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Full text of "Archiv der Mathematik und Physik"

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Archiv  de 
Mathematik 


und  Physik 


Wathematica 

I 


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ARCHIV 

der 

MATHEMATIK  dnd  PHYSIK 

mit  besonderer  Kücteicht 

auf  die  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  höheren 
Unterrichtsanstalten. 

•  —   - 

Gegründet  von 

J.   A.  Grmert, 

fortgesetzt  von 

R.  Hoppe, 

Dr.  pb.  Prof.  »b  d.  TJaiT.  Berlin. 


Zweite  Reihe. 

F  ii  nfzehnter  Teil. 


Leipzig. 

G.  A.  Koch's  Verlagsbachhandlung. 

(H.  Ehler«  k  Co.) 

,  1897. 


.  •  -  • 

«  *  • 


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Inhalts- Verzeichniss 

des  fünfzehnten  Teils. 


Kr.  d.r  Abhandlung. 


Heft. 


Seite. 


Methode  und  Principieii. 


III.    Strecken-  and  Punktrechnung  insbesondere  die  Rech- 
nung mit  parallelen  Strecken.    Von  Fr.  Graefe 

Arithmetik,  Algebra  and  reine  Analysii 
ohne  Integralrechnung. 

XI.  Bemerkungen  zu  der  ausnahmloscn  Auflösung 
des  Problems,  eine  quadratische  Form  durch  eine 
lineare  orthogonale  Substitution  in  eine  Summe 
Ton  Quadraten    zu    verwandeln.     Von  Adolf 

Kneser  

XV.    Die  Summirung  einer  Oattuug  trigonometrischer 

Reihen.    Von  Franz  Rogel  

XVII.    Lineare  Relationen   zwischen    Mtngcn  relativer 

Primzahlen.    Von  Franz  Rogel  

XVII.    üeber  rationale  Richtungscosinus.  Von  R.  Hoppe 
XVII.    Zum  Beweise  des  Satzes,   dass  jede  unbegrenzte 
arithmetische  Reihe,  in  welcher  das  Anfangsglied 
zur  Differenz  relativ  prim  ist,  unendlich  viele  Prim- 
zahlen enthalt.    Von  G.  Speckmann    .  .  .  . 


I  34 


III  325 

III  355 

III  315 

III  323 

III  326 


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IV 


Nr.  der  Abhandlung  H«ft.  Seit«. 

XVII.    Ueber  die  Zcrlegeng  der  Zahlen  in  Quadrate.  Von 

G.  Speckmann   III  3SS 

XVII.    Systeme  ron  arithmetischen  Reihen  nter  Ordnung. 

Von  G.  Speckmann   III  332 

XVII.   Ueber  Potenzreihen.    Von  G.  Speck  mann  .  .         III  334 

XVII.  Ueber  die  Auflösung  der  Congruena  x*  =^a  (mod. 

/>).    Von  G.  Speckmann.  .  .  .  '   III  335 

XVIII.  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke  und  ihre  An- 
wendung auf  die  Teilung  des  Kreisumfangs.  Von 
Graeber   IV  337 

XXII.    Nachtrag  dazu   IV  439 

XXI.    Eine  besondere  Gattung  goniometrischer  Nulldar- 
stellungen.   Von  Franz  Kogel   IV  431 

Geometrie  der  Ebene. 

L    Ueber  orthoaxiale  Kegelschnitte.     Von  Alfred 

Salonion   I  1 

IV.    Ueber    Radical-Kreise.     Von   Juan  J.  Durin 

Loriga   I  117 

XII.    Ueber  Radical-  und  Antiradical-Kreise.    2.  Teil 

des  Vorigen   III  232 

VI.    Die  Secanten  und  Tangenten  des  Folium  Cartesii. 

Von  A.  Himstedt   II  129 

IX.    Relationen  bei   regulären,  dem  Kreise  ein-  und 

umbeschriebenen  Foljgonen.  Von  E.  Dolezal  .  II  172 

X.    Eine  approximative  Trisectio  Anguli.    Von  C.  F. 

E.  Björling   II  223 

Geometrie  des  Raumes. 

II.    Zur  Theorie  der  Curven  in  analytischer  Bchand- 

Inngsweise.    Von  A.  zur  Kammer   I  14 

V.    Zur  analytischen  Currentheorie     Von  R,  H  oppe  I  124 

VII.    Die  Krümmung  der   Raumcurren   in  singuliren 

Funkten  derselben.    Von  Ernst  Wölffing  .  .  II  145 

VIII.    Tbeoremes  fondamentaux  de  la  geomc'trie  spheVique. 

Par  V.  Sikstel   II  159 


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V 


5r.  4er    Abhandle«*.  H.O.  Seite. 

XIX.    Suite   IV  403 

XIII.  I" rl.fr  die  charakteristische  Differentialgleichung 

der  Raumcunren.   Von  R.  Hoppe   III  244 

XIV.  Regelflaehe,  deren  Strictionslinie  auch  Krümraungs- 

linie  ist.    Von  R.  Hoppe   III  251 

XXII.    Erweiterung  der  Curvenclaue  Ten  cenitanter  Krüm- 
mung.   Von  R.  Hoppe   IV  447 

Mechanik. 

XVI.  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  frei  beweg- 
lichen Massenpunktes  unter  der  Wirkung  von 
Attractionskriften.  Von  Paul  Kindel  .  ...  III  262 
XX.  Herleitung  des  Geaetaea  vom  Parallelogramm  aus 
der  Bewegung  eines  Körpers  im  widerstehenden 
Mittel  und  Aufstellung  einer  allgemeinen  Glei- 
chung für  dynamische  Kraftwirkung.  Von  Th. 
Schwartae   IV  421 


Litterarische  Berichte. 

LVII.  Wiedemana  (Elcktr.)  Frick  (ph.  Tech.)  Helm  (m.  Chem.) 
Fra.  Neumann  (m.  Phys.)  Föppel  (Elektr.)  Windisch 
(Mol.  Gew.)  Tesla  (Mehrph.  Str.)  Kay ser  (Phys.)  H ege r 
(Erh.   Arn.)     Warburg  (Exp.  Ph.)     Wittwer  (Mol.  Ph.) 

« 

Bauer  (teor.  Magn.)  Ja  min  (Phys.)  L.  Weber  (Exp.  Ph.) 
Johns  ton  Cp.  (Elestr.  World.)  Macfarlane  (alt.  curr.) 
Wüllner  (Exp.  Ph.) 

LVIIL  Schwering  (Aufg.)  Reidt  (Aufg.  -  Aufl.)  Hochheim 
(Aufg.)  Sickenberger  (Aufg.)  Laska  (Frml.)  E.  R. 
Müller  (Aufg.)  Bürklen  (Frml.)  Fink  (Sita.  Aufg.) 
Bardey  (Gleh.)  Laisant  (Aufg.  Alg.  —  36).  Goursat 
(Diffgl.  1.  O.)  Biermann  (Vorb.  h.  M  )  G.  Scheffers 
(Grp.)  H.  Scheffers  (Th.  Glch.)  Vogt  (rts.  eq.)  Gour- 
sat  (ob.  diff.  2  O.)  Picard  (sg  eq.  d.)  Laska  (Fct.  Th.) 
Tannery  u.  Molk  (eil  Frt.)  Demartres  u.  Lamaire 
(Diff.  Glrh.)      Laurent  (alg.)     Bardey   (Glch.    2.  Gr.) 


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VI 


Maclintoek  (enlarym.)  Puchbcrger  (Int.)  Niewen- 
glowski  (nnal.  Geom.)  Frankenbach  (3  eck).  Kluyvcr 
(Min.  Fleh.)  Overeem  (merkw.  Pkt.  d.  Viel.)  Schaute  (4 
dehn.  Prism.)  Suhle  (Corv.  auf  Fleh.)  Schegel  (8.  4  Dim.) 
Tarry  (ge'om.  im.  —  geom.  gCn.) 

LIX.  Zeuthen  (Gesch.  d.  M.)  Hcnsel  (Kronecker  W.)  Ham- 
mer (Euler  sph.  Tr.)  Stäckel  (Gesch.  Parall.)  Schöu- 
f Ii e s  (Plücker).  Gino  Loria  (geom.  Th.)  Wellisch 
(Gesch.  Wkltris.)  Diokmann  (Ar.  Alg.)  Schurig  (Alg.) 
Stegmann  (Plan.)  Meigen  (Geom.  —  Trig.)  Lengaucr 
(Ster.)  Bork  (Hpts.)  Roeder  (Coord).  Weber  (Alg.) 
Fuhrmann  (Int.)  Wölffing  (sing.  P.)  Indra  (Ball.) 
Loessl  (Luftwdst.)  Appell  (Mech.)  Wien.  astr.  Kai.  — 
Bur  Long.  Annuaire. 

LX.  Seeger  (Ar.)  Koppe  (Diekmann)  (Ar.  Alg.)  Sporer 
(nied.  Anal.)  Winter  (Alg.)  Locwcnbcrg  (Math.) 
Jcntzen  (Trig)  Kröger  (Plan.)  Küpper  (proj.  G.) 
Günther  (m.  Gcogr.)  Girndt  (Rauml.)  Schubert  (Aufg. 
—  Ar.  Alg.)  Gundelfinger  (Würz.  trin.  GIch.).  O.  Müller 
(Taf.  Messk.)  Sickenberger  (4  st.  Log.)  S ch ubert  (5  st. 
Log.)  E.  Schultz  (4  st.  Taf.)  Treutlein  (4  st.  Log.) 
Schülke  (4  st.  Log.)  Bendt  (Diff.  Int.)  J.  A.  Serret 
(Diff.  Int.).    Schlesinger  (lin.  Diffglch.) 


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Berichtigungen 
im  15.  Teile. 


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drei  Ebenen 

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hier 

fehlen  die  2  Worte:  der  Quotientvector 

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n  —  n, 

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Seite  86  Zeile  18  v.  ob.  nach  Ergänzung  lautet: 

nicht  übereinstimmt  Die  Grösse  »  ist  durch  die  Ebene 
BAC  bestimmt,  umgekehrt  .  .  .etc. 


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Ueber  orthoaxiale  Kegelschnitte. 

Von 

Dr.  Alfred  Salomon. 


Wird  eine  Parabel  von  einem  Kreise  geschnitten,  so  ist  die 
algebraische  Somme  der  Abstünde  der  Durchschnittspunkto  von  der 
Achse  der  Parabel  gleich  0. 

Beweis. 

*        Die  Gleichung  der  Parabel  in  Orthogonalcoordinaten  sei 

1)   y*  =  2px 

die  des  Kreises 

2)   (y-i)2-j-(a;_a)2  =  r* 
Die  Durchschnittspunkte  seien 

A  ==  xj,  yx 

y2  (Fig.  Lj 

D  =  x4,  y4 

Setzt  man  den  aus  1)  sich  ergebenden  Wert  von  x  in  2)  ein,  so 
erhält  man  eine  Gleichung  vierten  Grades  für  y  von  folgender  Form 

y'-f-O  .  yz  +  By*+Cy  +  D  =  0 

Da  nun  y,,  ,  y3,  y,  die  Wurzeln  dieser  Gleichung  sind,  so 
folgt: 

Arth.  4.  Mali»,  u.  TUy«.       Rmh«,  T.  XV.  1 


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2 


Solomon:  Uthtr  orthoaxiale  Kegelschnitte. 


was  zu  beweisen  war. 

Es  ist  leicht  ersichtlich,  dass  auch  die  Umkehrung  dieses  Satzes 
Gültigkeit  hat,  nämlich  dass  4  Parabelpunkte  auf  der  Peripherie 
eines  Kreises  liegen,  wenn  die  algebraische  Summe  ihrer  Achsen- 
abstände —  0  ist. 

Folgerungen. 

1)  Wenn  zwei  der  Durchschnittspunkte  C  und  D  in  C\  (Fig.  2.) 
zusammenfallen,  so  wird  einerseits 

y3  =  U   also       =  —  yi^T 

andererseits  [findet  in  C\  eine  Berührung  zwischen  Kreis  und  Pa- 
rabel statt. 

Fallen  die  Punkte  A  und  Dm  Ax  (Fig.  3.)  zusammen,  so  findet 
ebenfalls  Berührung  beider  Curven  statt.  Es  ist  ohne  Weiteres  zu 
tibersehen,  dass  in  diesem  Falle,  wo  die  beiden  Üurchschnittspunkte 
kleinster  Ordinaten  zusammengeflossen  sind,  der  Kreis  die  Parabel 
von  aussen  berührt,  während  im  vorigeu  Falle  die  Berührung  von 
innen  statt  fand. 

2)  Wenn  yx  —  —  y4  ist,  so  ist 

y2  —  —  Vi 

Die  Schnittpuukte  liegen  symmetrisch  zur  Parabelachse  und  der 
Kreismittelpunkt  in  derselben.    (Fig.  4.) 

3)  Wenn  y,  =  yä  und  y,  =  y4  isti  80  ist 

V\  y* 

Der  Kreis  berührt  die  Parabel  in  zwei  symmetrisch  zur  Achse  lie- 
genden Punkten  von  innen.   (Fig.  5.) 

4)  Wenn  y±  —  0  ist,  so  erhalten  wir  für  den  Kreis  durch  deu 
Scheitel  der  Parabel  folgende  Bedingungsgleichung: 

yt+ys+y.i  -  0 

6)  Wenn  y,  -  0,  y4  =  0,  so  ist 

yt  y* 

Der  Kreis  berührt  die  Parabel  im  Scheitel  und  sein  Mittelpunkt 
liegt  auf  der  Achse. 


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Solomon:  Ueber  orthoaziale  Kegelschnitte. 


3 


6)  Wenn  yt  —  y3  =  y4  ist,  so  ist 

n  —  —  3y« 

Es  findet  zwischen  Kreis  und  Parabel  eine  Berührung  zweiter  Ord- 
nung statt,  der  Kreis  ist  daher  der  Krümmungskreis  der  Parabel 
in  Bx  (Fig.  6.) 

7)  Wenn  y,  =-  y4  —  y3  —  y^,  also  =  0  ist,  so  findet  zwischen 
Kreis  und  Parabel  eine  Berührung  dritter  Ordnung  statt.  Der  Kreis 
ist  der  Krümmungskreis  im  Scheitel  Ax  der  Parabel  (Fig.  7.)  Also 
nur  dieser  Krümmungskreis  kann  mit  der  Parabel  eine  Berührung 
dritter  Ordnung  eingehen. 

Zieht  man  durch  die  4  Schnittpunkte  von  Kreis  und  Parabel 
an  beiden  Curven  die  Normalen  (die  Kreisnormalen  gehen  durch 
den  Kreismittelpunkt)  und  sind  die  Winkel  dieser  Normalen  mit 
der  positiven  Richtung  der  Abscissenachse  au  cr4  bzhw.  ft, 

ßh  ß*  (Fig.  8-),  so  erhält  man  nach  der  zu  Anfang  festgesetzten 
Bezeichnung: 

sin«,  —  ~i  

1  r 

■ 

ya  —  h 

SIU  ff,  —  

J  r 

durch  Addition  ergiebt  sich 

sin  a,  -f-  sin  at  -j-  sin  «3  -f  sin  a4 
_  yi +yg+y3  — 46 

r 

da 

yi+ys+y3+y4  —  o 

ist,  so  ist 

sin  o,  -f-  siu  «2  +  sin  cr3  +  siu  «4  —  —  r 

Ferner  ist 

-  -  subn.  -  - 
BKS  subn.  p 

1* 


daher  ist 


also: 


Solomon:  lieber  orthoaxiale  Kegeitchnttte. . 

KPa  subu.  p 
b  P4  subn.  p 


Wird  eine  Parabel 

y*  —  2/)* 
von  einem  beliebigen  Kegelscbuitt 

y«-f-  ary  -f  fcc*  -f-  cy  -f-  rfx-f  e  —  0 

geschnitten,  so  gilt  für  die  Abstände  y,,  t/„  y3,  y4  der  Durchschnitts- 
puukto  von  der  Parabelachse  folgende  Bedingungsglcichuug: 


Beweis. 

Substituirt  man  den  aus  der  Parabelgleichung  sich  ergebenden 
Wert  von  x  in  die  Kogelschnittgleichung,  so  erhält  mau  eine  Glei- 
chung vierten  Grades  für  y  von  der  Form 

wo 

4 

A  Ö  b 

ist,  daher 


Wenn  daher  in  obiger  allgemeinen  Gleichung  eines  Kegel- 
schnittes das  Glied  mit  ry  verschwindet,  also  a  =  0  wird,  während 

b^  0  ist,  so  wird 

die  Schnittpunkte  liegen  dann  auf  der  Peripherio  eines  Kreises . 


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Solomon:  Leber  ortkoaxialt  Kegelschnitte.  5 

Um  nun  die  Bedeutung  der  Bedingungen  a  0,  b  ^  0  zu  er- 
kennen, denken  wir  uus  die  Scheitelgleiehung  eines  Kegelschnittes 

„«  - 

auf  die  obige  allgemeine  Form  gebracht  uuter  Anwendung  derTrans- 
furmationsgleichungcn : 

t  =  m-|-*cosd  —  ys'inß 
1}  —  n  -\-xs'mß-\-ycosß 

In  der  transforniirtcn  Gleichung  wird  dann  der  Cocfficient  von  xy 

a  =  siu2ö.(l+g) 
der  Cocfficient  von  z*  wird 

b  =  sin*0  . 
Nun  verschwindet  o  für 

1)   6  -  0,   2)   ö  -  %j   oder   3)   g  1 

Für 

0  —  0   und    ß  =  * 

ist  also  eine  Symmetrieachse  des  Kegelschnittes  parallel  resp.  senk- 
recht zur  Parabelachse.  Für  */  «=  —  1  ist  der  Kogelschnitt  ein  Kreis, 
hat  also  unzählige  Symmetrieachsen,  ß  wird  daher  in  diesem  Falle 
unbestimmt. 

a  und  b  verschwinden  gleichzeitig,  weuu  ß  —  0  und  5  =  0, 
d.  L  wenn  der  Kegelschnitt  eine  Parabel  ist,  deren  Achse  der  Achso 
der  ersteren  Parabel 

y*  =>2Px 

parallel  ist.  In  diesem  Falle  können  iiidessen  nicht  1  Schuittpuukto 
eiistiren,  denn  sämtlicho  Schnittpunkte  der  Curveu 

Cx  =  y,  —  2  px  =  0    und    Cj,  =  y*  +  cy  +  </x-f-e  =  0 

sind  in 

C',— C,  =cy-f(rf-f-2/>)z+c  =  0 

enthalten.  Dieses  ist  die  Gloichuug  einer  geraden  Linie,  welche  also 
mit  jeder  der  Parabeln  höchstens  2  Punkte  gemein  haben  kann. 

Unter  Berücksichtigung  dieser  Entwicklungen  erhalten  wir  also 
den  folgenden  Satz; 


6 


S ahm on:  Ueber  orthoaxiale  Kegelschnitte. 


Wird  eine  Parabel  von  einem  Kegelschnitt  so  geschnitten,  dasa 
eine  der  Symmetrieachsen  desselben  senkrecht  zur  Parabelachse 
steht,  so  liegen  die  Durchschnittspunkte  auf  der  Peripherie  eines 
Kreises. 

Folgerungen. 

1)  Wenn  die  Winkclhalbirende  zweier  Geraden  zur  Achse  einer 
Parabel  senkrecht  steht,  so  liegen  die  Durchschnittspunkte  der 
Geraden  mit  der  Parabel  auf  der  Peripherio  eines  Kreises. 

Die  Umkebrung  dieses  Satzes  lautet: 

2)  Je  zwei  Gegenseiten  des  eiuer  Parabel  und  einem  Kreise 
gemeinschaftlichen  Sehnenvierecks  schneiden  die  Parabelachse  unter 
entgegengesetzt  gleichen  Winkeln. 

Dieser  Satz  lässt  sich  indirect  leicht  beweisen.  Auch  der  directo 
Beweis  ist  sehr  einfach. 

Wenn  «,  und  »2  (Fig.  9.)  dio  Winkel  zweier  Gegenseiten  des 
Sehnenvierecks  mit  der  Parabelachse  sind,  und  die  obige  allgemeine 
Kegelschnittgleichung  als  die  Gleichung  dieser  beiden  Sehnen  ange- 
sehen wird,  so  ergiebt  sich  dio  Bedingungsgleichung: 

y  *  -f- a  xy  -\-  bx1  -j-  ey  -f-  dx  -j-  e 
—  (y-f-tgajX-f-m)  (y-\-tgasx-\-n)  =  0 

und  da  «  —  0,  so  folgt 

tg«i  +  tg«5>  ra  0,  also   «i  —  — 

3)  Dio  gemeinschaftliche  Sehne  und  Tangente  einer  Parabel  und 
eines  Krümmnngskreises  derselben  schneiden  dio  Parabelachse  unter 
entgegengesetzt  gleichen  Winkeln 

=  —       (Fig.  10.) 

Wenn  zwei  Kegclschnitto  sich  so  schneidon,  dass  eino  Symme- 
trieachse des  einen  zu  einer  ebensolchen  des  anderen  senkrecht 
steht '),  so  liegen  die  Schnittpunkte  auf  der  Peripherie  eines  Kreises. 

Beweis. 

Zwei  orthoaxiale  Kegelschnitte  können  den  vorangehenden  Be- 
trachtungen gemäss  stets  auf  folgende  Form  gebracht  werden: 


1)  Zur  Abkürzung  bezeichnet  Verfasser  derartige  Kegelschnitte  im  fol- 
genden als  „ orthoaxiale". 


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Salomon:  Ueber  orihoaxiale  Kegelschnitte. 


7 


//,  =  y*-hA,ar2-f-</i;t  -  0 

Der  Kegelschnitt 

77,-77,  ~  (*i-Ä,)«Ä+(^-<«i)*+«if+^  -  0 

geht  durch  sämtliche  Schnittpunkte  beider.  Der  letztere  ist  aber 
eine  Parabel,  deren  Achse  der  Ordinatcnachse  parallel  läuft,  die 
Mer  //,  in  4  Punkten  schueidet,  welche  auf  der  Peripherie  eines 
Kreises  liegen.  Da  diese  Punkte  mit  den  Schnittpunkten  von  /7, 
and  //,  identisch  sind,  so  ist  der  Satz  bewiesen. 

Umkohrung. 

Liegen  die  4  Schnittpunkte  zweier  Kegelschnitte  auf  der  Peri- 
pherie eines  Kreises,  so  sind  letztere  orthoaxial. 

Beweis. 

Ist  //,  —  ü  die  Scheitelgleichung  des  einen  Kegelschnittes, 
tf0  —  0  die  Gleichung  dos  Kreises,  so  muss  die  Gleichung  des  an- 
deren Kegelschnittes  //2  von  der  Form 

77,-f;i/70  =  0  sein. 

//s  kann  also  kein  Glied  mit  xy  enthalten,  muss  daher,  voran- 
gegangenen Betrachtungen  zufolge,  zu  77,  orthoaxial  sein. 

Folgerungen. 

1)  Zwei  Gerade,  deren  Winkclhalbircnde  auf  der  Achse  eines 
Kegcischuittes  senkrecht  stoht,  schneidou  den  Kegelschnitt  in  vier 
Punkten,  die  auf  der  Peripherie  eines  Kreises  liegen. 

2)  Zwei  Paar  gerader  Linien,  deren  Wiukelhalbireudo  auf  ein- 
inder  senkrecht  steheu,  begrenzen  ein  Kreisviereck. 

3)  Die  gemeinschaftlichen  Sehnen  zweier  orthoaxialcn  Kegel- 
schnitte schneiden  die  Achsen  unter  paarweis  entgegengesetzt  glei. 
chen  Winkeln. 

4)  Die  gemeinsame  Sehne  und  Tangento  eines  Kegelschnittes 
and  eines  Krümmungskrcises  desselben  schneiden  die  Achse  des 
Kegelschnittes  unter  entgegengesetzt  gleichen  Winkeln. 


8 


Solomon:  Ueber  orlhoaxiale  KeyehchnitU. 


Hieraus  folgt  eine  Construction  des  Krümmungskreises  in  einem 
gegebeneu  Punkto  eines  Kegelschnittes  l). 

5)  Wird  ein  Kegelschnitt  von  einem  System  von  Kreisen  in 
oinem  Punkte  berührt  und  in  zwei  anderen  Punkten  geschnitten,  so 
sind  dio  Schnittschnen  eiuauder  parallel  uud  ihr  Winkel  mit  der 
Achse  des  Kegelschnittes  ist  dem  Tangcntenwinkel  entgegengesetzt 
gleich. 

6)  Laufen  2  Sehnen  eines  Kegelschnittes  zweien  von  einem 
Punkte  der  Achse  ausgehenden  Tangenten  parallel,  so  liegen  ihre 
Endpunkte  auf  einem  Kreise. 

Specialfälle. 

a)  Boide  Sehnen  sind  Tangenten. 

b)  Eino  Sehno  ist  Tangente  in  dem  einen  Endpunkte  der  an- 
deren. —  Der  Kreis  ist  der  Krümmungskreis  in  diesem  Punkte. 

c)  Beide  Sehnen  sind  Tangenten  und  die  Berührungspunkte  fallen 
zusammen,  —  dieses  ist  nur  im  Scheitel  des  Kegelschnittes  möglich 
—  daher  der  Satz: 

Ein  Kegelschnitt  kann  nur  mit  dem  Krümmungskreisc  im 
Scheitel  eine  Berührung  3.  Ordnung  eingehen. 

Sämtliche  Kegelschnitte,  welche  durch  die  Ecken  eines  Krcis- 
vierecks  gelegt  werden  köuncn,  haben  eiuandcr  parallele  oder  ortho- 
gonale Achsen. 

Beweis. 

Vier  Punkte  eines  Kreises  lassen  sich  stets  als  Durchschnitt 
zweier  orthoaxialer  Kegelschnitte  auffasseu: 

77,  =  Sf*+ait*+bsz+ety+d1  =  0 

Sämtliche  durch  dio  Schnittpunkte  beider  geheuden  Kegel- 
schnitte werden  danu  durch 


1)  vergl.  Si»liu«jn-Fic<llcr,  Analytische  Geoiu.  der  Kegclsch.,  5.  Aufl., 
S.  401. 


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Solomon:  lieber  orthoaxiale  Keyehchnitte  9 

aasgedrückt,  wo  A  ein  beliebiger  Parameter  ist.  Auch  hierin  ist  der 
Coefficient  von  ry  gleich  0.   Daher  siud  die  Achsou  sämtlicher  durch 

ausgedruckten  Kegelschnitte  parallel  oder  senkrecht  zu  den  Achsen 
von  //,  und  Hr 

Folgerung. 

Die  Geraden,  welche  dio  Winkel  je  zweier  Gegenseiten  eines 
Kreisvicrecks  halbireu,  stehen  auf  einauder  senkrecht. 

Für  die  Coordinatcn  der  Schnittpunkte  zweier  orthoaxialer 
Kegelschnitte,  die  auf  ein  den  Achscu  paralleles  Coordinatcnsystem 
bezogen  siud: 

H%  =  -  0 

gelten  die  Relationen: 


Beweis. 

In  dem  System  der  Kegelschnitte  //,-f  A//2,  welche  mit  //,  uud 
//,  gleiche  Schnittpunkte  haben,  befiudcu  sich  zwei  Parabeln 

Pt  =  x*  —   *.      1  x  !  ■  y  -     —  J  =  0 

"i  —«2  «1  —«2  "l  -  «3 

„           •      ai  &i ""  fl|  *S         a2c,  —  «1  «jV-«!  <h  n 

"i  =  JT  —  x  —   y  —  =•  U 

ax  —  as  «,  —  a2  <jj  —  rts 

Die  Achsen  dieser  Parabeln  müssen  den  Coordiuatcuachsen 
parallel  sein,  ihre  Gleichungen  sind  daher 

x  -  C,     »  =  (7, 

worin  C  nnd  C\  diejenigen  Werte  von  x  resp.  y  sind,  welche  y  in 
P,  resp.  x  in  P%  zu  einem  Maximum  oder  Minimum  macheu. 

Da  nun  in  P4 


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10 


Solomon:  Ueber  orthoaxial«  Kegelschnitt*. 


so  ist 


Für  P%  ist 


daher 


dy          dx  at— 

</*    "  ar,  ~  ,8t' 

C  2(a,  -  a,) 

BP,  _  "2  <r,  —  a,  <;2 

r/x        h   «i  — ^ 

dy  ^  ~  3  A  «2  Äi  —  «i 

8x  0|  —  a2 


1  °i  —  «S 


Die  Abstände  der  Schnittpunkte  von  //,  und  Ht  von  der  Achse 
der  Parabel  rt  sind 

Xj,    C — x2,    C? — x3,    C — 

Die  Summe  dieser  Abstände  ist  dem  zu  Anfang  dieser  Arbeit 
bewiesenen  Satze  zufolge  gleich  0,  daher 

Ebenso  ist 

Die  Coordinaten  («,  ß)  des  Mittelpunktes  des  einem  Systeme 
orthoaxialcr  Kegelschnitte  zugehörigen  Kreises  sind  gleich  den  Pa- 
rametern der  zugehörigen  Parabeln,  vermehrt  um  das  arithmetische 
Mittel  aus  den  entsprechenden  Coordiuaton  der  Durchschnittspunkte. 
(Fig.  11.) 

Beweis. 

Bezeichnet  mau  die  Parameter  der  beiden  Parabeln  Px  und  P% 
des  Systems  Hl-\-XHi  mit  py  und  pM  und  setzt  zur  Abkürzung  dio 
oben  bestimmten  Coordinaten  des  Schnittpunktes  ihrer  Achsen  C 
und  C,  ein,  so  lauten  die  Gleichungen  der  Parabeln: 

r.=x*—  2Cz  —  2pyy-\-  dy  ~  d*  =  0 


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Solomon:  Uebtr  orthoaxiale  Kegelschnitte.  \\ 

Hieraus  erhält  man  durch  Additiou  die  Gleichung  des  Kreises 
der  Durchschnittspunkte 

B=Pt+P9s  [jr-<C,  +p,)r+[x-(c+pM)y+A  -  0 

wo  A  die  aus  der  Rechnung  sich  ergebende  Constanto  bedeutet. 

Daher  sind  die  Coordinaten  des  Kreismittclpunktes: 

„  _  c+r,  -  *  + 

was  zu  beweisen  war. 

Wählt  man  die  Achsen  der  beiden  Parabeln  zn  Coordinaten- 
achsen,  so  ist 

und  man  .erhält  so  für  die  Abstände  des  Kreismittelpunktes  von 
den  Parabelachsen 

MN  =  Cj  —  p, 
MR  =  ß1  —  py 

Sind  die  Gleichungen  zweier  Kegelschnitte  in  der  allgemeinen 
Form  (nach  Salmon-Fiodler)  gegobon: 

//  =  rt11y«4-a1,^  +  a,8x,-f-aJ3y  +  as3x4-a33  -  0 

so  liegen  die  Durchschnittspunkte  auf  einem  Kreise,  wenn  das  System 

Zf-f-A//'  =  0 
einen  Kreis  enthält,  d.  b.  wenn 

an  -f-  Art,,'  =  rtj«  +  An,,' 

und 

oder  nach  Elimination  von  A: 

Liegt  der  Mittelpunkt  'des  Kreises  auf  der  Achse  der  Parabel 
mit  dem  Parameter  px  (nach  obiger  Bezeichnung),  so  ist  der  Pa- 


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12  Salomen:  Ueber  orthoaxiale  Kegelschnitte. 

Die  Gleichungen  der  beiden  orthoaxialeii  Parabeln  baben  dann  die 
Formen : 

as*  =  0  .  y  +  c. 

oder  nach  entsprechender  Transformation: 

y*  -  2Pxx 
x*  =  dt  x  -f- 

Die  zweite  Parabel  geht  also  für  diosen  Fall  in  zwei  parallele 
Gerado  über. 

Für  dt  «=•  0  wird  dio  eine  dieser  Geraden  Tangente  im  Scheitel 

der  Parabel.  Für  |  ^  "  q  falJcu  Dcido  Gerade  mit  der  Scheitel  - 
tangento  zusammen,  uud  die  Kreisgleichung  ist  daher 

y*  +  x*  —  2pxx 

oder 

y*-\-(x  —  p,)2  =pxa 

Also: 

Der  Radius  des  Krümmungskreises  im  Scheitel  einer  Parabel 
ist  gleich  dem  Parameter  derselben. 

Die  3  Mittellinien  eines  vollständigen  Vierecks  schneiden  sich 
iu  einem  Punkte,  der  sie  halbirt. 


Beweis. 

Die  Coordiuaten  der  Ecken  seien 

A  ==  (*„  jr,),    B  =  y2) 

Die  Seitenraittelpunktc  sind  dann: 


'     \   2  '     2  y 


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Salomon:  Ueber  ortkoaxiale  Kegelschnitte.  J3 

2     <         2  j 
"2     ■        2  J 


Daher  ist  die  Mitte  von  A/jV: 


anch  Mitte  von  ÄS  und  OP,  somit  ist  der  Satz  bewiesen. 

Die  Mittellinien  des  zwei  orthoaxialcn  Parabeln  gemeinsamen 
Sehnenvierecks  schneiden  sich  im  Achseuschnittpnnkt. 


Beweis. 

Die  Achsen  seien  Coordinatenachsen,  dann  ist 
Q  =  (0,  0)    (nach  obiger  Bezeichnong) 
was  zu  beweisen  war. 

Folgerung. 

Besitzen  zwei  orthoaxiale  Parabeln  einen  gemeinsamen  Krüm- 
mangskreis ,  so  gebt  die  Krümmungssehne  durch  den  Achsenschnitt- 
punkt und  wird  durch  denselben  im  Verhältniss  1  :  4  geteilt. 


14 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curven 


H. 

Zur  Theorie  der  Curven  in  analytischer 
Behandlungsweise. 

Von 

A.  zur  Kammer,  Dr.  phil. 

in  Kiel. 


Lange  Zeit  war  von  den  Evoluten  einer  ebenen  Curve  nur  die 
Krümmung8mittelpnnktscurve  bekannt,  und  von  den  Evoluten  einer 
Curve  doppelter  Krümmung  kannte  man  gar  keine  oder  hielt  ihre 
Krümmungsmittelpunktscurvo  sogar  für  eine  solche,  bis  Monge ')  vor 
etwa  hundert  Jahren  die  Kenntuiss  dieses  Gebietes  bedeutend  er- 
weiterte, indem  er  zeigte:  dass  jede  Curve,  auch  die  ebene,  unend- 
lich viele  Evoluten  besitzt,  die  sämtlich  doppelt  gekrümmt  sind  bis 
auf  eine  einzige,  nämlich  die  Krümmungsmittelpunktscurve  der  ebenen 
Curve,  dass  dagegen  die  Krümmungsmittelpunktscurve  einer  Raum- 
curve  im  engeren  Sinne  niemals  zu  den  Evoluten  gehört.  Es  ist 
interessant  zu  bemerkeu  dass  sich  hierin  selbst  nachher  ein  namhafter 
Mathematiker  irrte,  nämlich  Lagrange,  und  dass  Jacobi  *)  es  noch  für 
nötig  hielt,  diesen  Irrtum  aufzuklären.  In  der  Folge  ist  dieser  Teil 
der  analytischen  Geometrie  vcrhältoissmässig  wenig  bearbeitet 
Neuerdings  hat  Herr  Pirondini  8),  Molins4)  die  Krümmungsmittel- 
punktscurve einer  näheren  Betrachtung  unterzogen,  alleiu  in  syste- 


1)  Monge,  sur  les  dcVeloppeei ,  iles  rayons  de  courbare  et  les  differentt 
genre»  d'inflexions  des  courbes  u  double  courbure.    Parii.  1785. 

2)  Jacobi,  Mir  Theorie  der  Curven.    Crelle's  Journal,  Bd.  14.  1835, 

3)  Pirondini,  aul  problema  di  trovnro  la  curva  di  cui  e  noto  il  luogo 
de'suoi  centri  di  eurvatura.    Annali  di  Mat.,  t.  XVII.  1889. 

4)  Molins,  sur  quelques  nouvelles  propriltes  du  lieu  centres  de  conrbure 
des  courbes  gauches.    Mem.  de  Tool.  Ser.  8,  t.  X  (1888)  et  ser.  9,  t.  [. 


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in  analytischer  Behandlungsweise. 


15 


matischer  Weise  sind  die  Fundamentalgrössen  dieser  wichtigen  Be- 
gleitcurve  noch  nicht  entwickelt.  Und  doch  ist  dieses  mit  geringen 
Hilfsmitteln  leicht  möglich:  man  gebraucht  dazu  ausser  Differen- 
tiationen nur  die  Serret-Frenet'schen  Formeln  und  einige  der  22 
Relationen,  welche  wegen  der  Orthogonalität  der  Achsen  statt  haben, 
sodass  die  Lehrbücher  bequem  von  diesen  Resultaten  Gebrauch 
macheu  können. 

In  der  folgenden  Abhandlung  werden  zunächst  im  ersten  Para- 
graphen Eigenschaften  der  Evoluten  aus  ihren  Gleichungen  analy- 
tisch in  der  Weise  abgeleitet,  wie  solches  im  §  2.  bei  der  Krüm- 
mn::gsmittelpunktscurve  geschieht;  §3.  enthält  mehrere  Curvenclassen 
unter  Bevorzugung  der  dimensionslosen  Invarianten  »,  wo  Q  =  Rcosi, 
nebst  den  Verhältnissen  der  abgewickelten  Evolutfläche;  im  §  4.  ist 
endlich  eine  specielle  Raumcurvo,  nämlich  die  Schraubenlinie  auf 
einem  Kreisevolventencylinder,  erörtert  und  dabei  eine  Verallgemei- 
nerung des  Puiseux'schen  Satzes  gegeben:  wenn  für  eine  Curve  q 
eine  lineare  Function  von  &  und  von  r  ist,  so  ist  sie  notwendig 
eine  isogonale  Trajectorio  der  geradlinigen  Erzeugenden  einer  Cylin- 
derfläehe,  deren  Basis  eine  Kreisevolvente.  Am  Schlüsse  linden  sich 
eilige  Umk Ehrungen  dafür,  dass  beiden  ebeneu  Curveu  die  Krüm- 
mungsmittelpunktscurve  zu  den  Evoluten  gehört 

§  h 

Inbetreff  der  Bezeichnungsweise  beachte  man,  dass  /,  g,  A;  f\  ^, 
k\  l,  w,  n  •  /',  «*,  n'  die  Richtungscosinus  der  Tangeute,  der  Haupt- 
normale,  d(r  Binormale  und  der  redimierenden  Kante  bedeuten 
sollen,  ferner  ist  in  üblicher  Bezeichnung  ds  das  Bogenelement  der 
Curve,  t  and  9  der  Krümmungs-  und  Torsionswinkel 

(]&  tls  ds 

tgi-^,   tfo» p-^v   r-  ^  u.s.w. 

Die  Curvenelcmentc,  welche  sich  auf  eine  Evolute,  auf  die  Krüra- 
mungsmittclpunktscurve  und  auf  die  Polcurvo  der  Urcurve  beziehen, 
werden  wir  mit  dem  Index  «,  k  und  p  verschen.  Für  die  positive 
Aufeinanderfolge  der.begleiteuden  Achsen  treffen  wir  die  Festsetzung: 
Tangente  nach  vorn,  Hauptnormalo  zur  Linken,  Binormale  nach  oben. 

Für  die  rechtwinkligen  Coordinaten  der  Punkte  einer  Evolute 
bestehen  die  Gleichungen,  wenn  c  eine  willkürliche  Constante  bezeichnet, 

t,  —  m+p  .f  —  p  .  tg(#-|-  c)  .  t 

ye  =  y  +  9  •  '.)'  —  9  •  lü     +  c)  •  ni 
%t  «~  z-f-  Q  .  h'  —  Q  .  tg(#  -|"  c)  .  n 


16 


zur  Kammer:  Zur  llienrie  der  Curven 


Durch  Differentiation  (nach  einer  unabhängig  Veränderlichen  ergiebt 
sich,  dass 

<lsc  -  [tg,  +  tg(tf  +c)}  •[/'  -  tg(0  .  q  .  gd& 
<lye  _  ltfft  +  tg(/>+cl]  .  Itf'  -  tg(tf  +c)  .  m)  .  p,/f> 
d%  =  [tgi  -f  tg  (&  -f  r)]  .[/*'-  tg     +  c)  .  n]  .  p  </& 

ferner  dass 


,        [_1    <li   1 

d  *'  "  [cos2  /  ^  C08«(Ä 


(*4-«)J 


[/  -tg(^4-c) .  /| .  t>tfi>2 

-f  [tgi  +  tgf^+c)]  .  [-/•.  cotgA  +  tg(»  +  *) 

-  (/•'-  tg(»  +  e)  .  /)]  .  P«fl>* 
-Htg*  + tg(*  +  c)]  •  [r'-tg^  +  c)  .  /J  .  tg/.  pcitf* 

Durch  cyklisthe  Vertauschung  der  Richtungscosinua  erhält  man 
die  Werte  für  tt*yt  und  In  diesen  Gleichungen  bedeutet  i  den 

Winkel,  um  welchen  der  Radius  R  der  Schniiegungskugel  gegen  die 
Osculationsebene  geneigt  ist,  sodass  also 


p  =-  /fcost   oder   tg*  — 


dp 


Mit  Hilfe  obiger  Ausdrücke  erhält  man  uuu 

dy,  dz« 
d*y,  rf*j, 

-  [tg  i  +  tg(^  +  U)]1  •  ['  +  tg(fr  +  c)  .  /  ']  .  p*  .  COtg  * 

=  [tg*  +  tg(,'/  +e)J*  .  [m  +  tg{»  +  c)  .  g']  .  p*  .  cotg ld&* 
dz,  dye 
tPx«  d*yt 

=  [tgt  +  tg(^4-c)]*    fn4-tg(^4-c)  .  V]  .  p»  .  COtg^to* 


und 


p.  =  ±  Va,'+b,*+c,*  -  ±  [tg/4-tg(^4-«)?  • 


p'cotgiUft3 

C08(i>-F^ 


Nunmehr  ist  man  im  Staudo,  mehrere  Elemente  einer  Evolute  in 
den  auf  die  Urcurve  sich  beziehenden  Grössen  auszudrücken. 


0  d& 


*,  =  ±  VdxS  +  dyS  +  dzS  =  ±  [tgt  +  tg(S  4"  Cj]  .  — ^  +  c} 


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m  analytischer  Behandlungsweise. 


17 


Infolge  der  festgesetzten  positiven  Aufeinanderfolge  der  positiven 
Richtungen  der  begleitenden  Achsen  ist  bei  d*,  and  Dt  das  positive 
Vorzeichen  zu  wühlen.  Für  die  Richtungscosinus  der  Tangente, 
Haupt-  und  Binormale  einer  Evolute  ergeben  sich  dann  die  Werte 

/,  ==  j^*  =  cos(tf  +  c)  .  y '  -  sin(#  -f  c)  .  /  etc. 
B,  .  da,  —  Ce  .  tlyt  .     .  , 

s       j*.*.'      ~-/  otc-  und 

/„  =      -  cos(»  +  <•)•<  +  sin(*  +  c)  .  f  etc. 

Die  begleitenden  Achsen  einer  Evolute  haben  daher  die  in 
Fig.  1.  angegebenen  Richtungen.  Die  Tangente  Tc  und  die  Binor- 
male Bt  liegen  in  der  Normalebene  der  ursprünglichen  Curve  und 

bilden  mit  der  Krümmungsachse  den  Winkel  y%  +^  +  c)  re8P- 

(#-f-c);  die  Hauptnormale  der  Evolute  ist  entgegengesetzt  gleich 
gerichtet  der  Tangente  der  Evolveute,  und  da  die  Normalebene  der 
Evolvente  Tangentialebene  der  Evolutfläche,  so  ist  jedo  Evolute  eine 
geodätische  Linie  auf  der  Fläche  der  Krümmungsachseu. 

dx,  5^,*=  cos(#  -f-  e)  .  dz 

,!*%  =  ±  Ydft*  +  dmt*  +  d^*  —  —  Bin(d  -f-  c)  .  dt 
da,  =  dx,    U  -  —  ($  +  c) 

,  i  ,    ,    dte     ,  . 

V  =  .10,  ■  U  +  äi  ■  *  -  '  °tC- 

In  Worten:  die  Krümmungsachsen  der  Evolvente  sind  die  recti- 
ficirenden  Geraden  einer  Evolute,  oder  die  Evolutfläche  der  Evolvente 
ist  die  rectificirende  Cyl inderfläche  der  Evoluten. 

Dieser  Ausdruck  gestattet  eine  geometrische  Construction  des  Krüm- 
mungsmittelpuuktcs  der  Evoluten.    Wir  unterlassen  es,  für 


o.  s.  w.  die  Werte  anzugeben,  da  sie  von  keiner  besonderen  Ein- 
fachheit sind. 

d.  M.tk.  ..  Phy..   2.  lUihe,  T.  IV.  S 


18 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Ourven 


Soll  eine  der  cd1  vielen  Evoluten  eine  allgemeine  Schrauben- 
linie sein,  so  muss  für  ein  bestimmtes  e  nach  dem  Bertrand'schen 
Satze 

-7-  =»  Const. 

sein,  folglich 

tg(*  +  c)  —  —  Const.   also   &  —  const 

d.  h.  die  Evolvente  ist  eben.  Dann  sind  die  sämtlichen  Evoluten 
Schraubenlinien.  Ist  also  eine  der  unendlich  vielen  Evoluten  eine 
Schraubenlinie,  so  sind  es  auch  die  übrigen,  und  die  Evolvente  ist 
eine  ebene  Curve. 

In  umgekehrter  Weiso  folgt  aus  den  obigen  Beziehungen,  dass 

dx  —  den   tlfr  —  —  dkf  und 

j  =  -//  etc. 

f  —  cos  J,  .  U  —  8in  ^  •  *•  etc. 

I  —  sin +  cos  l,  .  U  etc. 

Gleichungen,  welche  für  die  Umkehraufgabe  in  Betracht  kommen,  zu 
gegebener  Evolute  die  zugehörigen  Evolventen  zu  finden.  Es  sind 
dies  orthogonale  Trajectorien  der  Tangenten  der  Evolute  und  Krüm- 
muug8linien  auf  ihrer  Tangentenfläche.  Man  erinnere  sich  dabei  der 
besonderen  Verhältnisse  einer  ebenen  Evolute,  wo  ihre  Tangenten- 
fläche die  Ebene  ist,  in  der  die  Curve  sich  befindet. 


§  2. 

Die  Gleichungen  der  Polcurve 

xp-s  +  p./'  +  ^.J  etc. 

in  ebensolcher  Weise  zu  behandeln,  bietet  keinerlei  Schwierigkeit 
und  führt  natürlich  zu  den  bekannten  Eigenschaften  dieser  Curve. 
Aus  den  Gleichungen  der  Krümmungsmittclpunktscurve 

art  =  x  -f-  q  .  f1 

lässt  sich  ableiten,  dass 

dxk  =     .  l  -f  %  ■  f'j  •  d9  etc. 


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M  analytischer  Behandlung s weise. 


10 


*•  ~  [~  %  ■  cot«  »  •  '+  (S  -»)•/'  +  2  Ä  •  ']  "*  eW- 
Hieraus  ergiebt  sich,  dass 

![f+»(i),-»SJ  ■/^i-»*./' 

+  g*),cotgl.i),»' 
und  durch  Einführung  des  bereits  erklärten  Winkels  t,  dass1 

J4  -  II*  .  |Yl-  ^  ./--sin/cosicotgA  .  /' 

-f  sin»»cotgA  . etc. 

Für  das  Bogenelement  d*k  der  Krümmungsmittelpunktscurve  be- 
rechnet man  zunächst 

<l*k  -  ±  Rdi> 

Im  Specialfalle  der  Curven  constanter  erster  Krümmung  oder  •  —  0 
fällt  die  Krümmungsmittelpunktscurve  mit  der  Polcurve  zusammen, 
die  Tangente  der  Polcurve  hat  aber  die  Richtung  der  positiven  Bi- 
normale der  Urcurve,  aus  dem  Grunde  ist  bei  dn  das  positive  Vor- 
zeichen zu  wählen.   Es  ist  demnach 

dsk  —  Rd&  und 

fk  —  sin  i .  f  +  cos  i .  /  etc. 

Die  Tangente  der  Krümmungsmittelpunktscurve  liegt,  was  selbst- 
verständlich ist,  in  der  Normalebene  der  ursprünglichen  Curve  und 
bildet  mit  der  Krümraungsachse  den  Winkel  %  und  mit  der  Haupt- 
aormale  den  Winkel 

n 

'"-2-- 

Daraus  folgt  die  bekannte  Gonstruction  dieser  Tangente,  welche  mit 
der  Steinerschen  Construction  der  Tangente  einer  Fusspunktencurve 
im  Zusammenhange  steht:  construirt  man  in  der  Normalebene  der 
Urcurve  um  M  als  Mittelpunkt  mit  dem  Halbmesser  (s.  Fig.  2.) 

MP-  MPk  -  MPP 

2* 


20  zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curven 

den  Kreis,  so  ist  die  Tangente  im  Punkte  A  an  den  Kreis  auch 
Tangente  an  die  Krümmungsmittelpuuktscurve.  Aehulieh,  wie  oben, 
kommen  wir  bei  der  Entscheidung  über  das  Vorzeichen  von  Dt  zu 
dem  Schlüsse,  dass  der  positive  Wert  zu  nehmen  ist;  daun  erhält 
man 

  1   

lk  =    ,  —  .  f 

+  sinf.cotgA  _  (_  cos  .  fl  +  8iQ  .  t)  etc 

Diese  Gleichungen  gestatten  eine  einfache  geometrische  Interpretation'! 
denn  bezeichnen  f ',,  </,,  A|  die  Richtungscosiuus  der  Geraden  ~Frff, 
bo  ist 

=  —  cos*  .  f  -J-  sin»  .  L  etc. 
und  führt  man  nun  noch  einen  Hilfswinkel  0  ein,  so  dass 

1  da 

CO9  0  = 


sinfl 


\/{\-  *^)*  +  Bin»icotg«A 

 sin  t  .  cotg  A  

^(l-jg)" +  ■!■»••  «otf* 
uud  mithin 

(d*      Ä\  1 
Tt  ~  drj  sin  7 

so  gewinnt  man  die  leicht  zu  deutenden  Beziehungen 

/*  —  cos  0  .  /  +  sin  •  •  ft  etc- 
und  für  die  Richtungscosinus  der  llauptnormale  berechnen  sich  die 

Werte  A    .  , 

/»' —  -  sin  0.f+  cos  B.U  etc. 

In  Worten  (s.  Fig.  2):  die  Normalebene  der  Krümmungsraittel- 
punktscurve  geht  durch  PkM%  und  es  bilden  ihre  Haupt-  und  Binor- 
male mit  dieier  Geraden  dio  Winkel 

0  und  6'  =  ^  ~  ö 
wo  0  durch  die  Gleichung  bestimmt  ist 


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in  analytischer  Behandlungnwtiae. 


21 


lb        \dx      dx)  sin* 

Hierdurch  ist  das  begleitende  Achsenkreuz  der  Krümmengsmittel- 
pnnktscarve  festgelegt. 

Zieht  man  Tom  Mittelpunkte  der  Gauss'schen  Einheitskugel 
parallele  Geraden  zu  der  Tangente,  Haupt-  und  Binormale  sowol 
der  ursprünglichen  Curve,  wie  ihrer  Krümmungsmittelpunktscurve  bis 
iur  Kugeloberfläche,  und  verbindet  man  die  entstehenden  Punkte 
auf  der  Einheitskugel  durch  Bogen  grösster  Kreise ,  so  entstehen 
sphärisch«  Dreiecke,  welche  die  Abhängigkeit  anderer,  die  gegen- 
seitige Lage  der  beweglichen  Achsenkreuze  bestimmenden  Winkel 
ron  den  eingeführten  Hilfswinkeln  »  und  6  erkennen  und  berechnen 
lassen.  Bezeichnet  man  mit  Fk,  Gk,  Hk\  ft\  Gk\  £&';  Lk,  Mk,  Nk 
die  Ricbtungscosinus  der  Tangente,  Haupt-  und  Binormale  der 
Krümmungsmittelpunktscurve  in  Bezug  auf  die  beweglichen,  beglei- 
tenden Achsen  der  ursprünglichen  Curve,  so  ergiebt  sich,  dass 

Fk  —  0,    Gk  —  sin  /,    Hk  —  cos  i 

/V  =  —  sin  0,    Gk'  =  —  cos  i  cos  6,    Hk'  -  sin  i  cos  6 

Lk  =  cos  0,    Mk  cos  i  sin  0,    .V*  =  sin  i  sin  d 

Gleichungen,  welche  auch  durch  die  Beziehungen 

fr- ft.f+Qk.r'+m.i  etc. 

tk'-W.f+Gk'.r+  Ih'  .1  etc. 
lk  -  Lk  .  f+  Mk  .f'  +  Nk.l  etc 

bitten  abgeleitet  werden  können. 

Es  erübrigt  noch,  dxky  ddk  u.  s.  w.  in  den  auf  die  Urcurve  sich 
beziehenden  Grössen  auszudrücken.   Es  ist 

sin  » 
drk  =      ä  .  dx 

Man  kann  dies  Resultat  in  die  Worte  kleiden  (Molins):  eine 
Haamcurve  und  ihre  Krümmungsmittelpunktscurve  stehen  in  dem 
Zusammenhange,  dass  die  Cosinus  dor  beiden  Winkel,  welche  die 
Tangente  der  einen  mit  der  Osculationsebene  der  andern  bildet, 
«ich  verhalten  wie  ihre  Contingenzwinkel  (s.  Fig.  2). 

Es  ist  allgemein 


22  xur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curvtn 

—  ^*  •  ^3gfc  4-  B*  •  rf3y*  4-  fr  • d%z*  . 

Bei  der  Berechnung  nach  dem  letzten  Ausdrucke  stellen  sich 
recht  umstündliche  Rechnungen  ein,  einfacher  gestaltet  sich  dieselbe 
mit  Hilfe  des  ersten;  man  erhält  zunächst 

<#*  =  (-  cos  0  .  /,  -}-  sin  6  .  f)  .  ^co8 »'  cotg  iL  -  e~^j  d&  etc. 

folglich 

(dß  \ 
COS t  cotg  A  — 

/  d0\ 

dltt  -  [cOSi-^Jdt 


oder 


Diese  Gleichung  zeigt  uns,  dass  es  doppelt  gekrümmte  Curren 
mit  ebener  Krümmungsroittelpunktscurve  geben  wird,  nämlich  wenn 
für  dieselben 

cos«  -  ,   —  0 
at 

Ferner  ergiebt  die  Ausrechnung,  dass 

sin  6  /  d#\ 


nnd 


ÄtgAsinÖ 
 sinT- 


R 

rk  —   •  


cos*  cotg  k  —  ^ 

Sucht  man  umgekehrt,  die  Grössen  der  Urcur?e  in  denen  der  Krüm- 
mungsmittelpunktscurve  auszudrücken,  so  folgt  aus  den  obigen  For- 
meln, dass 

f  «—  cos  8  .  h  —  sin  6  .  fi  etc. 

f  =  sin  i .  fk  —  cos  i  (cos  6  .  /»'  -f  sin  6  .  lk)  etc. 

t*  =  cos  i  .  A  4  sin  *  (cos  ö  •  f*  4  sin  ö  •  '*)  etc- 

und  dass  ferner 

d&  «=  d%  -{-  cos  6  .  dt* 


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23 

dx  —  -3 — .  .  dxk 
BIO  l 

dB  -=■  cotg  »  .  sin  0  .  dn  — 

oder  in  Grössen,  die  jedoch  mit  Dimensionen  behaftet 

dß      cotg  i  .  sin  ß  1 
~~        Qk        ""  r* 

eine  Differentialgleichung,  welche  zur  Bestimmung  des  Winkels  0 
benutzt  werden  muss.  Mau  beachte,  dass  auf  den  rechten  Seiten 
sich  ausserdem  noch  der  Winkel  »  befindet,  der  zunächst  in  Grössen 
Jer  ürcurve  definiert  ist.  Die  vorstehenden  Gleichungen  lassen  die 
grossen  Schwierigkeiten  des  Umkehrprobloms  erkennen,  zu  gegebener 
Krümraungsmittelpunktscurve  die  ursprüngliche  Curve  zu  finden. 


§  3. 

Der  Inclinationswinkel 

i  «~  arecos  ~ 

ist  besonders  geeignet,  Curvenclassen  zu  charakterisiren.  Es  möge 
zunächst  der  Specialfall 

i  =*=  const. 

betrachtet  werden.  Aus  unsern  Formeln  folgt,  dass  die  Krümroungs- 
mittelpunktscurvo  eine  isogonale  Trajectorie  der  gradlinigen  Erzeu- 
genden der  Evolutfläche  ist.  Welche  besondern  Verhältnisse  treten 
bei  der  Abwicklung  der  Evolutflüche  auf?1)  Die  Pol-  und  KrUrn- 
wungsmittelpunktscurve  transformiren  Bich  in  logarithmische  Spi- 
ralen ,  deren  gemeinsamer  Pol  der  Punkt  P  ist,  auf  den  die  Raum- 
corve  bei  der  Abwicklung  auf  eine  ihrer  Normalebenen  sich  redu- 
cirt;  denn  die  logarithmische  Spirale  hat  dio  merkwürdige  Eigen- 
schaft, dass  ihre  Fusspunktencurve  in  Bezug  auf  den  Ursprung  als 
Pol  wiederum  eine  logarithmische  Spiralo  ist,  welche  die  Taugeuten  der 
ersten  unter  constantem  Winkel  schneidet.  Die  abgewickelte  Evolut- 
fläche  besteht  allemal  aus  zwei  übereinander  liegenden  Blättern, 
welche  längs  der  transformirten  Polcurve  mit  einander  zusammen- 
hangen. 


1 )  Steiner,  über  einige  allgemeine  Eigenschaften  der  Gurren  ron  doppelter 
K  Tftttmnng.   Qet.  Werk«,  Band  \L  peg.  161-165. 


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24 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curven 


Die  Grenzfälle 

j  -0   und    1  **  2 
verlaDgen  eine  besondere  Behandlung.   Der  Specialfall 

—  % 

oder 

R  —  oo    und   d&  —  0 

cbarakterisirt  die  ebenen  Curven.  Die  Evolutfläche  ist  eine  Cyliu- 
derfläche  mit  der  ebenen  Krümmungsmittelpunktscurve  als  Basis. 
Weil  allgemein  die  Taugentenflächen  zweier  Evoluten  sich  längs  der 
Evolvente  unter  constantem  Winkel  schneiden,  da  (cf  Fig.  1.) 

(&  -f  c ,)  —     -f  e)  ==  const. 

so  folgt  in  umgekehrter  Weise,  dass  die  Tangenten  allgemeiner 
Schraubenlinien  die  Ebene  der  Basis  in  einer  Evolvente  der  Basis 
unter  ihrem  Steigungswinkel  durchsetzen.  Die  bei  der  Abwicklung 
der  Evolutfläche  doppelt  gekrümmter  Curven  geltenden  Verhältnisse 
haben  in  diesem  Falle  im  eigentlichen  Sinne  nicht  mehr  statt. 

Der  zweite  Grenzfall 

i  -  0 

kennzeichnet  dio  Curveu  constanter  erster  Krümmung  oder 

*  =  C 

wo  dann  auch 

R  -  C 

Pol-  und  Krümmungsmittclpunktscurve  sind  dieselben.  Bei  der  Ab- 
wicklung der  Evolutflächo  gehen  diese  zusammenfallenden  Bcgleit- 
curven  in  die  Peripherie  eines  Kreises  mit  dem  Radius  C  über, 
dessen  Mittelpunkt  der  Punkt  P  ist,  auf  den  die  Urcurve  sich  redu- 
cirt.    Welche  Vereinfachungen  erfahren  unsere  Gleichungen? 

fk  —  /  etc. 

fk  -  -  /'  etc. 

lk  =f  etc. 

dxk  =  d& 

d»k  =  dv 

Auch  dio  übrigen  Formeln  beweisen,  dass  alles  in  guter  Ueber- 
einstimmung  ist    Dio  Curven  constanter  erster  Krümmung  haben 
die  ausgezeichnete  Eigenschaft,  dass  vollo  Iicciprocität  zwischen  Ur- 
curve und  Polcurve  besteht:  sucht  man  die  Polcurve  der  Polcurve, 
so  gelaugt  mau  zur  ursprünglichen  Curve  zurück. 


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in  analyti$eher  Rehandlungsweiae. 


25 


Nicht  minder  interessant,  aber  doch  weniger  beachtet,  scheinen 
uns  die  allgemeineren  Curven  zu  sein,  für  welche  nur 


oder  g  eiue  lineare  Function  von  h  ist.  Für  den  Inclinationswinkel 
>  folgt  hieraus  die  Bedingung 

cotg  %  =  #  -f-  c 

oder,  da  es  auf  eiue  additive  oder  subtractive  Constaute  nicht  an- 
kommt, 

cotg  i  —  if 

Die  Einsetzung  dieses  Wertes  in  unsere  Formeln  liefert  einige 
Vereinfachungen.  In  geometrischer  Hinsicht  ist  klar,  dass  sämtliche 
correspondirende  Punkte  der  Pol-  uud  Krümmungsmittelpunktscurve 
den  constanten  Abstand  C  Yon  einander  besitzen.  Jn  was  für  Curven 
biegen  sich  dieselben  bei  der  Abwicklung  der  Evolutfläche  um?  Die 
Polcurve  wird  eine  Kreisevolvente,  deren  Evolutkreis  mit  dem  Mittel- 
punkt P  den  Halbmesser  C  hat,  denn  die  Fusspunktencurve  einer 
Kreisevolvente  in  Bezug  auf  den  Mittelpunkt  des  Evolutkreises  als 
Pol  besitzt,  wie  leicht  einzusehen,  dio  merkwürdige  Eigenschaft,  dass 
die  Entfernung  entsprechender  Punkte  gleich  der  constanten  Länge 
des  Radius  des  Evolutkreises  ist.  Die  Curven  constanter  erster 
Krümmung  sind  ein  Specialfall  dieser,  die  Constante  C  hat  dann  den 
Wert  null. 


Der  Bedingung  R  =  Const.  kann  durch  die  beiden 

t>  —  const.  und 

•  +  d&  -  0 
genügt  werden.    Mit  der  letzten  Bedingungsgleichung  ist 

oder 

i  —  —  * 

äquivalent.  Bei  diesen,  den  sphärischen  Curven,  degenerirt  dio 
ganze  Polcurve  in  einen  Punkt,  nämlich  den  Mittelpunkt  der  Kugel, 
anf  welcher  die  Curvo  sich  befindet.  Die  Schmiegungskugel  goht 
durch  die  sämtlichen  Punkte  der  Curve,  grade  so  wie  bei  der  ebenen 
i'nrve  die  Osculationscbene  alle  Curvenpunkte  enthält.  Die  Evolut- 
tlächtf  ist  ein  Kegel.    Bei  seiner  Ausbreitung,  z.  B.  in  eine  Normal- 


26 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curven 


ebene  der  sphärischen  Curve,  geht  die  Krümmungsmittelpunktscurve 
in  die  Peripherie  eines  Kreises  über,  dessen  Durchmesser 

PPP  —  Ä  —  Const. 

Auf  eine  ähnliche  Bediugungsgleichung  führt  die  Untersuchung 
der  Frage  (Vf.  eine  irrtümliche  Behauptung  bei  Steiner,  1.  c. 
pag.  161),  für  welche  Curven  ist  die  Krümmungsmittelpunktscurve 
eine  geodätische  Linie  der  Evolutfläche?  Dann  muss  sich  dieselbe 
bei  der  Abwicklung  der  Evolutfläche  in  eine  Gerade  transformiren, 
woraus  man  leicht  ableiten  wird,  dass  die  transformirte  Polcurve 
eine  Parabel  ist,  für  welche  die  bewusste  Gerade  Scheiteltangente 
und  deren  Brennpunkt  der  oft  erwähnte  Punkt  P  ist.  Aus  diesen 
Verhältnissen  lässt  sich  dann  eine  Relation  zwischen  q  und  R  her- 
leiten, nämlich 

p*  —  R»  .  R 

wo  R0  eine  Constante.  Dieser  Bcdingungsgleichung  genügen  aber 
auch  noch  Curven,  welche  dio  verlangte  Eigenschaft  nicht  besitzen, 
nämlich  dio  Curven  constanter  erster  Krümmung. 

Einen  einfacheren  und  besseren  Weg  zur  Lösung  der  Frage 
liefern  unsere  Formeln  im  vorhergehenden  Paragraphen,  da  wir  auf 
diese  Weise  mühelos  die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung 
gewinnen.  Soll  die  Krümmungsmittelpunktscurve  eine  Geodätische 
der  Evolutfläche  sein,  so  muss  in  jedem  Curvenpuukto  ihre  Haupt- 
normale mit  der  Flächonnormalen  zusammenfallen,  d.  h.  es  muss 
beständig  der  Winkel 


sein;  folglich  erhalten  wir  als  Bedingungsgleichung 

i  -  &  +  c 

Selbstverständlich  haben  alle  ebenen.  Curven  die  geforderte 
Eigenschaft.   Unsere  Formeln  liefern  diese  nicht  ohne  weiteres  mit, 

weil  dieselben  unter  der  stillschweigenden  Voraussetzung  d&  ^  0 
abgeleitet  sind;  man  kann  dieselben  in  die  Bedingungsgleichung 

i \mm  &  +  C 

mit  einscbliesseu,  wenn 


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m  analytischer  Behandlungtweise. 


27 


genommen  wird. 

Wir  unterlassen  es,  weitere  Anwendungen  obiger  Formeln  zu 
geben. 

14. 

Die  Kreisevolvente  und  ihre  Parallclcurven  kann  man  durch 
Gleichungen  darstellen 

x  =  a  .  cosu  -f-  (au  -f-  c)  sinu 
y  =  a  .  sinu      (au  -f-  c)  cos« 

wo  a  der  Radius  des  Evolutkreises  und  c  eine  willkürliche  Constaute 
ist.  Wickelt  man  ein  ebenes,  rechtwinkeliges  Dreieck  auf  eine  Cy. 
linderfläche  mit  einer  Kreisevolvente  als  Basis  auf  in  der  Art,  dass 
die  eine  Kathete  mit  der  Basis  zusammenfällt,  während  die  andere 
Kathete  die  «Coordinate  wird,  so  biegt  sich  die  Hypotenuse  in  eine 
Schraubenlinie  um,  welche  die  Kreiscylinder-Schraubenlinie  als  Spe- 
cialfall enthält  (a  =  0).  Für  die  rechtwinkeligen  Coordinaten  dieser 
verallgemeinerten  Schraubenlinie  ergeben  sich  die  Gleichungen 

m  —  acosu  +  (au  +  c)  ■  8illu 
y  =  asinu  —  (au  +  e)  .  cosu 

o 

wenn  die  Aufwicklung  des  Steigungsdreieckes  im  Punkte 

(*  =  a,    y  c) 

beginnt,  und  der  Steigungswinkel  «  ist 

Es  ist  keine  wesentliche  Einschränkung,  wenu  man  anstatt  der 
äqnidistanten  Kreisevolventen  diese  selbst  wählt,  denn  man  braucht 
dann  die  Abwicklung  des  Evolutkreises  nur  in  einem  andern  Punkte 
beginnen  zu  lassen;  es  soll  deshalb  c  —  0  gesetzt  werden,  wodurch 
die  vorstehenden  Gleichungen  die  einfache  Gestalt  annehmen 

x  =  a(cos«  -f-  «sinu) 
y  -~  a(sinu  -  ueosu) 

*  -  l  tg  f  .  u* 


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28 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curvtn 


Mithin  ergiebt  sich  durch  Differentiation 

^  —  aucosu    -j^j  —  a(cosw  — tt8in«)  =  —  o(28inu-}-MC08tt) 

dy  .        tPff  tl\ 

du  ==  au  sin  m   —  j  —  a(sin  u  -f-  «  cosm)     ^3  =     a(2cos  u  —  usin  «) 

*,  =  °««»-»    *?-««««  (,„.-° 

Die  für  Raumcurven  wichtigen  Grössen  A,  Zf,  C,  D  haben  daher  in 
dem  vorliegenden  Falle  die  Werte 

A  sa  — •  «*  tg  I  .  U*  .  COS  N 
B  —  -  «*tg«  .  "*  .  sin  n 
C  =  a3  .  »<2  und 

«  =  ...» 

cos« 

Hieraus  berechnen  sich  die  Elemente  der  Schraubenlinie,  wie  folgt: 

n 

<ls  =  „  rftt 

cosc 

f  =  COS  f  .  COS  U 

7  =  cosf  .  siuu 
h  — ■  sine 

f*  sinu 

g  —  COBu 
h'  ~  0 

/  =-  —  sin  t  .  cos  ti 
m  =»  —  sin«  .  sinu; 
n  —  cos« 

Die  Gleichungen  besagen  unter  anderem,  dass  die  llauptnor- 
malen  parallel  den  Normalen  im  entsprechendem  Tunkte  der  Basis 
sind,  sie  sind  daher  parallel  der  Basisebene  und  berühren  deu  graden 
Kreiscylinder  über  dem  Evolutkreise.  Die  Fläche  der  Hauptnor- 
malen lässt  sich  durch  die  folgenden  Gleichungen  darstellen 

£  —  n  cos  tt  +  (««  +»)  sin»* 
tl  =  asiuu  —  (au-f-»)C0Su 


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in  anaiylitcher  Bf  Handlungsweise.  jJ9 

Die  analytische  Behandlung  dieser  Gleichungen  lässt  vorzügliche 
Eigenschaften  dieser  verallgemeinerten  Schraubcnfliiche  erkennen ;  es 
hat  den  Anscheio ,  dass  sie  und  eine  ihr  nahe  verwandte  gradlinige 
Fläche  die  gewöhnliche  Schrauben  fläche  in  den  technischen  Fällen 
mit  Vorteil  vertreten  werden,  wenn  die  Schraubenmutter  ein  aus- 
weichendes Mittel  ist. 

Die  weitere  Ausrechnung  der  Curvenelemente  ergiebt,  dass 

a  a 

dt  =  cos  t  .  il  tt,   d»  =  sin  t  .  d  u ;    q  =>  —     .  «,   r  —  .   .  u 

1  '    r      cos2«  SlUe  COSf 

U.     8.  W. 

Wie  beschaffen  ist  die  Evolutfläche?  Für  ihre  Rückkohrkante  oder 
für  die  Polcurve  bestehen  allgemein  die  Gleichungen 

*P  =  *  +  ¥-/'  +j£  •  '  etc. 

mithin  hat  man  in  dem  vorliegenden  Falle: 

—  xp  —  «tg*  «(cos«  -f-  Miinn) 

—  yP  =  otg*f(sin»  —  mcosm) 

'      2  °         ^         1   sin «  cos  e 

Die  Polcurve  ist  ebenfalls  eine  Schraubenlinie  eines  Kreisevol- 
ventencyl inders;  der  Radius  des  Evolutkreises  hat  den  Wert  (atg't) 
and  der  Steigungswinkel  ist 

'   -  2 

a 

Der  Anfangspunkt  liegt  diametral  gegenüber  und  um   . —    —  ober- 
°  sin  f  cos  e 

halb  der  ary-Ebene.    Die  Polcurve  der  Polcurve  befindet  sich  mit 

der  Urcurve  auf  demselben  Krcisevolventeucylinder  und  besitzt  mit 

ihr  den  gleichen  Steigungswinkel:  sie  ist  mit  der  ursprünglichen 

Curve  in  entsprechenden  Stücken  cougruent.    Die  correspondirenden 

u 

Punkte  haben  von  einander  den  constanteu  Abstand  dT— -  v ■ .  Sucht 

sin  «cos3« 

man  die  «te  Polcurve  der  Urcurve,  so  liegt  diese  mit  ihr  auf  dem- 
selben Kreisevolveuteucylinder  oder  auf  demjenigen  der  ersten  Pol- 
curve, je  nachdem  n  gerade  oder  ungerade.  Erwähnenswert  ist  noch 
der  specieile  Fall 

71 

'"4 


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$0  *"r  Kammer:  Zur  Theene  der  Curven 

dann  sind  alle  diese  Schraubenlinien  in  entsprechenden  Stücken  ein- 
ander congruent,  während  sie  sich  sonst  in  zwei  Gruppen  teilen. 
Die  Krümroungsmittelpunktscurve  der  Urcurve  hat  von  der  Polcurve 
in  entsprechenden  Punkten  den  constanten  Abstand 

dg  a 
rfir  sinecos2c 

Für  die  betrachtete  Schraubenlinie  ist  sowol  wie  auch 

da 

—  constant.   Es  lässt  sich  zeigen,  dass  diese  Eigenschaft  den 

Schraubenlinien  eines  Kreisevolventencylinders  allein  zukommt.  Aus 
den  beiden  Bedingungen 

folgt,  von  Specialfällen  abgesehen,  dass 

dir 

tgA  =  <=-  =  const. 

und  daher  nach  dem  Bertrand'. sehen  Satze  die  zu  bestimmenden 
Raumcurven  jedenfalls  isogonale  Trajectorien  der  Erzeugenden  einer 
gewissen  Cylinderfläche  sind.  Wählen  wir  das  Coordinatensystem 
so,  dass  die  z- Achse  mit  der  festen  Richtung  der  rectificirenden 
Geraden  zusammenfällt,  so  steht  die  Cylinderfläche,  auf  welcher  die 
gesuchten  Raumcurven  liegen,  senkrecht  zur  ary-Ebene,  und  es  han- 
delt sich  darum,  ihre  Leitcurve  oder  Basis  zu  finden.  In  der  an- 
genommenen Bezeicbnungsweise  ist  nun 

n  dz 
arccosA  —  ^  —  A   und   h  ==  ^  «=  sin  X 

Ist  y  —  f{x)  die  Gleichung  der  gesuchteu  Basis,  so  ist 
mithin 

cos  l 


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in  analytischer  Behandlungtweise.  31 
COS  A  .  f'(x) 

9  "  yf +[/•(«)]« 

Ä  =  sinIA 
Durch  Differentiation  erhält  man 

cos  A /•(*)/"(*)         .         cos  Ar  (*)      .      , ,  _ 

'      FFD^R1^^  ^-  fi+ [/*(«)] €/Ä  =  0 

folglich 

*  =  «»>■  •  n+pS],,^  •  vr+[7W 

Unterscheidet  man  die  Curvenelemcnte  der  Basis  durch  den 
Index  fc,  so  lehren  die  vorstehenden  Gleichungen,  dass  zwischen  den 
Elementen  einer  Schraubenlinie  und  der  Basis  ihrer  Cylinderflache 
allgemein  folgende  Beziehungen  stattfinden 

.  d*b        .  COSA  gb 


COSA1  (>6  v  "  COS*A 

Jede  dieser  drei  Relationen  ist  eine  Folge  der  beiden  anderen.  Der 
bequemeren  Schreibweise  wegen  werde  mit  o  der  Winkel  bezeichnet, 
den  die  Tangente  der  Basis  mit  der  «-Achse  einschliesst,  dann  ist 


9b  —  da 

Durch  Differentiation  von 

Qb  —  cos'A  .  Q 
□nd  unter  Berücksichtigung  der  Voraussetzung 

dx  e* 

gewinut  man  die  Gleichung 

dp»  —  e9  COSsA  .  da 

und  durch  Intogration 

Qh  =  c,  cos8A  .  a  -f-  C'| 

folglich  ist  auch 

<*«»  —  (c,COS*A  .  a+  C\)da 

und  da  ferner 

</*  —  coso  .  dsi, 

und 

dy  —  sin  er  .  dtb 
so  erhalt  man  die  Differentialgleichungen 


32 


zur  Kammer:  Zur  Theorie  der  Curven 


dx      cos  a  (ca  COS3*  .  «  -f-  C\)da 

Ulld 

dy  =  Bin  «(ejCOS'i  .  a  -j-  (\)det 

Ihre  Integralgleichungen  lauten 

«  =  (c8cos3A  .  «  -f-  6|)sina  +  e^cos'A  .  cos«  -f- 

y  —  —  (c,cos3A  .  «  +  CJcos«  -f-  *«cos3A  .  sin«  -f  C3 

Betrachten  wir  nun  anstatt  der  Basis  ihre  Evolute!  Für  deren 
rechtwinklige  Coordinatcn  A',  Y  bestehen  allgemein  die  Gleichungen 

X  ~  x  —  Qu  .  siner 

Y  «=»  J/-\-Qb  .  cos  ff 

Die  Einsetzung  der  gefundenen  Werte  ergiebt  daher,  dass 

A'  —  c3cos3A  .  cos«  +  Co 

und 

1' =  c2cos3A  .  sin  o  -f-  C3 

oder  schliesslich 

(A--Cs)l+(F-6'3)*  =  (c,cos3i)*  q.  c.  d. 

Ist  also  für  eine  Itaumcurvc  q  eine  lineare  Function  von  #  und 
und  von  x,  so  ist  sie  Schraubenlinie  auf  einer  Cylindcrfläche,  deren 
Basis  eine  Kreisevolvente  ist.  Hierin  ist  der  Puiseux'sehe  Satz  als 
Specialfall  enthalten,  dass  die  Schraubenlinien  mit  constantem  Krüm- 
mungsradius Krei8cylinderschraubculinien  sind. 

Beim  Begiuno  unserer  Betrachtungen  erwähnten  wir  die  Tat- 
sache: bei  der  ebenen  Evolvente  giobt  es  eine  ebene  Evolute,  und 
diese  ist  zugleich  Krümnningsmittelpnnktscurvo;  hier  am  Schlüsse 
mögen  einige  hierauf  bezügliche  Umkehrungen  Platz  finden.  Ist  eine 
der  unendlich  violen  Evoluten  einer  Curve  eben,  so  ist  auch  die 
Evolvente  eben,  und  diese  Evolute  ist  auch  Krümmungsmittelpunkts- 
curve.  Ist  die  Krümmungsmittelpunktscurve  eben,  so  kann  sie  zu- 
gleich Evolute  sein,  aber  es  ist  nicht  notwendig,  denn  dieses  tritt 
in  zwei  Fällen  ein: 

<W  =  0   und   d6~*  cos  1  </t 

Ist  die  Krümmungsmittelpunktscurve  eine  Geodätische  der  Evolut- 
fläche —  die  Evoluten  sind  geodätische  Linien  derselben  —  ,  so 
braucht  sie  deswegen  noch  nicht  zu  den  Evoluten  zu  gehören;  denn 
es  giebt  ausser  den  ebenen  eine  Gasse  von  doppelt  gekrümmten 
Curven,  welche  diese  Eigenschaft  besitzt.   Ist  aber  schliesslich  die 


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in  analytischer  Btkandlmugswtütt. 


33 


Krümmangsmittelpunktscurve  eben  und  eine  geodätische  Linie  der 
Evolutfläche ,  so  gehört  sie  zn  den  Evoluten,  und  die  ursprüngliche 
Cnrve  befindet  sich  mit  ihr  in  derselben  Ebene;  denn  dann  ist  dio 
Krümmungsmittelpunktscurve  nach  einem  Satze  aus  der  Flächen- 
theorie eine  Krümmuugslinie  der  Evolutfläche  und  schneidet  mithin, 
da  sie  zu  den  gradlinigen  Erzeugenden  nicht  gehören  kann,  die 
Krümmungsachsen  unter  dem  Winkel 

eine  Bedingung,  welche  die  ebenen  Curven  charakterisirt. 
Kiel,  im  Februar  1896. 


iMk  d.  Hall»,  a.  Vhj*.    2.  Itoibe,  T.  XV- 


3 


34 


Grae/e:  Strecken-  und  Punhrechnung, 


in. 

Strecken-  und  Punktrechnung,  inabesondere  die 
Rechnung  mit  parallelen  Strecken, 

(Quaternionen  Hamilton's  und  Un verzagt's). 

Von 

Prof.  Dr.  Fr.  Graefe,  Darmstadt. 


Die  von  Unverzagt  in  Programmen  und  in  seinem  Werke: 
„Theorie  der  goniometrischen  und  der  longimetrischen  Quaternionen, 
Wiesbaden  1870"  begründeten  Rechnungen  mit  parallelen  Strecken, 
mit  sog.  Quotientvectoren  habe  ich  weiter  ausgebildet.  Die  Quotient- 
vectorenrechnung  führt  zu  complexen  Zahlensystemen ,  die  u.  A. 
Weierstrass,  Schwarz,  Dedekind,  Höldcr,  Schur,  Study,  Scheffers  zu 
dem  Gegenstande  ihrer  Untersuchungen  gemacht  haben.  Die  sym- 
bolische Schreibweise  Hamiltons  und  seiner  Schule  (Tq,  Sq,  Vq  etc.) 
habe  ich  nicht  angewendet  und  ebenso  die  Namen  „Tensor",  „Sca- 
lar"  (nach  dem  Wunsche  Grassmanns)  vermieden.  Meine  Unter- 
scheidung von  „Strecke"  und  „Vector"  ergiebt  sich  aas  dem  Texte. 
In  dem  Abschnitte  „Anwendung  der  Gesetze  der  Addition  und  Multi- 
plikation paralleler  Strecken",  (der  uubeschadet  für  die  folgenden 
Abschnitte  übergangen  werden  kann) ,  habe  ich  u.  A.  nachgewiesen, 
dass  die  von  Unverzagt  aufgestellten  Coordinatensysteme  specielle 
Fälle  der  bekannten  Staudt-Fiedlor'schon  Systeme  sind. 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  S/recken. 


35 


Addition  und  Subtraetion  von  parallelen  Strecken. 

Wenn  man  eine  gerade  Linie  von  einem  Punkte  B,  dem  An- 
fangspunkte, nach  dem  Punkte  iV,  dem  Endpunkte,  zieht,  so  kommt 
der  geraden  Linie  BN  ausser  der  absoluten  Länge  eine  Richtung  zu, 
die  durch  Bewegung  eines  Punktes  in  gerader  Linie  von  B  nach  N 
bestimmt  wird.  Wenn  man  die  Linie  oder  Strecke  BS  an  Länge 
gleich  der  Strecke  BN  macht,  so  unterscheiden  sich  beide  in  der 
Richtung.  Die  gegenseitige  Richtung  ist  durch  den  Wiukel  NBS 
bestimmt.  Ist  der  Winkel  NBS  gleich  zwei  Rechte,  so  fällt  BS  mit 
BP  zusammen  und  die  Strecke  BP  ist  die  Strecke  BN  entgegen- 
gesetzt gerichtet.  Die  parallelen  Strecken  AM  und  BN  der 
Figur  1.  nennt  man  gleichgerichtet  und  die  Strecken  AM 
und  NB  entgegengesetzt  gerichtet.  Die  Strecken  bezeichnet 
man  in  Bezug  auf  Grösse  und  Richtung  mit  griechischen  Buchstaben 
o,  0,  y  und  deren  absoluten  Längen  mit  den  entsprechenden 
lateinischen  Buchstaben  a,  b,  <?.  Der  Anfangspunkt  der  Strecke  a 
and  der  Strecke  aM  ist  im  allgemeinen  mit  dem  entsprechenden 
lateinischen  Buchstaben  A  bezeichnet 

„Strecken  sind  nur  dann  gleich,  wenn  sie  denselben  Anfangs- 
..and  Endpunkt  besitzen,  d.  h.  wenn  sie  sich  decken.  Zwei  gleich- 
„lange,  parallele,  gleichgerichtete  Strecken,  die  nicht  denselben  An- 
fangspunkt haben,  sind  also  nicht  gleich,  d.  h  die  eine  Strecke 
.kann  nicht  statt  der  andern  gesetzt  werden". 

Unter  einer  Strecke  mc,  wo  m  eine  positivo  oder  negative  reelle 
Zahl  ist,  versteht  man  ferner  eine  solche,  die  mit  a  denselben  An- 
fangspunkt, dieselbe  oder  entgegengesetzte  Richtung  von  «  hat  und 
deren  Grössenverhältniss  zu  der  Längo  von  «  durch  denselbeu  Wert 
von  m  bezeichnet  wird.  „Parallele,  gleichgerichtete  Strecken  haben 
„die  gleichen  Vorzeichen  (-j-,  — ),  parallele  entgegengesetzt  gerichtete 

„Strecken  verschiedene  Vorzoichen".  Die  Strecke  ^hoisstEinhoits- 
strecke 


ein  Punkt  C  auf  der  geraden  Linie  AB,  so  sollen  für  dio 
Abstände  der  Punkte  dio  Gleichungen 


bestehen. 


AC+CB  —  AB,    AC=  —  CJ 
(zwischen  i 


Liegt  C  ^au880rnajDj  A  un(l  ßi  so  ist  das  Toilverhält- 

<p09it;.V'  und  ist  das  Teilverhaltnis,  so  liegt  0 

CD  (negativ,  (negativ, 


3G 


Graefe:  Strecken-  und  l^unktrtchnung, 


!7\viscllCD  \ 
ausserhalb!  A  und  Ä   Nimmt  man  AC,  CB  als  Repräsentanten 

von  Strecken,  so  gilt  die  erste  der  Gleichungen  a.  nicht. 

„Unter  der  Summe  der  parallelen,  gleichgerichteten  Strecken  « 
„und  ß  versteht  man  die  zu  ihnen  parallele,  gleichgerichtete  Strecke 
„y,  deren  absolute  Läugo  gleich  der  Summe  der  absoluten  Längen 
„von  a  und  ß  ist  und  deren  Anfangspunkt  C  den  Abstand  AB  im 
„umgekehrten  Verhältniss  der  Längen  von  «  und  ß  teilt". 

Es  ist  somit 

,  _  ,  AC  h 

«+|3  =  y,    a  +  b  =  c,    £jJ=a  1. 

Denkt  man  sich  den  Punkt  A  mit  der  Masse  a  und  den  Punkt 
B  mit  der  Masse  b  behaftet,  so  ist  der  mit  der  Masse  a+6  behaftete 
Punkt  C  der  Schwerpunkt  der  beiden  Punkte  A  und  B.  Den 
Punkt  A{B)  nennt  man  den  Schwerpunkt  der  im  Punkte  C  gelegenen 
Masse  («+*)  und  der  im  Punkte  B(A)  gelegenen  Masse  —i(-n). 
Man  kann  also  leicht  den  Schwerpuukt  von  positiven  und  negativen 
Massen  bestimmen. 

Die  Verknüpfung  «+£  genügt  den  beiden  Gesetzen  der  Ad- 
dition, dem  commutativen  Gesetze 

und  dem  associativen  Gesetze 

«  +  (£+<$)  =  (a+ß)  +  d  =  a  +  ß  +  ö  3. 

wenn  d  eine  Strecke  bezeichnet,  die  den  Strecken  a,  ß  gleichge- 
richtet parallel  ist.  Die  Formol  2.  folgt  aas  der  Erklärung  der 
Verknüpfung  und  die  Formel  3  aus  dem  Satze,  dass  drei  Punkte 
nur  einen  Schwerpunkt  haben. 

Was  die  Differenz  der  beiden  parallelen,  gleichgerichteten  Strecken 
y,  ß  (c  >  b)  betrifft,  so  muss  ihrer  Definition  nach  sein 


(y-ß)  +  ß-Y 

also 


y  —  ß  =  er,    c — b  =  a,  AC 


i  CB  —  b  i  e  -  h  | 


Diese  Gleichungen  sollen  für  jeden  Wert  von  b  und  c  gelten 
und  die  Definitionsgleichungen  der  Summe  der  beiden  Strecken 
y,  —  ß  sein.  Man  hat  also  die  Erklärung:  „dio  Summe  von 
„zwei  parallelen  Strecken  nun  und  nß ,  wo  m,  n  reelle  positive  oder 
„negative  Zahlen  sind,  und  ma  +  nb  von  null  verschieden  ist,  ist  eine 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


37 


„zu  ihnen  parallele  Strccko  von  der  absoluten  Längo  ma-\-nb,  die 
„mit  der  grösseren  der  beiden  Strecken  ma  und  nß  gleichgerichtet 
,,ist ,  und  deren  Anfangspunkt  C  auf  der  geraden  Linie  AB  so  ge- 
nlegen ist,  dass 

AC:  CB  —  nb  :  ma 

„oder  der  Schwerpunkt  aus  den  beiden  Anfangspunkten  der  Sum- 
..iti  and<  nstrecken  ist,  wenn  man  diese  Punkte  /l,  B  mit  den  Massen 
..ma,  nb  sich  behaftet  doukt.  Dieso  Verknüpfung  genügt  dem  com- 
..mutativen  und  associativeu  Gesetze". 

Leicht  ersichtlich  ist  die  Identität  diesor  Strcckensummation 
mit  der  Zusammensetzung  paralleler  Kräfte. 

Wenn  in  den  Gl.  4.  c  <=  b  ist,  so  ist  «  =  0  und  «  ist  eine  im 
(.'□endlichen  liegende  Strecke  von  der  Länge  null.  Aus  der  ersten 
Gleichung  4.  folgt,  dass  die  Ilinzufügung  der  Differenz  y  —  ß  zu  ß 
die  Streck©  ß  nach  y  parallol  verschiebt,  wobei  der  Punkt  B  die 
Strecke  BC  beschreibt 

Man  kann  y,  -  ß,  (b  =-  c)  ein  Streckenpaar  nennen. 

Aber  auch  durch  Addition  von  y—ß  zu  einer  Strecke  o,  die 
parallel,  gleichgerichtet  und  gleich  lang  der  Strecke  y  ist,  wird  die 
Strecke  a  parallel  verschoben,  wobei  der  Punkt  S  eine  Strocke  zu- 
nicklegt, die  parallel,  gleichgerichtet  und  gleich  lang  der 
Strecke  BC  ist  und  durch  Addition  von  y  —  ß  zu  einer  Strecke  —  o 
erhält  man  eine  Parallelvorscbiebung  der  Strocke  —  0,  bei  der  der 
Punkt  iS  eine  Strecke  beschreibt,  dio  parallel,  entgegengesetzt 
gerichtet  und  gleich  laug  der  Strecke  BC  ist.  Da  das  associative 
Gesetz  besteht,  so  ist 

-«+<y-ft  -  y~iß+*)  --[(/»+«) -y] 

§  mm  b  mm  0 

Es  ist  in  der  Figur  2. 

y  =  UC\    ß  -  BB\    o  =  88' 

Der  P  nnkt  D  ist  dor  Mittelpunkt  von  CS  und  Bl\  der  Punkt  E  ist 
der  Mittelpunkt  von  BS  und  CF";  die  Strocken  BC,  SF,  F"S  lind 
also  parallel ,  gleichgerichtet  und  gleich  lang.  Es  ist  leicht  nachzu- 
weisen, dass  ist 


ic  +  Y)  —  ß  -  DD'-BB'  -  FF'    r-iß+0)  -  CC'-EE'  -  F& 


33 


Graefe:  Strecken-  und  Punklrechnung, 


d.  h.  y—ß  ist  ein  Operator,  der  eine  Verschiebung  der  Strocko  SS' 
nach  FF'  und  der  Strocke  SSt'  nach  F"Fi  bewirkt 

Folgendo  Sätze  lassen  sich  leicht  beweisen: 

1.  Wenn  C  ein  beliebiger  Punkt  der  geraden  Linie  AB  ist  und 
«,  ß,  y  parallele  Strecken  mit  den  Anfangspunkten  A,  B ,%  C\  so 
lassen  immer  zwei  Zahlen  m  und  u,  die  nicht  beide  null  sind,  so 
bestimmen,  dass 

y  *=,  met  -f-  n/3,    e  — »  ma~\~nb  5. 

ist.    Es  ist 

ma-\-nß  =  ra-\-sß,    wenn    m  =  r,    r»  —  *    ist  5'. 

2.  Sind  vi,  ZJ,  C  drei  nicht  in  einer  geraden  Linie  liegende 
Anfangspunkte  von  drei  parallelen  Strecken  a,  0,  y  und  ist  ü  ein 
Puukt  der  Ebene  ABC  und  Anfangspunkt  einer  den  Strecken  a,  0, 
y  parallelen  Strecke  <5,  so  kann  man  drei  Zahleu  m,  »,  p  die  nicht 
sämtlich  null  sind,  so  bestimmen,  dass 

d  ss  ma-|- /jß-j-^y,    <i  =  «»«-{""^"hj'c  6- 

ist.    Es  ist 

roa-f- n/3-f/>y  —  ra  +  *jS  +  ty,    wenu    m  =  r,  n  —  8,  p  =~  t  ist  6'. 

3.  Sind  Ay  B,  C,  Z>  die  Ecken  eines  Totraeders  und  die  An- 
fangspunkte der  vier  parallelen  Strecken  «,  0,  y,  d,  und  ist  E  ein 
beliebiger  Punkt  und  Aufaugspunkt  der  Strecke  die  den  Strecken 
a->  ßy  ^  parallel  ist,  so  kann  man  vier  Zahlen  my  »,  ^  so  be- 
stimmen, dass 

e  =  7»«  -f-  nß -f- py + 'A   «  ™  »»« + + />«  +  ¥         '  7. 

Es  ist 

mn-\-nß-\-py-\-$  =-  r«+#jJ+ly+«Ä,    wenn  m  =  r,  n  =  *,  ;>  =  f, 

</  =  u  7'. 

Das  Tetraeder  ./i/JCZ)  heisst  rechtsweudig,  wenn  ein  mit 
Kopf  iu  A  'uud  den  Füssen  in  B  läugs  AB  liegender  Mensch,  der 
nach  der  Kaute  CD  hinsieht,  dio  Ecke  C  zur  Linken  uud  die  Ecke 
D  zur  Hechten  hat;  sieht  dagegen  der  so  liegende  Mensch  die  Ecke 
C  rechts  und  die  Ecke  D  links,  so  heisst  das  Tetraeder  links  wen- 
dig. Zwei  Tetraeder  habe«  gleichen  Sinn,  wenn  beide  rechts- 
woudig  oder  beide  liuksweudig  siud,  sie  haben  jedoch  entgegen- 
gesetzten Sinn,  wenn  das  eine  rechtswendig,  das  andre  liuks- 
wendig  ist. 

T 

Unter  dem  Verliültuiss  -~  von  zwei  Tetraedern  TH  und  IT,  von 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


39 


denen  T  nicht  null  ist,  versteht  man  die  Zahl,  die  das  Verhältniss 
der  beiden  Tetraederinhalte  misst,  mit  dem  positiven  Vorzeichen, 
wenn  sie  denselben,  mit  dem  negativen  Vorzeichen,  wenn  sie  ent- 
gegengesetzten Sinn  haben. 

Es  ist 

ABCD  BACD  ACBD  -  —  ABDC  8. 

wenn  ABCD  der  Inhalt  des  Tetradcrs  ABCD  ist. 

Die  Gegenseiten  der  Ecken        B\  C,  D  bezeichne  man  mit 

.4,  By  C,  D.  Der  Inhalt  des  Tetraeders  ABCD  sei  r,  die  Inhalte 
der  Tetraeder,  die  einen  Punkt  M  zur  Spitze  und  die  vier  Seiten  von 
T  zu  Grundflächen  haben,  seien 

Tv    T„    T3,  74 

Hit  Rücksicht  auf  den  Sinn  der  Tetraeder  gilt  allgemein  die  Glei- 
chong 

^  T       T      T  T 

y»    "f"  %p  ~f~  ~j,    "f*  rp :  1  9. 

Es  falle  der  Punkt  D  in  den  Punkt  C  und  der  Punkt  M  liege  in 
der  Ebene  ABC. 

Das  Dreieck  ABC  heisst  rochtswendig,  wenn  ein  von  A 
nach  B  sehender  Mensch  die  Ecke  C  zur  Linken  hat,  und  links- 
ten dig,  wenn  der  Sehende  die  Ecke  C  zur  Rechten  hat  Zwei 
Dreiecke  haben  gleichen  Sinn,  wenn  beide  rechtswendig  oder 
ünkswendig  sind-,  sie  haben  entgegengesetzen  Siun,  wenn  das 
eine  rechtswendig,  das  andere  linkswendig  ist.   Unter  dem  Verhält- 

aiss  ~  von  zwei  Dreiecken  versteht  man  die  Zahl,  die  das  Verhält 

niss  der  beiden  Inhaltsdreiecko  misst,  mit  dem  positiven  Vorzeichen, 
wenn  sie  denselben,  mit  dem  negativen  Vorzeichen,  wenn  sie  entgegen- 
gesetzten Sinn  habeu.  Wonu  Af  ein  Puukt  der  Ebeue  ABC  ist,  und 
{MBQ  den  Inhalt  des  Dreiecks  MEC  bezeichnet,  dann  gilt  mit  Ruck- 
licht auf  den  Sinn  der  Dreiecke  allgemein  die  Gleichung 

(MBC)      (MCA)  (MAB) 

(ABC)       [ABC)      (ABC)  1  iU* 

oder  kürzer 

4  +  4  +  4i  _  i  10'. 


40 


Graeft:  Strecken-  und  Puuktrechnung, 


Sind  die  nicht  in  einer  geraden  Linie  liegende  Punkte  ABC  die 
Anfangspunkte  von  drei  parallelen  Einheitsstrecken  a\  ß',  y'  und 
der  Punkt  M  der  Ebene  ABC  der  Anfangspunkt  einer  den  Einheits- 
strecken parallelen  Strecke  p,  so  ist 

Sind  ABCD  die  Ecken  eines  Tetraeders  und  die  Anfangspunkte 
der  vier  parallelen  gleichgerichteten  Einheitsstrecken  «',  ß'.  y\  6' 
und  ferner  M  der  Anfangspunkt  einer  den  Einheitsstrecken  paral- 
lelen Strecke  p,  so  ist 


Division  und  MuUiplication  ?on  parallelen  Strecken. 

Der  Quotient  von  zwei  parallelen  Strecken  er,  ß  (o  von  null  ver- 
schieden) 

13. 

soll  eindeutig  bestimmt  sein.  Aus  dieser  Gleichung  folgt  zur  Er- 
klärung der  MuUiplication  die  Gleichung 

q  .  tt  -  £  «  -  ß  14. 

Der  Quotient  q  hoisst  nach  Unverzagt  eine  longimetrische 
Quaternion1).  Da  diese  Quotienten  eindeutig  bestimmt  sein 
sollen,  so  bat  die  Gleichung 

?  -  ß  15. 

in  Bezug  auf  die  Unbekanntem  nur  eine  Auflösung,  die  man  erhält, 
wenn  man  beide  Seiten  mit  o  multiplicirt 


Es  ist  also 


I)  Unverzagt:  „Theorie  der  goniemetritchen  etc.  Qunternionen,  Wieg- 
enden 1876".    Unvenagt  führte  die  Reehnung  mit  parallelen  Strecken  ein. 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  paraHelen  Strecken. 


41 


a  a 

Sind  die  Strecken  a  und  ß  a)  gleichgerichtet,  so  folgt  aus 
der  Gleichung  14.,  dass  die  Strecke  o  durch  Multiplication  mit  dem 
Quotienten  q  in  die  Strecke  ß  übergeiührt  wird;  um  dies  auszuführen 
ist  erforderlich:  1)  dass  die  Länge  «  ?on  «  verwandelt  wird  in  die 
Lange  b  von  0,  d.  h.  es  muss  a  entweder  gestreckt  oder  verkürzt 
werden,  bis  es  so  gross  ist  wie  0,  2)  dass  a  parallel  verschoben  wird 
bis  ein  Anfangspunkt,  der  die  gerade  Linie  AB  beschreibt,  in  den 
Anfangspunkt  B  von  ß  fallt.  Sind  die  Strecken  «  und  ß  ^entgegen- 
gesetzt gerieb  tot,  so  wird  die  Strecke  «  durch  Multiplication 
mit  dem  Quotienten  q  in  die  Strecke  ß  übergeführt;  um  dies  jedoch 
auszuführen  ist  es  erforderlich:  1)  dass  die  Strecke  a  in  einer  Ebene, 
die  die  Strecke  a  enthält,  um  den  Anfangspunkt  um  272  gedreht 
2)  dass  die  Länge  a  von  a  verwandelt  wird  in  dio  Länge  b 


tob  0,  3)  dass  die  Strecke  —  -a  parallel  verschoben  wird  bis  ihr 

Anfangspunkt,  der  die  gerade  Linie  AB  beschreibt,  in  den  Anfangs- 
punkt ß  von  ß  fällt. 

d 

Gesetzt  qx  «=  6  und  y  zwei  parallele  Strecken,  wäre  ein  Quo- 
tient, der  mit  a  multiplicirt,  diese  Strecke  «  nach  ß  überführe.  Dazu 
ist  nötig,  um  kurz  zu  sprechen,  dass  </,  1)  die  Strecke  «■  um  den- 
selben Winkel  (Ord.  27?)  wie  q  drehe,  2)  in  demselben  Verhältniss 
wie  q  die  Strecke  o  an  Länge  verändere  und  3)  um  dieselbe  Länge 
AB  wie  q  die  Strecke  «  parallel  verschiebe.   Mau  kann  daher  setzon 

.      ß  6 
q*~qi   oder   -  -  - 

wenn  ist 

b  d 

-  —       AB  gleich  und  glcichstimmig  parallel  mit  \  \q 

(AB#  CD)         CD,  6,  y  gleichgerichtet  (entgegengesetzt 

gerichtet)  bei  gleichgerichteten  (entgegen- 
gesetzt gerichteten)  0,  a. 


ß 

Der  Quotient  -  dreht  um  denselben  Winkel  (0  oder  2R, ,  ver- 
schiebt parallel  und  streckt  oder  verkürzt  durch  Multiplication  nicht 
nnr  die  Strecke«,  sondern  jede  Strecke  im  Räume.   Man  kann 
nämlich  nach  den  Gl.  16.  machen 


42  Ciraefe:  Strecken-  und  Punktrechnung. 


also  ist 

Nimmt  man 
so  ist 


er  y 

ß  <* 

S  •  *  -  j  •  r  -  1  17- 

y  =  mer,    i  =  m|5 
0  mß 


ß  a  (ß      \       mß  mßa  ßrt 

o  \o      /        ß  a  et 

und  man  kann  setzen 

5     m/1     yw  0 
m  -—==——-  i»  18. 
er       a         et  a 

Diese  Gleichung  setzt  fest,  dass  für  dio  Multiplication  einer  Zahl- 

ß 

grösse  m  mit  einem  Quotienten  -  die  Gesetze  der  Multiplication 
und  Di?ision  mit  Zahlen  gelten. 

Aus  der  Gleichung  16.  folgt,  dass  je  zwei  parallele  Radien  zweier 
cxcentrischcn  Kugeln  denselben  Quotienten  und  jede  Seite  eines  ge- 
raden Cylindcrmantels  mit  seiner  Axo  einen  anderen  Quotienten  be- 
stimmen. 

Diu  Quotienten  p,  g,  r,  9  .  .  .  von  je  zwei  parallelen  Strecken 
kann  man  nach  don  Gleichungen  16.  auf  denselben  Dividenden  oder 
auf  dcnselbon  Divisor  roduciren.   Man  kann  setzen 


ß  Y  « 


.  •  .  .  j 


10. 


a  a  et  1 


die  Strecken  «,  ß,  y,  d,  *,  X,  v  sind  parallel,  und  es  ist 
AB  #  L^4,    yIC  #  Z^,    AE  #  2M 

b      a     c       a     c  a 

—    «■   —         —     j    —  ssa  — • 

a      b"    a      da  n 
Es  sind  die  Strecken  0  und  A,  y  uud  <5,  *  uud  v  etc.  gleichgerichtet. 
Es  ist 


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insbesondere  die  Rrchnuny  mit  parallelen  Strecken.  43 

'  =  %    '      *    LC-DB  ) 

»  ff       /  «'  f 

also  )  19'. 

ß-T  \ 
6  A 

Um  in  Uebereinstimmaog  mit  den  Lohron  der  Arithmetik  zu 
bleiben,  nimmt  man  an,  dass  ist 

20. 

Diese  Annahmo  bedeutet  nichts  anderes,  als  dass  man  in  dem  Product 

se-)-c-  o- 

das  associative  Gesetz  gelten  lässt,  d.  h  dio  Ueborführung  von  p 
in  a  und  dann  von  «  in  ß  ist  gleich  der  Ueberführung  von  p  in  ß. 

Nach  den  Gleichungen  19.  ist 

ß     a      ß  y     a  y 

Pq  "  a  *  d  =  d»     2^  "  «  *  Ä  ~  A 

mithin  nach  den  Gleichungen  19'. 

pq  —  gp  21. 

Zieht  man  DM#  bA  und  bestimmt  die  Zahl  m  so,  dass  ist 

c  d 
a  m 

so  ist 

d 

Es  ist  also 
mithin 

(V<l)r  -  p(qr)  22. 
Aus  den  GleicUungcn  19.  erhält  man  ferner 

Nimmt  man  ?on  „der  Summe  zweier  Quotienten  mit  denselben 
^Nennern  an,  dass  sie  gleich  der  Summe  der  Zahler  dividirt  durch 
„den  gemeinschaftlichen  Nenner  ist",  so  ist 


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44  Crae/e:  Strecken-  und  Punktrechnunff. 


ß    ,    B  +  «       ß        f  ß+t 

a  et 

und 

pq  -f  rp  -  (p  -f  r)q 


Nach  dor  letzten  Gleichung  ist 

■ 

&»+*•)(«+»)  =p(q  +  s)-\-r(q  +  s)  ~  (5  +  *)/>  +  (<Z  +  *V 

-      +  V  +     +  w  —  7><Z  +  P*  +  rtf+™  24 
Untor  dem  Quotienten 

x  =  2  25. 

hat  man  einen  solchen  Quotienten  x  von  zwei  parallelen  Strecken 
zu  verstehen,  für  den  ist 

xq  =  p  25'. 

oder 

a  a 

Es  besteht  somit  die  Gleichung 

ß 

ß  « 


26. 


„Das  Product,  die  Summe,  der  Quotient  von  zwei  Quotienten 
„paralleler  Strecken  ist  wieder  eiu  Quotient  von  parallelen  Strecken. 
„Für  die  vier  Gruudrechnungen  dor  Quotienteu  von  parallelen 
„Strecken  gelten  im  allgemeinen  die  Gesetzte  der  Arithmetik  (nach 
„Gl.  20.  -  26.)". 

Sind  die  Strecken  a,  0,  c  gleichgerichtet  parallel,  und  liegt  A 
so  zwischen  B  und  £,  dass  ist 

EA  :  AB  =  6  :  e 

so  ist 

ß+i  mm 

 —  —  -»  m,    ma  -»  0  ■+■  * 

a  a  1 

d.  h.  der  Quotient  — ist  eine  reelle  Zahl.   Es  ist  die  Summe 

zweier  Quotienten  eine  reelle  Zahl,  wenn  der  gemeinschaftliche  Di- 
visor seinen  Anfang  im  Schwerpunkte  der  Strocken  des  Dividen- 
den hat. 

Sin  d  ß',  i'  zwei  gleich  lange,  gleichgerichtete  parallele  Strecken, 


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intbexondcre  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


45 


so  ist  in  dem  Quotienten  "    v    der  Dividend  eine  im  Unendlichen 

liegende  Strecke  von  der  Länge  null  oder  ein  Operator,  der  zu  einer 
anderen  parallelen  Strecke  addirt  diese  parallel  verschiebt  Addirt 

man  diesen  Quotienten  zu  einem  anderen  Quotienten        so  erhält 

x 

man  einen  Quotienten  ->    dessen  Dividend  dieselbe  Länge  wie  y 

hat.  Liegt  ferner  A  in  der  Mitte  von  Bb  und  ist  a'  gleichgerichtet 
and  gleichgross  den  Strecken  ß\     so  ist 

Es  ist  >  nicht  gleich  -„  es  besteht  also  die  Gleichung 
nicht. 

ö'— e'  (ß'  —  *'\* 

Obgleich    ~,     nicht  null  ist,  so  hat  (~    ,    )   den  Wert  null. 

Auf  der  geraden  Linie  AB  sei  E  der  Mittelpunkt  von  DD  und  D 
der  Anfangspunkt  einer  Strecke  d\  die  den  Strecken  .•>•'  parallel, 
and  an  Länge  gleich  ist. 


Es  ist  also  ferner 


and 


«'     ß'    *'  d" 


(• *  ~  a  )        (a)  +  (a')  "~2  a'  *  a' 


27. 


Diese  Quotienten  haben  mithin  dieselben  Eigenschaften  wie  die 
alternirenden  Zahlen  Uaukels  und  das  änssero  Product  Grassmanns, 
4ass  ein  Product  zu  null  werden  kann,  ohne  dass  die  Factoren 
..null  9indu. 

Es  ist  ferner 


46  Grat  ff.  Strecken-  und  Punktrrchnuwj, 

also 

er-©- 

Diese  Gleichung  kann  man  auch  wie  folgt  ableiten.    Man  hat 

•-,«■■  -Qv 


und 


daher 


2 

Ferner  ist  noch 
< 


mithin 

Allgemein  erhalt  man,  wenn  n  eine  positive  ganze  Zahl  ist 

(?)"-'  'Q-(--l)  27". 

Diese  Gleichung  kann  als  Dcfinitionsgleichung  golton,  wenn  »  eine 
beliebige  reelle  Zahl  ist. 

Es  seien  A,  B,  C\  D  die  Eckpunkto  eines  Parallelogramms, 
dessen  Diagonalen  ACy  BD  sich  im  Punkte  E  schneiden.  Die 
Strecken  o',  ß\  y\  d\  e'  seien  parallel,  gleichgerichtet  und  gleich- 
gross.   Es  ist 

ß'     y  y'  *' 

qi  =  *'  ™  J"    9*  =  Jf1  "  a"        =  2^-1'  **  ~  2?*~* 

,  l  .28'. 

also 


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inxbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


47 


Man  hat 

Cft-l>(«i  +  l)-äK«f-l),  («t-l)(«t  +  l)-2fa,-l>  28". 
Aas  dieser  Gleichung  folgt  nicht 

■fc  -  +  K&«  +  1) 

Ferner  ist 

(9i9i)*  -  2^5,  —  1 

Bezeichnet  man  mit  53,  <j4,  </5  .  .  .  qp  .  .  .  die  Quotienten  von 
je  gleich  zwei  gleichgerichteten  parallelen  Strecken,  die  dieselben 
absoluten  Längen  wie  die  Strecken  ß\  y'  haben,  so  bestehen  die 
Gleichungen 

<Tp  —  «7p  —  («  —  1),    9»«9p  —  5m  +  9p  -  lj    V»  ~  9p)*  —  0 
Es  ist  also 

fiSa'fe  —  (9i9*)9s  ™  (9t  +9i  — 1)9.1  ™  9i9a  +3«  5s  —  9s 
—  9i+9i  +  9a  —  2 

and  allgemein 

9i5s9s94-  •  •  9p—  9i+9i  + 9s  +  •  ■  -9p— P+l  28. 

Es  ist  qt  ein  Factor,  der  eine  jede  Strecke  im  Räume  durch 
Multiplication  nm  die  Länge  AB  in  einer  Richtung  verschiebt,  die 
parallel  und  gleichstimmig  mit  AB  ist  oder,  der  Quotient  aus  zwei 
parallelen  gleichgerichteten  Einheitsstreckon  ist  gleich  dem  durch  sie 
bestimmten  Verschiebungsfactor.   Bezeichnet  man  daher  qt  mit 

(i,  /?),  80  ist 

f,  -  (B,  O,    qlQt  =  {Ä%  B)  (B,  C)    und    (Z?,  C)  (i,  Z>)  -  (i,  C) 

28". 

Diese  Formel  sagt  aus,  dass  die  Folge  von  zwei  Translationen 
verschiedene/  Richtung  aequivalent  einer  einzigen  Translation  ist,  die 
nach  Grösse,  Richtung  durch  die  dritte  Seite  eines  Dreiecks  bestimmt 
ist,  dessen  andre  Seiten  aus  den  gegebenen  Translationen  nach  Grösse 
and  Richtung  construirt  werden  können;  die  Ordnung  der  Trans- 
lationsfolgen ist  beliebig. 


Die  Einheitsstrecken  <*',  0',  /r  d'.  .  .  seien  gleichgerichtet  pa 
rallel.    Es  ist  dann 


48  Grat  fei  Strecken-  und  Punktreehnung, 

ß  bß' 

-  =  (—1)"  -  an   a  und  b  positive  Zahlen  29. 

wo  «  eine  gerade  Zahl  bedeutet,  wenn  die  Strecken  ß,  «  gleich- 
gerichtet, und  «  eine  ungerade  Zahl  ist,  wenn  dieselben  Strecken 
entgegengesetzt  parallel  sind. 

Die  Anfangspunkte  A,  B,  C,  D,  E  der  Einheitsstrecken  <*',  ß\ 
y',  d\  e'  sollen  in  einer  geraden  Linie  liegen,  und  es  sei  der  Punkt 
A  der  Mittelpunkt  von  DB  und  von  EC.   Es  ist  dann 


also 


.         fi      b  f      Ämo'-fpy'      ä  /  .  y'\ 
a      a  a       a        «  a  V  *  / 

Da  ferner 

■ 

ist,  so  ist 

Mit  Hilfe  der  Formeln  11.  und  12.  kann  man  dem  Quotienten  £die 
Formen 

geben.  In  der  Gleichung  30".  ist  zu  beachten  ,  dass  die  Anfangs- 
punkte der  Strecken  p,  «,  0,  y  in  einer  Ebene  liegen  und  die  An- 
fangspunkte der  Strecken  a,  0,  y  die  Eckpunkte  eines  Dreiecks 
sind;  die  Anfangspunkte  der  Strecken  «,  /?,  y,  d  der  Formel  30"'. 
siud  die  Ecken  eines  Tetraeders. 


Um  das  Product  zweier  parallelen  Strecken  durch  den  Quotienten 
dieser  Strecken  auszudrücken  nimmt  mau  an,  dass  die  Gloichuug 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  49 

(f«)«-0.- J.«  31'. 

besteht,  und  dass  abgesehen  vom  Vorzeichen  «*  gleich  o»  ist, 
Hamilton  setzt 

a*  =  -  «* 

ich  setze 

wo  #  eine  gerade  oder  ungerade  Zahl  ist 
Nach  den  Gleichungen  30.  ist 

ßa  -  (-1)«+-  ab  ff     aß  -  (-l)"+*aÄ  J-     (-0)  «-«-«) 

„Das  Product  von  zwei  parallelen  Strecken  ist  nicht  commu- 
„tati\ .  d.  h.  es  ist  ßa  nicht  gleich  aß." 

Setzt  man  in  den  Gleichungen  30. 

AC  -  1 

so  ist 

ßa  (_l)M«a//4  =  (— l)«+«aÄ  (l  —  AB  +  AB  32'. 
Man  setzt 

tfa{  —  (— .  (1-  AB),    [ßa]  -  (-l)»l'ab  .  yl/i  *  32". 

Das  Product  {0a}  heisst  Scalar  und  das  Product  [0«]Vector  des 
Productes  ßa. 

Liegen  die  Punkte  DK  auf  der  geraden  Linie  AB,  so  ist 
xd  =  (-1)*  W*     -  Dtf  +  DK  Q 

und 

xi  —  (— —  AB)  +  (—  l)*+«<ft(l  —  DJ) 

+  ((-l)M+*  •      +     l^t'Dj)*-,  32'" 
Der  Scalar  dieses  Productes  ist 

Arch.  d.  Math.  u.  Pbjri..   2.  R.ihe,  T.  XV.  4 


32"". 


50  Graefel  Strecken-  und  Punktrechnung, 

\ßa  +  x<3|  =-  (— l)»+-oft(l--il£)-f(--l)"4«dfc(l  -DK) 

=  \ß«\  +  M 
und  der  Vector  des  Productes  ist 

[ßa  +  x3]  -  ((-1)«+»  AB+  (-1)"  I  •  (  ~\)^'DK 

-  r« + mj 

Wenn 

/Scr  —  xfl 

so  ist 

{x<5},  32V. 
Der  Scalar  ist  eiue  reelle  Zahl.   Es  ist 

ifl«-(-l)'6ff  (nM-nJM,  [0aJ=<>,  [«W-n|>«]  32™. 
wenn  n  ein  Zablfactor  ist. 


,Das  Product  [ßa]  äudert  seinen  Wert  nicht ,  weun  man  einen 
„Factor  um  eiu  Vielfaches  des  andern  vermehrt;"  es  gilt  die 
Gleichung 

[/?(«+  nß)\  =  Vß  +  m*)a]  -  [ßa]  32™. 

Um  diese  Formel  zu  beweisen,  mnss  man  nachweisen,  dass  die 
Gleichungen 

(«  +  (*)y  -  ay  +  ßy  33. 

bestehen.   Aus  der  Gleichung  30.  ergiebt  sich 

«ß  +  ßa  =  (— l)»»«2o*  35. 
und  die  Gleichung  31.  giebt 

•r + fr  =  (-!)•    + (-  D*  £  *  -  (- 1)' a  ~~  ?l 

-  («  +  M  y  3:i. 
Sind  die  parallelen  Strecken  «,  0,  y  gleichgerichtet,  so  ist 

r(«+0)+(«+P)r-<-*)-     +*)  -  (—  D-  2«« + <- 1)*  2^ 

-  ay  +  ya+ßy+yß 

also 

y(«  +    =  y«  +  y0  34. 

Setzt  man  iu  dieser  Gleichung  a-j-ß  —  «,  so  ist 

y[  -»  fft  -|-  y(f  _  «) 

also 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  51 

y(t  —  a)  =  yi  —  yct 
-  y(B  -o)  =-  y(a  -  c)  -  ya  -  y* 

Die  Gleichung  34.  gilt  mithin  für  gleichgerichtete  und  entgegen- 
gesetztgerichtete parallele  Strecken.  Aus  den  Gleichungen  33.  uud 
34.  erhält  man 

ß(a  -f-  nß)  =  ßa  -f  (—  1)»  n6*     (0  -f  mo)  a  -  /Ja  -f  ( -  1)«  ma» 

und  hieraus  die  Gleichung  32VH. 

Aus  den  Gleichungen  33.  und  34.  folgt,  dass  das  „distributive 
„Gesetz  für  Producte  von  parallelen  Strecken  in  der  Form 

(ö-f-0)  (y-H)  =  ay  +  aö+ßy  +  ßö  36. 

„gültig  ist."   Für  drei  Factoren  kann  man  leicht  die  Gleichung 

<««(?  +  *)  -  («ß)Y  +  («ß)*  37., 

beweisen.  Die  Anfangspunkte  K,  D,  C,  £  der  gleichlangen,  gleich- 
gerichteten, parallelen  Strecken  x',  6\  y\  «'  seien  die  Ecken  eines 
Parallelogramms,  der  Anfangspunkt  einer  den  Strecken  x*,  ö'  paral- 
lelen, gleichlangcn  und  gleichgerichteten  Strecke  a'  liege  in  der  Mitte 
▼on  EK  und  ebenso  der  Anfangspunkt  B  einer  Strecke  ß\  die  pa- 
rallel, gleichlang  und  gleichgerichtet  den  Strecken  x',  d'  ist,  sei  der 
Mittelpunkt  der  Seite  DC.    Es  ist  also 

o'  l'  x'  y'  *' 
ß'  "  y'  =  d"    £'  "  y' 

f '  +  x'  a' 
f  +  *'  "  j* 

und 

$  r  +  f  «'-»'+«'-  $  jjqp  <r' + *')  -  £  (r1  + «') 
•'/-.'-£«•  oder  pay  -  tff v 

also 

+  («-«r  -  («■«  <r'  + *')  -  iit  +  37'. 

Sind  a,      c,  «/  positive  oder  negativo  Zahlen,  und  setzt  mau 
a  —  ao',    0  -  Ä/J',    y  =         <J  =  <ld' 

so  ist 

-ßr+         |<«'  +  *0 

Ferner  ist 

4* 


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52  Grat ftx  Strecken-  und  Punktrechnung, 

et'  cy'  tl%'  dd' 
a'  ~  ~p  '     «'  =  ß' 

also 

et  +  <**'--'  ^      «  - 

und 

Aus  der  Gleichung 

oder  («W  -  (y'0V 

folgt 

(«/?)y  =  (yp)«  3Ö- 

es  ist  mithin  auch 

und  daher  besteht  die  Gleichung 

der  mau  die  Form  37.  gehen  kann.  Aus  dieser  Gleichung  kann 
mau  noch  die  Formel 


y(aß  +  ßa)  -  (y«)  ß  -f-  (yß)  a  -  (-  1)«  2y  «fe  39. 
ableiten.   Man  hat 


(o'jSV  +  (^«4)y  -(-i)-  2/ 

also 

(«0)y  +  (0a)y  ~  (-  iy  2y'abr 
nach  der  Formel  35.  ist 

(aß  +  ßa)y  =-  y(«£  +  |Ja)  =-  (-  1)'  2y'«4c 

mithin  ist 

y(aß  +  ß«)  =  («ß)y  +  (ß«)y  \  y*. 

Lässt  man  noch  das  associative  Gesetz 

«ißY)  -  («ß)Y  -  «fr  40- 

gelten,  so  kann  man  in  der  Formel  39'.  nach  dem  distributiven  Ge- 
setz multipliciren.  Es  gilt  für  das  Product  y(«j3-f-0«)  das  distributive 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  53 

Gesetz  auch  dann,  wenn  man  annimmt,  dass  das  Product  a'(«Y) 
gleich  einer  Strecke  (—  l)*(»»£f-j-(l  —  mW)  ist,  wo  m  entwedei» 
gleich  der  Längeneinheit  oder  kleiuer  als  die  Längeneinheit  ist 
nimmt  man  m  =  1.  so  gilt  das  assoziative  Gesetz. 

leb  nehme  das  associative  Gesetz  an;  es  ist  daher 
•'(ß  y')  =  {*'ß')f  -  (y'ß'W  =  y'(ß'«') 

also 

i'      v'  9* 

y'       =      y'  =       y'  =,  tf' 

Man  bat  also  die  Gleichungen 

(«0)y  =-  (y0)«*  =  a(ßy)  ~  y(ßn)  =  (- !)*+'• 

(y*)0  =  (0«)y  -  y(aß)  ~  0(ay)  -  (-1)«+«  aZ*|' 

Die  Seiten  des  Dreiecks  EZX  gehen  durch  die  Punkte  ABC 
und  sind  den  Seiten  des  Dreiecks  ABC  parallel ;  die  Punkte  ABC 
sind  die  Mittelpunkte  der  Seiten  EZ,  ZX  und  XE. 

„Das  Product  paralleler  Strecken  ist  wieder  eine  Strecke, 
n  die  Anzahl  der  Factoren  ungerade  ist/4 


Anwendung  der  Gesetze  der  Addition  und  Multiplication 

paralleler  Strecken. 

Im  Folgenden  soll  kurz  gezeigt  werden,  wie  man  mit  Hilfe  der 
gegebenen  Sätze  Aber  die  Verknüpfungen  von  parallelen  Strecken, 
in  der  Ebene  Punkte,  gerade  Linien  und  Curven  und  im  Räume 
Punkte,  Ebenen,  Flächen  und  Curven  bestimmen  kaun. 

Die  (für  die  Ebene  und  den  Raum)  zu  Grunde  gelegten  Coor- 
dinatensysteme  bilden  specielle  Fälle  der  bekannten  Staudt-Fiedler- 
§chen  Systeme. 

Die  Ecken  des  Coordinatendreiecks  seien  A^A^  und  die  der 
Ecke  Am  gegenüberliegende  Seite  sei  «».  Der  Einheitspunkt  E  hat 
die  Entfernung  eH  von  der  Seite  a«.  Wenn  die  Abstände  eines  be- 
liebigen Punktes  von  den  Seiten  nn  mit  pn  bezeichnet  werden,  so 
•iennirt  die  Gleichung 


54 


Grae/e:  Strecken-  und  Punktreehnunq, 


41. 


die  Coordinaten  des  Punktes  P:xu  **i  «V 

Fällt  der  Punkt  A3  mit  dem  unendlich  fernen  Punkte  zusam- 
men, so  sind  die  beiden  geraden  Linien  AXA^  A^A^,  die  Axeu  des 
Systems,  parallel.  Zieht  man  PP3'  und  EE'S  parallel  den  Axcn 
und  nimmt  man  an,  dass  ist 


Man  kann  als  Coordinaten  eines  Punktes  P  den  axeu- 
Parallelen  Abstand  P3' P  desselben  von  der  Mittellinie  AyA^ 
betrachten  in  Verbindung  mit  dem  Verhältniss,  (in  dem  der 
Fusspunkt  /y  die  Strecke  AxAt  teilt1.)  :  P,M2, 

Auf  der  geraden  Linie  AXA^  soll  die  Richtung  von  Ax  nach  .-1, 
als  die  positive  gelten,  und  auf  den  geraden  Linien  parallel  E',  E 
soll  die  Richtung  E\  E  positiv  genommen  werden. 

Die  von  der  Ecke  AM  des  Dreiecks  gezogene  Höhe  sei  mit  A„ 
und  der  Abstand  der  Ecke  AH  von  der  Linie  LM  sei  mit  nH  be- 
zeichnet. Die  „Coordinaten  der  geraden  Linie"  LM:  un  ua,  «3  ge- 
nügen der  Gleichung  *) 

et7ti     €»n*     fZnA  .n 

N|  :  »s :  «3  =    .  -  :      -  :    ,  -  42. 
A,        As  Ä3 

Geht  diese  gerade  Linie  durch  den  Punkt  P,  so  ist 


Die  gerade  Linie  LM  schneidet  die  Seite  AXA^  im  Punkte  M 
und  die  Seite  A^A^  im  Punkte  N.  Fällt  der  Punkt  A3  mit  dem  un- 
cudlich  fernen  Punkte  zusammen  und  ferner  der  Puukt  P  auf  den 
Punkt  M,  so  ist  nach  den  Gleichungen  41'.,  42'.: 

1)  Dieses  Coordinaten system  behandelt  Unrerzagt  im  Jahresbericht  über 
das  Realgymnasium  zu  Wiesbaden  1871:  „Heber  ein  einfaches  Coordinaten- 
system  der  Geraden."  Unverzagt  bemerkte  nicht,  dass  es,  wie  auch  das  ent- 
gprechende  räumliche  Coordinatensystem ,  einen  speciellcn  Fall  des  Staudt- 
Fiedler'schcn  Systems  bildet. 

2)  Vgl.  u.  A. :  Gundellinger :  „Vorlesungen  aus  der  analytischen  Geome- 
trie der  Kegelschnitte."    Leipzig,  B.  G.  T^ner.    1895.    p.  5. 


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so  ist 


41'. 


■»1*1  +  +  «3*3  «=»  0 


42'. 


insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


55 


u,      At  M 
"  «s  D  AiAt 

lässt  man  den  Punkt  P  mit  den  Punkten  N  zusammenfallen ,  so  er- 
balt man 

Die  Coordinaten  der  geraden  Linie  genügen  daher  der  Relation 

»,  :  u,  :  «3  =  ^,AT:  ^iV :  ,4,^  42". 

Die  von  der  geraden  Linie  Z.3f  auf  den  Axen  bestimmten 
Längen  AtAf  und  kann  man  als  die  Coordinaten  der  ge- 
raden Linie  LM  nehmen  (s.  Fig.). 

Die  Coordinaten  eines  Punktes  P  in  Bezug  auf  das  Coordiuaten- 
system.  dessen  Axen  A1Pi\  A^P'  sind,  und  dessen  Mittellinie  AtAt 
ist,  bezeichnet  man  mit  x,  yy  so  dass  ist 

Die  Coordinaten  einer  geraden  Linie  LM  in  Bezug  auf  dasselbe 
Coordinatensystem,  bezeichnet  man  mit  u,  v\  es  ist 

n  =  AtM,    r      .4siV  44. 

Liegt  der  Punkt  P  auf  der  geraden  Linie  LM,  so  ist 

u  4-  rx 

Nimmt  man  die  Grössen  ",  v  als  gegeben  an,  so  liegen  alle  Punkte, 
deren  Coordinaten  j-,  y  der  Gleichung  45.  genügen,  in  einer  geraden 
Linie,  deren  Coordinaten  die  gegebenen  Werte  u,  v  haben.  Wenu 
dagegen  die  Grössen  x,  y  gegeben  sind,  so  gehen  alle  geraden  Linien, 
deren  Coordinaten  u,  v  die  Gleichung  45.  erfüllen,  durch  den  Punkt, 
dessen  Coordinaten  die  gegebenen  Werte  x,  y  haben.  Im  ersten 
Falle  ist  45.  die  ,, Gleichung  der  geraden  Linie,  deren  Coordinaten 
u,  r  sind44,  nnd  im  zweiten  Falle  ist  45.  „die  Gleichung  des  Punktes, 
dessen  Coordinaten  x,  y  sind14.  Die  allgemeine  Gleichung  ersten 
Grades  zwischen  u  und  v, 

Au  +  Bv  +  C-  0  46. 

stellt  einen  Puukt  dar,  desseu  Coordinaten  sind 

B  C 
■-J-   *--2+ß  46'. 


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56  Graefe:  Strecken-  und  Punktrechnuny, 

Die  zwei  geraden  Linien,  die  die  Coordinaten  ul%  »?,;  u,,  »2  haben, 
schneiden  sich  in  dem  Punkte,  dessen  Coordinaten 


sind,  und  dessen  Gleichung  >  47. 


U        t*|        m2  —  w, 


I 


ist;  durch  diesen  Punkt  gehen  die  geraden  Linien,  die  die  Coor- 
dinaten 

U  —  t<1  (1  —  0  -|-  Mg/,    t»  =  vx  (1  —  0  -f  vtt  47'. 

haben;  der  Parameter  t  kann  alle  möglichen  reellen  Werte  haben. 

Die  beiden  geraden  Linien  bestimmen  einen  Winkel,  dessen  go- 
niometrische  Tangente  abgesehen  vom  Vorzeichen  und  unter  der 
Voraussetzung,  dass  die  Axen  senkrecht  auf  AtAt  sind, 

Die  beiden  geraden  Linien  sind  mithin  senkrecht  aufeinander,  wenn 

(«,  -  v2)  („,  -  n)  =  -  1  48'. 

und  parallel,  wenn 

ut  —  "i      vt  —  vi  48". 

Die  gerade  Linio,  deren  Coordinaten  v,  u  sind,  schneidet  die 
Mittellinie  im  Punkte  L\  es  ist  dann 

Bestimmt  man  zu  den  drei  Punkten  At  A%  L  den  vierten,  harmonisch 
zu  derselben  gelegenen  Punkt  Z/,  der  dem  Punkte  L  zugeordnet  ist, 
so  hat  man 

AXL     At  L'  _ 

und 

tt  _  A*  V  IQ 

o  ~~  ÄtL  "  V  At 

Man  kann  also  setzen1),  wenn  L  ein  Parameter  ist, 


1)  Unverzagt  bestimmt  einen  Punkt  L"  auf  der  Mittellinie  so,  da«s 

AqL  LnAy 
AtL  "  AXL" 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


57 


m  -  /  .  At  L'  ( 

u  -|-  0  =  /    >  50. 

p  =  /  .  L'  At  1 

Wenn  und  die  Grösse  l  gegeben  sind,  so  sind  auch 

die  Coordinaten  «,  v  bekannt,  also  die  gerade  Linie,  deren  Coor- 
dinaten  «,  r  sind,  bestimmt.  Da  AXV  :  L'At  gegeben  ist,  so  kann 
man  den  Punkt  L  construiren;  die  Grösse  /  tragt  man  von  At 
auf  der  Axe  ab  (AtT—  /),  verbindet  den  Endpunkt  dieser  Strecke 
mit  dem  Punkte  Ax%  so  schneidet  diese  Verbinduogsgerade  AXT  die 
durch  L'  zu  den  Axen  parallel  gezogene  gerade  Linie  in  einem 
Punkte  R  und  es  ist 

u  —  L'Jl,    v  —  A^T  —  L'R 

Wenn  AXL' :  V  A%  gegeben  ist,  und  die  Zahl  l  allo  möglichen 
reellen  Werte  annimmt,  so  gehen  die  geraden  Linien,  deren  Coordi- 
naten IAXL\  IL'Ai  sind,  durch  einen  Punkt  Z.,  und  wenn  AXL :  LAt 
bekannt  ist,  so  gehen  die  geraden  Linien,  deren  Coordinaten  L4,L,  • 
lLAt  sind,  durch  einen  Punkt  L'. 

Auf  der  Mittellinie  liegen  vier  Punkte  Z,,  A',  Z,  Zx  so,  dass  ist 

LZ      t     LZX  tt 
ZK~  r    ZXK~  l 

Es  ist  dann 

(l  +  t).  ZK=*     +      .  ZxK=l  .  LK 

and 

d+«.)Zi  At  -(1  +  t)ZAt  wm  (l  f  /,)  (ZXK  +  KAt) 
—  (t+t)  (ZK+KAJ  -  — 

[l  +  l)ZAt—  tKAt  =  {l+qZK+il  +  ^KAt  -  t  .  KAt 

Durch  die  vier  Punkte  sind  die  beiden  geraden  Linien,  deren  Coor- 
dinaten 

i  «  -  U+t)AxZ       f  «  -  ii  \  M 

<  ,  =  (1+  f)^i        \  v  =  (l  +  lx)ZxA*  i 

sind,  bestimmt.  Die  Gleichung  des  Schnittpunktes  der  beiden  ge- 
raden Linien  ist 


Mt,  nnd  setzt  die  Coordinaten  gleich  einem  Vielfachen  von  L"A9  and  AXL"; 


58 


Gratfe:  Slrecktn-  und  Punktrechnung, 


u,                      t>,  1 

d-f&M;    d  +  t)ZA»  1  -o 

Addirt  man  die  zweite  Colonne  zur  ersten,  so  erhält  man 

U  -f-  9%       «>,  1  I 

*  +  # ,     (/  +  0Z.4»,  1    -  0 

l  +  h,    1/  +  *,)^,,  1 

subtrahiit  man  die  zweite  Zeile  von  der  dritten  und  dividirt  durch 
tx  —  t,  so  ist 

u  +  r,  P,  1 


und  hieraus  folgt 


1, 


AM, 


1 

0 


h  .  K.U  -f  t>  .  AM,  -f  /  .  £A* 
Die  Coordinaten  dieses  Punktes  sind 

KAX      AtK'  I.K/ 


0 


x  — 


AM, 


Axh" 
K'AJ 


AM,  -f  KAX 


52 


52'. 


Weun  also  die  Punkte  AT,  L  und  die  Zahl  l  gegeben  sind,  ferner 
die  Grösse  t  alle  möglichen  reellen  Werte  annimmt,  so  schneiden  sieb 
die  geraden  Linien,  die  die  Coordinaten  51.  haben,  iu  einem  Punkte, 
der  auf  der  durch  den  Punkt  fC  zu  deu  Axen  parallel  gezogenen  geraden 
Linie  liegt.  Die  Punkte  K  und  L  seien  die  Anfangspunkte  der 
gleichstimmig  parallelen  Einheitsstrecken  x',  k'.  Der  Punkt  Z  ist 
der  Anfangspuukt  der  Strecke 


l  -  U  +  ix',   z  =  l-\-t 


ZK 


53. 


i 


Diese  Gleichung  bestimmt,  wenn  /  und  t  gegeben  sind,  die  ge- 
rade Linie  51.  Nimmt  man  in  dieser  Gleichung  /  als  veränderlich 
an,  so  gilt  sie  für  alle  durch  den  Punkt,  dessen  Gleichung  52.  ist, 
gehenden  geraden  Linien.  Die  Gleichung  53.  kann  man  mithin  als 
die  Gleichung  des  Punktes,  dessen  Gleichung  52.  ist,  nehmen;  man 
nennt  „die  Gleichung  53.  die  Gleichung  des  Punktes,  der  die  Coor- 
AXK      l .  KL 


dinaten  -  R^  Y£+KÄt 
durch  die  Gleichung 


hat.14     Dieser  Punkt  liegt  auf  der 


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intbenndere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  59 

bestimmten  geraden  Linie,  die  mithin  nach  der  Gleichung  51.  die 
Coordinaten  / .  AXL,  l .  LAS  hat. 

Die  Gleichung 

t  -  tt'  54. 

stellt  daher  einen  Punkt  auf  der  Mittellinie  dar,  der  zu  den  drei 
Punkten  At ,  At,  L  harmonisch  liegt  und  dem  Punkte  L  zugeord- 
net ist. 

Die  Anfangspunkte  AJt  A»  B,  D  .  .  .  L  .  .  •  K .  .  .der  den 
Axen  parallelen  gleichgerichteten  Strecken  Von  der  Längeneinheit  a\ 
f%       d' ...  I*  .  sollen  auf  der  Mittellinie  liegen. 

Fällt  der  Punkt  K  in  den  Punkt  J„  so  wird  Gleichung  53.  zu 

t  -  W  +  ta'  55. 

die  eiuen  Punkt  darstellt,  der  auf  der  durch  den  Punkt  At  gehen- 
den Axe  liegt  fällt  der  Punkt  A'  in  den  Punkt  At ,  so  wird  Glei- 
chung 55.  zu 

£  -  U'  +  ty'  56. 

die  einen  Puukt  darstellt,  der  auf  der  durch  den  Punkt  A%  gehenden 
Axe  liegt 

Ferner  stellen  die  Gleichungen 

£  =  ZA'  +  /x',    £=nv'-ffx'  57. 

zwei  Punkte  dar,  die  auf  einer  den  Axen  parallelen  geraden  Linie 
liegen. 

Die  Verbindungslinie  der  zwei  Punkte,  die  dio  Gleichungen 

t-tt'  +  'i*',   t-w'  +  'bl*'  58. 

haben,  schneidet  die  Mittellinie  in  einem  Punkte,  der  zu  den  drei 
Punkten  Av  .L.  ./  harmonisch  liegt  und  dem  Punkte  J  zugeordnet 
ist.    Nach  der  Gleichung  54.  kann  man  in  der  Gleichung 

Z  -  hi  58'. 

r3  so  annehmen,  dass  die  gerade  Linie  mit  den  Coordinaten  '.-,.•!,•/, 
JAt  auf  die  Verbindungslinie  der  beiden  Punkte  fällt.   Man  kann 
ferner  <,  nnd  /*  solche  Werte  geben,  dass  von  den  durch  die  Glei- 
chungen 58.  festgelegten  geraden  Linien  (s.  Gl.  51.)  zwei  auf  die 


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60  Graefe:  Strecken-  und  Pnnktrtxhnung, 

dnrch  die  Gleichung  58'.  gegebene  gerade  Linie  fallen.  Für  diese 
Werte  von  f,  und  /2  ist  also 

t  -  W  +  /,x'  =»  «v'  +  l,y  =  /8t  58". 

Hieraus  folgt 

*  +  'i  =  »  +  'a  -  's  58". 
Nach  den  Gleichungen  32.  ist 

{(/A' +  *,*>'}  -  [(»*'  + l,»V) 

oder 

1(1  -  4,JD)  +  f,(l  -  AXK)  -  n(l  -  4 2V)  +  /f(l  -  vi,  3/) 
und  .hieraus 

M, f,/!,*  =  nA,N  +  Vi, J/  58w. 
Aus  den  Gleichungen  58w  kauu  man  f,  und  f2  berechnen. 
Der  Punkt,  dessen  Gleichung 

t  —  *(i  -  /);.'  +  ^d'  59. 

ist,  ist  der  Schnittpunkt  der  zwei  geraden  Linien,  die  durch  die 
Gleichungen 

l  =  tt',    £  -  59'. 
bestimmt  sind;  diese  geraden  Linien  haben  die  Coordiuaten 

AtL,  —  p  .  AXD 

Dieser  Punkt  fallt  in  den  Einheitspuukt,  wenn 

l  —  p  ss  1 

ist  Die  Glcichuug  des  Punktes,  der  auf  den  Schnittpunkt  der  durch 
die  Gleichuugen 

S-tt',   £-3f'  59'. 
bestimmten  geraden  Linien  fällt,  ist 

£-1(1  —  /!)*'  + Itf«'  59". 
Die  Gleichungen  59  und  59w.  kann  man  schreiben 

{  -  tt'  +  t(p*  -  «0,    t  -  tt'  +         -  tt') 
Setzt  man 

pd'  -  tt'  =s  (p  -  V,    2t'  -  tt'  =  (</  -  iy 
so  sind  nach  den  Gleichungen  52'.  die  Coordinaten  der  Punkte, 


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insbesondere  die  Iiechnuny  mit  parallelen  Strecken.  Gl 

in  denen  sich  die  durch  die  Gleichungen  59'.  bestimmten  geraden 
Linien  bzhw.  schneiden 

Ax\l  JfL  A,N  NL 

MAJ     MAt+MÄ't}         NAj      NAt  -f  NAX 

Fallen  diese  beiden  Puukte  zusammen,  so  ist 

AjM  AXN 
MAt  ~  NAt 

woraus  folgt,  dass  der  Punkt  M  auf  den  Puukt  N  fällt   Es  ist  also 

(q  -  l)pd'  +  (l  -  p)qt*  4-  (p  -  q)W  =  0  59* 

Der  durch  die  Gleichung  59.  gegebene  Punkt,  ist  der  Schnittpunkt 
von  den  drei  geraden  Linien,  die  durch  die  Gleichungen  59'  be- 
stimmt sind,  wenn  die  Gleichung  59".  oder  die  Gleichung 

9i'  -  i(i  -  gr  +  tP6' 

besteht. 

Man  kann  in  der  Gleichung  51.  die  Einheitsstrecken  l\  %*  durch 
die  Summe  von  Strecken,  die  ihre  Anfangspunkte  in  den  festeu 
Paukten  Ax  und  At  habeu,  ersetzen.  Zwei  Zahlen  m  uud  n  kauu 
man  nach  der  Gleichung  5.  derart  bestimmen,  dass 

V  =  (1  -  m)o'  4-  my' 
x'  -  (1  -  »)«'  +  nf 

ist.    Die  Gleichung  51.  heisst  daher  {Jet  statt  i  eingefahrt) 

t  -  «i  -  »)  +  *u  - «>)«'  +  (*» + Mr*  6Ü- 

Der  Punkt,  den  diese  Gleichung  darstellt,  ist  der  Schnittpunkt  der 
zwei  geraden  Linien,  die  durch  die  Gleichungen 

festgelegt  sind.  Die  Coefticienten  von  «'  und  /3'  in  der  Gleichung 
€0.  sind  lineare  Functionen  in  /.   Die  „Gleichung  eines  Punktes  ist 

C  =  ra'  +  ,y'  61. 

wenn  r,  «  lineare  Functionen  von  t  sind".   Man  kann  nämlich  setzen 

- «-  +  m  -  («i  + * » (»-  ä, + J + (i-  +   ('-  <,,+<,,)' 

-  /(I  -  m)  +  i(l  -  n)t 


62 


Gratfe:  Strecken-  und  Punktrechnung, 


—  % +*  -  <«.  +  <■>  ^  +   +  * )  ' 

=  Im  -}-  feil 

Durch  diesen  Punkt  gehen  alle  geraden  Linien,  deren  Coordinaten 

u  =  *  —  c.  4-  du 

62. 

u  =,  r  »  fl,  -j-  i,t 
sind.   Setzt  man  nämlich 

r*  +  ,/  -  (r  +  *)p 

so  ist 

«  -  (r  +  tM,*,    »  — (r  +  4A4h 

mithin  gelten  die  Gleichungen  62.  Der  Gleichung  des  Puuktes  kann 
man  die  Form 


u  —  r,    v  —  </, 

geben. 


62'. 


Wenn  zwischen  r  und  *  eine  Gleichung  beliebigen  Grades  ge- 
geben ist,  so  setzt  man  z.  B.  für  r  irgend  einen  Wert  voraus,  und  er- 
mittelt durch  die  Gleichung  eine  endliche  Zahl  von  Werten  von  «, 
die  dem  angenommenen  Werte  von  r  entsprechen.  Für  dieses  r 
und  die  entsprechenden  «  erhält  man  durch  die  Gleichung  61.  eiue 
oder  mehrere  gerade  Linien  mit  den  Coordinaten 

Nimmt  man  für  r  einen  anderen  Wert,  so  findet  man  in  derselben 
Art  andere  gerade  Linien. 

Wenn  man  so  dem  r  alle  möglichen  reellen  Werte  beilegt,  so 
erhält  man  eine  Folge  von  geraden  Linien,  von  denen  jede  den  Be- 
dingungen der  Gleichung  genügt  und  daher  ihr  geometrischer  Aus- 
druck ist.  Die  Gleichung  61.  stellt  daher  irgend  einen  „Ort4'  dar, 
wenn  zwischen  r  und  s  eine  Gleichung 

9(r,  a)  -  0 

besteht. 

Statt  dieser  Gleichung  kann  man  annehmen,  dass  zwischen  r 
und  einer  beliebigen  Grösse  t  und  ebenso  zwischen  *  und  /  eine 
Gleichung  besteht.  Löst  man  diese  Gleichungen  nach  i  und  r  auf, 
so  erhält  man 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


63 


Wenn  also  die  Gleichnng 

t=*Mtw+Mt)s  63. 

gegeben  ist,  so  kann  man  den  durch  sie  dargestellten  Ort  ermitteln. 

Ist  umgekehrt  irgend  ein'Ort  —  Curve  —  durch  irgend  eine  geo- 
metrische Eigenschaft  erklärt,  so  kann  man  aus  dieser  Eigenschaft 
eine  Gleichung  ableiten,  die  durch  die  Werte  von  r  und  «  jeder  ge- 
raden Linie  des  Ortes  erfüllt  wird. 

Jede  gerade  Linie,  deren  Coordinatcn 

u  =  ft(t),   v  -  fs(i)   oder   (-1)»«  «  =  \£y%  (— 1)'»  -  {fa'j  63'. 

die  Gleichung  der  Curve  (63)  genügen,  ist  Tangente  der 
betr.  Curve;  die  Curve  ist  umhüllt  von  deu  geraden  Linien,  deren 
(^ordinalen  der  Gleichung  der  Curve  genügen.  Man  kann  leicht  die 
Gleicbuug  des  Berührungspunktes  und  die  Coordinatcn  desselben  be- 
stimmen Der  Schnittpunkt  der  beiden  geraden  Linien,  die  die  Coor- 
dinatcn. 

■h  -  *<*>,  "*  -  UU  +  hdt) 
«»1  -  Wt    ri  -  ftO  +  hdt) 

haben,  hat  nach  den  Gleichungen  47.  die  Coordinaten 

ft(t  +  hdt)  —ft{t)  h 

 f^t)fx  (t  -f  hdt)  —ftWiit  -f  hdt) 

(t  +  A<ft)  -/ifl)  £(/  +  /litt)  -  /,(!) 

f^t  +  hdt)  -  f\(t)  -f  hdt)  —  f^t) 

h  h 

Wird  die  Grösse  A,  die  unabhängig  von  *  ist,  unendlich  klein, 
so  fallt  dieser  Schuittpunkt  mit  dem  Berührungspunkt  der  durch  die 
Gleichungen  63'.  gegebenen  Tangenten  zusammen.  Der  Zähler  (und 
Nenner)  von  x  wird  zum  Differential  dft{t)  (und  dfx(t)).  Ist 
aimlicb  p  eine  Function  von  /,  so  defiuirt  mau  das  Differeutial 
dp  mittelst  der  Gleichung 


64  Grat/ Strecken-  und  Punktrechnuny, 

dp  -  df{t)  =  lim  /(<+Mt)-rtO  <*/(<) 

h  =  0       ~  (U  <U-f(t)dt  64. 

wo  h  eine  reelle  von  /  unabhängige  Grösse  ist.  Die  Coordinaten 
des  Berührungspunktes  sind  mithin 

"-"f/W     y"     /V(0-/,'(0  6Ö' 

Die  Gleichung  dieses  Berührungspunktes  ist  mithin 

•^i,(O-^i,(*)+/i(«y/W-/tWi'(0  ^  0  6G. 

Aus  dieser  Gleichung  folgt  sofort,  dass  durch  den  Curvenpuukt  alle 
geraden  Linien  gehen,  die  die  Coordinaten 


haben.  In  diesen  Gleichungen  ist  natürlich  /  gegeben  und  *  eiu 
Parameter,  der  alle  möglichen  reellen  Werte  haben  kann.  Nach  der 
Gleichuug  61.  ist  daher  die  Gleichung  des  betr.  Curvenpuuktes 

durch  den  die  geraden  Linien  gehen,  deren  Gleichungen  sind 

Die  Gleichung  63.  stellt  eiuen  Kegelschnitt  dar,  wenn  ft{t)  und  /,(/) 
die  Form  haben 

»  —     -  ^  +  „,i  4.  „a,t 

Eliminirt  man  /  zwischen  diesen  Gleichungen,  so  ist  die  Gleichung 
des  Kegelschnitts  von  der  Form 

aiiM,H-2ai*ut,  +  «i2",+  2ci»,,H-2«ssf  +  aa3  —  0  67. 

Auf  der  geraden  Linie  g,  die  die  Coordinaten  «,  b  hat,  liegt  eiu 
Punkt  A/,  dessen  Gleichung 

U  —  a  —  t(v  —  b)  mm  0 


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inabesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Sirecken. 


65 


ist,  and  auf  einer  anderen  geraden  Linie  g\  die  die  Coordinate  a', 
1'  bat,  liegt  ein  Punkt  A/,  dessen  Gleichung 

oder 

ur,  +  vdt  —  (n'c,  -f  b'dt )  -f-  /(twz,  -f-  r6,  —  (a'^  -f      ))  —  0 

ist.  Eliminirt  man  t  zwischen  diesen  Gl.,  so  erhält  man  eine  Glei- 
chung von  der  Form  67. 

Wenn  man  in  diesen  Gleichungen  der  Grösse  t  alle  möglichen 
reellen  Werte  gibt,  so  erhält  man  die  Gleichungen  von  allen  Punkten 
II  der  geraden  Linie  g  und  die  Gleichungen  von  allen  Punkten  M* 
der  geraden  Linie  g'-,  die  durch  ein  und  denselben  Wert  von  t  be- 
stimmten Punkte  Af,  M'  nennt  man  bekanntlich  entsprechende 
Punkte  der  zwei  projectivischen  Punktreihen,  deren  Träger  die  ge- 
raden Linien  g  und  g'  sind.  Die  gerade  Verbindungslinie  der  eut- 
sprechenden  Punkte  M,  M'  hat  die  Goordinaten 

dx  (*'  —  *)  -f  -  «i  («'  -  «)  +  (&i  (*'  -  b)  +  o,  (a '  -  a))t 
-f-  nt^i  -f-  «a/8 

ct (a—  o)  -f-  (&<-,  4-0,(0*  -  a)  +  + 

Die  geraden  Verbindungslinien  der  entsprechenden  Punkte  von 
zwei  projectivischen  Punktreihen  umhüllen  einen  Kegelschnitt,  der 
die  Träger  dieser  Reihen  berührt.  Die  Gleichung  dieses  Kegel- 
schnittes ist  mithin  • 

Die  einfachste  Gleichung  für  die  Kegelschnitte,  die  einen  Mittel- 
punkt besitzen,  ist 


69 


diese  Gleichung  stellt  eine  Ellipse  dar,  wenn  h  positiv  und  eine  Hy- 
perbel, wenn  k  negativ  ist.   Aus  der  Gleichung  69.  erhält  man 

m  i&'i  =  * 

Arth.  d.  M»th.  n.  Phy>.  2.  Kehn.  T.  XV.  5 


6f3 


Gratfe:  Strecken-  und  Punktrechnung, 


Die  Coordinaten  eines  Curvenpunktes  sind 


h  2kt 


*  —  ttf  y-  t2  +  k. 


ii 


d.  h.  dor  Berührungspuikt  teilt  das  Stück  der  Tangente,  das  zwischen 
den  Axen  liegt,  im  Verhältniss  der  Coordinaten  der  Tangente.  Es 
ist  AXA*  ein  Durchmesser  des  Kegelschnittes  und  die  Axen  berühren 
den  Kegelschnitt  in  den  Punkten  J,,  A*. 

Wenn  die  Axen  des  Coordinatensystcms  auf  der  Mittellinie 
senkrecht  stehen,  und 


ist,  so  stellt  die  Gleichung  69.  einen  Kreis  oder  eine  gleichseitige 
Hyperbel  dar. 

Die  Gleichung  einer  Parabel,  die  im  Puukte  LA  von  der  Axe 
berührt  wird,  ist 


Durch  einen  Punkt  der  Corvo,  die  durch  die  Gleichung  GS.  dar- 
gestellt ist,  gehen  die  geraden  Linien,  deren  Coordinaten  nach  den 
Gleichungen  66'.  sind 

Uj  -/,(0  +  «/t'(0  -  *+  r'*W  -  U+Ä,t' 

Es  seien  dit  Axen  des  Coordinatensystcms  auf  der  geraden  Linie 
A^  senkrecht.    Die  geraden  Linien,  die  die  Coordinaten 


haben,  sind  auf  eiüander  seukrecht,  wenn  ist  (nach  Gl.  48'  ) 


70. 


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insbesondere  die  Rechnunq  mit  parallelen  Strecken. 


67 


hieraus  folgt 

also 


(«I  —  «i)  (w  — f)  =  —  1 
1  -f  (>i—  r)* 

«'  -f-  f"  —  »')  («»•'  —  r«') 
(r'  -  ti')  («  -  r) 


71. 


Für  einen  gegebenen  Wert  von  t  ist  mithin  die  Gleichung  einer 
Normalen  der  Curve 

.  _        +  p  -WfADfx'iD-mftV))  , 
6  "  "  (/1'(0-A'(0K/i(0-/,(0) 

/•/(O  +  W0-/i(QW)/'i,«)--/-i(/)/-8f(o)  , 
+  (A'(0-/-s'(0)(/-s(0 -/■,(/'))  y 

-      +  "iy' 

Jede  gerade  Linie,  deren  Coordinaten  «,,  r,  dieser  Gleichung 
genügen,  ist  Tangente  an  eine  bestimmte  Curve,  der  Evolute  der 
durch  die  Gleichung  63.  gegebenen  Curve. 

Die  Gleichung  72.  ist  mithin  die  Gleichung  der  Evolute 
der  durch  die  Gleichung  63.  gegebeuen  Curve.  Die  gerade  Linie, 
die  durch  die  Coordinaten  u,,  vx  bestimmt  ist,  berührt  die  Evolute 
in  einem  Punkte,  dessen  Coordinaten  nach  der  Gleichung  65.  sind 


Auf  dieser  geraden  Liuie  liegt  ferner  der  Punkt  der  gegebenen  Curve, 
der  die  Coordinaten 


u  uv'  —  vu* 


hat.  Der  durch  die  Gleichuugeu  73.  bestimmte  Punkt  der  Evolute 
heisst  der  Krümmungsmittelpunkt  des  durch  die  Gleichungen 
66.  festgelegten  Punktes  der  gegebenen  Curve.  Die  Evolute  ist  der 
geometrische  Ort  aller  Krümmungsmittelpuukte  der  gegebenen  Curve. 
Umgekehrt  nennt  man  die  Curve,  die  durch  die  Gleichung  63.  be- 
stimmt ist,  die  Evolvente  der  Curve,  die  mittelst  der  Gleichung 
72.  dargestellt  ist.  Ferner  ist'  die  Entfernung  der  beiden  Punkte, 
deren  Coordinaten  durch  die  Gleichungen  73.,  65.  gegeben  sind, 
gleich 

5* 


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68 


Gratf\:  Strecken-  und  Punktrechnung, 


KiWr+^f+fr-  ».)•=-  74. 

die  Zahl  e  gibt  bekanntlich  die  absolute  Länge  des  Krümmungs- 
halbmessers der  durch  die  Gleichung  63.  gegebenen  Curve. 


Die  Ecken  des  Coordinatentetraeders  seien  AtAtA3A4  und  die 
der  Ecke  A»  gegenüber  liegende  Seite  sei  a„.  Der  Einheitspunkt  E 
hat  die  Entferuung  e„  von  der  Seite  aH  Wenn  die  Abstände  eines 
beliebigen  Punktes  P  von  den  Seiten  <t„  mit  pH  bezeichnet  werden, 
so  definirt  die  Gleichung 

P\     Vt    Pa  P* 
x,  :  x,  :  x3 :  x4  —      :       :  rj  :  75. 

c,      «t  <4 

die  „Coordioaten  x„  xÄ,  x.,,  x4  des  Punktes  P. 

Fällt  der  Punkt  ^44  mit  dem  uuendlich  fernen  Punkt  zusammen, 
so  sind  die  geraden  Linien  AXA^  A3A4y  A3A^  die  Axen  des 
Systems,  parallel.  Der  Einfachheit  wegen  nimmt  man  an,  dass 
die  Axen  auf  der  Ebene  AyA,A..  senkrecht  stehen.  Die  den  Axen 
parallelen  geraden  Linien  PP\  EE'  treffen  die  Fundamental- 
ebene AlAiAs  in  den  Punkten  P\  E'  und  eine  den  Punkt  P 
enthaltende  Ebene  hat  mit  den  Axen  AXA^  y  A^A^ ,  A3A^  die 
Punkte  L,  Af,  A'  gemeinschaftlich.  Die  geraden  Linien  LM%  MNy 
NL  treffen  bzhw.  die  Dreiecksseiteu  A.A.,  A%AS,  ASA4  in  drei  Punkten 
Hy  J.  Ky  die  in  einer  geraden  Linie  liegen.  Nach  der  Gleichung 
10.  ist 

(P'AtAt)  +  (P'AtAt)  -f  {P'AnAi)  -  (AtA9As) 
(E,AiAs)  +  (E'AM  +  (E*AxAt)  =  \AlAtAM) 

Den  Punkt  E  kann  man  so  festlogen,  dass  ist 

{E'AtAt)  -  WAM  -  (E'AM  =  ^(AlAtA3),    E  E  -  | 

Es  ist 

(PTAM     (P'A^AJ     (P'A.A,)  P'J^ 
*x :  xs  :  xs  :  x4  -  ^^jj  ■  (AtAsAj  '  (A^AJ  '  3E'E         40  ' 

Die  Richtung  von  E'  nach  E  soll  als  die  positive  gelten. 

Man  kann  als  „Coordinaten  eines  Punktes  P  den  axenparal- 
lelen  Abstand  P'jP1*  desselben  von  der  Fundarnentalebene  A%AtA3 
„in  Verbindung  mit  den  Verhältnissen" 

{P'AtAM>  (J^A^)  (P'A.A.) 
{A^AtAj     (AyAfA^)  1  (AJAiA3) 


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insbesondere  Hie  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 

betrachten;  die  Verbältnisse  sind  die  Dreiecks-Coordinaten  des 
Punktes  P4  in  Bezug  auf  das  Dreieck  AjAsA3. 

Die  Coordinaten  uJt  «„  m«,,  m4  einer  Ebene,  in  der  der  Punkt  P 
liegt,  genügen  der  Gleichung 

"1*1  +  'V!  +  "3*3  +  »4*4  -  0  76. 

Fällt  der  Punkt  P  der  Reihe  nach  auf  die  Punkte  Au  Ati  A^ 
so  ist  nach  den  Gleichungen  75'.,  76, 

uy  AtL     ^  AtM     »#s  A^N 

Die  Coordinaten  der  Ebene  genügen  daher  der  Relation 

«,  :  u,  :  tts  :  m4   -  AtL:  AtM:  A3N :  3££'  76'. 

Die  von  der  Ebene  auf  deu  Axen  bestimmten  Längen 
A%  A,  v432Vkann  man  als  die  Coordinaten  der  Ebene  LMJN 
annehmen       Bezeichnet  mau  die  Coordinaten  mit  u,  o,  «?,  so  ist 

u  =  AtL,    v  -  ^43/,    10  =  A&N  76", 

und 

h  /M,      r       jgjtf      JAt     t<.      ^iV  A'^ 

•  "  AtM  ö  »*y    w  ~  ^l3iV  =  ./.!,'    u  ~  AXL  ™  JTii, 

Man  kann  in  der  Ebene  ^M^s  einen  Punkt  o  so  bestimmen  *) 
dass  ist 

AtL  (OA^Aj)  AtM  (0,4,4,) 
i48 JW  ~~  ( 0,4 , At )  •    /l ;i,  AT  ~~~  ( O  ASA3) 

Die  Coordinaten  der  Ebene  LWS  sind  daher 

u  -f-  t>  -f-  w  «~  / 
Als  Coordinaten  des  Punktes  P  kann  man  die  Zahlen 


1 )  Unrenagt :  „Theorie  der  goniometriachen  etc.  Qaaternionen,  Wieibuden 
1876«.     S.  94—100. 

2)  ÜOTerwigt  ietxt 

AXL  (OAtAs)  A2M  (OAzAJ 
A%M  "  (OAsA,) »    At  N  "  (O^M,) 


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70 


Graefe:  Strecken-  und  Punk  t  rtch  nun 


x  _  (I'AM  <r'AM 

"  {P'AtAJ   y      KP' AM'  ' 

nehmen. 

Liegt  der  Punkt  P  in  der  Ebene  LMN,  so  ist 

n  +  ,ry 

Sind  in  dieser  Gleichung  die  Grössen  «,  r,  »r  gegeben ,  so  ist  „sie 
dio  Gleichung  der  durch  die  Coordinaten  u,  f,  »r  bestimmten  Ebene:" 
sind  jedoch  die  Grössen  r,  y,  2  gegeben,  so  ist  „sie  die  Gleichung 
des  durch  die  Coordinaten  ar,  c  bestimmten  Punktes.44  Die  allge- 
meine Gleichung  ersten  Grades  zwischen  »/,  >\  te 

Au-}-  liv  -f-  Cw  +  /)  =  0  79- 

stellt  einen  Puukt  dar,  dessen  Coordinateu  sind 

V„C   D   79' 

T      A>    y  ~  X    "  "      .1  +  //+  C  iJ  ' 

Die  Axen  des  Coordinatensystcms  sollen  mit  den  Einheits- 
▼eetoren  «',  ß\  y  gleiche  Anfangspunkte  und  gleiche  Richtung 
haben.  Eine  bei  den  Einheitsstrecken  parallele  Strecke  «?,  deren 
Anfangspunkt  O  in  der  Ebene  AtAtA:i  liegt,  ist  nach  Gleichung  Ii. 
aequivalent 

f(0  A***)  ,  ,   ">  AM         (O  At  Aj)  ,\ 
"'  ~    \(AtAM  Mi  AM'    ^  (-WM  Y  ) 

o,  ^  (10a4  +  ttß'  -f-  tiy')  HO. 
oder  wenn  w'  die  entsprechende  Einheitsstrecke  ist, 

(u  4.  „  +  wy  «.  to«'  4.  „£'  +  ry'  80* 

Die  Strecke  a>  kann  mithin  als  der  Repräsentant  der  Ebene 
betrachtet  werden,  dio  auf  den  Axeu  die  Stücke  u,  v,  10  abschneidet. 
Aus  dieser  Gleichung  folgt  leicht  dio  Construction  des  Punktes  O. 

Die  Gleichung  80.  stellt  einen  Punkt  dar,  wenn  «,  to  lineare 
Functionen  von  zwei  Parametern  l  mit  tl  sind.  Dieser  Punkt  ist 
der  Schnittpunkt  der  Ebenen,  deren  Coordinaten  »,  y,  10  sind.  Es 
sei 

u      a  -\-  bt  4-  C«,,    0  =«  a,  -{-      +  eifv    'r  =  «2  +  'V  +  Vi 
also  ist 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


71 


"  -         +  aß'  +  «,>•'  +  (V  -f  A0'  -f  Aiy')/ 

4-  (cy  +  eV  +  81'. 

Die  Coordinanatcu  dieses  Punktes  sind 

a  b  e 
*i  *i  ci 


cA, —  1>C*  Cylt  — bxC  rto  b*  cs 

c-A,  —  Ajc,'    U    "  rs£,  —  '  —  bei 


81". 


/>,  0,  1 
is  c2  1 


Wenu  (5,  f,  x  drei  den  Axen  parallele  Strecken  sind,  deren  An- 
fangspunkte iu  der  Ebene  AxAtA%  liegen,  so  stellt  die  Gleichung 


82. 


«inen  Punkt  dar.    Nach  der  Gleichung  6)  kann  man  nämlich  setzen 

Die  Länge  der  Strecke  w  ist  gleich  d-{-rt-\-ktx.  Setzt  man  diese 
Ausdrücke  für  <5,  x  in  dio  Gleichung  82.  ein,  so  erhält  man  die 
Gleichung  81'.  Die  Gleichungen  81  bestimmen  alle  Ebenen,  die  sich 
in  dem  Punkte  schneiden,  der  durch  die  Gleichung  82.  gegeben  ist. 

Die  Gleichung  80.  stellt  eine  gerade  Linie  dar,  wenn  «,  p,  w 
lineare  Functionen  eines  Parameters  sind.  Diese  gerade  Linie  fäll 
auf  die  Schnittlinie  der  Ebenen,  die  die  Coordinaten  «,  b,  w  haben. 
Es  sei 


mithin  ist 


«2  —  u, 


t',  —  v% 


»1 


o  —  f  ,o'+",/3'+'rIy'-f-((M;J-tcJ)a'-f  (u,  —  Ua^'-fOog-ic,)^)/ 

Die  Gleichungen  83'.  sind  die  Gleichungen  einer  geraden  Linie, 
in  der  sich  die  Ebenen  schneiden,  die  die  Coordinaten  u, ,  v, ,  w, 
und  MS,  r„  te8  haben.   Diese  Ebenen  sind  parallel,  wenn  ist 


"i  -  ut —  "i 


r,  -     -  u>3 


84. 


Daher  repräsentirt  die  Gleichung 


72  Graefe:  Strecken-  und  Punktrechnung, 

0)  »  +  «,£'  +     y>  -f  («'  +  0'  +  r')<  84'. 

die  unendlich  ferne  gerade  Linie. 
Die  Gleichung 

stellt  eine  gerade  Linie  dar,  die  in  der  Ebene  .  i,  AtAt  und  in  der 
Ebene,  deren  Coordinaten  ut,      w  ,  sind,  liegt. 

Als  Gleichung  einer  geraden  Linie  lässt  sich  auch  die  Formel 

co  —  d  -f-  u  86 

geben,  wenn  die  Strecken  o*,  s  den  Axen  parallel  sind  und  ihre  An- 
fangspunkte in  der  Ebene  A^A^  liegen. 

Wenn  allgemein  u,  »,  w  Functionen  von  zwei  Parametern  /,  <, 
sind,  so  ist  die  Gleichung  80.  der  Repräsentant  einer  Fläche  und 
wenn  u,  o,  w  Functionen  eines  Parameters  t  sind,  so  stellt  die  Glei- 
chung 80.  eine  Curve  im  Raum  dar. 

Die  Gleichung  einer  Fläche  hat  die  Form 

-  Aft        +  /"*(',  W  +  M*t  W  87. 

und  die  einer  Curve  im  Räume  hat  die  Form 

to  =  ft(t)a'  +  f,(t)ß'  +  88. 

Die  Coordinaten  der  Ebenen,  die  diese  räumlichen  Gebilde  ein- 
hüllen, sind  bzhw. 

«  =/«(',  »  -  fs(U  'i),  »  -  /",(<,  *,)  87'. 
<<-f,(0,  w-/iW  88'. 

Aehnlich  den  Ableitungen  der  Gleichungen  der  Tangenten,  Nor- 
malen für  Curven  in  der  Ebene,  kann  man  die  Gleichungen  der 
Tangentenebene,  Normalen  für  Flächen  und  die  der  Tangenten, 
Normalebenen  etc.  für  Curven  im  Räume  bestimmen. 

Es  soll  die  Gleichung  eines  Hyperboloids  mit  einer  Mantelfläche 
abgeleitet  werden.  Man  hat  also  die  Gleichung  der  Fläche  zu  be- 
stimmen, die  durch  eine  längs  dreier  festen  geraden  Linien  sich  be- 
wegende gerade  Linie  erzeugt  wird. 

Die  Gleichung  der  sich  bewegenden  geraden  Linie  sei 

<o  -  wa'  -f  uß'  +  vy'  +  («'«'  -f-  n'ß'  +  v'y')t  83". 

und  die  Gleichung  einer  anderen  geraden  Linie  sei 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken, 


73 


^  «  tt%*  +  n,ß'  -f-  viY'  +  («r,«'  +         +  *,>')«,  83"*. 

Schneiden  sich  diese  geraden  Linien  in  einem  Punkte,  so  ent- 
spricht der  die  beiden  geraden  Linien  enthaltenden  Ebene  nach 
Gleichung  83".  eine  Strecke  a>  und  nach  Gleichung  83"'.  eine  Strecke 

diesen  Strecken  müssen  offenbar  identisch  sein.  Es  ist  mithin 
nach  Gleichung  6'. 

ir  -j-  >f  t  —  "'j  -j-  "*|  '/| 

M  4"  u't   —  tt,  -|" 

V    -\-  ü't  =  r,   -|-  Hj'lj 

Die  Bedingung,  dass  die  beiden  geraden  Linien  sich  schneiden, 
ist  mitbin 

»/   -  >/,    «'   «,'  i 

r  -  v'     r'  -  0  83"" 

IC  —  //',      W*     N»j'  | 

Man  kann  die  Ebenen  so  bestimmen,  dass  sie  die  drei  gegebenen 
geraden  Linien  enthalten  und  einer  vierten  geraden  Linie  parallel 
sind.  Die  Schnittlinien  der  Ebenen  seien  die  Strecken  roa',  nß\  py: 
Die  Gleichungen  der  gegebenen  geraden  Linien  sind 

(l)  -  ,.„'      iy>  _j_  tß' 
ta     cta       tf,fj'  4-  //' 
tü  —  atß'  4"  ''s/'  ~f"  *a' 

and  die  Gleichung  83w  sei  die  der  sich  bewogenden  geraden  Linie. 
Da  die  sich  bewegende  gerade  Linie  die  gegebenen  geraden  Linien 
zugleich  schneidet,  so  gelten  nach  der  Gleichung  83""  die  Beziehungen 

v  —  h        v        u—  rt,       u        u  — «' 

Wenn  mithin  zwischen  den  m,  o,  10  die  Gleichung 

(w  -  r)  («  —  a,)  (r  —       -  (y  -  b)  (w  -  c,)  (u  —  tt,) 

besteht,  so  stellt  die  Gleichung 

©  =     4-  uß'  4~  W 

ein  Hyperboloid  mit  einer  Mantelfläche  dar.  Auf  diesem  Hyper- 
boloid liegen  auch  die  drei  geraden  Linien,  deren  Gleichungen 


74  (irarf'i  Streck  fit-  und  Ftmkh« -hnunq. 

Eine  gerade  Linie,  die  diese  drei  geraden  Linien  zugleich  schneidet, 
liegt  auf  demselben  Hyperboloide. 


Summen,  Differenzen,  Produeto  und  Ouoticiilcn  von  Punkten, 

Vectoren  und  Strecken. 

Mau  kann  die  Punkte  /I,  1K  C .  .  .  als  Vertreter  paralleler, 
gleichgerichteter  Einheitsstrecken  ß\  /  .  .  .auffassen,  die  in 
jenen  Punkten  ihren  Anfang  haben.  Treten  in  der  Rechnung  Punkte 
auf,  die  parallele  Strecken  von  gleicher  Längo  und  Richtung  dar- 
stellen, so  nennt  man  sie  gleichwertige  Punkte. 

Wenn  der  Punkt  A  statt,  der  Strecke  «'  genommen  wird,  so  soll 
der  Punkt  nA  der  Repräsentant  der  Strecke  »«'  sein.  Den  Punkt 
nA9  der  eine  Strecke  von  n  Längeneinheiten  darstellt,  nennt  mau 
einen  »fachen  oder  »wertigen  Punkt,  Aus  diesen  Erklärungen 
folgt:  „Punkte  werden  addirt,  bzhw.  subtrahirt  wie  die  parallelen 
Strecken,  deren  Repräsentanten  die  Puukte  sind."  Ferner  ergibt 
sich,  dass  C—B  einen  Punkt  von  der  Grösse  null  darstellt,  der 
auf  der  Geraden  Linie  BC  im  Unendlichen  liegt. 

Addirt  man  C — B  zu  einem  beliebigen  dritteu  Punkt  5,  der 
mit  B  uud  C  gleichwertig  ist,  so  erhält  man  einen  Punkt  F,  der 
aus  5  cutstanden  ist,  durch  Verschiebung  des  Punktes  8  um  die 
Strecke  SFt  die  parallel,  gleichgerichtet  und  gleich  lang  der  Strecke 
BC  ist.    Es  ist  nämlich  (Fig.  2.) 

S  +  (C  -  B)  -  {8  +  C)  -  B 
=  2!)  —  Ii 

-  F 

Da  aber  D  iu  der  Mitte  von  CS  liegt,  und 

BD  -  DF 

ist,  so  ist  SF  parallel  und  gleich  BC.  Es  ist  also  C  —  B  eiu  Ope- 
rator, der  einen  Puukt,  zu  dem  er  addirt  wird,  um  eine  Strecke 
verschiebt,  die  parallel,  gleichgerichtet  und  gleich  laug  BC  ist. 
Durch  dio  Strecke  BC  ist  (' — B  als  Operator  im  gegebenen  Sinne 
vollständig  bestimmt;  umgekehrt  ist  durch  C—B  als  Operator  die 
bestimnito  Strecke  BC  nicht  ganz  festgelegt. 


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insbesondere  die  llechnung  mit  parallelen  Strecken. 


75 


Nimmt  man  C—B  als  Repräsentant  einer  Translation  parallel, 
gleichgross  und  gleichgerichtet  BC,  so  kann  man  die  Definitions- 
gleichung 

C-  B  -  [HC]  89. 

aufstellen.  Man  muss  sich  immer  bewusst  sein,  dass  [BC]  ein  Ope- 
rator ist,  der  einen  Punkt,  zu  dem  er  addirt  wird,  um  oinc  Strecko 
verschiebt,  die  gleichgerichtet,  gleich  lang  und  parallel  mit  [BC] 
ist-  Diese  Differenz  C—B,  also  [BC\  nennt  Möbius  und  Grass- 
mann „Strecke",  Hamilton  hat  für  diese  Differenz  den  Namen 
„Vector"  eingeführt  und  Unverzagt  gebraucht  den  Namen  „Dif- 
ferenz vectoru. 

Die  Defiuitiousglcichung  89.  führt  zu  dem  Satze:  „Zwei  gleich 
laoge,  parallele,  gleichgerichtete  Vectoren  siud  gleich".  Es  ist 
üimlich  (Fig.  2.) 

C-  Ii  ~  \1W\ 

■ad 

Ii  -  C  =  [CB] 
also  das  bekannte  Resultat 

[IIC\  -  -  [C0]  90 

Aus 

C  —  Li  -  [BC] 

s  -  H  -  |  ns] 

C+  S  —  Iii  =  [BC]  -f-  [HS] 

Es  ist  also 

(  -|-  N  -  11)  -=  F  +  B,       11)  —  1B  =  /*'  —  B 

in  —  -m  =  an  —  ii)  -  i[nn]  =.  [bf] 

also 

[BC]  +  [BS]  -  [BF] 

Ls  ist  aber 

[BC]  -f  [CF]  -  (C  —  »)  O  ~  F-B  ~>  [BF] 

mithin 

\B€f}  +  [CF]  =  lBC]  +  [BS]  ^  \BF\  91. 

I  h.  [CF]  und  sind  gleich,  und  CT-;        siud  als  gleichge- 

richtete Gegenseiten  eines  Parallelogramms  gleich.  Die  Gleichungen 
SO.  and  M.  detiniren  die  Addition  und  Substraction  von  Vectoren. 


76 


Gratfei  Strecken-  und  Punktrechnung, 


Der  von  Unverzagt  >)  eingeführte  durch  „die  vielfachen  Punkte 
mA,  nB  festgelegte  Q  uotientvector"  (mA,  nB)  ist  durch  den  Quo- 
tienten 

nB 

mA  =  (mA,  nB)  9% 

dehuirt".  Man  nennt  „mA  deu  Anfangs-  und  nB  den  Endpunkt  des 
Quotientvectors  (mA,  nB)". 

Es  ist 

ß'  B 

„.  =  A  =  (A,  B)  92'. 

und  da 

ufT  u  ß*  np  ß' 
ma'  ™  m  «'       mp  et' 

so  ist 

l  (A,  B)  -  (mA,  nB)  -  [At  -  b)  92". 
m  \      m  f 

Es  ist  also  -  (A,       gleich  dem  durch  die  vielfachen  Punkte 

mpA,  npB  bestimmten  Quotienteuvector  (mpA,  npB).  „Zwei  Quo- 
tientenvectoreu  (mA,  nB),  (m|C3,  «,/))  sind  gleich,  wenn 

m  mt 
n  a  n, 

ist  und  die  Strecken  AB,  CD  gleich  gross,  parallel  und  gleichge- 
richtet sind".  Die  Quotientenvoctoren  (mA,  nB)-,  (»tjC,  heissen 
parallel,  wenn  die  Strecken  AB,  CD  parallel  sind;  diese  Quotient- 
vectoren  sind  gleichgerichtet,  wenn  die  Strecken  AB,  CD  gleich- 
gerichtet sind. 

Nach  den  Gleichungen  92.  ist  ferner 


(A,  A)  -  (mA,  mA)  -  1,    (mA,  nB)  (nB,  mA)  =  1 

(A,  B)  (B,  O  -  A,  C 

(i,  B)  (B,  C)(C,D).  .  .  (M,  N)  =  (A,  N) 


93. 


„Für  die  vier  Grundrechnungen  der  Quotientvectoren  gelten  im 
allgemeinen  die  Gesetze  der  Arithmetik"  (nach  den  Gl.  20—26). 


1)  Unrentgt;  „Theorie  der  gouiometruchen  etc.  Functionen  1876«. 
S.  229. 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken. 


77 


Wenn  A,'B,  C,  D  die  Eckpunkte  eines  Parallelogramms,  dessen 
Diagonalen  AC,  BD  sich  im  Punkte  E  schneiden,  sind,  so  erhält 
man  aus  den  Gleichungen  28'.,  28".  die  Formeln 

A  B-  A*  B-rD-*E>  "lv^  =  A+A  Ä 

Bn~C  °A-n  A4-C-2F  A  +  °  A±°-<2* 
AD      C>    BA-D>    A-TC-2E>    —£         E+E  2B 

oder 

(A,  B)  -  (D,  O,    (Zf,  C)  -  (A,  D)  \ 

(A,  B)  +  (A,  D)  =  (A,  2E)  I 

[A,  B)D  =  C,    (B,  OA  =  D,  C)  -  (£.  2£)  -  2  l 

[  94. 

und  I 

(A.  mB)pD  =  pmC,    (B,  mC)pA  «  pmD  J 

Daher  ist  im.  mB)  ein  Factor,  der  einen  p- fachen  Punkt  im 
Räume  durch  Multiplication  um  die  Länge  AB  in  einer  Richtung 
verschiebt,  die  parallel  und  gleichstimmig  mit  AB  ist  und  den  ver- 
schobenen Puukt  zu  einem  pm  fachen  Punkte  macht.  Ferner  ist  die 
Summe  der  zwei  von  einem  Punkte  A  ausgehenden  Quotienten 
(.V,  B)  -f-  (AT,  D)  gleich  einem  Quotientvector,  der  durch  den  Punkt 
S  und  den  Schwerpunkt  der  Punkte  #,  D  bestimmt  ist.  Allgemein  ist 

(.V,  A)  +  (A,  B)  +  (A„  C)  -f-  (A,  D)  -f-  .  .  .  (A,  M) 

=  (A,  mP)  95. 

wenn  P  der  Schwerpunkt  der  m  Punkte  A,  B,  C,  D  .  .  .  M  ist 
Die  Formel  95.  erhält  man  aus  der  Gleichung 

ma'  +  rß'  =  (»  +  r)y> 

oder 

nA  -f-  rB  —  (n  -f-  r)C 

daher 

(A,  n^)  +  (A,  rB)  -  (A,  (n  +  r)C))  96. 

Der  Punkt  C  liegt  auf  der  geraden  Verbindungslinie  A,  B. 

Die  Formel.96.  kann  man  benutzen,  um  die  Summe  von  zwei  be- 
liebigen Quotientvectoren  {nA,  n/J),  (m,C,  n,7>)  zu  bilden.  Man 
verschiebt  CD  parallel,  bis  der  Punkt  C  in  den  Punkt  B  und  der 
Punkt  D  nach      fällt.   Es  ist  dann 


yö. 


78  Graefel  Strecken-  und  Punklrechnung. 

(m,C,  «,/))  -  (m,A,  «,F)  =  (>4,  £  f) 

F~  (n  +  "')j 

und 

-(«)') 

Ist 

»*  =  r/<  j  —  «  =  «1  =  1 

und  liegt  der  Punkt  A  in  der  Mitte  der  Strecke  BF,  so  ist 

{A,  B)  +  (B,  ,1)  -  U,  2,1)  -  2 

Setzt  man  in  der  Gleichung  28. 

qx  =  (A,  B)    ,h  =  (B,  Q,   qs  -  (C,  D)  .  .  .  &  -  (N,  4) 

so  erhält  man  allgemein 

(j,  B)  +  (/?,  c)  +  (C\  Dj  +  (A  /•:)-}-•.  •  +  (S,  -i) 

-  (.1,  *.l)  -  ä  97. 

und 


(.1,        =  »(,1,  7i)    -(*  —  !)  =  U,  nZi)  -  ( A,  (»  -  IM) 

(,t,  B)  (C,  /;)  =  04,  B)  +  (6\  />)  -  l 


98. 


Obgleich  (^1,  ü)  nicht  gleich  (C\  D)  ist,  so  ist 

Aus  den  Gleichungen  96.  folgt  die  Formel 

(y/,  A')  -f-  (^/,       -(67>)  -  (.4,  B)  +  M,  /*)  -  K  F) 

_  (^  b  +  7i  _  f) 

die  Strecke  ist  gleich,  parallel  und  gleichgerichtet  der  Strecke 
FZ*. 

Die  Gleichung 

(A.  Hf  -  M,  »/*)     (vi,  (it-1)-*; 
kauu  man  auch  schreiben 


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tnah+sonderr  die    Rerhnunn  mit  parallelen  Strecken. 


79 


M,  B)"  «  (A,  nh  -  [n  —  IM) 

=  K  O  98'. 

wenn 

ist.  Es  ist  also  „(v/,  fl)M  ein  Quotieutfactor  bestimmt  durch  den 
Punkt  A  und  einen  Punkt  C  der  geraden  Linie  AB,  dessen  Ent- 
fernung vom  Punkte  A  gleich  der  n-fachen  Entfernung  des  Punktes 
B  vom  Punkte  A  ist,  oder  (A,  B)n  ist  ein  Factor,  der  einen  Punkt 
im  Kaume  durch  Multiplication  um  die  Länge  n  .  AB  in  einer  Rich- 
tung verschiebt,  die  parallel  und  gleichstimmig  mit  AB  ist." 

Der  Quoticntvector  kann  auch  durch  das  Product  zweier  Punkte 
dargestellt  werden.    Es  ist  nämlich 

0'.«'-(-l)'J 

also 

ß' 

mß'  .  na'  -  mniß*  .  «')  =  (-l)sm/ft( 
oder,  wenn  man  statt  der  Strecken  deren  Anfangspunkte  nimmt, 

=  (—  1)\A,  mn  B) 
Der  Definition  nach  gelten  die  Gleichungen 

mA  .  nA  =-  ( — w»j4)  =  ( — \)*mn  =  m/J  .  uB 
mA  .  mB  ^  (— mnA) 

Ein  solches  Product  .4  .  B  unterscheidet  sich  sowol  von  dem 
durch  Grassmann  als  auch  von  dem  durch  Unverzagt  eingeführten 
Product  von  zwei  Punkten.    Grassmann  setzt 

A    B  —  CD 

wenn  die  Strecken  AB,  CD  gleich  lang,  gleichgerichtet  sind  und  auf 
einer  geradeu  Linie  liegen.  Es  bedeutet  A  .  B  die  Linie,  die  A 
and  B  zu  Grenzpuuktcu  hat,  aufgefasst  als  bestimmten  Teil  der 
durch  -I  uud  B  bestimmten  unendlichen  geradeu  Linie.  Dies  Pro- 
duct ,1  .  B  nennt  Grassmann  der  Ackere  „Linien teil",  Hankel 
und  E-  Müller  gebrauchen  den  Namen  „Geraden  stück",  Budde 
benutzt  den  Ausdruck  ,,1  iui enf  1  ü c h t ige n  Vector"  und  II.  Grass 
mann  der  Jüngvre  hat  dafür  das  Wort  „Stab"  eingeführt.  Die 
G*fSftze  der  Addition  and  Subtractiou  solcher  Stäbe  können  hier 
nicht  der  Betrachtung  unterworfen  werden. 


80 


Grae/e:  Strecken-  und  Punktrechttunq, 


Unverzagt  versteht  unter  dem  Producte  A  .  B  zweier  einfachen 
Punkte  den  Punkt  Z>*,  der  mit  dem  Mittelpunkte  der  Strecke  AB 
zusammenfällt.  Diese  Erklärung  erhält  man  durch  folgende  Be- 
trachtung. Die  Rechnung  mit  Punkten  kann  man  von  der  Rech- 
nung mit  Strecken  frei  machen.  Man  definirt  die  Addition  von 
Punkten,  übereinstimmend  mit  Moebius,  den  Quotienten  von  zwei 
Punkten  durch  die  Gleichung  92 ,  nimmt  die  Gesetze  der  Arithmetik 
an,  ferner  fasst  man  A"  als  einen  Punkt  auf,  der  mit  dem  einfachen 
Punkt  A  zusammenfällt.   Ausserdem  soll  die  Gleichung 

(i,  B)  =  (C\  D) 

nur  dann  richtig  sein,  wenn  die  Strecken  AB,  CD  gleich  lang, 
gleichgerichtet  und  parallel  sind,  ist  der  Punkt  A  der  Mittelpunkt 
der  Strecke  /)/*,  so  ist 

/Bf      B     B      B     A      Ii      *2A  — D       oA  B 
\a)  "  A     A~~  A  '  D~  D~      7)      ~  2  i>   "  1  ""  1 A  ~  1 

Durch  den  Schluss  von  n  auf  n  + 1  folgt  die  Gleichung 

/B\»        B  C 

(^)  -  »  --<„_!)  _  *    AC  =  nAB  93'. 

Liegen  die  Punkte  Ay  B,  C\  D  so  in  einer  geraden  Linie,  dass  ist 

(n-l)i4-|-C-nß,   pA  -f  uB  =•  (»  -fp)i> 
so  ist  nach  der  Gleichung  98'. 

