = i 27«.,, 0,„ + 2." («,,,(/,, — 0,,, A,.) , /<, «= A 2?y,„ d, „ + £(— y. t ,g„ + d, A) , 

p, — $rsJ.,£6,,fl,,— ££d,,ß' t Jä, + |2.'a, „Ö, — r$£ß t „x„ — %J„£y tl ,d, l , 
ist. 

14» 



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— 108 — 



Die auf der rechten Seite der Formel (.F a ) stehende Summe erleidet nur 
Umstellung ihrer Summanden und folglich keine Änderung ihres Werthes, wenn 
man im allgemeinen Gliede derselben die Grössen x, k, p um irgend welche ganze 
Zahlen ändert Auf Grund dieser Eigenschaft kann der letzten Formel eine einfachere 
Gestalt gegeben werden. 

Zu dem Ende ersetze man zunächst, iudem mau beachtet, dass die Grössen p . 
wie unschwer zu zeigen ist, ganzzahlige Werlhe besitzen, ftir jedes v von 1 bis ]> 
p» durch p, — p r . 

Um sodann weitere Vereinfachungen der Formel vorzubereiten, bezeichne man 
mit x„, ). h (p •— 1, 2, /)) 2p ganze Zahlen, welche den /> ('ongruen/.en: 

ij, _ 0 (mod. r), i] t zr 0 iinod. r), .... tj ; , 0 (uio<1. r) 

genügen, und ersetze fiir jedes u von 1 bis p x,, durch x„ -f x„ , k,, durch ^ -f- l„ 
und gleichzeitig für jedes v von 1 bis p p, durch p, — J^ij',; dabei sind zur Ab- 
kürzung mit ij, , ijj. die Ausdrücke: 



(.-i.*, ....».) 



bezeichnet. Die dadurch entstehende neue Summe unterscheidet sich dann nach dem 
vorher Bemerkten von der ursprünglichen nur durch die Anordnung der Glieder; 
setzt man daher für das System der 2p ganzen Zahlen x, , .... x r ,, Ä, , .... I,, der 
Reihe nach die siimmtlichen Normallösungen des Congrueuzeusystems: 

-- 0 (mod. rsJp) , sd f ijfc 0 (mod. rsz/,), .... sJ f r tf — 0 (mod. rsdp), 

bezeichnet die Anzahl dieser Lösungen mit ri und addirt die n so entstandenen 
Summen, so erhält man eine neue Summe, welche das fache der ursprünglichen 
ist. Auf diese Weise geht aus der obigen Thctaformel die ueue: 



1„l -]/:-"" e« : «G\cl 



0,1 <U.. 

-2' 2' 



~ 77 2 ' * " ' + '<• " ' ~ 77 W*» " ~ "< 'V« > ' " *, - 



•V 



«1-9 + 1 



hervor, bei der: 



ft-1. 



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— 109 - 



ist; dabei deutet der Acccnt am Sunimenzeichen an, dass zur Bildung dieser Summe 
an Stelle des System* der 2p Grössen x, , . . . , x f , k X,, von den (r^,,) 1 ' 
Variationen der Elemente 0, 1, rsd$ — 1 zur 2p u " 1 (Masse mit Wiederholung nur 
diejenigen, »' an der Zahl, treten «ollen, für welche die p Grossen »j, , t) t , i) p 
sämmtlich durch r theilbare ganze Zahlen sind. 



.>. 

Die soeben eingeführte, von den ganzen Zahlen p, , q, , . . . , g p abhängige 
Summe // ^ ■ • - 9 J J , für die im Folgenden auch das kürzere Zeichen 77 £-y- J an- 
gewandt wird, ist im Allgemeinen nicht filr alle Werth esystcmo p, , p,. p„ von 
Null verschieden. Es ergibt sich nämlich zunächst, das* // J immer verschwindet, 

wenn die ganzen Zahlen p, . p, , . . . , p, nicht aXmmtlich durch J, theilbar sind. 
Ist aber: 

wobei r, , t ; , ganze Zahlen sind, so geht ^j^J^j in -^V^M über . we,in 

man mit ll[x] die Summe: 

n,i, . . .- 1 /. ~ + l f *>-*,£\(<r+\£ r., K, y,-(i, + k£ .„.,.„) -,;] - • 

i/[T]= 2 « 

v ■ .«, 

bezeichnet, bei der der Accent am Summenzeicben bedeutet, dass an Stelle des Systems 
der 2p Grössen x,, ...,x>, A, , . . . , l p von den (r.s) 1 * Variationen der Elemente 
0, 1, . . ., rs — 1 zur 2p l ' D Classe mit Wiederholung nur diejenigen treten sollen, fflr 
welche die p Zahlen ij, , *\ t , . . . , jj,, snmmtlicb durch r theilbar sind. Für diese neue 
Summe ergibt sich nun aber, das* diejenigen Systeme gauzer Zahlen r, , r,, r, , 
für welche H[r] einen von Null verschiedenen Werth besitzt, identisch sind mit jenen 
Systemen ganzer Zahlen r l( t„, .... t,,, welche den Gleichungen: 



t ^ » - '- «i v / J 

- 1, 



I = 1 , 2 r . . . , tu , 
genügen, in denen zur Abkürzung: 

2,-(«, /iX !" - ^„Ä ( J') = v l ;>, £[- y,,il? + - tf" ('-'•' -) 

gesetzt ist, und in denen x'i", .... x£\ Ä ( i'\ (< = 1, 2, ut) diejenigen 

Nurmallösungen x, x,, I, , ... k y des Congruenzensystems: 



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110 - 



i C) st], =0 (mod. rs), st) t 0 (mod. rs), . . ., ,s»j,, 0 inmd. rs) 

sind, welche der weiteren Bedingung genügen, duss durch sie: 

(C) £w, n (nmd. rs) 

» 

wird für jedes Systttu von 2p gauzen Zahlen x, A, für welches die p Gröben 
ij, , tj t , .... ij,, «ätumtlich durch r theilbur sind; und weiter findet man, das« diese 
Zahlensysteme t, . r { , .... sämmtlich durch da« Gleiclmngenaystem : 

geliefert werden, wenn man darin unter f,, r t , . . t p irgend eine Losung der 
Gleichungen iE) versteht, iflr die Jj alle möglichen ganzen Zahlen, fflr die x, l aber 
alle diejenigen Systeme ganzer Zahlen, welche den Congruenzen: 

0 (mod. > ) , r/„ : 0 nuod. r) , . . . , 0 (mod. r) 

genügen, setzt. Auch ergibt sich die Gleichung: 

# l*i + *$i + »?,' • r, + *5, + ij,.] 



x e 



tf|r,...r,|. 