(A,  B)n  =  (A,  O,    (A,  D)»+r  -  (A,  C) 

also 

er -er 

Da  die  Gesetze  der  Arithmetik  gelten  sollen,  so  hat  man 
Bn  Bn 

Aj  ~  ^    ******  "  U'        ~  101- 
mithin 

B»  .  AP  -  -  ylP  .  102. 

Es  ist  da:-  „Product  von  n  einfachen  Punkten  vi  gleich  einem 
Punkte  nter  Ordnung  A»  und  es  definirt  die  Gleichung  102,  in  Ver- 
bindung mit  der  Gleichung 

nB  +  pA  —  (n+p)ö  102'. 
das  Product  von  zwei  Punkten  p  ter  und  nter  Ordnung14.   Es  ist  für 


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imbetondere  die  Rechnung  mit  paiellelen  Strecken. 


81 


in  der  Tat 

A  .  B  -  B  .  A  -  Z>»  103. 
Aus  der  Gleichung  98'.  erhält  man  ferner 

rB*  +  mA*      rnB  —  (n-\)rA-\-sA      (r  -f- 

mithin 

*.4»-f-rZ*'«  -  (#-f  r)//  .        1  -  (a  +  r)0  1 

104. 

und         sA  +rB  +  (5  +  r)C  I 

Für  die  Punkte  .-/",  Hn  .  .  .  gelten  also  in  Bezug  auf  Addition 
ond  Subtraction  dieselben  Gesetze,  die  in  Bezug  auf  Addition  und 
Sabtraction  von  einfacheu  Tunkten  bestehen.  Es  stellt  also  itn—A* 
entweder  einen  Punkt  nter  Ordnung  im  Unendlichen  dar,  oder  es 
ist  ein  Operator,  der  zu  einem  Punkte  »ter  Ordnung  addirt  diesen 
am         parallel  und  gleichgerichtet  mit  AB  verschiebt. 

Mit  Hilfe  der  Gleichungen  102.,  103.,  104.  kann  man  die  Summe 
von  zwei  beliebigen  Quotientvectoren  (mA,  ȣ),  (^C,  n,D)  bestim- 
men.   Es  ist 

.     „      _      nB  .  nxD      hm.  B  .  C  -f-  n,m  A  .  D 

Die  Punkte  E,  H,  L  seien  die  Mittelpunkte  der  Strecken  AC\ 
SC,  ^Z?  ond  EM.   Man  hat  daher  nach  der  Gleichung  104. 

nm^B  .  C  -f-  w,  mA  .  I)      »m,  H*  -\-  n, m  A' * 
mmxA  .  C  mm1E* 

ond 

n  m,  //*  +  n,  m  A' 1  —  (nw,  -f  r»j  m)Z.» 

also 

Es  ist  aber 

jK  ~  /; 

mithin 

/TA*      L*  M 
\e)  ™  £s  "  £ 

and 

M  »*>  +    «  -  *>  - 1  +  Ö  *  -    C  +  5)* ) 96" 

Der  Punkt  3f  ist  durch  die  Gleichung 

Arch.  4.  Math.  «.  Pbjr».   2.  Rtihe,  T.  XV.  6 


82  Grat  ff.  Strecken-  und  Punktrechnung, 

2  (-+"')  M=t"'  -")(A-  C)  +  2" lZ^  +  2,"  n  %". 


gegeben. 
Wenn 


=  m  —  n,  ==  m|  =1 


nnd  die  Strecken  ^4i>*,  CD  parallel  und  gleichgerichtet  sind,  so  ist 
EM  die  Mittellinie  des  Trapezes  Ali  CD. 

Wenn  die  Strecken  yltf,  CD  parallel,  gleichlang  und  entgegen- 
gesetzt gerichtet  sind,  so  ist  M  der  unendlich  ferne  Puukt  der  Mit- 
tellinie des  Trapezes  ABCD. 

Das  Product  der  zwei  Quotientvectoren  ist 

(mA,  nB)  K  C,  n,  D)  =  (A,  B)  (C,  D) 

nnx    B,  .  D 


tn  ni|  A  '  C 

Wenn  G  der  Mittelpunkt  von  BD  und  von  EF  ist,  so  hat  man 

B .  D  F 
^1  .  C      £*  £ 

(m/1,  nB)  (m,C,  ^D)  =-  nn{F)  93. 

Wenn 

(Zf,  C,)  -  (C,  D) 
bo  erhält  man  die  Gleichung  93. 

(A,  B)  (B,  CJ  -  (if,  Ct) 

Es  seien  CD  und  ferner  ABlt  CDV  parallele  gleichgerich- 
tete Strecken;  die  absoluten  Längen  dieser  Strecken  seien  der  Reihe 
nach  a,  b,  1,  i.   Man  hat  also 

AB  -  a  .  ABU    CD  «-  b  .  CDX 

Gelten  die  Gleichungen  92.,  98,  102.,  104.  als  Definitionsglei 
chungen  auch  für  den  Fall,  dass  die  Zahlenfactoren  m,  n,  174,  n,, 
r,  •  etc.  irrational  sind,  so  hat  man 


er = s. 


s  6' 

und 


ä  .  /;    Bf  /v    Aa  ♦  *  n 

A  .  C~  A»  .  t*  ~  F 


\ 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  $3 

Die  absolute  Länge  von  PR  ist  gleich  a-\-b  und  die  Punkte 
A*  P  sind  durch  die  Gleichungen 

aZ?,  -f-  bDt  ■=  (a  -f  Ä)AT 
-|-  bC    —  (a  +  ft)P 

bestimmt.    Aus  den  Gleichungen  folgt 

[A%  Z>)  =  (/',  7?)  93". 

Bezeichnet  man  die  Strecken  AB.  CD,  PR  mit  ar„  y„  jt,.  so  ist 

»i  -  «i  4-  yi  93" 

Wenn  die  Strecken  C7)  parallel .  jedoch  entgegengesetzt 
gerichtet  sind,  so  bestimmen  ebeufalls  die  Gleichungen  93".  das  Pro- 
daet  der  Quotientvectorcn  (A,  R)  .  (C,  D). 

Setzt  man  in  den  Gleichungen  96".,  98".  und  98'.  statt  der  Quo- 
tientvectoren  (A,  B),  (C,  Z)),  (P,  R),  (JE,  3/)  die  Quotienten  der 

0*    6'    g'  a 

gleichgerichteten,  parallelen  Einheitsstrecken       ^.        ~,  deren 

Anfangspunkte  die  Punkte  C,       /»  A>,       M  bzhw.  sind,  so 

erhält  man  die  richtigen  Gleichungen 


*ß' 
ma 


j5'     *  //J'\«  0' 


n   ,  —  («  -  1) 
a 

Ferner  kanu  mau  in  den  Gleichungen,  die  Productc  und  Potenzen 
von  Punkten  nicht  enthalten,  statt  der  Punkte  mA,  nß  etc.  und 
H  C 

der  Quotienten  ^  D  etc.  die  Strecken  ma',  n?'  etc.  und  die  Quo- 
ß'  y' 

tienten        ^  etc.  nehmen.    Hiermit  ist  nachgewiesen,  dass  man 

mittelst  der  von  Unverzagt  eingeführten  Puuktrechuung  und  aus  der 
Annahme 

(j,  m-uA  =  5  92'. 

die  Gesetze  der  Additiou  und  Multiplication  der  Quotienten  von 
paraJlelen  Strecken  erhält.  Es  ist  selbstverständlich,  dass  man  in 
dieser  Punktrechnung  für  den  Punkt 

A*(n  =  1,2.  .  .  ) 

im  allgemeinen  nicht  die  Strecke  «'„  nehmen  kann;  in  den  Rech- 

f,* 


84  Graete:  Strecken-  und  Punktrechnung, 

ß'  H 

nungen  mit  Strecken  kann  man    ,  durch       ersetzen,  jedoch  die 

Strecke  er'  im  allgemeinen  nicht  durch  den  Punkt  A.  So  z.  B. 
kann  man  statt  der  Gleichung  40\ 

bß'{ß'  .  «')  -  («'  .  ß')  bß> 

o  ß'  «' 
*     -  f  P 

ß{A,  B)  -  (B,  A)ß  105. 

B(A,  B)  =  (B, 


oder 
setzen 

aber  nicht 


Man  kann  ferner  die  Hamilton'schen  Quaternionen  mittelst  Quo- 
tientvectoren  darstellen.   Nach  der  Gleichung  98'.  ist  für  eine  reelle 

Zahl  n  der  Quotient  fjj    oder  der  Quotientvector  (A,  B)»  gleich 

einem  Quotientvector  (A,  C),  dessen  Endpunkt  C  auf  der  geraden 
Linie  AC  liegt;  es  ist 

AC  —  uAB 

Es  seien  AB,  AC  zwei  Strecken,  die  den  Winkel  &  einschliessen, 
und  es  sei 

AC  =  a  .  yiff 

Die  Strecke  AC\  auf  v/Csoll  dieselbe  absolute  Länge  wie  AB  haben. 
Da  AC\  aus  ^2/  durch  Drehung  der  Strecke  AB  um  den  Winkel  & 
entsteht,  so  kann  man  setzen 

(AtCx)  -  (4 

wenn  der  Exponent  /*(#)  anzeigt,  dass  man  ^42*  um  den  Winkel  # 
drehen  soll.   Man  hat 

[A%  C)  -  (A%  C\Y  =  ({A,  BW*> 

Es  ist  dann  klar,  dass  man  hat 

{A,  C)  =  ((A,  B)  •)/(*!  -  (A,  Bpn*)  -  (U,  2*)A*);« 

Nimmt  man  wie  in  der  Arithmetik  die  Gleichung 

((A,  Ä)/(*))A*.)  -        £)/W  /C*i) 

wo  /"(Sj)  ein  Exponent  ist,  der  AB  um  den  Winkel      in  der  Ebene 
2MC  dreht,  an;  ist  die  Länge  der  Strecke  AE  der  Ebene  B  AC 
gleich  der  Länge  der  Strecke  AB,  und  ist  der  Winkel  BÄK  gleich 
9V  so  ist 


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inibe$»ndere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  95 
(A,  E)  -  (A, 

und  ebenso 

(A,  E)  -  (A,  =  (04,  B)M)A*t) 

tlso 

(A,  B)/(*+*i>  =  (A,  B)AW*x) 

Es  ist  also 

+       -  fWf(+t)  106. 
Nach  der  Gleichnng  93'.  ist 

(A,  B)  (A,  <?,)  -  (A,  F) 
die  Lange  von  AF  ist,  wenn  ^  gleich  der  Längeneinheit  ist,  gleich 
2  cos  2  and  der  Winkel  BAF  ist  gleich  Q,  mithin  ist 

2cos^(|) 

(Ay  F)  -  (A,  B) 

-  U,  B)(A,B)/*) 

Setzt  man  die  Gesetze  der  Arithmetik  voraus,  so  folgt  aus  dieser 
Gleichung 

/W  +  l-Zcosf/'Q  107. 
Da  die  Gleichung  106. 

-'(IM?)  -M?)! 

giebt,  so  erhält  man  aus  der  Gleichung  107.  die  Gleichung 
Die  Wurzeln  dieser  Gleichung  sind 

(9  0  & 

2)  -cos2  +  «   8iD  ä 

(  2)        "2        w"  2 
also  ist  f\6)  entweder 

1.  f{9)  —  cos#  -f  »  .  sin* 

2.  =  cos*  -  i .  sin» 
Nimmt  man  für  f{9)  den  ersten  Wert,  so  ist 


2 

i*  1 

f  \  « )  —  cos  n  —  i  .  sin  v 


-I 


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86 


C  rar  fei  Strecken-  und  Punk  (rectum  ng, 


und  >  109. 

nimmt  man  für  f{&)  den  zweiten  Wert,  so  ist 

(A,  CO  -  #  ^o-A-.-in*  I 

>  109'. 

(/I,  /?)  =  (A,  Q )«"■*+• "•■In*  i 

Stimmt  also  die  Drehung,  die  der  Exponent  cosir-f-t  sin 
cos# —  *sin#)  anzeigt,  mit  der  Uhrzeigerbewegung  überein,  so  ist 
die  durch  den  Exponenten  cos —  tsio (cosd--\- bestimmte 
der  Uhrzeigerbeweguug  entgegengesetzt  gerichtet. 

Man  bezeichnet  die  Drehung  um  den  Winkel  die  mit  der 
Uhrzeigerbewegung  übereinstimmt  mit  uud  die  Drehung  um  den 
Winkel  die  der  Uhrzeigerbewegung  entgegengesetzt  gerichtet  ist 
mit  —  \>.    Man  kann  also  setzen 

(A,  C)  =  (-■*,  «I«*)  110. 

wo  #  das  Zeichen  -f-  oder  —  hat,  je  nachdem  die  Drehuug  von  AB 
in  der  Ebene  BAV  mit  der  Uhrzeigerbewegung  übereinstimmt  oder 
nicht  übereinstimmt,  umgekehrt  legt  »  alle  Ebeneu  fest,  die  der 
Ebene  BAC  parallel  sind.    Nach  Hamilton  ist,  wenu  AB  / 

[A  C I      C-  A 
o(co.*+i.sintf)  =  \AB\~  B_A 

\A(f]  .  [A]i~\  =  _  <i/*(Cos&  f  i  .  siufr)  110') 

dieser  Quotient  wird  Quaternion  genannt1).  Errichtet  man  in 
einem  beliebigen  Tunkte  AI  der  Ebene  der  Quaterniou  {ABC 
ein  Perpendikel  M .X  von  der  Längeneinheit,  nach  der  Seite  des  Rau 
mes,  von  der  aus  die  Drehung  ir  mit  der  Uhrzeigerbewegung  Über- 
stimmend gesehen  wird,  so  setzt  Hamiltou 

=  [Mit]  -  N  -  M  110". 

Diese  Annahmen  Hamiltons  werden  im  Folgenden  nicht  benutzt 


1)  Vgl.  u.  A.  meine  „Vorlesungen  über  die  Theorie  der  Quatcrnionen*. 
Leipzig  1883.  Ich  glaube  nn  dieser  Stelle  darauf  hinweisen  zu  dürfen,  dn*s 
V.  Bulbin  in  seinen  „Elementos  de  calculo  de  los  enaterniuncs  ~,  Buenos  Aires 
1887  im  neunten  und  zehnten  Capitel  (Theorie  der  Curven  u.  Flächen)  die 
be».  Abschnitte  meiner  Vorlesungen  zum  Teil  übersetzt  habe. 


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innbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  S/recken. 


87 


Ist  A  der  Mittelpunkt  der  Strecke  C'B\  so  ist 

unabhängig  von  der  Ebene  ABC. 

Man  ist  berechtigt,  die  Definitionsgleichungen  des  Logarithmus 

p*  —  <z,   *  —  plog<z  111'. 

auf  den  Fall,  dass  p  und  q  Quotientvectoren  sind,  auszudehnen 
so  dass  man  nach  der  Gleichung  110  setzen  kann 

a(cos#  -f  i .  sm&)  -     Bjjog^  C)  110'. 

Man  nennt  «  den  Modul  und  #  das  Argument  der  Quaternion. 

Es  ist  also  der  „Logarithmus  eines  Quotieutvectors  (A,  C)  für 
einen  zweiten  Quoticntvector  (A,  Ii)  als  Basis  gleich  der  Quaternion 
aus  den  zwei  Üifferenzvectorou  [AC]  und  [AB\. 

Für  die  Logarithmen  der  Quotientvectoren  kann  man  alle  für 
die  Quateruiouen  gclteudcn  Sätze  beweisen.  Man  kann  die  Sätze 
der  Quaternioneu  beweisen  mit  Hülfe  der  Logarithmen  von  Quotient- 
vectoren, wenn  man  annimmt,  dass  diesen  Logarithmen  die  Eigen- 
schaften 

»»logg  .  r\ogp  =  rlog</,    rlogf/  +  rlog/>  —  »log 2  .  /)  111'. 
zukommet],  jedoch  im  allgemeinen  die  Gleichungen 

'togg  .  rlog/>  =»  rlog/>  .  Plogq 

P\0gq  .  rl0g*  SS  »lOg.S  .  P\0gq 

nicht  gelten;  die  zwei  letzten  Gleichungen  sind  richtig,  wenn  die 
die  Quotientvectoren  p,  r,  g,  *  bestimmenden  Punkte  in  einer  Ebene 
,'bzhw.  parallelen  Ebenen)  liegen. 

Ganz  ähnlich  kann  man  die  Quotienten  von  parallelen  Strecken 
mittelst  der  sog.  parallelen  Quotientvectoren  darstellen.  Nimmt 
man  an,  dass  „Quotientvectoren  nur  dann  gleich  sind,  wenn  sie  den- 
selben Anfangs-  und  Endpunkt  besitzen",  so  bedarf  es  natürlich  einer 
besonderen  Erklärung  der  Addition  und  Multiplication  dieser  Quo- 
tientvectoren. Für  diese  Quotientvectoren  führt  man  am  besten  ein 
besonderes  Zeichen  ein;  man  bezeichnet  den  durch  die  Punkte  mA 
und  nB  bestimmten  Quotientvector  mit  (w^;  nB). 

Es  ist 


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88  Graefe:  Strichen-  und  Punktrechnung, 

{mJ-,  nB)  —  (mxC\  nxD) 
wenn  C  auf  A,  D  anf  B  fällt  und 

n  ist 


Hl, 


Von  den  Gleichungen  93".,  96".  ausgehend,  erhält  man  folgende 
Definitionen : 

1)  „Unter  der  Summe  von  zwei  parallelen  Quotientvectoren 
(«U;  nB).  (m, C\  ntD)  versteht  man  einen  Quotientvector  ^E; 

(to  m  )  '  de88en  Anfan«8-  und  Endpunkt  durch  die  Glei- 
chungen 


+  --,  /)  96". 
"i 

bestimmt  sind".   Die  drei  Quotientvectoren  (m^;  n£),  (m,C;  n,D), 

(*«  6+3*) sind  paraiiei- 

2)  „Wenn  die  Strecke  PR  gleich  der  Summe  der  zwei  paral- 
lelen Strecken  AC,  CD  ist,  so  versteht  man  unter  dem  Product  der 
zwei  parallelen  Quotientvectoren  {A\  B)y  {C;  D)  den  Quotientvector 
(P\  R)".  Für  diese  Quotiontvcctoren  gelten  also  die  Gleichungen 
93.,  93'.  nicht. 

Diese  Verknüpfungen  genügen  dem  commutativen  und  associa- 
tiveu  Gesetze. 

Man  kann  leicht  nachweisen,  dass  der  Quotientvector  (A;  B)», 
wenn  n  eine  reelle  Zahl  bezeichnet,  gleich  einem  Quotientvector 
(A;  M)  ist;  es  ist 

AM  —  nAB 

und  der  Punkt  M  liegt  auf  der  geraden  Linie  AB.  Es  seien  AB, 
CD  zwei  parallele  gleichgerichtete  Strecken,  und  es  sei 

CD  «■»  a  .  AB 

die  Strecke  (J\  auf  CD  soll  dieselbe  absolute  Länge  AB  haben. 
Da  man  67),  aus  AB  durch  Parallel  Verschiebung  der  Strecke  Alf 
um  die  Länge  Ac  in  der  Richtung  von  A  nach  C  erhält,  so  kann 
man  setzen 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  89 

(C;  De)  -  {A'%  *)f<'0 

wenn  qp{-*C)  eine  Translation  anzeigt,  die  nach  Grösse  und  Rich- 
tung durch  AC  bestimmt  ist. 

Man  bat 

(C;  D)  =  {(A;  Ä)-)f(-'0  -  {(A-  J)*MO)« 

Wenn 

(4  2?)  (C;  D,)  -  (P;  *) 

ist,  so  ist 

(Pj  Ä)  -  ((A;  Bf) 
(C;  =  [Fi  R) 

mithin 

»(t) 

Setzt  man  für  diese  Gleichungen  die  Gesetze  der  Arithmetik  vor- 
aus, so  erhält  mau 

2*  (?) 

4»(f)T 

nnd  hieraus 


+  1  =  29 

,,«,[,(f)]- 

Mf  )]■—(<?)- 


112. 


Bezeichnet  man  die  Strecken  CZ>j  mit  «'  und  y\  so  genügen 

den  Gleichungen  112. 


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90 


Graf  Je:  Streck'»-  und  Punkt rechmunj. 


1)    <?{AC)  -  I,      2)    v{AQ*=y-,  -  ~ 

(AC\     £  +        J+C  P 
*\  2  )—    2a'     ~  ~  *A   ~  a 

Da  die  Quotientvectoren  (A;  B),  (C;  /),)  nicht  gleich  sind,  so  ist 

<p(AC)  -  t  112'. 

and 

(C;  /))  -  (A;  B)<"H*0  ms  (J-y  B)  113. 
Nach  der  Definitiousgleichung  111.  ist  mithin 

=      *>log(C-,  D)  113'. 

Man  erhält  daher  den  Satz:  „Der  Logarithmus  eines  Quotient- 
vectors  (C;  D)  für  einen  zweiten  parallelen,  gleichgerichteten  Quo- 
tientvector  {A\  B)  als  Basis  ist  gleich  dem  Quotienten  der  parallelen 
Strecken  CD  und  AB". 

Allgemein  hat  man  den  Satz:  „Wenn  die  Strecken  AB ,  CF 
gleich  lang,  gleichgerichtet  und  parallel  sind,  und  ebenso  die  Strecken 
AK,  CD  gleich  lang,  gleichgerichtet  und  parallel  sind,  so  ist  der 
Logarithmus  des  Quotientvectors  (C;  D)  für  deu  Quotientvcctor 
[A\  B)  als  Basis  gleich  dem  Producto  der  Qnaterniouen  aus  den 
zwei  Vectoren  [AK]  und  [AB~\  und  des  Quotienten  der  Strecken 
CD  und  AK  oder  gleich  dem  Producte  des  Quotienten  der  Strecken 
CF  und  AB  und  der  Quaternion  aus  den  zwei  Vectoren  [CD]  und 
[CF]".   Dieses  Product  nennt  Unverzagt  Biquaternion. 

Es  seien  A  und  C  die  Aufaugspunkte  der  parallelen,  gleich- 
gerichteten Einheitsstrecken  o',  ye'\  die  absoluten  Längen  von  AB, 
CD  seien  mit  a  und  c  bezeichnet:  ferner  sei  in  der  Ebene 

ABK :  AG'   \  BK,    G'E  \  AB,    AK  skr.  CD,   AB  #  CF 

KB'  skr.  AB,   AG  skr.  AB,    AG  skr.  KG 

B'  ein  Punkt  der  geraden  Linie  AB,  und  in  der  Ebene  CDF 

DF*  skr.  CF,    CH  skr.  CF,    DH  skr.  CH 

F'  ein  Punkt  der  geraden  Linie  CF-,  CD  bilde  mit  AB  den  Winkel 
&  und  AG'  mit  AB  den  Winkel        Es  ist 


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i^b*  andere  die  Bevkmmma  mtt  parallelen  Strecken. 


91 


(A,  (?)  =  (A,  B) 


-<p  (cos#'+  ».  sin*') 


a  Slll 


also 


{A,  E)  -  {A%  B) 


cfco8^-f »  .  sin#) 
a 


(A%  G')(A,  B)  -  (A,  B) 


5  ^  +  sin  0  cotg  9*  +  i  .  sin 


mithin 


-(co8^  +  »-.  sin#) 
-  (4  B)" 

{A%  G')  (A,B)~  (A,  E) 


i*  1 


Diese  Formel  kann  als  Definitionsgleichung  des  Products 
(A\  G')  {A\  B)  dienen,  also 

„Das  Product  von  zwei  Quotientvectoren  (A\G')(A\  B)  ist  wieder 
ein  Qnotieutvector  {A\  E):  die  Strecke  AE'xst  die  Diagonale  des  durch 
die  Strecken  (AG\  AB)  bestimmten  Parallelogramms.  Es  gilt  das 
commutative  und  associative  Gesetz.  4 


Man  bat  danu 


-  (C0Sfr+»  •  siu^)  =  (A-  G')  (A^ 


(4;  E)  =  (A-  B) 


114. 


^(cosfr-J-t  .  sintf)  ~ 


(C,  D)  -   (A-  E)    -  \(A-B)  } 

and  nach  Gleichung  111.,  uud  der  ersten  Gleichung  111'. 

v  '  c 

*>log(C-,  D)  -  £  a  (cos 9 -f  *  .  sin*) 


<7i 


oder 


=  ^r  (cosfr-f-  .  tsin£) 


-  (cos^-f  i .  siu#)  y! 


(C;  /))  =   {(i«;  Ä) 


-  (4  *) 


aa' 


(costf-f"1  •  sin#) 


115. 


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Grat/t:  Strecken-  und  Punktrechnung, 

Ferner  iit 

j£-  j  (co8*+  Hin») 


(C;  F)  -  (A-  B)    ,     (C;  />)  -  (C;  F) 


;  (C0S^+.'8iD^) 


=  \(A:  B)  \ 

und  nach  der  Gleichung  111.  und  der  ersten  Gleichung  111'. 

('«  *>log(C;  i>)  -  -(cos^  +  .sintf)*  -  -yV  (cosd-fisin^)  115'. 

(I  u  i  ja 

Für 

erhält  man 

#  -  f  <  115". 


Die  Gleichungen 


ao' 


(C?  D)  =  (C;  F'J  (C;  //),    (C;  F*J  -  Ä) 

^'*sin£ 
(C;  fl)  =  (-4;  ß)a° 

geben 

(4  m  =M;         (41)  116. 

Da  man  nach  der  Definition  des  Productes  von  parallelen  Quotient- 
vectoren 

*'  ft  *' 

(C;Z>)  (C;Z>) 

*'  y/ 

n   7  tm  --7- 

-  (C;  D)  9   (C;D)  U 

hat,  wo  a',  y,',  *',  gleichgerichtete  parallele  Einheitsstrecken 
sind,  so  ist 

^(cos^  +  isin*) 

-(costf-f-  i'sintf)  ro£  -  (co8  0-f-tsin0)n  -y 

-  (Cj  W  (C;  F)°  '  117. 


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tnsbesondere  die  Rechnung  mit  paralUUn  Strecken.  93 

Die  Gleichungen  115. —  117.  sind  mit  Hilfe  der  Definitionen  des 
Prodnctes  von  parallelen  Quotientvectoren  und  von  Quotient vectoren, 
die  denselben  Anfangspunkt  haben,  und  ferner  der  Gleichung  111. 
and  der  ersten  Gleichung  111'.  abgeleitet  worden. 

Nimmt  man  noch  an,  dass  die  zweite  Gleichung  111'.  besteht, 
wenn  />,  q,  entweder  parallele  Quotientvectoren  oder  Quotientvectoren 
mit  demselben  Anfangspunkte  sind,  so  erhält  man  aus  den  Glei- 
chungen 116.,  117.  die  Formeln 

<  *log(C;  D)  =  Ms  *>log(C;  F\)  (C;  H) 

-  Wi  Ä>log(<\  F')  +  log(C;  //) 

oder 


\cos#  \  isinfr 

aa  na 

c 


ist 

i      ...  ,rj' 

(cos  Jf-f-l  9in  7C)  — a, 


116'. 


%  costf  ^  t  8in  £ 

au  a« 
=  ^*log(.i;  Ä)  +-*:*log(.4;  B) 

J  (cos  fr-f  isinfr)  —  ^.  cos  fr  -f-  ^. » sin  fr 
and 

^(cosfr  +  »sinfr)^»^+«  j 
c  ^logCC-,  F) 

c  y  ' 

-  (cosfr-|-»sinfr)%! 

=  C€;  ^log(C;  F)° 

ra(cosfr  +  *8i«iö)n^        )  117* 
-f-  (C;  F)log(6';  F)° 

^(cosfr+isin&)(ro£  + 

=    (cos  &  +  »  sin  fr)m  2 -  +  -  (cos  fr  +*  sin  *)  - 
a  et«  t» 


a 


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94 


Grae/e:  Strecken-  und  Punklrechnung. 


(A;  B)  (A;  B)">*»+™«"  -  (A-  Ii)  (A-  B)~l  —  ö/° 

(cosw  +  Zsiu^) 

Die  Quotienten  (A\  B)y  (J;  B)  sind  entgegengesetzt 

parallel  and  das  Product  derselben  ist  uaeh  der  Definition  und  der 
letzten  Gleichung  ein  Quotientvector ,  dessen  Anfangspunkt  auf  AC 
im  Unendlichen  liegt  und  dessen  Anfangspunkt  und  Endpunkt  die 
Entfernung  null  haben.  Die  Quotientvectoren  {A-y  B),  (A ;  B)™***'™" 
haben  denselben  Anfangspunkt,  uud  das  Product  derselben  ist  nach 
der  Dctiuitiou  und  der  le'zten  Gleichung  eiu  Quotientvector,  dessen 
Anfangs-  und  Endpunkt  mit  dem  Punkte  A  zusammenfallen.  Füllt 
der  Puukt  A  auf  den  Punkt  C\  so  ist 

Yt  -  «* 

und  die  beiden  letzten  Gleichungen  stimmen  überein. 
Da  ist 

(4;  B)m^*f  M«*»»)  .  (A]  j5)»»(e«8(* +»)+•. «in(y-M))  =  (A  ;  B)' 

wo  »j  anzeigt,  dass  die  Strecke  AB  nicht  in  der  Ebene  vi BC  gedreht 
werden  soll,  so  ist  das  Zeichen  {A\  B)°  für  sich  genommen,  unbe- 
stimmt. 

An  einer  Figur  kann  man  leicht  zeigen,  dass  für  die  rechte 
Seite  der  zweiten  Gleichung  117'.  ausser  dem  commutativen  Gesetze 
das  assoziative  Gesetz  gilt 

Um  in  Ueberein8timmung  mit  allen  Lehren  der  allgemeinen 
Arithmetik  zu  bleiben,  sollen  die  Formeln 

(A-,  B)H  .  (A-  B)<  ~  (A:  B)«+<  -  (A:  {A\  B)* 

.  (A-  B)u  116". 

\(A-  B)"  .  (A-  *)•)  .  (A-  Bf  -  (A't  B)"\{A-  *)■  .  {A\  B)v\ 

bestehen,  Bei  dieser  Annahme  ist  das  Product  von  zwei  Quotient- 
vectoren, die  entweder  denselbeu  Anfangspunkt  haben  oder  parallel 
sind,  wieder  ein  Quotientvector,  dagegeu  ist  das  Product  von  zwei 
Quotientvectoren,  die  weder  denselben  Anfangspunkt  haben,  noch 
parallel  sind,  nicht  einem  Quotientvector  gleich. 

Es  seien  nun  AAt,  ABly  ACX  die  Axen  eines  rechtwinkligen 
Coordinatensystems  und 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken  95 


118. 


AAX  -  AB,  =  ACl  ~  1,    .',»  =  -1,   1 

M;      -  M;  ^)<>,  Mi      -  M;  Btft 

(J;       -  {A.  cxy* 

also  nach  den  Gleichungen  109. 

(i;  Ä,)  -  (^4;  <?,)-,,  C)  =  (A-  AXY         (.4;  A,  -  (A  •  /?,)-. 

Die  Zeichen  4,  <s  operiren  in  den  Ebenen  .itfjC',,  AAtCv  AAXBX. 
Hieraus  erhält  man  z.  B. 

[(A.  Arfty*  =  M?  Arft**  -  £,)•>  =  Mi  tft)  -  (i4;  Ajf-H 
also 

•     •  • 

ebenso  findet  man 

Hh  —  —  »s»    *s*t  —  —  »1»    *i  »*  —  *3i    «o»i  —  »,«=  —  »t », 

«« »s  —  »1  H8'. 
Die  Coordinaten  eines  Punktes  M  seien  x,,  y„  c,  und 

Z.  MAC\  =  <jp 

Es  ist 


Vxi  * -f y, 1  -f  s, 51  (cos  <p  -f   si  n  <j>) 
U;1T)  -  (^)   

(i;  3/)  =  (A;  Ax)*y  (A-  ff)ffi  (A-  C,)'. 


U;  C,)'.  M;  C,)  =  M?  C,)'.  Mi  Ci)**1  Mi  ^'i)-»5" 

also 

«4  VV+ii*  -  4*1  -  '1  y,  119. 

Verbindet  man  den  Punkt  >4  mit  dem  Punkte  i?,,  dessen  Coor- 
dinaten —  y,,  «1,  0  sind,  so  ist 

M;  R)  ~  Mi  119  • 

Es  sei 


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96  Gr  äffe:  Strecken-  und  Puuktrechnung, 

A/jAf  —  y„    AMt  —  *„    MiM1  =  c„    ^T,  skr.  AM,  Al\  skr.  ^4, 

AP  —  1,    -4A/,  —  i», 

und 

U?  Af)  -»  (A\  B) 

(A-  />)  -  (A]  Mi?  AT,)  =  Mi  *>,)•"., 

Es  ist  dann 

»Y«t>+y«,+>i,  =  hJri  +  '>i 

also  

Setzt  mau 

Ms  a/)  -Mi  *0 

also 

AM'  -  1 

und  sind  dio  Coordiuaten  vou  Af  :  xt  \  t/t\       so  ist 
und 


c  t 

cos#  H-  -  sinfli 
a  1  a 


j  (cos  &  +  sin    i,  ar/+  *  fcfe'» 


also 

Ws^lOgM?      —  ■         +  sin#) 


r 


ss-(C0fl»+rin*ftV+4*i'+W>)  120 


Die  gerade  Linie,  die  den  Ursprung  der  Coordinaten  mit  dem 
Punkte  (*,',  x4',  xs')  verbindet,  steht  auf  der  Ebene  ABE  senkrecht. 

Setzt  man 


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{»»besondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  97 


e 

-  COS  #  —  W 
a 


-sind  .  —  ar 
£siüi*  .  y/  -  y 
-  sind  .  *,'  =  - 


120'. 


io  ist 

t*J  *>log04;  E)  ~  »r  -f-       +  t,y  +  f„*  120'. 

Die  Quaternion  ist  hiermit  auf  eine  viergliedrige  Form,  die  Nor- 
raalform,  gebracht. 

Die  Coordinaten  der  Punkte  B  und  B  seien  (*',  y',  »'),  (x",  y", 
x).  Es  ist 

a»  -  *'*  -f-  y'*  +         c*  =  *"*  +  y"*  +  **» 

-  (>4;  #,)-■•*'♦»'-/*'  =  (A  ;  C^t**-*,yV  -f  Zi 
Fi;  £)  -  04;  -  04;  Xf),-^ **+sT+... - 

ilso 

+      '-»,«"  -  ;(cosd  +   sin  »)      +  /3y'  -  W 
— »i  -  ^  (cos.?  +  I  sin^)  (»,*'  —  i,y'  +  *') 

tf-f-ii         <-  (cos*  +  »sind)  ft«'  -  y'  -  ,,z') 

Setzt  man  die  durch  die  Grössen  ar,  y,  *;  y\  «*,  y",  *\ 
•„  i„  m:  ausgerechneten  Werte  ven  a,  c,  cos d-f-t sind  ein,  multi- 
plicirt  anf  den  rechten  Seiten  nach  den  Multiplicationsregeln  der 
Arithmetik,  beachtet  die  Producto  der  Grössen  t,,  4,  »3,  so  erhält 
man  die  linken  Seiten.  Es  gilt  also  das  distributive  Princip  für 
das  Product 

(ir  -f  i,  z  +  t*y  +  «,*)  (m  -f  tra  -f  I,  p\    r,  s  —  1,  2,  3 

Es  ist  jetzt  leicht  nachzuweisen,  dass  das  distributive  Princip 
für  das  Prodnct 

.  4.  Mmtb.  u.  PhyB.   2.  TUihe,  T.  XY.  1 


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98  Grat fe\  Strecken-  und  Punktrechnung, 

(«?  +  l,  x  -f  ity      i^z)  (m  -f-  ,\  n  -\-  4  ;>  +  4  l) 

besteht.  Der  Punkt  S  habe  die  Coordinaten  n,  p,  0,  and  der  Puukt 
T  habe  die  Coordinaten  — />,  n,  0;  es  ist 

M;  r)  =     s)<.,  (i|  e\)  -  (i5  ryi 

(4  ö, )  -  M  i  S) 

*<  >V  +  »*  -  ft'p  +  it'n),    t,  yp*"-f  ^=  (*'«  -  HP) 
Für  das  Product 

(« + w> '+  v££'  +  *') (m  +  *' w + w 

gilt  das  distributive  Princip  und  es  ist  gleich 

(tc  +  i>  +  ity  +  /3«  )(m  +  V)  -f  (ir  +  »,*  -f-  ity  -f-  i3,)  (,,„  4-  {&) 

da  für  diese  Glieder  ebenfalls  das  distributive  Princip  besteht ,  so 
ist  bewiesen,  dass  es  für  das  Product  von  zwei  Quaternionen  Gel- 
tung bat.   Man  bat  also 

+  's*)  («•  +  »i »  +  4P  +  4') 

«-  «'m  —  jrn  —  yp  —  »/  4~  '1  (xm  ~F"  Wn  ~f*  y*  —  *p) 

4-       4~  lcPt  ~h  *w  —  y')  +  'i(*m  H~ H~  flT  —  y»)  121. 

Mit  Hilfe  der  Relationen  118.,  den  Gleichungen  119.  und  120 
kann  man  die  formale  Theorie  der  Quaternionen  entwickeln.  Die 
Zeichen  i  etc.  kann  man  jetzt  als  Differenzvectoren  oder 

als  Drehungsfactoren  auffassen.  Nimmt  man  die  Zeichen  i  als 
Differenzvectoren,  so  erhält  man  mittelst  der  Formeln  geometrische 
Sätze,  betrachtet  man  dagegen  die  Zeichen  i  als  Drehungsfactoren, 
so  kann  man  mittelst  der  Formeln  geometrisch-phoronomische  Sätze 
aWeiteu. 

# 

Setzt  man  in  der  Gleichung 
m  —«COBiV    n  —  *sin#,  .  af„    p  —  <sin£,  .  y„    t  =  *sinfrt  .  *, 

^  +  V  +  V  =  i 

so  ist   

und 


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inthexondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  99 

,"1  1 

und  mitbin 


-(costf  -f  ;siu#)*(cos  3,  -f  *'sin#,l 


CS 


—  -  (cosS  cosir,         .  ?  siutf  sin &t 
-\-  i siuO  cos^,  +  »'cos#  sin*,)  121'. 

Wenn  CL  an  Läuge  gleich  TZ)  ist  und  mit  CD  den  Winkel 
und  mit  CF  den  Winkel  #Ä  einscbliesst,  so  ist  (nach  den  Glei- 
chungen 115.) 

[C\  L)  —  (C;  K*i»*t 

(cosd,  -|-  flin  tf,)  j^eostf  -f  »sin#)^rj 

=  (A;B) 

(cos#,  -f    sin  ir,)-  (cos  £  -j-  »sin 


(C;  L)  -  (€?? 


(costfg  -f  *"sin#2) 


{(cos^j  +  »'  sinS')  (cos*  +  *  sin O)} 


-y-,(cosfr,  +  *"  sin  tf8) 


=  Mi  Ä) 

,*  l,   f'i  -  l 


mithin 


(cos  tf,  -f  »'  sin  Ot)  {(cos  £  +  i  sin  »)  _ 


<7i 

an 


-  (cos  *,  +  i*  sin     )  |^*'  (cos  if  +  i  sin  £)j 


—  {(cos  »x  -f  »"  siu      (cos  #  +  i  sin  ,«0}  Cj\ 

-  %  {(cos  »x      i"  siu       (cos  &  -f-  •  siu  &)\ 
an 

122. 


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100  Graefet  Strecken-  und  Punktrechnung, 

122. 

—  cos     cos  #  ey\  +  *      *  cos 

1  ga'    1  1  aa 

4-  i'  sin     cos  5-  CyV  +  i'  i  sin  &.  sin  #  — r 
1  1  aa  1  aa' 

—  ^:  filog(C;  L) 
und  hieraus  für 

c  =  a,    &  =  &t  =r 


(■•  50  - '  (£)  = "  o  f  -  £  f  o  122' 


Wenn  üTJ'  an  Länge  gleich  CL  und  gleichgerichtet  parallel  CL 
ist  und  ferner  A'  der  Anfangspunkt  einer  Einheitsstrecke  yk'  ist,  die 
parallel  und  gleichgerichtet  der  Einheitsstrecke  a'  ist,  so  ist 


{K\  J')  =  (C\  L)  -«?;£) 

( 


x'  x' 
(co8*,+i'iinfr,)^ 


|^(cos#,-f  ftin^XcostH-feind-)  ~  |  * 


123. 


^  (cos^j+^sin^cos^-j-isintf-)  *, 


-  Mi 

mithin 


|?  (cos  »,  +  /'  sin  (cos  3  +  i  sin  fr)*?-}  ^ 
=  "  (cos  +  f  sin  *j)  (cos  fr  -f  t  sin  &)  J 
-  ^  (cos      +    sin       (cos  »  +  »  sin  &)  (p  .  * 123'. 


und 

1  jv  n 


x'  x'  lt' 


»._'  _ ,  *  «■    (fi  r.'v:  _      _  „m*  -\ 


Nach  doo  Gleichungen  16.  kann  man  setzen 
es  ist  daher 


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inabesondere  die  lUchnung  mit  parallelen  Strecken.  101 

("»?-("?)&-(»&)?' 

Mit  Benutzung  der  Formeln  114.  — 123'.  kann  man  die  Grund- 
rechnungsarten der  Biquaternionen  Unverzagt's  entwickeln.  Nicht 
jede  Verbindung  von  zwei  Biquaternionen  Unverzagt's  durch  eine 
der  Grundrechnungsarten  führt  zu  einer  Biquaterniou  Unverzagt's 
als  Resultat  der  Rechnung.  „Das  Product  von  zwei  Biquaternionen 
Unverzagt's  ist  wieder  eine  Biquaternion  Unverzagt's",  dagegen  führt 
im  allgemeinen  die  Summe  oder  die  Differenz  von  zwei  Biquater- 
nionen Unverzagt's  nicht  zu  einer  Biquaternion  derselben  Art.  Die 
Summe  oder  Differenz  von  zwei  Biquaternionen  Unverzagt's  kann 
man  allgemeine  Biquaternionen  nennen. 

Ferner  lässt  sich  mit  Uilfe  der  Formeln  30.  —  30*.,  120'.  jode 
Biquaternion  Unverzagt's  auf  verschiedene  Arten  in  Summen  zer- 
legen. Nach  deu  Gleichungen  117'.  und  120'.  ist 

/  '  fr'  \ 

!•  +  HV  +  h*  +  '«=)  ('»  *  +  %. ) 

7t'  f     y  ' 

-  w»  -f  +  ('j*  4-  >\y  4-  W  (»»  -i-  4-  ■  yj 

Die  Gleichungen  116".  uud  119.  liefern  leicht 

<h*  4-  '*!/  4- '»  (m  ^-  4-  »  jr) 

y  '  y  '  y  '  7t'  Jt'  7t' 

-  »i  a!  »**  4-  's  J  »v  4-  »3  J     4-  »*j  (y    4-  *s  Q. n!/  4-  'a  p>  »» 

mitbin  ist 

(«  +  i,x  -r-  /,y  -f  «»  (m       +  n        —  mir      4"  »«  *. 

+  h  ^        4"  *i  4"  »t      mV  4"  »i  *7  ny  +  i8 

4-  *  y  uz  124. 

Nimmt  man  in  der  Gleichung  123.  statt  des  Winkels  den 
Winkel      liegt  CL  in  der  Ebene  CFD,  und  ist 


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102 


Graeff.  Strecken-  und  Punktrechnnng, 


tfT;  J)  =  (A;  J9* 

so  hat  man 


r:  DUog(A';  J)  =  -  (cos  *  +  *  sin  »)-,—    (cos  *  -f  i  sin  #)  '7125. 

o  y,      a  « 

Auf  der  geraden  Linie  AT'  sei  der  Anfangspunkt  der  den 
Strecken  x',  a\  y,'  parallelen  gleichgerichteten  Einheitestrecke  t 
gegeben;  es  ist  dann 

*'      ?n* m'  r/  _  mo  +>i         ,  .         ,  , 

7i  ?/io  T"  mi        wo  i~  "'i 

und 


l*i  '»log(A;  J)  =  ^(cos     +  /  sin  fr)  (po  +jps)  125 

Liegen  die  Anfangspunkte  der  gleichgerichteten  parallelen  Ein- 
heitsstreckon  x',  y,',  u\  v'  in  einer  Ebene  uud  die  Anfangspunkte 
der  Strecken       vl  nicht  auf  der  geraden  Linie  AT',  so  hat  man 

,      >/u  ■+■  m,    ,  4-  «4    ,  •  —  ™  i  .f 

Yi   ~~      4-  wi  +  «4  +  "*a        wlo  4-  mi  +  "4 

=  ro  +  Pt?  +  pj" 

*  D)  log(A';  J)  -  jj  (cos  fr  +  i  sin  fr)      +  pj  +  />./)  125". 

^0  +  Pl  +  7>2  =  1 

Wenn  allgemein  die  Anfangspunkte  der  parallelen  gleichgerich- 
teten Strecken  </,  ß\  y',  6'  die  Ecken  eines  Tetraeders  sind,  so 
hat  man  nach  den  Gleichungen  9.,  12. 

ß'         y'  * 

o'  -f-  m,  -f-  ws  -f  m8  w*o  -f  m,  -f  m,  -f  m8 


m0  ~f*  m4  ~l~  "4  "4"  w8 


und 


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iiubtM0mdert  die  Rechnung  mit  /parallelen  .Strecken  103 


(C:  0  log(A';  J)  -  a  (cos  »  +  t  sin  fr)  (to+pJt  +  />,./,  +  P»Jt) 

-  ("*  +  '>  +  «V*  -f-  <3*)  (r*  +  Pi  Ji  4-  />*v*  +  pJi 

Für  die  Prodacte  125  — 125*.  gelten  das  eommutative  und  distri- 
butive Gesetz. 

Nach  den  Gleichungen  28.  ist 

?  -  %}  -  1,  il%  =  V~  1,  /*  -  2/'  -  1,  iV"  =  r  +/'  - 1 
/»/«  -  fr  +  im  —  I,   ||  .7-  •./»  —  ii  +    +is  —  2 

Wenn  man  im  Räume  das  Coordinatensystem  mit  den  Axen  ÄAly 
ABX,  A(\  und  ein  Tetraeder,  dessen  Ecken  die  Anfangspunkte  der 
Strecken  o',  ß\  y',  6'  sind,  und  ferner  eine  Strecke  CD  gegeben  sind, 
so  ist  man  im  Stande  jeden  beliebigen  Quotientvector  mit  Hilfe  des 
gaotieotvectors  (C;  D)  und  den  Maasszahlen,  «c,  *,  y,  z,  j>0,  />„  pit  ps 
loszudrücken.  Die  geometrische  Bedeutung  der  Zahlen  »,  x,  y,  x,  p0, 
Pi«  /'s  folg*  leicnt  »U8  den  Gleichungen  120.,  120'.,  12.  Mau 
kann  den  Ausdruck 

(«  -f  i,jr  -f  /sy  +  /3t)  {  p9  +jxPl  +  j*pt  +  feft) 

wo  r,     y,     p0,  |j„  />„  />:,  beliebige  Zahleu  sind,  auf  die  Form 

l  (cos  &  +  •  sin  fr)  C 

bringen.    Man  findet 

P»  +7i  J>i  +J»Pt  +  7s  Pa      £  \ 

•fPo  +  A  +  />*  +ft)=  \  003  *i  /     1 26. 

(h*  +  4*  +  M  ^0  +  />i  4"  P%  +  7>a)  =  *    »iQ  *  ) 
und  hieraus 

{tCt    _|_   X«    +    yl  +   ^    (p|    +   pj    +    ft    +  _  ^ 

Die  Zahl  ^  ist  immer  positiv  zu  nehmen. 
Der  Ausdruck 

{C\  P)«l*»«tf+«B 
stellt  einen  Quotientvector  dar,  wenn 


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104 


Graeft:  Strecken-  und  Punktreehnuny, 


a  e 

ist:  os  ist  dauu 


(C;  Z))«+W+o+d»/  —  (C;  Z3) 

=  (C;  Z>) 

(6  -f-  <J)r  COS  «p  =  c,    (6  -f-  rf)r  sin  gp  — 

Man  kann  also  die  Frage  aufwerfen:  Welche  Bedeutung  hat 
der  Ausdruck 

(C;  Z>)°W 

wenn  «,  ä,  c,  rf  beliebige  reelle  Zahlen  siud  V  Die  Hauptsätze  der 
Quaternionentheorie  dienen  dazu,  um  diese  Frage,  die  Unverzagt  in 
seinen  Untersuchungen  offen  Hess,  zu  beantworten. 

Diese  Satze  der  Quaternionentheorie  heissen: 

1.  Das  Product  oder  der  Quotient  zweier  parallelen  Vectoren 
ist  eine  reelle  Zahl. 

2.  Das  Product  oder  der  Quotient  zweier  zu  einander  senk- 
rechten Vectoren  ist  ein  dritter  Vector,  der  auf  der  Ebene,  die  den 
zwei  zu  einander  senkrechten  Yectoren  parallel  ist,  senkrecht  steht. 

3.  Das  Product  oder  der  Quotient  zweier  Vectoren  ist  eine 
Quatornion  oder  nach  der  Gleichung  110'.  in  Zeichen 

q  -  W£j  =  *  (cos  #  _|_  i  8in        4^  «  *    &  -  WM<  ßAC 

Die  Quatcrnion  9  ist  ein  Operator,  der  bewirkt,  dass  ein 
Vector  [MN]  in  einer  der  Ebene  ABC  parallelen  Ebene  durch 
Multiplication  mit  q  iu  einen  anderen  Vector  [MS]  übergeführt 
wird,  der  mit  [MN]  den  Winkel  &  einschliesst  und  dessen  Länge 
durch  die  Gleichung 

MR  :  MN  =  b  :  a 

gegeben  ist   Die  Dreiecke  ACB  und  MNR  sind  ähnlich. 

Wenn  MR  der  Strecke  AC  gleichgerichtet  parallel  ist,  so  ist 
MN  der  Strecke  AB  gleichgerichtet  parallel.  Ist  b  =  a,  so  ist  die 
Quaternion  ein  Drehfactor. 

Pen  beiden  ersten  Sätzen  entsprechen  in  der  Rechnung  mit 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  ftarallelen  Strecken.  105 

Quotientvectoren  die  Erklärungen  des  Products  von  parallelen  Quo- 
tientvectoren und  von  Quotientvectoren,  dio  denselben  Anfangspunkt 
haben,  und  dem  dritten  Satze  ist  analog  der  Satz: 

„Das  Product  von  zwei  Quotientvectoren 

(C;  D)«+»< .  (C;  D)<e-MAi  =  (C;  Z>)«*W+«/|*0  127. 

ist  ein  Operator,  der  einen  QuotientYector 

r(cos  f  +  i  sin  tp) 

 (g  +  y)(^g  —  

x{d  cos     —  e  siii  ff)  —  y(6  cos  <p  —  a  sin  <p) 
mit  dem  er  multiplicirt  wird,  in  den  Quoticutvcctor 


127' 


(£7;  n       (ff;  D)  +(dcos(p-csin<p)/]  127". 

überführt.  Es  ist  (C;  D)«+W+«/t*Ü  ein  Drehungs-  und  Vcrschie- 
bungsfa'-tor". 

Soll  nämlich  das  Product 

r(cosgp4v'sin<p)^H' 

(C;  Z>)«  +  *'4^4rfü  (C;  D) 

«>+y)+r*C0S<p4-(6(x+y)+rxsin«p)*+(c(a:-fy)+ryc0S9)7 

=  (c,  D)  x+y 

Quotientvector  darstellen,  so  muss 

a(*  +  y)  +  rx  COS  y  c(s  -{-  y)  -f-  ry  COS  <p 
b{x  -f-  y)  -|-  rx  sin  tp  ""  d(x      y)  -j-  ry  sin  <p 

Hieraus  folgt  der  Wert  von  r.  Wenn 

ad  —  bc  =  0,   so  ist   r  =  0 

und  die  Quotienten  (LT,  V),  (C;  DJ*+***+*lr  sind  identisch.-  Die 
Anfangspunkte  der  beiden  Quotientvectoren  (A;  J)  und  ( t7;  F)  liegen 
auf  der  geraden  Linie  C,  K  und  zwar  ist  der  Anfangspunkt  des 
Quotientvectors  (t/;  V)  durch  die  Gleichung 


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106 


Ürae/e:  Strecken-  und  Punktrechnuny, 


h  COS  ff> 


a  sin  <p  -f-  (d  cos  q>  —  c  sin  ip) 


gegeben.  Die  absolute  Länge  von  UV  verhält  sich  zu  der  von  CD 
wie 

I7K  |(A  -|-  rf)  cos  y  —  («  -f  c)  sin  (—1)» 
6'7>     .r(</co8  9  —  csin?)  —  »/('/cos?  —  asin.y) 


die  Quadratwurzel  ist  positiv  und  die  Zahl  n  muss  so  gewählt  wer- 
den, dass  die  rechte  Seite  positiv  wird.  Die  grade  Linie  UV  bildet 
mit  der  geraden  Linie  CD  einen  Winkel  den  man  mittelst  der 
Gleichungen 


findet.  Die  gerade  Linie  UV  liegt  in  einer  Ebene,  die  den  geraden 
Linien  KJ,  CC  parallel  ist  oder  kürzer  (ü;  V)).  (K\  ./),  (C;  DJ 
„sind  drei  einer  Ebene  parallelen  Quotientvectoreu". 

Ist  in  der  Gleichung  127'.  der  Winkel  y  gegeben  und  lässt  mau 

y 

-  alle  möglichen  Werte  annehmen,  so  ?rhält  man  eine  Reihe  von 
x 

Quoticntvectoren  [K\  ./)  (AT, ;  ./,)  (Ay,  Jt  etc.,  die  parallel  sind,  und 
eine  Reihe  von  Quotiontvectoren  ( U;  Tj,  (r;,;  r,),  (Ut\  Vt)  etc , 
die  denselben  Anfangspunkt  haben ,  mithin  entspricht  dem  Parallel- 
strahleubüschel  A'./,  AT,  •/„  A", ...  das  Strahlcnbüschel  UV,  UVt% 

UVf,  UV3  .  .  .  Wenn  -  gegebeu  ist  und  man  dem  Winkel  <f  alle 

x 

möglichen  Werte  gibt,  so  erhält  man  eine  Reihe  von  Quotientvectoreu 
(Ä";  J),  A';  J1),  (K\  J*)  .  .  .  ,  die  denselben  Anfangspunkt  haben, 
und  eine  Reihe  von  Quotientvectoreu  (U;  V),  (tf1;  (f/*,  V*)t 
die  parallel  sind ,  mithin  entspricht  dem  Strahlenbüschel  KJy  KJX ) 
KJ*.  .  .  das  Parallelstrahlenbüschel  UVi  IPV*,  U*V  .  .  . 

Setzt  man  y  =  —  x,  so  entspricht  dem  Quotientvector 


128. 


ex  ~  ay  ^  ( — 1 V(ca-  -  a^  .2  4~  ('Ar  -  />//,*  nos  t/; 
<fcr  —  Ä,v  =  ( —  1 )"  Y(cx  —  ay)  -f-  (dx  —  by)*  sin  t/> 


129. 


bc—<ul  cosgp-r-Zsinqp 


x     (r/-f  ft(cosqp— («H-<?)sin<jP 


(1-;) 


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itttbettondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  1 07 

Anfangsqunkt  auf  CK  im  Unondlichen  liegt,  der  Quotient- 
vector 

(c+a+(€i+b)i)z(bcOfy—as\ny+(dcoS9—c9\h*p)j) 
(d+6)cos<)P-(a-fc)8inqp 

(ü;  V)  -  (C;  D) 

Ist  der  Quotientvcctor  (A';  J)  dem  Quoticntvcctor  {13  \  V)  parallel, 
so  ist 

<lx  —  ftlj 

tg  9  —  tg  <p     cx  _  rty 

also  die  betr.  geraden  Linien  entsprechen  sieh  selbst,  und  J,  V  liegen 
im  Unendlichen. 

Wenn  ferner 

b  +  d 
tg  <p  ■  

ist,  so  entspricht  dem  Quoticntveetor 

—1 


(C;  D) 


\cx  -  ay  +  (,lz  -  by)i\  (1  -  }) 


Anfangspunkt  auf  A'C*  im  Unendlichen  liegt. 
Allgemein  seien  die  (^uotientvectoren 

gegeben,  und  es  soll  ein  (^uotienUector  13  ). 

so  bestimmt  werden,  dass  das  Product 

(/>;  «),    (Ä;  ,S),    (M;  iV) 
wieder  einen  Quotientvector  darstellt.    Es  ist  dann 

TP»  4-  *'pn      _  'M-  *V  _      +  »W  ^  *p»  +  *  V  m 

Hieraus  folgt  sofort 

x'  -  /x,   y'  -  fc,   »'  =  Im  132. 

Die  drei  geraden  Linien  l'Q,  ÄS,  MN  sind  daher  ein  und  derselben 
Kbene  parallel. 

Setzt  man  in  die  Bedingungsglcichungen 


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108  Graefe:  Sirecken,  und  J\nktrechnunijy 

so  erhält  man  die  Gleichungen 
und  hieraus 

f  133. 

Üie  Punkte  /J,  Ä,  M  liegen  raithiu  in  einer  geraden  Linie. 
Nimmt  man  an,  dass 

Po  +  7>i  +P%+Pt-P<!  +Pi'+Pi+Ps  -  1 

ist,  so  ist 

+  jT3T  •        -  1  -  «'  +  P*  133'. 

Wenn  die  Quotieutvectoreu  (P\  Q),  (Ä,  durch  (Cj  5)  gegeben 
sind,  also  ist 

l  134. 

(R;  S)  —  (C;  D)(»»'-Mi«iM mri'+*i«i#X»V+/iri'+/i '4 i*«V)  j 

-f^  +  r,  +  r3  =  ra'  +  V  +  r"  +  r3'  -  1 

so  kann  man  die  Zahlen  ic,  x,  y,  p0,  pt1  pf,  ps  derart  eindeutig . 
bestimmen,  dass  ist 

wi'+ii*j'+^a'+^3'=K+»>i+*2y2+'>3)(w+'ia;f  »*y-K*)  , 

134'. 

Mau  findet 

u?jW>  -x,x—  y,y ''oPo-^i-f7'i-f/,s)(ri-fr2+r3)'-"»*o' 
a-jw+^x-v+y^x,',  r,p0+(l-fr1)Pl+r1^+rJp3=r1' 
yiW+*|X-f-ir,  y— x,  2=y1',  r^o+rjpj+Cl-f-r^j-f-r^— r,' 

-yiH^ir+«>i»— Vi  »,3Po-|-r52i-r-r«P«-r-(l+r3V3=B',8' 
und  hieraus  /  134". 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  109 

joM— rM'— r„,  n— 1,2,  3 
A\  x-Xj'-w,'*,—  Vyi+^iVi  P*-|-7>i/vhv~l 

Der  Aatdrack  von  (7?-,  S)  ist  mithin  auf  die  Form  130.  gebracht. 
Das  Product  der  drei  Quotientvectoren  (P;  Q),  (Ä-,  S),  (Af;  A) 

ist 

135. 

^+w7'+(l+//0(»1H-«',y+v)}(PoH-^o^+(l+W') 

 Q'jf>i-b'tf>»+7a7>a)l 

(C;  F)  -  (P;  Q)  ffS  

Ads  dieser  Gleichung  erhält  man  leicht  die  absolute  Länge  von  UV 
oud  den  Winkel,  den  UV  mit  PQ  einschliesst. 

Wenn  der  Punkt  M  gegeben  ist,  dann  ist  ?  bekannt  und  man 
kinn  /  so  bestimmen,  dass  MN  eine  gegebene  Länge  hat,  oder  dass 
J#A*  mit  PQ  einen  gegebenen  Winkel  einschliesst  Wenn  l  gegeben 
ist,  so  kann  man  /'  so  bestimmen ,  dass  MN  eine  gegebene  Lauge 
litt  oder  dass  MN  mit  PQ  einen  gegebenen  Winkel  einschliesst, 
oder  dass  der  Punkt  M  in  einen  gegebenen  Punkt  der  geraden  Linie 
PQWtL 

Wenn  der  Punkt  M  gegeben  ist,  so  beschreibt  der  Punkt  N 
eioe  gerade  Linie,  oder  wenn  in  den  Gleichungen  127.  das  Verhält- 

niss  *~  gegeben  ist,  so  ist  der  Punkt  K  bestimmt  und  der  Punkt  J 

liegt  auf  einer  festen  geraden  Linie.   Nach  den  Gleichungen  127'. 

ist 

r(cosg>-f /sinqp) 

(A;  J)  -  (C;  D) 

r^cosv'+isin^)*^ 


IQii 


(Jf;  J')  =  (C;  D) 

r  cos  <jp'  ('ix  — ■  by)  —  sin  <p'  (cx  —  ay) 
r,     "  COS  <p  (dx  —  by)  —  sin  <p  (cx  —  ay) 


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110  Grat/t:  Strecken-  und  Punktrechnung, 

Es  sei  KJ°,  parallel  CD,  die  positive  Axe  der  x  eines  recht- 
winkligen Coordinatensystems;  es  sind  die  Coordinaten  von  J 

m  =  CD  .  r  COS  »  —  CD  .r  sin  9 

und  die  Coordinaten  von  ./» 

«»,  =  CZ>  .  r,  cos  <jp\  nt  =  CD  .  r,  sin  <p' 

mithin 

w  —  «*i  dx  —  £y 

«  —  n,  er  —  ay 

Dies  ist  die  Gleichung  der  geraden  Liuie,  auf  der  die  Punkte  J\ 
J*  liegen. 

Die  gerade  Linie  J',  J*  .  .  .  bildet  mit  der  positiven  Axe  der 
x  eineu  durch  die  Gleichung 

r/x  —  by 


tgtf  - 


ca-  —  ay 


bestimmten  Winkel  und  ist  der  sich  selbst  entsprechenden  ge- 
raden Liuie  A'./<»  parallel.  Führt  man  in  den  Gleichuugeu  127'., 
127".  deu  Winkel  q>  ein,  so  erhält  mau 

(IT;  7)  -  (C-  D)  -csinyOj] 

eosv>-f-»siuV ,  .  I  127"' 

(17;  F)  -  (C?  />)  -fsioqp)i] 

Setzt  man  noch 

a  +  bi  —  r'  (cos  &'  +  tin         c  -f  rf»  -  r'(cos  0"  +  1  siu  y ) 
so  hat  man 

Tn^-><8»^'-^H^n(^-V)] 

(ü5  r)  -  (C?  0) 

Vertauscht  man  in  dem  Ausdruck  für  (A:  die  Winkel  tp 
und       so  erhält  man  die  rechte  Seite  der  letzteu  Gleichung  127**. 

Wenu  das  Product  von  n  Quotientvectoren  oder  die  Form 


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insbesondere  die  Rechnung  mit  parallelen  Strecken.  \\\ 

3  3  3  3 

(C;  DJ       1  I  I  I  -  / 

gegeben  ist,  so  kann  man  anf  verschiedene)  Arten  drei  Quotient- 
Tectoren  so  bestimmen,  dass  das  Product  dieser  n+3  Quotient- 
vectoren wieder  ein  Quotientvector  ist.  Das  Product  von  n  Quo- 
tientvectoren ist  gleich  dem  Producte  der  vier  Quotientvectoren 

3  3  3 

a^-f-  £antu  jx  (a  M-f  EbJn)  jt  (a4+  2c»i„ 

(C:  D)       l        .  {C:  D)  I         .  (C;  />)  » 

8 

•  (C;  D)  l 
oder  gleich  dem  Producte  der  vier  Quotientvectoren 

(C5  D)  .  (C;  D) 

,  H(th+öift+etJt+d*h)  h+^Jt+^M 
•  (<?i  »)  .  (C;  D) 

Zu  je  zwei  dieser  Quotientvectoren  kann  man  einen  Quotient- 
vector so  bestimmen,  dass  das  Product  dieser  drei  Quotientvectoren 
nieder  ein  Quotientvector  ist,  uud  ferner  kann  man  zu  drei  Quo- 
tientvectoren immer  zwei  Quotientvectoren  so  bestimmen ,  dass  das 
Product  dieser  fünf  Qnotientvectoren  auch  ein  Quotientvector  ist. 

Aus  den  Regeln  über  die  Multiplication  von  Quotientvectoren 
Wgeu  leicht  die  über  die  Quotienten  von  Quotientvectoren. 


Wc  Quatern tonen  Hamilton*»  und  Unverzagt'»,  die  Unverzagt'schen 
und  die  allgemeinen  Blquaternlonen  alft  Zahlen. 

Die  in  der  Ueberschrift  genannten  Grössen  haben  die  Formen: 
1 )  ad  -f-  a, /,   2)  a„  -f-  nj,  3)  Oq  -f  ajt  -f  atjt,  4)  aQ  -f-  ajt  -f- 

+  "t  h  +  <*3./s  +  'V*/l  +  ^11     8)     "0  4  V"f  « »A  +  "3./*  +  °J*  + 

3  3  3 

+%Äf+*tJW   W         £a»i„-\- a^y +/27>MA.,   10)  «t -f-  + 

+«i/»+««/i'i-f- "7^Vi-r-'Wi'*  +        +«j«ii'a+««iAi  U) 
i 

+  alS^V*  +  <Wl'3  -T  «H.7*»3  +  «16  V*3- 


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112  Grae/e:  Strecken-  und  Punktrechnung, 

Die  Factoren  aMi  K  sind  reelle  oder  auch  gewöhnliche  com- 
plexe  Zahlen. 

Diese  Formen  kaun  man  als  complexe  Zahlen  ansehen. 
Ein  System  J)  aller  aus  denselben  Grundzahlen  —  Einheiten  — 
linear  abgeleiteten  extensiven  Grössen  nennt  man  unter  folgenden 
Bedingungen  ein  System  von  complexen  Zahlen: 

1)  Das  Product  von  irgend  zweien  der  Grundzahlen  e,  und 
ek  muss  wieder  eine  Zahl  des  Systems  —  £e<k»e,  sein. 

2)  Das  associative  Gesetz  der  Multiplication 

[ab)c  =  abc) 

muss  gelten. 

3)  In  dem  System  muss  eino  Grösse  a°  vorhanden  sein,  die  den 
beiden  Gleichungen 

a°x  —  x,    xa°  «—  x 
unabhängig  von  x  gentigt. 

Diese  Forderungen  erfüllen  die  Formeln  von  1—11. 

Mit  Vorteil  bedient  man  sich,  um  die  Multiplicationsregeln  auf- 
zustellen, der  sog.  Multiplicationstafeln.  So  ist  z.  ß.  die  Multipli- 
cationstafel  für  die  Hamilton'schen  Quaternionen,  wenn  mau 

e+  —  1,    «4  —  iu    ei  —  is,    c3  =  ia 

setzt: 


1  «0 

«, 

|  «3 

H 

«0 

«3 

«i 

«1 

—  «1 

<** 

»1 

«3 

H 

-c0 

In  der  Horizontalreihe  eK  und  in  der  Verticalreihe  «p  steht  der 
Wert  des  Products  e»ep  z.  B. 

Setzt  man  in  den  Formen  1  — 11 

*  =  1,  1)  et  -t,  2  ^  =  7—1,  3)«,  4) 
e«  —in  -  1,  «  —  1,  2,  3,  5)  tm  —  ?h,  1,  2,  3,  6)  e,  =  i,  ea  — /—  1, 


1)  E.  Study,  Ueber  Syiteme  von  complexen  Zahlen,  Nachricht,  d  Königl. 
Gm.  d.  WiMcnschnften  tu  GAttingen.    1894,    png.  1237  sq 


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intbesnurl-re  die.  Rechnung  mit  pare.l/elen  Strecken. 


113 


fi  -  7)  ex  -  €„  -  1,  e3  -  1,  8)  <,e2-«4,  «,«,=  e5, 
9)  'i  =  Hi  «i  —  ht  «s  —  Ni  U  —  i— «5  —  «4«1i  «4 


'7  -  '4*3,    10)  «, 


ii  - 1, 


«4*1» 

ii  — Ii 


-  ^  —  «9  =  Vi»       «M  ="  «4«3t      «II  =  «I«  —  «6«t» 

'13  ™  eieni  «14        *5«3i  «15  «6*3- 

eio,  so  erhält  mau  folgende  Multiplicationstafelo 


3) 


1  e* 

«1 

u 

1) 

«1 

«0 

H 

«1 

«0 

1  ü 

H 

1" 

!  *1 

* 

* 

«0 

«t 

«0 

«3 

«1 

0 

0 

«1 

0 

0 

0 

«* 

o 

\  o 

0 

0 

0 

«3 

«3 

0 

0 

0 

5) 


«0 

<U  I 

«3 

H 

«• 

•s 

«i 

2 

i 

— «! 

«l 

—  «3 

«3 

«■*  i 

«2 

-2  6) 


1 

«3  | 

«3 

«0 

«0 

«i 

«3 

«1 

«1 

 «3 

e2 

«3 

0 

0 

«3 

«3 

o 

0 

9) 


«7 


7) 


«^1 

«3 
e4 
«5 


u 

«5 

«. 

«3 

1  «3 

H 

«5 

«! 

«i 

«4 

e& 

— H 

~«3 

«3 

«i 

«4 

0 

0 

0 

ü 

«3 

«3 

«5 

0 

0 

0 

0 

— «, 

0 

o 

o 

0 

i 

-«3 

0  1 

o 

o 

0 

h  i 

-3 

'5  1 

H 

«7 

«3 

«3 

1  1 

«5 

e6 

«'7 

«o ! 

«3 

— «1 

«6 

-c4 

«7 

— 

«3 

—«5 

«1 

«6 

—«7 

-«4 

«3 

—«1 

— *8 

«7 

«6 

— H 

—«4 

«6 

«4 

0 

0 

0 

Ü 

«4 

-2 

1  «4 

0 

0 

0 

0 

«7 

— e4 

«5 

0 

0 

0 

0 

«6 

—  «5 

l  -«4 

S  o 

0 

0 

0 

4.  Math.  *•  Ph>».   2.  Reil»,  T.  IT. 


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114  Graefe:  Strecken-  und  Punktrerhnung, 


1 

<0 

f.  ! 

«3  |«4 

fr  1 

«7 

r9  I 

r10 

cll 

«0 

«0 

«2 

11 

«5! 

«6 

«7 

«8 

«9 

•10 

«II 

«1 

«1 

-«o 

«3 

— cÄ 

«6 

«7 

— «ö 

«10 

«11 

~«8 

-«70 

«« 

H 

—  «3 

-«o 

«1 

«3 

«9 

—«io 

—«11 

-«4 

—  «5 

«6 

«7 

«3 

«3 

«» 

— «1 

«10 

«11 

«a 

«9 

— «fi 

-«7 

-n 

-«5 

«4 

«4 

«e 

«8 

«10 

0 

0 

0 

0 

ü 

0 

0 

0 

10)  .5 

«Ä 

«9 

«lj 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«6 

«6 

-«4 

'«0 
«»1 

—u 

-«8 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«7 

0, 

—«5 

-«9 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«8 

«8 

-«10 

«6 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«9 

H 

-«11 

~«5 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«10 

«10 

«8 

—«4 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

«II 

«n 

«9 

-«7 

— <• 

0 

0 

0 

0  1  0 

0 

0 

0 

C  £  £  <?o  ooooooooooo 

c 

<>?  *?  <?o  00000  00  OOOO 

1  1 

S  $  £r  «To  ooooocsooooo 
1  j 

•* 

-, 

.r»      r--m  o^^QOCOOOOO 

1  1 

S s * ^oo 0  OOOO  00  000 

1  1 

~5» 

sc* 00000000000 

1  i 

« 

&    £  cc>  00000000000 

1  1 

<?  S  So  OOOOOOOOOOO 

1  1 

c 

^  J"  ^0  OOOOOOOOOOO 

1  1 

«0 

jp  &  «?  Jro  OOOOOOOOOOO 

<^  ^  %r  <?o  00000000  o_oo_ 

*  ^-  ^  <ro  0  00  000000  0  o„ 

in 

«3?    s £  C C  CCff£#?vy  f 
II            1  1  1  IM 

^^^ccccccc^ffff  » 
\  1              1  [II  1  1  ■ 

II  MINI 

e 

S  SSSCSS 

ecwcfgcggccxccc 

Die  Maltiplicationstafel  der  Form  8)  folgt  leicht  aus  der  Tafel  der 
Form  6)  bzhw.  7). 


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insbesondere  die  Hncfmuna  mit  parallelen  Strecken 


llfi 


Die  Maltiplicatioustafoln  1)  — 4),  6)  —  8)  ändern  sich  nicht, 
wenn  man  die  Horizontalreibcn  und  die  Verticalrcihcn  vertauscht 
Die  Multiplication  dieser  Systeme  ist  commutativ.  Vertauscht  maiii 
in  den  Tafeln  5),  9),  10),  11)  die  Horizontal-  und  Verticalreihen,  so 
erhalt  man  Mnltiplicationstafeln  die  aus  den  gegebenen  Tafeln  durch 
folgende  Substitutionen: 

5)  «*0  —  e0,  en  =  —  r„,  n  —  1 ,  2,  3,  9)  <*0  —  <-<>,  cM  =  -  <•„, 
»=1,2,  3,  P4  =s  —c,4  Fp  —  — p  =  5,  6,  7,  10)  en  z=  r0,  <\  =  —  <?„, 
■  =  1,  2,  3,  =  e4,  ?&  =  «6,  ep  =  —  cp,  ;>  =  G,  7,  8,  9,  10,  11.  11) 
*i  —  f*  =  —  'w,  n  =  1,  2,  3,  ?r  =  «rf  r  ~  4,  5,  6,  t'p  r=  —  fp 
f>=  7,  8,  9,  10,  11,  12,  13,  14,  15 

hervorgehen ,  wenn  man  in  den  Tafeln  die  übergesetzten  Striche 
fortlässt.  Durche  diese  Subsitutionen  geht  das  System  mit  den 
Grundzahlen  eH  in  sein  reeiprokes  System  mit  den  Grundzahlen 
in  über.    Die  Systeme  1)  — 4),  6)  —  8)  sind  zu  sich  selbst  reeiprok. 


Zusatz. 

Jede  complexc  Zahl  von  den  Formen  1)  — 11)  kann  man  mit 
Hilfe  von  Punkten,  Strecken:  Vectoren,  wie  man  sagt,  darstellen. 

Ist  z.  B.  i[MX]  der  um  einen  rechten  Winkel  gedrehte  Vector 
[J/A'J,  so  stellt  (a0-|-fl|  i)[M\\  einen  Vector  der  Ebene  der  Vectoren 
[MX]  ond  i[MN]  dar;  derselbe  ist  gleich  der  Summe  der  Vectoren 
«a[ifiV]  und  a^t\MX].  Man  kann  aber  auch  (M\  X)*  als  einen  Quo- 
tientvector  auffassen,  dessen  Anfangspunkt  M  und  dessen  Endpunkt 
R  eine  gerade  Linie  festlegen,  die  mit  MX  einen  rechten  Winkel 
einschliesst  und  dieselbe  Lauge  wie  MX  hat;  es  ist  dann 

ebenfalls  ein  Quotientvcctor  und  zwar  ist  der  Vector  gleich 
der  Summe  der  Vectoren  ae[A/A]  und  ax\MR\. 

Wenn  man  in  der  Form  oo  +  rti/  die  Grösse  j  als  Repräsentant 

ß' 

des  Quotienten  von  zwei  parallelen  Eiuheitsstreckcn  -  nimmt,  so  ist 
ß' 

der  Stellvertreter  des  Quotienten  der  parallelcu  Strecken 


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116 


\Graefe:  Strteken-  und  Punktrechnung  etc. 


a0«'-f  a,0'  und  <*'.  Ist  ja'  die  am  eine  Länge  AB  parallel  ver- 
schobene Strecke  ß',  so  stellt  (ao+*i7)*'  eine  Strecke  dar,  die 
gleich  der  Summe  der  parallelen  Strecken  a9a'  und  a,jV  ist.  Nimmt 
man  an,  dass  (3f;  A)i  der  um  eine  Länge  AB  parallel  verschobene 
Quotientvector  (A/;  N)  ist,  so  ist  (Jf;  iV)«oi«uj  gleich  dem  Product 
der  Quotientvectoren  (AT;  N)ao,  ( M ■  iV)°i>  und  nach  den  Gleichungen 
93)  wieder  ein  Quotientvector. 

Darmstadt,  im  Januar  189G. 


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Lorfga:  U'btr  Rodical- Kreise. 


117 


IV. 

Ueber  Radical-Kreise. 

Von 

Juan  J.  Durän  Longa, 

Spanischem  Artillerie- Major. 


Es  ist  bekannt,  dass  der  geometrische  Ort  von  denjenigen 
Punkten,  deren  Potenzen  mit  Bezug  auf  zwei  feste  Kreise  das  Ver- 
bältniss  m/n  bewahren,  ein  Kreis  ist-,  setzt  man 

77»  =■  —  n 

so  ist  diese  Linie  zu  gleicher  Zeit  der  Ort  derjenigen  Punkte,  welche 
mit  Bezog  auf  zwei  andere  Kreiso  gleiche  Potenzen  und  verschiedene 
Vorzeichen  haben;  der  Analogie  wegen  wollen  wir  diese  Kreise 
Jiadical- Kreise4*  *)  der  ersterwähnten  nennen;  mit  Leichtigkeit  lässt 
sich  das  Centrum  und  der  Radius  dieser  Kreise  bestimmen. 

Bezeichnet  man  die  Potenzen  eines  Punktes  P  auf  der  Ebene 
mit  Bezug  auf  die  Kreise  0  und  0'  mit  P0        Po  s0  ist 

Po  =  -  Po 

oder  was  dasselbe  ist,  wenn  man  mit  l  und  /'  die  Abstände  des 
Punktes  P  von  den  Centren  und  mit  d  den  Abstand  00'  bezeichnet 
so  erhält  man 


I)  Manche  Schriftsteller,  besonders  die  englischen,  nennen  ^Radicalcircle" 
«nen  Kreis,  welcher  rechtwinklig  drei  andre  Kreise  schneidet;  passender 
Khf;ot  es  uns  indessen,  hierfür  die  Bezeichnung  „orthotomiecher  Kreis41  zu 
»ihlen  und  für  die  gegenwartige  Abhandlung  die  üebersebrift  „Radical-Kreis" 


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118  Loritja:   L'tbrr  Itadical'Ktei»e. 

ß  -  R1  -  R'i  -  /•«     d.  h.     /*  -j_  1*1  ^  R*  +  R* 

Der  Mittelpunkt  des  gesuchten  Kreises  ist  folglich  die  Mitte  von 
00'  und  sein  Radius 

Q  =  4  Y'2{R*+Jl'*)  ~d* 
Um  einen  Radical  Kreis  entstehen  zu  lassen,  ist  erforderlich 

d  <  /2(A>*-f-  Ä*} 

diese  Bedingung  wird  immer  erfüllt,  wenn  die  Kreise  sich  herührcu 
(ausserhalb  oder  innerhalb),  wenn  sie  sich  schneiden,  oder  wenn  sie 
sich  einsehliesseu;  wenn  sie  sich  dagegen  ansschliessen ,  kann  jo 
nach  Umständen  ein  Radical -Kreis  entstehen  oder  nicht. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  die  Kreise  sich  schneiden ,  muss 
der  Radicalkreis  notwendigerweise  durch  die  zwei  Schnittpunkte 
(weil  diese  die  Potenz  null  haben)  geheu  uud  las9t  sich  unmittelbar 
construirou.  Wenn  sie  sich  ausserhalb  berühren,  wird  der  Radical- 
Kreis  den  grösseren  Kreis  innerhalb  berühren  uud  zwar  in  dem  Be- 
rührungspunkte der  gegebenen  Kreiso  (da  dieser  Punkt  die  Potenz 
null  mit  Bezug  anf  beide  Kreise  hat),  uud  da  sein  Ceutrum  iu  jedem 
Falle  dio  Mitte  der  Linie  der  Centren  ist,  ist  seine  Construction 
gleichfalls  unmittelbar  gegeben.  Will  mau  seinen  Radius  numerisch 
bestimmen,  ohne  auf  die  eben  erwähnten  Erwägungen  einzugehen, 
so  setzt  man 

d  =.  R  -}-  R' 
in  dem  Werte  von  q  und  erhält  demgemäss 

Q  =  KB  -  R') 

Wenn  die  Kreise  sich  iuuerhalb  berührcu,  so  wird  der  Radical-Kreis 
gleichfalls  die  gegebenen  Kreiso  berühren,  uud  sein  Radius  ist 

e  =  l(R  -f  R>) 

Wenn  dio  Kreiso  coucentrisch  siud,  so  ist  es  auch  mit  Bezug  auf 
sie  der  Radical-Kreis,  und  man  erhält  seinen  Radius,  wenn  man  in 
den  Wert  von  q  setzt  d  =  0,  so  dass  sich  ergiobt 

Für  die  Construction  des  Radical-Kreiscs  von  zwei  Kreisen, 
die  sich  ausschliessen  (beim  Vorhandensein  eines  solchen  Radical- 
Kreises),  oder  zwei  solchen,  die  sich  einscbliessen,  sind  nach- 
stehende    Betrachtungen    von   Wert.      Es    seien    drei  Kreise 


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Lorigal  Uebtr  Radirai  Kreise. 


119 


0,  0«  und  0"  gegeben,  deren  Radical-Kreise  wir  mit  nm'  für  0  und 
(Y  und  rroo",  für  0  und  0"  bezeichnen  wollen;  wenn  diese  Kreise 
lieh  schneiden,  so  ist  in  den  Durchschnittspunkten 

Ji     —    p  4 

folglich    P„'  -  P0" 

p  —         p  " 

(1.  b.  die  Radical-Axc  von  0'  und  0"  ist  zugleich  dio  vou  7tM'  und 
Wenn  die  Radical-Kreise  sich  nicht  schneiden,  ist  der  geo- 
metrische Beweis  gleichfalls  leicht,  uud  noch  einfacher  ist  der  ana- 
lytische Beweis,  wie  weiter  unten  gezeigt  werden  wird. 

Diese  Bemerkungen  vorausgeschickt,  ist  es  leicht,  den  Radical- 
Krcis  von  zwei  Kreisen,  dio  sich  ausschliessen  (beim  Vorhandensein 
eines  solchen  Radical-Kreises)  und  zwei  solchen,  die  sich  eiuschliessen 
0  und  0'  zu  finden.  Man  schneidet  beide  Kreise  durch  einen  dritten 
0",  bestimmt  den  Radical  Kreis  von  0  und  0",  sowie  die  Radical- 
Aie  von  0*  und  0"  uud  erhält  so  einen  oder  zwei  Punkte  des  zu 
bestimmenden  Kreises,  dessen  Centrum  bekannt  ist.  Der  Kreis  0"  muss 
richtig  gewählt  werden,  damit  die  Radical-Äxe  und  der  Radicalkreis 
sich  schneiden.  Für  den  Fall,  dass  die  gegebenen  Kreise  sich  aus- 
schliessen (und  dies  ist  der  einzige  Fall,  wo  ein  Radical-Kreis  unter 
Umständen  nicht  existiren  kann)  kann  mau  vermöge  der  nachfolgen- 
den Coustruction  ermitteln,  ob  der  Radical-Kreis  existirt.  Man 
errichtet  auf  dem  Ende  des  Radius  0,4  (Fig.  1.)  die  Perpendiculäre 
AB  gleich  dem  Radius  IV  des  anderen  Kreises ,  verbindet  0  mit  B, 
lieht  die  Perpendiculäre 

J3C-  OB 

und  beschreibt  mit  dem  Radius  OC  einen  Kreis :  wenn  dieser  Kreis 
das  Centrum  0'  eiuschliesst,  ist  der  Radical-Kreis  vorhanden.  Die 
Einfachheit  dieser  Coustruction  macht  weitere  Erörterungen  über- 
flüssig. 

Wenn  zwei  Kreise  orthogonal  sind,  so  erhellt,  dass  der  Radical- 
Kreis  durch  ihre  Centren  geht,  wie  sich  auch  aus  dem  Werte  von  q 
ergiebt-,  denn  wenn 

X*  +  K  *  =  00'*,   so  ist   q  -  *00' 

Es  ist  auch  ersichtlich,  dass  die  umgekehrte  Schlussfolgcruug  leicht 
in  riehen  ist 

Die  Betrachtungen  über  Radical-Kreise  führen  unmittelbar  zur 
Lösung  des  nachfolgenden  Problems. 


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120 


Loriga:  Ueber  Radical-Kreitt. 


Zwei  Kreiso  berühren  sich  beispielsweise  innerhalb  0  nnd  0' 
(Fig.  2.)  mit  den  Radien  R  und  R' ;  durch  den  Berührungspunkt  p 
zieht  man  Sccauten  z.  B.  pam,  welche  man  im  eutgegeugesetzten 
Sinne  verlängert 

am    «=  am 

Welches  ist  der  geometrische  Ort  des  Punktes  »'? 

Man  zieht  den  Kreis  0",  der  als  Radical-Kreis  0'  hat  mit  Bezug 
auf  0;  dann  hat  man  als  absoluten  Wert 

ap  .  am  mm  ap  .  am' 

und  deshalb 

am'  —  am 

der  gesuchte  Ort  ist  folglich  der  Kreis  0";  um  seineu  Radius  x  zu 
bestimmen,  wollen  wir  bemerken,  dass 

R'  -  |(JZ  —  x) 

woraus  sich  ergiebt 

x  -  R  —  2R' 

Der  gefundene  Kreis  berührt  den  Kreis  0  ausser-  oder  innerhalb, 

je  nachdem  R—2R'  ^  0.    Wenn  der  Kreis  (V  durch  den  Punkt  0 

geht,  so  wird  der  geometrische  Ort  auf  den  Punkt  p  beschränkt, 
wie  ersichtlich  ist. 

Hat  man  drei  Kreise  0,  0'  und  0",  uud  bestimmt  man  z.  B.  die 
Radical-Kreise  von  zwei  Gruppen  00'  uud  00",  so  ist,  wie  oben  er- 
wähnt, die  Radical- Axe  dieser  Radical-Kreiso  dieselbe  wie  die  der 
Kreise  der  dritten  Gruppe.  Hiernach  lässt  sich  mit  Leichtigkeit 
beweisen,  dass  die  Kreise,  welche  über  den  Medianen  eines  Dreiecks 
als  Durchmessern  beschrieben  sind,  paarweiso  die  Höhen  des  er- 
wähnten Dreiecks  zu  Radical-Axen  haben.  Wenn  man  über  deu 
Seiten  eines  Dreiecks  als  Durchmessern  Kreiso  beschreibt,  so  be- 
obachtet man  in  der  Tat,  dass  die  Radical-Kreise  derselben  die 
über  den  Medianen  beschriebenen  siud  (so  z.  B.  ist  der  Radical- 
Kreis,  der  den  um  b  und  c  beschriebenen  Kreisen  entspricht,  der- 
jenige, der  als  Durchmesser  die  der  Seite  a  entsprechende  Mediane 
hat);  dementsprechend  müssen  also  die  Radical-Axen  dieser  letzt- 
erwähnten Radical-Kreise  dieselben  sein  wie  diejenigen,  die  den 
ersterwähnten  Kreisen  entsprechen,  d.  h.  sie  müssen  die  Höhen  des 
Dreiecks  sein.  Man  hat  also  sechs  Kreise,  die  als  gemeinsames 
Radical-Ceutrum  das  Orthocentrum  des  gegebeneu  Dreiecks  haben. 

Betrachtet  man  jetzt  die  Kreise,  die  um  die  Mitten  der  Drei- 
ecks-öeiteu  als  Ceuüeu  geschlagen  sind  mit  eiuem  Radius,  der  deu 


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Lorxija'.  Ueher  Radical- Kreise. 


121 


entsprechenden  Medianen  gleich  ist,  —  Kreise,  die  wir  Potential- 
Kreise  genannt  haben  aus  gewissen  Gründen  (vergl.  unsere  Note  in 
„Progreso  Matematico",  Bd.  V,  Seite  70)  —  so  ist  ersichtlich,  dass 
die  erwähnten  Kreise  dieselben  sind ,  wie  die ,  die  man  beschreibt, 
wenn  man  als  Durchmesser  die  Medianen  des  anticomplementären 
Dreiecks  nimmt;  aber  andrerseits,  entsprechend  dem  vorher  Ausge- 
führten, sind  diese  Kreise  die  Radicalen  der  über  den  Seiten  des 
letzteren  Dreiecks  beschriebenen :  folglich  kann  man  sagen,  „dass  die 
„Kreise,  die  um  die  Eckpunkte  eines  Dreiecks  als  Centren  be- 
schrieben werden  mit  Radien,  die  den  entgegengesetzten  Seiten 
„gleich  sind,  zu  Radical-Kreisen  die  Potential-Kreise  dieses  Drei- 
ecks haben,  und  dass  folglich  ihr  Radical-Centrum  das  Orthocentrum 
,,des  anticomplementären  Dreiecks  ist.4' 

Wir  haben  also  eine  zweite  Gruppe  von  sechs  Kreisen,  welche 
dasselbe  Radical-Centrum  besitzen. 

Wenn  zwei  Kreise  orthogonal  sind,  so  hat,  wie  erwähnt,  der 
Radical-Kreis  als  Durchmesser  die  Linie  der  Centren,  und  da  der 
Longchamp'sche  Kreis  orthotomisch  ist  zu  denjenigen,  welcho  um 
die  Endpunkte  eines  Dreiecks  mit  den  entgegesetzten  Seiten  als 
Radien  beschrieben  werden,  so  ergiebt  sich,  dass  diejenigen  Kreise, 
deren  Durchmesser  die  Geraden  sind,  welche  die  Eckpunkte  eines 
Dreiecks  mit  dem  Orthoccutrum  des  anticomplementären  Dreiecks 
verbinden,  die  Radicalen  des  Longchamp'schen  Kreises  sind  und  der 
obenerwähnten  drei  anderen  Kreise. 

Dasselbe  Kriterium  kanu  auch  dazu  dienen,  die  Radical  Kreise 
einiger  andern  Kreise  des  Dreiecks  zu  finden,  unbeschadet  des  Um- 
standes,  dass  man  in  jedem  Falle  die  analytische  Geometrie  zu  Hilfe 
nehmen  kaun;  es  ist  in  der  Tat  ersichtlich,  dass,  wenn 

C  =  0   und    C  =  0 

die  Gleichungen  zweier  Kreise  siud,  die  des  Radical-Kreises 

c  +  C  =  0 

sein  muss,  möge  es  sich  um  cartesinische  oder  tri  lineare  Coordinaten 
handein:  so  ist  der  Radical-Kreis  der  Kreise,  die  durch  die  Glei- 
chungen 

ri  +  -f  2Ax  -f-  'llhj  +  C  -  0 
*"  +  y1  +*A'*  +  M'V  +  C  -  0 

dargestellt  werden,  der  folgende: 


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122  Lorfyn:  Ueber  Radical- Kreide. 

und  wenn  man  insbesondere  als  Axe  der  X  die  Linie  der  Centren 
nimmt,  und  einer  dieser  Kreise  sein  Ceutrnm  in  dem  Coordinaten- 
ursprung  hat  (ein  rechtwinkliges  System  angenommen);  so  ist  der 
Radical-Kreis 

{*-*)  +y  i  

ein  Resultat,  welches  unsere  früheren  Ausführungen  bekräftigt, 
nämlich  dass  dio  Distanz   der  Centren   kleiner  sein   muss  als 

V2(#»  +  R%   damit  der  Radical-Kreis  existirt.   Wenn  die  Distanz 

y%.R*+R'*)  ist,  so  beschränkt  sich  der  Kreis  auf  einen  Punkt, 
welcher  auf  der  Linie  der  Centren  liegt,  und  zwar  innerhalb  des 
Kreises  mit  dem  grösseren  Durchmesser  und  in  einer  Distanz  von 
seinem  Centrum,  die  der  vorher  erwähnten  radicaleu  Grösse  gleich 
ist,  dividirt  durch  zwei. 

Wenn  es  sich  um  barycentrische  Coordinaten  handelt,  und  die 
gegebenen  Kreise  sind 

ZaxZua  —  2a*  fiy  —  0 
ZaxSu'a  —  Zatßx  —  0 
so  ist  der  Radical-Kreis 

Ea  22a*ßy  -  0 

Es  ist  sehr  leicht,  analytisch  eine  Behauptung  zu  beweisen,  wie 
wir  sie  oben  aufgestellt  haben,  nämlich  dass,  wenn  man  drei  Kreise 
0,  0'  und  0"  hat  und  sie  paarweise  gruppirt,  dio  Radical-Axe  der 
Radical-Kreise  von  zwei  Gruppen  zugleich  die  der  dritten  Gruppe 
ist.   Man  bat  in  der  Tat,  wenn  man 

C  -  0,    6"  -  0,    C"  -  0 

nennt,  die  Gleichungen  der  drei  gegebenen  Kreise. 

iC  -  0 

Der  Radical-Kreis  von  \  ist   C+G"  —  0 

\C  -  Ü 

iC+C  -  0 

Radical-Axe  von  {  ist   6"  -  C  -  0 

IC+&-  0 

!C   —  0 
ist    C+C"'  =  0 
C"  =  0 

C   =  0 


Radical 


IC    =  0 
ist  C'-C'-O 


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Loriya:  Ueter   rtadiral-  Krtt*e. 


123 


Wenn  man  die  Radical-Kreiso  von  drei  gegebenen  Kreisen  ge- 
funden hat  nnd  fortfahrt  in  derselben  Weise  (soweit  dies  möglich 
ist)  zn  operiren  mit  denjenigen,  die  man  nach  und  nach  erhält,  so 
können  dreifache  Reihen  von  Kreisen  entstehen,  die  gewissen  inter- 
essanten Beziehungen  unterworfen  sind. 

Die  Betrachtung  von  Radical  Kreisen  in  der  Geometrie  des 
Dreiecks  kann  höchst  wahrscheinlich  neue  Resultate  herbeiführen, 
wenn  man  die  Radical- Kreise  von  bemerkenswerten  Kreisen  des 
Dreiecks  mit  anderen  Kreisen,  Geraden  und  Punkten  vergleicht,  die 
mit  dem  Dreieck  im  Zusammenhang  stehen;  wir  behalten  uns  vor 
die  Ideen,  die  wir  hier  nur  angedeutet  habcu,  an  andrer  Stelle  noch 
ausführlicher  zu  entwickeln. 

Coruna,  April  1S%. 


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124 


Hoppe:  Zur  analylitchtn  Curoentheorie. 


V. 

Zur  analytischen  Curventheorie. 

Von 

R  Hoppe. 


Eine  Programmarbeit  von  Hnth  über  die  Curven  constanter 
Steigung  auf  gegebenen  Flächen  macht  es  sich  zur  Aufgabe ,  diese 
Curven  für  einige  specielle  Flächen  (sämtlich  2.  Grades)  entwickelt 
darzustellen.  Damit  ist  ein  Anfang  gemacht,  ein  zu  den  Principien 
der  Curventheorie  gehöriges  Problem  in  Untersuchung  zu  nehmen, 
ein  Anfang  der  sich  nach  2  Seiten  hin  fortsetzen  lässt. 

Die  Bestimmung  einer  Curve  im  Räume  hängt  von  2  Functionen 
ab,  von  deren  Complication  man  das  Problem  ihrer  Darstellung  be- 
freien kann,  indem  man  das  Bogcnclement  zwischen  ihren  Gleichungen 
climinirt.  So  nämlich  teilt  sich  das  Problem  in  2  einfachere,  deren 
jedes  nur  eine  Gleichung  zu  befriedigen  hat.  Die  Lösung  des  ersten 
Teilproblems  ergibt  eine  Classe  von  Curven,  der  die  gesuchte  Curve 
angehört;  das  zweite  sucht  nur  den  Ausdruck  des  Bogenelcments, 
nach  dessen  Ermittelung  die  Coordinateu  schon  in  Quadraturen  be- 
kannt sind.  Jede  Classe  wird  nur  durch  Relationen  von  Richtungen, 
unabhängig  von  den  unendlich  kleinen  Strecken,  in  wechen  die 
Richtungen  verfolgt  werden ,  also  unabhängig  von  allen  Lineardeh- 
nungen, charakterisirt;  ihr  Normalausdruck  ist  das  Tangentensystem. 

Da  Richtungen  nur  relativ  unter  sich  Bedeutung  haben,  so  kön- 
nen als  Urvariable  nur  solche  eingeführt  werden,  die  von  der  Lage 
der  Curve  im  Räume  unabhängig  sind.   Es  gibt  deren  4  von  her- 
vorragender Rolle  in  allen  bisher  aufgestellten  Theoremen.  Seien 
di,  80,  Ba  die  Coincidenzwinkel  der  3  begleitenden  Axen,  d.  i.  der 


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Hoppe:  Zur  anafythrhen  Curvfntheorie. 


125 


Tangente,  Binormale,  Haaptuormalc.    Dann  sind  die  Integrale,  t, 
6  (von  A.  Serret  die  Indicatricen  der  Tangente,  Binormale,  Haupt- 

normale  genannt)  die  ersten  3,  und,  wenn  man  ^t  —  tgA  setzt,  A 

das  vierte  jener  fundamentalen  Variabein.  Sie  stehen  iu  folgender 
geometrischen  Beziehung.  Durch  x  als  rechtwinklige  Coordinaten 
in  einer  festen  Ebene  wird  ein  Punkt  bestimmt,  der  eine  ebene 
Linie,  die  Torsionslinie  o,  erzeugt:  t  und  #  heissen  der  Krümmungs- 
winkel und  Torsiouswinkel,  a  der  Torsionsbogen,  A,  d.  i.  der  Winkel 
irischen  der  Tangente  an  a  und  der  i  Axe,  die  Erümmuugsbreite. 

Eine  Gleichung  zwischen  t  und  #  (die  speeifische  Gleichung) 
bestimmt  dann  einerseits  die  Curvenclasse ,  andererseits  die  Tor- 
tionslinie.  Wir  nehmen  daher  die  Torsionslinie  zum  Merkmal  der 
Curvenclasse  Es  ist  dann  die  Aufgabe,  die  Curvenclasse  durch  ex- 
pliciten  Ausdruck  der  Richtungscosinus  der  Tangente  entwickelt  dar- 
zustellen. Allgemein  reducirt  sie  sich  auf  eine  lineare  Differen- 
tialgleichung 2.  Ordnung.  Für  einige  Torsionsliuien  ist  sie  gelöst, 
tob  denen  wir  nur  die  2  einfachsten  in  Betracht  ziehen  wollen. 


I.   Gerade  Torsionslinie. 

Ihre  Gleichung  lautet: 

#  =  t  tg  A,    k  constant 

Die  Curven  dieser  Classe  haben  die  Eigenschaft,  dass  die  Haupt- 
normale  beständig  normal  zu  einer  festen  Geraden  ist.  Letztere  sei 
t  Axe  und  vertical  zu  denken,  die  yz  Ebene  als  Horizont  betrachtet. 
Dann  ist  jede  solche  Curre  eine  Curve  constanter  Steigung,  von  der 
Hnth  handelt,  ?on  manchen  Mathematikern  „Helix"  genannt.  Die 
Richtungscosinui  der  Tangente  sind: 

/— sinA;  g  =  cos Acosff;   /*  —  cos Asino  (1) 

rad  A  ihr  Steigungswinkel. 


II.   Kreis  als  Torsionslinie. 

Die  Gleichung  lautet: 

T*  +  $i  _  cot«a 

ud  nrar  ist 

t       cot«  sin  A;   &      cot«  cos  A 
Die  Curven  dieser  Classe  haben  die  Eigenschaft,  dass  die  Haupt- 


12G 


Hoppe:  Zur  a»alylt*chen  Curventhtorie. 


normale  mit  einer  festen  Geraden  (der  verticalen  x  Axe)  einen  con- 
stanten  Winkel  R  -  o  bildet.  Die  Richtungscosinus  der  Tangente 
sind: 

(2) 

coscrsinA;    y  -  cos  A  cos  ^-^  + sin  a  sin  A  sin  gj-j 

c  —  cosAsin—  sinosinAcos  .  - 

sin  a  sin  o 

Zar  vollständigen  Bestimmung  einer  Curve,  deren  Tangenten- 
system bekannt  ist,  gehört  nun  bloss  noch  der  Ausdruck  des  Bogen- 
elements  d*.    Ist  dieser  gegeben,  so  sind  die  Gleichungen  der  Cnrve: 

•  -//dt;   y=fgd*'y   e-fhds  (3) 

Ist  Bs  durch  Bedingungen  bestimmt,  so  bleibt  eine  Gleichung  oder 
ein  System  solcher  zu  lösen,  worin  jedoch  *  einzige  Unbekannte  ist. 

Das  Bogenelement  kann  nun  u.  a.  bestimmt  werden  durch  eine, 
in  bestimmter  relativer  Lage  zum  Tangenteusystcm  gegebene  Fläche, 
auf  welcher  die  Curve  *  liegen  soll.  Diesen  Fall  ziehe  ich,  wie  Hut h 
es  getan,  allein  in  Betracht.  Die  Aufgabe,  aus  dieser  Bedingung 
das  Bogenelement  zu  linden,  habe  ich  in  Crelle  J.  Bd.  LXIII.  allge- 
mein gelöst.  liier  will  ich  mich  auf  den  Fall  beschränken ,  wo  die 
Fläche  eine  Kugelfläcbe  vom  Radius  e  ist.   Die  Lösung  lautet  dann  : 

d»      c  8t  cos  &  (4) 

Dieser  Wert  in  die  Gl.  (3)  eingesetzt  gibt  somit  dio  Gleichung  aller 
sphärischen  Curven,  deren  specinsehe  Gleichuug  gelöst  ist,  in  Qua- 
draturen. 

In  Anwendung  auf  die  Curven  constanter  Steigung  I.,  wo 

& 

t~#cotA;    tf-si-A  (5) 
erhält  man  nach  den  Gl.  (1): 

x  =  ecos  A  f  Bfr  cos#  =*  ccos  A  sin#  (6) 

COB#C08  g.Qj  0# 

—  f  (sin  a  cos  &  —  sin  A  cos  a  sin  &) 


%  —  ccotAcosA  /  cos#  sin  f  -.  dfr 
J  sin  * 

—  —  c(cosa  cosfr  -f-  sinA  sin  a  sin#) 
Werte  die  auch  sichtlich  die  Flächengleichung 


(7) 


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Hoppe:  Zur  analytischen  Curventheorie, 


127 


*•  +  »■  4-    =  «" 

erfüllen. 

Abs  geometrischer  Betrachtung  erhellt  sogleich,  dais  in  der 
Nähe  der  Pole  ciue  Curve  von  der  Steigung  k  unmöglich  ist,  weil 
tod  deu  Poleu  aus  jede  Curve  mit  der  Steigung  null  beginnt.  Dies 
bestätigt  auch  die  Formel;  denn  Gl  (G)  zeigt,  dass  r  zwischen 
xccosl  variirt,  dass  also  die  Curve  ganz  auf  der  so  begrenzten 
Zone  verläuft. 

Ferner  geht  sowol  durch  Figurbetrachtung  als  auch  aus  der 
Formel  hervor,  dass  an  der  Grenze  der  Zone  die  Curve  nur  in  der 
Meridiaorichtung  eine  Steigung  —  X  haben  kann;  denn  hier  ist  für 
cos»  =  0  nach  Gl.  (1)  (7) 

h  z 

g"  y 

folglich  berührt  die  Curve  den  Meridian  und  hat  hier  einen  Rück- 
kebrpunkt,  von  dem  an  ihre  Steigung  in  eine  Senkung  übergeht. 
Nach  Gl.  (4)  ist  der  Krümmungsradius  daselbst  =»  0. 

Wir  weuden  nun  das  Bogenelement  (4)  auf  die  Classe  II.  an, 
setien  also  in  Gl.  (3)  die  Werte  (4)  (2)  ein.  Die  Integration  ist 
für  x  ausführbar;  denn  man  hat: 

ar  =  a^coti;   cosA  =  #tga 

xlso: 

x  —  —  e  sin  o  /  #cv>  cos  if 
=  —  e  sin  o(cos  #  +  #  sin  V)  (8) 

Von  den  2  anderen  Integrationen  ist  wenigstens  die  eine  für  die 
Specialwerte 

sin  «  ■=  -  (n  =  2,  3,  4,  5,  .  .  .  )  also 

u 

t*  -{-      -  a*  _  1  =  3,  8,  15,  24,  .  .  . 
ausführbar.    Es  wird 


■  «=  — ,__f  :  |  &d&  cos 9  f  coU'cosnA-f-  -  sin  ni\ 

i  =  .  e    -  f  &d$cos&  (coUsinnA-  1cos  nk) 

daher  für  n  -  2 

■  c\/±f&B&  cos#(2cos'a  —  $cos2A) 

-*V3{(£  —  i^)cos^  +  (i^  -  i^s)sin^} 

für  »-3 


(9) 


(10) 


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128  Hoppe:  Zur  analyfhchrn  Curvtnlheorie. 


-  - ,  vi  !0  -  »* + « •*)  «•  *  +  ( 9  - « »• + 1 1. 4'»»! 

u.  s.  w. 

Nachdem  nun  x  und  *  gefunden  sind,  ergibt  sich  auch 

y  =  Vc*  —  x*  -  z* 

Diese  Gleichung  zeigt  zugleich,  dass  die  2  Integrale  in  Gl.  (9)  sich 
auf  eiuander  reduciren  lassen,  was  unmittelbar  nicht  ersichtlich  ist. 


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Rimttedt;  Die  Seeanten  und  Tangenten  etc. 


120 


VI. 

Die  Secanten  und  Tangenten 
des  Folium  Cartesii. 

(M.  1  Figur.) 
Von 

Oberlehrer  Dr.  A.  Himstedt. 


§  1.  Der  Erfinder  der  analytischen  Geometrie,  Rene  Descartes 
(od.  Cartesius),  führt  in  seinen  Briefen  eine  Curve  III.  Ordnung  an, 
welche  der  Gleichung 

(1)  .  .  .  x*  —  3axy  -f-  y3  «=»  0 

entspricht  und  die  wegen  ihrer  blattähnlichen  Gestalt  den  Namen 
Folium  bekommen  hat.  Die  in  dieser  Gleichung  vorkommende  Con- 
stante  a  können  wir  unbeschadet  der  Allgemeinheit  als  positiv  vor- 
aassetzen;  denn  wäre  a  <  0,  so  könnten  wir  durch  Vertauschung 
der  positiven  Halbachsen  mit  den  negativen  die  Gleichung  so  um- 
formen, dass  die  Constante  a  >  0  wird. 

Setzen  wir 

y  =  tx 

so  folgt  aas  obiger  Gleichung 

Zat  3af* 

(2)  .  .  .  x  —  j  ■  ff      9  =  j  _|_/8 

ein  System,  welches  den  Vorzug  hat,  die  Rechnungen  in  vielen 
FlUen  zu  vereinfachen. 

knk.  4.  Mal*,  u.  Pfcj».  2.  R«ihe,  T.  XV.  9 


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130  Himstedt:  Die  Secanten  und  Tangenten 

§  2.  Um  die  Lage  der  Curve  zu  den  Achsen  zu  bestimmen,  er- 
teilen wir  dem  Parameter  t  alle  Werte  von 

t  =-  — oo  bis  i  =»  -\-  co 

Wächst  derselbe  von 

f  -  0  bis  t  ä  1 
so  wächst  die  Abscisse  von 

x  •=-  0  bis  x  —  \a 
und  ebenso  die  Ordinate  von 

y  —  0  bis  y  —  \a 
Wächst  der  Parameter  von 

f  —  1  bis  <  —  oo 

so  nehmen  x  und  y  gleichzeitig  ab  von  %a  bis  null.  Folglich  besitzt 
die  Curve  im  ersten  Quadranten  einen  geschlossenen  Zug,  das  eigent- 
liche Folium,  welches  vom  Anfangspunkte  ausgeht  und  über  den 
Punkt 

«=>y  -  \a 

die  Spitze  des  Folium,  dorthin  zurückkehrt. 

Nimmt  der  Parameter  ab  von 

t  -  0  bis  t  =  —  1 

so  ist  die  Abscisse  x  stets  negativ  und  nimmt  ab  von 

*  =-  0  bis  x  =  —  co 

während  die  Ordinaten  positiv  siud  und  von 

y  =  0  bis  y  —  oo 

wachsen.  Die  Curve  besitzt  also  einen  unendlichen  Ast,  welcher 
ganz  im  zweiten  Quadranten  liegt  und  vom  Anfangspunkt  sich  in's 
Unendliche  erstreckt. 

Wenn  endlich  der  Parameter  von 

t  ■=  —  1  bis  t  «=•  —  co 

abnimmt,  so  ist  die  Abscisse  stets  positiv  und  nimmt  von 

x  =»  -\-  oo  bis  x  —  0 

ab,  während  die  Ordinaten  stets  negativ  sind  und  von 

y  «  —  oo  bis  p  —  0 


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dt*  Folium  Carum. 


131 


zunehmen,  d.  h.  die  Curvo  hat  einen  zweiten  unendlichen  Ast,  wel- 
cher ganz  im  vierten  Quadranten  gelogen  ist  und  aus  dem  Unend- 
lichen zum  Anfangspunkt  zurückkehrt.  Aus  Allem  ergiobt  sich,  dass 
kein  Teil  der  Curve  im  dritten  Quadranten  liegt. 

§  3.  Da  die  Gleichung  (1)  symmetrisch  in  Bezug  auf  *  und  y 
ist,  so  muss  die  Ualbirungslinie  der  positiven  (od.  negativen)  Halb- 
achsen eine  Symmetrieachse  der  Curve  soin  und  diese  in  zwei  con- 
gniente  Hälften  teilen.  In  der  Tat,  drehen  wir  das  Coordinaten- 
system  um  45°,  indem  wir 

setzen,  so  geht  (1)  über  in 

(3) .  .  .  c3  +  3  .y  _  Sc[?  _  ,1)  _  o,   c*  -  Ja* 

nnd  da  diese  Gleichung  nur  gerade  Potenzen  von  rj  enthält,  so  ent- 
sprechen jedem  i*  zwei  entgegengesetzt  gleiche  Werte  des  tj. 

§  4.  Die  Gleichung  (1)  enthält  weder  ein  absolutes  Glied  noch 
Glieder  erster  Dimension.  Daraus  folgt,  dass  die  Curve  im  Anfangs- 
punkte einen  Doppelpunkt  besitzt.  Da  nun  alle  Curven  III.  0.  mit 
einem  Doppelpunkte  rationale  Curvon  sind,  so  ist  auch  das  Folium 
eine  rationale  Curve,  und  in  der  Tat  haben  wir  gesehen,  dass  sich 
die  Coordinaten  eines  beliebigen  Curvenpunktes  rational  mit  Hilfe 
eines  Parameters  darstellen  lassen. 

Das  Tangentenpaar  des  Doppelpunktes  ist  durch  die  Gleichung 

xy  —  0 

gegeben.  Die  beiden  Tangenten  fallen  demnach  mit  den  Coordi- 
natenachscu  zusammen,  und  der  Doppelpunkt  ist  ein  solcher,  in 
welchem  sich  zwei  verschiedene  Zweige  der  Curvo  durchschneiden. 

§  5.  Das  Folinm  Cartesii  hat ,  wie  jode  Curve  III.  0. ,  drei 
Asymptotenrichtungen,  welche  wir  dadurch  bestimmen  können,  dass 
wir  die  Glieder  höchster  Dimension  gleich  null  setzen  und  dann  die 
linke  Seite  dieser  Gleichung  in  lineare  Factoreu  zerlegen.  Dies  giebt: 

l*+ f)  .  P*  -  9  (1  + <  >73)]  •  [2*  -  y(l  -  •  V3)]  -  0 

Unsere  Curve  hat  demnach  eine  reelle  und  zwei  imaginäre 
Asymptotenrichtungen.   Um  die  reelle  Asymptote  zu  finden,  setzen 

wir: 

9* 


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132  Himstedt:  Die  Secanten  und  Tangenten 

und  bestimmen  die  Grösse  h  derart,  dass  diese  Gerade  mit  der 
Curve  mindestens  zwei  Punkte  im  Unendlichen  gemein  hat.  Durch 
Elimination  von  y  aus  dieser  Gleichung  und  (1)  finden  wir: 

(4)  .  .  .  (a-/<)*'-f  h(a-h)z-k*  -0 

Setzen  wir  also  h  —  0,  so  erniedrigt  sich  der  Grad  der  Curven- 
gleichung  um  3  Einheiten,  d.  h.  die  Gerade 

(5)  .  .  .  x  +  y  -f-  «  =  0 

schneidet  die  Curve  dreimal  im  Unendlichen  und  ist  also  eine 
Asymptote.  Letztere  ist  zugleich  Wcndetangcnto  und  der  im  Unend- 
lichen gelegene  Berührungspunkt  ein  Wendepunkt  der  Curve.  Hier- 
aus folgt  noch,  dass  die  Curve  ihrer  ganzen  Ausdehnung  nach  auf 
einer  und  derselben  Seite  ihrer  Asymptote  liegt. 

§  6.  Eine  durch  den  Anfangspunkt  gezogene  Gerade  schneidet 
die  Curve  in  3  Punkten,  von  denen  zwei  mit  dem  Anfangspunkte 
zusammenfallen.   Deun  eliminirt  man  aus 

y  —  tx 

und  (1)  eine  Unbekannte,  z.  B.  y,  so  folgt: 

**[(1-H8)*  —  3a<]  -  0 

eine  Gleichung,  welche  offenbar  zwei  gleiche  Wurzeln  x  =  0  hat. 
Die  dritte  Wurzel  hat  den  Wert: 

*  ~  1+1» 

Ist  also  der  Richtungswinkel  der  Geraden  ein  spitzer  ((>0),  so 
liegt  der  dritto  Schnittpunkt  auf  dem  Folium  selbst.  (Vergl.  §  2.). 
Ist  jener  Winkel  stumpf  (/  <  0),  so  liegt  der  dritte  Schnittpunkt 
auf  einem  der  unendlichen  Aestc.  Für  t  =  1  sind  die  Coordinaten 
des  dritten  Schnittpunktes: 

i  mm  fa,    y  —  fa 

Die  Gerade  fällt  dann  mit  der  Symmetrieachse  der  Curve  zusammen. 
Der  Abstand  des  Anfangspunktes  von  der  Spitze  des  Folium  hat 

den  Wert  $a  V2. 

§  7.  Eine  Parallele  zur  y- Achse,  x  =  h,  schneidet  die  Curve 
in  drei  Punkten,  deron  Parameter  wir  aus  der  Gleichung 


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des  Folium  Carteaii. 


133 


h  =  i+i*  oder 

16).  .  .1«— 3j<  +  1  -  0 

entnehmen.  In  dieser  Gleichung  fehlt  das  mit  f*  behaftete  Glied. 
Bezeichnen  wir  demnach  die  Wurzeln  der  Gleichuug  (6)  mit  f,  t% 
nnd  <3,  so  haben  wir  die  Rolatiou 

(7)  .  .  .  h  + 1$  +  h  -  0 

d.  b.  schneidet  eine  zur  y-  Achse  parallel  laufende  Gerade  die  Curve 
iu  drei  Punkten,  so  ist  die  Summe  der  Parameter  dieser  Punkte 
identisch  gleich  null.    Ferner  folgt  aus  (6),  dass 

(8)  .  .  .  /,  I,  .  ts  ~  -  r 

Demnach  sind  vou  den  Wurzeln  der  Gleichung  (6)  zwei  positiv  und 
die  dritte  negativ,  woraus  mit  Rücksieht  auf  §  2.  folgt,  dass  vou 
den  3  Schnittpuukten  2  auf  dem  Folium  selbst,  der  dritte  auf  einem 
der  unendlicheu  Aeste  liegt. 

Um  nun  die  Beschaffenheit  der  3  Wurzeln  noch  genauer  zu 
untersuchen,  berechnen  wir  die  Discriminante  der  Gleichung  (6). 
Dies  giebt: 

,  «s 

(9)  .  .  .J  =  l-hi 

Nun  hat  eine  reducirte  kubische  Gleichung  drei  reelle  Wurzeln, 
wenn  ihre  Discriminanto  J  negativ  ist,  dagegen  eine  reelle  und  zwei 
imaginäre,  wenn  J  positiv  ist,  und  endlich  zwei  gleiche  Wurzeln, 
wenu  J  =  0  ist  Wenden  wir  dies  auf  den  vorliegenden  Fall  an, 
so  ergiebt  sich  Folgendes.  Ist  /*  <  0,  so  ist  J  >  0,  d  h.  jede  Pa- 
rallele zur  y-Achse,  welche  links  von  dieser  Achso  liegt,  schneidet 
die  Curve  in  einem  reellen  und  zwei  imagiuäreu  Punkten.  Ist  ferner 

<i  Vi  >  *  >  0,  so  ist  J  <  0,  und  die  Gerade  hat  unter  dieser 
Bedinguug  drei  reelle  Schuittpuukto  mit  der  Curve  gemein.  Ist 

endlich  A  ^>  a  V4,  so  ist  J  wieder  positiv,  so  dass  die  Gerade  dann 
wieder  einen  rellen  und  zwei  imaginäre  Schuittpunkte  liefert.  In 
dem  Grenzfalle 

h  -  a  yi  ist  j  =  o 

d.  h.  die  Gerade 

3 

HO)  .  .  .  z  -  ü  V4 

ist  eine  Tangente  der  Curve.  Diese  Tangente  schneidet  die  Curve 
iu  3  Punkten,  deren  Parameter  sich  aus 


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134 


Himstedt:  Die  Secanlen  und  Tangenten 


i*  -  \  V2  +1=0,  oder 
(11).  .  .(t-Vfr.d+'Vil-O 

ergebon.  Der  Berührungspunkt  dieser  Tangente  entspricht  demnach 
dem  Parameter 

•  -Vi 

und  liegt  also  auf  dem  eigentlichen  Folium,  während  der  sog.  Tan- 
gentialpunkt  dem  Parameter 

t  -  -  a  V* 

entspricht  und  folglich)  auf  einem  der  unendlichen  Aeste  liegt  — 
Wir  wollen  noch  den  andern  Grenzfall  h  =  0  erwähnen ,  welcher 
der  y-Achso  selbst  entspricht.  Hier  folgt  unmittelbar  aus  Gleichung 
(1),  dass  die  Gerade  *  =  0  drei  zusammenfallende  Puukte  mit  der 
Curve  gemein  hat.   Die  y-Achse  ist  die  Tangente  des  Doppelpunktes. 

Analogo  Resultate  ergeben  sich,  wenn  wir  die  Schnittpunkte  der 
Curve  mit  einer  Parallelen  zur  x-Achso  y  =»  h  untersuchen,  deren 
Parameter  offenbar  aus  der  Gleichung 

*  — Bj*+1  =  0 

entnommen  werdeu  können.  Diese  Gleichung  können  wir  durch  die 
Substitution 


leicht  auf  die  reducirte  Form  bringen,  und  dann  gestaltet  sich  die 
Discnssion  genau  so  wie  bei  (6). 

§  8.  Eine  Parallele  zur  Asymptote  der  Curve  hat  die  Gleichung  s 

(12)  .  .  .  z  +  y  +  k  =  0 

Um  die  Schnittpunkte  dieser  Geraden  zu  bestimmen,  setzen  wir  für 
*  und  y  die  Werte  (2)  in  vorstehende  Gleichung  ein  und  erhalten 
dann  : 

ht%  -f-  3a/2  -f-  3a*  +  h  -  0,  oder 
(t  +  1)|>*  +  {'Sa  —  h)t  -f  h]  ~  0 

Die  eine  Wurzel  dieser  Gleichung  ist  also 

t  1 


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des  Folium  Cartesii.  135 

für  welchen  Wert  die  Coordinateu  *  uud  y  uueodlick  gross  werden, 
(dr.  §  2.J  ü.  h.  jede  Parallele  zur  Asymptote  schneidet  die  Curve, 
wie  vorauszusehen  war,  einmal  im  Unendlichen. 

Die  beiden  andern  Wurzeln  der  obigon  Gleichung  sind: 

n«  ,  *-3o±  V8(&r+*)(«  -  h) 
\\ö)  .  .  .  t  .  gÄ         —  - 

Dieselben  sind  einander  gleich ,  eutweder ,  wenn  a  —  \  ist ,  welcher 
Fall  der  Asymptote  selbst  entspricht,  oder  wenn 

A  — 3a 

ist    Die  Gerade 

*  +  y  —  3a  =  0 

ist  demnach  eine  Tangente  der  Curve,  deren  Berührungspunkt,  wie 
leicht  zu  zeigen  ist,  mit  der  Spitze  des  Folium  znsammeufällt. 
Ferner  folgt  aus  (13),  dass  die  beiden  Wurzelu  nur  dann  reell  sind, 
wenn 

a>  h>  -  3a 

ist,  d.  h.  wenn  die  Gerade  (12)  zwischen  der  Asymptote  und  der 
Tangente  in  der  Spitze  des  Folium  liegt.  In  jedem  andern  Falle 
bat  jene  Gerade  mit  der  Curve  ausser  dem  unendlich  fernen  Punkte 
noch  zwei  imaginäre  Punkte  gemoin. 

§  9.  Wir  wollou  jetzt  auf  der  Curve  einen  Punkt  anneh- 
men, etwa 

3  at0  3a/0'; 

und  durch  ihn  eino  beliebige  Gerade 

(II)  .   .    .  y  —  y0  =  A(x  —  x0) 

legen.   Die  Substitution  von  t  und  t0  ergiebt: 

l  +  i»  ~  X\l+t>  1+(öaj 

woraus  nach  einigen  Umformungen  folgt : 

(i  -  [<o  u  -    +  (i  +  V)  *  -  (i  -  g]  -  o 

Eine  Wurzel  dieser  Gleichung  ist 

t  -  <0 

wie  vorauszusehen  war;  die  beiden  andern  sind: 


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Himstedt:  Die  Secanten  und  Tangenten 
2'0  Co  — 

Wie  man  sieht,  sind  diese  beide  Wurzeln  für  jedes  positive  t$ 
reell.  Folglich  hat  jede  Gerade,  welche  durch  einen  auf  dem  eigent- 
lichen Folium  gelegenen  Punkt  gezogen  wird,  drei  reelle  Punkte  mit 
der  Curve  gemein.  Dies  lässt  sich  auch  auf  geometrischem  Wege 
zeigen.  Denn  eine  Gerade ,  welche  einen  geschlossenen  Linienzug 
einmal  durchschneidet,  muss  denselben  notwendig  nochmals  durch- 
schneiden; und  eine  Gerade,  welche  eine  Curve  III.  0.  in  zwei  re- 
ellen Punkten  durchschneidet,  hat  mit  ihr  stets  noch  einen  dritten 
reellen  Punkt  gemein.  Dieser  dritte  Schnittpunkt  muss  nun,  da  er 
auf  dem  Folium  selbst  offenbar  nicht  liegen  kaun  ,  notwendig  einem 
der  unendlicheu  Aeste  angehören.  In  der  Tat  haben  die  beiden 
Wurzeln  (15)  für  ein  positives  t0  verschiedene  Vorzeichen,  woraus 
sich  nach  §  2.  das  Gesagte  ergiebt.  —  Ist  umgekehrt  Iq  <  0,  so 
können  die  beiden  Wurzeln  (15)  ebenso  gut  reell  wie  imaginär  sein ; 
d.  h.  zieht  man  durch  einen  iPunkt,  welcher  auf  einem  der  unend- 
lichen Aeste  liegt,  eine  Gerade,  so  hat  dieselbe  mit  der  Curve  ausser 
jenem  Punkte  noch  zwei  weitere  Punkte  gemein,  welche  entweder 
reell  oder  imaginär  sind. 

§  10.  Es  seien  zwei  Curvenpunkte  M0  und  A/,  gegeben:  dann 
ist  die  Gleichung  der  Geraden  M0MX 

*(y«  —  Vi)  —      —  *i)  +  (*<>yi  —  *i  yo)  =  o 

oder,  wenn  wir  die  Parameter  <©  und  tx  der  beiden  Punkte  Af©  und 
Mx  einführen  : 

Diese  Gleichung  lässt  sich  durch  (f0  —  <,)  dividiren;  es  resultirt 

(16)  .  .  .  *(*<>+<«  —  <oV)—  yU  —  fo\  —  Mi8)  —  3a<0<i  =0 

Dies  ist  die  Gleichung  der  Secante  M0Afv  Um  ihre  Schnittpunkte 
mit  der  Curve  zu  bestimmen,  substituireu  wir  für  x  und  y  die  Werte 
(2)  und  erhalten  dann: 

W,+ö-^1—%V+CfcV-«i--*)H-Vi  =  0 

oder 

(17)  .  .  .(*-«<< -Ii) 

Jene  Secante  durchschneidet  also  die  Curve  in  drei  Punkten ,  von 
denen  zwei,  wie  zu  erwarten  war,  mit  A/0  und  A/,  zusammenfallen, 
nämlich 

t  =  t0   und  t  =  t{ 


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des  Folium  Cartesii. 


137 


Der  dritte  Schnittpunkt  entspricht  dem  Parameter: 

(18)  .  . 

'o  li 

Demnach  ist  dieser  Parameter  positiv  oder  negativ,  je  nachdem  t0 
ond  /,  ungleiche  oder  gleiche  Vorzeichen  haben,  d.  h.  eine  Gerade, 
welche  das  eigentliche  Folium  zweimal  durchschueidet,  hat  ihren 
dritten  Schnittpuukt  auf  eiuem  der  unendlichen  Aeste,  und  eine  Ge- 
rade, welche  die  unendlichen  Aeste  2  mal  durchschneidet,  schneidet 
dieselben  auch  noch  zum  dritten  Male.  Dagegen  muss  eine  Gerade, 
welche  einen  Punkt  des  eigentlichen  Folium  mit  einem  Punkte  der 
unendlichen  Aeste  verbindet,  ihren  dritten  Schnittpunkt  auf  dem 
eigentlichen  Folium  haben.  Alle  diese  Sätze  sind  auch  geometrisch 
evident. 

§  11.  Wir  wollen  jetzt  annehmen,  dass  die  beiden  Curvenpunkte 
Jft  nnd  AT,  zusammenfallen,  so  dass  die  Secaute  M0Mt  iu  die  Tan- 
gente übergeht.  Die  Gleichung  dieser  Tangente  leiten  wir  aus  (16) 
ab.  indem  wir 

setzen.    Wir  erhalten  dann 

(19)  .  .  .  *(2/„  -  tf)  -  y(l  -  2<0')  -  3«/e2  -  0 

als  Gleichung  derjenigen  Tangente,  welche  die  Curvc  im  Punkte  t0 
berührt    Die  Gleichung  (17)  geht  über  iu 

(20)  .  .  .(<  -gW'-l-D-O 
and  demnach  ist 

(21)  .  . 

der  Parameter  des  sog.  Tangentialpuuktes.  Dieser  liegt  daher  stets 
auf  einem  der  unendlichen  Aeste,  wo  immer  auch  der  Berührungs- 
punkt liegen  mag.  Auch  dieser  Satz  kaun  leicht  geometrisch  be- 
wiesen werden. 

Aus  (19)  erhalten  wir  den  Richtuugscoefficieuten  der  Tangente 
im  Punkte  <6,  nämlich 

U)  '    '    *  P  ~  1  — 

den  wir  in  einfacher  Weise  auch  mit  Hilfe  der  Differentialrechnung 
ans  den  beiden  Gleichungen  (2)  hätten  ableiten  können.  Aus  (22) 
ergebt  sich  nun  folgendes:  Die  Tangente  ist  der  x-Achse  parallel, 
p  =  0  ist,  d.  h.  also  für 


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138  Himstedt'.  Di«  Seeanten  und  Tangenten 

t0  =  0   und  für   t9  -  Y2 

Dem  ersten  Werte  entspricht  der  Anfangspunkt,  dem  zweiten  ein 
auf  dem  eigentlichen  Folium  gelegener  Puukt,  dessen  Coordiuaten 

•  » 

*  —  a  Vi,    y  —  «  V4 

sind.   Ferner  steht  die  Tangente  senkrecht  zur  x- Achse,  wenn  />  —  od 
ist,  d.  h.  also  für 

» 

t%  =  oo    und  für   t0  =  Vi 

Dem  ersten  Werte  entspricht  wieder  der  Anfangspunkt  (cfr.  §  2.), 
dem  zweiten  ein  auf  dem  eigentlichen  Folium  gelegener  Punkt, 
dessen  Coordinatcu 

x  wm.  a  >'4,    y  =  a  Y'2 
sind,  (cfr.  §  7.).    Die  Tangente  ist  der  Asymptote  parallel,  wenu 

p--i 

ist,  also  wenn 

«o*  +  2*0S  -  2/0  —  1  -  0  oder 
«•  +  Ds  Co  - 1)  -  0 

Hieraus  folgt  entweder 

in  welchem  Falle  wir  die  Asymptote  selbst  haben,  oder 

'o  -  1 

und  diesem  Werte  entspricht  der  Scheitel  des  Folium,  in  welchem 
Punkte  die  Taugeute,  wie  wir  bereits  früher  gescueu  haben  (§  8.), 
iu  der  Tat  der  Asymptote  parallel  läuft.  Endlich  bestimmen  wir  die 
Punkte,  wo  die  Tangente  der  Symmetrieachse  parallel  läuft.  Danu 
muss 

p  =  +  1 

sein,  also 

<o*  -  V  -  2lb  +  1  —  0  oder 

Der  erste  Factor,  gleich  null  gesetzt,  liefert  für  /<>  zwei  imaginäre 
Werte.   Dagegen  folgt  aus 


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des  Folium  Cartesii. 


139 


tQ*  -  -  —  +  1=0   der  Wert : 

ya-i 

1  +      ±  Vl2 

"       2  "_ 

Es  gicbt  also  zwei  (reelle)  Puiikte,  in  welchen  die  Tangente  pa- 
rallel der  Symmetrieachse  ist.  Beide  Puiikte  liegen  auf  dem  eigent- 
lichen Folinm,  da  die  obigen  Wurzelwerte  beide  positiv  sind. 

§  12.  Ersetzeu  wir  in  der  Gleichung  der  Tangente  die  lau- 
fenden Coordiuaten  durch  Sr)  und  bezeichnen  den  Parameter  des 
Berührungspunktes  mit  tt  so  ist 

(23)  .  .  .  c(2<  -  <*)  -       —  2<3)  -  3««2  -  0 

die  Gleichung  der  Tangente ,  wofür  wir  auch ,  wenn  wir  die  Glci- 
eboogeu  (1)  und  (2)  beachten, 

(24)  .  .   .  (x*  —  ay)l  +  (j,2  -  ax)V  —  axy  -  0 

schreiben  können.  In  dieser  letzteru  Glcichuug  siud  dauu  xy  dio 
Coordinatcn  des  Berührungspunktes.  Soll  nun  diese  Tangente  durch 
eiiien  festen  Punkt  x0yt  gehen,  so  haben  wir  dio  Bedingung: 

(25)  .  .  .  (z*  —  ay)xQ  -f  (y2  —  ax)y0  —  axy  —  0 

Betrachten  wir  in  dieser  Gleichuug  die  Coordinateu  des  Be- 
rührungspunktes xy  als  veränderlich,  so  repräseutirt  (25)  einen 
Kegelschnitt,  den  sog.  Polarkegelschnitt.  Auf  ihm  müssen  die  Be- 
rührungspunkte aller  derjenigen  Tangenten  liegen,  welche  sich  von 
dem  Pole  ar0y0  au  unsere  Curve  legon  lassen.  Da  diese  Berührungs- 
punkte selbstverständlich  auch  auf  dem  Folium  liegen ,  so  sind  es 
die  Durchschnittspuuktc  der  beiden  Curven  (25)  und  (1).  Nun  hat 
ein  Kegelschnitt  mit  einer  Curve  III.  0  bekanntlich  6  Puukte  ge- 
meinschaftlich. Da  nun  dor  Kegelschnitt  (25)  durch  den  Anfangs- 
punkt geht  and  dieser  ein  Doppelpunkt  des  Folium  ist,  so  fallen 
zwei  jener  6  Schnittpunkte  mit  dem  Aufangspuukto  zusammen.  Die- 
jenige Gerade  aber,  welche  einen  Doppelpunkt  der  Curve  mit  dem 
Pole  x#y0  verbindet,  ist  im  allgemeinen  keino  eigentliche  Tangeute. 
Daraas  folgt,  dass  sich  von  einem  festen  Punkte  nur  4  Tangenten 
II  die  Curve  legen  lassen,  d.  h.  das  Folium  ist  eine  Curve  vierter 
Gasse  (wie  jede  Curve  III.  0.  mit  einem  Doppclpunkte.).  Es  lässt 
neb  dies  auch  noch  auf  auderm  Wege  zeigen.  Wenn  wir  in  die 
Gleichung  des  Polarkegelscbnitts  für  x  und  y  die  in  (2)  gegebenen 
Werte  einsetzen,  so  folgt 


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140 


Himstedt:  Die  Seeanten  und  Tangenten 


(26)  .  .  .  xQt*  -  2y0<8  +  3a<*  -  2z0<  +  y0  =  0 

eine  Gleichung  vierten  Grades  in  f,  deren  4  Wurzeln  die  Parameter 
derjenigen  Punkte  sind,  in  welchen  die  Curve  von  den  durch  x0y0 
gezogenen  Tangenten  berührt  wird. 

§  13.  Liegt  der  Pol  r0ij0  auf  der  Curve  selbst,  so  genügen 
seine  Coordinateu  der  Gleichung  der  Curve,  und  es  ist 

Setzen  wir  diese  Werte  in  die  Gleichung  (".;6)  ein,  so  folgt: 

t0t*  -  %*t*  +  (1  +  f0*)r«  -2^1+  >0*  -  0  oder: 

('-<o)2.(V8+D~0 

Zwei  Wurzeln  dieser  Gleichung  siud  =  «o,  d.  h.  diejenige  Tangente, 
deren  Berührungspunkt  der  Punkt  /0  ist,  ist  doppelt  zu  zählen.  Die 
Berührungspunkte  der  beiden  andern  Tangenten  siud: 

<-±V-i 

Dieselben  sind  also  nur  dauu  reell,  wenn  t0<]0  ist.  Wir  haben 
also  den  Satz:  Durch  einen  Punkt,  welcher  auf  dem  eigentlichen 
Folium  liegt,  lässt  sieh  nur  eine  (doppelt  zu  zählende)  Tangente 
ziehen,  deren  Berührungspunkt  eben  jeuer  Pol  ist.  Liegt  aber  der 
Pol  auf  einem  der  unendlichen  Aeste,  so  lasseu  sich  4  reelle  Tan- 
genten durch  ihu  ziehen.  Davou  fallen  zwei  zusammen  und  berühren 
die  Curve  im  Pol  selbst.  Die  Berührungspunkte  der  beiden  andern 
entsprechen  entgegengesetzt  gleichen  Parametern,  d.  h  liegt  d«*r 
eine  auf  dem  Folium  selbst,  so  liegt  der  audero  auf  eiuem  der  un- 
endlichen Aeste. 

§  14.  Wir  wolleu  ferner  annehmen,  dass  der  Pol  auf  der 
Asymptote  liegt.    Dann  haben  wir  die  Bedingung 

H  +  99  +  a  —  0 
und  die  Gloichung  (26)  geht,  wenn  wir  y0  eliminiren,  über  in 

x0t*  -f  2(a  +  x0)t*  +  Zat*  -  2r0t  -  (a  +  *„)  —  0  oder' 

(I  +  1)*  .  (V8  +  2«/  -  a  -  x0)  =  0 

Wir  haben  also  wieder  zwei  gleiche  Wurzelu 

t  -  -  1 


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dt*  Folium  Cartesii. 


141 


Da  dies» m  Werte  des  Parameters  der  unendlich  ferne  Punkt  der 
Curve  entspricht,  so  folgt,  dass  zwei  der  Tangenten  mit  der  Asymp- 
tote selbst  zusammenfallen.  Die  beiden  andern  Wurzeln  der  obigen 
Gleich oog  sind 

.  .  ,  =  -a±  Vo^+^  +  V  _  -a±V(a+Xo)*-ax0 

*0  *0 

Da  diese  beiden  Wurzeln  stets  reell  sind,  so  lassen  sich  also  von 
jedem  Punkte  der  Asymptote  4  reelle  Tangenten  an  die  Curve  legen. 
Bezeichnen  wir  ferner  die  beiden  Wurzeln  (27)  mit  tt  und  so 
lassen  sich  folgende  Fälle  unterscheiden :  Ist  at#  >  0,  so  ist  tt  >  0 
und  *,  <  0.    Ist  aber 


so  ist 


Ist  endlich 
so  folgt: 


o-o  =      ol,    1  >  l  >  0 

=  -i+vr3iö^)>Q 

3*0  °=    *  >  1 

h  ,-i+y^(*-i)<0 

**  _i  <^u 


Wir  können  somit  folgenden  Satz  aufstellen:  Liegt  der  Pol  auf 
der  Asymptote  und  im  III.  Quadranten,  so  lassen  sich  von  ihm  2 
Tangenten  ziehen,  welche  beide  das  eigentliche  Folium  berühren. 
Liegt  aber  der  Pol  auf  der  Asymptote  und  im  II.  oder  IV.  Qua- 
dranten, so  lassen  sich  von  ihm  zwei  Tangenten  ziehen,  von  denen 
die  eine  das  Folium  selbst,  die  andere  einen  der  unendlichen  Aeste 
berührt. 

§  15.  Liegt  der  Pol  auf  einer  der  Coordinatenachsen ,  z.  B. 
»uf  der  x-Achse,  so  ist  y0  —  0  und  die  Gleichung  (26)  geht  über  in 

xQt*  +  3al*  —  2ay-0 

Eine  Wurzel  dieser  Gleichung  ist  t  —  0,  d.  h.  von  den  4  Tangenten 
welche  durch  den  Pol  gezogen  werden  können,  berührt  eine  die 
Corte  im  Anfangspunkte  und  fällt  daher  mit  der  x- Achse  zusammen. 


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142 


Himstedt:  Die  Sfcanten  und  Tanyenten 


Dio  Berührungspunkte  der  übrigen  3  Tangenten  erhalten  wir  aus 
der  kubischen  Gleichung 

(28)  .  .  .<»+3a<-2-0 

Die  Discriminante  diesor  Gleichung  ist 


Ist  >  0,  so  ist  auch  J  >  0  und  die  Gleichung  (28)  hat  dann 
nur  eine  reelle  Wurzel ,  welche  offenbar  positiv  sein  muss.  Daraus 
folgt  der  Satz:  Liegt  der  Pol  auf  der  positiven  x- Achse,  so  lassen 
sich  von  ihm  2  Tangenten  an  die  Cnrve  ziehen,  von  denen  die  eine 
mit  der  x-Achse  zusammenfällt,  die  andere  das  eigentliche  Folium 
berührt.  —  Ist  ferner  0  >  jr0  >  —  «,  so  ist  d  <  0  uud  die  Glei- 
chung (28)  hat  dann  drei  reelle  Wurzeln,  und  zwar  eine]  positive 
und  zwei  negative,  weil  das  absolute  Glied  dieser  Gleichung  negativ 
und  das  mit  t*  behaftete  Glied  gleich  null  ist.  Es  folgt  daraus  der 
Satz:  Liegt  der  Pol  auf  der  negativeu  x-Achse  und  zwar  zwischen 
Anfangspunkt  und  Asymptote,  so  lassen  sich  von  ihm  4  Tangenten 
an  dio  Curve  ziehen,  vou  denen  eine  mit  der  z-Aehse  zusammen- 
fällt, die  zweite  das  eigentliche  Folium  und  die  beiden  andern  je 
einen  der  unendlichen  Aeste  berühren.  —  Ist  endlich  xQ  —  «,  so 
ist  J  >  0,  und  dio  Gleichung  (28)  hat  dann  wieder  nur  eine  reelle 
Wurzel,  welche  jedenfalls  positiv  sein  muss,  da  das  absolute  Glied 
der  Gleichung  negativ  ist  Also:  Liegt  der  Pol  auf  der  negativen 
x-Achse  und  zwar  so ,  dass  die  Asymptote  zwischen  ihm  und  dem 
Anfangspunkte  liegt,  so  lassen  sich  von  ihm  nur  zwei  reelle  Tau- 
genten an  die  Curve  ziehen,  von  denen  die  eiue  mit  der  x- Achse 
zusammenfällt,  die  andere  das  eigentliche  Folium  berührt.  Liegt 
der  Pol  auf  der  «  Achse,  so  haben  wir  genau  dieselben  Sätze.  — 
Schliesslich  können  wir  noch  den  Fall  betrachten,  wo  der  Pol  in 
den  Anfangspunkt  fällt.    Danu  ist 

*o  =-  yo  =■  0 

Hier  ist  leicht  zu  sehen,  dass  dio  Gleichung  (26)  zwei  gleiche  Wur- 
zeln t  0  und  zwei  andere  gleiche  Wurzeln  /  —  oo  liefert.  Jedem 
dieser  Werte  entspricht  der  Anfangspunkt  selbst,  und  wir  schliessen 
daraus,  dass  sich  durch  dieseu  Punkt  4  reelle  Taugenten  an  die 
Curve  legen  lassen,  welche  paarweise  mit  den  beiden  Taugeuten  des 
Doppelpunktos  zusammenfallen. 


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des  Folium  CarUtii.  143 

§  16.  In  dem  besondern  Falle,  *o  der  Pol  auf  der  Symmctrie- 
achic  der  Carve  liegt,  ist 

*o  —  y© 

Dio  Gleichung  (28)  gebt  dann  in  die  reeiproke 

(29) .  .  .  /*  _  2/»  -f  3  -  <*  -  2t  +  1  -  0 

über.   Dividircn  wir  diese  Gleichung  durch  t*  und  setzen  dann 

.+*-. 

bo  erhalten  wir  die  quadratische  Gleichung 

2*_2c-|-3a  -2-0 

out!  hieraus  folgt: 

Demnach  sind  die  vier  Wurzeln  der  Gleichung: 

«*=  ia-p+y(i-j>)s-4, 

Die  Discussion  dieser  Wurzeln  gestaltet  sich  folgendermasson : 

1)  Ist  >  f  a,  so  ist  Ys  >  j>  >  1,  folglich  sind  f|  und  f8  re- 
ell, dagegen  /s  und  <4  imaginär.  Ferner  sind  tt  und  beide 
positiv. 

2)  Ist  |a  >     >  0,  so  sind  alle  4  Wurzeln  imaginär. 


3)  Ist  0  >  *o  >  —  y  «0  ist  /)  >  3,  folglich  sind  alle  4  Wur- 
zeln reell,  und  zwar  tx  und  t%  positiv,  *s  und  *4  negativ. 

4)  Ist  —  g  >  ac0,  so  ist  3  >  j>  >  y  3 ,  folglich  sind  tx  und  /2 
reell  und  zwar  positiv,  dagegen  <3  und  <4  imaginär. 

Diese  Resultate  lassen  sich  leicht  in  Worte  fassen. 

Liegt  der  Pol  auf  der  Symmetrieachse,  so  dass  dio  Spitze  des 
Foünm  zwischen  Anfangspunkt  und  Pol  liegt,  so  lassen  sich  2  reelle 


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144 


Himstedt:  Die  Secanten  und  Tangenten 


Tangenten  ziehen,  welche  das  eigentliche  Folium  berühren.  (Dasselbe 
gilt  offenbar  von  jedem  Punkte,  welcher  im  I.  Quadranten  und  ausser- 
halb des  Folium  liegt.)  Wenn  der  Pol  auf  der  Symmetrieachse 
innerhalb  des  Folium  liegt,  so  lassen  sich  durch  ihn  überhaupt  keine 
reellen  Tangenten  ziehen.  (Dasselbe  gilt  von  jedem  innerhalb  des 
eigentlichen  Folium  gelegeneu  Punkte.)  Liegt  der  Pol  auf  der  Sym- 
metrieachse zwischen  Anfangspunkt  und  Asymptote,  so  lassen  sich  4 
reelle  Tangenten  an  die  Gurve  ziehen ,  von  denen  2  das  eigentliche 
Folium,  die  beiden  andern  die  unendlichen  Aeste  berühren.  (Dasselbe 
gilt  von  jedem  Punkte  innerhalb  des  von  den  Coordinatenachsen 
und  der  Asymptote  gebildeten  Dreiecks.)  Liegt  endlich  der  Pol  auf 
der  Symmetrieachse  so,  dass  die  Asymptote  zwischen  Anfangspunkt 
und  Pol  liegt,  so  lassen  sich  wieder  nur  2  reelle  Tangenten  durch 
den  Pol  ziehen,  welche  beide  das  eigentliche  Folium  berühren. 
(Dasselbe  gilt  von  jedem  Puukte  des  III.  Quadranten,  welcher  ausser- 
halb des  erwähnten  Dreiecks  liegt.) 

§  17.  Zum  Schluss  stellen  wir  die  Resultate]  der  letzten  4 
Paragraphen  zusammen: 

1)  Der  Pol  liegt  im  I.  Quadranten,  innerhalb  des  Folium. 
Keine  reelle  Tangenten. 

2)  Der  Pol  liegt  im  I.  Quadranten,  auf  dem  Umfange  des 
Folium.  Zwei  reelle  zusammenfallende  Tangenten,  deren 
Berührungspunkt  der  Pol  selbst  ist. 

3)  Der  Pol  liegt  im  I.  Quadranten,  ausserhalb  des  Folium. 
Zwei  reelle  Tangenten,  welche  das  Folium  selbst  berühren. 

4)  Der  Pol  liegt  auf  der  positiven  y-Achse.  Zwei  reelle  Tan- 
genten, von  denen  die  eine  das  eigentliche  Folium  be- 
rührt, die  andero  durch  den  Doppelpuukt  geht. 

5)  Der  Pol  liegt  im  II.  Quadrauteu  und  zwar  die  Curve  zwi- 
schen Pol  und  Asymptote.  Zwei  reelle  Tangenten,  von 
denen  die  eine  das  Folium  selbst,  die  andere  einen  unend- 
lichen Ast  berührt. 

6)  Der  Pol  liegt  im  II.  Quadranten  auf  dem  unendlichen  Aste. 
Vier  reelle  Tangenten.  Davon  fallen  2  zusammen  und  be- 
rühren die  Curve  im  Pol  selbst.  Von  den  beiden  andern 
berührt  eine  das  Folium,  die  andere  den  unendlichen  Ast 
(im  IV.  Quadranten.) 

7)  Der  Pol  liegt  liegt  im  II.  Quadranten  zwischen  Curve  und 


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des  Fohum  Cartesii 


145 


Asymptote.  Vier  reelle  Tangenten.  Davon  berührt  eine 
das  Folium,  die  andern  3  aber  die  nnendlichen  Aeste. 

8)  Der  Pol  liegt  im  II.  Qaadranten  auf  der  Asymptote.  Tier 
reelle  Tangenten.  Davon  fallen  2  in  der  Asymptote  zu- 
sammen ;  von  den  beiden  andern  berührt  eine  das  Folium, 
die  andere  einen  unendlichen  Ast 

9)  Der  Pol  liegt  im  IL  Qaadranten,  und  die  Asymptote  zwi- 
schen Pol  und  Curvo.  Zwei  reelle  Tangenten,  von  denen 
die  eine  das  Folium,  die  andere  einen  unendlichen  Ast  be- 
rührt. 

10)  Der  Pol  liegt  im  III.  Quadranten,  und  zwar  die  Asymptote 
zwischen  Pol  und  Curve.  Zwei  reelle  Tangenten,  welche 
beide  das  Folium  berühren. 

11)  Der  Pol  liegt  im  III.  Quadranten,  auf  der  Asymptote. 
Vier  reelle  Tangeuten;  davon  fallen  2  mit  der  Asymptote 
zusammen,  während  die  beiden  andern  das  Folium  be- 
rühren. 

12)  Der  Pol  liegt  im  III.  Quadranten,  zwischen  Asymptote  und 
Curve.  Vier  reelle  Tangenten,  von  denen  2  das  Folium, 
die  beiden  andern  die  uuendlichen  Aesto  berühren. 

Liegt  der  Pol  im  IV  Quadranten,  so  haben  wir  dieselben  Fälle 
*ie  im  II.  Quadranten. 

Aus  Allem  ersehen  wir,  dass  4  reelle  (nicht  zusammenfallende) 
Tangenten  existiren,  wenn  der  Pol  zwischeu  der  Asymptote  und  den 
unendlichen  Aesten  liegt,  dagegen  gar  keine,  wenn  er  innerhalb  des 
Folium  liegt. 

Marienburg,  Westpr.  December  1895. 


Alt*.  4.  Math.  u.  Phya.   2.  Reihe,  T.  XV. 


10 


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ur, 


Wölf  fing:  Die  Krümmung  der  Itaummrvm 


VII. 

Die  Krümmung  der  Raumcurven  in  singulären 

Punkten  derselben. 

Von 

Dr.  Ernst  Wölffing, 

Privaldocent  an  der  K.  Technischen  Hochschule  in  Stuttgart. 


Für  die  Krümmungen  der  Raumcurven  iu  singulären  Punkten 
derselben  existirt  bereits  eine  Tabelle,  welche  von  Schell1)  her- 
rührt. Dieselbe  beschränkt  sich  jedoch  auf  Singularitäten  mit  ein- 
fachen Kückkehrelemeuteu  und  mit  Uombiuatiouen  von  solchen  und 
gibt  auch  für  diese  nur  die  Radien  der  absoluten  Krümmung,  der 
Torsion  und  der  sog.  ganzen  Krümmung.  Ausserdem  ist  aus  dem 
Text  nicht  zu  ersehen  ,  wie  der  Verfasser  zu  seinen  Resultaten  ge- 
langt ist. 

Es  soll  nun  im  Folgenden  gezeigt  werden,  wie  für  die  Werte 
der  Krümmungsradien  im  wesentlichen  die  Anfar.gsexponenten  und 
-coefficienteu  der  Raumcurvenentwicklungen  massgebend  sind,  so 
dass  diese  Werte  für  jede  beliebige  Singularität  leicht  berechnet 
werden  können.  Dabei  wird  die  Untersuchung  auch  auf  die  Radien 
der  sphärischen  Krümrauug  und  Torsion  ausgedehnt.  Um  die  Ver- 
teilung der  Aufangsexponenteu ,  welche  resp.  unendlich  kleine ,  end- 
liche uud  unendlich  grosse  Werte  der  Krümmungsradien  liefern,  zu 


1)  Schell,  W.,  Allgemeine  Theorie  der  Curvcn  doppelter  Krümmung  in 
geometrischer  Darstellung.  Leipiig  1859.  S.  25.  Vgl.  auch  Laska,  Samm- 
lung von  Formeln  der  reinen  und  angewandten  Mathematik.  Braunschweig 
13*8— 94.  S.  544. 


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i«  singulare*  Punkten  dermtlten. 

übersehen,  wird  eine  geometrische  Darstellung  benutzt,  die  nament- 
lich in  complicirteren  Fällen  gute  Dienste  leistet. 

1.  Der  singulare  Raumcurvenpunkt  wird  in  den  Coordinaten- 
nrsprnng  verlegt,  die  Tangente  zur  x-Axe  und  die  Schmiegungsebene 
zur  a-Ebcne  gewählt.   Ist  dann 


die  Paramcterdarstcllung  der  Kaumcurve  in  der  Nähe  des  Ursprungs, 
so  gilt  für  die  Aufaugsexponenten  („Indices"  nach  BjÖrling, 
Reichen"  nach  Mehmke)  a,  ß,  y: 

«<0<7  (2) 

Nun  ist 

dx  =  (Aata=l  +  X'(a  4-  1)«"  4-  .  .  .  )de 

^-(^-1  +  ^4-1^4--  •  O* 
dz       (vyf/-l  4-  )d$ 


/i=  vy 
somit : 


*|-(-^(/»— +  -  •  •)* 

.  (|3-«  +  l)^-«  +  ■  •.)«*« 


Hieraus  folgt: 

10* 


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148 


Wölffing:  Die  Krümmung  der  Raumcurven 


Damit  ergibt  sich  der  Radius  der  absoluten  Krümmung1) 

 ds  

! unendlich  kleini  > 
endlich  J  je  nachdem  2«  —  0  f )  (4) 

unendlich  grossl  < 

2.  Die  Verteilung  der  unendlich  kleinen,  endlichen  und  unend- 
ich  grossen  Werte  von  p,  wie  sie  durch  (4)  gegeben  ist,  lässt  sich 
in  folgender  Weise  geometrisch  veranschaulichen.  Man  betrachte 
a  :  ß  :  y  als  homogene  Coordinaten  eines  Punkts  in  einem  recht- 
winkligen Coordinatensystem ,  so  bilden  sich  wegen  (2)  alle  zuläs- 
sigen Wertesysteme  der  Indices  ab  im  Innern  eines  Dreiecks,  das 
von  den  Geraden 

*  =r  0;  «  —  y\   y  =  1 

begrenzt  wird  uud  daher  die  Ecken 

4  — (0:0:1);    £  =  (U:1:1);    C  —(1:1:1) 

besitzt.  (Fig.  1).  In  diesem  Dreieck  setzen  wegen  (4)  diejenigen 
Punkte,  deren  zugehörige  Indices  auf  endlich  o  Werte  von  g  führen, 
eine  unendliche  Punkt menge  zusammen,  welche  sich  auf  der 
Geraden 

2x  —  y 

befindet  und  daselbst  sich  vom  Punkt  A  bis  zum  Punkt 

D  —  (1  :  2  :  2) 

erstreckt.  Diese  Punktmenge  ist  discrot,  weil  nur  diejenigen 
Punkto  der  Geraden  ihr  augehören,  welche  rationale  Coordinaten 
besitzen;  sie  ist  von  der  zweiten  Gattung  im  Sinne  dor  Mengen- 


1)  Salmon-  Fiedler,  Analytische  Raumgeometrie  II.  S,  160. 

2)  Diese  Formel  gilt  auch  für  den  Krümm angsradias  bei  ebenen  Curven, 
rrgl.  Mehmke  ,Ueber  die  Bewegung  eines  starren  ebenen  Systems  in  einer 
Bbene*.    Zeitschr.  für  Math.  Physik.  Jahrg.  35.  S.  r.. 


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M  singulären  Punkten  derselben 


149 


lehre ')  und  zwar  „überall  dicht"4,  weil  sie  in  jedem  ihrer  Punkte 
ime  Häofungsstelle  besitzt;  aus  diesem  Grunde  erscheint  die  Linie 
AD  iu  Fig.  1  ausgezogen.  Links  unterhalb  dieser  Linie  ist  das  Ge- 
biet der  unendlich  grossen  (ao)  und  rechts  oberhalb  das  Gebiet  der 
unendlich  kleinen  (0)  Werte  von  p.  Selbstverständlich  kommen  auch 
hier  nur  die  Punkte  mit  rationalen  Koordinaten  in  Betracht. 

3  Zur  Berechnung  des  Torsionsradius  r  hat  man  ferner: 
A  -  (la(a    -  1)1«-«  -f  .   .   .  )(df)*  +  +  .   .   .  )dh 

**  -  (*ß(ß  - 1  v-2»  +  •  -  •  )m*  +  (rft?-2  + .  .  .  )<iu 

-  (Vy(y         l)t7-2  +  .    .    .  )(*)!  +  (vy^  +  .    .    .  )<l'i 

X  _  dy<(*:  —  -  0«v/3yv'y  -  ß)tß+v~*  -f  .  .  .  )(rfe)» 

>  =  <£:d*i  —  rfx  d*s  =  (W.  ya(a  -  y)£'/+«-3  -f  .   .   .  )(,/«)» 
/  -dxiPy  —  dytfix  ~        ajS(0  —  o)£«  f  f-3  -f  .    .    .  ){,U)* 

fr- .(!«(«—  l)(a-2)i—M-  •   •   •  )(c/0S-H3Aa(a-l)*«-2-f  .  .  .) 

d*f  .  <?f-{-(ji/fel~H-  ■  •  M3* 
A-(i7(y— l)(y-2)fr-*+ .  •  .  )(rff)s4-(3vyfy-l)£V-2+  .  .  .) 

</a£  .  rfe+(vyfy-'-f  .  .  .  >iJ 

+  .   .   .  )(*)6 
I*f  -  (k*ti*a'ßHß-a)h*«  +  ß-V  +  .   .   .  )(*)• 

somit  der  Rad  ins  der  Torsion  ») 

X»-f  Y*+Z*      Ip  aß  — « 

'=    —     ü—         ~      Vy     (y-gJ(y-ft'g,^y+-     •     •  (5) 

! unendlich  kleinj  > 
endlich  >  je  uachdem  a  -f-  (3  =  y  (6) 

unendlich  gross'  < 


!)  Dini,  U.,  ,Grundla(jcn  für  eine  Thaorie  der  Functionen  einer  ver- 
itieriieben  reellen  Grös»ew.  Deutsch  ron  Lüroth  und  Schepp.  Leipzig  1892. 
L  21-24. 

2)  Salmon-Fiedler  a.  a,  O   S.  163  f. 


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150 


WOlf fingt  Die  Krümmung  der  Raumcuruen 


Die  Punkte,  für  deren  zugehörige  ludices  r  endlich  ist,  bilden 
auf  der  Geraden 

zwischen  deu  Punkten  Ji  uud 

D  —  (1 : 1 :  2) 


eine  discreto  Punktmenge  zweiter  Gattung,  welche  das  Gebiet  der 
unendlich  grossen  Werte  (links  oben)  von  demjenigen  der  unendlich 
kleinen  (rechts  unten)  treunt.    (Fig  2.) 


4.  Der  Radius  der  ganzen  Krümmung  R  ergibt  sich  ver- 
mittelst  des  sog.  Laueret 'sehen  Theorems  aus  der  Formel1): 

i  -  j. + ?  <7> 

es  ist  also 

R  (8) 


Daher  ist  R  unendlich  klein,  wenu  g  oder  r  unendlich  klein;  end- 
lich, wenn  o  und  r  endlich  oder  eine  dieser  Grössou  endlich,  die 
andere  unendlich  gross ;  unendlich  gross ,  wenn  q  und  r  unendlich 
gross  sind.  Die  Werteverteilung  von  A  ergibt  sich  daher  durch 
Combiuation  der  Fig.  1  uud  2:  die  discrete  Punktmenge  zweiter 
Gattung,  deren  zugehörigen  ludices  eudlichc  Werte  von  R  entspre- 
chen, liegt  auf  der  gebrochenen  Linie  von  Ii  über 

[D  -  (1:2:3) 

nach  A ;  liuks  ist  das  Gebiet  der  unendlich  grossen,  rechts  dasjenige 
der  unendlich  kleinen  Werte  von  R.    (Fig.  3). 

5.  Der  Radius  der  sphärischen  Krümmung4)  ergibt 
sich  aus  der  Formel 

Es  sei  zunächst  2o      ß;  dann  ist 


1)  Schell  a.  o.  0.  S.  23. 

2)  Salmon-Fiedler  a.  a.  0.  S.  172. 


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in  sirujulären  Punkten  d«r selben.  151 

also 

ds  ~  tty(y-a)(y-  ß)'  +  '   '  1 

V  *  y        V*y*(y  -  a)*(y  -  ß )«  +  *    *  * 

Ormgemäss  ist  iu  (9)  das  erste  Glied  unter  dem  Wurzelzcichon  von 
höherer  Ordnung  in  £  als  das  zweite,  letzteres  also  massgebend,  und 
man  hat: 

_       Va-        2a  ß 

vy    (y  —  «)(y  —  ß)  ' 

! unendlich  kleiu:  >> 
endlich  {  je  nachdem  2«  =  y  (11) 

unendlich  gross  <C 

Die  Punkte,  deren  Indices  endliche  Werte  von  R*  liefern,  bilden 
somit  eine  discrete  Puuktraenge  zweiter  Gattung  auf  der  Geraden 

2x  =  1 

'wischen  den  Punkten 

D  — (1:1:2)    und    E  -  (1  :  2  :  2) 

Links  ist  das  Gebiet  der  anendlich  grosseu,  rechts  das  Gebiet  der 
nendüch  kleiuen  Werte  von  Ii*. 

6    Aber  die  Formelu  (10)  und  (11)  sind  ungültig,  wenn 

2a  =  ß 

iL  Denn  alsdann  fällt  das  erste  Glied  von  r/p  weg  uud  das  zweito 

Mied  ist 

*-!(-■£■  f  -a+lZ°+J}  }* 

tu      vy(y—«)(y— 2a)  (  a  ) 

bl  Lau  •/  >  2a  -f  1,  so  ist  dieses  Glied  massgebend,  und  es  wird 


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152 


Wölf  fing:  Die  Krümmung  der  Raumcurven 


also  unendlich  gross. 
Ist  dagegen 

y  =  2o  +  1 

so  sind  beide  Glieder  unter  dem  Wurzelzeichen  von  (9)  endlich,  daher 


*•  -  V^+^&^  \v  +(2a+l)  w + •  •  ■ 


(13) 


also  endlich. 


Es  existirt  somit  noch  eine  zweite  unendliche  Puuktmenge,  deren 
zugehörige  Indices  auf  endliche  Werte  von  Ii*  führen.  Dieselbe  ist 
ebenfalls  discret,  befindet  sich  auf  der  Geraden 

2*  <=  y 

und  umfasst  die  Punkte 

F=  (1:2:3);    (2:4:5);    (3:6:7);   (4:8:9).  .  . 

(r  :  fr  :  2r  +  1)  .  .  .  (cf.  Fig.  4) 

Sie  besitzt  die  einzige  H&ufungsstelle 

£«(1:2:2) 

und  ist  daher  von  der  ersten  Gattung;  sie  erstrockt  sich  von 
der  Häufungsstello  ausgehend  in  das  Gebiet  der  unendlich  grossen 
Werte  von  7f*.  Die  nicht  der  Puuktmenge  augehörenden,  rationale 
Coordinaten  besitzenden  Punkte  der  Geraden  /■'/-;  gehören  Iudices 
an,  welche  nach  (12)  unendliche  Werte  von  K*  liefern. 

7.  Für  den  Radius  dor  sphärischen  Torsion  S  ergibt 
sich  durch  Combinatiou  verschiedener  von  Schell1)  augegeboner 
Formeln  die  Gleichung 

Ii* 

S  -     .  -~  (14) 

Mi  f) 

Unter  dem  Wurzelzeichen  ist  das  zweite  Glied  in  E  von  der 
Ordnung  2(a  ~'j?)  also  massgebend  gegenüber  dem  ersten ,  so  dass 

die  Ordnung  von  S  in  f  von  dem  Ausdruck  r  abhängt  Die 


l )  a.  ».  0.  S.  45—48. 


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in  singutären  Punkten  derselben.  153 

Wertverteilung  zeigt  Fig.  5.  Die  Punkte  («  :  ß  :  y),  welche  endlichen 
Werten  Ton  S  entsprechen,  bilden: 

a)  eine  Panktmenge  zweiter  Gattung  auf  der  Geraden 

x  +  Jf  —  1 
zwischen  den  Punkten  B  und 

D  —  (1 :  1 :  2) 

(Links  oben  ist  das  Gebiet  der  unendlich  grossen,  rechts  unten  das- 
jenige der  unendlich  kleinen  Werte). 

b)  eiue  Puuktraeugc  erster  Gattung  auf  der  Geraden 

2x  =  1 

welche  aus  deu  Punkten 

E  —  (2  :  3  :  4) ;    (3:4:6);    (4  :  5  8) ;    (5  :  6  :  10)  .  .  . 

fr :  r  +  1 :  2r)  .  .  . 

besteht  und  von  der  Häufungsstelle 

D  -  (1  :  1  :  2) 

aas  in  das  Gebiet  der  unendlich  kleinen  Werte  hineindringt. 

c)  eine  Punktmenge  erster  Gattung  auf  der  Geraden 

2x  =-  y 

welche  aus  deu  Punkten 

F— (1:2:4);    (2:4:7)-,    (Ii:  6:  10);    (4:8:13).  .  . 

(r:  2r  :  3r  -f-  1)  .   .  . 

besteht,  und  von  der  auf  der  Geraden  BD  gelegenen  Häufungsstellu 

G  =  (1  :  2:  3) 

aus  in  das  Gebiet  der  unendlich  grossen  Werte  hineinragt. 

8.  Für  die  Curve  der  Schmieguugskugel  mittolpujnkte 
ist  ferner:  der  Radius  der  absoluten  Krümmung1) 

J{*tUl* 

-  -5jT  (15) 

Die  Wertverteiluug  ist  in  Fig.  6  angegeben.  Die  endlichen 
Werte  von  gt  bilden  eine  Punktmenge  zweiter  Gattung  auf  der  Ge- 
raden 


1)  Schell  a.  a  0.  S.  48. 


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154  Wölf  fing:  Di*  Krummin»)  fit  r  Itaumcu)  ven 

2r  +  y  -  2 

zwischen  den  Punkten 

D  —  (1  :  2:  2)    und    E  «  (2  :  2 :  3) 
ferner  zwei  Punktmengen  erster  Gattuug,  die  eine  auf  der  Geraden 

2c  ^  1 

bestellend  aus  den  Punkten 

F  -(2:3;  4);    (3  :  5  :  G) :    (4:7:  8);    (5  :  1)  :  10)  .   .  . 

(r :  2r  —  1  :  2r)  .  .  . 

Jie  audere  auf  der  Geraden 
bestehend  aus  den  Punkten 

^  —  (1:2:  3);    (2:4:5);    (3:0:7);    (4:8:9).   .  . 

(r  :  2r  :  2r  -f  1 )  .   .  . 

Meide  erstrecken  sich  von  der  Näufungsstelle  I)  aus  in  das  Gebiet 
der  unendlich  grossen  Werte  von  qu  hinein 

Der  Torsiousradius  derselben  Curve  ist 

R*Q  dh* 

Die  Wertverteilung  siehe  Fig.  7.    Man  hat  für  die  endlichen  Werte 
von  ru  eine  Puuktmenge  zweiter  Gattung  auf  der  Geraden 

?x  =  ij  -f  1 

zwischen  den  Punkten 

D  =  (2  :  3  :  3)    und    E  —  (l  r  1  :  2) 

ferner  eine  Punktmenge  erster  Gattung  auf  der  Geraden 

2x  =  1 

welche  aus  den  Punkten 

F  — (2:3:4);    (3:4:6);    (4:5:0);    (5:6:10).  .  . 

r :  r  -f-  1  :  2r  .  .  . 

besteht  und  von  der  Httufungsstelle  /•;  aus  in  das  Gebiet  der  unend- 
lich grossen  Werte  hineinragt;  endlich  den  in  demselben  Gebiet  ge- 
legenen discreteu  Punkt 

V  =  (1  :  2  :  3) 

In   ahnlicher  Weise  lassen   sieh   die  Übrigen  bei  Uaumeurvcii 
vorkommenden  Krümmungsradien  behandeln.   Dabei  ist  zu  beachten, 


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in  siwjulärt  n  Punkten  derselben.  ]">5 

dass  der  Punkt  (l:2:3j,  weil  derselbe  einem  nicht  siugularen 
Raumcurveupunkt  entspricht,  bei  jeder  Art  von  Krümmungsradius 
dem  Gebiet  der  endlichen  Werte  angehören  muss. 

Auch  die  Raumcurvcnpunkte  mit  den  Iudices  r :  2r  :  3r  haben 
lauter  endliche  Krümmungsradien. 

9.  Das  angegebene  Verfahren  eiguet  sich  auch  zur  Berechnung 
des  sog.  Krümmungswinkels,  welcher  von  Mehmke  ')  einge- 
führt wurde.  Derselbe  bezeichnet  diejenige  Ebene  durch  einen  Kaum 
curvenpunkl,  welche  mit  drei  auf  einander  folgenden  Schnieglings- 
ebenen  denselben  Winkel  k  bildet,  als  Kr  um  in  u  n  g  seb  e  u  e,  den 
Winkel  k  selbst  als  Krttmmuugswinkcl. 

Es  sei 

ax  -f-  by  -f-  cz  =  0 

die  Gleichuug  der  Krümmungsebcno;  dabei  sei 

at  +  bt  _|_  c2  „  , 

Die  Schmiegungsebene  ist: 

\t»Mß-ty***-  +  •   •   •  )*+(*vay(«-y)f«+7-»+  ■   •   ■  )* 

+(l(iaß(ß  -  «)««+/l-3  4.  .   .   .  )3  _  0 

Damit  erhält  man  für  den  Krümmuugswinkel 

a(fAvßy(y- ß)iß+'f~*  +  .  .  .)+&(lvay)(«— y)  t«+y-»+  .  ..) 

Mk  +c(Xpaß(ß-a)«+ß-3  +  .  .  .  ) 

V(/iV0y(y— £)eW-3  +  .  .  .  ")»-f-(Ivoy(a— y)e«+y-s  4.  ,  )t 

-f  (Xpaßiß—  «)*«f  ^-3  -f  .  .  .  )« 

Soll  die  Krümmungsebeue  diesen  Winkel  auch  mit  den  den  bei- 
den nächst  folgenden  Schmiegungsebenen  einschliessen,   so  muss 

— and  — ■jjjja"  verschwinden.    Hieraus  lolgt: 


1)  „Einige  Sätze  über  dio  räumliche  Collineation  und  Affinität,  welche 
uch  anf  die  Krümmung  von  Cunrcn  und  Flächen  beziehen-,  Zcilschr.  für 
Math,  n   Phys   Jahrg.  36,  S.  5G.  Nr.  3. 


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156 


Wölf  fing:  Die  Krümmung  der  Raumeurven 


a:b:c 


vy(y-fl)(y-«)        ,  .    vy(«-y)(y -(3) 

tm^o*  *     +  ■  ■  ■ 

A«(/3-«)         £'       f .  .  . 


yy(«-y)(y-f)(y-g-i) fy  ,  2  , 

""       +  •  ■  • 

-v y(a-y)»(y-/?)(2y - 2/?- 1  )oy.2,_,  . 


=  ^"fW  +  .   .  .  : 
tA*ßHß—n) 


vy(y-aKy+«-2/5)  ,_a_3 

r  »2y-a- 


(18) 


Nun  sind  3  Fälle  möglich,  je  nachdem 

y  +  a  -  2ß  ~  0 
a)  y  -f-  «  —  20  >  0;  daun  wird 


(19) 


cosfc  =  1 -f- •  •  •;   cosfc  |      =1;   tgA- I  =-0 

f =0  0 

Die  Krümmungscbone  fällt  mit  der  Schmiegungsebene  zusammen 
b)  y  -f  a  —  2ß  —  0;  dann  wird 


a  = 


2kva(2ß—  a) 


-f  •  •  •  ;  6  —  o  .  tP-"  -f-  .  .  . 


c  — 


cosA- 


 •    ~f""  .     •  • 


+  •     •  • 


y4A*v^2(i-a)*4V/3 


(20) 


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Iii  singularen  Punkten  derselben.  157 

(20) 

2kva(2ß—  et) 

 ^  ^  ■  •  ' 

die  Krummungsebene  bildet  mit  der  Schmiegnngsebene  einen  Winkel 
zwischen  0°  and  90°  und  schneidet  dieselbe  in  der  Hauptnonnale. 

c)  y  -f  a  —  20  <  0;  dann  wird 
fl  -  i  +  .  .  . ,  b  -       Xö(y  _  ß      fp    -r- .  .  . 

Av  oy(y  —  c)  (y  —  0) 

also 

COSifc-O-f-.    .    .C08*|        -»0    tgk\  =00 

*=0  f-0 

Die  Krümraungsebene  steht  auf  der  Schmiegungscbene  senkrecht  und 
fallt  mit  der  Normalebene  zusammen. 

Der  allgemeine  Ausdruck  für  tgfc  (ohne  Rücksicht  auf  (9))  ist: 

fc*  _.a)*      in     p  +  •  •  •  W 

Zu  dem  gegebenen  Punkt  mit  den  Indices  (er,  /?,  y)  ist  ein  an- 
derer Raumcurvenpunkt  r  e  c  i  p  r  o  k  mit  den  Indices  (y— 0,  y — a,  y) ; 
derselbe  hat  nach  Björling1)  die  Entwicklungen: 

_  y(«-y)v     ,  , 
*  -  +  '  '  ' 

. ,  (-y)(r-ß)r0 + .  .  . 

Berechnet  man  für  diesen  Punkt  den  Radius  der  absoluten  Krüm- 
mung vermittelst  (3),  so  erhält  man  denselben  Wert,  welchen  Glei- 
chung (21)  für  Tangente  h  liefert.  Hieraus  folgt,  dass  die  Tangons 
des  Krümmnngswinkels  zum  Radius  der  absoluten  Krümmung  re- 
ziprok ist  (cf.  Mehmke  a.  a.  0.). 


1)  .Uebcr  Raumcurvcnsiugularitaten".  Archir  der  Math.  u.  Physik 
IL  Reihe.    Band  8.    S.  83. 


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158 


Wölf  fing:  Krümmung  tUr  liaumcurven  etc. 


10.    Iu  der  folgenden  Tabelle  sind  die  Werte  von      r,  R, 
<S,  et,  r*,  tgfc  für  einige  einfache  Indicessystemc  zasammengestellt. 
(Dabei  bedeutet  0  unendlich  kleine,  e  endliche,  oo  uueudlich  grosse 
Werte). 


Indices 

Q 

r 

5 

PJL 

* 

tgft 

1  9'1 

IAO 

e 

e 

i 

i  e 

0 

« 

c 

€ 

e 

1 9A 

e 

CO 

€ 

00 

c 

X 

X 

u 

1 0R 

e 

co. 

e 

X 

X 

00 

X 

rt 

u 

• 

CO 

e 

.  X 

X 

X 

X 

rt 
U 

1  97 
1  -  ' 

e 

OD 

e 

X 

X 

X 

X 

rt 

X 

0 

e 

X 

€ 

X 

X 

X 

00 

CC 

CO 

X 

X 

X 

X 

c 

1 

lOO 

CO 

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X 

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1  !17 

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X 

X 

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140 

CO 

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1  <1A 

CO 

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X 

X 

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1  47 

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7. 

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Stuttgart,  April  1896. 


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Sikstet:  TMorhne*  fondumeniaux  de  la  gtomtflne  »phirique.  150 


via 

Theorcmes  fondamentaux  de  la  gdometrie 

spherique. 

Par 

V.  Sikstel 

Kasau  typographio  de  l'Univcrsite  Imperiale.  18(J2. 

Traduit  du  russc,  du  .Bulletin  de  la  soeitftc  physico-mathemntique  do  Kasan". 

Dcaxieme  sorie.    Tome  II.    N.  2. 


Les  nombreuses  et  infrnetueuses  tentatives  de  prouver  l'admission 
rroraetrique  formulee  par  lc  onzieme  axiome  d'Euclide,  au  premier 
coup  d'oeil  indubitable,  eurent,  comme  on  le  sait,  pour  consequence 
U  critique  severe  du  Systeme  d'Euclide. 

Mais  encore  ä  präsent  les  admissions  geometriques  d'Euclide 
provoquent  des  questiotis  p6nibles,  qui  peuveut  emotionner  profou- 
dement  le  tbeoricicu,  eomme  elles  Tont  fait  dans  les  temps  du  grand 
fondateur  de  la  science  appelce  la  geoinetrie. 

J.  Bolyai  et  l'illustre  geometre  russe  N.  J.  Lobatchevsky  n'ad- 
inettaient  pas  le  onziemc  axiome  d'Euclide,  mais  ils  consideraient 
corame  indubitable  l'admission  de  la  ligne  droite  et  de  la  surface 
plane  ;  actuellement  ou  considere  aussi  l'idee  de  la  ligno  droite  d'Eu- 
clide (de  la  ligne  completement  definie  par  deux  points  pris  sur 
eile  arbitrairement)  comme  une  idee  preconc,ue,  c'est-ä  dire  ad- 
mise  saus  raisons  süffisantes.  C'est  la  caracteristique  de  la  thesc 
principale  de  la  geometrie  d'Euclide  que  noiis  donne  par  exemple  le 
professcur  Souvoroff  dans  l'iutroduction  do  son  ouvrage  connu  sous 
le  litre:  „Des  caracteristiques  des  systemes  des  trois  dimensious.'* 


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lßO  Sikstel:  Th€orbnts  jondamentaur  de  la  giow€trie  sphtriquc. 

Si  l'idee  de  la  ligne  droite  d'Euclido  est  admise  sans  raisous 
süffisantes,  il  en  est  de  memo,  de  l'idee  de  la  surfaco  plane  d'Eu- 
clido.  Le  c61ebrc  Kant  considerait  ces  idees  comine  intuitives,  c'est- 
a-dire  pereucs  par  une  mygtcricuso  vue  interieure  qui  nous  fait 
comprendre  avec  justesse  la  vraie  nature  des  choses  Malgre 
l'autorite  de  1'illustre  philosophe  nous  osons  croire  que  la  v6rit6  se 
trouve  dans  l'opinion  du  professcur  Souvoroff.   Et  en  effet  nous 
pouvons  comprendre  cette  opinion  parco  qu'il  n'est  pas  difficile  d'in- 
diquer  les  faits  qui  ont  servi  de  base  necessaire  quoique  pas  assez 
süffisante  pour  les  axiomes  d'Euclide.    II  est  permis  de  croire  que 
ces  faits  ont  etö  donnes  par  les  observations  des  lignes  horizontales. 
Effectivement  —  voici  ce  que  les  observations  nous  donnent:  sur  do 
petites  surfaces  horizontales,  par  exemple  sur  les  surfaces  des  tables, 
sur  lesquelles  nous  nous  occupons,  ainsi  que  sur  les  Enormes  sur- 
faces des  mers  calmes,  —  sur  des  distances  mesurees  par  pouces  et 
par  railliers  de  verstes,  —  on  peut  tracer  une  ligne  completcment 
definie  par  deux  points,  c'est-ä-dire  une  tolle  ligne  qui  peut  etro 
seule  tracee  entro  deux  points;   cet  ligne  est  l'arc  du  grand  cerclo 
du  globe  terrestre.    II  est  bien  probable  quo  cette  Observation  pr6- 
cisement  ait  fait  naitre  l'idee  de  la  ligne  infinic  nc  servant  pas  de 
borne  ä  l'espace  et  completement  definie  par  deux  points  pris  sur 
eile  arbitrairemeut.    Les  observations  ci-dessus  ne  sont  pas 
süffisantes  pour  une  pareille  conclusion ,  parce  que  ce  ne  sont 
pas  tous  les  deux  points  sur  l'arc  du  grand  cercle  qui  definissent  la 
Position  de  cet  arc  sur  la  surfaco  de  la  sphere:  par  deux  points  do 
la  surfaco  spherique  diametralcinunt  opposes  on  peut  mener  une 
quantit6  innombrable  d'arcs  de  grands  cercles. 

Si  c'est  Tobservation  in  süffisante  qui  a  fait  naitre  l'idee  do 
la  ligne  droite  d'Euclide,  il  est  bien  naturel  de  considerer  cette  idee 
corame  preconeue,  et  par  eonsequent  on  peut  nous  pcrincttrc  do  vou- 
loir  la  verifier.  C'ost  ce  quo  nous  avous  pour  but  do  notre  re- 
marquo. 

Si  par  rapport  ä  la  ligne  servant  aux  construetions  geometri- 
ques  nous  faisons  une  admission  qui  ne  soit  pas  en  contradiction 
avec  la  proprietö  principale  de  la  droite  d'Euclide,  et  qui  laisserait 
irresolue  la  question  de  l'existence  de  cetto  deruiire,  et  si  prenaut 
en  consideration  cette  admission  et  les  autres  faites  par  Euclide, 
nous  trouvons,  ayant  recours  aux  procedes  appliques  aussi  dans  la 
gdometrie  d'Euclide,  que  la  droite  en  question  n'existe  pas,  nous 
serons  bien  obliges  evidemment  de  nous  reconcilier  avec  cette  d6- 
duetion    Les  admissions  neceasaires  pour  notre  but  doivent  etre 


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Siktttti  TAtortm**  fontlamentaur  d*  la  fj£onn!trif>.  *phtrique.  101 

coutcnues  dans  les  raracteristiques  suivantes  de  la  surface  et  de  la 
ligoo  qui  se  completent  mutuellement. 

I.  Nous  admettons  l'existence  d'une  surface  dont  cbaque  partie 
peut  y  etre  superposee  jusqu'  ä  une  co'incidence  complete.  Les  cou- 
ditioos  necessaires  et  süffisantes  pour  la  superposition  seront  indi- 
quees  plus  bas. 

II.  Nous  admettons  l'existence  sur  cette  surface  des  lignes  ayaut 
les  proprietes  suivantes: 

a)  Si  nous  deplacons  une  pareille  ligne,  prisc  sur  la  surface,  en 
y  deplayant  deux  poiuts  pris  arbitrairement ,  a  cbaque  momeut  du 
dcplacemeut  toutc  la  ligne  peut  etre  amenee  a  cöincider  avec  la 
surface  et  par  consequent  peut  coutiuuellement  daus  toutes  ses  posi- 
tious  cöincider  avec  la  surface. 

Ces  ligues  peuvent  etre  superposees  jusqu'  a  une  cöincidonce 
complete;  les  conditions  necessaires  et  süffisantes  pour  la  super- 
position seront  iudiquees  plus  bas. 

b)  Si  AB  est  uue  pareille  ligne,  nous  attribuons  ä  chacune  de 
ses  portions ,  par  exemple  ä  la  ligne  AC,  coinnio  propriete  ueces- 
saire  la  faculte  d'  etre  superposee  sur  eliaque  partie  de  la  ligne 
AB%  consideraut,  qu'  eu  depeudauce  do  la  i>lace  de  la  superpositiou 
ou  toute  la  portion  AC ,  ou  bieutöt  l'uue  de  ses  partics,  cöincidera 
avec  la  partie  AB  et  des  portions  AB  et  AC  se  formera  uue  ligno 
ayant  les  memes  propriet6s  que  la  ligne  AB.  De  la  nous  con- 
ciuons:  1)  quo  la  portiou  de  la  ligue  eu  question  peut  etre  pro- 
lougee  de  ses  deux  bouts  iutiniinent  et  2)  les  portions  de  pareilles 
lignes  peuvent  etre  comparces. 

Si  nous  tra«;ons  uue  ligne,  qui  a  les  proprietes  iudiquees,  entre 
A  et  B  —  deux  poiuts  pris  sur  Ja  surface,  la  possibilite  de  com- 
parer  ses  portions  nous  perniet  d'  y  trouver  le  point  qui  la  partage 
en  deux  portions  inegales.  Soit  C  Tun  de  ces  points  et  soit  AC<CB. 
La  ligue  AC  peut  etre  prise  comme  uuite  pour  raesurer  les  portions 
de  la  ligne  AB  et  de  Celles  qui  sout  plus  graudes  que  AB  et  qui 
peuvent  etre  obteuues  par  le  prolougemeut  de  AB  des  deux  cötes. 
Ayant  ainsi  eboisi  l'unite  liueaire,  uous  posous  la  cuudition  suivante 
comme  neeessairc  et  süffisante  pour  la  superpositiou  des  ligues,  dont 
ü  est  question,  preuaut  cette  unite  pour  echelle  dans  toutes  nos  re- 
ch er ches: 

c)  „Si  nous  faisons  cöincider  deux  points  pris  arbitrairement 
„^ur  la  portion  de  l'une  de  nos  lignes,  egale  ä  l'unite  lineaire  que 

ArrU.  d.  M»th.  u.  Phj«.    ±  Reih^,  T.  XV.  II 


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162       SikMtel:  Theoreme»  fondamentaux  de  la  giomttrie  sphtritjue. 


„nous  avons  cboisie,  avec  deux  points  de  l'autre,  quand  nous  d6- 
„placerons  sur  la  surface  l'une  de  ces  lignes  ou  toutes  les  deux, 
„elles  cöincideront  dans  toute  leur  longueur  et  formeront  uno  ligne 
„pareille  a  celles-ci." 

II  peut  arrivcr  qae  les  surfaces  et  les  lignes  ayant  les  pro- 
prißtes  indiqudes  soient  des  surfaces  planes  et  des  lignes  droites 
d'Euclide,  mais  il  peut  arriver  aussi,  qu'elles  ne  le  soient  pas,  c'est 
pourquoi  nous  avons  l'intention  de  leur  donner  des  noms  particu- 
liers,  et  nous  voulons  les  appeler:  surface  geometrique  et 
ligne  g6oinetrique. 

„Maiutenant  nous  pouvous  formuler  nettenieut  la  condition 
„necessaire  et  süffisante  pour  la  superposition  des  parties  d'une 
„surface  geometrique  sur  la  surface  elle-memc.  Si  nous  deplacous 
„une  partie  d'une  surface  geometrique  de  mauiere,  qu'eu  tout  mo- 
„ment  du  deplacement  trois  points  de  la  partie  deplacee,  qui  ne  se 
„trouvent  pas  sur  la  meme  ligne  geometrique,  soient  sur  la  surface 
„geometrique,  la  partie  que  nous  d6placons  aura  en  tout  moment 
„du  döplacement  tous  ses  points  sur  la  surface  geometrique." 

III.  Nous  admcttons  que  les  ligues  et  les  figures  ne  changent 
pendant  lo  deplacement. 

IV.  Nous  supposons  qu'entre  tous  les  deux  points  on  peut 
tracer  une  ligne  geometrique. 

V.  Nous  admettons  quo  la  liguo  geometrique  peut  etre  pro- 
longee  de  ses  deux  bouts  dans  une  seule  dircction. 

En  comparant  toutes  ces  admissions  avec  les  admissions  faites 
dans  la  gcomctrie  d'Euclide,  nous  trouvous  qu'aucune  d'elles  ne 
s'oppose  aux  bases  d'Euclide  et  que  par  cousequent  elles]  pre- 
sentent  toutes  eusemblc  le  total  des  conditions  qui  correspondeut 
au  but  de  verifier  la  principalc  geometrique  admission  d'Euclide  au 
sujet  de  la  ligne  droite.  Maintenant,  nous  basant  sur  ces  ad- 
missions, nous  pouvons  chercher  la  reponse  ä  la  question  suivanto  : 

„Existe-t-il  une  ligne  geometrique  completement  döfinie  par 
„deux  points  pris  sur  cllo  arbitrairement". 

Les  admissions,  que  nous  avons  faites,  permettent  jusqu'  ä  pre- 
sent  de  laisser  la  question  irresolue,  ce  qui  est  necessaire  pour  la 
verification  que  nous  avons  cn  vue. 

D'apres  les  theses  admisses  on  demontre  comme  dans  la  gco- 
mctrie d'Euclide,  c'est-a-dire  avec  les  memes  procedes  les  theoremes 
suivants: 


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Sit  Ittel:  ThtorhM»  fondamentaux  de  la  giomiirie  $phirique.  163 

e)  La  ligne  geometrique  peut  etre  prolongee  iofiniment  des  doux 

coteg. 

0  Le  theoreme  au  sujet  de  l'egalite  des  angles  droits,  comme 
il  est  demontre  dans  les  cours  de  geometrie,  composes  dans  l'esprit 
d'Euclide,  quoique  Eaclide  lui-meme  nous  donne  cette  verite  comrae 
sxiome. 

Corollaires  de  ce  theoreme: 

g)  „II  n'existe  pas  sur  la  surface  geometrique  de  lignes  geome- 
triques, qai  ayant  un  point  cornmun  soient  disposees  de  teile  facon 
.,iiue  l'une  se  trouve  toute  entiere  d'un  seul  cöte  de  Fautre." 

Voici  la  demonstration  de  ce  theoreme.  Si  AGB  et  COD  sont 
des  lignes  geometriques  qai  out  ce  point  cornmun,  nous  imaginant 
OM  perpendieulaire  ä  AB  (voir  fig  1),  nous  trouverons  que  la  per- 
Pendiculaire  C'levee  du  point  O  vers  CD  doit  prendre  une  des  trois 
positions:  OM,  OMt  ou  OM^.  Toutes  ces  positions  sont  egalement 
impossibles,  parce  que,  prenant  Tune  des  trois  pour  reelle,  nous 
trouverons  que  les  angles  droits  ne  sont  pas  egaux.  Par  exemple, 
supposant 

OAI±  AB    et    OMt  JL  CD 
nous  trouverons  que  l'angle  droit 

/_  AOM  >  Z.  COMx 

—  qui  est  aussi  droit.  Voyant  que  ces  deduetions  sont  absurdes  et 
admettant  la  possibilite  de  tracer  une  perpendieulaire  du  point  O 
vers  la  ligne  CD,  nous  devons  conclure  que  „l'absurdite  de  notre 
Mconclusion  n'a  lieu  que  parce  que  nous  avons  suppose  la  possibi- 
.Jite  de  Texistcnce  de  lignes  geometriques  dont  il  est  question  dans 
Je  theoreme." 

h)  Autres  consequences  du  theoreme  sur  l'egalite  des  augles 
droits :  des  angles  adjacents,  de  la  somme  de  tous  les  angles  succes- 
si£s  ayant  le  meme  sommet  sur  la  ligne  geometrique  et  disposes  d'uu 
cote  de  cette  ligne;  de  la  somme  de  tous  les  angles  successifs 
disposes  aotour  du  meme  point  et  ayant  ce  point  pour  sommet,  enfin 
des  angles  oppos6s  par  le  sommet. 

Tous  ces  fondements  nous  permettent  de  demontrer  les  theoremos 
necessaires  pour  la  verification  de  l'admission  principalc  d'Euclide 
au  sujet  de  la  ligne  droite.  C'est  de  ces  derniers  que  nous  allons 
nous  oecuper  maintenant. 

II* 


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164      Sikstel:  Theoreme*  fondamentavx  de  la  giomitrif  xphtiiqve. 


Thdorime  I.  Ott  peut  faire  tourner  la  ligne  g&tmetriqne  autour  de  chacun 
de  sei  juunts,  sur  la  tun  face  geomHrique,  luissant   le  cenlre  de  la  rotation 
immobile,  en  ctmtmencant  par  une  position  quelconque,  du  rote  oh  Fan  Beut, 
jttsqu*  it  tta  premiire  juxition. 

Soit  AB  une  ligne  geometrique  intime  sur  une  surface  geome- 
trique.  Soit  OC  l'unite  lineaire.  (admission  II,  (b)).  Faisons 
tourner  la  portiou  OC  autour  du  point  O  de  maniere  qu'il  soit  cou- 
tinuellemcnt  sur  la  surface  [admission  II,  (a)].  Alors  d'apres  l'ad- 
mission  II  (c),  la  portion  OC  n'occupcra  jamais  une  position  pa- 
reille  a  OC  (v.  lig.  2),  c'est  ä  dire  en  aucuu  moment  de  la  rotation 
OC  n'aura  avec  AB  d'autre  point  cöincidant  quo  0.  Nous  pouvous 
donc  affirmer  quo  la  portiou  OC,  etant  en  rotation,  occupera  suc- 
cessisement  toutes  les  positious  par  rapport  a  AB,  avec  le  change- 
raeut  de  l'anglo  de  sou  iuclinaisou  vers  Ali  daus  les  limites  de  O 
jusqu'  ä  4d.  Kien  ne  nous  empeelie  d'imagiuer  que  toute  la  ligne 
intime  AB  tourue  avec  la  portiou  06',  et  occupe  par  rapport  ä  sa 
direction  primitive  toutes  les  positions  formaut  avec  eile  des  angles 
de  0  jusqu'  a  i.d. 

Theoreme  11  *  .  La  Ugnc  geoint  ti  ~ique  >  ejiresentant  une  secante  par  rutt- 
port  a  une  untre  jHtreille  ligne  domue,  t'tunt  en  rotation  sur  la  surface  QtO- 
metrüjue  autour  de  Pun  de  ses  points  en  taut  moment  de  la  rotation  a  un 
point  commun  avec  la  ligne  dtmnee 


*)  Lc  sccond  tbeoreme  n  etc  cxamine  sous  an  point  de  vae  ge"neral  par 
le  g£ometre  italicn  Bnttagltni  (Giornalc  di  Mut.  vol.  A  1867).  Sulla  Geo- 
mctria  Iinmnginaria.  Dans  cc  memoire  Battu^-Iini  cxumine  la  possibilite  du 
retour  du  point  d'inteiseition  de  lu  ligne  donnee  nvcc  une  nutrc  edeante,  qui 
est  en  rotation  autour  d'un  point  pris  hors  de  lu  premifcre  ligne,  apres  un 
tour  cornplet  de  la  sccantc,  duns  sa  position  primitive  de  trois  facons:  I) 
qunnd  la  se'eantc  fait  un  tour  compli-t,  lc  point  de  l'inteiseetion  reste  toujours 
ä  une  distiincc  finie  de  sa  position  primitive  (ge'ouietiie  spheriquc);  2)  le  point 
de  l'inteiseetion  retrouve  sa  position  primitive  pussunt  par  un  point  infiniment 
£loign£  (la  geometrie  plane  d'Euclidc)  et  3)  le  point  passe  a  travers  deux 
points  mrtnimciit  dloignes  et  a  travers  une'  serie  do  pointi  imagincs  qui  les 
separent  (la  geumetric  pscudo-spbdriquc  de  Lobatcbcv^ky) 

Dans  son  ouvrago,  l'autcur  nc  distinguc  pas  ces  trois  cas,  il  se  borne  au 
premier.  Cettc  circonstnnce  d'apres  moi  provient  de  ee  que  l'autcur,  pour  de- 
montier lc  tbeoreme  qui  n'cst  justc  que  dans  le  cas,  oü  les  lignes,  dont  il 
est  question  ,  peuvent  etre  prolonge'es  des  deux  cöte's  du  point  commun,  scr- 
vant  de  base  a  la  perpendiculaire.  Mais  si  nous  avons  pour  point  cöiucidcnt 
un  point  infiniment  eMoigne",  lc  prol  jngement  des  lignes  de  l'autrc  cöte'  du  point 
devient  impossible  et  le  tbeoreme  (g)  n'est  d'aucune  importnnce.  CVst  In  mfime 


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Stkttel:  Thtorimes  fonrtamentavx  de  la  gfumftrie  tphtrique.  1Q5 


Soit  AB  la  ligne  geomctrique  donnee;  CDE  —  comnic  sa  se- 
cante (v.  tig.  3).  On  peut  toujours  tracer  du  poiut  donne  uno  se~ 
caute  pour  la  ligne  geometrique  donnee  d'apres  l'admissiou  IV  et  le 
theoremc  (g). 

Quaud  la  secante  CDE  sera  en  rotation  aatour  da  point  6',  il 
poat  se  faire  qae  les  portions  de  la  secante:  CD,  CF,  CM,  etc., 
soieut  egales  entro  eux;  alors  evidemment  AB  sera  uuo  ligne  fermec. 
Si  au  contraire  ces  porlions  ne  sunt  pas  6gales,  les  points  differents 
de  la  secante  cöincideront  avec  la  ligne  Ali  et  puis  passeront  de  sou 
autre  cöte. 

II  est  evident  que  la  secante  ue  peut  se  trouver  toute  cutiere 
du  cöte  de  la  liguo  AB,  oh  se  trouve  le  ccutre  de  la  rotation,  qu' 
etant  donnee  une  de  cos  trois  conditious: 

1)  Si  la  secante  est  finie.  nous  pouvons  admettre  eufiu  pour 
olle  unc  teile  position  dans  la  quelle  son  deruier  point  vieudra  se 
plicer  sur  la  ligne  AB  et,  eu  lontinuaut  eusuite  la  rotation,  nous 
pouvons  croire  que  toute  la  secauto  se  trouvera  du  meme  cöte  de  la 
ligne  AB,  oh  se  trouve  le  cenlre  de  la  rotation.  2)  Si  la  secante 
occupe  la  position  CMB,  c'est  ä  dire  si  eile  a  avec  la  ligue  donnee 
pour  partie  commune  MB,  ou  peut  de  nouveau,  en  eou'.inuant  la 
rotation,  admettre  la  transition  complete  de  la  secante.  3)  Si  la 
secante  occupe  la  position  CXH,  e'est-ä-diro  la  position  de  taugeute 
ä  la  ligne  AB  Mais:  1)  La  secante  est  iufinie  et  par  consequent 
son  deruier  point  ne  sera  jamais  sur  la  ligne  AB. 

'2)  La  secante  ne  peut  pas  occuper  la  position  CMB,  d'aprös 
l'adraission  V. 

3)  La  secante  ue  peut  pas  occuper  la  position  CWK,  d'apres  le 
theoremc  (g). 

Ainsi  la  transition  complete  de  la  secante  (de  tous  ses  points) 
du  cöte  de  la  ligne  geometrique  donnee,  oü  se  trouve  le  ceutre  de 
la  rotation,  est  impossible,  et  par  cousequeut  la  secauto  dans  toutes 
les  positious,  c'est-a-diro  quel  äugle  qu'ello  ne  forme  avec  sa  pre- 
miere  position,  se  trouvera  situee  de  part  de  la  ligne  g6ometrique 


eis  qoe  nous  trouvons  dans  In  geometrie  d'Euclide  Ainsi  les  rccherchcs  de 
i'auteur  ne  manqaant  jatnau  d'intere't,  se  bornent  a  la  geometrie  spheVique  . 
Th.  Souroroff. 


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166        Sikttel:  Tliiorimes  fondamcutavx  de  la  ydometrte  sphtrique. 


donnco  et  par  consequeut  aura  toujours  avec  eile  un  point  commun, 
De  la  nous  concluons: 

1)  „Sur  la  surface  göometrique,  d'un  point  donne,  on  ne  pent 
„pas  tracer  une  ligne  geometrique  parallele  ä  la  ligne  donnco." 

2)  „Deux  perpendiculaires  ä  la   raeme  ligne  geometrique  se 
„rencontrent"  (toutes  les  lignes  sont  prises  sur  la  surface). 

Plus  bas  nous  allnns  toujours  prcndre  des  lignes  geometriqucs 
sur  des  surfaces  geometriqucs  et  au  Heu  des  expressions:  surface 
geometrique, ligne  geometrique,  tout  simplement  nous  dirous  souveut 
surface,  ligne. 

Theoreme  III.  Deuz  lignes  perjiendiculaire.«  pour  In  mimt  troisibne  se 
rencontrent  dann  deux  points. 

1)  Admettant  d'apres  le  corollaire  II  du  thßoreme  precedent  que 
les  lignes  AC  et  AD  —  perpendiculaires  ä  la  ligne  AB,  se  rencon- 
trent dans  le  point  O  (v.  f.  4),  superposons  £  ABO  sur  uuo  partie 
de  la  surface  ABD'C  (par  le  glissement  du  triangle  ABU  sur  la 
surface  par  ses  points  A%  B  et  O) ,  de  maniero  que  la  ligne  AB 
cöincide  avec  BA\  alors  les  lignes  AO  et  BO  preudrout  respective- 
ment  la  direction  des  lignes  BD'  et  AC\  puisque 

Z  BAO  =  Z  ARD'  =  d  -  Z  ABO  =  Z  BAC 

D'  ici  on  voit  que  le  point  0,  dans  la  nouvello  position  du  A  ABO 
so  trouvera  de  l'autre  cAte  do  la  ligue  AB,  sur  le  prolongernent 
des  ligues  CA  et  DB  et  occupera  la  position  0\  par  exemple. 
Ainsi  il  est  evident  que  les  lignes  CC'  et  DD'  se  rencontrent  dans 
deux  points  ctaut  perpendiculaires  a  la  ligne  AB. 

2)  „Les  points  O  et  O'  peuvont-ils  cöincider?"  Admettant  quo 
les  points  0  et  O4  cöincident  dans  le  point  O  (v.  f.  5) ,  nous  trouve- 
rons  que  les  lignes  AC  et  BD  auront  respectivement  les  positious 
suivautes:  CTCAOC  et  DmDBD'D".  Faisant  touruer  la  secoude 
ligne  sur  la  surface  autour  du  point  0  (pour  quoi  il  est  süffisant 
de  touruer.  sa  portion ,  egale  ä  l'uuite  lineaire,  autour  du  point  O; 
soit  cette  portion  par  exemple  OD),  nous  trouverons  d'apres  l'ad- 
mission  III  que  1'angle  DOD'  ne  changera  pas  a  cause  de  cela; 
egalein«nt|ne  changera  pas  ZCOC\  mais  si  nous  faisons  tonrnor  la 
ligne,  par  exemple  daus  la  direction  indiquee  par  la  fleehe, 
Z.  DO\C  changera  et  Z  D'OC'  changera  egalement,  mais 
la  somme  de  ces  deux  angles]  restcra  toujours  la  meme  et  6gale 
{Z  6 06"  —  Z  DOD')  —  ä  la  difference  des  anglcs  coustanU  pour 


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Sikatel:  Thtorime*  fondamentaux  de  la  gtom/lrie  sph6ri,Jue.  167 


Je  cas  doune.  Quand  le  point  D  viendra  so  placcr  sur  la  ligne 
OC\  DOC  so  transformera  cn  0  (zero)  parco  quo  los  lignes  coin- 
cideront  completement  dans  ce  cas  (admission  II,  (c)),  —  et  Z.DOC 
sc  transformera  aussi  cn  zero,  et  par  consequent 

/_  coC  —  Z.  DOD'  =  0 

cest-ä-dire  les  lignes  CAC  et  DBD4  —  coincidcnt,  co  qui  est  en 
contradiction  avec  ce  qoe  nous  avons  propose.  Cette  contradiction 
nV.  pa  avoir  lien  qu'  a  cause  ;de  la  supposition  quo  les  points  O 
et  O'  colncident  en  un  seul,  et  par  consequent  ces  points  sont  dif- 
ferents. 

Ainsi :  ,,Denx  lignes  perpendiculaires  ä  une  meme  troisieme  se 
„rencontrent  dans  deux  points  differeuts." 

Theoreme  II'.  Deux  ligne*  getmitrique*  prises  arbilrairemcnt  sur  la 
surface  se  rencontrent  toujours  dann  deux  points  (diffirentx). 

Soient  DD'  et  A*AT'  (v  f.  6)  deux  lignes  prises  arbitrairement 
sur  la  surface.   Abaissant  du  point  A  par   exemple,  de  la  ligne 
NN1  la  perpendiculaire  AB  sur  la  ligne  DD'  et  en  menant  MM' 
perpendiculaire  pour  Ali,  nous  trouverons,  d'apräs  ce  que  nous 
avons  demontre  que  MM'  et  DD'  se  rencontreront  dans  deux  points 
O  et  O' .   Nous  pouvons  considerer  la  ligne  MAM'  com  nie  l'une  des 
positions  de  la  secante  ABC  par  rapport  a  la  ligne  DD'  et,  comme 
nous  voyons  a  present,  AM  et  AM'  —  deux  branches  de  la  secante 
out  chacnne  un  point  commun  (O  et  0')  avec  la  ligno  DD'.  En 
faisant  tourner  la  stVanto  en  commcn^ant  par  la  position  MAM 
autour  du  point  A,  nous  devons  conclure,  comme  lorsque  nous  avons 
demontre  le  theoreme  II,  qu'aucune  de  scs  branches,  ni  AMO,  ni 
AM'O'j  comme  sßcantcs  de  la  ligne  DD',  no  peuvent  passer  avec 
tons  lears  points  de  l'autre  cöte  de  la  ligne  DD\  oü  se  trouve  le 
point  A  (le  ccntre  de  la  rotation),  et  par  consequent,  la  secante,  en 
tont  moment  de  la  rotation  ,  aura  la  ligno  DD'  deux  points  d'in- 
tersection.    Comme,  en  faisant  tourner  la  secante,  on  peut  toujours 
parvenir  a  la  colucidence  de  AAN'  avec  une  direction  quelconque 
de  la  secante  (theoreme  I),  nous  avons  bien  le  droit  de  confirmer 
qae  XAM',  suftisamment  continuee,  coupera  DD'  dans  deux  points» 
Ces  point*  doivent  ötre  differents,  ce  que  nous  pouvons  voir,  ayant. 
recoars  aux  memes  raisonncments ,  que  nous  avons  appliques  dans 
an  pareil  cas,  voulant  demontrer  le  th6oreme  IIL 


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168        Siktteh.  Tfidorbnes  fmidamenfav.r  de  la  tj€om(trit  sphe'rique. 


Pour  developper  plus  loin  le  nouveau  Systeme  geomctrique, 
fonde  sur  lcs  bases  indiques  ci-dessus,  nous  croyons  devoir  admettrc 
ce  sixiemo  „Postulat:  Dcux  lignes  geometriqucs  non  cöincidcntcs, 
„qui  se  trouvent  sur  la  surface  geomctrique,  ne  pcuvent  pas  avoir 
„plus  de  deux  points  communs  " 

Remarque.  Nous  conside>ons  tous  lcs  points  cöincideuts  comme 
un  seul. 

Theoreme  V.  Le»  pnrlies  de  deux  lignes  perpendivulnires  Pune  jmur 
Patdre,  comprises  entre  lex  point*  de  Vintcrtectum  de  res  lignes,  mmi  egales 
(o.  f.  7). 

Soit  ACBM  uue  ligue  et  que  BDAy  soit  perpeudiculaire.  Ces 
lignes  outre  le  point  commuu  donne  /i,  doivent  avoir,  d'apres  ce 
que  nous  avons  demontre,  un  autre  point  commun;  soit  A  cet  autro 
point.  Comme 

Z.  CBD  =  Z.  ABM  =  d 

od  pcut  superposer  le  fuseau  ACBDA  sur  ZL  DBM  de  maniere  que 
le  cöte  BCA  prenne  ia  direction  de  la  ligne  BOA ;  alors  BDA  — 
cöte  du  fuseau  prendra  la  direction  BM  —  cöte  de  Z.  DBM,  ä 
cause  de  l'egalitö  des  angles  au  point  B  Alors  le  sommet  A  du  fuseau 
doit  evidemment  prcndre  place  quclque  part  sur  la  ligne  BDA. 
Ayant  admis  que  A',  uouvelle  position  du  poiut  .4,  differe  de  la 
premiere,  nous  trouvcrons  quo  la  ligue  ACBMK  a  avec  la  ligue  BDA 
trois  points  communs:  A,  B  et  Ä,  ce  qui  est  eu  contradiction  avec 
l'admission  VI.  Ainsi  quand  nous  superposous  BCA  sur  la  ligue 
BDA  —  eu  commencaut  par  le  point  B  —  le  poiut  A  doit  coiucider 
avec  sa  premiere  position,  et  par  consequcnt  la  ligno 

BCA  =  BDA 

Theoremer  VI.  Deux  lignes  pei  peudiculaires  se  rcuc/mtrent  pour  la  ae- 
conde  fois  aum  ums  un  angle  droit,    (v.  f.  8,  des.  1,  2,  3  et  4«"°«). 

Soit  la  ligne  BDA  perpeudiculaire  ä  la  ligne 

ACBM  et  Z  CBD  -  </  (v.  des.  I) 

Iletournant  le  fuseau  qu<3  uous  voyons  sur  le  dussiu  I,  le  faisaut 
glisser  sur  la  surface,  donnons  lui  la  positiou  qu'ü  a  sur  le  dessin 

2.    Preuant  Z  CAD  ^  dy  superposons  le  Ii  (secoud)  fuseau  sur  lo 

I  (premier),  de  maniere  que  le  sommet  A  —  du  II  (secoud)  coincide 
avec  le  sommet  —  B  du  I  (premier)  et  que  le  cöte  ACB  du  (se- 
coud) II  preunc  la  direction  du  cöte  BDA  du  I  (premier).  D'apres 


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Sikstel:   Thtorimes  fondatnetUaux  de  la  gtometrie  tphtrique.  Iß9 

cola  1c  sommet  B  du  II  (secoud)  coincidora  avec  lo  sommet  A  du  I 
(premicr)  ä  cause  de  T6galit6  des  lignos  ACB  et  BDA,  commc 

Z  CAD  <  d  et  Z  CBD  =»  d 

le  cöte  ADB  du  II  fuseau  coupera  absolument  ACB  —  cöte  du  I 
(premier)  dans  quelque  puiut  A',  qui  se  trouve  sur  la  ligue  ACB 
eutre  les  points  A  et  B.  (Lo  dessiu  3  sc  rapporte  au  cas  oü 
Z  CAD  <^d.  Lo  dessiu  4  se  rapporte  au  cas  oü  Z  CAD  ^>  d) 
Mais  alors  nous  trouverons  que  les  lignes  ACB  et  AKB  se  rencon- 
trcut  tont  au  moius  daos  trois  poiuts  >4,  Ä"et  ß,  ce  qui  ue  s'aceorde 
pas  avee  l'admissiou  VI.    Cette  contradictiou  u'a  pu  avoir  lieu  qu'a 

cause  de  la  supposition  que  Z  CA  D  ^  </,  et  par  consequent 

Z  CAD  -  (1 

Theoreme  VII.  Tüntes  les  lignes  genmetrinues  sur  la  surface  sont  des 
lignes  fermees  et  fxtr  amseijuent  elles  sont  lautes  egales  entre  elles. 

Soit  la  ligue  CA  perpeudiculaire  ä  la  ligne  BCD  (v.  f.  9). 

En  continuant  la  ligne  BCD  jusqu'a  sou  second  point  d'intor- 
section  avec  la  ligue  CA  et  prcnaut  en  consideration  que  CB  coupera 
CA  une  secondo  fois  dans  le  point  A ,  nous  dcmontrerons  par  la 
superposition ,  coinme  nous  avons  demontre  le  thcoreme  V,  que  lo 
prolougement  de  CD  passera  aussi  par  lo  point  A.  Maiuteuant  d'apres 
le  thcoreme  VI,  nous  concluons  quo 

Z  BAC  =  Z  CAD  =  d 

et  par  consequent  (d'apres  le  thcoreme  rßciproquo  au  theoreme  des 
angles  adjacents,  demontre,  commo  dans  la  geometrie  d'Euclidc), 
les  lignos  AD  et  AB  forment  uno  seule  ligne  geometrique.  D'rci 
il  est  evident  que  la  ligne  Aß  CDA  presente  une  ligne  infiuio  et  par 
consequent  toute  ligne  prise  toute  entiere  est  une  ligne  fermce. 
Coinme  les  lignes  peuvcnt  etre  superposces  l'uue  sur  l'autre  jusqu'a 
une  coincidence  complete,  la  circonstance  qu'elles  sont  fermöes  nous 
prouve  qu'elles  sont  egales.  „D'apres  ce  theoremo  nous  coucluous 
..eocore  que  la  ligue  g6oraetrique  est  infinie  dans  le  seus  quo  sapor- 
„tion  peut  etre  continnee  jusqu'a  l'infini  et  passer  par  le  point  de 
.,depart  la  quantite  de  fois  süffisante." 

Theoreme  VIII.  Les  deux  ligne»  g&tme'trt'nues  sur  la  sur  face  se  ixir- 
n-jent  ai  deuz  jxirties  egales. 


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170       Sikstel:  Thiotimes  fondamentaux  de  la  giom€lr'u  »phiriqut. 

Soient  AC'BNA  et  ADBMA  deux  ligues  qai  se  reneontrent  daus 
les  points  A  et  B  (v.  f.  10).  Les  angles  CAD  et  NAM  sont  opposes 
et  par  consuquent  egaux  (corollaire  du  theoreme  de  l'egalite  des  angles 
droits).  Cela  nous  perraet  de  superposer  le  fuseau  ACBDA  sar  le 
fuscaa  ÄNBMA  en  faisant  glisser  Tun  des  deux  sur  la  surface  et 
de  parvcnir  ä  ce  que  ACD  prenne  la  direction  de  ANB  et  que  ADB 
passe  sur  AM/i.  Alors  le  sommet  B  d'un  fuseau  cöincidera  avec  le 
memo  sommet  d'autre.,  car,  si  nous  supposons  que  sommet  B  du 
premier  fuseau  prend  place  en  dehors  ou  au-dedans  de  l'autre  (pas 
sur  les  point  B),  nous  trouverons  que  la  ligno  peut  etre  prolongee 
d'un  cöte  dans  deux  directions  (ce  qui  est  en  contradiction  avec 
l'admission  V).  Ainsi  en  superposant  ACB  et  ADB  sur  AXB  et 
AMB'h  nous  trouverons  que  les  derniers  points  des  lignes  super - 
posees  cöincident,  et  par  consequent 

ACB  —  ANB    et    ADB  -  AMB 

c'est-a-dire  les  lignes  ACBNA  et  ADBMA  se  partagent  mutuelle- 
ment  en  deux  parties  egales. 

Corollairo.  Comme  par  cbaque  point  de  la  ligne  geometri- 
que  douneo  sur  la  surface,  on  peut  tracer  sur  cette  surface  une 
quantite  infinie  d'autres  pareilles  lignes,  nous  pouvous  afHrmer 
d'apres  le  theoreme  VIII,  qu'elles  passeront  toutes  par  un  autre 
point  eonstant  sur  la  surface,  qui  sera  egalement  eloigue  du  point 
dounc,  servant  de  commcncemcnt  aux  lignes  traeees,  en  prenant 
ces  distauces  des  deux  cötes  sur  cbaque  ligne  geometrique.  D'ici 
nous  concluons,  que  „par  deux  points  sur  la  surface  geometrique, 
„presentant  les  milicux  de  quelques  lignes  geometriques ,  on  peut 
„tracer  une  quantite  infinie  d'autres  lignes  geometriques". 

Les  corollaires  du  theoreme  II,  le  theoreme  III  et  le  theoremo 
IV  do  notre  rechercho,  obtenus  au  moyen  des  memes  prineipes  sur 
les  quels  est  base  le  Systeme  geometrique  d*Euclide,  permettent ,  il 
nous  semble,  d'avoir  la  conviction  que  les  idees  fondamcntales  de 
la  geometrie  d'Euclide  sont  pr6conc.ues,  car  nous  pouvous  dire 
maintenant:  1)  il  n'y  a  pas  do  ligne  geometrique  completement  de- 
tinie  par  deux  points  pris  sur  eile  arbitrairement  et  2)  il  n'y  a  pas 
de  surface  geometrique,  sur  laquello  on  puisso  tracer  du  point  donne 
une  ligne  geometrique  parallele  a  la  ligne  donnee. 

Remarque.  Les  tbeorömes  demontr6s  daus  notr»!  recherche 
peuvent  etre  largement  appliques  sur  la  sphere  pour  les  arcs  des 
grands  cercles.  II  fallait  s'y  attendro  ayant  en  consideration  le 
caractere  des  admissions  prises  pour  base  de  la  recherche.  Eu 


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Sikstel:  Thiorkmrs  foininmen/aux  de  la  ^ometrie  tphfrique.  171 

comparant  ccs  admissions  avee  les  positions  geometriques  qui  ca- 
racterisent  la  surface !  sphe>ique,  nons  trouvons:  L'admission  I  peut 
etre  appliquee  aus9i  sur  la  sphere.  L'admission  II  peut  etre  egale- 
meut  appüquöe  sur  la  sphere:  „deux  points  do  la  circonference  d'un 
grand  cercle  definissent  completement  la  position  de  cette  circon- 
ference sur  le  sarface  spherique  si  la  distance  entre  eux  est  plus 
petite  qae  la  moitie  de  la  circonferonco  (ou  plus  grande  quo  la 
moitie  de  la  circonference) ,).  Dans  notre  admission  II  nous  avons 
la  possibilite  d'une  coincidence  complete  des  lignes^geometriques ,  si 
I'nnite  lineaire  est  choisi  ainsi:  tracant  entre  deux  points  choisis  la 
ligne  geometrique  AB,  däfinissons  sur  eile  le  point  C  do  maniero  ä 
obtenir  Tinegalite:  AC  <  CB  et  ensuite  prenons 

AC  —  1 

en  la  prenant  pour  echelle  constante.  AB  sera-t  ello  pour  la  sur- 
face spherique  plus  petite  que  la  circonference  du  graud  cercle  ou 
egale  ä  eile,  nous  obtiendrons  toujours  que  AC  <  $  de  la  circon- 
ferenec.    Si  AB  <  que  la  circonference,  il  est  Evident  que  corame 

AC-\-  CB  —  AB 

et  JC<  CB,  2AC  <  que  la  circonference  et  AC  <  |  do  la  cir- 
couference ;  si  AB  —  ä  la  circonference,  alors  daus  les  memes  cou- 
ditions:  2AC<C  que  la  circonference  et  AC  <  £  de  la  circon- 
ference. Tous  les  autres  theoremes  et  toutes  les  autres  admissions, 
qui  y  sout  bases,  peuvent  etre  appliquös  aussi  sur  la  surfacc  sphe- 
rique. 


1)  Si  la  distance  entro  deux  points  de  la  surfnee  spherique  est  plus 
gnnde  que  la  moitie  de  la  circonforencc  du  grand  cercle,  la  discance  entre 
1«  meines  point«,  prise  dans  la  direction  opposce,  et  plus  petite  que  la  moitie 
de  la  circonference. 

Orembourg,  31  mai  1892. 


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172 


Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


IX. 

Relationen  bei  regulären  ,  dem  Kreise  ein-  und 
umbeschriebenen  Polygonen. 

Von 

Prof.  E.  Doleial, 

Conetructour  an  der  k.  k.  technischen  Hochschule  sn  Wien. 


Einleitung. 

Der  symbolischen  Bezeichnung  wegen,  welche  in  folgendor 
Untersuchung  eingehalten  wurde,  wollen  wir  vorausschicken: 

v  -  Ali 

sei  die  Seite  eines  dem  Kreise  mit  dem  Radius 

Q   —   ÄC  =  Iii' 

eiuheschriebenou,  regelmässigen  n-Eckes; 

8  -  oh 

die  Seite  dos  demselben  Kreise  umschriebenen  regulären  Polygones 

mit  n  Seiteu;   

/  =  AF  =  FB 

sei  die  Länge  der  Tangeute  in  den  Puukten  A  resp.  B; 

D  =  FI),   d  —  FE 

die  Entfernung  des  Tangentenschnittpuuktes  F  von  den  Seiten  * 
bzhw.  5; 

1)  Die  en  Uprechend  Figur  kann  sich  der  Leser  ohne  Schwierigkeit  ent- 
werfen 


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«<*-   und  umbeschritbenen  Polyyonen. 


173 


h  =  DE 

sei  die  Pfeilhöhe  oder  der  Abstand  der  Seiteu  s  uud  8\ 

r  -  CD 

sei  der  Radius  jenes  Kreises,  der  dem  Polygoue  mit  den  Seiten  # 
eingeschrieben  ist,  hingegen 

R  =  CG 

der  Radius  des  dem  regulären  Polygone  mit  den  Seiten  S  umschrie- 
benen Kreises; 

360° 

CO  =« 

n 

der  zum  »-Eck  zugehörige  Ccntriwiukel. 
Weiters  sei   

die  zu  dem  halben  Bogen  gehörige  Sehne  bzhw.  Tangente ,  welche 
die  Seite  des  einbeschriebeuen  resp.  umbeschriebeneu  2»»  Eckes  dar- 

Alle  Symbole,  welche  sich  auf  das  «  Eck  beziehen,  tragen  der 
Einfachheit  halber  keiuen  Index,  während  die  Polygone  mit  dop- 
pelter, vierfacher  u.  s.  w.  Seitenzahl  die  entsprechenden  Iudices  be- 
sitzen.  So  haben  wir: 

für  das  2«-Eck:   s>My     &2„,     (*»,     A2,„     **«  .  .  . 
„    „   2VEck:  V*,   V»,  V«i   kS  •  •  • 

für  das  2-VEck:  V%,   V«,  •  .  • 

I. 

Der  Seite  nabstand  des  dem  Kreise  ein-   resp.  umschriebenen, 

regulären  «-Eckes   

DD  =  h 

der  nach  einem  terminus  technikus  Pfeilhöhe  bezeichnet  werden 
wöge,  bildet  einen  aliquoten  Teil  des  Abstaudes 

FD  -  D 

der  allgemein  in  der  Relation 


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174 


Dolezali  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


seinen  Ausdruck  findet.  Hierbei  bedeutet  Jfe  eine  Zabl,  welche,  wie 
wir  später  sehen  werden,  2  zu  ihrem  Minimum  und  3  als  Maximum 
hat,  und  welche  wir  mit  dem  Namen  Teilfactor  belegen  wollen. 

Nun  ist 

180  n 

D-ttin—  -f  — iSö  . 

cosv 

und  I  2) 

h  «  (>     —  cos  —  1 

Werden  diese  Werte  in  die  Gleichung  1)  eingesetzt,  so  folgt 
für  den  Teilfactor: 

.  180 
/sin  — 

N 

k  - 


/  lSUv 
^1-COS  — J 


was  entsprechend  umgeformt  den  Ausdruck  giobt: 

l 

180 


*  -  1  +  "Aon  3) 


cos 

N 

oder  aber  nach  Einführung  des  Wertes  für  die  trigonometrische 
Function : 

*  =  1  +  *  4) 

Mittels  des  Teilfactors  lassen  sich  alle  and?ren  Längen  des 
Curvenstückes  AEB  des  Kreises  ausdrückeu  und  iu  einfache,  schönen 
Bau  zeigende  Formeln  kleiden. 

Zuerst  erhalten  wir  für  die  trigonometrischen  Functionen  des 
halben  Centriwinkels  die  Ausdrücke : 

.  181  V*(*-2) 
sin       =   -  - 
n  k—l 

180  1 

cos  - —  — 


n       k .  - 1 

l£0  

tjj-M    -  Yk{k-2) 

180  1_      _  Vk~k^2) 


5) 


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«in-  und  umbexchriebenen  Polygonen. 


175 


Für  die  folgenden  Längen  von  Strecken  stellen  wir  je  drei  For- 
meln auf,  jenachdem  wir  dieselben  als  Functionen  von  /,  *  oder  g 
betrachten,  und  erhalten,  wie  leicht  ans  der  Figur  abzulesen  ist,  und 
zwar  für  die  Tangente: 


 *   k  —  1 

'~         180        2  9 

2  cos  — 
n 


IgQ  

-  QtfS  n    =Vk(k-'2)  9 


für  die  Sehne: 


180  2 

»  =  2/COS         —  j  r  t 

n        k — 1 


für  den  Radius  t 

180      Vk(k— 2) 


löU      Vm*— lt 

,,  =  (c„tg--  =  — ^  I 

B   180      (k-l)Yk(k^2) a  ( 

-i-cotg-   t 


für  die  Länge 


für  die  Pfeilhöhe: 

D  Vfc(*-2) 
~  2k 


h  - 


Jt-2 


för  den  Abstand 


C) 


i 

-2,  im  w  --jgzj— •  ) 


8) 


.   180  V^ifc-2) 
Z)=  /  sin    -  =         ,  < 

180  Yk{k-2) 

»JStg       J  ; Ä  f  9) 

180  .180    k(k—  2) 


10) 


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]7G  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

k 

a—  i)VW-^)    \  n) 

 2k  * 

=  (*-2)e 

Die  Läuge  des  Bogens  /  über  der  Sehne  *  berechnet  sich  nach 
der  bekauutcn  Formel: 


wobei 


ist,  da  nämlich 


/  -  2p  180  12) 


180  .  * 

—  <=  arcsm  .  13) 


mß  - 


gleichkommt. 

Setzen  wir  statt  des  aresin  die  Reihe,  so  haben  wir: 

arc8i"  ^  =  k  +  e       +  40  (a,)S  +  •  •  • 

Nach  Einführung  dieses  Wertes  in  13)  geht  diese  Gleichung 
über  in: 

■-*iÄ+s(ar+acaf+---] 


oder  annähernd: 

/ 

was  sich  reducirt  auf 


+iCi),+-  •  • 


14) 


Der  hiobei  begangene  Fehler,  entstanden  durch  Woglassiing  der 
nach  dem  zweiten  Summanden  der  Arcus-Ueihe  folgenden  Glieder, 
lautet: 

^-*l«G»),+iw(äf+iSi(i)'+-  •  •] 
-(Öpfi+«(i)'+fiä)4+---]  165 


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und  unbeschriebenen  l\>/ygonen.  177 

Wird  hierin  für  ~  der  Wert  aus  14)  eingeführt,  nämlich 

(s)  -  •     -  «(!-  -') 

wobei   >  1  ist,  so  ergiebt  sich  für  den  Fehler: 

Nach  Formel  15)  kann  die  Grösse  des  Fehlers  jederzeit  ermit- 
telt werden,  und  wir  besitzen  ein  Mittel  zu  beurteileu,  ob  der  Be- 
stimmung des  Bogens  jene  Genauigkeit  innewohnt,  deren  wir  be- 
dürfen. 

Formel  14  lässt  sich  noch  vereinfachen;  denn  es  ist: 

/  •  \i        _  /s  \*  _  (21  +  *)  (2<-*i 
\2QJ  "        \  jtj  4/' 

somit  kann  auch  die  Näherungsformcl  14)  geschrieben  werdeu  nach 
Einführung  dieses  Wertes: 

Selbst  dieser  Ausdruck  lässt  noch  eine  Vereinfachung  zu;  denn 
setzen  wir,  oder  wird  in  einem  gegebenen  Falle 

St*     =  1 

was  dann  eintritt,  wenn 

8  =  2t 

wird,  so  erhalten  wir  für  den  Bogen  den  Ausdruck 

.  2/  —  * 

l  =  *  +  —3-  18) 

der  eine  rasche  Berechnung  des  Bogens  gestattet.  In  diesem  Falle 
erhielten  wir  für  den  Centriwinkel  auch 

C08_ir  ° 2t =  '    als0  V=0 

was  dann  eintreten  würde,  wenn  n  —  od  wäre,  d.  h.  für  ein  Polygon 
mit  unendlich  vielen  Seiten  würde  die  Formel  18)  volle  Giltigkeit 


Der  Fehler  den  wir  begehen,  indem  wir  statt  17)  die  Formel 
18)  benutzen,  hat  den  Wert : 

lieh.  d.  Math.  a.  Phys.   2.  Eoihe,  T.  XV.  12 


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178  Dolezah  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

.2t-,  *(2i  +  .)     f  ,2/  —  »1 
/i  -  •+— 3  g£  [•+- -g ;-J 

ÜTf  «(2«+«)-8C 
™     3  81« 

Dieser  Fehler  kann  auf  zweifache  Art  der  Nulle  gleich  werden 
und  zwar: 

a)  wenn  2  t  —  *  —  0,  oder 

b)  wenn       *(2t  -f-  *)  —  8**  —  0  wird. 

Der  Fall  a)  ist  oben  besprochen  und  tritt  ein  bei  einem  Polygon 
mit  unendlich  vielen  Seiten  -, 

der  Fall  b)  hat  zur  Bedingung  eine  quadratische  Gleichung, 
welche  nach  t  oder  *  geordnet  werden  kann,  und  lautet: 

,«  +  2/«  -8/* 
welche  aufgelöst  geben: 

"  ä  ) 

V  resp. 

i 

was  gleichfalls  nie  eintreten  kann. 

Formen  wir  die  Gleichung  18)  mit  Hilfe  der  vorher  abgeleiteten 
Ausdrücke  um,  so  erhalten  wir  für  den  Bogen: 

3  Jfc  -  1 

- 1  (k  + 1) «  {  20) 

2  (t  + 1)  Vi-(F^2) 

"  3  fc-  1 

Für  die  Seite  des  dem  Kreise  oinbeschriebenen  2»-Eckea  gilt 
die  Formel: 

welche  Gleichung  nach  Einführung  der  Werte  lür  i  und  h  über- 
geht in 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen. 


179 


*2*  = 


Vk(2k 

-2) 

k(k  - 

-  1) 

-2) 

2k   

Y(k  —  2)  (2k  -  2) 
Ar  —  1 


21) 


180  18 ) 

der  zugehörige  Centriwinkel  ist  —  resp.  —  , 

Für  die  Seife  des  dem  Kreise  umschriebenen  n-Eckes  erhalten 
wir  aus  der  Proportion: 


Da  nun 


8  s  t     f :  (p  —  h) 
9 


1 


Vk(L  -  2) 
~  *(*  —  l)     _  2)  ' 

=  2fc(*  -  2)  * 
ist,  so  geht  die  obige  Formel  für  S  über  in 

S  -  (ft  -  1)  • 
-  2/  :* 


-  2  y  t(*  -  2)  q 

Die  Seite  des  dem  Kreise  umschriebenen  2/i-Eckes  ergiebt  sich 
einfach;  dieselbe  ist,  wie  aus  der  Figur  abzulesen  ist: 


k  -  1 

— :   9 


2  Vk(k  -  2) 
-  ~  "  k  9 

Für  das  Tangentenstück 

JF-FK-z 

12* 


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180  Doltzai:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

lassen  sich  gleichfalls  einfache  Formeln  aufstellen,  welche  wir  der 
Vollständigkeit  halber  anfahren  wollen.   Es  ist  nämlich 

2t  -  8  - 

welche  Gleichung  nach  ausgeführter  Substitution  übergeht  in 

*  — 1  . 


T  =- 


k  * 

2k 


24) 


Die  Seite  des  umschriebenen  2n-Eckes  lässt  sich  ausdrücken 
durch  die  Seite  des  eingeschriebenen  2n-Eckes  auf  Grund  der  leicht 
zu  findenden  Proportion: 

wobei  Ä2«den  Abstand  der  Polygonseiten  £2*  und  *2h  bezeichnet  Dieser 
Abstand  lässt  sich,  wie  folgt,  finden:  Es  ist 

und  nach  Formel  23)  auch 

k-1 

Drücken  wir  nun  in  der  ersten  Formel  *2n  durch  *  aus,  so  erhalten 
wir:   

g   y&(2fc — 2) 

2fc  * 

und  durch  Gleichsetzung  folgt: 

Jb  —  1  Q     Vk(2k-  2) 

k       "*  Q-  Ä2n  2* 

woraus  die  gewünschte  Differenz  folgt: 

V*0*  — -2) 

,  V2(fc  — l)(t-2) 
=  l  iL— 2  * 


Vag  -  i)  g  -  2) 

2(4  —  1)  (k  —  2) 


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welche,  in  obenstehende  Formel  für  £2«  substituirt,  liefert: 


Der  Abstand  A&,,  die  Pfeilhöhe  des  2n-Eckes,  steUt  sich  dar  in 
der  Form: 

jener  der  Polygonseiten  S  nnd  « 
Setzen  wir 

1 

ond  conform   

so  folgt  hieraus  die  Relation: 

und  man  kann  die  obigen  Ausdrücke  für  die  Pfeilhöhen  auch  schreiben 

Der  Abstand  h2n  lässt  sich  nun  durch  A  ausdrücken;  die  Division 
obiger  Ausdrücke  giebt; 


Aus  der  Figur  erhalten  wir: 

£ -A(2<>-A)  -2PA-A* 


in  welcher  Gleichung  die  Pfeilhöhe  A  als  Wurzel  einer  gemischt 
quadratischen  Gleichung  auftritt: 

A'-2PA  =  -^ 

ist 


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182  Doltxal:  Relationen  bei  regulären,  dem 

» = « ±  - 1 

Das  obere  Zeichen  des  Wurzelausdruckcs  hat  iu  vorstehen- 
der Auflösung  keinen  Sinn,  da  h  nie  grösser  werden  kann  als  p,  es 
gilt  daher  bloss  das  untere  Operationszeichen;  es  wird  dann 


».—1^?-.  H>-te)T"] 

Entwickeln  wir  den  Subtrahenden  dieser  Differenz  nach  dem  bino- 
mischen Lehrsätze  in  eiue  Reihe,  so  folgt: 


1     }     2(2?)      8  {'2q)      16  (2p)      128  (2p)  |]] 
oder  reducirt: 

-iay[«+»cö,+i©,+  •  •] 

Indem  wir 

*  -  \  (Si  - 1 = w 

setzen,  erhalteu  wir  für  die  Pfeilhöho  h  nur  eiueu  Näherungswert, 
weshalb  wir  das  Symbol  hn  setzen,  uud  begehen  eiuen  Fehler  und 
zwar 

*  =  8  (2a)  +  16  (29)  +  128  G$)  +  '  •  • 

welcher  der  Summe  einer  unendlichen  Reihe  gleichkommt.  Lassen 
wir  die  Glieder  derselben  vom  zweiten  an  weg,  so  hat  diese  Ver- 
nachlässigung einen  geringen  Eiufluss  auf  die  Grösse  des  Fehlers 
selbst;  derselbe  wird  hinlänglich  genau  bestimmt  sein  durch 

•-IfiX-A©'- 

Substituten  wir  in  Formel  27)  die  abgeleiteten  Werte  für  s  und 
p,  so  folgt 


-2) 

(*- 

ij4 

-  2) 

20) 


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und  umbetchritbenen  Polygontn.  183 

wobei  wir  nochmals  bemerken,  dass  dies  nur  Näherungsformeln  sind, 
während  die  Gleichungen  10)  die  strengen  Werte  für  h  darstellen- 
Aach  die  folgenden  Gleichungen  für 

k(k  -  2)  VgF3  2) 


-  2)  Vifc(fc  -  2) 
™  *  (*  -  1)» 

.  yj:(iT-"2) 


30) 


stellen  nnr  angenähert  den  Fehler  in  der  Pfeilhöhe  dar. 

Den  wahren  Fehler  A  in  der  Pfeilhöhe  h  erhielten  wir  durch 
der  Differenz  aus  10)  und  27),  nämlich: 

(k  -  2)  Vi-(fc  — -J) 


^  -  *  -  hm  -  1 


k{k  —  l)s 


(fc  ~  2)  y*(*  -  2) 
-  *    kjk  - 1) 

i  <*  -  2)  [2  -  *  (1-  -  2)] 


31) 


Wir  haben  diese  Berechnung  von  /*,  sowie  dessen  Fehlers  hier 
eingeschaltet,  weil  in  der  Ingenieur-Praxis  bei  dor  Bogenabsteckung 
nach  gemessene  *  und  t  h  darnach  berechnet  wird,  und  weil  auf  die 
obige  Formel  27),  für  K  nämlich, 

h»  ■  h 


sich  eine  Bogenabsteckuug  stützt,  die  sogenannto  Viertels-Methode. 

Die  Pfeilhöhe   

LK  =  hiH 

der  zum  2 «  Ecke  gehörigen  Seite  wird  bei  der  praktischen  Bogen- 
absteckung als  der  vierte  Teil  von  der  früheren,  der  Pfeilhöhe  des 
»•Eckes,  angenommen,  also: 


Die  theoretische  Begründung  hiefür  ist  die  folgende:  die  Sehne 

AC  =  *2M 


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184  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem 

ist  fast  die  Hälfte  von  sH ,  da  in  dem  mathematischen  Ausdrucko 
derselben 


*2« 


Äa  seiner  Kleinheit  wegen  vernachlässigt  werden  kann,  somit  kann 
man  setzen: 

§ 

3211  ™  2 

Die  Pfeilhöhe  Ä2*  wird  nach  obiger  Näherungsformol 

substituiren  wir  hierin  den  Wert  für  «2«  und  berücksichtigen  die  For- 
mel 27),  so  folgt: 

Analog  verfährt  man  weiter  in  der  Berechnung  der  Pfeilhöhen 
des  2V  28„,  .  .  .  2"VEckes,  wofür  sich  ergiebt: 

3  K  —    4  4« 

Indem  wir  dio  Gleichung  32)  mit  26)  vergleichen,  erhalten  wir 
dio  Beziehung: 

fk—  1  Vm—T)  —  y* 


2  Ä;  —  2 


-  i 


welche  nach  Befreiung  der  Wurzeln  nachstehende  Gleichung  vierten 
Grades  liefert: 

17  Jfc*  -  120*8  +  312  k*  —  352*  +  144  =  0  34) 

Diese  Gleichung  lässt  sich  unschwer  in  nachstehende  Factoren 
zerlegen 

(k  -  2)3  (17^  —  18)  -  0 

Es  sind  daher 

fcj  =  h  -*s  =  2 

drei  gleiche  und 

*«  18 

die  vierte  Wurzel  der  Gleichung  34) 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen,  185 


Wie  wir  später  schon  werden,  entsprechen  die  Werte  der  Teil- 
factoren k  —  2  einem  Polygon  mit  unendlich  vielen  Seiten,  während 

*  -18 

keinem  reellen  Polygone  angehören  kann,  nachdem  dieser  Teilfactor 
anter  das  Minimum  2  herabgesunken  ist. 

Die  Näherungswerte  der  Pfeilhöhen  aus  den  Gleichungen  32) 
and  33)  setzeu  uns  in  die  Lage,  die  Seiten  des  2*n,  23n,  .  .  .  2wn- 
Eckes  in  einfache  und  einen  gesetzmässigen  Bau  aufweisende  Aus- 
drücke umzuformen. 

Far  die  Seite  des  2n-Eckes  folgt  in  aller  Strenge  nach  der  Formel 


and  ausgeführter  Substitution : 

-      ■         .  ,  VM2T^ä) 


Ylkik  - 

- 1) 

k{k- 

i) 

i) 

2k 

-2) 


*  =  2k  ~  '  ' 


35) 


V2(k  -  1)  (Ar  -  2)         V(k  —  2)  (2k  —  2)  \ 

-     t=i     9  r=i     *  / 

Die  Polygonseite  s^n  bestimmen  wir  auch  dor  Gleichung 


v.  =  V 


wobei  den  vorstehenden,  streng  genauen  Wert  besitzt,  während 
h»  mit  dem  Näherungswerte  aus  32) 

} 

eingesetzt  wird.   Nach  einfacher  Rechnung  folgt: 

Vk(Vk-V>) 
^w="   4A-(*— 1) 

Vt(9*  — 10) 


8fc 

V(T—  2)  (9&  -  tQ) 
4<*  - 1) 


36) 


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186 


Dolezal:  Rolationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


Verfährt  man  in  analoger  Weise  weiter,  indem  von  nun  an  sowol 
für  die  Polygonseite  als  die  Pfeilhöhe  nur  die  Näherungswerte  sub- 
stituirt  werden,  so  erhalten  wir  nachstehende  Formeln: 


i  V*(37*  -  42) 
**  "  —    16* Üb  —  1) 

Vfc(37fc  — 42) 
=  32* 


37) 


V(*  —  2)  (37*  —  42) 
16*(*-  1) 


4       VMU9k  -  170) 
*»""     64*(*-l)  ' 


rjofsj  —  i7u) 

128*  8 

V(k]—  2)  (149* -170) 
64  (k  -  1)  9 


b       V*(597*  —  682) 
256  *(*—!) 


V*(597*  -  682)  [ 
512* 


V(fc  —  2)  (597*  —  682) 
256>  -  1) 


V*(2389*  —  2730) 
»I  «—  ~iu24*(*  —  1)  ' 

V*72389*^="2730)  [  40) 

"  2048*  * 


V(*  —  2)  (2389*-  2730) 
1024  (*  —  1) 


Das  Bildungsgesetz  für  die  Ausdrücke  der  Seiten  der  einge- 
schriebenen Polygone  *2»,  »**»*»        ...  ist  unschwer  zu  finden. 

Die  Ausdrücke  sind  Brüche.  Unter  dem  Wurzelzeichen  des 
Zählers  erscheinen  die  Binome: 


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187 


2* 

—  2 

91: 

-  10 

87* 

-42 

149  Jt 

-  170 

mnltipliciert  mit 


JL  —  2 


je  nachdem,  ob  der  Ausdruck  als  eine  Function  von  /,  s  oder  p  er 
scheint. 

Die  Nenner  werden  erhalten  aus: 

*<*  -  1) 

2Jfc 

(*  -  1) 

indem  wir  successive  raultipliciren  mit  4,  wodurch  resultirt: 

4ft<*  —  1),   164  (i  —  1),   644(*  -  1) 
8*  32*  128& 

4(1: -1)      16(1:—  1)  64{*-l) 

je  nachdem  dieselben  zu  t,  -»  oder  ?  gehören. 

Die  Coefficienten  der  binomischen  Factoren  im  Kadicand  haben 
eioen  interessanten,  gesetzmässigen  Bau.  Um  diesen  recht  über- 
sichtlich darzustellen,  haben  wir  die  Cocfticieuten ,  sowie  ihre  Zer- 
fiii ung  in  folgender  Tabelle  vereinigt. 


Polygonseite. 

Coef fic.ienten  des  Binoms. 

Minuend. 

Subtrahend. 

Hm 

2 

2 

V« 

9 

=-2.4+1 

10  =  2  .  4  +  2 

•A 

37 

=  9.4  +  1 

42  ■=  10  .  4  +  2 

'S* 

149 

=  37  .  4  +  1 

170  =  42  .  4  +  2 

597 

-  149  .  4  +  1 

682  -  170  .  4  +  2 

2389 

-  597  .  4  +  1 

2730  -  682  .  4  +  2 

9557 

-  2389  .4  +  1 

10  .  922  -  2730  .4  +  2 

• 

:  i 

• 
• 

• 
• 
• 

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188  Dolexal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

Wir  sehen: 

1)  Die  Coefficienten  beider  Summanden  des  Binoms  für;  ta, 
sind  einander  gleich  und  betragen  2. 

2)  Die  Coefficienten  der  Binome  folgender  Polygonseiten  sind 
nach  nachstehendem  Gesetze  gebaut: 

a)  Der  Goefficient  des  ersten  Summanden  des  Binoms  (Minuend) 
wird  gebildet,  indem  man  den  unmittelbar  vorhergehenden, 
corrospondirenden  Coefficienten  mit  4  multiplicirt  und  die 
Einheit  hinzu  addirt. 

b)  Der  Coefficient  des  zweiten  Summanden  des  Binoms  (Sub- 
trahend) wird  erhalten,  indem  man  den  unmittelbar  vorher- 
gehenden, correspondirenden  zweiten  Coefficienten  mit  4 
multiplicirt  und  dann  2  hinzu  zählt. 

Die  so  gewonnenen  Coefficienten  lassen  sich  unschwer  in  Sum- 
manden zerlegen,  die  eine  geometrische  Progression  bilden  und  eine 
leichte  Summirung  zulassen,  wie  die  folgende  Tabelle  zeigt. 


Polygon- 

Coeffcienten des  Binoms 

seite. 

Minuend. 

Subtrahend. 

2  =  2' 

2  -  2,[2°] 

V» 

9  =  2s-f[2(] 

10  -  2[2*+2°J 

37  =  ü5+[2*+ 2°J 

42  =  2[2*+  2*+2°] 

149  -  2H-[2M- **+ 2°1 

170  -  2[2«+8*+ 2*+ 

H 

547  -  2»-f  [26+24+2» 

+2°] 

682  -  2[28-|-26+24-f  21 

+20] 

-  2,l+[28+ 26+2* 
-f-2«+2°] 

=>  2[2,0+2»+26+2* 
+24-2° 

«»'» 

• 

-  2»+[2»H-2*+2f 
+2*+2*+2°] 

-  2[2'»+2*o+28+2« 
+2<+2*+20] 

• 

• 
• 

• 

xm=  2*»-i+[2£*-< 
_j_22»-8-f  .  .  .+2» 
+20] 

• 

• 

ym  -  2[2**-*+22— 4 
+  .  .  . +2*+2*>] 

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wi-  und  uiubtschnebtntn  Polygonen.  180 

Wie  man  sieht,  besteht  zwischen  den  Coefficienten  des  Binoms 
xm  and  ym  ein  Zusammenhang,  der  gegeben  ist  durch 

xm  —  22«"-*  -f-  iy*_i  , 

41) 


2*«  -  23—»  -f  ym 


i 


Nachdem  die  Coefficienten  rM  nnd  ym  geometrische  Progressionen 
in  sich  enthalten,  so  lassen  sie  sich  vereinfachen.   Wir  erhalten : 


N.  11 

Vor  den  allgemeinen  Factoren  im  Nenner 

*(*-l),   *,  *-l 

je  nachdem  sie  zu 

gehören,  erscheinen  gewisse  Factoren  und  zwar 

für   *a«  tritt  auf  1,      2,  1 

V*  n   »  2»,  2*,  2* 

,t>n  „   „  2*,  2*,  2* 

V„  „   „  2«,  2',  2« 


i 


42) 


dorch  einen  Inductionsschluss  erhalten  wir : 

für   #3"m      22<"-i),      8*»~t1  22(«-i) 

hiebei  sind  die  zu  t  und  p  zugehörigen  Factoren  einander  gleich. 

Indem  wir  die  erhaltenen,  allgemeinen  Ausdrucke  für  die  Coef- 
ficienten verwerten,  können  wir  für  die  Seite  des  eingeschriebenen 
iVEckes  nachstehende  Formeln  erhalten: 


*■  w  -  2*(— 1>*(*- 1) 1 


Vffc  —  2)  (k7^~—  ym) 
^Kw-l)  (Ar  —  l)      '  * 


oder 


/ 

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|90  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem 


v*[(*  - 

■  2)xm  — 

22m -1J 

2*» 

-»)Jfc(Jfc  — 

1) 

V**  - 

■  2)*m- 

22W-1J 

22m- 1  k 

V(Ä  -  2)  [(&  —  2)  a?w  —  22™-*]  ^ 


22(m-l)  ^  _  1) 


weiter  auch: 


's"1»  -     22(»-»A-(jl-  —  1)  1 
_  Vfc|2*"-2>*  -  jgj 


V(fc  -  2)  ^-'("'-Pfc  —  gy„t] 

22m(-l)(ib  —  1)  • 


und  schliesslich 


44) 


45) 


yl  [*K— i>(7.*-8)-<*-2)] 

ä*Wm  »)Jt(i:  —  I) 

j/|[2X— *>  (7  *  -  8)  -  (Ä  -  2)]  £  46) 

22^17: 

^-_2 


|/-3-  [2*—»  (7*  -  8)  -  (k  -  2)] 
2S(«-i)(*  —  l)  < 

II. 

Für  den  Teilfactor  eines  n-Eckes  wurde  nach  Gleichung  3)  und 
4)  des  I.  Abschnittes  erhalten: 

2<  2cos*Jw' 

tu  -  2  +    -  jg,-, 

cos  — 

n 

analog  weiter 

2  cos*  0 

COS  TT"  .  ,  . 

2n       /  1 ) 


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V. 


1+2- 


Polygonen. 


2  COS2 


COS 


90 
22„ 
180 
2*„ 


191 
1) 


«8  »i 


2 COS*  ; 


90 


cos 


2~„ 
18J 
2% 


Es  ist  nicht  schwer,  den  Beweis  zu  erbringen,  dass  alle  Teil- 
factoren grösser  sein  müsssen  als  zwei. 

Nehmen  wir  den  Radius  v  =  1  an,  so  werden  augenscheinlich 


180 
tg  — 

180 

st 

180 

cos-2n  = 


cos  - 


S 

1  -hn 
1  -  hr, 


2) 


cos 


180 
2%, 


-  1  -  V 


Nach  Herr  „Höhere  Mathematik"  Bd.  I.  pag.  111,  besteht  die 
trigonometrische  Reihe: 

s*cx-l  -f  (1  —  cos*)  +  (1  —  coss)*-f-  (1  —  cos*)3  -f  .  .  .  3) 

wobei  z  zwischen  den  Grenzen  —  ^  und  -f-  g  vorausgesetzt  wird  und 

aater  dieser  Supposition  auch  die  Reihe  convergirt 

In  unserem  Falle,  wobei  der  Reihe  nach 

18)  180     18)     18)  180 

x  —  n    weiter    2n  ,  ^  ,  ^-  .  .  .  ^ 


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) 


192  Do  letal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

ist,  wird  die  erwähnte  Bedingung  in  aller  Strenge  erfüllt,  somit 
gelten  die  Gleichungen: 

180       a      i80\  ,  /  leoy 

sec1-  -  1+  (1-C08-J+  (l-cos  —  * 

-f(l-C08^  +  .   .  . 

l&O  /  180\  ,  /.  180V 

8ec      -  1  +  (l  -  cos  ¥n)  +  (1  -  cos  ^  ) 

.  /  180\» , 

+  V1-C0S2«)  +  -  '  ' 

180  /  180\  .  /  180V  l  3') 

sec  2,n  -  1  +  (l  -  cos  2l  J  +  [1  -  cos  gjjj )  } 

■ 

■  /,  180V 

Führen  wir  hierin  für  sec  und  cos  die  zugehörigen  Werte  ein 
aus  2),  so  erhalten  wir: 

kn     -1-1-M,,    +  hn*  +•  •  •  -  YZ-Tn 

hn     -  1  -  1  +  ta.  +  W  +  h2»*    +  •    •    •  - 

V».  -  i  =  i  +  V«  +  V«2  +  V»2  +  ...  -  fZT££  >  4) 


Hieraus  bestimmt  sich: 

^  -  2  +  *,>%  +  V«*  +  V»3  +  •  •  •  -  f  ~ 5} 
da  nun  die  Summe  in  diesem  Ausdrucke 


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•iV  und  umbeschriebenen  Polygonen. 


193 


entschieden  positiv  ist,  so  ist  auch  sicherlich  fc  2.  In  analoger 
Weise  könnte  für  einen  jeden  der  specielleu  Teilfactoren  direct  er- 
wiesen werden,  dass  derselbe  grösser  als  2  sein  müsse. 

Ein  gleichseitiges  Dreieck  ist  das  einfachste,  regelmässige  Polygon, 
welches  einem  Kreise  ein-  resp.  umschrieben  werden  kann;  wie  wir 
qds  leicht  überzeugen,  indem  wir  in  die  erste  Gleichung  des  Systems 
1)  *  =  3  setzen,  wird  der  Teilfactor  h  3. 

Für  ein  Polygon  mit  unendlich  vielen  Seiten  ist  n  —  ao ,  somit 
l  =  2.  Die  beideu  extremen  Werte  für  den  Teilfactor  k  sind  2  als 
Minimum  und  3  als  dessen  Maximum.  Der  Teilfactor  hat  daher  all- 
gemein einen  Wert,  der  sich  ausdrücken  lässt  durch: 


2  <  *  <  3 

Die  Gleichungen  4)  lassen  sich  auch  schreiben,  wie  folgt: 


6) 


(k„  -  1)  il-kn) 
ihn  -  1)  (l 


t  


i)  (l  -  ifV) 


- 1 
- 1 
=,  i 


7) 


Aus  diesen  Gleichungen  kanu  k  durch  h  und  umgekehrt  ausge- 
drückt werden;  es  ergeben  sich  die  Gleichungen: 


1* 

M 


2 
1 

2 
1 

2 
1 


—  hn 


hu 


sowie  hn 
sowie  h>H 
souio  Ä22„ 


•>   

l'n 

1  - 

2  - 

kjn 

i  — 

kiu 

2  - 

Vn 

1  - 

8) 


2  -  V"« 


sowie  Äs% 


1  —  hs»n 

Arck.  4.  Math.  «.  Phjr».    2.  Reihe,  T.  XV 


2  —  k^nu 

"  i  -  V*« 


13 


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Do  letal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

Die  vorstehenden  Werte  für  h  und  k  können  auch  in  die  Form 
entwickelt  werden: 

33  2  -f  hn   +  hn1  +  A„*   +  .  .  .  -f-  in  inf.  und 
hm   -2-1-  *„   +  1:**+***  + ...  in  inf. 

*2n  =  S  +  hin   +  A,h*  +  +  *    *    '  +  iD  iDf-  UDd 

hn  -  2-f  *2«  +        -f  V  +  •  •  •  «  inf. 
Jtt*„  —  2  +  hjn1  4-        -j-  hsn*  +  .  •  •  +  in  inf.  und 
V»  =2  +  V«  4-  *****  +  **V  4-  •  ■  •  in  inf. 


9) 


A'gmn  =  2  4-  V»  -f-  A,«»1  4-  V«a  4-  •  •  •  4~  i«  inf-  nnd 
htmM  -  2  4-  ifc^n  4-  *9Mf"  +         4-  ...  in  inf. 

Bilden  wir  die  Summen  der  Teilfactoren  bzuw.  der  Pfeil  höhen, 
so  erhalten  wir: 


Z  A.«»M  -  2(m  4-  1)  4-  X  — ^- 


10) 


m=0 

was  auch  geschrieben  werden  kann: 
£  jfc,~„  _  3(m  _|_  i)  +  2;  [A.%  4-  V-  4-  V"»  4- 

Msfl  «»=0 

+  *Hmm»\  11) 

IN 

2  htmH  =  2(m  -f  1)  4-  x  p-t%  4-  V«  4- V'«  4-  •  •  • 

Verwenden  wir  die  im  L  Abschnitte  Gl.  (36)  verwendete  An- 
nahme, welche  zwischen  den  Pfeilhöhou  der  aufeinander  folgenden 
Polygone  herrschen  soll,  nämlich 

hin    —       —  t\t 

,  hin        K  hn 

h*  «  ~*    4    5=5  4«  V« 

s  _  A**M  _  i»  _  -M 
* M        4       4*      2ti  ' 


Vi"1*    *»  ;'« 

«1  »•  —     4    '     4«  —  •>*"• 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen,  195 

so  erhalten  wir  für  die  Teilfaetoren  nach  ausgeführter  Substitution 
**  =  2+^+4Y  +  •  .+  ininf. 


nnd  analog  weiter: 


.    h»    ,    AM*  i 


.  in  inf.  — 
.  -f-  in  inf. 


2S- 

A»» 

2*- 

hn 

2»- 

hH 

24  - 

hn 

27  - 

hn 

2«- 

hn 

13) 


AM       A,*  hj 

I     »Jtm    l  94m 


26" 


.  .  -f  inf. 


Bilden  wir  die  Summe  der  Teilfaetoren,  so  folgt  nach  Ein- 
führung der  Werte: 


hu 


1  1 


£ktmn  -  2fm  -f  1)  +  £  |  1+  J *  +  9>  +  •   ■   ■  + 

+  2»         23^~  *J8      '  '  '  24"1] 


A^r 


r.'lm 


14) 


oder  auch: 


hn 


h„ 


-f  ...  in  inf.  15) 

Nun  sollen  die  Ausdrücke  in  den  obigen  Klammern  der  oberen 

13« 


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196  Dolexalt  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

Gleichung  14)  geometrische  Progressionen  1.  Ordnung  dar;  ihre 
Summierung  giebt  mit  a  und  dem  entsprechenden  Index  bezeichnet: 

2<(m  +  l)  ._  !  1 


26(w+l)  _  1  1 


16) 


02r(m  +  l)  _  1  1 

„    _  *  1    _  .  ro2r(m+l)  _  Ii 

0r  "   (22r  __  1^22rm  _  tfir  _  1)22"»  1/  JJ 

Die  Summe  der  Teilfactoren  erscheint  dann  in  der  Form: 


22fm+i)  _  i     24<m+1>  —  1 


Üi k%mn  ~  ^m     ^       Hs         3  15  .  22lro+2) 

2(6(»«+i)  i  22*"(m*  V  —  1 


-f-  .  .  .  -f-  in  inf.j 


17) 


Vergleichen  wir  die  vorstehende  Gleichung  17)  mit  15),  so  er- 
halten wir  für  die  Summe  der  Brüche: 

den  Wert 

Ä„   r22(*+D  —  1      24(",+1>  —  1      26(m+2>  —  1 

22»(»+i)  —  1)  ] 


III. 

Zwischen  den  Peripherien  der  untersuchten  Polygone  bestehen 
leicht  auffindbare  Beziehungen. 

Bezeichnen  wir  mit  «„,  U2,„  U»,  die  Umfange  der  Polygone, 
welche  den  Seiten  *„,  «2«,  Sn  und  &«  entsprechen,  so  sind  aus  der 
elementaren  Geometrie  die  Relationen  bekaunt: 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen.  197 
«H  -  2n  Yq*  —  a«,     «2„  -  2n  Y29(<?  -a) 

wobei 


f-j 


bedeutet.  Drücken  wir  *  durch  den  Radius  q  und  den  Teilfactor 
i  aas,  so  erhalten  wir: 

YhV—Y)  \ 

'"*(*-!)(* -  2)' 

Vifc(X~—  2) 
~  ärlr  —  2)  * 

-V2  -"(fc^l^ff 

and  der  Wurzelausdruck  Vp^^a*  wird  nach  eingeführter  Substi- 
tution der  vorhergehenden  GleichuDg  die  Form  aunehmen: 

-  V*(*  -  2)< 

Werden  nun  diese  in  den  beiden  letzten  Gleichungsgruppen 
gewonnenen  Werte  in  die  Formeln  für  die  Umfänge  substituirt,  so 
ergeben  sich  die  Ausdrücke: 


2n 

-    n    .  f>  1) 


2a  V*(Jb  -  2)  \ 


l/„  —  2n  < 

=  n(ft  —  1>  >  2j 

=  2n  y*(*  —  2J  p 

weiter  für  die  Peripherien  der  Polygone  mit  doppelter  Seitonanzahl: 


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198  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


-  I  VZHk  -  1)  * 


3) 


2n 


uud 


=  jt— 1  V2(*-1)(*-2)P 
4n 

t/,„  = ,  / 


«  fc— 1 


-      Vk(k  -  2)  p 

Gestützt  auf  die  soeben  aufgestellten  Formeln  für  die  Umfange, 
erhalten  wir  nachstehende  sechs  Formeln: 

90 

"»*  :  tifn  =  A-  :  2(k  —  1 )  =~  cos*  —  ;  l 

180 

'  h  i  Dm    —  1  :  (k  —  1)  —  cos  —  :  1 

«JO 

:  C72w  =s  k  :  2(*  —  1)  =  cos«       :  1 

"_>»•   :  I  n*  —  2  :£(/„•  —  1)  —  cos*        :  cos1 

n  r 

ti^n  :  Ufu  -  *  :  2{i  —  1)  =  cos2   ^  :  1 

Uh  :  Ihn  —  *  :  2  —  cos*—  :  cos  — 

n  n 

Die  erste  dieser  Proportionen  giebt  eleu  Tcilfactor  in  der 
Form: 

welche  Gleichung,  nach  w,*  resp  n*H  aufgelöst,  giebt: 

,   *_  . 

=  COS2  -  (  7) 

4  +  2/  , 

und 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen.  199 
k  -  1 


*  ^  f 


n 


Die  zweite  Proportion  des  Systems  5)  führt  auf  eine  eiafacho 
und  elegante  Beziehung,  nämlich: 


woraus  weiter  folgt: 


Um 


k  -  1 


"m  ä  f.  7  Un 


I 


und 


N 

'  »  -  <*  -  l)  *n 
1 

180  "H  !  i  i 


cos 

w 

Die  dritte  der  Proportionen  in  Gleichung  5)  liefert: 

eine  Beziehung,  welche  eine  bedeutende  Aehnlichkeit  mit  jeuer  6) 
besitzt 

Werden  aus  dieser  u„  resp  uiH  bestimmt,  so  erhalten  wir  die 
Formeln : 

k_ 

2(*  -  1) 


UM  —  st,  :  lr2H 


n 


bzhw. 


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200  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

n 

cos  — 
n 

4/ 

Aus  der  ersten  und  dritten  Proportion  folgt  sofort  die  Relation : 

u2M*  —  un  Uo»  15) 
Die  vierte  Proportion  in  5)  führt  auf  die  Gleichung: 

,!  m       2~     M2»  16) 
welche  nach  k  geordnet  eine  gemischt  quadratische  Gleichung  bietet: 

»  -  t  =  2  (  ?"V 
aus  welcher  der  Teilfactor  die  Form  annimmt: 

m  _  »2h  ±  Yn.vr~+72UH)* 

resp. 


 KT""  17> 

Aus  den  vorhergehenden  Untersuchungen  wissen  wir,  dass  der 
Toilfactor  eingeschlossen  ist  zwischen  3  und  2,  also  3  >  >  2 
ist;  infolge  dessen  muss  der  zweite  Summand  in  17) 

a)  mit  dem  Vorzeichen  plus  genommen  werden,  da  das  untere 
Zeichen  minus  auf  einen  Widerspruch  führen  würde,  und 

b)  es  muss  derselbe  grösser  sein  als  jj,  hingegen  kleiuer  als 
jj,  was  in  der  Formelsprache  ausgedrückt  wird  durch 

3>  >'V*~-f-  (2  (•„)->  3  18) 
Aus  der  fünften  Proportion  des  Systems  G)  folgt: 


eine  Gleichuug,  welche  ähnlich  ist  jenen  b)  und  12)  für  den  Teil- 
factor.   Hieraus  ergiebt  sich  weiter: 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen. 


201 


i 


20) 


QQll 


21) 


Eudlich  aus  der  sechsten  Proportion  fliesst: 


22) 


welcher  Ausdruck,  nach  Ihm  resp.  L^,  aufgelöst,  die  Formeln  liefert: 


Bringen  wir  die  einzelnen  Proportionen  durch  Division  in  Ver- 
bindung, so  gewinnen  wir  eiue  ganze  Reihe  interessanter  Relationen 
zwischen  deu  Peripherien  der  ein-  resp.  umschriebenen  n-  und  2n- 
Ecke.  Unter  den  sechs  Proportionen  sind  15  Combinatioueu  zu 
zweien  möglich;  es  wären  daher  im  ganzen  15  neue  Relationen  zu 
erwarten;  es  sind  jedoch  5  darunter  identisch,  daher  reducirt  sich 
die  Anzahl  derselben  auf  10.  Wir  wollen  symbolisch  die  Relatio- 
nen, welche  sich  ergeben,  durch  R  und  rechts  mit  einem  Zahlen- 
Index  versehen,  welcher  anzeigt,  aus  welchen  Proportionen  jene  Be- 
ziehung entstanden  ist.   So  z.  B.  Rt  heisst:  die  anbei  angegebene 

Formel  resultirt  durch  Division  aus  2  und  5. 
Wir  erhalten: 


2 

U-2H  =  ^  UH 


23) 


UH  -  \  ütn 


24) 


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202 


Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


Bf,  *i 
S, 


«,»_« Du 

P,' 
^2»  Wt» 

«n 


^2» 

t/V 


2 
* 
2 

2 
fc— 1 


24) 


1) 


IV. 

Auch  die  Flächeninhalte  betrachteter  Polygone  bieten  so  man- 
ches Interessante. 

Consequenterweise  seien  mit/"«,  /*»,  FH  uud  F%*  die  Flächeninhalte 
jener  Polygone  bezeichnet,  welche  den  Seiten  «„,  .*>»•,  5„  uud  &N  ent- 
sprechen; dann  erhalteu  wir  für  dieselben  nachstehende  Ausdrucke: 

1)  für  das  eingeschriebene  »-Eck: 

fn  -  jj  (9  -  >0* 

VW*  —  2)_    t„      f  X> 
"  w  jt(t  —  Tj«  <Jb  —  2) 

2)  für  das  eingeschriebene  2n-Eck: 

fln  —  n(Q  —  hin)  *2h 

was  nach  ausgeführter  Substitution  übergeht  in 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen.  203 

.    » (ii  - 1)  ygj[^]g  2 , 

/2M  "4        L\k-  2) 

Ht  -  1)  -2) 

ygi  -  j)  2 


3)  Für  das  unbeschriebene  n-Eck: 


n 

=  -  Q  o»t 

Werden  die  Werte  für  (,  und  Stl  hierin  substituirt,  so  hat  mau: 


V*J*  -Jtj  >  3) 

"         —  2)  1 

4)  Für  das  umbeschriebene  2/i-Eck: 

F-i„  =  ng  &2H 
was  durch  Eiuführung  der  Werte  übergeht  in 

n  (j  -  1)»  Yk(k  -  2j     >  4) 
""  2  -  2J         *  ' 

-2" — » — p 

Bilden  wir  nun  die  6  möglicheu  Proportionen  zwischen  deu 
Flacheniuhalten,  so  erhalten  wir: 

180 

fn  :  hn  —  1  :  (k  —  1)   —  cos  — -   ;  1 

» 

180 

:      -  1  :  <*-  l)*  =  cos*  -  :  1 

00  180 

/V.  :  F2n  -  t  :  2<*  -  l)2  -  cos2     cos —  :  1 


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20-4  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 

Fk  -  1  :  <*-  1)  -  sec180  :  1  1 

n 

90 

fm  i  F2n  -  ft  :  2(fc  -  1)  -  cos1  -  :  1 

_      _         ,     n  „90  180 

-F*  :  F»h  —  *  :  2  —  cos*  —  :  cos  — 

n  ?i 

Aus  der  ersten  Proportion  folgt: 

resp.  (  6) 

/2«  -  )k  -  \)fz  I 

Die  zweite  Proportion  liefert  die  Beziehung: 

FH  -  (A  -  I)»/»1  7) 
welche  nach  &  aufgelöst  für  den  Teilfactor  den  Ausdruck  giebt: 


8) 


In  dieser  Gleichung  hat  uur  das  obere  Zeichen  eine  Berechtigung, 
da  3  <  k  >  2  sein  muss,  und  nie     <  1  sein  kann. 

Bestimmen  wir  aus  der  dritten  Proportion  des  Systems  5)  F*», 
so  erhalten  wir 

*.  =  ™^  9, 
Wird  diese  Gleichung  nach  i  geordnet,  so  ist 

woraus  folgt: 

Dieser  Ausdruck  lässt  sich  in  mehrfacher  Art  umformen,  wir 
benutzen  jedoch  nur  jenen,  wobei  wir  deu  Wurzelausdruck  nach  dem 
binomischen  Satze  entwickeln  und  erhalten : 

k  =  jg  [4/H  +  Fin  ±  (F»  +  4/„  -  8iVW  +  32  F2H-2fn* 

-  160/^.-3/;* -f-.  .  . )] 

Nehmen  wir  das  Zeichen  -f-  vor  der  runden  Klammer,  so  er- 
halten *ir  als  ersten  Wert  des  Teilfactors: 


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ein-  und  umbetchriebtnen  Polygonen. 


205 


*.-2+^-2(£)  +  8©'-4O(0---  »> 

während  für  das  untere  Zeichen  —  der  zweite  Wert  des  Teilfactors 
die  Form  annimmt: 

*-»&-»(ö'+«>(fc)'----  i2> 

Nachdem  3  <  h  >  2  sein  muss,  so  ist  ersichtlich,  dass  nnr  kx 
den  Wert  dos  Teilfactors  darstellen  kann,  also  das  Vorzeichen  -j~ 
Giltigkeit  hat,  während  —  nicht  zu  berücksichtigen  ist. 

Aus  der  vierten  Proportion  von  5)  resultiert: 

Fn  -  (t  -  l)/a»  13) 
woraus  der  Teilfactor  wird: 

+  14) 

Aas  der  fünften  der  Proportionen  in  der  Gleichung  5)  folgt  so- 
fort : 

was  weiter  giebt: 

welche  Gleichung  mit  jenen  im  vorhergehenden  Abschnitte  für  die 
Peripherien  gegebenen  6),  12)  und  19)  bedeutende  Aehnlichkeit  be- 
sitzt und  speciell  aus  der  Gleichung  für  19)  sich  sofort  ergiebt,  wenn 
mau  f2n  statt  u2„  und  F2»  statt  Ihn  setzt. 

Die  letzte  des  wiederholt  genannten  Proportions -Systems  giebt: 

k 

resp.  >  16) 

*  -  F" 

F2n 

Die  Proportionen  in  5)  gestatten  durch  eine  entsprechende  Ver- 
bindung eine  Reihe  neuer  Formeln  zu  bilden.  Vor  allem  können 
wir  eine  jede  Fläche  einfach  durch  alle  andern  ausdrücken  uud  er- 
halten : 


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206 


und  schliesslich: 


17) 


18) 


19) 


w^n*    [  20) 

k    '2w  > 


2 

k 


-T.Fu 


Dividiren  wir  die  genannten  Proportionen,  und  behalten  die  im 
vorhergehenden  gebrauchten,  symbolischen  Bezeichnungen,  so  erhalten 


wir  nachstehende  Relationen: 

Fn  «  (*-  D/i« 

Äl 

Flu  —  •       k  /2h 

*i 

-  /»  F» 

*\ 

/„    F2n~  2 

FjJ»  «  T  Fn 

fin—  (k—  l)fH 

*l 

Fn*    _  k(k  -  1) 

/>,  /2h  2 

/  21) 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen.  207 

R>  *  \  21) 

t  finFin  2{k—\) 

Fn  -  (k  -  1)V« 
_  /2»F2w      ifc(Är  -  -  1 )  \ 

1  ~JV=~T-  I 


Aus  diesen  Relationen  ergeben  sich  interessante  andere  und 
zwar: 


Fn  /fi»\*  Sk\ 

fn     VW    "  V2/ 


?2n  \AuJ 


?2n  V/W 

fnfin 
FM  fy„ 


22) 


V. 

Bezeichnet,  wie  eingangs  hervorgehoben  wurde,  q  den  Radius 
eines  Kreises,  der  dem  Polygone  mit  der  Seite  *  umbeschrieben  und 
einen  von  derselben  Seitenanzahl  und  der  Seite  .s*  eingeschrieben,  hin- 
gegen r  den  Radius  des  dem  ersteren  Polygone  eingeschriebenen 
and  R  den  Radius  des  dem  zweiten  Polygone  umschriebenen  Kreises 
und  analog  die  weiteren  Symbole,  so  bestehen  die  Relationen,  welche 
sich  aus  der  Figur  sofort  ergeben : 

 P 

k  —  1 

-  9~  J 

*t»  -  i  I 

p  ' 

V«  -  i    >  l) 


180 

rM     =  p  cos  - —  = 
180 

T2n     -  9  COS  —  = 

180 

rt\    -  Q  COS  ^  - 


180  «  , 

ftf".    ~pcs  i3-  JTm 


weiter 


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208 


Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


Rn  = 


COS 


180 


-<*  -  Dp 


cos 


180 
2« 


cos 


2*. 


2) 


•°8  2% 


=  (4 


Di? 


Durch  Multiplication  resp.  Division  der  vorstehende«  Gleichungeu 
folgt  Bofort: 

r»  7?„  =  r-2u  R-2n  —  r\n  R\n  —  •    •    .  p2 

und 


Rh  , 180 

—  cos*  — 

r„  n 


r-2,, 


(*-!)* 


.  180      (*3tt  -  1)» 
Ä«.    ~  C0S    2n  =  1 


_1 80 

-  -COS*.« 


«     C*A-  D* 


3) 


r»"---co.»-i??- 


4  « 


2"'„      (/:«*•„  -  1; 


i  / 


Die  goniometrischc  Beziehung 


180      .      .  180 
cos-=2cos«^-l 


führt  nach  Substitution  der  Werte  aus  Gleichung  3)  sofort  auf  die 
Gleichung: 


oder 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen.  209 

and  mit  Ausdehnung  auf  die  folgenden  Polygone: 

Aus  diesen  Gleichungen  werden  unschwer  nachstehende  allge- 
meine Relationen  erhalten: 


4) 


r2m» 


D«  ... 

=  2   .        8  2   rfm 


5) 


Bilden  wir  nun  Summe  und  Differenz  der  Radien  r  und  R  und 
diiidiren  selbe  durcheinander,  so  folgt  • 

/?*-f-r»  1 

2  cos*  -0— 
2/» 

2  COS* 

G) 


+  |V%  1 

2c08V+i„ 

us  welchen  Gleichungen  die  Teilfactoren  sich  ergeben  : 

ArcL     Math.  u.  Phjrs.   3.  Reihe,  T.  XV.  ^ 


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2X0  Do  Utah  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreiee 


7) 


Der  zweite  Summand  rechter  Hand  des  vorstehenden  Gleichungs- 
systems muss  mit  dem  Vorzeichen  plus  genommen  werden,  falls  die 
Teilfactoren  reellen  Polygonen  zufallen  sollen. 

Für  die  Cosinus  der  Centriwinkel  erhalten  wir  die  Ausdrücke: 


s  180        Xn  —  rn 

C0S    'Jn  ~  2(h\  +  rM) 

008   2*„  -  2(7**,  +  r2n) 


8) 


prjcl  mmx   —  ?  .  


und  weiters: 


.  %  180  TV—1«  +  3rf— >» 
8m  2'«,,  "  2(Äg*-1«  -f  rt«-V) 

,  130  _  T?,»'-'»  +  8ry—', 


9) 


VI. 

Nach  den  Gleichungen  7)  und  36)  des  I.  Abschnittes  besteht 
die  Identität: 

2  V^MV«  -  2)         V(*  -  2)  (9fr  -  10)" 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen.  211 

woraus  sich,  nach  lfn  geordnet,  eine  gemischt  quadratische  Glei- 
chung ergiebt,  nämlich: 

pl_2L,      (*  -  2)  (9t  -  10) 

welche  aufgelöst  für  den  Teilfactor  den  Ausdruck  giebt: 
ii      *  i  8(1 ■  —  1) 

V«  -  1  ±  -  -   2) 

Vöö*»  -  100*  +  44 

Nachdem  die  Teilfactoren  der  regulären,  dem  Kreise  eingeschrie- 
beneu Polygone  2  als  Minimum  und  3  als  Maximum  besitzen,  so 
kann  nur  das  obere  Zeichen  gelten,  somit: 

lUÜfc-f  44 

Den  zweiten  Summanden  wollen  wir  in  eine  Reihe  entwickeln ; 
m  dem  Ende  setzen  wir : 

(*—  l)1 

55*^100*  -f  44  =  («  +  »  +  <*■  +  .  •  •)* 

=  a*  +  2abk  -f  (2ac  -|-         -f  .  .  .  3) 

Hieraus  ergiebt  sich  nach  Ausführung  der  Multiplication  rechter 
Hand  und  Berücksichtigung  jener  Glieder,  welche  noch  das  Quadrat 
des  Teilfactors  k*  enthalten,  die  Gleichung: 

**  -  2k  -f  1  =  44as  -f  4a(22Ä  -  25a)k 

-f  [55a2  -  2üOa£  -f-  4  i(a2  -f-  2ac)\k*  -f  .  .  .  4) 

aus  welcher  nach  dem  Satze  der  unbestimmten  Cocfficienten  folgen 
rar  Bestimmung  der  nach  unbestimmten  Grössen  a,  by  c  die  Be- 
diagnngsgleichungen: 

44a*  ==      1  j 

4a(226  —  25a)  1  |  5) 

55a»  -  200a*  -f  4i(&*  +  2ac)  -     1  ) 

Die  Coefficienten  selbst  ergeben  sich  in  den  folgenden  Ausdrücken: 

1 


2  .  11 


Yn 


—  1  -f-  50a'  3 
2*.ll.a    ~2*.ll»yi1  )  ' 

1  -f  gQOaft  -  55a8  -  446»       5  .  17 
C~  2*  .  IIa  =a,2a.ll5»yi1 


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212 


Do  letal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


Indem  wir  die  soeben  gewonnenen  Werte  der  Coefficienteu  ver- 
werten, so  erscheint  der  Teilfactor  in  der  Form: 

V«  —  1+  (a+bk  +  cl*+  .  .  .  ) 

=  1  +  *yn[^l+^*  +  ^»  +  .  .  .]  7) 


Die  Reihe  in  der  eckigen  Klammer  convergirt  wol  nicht  sehr 
stark,  sie  nähert  sich  aber  einer  Grenze,  welche  wir  annähernd  zu 
bestimmen  im  Stande  sind.  In  beigegebener  Tabelle  sind  die  Teil- 
factoren der  aufeinander  folgenden  Polygoue  berechnet,  dieselben 
können  für  ein  bestimmtes,  gegebenes  n  hieraus  entnommen  und  in 
Gleichung  7)  substituirt  werden.  Die  Summe  der  iu  der  eckigen 
Klammer  stehenden  Reihe  ergiebt  sich  dann  einfach. 


Wählen  wir  z.  B.  ein  eingeschriebenes,  regelmässiges  Dreieck 
n  —  3,  so  ist  nach  der  Tafel  L  =  3  und  der  Teilfactor  für  das 

22 .  n  =  12-Eck 

ist  hieraus  entnommen  2  '  04030.  Führen  wir  nun  diese  speciellen 
Werte  in  die  obige  Gleichung  ein,  so  erhalten  wir: 


2  -  04030  =  l+&Vll[.^  .  .  .] 

8) 

somit  für  die  Reihe 

*    -1-     8>      1    6 ' 17  3*4-  _X  04030  9) 

Die  allgemeine  Form  derselben  ist : 

2TH+  2«TiP  *  +  2»TTi»  k*  +  '  '  ' 5=3  ^öTlF  Vi!  10) 

Die  Gleichung  Lehrt  uns,  wie  wir  einen  Teilfactor  durch  den 
zweit  vorhergehenden  auszudrücken  vermögen,  wir  erhalten: 


+  •••]) 


11) 


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ein-  und  unbeschriebenen  Polygonen 


213 


+  •  •  -J 

*,-.  -  1  +  8  VTS        Yl  +  $  3lT3 


Gleichungen,  aus  welchen  sich  dio  rechts  stchendon  Reihen  ohne 
Schwierigkeit  ermitteln  lassen. 

Anmerkung. 

Für  den  Teilfactor  haben  wir  erhaltet! : 

8(*  -  1) 


V»  -  1  + 


Ybbk*  -  100*  +  44 

■ 

Gesetzt,  22,,  sei  unendlich  gross,  somit  der  Teilfactor  eines 
Polygons  mit  unendlich  vielen  Seiten,  so  ist  derselbe 

V»  -  2 

In  diesem  Falle  muss  der  zweite  Summand  vorstehender  Gleichung 
der  Einheit  gleich  sein,  also 

8(*  —  1) 

V  56**  —  1UUJ;  -f-  44  =  1 

and  hieraus  folgt: 

Oft 

*«  -  y  *  +  20  -  0 

und 

14  ±4 

*Ä  BT" 

Das  obere  Zeichen  liefert  =  2,  eine  Auflösung,  welche  zu  er- 
warten war  während  das  untere  Zeichen  zu  einem  negativen  Werte 
von  k  führt,  der  kleiner  als  2  ist  und  somit  keinem  dem  Kreise 
eingeschriebenen  Polygone  entspricht. 

Die  im  vorhergehenden  durchgeführten  Untersuchungen  für  deu 
Teilfactor  1»  dehnen  wir  auf  den  allgemeinen  Fall  aus,  wobei  wir 
die  Beziehung  zwischen  den  Teilfnctoren  und  A„  resp.  k  aufstellen 
werden.  Dieselbe  wird  sich  ergebon  durch  Gleichstellung  der  Glei- 
chungen 7)  und  46)  im  I.  Abschnitte: 


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214  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


2  V VVfVS.  -  2) 

|A  ~  2  (7*  -  8)  -  (4  -  2)] 

woraus  sich  dio  quadratische  Gleichung: 

13) 

2   o         •  g-2)  f  2**-i>(7*--8) -(k-2)\  

zur  Bestimmung  von  V„  ergiebt. 
Der  Teilfactor  selbst  wird  sein: 


*»-»  =  l  ± 


14) 

V3  22»-i(i-l) 


V[3  .  2-(2«-1)  -7  .  28«»-1)+lJt>— .  2*—3 

—11  .  28w-8+l]H-2*[3  .  2*(«-1)-l  .  22-+1J 

oder  auch  in  der  Form 

15) 

22m-l  (fc_l)V/3 


*tmn  =  1  + 


V|3  .  2*«-7  .  2^+2*]^— 2[3  .  2**— 11  .  22"*+2s]fc 

+[3  .  2<«-22'«+*-f-2<] 


wobei  wir  aus  bekannten  Gründen  bloss  das  obere  Zeichen  beibe- 
halten haben. 

Den  mit  dem  Factor  22*'-1  V3  verbundenen  Ausdrnck  der 
rechten  Seite  der  obigen  Gleichung  kann  man  in  eine  Reihe  ent- 
wickeln, indem  wir  setzen: 

 k*-n+l  

p72*»--7.  Ü2m-f  2*]P^2]3  .2^-11.  S^3«]2*fß  .  Z*»-*»*^] 

-  [a+bk+ efc*-f-  .  .  .  ]«  16) 

Führen  wir  die  nötigen  Operationen  in  dieser  Gleichung  aus, 
so  erhalten  wir: 

17) 

4-2(3  .  24-^22"+*+2*)ai]iti 


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ein-  und  umbeschriebenen  Polygonen. 


215 


17) 

-f  [3  .  2*Bl-7  .  22»»-f-2*)a8—  2*(3  .  24m -ll.(28"»+2>)a* 

+(3  .  2^-22"+4-f 2*)(62-f2ac)]l* 
-{-[2(3  .  24"»-7  .  22'"-r-2*)a»&-2(3.24'»— 11  .  22«-{-28; 

(JH-2«^)+2(3  .  2*-~22»»+*-f 2*)(ad-h^)]Ä:s 
+[3  .  2*»-7.  22"4-2*)(&'+2a&)-2*(3  .  2*™ 
i»-2*  +  1-  ^  _n    2ftM^.2s)(od+Äc)+(3  .  2*»  -22'«+*-}-24) 

(c*-f-2ac-f2M]ib* 
-f  [2^3  .  24fl»-7  .  22w-f-2*)(arf+ic)-2(3  .  2*»» 
—Ii  .  2a"+28)(c*+2<K!4-2M 
+(3  .  24»-22'»+4-f  24)(a/,+cd+M>5-|- .  .  . 

Aus  dieser  Gleichung  lassen  sich  nach  dem  Satze  der  unbe- 
stimmten Coefficienten  die  Bestimmungsgleichungen  aufstellen  zur 
Ermittlung  der  Coefficienten  a,  6,  c,  .  .  .  Zur  Berechnung  der  drei 
Constanten  a,  b  und  c  dienen  die  Gleichungen: 


(3  .  24«»-22'»+4+ 2*)a»  -  1 
—2(3  .  2«*-ll  .  2?»»-f-2s)-j-2(3  .  24«-22w+*-|-24)afi  =  —2 
(3  .  2*-"— 7  .  22"-f-2,)a*— 22(3  .  2*»'— 11  .  22m+2s)a6 

+ (3  .  2<«»-22'>'+H-2<)(6»-f  2ac)  =  1) 

und  die  Coefficienten  selbst  werden  sein: 

1 


18) 


a  = 


e  — 


(3.2*"  —  2»»H  +  2*)'it 

22m+4  —  11  .  22w  —  2» 

(«Tl5«  —  22w+*-f-  2*)t+* 

3  .  11  .  26"»  -  7  .  23  .  24m  4-  22"'+8  -  27 
(3  .  24"'  —  22n,+4  -f-  » 


19) 


Der  Teilfactor  erscheint  nach  Substitution  dieser  Wcrto  in 
Gleichung  16)  in  der  Form: 

2a"V3 

h9*  —  1  +  (3  .  gl«  _  &m+4  +]nyr» 

22m  (22w+4  —  n  .  22"  -  2»)  V3 
+       (3  .  2"»  -  22"+4  -  2*) 

2*"(3  .  11  .  2»"  —  7  .  23  .  2*»  -f  22"»f*  —  2?)i/3 

+  (3  .  V*m  _  22m+4  _|_  2*;si«  * 

-f.  .  .20) 


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216  Doltxal:  Relationen  bti  regulären,  dem  Kreite, 

Diese  Reihe  geht  in  jene  in  über,  wenn  man  darin  m  =•  2 
•ubstituirt 

Setzen  wir  m  —  3,  so  folgt: 
Vn  -  1  +5^47  Vr.  47  +  5^47,  V5  747  k 

+  ^775^47.V5.  47**+.  .  21) 

und  weiter  durch  Specialisirung  des  Wertes  m  ergiebt  sich  eine 
Reihe  von  Formeln,  in  welchen  überall  der  Teilfactor  der  linken 
Seite  der  Gleichung  rechts  durch  den  dritt-vorhergeheuden  ausge- 
drückt erscheint. 

Auch  lässt  sich  in  rascher  Weise  die  Summirung  einer  Gruppe 
von  Reihen  durchführen;  es  ist  nämlich: 

VNLTli  _  _ 2* _  ,  2«Jtf  k»_K  ,  3.7.331 
5.47       5. 47^5*. 47*  '      "  ^  2*  .  53  .  47a  Ä«  " 

woraus  für  besondere  Fälle  von  m  und  »  eine  reiche  Fülle  von 
Reihen  sich  ergiebt. 

Wird  der  Exponent  m  =  4,  so  erhalten  wir  die  Teilfactoren 
durch  die  viert-vorhergehonden  ausgedrückt,  es  wird  dann: 

06   ]9 

- 1 + 5*47v*  • «  +3:-5;  .-«»v»  •  «* 

oder  allgemein: 

9«       ,  08  IQ  

-  1  +  5  .  47^    47  +  3T5C47«^"  47  ^m"4" 

+  S'tm."?^ r."4tv-v+.  •  .  23) 

Hieraus  lässt  sich  wieder  die  Summe  neuer  Reihen  ermitteln. 

So  könnte  man  in  der  Specialisirung  des  Exponenten  m  fort- 
schreiten und  zu  neuen  Ausdrücken  gelangen. 

Anmerkung.  Auch  hier  gilt  für  den  Teilfactor  fca«%  eine 
ähnliche  Bemerkung,  wie  dieselbe  für  V»  angegeben  haben.  Nach- 
dem für 

2"'„~od,   kt«n  -  2 
so  muss  die  Relation  bestehen: 


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im-  und  umbeschriebenen   fb%o»«n.  217 

22«»  (k  —  1)  V3 


„  1 


V<3  .  2*»  — 7  .  22«+2*)**  —  2(3  .  22»  -  11  .  22»  +  23)Jfc 

+  (3  .  2*»  -  22»«+*  +  2*) 

woraus  die  quadratische  Gleichung  sich  ergiebt: 

7  .  22»»  —  2*  7  .  2?w  -2* 

i.J         o  _J  i.  

11  .  22«  —  l3        2*  — 
welche  zur  Wurzel  hat 

11  .  22»  —  2»  4-  3  .  22» 


k  - 


7  .  *2m  _  2 


Nachdem  nur  das  uutcre  Zeichen  einem  realen  Werte  des  Teil- 
factors  zukommen  kann,  so  erhalten  wir  bei  Verwendung  desselben 
für  den  Teilfactor 

14  .  22«  -  23 
*  ~    7  .  22»  -  2»  ~  2 

einen  Wert,  den  wir  erwarten  konnten. 

In  den  vorhergehenden  Untersuchungen  haben  wir  die  Teil- 
factoren durch  die  vorhergehenden  auszudrücken  vermocht,  was  da- 
durch möglich  wurde,  weil  kj*m  als  Function  des  Tcilfactors  k  er- 
scheint, desjenigen  nämlich,  welcher  die  Grundlage  bildete,  und 
weil  weiters  durch  die  Substitution  von 

wi  —  1,  2,  3,  .  .  . 

ein  ganzes  Polygonsystem  gewonnen  wurde,  dessen  Seitenzahl  2n, 
2%,  is  2»»  war. 

Es  dürfte  sicherlich  nicht  ohne  Interesse  sein,  umgekehrt  k  all- 
gemein als  Function  von  k^mn  auszudrücken. 

Wir  benutzen  die  Gleichung: 
wobei 

«  -  3  .  2«»  -  7  .  22»  -f-  <2*  \ 

ß  ~  3  .  2<«  -  1 1  .  22«  +  23  >  25) 

y  —  3  .  24nt  —  22«M  -|-  2«  ' 

als  Abkürzungen  eingeführt  werden;  setzen  wir  weiter  der  Kürze 
üebersicht  wegen 


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218  Do  letal:  Relationen  bei  regulären,  dem 


so  erhalten  wir: 


zur  Bestimmung  von  k.    Dieses  selbst  ist  hieraus: 

(1  -  ßa*)  ±  V(\  -  ßa*)*  +  (ya*  —         —  aa*) 

1  -  aa* 

was  auch  gesetzt  werden  kaun: 

t  Q  1  -  fr  ±        "      -H«  -f-  r~*>i 

1  —  <ia 


27) 


28) 


Dieser  Ausdruck  gestattet  eine  bedeutende  Vereinfachung;  denn 
es  ist. 

«  +  y  -  20=  -  1  .  k2(  2-><"-1>-f-H 
ß*  -  tty       -  3  .  1*"  (2*"  +  1)  I 

wobei  die  KlammerausdrUcko  beidermal  eine  ungerade  Zahl  dar- 
stellen. 

Substituircn  wir  diese  Werte  für  die  angeführten' Abkürzungen  in 
die  Gleichung  für     so  ergiebt  sich  nach  einfacher  Transformation: 

3  .  <***>-(3  .  .  2g»T2»)(V^-l),±(VV-l)X 

3  .  2"»-(3  .  2*»-7  .  22«»-t-^)( Vi»  =  D*  ' 
Diese  Gleichung  lässt  erkennen,  dass  dem  Teilfactor  k 

a)  zwei  reelle  von  einander  verschiedene 

b)  zwei  zusammenfallende  gleiche  oder  aber  auch 

c)  zwei  imagiuftre  Werte  zukommeu  können. 

Betrachten  wir  vorerst  den  Fall  b);  hiebei  wird 

3  .  y»  —  [3  .  (.*m  —  11  .  &»»  4-  2»] (2%— ir 
k  ~~~  3  T  [3  .       _  7  ;  2^  +  22](A/'„ -l;"  30) 

was  dann  eintreten  würde,  wenn  der  Ausdruck 


-  l)V(S5"'-f  1)  (VSi     1)*  -  2*(1  +  22<—U)  -  0 
wird.   Dies  würde  zweimal  der  Fall  sein  könueu  und  zwar,  weun 


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lfe>  und  umbtschritbenen  Polygonen.  219 

kj*H  -1=0  i 
resp.  I  31) 

(2*»  -f  1)         -  1)1  -  2»(1  +  22(«-D)  I 

wäre.   Das  erste  ist  ausgeschlossen,  weil 

nicht  sein  kann,  da  strenge  bewiesen  wurde,  dass  k  innerhalb  den 
Grenzen  2  und  3  sich  bewege. 

Die  zweite  Bedingung,  wobei 

(^n-D^^i+T  32) 

ist,  bat  eine  Berechtigung. 

Dieser  Fall  wird  sich  ereignen,  wenn 

v.=  i±iy  f+Vm  33) 

wird,  was  in  speciellcn  Füllen  liefert  und  zwar  für 


m  -  1 

*2n   ~  1  ±  2  y  j 

m  —  2 

«  =  3 

m  -  4 

34) 


Selbstredend  können  ans  bekannten  Gründen  in  diesen  Formeln  bloss 
die  oberen  Zeichen  Giltigkeit  haben. 

Die  soeben  ausgesprochene  Berechtigung  der  Werte  für  k2mH 
aus  Formel  32)  hätte  volle  Giltigkeit,  wenn  nach  Substitution  von 

—  1)  in  die  Gleichung  30)  für  iL-  mögliche  Werte  resultieren 
würden.    Nach  Ausführung  der  Substitution  folgt: 


k  «= 


24"»  -f-  18  .  22"»  —  2* 


-  -  24m  -f-  1 2  .  22m  —  23  *J 
Für  besondere  Werte  von  n»  erhält  man  und  zwar: 


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220 


Do  letal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise 


2*  +  18  .  2*  -  2* 
m  =  1  *=-  2«-f  12.2*  -  23  ~  3 

1  70 

«1-2,3,4...    wird   fc  7g     -  1  jg9  ^  36> 

_  303 

2599 

Wie  wir  sehen,  könnte  nur  der  Wert  des  Teilfactors  für  m  =  1 
zu  einem  reellen  Resultate  führen.  Nachdem  in  diesem  Falle  i  ==3 
ist,so  müssto  n  =  3  sein,  also  das  Polygon  ein  Dreieck  darstellen; 
da  ist,  so  wäre 

7.  m     —  / 
as   n  —  *g 

also  der  Teilfactor  für  ein  Sechseck.   Dieser  ist  ans  der  Tabelle 

*6  =  2  •  14  470 

welcher  Wert  identisch  sein  müsstc  mit  jenem ,  den  wir  aus  Glei- 
chung 34)  erhalten,  nämlich 


2  *  63  294 


Nachdem  auch  diese  einzige  Möglichkeit  sich  nicht  bestätigt, 
eo  können  wir  sagen: 

Der  Teilfactor  k  kann  nicht  nach  Gleichung  30)  bestimmt  wer- 
den, weil  die  gleichzeitig  zu  erfüllende  Bedingung,  welche  in  Glei- 
chung 32)  ihren  Ausdruck  findet,  nicht  erfüllt  werden  kann  und  ihre 
Verwendung  zu  negativen  Teilfactoren  führt,  die  nicht  bestehen  können. 

Wir  wollen  hier  die  aus  Gleichung  30)  sich  ergebenden  Werto 
von  k  anführen,  die!  sich  nach  Einführung  specieller  Werto  von  m 
ergeben,  falls  man  die  Bedingungsgleichung  unberücksichtigt  lässt. 

Es  wird  für 

2*  -    (*•>,,-  D2 
m  =  l  fc-^-2(Ä2rt-T)* 

„  .  2«-2.5»(y„-l)» 

m~~  Z  "  2«-  h ..  11  (  V--  "l)" 

;      21>  —  *  ■  8  ■  7  •  — 1  >! 

w  -  3  *  —    2'»  -3.7  .~47(,\  ~ 

2"  —  2  .  5  .  79(V»  —  l)8 
m  =>  4  fc  "  2«4  -  5  .  17  .  12KVm  -  1)* 


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ein-  und  umbeschvtebenen  Polygonen. 


221 


Der  Fall  c),  wobei  imaginäre  Werte  sich  ergeben  würden,  be- 
trachten wir  nicht  näher,  wollen  jedoch  auf  den  Fall  a)  etwas  ein- 
gehen uud  denselbeu  für  verschiedene  Werte  von  m  ausnutzen. 

Setzen  wir 

m  =  l,  so  wird 

3  .  2*-3  .  2«(*2H-l)l±(*2r,-l 


-!)*-« 


3  .  24-3  .  23(*2«  -1)* 


m  =  2,  so  wird 

3  .  2«-23  .  3  .  öV^-lJM^tjV-O  X  

3  .  28— 2*  .3.5.  li(V»~ 1)* 

w  -=  3,  so  wird 

3  .  2" -23  .  3«  .  7  .  23(AyS,-l)±(*yJ-l) 

 y65(£a3»:=i)^47i7 

3  .  2»- 2*  .  3«  .  7  .  471V«-!)* 

=  4,  so  wird 

3  .  2»« -23  .  3  .  5  .  79(V„-1)*±(V«-D 
 V2577VM^^2*T65 


1  = 


3  .  2ie-2*  .  3  .  5  .  17  .  IM&V-l)1 


38) 


Hiermit  beenden  wir  dio  in  gewisser  Richtung  zum  Abschlüsse 
gebrachten  Untersuchungen  und  behalten  uns  vor,  in  nächster  Zeit 
noch  weitere  Folgerungen  zu  bringen. 


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222  Dolezal:  Relationen  bei  regulären,  dem  Kreise  etc. 

Nachstehend  geben  wir  eine  Tabelle,  in  welcher  für  die  Polygon- 
zahl n  der  halbe  Centriwinkel  ^  sowie  der  zugehörige  Teilfactor 
angegeben  sind. 


«• 

HM  M  M  M  tC  K5W  Wlf^Q  0 
W0ö|^l^0»05C»«)«0OHIi00J(»OÜ'O0>Ü'O 

O?  ^      O          O  O  O' 

toi  a 

88£S8888££2g£88SäS£8 
££g&Sg2££2&5  8X£SSo$8 

slss£8ss£ss&800^^6 

iototow»o*otorcK3tfic»ototoioto  tf  »o,  to 

88888888888888888888 

OOOOOOOOOOOOOOOOO'-'»-'!-1 

Ikt 

88888S8l88ä8feS£S8 

a 

o  ©  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  ©  o  o  o  ° 

Kl  R 

200  004 
2  00  003 
2  00  0031 
200  0026 
.  .  .24 
...  17 
.  .  .14 
...  11 
.  .  .09 
...  06 
.  .  .04 
2-0000037 
.  .  .028 
.  .  .016 
.  .  .012 
...  007 
2  0000  002 

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BjSrling:  Eine  approximative  Tritectio  Amguli. 


223 


X. 

Eine  approximative  Trisectio  Anguli. 

Von 

C.  F.  E.  Björling. 


Hr.  Capitän  C.  E.  Unonius  in  Malmö  hat  mir  dio  folgende 
Construction  mitgeteilt. 

Ein  gegebener  Winkel 

COD(-=  2«  <  90°,  OC=  OD  =  1) 

wird  halbirt  durch  die  Gerade  OEK,  die  CD  im  Punkte  E  trifft 
Die  zwei  Kreise 

(1)  mit  Centrum  O,   Halbmesser  OC 

(2)  „        »       Ci  n  CE 

schneiden  sich  im  Punkte  F  (im  Winkel  COD).  Man  ziehe  FR 
parallel  mit  OC.  M  ist  Centrum  eines  Kreises  mit  dem  Halbmesser 
CE,  welcher  FH  und  EK  berührt  (ausserhalb  des  Kreises  (1)).  Für 
den  Winkel  COM  erhftlt  man 

Beisp.    Für  2«  =  30°  wird  COM  -   9°  59'  55",  1 

60°  „  „  19°  59'  42",  9 
80°   „      „         26°  40'  14",  7 

Beweis.  Mit  O  als  Anfangspunkt,  OC  als  Abscissenaxe  eines 
rechtwinkligen  Coordinatcnsystems  wird  die  Ordinate  des  Punkes  F 


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224  Björling:  Eine  approximative  Trisectio  Anguli. 

tfsina,   wo    II  —  J/  1  j 

Die  beiden  Geraden 

F/T.  .  .  y  —     sin  a 
O/v  .   .  .  y  =  *  tg  a 

bestimmen  einen  Punkt  /,(/?cosa,  ftsina).  Durch  denselben  ziehe 
man  die  Bissectrise  des  Winkels  HPK 

a 

(3)  y  =  #  sin  a  =  tg  0  (x  —  7£cos  «) 

iu  derselbeu  liegt  das  Ceutrum  M.    Soiue  Ordinate  ist 

-  (I  +  II)  siu  a 
seine  Abscisse  also,  laut  (3) 

—  R  cos  «  +  2  cos*  g  =  (1  -f-  7Z)  cos  «  -f-  1 
Hieraus  ergiebt  sich  der  obengenannte  Wert  des  Winkels  COM. 
Lund,  Schweden,  Oct.  1896. 


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Kues  fr:  Zur   Verwandlung  einer  quadratischen  Form. 


225 


XL 

Bemerkungen  zu  der  ausnahmlosen  Auflösung 
des  Problems,  eine  quadratische  Form  durch  eine 
lineare  orthogonale  Substitution  in  eine  Summe 
von  Quadraten  zu  verwandeln. 

Vun 

Adolf  Kneser  iu  Dorpat 


In  d"n  Monatsberichten  der  Berliner  Akademie  vom  Jahre  1SG3 
(Werke  Bd.  I.  S.  165)  hat  Kroaecker  eine  kurze  aber  wichtige  Notiz 
aber  die  gleichzeitige  Trausforma'ion  zweier  quadratischen  Formen 
in  Summen  von  Quadrate u  \erutiVntIicht,  webdif  ir'v'ennbr'r  den  frü- 
heren Behandlungen  desselben  Themas  zwei  Neuerungen  enthält. 
Erstens  wird  die  suchte  Transformation  iu  mehreren  ScLrittcu 
htrgesuüt.  l  .  i  deren  jedem  das  Quadrat  einer  einzigen  Variabein 
erscheint,  Welche  mit  keiner  der  übrigen  mul^plicirt  ist;  zweitens 
werden  n.-hr  die  Formen  einzeln,  sondern  «He  durch  sie  deiinirto 
Formens  bar  betrachtet.  iM-.-e  beiden  (irundgrlankeu  K: oueckers 
festhaltend  löse  ich  iu  den  folgenden  Z  den  das  Problem  der  Haupt- 
axeu  einer  Fläche  zweiten  Grades  und  das  allgemeinere,  eine  qua- 
dratische Form  durch  eine  orthogonale  lineare  Substitution  in  eine 
Summe  von  Quadraten  überzuführen,  nach  einer  Methode,  welche 
keiuerlei  Ausnahmen  erfordert  und  an  Vorkenntnissen  nur  die  elemen- 
tarsten Determinantensätze  voraussetzt. 

I.  Sind  a  und  b  reelle  Grösseu,  welche  nicht  beide  vergehwin- 
den, und  ist  c  einer  der  Werte  von  Va'-f-i*,  so  ergibt  sich  aus 
den  Gleichungen 

Are.  .1.  Math.  u.  Tby».   2.  Ueihe,  T.  XV.  15 


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226  Kneter :  Zur   Verwandlung  einer  quadratischen  Form 

axx  —  bxt  bxt  -f-  ar* 

Vx  -     -      ,    y.  ~  

die  Folgerung 

*i*  +  *i*  =  Vi2  +  Vtl 

im  Gebiet  von  zwei  Variabein  giebt  es  also  orthogonale  Substitu- 
tionen, in  welchen  die  Coefticienten  einer  Gleichung,  z.  B.  der  ersten, 
sich  wie  zwei  beliebig  gegebene  reelle  Grössen  verhalten,  die  nicht 
beide  verschwinden. 

II.  Der  analoge  Satz  sei  für  n  —  1  Variable  bewiesen,  d.  h.  es 
gebe  eine  reelle  Substitution 

ijr  —  CHJr,  -{-  <?r2Xj  -f-  .    .    .  -f  <?,  ,,,  ^  .r„_i     (v  —  1,   2,  .    .    .  «  —  1) 

in  welcher  sich  die  Coefticienten  der  ersten  Gleichung  en%  c,2  .  .  . 
tfi.H-i  verhalten  wie  t»  —  1    beliebig  gegebene  reelle  Grössen  a,, 
as.  .  .  .  «„-1,  die  nicht  sämtlich  verschwinden  ;  als  orthogonal  ist 
die  Substitution  dadurch  Charakter isirt,  dass  die  Gleichung 

»I    1  K-l 

(1)  ^  -     2  rr2 

rl  r  =  l 

besteht.    Dann  bilde  mau  die  orthogonale  Substitution 

(2)  "j  -  «.'/i  +  ftfc,   -s  °  y.vi  +  «5//« 
und  setze 

=  #n  =  a-».,    -a  —         r4  =  y4,  .   .   .  ;„_i  —  //„-l 
sodass  nach  (1)  die  Gleichung 

H  N  N 

folgt,  die  Systeme  der  n  Grössen  a-,,  t*.  .  .  .  rv  und  *„  cs,  .  .  .  s, 
also  ebenfalls  durch  eine  orthogonale  Substitution  verknüpft  sind. 
Die  erste  Gleichung  derselben  lautet 

(3)  s,  —  «Pj]^,  +  f»r|Sj-s  -f-  .   .   .  -|-  ctc\,u-\ xu-i  -f-  ßs„ 
und  man  kann  nach  Voraussetzung 

nr      /.<?,,    fifir  «—  ctka?    (v  =  1,  2,  .   .   .  »< —  1) 

setzen,  wobei  /.  eine  von  null  verschiedene  reelle  Grösse  ist.  Be- 
deutet ferner  an  eine  beliebig  gegebene  reelle  Grösse,  so  kann  man 
»ach  I.  die  Substitution  (2)  so  bestimmt  denken,  dass 

ß  :  azß  —  ka„  :  1 


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•hitclt  orlh.  S'ibsf.  in  eine.  Summ*  van  Quadrate». 


227 


alsdann  verhalten  sich  io  der  Gleichung  (3)  die  Coefficienten  der 
Variabeln  x  wie  die  reellen  Grössen  a,,  a,  .  .  .  a„,  welche  nur  der 
Beschränkung  unterworfen  sind,  dass  die  ?*  —  1  ersten  vou  ihnen 
nicht  sämtlich  verschwinden. 

Will  man  eine  orthogonale  Substitution  für  die  n  Variabein 
bestimmen,  in  welcher  die  Coefficienten  der  ersten  Gleichung  sich 
verhalteu  wie 

0:0:.  .  .  :  0  :  aH 
wobei  aH  von  null  verschieden  sei,  so  braucht  man  nur 

*i  —  »rw 

zu  setzen  und  die  Variabeln  x2,  r3,  .  .  .  x„  durch  eine  beliebige 
orthogonale  Substitution  aus  w,,  ir2,  .  .  .  <r„_]  hervorgehen  zu  lassen. 

Hiermit  ist  nach  der  Methode  der  vollständigen  luduetiou  der 
folgende  Satz  erwiesen. 

Im  Gebiet  beliebig  vieler  Variabeln  kauu  eine  reelle  orthogonalo 
Substitution  hergestellt  werden,  in  welcher  die  Coefticieuteu  einer 
Gleichung  in  denselben  Verhältnissen  zu  einander  stehen  wie  be- 
liebig gegebene  reelle  Grössen  von  gleicher  Anzahl,  welche  nicht 
sämtlich  verschwinden. 

III.    Es  sei  nun 

f  «   2T  a„tr,trr  =   £  artlXt,rr     (u.  V  —  1,  2,  .    .    .  n) 

eino  beliebige  quadratische  Form  mit  reellen  Coefficienten;  man 
setze 

qp  —       -f  x.2  -f-  .   .   .  -f  xf 

und  versuche  eine  ortuogouale  Substitution  zu  bestimmen,  nach 
welcher  man  erhält 

(4)  f  -  ;.,vj8  -r  J\(y«>  y:v  ■  •  •  y») 

wobei  A,  eine  reelle  Constantc,  eine  quadratische  Form  mit  re- 
ellen Coefficienten  bedeute.  Ist  die  gesuchte  Substitution  durch  die 
Gleichungen 

(5)  yr  —  CrlX1  -f-  Cr2Xü  -f  .    .  -  -\-CniX„     (v  —  1,  2,  .    .    .  ») 

gegeben,  so  hat  man,  da  sie  orthogonal  sein  soll,  die  weitereu 
Gleichungen 

ift* 


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228 


Kneser:  Zur  Verwandlung  tiner  quadralitrhen  Form 


(6)  Xr  —  Clry,  +  ****  +  •    •    •  +  ***** 

und  die  Gleichung  (4)  ergiebt 


(7) 


oder  nach  (5)  und  (G) 


(8)    2A,  2  e\vT9  =  22  ciF(a,ixt  +  «»2*,  +  •  •   •  +  ftm*n) 

9=1  r  i 

woraus  für  die  n  Grössen  <?i,  folgende  Gleichungen  resultiren: 

(ön  —  *i)rn  ~f~  "ji^ji  "f"  •  •  ■ -f«i«fi»' =  0 
rtsrn  +  ("22  —  *i)ris  +  •  ■  •  +  rt2»  cu>  ™  0 


(9) 


Bezeichnet  man  ferner  durch  «  eine  Unbestimmte,  durch  D  u) 
die  Determinante  der  Form  /'-  sodass 


du  —  u    </,a  .  .  .  ain 


D(u)  - 


so  ergeben  die  Gleichungen  (9) 

zxa,)  -  o 

Ist  umgekelit  P.,  eine  dieser  Gleichung  genügende  reelle  Grösse,  so 
sind  die  Gleichungen  IM  durch  r-clle  Wi  rte  der  Unbekannten,  welche 
nicht  sämtlich  verschwinden,  tu  befriedigen,  und  mau  kann  nach  II. 
eine  orthogonale  Substitution  (öj  finden,  in  welcher  die  Coefficicnten 
flh  fJ2,  .  .  .  ei,,  jenen  Gleichungen  geniigen.  Aus  ihnen  folgen  un- 
mittelbar die  Gleichungen  irti  und  ^7),  mithin  auch  (4). 

Es  sei  nun  nach  einer  der  vielen  möglichen  Methoden  bewiesen, 
dass  die  Gleichung 

D(x)  -  0 

nur  reelle  Wurzeln  besitzt,  etwa  nach  der  von  Wcierstiass  in  den 
Monatsberichten  der  Bcrliuer  Akademie  vom  Jahre  1S79  gegebenen 


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durch  otth.  Subsl.  in  eine  Summe  von  Quadraten. 


229 


welche  keine  weiteren  Hilfsmittel  als  die  hier  gebrauchten  Dcter- 
minanteusätze  benutzt.  Dann  folgt  aus  der  obigen  Entwicklung,  dass 
die  Form  /*  stets  durch  eine  reelle  orthogonale  Substitution  in  die 
Gestalt  (4)  gebracht  werden  kann.    Setzt  man  ferner 

f\(y*  y3»  •  •  •  >)  =  ^  bftrXfiXv  =  2  bntyuyv 

(p,  v  -  2,  3,  ...  n) 

<Pt  -  y*2  +  y3*  +  •  •  .  + !  «* 


so  ist 


(10) 


Aj  —  «        0      Ü     .  .  .  0 
0  —  u   btz  .  .  .  b2n 


Diu)  - 


bH2 


denn  nach  dem  Multiplicatiousthcorcm  der  Determinanten  multipli- 
cirt  sich  bei  jeder  linearen  Substitution  die  Determinante  einer  qua- 
dratischen Form  mit  dem  Quadrat  dir  Substitutionsdetrrminante, 
welches  im  vorliegenden  Falle  den  Wert  -\-\  hat,  und  die  Form  <p 
geht  bei  der  Substitution  (.">)  in  die  Summe  der  Quadrate  von  y,, 
3fs,  .  .  .  in  über.  Ist  daher  #,(«)  die  Determinaute  der  Form 
r,  —t/^,,  so  ergiebt  sich  aus  (10) 

D{n)  -  (A,  -  «)D,(tt) 

IV.  Allgemein  sei  4  irgend  eine  der  Zahlen  1,2..  .  . »  —  1, 
und  mau  habe,  w^s  nach  III.  für  /.  =  1  möglich  ist,  die  Form  f  in 
folgende  Gestalt  gebracht: 

(11)    f  -  A,  | r4 --f-A ,rj  -j-  .    .    .  -f  An  a*2  +  Afofl,  l'A  |j),  .    .    .  rM) 

wobei  die  Grössen  c  durch  eine  reelle  orthogona'c  Substitution  aus 
den  Variabein  s  entstanden  sind,  /*  eine  quadratische  Form  mit  re- 
ellen CoefficieiitCll  ist,  und,  wenn  Dki")  die  Determinante  der  Form 

fk  —  »<  (<•*+!*  +  a-|3*  +  •  •  .+»«*) 
bedeutet,  die  Gleichung 

/;(u)  =  (Ai  -«)(Aa  -  u)  .  .  .  w)Di(n) 

besteht.  Dann  sei  A*4i— u  irgend  ein  Lineartactor  von  />*(»); 
kann  III   durch  eine  reelle  orthogonale  Substitution  solche  Variabein 
r4  +  J,  .  .  .  »/•„  einführen,  dass  man  hat 


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lif>0  Kneten  Zur    Verwandlung  eiirr  quadi  alt*<h*n  Form 

(12)  fk        4fllf*+l2+A*l  ("t-r2,  •    •    •  «■„) 

wobei  /t^i  eine  quadratische  Form  mit  reellen  Coeffieienten  ist, 
welche  für  fc+1  —  n  identisch  verschwindet    Setzt  man  noch 

(13)  f,  —  i',,    »/*2  —       .   .   .  icit  =  r* 

so  sind  auch  die  Variablensysteme  .r,,  a-2,  .  .  .  ^M  und  ir,,  .  .  . 
>rtt  durch  eine  orthogoniilo  Substitution  verknüpft,  und  weun  Dk\\{u) 
die  Determinante  der  Form 

fcf!  —  »(tPlr+81  +  «**J32  +  •    •    •  +  «u*) 
bedeutet,  besteht  nach  IIT.  die  Gleichung 

mithin  auch 

D  u)  -  (;.,  —  -  i»)  .  .  .  {h\\  -  »)  0*4.1(11) 

ferner  folgt  aus  (11),  (12)  und  (13) 
f    *i  'ris  "h  Vrsf  +  ■  •  •  +       y,*f    +  A  h 

Für  die  Variableu  10  gelten  also  genau  die  für  die  Variablen  v  ein- 
geführten Voraussetzungen,  nur  dass  die  Anzahl  der  Variablen,  welche 
in  der  Form  f  mit  keinen  andern  multiplicirt  sind,  um  Eins  ge- 
wachsen ist. 

Man  kommt  daher,  indem  mau  den  von  den  Grossen  o  zu  deu 
Grössen  m  führenden  Schritt  wiederholt,  schliesslich  zu  einem  Variablen- 
system t,  in  welchem  die  Form  /  folgendermassen  ausgedrückt  wird 

f-  A,f,«  +  •  •  .  +  *«--i'«-i4 +  0») 

wobei  eiue  quadratische  Form  ist  und,  weuu  />M(n)  die  Deter- 
minante der  Form 

ist,  die  Gleichung 

D[u)  =  (/.,  -  „)(;.,  -  11)  .  .  .  (jU-i  -  u)  IK(h) 

besteht.   Nun  kann  man  offenbar  setzen 

fn-\  =  AM/„* 

sodass 

A.(«)  -   Oh  -  n) 

wird;  man  hat  daher  die  beiden  Gleichungen 


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durrh  orlh,  Suhst.  in  eine  Summe  vun  Quadraten, 


231 


f=  W+  Vif+.  •  -  +  w 

D(h)  -  (A,  —  i»;     —  u)  .  .  .(;„  -u) 

wobei  die  Grössen  f  durch  eine  reelle  orthogouale  Substitution  mit 
den  Grössen  x  verknüpft  sind.  Die  Form  f  kann  also  in  der  Tat 
durch  eine  orthogonale  Substitution  so  umgestaltet  werden,  dass  sie 
nur  noch  die  Quadrate  der  Variabein  enthält  und  die  Coefficienten 
derselben  die  reellen,  gleichen  oder  ungleichen  Wurzeln  der  Gleichung 

L>(x)  =  0 

sind. 

Dorpat,  Juli  J896. 


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232 


Lariqa:  Utlter  Rarfical-  und  An/iradical-  Kreise, 


XII. 

Ueber  Radical-  und  Antiradical-Kreise. 

Zweiter  Teil. 
Von 

Juan  J.  Durän  Loriga. 

Fortsetzung  von  Nr.  IV. 


lu  dem  ersten  Teile  haben  wir  den  Radical-Kreis  detinirt  als 
den  gcoroet  rischeu  Ort  von  denjenigen  Punkten,  deren  Potenzen  mit 
Bezug  auf  zwei  teste  Kreise  (  >)  und  (u')  gleich  sind  und  verschiedene 
Vorzeichen  haben;  wir  haben  gesehen,  dass  der  erwähnte  Kreis  als 
Mittelpunkt  bat  die  Mitte  desjenigen  Segments,  welches  die  Ceutra 
der  gegebenen  Kreise  vereinigt,  dass  ferner  sein  Radius  ist,  wenn 
mau  die  bekannten  Radien  /'  und  IL  nennt, 

Man  begreift  die  Möglichkeit  das  umgekehrte  Problem  zu  lösen, 
d.  h.  bei  zwei  gegebenen  Kreisen  p)  und  '<,)  einen  dritten  zu  rinden, 
der  mit  dem  Kreis  (9)  vereinigt  als  Radical- Kreis  (p)  haben  möge, 
und  den  wir  Anüradical-Krcis  von  Uj  mit  Bezug  auf  \it)  nennen 
wollen,  indessen  ehe  wir  auf  diese  Untersuchung  eingehen,  wollen 
wir  das  betreffs  der  Radical-Kreise  in  dem  ersten  Teil  der  Arbeit 
gesagte  etwas  erweitern. 

Vorläufig  ist  zu  b  merken,  dass  die  beiden  gegebenen  Kreise 
und  der  Kadical-Kreis  eiu  Kreis-Büschel  bilden ,  da  alle  drei  zu 
einem  Coaxial-System  gehören,  dass  sie  deshalb  die  vielfachen  Eigen- 
schaften dieser  Systeme  besitzen,  und  dass  aus  demselben  Grunde 
ihr  Studium  aus  der  projeetivisehen  Geometrie  sich  ableiten  lassen 


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Loriga;  Leber  Radirai-  und  Antiradical- Kreise. 


233 


könnte,  obgleich  wir  vorgezogen  haben,  ihm  eine  elementare  Form 
zu  geben 

Aus  der  Betrachtung  der  Radical-Kreise  lassen  sich  die  bekannten 
Beziehungen  zwischen  den  Coefticienten,  dergestalt,  dass  zwei  Kreise 
orthogonal  sind,  ableiten,  wenn  man  als  Grundlage  das  Factum 
nimmt,  dass,  wenn  zwei  Kreise  orthogonal  sind,  der  Radical-Kreis 
durch  ihre  Mittelpunkte  geht  und  umgekehrt,  aus  welchem  Grundo 
iu  dem  Falle  der  Orthogonalitat  als  notwendige  und  ausreichende 
Bedingung  erfüllt  sein  rnuss,  dass  die  Coordiuaten  des  Ceutrums 
eines  derselben  der  Gleichung  des  Radical-Kreises  genügen. 

■ 

Es  seien  die  Gleichungen  der  Kreise,  deren  Eigenschaften  wir 
als  orthogonale  feststellen  wollen,  die  folgeudeu: 

2Ax+2By+C  -  0 
&+9*+2A'x+2B'y+C'  -  0 

Die  Gleichung  des  Radical-Kreises  ht 

2{**+y*)+2{A+A>)z+2{B+B'te+C+C  =  0 

lue  Coordinaten  des  Centrums  eines  dieser  Kreise  z.  B.  des  ersten 
sind  —  A  und  —  ü,  sie  müssen  also  den  Bedingungen  genügen: 

2(A*+B*)  —  2(A  +  A')A  - ''>(B+IS')B+C+C  =0 

was  sich  auf  das  bekannte  Vcrhältniss  zurückführen  lässt 

2(AA'+BB';  -  (*+(" 

Wenn  die  Gleichungen  der  Kreise  in  barycentrischen  Coordi- 
naten tiegeben  sind,  wird  dieses  Verfahren  das  geeignete  sein,  be- 
sonders wenn  die  Coordinaten  des  Centrunis  e  nes  derselben  a  priori 
bekannt  sind.  Versuchen  wir  z.  B.  zu  beweisen,  dass  der  Long- 
champs'schu  Kreis  orthogonal  ist  mit  Bezug  auf  die  Potential  Kreise 
(wir  nennen  Potcntia!-Kroisc  solch"  Kreis<«.  die  um  die  Mitten  der 
Seiten  als  Centren  beschrieben  werden  mit  Radien,  die  den  entspre- 
chenden Medianen  gleich  sind  (man  sehe  Progreso  Matematico. 
Baud  ö,  Seite  70) ;  wir  haben: 

Gleichong  <lcs  Longchamps'sehen-Kroises  (/',) 

i«+ß+y)  (a»a-ffi»0+ c*y)-a*ßy— **ay  —  c*ttß  -  0 

Gleichung  des  Potential-Kreises 
Gleichung  des  Radical-Kreises 


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234  Loritja:   Debtt   Tindic.nl.  unl  Antiradical- KrcUe. 

+y)  («2« + i*ß  4-  cV)  -Poß-p0y)~  2(«  V  «"«W  -  o 

^«  _j_  r2  0i 

Wir  haben  mit  /)„  bezeichnet  den  Wert  9 

Da  das  Centrum  von  P  die  Milte  der  Seite  ist,  so  sind  seine 
barycentrisehen  Coordiuaten  a  =  U  und  ß  =  7,  woraus  sieh  ergiebt 

?W0+<V— W  -  2«V*  =  0 

folglich  etc. 

Wenn  einer  der  Kreise  sich  auf  einen  Punkt  verringert,  so  wird 
der  Radical-Krcis  zum  Radius  haben 

und  wenn  beide  sich  in  Paukte  verwandeln,  so  wird  drr  Radital- 
Kreis  immer  imaginär  seiu  und  als  Radius  haben 

9  =  2V  1 

"Wir  wollen  auch  bemerken,  dass  der  Bogriff  des  Radical-Kreiscs 
sich  verallgemeinern  lässt,  wenn  man  das  Verhält uiss  der  Potenz 

M 

=einemWert-  macht.    Alle  Kreise,  die  sich  dann  ergeben,  sind 

Teile  eines  gemeinsamen  Büschels  und  haben  viele  Eigenschaften 
gemein. 

Der  Lehrsatz,  wonach  bei  drei  Kreisen,  die  zu  zwei  und  zwei 
combinirt  werden,  die  Radical-Axe  der  Radical -Kreise  von  zwei 
Gruppen  auch  die  der  dritten  Gruppe  ist,  trifft  auch  zu,  wenn  man 
den  Begriff  des  Radical-Kreises  verallgemeinert-,  folglich: 

Wenn  man  drei  Kreise  hat  und  die  Radicalen  von  zwei  Gruppen 
fiudet  ,  so  bilden  alle  diese  Kreise  für  irgend  welches  Verhältniss 
der  Potenz-Teile  eines  und  desselben  Büschels. 

Zum  Schluss  wollen  wir  noch  bemerken  ,  dass  der  Begriff  des 
Radical-Kreises  sich  ausdehnen  lässt  auf  Kugeln  und  ebenso  auch  auf 
die  Kreise,  die  auf  einer  sphärischen  Oberfläche  beschrieben  werden. 


II. 

Wir  wollen  nunmehr  auf  das  Studium  der  obenerwähnten  .,An- 
t i  r  a d  i c a  l  -  K  r  e i s  e"  eingehen. 


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Lotipa:  l/rber  Kaditnl-  und  Antitadxutl- Kreist.  235 

Ist  ein  Kreis  (0)  und  ein  Radical-Kreis  (p)  gegeben,  so  lässt 
sich  bestimmen  (0'),  (Antiradical-Kreis  von  (0)  mit  Bezug  auf  (p)), 
wenn  mau  eine  Distanz 

p(V  =  Up 

annimmt,  wodurch  man  sein  Centrum  0'  erhält;  um  seineu  Radius 
zu  berechnen ,  bestimmen  wir  R*  in  der  Formel,  welche  den  Wert 
von  p  gab  

wenn  man  die  Distanz  Opd  neuut. 

Damit  der  Kreis  (0')  reell  ist,  muss  sich  ergeben 

« >  VK*  fi? 

Wenn 

2  ei  +  rf«)  -  R*  =  0 

verkleinert  sich  der  Antiradical-Kreis  zu  einem  Punkte 

Wenn  dio  Gleichungen  von  zwei  Kreisen 

(O  .   .  .  g*  +  y*  +  JAz  +  2By  +  C  =  0 

(CO  •  .  .      -f-  y*  +        +  2B  jf  -f-  C"  -  0 

gegeben  sind,  so  hat  der  Antiradical-Kreis  von  (CJ  mit  Bezug  auf 

(C*)  als  Gleichung 

x*-\-r  +  2(2A'-A)x  +  2(2Ii- -ü)Är+2C'«-C  =  0 

wenu  es  sich  um  baryceutrischen  Coordinatcn  handelt,  so  hat  man 
ebenfalls 

(O  .   .    .  (a  +  ß-\-y)(ua+cß  +  ,ry)-a*ßy-b*ay-!j3aß  =  0 
(t")  .    .    .  (*+ß  +  y)(ua+e'a  +  ,c'y)-a*ßy-b*ay)-c*aß  -  0 
Antiradical-Kreis  von  (C)  mit  Bezug  auf  (C) 

(a+ß+y)[{2n'-v)a+(2v'-v)ß+(2'o'-ie)y]-a*ßy-!j*ay  -  c*aß  -  0 

Wenn  einer  der  Kreise  sich  bis  zu  eiuem  Punkte  verringert, 
so  wird  der  Radius  des  Antiradieal-Kreises  eines  Kreises  (0)  mit 
Bezug  auf  einen  Punkt  p  den  folgenden  Wert  haben 

worin  '/  die  Distanz  Up  bedeutet;  sein  Centrum  wird  sich  über  Up 
in  einer  Entfernung 

00'  -  2  Up 

befinden. 


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230 


Loriga:  Leber  Radical-  und  A  -tiradical-Krtixe. 


Der  Antiradical-Krois  wird  reell,  gleich  einem  Punkte  oder 
imaginär  sein,  je  nachdem 

> 

d  -  Ii  \  2 

< 

Wenn  die  Gleichung  des  Kreises  ist 

+     +  2Ax  +  2lSy  -f  C  —  0 

und  «  und  //  die  Coordinateu  des  Puuktes  sind,  so  wird  man  als 
Gleichung  des  Radical  Kreises  von  0  mit  Bezug  auf  q  erhalten 

x*+^-  0(2«  -f  A)x -  2(26-f-  B  y  +  2(6»+    )—  C  -  0 

und  wenn  der  Kreis  sein  (Yntrum  in  dem  Coordinalcnursprung 
hat,  und  der  Punkt  g  über  der  Axe  <ler  x  steht  iu  einer  Entfernung 
</,  so  wird  die  Gleichung  sein: 

3  i  _|_  ,ji  _  4</r  +  2d*  +  7i*  -  0 

Aus  der  Formel,  die  den  Wert  des  Radius  A''  des  Antiradical-Kreiscs 
giebt,  folgern  wir 

2(/?2-f  Jt'2)  =  Ö0'1 

woraus  sich  ergiebt,  dass  die  Berührungspunkte  der  Tangenten,  die 
einem  Kreise  und  dem  mit  Bezug  auf  einen  Punkt  dazu  gehörigen 
Antiradical- Kreise  gemeinsam  sind,  zu  vier  und  vh-r  auf  zwei  Ge- 
raden sich  befinden,  d  e  die  Linie  U0'  in  einem  und  (iems.-'bcn  Punkte 

schneiden,  der  von  0  den  Abstand  ^  hat,  d.  h.  «ia^-s  dieser  Punkt 

der  Fuss  der  Polare  von  p  ist  mit  Bezug  auf  (0):  die  erwähnten 
Geraden  liegen  in  einem  Neigungswinkel  von  45°  auf  der  Linie  der 
Mittelpunkte  um  die  Tangenten,  die  von  irgend  welchem  Punkte 
derselben  an  die  Kreise  (0)  und  (O'j  gezogen  werden,  bilden  ein 
harmonisches  Bündel. 

Auch  beweist  das  envähute  Verhältniss,  dass,  wenn  der  Kreis 
(0)  bleibt,  und  der  Punkt  q  sieh  auf  der  Liuie  U0'  bewegt,  die  Eu- 
veloppe  der  Autiradical-Krcisc  die  aquilaterale  Hyperbel 

xs  -  ,/  -  n* 

ist. 

Es  ist  klar,  dass  alle  Kreise,  die  durch  die  Punkte  //  und  K 
gehen,  in  welchen  der  Antiradieal-Kreis  (O')  die  Linie  der  Centreu 
schneidet,  auch  Antiradical  Kreise  des  Kreises  (0)  sind  mit  Bezug 


i 


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Loritja:  Uebrr  RadicnU  und  Antiradical-Krtise. 


237 


auf  den  Punkt  o,  aber  wir  verstehen  unter  Autiradical-Krcis  den- 
jenigen, welcher  sein  Centrum  über  Op  hat. 

Wenn  wir  die  Radical-Kreise  des  Büschels  suchen,  den  man  er- 
halten würde,  und  der  gegebenen  (0),  so  werden  alle  durch  den  Punkt  p 
gehen,  weshalb  man  die  erwähnten  Linien  erhalten  würde,  wenn  man 
einen  beliebigen  Punkt  des  zu  1IK  perpendiculären  Durchmessers 
mit  dem  Centrum  0  vereinigt  und  als  Centrum  resp.  Radius  annimmt 
die  Mitte  dieser  Geraden  resp.  ihre  Entfernung  von  p. 

Wenn  der  Kreis  (Ü>  sich  gleichfalls  zu  einem  Punkte  (Kreis- 
Punkte)  verringert,  so  müssen  wir  auf  den  Fall  eingehen,  wo  wir 
den  Antiradical-Kreis  eines  Punktes  0  mit  Bezug  auf  einen  anderen 
Punkt  o  finden,  und  es  ist  leicht  zu  sehen,  dass  es  genügt,  um  ihn 
zu  finden,  Up  um  die  Strecke 

pO  —  Op 

zn  verlängern,  wodurch  man  das  Centrum  0'  bestimmt,  und  es  wird 
der  Radius  als  Wert 

Jl'  =  dV2 

habeu:  es  ergiebt  sich  also,  dass  der  Antiradical-Kreis  eines  Punktes 
mit  Bezug  auf  einen  anderen  immer  reell  ist.  Ebenso  sieht  mau> 
dass  die  beiden  Punkte  bezüglich  des  Kreises  invers  sind. 

Wenn  der  Puukt  0  fest  bleibt,  und  der  andre  Punkt  sich  auf 
der  Linie  (*p  bewegt,  so  verwandelt  sich  die  äquilaterale  Hyperbel 
welche  diejenigen  Autiradical-Kreise  einseblicsst,  die  wir  oben  als 
Kreis  uud  Puukt  angesehen  haben,  iu  zwei  Gerade,  die  als  Gleichung 
haben 

y  =  ±  x 

d.  h.  Asinfoten  sind  der  früheren  Hyperbel. 

Der  l.mstauil,  dass  zwei  Punkte  und  der  Antiradical-Kreis  ein 
Büschel  bildeu,  iu  welchem  die  erwähnten  Punkte  die  Grenz-Puukte 
sind,  gestattet  eine  Reihe  von  Eigenschaften  zu  citiren;  wir  be- 
schränken uns  darauf,  die  nachfolgenden  zu  erwähnen,  die  wir  be- 
nutzen w  Heu.  Wenn  man  einen  beliebigen  Puukt  A  der  Ebene  mit 
zwei  Punkten  0  und  p  verbindet  und  auf  ,deu  Euden  von  AO  und 
A?  Perpemiiculare  errichtet,  so  sind  diese  Geraden  und  die  Polare 
von  A  mit  Bezug  auf  den  Antiradical-Kreis  von  Ü  uud  p  couvergeut. 

Wenn  man  den  geometrischen  Ort  der  Schnittpuukte  dieser 
Geraden  tiuden  will,  in:  Falle  dass  A  eine  beliebige  Linie  beschreibt, 
io  genügt  es,  auf  die  folgenden  Umwandlungsformcln  zu  recurriren, 
die  leicht  zu  erhalten  sind. 


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I 


238  Longa:  Leber  Ratlical-  Und  AnliradicaUKreixe. 

K{X  -  d) 
z  —  d  —  X    y  —  y  

wenn  man  d  den  Abstand  der  Punkte  ü  und  g  nennt,  und  als  Car- 
tesianiscke  Axen  die  Gerade  Og  und  die  in  0  errichtete  Perpeudi- 
culare  annimmt. 

Diese  Formeln  machen  ersichtlich,  dass,  wenn  der  Punkte 
eine  Gerade  beschreibt,  welche  durch  0  geht,  auch  der  andere  ent- 
sprechende Punkt  eine  in  0  auf  der  ersten  Perpendiculare  be- 
schreibt; einer  Geraden,  die  parallel  ist  zu  der  Axe  der  Linien  y, 
entspricht  eiue  andre  gleichfalls  parallele  Gerade,  einer  Parallele  zu 
der  Axe  der  Linien  x  eine  Parabel.  Jeder  Kreis,  der  durch  Og 
geht,  entspricht  sich  selbst;  einer  Parabel,  die  zur  Gleichung  hat 

x*  =  2py 

entspricht  eine  Hyperbel. 

Ist  ein  Kreis  (0/  gegebeu,  so  existireu  auf  einem  seiner  Durch- 
messer nur  zwei  Punkte,  0  und  g  (oder  ihre  symmetrischen  Punkte), 
die  derartig  beschaffen  sind,  dass  der  Antiradical-Kreis  von  0  mit 
Bezug  auf  g{0,)  ist;  man  könnte  die  Punkte,  die  derartig  an  jedem 
Kreis  der  Ebene  gebunden  sind,  dem  erwähnten  Kreise  radical 
assoeiirte  Punkte  nennen. 

Wenn  der  Durchmesser  nicht  tixirt  ist,  dann  sind  die  geome- 
trischen Orte  von  0  und  g  zwei  Kreise,  beide  concentrisch  mit  dem 
gegebenen  Kreise;  ausserdem  haben  sie  den  doppelten  Radius  und 
sind  derartig  beschaffen,  dass  der  Radius  von  (0')  das  geometrische 
Mittel  ist;  diese  Kreise  könnten  wir  auch  zu  (0';  radical- asso- 
eiirte Kreise  uenuen. 

Aus  dem  Obigen  lasst  sich  das  folgeude  kleine  Theorem  ab- 
leiten : 

Mau  hat  einen  Kreis  mit  dem  Centrum  0  und  seine  beiden  radical- 
assoeiirten  Kreise  und  zieht  einen  beliebigen  Radius  t'a6(a,  6  uud 

c  sind  die  Punkte,  in  deneu  er  nach  einander  die  3  Kreise  schneidet). 
Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  A  der  Ebene  mit  a  und  c  und 
errichtet  Perpondiculare  auf  den  erwähnten  Punkten  der  erhaltenen 
Geraden,  so  siud  diese  Perpendiculare  und  die  Polare  von  A  mit 
Bezug  auf  deu  gegebeneu  Kreis  convergeut. 

Wenn  man  speciell  den  Punkt  Ä  auf  dem  gegebenen  Kreis  (0) 
betrachtet,  so  ergiebt  sich  das  nachfolgende  Theorem: 


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Lorig*:  Urber  Radical-  uud  Antiradtral- Krei*e. 


239 


Die  Pcrpeudicularen  errichtet  auf  den  Endpunkten  der  Geraden, 
welche  einen  Punkt  eines  Kreises  mit  den  Endpunkten  eines  und 
desselben  Radius  der  radical-associirten  Kreise  verbinden,  conver- 
giren  in  der  Tangente  des  ursprünglichen  Kreises  in  .4,  sodass  diese 
Tangente  aus  diesem  Grunde  der  geometrische  Ort  der  Schnitt- 
punkte aller  Perpendicularen  ist,  die  sich  auf  den  Punkt  A  beziehen. 

Wenn  die  Coordinaten  zweier  Punkte  A  und  A',  a  uud  b  be- 
ziehungsweise a!  und  V  sind,  so  ist  die  Gleichung  des  Autiradical- 
Kreises  von  -1  mit  Bezug  auf  A' 

x*_|-  y*-|-  2(o  -  2a')x  -f  2(Ä  -  2b' )y  +  2(a'*  f     —  (a2  +  6»))  -  0 

Die  Betrachtung  von  Radical-  und  Antiradical-Kreisen  in  der 
Geometrie  des  Dreiecks  kann ,  wie  wir  schon  bei  anderer  Ge- 
legenheit bemerkt  haben,  zum  Gegenstand  interessanter  Studien  wer- 
den, je  nachdem  mau  in  Betracht  zieht,  effeetive  Kreise  oder  solche, 
die  sich  zu  Puukteu  verringern  uud  sogar  solche,  die  in  das  Imagi- 
näre übergehen.  Als  eine  der  einfachsten  Anwendungen  wollen  wir 
hier  oberflächlich  die  Autiradical-Kreisc  eines  Scheitels  eines  Drei- 
ecks mit  Bezug  auf  eiuen  anderen  betrachten.    Es  sei  ABC  das 

betreffende  Dreieck,  und  nehmen  wir  au,  dass  sein  Amfang  in  einem 
bestimmten  Sinne  durchlaufen  werde,  z.  B.  in  alphabetischer  Ord- 
nung, so  haben  wir  zu  finden  deu  Autiradical- Kreis  von  A  mit  Bezug 

auf  B,  von  JJ  mit  Bezug  auf  C  und  vou  C  mit  Bezug  auf  A,  welche 

wir  beziehungsweise  nennen  wollen  (</,),  (.1,),  (/*,) 

Wir  werden  die  Centren  der  Kreise  erhalten,  wenn  wir  die 
Seiten  (in  dem  Sinne  der  in  Betracht  kommt)  um  ihre  eigene  Länge 
verlängern,  und  was  die  Radien  betrifft,  so  werdeu  wir  zu  Werten  haben 

e  Y'A  uud  6^2. 

Wir  wollen  die  Gleichung  des  Kreises  Ax  finden. 

Wir  wissen,  dass  in  der  von  Longchamps  (J.  S.  1886,  Seite  57) 
angedeuteten  Form,  die  Gleichung  des  ganzen  Kreises  ist 

(a  +  ß-\-y)(ua-\-  >  ß  -|-*7)  —  a*ßy  —  h-ay  —r*aß  0 

worin  w,  r  und  u>  die  Potenzen  der  Scheitel  des  Dreiecks  sind  mit 
Bezog  auf  deu  Kreis,  der  in  Betracht  kommt. 

Im  gegenwärtigen  Falle  haben  wir 

u  —  2h*  —  c*       v  —  2«*       »•  =  —  u- 

folglich  ist  die  Gleichuug  des  Kreises  (Ax) 


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240  Lortga:  L'-brr  Rviwit-  u>«l  Autiradical- Kreit*. 

(er  +  ß  +  y)[{&*  —  c1 ;« -f  2^/i  -  a*y]  -  a^y  -  b*«y  ~  c2a/J  =  0 


und  auf  ähnliche  Art  oder  durch  Circular-Permutation  erhält  man 
die  von  (#,)  und  ((,). 

Weun  man  das  Radical-Centrum  von  (.1,),  (£,)  und  (C,)  findet, 
so  erhält  mau 

a  :  ß  :  y  =  a*pa  :  b~pb  :  cV*1 

d  h.  es  fällt  zusammen  mit  dem  Centrum  des  umgeschriebenen 
Kreises.    Berechnen  wir  den  Radius  des  orthotomis.-hen  Kreises. 

Die  Potenz  von  0  mit  Bezug  auf  (At)  ist 

VAt  -  2«- 

aber 

OAt  -  n-  -f  2as 

es  ergiebt  sich  demgemäss,  da»s  der  orthotomische  Kreis  als  Radius 
hat  11  und  mit  dem  umgeschriebenen  Kreise  zusammenfällt. 

Dieses  Resultit  muss  sich  notwendigerweise  ergeben,  denn,  da 
die  Scheitel  die  Greuzpuukte  des  Büudels  sind,  den  die  Auti- 
radical-Kivise  bilden,  muss  ui-r  Kreis,  der  zu  gleicher  Zeit  durch 
die  drei  Scheitelpunkte  geht,  zu  jenen  Kreisen  orthogonal  sein,  d.  h 
orthotomisch  zu  {At\         und  ((,',). 

Die  Polaren  des  Ceutrums  des  umgeschriebenen  Kreises  mit 
Bezug  auf  die  Kreise,  die  wir  betrachten,  gehen  durch  die  Scheitel 
des  Taugen t ial-Dreiecks  (Lemoine'sckeu  Punkte  as>ocii;  te),  da  die 
auf  den  Geraden  o/t,    C  und  ".t   errichteten  Perpeuaieularen  an 

ihren  Enden  sich  in  den  genannten  Punkten  schneiden.  Die  er- 
wähnten Polaren  teilen  die  Seiten  des  fundamentalen  Dreiecks  im 
Verhältuiss  zwei  zu  eins. 

Die  Polare  'des  Scheitelpunkts  z  B.  mit  Bezug  auf  den  Kreis 
(At)  geht  durch  den  symmetrischen  Punkt  von  A  mit  Bezug  auf  das 

Centrum  des  eingeschriebenen  Kreises,  weil  sich  im  erwähnten 
Punkte  die  in  B  und  C  auf  den  Seiten  AU  und  AC  errichteten 

Perpendicularen  kreuzen. 

Da  die  Punkte  JJ  und  C  iuvers  sind  mit  Bezug  aufdeu  Krei3  (y4|), 
so  folgt,  dass  weun  wir  durch  C  in  dem  erwähnteu  Kreise  eine  be- 
liebige Sehne  mn  ziehen,  die  Punkte  m,  n,  Ii  uud  A  coneyklisch 
sind. 


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Loriga:  Ueber  Radical-  und  Antirtulical- Kreit*.  241 

Da  die  Punkte  H  und  K  (Punkte,  in  welchen  die  Seite  BC,  (j4,) 

schneidet  harmonisch  zugeordnet  sind  mit  Bezug  auf  B  und  C,  so 
haben  wir 

HC  yi 

und  folglich  wird  in  einem  beliebigen  Punkte  n  des  Kreises  (At) 
sein  : 

aB*  —  2u  C* 

d.  h.  der  erwähnte  Kreis  ist  der  geometrische  Ort  derjenigen  Punkte 
deren  Abstand  von  B  im  Quadrat  erhoben  doppelt  so  gross  als  das 

Qaadrat  ihres  Abstands  von  C  ist. 

Die  Polaren  eines  beliebigen  Scheitelpunkts  des  Dreiecks  mit 
Bezug  auf  die  Kreise  (/!,),  (iJ,)  und  (C,)  sind  convergent  und  das- 
selbe ist  der  Fall  mit  den  Radical-Axen. 

Die  Polaren  eines  der  Brocard'schen  Punkte  mit  Bezug  auf  die 
Kreise,  die  wir  betrachten,  gehen  durch  den  diametral  entgegen- 
gesetzten Punkt  des  entsprechenden  Bei-Kreises. 

Ein  analoges  Factum  wird  eintreten,  wenn  man  die  isogonen 
Punkte  und  die  Zorricheli'scheu  Kreise  betrachtet. 

Wenn  mau  über  0,4,,  0#,  und  0Ci   als  Durchmessern  Kreise 

beschreibt,  so  sind  diese  Radical -Kreise  des  umgeschriebenen  Kreises, 
und  von  (AJ,  (Bt)  und  (<\)  und  gemäss  bestätigt  sich,  dass  die 
Radical-Axen  dieser  letzteren  durch  0  gehen. 

Die  Potenzen  der  Scheitel  des  Dreiecks  mit  Bezug  auf  die  Neu- 
berg'schen  Kreise  uud  auf  die  Kreise  (At),  (£,)  und  (C\)  sind  gleich 
und  haben  entgegengesetzte  Vorzeichen,  z.  B.  die  Potenz  von  C  mit 
Bezug  auf  (Na)  ist  gleich  (mit  Ausnahme  des  Vorzeichens)  der  von 
C  mit  Bezug  auf  (Ax) ;  so  gehen  die  Radical-Kreise  der  erwähnten 
Kreise  durch  die  Scheitel  des  Fundamental-Dreiecks.  Die  Gleichung 
der  erwähnten  Radical-Kreise  z.  B.  des  (iVu)  uud  (At)  entsprechen- 
den ist 

{a  +  P+y)[Vb*-c>)a  +  Za*ß]-2a*ßy-Way-'2ciaß  =  0 

Wenn  wir  den  Radius  des  Radical-Kreises  finden  wollen,  desseu 
Gleichung  wir  notirt,  so  genügt  es  in  der  Formel 

Q  =  }  ytyÄ* + 
die  Werte  zu  ersetzen 

ArcU.  d.  M*th.  u-  rhju.   2.  R«h«.  T.  XT.  I  0 


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242 


Loriga:  Utber  Radical-  und  Antiradical-Kreint. 


R  =  aV2      R'  =  lYcot*w  —  3      d +  cot*u> 

und  es  ergiebt  sich  für  den  gesuchten  Radius  der  höchst  einfache 
nachfolgende  Ausdruck 

a 

if  -=  ^  cosec  w 

Dieses  Resultat  könnte  man  auch  erhalten,  wenn  man  bemerkt, 
dass  die  Gerade,  die  C  mit  dem  Mittelpunkt  des  Kreises  vereinigt, 
parallel  und  gleich  ist  der  Hälfte  von  BN* 

Die  Radical-Axen  der  Neuberg'scheu"  Kreise  und  der  Kreise 
M,),  (£,)  und  (C,)  gehen  durch  die  Scheitel  des  ersten  Brocard- 
seben  Dreiecks  (semireeiproke  Puukte  des  Lemoniu'scheu  Punktes) 
und  schneiden  die  Seiten  des  Dreiecks  im  Verhältniss  von  zwei  zu 
eins;  z.  B.  die  Radical- Axe  von  (AT«)  und  (4,)  geht  durch  den  Scheitel 
Au  dessen  Coordinaten  sind 

a  :  ß  :  y  —  o*  :  c*  :  b* 

Die  Polaren  des  Zarry'schen  Punktes  mit  Bezug  auf  die  Kreise 
(/!,),  (BJ  und  (C,)  schneiden  sich  in  dem  Steiner'schen  Puukte. 

Das  Dreieck  der  Centren  At ,  Bx ,  Ct  ist  dreifach  homologisch 
zum  Fuudamental-Dreieck,  und  es  sind  A,  B  und  C  die  Centren  der 
Homologie  und  die  Seiten  des  ersteren  die  Axen  der  Homologie. 

Die  Seiten  des  Dreiecks  der  Centren  und  des  Fundamental- 
Dreiecks  stehen  in  dem  nachfolgenden  Verhältniss 

Ä^B*  +  B.C*  +  AXC?  »  7(a«  +  *•  +  c») 

d.  h.  die  Total-Potenz  (man  sehe  Progr.  Mat.  Band  IV,  Seite  313) 
des  ersten  Dreiecks  ist  siebenmal  grösser  als  die  des  zweiten. 

Die  Polare  des  Scheitels  B  mit  Bezug  auf  den  Kreis  {Ax)  ist  die 

Perpendiculare  errichtet  auf  BC  im  Punkte  C  und  die  Radical-Axen 

im  Punkte  C,  und  die  Radical-Axen  derselben  Elemente  sind  die 
Mediatrizen. 

In  dem  besonderen  Falle,  dass  in  einem  Dreiecke  sich  ergiebt 

c»  =  2b* 

verwandelt  sich  der  Kreis  (Ax)  in  den  Appollonius'schen. 

Wenn  man  den  Umfang  des  Dreiecks  als  im  entgegengesetzten 
Sinne  durchlaufen  annimmt,  werden  sich  andere  Kreise 


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Lorigai  Ueber  Radical-  und  Antiradical- Kreise. 


243 


and  (Ct)  ergeben,  die  analoge  Eigenschaften  aufweisen  wie  die  von 
(jIj),  UV)  nnd  (C,);  dessen  angeachtet  lassen  sich  aas  der  Combi- 
nation  der  einen  mit  den  anderen  neue  Eigenschaften  ableiten,  so 
z.  B.  sind  die  Radical-Centren  von  (^0),  (i42),  M4);  (iv*),  (J38),  (Ä,) 
a.  s.  w.  die  Scheitel  des  ersten  Brocard'schen  Dreiecks. 

Verschiedene  andre  Eigentümlichkeiten  könnten  wir  hier  noch 
anfahren;  wir  reserviren  indessen  für  deu  dritten  Teil  uuserer  Ab- 
handlang die  Nutzanwendung  (besonders  auf  die  Geometrie  des 
Dreiecks),  die  sich  leicht  ergiebt  aus  der  Betrachtung  und  dem 
Studium  der  Radical-  und  Antiradical-Kreise. 

La  Coruna  (Spanien)  August  1896. 


16» 


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244  Hoppe:  üeher  die  charakteristische  Differentialgleichung 


XII. 

Ueber  die  charakteristische  Differentialgleichung 

der  Raumcurven. 

Von 

R.  Hoppe. 


In  meiner  analytischen  Curveutheorie  *)  habe  ich  die  allgemeine 
Bestimmung  der  Raumcurve  nach  Elimination  des  Linienelements 
und  der  Lage  auf  eine  lineare  Differentialgleichung  2.  Ordnung  zu- 
rückgeführt, deren  Beziehung  zur  Curve  aber  nur,  soweit  es  die  De- 
finition erforderte,  zum  Ausdruck  gebracht.  Diese  Beziehung  nach 
allen  Seiten  hin  zu  formulireu,  macht  sich  das  Folgende  zur  Aufgabe. 

Eine  Curve  ist  unabhängig  vom  Linienelement,  also  von  den 
detaillirten  Dimensionen,  bestimmt,  wenn  die  Richtungscosinus  der 
Tangente  /,  <?,  h  gegen  die  Axeu  der  a-,  y,  i  gegebeno  Functionen 
eines  Parameters  sind;  sie  ist  überdies  unabhängig  von  ihrer  Lage 
bestimmt,  wenn  statt  dessen  zwischen  dem  Krümmungswinkel  t  und 
und  dem  Torsiouswinkel  #  eine  Relation  gegeben  ist. 

Nimmt  man,  wio  hier  stets  geschehen  soll,  x  zur  unabhängigen 
Variabein,  und  bezeichnen  Accento  die  Differentiation  nach  t,  so 
sind  f\  g',  h'  die  Richtungscosinus  der  Hauptnormale.  Die  der 
Binormale  mögen  /,  m,  n  sein. 

Für  die  allgemeine  Untersuchung  aber  kann  eine  Axe  alle 
übrigen  vertreten.   Wir  wenden  daher  zur  Bestimmung  nur  /",  l 


*)  Lehrbuch  der  analytischen  Geometrie,  S.  Abschn. 


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der  Raumcurvcn. 


245 


als  Richtungscosinus  der  Tangente,  Hauptnormnle,  Binormale  gegen 
die  x  Axe  an.  Aus  ihneu  lassen  sich  leicht  *J  die  entsprechenden 
Grössen  für  die  y  und  z  Axe  bis  auf  eine  willkürliche  Constante 
entsprechend  eiuer  Rotation  der  Figur  um  die  x  Axe  finden. 

Zerlegt  man  die  Gleichung 

P  +  f'*  +  P=*l  (1) 

in 

f  cos  fi  -f  f  sin  n  =  1 
f  sin  ft  —  f  cos  fi  =  «7 

and  setzt 

2r' 

tg      -  ~ 

so  ergeben  sich  für  letztere  Grösse  2  quadratische  Gleichungen  und 
als  deren  Wurzelu  die  Werte: 


2r 


f  ±  U      f*  +  *l 


£  r         i  +  f  *  ±l+f 

nur  vereinbar  für 

Hieraus  folgt  weiter: 
das  ist: 

r"  +  **V+ir-0  (3) 

Diese  Glcichuug,  früher**;  auf  andenn  Wege  hergeleitet,  ist  es,  die 
ich  oben  charakteristische  Differentialgleichung  genannt  habe;  es 
sollen  nun  die  Beziehungen  ihrer  Lösungen  ergänzend  aufgestellt 
werden.  Hierbei  sei  r  diejenige  Speciallösung,  welche  gemäss  Gl. 
(2)  der  Curve  (ff' l)  entspricht.  Eine  zweite  Speciallösuug  q  ist, 
wenn  qx  den  conjugirteu  Wert  zu  q  bezeichnet,  bekannt  durch  die 
Relation 

r'^iftC-*  (4) 
mithin  das  vollständige  Integral 

(r)  -  Aq  +  lir  (ft) 


•)  I.  c.  §  56.  Aufgabe  4. 
**)  1.  c.  Aufgabe  19 


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246  Hoppe:  Ueber  die  charaklerialLche  Differentialgleichung 

§  1. 

Sei  von  jeder  complexen  Grösse  N  der  conjugirte  Wert  be- 
zeichnet durch  Nt.   Dann  ergibt  die  Differentiation: 

(rrt+4rV)'  =      +rrt';+4t>'rt' +4r>rt* 
nach  Gl.  (3),  folglich  ist 

+  4r'r,'  =  2«  (6) 

constant  und  zwar  reellj 

Ferner  sei  der  Kürze  wegen 

i  C  lBt 

'-VIT? 

dann  erhält  man  durch  Integration  der  Gl.  (2): 

yi+f 

für  willkürlich  constanto  reelle  a,  ä,  woraus: 

rr,  -  («,  +  *•)  <l+/);    4r'r/  -  (<,»  + ft»)(W) 
daher  nach  Gl.  (6): 

c  _  a*  4.  A3 

mithin 

rr,  -c(l  +  /");   fr/  — «0  -/)  (7) 
/-  l(rri_4r'r/)  -2i  -l  (8) 
und  nach  Differentiation: 

r-  J("/  +  *i)  (9) 
Der  Wert  von  l  geht  eindeutig  aus  Gl.  (2)  hervor,  nämlich 

l-'W-rV,)  (10) 

Durch  Snbstitution  einer  beliebigen  Lösung  (r)  der  Gl.  (3) 
mögen  /,  f\  /,  &\  c  übergehen  in  (/)  W)  (/)  (<*')  (c);  dann  ist 

«  "(c)  (MM-WM 

Dies  differentiirt  gibt: 


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der  Raumcurven.  247 

-(n(^)  =  ^|(r)(r1")-(r")(r,)} 
und  da  (r)  der  Gl.  (3)  bei  anverändertem  &'  genügt, 

-  (7j  ^0  +  M  M  -  -  *'(/") 

folglich  ist 

(*')  -  *' 

d.  h.  alle  Lösungen  der  Gl.  (3)  ergeben  dieselbe  Curve  nur  in  ver- 
schiedenen Lagen.  (Vom  Bogcnelemcnt,  das  wir  Uberall  gleich- 
bestimmt  sein  lassen,  sehen  wir  natürlich  ab.) 


§  2. 

In  Betreff  der  zweiten  Lösung  erhält  man  durch  Differentiation 
der  Gl.  (4): 

r"  -  -  f*V  -tr~         -  it'qjt-** 

also 

Demnach  bat  man: 

g»  =  2r'e'*i  g,'  Jre'* 

9  =2r1'C-*;    q'  =  -\r^  (11) 
Mi  4"  4tf,3l '  =  4rVj'  -f-  rrj  =  2c 
und  nach  den  Gl.  (7): 

q  -  (a  -  *)  C- «*MI  ( 1 2) 

Vi  -\-f 

q  =  -  i(a  -  i&yi'+/e-«*+i)  (13) 


§  3. 

Da  die  Curve  (r)  ==  Aq-\-Br  nur  durch  die  Lage  von  der  Curve 
r  verschieden  ist,  so  bleibt  die  Frage  zu  untersuchen,  wie  durch 
A  und  B  die  Lage  relativ  bestimmt  wird.  Wir  denken  beide  con- 
gruente  Cnrven  zur  Deckung  gebracht,  die  x  Axe,  resp.  (x)  Axe,  die 


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248  Hoppe:  Ueher  die  charakteristische  Differentialgleichung 

Yorher  zusammenfielen,  aber  einzeln  in  fester  Verbindung  mit  der 
einen  und  andern  Curve  bewegt:  dann  werden  beide  Axen  einen 
Winkel  &  bilden.  Dies  ist  dann  derselbe  Winkel,  der  auch  ursprüng- 
lich die  der  x  Axe  in  Curve  r  analoge  Gerade  in  Curven  (r)  mit  der 
z  Axe  bildet,  bestimmt  also  die  relative  Lage  der  2  congrueiiten  Ge- 
bilde bezüglich  auf  eine  Axe  und  dadurch  auch  in  Bezug  auf  die 
beiden  andern  (der  y  und  z)  bis  auf  deren  willkürliche  Rotation  um 
die  z  Axe. 

Nun  ist 

cose  -  f(f)+r(f')+tw  = 

-^(rr, -  *r'rt')[{Aq+BrXAiqi  +B1r1)-i(Aq'+Br')(Alql>+B1r1')} 

-  ^rr^r'r^AA^qq,  ~4(2'g1')+^1'(rr1'-4r'rI ') 
+AB1(qrl-i4'rl')+BAl(r<il--ir,q1')\ 

+  c(c)M^i  (»n V«i+rV«3i  )+BB1irrt*r'rt+r  lyiV 

+.IÄ1(fT1Vr1H-rVI^10+i3^1(^1V'gl+rV1rii1')} 

=  -^{^[--ifrr,  -  4r'r1')«-4rrV1r1'] 

-j-^1[i(r"r1-4rVl')»+4rr'r1rJ']} 

=  4A  (BB.-AA^rr^A/r^  =  ~  (BB^AA,) 
wo 

2(c)  -  (i4H-Är)(i«l9l+Ä1r1)+4(^'-fÄr')(^l9l'+ÄlrJ') 

+  ABiiVi+ifrSy+BAiirqf+to'qS) 
-  2c(^,-bü#,) 

folglich 
Sei  nun 

A  =  r/C»a;    B  —  <C«/* 

dann  wird 

tgje-^  (15) 


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der  Raumcurven. 


249 


Demnach  ist  die  relative  Lage  der  2  Curven  allein  vom  Verbältniss 
der  Modal  n  der  Coefficicnten  der  Lösung  abhängig.  Insbesondere 
liegen  sie  für  «  =  0  symmetrisch,  för  d  •=  t  rechtwinklig  zu  ein- 
ander, d.  h  bzhw.  ist  6  =  2R  und  =  R. 


§  4. 

Die  Gl.  (2)  kann  dazu  dienen,  fUr  eine  unbegrenzte  Anzahl  von 
Functionen  oder  #  von  r  lösbare  Differentialgleichungen  (3)  zu 
gewinnen.  Seien  /",/',  /  Functionen  eines  Parameters,  welche  die 
Gleichung  (1)  erfüllen;  dann  hat  man: 


worin  /"als  willkürlich  zu  betrachten  ist,  fr'  als  Functionen  von 
t  bestimmt  werden.    Hiervon  2  Beispiele. 

1)  /=  —  cos**-,   f  —  sin*  cosx;   Z  =  sinx 
Hier  wird 

r-2*;    &  logtgjx;   

dann  nach  Gl.  (2)  und  nach  Integration: 

er      cosx  +  i'  .    -  .. 

= — — —  8x;   r  =  sin*(tgix  ' 
r  sin  X        '  v  9  9 

.  COSK-j-l 

r  -       2 ■  —  (tg  ix)' 
woraus  nach  Gl.  (11) 

q  —  cosx  —  i;   q  =  —  Jsinx 
Demnach  hat  die  Gleichung 

'"-siö>  +  ir  =  ° 
zur  einfachsten  Speciallösung: 

r  —  cos  \i  —  i 

2)  f  —  —  cos2x;    f  —  sin  x;    l  =•  siu  *  cos  x 
Hieraus  findet  man  ebenso: 

t  =  2sinx;   #  =  —  2cosx  —  logtgjx-,    r{  —  —  cot2x 


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250        Uoppe:  Ueber  die  charakteristische  Differentialgleichung  etc. 

j  =  (l  +  *cosx)cotx8x-,   r  ~  sinx(tg£x)«e*°« 

g  _  (1  _  »cos  x)c*°"*;    g,  =  Jsinxc''«»''* 

und  die  Gleichnng 

hat  zur  einfachsten  Speciallösung: 

r  -  (l—  '2V4 -1*)  ei»y4^T* 

Für  t  >  2  wird  die  Gleichung  nebst  ihrer  Lösung  reell ,  dagegen 
die  Binormale,  mithin  die  Curve  imaginär. 


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Hoppe:  Regelßäch;  deren  Slrietien$linie  auch  Krümmungstinu  ist.  251 


XML 

Regelfläche,  deren  Strictionslinie  auch 
Krüinniung8linie  ist. 

Von 

R.  Hoppe. 


Die  Aufgabe,  die  Regelfläche  von  der  genannten  Eigenschaft 
darzustellen,  ist  bereits  von  Amigues  in  Nouv.  Ann.  t.  XIV.  p.  491, 
aber  mit  Beschränkung  auf  ebene  Strictionslinie  gelöst.  Für  diese 
Specialisirung  ist  kein  Grund  ersichtlich;  überdies  wird  bei  jener 
Behandlungsweise  die  Symmetrie  der  Raumbestimmuugen  durchweg 
preisgegeben;  sie  bringt  keinen  Gewinn,  sondern  nur  Verlust  an 
Einfachheit.  Jedenfalls  hat  die  Arbeit  von  Amigues  das  Verdienst 
auf  die  allgemeine  Frage  und  so  auf  eine  gewisse  Gasse  von  Regel- 
flachen  die  Aufmerksamkeit  gelenkt  zu  haben.  Indem  wir  die  Auf- 
gabe allgemein  in  Angriff  nehmen,  kommt  uns  zustatten,  dass  das 
Linienelement  gleich  anfangs  aus  der  Rechnung  herausfällt,  mithin 
jede  Curve  auf  der  Fläche  von  nur  einer  Function  abhängt,  da  es 
sich  nur  um  Richtungsgrössen,  nie  um  Lineargrössen  handelt. 

Die  Gleichungen  einer  beliebigen  Regelfläche  sind: 

*  —  ar0  +  av  i    !/  —  y<>  4"  bo\    z=  Zq-{-  cv 

wo  x0,  y0,  zq.  a,  by  e  Functionen  eines  Parameters  u  sind.  Sei  u 
der  Bogen  der  vom  Punkte  (roy0z0)  beschriebenen  Curve  *0,  ferner 
a,  b,  c  die  Ricbtungscosinus  der  erzeugenden  Geraden  der  Fläche. 
Die  Curve  %  ist  Strictionslinie,  wenn  der  Drehpunktsabstand  der 
Erzeugenden  null,  also 


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252    Hoppe:  RegtlflSrh*.  deren  Sfrictionatmü  auch  Krümmuntjalinie  i*t 


dx0  da  -f-  dyQ  db  -f-  dzn  de  — »  0 
ist.    Diese  Gleichung  nehmen  wir  als  ertüllt  an. 


(1) 


Seien  bezeichnet  die  Richtungscosinus  der  Tangente,  Hauptnor- 
male, Binormale  durch  fghy  f'g'h',  2m»,  ihre  Coiucidenzwinkel 
durch  dr,  da,  d&,  also  der  Krüramungswinkel ,  Torsion sbogen,  Tor- 
sionswinkel bzhw.  durch  t,  ff,  &,  anwendbar  auf  jede  Curve.  Wir 
machen  Anwendung  auf  2  Curven ,  die  wir  durch  die  Indiccs  0  und 
1  unterscheiden,  nämlich  1)  die  Strictiouslinio  *ü  und  2)  auf  eine 
Curve  5,,  deren  Tangente  der  Erzeugenden  parallel  ist,  setzen  also 


rsr0  da 
f*~du>    etc-    Ä-Ä»    etc-    f*  =  dr^ 

Dann  lautet  Gl  (1): 


etc." 


Uubekannt  ist  der  Wiukel  <o  zwischen  den  Tangenten  beider 
Curven,  und  zwar  hat  man : 

/©  f\        •    •    ■         COS  0) 

f9ft'  +  .  .  .  =  0 
foh  +  •  •  •  ±  sinw 
wo  die  letzte  Gleichung  aus  den  beiden  ersten  folgt.    Daher  ist 

/;,  =  /,  cos  w  ±  lt  sin  w  (2) 

Hieraus  berechnet  man: 

f0'dx9  =»  ( —  /|Sin  <a  +  J,  cos  a))dco  -f- /"/(cos  wer,  +  sin  wdfr,) 
^o^r0  «=  (/,  cosw  +  /"jSineoHcoscöffr,  +  sin  w?^,)  j'  /",' 


und  aus  letzterm  ergibt  sich: 

('Wi  +  •  •  .  )ot0  =  +  siu  <a(eos  oict,  +  sin  cotf,) 


(3) 


Bezeichnen  nun  «,  /",  g  (ohne  Index)  die  Fundamental^rüsseu 
erster,  2?,  F,  G  zweiter  Ordnung  der  Fläche,  so  ist  die  Gleichuug 


EF  i 


6u»  - 


HE 


9  * 


du  dv  4- 
1 


TO' 

fg 


dv*  =  o 


notwendige  und  hinreichende  Bedingung,  unter  der  das  Verhältuiss 
dv.du  eine  Hauptkrüramuugsrichtuug  ausdrückt.  Für  die  Strictions- 
linie  ist  aber  v  constant  null,  also  auch  dv  —  0  Folglich  ist  sie 
Krümmungslinie,  wenn 


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Hoppe:  Reffelßfr-h',  rieren  StricttonsUnie  auch  KrümmungsUnie  U&  253 


Ef—  Fe 

ist,  und  zwar  hat  man  für  v  =  0. 


0 


•  ■*  /o  /i  T  •  •  •  ö  cos  w 

•  -  ©• 

-f-  .    •  •  —  1 

f*  -  sin*a> 

a*  Bx  a*x 

i.  f,  u 

a«  et»  au* 

1 

Bt0 

•  •  .  . 

•  .  • 

•  •  I 

3u 

,  drt  B&t 


ar0  Bx  Blx 

Bu  Bv  Bu*Bv 


1 

•  •  • 

•  •  • 

Bx, 

Bv 


-  ,  Wi  +  •    -    •  )  a„    -  ± 

Nach  Einführung  dieser  Werte  geht  Gl.  (2)  über  in 
±  sin  wer,  -f  cos  o>r#,  =0 

a.v, 

oder,  wenn  man  ^  —  tgA,  setzt,  so  dass 


wird,  in 


ai,  =  a<y,  cosA,;   3;>,  ~  3(1,  sinA, 

Die  Tangentengleichung  (2)  von  s%  lautet  nun: 
/i,  —  /,  cos  A,  —  /,  sin  A,  =  ^  


(4) 

(5) 
(6) 


(7) 


(8) 


(9) 


Das  Doppelzeichen  des  Wertes  von  t  nach  Gl.  (7),  welches  ich  nicht 
berücksichtigt  habe,  und  das  geschriebene  heben  sich  beide  in  Gl.  (2), 


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254    Hoppe-.  R* gelfläche,  deren  StrirMomiinie  auch  Krümmvngxhnie  i*t. 


Für  willkürliches  Linienelement  *  als  Function  von  u  lautet 
nun  die  Coordinatengleichung  derselben: 


Zur  Construction  hat  man  eine  beliebige  Curve  *\  anzunehmen,  von 
welcher  nur  die  Richtungen  der  Tangente  und  Binormale  und  die 
Krümmungsbreite  Xt  in  Anwendung  kommen.   Es  resultirt  der  Satz : 

„Hat  eine  Regelfläche  die  Eigenschaft,  dass  ihre  Strictionslinie 
zugleich  Krümmungslinie  ist,  so  behält  sie  diese  bei  jeder  stetigen 
Parallelverschiebung  der  Erzeugenden,  wenn  der  laufende  Punkt  der 
Strictionslinie  dabei  beständig  tangential  fortrückt." 


etc. 


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Rogel:  Die  Summirung  einer  Gattung  trigonometrischer  Reihen.  255 


XIV. 

Die  Summirung  einer  Gattung  trigonometrischer 

Reihen. 

Von 

Franz  Bogel 

in  Barmen. 


Herr  Dr.  Otto  Bean1)  leitet  aus  den  bekannten  trigonometri- 
schen Reihen 

(1)  .  .  .    +f   (_l)A^  =  ^,    -!<,<  +  , 

A=_oc      '   x-\-kn        81  na; '  50  y  —  ■ 

(2)  .  .  .  +f  (_i)H.^  =  sJ!^,  -l<y<l 

»=-oo  Sinz  sin*' 

mittelst  eines  inductiven  Verfahrens  die  Summen  der  Reihen 

+oo   siny(ar-f  *«) 


für  die  Intervalle  (2n,  2n-f  2),  n  —  0,  1,  2,  .  .  .ab  und  erhält  sehr 
einfache  Resultate. 

Minder  umständlich  und  direct  kommt  man  auf  dem  folgenden 
Wege  zum  Ziele. 


1)  1893.  Programm  Nr.  87  Sorau,  Druck  v.  Karras  in  Halle  a.  S. 


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256      Rogel:  Die  Smnmirung  einer  Gattung  trigonometrischer  Reihen. 


Schreibt  man  in  obigen  Formeln  (1)  und  (2)  1—  y  statt  y, 
multiplicirt  mit  «'  und  addirt  sie  zu  (1),  so  entsteht 

(5)"  •  •«f.HF^-Ä  0<!l<' 

Wird  jetzt  y  durch  y  -2n,  n  =  0  oder  ganzzahlig  ersetzt  und  beider- 
seits mit  multiplicirt,  so  kommt 

woraus  durch  Trennung  des  Reellen  vom  Imaginären  die  ge- 
wünschten Summirungeu 


+*    sin(2»-f  l)x  _  sin(2n+l)x 
'a=-x        *™x  siux 

(8)  c?8^_+i!r]  _  cos(  2»! -f-^)«  | 

A=-oo     *  +  sin« 


,  2n<y<2n-f2 


hervorgehen.  Hiebei  ist  zu  bemerken,  dass  für  n  =  u  die  Nulle  ein 
zulässiger  Wert  ist. 

Durch  fortgesetzte  Integration  der  letzteren  Gleichungen  bezüg- 
lich y  und  Summirung  der  hiebei  auftretenden  Constauteu  in  Reihen- 
form fiudet  Herr  Dr.  0.  Beau  die  Summen  von 


+jp    (  sin  \  y(x  -f  In)  «) 
\  cos  |  (x  +  kn)<« 


Dieses  weitläufige  Verfahren  lässt  sich  jedoch  durch  das  einfachere 
einer  (w»—l)  fachen  Differentiation  der  Gleichung  (G)  nach  r 

vorteilhaft  ersetzen,  was  wegen  der  für  jeden  Wert  von  x  und  y  be- 
stehenden unbedingten  Convergenz  der  hierin  auftretenden  un- 
endlichen Reihe  erlaubt  ist. 

Vor  Ausführung  derselben  ist  (6)  mit  e~iry  zu  multipliciren,  so 
dass  auf  der  rechten  Seite  die  Function  z  =  "^-^cosecx  her- 
vorgeht; das  Ergebni8S  ist  sodann  mit  e'r»  zu  multiplicireu. 

Die  Gleichstellung  der  reellen  Bestandteile  einerseits  und  der 
imaginären  andererseits  liefert  schliesslich  die  im  allgemeiuen 
für  2»  <  y  <  2n  -f-  0  giltigen  Summeuformeln: 


*)  Jedoch  nur  für  das  Intervall  (0,  2)  bzhw.  (—2,  2j. 


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Rogel:  Die  Summirung  einer  Galtung  trigonometrischer  Reihen.  257 


(9).  . 


(x  +  in)>»~ 


(10)  . 


+  *>   cos  y(ar -f- 


.  coseca-} 
.  COSecar} 


Um  die  höheren  Ableitungen  der  Function  2  in  independenter 
Weise  zu  erhalten,  betrachte  man  dieselbe  als  Function  von  e'x  und 
wende  die  hiefür  geltende  einfache  Formel  von  Hoppe  an. 

Ein  übersichtlicheres  Resultat  ergibt  die  recurrente  Berech- 
nung und  zwar 


(11)  - 


+  00     efef+A»)         (_1  m-l 

"to—ap  =    (m-l)!  sin™*™  >< 


Slll  X, 
C08X, 

— sin2, 
— eos  x, 


0,  0, 

Siu  pr,  (), 

(^j  cosx,       Q)  sin  x, 

-  (i)siu*:  +  (2)cos:r' 


.  .  1 

.  .  tu 

•  •  ('«)* 

.  .<*)» 


sin  ^x-|-m  — 


woraus 
setzend 


1-*),  f;1) *»(«+.. -2  *), 

2n  +  1  -  j,  -  0 


.  .  (im)»»-1 


(12)  .  . .  +2  84$+-^> 


Sinar, 
COSX, 

— Sllhr, 


{  -I)«-1 


0, 

siUar, 


0, 


6, 


.  sin  2n-f-l  x 
.  u  cos  2n-j- 1 x 


(«1— 1)1  sin»« 

Artii.  A.  Math,  u  Fbys.   2.  Reihe,  T.  XV. 


— u'sinin-l-  ls 

17 


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258      Rogel:  Die  Summirvng  einer  Gattung  trigonometrischer  Rethen. 


-cos«,      —  ^sin«,    Q^cosx,.  .  . 


—  usC0s2n-|-la! 


KtiIM-l 


«  = 


m-2 

(— 1)        cos2»i-fla-,   m  gerade 

m— 1 

2 


(-1)        sinÜH-flar,   «•  ungerade 


und 

(13)  ■  '    A-f.  "Ir+AWF" 


sinar,  0,  0,     .  .  .  C082n-f-la 

cosa-,  sinar,  0,     .  .  — usin2u+ly 

—sinar,  cosr,    Q^sinx,  .  .  . 


(-  l)»»1 
(«*— 1) !  sin'"* 


■     •  • 


— u2eos2n-f-lar 


— cosar, 


-(l)sina-,  (5)c08#, 


+uS8in2»-f-lx 


8in(*+«-l*),    (Wj  ^sin^+m-^*) 


Ml 


ß  1=3  )(— 1)"  sin  :  n-f-1  x,   m  gerade] 


hervorgeht. 


(-1)       cos2n-la\   m  ungerade 


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Rogel:  Die  iSummirung  einer  GaUung  trigonometrischer  Ruhen.  259 


Das  Bildangsgesetz  dieser  Determinanten  ist  ein  leicht  erkenn- 
bares. Die  Elemente  der  Diagonalreibe  sind  mit  Ausnahme  des 
letzten  (auM-1  resp.  ßum~l)  gleich  sing.   Jede  Colonne  wird  durch 

die  aufeinander  folgenden,  mit  gewissen  Binomialcoefticienten  multi- 
plicirten  Ableitungen  von   sin*  gebildet  und  zwar  besteht  die  He 

Colonne  (*  «<!  m)  aus  k —  1  verschwindenden  Elementen  und  aus 

C*— i) G-i)co8*'  -    siu  •  •  • 

während  die  mte  Colonne  die  Elemente 

enthält.  Das  beliebige  Element  der  iten  Zeile  und  Arteu  Colonne 
(k  <  m)  ist  daher  gleich  O,  wenn  i  <  *,  und  gleich 


weun  » —  k  isU 


In  dorn  Falle  »  — 0  nehmen  die  Formeln  (Ii)  und  (13)  für 
cotgx  —  %o  folgende  Gestalt  an 


(u) .  .    *£  -  f-^'x 


1, 

tc, 


i 
1, 


1, 


-1. 


l  —  yw 
—  1-,'u, 


... 