Unter Benutzung des Resultates des letzten Artikels kann 
die zu der linearen Transformation: 



endlich 







r 


r 


IV. 




> 





bei der J fl ^ 0 ist, gehörige Thetaformel in die definitive Gestalt 
i 

(X) 



0 1. ..--1 - r ',^ '.•»'.'»«•' " -r.E -l''-.-.".,'). -«.„.*.„'.»)"■ 

x 2 « 



-;,2>, *2V,+»,+ . 



ii+ o + n n 



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— III — 

bringet!. In dieser Formel ist zunächst: 

— *-' Z A,. r u„ , K, = j- £A h ,B.,,-, (...= i. », ... j.) 

.1 c j . 

wenn man mit A,.,, die Ausdrücke: 

A h , = * (a r „sn + Zß..a„ r y ' Uu, — ; (y rf ,nt + 2' „„,_,,,,...,„> 

mit d Ä die Determinante E \- A n A tt . . . A,,,, und mit Ä„, die Adjuncte von A„, in 
dieser Determinante bezeichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

- 

(r - 1, I. .. , ^ 

//, = A 2>, u /*,,, + .i7a, i ,y u — ßr.Ji^), h, = ^2.>„ ( i, 1 , + 2'(-7,,,;/„-fi, „/(,,), 



<P= ' 2.' 2." 2." 0,„ A'„; Up u„- , 
* .v. *) = ' - - 1 - ^«r.« /Vä*- — 2y» M i*-'Ä-*-' + /M.* M«) *' 

► « j. 

- 1 27 27 y, „ d. „ (*, + i 27 «r, ,, 0„, ) * « . 

" ?' ■ /»' , 

■ 2" 2" 2' "j ■ " <.„(.„■ " + * 2 1 2' («„+ J 2" •„.*,.)<... " 



wobei ^ die Determinante 2- ~}^ßußn • • • ßrr un< ' die Adjuncte von /J„, in 
dieser Determinante bezeichnet, und unter ff,, ff,, . . , eine beliebige Lösung des 
in Art. 3 aufgestellten GleicKungeni<ystems (K) zu verstehen ist; es ist weiter: 

= 2 * ' 

V ''f 

wobei der Accent am Summenzeichen bedeutet, das» an Stelle des Systems der 2p 
Grössen x, , . . . , x y , 3L lf . l f von den (rs) 1 ' Variationen der Elemente 0, l, . . . , rs — l 
zur 2p Un Gasse mit Wiederholung nur diejenigen treten sollen, för welche die p Zahlen 
Im Vi» • ••> Vj> sämmtlich durch r theilbar sind, und unter t, , t, . , t p irgend eine 
Lösung des in Art. 5 aufgestellten Gleichungensystems ;'/•;) zu verstehen ist; es be- 
zeichnen weiter: 



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«j die Anzahl der Normallösungen des Congruenzensystems: 
s t) l = 0 (inod. rs), sij j - --- 0 (mod. rs), .... s»;,, " : 0 (mod. rs), 
riji . 0 (mod. rs), rij, 0 (mod. »•*•), rrj' r 0 (mod. rs), 

m s die Anzahl der NorinallösungiMi dos Congrtienzcnsystetus: 
ij, = 0 (mod. rs) , i] t 0 (mod. rs) , . . . , »j,. ^ Ü (mod. rs) ; 

es ist endlich die auf der rechten Seite stehende Wurzel so auszuziehen, dass ihr 
reeller Theil positiv wird. 

Die Anzahlen n, , n s , sowie die Zahlen «,f hängen von den Zahlenwerthen 
der a, ß, y, 9 ab und müssen in jedem Falle besonder.* bestimmt werden. 



7. 

Es soll jetzt der erste der in Art. 1 aufgestellten Fälle behandelt werden, der 
dadurch charakterisirt ist, dass bei der vorgelegten linearen Transformation alle Zahlen d 
den Werth Null besitzen, oder, was dasselbe, diese Transformation eine singulare ist. 
Nachdem man in den vorhergehenden Artikeln diejenige Thetaformel gewonnen hat, 
welche der allgemeinen linearen Transformation im Falle ^ 0 entspricht, erhält 
man die der vorliegenden singnlären Transformation: 



zugehörige Thetaformel auf die einfachste Weise, indem man diese Transformation der 
Gleichung: 



S 



T ld p)T 



gemäss, aus den beiden Transformationen: 



1 I 



- l 



— I 



■ 

r 



* 



I 



und entsprechend die zu ihr gehörige Thetaformel aus den beiden zu den Trans- 
formationen T /tl w, t gehörigen Formeln in der früher angegebenen Weise zusammen- 
setzt, indem man beachtet, dass die zu der fundamentalen Transformation T ;n W 
gehörige Thetaformel schon im vierleu Abschnitte aufgestellt wurde, die der 
Transformation T entsprechende Thetaformel aber, da bei ihr die Determinante 
J- f — 2:4- (t lt (t.„ . . . ß Fl . = ( I i'' 2. -r «„ u, t . . . tt l , einen von Null verschiedenen 



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- 113 - 

Werth besitzt, aus der im vorigen Artikel aufgestellten Hauptformel durch passende 
Verfügung Ober die dort vorkommenden Zahlen «, ß, y, i ohne Mühe abgeleitet 
werden kann. Auf diese Weise erh&lt man, nach Durchführung der möglichen Ver- 
einfachungen, die der vorgelegten singulären Transformation S entsprechende Theta- 
formel in der Gestalt: 

, . , r - t _, - *- £ 1,1',*' + £* u *p«i- \£ £r, u *, H %»i - * £ ».'.',«< 

x e 




-±£Ü, + tJi.»i 
X e & 



In dieser Formel ist zunächst: 

t . =» \- £ °\ .. »u , l>>, = £ d,„ (jv„ 7t i + £ d t „- a u „■) ; ,,. , ■ « t . . , 

es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

>j, = -1 a,„ x„ , ijl = 2,' : — jy H x„ + S, „ A„) , 



*t>('J, *) = r ' 27 2 - Y'*'9«9* xi - ' - - - y..« <*r« 

" /» Ii' * 

es ist weiter: 



m.i A * w -?,£(>,+ l.£ )'„, < „. ) •:. » > 

Vli\- X e ' " - 

'. "p 

wobei der Accent am Summenzeichen bedeutet, dass an Stelle des Systems der 
l> Grössen x,, . . ., x,, von den (rs) 1 ' Variationen der Elemente 0, 1, . . rs — 1 zur 
j/' B Ciasso mit Wiederholung nur diejenigen treten sollen, für welche die p Zahlen 
»j, , r h , t),, sämmtlich durch r theilbar sind, wobei forner zur Abkürzung: 