•25y5  +  2,   »»  gerade 
O^T  y  ™      2,   m  ungerade 


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260      Rogeb.  Die  Summirung  einer  Gattung  trigonometrischer  Reihen. 


(15)  . 


+g>   C08y(x-B«)  (-i)m-i 

1,  0,  0 

w,  I,  0, 

-1,  Q»,  1, 


.  .  .  —  1— y 


...  —  1  —y  tc 


... 


... 


— tr, 


0  —  y  ^  2,   m  gerade 

— 2^y^  +  2,   to  ungerade 

Hier  kaun  übrigens  die  Darstellung  in  Doterminantenform  umgangen 
werdeu,  wenn  man  die  Ableitungen  von  cotx  =  tc  einführt  und 

dr 

^  COt*       M> r,     '^o  w 

setzt.  Der  in  (9)  und  (10)  erscheinende  Differentialquotient  nimmt 
nämlich  für  n  =  0  die  Form  an 

ZV*-1  e~u9 (cot x  —  i)  ■=  Dxm-le-ix9to-\-(—i)mym—le-*'!f 

.  .  .  +(— o*-y»-iip0+(— 0",sr,-1J 

Multiplicirt  man  nun  diesen  Ausdruck  gemäss  der  Formeln  (9)  und 
(10)  mit  |w_1yr«+ut*,  so  ist 


(16) 


(17) 


wo 


.  •  • 


-*^p  siny(ac+A«) 


■Hp  cosy(»-f-Aac) 


""3!(TO-4)!,rm"4  ' 


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Roffel:  Die  Svmmirung  einer  Gattung  trigonometrischer  Rethen.  261 

0,   m  gerade 

m-1 
2 

(— 1)       ym_1,   m  ungerade 


(  -  1)  ym-1,   m  gerade 

jj  - 

0,   m  ungerado 

iu  UebereiDStimmung  mit  den  Formeln  (31),  (32),  (39),  (40)  der  oben 
citirten  Programmarbeit. 

Barmen,  September  1896. 


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262       Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 


XVI. 

Von  der  elliptischen  Bewegung  eines 
freibeweglichen  Massenpunktes  unter  der  Wirkung 
von  Attractionskräften  *). 

Von 

Paul  Kindel. 


Einleitung. 

Gegenstand  der  folgenden  Abhandlung  ist  das  Problem  von  der 
elliptischen  Bewegung  eines  frei  beweglichen  Massenpunktes,  welcher 
der  Wirkung  von  einer  oder  von  mehreren  nach  gegebenen  festen 
Centren  gerichteten  Kräften  unterworfen  ist. 

Im  ersten  Teile  soll  eine  elementare  Theorie  der  elliptischen 
Bewegung  um  ein  festes  Attractiousccntrum  gegeben  werden,  und 
zwar  um  einen  der  Brennpunkte  (§§  1  und  2)  und  um  einen  belie- 
bigen Punkt  (§  3)  Dieser  Teil,  aus  den  praktischen  Bedürfnissen 
des  Unterrichts  hervorgegangen,  beansprucht  nur  pädagogisch-didak- 
tisches Interesse  -,  überdies  ist  er  freilich  auch  die  Grandlage  für  die 
folgenden  Untersuchungen. 

Im  zweiten  Teile  werden  die  von  Hamilton  durch  Anwendung 
von  Quaternionen  und  das  von  Darboux  direct  gefundene  Theorem 
durch  directe  Integrationen  abgeleitet  und  aus  denselben  neue  Lehr- 
sätze über  die  Natur  der  Bahnen  gefolgert  (§§  4  und  5). 


•)  Dissertation.    Halle  1884. 


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Ma'xenpunkte*  unter  der  Wirkung  von  Attraetionskraften. 


263 


Im  dritten  Teile  wird  die  Attraction  als  Function  der  Entfernung 
vorausgesetzt  und  untersucht,  unter  welchen  Voraussetzungen  mau 
auf  eines  der  zwei  bekannten  Attractionsgcsetze  schliessen  könne, 
wenn  die  Stellung  des  Attractionscontrurns  unbekannt  ist.  Bcr- 
trand's  Voraussetzungen  werdcu  als  durch  die  Erfahrung  uncon- 
trolirbar  ausgeschlossen  (§  6),  Hoppe 's  Resultate  werden  geome- 
trisch abgeleitet  (§  7),  seine  Voraussetzungen  werden  durch  neue  er- 
setzt (§§  8,  9,  10). 

Im  vierten  Teile  wird  die  im  vorigen  behandelte  Aufgabe  ver- 
allgemeinert, und  es  wird  diejenige  Kraft,  welche  einen  Massenpunkt 
durch  eine  beliebig  gegebene  Curvc  treibt,  in  zwei  oder  mehrero 
Kräfte  mit  vorgeschriebenen  Richtungen  zerlegt  (§§  11,  12,  13). 

Im  letzten  Teile  wird  folgende  Frage  behandelt:  Welches  ist 
die  einzig  zulässige  Verteilung  der  festen  Attractionscentren ,  wenn 
unter  ihrer  Wirkung  eine  elliptische  Bahu  möglich  sein  soll,  uud 
wenn  die  Attractiouskräftc  ausschliesslich  Elasticitüts-  und  Gravita- 
tionsgesetzen feigen?  (§§  14—20). 


Erster  Teil. 
§  1 

Um  aus  der  cllpitischen  Planetenbcwegung  das  Attractionsgesetz 
elementar  (')  abzuleiten,  muss  man  die  elliptische  Bahn  als  Projectiou 
einer  Kreisbahn  auffassen  und  daher  zunächst  folgende  Hilfsaufgabe 
(*J  Newto  n's  lösen: 

Gyrelur  corpus  in  circumferentia  circuli:  requiretur  /ex  vis  centri- 
petae  tendentis  ad  punctum  datum. 

Zur  elementaren  Lösung  dieser  Aufgabe  dient  diese  Betrach- 
tung: (3) 

Wenn  die  Geschwindigkeit  eines  frei  beweglichen  Massenpuuktes 
in  krummliniger  Bahu  constant  ist,  so  ist  die  Kraft  in  jedem  Augen- 
blick zu  seiner  Bewegungsrichtung  senkrecht.  Wenn  dagegen  die 
Geschwindigkeit  variabel  ist,  so  ist  die  Kraft  schief  gegeu  die  Be- 
wegungsrichtung; ihre  tangentiale  Componentc  bewirkt  ausschliess- 
lich die  Geschwindigkeitsäuderung;  ihre  normale  Componeute  ist  von 
dieser  unabhängig,  vielmehr  nur  durch  die  Grösse  der  augenblick- 
lichen Geschwindigkeit  bestimmt.    Wenn  also  beliebig  viele  Punkte 


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264        Kindel:  Von  der  elliptischen  Betcryung  eines  freibtweglichen 


dieselbe  Curvo  durchlaufen,  und  wenn  in  einem  gewissen  Punkte 
(A)  derselben  die  Geschwindigkeiten  sämtlich  übereinstimmen,  so 
liegen  die  Endpunkte  derjenigen  geraden  Linien,  welche  die  Kräfte 
darstellen,  in  einer  geraden  Linie,  welche  zur  Tangente  in  A  pa- 
rallel ist 

Ferner  darf  als  bekannt  vorausgesetzt  werden ,  dass  bei  einer 
gleichförmigeu  Geschwindigkeit  (c)  in  einer  Kreisbahn ,  deren  Radius 
a  ist,  die  nach  dem  Mittelpunkte  (M)  gerichtete  Centraikraft  die 
c* 

Grösse  habe. 
a 

Wenn  nun  ein  frei  beweglicher  Punkt  sich  in  einem  Kreise  be- 
wegt, und  wenn  das  Attractionscentrum  sich  in  einem  beliebigen 
Punkte  (F)  der  Ebene  der  Kreisbahn  befindet,  so  wird  die  nach  F 
gerichtete  Kraft  (9)  in  jedem  Punkte  (/*)  der  Bahn  dem  obigen 
Ililfstheoreme  gemäss  durch  folgende  Proportion  bestimmt:  (s.Fig.l) 

c*   

<p  :  P  A  :  a 

a 

wenn  MA  skr.  PM  ist  und  c  die  Geschwindigkeit  in  P  bedeutet. 

Bezeichnet  T  die  Umlaufszeit,  so  ist  wegen  der  Constanz  der 
Flächengeschwindigkeit  (4)  des  Radius- Vectors: 

a^z  =  £  cos  T 

wenn  *  die  von  F  auf  die  Taugento  in  P  gefällte  Senkrechte  be- 
deutet 

Die  vorige  Proportion  ergiebt: 

—      4a*  u*  PA 

Endlich  entnimmt  man  der  Figur  unmittelbar: 

T~Ä      r  2a 
a         9  ~"  PE 

folglich  erhält  mau 

4o*rr*  r       31a* n*  1 

Diese  Gleichung  giebt  die  Lösung  der  obigen  X  cwton'schen 
Hilfsaufgabe  in  zwoi  verschiedenen  Formen  (5).  Um  aber  folgende 
Hauptaulgabe  (°J  Newton' s  zu  lösen: 


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Massenpunktes  unter  der   Wirkung  von  Attraction*krä/len.  265 

Rerolvatur  corpus  in  Ellipsi:  requiritur  lex  vis  centripetae  tendentis 
ad  umbilicum  Ellipseos, 

muss  man  die  vorher  betrachtete  Kreisbewegung  auf  eine  Ebene 
projiciren,  welche  die  Kreisebene  längs  MF  unter  einem  Neigungs- 
winkel («)  schneidet,  der  durch  die  Gleichung 

sin  o  =  - 
a 

besümmt  ist  (7)  (e  =  MF  gesetzt).  Die  für  die  Projectionsbewegung 
erforderliche  Kraft  (?,)  ist  ebenfalls  nach  F  gerichtet  und  durch  die 
Proportion 

q> :  q»,  —  r ;  rt 

bestimmt    (r,  bezeichnet  die  Projection  vou  r.) 

Iu  dem  Beweise  endlich  (8),  dass  durch  die  Projection  in  der 
Tat  eine  Ellipse  entsteht,  deren  Brennpunkte  F  uud  Ft  siud,  wird 
gezeigt,  dass  GF  oder  *  =  r,  ist. 

Somit  ergiebt  sich 

4a*  n*  r,        4a2  n2  1 

d  h.:  Newton 's  Gravitations-Gesetz  und  zugleich  das  dritte 
Kepler' sehe  Gesetz. 

S  2. 

Die  von  Newton  gestellte  Aufgabe:  (>) 

lAxritOy  qvod  vis  centripeta  sit  reeiproce  proportionale  quadrato 
disiantiae  locorum  a  centro  et  <ptod  vis  illius  quantitas  absoluta  sit 
roffnita:  requiritur  linea,  quam  corpus  desaibit  de  loco  dato,  cum 
data  velocitate,  secundum  dutam  rectam  egrediens. 

ist  von  ihm  selbst  nicht  elementar  gelöst  worden.  Es  ist  aber  für 
die  praktischen  Bedürfnisse  von  grösster  Bedeutung,  eine  elementar 
zu  begründende,  eiufache  .uud  anschauliche  Construction  zu  kennen. 
Eine  solche  ergiebt  sich  fast  unmittelbar  aus  der  Gleichung:  (*) 

v2  =.  g(9a  —  r) 
ar 

in  welcher  r  die  Eutfernung  des  bewegten  Punktes  vom  attrahirenden 
Brennpunkt,  v  die  Geschwindigkeit,  g  die  Beschleunigung  in  der 
Eutfernungseinhcit  und  a  die  halbe  grosse  Axe  bedeutet. 


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266        Kindel:   Von  der  elliptinrhen  Bewegung  eines  freibeweglichen 


Durch  Auflösung  dieser  Gleichung  nach  a  ergiebt  sich 

2a  —  wobei  h  —  s  ^ 

r  —  n*  2g  :  r* 


gesetzt  ist. 

k  bedeutet  denjenigen  Weg  (8),  welchen  der  bewegliche  Körper 
von  einem  Punkte  (A)  seiner  Bahn  aus,  geradlinig  und  mit  der  An- 
fangsgeschwindigkeit =  0  durchlaufen  müsstc,  um  seiue  Geschwin- 
digkeit v  zu  erreichen,  wenn  die  Beschleunigung  constant  gleich  der- 
jenigen (g  :  r«)  ist,  welche  er  in  diesem  Punkte  (4)  erleidet. 

Diese  Grösse  (h)  ist  für  die  Anfangsslellung  gegeben.  Die  obige 
Gleichung  für  2a  kann  auch  in  folgende  umgeformt  werden: 

2a  —  r  h 


r  r  -  h 

und  alsdann  lehrt  sie  folgende  Coustruction:  (s.  Fig.  2.) 

Das  gegebene  Attractionsceutrum  (F)  wird  mit  der  Anfaugsstel- 
lung  in  A  verbunden,  und  an  die  über  A  verlängerte  Bewegungs- 
richtung (AE)  d  h.  an  AEX  wird  der  Winkel  FAE  angelegt.  Femer 
wird  h  auf  der  so  erhaltenen  Richtung  4L  von  A  aus  {AD)  und 
auf  FA  von  F  aus  (FC)  abgetragen.  Endlich  wird  C  mit  D  ver- 
bunden, und  FFX  Q  CD  gezogen.   Fx  ist  der  zweite  Brennpunkt. 


§  3. 

In  ganz  entsprechender  Weise,  wie  in  §  1.,  kaun  aus  dem  für 
die  kreisförmige  Bewegung  gefundenen  Gesetzo 


in*  /a\2 


das  für  die  elliptische  Bewegung  um  ein  beliebiges  Attractionsceu- 
trum geltende  Kraftgesotz  elementar  abgeleitet  werden. 

Man  muss  nur  -  durch  ein  Vcrhältniss  zwischeu  zwei  solchen 
f 

Liuien  im  Kreise  ersetzen,  dass  es  gleich  demjenigen  zwischen  den 
entsprechenden  Linien  in  der  durch  Projection  entstehenden  Ellipse 
ist.   Dazu  benutzt  man  die  Gleichung 

i) 

8  Q 

in  welcher  q%  Hnd  q  die  resp  vom  Kreiamittelpunkt  und  vom  be 


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Mattenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Attraetionskräften.  267 


weglichen  Punkt  (JP)  auf  die  Polare  des  Attractionsccntruras  (F) 
gefällten  Lote  bedeuten. 

Eine  zweite  Umformung  ergiebt  sieb  ans  der  Gleichung 

9  =  VpiPt  (*)  ■ 

in  welcher  p,  und  ps  die  Lote  vom  beweglicheu  Punkt  P  auf  die 
vom  Attractionscentrum  F  gezogenen  Tangenteu  bedeuten. 

Letztere  Gleichung  kann  auch  in  folgende  Form  gesetzt  werdon 
(8.  Fig.  3) 

MF 


9       \/p\  Vi  MF 


and  zwar  bedeuten  7>,0/>*0  die  vom  Mittelpunkt  auf  die  obigen  Tan- 
genten gefällten  Scukreehten  (welche  beim  Kreise  mit  deu  Radien  a 

MF 

zusammenfallen),  und  jt=  ist  das  Verhältniss  zwischen  der  Ent- 

fernung  vom  Mittelpunkt  (M)  and  Pol  (F)  zu  dem  Abschnitte  der- 
selben vom  Mittelpuokt  bis  an  die  Polare  von  V. 

Q 

Sowol  -  als  auch  die  rechte  Seite  der  Gleichung  2)  behalten 
Pt 

bei  der  Projection  ihre  geometrische  Bedeutung  und  ihren  Wert 
unverändert  bei,  so  dass  man  für  dio  elliptische  Bewegung  erhält 

4**      /PoY      4»*       \/ptvPt°  MD\* 
T  =  ^    rW    -3T-\r  ftÄ"  MF) 

Setzt  man  noch 


3)    9-     7!F     und   *  -  f*  {y  PiW  • 'jjfr) 
so  erhält  man 

4)    <   __ 

_      4j»>    ,     4**/l/  .    „  A/0\» 

j*_Tfc._  --(Kft'r,*.^.) 

Die  Kraft  (9)  ist  also  proportional  der  Eutfernung  (r)  des  be- 
weglichen Punktes  vom  Attractionscentrum  und  umgekehrt  propor- 
tional der  dritten  Potenz:  entweder  der  Entfernung  (q)  von  der 


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268        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  /reibe weglichen 


Polare  des  Attractiousccntrums  (Umkehrung  des  Satzes  von  Hamil- 
ton) (•)  oder  der  mittleren  Proportional  (YpiP^  zwischen  den  Eut- 
feruuniieu  von  demjenigen  Tangenten,  welche  von  Attractionscentrum 
an  die  Ellipse  gezogen  werden,  (Umkehrung  des  Satzes  von  Dar- 
boux).  (4) 


Zweiter  Teil. 

§  4. 

Dass  aus  der  in  §  3  bewieseneu  Umkehrung  des  Satzes  von 
Hamilton  der  Satz  selbst  gefolgert  werden  könne,  ist  von  Dar- 
boux  bemerkt  worden  (!).  Interessanter  jedoch  als  diese  Methode 
(der  Constantenzählung)  ist  der  directe  Beweis,  besonders  auch  darum, 
weil  er  weitere  Schlüsse  über  die  Art  und  die  Coustruction  der  Bahn 
zulässt. 

Iu  dem  Lehrsatze  von  Hamilton  wird  die  Centraikraft 


proportional  gesetzt  mit  der  Entfernung  (r)  von  F  (dem  Attractions- 
centrum) und  der  reeiproken  dritten  Potenz  der  senkrechten  Ent- 
fernung (p)  von  einer  festen  Ebene  (E). 

Dass  die  Bahn  zuuächst  selbst  in  einer  gewissen  Ebene  (Et) 
liegt,  welche  den  Puukt  F  enthält,  folgt  schon  aus  Newton's 
Theorie  der  Centraikräfte  Wird  der  Neigungswinkel  beider  Ebenen 
(E,  £,)  mit  «,  ihre  Schnittlinie  mit  L  und  die  senkrechte  Entfer- 
nung des  bewegten  Punktes  von  der  letzteren  mit  q  bezeichnet, 
so  ist 

p  —  (f  cos  cc 

und  also 

cp  -  9i  cos3«^ 

d.  h.  die  Kraft  ist  in  allen  Punkten  einer  Ebene  E  i  ausser  mit  « 
auch  mit  der  reeiproken  dritten  Potenz  der  senkrechten  Entfernung 
(q)  von  einer  gegebenen  geraden  Linie  (L)  proportional.  Es  genügt 
somit,  den  Satz  für  diesen  Fall  nachzuweisen. 

Man  nehme  dio  Ebene  (/£,)  als  ary-Ebene,  F  als  Anfangspunkt, 
die  von  F  anf  L  gefällte  Senkrechte  habe  die  Länge  a,  ihre  Rich- 
tung werde  als  die  negative  x-Axo,  und  also  eiue  zu  L  durch  F 


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Jlassenpunktes  unter  der  Wirkung  von  AttractionsUrnflen.  269 

parallel  gezogene  Gerade  als  y-Axe  genommen  fs.  Fig.  2);  die  nach 
F  gerichtete  Centraikraft  sei 


(«  +  *)* 

Wenn  g  einen  positiven  Wert  hat,  so  ist  <p  eine  Attractionskraft 
auf  der  positiven  Seite  von  7i,  und  eine  Repulsiouskraft  auf  der 
negativen. 

Die  Differentialgleichungen  der  Bewegung  sind: 

d*x         —  gx  .     d*y  —  gy 


1) 


dt*       (a  +  x)s'    dt*      (a  +  x)* 


Die  erste  Integralgleichung  derselben  drückt  die  Constanz  der 
Flächengeschwindigkeit  (c)  aus: 

2)    ydx  —  xtly  =  e  .  dt 

Durch  Multiplication  der  ersten  Differentialgleichung  mit  2  r- 

d  x 

und  nachherige  Integration  erhält  man 

(worin  6  eine  Integrationsconstante  bedeutet). 

Durch  Elimination  von  dt  aus  den  Gleichungen  2)  und  3)  er- 
giebt  sich 

dx(a  -f-  x) 

wobei  zur  Abkürzung 

|3  —  b  —  « 


gesetzt  ist,  y  also  reell  oder  rein  imaginär  sein  kann.  Um  die  Glei- 
chung 4)  zu  integriren,  wird  eine  neue  Variabele  u  durch  die 
Gleiehung 

y  -  ux 

eingeführt.   Man  erhält  dadurch 

5)    ydu  —  jg  d  Q  Vo?  -f  20*  —  x* 
und  hieraus  ergiebt  sich  die  Gleichung  der  Bahn 


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270        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 

fm  +  ßyy-  i  aß  +  2jfcr  -~x* 

(/*  ist  eine  Integrationsconstante,  welche  zugleich  mit  y  reell  oder 
rein  imaginär  sein  muss),  oder 

6)    x*(l  +  f*>  +  2fßyxy  +  0  W  -2ßx-aß  =  0 

Die  Polare  des  Anfangspunktes  hat  die  Gleichung 

x  ■=»  —  a 

(entsprechend  dem  Lehrsatze  von  Hamilton). 

Der  Mittelpunkt  des  Kegelschnitts  hat  die  Coordiuateu 

o  f 

*0  =  Pi  yo  —  —  " 
Das  Product  seiner  Axen  ist 


uud  also  erhält  man  für  die  Umlaufszeit 

T-%*v-,-i;H 

(in  Uebercinstimmuug  mit  §  3). 

Endlich  ist  die  Bahn  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel,  je  nachdem 

< 

ist  Die  Annahme  ß  —  0  kanu  ausgeschlossen  werden,  weil  sonst  die 
Gleichung  der  Bahn  sich  auf 

reduciren  würde. 
Es  ist  somit 

p  -  (b  -  a)* 

positiv,  und  da  ferner 


ist,  so  vereinfacht  sich  das  Kriterium  über  dio  Art  des  Kegelschnitts 
zu  folgendem 


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Massenpunktes  unter  der  Wirkung  von  AttractionshSJten.  271 


oder  endlich  zu 


.>.„ 

b  < 

g(a+2)  >  (dxy 
(a  +  *)»  ~  W      (  ' 


Es  werde  Dan  g  als  positiv  vorausgesetzt.  Alsdann  gelten  fol- 
gende Lehrsätze: 

Wenn  der  Anfangspunkt  der  Bewegung  auf  der  negativen  Seite 
einer  geraden  Linie  \LX)  liegt,  welche  in  der  Milte  zwischen  F  und 
nnd  L  mit  L  parallel  läuft,  d.  h.  wenn  a-f-2x  negativ  ist,  so  ist  die 
Bahn,  wie  auch  sonst  die  Anfangsbedingungen  sein  mögen,  hyper- 
bolisch'. 

Von  einem  Punkte  der  Geraden  L,  aus  ist  die  Bahn  eine  Pa- 
rabel, wenn  die  Richtung  mit  der  ar-Axe  zusammenfallt,  sonst  aber 
eine  Hyperbel. 

Von  einem  Punkte  auf  der  positiven  Seite  von  Lv  ist  die  Bahn 
bei  hinreichend  kleiner  x-Componente  der  Anfangsgeschwindigkeit 
elliptisch;  bei  grösserer  wird  sie  parabolisch  und  hyperbolisch. 

Endlich  ist  die  Art  des  Kegelschnitts  von  der  Grösse  der  x. 
Componente  der  Geschwindigkeit  und  von  der  y-Coordinate  des 
Anfangspunktes  unabhängig. 

Um  die  Bahn  zu  construiren  (s.  Fig.  5),  beachte  man,  dass 
wenn  £,  P  (der  Anfangspunkt  der  Bewegung)  PA  (die  Anfangs- 
richtung) gegeben  sind,  auch  der  zweite  Schnittpunkt  (Pt )  der  Bahn 
mit  der  Geraden  PF  als  der  vierte  harmonische  Punkt  zu  F,  J3,  P 
bekannt  ist,  dass  ferner  A  der  Pol  von  PPt  ist,  und  dass  also  der 
Mittelpunkt  des  Kegelschnitts  in  derjenigen  geraden  Linie  liegt, 
welche  A  mit  dem  Halbirungspnnkte  C  von  PPX  verbindet.  Da  end- 
lich durch  die  Grösse  der  Anfangsgeschwindigkeit  (der  Gleichung  3) 
entsprechend)  die  Constaute 

b  «  a  +  ß 

gegeben  ist,  und  da  n-\~ß  die  senkrechte  Entfernung  des  Mittel- 
punktes von  der  Geraden  L  bedeutet,  so  ist  der  Mittelpunkt  (M) 
des  Kegelschnitts  vollständig  bestimmt;  damit  kennt  man  auch  die 
Schnittpunkte  QQ,  der  Bahn  auf  der  Geraden  MA  (weil  MQ*  — 
MC .  MA)  und  endlich  noch  den  zu  R  symmetrisch  gelegenen  Punkt 
IV   l>ie  fünf  Punkte  PPU  QQ„  Pt  reichen  zur  Construction  hin. 


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272        Kindel:   Von  der  elliptischen  Deuteyunq  eines  freibeweglichen 

§  5. 

Der  zweite  in  §  2.  aufgestellte  Lehrsatz,  dass  bei  elliptischer 
Bahn  die  Centraikraft  proportional  sei  mit  der  Entfernung  (r)  und 
mit  der  reciproken  dritten  Potenz  der  mittleren  Proportionale 
zwischen  den  Entfernungen  pu  ps  von  zwei  festen  geraden  Linien 
Lt,  welche  die  vom  Attractionscentrum  an  die  Bahn  gelegten 
Tangenten  sind,  lässt  sich  ebenso  wie  der  vorige  Lehrsatz  um- 
kehren. Wieder  erscheint  die  directe  Integration  nicht  Überflüssig 
zu  sein.  (') 

Die  beiden  Richtungen,  welche  die  Winkel  Lx  und  Lt  halbiren, 
nehme  man  als  dio  Coordiuatenaxen,  k  sei  die  Neigung  der  Geraden 
£|  gegen  die  ar-Axc    Man  findet 

px  —  x  sin  jl  —  y  cosA 
j>2  «=  x  ein  k  -f-  yco&k 

In  demjenigen  Scheitelwinkelraum,  in  welchem  die  r-Axe  liegt, 
haben  />,,  p2  gleiche  Vorzeichen,  in  diesem  ist  also  die  mittlere 
Proportionale  zwischen  px  und  p2 

p  —  Var^siu^  —  a*COS*A 

reell,  und  die  nach  F  gerichtete  Attractiouskraft  hat  die  Grösse 

Um  aber  die  Integration  in  grösst  möglicher  Allgemeinheit  aus- 
zuführen, werde 

p*  =  x*  sin*A  -  y*  cos*A 

durch 

q*       az*  -f-  2kxy  -f-  by2 
ersetzt    Alsdann  heissen  die  Bewegungsgleichungon 

d*x  gx      d*y  gy 

dt*  =  ~~  q*     dt*  =  ~~  q* 

und  ihre  erste  Integralgleichung 

2)    ydx  —  xtly  =  alt 

Mit  Hilfe  dieser  Gleichung  nehmen  dio  in  (1)  folgende  Form  an: 

tix  gx(ydx-xdy)  g  Vby  +  kx} 

1  dt    "*  cq*~         =  c{ab  =  &)  q 


1) 


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Mastenpunktet  unter  der  Wirkung  von  AüractionskrSften.  273 

dy         gyiydx  —  rdy)  ~g         Xax  +  ky\ 

dt  cq*  ~c(ab  —  k*)dl      q  J 

odw  durch  Iotegration: 

&  9       \hy  -f-  fcg  ,1 

dt  ~~  c(ab  -  Jfc«)  [      q  ,aJ 

3) 

d*                ~  g         ["*  +  ^  a\ 

dt  —  c(a*  —  **)  [_     fl  PJ 
uod  durch  Substitution  in  (2)  erhält  man  die  Gleichung  der  Bahn 
y  +  ay  +         =  aar*  +  2fcrj  +  by* 

worin 

gesetzt  ist. 

Für  die  nähere  Untersuchung  der  Bahn  ist  es  vorteilhaft,  die 
ursprüngliche  Lage  der  Coordinatcnaxen  zu  nehmen  und  also  l —  0 
zu  setzen.    Alsdann  heisst  die  Gleichung  der  Bahn 

4)    :r»GJ* -  a)  +  2 o/Ja* +  *»(«»  -  b)+tßym+S  ayy-f  y*  =  0 

und  dieselbe  ist  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel,  je  nachdem 

A  -  (0*  -   «)(<*»-&)  -a80*  =  O  ist. 

Zur  Elimination  von  a  und  0  dieneu  die  Gleichungen  (:$).  Mit 
Benutzung  derselben  erhält  man: 

2a* b*  c*      alb*c*  /  civ*    .  dx^ 

A  = 


!7? 


1      a*Ä*c*  /  V 

-  y  v  ^  +  ad?) 


Wenn  ferner  die  Geschwindigkeit  mit  u,  ihre  Neigung  zur  x-Axe 
mit  p  und  die  zur  Erreichung  der  Geschwindigkeit  v  notwendige 
Fallhöhe  mit  h  bezeichnet  wird,  so  ist 

dx  dy 
^-rcos,*,    d(- »Sinti, 

und  wenn  endlich  noch  zur  Abkürzung 

6  =  b  sin  V  +  «  cos  V 

gesetzt  wird,  so  erhält  man 

2a»*«c*  /  Ard\ 
A~      n  (l-J) 

A.  iUlh.  u.  Phy-.   2.  K.ibe,  T.  XV.  18 


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274       Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eine,  freibewegUchen' 

Die  Coordinaten  des  Mittelpunktes  sind 

bßy  a«y 

und  für  das  Product  der  Axen  des  Kegelschnitts  findet  man: 
so  dass  die  Umlauiszeit 


n    /     q  V1' 

"T-  «(.-?) 


sich  ergiebt 

Durch  diese  Formel  ist  die  Umlaufszeit  unmittelber  durch  die 
gegebenen  Anfangsbedingungen  bestimmt.  Eine  leichte  Umformung 
ergiebt  übrigens  die  Ueberoinstimmung  mit  dem  in  §  3.  angegebenen 
Resultate. 

Für  Newton's  Centraibewegung  hat  man 

2c*  /  h\ 

*  =0,   q-r,    Ä-  1,  ^"^TV1""^ 


Wenn  die  beiden  geraden  Linien  I»,  reell  sind,  und  wenn 
gesetzt  wird,  so  ist  die  Kraft 


bei  reellem  g  nur  in  demjenigen  Scheitelwinkelraum  (£4,  £,)  reell, 
in  welchem  die  x-Axe  liegt,  und  in  demselben  ist  <p  eine  Attractions- 
oder  eine  Repulsionskraft,  je  nachdem  g  und  p  gleiche  oder  entgegen- 
gesetzte Vorzeichen  haben. 

Es  mögen  nun  im  folgenden  g  und  p  als  positiv  vorausgesetzt 
werden.    Darm  ist  die  Bahn  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel,  je  nach- 

;  h< 

dem  v  -  1  ist<  und  da 
P  > 


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Matsenpttnkte*  unier  der   \V,rku»9  von  Attrarlio„skräften. 


275 


6  -  isinV  +  «cosV  -  sin*;ico8*«-co8*A8in2tt  —  sii^A  — sinV< 


za  setzen  ist,  so  kann  das  Kriterium  über  die  Art  der  Bahn  auch  in 
folgende  Form  gesetzt  werden: 


Hieraus  folgt: 

Diejenigen  Anfangsrichtungen,  für  welche  von  einem  Punkte  P0 
ans  bei  einer  gcwisseu  Geschwindigkeit  vö  die  Bahn  eine  Parabel 
ist,  liegen  zu  den  Coordinatenaxen  symmetrisch.  Dieselben  bestim- 
men zwei  Scheitelwinkelräume ;  iu  demjenigen,  welcher  die  x-Axe 
enthält,  sind  die  Bahnen  (cet.  par.)  hyperbolisch,  und  in  demjenigen, 
welcher  die  Richtung  der  y-Axe  enthält,  sind  dieselben  elliptisch. 

Wenn  die  Anfangsrichtung  mit  der  von  Ll  oder  L%  überein- 
stimmt (d.  h.  wenn  fi  ±  A),  oder  wenn  dieselbe  sich  noch  mehr 
der  Richtung  der  y-Axe  nähert  (sinV  >  sin**) ,  so  ist  die  Bahu 
elliptisch,  welches  auch  sonst  die  Anfangsbedingungen  seiu  mögen. 

Wenn  bei  gewisser  Grösse  der  Anfangsgeschwindigkeit  v0  die 
Richtung  derselben  für  die  parabolische  Bahn  mit  derjenigen  der 
r-Axe  übereinstimmt,  so  sind  von  demselben  Punkte  aus  bei  der- 
selben Geschwindigkeit  v0  nur  elliptische  Bahnen  möglich.  Die  Lage 
dieser  Greuzpunkte,  durch  welche  für  v  =  v0  nur  eine  parabolische 
Bahn  hindurchführt,  sind  durch  die  Gleichung 


bestimmt,  dieselben  liegen  also  auf  einer  Hyperbel,  welche  die  Ge- 
raden Z,„  Zs  zu  Asymptoten  hat,  und  deren  Axen  mit  dem  Quadrate 
der  Anfangsgeschwindigkeit  umgekehrt  proportional  sind. 

Durch  diese  Hyperbel  wird  die  ganze  Ebene  in  zwei  Teile  ge- 
teilt; in  demjenigen  Teile,  welcher  die  y-Axe  enthält,  liegen  die 
Punkte,  von  denen  aus  für  v  -~  c0  nur  elliptische  Bahnen  möglich 
sind;  im  anderen  Teile  ist  die  Art  des  Kegelsschnitts  erst  durch  die 
Anfangsricbtnng  bedingt. 


p*  — i  x*  sin*A  —  y*cos*A 


h  ~2yr 


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276        Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 


Endlich  ändert  sich  die  Art  des  Kegelschnitts  nicht,  wenn  (cet. 
par.)  der  Anfangspunkt  sich  auf  irgend  welcher  Hyperbel  verschiebt, 
welche  die  Geraden  £j,  Lt  zu  Asymptoten  hat  (weil  auf  derselben 
x*sin2A  —  y*cos*A  =  const). 


Dritter  Teil. 

§  6. 

Die  Frage,  ob  New  ton' 8  Voraussetzungen  —  elliptische  Bahn 
und  constaute  Flächcugeschwindigkeit  des  von  einem  Brennpunkt 
ausgehenden  Radius-Vectors  —  beide  durchaus  notwendig  seien,  um 
den  Schluss  auf  das  Gravitationsgesetz  zu  ermöglichen,  ist  zuerst 
von  Bertrand  gestellt  uud  durch  den  Satz  beantwortet:  (') 

Si  Kepler  n'avait  deduit  de  ses  observations  qu'uno  seule  de 
ses  lois:  Les  planstes  decriveut  des  ellipses  dont  le  Soleil 
occupe  lo  foyer,  ou  aurait  pu  de  ce  seul  resultat,  erige  en 
principe  general,  cuuclure  que  la  force  qui  les  gouverue, 
est  dirigeo  vers  de  Soleil  et  inversemeut  proportionuelle 
au  carre  de  la  distance. 

Der  wol  nicht  ganz  correcte  Zusatz  „ce  seul  resultat  erige  en 
principe  general4'  bedeutet  die  Annahme,  dass,  welches  auch  die  An- 
fangsbedingungen der  Bewegung  hätten  sein  mögen,  stets  eine  ellip- 
tische, parabolische,  hyperbolische  oder  geradlinige  Bewegung  er- 
folgt wäre. 

Es  ist  von  Interesse  zu  sehen,  dass  bei  dieser  Voraussetzung 
das  Newton'scbe  Gesetz  sich  ohne  jede  Rechnung  ergiebt. 

Zunächst  stellt  Halphen  den  Satz  auf:  (2) 

Si  une  force,  dependant  seulement  de  son  poiut  d'appli- 
cation,  fait  decrire  a  ce  point,  quelles  que  soient  les  cir- 
constances  initiales,  une  trajectoirc  plane ,  cette  force 
passe  par  un  point  fixe  ou  est  parallele  &  une  direction 
fixe. 

Halphen  beweist  seinen  Satz  nach  den  Priucipien  der  Variations- 
rechnung.   Dasselbe  leistet  auch  folgende  geometrische  Betrachtung : 

Wenn  ein  frei  beweglicher  Punkt  sich  in  einer  Curve  bewegt, 
so  liegt  die  Kraft  iu  jedem  Augenblick  iu  der  Schmiegungsebeno 


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Maosenpunktes  unter  der    Wirkung  von  ÄUractionslrdften.  277 

wenn  also  die  Curve  eiue  ebene  ist,  so  werden  alle  Kraftrichtungen 
in  ihrer  Ebene  liegen.  Nach  der  Annahme  von  Halphen  wird  also 
jede  Kraftrichtung  im  gauzen  Räume  von  jeder  unendlich  nahen  ge- 
schnitten, und  je  zwei  unendlich  nahe  Kraftrichtungen  bestimmen 
eine  Ebene.  Denkt  man  sich  nun  einen  dritten  beiden  unendlich 
nahen  Punkt  ausserhalb  der  Ebene,  so  rnuss  die  ihm  zugehörige 
Kraftrichtung  die  vorigen  beiden  schneiden ,  d.  h.  auch  diese  muss 
durch  den  vorigen  Schnittpunkt  hindurchgehen.  Dieser  Schluss  gilt 
von  Punkt  zu  Punkt  durch  den  ganzen  Raum ,  und  somit  ist  der 
Satz  von  Halphen  bewiesen. 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  folgt  aus  den  Voraussetzungen  von 
Bert  rand,  dass  der  gemeinschaftliche  Brennpunkt  aller  elliptischen 
Hahnen  das  Attractiousceutrum  ist;  und  nun  kann  man,  wie  Ber- 
trand selbst  (3),  auf  New  ton' s  Rechnung  verweisen.  Aber  man 
darf  nicht  übersehen,  dass,  während  bei  Newton 's  Voraussetzung 
die  Rechnung  notwendig  war,  wie  sie  bei  Bertraud's  Voraus- 
setzungen überflüssig  wird. 

Wenn  nämlich  ein  beliebiger  Punkt  (P)  im  Räume  angenommen 
wird,  so  würde  von  diesem  aus  der  Massenpunkt  eine  gerade  Linie 
beschreiben,  weun  seine  Anfangsgeschwindigkeit  0  ist;  er  würdo,  wenn 
ihm  eine  hinreichend  kleine  Geschwindigkeit  in  senkrechter  Richtung 
gegen  den  Radius- Vcctor  erteilt  wird,  eine  Ellipse  beschreiben,  in 
welcher  V  das  Aphelium  ist,  und  wenn  die  Geschwindigkeit  allmäh- 
lich wächst,  so  würde  die  Bahn  in  einen  Kreis,  daun  in  eine  Ellipse, 
iu  welcher  P  das  Perihelium  ist,  endlich  in  eine  Parabel  und  zuletzt 
in  eine  Hyperbel  übergehen.  Es  ist  nämlich  der  Parameter  (p)  der 
Curve  oder  der  Krümmungsradius  im  Perihel  oder  Aphel  durch  die 
Gleichung 


bestimmt,  in  welcher  fp  die  in  P  wirkende  Kraft  bezeichnet;  und  es 
wächst  also  der  Parameter  wie  das  Quadrat  der  Geschwindigkeit. 

Wenn  nuu  r  und  rt  beliebige  Längen  sind,  so  kann  man  die- 
selben also  als  Perihel-  und  Apheldistanzen  einer  der  unendlich  vielen 
elliptischen  Bahnen  anseheu  Im  Perihel  und  Aphel  aber  verhalten 
sich  die  Kräfte  wie  die  Quadrate  der  Geschwindigkeit  und  also  auch 
—  nach  dem  Flächeusatz  —  umgekehrt  wie  die  Quadrate  der  Ent- 
fernungen r  und  r,.    Somit  ist  Newton 's  Satz  abgeleitet.  (4) 

Bertrand  hat  selbst  die  oben  angegebeno  Voraussetzung  modi- 
ficirt  und  folgende  Aufgabe  gestellt: 


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278        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibewtglichen 


En  sachant  que  le-i  planltes  dex'rivent  de»  sectitms  amiques  et  mns 
rien  supjmser  de  plus:  tnniver  Pixpression  des  composantes  de  In 
force  qui  les  sollicüe,  exprimees  en  fontim  des  coordonnes  de  son 
point  cTapplication. 

Dieso  Aufgabe  ist  von  Darboux,,  (5)  Halphcn,  (6)  Imcbe- 
netsky,  (7)  Glaisher  (8)  behandelt  und  gelöst  worden. 

Man  darf  aber  trotz  des  vou  Bert  ran  d  gemachten  Zusatzes 
„saus  rien  supposer  de  plus"  nicht  Übersehen,  dass  Bertrand  an 
die  Stelle  von  Nowton's  durch  die  Beobachtung  festgestellten  Vor- 
aussetzungen unendlich  viele  andere  setzt,  die  sich  der  Controlc  durch 
die  Erfahrung  entziehen.  Denn  so  viele  elliptische  Bahnen  auch 
beobachtet  sein  mögen,  es  hiudert  a  priori  nichts ,  den  Anfangszu- 
stand  der  Beweguug  als  eine  wesentliche  Bedingung  für  die  Mög- 
lichkeit der  elliptischen  Bahn  anzusehen. 

Im  folgenden  wird  nun  die  Bertrand 'sehe  Voraussetzung  grund- 
sätzlich ausgeschlossen. 

§  7. 

Durch  den  Lehrsatz  von  Hamilton  ist  zwar  für  jede  beliebige 
Stellung  des  Attractionscentrums  in  der  Ebene  der  elliptischen  Bahn 
sofort  auch  das  Attractionsgesctz  gegeben ,  aber  dasselbe  wird  im 
allgemeinen  Consequenzen  ergebeu,  die  jeglicher  Erfahrung  wider- 
sprechen. Es  enthält  nämlich  der  Lehrsatz  vou  Hamilton  ausser 
der  Entfernung  (r)  vom  Attractionsccntrum  noch  die  variabele  Ent- 
fernung (q)  des  bowegteu  Punktes  von  der  festen  Polare  des  Attractions- 
centrums. Wenn  nuu  dieselbe  (q)  nicht  eine  eindeutige  Function 
der  Entfernung  (r)  ist,  so  ist  auch  die  Kraft  nicht  eine  eindeutige 
Function  der  Eutferuuug  (r). 

Hoppe  (t)  setzt  voraus,  dass  das  Potential  der  Kraft  (und  so- 
mit 'diese  selbst)  durch  die  Entfernung  eindeutig  bestimmt  sein 
müsse.  Er  findet,  dass  bei  dieser  Voraussetzung  das  Attractions- 
centrum  —  abgesehen  vom  Ellipsenmittelpunkt  —  auf  diejenigen 
Teile  der  Axen  beschränkt  ist,  welche  ausserhalb  der  Evolutenfläcbc 
liegen.  Seine  Resultate  leitet  er  durch  ermüdende  Rechnungen  aus 
den  gewöhnlichen  Differentialgleichungen  der  Centraibewegung  her. 
Aus  den?  Satze  von  Hamilton  ergeben  sie  sich  unmitelbar: 

Wenn  nämlich  das  Attractiouscentrum  (F)  (s.  Fig  6)  zunächst 
ausserhalb  der  Axen  stünde,  so  wäre  der  zu  MF  conjugirte  Durch- 
messer (MB)  schief  gegen  MF,  also  ebenso  auch  die  Polare  vou  F 
(d.  h.  67s),  und  je    zwei  Ellipsrnpuukte  (A,  At\  welche  von  der 


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Matsenpunkte*  untrr  dtr   Wirkung  von  Atfractionskrä/fen. 


279 


Polare  gleiche  Abstände  (p,  p,)  haben,  würden  von  P  verschiedene 
Entfernungen  (r,  r,)  haben,  und  umgekehrt.  In  diesem,  Falle  wäro 
also  die  Kraft  eine  mehrdeutige  Function  der  Entfernung. 

Wenn  ferner  das  Attractionsceutrum  «war  in  einer  der  Axen, 
aber  innerhalb  der  Evolutenfläche  und  nicht  im  Ellipsenmittelpunkte 
stände,  so  köunte  man  von  ihm  aus  eine  Normale  auf  die  Ellipse 
fällen,  deren  Fusspunkt  iu  keiner  der  Axen  liegt  Im  Endpunkte 
dieser  Normalen  (A)  (s.  Fig.  7)  wäre  die  Bewegungsrichtung  schief 
gegen  die  Axen  uud  also  auch  schief  gegeu  die  Polaro  (GE)  des 
Ccutrums  (F)  gerichtet.  In  je  zwei  unendlich j  nahen  Punkten 
Bx)  zu  beiden  Seiten  des  Fusspunktes  (.4),^  für  welche  die  Entfer- 
nungen (r,  r,)  gleich  gross  sind,  würden  also  die  Entfernungen  (p, 
p,)  von  der  Polare  verschieden  gross  sein. 

Das  Attractionsceutrum  ist  somit  auf  solche  Punkte  der  Axcu 
beschränkt,  von  denen  es  andere  Normalen  als  die  Axenrichtuugen 
nicht  giebt ,  d.  h.  es  ist  der  Mittelpunkt  oder  ein  Punkt  der  Axen 
ausserhalb  der  Evolutenfläche. 


Die  Voraussetzungen  von  Hoppe  sind  vom  physikalischen  Stand- 
punkt aus  gauz  unbedenklich,  aber  sie  führen  nicht  zur  vollständigen 
Bestimmung  des  Attractionsgesetzes.  Um  dies  zu  erreichen,  muss 
man  sie  durch  andere  ersetzen.  Zunächst  wird  man  es  als  selbst- 
verständlich ansehen  dürfen,  dass  nur  solche  Attractionscentren  vor- 
kommen können,  für  welche  sich  eiu  derartiges  Attractionsgesetz 
ergiebt,  dass  für  alle  reellcu  Eutfernungcu  (r),  auch  weuu  dieselben 
in  der  zu  Grnnde  gelegten  speciellen  Ellipse  nicht  vorkommen,  dio 
Kraft  einen  reellen  Wert  besitze.  Es  soll  nun  untersucht  werden, 
auf  welche  Lagen  das  Attractionscentrum  durch  diose  Annahme  be- 
schränkt wird. 

Zu  diesem  Zwecke  muss  zunächst  iu  der  Gleichung  (§  2.) 


als  Function  der  Eutfernung  (r)  ausgedrückt  werden. 

Po 

Die  Coordinaten  des  Attractiouscentrums  (F)  seien  /",  /.•;  die  des 
beweglichen  Punktes  xy\  die  irgend  eines  Punktes  der  Polare  des 
Attractionscentrums  i'ij;  dann  gelten  folgende  Gleichungen: 


§  8. 


4n* 


r 


i 


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280        Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  f reibewegliehen 


i  +  bt 


und  nach  den  Regeln  der  analytischen  Geometrie  ist 


}    Po  a«  6« 

Ans  dieser  und  den  beiden  folgenden 


2)  0  =  l-£-£ 

3)  r»  =  (*-/)*+(y -/>•)» 

muss  ir  und  y  eliminirt  werden.   Alsdann  findet  man  0  als  Function 

Po 

von  r  ausgedrückt,  und  es  soll  dieselbe  für  jeden  positiven  Wert 
von  r  einen  reellen  Wert  besitzen.    Es  muss  also  auch 


reell  sein. 


lim  [Co)] 
r=oo  L  r  J 


Nun  ergiebt  sich  aber  aus  der  zweiten  Gleichung,  dass  y  und  x 

gleichzeitig  unendlich  gross  werden ,  und  daher  kann  man  aus  der 

dritten  Gleichung  schliesseu,  dass  mit  r  zugleich  sowol  x  als  auch  y 
unendlich  werden.   Für  r=oo  erhält  man  demnach: 

y3      -  J»     r»_p*     e*  -e* 
xi  —   a*  *    x»  -        yt  -  bt 

und 

r  f   x      k  x 

Po  '  r  ™       a*  r       4*  r 

Da  aber  -  reell  und     imaginär  sich  ergeben  hat,  so  folgt,  dass 
r  r 

p 

der  Grenzwert  von    0 :  r  reell  ist,  nur  dann,  wenn  Ar  =  0  genommen 

P 

wird.  Hiermit  ist  das  Attractionscentrum  zunächst  auf  die  grosse 
Axe  der  Ellipse  beschränkt. 

Ferner  ergeben  die  beiden  letzten  Gleichungen  dnreh  Elimi- 
nation von  >j: 


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Maasenpunkte*  unter  der  Wirkung  von  Aliractionskrä/ien. 


281 


a,**  -  2fx  -f-     -f  f*  -  r«  =  o 

also  ist 

Aas  dieser  Gleichaog  kann  ferner  geschlossen  werden,  dass  das 
Attractionscentrum  nicht  zwischen  dem  Mittelpunkt  und  einem  Brenn- 
punkt stehen  darf. 

Wäre  dieses  nämlich  der  Fall,  so  wäre 

0</»<«« 

und  für  hinreichend  kleine  Werte  von  r  würde  x  imaginär  und  mit 
p 

x  zugleich  auch  -  (nach  der  ersten  Gleichung)  und  endlich  also 
Po 

auch  die  Kraft  tp. 

Wenn  dagegen  entweder  /  =  0  oder  f--*e%  oder  f*  >  e1  ist, 

so  hat  -  für  alle  positiven  Werte  von  r  einen  reellen  Wert,  und 
Po 

hiermit  zugleich  auch  <p. 

In  dem  Falle,  dass  /*  ^  e*  ist ,  lässt  sich  auch  das  Vorzeichen 

der  in  dem  Ausdruck  für  x  vorkommenden  Wurzel  bestimmen  Da 
nämlich  dieselbe  niemals  durch  null  hindurchgeht,  so  tritt  kein 
Zwiscbenwechsel  ein,  wie  sich  auch  r  ändern  möge  Da  nun  während 
der  Beweguug  auch  x  —  ü  vorkommt,  so  muss  das  Zeichen  immer 
dem  von  f  entgegengesetzt  sein.  Sieht  man  also  /*  als  positiv  an, 
so  muss 


gesetzt  werden;  und  alsdann  ist 

Q  x  _  */ 
Po        '  '  «* 

und  also  auch  9  eine  eindeutige  reelle  Function  vou  r. 

Hierdurch  ist  folgender  Lehrsatz  bewiesen: 

Wenn  unter  der  Wirkung  einer  nach  einem  festen  Centrum 
gerichteten  Attractionskraft  eine  elliptische  Bewegung  er- 
folgt, so  ist  die  erstere  für  jede  beliebige  Entfernung  eine 


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282       Kindel:  Von  der  tlliptischen  Bewegung  eine»  freibeweglichen 


reelle  Function  nur  unter  der  Bedingung,  dass  der  attra- 
hirende  Paukt  entweder  der  Mittelpunkt  oder  einer  der 
Breunpunkte  oder  ein  Funkt  der  grossen  Axe  ausserhalb 
der  Brennweite  ist. 


§  9. 


Der  im  vorigen  gewonnene  Ausdruck: 
4n«  r 


bat  für  alle  Entfernungen  r  oiuen  reellen  Wert,  wenn  die  absolute 
Entfernung  (/)  des  Attractionscentrums  vom  Mittelpunkt  der  Ellipse 
entweder  0  oder  gleich  e  oder  grösser  als  c  ist. 

Wenn  zunächst  7=0  ist,  so  wird 


Wenn  aber  /  _  e  ist,  so  wird,  jo  grösser  r  wird,  die  Gleichung 
sich  mehr  und  mehr  der  Form 


nähern,  die  freilich  nur  in  dem  Falle,  dass  /'=  c  ist,  das  Gesotz 
genau  darstellt.    Aber  wenigstens  für  unendlich  grosse  Werte  von 

r  wird  q>  verschwinden,  sobald        e  vorausgesetzt  wird. 

Im  übrigen  ist  die  Natur  des  Attractionsgcsetzes  wesentlich  da- 
von abhängig,  ob  das  Attractionscentrum  sich  ausserhalb  oder  inner- 
halb der  Ellipsenfläche  befindet. 

Wenn  erstens  sich  das  Attractionscentrum  ausserhalb  der  Ellipse 
befindet,  d.  h.  renn  />  a  ist,  so  lassen  sich  von  demselben  zwei 
Tangenten  an  die  Ellipse  ziehen.  In  den  Berührungspunkten  ist  die 
Geschwindigkeit  unendlich  gross ,  weil  sie  ja  der  senkrechten  Ent- 
fernung des  Attractionscentrums  von  der  Bewegungsrichtung  umge. 
kehrt  proportional  ist.  Mit  der  Geschwindigkeit  wird  aber  zugleich 
die  Kraft  (qp)  unendlich  gross,  während  r  gleich  der  Tangentcnlängo 
(r0)  ist.  Für  r  =  r0  verschwindet  also  der  Nenner  des  Ausdruckes 
für  <p }  für  r  <  r0  wird  der  Neuner  negativ,  d.  h.  <p  ist  nun  eine 


> 


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&Ia**enpunkte*  unter  der  Wirkung  von  Attracti»n$kra/ten. 


283 


Repalsionskraft ,  and  dieselbe  wird  kleiner,  je  kleiner  r  wird,  bis 
dieselbe  für  r  —  0  verschwindet.  Dagegen  ist  der  Nenner,  in  <p  für 
»">ro  positiv,  d.  h.  9  ist  nun  eine  Attraetionskraft  und  dieselbe 
wird  kleiner,  je  grösser  r  wird,  bis  dieselbe  für  r  —  oo  verschwindet 

Wenn  zwischen  sich  das  Attractionscentrum  in  einem  Endpunkte 
der  grossen  Axe  befindet,  d.  b.  wenn  f  —  a  ist,  so  wird  die  Ge- 
schwindigkeit und  die  Kraft  q>  in  diesem  Punkte,  also  für  r  =  0, 
unendlich  gross,  bei  wachsendem  r  findet  endliche  Attraction  statt, 
die  erst  für  r  =»  oo  verschwindet. 

Wenn  drittteus  sich  das  Attractionscentrum  innerhalb  der  Ellip- 
senfläche befindet,  wenn  also  e<if<ia  ist,  so  wird  zunächst  der 
in  <f  enthaltene  Neuner  für  keinen  reellen  Wert  von  r  verschwinden. 

Denn  gesetzt,  er  wäre  null,  so  müssto 


imaginär  sein. 

Hieraus  folgt,  dass  für  r  =  0  auch  <p  versehwindet,  dass  ferner 
für  wachsende  Werte  von  r  stets  endliche  Attractiou  stattfindet,  dio 
bis  zu  einem  gewissen  Maximum  ansteigt,  dann  aber  wieder  abnimmt 
bis  dieselbe  für  r  =■  <x  verschwiudet. 

Wenn  nun  z  B.  durch  Beobachtung  festgestellt  ist,  dass  gewisse 
Körper  in  allen  Entfernungen  eine  Anziehung  ausüben ,  die  mit 
wachsender  Entfernung  iortwährend  abnimmt,  so  sind  um  dieselben 
nur  derartige  elliptische  Bewegungen  möglich,  dass  sie  iu  eiuem  der 
Brennpunkte  oder  der  Eudpunkte  der  grosseu  Axe  stehen,  uud  weun 
die  Anziehuug  mit  wachsender  Entfernung  fortwährend  zunimmt,  so 
müssen  sie  im  Mittelpunkte  der  Ellipse  stehen. 


Es  werde  »ferner  vorausgesetzt,  dass  um  ein  und  dasselbe 
Attractionscentrum  zwei  verschiedene  Bewegungen  erfolgen,  und  dass 
die  aus  beiden  Bewegungen  abgeleiteten  Attractionsgesetzo  für  alle 
reellen  Werte  der  Entfernungen  reelle  und  übereinstimmende  Werte 
für  die  Kraft  ergeben.  (')  Es  soll  untersucht  werden,  wie  durch 
diese  Annahme  die  Lage  der  Contren  beschränkt  wird. 


und  also 


§  10 


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284-        Kindel:   Von  der  elliptisehen  Bewegung  eine*  freibewegUchen 

Aus  den  gemachten  Voraussetzungen  folgt  unmittelbar,  dass  die 
Centren  in  den  grossen  Axen  der  elliptischen  Bahnen  stehen  müssen, 
und  während  in  der  einen  Bahn  «,  6,  e,  f,  T  die  früheren  Bedeu- 
tungen haben,  mögen  av  bx%  c,,  /„  r,  die  entsprechende  Bedeutung 
für  die  andere  elliptische  Bahn  haben.  Forner  folgt  aus  der  Vor- 
aussetzung, dass  für  jeden  reellen  Wert  von  r 

4**  r  

f  —  j«  " 


An* 

TS 


sein  muss,  also  folgt  auch 


also  auch  (durch  Differentiation) 

TM.  *  1/h  - ~^rW=  r,<  .  -6  l-'V  ,<  +  "f 

und  hieraus  ergiobt  sich,  wenn  /'  von  0  verschieden  ist, 

*(»-$)-*(»-$) 

und  aus  1) 

■"•(»-©-'.'•(HÜ) 

Diese  Gleichungen  sind  zunächst  für  f  =  e  und  /,  «  erfüllt, 
wenn 

r»i  j     r,* » 

a  «, 

(drittes  Kcpler'sciles  Gesetz)  ist. 

Wenn  nun  aber  die  bekannten  Fälle 

/  ~  0,  /,  -  0 


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Masienpunltes  unter  dtr  Wirkung  von  Attractionslräften.  285 


ausgeschlossen  werden,  so  folgt  aus  den  obigen  Gleichungen,  wenn 
gesetzt  wird 

2) 

und  da  ferner 

ae  axel 

*(-s)-v(.-a 

sein  muss,  so  ergiebt  sich  durch  Auflösen  beider  Gleichungen: 

3)  ;   

i  /•,     «,1/  i 

Bei  der  oben  gemachten  Annahme  können  also  zwar  die  Formen 
der  beiden  elliptischen  Bahnen  selbst  beliebig  angenommen  werden, 
aber  alsdann  ist  das  Yerhältniss  der  Umlaufszeiten  und  die  Stellung 
des  Attractionscentrums  und  somit  das  Attractionsgesetz  selbst  durch 
die  Gleichungen  2)  und  3}  völlig  bestimmt. 

Eine  bemerkenswerte  Folgerung  ist  ferner,  dass,  wenn  der  obigen 
Annahme  noch  das  dritte  Keppler'sche  Gesetz  als  Voraussetzung 
hinzugefügt  wird,  sich  das  Newton'sche  Gesetz  als  Folgerung  ergiebt. 

Wenn  nämlich 

T  *         n  * 

T*  ~  a* 

vorausgesetzt  wird,  so  folgt 

-Vf-Vi 

und  somit 

/-  =  v^,V  71'  ,  =  i 

e  1  f  aat  (a  —  ax) 

und  ebenso 


Also  inuss  die  Attraction  dem  Newton'schen  Gesetz  ent- 
sprechen, d.  h.: 


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286        Kindel:    Von  der  elliptischen  Bewegung  eine»  freibeweglivhen 

Wenn  nm  das  nämliche  Attractionscentrum  zwei  ellip- 
tische Bewegungen  erfolgen,  and  wenn  die  Quadrate  der 
Umlaufszeiten  sich  wie  die  Kuben  der  mittleren  Entfernungen 
verhalten ,  so  ist  das  Attractionscentrum  notwendig  der 
gemeinschaftliche  Brennpunkt,  (da  sonst  die  aus  beiden 
Bewegungen  abgeleiteten  Ausdrücke  für  die  Centraikraft 
nicht  identische  reelle  Functionen  der  Entfernung  wären). 


Vierter  Teil. 

§  11. 

Wenn  die  Kraft,  welche  einen  frei  beweglichen  Punkt  durch 
eine  gegebene  Curve  treibt,  stets  nach  einem  festen  Centrum  ge- 
richtet ist,  so  ist  durch  den  Satz  von  der  Coustanz  der  Flächen- 
geschwindigkeit des  Badius-Vectors  auch  die  Geschwindigkeit  eine 
gegebene  'Function  der  Coordinaten,  und  es  ist  also  die  Aufgabe, 
unter  den  angegebenen  Bedingungen  die  Kraft  zu  bestimmen,  nur 
eine  Specialisirung  der  allgemeineren  Aufgabe : 

Es  XfJl  diejenige  Kraß  bestimmt  werden  welche  einen  frei 
Iteiceglichen  IhtnU  durch  eine  gegebene  Cnvve  treibt  und  ihm  eine 
beliebig  gegebene  ceründerlicJte  Geschwindigkeit  erteilt. 

Diese  Aufgabe  ist  schon  durch  die  von  Huyghens  (*)  für  die 
normale  und  tangentiale  'Componente  angegebener  Ausdrücke  - 

und  »~-  gelöst  worden. 

Es  können  aber  zwei  der  Richtung  und  Grösse  nach  bestimmte 
Kräfte  auf  unendlich  viele  Weisen  durch  zwei  andere  ersetzt  werden. 

Mau  kann  zunächst  z.  B.  die  tangentiale  (3)  Richtung  für  eine 
der  beiden  Componenten  beibehalten,  und  um  über  die  zweite  Richtung 

dv 

frei  zu  verfügen,  kann  man  zu  der  tangentialen  Kraft  v  ,  eine  ganz 

willkürliche  Kraft  (—  y)  addiren,  und  endlich  die  tangentiale  Kraft 

(-HO  und  die  normale  Kraft   -    zu  einer  Kraft  (FJ  zusammen 

setzen.  Durch  passende  Bestimmung  der  Kraft  (i^)  kann  man  er- 
reichen, dass  diese  Resultante  (Ft)  durch  einen  gegebenen  festen 
Punkt  geht  oder  einer  gegebenen  Richtung  parallel  ist,  oder  mit  der 
Tangente  einen  gegebenen  Winkel  bildet  etc.  (4). 


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AJattenpunkles  unter  dar  Wirkung  von  Altractionxkräften. 


287 


Man  kann  ferner  aach  die  Richtungen  beider  von  Hnyghens 
bestimmten  Compunenten  ändern,  so  dass  die  eine  Componente  (F*,  J 
nach  einem  festen  Punkte  (Ö)  gerichtet  ist,  die  andere  (Fi)  anf  der- 
selben senkrecht  steht.  (5). 

Bezeichnet  a  den  Wiukel  zwischen  der  Beweguugsrichtung  und 
dem  Radius-Vector  (r  oder  PO),  so  ist 

v*  ,  dv 
F,  =     sino  4-  v  ,  Cosa 
1       o  1  ds 

v*  dv 
F«  =  —    cos«  +  v  j-  sino 
*  ()  1  dg 

Bezeichnet  ferner  D  die  von  O  auf  die  Bowegungsrichtung  ge- 
fällte Senkrechte,  so  ist 

sin  a  =  — 

Endlich  hat  man  noch  die  Gleichungen 

-  dr 
"»*--#- 

rdr  «=  prf/j  (6) 

Substituirt  man  diese  Werte  in  die  vorigen  Ausdrücke,  so  er- 
halt man  nach  wenigen  Reductionen: 


«*T  v  dr  d(I)v{ 
1  ™  PD"  D  ds  d\s 


v  d(Dv) 
F*  ™  r  d*~ 


Wenn  die  gesamte  wirkende  Kraft  nach  O  gerichtet  ist,  so  folgt: 

rs  =  0,   und  also 
Z>y=  const. 

Ft  =  cons*  ~j 

(1  h  es  gilt  der  Ratz  von  der  Constanz  der  Flächengescbwindigkeit 
and  der  Satz  von  Moivrc. 

Die  obigen  Formeln  enthalten  ausserdem  folgenden  allgemeinen 
Satz: 

Eine  beliebige  ebene  Curve  werde  mit  beliebig  veränder- 
licher Geschwindigkeit  von  einem  frei  beweglichen  Punkte 


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Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  f reibeweglichen 


durchlaufen.  In  jedem  Punkte  (P)  der  Curve  ist  die  Kraft 
nach  solchen  Punkten  (O)  gerichtet,  für  welchen  die  Flä- 
chengeschwindigkeit  des  Radius- Vectors  in  P  einen  Maxi- 
mal- oder  Minimalwert  erreicht. 


§  12. 

Anstatt  die  Richtungen  der  Componenten  dadurch  zu  bestimmen, 
dass  die  eine  durch  einen  festen  Punkt  geht,  die  zweite  aber  auf 
der  ersten  senkrecht  steht,  kann  man  auch  verlangen,  dass  beide 
Richtungen  je  durch  einen  Punkt  (O,  ot)  hindurchgehen.  Die  zu 
lösende  Aufgabe  ist  dann  folgende: 

Es  sollen  diejenigen  nach  zwei  festen  Centren  (O.  O, )  gerichteten 
Attractionxkräfle  bestimmt  werden ,   welche   einen  frei  beweglichen 
Afussenjntnkt  durch  eine  gegeltetie  Curve  treifon  und  Htm  eine  ge- 
gebene veränderliche  Geschwindigkeit  erteilen. 
• 

Die  nach  0,  O,  gerichteten  Kräfte  seien  resp.  P,  Pt.  Mit  An- 
wendung der  früheren  Beziehungen  erhält  man: 


1) 


oder  da 


N  -  -  -  Psina-f-  Px  siu«, 
T=  t>  *  -  /»sin«  -f  Fj  cog«, 

-  cosot  -  v^sino,  —  Psm)a  —  «,) 
r8  dv 

-  cosa  —  v  d](  sin  a  —       sin(o,  a) 

—  dr  D 
cos«  —    ^  ,     sin  a  =  -  ,    rdr  QdD 

cosa,  =  - 7^,     siua7  -  ~\    rxdrx  =  gdDt 

.  i 


ist,  so  folgt: 

u  t   I  *        V  d(rD0 


-vd  (vi)) 
^,8111(0,-0)-—  'iLs- 


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MasitnpunlcU»  unter  der  Wirkung  von  AltractionakrSfUn. 


289 


Bezeichnet  man  endlich  den  Abstand  der  beiden  Centren  mit 
2«,  so  folgt 


2e  r  _r. 


nnd  also 


2) 


Bin(cr,  —  a)  '  sin(r,  e)  sin(re) 
f  Jfj  2t?  sin(f*j  t  =  «■  v 


Ps\n(re)  unc  P,  sin  (r, «)  sind  diejenigen  Componenten  Q,  Q,,  deren 
Richtungen  auf  der  Verbindungslinie  der  beiden  Attractionscentren 
senkrecht  stehen. 

Für  diese  folgt 

R  :  Q,  —  d(vDt)  :  -  d(vD) 

d.  h.  die  genannten  Componenten  stehen  im  umgekehrten  Verhältniss 
der  Fläcbenbeschlcunigungen. 

Ferner  enthalten  die  Gleichungen  2)  den  Lehrsatz: 

Wenn  in  einem  Punkto  der  Bahn,  welcher  nicht  zugleich 
auf  der  Verbindungslinie  der  beiden  Attractionscentren 
liegt,  eine  der  um  die  beiden  Centren  vorhandenen  Flächen- 
geschwindigkeiten einen  Maximal-  oder  Minimalwert  er- 
reicht, so  muss  in  diesem  Puukte  die  nach  dem  andern 
Centrum  gerichtete  Kraft  verschwinden. 

Wenn  die  Gleichungen  2)  im  besonderen  auf  eine  elliptische 
Bahn  angewendet  werden,  bei  welcher  die  Breunpunkte  die  Attrac- 
tionscentren sind,  so  erhält  man  aus  ihnen: 

m'2       v  dv 
e  -  2rr~  ~~  2  dr 

avs       v  dv 
4  °  2^  ~  2  dr~x 

Diese  speciellen  Formeln  erhält  man  freilich  leichter  direct  in 
folgender  Weise: 

Die  normale  und  tangentiale  Componente  seien  (s.  Fig.  8) 

t>*  — 

N  =  AC 

9 

A.n*.  d.  Math.  u.  Phy».   2.  Reihe,  T.  XV.  It 


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290        Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibewegliehen 

dv   

T  =  V  ,    =  AB 

Jede  derselben  werde  in  zwei  nach  den  Brennpunkten  F,  Ft  ge- 
richtete Componenten  zerlegt,  bo  dass  AC  durch  AD  und  AE,  AB 
durch  AG  und  AK  ersetzt  werden  dürfen. 

Dadurch  orhält  man  die  gesuchten  nach  dem  Brennpunkto  ge 
richteten  Kräfte  P,  P„  nämlich 

P  mm  AD  —  AG 
P,  =  AK  -f-  AK 

Da  ferner  die  Kräfteparallelogramme  gleichseitige  sind,  (weil 
Wkl.  KAC  =  Wkl.  CAD  -  ß\  so  folgt 

T 

AG  «-  i4Ä'  =  0 -  - 
2  sm  p 

In  den  für  die  Ellipse  gebräuchlichen  Bezeichnungen  ist  nun: 

sm  fl  =  r-  . 


cos  ß  = 


b  rri 


Vrr,  aQ 


Durch  Substitution  dieser  Werte  erhält  man  das  oben  ange- 
gebene Resultat. 


§  13. 

Die  zuletzt  behandelte  Aufgabe  ist  wiederum  eine  Specialisirung 
von  folgender: 

Es  verde  eine  gegebene  Curve  r«m  einem  frei  Iteweglichen 
Afassenpunkte  unter  der  Wirkung  beliebig  vieler  Centralkrüfte 
durchlaufen,  die  nach  gegebenen  Punkten  gerichtet  sind.  Es  soll 
die  Bedingung  angegeben  werden,  welche  diese  Centralkrüfte  er- 
füllen müssen. 

Diese  Aufgabe  ist  von  Curtis  (')  behandelt  worden.  In  die 
von  ihm  gegebene  Lösung  gehen  auch  diejenigen  Attractionskräfte 
(<Z>)  ein,  welche  einzeln  einen  frei  beweglichen  Massenpunkt  bei 
passenden  Anfangsbedingungen  durch  dieselbe  Curve  treiben  würden. 
Es  werden  aber  häutig  diejenigeu  Kräfte,  welche  einzeln  die  gegebene 


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Mastenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Attraclionskräßen.  29 1 


Bahn  zulassen  würden,  complicirtero  Functionen  der  Entfernung 
sein,  als  die,  welche  bei  ihrem  Zusammenwirken  dieselbe  Bahn  her- 
vorbringen. 

Wenn  z.  B.  beliebig  viele  Attractionscentren  verschiedener  Masse 
(m)  einen  Punkt  mit  einer  der  Entfernung  (L)  und  der  eigenen 
Masse  proportionalen  Kraft  (mL)  anziehen,  und  wenn  sie  so  verteilt 
sind,  dass  ihr  Schwerpunkt  in  den  Mittelpunkt  der  Ellipse  fällt,  so 
ist  bei  passenden  Anfangsbedingungen  die  gegebene  elliptische  Bahn 
möglich.  (2)  In  diesem  Falle  sind  die  Attractionskräfte  compli- 
cirtero Functionen  als  die  Kräfte  (F) ,  welche  bei  gemeinsamem 
Wirken  die  elliptische  Bahn  ermöglichen. 

Im  übrigen  findet  man  die  gesuchte  Bedingung  nach  der  Methode 
von  Curtis  sofort: 

Es  seien  ry  die  Coordinaten  des  bewegten  Punktes, 

f\  *ii  f\  *2  •  •  •  die  der  Attractionscentren, 

Z,„  Lt     ...  ihre  Entfernungen  von  sy, 

</,,  qt      ...  ihre  senkrechten  Entfernungen  von  den 
Bewegungsrichtungen, 

/',,  I\    ...  die  einzelnen  Attractionskräfte, 

2V„        .  .  .  ihre  normalen, 

Tu  1t    •  -  •  ibre  tangentialen  Componenten. 

Nach  den  oft  gebrauchten  Bewegungsgleichungen  ist  : 

9  L 

und  zwar  erstreckt  sich  die  Summation'  über  die  verschiedenen 
Attractionscentren. 

Die  letzte  Gleichung  wird  integrirt  und  der  für  »*  erhalteue 
Wert  in  die  ersterc  eingesetzt.  Man  erhält  alsdann  die  gesuchte 
Bedingung: 

pb 

QZ  —  —  22  f  PdB  =  const. 
Wenn  im  speciellen 
angenommen  wird,  so  ist 

19* 


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292         Kinde  :  Von  der  elliptitchen  Bewegung  eines  freibeweglichen 

zo  setzen,  und  bei  dieser  Annahme  erhält  die  Bediugungsgleiehung 
die  Form: 

2eLn-i  |gg  +  «  const. 

und,  wenn  diese  Gleichung  auf  eine  elliptische  Bewegung  angewendet 
werden  soll,  so  muss 

b  ,  

y  =  -  V  a*  -  x* 

(l 

X«  -  6»  -f  ft  -|_  &  —  2/x  -f  *«x*  -  2fy 
gesetzt  worden. 


Fünfter  Teil. 

§  14. 

Im  vorigen  §  ist  eine  gewisse  Verteilung  der  Attractionscentren 
erwähnt,  unter  deren  Wirkung  eine  elliptische  Bewegung  möglich 
ist,  wenn  die  Attractionsgeaetzo  sämtlich  der  Gleichung 

P  -  cK 

entsprechen.  Es  muss  aber  noch  untersucht  werden ,  ob  diese  Ver- 
teilung die  einzig  zulässige  ist.  Zu  diesem  Zweck  wird  in  der  all- 
gemeinen Bedingungsgleichung  des  vorigen  §  n  =  1  gesetzt.  Man 
erhält  somit: 

£c(qQ  +  Lr)  -  C 

Zu  jedem  Werte  von  x  gehören  zwei  einander  entgegengesetzte 
Werte  y.  Wenn  nun  die  obige  Summe  einen  constanten  Wert  haben 
soll,  so  muss  derjenige  Teil,  welcher  mit  y  sein  Zeichen  wechselt, 
verschwinden,  d.  h. 

*i  +2J  "  0 

Hieraus  folgt,  dass 

Zeh  -  0 


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Mansenpunktea  unter  der  Wirkung  von  Atlractionskräfttn. 


293 


sein  muss;  und  da  nun  auch  das  Zeichen  von  x  beliebig  geändert 
werden  kann,  so  ergiebt  sich  in  derselben  Weise,  dass  auch 

0 

sein  rauss.    Es  reducirt  sich  also  die  obige  Bedingungsgleichung  auf 

wodurch  bloss  der  Wert  der  Coustauten  C  bestimmt  ist.  Dio  Glei- 
chungen 

2TC/-0,     2ck  =  0 

Ichreu,  dass,  wenn  die  Attractiouskräfto  proportional  der  Masse  und 
der  Entfernung  sind,  die  Centreu  so  verteilt  sein  müsseu,  dass  der 
Ellipsenmittelpuukt  ihr  Schwerpunkt  ist. 


§  15. 

Es  werde  ferner  vorausgesetzt,  dass  allo  Attractionscentren  nach 
(jravitatiousgesetzon  auzicheu.  Die  Bediuguugsgleiehung  für  ellipti- 
sche Bewegung  reducirt  sich  dann  auf 


Zunächst  soll  hieraus  der  bekannte  Satz  abgeleitet  werden,  dass, 
wenn  nur  eine  Gravitationskraft  vorhauden  ist,  diese  nach  einem 
Uieuupuukte  gerichtet  sein  muss. 

In  diesem  Falle  heisst  die  obige  Gleichung: 

c* -«.«..)  (i  ,ft)- 

Durch  Quadrircn  der  Gleichuug,  durch  Ordnen  nach  der  Irra- 
tionalität 

ond  abermaliges  Quadriren  erhält  man  hieraus  eine  gauze  Function 
von  j-,  die  für  alle  Werte  von  x  zwischen  -f-  a  und  —  a  verschwin- 
den muss.  Hieraus  folgt,  dass  dieselbe  identisch  verschwinden  muss, 
dass  also  auch  x  —  «  gesetzt  werden  darf.  Für  r  —  x>  erhält  man 
aber 


294        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  fr eibewr glichen 

y*      -b*        ,    Ä-s  , 

%  —  -  5-    uud     j.  =  £2 

und  aus  der  obigon  Bedinguugsgleichung: 

C  L* 


\a*  1   b*  x)       rj  xl 


Da  nun  hierin  *  der  einzige  imaginäre  Wert  ist,  so  folgt  zu- 
nächst, dass  k  =  0  sein  muss.  Hierdurch  vereinfacht  sich  die  Be- 
dingungsglcichung  zu: 

in  welcher 
zu  setzen  ist. 

Nun  verschwindet  aber  L  höchstens  für  zwei  verschiedene  Werte 
von  ac,  folglich  darf  auch 


HO 


höchstens  für  zwei  verschiedene  Worte  verschwindeu,  und  daher 
muss  entweder  f  —  0  oder 

a2  a 

r  _±« 

d.  h.  f=ie  sein.  Die  Annahme  ✓ 0  ist  aber  nicht  statthaft, 
weil  sonst  L  nur  für  imaginäre  Werte  von  x  verschwinden  würde, 
nicht  abor  für 

x  —  -1 — 
—  f 

Es  bleibt  also  nur  die  einzige  Annahme  /*=+<•,  für  welche  die 
Bedingungsgleichung  erfüllt  ist,  wenn 

c  =  -ff 

a 

gesetzt  wird- 

§  16. 

Es  bleibt  jetzt  noch  zu  untersuchen,  unter  welchen 
dio  Summe  der  Functionen 


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MatsenpunkUa  unter  der  Wirkung  von  AttrauionakrSften, 


295 


L  Z5  zJ 

constant  sein  könne. 

Man  denke  sich  für  irgend  einen  Anfangswert 

x  =  xQ 

einen  der  zugehörigen  Werte 

berechnet;  damit,  ist  auch  der  Anfangswert  für  jedes  eindeutig 
bestimmt  Um  nun  y  und  L*  in  eindeutiger  Weise  über  die  ganze 
Ebene  der  Variabelu  x  auszubreiten ,  denke  man  sich  zunächst  eine 
sich  von  -f-a  bis  — a  erstreckende  Linie  ausgeschieden.  Wenn 
x  von  s,j  aus  sich  über  die  ganze  Ebene  ausbreitet,  ohne  jedoch  die 
angegebene  Grenze  zu  überschreiten,  so  wird  y  und  damit  auch  L% 
eindeutig  über  die  ganze  Ebene  ausgebreitet.  Dadurch  wird  aber 
noch  nicht  der  ganze  Wertvorrat  beider  Functionen  erschöpft.  Um 
auch  dieses  zu  erreichen,  denkt  man  sich  unter  die  erste  Ebene  noch 
eine  zweite  geheftet  und  ordnet  jedem  x  der  unteren  Ebene  das- 
jenige y  zu,  welches  dem  vorigen  gerade  entgegengesetzt  ist.  Beide 
Ebenen  werden  längs  der  Greuzliuie  kreuzweise  aneinander  geheftet, 
nnd  alsdann  sind  y  uud  L1  eindeutig  und  stetig  über  die  zweiblättrige 
Fläche  ausgebreitet  Im  oberen  Blatte  mögen  dio  Werte  mit  y  und 
L\  und  im  unteren  mit  y'  und  Lv  bezeichnet  werden. 

Wenn  nun  x  sich  in  einem  geschlossenen  Teilo  bewegt,  der 
keinen  Nullpunkt  von  /..-'  enthält,  so  ist  in  demselben  auch  L  ein- 
deutig, wenn  aber  in  demselben  ein  Nullpunkt  vorkommt,  so  kann 
bei  der  Umkreisung  desselben  ein  Zeicheu Wechsel  eintreten.  Im 
letzteren  Falle  möge  der  Nullpunkt  als  singulare  Stelle  bezeichnet 
werden.  Um  nun  die  singulären  Stellen  vou  L*  zu  finden,  müsseu 
die  Nullpunkte  von  H  bestimmt  werden.  Dieselbeu  mögen  mit  c 
bezeichet  werden;  sie  genügen  der  biquadratischen  Gleichung: 

+ e  +  #  -  m  +  «sv  -       -  s»)  -  o 

Diese  Gleichung  zerfällt  nach  einigen  Rcductionen  in  die  beiden 
quadratischen 


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296       Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 

j  a» + (f + h Y^i)*  -  2*(  f+k  Y^T)  +     =  o 

I     +  V-l;*  -  m  -  k  Y-  •  1)  +  i4*1  =  0 

die  Function  L*  hat  also  im  allgemeinen  vier  Null  paukte  £„  |j,£3, £4. 
Ii,     genügen  den  Gleichungen 

Ii  £|  —  ~t 

und  *£3  und  $4  sind  zu  |,,  i's  conjugirt.  Die  Nullpunkte  5,  und  ;0 
sind  von  einander  verschieden,  ausser  wenn 

d.  h.  wenn 

k  —  0    und  = 

ist;  und  die  Nullpunkte  £|;  £s  sind  auch  von  |s,  £4  verschieden,  ausser 
wenn  die  obigen  beiden  quadratischen  Gleichungen  eine  Wurzel  ge- 
meinschaftlich haben,  weun  dieselbe  also  auch  der  Differenz  beider 

Gleichungen   

±k{f  -  |)  Y-  1 

zukommt,  wenn  also  entweder  k  -»  0  oder  /  =  $  ist. 

Wenn  aber  f  —  £  eine  Wurzel  der  biquadratischen  Gleichung 
sein  soll,  so  muss 

t>*  +f*  —  jfc*  _  2A»  +  i»/1  -  0 

d.  b. 

sein;  es  muss  also  der  Punkt  (fk)  ein  Punkt  der  Ellipse  sein 

t%%  Ist  5ti  1*4  sind  also  sämtlich  von  einander  verschieden,  ausser 
wenn  k  —  0,  oder  wenn  {fk)  ein  Punkt  der  Ellipse  ist 

Wenn  aber  <Jk)  ein  Tunkt  ausserhalb  der  grossen  Axe  und  in- 
nerhalb des  Ellipsenumfanges  ist,  so  ist 

Ii  -%t-f 
dagegen  ist  i",  nach  der  Gleichung 


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Mastenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Attractionskräften.  297 

imaginär  und  also  sowol  von  £,  wie  auch  von  dem  conjugirton  Werte 
f4  verschieden.  In  diesem  Falle  sind  also  zwei  Nullpunkte  einander 
gleich,  die  beiden  anderen  aber  von  diesen  und  unter  sich  verschieden. 

Wenn  endlich  k  =  0  ist,  so  reducirt  sich  Z,2  auf  b*-\-f*  —  2f$ 
-f-£*c*,  und  diese  Function  hat  zwei  Nullpoukte  i,,  welcho  von 
einander  verschieden  sind,  ausser,  wenn  fl  =-  e>  ist. 

Die  obige  biquadratische  Gleichung  hat  also: 

1)  vier  verschiedene  Wurzeln,  wenn  fk  ein  Punkt  ausserhalb 
der  grossen  Axo  und  ausserhalb  der  Ellipse  ist-, 

2)  zwei  Wurzeln  (=/*)  und  zwei  verschiedene  einander  cou- 
jugirte,  wenn  {fk)  ein  Puukt  ausserhalb  der  grossen  Axe 
und  innerhalb  des  Ellipseuumfauges  ist; 

3)  zwei  Paare  von  gloichcn  Wurzeln,  wenn  fk  ein  Puukt  der 
grosseu  Axe  ausserhalb  der  Breuupunkto  ist; 

4)  vier  einander  gleiche  Wurzeln,  wenn  fk  ciuer  der  beiden 
Brennpuukte  ist 

Ferner  sind  die  Wurzeln  von  +  a  verschieden,  ausser  wenn 

*4  +/*  +  *  +  2/a  -f  e*a*  =  0 

d.  h. 

o  —  ±  f   und    k  =~  0  ist. 


§  17. 

Es  soll  nun  untersucht  werden,  welche  der  Nullpunkte  c  sin- 
gulare Stellen  der  Function  L  sind.  Die  linke  Seite  der  biquadra- 
tischen Gleichung  für  \  ist  das  Product  L?  .  /,'*  Man  hat  also 
nach  der  Theorie  der  Gleichungen: 

LL'  =  t»  g,)  (x  -  |f)  (x  -      («  -  W 

Wenn  nun  g  ein  Nullpunkt  erster  Ordnung  ist ,  so  wechselt 

ym  —  t|   bei  der  Umkehrung  von  i",  das  Vorzeichen ,  während 

Y{x  —  §i )  (x  —  it(x  —  f3)  zu  dem  ursprünglichen  Werte  zurück- 
kehrt; es  muss  aber  auch  diejenige  der  Functionen  L,  V  das  Vor- 
zeichen wechseln,  welcher  f ,  als  Nullpuukt  angehört.  Jeder  Null- 
punkt erster  Ordnung  ist  also  zugleich  eiu  siugulärcr  Punkt. 

Wenn  dagegen  {,  ein  Nullpunkt  zweiter  Ordnung  ist,  so  tritt 
bei  seiner  Umkehrung  ein  Vorzeichon  in 


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298        Kindel:   Von  der  elliptischen  Btweijumj  eines  freibeweglichen 

nicht  ein,  also  werden  L  und  V  entweder  beide  das  Zeichen  wech- 
seln oder  beide  zum  ursprünglichen  Werte  zurückkehren.  Wenu 

nun  L  und  /,'  von  einander  verschieden  sind,  d.  h.  wenn  k  ^  0  ist, 

so  gehört  |,  nur  einer  der  beiden  Functionen,  z.  B.  L  als  Nullpunkt 
an;  alsdann  muss  V  zu  seiuem  ursprünglichen  Werte  zurückkehren, 
somit  muss  auch  L  zum  urspünglichen  Werte  zurückkehren,  und  in 
diesem  Falle  ist  §t  nicht  siugulärer  Punkt. 

Wenn  dagegen  k  —  0  und  also  L  =  V  ist,  und  wenn  £,  ein 
Nullpunkt  zweiter  Ordnung  der  biquadratischon  Gleichung,  also  ein 
Nullpuukt  erster  Ordnuug  von 

V-  =     -f  /•»  -  2/s  + 

ist,  so  ist  es  zugleich  siugulärer  Punkt  von  L,  und  wenn  c,  ciu  Null- 
punkt vierter  Ordnung  ist,  so  ist  L  eine  eindeutige  Function  ohne 
singulare  Stellen. 

Somit  sind  folgende  Sätze  bewiesen: 

1)  Wenn  fk  ein  Punkt  ausserhalb  der  grossen  Axe  und  ausser- 
halb des  Ellipsenumtanges  ist,  so  hat  L  vier  gotrennte 
singulare  Stelleu. 

2)  Wenu  fk  ciu  Punkt  ausserhalb  der  grossen  axc  uud  inner- 
halb des  Ellipsenumfauges  ist,  so  hat  L  zwei  verschiedene 
singulare  Stellen. 

3)  Wenn  fk  ein  Punkt  der  grosseu  Axe  und  ausserhalb  der 
Brennpunkte  i3t,  so  hat  L  verschiedene  singulare  Stellen. 

4)  Wenn  fk  ein  Brennpunkt  ist,  so  hat  L  keine  singulären 
Stelleu. 

Uebrigens  siud  die  singuliireu  Stellen  sämtlich  vou  ±_a  ver- 
schieden, ausser  wenn  f  =  ±  a  und  k  —  0  ist. 

§  18. 

Endlich  muss  noch  folgender  Lehrsatz  bewiesen  werden: 

Wenn  zwei  Functionen  L  und  £, ,  welche  sich  auf  die 
Attractionscentren  fk,  /,  fr,  beziehen,  alle  singulären  Stellen 
gemeinschaftlich  haben,  so  sind  sie  identisch. 


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Massenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Altrat  tionskrSften. 


299 


1)  L  und  Lx  mögen  zunächst  vier  singulare  Stellen  gemeinschaft- 
lich haben;  dann  müsseu  die  biquadratischen  Gleichungen,  welche 
aus  ihnen  abgeleitet  sind,  identisch  übereinstimmen  ,  also  auch  die 
daraus  abgeleiteten  quadratischen,  und  also  auch 

f  +  h  V-l  -  fx  +  hx  V-  1 

Die  beiden  Punkte  fk  und  fxkx  könnten  sich  also  höchsteus  im 
Vorzeichen  von  k  unterscheiden.  Aber  auch  dieser  Unterschied  ist 
nicht  möglich,  da  sonst  L  uud  Lx  durchaus  von  einander  verschieden 
wären,  also  die  Nullpunkte  nicht  gemeinschaftlich  haben  könnten. 

2)  L  und  Lx  mögen  forner  ihre  beiden  singulären  Stolleu  ge- 
mein haben. 

Unter  dieser  Voraussetzung  liegen  die  Punkte  fk  und  /,  kt  ent- 
weder in  der  grossen  Axo  oder  im  Ellipsenumfange. 

Liegen  sie  beide  in  der  grossen  Axe,  so  müssen  nach  der  Gloi- 
chung 

die  Functionen  L  uud  Lx  übereiustimmeu ;  liegeu  sie  beide  im 
Ellipsenumfange,  so  müssen  nach  don  Gleichungen 

fs  +  h  =    Crte  V-~i) 

da,  wie  schon  oben  bemerkt,  ein  Unterschied  im  Zeichen  k  unmög- 
lich ist,  die  Functionen  L  und  Lx  ebenfalls  übereinstimmen. 

Die  Annahme  eudich,  dass  einer  der  Puukte  (fk)  in  der  grossen 
Axe,  der  andre  (t\kx)  ausserhalb  dersclbeu  im  Ellipsenumfange  liege, 
ist  nicht  statthaft,  weil  wenu  L?  und  Lx2  in  einem  der  beiden  Blätter 
einen  Nullpunkt  gemeinsam  haben,  der  im  auderu  Blatt  entsprechende 
Punkt  ebenfalls  Nullpunkt  von  V%  ist,  aber  nicht  von  £/t*  verschie- 
den ist,  während  L*  und  L1*  mit  einander  übereinstimmen. 


§  19. 

Mit  Hilfe  dieser  Lehrsätze  lassen  sich  nun  die  Bedingungen 
linden,  unter  denen 


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300        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 


constant  ist. 

Der  ubige  Ausdruck  besteht  aus  so  vielen  Summanden ,  als 
Attractionsccntren  vorhanden  sind.  Für  jeden  Summanden  denke 
man  sich  die  singulären  Stclleu  der  in  ihm  enthaltenen  Function  L 
bestimmt.  Nach  dem  zuletzt  bewiesenen  Satze  haben  keiuc  zwei 
Summanden  sämtliche  singulären  Stellen  gemein.  Es  lässt  sich  nuu 
zuletzt  zeigen,  dass  Summanden  mit  je  vier  singulären  Stelleu  nicht 
vorkommen  künuen. 

Gesetzt  nämlich,  ■•*  wäre  eiu  solcher  Summand  mit  den  singu- 
lären Stellen  £Sl  i?3,  'i4,  so  köuute  man  die  Variabele  x  von  ar0 
aus  auf  irgend  eiuem  Wege  zuerst  in  die  Nähe  von  £,  führen.  Es 
hätten  dann  alle  Summanden  in  S  gewisse  bestimmte  Werte;  würde 
mau  x  um  i",  herumführen  (welches  von  ±^a  verschieden  ist),  so 
würden  in  S  nur  diejenigen  Summanden  .  .  .  ihr  Zeichen  än- 
dern, welche  die  singulare  Stelle  j",  mit  *  gemeinsam  haben.  Es 
mu8s  also  gleichgültig  seiu,  ob  die  Summanden  «,  ^  .  .  .  mit  posi- 
tivem oder  negativem  Zeichen  genommen  werden;  in  beiden  Fällen 
muss  S  denselben  Wert  annehmen. 

In  der  Umgebung  von  muss  also  *  +  *i  +  •  •  •  verschwin- 
den.  Hieraus  folgt,  dass  diese  Summe  identisch  verschwinden  muss 

Jetzt  denke  man  sich  die  Variabele  x  auf  irgend  einem  Wege 
in  die  Nähe  von  |, ,  dann  um  £,  herumgeführt  und  wiederhole  für 
die  Summe  *  +  -f-  .  .  .  den  vorigen  Schluss.  Mau  erhält  als 
Resultat,  dass  die  Summe  aller  derjenigen  Functionen  verschwinden 
muss,  welche  die  beiden  singulären  Stellen  S„  i*8  gemeinsam  haben. 

Durch  Wiederholung  dieses  Verfahrens  erhält  man  zuletzt  dio 
Folgerung,  dass  der  eine  Summand  *  mit  den  vier  singulären  Stellen 
iä,  £3,  i"4  identisch  verschwinden  muss. 

Es  ist  aber  schon  bewiesen  worden,  dass  ein  Summand  einen 
constauteu  Wert  nur  dauu  habeu  kanu,  wenn 

f  -  ±  e,    k  =  0 

ist,  wenn  also  singulare  Stelleu  überhaupt  nicht  vorkommen. 

Hiermit  ist  zunächst  bewiesen,  dass  Summanden  «  mit  vier  sin- 
gulären Stellen  in  8  nicht  vorkommen  dürfen. 


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Masgenpunkte»  unter  der  Wirkung  von  Altracttonskrö/ten.  SOI 

Auf  die  Sammanden  mit  je  zwei  singulären  Stellen  kann  man  nun 
genau  dieselbe  Schlussfolgerung  anwenden.  Jedesmal,  wenn  die 
Yariabele  x  einen  singulären  Punkt  umkreist,  tritt  im  zugehörigen 
L  ein  Zeichenwechsel  ein,  und  damit  auch  im  zugehörigen  Summan- 
den    auch  in  dem  Falle,  dass 

f=±a,   k  =  0 

und  also  a  eine  singulare  Stelle  ist,  weil  ja  dann  y  in  dem  Sum- 
manden nicht  mehr  vorkommt. 

Es  dürfen  also  auch  Summanden  mit  je  zwei  singulären  Stellen 
nicht  vorkommen.  Es  bleiben  somit  nur  Summanden  ohne  singulare 
Stellen,  in  denen 

f=  ±  e,   k  —  0 

ist;  solcher  Summanden  giebt  es  aber  höchstens  zwei.  Damit  ist  der 
Satz  bewiesen: 

Unter  der  Wirkung  von  Gravitationskräften  ist  eine  ellip- 
tische Bewegung  nur  dann  möglich,  wenn  dieselben  nach 
den  Brennpunkten  gerichtet  sind. 

§  20. 

Der  Schluss,  dass,  wenn  S  constant  sein  soll,  auch  die  einzelnen 
Summanden  *  constant  sein  müssen,  kann  ohne  jede  Veränderung 
gemacht  werden,  auch  wenn  zu  S  noch  2c(qQ -}-/<*)  binzugenoramen 
wird.  Es  folgt  also,  dass,  wenn  S-f-  £e(qg-\-  IJ)  constant  sein  soll, 
S  und  £e(qff-\-L*\  einzeln  constant  sein  müssen;  und  hieraus  folgt 
der  allgemeinere  Satz: 

Unter  der  Wirkung  von  Gravitationskräften  und 

Elasticitätskräftcn  (mL)  ist  eine  elliptische  Bewegung  nur 
dann  möglich,  wenn  die  erstereil  nach  den  Brennpunkten 
gerichtet  sind,  und  wenn  die  Centren  der  letzteren  so  ver- 
teilt sind,  dass  ihr  Schwerpunkt  der  Ellipsenmittelpunkt 
ist. 


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302        Kindel:   Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweghehen 


Anmerkungen. 

§  1. 

1)  Unter  einer  elementaren  Behandlungsweise  ist  eine  solche 
verstanden,  welche  weder  die  Kenntniss  der  Kegelschnitte  voraussetzt 
noch  auch  Verhältnisse  unendlich  kleiner  Grösseu  benutzt. 

In  diesem  Sinne  scheint  eine  elementare  Ableitung  des  Gravi- 
tationsgesetzes noch  nicht  gegeben  zu  sein.  Die  meisten  derjenigen 
Autoren,  welche  eine  solche  zu  geben  beabsichtigen,  scheitern  an 
der  olemeutaren  Berechnung  des  Krümmungsradius,  so  z.B.  S che II- 
bach  (Neue  Elemente  der  Mechanik  S.  267),  der  den  Krümmungs- 
radius nach  einem  Verfahren  berechnet,  das  von  dem  der  Differen- 
tialrechnung nur  in  der  Bezeichnungsweise  abweicht;  Rodet,  der 
wegen  des  Krümmungsradius  auf  Salmon  verweist  (Nouv.  Ann.  de 
math.  XII  18*3),  und  Helm,  der  zwar  ausdrücklich  erklärt,  den 
Krümmungsradius  vermeiden  zu  wollen,  der  aber  wenigstens  den 
Begriff  desselben  nicht  entbehren  kann.  (Grunert's  Archiv  Bd.  63, 
S.  326.  1879.).  Vermieden  ist  der  Krümmungsradius  in  der  ele- 
ganten Methode  von  Resal,  die  aber  nicht  elementar  ist,  weil  die 
Beschleunigung  durch  einen  unendlich  kleinen  Bogen  dargestellt  ist, 
und  der  Satz  benutzt  wird,  dass  die  Beschleunigung  in  der  Bahn 
gleich  der  Geschwindigkeit  im  Hodographen  ist.  (Resal,  traite  de 
cinämatiqae  pure.   1892.    S.  31.) 

Whitworth  endlich  (The  messenger  of  math.  Vol,  S.  160 
1871)  benutzt  die  Methode  der  orthogonalen  Projectiou  und  legt  seiner 
Betrachtung  die  von  Newton  gegebene  Lösung  des  Problemes  von 
der  kreisförmigen  Bewegung  um  ein  beliebiges  Attractionscentrum 
zu  Gruudc;  aber  eine  solche  kreisförmige  Bewegung  selbst  ist  bisher 
elementar  nicht  behandelt  worden. 

Es  ist  auffallend,  dass,  während  die  meisten  elementaren  Lehr- 
bücher der  Physik  die  elliptische  Bewegung  um  den  Mittelpunkt 
nach  der  Methode  der  orthogonalen  Projection  behandeln,  sich  die 
entsprechende  Behandlungsweise  für  die  Planetenbewegung  in  keinem 
derselben  findet. 

Newton.    Principia.    Prop.  VII    Probl.  IL 

Dieselbe  Aufgabe    wird  von  Jullien  gestellt.     (Problemes  de 


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Massenpunktei  unter  der  Wirkung  von  Attractionskräfttn.  303 


mäcanique  rationnellc  1866.  S.  340.)  Er  giebt  aber  das  Newton- 
gehe Resultat  in  algebraischer  Form.  Dass  dasselbe  auch  von 
Whitworth  übernommen  wird,  ist  bereits  erwähnt. 

3)  Dieses  Hilftstheorem  ersetzt  folgendes  schwierigere  Hilfs- 
theorem Newton's  (Prop.  VII.   Probl.  IL   Cor.  3) : 

Vis  qua  corpus  P  in  orbe  quocunque  circum  virium  centrum 
S  revolvitur,  est  ad  vim  qua  corpus  idem  P  in  eodom  orbe, 
eodemque  tempore  periodico  circum  aliud  quodvis  virium 
centrum  R  revelvi  potest,  ut  SPX  RP*,  contentum  utique 
sub  distantia  corporis  a  primo  virium  centro  S  et  quadrato 
distantiae  eius  a  secundo  virium  centro  R,  ad  cubum  rectae 
SG,  quae  a  primo  virium  centro  S  ad  orbis  taugentem  PO 
ducitur  et  corporis  a  secundo  virium  centro  distantiae  RP 
parallela  est. 

4)  Principia.   Prop.  I.   Theor.  I.: 

Areas  quas  corpora  in  gyros  acta  radiis  ad  immobile  cen- 
trum virium  ductis  describunt,  et  in  planis  immobilibus 
consistere  et  esse  temporibus  proportionales. 

5)  Die  erstero  dieser  beiden  Formen  enthält  den  für  die  kreis- 
förmige Bewegung  specialirten  Moi  vre 'schon  Satz;  die  zweite  wird 
—  abgesehen  von  dem  constanten  Factor  —  von  Newton  ange- 
geben. 

Dass  auch  der  allgemeine  Moivre'sche  Satz  selbst: 

Sit  MPO  curva  quaecunque  data,  PG  radius  coneavitatis 
.  .  .  erit  vis  centripeta  ubique  proportionalis  quantitati 

in  derselben  Weise  für  jede  beliebigo  Curve  abgeleitet  werden  kann, 
wenn  man  unter  dem  im  Texte  angenommenen  Kreiso  den  Krüra- 
mungskreis  einer  beliebigen  Gurve  versteht,  —  ist  selbstverständ- 
lich. Moi  vre  selbst  beweist  einen  Satz  (Moivro  Miscellanea  ana- 
lytica.  Lib.  VIII,  1790)  nach  zwei  Methoden.  Die  letztere  war  ihm 
von  Joh.  Bernoulli  brieflich  (1706)  mitgeteilt  worden.  In  derselben 
heisst  es:  .  .  .  notum  est  radium  coneavitatis  PG  esse  ad  PQ  ut 
PQ  ad  QL.  Man  wird  nicht  übersehen,  dass  an  Stelle  von  PG 
stehen  müsste  2PG. 

Ein  anderer  —  freilich  sehr  umständlicher  —  Beweis  des  Moi- 
vro'schen  Satzes  findet  sich  bei  Scholl  (Theorie  der  Bewegung 
und  der  Kräfte,  1879,  Bd.  I,  S.  S.  375).  Uebrigens  kann  den  ver- 
schiedenen (z.  B.  bei  Schell  1.  c.  zusammengestellten  Ausdrücken 


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304        Kin  del: .  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  frtibttteglichen 

derjenigen  Centraikraft,  unter  deren  Wirkung  ein  frei  beweglicher 
Punkt  eine  geeebene  Curve  durchläuft,  noch  folgender  einfache  Aus- 
druck hinzugefügt  werden: 

1  **  dn* 

in  welchem  «  =•  -  gesetzt  ist.   Man  findet  denselben,  wenn  man  aus 

den  Bewegungsgleichungeu 

d*x  <i*y 

*i-xP<  J  -*p 

mit  Hilfe  der  Gleichung 

ydx  —  xdy  «=  cdt 
die  Zeit  eliminirt   Es  wird  nämlich 


lydx  —  xdy] 


El- 


x*Ptln 


also 


x2  dn* 

6)  Newton.    Princ  Prop.  XI,  Probl.  VI 

7)  Whitworth,  welcher  (L  &)  ebenfalls  die  orthogonale  Projection 
anwendet,  bestimmt  nicht  die  Lage  der  Projectionsebeue;  daher 
braucht  er  den  Satz 

AAX  .  Pl\  -  DD,*    (s.  Fig.  10). 

8)  Führt  man  die  im  Text  angegebene  Projection  aus,  so  erhält 
man  eine  bei  1\  rechtwinklige  Ecke  (s.  Fig.  11)  (F—JJ1\P)  und 
also  ist  («  -  Pßrx) 

sin  1>FPX 
8lUo=sssin(7TO) 
und  da  nach  Voraussetzung 

e  sm(MPF) 
sine  -  rt  —  8in  {rFuj 

ist,  so  folgt 

sin  FFPl  =  sin  MPF 
und  also  &  WA  08  A  PtO\  folglich 

W  -  y^',    und         -  F/\    (q.  e.  d.j 


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Ma**enpunkte*  unter  der  Wirhing  von  Attracdonskrä/ttn.  3Q5 

§  2. 

1)  Principia.   Prop.  XVII.   Probl.  IX. 

Newton  nimmt  eine  Bahn  als  gegeben  an,  und  aus  dieser  lehrt 
er,  bei  gegebenen  Anfangsbedingungen  die  gesuchte  finden. 

Moivre's  Construction  (Mise.  Lib.  VIII)  ergiebt  sich  leicht  aus 
den  ün  Texte  gegebenen  Gleichungen.  Er  nimmt  diejenige  Ge- 
schwindigkeit  (vo)  als  gegeben  an,  bei  welcher  der  Körper  einen 
ivreis  beschreiben  würde,  und  da 

ist,  so  folgt 

Wenn  diese  Gleichung  auf  die  Anfaogsstellung  bezogen  wird,  so  ist 
rj  die  einzige  Unbekannte. 

Rcsal's  Construction  (Mecanique  generale  I,  S.  67.  1873)  ent- 
halt zwar  in  ihrer  Begründung  alle  die  Resultate,  welche  die  im 
Texte  gegebene  Construction  ermöglichen,  aber  dieselben  sind  nicht 
elementar  abgeleitet,  und  die  aus  ihnen  geschlossene  Construction 
ist  wenig  elegant. 

Sc b eil b ach  's  Construction  (Crelle  Bd.  80,  S.  194  1875)  ist 
ausserordentlich  einfach  und  elegant.  Die  Begründung  derselben  ist 
aber  nicht  elementar.  Ausserdem  hat  die  von  ihm  benutzte  Hilfs- 
grosse 

k 


Q  - 


keine  physikalische  Bedeutung. 

Schell  (1.  c.  S.  376)  zerlegt  die  nach  dem  Brennpunkt  (F)  ge- 
richtete Beschleunigung  ^  in  zwei  Componenten.    Die  normale 

Componente:  (s.  Fig.  12)  -^cos/J  ist  gegeben,  und  da  sie  auch 

.      V  0 

durch--  ausgedrückt  wird,  so  kennt  man  auch  M0C  -  g;  und 

durch  zweimalige  Projection  findet  man  denjenigen  Punkt  Q  auf 
J/oC,  welcher  zugleich  der  grossen  Axe  FQ  angehört 

2)  Elementar  lässt  sich  diese  Formel  folgendermassen  beweisen: 
(s.  Fig.  ll.)  1 

Für  die  Beschleunigung  («)  in  der  kreisförmigen  Bewegung  hat 
mau  die  Proportion: 

Arck  «L  Math.  u.  Phyi.   3.  Reihe,  T.  IT.  2Q 


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306       Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eine»  freibeweglichen 


1)    <p  :PF-l!*:FG.    (|  l.) 

Bezeichnet  man  die  Projection  von  v  mit  •„  so  ist 

2)    v  :  vt  =  PD  :  PXD 
Da  nun,  wio  oben  bewieseu 

PPX  =  PG  (=  LF) 

ist,  so  folgt 

PPX  :  PD  -  ML  :  MP  und 
&  PPtD  c^,  &  MLQ,  also 
3)    PD  :  =  a  :  LQ 

also  ergiebt  die  Gleichung  2): 

4)    v*.v1*  =  al:  FG  .  FtGt' 
und  da  das  Verhältniss  q>  :  PF  bei  der  Projection  seinen  Wert  nicht 

ändert,  so  kann  es  durch  ^  ersetzt  werdeu,  wenn  unter  r  der  Ra- 

dius-Vcctor  FP,  verstanden  wird.   Endlich  ist  zu  bemerken,  dass 

PG  =  r(—  FPX)    und  —  r,  (—  FtPt) 

gesetzt  werden  muss.  Somit  ergiebt  dio  Gleichung  1)  durch  Sub- 
stitution aus  4): 

9      *t**  , 
r-»=r'r1  0d6r 

1* -£?  fa  e.i) 

3)  Die  Wichtigkeit  dieser  Hilfsgrösse  (k)  scheint  Schell bach 
uach  der  Veröffentlichung  seiner  Arbeit  erkaunt  zu  haben  Wenig- 
stens findet  sie  sich  in  dem  Referat  über  seine  Arbeit  (Fortschritte 
der  Math.  Bd.  7,  S.  56G),  und  nach  den  dort  ohne  Beweis  ange- 
gebenen Formeln  ergiebt  sich  die  im  Text  angegebene  Construction 
unmittelbar. 

§  3. 

1)  Diese  für  den  Kreis  geltende  Gleichung  kann  nach  derselben 
Methode  bewiesen  werden,  wie  sie  Ohus  her  auf  die  entsprechende 
für  die  Ellipse  geltende  Gleichung  anwendet.  Monthly  Notices  of 
the  royal  astron.  Soc.  1878.   Bd.  39,  S.  79.) 

2)  Diese  Gleichung  läset  sich  am  leichtesten  trigonometrisch 
beweisen:  (s.  Fig.  3.) 

PE  —  q  =  a(cos0  -f  -  cos 7)  —  2a  ces  l  (ß  +  <p)  cos  ]  (ß  —  tp) 

PGt  —  Pl  —  a  (1  +  cos  ß  —  cp)  =  2a  cos^  (ß  —  <p) 

PQt  <  pt  -  a  (1  -f-  COS  ß  —  9)  -  2a  cos« i  (ß  +  <p) 


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Massenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Atlraclionskräßen. 


307 


VPtPi  =>  2acosP-2JPcos  ^9  =-  g   (q.  e.  d.) 

Fällt  man  noch  vom  Attractionscentrum  (F)  auf  die  Tangente 
in  P  die  Senkrechte  FC  (oder  *)  und  von  M  die  Senkrechte  MH 
auf  FC,  so  erhält  man 

s  mm  a  -f-  2=3/ cos  <p    oder  da   FAf  —  -  ist, 

cos  p 

5  =  cosl(COS  ^  +  C0S  v)  "  c~o~sV    als0    008  ß  d*  h-  o*  "  \ 
Dies  ist  die  erste  Gleichung  des  Textes. 

3)  Proceedings  of  the  royal  Irish  Academy,  vol.  III,  p.  308 
Nov.  1847. 

Sir  William  R.  Hamilton  stated  the  following  theorems  of 
central  forces,  which  he  had  proved  by  bis  calculus  of  quaternions, 
bat  which ,  as  he  remarked ,  might  be  also  deduced  from  principles 
more  elementary  : 

If  a  body  be  attracted  to  a  fixed  point,  with  a  force  which 
varies  directly  as  the  distances  from  that  point,  and  in- 
versely  as  the  cube  of  the  distauce  from  a  fixed  plane, 
the  body  will  describe  a  conic  section,  of  which  the  plane 
intersects  the  fixed  plane  in  a  straight  liue ,  which  is  the 
polar  of  the  fixed  point  with  respect  to  the  conic  section. 

Im  Text  ist  die  Umkehrung  dieses  Satzes  bewiesen,  jedoch  unter 
der  Voraussetzung,  dass  die  Bahn  auf  eine  Ebene  beschränkt  sei. 
Dieselbe  specielle  UmkehruDg  ist  geometrisch  aber  nicht  einfach  und 
nicht  elementar  ?on  Casey  bewiesen  (Quarterly  Journal  of  math. 
1862  p.  233)  und  von  Glaisher  (1.  c.)  mit  Anwendung  des  schon 
in  §  1  unter  3)  citirten  Satzes  von  Newton  (Prop.  VII.  Probl.  II). 

Die  von  Hamilton  angedeuteten  „principles  more  elementary" 
finden  sich  für  den  directen  und  allgemeinen  Satz  selbst  in  §  4  an- 
gegeben. 

4)  Comptes  Rendus.   Bd.  84.   S.  760. 

Darbaux  legt  der  Berechnung  derjenigen  Centraikraft,  unter 
deren  Wirkung  ein  frei  beweglicher  Punkt  einen  Kegelschnitt  durch- 
läuft, die  Formel  von  Binet 


zu  Grunde.  Dasjenige  seiner  zwei  Resulate,  auf  welches  im  Texte 
Bezug  geDommen  wird,  spricht  er  in  folgender  Weise  aus  : 

!20' 


308        Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen 


Nous  aurons  pour  Texpression  de  la  force 

5)   F  =  r«(o cos 2o>  -f  P/sTgin  2co  +  Ä) »l t 
et  pour  equation  de  la  trajectoire: 


-  =»  a  cos  ai  -f-  A  sin  o>        Vocos  2co  -f"  ß  8in  2w  4"  h 

Cette  formule,  contenant  trois  constantcs  arbitraires  a,  A,  ne 
figurant  pas  dans  l'expression  de  la  force,  est  donc  l'equation  la 
plas  generale  de  la  trajectoire,  quand  la  force  est  reprösenteo  par 
l'equation  51). 

Dass  das  im  Text  angegebene  Kraftgesetz  auch  durch  D  arboux 
Gleichung  5)  ausgedrückt  wird,  erkennt  man  am  leichtesten  aus  den 
weiteren  Entwicklungen,  in  denen  es  heisst)  S.  938): 

Enfin  si  Ton  exprime  Lea  deux  lois  trouvecs  on  introduisant  les 
coordonnees  rectilignes  au  liou  dos  coordonn6es  polaircs,  on  obtient 
les  deux  formules: 

9)    F  = 


(ax      by  +  c)* 


Eine  elementare  Ableitung  des  Satzes  von  Darboux  scheint 
nirgends  versucht  worden  zu  sein.  Daher  kommt  es  auch,  dass  die 
oinfacho  Formel  für  die  Umlaufszeit  sich  nirgends  findet. 


§  4. 

1)  Comptes  Rendus.  Bd.  84.   S.  762. 
L'equation: 

^  -  a  costf;  +  b  sinw-f-  Vä  cos  2m  +  D  sin  2«  +  // 

contenant  trois  constantes  A,  B,  II  ne  figurant  pas  dans  l'expression 
de  la  force 


r»  {  -  —  a  cos  »  —  6  sin  o>  j 

represente  la  trajectoire  la  plus  generale  qu'un  point  materiel  puisse 
decrire  sous  l'action  de  cette  force. 

^Bat»o?lini  (Giornale  di  matematiche;  vol.  XVII.  1879. 
S.  49 j  leitet  aus  der  Gleichung  des  Kegelschnitts: 


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Masxenpunktes  unter  der  Wirkung  von  Attractionskräften. 


309 


die  Kraft 


ferner  die  Geschwindigkeitscomponenten  $rj  ab;  er  drückt  dann  die 
Constanten  des  Kegelschnitts  pv  durch  die  gegebenen  Anfangsbedin- 
gungen aus  und  findet  als  Kriterium  für  die  Art  des  Kegelschnitts: 

Q3*o  i  ß*yo    'S  po  

Eine  Deutung  dieses  Resultates  wird  von  ihm  nicht  versucht 

§  5. 

Das  in  diesem  §  angegebene  Integrationszeichen  lässt  sich  auf 
New  ton 's  Centraibewegung  übertragen  und  giebt  alsdann  eine 
Methode,  welche  schneller  als  die  sonst  übliche  zum  Ziele  führt. 

Die  Sätze  von  Hamilton  und  von  Darboux  durch  directe 
Integrationen  nachzuweisen,  und  die  Art  des  Kegelschnitts  zu  bestim- 
men, welcher  unter  den  von  Darboux  angegebenen  Bedingungen 
durchlaufen  wird,  —  scheint  nirgends  versucht  au  sein. 


§  6. 

1)  Comptes  Rendus.    1877.   Bd.  84.    S.  671. 

2)  Comptes  Rendus.    1877.   Bd.  84.   S.  939. 

3)  1.  c  :  La  Solution  du  problöme  rentre  des  lors  dans  la  theorie 
clastique. 

4)  Freilich  setzt  der  im  Text  gegebene  Beweis  voraus,  dass  die 
Attraction  eine  Function  der  Entfernung  sei.  Man  braucht  aber 
nur  zu  berücksichtigen,  dass,  wie  im  Texte  angegeben  ist,  unter  den 
Ellipsen  sich  auch  alle  die  Kreise  befinden  müssen,  deren  Mittel- 
punkt mit  dem  Attractionscentrum  zusammenfällt;  und  man  weiss, 
dass  in  solchen  Kreisbahnen  die  Centraikraft  constant  ist.  Folglich 
ist  dieselbe  nicht  sowol  eine  Function  von  den  Coordinaten,  als 
vielmehr  blos  von  der  Entfernung  (r).  Somit  ist  auch  unter  der 
allgemeinen  Voraussetzung,  die  Bertraud  aufstellt,  das  Gesetz  von 
Newton  ohne  jede  Rechnung  nachgewiesen. 

5)  Comptes  Rendus.  Bd.  84,  S.  760  und  936. 


6)  Comptes  Rendus.   Bd.  84,  S.  939. 


310        Kindel:   Von  der  ellipfisthcn  Bewegung  eines  freibeweglichen 


7)  Memoircs  de  la  Societc  des  scienecs  phys.  et  nat.  ä  Bordeaux 
IV  (2).    S.  31-40. 

8)  Monthly  Notices  of  the  royal  Astr.  Society.  Bd.  39.  1878. 
S.  79. 


1)  Grunert's  Archiv.  Bd.  66.  S.  107.  („Eine  weitere  For- 
derung ist,  dass  v  eindeutige  Function  von  r  sei.)  Man  wird  nicht 
übersehen,  dass  der  Formel  für  das  Potential  (v)  als  Nebenbedingung 
für  ihre  Giltigkeit  irrtümlicher  Weise  hinzugefügt  ist  (in  Formel  9) : 


Dieser  Zusatz  sagt  gerade  das  Gegenteil  aus  von  dorn,  was  aus  - 
gesagt  werden  sollte.   Es  hätte  heissen  müssen: 


Uebrigens  ist  das  Resultat  nachher  (S.  329)  richtig  gcdeuUt. 

2)  Legendr e.  Traite  des  foutions  elliptiques.  1825.  Bd.  L 
p.  349: 

D'un  point  quelconque  pris  dans  l'intdrieur  de  la  developpde 
de  l'ellipso  il  est  toujours  possiblc  de  mener  quatre  normales  ä  la 
circonference  de  l'ellipso;  de  tout  point  pris  hors  de  l'aire  de  cette 
courbo  on  n'en  pourra  mener  quo  deux  et  d'un  point  pris  sur  le 
contour  de  cette  courbe,  on  pourra  toujours  faire  passer  trois  nor- 
males. 


1)  Diese  Voraussetzung  lässt  Hoppe  (1.  c.)  uicht  zu.  Bei  den 
grossen  Planeten  z.  B.  sind  die  Intervalle,  in  donen  die  Entfernungen 
von  der  Sonne  variiren,  von  einander  getrennt  und  (S.  329) 


obgleich  das  Anziohungsgesetz  wegen  Ungleichheit  der 
Constanteu  in  Bezug  auf  beide  verschieden  formulirt  ist, 
so  lässt  sich  die  eine  Function  ohne  Widerspruch  als  Fort- 
setzung der  andern  ansehen 


Dieser  Satz  ist  nur  dann  richtig,  wenn  von  zwei  Functionen, 
die  in  getrennten  Intervallen  irgend  wie  definirt  sind,  stets  dio  cino 
als  Fortsetzung  der  andern  angesehen  werden  darf,  wenn  also  der 
Begriff  der  analytischen  Function  in  physikalischen  Untersuchungen 
nicht  zugelassen  wird. 


§  7. 


§  10. 


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Massenpunktes  unter  der  Wirhing  von  Attractionskraften. 


311 


Greifen  hingegen,  wie  vielfach  bei  den  kleinen  Planeten, 
die  Intervalle  für  r  über  einander,  so  bildet  die  Idontität 
der  Ansdrücke  in  den  sich  deckenden  Intervallteilen  eine 
nene  Bedingung,  an  deren  Erfüllung,  so  lange  irrationale 
Wurzeln  darin  vorkommen,  gewiss  nicht  gedacht  werden 
kann. 

Durch  diesen  Satz  scheint  eine  Schwierigkeit  mehr  verschleiert 
als  beseitigt  zu  werden. 

Für  die  im  Texte  gemachte  Voraussetzung  kann  man  sich  auf 
Newton's  Autorität  berufen,  der  das  aus  einer  oder  mehreren 
elliptischen  Bewegungen  abgeleitete  Gesetz  auch  für  diejenigen  Ent- 
fernungen gelten  lässt,  die  sich  der  Beobachtung  entziehen. 

§  IL 

1)  Giornale  di  matematiche.  Bd.  XVIII.   S,  272. 

Dainelli  stellt  die  Aufgabe: 

Conoscendo  la  trajetoria  di  un  punto  mobile,  tromre  le  amijx)- 
neiüi  \della  fjrza.  che  la  sollecita  erpresse  in  funzhme  ddle  cuor- 
dinate  del  mobile. 

Diese  Aufgabe  ist  unbestimmt,  da  noch  die  Geschwindigkeit  be- 
liebig angenommen  werden  darf.  Daher  geht  in  die  Lösung  der- 
selben eine  willkürliche  Function  ein. 

2)  Sturm.   Cours  de  mäcanique.   Lecon  20  (256). 

3)  Comptes  Rendus.  Bd.  88,  S.  909  —  911,  oder  Atti  di 
To rino.  Bd.  XIV,  1879.   S.  750. 

Siacci  stellt  folgenden  Satz  auf: 

Quando  un"  punto  percorre  una  linea  piana,  se  si  decompono 
la  forza  in  due,  l'nna  passante  per  un  punto  fisso  qua- 
lunque,  l'altra  secondo  la  tangente  della  curva  etc. 

Die  tangentiale  Richtung  für  die  eine  Componento  wird  auch 
Ton  Battaglini  beibehalten  (Giorn.  d.  mat.  1879,  Bd.  XVII), 
welcher  die  von  Siacci  gestellte  Aufgabe  für  einen  Kegelschnitt 
löst,  dessen  Gleichung 

+ vV  =  («*+0y  +  y)8  ist. 

Siacci,  Battaglini  und  Dainelli  schoinen  sich  die  Rech- 
nungen dadurch  zu  erschweren ,  dass  sie  nicht  die  Geschwindigkeit 
(r)  selbst  als  willkürliche  Function  annehmen.  Freilich  muss  man 
sich  v  als  eine  solche  Function  der  Goordinaten  denken,  die,  wenn 
auch  die  Coordinaten  zu  ihren  Anfangswerten  zurückkehren,  nicht 


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312        Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweghchen 

notwendig  selbst  ihren  ursprünglichen  Wert  wieder  erreicht,  da  ja 
sonst  die  Bewegung  in  einer  geschlossenen  Curve  periodisch  sein 
müsste. 

Siacci  setzt 

xdy  —  ydx~  Tit 

Hier  ist  T  die  willkürliche  Function.  Die  Componenten  der  Be- 
schleunigung findet  er: 

r    T*        ,     „       T   dT  (  T\ 
F*-D>J    UDd      *  "  P  di\V-  DJ 

wo  Fx  die  nach  dem  festen  Punkto  O  gerichtete,  J2  die  tangentiale 
Omponente  bedeutet 

Dieses  bei  Battaglini  und  Dainelli  wiederkehrende  Resultat 
kann  man  fast  ohne  Rechnung  folgendermasseu  ableiten: 

Nach  dem  in  §  1.  gegebenen  Hilfssatze  wird  F1  durch  eine  Gc- 
rado  dargestellt,  deren  Endpunkt  mit  dem  von  -  auf  einer  zur  Tan- 
gente parallelen  Geraden  liegt,  also  ist 

Durch  diese  Gomponente  l-\  allein  würde  v  so  geändert]  (um 
oqv)  dass 

vdD  -f-  DdQv  =  0 

wäre.  Wenn  sich  nun  die  Geschwindigkeit  um  do  ändert,  so  muss 
der  üeberschuss 

4,t>  —  dv  -  d^v  =  dv  +  --  ■ 

durch  eine  tangentiale  Kraft  hervorgebracht  worden,  deren  Grosso 
(wie  in  der  Huyg he n 'sehen  Formel): 

4 »     a  d(vD) 
"  V  ds  ~  D  ds 

sein  muss. 

Battaglini  setzt  für  den  von  ihm  behandelten  Kegelschnitt- 
P  —  ax  -f  ßy  -f  y,    (ix  =■  PC0S#,    vy  —  Psin^ 

und  sieht  £  als  willkürliche  Function  der  Zeit  an.  Durch  zwei- 
maliges Differeutiiren  der  Coordinaten  nach  der  Zeit  findet  er  die 
Componenten  X,  Y,  jede  als  eine  Summe  zweier  Kräfte  ausgedrückt. 


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Massenpunktes  unter  der  Wirkung  von  AttractionskrSJten. 


313 


Es  erscheint  also  wie  ein  Zufall,  dass  sich  die  Summanden  so  er- 
geben haben,  dass  zwei  sich  zu  einer  Kraft  zusammensetzen, welche 
nach  dem  Coordinatenanfangspunkte  gerichtet  ist,  während  die  zwei 
anderen  eine  tangentiale  Kraft  ergeben. 

Dainelli  definirt  die  willkürliche  Function  /  durch  die  Glei- 
chungen: 

dl  dy  *    dl        ~^     dx  ' 

in  denen  q,xy  —  0  die  Gleichung  der  Curve  ist. 

Dass  diese  Wahl  nicht  eine  glückliche  war,  scheint  sich  im 
Verlaufe  der  Rechnungen  an  der  Stelle  zu  zeigen,  wo  es  beisst 
(Bd.  XIX,  8. 171 ) 

„Prendiano  ora  la  funziono  arbitraria  /  della  forma  seguento : 

T 

dtp.  dq> 
"dz^dj, 

dove  T  indica  una  funzione  pure  arbitraria  delle  coordinate  zy.u 
Da  nämlich 

ist,  so  ergiebt  sich: 

kT 

und  diese  Function  T  ist  dieselbe  wie  bei  Siacci  und  freilich  nicht 
wesentlich  complicirter  als  die  Geschwindigkeit  selbst.  Aber  der 
lange  Umweg  wäre  vermieden,  wenn  die  Geschwindigkeit  selbst  von 
vornherein  als  die  willkürliche  Function  genommen  wäre. 

4)  Alle  diese  Aufgaben  sind  ausführlich  von  Dainelli  (1  c.) 
bebandelt  worden.   Es  tritt  aber  bei  seiner  Behandlungsweise  nicht 
hervor,  dass  dieselben  sämtlich  darauf  hinauslaufen,  die  normale 
v* 

Kraft  -  in  gewisse  zwei  Componenten    zu  zerlegen.    Dio  von 

Iluyghens  gegebenen  Componenten  findet  er  nach  ziemlich  um- 
ständlichen Rechnungen  (Bd.1  XIX,  S.  179).  Nach  der  im  Texte 
gegebenen  Metbode  lassen  sich  die  Aufgaben  von  Dainelli  sehr 
leicht  behandeln. 


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314     Kindel:  Von  der  elliptischen  Bewegung  eines  freibeweglichen  etc. 

5)  Diese  Aufgabe  findet  sich  bei  Schell  (l.  c.  S.  324  \  Aber 
das  daselbst  angegebene  Resultat: 

dU        (<W\*      „,     1  d  /  _  d9\ 

ist  im  Sinne  des  Textes  keine  Lösung  der  Aufgabe,  da  die  Zeit  noch 
nicht  climinirt  ist.  Uebrigens  erhält  man  aus  dem  Resultate  des 
Textes  die  von  Schell  gegebenen  Gleichungen,  wenn  man 

ds                r'rfd  rdr 

P~dt*             ~7U*  9  =  d~D 

setzt 

6)  Scholl.  1.  c.  S.  375. 

§  13. 

1)  Tho  messengor  of  mathomatics.  X.   S.  3. 

2)  Der  Beweis  dieses  Satzes  findet  sich  bei  Schell    S.  375. 

3)  Diese  Gleichungen  bilden  auch  bei  Curtis  den  Ausgangs- 
punkt. Im  übrigen  hat  seine  Methode  mit  der  des  Textes  nichts 
gemein.  Als  Bedingung  dafür,  dass  unter  Wirkung  der  Kräfte  F 
die  gegebene  Bahn  möglich  sei,  fiudet  er: 

2c  Od  (~)-0 
§§  14-20 

Die  in  diesen  §§  behandelto  Frage  scheint  nirgends  aufgestellt 
worden  zu  sein. 


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Miscellen. 


315 


XVII. 
Miscellen. 


L 

Lineare  Relationen  zwischen  Mengen  relatirer  Primzahlen. 

1. 

Aas  der  einfachen  Beziehung  zwischen  den  Mengen  relativer 
Primzahlen  <f(t) 

oder 

1^(0-1  (1) 

wo  sich  die  Sammirung  auf  alle  Teiler  t  —  ^  n    von   n  bezieht, 

lassen  sich  sehr  allgemeine  Relationen  ableiten,  in  welchen  die 
Stellenvariable  die  natürliche  Zahlenreihe  durchläuft. 

Zufolge  (1)  besteht  nämlich  die  Identität 
A^  -\-  At  +  A3  .  .  .  -f-  Am 

£q>(t)  Z<p(t)  A 

•  ~y~  -'1  h  .    .    .  — J—         —  Am 

1       n  1  m 

woraus  nach  Ordnung  nach  den  g>  der  aufeinander  folgenden  Zahlen 
die  allgemeine  Relation 


Ax  -f-      -f-  A^  .  .  .  -\~  Am 

-(f+t+t  • 


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316 


Miscellen. 


+(£+£■ .  •)*«>) 


hervorgeht 

Das  Bildungsgesetz  der  als  Factor  irgend  eines  <p(*)  auftretenden 
endlichen  Reihe  ist  ein  leicht  erkennbares :  es  erscheinen  als  Glieder 

nur  solche  A,  deren  Zeiger  Vielfache  von  n  und  ^  m  sind. 

Werdeu  den  A  bestimmte  Werte  erteilt,  so  gehen  specielle  Relatio- 
nen hervor,  von  welcheu  einige  die  Eigenschaft  der  Summirbarkeit 
der  Coefficienten  von  g>  besitzeu. 

Es  zeigt  sich  unter  anderem,  dass  manche  bekannte  Beziehung 
zwischen  den  q>  aus  der  gemeinsamen  Quelle,  der  Formel  Nr.  2.  her- 
stammt. 

2. 

An  -  1. 

1,1,1  1 


+ 


wo 


/!+!  +  !  +JL\ö?> 

V  w 

V  w 

(11  1  \ 


'  m 

-  die  grösste  in  ~  enthaltene  ganze  Zahl  vorstellt. 


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rns+  m 

2      —  m 


9>(D  + 


m 

2 


Miscdlen. 

3. 

y|„  =  n. 

Iml 


317 


9 (2)  +  |g  I  <P(3)  •  •  - 
■  •  •  +        +  *(*  +  1]  •   *  •  +  <P(m) 


(4) 


Wird  m  der  Reihe  Dach  -  1,  2,  3, .  .  .  ,  r  genommen,  so  ent- 
steht ein  System  von  r  Gleichungen,  aas  welchen  sich 


*(*)= 


1,   0,   0,  .  .  .  0,  0, 


2,    1,   0,  .  .  .0,  0, 


'    j2j»        ...  9,  0, 


n 

2 

,  ...  1,  0, 


0 

(5) 


r|  V 

rf 

r 

2'  3 

,  ... 

«r 

n"+l| 

•er) 


(5) 


ergiebt,  womit  die  zahlenthcoretische  Function  „<pu  dnreh  die  zahlen- 

|p  > 
theoretische  Fnnctionen      ausgedrückt  erscheint \p  =g  durchlaufen 

hiebei  alle  Werte  von  1  bis  r. 


AH  —  «r.   r  >•  1  ganzl.  Zahl 

l1  -f-  2r  +  3r  .  .  .  +  mr 

=  -f-  2«-l  .  .    .  +  m'-l)qp(l) 

+  (2-i  +  4-i.  .  .)9(3) 

+  (3'+4  +  6'"1  .  .  .  )  9(3)  +  .  .  . 


woraus  nach  Summirung  der  Potenzen  mittelst  der  Bernoulli'schen 
Function  B 


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318  AJÜcelUn. 

Br+l  («+D-  Krim  +  1)  -  2-1  Br  +l)  9(2) 

+  (I3  |  +l)9(3)+4-^r(|"j+l)  g>(4)  ...  (6) 

hervorgeht 

5. 

^-^Wß(-)+l(r)-.)«>> 

+  s+i  (I))  «K"-) 

Beiderseits  mit  m+1  multiplicirt  und  m  —  1  für  m  geschrieben, 
ergiebt 

i  +  (,  - 1)2~  -  ((-)  +  (:)•••)  *m 

+ (ff) +(?)•••)  *<3> 

+ (:) ,(» - 1)  <7) 

Werden  die  Coefficienten  der  <p  mittels  der  Formel 

r  )  +  (*)  +  (3r)  •  •  •  -T  £  C°'"  7  C0S  T  +  r  ~' 

summirt,  wodurch  sie  des  zahlentheoretiscchen  Charakters  entkleidet 
werden,  so  findet  sich 

["  :m  2  Jrt1      nvm      2m  1 

(2— i  -  )9(2)  +  Ig  ^  cos«  —  cos  3   +  —  -ij  ?(3) 

+  [  4  ^,  C0$m  4  C0S  '4    +  T  ~  J V(4) 


r-2»«  r-2                      w..w       2W  1 
4-  I  -    £    cosm      cos  1  <p(r) 


(8) 


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lliscellen 


319 


-  1  +  (m  -  1)2«  .   .  . 

Nimmt  man  diese  Relation  für  m  —  2,  3,  .  .  .  ,  r  in  Anspruch, 
so  erhält  man  r  —  1  Gleichungen ,  woraus  sich  <p(r)  in  Form  einer 
aus  stetigen  Functionen  gebildeten  Determinante  ergiebt. 


6. 

A»  =     m  =  od,  r  ganze  Zahl. 

^JB  -fS&s  Sr+l  <p(l )  +  ^  Sr+i  9(2)  +  3r  Fi  'sVf  ><P<3) 
woraus  die  bekannte  Beziehung 

=1.2, 

hervorgeht 

7. 


^  =  ö— i  •  •  •  (9) 


oder 


An  —  2rt,     m  =  QOQO,       |  3  |  <  1, 

fzr,  -  log-^vd)  4-  log        9(2) .  .  . , 

r^-X^,logr-^-  *  '  (10) 


n    (l-z')9M  =  e     1     *     |  Ä|<1,.  .  .  (11 

y=1.2...J 


8 

^M  —  nr«",   m  —  oo,     |  s  |  <  1,   r  >  1  positiy  und  ganz. 
2    nr*  =  Pr{z) 

=  Pr_i(z)  ^(l)  +  2-1  Pr_l  («•)  9(2)  +         Pr-1  (*3)  9(3)  +  •   •  • 

oder 


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320  Mitteile*. 

Pr{x)=    $   vr-i  Pr_,  <p(v)  .  .  .  (12) 

v=lJ2,... 

I  «  i  <  1- 

Dio  Reihen  /r(«)  *)  können  summirt  werden ,  wenn  man  sich 
dieselben  als  Nullwerte  des  rten  Differeutialquotienten  vor 

Z  -  e'z  +  «2r?2  .  .  .  _  -ÜL 
1  1  —  «rz 

denkt.  Für 


findet  sich  mit  Benutzung  einer  bekannten  Formel  von  Hoppe  ein 
Ausdruck,  der  auf  gleichen  Nenner  gebracht  die  Form 

W)-  (l~«)r+l 

annimmt.   Schreibt  man  diese  Gleichung 

(l'i  -f  2'**  -f  3«-«» .  .  .  )  (1  -  *)'+i  =  Clz  -f  <y»  .  .  .  + 

differentiirt  fc-mal  bezüglich  r,  und  setzt  z  =»  0,  so  findet  sich  für 
den  beliebigen  Coefficienten  C*  der  Ausdruck 

^-(t^-Ct'M+ft1)^-- 

C,,r  =  1 

welcher  die  bemerkenswerte  Eigenschaft  besitzt  für  k  >  r  zu  ver- 
schwinden. 

Die  Relation  erhält  jetzt  folgende  Gestalt 

-  -Su  ö-^  £  "-^  ■  •  •  (15) 

r>l,  |«|<t 


•)  Allgemeinere  Reihen  dieser  Reihen  wurden  vom  Verfasser  summirt  in 
der  Abhandlung:  „Die  Nullwcrtc  höherer  Ableitungen  gewisser  zusammen- 
gesetzter Functionen".    Archiv  d.  Math.  u.  Phys.  (2).    T.  XI.    p.  60  ff. 


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Misceüen,  321 

9. 

^M  —  ^  m  —  oo,    |  *  |  <  1,   k  positive  ganze  Zahl. 

*v!LS- JLlS^«*  M<1-  •  ■  (i6) 

10. 

C08  2rr  nx, 

v4„  —  3 —    m-cc,   &  positive  ganze  Zahl. 


g>   CQ8  2?rvg  _     »  »      cos2n  Ava; 

»=1A..-      V"     ~"  A=lA...         .=  1,2....  ~^»"+r 


(17) 


Die  zweite  Summe  rechter  Hand  lässt  sich  für  ungerado  k 
sommiren  mittelst  der  Function  |  m  |  ,  welche  einen  echten  Bruch 
(die  Nulle  inbegriffen)  bezeichnet,  der  entweder  zu  x  addirt  oder 
toü  *  subtrahirt  werden  muss,  um  eine  ganze  Zahl  zu  erhalten 

Es  ist 

*      C0S2*V*  (2»)" 

— =  (— 1)    1  2(2A)1        I  •  I  '""*»»  •  *  •  (18> 

wo  B2h  das  Functionszeichen  für  die  Bernoulli'sche  Function 
2Äter  Ordnung  bedeutet 

Zufolge  (9)  ist  aber 

A=l,2,...  /-i* 

daher 

w    cos2«rx     ,   ,x41(2*)2<>    »     <jp(A)  D  ,       ,  ,   ,  o 

•  •  •  (19) 

wo  h  >  1  sein  muss,  weil  sonst  &2A-1  divergirt 

Die  linksseitige  Reihe  kann,  wie  es  der  Verfasser  in  dem  Auf- 
sätze: „Ueber  harmonische  Reihen  ungerader  Ordnung"  [Archiv,  (2) 
T.  VIU.  p  320  ff.]  zeigte,  in  eine  Potenzreihe  umgewandelt  werden, 
wenn 

ist  Tritt  an  die  Stelle  von  *  die  Function  [x]„  welcho  die  kleinste 
Zahl  darstellt,  die  entweder  zu  x  addirt  oder  von  x  subtrahirt 

Irtk.  d.  Math.  a.  Pkj».   3.  Reih«,  T.  XV.  21 


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322  Afiacellen. 

werden  muss,  'um  eine  ganze  Zahl  zu  geben,  so  gilt  diese  Trans- 
formation für  jedes  x\  es  ist  dann 


 § 

~~  (2A-4)f(2»)«W 


2A-4 


+  ß  + 1+ 1 '  •  "  +  l0g  ^  M) 

1  (2>*)!L  J  ^  2  (2Ä-I-2)! 


11. 

COS  2rr  n*  , 
;4„  — — Tg — ,   nungerade,   m  oo 

x>     cos  2jt  vx         g°  «     cos  2n  kvx 

Für  die  linksseitige  Reihe  erhält  man  mittelst  der  vom  Ver- 
fasser in  seiner  „Theorie  der  Eulcr'ßchen  Functionen"  (Sitzgs.-Ber. 
d.  königl.  böhmischen  Ges.  d.  Wiss.  1893)  abgeleiteten  Formel  (120) 
die  Summe 

1        /je  X2* 

wo  [r]  die  obige  Bedeutung  hat-,  somit  gilt 
oo      cos  2*  vx      f  -l)*-1    /rc\^      <*  qnU) 

.  Z^_i(l-4(>]).  .  .  (21) 

—   00    <  X  <         00  . 

Für  h  ~  1  ist  die  linksseitige  Reihe  summirbar  und  zwar  ist 

oo      cos  2nvx      ,  , 

2   «  £  log  cot  7ix 

r =1,3,5,...  v 


0  __.  x  _.  £ 


folglich  besteht 


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00 


WO 


^fi&c&tffftt  • 

IUmL  ¥  0  "  4{^})  "  J*lo«cot  «W  •  •  •  (22) 

0   <   JT    <  +  00 

x  —  m  +  {«},  m  positive  ganze  Zahl, 

giltig  also  für  alle  positiven  «-Werte,  welche  höchstens  um  ^  grösser 
als  eine  ganze  Zahl. 

Barmen,  December  1896.  Franz  Rogel. 


Sind 


2 

leber  rationale  Rlchtungrscosinus. 

x  y  * 


die  Richtungscosiuas  einer  Geraden  gegen  3  rechtwinklige  Axcn,  so 
lassen  sich  (wie  in  Tl.  LXI.  S.  438  bewiesen)  die  ganzen  Zahlen  a-, 
y,  2.  u  allgemein  in  4  ganzen  Zahlen  a,  £,     </  wie  folgt  darstellen: 

, -2(oc  +  W);    y  =  2(ar/-ic);    3  =  a* -f     _  c*  _  ,/*  (1) 

■»_a'+**-|-e*H-4t  (2 

und  drücken  demnach  alle  Lösungen  der  Gleichung 

*,-f*,+«,-i*1  (3) 

in  ganzen  Zahlen  aus.    Hieraus  folgt  der  Satz: 

„Kennt  man  die  Zerlegung  einer  ganzen  Zahl  u  in  die  Summe 
von  4  Quadratzahlen,  so  ist  auch  die  Zerlegung  von  «2  in  die  Summe 
von  3  Quadratzahleu  bekannt." 

Nun  hat  Jacobi  bewiesen,  dass  jede  ganze  Zahl  die  Summe  von 
*  Quadratzahlen  ist.  Folglich  ist  jede  Quadratzahl  die  Summe  von 
3  Quadratzahlen;  die  Zerlegung  selbst  bleibt  noch  Problem. 

Cm  indes  für  gegebene  «  alle  Lösungen  zu  erhalten,  ist  es  nicht 
nötig  die  geraden  u  zu  berücksichtigen.    Denn  da  *  und  y  gerade 


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324 


AlUcelUn. 


smd,  so  ist  es  auch  z,  und  61.  (3)  lässt  sich  durch  Division  redaciren 
and  zwar  wiederholt,  bis  u  angerade  wird. 

Steht  die  Anzahl  der  Lösungen  für  ein  ungerades  u  in  Frage, 
so  ist  diese  zunächst,  wenn  a,  J,  c,  d  von  —  Vu  bis  y  «  variiren, 


Da  ein  Vorzeichenwechsel  von  a,  i,  e  oder  <i  nar  einen  Vorzeichen- 
wechsel und  Vertauschung  von  x,  y  bewirkt,  so  brauchen  deren  Werte 
nur  von  0  bis  Vu  gezählt  zu  werden. 

Weitere  Reductionen  ergeben  sich,  wenn  man  die  Combinationen 
der  a,  6,  e,  d  für 


bildet  und  von  deren  Permutationen  alle  äquivalenten  in  y,  t  aus- 
schliesst  Aequivalent  zeigen  sich  die  gleichzeitigen  Permutationen 
je  zweier  Pare  von  Elementen,  so  dass  die  24  Permutationen  6  Gruppen 
zu  4  äquivalenten  ergeben.  Die  dann  übrig  bleibenden  6  Lösungen 
aus  jeder  Combination  findet  man  leicht,  indem  mau  ein  beliebiges 
der  4  Elemente  unverändert  lässt  und  nur  die  3  übrigen  permutirt. 
Die  6  Permutatiouon  fallen  parweiso  in  3  zusammen,  wenn  2  Ele- 
mente gleich  sind;  alle  fallen  zusammen,  wenn  3  Elemente  oder  2 
Pare  von  Elementen  gleich  sind.  Andre  Reductionen  der  Anzahl 
sind  speciellen  "Wertsystemen  eigen.  Ich  lasse  eine  Tabcllo  der 
Lösungen  der  Gl.  (3)  folgen,  welche  aus  der  Variation  der  Elemente 
von  0  bis  4  hervorgehen,  und  gebrauche  dabei  die  Abkürzung: 


<(2V«  +  U* 


Tabelle. 


1  =1(0,  0,  1) 
3  =  (1,  2,  2) 
5  =  (0,  3,  4) 
7  =  (2,  3,  6) 
9  =  (1,  4,  8) 
=  (4,  4,  7) 


27  =  (2,  14,  23) 
=  (2,  7,26) 
=  (7,  14,  22) 


29  =  (3,  16,  24) 
=  (11,  12,  24) 
=  (12,  16,  21) 


11  =  (2,  6,  9) 
=  (6,  6,  7) 


31  =  (5,  6,  30) 


13  =  (0,  5,  12) 
=  (3,  4,  12) 


33  =  (1,  8,  32) 
=  (8,  8,  31) 
=  (4,  17,  28) 


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Miscellen. 


325 


15  =  (9  10,  11) 

33  <=  (7  16  28) 

17  ss  f0.  8  15) 

35  —  fl   18  30) 

=  (8.  9.  12) 

=  (15  18  26) 

19  —  d  6  18) 

37  =  (3  8  36) 

=  (6  6  17) 

=  /■«  Ol  28) 
V,u,  ^oy 

=  (6  10  15) 

=  (8  24  27) 

21  =  (4  5  20) 

*±A            \V)   *>^ti  0&) 

—  (319,  Zi) 

=  (4,  13,  16) 

43  =  (6,  7,  42) 

=  (8,  11,  16) 

45  ss  (5,  8,  44) 

28  =  (3.  6,  22) 

=  (8,  19,  40) 

=  (3,  14,  18) 

49  =  (15,  24,  40) 

=  (6,  13,  18) 

57  =  (7,  8,  56)! 

25  =  (0,   7,  24) 

Lösungen,  die  sich  durch  Division  mit  einem  Factor  von  u  re- 
duciren,  sind  hier  nicht  aufgenommen,  da  sie  durch  Multiplication 
der  Gleichungen  leicht  hinzugefügt  werden  können. 

Unter  den  aufgeführten  Lösungen  tritt  eine  sehr  einfach  fort- 
schreitende Reihe  bemerklich  hervor  und  führt  zur  Entdekung  der 
Formel : 

(h*  +  *  +  D*  -*»  +  (*+  1)*  +  W*  +  1)1»  (4) 
wo  nämlich: 

Ä*+/t-f-l  =  i  +  2(l  +  2  +  3  +  .  .  •  ä) 

ist 

Ferner  zeigt  die  Tabelle,  dass  die  meisten  Paro  verschiedener 
Lösung  für  dasselbe  u  eine  der  3  Zahlen  x,  y,  z  gemeinsam  haben, 
so  dass  aus  ihrer  Verbindung  jedesmal  eine  Lösung  der  Gleichung 

*"  +  *'  -  V  +  H*  (5) 

hervorgeht. 

Nun  ist  bekanntlich  jede  Primzahl  An  +  1  zerlegbar  auf  eine 
and  nur  eine  Art  in  die  Summe  zweier  Quadrate.  Ist  daher  x'-j-y* 
Primzahl,  so  ist  Gl.  (5)  unmöglich  (wo  nicht  identisch). 

Sind  also  j>,  q  zwei  Primzahlen,  so  hat  man: 

pq  =  («»  +  f*)  (y*  +  6*)  -  («y  ±  fity  +  (ad  +  ßy)*  (6) 

Demnach  erfüllen  die  2  Werto  der  rechten  Seite  die  Gl.  (5)  ein- 
fach. Nach  derselben  Formel  ist,  wenn  r«=-«* -{-£*,  weiterer  in 
4  verschiedeneu  Darstellungen  eine  Summe  zweier  Quadrate,  nämlich 


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326 


JUiscellen. 


pqr  -  K«r  ±  &)*  ±  («*  +  ßy)W 

u.  8.  f.  allgemein  ein  Product  von  m  Primfactoren  4w-f-l  in  2™-1 
Darstellungen,  und  man  findet  aus  einer  Lösuug  von  Gl.  (3)  alle 
auf  diesem  Wege  zu  ermittelnden  Lösungen  in  a  priori  bekannter 
Anzahl,  indem  man  a:1 dann  x*  +  z*,  dann  y*-)-2*  in  Prim- 
factoren zerlegt,  dann  jeden  Primfactor  als  Summe  zweier  Quadrate 
darstellt  und  die  Producte  nach  Gl.  (6),  (7)  etc.  transformirt. 

Kommt  ein  Factor  4n-  1  in  einem  der  Producte  vor,  so  ist 
dieses  von  der  Operation  auszuschliessen. 

Ein  Factor  2  hat  für  die  Operation  kaiue  Wirkung,  da 

2p  =  (1»+  1»)  («*  +  /**)  -  («  +  ß)*  +  («  -  fl)* 
nur  ein  Resultat  ergibt. 

R.  Hoppe. 


3. 

Zum  Beweise  des  Satzes,  das»  jede  unbegrenzte  arithmetische 
Reihe,  in  welcher  das  Anfangsglled  zur  Differenz  relativ  prim  ist, 
unendlich  viele  Primzahlen  enthält. 

In  unserem  Beweise  des  oben'  genannten  Satzes  (im  12.  Teil 
der  2.  Reihe  dieses  Archivs ,  Seite  439—441)  haben  wir  behauptet, 
dass  die  in  einer  arithmetischen  Reihe  mit  coustauter  Differenz,  in 
der  das  Aufaugsglicd  zur  Differenz  relativ  prim  sei,  etwa  vorkom- 
menden Zahlen  von  der  Form  6»+l  nie  alle  teilbar  sein  könnten. 
Dieso  Behauptuug  wollen  wir  hier  noch  besonders  beweisen. 

Die  Doppelreihe  6n+l  enthält,  uach  Absonderung  der  mit  5 
endigenden  teilbaren  Zahlen,  die  folgenden  Zahlen: 

5,  11,  17,  23,  29,  .  .  . 
7,   13,    19,     .  ,   31,  •  •  • 

Die  in  dieser  Doppelreihe  vorkommenden  teilbaren  Zahlen  lassen 
sich  dadurch  ermitteln,  dass  man  für  jede  Primzahl  p  >  5  eine  mit 
p2  anfangende  Doppelreihe  mit  der  Differenz  6p  bildet  und  dabei 
die  mit  5  endigenden  Zahlen  überspringt.  Dabei  ist  zu  bemerken, 
dass,  wenn  p  die  Form  6n— 1  hat,  die  Differenz  zwischen  einer 


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327 


oberen  und  einer  unteren  Zahl  dor  Doppelreiho  =»  2p  und  die  Dif- 
ferenz zwischen  einer  unteren  und  der  nächstfolgenden  oberen 
Zahl  —  4p  ist.  Hat  p  aber  die  Form  G/#  -f-  1 ,  so  ist  die  Differenz 
zwischen  einer  oberen  und  einer  unteren  Zahl  «  4p  und  die  Diffe- 
renz zwischen  einer  unteren  und  der  nächstfolgenden  oberen  Zahl 
=  2p.  Für  die  Vielfachen  der  Poteuzen  von  p  sind  die  Zahlen  in 
den  Reihen  für  die  Vielfachen  von  p  mit  enthalten. 

• 

Beispiel : 

r-  7- 

49,  91,  133,  .  .  . 
77,    119,    161,  .  .  . 

Diese  Reihen  sind  arithmetische  Reihen,  bei  denen  das  Anfangs- 
glied und  die  Differenz  den  gleichen  Teilerp  haben.  Sie  stellen  alle 
teilbaren  Zahlen  der  Reihe  6nXl  in  gleichmässig  fortschreitender 
Weise  dar.  —  Sollen  nun  andere  Reihen  mit  bestimmter  Differenz 
dieselben  teilbaren  Zahlen  darstellen,  so  müssen  Anfangsglied  oder 
Differenz  derselben  entweder  Teiler  oder  Vielfache  der  Anfangs- 
glieder und  der  Differenzen  der  erstcren  Reihen  sein.  Dividirt  man 
Anfangsglied  und  Differenz,  bzhw.  nur  das  Anfangsglied  oder  nur  die 
Differenz  einer  der  ersteren  Reihen  durch  den  Teiler  p  bzhw.  durch 
die  Teiler  2  und  drei,  so  trifft  man  wieder  auf  aufeinanderfolgende 
Glieder  der  Reihe  6»  X  1  oder  man  erhält  Reihen ,  bei  denen  An- 
fangsglied und  Differenz  den  gleichen  Teiler  haben.  Bildet  man  aber 
Vielfache  vom  Aufaugsuliede  uud  der  Differenz  der  ersteren  Reihen, 
so  kann  man  damit  auch  keine  Reihen  herstellen,  bei  denen  An- 
fangsglied und  Differenz  keinen  gemeinschaftlichen  Teiler  haben.  Ist 
also  eine  Reihe  gegeben,  in  welcher  Aufaugsglied  und  Differenz 
keineu  gemeinschaftlichen  Teiler  haben,  und  enthält  diese  Reihe  un- 
endlich viele  Zahlen  von  dor  Form  6«  X  1 ,  so  müssen  diese  Zahlen 
jedenfalls  wechselweise  aus  der  Reihe  der  Primzahlen  von  der  Form 
6nXl  und  aus  der  Reihe  der  teilbaren  Zahlen  von  der  Form 
6n  X  l  entnommen  werden,  denn  ein  dauernder  Fortlauf  einer  sol- 
chen Reihe  in  der  Reihe  der  teilbaren  Zahlen  von  der  Fom  6«  XI 
ist  nach  den  obigen  Ausführungen  unmöglich.  Eine  arithmetische 
Reihe,  in  wolchcr  Anfangsglied  und  Differenz  koinen  gemeinschaft- 
lichen Teiler  haben,  wird  also,  wenn  sie  in's  Unendliche  ausgedohnt 
wird,  unendlich  oft  eine  Zahl  aus  der  Reihe  der  Primzahlen  von  der 
Form  6u  X  l  und  unendlich  oft  eine  Zahl  aus  der  Reihe  der  teil- 
baren Zahlen  von  der  Form  6»X1  entnehmen  müssen.  —  Wir 
können  also  getrost  die  Behauptung  aufstellen,  dass  mit  dem  Nach- 
weise, dass  in  den  Reihen  der  7  Reihenarten 


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328 


MiscelUn. 


Aufangsglied: 

Differenz : 

1)        6«  ^  1 

2n 

2)        6n  +  3 

6n  +  2 

3)  6n 

6«  +  1 

4)      GnT  2 

6nq:  l 

6)      6n  q:  2 

Qn  3 

6)      6n  q:  1 

6n'+3 

7)      6n  +  3 

6n^  1 

denen  noch  eine  8.  Reihenart  mit  dem  Anfangsgliede  6n+l  und 
der  Differenz  6n+l  hinzuzufügen  ist,  unendlich  viele  Zahlen  von 
der  Form  6n  + 1  enthalten  sind,  auch  zugleich  der  Nachweis  geführt 
ist,  dass  in  jeder  unendlichen  arithmetischen  Reihe  mit  constanter 
Differenz,  in  der  das  Anfangsglied  und  die  Differenz  teilerfremde 
Zahlen  sind,  unendlich  vielo  Primzahlen  enthalten  sein  müssen. 

Oldenburg  i.  Gr. 

G.  Speckmann. 


4. 

Ueoer  die  Zerlegung  der  Zahlen  in  Quadrate. 

I.   Zerlegung  der  Zahlen  von  der  Form  4n-{-l 

in  2  Quadrate. 

Diejenigen  Zahlen  Z  von  der  Form  4n-f-l,  die  sich  in  2  Qua- 
drate zerlegen  lassen,  kann  man  in  (  lassen  einteilen,  innerhalb  deren 
die  Zahlen  Z  sowol  wie  die  Grundzahlen  der  Quadrato  a*  und  l'z 
arithmetische  Reihen  bilden.  Es  mögen  einige  dieser  Classen  hier 
folgen. 

C lasse  1. 


z. 

Quadrate 

o*  +  6» 

5 

li+  2* 

13 

2* +  3» 

25 

3* +  4» 

41 

48-f  5* 

61 

5* +  6* 

85 

6*+  7* 

u  s.  w. 

U.  8.  W. 

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Mtscellen. 


329 


Die  Zahlen  Z  bilden  eine  arithmetische  Reihe  2.  Ordnung  nach 
der  Formel  2x*-f-6x-f-6.  Die  Grundzahlen  a  sind  die  Zahlen  der 
natürlichen  Zahlenreihe  Ten  1  an  und  die  Grundzahlen  der  Quadrate 
bs  sind  die  Zahlen  der  natürlichen  Zahlenreihe  von  2  an. 


Classe  2. 


z. 

Quadrate 

a*-f6* 

17 

l»-f  4* 

29 

2* +  6» 

45 

3« +  6» 

65 

4*-f  72 

89 

5» +  8* 

117 

6* +  9« 

u.  s.  w. 

U    8  W. 

Die  Zahlen  Z  bilden  eine  arithmetische  Reihe  2.  Ordnung  nach 
der  Formel  2x*-j-  lOx-J- 17.  Die  Grundzahlen  der  Quadrate  a*  sind 
die  Zahlen  der  natürlichen  Zahlenreihe  von  1  an  und  die  Grund' 
zahlen  der  Quadrate  b%  sind  die  Zahlen  der  natürlichen  Zahlenreihe 
von  4  an. 

Classe  3. 


z. 

Quadrate 

a*-|-6* 

37 

l*-f  6* 

53 

2« +  7* 

73 

3*-f8* 

97 

4« +  9* 

125 

5*  +  10* 

147 

6»-f-ll* 

U.  8.  W. 

U.  8.  W. 

Die  Zahlen  Z  bilden  eine  arithmetische  Reihe  nach  der  Formel 
2**-f  l4*-f-37.  Die  Grundzahlen  der  Quadrate  aa  sind  die  Zahlen 
der  natürlichen  Zahlenreihe  von  1  an  und  die  Grundzahlen  der  Qua- 
drate b*  sind  die  Zahlen  der  natürlichen  Zahlenreihe  von  6  an. 

Die  1.  Classe  beginnt  mit  dem  Quadrat  der  Zahl  1,  also  1*  und 
mit  dem  Quadrat  der  ersten  geraden  Zahl,  also  2*;  die  2.  Classe 
beginnt  mit  dem  Quadrat  1*  und  mit  dem  Quadrat  der  zweiten  ge- 
raden Zahl,  also  4*;  .  .  .  ;  die  nte  Classe  beginnt  mit  dem  Quadrat 


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330 


Mscetlen. 


der  nten  geraden  Zahl,  also  (2n)*.  Die  Formeln  für  die  Reihen  der 
Zahlen  Z  zu  den  jeweiligen  Classeu  sind  die  folgendem 

Classe.  Formel  der  Zahlenreihe  Z: 

1  2»* -f-  6*+  5 

2  2x*  -f  lOx  +  17 

3  2x8  +  14x  -f-  37 
u.    s.  w. 

Allgemein  lautet  die  Formel  für  die  Zahlen  Z  zur  nten  Classe: 

/x  -  0,  1,  2,  .  .  .  \ 
2x2  +  (6  -f-  4m)x  +  (2n)*  +  1  Im  -  0,  1,  2,  ...  1 

fi        1,  2,  3,  . 

Die  Grundzahlen  der  Quadrate  a1  zur  nton  Classe  sind  die  Zahlen 
der  natürlichen  Zahlenreihe  vou  1  an  und  die  Grundzahlen  der 
Quadrate  b*  zur  nten  Classe  sind  die  Zahlen  der  natürlichen  Zahlen- 
reihe von  2n  an. 

Bei  der  1.  Classe  ist  die  Differenz  zwischen  den  Grundzahlen 
der  zu  einer  jeweiligen  Zahl  Z gehörigen  Quadrate  gleich  1,  beider 
2.  gleich  3  ,  bei  der  3.  gleich  5,  bei  der  nten  gleich  2«  — 1. 

Da  innerhalb  jeder  Classe  die  Reihe  der  Grundzahlen  der  Qua- 
drate a  die  natürliche  Zahlenreihe  von  1  an  ist,  so  kann  mau  aus 
diesen  Classen  auch  Zahlformcn  entnehmen,  zu  denen  je  ein  Quadrat 
der  Zahlen  1,  2,  3,  .  .  .  gehört.    Solche  Formen  sind  diese: 

Zahlformen.       IT  Zugehörige  Quadrate. 

II 

4**+  8*  -f  ^    -°  1* 

4x«-f  16x  +  25     W  3* 

u.    s  w. 

Die  Differenz  zwischen  diesen  Formen  ist 


■  / x  —  1,  2,  «3».  •  •  \ 
4*  +  C  \z  -  8,  12,  10,.  .  .  ) 


und  die  Constanten  dieser  Formen  siud  nach  einander  die  Zahlen 
der  Reihe 

2x»  +  6x  -f-  5    (x  =  0,  1,  2,  .  .  .  ) 


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Mtscelhn. 


331 


II.   Zerlegung  von  Zahlen  in  die  Form  a'-f-p**. 

In  ganz  ähnlicher  Weise,  wie  oben  für  diejenigen  Zahlen,  welche 
in  2  Quadrate  zerlegt  werden  können,  Classen  gebildet  sind,  köunen 
auch  für  diejenigen  Zahlen,  welche  in  die  Form  a'-J-jjÄ'  (p  —  Prim- 
zahl) zerlegt  werden  können,  Classen  gebildet  werden,  innerhalb 
deren  die  Zahlen  Z  sowol  wie  die  Grundzahlen  der  Quadrate  a*  und 
6*  arithmetische  Reihen  sind. 


III.   Zerlegung  einer  einzelnen  Zahl  in  2  Quadrate 
oder  in  1  Quadrat  und  ein  p  faches  Quadrat. 

Zur  Zerlegung  einer  einzelnen  Zahl  in  2  Quadrate  oder  in  ein 
Quadrat  und  ein  p  faches  Quadrat  werden,  uachem  die  Wurzel  r 
der  Congruenz  x-  = — />(mod  Z)  gefunden  ist,  die  reducirteu  Formen 
and  die  Kettenbrüche  mit  Bildung  von  Näheruugsbrüoben  angewandt 
Beides  ist  nicht  erforderlich,  da  sich  bei  der  einfachen  Anwenduug 

des  Algorithmus  des  grössteu  gemeinschaftlichen  Teilers  auf  -  die 

Grundzahlen  der  betreffenden  Quadrate  von  selbst  ergeben,  indem  sie 
in  der  Beiho  der  auftretenden  Teiler  mit  vorkommen. 

Beispiele: 

1)  Z  =  653.  —  Die  Congruenz  x*  =  —  1)  (mod  653)  hat  die 
Wurzel u  ±  149. 

653  :  149  :  57  :  35  :  22  j  13  :  9  :  4 
Z  =  13*4-  22* 

2)  Z  =  587.  -  Die  Congruenz  x*  =  —  2  (mod.  587)  hat  die 
Wurzeln  ±  207. 

587  :  207  :  173  :  34  :  3  :  1 
Z  =  3«  +  2  .  17* 

3)  Z  —  829.  —  Die  Congruenz  x1  ==  -  3  (mod.  829)  hat  die 
Wurzeln  ±  251. 

829  :  251  :  76  :  23  :  7  :  2  :  1 
Z  =  23'  +  3  .  10« 

4)  Z  —  989   —  Die  Congruenz  x2  =  —  5  (mod.  989)  hat  die 
Wurzeln  ±  77,  ±  353. 


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332 


MiscelUn. 


989  :  77  :  65  :  12  :  5  :  2 
Z  -  121  +  5  .  13*. 

989  :  353  :  283  i  10  :  3  :  1 
Z  =  3*  +  6  .  14*. 

G.  Speckmann. 


5. 

Systeme  von  arithmetischen  Reihen  nter  Ordnung. 

Durch  Aneinanderreihung  von  Vertical reihen  lässt  sich  die 
natürliche  Zahlenreihe  wie  folgt  in  Systeme  von  Horizontalreihon 
zerlegen : 

1)  1,  2,  4,  7,    11,  16,  ...  . 

3,  5,  8,    12,  17,  .... 
6,  9,    13,  18,  .  .  .  . 
10,  14,  19,  ...  . 
15,  20,  .  .  .  . 
21 , .  •  •  • 

Die  Horizontalreihen  sind  arithmetische  Reihen  zweiter  Ord- 
nung, deren  erste  Differenzreihe  resp.  aus  den  Zahlen  1,  2,  3,  .  .  ., 
2,  3,  4, .  .  . .  3,  4,  5,  .  .  .  u.  8.  w.  besteht 

2)  1,  3,  7.   1?,  21,  ...  . 
2,  4,  8,    14,  22  

5,  9,    1 5,  23,  .... 

6,  10,  16,  24,  ...  . 
•    11,  17,  25,  ...  . 

12,  18,  26,  ...  . 

19,  27,  ...  . 

20,  28,  ...  . 
29, .  .  .  . 
30,  .... 

Die  Horizontal  reihen  sind  arithmetische  Reihen  zweiter  Ord- 
nung, deren  erste  Difforenzreihe  resp.  aus  den  Zahlen  2,  4,  6,  .  .  .. 
4,  6,  8,  .  .  •  besteht. 


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MitcelUn. 


333 


3) 


1,  4,  10,  19,  31 


2,  5,  11,  20,  32,  . 

3,  6,  12,  21,  33,  . 

7,  13,  22,  34,  . 

8,  14,  23,  35,  . 

9,  15,  24,  36,  . 
18,  25,  37,  . 

17,  26,  38,  . 

18,  27,  39, . 

28,  40,  . 

29,  41,  . 

30,  42,  . 


Dio  Horizontalreihen  sind  arithmetische  Reihen  zweiter  Ord- 
nung, deren  erste  Differenzreihe  resp.  aus  den  Zahlen  3,  6,  9,  .  .  ., 
6,  9,  12,  .  .  .  u.  s.  w.  Desteht. 

In  ähnlicher  Weise  kann  man  fortfahren  und  unendlich  viele 
Systeme  von  arithmetischen  Reihen  bilden. 

Richtet  man  ein  solches  System  so  ein,  dass  in  der  obersten 
Horizontalreihe  die  Quadrate  der  Zahlen  der  nat.  Zahlenreihe  zu 
stehen  kommen,  so  gestaltet  sich  dasselbe  wio  folgt: 


2,  5,  10,  17,  26,  . 

3,  6,  11,  18,  27,  . 

7,  12,  19,  28,  . 

8,  13,  20,  29,  . 

14,  21,  30,  . 

15,  22,  31,  . 

23,  32, . 

24,  33,  . 
34,  . 


Die  Horizontalreihen  sind  arithmetische  Reihen  zweiter  Ord- 
nung, deren  erste  Differeozreihe  aus  aufeinander  folgenden  ungeraden 


1,  4,  9,   16,  25 


35 


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334  Mücellen. 

Zahlen,  nämlich  resp.  aus  dun  Zahlen  3,  5,  7,  .  .  .  ,  5,  7,  9,  .  .  . 
u.  8.  w.  besteht 

In  ähnlicher  Weise  lassen  sich  aus  der  nat.  Zahlenreihe  Systeme 
von  arithmetischen  Reihen  3ter,  4ter,  .  .  .  nter  Ordnung  bilden,  in 
denen  die  oberste  Reihe  aus  3ten,  4ten,  .  .  .  nten  Potenzzahlen 
besteht. 

Oldenburg  i.  Gr.  G.  Speck  mann. 


6. 

Ueber  Potenzreihen. 

Aus  den  3ten  Poteazen  der  Zahlen  a  der  natürlichen  Zahlen- 
reihe kann  man  durch  Hinzunahme  geeigneter  Quadratzahlen  b  eine 
Reihe  von  Quadratzahlen  c  bilden.  Es  mögen  die  Reihen  der  be- 
treffenden Zahlen  hier  folgen. 

n         b  c 

2»  +    1*  3» 

33  -f.  3*  -  6* 

4*  +  0*  =  10» 

53  +  10*  =  15* 

U.     8.  W. 

Die  Reihe  der  Wurzeln  o  ist  die  natürliche  Zahlenreihe  von  2  au, 
die  Reihe  der  Wurzeln  b  ergiebt  sieb  aus  der  Formel 

+!*+ 1(*  -  0, 1, 2, . . . ) 

Die  Reihe  der  Wurzeln  c  ergiebt  sich  aus  der  Formel 

j  + 1  *  +  3  (*  =  0,  1  2,  .  .  . ) 

Aus  den  vorstehenden  Reihen  für  die  dritte  und  zweite  Potenz 
lassen  sich  dadurch ,  dass  man  die  Wurzelzahlen  V  resp.  mit  2,  3, 
4,  .  .  .  ,  2X.  3X,  4X,  .  .  .  multiplicirt  und  die  Quadrate  der  so  ent- 
standenen Zahlen  zu  den  Potenzen  von  dor  Form  a2*-1  hinzuuimmt, 
Quadratzahlen  von  der  Form 

„2,-1  +  p  _  ct 


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Miscelltn. 


335 


bilden.  Alle  Wurzelzahlen  c  erhält  man  auch  dadurch,  dass  man  die 
oben  für  c  angegebenen  Zahlen  resp.  mit  2Z,  3X.  4X,  .  .  .  multiplicirt. 

So  ist  z.  B. 

2*  -f-   8«  '  -  6* 

3*  +   9l  -  18» 

45  4.  24*  —  40* 

n.   8.  w. 
27  _|_    4*  0  12« 

3'  +  27«  -  54* 
47  -f-  96*  -  160" 

U.     8.  W. 

G.  Speckmann. 


7. 

Ueber  die  Auflösung  der  Congruenz  x*  =  a  (mod.  p). 

Auf  Seite  446-  448,  Teil  14,  2.  Reihe  dieses  Archivs  haben  wir 
eine  Auflösungsmethode  für  die  Congruenz  **  =  a  (mod.  p)  bekannt 
gegeben.  Diese  Auflösungsmethode  gilt  natürlich  auch  allgemein  für 
jede  ungerade  Modulzahl.  —  Jetzt  möchten  wir  noch  mitteilen,  dass 
das  angegebene  Verfahren  noch  bedeutend  dadurch  verkürzt  werden 
kann,  dass  man  in  die  Formel  pn-\-a  -r  für  u  nicht  alle  Zahlen 

0,  1,  2,  3,  .  .  .  einsetzt,  sondern  nur  einige  besonders  ausgewählte 
Zahlen.    Setzt  man  nämlich  in  z1  -\- z  für  z  nach  einander  die  Zahlen 

1,  2,  3,  .  .  .  ein,  so  entstehen  die  folgenden  Summen:  2,  6,  12,  20, 
30,  42,  56,  72,  90,  110,  .  .  .  Die  Endziffern  dieser  Summe  wieder- 
holen sich  von  10  zu  10  Summen  und  können  nur  gleich  2,  6  oder 
0  sein.  Dicsor  Umstand  führt  zu  einer  grossen  Abkürzung  der  Rech- 
nung.    Es  sei  z.  B.  die  Congruenz  x1  =  300  (mod.  897)  gegeben . 

(89?2~~  ~  )'  S  673  (m0d-  897)'  Es  i8t  al8°  di°  F°rmel  897  "~  373 
zu  benutzen.  Setzt  man  in  diese  Formel  die  Zahlen  1,  2,  3,  .  .  . 
ein,  so  entstehen  Summen  mit  den  Endziffern  4,  1,  8,  5,  2,  9,  6,  3, 
Da  nur  diejenigen  Summen,  wilcho  die  Endung  2,  6  oder  0 
haben,  Zahlen  von  der  Form  sa  +  £  sind,  so  brauchen  wir  hier  auch 
nur  solche  Summen  zu  benutzen,  nämlich  5  .  897—373,  7  .  897—373, 
9  .  857  —  373  u.  s.  w.   Die  Rechnung  stellt  sich  dann'wie  folgt  dar: 


f 


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33G 


AfiscelUn. 


897n  —  373 

n  -  5.  5  .  897  -  373  =  4112  =  64»  -f  16 

n  =  7.  7  .  897  -    373  —  5906  =  76»  +  130 

n  =  9.  9  .  897  —  373  —  7700  =»  87»  +  131 

a  =  25.  4112  -f-  8970  —  13082  —  114»  -f  86 

n  -  17.  5905  +  8970  =  14876  -  121*  -f  235 

n  =  19.  7700  +  8970  =  16670  -  129*  -f-  29 

n  =  25.  13082  +  8970  =  22052  =  148«  -f  148 

897  1  897  -I-  1 

 2  148   ™d  — Y~  +  148'  d'  L  300  nnd  596  8ind  Wur 

zeln  der  Congruenz  «*  =  300  (mod.  897) 

Oldenburg  i.  Gr.  G.  Speckmann. 


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Graeber:   Ueber  die  pythagoreisch™  Dreieck*  etc. 


337 


XVIII. 


Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke  und  ihre 
Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangs. 


Von 

Graeber, 

Seminarlehrer  in  Aurich. 


Pythagoreische  Dreiecke  heissen  diejenigen  Dreiecke,  deren 
Hypotenuse  und  Katheten  pythagoreische  Zahlen  zu  Längeneinheiten 
haben.    Die  Zahlen  a,  b,  c  heissen  pythagoreische  Zahlen,  wenn 

a*  =  4*  +  c* 

ist   fA*  bezeichnet  ein  pythagoreisches  Dreieck  mit  den  pythagorei- 

m 

sehen  Zahlen  a,  4,  c. 

Die  Hypotenusenwinkel  sind  ß  und  y;  0  liegt  der  Kathete  b 
nnd  y  der  Kathete  c  gegenüber,   *A3  bezeichnet  z.  B.  das  pytha- 


Dreieck,  dessen  Hypotenuse  5  und  dessen  Katheten  b  und 
c  3  beziehungsweise  4  Längeneinheiten  haben.  /?s6  liegt  der  Kathete 
*  —  3  und  y*5  der  Kathete  c  —  4  gegenüber.  Ein  pythagoreiiches 
Dreieck,  dessen  Hypotenuse  eine  Primzahl  ist,  heisst  ein  ursprüng- 
liches und  hat  die  Bezeichnung       ein  solches,  dessen  Hypotenuse 

■ 

ein  Product  aus  zwei  oder  mehreren  Primzahlen  ist,  heisit  ein  zu- 
sammengesetztes pythagoreisches  Dreieck,  dessen  Bezeichnung  £ 

f  [  o  "j ..an. 

• 

ist.  Alle  anderen  pythagoreischen  Dreiecke  heissen  abgeleitete  und 
zwar  einfach  abgeleitete,  wenn  die  Hypotenuse  eine  Potenz  einer 
primzahligen  Hypotenuse  ist  und  zusammengesetzt  abgeleitete  py- 

Arct».  d.  Mith.  u.  Phjs.   3.  Beiho.  T.  XT.  2 2 


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338  Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

thagoreiscbe  Dreiecke,  wenn  die  Hypotenuse  ein  Product  aus  Po- 
tenzen von  primzahligen  Hypotenusen  ist.    Jene  werden  mit  A> 

diese  mit    A  bezeichnet. 
a1?osr  .  an* 

Alle  pythagoreischen  Dreiecke  lassen  sich  aus  dem  gleichschenklig 
rechtwinkligen  Dreieck  coustruiren .  Dieses  Dreieck  ist  A  ABC  mit 
AB  als  Hypotenuse  und  mit  AC  —  BC  als  Katheten.   Figur  L 

§  L 

Um  4AS  zu  construiren,  verbindet  man  A  mit  D,  der  Mitte  von 
CB  dann  ist 

2  Wkl.  DAE  -  05s 

und 
Es  ist 

oder  da 


und 

Ferner  ist: 
und  da 

ist: 


Da 

ist 

mithin  ist 


2  Wkl.  CAD  =  y6« 

ÄD*  —  BC*  +  ÄC* 
AC  -  2  CD  ist, 
ÄD*  -  L>GJ  -f  467^  - 
,4/;  =  CD  Yb 
CD  Yb:  DB  —  sinB  :  sin  DAB 

sinß  =  j/jj   und   DB  -  CZ> 

sin  DAB  =  Yl  y\  -  VÖ7l 

logsinXMÄ  -  |logO,l  -  0,5000000  - 

Wkl.  D^B-18°26'5^y" 

Wkl.  CAD  -  45»  -  Wkl.  DAB  ist, 

116" 


Wkl.  C^D  -  26*33'  54 


631 


349" 

2  Wkl.  DAB  =  36®  52'  11  und 

030" 

2  Wkl.  dD-  53»  7'  4S63y 

In  *A"  »st 


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nnd  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangs.  339 

log  3  =  0,4771213 
log  5  =  0,6989700 

log  j*  =  0,7781513-  1; 

ßh  =  36°  52'  11  ^ 
2  Wkl.  DAB  -  ß\ 

Der  Beweis  ohne  Logarithmen  ist:  Da 

tiuCAD  -         ™d   cosC'^D  =  ™ 

ist,  so  ist 

12  4 

>5     V5  & 

Nun  ist 

4 

8iny*s  —       also  ist    sin2CMD  =»  siny*a 

oder 

2  .  CJD  =>  ya 

2  Wkl.  und  2  Wkl  sind  die  Hypotenusenwiukel  von 

Wird  CB  in  drei  gleiche  Teile  geteilt,  und  werden  die  Teil- 
punkte mit  A  verbunden,  so  bilden  die  Transversalen  mit  der  Hypo- 
tenuse die  halben  Hypotenusenwinkel  von  *A*  nnd  "A6- 

Bei  der  Teilung  in  vier  gleiche  Teile  erhält  man  die  Hypote- 
nusenwinkel  von  *AS,  ,6A8,  28 A4- 

5         17  25 

Hieraus  ergiebt  sich  der  Satz: 

Die  Transversalen  nach  den  Teilpunkten  des  einen  Schenkels  im 
gleichschenklig  rechtwinkligen  Dreiecke  gezogen,  bilden  mit  der 
Hypotenuse  halbe  Hypotenusen  Winkel  von  pythagoreischen  Drei- 
ecken. 

Eine  nach  §  18.  berechnete  Tabelle  für  Teilungen  in  2  bip 
8  gleiche  Teile  wird  diesen  Satz  bestätigen 

22* 


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340  Grar her:  Uebtr  di«  pythagoreitchen  Drtitcke 

§  2. 

Der  Unterschied  der  beiden  Hypotenusenwinkel  von  *A5  ist  ein 
Hypotenusenwinkel  von  MA7. 

25 

l  rt-ßi-  Ml 

E8  ist:  .  na 

iin(y| Bin y|-  cos/31  -  »in /3g  .  cosyg 

Sotzt  man 

siny$  —  cos  |,   sin0£  =  cos  ff 

so  erhftlt  man 

8in(y*  -  ßl)  -  sinM  ~  ™*ßl  =  c08^'2  ~  C0SM 

oder 

L  sin  (y|  -01)  =  cos  201 

Ebenso  ist 

II.   cos(y*  -  ßl)  -  cosy|  .  cos^  +  Binyf  .  iin0i 

-  sin  01  .  sinyi  -f  sinyt  .  sin  01 

—  2  sin  0  g  .  siny£  =  2siu01  .  cos  02 
=  2  sin  20g 


Für 
wird 


3  4 
sin  0g  -5  =  cosyt    und   sinyg  -  £  -  coaßl 

sin(y£  -  ßl)  -  l0  und  cos(yi-rt)-** 


Da 

oder 


sin  V*  -  ßV  +  C0B»(yi  -  «)  m  1 
25*  ~  7*  -f  24* 
ist,  so  ist  yg  —  01  ein  Hypotenusenwinkel  von  MA 
Es  ist  nun 

III.  sin  (y$  -  01)  =  ^5  =  f*A 
also  ist 

a)  yf-rt-Ws 

Der  andere  Hypotonusenwinkel  ist,  da 

IV.  cos(yj|  -  01)  -  208'5  -      -  sinyfS  ist, 

b)  20t -y« 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de»  Kreisumfang». 

2.  rit-M-rf. 

Folgende  Gleichuugen,  die  sich  aus  (I,  IL,  III.,  IV)  ergebe 
lila.    sin(yf  -  ß\)  -  cos  2/3 \  =  sin/3/5  -  eosyf*  -  ~ 

•cot(rf  -  ßl)  -  sin 2/3g  =  sinyi$  -  601/1/.  -  j~ 

formen  die  Gleichungen 

»MyJS  -  |3S75)  =  sinyfä  .  cos/3  ,76  -  cosyf*  .  sin  ß,\ 
cos(y|g  -  ß&)  ~  cosyü  .  cos/3,*  +  sinyf|  .  sin/S/B 

um  in: 


V.   siniyU  -         =  s\n2ßl  .  sin  2/^  -  cos2/3g  .  cos  20* 

527 
625 


r>27 

-  -  cos4/5*  -  +  55 


VI.    cos(y|*  -  p^)  -  cos2/3g  .  sin2/3j|  +  cos 2/3»  .  sin  20g 

-28in2^.co82^  =  .in4j3;  =  ^ 

Nun  ist 

siu2(y|*a  -  ß,\)  +  cos>(yf£  -  f  Ä)  "  1  und 
625*  -  3361  +  527» 

folglich  ist  yll  —  ß^  ein  Hypotenusenwinkel  von 

625 

Es  ist 

336 

mithin  ist 

336 

cos(}'!$  —  /3J6)  -       -  cosy5*  und 

rK  -  /»A  -  k.4 

Der  andere  Hypotenuseuwinkel  ist 

90°  -  ytt  +  /?2'5  -  2/JÄ  _  2(yi  -«)- 

Da  man  ebonso  erhält: 

sin  (y5*  -  /35*)  -  cos  8/3* 
cosfo»-^,)  sin  8/3* 

so  ergiebt  sich  der  Satz: 


342  Graeber:  (Jeher  pythagoreische  Dreiecke 

A.  Der  Unterschied  der  beiden  Hypotenusenwinkel  von  & 
ist  ein  Hypotenusenwinkel   von  £ 

Mittels  der  Gleichungen 

iiu20g  —  sin2y£    und   cos  20g  =  -  cos2yJ 
erhält  man  aus  V.  und  VI.: 

•in(y||-  ßfr)  =  2sin  2/5|  .  sin2y|  +  cos2/5§  .  sin2yj| 
-  cos2y*  —  ff) 

cos(yü  -  ßfb)  -  sin  2y$  .  cos20g  —  cos2y|  .  sin  20? 
Hieraus  folgt: 

B.  I>er  doppelte  Unterschiedswinkcl  der  beiden  Hypotenuseu- 
winkel  von  A  ist  ein  Hypotenusenwinkel  von         wenn  derselbo 

Wkl.  1  Ä  ist. 

§  3. 

Mit  Zuhilfenahme  der  Gleichungen  §  2.  III  a.,  IV a.  erhält  man 
nach  der  Sinus-  uud  Cosinusformel  für  die  Differenz  zweier  Winkel  : 

I.    sin (pf  -  ßt\)  -  sin/S?  .  sin 2ß*  —  cos202  .  cos  ß\ 

cos3^  =  i25 


II.    cos (02  -  027,)  =  cos/?2  .  sin  2/3S  +  sin  02  .  cos  2« 

117 
125 


-UD3P3  - 


Da 

44*  117* 

cos*3^  +  siu*3ft  -  12&8  +  12p  =  1 

iit,  so  folgt  darauf, dass  ßl~-ß&  ein  Hypotenusenwinkel  von  A  ist.  Da 

Bin(«  -  ßj>)  -  ^  -  «in^ 

16t.  80  ISt 

a>  ^5^25-^125 
Ist  0f  —  /3875  der  eine  Hypotcnusenwinkel,  so  ist 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreüumfangs.  343 

der  audere  Hypotenuscnwinkel  von  1I7A41. 

125 

3      336  237 
2)    ßb~ßV    -  ^3125 

Es  ist 

lila.    sm4ß^  -       =  sin  j?5*  -  cosy6* 

IV  a.    -  cos  40  j?  —  ~  =  sin  y5*  =•  cos/V 

Mittels  dieser  Gleichungen  orhalt  man  aus  den  Formeln  für 

8iü  0*5  -  y«4) und  cos  {ß  5  -  1 

(3  \  3  3  3  3 

05  —  ßM  <=—  sinß  5  .  cos4|?5  —  cos?.—  sin405 

3      237       .   /  4\ 
=  -  sm5?  5  "  3125  "  8m  V'  **) 

/  3        \  3  3  3 

IV.     cos  (^5  —  ßb*J  =  —  c<>9/*5  •  cos4/55  4~  sin/S  5  .  sin 40 j 

_Ä3     3116  /   ,  4\ 

Da  3125*  =  237*  +  3116*  ist,  so  ist 

■in fc*)  -  sinjV  -  sio(y5*  -  y*) 

und 

a)  0*"/V  =  fc»-n4-r£ 

der  eine  Hypothenusenwinkel,  der  andere  ist 

W-ßl  +  ßS-yl+ß,1  oder 

b)  90  —  ys*  +  y  *  —  fc*+rt  =  y*» 

3)    P27-P125  ^3125 

Mit  Benutzung  §  2.  lila  ,  IV  a.  and  der  Gleichuugen 


{ 


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344  Graebtr:  üeber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

.  mM  3     117  .  44 

8in  Zß  5  ^  125  "  C0S  ß  125 

~  cosZßl=  läb  =  *{ußm  ist 


V.   sin     I  -ß  f£)  -  cos 2ß3b  .  sin  ß  J  +  sin 20*  .  cos30  J 

=  sin  5/*| 

C0*{ßlb~ß\2b)  -8in2^5  •  8i° 30 5  - 009 20 5  -  008 3^  5 


-  —  CO850. 


Aus  den  Gleichungen  2)  III.  folgt,  dass  ßf^-ßL  ein  Hypo- 
tenusenwinkel ist.  Da  bß  im  dritten  Quadranten  liegt,  so  ist  der 
Sinus  negativ,  also  ist 

p125    P25  p3125 
Der  andere  Hypotonusenwinkel  ist  dann: 

000  *  44  -LA  7  117  -  _  7  3116 
90  -^125  +P  25      f  125+^25  "  ?3125 

Auf  ebendieselbe  Weise  lassen  sich  die  Hypotenusenwinkel!  zum 
A  durch  Combination  zweier  Hypotenusenwinkel  aus  Dreiecken  von 
derselben  primzahligeu  Hypotenuse  niederer  Potenz  finden. 

Man  erhält: 

vu  1      4    *  237  11753 

VIL  ^5  ^3125  =  ^15625 

Ä  3  237  10296 
P5i"P3125  -  P  15625 

24      336  .10296 
2    rn-ßMK  -  ß 


25    r  625      r  15625 

7  336  11753 
25+^625  "  y  15625 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreitumfangt  345 

vii  o      1J7     n  44  11753 

vn.  3.  r12b~ßl2b  -  y15625 

o  44  44  10296 
P126"t"P125  -  ^15625 

Heissen  die  Winkel  ß  oder  y  unter  sich  gleichnamige  und 
ß  und  y  mit  einander  ungleichnamige  Hypotenusenwiukel ,  so 
lassen  sich  die  Sätze,  die  sich"  aus  den  Gloichungcu  1.  2.  3  (a,  b) 
und  aus  VII.  ergeben,  folgendermassen  ausdrücken: 

A.  Die  Summe  oder  der  Unterschied  zweier  gleichnamigen 

Hypotenusenwinkel    ?on    A  und  A    ist  eiu  Ilypotenusenwinkel 

an  a**i 

von    A  • 

B.  Die  Summe  oder  der  Unterschied  zweier  ungleichnamigen 
Hypotenusenwinkel  von  jo  einem  aus  A  nud  A  ist  eiu  Hypote- 

nuaenwinkel  von   A  • 

C.  Ist  die  Summe  oder  der  Unterschied  zweier  gleichnamigen 

Hypotenusenwinkel    von   A  und  A  ein  Ilypotenusenwinkel  von 

a»  an* 

A    ,  so  ist  der  Unterschied  oder  die  Summo  zweier  ungleich- 

namigen  Hypotenuseuwinkel  von  je  einem  aus  denselben  Dreiecken 
der  andere  Hypotenusenwinkel  von   A   und  umgekehrt. 