«?'r= — £y>>-** .y = ut p) 

» 

gesetzt ist, und wobei endlich t, , r. t p eine beliebige Lösung des Gleichungen- 

»ysteim: 

K«vrr* und luv». TWUftmclUi.r ... 15 



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- 114 - 



- i , 

bezeichnet, in dem zur Abkürzung: 

v „ „(■ _ Ä (o v =(•> _ ,-10 i, », .,,„ v 

f f * 

gesetzt ist, und in denen xi'', xj,' 1 (i — 1, 2, mi) diejenigen Normallüsungen 
. . ., x p des Congruenzensystems: 

(V) si?, . 0 (mod. rs), s?j s = 0 (mod. rs), . . . , sy, ■ 0 (mod. rs) 

sind, welche der weiteren Bedingung genügen, dass durch sie: 

(C") 2:»/, i?; = 0 (mod. rs) 

i 

wird für jedes System von p ganzen Zahlen x, für welches die p Grössen >/,, f^, 
sämmtlich durch r thcilbar sind ; es bezeichnet endlich 4 U die Determinante a n a ti .. 
und n die Anzahl der Normallösungen des CongTuenzensrstcnis: 

s»?, =E£ 0 (mod. rs), st] t - 0 (mod. rs), . . . , sr} p 0 (inod. rs), 

r>ji = 0 (mod. rs), riji = 0 (mod. rs), . . . , nj p ._: 0 (mod. rs). 

Diese Anzahl w, sowie die Zahlen "t hängen von den Zuhlenwerthen der u, y. d ab 
und müssen in jedem Falle besonders bestimmt werden. 



8. 

Ks soll jetzt der dritte der im ersten Artikel aufgestellten vier Fülle behandelt 
werden, der dadurch charakterisirt ist, dass bei der vorgelegten linearen Transformation T 
die Unterdeterminante q« u Grades V, — 2?+ ß u ß n . . . ß ri der Determinante J ? einen 
von Null verschiedenen Werth besitzt, während alle Unterdeterminanten höheren 
Grades verschwinden. Wie am Schlüsse des Art. 5 des fünften Abschnitts gezeigt ist, 
kann man in diesem Falle die Transformation T aus den beiden dort angeschriebenen 
Transformationen T ni <,-,\ , t in der Form : 

zusammensetzen, und man kann daher auch die zur Transformation T gehörige Thota- 
formel aus den beiden, zu den Transformationen T ln ip--i\ = ^7/'rt>> T ge- 

hörigen Thetaibrmeln zusammensetzen, von denen die erste aus den Formeln des 
vierten Abschnitts erhalten wird, die zweite aber, da bei der Transformation T die 
Determinante von Null verschieden ist, aus der Ilauptformel des Art. fi hei 
passender Verfügung Uber die dort vorkommenden «, ß, y, d hervorgeht. Man erhält 
auf diese Weise die der vorliegenden Transformation T entsprechende Thetaformel 
in der Gestalt: 



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-^i" •'. *•' + ~ "« - r. * - ( >•«. •'..» '-' - a r„ i*. '.i) 



' V 

- }, E •.; « - £ E .v, + *,+ •„ )i,*> 

X, 9 



<l + ö + '.' "1 

" r I, 

J 



ii' Ii», 



bei «1er v, b, rj, r)', h, «J>, *(y, h), ll{z\, «, , »», dieselbe Bedeutung haben wie in 
Art. »>, und bei der: 

m = - f f f (*♦ + * ß-) (*•• + i i' «.v/W)** 

— r l Ä 2: £ y tfi tf rif U r + ± 21 a rit > ß r A ar / 
«, . -HI lv (-,.• -i- * E E (*, + *2T«.. .) e„ » . 



ist, wobei: 

«, . = ß,., ß, ; , = — er,., -, y,., = <J,,, d, , = — y,. 



V — l. i. .... 



ist, -J« die Determinante 2, 1 + ßwßn unt I ft»» die Adjuuete von ß„, in dieser 

Determinante bezeichnet, und unter o t , a f eine beliebige Lösung des Glei- 

chungensystems: 



iE) 



-1, 



' — I ■ , . . . p IM j 



itu verstehen ist, in dem p', '> , p'»', . . . , (< = 1, -J, m) die 
Normallösungen des Congruenzensystems: 

(('•) E£U n ß; tl 'Q»- :0(mod. . . ., E E «,„/*, „■ v„ 0 (mod. J 4 ■ 

bezeichnen. 

15' 



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- 116 - 



Es soll jetzt endlich der viert« der im ersten Artikel aufgestellten vier Fälle 
behandelt werden, der dadurch charakterisirt ist, dass bei der vorgelegten linearen 
Transformation T die Unterdeterminante g 4 ™ Grades VT" — £ ± /*„„.,, /},„,., . . . ß^ ^ 
der Determinante d f einen von Null verschiedeneu Werth besitzt, während alle Uuter- 
determinanten höheren Grades verschwinden. Wie in Art. C des fünften Abschnitts 
gezeigt ist, kann man in diesem Falle die Transformation T aus den drei dort an 
geschriebenen Transformationen A", T, K" in der Form: 

k't'k" 

zusammensetzen, und man kann daher auch die zur Transformation T gehörige Theta- 
formel aus den drei, zu den Transformationen K', T, K" gehörigen Thctaformeln zu- 
sammensetzen; dabei wird man beachten, das» die beiden Transformationen K', K" 
elementare Transformationen vom Typus 77, sind, die ihnen entsprechenden Thcta- 
formeln also aas der Formel (I,) des zweiten Abschnitts durch passende Verfügung 
über die dort vorkommenden Grössen d hervorgehen; für die Transformation T aber 
die Unterdeterminante V- =- E + ßiißu ■ ■ ■ ßn 7 W ° Grades der Determinante d- von 
Null verschieden ist, während alle Unterdeterminanten höheren Grades verschwinden, 
die dieser Transformation entsprechende Thetaformel also aus der Formel (J'j des 
vorigen Artikels bei passender Verfügung über die dort vorkommenden a, ß, y, d 
hervorgeht. Man erhält auf diese Weise die der vorliegenden Transformation T ent- 
sprechende Thetaformel in der Gestalt: 

<l"> « tM ,(r,)^ r '»[f .;,:. ^C^.-fll. -V L ' V%v| tf ,7/rfi 

0,1, . ,—i - *' + 2:.*u"'-,\ £ Z(j, u *„.'.,—,„,i,t \,\ 

x£ « ' 

'V • ', . 



X >: 9 



IIM,.,, 



bei der t, 6, r,, ij', f/, /<, 0», t(ß,h), H\r\, n, , » 2 dieselbe Bedeutung haben wie in 
Art 6, und bei der: 



- 1 2" 2>,„<J.„ (ar. + $2r«,y0 t „-)jrt, 



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- 117 - 



-V' -s££ at "^' < hV! ,.«i+s ££'*•; (^+}£w..W„»' 

ist, wobei: 

«.. = «.., fl.r= (i, , , y. . -= y. , , *. , = <*. . , () T. 7, . > "* ) 

«V-fco &,«-«..., jv-a<„ äV = ->v Cirt'.'-T'' """') 

ist, z/^ die Determinante £ + ß tl . . . ß pi> und ft,. dio Adjuncte von /J u , in dieser 
Determinante bezeichnet, und unter a r eine beliebige Lösung des Glei- 

chungensystems: 



« l, 2, . . ., »», 

zu verstehen ist, in dem pr, pi*', . . . , (i = l, 2, m) die sämmtlichen 
Normallösungen deB Congruenzensystems: 

((") £ £ «„ o„ 0 (mod. z/, ) , .... £ £ p u . = 0 (mod. ^ ) 

i. . h' ► 

bezeichnen. 

10. 

Die im Vorhergehenden gewonnenen vier Transformationsformeln (%), (3), 
{%'), (V) kann man zu folgendem Endresultate zusa 
Der linearen Transformation: 



T - 



bei der die 4;r Zahlen «, /l, y, d den />(2/> •) Relationen: 



V 




r 


r 






S 





i" («.«y.« — «.„•?.„) = f>, £ (ß.,.d, t , — ß,,, d tu ) = n, 
•=i .-i 



oder den damit äquivalenten 



. rs , wenn ft = ?* , 

i.M,--y,M- 0> wtBB 



l«, ^- LS,.. ., ;.| 



genflgen, entspricht die Thetaformel: 



rs , wenn ft = u , 
0 , wenn ^ ,u . 



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- 11* - 



' ' Sri 



-,',2.' 5, % *• — *-2«V,+* r + •.,)»,»' 



X C 



r; -f O f 1} 

r 

Ji + r + I)' 



Iu dieser Formel ist zunächst: 



r = . - 2 Af,,U lt r , 



wenn man mit Zf,,, die Ausdrücke: 

-U. = ' («.,<*< + i'/Jr.a,,*). -fr,. = ' (/.,.*< '+ 2* d. , f „.,-=|. » |>1 

mit A Ä die Determinante 2." I A n A ti . . . A ri> und mit A», die Adjuncte yon A,., in 
dieser Determinante beiteichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 



rj. = 2*(a t/i *„ — /J, ,. A„ i , 



»/»' = 2\— y,..x„4-d,. 



i." i, i-, ... r) 



^ ^ ..." « 



A) = l H 2* 27 2,* («,„>%„•#,«/,.• — 2y ri .ß„,-!t.Ji«- + /*...<>.„ ) sr» 



- 2 2'I>,.i„(«.,^ - K h u )*i : 



ist ferner: 



« , r ._, r , 27 .-». + 2% 2 » T +< 2 ,•.„..,„ )'.r-(« r -f ! 2 I». 

l/l I " V' ' " * " ' 



wobei der Accent am Summenzeichen bedeutet, dass an Stelle de* Systems der 'lp 
Orüsaen x, , . . . . x, .. . A, , . . . , i. p von den (rs) 1 '' Variationen der Elemente 0, 1, . . . , >\s — 1 
zur 2//"" Claase mit Wiederholung nur diejenigen treten sollen, für welche die p Zahlen 



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- 119 — 

>!i t 'itt ■ ■} Vp sümmtlich durch r theilbar sind, und unter t, , r if . . ., r p irgend eine 
Lösung des Gleichungensystenis (/v): 



=" 1, 



i ' =- 1 , 2, . . . , w» , 
zu verstehen ist, in dem zur Abkürzung: 

xM> - ß.,V?) - «'.*, s(- + ö.J\?) - tf" (;:;--• -) 

gesetzt ist, und in dem xi°, . . ., x£', Ä'/' , . . . , Ä^' (i = 1, 2, . . . , m) diejenigen 
Normal lösungen x, , x y , Ä, , . . ., l p des Congruenzensystems: 

(C) s»;, — 0 (mod. rs), sij, — 0 (mod. rs), . . ., sij,, ^ 0 (mod. rs) 

sind, welche der weiteren Bedingung genügen, das* durch sie: 

((.") 2 (mod. rs) 

wird für jede» System von 2 p gauzen Zahlen x, l, fiJr welches die p Frössen 
V\ » Ü<, '/*■ sümmtlich durch r theilbar sind; es bezeichnen weiter: 

w, die Anzahl der Normallösungen des Congruenzensystems: 
sr/, O (mod. rs), sif, ~ 0 (mod. rs), . . . , st},, 0 (mod. rs), 
riji O (mod. rs), >»ji 0 (mod. r.sj, . . . , rifr» 0 (mod. rs), 

», die Anzahl der Normallösungen des CougruenzenRystems: 
i}, : .: 0 (mod. rs), ij» ■:. 0 (mod. rs) , . . . , ij,. r 0 (mod. rs); 

es ist weiter: 



- ..^ * £ Y< « («. + i ■ J «-/V ) i 



wobei ^ die Determinante £ ^ ß lt ß^ . . . ß Pf , und /Jj,, die Adjuncte von in 
dieser Determinante bezeichnet, und unter <i, , . . . . , eine beliebige Lösung des 
Gleichungensystems : 



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120 - 

17". 