D.  Der  doppelte  0-Winkel  im  A  ißt  ein  Hypotenusenwinkel 
von  A  • 


Hierbei  ist  vorausgesetzt  worden,  dass  die  Summe  der  Winkel 
<  \R  ist.  Beträgt  dieselbe  mehr  als  lß,  so  ist  der  Supplement- 
winkel ein  Hypotenusenwinkel. 

Aus  den  Gleichungen  I— IV.  folgt  der  Satz: 

E.    Der  Sinus  und  Cosinus  eines  n fachen  Hypotenusenwiukels 
von  A  geben  die  Sinusse  oder  Cosinusse  der  Ilypotenusenwinkel 
a 

von  A- 


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346  Graeber:  lieber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

§  4. 

Kehrt  man  in  den  Sinus-  und  Cosinusformeln  §  3.  (1—4)  die 
Vorzeichen  um,  so  erhält  man  die  Hypotonusenwinkel  von  pytha- 
goreischen Dreiecken  von  niederer  Potenz  derselben  primzahligen 
Hypotenuse.   Nämlich  : 

I.   Bin  {ß  ö  +M  -  125  -  5  -  l?By5  ~  ""^b 
(Q3  .  al  \      75       3       .      3  4 

•   A3",  *  A      2925      117       .  , 

(a3  .  fl  A      11C0  44 
cos  ^  fi  +        _  ai25  =       _  8m/?5»  =  C08/5. 

sin  (fc«  +  fcfl  »3125==g-  «u/J5  =  cos  y  5 
pn  .Ä1  2500     4       .     4  3 

«•ÄÄ+A4)  -  »i2ö  -  5  - sin  y5  =  608  '  5 

Aus  diesen  Gleichungen  ergeben  sich  folgende  Winkelgleichungcn: 

Ebenso  erhält  man  ans  1,  2,  3  b: 
und  aus  VII,  1,  2,  3: 

rj  +  fc1-»8 

oder  gleich  *  —  y54,  wenn  y54-hiV  >  Iß 
IV.  0  l  -  fc«  -  fc* 

ß>A  -  fV  -  /V 


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und  ihn  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreitumfangs.  347 

Hieraus  ergeben  sich  in  Verbindung  mit  den  Gleichungen  aus 
§  3.  die  Sätze: 

A.  Ist  die  Summe  zweier  Hypotenusenwinkel  von  je  einem  aus 

A  und  A  ein  Hypotenusenwiukel  von  Ai  so  ist  ihr  Unter- 
au        ow>  oH4  wi 

schied  ein  Hypotenusenwinkel  ton   A  • 

B.  Ist  der  Unterschied  zweier  Hypotenusenwinkel  Ton  je  einem 
aus  A  und  A    ein  Hypotenusenwinkel    von    A    ,  so  ist  ihre 

an  flüj  n  +  *t 

Summe  oder  der  Supplementwinkel  zu  derselben  ein  Hypotenusen- 
winkel von   A  • 

Aus  den  Gleichungen  II.,  III.,  IV  lassen  sich  der  Reihe  nach 
folgende  Gleichungen  ableiten: 


4   «3  a» 

4  _1_  A3 

-  iß 

yfts  +/V 

ß\-ß>*=ß>\ 

ß\+Pf 

4 

Y*+ß3 

-  1/i 

YS-ßS=ßl 

-y»7 

yS-vS-ßS, 

-  »-y54 

YS-ß5b=Yil, 

y5'+rV 

ßS+ß>b  -  A\ 

-y5'-iV-  rA 

-w-ft« 

Ein  Vergleich  mit  den  in  nachstehender  Tabelle  berechneten 
Winkeln  wird  diese  Gleichungen  bestätigen. 


•)  Zur  Abkürzung  ist  atatt  der  pythagoreischen  Zahlen  nur  dio  Potenx- 
hjrpotenuac  geictzU 


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348 


Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 


3 


q" 


5" 


ß6    -36«62'Uj,  y*- 53*  7' 48^ 


ftÄ  -  16*  15' 86  ~ 

/V   =  20«  36'  34^" 
6" 


ß&*~  4"  20'  58  ^ 
147* 

v  -  4i«  13'  9  sg 

fc'  =  U»54'  38^' 


/V  -  24»  57'  33 


2" 
14 


ßs»  -  28«  10'  15* 

ft»-.8»41'5$~ 
=  44°  25'  52" 


1" 


y5*  -  730  44'  03  ^ 
y5»  -  69«  23'  25 

8" 


=  32»  31'  13  jL  y{.4  _  57o  08'  46  ~ 


y5a  =  85"  39'  1  * 

ya«-48«  46'  50  j£ 

y57  _  78o  5*  2,  |" 

y2«  -  65«  2'  26  \A 

yu  -  61°  49'  44? 

y5'0=81018'3^' 
you  =  450  34/  8" 


Die  Sätze  A.  und  B.  gelten  auch  bei  Zusammenstellung  von 
zwei  Winkeln.  Folgende  Gleichungen,  dio  unmittelbar  aus  der  Ta- 
belle sich  ergeben,  mögen  als  Beweis  dienen. 


iV  +  ftf  +  /V  -  y5° 

ßS  +  V  +  ß$*  "  fc' 

ßs9  +  ft4  +  ß&*  =  y54 
ßS  +  /V  +  ß>*  =  /V 
/V  +  ft*  +  ßS  -  YS 
ß>e  +  IV  +  ß>*  -  y57 
V  +  ßf  4-  /V  =  r*8 

68  +  V  +  05,o~  y*a 

69  -WH-  fc»-  y5 10 

Ferner  ist: 


IV  -  V  +  /V  -  IV 

-  /V  +  *>4  ~  fcÄ  "  fc" 

+  + 

056  +         -  /V  "  ß>» 

ßS  -  V  +  ß>*  -  ys21 

/?57  -  IV  +  ßö*  =  /V4 

ßs*  -  ßs°  +  ßiK-  05*7 

ß,9  "  fcM+fcM-  &$° 


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und  ihr«   Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreinum fangt. 


349 


/V  +  A^  +  fc11-«*0-^ 

ßf*  +  ft8  4-  ft»  =  900  _  ß&o 
Aus  diesen  Gleichungen  kann  man  den  Satz  aufstellen. 

C.  Alle  möglichen  Zusammenstellungen  von  Hypotenusenwin- 
keln, die  zu  derselben  primzahligen  Hypotenuse  von  verschiedener 
Potenz  gehören,  geben  Hypotenusenwinkel  von  derselben  primzahligen 
Hypotenuse  zu  einer  Potenz,  deren  Exponent  entweder  die  Summe 
aller  Exponenten  oder  die  Differenz  aus  einem  Exponenten  oder  der 
Summe  mehrerer  Exponenten  und  der  Summe  der  andern  ist.  Hier- 
von sind  ausgouommon  diejenigen  Zusammenstellungen,  die  eiuen  oder 
mehrere  rechte  Wiukel  oder  0°  ergeben. 


§  5. 

Nach  §  2.  B.  ist: 

2(y  ~ß)  =  ö4 

wo  d4  ein  Hypotenusenwinkel  eines  einfach  abgeleiteten  Dreiecks 
von  einer  Hypotenuse  zur  vierten  Potenz  und  y  und  ß  die  Hypo 
tenusenwinkel  des  ursprünglichen  Dreiecks  bezeichnen. 

Subtrahirt  man  auf  beiden  Seiten  y,  so  ist 

Y-2ß  =  ö4-y 

Nach  §  4.  A.  und  B.  ist   y  —  20   entweder  ein  Hypotenusen- 

winkel  von       odor  von  A,  also  <54  —  y  muss  ein  Wiukel  von  A 
a3  a«  a3 

und  6A-\-y  ein  Winkel  von  A  sein. 
Es  ist  also 

*4  +  Y  -  ^5 

oder  für  dA  den  Wert  eingesetzt: 

2(y  —  ß)  +  y  —  sö  oder 
L  <J6  -  3y  -  2ß 

Ebenso  ergiebt  sich  aus 

2y-ß  -  h  +  ß 

II.  «V  -  2y  -  iß  -  2(y  -  0)  -  ß 

Da  ä5  und  ä5'  nicht  gloich  sein  können,  so  muss,  wenn  sie  oin 
Hypotenusenwiukelpaar  bilden  sollen, 


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350  Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreieck* 

h  -f  V  -  o 

sein.    Hieraus  folgt,  wenn  3y  —  20  <  17?  ist: 

V  -  -  [2(y  -  0  - 

Ist  3y  —  20  >  1/i  uud  2y  -  3/?  <  17?,  so  ist 

d6  =«  -[%-/?)  +  rf  und 
d'6  =  2(y  -  ß)  -  0 

Aus  I.  folgt  dann  weiter: 

6*  +  ß  -  3y  -  0  also 

°*c  —  °*5  -  ß  oder 

III.  J6  =  3(y  -  ßy 

Denselben  Wert  erhält  man  auch  für  ö*'6.  Da  i6  und  ö",  nicht  ein- 
ander gleich  st.«  i  n  können,  so  ist,  wenn 

IV.  3(y - (J)<  17?  ist,      ö",  -  17?  - 3(y - ß) 

Auf  dieselbe  Weise  ergiebt  sich: 

d7=4y-30   oder  gleich    »  -  [3(y  -  ß)  -f-  y] 
■V  (3/  -  40)   oder  gleich   3y  -  40 

Ist  3y-40>  \R  aber  <  27<,  so  muss  3(y  —  j8)+y  >  27?  sein. 

Es  ist  dann 

V.  <57  -3(y-/?)  +  y-2ff 

VI.  6/  -  2rr-  [3(y  -  ß)  -  ß] 

Berechnet  man  <57  und  öy  nach  Tabelle  in  §  4.,  so  ist 

-ys7  -  78*  5' 21*". 
*'»-A7-  II054'  381" 

Folgende  allgemeine  Formeln  ergeben  sich  aus  III.  und  IV. 

n'  -f  1 

da*  ^ —  ?r  —  "(y  —  0) 

VII. 

a'*.  -  I  -[(n'+D  |  -  *(y  -  fü  -  «(y-0)  - 
und  aus  V.  uud  VI.: 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisum/angs.  35 \ 

vn. 

-  — ^  rr  -  [«(y  -  0)  -  0] 

wo  n  und  n'  ganze  Zahlen  bedeuten  und  n'  so  gross  gewählt  werden 
muss,  dass  ö2n,  ä'2»„  Wi,  6"*.fi  <  1*  »t. 

Für  die  trigonometrische  Berechnung  der  Winkel  erhält  man 
aus  den  Gleichungen  III.  bis  VI.  die  Formeln: 

sin  d2n  —  sin  n(y  —  ß)  cos  fo*  —  cos  n(y  -  0)  —  sin  <5'2* 

sinfe.fi  -  sin[(n-f-l)0-n0]         sind'„f,  -  [(»  +  l)/S-«y] 

-  COs[(n-|-l)/3J-ny]  -  COs[(n+l)y-nj3] 


§  6- 

Bezeichnet  man  den  Winkel ,  welchen  die  in  Figur  1 .  nach  dem 
Teilpunkt  des  einen  Schenkels  gezogene  Transtersale  mit  dem  andern 
Schenkel  bildet  mit  175,  so  erhält  man  das  Kathetenpaar  nach  §  1. 
aus  den  Gleichungen: 

sin  2ijb  =  2  sin  ?p  .  COS  17» 
COS2lf*  —  2C0S*iy6  —  1 

Ist  z.  B.  die  Hypotenuse  17  —  4*+l,  so  ist 

JL  __i 

Sin^fc  —  ,     C08^  =  yn 

und 

8  8 

sin2tjk  -  1?  =  sin/3  1? 

o        15       .  15 
cos2ij6  -  siny  n 

Die  pythagoreischen  Zahlen  heiisen: 

17   8  15 

Stellt  o-m'-f  n1,  wo  m>n  ist,  eine  Hypotenuse  dar,  so 
werden,  wie  man  auch  die  Grundzahlen  m  und  n  wählen  mag,  ob 
grade  oder  ungrade,  sin  2rjb  und  cos2»j»  ein  Kathetenpaar,  das  aus 
relatiyen  Primzahlen  zusammengesetzt  ist,  geben. 


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352  Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

Angenommen,  m  und  n  sind  grade  Zahlen,  also 
m     2m    und   n  —  2n 

dann  ist: 

n 

sin  176 


L 


cos  rjb 
sin  2^6 


II. 


2  .  to  .  n       2m'  .  n' 

2to1  mg  —  n8       m'8  — n'8 

cos  2^  -  1  -  „7qr„*  -  TO  *-f  n'» 


Nun  kann  der  Fall  eintreten,  dass  m'  und  »'  noch  grade  sind, 
dann  wird  man  die  Brüche  wieder  mit  4  kürzen  können,  bis  schliess- 
lich m1  und  n  beide  ungrade  Zahlen  sind  oder  nur  eine  eine  grade 
Zahl  ist.   Sind  to'  und  n*  verwandte  Zahlen,  also 

m'  =  m"p    und    n'  -=  r»"jj 

so  ist 

.    ,  .  2m  p  .  n  p 


cos  >v>  =-rrtpttJ^-  -  m«a+  „,„ 
wo  nunmehr  to*  und  n"  relative  rrimzahlen  sind. 


Sind  w"  und  n"  beide  ungrade,  so  geben  2m"  .  n",  m"8  — n"8, 
n»"8-f  n"8  drei  gerade  Zahlen,  da  sowol  die  Differenz,  also  auch  die 
Summo  der  Quadrate  zweier  ungeraden  Zahlen  grade  Zahlen  geben. 
Kürzt  man  die  Brüche  mit  2  uud  setzt 

sin  2tj6  =  r- 

m. 

8 

cos  2ijb  =  t 

dann  ist  to"  .  n"  -=  r  eine  ungerade  Zahl  und 

to"8  -  n"«  _         (to"+  n")  (to"-,»") 
2        _*  ™  2 

eine  gerade  Zahl,  da  sowol  die  Summe  als  auch  die  Differenz  zweier 
uugerader  Zahlen  gerade  Zahlen  geben  und  sowol 


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und  ihre  Anwendung  auf  dit  Teilung  des  Krehumfangs.  353 

^±^'  (m"  -  «")   als  auch   (*"  +  n") 

gerade  Zahlen  sind. 

Ist  von  den  beiden  relativen  Primzahlen  »<"  und  n"  nur  n"  un- 
gerade, dann  ist 

(m"*  _  n»»)  „      4.  „")  (ro"  _  n") 

ungerade,  da  sowol  die  Summe  als  auch  die  Differenz  zweier  Zahlen, 
von  denen  die  eine  ungerade  ist,  stets  eine  ungerade  Zahl  giebt. 

Man  erhält  hieraus  den  Satz: 

A.  In  welchem  Verhältniss  man  auch  immer  den  einen  Schenkel 
im  gleichschenklig  rechtwinkligen  Dreieck  teilen  mag,  stets  ist  das 
Kathetenpaar  aus  zwei  relativen  Primzahlen  zusammengesetzt,  von 
denen  eine  ungerade  ist. 

Aus  III.  ergiebt  sich  die  Gleichung: 

sin^r/b  H-  cos2>^6  =  (j  +     =  1 

oder 

/»  -  r*  -f  *« 

Nach  Satz  A.  sind  r  und  *  als  relative  Primzahlen  zu  betrachten, 
von  denen  eine  ungerade  ist.  Es  ist  mithin  auch  t*  eine  ungerade 
Zahl,  da  die  Summe  der  Quadrate  zweier  Zahlen,  von  denen  eine 
ungerade  ist,  stets  ungerade  ist.   Also  bat  man  den  Satz: 

B.  Die  Hypotenuse  ist  stets  eine  ungerade  Zahl. 


§  7. 

1.  Sind  in  den  Gleichungen  §  6.  I.  m  und  n  relative  Prim- 
zahlen, von  denen  nur  eine  gerade  ist,  so  ist 

/  =      +  n» 

eine  Hypotenuse. 

Die  Gleichungen  II.  §  6.  geben: 

...        .         (2  .  ffl  .  n)»  .  (m*  -  n»)»  . 
«n*^  +  cosV  -  +  (^T~n*)*  -  1 

Da  m  und  n  relative  Primzahlen  sind,  von  denen  eine  gerade 
ist,  so  müssen  auch  (2m  n)  und  (w»  —  «•)  relative  Primzahlen  sein; 

Arth.  d.  M*tk.  n.  PHyt.   2.  Reihe,  T.  IV.  23 


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354  Graeher:  (Jeher  die  pythagoreischen  Dreiecke 

denn  wären  sie  dies  nicht,  so  mfissten  sie  einen  gemeinsamen  Factor 
haben ;  also  müssten  dann  auch  m  und  n  verwandte  Zahlen  sein ;  dies 
aber  widerspricht  der  Voraussetzung.  Nun  ist  2m  .  n  eine  gerade 
uud  f»«-n*  eine  ungerade  Zahl,  also  bilden  beide  das  Kathetenpaar 
zu  der  Hypotenuse 

|  =  TO«  +  „» 

2.  Sind  m  und  n  gerade  Zahlen,  also 

m  =  2m'    and    n  —  2n' 

so  ist 

sin m  =*   —  —   ** 

2Vm'8H-»'*      VW*  +  »'» 

2m'  m' 
cosm  =  — y  r  =>  — - — — 

2>/m'*  +  «"      Vw'^  +  n'* 
Erfüllen  m'  und  n'  die  Fall  1)  gestellte  Bedingung,  so  ist 

i  =  »'«  +  n* 

eine  Hypotenuse. 

3.  Sind  m  und  n'  verwandte  Zahlen,  ist  also 

m'  =  pm"    und    n'  =  p  .  n" 

wo  m"  und  n"  relative  Primzahlen  sind,  von  denen  eine  gerade  ist, 
dann  ist 

t  -  m"*  -f  «"» 

4.  Sind  m'  und  »'  ungerade  Zahlen,  also 

m  -  2m"  4-  1    und    n'  =  2n"  -f-  1 

dann  ist,  wenn  m'  >  n'  ist, 

_   2n"+l  _  2n"+l 

8107,6  ~  y(2m"4-T)^f-(2n''-fl?  ~  V4m"*^n^7r*+&^2 

-  WO  N  -  V2m"*+2m'-j-2;i"H2»"J-l 

ist  und 

2m"  +  1 

Ferner  ist,  wenn  in  Figur  1 

^C=2m"-fl,    CD  -  2n"  +  1  ist: 

vlD  =  y<2»»"  +  1)*  +  (2»"  +Tj»  -  iVV2 

und 

-  2(m"  -  n") 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kr  eUuot  fange.  355 


Bezeichnet  man  den  Winkel,  wolchen  die  Trausversale  mit  der 
Hypotenuse  bildet,  mit      so  ist  nach  dem  Sinussatze,  wenn 

sin  ABC  —  sin  45°-  V\ 

gesetzt  wird, 

V2.N:  2(m*  -  n")  -  V\  :  sin t]a  oder 


m   —  n 


I.  sin  17«  =*= 
Nan  ist   ,a  -f-  vh  n  45°.    also  ist 

sin(?/„  +      =  V7^  —  sini/a  .  cosi/&  +  cos»/a  .  sintjt 

Werden  die  Werte  für  sin  77*,  cos  17t  und  sin»j6  eingesetzt  und  wird 
die  Gleichung  in  Bezog  auf  cos  9*  aufgelöst,  so  erhält  man: 

N*  —  (»"  -n")  (2m"  +  1) 

™+ ~  ~     m*r  +  1)  ~ 

Nun  ist 

[JV*  -  (m"  -  n")  (2m"  -f  1)]  -  (m"  +  ri"  -f-  1)  (2n"  +  1) 
folglich  ist 

II.  COS  Ifo  —  - —  jjf  

Da  2m"  und  2n"  gerade  Zahlen  sind,  so  künuen  m"  und  n" 
gerade  oder  ungerade  Zahlen  sein.  Nimmt  mau  an,  dass  beide 
gleichzeitig  gerade  oder  ungerade  sind,  dann  ist  immer  (m"  —  n") 
gerade  und  (m"-r-»"-f-l )  ungerade.  Ist  m"  gerade  uud  »"  ungerade  oder 
umgekehrt  m"  ungerade  und  «"  gerade,  so  ist  (m"  —  n")  stets  ungerade 
(m"-|-n"-f-l)  gerade.  Von  den  beiden  Zahleu  (m"  — »")  und  (m"-f 
*"-f-l)  ist  in  jedem  Falle  die  eine  uigerade  und  die  andere  gerado. 


Aus  den  Gleichungen  I.  und  II.  folgt 

Sin^a  +  COS-iyo  -  ~%        ~  +   jfi  -  1 

oder 

N*  -  (m"  -  „")«  -f  (m"  +  n"  +  1)« 


Nun  könnte  noch  der  Fall  eintreten,  dass  beide  Zahlen  («"  —  n") 
und  (m"  -f  n"-f  1)  verwandte  Zahlen  sind,  dann  muss  auch  N  den- 
selben Factor  mit  ihnen  gemein  haben.  Da  dieser  in  N*  eine  Qua- 
dratzahl sein  muss,  so  wird  stets,  wenn  man  die  Gleichung  III. 
durch  diese  teilt  und 

23* 


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356  Graeber:    Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

<""-«")*  _  (m"  +  »»  +  1)» 

«i«  —  A   •  rf*        ~m    >  " 

setzt,  wo      den  gemeinsamen  Factor  bedeutet, 

sein.  Da  nun  mw  und  nw  relative  Zahlen  sind,  von  denen  eine  un- 
gerade ist,  so  ist 

eine  Hypotenuse. 

Aus  den  vier  Fällen  ergiebt  sich  der  Satz: 

Jede  Hypotenuse  lässt  sich  in  die  Summe  der  Quadrate  zweier 
relativen  Primzahlen,  von  denen  eine  ungerade  ist,  zerlegen. 

§  8. 

Da  jede  ungerade  Zahl  von  1er  Form  4p ±1  ist,  so  kann  man 
m  =  4P  ±  1    uud   n  —  2/ 

setzen.   Alsdann  ist: 

f  -  m«  +  ««  -  4(4p«  ±  2p  +     +  1 

Nun  ist 

V  ±  2/>  -  2p(2p  ±  1) 
gleich  oder  grösser  als  null,  also  muss  (4p*±2p-\- P)  positiv  sein. 
Folglich  ist  für 

*P*  ±  2p  +  P  -  * 
t  «=  Ii  -f- 1 

Also  hat  man  den  Satz: 

A.  Jede  Hypotenuse  ist  von  der  Form  4k-{-l. 

Nun  lassen  sich,  wie  in  der  Zahlentheorie  gezeigt  wird,  nur 
Primzahlen  von  der  Form  4k  4-1  oder  ihre  Producte  in  der  Form 
der  Summe  der  Quadrate  zweier  relativen  Primzahlen,  von  denen 
die  eine  gerade,  die  andere  ungerade  ist,  darstellen.  Also  gilt  der 
Satz: 

B.  Alle  Hypotenusen  sind  Primzahlen  von  der  Form  4&-J-1 
oder  Producte  aus  Primzahlen  von  der  Form  4*4"  1. 

§  9. 

Da  nach  dem  Fermat'schen  Satze  eine  Primzahl  von  der  Form 
4*4-1  nur  eine  Zerleguug  in  die  Summe  zweier  Quadrate  zulässt, 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreieum fange. 


357 


so  giebt  es  auch  nur  ein  Teilverhältniss,  nach  welchem  man  den 
Schenkel  CB  teilen  mass,  am  das  Kathetenpaar  zu  erhalten.  Man 
erhält  somit  nur  ein  Ilypotennseuwinkelpaar  ß  und  y,  und  da  sin  ß 
and  cos/}  eindeutig  bestimmt  sind,  so  giebt  es  auch  uur  ein  Kathe- 
tenpaar. 

Für  eine  Hypotenuse,  die  eine  Potenz  einer  primzahligen  Hy- 
potenuse ist,  geben  die  Gleichungen  §  5.  IX.  ebenfalls  nur  ein 
Kathetenpaar. 

Aus  den  Gleichungen  §  4.  I.  geht  hervor,  dass  zu  einer  Potenz- 
hypotenuse noch  andere  Kathetenpaare  gehören.  Für  die  Hypote- 
nuse 5*  heissen  diese  zum  Beispiel,  wie  sich  aus  §  3.  (3  a,  b)  uud 
§  4.,  1.  ergiebt: 

1)  5»     237  3116 

2)  5»    1100   2925    oder   5*  .  53   5*  .  44   5»  .  117 

3)  5*   1875   2500   oder  5* .  51    5*  .  3     5*  .  4 

Hierzu  kommen  noch  zwei  Kathetenpaare,  die  durch  folgende 
Gleichungen  bestimmt  werden: 


4)  55   1680   2635    oder   54  .  51   336  .  5«   527  .  5» 

5)  5*  875     3000   oder  5* .  5*   7.5*  24.5» 

Die  Hypotenuse  lässt  somit  5  Kathetenpaare  zu,  von  denen 

nur  1)  aus  relativen  Primzahlen  zusammengesetzt  ist.    Alle  anderen 

Kathetenpaare  bestehen  aus  verwandten  Zahlen,  von  denen  jede  sich 

za  5Ä  verhält  wie  beziehungsweise  jede  Kathete  zu  der  Hypotenuse 

in  A,  A,  A»  A-   Um  zu  beweisen ,  dass  zu  einer  Hypotenuse  a" 
5    5*   58  54 

n  Kathetenpaare  gehören,  geht  man  aus  von  dem  Satze  E  §  3.  Nach 
diesem  geben  die  Formeln: 


und 


cos 


1680 


also: 


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Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 


(2cos0)"-8  ~  +  .  .  . 


 TT* 

cosnß  -  $  |(2cosjS)w  —  n  (2cosß)»-2 


(2cob£)«-*-  +  .  .  . 


das  Kathetenpaar  zu  A,  das  aus  relativen  Priinzahleu  zusammen- 


gesetzt ist  Um  die  andern  (n  —  1)  Katheten  paare  zu  finden,  setzt 
man  in  I.  für  pQ  =  ±  90°,  dann  ist 

sin[  (»-p)/S±  900]-sin(n  -  P)ß 

IL 

cos[(«  -  pß  ±  90°]  —  cos(n  -  P)ß 

Die  Formeln  für  sin(n  —  p)ß  .  ^  und  cos(n  -p)ß  .  ^  bestimmen 
dann  für  p  —  0  bis  p  =  n  —  1  n  verschiedene  Kathetenpaare. 
Setzt  man  in  I.  pß  =  py,  so  ist 

sin  [(n-P)ß+py]  =  sin  [(n- 2p)0+p/?+py] 
und  da  pß-\-py  —  p90°  ist 

s\n[(u-p)ß+py]  -  sin(»— 2p)/3cos(p90e)+cos(n— 2p)0siup9O) 
Ebenso  ist: 

cos[(n— p)ß+ py]  -  cos(n  -  2p)0cos(p9O°)  -  sin(n  -  2p)/?sin(p900) 

Ist  p  ungerade,  so  ist  cos(p90°)  —  0  und  sin  (p  90°)  —  ±  1  und 
man  erhält: 

sin[(n  -P)ß+py]  -  ±  cos(»-2p)|3 

III. 

cos[(n- ji)  ß+py]  -  T  8in(n-2p)0 

Ist  p  eine  gerado  Zahl,  so  ist,  da  cos(p  90°)  =  +  1  und 
sin(p  .  90°)  -  0  ist, 

8in[(«-p)0+i7]  =T  sm(n-2P)ß 

lila. 

00i[(«— p)ß+J»f]  -  T  COS(n  -2p),? 

Diese  Gleichungen  II.  und  lila,  geben  dieselben  Kathenpaare  wie 
II ,  wenn  in  II  für  p  alle  geraden  Zahlen  von  2  bis  n  gesetzt  werden. 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  das  Kreisum/aitgs.  359 

Ferner  ist,  wenn  pß  —  —  py  ist, 
sinf(n  —  p)ß  -py]  =  sin(»  —p)ßcospy  —  cos(n  -/>)  ß  sin  py 

C08\(n—p)ß  -  py]  ~  COS{n-p)ßcOBpy-\-sm(n-p)ß8Wpy 

Ist  p  eine  gerade  Zahl,  so  ist: 

cosj>y  —  cosj>(9O°-0)  —  +  cospß 
&\npy=  siap(90°—ß)  -  ±  s\npß 

Also  ist: 

sin[(n—  p)ß—  py\  —     sin(n—  p)ßcospß+  cos (n—p)ß  .  sinpß 

—  T  sinnjS 

IV. 

cos  \(n-p)ß  —  py]  =q:  cos(n— .  cos/>0±sin  (»  — />)08in/)0 

—  +  cosn0 

Ist  j>  eine  ungerade  Zahl,  so  ist,  da  cos/>y  —  ±  slnpß  und 
siopy  —  i  cosj>0  ist, 

sin[(n—  p)ß—  py]  —  ±  sin(n— .  sin/>/3  + cos  (n—p)/J  .  cos/>j3 

-=  HF  C08"j3 

IV  a. 

cos[(n— py]  =  ±  cos(n  -;>)/5  .  sinj>0 ± sin(n— p)/J  .  cosp/3 

—  ±  sin  n£ 

Die  Gleichungen  III.  und  IV.  geben  den  allgemeinen  Beweis  für  die 
Sätze  A  und  B  in  §  4. 

Somit  sind  alle  möglichen  Zusammenstellungen  von  Winkeln, 
dio  zu  Hypotenusen  niederer  Potenz  gehören,  erschöpft,  und  der 
Beweis  erbracht,  dass  zu  einer  Hypotenuse  a"  n  verschiedene  Ka- 
thetenpaare gehören,  von  denen  nur  das  eine,  das  aus  den  Gleichun- 
gen I.  sich  ergiebt,  aus  relativen  Primzahlen  zusammengesetzt  ist. 


§  10. 

Sind  für  eine  primzahlige  Hypotenuse  die  Werte  von  sin  »j* 
and  cost}6  bekannt,  so  lassen  sich  aus  den  Formeln  für  sinn  1/6  und 
cos»*}*  die  Grundzahlen  bestimmen,  deren  Qaadratzahlen  als  Summe 
gesetzt  die  Hypotenuse  an  geben. 

Ist   z.  B.   die  Hypotenuse  55  in,  die  Summe  zweier  Quadrat- 


1» 


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360  Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

zahlen  zu  zerlegen,  so  erhält  man  aus  den  Gleichungen  §  9.  L  für 

j     .  ■  41  38 

I.  sino>?6=-7 — -   und   cosijö  —  7=.- 

V3125  1  V3125 

Hieraus  folgt: 

+  oder 

1)  55  =  41»  +  38* 

Die  Formeln  für  sinn^  und  cosn?«,  geben  nur  eine  Zerlegung  der 
Hypotenuse  au  in  die  Summe  zweier  Quadratzahlen,  deren  Grund- 
zahlen relative  Primzahlen  sind.  Ausser  dieser  Zerlegung  giebt  e6 
bei  einer  Potenzhypotenuse  noch  andere,  bei  welchen  die  Grund- 
zahlen verwandte  Zahlen  sind.  Diese  lassen  sich  bestimmen  aus  den 
Formeln  III.  §  9.,  wenn  man  ß  —  170  setzt  Es  ist: 

sin  (n  —  2p)  r}b  —  sin  [(n  —  p)  r\b  —  pt\b  ] 
=  8in(n  —  p)m  cosprib  —  cos  (n—p)r}bs'mpt}b 

II.  COS(n  —  2p)flb  =  COS  [(n—p)  Vb- p^ 

=  cos(n  — p)^cos^6  4-sin(n-|>)»jfc  .  sinprn 

Für  die  Hypotenuse  55  ist  n  =  5,  für  p  =  0  erhält  man  die  Glei- 
chungen I.,  für  p  —  1  ist : 

sin3»7ft  —  8in4i?6  .  cosif*  —  cos4ij&  .  sintj6 
cos  3^6  =  cos4w  .  cos  «f&  +  sin4i^ .  sin  vb 

Nun  ist: 

sin*?6  -  cosi?6  -  ^r5 

24  7 

8in4»fft  =    — ,   C08  4»76  —  7  _-. 

1       1/625  V625 

folglich 

sind»6      ~;  C08dm=  -r= — - 

^3125'  '  V3125 

Es  ergiebt  sich 

2)  56-55»-fl0» 

Für  p  =  2  ist: 

sin  tfb  —  sin3»76  .  cos  2^  -  cos  3»^  .  sin2tj& 

COS/J6  —  COS3»76  .  COS2*T6  -f  8in3i?6  .  8in2i76 

Nun  ist  aus  III.: 


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und  ihre  Anwendung  auf  dte  Teilung  des  Kreisumfang*.  361 

ferner  ist: 
also  ist: 

25  50 

sin  »7*  —  "7== ,    cos  tib  =   .  und 

V3125'         '  V3125 

3)    56  -  25*  +  50* 

Für  p  —  3,  4,  5  ergeben  sich  dieselben  Zerlegungen  wie  3),  2),  1) 

Um  zu  beweisen;  dass  es  für  eine  gerade  Zahl  x  p  =  ?und  für 

eine  ungerade  Zahl  n  p  —  — "t-  Zerlegungen  giebt,  setzt  man  in  den 
Formeln  II.  §  9.  ß  =  t)b  und  o  —  Va.    Es  sei 


C08(n—p)r}b 


Vap        hn-p  Va* 


dann  ist: 


ap 

oder 


III.    a»-P  .  aP  —  a*  -  J*k+p  .  aJ»  -f  hsn-p  .  a? 

Sollen  nun  die  Glieder  rechts  in  III.  Quadratzahlen  sein,  so 
muss  av,  da  die  Factoren  Qaadratzahlcn  sind,  eine  Quadratzahl  sein ; 
dies  ist  nur  möglich,  wenn  p  eine  gerade  Zahl  ist.  Hieraus 
folgt,  dass  die  Gleichungen  II.  alle  Zerlegungen  darstellen.  Ist  nun 
n  eine  gerade  Zahl,  so  geben  die  Gleichungen  II.  für  p  ■=  0, 1,  2,  3, 

.  .  .  ^  —  1,  also  s  Zerlegungen;  für  eine  ungerade  Zahl  n  geben 

alle  Zahlen  für  p  von  0,  1,  2  bis  ^  ,  also  Zerlegungen  von 
o»  in  die  Summe  zweier  Quadrate. 

§  11. 

Teilt  man  im  gleichschenklig  rechtwinkligen  Dreieck  ABC  den 
Schenkel  CB  harmonisch  im  Verhftltniss  2  :  1,  so  dass 


r 


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362  Graeber:  Utber  die  pylhagoi  eischen  Dreiecke 

BC  :  CD  =  BE  :  ED  =2:1 

ist,  dann  ist 

BC  ■=  3  .  EB,  CD  —  |  £2*,  £>£  =  $  .  EB,  CE  «=»  2  .  EB 
Nach  dem  Pythagoras  ist 


9  EB2  -f  4  EB*  -  4£» 

folglich  ist 
Ferner  ist 

tinEAB  :  V]  -  ^  :       .  Vl3  oder 


I.         sin  EAB 


-VI  VI 


2  3 
Da  sin  CAE  —  -p=-  und  cos  CV1£  —  — =.  ist,  so  ist 
Vl3  Vl3 

sin(Wkl.  CAE+m\  EAB)=Vi 

2  3        1  /T 

hieraus  folgt: 

IL         cos  EAB  = 
Es  ist  dann : 

sin  2  Wkl  EAB  -  ~,   cos  2  Wkl  EAB  -  j| 

Da  132  —  5*  +  12*  ist,  so  ist  2  Wkl.  2Zj4J?  ein  Hypotenusenwinkel 
von  iaAüi  der  andere  Hypoteuußenwinkel  ist  demnach  2  Wkl.  CAE. 

Um  zu  untersuchen,  ob  auch  Wkl.  DAE  die  Hälfte  eines  Hy- 
potenusenwinkels ist,  setzt  man: 

am  DAE  -  sin  (Wkl.  £>4£  -  Wkl  /^tf) 

III. 

cos  DAE  =  cos  (Wkl.  D^jB  -  Wkl.  EAB) 
Nun  ist  nach  §  1.: 

sinCiiD  —  -7= 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de*  Kreisum/ang». 


363 


„AV%  2 

C08  CAD  —  -7= 

V5 

also  erhält  man  aas  der  Formel 

8in(Wkl.  CAD  +  Wkl.  DAB)  -  V$  -  Vjcos/^tf 
+  2  Vi  .  Vi  .  VI  die  Gleich.  V.  cosDAB  =  3  VJ  .  V|. 

Mittels  der  Gleichungen  L,  IL,  IV.,  V.  werden  die  Gleichungen 
III.  umgerechnet  in 

1  8 

VI.  am  DAE  —  und    cos  DAE  = -  - 

hieraus  folgt: 

1  ß  AT 

VII.  sin 2  DAB  =■  ^       und       cos 2  DAE  =  r, 

65  Gt> 

Nun  ist 

65*  =  16»  +  63* 
also  ist  auch  2         ein  Hypotenusenwinkel. 
Hieraus  ergiobt  sich  der  Satz : 

A.  Die  Transversalen  nach  den  Teilpunkten  eines  harmonisch 
geteilten  Schenkels  im  gleichschenklig  rechtwinkligen  Dreieck  bilden 
unter  sich  und  mit  den  Seiten  des  Dreiecks  halbe  IHppotenusen- 
winkel  von  pythagoreischen  Dreiecken. 

Ein  in  §  18  aufgestellte  Tabelle  wird  diesen  Satz  bestätigen. 


§  12. 

Wie  dio  Differenz,  so  ist  auch  die  Summe  der  beiden  Winkel 
DAD  und  BAE  die  Hälfte  eines  Hypotenusenwinkels  von  A  Es  ist 

4 

&\n(DAB  +  BAE)  =  ^- 

L 

\f!M{DAB  +  BAE)  - 

und 

sin  2  ( DAB  -}-  BA  E)  -  ~? 

IL 

COB2(Z)v4ß+Z*/tE)  -g 


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364 


Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreieck* 


Die  Gleichungen  Ii  geben: 


65*  -  33»  +  56* 


Die  Hypotenuse  65  ist  ein  Prodnct  von  den  primzahligen 
Hypotenusen  a,  —  5  und  og  =  16.  Zu  ihr  gehören  die  beiden  zu- 
sammengesetzten pyth  goreischen  Dreiecke,  wie  aus  II.  und  §  11.  VII. 
sich  ergiebt,  6,A"  und  'VV6-   Hieraus  lassen  sich  folgende  Sätze 

aufstellen: 

A.  Das  Product  zweier  primzahligen  Hypotenusen  a,  und  a, 
ist  eine  Hypotenuse  eines  zusammengesetzten  pythagoreischen 
Dreiecks. 

B.  Zu  jeder  Hypotenuse,  die  ein  Product  zweier  verschiedenen 
primzahligen  Hypotenuson  ist,  gehören  zwei  Kathetenpaare. 

Ferner  ergiebt  sich  aus  L  und  §  11.  VI.: 

65-  4*  -f  7«  und   65  -  1»  +  8« 

es  folgt  hieraus  der  Satz: 

C.  Jede  Hypotenuse,  die  ein  Product  zweier  verschiedenen 
primzahligen  Hypotenusen  ist,  lässt  sich  zweifach  in  der  Form  der 
Summe  der  Quadrate  zweier  relativen  Primzahlen  darstellen. 


Um  die  pythagoreischen  Dreieckszahlon  von       A  aufzu- 

suchen,  sind,  wie  aus  §11.  III.  und  §  12  II.  hervorgeht,  folgende 
Formeln  anzuwenden: 


§  13. 


cos(ßnt  ±  ßaf) 


siüßa^  •  co8^tfj  i  co8/Jflj  •  slaßa^ 
C08/?Äj  •  co8  0flj  +  sin/Jflj  .  sinßa^ 


oder  auch: 

sin  (ßat  ±  y«f) 
cos(ß0i  ±  y«f) 


8inj50j  .  cosy^  ±  cos/?aj  .  sinyflj 
cosß^  .  C08y«s  T  »in^  •  sinya, 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangt.  ,%5 

oder   8in(yai±P«8)   and   cos  (yttj  ±  ßaj 

Für   &  ist 

5  .  13 

sinfr-?  sin/3lt-~ 
4  12 

CO8  05  =  ^  C08/J12=^ 

in  I.  einzusetzen,  and  man  erhält: 

sin  (ft  -f  0,8)  =  g,   cos  CA  +  M  -  ^ 

1)  :  65   33  56 
6.13 

und 

8in(ft  -  018)  -  ^    C08(/55  _  fts)  =  || 

2)  68A,Ä  :  65    16  63 

S 

Hierzu  kommeu  noch  aus  den  Gleichungen: 

8in(jJ5  +  90°)«=cosjJ5.  il^ßf 

i«j  39 

co8(/J5+900)  =  8in/?5.13-^ 

und  aus: 

8in(ft8  +  90°)-cos/J13.^=«^ 

5  25 

cos(0ls  +  9O°)«.  -  sin/3ia.5  =  6^ 

die  pythagoreischen  Zahlen: 

3)  "AM  :  65   39   52,      13.5    13   3  13.4 
5  .  13 

4)  WAW  :  65   25   60,      6  .  13     5  .  5   5.  12 
5.13 


§  14. 

Ist  die  Hypotenuse  ein  Product  aus  drei  verschiedenen  prim- 
zahligen Hypotenusen,  so  wird  durch  folgende  trigonometrische 
Ausdrücke  die  Anzahl  der  Paare  der  Katheten,  die  relative  Prim- 
zahlen sind,  dargestellt: 


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366 


Graeber:  Ueber  die.  pythagoreischen  Dreiecke 


L 


1)  BiO  [<£.+&)  +  Al] 

2)  8iuW.i+/?.f)-fta] 

3)  sin  [(^  -  fJ.f)  +  0OJ 

4)  llo[(ftf  -ßaJ-ßm§] 


Dies  sind  2*  Kathetenpaare. 

Ist  das  Prodnct  aus  vier  verschiedenen  primzahligen  Hypote- 
nusen zusammengesetzt,  so  ist  ßa     zu   diesen  vier  verschiedenen 

Winkelzusammensetzungen  je  einmal  mit  +  und  je  einmal  mit  — 
hinzuzufügen;  man  erhält  23  =>  24_1  Eathetenpaare.  Bei  einem 
Product  aus  fünf  verschiedenen  primzabligen  Hypotenusen  werden 
2*  —  2S_I  Kathetenpaare  vorhanden  sein.   Es  ergiebt  sich  der  Satz  : 

A.  Eine  Hypotenuse,  die  ein  Product  aus  p  verschiedenen 
primzahligen  Hypotenusen  ist,  lässt  2p-1  verschiedene  Paare  von 
Katheten,  die  relative  Primzahlen  sind,  zu. 

Hierzu  kommen  noch  andere  Kathetenpaare,  bei  welchen  die 
Katheten  verwandte  Zahlen  sind.  Bei  einem  Product  von  zwei  prim- 
zahligen Hypotenusen  giebt  es  nach  §  13.  ausserdem  noch  zwei 
Kathetenpaare.  Bilden  vier  primzahlige  Hypotenusen  das  Product, 
so  stellen  folgende  Ausdrücke  die  noch  fehlenden  Kathetenpaare  dar : 


und 


II. 


Biü[(fc,  ±  ßm)  ±  ßa  ]  .  "* 
J  4  i  a% 


und    cos[(ßHi  ±  ßaj  ±  fcj  •  * 

Und    COS[(rff.    ±  ßa)  ±  ßa]  .  £ 
■  *  I  (Ig 


und 


1.1  +  1. 1.1) -  2*. 4 


sin  lßai  ±  ß^]  . 


«3  «4 
«3  '  «4 


und 


und 


III. 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de*  Kreisumfangs.  367 

1IL 

«in  DI.  ±  ßa\    J  .  °;   und   cos[0«  ±  0.1  .  J  .  J 
sin  [V  ±  fcj  •      .  °3   und   cos[ß,  ±  ßa J  .  . 

sin  tf.  ±  0«  ]  •  *  .  **   und   cos[0«  ±  ßa  ]  .  01  .  * 
-  2'(1  •  1  +  1.  1+1.  1  +  1.  1  +  1.  1  +  1)  =  2».  G 

Vf. 

)."*.      .       nnd  coS((Ja  >.*.«!.* 

r        a4     O]     at  vr  s      a4  «4 

sin(0ß  ) .  *  .  -  .  03   und   cos(0a  )  .  *  .  *  .  05 
=  2«(1  +  1  +  1  +  1)  =  2°  .  4 

Aus  dieser  Zusammenstellung  ist  ersichtlich,  dass  die  Anzahl 
der  Kathetenpaare  in  IL,  III.,  IV.  gleich  ist  der  Anzahl  der  Com- 
binationon  ohne  Wiederholung  von  4  Elementen  beziehungsweise  zur 
3ten,  2ten  und  ersten  Classe.  Wird  nach  Ileis  die  Anzahl  der 
Combinationen  von  p  Elementen  zur  rten  Classe  ohne  Wiederholung 
durch  Cr(p)  bezeichnet,  so  kann  die  Anzahl  der  Kathetenpaare  auf 
folgende  Weise  angegeben  werden. 

Zu      £>      gehören : 

al       «3  a4 

(2°  .  6*(4)  +  2»  .  C(4)  +  2* .  C\4)  +  2»)  Katheten  paare. 

Nach  demselben  Bildungsgesetz  giebt  ein  Product  von  fünf  prim« 
zahligen  Hypotenusen: 

2°  .  ö(5)  +  2»  .  C'(5)  +  2»  .  (7(5)  +  23  .  C(5)  +  2«  Kathetenpaarc 

Hieraus  ergiebt  sich  der  Satz: 

B.  Zu  jeder  Hypotenuse ,  die  aus  einem  Producte  von  p  ver- 
schiedenen prirazahligen  Hypotenusen  besteht,  gehören: 

V,    2*C\p)  +  2»GffO  +  2«C(j»)  +  .  .  .  +  2P-2  .  C(p)  +  2P~» 

I  *  3  p-.\ 


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368  Graeber:  (Jeber  die  pythagoreischen  Dreieckt 

Kathetenpaare.  Die  Katheten  von  Paaren  sind  relative  Prim- 
zahlen, die  der  übrigen  nicht 

Setzt  man  in  I.  bis  IV.  ßa%  «=  n\,  0»f  -  if»f,  ß»3  -  tjb^  ßa^  - 
i?64  nnd  a,  —  Vag,  aj  —  y^,  a3  —  Va3,  a4  —  V74,  so  lässt  sieh 
auf  dieselbe  Weise,  wie  in  §  10.  der  Satz  beweisen. 

C.  Eine  Hypotenuse,  die  ein  Product  aus  p  verschiedenen 
primzahligen  Hypotenusen  ist,  lässt  2p-1  verschiedene  Zerlegungen 
in  die  Summe  der  Quadrate  zweier  relativen  Primzahlen  zu. 

Mehr  als  2?~l  Zerlegungen  sind  nicht  vorhanden,  da  ein  Pro- 
duct aus  reinen  Primzahlen  niemals  eine  Quadratzahl  giebt. 


§  15. 

Um  die  Anzahl  der  Kathetenpaare  von  A 

Oj'"  .  OjH  .  dg0  .    .    .  a?n 

zu  bestimmen,  ist  es  zweckmässig,  wieder  von  einem  einfachen  Bei- 
spiel auszugehen,  um  aus  diesem  dann  den  allgemeinen  Satz  abzu- 
leiten. 

Angenommen,    es   sei   die  Anzahl  aller  Kathetenpaare  von 
A       zn  suchen.   Nach  §  14.  stellen  folgende  Ausdrücke: 

a)   sin[(0ai  ±  2/J.f)  ±  3/Ja3]   und   cosR^  ±  9fcj  ±*ß*J 

die  vier  Kathetenpaaro  dar,  in  denen  die  Katheten  eines  jeden  Paares 
relative  Primzahlen  sind.  Ferner  werden  folgende  Zusammenstel- 
lungen je  vier  Kathetenpaaro  geben. 

b)  8in[(ßa,  ±  ß.J  ±  3a8]  •  *  Und  C0S[(ßttl  ±  ß.J  ±  ßa9]  .  * 

c)  MW<l±*ß<9)±*ß*J  •  £  und  cos[(ßai  ±  2&8)±203]  .  * 

L 

e)  «infl^  ±2ßat)  ±  ßas]  .  °aS  und  cosf^  ± 2ß.f) ± ßaj  • 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de*  Kreisumfangs  369 

l 

0     rilßfcy  ±ßU)  ±  ßoj   •   ^  '  UDd  C08[(/V  111  ^)±/,a»] 

j  °i  «3* 

Dies  sind  alle  2usammcnstellungen  von  den  drei  Winkeln  (fla  ,  ßa^ 
ßaj.    Es  ergeben  sich  hieraus: 

2*(1  .  2  .  3)  Kathetenpaare. 
Stellt  man  nur  zwei  Winkel  (ßa  ,  ßa  ),  (ßa  ,  fa\  (ßa*  ßa)  zu- 
sammen,  so  geben  folgende  Ausdrücke: 

3  3 

a)    s\n[ßtlj  ±  2ßa2]  .  °a\  und  COB^  ±  2^]  .  ^s 


3 


b)  sioDfc  ±  fcj  •  ^  •  ^3  «nd  cos^i  /?a2]  .  *  .  ^ 

=  2»(1  •  2) 

c)  siuO^  ±  3/?as]  .  ^  und  cosf/?«,  ±  3/?^]  •  \ 


«3 
«3 


d)  sin^  ±  2/r.s]  .      .  *  und  cosf^  ±|20„J  .  ^ 

e)  sinj^  ±  *aJ  .        .  J  und  co&[ßai  ±  ßaj  .  g  .  g 

n.  -  2*(i .  3) 

f)  sin^  ±  3ßa3)  .  *  und  cosfo?.f  ±  2<?aJ|  .  £ 

g)  sin[^  ±  3ßaJ  .  *  .  »  und  cos[^  ±  3*J  .  &  .  jjj 

h)  sin[2^  ±  2^]  .  S  .  2j  und  cosRfr,  ±  2/feJ  •  ^  ■  * 

i)  81  n^  ±  2/f.J  .    *  .    *  .    *  Und  COs[/?.f  ±  2^]  . 

«|  «J 

•  •  • 

a,     a2  as 

k)    8in(2^f  ±  /?«3J  .  *  .        und  cos[2f.t  ±  2^]  -V  ^2 

2 

1)    sin[>a8  ±        •  *  .3  .  ^  und  cos[/fef  ±  ß%] 

*H  #3 
.         •  • 
«1      «2  «3 

-  2»(2  3) 

Arch.  d.  Math.  n.  Ptaya.   2.  Reibe.  Tl.  XV.  24 


370  Oraeber:  üeber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

also  im  ganzen  —  2>(1  •  2,+  1  .  3  -f  2  .  3)  Kathetenpaare.  Es  bleiben 
noch  übrig: 

.)  *t>v .  g .  £  »od  co.«,.,)  af  £ 

b)  .,„(2,.,)    i    g  „„„  c.,<2*,)  .  *  .  g 

l      o,     «|     a,»  ,r  r     «|     a,  o,' 

in. 

d)  *>(V.,)  •  &  .  g  und  cosO^,) .  S  .  i| 

e)  .io(2^)  .  *  •  £  *  «rt  co.(2ft>)  .  S  .  Jf  .  S 

f)  Bm(ßa  )  .  -  .       .        und  C08(j?a  )  .  -  .     , .  -=s 

=  2f(l  +  2-1-3)  Kathetenpaare. 

Man  erhalt  also  für     A  : 
2»(i  +  2  +  3)  +  2»(1  .2  +  1.3  +  2.3)  +  2*(l  .  2  .  3)  =  52 


Kathetenpaare  und  allgemein  für  A 

amj  o"s  o°g 


2«(m  +  n  +  0)  +  2>(m    n  +  ro.o  +  n.o)  +  2*(m  .  n  .  0) 

Kathetenpaare.  Man  sieht  hieraus,  dass  die  Klammerausdrücke 
Gombinationen  ohne  Wiederholung  der  Exponenten  zur  ersten, 
zweiten  und  dritten  Gasse  sind.  Bezeichnet  man  die  Summe  der 
Producte,  die  man  erhält,  wenn  man  die  rtc  Gasse  der  Combinationen 
ohne  Wiederholung  von  p  Elementen  bildet,  mit  £Cip),  so  kann 


die  Anzahl  der  Kathetenpaare  zu  A  folgendermassen  darge- 
stellt 


ami  a*s  a's 

2°2C(3)+2I2:C(3)  +  2*2C&) 
1  s  s 

Nach  demselben  Bildungsgesetz  erhält  man  nun  zu  einer  Hypote- 
nuse, die  ein  Product  aus  vier  verschiedenen  Hypotenusen  ist, 

&£C(i)  +  2*20(4)  -f-  2»-ZC(4)  -f  2!^C(4) 


Katheten  paare.   Hieraus  folgt  der  Satz: 


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und  ihre  Anwendung  auf  du  Teilung  dt*  Kreisum/ang*. 


371 


A.  Zu  jeder  Hypotenuse,  die  aas  einem  Prodact  von  p  ver- 
schiedenen Potenzbypotenusen  besteht,  gehören 

2'£C(p)  +  VZOj>)  +  2*2C(p)  +  .  .  .  +  2f-22?C0>)  +  2*-< J  C(p) 

IIS  J»-l  f 

verschiedene  Kathetenpaare.  Die  Katheten  von  2p-1,  wie  aas  Ia. 
hervorgeht,  sind  relative  Primzahlen,  die  der  übrigen  nicht 

Ist  die  Hypotenuse  ein  Prodact  aas  primzahligen  Hypote- 
nusen, so  sind  sämtliche  Exponenten  gleich  1  zu  setzen.  Dadurch 
werden  auch  sämtliche  Producte  gleich  1,  ihre  Summen  also  gleich 
ihrer  Anzahl  C{p).  Es  ergiebt  sich  daraus  der  schon  in  §  14.  be- 
wiesene Satz  A 

Die  Zusammenstellung  der  Sinusse  und  Cosinusse  in  I.,  IL,  III. 
zeigt  nach  der  Beweisführung  iu  §  10.,  dass  nur  Ia.,  wenn 

ßm%  -  =  2tjv   3^  -  3rj>t  ist, 

die  Anzahl  der  Zerlegungen  der  Hypotenuse  in  die  Summe  der 
Quadrate  zweier  relativen  Primzahlen  liefert.  Hierzu  kommen  noch, 
wie  aus  Ie  ,  IIc,  He.  ersichtlich  ist,  Zerlegungen,  von  denen  eine 
jede  ans  verwandten  Zahlen  zusammengesetzt  ist  Mithin  hat  man 
den  Satz: 

B.  Jede  Hypotenuse,  die  ein  Prodact  aas  p  verschiedenen 
Potenzhypotenusen  ist,  lässt  ausser  den  2t-1  verschiedenen  Zer- 
legungen in  die  Summe  der  Quadrate  zweier  relativen  Primzahlen 
noch  andere  Zerlegungen  zu,  von  denen  eine  jede  aus  verwandten 
Zahlen  zusammengesetzt  ist. 

§  16. 

Im  allgemeinen  lassen  sich  aus  den  Grundzahlen  der  Zerlegungen 
der  Hypotenuse  alle  zu  ihr  gehörigen  Kathetenpaare  finden.  Von 
dieser  Regel  macht  die  Hypotenuse  o*  eine  Ausnahme ;  sie  hat  zwei 
Kathetenpaare  z.  B.:  (25»  -  7»  +  24*  -  15»  +  20*),  aber  nur  eine 
Zerlegung  (5f  —  3*  -f  4»),  aus  der  auch  nur  ein  Kathetenpaar,  näm- 
lich (25*  -  V  +  24»)  gebildet  werden  kann.  Um  das  andere  für 
5'  aufzustellen,  hat  man  die  Quadratzahlen  der  Zerlegung  mit  5*  su 
mulüpliciren,  also: 

5»  .  5»  -  3»  .  5»  +  4«  .  51  -  15  -f  20* 

Dass  die  vorstehende  Regel  sonst  allgemeine  Gültigkeit  hat,  soll 
an  den  beiden  Beispielen  1)  a  =  5  .  13  .  17,  2)  a  -  5»  .  13  gezeigt 
werden. 


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372  Graeber:  Ueber  die  pythagoreitchen  Dreieck« 

1.  Für  5  .  13  heissen  nach  §  12.  die  Zerlegungen  5  .  13  =  4* 
-}- 7*  -  1»  +  8».  Die  Hypotenuse  17.  hat  die  Zerlegung  17  =  1* 
-f  4»    Setzt  man 

sin  r)b 
sin  17*' 


4 

7 

V65 

COS  rjb 

1 

COBiyt' 

8 

V65 

~  V65 

1 

 4 

Vl7 

COS  rjb" 

"  Vl7 

sin  V 
in  den  Formeln  für 

sin(»76  ±  Vb")   und  cosOyi  ±  rp") 

sindyt'  ±  vwj   und  cosfijt'  ±  vh") 

so  erhält  man  die  vier  Zerlegungen  von  a  —  5  .  13  .  17;  nämlich 
es  ist: 

•N*  +  V)  -  yg=^f=^  <=os(„t  +  V')  - 

sind,»'  +  Vi")  -  ,  cosd,»'  +  v»)  -= 


23 

Vö 

.  13  . 

17 

9 

Vö 

.  13  . 

17 

12 

Vö 

.  13T 

17 

Vö 

.  13  . 

17 

24 

Vö 

.13 

32 

7l7 

Vö 

.13 
31 

7l7 

Vö 

.  13 

33' 

.  17 

Vö 

.  13 

.17 

Bindj*'  ±  nb"  -  ^==-         cos(V  -  vt)  = 
und  aus  der  Formel 

folgt  8iDS(^  +  Vn  +  C°88(t  6  +  ^  "  1} 

a*  -  23*  -f  24*  =  9*  -f-  32*  =  12*  +  31«  -  4»  -f-  33« 

Zur  Abkürzung  dienen  folgende  Bezeichnungen : 
Vb  +      _  p',    nb  _  Vb"  =  p",      _|_  ^  _  p*    q»<  -      =  p" 

Vö  .  13  .  17  =  N.   Es  ist  dann: 
8in2p'  =  28inP'co8p'  -  ~ 

I. 

C08  2e'  =  2c08e'*-1  -  ^ 

ebenso  ist 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de»  KreUumfangs. 


373 


Ia. 


o  n      576      .  ft  m      744         „  „„  264 


.  „  943  „  „  817  n  „„  1073 
cos2p"  -  cos2p"  -  ^,   cos2p""  - 


Um  die  andern  Kathetenpaare  zn  finden,  combinirt  man  p'p 
pV"'  in  folgender  Weise: 

/  /  r    h\           i                 i  •    »     952  520 

sin(f  ±  p')  =  Binp'cosp'  ±  cosp'sinp"  -  jT,  -  j^f 

II. 

co«(p'  ±  pw)  -  cosp'  cos  p"  ±  sin  p'sin  p"  =  -  ^ 

wo  der  zweite  Wert  für  das  untere  Zeichen  gilt. 
Ebenso  ist: 

.  .  .  .    M_      1001        425        ma  .    m . 


468 

1020 

w*  - 

A» 

700,  - 

ocv* 

2V* 

iV* 

884 

1100 

2V» 

1042 

1020 

sin(p'±p"")=  855,  =  663,    cos(p'  ±  9~) 
iV*  iV* 

IIa. 

sin(e"±0=^3,  cos(p"±p")  =  ™  - 

sin(p"  ±  D  -  cos(p"  ±  Q"")  -  *^T, 

Sind»    ±  Q    )~  -0    —  —  N%  ,    C0S(p     ±  ^p    )  —   ^yl  '  iV» 

Die  Gleichungen  I.  und  Ia.  geben  vier  Paare,  deren  Katheten 
relative  Primzahlen  sind,  II.  und  IIa,  geben  zwölf  Paare,  von  denen 
nur  neun  verschiedene  sind.  Die  Kathetenpaare  zur  Hypotenuse 
«-=5.13.17  sind  demnach: 

1105»  -  (5  .  13  .  27)* 


1) 

47«  +  1104» 

2) 

576»+  943» 

3) 

744»  +  817« 

4) 

264»  +  1073» 

5) 

952»+  561» 

6) 

520»+  975» 

7) 

1001* -f-  468* 

8) 

425»  +  1020* 

9) 

855*+  700* 

10) 

663»  +  884» 

11) 

wie  10) 

12) 

105»  +  1100» 

13) 

169*-f  1^92* 

14) 

wie  8) 

15) 

272»  +  1071» 

16) 

wie  6) 

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374  Graebtr:  Ueber  die  jn/lhagoreitchen  Drtitcke 

also  dreizehn  verschiedene  Paare,  wie  viel  nach  §  14.  III.  vorhanden 
sein  tollen. 

2)  Um  die  Zerlegungen  zu  a  —  5*  .  13  zu  erhalten,  benutzt 
man  diese  von  5  .  13  und  5.  Man  setzt  wieder  wie  oben: 

sin  *t  = 


sin  rjb    =  "7== 


4 

V65 

cos,>   =  ^ 

1 

V65 

cos  V  =  y| 

1 

2 

V5 

cos** 

in  den  Formeln  für 

sin(i?k  ±  V)  und  cob(ij6  ±  n*") 
8in(V  ±  V)    und   costo"  ±  1»') 

und  erhält: 

Bin(i?6  +        -  sinp'  ~ 


COS(l|»  -f-  1Jb")  —  cose'  — 

8in(ij6  -  V')  =  sin  p"  = 


V325 

10 
V325 

1 

V325 


COB(tJ»  -  V)  -  COB  p"  -  y= 


BinCV  4-      *=*  cos  p',   coa( V'  +  f     —  8in  r 

6  17 

Bin(V  -  **)  -  Sin  p*  =  ^=       COS^"  -  75')  -  COB  p'"  = 

Aus  diesen  Gleichungen  ergaben  sich  die  Zerlegungen : 


a»  -  5*  .  13  -  1*  +  18*  -  6»  +  17»  -  15»  +  10»  =  (5*(3f  +  2*)) 
Nun  ist: 

300        .  Ä  „     36         .  „  „  204 


Bin  2p'  -  N,       Bin  2p"  -  ^,       sin  2p*  -  ^ 


o  f  125  o  »       823  o  m 

cos  2p'  -  -  N7      cos  2p'  -  ^    cos  2p"  -  ^t 


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280 

260 

JV»' 

"  N* 

315 

195 

JV»' 

125 

91 

N* 

und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de»  Kreisumfangt.  375 

,  ,      „v     165  195 
,  ,  , .  .       80  260 

Man  erhalt  im  ganzen  acht,  aber  nur  sieben  verschiedene  Paaro. 
Die  Katheten  von  zwei  Paaren,  nämlich: 

(5»  .  13)»  =  36»  +  3231  =  204»  +  253» 

sind  relative  Primzahlen;  die  Katheten  der  anderen  verschiedenen 
Paare,  nämlich: 

(5*  .  13)»  -  125*  -f-  300»  -  165«  +  280*  -  260»  -f  195«  =  80» 

+  315«  =  91»  +  312» 

sind  verwandte  Zahlen;  dies  sind  alle  Kathetenpaare,  welche  der 
Satz  A.  §15-  verlangt 

5  17. 

Um  znr  Bildung  der  Paare,  in  denen  dio  Katheten  verwandte 
Zahlen  sind,  nach  Regeln  aufzustellen,  sollen  im  nachstehenden  die 
Paare  nochmals  übersichtlicher  aufgezählt  werden.  Links  von  einem 
jeden  Paare  steht  der  gemeinsame  Factor  desselben  und  rechts  stehen 
die  nicht  gemeinsamen  Factoren,  die  Katheten  eines  andern  pytha- 
goreischen Dreiecks,  dessen  Hypotenuse,  die  daneben  rechts  in 
Klammern  angegeben  ist,  aus  einer  geringeren  Anzahl  derselben 
primzahligen  Hypotenusen  gebildet  ist  als  die  Hypotenuse  N.  Neben 
einem  jeden  aus  der  Summe  der  Winkel  gebildeten  Kathetenpaare 
steht  rechts  das  aus  ihrer  Differenz  gebildete  Kalhetenpaar. 

Q'  +  <>"  .  Q'  -  9" 

1)     17     952     56  65     520  8 

(65)  (17) 
561     33  975  15 

13   1001     77  85     425  6 

(85)  (13) 
468     36  1020  12 

5     855   171  221     663  3 

(221)  (5) 
700   140  884  4 

221     663      3  5     106  21 

(5)  (221) 
884      4  1100  220 


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376 


Grather:  üeber  die  pythagoreischen  Dreieck« 


13 

169 

13 

ÖO 

4Jo 

c 
0 

(85) 

{lö) 

Cr* 

1020 

12 

17 

272 

16 

6o 

520 

8 

(65) 

1071 

ifi 

5 

280 

56 

65 

260 

4 

(65) 

(5) 

165 

33 

195 

3 

5 

315 

63 

195 

3 

(65) 

260 

4(5) 

80 

26 

125 

5 

13 

91 

7 

(13) 

(5») 

300 

12 

312 

24 

Die  Sätze,  die  sich  aas  dieser  Zusammenstellung  ergeben,  sind: 

A.  Der  gemeinsame  Factor  eines  Kathetenpaares  ist  entweder 
eine  primzahlige  Hypotenuse  oder  ein  Product  aus  zwei  oder 
mehreren  primzahligen  Hypotenusen ;  die  nicht  gemeinsamen  Factoren 
bilden  ein  Kathetenpaar  zu  einer  Hypotenuse  aus  den  noch  übrigen 
primzahligen  Hypotenusen. 

13.  Das  Product  aus  dem  einen  in  dem  andern  gemeinsamen 
Factor  der  aus  der  Summe  und  der  Differenz  der  Winkel  gebildeten 
Kathetenpaare  ist  gleich  der  Hypotenuse  der  Kathetenpaare. 

C.  Die  nicht  gemeinsamen  Factoren  von  je  einem  aus  der 
Summe  und  der  Differenz  der  Winkel  gebildeten  Kathetenpaare  zur 
Hypotenuse  N  geben  die  Paare  zur  Hypotenuse  A7,  deren  Katheten 
relative  Primzahlen  sind,  wieder.  Wählt  man  z.  B.  die  Katheten  56 
und  33,  8  und  15,  so  erhält  man  nach  den  Formeln  für 

sin(0M  ±  017)   und   cos(fi»  ±  ßtl): 

.  /a     .  _  1104        ,n        a  .  47 

ns(&5  +  ßn)  -  17  65  cos(065  -f  ß„)  -  1?  65 


also 


sin(fc6  -  ß„)  -  cos(065  -  ßn)  -  ^ 

(17  .  65)»  -  1104»  -f-  47*  -  576»  -f  943» 


Auf  diese  Weise  werden  alle  Paare  gefunden,  die  sich  sonst  aus  den 
Formeln  für  sin  *2p  und  cos  2p  ergeben. 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfang».  377 


§  i& 

Unter  Zugrundelegung  der  Figur  2  ist  im  nachstehenden  (I) 
eiue  tabellarische  Uebersicht  derjenigen  halben  Hypotenusenwinkel 
von  pythagoreischen  Dreiecken  trigonometrisch  berechnet,  welche 
die  Transversalen  nach  den  Teilpunkten  des  in  2  bis  8  gleiche  Teile 
geteilten  Schenkels  BC  mit  dem  Schenkel  AC  bilden  1  und  (II) 
eine  andere  derjenigen  halben  Ilypotenusenwinkel ,  welche  die 
Transversalen  nach  den  Teilpunkten  des  im  Verhältniss  2:1  bis 
8  :  7  harmonisch  geteilten  Schenkels  BC  mit  AC  bilden.  Neben 
jedem  halben  Hypotenusenwinkel  steht  der  Sinus  des  ganzen  und 
daneben  rechts  die  Bezeichnung  des  entsprechenden  pythagoreischen 
Dreiecks. 

Die  trigonometrische  Berechnung  der  Winkel  ist  ausgeführt  nach 
der  siebenstelligen  Logarithmentafel  von  Vega. 

I. 

CB.ADBD*   sin  77»  r\b  sin  17»  A 

1  /T  7fi"       4  *A* 

2:1     2»  +  1  =-   5  26»  33'  54  ~     ^  V 

2  19"     12  '*A5 

3:1     9»  +  2«-137i3  33° 41' 24  £  £ 

3  =  2  K>|/>»-  .«f    J  V 

3  9"    24  MA* 

4:1     4»+3»-2d|      36'52<11    A„  '*  Q 

l/l  70"    4  *A* 

4:2     4s  +  2*  =  20^/5   26°  33' 54  ~  V 

4:3     4.+1.-17J/JM.  W»g   i  %T 

4  80"    40    40 A9 

5:1     5» +  4«  =  41  38' 39' 35^3    41  « 

5:2     5«  +  3«-34^  30»  57'  49  \\7    [.  Q 

2  20"     20  »A» 

5:3     5'  +  2'-29^9   21»  48'  5^    a  2 

l/l_  795"  5  "A6 

5:4     5«  +  1«  -  26  J/^  11»  18'  35  ^  f>  S 


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378                 Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

5  20"  60  60AU 

6:1     8»  +  &i»61^  39*48'20  gg  g 

2  19"  12  11 A5 

6:2    G*  +  4'-52^  33«  41' 24  ^-  lTj  Q 

l/l  76"  4  *AS 

6:3    6»4-3"  -  45  J/^  26«  33' 54  m  ^  V 


i  /T  515"    3  *A* 

G;4    6» +  2»  =  40  1/^  180  26'  5^-     g  <f 


151"  12 

SS  37 


l/T  151"  12 

6:5    6»+  1*  -37  (/^  9»  27' 44  ^3-  ^ 

6        .    ,     171"  84  »A»« 

7:1     7*  +  6«-85^  40»  36'  4^    gg  w 

5        .    ,   „   38"  35  WA" 

7:2    7»  +  5*-74^  35«32'15  w   37  »t 

4       A    ,     211"  56  MAM 

7:3    7i  +  4t_65^  29044'  41^    gg  « 

3           ,      456"  21  »»A*0 

7:4    7'-M'  =  58   _  W  U>  54  ^    ^  » 

2                  314"   28  i5A,s 

7:5    7»  +  2»-53         «•»'«»  737    53  " 

1  /T                274"    7  14  A7 

7:6    7»+l  -60|/i  8»  7'  48  w   ^  » 

7                 1"    112  »»AIS 

8:1    8« +  7» -11»^=  41» U'  9r    m  ». 

3                    9"      24  MA7 

8:2    8« +  6» -100g      36°  52' 11  ^      ^  B 

5             ,      127"  80  MAM 

8:3    8*+5>-  89^  3««  O'lOgj-   ^  « 

,  /T                  76"     4  4A* 

8:4    8»  +  4>-  80|/i  260  33'54  jgj  l 


und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangt.  379 

8.5    8»  +  3>_  73^  J0°S3  21  ^  7S 

1  405"  8  1ÖA8 

8:6    8'  +  2>-  68^=   U'  riOgjj-  ^ 

1  25"  16  «AK 

8:7    «•  +  !»-   65^==    7«  V  30  gg  ffi 


Cß  .EB  «=  CJ5 :  £Z>  -4£*8in  1/6 


6: 

3  - 

2: 

1 

4. 

»Vi 

6: 

2- 

3: 

1 

9. 

•VI 

15: 

10  = 

3: 

2 

9  . 

»Vi 

20: 

15  - 

12: 

3 

16  . 

34  » 
V34 

6; 

3- 

2: 

1 

4  . 

-VI 

28: 

21  - 

4: 

3 

16  . 

»VI 

16: 

3- 

10: 

2 

25  . 

Vl3 

35: 

14  = 

15: 

6 

25  . 

58  i 
Vö8 

20: 

12  - 

5: 

3 

25. 

»Vi 

46: 

36  = 

5: 

4 

25  . 

»Vi 

42: 

7  - 

30:  5 

36 

V74 

*!■                         ein  l) *i  ■ 
fjk                          DIU  4f}t 

A 

18*26'  ß"f 
631 

3 
5 

76" 

26°  33'  54  ~r 
421 

4 

5 

795" 

11°  18'  35  'ts- 
1053 

5 
13 

ll£6 
19 

61" 

15 
17 

1*AB 

i  n 
17 

515" 

18«  26'  5  gj- 

8 
5 

V 

27-4" 

8°    7'  48  - 
ö     '  40  7.17 

7 

25 

s 

19" 

330  41r  24  JF 

12 
13 

"V 

21 
29 

B 

405" 

U«   2'  10  g 

8 
17 

261" 

6«  20'  24  3^ 

9 
41 

»'  32'  16  § 

35 
37 

35^11 

380  Graeber:  lieber  die  pythagoreischen  Dreiecke 


6:    2-     3:  1     9.     b\/ 1      26»33'5«    43,      5  » 
C:    3=     ,.,     4.   »|/J    ».ff      |  V 

:  5o  =     6:  5  36.122^    5«  11«  29  m   ^  tt 


15:  10=    3:  2  9 


66 


28:    4-  21:  3  49.   25      g  36°  52' 11           ^*  ^ 

ö  14  Jo 

5  211"   45  4i>Att 

C3:  18  =  35:10  49.106^  29«   3'  16           £  g 

35:  15-   14-  6  49  .  29^  210  48'  5      »   »  £ 

S  1fi7"  33  MA** 

77  :  44  -  21:12  49  .  130T =.  15»  15' 18            ^  « 

yi30  386  65 

1  /T  IM"   12  WA1* 

42  :  30  =  7  :    5  49  .  37  ]/ ^  9°  27'  44    jg-  ~  1? 

91:  78-  7:    6  49  .  170^    40  23' 55  |?  V 

72:    9  -  56:    7  64  .  130  y-L  37°  52' 29  | 


25"  63  •»A,< 


Vi 130  «  65 


20:    5  =   12:    3  16.   34^  30«  57' 49 

5              .  III"  55  "A*8 

88  :  33  -  40:15  64  .  24°  26' 38"  ^  ^  7» 

6:     3-    2:    1    4.  10  18«  26'   5  m    ^  t 

3  571"  39  *Y\W 

104:  65  -  24:   15  64.178^=  12«  59' 40  ^  8j  m 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumjangs, 


381 


l  /  1  274"   7    84 A7 

28  :  21  -    4  :  3   16  .  60  J/^     8«    7' 48    73?-  ^  ä 

l/T~  2"  15  i»Au 

120: 105  -   8  :  7    64  .  526  3°  48'  50    ~  ^  ut 

Vergleicht  man  den  Hypotenusenwinkel ,  den  der  einfachen  Tei- 
ler 7:1  oder  8  :  1  oder  8  '  3  oder  allgemein  m  :  n  mit  demjenigen, 
welcher  der  harmonischen  Teilung  7  :  6  oder  8  :  7  oder  8 :  5  oder 
m:  m—  «  entspricht,  so  ergiebt  sich,  dass  der  eine  Winkel  das  Com- 
plement  zu  dem  andern  ist,  also  dass  die  durch  einfache  Teilung  ge- 
wonnenen Hypotenusenwinkel  die  Complemente  sind  beziehungs- 
weise zu  den  Winkeln,  die  man  durch  die  in  der  oben  angegebenen 
Weise  ausgeführten  harmonischen  Teilung  erhält  Wird  die  Linie 
BC  in  der  Weise  wie  in  §  11.  harmonisch  geteilt,  so  findet  die  eben 
ausgesprochene  Beziehung  nicht  statt. 

Stellt  man  aus  der  Tabelle  I.  die  dem  einfachen  Verhältnisse 
n :  1  entsprechenden  Dreieckszahlen  der  Reihe  nach  von  u  =  2  bis 
n  —  8  untereinander,  so  erkennt  man  leicht  das  Bildungsgesetz,  das 
diesen  Reihen  zu  Grunde  liegt.  Ein  anderes  ergiebt  sich  aus  den 
pythagoreischen  Dreieckszahlen,  die  dem  Verhältniss  2»  :  2n  —  1  ent- 
sprechen. Zu  den  Verhältnissen  5:3,  7:5,  9:7  u.  s,  w.  gehören 
die  Dreieckszahlen: 


b 

a 

20 

21 

29 

I. 

28 

45 

53 

36 

77 

85 

Die  Reihen  6,  c,  a  stellen  arithmetische  Progressionen  dar;  die 
Differenz  der  Reibe  b  ist  8.  Die  Reihen  c  und  a  haben  ein  ge- 
meinsames Bildungsgesetz.  Die  erste  Differenz  ist  24,  die  zweite 
24 -f- 8  und  die  dritte  32-f8-40  u.  s.  w.  Für  Idas  Verhältniss 
11 : 9  erhält  man  demnach  die  Dreieckszahlen:  44,  117,  125, 

§  19. 

Die  Gesetze,  auf  welchem  die  Bildung  der  Reihen  beruht,  kön- 
nen durch  drei  Formeln  dargestellt  werden.  Um  diese  zn  ermitteln, 
geht  man  von  den  Gleichungen  II.  in  $  6.  aus  und  setzt  2mn  ■»  6, 
ms—  w*  —  e  und  m*  -j-n«  =  a.   Es  ergiebt  sich  die  Gleichung: 


382 


Graebtr:  üeber  die  pythagoreischen  Dreiecke 


mithin  stellen: 


&*  +  c»  -  a» 


I 


b  —  2m  .  n 

e  =  m*  —  n*  die  Katheten  und 
a  —  m4  -}-  n*  die  Hypotenuse  dar. 


Setzt  man  in  Im  —  n  statt  n,  so  erhält  man  die  Gleichungen  für 
die  Katheten  und  die  Hypotenuse,  wie  sie  die  in  der  Tabelle  §  18 
(I)  angewandte  Teilung  verlangt   Also  es  ist: 


Sind  m  und  n  dnreh  ganze  Zahlen  bestimmt,  so  ist  zu  m  und  «  noch 
je  eine  veränderliche  Grösse  als  Summand  hinzuzufügen.  Setzt  man 
also  m-j-z  für  m  und  «-f-y  für  n  in  II,  III,  IV  ein,  so  erhält  man: 

b  —  2(m-fz)(f»  —  n  +  z  —  y)  oder 

n  b       =  2m(m  -  •)  +2  [«  (*-»)+<•  -*)(»+  *)]: 

tf  =  (m-f-as)'  — (m  — n-f-je— y)1  oder 
III C       -  ro*  -  (m  -  *)*  -  [z(2m  +  z)  —  (•  -  y)  (2(m  -  n)  -f  x — y)] , 

a  =»  vm-j-z)2-f-(TO  —  n-}-* — y)'  oder 
1 V a       =  m*  +  (m  — +  [*(2m  +  z)  +  (z  -  y)(  2(m —•)+•- y )} 

Die  Klammerausdrücke  Q  in  den  drei  Gleichungen  geben  die 
Gesetze  für  die  Reihenbildung.   Da  m  >  n  angenommen  ist,  so  muss 

auch  x  ^  y  sein ;  denn  sonst  könnte  der  Fall  eintreten,  dass,  wenn 

m-\-x  —  n-f-y  würde,  die  Teilung  der  Linie  BC  nicht  stattfände 
und  somit  die  Reihe  unterbrochen  würde.  Für  x  und  y  sind  in 
steigender  Aufeinanderfolge  die  Glieder  einer  arithmetischen  Pro- 
gression, die  aus  ganzen  Zahlen  besteht,  zu  setzen.  Es  soll  ange- 
nommen werden,  dass  für  *  und  y  nur  Glieder  aus  Progressionen 
erster  Ordnung  gesetzt  werden.  Hierbei  werden  vier  Fälle  unter- 
schieden: 1)  x  —  y  ist  gleich  null,  2)  *  — y  ist  gleich  einer  con- 
stanten  Zahl,  3)  y  ist  gleich  null  und  4)  die  Zahlen  (z  —  y)  bilden 
die  Glieder  einer  arithmetischen  Progression  erster  Ordnung. 

1)  Ist  z  —  y  —  0,  so  fällt  in  den  drei  Gleichungen  das  zweite 
Glied  in  den  Klammerausdrücken  []  fort.  Das  erste  Glied  in  der 
Klammer  Q  III  c  ist  identisch  mit  dem  ersten  Gliede  in  der  Klam- 
mer []  IVa.  Hieraus  folgt,  dass  [die  Reihen  c  und  a  nach  einem 
gemeinsamen  Gesetze  gebildet  werden.   Ferner  ergiebt  sich  aus  dem 


II 

in 

IV 


b  =  2m(m  — n) 

c  -  m»-(m-r»)> 

«-m«+(m_n)8 


und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de»  Kreiaunfang*. 


383 


ersten  Gliede  in  den  Klammern ,  dass  e  nnd  a  arithmetische  Reihen 
zweiter  Ordnung  und  b  eine  arithmetische  Reihe  erster  Ordnung 
darstellen. 

2)  Dieselben  Gesetze  erhält  man  auch,  wenn  z  —  y  gleich  einer 
constanten  Zahl  ist  Ein  Beispiel  zu  dem  ersten  Falle  liefert  die 
Reihe  I  §  18,  wo  m  —  5,  n  -=  3,  *  =  2,  4,  6  und  y  =  2,  4,  6  .  .  . 
ist  Um  ein  Beispiel  für  den  zweiten  Fall  zu  haben,  setze  man  m— 2, 
»  —  1,  «  =  2,  3,  4  .  .  .  y  —  1,  2,  3  .  .     .    Es  ist: 

b 

16 
20 
24 
28 

Bildet  man  die  Differenzen-Reihen  zu  6,  c  und  a,  so  erhält  man 
für  b  : 

4      4      4      4,   und  füre  und  a 
9     11     13  15 
2      2  2 

3)  Ist  y  —  0,  so  geben  die  KlammerausdrUcke 
Vb    2[«(m  —  n)+*m+a:,]  —  2(2mac  —  a»-f-**) 
eine  Reihe  zweiter  Ordnung, 

VIc    2mx-fx»  —  2(m  -  n)x  -  y*  -=  2m*  —  2(m  -  njx 
eine  Reihe  erster  Ordnung, 

VHa    2m*+**+  2(m-n)*  +  **  =  2(2»»* -«*  +  *») 

eine  Reih«  zweiter  Ordnung.  Aus  VII a  und  Vb  folgt,  dass  die  aus 
ihnen  gebildeten  Reihen  einem  gemeinsamen  Gesetze  zu  Grunde 
liegen. 

Ein  Beispiel  hierzu  geben  die  Verhältnisse  2: 1,  3 : 1,  4:1  u. s.  w. 
(Siehe  Tabello  §  18  (I)).  Ein  anderes  Beispiel  ist:  m  =  5,  n  «=  3, 
x  =  2,  6,  8  und  y  —  0,  also: 


fr 

e 

a 

56 

33 

65 

140 

51 

149 

260 

69 

269 

416 

87 

425 

12  20 

21  29 

32  40 

45  53    u.  s.  w. 


384  Graeber:  Utber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

a)  65      149      2G9  425 

1.  Diff.-R.  84      120  156 

2.  Diff.-R.  36  36 

b)  56      140      260  416 

1.  Diff.-R.  84      125  156 

2.  Diff.-R.  86  36 

c)  33      51      69  87 

1.  Diff.-R.  18  18  18 

4)  Bildet  x — y  eine  arithmetische  Reihe  erster  Ordnung,  so 
geben  IIb,  III IVa  Reihen,  von  denen  eine  jede  auf  einem  be- 
sonderen Bildungsgesetz  beruht.  Die  Producte  x  .  x,  (x — y)(x—  y) 
und  x(z — y)  deuten  an,  dass  die  Reihen  arithmetische  Progressionen 
zweiter  Ordnung  sind. 

Beispiel:  m  —  2,  n  =  1,  x  =  4,  6,  8,  10  .  .  .  und  y  —  1,  2, 


1 

b 

c  a 

48 

20  52 

80 

39  89 

120 

64  136 

168 

95  193 

a) 

52 

89 

i 

136 

193 

1.  Diff.-R. 

37 

47 

57 

2.  Diff  -R. 

10 

10 

b) 

48 

80 

120 

168 

1.  Diff.-R. 

32 

40 

48 

2.  Diff.-R. 

8 

8 

c) 

29 

39 

61 

95 

1.  Diff.  R. 

19 

25 

31 

2.  Diff.-R. 

6 

6 

Bezeichnet  man  die  Glieder  der  zweiten  Differenzen-Reihe  von 
a  mit  A*(a)i  von  *  mit  A*(£)  und  von  e  mit  so  ergiebt  sich : 

viii  (&W  -  W  +  (AH«))1 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangn. 


Noch  ein  zweites  Beispiel  soll  dieses  Gesetz  bestätigen:  m  —  2, 


•  • 

•y-i, 

2,4 

b 

e 

a 

30 

16 

34 

108 

45 

117 

234 

88 

250 

408 

145 

433 

a)  34      117      250  433 

1.  Diff.-R  83      133  183 

2.  Diff.-R.  50  50 

b)  30      108      234  408 

1.  Diff.-R.  76      126  174 

2.  Diff.-R.  48  48 

c)  16      45      88  145 

1.  Diff.-R.  99      48  57 

2.  Diff.-R.  H  14 

50*  -  48»  -f  14» 

■ 

Also  ergiebt  sieb  wieder  ans  den  zweiten  Differenzen  die  Glei- 
chung VIII.   Hieraus  folgt  der  Satz: 

Stellt  (x  —  y)  eine  arithmetische  Reihe  erster  Ordnung  dar, 
so  ist 

(AW  -  +  (A'(<0)* 

Werden  für  x  und  y  der  Reihe  nach  die  Glieder  einer  arithme- 
tischen Progression  höherer  Ordnung  eingesetzt,  so  erhält  man  ganz 
araloge  Gesetze  für  die  Reibcnbüdung  wie  oben.  Zwei  Beispiele 
mögen  dies  bestätigen.  1(  x  =  1,  !.  9.  16,  25)  stellt  eine  arithme- 
tische Reibe  zweiter  Ordnung  dar,  m  =  2,  n  =  1.  Die  Gleichungen 
IIa,  IIIc,  IV  b  geben  folgende  Reihen: 


b 

0 

12 

5 

13 

60 

11 

61 

220 

21 

221 

612 

35 

613 

1404 

53 

1405 

2812 

75 

2813 

Are;.,  d.  Math.  Phy..    2.  IieiUe,  T.  XV.  25 


386  Graeber:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

a)  13      61       221      613      1405  2813 

1.  Diff.-R.  48      160      392      792  1408 

2.  Diff.-R.  U2      232      400  616 

3.  Diff.-R.  120       168  216 

4.  Diff.-R.  48  48 


Die  gleichea  Differenz-Reihen  ergeben  sich  auch  für  b. 
c)  6      11    21      35      53  75 

1,  Diff.-R.  6      10      14      18  22 

2.  Diff.-R  4       4       4  4 

Dieses  Beispiel  entspricht  dem  früheren  dritten  Falle. 

Für  x  und  y  werden  Glieder  arithmetischer  Reihen  zweiter 
Ordnung  eingesetzt,  z.  B.  x  =  1,  4,  9,  16,  25,  36  .  .  .  ,  y  0,  1, 
5,  12,  22,  35  .  .  .  x  -y  ist  dann 

1      3      4      4      3  1 
2      l  0-1-2 
-1      -1     -1  -1 

eine  arithmetische  Reihe  zweiter  Ordnung.  Es  ergiebt  sich  für 
m  =  2,  n  =  1: 

b  c  a 

12  6  13 

48  20  52 

110  96  146 

180  299  349 

216  713  745 

152  1440  1448 

13      52      146      349      745  1448 

39      94      203      396  703 
55       109      193  307 
64       84  114 
30  30 

12      48      110      180      216  152 

36      62      70         86  -64 
26       8        -34  -100 
—18   -42  -66 
-24  -24 


a) 

1.  Diff.-R. 

2.  Diff.-R. 

3.  Diff.-R. 

4.  Diff.-R. 

b) 

1.  Diff.-R. 

2.  Diff.-R 

3.  Diff.-R. 

4.  Diff.-R. 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  de»  Kreisumfangs 


387 


c)  5      20      96      299      713  1440 

1.  Diff.-R.  15     76     203      414  727 

2.  Diff.-R.  61    127      211  313 

3.  Diff.-R.  66      84  102 

4.  Diff-R.  18  18 

Aas  den  constanten  vierten  Differenzen- Reihen  ergiebt  sich  die 
Gleichung: 

30*  =■  24»  +  18* 

also  ist 

(A4^))*)'  -  W  +  (A4(*))* 

Dies  ist  ein  Beispiel  zum  früheren  vierten  Falle,  wenn  die  Werte 
von  (x —  y)  eine  arithmetische  Reihe  zweiter  Ordnung  geben.  Aus 
diesem  und  jeuen  andern  Beispielen  zum  vierten  Falle  lässt  Bich 
der  allgemeine  Satz  ableiteu: 

Bilden  die  Werte  von  — y)  in  den  Gleichungen  IIb,  III c, 
IV  a  eine  arithmetische  Progression  nter  Ordnung,  so  sind  die  Reihen 
a,  b,  c  arithmetische  Progressionen  2nter  Ordnung.  Das  Quadrat  der 
constanten  2nten  Differenz  der  Reihe  a  ist  gleich  der  Summe  der 
Quadrate  der  constanten  2»teu  Differenzen  der  Reihen  b  und  c,  also 

(£>**(«))*  -  (A2»W  +  (£2M(c))* 

wo  A2*(a),  A?*(*V  A2m(c)  die  constanten  2nten  Differenzen  der 
drei  Reihen  a,  by  c  bezeichnen. 


§  20. 

Bildet  man  die  Summe  aus  drei  pythagoreischen  Dreieckszablen, 

so  giebt  diese  die  Kathete  eines  andern  pythagoreischen  Dreiecks. 

Z.  B.  5  +  4  +  3-12  oder  "A5,  12  +  13  +  5-30  oder 

&  a 

30  +  34  +  16  =  80  oder  *>AS9,  80+89  +  39  =  208  u.  s.  w.  Addirt 

N 

man  die  Gleichungen  I  §  19,  so  ist: 

a  +  i  +  c  -  2r««  +  2w  .  n  =  2m(m+«) 

die  Katbete  eines  pythagoreischen  Dreiecks.  Um  dio  andern  Drei- 
eckszahlen dieses  Dreiecks  zu  finden,  setzt  man 

(2m  .  (m  +  «))«  -  ««  - 

wo  x  die  Hypotenuse  und  y  die  andere  Kathete  bezeichnet.  Es  ist 
dann 

2m»  .  2(m  +  »)«  =  (x  +  y)  (x  -  y) 

j5» 


38S  Graeber:  t/eber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

Man  setze 

m  +  y  -  2<m  +  «)*,   x-y  -  2m« 
woraus  sich  durch  Addition  und  Subtraction  ergiebt 

x  -  (m  +  n)i  4.  m» 
V  -  (m  +  «)*-m» 

Beispiel:  m  -»  4,  n  =•  1.   Es  ist  a  «=•  17,  i  —  8,  c  —  15,  also 

a  +  6  +  c  -  40 

*  «=  5«  -f-  4»  -  41  [ 
y  =  5»  —  4a  -  9 

Es  ergiebt  sich  der  Satz: 

Die  Summe  der  drei  pythagoreischen  Zahlen  giebt  die  Kathete 
eines  andern  pythagoreischen  Dreiecks. 

Sucht  man  zu  A+c+a  aus  den  Reihen  6,  c,  a  die  beiden 
andern  Dreieckszahlen,  so  geben  diese  wieder  Reihen  c',  a\  die 
denselben  Gesetzen  zu  Grunde  liegen  wie  die  Reihen  b,  c,  a.  Als 
Beispiel  dienen  die  Reihen  (Seite  384  A.) 


b  +  c  +  m 

b' 

c' 

a' 

48+  20  +  52 

-  120 

64 

136 

80  +  39  +  89 

-  208 

105 

233 

120  +  136  +  64 

=-320 

156 

356 

c' 

163+  95  +  143 

-  456 

505 

217 

136  233 

356 

505 

t.  Diff-R.  97        123  149 

2.  Diff.-R.  26  26 

b')  120      208      320  456 

1.  Diff.-R.  88      112  136 

2.  Diff.-R.  24  24 

c')  64      105      156  217 

1.  Diff.-R.  41       61  61 

2.  Diff.-R.  10  10 

26«  =  24»  +  10»  oder   (A V)'  =  (AW)f  +  CAVto" 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisumfangt. 


389 


Man  erhält  die  Reihen  £',  c',  a'  unmittelbar  aus  den  Gleichuugen 
IIb,  IIIc,  IVa  §  19,  wenn  m  =-  2,  n  -  1  und  x  =  8,  II,  14,  17, 
.  .  .  ,  y  =  3,  4,  5,  6.  .  .  .  ist. 


§  21. 

Eine  Anwendung  von  den  in  der  Tabolle  Seite  377  berechneten 
pythagoreischen  Hypotenuseuwinkeln  auf  die  Teilung  der  Kreis- 
peripherie soll  den  Schluss  dieser  Untersuchungen  bilden.  Da  auf 
der  Construction  der  Centriwinkel  des  regulären  25-  und  9-Ecks  die 
Construction  des  7-,  11-,  13-Ecks  und  so  weiter  beruht,  so  soll  jene 
zanächst  angegeben  werden. 

1)  Der  Centriwinkel  vom  regulären  25-Eck  ist 

&5  -  14°  24' 

Die  Constructien  von  §tt  beruht  auf  der  Construction  von 
Es  ist: 

arJ-106M5'36|£ 

2y*-9Q*m    16«  15'  36^ 

5  \2y  *  -  90°J  =  81«  18'  +  5<3,  wo  d  -  ^--m  ist, 

 25»  =  280  48'  

5  (2y       90°)  - 2*M  -  52°  3ff+5a  -  2*+  5<J 

9  ss  4  ,°  -|-  7°  30'  ist  bekannt;  denn  45°  ist  der  Ceutriwiukel  vom 
regulären  8-Eck  und  7°  30'  der  Centriwinkel  vom  regulären  48-Eck ; 
beide  sind  construirbar.   Nun  ist 

I  5  (2X  5  ~        -  2V  "  2<«  +  5*  -  2W 

hieraas  folgt 

2({Mi  -  I«)  -  5d 

oder 

t  i     -       bA      ,  339" 


390  Graeber:  Ueber  Hie  pythagoreischen  Dreiecke 

330" 

Die  Abweichung  vom  wahren  Werte  beträgt  also  1  25p  5  dies 
macht  für  25(i",5I  —  §M)  =  45".  lässt  sich  constrairon  ans  f 

und  y\* 


Eine  andere  Construction  erhält  man  durch 

5 
13 


b.  ß  ,Ö„  =  22«  37'  11,  5" 


Es  ist 


II 


hß  *  -  1130  6'  -  5<S„  wo  9X  -  \"  ist, 
 4|s5  -  570  36' 


bß  18  -  4i,5  -  550  30'  —  5dj  -  t|/,  -  56\ 


Da  t/'j  aus  48°+  7°  30'  zu  construiren  ist,  so  ist  auch  |8ftir  aus 
0  13  und  ^,  bestimmt.  Aus  II  folgt: 

III  6f13-01-4fc»-5*l-.4£6>i  oder 

4(&>  -  fc")  -  V1  ~  8- 

Die  Abweichung  vom  wahren  Werte  beträgt  2ßv  Um  eine  noch 
geringere  Abweichung  zu  erhalten,  addirc  man  folgende  aus  I  und 
III  sich  ergebenden  Winkel: 

339" 

W  -  H°24'  +  l  ßr 
3^"  -  43»  12'  -  1  ~ 


^  +  81»«==  670  36'+  — 
und  dividire  mit  4,  dann  ist 

W&  +  *8*u)  -  fr™  -  440  24'  +  £ 
Die  Abweichung  vom  wahren  Werte  ist  für  25§95m  nur  0,  40". 
2)  Der  Centriwinkel  für  das  9-Eck  ist 


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und  ihre  Anwendung  au;'  die  Teilung  de*  Kreisumjangs.  39 1 

Es  ist 

61 


ß  ^  -  100  23- 19,88" 


18/?  Jj  -  1870  -  18d\  wo  6  =  0,12"  ist 
4S9  =  1600 


W   — 4f9  -  270- 18a 


Da  der  Winkel  von  27°  construirbar  ist,  so  ist  auch  S91  aus 
ß  61  und  27°  zu  construiren.   Es  ist 


ff  -  400-  |d  =  400  _  o,54" 


also  ist  die  Abweichung  vom  wahren  Wert: 

0,54" 

Der  Centriwinkel  S45  -  8»  lässt  sich  unmittelbar  aus  2i9l  -  72° 
—  8°— 9<5  bestimmen  ;  einen  noch  genaueren  Wert  aber  erhält  man 
aus 

18y  JJ  -  187°  -  18<i  -  64°  -  123°  -  18d 

t 

Da  Wkl.  130°  sich  aus  den  Winkeln  90»,  18°,  15°  construiren 
lässt,  so  ist  auch  g45  construirbar.   Es  ist 

8y4äi  =  64°  -  18  ö 

also  ist 

gffl  mm  8°  —  ^  Ä  =  8°  —  0,27" 
Die  Abweichung  beträgt  demnach 

{«-^  =  ^  =  0,27" 
3)  Für  das  reguläre  7-Eck  ist 

6" 

g7  -  51°  25'  42  7- 
a)  Benutzt  man  als  Constructionswinkcl 

/?  491  ==  120  40' 49,38" 

so  ist 


392  Graeber:  Leber  die  pylhagoreitchen  Dreiecke 

4  [iß  49x  +         90°)  -  48»  36'  +  gfl« 
Nun  ist  nach  II 

ias»  =  14°  24'  -  0,62" 

also  ist 

IV  4  Uß  ^  +  57-90ft)  +  fe611  -  63"  +  0,9" 

Der  Winkel  von  63°  lässt  sich  construiren  aus  450-f-l8°.  Um  die 
Abweichung  vom  wahren  Werte  zu  bestimmen,  löst  man  IV  inbezug 
auf  57  auf.   Es  ist 

63«-&»n  -  48°  36'  +  0,62"  m  ±(iß  ^  +  S7  -  90») 
hieraus  folgt 

12°  9'  -f  0,15"  -  4ß  lx  +     -  90° 

und  endlich 

S,"  -  1020  9'  +  0,15"-  iß  ^ 

Nun  ist 

Aß  lx  =-50°  43'  17,52'' 

also  ist 

|7*  =  51°  25'  42,63" 

Die  Abweichung  ist  t,  —  6,»  -  0,23". 

b)  Eine  ziemlich  genaue  Lösung  der  Siebenteilung  erhält  man 
auch  auf  folgende  Weise.  Man  teilt  den  Schenkel  BC  im  gleich- 
sehen kligen  Dreieck  ABC  (Fig.  6)  zunächst  in  drei  gleiche  Teile 

CD  =  DE  —  EB 

und  verbindet  A  mit  D,  dann  ist 

4  76" 
Wkl.  DAB  -  \y  b  -  26°  33'  64 

Nun  teilt  man  CD  in  10  gleiche  Teile  und  macht 
dann  ist 

CF- CD+  ^CO-  CD™  und 


AF*=AC*+  CI"  =  VCD  +  1^CD*=^CD' 


also  ist 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Tttlung  des  Krei$umfantjs.  393 

äf  =  IMi 


Ferner  ist  nach  dem  Sinnssatze: 

AF  :  FB  =  sin  B  -f  sin  FAß 
Nun  ist 

sin  Wkl.  B  =  [/i 


1  19 

FB  —  DB  —  DF  =■  2  CD  -  YoCD'~^  10  CD 

AF=^>vion 


also  ist: 

i 1 1  lu 


qjj   in  _ 

Vlü21  :  1(\  CD  =  VI  :  sin  FAB 


und  hieraus 

19Vi  Z 

sin  FAB  -   ,    1  =  ,v 
Vl021  N 

log  0,5  =»  0,6989700-1 

log  VI  =0,8494850-1 
log  19  -  1,2787396 


log  Z  =  0,1282386 
log   1021-  3,0090257 

logVIÖTl  -  1,50451285 

log  ?  -  0,62372575  - 1  =  log  sin  FAB 
FAB  =>  24°  51'  49.308" 
=  26°  33'  54,181" 

Wkl.  FAB+tol  =  51°  25'  43,48°"  "  l?" 
5  _  51°  25'  42;857 


632" 

^  1000 

c)  Eine  sehr  genaue  Lösung  der  Siebenteilung  geben  folgende 
Winkel 


391  Graeher;  Ueber  Hie  pythagoreischen  Dreiecke 

iß  *j?  ~  7«  V  30,059" 

y5»o  —  81°  18'  3,667" 
JjT25  =  8«7'  48,370" 

2ß  -  177«  51'  25,763" 
2/3  —  75«  -  102«  51'  25,763  =  2;7IH 

i-7oii  .  5io  25'  42,58" 
t'7iu  -  £7  =0,024" 

d)  Kommt  es  auf  grosse  Genauigkeit  nicht  an,  so  genügt  die 
Construction  des  Winkels 

itl  +33»  =  51"  26'  5 

Die  Abweichung  beträgt  ungefähr  23". 
4)  Für  das  reguläre  11-Eck  ist: 

iu  -  32"  43'  38^ 

Addirt  man 

7  55" 
^25  =  16§  15'  36  74 

so  ist 

S,l  +  ß  ]b  -  48°  59'  15"  -ö,  wo<J  =  0,08"  ißt. 

Es  ist 

2  [4  (*„  +  ß  2?5)  -  180»]  -  310  54'  -  84 
zieht  man  hiervon 

gs  =  14»  24', 
ab  und  multiplicirt  mit  4,  so  ist: 

4[2[4(t11  +  ^275)-l«0°]  -  700 

Dieser  Winkel  ist  zu  construiren  aus  30°-r-V,  damit  ist  auch  iiu 
gefundoo,  denn 

3004.^1  =  (700-0,54" 

2[4(s„+02^  )  - 1800]  =  170  30'  -  0,135" -f-te1 

&»i-14°  24'  -f  1,805" 


'.-      1  ■'   T.  —  


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  den  Kreisumfangx.  395 

2  [4  (*„+  027ß)  -  180°]  -  31°  54' -f0,67" 

4  0»+^»)  - 1800  =  150  +0,835" 
4(li,+I0275)  =  195«  57'+0,835" 

-  160  15' 36,743" 

—  32°  43' 38,463" 
Sn                 =  32«  43' 38,182" 

Wählt  man  für  $25*  als  Constructionswinkel  fo111,  so  beträgt  die  Ab- 
weichung nur  0,06". 

b)  ein  ziemlich  genauer  Wert  für  £M  ergiebt  sich  aus 
fr  85  +  ^65  =     13  +     n  =  470  43'  34'721    (vgl  §  9  ) 


um  140.  Die  Abweichung  beträgt  3,461". 
c)  Eine  dritte  Lösung  geben  die  Winkel 

ßi*  (vgl.  §  3.)  =  28°  10'  154"  ««ei 

iY  f3  =  20»  33'  2, 
Addirt  man  diese  beiden  Winkel  und  subtrahirt 

2&l  =  16°-  0,54" 

so  erhält  man 

£ltH  =  320  43'  37,64" 
Die  Abweichung  beträgt  J". 

5)  Für  das  reguläre  13-Eck  ist 

|18  =  270  41'3243 

a)  Wählt  man  als  Constructionswinkel 

20  i" 
y  ™  =  430  36'  10  ? 

so  erhält  man  aus 


396  Gm  eher:  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke 

20 

3/  29  +  £i5-158°30'  +  « 

einen  Winkel,  der  zu  construiren  ist  aas  120°,  22°  30'  und  Vfa.  Ist 

2Ul  -  160-0,54" 

so  ergiebt  sich 

3y  29  +  £j3  -  1^8°  30  -  0,54"  und 
20 

3/  29  -  13 ••48'  30,43" 

durch  Subtraction 

dt  s1  27°  41'  29" 

4* 

Die  Abweichuog  vom  wahren  Wert  betrügt  4  ^. 

b)  Eine  andere  Lösung  giebt 

^ös  (conf.'§  4.)  -  100  18>  J7i5|8 
V.    Man  erhält 

mhz  -W9-W°)  -  76»  24'  +  <J 

Dieser  Winkel  lässt  sich  construiren  aus  30°,  fes1  und  4U1.    Es  ist 

30°  +  'S»1  +  4&1  -  76°  24'  +  0,725"    und  aus  V. 
4(S,5- W)-W  -  9°  23'+0,09" 
i"i3-^5s-  17°  23'  15,0225" 
i/35s  =-  10«  18'  17,405" 

|,an  -  27*  41'  32,4275" 
§13    -  27°  41'  32,3077" 

i*i3w-{,s-  0,1198" 

c)  Weniger  genau  ist  der  Wert  für  £,3IU ,  welchen  mau  aus 

12  19" 
y     -6°fc=  27»  41'  24  ~  erhält. 

d)  Auch  §  4.  liefert  eine  Lösung.  Es  ist 

/?5*+/J5*  -  ft6+2059  -  60»  41'  28,7",   also  ist 
^5»+ Js4  — 33°  =  27°  41'  28  7„  =  t," 

5.3-^  =3,6" 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  den  Kreixumfang».  397 

6)  Für  das  reguläre  19-Eck  ist 

10" 

{„=18°  56' 50^ 

a)  Als  Constructionswinkel  wählt  man 

39  59" 
*»£  "  12°59'  40  547 

\ß  "  =  12«  59'  40 1~ .  Es  ist  dann 

(39\ 
f i»  -  *,*  89 )  =  490  48'  +      Hiervon  zieht  man  ab 

2!25I  =  28°48°-f  3,6";  also  ist 
~«39~ 


A{^-iß^)-2^=  210 


7" 

Nun  ist  yf  zn  construiren.    Die  Abweichung  von  £19l  beträgt  ^. 
b)  Sehr  gering  ist  auch  die  Abweichung  bei  der  Construction  aus 

ß  *?  =  280  4'  20,956" 

+  b  66  =  370  52'  29,926" 

+  1^  =  140  2' 10,478" 
+     ߣ  =  11°  54'  38,666" 
*  =  91°  53' 40,026" 

Hiervon  zieht  man  ab 


2$J9  =  37°  53'  41,053' 
V-2!i8  =  540-f3:  2$19 

lässt  sich  construiren.   Die  Abweichung  beträgt 

c)  Aus  der  Construction  von 

28 

erhält  man  £u  mit  einer  Abweichung  von  circa  7". 


398  Graeber:   Uebtr  die  pythagoreischen  Dreiecke 

7)  Für  das  reguläre  21-Eck  ist 

a)  Aus  dem  Centriwiukel  des  regulären  7-  und  3-Eck  lässt 
5„  berechnen.   Man  stelle  die  Diopbautische  Gleichung  auf: 

y . P     x . P_ P 
3  7    ~  21 

wo  P  die  Peripherie  des  Kreises  bedeutet.   Es  ist 

ly  —  'ix  =  1 
ly  =  1  (mod  3) 
6y  ==  0  (mod  8) 


hieraus  folgt: 
ferner  ist 


y  ==  l  (mod  3)    d.  h. 
x  —  1+3« 

Für  n  =  0  ist  y  =  1  und  x  —  2;  also  ist 

2P_  P 
3       7  -  21 

b)  Ein  ziemlich  genaues  Resultat  erhält  man  aus: 

900+^  =  1140  26'  38,24" 
-y5,0=  81°  18'  3,67" 


90+4y73-y5,0-;21=  330  8'  34,57" 

=  160   +  0,28"  =  2f45!  -f  0,82™ 
Die  Abweichung  vom  wahren  Wert  beträgt  0,82". 
8)  Für  das  reguläre  23-Eck  ist 

19" 

=  150  39'  7  g- 

Man  addire- 

\Y      =  -  33°  41'  24,24" 
—      n  =  -140  2' 16,48" 

und  subtrahire 


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und  ihre  Amrtndung  auf  die  Trilung  det  Kreisum fangt.  399 

;23  =  150  39,  7^3" 

i  (y  \l -ß?7)  -5«  =  40-0,07"  =  0,06" 

Die  Abweichung  beträgt  0,06". 

9)  Für  das  reguläre  29-Eck  ist 


19" 
29 

Der  Constructionswinkel  ist 


£M  —  12°  24'  49  ™ 


0  ^  =  43°  36'  10,152" 

Mau  addire: 

40  gl  =  174°  24'  40,608" 
cw=  12»  24' 49,655" 

20 

4/?  29  +SW  =  186°  49'  30,263" 

Nun  ist 

4<4£  f9  +?»  - 180»)  =  270  18'  +  «5 

3feßn  =  430  12' -1,875" 

20 

4(4^29  +  ^  =  ^,0)  +  3$*«  =  70«  30' -0,823"  =  480  +  220  30'  +  5 

Die  Abweichung  ist  fa1  —  £w  =  0,206". 
9a)  Für  das  reguläre  31-Eck  ist 

14" 

SS1-11°36'  46  31- 

12 

a)  Nimmt  man  zum  Constructionswinkel  ß^,  so  erhält  man 
37+2*31  =  800  _  j  -  2v.i9;   aUo  ist 

30 
89 


80 

b)  Berechnet  man  /*53  +  JySu  —  (9°+  'te1),  so  ergiebt  sich  für 


S81  eine  Abweichung  von 


400  Gr  arber:  lieber  die  pylhagortistchen  Dreiecke 

10)  Für  das  reguläre  37-Eck  ist 

*87  =  9<>43'  48  l~ 

Mao  addire: 

3/f  ^  =  56»  46'  26,05" 

16^37  =  1550  40*  32  ^ 
uud  subtrahire  180°;  es  ist 
12 


mitbin  ist 


37 


+  16^37  — 180°  =  32°  27'  —d  =  2ß 

4tf;  -  1290  48'—  4<5 
2cW  -  280  48'-3r 


Es  ist 


( 


4y,  -2tel  =  1010  =  2c9I-f-21° 

2frl=x  800  -1,03";    also  ist 
i(*fci  +  2lo  =  500  30'  -0,54")  und 

$y  +  2^°-K25l  =  640  54' -2,415" 
k1  +  2a +.fe»I)H-l«)0=  2120  27'  -1,2075* 


hiervon  subtrahire 

3^  ^  =  560  4C  24,05" 


m^1  =  155°  40'  32,74",   also  ist 
Ss7i   =    9°  43' 47,05" 

Die  Abweichung  vom  wahren  Werte  beträgt  0,02". 

Sehr  gering  ist  auch  die  Abweichung  für 

i37"  =  ß  *  4-^-(4{454-300)  =  90  43'  47,673" 

.      §  22. 

Die  Constrnction  des  25-Ecks.   (Nach  §  21.  1.  b)  Figur  3  Man 

5 

teilt  den  Durchmesser  AB  in  13  gleiche  Teile  und  trägt  ^  •  (^8)  = 
1  5 

2^  .  ^AB  bis  E  ab,  oder  man  teilt  BC  in  drei  gleiche  Teile  und 


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und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  des  Kreisuwfanax.  401 

zieht  durch  den   Teilpunkt  D  Sehne  Al\  dann  ist  IBP  —  BE  = 

113°  6'.    Dann  bestimmt  man  BF  -  3G°,  BG  =  00°,  /Ttf  -  45°  und 

macht    BK=>  KL  —  liG  —  £F  -  <VF  =  24°    und    LA'  -  1U 

|^7//  —  7J°.    Teilt  man  nun  NE  «■  57°  30'  in  vier  gleiche  Teile, 

dann  ist  EQ  =  {EN  —  14°  21'  und  £?<J  Seite  des  einbeschriebcuen 
25-Ecks. 

Die  Construetion  des  9-Ecks.  Figur  4.  Man  zeichnet  über  AD 
als  Hypotenuse  das  pythagoreische  Dreieck  AEB^°&1{),   trägt  dann 

Ol 

BE  von  B  aus  neunmal  auf  der  Peripherie  (ab)  bis  Fab  und  macht 

FG  -  27°.    Es  ist  nun  (JB  -  100°.    Teilt  man  Jtf  in  vier  gleiche 

Teile,  so  dass  GH—  \B(/  ist,  dann  ist  Sehne  OK  eino  Seite  des 
eingeschriebenen  regelmässigen  \)  Ecks.  —  Die  Coustruction  von 
£  AEB  ergiebt  sich  am  leichtesten,  wenn  man  BC  in  sechs  gleiche 
Teile  teilt,  durch  den  fünften  Teilpunkt  D  Sehne  AL  zieht  und 

BL  =  LE  macht. 

Da  BF=  187°  und  K?  =  27°  ist,  so  ist  AG  —  20°.    Ist.  nun 

aIc  —  30°,  so  ist  GK  =  AK  —  AG  =  10°  und  <Jj  —  \GK=  8°. 
Sehne  G.I  Seite  des  ciubeschriebenen  regelmässigen  10-Ecks. 

Die  Coustruction  des  7-Ecks.    (Nach  §  21.  3  a)  Figur  5.  Man 

trägt  auf  der  Peripherie  BG  =  /J'-f  FG  =  45° -f  18°  ab  und  macht 

Gl/  =  14°  24'  =  En  und  teilt  i?//=48r3G'  in  vier  gleiche  Teile. 

BJ  =  J/J//  trägt  man  von  C'aus  auf  der  Peripherie  ab  bis  X;  dann 
ist  BK  =  102"  9' -f-f',0'.    Zeichnet  man  nun  /\  AEB  ~  ^A9,  dann 

ist  BE  —  252  21'  38,70"  und  BL  -  l2Bf-:  =  50°  43'  17,52";  folglich 

ist  Bk  —  BL  -  KL  =  51°  25'  42.03''  und  KL  ist  Seite  des  eiube- 
sebriebenen  regelmässigen  7-Ecks.  Figur  G  ist  nach  §  5?1,  3  b)  ge- 
zeichnet. 

Coustruction  des  11 -Ecks.  (Nach  §  21,  4  c)  Figur  7.  Mau 
halbirt  BC  in  D  und  zieht  durch  D  Sehne  AF,  teilt  dann  BC  in 
acht  gleiche  Teile  und  zieht  durch  den  dritten  Teilpunkt  E  von  C 

Sehne  AG.  Auf  der  Peripherie  trägt  man  dann  B^F  von  B  aus  neunmal 

ab  bis  A',  dann  ist  BK=  28°  10'  15f ;  halbirt  man  CG  in  //  und 

macht  KL  =  C7/,  dauu  ist  BL  =  4fc°  43*  37,10".    Trägt  man  nun 

auf  BL  von  B  aus  BJ  —  2Ü101  ab,  dann  ist  JL  =  ;M  und  ./L  Seite 
des  einbeschriebenen  regelmässigen  11-Ecks. 

Arch.  d.  M.tb.  u.  Fbjs.   2.  Reike.  T.  XV.  26 


402  Graeber:  (jeher  aie  pythagoreischen  Dreiecke. 

Construction  des  13-Ecks.  (Nach  §  ?1,  5d).  Figur  8.  Man 
halbirt  BC  in  D  und  zieht  durch  D  Sehne  AE.  Trägt  man  BE  neun- 
mal auf  der  Peripherie  ab  bis  K,  dann  ist  'ire  —  9BE  —  BK  =  fr» 
und  AL-n— BL  —  n  —  IBE  =  ß-J.  Macht  man  LM  =  2jz  —  9BE 
dann  ist  AAf  =  ,*59+£-,*.  Nun  construirt  man  CF  =  2  CG  =  30°  und 
IW  =  2JB  =  36°  und  Jb  =  =  CG  —  33°  —  3/Tv,  dann  ist 
AAf=|l3  und  Sehne  AN  Seite  des  einbeschriebenen  13-Ecks 

Wie  Gauss  1796  bewiesen  hat,  ist  ausser  dem  3,  6,  12 .  .  .  , 
dem  4,5  8,  IG  .  .  .  ,  «lern  5,  13,  2)  .  .  .  und  dem  15,  30,  60  .  .  . 
Eck  nocli  die  Herstellung  eines  n-Eeks  möglich,  wenn  n  eine  Prim- 
zahl uud  wenn  zugleich  (n  —  1)  eiue  Potenz  von  2  ist,  also  z.  B. 
das  17,  257,  60537  Eck.  Alle  audereu  regelmässigen  Vielecke 
müssen  durch  Aunäherungsverfahreu  coustuirt  werden.  Ein  solches 
ist  im  §  21  angegeben  worden;  die  Constructionen  im  §  22  zeigen, 
dass  sehr  genaue  Resultate  bei  diesem  Teilverfahren  erzielt  werden. 
Auch  das  17-Eck  lässt  sich  danach  leicht  construiren.  Zu  Con- 
structionswiukelu  nehme  man 

80  127" 
fr9  =  28«  10'  15^*    und    \y  g9  =  32°  O'  19  ^ 

Um  diese  zu  finden  ,  teilt  man  zunächst  (Figur  9)  BC  'in  zwei 
und  dann  in  acht  gleiche  Teile,  zieht  durch  den  Halbirungspnnkt 
D  von  BC   Selinc  AE  und  durch  den  fünften  Teilpunkt  F  von  C 

aus  Sehue  AG.    Es  ist  daun  wie  oben  beim  13-Eck  2n  —  9BE 

^  ~    •  80  *-» 

—  BK  =  fc»  und  \CG  -  CH  =  ±y  89    Macht  man  KJ  ss  C//,  dann 

^        ^  80  «— .  —~ 

ist  BK+  KJ=  fa«  +  lysd.  Au  3/^=30°  trägt  man  1>Q  =  BN-B0 

—  45°  — 36°  =  9°  an  macht  JL  =  MQ  =  39° ;  es  ist  dann  BJ—JL 

=  BL  =  21»  io'  34,727"  =  und  BL  eiue  Seite  des  einbeschrie- 
beoen  regelmässigen  17-Ecks. 

Der  Unterschied  vom  wahren  Wert  beträgt  f". 

Eine  andere  leicht  auszuführende  Construction  des  regelmässigen 
17-Ecks  giebt  (45°  +  y5*- ys'0)  =  21°  10'  43".  Der  Unterschied  be- 
trägt 8". 

Anm.  Beweis  in  §  8.  nach  Gauss  „Ucber  die  pyth  Zahlen"  §  8. 
Bunzlau  1894. 


Sikstel:   Thtorinie»  fondamentaux  dt  la  qfomftrit  sphinque.  403 


XTX. 

The*oremes  fondamentaux  de  la  geome'trie 

spherique. 

Suite*) 

V.  Sikstel. 


II  a  ete  dojä  demontre  quc  toutes  les  lignes  geometriquos  sur 
la  surfaco  quc  nous  uommcrons  actucllomnnt  Bpherique,  etant 
fermees,  sont  egales  eutro  elles  (theoreme  7).  C'est  pourquoi  pour 
unite  lincairc  necessaire  pour  la  mesure  on  peut  prendre  uno  partie 
definie  de  toute  la  ligne  geometrique ,  comme  d'uue  quantite  con- 
stante  pour  la  surfaco  donnee.  La  ligno  {.'eometrique  entiero  sera 
dans  ce  cas  uue  unite  de  plus  haute  categorie  a  laquelle  nous 
donnerons  plus  bas  le  nom  d'  unite  pour  la  simplificatioti  de  notro 
exposition. 

TMnrime  .9.  Les  perpendiculaires  ä  la  rnime  liyne  geometrique  se  cou- 
pent non  pas  (Tun  de  ses  c6t£.%  mais  des  deux. 

Soient  EDVA  et  FDCB  (fig.  1)  perpendiculaires  ä  la  ligne 
EFBA  et  admettons  qu'elles  se  coupent,  comme  il  est  raontre  sur 
la  figurc,  dans  les  points  D  et  C  d'un  cöte  de  la  ligne  EFBA. 
Alors  d'apres  lo  theoreme  8  nous  obtenons  DMC  =  |et  CD  MCA  —  J ; 
par  consequent  DMC  =  EDMCA. 

L'absurdite  obtenuo  nous  montre  que  les  perpendiculaires  DCA 
et  FDCB  se  coupent  de  deux  cötes  de  la  ligne  EFBA. 


*)  Bulletin  de  la  Socidtc  Phy8ico-mathe"tnatiquc  de  Kasan.  Deuxieme 
w?rie.    Tome  II  Nr.  ?,  1892. 

2f,s 


404       Siksttl:  Tfitoremes  fondamentaux  dt.  la  gtomttrie.  sphtrieque. 


Thforeine  10.  La  sonnne  de  deux  perpendiculaires  el»r>ees  sur  la  ligne 
geome'trique  (fun  de  ses  cutes,  en  prenant  In  Umgneur  de  chucune  de  son  pied 
jusquau  point  de  Vinterseetion  acec  l'autre,  est  cgnlt  n 

II  est  donne:  AB  et  AC  sont  perpendiculaires  a  BC  (tig.2.). 
II  faut  demoutrer  quo  AU  +  AC—  |. 

En  prolongeant  AB  et  AC  jusqu'  ä  la  secondc  intcrsection 
qui,  comuie  il  est  demontre,  doit  avoir  lieu  de  l'autre  cöt6  de  la 
ligne  BC  en  quelque  point  D,  nous  trouverons  que  £\  ABC  par  le 
deplacement  sur  la  surface  peut  ötre  completemcnt  superpose  sur 
A  BDC,  alors  nous  verrous,  (que  AC  =  BD  et  AB  =  CD.  Mais 
AB  +  BD  =  i;  doue  AB  +  AC=\. 

Theorlme  11.  Si  la  longueur  d'une  put  tarn  da  la  ligne  geotnetrique  e<t 
dgale  a  \,  la  longueur  de  chaque  jterpendiculaire  &ecee  sur  la  portiun  a  .*m 
extrtmiti,  en  la  prenant  du  pied  de  la  jterjtendiculaire  jusquau  point  commun 
(Vinter sitction,  est  egale  ii  \  (fig,  3  ) 

Soient  AB  =  i  et  AD  et  BD  perpeudiculaires  ä  AB. 

En  prolongeant  BD  et  BA  jusqu'  a  la  seconde  intersection 
dans  le  point  C,  nous  trouverons  que  s_  C—d  (theoreme  6).  II 
est  evident  que  &  VDA  par  le  deplacement  sur  la  surface  peut  etro 
completemcnt  superpose  sur  ADB\  alors  AD  coincidera  comple- 
tement  avee  BD  et,  par  eousequant,  AD=  BD.  Mais,  d'apres  lo 
deruier  theoreme,  AD-\-BD  —  |  ou  2AD  =-  2BD  —  c'est  a  dirc 
AD  =  BD  =>  J. 

'lheorime  12.  Si  la  longueur  de  la  portion  de  la  ligne  ginmetrique  est 
plus  gründe  ou  plus  petite  que  \,  chucune  des  perpendiculaires  ileeees  sur  la 
portion  d  ses  exlrrtnites,  en  prenant  la  longueur  de  la  perpendicidaire 
comme  dans  le  cas  pitkedent,  est  e'gute  a  ^  (fig.  4). 

II  est  donne:  BC  =  £  et  AC  et  AB  sont  perpendiculaires  ä 
BC.    Alors,  d'apres  ce  que  nous  avons  dejä  dit,  AC  =  AB  =  J. 

Prenons  pour  exernple  la  portion  CM  <C  ]  et  meuant  MN  per- 
pcndiculairement  ä  BC,  admettons  que  la  ligue  obtenue  par  le  pro- 
lougement  de  MN  ne  passera  pas  par  le  point  .1  par  le  point  d'in- 
tersection  de  AB  et  AC  mais  eile  rencontrera  ces  ligues  dans  les 
points  D  et  N.  Alors  A'C-\-  AM  <=•  mais  AC  <  \  ;  par  cousequent 
iV/iV>  i  et  d'autant  plus  MD>  mais  1U)  est  aussi  >  {  ;  alors 
£/J-f  jVD>  ce  qui  est  eu  contradiction  avec  le  theoreme  10. 
Ccttc  absurdite  provieut  evidemment  de  la  supposition  que  MN  ne 
passe  pas  par  le  point  A;  par  cousequent,  MN  passera  absolument 
par  le  point  A  et  occupera  quelque  position  AM  Maintenant  nous 
obtieudrons:  AM-\~AC  —  AM+\  =  $\  par  cousequent,  AM  = 


Sikstcl:  THoremcs  fondamentaux  de  la  yComttrie  sphfrique.  405 


De  la  raemc  maniero  nous  demoutrcrons  lc  theoremc  pour  le  cas, 
oü  CM>  l 

Corollairos. 

1)  Toutes  les  pcrpcndiculairos  61evees  sur  la  lignc  geometrique 
d'un  de  scs  cotes  passent  par  un  point  coustaut  et  la  longueur  de 
chacunc  d'elles,  cq  la  prenaut  du  pied  jusqu'  au  point  comrnuu  d'iu- 
tersection,  est  egale  a  \. 

2)  Les  perpendiculaires  ä  la  ligue  geometrique  donuee  sc  divi- 
sent  par  cette  ligue  eu  deux  parties  egales  eutre  les  poiuts  de  leur 
iutersection. 

3)  Si  du  stammet  d'nu  angle  droit  nous  pren»ns  .vir  un  de  »es  cöteS  utte 
ligne  egale  a  \  et  si  nous  joignons  le  point  obtenu  aree  ipulque  point  sttr  C  untre 
rote  de  F  angle,  la  ligne  ge'ometriaue  ubtmue  (joignante)  sera  pa  pendiculoir« 
a  rauhe  rät/-  de  f angle  et  so  longurur  sein  a  {  (fig.  5. ) 

Soit  AB  perpeudiculaire  ä  CB  et  egale  4  \.  Demoutrons  quo 
toute  ligue  AC  prise  daus  le  theoremc  est  aussi  perpeudiculaire  ä 
CB  et,  par  consequent,  est  egale  ä  {. 

Eu  supposaut  que  AC  u'est  pas  perpeudiculaire  a  C'/y,  faisons 
passer  du  point  C  la  ligne  67),  perpeudiculaire  ä  CB.  Cette  ligue, 
d'apres  co  qui  a  etv  dit,  passera  par  lc  poiut  A  et  sera  egale  ä  j 
Mais  comme,  d'apres  lc  theoremc  H,  les  ligues  CDA  et  CA  doiveut 
avoir  eueore  uu  point  commuu  ä  la  diätauce  du  poiut  A  egale  a  \, 
uous  obtenous  que  CDA  et  CA  out  trois  poiuts  coniinuus.  Cette 
absurdite  ue  provieut  evidemmeut,  que  de  la  suppositiou  que  AC 
u'est  pas  perpeudiculaire  ä  LH,  donc  AC  est  perpeudiculaire  ä  CB 
et,  eousequemment,  la  longueur  de  AC  est  egale  a  \. 

4)  La  ligne  geometrique  qui  divise  eu  deux  parties  egales  les 
portious  de  deux  autres  lignes  geometriques  prises  eutre  les  poiuts 
de  leur  intersectiou,  est  perpendiculaire  a  ces  ligues. 

5)  Si  la  perpeudiculaire  abaissee  d'un  poiut  donue  sur  uue  ligne 
geometrique  douueo  est  plus  lougue  du  plus  courtc  que  J,  on  ue 
peut  faire  passer  de  cc  point  aueuuo  autro  ligue  pcrpcudiculairo  ä 
ligne  donuee. 

6)  Les  angles  du  fuseau  spherique  sont  egaux. 

7)  La  perpeudiculaire  elevee  sur  le  c6te  du  fuseau  pas  eu  son 
milieu  forme  avec  l'autrc  cötc  des  angles  inegaux:  uu  angle  obtus 
qui  sera  oppose  a  la  plus  grando  des  portions  donuee  et  un  angle 
aigu  oppose  ä  la  plus  petitc  d'eutre  elles  (fig.  6.) 


406        Sikutel:  Thtoremt*  fondamrntaux  de  la  gfoniCtrie  sphirique. 

Si  ADy>  DC  et  DB  tst  perpendiculaire  ä  AC  nous  avons:  1) 
Z  DBC  ne  peut  pas  etre  egal  ä  un  angle  droit.  Adraettons  quo 
Z  DBC  =■  r/,  nous  trouverons  BC  =  DC  =  i,  ce  qui  est  cu 
contradiction  avec  l'hypothese.  2)  Z  DBC  ne  peut  pas  etre  obtus. 
En  supposant  Z  DBC  >  rf,  il  faut  admettro  que  BM,  perpendiculaire 
a  BD  doit  prcndrc  sa  direction  en  dodans  de  Z  BDC  et,  par  con- 
sequent,  doit  couper  DC  dans  quelque  point  M.  Alors  BM  =  DM 
=~      ce  qui  est  de  nouveau  en  contradiction  avec  rhypotheso. 

Si  angle  DBC  ne  peut  pas  Stre  egal  ä  un  angle  droit  et  ne 
peux  pas  etre  plus  grand  que  lui  il  est,  consequemment,  aigu  et 
Z  DBA  -  obtus. 

Re  mar  que.  Commo  toutes  dcux  ligues  geomctriques,  meuecs 
sur  la  surface  splierique,  so  coupent,  en  construisant  un  angle  quel- 
conqno  au  point  quekouque  de  la  lignc  gcometriquc  donnee  et  en  le 
deplacant  sur  la  surface  de  facou  ä  ce  qu'  un  de  aes  eötes  reste 
sur  la  lignc  donuee ,  nous  trouverons  que  la  position  primitive  et  la 
uouvelle  position  de  l'autre  cöte  «le  rangle  donn6e,  etant  prolongees 
jusqu'  a  l'intersection,  formeront  avec  ligne  donnee  un  trianglc  qui 
aura  un  angle  egal  a  un  angle  iuterienr  non  adjacent. 

Theoreme  13.  Si  dans  un  trianglc  un  angle  ext&iftr  <*>/  fgal  a  ttn 
angle  intrrieur  tum  adjacent,  la  ligne  gfomdriuue  out  joint  le  milieu  du  CÖti 
adjacent  a  ces  angles,  acec  le  stimmet  de  P  angle  oppwti  est  tgale  a  ±;  eile 
est  deux  fois  jüus  petite  que  la  somme  des  de>ts  antres  cntfs  du  trianglc  et 
dicise  rangle  form*  /Mir  eux  en  deux  parties  fguU*. 

II  est  donue:  &  ABC;  ZB-  ZC\  BO  -  CO  (tig.  7.) 

II  faut  demontrer:  AO  -  J:  All  +  AC=\;  Z  BAU  = 
Z  CAO. 

En  prolongeant  AO  et  AC  jusqu'  ä  l'iutersectiou  dans  le  point 
Z),  nous  obtiendrons  ^  COD  qui,  evidemmcnt,  par  1c  dcplacemcnt 
sur  la  surface  peut  etre  completcmout  supcrposc  sur  A  BOA.  Avec 
cela  nous  obticudrous:  1)  AO  •—  DO\  mais  AO-\-  DO  —  '2AO  = 
par  eonsequent:  AO  —  {;  2)  CD  =  AB\  mais  AC  -{-CD  —  |,  douc 
AB  +  AC  =  J.  ä)  Z  BAO  ^  Z  VDO\  mais  ZCDO  =  CAO  comme 
angles  d'uu  fuscau,  donc  Z  BAO  —  Z  CAO. 

Jl  est  facilc  de  voir  que  AO  qui  divise  l'angle  BAC  en  deux 
parties  egales  et  qui  est  egale  ä  J  divisera  aussi  le  cote  BC  — 
{/\  ABC)  —  en  dcux  parties  egales. 

Corollaires  1)  Si  l'angle  du  fuseau  est  plus  pctit  que  l'auglo 
droit,  la  ligne  gcometnque  qui  joint  les  milieux  des  tötes  du  fuseau 


Sikstnl:  Thtorimes  fondamentaux  de  la  gtomttrie  sph€rique.  407 

est  la  plus  longuo  des  pcrpendiculairos  nbaissees  des  points  d'un 
cöte  du  fuseau  sur  l'autre  (tig.  8 ) 

Rcmarque.  Le  troisieme  corollnire  du  th6oreme  12  nous 
mootrc  que  si  dans  uu  triaugle  deux  angles  sont  droits  et  lc  cöte 
corapris  eutre  eux  est  egale  ä  J,  le  troisieme  angle  da  triaugle  est 
aussi  droit. 

11  en  sutt,  d'aprös  les  theoremes  demontres,  que,  si  dans  un 
triaugle  deux  angles  sont  droits,  le  troisieme  angle  est  equivalont 
avee  son  cöte  oppose,  c'est  ä  dire:  si  le  troisieme  angle  est  plus 
graml  ou  plus  petit  que  l'augle  droit,  son  cöte  oppose  est  plus  graud 
ou  plus  petit  quo  i  et  reciproquemeut. 

Qu'  ou  nous  donue  ä  prescnt  le  fuseau  AMBNA  et  quo  son 
Z  A  <  rl.  Alors  MN  qui  joint  les  milieux  des  eötes  du  fuseau  est 
plus  petit«  quo  J.  D'apres  cela  DC,  perpendiculaire  a  AB,  coupera 
le  prolougemeut  NM  en  quelquc  point  O  et  formcra  avec  Ali  l'ungle 
ACD  Z.  D. 

II  en  suit  que,  prenant  d'abord  CD  =■  MN  et  mouant  CQ  per- 
pendiculaire ä  CD,  nous  obtiendrous  £  CQD  egal  £\  MBN  avec 
quoi  ZL  CQA  —  Z  B  —  A.  Maintenant,  d'apres  le  thcoreme  13, 
CQ-\-CA  =■  mais  CQ  =  J,  donc  CA  =»  ce  qui  est  absurde. 
L'absurdre  n'est  provenu,  evidemment,  que  de  la  supposition  que 
CD  =  MN.    Ainsi  CD  nc  peut  pas  etre  egale  ti  MN. 

Posaut  ensuite  que  CD  >  MN  prcuous  CD  —  MN  et  mcuons 
C'Q  pcrpeodiculairement  a  C  D.  Alors  il  sera  de  nouveau  evideut 
que  Z  CQA  =  Z  CAD  et  nous  obtiendrous  A  AOQ  qui  aura 
AO-\-QO  —  ^,  ce  qui  est  de  nouveau  absurde  parce  que  AO  ainsi 
que  QO  est  plus  petite  que  j.  De  cetto  mauierc  uous  obtenous  que 
CD  ue  peut  pas  etre  plus  grand  que  MN  ni  lui  etre  egale,  douc 
CD  <  MN 

'2)  Si  uu  angle  du  fuseau  est  plus  graud  que  l'angle  droit,  la 
ligne  geometrique  qui  joiut  les  milieux  de  ses  cötes  est  la  plus 
petite  des  perpendiculaires  abaiiseos  des  points  d'uu  cöte  du  fuseau 
sur  l'autre. 

Ce  corollaire  sera  demontre  de  la  meme  maniero  quo  le  precedent. 

Theoreme  14.  Si  un  angle  du  fuseau  est  plus  petit  que  C angle  droit, 
les  peqmidiaUaires  egales  entre  elles  ahaissees  des  j»>ints  d'un  cote  du  fuseau 
sur  rautre  sont  e'galement  eloigne'es  des  sommets  du  fuseau  et,  consequetnmenl, 
de  la  j>erpetuliculaire  du  milien. 


408        Sik  alel:   Tti€oremex  fondamentaux  de  la  giomftrie  KphtriqtU. 


II  est  donne  le  fuseau  MN  (fig.  9)  et  /L  A/<rf.  AB  est  la 
perpcndiculaire  du  milieu,  CD  et  CD'  sout  des  ligues  egales  eutre 
elles  et  perpendiculaires  ä  MBN.  II  faut  demontrer  que  Z)Af  =  D'M 
ou  que  BD  — 

Comme  CD  <  AB  (corollaire  preraier  du  theoreme  12)  cu  de- 
placant  &  CD2si  sur  la  surface,  nous  pouvous  parvouir  enfiu  a  ce 
que  CD  coineide  avec  CD'.  La  I0"n,e  tigure  montre  cette  uonvelle  Posi- 
tion oü  C'N'  =  CN,  D'N'  —  DN  et  CM'  qui  est  le  prolongemeut 
de  N'C  est  egale  a  CM.  Daus  le  triauglc  MCM'  Panglo  extcrieur 
Jtf  est  ä  l'angle  M'  —  iuterieur  et  non  adjaccut;  c'est  pourquoi, 
d'apres  le  tbeoreme  13,  C'P  qui  joiut  le  sommet  C  avec  le  milieu 
du  cöte  oppose  est  egale  ä  \.  En  prolongemeut  P'C  jusqu'  a  l'in- 
tersectiou  avec  MX,  uous  trouverous  que  C'P  est  egale  ä  J  et  divisc', 
AG"A'  OD  deux  parties  egales,  ce  qui  t'ait  que  tf'P  est  aussi 
—  PN.  Sachaut  quo  CD'  <  J,  que  FC1  —  C'P'  j  et  quo  CD' 
est  perpendiculaire  a  Pi»',  il  est  facile  de  voir  que  P'C  — 
Z-PCD%  =  d  et  par  consequent,  PZ)'  —  /'/)'  =  J.  Ensuite, 
J/A  =  J  =  J/A'  +  A'A".  par  consequent,         =  A\V  d'on 

—  1"M  =      —  \  mais  nous  souvenant  que  77J'  =  P  B\  uous 

coucluous  que  MD'  =  DW  ou  MD'  —  7)A  (fig.  9)  en  constqueuee 
de  quoi  BD  est  aussi  =  BD',  ce  qu'il  fallait  demontrer. 

Thiorbne  t5.    Si       angle  du  irutnglt  <•>/  muindrt  que  '2u,  le  cäti  qui 
lui  est  oppttSf-  est  plus  jx-tit  ipie  h- 

Soit  daus  £  (tig.  11)  <L  ABC  <  'hl.  En  prolougeant  .!# 
nous  trouverous  qu'elle  peut  couper  AC  entre  les  points  /I  et  6'  eu 
quelque  point  A'  ou  bien  eu  quelque  poiut  D  sur  le  prolongemeut 
de  AC.  En  faisant  la  premiere  supposition ,  nous  devons  conclure 
que  le  prolongemeut  AB  coupera  absolument  BC  en  quelque  poiut 
E.  Alors  ABMEN  =  $  et  BME  =  \,  d'oü  nous  obtiundrous  une 
absurdiie  evidente:  AB  MKS  =-=  BME.  II  en  suit  que  !a  seeoudo 
supposition  doit  etre  juste,  et  daus  ce  cas:  AD  \  et  AC  <<  iiD, 
douc  i4C  ^ 

Theoreme  W.  Si  un  ungle  du  triangle  est  ftlus  prand  ijue  'Jd,  le  entt 
fpti  /»/'  est  opjhtsc  est  plu#  grand  ipie 

En  admettant  que  dans  /\  ABC  (fig.  12),  dont  les  cötes  sont 
AB,  BC  et  ADC,  ,/_ABt>'2d  et  eu  prolougeant  par  exemple  le 
cöte  AB  de  1'auglc  donne  nous  trouverous  que  ce  prolongement  doit 
prendre  sa  direction  en  dedans  du  £\  ABC,  douc  il  doit  couper  AC 
eu  quelque  poiut  D  entre  les  poiuts  A  et  C.  Des  lors  ACy>  AMD, 
mais  AMD  =  \,  douc  AC^>  i. 


Stkstef:   Thtoremes  fandamtntaux  de  la  ijtome'trie  >/di/ri<]ut.  409 


Remarque.  Lcs  conclusions  reciproques  aux  theoremes  15  et 
16  scroot  egalemcut  justes  et  seront  demontrecs  d'une  mauierc 
egalement  simple. 

Theoreme  17.  Si  dans  tm  t  Hangle  isoeele  f  angle  au  sommet  est  moindre 
f/ue.  'Jd  et  les  rote*  eganx  sunt  mm'ndres  que  J,  la  ligne  qui  Hiri.se  Panglf  au 
sommet  en  dem  jtarties  egales  est  /KTfiendiealaire  a  la  Ijase  'Hg.  13  ) 

II  est  donue:  Z  BAC  <  2<l,  AB  -  AC  <  \,  Z  11 AO  ~ 
Z  CAO. 

II  faut  demontrer:  AO  1  BC. 

Prolongcous  All  et  AC  —  cotes  du  A  A.BC  —  jusqu'  a  la  se- 
coude  intersectiuu  dans  lc  poiut  F  ot  divisoas  A BFct  ALF  an  deux 
parties  egales  dans  les  points  M  et  A.  Puis,  eu  meuaut  MA  et  en 
prolongeant  #6'  et  Ji/Ajusqu'  a  l'iutersection,  dous  obtenous  les 
points  D  et  E. 

Des  lors,  d'apres  lo  corollaire  4  du  theoreme  12,  AM—  AQ  — 
AN  =  i  et,  cornme  Z  MA Q  —  Z  NAQ,  par  la  sui»eri>osition  des 
triangles  MAQ  et  A'.iQ  nous  arriverons  ä  la  eonvictiou  que  MQ  = 
AQ,  i4Q  "  ]  et  d'apres  eela  00  <  $,  par  suite  Z  D  <  <l  -  eela 
douue  le  droit,  d'apres  le  theoreme  14,  de  eomlure  que  A7;  =  DM. 
Mais,  eu  ajoutant  a  NE  et  DM  a  ehaeuuo  uue  liguo  egale  AQ  et 
.i/y,  nous  trouverous:  QE  —  QD  —  \ \  et,  comme  Z  AQAI  =  d, 
Z  AGB  est  aussi  =  d,  e'est  ä  diro  AO  est  perpcndieulaire  a  BC, 
ee  qu'  il  fallait  demontier. 

Theoreme  IS.  Si  dans  un  triangle  UN  rät,'  quelconuu,  jiri.s  i»>m  hase 
est  nmindie  qtte  i  rt  la  fierpftttlfCuMre  du  summet  a  in  lnme  dirix  /'angle 
au  nmmet  e.n  dem  jxtrties  ,'gti/es,  ee  triangle  rrt  üut-tte  (tig  llj 

Remarque.  Par l'hypothese,  imliquee  par  le  theoreme,  l'angle 
au  sommet  ne  peut  etre  ui  egal  ä  2d  ni  plus  grand  que  2<l.  Si 
l'augle  au  sommet  est  egal  ä  2t/,  la  ßguru  donneo  n'est  pas  uu  tri- 
augle,  mais  uu  fuseau. 

Mais,  si  l'augle  au  sommet  est  plus  graud  que  2rf,  le  tote  qui 
lui  est  oppose  est  plus  graud  que  ce  qui  est  en  eontradiction 
avee  lcs  donnees. 

II  est  donne:  JBQ  J.  AC,  Z  A BQ  =  Z  CBQ. 

II  faut  demontrer  que  AB  =  Cli. 

Eu  supposant  quo  AB  et  CM  uc  sout  pas  egales  et  par  ex- 
emplc,  AB  >  C7i,  prenous  DB  —  CD  et  joiguous  lcs  points  D  et  C 


HO       Sikatel:  Thtorhne*  fandamentaux  de  la  gtomttrit  sphtriqut. 

Nous  aurous  le  triangle  isocele  DBC  dont  lo  cöte  BO  diviso  l'augle 
au  summet  eu  deax  parties  egales.  D'apre's  lo  theoremc  precedent 
Z.  COQ  =  d,  mais  Z.  CQO  est  aussi  —  rf,  par  consequeut  CQ  =  ], 
cc  qui  est  en  contradictiou  avec  la  supposition.  Ainsi  AB  et  CB  ne 
peuvent  pas  6tre  inegales  et  par  suite  £         est  isocele. 

Theoreme  V.l.    Si  dans  un  triangle  mtelie  ««  summet  est  moindre 

>jue  'Jd  et  le»  CÖfti  fgaux  torü  moindre*  que  \,  lu  ligne  que  divise  Vangle  au 
sommet  en  deitx  pttrtie*  {gutes,  diri.tr  «r/W  In  base  en  dem  jmrtieg  egales 
(tig.  13) 

Soit  £\  ABC  le  triangle  doune.  Faisons  les  memes  construc- 
tions  (jue  eellcs  que  nous  avons  faites  pour  demontrer  le  tlieoreme 
17  et  playous  le  £s  CSE  sur  le  £\  BMI)  do  maniero  que  ES  coiu- 
cide  avec  DM  ot  le  cöte  XC  preaue  sa  direction  sur  MF.  On  peut 
y  parvenir  par  suite  de  l'cgalitc  des  augles  ESC  et  DMF  —  des 
auglcs  droits.  Des  lors  {\  CSE  prendra  la  position  PMl)  et  il  sc 
formera  le  nouvean  [\  BDP  <iui  ne  peut  etre  qu'  isocele  par  1c 
tlieoreme  18,  c'est  a  dire  DP  —  DB;  mais  DP  =  CE\  par  eouse- 
quent,  DB  =  CK,  mais  DO  est  aussi  ss  EO,  consequemment,  BO 
=  CO,  ce  qu'  il  fallait  demontrer. 

Sacliaut  que  d'un  poiut  on  ue  peut  clever  sur  la  ligue  geome- 
trique  qu'  une  sculu  perpendiculairc,  nous  pouvons  faire  eueore  la 
deduetion  suivaute:  , ,si  daus  uu  triangle  isocele  l'augle  au  sommet 
„est  moiudre  que  2<i  et  les  cötes  egaux  sont  moindres  que  J;  la 
„perpendiculairc  elevee  sur  la  base  de  sou  milieu  divisora  aussi 
„l'augle  au  sommet  ou  deux  parties  egales*4. 

Les  theoremes  17,  18,  19  et  la  derniere  conclusiou  sont  egale- 
ment  justes  pour  chaque  triangle  isocele  dout  l'augle  au  sommet  est 
moindre  quo  2«/. 

Soit  daus  le  &  Bit  l'augle  A  <  2d  et  AB  =  AC  >  l  En 
prolongeaut  AB  et  AC  jusqu'  a  la  secondc  interscciiou  dans  le  point 
D,  nous  trouverous  quo  £\  DBC  est  aussi  isocele  et  que  DB  = 
OC  <  \  et  Z.  D  =  Z  A  <  2d  En  divisant  ZL  D  en  deux  parties 
egales  au  moyen  de  la  ligno  DO,  nous  couclurons  quo  DO  passera 
par  le  point  A  (les  deux  AD  —  $)  et  divisera  A  eu  deux  parties 
egales;  on  peut  cn  acquerir  la  couvictiou  par  la  superposition  des 
fuscaux.  Sachant  plus  loin  que  DO  est  perpendiculairo  &  BC  et 
BO  —  CO,  nous  trouverons  que  la  supposition  est  juste  (fig.  15). 

Les  theoremes  17,  18,  19  et  la  couclusion  que  nous  venons  de 
faire  se  rapportent  a  chaquo  triangle  isocele  (tig.  IG). 

Prenons  le  triangle  isocele  ABC  dans  lcquel  AC  —  BC  et  au 


Sikstel:  Tliiorbites  t<»idamentaux  de  la  qiometrie  sphirique.  411 


sommet  Z  ACB*>  2<1.  En  prolongcant  sa  basc  des  doux  leotes 
uous  obticndrons  une  ligne  geometriquo  entierc  ADBCA  et  un  tri- 
angle isocelo  ACB  dont  1'angle  au  sommet  est  moindre  que  2d. 

En  menant  dans  lo  &  ACBEA  la  ligne  CE  qui  divise  l'angle 

au  sommet  en  deux  parties  egales,  nous  trouverons   qu'  eile  sera 

perpeudiculaire  ä  AB  et  la  divisera  en  deux  parties  egales.  Mais 

la  ligne  CD  qui  est  lo  prolongement  de  EC  divise  aussi  evidemment 

l'angle  au  sommet  du  triaugle  donne  en  deux  parties  egales. 

Puis,  d'apres  le  tbeoreme  0,  CD  est  perpendieulaire  ä  ABB. 
En  outre  EAD  =  EBD  —  \,  mais  EA  —  EB,  par  eonsequent,  AD 
est  aussi  —  BD.  Ainsi  on  peut  nppliquer  au  triangle  donne  les 
theoremes  17  et  19 

Nous  apereevant  que  CD  qui  est*  perpendieulaire  a  ADB  et  qui 
divise  /L  ACB  >  2*/  en  deux  parties  egales  est  aussi  perpendieulaire 
ä  AB  et  divisera  aussi  Z  ACB  <  2d  en  deux  parties  egales,  nous 
trouverons  que  le  ^  ACBEA  et,  par  eonsequent,  le  triangle  ADBCA 
ont  les  cötes  AC  et  BC  egaux,  e'est  a  dire  que  le  dernier  triangle 
est  isocelo,  e'est  ä  dire  qua  le  tbeoreme  18  peut  lui  etre  applique. 
La  couelusiou  dout  il  est  questiou  dans  la  proposition  est  aussi 
evidemment  juste  pour  le  triangle  donne 

Theoreme  '20.  Dam  un  ItiangU  isweU  les  angle»  uppota  aux  totes 
'<jmtx  smii  ,'gnux  (fig.  17). 

II  est  donne:  £  ABC,  AB  —  AC. 

II  taut  demontrer:  Z  ABC  =■  Z  ACB. 

En  menaut  AO  perpendiculairement  ä  BC\  nous  trouverons  que 
HO  —  CO.  En  prolongeant  AO  et  en  prenant  A' O  =  AO,  joignous  les 
poiuts^'  et  B  &  A'OB,  par  lo  deplacemeut  sur  la  surface,  peut 
etre  completement  superpose  sur  &  AOL",  d'oü  il  suit  que  A'B  = 
AC  =  AB  et  Z  A'BO  =  Z  ACO.  11  en  resulte  que^  £\  ABA'  est 
isocelo  et  quo  sa  liguo  OB  est  la  perpendieulaire  a  la  base  elevee 
sur  sou  milieu  et  alors,  d'aprös  ce  que  nous  veuons  de  dire,  Z  ABO 
=  ZL  A'BO;  mais  Z  A'BO  —  Z  ACO,  par  cousequent:  Z  ABO  = 
Z  ACO  ou  Z  ABC  =  Z  ACB. 

Donc,  si  dans  un  triangle  deux  cötes  sont  egaux,  les  angles  qui 
leur  sont  opposes  sout  aussi  egaux. 

Th'wime  '2  t.  Si  la  hase  d'un  triangle  isocele  et  moindre  que  £  et  la 
(iyrte  gf'ume'trique  qui  Joint  le  »ommet  au  milieu  de.  la  baue  est  perpendintlairc 
mir  cette  demiae,  eile  dicise  aussi  Cangle  au  sommet  en  deux  parties  (gutes 
(fig.  18.) 


412        Stkstcl:  Tfuforimeit  jondamentaux  dt  la  gfymUri»  sphtrii/ue 


II  est  donn6:  &  ABC-,  AC  <  \)  AD  —  DCf  BDJ_AC. 

II  faut  demontrer:  Z  ABU  —  Z  CBD. 

Admettant  que  les  anglcs  AisD  et  CBD  nc  sont  pas  egaux  et 
quo,  par  exemplc,  Z  ABI)  >  Z  CB'I),  menous  BF  de  mauiera  quo 
Z  FBD  =  Z  CBD.  Alors,  d'apres  le  tbeoreme  1H,  nous  trouverons 
que  BF--  BC,  d'oii  nous  conclurons  quo  FD  =  DC,  CO  qui  est  eu 
contradiction  avec  les  donnees. 

Ainsi  nous  devons  neecssairement  couclure  que  Z  ABD  —  ZL 
CBD.  II  est  evident  que  nous  arriverous  ä  la  meine  eonelusioa 
dans  le  cas  oü  la  base  du  trianglc  est  plus  grando  que!  \\  nous 
n'avons  qu'  ä  eompleter  lo  triangle  jusqu'  ä  la  demispbere  et  ä 
ronsiderer  d'abord  le  trianglc  cumpletant  le  trianglc  donne  jusqu*  a 
la  demi-spliere. 

Corollaire.    Les  ligues  obliques  ä  ia  ligne  geometrique  dou- 
uee  qul  partent  d'un  meine  point  et  qui  ont  sur  cette  ligne  des 
projectious  egales  sont  egales 

Thönhne   'J'J,     Si   daus  vu  hi,rn<//<  den x  mit/le»    s,m(  Cyuux,   Ick  tötts 
qvi  Um-  sunt  tipjHMfs  >»,,(  auxfi  <(</(iux. 

II  est  donue;  £\  ABC  (Hg.  19) 

Z  BAC  =  Z  BfA 

II  faut  demontrer:  AB  <—  BC. 

En  supposant  que  AB  n'est  pas  egale  u  BC,  nous  trouverons 
que  OD,  perpeudiculaire  a  AC  et  menee  de  son  inilicu  DG  passera 
pas  par  le  point  B  et,  par  consequent,  eoupera  un  des  autres  eötes, 
par  excmplc  J*L\  dans  quelque  point  D.  Alors,  d'apres  ee  qui  a 
ete  dit,  AD  —  DC,  mais,  d'apres  lo  tbeoreme  20,  Z  DAB=*  ZDCA^ 
ce  qui  est  en  contradietion  avee  les  donnes.  Ainsi  uous  voyons  que 
AB  doit  etre  neeossairemeut  =■  BC 

Th&trtmt  2.'i.  Si  /'</?»»//,'  <w  summet  d'un  triangU  foocile  eti  moindre 
que  'Jd  et  leg  ro/»'.v  Sr/aux  .s<>nf  »mindra  que  \,  les  nnffles  a  sa  baue  s>mt 
aü/ues  («g.  20). 

II  est  donne:  AB  =  AC  <  J ;  Z  A  <  2</;  ÄO  J__  BC 

II  faut  dem'ontrer:  Z  B  <  d. 

L'augle  B  ne  peut  pas  etre  droit  ear,  si  nous  le  supposous 
egal  a  un  äugle  droit,  nous  verrons  que  AO  =  AB  =■  j,  ce  qui  est 
eu  contradietion  avec  Thypotbese.    Admettous  que  Z  B  >  d  et  me- 


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Sikstel:  Th/oremes  fondamentauz  dt  la  gfomttrie  sphtrique.  413 

nous  BM perpcndiculairement  ä  BC\  nous  trouvcrons  que  BM—QM—\. 
Mais,  d'apres  les  donnes,  AO  <  ]  ')  et,  par  cousequent,  d'autant 
plus  OM  doit  elre  plus  petite  que  \. 

L'absurdite  obtenue  montre  que  Z  B  ue  pcut  non  plus  etre 
obtus,  c'est  pourquoi  il  doit  etre  necessairemcnt  aigu. 

TJtforime  24.  Si  rangle  au  sommet  d'u«  triangle  isocble  est  moindre 
que  ce  de  et  les  cot/s  egaux  tont  j>lus  grands  que  \,  les  angle*  ä  sa  boxe 
sont  »btus. 

Pour  demontrer  le  theoreme  on  n'a  qu'  a  prolonger  les  cötes 
egaux  du  triangle  donne  jusqu'  ä  la  seconde  intorsectiou  alors  nous 
obtiendrons  le  triangle  iudique  par  le  theoreme  precedent  et  les 
angles  ä  sa  base  serout  aigus  et,  par  consequeut,  les  angles  a  la  base 
du  triangle  donne,  comme  angles  supplemeutaires  jusqu'  a  2d  aux 
angles  du  nooveau  triangle,  seront  obtus.  Nous  trouverons  en  outre 
que  la  perpendiculairc  abaissee  dans  le  triangle  isocele  donne  du 
sommet  sur  base  scra  plus  graudo  que  $  et  plus  grande  que  chacuu 
des  cötes  egaux. 

Theoreme  2'j.  Si  f angle  au  sommet  </'</n  triangle  isochle  est  moindre  que 
2d  et  les  angles  ä  la  base  sont  aigus,  les  cot  es  Cgaujc  du  triangle  stmt  moin- 
dre» que  ±  (fig.  22). 

II  est  donne:  A  ABC\  ZA<s2d 

Ali  -  AC 
ZB  -  Z6'  < 

II  faut  demontrer:  AB  <  \. 

Les  cötes  egaux  du  triangle  donn6  ne  peuvent  pas  etre  egaux 
ä  \  car  dans  co  cas  Z  B  —  ZC  =  </,  ce  qui  est  en  contradiction 
avec  rbypothese. 


1)  Soit  AM  ^  AN  =  l  (fig.  21),  AB  =  AC  <i  Z  A  <  2d  et  AO 
I  BC.  Si  l'angle  A  <;  2d,  MN  x.  II  cn  resultc  que  BC  ne  petlt  pas 
rencontrer  MN  entre  les  poinfcs  M  et  M  et  (Ions  ce  cns  BC  coupe  la  ligne  geo- 
metrique  AOQ  entre  les  points  A  et  Q  et  pnr  suitc  AO  <  |.  Fuis  nous 
royons:  OQ  est  perpendiculairc  &  deux  lignes  BC  et  MN  vi  eile  est  moindre 
que  -J,  c-'est  pourquoi  OQ  est  la  plus  grnndc  des  perpendiculuirrs  nbaiss«:cs 
des  points  de  la  ligne  BC  sur  In  ligne  MN  (corolluirc  1  du  theoreme  13) 
donc  OQ,  >  BM  et  par  suite  AO  <4/J.  Nous  cn  concluons  :  „si  l'angle  au 
.sommet  d'nn  triangle  isocele  est  moindre  que  2d  et  les  cötes  egaux  sont 
.moindros  que  \,  la  perpendiculaire  abaissee  du  sommet  sur  la  base  e6t  plus 
, petite  que  cbaenn  des  autres  cötes." 


414        Sikstel:  Tliior  eines  foitdamtntaux  de  la  g4omilrie  »phciqut. 

Supposant  AB  =  AC  >  nous  poavons  prendre  AM^  AN  =  \  <t 
alors  nous  auroos  dans  le  triangle  DBC:  Z  DBC  <  d\  et,  par 
consequent,  la  sommc  des  anglcs  adjacents  Z  ABC  -f-  Z  DBC  <  2d. 
On  voit  par  la  quo  AB  est  neecssairement  nioindre  quo  ]. 

Thforeme  20'.  Si  C  angle  au  .•«mimet  dun  triangle  isocele  est  nioindre 
que  2d  et  les  angles  u  la  hau  sont  tMus,  les  cM  fgaux  du  triangle  sont 
phii  grands  que  J% 

La  veritö  de  ce  quo  vient  d'etro  enonce  est  facile  a  voir  par  le 
Supplement  du  triangle  donne  jusqu'  au  fuscau ,  en  prolongeant  Ics 
cotes  egaux  donues  jusqu*  ä  la  seeoudo  iutersection. 

Corollaires  des  theoremes  precedents  sur  les  triangles  isoceles. 

1)  Si  l'angle  au  sommet  d'un  triangle  isocele  est  plus  grand  que 
2d  et  les  cötes  egaux  sont  nioindre  que  j,  les  angles  ä  la  base  sont 
obtus  et  la  perpendiculairo  abaissee  du  sommet  sur  la  base  est  plus 
grande  que 

2)  Si  l'angle  au  sommet  d'un  triaugle  isocele  et  plus  grand  que 
2d  et  les  cotes  egaux  sont  plus  grands  que  \ ,  les  angles  ä  la  base 
sont  aigus  et  la  perpendicula're  abaissee  du  sommet  sur  la  base  est 
plus  petite  que  \. 

3)  Si  l'angle  an  sommet  d'un  triangle  a  sa  base  sont  aigus,  los 
cötes  egaux  du  triangle  sont  plus  grands  que  \. 

4)  Si  l'angle  au  sommet  d'un  triangle  isocele  est  plus  grand 
que  2d  et  les  angles  ä  la  base  sont  obtus,  les  cöles  egaux  du  tri- 
angle sont  plus  petits  que  J. 

5)  Los  perpeudiculaires  elevees  des  milieux  de  tous  les  cötes 
d'un  triangle  quelconquo  passent  par  uu  meme  point. 

6)  Les  bissectrices  des  angles  de  tout  triangle  passent  par  un 
memo  point 

Theoreme  27.  Si  dann  un  triangle  la  warne  de  deux  röte's  eit  egale 
au  tromime,  V angle  oppnse*  au  truisiime  röte  est  fgal  a  '2d. 

II  est  donne:  A  ABC\  AB  +  BC  -  AC  (fig.  23.) 
II  faut  demontrer  que  Z  ABC  —  2d. 

En  faisant   AO  =  AB,  nous  trouverons  que  CO  —  CB.  En 

joignant  les  pointa  B  et  ö,  nous  obtiendrons 


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Sikstel:  T/uforiuiex  fondamentavx  de  la  giometrie  .«phtrique.  415 


du  triangle  ADO  Z  ABO  —  Z  AOB 

du  triangle  CBO  Z  CBO  —  Z  COB 

Z  ABC  -  Z  ABO  -f  Z  CBO  ~  2d 

Re  mar  que.  On  voit  sans  difficulte  (jue  si  dans  un  triangle 
an  seal  angle  est  egal  ä  2d,  la  somme  des  deux  cotes  formant  cet 
angle  est  egale  au  troisieme ;  nu  pareil  triaugle  peut  avoir  les  deux 
autres  angles:  1)  egaux  ä  zero  et,  par  consequent  il  represente  uue 
certaine  partie  d'une  ligne  geometrique  entiere  on  2)  non  £gaux  ä 
zero,  c'est  ä  dire  il  se  transforme  en  fuseau. 

Thtorhne  28.  Si  dmu  un  triangle  la  Kimme  de  deux  c6tes  est  plus 
prtite  que  le  tnmbne,  Cangli  oppont  au  troisieme  c6ti  est        gnind  que  2d. 

Cas  1":  AB  ainsi  que  CB  est  plus  petit  que  i  (fig-  24.) 

II  est  donne:  A  ABC  .  AB  -f  CB  <  AC. 

Z  BAC  ainsi  que  Z  BCA  different  de  2d, 

II  faut  demontrer  que  Z  ABC  <  2d. 

Le  theoreme  propose  n'  a  evidemment  besoin  d'etre  demonte 
que  dans  ce  cas  oü  Z  BAC  et  Z  BCA  sont  chacun  a  cliacun 
moindre  que  SM;  en  admettant  qu'  un  de  ces  angles  est  plus  grand 
que  2</,  nous  trouverons  que  le  cöte  qui  lui  est  opposu  est  plus 
grand  que  |  et,  par  eonsequent,  d'autant  plus  AC  >  d'  oü 
Z  ABC  >  2d. 

Si  nous  prenons  AM  =*»  AB  et  CN  —  CB,  d'apres  les  donnes, 
nous  aurons  AM+CN  <  AC  En  joignant  le  point  B  avec  les 
points  M  et  N,  nous  obtiendrons  deux  triangles  isoceles:  A  ABM 
et  A  CBN  dont  les  angles  aux  sommets  sont  moindres  que  2d  et 
les  cotes  egaux  sont  moindres  que  J;  c'est  pourquoi  les  angles  ä 
leurs  bases  sont  aigus  (theoreme  23).  D'apres  cela  Z  BMN  ainsi 
que  Z  BNM  sont  plus  grands  que  d. 

Si  maintenaat  nous  abaissons  la  perpendiculaire  du  sommet  sur 
le  cöt6  AC  et  si,  prenant  OD  —  OB,  nous  joignons  le  polnt  D  aux 
points  A,  3/,  N  et  C,  uous  obtiendrons  les  triangles  isoceles  AB  D 
MBD,  NBD  et  CBD. 

Comme  dans  A  BMD  et  A  BND  les  angles  M  et  N  sont 
chacun  plus  grands  quo  2rf,  leur  base  commune  BD  doit  etre  plus 
grande  que  donc  BD  doit  couper  AC  entre  les  points  M  et,  N\ 
en  supposant  lo  contraire  nous  aurions  trouve  quo  BD  est  en  meme 
teraps  plus  gramle  que  |  et  plus  petite  que  \.    Si  BD  >  \ ,  dans 


416         Siksttl:  Th€o,emes  fondamenlaux  de  la  rftoniftrie  sphtrique. 


les  triangles  isoceles  BAD  et  BCD  dont  les  cütcs  egaux  sont,  d'apres 
l'liypothesc,  plus  petits  que  ],  les  angles  aux  sommets  sont  plus 
grands  que  Id.  Dans  ce  cas,  d'apres  co  qui  precede,  les  angles  aux 
bases  de  ces  triangles  sont  obtus,  c'est  ä  dire  A  ABO  >  d  et 
^  CBO  >  </,  d'  oü  A  ABC  >  2d,  ce  qu'  il  fallait  demontrer. 

Cas  2,;m»  du  tbeoreme  28,  quand  HC  >  |  et,  par  conse- 
quent,  AB  <  j  (fig.  25  J 

II  est  donnö:  A  ABC 

AB  +  BC  <AC 

A  A  et  A  C 

different  de  2</,  autrement  sont  moindres  que  2d. 
II  laut  demontrer:  A  ABC  >  2d. 

En  construisant  £\  ABU  et  A  t'/W  de  memo  quo  dans  le  cas 
precident,  nous  derons  couclure,  d'apres  les  donnes  et  les  theore- 
mes  sur  les  triangles  isoceles,  quo  Z_  CBN  egal  il  A  CNB  est  plus 
grand  qu'  un  angle  droit,  Si  nous  admettons  mainteuant  que 
A  ABC  <  2d,  la  liguc  BK  qui  divise  Z_  ABC  en  deux  parties  egales 
doit  tomber  ä  Tinterienr  de  A  CBS.  Mais,  sacbant  que  les  bissec- 
trices  des  angles  du  triangle  passcn't  par  un  meme  point,  nous  de- 
vons  arriver  ä  la  convictiou  que  les  bissectrices  £A",  AK  et  CK  so 
rcncontrent  necessairement  a  Tinterieur  du  A  CNB  dans  quelque 
point  K.  Mais  commc  AK  et  CA',  etant  bissectrices  des  auglcs  aux 
sommets  isoceles,  servent  de  pcrpendiculaircs  elevees  sur  les  deux 
cutes  BM  et  BN  de  leurs  milicux  dans  £\  BMX,  et  comme  les  per- 
pcndiculaires  des  milieux  des  cötCfi  du  triangle  sc  reucontreut  toutes 
les  trois  dans  un  meine  point,  le  point  A'  sert  de  point  commun 
d'iuterscction  —  des  bissectrices  des  angles  A  ABC  et  des  pcrpen- 
diculaircs des  milieux  des  cotes  dans  A  BMX.  D'apres  la  suppo- 
sitiou  A  ABK  <  (i,  douc  A  AMK  qui  lui  est  egal  <  d  et  par  suite 
A  KMN\  egal  a  A  KNM,  est  plus  grand  que  d.  En  abais- 
sant  mainteuant  dans  le  triangle  isocele  KMN  la  pcrpendiculairo 
Kü  du  sommet  sur  la  base  et  eu  la  prolougeant  d'unc  longueur 
OK'  =  OK,  joignons  le  point  A"  aux  poiuts  A,  My  N  et  C.  Apres 
avoir  considere  les  triangles  KMK'  et  A'A'A" '  dont  les  angles  aux 
sommets  M  et  .V  sont  plus  grands  quo  2<f,  nous  trouverous  que 
AÄ"  >  \  et,  par  cons6quent,  A  KAK'  >  -V,  mais  Z.  KAK'  « 
A  BAC\  donc  A  BAC  >  2</,  ce  qui  est  contraire  ä  l'bypothese. 
La  contradiction  ne  vient  que  de  la  supposition  que  A  ABC  <  2d, 
donc  A  ABC  >  2*/.  er  qu'il  fallait  demontier 


Sikitel:  Theoreme*  fondamentaux  de  la  giomitru  uphiriQue.  417 


Theoreme  29.  Si  la  somme  de  deux  cdtes  (Tun  triangle  est  plus  grande 
que  le  troisieme,  rangle  oppose'  au  troisieme  cfai  est  plus  petil  que  2d  (flg.  26  ) 

II  est  donne:  &ANCB,  AB+BC>  AMC. 

II  fant  demontrer:  Z  ABC  <  2d. 

En  admettan t  qae  Z  ABC  >  2d,  noas  t rouverons  quo  le  pro 
longement  AB  doit  rencontrer  le  cöte  AMC  ä  l'interieur  du  triangle 
en  quelque  point  M.  Alors: 

AB  +  BM  =  ANM 

Mais  d'apres  l'bynothese  AB  +  BC>  ANM + MC. 

Ou  5C>  BM  -f-  MC 

BM  -f  MC  <  BC,  d'oü  Z  BMC  >  2d, 

ce  qui  est  absurde. 

II  laut  en  conclure  que  Z  ABC  <  2d 

Theoreme  30.  Si  V angle  cTun  triangle  est  moindre  que  2dy  la  somme 
des  cöt/s  qui  forment  cet  angle  est  plus  grande  que  le  troisieme  cöte. 

On  ne  peut  pas  admettre  que  la  somme  de  deux  cötes  qui  for- 
ment  un  angle  moindre  qne  2d  —  dans  le  triangle  donne,  soit  egale  au 
troisieme  cöte  car  dans  ce  cas  Tangle  compris  entre  enx  serait  egal 
a  2d.  De  meme  on  ne  peut  pas  admettre  que  la  somme  de  ces 
deux  cötes  soit  moindre  que  le  troisieme  cöte  car  alors  l'angle  com- 
pris entre  eux  serait  plus  grand  que  2d.  C'est  pourquoi  nous  devons 
neces&airement  conclure  que  la  somme  de  deux  cötes  est  plus  grande 
que  le  troisieme  cöte. 

Theoreme  31.  Si  rangle  (Tun  triangle  est  plus  grand  que  2d,  la  somme 
des  dies  qui  le  forment  est  moindre  que  le  troisieme  c6ti  (fig.  27.) 

II  est  donne:  AACB-,  Z  ACB  >  2d. 

II  fant  demontrer:  AC+  BC  <  AQU 

D'apres  les  donnees  le  prolongement  du  cöte  AC  passera  ä  l'inte- 
rienr  du  triangle  et  rencontrera  AB  —  le  troisieme  cöte  —  en  quel  - 
qne  point  Q  —  entre  les  points  A  et  B.   Alors  Z  CQB  <  2rf 

ÄC<  CQ  +  QB 
AC+CQ  =  AQ 

donc 

AC  +  BC  <  AQ  -f  QB 

ou 


Anh.  4.  Mrtk.  a.  Phji.  3.  S«ih«,  T.  XT. 


47 


418        Sikstel:  Thtoremes  fondamentaux  de  la  giomitri»  sphirkpit. 


AC  +  BC  <  AQB 

Corollaire  „Si  chacan  des  angles  d'un  triangle  est  moindre 
,ique  2d.  la  somme  de  tous  1  es  cötes  da  triaDgle  est  moindre  qu' 
„une  unitf"  ffig.  28.) 

Supposo ns  que  A  ABC  (fig.  28.)  satisfait  ä  la  proposition.  En 
prolongeant  les  cöt^s  AB  et  AC  jusqu'  ä  la  seconde  intersection, 
admettons  quc 

AB+AC+BC>i 

Mais  aussi 

AB  -f-  AC  -f"  BD  -f-  CD  =  1 

Donc 

BC  —  (BD  -f-  CD)  =  O    ou    BC=BD  +  CD 

et  par  suite  Z  D  egal  ä  Z  A  est  plas  grand  ou  6gal  a  ce  qu 
est  en  contradiction  avec  l'hypotheso. 

Thforhne  32.  Si  chacun  de*  angles  d'un  triangle  est  moindre  que  2dy 
dam  un  pareii  triangle  du  plus  grand  angle  est  opposi  le  plus  grand  citi 
(fig.  29.) 

II  est  donne:  Chacan  des  angles  du  A  ABC  est  moindre  que 
II  faut  dömontrer:  AB  >  AC. 

En  construisant  Z  DCB  =  Z  B,  nous  trouverons  qae  CD  cou- 
pera  AB  entro  les  points  A  et  B  car  Z  A  ainsi  que  Z  B  est 
moindre  que  2d.  Des  lors  BD  =  CD.  Dans  &  ADC  chacun  des 
angles  est  moindro  qae  2d  et  ainsi  CD-\-DA  >  AC  ou  AB  >  AC. 

Le  tWoreme  r6ciproque  est  aussi  vrai. 

Corollaire s.  En  ajoutant  aux  deux  derniers  tbäoremes  les  pro- 
pri6t6s  des  cöt6s  du  triangle  ayant  un  angle  plus  grand  que  2d  et 
de  meme  —  les  propri6t6s  des  cöt6s  du  triangle  ayant  un  cdt6  plus 
grand  que  J,  nous  pouvons  faire  encore  les  conclasions  saivantes: 

1)  Dans  tout  triangle  au  plus  grand  des  (rois  angles  est  op- 
posö  les  plus  grand  cöte\ 

2)  Dans  tout  triangle  au  plus  grand  des  trois  cötes  est  oppos* 
le  plus  grand  angle. 

3)  Si  un  angle'  du  triangle  est  obtus  mais  moindre  que  2d  et 
l'autre  aigu,  la  perpendiculaire  abaissee  du  sommet  du  troisieme 
angle  sur  le  cöte  oppose  passera  ä  l'exttrieur  du  triangle  et  sera 


Siksttl:  Thiorhmea  Jondamentaux  dt  la  giomitrie  »phirique.  419 


divisee  par  ce  sommet  en  parties  inegales:  la  plus  grande  partie 
sera  opposee  a  l'augle  obtus  donne  et  la  plus  petite  ä  l'angle  aigu- 

4)  Si  Doos  avons  dans  an  triangle  deux  angles  obtus,  la  per- 
pendiculaire  da  sommet  da  troisieme  angle  bot  le  cöte  oppose  tom- 
bera  a  l'interieur  da  triangle. 

5)  Si  noas  avons  dans  uu  triangle  deux  angtes  aigus ,  la  per- 
pendiculaire  da  sommet  da  troisieme  angle  sar  le  cöte  oppose  pas- 
sera  aassi  ä  l'interieur  da  triangle. 

6)  Si  les  lignes  obliques  ä  la  ligne  donnee  sont  issu.es  d'uti 
meme  point  et  forment  avec  eile  un  triangle  dont  les  angles  interi- 
eurs  adjaceots  ä  la  ligne  dunnee  sont  aigus,  la  ligne  oblique  dont 
la  projection  sur  la  ligne  donnee  est  plus  grande  sera  plus  grande. 

7)  Le  theoreme  reciproque  est  aussi  vrai  et  sera  demontre  par 
la  methode  de  reduction  ä  l'absurde. 

8)  Si  les  lignes  obliques  a  la  ligne  donnöe  sont  issues  d'un 
meme  point  et  forment  un  triangle  dont  les  angles  adjacents  ä  la 
ligne  donne" e  sont  obtus,  la  ligne  oblique  dont  la  projection  sur  la 
ligne  donnee  est  plus  petite  sera  plus  grande. 

9)  Le  theoreme  reciproque  sera'  demontre  par  „la  mothode  de 
reduction  u  l'absurde.1' 

Les  proprietes  6,  7,  8,  9,  4  et  5  sont  egalement  vraies  pour  le 
triangle  qni  a  un  angle  plus  grand  que  2d.  La  propriete  3  pour  le 
triangle  ayant  un  angle  plus  grand  que  2d  ne  differe  de  celle  que 
noas  venons  de  citer  qu'en  ce  que  la  perpendiculaire  passe  a  Flu- 
terieur  du  triangle. 

Comme  nous  n'  avons  pas  pour  but  d'ecrire  un  cours  detaille  de 
geometrie  spherique,  nous  ne  dirons  que  quelques  mots  a  propos  de 
la  circonference. 

On  appelle  circonference  une  ligne  non  interrompue  sur  la 
sorface  spherique  dont  chaque  point  est  egalement  distant  d'un  point 
qui  jse  tronve  anssi  sur  cette  surface.  Le  point  egalement  distant 
de  tous  les  points  de  la  circonference  s'appelle  centre  de  la  circon- 
ference. Ii  est  evident  que  si  lo  rayon  de  la  circonference  est 
moindre  que  J,  poor  la  meme  circonference  il  se  troavera  un  autre 
centre  et  un  autre  rayon  plus  grand  que  J.  11  est  aussi  facile  a 
comprendre  que  la  circonference  dont  le  rayon  est  egal  ä  J  a  un 
autre  centre  et  represente  une  ligne  geometrique  entiere  On  appelle 
cercle  la  partie  de  la  surface  spherique  limitee  par  la  circonference. 
Chaque  circonference  limite  deux  cercles. 

27* 


420        Siklttll   Theorhnet  fondamentaux  de  la  qtomftrit  $phgriqUe. 

Convenons  de  ne  prendre  od  consideratiou  qa'ao  seal  centre  de 
la  circonference  et  un  senl  rayon ,  psr  exemple  le  moindre  et  citons 
quelques  theoremes  »ans  demonstratio ns : 

1)  Les  circonferences  et  lei  cercles  des  rayons  egaux  sont  egaux 
entre  eux. 

2)  Par  trois  points  donnes  qai  se  trouvent  ou  qui  ne  se  trou- 
vent  pas  sur  la  meme  ligne  geomctrique  on  peat  mener  uno  circon- 
ference et  on  n'en  peut  raener  qn'ane  seule. 

3)  Si  le  rayon  de  la  circonference  n'est  pas  egal  ä  l,  aacone  de 
ses  partieg  ne  pent  &tre  prise  poor  ligne  geometrique. 

4)  La  ligne  g«ometrique  ne  pent  pas  avoir  avec  la  circonference 
plus  de  deux  points  commune  si  le  rayon  n'est  pas  egal  ä  J 

5)  Dans  la  meme  circonfcrenee  ou  dans  les  circonferences  des 
rayons  egaux  —  les  angles  an  centre  sont  proportionnels  a  leurs 
arcs  correspondants  de  meme  qu'aux  aires  des  sectears  qui  leur 
repondent 

Imprimd  selon  U  decision  da  Conscil  de  la  Sucie'te  Physieo-nathlmatique 
de  l'Unireriitc  Imperiale  de  Kasan. 

vSifnö:  President  de  la  iocirfte 

A.  Vassilief. 

Kasan.    Typo-litbographie  de  PUnircrsite  Imperiale  1S94. 


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Schwarize:  üerUitung  de»  Gutstt  vom  KräfttparalUlogr 


.  421 


XX. 

Herleitung  des  Gesetzes 
vom  Kräfteparallelogramm  aus  der  Bewegung 
eines  Körpers  im  widerstehenden  Mittel  und 
Aufstellung  einer  allgemeinen  Gleichung  für 
dynamische  Kraftwirkung. 

Von 

Th.  Schwartze. 


L 

Lagrange  begründete  seine  allgemeine  Kräftegleichung  auf  das 
virtuelle  Princip.  Es  scheint,  dass  man  dasselbe  als  ein  Axiom  be- 
trachten mnss,  um  einen  Ausgangspunkt  für  einen  systematischen 
Aufbau  der  Mechanik  zu  gewinnen.  Dieses  Princip  ist  daher  auch 
den  folgenden  Betrachtungen  zu  Grunde  gelegt.  Mit  Bezug  auf 
Fig.  1  ist  angenommen,  dass  ein  materieller  Punkt  P  sich  mit  einer 
gewissen  Geschwindigkeit  durch  ein  widerstehendes  Mittel  bewegt, 
wobei  schliesslich  ein  Ausgleich  zwischen  der  lebendigen  Kraft  der 
beweglichen  Masseneinheit  P  und  dem  Widerstande  des  Mittels  ein- 
treten muss.  So  lange  der  Ausgleich  noch  nicht  eingetreten  ist, 
wird  vor  dem  bewegten  Punkte  eine  Verdichtung,  hinter  dem  be- 
wegten Punkte  eine  entsprechende  Verdünnung  des  Mittels  vorhanden 
sein. 

In  Fig.  1  ist  AB  die  Bewegungsrichtung  des  gedachten  Punktes 
P.   Als  Resultanten  der  Wirkung  des  ringsum  gegen  den  bewegten 
Punkt  andrängenden  Mittels  sind  zwei  von  einander  dynamisch  un- 
abhängige Kraftttrahlenkegel  angenommen,  deren  in  eine  Ebene  mit 
der  Bewegungsrichtung  des  gedachten  Punktes  fallende  Strahlen 


422      Schwärt te:  HerUitung  des  Gesetze»  vom  KrSfteparaUelogramm. 


gegen  einander  rechtwinklig  gerichtet  sind.  Die  diesen  Kraftstrahlen 
bezüglich  der  Masseneinheit  zukommenden  Bewegungsgrössen  be- 
zeichnen wir  mit  u,  bzhw.  u,  Der  Winkel,  welchen  der  mit  der 
Bewegungsgresse  u,  seiner  Strahlen  gegen  den  bewegten  Punkt 
wirkende  Kraftkegel  bildet,  sei  a,  so  dass  also  jede  Kraftlinie  dieses 

unter  dem  Winkel  £  gegen  die  Bewegungsrichtung  des  Punktes  wirkt 

Der  hinter  dem  bewegten  Punkte  wirksame  Kraftkegel  bildet  also 
mit  seinen  Strahlen  gegen  die  Bewegungsrichtung  des  Punktes  P 

den  Winkel  90°  —  1.   Die  virtuellen  Momente 


sind  mit  Berücksichtigung  des  Princips  der  Gleichheit  von  Wirkung 
und  Gegenwirkung  einander  gleich  zu  setzen.  Da  nun  in  einer 
durch  die  Bewegungsrichtung  des  vom  Widerstande  des  Mittels  bc- 
einflussten  Punkte  auf  jeder  Seiten  die  Kraftstrahlen  paarweis 
wirken,  so  ist  zu  setzen 


Im  allgemeinen  ist  der  hierdurch  angedeutete  Gleichgewichts- 
zustand ein  dynamischer,  weil  die  Winkelfunctionen  Sinus  und  Co- 
sinus ungleiches  Wachstum  besitzen.  Der  statische  Gleichgewichts- 
zustand tritt  ein  für  o  —  90*  Dann  besteht  die  Gleichheit  der 
lebendigen  Kräfte: 

Wir  [bezeichnen  die  beiden  Gleichungsglieder  mit  Rx%  und  Rf 
und  setzen: 

RS  ~  4V cos»  £  =  2ul*(l  -f  cosa)  =  u,»  -f  u*  -f  2ulWlcosa 

Rf  =  4a,* sin*  *j  =  2u1,(l  —  cosa)  =  u,1  +      —  2",",cosa 

Es  ist  dann  Ä,  =      für  nt  =  u,  und  a  =  90° 

Hiernach  sind  aber  auch  für  den  dynamischen  Zustand  eines 
dualen  Kraftesystems  die  Gleichungen  zu  bilden: 


Es  lasBt  sich  jedoch  auch  auf  einem  anderen  Wege  eine  Kraft 


Pa  =  uj  cos  "    und    Pb  —  03  sin  £ 


^-4u,,sin^ 


Rf  =  u*  -f-  u,f  -f-  2tt1u,cosa 
Ä,»  =  ttl»  +  u,»  -  2u,  u,  cos  a 


(1) 
(2) 


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aus  der  Bewegung  eine»  Körpers  im  widerstehenden  Mittel 


423 


glcichuog  entwickeln.  Wir  benutzen  dazu  den  sogenannten  separirten 
TangentensaU. 

In  dem  Dreieck  ABC  (Fig.  2)  tind  die  als  Kraftstrecken  zu  be- 
trachtenden Linien 

AD  =  fR,    und    BD  —  DC  =  $Rt 

zu  setzen,  wobei  wir  Rx  als  die  Combinatiousresnltante  bezeichnen. 
Wir  setzen  ferner  Winkel  BAD  —  u1  und  Winkel  CAD  =  at,  so  dass 

«j  +  «*  =  • 

ist.  Ferner  sei  Winkel  ADB  als  Resultantenwinkol  =  y.  Es  gelten 
nun  die  Gleichungen: 

/?,siny 

tang«,  =  ^rn^ry 

R*  sin  y 
tang er,  =  -    '     < — 
8  +  cosy 

Daraus  folgt: 

77,  sin  y  Rx  siny 

»anffr«  _l w  >  _  tan(fÄ  _  +  cos~y  +  Rs-R]co3y 
tangfo  +  a,)  -  tangor  -  iTi^LT  


1    V— /?,*cosV 


2/?,  7t, siny 

Für  y  setzen  wir  den  Complementswinkel  <p  unter  der  Bezeichnung 
„Compensationswinkel"  und  erhalten  somit 

Rj*  —  R%*  =  —  27?,  Ä8cotang«  cos  9  (3) 

Diese  Gleichung  sehen  wir  als  die  allgemeinste  Gleichung  der 
Zusammensetzung  zweier  dynamisch  wirksamer  dualer  Kräfte  an, 
die  als  Wirkung  und  Gegenwirkung  mit  teilweiser  Combination  und 
teilweiser  Compensation  zur  Wirkung  kommen.  Diese  boiden  Kräfte 
haben  aber  die  Bedeutung  der  Resultanten  zweier  Elementarkräfte, 
welche  Bedeutung  durch  die  Gleichungen  (1)  und  (2)  zum  Ausdruck 
gebracht  wird. 

In  dieser  Beziehung  lässt  sich  aber  die  Gleichung  (3)  mit  Be- 
nutzung der  Tirtuellen  Momente  auch  auf  geometrisch-algebraischem 
Wege  entwickeln. 

In  Fig.  3  und  4  entsprechen  die  Strecken  ab  und  ac  den  Ele- 
mentarkräfteu  vK  und       indem  die  auf  die  Masscneinhcit  wirken- 


424    Schwar  txe:  BerUitung  des  GeteUe*  vom  KrdfUparaUtlogramm 

den  Bewegungsgrössen  in  der  Bedeutung  vod  Kräften  zur  Geltung 
kommen.  Die  Phasendifferenz  dieser  Wirkungsgrössen  ist  durch 
den  ZnsammeDsetzungswinkel  bac  —  a  symbolisirt,  wobei  in  Fig.  3 
«  <  90°  und  in  Fig.  4  «  >  90°  angenommen  ist 

Die  beiden  Elementarkräfte  r,  und  t>,  beeinflussen  sich  gegen- 
seitig in  ihren  Richtungen  durch  die  virtuellen  Momente: 

o«  =  »,  cos  a   und  af  =  u,sin  « 

Ausserdem  entwickeln  diese  Elementarkräfte  in  normaler  Richtung 
gegenseitig  relativ  freie  Wirkungen  in  den  virtuellen  Wirkungen: 

ah  —  «,sina   und  «s  =  »,  cosa 

Mit  Bezug  auf  die  Gombinationsresultante  ad  =  ä,  und  die 
Compensationsresultante  bc  =  Ri  gelten  die  Anfangs  entwickelten 
Gleichungen  (1)  und  (2).  Durch  Einführung  der  beiden  obigen  vir- 
tuellen Momentenpaare  erhält  man 

Äj'cos'o  =  V  cos*a  -f  »f*  cos*«  +  2fj  vt  cos*a  (4) 

Ä^sin*«  =  »jHin'a  -f  «t»8in,a  —  2», cos  «sine    ....  (5) 

Mit  Rücksicht  darauf,  dass  man  dieselbe  Entwickelung  der  virtu- 
ellen Momente  auch  für  den  andern  Endpunkt  der  Combinations- 
resutante  ad  =  Rl  wiederholen  kann,  indem  man  die  zum  Ausgleich 
der  Kräfte  des  Systems  eingeführt  gedachten  Gegenkräfte  zu  vJ  und 
vt  parallel  zu  sich  selbst  mit  ihrem  Angriffspunkte  in  der  Richtung 
der  Resultante  ad  =  Ä,  verschoben  sich  denkt,  ergibt  sich,  dass  die 
Combinationsresultante  der  resultirenden  virtuellen  Momente 

ÄjCos«  =  Q,   und   7?,  sm  et  =  Q, 

mit  der  Combinationsresultante  der  Elementarkräfte  t>,  und  v9  zu- 
sammenfällt; demnach  gilt  auch  die  Gleichung: 

=  V-  2(2,3,  cos*  (7) 

Durch  Einsetzen  der  Werte  für  Qx  und  Q,  erhält  man : 

Ät1  —  Rf  ss  2Ä1Ä,cotangocos<p 

wobei  <p  den  Winkel  zwischen  den  Yectoren  /^coso  und  Ä,  sin« 
bezeichnet.  In  Fig.  3  und  4  sind  diese  Vectoren  durch  ag  und  ak 
dargestellt. 