' = 1 , 



zu verstehen ist, in dem p,>, pW, . . ., p^" (t — 1, 2, . . m) die sämtntlichen Normal- 
lösungen des CongruenzenBystema: 

«?) £2<M..«V = 0(mod.^, Z2.'«. J> ^..p / .. = 0('mod.^) 

bezeichnen; es ist endlich bezüglich der Bedeutung des unter dem Wurzelseichen vor- 
kommenden Buchstabens p und der Bedeutung der Buchstaben « , ß, y, d das Folgende 
zu bemerken: 

Fall 1: Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß 
sämmtlich der Null gleich, so ist p — 0 und: 

• . - /» -l, i, .... y\ 
«...— 0, ß„,= —(tpr, y, r = 0,,>, d... = — W=.l,J f/ 



Fall II: .Sind iu der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
sämmtlich der Null gleich, und besitzt ihre Determinante d f = E+ ß u ß tt ... ß,. r 
einen von Null verschiedenen Werth, so ist p = p und: 



zu 



Fall III : Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
sämmtlich der Null gleich, und besitzt die Unterdeterminante q ua Grades V, = 2/*- = 
ßiißti'--ßti der Determinante einen vou Null verschiedenen Werth, während alle 
Unterdeterminanten q -f- 1"" Grades von z/* verschwinden, so ist p = q und: 

",, = «,,, p,t = p,,, Y'i—Yn> o,, = a,,, \ , -- 1 , ; ; 

, % . A /' + 1,7 + *. • f'i 

<V p,r, fV— — «,,, y.,, — <V, o, r — — y,, ^, = , , ) 

zu si-tien; 

Fall IV: Bind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
sämmtlich der Null gleich, und besitzt die Unterdeterminante f/*" Grades V*" 1 ' ■= £ -~ 
/*,,.,... /*,,,, „ y der Determinante z/, einen von Null verschiedenen Werth, während 
alle Unterdeterminanten 5+ l*" Grades von J f verschwinden, so i«t p — 7 und: 

<(., = «,,, ß,, = /}.,, . = y.. f = <>.., C ^ i.'», ' ' ) 

«... = ß> : ; ßr. — - «,., y,, =- o,,, 6 r ,, — — y,, (. = ' ' ' V ) 

zu setzen. 



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- 121 - 
11. 

Besondere Erwähnung verdient der Fall, wo die beiden Zahlen r und s den 
Werth 1 besitzen. Setzt man in der soeben aufgestellten Formel (L) r = *<= 1, so findet 
man, dass der ganzzahligen linearen Transformation: 



Our 


flu, 







T- 

bei der die 4p* Zahlen et, fl, y, d die p{2]> — 1) Relationen 

er, 



2 («.,, y..- — <wy,,.) = 0, 2." {fl.,,0,,,' — ß, u d. u ) — 0, 



Zi K r P ' 0, wenn * ^p, 

oder die damit äquivalenten : 



<»,.»' — i. « pi 



2 («„. /*„ . — «„', ß„.) = 0 , £ (y„. o\, , — y.... o\„ ) = 0 , 

'T!' . a \ 1 » wenn u = u , 
( -i u , wenn p ^ ji, 



erfüllen, die Thetaformcl: 



entspricht. 



In dieser Formel ist zunächst: 



l>,,- = ' £ A\.,li ut >, 



wenn man mit Zf.,, die Ausdrücke: 

-'1,. i = «. u xi + 2." /J, x «„ , , P„ , = y, „ jii -f- — d Tr n H , , c..<, • ~ i, >•> 

« « 

mit die Determinante 2.' + A n A n .. . A Ff und mit A' u . die Adjuncte von A„, in 
dieser Determinante bezeichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

</„ = i 2,'a, „ 0,„ + 2 (rr,,,^ - 0, „ /<„) , h, = * £y,„«)„, -f 2*(— j',„^ + <5,,A) ■ <•■-«.*.-••.*> 

i>= 1 2'2."2;/j, 1 ,/i;-, , 

-\t ► 

-~ Z Z Z f«r„ y, n >h.<h. ~ 2y v , ß n -g„ >>,. + fl.? 0,,,-h» V) *»' - — ~ y»„ « - Vi, 

u ,.. . » ... 

16 



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- 120 - 

t 1 , 

i = 1. 2, .... w, 



au verstehen ist, in dem p^, p^, .... p<;' (t — 1, 2, . . ., m) die sämmtlicheu Normal- 
lösungen des Congruenzensysteins: 

iC) 2 2 «. , ^„ p„. -- 0 (mod. , . . . , 2 2 = 0 (mod. 4») 

bezeichnen; es ist endlich bezüglich der Bedeutung dos unter dem Wurzelzeichen vor- 
kommenden Buchstabens p und der Bedeutung der Buchstaben ü, ß, f, d das Folgende 
zu bemerken: 

Fall I: Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß 
sämmtlich der Null gleich, so ist p — 0 und: 

/« ~ 'i *. • • • • p \ 

zu Htien; 

Fall II: »Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
sämmtlich der Null gleich, und besitzt ihre Determinante ^ «= 2 /J M 0,, ... 
einen von Null verschiedenen Werth, so ist Q = p und: 

üp, = «.,, = 0,.r, j>,.» = jv, Ä„, =-<*„, r ) 



Fall III: Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
der Null gleich , und besitzt die Unterdeterminante q u " Grades V, = 2 -f; 
ßnßit - ■ • ßii der Determinante ^ einen von Null verschiedenen Werth, während alle 
Unterdeterminanten </ -f- l"" Grades von d ? verschwinden, so ist p = q und: 

Ö., = a, T , ß,. = ß,., y.l = )>,., S, r = d,,, (.-!,», . 

= jV> ßr,y= — «1», )V — <Vp — ~ >V l ' - 1 -'. • /- 

zu setzen; 

Fall IV: Sind in der vorgelegten linearen Transformation T die Zahlen ß nicht 
sämmtlich der Null gleich, und besitzt die Unterdeterminante q'" Grades V'?' = 2 
^„../J der Determinante 4, einen von Null verschiedenen Werth, während 

alle Unterdeterminanten q + l ,,a Grades von ./* verschwinden, so ist p = </ und: 

«.» = «.., 0.. — ß,,, y,< ^y.,, <*.. = d.., (r= . "*..,. v ) 

«...-/*,.. 3',=«).,., c ^'.'."T ""*) 

zu Hetz. ii. 



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- 121 - 
11. 

besondere Erwähnung verdient der Fall, wo die beiden Zahlen r und s den 
Werth 1 besitzen. Setzt man in der soeben aufgestellten Formel (L) r = s=l. so findet 
man, dass der ganzzahligen linearen Transformation: 



T «= 



bei der die ip* Zahlen a, ß, y, 6 die p(2p — 1) Relationen: 

- («.,, y../ - ti,„ y. u ) = 0 , 2' i^,„ d,„- — 0, u . d..,) — 0 , 



,_, v 7 M ; 0, wenn ft ^ (* , 



oder die damit äquivalenten: 



27 (y... a. , - ?v. d„.) — 0 , 



(7.) 

erfüllen, die Thetaformcl 



_ 1 , wenn «' ~ u , 



entspricht. 

In dieser Formel ist zunächst: 

f. •*= *' 2' •/!„,»',■ , 



tw = *' 2' x, /*„,•, 



wenn man mit .4 U ,, Zi,, r die Ausdrücke: 

.4,,' = «,„ *i -f- 2* ß,.a„ M , B f ,, = y,,,xi + £ Ö r ,/i u , , w, . =i, * ,•> 

mit ^/j die Detenninaute 2" + j4 (1 • • Xi> und mit X» die Adjuncte von j4^, in 
dieser Determinante bezeichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

//„= i £a,„ß, tl + 1 '{«,„!!,, — /*,,,/<„)- = i 2>,,.d, „ + 27 (— y, h9u +d t „h u ) , (. = i, t, ...,,} 



4> = 



2; 2: 2"fj,„x, «„«„■, 

-'vi I. r 

*<!/,/0-2~£2(«,..y, u ^ 

Kmui u.,.i 1'uiM, tl,*UluiicUuu«li IG 



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— 122 — 

$(0) — — £££-" " £a t/i ß, M 27 *«* - ! ££y r ^,u £u,„ß„.nt, 

^ ,.7^-i -££ £ '-j'- i>v" + 2' 2? 'J-* 27«,.. ,"»,.,?„*- 

Ö[0]- ^ . ' " 

wobei ^ die Determinante £+ß n ß„... ß pp und ß,„ die Adjuncto von 0„, in dieser 
Determinante bezeichnet; es gilt endlich bezüglich des unter dem Wurzelzeichen vor 
kommenden Buchstabens p und der Buchstaben &, ß, y, d das am Ende des vorigen 
Artikels Bemerkte. 



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■ 



Siebenter Abschnitt. 
Von den nicht linearen Transformationen. 



Bis jetzt sind ausschliesslich lineare Transformationen, d. h. solche, für welche 
die Ordnungszahl t den Werth 1 hat, betrachtet worden. Ist die rationale Zahl t 
Ton 1 verschieden, so drücke man sie durch einen Bruch mit kleinstem Zähler und 
Nenner aus, setae also / wo n, n positive ganze Zahlen ohne gemeinsamen 

Theiler sind. Nenut man dann die Transformation T eine zur Zahl ^ gehörige, so 
kann man unter Anwendung des bisher stets gebrauchten Princips der Zusammen- 
setzung einer Transformation aus mehreren jede zur Zahl £ gehörige Transformation : 









Kr 



aus einer speciellen 
Zahl n gehörigen 



7- 



zur Zahl n > gehörigen, einer linearen und einer speciellen zur 
in der Form: 



«... ', 







n 


H 











zusammensetzen, und man kann daher auch die der Transformation T entsprechende 
Thetaformel durch Zusammensetzung der drei, den angeschriebenen Transformationen 
entsprechenden Thetaformeln erhalten. Die der mittleren, linearen Transformation 
entsprechende Thetaformel ergibt sich aus der im vorigen Artikel aufgestellten 
Formel (L) durch passende Verfügung über die darin vorkommenden Zahlen a, ß, y, 6, 
r, s\ die der ersten und dritten Transformation entsprechenden Thetaformeln »ollen 
jetzt aufgestellt werden. 

16' 



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- 124 — 

2. 

Führt man auf der rechten Seite der Gleichung: 

_ x , ..toi 2. 2^ ■'„,,■ (<*,. «„• +•••+*„ n» u - | M i t/" v +■•■ + «« J % 

"'i "v 

m l . - ■ T ' h p 

an Stelle der Suinmationsbuehstaben m\"' , m)" 1 neue Summationsbuclistaben 

»i, , . . ., m p ein mit Hülfe der Gleichung: 

* 

»,<"> = ,7i„ — m[]' — wlf ' mir" t« - 1, *. . . . . 

und setzt weiter noch: 

i»„ = ii r„ -|- x„ , t" — 1 , s — , k 

indem man mit den kleinsten positiven HeBt von m,, nach dem Modul n bezeichnet, 
so geht au» der Gleichung (F) die neue: 



hervor, bei der zur Abkürtung: 

_ « + » i — »<,.+-+> 'v r^»„ +-- (-»■„ + -»■•.. 

— 1 .1-1 



-2 



II» (II 

«1 , ■ ■ > 

"I > 



gesetzt ist. Drückt man ferner die Constanten A mit Hülfe der Gleichung: 



v-v *.-■■' 



«•,■-• " - u 



durch die speciellen .4, unter ihnen aus und setzt allgemein: 

0 

"\ 'r *:■■- "r 

u ... 0 

so geht die Gleichung in die Gleichung: 



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- 12ä - 



*— I» "=f , , . . « v r—r . » . 



bei der: 



V * w [~^ +4<-'Mr^^^ 



c 



"I I — "> 

u-lj " ' ' <«~i) 
I . "> 



ist, Ober, und aus dieser geht, wenn man die auf ihrer rechten Seite vorkommende 
p»fach unendliche Reihe durch die damit identische Thetafunction ersetzt, die Formel: 

* f ' Ln.. 

hervor. 

Aus der Formel fö 0 ) folgt durch passende Änderung der Variablen u die 
allgemeinere: 

<*) »'[J]i«ii '2 ., /[^"«Ik., 

in der y lt g y , /(,,..., A (J beliebige reelle Constanten bezeichnen. 

Die Formeln (& 0 ), (fc>) sind von den Formeln (// 0 ), (//d) im vierten Abschnitte 
des ersten Theiles nicht verschieden, und man kann ohne Muhe von der jetzt er- 
haltenen neuen Ausdrucksform der Constanten K zu der früheren auf Seite ,51 an- 
geschriebenen direkt gelangen. Es ist dazu nur nöthig, an Stelle der jetzigen Suni- 
mationsbucliBtaben m neue Sumniatiousbuchstaben n mit Hülfe der Gleichungen: 

m >" = „<•> + *?> + „'« + ... + „<-" + „<-", 

= -„<"+ .?• + c+--- + «r* ) +»r ,) . 



- - (» - 2)n;r" + >• 



einzuführen und zu beachten, daes dadurch: . 

ni <% l lV + ... + ff /;-% ( <:--' +W ,'. + ... + wl « : .^.^ + _,,,)- Vi 

1 . 2 »%!,'' + 2.» « +••• + (« - 2) I» - 1 > »IT V" *> + <»-\)n (»<-"- ) (»JT" - ) 
wird, und dasa man die Summation nach den n so ausführen kann, dass man: 



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- 126 - 



(ii 



+1.*'" 



setzt und sodann nach allen Grossen n yon — biü -f oo, nach v aber für 

M — 1. * f 

3. 