Zur  Bestimmung  des  Gompensationswinkels,  welchen  wir  als  den 
C  omplementswinkel  des  Resultantenwinkels  bereits  gekennzeichnet 
haben,  gelten  die  folgenden  Gleichungen: 


au»  der  Bewegung  «in««  Ktrper*  im  widerstehenden  Mittel. 


425 


RJ  -  Rt* 

Mit  Berücksichtigung  der  Bedingungsgleichungcn  (1)  and  (2)  ergiebt 
sich  daraas  unter  Bezugnahme  auf  den  Resultantenwinkel  y  — 90*— q>: 


sin^y  -  cos  *  -      +  ^t)t  -  ^  „jf  C0|J,„ 


•(8) 


Diese  Gleichungen  gelten,  wie  sich  leicht  nachweisen  lasst,  als 
Außdruck  des  Wirkungsgrades  des  Systems.  Entsprechend  dem  Ge- 
setze der  Erhaltung  der  Kraft  ist  die  Summe  der  unter  einander 
stehenden  Ausdrücke  gleich  eins. 

Für  vt  =  vt  =  v  wird  der  Compensationswinkel  <p  =  0  und  der 
Resultantenwinkel  y  =  90°.  Durch  die  Gleichheit  der  Elementar- 
kräfte  wird  der  Gleichgewichtszustand  des  inneren  Kraftfeldes  des 
dualen,  auf  Wirkung  und  Gegenwirkung  beruhenden  Systems  ausge- 
drückt, denn  die  Wirkung  des  äusseren  Kraftfeldes  ist  dann  relativ 
gleich  null.   Es  ergibt  sich  dafür  die  Gleichung 

Ä,1  -  Rt*  =  2Ä,  Äjcotanga 

welche  für  «  =  45e  in  die  Formel  der  absoluten  Statik 

R\  -  JV  =  2ß,  Ä, 

übergeht.  Eine  Discussion  dieser  Gleichungen  erfolgt  in  einem 
zweiten  Artikel 


II 

Von  den  zur  Bestimmung  des  Compensationswinkels  *  der  all- 
gemeinen Kräftegleichung 


»  _ 


Rt*  =  2Ä,  Äjcotangotcos?  (10) 


aus  den  Elementarkräften  mit  Benutzung  der  Formeln 
für  die  Combinationsresultante  Ä,  und  Compensationsresultante  Rt 


426     Schwartxe:  Herlettung  de$  Gesetzet  vom  Kräfteparallelogramm 

W  =  H%  +  9f  +  *H1***  <u> 

jfji  =  Vl*  _|_  „fi  _  2»,  v,cos«  (12) 

gebildeten  Gleichungen: 
coaiy  =  -  


4t>1«pt>sin»tt  

"  5?  -  V)*  +  W  Vsin*«  '  '  *  1  J 

BlßS  -  -  ^  

_  fei!  -     —  (H) 

«entsprechen  die  oberen  dem  Wirkungsgrade  des  inneren  Kraftfeldes, 
die  unteren  dem  Wirkungsgrade  des  äusseren  Kraftfeldes  eines  du- 
alen, auf  Wirkung  und  Gegenwirkung  beruhenden  Systems  Die 
Zähler  sind  als  Ausdruck  der  Nutzarbeit  (Bildungsarbeit  bzbw.  Er- 
haltungsarbeit), die  Nenner  als  Ausdruck  der  Gosamtarbeit  des 
Systems  zu  betrachten. 

Für  vt  =  o,  =  v  folgt  aus  den  Gleichungen  (13)  und  (14) 

cos?,  =  1   und   sin<p  =  0 

das  heisst,  im  Ausschluss  der  Elementarkräfte  verschwindet  der 
Phasenunterschied  der  CompenBation.  Aus  den  Gleichungen  (11) 
und  (12)  folgt  dann: 


Rx*  =  4v*C08f£   und  RXH  =  4 »»sin»  ^ 

wodurch  der  Schwingungszustand  des  kinetischen  Drucks  für  den 
statischen  Gleichgewichtszustand  gekennzeichnet  ist,  wie  aus  Fig.  5. 
hervorgeht.   Für  «  =  90*  erhält  man 

nnd  es  ist 

ß«  =  2»'   oder  t>*  =  -g- 

als  lebendige  Kraft. 

Pie  Hauptgleichung  (30)  nimmt  für  cos<p  ~  1  die  einfachere  Ferro  an: 


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oder 


am*  der  Beveguna  <in«  Körper*  im  widerstehenden  Mittel.  427 
Ä,1  —  Ä,1  =  —  2J?,Ä,C0UDg« 


Der  Factor  =*■  ~    entspricht  einer  Differenz  lebendiger  Kräfte 

bzbw.  einer  motorischen  Kraft.  Die  Winkelfunctionen  sin  a  und  cos« 
lind  im  allgemeinen  als  Kraftstreckenverhältnisse  anzusehen  und 

daher  durch  ^n  oder  für  L'  =  1  durch  L  auszudrücken    Die  Kräfte 

H x  und  Rt  sind  ihren  Beschleunigungen  proportional.  Fügt  man 
ihnen  den  Wertigkeitscoefficienten  der  Masse  bei,  so  sind  ihre  Di- 
mensionen im  allgemeinen  MLT~%  Unter  das  Zeichen  der  Quadrat- 
wurzel gesetzt  ergeben  sich  demnach  für  (~  ~)sin  a  =  Ä»sina 

und  Ä,  A',cosa  die  Ausdrücke 

AT  ItJt'h  r=2  =  M»  %LT-*  .  LT~l 

Dies  ist  aber  die  auf  die  Dimensionen  von  elektromotorischer  Kraft, 
Stromstärke  und  Widerstand  zurückgeführte  Formel  des  Ohm'schen 


Da  angenommen  wird,  dass  der  elektrische  Strom  auf  Aether- 
schwingungen  beruht,  so  gilt  die  aus  dem  Parallelogrammgesetz  ab- 
geleitete Grundgleichung  der  Dynamik  für  den  allgemeinen  Vor- 
gang des  Ausgleichs  von  Wirkung  und  Gegenwirkung  zwischen  zwei 
Kräftfeldern. 

Wird  in  der  Gleichung  des  kinetischen  Druckes 
^  —  ^  =  —  Ä,  Rt  coUngo 

a  =•  46§  gesetzt,  so  erhält  man  die  Formel  der  absoluten  Statik: 

Ä,*  -/?,»=-  2Ät  Rt 

Rt  =  Äf(V2  -  1) 

oder 

Ä1Ät  =  ieJ»(V2-f-l) 

Hieraus  folgt 


428     Schwor tte:  Herleitung  de*  Gesetzes  vom  Kräfteparallelogramm 

jy  v^  —  i 
jy  ~  ya  + 1 

Die  Ausdrücke  V2  —  1  und  V2-fl  sind  leicht  geometrisch  dar- 
stellbar. Schneidet  man  in  Fig.  6  von  der  Hypotenuse  des  recht- 
winklig gleichschenkligen  Dreiecks  ABC  vom  Punkte  A  mit  der  Kathete 
AB  als  Halbmesser  das  Stück  AD  und  von  der  Verlängerung  der 
Hypotenuse  das  Stück  AE  ab  und  setzt  man  AB  —  l ,  so  bestehen 
die  Verhältnissgleichungen: 

AD  t  DC  =  1  :  V2  —  1 
AD  i  CS  =  1  i  V%  + 1 

Folglich  hat  man: 

^/J=  D6(V2-f-l)  =  Ä,«(v2-f  1)  (16) 

AD  =  EC(y2-l)  =  Ri*(v2-\)  (17) 

Mit  Bezog  auf  Fig.  6  ist  daher 

DC  =  Ä,*   und   EC  =  R,* 

zu  setzen. 

* 

In  Fig.  7  ist  vom  Punkte  A  aus,  als  Mittelpunkt  eines  Systems 
zweier  als  Wirkung  und  Gegenwirkung  auftretenden,  weil  von  einer- 
seits von  innen  nach  aussen  und  andrerseits  von  aussen  nach  innen 
sich  betätigenden  Centraikraft,  ein  Kreis  mit  dem  Halbmesser  AD=1 
geschlagen.  Dieser  Kreis  mag  den  Durchschnitt  eines  sphärischen 
Weltkuq-ers  darstellen,  der  im  Räume  als  inneres  Kraftfeld  wirksam 
wird.  In  den  Kreis  ist  ein  Secantenquadrat  als  Durchschnitt  des 
Compressions-  oder  Combinationskubus,  und  um  den  Kreis  ein  Tan- 
gentenquadrat als  Durchschnitt  des  Expansions-  oder  Compensations- 
kubus  gelegt.  Hierbei  denke  man  sich  die  Kugel  in  drei  Paar 
diametraler  vierseitig  pyramidaler,  den  drei  Raumachsen  ent- 
sprechender Sectoren  zerlegt,  wobei  Druck  und  Gegendruck  der 
beiden  Kraftfelder  mit  ihren  Resultanten  in  der  Richtung  der  drei 
Hauptträgheitiachsen  sich  auf  die  Mitten  der  gedachten  Würfel- 
seiten projiciren. 

Der  innere  Kreis  entspricht  demnach  der  positiven  minimalen 
8phäre  des  inneren  Kraftfeldes;  der  äussere  Kreis  der  negativen 
minimalen  Sphäre  (Hohtephüre)  des  äusseren  Kraftfeldes.   Nach  den 
Gleichungen  (16)  und  (17)  ist  demnach  mit  Bezug  auf  Fig.  6  zu 
setzen : 


out  der  Bewegung  eines  Körpers  im  widerstehenden  Mittel. 


429 


Z>C(V2+ 1)  =  EC{V2-\) 

wobei  wiederum 

DC  =  Ä,f    and    J5C  =  Rt* 

<: 

iit,  welche  Grössen  als  die  dualen  Potentiale  der  Elementarkräfte 
«,  and  «,  zn  gelten  haben,  wie  ans  den  Gleichungen  (1)  nnd  (2) 
bzhw.  (11)  und  (12)  hervorgeht.  Diese  Potentiale  sind  aber  gleich- 
wertig den  zweiten  Potenzen  der  Entfernungen ,  aus  denen  die  Ele- 
mentarkräfte als  Wirkung  und  Gegenwirkung  in's  Spiel  treten,  wie 
leicht  zu  finden  ist,  wenn  man  in  den  Grundgleichungen  (11)  und  (12) 

vi  =  vi  =  v   nnd   coso  =  ^ 

für  o  —  45u  setzt.   Man  erhält  dann 

Jt1'  =  v*(V2+l)   und   V  =  t»»(V2-l) 
Demnach  lässt  sich  ans  der  allgemeinen  Formel  der  Statik 

das  Gravitationsgesetz  ableiten. 

In  Fig.  8  ist  nach  dem  Verfahren,  welches  zum  Aufzeichnen  der 
Diagramme  (3)  nnd  (4)  benutzt  wurde  ein  Kräftesystem  mit  einem 
Znsammensetzungswinkel  a  <  90°  im  Gleichgewichtszustände  der  Ele- 
mentarkräfte 

ab  =  ac  =  v 

dargestellt.  Da  für  diesen  Fall  der  Compensationswinkel  <p=0,  also 
der  Resultantenwinkel  y  —  90°  ist,  so  fallen  die  Resultanten  des 
Parallelogramms  der  inneren  Arbeit  oegf,  des  Parallelogramms  der 
äusseren  Arbeit  ahki  und  des  Parallelogramms  der  Gesamtarbeit 
ab  de  in  der  Com  binationsresul  taute  ad  zu  einer  Kraftstrecke  zn- 
sammen.  Die  Fläche  des  Parallelogramms  aegf  ist  bestimmt  durch 
den  Ausdruck  t^cos'nsina  und  die  Fläche  des  Parallelogramms  der 
äusseren  Arbeit  ahki  ist  bestimmt  durch  den  Ausdruck  v'sin'c. 
Hieraus  folgt  für  die  Flächensumme 

v%  (iin*o-f-  cos*a)  sin  o  =  o«  sin  er 

Dieser  Ausdruck  entspricht  aber  der  Fläche  des  Parallelogramms 
der  Gesaratarbeit  ab  cd  und  somit  ist  dem  Gesetz  der  Erhaltung 
der  Kraft  genügt 

Dieselben  Beziehungen  gelten  für  Fig.  9,  wo  der  Zusammen* 
setzungswinkel  der  im  Ausgleich  befindlichen  Elementarkräfte 


430    Schwärt**:  Herleit**f  <U*  Gesetzt  vom  Kräfteparallelogramm. 

ab  ss  flc  =  v 
grösser  als  90°  angenommen  ist 

Bemerkenswert  ist  noch,  dass  der  Ausdruck 

45° 

V2 - 1  =  tang  2"  =  tang22«30' 

ist;  dieser  Winkel  entspricht  nahezu  dem  Winkel  der  Ekliptik. 

Wir  behalten  nns  vor  die  Grandsätze  für  die  Bewegung  zusam- 
mengesetzter Systeme,  sowie  die  allgemeine  Strahl ungsformel  ans 
der  Grnndformel  der  Dynamik 

R*  —  R^  =  —  2Ä,  R,  cotang  o  cos  tp 

abzuleiten. 


Kogel:  Eine  letondtre  Gattung  goniometrücher  Nulldantellungen.  431 


XXI. 

Eine  besondere  Gattung  goniometrischer 
Nulldarstellungen. 

Von 

Franz  Rogel 

in  Barmen. 


1. 

Werden  in 

f(u)  a  Bn(u) +  mlBm(2m)  +  aiB9(^)  .  .  .  +  a*-,(*u),  »  >  1  (1) 

wo  Bn  das  Fonctionszeichen  für  die  Bernoulli'sche  Function  nter 
Ordnung  ist,  die  k  —  1  Constanten  o,,  a,,  .  .  . ,  a*_i  so  bestimmt, 
dass  k  —  1  von  den  in  i*M(u)  auftretenden  Potenzen,  worunter  sich 
u"-1  befinden  soll,  aasfallen,  so  ist  dann  flu)  mit  n  zugleich  ge- 
rade oder  ungerade  und  lasst  sich  nach 

*«(«+«  -  (-l)»Jbf- «+4),  '»  =  1 

entwickeln,  wofür  sehr  einfache  gonio metrische  Reihen  mit  dem 
Geltungsintervalle  —  4  ^  "  =  -f-  i  bekannt  sind.   Wird  nun  auch 

in  (1)  jedes  Bn  durch  die  gleichwertige  goniometrische  Reihe  mit  den 
bezüglichen  Geltungsbereichen 

'  (0,  1),  (0,  *),  (0,  i)  .  .  . ,   (o,  j[) 

ersetzt,  so  sind  dann  für  dieselbe  Function  f(u)  zwei  gleichwertige 
goniometrische  Reihen  gegeben,  deren  Differenz,  geordnet  nach  den 


432    Rogel:  Eine  besondere  Gattung  yonionometrucher  NulldarMfUungen. 

Cosinus  resp.  Sinns  der  Vielfachen  von  2««  eine  goniometr  iscbe 
Nulldarstellung  9i  mit  dem  Geltuogsbezirk 

(±r,  ±r±lj,    r-0,  1,  2,  .  . 
wo  die  Grenzen  zulässige  Werte  sind,  ergiebt 


Aus  diesen  9?  entsteht  durch  Vertauschung  von  u  mit  «  —  $  ein 
s  9?'  mit  Zeichenwechsel  und  dem  Geltungsbereiche 

(±r±i,  ±r±^i-),    r-0,  1,2,..., 

In  beiden  Fällen  ist  das  Geltungsintervall,  wie  bei'  jeder  goniometri- 
schen  Nulldarstelluog,  kein  zusammenhangendes  Gebiet,  sondern  be- 
steht aus  einer  unendlichen  Reihe  gleich  grosser  um  die  Einheit 
von  einander  abstehender  Einzelgebiete ,  welche  graphisch  wie  folgt 
versinnbildlicht  werden  können  : 


_5_1       6       3        1       3       11  10 
2     Je         2        2         Je        2        2    ~  *        2  1 

2    2^  k    2    2^  h    2  2^* 

Die  Entwicklung  der  ganzen  Function  /(«),  welche  zufolge  der  über 
a„  a,, .  .  .  a*_i  gemachten  Voraussetzung,  gerade  oder  unge- 
rade ist,  nach  den  £(»  +  kann  mittelst  des  vom  Verfasser  ge- 
Satzes») 


F(u+k)  -  F{k)+f±  Bl(u)+£  Bi(u)+£Bt{u)  ...  (2) 
wo 

4r~.F(*)(*+l)-F('>(*) 
ist,  nun  leicht  vor  sich  gehen. 

Wird  zu  diesem  Behufe  in  (2)  f{u)  für  F(u)  f»-f-$  für  p  ge 
setzt,  &  —  — -  \  und  n  ungerade  genommen,  so  gilt  wegen 


•)  Siehe  „Entwicklung  nach  Beraonlli'schen  Functionen".  SiUber.  d 
königl.  böhmischen  Gct.  d.  Wies.  XXXI,  1896. 


Rogel:  Eine  besondere  Gattung  gonionometrischer  Nulldar Stellungen.  433 


die  Gleichung 


f{u)  =  -f(~u)  _ _|) 


2 

•  •  •  +  (n-g)l  /*,"*Ki)Ä5  («+  i)  nungerade 

 (3) 


Mit  Rücksicht  auf  die  später  vorzunehmende  Ersetzung  der  B  durch 
goniometrische  Reihen  ist  es  vorteilhaft  derselben  mittels  Differen- 
tiation bezüglich  u  die  Form  zu  geben 

+  i^4)(i)(^(«+i)-B,).  .  . 

n-l 


•   .  . 


(4) 


Hierin  bestimmen  sich  die  ^r)(i)  mit  Hilfe  von 

b.'M-»(a-i«+(-i)  2  nr),  »>i 

=  r!  (")*„-r(u),      r  gerade 
iJs'(a)  =  2u  —  1 


2  2m  —  1 
(— 1)    ^„-rBw,  m  gerade 

0,  m  ungerade 


(-1)  2  B„  +  «2—+«,  m  gerade 

r"2-m+1,  m  ungerade 

d.  Math.  m.  Phje.  2.  Reihe.  T.  IV.  28 


434  Rogel:  Eine  besondere  Gattung  goniononutrücher  Nulldarstellungen. 

Nach  Einsetzung  der  für  /(rKi)  gefundenen  Werte  in  (4)  und 
nach  einmaliger  Differentiation  des  Resultates  bezüglich  t»  findet  sich 
dann  eine  der  Formel  (4)  analoge  für  gerade  n 


2. 

Die  einfachst  gebauten  und  das  grösste  Geltungsbereich  (r, 
±r±i)  besitzenden  Nulldarstellungen  entsprechen  dem  kleinsten 
zulässigen  Wert  k  —  3,  wofür 

al  =  —  2-"+2,   ^  =  4-3-"+! 

und 

*nf>(u)  =  t(B,-iiu)  -2-«+»2fc_i(2i0  -h  3-»+2ÄH_l(3tt)) 
n+l 

+  (-1)  2  h^+HH»^ 

„  6-«+»  -f         )6-»M(ä1(«  +  J)  +  B1)  +(^7*)  • 

.  -*H(*4(«+|)  _BS) 


'  '  •+C-J)6-2iÄ--«("+*)+:(-l)   2    Bn_3J,  n>2; 

2 

.  .  .(5) 

*(if«-2(u)  -  2— +»2?„-2(2u)  -f  3-«+«Än-2(3M)) 

-  (n72)6"nfsu + Cr2)6""**^" +*>  •  • 

•  •  •  +  (H4)  6-2^-*(«  +  I).  n  >  3     .  .  .  (6) 

gefunden  wird 

Wird  jetzt  «  =  ~,  in  (5)  2n  für  n  -  1  und  in  (6)  2n  -  1  für 

n— 2  gesetzt,  jedes  #  mittels 

/  x  \  (2n)  I     00      cos  vas 

*.  (^  =  (-^B»  +  (-»)--'^^,..-^- 

n  >  0  ...  (7) 


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R»gel:  Eine  besondere  Gattung  gonionometriseher  NulldarsteUungen.  435 


v2n-l 


r.     «  >  i 


0  5  *  =  2*  ...  (8) 


wo  für 


ji  —  *  sin  v« 


2     =  „  -.  0<x<2» 

stehen  kommt. 


...  (9) 

*-(jfe+i)-wrifeSI»(-irSES 

—  »  -  *         »  ...  (10) 


in  Reihen  umgewandelt.  Alles  auf  eine  Seite  gebracht,  durch  (2a)! 
bzhw.  (2n— 1)!  dividirt  und  reducirt,  so  ergiebt  sich 

 1  -  2  CO  C08V* 

62»(2n) ! +  ^-«(an-a)!  (2*)  f (    1 }  v« 

COSVX 


62»-4(2n_4)(2n)*  jv     '  v 
(—1)»  /gcosvg       1  cg,  cos2vx  .     1   \  oocos3i 


2*(r-i)  5  I  «1-8*0+*;  .  .  .(11) 


r  —  0,  1,  2,  .   .  . 
2»         lj     v        6»»-*(Vii-4)S(aif)8  x  1  3 


 x  qo  sinvw 

+  t,»- «(2»-6)!(2*)*f.  "  ' 

(-1)»     oo/        sinvx  *     (-1)"   oo  sin  vx 
+  «i<«*-»t<     J  "T  2(2*)*-«  i  v*»--* 


1    <S8in2vx   ,     1  cosin3v7t\ 

~„2-jK=r+p;3X1pS=rj-0 


48» 


436   Rogel:  Eint  bcnoivltre  Gattung  gonionomttrischtr  Nuildarttellungcn. 

2*(r-*)<|«|  (r  +  J)  (12) 

r  —  0,  1,  2, .  .  . 
ausserdem  noch  gültig  für.  |  *  |  —  2r~+l  „, 

(cos ) 
aiQ  ?  der  Vielfachen 

von  x  zn  ordnen. 

Hieraus  gehen  durch  Vertauschnng  von  «mit  n  —  x  dann  noch 
zwei  neue  für 

*(2r  +  *)5laH  =  *(2r-H) 
geltende  Nulldarstellungen  hervor. 

3. 

Aus  einem     obiger  Art,  welches  allgemein  von  der  Form 

91=   2  cvtp(vx)  .  .  .  (13) 

n(2r  —  Q)  ^  ««  =  *(2r  -f-  a) 

ist,  wo  9»  entweder  Cosinus  oder  Sinus  vorstellt,  können  weitere  9? 
abgeleitet  werden,  indem  man  zuerst  x  —  o-\-hn,  dann  x  —  v  — 
setzt,  wo  ä  eine  beliebige  positive  Zahl  bedeutet,  und  die  beiden 
Substitutionsresultate  durch  Addition  und  Subtraction  mit  einander 
verbindet,  wodurch 


2c„COSVt>C08vZi;T  =  0 


00 

«Sc,  sin  vv  sinvÄjr  =  0 


CO 

-ScsinvecosvA«  —  0 


00 

2lc,cosvr>sinvÄ7t  =  (. 


<p  =  cosmus 


=  sinus 


hervorgeht.   Das  Geltungsgebiet  ist  in  beiden  Fällen 


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Rogel:  Eine  besondere  Gattung  gonionometrischer  Nulldar Stellungen.  437 

*(2r  -  a  +  h)  5  I  0  I  5  *(2r  -f-  a  —  h) 
h  <  a 


4. 

Wird  ein  unbedingt  convergentes  9t  gliedweise  mit 

i*r  =  sin  mxx  .  sin m,z  .  .  .  ginmr*  .  cos  mr+ i*  cos  mr+ 2» .  .  .  cosmpX 

wo  die  m  ganze  Zahlen  bedeuten,  multiplicirt,  so  lässt  sich  jedes 

»4-2 

der  Producte  Prtj>(vx)  durch  eine  Summe  von  ^  (p  gerade)  oder 
r-2-  (/>  ungerade)  Glieder 

ausdrücken,  worin  die  £  und  rj  Vorzeichen  bedeuten,  auf  welche 
sich  die  Summation  bezieht  und  entweder  Cosinus  oder  Sinus 
vorstellt,  jenachdcm  in  Pr<p(vx)  die  Anzahl  der  Sinusfactoren  gerade 
oder  ungerade  ist. 

9?  .  Pr  kann  somit  als  eine  uneudlicho  Reihe  von  in  Klammern 
stehenden  endlichen  Roihen  aufgefasst  werden.  Da  aber  9i  con- 
vergent,  demnach 

lim   cv  —  0 
»=» 

ist,  so  können  die  Klammern  in  Wegfall  kommen,  und  da  die  so 
hervorgehende  Reihe  als  die  Summe  von  bzhw.  unbe- 

dingt convergenteu  Reihen  selbst  unbedingt  convergirt 
daher  commutativ  ist,  so  darf  dieselbe  nach  den  Cosinus  resp. 
Sinus  der  Vielfachen  von  *  georduet  werden,  wodurch  ein  neues  9?0 
mit  denselben  Gi  1  tigkeitsgrenzen  wie  das  ursprügliche 
9?  hervorgeht 


*  i  Das  Bildungsgesotz  dieser  Saromen  ist  Gegenstand  einer  eingehenden 
Untersuchung  in  des  Verfassers  „Rcihensuminirungen  mittels  bestimmter  Inte" 
grale*  (Sitzg.-Eer.  d.  kOnigl.  böhmischen  Ges.  d  Wiss.  XXXIX,  Prag,  1895.) 


438  Royel:  Eine  besonder«  Gattung  gonionometrueher  Nulldarstellungen. 

In  dem  einfachsten  speciellen  Falle 

Pr  =  sin  ms 

entsteht  ans  einer  Nul  Idar  Stellung  in  den  Sinns  eine  solche  in  den 
Cosinus  und  umgekehrt 

Barmen,  11.  Januar  1897. 

Franz  Kogel. 


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HiscelUn. 


439 


XXII. 
Miscellen. 

1. 

Nachtrag  zu  Nr.  XVIII,  Ueber  die  pythagoreischen  Dreiecke. 

§  23. 

Die  [pythagoreischen  Dreiecke  geben  ausser  den  Hypotenusen- 
winkeln noch  andere  Constructionswinkel  zur  Teilung  des  Kreisum- 
fangs.  Diese  werdeu  aus  den  von  der  Höhe  gebildeten  Abschnitten 
der  Hypotenuse  gewonnen,  indem  man  dieselben  zu  Katheten  eines 
rechtwinkligen  Dreiecks  macht.  Es  ist  nämlich,  wenn  der  der  Ka- 
thete b  anliegende  Abschnitt  mit  p  und  der  andere  mit  q  bezeichnet 
werden, 

b*  =  a  .  p    und   c»  —  aq 

Setzt  man  nun 

b*     a .  p  p 

a  _        «  c  _  tang(p, 

cT      a  .  q  q 

so  ergiebt  sich  folgende  Tabelle  für  <p: 


b* 

9 

90-9 

3» 
4* 

4^9" 

- 290  «'  «SS 

34" 

60»38'32493 

5* 
12* 

Via 

- 90 »  "S 

800  9' 

A 

17 

8* 

15* 

149" 

652" 

74.  V  18g,?. 

A 

25 

7» 
24* 

171" 
-  *°51' 4*249 

A 

»9 

20» 
21* 

104" 

-  420  12, 

319" 

47°  47'  27^ 

A 
37 

12» 
35* 

9>S7 

-    6°  42'  15,875" 

83°  17'  44,125" 

A 

41 

9* 
40* 

9« 

-  2*  53' 53  ~ 

87°  6'  B~ 

A 

63 

28* 
45' 

-  21°   9'  51,965" 

68°  50'  8,035," 

440  MuceKen. 

b   %   *,    -   1»  55'  303^     88«  4'  »™- 

A    33*  11"  <iO" 

«   56,    9«,1  =19»   9'   l\-  70"50'59^ 

£  gp  ft.«  -  3«  41'  »fjf  86.  18-  „gl 

Die  Winkel  </>  sind  hier  wieder  halbe  Hypotenusenwinkol  von 
pythagoreischen  Dreiecken.  Es  sind,  da  h  und  c  relative  Primzahlen 
sind,  auch  die  Quadratzahlen  b*  und  c»  relativprim;  mithin  giebt 
die  Summe  b*-\-  c*  eine  Hypotenuse. 

So  ist  z.B.  9*-fl68  =  337  eine  Hypotenuse,  deren  Katheten 
nach  §  19.  I.  288  und  175  sind    Nun  ist 

288  4.2V 
y  337  -  58»  42'  55*93   _2n  und 

^  337  -  31°  17'  *£ 

Mittels  dieser  ^-Winkel  und  der  Tabelle  in  §  18.  ergeben  sich  fol- 
gende Bestimmungswinkel: 

1)  Für  das  7-Eck: 

288     .175  „^„,,^357" 
f  337-^337  =  270  25  41493 
...        288      175  .  ...     c<rtrtr,  „  357" 
^-y337-^37+240"51°  25  51 443 
£7i_v7_9"  oder 

Sru  -2^+i(v+y„)  -30  -  2,« +  lr  ^  -30 

-  1290  51*  25,520" 

l7u-  *(2*»+ly^-3°)  -  51"  25'  42,760" 

>7-H7n  =  0,097"  -  ~J  oder 

§m  -  60«+22°  30'  +  in,  — ^  -  51«  25'  43,194" 
Ii™ -Ii  =  0,337" 

2)  Für  das  9-Eck: 

V  -  -  40° 0'  2~- 

oder 

feB  -  |  («*5+75°-  J^2)  -48«  .  40o  0<  0.41" 


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Miscellen. 

41" 

3)  Für  das  11-Eck; 

£ui  =  48»-  (v»  -  i/V)  =  32«  43'  39,735" 
'^i1-^!  =  1,553"  oder 

20 

tu  n  =  <Pn  +  20°  15'  -  i£29  =  32°  43'  38,648" 
{«U-?i,  =  0,466  =  J" 

4)  Für  das  13-Eck: 

S»1  =  i(^37  +  126°  -  Y  41)  -  27°  41'  32,6333" 

k'-fa«  0,3256" 

5)  Für  das  19-Eck: 

hl  =  7S0-hf/35»- V5»-g>ö  -  £9"  =  18»  66'  49,064" 
&t-W-  MW  =  U"  oder 

Sit"  -  **+ W  -  18'  56'  52.453 

fi9u-^19  =  1,827" 

6)  Für  das  21-Eck: 

?«i  -  i(93°  -  2q>b)  =  17°  8'  32,069" 

*u  -  kl1  =  2,218"  -  2^ 

7)  Für  das  23-Eck : 

W  =  9^+  i(r%  -  78°)  -  15°  39'  9.8" 

8)  Für  das  25-Eck: 

i'251  =  6(p«ö«  - 100°  30'  =  14°  24'  +  16" 

£25'  -  «äs  =  1,6" 

9)  Für  das  29-Eck: 

W  -  9,3  +  21  -  \ß  l  -  12«  24'  50,613" 

S»1-^-  0,958"  =1"  oder 
80 

*»n  -  2*w  +  fr89  -33«  =  12»  24'  51,133" 
?f9U  -  t»  =  M7o"  -  lj 


Misctllen. 

10)  Für  das  31-Eck: 

W  -  W+ iß  65-93«  =  11<»36'  46,415" 

6M_  i*81i  =  0,037"  oder: 

l«n  =  iß  37+12°  "  V»  =  H°  36'  47,930" 

11)  Für  das  37-Eck : 

hii-  hi  =  2,134" 

12)  Für  das  41-Eck: 

V  -  2g>41  +  9  .o-  ly£=  80  46'  48,273" 

g.i-^-M^-l^  oder: 

Iii"  =  9>«i  +  Jy^  ~  *<*1  -  60  =  80  46'  49,544" 
Ui-Uill=  0,212" 

13)  Für  das  43-Eck: 

g^I  =  S^n  +  yö10  -  84«  -  8«  22'  20,63" 

14)  Für  das  47-Eck: 

Uf  -  9i  +  «0-2»it- A"  -  7#39'  S*'867" 

Wl  -  »•  + wj-420  -  70  39' 37,133 

^"-^7  =  2,665" 

15)  Für  das  53-Eck: 

W  =  966u  +  60-941  =  6.  47,  32308" 
$»-£»1-  0,422" 

16)  Für  das  59-Eck: 

£59  -  4V68-«*3-S.u-ia>  -  6«  6'  5,68" 
fr-W  =0,422" 


MiKtlltn.  443 
§.  24. 

Es  ist 

(sin*y     cos'y)  =  sin4y -f- cos  4y  -f-  2  sin*y  cos*y  —  1  und 
sin4y  +  cos4y  «.  1  — 2sin'ycossy 

Ist  nun 

4     4  4  3 

siny5  =  ^    und   cosy5  =  5 

so  ist 

4  4         44  ,  34  4» .  35 

und  337  -  625-288 

oder  337  +  288  -625 

Hieraus  folgt  allgemein: 

a,,*  =  a„4(sin4y„-fcos4y«)-|-2aM4  .  sin'y»  .  cos'y» 

wo  a»  eine  Hypotenuse  und  y»  ein  zu  aH  gehöriger  Hypoteuusen- 
winkel  bedeutet,  oder  der  Satz: 

Jede  Hypotenuse  aw4  läset  sich  in  die  Summe  einer  Hypotenuse 

aP  =  a^sinVn  +  cosV») 
und  einer  zu  dieser  gehörigen  Kathete 

2a*4  .  sin*?»  .  cos'y* 
zerlegen;  die  andere  Kathete  ist 

a»4(sin4yw  —  cos4y„) 

Das  Verhältniss  ^4  lässt  sich  auch  auf  die  Teilung  des  Kreis- 

nmfanges  anwenden.  Einige  bemerkenswerte  Lösungen  sollen  noch 
zum  Schluss  angegeben  werden. 

Es  Bei 

337 

1)    tang  T5  -  6^  -  (sin4y5+ cossV 

wo  der  Index  5  in  7*  auf  das  Ausgangsdreieck  4AS  hinweist. 
Dann  ist 

log  337  -  2,5276299 
log  625  -  2,7958800 

logtangts-  0,7317499 

t5  -  28°  20'  0,77" 

Nun  ist 

|ti  =  3t5-45°  =  85«  o'  2,31"  -46»  =  40°  0'  2,31* 
also  ist  der  wahre  Unterschied 


444 


iy-?9  =  2,31" 

Um  diesen  Centriwinkel  zu  construiren,  zeichne  man  das  recht- 
winklige Dreieck  ABC(*&*)y  ziehe  die  Höhe  AD  und  trage  auf  der 

6 

VerläogeruDg  DE  =  DB  ab.   Man  verbinde  E  mit  Ct  zeichne 

Z.  CEF  =  Z.  DEC 
und  verlängere  den  freien  Schenkel,  bis  er  die  Verlängerung  von 
DC  in  F  schneidet,  dann  ist  A  FDE  das  pythagoreische  Dreieck 
175^238    Zeichnet  mau  das  rechtwinklige  Dreieck  GFHt  in  welchem 

337 

die  Katheten 

GF-  FD+DG  =  FD  +  FE  -  288  +  337  und 
FJI  =  FE  -  337   ist,  dann  ist 
Z  FGII  -  t5  =»  28°  20'  l>,77" 
Beschreibt  mau  jetzt  um  G  einen  Kreis,  trägt  JK  —  X3  auf  der 

Peripherie  ab,  bis  JL  =  SJK  ist,  und  coustruirt  JJ/  =  45°,  dann  ist 
3/7,  —  '6JK — JM  -  y*  S.  Fig.  10. 
Setzt  man  ferner 

337 

2)  ""»  =  625 

so  ist 

öS  =  32°  37'  45,111" 

Es  ist  dann 

;7i  =  2ö5  +  j359-42«»  -  51°  25'  45,555" 
iy_£7  _  2,698"  und 
£J3i  -  4ffä-l-  105°  -  27°  41'  29,5065 

fe-U  -  2,8" 
3)  Setzt  man  ferner 


so  ist 


tangT,3  =  sin*y15  +  C08*)'i3 
21361 

tangr13- 2b5ül 

log  21361  -  4,3299216 
Ion  28561  -  4,4^57734 


log  taug  tis  —  0,8738 182  —  1 
t13  =  36°  47'  35,194" 

Es  ist  dann 

gtt  =  rls  -30°  -  6°  47'  35,194"  und 
iM1  — lös  =  2,364"  und 
=  r18-*y5*  +  22jo  =  32«  43.  41,013" 
Sn'-Sn  -2,831"  und 


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MikCelUn.  445 

Iis1  =  *is  +  <*>4i  ~12°  =  27°  41'  28,444" 
Siz-  W  -  3,864" 
4)  Setzt  man 

21361 
Sm<,»  =  2*561 

so  ist 

Mauert: 

It1  =  2ffJ3  -y5s+24°  =  51°  25'  43,152" 

-  0,295"  und 
Iis1  -  *i3-4<?G!-28i0  -  18°  56'  49,09" 
^-^V«  1,436" 

Die  Construction  von  t13  und  <ri3  ist  der  in  1)  analog. 

Um  die  Werte  für  die  Bestimmungswinkel  bis  auf  Bruchteile 
von  Secunden  genau  zu  erhalteu,  construire  man  sich  don  Con- 
structionBwinkel 

(^+2gp41)  -  48°  0'  18,741" 
So  erhält  man  z.  B.  für 

5h1  -  *i3  ~  W  -  ^  +28$»  -  32°  43'  38.670"  und 

In  -  W  -  0,512" 

und  für 

fis1  -Ti8  +  <P4,+  "-24°  =27°  41 '83,129"  und 

iia1-^-  0,821" 
wendet  man  als  Correctionswinkel 

«  -  (9w  +  294i)  -  48°  0'  18,741" 
an.   Dieser  ist  leicht  zu  construiren. 
Man  erhält  z.  B.  für  $V  in  3): 

hl  =  J§«+S«  -  51°  25'  42,986" 

{7i_{7  =  0,129" 
und  für  $l9l  in  4): 

rIf"  -  3  .  aIS-f-  ^  •  m  -  177°  -  18«  56'  51,054" 

Ii»1  -  Sie  =  0,528" 


446  Miscellen. 

Mittels  des  Correctionswinkels  co  erhält  maD  folgende  Tabelle 
für  die  Bestimmungswinkel: 

3  5 

*V  -  iy  5  —  4  •  •+  93»  -  öl«  25'  42.409"  +  0,448" 

Sil  \y  fQ  +  ^  •  »+  21«  =  40«  0'  0,171"  -0,171" 

5h1  =  1/^+  8  .  co+ 5434°  =  32°  43'  37.935"  +0,247" 
W  -  b)l  +  Iq  •  «  -27«  .  27t  4r  32>38r  +0.Q79" 
W  =  *053  +  g  •  ~  - 15°  -  18°  56/  50,453"  +0,073" 


W  -  W—  i^+13i°  =  150  39<  7*531"  +0,29ä" 
fcs1  -  iy510-  g  -  20i«  =  14°  24'  0,509"  -  0,509" 


W  =  iy     +  "  .       109i°  -  120  24'  49,869"  -0,209" 

H81i  =  fr»+| .  co-  39°  -  II«  36'  46,523  +0,058" 
£a7i  o-  |J6«+2  .  co- 127*°  -  90  43'  47,248  -0,221" 

W  -  ^37  +  i  •  cd  -117°  =  80  46'  49,989"  -0,223" 

W  =  *yö*+  j6  •  «  -  49*o  -  8°  22'  19,878"  +0,343" 

W  -  yi6+| .  ca- 1620  _  7o  39'  34,672  -0,204" 
20  27 

W  -  iß™ -  ~  •  co  +  66°  =  6fi  47'  33,051"  -0,221" 

■ 

W  -  *y  ^+  ^-37i*  =  60  6'  +0,236"' 


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iJücellen. 


447 


hil  -  fr7  -  i  •  «  +  78°  -  50  54'  5,869  +  0,033" 
=  frß*  +  ^  •  «  -  61  i°  =  5°  22'  23454"  -  0,150" 


Graeber. 


2. 


Erweiterung  der  Curvenclasse  toü  constanter  Krümmung. 

Sind  die  Richtungscosinns  der  Tangente  einer  Curve  g,  h  ge- 
gebene Functionen  eines  Parameters  re,  so  lässt  sich  der  Curvcn- 
bogen  *  noch  als  beliebige  Function  von  n  annehmen.  Die  Cnrve 
gehört  einer  speciellen  Classe  an,  wenn  *  proportional  »,  also 


gesetzt  wird.  Nur  für  den  besondern  Fall,  wo  n  dem  Krümmungs- 
winkel (d.  h.  dn  dem  Contingenzwinkel  der  Tangente)  proportional 
ist,  hat  die  Curve  constante  Krümmung.  Diese  neue  Beschränkung 
lassen  wir  hier  fallen  und  suchen  für  beliebiges  n  Eigenschaften  der 
Cnrve  (1),  namentlich  Beziehungen  zwischen  Krümm nngswinkel  r, 
Torsioiswinkel      Bogen  s  und  Parameter  n. 

Da  keine  algebraische  Cnrve  von  constanter  Krümmung  bekannt 
ist  (vom  Kreise  abgesehen),  so  wollen  wir  hier  sogleich  den  Fall 
einführen,  dass  die  Cnrve  algebraisch  sei.  Dies  findet  offenbar  statt, 
wenn  man  tür  ungleiche  rationale  Zahlen  a,  b  setzt 

/  ■=  COSowCOSÄ«;    a  —  COSa*  sini* ;    h  —  sinarc 
Hieraus  berechnet  man: 

Öt  —  (a*-f-63C08«a;r)a*« 


Sei  der  elliptische  Modnl 


b 


X 


und  an  •  amu  die  Amplitude,  ferner 


448  MitrtUen. 

a 

cosan  =•  cn  «  —  ^  cotf 
dann  werden  die  Integrale  der  vorstehenden  Gleichongen: 

*  -*(cosp  —  logtg|g>) 
Die  Coordinatengleichungen  der  Curve  sind: 

x  -=  ^^^(asinaTtCOSÄTr  —  iCOS  anSmbn) 

y  —  ai_i  (asinawsinaT-f-^cosaTieosÄ«) 

c 

z  =  —  -  C08  arr 
a 

Die  Cnrve  umläuft  also  spiralisch  ein  Rotationsellipsoid  (resp. 
Hyperboloid) 

während  ihre  Höhe  z  nach  ~b  maligem  Umlauf  periodisch  wieder- 
kehrt Ihr  Krümmungswinkel  x  stellt  sich  als  Ellipsenbogen  dar ; 
die  ganze  Ellipse  entspricht  der  Periode  der  die  Exentricität  ist 
■=  k  für  grosse  Halbaxe  —  1.  Mittelst  des  Torsionswiukels  &  ist 
die  Gleichung  der  Evolute  bekannt: 


-r+ly  +  f'tgd);  etc. 


R.  Hoppe. 


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Litterariaeher  Bericht  LVIJ. 


1 


Litterarischer  Bericht 

LVII. 


Physik. 

Die  Lehre  von  der  Elcktricität.  Von  Gustav  Wiedemann. 
Zweite,  umgearbeitete  und  vermehrte  Auflage.  Zugleich  als  vierte 
Auflago  der  Lehre  vom  Galvanismus  und  Elektromagnetismus. 
Zweiter  Band  mit  163  —  Dritter  Band  mit  32  >  eingedruckten  Holz- 
stichen. Brauuschweig  1895.  Friedrich  Vieweg  u.  Sohn.  1126  + 
1139  S. 

Der  1.  Band  des  Werkes  unter  anfänglichem  Titel  ist  im  222. 
litt.  Ber.  S.  12,  der  1.  Band  der  „Lehre  von  der  Elcktricität"  in 
2.  Reihe,  49.  litt.  Ber.  S.  10  besprochen.  Die  im  2.  und  3.  Bande 
hinzukommenden  Lehrgegenstände  Bind:  Dielektrische  Ladung  der 
Körper;  Töne  beim  Elektrisiren,  Aenderuug  des  Volumens,  der  Ge- 
stalt, der  Elasticität  und  des  optischen  Verhaltens.  Beziehungen 
zwischen  Elektricität  und  Wärme,  und  zwar  thermische  und  mecha- 
nische Wirkungen  des  elektrischen  Stromes,  Thermoelektricität, 
Temperaturänderungen  der  Coutactstellen  heterogener  Leiter;  Elek- 
tricitätserregung  in  Krystallen.  durch  Temperaturäuderuugeu  und 
Druck ;  Elektrochemie,  u.  zw.  Elektrolyse;  ihr  Einfluss  auf  den  Lei- 
tungswiderstaud  und  die  elektromotorische  Kraft  im  Schliessungs- 
kreise; Veränderungen  der  elektromotorischen  Kraft  dor  Metalle 
durch  Einwirkung  der  sio  umgebenden  Flüssigkeiten;  Theorie  der 
Elektrolyse  und  Leitfähigkeit  der  Elektrolyte;  Theorie  der  Elektri- 
citätserregung  beim  Contact  heterogoner  Körper;  Arbeitsleistungen 
und  Wärmewirkungen  bei  den  elektrolytischcn  Processen;  Elektro- 

inb.  4.  M»th.  u.  Phy».   2.  B.ihe,  T.  XV.  1 


2 


Litterarücher  Bericht  LVJJ. 


dynamik,  und  zwar  Anziehung  und  Abstossung  elektrischer  Ströme ; 
Verhalten  der  elektrischen  Ströme  gegen  die  Erde.  Elektromagne- 
tismus, u.  zw.  allgemeine  Theorie  der  Maguetisirung;  Verhalten  der 
Magnete  gegen  elektrische  Ströme;  magnetische  und  elektromagne- 
tische Messmethode;  Gesetze  der  Magneto  und  Elektromagnete ; 
Wechselbeziehungen  zwischen  dem  Magnetismus  und  dem  mechani- 
schen Verhalten  der  Körper;  Beziehungen  des  Magnetismus  zur 
Wärme.  Magnetisches  Verhalten  schwach  magnetischer  und  diamag- 
netischer Körper,  u.  zw.  Diamagnetismus;  Einfluss  des  Magnetismus 
auf  das  dielektrische  Verhalten ,  die  Länge,  die  Leitfähigkeit  und 
das  thormoelektrische  Verhalten  diamagnetischer  Stoffe;  Beziehungen 
des  galvanischen  Stromes  und  des  Magnetismus  zum  Licht  und  zur 
strahlendeu  Wärme;  Beziehungeu  des  Magnetismus  zur  dielektrischen 
Polarisation,  zur  chemischen  Verwandtschaftskraft,  zur  Krystalli- 
sation,  Cohäsion  und  Gravitation.  II. 


Dr.  J.  Fr  ick 's  Physikalische  Technik,  spccicll  Anleitung  zur 
Ausfuhrung  physikalischer  Demonstrationen  und  zur  Herstellung 
von  physikalischen  l>cmonstrations- Apparaten  mit  möglichst  einfachen 
Mittelu.  Sechste,  umgearbeitete  und  vermehrte  Auflage.  Von  Dr. 
Otto  Lehmann,  Professor  der  Physik  an  der  technischen  Hoch- 
schule in  Karlsruhe.  In  zwei  Bänden.  Zweiter  Band.  Mit  1016 
eingedruckten  Holzsticheu  und  3  Tafeln.  Braunschweig  1895.  Frie- 
drich Vieweg  u.  Sohn.    1054  S- 

Der  1.  Band,  in  6.  Auflage  erschienen  1890,  ist  im  36.  litt. 
Ber.  besprochen.  Der  2.  Baud,  welcher  die  Experimente  für  Elek- 
tricität,  Magnetismus,  Optik  und  Akustik  behandelt,  ist  verschieden 
vom  ersten  bearbeitet.  Wegen  der  schnellen  Folge  neuer  Ent- 
deckungen und  neuer  Muthodcu  in  der  Elektricitätslehre  konnte 
nämlich  der  Herausgeber  den  Anschluss  au  theoretischo  Lehr- 
bücher nicht  beibehalten  und  lioss  überhaupt  alle  pädagogischen 
Gesichtspunkte  fallen.  Das  Ganze  ist  jetzt  ein  wissenschaftliches 
Universum,  in  welchem  die  Anfertigung  der  Demonstrationsmittel 
und  die  Ausführung  der  Versuche  gelehrt  wird.  Da  nun  die  Ver- 
trautheit mit  der  Theorie  Zweck  der  Experimente  ist,  so  kann  sie 
nicht  deren  vorausgehende  Bedingung  sein.  Zum  Gebrauch  in  jeder 
Schule  ist  es  also  erforderlich,  dass  der  Lehrer  die  ganze  Theorie, 
welche  das  Buch  als  bekannt  voraussetzt,  nach  eigenem  Ermessen 
hinzufügt.  Die  Vorrede  spricht  vom  Gebrauche  in  technischen 
Hochschulen  und  Mittelschulen,  d.  i.  tu  Fachschulen.  Die  Teile  der 
Doctriu,  denen  die  Vorsuche  gelten ,  sind  der  Reihe  nach,  in  betreff 
der  Elektricität:  ihre  Erzeu^uug  durch  Reibuug;  Verteiluug  und 


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Littet  arischer  Bericht  LVJ1. 


3 


Bindung  der  Elektricitäten,  Coudcusatoreu ;  Mitteilung  an  und  von 
Isolatoren,  Elektrisirmaschinen;  Erzeugung  durch  chemische  Pro- 
cesse;  chemische  Wirkung  der  Elektricitüt;  Elektrodynamik;  Magne- 
tismus, Elektromagnetismus;  Wechselwirkung  von  Magneten  und 
Stromleitern;  Induction;  Erzeugung  der  Wärme  durch  Elektricität; 
elektrische  uud  magnetische  Grössen;  Durchgang  durch  schlechte 
Leiter;  Staub-  und  Lichtfiguren;  Anlagen  für  Demonstrationen  — 
in  betreff  strahlender  Energie:  ihre  Ergänzung;  Absorption;  chemi- 
sche Wirkuug,  Phosphorescenz,  Fluorcsceuz;  Fortpflanzung;  Zurück 
werfung;  Brechung;  Interferenz;  Beugung;  Polarisation;  doppelte 
Brechung  —  in  betreff  optischer  Instrumente  und  Lichtompfin- 
dung:  Sehen:  Täuschungen;  Fernrohre;  Mikroskop  —  in  betreff 
der  Tonempiinduugen  und  der  Musikinstrumente:  Erzeugung  des 
Schalles  durch  Schwingungen;  Resonanz,  musikalische  Instrumente; 
Ausbreitung  des  Schalles;  zu  dessen  Analyse;  Uebertragung;  Har 
monie.  II. 


Grundzügo  der  mathematischen  Chemie.  Energetik  der.  ehemi. 
sehen  Erscheinungen.  Von  Dr.  Georg  Helm,  o.  Professor  an  der 
K.  technischen  Hochschule  zu  Dresden.  Mit  17  Figuren  im  Text 
Leipzig  1894.    Wilhelm  Eugelmauu.    138  S. 

Das  Buch  würde  ein  sehr  willkommenes  und  verdienstliches  Werk 
sein,  wenn  es  nicht  in  so  unklarer  Sprache  abgefasst  wäre.  Im  An- 
fang ist  vom  Energieprincip  die  Rede,  und  soll  Folgendes  dessen 
Erklärung  sein.  „Parameter  hoissen  die  Grössen  —  wie  Coordinaten, 
Geschwindigkeit,  Temperatur,  elektrische  Ladung  u.  s.  w.  —  welche 
den  augenblicklichen  Zustand  oines  Körpers  bestimmen."  Eigenenergie 
eines  Körpers  wird  nun  eiuo  Function  aller  jeuer  Parameter  genannt 
und  von  dieser  Function  gesagt,  dass  bei  allen  Veränderungen  ihr 
Gesamtbetrag  in  der  Kutur  unverändert  bleibe  „Das  so  gefasste 
Energieprincip  sei  offenber  nicht  schlechthin  beweisbar,  sondern  sage 
eine  Betrachtungsweise  der  Naturerscheinungen  aus,  die  ihre  Be- 
rechtigung durch  den  Erfolg  nachzuweisen  hat'1.  Dies  soll  nun  eine 
Erklärung  des  Begriffs  der  Energie  sein!  Allem  Ausgesagten  fehlt 
offenbar  das  übject.  Die  Energie  soll  eino  Fuuction  sein;  die  Func- 
tion bleibt  unbekanut,  auch  von  ihren  Argumenten  werden  nun  einige 
genauut,  sie  ist  daher  als  Attribut  schlechthin  inhaltslos  in  Erman- 
gelung der  Grössen,  von  denen  sie  nicht  abhängen  soll.  Dcmuach 
ist  auch  die  Aussage,  dass  sie  die  genannte  Eigenschaft  habe,  als 
unbeweisbare  Behauptung  sinnlos;  es  konute  nur  von  dem  Pro- 
blem, die  Function  uud  ihre  Argumente  für  die  Chemie  zu  finden, 
die  Rede  sein,  wie  solche  vou  Loibuiz  uud  Huygeus  für  dio  reine 


4 


Litterarischer  Bericht  LVJ1. 


Bewegung  gefunden  worden  ist,  Wenn  schliesslich  das  Energie- 
princip  eine  Betrachtungsweise  von  Erfolg  genannt  wird,  so  vermisst 
man  leider  bei  der  hier  dargebotenen  Betrachtungsweise  jede  Hin- 
weisung auf  den  resultirenden  Erfolg.  Dass  die  gesuchte  Function 
von  vorn  herein  als  algebraische  Summe  ?on  Effecten  betrachtet 
werde,  wird  nirgends  ausgesprochen.  Es  werden  vielmehr  immer 
nur  die  partiellen  Effecte  einzelner  Parameter  in  Betracht  gezogen 
und  der  anfänglichen  Erklärung  zuwider  Eigenenergien  genannt. 
Nach  jener  Erklärung  bezieht  sich  der  Name  auf  einen  Körperteil 
bei  voller  Mitwirkung  aller  Parameter,  wo  offenbar  das  „Eigen*4 
ganz  überflüssig  steht,  nachher  auf  den  Anteil  des  einzelnen  Para- 
meters. Für  den  Kundigen  gleicht  sich  freilich  der  Unterschied  im 
Gesamtbetrage,  der  leider  nicht  einmal  am  Schlüsse  formulirt  wird, 
aus.  So  ist  dann  der  ganze  Vortrag  mehr  ein  Monolog  als  eine 
Lehre.  Hoppe. 


Vorlesungen  über  mathematische  Physik,  gehalten  an  der  Uni- 
versität Königsberg  von  Dr.  Franz  Neu  mann,  Professor  der 
Physik  und  Mineralogie.  Siebentes  Heft.  Vorlesungen  über  die 
Theorie  der  Capillarität.  Herausgegeben  von  Dr.  A.  Wanger  in, 
Professor  der  Mathematik  an  der  Universität  Hallo.  Mit  Figuren  im 
Text   Leipzig  1894.   B.  G.  Teubner.   234  S. 

In  der  Einleitung  werden  die  Fundamentalsätze  der  Laplace'schen 
Capillaritätstheorie  aufgestellt,  und  vom  Herausgeber  die  Verhältnisse 
der  spätem  Bearbeitungen  von  Poisson,  Stahl,  Boltzmann,  Wein- 
stein, Mensbrugghe  dargelegt,  nachdem  die  von  Gauss,  der  jene 
Sätze  zum  erstenmal  vollständig  begründet  hat,  schon  vorher  bespro- 
chen war.  Der  Vortrag  selbst  leitet,  wie  Gauss,  die  Theorie  aus 
mechanischem  Princip  ab.  Die  Gegenstände  der  folgenden  Capitel 
sind:  Ansteigen  oder  Sinken  der  Flüssigkeiten  an  ebenen  Platten 
und  in  Capillarröhren ;  Druck  der  Flüssigkeit  auf  das  umgebende 
Gefäss  oder  auf  eingetauchte  Körper,  Adhäsionsplatten;  die  Ge- 
stalten von  Flüssigkeitstropfen;  allgemeine  Sätxe  über  das  Gleich- 
gewicht einer  Flüssigkeit,  welche  sich  in  einer  andern  von  demselben 
Bpecifischen  Gewicht  befindet;  Zusammenhang  zwischen  der  Gauss- 
schen  und  Laplace'schen  Ableitung  der  Grundgleichungen  der  Capil- 
laritätstheorie. H. 


Einführung  in  die  Maxwell'sche  Theorie  der  Elektricität.  Mit 
einem  einleitenden  Abschnitte  Uber  das  Rechnen  mit  Vector- 
grösseu  in  der  Physik.    Von  Dr.  A.  Föppol,  Professor  an  der 


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Litterarischer  Beruht  LVJL 


5 


Universität  Leipzig.  Mit  Figuren  im  Text.  Leipzig  1894.  B.  G. 
Teubner.   413  S- 

Den  ersten  Abschnitt  des  Buches  bildet:  die  Algebra  und  Ana- 
lysis  der  Vectoren.  Zu  welchem  Zwecke  der  Verfasser  durch  Ge- 
brauch dieser  symbolischen  Rechnungsweise,  entsprechend  den  Me- 
thoden von  Hamilton  uud  Grassmann,  durch  welche  bekanntlich 
nichts  gewonnen  wird,  einer  Recbnungs weise,  von  der  auch  er  selbst 
nicht  behauptet,  dass  sie  notwendig  oder  förderlich  sei,  das  Ver- 
stand niss  der  physikalischen  Theorie  erschwert,  ist  nicht  zu  ersehen. 
Die  folgenden  Abschnitte  sind  betitelt:  die  Grundlinien  der  Max- 
well'schen  Elektricitätslehre ;  weiterer  Ausbau  des  Systems ;  die  Ener- 
giebeziehungen im  elektromagnetischen  Felde  zwischen  ruhenden 
Leitern;  die  Elektrodynamik  bewegter  Leiter;  Uebersicht  Uber  die 
übrigen  Teile  der  Maxweirschen  Theorie-  H. 

Die  Bestimmung  des  Molekulargewichts  in  theoretischer  und 
praktischer  Beziehung.  Von  Dr.  Karl  Windisch.  Mit  einem 
Vorwort  von  Professor  Dr.  Eugen  Seil.  Mit  in  den  Text  ge- 
druckten Figuren.   Berlin  1802.   Julius  Springer-   542  S. 

Nachdem  die  in  vielen  Zeitschriften  zerstreuten  Original-Ab- 
handlungen der  Forscher,  welche  zur  Gewinnung  des  heutigen  Stand- 
punktes der  theoretischen  Chemie  geführt  haben,  bereits  gesammelt 
und  herausgegeben  worden  sind,  hat  der  Verfasser  das  sehr  ver- 
dienstliche Unternehmen  in  Ausführung  gebracht,  die  bis  jetzt  bekannt 
gewordenen  Methoden  der  Bestimmung  der  Molekulargewichte  in 
einem  Werke  zusammenzustellen.  Im  Vorwort  wird  ihm  das  Ztug- 
niss  ausgestellt,  däss  er  vermöge  seiner  chemischen,  physikalischen 
und  mathematischen  Kenntnisse  durchaus  seiner  Aufgabe  gewachsen 
sei.    Voraus  geht  die  Entwicklungsgeschichte  der  Doctrin. 

H. 


Nikola  Tesla's  Untersuchungen  über  Mehrphasenströme  und 
über  Wechselströme  hoher  Spannung  und  Frequenz.  Mit  besonderer 
Berücksichtigung  seiner  Arbeiten  auf  den  Gebieten  der  Mehrpbasen- 
strommotoren  und  Hochspauuungsbeleuchtung  zusammengestellt  von 
Thomas  Coramerford  Martin.  Autorisirte  deutsche  Ausgabe 
von  H.  Maser.  Mit  313  Abbildungen.  Ilalle  a.  S.  1805  Wilhelm 
Knapp.    508  S. 

Nikola  Tesla,  geboren  1857  in  Smilja  im  Komitat  Lika  (Grenz- 
land von  Oesterreich- Ungarn)  bildete  sich  zum  Lehrer  der  Mathe- 


6 


Litieraritcher  Bericht  LVJJ. 


matik  und  Physik  aus,  vertauschte  aber  diesen  Beruf  mit  der  Elektro- 
technik, begann  seino  Tätigkeit  in  Paris,  setzte  sie  in  Amerika  erst 
unter  Edison,  dann  selbständig  fort.    Er  gelangte  zu  neuen,  hervor- 
ragenden Erfindungen,  indem  er  die  Wirkungen  in  verschiedenen, 
bisher  noch  nicht  angewandten  Verhältnissen  gründlich  durchforschte. 
Diese  werden  nun  von  Martin  in  4  Abschnitten:  Mehrphasenströme; 
Erscheinungen  bei  Strömen  von  hoher  Frequenz  und  hoher  Span- 
nung, verschiedene  Erfindungen  und  Schriften ,  Tesla's  erste  Phasen- 
motoren und  sein  mechanischer  und  elektrischer  Oscillator  —  dar- 
gelegt, einzeln  I.  ein  neues  System  von  Wechselstrommotoren  und 
Transformatoren;  das  Tesla'sche  rotirende  magnetische  Feld,  Motoren 
mit  geschlossenen  Leitern,  synchrone  Motoren,  Drehfeldtransforma- 
toren-, Abänderungen  und  Erweiterungen  der  Tesla'schcn  Mehrpha- 
sensysteme; Verwertung  der  gewöhnlichen  Typen  von  Gleichstrom- 
maschinen; Verfahren  zur  Erzielung  einer  gewünschten  Geschwindig- 
keit des  Motors  oder  Generators;  Regulator  für  Drehstrommotoren; 
von  selbst  angehende  synchrone  Motoren  mit  nur  einem  Stromkreise; 
Verwandlung  eiues  Motors  mit  doppeltem  Stromkreis  iu  einen  sol- 
cheu  mit  einfachem  Stromkreis;  Motor  mit  künstlich  erzeugter  Ver- 
spätung; andere  Methode  zur  Verwandlung  eines  von  selbst  an- 
gehenden Motors  in  einen  synchronen  Motor;  durch  magnetische 
Remanenz  wirkender  Motor  ;  Mcthodo  zur  Erzieluog  der  Phasondif- 
ferenz  mittels  magnetischer  Schirmwirkung;  Type  des  Tesla'scheu 
Einphasonmotors;  Motoren  mit   Stromkreisen   von  verschiedenem 
Widerstande;  Motor  mit  gleicher  magnetischer  Energie  im  Felde 
und  Anker;  Motoren,  bei  denen  die  Maxima  der  magnetischen 
Wirkung  im  Anker  und  Feld  zusammenfallen;  Motor,  welcher  auf 
der  Phasendifferenz  in  der  Magnetisirung  der  innern  und  äussern 
Teile  eines  Eisenkerns  beruht;  eine  andre  Type  des  Tesla'schcn  Iu- 
duetionsmotors;  Verbindungen  eines  synchronen  und  eines  selbst 
angehenden  Motors;  Motor  mit  einem  Condeusator  im  Ankerstrom- 
kreise; in  einem  der  Feldmagnetstromkreise ;  Tesla's  Mehrphasen- 
transformator; Transformator  für  coustanteu  Strom  mit  magueti- 
schem  Schirm  zwischen  den  Spulen  des  primären  und  secundären 
Stromkreises.    II.  Versuche  mit  Wechselströmen  von  sehr  hoher 
Frequenz  und  deren  Anwendung  auf  Methoden  der  künstlichen  Be- 
leuchtung; Versuche  mit  Wechselströmen  von  hoher  Frequenz  uud 
hoher  Spannung;  über  Licht  und  audre  Erscheinungen  hoher  Fre- 
quenz; Ausführlicheres  über  Tesla's  Weehselstromgeneratoren  für 
hohe  Frequenz;  Apparate  zur  Erzeugung  von  Wechselströmen  mit- 
tels elektrostatischer  Iuduction;  Massage  mit  Strömen  von  hoher 
Frequenz;  elektrische  Entladung  in  Vacuumröhren.    III.  Methode 
zur  Umwandlung  von  Wechselströmen   in  Gleichströme.  Couden- 
satoreu  mit  iu  Ocl  tauchenden  Platten;  registrirender  elektxolytischer 


Literarischer  Bericht  LV1L 


7 


Zähler-,  thcrmomagnetische  Motoren  und  pyromagnetischc  Genera- 
toren; funkenlose  Dyuamobürsten  und  Commutatorcn  ;  Reguliruug 
der  Gleiehstromdyuamomasehinen  mittels  einor  Hülfsbürsto;  Ver- 
besserung in  der  Constructiou  von  Dynamomaschinen  und  Motoren; 
Tesla's  Gleichstrom-Bogenlicht-System;  Verbesserung  an  Unipolar  - 
maschiueu.  IV.  Tesla's  Ausstel.'ung  auf  der  Chieagoer  Weltausstel- 
luug;  sein  mechanischer  und  elektrischer  Oscillator.  Ii. 


Lehrbuch  der  Physik  für  Studierende.  Von  Dr.  H.  Kayser, 
Professor  au  der  Universität  Bonn.  Zweite,  verbesserte  Auflage 
Mit  384  in  den  Text  gedruckten  Abbildungen.  Stuttgart  1894.. 
Ferdinand  Enke.    564  S. 

Obgleich  die  Durchführung  und  Handhabung  der  Lehren  im  ein- 
zelnen eine  durchaus  correcte  ist,  so  schliesst  sich  seltsamerweise 
die  allgemeine  Aufstellung  und  Einführung  noch  ganz  der  irrigen 
und  unklaren  Auffassung  des  ungebildeten  Laien  au,  ohue  die  Irr- 
tümer mit  einem  Worte  zu  berichtigen.  So  wird  z.  B.  der  Satz 
aufgestellt:  Alle  Körper  besitzen  Trägheit,  d.  h.  sie  haben  das  Be- 
streben, ihren  Zustand  der  Ruho  oder  Bewegung  unverändert  bei- 
zubehalten, solange  keine  Kräfte  auf  sie  wirken.  Der  wahro  Sach- 
verhalt ist  im  Gegenteil:  Sie  besitzeu  Trägheit,  d.  h.  —  nach  Wort- 
sinn und  der  Wirklichkeit  entsprechend  —  sie  haben  kein  Bestre- 
ben, ihren  Bewegungszustand  zu  verändern,  wie  überhaupt  keiner 
Substanz  ein  reflexives  Vermögen  zukommt;  jede  solche  Veränderung 
ist  Wirkung  äusserer  Kräfte,  d.  i.  von  Kräften  anderer  Körper.  Er- 
stens ist  es  offenbar  unsinnig,  ein  Bestreben  Trägheit  zu  nennen; 
zweitens  ist  es  unsinnig  die  Beibehaltung  eines  unangefochtenen 
Besitztums  zum  Ziel  eines  Strebens  zu  machen;  nur  wo  äussere  Kräfte 
auf  Aenderung  wirken ,  hätto  das  Streben  als  ein  bekämpfendes 
einen  Sinn,  und  gerade  für  diesen  Fall  wird  es  nicht  behauptet,  findet 
auch  wirklich  nicht  statt.  Nach  Allem  würde  kein  Anlass  sein,  einen 
Satz  über  die  Trägheit  der  Körper  aufzustellen,  wenu  es  nicht  gälte 
einer  irrigen  Meinung  entgegenzutreten.  In  der  Tat  begünstigt  die 
unüberlegte  Beobachtung  überwiegend  die  Auffassung,  als  begegneten 
die  äusseren  Kräfte  einem  Widerstande  iu  der  Beharrung.  Es  ist 
also  allerdings  Grund,  durch  entschiedene  Aussage  eine  Täuschung 
fern  zuhalten,  nämlich  durch  die  Aussage:  Die  Bewegung  ist  ein 
Zustand  eines  Körpers;  auf  diesen  wirken  äussere  Kräfte  stets  mit 
ihrem  vollen  von  der  Bewegung  ganz  unabhängigen  Werte.  Der 
Verfasser  tut  das  Gegeuteil:  er  adoptirt  die  Täuschung  und  macht 
dadurch  seine  Lehre  populär  —  jedoch  in  so  unklarer  Rede,  dass 


8 


Lttteranscher  Bericht  LVli. 


es  für  das  Folgende  so  gut  ist,  als  wenn  der  Unsinn  nicht  gesagt 
worden  wäre.  Das  Lehrbuch  behandelt  nach  einander:  die  Mecha- 
nik, die  Aggregatzuständc,  die  Akustik,  den  Magnetismus,  die  Elek- 
tricität  und  die  Optik.  Die  Lehrweise  ist  beschreibend  und  mittei- 
lend. Auf  Erklärung  geht  sie  nicht  eben  tief  ein,  stellenweis  kaum 
hinreichend  zum  Verständnisse  auch  wird  dazu  kcino  Rechnung, 
weder  algebraische  noch  analytische  verwandt,  geometrische  Kennt- 
nisse nur,  soviel  zur  Beschreibung  nötig,  beansprucht.  Dagegen  ist 
besonderer  Fleiss  der  Bearbeitung  darauf  gerichtet,  für  alle  Lehren 
die  quantitativen  Bestimmungen  in  numerischen  Angaben  und  For- 
meln zu  liefern,  und  die  Wege  ihror  Ermittelung  nebst  den  dazu 
geeigneten  Apparaten  zu  zeigen.  Hoppe. 

• 

Die  Erhaltung  der  Arbeit  Von  Dr.  Richard  Heger,  a.  o. 
Honorarprofessor  a.  der  Königl.  Sächs.  Technischen  Hochschule  und 
Gyranasial-Oberlehrer  in  Dresden    Hannover  1896.  Behring.  305  S. 

Die  Lehrmethode  ist  ein  originelles  Kunstwerk.  Sic  nimmt  die 
geläufigen  Begriffe  ohne  weiteres  auf  und  geht  von  den  Erfahrungen 
aus,  welche  sich  ohne  Experiment  in  einem  Punkte  der  Erde,  diesen 
als  fest  betrachtet,  darbieten.  Der  Begriff  der  Arbeit  wird  gleich 
anfangs  eingeführt,  ihre  Uebertragung  und  Verwandlung,  einschliess- 
lich der  thermischen  Gestalt,  erläutert.  Hierbei  und  hiernach  wird 
ausführlich  auf  die  Mechanik  eingegangen.  Letztere  erscheint  indes 
stets  als  notwendige  Basis  der  Theorie  der  Arbeit,  nicht  als  herge- 
leitet aus  ihr,  wie  ein-  oder  mehrmal  versucht  worden  ist  das  Ver- 
bältnis8  darzustellen.  Die  Wahl  der  Methode  und  der  Reihenfolge 
der  Themata  zeigt  sich  dariu  ausserordentlich  glücklich,  dass,  ob- 
gleich die  Präcision  und  Idealität  nur  stufenweis  gewonnen  wird, 
doch  nie  ein  Mangel  verhüllt  oder  vorschwiegen  vorkommt.  „Masse" 
und  „Kraft"  werden  anfänglich  durch  „Gewicht"  vertreten,  „leben- 
dige Kraft",  unter  dem  Namen  „Wucht"  eingeführt,  aber  erst  später 
beim  „Stosse"  vollständig  bestimmt.  Die  Relativität  der  „Geschwin- 
digkeit" wird  durchgängig  ignorirt;  dagegen  lässt  sich  nichts  sagen, 
da  der  doctrinäre  Begriff  der  Arbeit  selbst  nur  absolute  Geschwin- 
digkeit kennt.  Die  so  entwickelte  Lehre  wird  für  alle  Fälle  der 
Mechanik,  bezüglich  auf  starre,  elastische,  flüssige  Körper  und  Gase, 
mit  Eingehen  auf  technische  Verwendung  ausgeführt,  dann  die  elek- 
trische Arbeit  behandelt.  EL 


Lehrbuch  der  Experimentalphysik  für  Studirende.  Von  Dr. 
Emil   Warburg,  Professor  an  der  Universität  Freiburg.  Mit 


LitUrarudier  Bericht  LVIl 


9 


408  Original -Abbildungen  im  Text.  Freiburg  i.  B.  und  Leipzig  1893. 
J.  C.  B.  Möhr.   381  S. 

Es  werden  nach  einander  behandelt:  die  mechanischen  Grund- 
begriffe; die  Mechanik  starrer  Körper;  flüssigor  Körper;  Elasticität, 
Viscosität, Oberflächenspannung,  Diffusion,  Absorption;  Schall;  Wärme; 
Strahlung,  insbesondere  des  Lichts;  Elektricität  und  Magnetismus. 
Jeder  dieser  Hauptteile  ist  wieder  in  Unterabteilungen  geordnet, 
entsprechend  den  vielen  zu  erforschenden  Fragen  und  Seiten  der 
Betrachtung,  und  jede  Unterabteilung  zeigt  eine  Reihe  Ton  Lehren 
durch  Experiment  dargetan,  dann  iu  Sätzen  formulirt.  Obwol  nun 
für  Ordnung  der  Lehren  nach  theoretischem  Gesichtspunkt  das  Mög- 
liche getan  ist,  so  hat  das  Ganzo  doch  noch  mehr  die  Gestalt  einer 
Sammlung  von  Gesetzen  ohne  theoretisches  Band  innerhalb  eines 
Bezirks  zusammengehöriger  Vorgänge  als  einer  Theorie  derselben. 
In  der  Tat  ist  es  durch  die  Natur  einer  Erfahrungswissenschaft  von 
so  grossem  Umfang  geboten,  die  Schwierigkeiten  der  Feststellung 
der  einzelnen  Gesetze  von  denen  der  speculativen  Arbeit  getrennt 
zu  erhalten,  damit  sie  sich  nicht  häufen  und  vergrössern.  Da  indes 
steta  Erforschung  und  Erfindung  Hand  in  Hand  gehen  müssen,  so 
kann  im  engern  Bezirke  der  Vorgänge  die  Trennung  nicht  stattfin- 
den, zeigt  sich  aber  in  neuster  Zeit  unabweislich.  Einwände  sind 
im  vorliegenden  Buche  nur  gegen  einige  sehr  seltsame  Aeusserungeu 
des  Verfassers  zu  machen.  Gleich  im  Anfaug  lehrt  er :  die  Naturwissen- 
schaften knüpften  au  einen  vorgefundenen  Trieb  des  Menschen, 
zwischen  den  von  der  Natur  dargebotenen  Tatsachen  den  Zusam- 
menhang aufzusuchen,  au;  dem  Triebe  zu  genügen  wäre  ihre  Auf- 
gabe. Erst  am  Schlüsse  fügt  er  hinzu:  der  eingepflanzte  Trieb  führt 
auch  zu  dem  Ziele  die  Naturkrüftc  zu  beherrschen  und  sie  in  den 
Dienst  menschlicher  Zwecke  zu  stelleu.  Natürlich  verhält  es  sich 
umgekehrt:  der  letztgenannte,  niemandem  uubekanute  Gewinn  ist  es 
eben,  was  jenen  Trieb  hervorruft.  Die  Beherrschung  der  Tatsacheu 
vermöge  der  Kenntniss  ihres  gesetzlichen  Zusammenhangs  keunen 
und  üben  wir  von  Kindheit  an;  sie  auszudehnen  strebt  bewusster- 
raassen  die  Wissenschaft.  Der  Verfasser  spricht  hier  vom  For- 
schungstriebo  wie  ein  Dilettaut,  dem  es  um  Curiositäteu  zu  tun 
ist.  Weiterhin  nennt  er  Kräfte,  die  in  die  Feme  wirken,  „schein- 
bare" Fernkräfte.  Er  hat  aber  nirgends  Kräfte  denken  gelehrt,  die 
nicht  in  der  Ferne  wirken,  da  doch  zwischen  zusammenfallenden 
Punkten  keine  bewegende  Kraftwirkung  denkbar  ist.  Statt  dessen 
hätte  vielmehr  das  am  Seile  hangende  Gewicht  eine  scheinbare 
Nichtfernkraft  genannt  werden  müssen.  Der  Verfasser  aber  bezeichnet 
allein  die  kosmische  Attraction  (Schwerkraft  ohne  Seil)  als  „schein- 
bare'1 Femkraft  und  gibt  —  in  respectvoller  Berücksichtigung  der 


10 


iAl(transc/ier  Btruht  IAH. 


Menge  iu  Amerika  und  England  erschienener  Schriften  niüssigcr 
Grübler  —  ihre  Erklärung  für  ein  noch  nicht  gelöstos  Problem  aus. 
Diese  Aeusserung,  die  mit  seiner  ganzen  Lehre  in  keiner  Verbindung 
steht,  möchte  wol  schwerlich  aus  seinem  Gedanken  eutspringen. 
Drittens  wird  in  §  81.  der  Trägheit  eines  bewegten  Körpers  ein 
Widerstand  gegen  Beschleunigung  durch  äussere  Kräfte  zugeschrieben, 
eine  Aussage,  die  dem  Priucip  der  Dynamik  direct  widerspricht. 
Ausserdem  ist  dieser  §  81.  überschrieben:  „Das  d'Alembert'sche 
Princip";  von  diesem  Priucip  ist  aber  weder  hier  noch  sonst  im 
Buche  eine  Spur  zu  fiuden.  Wie  die  genannten  Stellen,  die  wie 
Tintenkleckse  iu  einer  ganz  vernünftigen  Schrift  erscheinen,  in  das 
Buch  gekommen  sind,  mag  begreifen  wer  will.  Hoppe. 


Grundzüge  der  Molecular  Physik  und  der  mathematischen  Che- 
mie, dargestellt  von  Dr.  W.  C.  Wittwcr,  o.  Professor  der  Physik 
am  k.  Bayr.  Lyceum  zu  Keßcnsburg.  Zweite ,  vermehrte  und  ver- 
besserte Auflage.    Stuttgart  1893.    Kourad  Wittwer.    304  S. 

Die  nach  einander  behaudelten  Themata  sind:  der  Acther;  die 
Constitution  der  Körper  nebst  den  Beziehungen  des  Aethers  zu  ihnen ; 
die  Grundzüge  der  Chemie;  die  Wärme;  die  Elcktricität  Iu  der 
Einleitung  bespricht  der  Verfasser  die  Frage  über  die  Existenz  von 
Fernwirkungen,  coustatirt,  dass  der  grössto  Teil  der  Physik  sich  auf 
Feruwirkungeu  gründet,  hält  daher  ganz  entschieden  die  Frage  für 
bedeutungslos.  Dennoch  räumt  er  ihre  Berechtigung  ein  und  lässt 
den  logischen  Fehler  der  Gegner  uubeachtet.  Offenbar  kann  mau 
nicht  die  Lösung  einer  Frage  anstreben,  che  mau  ihren  Siuu  ver- 
steht uud  anzugeben  vermag,  was  sie  sucht.  Der  Verfasser  spricht 
die  Frage  mit  den  Worten  aus:  Wie  macht  es  die  Erde,  dass  der 
losgelassene  Stein  sich  ihr  zu  nähern  strebt?  Die  Beantwortung  ist 
leicht  genug:  Die  Erde  ist  da,  ihr  Dasein  ist  hinreichende  Bedingung 
für  die  bestimmte  Bewegung  des  Steins.  Eine  Causalfrage  wird  aus 
gutem  Grunde  nicht  aufgeworfen,  l'ie  Physik  hat  die  Ursachen 
aller  Naturveränderungen  zu  erforscheu.  Das  Attractionsgesctz  ver- 
ändert sich  nicht,  bietet  folglich  nichts  dar,  dessen  Ursache  zu  suchen 
wäre.  Solange  demnach  die  Gegner  keino  audre  Frage  klar  und 
deutlich  gestellt  haben,  ist  kein  Problem  aufgewiesen.  Wie  man 
hier  liest,  soll  die  Anzahl  der  Gegner  eine  bedeutende  geworden 
sein;  es  ist  aber  nicht  gesagt,  welcherlei  Geister  zu  ihnen  gehören; 
ihr  Zuwerkegehen  spricht  nicht  dafür,  dass  ihre  Menge  ciuo  achtung- 
gebietende wäre.  In  der  Abhandlung  selbst  handelt  es  sich  zuuächst 
um  Corrcction   des  newtonschen  Attractionsgesetzes  rücksichtlich 


Litterarücher  litnchl  LV11 


11 


kleiner  Entfernungen.  Zur  Ermittelung  der  umfassenden  Attractions- 
function  werden  mehr  directe  Schlüsse  und  Betrachtungen  als  Rech- 
nung angewandt.  Das  Verfahreu  ist  selbständig  gewählt,  die  Resul- 
tate zumteil  abweichend  vou  denen  anderer  Autoren.  Eine  Zusam- 
menstellung hat  der  Verfasser  bereits  1870  in  eiuer  Schrift:  „Die 
Molekulargesctze"4  —  gegeben.  In  der  vorliegenden  2.  Autiagc  sind 
Anwendungen  neuer  Beobachtungen  hinzugekommen.  Die  Vorrede 
sagt,  dass  deren  Ergebnisse  vielfach  mit  den  herrschenden  Ansichten 
in  Collision  sich  befänden,  doch  nur  in  Punkten,  die  auch  bisher 
ohnedies  streitig  waren.  Hoppe. 


Terrestrial  Magnetism.  An  international  quarterly  journal. 
Published  under  the  auspiecs  of  the  Rycrson  physical  laboratory  A. 
A.  Michel son,  Direktor.  Edited  by  L.  A.  Bauer.  With  the 
Cooperation  the  following  Associates:  G.  Abbe,  B.  Baracchi,  W. 
von  Bezold,  E.  Biese,  F.  II.  Biogelow.  C.  Bürgen,  C.  Chi- 
stoni,  W.  Doberck,  M.  Eschenhagen,  J.  Hann,  G.  Holl- 
mann, S.  C.  Hepites,  D.  A.  Gold hammer,  A.  Lancastor, 
C.  Lagrange,  S.  Lemström,  G.  W.  Littlehales,  J.  Liznar, 
T.  C.  Mendenhall,  Th.  Moureaux,  F.  E.  Nipher,  L.  Pa- 
lazzo,  van  Rij ckevorsel ,  A.  W.  Rücker,  E.  Schering,  A. 
Schmidt  (Gotha),  CA.  Schott,  A.  Schuster,  M.  Snellen 
E.  Solander,  J.  P.  van  der  Stok,  R.  F.  Stupart,  A.  de 
Tillo,  H.  Wild  „Magnus  magnes  est  ipso  globus  terrestris"  (Gil- 
bert, „de  Magnete.")  Vol.  I.  No.  1.  Chicago,  Januar  1896.  The 
University  of  Chicago  Press.    54  S. 

Die  1:  Numer  dieser  neuen  Zeitschrift  enthält  folgende  Ab- 
bandlungen: 

A.  Schuster:  Elektrische  Ströme  erzeugt  durch  rotirendc 
Magnete. 

Ad.  Schmidt  (Gotha):  Die  Vcrteiluug  des  erdmagnetischen 
Potentials  in  Bezug  auf  beliebige  Durchmesser  der  Erde. 

L.  A.  Bauer:  Halley's  neueste  Karte  gleicher  Variation. 

Dann  folgen  Briefe  an  den  Herausgeber,  Noten  und  litterarische 
Berichte.  H. 


Cours  de  physiquo  de  l'£cole  Polytechniquc.  Par  M.  J.  Jami  n, 
Premier  Supplement.   Par  M.  Bouty,  Professcur  &  la  Facult6  des 


12 


Lilurarisdier  Bericht  LV1L 


Sciences  de  Paris.  Chaleur,  Acoustique.  Optique.  Paris  1896 
Gauthier  Tillars  et  fils.   183  S. 

Die  Reihe  der  in  der  Entwicklung,  der  Wärmetheorie  behan- 
delten Gegenstände  sind  folgende:  Messung  der  Temperaturen;  Prin- 
eipien  der  Thermodynamik;  Compressibilität,  Dilatationen,  Zustands- 
veränderungen;  Theorie  der  Dissociation  nach  Gibbs;  osmotische 
Pression  nach  van  t/Hoff;  kritischer  Punkt,  capillare  Phänomene  In 
der  Akustik  und  Optik:  Fortpflanzung  der  vibratorischen  Bewegung. 
Fortpflanzung  des  Schalles;  Untersuchung  der  Vibrationen;  Fort- 
pflanzung des  Lichtes;  Diffraction ;  Interferenzerscheinungen  und 
ihre  Anwendungen.  H. 


Repetitorium  der  Experimentalphysik  für  Studierende  auf  Hoch- 
schulen. Mit  besonderer  Berücksichtigung  der  Bedürfnisse  der  Me- 
diciner  und  Pharmaceuten.  Ton  Dr.  L.  Weber,  Professor  der 
Physik  an  der  Universität  Kiel.  Mit  12  in  den  Text  gedruckten 
Abbildungen    München  und  Leipzig  1895.    Dr.  E.  Wolff.    256  S. 

Das  Buch  enthält  die,  Grundlagen  der  Experimentalphysik  un- 
gefähr in  dem  Umfange,  wie  sie  in  den  einleitenden  Uebersichten 
eines  Praktikums  für  Medicieer  und  Pharmaceuten  vorgetragen  zu 
werden  pflegen.  Ein  allgemeines  Anschauuugsbild  der  bekannteren 
Apparate  und  Experimente  wird  dabei  vorausgesetzt  und  vorzugsweise 
die  grundlegenden  Dcductionen  und  leitenden  Idoeu  der  einzelnen 
Disciplinen  iu  präciser  Form  zur  Darstellung  gebracht.  Die  mathe- 
matischen Ilülfsmittel  sind  vereinfacht,  das  Detail  der  Experimental- 
physik mit  ihren  vielseitigen  Anwendungen  nur  angedeutet  und  nur 
insoweit  berücksichtigt,  als  neue,  grundlegende  Gesichtspunkte  darin 
enthalten  sind.  H 


The  Electrical  World.  Published  every  saturday  by  the  W.  J. 
Johnstou  Company,  limited.  Vol.  XXIV.  nr.  15.  New  York. 
1894.   4°.   24  S. 

Die  seit  1874  bestehende  Zeitschrift  bringt  eine  grosse  Anzahl 
kurzer  Mitteilungen  sehr  mannigfaltigou,  grösstenteils  technisch-phy- 
sikalischen Inhalts.  In  vorliegender  Numer  findet  sich  eine  Bio- 
graphic des  durch  zahlreiche  philosophisch-mathematische  Schriften 
bekannten  Alexander  Macfarlane,  geboren  1851  zu  Blaitgowria  in 
Schottland,  nebst  Nachrichten  über  seine  Werke.  H. 


Litterarischer  Bericht  LV11, 


13 


On  the  analytical  treatment  of  alternating  carrents.  (With  dii- 
cussion  )  By  Prof.  A.  Macfarlano,  University  of  Texas,  Austin, 
Texas.  New  York,  American  Institute  of  Electrical  Engineering. 
8  S. 

Der  Verfasser  spricht  die  Ansicht  aus,  dass  die  analytische  Be- 
handlung der  alternirenden  Ströme  die  Algebra  der  Ebene  (mit 
Complexen)  erfordere,  so  jedoch,  dass  sie  mit  der  Algebra  des  Rau- 
mes (Quaternionen)  harmonire,  und  führt  es  aus.  Es  folgt  eine 
Debatte.  H. 


Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  Ton  Adolph  Wüllner. 
Erster  Band.  Allgemeine  Physik  und  Akustik.  Fünfte,  vielfach 
nmgearbeitete  und  verbesserte  Auflage  Mit  321  in  den  Text  ge- 
druckten Abbildungen  und  Figuren.  Leipzig  1895.  B.  G-  Teubner. 
1000  S. 

Das  sehr  bekannte  Buch  gibt  seiner  Bestimmung  gemäss  unter 
dem  steten  Hinweis  auf  die  Originalarbciten  eine  Uebersicht  über 
den  augenblicklichen  Stand  der  experimentellen  Physik  und  über  die 
theoretischen  Auffassungen,  zu  denen  die  Physik  zur  Zeit  gelangt  ist 

H. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

XLX. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Cantor,  Mor.,  Vorlesungen  über  Geschichte  der  Mathematik. 
3.  (Scbluss-)  Bd.  Vom  J.  1GG8  bis  zum  J.  1759.  2.  Abtlg.  Die 
Zeit  von  1700—1726.  gr.  8°.  (S.  253-472  mit  30  Fig.)  Leipzig, 
Teubner.   6  Mk. 

Fortschritte,  die,  der  Physik  i.  J.  1889.  Dargestellt  Ton 
der  physikal.  Gesellschaft  zu  Berlin.  45.  Jahrg.  2.  Abth.  Physik 
des  Acthcrs.  Red.  v.  Rieh.  Börnstein.  gr.  8°.  (XL1X,  821  S.) 
3.  Abth.  Physik  der  Erde.  Red.  v.  Rieh.  Assmann.  gr.  8°.  (LVII, 
795  S.)    Brauuschweig,  Vieweg.    a  30  Mk. 

—  dass.  i.  -J.  1894.  50.  Jahrg.  1  Abth.  Physik  der  Materie. 
Red.  v.  Rieh.  Börnstein  gr.  8°.  (LXXIV,  600  S.)-  Ebd.  22  Mk.  50  Pf. 
3.  Abth.  Kosmische  Physik.  Red.  v.  Rieh.  Assmanu.  gr.  8°.  (LI, 
716  S.)   Ebd.    25  Mk. 

Grassmann's,  Herrn.,  gesammelte  mathemat.  u.  physikal. 
Werke.  Hrsg.  y.  Frdr.  Engel.  1.  Bd.  2.  Tbl.  Die  Ausdchnungs- 
lehro  v.  1862.  In  Gemeinschaft  mit  Herrn.  Grassraann  d.  J.  hrsg. 
v.  Frdr.  Engel,  gr.  8°.  (VIII,  511  S.  m.  37  Fig.)  Leipzig,  Teub- 
ner.  16  Mk. 

Matthiessen,  Ludw.,  Grundzüge  der  antiken  u.  modernen 
Algebra  der  litteralen  Gleichungen.  2.  wohlf.  (Titel-)Ausg.  gr.  8°. 
(XVI,  1001  S.)   Ebd.   8  Mk. 

Rosenberger,  Ferd.,  Jsaac  Newton  und  seine  physikalischen 
Principien.  Ein  Hauptstück  aus  der  Entwickclungsgcschichte  der 
modernen  Physik,  gr.  8°.  (VI,  536  S.  m.  25  Abbildgu.)  Leipzig, 
Barth.    13  Mk.  50  Pf. 


Volk  manu,  P.,  Frauz  Neumann.  *  11.  Sept.  1798,  f  23.  Mai 
1895.  Ein  Beitrag  zur  Geschichte  deutscher  Wissenschaft.  Dem 
Andenken  an  den  Altmeister  der  mathemat.  Physik  gewidmete 
Blätter,  unter  Benutzuug  e.  Reihe  von  autheut.  Quellen  gesammelt 
u.  hrsg.  gr.  8°.  (VII,  G8  S.  m.  Biduis).  Leipzig,  Teubuer. 
2  Mk.  40  Pf. 

Wa8siljef,  A,  Nikolaj  Jwanowitsch  Lobatschefskij.  Rede. 
Aus  dem  Russ.  übersetzt  v.  Frd.  Engel,  gr.  8°.  (38  S.)  Ebd. 
1  Mk.  20  Pf. 

Methode  und  Principien. 

Bräutigam,  Herrn.,  Methodik  des  Rechenunterrichts  auf  der 
Stufe  des  Kopfrechnens  m.  Hilfe  v.  Tillich's  Rechenkasten.  2.  Aufl. 
gr.  8°.   (VIII,  136  S.)    Wien,  Pichler.   2  Mk. 

Esmarch,  Bernh.,  die  Kunst  des  Stabrechnens.  Geraein- 
fassliche  u.  vollstäudige  Anleitg.  zum  Gebrauche  dos  Rechenstabes 
auf  allen  Gebieten  des  praktischen  Rechnens.  Mit  2  Taf.  148 
Texttiguren  u.  vielen  ausgerechneten  Beispielen  u.  Aufgaben,  gr.  8°. 
(192  S.)    Leipzig,  Güuther.    Geb.  4  Mk. 

Koenigsb erger,  Leo,  Herrn,  v.  Helmholtz's  Untersuchungen 
über  die  Grundlagen  der  Mathematik  u.  Mechanik,  gr.  8°.  (III, 
58  S  m.  1  Bildn.)   Leipzig,  Teubner.    2  Mk.  40  Pf. 

Neumann,  C,  allgemeine  Untersuchungen  üb.  das  Newton'sche 
Princip  der  Fernwirkungeu  m.  besond.  Rücksicht  auf  die  elektrischen 
Wirkungen,   gr  8°.    (XXI,  292  S.)   Ebd.    10  Mk. 

Sachse,  J.  J.,  der  praktische,  geistbildende  u.  erziehliche  Un- 
terricht im  Rechnen  u.  in  der  Raumlehre.  II.  Tbl.  Verfahrungs- 
kunde  des  Rechenunterrichts.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (X,  290  S.)  Osna- 
brück, Wehberg.   4  Mk. 

Wellisch,  Sigism.,  das  2  JOOjähr.  Problom  der  Trisection  des 
Winkels,    gr.  8°.    (19  S.  m.  11  Fig.)    Wien,  Spielhagen  &  Schurich. 

1  Mk. 

Sammlungen. 

Bengel,  Joh,  angewandte  Aufgaben  im  Zahlenkreise  v.  1 — 100. 
Eine  Sammlung  von  mehr  als  GOO  Aufgaben.  8°.  (57  S.)  Aachen, 
Barth.    50  Pf. 

Uartmann,  Berth.,  Rechenbuch  f.  die  allgem.  Fortbildungs- 
schule. Methodisch  geordn.  Aufgabeusammlg.  m.  gleichmäss.  Be- 
rücksichtigung der  Rechenoperationen  u.  Sachgebiete.  Ausg.  f. 
Lehrer.  Enth.  die  Aufgaben  des  Schülerheftes,  zahlreiche  sachl.  u. 
method.  Bemerkgu. ,  viele  Ausätze  u.  Ausrechngn.,  dazu  sämtl.  Er- 
gebnisse,   gr.  S".     (VIII,  18-1  S.)     Frankfurt  a./M.,  Kesselring. 

2  Mk.  7a  Pf. 


Heuor,  Ferd.,  Rechenbach  für  Stadt-  u.  Landich ulen.  Anhang 
zum  Lehrerhefte  der  Ansg.  A.  n.  B.,  3.  TL  bearb.  v.  K.  II.  L.  Mag- 
nus,  gr.  8°.   (S.  201—220 )   Hannover,  Meyer.   30  Pf. 

Kley  er,  A.,  Aufgaben-Sammlung.  1351.  —  1361.  Hft.  Stutt- 
gart, Maier.    ä  25  Pf. 

Klu  n  /  inger,  K.,  Rechen-Aufgaben  für  die  Fortbildungsschulen. 
Schüler-Ausg.   2.  Aufl.    8#.    (54  S.)   Esslingen,  Lung.   30  Pf. 

—  dasB.   Lehrer-Ausg.   2.  Aufl.   8°.   (80  S.)   Ebd.    1  Mk. 
Kopetzky,  Frz.,  Rechenbuch  für  Mädchen-Fortbildungsschulen, 

höhere  Töchterschulen  u.  verwandte  Anstalten.  2.  Aufl.  gr.  8°. 
(III,  130  S.)   Wien,  Pichler.   Kart  1  Mk.  20  Pf. 

Mang ler,  G.,  Rechenbuch  für  allgem.  Fortbildungsschulen. 
Lehrerausg.    12°.    (96  S.  m.  Fig.)    Stuttgart,  Bonz  *(•  Co.    1  Mk 

Sammlung  arithmetischer  u.  geometrischer  Aufgaben  zur  Vor- 
bereitung auf  die  Lehrerinnen-Prüfung.  Auf  Grund  der  Prüfungs- 
Ordng.  v.  24.  Apr.  1874  bearb.  v.  e.  ehemaligen  Mitgliede  zweier 
preuBS.  Prüfungs-Kommissionen  für  Lehrerinnen  an  Volki-,  mittleren 
u.  höheren  Mädchenschulen.  8.  Aufl.  12°.  (IV,  68  S.)  Frankfurt 
a./M.,  Jäger's  Verl.   1  Mk. 

Schmid,  I  .  Uebungsaufgaben  zum  Kopfrechnen  für  den  Schul- 
u.  Privat-Unterricht.  Im  Auschluss  an  die  von  Lehrern  in  Chur 
hrsg.  „Uebungsaufgaben  fürs  Rechnen"  bearb.  u.  hrsg.  1.  Tl.  2. 
Aufl.   gr.  8°.    (VIII,  144  S.)   Chur,  Rieh.   2  Mk. 

Steuer,  W.,  Rechenbuch  f.  obere  Klassen  der  Knabenschulen, 
gr.  8°.   (V,  102  S.)   Breslau,  Woywod.    Kart  50  Pf. 

—  Sammlung  angewandter  Aufgaben  für  das  Kopfrechnen, 
nebst  ausführl.  Lehrgang  für  Kopf-  u.  schriftl.  Rechnen.  (In  2  Hftn.) 
Im  Einklang  mit  der  Methodik  des  Rechonuntorrichts  und  dem 
Rechenbuch  für  Stadt-  u.  Landschulen  bearb.  5.  Aufl.  1.  Hft. 
gr  8°.    (89  S.)    Ebd.    1  Mk. 


Jordan,  W.,  barometrische  Höhentafeln  f.  Tiefland  u.  grosse 
Höhen,   gr.  8°.    (VIII,  48  S.)    Hannover,  Helwing.    2  Mk. 

Pitz,  H.,  vierstellige  Logarithmentafel.  2.  Auti.  12°.  (18  u. 
2  S.)   Giessen,  Roth.    40  Pf. 


Gauby,  Jos.,  das  Rechnen  im  ersten  Schuljahre  (Zahlenraum 
1-20)    8°.    (119  S.)    Graz,  Wagner.    2  Mk. 


Tabellen. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysls. 


Digitized  by  Google 


Grass,  J.,  die  Veranschaulichung  beim  grundlegenden  Rechnen. 
Erweiterte  Ausg.  des  Schriftchens  üb.  Gruppen-Zahlbilder,  gr.  8°. 
(120  S.)   München,  Kellerer.    1  Mk.  50  Pf. 

Koppe' 8,  K.,  Arithmetik  u.  Algebra  zum  Gebrauche  au  höhere! 
Unterrichts -Anstalten,  neu  bcarb.  v.  Job.  Diekmann.  13.  Aufl.,  m. 
zahlreichen  Uebungen  u.  Aufgaben.  1.  Tl.  Die  4  Grundrechnungen. 
—  Die  linearen  Gleichungen.  —  Die  Prozentrechnungen.  —  Die 
einfachen  quadratischen  Gleichungen,  gr.  8°.  (VIII,  176  S.)  Essen, 
Baedeker.    Geb.  2  Mk. 

Loewy,  Alfr.,  über  die  Transformationen  einer  quadratischen 
Form  iu  sich  selbst,  mit  Anwendungen  auf  Linien  und  Kugel-Geo- 
metrie,  gr.  4°.    (66  ö )    Leipzig,  Engelmann.   3  Mk. 

Mertens,  F.,  üb.  Diriehlet'sche  Reihen,  gr.  8Ü.  (61  S.)  Wien, 
Gerold's  Sohn.    1  Mk.  2  l  Pf. 

—  üb.  das  Nichtverschwiudou  Dirichlet'scher  Reihen  mit  re- 
ellen Gliedern,   gr.  8°.   (9  S.)   Ebd.   30  Pf. 

Metzger,  Conr.,  Lehrbuch  der  Gleichungen  des  II.  Grades 
(quadratische  Gleichungen)  m.  2  u.  mehreren  Unbekannten.  Bearb. 
nach  System  Kleyer.  gr.  8°.  (IV,  160  S.  m.  8  Fig.)  Stuttgart, 
Maier.    4  Mk. 

Puchberger,  Eman.,  e.  allgemeiuere  Integration  der  Differen- 
tialgleichungen. 3.  Hft.  gr.  8°.  (V,  51  S.)  Wien,  Gerold.  1  Mk. 
6  )  Pf. 

Kogel,  Frz.,  ein  neues  Recursionsgesetz  der  Bernoulli'schcn 
Zahlen    gr.  8°.    (4  S )    Prag,  Rivna<\    10  Pf. 

Zistl,  M.  die  Gesetze  der  vier  Grund-Rechnungsarten  für 
Mittelschulen  u.  zum  Selbstunterricht,  gr.  8°.  (48  S.)  Straubing, 
Attenkofer.    80  Pf. 

Geometrie. 

Behse,  W.  IL,  die  darstellende  Geometrie  für  Real-,  Gewerbe- 
u.  Werkmeisterschulen,  sowie  zum  Selbstunterrichte  für  Bautech- 
niker u.  Mechaniker.  Bearb.  v  P.  Berthold.  1.  Tl.  Die  Projek- 
tionslehre. Konstruktion  der  Durchschnittsfiguren.  Windschiefe 
Flächen.  Spirallinien  u.  Spiralflächen.  Schräge  Projektion.  5.  Aufl. 
gr.  8°    (VIII,  150  S  m  257  Fig.)    Leipzig,  Arnd.    3  Mk. 

Diesencr,  H.,  die  Stereometrie  Praktisches  Unterrichtsbuch 
zur  leichten  Erlernung  der  Körperberechnnug  und  der  Vorhältnisse 
der  Linien  und  Flächen  im  Raum.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (IV,  87  S.  m. 
93  Holzsch.)    Halle,  Hofstetten    2  Mk 

Fischer,  J.  G.,  Leitfaden  zum  Unterricht  in  der  Elementar- 
Geometrie.  2.  Kurs.  12.  Aufl.  durchgesehen  v.  Chr.  Vogel,  gr  8°. 
(44  S  )   Halle,  Gesenius.    Kart.  CO  Pf. 


Kobn,  Gust.,  die  homogenen  Coordinaten  als  Wurf coordinaten. 
gr.  8°.    (4  S.)   Wien,  Gerold's  Sohn,    10  Pf. 

Küpper,  C,  über  A'-gonale  Curven  C»'P«tcr  Ordnuug  vom  Ge- 
schlecht P.   gr.  8°.   (16  S.)    Prag,  Rivna<\   30  Pf. 

Lehrhefto,  technische.  Mathematik.  4.  Hft.  Lehrbuch  der 
Geometrie.  Hrsg.  v.  Fritz  Meigen.  gr.  8°.  (IV,  82  S.  m.  150  Fig.) 
Hildburgbauson,  Pezoldt.    2  Mk. 

Lengauer,  Jos.,  die  Grundlehren  der  Stereometrie.  Ein  Leit- 
faden f.  den  Unterricht  m.  Uebungsaufgaben.  gr.  8°.  (III,  111  S. 
m.  Fig.)   Kempten,  Kösel.    1  Mk.  50  Pf. 

Milinowski,  A.,  elemtar-synthetische  Geometrie  der  Kegel- 
schnitte. —  Elementar-synthetische  Geometrie  der  gleichseitigen 
Hyperbel.  2.  wohlf.  (Titel)  Ausg.  gr.  8°.  (XII,  411  u.  X,  135  S. 
m.  274  Fig.)    Leipzig,  Teubner.   4  Mk. 

Schultz,  E.,  Leitfaden  der  Planimetrie  für  Werkmeisterschulen 
u.  gewerbliche  Fortbildungsschulen.  II.  Tl.  gr.  8°.  (IV,  65  S.  u. 
90  Fig.)    Essen,  Baedeker.    Kart.  75  Pf. 

Weiler,  A.,  neue  Behandlung  der  Parallel  Projektionen  u.  d. 
Axonometrie.  2.  (Titel)  Ausg.  gr.  8°.  (VII,  210  S.  m.  109  Fig.) 
Leipzig,  Teubner.    2  Mk.  80  Pf. 

Trigonometrie. 

Diesen  er,  H.,  die  ebene  Trigonometrie  und  Goniometrie. 
Praktisches  Unterrichtsbuch  zur  leichtern  Erlernung  der  Benennung 
der  trigometr.  Funktionen.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (III,  118  S.  m.  103 
Holzschn.)    Halle,  Hofstetten    2  Mk. 

Lehrhefte,  technische,  Mathematik.  5.  Hft.  Lehrbuch  d. 
Trigonometrie.  Hrsg.  v.  Fritz  Meigen.  gr.  8°.  (III,  59  S.)  Hild- 
burghausen, Petzoldt.    1  Mk.  30  Pf. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  Nr.  73. 
Zwei  Abhandlungnn  üb.  sphärische  Trigonometrie.  Grundzüge  der 
sphär.  Trigonometrie  u.  Allgemeine  sphär.  Trigonometrie.  1753  u. 
1779.  Von  Leonh.  Euler.  Aus  dem  Französ.  u.  Lat.  übers,  u  hrsg. 
v.  E.  Hammer.  Mit  6  Fig.  i.  Text.  8°.  (65  S.)  Leipzig,  Engel 
mann.   1  Mk. 

Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Bestimmungen  über  den  Anschluss  des  Nivellements  an  den 
prouss.  Landeshorizont  Laut  Beschluss  des  Centraldirectoriums  der 
Vermessungen  im  prouss.  Staate  v.  12.  Jan.  1895.  gr.  8°.  (8  S.  m. 
1  Fig.)   Berlin,  Decker.   75  Pf. 


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Geometrie,  praktische,  für  gewerbliche  Fortbilduugs-  u.  Haud- 
werkerschuleo ,  sowie  zum  Selbstunterrichte.  Bearb.  v.  e.  ehemal. 
Mitgliede  mehrerer  Prüfungs-Kommissionen.  Hierzu  e.  Schlüssel  mit 
ausführlicher  Ausrechnung.  Planimetrie.  12°.  (VIII,  119  S.  m.  Fig.) 
Frankfurt  a./M..  Jäger's  Verl.    1  Mk. 

Hacksen,  W.,  das  preussiseke  Kataster  u.  seine  Verbindung 
m.  dem  Grundbuch.  Ein  Beitrag  zum  deutschen  Vermessungs-,  Ka- 
taster- u.  Grundbuchwesen,  gr.  8°.  (VIII,  156  S-  m.  12  Abbildgu.) 
Dossau,  Baumann.   5  Mk. 

Mechanik. 

Prochazka,  Frdr.,  ein  Beitrag  zur  Translations-Bewegung, 
gr.  8».    (13  S.  m.  1  Tafel.)   Prag,  Rivnat.   50  Pf. 

Weyer,  Ed.,  Zusatz  zur  Abhandlung  des  Hrn.  F.  Prochazka. 
Eiu  Beitrag  zur  Translations-Beweguug.  gr.  8°.    (3  S.)  Ebd.  10  Pf. 


Technik. 

Abbildungen,  mit  Prof.  Röntgens  ^-Strahlen  aufgenommene 
u  in  Lichtdr.  ausgeführte.  14.  Blatt.  Leipzig,  Renger.  7  Mk.; 
einzeln  60  Pf. 

Arnold,  E.,  dio  Ankerwicklungen  u.  Ankerkonstruktionen  der 
Gleichstrom-Dynamomaschinen.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (XIV,  312  S.  m. 
335  Fig.)    Berlin,  Springer.    Geb.  12  Mk. 

Bach,  C,  die  Maschinen-Elemente.  Ihre  Berechnung  u.  Kon- 
struktion m.  Rücksicht  auf  die  neueren  Versuche.  5.  Aufl.  2  Bde. 
Lex.  8°.  (XVIII,  G22  S.  m.  Abbild,  u.  53  Taf.)  Stuttgart,  Cotta. 
28  Mk. 

Biscan,  Wilh.,  die  Dynamo-Masch  ine.  Zum  Selbststudium  für 
Mechaniker  etc.,  sowie  als  Anleitung  zur  Selbstanfertigung  von  Dy- 
namomaschinen leicht  fasslich  dargestellt.  Mit  115  Abbildgu  und 
Konstruktionszeichnungen.  4.  Aufl.  gr.  8°.  (V,  131  S.)  Leipzig, 
Leiner.    2  Mk. 

Degen,  E.,  Anleitung  zur  billigen  Verfertigung  der  nötigsten 
Apparate  des  Magnetismus,    gr.  8°.    (18  S.)   Bruchsal  Ott.   30  Pf. 

Eder,  Jos.  Maria,  ausführliches  Handbuch  der  Photographie. 
(Mit  etwa  2000  Holzschn.  u.  9  Taf.  2.  Aufl.  7.  Hft.  (2.  Bd.  2. 
Hft.)  Das  nasse  Colic-dionverfahren ,  die  Ferrotypie  u.  verwandte 
Processc,  sowie  Herstellung  v.  Rasternegativen  f.  Zwecke  d.  Auto- 
typie, gr.  8°.  (VII  u.  S.  163—365  m.  54  Holzschn.)  Halle,  Knapp 
4  Mk. 


Encyklopaedie  der  Photographie.  18.  u.  19.  Hft.  gr.  8°. 
Halle,  Knapp.  18.  Der  Silberdruck  auf  Salzpapier  v.  A.  v.  Hubl. 
(VIII,  88  S)  3  Mk.  —  19.  Die  Anwendung  der  Photographie  zu 
militär.  Zwecken.  Bcarb.  v.  Riesling.  Mit  21  Fig.  im  Text.  (VII, 
100  S.)    3  Mk. 

Fortschritte  der  Elektrotechnik.  7.  Jahrg.  2/3.  Hft  Berlin, 
Springer,   ä  6  Mk. 

Grundsätze  für  die  Berechnung  der  Materialstarken  neuer 
Dampfkessel  (Hamburger  Normen  1892)  u.  Grundsätze  für  die  Prü- 
fung der  Materialien  zum  Bau  you  Dampfkesseln  (Würzburger  Nor- 
men.) 5.  Aufl.  gr.  16°.  (40  S.  m.  Fig )  Hamburg,  Boysen  & 
Maasch.    50  Pf. 

Holzt,  Alfr.,  die  Schule  des  Elektrotechnikers.  Lehrhefte  für 
angewandte  Elektricitätslehro.  Hrsg.  im  Vereine  mit  II.  Vieweger 
u.  H.  Stapelfeldt.  1.  Bd.  Lex.  8°.  (VIII,  424  S.  m.  Fig.  u.  3  z.  Tl. 
färb.  Taf.)   Leipzig,  Schäfer.   8  Mk.  25  Pf. 

—  ,  dass.    11.-13.  Hft.   Ebd.   ä  75  Pf. 

Keck,  Wilh.,  Vorträge  über  Mechanik  als  Grundlage  f.  das 
Bau-  u.  Maschinenwesen.  1.  Thl.:  Mechanik  starrer  Körper,  gr.  8°. 
(VII,  317  S.  m.  389  Holzschn.)    Hannover,  Helwiug.    10  Mk. 

König,  Waith.,  14  Photographien  m.  Röntgen-Straulen ,  auf- 
genommen im  physikal.  Verein  zu  Frankfurt  a./M.  gr.  4°.  (10  Taf. 
m.  4  S.  Text.   Leipzig,  Barth.   8  Mk. 

Koppe,  Karl,  Photogrammetrie  u.  internationale  Wolken- 
messung.  gr.  8°.  (IX,  108  S.  m.  Abbild  u.  5  Taf.)  Braunschweig, 
Vieweg.   7  Mk. 

Krämer,  J.,  Wechselströme.  2.-4.  Lfg.  Jena,  Costenoble. 
a  3  Mk. 

Lehrhefte,  technische.  Maschinenbau.  9.  Hft.  Berechng.  u. 
Konstruktion  der  Turbinen.  Eine  kurzgefasste  Theorie  in  elemen- 
tarer Darstellung  mit  erläut.  Rechuungsbeispielen  v.  Jos.  Kessler, 
gr.  8°.  (III,  48  S.  m.  45  Abbildn.)  Uildburghausen,  Pezoldt. 
1  Mk.  70  Pf. 

Meissner,  G.,  Hydraulik.    2.  Aufl.   6.— 10.  Lfg.   Jena,  Coste- 
noble.  a  3  Mk. 

Mor  w  i  tz,  Joach.,  die  Photographic  mit  Röntgon'schen  Strahlen. 
Mit  Einleitung  zum  Experimentieren  auch  f.  Laien.  Nach  neuesten 
wissenscbaftl.  Versuchen  gemeiDverständl.  dargestellt,  gr.  8°.  (41  S. 
m.  Abbildg.  u.  1  Taf.)   Berlin,  Dressel.   60  Pf. 

Ober  mayer,  A.  v.,  über  die  Wirkung  des  Windes  auf  schwach 
gewölbte  Flächen.  Lex.  8°.  (13  S.  m.  8  Fig.)  Wien,  Gerold. 
70  Pf 

Olbrich,  E,  das  kleine  ABC  der  Photographie.   Ein  Leit- 


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faden  für  Anfäuger.  Mit  30  Abbildgn.  u.  1  Sachregister.  8°.  (VII, 
113  S.)   Düsseldorf,  Andrischock.    1  Mk.  20  Pf. 

Thompson,  S.  P.,  die  dynamoelektrischen  Maschinen.  5.  Aull. 

2.  Hft.   Hallo,  Knapp.    2  Mk. 

Wnnschmann,  E.,  dio  Röntgen'schen  .X-Strahlen.  Gemein- 
verständlich dargestellt.  1.-5.  Taus.  gr.  8°.  (31  S.  m.  13  Ab- 
bilgn.)    Berlin,  Schneider  &  Co.   60  Pf. 

Optik,  Akustik  und  ElasticitäU 

Ed  er,  J.  M.,  u.  Ed.  Valenta,  üb.  die  Spektren  v.  Kupfer 
Silber  u.  Gold.  lmp-4°.  (47  S.)  Wien,  Gerold's  Sohn.  3  Mk. 
20  Pf. 

Exner,  Frz.  u.  E.  Haschek,  über  die  ultravioletten  Fuukeu- 
spektra  der  Elemente.  (1.  Mitthlg.)  (enth.  die  Spectra  v.  Ag ,  t\ 
3/tr,  Wo,  Mo,  St,  7W,  /r,  Rh.)    Lex.  8°.    (54  S.)    Ebd     1  Mk. 

Helmholtz,  Herrn.,  v.,  die  Lehre  v.  der  Tonempfindung  als 
physiologische  Grundlage  für  die  Theorie  der  Musik.  5.  Ausg.  gr.  8°. 
(XXII,  675  S.  m.  Bildnis  u.  66  Holzst.)  Braunschweig,  Vieweg. 
12  Mk. 

Landauer,  John,  die  Spektralanalyse,  gr.  S9.  (VIII,  174  S. 
m.  4  Holzst.  u.  1  Spektral.)    Ebd.   4  Mk. 

Oberbeck,  Ant.,  üb.  Licht  u.  Leuchten.  Antritts-Rede,  gr.  8°. 
(31  S.)   Tübiugen,  Pietscher.   80  Pf. 

Röntgen,  W.  C,  über  eine  neue  Art  von  Strahlen.  (Vorläufige 
Mittheilg.)   gr.  8»    (10  S.)   Würzburg,  Stahcl.   6ü  Pf. 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Anualen  der  schweizerischen  meteorologischen  Centralanstalt 
1893.  Der  „schweizer,  meteorolog.  Beobachtungen"  30.  Jahrg.  gr.  4°. 
(X,  251,  52,  40,  8,  11  u.  6  S.  m.  9  Kartentaf.)  Zürich,  Fäsi  &  Beer. 
Kart.  18  Mk. 

Beebacbtungsergebnisse  des  Repsold'schen  Meridiankreises 
der  k.  Sternwarte  zu  München.  1.  Tl.  Untersuchungen  üb.  die 
astronomische  Refraction  mit  e.  Bestimmung  der  Polhöhe  v.  Mün- 
chen u.  ihrer  Schwankungen  von  Nov.  1891  bis  Oct.  1893  u.  e.  Ka 
talog  der  absoluten  Declinationen  v.  116  Fundamentalsteruen  v. 
Jul.  Banschinger.  gr.  4°.  (S.  42  -229.)  München,  Franz'  Verl. 
12  Mk. 

Bericht  des  internationalen  meteorolog.  Comite's  o.  der  inter- 
nationalen Commission  für  Wolkenforschnng.  Versammlung  zu  Upsala. 


1894.  Hrsg.  v.  kt?l.  preuss.  metcorolog.  Institut.  Lex.  8tt.  (III, 
45  S.)    Berlin,  Asher  <fc  Co.    l  Mk.  50  Pf. 

Bern  dt,  Gust..  der  Föhn.  Eiu  Beitrag  zur  orograph.  Meteo- 
rologie u.  comparativeu  Klimatologic.  Mit  10  Taf.  u.  Karten.  2. 
wohlf.  (Titel  )  Ausg.  Mit  e.  Vorwort  v.  Stet'.  Wauner.  gr.  8°.  (II, 
VIII,  346  S.)    Göttingen,  Vaudenhoeck  &  Huprecht.    6  Mk. 

Bronsky,  M.  et  A.  Stebnitzky,  les  positions  des  etoiles  de  h 
et  %  Persei  et  de  leurs  envirous,  deduites  de  mesures  sur  deux  cli- 
ches  photographiques.    gr.  4°.    (133  S.)    Leipzig,  Voss.    5  Mk. 

Duuker,  Ed.,  üb.  die  Wärme  im  Inneru  der  Erde  u.  ihre  mög- 
liehst fehlerfreie  Ermittelung.  (Hrsg.  v.  Ruard.  Brauns),  gr.  8°. 
(X,  242  S.  in.  2  Taf)    Stuttgart,  Schweizerbart.    5  Mk. 

Falb 's,  Rud.,  neue  Wetterprognosen  u.  Kalender  der  kriti- 
schen Tage  f.  18%.  Jan.  —  Juni.  1C°.  (61  S.)  Berlin,  Stciuitz. 
1  Mk. 

Foerster,W.,  u.  P.  Lehmann,  die  veränderlichen  Tafeln  des 
astronomischen  u.  chronologischen  Tlieils  des  kgl.  preuss.  Normal- 
kaleuders f.  18lJ7.  Nebst  e.  allgem.  Statist.  Beitrage  v.  E.  Blcnek. 
gr.  8°.    (V,  163  S.)    Berlin,  Statist.  Bureau.    5  Mk. 

Gockei,  Alb.,  das  Gewitter,  gr.  8°.  (120  S.)  Köln,  Bachem. 
1  Mk.  80  Pf. 

Halm,  J.,  Versuch  einer  theoretischen  Darstellung  des  täglichen 
Ganges  der  Lufttemperatur  gr.  4°.  (53  S.)  Leipzig,  Engelmaun. 
3  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.  2.  u.  3.  Lfg.  Breslau, 
Treweudt    ä  3  Mk.  60  Pf. 

Jahrbuch  d.  Astronomie  u.  Geophysik.  Enth.  die  wichtigsten 
Fortschritte  auf  den  Gebieten  dor  Astrophysik.  Meteorologie^,  phy- 
sikal.  Erdkuude.  Hrsg.  v.  Herrn.  J.  Kleiu.  6.  Jahrg.  1895.  Mit  5 
Lichtdr.-  u.  Chromotafeln.  gr.  8Ü.«  (IX,  37G  S.)  Leipzig,  Mayer. 
Kart.  7  Mk. 

—  ,  Berliner  astronomisches  für  1898  m.  Angaben  f.  die  Opposition 
der  Planeten  (1)  — (401)  f.  1896.  Hrs.  v.  Rechen-Institute  der  kgl. 
Sternwarte  zu  Berlin  uuter  stellvertr.  Verantwortlichkeit  v.  P.  Leh- 
mann, gr.  8°.  (VIII,  480;  :i4,  8  u.  9  S.)  Borlin,  Dümmler's  Verl. 
12  Mk. 

—  ,  deutsches  meteorologisches  f.  1894.  Beobachtungs-System 
der  deutschen  Seowarte.  Ergebnisse  der  meteorolog.  Beobachtgn. 
an  10  Stationen  II.  Ordng.  u.  an  45  Signalstellen,  sowie  stündl.  Auf- 
zeichnungen an  2  Normal-Beobachtungs-Stationen.  XVII.  Jahrg. 
Hrsg.  v.  d.  Direktion  der  Seewarte.  Imp.-4°.  (VIII  ,  14 1  S.) 
Hamburg,  Friederichsen  &  Co.    13  M. 

—  ,  dass.    Meteorologische  Beobachtungen  in  Württemberg. 
Mittheilungen  der  mit  dtm  kgl.  Statist.  Landes-Amte  verbundenen 


meteorolog.  Centraistation.  Bearb.  v.  L.  Mack  u.  L.  Mayer,  gr.  4°. 
(74  S.  m.  2  Karten.)    Stuttgart,  Metzler.    3  Mk.  60  Pf. 

Jahrbuch  für  dio  neuen  Wetterregelu.  Beobachtgn.  u.  Prog. 
nosen  f.  d.  Jahr  ...  1.  u.  2.  Semester.  2.  Aufl.  gr.  4°.  (68  u. 
64  S.)    Göttingen,  Lambrecht.    2  Mk. 

Kayser,  E.,  Wolkeuhöhenmessungen.  gr.  8°.  (68  S.  m.  5  Taf.) 
Leipzig,  Engelmann.    2  Mk. 

Lambrecht,  Wilh.,  Wetter-Regeln  beim  Gebrauche  des  Lam- 
brecht'schon  Barometers,  schmal  Fol.  (1  Bl.)  Güttingen,  Lambrecht. 
50  Pf. 

Li  Uro  w,  Wunder  des  Himmels.  8.  Aufl.  15.  —  27.  Lfg. 
Berlin,  Dümmler's  Vlg.   a  40  Pf. 

Mazelle,  Ed.,  Beitrag  zur  Bestimmung  des  tägl.  Ganges  der 
Veränderlichkeit  der  Lufttemperatur,  gr.  8°.  (68  S.)  Wien,  Ge- 
rolds Sohn.    1  Mk.  20  Pf. 

Oerter,  mittlere  v.  622  Sternen  u.  scheinbare  Oerter  v.  450 
Sternen  nebst  Reduktions-Tafeln  f.  d.  J.  1898  u.  e.  Anh.,  enth.  mitt- 
lere Oerter  v.  303  südl.  Sternen,  f.  18i)8,  0.  gr.  8°.  (183  u.  8  S). 
Berlin,  Dümmler's  Verl.    6  Mk. 

Peter,  Bruno,  Beobachtungen  am  sechszölligen  Repsold'schcn 
Heliometer  der  Leipziger  Sternwarte.  Lex.-8".  (140  S.  m.  4  Fig. 
u.  1  Doppeltaf.)    Leipzig,  Hirzel.    6  Mk. 

Plassmann,  J.,  Beobachtungen  veränderlicher  Sterne.  4.  Tl. 
Progr.   gr.  8°.    (52  S.  m.  1  Taf.)    Warendorf,  Schnell.    1  Mk. 

Riem,  Job.,  über  die  Bahu  des  grossen  Kometen  1881  III 
(Telbut).    Imp.-4°.    (207  S.)    Leipzig,  Engelmann.    15  Mk. 

Sammlung  populärer  Schriften,  hrsg.  v.  d.  Gesellschaft  Urania 
zu  Berlin.  Nr.  35—37.  gr.  8°.  Berlin,  H.  Paetel.  —  35.  Wie  der 
Zwölfzöller  der  Urania  entstand.  Von  II  Homann.  (51  S.  m.  Ab- 
bildgn.)  80  Pf.  —  36.  Wissenschaftliche  Ballonfahrten.  Von  R. 
Sttring.  (27  S.  m.  Abbildgn.  u.  1  Taf.)  60  Pf.  -  37.  Üio  Milch- 
strase.  Ein  opt.  Phänomen  u.  ein  kosm.  Problem.  Von  Heinr. 
Samter.    (48  S.  m.  Abbildgn.)    I  Mk. 

Schmidt,  Ad  f.,  Mitteilungen  über  e.  neue  Berechnung  des  erd- 
magnetischen Potentials,  gr.  4e.  (66  S.)  München,  Franz'  Verl. 
2  Mk. 

Schönrock,  A.,  die  Bewölkung  des  russischen  Reiches,  gr.  4°. 
(III,  II,  74  u.  CCXXI  S.  m.  1  Taf.  u.  7  Karten.)  Leipzig,  Voss. 
11  Mk.  25  Pf. 

Schreiber,  Paul,  das  Klima  des  Köuigr.  Sachsen.  Amtlicho 
Publicatiou  des  kgl.  sächs.  metcorol.  Instituts.  III.  Hft.  Monats- 
n.  Jahresmittel  der  wichtigsten  klimatischen  Elemente  für  den  Zeit- 
raum 1861—1801).  (Vicljährigo  Mittel,  Extreme,  Schwankgn.  u.  Ge- 
nauigkeit.)   Ergebnisse  der  Verduustungsbeobachtgn.  f.  den  Zeitraum 


1883-1893.  Ergebnisse  der  Beobacbtgn.  auf  Thünnen  f.  den  Zeit- 
raura  1888-1893.   Imp.-4<\   (III,  65  8.)    Chemnitz,  Bülz.   4  Mk. 

Sresnewskij,  Ii..  Cyclonenbahnen  in  Rnssland  f.  d.  J.  1887 
bis  1889.  gr.  4°.  (78  S  m  1  Taf.  n.  12  Karten.)  Leipzig,  Voss. 
6  Mk. 

Veröffentlichungen  der  kgl.  Sternwarte  zu  Bonn.  Hrsg.  ?. 
Frdr.  Kästner.  Nr.  1.  Beobachtungen  von  Nebelflecken,  angestellt 
am  Gzöll.  Refractor  der  Bonner  Sternwarte  v.  C.  Mönnichmcyer. 
gr.  8°.   (97  S.)   Bonn,  Cohen.   6  Mk. 

Vierteljahrsschrift  der  astronom.  Gesellschaft.  30.  Jahrg. 
3.  Eft.    Leipzig,  Engel mauu.    2  Mk. 

Wild,  H.,  das  Konstantinow'sche  meteorologische  u.  magneti- 
sche Observatorium  in  Pawlowsk.  Mit  dem  Portrait  des  Gross- 
fürsten Konstantin  Nikolajewitsch,  12  Taf.  u  7  Holzschn.  gr.  4°. 
(133  S.)    Leipzig,  Voss.    7  Mk.  50  Pf. 


Nautik. 

Jahrbuch  des  k.  k.  hydrographischen  Central -Bureau.  Hydro- 
graphischer Dienst  in  Oesterreich.  1.  Jahrg.  1893.  Fol.  (VIII, 
562  S.  m.  1  Karte.)    Wien,  Braumüller.   10  Mk 

Ludolph,  W.,  Leuchtfeuer  u.  Scballsignale  d.  Erde.  1896.  25. 
Jahrg.  8.  Aufl.  gr.  8Ä.  (XXIII,  400  S  u.  Nachträge  16  Bl.)  Bre- 
men, Heinsius.    Geb.  7  Mk.  50  Pf.;  Nachträge  allein  50  Pf. 

—  ,  dasselbe  in  Ostsee,  Nordsee  u.  Kanal.  25.  Jahrg.  8.  Aafl. 
gr.  8°.  (XI,  128  S.  u.  Nachträge  9  Bl.)  Ebd.  3  Mk.;  Nachträgo 
allein  50  Pf. 

Müller,  W.,  die  Schiffsmaschinon,  ihre  Konstruktionsprinzipien, 
sowie  ihre  Entwickeluug  u.  Anordnung.  Nebst  e.  Anh.:  Die  Indi- 
katoren u.  Indikatordiagramme  u.  gesetzl.  Bestimmungen,  betr.  An- 
lage, Betrieb  u.  Untersuchg.  v.  Schiffsdampfkcsselu.  (Auszug).  2. 
Aufl.  8°.  (X,  359  S.  m.  15)  Abbildgn.)  Braunschweig,  Vieweg. 
5  Mk. 

Verzeichniss  der  Leuchtfeuer  aller  Meere.  Hrsg.  t.  Reichs- 
Mariue-Amt.  1.  —  8.  Hft  Abgeschlossen  am  1.  Dez.  1895.  (Mit 
je  1  färb.  Taf.)    hoch  4°.    Berlin,  Mittler  &  Sohn.   6  Mk. 

—  der  Zeitsignal-Stationen  aller  Meere.  Hrsg.  v.  dems.  gr.  8°. 
(40  S.)   Ebd.   50  Pf. 

Von  See  nach  Lübeck.  Ein  Wegweiser  für  Sceschiffer  und 
Steuerleute,  mit  eiuer  Eutferuuugstabelle  u.  3  Kartenblättern.  Hrsg. 
auf  Veranlassung  der  Uaudelskammer.  gr.  8°.  (V,  80  S.)  Lübeck, 
Scliinersahl.    1  Mk.  HO  Pf. 


Physik. 


Boltzmann,  Ludw.,  Vorlesungen  über  Gastheorie.  1.  TM. 
Theorie  der  Gase  mit  einatomigen  Molekülen,  deren  Dimensionen 
gegen  die  mittlere  Weglangen  verschwinden,  gr.  8°.  (VIII,  204  S.) 
Leipzig,  Barth.   6  Mk. 

Borchardt,  B.,  die  Röntgen'sche  Entdeckung.    Allgemein  ver- 
ständlich dargestellt.   Mit  10  Illnstr.  n.  e.  nach  dem  Röntgeu'schen 
Verfahren  aufgenommenen  Photographie.    12°.    (62  S.)  Berlin 
Baake.    30  Pf. 

Drude,  P.,  üb.  die  anomale  elektrische  Disporsion  von  Flüs- 
sigkeiten.  Lex.-8°.    KbS  S.  m.  2  Fig.  u.  1  Taf.)    Leipzig,  Hirzol. 

2  Mk. 

Forschungen  in  der  Agrikulturphysik.  18.  Bd.  3.-5.  Hft 
Heidelberg,  Winter.    15  Mk. 

Geitler,  Jos.,  Schwiogungsvorgang  in  complicirten  Erregern 
Hertz'scher  Wellen.  (II.  Mitthlg.)  gr.  8°.  (20  S.  m.  10  Fig.)  Wien, 
Gerold's  Sohn.    60  Pf. 

Glajebrook,  R.  T.,  Gruudriss  der  Wärme  für  Studierende  u. 
Schüler.  Doutsch  v.  Otto  Schönrock.  8°.  (II,  280  S.  m.  88  Fig.) 
Berlin,  Calvary  &  Co.   Geb.  3  Mk.  60  Pf. 

Handbuch  d.  Physik.    27.  -  29.  Lfg.   Breslau,  Trewendt.  a 

3  Mk.  60  Pf. 

Ho  ppe,  Ose,  merkwürdige  Wege  u.  Wirkungen  des  Blitzstrahles 
welcher  am  20.  Juni  1895  die  Grube  „Silbersegen'4  bei  Clansthal 
traf.   Imp.-4°.   (7  S.  m.  3  Fig.)   Leipzig,  Engel maun.   50  Pf. 

Kaiser,  Ludw.,  über  die  internationalen  absoluten,  insbe- 
sondere die  magnetischen  und  die  elektrischen  Maasse.  Vorträge, 
gr.  8°.   (57  S.)   Wiesbaden,  Bergmann.    1  Mk.  ÜO  Pf. 

•Käuffer,  Paul,  Energie.  -  Arbeit.  —  Schnelles  Arbeiten  ist 
teurer  als  laugsames  Arbeiten.  —  Die  Kräftediagramme.  —  Die 
spezif.  Wärme  der  Luft  (der  Gase).  —  Der  Vorgang,  wenn  Luft  in 
Folge  v.  Erwärmg.  sich  auf  grösseres  Volumen  ausdehnt.  —  „En- 
ergie" im  Allgemeinen.  Lex.-8°.  (50  S.  m.  Fig.)  Mainz,  Zabern. 
1  Mk. 

Krämer,  Jos.,  die  einfachen  u.  mehrphasigen  elektrischen 
Wechselströme,  beziehungsweise:  Der  Drehstrom,  seine  Erzeugung 
u.  Anwendung  in  der  Praxis.  Mit  ca.  80)  Abbildgn.  im  Text  u.  9 
Tafeln.  (In  5  Lfrgn.)  1.  Lfg.  gr.  8°.  (VIII  u.  S.  1-80.)  Jena, 
Coitenoble.   3  Mk. 

Lang,  Vikt,  Interferenzversuch  m.  elektr.  Wellen.  gr.  8° 
(14  S.  m.  3  Fig.)    Wien,  Gerold.   50  Pf. 

Marcuse,  Adf.,  die  atmosphärische  Luft.    Eine  allgemeine 


Darstellung  ihres  Wesens,  ihrer  Eigenschaften  u.  ihrer  Bedeutung, 
gr.  8°.   (77  8.)   Berlin,  Friedländer.   2  Mk. 

Mewes,  Rud.,  Licht-,  Elektricitäts-  u.  JS-Strahlen.  Ein  Bei- 
trag zur  Erklärg.  der  Röntgenschen  Strahlen,  gr.  8°.  (52  8.  ra 
Fig.)   Berlin,  Fischer's  technol.  Verl.    1  Mk.  50  Pf. 

Müller,  Hugo,  Roentgen's  X-Strahlen.  Gemeinrerstandlich 
dargestellt.  Mit  4  Taf  aufgenommen  im  elektrotechn.  Laboratorium 
der  kgl.  techn.  Hochschule  zu  Berlin  v.  Slaby  u.  Klingenberg  u. 
5  Fig.  im  Text.  1.-4.  Aufl.  gr.  8.  (32  S.)  Berlin,  Sigismund. 
75  Pf. 

Richter,  Ign  ,  Lehrbuch  der  Physik  für  höhere  Handels- 
lehranstalten, gr.  8°.  (X,  226  S.  m.  281  Holzsch.  u.  3  Taf.).  Wien, 
Holder.    Geb.  3  Mk.  40  Pf. 

Riecke,  Ed.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  zu  eigenem 
Studium  u.  zum  Gebrauche  bei  Vorlesungen.  (In  2  Bdn.).  1.  Bd. 
Mechanik,  Akustik,  Optik,  gr.  8°.  (XVI,  418  S.  mit  368  Fig.) 
Leipzig,  Veit  &  Co.   8  Mk. 

Schwartze,  Th.,  Grundgesetze  der  Molekularphysik,  gr.  8°. 
(XIV,  209  S.  m.  25  Abb.)   Leipzig,  Weber.    4  Mk. 

Warburg,  Emil,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  f.  Studi- 
rende.  Mit  104  Orig.- Abbildgn.  im  Texte.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (1.  Hälfe. 
XX,  208  S.)   Freiburg  i.  B.,  Mohr.    7  Mk. 

Weber,  L.,  Repetitorium  der  Experimentalphysik  f.  Studirende 
auf  Hochschuleu.  Mit  besond.  Berücksichtigung  der  Mediziner  und 
Pharmaceuten.  gr.  8°.  (VIII,  256  S.  m.  121  Abbildgn.)  München, 
Wolff.   4  Mk.  20  Pf. 

Wüllner,  Adph.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  2.  Bd.: 
Die  Lehre  v.  der  Wärme.  5.  Aufl.  gr.  8°.  (XI,  935  S.  m.  131 
Fig.)   Leipzig,  Teubner.   12  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  kgl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaf- 
ten. 37.  Bd.  (Mathemat.-physik.  Classe.  22.  Bd.).  Lex.-8».  (VII. 
430  S.  m.  32  Abbilgn.  u.  12  Taf.)   Leipzig,  Hirzel.   20  Mk. 

Abhandlungen  der  kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu 
Göttingen.  40.  Bd.  Vom  J.  1894  u.  1895.  1.  Abtlg.  Mathematisch- 
physikalische  Classe.  gr.  4°.  (III,  39;  37  u.  68  S.  m.  5  Fig.  u. 
8  Taf.)   Göttingen,  Dieterich.   18  Mk.  60  Pf. 

Berichte  der  sächs.  Gesellschaft  d.  Wiss.  Math.-phya.  Classe. 
1895.  IV.   Leipzig,  Hirzel.   1  Mk. 

Mitteilungen  der  mathematischen  Gesellschaft  in  Hamburg. 
3.  Bd.  6.  Hft.  Red.  v.  Ahlborn,  Sieveking  u.  Schröder,  gr.  8°. 
(S.  223—272.)   Leipzig,  Teubner.   80  Pf. 


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Ostwahr s,  Klassiker  der  exacten  Wissenschaften.  Nr.  67, 
69-71.  8°.  Leipzig,  Engelmann.  Kart.  67.  Entwurf  e.  Theorie 
der  Abel'schen  Transccndenten  erster  Ordog.  v.  A.  Göpel.  (1847). 
Hrsg.  v.  A.  Weber.  Aus  dem  Latein,  übers,  v.  A.  Witting.  (60  S  ) 
1  Mk.  —  69.  Ueber  Faraday's  Kraftlinien.  Von  James  Clerk  Max- 
well. (1855/56.  Maxw.  scient.  pap.  vol.  1  p.  155)  Hrsg.  v.  L.  Boltz- 
mann.  (130  S.)  2  Mk.  —  70.  Magnetische  Polarisation  der  Metalle 
u.  Erze  durch  Temperatur- Differenz.  Von  Th.  J.  Seebeck.  (1822—23) 
Hrsg.  v,  A.  J.  v.  Oettingen.  120  S.  m.  33  Textfig.  2  Mk.  —  71. 
Untersuchungen  Qb.  die  Reihe 

m       m  .  (m—  1)     f  m  .  (m  —  1)  .  (m  —  2)  , 

1  + 1      rrs" '  1.2.3  -•«■••• 

~f"  •  •  • 

Von  N.  H.  Abel.    (1826.)   Hrsg.  v.  A.  Wangerin.    (46  S).   1  Mk. 

Pflücker' 8,  Jul.,  gesammelte  wissenschaftliche  Abhandlungen. 
Im  Auftrag  der  kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften'  zu  Göttingen 
hrsg,  v.  A.  Schoenflies  u.  Fr.  Pockels.  (In  2  Bdn.)  2.  Bd.  Physi- 
kalische Abhandlgn.  Hrsg.  t.  Fr.  Pockels.  gr.  8«  (XVIII,  834  S. 
m.  78  Fig.  u.  9  Taf  )    Leipzig,  Tenbner.    30  Mk. 

Sitzungsanzeiger  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften. 
Mathematisch- naturwisse  nschattl.  Classe.  Jahrg.  1896.  ca.  30  Nrn. 
Lex.-8°.   Wien,  Gerold's  Sohn.   3  Mk. 

Sitzungsberichte,  Münchener.    Mathemat.  Classe.  1895. 

2.  Hft.    München,  Franz'  Verl.    1  Mk.  20  Pf. 

—  Wiener.  Mathem  -naturw.  Classe.  Wien,  Gerold's  Sohn 
Abth.  I    104.  Bd.   3  u.  4.  Hft    4  Mk.  50  Pf  -  Abth  IIa.  104.  Bd. 

3.  -6.  Hft.  7  Mk.  -  Abth.  IIb  104  Bd.  5.-7.  Hft.  3  Mk. 
20  Pf  -  Abth.  III    104.  Bd.    1.-5.  Hft    2  Mk  60  Pf. 

Wolf,  R,  Taschenbuch  f.  Mathematik,  Physik,  Geodäsie  u. 
Astronomie.    6.,  durch  A   Wolfer  vollend.  Aufl.    Mit  32  Tab.  u 
vielen  Holzschn.    4.  u.  5.  Lfg.    12«.    (XI-XXIX  u.  S.  241-388.) 
Zürich,  Schulthess.   ä  1  Mk  20  Pf.    kplt  geb.  7  Mk. 


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Litterarischer  Bericht  LV111. 


14 


Litterarischer  Bericht 

LVIII. 


Sammlungen. 

Sammlung  von  Aufgaben  aus  der  Arithmetik  für  höhere  Lehr- 
anstalten. Von  Karl  Schwering,  Director  des  stiftischen  Gym- 
nasiums in  Düren.  Erster  --  zweiter  —  dritter  Lehrgang.  Freiburg 
L  Br.    1896    Herder.   242  S. 

Durch  Uebungen,  Ausrechnung  von  Zahlenbeispieleu  und  Beant- 
wortung von  Fragen,  werden  die  Schüler,  mit  Voraussetzung  der  4 
Spccics  in  dekadischen  Zahlen,  ohne  direct  ausgesprochene  Belehrung 
zum  Verständniss  und  zur  Aneignung  der  elementarsten  für  die 
Arithmetik  notwendigen  Begriffe  geführt,  der  Brüche,  der  Potenzen, 
des  Gebrauchs  der  Buchstaben,  der  Gleichungen  u.  s.  w.  so  dass  die 
Reihenfolge  der  Aufgaben  einer  bestäudig  fortschreitenden  Höhe  des 
Standpunktes  der  Entwickeluug  entspricht.  Ausgeschlossen  sind : 
Negative,  Irrationale,  Potenzwurzclu,  höhere  Gleichungen.  Die  nu- 
merischen Resultate  sind  stets  angegeben.  II. 

Sammlung  von  Aufgaben  und  Beispielen  aus  der  Trigonometrie 
und  Stereometrie.  Von  Dr.  Friodrich  Reidt,  Professor  am  Gym- 
nasium in  Hamm.  I.  Teil:  Trigonometrie.  Vierte  Auflage.  Neu 
bearbeitet  von  A.  Mach,  Professor  am  Gymnasium  in  Kreuznach. 
Leipzig  1894.   B.  G.  Teubner.    250  S. 

Auflösungen  und  Aufgaben  in  der  Sammlung  (s.  vorstehenden 
Titel)   88  S. 


Arch.  d.  Math.  u.  riiys.   2.  Ueihe,  T.  XV. 


2 


15 


Litterarischer  Bericht  LVU1. 


Die  Aufgaben  sind  zum  Teil  numerische  in  ganzen  Zahlen,  zum 
Teil  algebraische  in  Buchstaben,  zum  Teil  bestimmt  für  den  Gebrauch 
siebenstelliger  Tafeln,  der  Folge  nach  gehörig  zur  Goniometrie,  zur 
ebenen,  dann  zur  sphärischen  Trigonometrie,  und  zwar  erst  am  recht- 
winkligen, dann  am  beliebigen  Dreieck.  H. 


Aufgaben  aus  der  analytischen  Geometrie  der  Ebene.   Von  Dr. 
Adolf  Hochheim,  Professor.    Heft  I.   Die  gerade  Linie,  der 
Punkt,  ^der  Kreis.    A.  Aufgabeu.  —  B.  Auflösungen.   Zweite  ver- 
besserte Auflage.   Leipzig  1894.   B.  G.  Teubner.   86  -f-  106  8. 

Die  Aufgaben  dieses  1.  Hefts  sind  darauf  gerichtet,  die  ge- 
bräuchlichen Rechnungsformen,  als  gegebene  Doctrin,  einzuüben. 
Die  analytische  Bedeutung  und  Bestimmung  dieser  Rechnungs- 
formen für  Untersuchung  von  Problemen  konute  hier  nicht  wol  zu- 
tage treten.  Da  letzterer  Gesichtspunkt  hier  nicht  in  Betracht  kam, 
sosind  auch  die  aus  der  neuern  synthetischen  Geometrie  stammen- 
den Rechnungsformen  berücksichtigt  worden,  was  namentlich  da,  wo 
das  Buch  für  die  Schule  in  Anwenduug  kom  mt ,  zweckmässig  sei 
mag.  Viel  Sorgfalt  ist  darauf  verwandt,  das  Erlernen  zu  erleichtern 
Die  „Auflösungen"  geben  nicht  nur  Resultate,  sondern  auch  die  Weg 
der  Ausführung  der  Forderungen.  H. 


Uebungsbuch  zur  Algebra.  Von  Adolf  Sickenberger,  k. 
Gymnasialprofessor  uud  Director  der  Luitpold-Kreisrealschule  zu 
München.  Erste  Abteilung.  Erste  uud  zweite  Stufe  der  Rechnungs- 
arten einschliesslich  der  linearen  Gleichungen  mit  einer  und 
mehreren  Unbekannten.  Zweite  Auflage.  München  1894.  Theodor 
Ackermann.   106  S. 

Die  1.  Auflage  ist  im  35.  litterarischen  Bericht  Seite  31  be- 
sprochen ;  in  der  2  ten  ist  die  Zahl  der  Uebungsbeispicle  etwas  ver- 
mehrt worden.  H. 


Sammlung  von  Formeln  der  reinen  und  angewandten  Mathe- 
matik. Von  Dr.  W.  Läska.  Mit  drei  Tafeln.  Braunschweig  1894. 
Vieweg  und  Sohn.   1671  S. 

Eine  so  umfassende  Formelsammlung  ist  gewiss  noch  nie  her- 
ausgegeben worden.  Glücklicherweise  tritt  auch  gleich  dieaer  erste 
Versuch  der  Bearbeitung  eines  solchen  Werkes  mit  guter  Wahl  der 


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Literarischer  Bericht  L  V11L 


16 


Form  und  Einrichtung,  dio  bei  der  Heterogeneität  der  Teile  nicht 
überall  leicht  war,  anf.  Sehr  zu  billigen  ist  es,  dass  es  die  Grenzen 
des  Theoretisch-wissenschaftlichen  nicht  überschreitet,  namentlich  die 
Technik,  wie  auch  andererseits  die  Schnimathematik  und  das  gren- 
zenlose Gebiet  der  Configuratiouen,  erstere  mit  Hinweis  auf  die 
reichlich  vorhandenen  Sammlungen,  ausschliesst.  Numerische  Ta- 
bellen sind  in  geringer  Ausdehnung  mit  aufgenommen;  diese  hätten, 
da  der  Titel  des  Buchs  sie  nicht  verspricht,  auch  wegfallen  können. 
Auf  Einzelnes  einzugehen  lässt  die  Mannigfaltigkeit  des  Stoffes  nicht 
wol  zu.  H. 

Planimetrische  Coustructionsaufgaben  nebst  Anleitung  zu  deren 
Lösung  für  höhere  Schulen.  Methodisch  bearbeitet  vou  E.  R.  Mül- 
ler.   Dritte  Auflage.   Oldenburg  1894.   Gerhard  Stalling.   68  S. 

Die  erste  Auflage  ist  im  13.  litt  Bericht,  Seite  10,  die  zweite 
im  26.  1.  B.  Seite  15  besprochen.  Sichtlich  ist  das  Bestreben,  den 
minder  begabten  Schülern  den  Anfang,  wo  nur  Ausführung,  nicht 
Ueberlegung  verlangt  wird,  leicht  und  ihren  Abstand  von  der  Be- 
gabteren weniger  fühlbar  zu  machen,  um  sie  alsdann  allmählich 
durch  Angabe  der  Analysis  zum  Suchen  der  Lösung  zu  ermutigen. 

IL 


Formelsammlung  und  Bepetitorium  der  Mathematik  enthaltend 
die  wichtigsten  Formeln  und  Lehrsätze  der  Arithmetik,  Algebra, 
niederen  Analysis,  ebenen  Geometrie,  Stereometrie,  ebenen  und  sphä- 
rischen Trigonometrie,  mathematischen  Geographie,  analytischen 
Geometrie  der  Ebene  und  des  Raumes,  der  höheren  Analysis.  Von 
0.  Th.  Bürklen,  Professor  am  Reallyceura  in  Schw.  Gmüud.  Mit 
20  Figuren.    Leipzig  1896.   G.  J.  Göschen.   211  S- 

Die  formulirten  Resultate  der  Principien  der  genauuteu  Doc- 
trinen  werden  in  befriedigender  Vollständigkeit  in  natürlicher  Ord- 
nung zusammengestellt.  H. 

Sammlung  von  Sätzen  und  Aufgaben  der  systematischen  und 
darstellenden  Geometrie  der  Ebene  in  der  Mittelschule.  Erster  und 
zweiter  Curs  für  die  Hand  des  Schülers  bearbeitet  von  Dr.  K.  F  i  n  k , 
Rector  an  der  Realaustalt  zu  Tübiugen.  Mit  10  Figurentafeln  und 
84  Blättern  für  die  darstellend-geometrischen  Uebungen  gezeichnet 
vom  Reallehrer  Auer  in  Tübingen.  Tübingen  1896.  H.  Laupp. 
108  S. 


17 


Lilterarischer  Bericht  LVUL 


Die  Aufgaben  sind  sehr  mannigfaltiger  Art,  stets  nur  darauf 
bedacht,  die  Schüler  zum  Denken  und  Beobachten  zu  bringen,  ohne 
Sorge  darum,  ob  sie  jede  Frage  definitiv  beantworten  können.  Diese 
Fragen  sind  manchmal  ziemlich  unbestimmt  und  verlangen  nur 
Aeusserung  oder  beliebige  Bemerkung.  Namentlich  aber  werden  da- 
durch alle  Eigenschaften  und  Beziehungen  der  betrachteten  einfachen 
Gebilde  erschöpfend  zum  Bewusstsein  gebracht.  H. 

Algebraische  Gleichungen  nebst  den  Resultaten  und  den  Metho- 
den zu  ihrer  Auflösung.  Von  Dr.  Ernst  Barde y.  Vierte  Auflage. 
Loipzig  1893.   B.  G.  Teubner.   378  S. 

Das  Vorliegende  ist  eine  reichhaltige  Sammlung  von  Aufgaben 
zurUebung  im  algebraischen  Rechnen,  Aufgaben,  die  auf  Gleichungen 
2.  Grades  führen.  Gegeben  sind  Gleichungen  der  mannigfaltigsten 
algebraischen  Form-,  die  Arbeit  besteht  in  der  Reduction  auf  die 
Normalform,  die  sich  nicht  immer  diroct  im  2.  Grade  ergibt,  aber 
entweder  durch  Ausscheidung  einer  leicht  erkennbaren  Wurzel  auf 
2.  Grad  erniedrigt  oder  in  eine  Succession  quadratischer  Gleichungen 
zerlegt  werden  kann.  Die  Aufgaben  dieser  Art  bilden  zwei  besondere 
Abschnitte.  Für  Erwerbung  aller  zustatten  kommenden  Kenntnisse 
ist  durch  vorausgehende  ausführliche  Belehrung  in  bester  Weise  ge- 
sorgt.  Die  Resultate  stehen  hinter  den  einzelnen  Aufgaben. 

H. 

Recucil  de  problomes  de  mathematiques.  Algöbrc,  theorie  des 
nombres,  probabilites,  geometrie  de  Situation.  —  Geometrie  du  tri- 
angle.  Ä  l'etude  des  classes  de  mathematiques  speciales.  Par  C.  A. 
Laisant,  Docteur  es  sciences,  Repetiteur  a  l'ßcolc  Polytcchniquo. 
Paris  1895.   Gauthier-Villars  et  fils.    264  S. 

Es  werden  hier  die  französisch  geschriebenen  Bearbeitungen  der 
Probleme  aus  den  genannten  Zweigen  der  Mathematik  mit  Angabe 
des  Autors  und  der  Zeitschrift  zusammen  gestellt,  welche  seit  1842, 
d.  i.  seit  der  Gründung  der  Nouvelles  Annales  de  Mathematiques  er- 
schienen sind.  II. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

E.  Goursat,  Vorlesungen  über  die  Integration  der  partiellen 
Differentialgleichungen  erster  Ordnung.   Gehalten  an  der  Faculte 


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Litterarüchtr  Bericht  LVUI. 


18 


des  scieiic.es  zu  Paris.  Bearbeitet  von  C.  Bourlet.  Autorisirte 
deutsche  Ausgabe  von  IL  Maser.  Mit  einem  Begleitwort  von  S. 
Lie.   Leipzig  1893.   B.  G.  Teubner.   416  S. 

Das  Problem  der  Integration  der  partiellen  Differentialgleichungen 
1.  Ordnung  wird  schrittweise,  auch  entsprechend  dem  geschichtlichen 
Entwickelungsgang,  in  folgenden  Abschnitten  zur  allgemeinen  und 
vollständigen  Lösung  geführt:  Allgemeine  Sätze  über  die  Existenz 
der  Integrale;  lineare  Gleichungen,  vollständige  Systeme;  lineare 
totale  Differentialgleichungen;  Gleichungen  von  beliebiger  Form, 
Allgemeines,  Methode  von  Lagrange  und  Charpit;  Methode  von 
Cauchy,  Charakteristiken;  Definition  der  Ausdrücke  (t^-,  tp)  und  [tf>, 
<p],  erste  Methode  von  Jacobi;  Methode  von  Jacobi  und  Mayer; 
Methode  von  Lie;  geometrische  Untersuchung  der  Gleichuugen  mit 
3  Variabein,  Integralcurven,  singulare  Lösuugen;  allgemeine  Theorie 
von  Lie;  Berührungstransformationen;  Theorie  der  Gruppe,  allge- 
meine Integrationsmethode.  H. 

Elemente  der  höheren  Mathematik.  Vorlesungen  zur  Vorberei- 
tung des  Studiums  der  ^Differentialgleichung,  Algebra  und  Functio- 
nentheorie.  Von  Dr.  Otto  Bi ermann,  o.  ö.  Professor  an  der  tech- 
nischen Hochschule  zu  Brünn.   Leipzig  1895.  B.  G.  Teubner.  381  S. 

Die  Abschnitte  des  Buchs  siud  folgende:  Grundlagen  der  Arith- 
metik; über  Functionen  reeller  Variabein;  Arithmetik  complexer 
Grössen;  Theorie  der  algebraischen  Gleichungen;  die  rationalen 
Functionen;  Potenzreihen;  die  elementaren  Functionen.  Durch  diese 
also  soll  das  Studium  der  höheren  Mathematik  vorbereitet  wer- 
den. Schon  öfter  ist  in  der  Tat  neuerdings  die  unvernünftige  Be- 
hauptung laut  geworden,  zwischen  der  Schulmathematik  und  den 
Vorträgen  der  höhern  Mathematik  wäre  infolge  der  Fortschritte  (!) 
der  Wissenschaft  eine  Kluft  entstanden.  Offenbar  würde  dann  allein 
die  Vortragenden  ein  Tadel  treffen;  der  Fortschritt  kann  den  An. 
fang  nicht  beeinflussen.  Die  Differentialgleichung  fusst*  bei  strengster 
Begründung  ihrer  Principien  nur  auf  ganz  elementare  Lehren,  und 
sie  ist  wieder  in  hohem  Grade  förderlich  für  die  höhere  Algebra 
und  Functionslehre.  Lässt  hier  der  Vortrag  Schwierigkeiten  be- 
stehen, so  ist  die  Methode  unvernünftig  oder  mangelhaft:  zu  den 
Mängeln  gehört  gewöhnlich,  dass  über  Begriff  und  Theorie  des  Un- 
endlichen keine  Auskunft  erteilt  wird,  was  auch  vom  gegenwärtigen 
Buche  gilt.  Nimmt  man  uun  aber  auch  an,  dass  wirklich  eine 
Lücke  vorhanden  ist,  die  den  Studirenden  das  Ventändniss  er- 
schwert, und  fragt,  ob  das  Dargebotene  ihnen  die  vermisste  Auf- 


19 


Literarischer  Bericht  LVUL 


klärung  geben  wird,  so  mögen  diejenigen  entscheiden ,  die  das  Buch 
7.o  eigener  Belehrung  gebrauchen  wollen.  U.  E.  ist  es  nicht  der 
Fall.  An  Stelle  dessen,  was  von  Natur  einfach  ist,  werden  compli- 
cirte  neue  Begriffe  geschaffen  (wahrscheinlich  nicht  vom  Verfasser, 
sondern  gestützt  auf  gewisse  Autoritäten)  und  dem  Leser  so  vorge- 
führt, als  wäre  es  zur  Gründlichkeit  notwendig.  Das  Ganze  in 
seinem  grossen  Umfang,  wenn  wirklich  der  Leser  glaubt,  dass  er 
alles  dies  lernen  müsste,  ehe  er  mit  der  höheren  Mathematik  an- 
fangen könnte,  ist  so  abschreckend  vom  Studium  als  möglich. 

Hoppe. 


Sophus  Lie,  Vorlesungen  über  continuirliche  Gruppen.  Mit 
geometrischer  und  anderen  Anwendungen.  Bearbeitet  und  heraus- 
gegeben von  Dr.  Georg  Sehe f fers,  Privatdocent  an  der  Univer- 
sität Leipzig.  Mit  Figuren  im  Text.  Leipzig  1893.  B.  G.  Teubner. 
310  S. 

Die  Abteilungen  des  Buchs  haben  einzeln  folgenden  Inhalt: 
Die  allgemeine  projective  Gruppe  der  Ebene  und  einige  ihrer  Unter- 
gruppen; Theorie  der  projectiven  Gruppen  in  der  Ebene;  die  Gruppen 
der  Ebene;  die  grundlegenden  Sätze  der  Gruppeutheorie;  lineare 
homogene  Gruppen  und  complexe  Zahlen  ;  einige  Anwendungen  der 
Gruppentheorie.    Erklärung  der  Begriffe  wird  genügend  gegeben. 

II. 


Beiträge  zur  Theorie  der  Gleichungen.  Von  Dr.  Hermann 
Scheffler.   Leipzig  1891.   Friedrich  Foerster.   133  S. 

Die  Schrift  handelt  über  folgende  Themata:  Symmetrische  Func- 
tionen; Form  der  Wurzel;  Reduction  der  Gleichung;  Auflösung  der 
Gleichung  2ten,  3ten,  4ten  Grades;  Gleichung  5.  Grades;  die  2te 
Bedingung  der  Lösbarkeit;  Unlösbarkeit  der  Gleichung  5  ten  und 
höheren  Grades;  die  unvollständigen  Gleichungen;  die  trinomischeu 
Gleichungen;  die  binomischeu  Gleichungen;  Identität  und  Gleich- 
heit; die  Vielwertigkeit  der  Wurzel  als  Folge  der  Unbestimmtheit 
der  Coefhcienteu;  Beziehungenzwischen  den  Wurzeln  und  den  Coef- 
ticienten;  die  identische  Erfüllung  einer  Gleichung;  der  vollständige 
Ausdruck  der  Wurzel;  Autlösung  der  Gleichung  durch  convergente 
Reihen:  die  algebraische  Irrationalzahl;  die  transcendente  Irrational- 
zahl ;  Nachweis  der  n  Wurzeln  einer  Gleichung  nten  Grades.  H. 


Litterarischer  Bericht  LVlll. 


20 


Lecons  sur  la  resolution  algebrique  des  equations.  ParH.  Vogt^ 
ancien  pleve  de  l'lScole  Normale  superieure,  Professeur  adjoint  ä  la 
Faculte  des  sciences  de  Nancy.  Avec  une  preface  de  M.  Jnles 
Tannery,  Directeur  des  Stüdes  scientifiqaes  a  l'ficole  Normale 
superieure.    Paris  1895.    Nony  et  Cie.   201  8. 

Die  Gegenstände  des  Werks  sind  folgende:  Substitutionsgrop- 
pen;  Untergruppen,  einfache  und  zusammengesetzte  Gruppen;  ratio- 
nale Functionen  mehrerer  unabhängigen  Variabein;  algebraische 
Relationen  zwischen  ihnen ;  cyklische  und  metaeyklische  Functionen 
mehrerer  Variabel u ;  Rationalitätsbereicb ,  Reducirbarkeit  der  ganzen 
Functionen;  rationale  Functionen  der  Wurzeln  einer  Gleichung, 
Resolventen,  Gruppe  einer  algebraischen  Gleichung;  Gleichungen  2., 
3.  und  4.  Grades,  Lagrange's  Untersuchungen;  über  die  algebraische 
Auflösung  der  Gleichungen;  über  die  abel'schen  Gleichungen;  über 
die  Gleichungen  der  Kreisteilung;  über  die  nicht  reducirbaren  auf- 
lösbaren Gleichungen  von  Primzahlgrad;  über  dio  Gruppen!  einer 
Gleichung.  H. 

Lecons  sur  Integration  des  iquations  aux  d<riv6es  partielles  du 
second  ordre  de  deux  variables  independantes.  Par  E.  Goursat, 
Maitre  de  Conferences  ä  l'ßcole  Normale  superieure.  Tome  L  Pro- 
bleme de  Cauchy.  —  Characte>istiques.  —  Integrales  intermediäres. 
Paris  1896.   A.  Hormann.   226  S. 

Es  wird  zuerst  eine  besondere  Ciasso  von  Gleichungen  unter- 
sucht; dannn  folgt  ein  Problem  von  Cauchy,  dann  die  Gleichungen 
von  Mouge  und  Ampere,  dann  verschiedene  Anwendungen,  dann  die 
allgemeine  Theorie  der  Charakteristiken.  H. 

Traite  d'  analyse.  Par  ßmile  Picard,  Membre  de  l'Institut, 
Professeur  ä  la  Faculte  des  Sciences.  Tome  III.  Des  singulare 
des  integrales  des  equations  differentiellos,  6tude  du  cas  oü  la  variable 
reste  reelle,  des  courbes  defiuies  par  des  equations  diffe>entielles, 
equations  lineaires,  analogies  entre  les  equations  algebriques  et  les 
equations  lineaires.   Paris  1896.   Gauthier-Villars  et  fils.   568  S. 

Der  I.  Band  ist  besprochen  im  43  litt.  Bericht  S.  31,  der  II 
B.  im  47.  L  B.  29.  Der  III.  Band  enthält :  Allgemeines  über  die 
Singularitäten  der  Differentialgleichungen;  gewöhnliche  Differential- 
gleichungen 1.  Ordnung  zu  2  Variabcln;  singulare  Lösungen  der 
gewöhnlichen  Differentialgleichungen;  gewisse  Classen  von  Differen- 
tialgleichungen; verschiedene  Methoden  successiver  Näherung;  ge- 


21 


Litlerarischer  Bericht  LVIJ1. 


wisse  lineare  Gleichungen  2.  Ordnung;  Untersuchung  einiger  nicht 
linearer  Gleichungen;  periodische  und  asymptotische  Lösungen  ge- 
wisser Differentialgleichungen;  singulare  Punkte  der  reellen  Inte- 
grale der  Gleichungen  1.  Ordnung;  Form  der  Curven,  welche  eine 
Differentialgleichung  1.  Ordnung  und  1.  Grades  befriedigen;  Allge- 
meines über  die  singu'.ären  Punkto  der  linearen  Differentialgleichun- 
gen; hypergeometrische  Functionen;  einförmige,  aus  der  hypergeo- 
metrischen Differentialgleichung  abgeleiteten  Transcendeuten;  ge- 
wisse lineare,  im  Unendlichen  irreguläre  Differentialgleichungen; 
einige  Classen  integrabler  linearer  Differentialgleichungen;  Theorie 
der  Substitutionen  und  der  algebraischen  Gleichungen;  Analogien 
zwischen  der  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  und  der 
Theorie  der  algebraischen  Gleichungen.  H. 

Einführung  in  die  Functioneutheorie.  Eine  Ergänzung  zu  allen 
Lehrbüchern  der  Differential-  und  Integralrechnung  Mit  23  in  den 
Text  gedruckten  Figuren.  Bearbeitet  von  Dr.  W.  Laska.  Stutt- 
gart 1894.   Julius  Maier.   55  S. 

Die  Teile  des  Werkes  sind  folgende:  Grundbegriffe,  namentlich 
der  Irrationalzahl  nach  Dedekind;  die  geschichtliche  Entwickelung 
des  Functionsbegriffs;  Riemaun-Cauchy's  Functionentheorie;  Theorie 
der  complexcn  Integrale;  Fortsetzung  der  Functioneutheorie  nach 
Riemann's  Anschauung;  rationale  Functionen;  Theorie  der  Reihen; 
die  Reihenfortsetzung;  Begriff  der  Functionen  nach  Weierstrass,  die 
Differentiation;  Darstellung  der  eindeutigen  Fuuctionen.  H. 

• 

Clements  de  la  the'orie  des  fonetions  clliptiquos.  Par  Julos 
Tanncry,  Sous-Dirccteur  des  Stüdes  scientitiques  ä  l'ßcole  Nor- 
male supmeure,  Jules  Molk,  Professeur  a  la  Facult«  des  Scien- 
ces de  Nancy.  Tomo  II.  Calcul  diffrrentiel  (IItt  partie).  Paris  1896. 
Gauthier- Villars  et  fils.   299  S. 

Der  I.  Band  ist  im  47.  litt.  Bericht  S.  28  besprochen.  Der 
II.  Band  handelt  von  den  Jacobi'schen  Functionen  &  und  Weier- 
strass'schen  Functionen  a  in  der  Reihenform,  dann  deren  Quotien- 
ten, welche  die  Inversen  elliptischer  Integrale  ergeben.  Hierauf 
folgt  eine  Zusammenstellung  von  Formeln.  H. 

Facultc  des  Sciences  de  Lille.    Cours  d'analyse.   Professe  par 
M.  Demartres  et  redige  par  M.  E.  Lemaire.   Troisicrae  partie. 
ßquatious  diffVrcnticllcs  et  aux  d^rmes  partielles.    Paris  1896.  A. 
Hermann.   4°.   156  S. 


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Litterarücher  Bericht  LVJ1I. 


22 


Der  3.  Teil  des  Werkes  handelt  von  der  Integration  der  Diffe- 
rentialgleichungen.   Kr  enthält  nach  einander:  Allgemeines  Ober  die 
Systeme  der  Differentialgleichungen:  Integrationsverfahren;  Glei- 
chungen höherer  Ordnung,  System  von  Differentialgleichungen;  Glei- 
chungen mit  partiellen  Derivirteu;  Variationsrechnung  H. 

Traite  d'algebre.  Complemcnts.  Par  II.  Laurent,  Examina- 
teur  d'admission  ä  l'ticole  Polytcchniquo.  Quatriemc  partie:  TVorio 
des  polyuomes  ä  plusieurs  variables.  Paris  1894.  Gau thier- Villars 
et  fils.   53  S. 

Die  in  diesem  4.  Teile  behandelten  Sätze  über  Polynome  in 
mehreren  Variabein  sind  nicht  einfach  genug,  um  sio  anzuführen  oder 
zu  charaktcri8iren.  Wir  müssen  daher  auf  die  Schrift  selbst  ver- 
weisen. II. 


Zur  Formation  quadratischer  Gleichungen.  Von  Dr.  Ernst 
Bardey.  Zweite,  unveränderte  Ausgabe.  Leipzig  1894.  B.  G. 
Teubner.   39U  S. 

Aus  dem  unbegrenzten  Bereiche  möglicher  Transformationen 
algebraischer  Gleichungen  in  äquivalente  finden  sich  hier  in  reich- 
licher Anzahl  solche  ausgesucht,  die  für  sich  Interesse  bieten.  Au 
die  Transformationen  einer  Gleichung  schliesscn  sich  auch  sogleich 
Verbindungen  mehrerer  nach  dem  Priucip:  Gleiche  Operationen  au 
Gleichem  vollzogen  geben  Gleiches  —  mit  dem  Ergebuiss  im  erstem 
Falle  einfach  einander  identischer,  im  letztern  zerlegbarer  Gleichun- 
gen. Jedes  solche  Ergebniss  wird  dann  als  Lehrsatz  ausgesprochen, 
ohne  Zweifel  zu  dem  Zwecke,  dass  der  Schüler  die  Beziehungen  der 
Gleichungen  im  Gedächtniss  behalten  und  dadurch  einen  freieren 
Ueberblick  erwerben  soll.  Im  Grunde  wird  keine  neue  Kenntniss 
gewonnen;  denn  dieselbeu  Identitäten  und  Zerlegungen  findet  man 
auch,  wo  die  Auflösung  das  Ziel  ist,  nämlich  auf  dem  gesicherten 
analytischen  Wege  von  der  Vielhoit  zur  Einheit,  d.  i.  zur  normalen 
Gleichungsform.  Hier  ist  der  umgekehrte  Weg  gewählt,  der  synthe- 
tische von  der  Einheit  zur  Vielheit;  man  geht  in  dieselbe  Erkennt- 
niss,  nur  zur  andern  Tür,  mit  anderer  Perspective  hinein. 

Hoppe. 

Theorems  in  the  calculus  of  enlargement.  A  method  for  cal- 
culating  simultan eously  all  the  roots  of  an  equation.  By  Emory 
Maclintock.   Amer.  Journ.  XVII.  1.  2. 


23 


LitiirarUcher  Bericht  LVI1J. 


Der  Verfasser  ist  im  Besitz  einer  Methode, alle  Wurzeln  einer 
algebraischen  Gleichung  gleichzeitig  zu  finden,  wie  es  scheint,  ent- 
wickelt in  unendliche  Reihen.  Er  teilt  sie  aber  nicht  mit;  denn  in 
der  ganzen  Schrift  ist  nirgends  ausgesprochen,  worin  sie  besteht. 
Vielmehr  zieht  er,  wie  er  sagt,  das  „praktische"  Verfahren  vor,  dem 
Leser  die  Auflösung  mehrerer  specieller  Gleichungen  vorzurechnen. 
In  jedem  solchen  Beispiel  findet  man  eine  Reihe  Gleichungen  mit 
wenigen  Begleitworten,  die  mancherlei  sagen,  nur  nicht,  wie  sie  ge- 
wonnen sind,  uud  was  sie  bedeuten.  Die  Methode  soll  also  Geh'eim- 
iii ss  des  Autors  bleiben.  Hoppe. 


Geometrie. 

Cours  de  geom^trie  analytique.  A  Pusage  des  e^ves  de  la 
classe  de  math<?matiques  speciales  et  des  candidats  aux  c'coles  du 
gouvernement.  Par  B.  Nieweuglowski,  Docteur  H  Sciences,  An- 
den Professeur  de  mathematiques  speciales  au  Lycee  Louis-le-Grand, 
Inspecteur  de  l'Acad^mie  de  Paris.  Tome  III.  Geometrie  daos 
respace.  Avec  une  note  sur  les  transformations  en  g^ome'trie.  Par 
£mile  Borel,  Maitro  de  Conferences  ä  la  Facultc  de  Lille.  Paris 
1896.    Gauthier-Villars  et  tils.   572  S. 

Obgleich  sich  das  Hauptgewicht  auf  Specialien  und  Uebungen 
gelegt  findet,  so  sind  doch  die  allgemeinen  Principien  der  analyti- 
schen Geometrie  nicht  ganz  ohne  Berücksichtigung  übergangen,  son- 
dern bilden  den  Anfang.  Von  der  linearen  Geometrie  und  der  Curvcn- 
theorie,  welcher  letztern  unter  den  31  Capiteln  wenigstens  eins  ge- 
widmet ist,  sind  die  meisten  Elementarbegriffe  und  Relationen  her- 
geleitet; was  namentlich  fehlt,  sind  die  Variationen  der  Elemente. 
Die  Flächentheorie  dagegen  ist  sehr  kärglich  bedacht;  sie  erstreckt 
sich  bloss  auf  die  Berührungsebene  und  Normale.  Von  den  Krüm- 
mungen ist  kein  Wort  gesagt;  die  Linien  auf  den  Flächen  kommen 
nur  als  Erzeugende  vor,  die  zahlreichen  Probleme  über  sie  bleiben 
unerwähnt.  Von  speciellen  Fläcbenarten  werden  cylindrische,  koni- 
sche, Rotations-  und  Regelflächen  in  Betracht  gezogen.  Mehr  als  die 
Hälfte  des  Buchs  aber  handelt  von  den  Flächen  2.  Grades. 

Hoppe. 


Die  Harmonikaien  der  Mittelpunkte  der  Berührungskreise  eines 
Dreiecks  in  Bezug  auf  dasselbe.    Von  Dr.  Fr.  W.  Frankenbach, 


Litterarucher  Bricht  LV1U. 


24 


Realschul- Director.  Jahresbericht  der  städtischen  Wilhelms* Real- 
schule in  Liegnitz.   Liegnitz  1895.    Programm.   31  S. 

Es  werden  mehrere  Sätze  und  Formeln  über  symmetrische  Con- 
figurationen  im  allgemeinen  Dreieck  hergeleitet.  H. 


Over  een  minimaloppervlak  van  tweevoudigcn  samenhang.  Door 
L.  C.  Kluyver.  Yerhandlingen  der  koningüjke  Akademie  van  Weten- 
schappen  te  Amsterdam,  eerste  sectie,  Deel  III.  no.  9.  Met2platen. 
Amsterdam  1896.   Johannes  Müller.    42  S. 

Es  wird  zwischen  den  Umfängen  zweier  rechteckiger  Gegenseiten 
eines  rechtwinkligen  Parailelepipedons  die  kleinste  verbindende  Fläche 
berechnet.  II. 


De  merkwaardige  punten  van  den  ingeschreven  veelhoek.  Door 
M  van  Overeem  jr.  Yerhandelingen  der  koninklije  Akademie 
van Wetenschappen  te  Amsterdam,  eerste  sectie,  dl.  III.  no- 7.  Met 
een  plaat.   Amsterdam  1896.   Johannes  Müller.    29  S. 

Von  den  4  sog.  merkwürdigen  Punkten  des  Dreiecks  sind  nur  2 
an  beliebigen  dem  Kreise  einbeschriobenen  Vieleck  von  selbst  deut- 
lich wiederzufinden,  der  Mittpunkt  O  dieses  Kreises  und  der  Schwer- 
punkt des  Vielecks  Z.  'Mit  beiden  liegt  beim  Dreieck  der  Höhen- 
schnittpunkt H  auf  gerader  Linie ,  und  zwar  ist  OH  —  3  OZ.  Die 
Mitte  der  Geraden  OH  wird  unter  dem  Namen  „Mittelpunkt  des 
Euler'schen  Kreises  iV"  jenen  Punkten  zugezählt.  Um  nun  die 
Analogie  am  einbeschriebenen  n  eck  zu  ergänzen  lässt  der  Verfasser 
auf  der  verlängerten  Geraden  OH  «=  n  .  OZ  von  O  aus  n  Strecken 
im  Verhältniss 

111  1 

1  :  2  :  3  :  4  '  '   '  :  n 

abschneiden,  betrachtet  deren  »+1  Endpunkte,  die  jedenfalls  Sym- 
metriepunkte des  Vielecks  sind,  als  dessen  „merkwürdige  Punkte44 
und  entwickelt  im  Laufe  der  Abhandlung  ihre  Bedeutung  und  Eigen- 
schaften. H. 


Het  vierdimensionale  prismatoide.  Door  P.  H.  Schonte.  Ver- 
handelingen der  Koninklijke  Akademie  van  Wetenschappen  te  Am- 
sterdam, eerste  sectie,  deel  V.  no  2.  Met  een  plaat  Amsterdam 
1896.   Johannes  Müller.   20  S. 


25 


Literarischer  Bericht  L  VJJ1. 


Das  hier  betrachtete  vierdimensionalo  Prismatoid  ist  begrenzt 
von  2  Körpern  in  parallelen  Räumen.  Die  m  und  n  Ecken  des  eineu 
nnd  des  andern  Körpers  bilden  zusammen  sämtliche  Ecken  des 
Prismatoids  und  lassen  sich  stets,  aber  in  mannigfaltiger  Combi- 
uation ,  verbunden  denken  durch  Tetraeder,  deren  Grundflächen  in 
die  Seiten  teils  des  einen,  teils  des  andern  fallen,  während  die 
Spitzen  bzhw.  Ecken  des  zweiten  oder  des  ersten  sind,  jedenfalls 
verschieden  gewählt  werden  können.  Der  Inhalt  des  Prismatoids 
wird  berechnet  H. 

Zur  Theorie  der  reellen  Curven  einer  rationalen  Function  nten 
Grades  für  complexe  Variable.  Von  Prof.  Dr.  Suhle,  Director. 
Programm.    Dessau  1896.   4°.   IC  S. 

Setzt  man  %  ~=  f{x+iy)  =  U(x,  y)+i  F(x,  y),  und  betrachtot 
x,  y,  z  als  rechtwinklige  Coordinaten,  so  erhält  man  für  V  =  0  die 
Gleichung  einer  reellen  Fläche  z  —  U  und  hat  auf  dieser  die  Curve 
V  —  0.  Diese  Curve  wird  hier  für  den  Fall,  wo  /  eine  beliebige  ganze 
Fuuction  ausdrückt,  untersucht  und  mehrere  Sätze  über  sie  gefunden. 

H. 

Schlegel,  Professeur  ä  l'ßeolo-polytechnique  de  Ilagen.  Sur 
un  th'oreme  de  gionu'trie  &  quatre  dimensions.  Association  Fran- 
chise.  Congres  do  1887.   Paris.    18  S. 

Es  wird  bewiesen,  dass,  wie  bekanntermassen  für  n  —  %  und  3, 
auch  für  n  =  4  ein  «seiüges  n  dimensionales  Prismatoid  sich  durch 
lineare  Schnitte  in  n  Plasmen  (nach  Sylvester  so  genannt)  d,  h.  n 
dimensionale  (n-f  ljecke  von  gleichem  Inhalt  zerlegen  lässt. 

E. 

Gaston  Tarry,  Contröleur  de  distributions  diversers  ä  Alger. 
Nouvcl  essai  sur  la  gdometrie  imaginsiro.  —  Geometrie  [g6n6rale. 
Association  Franchise.  Congres  d'Ovan  1888.  —  Congres  de  Paris 
1889,  de  Limoge  1890,  de  Marseille  1891.    Paris.    22  +  90  S. 

Die  erstere  Schrift  behandelt  den  imaginären  Punkt,  die  imagi- 
näre Gerade  und  den  imaginäron  Winkel.  Die  „allgemeine  Geome- 
trie" führt  manche  neue  Begriffe  ein-,  jede  Erklärung  aber  stützt 
sich  auf  ebenso  erklärungsbedürftige  Begriffe.  Hoppe. 


Matheraatische 
und  physikalische  Bibliographie. 

XLXI. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Bericht  über  die  Feier  des  fünfzigjährigen  Bestehens  der  phy- 
sikalischen Gesellschaft  zu  Berlin  am  4.  Jan.  1896.  gr  8".  (40  S.  m. 
Abbild,  u.  1  Heliograv.)    Leipzig,  Barth.   1  Mk.  50  Pf. 

Fortschritte  der  Physik  i.  J.  1890.  Dargestellt  v.  der  phy- 
sikal.  Gesellschaft  zu  Berlin.  4G.  Jahrg.  1.  Abth.  Physik  der 
Materie.  Red.  v.  Rieh.  Börnstein.  gr.8°.  (LXVII,  523  S.)  Braun- 
schweig, Vieweg.   20  Mk. 

—  dass.  i.  J.  1894.  50.  Jahrg.  2.  Abth.  Physik  des  Aethers. 
Red.  v.  Rieh.  Bernstein.   gr.8°.    (XLV,  853  S.)    Ebd.   3  OMk. 

Helm  holt  z,  Herrn.,  Vorträge  u.  Reden.  4.  Aufl.  1.  u.  2.  Bd. 
gr.8°.  (XVI,  422  S.  m.  51  Holzst.  u.  Bildnis  u.  XII,  434  S.  m. 
20  Holzst.)   Ebd.   ä  8  Mk. 

Jahrbuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik,  begründet  von 
Carl  Ohrtmann.  Hrsg.  y.  Emil  Lampe.  25.  Bd.  Jahrg.  1893  u.  94. 
(In  3  Hftn.)  1.  u.  2.  Hft.  gr.8°.  Berlin,  G.  Reimer.  21  Mk.  u.  11  Mk. 

Schlegel,  V.,  die  Grassmanu'sche  Ausdehnungslohre.  Ein 
Beitrag  zur  Geschichte  der  Mathematik  in  den  letzten  50  Jahren. 
gr.8°.  (44  S.)    Leipzig,  Teubner.   2  Mk. 


Methode  und  Princlpien. 

Baumgarten,  L.  v.,  freie  Betrachtungen  über  Natur  u.  Wesen 
der  Lichtsubstanz,   gr.  8°.   (53  S.)   Regensburg,  Bauhof.   1  Mk. 


Fährmann,  K.  Emil,  zur  Ausgestaltung  der  psychologisch 
berechtigten  Recheumethode.  Das  rythra.  Zählen,  der  Konzentra- 
tionspunkt des  elementaren  Rechuens.  gr.8°.  (VII,  144  S.)  Plauen, 
Kell.    1  Mk.  60  Pf. 

Friedlaender,  Bened.  u.  Imman.  Friedlae nder,  abso- 
lute od.  relative  Bewegung?  (1.  Tl.:  Die  Frage  nach  der  Wirklich- 
keit einer  absoluten  Bewegung  u.  ein  Weg  zur  experimentellen 
Lösuug.  2.  TL:  Ueber  das  Problem  der  Bewegung  u.  die  Umkehr- 
barkeit der  Centrifugalerscheinungen  auf  Grund  dor  relativen  Träg- 
heit.)  gr.8».    (35  S.)   Berlin,  Simion    1  Mk. 

Hartmann,  Edm.,  Anleitung  zur  Behandlung  des  Rechnens 
mit  benannten  Zahlen  in  frageudentwickelnder  Lebrform,  fUr  Semi- 
naristen, Lehrer  u.  Lehrerinnen  bearb.  2.  Aufl.  gr.8°.  (131  S.) 
Glessen,  Ricker.    1  Mk.  60  Pf. 

Holz  muH  er,  über  die  Beziehungen  des  mathematischen  Unter- 
richts zum  Ingenieur- Wesen  u  zur  Ingenieur-Erziehung,  gr  8°.  (v8  S. 
m.  Fig.)   Leipzig,  Teubner.   60  Pf. 

HuyghenSjChrn.,  Abhandlungen  über  die  Ursache  der  Schwere. 
Deutsch  v.  Rud.  Mewes.  (Neue  [Titel-]  Ausg.)  gr.8°.  (X.  47  S. 
m.  Fig.)   Berlin,  Fischer's  technol.  Verlag.   1  Mk.  50  Pf. 

Johanuesson,  Paul,  das  Beharrungegesetz.  4°.  (26  S.)  Ber- 
lin, Gärtner.    1  Mk. 

Rethwisch,  Ernst,  die  Bewegung  im  Weltraum.  Kritik  der 
Gravitation  u.  Analyse  der  Axendrehung.  2.  Aufl.  gr  8°.  [(IV,  179  S.) 
Berlin,  Schneider  &  Co.   4  Mk.  50  Pf 

Streng,  Karl,  u.  Jos.  Zucker sdorfer,  praktische  Anlei- 
tung zur  Behandlung  des  Rechenunterrichtes  in  der  Volksschule 
l.Bd  Das  Rechnen  im  Zahlenraum  bis  l1  00  u.  bis  zu  den  Tausendteln 
gr.8°.    (VIII,  510  S)    Wien,  Pichler.    5  Mk.  20  Pf. 

Tis  eher,  Ernst,  über  die  Begründung  der  Infinitesimalrech- 
nung durch  Newton  und  Leibnitz.  4°.  (46  S  m.  Fig.)  Leipzig, 
Hinrich's  Sort.   1  Mk. 

Weltkörper-Hypothese,  eine  neue.  Von  G.  M.  S.  8°. 
(20  S.)   Königsberg,  Braun  &  Weber.    50  Pf 

Wilby,  K  F ,  der  Dualismus  in  der  Materie.  Eine  neue  Theorie 
der  physikalischen  Erscheinungen  gr  8°  (IIIS)  Zürich,  Spei - 
del.   2  Mk  50  Pf. 

Lehrbttcher. 

Holzmüller,  Gust,  method.  Lehrbuch  der  Elementar-Mathe- 
matik  Gymnasial- Ausg  1  Tl  im  Anschluss  an  die  preuss.  Lehr- 
pläne v  189J  nach  Jahrgängen  geordnet  und  bis  zur  Abschluss- 
prufung  der  Untersekunda  reichend,  gr  8°.  (VIII.  228  S.  m.  138 
Fig.)    Leipzig,  Teubner    Geb   2  Mk.  40  Pf 


Holzmüller,  Gust,  method.  Lehrbuch  der  Elementar -Mathe- 
matik. Gymnasial-Ausg.  2.  Tl,  im  Anschlags  an  die  prenss.  Lehr- 
pläne v.  1892  nach  Jahrgängen  geordnet  u  bis  zor  Entlaasungs- 
prüfnng  reichend.  gr.8°.  (VIII,  279  S.  ra  196  Fig.)  Ebd.  Geb  3  Mk. 


Samminngen. 

Bork,  H  e  i  n  r.,  mathematische  Haaptsätze  f.  Gymnasien.  Metho- 
disch [zusammengestellt  2  Tie.  2.  Aufl.  gr.8°.  (167  u  235  S.) 
Leipzig,  Dürr'sche  B.   Geb.  4  Mk.  50  Pf. 

Dorn' s  Aufgaben  für  mündliches  u.  schriftliches  Rechnen. 
Ausg  C.  für  höhere  Mädchenschulen.  Nach  den  minister.  Bestim- 
mungen v  3t.  Mai  94  bearb  v.  A.  Elsner  u.  R.  Sendler.  1  —6  Hft. 
gr.8°.    Breslau,  Handel.   1  Mk.  45  Pf. 

Fechner,  Heinr.,  Aufgaben  für  den  ersten  Unterricht  in  der 
Buchstabenrechnung  (Algebra)  3.  Aufl  gr.8°.  (IV,  124  S  )|  Berlin, 
Wilh.  Schultze    1  Mk  20  Pf. 

Fuss,  Konr,  Sammlung  v.  Konstraktions-  u  Rochenaufgaben, 
aus  der  Planimetrie  Für  den  Schul-  u.  Selbstunterr.  bearb.  2.  Aufl. 
gr  8°.    (VIII,  184  S  m  Fig.)   Nürnberg,  Korn    2  Mk.  40  Pf. 

Hartmann,  Edm.,  Rechenbuch.  8  Hfte.  gr  8°.  Giessen, 
Ricker.   2  Mk  30  Pf 

Heinze  u.  Max  Hübner,  Rechenbuch  f.  Stadt  u.  Land- 
schulen. Ausg.  A.  (in  7  Hftn.)  Ausg.  f.  Schüler.  2.-5.  Hft  u. 
Anh.  z.  4.  Hft   gr.8°.   Breslau,  Goerlich.   1  Mk.  25  Pf. 