Es soll jetzt nachgewiesen werden, dass die durch die Formel (ff) repräsentirte 
Umformung der Function *"pj(«ju eine Transformation im Sinne der im ersten Ab- 
schnitte entwickelten Transformationstheorie ist. Zu dem Ende definire man 4p* 
rationale Zahlen a„, , b,,,, c„, , b„, (u, v = \, •>,..., p) durch die Gleichungen: 



(U. = 



0, wenn p ^ v, 



b = 1, wenn f« — *'. 
0, wenn u ^ v, 



(".» = i.*,..., p, 



dass diese Zahlen eine zur Zahl ' ~- n gehörige 

bestimmen, und führe dieselben in die Gleichungen (1) bis (6) auf Seite 65 ein. 
Die Gleichungen (5), (6) gehen dann in die Gleichungen: 



t, - »it., 



b, T - ™" wo.. 



('.»■ =» i. » pi 



Ober, und man erkennt daraus, dass die Lösung des durch die Charakteristik: 



'V . .o 



bestimmten Transf'ormationsproblems durch die Formel: 

(N) 



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- 127 - 



geliefert wird, bei der: 



tv = nu,, <>,,• — na,,' 

ist, während die g, h beliebige reelle Constanten bezeichnen. 

Entsprechend wird die Lösung dea durch die Charakteristik: 

i ... o 



T7' = 



o . . . « 



bestimmten, zu dem obigen inveraen Transformationsproblems durch die aus der 
Formel (N) durch ümkehrung entstehende Formel: 

o.i -i r t _±i -**< m £*m>m 



gegeben, bei der: 



(»«.'-.1,1 P) 



ist, während die *, i beliebige reelle Constanten bezeichnen. 



4. 

Man gehe jetzt auf die vorgelegte, zur Zahl n> gehörige Transformation T 
zurück und stelle in derselben sowohl die 2p* rationalen Zahlen 0, b, als auch die 
2p* rationalen Zahlen c, b als Brüche mit gemeinsamem Nenner dar, indem man für 

f> »'= h 2 P- 



"><» ,.» u "» r i 



setzt, wobei die «, p\ y, d ganze, r und s positive ganze Zahlen bezeichnen. Die 
Transformation T nimmt dann die Gestalt: 



r 



T 



an, wobei zwischen den ganzen Zahlen a, ß, y, 9 die p(2p - 1) Relationen: 



m P " »"*, wenn fi = p, 



r«. «' = l , r r > 



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VJi - 



oder die damit äquivalenten: 



£r*, wenn p' ■= p, 
' " <>, wenn fi ^/i, 



(.-...'-1, s ; l 



bestehen, und es wird weiter die in Art 1 angeschriebene Zerlegung der Trans- 
formation T nunmehr durch die Gleichung: 



T «; 



1 . 



" * 
»ir 



» . . 0 



10 

1 

I ' ' ' 
| 0 1 



reprüsentirt. 

Mit Rücksicht auf die Resultate des letzten Artikels erkennt man dann sofort, 
dasH die zur ersten dieser drei Transformationen gehörige Thetaformel aus der Formel IS) 
hervorgeht, wenn man darin n durch u ersetzt, die zur dritten Transformation ge- 
hörige Thetaformel aber die Formel (S) ist Hetzt man diese Formeln mit der zur 
mittleren, linearen Transformation gehörigen Thetaformel, welche aus der Formel (L) 
auf .Seite IIS hervorgeht, wenn man darin die Grossen: 

>' , s , u„ , , ß U r, y u , , d u , , 

für jedes ft und v von 1 bis p durch die Grossen: 

»>■. n, »»'«,.. fl„,. 11'}'.,,, d„, 

ersetzt, in der vorgeschriebenen Reihenfolge zusammen, so erhält man die zu der vor- 
gelegten Transformation T gehörige Thetaformel in der Gestalt: 

„>>, ^ ^ ,..ry| Wi - *»>o W m 



~2 

V 



- + '•• .1'. 



x ' 



N fj-fe — r, + i; 
n j 

»* + ." -M' 



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— 129 - 

In dieser Formel ist zunächst: 

fr-^-lX,«,, b„ — *' '- 2 Ä u , ß,„ , (,,, • = !,»,...,,) 

wenn inau mit 4,,, J?„, die Ausdrücke: 

mit ^ die Determinante £+A n A„...A„ und mit die Adjuucte von .4,,, in 
dieser Determinante bezeichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

(r-l,J....,p) 

— ^- Z £ £ y t/ , ö„, («„'^' — /V /y) * «' ; 



es sind weiter mit ^5 , 9>'(<j); ff'ff), n', , »»', jene Grössen bezeichnet, in welche 

die bei der Formel (L) auf Seite 118 definirten Grössen J., gj(4), &[«], tf[rj, n„ n t 
Übergehen, wenu man darin: 

'*) s > a f} ßt"> 
für jedes ft und v von 1 bis |> durch: 

nr, s, w' «,,,-, »Vyn ^» 

ersetzt; es gilt ferner bezüglich der Bedeutung von 0 und der & , ß, y , S das auf 
Seite 120 Bemerkte; es ist weiter zur Abkürzung gesetzt: 

o.i, . . . . r _i - r. £ r " " ' - "' £ *-« " ' + »V. E f( *» + 7 £ ^ '»,« ) * »-(*»+ V £ a >« z 1 **) i'A * •" 

£,<•■->. = V' f " " * 

«, 

X K „■.„ , 
«. + >+ T" 

wobei . . ., irgend welche ganze Zahlen bezeichnen, und der Accent am Summen- 
zeicheu bedeutet, dass an Stelle des Systems der 2p Grössen x,, x f , A, , X p 
von den (nrs) 1 ' Variationen der Elemente 0, 1, .. ., nrs — 1 zur 2j> lc " Classe mit 
Wiederholung nur diejenigen treten sollen, für welche die p Zahlen , n'^ , . . . , n'tj p 
s'ämmtlich durch r und die p Zahlen n'rji, n'ri%, . . ., n't] p säuitutlich durch s theilbar 
sind, und: 



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- 130 - 



4 i v _ . 