—  dass.  Ausg.  B.  in  3  Hftn.  4.  Aufl.  (10.  -12.  Taus.)  gr.8°. 
Ebd.  75  Pf. 

—  dass.  Ausg.  D.  in  1  Hfte.  (1.— 5.  Taus.)  gr.8°.  Ebd.  30  Pf. 
Herrigel,  G.  u.  A.  Mang,  Rechenbuch  für  die  Oberstufe 

2  klassiger  Schulen.  Für  die  Bedürfnisse  des  prakt.  Lebens  nach 
method.  Grundsätzen  bearb.  gr.8°.  (96  S.)  Heidelberg,  Weiss' 
Sort.    50  Pf  ;  Lehrerheft  (109  S.)   75  Pf. 

Jung,  W.,  Uebungsbuch  für  den  Rechenunterricht  an  den  Mittel- 
klassen der  Volks-  und  Mittelschulen.  Das  Rechnen  mit  mehrfach 
benannten  Zahlen  (dezimal  durchgeführt),  gemeinen  Brüchen  u.  De- 
zimalbrüchen. Lehrer-Ausg.  2.  Aufl.  8°.  (145  S.)  Reutlingen, 
Kocher.   Kart.   1  Mk.  60  Pf. 

Köster,  T.  E.,  Aufgaben  aus  dem  Gebiete  der  Arithmetik  u. 
Algebra  für  Mittelschulen.  1.  Tl.  2.  Aufl  gr.8°.  (IV,  96  S.) 
Oldenburg,  Schulze    fcO  Pf. 

Küffner,E.,  u.  Alois  J.  Rucker t,  Rechenbuch  für  die  Volks- 
schule. Unter  Mitwirkung  erfahrener  Schulmänner  1.  Lehrerheft 
b°.    (III.  106  S.  m.  Abbild.)   Wttrzburg,  Bucher.    80  Pf. 


Ohlenburger,  A.,  u.  J.  WQrsdörfcr,  Rechenbuch  für  müud- 
liches  u.  schriftliches  Rechnen  in  4  Hftn.  2.-4.  Hft.  gr.8°.  Wies- 
baden, Limbarth.   4  40  Pf. 

Sachse,  J.  J.,  Uebungsbuch  für  einen  praktischen,  geistbilden- 
den u.  erziehlichen  Unterricht  in  der  Raumlehre.  2.  Aufl.  8°.  (62  S. 
m.  Fig.)   Osnabrück,  Wehberg.   50  Pf. 

—  ,  Uebungsbuch  für  einen  praktischen,  geistbildenden  u.  er- 
ziehlichen Rechen  Unterricht  Hft  1— 3u.  5.A.  8°.  Ebd.  1  Mk.  21  Pf. 

—  ,  dass.  Ausg.  in  3  Heften  für  einfache  Schulverhältuissc.  2. 
u.  3.  Hft   8«.    Ebd.    80  Pf. 

Sammlung  v.  Lehrmitteln  f.  höhere  Unterichtsanstalten.  VIII. 
Leitfaden  für  den  Anfangs-Unterricht  in  der  Algebra  au  Gymnasien, 
Lyceen,  Lateinschulen  u.  verwandten  Anstalten  v.  G.  Mahlcr.  gr.8°. 
(VIII,  126  S.)    Stuttgart,  Neff.    1  Mk.  20  Pf. 

Schiller,  Rud.,  Aufgaben-Sammlung  f.  kaufm.  Arithmetik. 
4.  Aufl.  gr.8°.  (VI,  198  S.)  Wien,  Pichler.  Kart.  2  Mk.;  Suppl. 
4.  Aufl.    (IV,  84  S.)    1  Mk.  20  Pf. 

Schmid,  Konr.,  100  ausführlich  gelöste  geometrische  Aufgaben 
bayerischer  Lehrer-Anstcllungs-Prüfungen  nebst  e.  Sammlung  von 
Uebungsbeispielen.  gr.8°.  (VII,  180  S.  m.  Fig.)  München,  Kel- 
lerer.   2  Mk.  20  Pf. 

Schwering,  Karl,  Sammlung  v.  Aufgaben  aus  der  Arithmetik 
für  höhere  Lehranstalten.  3  Lehrgänge.  gr.8°.  Freiburg  i.  Br., 
Herder.   3  Mk. 

Steuer,  W.,  Rechenbuch  für  obere  Klassen  der  Knabenschulen. 
Auflösungen.   gr.8°.    (31  S.)    Breslau,  Woywod.   40  Pf. 

—  ,  Rechenbuch  für  Stadtschulen.  Ausg.  i.  7  Hftn.  Auflösungen 
z.  5.  u.  6.  Hft.    2.  Aufl.    gr.8°.    (31  u.  25  S.)    Ebd.    ä  25  Pf. 

Wek werth,  Max,  Sammlung  v.  Aufgaben  aus  der  niederen 
Mathematik.  Lösungen  zu  den  Zahlenbeispidcn.  8°.  (IV,  68  8.) 
Leipzig,  Seemann.    Kart  1  Mk. 

Tabellen. 

Ebsen,  JuL,  Azimuth-Tabellen,  enth.  die  wahren  Richtungen 
der  Sonne  für  Iutervalle  v.  10  Zeitminuten  zwischen  den  Breiten- 
parallelen  von  70°  Nord  und  70°  Süd.  gr.8°.  (VIII,  141  S.)  Ham- 
burg, Eckardt  &  Messtorff.   Geb.  7  Mk.  50  Pf. 

Hartenstein,  II.,  fünfstellige  Briggische  Logarithmen  der 
Zahlen  von  1—10000  nebst  den  sechsstelligen  Logarithmen  der 
Zahlen  von  10000 — 1C80U  f.  Realschulen  u.  verwandte  Anstalten, 
namentlich  zu  Bardey's  arithmet  Aufgaben  u.  Lehrbuch  der  Arith- 
metik hrsg.   gr.8°.    (32  S.)    Leipzig,  Teubner.   30  Pf. 


Thannabaur,  Jos.,  Amortisations-Tafeln.  Ein  Hilfsbuch  zur 
Berechnung  der  Zeit,  der  Tilgungsraten,  der  Zinsen  und  des  Capital- 
restes  bei  Darlehen  rückzahlbar  in  halbjähr.  Anuitäten,  nebst  e. 
leicht  fasslichen  Anleitung  zum  selbsständigcn  Entwürfe  solcher 
Tafeln.  Zum  prakt.  Gebrauche  für  Sparcassa- u.  Bankbeamte.  gr.8°. 
(152  S.)   Wien,  Graeser.   Kart.  3  Mk.  60  Pf. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Bar'dey's,  E.,  arithmetische  Aufgaben,  nebst  Lehrbuch  der 
Arithmetik  vorzugsweise  für  Realschulen,  höhere  Bürgerschulen  u. 
verwandte  Anstalten,  neu  bearb.  u.  m.  e.  Logarithmentafel  versehen 
v.  II.  Hartenstein,  gr.  8°.  (IV,  202  S.)  Leipzig,  Teubner.  Geb.  2  Mk. 

Boehm,  K.,  allgemeine)  Untersuchungen  über  die  Keduction 
partieller  Differentialgleichungen  auf  gewöhnliche  Differentialglei- 
chungen. Mit  einer  Auwendung  aul  die  Theorie  der  Potentialglei- 
chungen.  gr.8°.   (III,  58  S.)   Ebd.   2  Mk. 

Hermes,  Oswald,  (Verzeichnis  der  einfachsten  Vielfache. 
4°.    (24  S.  m.  1  Taf.)    Berlin,  Gärtner.    1  Mk. 

Minkowski,  Herrn,  Geometrie  der  Zahlen.  (In  2  Lfgu.) 
L  Lfg.    gr.8°.    (240  S.)    Leipzig,  Teubner.    8  Mk. 

Pf  1  ig  er,  W.,  Elemente  der  Arithmetik  für  die  mittleren  u. 
oberen  Klassen  höherer  Lehranstalten.  gr.8°.  (IV,  128  S.)  Stras- 
burg, Bull.    1  Mk.  80  Pf. 

Kogel,  Frz.,  Reihcnsummiruugeu  mittelst  bestimmter  Iuto- 
grale.    gr.8°.    33  S.   Prag,  Rivnar.    6)  Pf. 

Speckmann,  G.,  arithmetische  Studien.  gr.8°.  (III,  22  S.) 
Dresden,  Koch.    1  Mk. 

Stolz,  Otto,  Grundzüge  der  Differential-  u.  Integralrechnung 
2.  (Schluss-)Tbl.:  Complcxe  Veränderliche  u.  Funktionen,  gr.8". 
(VII,  338  S.  m.  33  Fig.)   Leipzig,  Teubuer.    8  Mk. 

Studni<*ka,  F.  J.,  neuer  Beitrag  zur  Theorie  der  Determi- 
nanten, lieber  eine  neue  Eigenschaft  von  Zahlen  in  2nziffrigeu 
Systemen.    gr.8°.    (10  S.)    Prag,  Rivnä«-.    20  Pf. 

Weber,  Heinr.,  Lehrbuch  d.  Algebra.  (In  2  Bdn.)  2.  Bd. 
gr.8°.    (XIV,  7%  S.)    Braunschweig,  Vieweg.   20  Mk 


Geometrie. 

Blasendorff,  Max,  über  die  Teilung  des  Kreisbogens  gr.4°. 
(i9  S.  m.  1  Taf.)    Berlin,  Gärtner.    1  Mk. 

2** 


Bochow,  Karl,  e.  einheitliche  Theorie  der  regelmässigen 
Vielecke.  Allgemeine  Untersuchungen  nebst  Berechnungen  der  Sei- 
ten, Diagonalen  u.  Flächen  der  im  elementaren  Unterricht  verwend- 
baren regelmässsigen  Vielecke  aus  den  Reihen  2,  3,  5,  15,  17,  51,. 
85,  225.   4°.   (34  S.  m.  2  Taf.)   Leipzig,  Fock.   1  Mk. 

Bosse,  L.,  u.  H.  Müller,  Geometrie  der  Ebene  für  Land- 
wirtschaftsschulen. 89.  (IV,  118  S.  m.  200  Abbildgn.)  Berlin, 
Parey.  Geb.  1  Mk.  20  Pf. 

Fenkner,  Hugo,  Lehrbuch  der  Geometrie  f.  den  mathemati- 
schen Unterricht  an  höheren  Lehranstalten.  (In  2  Tin.)  2.  Tl.: 
Raumgeometrie.  Nebst  e.  Aufgaben-Sammlung,  bearb.  mit  besonderer 
Berücksichtigung  der  Anforderungen  bei  der  Abschlnssprüfung. 
2.  Aufl.  gr.8°.  (IV,  109  S.  m.  Fig.)  Braunschweig,  Salle.  1  Mk.  40  Pf. 

Fink,  K.,  die  elementare  systematische  u  darstellende  Geome- 
trie der  Ebene  in  der  Mittelschule.  1.  u.  2.  Kurs,  für  die  Hand  des 
Lehrers  bearb.  gr.8°.  (XVII,  151  S)  Tübingen,  Laupp.  2  Mk.; 
10  Fig.-Taf.  u.  84  Blatt  dazu  für  die  darstell,  geometr.  Uebungen, 
im  Futteral  2  Mk.  80  Pf. 

- ,  Sammlung  v.  Sätzen  u.  Aufgaben  zur  systematischen  u.  dar- 
stellenden Geometrie  der  Ebene  in  der  Mittelschule.  1.  u2  .  Kurs., 
für  die  Hand  der  Schüler  bearb.  gr.8°.  (IV,  108  S.)  Ebd.  1  Mk.  60  Pf. 

Henrici,J.  u.  P  Treutlcin,  Lehrbuch  der  Elementar-Geome- 
trie.  (In  3  Tie.)  2.  Tl.  Abbildung':  in  verändertem  Masse.  Be- 
rechnung der  Grössen  der  ebenen  Geometrie.  2.  Aufl.  Mit  188  Fig. 
in  Holzschn.  u.  1  Kärtchen.  gr.8°.  (IX,  248  S.)  Leipzig,  Teubner. 
2  Mk.  80  Pf. 

Her  eher,  B.,  Lehrbuch  der  Geometrie  zum  Gebrauch  an  Gym- 
nasien. Nach  den  neuen  Lehrplänen  bearb.  3.  Hfte.  3.  Aufl.  gr.8° 
Leipzig,  Jacobson.   3  Mk.  20  Pf. 

Hertter,  C  F.,  zeichnende  Geometrie.  Für  die  planimetr.  Re- 
petition  mit  besonderer  Berücksichtigung  des  geometrischen  Zeich- 
nens. 1.  Abtlg.  Enth.:  Drei-  u.  Viereck.  Kreislehre  mit  Aus- 
schluss der  Proportionen.  Gradlinige  Ornamente.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(VI,  28  S.)  Stuttgart,  Metzler.   50  Pf. 

Kambly  u.  Roeder,  Stereometrie  u.  sphärische  Trigonome- 
trie. Vollständig  nach  den  preuss.  Lehrplänen  v.  1892  umgearb 
Ausg.  der  Stereometrie  u.  der  sphärischen  Trigonometrie  v.  Kambly. 
Lebraufgabe  der  Prima.  Mit  Uebungsaufgaben  u.  e.  Anhang:  Der 
Koordinatenbegriff  u.  einige  Grundeigenschaften  der  Kegelschnitte. 
1.  Aufl.  (25.  der  Kambly'schen  Stereometrie.)  gr.8°.  194  S.  m. 
Fig.   Breslau,  Hirt.    1  Mk.  70  Pf. 

Kult/ seh,  A.,  Grundzüge  der  Raumlehre.  Ein  Lern-  nnd 
Uebungsbuch,  zum  Gebrauche  in  Volksschulen,  Fortbildungs- 
schulen, Präparanden-Anstalten  u.   Mittelschulen.    1.  Hft.    Mit  84 


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Textfig.  u.  mehr  als  400  vorschied.  Uebungsaufgaben.  2.  Aufl.  8°. 
(VI,  69  S.)    Leipzig,  Merseburger.   60  Pf. 

König,  Max,  dio  geometrische  Theilung  des  Winkels.  2.  Hft. 
Mit  11  Abbildgn.  auf  1  Hthogr.  Tafel.  gr.8°.  (S.  33-43)  Berlin, 
Siemens.   75  Pf. 

Küpper,  Carl,  projective  Erzeugung  der  Curven  mter  Ord- 
nung ff».   gr.8°.   (16  S.)   Prag,  Rivna«-.   32  Pf. 

— ,  über  Beziehungen  zwischen  Polygonal-  u.  Raumcurven. 
gr.8«.   (11  S.)  Ebd.   SO  Pf. 

Längst,  Herrn.,  Kegelschnitte.  (2.  Tl.),  analytisches  Repeti- 
torium  mit  georaetr.  Anhang,  im  Anschluss  an  den  „vorbereit.  Kurs1' 
bearb    8°.    (XII,  lfcO  S.  m.  5  Taf.)    Stuttgart,  Kohlhamraer.  3  Mk. 

Lie,  Sophus,  Geometrie  der  Berührungstransformationen . 
Dargestellt  v.;  L.  u.  Geo.  Scheffers.  (In  2  Bdn.)  1.  Bd.  gr.8°. 
(XI,  694  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Teubner.   24  Mk. 

Mofnik,  Frz.  v,  geometrische  Anschauungslehre  f.  Unter- 
Gymnasien. 2.  Abth.  19.  Aufl.  v.  Frz.  Wallentin.  gr.8°.  Prag, 
Tempsky.   1  Mk. 

Röhn,  Karl  u.  Erwin  Papperitz,  Lehrbuch  der  darstellen- 
den Geometrie.  (In  2  Bdn.).  2.  Bd.  gr.bÄ.  (XVI,  6*8  8.  m.  Fig.) 
Leipzig,  Veit  &  Co.   14  Mk. 

Schlotke,  J.,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.  IV.  Tl. 
Projektivische  Geometrie,  gr.b0.  (V,  177  S.  m.  '223  Fig.)  Dresden, 
Kühtmann.   4  Mk.  80  Pf. 

Schmehl,  Chr.,  Lehrbuch  der  Geometrie.  Für gewerbl.  Schulen 
bearb.  Mit  190  in  den  Text  eingedruckten  Figuren  u.  einer  Auf- 
gabensammlung.  gr.8°.  (VIII,  179  S.)  Giessen,  Roth.  1  Mk.  50  Pf. 

Sickenberger,  Ad  f.,  Leitfaden  der  elementaren  Mathematik, 
2.  Tl.  Planimetrie.  3.  Aufl.  gr.8°.  (VI,  123  S.  m.  Fig.)  Mün- 
chen, Th.  Ackermann.    1  Mk.  50  Pf. 

Sobotka,  J.,  einige  Constructionen  bezüglich  der  Schnitt  curven 
v.  Umdrehungsflächen  m.  Ebenen.  gr.8°.  (18  S.  m.  2  Fig.)  Wien, 
Gerold.   60  Pf. 

Sporer,  Benedikt,  über  den  Schwerpunkt  der  gemeinschaft- 
lichen Punkte  zweier  algebraischer  Kurven.  Diss.  gr.b0.  (40  S.) 
Tübingen,  Fues.    1  Mk. 

Traub,  K.,  der  verjüngte  Magister  Matheseos.  Ein  Beitrag 
zur  Bphärik  u.  absoluten  Geometrie.  gr.8°.  (IV,  12  S.  m.  1  Taf.) 
Lahr,  Schauenburg.   50  Pf. 

Wolf,  Fr.  Chr.,  methodischer  Lehrgang  für  den  geometrischen 
Unterricht  in  der  ein-  und  mehrklassigen  Volksschule  u.  in  der  Fort- 
bildungsschule. Nach  den  Grundsätzen  der  Anschauung  u.  Konzen- 
tration in  genet.  Stufenfolge  aufgebaut  u.  unter  besonderer  Berück-i 
akhtigung  der  praktischen  Bedürfnisse  bearb.  gr.8°.  (VIII,  148  8 
m.  100  Fig.)   Leipzig,  0.  Klemm's  Sort    1  Mk.  60  Pf. 


Zindler,  Konr.,  Methode  aus  gegebenen  Contiguratioucn  an- 
dere  abzuleiten.   Wien,  Gerold.    20  Pf. 

Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Arbeiten,  astronomische,  des  k.  k.  Gradmcssungs-Bureau, 
ausgeführt  unter  Leitung  v.  Thdr.  v.  Oppolzer.  Hrsg.  v.  Edm. 
Weiss  u.  Rob.  Schräm.  7.  Bd.  Läugenbcstimmuugcn.  Imp.4°. 
(III,  190  S.)   Leipzig,  Freytag.    16  Mk. 

Harzer,  P.,  über  geographische  Ortsbestimmungen  ohne  astro- 
nomische Instrumente.  gr.8°.  (51  S.  m.  1  Taf.)  Berlin,  Dümmler's 
Vlg.    1  Mk.  20  Pf. 

Kcrp,  Pet,  Fcldmessen,  Nivelliren  u.  Zeichnen.  Ein  Unter- 
richtsbuch für  landwirtschaftl.  Lehranstalten.  gr.8°.  (VIII,  99  S. 
m.  109  Abbild,  u.  8  Taf.)    Stuttgart,  Ulmer.   Kart.  I  Mk  80  Pf. 

Koordinaten  und  Höhen  sämmtlicher  von  der  trigonome- 
trischen Abtheilung  der.  Landesaufnahme  bestimmten  Punkte  im 
Reg.-Bez.-Potsdara.  gr.8°.  Berlin,  Mittler  &  Sohn.  Kart.  2Mk.  50  Pf. 

Laudes-Triangulatiou,  die  kgl.  preussische.  Abrisse, 
Koordinaten  u.  Höhen  sämmtl.  v.  der  trigonometrischen  Abtheilung 
der  Laudesaufnahme  bestimmten  Punkte.  13.  Thl.  Reg.-Bez.-Pots- 
dam.  Mit  17  Beilagen.   gr.8°.    (IX,  946  S.)    Ebd.    Kart.  12  Mk. 

Nivellements-Ergebuisse,  die  der  trigonometrischen  Ab- 
theilung der  kgl.  preuss.  Landes -Aufnahme.  1. — 3.  u.  6.  Hft.  1. 
Ostpreussen.  —  2.  Westpreussen.  —  3.  Pommern.  —  6.  Posen.  — 
12°.   Ebd.   Kart,  ä  1  Mk. 

liechnungsvorschriften  für  die  trigonometrische  Abthei- 
lung der  Landes-Aufnahme.  Formeln  u.  Tafeln  zur  Berechnung  der 
geograph.  Koordinaten  aus  den  Richtuugcn  u.  Längen  der  Droiecks- 
seiteu  2.  Ordnung.   3.  Aufl.   gr.8°.    (24  S.)   Ebd.   80  Pf. 

Mechanik. 

Hettwer,  Otto,  zur  Bewegung  eines  schweren  Punktes  auf 
e.  krummen  Linie  v.  d.  Gleichuug:  rm  =  a™  cosm#.  4°.  (32  S.) 
Berlin.  Gärtner.    1  Mk. 

II  oll  ender,  Herrn.  Jos.,  über  eine  neue  graphische  Methode 
der  Zusammensetzung  von  Kräften  u.  ihre  Anwendung  zur  graphi- 
schen Bestimmung  von  Inhalten,  Schwerpunkten,  statischen  Momenten 
u.  Trägheitsmomenten  ebener  Gebilde.  Mit  4  lith.  Tafeln.  gr.8°. 
(VI,  41  S.)   Leipzig,  Tcubner.   3  Mk. ' 

Korn,  Arth.,  eine  Theorie  der  Gravitation  u.  der  elektrischen 
Erscheinungen  auf  Grundlage  der  Hydrodynamik.    2.  Aufl.    1.  Tl. 


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Die  Grandlagen  der  Hydrodynamik  u.  der  Theorie  der  Gravitation. 
gr.8°.   (117  S.)   Berlin,  Dümmler's  Vlg.   3  Mk. 

Lanenstein,  Ii,  Leitfaden  der  Mechanik.  Elementares  Lehr- 
buch für  techn.  Mittelschulen  u.  zum  Unterricht.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(VI,  177  S.  m.  169  Abbilgn.)   Stuttgart,  Cotta.   3  Mk. 

Loossl,  Frdr.  v.,  die  Luftwiderstauds-Gesetze,  der  Fall  durch 
die  Luft  u.  der  Vogelflug.  Mathematisch-mechan.  Klärung,  auf  ex- 
perimenteller Grundlage  entwickelt,  gr.  8°.  (304  S.  m.  Fig.)  Wien, 
Hoelder.   7  Mk.  20  Pf. 

Mewos,  Rud.,  die  Fortpflanzuugs-Geschwindigkeit  der  Schwer- 
kraftstrahlcn  u.  deren  Wirkuugsgesctze.  gr.8°.  (92  S.  m.  Abbild.) 
Berlin,  Fischer's  tecbuol.  Verl.    2  Mk. 

.Seidcmanu,  Carl,  ein  mechanisches  Doppel-Problem.  Ein 
Muster  zur  Lösuug  aller  Probleme,  welche  auf  cllipt.  Functionen 
führen.  Für  Studirende  auf  Universität  u.  Polytechnicum  bcarb. 
Mit  4  Taf.   (IV,  95  S.)   Halle,  Kaemmerer  &  Co.   3  Mk. 

Technik. 

Benischke,  Gust.,  Magnetismus  u.  Elektrizität  mit  Rücksicht 
auf  die  Bedürfnisse  der  Praxis.  gr.8°.  (XIII,  272  S.  m.  202  Fig.) 
Berlin,  Springer.   6  Mk. 

Bibliothek,  elektro-tcchnische.  9.  Bd.  Die  Grundlehren  der 
Elektrizität  mit  besonderer  Rücksicht  auf  ihro  Anwenduug  in  der 
Praxis.  Von  W.  Ph.  Hauck.  3.  Aufl.  8°.  (XVI,  301  S.  m.  82  Ab- 
bild.)  Wien,  Hartleben.   3  Mk. 

Eichmann,  Paul,  photographische  Belichtungs-Tabellen  zur 
genauen  Ermittelung  der  für  photographische  Aufnahmen  erforder- 
lichen Exposionszeit.  12°.  (IV,  67  S.)  Düsseldorf,  Schmitz  & 
Olbertz.    1  Mk.  50  Pf. 

Encyklopaedie  der  Photographie.  20. —23.  Hft.  gr.8°. 
Halle,  Knapp.  20.  Valenta,  Behandig.  der  f.  den  Auscopir-Prozess 
bestimmten  Emulsionspapiere.  6  Mk.  —  21.  Mercator,  die  photogr. 
Retouche.  2  Mk.  50  Pf.  —  22.  Doleial,  die  Anwendung  der  Pho- 
tographie in  der  praktischen  Messkunst.  4  Mk.  —  23.  Verfasser, 
der  Halbtonprozess.   4  Mk. 

Franklin,  E.,  „Blitzlicht^.  Kurze  u.  allgemein  verständl.  An- 
leitung zum  Pbotographircn  mit  Magnesium,  Aluminium  u.  elektr. 
Licht  unter  Berücksichtigung  von  combiniertem  Tages-  u.  künstl. 
Licht.   8°.    (IV,  30  S.  m.  Fig.)   Frankfurt  a/M.,  Brönner.    1  Mk. 

Fuhrmann,  Arwed/.dio  Theodolite,  ihro  Einrichtung,  Anwen- 
dung, Prüfung  u.  Berichtigung.  Eine  Unterweisung  für  Architekten, 
Bautechniker,  Landmesser  u.  s.  w.  gr  8°.  ^VJ II,  136  S.  m.  Abbild.) 
Leipzig,  Seemann.   3  Mk. 


Geometrie,  praktische,  f.  gewerbliche  Fortbildungs-  u.  Hand- 
werkerschulen, sowie  zum  Selbstunterrichte.  Bearb.  v.  einem  ehe- 
mal. Mitgliede  mehrerer  Prüfungs-Kommissionen.  Planimetrie,  gr.  8°. 
(VIII,  119  S.  m.  Fig.)  Frankfurt  a/M.,  Jäger's-Vlg.  1  Mk.;  aus- 
führlicher Schlüssel.   (144  S.)   2  Mk. 

Klein,  F.,  die  Anforderung  der  Ingenieure  u.  die  Ausbildung 
der  mathemat  Lehramtskandidaten.  Vortrag.  gr.8°.  Leipzig,  Teub- 
ner.   30  Pf. 

Koch,  Gust. ,  die  Lösung  des  Flugproblems  in  physikalischer 
und  maschinentechnischer  Hinsicht.  Mit  e.  Anhang:  Nutzen  u, 
Folgen  praktischer  Luftschiffahrt  gr.8°.  (72  S.  m.  Abbildgn.  u. 
8  Taf.)   München,  Lukaschik.   3  Mk. 

Kosak,  Geo.,  Einrichtung  u.  Betrieb  der  Elektromotoren  nach 
Mittheilgn.  aus  der  Praxis  leichtfasslich  dargestellt.  Mit  Abdruck 
der  Sicherheitsvorschriften  des  elektrotechnischen  Vereines  in  Wien 
u.  24  Abbild.  gr.8°.  (VIII.  84  S.)  Wien,  Spielhagen  &  Schurich. 
2  Mk. 

Lehrhefte,  technische.  Mathematik.  1.  u.  3.Hft.  gr.8°.  Hild- 
burghausen, Pezoldt.  1.  Lehrbuch  d.  Elementar-Aritbmetik.  1.  Tl. 
Hrsg.  v.  Karl  Kuhn.  (IV,  48  S.  mit  3  Fig.)  1  Mk.  50  Pf.  -  3. 
Lehrbuch  der  Stereometrie.  Hrsg.  v.  Karl  Kuhn.  (HI,  24  S.  m. 
36  Fig.)    90  Pf. 

—  ,  dass.  Maschinenbau.  Hft  6b.  Berechnung  der  Schwung- 
räder u.  Centrifugalregulatoren.  Elementare  Darstellung  m.  erläut. 
Rechnungsbeispielen,  v.  Jos.  Kessler.  gr.8°.  (IV.  37  S.  m.  33  Ab- 
bildgn.).  Ebd.   1  Mk.  20  Pf. 

May,  Ose,  Anweisung  für  den  elektrischen  Licht-  u.  Kraft- 
betrieb. Für  Inhaber  elektrischer  Beleuchtungsanlagen  und  deren 
Maschinisten.  3.  Aufl.  8°.  (VIII,  64  S.  m.  5  Fig.)  Berlin,  Sprin- 
ger.  Geb.  2  Mk. 

Schnauss,  Herrn.,  dio  Blitzlicht-Photographie.  Anleitung  zum 
Photographiren  bei  Magnesiumlicht.  2.  Aufl.  gr.8°.  (IV,  150  S. 
m.  57  Fig.  u.  8  Taf.)   Düsseldorf,  Liesegang.   2  Mk. 

— ,  Photographischer  Zeitvertreib.  5.  Aufl.  gr.8°.  (V,  60  S. 
m.  15  Fig.)   Ebd.   2  Mk. 

Wilke,  Arth.,  üb.  die  gegenseitige  Beeinflussungen  der  Fern- 
sprechleitungen nach  Müller's  Theorie.  gr.8°.  (XIII,  69  S.)  m. 
Abbild.    Leipzig,  Leiner.   1  Mk. 

Optik,  Akustik  und  Elasticität. 

Kerber,  Arth.,  Beiträge  zur  Dioptrik.  2.  Hft.  gr.8°.  (16  S. 
ro.  5  Fig.)   Leipzig,  Fock.   50  Pf, 


Kümmcll ,  G  ,  über  Fresnelsche  Beugungserscheinungen  bei 
Röntgenstrahlen.  Nebst  e.  Nachtrag  von  K.Schmidt,  gr. 8°.  (11  n. 
2  S.  in.  1  Abbild,  n.  1  Taf.)   Halle,  Niemeyer.    1  Mk. 

O.e  kinghaus,  E.,  über  die  Schallgeschwindigkeit  beim  scharfen 
Schnss.   gr.8°.    (15  S.  m.  1  Fig.)   Wien,  Gerold.   50  Pf. 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Annalen  des  (rassischen)  Central -Observatoriums,  hrsg.  v.  H. 
Wild.  Jahrg.  1894.  2  Thle.  Imp.4°.  Leipzig,  Voss'  Sort  —  I. 
Meteorologische  u.  magnetische  Beobachtungen  v.  Stationen  1.  Ordng. 
n.  ausserordentliche  Beobachtungen  v.  Stationen  2.  u.  3.  Ordng. 
10  Mk.  20  Pf.  —  II.  Meteorologische  Beobachtungen  der  Stationen 
2.  Ordng.  in  Russland  nach  dem  internationalen  Schema.  15  Mk.  40  Pf. 

Ans  dem  Archiv  der  deutschen  Seewarte.  Hrsg.  v.  der  Direk- 
tion. XVIII.  Jahrg.:  1895.  gr.  4°.  Hamburg,  Fricderichsen  &  Co.  15 Mk. 

Beobachtungen  des  Tiflisser  physikalischen  Observatoriums 
i.  J.  1894.  Hrsg.  v.  Ed.  Stelling.  (Russisch  u.  deutsch.)  gr.4°.  (IV, 
XXXII,  198  S.)   Petersburg,  Eggers  &  Co.    10  Mk. 

C atalog  der  astronomischen  Gesellschaft.  1  Abth.  Catalog 
der  Sterne  bis  zur  9.  Grösse  zwischen  80°  nördlicher  u.  2°  südlicher 
Declination  für  das  Aequinoctium  1875.  11.  Stück.  Catalog  von 
9789  Sternen  zwischen  14°  50'  u.  20°  10'  nördlicher  Declination  1855 
u.  Catalog  v.  372  grösstenteils  der  nördlichen  Berliner  Zone  ange- 
Aörigen  Sternen  für  das  Aequinoctium  1875.  Nach  Zonen-Beobach- 
tungen aus  Pistor'schen  Meridiankreise  der  kgl.  Sternwarte  zu  Berlin 
in  den  J.  1869  — ^74  v.  A.  Auwers.  Hrsg.  v.  d.  astronom.  Gesell- 
schaft.  gr.4°.    (161  u.  367  S.)   Leipzig,  Engelmann.    30  Mk. 

Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen  der  Landes- 
stationen in  Bosnien-Hercegowina  i.  J.  1894.  Hrsg.  v.  der  bosu.- 
bereegow.  Landesregierung,  gr.  4°.  (XII,  112  S.  ra.  16  Taf.  u.  1 
Karte.)    Wien,  Hof-  u-  Staatsdruckerei.    15  Mk. 

Falb,  Rmd.,  neue  Wetter-Prognosen  u.  Kalender  der  kritischen 
Tage  f.  1896  Juli— Dezember.  16°.  (85  S.)  Berlin,  Steinte.    1  Mk. 

Foerster,  W  ,  u.  Blenck,  populäre  Mittheilungen  zum  astro- 
nomischen u.  chronologischen  Theile  des  preussischeu  Normalkalenders 
f.  1897.   gr.8°.   (29  S.)   Berlin,  Statist.  Bureau.    1  Mk. 

Franz,  Ju  I.,  die  täglichen  Schwankungen  der  Temperatur  im 
ErdbodeB.  Nack  der  Bodenthermometer-Station  der  physikalisch- 
ukonom.  Gesellschaft   gr.4°.   (16  S.)    Koenigsberg,  Koch.   60  Pf. 

Gezeiten  tafeln  f.  d.  J  1897.  Hrsg.  vom  Reichs-Marine-Amt. 
Red.:  Observatorium  zu  Wilhelmshaven.  Mit  14  Blättern  in  Steindr., 
enth.  Darstellungen  der  Gezeitenströmungen  in  der  Nordsee,  im 


engl.  Kanal  u  der  Irischen  See.  8°.  (VIII,  253  S)  Berlin,  Mitt- 
ler Ä  Sohn.    1  Mk.  50  Pf. 

Goldschcider,  Frz,  die  Gauss'sche  Osterformel.  1.  Tl.  4°. 
(29  S.)    Berlin,  Gärtner.    1  Mk. 

Grossmann,  4  Sternkarten.  Zorn  Gebrauch  in  den  tropischen 
Gebieten  für  geogr.  Ortsbestimmungen  u.  die  Schule.  3  Blatt  ä 
36  X  38  cm,  1  Blatt  27,5  X  27,5  cm.  Mit  Vorwort  u.  Anleitung. 
gr.8«\   (4  S.)   Berlin,  D.  Reimer.   4  Mk. 

Günther,  Siegm.,  Grundlehren  der  mathematischen  Geogra- 
phie u.  elementaren  Astronomie,  f.  den  Unterricht  bearb.  4.  Aufl. 
Mit  47  Fig.  u.  2  Sternkarten.  gr.8°.  (X,  143  S.)  München,  Th. 
Ackermann.    2  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.  4.  Lfg.  Breslau,  Tre- 
wendt.   3  Mk.  60  Pf. 

Haerdtl,  E.  v  ,  Notiz  betr.  die  Säcularacceleration  des  Mondes. 
gr.8°.    (7  S.)    Wien,  Gerold.    30  Pf. 

Hub  er,  G.,  die  kleinen  Planeten  des  Asteroidenringes.  gr.8°. 
(27  S.)   Bern,  Wyss    60  Pf. 

Jahrbuch  des  kgl.  sächs.  meteorologischen  Institutes.  gr.4°. 
Chemnitz,  Bülz.  189J.  XII.  Jahrg.  2.  Hälfte  od.  3.  Abth.  10  Mk. 
-  1895.   XIII.  Jahrg.    3  Abthlgn.    20  Mk. 

Jenkner,  Hans,  Leitfaden  der  Himmelskuude.  Für  den  Schul- 
gebrauch, insbesondere  an  höheren  Mädchenschulen,  sowie  f.  den 
Selbstunterricht  Mit  18  Fig.  i.  Text  u.  1  Sternkarte  des  nördl. 
Himmels.    gr.8°.    (IV,  76  S.)    Berlin,  Gärtner.    Geb.  1  Mk.  50  Pf. 

Laska,  V.,  über  eine  neue  Methode  zur  Bestimmung  der  Pol- 
höhe durch  Photographie.    Prag,  Rivnäc.    12  Pf. 

Neudrucke  von)  Schriften  und  Karten  über  Meteorologie  u. 
Erdmagnetismus.  Hrsg.  v.  G.  Hellmann.  Nr.  5  u.  6.  gr.4°.  Ber- 
lin, Asher  &  Co.  5.  Die  Bauern  Praktik.  1508.  Fcsm.  Druck  m. 
e.  Einleitg.  (72  S.  m.  1  Holzschn.  u.  6  Bl.)  7  Mk.  —  6.  George 
Hadley,  Concerning  the  cause  of  the  General  Trade  Wiuds.  London, 
1735.   Fcsm.  Druck  m.  e.  Einleitg.    (16  S.  u.  3  Bl.)   2  Mk. 

Niessl,  G.  v.,  Bahnbestimmung  der  grossen  Meteore  am  16.  u. 
25.  Jäuner  1895.   gr.8°.    (74  S.)    Wien,  Gerold.    1  Mk.  20  Pf. 

Pernter,  J.  M.,  die  allgemeine  Luftdruckvertheilung  u.  die  Gra- 
dienten bei  Föhn.  gr.8°.  (21  S.  m.  1  Fig.  u.  1  Taf)  Wien,  Ge- 
rold.  80  Pf. 

Publikationen  des  astrophysikalischen  Observatoriums  zu 
Potsdam.  Nr.  34.  (XI.  Bd.  1.  Stück.)  Beobachtungen  des  südl. 
Polarflecks  des  Mars  u.  Bestimmung  .  der  Elemente  des  Marsäqua- 
tors aus  Beobachtuugeu  seiner  Polartlecken  v.  0.  Lohse.  gr.4°.  (25  S. 
m.  1  Fig.)   Leipzig,  Eugcltnauu.    S  Mk. 


Rechenberg,  Geo.,  definitive  Bahnbestimmung  des  Cometen 
18  35.  I.   4°.    (25  S.)   Breslau,  Schleuer.    1  Mk. 

Sammluug  populärer  Schriften,  hrsg.  v.  d.  Gesellschaft  Urania 
zu  Berlin.  Nr.  39.  Ueber  Roentgcn'sche  Strahlen.  Populärer  Ex- 
perimentalvortrag  v.  Paul  Spies.  gr.8°.  (13  S.  m.  4  Fig.  u.  1  Taf.) 
Berlin,  H.  Paetel.    80  Pf. 

Studnicka,  F.  J.,  bis  ans  Endo  der  Welt!  Astronomische 
Causerien.    2.  Aufl.  8°.    (216  S.  m.  Abbild.)    Prag,  RivnaC.    3  Mk 

Veröffentlichungen  des  kgl.  preuss.  meteorolg.  Instituts" 
Hrsg.  durch  Wilh.  v.  Bezold.  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  den 
Stationen  II.  u.  III.  Ordnung  i.  J.  1895,  zugleich  deutsches  meteorol. 
Jahrbuch  f.  1895.  Beobachtungssy  Btem  des  Königr.  Preussen  u.  be- 
nachb.  Staaten.  1.  u.  2.  Hft.  gr.4°.  (93  S.)  Berlin,  Asher  &  Co. 
2  Mk.  50  Pf. 

Vierteljahrsschrift  der  astronomischen  Gesellschaft  29. 
Jahrg.  Suppl  -Hft.  General register  der  Jahrgänge  1 — 25  rou  Alexis 
v.  Tillo.   gr  8°.    (III,  103  S.)    Leipzig,  Engelmann.    5  Mk. 

—  ,  dass.  30.  Jahrg  4.  Hft.  u  31.  Jahrg.  1.  Hft.  Ebd.  ä 
2  Mk. 

Weighardt,  E.,  mathematische  Geographie.  Leitfaden  für  den 
Unterricht  in  der  Obertertia  der  Mittelschulen  gr.8°.  (44  S.  m. 
Fig.)   Bühl,  Konkordia.    CO  Pf. 

Wiesner,  J.,  Beiträge  zur  Kenntnis  des  tropischen  Regens. 
gr.8°    (38  S.  m.  1  Fig.)    Wien,  Gerold.   80  Pf. 

Wilsdorf,  E.  M.,  Sternkarte  für  den  Unterricht  in  der  Him- 
melskunde. Mit  Erlänterg.  2.  Aufl.  17,5  X  22  cm  Mit  Text  am 
Fussc    Chemnit,  Bülz.    20  Pf 

Wolf,  J.,  3  Wandtafeln  zur  Himmelskunde,  ä  56,5  X  89  cm. 
Farbendr.    Esslingen,  Lung.    ä  1  Mk.  50  Pf 

Z  iesomer,  Jons.,  kloine  mathemat.  Geographie.  3.  Aufl.  gr.8d 
64  S.  ra.  34  Fig.)    Breslau,  Hirt.    80  Pf. 


Nautik. 

Jahrbuch,  nautisches,  od.  Ephemeriden  u.  Tafeln  f.  d.  J.  1899 
Hrsg.  v.  Reichsamt  d.  Innern.  Unter  Red.  v.  Schräder.  Berlin, 
C.  Hey  manu.    Kart.    1  Mk.  50  Pf. 

Physik. 

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stalten, sowie  zur  Einführung  in  das  Studium  der  neuern  Physik. 
In  2  Stufen    1.  Stufe.    Vorschule  der  Experimentalphysik  für  den 


Anfangsunterricht  an  Gymnasien  u.  Realgymnasien.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(XII,  119  S.  m.  114  Abbildgn.)  Berlin,  Weidmann.  Geb.  1  Mk.  80  Pf. 

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Induktionswirkungen.  (System  Jodko.)  12»  (14  S.)  Berlin,  Hayn, 
30  Pf. 

Dorn,  En  Mittheilungen  Uber  Röntgen- Strahlen,  gr.8*  (10  S. 
m.  1  Taf  u  1  Bl.  Erklärgn.)   Halle,  Niemeyer.    1  Mk. 

— ,  über  die  Schwingungsrichtung  der  Röntgen  strahlen,  gr.8°. 
(7  S.)   Ebd.   50  Pf. 

Ebert,  H.,  magnetische  Kraftfelder.  Die  Erscheinungen  des 
Magnetismus,  Elektromagnetismus  u.  der  Induktion,  dargestellt  auf 
Grund  des  Kraftlinienbegriffes.  1.  Tl.  Mit  93  Abbildgn.  im  Text.  u. 
auf  2  Taf.   gr.  8°.   (XVIII,  223  S.)    Leipzig,  Barth.    8  Mk. 

Galitzin,  B.,  u.  A.  v.  Karnojitzky,  über  die  Ausgangs- 
punkte u.  Polarisation  der  X-Strahlen.  Imp.-4°.  (13  S.  m.  14  pho- 
totyp. Taf.)   Leipzig,  Voss*  Sort.   3  Mk. 

Grimsehl,  Einleitung  in  die  Physik.  Ein  Beitrag  zur  Me- 
thodik des  pbysikal.  Anfangsunterrichts.  gr.4°.  (24  S.)  Hamburg, 
Herold.    1  Mk.  60  Pf. 

Handbuch  der  Physik,  hrsg.  v.  A.  Wiukelinanu.  Mit  128 
Abbildgn.,  c.  Inhaltsübersicht  u.  e.  Namenregister  für  das  ganze 
Werk.  29.  u.  30.  (Schluss-)  Lieferg.  gr.8°.  Breslau,  Trewendt. 
7  Mk.  20  Pf. 

-  dass.,  2.  Bd.  2.  Abth.  Ebd.  28  Mk.  (kplt.  3  Bde.  i.  5  Thln. 
105  Mk.) 

Jaumann,  G.,  elektrostatische  Ablenkung  der  Kathodenstrahlen. 
(1.  MittheUg.)   gr.8°.   (16  S.  ra.  2  Fig.)   Wien,  Gerold.   70  Pf. 

Keiter,  Alwin,  über  die  Tragkraft  stabförmiger  Elektromag- 
nete.   gr.8#.   (26  S.  m.  4  Fig.  u  2  Taf.)   Ebd.    1  Mk. 

Krämer,  Jos.,  die  einfachen  u.  mehrphasigen  elektrischen 
Wechselströme,  beziehungsweise:  Der  Drehstrom,  eine  Erzeuguug  u- 
Anwendung  in  der  Praxis.  gr.8°.  (X,  392  S.  m.  293  Abbildgn.  u. 
9  Taf.)   Jena,  Costenoble.    15  Mk. 

Kreuschmer,  Rob.,  Kathoden-  u.  Röntgenstrahlen.  28 
Wandtaf.  auf  e.  photograph.  Karton  v.  31—34  cm  nach  öffentlichen 
Experimentalvorträgen.  Mit  Text  (4S.)  Bielefeld,  Helmich.  2Mk.  50  Pf. 

Krumme,  Wilh.,  Lehrbuch  der  Physik  f.  höhere  Lehranstal- 
ten. Nach  den  neuen  Lehrpläuen  bcarb.  v.  Hugo  Fenkner.  1.  Stufe: 
Pensum  der  Ober-Tertia  u.  Unter-Sekunda.  3.  Aufl.  gr.8°.  (VIII, 
247  S.  m.  160  Fig.)   Berlin.  Grote.   2  Mk. 

Lang,  Vikt.  v,  lnterfereuzversuch  mit  elektrischen  Wellen. 
(II.  Mitthlg.)   Wien,  Gerold.    30  Pf. 

Lampa,  Ant.,  Uber  die  Bestimmung  der  Dielektricitätscon- 
stante  eines  anisotropen  Stoffes  nach  e.  beliebigen  Richtung  aus  den 


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Dielektricitätsconstanten  nach  den  Hauptriebtungen.  gr.8n.  (37  S.) 
Wien,  Gerold.   80  Pf. 

Liebeta  uz,  Frz.,  Röntgens  X- Strahlen  nebst  allen  jetzt  be- 
kannten Strahleuarten  n.  Anh.  die  Selle'sche  Farbeuphotographie. 
gr.8°.   i32  S.  m.  Abbild.)   Düsseldorf,  Gerlach.    60  Pf. 

Liebisch.  Thdr.,  Gruudriss  der  physikalischen  Krystallogra- 
phie.  gr.8*.  (VIII,  506  S.  m  898  Fig.)  Leipzig,  Veit  &  Co 
13  Mk.  40  Pf. 

Lommel,  E.  v.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  3.  Aufl. 
gr.8°.  (XI,  556  S.  m.  430  Fig.  u.  1  Spektraltaf.)  Leipzig,  Barth. 
G  Mk.  40  Pf. 

Meyer,  Stef.,  über  den  Sitz  der  Potentialdifferenzen  in  Tropf- 
elektroden u.  im  Capillarelektrometer.  gr.8°.  (22  S.  m.  6  Fig.)  Wien, 
Gerold.   80  Pf. 

Pfaundler,  L.,  Beitrag  zur  Kenntniss  u.  Anwendung  der  Rönt- 
gen'scben  Strahlen.  gr.8°.  (5  S.  m.  1  Fig.  u.  1  Taf.)  Wien,  Ge- 
rold.   50  Pf. 

Puluj,  J-,  Uber  die  Entstehung  der  Röntgen'schen  Strahlen  u. 
ihre  photographische  Wirkung.  gr.8°.  (11  S.  m.  5  Fig.  u.  1  Taf.) 
Ebd.    60  Pf.;  Nachtrag  (3  S.  m.  3  Taf.)   70  Pf. 

Riecke.  Ed.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  zu  eigenem 
Studium  u.  zum  Gebrauch  bei  Vorlesungen.  2.  Bd.  Magnetismus. 
Elektrizität,  Wärme.  gr.8°.  (XII,  492  S.  m.  247  Fig.)  Leipzig, 
Veit  &  Co.    10  Mk. 

Röntgen,  Wilh.  Kon»r.,  eine  neue  Art  von  Strahlen.  II.  Mit- 
theilg.   gr.8°.   (9  S  )   Würzburg,  Stahel.   60  Pf 

Sammlung  elektrotechnischer  Vorträge.  Hrsg.  v.  Ernst  Voit 
1.  Bd.  1.  Hft  Der  elektrische  Lichtbogen  v.  Ernst  Voit.  gr.8°. 
(74  S.  m.  44  Abbild.)    Stuttgart,  Enke.    1  Mk. 

Schmidt,  K.  E.  F.,  die  Röntgen  strahlen.  gr.8°.  (16  S.) 
Leipzig,  Pfeffer.   30  Pf. 

Schröder,  Conr.,  20  Lektionen  aus  der  Physik.  Für  die 
einfachsten  SchulverhältuUse  mit  Berücksichtigung  der  zu  verwerten- 
den Anschauungsmittel  zusammengestellt.  3.  Aufl.  gr.8°.  (63  S. 
m.  50  Holzschn.)    Leipzig,  Siegismund  &  Volkening.   60  Pf. 

Schurig,  Ewald,  die  Elektrizität.  Das  Wissenwürdigste  aus 
dem  Gebiete  der  Elektrizität,  für  jedermann  leichtverständlich  dar- 
gestellt. gr.8°.  (III,  55  S.  m.  30  Fig.)  Leipzig,  Moeschke.  Kart. 
1  Mk.  30  Pf. 

Singer,  Ose,  über  die  wechselseitige  Induction  zweier  auf  e. 
Kugelschale  gleichmässig  gewickelter  Windungslagen.  Wien,  Gerold 
30  Pf. 

Thompson,  Sil  van  u§,  P.,  mehrphasige  elektrische  Ströme 
u.  Wechselstrommotoren.  Uebers.  v.  K.Strecker,  gr.  8#.  (V,  250  S. 
m.  171  Abbildgu.  u  2  Taf.)   Halle,  Knapp.   12  Mk. 


Voigt,  Wold.,  Kompeudium  der  theoretischen  Physik.  2.  Bd. 
Elektrizität  u.  Magnetismus,  Optik.  gr.8°.  (XIV,  810  S.)  Leipzig, 
Veit  &  Co.   18  Mk. 

Wesely,  Jos.,  Grandzüge  der  allgemeinen  u.  technischen 
Physik.  Grnndlehren  der  Meteorologie.  Repetitorium  für  den  I.  u. 
II.  Jahrescurs  der  mechanisch-technischen,  bau-  u.  chemisch-techni- 
schen Abtheilung  an  höhereu  Staats-Gewerbeschulen.  gr.8°.  (VII, 
587  S.  m.  518  Abbild.)    Pilsen,  Steinhauser.    7  Mk.  20  Pf. 

Wiehert,  E.,  die  Theorie  der  Elektrodynamik  u.  die  Rönt- 
gen'sche  Entdeckung.  gr.4°.  (48  S.  m.  Fig.).  Königsberg,  Koch. 
1  Mk.  80  Pf. 

Winkelmann,  A.  u.  R.  Straubel,  über  einige  Eigenschaften 
der  Röntgen'schen  X-Strahlen.  (Vorläufige  Mittheilg.)  2.  durch  einen 
Nachtrag  vermehrte  Aufl.  gr.8°.  (18  S.  u.  2  Lichtdr.-Taf.)  Jena, 
Fischer.   1  Mk.  20  Pf. 

Winter,  Willi.,  Grundriss  der  Mechanik  u.  Physik  f.  Gym- 
nasien bearb.  2.  Aufl.  gr.8°.  (VI,  349  S.  m  233  Abbild.)  Müu- 
chen,  Th.  Ackermann.    3  Mk.  20  Pf. 

Zepf,  K.,  Einführung  in  die  Grundlehren  vom  elekt.  Strom 
m.  Hilfe  einiger  aus  einzelnen  Teilen  aufzubauenden  Apparate,  gr.  8°. 
(XIV,  118  S.  m.  20  Taf.)    Freiburg,  Ragoczy.   3  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  kgl.  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 
Mathematisch-physikal.  Classe.    19.  Bd.    München,  Franz.    12  Mk. 

—  ,  physikalische,  der  kgl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu 
Berlin.  Aus  d.  J.  1895.  gr.4°.  Berlin,  Georg  Reimer.  Kart. 
24  Mk.  50  Pf. 

Berichte  dor  sächs.  Gesellschaft  d.  Wissenschaften.  Mathe- 
matisch-physikalische Classe.  1895.  V.  u.  VI.  u.  189G  I.  Leipzig, 
Hirzcl.    ä  i  Mk. 

Much,  E.,  populär-wissenschaftliche  Vorlesungen.  8°.  (VII, 
355  S.  m.  46  Abbildgu.)    Leipzig,  Barth.    5  Mk. 

Sitzungsberichte,  Müuchener.  Mathematische  Classe.  1895. 
3.  Hft.  u.  1896  1.  Hft.   München,  Franz.    ä  1  Mk.  20  Pf. 

—  »Wiener.  Mathematisch  uaturwiss.  Classe.  Wieu,  Gerold. 
I.  Abth.  104.  Bd.  9.  u.  10.  Hft.  7  Mk.  20  Pf.  —  Abth.  IIa. 
104.  Bd.  8.  -  10.  Hft.  8  Mk.  105.  Bd.  1.  Hft.  3  Mk.  80  Pf.  — 
Abth.  IIb.  104.  Bd.  9.  u.  10.  Hft.  1  Mk.  40  Pf.  105.  Bd.  1.  u. 
y.  Hft  1  Mk.  50  Pf.  -  Abth.  III.  104.  Bd.  C-10-Hft.  4  Mk.GOPf. 

—  ,  der  kgl.  böum.  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  Matue- 
matisch-uaturwissenschaftl.  Classe.  Jahrg.  1895.  2  Tie.  Prag, 
Rivnäi.    18  Mk. 


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Litterarischer  Bericht  LIX. 


27 


Litterarischer  Bericht 

LIX. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Geschichte  der  Mathemetik  im  Altertum  und  Mittelalter.  Vor- 
lesungen von  H.  G.  Zeuthen,  Professor  au  der  Universität  Kopen- 
hagen.   Kopenhagen  1896.    Andr.  Fred.  Höst  u.  Sön. 

Das  Buch  schliesst  sich  der  Reihe  derjenigen  Autoren  an,  die 
nach  langer  Unterbrechung  erst  in  neuerer  Zeit  wieder  angefangen 
haben,  die  Geschichte  der  Mathematik  zu  bearbeiten,  nämlich  Chas- 
les,  Brettschneider,  Hankel,  Cantor,  Tannery,  Heiberg,  Allmann,  be- 
nutzt deren  Werke  und  stützt  sich  auf  sie.  Die  eigene  Leistung 
charakterisirt  sich  durch  Hervorhebung  einer  Seite  der  Geschichtschrei- 
bung, die  mau  früher  als  unwichtig,  vielleicht  sogar  als  ungehörige 
Einmischung  verworfen  hat.  Um  die  Geschichte  einer  Wissenschaft  wie 
der  Mathematik  und  Physik  richtig  zu  beurteilen,  ist  es  durchaus 
unzureichend  ihre  Productionen  als  Zeiterscheinungen  zu  behandeln. 
Die  Entdecker  und  Förderer  sind  meistens  ihrer  Zeit  voraus  und 
finden  bei  ihren  Zeitgenossen  zu  geringes  Verständniss.  Namentlich 
ist  in  hohem  Grade  auffällig,  dass  die  physikalischen  Kenntnisse  der 
Alten  viel  umfangreicher  erscheinen,  nachdem  mau  angefangen  hat, 
die  Ueberlieferungen  vom  beutigen  Standpunkt  aus  zu  betrachten. 
Letzteres  macht  nnn  der  Verfasser  auch  zum  Princig  für  seine  Oha- 
rakterisirung  der  Mathematik  der  Alten  und  spricht  es  auch  als 
solches,  was  vielleicht  hier  zum  erstenmal  geschieht,  offen  aus.  Was 
indes  das  Buch  nicht  gibt,  ist  die  nähere  Bekanntschaft  mit  den 
Quellen  der  Geschichte.    Ersatz   für  dieselbe  hat  der  Verfasser  in 


▲rck.  d.  lUtb.  ■  Pliy«.   2.  U«ih.,  T.IXV. 


3 


28 


Litterarucher  Bricht  L1X. 


keiner  Weise  gewährt,  auch  dem  Leser  keinen  Rat  erteilt  um  Aus- 
kunft über  die  Quellen  zu  erlangen.  Mögen  danu  die  Urteile  über 
die  Productionen  und  Kenntnisse  noch  so  treffend  und  unbestritten 
seiu,  so  bleiben  sie  doch  als  bloss  wörtlich  acceptirte  ziemlich  un- 
fruchtbar Vorausgehende  Lecturo  der  Quellen  scheint  der  Verfasser 
nicht  angenommen  zu  haben,  auch  sind  sie  ausser  Euklid  nicht  leicht 
zugänglich.  Vielleicht  ist  in  dieser  Beziehung  schon  von  den  Vor- 
gängern hinreichend  gesorgt,  dass  der  Verfasser  es  nicht  für  nötig 
hielt  mehr  dafür  zu  tun.  Das  Buch  beginnt  mit  einer  Vorgeschichte 
der  Mathematik,  welche  die  ersten  Antriebe  zur  Untersuchuog  mathe- 
matischer Fragen  aus  einzelnen  Beschäftigungen  herleitet.  Am  mei- 
sten eingehend  werden  die  Lehren  der  Pythagoräer  und  der  Inhalt 
von  Euklids  Elementen  behandelt.  H. 


Leopold  Kronecker's  Werke.  Herausgegeben  auf  Veran- 
lassung "der  Königlich  Preussischen  Akademie  der  Wissenschaften 
von  K.  Honsel.  Erster  Band.  Mit  L.  Kronecker's  Bildniss.  Leipzig 
1895    B.  G.  Teubuer.   4».   483  S. 

Die  Werke  sind  vom  Herausgeber  nach  ihrem  Inhalt  in  3  Ab- 
teilungen zusammen  geordnet.  Die  erste,  welche  in  mehreren  Bänden 
erscheinen  wird,  enthält  die  „allgemeine  Arithmetik".  Darunter  ver- 
steht der  Verfasser  „die  Anwendung  der  Begriffe  und  Methoden  der 
Zahlentheorie  auf  die  Untersuchung  der  rationalen  Functionen  be- 
liebig vieler  Variabein.  Im  vorliegenden  I  Bande  stehen  folgende 
12  Abhandlungen:  Beweis,  dass  für  jede  Primzahl  p  die  Gleichung 
l-f-x-f**  .  .  .  . -f-x/>-i=0  irreductibel  ist.  —  De  unitatibus 
complexis.  —  Memoire  sur  les  facteurs  irreductibles  de  Texpression 
z»  —  1.  —  Demonstration  d'un  theoreme  de  M.Kummer.  —  Demon- 
stration de  l'irreductibilite  de  l'equation  x—1  -f  *«-  2  4-  .  .  .  -f- 
1  =  0,  oü  n  d6signe  un  nombre  premier.  —  Zwei  Sätze  über  Glei- 
chungen mit  gauzzahligeu  Coetficienten.  —  Ueber  coraplexe  Einheiten. 
—  Ueber  kubische  Gleichungen  mit  rationalen  Coefticienten.  — 
Ueber  die  Classenanzahl  der  aus  Wurzeln  der  Einheit  gebildeten 
complexen  Zahlen.  —  Ueber  eiuige  Interpolationsformeln  für  ganze 
Functionen  mehrer  Variabein.  —  Ueber  bilineare  Formen  —  Ueber 
Systeme  von  Functionen  mehrer  Variabein.  2  Abhandlungen.  —  Sur 
le  theoreme  de  Sturm.  —  Bemerkungen  zur  Determinantentheoric. 
Auseinandersetzung  einiger  Eigenschaften  der  Classenzahl  idealer 
complexer  Zahlen  —  Zur  algebraischen  Theorie  der  quadratischen 
Formen.  Ueber  die  verschiedenen  Stürmischen  Reihen  und  ihre  ge- 
genseitigen Beziehungen.  —  Ueber  Schaaren  von  quadratischen  uud 
bilinearen  Formen.  —  Sur  les  faisceaux  de  formes  quadratiques  et 


Literarischer  Bericht  MX. 


29 


bilinSaires.  —  Uebcr  die  congruenten  Transformationen  der  bilinearen 
Formen.  —  Von  diesen  Abhandlungen  stehen  6  in  Crelle  J.,  3  in 
Lionville  J.,  11  in  den  Monatsb.  d.  Akad.,  2  in  Comptes  rendus. 

H. 


Zwei  Abhandlungen  über  sphärische  Trigonometrie,  Grundztige 
der  sphärischen  Trigonometrie  und  Allgemeine  sphärische  Trigono- 
metrie 1753  und  1779.  Von  Leonhard  Euler.  Aus  dem  Franzö- 
sischen und  Lateinischen  übersetzt  und  herausgegeben  von  E.  Ham- 
mer. Mit  6  Figuren  im  Text.  Leipzig  1896.  Wilhelm  Engelmann. 
65  S. 

In  der  ersten  Abhandlung  bestimmt  Euler  die  Seiten  des  sphä- 
rischen Dreiecks  als  kürzeste  Verbindungen  der  Ecken  längs  der 
Kugelfläche  durch  Integration  der  Bedingungsgleichung,  geht  also 
von  der  Aufgabe  der  sphäroidischen  Trigonometrie  aus.  In  der  zweiten 
leitet  er  die  Formeln  durch  Betrachtung  der  Pyramide  zwischen  den 
Ecken  und  dem  Mittelpunkte  der  Kugel  her.  Die  Ausgabe  schliesst 
mit  einer  kurzen  Biographie  von  Euler  und  Verweisung  auf  die  aus- 
führliche, enthalten  in  R.  Wulf,  Handbuch  der  Astronomie.  Zürich 
1890.  H. 


Die  Theorie  der  Parallellinien  von  Euklid  bis  auf  Gauss.  Eine 
Urkundensammlung  zur  Vorgeschichte  der  nichteuklidischen  Geome- 
trie. In  Gemeinschaft  mit  Friedrich  Engel  herausgegeben  von 
Paul  Stäckel.  Mit  145  Figuren  im  Text  und  der  Nachbildung 
eines  Briefes  von  Gauss.    Leipzig  18ü5.    B.  G.  Teubner.    325  S. 

Die  Verfasser  haben  mit  grossem  Erfolge  nach  den  Vorgängern 
der  für  Gründer  der  nichteuklidischen  Geometrie  geltenden  Lobat- 
schefskij  und  Bolyai  geforscht  und  teilen  im  Vorliegenden  die 
gefundenen  Urkunden  chronologisch  mit.  Es  sind  die  folgenden: 
John  Wallis  1616— 17U3.  —  Girolamo  Sacchcri  1667-1733. 
—  Johann  Heiurich  Lambert  1728—1777.  —  Carl  Friedrich 
Gauss  1777  —  1855.  —  Ferdinand  Karl  Schweikart  1780— 
1857.  —  Franz  Adolf  Taurinus  1794— lt74.  H. 


Julius  Plückors  gesammelte  mathematische  Abhandlungen. 
Herausgegeben  von  A.  Schoeuflies  Mit  eiuem  Bildniss  Plücker's 
und  73  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Leipzig  1895.  B.  G. 
Teubner.    620  S. 


30 


Literarischer  Bericht  L1X. 


Das  Vorliegende  ist  der  erste  Band  des  Gesamtwerks:  „Julias 
Plückers  gesammelte  wissenschaftliche  Abhandlungen.  Im  Auf- 
trag der  Kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu  Göttingen  heraus- 
gegeben von  A.  Schoenflies  und  F.  R.  Pockels  in  zwei  Bän- 
den". Er  enthält  39  bereits  in  Zeitschriften  erschienene  Abhand- 
lungen', während  5  selbständige  Bücher  noch  ausserdem  käuflich, 
daher  nicht  aufgenommen  sind.  Der  Herausgeber  bezeichnet  Plücker's 
productive  Wirksamkeit  als  notwendige  Ergänzung  der  Entwicklung 
der  modernen  Geometrie  in  analytischer  und  formentheoretischer  Rich- 
tung neben  der  von  Poncelet,  Möbius  und  Steiner,  als  ihm  eigene 
fundamentale  Gedanken  die  Methode  der  abgekürzten  Bezeichnung, 
die  Bedeutung  der  Constantenzahi,  den  allgemeinen  Coordinatenbe- 
griff,  die  Einführung  der  Linien-  und  Ebenencoordinaten,  die  homo- 
gene Schreibweise,  die  Benutzung  überzähliger  Coordinaten,  den 
Zusammenhang  der  Siugularitäten  und  die  Liniengeometrie. 

H. 

Gino  Loria,  Professore  ordinario  dell'  Univeraita  di  Genova. 
II  passato  ed  il  presente  delle  principali  teorie  geometriche.  Secon- 
da  edizione  aecresciuta  ed  interamente  rifatta.  Torino  18%.  Carlo 
Clausen.   316  S. 

Das  Vorliegende  ist  die  Geschichte  der  Zweige  der  Geometrie, 
nämlich  der  folgenden.  Nach  einem  Blicke  auf  Ursprung  und  Ent- 
wickclung  der  Geometrie  überhaupt  vom  Altertum  bis  gegen  1850 
wird  einzeln  behandelt:  die  Theorie  der  ebenen  algebraischen  Cur- 
ven ;  der  algebraischen  Flächen ;  der  algebraischen  doppelt  gekrümmten 
Linien ;  die  Differentialgeometrie  (so  nennt  der  Verfasser  die  Unter- 
suchung der  Natur  der  Curven  und  Flächen  in  einem  Punkte); 
Untersuchungen  über  die  Form  der  Curven,  Flächen  und  andern 
Gebilde,  Analysis  situs,  Configurationen ;  die  Geometrie  der  Geradon 
im  Räume,  Correspondenzen ,  Darstellungen,  Transformationen;  die 
abzählende  Geometrie;  die  Mehrdimensionengeometrie.  Manche 
Theorien  sind  erklär termassen  ausgeschlossen.  Die  Erklärungen 
und  Charakterisirungen  sind  kurz,  den  Hauptinhalt  bildet  der  Lite- 
raturnachweis. H. 

Das  2000jährige  Problem  der  Triscction  des  Winkels.  Von 
Ingenieur  Sigismund  Wellisch.  Mit  11  Toxtfigurcn.  Wien  1896. 
Spielhagen  u.  Schurig.   18  S. 

Die  Schrift  ist  eine  historisch  litterarische  freie  Besprechung 
des  Problems.  H- 


Literarischer  Bericht  L1X. 


31 


Lehrbücher. 

K.  Koppe's  Arithmetik  und  Algebra  zum  Gebrauche  an  hebern 
Unterrichtsauslalteu  neu  bearbeitet  von  Prof  Dr.  Jos.  Diekmann, 
Director  des  Progymnasiums  mit  Realabteilung  in  Viersen,  Drei- 
zehnte Auflage.  Mit  zahlreichen  Uebuugen  uud  Aufgaben.  I.  Teil. 
Die  10  Grundrechnungen  —  Die  linearen  Gleichuugen.  —  Dio  Po- 
tenzrechnungen. Die  einfacheu  quadratischen  Gleichungen.  Essen 
1896.    G.  D.  Bädeker.    176  S. 

Im  56.  literarischen  Bericht  S.  46  ist  des  Verfassers  Lehrbuch 
der  Geometrie  besprochen.  Zu  dem  auf  dem  Titel  stehenden  Inhalte 
beider  sehr  bekannten  und  verbreiteten  Lehrbücher  ist  wol  kaum 
weiteres  hinzuzufügen.  II. 


Katechismus  der  Algebra  Vierte  Auflage  Vollständig  neu  be- 
arbeitet von  Richard  Schurig.  Leipzig  1895  J.  J.  Weber. 
236  S. 

Im  279.  litterarischen  Bericht  S.  24.  ist  der  1.  Teil  von  des 
Verfassers  „Lehrbuch  der  Arithmetik  zum  Gebrauch  au  uiedern  und 
höhern  Lehranstalten  und  beim  Selbststudium"  besprochen.  Das 
Vorliegende,  obwol  Katechismus  genannt,  stimmt  in  Lehrweise  und 
didaktischen  Gedanken  gauz  damit  überein,  so  dass  alles  Gesagte 
auch  hier  zutrifft.  Es  wird  hier  als  4.  Auflage  eines  Werkes  von 
Herrmann  und  Heym  herausgegeben  mit  dem  Bemerken,  dass  der 
Bearbeiter  vou  der  katechetischen  Form  darin  absehen  zu  müssen 
geglaubt  hat.  In  der  Tat  hat  auch  der  Verfasser,  iudera  er  vorzugs- 
weise in  doctrinären  Gebrauch  uud  Bcuenuung  einführt,  mit  grossem 
Geschick  zugleich  das  geleistet,  dass  Schüler,  die  das  Erlernen  als 
opus  operatum  ansehen,  leicht  uud  ohne  tieferes  Eindringen  stets  den 
Gedankenzusammenhang  gerade  hinreichend  begreifen.  Insofern  würde 
das  Buch,  als  zwischen  Katechismus  und  Lehrbuch  die  Mitte  haltend  er- 
scheinen und  von  maucheu  Schulen,  wo  die  Mathematik  für  ein  Neben- 
fach gilt,  gern  augeuommeu  werden.  Alleiu  der  Verfasser  hat  darin 
die  ganz  misverstandene  Lehre  von  Null  und  Unendlich,  welche  er 
in  seinem  Lehrbuche  vorgetragen  hatte,  und  deren  Unrichtigkeit  in 
jenem  Berichte  reichlich  dargetan  worden  ist,  erneuert.  Demnach  muss 
das  Buch  wegen  Verbreitung  von  Irrtümern  für  untauglich  zur  Ein- 
führung in  Schulen  erklärt  werden. 

Iloppe. 


Die  Grundlehren  der  Ebenen  Geometrie.   Ein  Leitfaden  für  den 


32 


Litterarischer  Bericht  L1X. 


Unterricht  mit  Ucbungsaufgaben.  Von  Jos.  Lengauer,  Professor 
am  k.  alten  Gymnasium  zu  Würzburg.  Vierte,  umgearbeitete  Auflage 
der  Ebenen  Geometrie  Von  A.  Steg  mann.  Kempten  1893.  Jos. 
Kösel.   180  S. 

In  2.  Auflage  ist  das  Buch  im  231.  Uitt.  Bericht,  S.  30  be- 
sprochen worden.  Aenderungen  fanden  am  meisten  iu  der  3.  Auf- 
lage statt  In  der  4ten  wurden  die  Fuudameutalconstructionen  dem 
Lehrsystem  eingereiht.  Die  Congruenzsätze  werden  hier  nicht  mehr 
auf  Euklidische  Weise  begründet,  sondern  aus  der  eindeutigen  Con- 
struetion  des  Droiocks  gefolgert  II. 


Lehrbuch  der  Geometrie.  Herausgegeben  von  Dr.  Fritz  Mei- 
gen.  Mit  150  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Hildburghausen 
1896.    Otto  Pozoldt.   82  S- 

.Der  Vortrag  zeichnet  sich  durch  eine  kindlich  populäre  Dar- 
stellungsweise  aus,  die  es  den  Schwächsten  fast  unmöglich  macht, 
etwas  nicht  zu  verstehen.  Auf  den  ersten  7  Seiten  ist  diese  auch 
durchaus  exaet  Dann  aber  wird  über  den  Begriffen  des  Winkels 
und  der  Richtung  das  nötige  Dunkel  verbreitet,  um  einen  trügeri- 
sebon  Scheinbeweis  des  Parallelensatzes  erschleichen  zu  können. 
Aufkärung  über  das  zur  Orientirung  Notwendige,  hier  Verschwiegene 
wird  auch  später  nicht  gegeben.  Pflege  der  ünkenntniss  ist  also  das 
würdige  Ziel  des  Buches.  Hoppe. 


Lehrbuch  der  Trigonometrie.  Herausgegeben  von  Dr.  Fritz 
Meigen.  Mit  41  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Hildburghausen 
1896.   Otto  Pc*oldt   59  S. 

Das  Buch  ist  hinsichtlich  guter  Ordnung,  klaren  Ausdrucks  und 
reichlich  dargebotener  Mittel  mit  der  Lehre  vertraut  zu  machen 
musterhaft  Der  Lehrgang  ist  der  gewöhnliche  und  empfehlens- 
werteste: die  Goniometrie  ausgehend  vom  rechtwinkligen  Dreieck 
nebst  Ergänzung  durch  graphische  Darstellung  und  mit  der  Addition 
der  Winkel  schliessend,  dann  die  Dreiecksberechnung,  die  Aufgaben 
über  das  rechtwinklige  vorausschickend.  Auf  Gebrauch  trigonomo- 
metrischer  Tafeln  mit  logarithmischer  Rechnung  geht  das  Lehrbuch 
nicht  ein;  eine  kleine  dreistellige  Tabelle  reicht  für  die  Uebungs- 
beispielo  gerade  hin.  Gar  nicht  erwähnt  werden  Wiukcl  über  180°, 
obgleich  die  graphischo  Darstellung  die  Frage  nach  ihnen  nahelegt, 
und  die  Addition  der  Winkel  leicht  auf  solche  führen  kann.  Doch 


Literarischer  Bericht  L]X. 


33 


ist  es  immer  erfreulich,  dass  das  vorliegende  Lehrbuch  das  Schul- 
pensum der  Trigonometrie  nicht  grösser  erscheinen  lässt,  als  es 
wirklich  ist,  wie  es  leider  oft  geschieht.  H. 

Die  Grundlagen  der  Stereometrie.  Ein  Leitfaden  für  deu  Unter- 
richt mit  Uebungsaufgaben.  Von  Jos.  Lengauer,  Prof.  am  k.  alten 
Gymnasium  zu  Wür/burg.   Kemptou  18J6.   Jos.  Kösel.    110  S. 

In  3  Abschnitten  werden  die  Lehre  von  der  Lage  der  Ebenen 
und  Geraden,  die  sphärische  Geometrie  uud  Trigonometrie  in  Ver- 
bindung mit  dem  Dreikant,  die  Lehro  vom  Prisma,  Pyramide,  Cylinder, 
Kegel  und  Kugel  behandelt  und  Uebungsaufgaben  dazu  gestellt.  Die 
Polyeder,  namentlich  die  regelmässigen ,  werden  nur  allgemein  de- 
finirt,  aber  in  keiner  Weise  naher  in  Betracht  gezogen.  H. 

Mathematische  Hauptsätze  für  Gymnasien.  Methodisch  zusam- 
mengestellt von  Dr.  Heinrich  Bork,  Professor  am  Königl.  Priuz 
Heinrichs-Gymnasium  zu  Schöueberg  bei  Berlin.  Zweiter  Teil : 
Pensum  des  Obergymnasiums  (bis  zur  Reifeprüfung).  Leipzig  1896. 
Dürr.    235  S- 

Die  Sätze  sind  vereinigt  zu  ausgewählten  Partien  der  Plani- 
metrie, Arithmetik,  Trigonometrie,  Stereometrie.  Das  Princip  der 
Auswahl  ist  nicht  ausgesprochen.  Nun  wird  aber  in  diesen  Zweigen 
eine  Vorbildung  vorausgesetzt,  die  bereits  Bekanntschaft  mit  der 
Mathematik  in  ziemlichem  Umfang  erteilt  hat.  Jene  Partien  schei- 
nen dazu  bestimmt  zu  sein,  gewisse  Lücken  in  der  Vorbildung  aus- 
zufüllen, auch  wie,  sie  auszudehnen  und  ihren  Staudpunkt  zu  er- 
höhen. Besonders  bemerkenswert  ist  die  Lehre  vom  Unendlichen, 
welche  gegenüber  einer  herrschenden  und  von  Lehrbüchern  noch  fort 
und  fort  gepHegten  Unklarheit  einmal  berichtigend  und  einfach  ent- 
scheidend auftritt  Hier  ist  der  Lehrsatz  (14),  welcher  die  Gleich- 
heit zweier  Constauten  aus  infinitesimaler  Bestimmung  folgert,  iu 
vollem  Sinne  ein  Hauptsatz;  er  ist  es  für  die  gesamte  Iutinitesi- 
nialtheorie.  H. 

Der  Coordinatenbegriff  uud  einige  Grundeigenschaften  der  Kegel- 
schnitte Zunächst  eine  Ergänzung  der  Neubearbeitung  der  Plani- 
metrie von  Kambly  Zum  Gebrauche  an  Gymuasicu  nach  den  neuen 
preussischen  Lehrpläneu  bearbeitet  von  Hermann  Rocder,  Ober- 
lehrer am  Lyceum  I  zu  Hauuover.  Mit  36  Figuren  Breslau  1893 
Ferdinaud  Hirt.   55  S. 


34 


Literarischer  Bericht  L1X. 


Es  werden  die  ebenen  rechtwinkligen  Coordinaten  erklärt  und 
auf  Punkt,  Gerade,  Kreis,  Parabel,  Ellipse,  Hyperbel,  letztere  nur 
in  einfachster  Lage  zum  Axonsystem,  angewandt  Didaktischer  Ge- 
sichtspunkt ist,  die  räumliche  Vorstellung  beständig  im  Auge  zu  be- 
halten. Daher  erscheint  die  Rechnungsform  weniger  als  Deductions- 
mittel,  vielmehr  'als  Ziel*  aller  Operationen.  Am  Schlüsse  werden 
die  genannten  Curven  ^ohne  Gebrauch  von  Coordinaten  als  ebene 
Schnitte  des  geraden  Kegels  hergeleitet.  EL 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Lehrbuch  der  Algebra.  Von  Heinrich  Weber,  Professor 
der  Mathematik  an  der  Universität  Göttingen.  In  zwei  Bänden. 
Erster  Band.  —  Zweiter  Band  Mit  28  eingedruckten  Abbildungen. 
Braunschweig  1895    Friedrich  Vieweg  u.  Sohn.    633  S. 

Das  Buch  enthält  das  gesamte  Gebiet  der  Algebra  auf  neue- 
stem Standpunkt,  der  erste  Band:  die  Grundlagen,  die  Wurzeln  und 
algebraische  Grössen.  Deren  Abschnitte  behandeln:  rationale  Func- 
tionen, Determinanten,  die  Wurzeln  algebraischer  Gleichungen,  sym- 
metrische Functionen,  lineare  Transformation ,  Invarianten,  Tschirn- 
hausen-Transformation ;  Realität  der  Wurzeln,  den  Sturm'schen  Lehr- 
satz, Abschätzung  der  Wurzeln,  genäherte  Berechnung,  Kettenbrüche, 
Theorie  der  Einheitswurzeln;  die  Galois'sche  Theorie,  Anwendung 
der  Perrautationsgruppen  auf  Gleichungen,  cyklische  Gleichungen, 
Kreisteilung,  algebraische  Auflösung  von  Gleichungen,  Wurzeln  meta- 
cyklischer  Gleichungen . 

Der  2.  Band  enthält: '  Gruppeu,  lineare  Gruppen,  Anwendungen 
der  Gruppentheorie,  algebraische  Zahlen.  H. 

Naturwissenschaftliche  Anwendungen  der  Integralrechnung  Lehr- 
buch und  Aufgabensammlung.  Verfasst  von  Arwed  Fuhrmann, 
ordentl.  Professor  an  der  Königl  technischen  Hochschule  zu  Dres- 
den. Teil  II,  der  Anwendungen  der  Infinitesimalrechnung  in  den 
Naturwissenschaften,  im  Hochbau  und  in  der  Technik.  Berlin  1890. 
Ernst  u  Kohn.    261  S 

Der  Verfasser  hat  schon  bei  Herausgabe  des  I.  Teils  viel  Glück 
und  Erfo  g  davon  geerntet,  dass  er  denjenigen,  welche  ohne  voraus- 
gehendes Studium  der  höhern  Analysis  naturwissenschaftliche  oder 


Litterarischer  Berieht  LJX. 


35 


technische  Fächer  betrieben,  die  Eenntniss  gerade  derjenigen  be- 
sondern Lehren  verschaffte,  welche  ihnen  dabei  von  Nutzen  waren. 
Es  ist  nur  eine  Fortsetzung  seines  Werkes,  dass  er  jetzt  jene  Lehren 
auf  die  Integralrechnung  ausdehnt.  Die  partiellen  Differentialglei- 
chungen bleiben  auch  diesesmal  noch  ausgeschlossen,  daher  offen  für 
eine  weitere  Fortsetzung.  Offenbar  ist  das  Unternehmen  ein  Schritt 
dazu,  dass  der  Wert  des  mathematischen  Studiums  für  einen  weiten 
Kreis  wissenschaftlicher  Forschung  mehr  und  mehr  einleuchtet,  ob- 
gleich es  zunächst  von  der  Mühe  der  Aneignung  einer  umfangreichen 
Doctrin  zu  entbinden  und  deren  Früchte  fertig  in  die  Hand  zu  lio- 
fern  scheint;  denn  der  Weg  durch  die  allgemeinen  Principien  der 
Doctrin  führt  meist  kürzer  und  leichter  zu  den  Resultaten  als  das 
Ausgehen  auf  specielles  Ziel,  und  Früchte,  die  man  genossen  hat, 
wird  man  auch  gern  selbst  pflücken  wollen  —  Die  Anordnung  des 
Lehrstoffs  ist  nicht  nach  Fächern  und  Verwendungen,  sondern  nach 
den  Teilen  der  Theorie  getroffen.  Die  Abschnitte  sind:  eiufache, 
dann  mehrfache  Integrationen,  Differentialgleichungen  erster,  dann 
zweiter  Ordnung.  H. 


Geometrie. 


Die  singulären  Punkte  der  Flächen.    Habilitationsschrift  zur 
Erlangung  der  venia  legendi  an  der  Königl  Technischen  Hochschule 
in  Stuttgart  vorgelegt  von  Dr.  Ernst  Wölf  fing  aus  Stuttgart. 
Dresden  1896    B.  G.  Teubner.   25  S. 

Es  wird  die  Gestalt  der  Fläche  in  der  Umgebung  eines  singu- 
lären Punktes  uutersucht.  Die  Entwicklung  der  Coordinateu  bis  auf 
ersten  Term  ergibt  ein  Polyeder,  dieses  auf  eino  Ebene  projicirt 
ein  Netz.  Dio  Abschnitto  der  Schrift  sind:  das  analytische  Poly- 
eder, die  Flächencurven  in  einem  singulären  Punkte,  das  analytische 
Netz,  die  Durchdringungscurvo  zweier  Punkte,  das  Tangontialgebilde, 
bildliche  Darstellung  einer  Fläche  in  der  Nähe  eines  singulären 
Punktes,  die  Näherungs-  und  Hülfsflächen,  Untersuchung  einer  Flächo 
in  der  Nähe  eines  singulären  Punktes.  H. 


36 


literarischer  Bericht  LIX. 


Mechanik. 

Ballistische  (Theorien.  Beiträge  zum  Studium  neuer  Probleme 
der  inncrn  und  äussern  Ballistik  I.  Analytische  Theorie  der 
Wärmelcitung  in  Geschützrohren.  Von  Alois  Indra,  k.  u.  k. 
Major  im  Festungs-Artillcric-Regimente  Graf  Colloredo-Mels  No.  !. 
Pola  1£93.    E.  Scharff.    178  S. 

Das  Gesamtwerk  bestimmt  der  Verfasser  für  Lösung  dreier 
Probleme  betreffend  die  Wärmeleitung  im  Geschützrohr,  die  Stoss- 
wirkung  der  Pulvergase  und  den  Luftwiderstand  Für  das  erste  lag 
die  Differentialgleichung  schon  integrirt  von  Fourier  vor;  es  ist  im 
gegenwärtigen  I.  Teile  danach  bearbeitet.  Die  auf  das  zweite  be- 
zügliche bisher  für  unlöslich  gehaltene  Differentialgleichung  ist  ihm, 
wie  er  sagt,  gelungen  zu  integriren,  und  es  wird  dieses  Problem  die 
Grundlage  einer  ueueu  Theorie  der  Coustructiou  beringter  Geschütz- 
röhre bilden.  Auch  die  analytische  Theorie  des  Luftwiderstandes 
rotirender  Geschosse  hofft  er  in  vollständig  neuer  und  umfassender 
Weise  darzustellen.  Die  Abschnitte  der  vorliegenden  Bearbeitung 
sind  folgende.  Untersuchungen  über  dio  Wärincleitung  im  Rohre 
unter  blosser  Voraussetzung  einer  inuern  constanten  Wärmequelle. 
Wärmebewegung  im  Rohre  uuter  Voraussetzung  einer  von  Schuss 
zu  Schuss  unterbrochenen  Wärmequelle.  Die  Temperaturverteilung 
im  unendlichen  Kreiscyliuder  als  geometrisches  Mittel  der  Tempe- 
raturverteilung im  unendlichen  Stabe  und  in  der  unendlichen  Kugel. 
Temperaturverteiluug  im  uuondlichen  Cyliudervon  begrenzter  Läuge, 
wenn  die  anfängliche  Temperatur  eine  willkürliche  gegebene  Länge 
ist  Schlussfolgerungen.  Allgemeines  Poblem  der  Fortpflanzung  der 
Wärme  bei  gegebenem  innern  und  äusseru  Wärmezustande.  Anwen- 
dung des  Problems  der  Wärmelcitung  zur  Bestimmung  der  Stoss- 
intensität  der  Pulvergasc.  Wärmemitteilung  bei  Voraussetzung  einer 
als  Fuuction  der  Zeit  continuirlich  wirkeuden  Wärmequello  Es 
folgt  zum  Schluss  eiue  Tafel  des  Iutegrallogarithmus  H. 

Die  Luftwiderstands-Gesetze,  der  Fall  durch  die  Luft  und  der 
Vogelflug.  Mathematisch-mechanische  Klärung  auf  experimenteller 
Grundlage  entwickelt  von  Friedrich  Ritter  von  Locssl,  Ober- 
ingeuieur.    Wien  1*96.    Alfred  Holder.    3<H  S. 

Der  Verfasser  äussert  sich  in  allen  Stücken  befriedigt  von  dem 
Erfolge  seiner  Untersuchungen  in  Betreff  der  3  genannten  Probleme, 
deren  Lösung  er  in  den  zunächst  geforderten  Hauptpunkten  über- 
zeugt ist,  dauernd  festgestellt  zu  haben  Die  Schuld  des  bisherigen 
Mislingen's  schreibt  er  gewissen,  hier  nicht  näher  bezeichneten  irrigen 


[Aiterarischer  Bericht  L/X. 


37 


Vorstellungen  zu.  Auch  er  geht  vou  vereinfachenden  Vorstellungen 
aus,  die  er  aber  durch  sorgfältige  und  vielseitige  Experimente  so- 
weit gerechtfertigt  hat,  dass  alles  darin  Vernachlässigte  keinen  merk- 
lichen Einfluss  haben  kann.  Namentlich  ist  es  die  Vorstellung,  dass 
eine  ebene  (oder  coneave)  Platte  normal  gegen  die  Luft  geführt 
einen  pyramidalen  Lufthügel  unverändert  vor  sich  her  treibt,  der 
fest  verbunden  mit  ihr  den  Widerstand  zum  Minimum  macht. 
Letzterer  erweist  sich  dann  der  Basis  bei  jeder  Gestalt  proportional 
Ueberall  handelt  es  sich  natürlich  nur  um  summarische  Hauptgrössen, 
deren  allgemeine  Ausdrücke  stets  sehr  einfach  ausfallen;  detaillirto 
Bestimmung  von  Druck  in  einzelnen  Punkten,  Luftbewegung  u  s.  w 
bleibt  ausgeschlossen  Von  den  Experimenten  und  Apparaten  wird 
wenig  mitgeteilt  Auch  in  Betreff  des  Fluges  von  Tauben,  wo  der 
Verfasser  beausprucht,  alles  Fragliche  aus  der  vorhergehenden  Theorie 
genügend  erklärt  zu  haben,  erfährt  man  nicht,  wie  die  Beobachtung 
angestellt  worden  ist.  II. 

Traite  de  mecanique  rationnelle  Par  Paul  Appell,  Membro 
de  rinstitut,  Professeur  ä  la  Faculte  des  sciences.  Tome  premier; 
Statique ,  dynamique  du  point.  —  Tome  deuxieme:  Dynamique  des 
systemes,  mecanique  analytique.  Paris  1893  189G  Gauthier-Villars 
et  ßls.   549  +  538  S. 

Der  Verfasser  setzt  die  Eigenheit  seines  Werkes  allein  darin, 
dass  die  analytische  Meehauik  schon  in  den  Anfang  eingeführt  werde. 
Gerade  in  diesem  Punkte  lässt  sich  indes  am  wenigsten  Verschieden- 
heit von  andern  Lehrbüchern  erkennen.  So  ist  das  Princip  der  vir- 
tuellen Geschwindigkeiten,  obwol  es  das  allgemeinste  der  Statik  ist, 
doch  wie  gewöhnlich  nicht  in  den  Anfang  gestellt.  Dagegen  fiuden 
sich  sonst  genug  charakteristische  Verschiedenheiten  im  Lehrgang. 
Z.  B.  bildet  hier  die  Lehre  von  den  Kräfteparen  kein  Glied  der 
Statik.  Die  Themata  der  Abschnitte  sind  der  Reihe  nach  folgende: 
Theorie  der  Vettoren,  Kinematik  ,  Principe  der  Mechanik  (Kräfte, 
Massen),  Arbeit  ;  Gleichgewicht  eines  Punktes  und  eines  starren  Kör 
pers,  deformirbare  Systeme,  Princip  der  virtuellen^Geschwindigkeiteu, 
Bcgriff.'der  Reibung;  geradlinige  Bewegung,  Ceutralkräfte  insbesondere 
elliptische  Bewegung  der  Planeten,  Bewegung  eines  Punkts  auf  fester 
oder  beweglicher  Curve  und  Flüche,  Lagraage's  Gleichungeu  für 
eiuen  freien  Punkt,  Alembert'sches,  Hamilton'sches  Princip  und  Princip 
der  kleinsten  Wirkung  —  Kanonische  Gleichung,  Jacobi'scher  Satz, 
Anwendungen,  Trägheitsmomente,  allgemeine  Sätze  über  die  Be- 
wegung der  Systeme,  Dynamik  des  starren  Körpers,  Bewegungen 
parallel  einer  Ebene,*Bewegung  eiues  Körpers  um  einen  festen  Punkt, 


38 


Litterarischer  Bericht  L1X. 


freier  starrer  Körper  relative  Bewegung,  Alombcrt'sches  Princip, 
Lagrange's  Gleichungen ,  kanonische  Gleichungen ,  Sätze  von  Jacobi 
und  Poisson,  Princip  von  Hamilton  und  kleinster  Wirkung,  Stoss, 
Maschineu.  H. 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Astronomischer  Kalender  für  1897.  Herausgegeben  von  der  k. 
k.  Sternwarte  zu  Wien.  Jahrg.  L1X  der  ganzen  Reihe,  XVI.  der 
neuen  Folge.   Wien,  Gerold's  Sohn.    109  S 

Dio  Beilagen  geben :  ein  Fixstemvcrzcichniss,  Verzcichniss  ver- 
änderlicher Sterne,  von  Nebelflecken  und  Sternhaufen,  Const unten. 
Uebersicht  des  Sonnensystems ,  nämlich  Bahnelemente  der  grossen 
Planeten,  der  Satelliten,  Yerzeichniss  der  Asteroideu,  berechneten 
Kometeuj,  Sternschnuppenradianten,  geographische  Positionen,  Ele- 
mente des  Erdmagnetismus,  neue  Planeten  und  Kometen.  H. 

Annuaire  pour  Tan  1896  —  pour  Tan  1897.  Publie  par  lo 
Bureau  des  longitudes.  Avec  des  notices  scientifiques.  Paris. 
Gauthier-Villars  et  fils. 

Comme  tous  les  ans  ä  pareillo  epoque  l'Annuaire  du  Bureau 
des  Longitudes  vient  de  paraitre.  i'Annuaire  pour  1£96  renferme 
une  foule  de  renseignements  pratiques  reunis  daus  ce  petit  volume 
pour  la  commodite  des  travaileurs.  On  y  trouve  egalement  des  arti- 
cles  dus  aux  savants  les  plus  illustres  sur  les  Moonaics,  la  Statisti- 
quo,  la  Geographie,  la  Miueralogie,  etc ,  eufin  les  notices  suivantes: 
Les  Forces  ä  distance  et  les  oudulations;  par  M.  A.  Cornu  — 
Les  Travaux  de  Frcsnel  en  Optiquo;  par  M  A.  Cornu.  —  Sur  la 
construetion  des  nouvelles  Cartes  maguetiques  du  globe,  entreprises 
sous  la  direction  du  Bureau  des  Longitudes;  par  M.  de  Bcrnar- 
dieres  —  Sur  une  troisieme  ascension  ä  l'observatoire  du  sommet 
du  mont  Blanc  et  les  travaux  executes  pendänt  Tete  de  lbdb  dans 
le  massif  de  cette  montagne;  par  M  J.  Jansen.  —  Notice  sur  la 
vie  et  les  travaux  du  contre-amiral  Fleuriais;  par  M.  de  Bernar- 
dieres  —  Allocutions  prononeees  aux  funerailles  de  M  E.  Bru- 
uer;  par  MM.  J  Jansen  et  F.  Tisseraud.  Id-Iö  de  IV-894 
pages,  avec  2  Cartes  maguetiques. 

Outre  les  renseignements  pratiques  qu'il  contient  cbaque  aun6c, 
l'Annuaire  du  Bureau  des  Longitudes  pour  1897  renferme  des  ar- 


Litter  arisch  er  Bericht  L1X. 


30 


ticles  dus  aux  savants  les  plus  illustres  sur  les  Monnaies ,  la  Statique, 
la  Geographie,  la  Mineralogie,  etc.,  enfin  les  Notices  suivantes: 
Notice  sur  le  mouvement  propre  du  Systeme  solaire;  par  M.  F- 
Tisserand  —  Les  rayons  cathodiques  et  les  rayons  Röntgen; 
par  M.  II.  Poincare  —  Les  epoques  dans  l'Histoire  astronomique 
des  planetes;  par  M.  J.  Jansen  —  Notice  sur  la  quatrieme  Reunion 
du  Comite  international  pour  l'cxecution  de  la  Carte  photographique 
du  Cid;  par  M.  F  Tisserand.  —  Notice  sur  les  travaux  de  la 
Commission  internationale  des  etoiles  fondamentales ;  par  M.  F. 
Tisseraud.  —  Discours  prononce  aux  funerailles  de  M.  Hippolyte 
Fizeau;  par  M.  A.  Cornu.  —  Discours  prooonces  aux  funerailles 
de  M.  Tisserand;  par  MM.  II  Poincar6,  J.  Jansen  et  M  Löwy. 
—  Travaux  au  raont  Blanc  en  1806;  par  M.  J.  Jansen  In-18  de 
V-918  pages,  avec  2  Cartes  magneliques. 

Paria.  Gauthier- Villars  et  fils. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

LH. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Bernhardt,  Philipp  Melanchton  als  Mathematiker  u.  Physiker. 
gr.8°.    (VI,  74  S.)    Wittenberg,  Wunschmauu.    1  Mk. 

Epstein,  S.  S.,  Hermann  v.  Helmholtz  als  Mensch  u.  Gelehr- 
ter.  8°.    (92  S.)    Stuttgart,  Deutsche  Verlagsanstalt.    1  Mk. 

Ernst,  Adf.„  James  Watt  u.  dio  Grundlagen  des  modernen 
Dampfmaschinenbaues.  Eine  geschichtl.  Studie.  Mit  dem  Bildnis  v. 
James  Watt  u.  27  Tcxtfig.  gr.8°.  (V,  100  S.)  Berlin,  Springer. 
2  Mk. 

Fortschritte  der  Physik  im  J.  1890.  Dargestellt  von  der 
physikal.  Gesellschaft  zu  Berlin.  46.  Jahrg.  3.  Abth.  Kosmische 
Physik.  Red.v.  Rieh.  Assmann  gr.8°.  (LIV,  780  S.)  Braunschweig, 
Vieweg  &  Sohn.    30  Mk. 

—  dass.  im  J.  1895.  51.  Jahrg.  Ebd.  —  1.  Abth.  Physik 
der  Materie.  Red.  v.  Rieh.  Börnstein.  gr.8°.  (LXXII,  510  S.) 
20  Mk.  -  3.  Abth.  Kosmische  Physik.  Red.  v.  Rieh.  Assmann.  gr.8°. 
(LIV,  686  S.)    25  Mk. 

—  der  Elektrotechnik.  8.  Jahrg.  1.  u.  5.  Hit.  Berlin,  Sprin- 
ger,  ä  5  Mk. 

Gay-Lussac,  premicr  essai  pour  däterminer  les  variations  de 
temperature  qu'  eprouvent  les  gaz  on  changeant  de  densite  et  con- 
siderations  sur  leur  capacite  pour  la  calorique.  gr.  8°.  (14  S.) 
Leipzig,  Barth.    1  Mk. 

Hagen,  Joa.  G.,  index  operum  Leonardi  Euleri.  gr.8\  (VIII, 
90  S.)    Berlin,  Dames.    2  Mk. 

Müller,  Chr.  Frdr.,  Henricus  Grammateus  u.  sein  Algorismus 
de  integris.    gr.4°.    (3TS)  Zwickau,  Thost.    1  Mk. 


Pogge ndo rf P s  Handwörterbuch  zur  Geschichte  der  exaeten 
Wissensehaften.    3.  Bd.    2.-6.  Lfg.   Leipzig,  Barth,    ä  S  Mk. 

Wertheini,  Gust.,  die  Arithmetik  des  Elia  Misrachi.  Ein 
Beitrag  zur  Geschichte  der  Mathematik.  2.  Aufl.  gr.8tt.  (VII,  68  S.) 
Braunschweig,  Vieweg.   3  Mk. 

Methode  und  Prlnelpien. 

Altmanspocher,  Otto,  die  Grundlagen  unserer  Herrschaft 
über  die  Zahlen.    gr.8u.    (III,  52  S.)   Leipzig,  Dürr'sche  B.    1  Mk. 

Danock,  Gust.,  das  Rechnen  im  ersten  Schuljahr,  zugleich  ein 
Beitrag  zur  Frage  nach  dem  Wesen  u.  der  Entstehung  der  Zahl. 
gr.8°.   (III,  173  S.)   Leipzig,  Klinkhardt    2  Mk. 

Goebel,  Karl,  die  Zahl  und  das  ünendlichkleine.  gr.8#. 
(47  S.)   Leipzig,  Fock.   1  Mk.  20  Pf. 

Lodge,  OliveT  J.,  neueste  Anschauungen  über  Elektricität. 
Uebers.  v.  Anna  v.  Helmholtz  u.  Estelle  du  Bois-Reymond.  Hrsg. 
durch  Rieh.  Wachsmuth.  8°.  (XV,  539  S.  m.  Fig.)  Leipzig,  Barth. 
10  Mk. 

Scheffler,  Herrn.,  das  Wesen  der  Mathematik  u.  der  Aufbau 
der  Welterkenntniss  auf  raathematischer  Grundlage.  2  Bde.  gr.8ü. 
1.  Die  Mathematik.  (VI,  409  S.  m.  1  Taf.)  —  II.  Das  Welt- 
system.   (V,  462  S.  m.  2  Taf.)    Brauuschweig,  Wagner.    10  Mk. 

Sinram,  A.,  Kritik  d.  Formel  der  Newton'schen  Gravitations- 
theorie.  gr.8°.    (44  S.)    Hamburg,  Gräfe  &  Sillem.    1  Mk. 

Steiger,  Joh.,  der  geometrische  Unterricht  in  der  Volksschule. 
Zum  Gebrauche  in  Seminarien  u.  für  die  Hand  des  Lehrers  metho- 
disch dargestellt.  2.  Aufl.  gr.fc0.  (IX,  VI,  71  S.  m.  Fig.)  Bühl, 
Koukordia.    Kart.  1  Mk. 


Lehrbücher. 

Löwenberg,  Geo.,  Lehrbuch  der  Mathematik.  Zum  Selbst- 
studium u.  für  deu  Uutericht  in  Prima  der  höheren  Lehranstalten, 
vermittelnd  den  Uebergang  vom  Schulpensum  zum  Universitätsstu- 
dium.  gr.8ü.   (191  u.  8  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Arnd-   4  Mk.  50  Pf. 

Sammlungen. 

Eisner,  A-,  u.  R.  Sendler,  Rechenbuch  für  Lehrerseminare. 
Im  Anschluss  an  Dorn's  Rechenhefte  bearb.  I.  Tl.  Für  die  Unter- 
stufe der  Seminare,  sowie  für  Praeparandenanstaltcn.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(II,  223  S.)    Breslau,  Handel.    2  Mk.  20  Pf. 


Fechner,  Heinr,  Aufgaben  für  den  ersten  Rechenunterricht 
in  der  Buchstabenrechnung.  Resultate.  3.  Aufl.  gr.8°.  (25  S.) 
Berlin,  W.  Schulze.    75  Pf. 

Funcke,  H.,  methodisch  geordnete  Aufgaben  zu  Mchler's  Haupt- 
sätzen der  Elementar- Mathematik.  gr.8°.  (IV,  96  S.)  Berlin,  G. 
Reimer.   60  Pf. 

Groh,  Herrn.,  Aufgabeu  für  den  Rechenunterricht  an  Klasse 
IV  höherer  Lehranstalten.  Nebst  einem  Anhang  zum  Kopfrechnen. 
8°.   (IV,  88  S.)    Stuttgart,  Kohlhammer.   Kart.  90  Pf. 

Hegemann,  E.,  Uebungsbuch  für  die  Anwendung  der  Aus- 
gleichsrechnung nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  auf  die 
praktische  Geometrie,  gr.8».  (IV,  156  S.  m.  37  Abbild.)  Berlin, 
Parey.   Geb.  5  Mk. 

Hügemeyer,  G.,  u.  F.  Riethmüller,  Rechenbuch  f.  höhere 
Mädchenschulen  in  9  Hftn.  Bearb.  nach  den  Bestimmgn.  des  preuss. 
ünterrichtsministers  v.  31.  Mai  1894.  9  Hfte.  gr.8°.  Düsseldorf, 
Schwann.   3  Mk.  45  Pf. 

Kley  er,  A.,  Aufgaben-Sammlung.  1362.  — 1367.  Heft.  Stutt- 
gart, Maier.   ä  25  Pf. 

Knak,  P.,  Rechenbuch  für  Ackerbauschulen  u.  landwirtschaft- 
liche Winterschulen.  2.  Aufl.  8°.  (VIII,  111  S.).  Berlin,  Parey. 
Geb.  1  Mk.  20  Pf. 

Küffner,  Ed.  u.  AI.  J.  Ruckert,  Rechenbuch  für  die  Volks- 
schule, unter  Mitwirkung  erfahrener  Schulmänner  hrsg.  2.  u.  3.  Lehr- 
heft. 8°.  —  2.  Der  Zahlenraum  v.  1—100.  (120  S.  m  Fig.)  —  3. 
Der  Zahlenraum  v.  1—1000  bzw.  bis  10000.  (68  S.)  Bamberg, 
Buchner.    ä  80  Pf. 

Lindner,  J.,  550  Kopfrechnungen,  grössteutheils  Aufgaben  von 
Anstellungsprüfungen.  2.  Aufl.  gr.8°.  (52  S.)  Regensburg,  Bauhof. 
80  Pf.;  Risultate  (8  S.)    20  Pf. 

Löwe,  M.,  Aufgaben  für  das  kaufmännische  Kopfrechnen  mit 
beigefügten  Beispielen  u.  Resultaten.  gr.8°.  (55  S.)  Leipzig, 
Klinkhardt.    1  Mk.  20  Pf. 

Maier,  K.  G-,  Sammlung  v.  Kopfrechnungsaufgaben  aus  dem 
Gebiete  der  Elementar-Arithmetik  zum  Gebrauch  in  Schulen,  Lehrer- 
bildungsanstalten u.  beim  Selbstunterricht.  2.  Tl.  2.  Aufl  8°.  (96  S 
u  Resultate  S.  97—112).   Stuttgart,  Gundert.    1  Mk.  50  Pf. 

Rosenberg,  Karl,  methodisch  geordnete  Sammlung  v.  Auf- 
gaben aus  der  Arithmetik  u.  Algebra  f.  Lehrer-  u.  Lehreri»nen- 
Bildungs- Anstalten,  sowie  für  andere  gleichgestellte  Lehranstalten. 
gr.8°    (IV,  247  S.)   Wien,  Hölder.   Geb.  2  Mk.  60  Pf. 

Villicus,  Frz.,  Beispiele  u.  Aufgaben  für  das  kaufmännische 
Rechnen  zum  Gebrauche  an  der  Gremial-Haudelsfachschule  der  Wiener 


Kaufmannschaft.  Für  die  Vorbereitungsciasse  u.  I.  Classe.  gr.8°. 
(IV,  81  S.)    Wien,  Pichler.   Kart.  1  Mk. 

Weisbach's  Ingenieur.  Sammlung  von  Tafeln,  Formeln  u. 
Regeln  der  Arithmetik,  der  theoretischen  u.  praktischen  Geometrie, 
sowie  der  Mechanik  u.  des  Ingenieurwesens.  7.  Aufl.  v.  F.  Reuleaux. 
schmal  8°.  (XX,  1058  S.  m.  746  Holzst.)  Braunschweig,  Vieweg. 
10  Mk. 

Tabellen. 

Breusing,  Arth.,  nautische  Hülfstabellen.  6.  Aufl.  Hrsg.  v. 
C/ Schilling.  gr.8°.  (325  S.  m.  2  Karten.)  Bremen,  Heinsius.  6  Mk. 

Kewitsch,  Geo.,  vierstellige  Logarithmen  für  den  Schulge- 
brauch   gr.8».    (40  S.)   Leipzig,  Reisland.   80  Pf. 

Ligowski,  W,  Sammlung  fünfstelliger  logarithmischer,  trigo- 
nometrischer u.  nautischer  Tafeln,  nebst  Erklärung  u.  Formeln  der 
Astronomie.  (Nautische  Tafeln.)  3.  Aufl.  gr.8°.  (XXIII,  252  S.) 
Kiel,  Universitäts-Buchh.   7  Mk. 

Schultz,  E.,  vierstellige  mathematische  Tabellen  im  engen 
Anschluss  an  die  mathematischen  Tabellen  der  technischen  Kalen- 
der.  gr.8°.   (IV,  80  S.)   Essen,  Baedeker.   Kart.  80  Pf. 

Sickenberger,  A dt'.,  vierstellige  logarithmisch-trigonometri- 
sche  Tafel  zum  Schul-  und  Handgebrauch.  3.  Aufl.  12°.  (20  S.) 
München,  Th.  Ackermanu.   40  Pf. 

Treutlein,  P.,  vierstellige  logarithmischo  u.  goniometrische 
Tafeln,  nebst  den  nötigen  Hilfstafeln.  123.  (IV,  73  S.)  Braun- 
schweig, Vieweg.   60  Pf. 

Zimmermann,  Ludw.,  die  gemeinen  oder  briggischen  Loga- 
rithmen der  natürlichen  Zahlen  1-10009  auf  4  Dezimalstellen,  nebst 
einer  Produkteatafel  einer  Quadrattafel  u.  einer  Tafel  zur  Berech- 
nung der  Kathete  u.  Hypotenuse  u.  zur  Bestimmung  der  Wurzeln 
aus  quadratischen  Gleichungen.  Zum  Gebrauche  für  Schule  u.  Praxis. 
gr.8°    (40  S )   Liebeuwerda,  Rciss.   50  Pf. 

— ,  Rechentafeln,  welche  die  Produkte  aller  Zahlen  unter  Zehn- 
tausend in  alle  Zahlen  bis  Hundert  enthalten  u.  daher  die  Multipli- 
kation u.  Division  mit  diesen  Zahlen  ganz  ersparen,  bei  grösseren 
Zahlen  aber  zur  Erleichterung  u.  Sicherung  der  Rechnung  dienen. 
Grosse  Ausg.   4°.   (XVI,  205  S.)   Ebd.    Geb.  5  Mk. 

—  ,  Tafeln  fUr  die  Teilung  der  Dreiecke,  Vierecke  u.  Polygone. 
2.  Aufl.   gr.8°.   (64  S.  m.  Fig.)    Ebd.   Geb.  4  Mk. 

Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Ben  dt,  Frz.,  Katechismus  der  Differential-  u.  Integralrechnung. 
12°.   (XVI,  268  S.  m.  39  Fig.)   Leipzig,  Weber.   Geb.  3  Mk. 

s* 


Dedoff,  Thdr.,  Untersuchungen  über  quadratische  Formen. 
gr.4°.   (39  S.).   Leipzig,  Teubner.   2  Mk.  80  Pf. 

Hauck,  H.,  u.  A.  Fr.  Hauck,  Lehrbuch  der  Arithmetik  für 
Real-,  Gewerbe-  u.  Handelsschalen.  Mit  zahlreichen  Beispielen  u. 
Uebungsaufgaben.  (In  3  Tin.)  2.  Tl.  2.  Abtlg.  6.  Aufl.  gr.8°. 
(III,  249  S.)   Nürnberg,  Korn.   Geb.  3  Mk. 

Koppe' s,  K.,  Arithmetik  u.  Algebra  zum  Gebrauche  an  höheren 
Unterrichtsanstalten,  neu  bearb.  v.  Jos.  Diekmann.  13.  Aufl.  2.  Tl. 
gr.8°.   Essen,  Baedeker.   Gob.  2  Mk.  40  Pf. 

Kr  ei  big,  Jos.  Clem.,  Lehrbuch  der  kaufmännischen  Arith- 
metik tür  höhere  Haudels-Lehranstalten.  3  Tie.  gr.8°.  (IV,  178 
—  IV,  229  —  IV,  238  S.)   Wien,  Hölder.   Geb.  9  Mk.  20  Pf. 

Lindenthal, Ernest,  Rechenlehre.  Leitfaden  für  den  Rechen- 
unterricht in  den  zwei  untersten  Klassen  der  Realschulen  u.  rangs- 
gleicher Anstalten.   gr.8°.   (160  S.)   Ebd.   Geb.  1  Mk.  80  Pf. 

Markoff,  A.  A.,  Differenzenrechnung.  Uebers.  v.  Theoph 
Friesendorff  u.  Erich  Prümm.  gr.8°.  (VI,  194  S.)  Leipzig,  Teub- 
ner.  7  Mk. 

Netto,  Eugen,  Vorlesungen  über  Algebra.  (In  2  Bdu.)  I.  Bd. 
gr.8°.    (X,  388  S.  m.  Holzschn.)   Ebd.    12  Mk. 

Puchberger,  Eman.,  allgemeine  Integration  der  Differential- 
gleichungen. 4.  (Suppl.)-Heft.  gr.8a.  (XV,  29  8.)  Wien,  Gerold. 
1  Mk.  60  Pf. 

Rogel,  Frz.,  Theorie  der  Euler'schen  Functionen.  gr.8°. 
(45  S.)   Prag,  Rivna**.   72  Pf. 

Servus,  II..  Regeln  der  Arithmetik  u.  Algebra  zum  Gebrauch 
an  höheren  Lehranstalten ,  sowie  zum  Selbstunterricht.  I.  Tl 
Unter-Tertia,  Ober-Tertia  u.  Ünter-Secunda.  gr.8°*  (VI,  180  S.) 
Berlin,  Salle.    1  Mk.  40  Pf. 

Stahl,  Herrn.,  Theorie  der  Abel'schen  Functionen.  gr.8°. 
(X,  354  S.)   Leipzig,  Teubner.    12  Mk. 

Studnit  ka,  F.  J.,'  über  Potenzdeterminanten  u.  deren  wich- 
tigste Eigenschaften.   gr.8°.    (8S.)    Prag,  Rivna»-.    16  Pf. 

Wallentin,  Frz.,  Lehr-  u.  Uebungsbuch  der  Arithmetik  für 
die  3.  u.  4.  Klasse  der  Realschulen  u.  anderen  gleichstehenden  Lehr- 
anstalten. 3.  Aufl.  gr.8».  (IV,  101  S.)  Wien,  Gerold.  Geb. 
1  Mk.  40  Pf. 


Geometrie. 

Bianchi,  Luigi,  Vorlesungen  über  Differentialgeometrie. 
Deutsch  ?.  Max  Lukat.  (In  2  Lfgo.)  1.  Lfg.  gr.8°.  (IV  u.S.  1-336). 
Leipzig,  Teubner.    12  Mk. 


Binder,   Wilh.,  Theorie  der  unicursalen  Plancurven  4.  bis 

3.  Ordng.  in  syothetischer  Behandlung.  Mit  65  Fig.  im  Text  u.  auf 
2  Tafeln.   gr.8°    (XI,  3%  S.)   Leipzig,  Teubner.    12  Mk. 

Bolto,  F.,  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Planimetrie 
zum  Gebrauche  an  Navigationsschulen.  gr.8°.(48S.  m.  Fig.)  Ham- 
burg, Peuser.   Kart.  1  Mk.  20  Pf. 

Carda,  Karl,  elementare  Bestimmungen  der  Punkttransfor- 
mationen des  Raumes,  welche  Flächeninhalte  invariant  lassen,  gr.  8°. 
(4  S.)    Wien,  Gerold.   10  Pf. 

Hartl,  Hans,  Lehrbuch  der  Planimetrie.  Für  den  Unterrichts- 
Gebrauch  u.  für  das  Selbststudium  verfasst.  Mit  216  in  den  Text 
gedruckten  Figuren,  einer  Tabelle  u.  zahlreichen  Uebungsbeispieleu. 
gr .8°.    (VII,  135  S)   Wien,  Deuticke.   Geb.  2  Mk.  40  Pf. 

Hürten,  Karl,  Anfangsgründe  der  Raumlehre,  planmässig  dar- 
gestellt. 1.  Hft.  gr.8°.  (63  S.  m.  Fig.)  Münstereifel,  Schulte. 
Kart.  1  Mk. 

Jentzen,  Ed..  darstellende  Geometrie  für  technische  Lehran- 
stalten u.  Handwerkern  h uh  n.  2.  Aufl.  Mit  22  Taf.  in  4°.  gr.8n. 
(VIII,  36  S.)    Rostock,  Werther.   In  Mappe  5  Mk 

Kleinschmidt,  Emerich,  Leitfaden  der  Geometrie  u.  des 
geometrischen  Zeichnens  f.  Knaben-Bürgerschulen.  Mit  345  in  den 
Text  gedr.  Abbildgn.,  6  Fig.-Taf.  u.  über  600  Uebungsaufgaben. 
gr.8°.    (II,  218  S.)    Wien,  Hölder.    Geb.  2  Mk.  64  Pf. 

Kröger,  M.,  die  Planimetrio  in  ausführlicher  Darstellung  u. 
mit  besonderer  Berücksichtigung  neuerer  Theorieen.  Nebst  einem 
Anhang  über  Kegelschnitte.  Mit  ungefähr  800  Figuren  im  Text  u.. 
mehr  als  1200  Uebungssätzen  u.  Konstruktionsaufgaben.  Für  den 
Handgebrauch  des  Lehrers  u.  für  den  Selbstunterricht  bearb.  gr.8°. 
(VIII,  511  S.)    Hamburg,  Meissner.    8  Mk. 

Küpper,  Carl,  Nachtrag  zu  deu  „fc-gonal.  Curven".  gr  8°. 
(9  S.)    Prag,  Rivnä«'.    20  Pf. 

Lilienthal,  E.  v.,  Grundlagen  e.  Krümmungslehre  der  Curven- 
scharen.    gr.8°.    (VII,  114  S.)    Leipzig.  Teubner.   5  Mk. 

Mot'nik's  geometrische  Formenlehre  für  Lehrerinnen-Bildungs- 
austaltcn.  3.  Aufl.  bearb.  v.  Ed.  Sykora.  gr.8°.  (IV,  140  S.  m. 
150  Holzschn.)    Leipzig,  Freytag.   1  Mk.  40  Pf. 

— ,    Lehrbuch    der    Geometrie    für  Lehrerbildungsanstalten. 

4.  Aufl.  bearb  v.  Ed.  Sykora.  gr.8°.  (IV,  18)  S.  m.  214  Holzschn. 
Ebd.    1  Mk.  60  Pf. 

Staude,  Otto,  die  Focaleigenschaften  der  Flächen  2.  Ord- 
nung. Ein  neues  Capitel  zu  den  Lehrbüchern  der  analyt.  Geometrie 
des  Raumes.  gr.8°.  (VIII,  185  S.  m.  49  Fig.)  Leipzig,  Teubner, 
7  Mk. 


Sturm,  Rud.,  die  Gebilde  1.  u.  2.  Grades  der  Liniengeome- 
trie in  synthetischer  Behandlung.  3.(Schuss)-Thl.  Die  Strablen- 
complexe  2.  Grades.  gr.8°.  (XXIV,  518  S.)  Leipzig,  Teubner 
18  Mk. 

Waeisch,  Emil,  über  die  Lame'schen  Polynomo  2.  Ordng. 
einer  Form  5.  Ordng.   gr.8\    (8  S.)    Wien,  Gerold.    20  Pf. 

Trigonometrie. 

Servus,  H.,  Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrio  Zum  Ge- 
brauche an  höh.  Lehranstalten,  sowie  zum  Studium.  gr.8°.  (IVi 
94  S.)   Berlin,  Friedberg  &  Mode.    1  Mk.  50  Pf. 

—  trigonometrisches  Nachschlagebuch.  Eine  Sammlung  trigo- 
nometrischer Forraelu.   gr.8°.   (IV,  106  S-)   Ebd.   2  Mk. 


Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Arbeiten,  astronomisch-geodätische.  Veröffentlicht  v.  der  kgl. 
bayer.  Commission  für  die  internationale  Erdmessnng.  1-  Hft.  Pol- 
höhen u.  Azimutbestimmungen  auf  der  Station  Altenburg  bei  Bam- 
berg. 2.  Bestimmung  der  Längendifferenz  zwischen  den  Stationen 
München  u  Bamberg  auf  telegraphischem  Wege.  gr.4°.  (V,  136  S.) 
München,  Franz.    7  Mk. 

Fuhrmann,  Arwed,  die  Kippregeln,  deren  Verwendung,  Prü- 
fung u.  Berichtigung.  Ein  Leitfaden  für  Architekten,  Bautechniker 
Landmesser  etc.  gr.8°.  (VI,  38  S.  m.  Fig.)  Leipzig,  Seemann. 
1  Mk.  25  Pf. 

Landes- Triangulation,  die  kgl.  preussische.  Hauptdrei- 
ecke. 8.  Thl.  A  Die  Hannov.  Dreieckskotte.  B.  Das  Basisnetz 
b.  Meppen.  C  Das  Wesernetz.  Gemessen  u.  bearb.  v.  der  trigono- 
metr.  Abtheilg.  der  Landesaufnahme.  Mit  1  Uebersichtskarte  u.  21 
Skizzen.  Lex.  8°.  (XII,  500  S.)  Berlin,  Mittler  &  Sohn.  Kart. 
15  Mk. 

Verhandlungen  der  11.  allgemeinen  Confereuz  der  inter- 
nationalen Erdmessung  und  deren  permanenten  Commissionen.  Red. 
v.  A.  Hirsch.  I.  Thl.  Sitzungsberichte.  II  Thl.  Spczialberichte 
Uber  die  Fortschritte  der  Erdraessung  u.  Landesberichte  über  die 
Arbeiten  in  den  einzelnen  Staaten.  (Deutsch  u.  Französ.)  gr. 4°- 
Berlin,  G.  Reimer.    12  Mk. 

Vermessungswesen,  das,  der  kgl.  Haupt-  u.  Residenzstadt 
Dresden.  Die  Triangulationen  I.,  II ,  III.  Ordng.  Im  Auftrage  des 
Raths  zu  Dresden  bearb.  v.  Stadt- Vermessungsamt.  1.  Bd.  gr.4°. 
(XL  191  S.  m.  36  Fig.  u.  3  Taf.)    Dresden,  Baeusch.   8  Mk. 


Mechanik. 


Cranz,  Carl,  Corapendium  der  theoretischen  äusseren  Balli- 
stik.  gr.8°.   (XII,  511  S.  m  110  Fig.)   Leipzig,  Teubner.    12  Mk. 

Wirtinger,  W.,  über  eine  Eigenschaft  der  Potentiale  unter 
Annahme  eines  Green'schen  Wirkungsgesetzes.  gr.8°.  (12  S.)  Wien, 
Gerold.    40  Pf. 

Zimmermann,  II.,  die  Schwingungen  eines  Trägers  mit  be- 
wegter Last.  Lex.  8°.  (VII,  46  S.  m.  9  Holzscbn.,  4  Tab.  u.  4  Taf.) 
Berlin,  Ernst  &  Sohn.   6  Mk. 

- 

Technik. 

Canter,  0.,  die  Technik  des  Fernsprechwesons  in  der  deut- 
schen Reichs-,  Post-  u.  Telegraphen-Verwaltung.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(XII,  158  S.  mit  119  Abbild.)    Breslau,  Kern.    Geb.  4  Mk.  50  Pf. 

David,  Ludw.  u.  Charles  Scolik,  photographisches  Notiz- 
u.  Nachschlagebuch  für  die  Praxis.  Mit  5  Kunstbeilagen.  5.  Aufl. 
12°.    (XII.  254  S.  m.  Abbild.)   Halle,  Knapp.    Geb.  4  Mk. 

Eder,  Jos.  Maria,  ausführliches  Handbuch  der  Photographie. 
Mit  etwa  200  Holzschn.  u.  10  Taf.  14.  Hft.  (4.  Bd.  3.  Hft.)  Das 
Pigraentverfahren  u.  die  Heliogravüre.  gr.8°.  (XI,  S.  307  —  555  u. 
XIV  S.)   Ebd.   6  Mk. 

— ,  Recepte  u.  Tabellen  f.  Photographie  u.  Reproductionstech- 
nik,  welche  an  der  k.  k.  Lehr-  u.  Versuchsanstalt  für  Photographie 
u.  Reproductionsverfahren  in  Wien  angewendet  werden.  4.  Aufl.  8°. 
(XII,  132  S.  m.  I  Tab.)   Ebd.    2  Mk. 

—  ,  indirecte  Methoden  zur  Wiedergabe  der  Farben  in  der  Photo- 
graphie. Vortrag.  8°.  (20  S.  m.  3  Abbild.)  Wien ,  Braumüller. 
50  Pf. 

Elbs,  Karl,  die  Akkumulatoren.  Eine  gemeinfassliche  Dar- 
legung ihrer  Wirkungsweise,  Leistung  u.  Behandlung.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(46  S.  m.  3  Fig.)   Leipzig,  Barth.    1  Mk. 

Erfurth,  C,  Haustelegraphio ,  Telephonie,  Blitz-Ableiter, 
Feuertelegraphen  u.  Einrichtung  elektrischer  Lichtanlagen  in  Theorie 
u.  Praxis.  Mit  alleiniger  Berücksichtigung  der  Bedürfnisse,  derjeni- 
gen, die  sich  mit  Einrichtung  solcher  Anlagen  beschäftigen  wollen 
zusammengestellt  u.  mit  über  260  Abbildgn.  ausgestattet.  3.  Aufl. 
gr.8°.    (X,  306  S.)   Langenberg,  Joost.    Geb.  4  Mk.  50  Pf. 

Ferraris,  Galileo  u.  Ricardo  Arno,  ein  neues  System 
zur  elektrischen  Vertheilung  der  Energie  mittelst  Wechselströmen. 
Uebers.  von  Carl  Heim.  gr.8°.  (31  S.  m.  14  Abbild.)  Weimar, 
Steinen.    1  Mk.  35  Pf. 

Gaisberg,  S.  v.,  Taschenbuch  für  Monteure  elektrischer  Be- 


lcuchtungsanlagen.  12.  Aufl.  12°.  (VIII,  188  S.  m.  131  Fig.)  Mün- 
chen, Oldeubourg.   Geb.  2  Mk.  50  Pf. 

Holst,  A.,  Elektrotechniker.  14.— 19.  Hft.  Leipzig,  Schäfer, 
ä  75  Pf. 

Hoyer,  Egbert  v.,  kurzes  Handbuch  der  Maschinenkunde. 
9.  Lfg.  gr.8°.  (S.  769—864.)   München,  Th.  Ackermann  2Mk.40Pf. 

Kraftübertragung  u.  Kraftverteilung,  elektrische.  Nach 
Ausführungen  durch  dio  allgemeine  Elektricitätsgesellschaft  Berlin. 
2.  Ausg.   8°.    (326  S.  m.  170  Fig.)    Berlin,  Springer.    Geb.  4  Mk, 

Krotschmann,  Hans,  die  Photographie  eine  Kunst?  Unter 
besonderer  Berücksichtigung  der  künstlerischen  Selbstcrziehung  des 
Liebhaberphotographen  speciell  für  Landschaftsphotographio.  Mit 
2  Kunstbeilagen  u.  Heliogravüren.  gr.8°.  (IV,  108  S.)  Halle,  Peter. 
2  Mk. 

Kröhnke,  G.  H.  A..  Haudbuch  zum  Abstecken  v.  Curven  auf 
Eisenbahn-  u.  Wegelinien.  Für  alle  vorkommenden  Winkel  u.  Radien 
aufs  Sorgfältigste  berechnet  u.  hrsg.  13.  Aufl.  12°.  (VII,  164  &  in. 
1  Taf.)   Leipzig,  Teubner.    Geb.  1  Mk.  80  Pf. 

Lech  ncr's  photographische  Bibliothek.  I.  u.  IV.  gr.8°.  Wien. 
Lechner.  —  I.  Anleitung  zum  Photographien  v.  Lud.  David.  I. 
Für  Anfänger.  7.  Auti.  Mit  2  Lichtdr.- Beilagen  u.  7  4  Textbildern. 
(V,  105  S.  2  Mk.  —  IV.  Dio  theoretische  Grundlage  für  die  Her- 
stellung der  Stereoskopbildcr  auf  dem  Wege  der  Photographie  u. 
deren  sachgemässo  Betrachtung  durch  Stereoskopie  v.  Aut.  Stein- 
häuser.  (VI,  149  S.  m.  42  Fig.)   4  Mk. 

Liebe  tanz,  Frz.,  die  Elektrotechnik  aus  der  Praxis  —  für 
die  Praxis.    In  ihrem  gesamten  Umfange  auf  Grund  der  neuesten 
Erfahrungen  gemeinverständlich  geschildert.    2.  Aufl.    Mit  181  Ab- 
bildgn.  u.  den  Porträts  Edisou,  Schuckert,  Siemens  u  Volta.    gr  8° 
(XVI,  288  S.)    Düsseldorf,  Gerlach.   3  Mk. 

Lueger,  0.,  Lexicon  der  Technik.  16.  — - 19.  Abtlg.  Stutt- 
gart, Deutsche  Verlagsanstalt,    ä  5  Mk. 

Meissner,  G.,  Hydraulik.  2.  Aufl.  14.  — 17.  Lfg.  Jena,  Coste- 
noble.    ä  3  Mk. 

Müller-Berlossa,  J.  Aug.,  Auleitung  zum  Rechnen  mit  dem 
logarithmischen  Rechenschieber ,  durch  Beispiele  erläutert  u.  mit  2 
lithogr.  Tafeln  versehen.   2.  Aufl.   gr.8°.   (IV,  60  S.)   Zürich,  Rau ' 
stein.    1  Mk.  80  Pf. 

Ritter,  Aug.,  Lehrbuch  der  technischen  Mechanik.  7.  Aufl. 
gr.8°.    (XV,  793  S.  m.  861  Fig.)    Leipzig,  Baumgartner.    18  Mk. 

Sammlung  elektrotechnischer  Vorträge.  Hrsg.  v.  Ernst  Voit. 
1.  Bd.  2.  Hft.  Grundlagen  für  die  Berechnung  u.  den  Bau  der 
elektrischen  Bahnen  u.  deren  praktische  Benutzung.  Von  Max  Cor- 
sepius.   gr.  8°.    (S.  75-114.)   Stuttgart,  Enke.    1  Mk. 


Scholz'a,  E.  F.,  Führer  des  Maschinisten.  Unter  Mitwirkung 
v.  F.  Reuleaux  bearb.  v.  Ernst  A.  Brauer.  11.  Aufl.  3.  Abdr.  8°. 
(XXII,  730  S.  ra.  434  Holzschn.)    Braunschwei}?,  Vieweg.   9  Mk. 

Schwartze,  Thdr.,  Katechismus  der  Elektrotechnik.  Ein 
Lehrbuch  für  Praktiker,  Chemiker  u.  Industrielle.  6.  Anfl.  12°. 
(XV,  426  S.  m.  250  Abbild.)   Leipzig,  Weber.    Geb.  4  Mk  50  Pf. 

Schutz,  E,  Anleitung  zum  Gebrauche  der  mathematischen 
Tabellen  in  den  technischen  Kalendern.  An  25  Beispielen  aus  der 
Praxis  erläutert,    gr.160.    (30  S.  m.  Fig )   Essen,  Baedeker.  40  Pf. 

Senuewald,  F.,  18  Wandtafeln  für  den  Unterricht  in  der 
Elektrotechnik,    (ä  90  X  66  cm.)    Hamburg,  Griese.    21  Mk.  60  Pf. 

Thompson,  Sylanus  P.,  die  dynamoelektrischen  Maschinen. 
Ein  Handbuch  für  Studirende  der  Elektrotechnik,  r>.  Aufl.  Uebers. 
v.  C.  Grawiukel  Besorgt  v.  K.  Strecker  u.  F.  Vesper.  Mit  520  in 
den  Text  gedruckten  Abbildgn.  u.  19  grossen  Fig.-Tafeln.  1.  Tbl. 
gr.8°.    (VII,  374  S)   Halle,  Knapp.    12  Mk. 

— ,  dass.   5.-7.  Hit.   Ebd.   ä  2  Mk. 

Vogler,  A.,  Jedermann  Elektrotechniker.  Anleitung  zur  Her- 
stellung der  hauptsächlichsten  elektrischen  Apparate  u.  elektrischen 
Leitungen.   2  Bdchn.   8°.   Leipzig,  Schäfer.    2  Mk  70  Pf. 

Optik,  Akustik  und  Elastieität. 

Helmholtz,  H.  v.,  Handbuch  der  physiologischen  Optik  2.  Aufl. 
Mit  254  Abbildgn.  im  Text  u  8  Tafeln.  13.  -17.  Lfg.  gr.8°.  (XIX 
u.  S.  961— 1334 )    Hamburg,  Voss.    15  Mk. 

Meyer,  Paul,  die  Doppelkraft  des  Lichtes  u.  ihre  Metamor- 
phose. Ein  monistisch-antimatorialistisches  Natursystem,  gr  8°. 
(IV,  273  S.)   Leipzig,  Mutze.    4  Mk. 

Schollmeyor,  G,  das  Licht  Das  Wissenswerteste  aus  der 
Lehre  vom  Lichte  mit  besonderer  Berücksichtigung  der  neuesten 
Entdeckungen  auf  diesem  Gebiete  (Röntgen-Strahlen,  Tesla-Licht) 
gr.8ö.    (III,  88  S.  m.  44  Abbild.)   Neuwied,  Heuser.    1  Mk.  50  Pf. 

Erd-  und  Hinmielskunde. 

Beobachtungen  aus  dem  magnet.  Observatorium  der  kaiserl. 
Marine  in  Wilhelmshaven.  Ausgeführt  i.  Auftr.  des  Reichs-Marine- 
Amts  unter  Leitung  v.  C.  Bürgen.  4.  Tbl.  Stündliche  Variations- 
Beobachtgn.  der  Deklination  während  d.  J.  1889-1895.  gr.4°.  (IV, 
53  S.)   Berlin,  Mittler  &  Sohn.   2  Mk.  50  Pf. 

— ,  deutsche  überseeische  meteorologische.  Gesammelt  u.  hrsg. 
v.  der  deutschen  Seewarte.  VII.  Hft.  DieBeobachtuugcn  von  I.  Labrador, 


4  Stationen.  Jahrg.  1890.  II.  Walfischbai,  Jahrg.  1892.  III.  Apia, 
Jahrg.  1892.  IV.  Apia,  Jahrg.  1893.  V.  Bnkoba  u.  Tabora,  Jahrg. 
1893  VI.  Bagamoyo,  Jan  -Nov  1893.  VII.  Kilwa,  Jahrg.  1893- 
VIII  Lindi,  Jan.,  Febr.  u.  Juni-Dec.  1893.  IX.  Tanga,  Jahrg.  1893. 
gr.4°.   (VII,  71  S.)   Hamburg,  Fridericbsen.   7  Mk. 

Handwörter  buch  der  Astronomie,  hrsg.  v.  W.  Valentiner. 
h  Bd.  Mit  241  Abbild,  u.  3  Taf.  gr.8°.  ^XIV,  839  S.)  Breslau, 
Trewendt.   24  Mk. 

Hart  mann,  Jobs.,  die  Beobachtung  der  Mondfinsternisse. 
Lex.  8°.   (III,  98  S.  m.  4  Fig.)    Leipzig,  Hirzel.   5  Mk. 

Holetschek,  Joh.,  Untersuchungen  über  die  Grösse  u.  Hellig- 
keit der  Kometen  u.  ihrer  Schweife.  I.  Die  Kometen  bis  zum  J. 
1760.   gr.l0.    (258  S.)    Wien,  Gerold.    7  Mk.  2 )  Pf. 

Jahresbericht  des  Central bureaus  f.  Meteorologie  u.  Hydro- 
graphie im  Grossherzogthum  Baden  mit  den  Ergebnissen  der  me- 
toorolog.  Beobachtungen  u.  der  Wasserstaudsaufzeichnungen  am 
Rhein  u.  seinen  grösseren  Nebenflüssen  f.  d.  J.  1895  u.  mit  den 
Mittelwerten  für  den  fünfjährigen  Zeitraum  1891— 189V  gr.4°. 
(IV,  111  S.  ra.  10  Taf.)   Karlsruhe,  Braun.   G  Mk. 

König,  Helmuth,  Dauer  des  Sonnenscheins  in  Europa  Eine 
raeteorolog.  Studie.  gr.4ft.  (89  S.  m.  2  Taf.)  Leipzig,  Engelmann. 
6  Mk. 

Littrow,  Wunder  des  Himmels  oder  gemeinfassliehe  Dar- 
stellung des  Weltsystems.  8.  Aufl.  v.  Edm.  Weiss.  Mit  14  Taf. 
n.  155  Holzschn.  Illusr.  gr.8°.  (XXIII,  1090  S.)  Berlin,  Dttmm- 
ler.   14  Mk. 

-  ,  dass.    34.  u.  35.  Lfg.   Ebd.    ä  40  Pf. 

Luksch,  Jos.,  vorläufiger  Bericht  über  die  physikalisch-oceano- 
grapliischen  Untersuchungen  im  Rothen  Meere.  Oktob.  1895  —  Mai 
1896.  gr.8°.  (32  S.  m.  2  Karteuskizz.)  Wien,  Gerold.  1  Mk.  20  Pf. 

Polis,  P.,  über  wissenschaftliche  Ballonfahrten  u.  deren  Be-. 
deutung  für  die  Physik  der  Atmosphäre.  Vortrag,  gr.  8°.  (27  S 
m.  Abbild.)   Aachen,  Meteorolog.  Station.    1  Mk.  40  Pf. 

Rüfli,  J.,  .Grundlinien  der  mathematischen  Geographie.  Für 
Sekundärschulen  bearb.  gr.8Ä.  (40  S.  m.  14  Fig.)  Bern,  Schmidt 
Francke.   50  Pf. 

Seeliger,  H.,  die  scheinbare  Vergrösseruug  des  Erdschattens 
bei  Mondfinsternissen,  gr  4°.  (66  S.  m.  1  Taf.)  München,  Franz. 
2  Mk.  20  Pf. 

Spital  er,  H-,  Bahnbestimmung  des  Cometen  1890.  VII.  (Spi- 
taler). gr.4°.   (22  S.  m.  1  Fig.)    Wien,  Gerold    1  Mk.  40  Pf. 

Unterweg  er,  Jobs.,  über  zwei  trigonometrische  Reihen  für 
Sonnenflecken,  Kometen  u.  Klimaschwankungen.  Vorläufige  Mit- 
theilg.   Imp.  4°.   (7  S.  m.  1  Taf.)   Ebd    90  Pf 


Veröffentlichungen  des  kgl.  preuss.  meteorolog.  Instituts. 
Hrsg.  dnrcb  Wilhelm  v.  Bezold.  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an 
den  Stationen  II  u.  III.  Ordnung  i.  J.  1892,  zugleich  deutsches 
meteorologisches  Jahrbuch  für  1892.  Beobachtungssystem  im  König- 
reich Preussen  u.  benachbarten  Staaten.  3.  Hft.  gr.  4°.  (XVIII 
u.  S.  99—289  u.  1  färb.  Karte )   Berlin,  Asher  &  Co.   9  Mk. 

— ,  dass.   1896.    1.  Hft.   gr.4°.    (56  S )   Ebd.    3  Mk. 

Wolf,  J.,  kleine  gemeinverständliche  Himmelskunde.  (Mathe- 
matische Geographie.)  Zugleich  Begleitwort  zu  dessen  Wandtafeln 
zur  Himmelskunde,  gr.  4°.  (32  S.  m.  Fig.)  Esslingen,  Lung.  Kart 
1  Mk.  20  Pf. 

Zeitschrift  der  oesterr.  Gesellschaft  für  Meteorologie.  Na- 
men- u.  Sachregister  zu  den  Bdn.  I— XX,  1866—1885.  Bearb.  v. 
St.  Kostlivy.   Lex.  8°.   (152  S.)   Wien,  Holzel.   4  Mk.  50  Pf. 

Ziegler,  Jul.,  u.  Walt.  König,  das  Klima  v.  Frankfurt  a/M. 
Eine  Zusammenstellung  der  wichtigsten  meteorologischen  Verhält- 
nisse v.  Frankfurt  a/M.  gr.  8°.  (IV,  LXXXIV,  51  S.  mit  Diagram- 
men u.  10  Taf.)   Frankfurt  a/M.   Koenitzer's  Buchh.   6  Mk. 


Nautik. 

Segel-Handbuch  für  die  Nordsee.  Hrsg.  v.  Reichs-Marine  - 
Amt.  1.  Tbl.  4.  Hft.  Die  Hoofden.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (XIII,  396  S. 
m.  28  Holzsch.  u.  2  Taf.)   Berlin,  Reimer.   Geb.  4  Mk. 


Physik. 

Beck,  W.,  die  Elektrizität.  6.-38.  Hft  Leipzig,  Wiest  a 
10  Pf. 

Benndorf,  Hans,  Weiterführung  der  Annäherungsrechnung 
in  der  Maxwel'schen  Gastheorie,  gr.  8°.  (21  S.)  Wien,  Gerold. 
50  Pf. 

Börner,  H.,  physikalisches  Unterrichtswerk  f.  höhere  Lehr- 
anstalten, sowie  zur  Einführung  in  das  Studium  der  neueren  Physik 
in  2  Stufen.  2.  Stufe.  III.  Grundriss  der  Physik  für  die  drei 
oberen  Klassen  der  Gymnasien.  gr.8°.  (XII,  371  S.  mit  267  Ab- 
bild.)  Berlin,  Weidmann.   Geb.  4  Mk.  80  Pf. 

Brandt,  G.,  Schulphysik  für  Gymnasien  nach  Jahrgängen  ge- 
ordnet 1.  Tl.  Obertertia:  Mochanik  u.  Wärmelehre.  Untersekunda: 
Magnetismus,  Elektricität,  Akustik  u.  Optik.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (VI, 
93  S.  m.  Abbild.)   Berlin,  Simion.   Kart.  1  Mk.  20  Pf. 

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Busch,  Fr,  100  Versuche  zur  Ableitung  elektrischer  Grund- 
gesetze,  gr  8°.    (34  S.  m.  18  Fig.)   Münster,  Aschendorf.  75  Pf. 

Drude,  P.,  zur  Theorie  stehender  elektrischer  Drahtwellen 
Lex.  8°.   (110  S.  m.  1  Taf.)   Leipzig,  Hirzel.   5  Mk. 

Erben,  Fritz,  Ueber  die  Abhängigkeit  der  Polarisation  v. 
Platinelektroden  von  der  Temperatur.  gr.8°.  (19  S.  m.  3  Fig.) 
Wien,  Gerold.    70  Pf. 

Exner,  Frz.,  u.  E.  Haschek,  ttb.  die  ultravioletten  Funken- 
spektra der  Elemente.  II.  Mittheilg.  gr.  8°.  (48  S.  u.  5  Taf.) 
Wien,  Gerold.   2  Mk. 

— ,  dass.  III.  u.  IV.  Mittheilg.   Ebd.   3  Mk.  40  Pf. 

Forbes,  Geo.,  elektrische  Wechselströme  u.  unterbrochene 
Ströme.  Nach  3  Vorträgen.  Deutsch  v.  J.  Kollert.  8°.  (VI,  100  S. 
m.  38  Fig.)   Leipzig,  Quandt  &  Händel.   2  Mk.  50  Pf. 

Jahrbuch  der  Erfindungen  u.  Fortschritte  auf  dem  Gebiete  der 
Physik,  Chemie  u.  chemischen  Technologie,  der  Astronomie  u.  Me- 
teorologie. Begründet  v.  II.  Gretschel  u.  H.  Hirzel.  Hrsg.  v.  A. 
Berberich,  G.  Bornemann  u.  Otto  Müller.  32.  Jahrg.  8°.  (VI, 
380  S.  m.  14  Holzschn.)   Ebd.    6  Mk. 

Kerntier,  Frz.,  die  elektrodynamischen  Grundgesetze  u.  das 
eigentliche  Elementargesetz,  gr.  8°.  (VII,  68  S.)  Budapest,  Selbst- 
verl.  2  Mk. 

Kiemencio,  Ign.,  über  permanente  Magnete  aus  ste irischem 
Wolfrarastahl.   gr.8°.   (IIS.)   Wien,  Gerold.   30  Pf. 

Kolät-ek,  Frz.,  über  Berechnung  der  Inductionscoefficienten 
langer  Spulen,   gr.  8°.   (35  S.)   Prag,  Rivnäc.   72  Pf. 

Koppe's,  K.,  Anfangsgründe'  der  Physik  mit  Einscbluss  der 
Chemie  ru.  mathematischen  Geographie.  22.  Aufl.  Ausg.  B.  in  2 
Lehrgängen.  Für  höhere  Lehranstalten  nach  den  preuss  Lehrplä- 
nen von  1891  bearb.  v.  A.  Husmann.  I.  Tl.  Vorbereitender  Lehr- 
gang, gr.  8°.  (IX,  213  S.  m.  173  Holzschnitten.)  Essen,  Baedeker. 
Geb.  2  Mk.  20  Pf. 

Körner,  Frz.,  Lehrbuch  der  Physik  f.  höhere  Lehranstalten 
zum  Selbstunterricht,  gr.  8°.  (V,  432  S.  m.  642  Abbild,  u.  2  Far- 
bentaf.)   Wien,  Deuticke.   6  Mk  60  Pf. 

Lampa,  Ant,  üb.  die  Brechungsquotienten  einiger  Substanzen 
für  sehr  kurze  elektrische  Weilen,  gr.  8°.  (14  S.  m.  2  Fig.).  Wien, 
Gerold.   50  Pf. 

Mach,  E.,  die  Principien  der  Wärmelehre:  Historisch-kritisch 
entwickelt,  gr  8°.  (VIII,  472  S.  m.  105  Fig.  u.  6  Porträts.  Leipzig, 
Barth.   10  Mk. 

Müller's,  Jon.,  Grundriss  der  Physik  mit  besond.  Berück- 
sichtigung von  Molekularphysik,  Elektrotechnik  u.  Meteorologie, 


bearb.  v.  0.  Lehmann.  14.  Aufl.  gr.  8°.  (XXIV,  820  S  m.  810 
Abbild,  u.  2  Taf.)   Braunschweig,  Vieweg.   7  Mk.  50  Pf. 

Mützel,  K.,  über  Röntgen-Strahlen.  gr.  8°.  (28  S.)  Breslau, 
Preuss  &  Jünger.    60  Pf. 

Panesch,  Karl  Geo.,  Röntgen-Strahlen.  Skotographie  u.  Od. 
Nach  den  neuesten  Forschungen  leichtfasslich  dargestellt  gr.  8°. 
(VII,  65  S.  m.  19  Abbild.)   Neuwied,  Heuser.    1  Mk.  50  Pf. 

Reiff,  R.,  Theorie  molekular-elektrischer  Vorgänge,  gr.  8°- 
(IX,  493  S.)   Freiburg  i.  Br.,  Mohr.   6  Mk. 

Schweiger-Lerchenfeld,  A.  v.,  das  Buch  der  Experimente. 
Physikalische  Apparate  u.  Versuche.  —  Mechanische  Operationen. 
—  Naturwissenschaftliche  Liebhabereien.  Mit  425  Abbildgn.  u.  Fig. 
im  Texte  u.  1  Beilage,  gr.  8°.  (VIII,  392  S.)  Wien,  Hartleben. 
Geb.  6  Mk. 

Tannert,  A.,  der  Sonnenstoff  als  Zukunftslicht  u.  Kraftquelle. 
Eine  physikalische  Entdeckung,  gr.  8°.  (VI,  47  S.  m.  1  Abbild.) 
Neisse,  Tannert   2  Mk. 

Voller,  A,  Mittheilungen  über  einige  im  Hamburger  physika- 
lischen Staats-Laboratorium  ausgeführten  Versuche  mit  Röntgen- 
strahlen.   Lex.  8°.    (17  S.  m.  7  Taf.)    Hamburg,  Gräfe  &  Sillem. 

3  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  des  kgl.  sächs.  meteorologischen  Institutes 
1.  Hft.  Vier  Abhandlungen  über  Periodizität  des  Niederschlages, 
heoretische  Meteorologie  u.  Gewitterregen.  Von  Paul  Schreiber. 
Hrsg.  v.  der  Direktion  des  kgl.  sächs  .meteorolog.  Institutes  in  Chem- 
nitz.  gr.4°.  (XV  S.  u.  148  Sp.  m.  5  Fig.  u.  4  Taf.)  Leipzig,  Felix 

4  Mk. 

Berichte,  mathematische  u.  naturwissenschaftliche,  aus  Ungarn 
Hrsg.  v.  Roland  Baron  Eötvös,  Jul.  König,  Karl  v.  Tban.  Red.  v. 
J.  Fröhlich.  13.  Bd.  (Jan.-Dec.  95.)  1.  Hälfte.  (192  S.  m.  3  Taf..) 
Budapest,  Akademie  d.  Wissensch.   4  Mk. 

—  der  sächsischen  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  Mathe- 
mat  -physikalische  Classe.  1896.  II  u.  III.  Leipzig,  Hirzel.  ä  1  Mk. 

Lurtz,  Frz  Ed..  Rechenschule.  3.  Tl.  6.  Aufl.  (Kronen- 
währung.)  8°.   (248  S.)  Kronstadt,  Zeidner.   Kart.  1  Mk.  20  Pf. 

Ostwald  's,  W.,  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  76—79. 
8°.  Leipzig,  Engelmann.  Kart.  —  76.  Theorie  der  doppelten 
Strahlenbrechung,  abgeleitet  aus  den  Gleichungen  der  Mechanik  v. 
F.  E.  Nenmann.  (1832).  Hrsg.  v.  A.  Wangerin.  (52  S.)  80  Pf.  - 
77.  üeber  die  Bildung  und  die  Eigenschaften  der  Determinanten. 


Von  C.  G.  J.  Jacobi.  (1841).  Hrsg.  v.  P.  Stäckel.  (73  S.)  1  Mk. 
20  Pf.  —  78.  Ucber  die  Functionaldeterminauteii.  Von  C.  G.  J. 
Jacobi.  (1841).  Hrsg.  v.  P.  StÄckel.  (72  S.)  1  Mk.  20  Pf.  -  79. 
Zwei  hydrodynamische  Abhandlungen  v.  H.  Helmholtz.  I.  Ucber 
Wirbelbewegungen.  (1858).  II.  Ueber  discontinuirlicho  Flflssig- 
keitsbewegungen  (1868.)  Hrsg.  v.  A.  Wangerin.  (80  S.)  1  Mk.  20  Pf. 

Repetitions-Bibliothek.  Nr.  51—60.  128°.  Halberstadt, 
A.  Bange,  a  30  Pf.  —  51.  Molekularphysik  u.  Akustik.  (89  S.) 
—  52.  53.  Mechanik  (89  u.  87  S.)  —  54.  55.  Wärmelehre  (84  u, 
84  S.)  -  56.  57.  Optik.  (94  u.  86  S.)  —  58.  Statische  Elektrik. 
(100  S.)  —  59.  60.   Dynamische  Elektrik.   (88  u.  83  S.) 

Sammlung  Göschen.  48  u.  54.  Bdchn.  12°.  —  48.  Beispiel- 
Sammlung  zur  Arithmetik  u.  Algebra,  v  Herrn.  Schubert.  2765  Auf- 
gaben, systematisch  geordnet.  (144  S.)  —  54.  Meteorologie  v.  Wilh. 
Trabert.  (149  S.  m  49  Abbild,  u.  7  Taf.).  Leipzig,  Göschen,  ä 
80  Pf. 

Schollmeyer,  G,  Was  muss  der  Gebildete  von  der  Elektri- 
cität  wissen.  Gemeinverständliche  Belehrung  über  die  Kraft  der 
Zukunft  5.  Aufl.  gr.8°.  (III,  96  S.  m.  39  Fig.)  Neuwied,  Heuser. 
1  Mk.  50  Pf. 

Sitzungsberichte,  Münchener.  Mathematische  Classe.  1896. 
2.  Hft.   München,  Franz.   1  Mk.  20  Pf 

— ,  Wiener.  Mathematisch- naturwissenschaftliche  Classe.  Wien, 
Gerold.  —  Abth.  I.  105.  Bd.  1.  — 7.  Hft  12  Mk.  70  Pf  — 
Abth.  IIa  105.  Bd.  2.  — 6.  Hft  8  Mk.  60  Pf.  —  Abth.  IIb. 
105.  Bd.  3.-7.  Hft.  7  Mk.  40  Pf.  -  Abth.  HI.  105.  Bd.  1. — 
5.  Hft   5  Mk.  30  Pf. 

Vierteljahrsschrift  der  astronom.  Gesellschaft.  31.  Jahrg. 
2.  Hft.   Leipzig,  Engelraann    2  Mk. 


C.  A.  Kochs  Verlagsbuchhandlung  (H.  Ehlers  &  Co.) 

Leipzig  u.  Dresden. 

Lehrbuch 

der 

analytischen  Geometrie. 

I.  Teil:  Lehrbuch  der  anal vti schon  Curveatheerie,  nebst 

2  vorausgehenden  Abschnitten,  enthaltend  die  Theorie 
der  linearen  Raumg-cbilde  und  die  Kinematik. 

II.  Teil :  Prineipien  der  Flächentheorie.   2.  Auflage. 

Von 

Dr.  R.  Hoppe, 

Profos*or  an  der  Universität  Berlin. 

Geb.   Preis    k   1  MI;   80  Pf. 


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Taf.IV. 


Fig.  1. 


c 


Fig.  2- 


a:  ftadtcat-  Preise. 

!  


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•  * 


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Litterarischer  Bericht  LX. 


40 


Litterarischer  Bericht 

LX. 


Lehrbücher. 

Die  Elemente  der  Arithmetik.  Für  den  Schulunterricht  bear- 
beitet von  H.  Seeger,  Director  des  Roalgymnasiums  zu  Güstrow. 
Erster  Teil.  Buch  I.  Pensum  der  Quarta  Buch  II.  Pensum  der 
Untertertia.  Zweiter  Teil  Buch  III.  Pensum  der  Obertertia. 
Buch  IV.  Pensum  der  Untersecunda.  Buch  V.  Pensum  der  Ober- 
secunda.  Zweite  Auflage.  Güstrow  1897.  Opitz  u.  Co.  112  -}- 
159  S. 

Das  Buch  ist  in  1.  Auflage  im  223.  litterarischen  Bericht,  S.  25 
besprochen  worden.  Das  Gesagte  ist  hinreichend  auch  das  gegen- 
wärtige zu  charakterisircn.  H. 

K.  Koppe 's  Arithmetik  und  Algebra  zum  Gebrauche  an  höhern 
Lehranstalten  neu  bearbeitet  von  Prof.  Dr.  Jos.  Diekmann,  Di- 
rector des  Progymnasiums  mit  Realabteilung  in  Viersen.  Dreizehute 
Auflage  mit  zahlreichen  Uebuugen  und  Aufgabeu.  II.  Teil.  Essen 
1897.   G.  D.  Bädeker.   204  S. 

Der  I  Teil,  bearbeitet  von  Dahl  in  12.  Auflage,  ist  im  274. 
litterarischen  Bericht  besprochen.  Im  II.  Teile  kommen  folgende 
Lehrgegenstände  hinzu:  Lösbare  Gleichungen  höhern  Grades  mit  1 
Unbekannten;  Gleichungen  höhern  Grades  mit  mehreren  Unbekann- 
ten-, geometrische  Reihen;  arithmetische  Reihen;  der  binomische 
Lehrsatz;  Exponentialrcihe ;  eomplexe  Zahlen;  logarithmische  Reihe; 

Areh.  d.  M.th.  u.  Phye.   2.  Reihe.  Tl.  XV.  4 


41 


Litterarischer  Bericht  LX. 


combinatorische  Rechnungen;  Kettenbrüche;  diophantische  Gleichun- 
gen; Auflösung  der  Gleichungen  3.  o.  4.  Grades ;  numerische  Glei- 
chungen höhern  Grades,  Maxima  und  Minima.  H. 

Niedere  Analysis.  Von  Dr.  B.  Sporer.  Mit  6  Figuren.  Leip- 
zig 1897.   G.  J.  Göschen.    173  S. 

Unter  dieser  Bezeichnung  werden  behandelt:  die  Kettenbrilche, 
die  Combinationslehre,  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  arithmetische 
Reihen  höherer  Ordnung,  Interpolation,  unendliche  Reihen,  die  Theorie 
der  Gleichungen.  H. 

Algebra.  Lehrbuch  mit  Aufgabensammlung  für  Schulen,  bear- 
beitet von  Wilhelm  Winter,  Professor  für  Mathematik  und  Physik 
am  k.  alten  Gymnasium  zu  Regeusburg.  Zweite  Auflage.  München 
1895.   Theodor  Ackermanu.    318  S. 

Die  erste  Auflage  dieses  Lehrbuchs  ist  im  40.  litterarischen  Be- 
richt, Seite  36  besprochen.  In  der  zweiten  ist,  ausser  dem  Wegfall 
des  Abschnitts  über  Combinatorik,  nichts  wesentlich  geändert  Ent- 
gegen der  Aussage  des  Verfassers,  dass  er  bemüht  war,  die  der  er- 
sten Auflage  noch  anhaftenden  Mängel  sorgfältig  zu  verbessern,  ist 
vielmehr  zu  bemerken,  dass  die  Erklärung  der  Gleichheit,  deren 
Unrichtigkeit  nach  jeder  Seite  hin  in  jenem  Berichte  ausführlich 
dargetan  war,  unverändert  in  die  2.  Auflage  übergegangen  ist. 

Hoppe. 

Lehrbuch  der  Mathematik.  Zum  Selbststudium  und  für  den 
Unterricht  in  Prima  der  höheren  Lehranstalten  vermittelnd  den 
Uebergang  vom  Schulpcusum  zum  Universitätsstudium.  Von  Dr. 
Geo.rg  Loewcnberg,  Director  der  Oeffeutlichen  Conditionir-Aii- 
stalt  in  Berlin.   Leipzig  ib97.   J.  J.  Arud.    189  -j-  b  S. 

Die  in  dem  Buche  behandelten  Lehrgegenstände  werden  unter 
den  Titeln  ausgeführt:  sphärische  Trigonometrie,  Grundzüge  der 
Astronomie,  analytische  Geometrie,  Rechentheorie,  Gleichungen 
höheren  Grades,  Einführung  in  die  Differential-  und  Integralrech- 
nung, Einleitung  in  die  Determinautentheorie  und  Anwendung  der- 
selben zur  Auflösung  linearer  Gleichungen  Ob  die  hier  dargebotene 
Vermittelung  des  genannten  Ucbergangs  jemandem  von  Nutzen  sein 
kann,  mögen  diejenigen  beurteilen,  welche  das  Buch  gebraucht  haben. 
Die  Lehrweise  von  Anfang  bis  zu  Ende  zeigt  im  Gegenteil,  dass, 
wenn  nach  vollendetem  Gymnasialcursus  der  Anfang  des  Studiums 
der  höhern  Mathematik  Schwierigkeit  bieten  sollte,  diese  im  Vor- 


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Litterarischer  Bericht  LX. 


42 


liegenden  sehr  vermehrt  auftritt.  Hier  gibt  es  nicht  bloss  zu  er- 
lernen, sondern  auch  zu  erraten,  was  der  Terfasser  meint;  denn 
fast  alle  Aussagen  sind  unvollständig  bestimmt  und  lassen  Zweifel, 
in  welchem  Sinne  man  sie  verstehen  soll.  Allerdings  hat  auch  die 
hier  beabsichtigte  Unterweisung  von  Natur  als  Einschiebung  zwischen 
zwei  Disciplinen  eine  recht  ungünstige  Stellung  für  das  Verständniss, 
weil  die  Basis  ihres  Standpunktes  immer  nur  eine  mutmassliche  sein 
kann.  Ebendeshalb  ist  überhaupt  von  dem  Unternehmen  wenig  zu 
hoffen.  Hoppe. 


Elemente  der  Trigonometrie  zum  praktischen  Gebrauch  für 
Uuterrichtszwecke  an  mittleren  Lehranstalten.  Von  Jentzen, 
Director  des  Thüringischen  Techuikums  zu  Ilmenau.  Mit  36  Figuren, 
2.  Auflage.    Dresden  1*97.    Gerhard  Kühtmanu    55  S. 

Das  Buch  gibt  in  kurzen  Sätzen  und  Formeln  die  Erklärung 
der  goniometrischen  Functionen,  deren  Relationen,  die  Dreiecks- 
relationcn,  jede  mit  zahlreichen  ausgeführten  Beispielen,  und  am 
Schlüsse  eine  Tafel  der  goniometrischen  Functionen  (ohne  Anwen- 
dung von  Logarithmen),  7,  6  uud  von  10°  an  5 stellig  durch  die 
Sechstolgrade.  H. 


Die  Planimetrie  in  ausführlicher  Darstellung  und  mit  besonderer 
Berücksichtigung  neuerer  Theoriou  nebst  einem  Anhange  über  Kegel- 
schnitte. Mit  ungefähr  fcÜO  Figuren  im  Text  und  mehr  als  1ÜOO 
Uebungssätzen  und  Constructionsaufgaben  für  den  Hausgebrauch  des 
Lehrers  und  für  den  Selbstunterricht  bearbeitet  von  M.  Kröger. 
Hamburg  19G.    Otto  M  eis  sner.    511  S 

Die  Lehrform  und  Methode  sind  vom  Verfasser  frei  uud  ohne 
Anschluss  an  Vorgänger  gewählt;  auch  scheint  sich  die  Wahl  nicht 
au  einfach  defiuirbare  Gesichtspunkte  zu  binden,  vielmehr  in  allen 
Zielen  Mass  zu  halten  und  im  einzelnen  den  grössten  ersichtlichen 
Nutzen  entscheiden  zu  lassen.  Selbst  der  Umfang  des  Ganzen  ist 
durch  das  Vorhabeu,  die  neuere  Methode  in  den  L«hrcursus  zu- 
zuzieheu,  nicht  übermässig  ausgedehnt,  sondern  beschränkt  sich  auf 
ein  ziemlich  elementares  Gebiet.  Die  Hauptabschnitte  siud  nämlich : 
Gerade  uud  Winkel;  Entstehung  uud  allgemeine  Eigenschaften  gerad- 
liniger Flächen;  symmetrische  Eigenschaften  geradliniger  Figuren; 
die  geometrische  Constructionsaufgabe ;  Inhalt  geradhuiger  Flächen ; 
der  Kreis;  Proportionalität  der  Strecken  uud  harmonische  Strecken- 
teilung; Aehulichkoit  geschlossener  Figuren;  Metrische  Relationen 
bei  Kreispolygonen;  Cyklometrie ;  Maxima  und  Minima;  algebraische 

4* 


43 


Litterarischer  Bericht  LX. 


Analysis  bei  geometrischen  Relationen;  Polarität  der  Kreise;  die 
Kegelschnitte.  Hieraus  sieht  man,  dass  die  geringen  Elemente 
neuerer  Geometrie,  von  denen  hier  Gebrauch  gemacht  wird,  weit 
entfernt  sind  dem  Leser  durch  Einführung  in  eine  Menge  neuer, 
sogar  mit  dem  gewöhnlichen  Gebrauche  collidirender  Terminologie 
abzuschrecken.  Erklärtermassen  ist  Hauptzweck  und  Hauptgesichts- 
punkt  der  Lehre  von  allen  in  Betracht  gezogenen  Gebilden  und  deren 
Beziehungen  eine  klare  Anschauung  zu  geben.  Neben  diesem  werden 
die  logischen  Anforderungen  an  den  geometrischen  Unterricht  in  der 
Ausführung  nicht  berührt,  im  Vorwort  nur  mit  folgenden  Aeusse- 
rungen  bedacht:  man  könne  nicht  alle  Sätze  beweisen  und  brauche 
nicht  Schlussweisen  bei  neuer  Anwendung  zu  wiederholen  Hierauf 
ist  zu  erwidern:  Axiome  können  nicht  bewiesen  werden,  weil  sie 
keine  Consequenzen ,  sondern  Voraussetzungen  sind;  alle  Sätze  der 
Geometrie  aber,  die  Consequenzen  sind,  können  bewiesen  werden. 
Die  bisher  stets  anerkannte  Pflicht  der  mathematischen  Doctrin,  diese 
Beweise  zu  liefern,  d.  b.  den  exaet  logischen  Zusammenhang  des 
Systems  der  Geometrie  zum  Bewusstsein  zu  führen,  kann  durch  jene 
Aeusserungen  nicht  bestritten  werden.  Man  kann  nur  fragen,  ob 
dazu  die  euklidische  Form  gerade  notwendig  wäre.  Die  hier  ge- 
wählte Form  weicht  davon  ab,  indem  sie  die  Sätze  nicht  vorher 
aufstellt,  dann  beweist,  sondern  als  Resultat  vorhergehender  Be- 
trachtungen ausspricht.  Ob  letztere  zur  Begründung  hinreichen, 
werden  Schüler  schwerlich  zu  überlegen  geneigt  sein :  die  Lehrweise 
stellt  sich  von  Anfang  an  und  dann  beständig  als  eine  beschreibende 
dar,  zur  Prüfung  hat  der  Schüler  nie  Anlass,  er  wird  als  selbstver- 
ständlich zum  Lehrer  das  Vertrauen  haben,  dass  alles  Mitgeteilte 
richtig  ist.  Dass  die  zahlreichen  Uebuogen  zu  der  Fähigkeit  sichere 
Schlüsse  zu  machen  führen  müssten,  fehlt  jeder  Grund.  Auch  mögen 
vielleicht  die  Elemente  aller  notwendigen  Begründungen,  wenn  man 
sie  zusammensuchen  und  verbinden  wollte,  vollständig  im  Buche  zu 
finden  sein  So  ist  z.  B.  der  ausreichende  Grundsatz  für  die  Paral- 
lelentheorie als  Grundsatz  ausgesprochen;  es  wäre  also  leicht  ge- 
wesen alle  zugehörigen  Winkelsätze  zu  beweisen,  nur  hätte  die 
Winkclgrösse  erst  erklärt  werden  müssen.  Statt  dessen  ist  erst  irre- 
leitend von  der  Bedeutung  des  Winkels  als  Mass  einer  Drehung  die 
Rede,  als  wäro  dadurch  seine  Grösse  bestimmt.  Addition  und  Mes- 
sung der  Winkel  kommt  nun  freilich  nachher  in  gar  manchen  Sätzen 
und  Aufgaben  vor.  Soll  sich  aber  daraus  ein  Schüler  den  allgemeinen 
Begriff  der  Winkclgrösse  bilden,  so  muss  er  mehr  Verstand  besitzen 
als  der  Lehrer,  der  es  unbeachtet  lässt,  dass  eben  diese  construetive 
Messung  den  Winkel  erst  zur  Grösse  macht  Dies  Beispiel  zeigt 
wol  zur  Genüge,  dass  die  logische  Seite  des  geometrischen  Unter- 
richts nicht  gehörig  gewürdigt  worden  ist ,  und  dass  deren  Zurück- 


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Litterarischer  Bericht  LX.  44 

setzung  einen  wesentlichen  Mangel  an  Klarheit  der  Begriffe  bestehen 
lässt.  Hoppe. 


Einleitung  in  die  projectivische  Geometrie  der  Ebene.  Ein 
Lehrbuch  für  höhere  Lehranstalten  uud  für  den  Selbstunterricht 
Nach  den  Vorträgen  des  Herrn  C  Küpper  bearbeitet  von  Dr. 
Karl  Bobek.  Mit  96  Textfiguren.  Zweite,  wohlfeile  Ausgabe. 
Leipzig  1897.    B.  G.  Teubuer.   210  S. 

her  äusserst  kurze  und  präcise  Ausdruck  der  Lehre  eignet  sich 
vorzüglich  den  dem  Gegenstande  fremden  Leser  in  kurzer  Zeit  ohne 
Umstände  mit  ihr  bekannt  zu  machen.  Es  folgen  der  Reihe  nach 
die  Abschnitte:  Projectivität  und  Involution;  Collination;  Kegel- 
schnitte, Pol  und  Polare;  imaginäre  Bostimmungsstücke,  adjungirte 
Involution;  Steinersche  Verwaudtschatt;  Kegelschnittbüschel;  Pro- 
jectivität im  Kegelschnittbüschel;  Erzeugung  der  Curve  3.  Ordnung. 

H. 


Grundlehren  der  mathematischen  Geographie  und  elementaren 
Astronomie  für  den  Unterricht  bearbeitet  von  Dr  Siegmund 
Günther,  Professor  der  technischen  Hochschule  Müuchen.  Vierte, 
durchgesehene  Auflage  mit  47  eingedruckten  Figuren  und  2  Stern- 
karten.  München  lt>96.   Theodor  Ackormann    142  S. 

Die  2  Auflage  ist  im  14-  litterarischen  Bericht,  Seite  22  be- 
sprochen; die  dritte,  welche  Vieles  berichtigt  hat,  im  52sten,  Seite  47. 

H. 

Raumlehre  für  Baugewerkschulen  und  verwandte  gewerbliche 
Lehranstalten.  Von  Martin  Girndt,  königl.  Baugewerksschul- 
Lehrer.  Zweiter  Teil:  Körperlehre.  Mit  64  Figuren  im  Text. 
Leipzig  1897    B.  G.  Teubner.   55  S. 

Der  erste  Teil  (von  ebenen  Gebilden  handelnd)  soll  nächstens 
erscheinen.  Der  Körperlehre  voraus  geht  die  Lehre  von  den  ver- 
schiedenen Projectionsweisen  zum  Behufe  der  Darstellung  der  Ge- 
bilde anf  Ebenen  und,  soweit  es  die  exaete  Behandlung  derselben 
fordert,  die  Lehre  von  der  Lage  der  Geraden  und  Ebenen.  Die  in 
Betracht  gezogenen  Gebilde  sind  prismatische,  pyramidale  und  Um- 
drehungskörper, ferner  einige  einfache  Gewölbeformen.  Dabei  sind 
Uebungsbeispiele,  Formeln  und  eine  numerische  Tafel.  H. 


45 


Litte ranscher  Bericht  LX. 


Sammlungen. 

Beispiel-Sammlung  zur  Arithmetik  und  Algebra.  Von  Dr.  Her- 
mann Schubert,  Professor  an  der  Gelehrtenschule  des  Johanne- 
ums  in  Hamburg.  2765  Aufgaben,  systematisch  geordnet.  Leipzig 
1896.   G.  J.  Göschen    134  S. 

Die  Beispielsammlung  zeichnet  sich  durch  ungemeine  Vielseitig, 
keit  der  erstrebten  Vertrautheit  des  Schülers  mit  allem  Gebrauch 
der  Zahl  in  Schuldoctrin  und  Leben  aus.  Man  ersieht  daraus,  dass 
eioe  genügende  Ausbildung  zu  mannigfaltige  Aufgaben  stellt,  um  sie 
mit  Einübung  einiger  Algorithmen  abschliessen  zu  können.  Der 
Fortschritt  der  3  Rechnuagsstafen  vertritt  nur  den  kleinsten  Teil 
des  Ordnungsprincips  der  Aufgabeu.  Die  Aufgaben  beginneu  mit 
blossem  Schreiben  uud  Lesen,  weiterhin  kommen  mehr  und  mehr 
neue  Elemente  uud  neue  Fragen  und  solche,  die  Ueberlcgung  und 
Erfindung  erfordern,  hinzu.  Selbst  die  Auflösung  der  Gleichuugen 
bildet  keinen  gesonderten  Abschnitt,  sondern  wird  schon  frühzeitig 
bei  Fragen  in  Anwendung  gebracht.  —  Die  Beispielsammlung  schliesst 
sich  an  das  Lehrbuch  au: 

Arithmetik  und  Algebra.  Von  Dr.  Hermann  Schubert,  Pro- 
fessor an  der  Gelehrtenschule  des  Johanueums  iu  Hamburg.  Leipzig 
1896.   G.  J.  Göschen.   171  S. 

Die  Hauptabschnitte  des  Buchs  sind  betitelt:  Ucbcrgang  vom 
Rechnen  zur  Arithmetik;  Rechnungsarten  erster;  zweiter  Stufe;  An- 
wendungen beider  Arten;  Quadratisches;  Rechnungsarten  3.  Stufe; 
Anhang,  worin  u.  A.  arithmetische  und  geometrische  Reihen,  Zinses- 
zins, Moivre'sches  Theorem,  kubische  Gleichungen.  H. 


Tabellen. 

Tafeln  zur  Berechnung  der  reellen  Wurzeln  sämtlicher  triuomi- 
scher  Gleichungen,  hinzugefügt  sind  vierstellige  Additious,  Subtrac- 
tions  und  briggische  Logarithmen  sowie  eine  Interpolationstafel  für 
alle  Differenzen  unter  hundert  Von  Prof.  Dr.  B.  Gundelfingen 
Leipzig  1Ö97.   B.  G.  Teubner.   4°.   15  S. 

Die  gegebene  Gleichung 

*«+■  ±  cxm  ±  f  =  0 

wird  erst  in  der  Form  dargestellt: 


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Litterarischer  Bericht  LX. 


46 


1(H  -f  1  -  10» 

(z.  B.  für  die  Zeichenfolge  -f  -\  durch  die  Substitutionen  A  — 

Xm  f 

log  -  ;  B  =  log    n)    Die  Elimination  von  x  hieraus  ergibt  eine 

zweite,  und  zwar  lineare  Relation  zwischen  A  und  B  Die  Verbin- 
dung beidor  Relationen  ermöglicht  eine  Tafel  mit  einfachem  Entree 
für  A  (und  £),  woraus  dann  der  Wert  von  x  folgt.  In  Betreff  des 
Rechnungsverfahrens,  welches  vielerlei  Ueberlcgung,  Abschätzung 
und  Correctioncn  beansprucht,  miisseu  wir  auf  die  „Erläuterungen" 
zu  den  2  Tafeln  verweisen.  Die  erste  stellt  auf  3  Seiten  gemäss 
der  transscendenten,  vou  e,  /  unabhängigen  Relation  B  als  Function 
von  A  dar,  die  andre  ist  auf  4  Seiten  die  genannte.  H. 

Hilfstafeln  für  praktische  Messkuude  {nebst  logarithmisch-trigo- 
nometrischen Tafeln.  Zusammengestellt  von  0.  Müller.  Zürich 
1897.    F.  Schulthess.    144  S. 

Ausser  grössern  Tafeln  der  Logarithmen  der  Zahlen ,  goniome- 
trischen  Functionen,  Summen  und  Differenzen  cuthält  das  Buch 
Unterweisung  und  Formeln  nebst  kleinen  Tabellen  in  astronomischen, 
geodätischen,  vielerlei  technischen  und  physikalischen  Messungen 
und  ist  produetiv  iu  Vereinfachung  der  Methoden.  II. 

Vierstellige  logarithmisch-trigonometrischo  Tafel  zum  Schul-  und 
Handgebrauch  zusammengestellt  von  Adolf  Sickenberg  er,  K. 
Gymnasial-Prufessor  und  Rektor  der  Luitpold-Kreis-Realschule  iu 
München.  Dritte  Auflage.  München  1897.  Theodor  Ackermann. 
20  S. 

Die  2.  Auflage  ist  im  38.  literarischen  Bericht  S.  IG  besprochen. 
In  gegenwärtiger  Ausgabe  ist  das  Intervall  0°  bis  1°  in  kleinerer 
Teilung  ausgeführt,  im  übrigen  die  Teilung  in  Sechstelgrade  beibe- 
halten worden.  H. 

Fünfstellige  Tafeln  uud  Gegentafelu  für  logarithmisches  und 
trigonometrisches  Rocbnen  herausgegeben  von  Dr.  Hermann 
Schubert,  Professor  an  der  Gelehrtensohule  des  Johanneums  in 
Hamburg.    Leipzig,  B.  G.  Teubner.    157  S. 

Im  Vergleich  mit  den  gewöhnlichen  Tafeln  erscheinen  die  gegen- 
wärtigen um  eine  vermehrt,  nämlich  ausser  der  Tafel  der  Logarithmen 
der  trigonometrische11  Functionen  auch  eine  der  Functionen  selbst, 


47 


Litterarücher  Bericht  LX. 


die  nicht  selten  in  Anwendung  kommt,  um  ein  zweimaliges  Auf- 
schlagen zu  ersparen,  wo  es  sich  um  den  Wert  nur  einer  Function 
handelt.  Formelle  Eigenheiten  aber  unterscheiden  das  Buch  noch 
folgende  zwei :  Erstens  sind ,  mit  Wegfall  der  Complementar- 
functionen  die  Sinus  und  Tangens  durch  den  ganzen  Quadranten 
fortgeführt.  Den  Nutzen  der  gewöhnlichen  Anordnung  mag  der 
Verfasser  überseheu  oder  für  zu  gering  gehalten  haben;  jedenfalls 
bessert  die  Abänderung  nichts.  Zweitens  ist  zur  Tafel  jeder  der  5 
Functionen  die  Tafel  der  inversen  Function  (hier  genannt  Gegcn- 
tafel)  hinzugegeben.  Der  Zweck  ist  durchaus  unverständlich.  Dass 
jede  Tafel  für  eine  Function  zugleich  als  Tafel  für  die  inverse  dient, 
wird  nicht  bestritten;  das  Vorwort  sagt  nur,  sie  sei  in  letzterer  An- 
wendung nicht  tabellarisch  geordnet,  damit  kann  nur  gemeint  sein, 
die  Argumente  haben  keine  constante  Differenz,  denn  zur  tabellari- 
schen Ordnung  gentigt  beständiges  Steigen  und  Sinken,  und  dieses 
fehlt  bei  jenen  Tafeln  nicht.  Hierauf  stützt  nun  das  Vorwort  die 
Behauptung:  wer  beim  Rechnen  auf  die  iu  Deutschland  üblichen 
Tafeln  (ohne  Gegentafeln)  angewiesen  sei,  vergeude  viel  Zeit,  sagt 
aber  nicht,  welche  Mehrarbeit  diese  Zeit  erfordern  soll.  Eine  Tafel 
Uber  eine  beständig  steigende  Function  y  von  z  gibt  unmittelbar  eine 
steigende  Reihe  von  Zahlen  x,  unter  denen  eine  x  die  nächst  kleinere 
von  einer  gegebenen  Zahl  x-\-ö  und  eiue  x-f-^o  die  nächst  grössere 
sofort  kenntlich  ist.  Ihnen  entsprechen  die  daneben  stehenden  Func- 
tionswerte  y  und  .v-j-f,,.  Zwischen  diesen  liegt  der  gesuchte  Func- 
tions wert  y-f-c  entsprechend  x-f-d,  bestimmt  durch  die  Proportion: 

d  :  d0  =  i  :  c0 

Alles  dies  gilt  auch  für  die  inverse  Abhängigkeit,  wo  y-\-(  gegeben 
und  x-f-ä  gesucht  ist.  Auch  die  Erleichterung  der  Iutcrpolations- 
rechnung  durch  den  Umstand,  dass  <J0  als  Einheit  letzter  Decimal- 
stelle  keine  Rechuung  verursacht,  ist  dieselbe.  Es  ist  daher  gar 
nicht  zu  verstehen,  wie  die  Hamburger  Gelehrtenschule  die  Lehre 
vom  Gebrauch  der  Logarithmentafeln  so  geben  kann ,  dass  die  um- 
gekehrte Anwendung  derselben  Tafel  mehr  Arbeit  verlangt  als  die 
Anwendung  einer  neuen  Tafel.  Bei  verdoppeltem  Aufwand  von  Hülfs- 
mitteln  ist  die  Leistung  höchstens  eine  gleiche.  Hoppe. 


Vierstellige  mathematische  Tabellen  im  engen  Anschluss  an  die 
mathematischen  Tabellen  der  technischen  Kalender.  Von  E.  Schultz, 
wissenschaftl.  Lehrer  an  der  Königl.  Maschinenbau-  und  Hüttenschule 
zu  Duisburg.  In  zwei  Ausgaben  a)  mit  Anleitung,  b)  ohne  Anleitung. 
Essen  189G.    G.  D.  Baedeker. 


LiUerarüchtr  Btickt  LX. 


48 


Zur  Motivirang  der  erneuerten  Herausgabc  der  in  den  techni- 
schen Kalendern  bereits  enthaltenen  Tabellen  wird  im  Vorwort  an- 
gegeben, dass  zur  Schonung  der  Augen  der  Schüler  ein  grösserer 
Druck  notwendig  geworden  sei.  Dies ,  sowie  der  Titel,  lässt  anneh- 
men, dass  die  Einrichtung  der  Tabellen  beibehalten  ist.  Sie  geben 
die  Quadrate,  Kuben  und  Logarithmen  der  natürlichen  Zahlen,  die 
sin,  cos,  tg  und  cot  für  die  Minuten,  dann  deren  Logarithmen, 
ausserdem  viele  in  der  Technik,  besonders  im  Maschinenbau  oft  vor- 
kommende  Grössen.  Mancher  Ueberfluss,  insbesondere  die  Hinzu- 
fügung der  inversen  Tabellen,  lässt  erkennen,  dass  auf  mathematische 
Einsicht  wenig  gerechnet  ist,  dass  vielmehr  die  Tabellen  ganz  ge- 
wohnheit8mässig  gebraucht  werden  sollen.  H. 

Vierstellige  logarithmische  und  goniometrische  Tafeln  nebst  den 
nötigen  Hilfstafeln.  Herausgegeben  von  P-  Treutlein,  Director 
des  Realgymnasiums  Karlsruhe.  Braunschweig  1896.  Vieweg  und 
Sohn.    72  S. 

Die  Einrichtung  der  Haupttafeln,  umfassend  ausser  den  Loga- 
rithmen der  Zahlen  und  den  Logarithmen  der  goniometrischen 
Functionen  auch  die  Functionen  selbst  in  grössern  Argumentsdiffe- 
renzen, ist  im  wesentlichen  die  gewöhnliche.  Der  Verfasser  bat  die 
Vereinfachungen,  welche  sich  schon  in  frübern  Ausgaben  vierstelliger 
Tafeln  fanden,  zu  vereinigen  gesucht.  Was  hier  Hilfstafeln  genannt 
wird,  sind  Tafeln,  die  zu  einander  und  zu  den  Haupttafeln  in  keiner 
Beziehung  stehen,  sondern  jede  für  sich  anderweite  Bestimmung 
haben.  Der  Verfasser  eifert  nun  sehr  für  den  ausschliesslichen  Ge- 
brauch vierstelliger  Tafeln  in  den  Mittelschulen  und  für  Ersparung 
des  Interpolirens ,  soweit  es  möglich  sei.  In  Verteidigung  seiner 
Ansicht  spricht  sich  aber  eine  Verwechselung  des  Zieles  der  Schule 
mit  dem  des  Rechners  aus.  Letzteres  ist  das  Resultat  jeder  Auf- 
gabe, ersteres  die  Vertrautheit  des  Schülors  mit  den  Mitteln  der  Lö- 
sung. Durch  Unterlassung  lernt  niemand  etwas.  Da  also  der  Ver- 
fasser das  Interpoliren  nicht  ganz  für  entbehrlich  hält,  so  ist  es 
offenbar  geradezu  zweckwidrig,  es  soviel  als  möglich  zu  vermeiden. 
Bieten  vierstellige  Tafeln  zu  wenig  Gelegenheit  Begriff  und  Methode 
des  Interpolirens  kennen  zu  lernen,  so  ist  dies  kein  Vorzug,  sondern 
ein  Mangel  solcher  Tafeln  hinsichtlich  des  Schulgebrauchs.  Es  gibt 
indes  noch  andre  Punkte,  welche  der  Empfehlung  vierstelliger  Lo 
garithmentafeln  entgegenstehen.  Von  den  Gründen,  weshalb  bisher 
fast  nur  7-  und  5 stellige  zur  Verbreitung  gelangt  sind,  spricht  das 
Vorwort  gar  nicht.  Es  ist  bekannt  und  fällt  in  die  Augen ,  dass 
durch  Verzicht  auf  die  7  te,  resp.  die  5  te  Stelle,  der  nötige  Umfang 


I Atterarischer  Bericht  LX. 


der  Tafel  sich  nicht  merklich  vermindert  Mit  Einführung  vierstel- 
liger Tafeln  wird  also  den  Schülern  ein  Mittel  in  die  Hand  gegeben, 
das  auf  verfehlter,  unkluger  Speculatiou  beruht,  und  das  sie,  wenn 
sie  zur  Einsicht  gelangen,  gegen  bessere  Hülfsmittel  vertauschen 
werden.  Hoppe 


Vierstellige  Logarithmentafeln  nebst  mathematischen,  physikali- 
schen und  astronomischen  Tabellen.  Für  deu  Schulgebrauch  zusam- 
mengestellt von  Dr.  A.  Schülke.  Leipzig  lt95.  B.  G.  Teubner. 
1«  S. 

Die  Tafeln  sind  für  vielerlei  Anwendungen  bestimmt.  Ausser 
den  rein  mathematischen  sind  besouders  noch  physikalische  und 
astronomische  Angaben  tabellarisch  aufgeführt.  Die  mathematischen 
Haupttafelu  geben  die  Logarithmen  der  Zahlen  (ausser  den  brigg- 
schen  die  natürlichen  bis  1UU)  und  der  trigonometrischen  Func- 
tionen. In  Betreff  der  letztern  ist  hervorzuheben ,  dass  die  Wiukol 
ausschliesslich  in  Graden  angegeben  werden,  und  die  Teilung  in  Minuten 
und  Secunden  unterbleibt.  Hiermit  ist  wenigstens  eine  ausschliessliche 
Einheit  für  Rechnung  mit  Winkeln  gewonuen;  nur  ist  diese  noch  eine 
willkürliche.  Warum  mit  der  Sexagcsimalteilung  nicht  auch  die 
Nonagesimalteiluug  beseitigt  ist,  fehlt  aller  Grund.  Was  das  Vor- 
wort sagt,  verrät  zwei  Vorurteile.  Erstens  wird  darin  die  Cente- 
simalteilung  des  rechteu  Winkels,  welche  in  neuester  Zeit  von  mehr 
und  mehr  Herausgebern  von  Tafeln  angenommen  wird,  die  „neue11 
Teilung  genannt,  als  ob  man  statt  einer  Zahl  9ü  eine  andre  Zahl 
10U  gewählt  hätte.  Jn  der  Tat  nennen  jene  Tafelu  unpassenderweiso 
das  Huudertteil  Hechte  einen  Grad  und  führen  so  einen  Doppelsiun 
des  Wortes  Grad  ein.  Wer  die  Bedeutung  eines  Decimalbruchs 
kennt,  wird  nach  Verwerfung  des  Nouagesimalgrads  den  Wert  jedes 
Winkels  durch  eine  (deciraal  geschriebene)  Anzahl  Rechte  ausdrücken. 
Der  Name  „neue  Kreisteilung"  beruht  also  auf  einem  Reste  von 
Unklarheit  und  Befangenheit.  Der  rechte  Winkel  ist  kein  neuer 
Begriff.  Zweitens  wird  der  Meinung  unbestrittene  Geltung  einge- 
räumt, die  Astronomen  wären  durch  Rücksicht  auf  die  kostbaren 
Instrumente  gezwungen,  bei  Minuten  und  Secunden  zu  bleiben.  Die 
Form  der  Beobachtuugsresultate  kann  offenbar  ihrer  Ausdrucksform  in 
der  Rechnung  keinen  Zwang  auferlegen.  Ebenso  wie  bei  physikali- 
schen Untersuchungen,  wo  die  Scalen  der  Apparate  für  den  Zweck 
der  Beobachtung  eingerichtet  sind,  daher  die  erhaltenen  Zahlen  zum 
Zweck  der  Rechnung  öfters  reducirt  werden  müssen ,  ist  auch  nach 
Himmelsbeobachtong  schon  wegen  Refraction  u.  a.  m.  manche  Re- 
duetion  der  Zahlen  nötig,  und  kann  die  hier  verlangte  Reductions- 


Litttraritcher  Bericht  I.X. 


50 


arbeit  der  Winkelteilung  gegen  den  grossen  Gewinn  an  Kürze  der  Rech- 
nungen nicht  in  Betracht  kommen.  Die  im  Vorwort  genannte  Ver- 
hinderung der  Astronomen  am  Uebergang  zur  Decimalteilung  des 
Winkels  durch  ihre  Iustrumente  erweist  sich  somit  als  völlig  nichtig 
und  leerer  Vorwand.  Was  den  Astronomen  den  Zwang  auferlegt, 
ist  vielmehr  der  Beschluss  des  Pariser  Einhoitscongresses,  an  den 
die  Sternwarten  aller  Länder  in  ihrem  Verkehr  und  ihren  Publi- 
cationeu  gebunden  sind,  und  der  keine  rationale  Verbesserung  von 
Seiten  der  einzelnen  mehr  zulässt.  Der  Beschluss  ist,  wenn  nicht 
als  Folge,  doch  vermutlich  sehr  beeinfiusst  durch  den  derzeitigen 
Mangel  an  den  nötigen  litterarischen  IiUlfsmitteln  gefasst  worden. 
Dies  kann  und  möge  für  diejenigen,  welche  in  der  Lage  sind  für 
rationale  Ordnung  der  Winkelausdrücke  zu  wirken,  ein  Antrieb 
sein,  dem  alten  Schlendriau  nicht  zögernd  schrittweise  zu  entsagen, 
sondern  sogleich  den  bekannten  Standpunkt  eiuzuuehmen,  auf  den 
wir  doch  schliesslich  kommeu  müssen.  Hoppe. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Katechismus  der  Differential-  und  Integralrechnung.  Von  Franz 
Beudt,  Mit  2-J  in  den  Text  gedruckten  Figureu.  Leipzig  18%. 
J.  J.  Weber.   267  S. 