9 . £ v 1 ^"' 

X e Ä - - , 

*1 *l • ■ p *p 



wobei der Accent am Summenseichen bedeutet, dasa an Stelle des Systems der 
Zp Grössen ä, , . . . , x p , Ü, , . . . , l, ron den (nrs)*'' Variationen der Elemente 
0, 1, . . ., nrs — 1 zur 2p ,< " Classe mit Wiederholung nur diejenigen treten sollen, 
für welche die p Zahlen ij, , ij, , n f sämmtlich durch nr und die p Zahlen 
ri'\, iji, . . ., tj^ sämmtlich durch s theilbar sind; es bezeichnen endlich: 
», die Anzahl der Normal lösungen des Congruenzensystems: 
sij, =0(mod. nrs), srj, = 0 (mod. nrs) , s n„ = 0 (mod. nrs) , 

rij', == 0 (mod. n rs), rn\ = 0 (mod. nrs) , . . . , rij' p = 0 (mod. nrs) , 
»»< die Anzahl der Normallösungen des Congruenzensystems: 
wn'sif, =0(mod. nrs), nn'st), T 0 (mod. nrs), . . ., nn'sv p = 0 (mod. nrs), 
nn'rn\ 0 (mod. nrs), »in'riji 0 (mod. nrs), . . ., nn'rrj p = 0 (mod. nrs). 



Setzt man in der Formel (A) r — • s = 1 , wodurch auch n' — 1 wird, so 
erhält man die der ganzzahligen, zur Zahl n gehörigen Transformation: 



7 = 



d„. 



bei der zwischen den ganzen Zahlen o, ß, y, 8 die p(2p — 1) Relationen: 

■ 

jv — iv — 0 , £(ß,„ d^, — ß,„ d,„) — 0 , 



(*.) 



wenn u = p, 



oder die damit äquivalenten: 

- a„ f &.) — 0, - >y.d,.) - 0, 

•—i >—i 



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- 131 - 

erfüllen, enUprechende Thetaformel in der Gestalt: 



(4) 



0.1, .... — i iu.^i + Z«,^»* - \ £ £(r, f ,K M v,-"*,.l<.rv',)"t 
* »» 



2 . V 



x e 



In dieser Formel ist zunächst: 



9 + « - * + n 

n 



wenn man mit A M ,, B M , die Ausdrücke: 

A„ t = <*,„*( -(- I 0,* o^«, 2?„, =— y,„a»-f- £d r ,a H ,, • -i, ?) 

mit ^ die Determinante £ + ^1,, j4„ . . . A pp ond mit A„ t die Adjancte von jf,, in 
dieser Determinante bezeichnet; es ist ferner zur Abkürzung gesetzt: 

ij» - i(« r „ x,, - ß t( , a„) , jj; - s{— y, H *„ + *m , 

* f <*-!,».. .-,#0 

$,—$£ K^ß» + £ («,„ g„ - ß t „ h„), h, — J £ y r „ + £{- y.„ g„ + *,„ Ä„) , 

j 2££ß,,A,,u h V, 

tt>(g,h) — £££ 9*9* ~ 2 r^ß^ 9» V + /Mv- V)* 1 ' — ~ 2:2; ('^»(VJr^V)*'! 

PH ' 'ff' 

- * £ £ y, H S,,, (a, + j £ «,„• ß.^xi, 



o. i, ... 5^- 1 -III v m + t££ ' '? |'ä, + i I «„ <-„ »< 

«> 

wobei ^ die Determinante £ ± ß n ß^ . . . ß pp und die Adjancte Ton /J,,, in dieser 
Determinante bezeichnet, und unter 4,, i t , ff, eine beliebige Lösung des Glei- 
chungenaystems : 

17* 



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— 132 - 



(£) . ' ' " r 4 -1, 

j 1, 2, * • • i w, 

ist, in dem pi , pi'', p£' (i-1,2, n») die siimmtlicben Normallösungen des 
Congruenzensystems: 

(C) ' £ £ ä rl (/s :-:= 0 (mod. J>) , . . EX ä, r ß' T „- p> ^ 0 (mod. 

p.' r P p! r ' 

bezeichnen; es gilt weiter bezüglich der Bedeutung von p und der ä, ß, y, d das auf 
Seite 120 Bemerkte, es bezeichnen r,, . . ., r p beliebige ganze Zahlen, und es ist end- 
lich zur Abkürzung gesetzt: 

,,,,, - ;« • H k * V » ' J 

• ' «,,•■•■ V 



"J Xi. ... i* 4. r,„ > 
I 1 1 p * p 

wobei «, , . . ., Cj, irgend welche ganze Zahlen bezeichnen. 

Aus den Formeln (Ä), (A t ) erhält man, indem man an Stelle der er, ß, y, d 
specielle Zahlenwerthe einführt, die einer jeden beliebigen vorgelegten Transformation 
entsprechende Thetaformel. Von den zahlreichen bemerkenswerthen speciellen Trans- 
formationsformeln, welche auf diese Weise entstehen, seien zum Schlüsse hier die vier 
folgenden aufgeführt. 

Es werden die Lösungen der durch die Charakteristiken: 

l ... o 

- • • I 0 

0 ... 1 



2\ = 



1 ... 0 
0 ... 1 


0 


0 


T. . .T 

r 



r . . . 0 



bestimmten Transformationsprobleme durch die Formeln: 



(<*.) 



0,1, . ... I-— 1 



.<«, r) 



1 l p 



i) 



- **' £ ff, i u 

e 



<*> ~°'2 r l&r 



«.«■•■•* L r J 



r 



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- 133 - 

gegeben, bei denen die Grössen m, a mit den Grössen v, b durch die Gleichungen: 



v, = u r , 

oder durch die damit äquivalenten: 

«V — »/• > 

verknüpft sind, bei denen ferner allgemein: 

o, I. ... i—l 



„W. r) 



- - - ^ v ^ 



gesetzt ist, und bei denen die g, Ii, k, l beliebige reelle Constanten, die i irgend welche 
ganze Zahlen bezeichnen. 

Eh werden ferner die Lösungen der durch die Charakteristiken: 



l o 



r . . . 0 






• 


0 . . . r 








r . . . 0 


0 






0 . . . r 



bestimmten Transformationeprobleme durch die Formeln: 



+ * - 
r 

r/«+ 1 
r 



(©,) r^^n}^^^-^» 

\< ■ ■ ■ ■ ip 

k i q 
r ~r> + r 

'_! + .• 

r r« ^ r 



]U~1 1 



fl t> 

'* 

gegeben, bei denen die Grössen «, a mit den Grössen r, b durch die Gleichungen: 

t), — ru,, b. v <—Oy V , (., v' - i, *, . , 

oder durch die damit äquivalenten: 



»V ^> 

verknüpft sind, bei denen ferner allgemein: 



<W = bp h - 



if,,f' = i, .', . . .,p> 



«,« 



V V V 

gesetzt ist, und bei denen die g, h, k, l beliebige reelle Constanten, die x, X irgend 
welche ganze Zahlen bezeichnen. 



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