Die  Bearbeitung  scheint  mehr  auf  geordnete  Zusammenstellung 
der  Doctrin,  fertig  zur  Anwendung,  als  auf  priucipiellc  Entwickeluug 
derselben  gerichtet.  Daher  begnügt  sie  sich  damit,  von  den  Eie- 
menteu  der  Infinitesimalrechnung  in  geometrischer  Gestalt  eine  An- 
schauung zu  geben  Leicht  wäre  es  gewesen,  damit  die  analytischo 
Form  zu  verbinden  und  die  nötigen  Dotiuitioueu  und  Sätze  als  all- 
gemeine Grundlage  der  Rechnung  aufzustellen,  was  in  diesem  Ge- 
biete, wenn  die  Lehre  zu  richtigen  Schlüssen  befähigen  soll,  gewiss 
nicht  überflüssig,  und  doch  für  Anfänger  der  Arithmetik  verständlich 
ist.  Die  Lehrgegenstäude  sind :  die  algebraische  Analysis,  die  Diffe- 
rentiation der  Functionen,  die  Reihen  von  Taylor  und  Mac  Laurin, 
Bestimmung  gowisscr  Ausdrücke,  Maxima  und  Minima,  Curventhcorie, 
Differentiation  der  Functionen  mehrerer  Variabcln,  Integration  der 
Functionen,  bestimmte  Integrale,  Quadratur,  Rectification ,  Compla- 
nation,  Kubatur,  vielfache  Integrale,  Differentialgleichungen,  die 
complexen  Zahlen,  alles  dies  in  massigem  Umfang. 

Hoppe. 


51 


IMterarischer  Bericht  LX. 


J.  A.  Serret,  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung. 
Mit  Genehmigung  des  Verfassers  deutsch  bearbeitet  von  Axel 
Harnack.  Zweite,  durchgesehene  Auflage  von  G.  Bohlmann. 
Erster  Band:  Differentialrechnung/  Mit  in  den  Text  gedruckten 
Figuren.   Leipzig  1897.   B.  G.  Teubner.   570  S. 

« 

In  der  ersten  Auflage  der  Uebersetzung  waren  die  Fortschritte 
der  Doctrin  seit  dem  Erscheinen  des  Werks  nur  in  Noten  bemerkt. 
Der  Herausgeber  der  zweiten  Auflagen  hat  nun  diese  und  alle  fernem 
Fortschritte  ausführlich  bearbeitet.  Während  nun  beide  für  die 
extensive  Bereicherung  tätig  gewesen  sind,  ist  die  Grundlegung  des 
Ganzen  auf  dem  Standpunkte  geblieben,  auf  den  der  Verfasser  das 
Werk  gestellt  hatte  Dieser  ist  so  niedrig  wie  kaum  in  einem  an- 
dern Lehrbuche ;  entweder  sind  die  Principicn  sehr  ungeschickt  oder 
geflissentlich  zu  dem  Zwecke  bearbeitet  das  Wesen  der  Hauptgegen- 
stände der  Lehre  zu  verhüllen  und  ihr  den  Auschein  eiuer  unbe- 
greiflichen zu  geben.  Eine  Definition  des  Grenzwerts  wird  zwar 
aufgestellt,  bleibt  aber  von  da  an  unbeachtet.  Der  Grenzwert  wird 
der  Function  6tets  schlechthin  in  einem  Punkte  zugeschrieben,  seine 
Abhängigkeit  vom  Variationsweg  verschwiegen  und,  wo  sie  sich 
durch  Abweichung  bemerklich  macht,  mit  Redensarten  abgetan.  Dem- 
entsprechend werden  die  unendlichkleinen  Grössen  nie  erwähnt,  die 
Intinite8imalschlüsse  ignorirt,  und  die  Infinitesimaltheorie  bleibt  ein 
dunkles  Gebiet.  Das  Zeichen  co  wird  sogar  ausdrücklich  ein  Grenz- 
wert genannt  —  Die  Capitei  des  Buchs  sind  folgende:  Einleitende 
Begriffe;  der  erste  Differentialquotient  der  Functionen  1  unabhän- 
gigen Variabein;  höhere  Differentialquotienten  von  Functionen  1 
Veränderlichen,  partielle  Differentialquotienten  von  Functionen 
mehrerer  Veränderlichen;  totale  Differentiale  und  partielle  Differeu- 
tialquotienten ;  Entwickeluug  der  Functionen  iu  Poteuzreihen;  Theorie 
der  Maxima  und  Minima;  Theorie  der  ebenen  Curven;  Theorie  der 
Raumcurven  und  krummen  Flächen;  die  Curven  auf  Flächen  und 
die  Flächenfamilien;  über  Functionen  eiuer  complcxen  Variabein; 
Zerlegung  der  rationalen  Functionen  in  Partialbrücüe. 

Hoppe. 

Handbuch  der  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen.  Von 
Professor  Dr.  Ludwig  Schlesinger,  Privatdocenten  an  der  Uni- 
versität zu  Berlin.  In  zwei  Bänden.  Zweiten  Bandes  erster  Teil. 
Mit  Figuren  im  Text.   Leipzig  1897    B.  G.  Teubner.   532  S. 

Der  jetzt  erschienene  erste  Teil  des  2.  Bandes  umfasst  die  Ab- 
schnitte: Allgemeine  Theorie  der  bei  linearen  Differentialgleichungen 


Litttrariicher  Bericht  LX. 


52 


auftretenden  Gruppen.  Specielle  Probleme  der  Gruppentheorie. 
Formulirung  und  allgemeine  Discussion  der  Umkehrprobleme.  Theorie 
und  Anwendungen  der  Euler'schen  Transformirten.  Die  angegebenen 
Originalarbeiten  sind  von  Galois,  Cauchy,  Jordan,  Poincare\  Cayley, 
Dyck,  Weber,  Cantor,  Weierstrass,  Lie,  Biermann,  Klein,  Picard, 
Veasiot,  Appell,  Jacobi,  Clebsch ,  Koenigsberger,  Kronecker,  Fuchs, 
Gino  Fano,  Beke,  Halphdn,  Borel,  Forsyth,  Veronese- Schopp,  Franke, 
Vnklcevic,  Lionville,  Heffter,  Engel,  Schwarz,  Laguerre,  Briochi, 
Cockle,  Goursat,  Wallenberg,  Rosenkranz,  Lipsmann  Schlesinger, 
M.  Meyer,  Gordan  u.  Nöther,  Hermite,  Abel,  Casorati,  Ritter,  Rie- 
mann, C.  Neumann,  Poisson,  Schottky,  Vogt,  Moll  in',  Frobenius, 
Euler,  Pincherle,  Pochhammer,  Nekrasseff,  Hossenfelder,  Kummer, 
Schlaf! i,  Broecker,  Legendre.  H. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

LI1I. 


Geschichte  der  Mathcmutik  und  Physik. 

Du  Bois-Rcymond,  Emil,  Gedäcbtnissrede  auf  Herrn, 
v.  Helmholtz.    gr.4°-   (50  S.)    Berliu,  G.  Reimer.    2  Mk. 

Fortschritte,  die  der  Physik  i.  J.  189'J.  Dargestellt  von 
der  physikalischen  Gesellschaft  zu  Berlin.  46.  Jahrg.  2.  Abth. 
Physik  des  Aethers.  Red.  v.  Rieh.  Börustein.  gr.8°.  (XLIV,  781  S.) 
Braunschweig,  Vieweg    30  Mk. 

—  dass.  1891.  47.  Jahrg.  1.  Abth.  Physik  der  Materie. 
Red.  t.  Rieh.  Börnstein.    gr.8°.   (LXIV,  418  S.)    Ebd.    18  Mk. 

-  dass.  i.  J.  1895.  51.  Jahrg.  2.  Abth.  Physik  des  Aethers 
Red.  v.  Rieh.  Börnsteiu.    gr.8°.    (XLVII,  843  S.)    Ebd.   30  Mk. 

II  esse's,  Ludw.  Otto,  gesammelto  Werke.  Hrsg.  v.  der 
mathemat.-physikal.  Classe  der  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 
gr.4°.   (VIII,  732  S.  m.  Bilduis.)   München,  Franz.   24  Mk. 

Jahrbuch  Über  die  Fortschritte  der  Mathematik.  Hrsg.  v. 
Emil  Lampe.  25.  Bd.  Jahrg.  1893  u.  1891.  3.  (Schluss-)Heft. 
gr.8°.    (XC1I  u.  S.  1317-1990.)    Berliu,  G.  Reimer.    19  Mk. 

Lampe,  Emil,  Karl  Weierstrass.  Gedächtnissrede.  gr.8ö. 
(24  S.)    Leipzig,  Barth.    G'J  Pf. 

Poggendorff's  Handwörterbuch  zur  Geschichte  der  exakten 
Wissenschaften.    3.  Bd.    7.  Lfg.   Ebd.    3  Mk. 

Villicus,  Frz.,  die  Geschichte  der  Rechenkunst  vom  Alter- 
thum bis  zum  XVIII.  Jahrh.  Mit  Illustr%,  Zahlzeichen,  Zahlen- 
systemen u.  Rechenmethoden  der  alten  Culturvölker  u.  altamerikan. 
Völkerstärame,  nebst  e.  tabellar.  Darstellung  v.  Zahlwörtern  des 
Zehnersystems  aus  72  Spracheu.  3.  Aufl.  gr.  8°.  (VIII,  114  S.) 
Wien,  Gerold.    3  Mk.  20  Pf. 


Methode  und  Princlpien 


Cronaue  r,  Johs.,  der  heutige  Stand  der  Methodik  des  Rechen- 
unterrichts.  gr.8°.   (81  S.)   Ludwigshafen,  Hofmann.   1  Mk. 

Deussen,  Paul,  über  die  Notwendigkeit,  beim  mathematisch- 
naturwissenschaftlichen Doktorexamen  die  obligatorische  Prüfung  in 
der  Philosophie  beizubehalten.  gr.8°.  (15  S.)  Kiel,  Lipsius  & 
Tischer.   50  Pf. 

K  n  i  1 1  i  n  g,  R  u  d.,  die  naturgemässe  Methode  des  Rechen-Unter- 
richts in  der  deutschen  Volksschule.  Ein  neues  theoretisch-prakti- 
sches Handbuch.  I.  TL:  die  psychologischen  Grundlagen  der  natur- 
gemässen  Rechenmethode.  gr.8°.  (XU,  372  S.  m.  Fig.)  München, 
Oldenbourg.    6  Mk. 

Lehrbücher. 

Lieber,  H.,  u.  F.  v.  Lüh  mann,  Leitfaden  der  Elementar- 
Mathematik.  1.  u.  3.  Tl.  gr.8ü.  Berlin,  Simion.  —  1.  Planimetrie, 
Einführung  in  die  Trigonometrie,  Körperberechnungen.  (Lehrauf- 
gabe der  Quarta  bis  Untersekunda.;  12.  Aufl.  (V,  87  S.  ra.  4Taf.) 
1  Mk.  50  Pf.  -  3.  Erweiterung  der  Planimetrie,  ebene  Trigono- 
metrie, Grundlehren  von  den  Koordiuaten  u  Kegelschnitten.  (Lehr- 
aufgabe der  Obersekunda  u.  Prima.)  8.  Aufl.  (VI,  139  S.  m.  6  Taf.) 
1  Mk.  60  Pf. 

Sammlungen. 

Brenner,  Ant.,  Rcchenscbule.  Aufgaben  zum  mündl.  u. 
schriftlichen  Rechnen.  Mit  Berücksichtigung  des  oberbayerischen 
Lehrplancs  bearb.  Ausg.  B.  In  4  Hftn.  Ausg  f.  Lehrer.  3.  u. 
4.  Hft.  3.  Aufl.  8°.  (III,  111  u.  III,  96  S.)  Freising,  Datterer. 
ä  1  Mk. 

Genau,  A.,  Rechenbuch  für  Lehrerseminare.  Verb.  v.  A.  Genau 
u.  P.  A.  Tüffers.  2.  Bd.:  Für  die  Mittel-  u.  Oberstufe  der  Seminare. 
4.  Aufl.  gr.b0.  (IV,  160  u.  XXIV  S.)  Gotha,  Thienemann.  1  Mk. 
60  Pf. 

Groissl,  J.,  die  Absolutorial-Aufgaben  aus  der  Mathematik  u. 
Physik  an  den  humanistischen  Gymnasien  Bayerns  1854  —  1888. 
I.  Tl.  Anleitung  zur  Lösung  u.  Resultate,  nebst  4  Fig.-Taf.  II.  Tl.  : 
(Als  Anhang  die  Aufgaben  v.  1^89—1896  nebst  Lösgn.)  gr.8°.  (IV, 
19,  67  u.  9  S.)    München,  Zipperer.    2  Mk. 

Hartmann,  Berthold,  Rechenbuch  für  höhere  n.  mittlere 
Mädchenschulen.  Methodisch  geordnete  Aufgabensammlung  mit 
gleichmassiger  Berücksichtigung  der  Rechenoperationen  u.  Sachgebiete. 
1.  u.  2.  Hft.  Für  das  1.  u.  2.  bzw.  3.  u.  4.  Schuljahr.  gr.8°.  (a 
IV,  96  S.)   Frankfurt  a./M.,  Kesselring,   a  50  Pf. 


Köster,  T.  E.,  Aufgaben  aus  dem  Gebiete  der  Arithmetik  u. 
Algebra  f.  Mittelscbuleu.  II.  Tl.:  Das  Rechnen  mit  Potenzen  u. 
Wurzeigrössen,  Wurzelausziehung,  quadrat.  Gleichungen,  diophant. 
Gleichungen,  Logarithmen,  Progressionen  u.  Zinseszinsen-Rechnun- 
gen.   2.  Aufl.    gr.8°.    (80  S.)    Oldenburg,  Schulze.   80  Pf. 

-  dass.  Resultate  zum  I.  u.  II.  Tl.  2.  Aufl.  gr.8°.  (39  S.) 
Ebd.   40  Pf. 

Rosenberg,  Karl,  methodisch  geordnete  Sammlung  v.  Auf- 
gaben aus  der  Planimetrie  u.  Stereometrie  f.  Lehrer-  u.  Lehrerinnen- 
Bildungs-Anstalten,  sowie  für  andere  gleichgestellte  Lehranstalten. 
gr.8°.    (III,  159  S.  ra.  107  Fig.)    Wien,  Holder.    Geb.  1  Mk.  90  Pf. 

Wallentin,  Frz.,  Maturitätsfragen  aus  der  Mathematik.  Zum 
Gebrauche  für  die  obersten  Classen  der  Gymnasien  u.  Realschulen 
zusammengestellt.  Auflösungen.  3.  Aufl.  gr  8°.  (VI,  208  S.  m. 
Fig.)   Wien,  Gerold.   Geb.  4  Mk. 

Wenzel,  Karl,  Rechenbuch  für  kaufmännische  Fortbildungs- 
schulen. (In  3  Tin)  1.  u  2.  Tl.  gr.8°.  (67  u.  54  S).  Hannover, 
Meyer,   a  60  Pf. 

Tabellen. 

Gundelfingen  S.  Tafeln  zur  Berechnung  der  reellen  Wur- 
zeln s&mtlicher  trigonometrischer  Gleichungen.  Hinzugefügt  sind 
4  stellige  Additions-,  Subtractions-  u.  Briggische  Logarithmen,  sowie 
eine  Interpolatioustafel  für  alle  Differenzen  unter  100.  gr.4°.  (IV, 
16  S.)   Leipzig,  Teubner.    1  Mk.  40  Pf. 

Henselin,  Ad  f.,  Rechentafel,  enth.  das  grosse  Einmaleins  bis 
999  mal  999  mit  einer  Einrichtung,  die  es  ermöglicht,  jedes  gesuchte 
Resultat,  sowohl  für  die  Multiplication ,  als  auch  für  die  Division 
blitzschnell  zu  finden,  nebst  einer  Kreisberechnungstabelle,  qu. 
schmal  Fol.   (III,  223  S.)   Berlin,  0.  Eisner.   Geb.  6  Mk. 

Kiepert,  Ludw.,  Tabelle  der  wichtigsten  Formeln  aus  der 
Integral-Rechnung,   gr.b0.    (38  S.)    Hannover,  Helwing.   5)  Pf. 

Mornik.  Frz.  v.,  fünfstellige  Logarithmen-Tafeln.  gr.8° 
(XII,  71  S.)   Leipzig,  Freitag.    1  Mk.  20  Pf. 

—  ,  logarithmisch-trigonometrische  Tafeln.  5.  Aufl.  gr.  8°.  (XII, 
77  S.)   Ebd.    1  Mk.  30  Pf. 

Müller,  0.,  Hülfstafeln  für  praktische  Messkunde,  nebst  loga- 
rithmiach  trigonometrischen  Tafeln.  89.  (141  S)  Zürich,  Schult- 
hess.    2  Mk.  40  Pf. 

Riem,  J.,  Rechentabellen  f.  Multiplikation  o.  Division,  mit  e. 
Vorworte  v.  H.  Kinkelin.!  Lex.-8°.  (XII,  179  S.)  Basel,  Verlags- 
Druckerei.    10  Mk. 


■ 

Schibert,  Herrn.,  fünfstellige  Tafele  u.  Gegentafeln  f.  loga- 
rithmisches u.  trigonometrisches  Rechnen.  gr.8°.  (VI,  157  S.) 
Leipzig,  Teubner.   Geb.  4  Blk. 

Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysls. 

Biermann,  0-,  znr  Reduction  Aberscher  Integrale  auf  ellipti- 
sche,   gr.  8°.   (8  S.)   Wien,  Gerold.    20  Pf. 

Bolte,  F.,  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Arithmetik  zum 
Gebrauche  an  Navigationsschulen  bearb.  gr.8°.  (64  S.)  Hamburg, 
Peuser.   Kart.  1  Mk.  60  Pf. 

Daublebsky  v.  Sterneck,  R.,  zur  additiven  Erzeugung  der 
ganzen  Zahlen.   gr.8°.   (25  S.)    Wien,  Gerold.   50  Pf. 

Fr  icke,  Rob.,  "Hauptsätze  der  Differential-  u.  Integral  Rech- 
nung, als  Leitfaden  zum  Gebrauch  bei  Vorlesungen  zusammengestellt. 
1.  Thl.  gr.8°.  (IX,  80  S.  m.  45  Fig.)  Braunschweig,  Vieweg.  2  Mk. 

Furtwängler,  Phlpp.,  znr  Theorie  der  in  Lincarfaktoren 
zerlegbaren,  ganzzahligen  ternären  eubischen  Formen.  Diss.  gr.8°. 
(63  S.)   Göttingen,  Vandenhoeck  u  Ruprecht.    1  Mk.  60  Pf. 

Gillner,  Elemente  der  Algebra  od.  praktische  Anleitung  zur 
rationellen  Erlernung  des  Auflösens  d.  Gleichungen  vom  1.  bis  3. 
Grade.  gr.8°.  (Vn,  279  S.  m.  Fig.)  Ilmenau,  Schröter.  Geb.  6  Mk. 

Herrmann,  Oslc,  über  algebraische  Knrven,  die  sich  beliebig 
eng  an  gegebene  Kurvenpolygone  anschliessen.  Ein  Beitrag  zur 
Lehre  von  der  Gestalt  algebraischer  Kurven.  Progr.  4*.  (26  S. 
m.  18  Fig.)   Leipzig,  Hinrichs.    1  Mk. 

Junker,  Fr.,  die  symmetrischen  Funktionen  der  gemeinschaft- 
lichen Variablenpaare  ternürer  Formen.   Tafeln  der  ternären  sym 
metrischen  Funktionen  vom  Gewicht  1  -6.   gr  4°.    (104  S.)  Wien, 
Gerold.   5  Mk.  80  Pf. 

Kiepert,  Ludw.,  Grundriss  der  Differential-  u.  Integral-Rech- 
nung. II.  Thl.:  Integral- Rechnung.  6.  Aufl.  des  gleichnara.  Leit- 
faden von  Max  Stegemann.  gr.8°.  (XVIII,  599  S.  m.  139  Fig.) 
Hannover,  Helwing.    11  Mk.  50  Pf. 

Martens,  F..  über  die  Transcendenz  der  Zahlen  *n.  n.  gr.8° 
(17  S.)   Wien,  Gerold.   40  Pf. 

Schlesinger,  Ludw.,  Handbuch  der  Theorie  der  linearen 
Differentialgleichungen.  (In  2  Bdn.)  2.  Bd.  1.  Thl.  gr.8°.  (XVIIT, 
532  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Teubner.    18  Mk. 

Seeger,  H.,  die  Elemente  der  Arithmetik.  gr.8°.  Güstrow, 
Opitz  &  Co.  1.  Tl.  Buch  I:  Pensum  der  Quarta.  Buch  II:  Pensum 
der  U.-Tertia.  2.  Aufl.  (III,  112  S.)  1  Mk.  40  Pf.  -  2.  Tl. 
Buch  III:  Pensum  der  Ober-Tertia  Buch  IV:  Pensum  der  Unter- 
sekunda.   Buch  V:  Pensum  der  Ober-Sekuuda.   (IV,  159  S.)  2  Mk 


Serrot,  J.  A.,  Lehrbuch  der  Differential-  u.  Integral-Rechnung. 
Deutsch  bearb.  v.  Axel  Harnack.  2.  Aufl.  v.  G.  Bohlraann.  1.  Bd. 
Differentialrechnung,  gr  8\  (XVI ,  570  S.  m.  85  Fig.)  Loipzig, 
Teubuer.   10  Mk. 

Geometrie. 

Bobek,  Karl,  Einleitung  in  die  projektivische  Geometrie  der 
Ebene.  Ein  Lehrbuch  für  höhere  Lehranstalten  u.  für  den  Selbst- 
unterricht.    Nach  den  Vorträgen  des  Herrn  C.    Küpper  bearb. 

2.  Ausg.   gr.8°.    (VI,  210  S.  in.  96  Fig.)    Leipzig,  Teubner.  2  Mk. 

Böttger,  Ad  f.,  die  Stereometrie.  Für  den  Unterricht  an  der 
Realschule  bearb.  gr.8°.  (III,  43  S.  m.  37  Fig.)  Leipzig,  Dürr- 
sche  B.   Kart.  60  Pf. 

Gauss,  F.  G.,  die  Teilung  der  Grundstücke  insbesondere  unter 
Zugrundelegung  rechtwinkliger  Koordinaten.  Nebst  vierstelligen 
logarithmischen  u.  trigonometrischen  Tafeln  u.  einer  Quadrattafel. 

3.  Aufl.   8°.   (148  u.  60  S.  m.  Fig.)   Berlin,  Decker.   Geb.  6  Mk. 

Girndt,  Mart.,  Raumlehre  f.  Baugewerbcschulen  u.  verwandte 
gewerbliche  Lehranstalten.  2.  Tl.:  Körperlehre.  Mit  64  Fig.  i.  Text. 
gr.8°.    (VIII,  55  S.)   Leipzig,  Teubuer.    Kart.  1  Mk. 

Jentzen,  Ed.,  Flächen-  u.  Kürperberechnungen  nebst  vielen 
Beispielen  zum  praktischen  Gebrauch  für  Bau-  u.  Maschinen-Tech- 
niker. 2.  Aufl.  gr.8°.  (VIII,  110  S.  m.  116  Fig.).  Weimar,  Voigt. 
2  Mk.  25  Pf. 

Kohn,  Gust.,  über  die  eubischen  Raumcurven,  welche  die 
Tangenten-Fläche  einer  vorgelegten  eubischen  Raumcurve  in  4,  5 
oder  6  Punkten  berühren.    gr.8°.    (5  S.)   Wion,  Gerold.    20  Pf. 

Napravnik,  Frz.,  geometrische  Formenlehre  für  Mädchen- 
Bürgerschulen.  3  Thle.  gr.8°.  1.  I.  Classe.  7.  Aufl.  (IV,  58  & 
m.  79  Holzschn.  u.  2  Taf.)  —  2.  II.  Classe.  6.  Aufl.  (IV,  54  S. 
ra  50  Holzschn.  u.  2  Taf.)  -  3.  III.  Classe.  (IV,  68  S.  m.  51  Holz- 
schn. u.  2  Taf.)    Prag,  Tempsky.    Geb  ä  80  Pf. 

Reidt,  Frdr.,  Einleitung  in  die  Trigonometrio  u.  Stereometrie 
f.  die  Untersekunda  höherer  Lehranstalten  (nach  den  preuss.,  Lehr- 
plänen.)   3.  Aufl.    &r.8°.    (32  S.)    Berlin,  Grote.    30  Pf. 

Traub,  K.,  Berechnung  der  Radien  der  acht  Berührungskreise 
beim  Apollonischen  Problem.  gr.8°.  (III,  18  S.)  Lahr,  Schauen- 
burg   50  Pf. 

Trigonometrie. 

Jentzen,  Elemente  der  Trigonometrio  zum  praktischen  Ge- 
brauch f.  Unterrichtszwecko  an  mittleren  technischen  Lehranstalten. 
2.  Aufl.   gr.8ö.   (55  S.  ra.  36  Fig.)   Dresden,  Kühtmanu.    1  Mk. 


Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Arbeiten,  astronomische  des  k.  k.  Gradmessungs-Bureau,  aus- 
geführt unter  der  Leitung  v.  Thdr.  v.  Oppolzer.  Hrsg.  v.  Edm. 
Weiss  u.  Rob.  Schräm.  8.  Bd.  Breiten-,  Azimuth-  u.  Winkelbe- 
stimmungen.  Publicationcn  für  die  internationale  Erdmessung.  gr.4°. 
(III,  211  S.)    Prag,  Terapsky.    16  Mk. 

Resultats,  les,  de  la  triangulation  de  la  Suisse.  Publication 
du  bureau  topographique  federal.  1.  Livr.  Canton  de  Geneve  1896. 
4°.   (27  S.  m.  Fig.  u.  1  Karte.)   Bern,  Schmid  u.  Francke.   1  Mk 

Mechanik. 

Kirchhoff,  Gust,  Vorlesungen  über  mathematische  Physik. 
1.  Bd.  Mechauik.  4.  Aufl.  Hrsg.  v.  W.  Wien,  gr.8»  (X,  464  S. 
m.  18  Fig.)   Leipzig,  Teubner.    13  Mk. 

Weyrauch,  J.,  die  elastischen  Bogenträger,  ihre  Theorie  u. 
Berechnung  entsprechend  den  Bedürfnissen  der  Praxis,  mit  Berück- 
sichtigung von  Gewölben  u.  Bogen  Fachwerkeu.  2.  Aufl.  gr.8°.  (X, 
313  S.  m.  Fig.  u.  1  Taf.)   München,  Th.  Ackermann.   9  Mk. 

Technik. 

Alpers,  Geo.,   Führer  durch  die  praktische  Photographie. 
3.  Aufl.  v.  Haugks  Repetitorium  der  praktischen  Photographie.  gr.8° 
(VIII,  108  S.  m.  31  Abbild.)   Weimar,  Voigt.    2  Mk.  50  Pf. 

Beck,  W.,  dio  Elektrizität  u.  ihre  Technik.  48.-55.  (Sehluss)- 
Heft.   gr.8°.    Leipzig,  Wiest,    a  10  Pf. 

Bernoulli's  Vademecum  des  Mechanikers  od.  prakt.  Hand- 
buch f.  Mechaniker,  Techniker,  Gewerbsleute  u.  technische  Lehr- 
anstalten. 21.  Aufl.  8«.  (XII,  528  S.  m.  Fig.)  Stuttgart,  Cotta. 
Geb.  6  Mk. 

Bibliothek,  elektrotechnische.  47.  Bd.  Peters,  Frz.,  ange- 
wandte Elektrochemie.  1.  Bd.  Die  Primär-  u.  Secundär- Elemente. 
8°.    (XIV,  33S  S.  m.  73  Abbild.)   Wien,  Hartleben.    3  Mk. 

Fortschritte  der  Elektrotechnik.  8.  Jahrg.  1894.  3.  Hft  u. 
9.  Jahrg  1895.  1.  Hft.  Berlin,  Springer.  4  Mk.  40  Pf.  u.  5  Mk. 
60  Pf. 

Gaisbcrg,  S.  Frhr.  v,  Taschenbuch  für  Monteure  elektrischer 
Beleuchtungsanlagen.  13.  Aufl.  12°.  (VIII,  188  S.  m.  131  Fig.) 
München,  Oldenbourg.   Geb.  2  Mk.  50  Pf. 

Grünwald,  F.,  der  Bau,  Betrieb  u.  die  Reparaturen  4pr  elek- 
trischen Beleuchtungsanlagen  6  Aufl.  12°.  (X,  30b  S.  m.  302 
Holzschn.)   Halle,  Knapp.   3  Mk. 


Heim,  Carl,  die  Accnmalatoren  für  stationäre  elektrische 
Anlagen.  2.  Aufl.  gr.8°.  (VI,  138  S.  m.  83  Abbild.)  Leipzig, 
Leiner.   3  Mk. 

Holzt,  A.,  der  Elektrotechniker.  20.  n.  21.  Hft.  Leipzig, 
Schäfer,   ä  75  Pf. 

Liesegang,  F.  Paul,  die  Fernphotographie.  gr.8°.  (134  S. 
m.  Abbild,  u.  8  Taf.)   Düsseldorf,  Liosegang.    3  Mk. 

Lueger's,  0.,  Lexicon  der  Technik.  20.  u.  21.  Abtlg.  Stutt- 
gart, Deutsche  Verlagsanstalt,    ä  5  Mk. 

Meissner,  G.,  Hydraulik.  2.  Aufl.  18.  u.  19.  Lfg.  Jena, 
Costenoble.   ä  3  Mk. 

Orostini,  Belichtungstabelle  für  photographische  Aufnahmen. 
gr.8#.   (3  S.)   Halle,  Peter.   40  Pf. 

Pizzighelli,  6,  Anleitung  zur  Photographie.  8.  Aufl.  12°. 
(X,  332  S.  m.  153  Holzsch.)   Halle,  Knapp.   Geb.  3  Mk. 

Riha,  Joh.,  die  Aufstellung  v.  Projekten  u.  Kostenvoranschlägen 
für  elektrische  Beleuchtungs-  u.  Kraftübertragungs-Anlagen.  gr.8° 
(VIII,  438  8.  m.  198  Fig.)   Leipzig,  Veit.   Geb.  8  Mk. 

Schmidt,  F.,  Compendium  der  praktischen  Photographie. 
4.  Aufl.  gr.8°.  (XVI,  426  S.  m.  Abbild.)  Karlsruhe,  Nemnich. 
6  Mk. 

Seibt,  Wilh.,  der  selbsttätige  Druckluft  Pegel,  System  Seibt- 
Fuess.  Veröffentlichungen  des  Bureaus  für  die  Hauptnivellements 
u.  Wasserstandsbeobachtungen  im  Ministerium  der  öffentlichen  Ar- 
beiten.  Lex.-8°.   (16  S.  m.  6  Fig.)   Berlin,  Ernst  &  Sohn.   1  Mk. 

Walion,  E.,  die  kleinen  Rechenaufgaben  des  Photographen 
beim  Vergrössern,  Reproduziren ,  bei  Berechnung  der  Objektiv-Kon- 
stanten u.  s.  w.,  sowie  deren  Auflösung  in  durchaus  elementarer 
Form.  Aus  dem  Franz.  v.  Herrn.  Schnauss.  8°.  (VIII,  56  S.) 
Dresden,  Verlag  des  „Apollo".   1  Mk  20  Pf. 

Wild,  H.,  verbesserte  Construction  magnetischer  Unifilar- 
Theodolithe.   gr.4°.    (31  S.  m.  5  Taf.)   Leipzig,  .Voss.    11  Mk. 

Wilke,  Arth.,  die  Elektrizität,  ihre  Erzeugung  u.  ihre  An- 
wendung in  Industrie  u.  Gewerbe.  3.  Aufl.  (In  17  Lfgn.)  1.  Lfg. 
gr.8°.   Leipzig,  Spamer.   50  Pf. 

Zamboni,  Carl  v.,  Anleitung  zur  Positiv-  u.  Negativ-Retouche. 
Hrsg.  u.  durch  praktische  Beispiele  erläutert.  Mit  11  Taf.  2.  Aufl. 
gr.8°.   (VI,  44  S.)  Halle,  Knapp.   5  Mk. 

Optik,  Akustik  und  Elastlcität. 

Exuer,  Frz.,  u.  E.  Haschek,  über  die  ultravioletten  Fuu- 
kenspectra  der  Elemente.  V.  u.  VI.  Mittheilg.   Wien,  Gerold.  1  Mk. 
40  Pf. 


Jäger,  Gnst,  über  die  Fortpflanzung  des  Schalles  in  bewegter 
Luft,   gr.8«    (7  S.  u.  2  Fig.)   Ebd.   30  Pf. 

Lohso,  0.,  Untersuchung  des  violetten  Theils  einiger  linien- 
reicher Metallspectra    gr.8°.    (19  S)   Berlin,  G.  Reimer.    1  Mk. 

Mandl,  Jul.,  Darstellung  der  scheinbaren  Beleuchtung  krum- 
mer Flächen  (directe  Construction  der  Isophengen).  gr.8°.  (16  S. 
m.  2  Fig.  u.  1  Taf.)   Wien,  Gerold.   1  Mk. 

Meyer,  Stef.,  über  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  eines 
mechanischen  Impulses  in  gespannten  Drähten.  gr.8°.  (9  S.)  Ebd. 
60  Pf. 

Wächter,  Frdr.,  über  die  Grenzen  des  telestereoskopischen 
Sehens.   gr.8°.   (19  S.  m.  5  Fig.)   Ebd.    50  Pf. 


Erd-  und  Hiiumelskunde. 

Arbeiten,  die  astronomisch-geodätischen  des  k.  u.  k.  militär- 
geograpbischen  Institutes  in  Wien.  (Publicationen  f.  internationale 
Erdmessung.)  VIII.  Bd.  Das  Präeisions-Nivellemcnt  in  der  oesterr.« 
ungar.  Monarchie.  II.  Westlicher  Tbl.  gr  4°.  (IX,  357  S.  m. 
1  Kte.)   Wien,  Lechner's  Sort.   16  Mk. 

—  dass.  IX  Bd.  Trigonometrische  Arbeiten.  5.  Die  Be- 
obachtungen im  Dreiecksnetze  von  Nieder-  u.  Ober« Oesterreich  u. 
in  den  angrenzenden  Theilen  v  Mähren,  Ungarn  u.  Steiermark. 
gr.4°.    (VIII,  385  S  m.  3  Taf.)    Ebd.    16  Mk. 

Beau,  Otto,  die  Berechnung  der  Sonnen  u.  Mondfinsternisse. 
Für  den  Selbstunterricht  entwickelt  u.  mit  Rechnungsergebnissen. 
Progr.   4°.   (16  S.)   Sorau,  Zeidler.   75  Pf. 

—  ,  dass.  II.  Tl.  Tafeln  u.  Rechnungsergebnisse.  8°.  (S.  17— 29 
mit  1  Taf.)   Ebd.   75  Pf. 

Braun,  Carl,  die  Gravitations-Constante,  die  Massen,  mittlere 
Dichte  der  Erde  nach  e.  neuen  experimentellen  Bestimmung.  gr.4°. 
(74  u.  3  S.  m.  8  Fig.  u.  3  Taf.)   Wien,  Gerold.   5  Mk.  60  Pf. 

Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen  an  den  Lan- 
desstationen in  Bosnien  u.  der  Hercegovina  i.  J.  1895.  Hrsg.  v.  der 
bosnisch-hercegovin.  Landesregierung,  gr.  4°.  (X,  157  S.  m.  3  Taf.) 
Wien,  Hof-  u.  Staatsdruckerei.    12  Mk. 

Falb's,  Rud.,  neue  Wetter  Prognosen  u.  Kalender  der  kritischen 
Tage  f.  1897.   Jan-Juni    169.   (81  S.)   Berlin,  Steinitz.    1  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.  6.-8.  Lfg.  Breslau, 
Trewendt.   ä  3  Mk.  60  Pf. 

Hillebrand,  Carl,  über  den  Einfluss  der  Elasticität  auf  die 
Schwankungen  der  Polhöhe.  gr.<i°.  (28  S.)  Wien,  Gerold.  1  Mk. 
60  Pf. 


Hochwasserzeiten  der  Unter  u.  Aussen  Weser  f.  1897. 
12°.   (25  S.)   Bremen,  Heinsius.   tO  Pf. 

Jäger,  G.,  Wetter-  u.  Mondkalendor  f.  1897.  3.  Jahrg.  gr.8°. 
(6  u.  Belehrg.    4  S.)    Stuttgart,  Kohlhammer.    30  Pf. 

Jahrbuch  der  Astronomie  u.  Geophysik.  Hrsg.  v.  Herrn.  J. 
Klein.  7.  Jahrg.  1896.  Mit  5  Taf.  gr.  8«.  (X,  400  S.)  Leipzig, 
E.  H.  Meyer.   Kart.  7  Mk. 

—  ,  Berliner  astronomisches,  f.  1899  m.  Angaben  f.  die  Oppo- 
sitionen der  Planeten  (1)  —  (411  >  f.  1897.  Hrsg.  v.  astronom.  Rechen 
Institut  unter  Leitung  v.  J.  Bauschinger.    gr.8°.   (VIII,  514,  8  u. 
8  S.)   Berlin,  Dümmler.    12  Mk. 

-  ,  deutsches  meteorologisches  f.  1895.  Meteorologische  Station 
I.  Ordng.  in  Aachen.  Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtun- 
gen. Stündliche  Aufzeichnungen  der  Registrierapparate,  dreimal 
tägliche  Beobachtungen  iu  Aachen  u.  am  Aussichtsturm,  Waldstation 

—  sowie  Niederschlagmessungen  au  der  Gasanstalt  Hrsg.  i.  Auftr. 
der  Stadtverwaltung  v.  P.  Polis  1.  Jahrg.  gr  4°.  (V,  59  S.  m.  14 
Abbildgn.)    Aachen,  Müller.    7  Mk. 

Krümmel,  Otto,  über  Gezeitenwelleu.  Rektoratsrede,  gr.fe0. 
(18  S.)    Kiel,  Universitätsbuchhandlung.    1  Mk.  40  Pf. 

Neudrucke  von  Schriften  u.  Karten  über  Meteorologie  u. 
Erdmagnetismus,  hrsg.  v.  G.  Hellmann.  No.  7-9.  4°.  —  7.  Evan- 
gelista  Torricelli,  Esperianza  dclP  argeuto  vivo.  Accademia  del 
Cimento.  Instrumcnti  per  conoscer  l'alterazioui  doli'  aria.  Mit  e. 
Einleitung.  (22  u.  17  S.  m.  Abbild.)  -  8.  E.  Halley,  A  v.  Hum- 
boldt, E.  Loomis,  U.  J.  Le  Verrier,  E.  Reuou,  Meteorologische 
Karten  1688,  1817,  1840,  1863,  1861.   6  Taf.  m.  e.  Einlcitg.  (13  S.) 

—  9.  Henry  Gellibraud,  a  discourse  mathematical  ou  the  Variation 
of  thes  magnetical  needle.  London  1635.  Fcsm.  Druck  m.  e.  Ein- 
leitg.    (7  u.  22  S.  m.  Fig.)    Berlin,  Asher.    ä  3  Mk. 

Niederschlags-Karte  des  üderstromgobietos.  1:150000. 
Linien  gleicher  Niederschlagshöhe  entworfen  v.  V.  Kremser.  43,5 
X  34  cm.    Berlin,  Ü.  Reimer.    1  Mk. 

Oerter,  mittlere,  v  622  Sternen  u.  scheinbare  Üerter  v.  450 
Sternen  nebst  Reductions-Tafclu  f.  d.  J.  1899  u.  einem  Anhang,  enth. 
mittlere  Oerter  von  303  südlichen  Sternen  f.  d.  J.  1^99,0.  gr.  8°. 
(S.  181  —  363  u  8  S.)    Berlin,  Dümmler's  Vlg.   6  Mk. 

Publications  de  l'observatoirc  central  Nicolas  sous  la  di- 
rection  de  0.  Backlund.  Serie  II.  Vol.  II.  Nyren,  M.,  observatious 
faites  au  cercle  verticale.  Imp.  4°.  (V,  110,  656  S.)  Leipzig,  Voss. 
48  Mk. 

Sammlung  populärer  Schriften,  hrsg.  v.  dor  Gesellschaft  Urania 
zu  Berlin.  No.  44.  Witt,  G.,  der  Planet  Saturn.  gr.8°.  (42  S.  m. 
lllustr.)   80  Pf. 


S ch weigor-Lerchen feld,  A.  v.,  Atlas  der  Himmelskuude 
auf  Grundlage  der  Ergebnisse  der  coelestischen  Photographie.  62 
Kartcnseiteu  (m.  135  Einzeldarstellungen  )  G2  Foliobogen  Text  u. 
ca.  500  Abbildgn.  (In  30  Lfgu.)  1.  Lfg.  Fol.  (12  S.  m.  3  Taf.) 
Wien,  Ilartleben.    1  Mk. 

Veröffentlichungen  des  kgl.  astronomischen  Rechen-Insti- 
tuts zu  Berlin.  No.  4.  Bauschinger,  J. ,  genäherte  Oppositions- 
Ephemeriden  v.  62  klcinon  Planeten  f.  1897.  Jau.-Aug.  Unter 
Mitwirkg.  v.  A.  Berberich  u.  P.  Neugebauer  hrsg.  4°.  (22  S.)  Ber- 
lin, Dümraler.    1  Mk.  20  Pf. 

Vierteljahrsschrift  der  astronomischen  Gesellschaft.  81. 
Jahrg.    3.  Hft.    Leipzig,  Engelmanu.    2  Mk. 

Wetter,  das.  Meteorologische  Monatsschrift  für  Gebildete 
aller  Stände.  Hrsg.  v.  R.  Assmann.  14.  Jahrg.  1897.  12  Hfte. 
gr.8°.    Berlin,  Salle.   6  Mk. 

Zenger,  K.  W.,  die  Meteorologie  der  Sonne  u.  das  Wetter  im 
J.  1887,  zugleich  Wetterprognose  f.  d.  J.  1897.  gr.8°.  (XI,  40  S. 
m.  1  Taf.)    Prag,  Rivna,-.    1  Mk.  44  Pf. 

Nautik. 

Döring,  W,  der  wetterkundigo  Navigateur.  —  Die  Orkane. 
—  Eine  ausführliche  Anweisung  Uber  die  Windverhältnisse  u.  über 
das  Wetter,  sowie  über  das  Manövriren  in  Stürmen  u.  Wirbelstür- 
men für  die  Segelrouten  der  ganzen  Erde.  3.  Aufl.  Mit  13  erläut 
meteorologischen  Karten  n.  Skizzen.  8U.  (IV,  2J3  u.  III,  58  S.) 
Oldenburg,  Schulze.   4  Mk. 

Ludolph,  W.,  Leuchtfeuer  u.  Schallsignale  der  Erde.  1897. 
26  Jahrg.  8.  Aufl.  gr.8°.  (XXIII,  400  S.  u.  Ergänz.  Hft.  1896  u. 
97:  29  Bl.)    Bremen,  Heinsius.    Geb.  7  Mk.  50  Pf. 

— ,  dasselbe  in  Ostsee,  Nordsee  u.  Kanal.  26.  Jahrg.  8  Aufl. 
gr.8«   (XI,  128  S.  u.  Ergänz.  Hft.  1896  u.  97:  16  Bl.)  Ebd.  3  Mk. 

Verzeichniss  der  Leuchtfeuer  aller  Meere.  Hrsg.  v.  Reichs- 
Marine-Amt.  8  Hfte.  Abgeschlossen  am  1.  Dez.  1896.  (Mit  je  1 
Tafel)  hoch  4«.   Berlin,  Mittler.   6  Mk. 


Physik. 

Abondroth,  William,  Leitfaden  der  Physik  mit  Einschluss 
der  einfachsten  Lehren  der  mathematischen  Geographie  nach  der 
Lehr  u.  Prüfungsordnung  v.  1893  für  Gymnasien.  II.  Bd.  Kursus 
der  Unter-  u.  Oberprima.  2.  Aufl.  gr.8°.  (VII,  289  S.  m.  172 
Holzschn.  u.  1  Farbentafel.)   Leipzig,  Hirzel.   4  Mk. 


Börner,  H.,  physikalisches  Unterrichtswerk  f.  höhere  Lehr- 
anstalten, sowie  zur  Einführung  in  das  Studium  der  neuern  Physik 
in  2  Stufen.  I.  Stufe.  II.  Leitfaden  der  Experimentalphysik  f. 
Realschulen,  zugleich  für  Oberrealschulen :  1.  Stufe  des  Lehrbuches 
der  Physik  für  höhere  Lehranstalten.  3.  Aufl.  gr.8*.  (XII,  181  S. 
m.  173  Abbild.)   Berlin,  Weidmann.   Geb.  2  Mk.  20  Pf. 

Bucherer,  Alfr.  H.,  Grundzüge  einer  thermodynamischen 
Theorie  elektrochemischer  Kräfte.  gr.8°.  (VI,  144  S.)  Freiberg 
Craz  &  Gerlach.   4  Mk. 

Föppl,  A.,  die  Geometrie  der  Wirbelfelder.  In  Anlehnung  an 
das  Buch  des  Verf.  über  die  Maxwell'sche  Theorie  der  Elektricitüt 
u.  zu  dessen  Ergänzung.  gr.8°.  (X,  10b  S.)  Leipzig,  Teubner. 
3  Mk.  60  Pf. 

Graetz,  L.,  die  Elektricität  u.  ihre  Anwendungen.  Ein  Lebr- 
u.  Lesebuch.  6.  Aufl.  gr.8°.  (XII,  556  S.  m.  443  Abbildg.)  Stutt- 
gart, Engelhorn.   7  Mk. 

Grau,  Aug.  u.  Rieh.  Iiiecke,  Magnetisirung  nach  zwei 
Dimensionen  u.  Hysteresis  im  Drohfelde.  gr.8°.  (55  S.  m.  12  Fig. 
u.  7  Taf.)   Wien,  Gerold.   1  Mk.  90  Pf. 

Ilasenoehrl,  Fritz,  e.  mechanisches  Polycykel  als  Aoalogon 
der  Inductionswirkungen  beliebig  vieler  Kreisströme.  gr.8°.  (7  S. 
m.  1.  Fig.)   Ebd.    40  Pf. 

II  elmhol  tz,  H.  v.,  Vorlesungen  über  theoretische  Physik. 
Hrsg.  v.  Arth.  König,  Otto  Krigar-Menzel ,  Carl  Runge.  V.  Bd. 
Vorlesungen  üb.  die  elektromagnet.  Theorie  des  Lichts.  Hrsg.  v. 
Arth.  König  u.  Carl  Rungo.  Lex.-b°.  (XII,  370  S.  m.  54  Fig.) 
Hamburg,  Voss.   14  Mk. 

Indra,  Alois,  über  die  Bestimmung  der  Temperatur  einer 
veränderlichen  Wärrae(|uoilo  in  einer  bestimmt  gegebenen  Zeit.  gr.b0. 
(16  S.  m.  1  Fig.)   Wien,  Gerold.   40  Pf. 

Kahl  bäum,  Geo.  W.  A.,  Studien  über  Dampfspannkraft- 
messungeu.  In  Gemeinschaft  mi  G.  G.  v.  Wirkner  u.  auderen  Mit- 
arbeitern.  II.  Abtlg.  1.  Hlfte.  Mit  1  Taf.,  3  Holzschn.  im  Text 
u  4  Kurventaf.   gr.b0.   (XII,  221  S.)   Basel,  Schwabe.   8  Mk. 

Kapp,  Gisbert,  elektrische  Wechselströme.  Deutsche  Ausg. 
v.  Herrn.  Kaufmann.  2.  Aufl.  gr.b0.  (V,  92  S.  ra.  Fig.).  Leipzig, 
Leiner.   2  Mk. 

Korn,  Arth.,  eine  Theorie  der  Gravitation  u.  der  elekrischen 
Erscheinungen  auf  Grundlage  der  Hydrodynamik.  2.  Aufl.  2.  Tl. 
Theorie  der  elektr.  Erscheinungen.  1.  Absen.:  Ponderomotorische 
Wirkgn.  gr.8°.  (S.  119-208  m.  Fig.)  Berlin.  Dümmler's  Vlg. 
2  Mk.  50  Pf. 

Lampa,  Ant.,  über  die  Brechungsquotienten  einiger  Substanzen 
für  sehr  kurze  elektrische  Wellen.  (2.  Mitthlg.)  gr.8°  (10  S.) 
Wien,  Gerold,  20  Pf. 


La  Utenich  läger,  Lehrbuch  der  Physik  iu  methodischer  Be- 
arbeitung f.  Landwirtschafteschulen.  8°.  (X,  330  S.  m.  402  Ab- 
bildgn.  u.  1  färb.  Spektraltaf.)   Berlin,  Parey.   Geb.  2  Mk.  80  Pf. 

Müller,  P.  A ,  über  die  Temperatur  u.  VerdunBtuug  der  Schnee- 
oberfläche u.  die  Feuchtigkeit  in  ihrer  Nähe.  gr.4°.  (38  S.)  Leip- 
zig, Voss.   11  Mk. 

Püning,  H,  Lehrbuch  der  Physik  für  die  oberen  Klassen 
höherer  Lehranstalten.  Im  Anschluss  an  desselben  Verfassers  Grund- 
züge der  Physik  bearb.  gr.fe0.  (VIII,  270  S.  m.  286  Fig.)  Mün- 
ster, Aschendorff.   Geb.  2  Mk.  80  Pf. 

Planck,  Max,  über  irreversible  Strahlungsvorgäoge.  1  Mit- 
theilg.   gr.8°.   (12  S.)   Berlin,  Reimer.   50  Pf. 

Tumlirz,  0.,  die  Abweichung  des  gesättigten  Wasserdampfes 
vom  Mariotte-Gay.Lussac'schen  Gesetze.  gr.8°.  (12  S.  m.  1  Fig.) 
Wien,  Gerold.  30  Pf. 

Vogt,  J.  G.,  das  Wesen  der  Elektrizität  u.  des  Magnetismus 
auf  Grund  eines  einheitlichen  Substanzbegriffes.  gr.8°.  (135  S.) 
Leipzig,  Wiest   2  Mk.  50  Pf. 

War  bürg,  E.,  über  die  Verzögerung  bei  der  Funkenentladung 
gr.8°.   (9  S.)   Berlin,  G  Reimer.   50  Pf. 

Weinhold,  Adf.  F.,  Vorschule  der  Experimentalphysik.  Natur- 
lehre in  elementarer  Darstellung  nebst  Anleitung  zum  Experimen- 
tieren u.  zur  Anfertigung  der  Apparate.  4.  Aufl.  gr  8°.  (VIII, 
572  S.  m.  440  Holzsch.  u  2  Farbentaf.)  Leipzig,  Quandt  &  Händel, 
10  Mk. 

Winter,  Wilh.,  Lehrbuch  der  Physik  zum  Schulgebrauche. 
4.  Aufl.  gr.8°.  (VIII,  521  S.  m.  345  Abbild.)  München.  Th.  Acker- 
mann.  4  Mk.  80  Pf. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  kgl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften. 
40.  Bd.  (Matbemat.-physikal.  Classe.  23.  Bd.  Lex.-8°.  (V,  558  S- 
.  m.  55  Abbildgn.  u.  13  Taf.)   Leipzig,  Hirxel.   29  Mk. 

Anzeiger  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften.  Mathe- 
matisch-naturwissenschaftliche Classe.  Jahrg.  1897.  Ca.  27  Num- 
mern. Lex.  8°.   Wien,  Gerold.   3  Mk. 

Berichte  der  sächsischen  Gesellschaft  der  Wissenschaften. 
Mathematisch-physikalische  Classe.  1896.  4-6.  Leipzig,  Hirzel. 
ä  1  Mk. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  Nr.  80  —83. 
8°.  Leipzig,  Engelmann.  Kart.  —  80.  Theorie  der  Luftechwingungen 
in  Röhren  mit  offenen  Enden.  Von  H.  Helmholtz  (1859).  Hrsg.  v. 
A.  Wangerin.  (132  S.)  2  Mk.  —  81.  Experimental -Untersuchungen 
über  Elektricität  v.  Mich.  Faraday  (1832).   Hrsg.  v.  A.  J.  v.  Oettin- 


I 


gen.  (96  S.  m.  41  Fig.)  1  Mk.  50  Pf.  -  82.  83.  Systematische 
Entwicklung  der  Abhängigkeit  geometrischer  Gestalten  von  einander, 
mit  Berücksichtigung  der  Arbeiten  alter  u.  neuer  Geometer  über 
Porismen,  Projectionsmethoden ,  Geometrie  d.  Lage,  Transversalen, 
Dualität  u.  Reciprocität  etc.  v.  Jac.  Steiner.  Hrsg.  v.  A.  J.  v.  Oet- 
tingen.  2  Thle.  L  (126  S.  ra.  14  Fig.  u.  2  Taf.)  2  Mk-;  IL  (162  S. 
m.  2  Fig.  u.  2  Taf )   2  Mk.  40  Pf. 

Schriften  der  physikalisch-ockonomischen  Gesellschaft  zu 
Königsberg  i.  Pr.  37.  Jahrg.  1896.  gr.4«.  (XIV,  173  u.  57  S.  ra. 
4  Taf.)   Königsberg,  Koch.   6  Mk. 

Sitzungsborich te ,  Müncbener.  Mathematische  Classe.  1896 
3.  Hft.   München,  Franz.    1  Mk.  20  Pf. 


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Teil  XV. 


XIX.  Sikshel:  Geometrie  spMrique. 


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ARCHIV 


MATHEMATIK  dsd  PHYSIK 


mit  besonderer  Rücksicht 


auf  die  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  höheren 


Untern  chteanstalten. 


Gegründet  von 

J.   A.   Gruner  t, 

fortgesetzt  von 

R.   Hopp  e, 


Dr.  ph.  Prof.  »n  d,  DdW.  Berlin. 


Zweite  Reihe. 

S  e  c  h  zehnte  r  T  e  i  I. 


C.  A.  Koclt's  Verlagsbuchhandlung. 


der 


189a 


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ARCHIV 


der 


MATHEMATIK  ünd  PHYSIK 

mit  besonderer  Rücksicht 

auf  die  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  höheren 
Unterrichtsanstalten. 


Gegründet  von 

J.  A.  Grunert, 

fortgesetzt  von 

R.  Hoppe. 

Zweite  Reihe. 

Sechszehnter  Teil.   Erstes  Heft. 

(Mit  2  lithogTaphirtMi  Tafeln.) 


Leipzig. 

C.  A.  Koch' s  Verlagsbuchhandlung, 

(H.  Eh  lern  *  Co.) 

1898. 


J 


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Baumgartner'*  Buchhandlung,  Leipzig. 

Durch  jede  Buchhandlung  zu  beziehen  i 

Die  Geometrie  der  Lage. 

Vorträge  von  Prot.  Dr.  Th.  Reye,  ord.  Professor  an  der 

Universität  Strassburg 

Abt.  II  (.?.  Aufl.).     Mit  'IG   Tertfigurm.    Brach.    H  Mk.,  in 
Halbfranz  gebunden  II  Mk', 

Abt.  III  (neu).    Brm'h.  ft  Mk:,  in  Halbfranz  gebunden  H  ML. 

Bereits  früher  erschien : 
Abt.  I  (.7.  Aufl.)    Mit  ih2  Textfiguren.    Brach.  7  ML ,  in  Halb- 
(ranz  gebutulen  H  Mk: 

Aus  einer  Besprechung  vou  Guido  Hauck:  „Unserem  Vor fassor 
gebührt  das  Verdienst,  das  System  jenes  grossen  Geometers  (Staudt) 
von  seinen  Einseitigkeiten  befreit  und  dadurch  nicht  nur  schmack- 
haft, sondern  vor  allem  für  die  Weiterforderung  der  Wissenschaft 
nutzbar  gemacht  zu  haben.  Diese  hat  denn  auch  in  den  letzten 
Dezennien  eine  überaus  fruchtbare  Weiterentwickelung  erfahren,  an 
welcher  der  Verfasser  durch  soine  bahnbrechenden  Arbeiten  in  her- 
vorragender Woise  beteiligt  war.  Es  sei  dabei  namentlich  auf 
den  Ausbau  dor  Liniengeomotrie  hingewiesen  ....  Das  auch  bo- 
roits  ins  Französische  und  Italienische  und  jetzt  auch  ins  Englische 
übersotzte  Werk  stellt  in  dieser  seiner  neuen  Auflage  das 
vollständigste  Lehrbuch  der  neueren  Geometrie  dar." 


C.  A.  Koch's  Verlagsbuclüiantllung  (H.  Ehlers  &  Co.) 

Leipzig  u.  Dresden. 

Mathematische  Aufgaben 

zum  Gebrauche 
in  den 

obersten  Klassen  höherer  Lehranstalten. 

Aus  den 
bei  Reifeprtlf  untren 
au  preussischeu  Gymuasieu  und  Realgymnasien 
gestellten  Aufgaben  ausgewählt 

utul 

mit  Hinzut'ügung  der  Ergebnisse  (II.  Teil) 
zu  einein  lebunpsbuche  vereint 

von 

Prof.  H.  €.  E.  Martns, 

Direktor  deH  Sophion-Rfalgvmn«Miuni«  in  Berlin. 

I.  Teil:  Aurgaben.    10.  Doppel -Aurlage.   Geh.  3,C»0  M..  geb.  4  M. 
II.  Teil:  Ergebnisse.    9.  u.  1U.  Aurlage.    Geh.  4,80  M.,  geh.  5,2U  M. 

Soeben  erschienen. 


\ 


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Inhalts- Ver  zeich  ni  ss 

* 

des  sechzehnten  Teils. 


Nr.    der  Abhandlung.  Heft.  Seit« 

beschichte  der  Mathematik  und  Phjsik. 

VI.  Desargues'  Verdienste  um  die  Begründung  der 
projecti  vischen    Geometrie.       Von  Stanislaus 

Chrzaszczcwski   II  119 

XVI.     Schleiermnchcr  als  Mathematiker.    Von  H.  Bor- 

kowski   IV  337 

Methode  und  Prlnciplen. 

IX.  Anwendungen  von  Dühring's  Begriff  der  Wertigkeit. 
Von  K.  Wesse  ly.  Forts,  v.  Nr.  XX.  im  IX. 
Teile   III  2S5 

Arithmetik,  Algehra  und  reine  Analysis 
ohne  Integralrechnung. 

VIII.    Die    Kennzeichen    der  Teilbarkeit    der  Zahlen. 

Von  Theodor  Lange   II  220 

VIII.    Facult&tencongruenzen.    Von  G.  Speckmann   .  II  223 

XV.  Ueber  Primzahlen.  Von  G.  Speckmann  ..  .  III  335 
XIX.    Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  innerhalb  einer 

bestimmten  Grenze.    Von  G.  Speckmann     .  .  IV  447 

XIX.    Ueber  Primzahlmengcn.    Von  G.  Speck  mann  .  IV  447 

XIX.    Forraclu  für  Primzahlen.   Von  G.  Speck  mann  .  IV  448 


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IV 


Nr.  «er  Abhandlung  Heft.  Seit«. 

Inte?ralrechnuner. 

1.    Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Integrations- 
weges.    Von  Th.  Christen   I  1 


Geometrie  der  Ebene. 

V.  Ein  Beitrag  zu]  den  Beziehungen  des  Umkreises 
zu  den  Berührungskreisen  eines  Dreieckes.  Von 
Konstantin  Karamata   II  113 

VII.    Untersuchungen  und  Lehrsätze  ühcr  Begrcnzangs- 

curven.    Von  C.  W.  Meyer  ...    II  150 

All.  Die  Scitensynimctricgernden  des  Dreiecks;  als  be- 
sonderen Fall  die  SteinerVhe  Curvc  des  Dreiecks. 
Von  Blicking    III  271 

XIII.  Ucber  eine  Erweiterung  dos  Gmss'scbtn  l'enta- 
gramma  miriticum    auf  ein  beliebiges  sphärisches 

Dreieck.    Von  Dziobck   III  320 

XIV.  Zur   Theorie    der    Lcmniskatc.     Von    K.  Zah- 

radnik   III  327 


Geometrie  des  Raumes. 

IV.    Eine  neue  Beziehung  zwischen  den  Krümmungen 

Ton  Curvcn  und  Flachen.    Von  R.  Hoppe    .  .  I    I  12 

XI.    Ucber  das  gleichseitige  und   da»  Ilöhenschnitts- 

Tetracder.     Von  R.  Hoppe   III  257 

XV.    Nachtrag   III  333 

XVII.  Drei  gegebene  Gerade  im  Räume  nach  einem  Drei- 
eck mit  vorgeschriebenen  Winkeln  im  schneiden. 
Von  E.  Salfncr   IV  347 

\ 

\ 

Trigonometrie. 

III-    Urher  goniometrischc  Relationen,  die  hei  der  Kreis- 

teilung  auftreten.    Von  B.  Sporcr   1  6« 

Mechanik. 

II.  EUmcntare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 
von  Linien,  Flächen  und  Körpern.  Von  E.  Rc  Il- 
feld   I  3fi 


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V 


Nr.  der    Abhandlung.  Heft.  Seite. 

XVIII.  Die  Bewegung  eines  lu.itii iellcn  Punktes  unter 
dem  Einfluss  einer  Centraikraft.  Von  Ulrich 
Big  ler   IV  358 

Erd-  und  lliinmelskunde. 

X.    Der  King  des  Satnrn.    Von  A.  Hiemann    .  .        III  241 


Littcrarische  Berichte. 

LXI.  D.  E.Smith  (hist.  mod.  math.)  J.  Hauen  (Euler  op.) 
von  Brautnflhl  (Gesch.  Trig  —  Na<sir  Eddin  Tusi  u  Re- 
qioniontan.)  Wanderin  (Neumaim).  Wertheim  (Misraehi). 
Hortet  (Kpnphrodit.  u.  Vitruv )  Engel  (II.  Grassmann). 
Engel  u  Study  ( Ausdehnung»].  1844  u.  186>).  Sinram 
(Newton  Giav.)  Frolov  (Dein.  ax.  XI.)  Gimler  (Festp.  d. 
Denk.)  As  1 1  -  Le  <>n  h  ard  (Xat.  Org.)  .1  ohanu  esson  (Be- 
harr.) C.  Heitmann  (Fcunvrk.)  Schmiu-Uuraont  (Nat.. 
Ph.)    Streek  er  (log.  Ueh.) 

LXII.  Heath  ( Arehiraedes).  Graf  (Steiner)  Ohenrauch  (darst. 
u.  proj.  G.)  Goldschmidt  (Wnhrsr tacinl.)  Traub  (Mag. 
Math.)  Kocnigsberger  (Heimholt/.)  Goebel  (Zahl  u. 
Unendl)  Ego  (exaef.  F.)  Forti  (Grassmann).  Russell 
(fonnd.  geom.)  Fringsheim  (I).  Bcinoulli  Wcrtl.)  Poi  n- 
care  (mee  cel  )  Bureau  des  Long.  (Ann.  1896-  8).  Ob- 
serv.  de  Montsouris  (Ann.  1896-8  ) 

LXIII.    Bnsslcr  (El.   M.)     Schwering  u  Krimphoff  (eb.  G.) 

Köstlcr  (Geom.)  Sickenberger  (el.  M.).  Rceknagcl  (eb. 
G.J  Ha  mmer  (Trig.)  B ü r  k  1  c n  (eh.  Trig.)  Brand  t  (Fhys.) 
Lieber  u.  Müsebeek  (Aufg.)  Sailcr  (Allfg.)  Pasea 
(mat.  sup.)  Weber  (Alg.)  Picard  u.  Simart  (fct.  alg.  2 
rar.)  Frischauf  (Kr.  u.  Kuglet.)  Burkhardt  (Fct.  Compl.) 
Fricke  (Diff.  u.  Int.)  G  rohmann  (Gl.  3.  Gr.)  Schcff- 
ler  (Th  Glch.)  Lamb  (inf.  c.)  B  u  r  n  s  i  d  e  (groups.)  Baker 
(Abel  thm.)  Tannery  u.  Molk  (fct.  eil.)  E.  Schultz 
(Harn.  Diffgleh.)  Mcray  (an.  inf.)  Speckmann  (Zahl.) 
Tcixcira  (Mem.  Madrid).  Hermes  (Vielfl.).  Sehlotke 
(Darst.  G.) 


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VI 


IiXIV.  Mansion  (g.  euol.  et  non  c.)  Korn  (Grav.  clcktr.  E.)  Dcl- 
lingshausen  (kin.  Nuturl.)  Frolov  (dem.  th.  par.)  Fink 
(Geom.  d.  Eb.)  Schüller  (Ar.  Alg.)  Gauter  (an.  Gcom.) 
Doehlemann  (proj.  G)  Korteweg  (trill.  hoog.  o.)  Back- 
lund  (sol.  kr.  rör.)  Schonten  (versnell.  h.  o.)  Klim- 
pert (Hydrod.)  Moleabroek  (quat,  mech.)  Nedclec  (c. 
vect.)  Schrocdcr  (phot.  opt.)  SchlcmQller  (Schall.). 
Jssaly,  (opt.  gcom.)    Wind  (magn.  opt.) 


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Berichtigungen 


im  16.  Teile. 


Seite  274  Zeile   7  v.  o.  statt  ps  —  ±  p,    setze  />,  —  ±  p3 
12         „     c3      „  x:l 
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Seite  278  Zeile   4  v.  o.    statt   xb   setze  ^ 
Seite  278  Zeile  16  v.  n.   statt  x-   setze  *, 
Seite  279  Zeile   5  v.  o.  statt   <5gg  setze  £fg 

Zeile  8  v.  o.   statt   diejenige   setze  derjenige 
Seite  280  Zeile   5  v.  u.   statt  pt   setze  p, 
Seite  281  Zeile  10  v.  o.    statt   7—8   setze  277 
Soite  282  Zeile  13   statt   4,-4,    setze  AtA% 
Seite  282  Zeile  22   statt    T  setze  r 
Seite  282  Zeile  22   statt   pnnkt   setze  büschel 
Seite  283  Zeile  18   statt   i   setze  % 
Seite  283  Zeile  26   statt   (11)   setze  (ll)3 
Seite  286  Zeile   6   statt    C  setze  E 


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Seite  287  Seite  4  v.  o.  lautet:  *s   .      -f  *3* --— *  -f- ***  .  **  -  0 

*i  ?s  ?3 

Seite  287  Zeile    G  v.  o.    statt      1    „    setze        1  a 

Seite  287  Zeile   4  v.  u.    statt   fs    setze  f, 

Seite  288  Zeilo   5  v.  o.   statt    Sig   setze  Sgp. 

Seite  288  Zeile   7  v.  o.   statt    1  :  2   setze   2 : 1 

Seite  288  Zeile  10  v.  u.    statt    innere  Achnlichkeit    setze  innern 

Aehnlichkeitspunkt. 
Seite  288  Zeile   4  v.  u    statt   laufender   setze  laufenden 
Seite  289  Zeile  16  v.  u.   statt    a4    setze  »\ 
Seite  289  Zeile    1  v.  u.   statt   Au.    setze  Au 
Seite  291  Zeilo    4  v.  ob.    statt    —  ;i3jf3  setze 
Seite  291  Zeile    7  v.  o.    hinzuzufügen  =  0 
Seite  291  Zeile  11  v.  u.    statt   +ps    setze    :  ;>3 

Seite  292  Zeile    1  v.  ob.    statt   <h-    setze  '/:t 

7i  'h 

Seite  292  Zeile    3  v.  o.    statt   +    setze    :  (2 mal) 

Seite  292  Zeile    9  v.  u.    statt   cos/1,    setze   sin  .1, 

Seite  293  Zeile    4  v.  u.    statt    2(4    setze  17) 

Seite  293  Zeile   4  v.  u.    statt  setze  xixl 

Seite  293  Zeile   4  v.  u.    statt    xx  xs    setze  xxx* 

Seite  294  Zeile  17  v.  ob.    statt   pt*    setze  pt* 

Soite  294  Zeile    3  v.  u.  statt    einem  bei  .1,    setze  einem 

Seite  290  Zeile  18  v.  ob.  ,    die  letzteren    statt  letzteren 

Seite  290  Zeile  10  v.  u.  statt  Ü  und  V   setze   x  und  y 

Seite  290  Zeile    2  v.  u.    statt   45    setze  15 

Seite  J97  Zeile    3  v.  ob.    statt    Die  in  2    setze   Je  2 

Seite  30()  Zeile    1  v.  ob.    statt    P   setze  P' 

Seite  300  Zeile  15  v.  o    statt   +  Jl's    setze    ±  R  S 

Seite  300  Zeile  17  v.  o.   statt    (IQ    setze  QQ* 

Seite  301  Zeile  12  v.  ob.    statt       =  0   setze    ;s  =  o 

Seite  302  Zeile    4  v.  u.  hinzuzufügen  (s.  S,  277) 

Seite  303  Zeile    9  v.  o.  vor        setze    -f  X;!  (x.     ?t  -f  x3) 

Hu 

Seite  304  Zeile    2  v.  ob.  hinzuzufügen  —  0 

S(itc  300  Zeile  2  v.  u.  statt  die  variabelen  setze  und  variabeln 
Seite  307  Zeile  15  v.  u.  statt  Loiteurve  setze    Leitenrve  zerfallen. 


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Christ* ni  Beiträg«  zur   Verwendung  des  freien  Integrationsweg**.  1 


I. 

Beiträge  zur  Verwendung  des  freien 
Integrationsweges. 

Von 

Th.  Christen 

in  Basel. 


Die  vorliegende  Arbeit  hat  den  Zweck,  den  Cauchy'schen  Satz 
vom  freien  Integrationsweg,  der  sich  schon  lange  als  enorm  frucht- 
bar erwiesen  hat,  noch  weiter  zu  verwerten.  Die  zur  Auwendung 
gelangenden  Methoden  machen  es  möglich,  entweder  die  Resultate  auf 
kürzerem  und  eleganterem  Wege  abzuleiten ,  als  dies  bisher  ge- 
schehen ist,  oder  eine  Gruppe  verwandter  Integrale,  die  sich  in  ver- 
schiedenen Werken  zerstreut  finden,  unter  einem  einheitlichen  Ge- 
sichtspunkte zu  behandeln,  oder  endlich  neue  Integrale  zu  berechnen 
und  solche,  für  welche  in  andern  Arbeiten  falsche  Werto  augegeben 
sind,  zu  berichtigen. 

Den  Satz  von  Cauchy  l)  setze  ich  in  der  folgenden  Form  als 
bewiesen  voraus: 


1)  Zur  Entwicklungsgeschichte  dieses  Theorems  yerglciche  man  folgende 
Abhandlangen  Cauchy 's:  „Sur  un  nouveau  genre  de  calcul  analoguc  au 
calcul  infinitesimal".  Oeur.  compl.  sdrie.  2  tome  VI.  pag.  23  „De  l'infiuence 
que  peut  avoir  sur  la  raleur  d'une  integrale  ddfinie  l'ordrc  dans  lequel  on 
effectue  les  intdgrations."  Oeur.  serie  2  tome  VI  page  112.  »Memoire  sur 
l«i  integrale«  de'finies  priic»  eutre  des  limites  imaginaircs,"  Separatdruck  er- 
schienen 1825. 

Arck.  d.  kUth.  u.  Phy«.   3.  B«lhe,  T.  I.  1 


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2        Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  lntfgratiom-tctges. 

Ist  z  =  x  -f-  iy  und  besteht  zwischen  x  und  y  irgend  eine  Rela- 
tion, nach  welcher  ein  Puukt  mit  den  Coordinaten  x  und  y  auf  einer 
geschlossenen  Curve  liegt,  so  ist  das  Integral 


/ 


u{z)dz 

ausgedehnt  über  den  ganzen  Umlauf  der  geschlossenen  Curve  gleich 
dem  Product  von  i2n  in  die  Summe  aller  „RGsidus"  der  Function 
«(2),  soweit  sich  dieselben  auf  Pole  beziehen,  die  ?om  dem  Integra- 
tionsweg  umschlossen  werden. 


/ 


h—n 

u(z)dz  =  i2ir  2cu 


9h  =  }™  Sfc=*{* 

Die  Werte  =  1,  2...  u)  sind  die  vom  Integrationsweg  um- 
schlosseneu Pole  von  u(a)  und  p  ist  bestimmt  durch  die  Bedingung 

0  <  mod  lim  ö>u(26-f  ö)  <  oo 

wobei  selbstverständlich  für  p  —  1 

ck  =  lim  6  .  u(zi,-\-  5) 
«f=o 

zu  setzen  ist. 

Es  sei  noch  daran  erinnert,  dass  Cauchy  unter 

((m(c)  )) 

*i  vi 

die  Summe  aller  Residus  versteht,  deren  Pole  innerhalb  der  Grenzen 

Xj  <  x  <  xt 

Vi  <  y  <  y» 

hegen. 

Schliesst  der  Integrationsweg  keinen  Pol  der  Function  «(2)  ein, 
so  ist  das  Integral  gleich  null. 


I.   Ableitung  einiger  Integrale,  die  mit  dem  Exponentialiutegral 

verwandt  sind. 

Die  Berechung  des  Exponentialintograles 

aa 

<P(°)  =  /TT*  (1) 


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Christi  >r.  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  lntegralionsweges.  3 

geschieht  durch  Reihenentwicklung.  Durch  Differentiation  der  Glei- 
chung (1)  nach  a  kommt 

8<p         e-a         *  a*-» 

woraus  durch  Integration 

^)  =  .  +  log(-)-^l-/,  (2) 

Für  deu  Wert  von  <p(a)  habe  ich  absichtlich  den  soust  gebräuch- 
lichen Ausdruck 

<p(«)  =  -(£(-„) 

wobei 

vermieden,  weil  £•'(*)  für  positive  und  negative  Werte  von  a  eine 
eindeutig  definirte  Function  ist,  während  das  Glied  lg  ^-J  in  Glei- 
chung (2)  andeuten  soll,  dass  die  Function  <p(a)  für  negative  Werte 
von  a  jegliche  Bedeutung  verliert,  wenn  sie,  wie  hier,  durch  das 
bestimmte  Integral  (1)  defiuirt  ist  (man  müsste  dann  schon  durchaus 
an  dem  unglücklichen  Begriff  der  „Valenr  principale"  festhalten 
wollen!). 

Dass  die  Constante  y  dem  negativen  Wert  der  Mascheroni'schen 
Coustante  gleich  ist,  geht  aus  der  folgenden  Transformation  hervor : 

Die  Mascheroni'sche  Constante*)  ist  definirt  als 

1  00 

C  «=  J  lg  (lg  ^Af—  J* c-»\ogydy 
woraus  durch  partielle  Integration 


und  nach  (1) 


1)  Onter  C  sei  durchweg  die  Mascheronische  Constante 

C  z=  0,    577     215    665  ..  . 
Ycrstanden;  über  deren  genauen  Wert  vergl.  Crelles  Journ,  XLIX  pag.  375. 

2)  Maacheroni:  Adnotationes  ad  calc.  integ.  Eulcri  (1790)  pag.  13. 

I* 


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4       Christen:  Beiträg«  zur  Verwendung  de»  freien  Jntegrationtwegee. 

C-  —  lim  {log<$+<p(<J)|  —  —  y 

tf=0 

sodass 

«.)  -  /   C+  lg  g)  -  S  (4) 

O 

Man  setze  jetzt 

-W  -  (5) 

und  nehme  als  Integrationsweg  das  anendliche  grosse  Rechteck 

OAÜC  (Fig.  1).    Innerhalb  desselben  liegt  kein  Pol  von  u{:)\  das 

Integral  über  das  Rechteck  ist  daher  gleich  null.  Die  einzelnen 
Tcilintegrale  ergeben  sich  als 

00 


0  0 

B  qd 

*  0 

/»«-«<»+*] 
/  u,fc  =  -    lim    /  ■ -- 

Ä  0 
0  qo 

und  durch  Addition  kommt 

00 

ER  (6) 

0 

Setzt  man 

so  ergiebt  Gleichung  (6)  nach  Trennung  des  reellen  Teiles  vom 
imaginären 

G  +  ^~«*9(a)  (8) 

r  +  ff-o  0) 


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Christen:  Beitrage  zur   Verwendung  des  freien  Integration  stetiges.  5 


Die  Integration  von  (9)  liefert  die  längst  bekannte  Gleichung 

00  CO 

P  COS  ay  fy&may  n 

0  0 

Von  mehr  Interesse  ist  die  Differentialgleichung  (8),  deren  In- 
tegration l),  wie  man  leicht  ersieht,  auf  die  Gleichungen 

G(°)  -J'illUy  =  i\c-'®(*)-^(-*)\  (10) 

0 


CO 


BG(a)       /'ycosay  _ 
-da'-  /  1  +  =  -  ^-®(«)+«a®(-«)i  dl) 

o 

führt.  Die  Gleichungen  (10)  uud  (11)  bleiben  für  negative  Werte 
von  a  besteben,  überhaupt  sind  beide  Integrale  für  alle  reellen  Werte 
von  a  durchaus  bestimmt,  und  deshalb  ist  die  Verwendung  der 
Function  (5  die  eiuzig  gegebene  Beide  Gleichungen  sind  von 
mehreren  Mathematikern  gefunden  worden ,  so  von  Schlömilch  *), 
Arndt s),  Meyer*),  doch  sind  die  von  ihnen  angewandten  Methoden 
nicht  so  einfach. 

Im  Folgenden  kommen  die  mit  Ei(z)  verwandten  Reihen 

 (- 1)* 

ew     o    (2A  +  1).(2&+1)1 

zur  Verwendung.  Sie  dienen  zur  Berechnung  des  Sinus-  und  des 
Cosinusintegrales.   Man  beweist  leicht,  dass 


J 


cc 

—  dx  =  -  Ci(a)  a  >  0  (12) 


und 


1)  Da«  vollständige  Integral  ist 

G  =  y  ,  e~a  -f  \\e-a&{a)-  ea(£(—  a)\ 
und  für  a  =  0  wird  y  =  0. 

2)  Crellea  J.  V  paj.  104. 

3)  Ibid.  XI  pag.  70. 

4)  Ibid.  XLIII  pag.  72. 


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6         Christen:  Beitragt  zur  Verwendung  des  freien  Integrationswege». 
oo 

/-in.'-  n 
-dx  =  2  -Li{a)  (13) 

a 

Die  Identität  der  Constanten  des  Cosinus-  und  des  Exponential- 
integrales  hat  zuerst  Arndt *)  nachgewiesen ,  indem  er  die  beiden 
Integrale  yon  einander  subtrahirte  und  zeigte,  dass  die  Differenz 
rerschwindot,  wenn  a  gleich  null  gesetzt  wird. 

Auf  dio  Integrale  (12)  und  (13)  lässt  sich  nun  durch  eine  kurze 
Rechnung  die  Function 

00 

0 

zurückführen.  Man  setze 

•(«)  "  (15) 

und  führe  das  Integral  f  u dz  um  das  Rechteck  OABC  (Fig.  1.)  Es 
ergiebt  sich 


oo 

^cosax-r-t'sinax 

 d* 

■x 

ö  0 


A  OO 

/'    ,  /*C08a«H-i 


B  C 

<  B 
0  00 


B  U 

/-» /- 


./  -  -./  -1+,»  -«*--•«•)+-&- 

C  0 

und  durch  Addition 

oo 


,  .  Psmax 
0 -*«>-/  üfT,*» 


8tp(a)  /»COSa« 

°"  T5T  +  /  r-F*^ 


9«p(a) 

T 

Setzt  man  in  beiden  Gleichungen 


o 


1)  Grunert's  Archiy  X  p»g  225. 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Jntegrationswege*.  7 

a 

so  erhält  man  mit  Hilfe  von  (12)  und  (13) 

V(a)  —  f*         &  —  Cosa  |*  —  Z,*(a)  j  -f-  sin  a  6i(o)  j  (16) 

o  F 

_         _  rfy  -  _  cos  « <T<«)  +  sin«  {|  -©(«)}  (17) 

o  / 

Zu  gleichen  Resultaten  kommt  Schlömilch  J)  auf  folgende  Art: 
Man  liest  dircct  aus  Gleichung  (14)  ab,  dass 

Das  vollständige  Integral  dieser  Differentialgleichung  ist 

V(a)  -  M-©(a)}C0Ba+{Ä  +  £(«)} sina 

Nun  stösst  aber  der  exacte  Beweis  dafür,  dass 

B  -  0 

anf  erhebliche  Schwierigkeiten,  sodass  diese  anscheinend  sehr  ein- 
fache Ableitung  schliesslich  doch  bedeutend  complicirter  ausfällt,  als 
die  oben  angeführte. 


II.    Integrale  Ton  0  bis      Ober  algebraisch-trigonometrische 

Functionen. 

Es  soll  zuerst  eine  allgemeine  Integrationsformel  abgeleitet 
werden,  umfassend  alle  Functionen  u(z)  welche  der  Bedingung 

lim  k  .  «•*  .  u(k$**)  -  A  (18) 

genügen,  wobei  A  endlich  und  von  #  unabhängig  sein  muss,  solange 
#  zwischen  den  Grenzen  0  und  n  bleibt  Ferner  darf  u(«)  für  kei- 
nen reellen  Wert  des  Argumentes  s  unendlich  gross  werden.  Führt 
man  unter  diesen  Voraussetzungen  das  Integral  /  udz  um  das  un- 
endlich grosse  Rechteck  ABCD,  so  wird 


1)  Crelles  J.  XXXIII  p»g.  3  25. 


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8        Chr igten:  Beitrage  zur  Verwendung  des  freien  Integrationsweges. 

/udz  =  i2n  ({u(z)))  (19) 

-ao  0 

Die  Längen  OB  und  BC  sind  beliebig  verschieden,  beide  aber  un- 
endlich gross;  sie  seien  k  und  x;  dagegen  ist  vorausgesetzt,  dass 

AO  —  CB  =-  Z>/J~  PC  =  * 

Dann  wird 


B  oo  c  k 


X  -oo  Ä  o 


/*  /  /"  *  /  u(-i-f/y)rfy 

5  -F  0  o 


c 

und  nach  (18) 


woraus  durch  Addition 

/+/  +f-itA  _«*J) 

Ä  CD 

bekanntlich  gilt  aber  für  positive  * 

arctg*  -f-wxtg  -  «=.  * 

sodass 

QO 


^  udz=J  u{x)dx-\-iitA 


-CG 

woraus  man  mit  Hilfe  von  (19)  erhält 


jT"(x)  rix  -  m  |  2  (( i*(f)  ))  —  ^| 

Stellt  man  ferner  an  die  Function  u  die  Forderung 


(20) 


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Christen:  Beiträgt  zur  Verwendung  des  freien  lniegrationsweges.  9 


«(_*  =  (18a) 

so  kommt  aas  (20) 

OD 

f  u(x)dx  =  in  \  "V  ((  «(.)  ))  -  }J  «)  (21) 

Eine  grosse  Zahl  algebraisch-trigonometrischer  Integrale  lassen 
sich  aus  dieser  Gleichung  (21)  ableiten.  Es  sei  vorausgeschickt, 
dass  die  hier  zur  Behandlung  kommenden  Integrale  sämtlich  den 
Nenner 

ei  -f  e~i  —  2cospz 

enthalten.   Setzt  man  an  dessen  Stelle  den  anderen 

1  —  2ttcosj>x  -f-  a* 

so  liegt  darin  keine  priucipielle  Aenderung.  Dagegen  wird  sich 
zeigen,  dass  bei  Anwendung  der  zweiten  Form  die  Integrale  durch 
z^ei  verschiedene  analytische  Ausdrücke  dargestellt  werden  müssen, 

jenachdem  a2  ^  —  1  ist    Diejenigen  uuter  ihueu,  die  bereits  von 

Anderen  gefunden  worden  sind ,  werden  auch  überall  doppelt  aufge- 
führt für  o1  >  1  und  für  a*  <  1.  Um  beide  Fälle  zugleich  behandeln 
zu  können,  wähle  ich  die  erste  Form  des  Nenners,  aus  welchen  die 
zweito  dadurch  hergestellt  wird,  dass  mau  die  Gleichung  mit  e±» 

multiplicirt,  jenachdem  a*  >  1  soin  soll.  Es  mögen  endlich  in  diesem 

Abschnitt  zur  Vereinfachung  die  folgenden  Bezeichnungen  festge- 
halten werden 

p  =  2*a  >  0,    q  =  2nb  >  0,    r  =  ei  -f  e~i 
1.   Die  Reihe 

x=T  + 

wird  summirt  durch  Auswertung  des  Integrals 

OD 

/sin  x  dx 
r  —  2cosx  '  x 


1)  Diese  Relation  bat  auf  andere  Art  bereits  Cauehy  nachgewiesen;  er 
bringt  sie  in  seiner  Abhandlung  „Sur  quelques  relations  qui  existent  entre  les 
reaidns  des  fonetions  et  lcs  integrales  de"finies.*  Oeivre*  compl.  scrio  2  tome 
VI  pag.  124. 


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10     Christin:  Beilrage  zur  Verwendung  des  freien  Integrationsweges. 

Die  Polo  der  Function 

,  v  sina  1 

»w  -  t^ost,  •  (22) 

sind  die  Wurzeln  der  Gleichung 

r  —  2  cos«  mm  0 

Da  nnr  die  Pole  mit  positivem  imaginärem  Teil  in  Betracht  kommen 
so  sind  dieselben  enthalten  in 

zx  -  2*0«  -f  fc) 

worin  x  alle  positiven  und  negativen  ganzen  Zahlen  durchläuft. 
Dann  wird 

P,  lim  -i_ 

*x       3=2x  r-2cost  2*x 

-  ~l  1  -1 

00    OD  —  i  ( 1  «>  1  \ 

Ferner  ist 

^  -  lim      gin(* .  £ 

*=  00  r  —  2cos(i-e«*}  —  2 

und  nach  (21),  wenn  *  —  j>y 

«» 

sin  zw   rfv       ,  /  1        «       1  | 

J  e«+^-2co8^-    j,  + 6 +2*  £  x,+6!{j  (23) 

o 

Dieses  Integral  hat  Plana1)  nach  einer  anderen  Methode  be- 
rechnet, die  ich  kurz  andeuten  will.    Es  ist 

/  \  e-f8in*  oo 

x  '  «W  =  (l  _«-H,>Hi  -t-i-is)  "  f  «-'«sin** 


CO 

0 


(23a) 


Vergleicht  man  dieses  Resultat  mit  (23),  so  erhält  man 


1)  Mem.  della  real«  acad   della  ici«nce  di  Torino  1818  pag.  30. 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  de»  freien  Integralionsweges.  \\ 

Diese  ist  eine  bekannte  Reihe,  sie  entspricht  für  imaginäre  Werte 
von  b  der  Reihe  für  dio  Cotangente 

b  ~  ia 

*ä*nu-\-Za°k  jjyi-^  (24a) 
Aus  (24)  leitet  man  leicht  die  verwandto  Reihe 

6  +  **  f  a»»-e-»»  (25) 

ab,  die  später  Verwendung  finden  wird. 

2.   Es  sei 


«<«) 


r—  2cosps  '  1+«* 


Dio  Pole,  deren  Residus  unter  die  Summe     QOG:o((u))  fallen, 

-»  o 

lind 

und  z'  =  » 

Sind  die  entsprechenden  Residus  ex  und  c',  so  ist 
00  <£*(«))  =     +  *<,  +  £(<*+<:_,) 

-00     0  1 

Berechnet  man  die  einzelnen  Residus  und  definirt 


*l«iM>—  x4  +  2(6»  +  as)x»  +  (6'-a*)« 


(26) 


so  geht  (25)  über  in 

ao    oo  i    j  «P  —  e— P  & 

-oo    o  ((M))  -  -  In  \  *  cP  +  e-P  -  rf  =  .-i  +  F^ö* 

+  2&27F(x,*,a)} 

endlich  ist 

r  —  2cos  "  2 

sodass  nach  (21) 

/fingt   *  <ir  (        et-f  rf  —  2g-P 

«*+e-«-2cosp*  '  1+«*  ~  *  l  *  eP-f-«-P 


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12      Christen:  Beiträge  zur  Vervendung  des  freien  Integtationsweges. 

Ueberträgt  man  die  von  Plana  benutzte  Metbodo  auf  dieses 
Integral,  so  kommt 


J  e9  4-c-c_  2C08/>X  *  1+**      ePH-1  U'a' 

o 

Diese  Gleichung  liefert  mit  (27)  zusammen  die  Summe  der  Reibe: 

Die  Entwicklungen  der  Paragraphen  1.  und  2.  dienten  dazu,  die 
Summenformcln  (24)  und  (28)  abzuleiten;  iu  den  folgenden  Ab- 
schnitten werden  auf  Grund  der  genannten  Formeln  weitere  Inte- 
grale berechnet.  Aus  (28)  erhält  man  für  b  =  0  (nachdem  man 
vorerst  durch  b  dividirt  hat.) 

qo    x*—  a8         ,  f/l\»      /       :'n  \*i 


uud  mit  Hülfe  vuu  (24) 

00 


und 


00         x*  /         „         \*        ^na_e-lna  , 


(29) 


f  (x'  +  a»)*",»*  ^-«-"V  '  V"1"  j 

-  i)i 


(30) 


Für  das  hier  berechnete  Iutegral  (27a)  giebt  dio  Läska'sche 
Sammlung1)  einen  falschen  Wert  an,  indem  dort  steht 


ao, 

sinr*  xdx        n  <?r« 


r 


l-2pcosrz+ps  *  <zs  +s*e  2  (t -}-/>) -p)       P  <  1 

U 

mit  Angabe  der  Quelle  „Legendre  Exerc.  4,  1"  2".  Ebenso  ist  der 
Fall  p  >  1  nach  Ohm1)  falsch  citirt.  Dio  beiden  angeführten  Stelleu 
enthalten  das  Integral  so,  wie  es  sich  aus  meiner  Formel  (2Ta)  cr- 
giebt,  wenn  man  dieselbe  mit  et?  multiplicirt  und  die  Substitution 


1)  Dr.  0.  Läska,  Sammlung  von  Formeln  der  reinen  und  angewandten 
tfntbematik  pag,  254,  III. 

2)  Ohm,  Auswertungsmethoden  bestimmter  Integrale  pag.  161. 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  de»  freien  Integrationsweges.  J3 

y 


einführt.  Ebenso  muss  die  Formel  101  auf  pag  253.  des  genannten 
Buches  corrigirt  werden ,  indem  für  den  Fall  p  >  1  in  den  Nenner 
nicht  1  —  p,  sondern  p —  1  zu  stehen  kommt.  Man  vergleiche  meino 
Formel  (23a),  indem  man  in  derselben  beiderseits  im  Nenner  mit 
e»  multiplicirt. 

• 

Ueber  die  Summen  (29)  und  (30)  sei  noch  bemerkt,  dass  aus 
ihnen  durch  Differentiation  nach  a  die  Summen 


qo 


m  <  n 


bis  zu  beliebig  hohen  Werten  von  m  und  n  berechnet  werden  können. 

8.   Die  drei  Functionen 

1  1 
r  —  2  cosp«  '   1  +  »* 

cospz  1 
r  — 2cospV  1+7*  f  (31) 


«■  = 


1  —  erico&pz  1 
Ms      ~f- 2 cot pz  '   f+*"  Y~±l 

liefern  die  Integrale 

o  u  0 

von  denen  das  dritte  leicht  nach  der  Plana'scben  Methode  berechnet 
wird,  zugleich  aber  auch  direct  aus  Jx  und  J%  sich  ergiebt  und  daher 
für  diese  eine  Controle  liefert. 

Alle  drei  Functionen  haben  die  nämlichen  Pole: 

z'  =  i 

OMX  =  x  -f~ » b  —  qo  <  x  <  oo 

Eino  weitere  gemeinsame  Eigenschaft  ist 

4  —  0 

Für  alle  drei  gilt  daher 


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14      Chriiten:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Integrationsweget. 

Für  «,  erhält  man 


2  cr  +  e-r  —  rt  —  «-« 

«.+  *<«.  +  *-»>  -  -  S  •  5T^,  b=*ä+2"?  ^C-''.4)} 

man  vergleiche  die  Definition  (26)  und  berechne  die  Summe  über 
F(x,a,b)  nach  (28),  indem  dort  a  und  £  und  dementsprechend  ;>  mit 
5  zu  vertauschen  ist. 

Für  u,  berechnet  man 

4  ef-\-  e  v— ei— e~l 

co  i      e<J  4-e-i  (    a  od  ) 

cQ+2  (Cx+C_x)-^-.  {-^+2.*  F(x,a,*)} 

und  mit  Hilfe  von  (2S)  wird  jetzt 


n         1  +  ! 


"  2  *      —  e  1  '  jH>f  —  1 
7t       _1   t*  +  «* 


AUo  drei  Integrale  lassen  sich  noch  etwas  verallgemeinern,  wenn 
man  j  an  Stelle  von  as  und  p.uu  Stelle  von  p  setzt: 

,/  ^_|_c-«_  2cospx  '  2*'  c?  — <?-«*  «i*+9  —  1  1  ' 
o 

QO 

 cos  tw*    dx         n          1  fP*-\-tf 

—  2  cos^i  '  =  2*  '  <tf-e-9  "  e^H-l      (  } 


o 


/l  -gygCOBpx  rtr_        3t    . 

_  2coBfix  '  ~  2/  l  — «ft»4f»*     y  "  ±  1  (d4' 

Das  Integral  (32)  hat  bereits  Bigler ')  berechnet  und  zwar  eben- 


1)  Grnoert's  Archiv,  2.  Reihe  IX  pag.  81. 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Integrationsweges.  |5 

falls  nach  den  Methoden  der  Veränderung  des  Integrationsweges, 
wenngleich  auf  etwas  andero  Art.  Gleichung  (34)  indessen  stimmt 
überein  mit  einem  Resultate,  welches  viel  früher  schon  Boncom- 
pagni *)  gefunden  hat  nach  der  Plana'schen  Methode :  Man  beweist 
leicht,  dass 

1  — «cospar  oo 

1  -2«cos/>*+^  =  f  a*  cos  *px 
wonach  1 

oo 

1 — «cospr  flr         n  n  1 

1  —  '2«cospx+"»« =  2s  *a*e  *"  ~  2*  l^i 

o 

Dieses  Resultat  unterliegt  jedoch  der  Beschrankung 

a«  <  1 


/ 


weil  die  Reihe  £ a* cos xpx  divergirt,  sobald  o8  die  Grenze  1  er- 
reicht. Dagegen  hätte  Boncompagui  leicht  auch  den  Wert  des  In- 
tegrals für  «'  >  1  finden  können ,  wenn  er  an  Stelle  seiner  Reihe 
die  andere 

1— ocosp«  oc  (iy 

T — 5   ,  — „  =  —  £  ( -  )  cos  xpx         o*  >  1 

1  —  2o  cos/>x -f  j    \o/  1 

verwendet  hätte ;  man  erhält  mit  deren  Hilfe  *) 

00 


—  CCOSpg  «   1_  , 


Ein  anderes  bekauntes  Integral  leitet  man  aus  (34)  ab,  indem 
mau  dort  en  —  -  setzt  und  nach  a  integrirt: 

ff 


f 


00 


y  «£1  jenachdem  os  y  1 


Es  ist  zu  erwarten,  dass  C  zwei  verschiedene  Werte  hat,  jenachdem 

ff  *^  1.   Es  sei  ff  <  1,  y  =  1,  so  findet  man  für 

g  -  0 


1)  Crclle'a  J.  XXV,  p»R,  93. 

2)  Ohm,  AuBwertungsmethoden  etc.  §  26. 


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16      Chriaten:  Beiträge  zur   Verwendung  des  freien 
00 

p  dx  11 

I  Ig|l-2ffcos|»«+0«|  .^-2  =rlg(l— 9*-*%    o*  <  1  (35) 


Tod  dieser  Gleichung  subtrabiro  man  die  Identität 

00 

dx  n 
7+*  =  i 


so  ergiebt  sich,  wenn  raau  J  durch  t  ersetzt, 


OD 


j  lg{l-2tcosPx  +  t'}  .  -  *  lg(r  -«-*■),   T«  >  1  (35a) 


Eine  ganze  Serie  weiterer  Integrale  lässt  sich  aus  den  Glei- 
chungen (32)  und  (33)  ableiten  Es  wurde  schon  einmal  die  be- 
kannte Reihe 

sin  »je  oo 

2  cos  px  ,            r                        v  ' 

citirt.  Nach  dieser  Reihe  entwickle  man  die  linken  Seiten  der 
Gleichuugen  (32)  und  (33),  die  rechten  dagegen  nach  der  geometri- 
schen Reihe 

r—  Z%%*  x*  <  1 

1—* 

beide  nach  Potenzen  von  Man  überzeugt  sich  leicht,  dass  beide 
Reihen  unbedingt  convergeut  sind;  die  Coel'ficicnten  gleicher  Potenzen 
von        müssen  daher  alle  links  und  rechts  übereinstimmen. 


Die  Berechnung  der  Coefticienten  führt  auf  die  Gleichungen 


'sin(2x  +  l)px       dx    _n         -f-  e~f  —  2e-V*+Up* 


siupx        '  **-fx*      2«'  eP>—  eV 

o 


/si 
> 


°sin2xpx       dx        n     2  — 2«-2*p» 

(38) 


siupx  *  2*  '  — 


J 


00 

r/x         Jt      2  -  («?•  -f-  c-P»)  «-(2* »  Df» 


iin(2«+ •  ctgpx  .         =  2s .  ^^-^ 

(39) 


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Chr  igten:  Beiträge  zur  Verwendung  den  freien  lntegrationtwegei.  17 

I  810  2x^0^ .  ^  =  2t .  jrtp-„\i-*-*»\  (40) 

0 

Von  diesen  Gleichungen  finden  sich  (37)  nnd  (38)  bei  Legendre  ') 
und  Caucby*). 

Zwei  weitere  bemerkenswerte  Integrale  liefert  die  Addition 
resp.  Sabtraction  der  Gleichungen  (32)  nnd  (33): 


/ 


00 

-  vx 


0 

OD 

j  sin 


2_  tlr        n         1   eJ"-(-l 

-  2cos  px  '  #*-|-x»  ™  4*  '  1  -  e-f  *  -1  (4l) 


««  +  e-9  —  2cosj»*  *»+*«"*  4*  '  l-f-«"«  '  eP'+*-l  (42) 


Anstatt  aus  diesen  Gleichungen  durch  Reihenentwicklung,  wie 
aus  (32)  nnd  (33) ,  neue  abzuleiten ,  kann  man  einfacher  verfahren, 
indem  man  unter  den  Gleichungen  (37)  —  (40)  die  entsprechenden 
addirt  oder  subtrahirt. 

Die  Additionen  (37)  +  (39)  und  (38)  -f  (40)  ergeben  keine  neuen 
Gleichungen,  sondern  bloss  Specialfälle  der  Gleichung  (40)'  Dagegen 
erhält  man  durch j  die  Snbtractioneu  (37)  —  (39)  und  (38)  —  (40), 
nachdem  man  noch  2p  an  Stelle  von  p  gesetzt  bat, 


oo  ^ 
j  sin(4x-f-2)p*  .  tgpx  .  -  *  . 


eP*  —  e-P* 
.  {1  +  e-«*n)p*\  (43) 


/*°  dx  n     ef  —  e-P* 

tinixpx  .  tgpx  .  --2..  eP'  +  e-P>  '  ^  ^ 

o 

Die  Natur  des  Integrals  (42)  gestattet  (im  Gegensatz  zu  den 
anderen  Iutegralen  dieses  Abschnittes)  »  —  0  zu  setzen : 


1)  Excrc.  5.  3G. 

2)  Sar.  Etr.  182  7  pag.  1;  rergl. 
Int.*    Gronert'a  Archiv  L1X  pag.  218. 

Arcb.  d.  lUtU.  u.  Phys.   2.  Keihe,  T.  XVI. 


auch  Liebrecht  „Ueb«r  einige  be*t. 

2 


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18       Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  de»  freien  Integration  tweges. 


/  » 


rix      n  v 

(45) 


2cosj>x  '  x»      4  "  rf  —  e~» 


Doch  scheint  es  mir  aus  verschiedenen  Gründen  wünschens- 
wert, dass  für  die  Formel  (46)  noch  ein  besonderer  Beweis  erbracht 
werde. 

Es  sei  daher 
4. 

z 

sin*  g  j 

r  —  2cos*  s* 
Hier  ist  A  —  0 

Die  Pole  sind 

,„  =  2»(x  +  i*),         -  oo  <  *  <  » 

^  >i  ((M))  -  4  *  ü+l  '  fe)  '    t*  "2  1  4otJ 
und  nach  (28a) 


OD 


e*-fe-t  —  2cosx  *  x*      4  *  el  —  e-i 

u 

woraus  man  (45)  erhält,  indem  man  px  an  Stelle  von  x  setzt. 

Entwickelt  man  jetzt  auch  Gleichung  (45)  links  in  die  Reihe 
(36)  und  rechts  in  die  geometrische  Reihe  und  vergleicht  die  Coef- 
ficienten  gleich  hoher  Potenzen  von  «,  so  kommt 

00 

P  dx 

I  sin(4x-f  2)px.tg  px  .  ^  —  n  .p  (46) 


sin4x,«.tgpx.^-0  (47) 


0 


Wie  zu  erwarten  war,  erweisen  sich  diese  Gleichungen  als  über- 
einstimmend mit  (43)  und  (44). 

Für  x  —  0  liefert  Gleichung  (46) 


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Christen:  Beiträge  zur   Vertcendung  des  freien  lntegration*wege*.  19 


00 
0 


Aus  (47)  kommt  lür  »  =  1 

00  -t 


»  0 


dazu  giebt  (48) 

00  OD 


y'  sin* pz  /^sin^cos*«*  .  * 

0  o 


sodass 


/ — P*  dx  —    /'8inVC°8V^x  _  * 
,/         x*  4  ™ 

n  « 


(49) 


Jetzt  setze  man  x  =  l  in  (46)  und  löse  siuöjjz  auf  nach  Po- 
tenzen von  siti  rj  und  cosjjx.  Benützt  man  dazu  die  beiden  Glei- 
chungen (49),  so  kommt 


(50) 


(51) 


sin6?*  /'sin»/«  cos4  »x  3* 

**    dX=J   x*  ^-iW 

n  0 

00 

/nn*pwcö%*p*  n 
-  # — <**=  J  6-;> 

Analog  findet  man  weiter 

00 

/sin8/>x .  5« 
~x*~dx~  16    *   etc  etc' 

Nach  dieser  Methode  berechnet  man  successive  eine  beliebige 
Anzahl  Integrale  von  der  Form 

5.    Durchaus  analoge  Relationen  bestehen  für  die  Function 

8inl 

M{,)  =  r^2  coT,  *  2  <53) 


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20       Christin:  Üeiträtf$  zur  Vetwendung  des  freien  Inteyrationtweget. 

Es  wird 

,4  =  0 

die  Pole  sind 

tx  =  2*(*-f  ift) 
und  nach  (25),  wenn  man  noch  x  durch  p  .  x  ersetzt, 

00 


2  dx       it  \ 


««-}-|«-?  —  2cosj>x  '   x      2  e«  —  <!-v 

0 


(54) 


Hieraas  ist  weiter 

ao 


2'   ,  -  *<? 
l 

0 


.••I  .» 

und,  weil  beide  Reihen  unbedingt  convergirca, 


ao 

/sin (4 x  4- 2  «x  <fcr 


0 

«0 


ZW?'0  <56> 

0 

Vergleicht  man  die  beiden  letzten  Gleichungen  mit  (46)  und 
(47),  so  siebt  man  leicht  ein,  dass  allgemein  gelten  muss 


CO  °° 


/dx       1    /'  dx 
sin^+V  .  cos*"p*  .  /  pxaot*'» px  .    ,  (57) 

«      p./  x 

0  0 

m  —  0,  1,  2  .  .  .    n  —  0,  1,  2  .  .  . 


2   1 

UW  ~  r  —  2  cos  pz  '  f+V» 

i  -  0 

Der  Iutegrationsweg  umscbliesst  zweierlei  Pole 

und 

ai*  —  x  -|-  i  ä 


(58) 


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Chrint  •  n:  Beitrag«  zur  Vtrtvendung  de»  freien  Inlegrafiontweges.  21 


c  —    .  er  . 


4  (*-sf)(«p-i-t) 

i.  LrS?  

-      4?r  '  <*!•  -         '  ä«  +  (*  -f  »*)» 
Nun  ist  nach  28) 
Beachtet  man  ferner,  dass 

|)  -4F(2*,  «,  *) 

so  erhält  man,  wenn  für  a  nnd  b  (und  dem  entsprechend  für  p  and 
5)  ihre  halben  Werte  gesetzt  werden, 

Sabtrahirt  man  die  erste  dieser  beiden  Summengleichungen  von  ,der 
zweiten,  so  kommt  \ 

2aSx(-l)*  F(k,  «,  ä)  -  n  .  «f 

(flyl,  -e-P,)(<!y  ,  ) 

(«P  -  et)  (et  -  e~i)  W 
Es  wird  somit  .  .': 


und,  wenn  man  noch  x  ersetzt  durch  *  und  p  durch  2p« 


1  -.  l 


7*  COSpx  tfx  71  «#■+! 

/  ,74:«-*-2co82Px'  7*+i*~2V  («ip-f r- im^T)  m 


((Vi,  J  .1    .  -T  » 

'    I  '  !  I       O     1  y  Iii 

Die  Reihenentwicklung  liefert  hier  nichts  neues,  es  ergiebt  sich 
die  Legendre'sche  Formel  (38).  Man  hätte  also,  nachdem  einmal 
(3ö)  gefunden  war,  das  Integral  (60)  nach  der  Reibe  (36)  entwickeln 
und  mit  Hilfe  der  genannten  Formel  auf  den  analytischen  Ausdruck 


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22      Christen:  Beiträge  xvr  Verwendung  des  freien  Jntegrationsweges 


(60)  bringen  können;  doch  habe  ich  die  directe  Berechnung  wieder- 
gegeben wegen  der  Analogie  mit  dem  nächstfolgenden  Integral, 
welche»  sich  auf  dem  angedeuteten  Wege  nicht  berechnen  lässt. 


7. 


sin  j 


M(2)"  r-  2co8  P*-  1  +  *" 


,4-0 

Pole :  *'  —  »,   azn  —  *  -f-  »* 

i  «p  —  1 

c'  —  —  ■  ef% 


e*  =  i- 


4        (eJ> —  «*)(<*- e~«) 


4»  *  «»*-{- *  «*  +  (x  +  #)t 

und  nach  (59),  wenn  man  wieder  x  durch  -  und  p  durch  />  .  *  cr- 
Betzt: 


.  px 

j/      +      — 2cospx  '  «*+x»~"2  '  (eV-flM«"*«^-!) 

Die  bei  den  anderen  Integralen  angewandte  Reihenentwicklung 
liefert  die  Gleichungen 


°8in(4»-f»2)px      xdx  1  +  r-i****** 


cospx       *  ,»+x» ~  *  '   «*>•  +  --'•  2 


QC 

V  1 


*sin4xpx       xdx  1 — «— 4»p« 


coipx   *  *  •«F»-j-«-r« 


(63) 


Der  Fall  i  —  0  ist  zwar  durch  diese  letzte  Entwicklung  nicht 
streng  bewiesen,  doch  bleiben  die  Gleichungen  (61)  —  (63)  für  diesen 
Grenzwert  bestehen ,  wie  aus  der  besonderen  Behandlung  desselben 
unter  i>.  ersichtlich  ist  Die  Gleichungen  (45)  —  (47)  stellen  sich 
in  der  Tat  dar  als  Specialfalle  der  Gleichungen  (61)  —  (63). 

Endlich  können  nicht  nur  aus  (62)  und  (63) ,  sondern  auch  aus  den 
Gleichungen  (37)  -  (40),  (43)  und  (44)  nach  dem  auf  (46)  und  (47) 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Integralionsweges.  23 

angewandten  Verfahren  die  entsprechenden  Integrale  abgeleitet  wer- 
den, welche  anstatt  sin  and  cos  der  Vielfachen  von  px  die  Potenzen 
von  sin  und  cos  eutbalten. 


8.   Setzt  man  allgemein 


* )  <"> 


SM" 

cos*  S  v*"' 


MW  -  et  +  6-1  -  2co87)3  *  /*<*)  (64) 

wobei  <p\z)  eine  algebraische  Function  vom  /ten  Grade  /*•(*)  eine 
solche  vom  mten  Grade  bedeutet,  so  kann,  wenn  alle  Nullwerte 
von  /*»(*)  bekannt  sind,  das  Integral 

x 

dx 


f  K«) 


immer  in  eine  convergente  Reihe  entwickelt  werden,  vorausgesetzt, 
dass  für  reelle  Werte  von  x 

u  ( —  x)  =  u(x) 
u  .       1    und  l  <  m  —  1 

oder 

n  .  «  <  1    und    /  —  m  —  1 
und  dass,  solange  V  iuuerhalb  der  Grenzen  0  und  n  bleibt, 

A=    lim   k  .  e«*  .  u(k  . 

einen  bestimmten,  endlichen  oder  verschwindenden,  von  0  unabhän- 
gigen Wert  besitze. 

Aus  demselben  berechnet  man  weiter  die  Integrale 


OD 


(sin*  )  x 

«*• -UH  (64a) 


sinpx  '  /*"•(*) 

mit  Hilfe  der  Reihenentwicklung  (36). 


III.    Summirnnf  einer  Gruppe  von  trigonometrischen  Reihen. 

Im  folgenden  Abschnitte  bedeute 


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24      Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Jntegrationsweges. 
co  oo  i 

o  o 

OO  00 

/*cos«x  .      „„  /Vcosorc 


(65) 


iV  —  e2*  —  2«*  COSy  -f- 1  —  («*  —  «*)  («*  — 

Alle  Tier  Integrale  lassen  sich  in  trigonometrische  Reihen  ent- 
wickeln, wie  folgt 


OD  00 
P   sinar  OD  /» 


**  sin  ax  dx 


00  00 


o  1  0 

Die  unter  der  Summe  stehenden  Integrale  sind  nach  der  Formel 

7- -ei-"*-,-!? 

o 

zu  berechnen.  Die  erste  der  beiden  Gleichungen  ergiebt  nach  Tren- 
nung des  reellen  Teiles  vom  imaginären 

_  <»   cos(x  —  l)y 
^siny      a  *     xt  +  ai 

oder 

_      «6   cos  xy 

_  .  sin  xy 

Setzt  man  jetzt  zur  Abkürzung 

*  cos  xy  oo  sin  xx 

07  "f   x«+«"    S~f  S5p  <66> 

so  wird 


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Christ  tu  :  Beiträg*  zur  Verwendung  des  /reim  Jntegrationsweges.  25 
V  cosy  —  T  —  aC,    t/siny  —  tiS 
und,  wie  sich  durch  analoge  Rechnung  ergiebt, 

W  cosy  —  Fss^-,    Wsiny  ^     .  (67) 


Setzt  man  jetzt 

«*  -  1 


und  führe  das  Integral  /arfa  um  das  unendlich  lange  Rechteck 
QABC  (Fig.  3),  worin 

OA  -  C'B  -  qo 
2n*  <  y  <  2n  -f  2)* 


so  wird 

A  qo 


//•sin  ax  .         oo  1 
u da  —    /  —  r  dx  =  a£  — . 


(68a) 


o 


y°  u  .   }  {sinox(«^+«-n»)-f-tcosx(««y-c-°y)} 

.  (e*cosy— l-i«*siny)  .  -y 

 i  {(«*+«-"*)(  Ucos*-T)-\-{e*v-c— »)  Wsiny] 

•i 

+  2V*4*"<v)0tfB»-      — a*""  )( Wcosy —  V)) 

und  nach  (66)  und  (67) 
c 


(68c) 


y* i»  *  -  -  |       +  «-«#)  .  «C  -  («w  -  r-») 

*  I  ö  S1) 

+  §        +  *~0V)  '  oS  -  {'°"  ~  e~ttV)  dp] 

o 

Das  Integral  /  u(*)dz  zerfallt  in  zwei  Gruppen  von  Teil- 
integralen:  solche  auf  Halbkreisen  mit  dem  Radius  ö*  um  die  Pole 


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26      Christen:  Beitrage  zur  Verwendung  de*  freien  Integrationswege*. 
zh  —  %2hn       h  =  1,  2,  3,  .   .   .  n 

im  negativen  Sinn  der  Drehung  —  ihre  Summe  sei  ^  .  Ihn  —  und 

solche  zwischen  den  Polen  auf  der  Y  Achse  —  ihre  Summe  sei 
R  -f-  iS  —  ,  so  dass 

o 

J H<fe  -  Ä  +  |  .  Ihn  (68d) 

Die  Radien  ö  solleu  gegen  null  convorgirende  Grössen  sein. 
Nun  ist 


Ihn  —  ii  2h  J* u(zh  +  i 


2 

wird  aber  d  verschwindend  klein,  so  geht  Ih*  über  in 
i 


D2M  =  £(*>*•-*-»*<)  =   —  —  (69) 


Sollte  y  eine  der  Grenzen  erreichen,  so  wäre  der  Integrations- 
weg noch  um  einen  Yicrtelskreis  zu  vermindern  resp.  zu  vergrössern. 
Es  soll  aber  später  bewiesen  werden,  dass  die  auf  diese  Weise  be- 
stimmten Grenzwerte 


Z>'2„  «=  \{DiH-,  -f  Z>2»)  y  =  2»w 

/>2»,f2  =  i(^2»  +  Ihn  f2>  y  =«  (2«  -f  2)tt 

vollständig  zwecklos  sind. 
Weiter  findet  man 


(69a) 


2*— rJ  4*-<f 


(70) 


Die  Pole  der  Function  (68)  sind  alle  durch  den  Integrationsweg 
ausgeschlossen,  daher  ist 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Integration»  wegen.  27 


fu  dz  -  0 

woraus  die  Trennung  des  reellen  Teiles  vom  imaginären  mit  Hilfe 
der  Gleichungen  (68)  —  (70)  ergiebt : 

K«.  +  .-,)  C  2„  -  •  a7  +    (71) 


2«^  +  f  x'  4 


0  2*+ef  2n/r-f«J 

NB.  Gleichuog  (72)  gilt  nur  für  verschwindend  kleine  Werte 
von  o1  [wäre  d  endlich,  so  wäre  die  Summo  D2h  nicht  reell,  sondern 
enthielte,  wie  man  sich  überzeugen  kann,  imaginäre  Glieder,  die  in 
(72)  auftreten  müssten!  Nichtsdestoweniger  bleibt  das  Integral  in 
(72)  endlich  und  bestimmt,  da  die  Pole  auf  Kreisen  umgangen  wur- 
den und  daher  die  ö  an  den  Teilstellen  gleich  sind. 

Unter  C  und  S  hat  mau  sich  nicht  die  Reiben  (66),  sondern 
den  analytischen  Ausdruck  für  deren  Summe  vorzustellen .  Dann 
kann  man  C  und  S  nach  Belieben  differentiiren,}  während  dio  Reihen 
selbst  schon  durch  dio  zweito  Differentiation  divergent  werden. 

Man  differentiire  Gleichung  (71)  nach  y;  dann  nimmt  dieselbe 
folgende  einfache  Gestalt  an 

^--«»C-J-  0 

woraus 

\+™-'^~t£f^  (73, 


Die  Constanten  A  und  B  wurden  von  vornherein  mit  einem 
Index  versehen,  da  sie  vou  Z>j*  abhängig  und  also  Functionen  von 
n  sein  müssen.   Aus  (73)  ist 

dC      it     Ä2n  e**  —  B2h  e~a* 
3y  ™"  2  '        ««*  —  *—* 

dC 

Setzt  man  diese  Werte  von  C  und       ein  in  (72),  so  kommt 

I 


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28      Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freiin  Integrationsweges. 


und  mit  Hilfe  von  (24) 

Setzt  man  ferner  in  (73)  y  =  (2n-f  l>r 
so  kommt 

ea*  _  -  Ä  {a  +  1°  f  -I  _|_  a>] 

nnd  nach  (25) 
sodass  endlich 

wonach  (73)  übergeht  in ') 

1   .   _  <»      COS  Xy  ea[(2n+l)7r-|f1  _L  Ä-a£<2M+l)*-y] 

«  +  2«f  *  jqp  =  ■  •  ?«-=7=ä  (74) 

Die  Differentiation  nach  y  ergiebt 

og    %  sin  xy       n  —  Ä-«[(2nf 

i  —  äT  '  — — ^r^i,   (75) 

2n«  <  y  <  (2n-f-2)« 

Für  diese  Gleichungen  sind  die  Grenzwerte  £W  und  /)*»"  ohne 
Bedeutung;  ihnen  zufolge  wäre 

A'2n  =  *  M2n-2  +  ^?n),  i*2»'  -  \{B2n-2  +  B2„) 
^"2»  -  *M2h  +  v42h+2),     *2„"  -  \Vhn  +  Ä2h+2) 

Nun  erkennt  man  aber  leicht,  dass  (74)  an  den  Grenzen  gilt,  wenn 
man  allgemein 

P  +  2 

setzt,  woboi  p  und  9  beliebige  Zahlen  sind.  Allerdings  gilt  dann 
die  Gleichung  nicht  mehr  streng,  d.  h.  sie  gilt  unter  Umständen  nicht 
mehr  an  den  Grenzen,  nachdem  man  sie  differentiirt  hat.  Es  wäre 
demnach  zu  erwarten,  dass  (75)  an  den  Grenzen  nur  dann  bestehen 
bliebe,  wenn 


1)  Vgl.  Schlömilch,  „Neue  Metbode  xnr  Summirung  etc."  Grunert'i 
Archir  XII,  pag  13». 


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Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  des  freien  Inttgrationswege».  29 

p  =  q  =  1 

Doch  ist  eine  weitere  Untersuchung  darüber  gegenstandslos,  da  die 
Snmme  (75)  für  die  Werte 

y  —  mn 

so  wie  so  ihre  Bedeutung  verliert,  wie  im  Folgenden  kurz  bewiesen 
werden  soll. 

«.«)-lia£  *™«™±J1 

i=0   1  X«-f  o* 

*=QO 

Es  besteht  zwischen  den  unendlich  kleinen  Grössen  6  und  j 
keine  Relation,  so  dass 

fi  -  6  .  k 
eine  willkürliche  positive  Grösse  ist 

x 


*    *sinT0  A  • 

5(m«)=:±(-l)«  lim  Z         *,  -  ±  (-1)»  / 


/S(h».t)  hat  also  einen  unbestimmten  Wert,  welcher  entweder  zwischen 
—  Sf  *)  uud  0  oder  zwischen  0  und  S'  liegt,  jenachdem  »»  gerade 
oder  ungerade  ist  und  y  gegen  die  Grenze  wächst  oder  abnimmt.  Für 

p  mm  q  =  1 

erhält  man  bloss  den  Specialwert,  welchen  S(mn)  annimmt,  wenn  man 
willkürlich  festsetzt,  dass,  während  y  gegen  die  Grenze  mn  wächst, 
ß  um  a,  d.  h.,  dass  k  von  einer  höheren  Ordnung  unendlich  werden 

soll ,  als     was  aber  absolut  keinen  Sinn  hat.  — 

Für  die  folgende  Ableitung  nehme  man 

0  <  y  <  2w 

(worin  weiter  keine  Beschränkung  liegt)  und  integrire  Gleichung  (74), 
nachdem  man  dieselbe  durch  die  Substitution 

«  -  0,        n  =  0 

auf  die  Form 

^    x»    -  4      2  '  +  6  (74a) 


1)  Wobei  6"  du  Maximum  der  Function  6  (x)  bedeutet  [rergl.  Ab- 
■cbnitt  I]  nämlich  S{n)  =  1,851  986. 


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30      Ch  risten:  Beiträge  zur   Verwendung  des  freien  Jnlegrationtweget. 

gebracht  hat,  wiederholt  nach  y  zwischen  den  Grenzen  0  und  y  and 
führe  nach  der  Gleichung 

f  *2"       *  (2n) !   *  B2n 
die  Bernonlli'schen  Zahlen  ein.   Setzt  man  endlich  noch 

y  —  2nx 

so  erhält  man  allgemein  ') 

2  .  (2n)!    ®  COs2x**        _  (2n\  _ 

T2->"   '  *     «*r   "  *"  "  (  2  j  *' 

+  (24n)*2H_4**-.  .  .  +  (-U»+1  (22n) 

+H),«h-M'»-«1  (76) 

2.(2«+D!    <*    Bin2x»«r      /2«+l\  /2n+l\  -  , 

+  .  .  .  +  (-1^1 

j5^-*}  (77) 

0  <  x  <  1 

Setzt  man  in  (76)  *  «=•  } ,  so  geht  die  linke  Seite  über  in  die 
Summe 

2(2n)l    oo  (—:i)x 
(2«)2"  "  f  x2" 

welche,  wie  man  leicht  beweist,  den  Wert 

hat,  man  erhalt  somit  aus  (76)  die  folgende  Recursionsformel  für  die 
Bernoulli'schen  Zahlen 

2(2*-l)2*,  =  (^-a^-*-^^ 

-  •  •  •  +  (-1)-H{2„-1}  (78) 

Es  lassen  sich  ferner  für  die  Reihen 


l)  cf.  Raube,  Crelle'a  J.  XLII,  pag.  348. 


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Chriaten:  Beiträge  zur  Verwendung  dt»  freien  Integraiionaweget,  31 

ft-*^.  (79, 

eine  Serie  von  Recursionsformeln  aufstellen  durch  Integration  der 
Function 

über  den  Umfang  des  Rechteckes  OABC  (Fig.  3.) 
Da,  wie  schon  bemerkt,  in  der  Bedingung 

0  <  y  <  2* 

keine  wesentliche  Beschränkung  liegt,  so  soll  dieselbe  im  Folgenden 
gelten;  es  ist  übrigens  nach  den  für  die  Function  (68)  angestellten 
Betrachtungen  nicht  schwer ,  zu  dem  allgemeinen  Fall  2nn  <  y  < 
(2n-f-2>r  aberzugehen. 


Die  Teilintegrale  stellen  sich  dar  als 

QO 


o 

B 

J*udz  —  0 

A 

<?(x+^)2—1(^-»~l)<fa 


—  2e*COSy  -H  1 


/"*=-/ 


und,  weil  der  Integrationsweg  keinen  Pol  umschliesst, 


0 

wobei 


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32       Christen:  Beiträge  xur  Verwendung  des  freien  Integrattontweges. 

—  c2*  —  2e*cosy  -f  1 

CO 

Zur  Ausführung  des  Integrals  j* setze  man 


/xw  dx  J^eFx^dx 


Dann  erhält  man  analog  der  am  Anfang  dieses  Abschnittes  für  die 
Integrale  T  und  V  ausgeführten  Rechnung 

„        m!     qo  COSXy 

_  m!     qo  sinxy 
wonach  schliesslich 

,  (2*)*"  2?2M+(—  1)VM  co  COSXy      y*  5  COS  xy 

*'           (Sit)!  ,    x2"       2!  i  x*»-* 

od  sinxy     y5  co  sin  xy 

x2M-l  ~  31  *    X2n-3  T  •   •  ■ 


(81) 


»-1  (   V2A  y2*fl  \ 


1 

qo  cosxy     y5  co    cosxy  )  (82) 


«-1  (  y2A  «,2A+1 


Will  man  zu  dem  allgemeinen  Fall  2mn  <  y  <  (2m  -f-  2)«  über- 
gehen, so  ist  der  Iutegrationsweg,  wie  im  letzten  Beispiel,  um  die 
entsprechenden  Halbkreise  (Fig.  3)  zu  vergrössern.  Es  ist  dann  in 
(81)  rechts  das  Glied 

(  *    (2»-l)!  tx 


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Christen:  Beitrage  zur  Verwendung  des  freien  Integrationsweges  33 

2mT  <  y  <  (2m  +  2)* 
hinzuzufügen.     Eine  Bestimmung  von  Grenzwerten  für  E^m  wäre 
auch  hier  völlig  zwecklos,  da  (81)  immer  das  Glied  2J  5^  ent- 

1  Ä 

hält,  welches  an  den  Grenzen  unbestimmt  wird.  In  (83j  hat  diese 
Erweiterung  nicht  viel  Sinn,  da,  wie  in  (72)  ein  unbequemer  Grenz- 
wert auftritt. 

Die  Rccursionsformeln  (81)  und  (82)  können  zugleich  als  Dif- 
ferentialgleichungen der  Functionen  Cn  und  Sn  angegeben  werden, 
deren  Lösungen  in  der  Hälfte  der  Fälle,  nämlich  für  L'2n  und  <So»+i 
durch  die  Gleichungen  (76)  und  (77)  gegeben  sind. 

Transccndente  höherer  Ordnung  sind  die  Functionen  und 
Einzig  C\  wird  durch  eine  verhältnissmässig  einfache  Func- 
tion dargestellt.   Es  ergiebt  sich  aus  (82)  für  n  -  l 

X 

/•       I     ,      3T    sinxx      an  cos  xar     /'  , 
k   I  t  Ctgg«  dt  sm  X    -jji  ari       x     ^7     1      ~~  *  1  0011 

Man  differentiirt  nach  x: 
ttr  x  =»  «  wird 

f 

r--l*-t+i-*.  •  •}  -  ig* 

®  cos  XX  /    .  *\ 

C,  =  £  -----  =  —  lg ^28io^     0<x  <  2* 

Die  Beschränkung  0  <  x  <  2t  fällt  weg,  wenn  mau  schreibt 

S  C-°8^  =  -ilg(4  8in»0  (83) 

Hieraus  kommt  durch  Integration  von  0  bis  x 

s  ^;x--E>g(*-«»>i)+*/'«*ä  *  <«*> 

0 

Es  ist  also  bereits  nicht  mehr  durch  einfache  analytische 
Functionen  auszudrücken.     Die  numerische  Berechnung  geschieht 

Arcta.  d.  Math.  n.  Phyu.   2.  Reihe,  Tl.  XVI.  3 


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34      Christen:  Beiträge  zur  Verwendung  de,  freien  Integrationsweges. 

wohl  am  besten  mit  Hilfe  der  Kmkeliu'scben  Function  G(r)  ')  welH.P 
für  ganzzahlige  Argumente  der  Function 

entspricht   Es  wird 

X 

n  f  fctg*/  .  ,/*  -  *lg(2sin,r*)  -  Ig  G{\^  (84a) 

Diese  Formel  empfiehlt  sich  zur  Berechnung  von  Stt  da  für  den 
Loganthmus  der  Function  U  rasch  convcrgente  Reihen  existiren, 
welche  denjemgen  für  lg  V  sehr  ähnlich  sind.  Die  IWechnung  kann 
dieser  Üben"  aus«eführt  *^e»,  da  die  Constanten 

OD  1 

Sk  =  £  h 

bis  zu  $0  auf  30  Decimalen  berechnet  worden  sind  *). 
In  Gleichung  (87)  giebt  die  Substitution  y  =*  n 

Dividirt  man  jetzt  Gleichung  (7h)  durch  2  und  subtrahirt  sie  Ton 
(81a),  so  kommt,  wenn  man  noch  n+1  an  Stelle  von  „  setzt, 

V     2    /^""V    4  +  .  •  .  1)«.«=*0  (85) 

Diese  Formel  ist  der  einfachste  Specialfall  einer  allgemeinereu 
von  Arndt 3)  gefundenen  Formel 

2    ~l  2  4   )*«+■  •  •  +  (-!)  . 

für  («*t+l)Ä-"+I 

x-2„-f-lt 

l)  Kinkelin,  Uober  eine  neue  mit  der  /'  Function    verwandte  Trausc.n- 
<lcntc  tu;    Crelles  J.  LVII,  pa,;  122. 

i)  Slieljes,  Table«  Je»  Talents  des  sorntnes  6\.    Acta  rnoth.  IX,  2yy 
3)  Grelles  J.  XX XI.  png.  249. 


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Chritttnl  Beiiräjt  zur   Verwendung  de*  freien  Jntegralionitcegex.  35 

Es  ist  dies  die  einfachste  aller  bis  jetzt  gefundenen  Recursions- 
formeln  für  die  Bernoullischen  Zahlen,  soviel  deren  von  Scblömilch  '), 
Göpel»),  Dienger Malinsten4),  Worpitzky5)  und  Anderen  aufge- 
stellt worden  sind. 

Ganz  anderer  Natur,  als  die  Lösung  der  Differentialgleichung 
(71),  an  welche  sich  die  vorstehenden  Betrachtungen  anknüpften,  ist 
diejenige  von  (72),  deren  vollständiges  Integral 

«~B<  Ctg  g  .  dl  -f-  «-«f  f  e°i  ctg  ^  dt  (86) 
p  \ 
ist,  wobei  p  und  q  die  zwei  willkürlichen  Constauten  sind.  Die- 
selben lassen  sich  auf  zwei  verschiedene  Arten  bestirameu.  Mau 
erhalt  entweder 

n 


oder  man  schreibt  den  folgenden  Greuzwort 


d 


+  e^ZV-«;,  • .  /  I^"0  "  2-"(*-'>]ctg  2  •  dl  j  (86b) 

Für  beide  Formeln  ergiebt  sich  die  Abloituug  aus  (86)  mit 
Leichtigkeit.  Jedoch  muss  ich  an  dieser  Stelle  von  einer  Behand- 
lung der  Fuuctiou 

in  extenso  absehen,  da  sie  zu  weit  vom  eigentlichen  Thema  dieses 
Aufsatzes  ablenken  würde. 


1)  Gruoert'e  Archir  III.,  png.  9 
S)  ibid.  III,  pag.  64. 

3)  Crelle'i  J.  XXXIV,  pag.  7S. 

4)  ibid.    XXXV,  pag.  59. 

5)  ibid.    XC1V,  pag.  203. 


3* 


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36  Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 


iL 

Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 
von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 

Von 

Dr.  E.  Rehfeld 

in  Elberfeld. 


Als  Huyghens  sich  mit  der  Aufgabe  beschäftigte  die  Schwingungs- 
zeit  eines  physischen  Pendels  zu  berechnen,  wurde  er  auf  den  Be- 
griff des  Trägheitsmomentes,  auf  dun  Ausdruck  2W*  geführt  Ihm 
verdaukt  man  auch  den  wichtigen  Satz,  dass  das  Trägheitsmoment 
irgend  eiues  geometrischen  Systems  (Strecke,  Fläche,  Körper) 
für  eine  Drehachse  gleich  ist  dem  Trägheitsmoment  des  Systems  für 
die  parallele  Schwerpunktsachse,  vermehrt  um  das  Product  der  Ge- 
samtmasse des  Systems  in  das  Quadrat  der  Abstände  der  beiden 
Achsen.  Erst  Euler  führt  für  den  Ausdruck  Zmr*  den  Namen 
Moment  der  Trägheit  —  ein.  Da  das  Trägheitsmoment  eines  Systems 
in  Bezug  auf  irgend  eine  Achse  als  die  Summe  unendlich  vieler 
Producte  aus  den  einzelneu  Massenteilchen  und  das  Quadrat  der 
Abstände  dieser  Massenpunkte  von  der  Momentenachse  ange- 
geben wird,  so  kauu  dasselbe  im  allgemeinen  nur  unter  Anwen- 
dung der  Infinitesimalrechnung  gefuuden  werden.  Das  in  vielen 
elementaren  Lehrbüchern  der  Physik  augewandte  Verfahren  zur  Be- 
rechnung der  Trägheitsmomente  etwa  von  Strecken,  rechteckigen 
und  quadratischen  Platten,  Dreiecks-  und  Kreisflächen,  rechtwinkligen 
Parallelepipeda,  geraden  Cy lindern  und  Kegeln,  uud  welches  darin 
besteht,  dass  man  das  vorliegende  System  in  n  Teile  teilt,  die  bei 
der  einen  Eut Wickelung  gleich,  bei  der  audern  ungleich  sind,  und 
für  jeden  Teil  das  Trägheitsmoment  durch  zwei  Grenzen  einschliesst, 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


37 


führt  streng  genommen  doch  zur  Integration,  denn  man  benutzt 
schliesslich  ein  Additionsverfahren,  bei  welchem  der  Quotient  n»jr 
bei  Konstantem  ganzen  positiven  k  nnd  unendlich  wachsendem  n 
gegen  die  Grenze  convergirt. 

Dass  aber  eine  ganz  elementare  Behandlung  der  Trägheits- 
momente vieler  homogener  Systeme  möglich  ist,  soll  diese  kleine 
Arbeit  zeigen :  sie  soll  den  Beweis  erbringen,  dass  in  vielen  Fällen 
die  geometrische  Verwandtschaft  von  Systemen  zur  Bestimmung  be- 
nutzt werden  kann.  Das  Wesen  dieser  neuen  Bestimmungsart  be- 
steht darin,  dass  man  die  gegebenen  Systeme  in  unter  sich  und  dem 
ganzen  ähnliche  Elemente  zerlegt,  und  mit  Hülfe  der  bestehenden 
Beziehungen  zwischen  den  Trägheitsmomenten  der  Teile  und  des 
ganzen  Systems,  das  letztere  berechnet.  Besonders  ist  bei  diesem 
Verfahren  noch  hervorzuheben,  dass  die  gefundenen  Resultate  in  der 
allgemeinsten  Form  auftreten,  d.  h  für  alle  Momontenachscn  gültig 
sind.  Dieses  wird  dadurch  erreicht,  dass  bei  der  Bestimmung  der 
Trägheitsmomente  keine  Grössen  verwandt  werden,  die  dem  System 
direct  entnommen  sind,  es  werden  Projectionen  von  Strecken  auf 
eine  znr  Momeutenacbse  senkrechte  Ebene  benutzt-,  und  diese  Pro- 
jectionen nehmen  eben  für  jede  neue  Achse  neue  Werte  an.  Be- 
handelt werden  die  Trägheitsmomente  der  Strecke,  des  Dreiecks, 
Parallelogramms,  der  Ellipse,  des  dreiseitigen  schiefen  Prisraas, 
schiefen  Parallelepipedons,  elliptischen  Cylinders,  der  dreiseitigen 
Pyramide,  des  elliptischen  Kegels  und  des  Ellipsoids. 


Die  Beziehungen  zwischen  den  Trägheitsmomenten  von  ähnlichen 
homogenen  geometrischen  Systemen  bezogen  auf  ähnlich  liegende 

Achsen. 

Werden  ähnliche  geometrische  Systeme  (Linien,  Flächen,  Körper) 
von  gleicher  Dichtigkeit  in  gleich  viel  ähnliche  Elemente  geteilt, 
nnd  sind  die  Massen  von  entsprechenden  Elementen  m  und  die 
Abstände  dieser  Elemente  von  ähnlich  liegenden  Achsen  r  und  p, 
so  stehen  die  Trägheitsmomente  dieser  Elemente  mr»  und  po8,  sowie 
die  Trägheitsmomente  der  ganzen  homogenen  Systeme  2mr*  uud 
£fip*  für  ähnlich  liegende  Achsen  in  einem  constanten  Verhältniss. 

Ist  X  das  Verhältniss  von  zwei  entsprechenden  Strecken  in  dem 
ähnlichen  homogenen  Systeme,  so  ist 


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38  RtkfelH:  Eltmenlare  Errechnung  der  Trn<)heit$momtntt 


m  :  p  —  1  :  Aw 

und  zwar  ist  m  — 1  für  Systeme  von  einer  Dimension  i  Linien),  m  —  2 
für  Systeme  von  zwei  Dimensionen  (Flächen),  m  =  3  für  Systeme 
mit  drei  Dimcnsioucn  (Körper).   Und  da  ferner 

r  :  f       1  :  k 
r»  :     =  1 :  A» 

so  verhalten  sich 

mr*  :    (Up*  =  1  :  1" 
Zmr*  :  2>p*  =  1  :  X* 

Für  Linien  ist  n  —  3,  für  Flächen  n  =  4,  für  Körper  n  =  5. 

Bezeichnet  man  die  Trägheitsmomente  ähnlicher  homogener 
Systeme  bezogen  auf  ähnlich  liegende  Achsen  mit  T  und  t,  so 
gilt  allgemein 

t  —  T 


Das  Trägheitsmoment  einer  homogenen  materiellen 

Strecke. 

Enthalte  die  homogene  Strecke  AB  (Fig.  1)  |bci  gleichmässiger 
Verteilung  die  Masse  m,  und  werde  das  Trägheitsmoment  derselben 
bezogen  auf  eine  durch  den  Schwerpunkt  S  gehende  Momentenachse 
hg  mit  y».  bezogen  auf  eine  durch  den  Eckpuukt  A  zu  h,  parallele 
Momcnteuachsc  h„  mit  T„  bezeichnet,  so  besteht  nach  dem  Huyghens- 
gehen  Satze  die  Beziehung 

wenn  l  den  Abstand  des  zweiten  Endpunkts  Ii  der  Strecke  von  der 
Achse  hm  oder  die  Projection  der  Strecke  AH  auf  eine  /„  oder  ha 
senkrechte  Ebene  angiebt.  Das  Trägheitsmoment  l\  ist  aber  gleich 
der  Summe  der  Trägheitsmomente  der  beiden  Hälften  SA  und  SB. 
Da  aber  entsprechende  Punkte  dieser  Teile  von  h  gleiche  Abstäude 
haben,  so  sind  die  Trägheitsmomente  von  SA  und  SB  bezogen  auf 
h,  gleich  und  halb  so  gross  als  T,  selbst.  Das  Trägheitsmoment  von 
AS  bezogen  auf  ha  hat  deusclbeu  Wert  wie  das  Trägheitsmoment 
vou  SB  bezogen  auf  h„ ,  uämlich  Nuu  sind  aber  AB  uud  AS 

ähnlich  liegende  Systeme  für  das  Aehnlichkeitsverhältniss  x  =  2  be- 
zogen auf  dieselbe  Achse  ha,  es  ist  deshalb 

7'a  -  2»  .  |r,  -  47', 

Aus  den  beiden  Gleichungen  von  Ta  leitet  man  schlieslich  ab 


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Pt.1  Linien,  Fläirhen  und  Körpern. 


39 


1  „ 

Ja  J2 

Belastet  man  die  Projection  am  .40  auf  eine  zu  A*  senkrechte 
Ebene,  nämlich  A0H$  gleichmässig  mit  der  Masse  m  von  AB,  so 
kann  auch 

T»  -  ^  mi» 

gedeutet  werden  als  das  Trägheitsmoment  der  Projection  A0  B9  be- 
zogen auf  die  im  Schwerpunkt  S9  sonkrecht  stehende  Momentachse. 
Es  kaun  mithin  das  Trägheitsmoment  einer  Strecke  für  eine  schiefe 
Schwerpunktsachse  ersetzt  werden  durch  das  Trägheitsmoment  der 
Projection  der  Strecke  auf  eine  zur  Momentenachse  senkrechte  Ebene, 
wenn  nur  dio  Projection  die  Masse  der  gegebenen  Strecke  gleich- 
mässig  auf  die  Länge  verteilt  in  sich  birgt 

Geht  die  Achse  durch  den  Endpunkt  A  der  Strecke,  so  ist  der 
Wert  des  zugehörigen  Trägheitsmomentes 

Für  die  durch  den  beliebigen  Punkt  P  parallel  zu  h  verlaufende 
Achse  f>p,  welche  von  h&  den  Abstand  u  hat,  wird  das  gesuchte  Träg- 
heitsmoment 

Tt  —  Tf>  +  M* 

und  liegt  der  Punkt  P  auf  der  Strecke  AB  selbst,  und  heisscu  die 
Projectioucn  der  Teile  auf  die  zu  hP  senkrechte  Ebene  /,  und 

,(/,  >  g,  so  ist 

L  —  /, 

und  es  wird 

7»,-  imfa'-itlt  +  lf) 


Das  Trägheitsmoment  einer  homogenen  materiellen 

Dreiecksfläche. 

Enthalte  das  homogene  materielle  Dreieck  ABC  bei  gleich- 
mäsBiger  Verteilung  der  Masse  Uber  die  ganze  Fläche  die  Masse  m. 
Seien  DEF  die  Halbirungspunkte  der  Seiten  des  Dreiecks  (Fig.  2). 
Das  Trägheitsmoment  des  Dreiecks  bezogeu  auf  eine  durch  den 
Schwerpunkt  S  gehende  Momeuteuachse  A«,  nämlich  r«,  ist  für  dieselbe 
Achse  gleich  der  Summe  der  Trägheitsmomente  der  vier  Unterdrei- 
ecke, welche  unter  sich  congruent  und  dem  ganzen  Dreieck  nach 
dem  Verhältniss  k  =  |  ähnlich  siud.    Die  um  das  mittlere  Untor- 


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40  Rehfeld:  Elementare  Üerechnung  der  Trägheiltmomentt 


dreieck  herumliegenden  Dreiecke  haben  für  die  durch  die  Ecken  A, 
B,  C  parallel  zu  ».  verlaufenden  Achsen  hahhe  dieselben  Trägheits- 
momente wie  für  h,. 

Wird  nämlich  das  Trägheitsmoment  des  Dreiecks  AEF  mit  dem 
Schwerpunkt  G  für  die  zu  K  parallele  Schwerpunksachse  hg  mit  t9 
bezeichnet,  während  das  Trägheitsmoment  dieses  Droiccks  für  h, 
durch  tge  augegebeu  wird,  so  ist  das  Trägheitsmoment  des  Uutcr- 
dreiecks,  wenn  der  Abstand  der  Achsen  h,  und  hg  noch  u  heisst 

Andererseits  ist  für  die  Achse  ha  das  Moment  desselben  Dreiecks, 
wenn  v  den  Abstand  der  Achsen  ha  und  h9  ergiobt 

<f  =  '#  +  4  v* 
Nun  ist  aber  AG  —  GS,  woraus  folgt  u  —  t>;  es  ist  mithin 

tgS    -  tg. 

Ebonso  besteht 

tkH  —  *hb 

Heisst  das  Trägheitsmoment  des  Dreiecks  DKF  für  die  Achse 
h, :  /„  so  ist  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Dreiecks  für  h„ 

1  s  -  tga  +  thb  -f-  tkc  +  '« 

Werden  die  Trägheitsmomente  des  gauzen  Dreiecks  für  die 
Achsen  A„,  /<&,  A»  mit  7«,  76,  7c  bezei  chnet,  so  liefert  die  Aehnlich- 
keit  der  Tcildreiecke  mit  dem  gauzen  die  Beziehungen 

7a  — —  2  tga 

Th  -  2*tM 
T,  -  2*lke 
Ts  -  2U8 

Nach  dem  Huygens'schcn  Satze  ist  aber,  wenn  dio  Abstände  der 
Achse  h  von  Aa,  h  und  he  eiozcln  mit  p,  q,  r  bezeichnet  werden. 

Ta  =  Ts  4-  mj>* 
7*  —  Ts  +  mg* 
7-c  -  Ts  -f-  mra 

Aus  den  letzten  Gleichungen  folgt  aber 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


41 


Fällt  H  in  die  Ebene  des  gegebenen  Dreiecks,  so  bezeichnen  />, 
<7,  und  r  die  Abstände  der  Ecken  des  Dreiecks  von  der  Achse  H. 
Steht  die  Achse  geneigt  zur  Ebene  des  Dreiecks  uud  heisst  seine 
Projection  auf  eine  zu  K  senkrechte  Ebene  A^C^  so  sind  />,  q,  r 
d.  h.  die  Abstände  der  Ecken  ABC  vou  hSy  gleich  den  Verbindungs- 
linien des  Schwerpunktes  S0  des  projicirten  Dreiecks  mit  den  Ecken 
dieses  Dreiecks  selbst  Heissen  die  Schwcrpunktstrausversalen  des 
projicirten  Dreiecks  tahU,  so  besteht  zwischen  diesen  und  den  Seiten 
a,  b,  e  der  Projection  die  bekannte  Beziehung 

Mßf  +  -  3ia»  +  6»  +  ««) 

und  weil 

P  -  1 <Z  -  1  ^  = 

also 

;>»-{- 9*  +  r*  -  i(a*  +  &s-f-.c*) 
ist,  so  findet  man  auch  für  Tt  die  Ausdrücke 

n  -  3g  »(a«  +  *•  +  cl)  -  ^  «as  +  f6»  +  fe«) 

Steht  die  Achse  h„  zur  Ebene  des  Dreiecks  ABC  senkrecht,  so 
nehmen  j>,  g,  r  sowie  «, c  ihre  grösstcu  Werto  AS,  BS,  CS  an. 
Das  Trägheitsmoment  eines  Dreiecks  wird  daher  eiu  Maximum  für 
eine  zur  Ebene  des  Dreiecks  senkrechte  Achse. 

Da  h,  zur  Ebene  der  Projection  senkrecht  steht,  so  kann 

/6  m(a»  +  b*  +  o«) 
auch  als  das  Trägheitsmoment  dieser  Projection  aufgefasst  werden. 

Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen  materiellen  Dreiecks  für 
eine  beliebige  zur  Ebene  des  Dreiecks  schief  stehende  Schwerpuukts- 
achse  ist  demnach  für  dieselbe  Achse  gleich  dem  Trägheitsmoment 
der  Projection  des  Dreiecks  auf  eine  zur  Momenteuachse  senkrechte 
Ebene,  wenn  die  Masse  des  gegebenen  Dreiecks  gleichmässig  über 
die  Projection  verteilt  gedacht  wird. 

Mit  Hülfe  der  gefundenen  Werte  für  das  Trägheitsmoment  eines 
Dreiecks  bezogen  auf  eine  Scbwerpunktsachse  kann  das  Trägheits- 
moment für  jede  andere  Achse  nach  dorn  Satze  von  Huyghens  leicht 
abgeleitet  werden. 

Für  die  zu  A$  parallel  laufende  Achse  ha  durch  den  Eckpunkt 


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42  Rekff/d:  Elementar*  Berechnung  der  Trägheitsmomente. 

A  wird  das  zugehörige  Trägheitsmoment  Tn,  gleichviel  ob  h„  in  der 
Ebene  des  Dreiecks  liegt,  oder  dazu  geneigt  ist,  angegeben  durch 

oder  da 

^«^-  346(26>■f2e,- a>) 

durch 

r.  -  j1-  m(3t' + 3c*  -  «*)  -  ~       +  c»  + 4«.«) 

Geht  die  Achse  durch  die  Mitte  Ü  der  Seite  tfC,  so  ist  für  die  Achse 
das  Trägheitsmoment 

Ta  -  ST.  +  m         =  i  »(*'  +  c*) 

Wird  die  Seite  HC  Momentenachse,  so  wird  &  —  c  —  A,  und  das  ge- 
suchte Trägheitsmoment  hat  den  Wert  £m/<2. 

Fällt  dio  Momentenachsc  mit  der  Transversalen  AD  zusammen, 
so  wird 


und  man  erhält  für  das  zugehörige  Trägheitsmoment  den  Ausdruck 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen  materiellen 

Parallelogramms. 

Enthalte  das  homogene  materielle  Parallelogramm  ABCD  (Fig.  3) 
bei  gleichmässiger  Verteilung  der  Masse  über  die  ganze  Fläche  die 
Masse  m.  Man  zerlege  das  Parallelogramm  durch  Parallele  zu  den 
Seiten  in  den  mittleren  Abständen  der  Gegenseiten  in  vier  congruente 
Parallelogramme,  die  dem  ganzen  nach  dem  Verhältniss  —  \  ähn- 
lich sind.  Die  Uber  Kreuz  liegenden  Unterparallelogrammo  AS  und 
CS,  sowie  BS  und  DS  haben  in  Bezug  auf  eine  durch  den  Schwer- 
punkt S  des  gegebenen  Parallelogramms  gehende  Achse  h»  dasselbe 
Trägheitsmoment,  weil  entsprechende  Punkte  von  der  Momenten- 
achse gleichen  Abstand  haben.  Wird  bezogen  auf  h,  das  Trägheits- 
moment des  ganzen  Parallelogramms,  sowie  der  Unterparallelogramme 
AS  und  BS  einzeln  mit  71.,  tM,  >s*  bezeichnet,  so  ist 

Tt  -  2{t,m  -f-  *»b) 


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von  f.inifn,  fliehen  und  Körpern. 


43 


Heissen  nan  dio  Trägheitsmomente  des  ganzen  Parallelogramms 
für  die  zu  h»  durch  die  Eckpunkte  C  und  1)  parallel  laufenden 
Achsen  hc  und  hd  beziehungsweise  Tc  und  7'*,  so  ergeben  sich  aus 
der  Aehulichkeit  der  Parallelogramme  AS  und  AC,  sowie  BS  und 
BD  für  die  ähnlich  liegenden  Achsen  h»  und  /*,,  sowie  h„  und  A«,  die 
Beziehungen 

re-2*t,a,    Td  - 

Andererseits  besteht  aber  uach  dem  Satze  von  Huyghcns,  wenn 
e  und  /  die  Abstände  der  Achse  h,  von  he  uud  /ih  bezeichnen, 

Te  =  7i  +  »«»    r4  -  Ts  +  m/* 

Aus  den  letzten  Gleichungeu  leitet  man  ab 

Liegt  A«  in  der  Ebene  des  Parallelogramms,  so  geben  c  uud  /" 
die  Abstände  der  Eckpuntc  C  und  Z)  von  A,  an.  Für  eine  zur  Ebcno 
des  Parallelogramms  geneigte  Aihsc  Af  können  t  und  f  nicht  grösser 
werden  als  die  halben  Dhgonalcu  des  gegebeneu  Parallelogramms, 
deren  Projcctionen  auf  eine  zu  A„  senkrechte  Ebene  eben  e  uud  /' 
siud.  Es  ist  doshalb  T,  für  eine  zur  Ebene  des  Parallelogramms 
senkrechte  Ebene  ein  Maximum. 

Werden  die  Projcctioneu  der  Seiton  des  Parallelogramms  auf 
eine  zu  A,  senkrechte  Ebene  mit  a,  A,  c,  d  bozeichuet,  so  ist,  gleich 
viel  ob  ha  in  der  Ebene  des  Parallelogramms  liegt  oder  zu  derselben 
geneigt  ist, 

und  es  wird 

T,  =  A  m(fli  +     +     +  d*)  =  A  m(a*  +  A«) 

Hieraus  folgt: 

Das  Trägheitsmoment  eines  Parallelogramms  für  eine  beliebige 
zur  Ebene  der  Fläche  geneigte  Schwerpunktsaehsc  ist  für  dieselbe 
Achse  gleich  dem  Trägheitsmoment  der  Projection  des  Paralle- 
logramms auf  eine  zur  Momentenachsc  senkrechte  Ebene,  wenn  die 
Masse  dos  gegebenen  Para'lclogramms  gleichmUssig  über  die  Pro- 
jection verteilt  gedacht  wird. 

Die  Berechnung  des  Trägheitsmomentes  eines  Parallelogramms 
für  eine  schiefe  Achse  ist  mithin  auf  das  Trägheitsmoment  der  Pro- 
jection der  Fläche  für  eine  senkrechte  Achse  zurückführbar. 

Das  obige  numerische  Ergebniss  hätte  auch  sofort  aus  dem 


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44  Reh  f  cid:  Elementare  Berechnung  der  Ti  ilyheitsmomcnle 

Werte  des  Trägheitsmomentes  eines  Dreiecks  für  die  Schwcrpunkts- 
achsc  einer  Seite  gefunden  werden  können. 

\m  Ar»  1 

Auch  hätte  man  aus  dem  Werte  für  das  Trägheitsmoment  des 
Parallelogramms,  welcher  verhältnissmässig  leichter  gefunden  wird 
als  der  Wert  des  Trägheitsmomentes  des  Dreiecks,  auf  letzteren 
scbliessen  können.  Doch  sind,  wie  auch  später  noch  einige  Male, 
au  dieser  Stelle  die  Ableitungen  getrennt  durchgeführt,  um  dio 
Fruchtbarkeit  des  Principes,  welches  die  Trägheitsmomente  von 
homogenen  ähnlichen  Systemen  in  Bezug  auf  ähnlich  liegende  Achsen 
in  einfache  Beziehung  setzt,  ausführlicher  darzutuu. 

Mit  Hülfe  dos  gefundenen  Wertes  für  das  Trägheitsmoment 
eines  Parallelogramms  bezogen  auf  eine  Schwcrpunktsachse,  kanu 
das  Moment  für  jede  andere  Achso  nun  leicht  berechnet  werden. 

Für  die  Eckenachse  he  ist  das  zugehörige  Trägheitsmoment 

Tc  =  l  m;7««  +  f*)  -  A  m(a>  +  *«  +  12  c«) 

Geht  diese  Achse  durch  den  Schwerpunkt  parallel  der  Seite  BCy  ist 
also  b  —  d  —  0.  so  ist 

Fällt  die  ,4chse  mit  BC  zusammen,  so  ist  das  zugehörige  Trägheits- 
moment 

j2»*Ä+»(!)  -ima* 
Für  die  Diagonale  AC  als  Achse  ist  a  =  b  —  e  —  d,  und  es  wird 

T,  =  |mol 


Das  Trägheitsmomeut  einer  homogenen  materiellen 

Ellipsen  fläche. 

Die  Ellipso  enthalte  bei  gleichmässiger  Verteilung  der  Masse 
über  die  ganze  Fläche  die  Masse  m. 

Mau  teile  die  Fläche  (Fig.  4)  durch  Radienvectoren  in  eine 
grade  Anzahl  gleicher  Ellipsenausschuitte,  einer  Forderung,  der  da- 
durch genügt  wird,  dass  man  den  Hauptkreis  der  Ellipse  in  die  ge" 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


45 


forderte  Anzahl  gleicher  Teile  teilt  und  die  Schnittpunkte  der  Ordi- 
nalen dieser  Teilpunkte  und  der  Ellipse  mit  dem  Mittelpunkte  der 
Ellipse  verbindet.  Für  eine  durch  den  Schwerpunkt  der  Flache  6' 
gehende  Momenteuachse  h,  ist  dann  das  Trägheitsmoment  der  Ellip- 
seufläche  gleich  der  Summe  der  Trägheitsmomente  der  einzelnen 
Ausschnitte. 

Nun  ist  aber  nach  dem  Früheren  8.  42  das  Trägheitsmoment 
eines  Droiecks  für  eine  beliebige  Eckenachse  h„  (Fig.  2) 

Ta  -  ^m(6»-f  c*+4/.») 

wenn  4,  e,  ta  die  Projectionon  der  Seiten  uud  der  Transversale,  die 
von  der  Ecke  A  ausgehen,  bezeichnen. 

Wird  die  Anzahl  der  Ellipsenausschnitte  aber  gross,  so  kann 
man  jedem  Ellipsenausschnitt  als  ein  schmales  Dreieck  auffassen, 

dessen  Masse  *"  ist  und  für  den  Fall,  dass  n  =»  x  wird,  erhält  man 
n 

als  Wert  für  das  Trägheitsmoment  des  ersten  Ellipsenausschnittcs 
SAB  für  die  Momentenachso  h, 

weil  6,  c,  '«  für  die  Grenze  n  —  <x  den  Wert  r,  des  Radiusvector  der 
Projection  des  Halbmessers  des  ersten  Ellipsenausschnittes  auf  eine 
zu  k,  senkrechte  Ebene  annimmt. 

Für  die  folgendcu  Ellipseuausschnitte  tiudet  man  entspechend 


'■»  -  *  v* 

woraus  durch  Addition  hervorgeht 

r.  =  *>,»  +  V  +.  •  .+  nfl 

Nun  lässt  sieh  aber  für  die  Projectiou  der  Ellipse,  welche  im 
allgemeinen  selbst  wieder  eine  Ellipse  ist,  die  Summe  der  Quadrate 
der  Radienvcctoren  zu  Paaren  30  ordnen,  dass  mau  \n  Summen 


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46 


Hehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trätjheitsmomrnte 


von  Quadraten  conjugirtcr  Halbmesser  der  projicirten  Ellipse  er- 
hält. Heissen  ein  Paar  conjugirte  Halbmesser  der  Projectiou  g  und 
t,  so  ist 

rit  +  r,»  +  .  .  .  +  r»*-in(p«-|-f«j 
uud  es  bat  T,  den  Wert 

T.  +r«) 

Es  ist  demnach  das  Trägheitsmoment  einer  Ellipse  für  eine  be- 
liebige Sehwerpunktsachso  gleich  dem  Product  aas  der  Masse  der 
Ellipse  in  den  vierten  Teil  der  Quadrate  tsuinme  der  Abstände  der 
Endpunkte  coujugirter  Halbmesser  von  dieser  Achso,  oder  gleich 
dem  Product  aus  der  Masse  der  Ellipse  in  den  vierten  Teil  der 
Quadrateusumme  der  Projectioncn  von  zwei  conjugirten  Halbmessero 
der  Ellipse  auf  eine  zur  Momcuteuachse  seukrechte  Ebeue. 

Der  gefuudene  Wert 

7;  =  i       +  *f) 

kann  auch  für  die  projicirte  Ellipse  (Grundellipse)  gedeutet  werden, 
uud  man  tiudet  dann,  dass  das  Trägheitsmoment  einer  Ellipse  für 
eine  schiefe  Schwerpuuktsacbse  immer  auf  das  Trägheitsmoment 
der  Grundellipse  mit  senkrechter  Schwerpuuktsacbse  zurückgeführt 
werdeu  kann,  nur  muss  dabei  der  Grundcllipie  die  Masse  der  ge- 
gebenen Ellipse  zuerteilt  werden. 

Aus  dem  gewonnenen  Resultat  ergeben  sich  leicht  die  Werte 
der  Trägheitsmomente  für  bestimmte  Fälle. 

Steht  die  Achse  im  Schwerpunkt  der  Ellipse  mit  dun  Halb- 
achseu  «  und  b  senkrecht,  so  ist  das  Trägheitsmoment 

Für  den  Kreis  hat  man  für  dieseu  speciellen  Fall 

T,  -  J  mr* 

Fällt  die  Achse  mit  einem  Durchmesser  A  der  Ellipse  zusam- 
meu,  so  gilt  auch 

es  geben  aber  in  diesem  Falle  q  und  r  die  senkrechten  Abstände  der 
Endpunkte  von  zwei  conjugirten  Halbmessern  der  Ellipse  von  der 
Achse  X  an.  Nun  ist  aber,  wie  am  Schlüsse  dieser  Betrachtung  be- 
wiesen werden  soll,  in  jeder  Ellipse  die  Quadratensumme  der  Pro- 
jectionslote  aus  den  Endpunkten  von  zwei  conjugirten  Ualbmesseru 


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von  Limen.  Flächen  und  Körpern. 


47 


auf  irgend  einem  Durchmesser  A  eine  coustante  Grösse ,  gleich  dem 
Quadrate  des  Projectionslotes  aus  dem  Eudpuukte  des  zu  A  conju- 
girteu  Durchmessers  r  auf  deu  Durchmesser  A  selbst.  Hat  dieses 
Projectiouslot  die  Länge  rf,  so  ist 

1,  -  i  md* 

Für  die  Hauptachsen  a  und  b  als  Rotationsachsen  erhält  man 
die  zugehörigen  Trägheitsmomente 

Ta  -  J«6» 
n  «=  i  waa 

und  für  den  Kreis  hat  mau  das  specielle  Resultat 

T»  -  Jmr» 

Lehrsatz.  Iu  jeder  Ellipse  ist  die  Quadratsumme  der  Pro- 
jectiouslot o  aus  den  Endpunkten  conjugirtcr  Halbmesser  auf  irgend 
eine  Mittelpunktsachse  eine  constante  Grösse,  nämlich  gleich  dem 
Quadrate  des  Projectionslotes  aus  dein  Eudpuukte  des  Halbmessers, 
der  der  Projectionsachse  conjugirt  ist. 

Haben  die  Endpunkte  E  und  F  (Fig.  4)  von  zwei  conjugirten 
Halbachseu  QE  —  a,  und  0F=  ß  auf  das  schiefwinklige  Coordiuaten- 
srstem  der  conjugirten  Halbaxen  OC  —  y,  OD  ^  ö  bezogen,  die 
Coordinaten  x,y,  und  xsyr   Es  bestehen  dann  die  Gleichungen 

*iB  +  Vi1  -  «* 

+  y.»  -  ß* 
yt    a*  "  1 

y«    +  di"  - 3  1 

woraus  bei  Beachtung  der  Relation 
folgt 

Wird  der  spitze  Coordinatenwinkel  CO/J  mit  q  bozeichuet,  so  ist 

a-^sin'p  -J-ar^siu'p  =•  yssin*p 
EEt*  +  FF*~  CC* 


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48 


Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen  dreiseitigen 
schiefen  Prismas  mit  parallelen  Grundflächen. 

Man  zerlege  das  dreiseitige  Prisma ,  welches  bei  gleicher  Dich- 
tigkeit die  Masse  m  haben  möge,  durch  drei  durch  die  Mitteu  der 
Grundkanten  geführte  Schnitte  und  durch  einen  Schnitt  parallel  der 
Grundfläche  in  der  mittleren  Höhe  in  acht  unter  sich  congruente 
Teilprismen,  welche  dem  ganzen  Prisma  im  Vcrhältniss  X  =  \  ähn- 
lich sind  (Fig  5). 

Das  Trägheitsmoment  des  Prismas  für  irgend  eine  Schwcrpuukts- 
achse  A,  wird  gleich  sein  dem  Trägheitsmoment  der  8  Teilprismen 
für  dieselbe  Achse. 

Bezogen  auf  die  Momentenachse  //•  sei  das  Trägheitsmoment 
des  ganzen  Prismas  y«,  das  Trägheitsmoment  dcB  der  Kante  AH 
auliegenden  Prismas  für  dieselbe  Achse  h„  werde  mit  tm  bezeichnet, 
die  Bezeichnungen  für  die  anderen  Teilprismen  seien  entsprechend 

tjsi  '«ff  '«/-  Die  beiden  mittloren  Teilprismen  liegen  für  A, 
so,  dass  sich  immer  je  zwei  entsprechende  Punkte  bestimmen  lassen, 
welche  von  h,  gleichen  Abstand  haben,  diese  Prismen  haben  des- 
halb gleiches  Trägheitsmoment,  welches  mit  ts  bezeichnet  werden 
soll    Es  besteht  demnach 

Tta  =-  Ua  +  U  -f-  *»c  +  ki  -h  *«  +  «./  +  2/. 

Die  um  die  mittleren  Prismen  herumliegenden  sechs  Teilprismen 
haben  für  die  durch  die  Ecken  ABCDEF  parallel  zu  A,  verlaufenden 
Achsen  ha  .  .  .  */  dasselbe  Moment  wie  für  A,;  heissen  die  Träg- 
heitsmomente für  die  neuen  Achsen  ta  .  .  .  //,  so  ist  beispielsweise 
tM  mm  ta ,  d.  h.  das  Trägheitsmoment  des  Teilprismas  an  der  Kante 
AH  hat  für  die.  Achsen  A8  und  A«  denselben  Wert 

Liegt  der  Schwerpunkt  des  Teilprismas  an  der  Kante  AH  in 
S,  und  heisst  die  durch  S,  parallel  zu  A,  und  ha  verlaufende  Achse 
A,  und  das  Trägheitsmoment  des  Teilprismas  für  diese  Schwerpunkts- 
achse tti  so  bestehen,  wenn  die  Abstäude  der  Achsen  As  und  A,, 
sowie  A,  uud  A«  durch  u  und  v  angegeben  werden,  die  Gleichungen 


m  « 


Nun  liegt  aber  S,  auf  der  Verbindungslinie  von  A  nach  S  und 
halbirt  dieselbe,  denu  ist  G  der  Schwerpunkt  der  unteren  Grund- 


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von  Linien,  Flühen  und  Körpern 


49 


fläche  des  Teilprismas,  so  ist  einmal,  wie  beim  Dreieck  gezeigt 
wurde, 

GS  b  GB 

zum  andern  liegt  St  auf  der  durch  Q  zu  HA  parallelen  Achse  in 
halber  Höhe,  d.  h.  es  ist: 

GSt  =  ^  HA 

woraus  hervorgeht,  dass  die  Punkte  ASt  S  in  gerader  Linie  liegen  und 

AS,  -  StS 

ist.  Sind  aber  diese  Strecken  gleich,  so  sind  es  auch  ihre  Pro- 
jectionen  u  und  v  auf  eine  zu  hx  senkrechte  Ebene.  Hieraus  geht 
aber  hervor 

Auf  ähnliche  Weise  wird  gezeigt,  dass 

=  U, 

es  ist  deshalb  auch 

Führt  man  für  die  Trägheitsmomente  des  ganzen  Prismas  be- 
zogen auf  die  Eckenarbsen  ha  .  .  .  A/  die  Bezeichnungen  T„  .  .  .  7'/ 
ein,  so  liegen  für  jede  Eckeuachse  je  ein  Teilprisma  und  das  ganze 
Prisma  ähnlich,  und  es  liefert  die  Aehnlichkeit  der  Prismen  für  ähn- 
lich liegende  Achsen  die  Beziehungen 

Ta  -  2*ta  Td  -  2»fd 

Tu  =  25/<,  7V  —  25/, 

Tc  =  25/c  2>  -  25// 

In  Bezug  auf  //«  liegt  das  ganze  Prisma  zu  den  beiden  mittleren 
Teilprismen  nicht  ähnlich.  Zieht  man  aber  durch  die  Schwerpunkte 
der  Grundflächen  des  ganzen  Prismas  O  und  N  zu  h,  parallele 
Achsen,  welche  von  ä»  deu  Abstand  $fl  haben  mögen,  so  liegen  für 
diese  neuen  Achsen  uud  für  hH  die  Teilprismen  und  das  ganze  Prisraa 
ähulich,  es  besteht  deshalb  die  Beziehung 

T*  +  m  (ff  ~  2*<. 
Unter  Benutzung  der  sieben  letzten  Gleichungen  findet  man 

16  T*  =  32  (7?«  +  Th  +  Te  +  7',+  7V  +  T/)  +  Ü4  ,,4SS 
Andererseits  bestehen  aber  nach  dem  Huyghens'schen  Satze, 

Arci..  d.  Math.  Phyi.   2.  Keibe,  T.  XVI.  4 


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50  Hehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trigheü§momente 

wenn  die  Abstände  der  Achsen  haH  .  .  .  hj  von  ht  mit  r«  .  .  .  iy 
genannt  werden,  die  Gleichungen 

Tm  =  T,  +  mra*  Td  -  T,  -f  mrd* 

Tb  ~  7,  +  mr6  7V  —  7*,  -f  ror,» 

7^  =  T,  -f-  mr,s  7>  -  7,  +  wr/» 

und  es  wird 

T>  "  ^  m(ra*.+  r6«  -f  re«  +  r.»  +  r.«  +  rf)+  ~  md* 

In  dieser  Form  können  die  Grössen  r„  .  .  .  r/  noch  durch  die 
Projectionen  der  Kanten  des  gegebenen  Prismas  auf  eine  zur  Mo- 
mentenacbse  senkrechte  Ebene  ersetzt  werden. 

Heissen  die  Abstände  des  Schwerpunktes  S  von  den  sechs  Ecken 
lla  .  .  •  Rf  die  Grundkanten  A,  B,  C,  die  Seitenkante  D,  so  folgt 
aus  dem  Dreieck  ASD 

AS*  +  DS*  =  AH*  +  DH*  -f  2S//« 

oder 

Ra9  +  Rd*  =»  \D*  -f  2Si/* 

ebenso  bestehen 

i?c«  +  R/1  -  JD»  -f-  2SL* 
Durch  Addition  findet  man  hieraas 

Ä«»  +  i?6«  +  Re*  +  i?rf«-f  Ä,«-f- J?/*  =  $D*+2(SH+  S/C-f  SL)* 

Diese  Beziehung  geht  bei  der  Projection  auf  eine  zu  A,  senkrechte 
Ebene  über  in 

r.!-f-r6*  +  rc»-f  r^  +  r.'  +  r/»  -  J*  + !(«■  +  *•  + 

und  es  wird 

Das  Trägheitsmoment  eines  dreiseitigen  Prismas  für  eine  belie- 
bige Schwerpuuktsachse  ist  demnach  gleich  dem  Product  aus  der 
Masse  des  Prismas  und  dem  36ten  Teil  der  Quadratensumme  der 
Projectionen  der  drei  Grund-  und  drei  Seitenkanten  auf  eine  zur 
Momentenachsc  senkrechte  Ebene. 

Stellt  man  T,  dar  durch 

T'  =  36w<a,  +  i8  +  c2)+l12m* 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern.  51 

and  beachtet,  dass  ~  m(a»-f-//«-f-c*)   das   Trägheitsmoment  eines 

Schnittes  HKL  (Mitteldreieck)  parallel  zu  den  Grundflächen  durch 

den  Schwerpunkt  des  Prismas,  ^  md*   das    Trägheitsmoment  der 

Achse  ON  des  gegebenen  Prismas  bezeichnet,  so  ergiebt  sich  der 
Satz: 

Das  Trägheitsmoment  eines  dreiseitigen  schiefen  homogenen 
Prismas  ist  für  eine  beliebige  Schwerpuuktsachse  gleich  dem  Träg- 
heitsmoment des  Mitteldreiecks  und  der  Achse,  wenn  sowol  das 
Mitteldreieck  als  auch  die  Achse  mit  der  Masse  des  Prismas  be- 
lastet werden. 

Heissen  die  Schwerpunktstransversalen  des  Mitteldreiecks  ta%  I*, 
fc,  so  kann  man,  wie  beim  Dreieck  T,  auf  die  Form  bringen 

T,  -  2;  *.(/«*  +  +  ^  md» 

Es  sollen  noch  einige  specielle  Werte  für  das  Trägheitsmoment  au- 
gegeben werden. 

Ist  h,  der  Seiteukante  parallel ,  fällt  also  h$  mit  der  Achse  zu- 
sammen, so  ist  d  =  0,  und  es  wird  das  Trägheitsmoment  des  Pris- 
mas gleich  dem  Trägheitsmoment  der  Grundfläche,  wenn  dieselbe  die 
Masse  des  Prismas  enthält 

1\  +  *  -fr*) 

Ist  AH  Momentenachse,  so  ist  das  Trägheitsmoment 
Ta  =      m(3i«  +  3c»  -  ««)  -  ±  m(h*  +  c« 

Das  Trägheitsmoment  für  die  Schwerpunktstransversale  HT  des 

a 

Mitteldreiecks  ist,  weil  b  =»  c  =  g 

Läuft  h,  parallel  KL  durch  Si  so  ist  o  —  0,  b  —  c  und  das  Moment 
wird  angegeben  durch 

Für  die  Momentenachse  A'L  wird  das  Trägheitsmoment 

4* 


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52  Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Träyheilsmomente 

i  m(2*>  +  3«')  +  m  =  ^  «r(2A«  +  *) 

Geht  die  Momeutenachse  durch  die  Ecke  Z  des  Mitteldrciecks 
//Ä'L,  so  ist,  da  der  Abstand  der  parallelen  Achsen  hs  und  In  gleich 
$*c  ist, 

2 i      T,  + 

welcher  Ausdruck  wegen  der  Relation 

4*c*  -  2a*  +  2&*  - 
auch  in  die  Form  gebracht  werden  kann 

Ti  -  ~  m(3a»  +  3Al  +  12/,'  -f  3</*) 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogen  schiefwinkligen 

Parallelepipedons. 

Man  zerlege  das  Parallclepipedon,  welches  bei  gleicher  Dichtig- 
keit die  Masse  m  enthalten  möge,  durch  drei  durch  die  Mitten  von 
je  vier  parallelen  Kanten  geführte  Schnitte  in  acht  congruente  Teile, 
welche  dem  gegebenen  Körper  uach  dem  Verhältuiss  /<  ■=»  i  ähnlich 
sind  (Fig.  6). 

Inbezug  auf  eine  durch  den  Schwerpunkt  S  des  ganzen  Paral- 
lelepipedons gehende  Momeutenachse  h,  haben  je  zwei  über  Kreuz 
liegende  Teilparallelepipeda,  so  SA  und  S(7  etc.  dasselbe  Moment, 
weil  die  Elemente  dieser  Körper  einander  so  zugeordnet  werden 
können,  dass  dieselben  von  der  Achse  Ii»  gleichen  Abstand  besitzen. 
Die  Trägheitsmomente  der  Teilparallelepipeda  für  die  Achse  h,  mögen 
heissen  tM  .  .  .  dann  wird  das  Trägheitsmoment  des  ganzen 
Parallepipedons  für  die  Achse  h»  angegeben  durch 

Ts  =  2{t8a  +  u  +  ttr  +  Ud) 

Heissen  nun  die  Trägheitsmomente  des  ganzen  Parallelepipedons 
für  die  zu  h»  durch  die  Eckpunkte  EEGll  parallel  laufenden  Achsen 
Ae  .  .  .  hh  beziehungsweise  Te  .  .  .7*,  so  ergebet!  sich  aus  der 
Aehnlichkeit  der  Parallelepipeda  »SC  und  ECt  für  die  zu  den  Körpern 
ähnlich  liegendeu  Achsen  As  uudV<«;  SD  und  FD  für  h,  und  hf\  SA 
und  (,'A  für  h»  und  hg  \  SB  und  IIB  für  hg  und  A*  die  Beziehungen 

'J\,  -  2*1«  T8  =  2*tsa 

Tf  -  Via  Th  -  2-irt 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern.  53 

Verden  die  Abstände  der  Ecken  BFGH  von  hs ,  oder  die  Pro- 
jectiouen  der  halben  l  ingualen  des  Parallelepipedons  auf  eine  zu 
h,  senkrechte  Ebene  mit  rfr/rgrh  bezeichnet,  so  bestehen  auch  nach 
dem  Satze  von  Iluyghens  die  Gleichungen 

Tt  -  'J\  +  mr*  Tg  ~  T,  +  mrf 

Tf  —  T*  -f  mr/8  Th  -  Zi  -f  mn,! 

woraus  man  ableitet 

r,  -  ^  »(r.«  +  ry«  +  rf »  +  r**) 

Zwischen  deu  halben  Diagonalen  des  Pniallelcpipedons  /?„  /?/,  7?^,  7?a 
und  deu  Kanten  desselben  A,  Ä,  r  besteht  aber,  wie  durch  einfache 
Rechnung  gefunden  wird,  die  Beziehung 

R*  +  Ä/1  +  ff*1  4-  «*a  =  ^a  +  ß1  +  C 

welche  für  die  Projection  auf  eine  zu  ä,  seukrechte  Ebene  über- 
geht in 

»v*  +  7*  +  r9 2  +       -  a2  -f  b*  +  e" 

so  dass 

T,  -  g  «K*1  +  *>*  +  <-2) 

wird,  wenn  «ix-  die  Projectiouen  von  drei  in  einer  Ecke  zusammen- 
stossenden  Kanten  auf  eine  zu  hs  senkrechte  Ebene  bedeuten. 

Das  Trägheitsmoment  eines  schiefen  Parallelepipedons  ist  dem- 
nach gleich  dem  Producte  aus  der  Masse  in  den  zwölften  Teil  der 
Quadratensumme  aus  den  Projectioncu  der  vier  halben  Diagonalen 
oder  der  drei  Kauten,  die  eine  Ecke  bilden. 

Bringt  man  Tt  in  die  Form 

T,  =  ~  m(a»  +  b2)  +  i  rnc* 

und  beachtet,  dass  *%i  ml a- -J-  b* )  des  Trägheitsmoment  eines  Schnittes 
KLMN  (Mittelparallelogramm)  parallel  den  Gruudtiächcn  durch 
den  Schwerpunkt,  ^„me*  das  Trägheitsmoment  der  Verbindungs- 
linie der  Mittelpunkte  der  Grundflächen  OP  d.  h.  der  Achse  be- 
zeichnen, so  kommt  man  zu  dem  Satze: 

Das  Trägheitsmoment  eines  schiefen  Parallelepipedons  für  eine 
beliebige  Schwerpunktsachse  ist  gleich  dem  Trägheitsmoment  des 


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54  Reh  fei  d:  Elementare    Berechnung  der  Trägheitsmomente 

Mittol Parallelogramms  und  der  Achse,  wenn  Mittel parallelogram in 
und  Achse  einzeln  mit  der  Masse  des  Parallelepipedons  belastet 
werden. 

Ist  ht  dor  Kante  AE  parallel,  so  ist  r,  —  rg  und  iy  =  r»  und 
ferner  c  —  0,  man  erhält  die  bei  dem  Parallologramm  gefundenen 
Werte 

Fällt  Aa  mit       zusammen,  so  ist 

Ta  =  T,  +  mr(»  -  {m(7rt*  +  r/*) 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen  elliptischen 
Cylinders  mit  parallelen  Grundflächen. 

Man  zerlege  den  Cylinder,  dessen  Masse  bei  gleicher  Dichtigkeit 
m  sein  möge,  durch  Achsenschnitte  in  eine  gerade  Anzahl  (n)  glei- 

M 

eher  Ausschnitte  von  der  Masse     .    Legt  man  durch  den  Schwer 

n 

punkt  S  des  Cylinders,  der  im  Mittelpunkt  der  Achse  AD  liegt, 
eine  Momentenachse  ä,,  so  ist  bezogen  auf  diese  Achse,  das  Träg- 
heitsmoment des  Cylinders  gleich  der  Summe  der  Trägheitsmomente 
der  einzeln  Cylinderausschnitte  (Fig.  7.) 

Nach  dem  Früheren  ist  aber  das  Trägheitsmoment  eines  drei- 
seitigen Prismas  für  eine  Achse  durch  die  Mitte  einer  Kante  (Fig.  5) 

Ti  -  ^  m(3n»  +  3*«  -f  12t,  +  3d*) 

wenn  a,  6J,  /,  die  Projcctionen  der  Seiten  und  der  Transvorsale  des 
Mitteldreiecks  von  der  Ecke  L  aus  und  d  die  Projection  der  Seiten- 
kante des  Prismas  auf  eine  zur  Momentenachse  senkrechte  Ebene 
bezeichnet. 

Wird  die  Anzahl  der  Cylinderausschnitte  sehr  gross,  so  kann 
man  jeden  Ausschnitt  als  ein  schmales  dreiseitiges  Prisma  von  der 

Masse  "  betrachten ,  und  für  den  Fall  n  —  oo  wird  das  Trägheits- 
moment des  ersten  Ausschnittes  für  die  Achse 


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»ob  Linien,  flächen  und  Körpern. 


55 


Im  1  m  _ 

-2  4,1 

weil  für  n  =r  od,  a  —  b  =  ^  =  r,  gleich  dem  Radiusvector  der  Pro- 
jection  des  Halbmessers  des  ersten  Ellipsenausschnittes  wird,  der  in 
der  Mittelellipse  des  Cylinders  liegt. 

Für  die  folgenden  Cyliuderausschnitte  erhält  man  die  entspre 
chenden  Werte  für  die  Trägheitsmomente 

Im    ,  ,  Im,. 


Uh  "  1  n  (r»*  +  r»8  +  *   *   '        +  12  ™* 

Durch  Addition  findet  mau  das  Trägheitsmoment  des  Cylinders  für 
eine  beliebige  Schwerpunktsachse 

1  »B  1  - 

T'-2nr"'+  B"* 

Die  Summe  der  Quadrate  der  n  Radien vectoren  der  Projcction 
der  Mittelcllipse,  lassen  sich  aber  zu  Paaren  so  anordnen ,  dass  man 
i'j  Summen  von  Quadraten  conjugirter  Halbmesser  der  projicirten 
Ellipse  bekommt  Heissen  demnach  ein  Paar  conjugirte  Halbmesser 
der  Projection  g  und  t,  so  ist 

T*-tntf  + 

Für  die  Achse  ht  kann  Jm^+t*)  gedeutet  werden  als  das 
Trägheitsmoment  des  elliptischen  Schnittes  (Mittelellipse),  der  pa- 
rallel einer  Grundfläche  durch  den  Schwerpunkt  des  Cylinders  gelegt 

ist,  ebenso  kaun      md*  als   das  Trägheitsmoment   der  Cylinder- 

Achse  AD  angesehen  werden.  Man  kann  demnach  für  die  Schwer- 
punktsacbe  den  Satz  aufstellen: 

Das  Trägheitsmoment  eines  elliptischen  Cyliuders  ist  gleich  dem 
Trägheitsmoment  der  Mittel-Ellipse  und  der  Achse,  wenn  die  Mittel- 
Ellipse  sowol  wie  die  Achse  mit  der  Masse  des  Cylinders  belastet 
werden. 


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56  Hehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmoment* 


Wird  die  Achse  des  Cyliudcrs  zur  Monicntcnaclisc,  so  ist  <l  —  0 

uud 

n  =  w<>*  +  7-*) 

Fällt  die  Achse  mit  einem  Durchmesser  der  Mittel-Ellipse  zu- 
sammen, so  ist  nach  dem  bei  der  Ellipse  angestellten  Betrachtungen 

T.  -  |  m(J*  +  «*)  -f  j2  *kZ*  -  J  »pf+  ^  wwf" 

wenn  /  und  »»  die  Abstände  der  Endpunkte  coujugirter  Durchmesser 
von  der  Momenteuachse  bezeichnen,  und  o  den  Abstand  des  End- 
punktes des  zur  Momentenachse  conjugirten  Durchmesser  von  der 
Drehachse  angiebt. 

Für  die  mit  den  Hauptachsen  2p  uud  2q  der  Mittel-Ellipse  zu- 
sammenfallenden Moraeutenaclisen  sind  die  Trägheitsmomente 

1  f  —  4  '»P2+  j2  »«P 

Wird  der  Cylinder  zu  einem  Rotatiouseylinder,  so  ist  das  Träg- 
heitsmoment für  eine  im  Schwerpuukt  auf  der  Achse  senkrechte 
Momenteuachse 

Für  die  geometrische  Achse  des  Rotatioiiscylindcrs  erhält  man 
das  Trägheitsmoment 


Das  Trägheitsmoment  einer  homogenen  dreiseitigen 

Pyramide. 

Es  sollen  zunächst  einige  allgemeine  Betrachtungen  über  die 
Lage  des  Schwerpunktes,  und  überdies  Beziehungen,  die  zwischen 
den  Kantenlängen  und  den  Verbindungsstücken  des  Schwerpunktes 
mit  den  Ecken  und  den  Kantenmitten  bestehen,  abgeleitet  werden. 
(Fig.  8). 

Drei  durch  die  Mittender  Kanten  geführte  Ebenen  EFG,  FJK,  FGI/J, 
zerlegen  die  Pyramide  in  zwei  congruente  Pyramiden  (gleiche  Grund- 
fläche und  Höhe),  welche  der  gebenen  Pyramide  nach  dem  Verhult- 
niss  A  =■  &  ähnlich  sind  und  in  zwei  dreiseitige  inhaltsgleiche  Prismen 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


57 


Grundfläche  X  \  zugehörig.  Höhe  •=»  £  geh.  Pyramide).  Ks 
teilt  demnach  das  Parallelogramm  FGHS  (FG  und  .///  parallel  und 
gleich  \  BC)  die  gegebene  Pyramide  in  zwei  inhaltsgleiche  Hälften, 
es  enthält  deshalb  das  Parallelogramm  den  Schwerpunkt  der  Pyra- 
mide. Für  die  Parallelogramme  EFIik  und  EGKJ  gilt  dasselbe, 
es  liegt  mithin  der  Schwerpunkt  der  Pyramide  im  Schnitte  der  drei 
Parallelogramme,  d.  h.  im  Schnitte  S  der  Diagonalen  des  Parallelo- 
gramms FGHJ.  Beachtet  man,  dass  EFGIIJK  Halbirungspunkte 
der  Kanten  sind,  so  findet  man,  dass  der  Schwerpuukt  auf  den  Verbin- 
dungslinien der  Mitten  gegenüber  liegender  Kanten  liegt,  und  dass 
diese  Verbindungslinien  im  Schwerpunkt  halbirt  werden.  Zerlegt 
man  andererseits  die  gegebene  Pyramide  durch  Schnitte  parallel  der 
Fläche  ABC  in  viele  dünne  Platten,  so  liegt  der  Schwerpunkt  jeder 
Platte  und  mithin  auch  der  Schwerpuukt  S  der  Pyramide  auf  der 
Verbindungslinie  der  Spitze  I)  mit  dem  Schwerpunkt  0  der  Grund- 
fläche. Ist  L  der  Schnitt  der  Trausversale  DO  mit  der  Ebene  EFCf, 
so  ist  DL  —  AO,  es  ist  aber  auch  LS  =  80  weil  FS  —  Sil  ist, 
woraus  hervorgeht  SO'  =  \DO.  Es  teilt  mithin  der  Schwerpunkt 
einer  Pyramide  die  Verbindungslinie  einer  Ecke  mit  dem  Schwer- 
punkt der  Gegenfläche  nach  dem  Vcrhältniss  1  :3. 

Ist  S  der  Schwerpunkt  der  Teilpyramide  DEFG ,  so  halbirt  ZV 
die  Strecke  DS,  denn 

dn=\dl-  ^do 

1  1  1  3 

AS  =  XL  +  LS-~  DO  +  SO  =  ö  Dl  -f  -  DO  «,  -  DO 

Aus  den  Droieckeu  DAK,  DBH  und  DCJ  leitet  mau  ab 

2DO*  =  DA*+  DK*  -  AO*  —  OK*  =  DA*  +  DK*  —  30A'* 
=  DB*  -f  DH*  -  BO*  —  OH*  =  DB*  -f  DU*— 
_  DC*+  DJ*  -  CO*  -  C>./*  -  DC*+DJ*  -  KOJ* 

Für  die  Begrenzuugbttächen  bestehen  die  Beziehuugen 

4 DK*  -  1  DB*  -f  2DC*  —  BC* 
4  Dil*  —  2/)6r2-f  2/M*  -  A& 
4  DJ*  -  ÜDyi2  -|-  2  DB*  —AB* 

woraus  folgt 

4(M»+D//HWV^(WJ  +  ^+/^)-  (AB*+BC*+CA*) 
4(AK*+BII*-{-CJ*)  =  B(Jüa-j»fCt+Ca] 


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58  Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 

OK*  +  07Z*  +  OJ»  =  I  UZ?*  +  Z?C*  +  CW») 

Boi  Bemerkung  dieser  Formeln  findet  man 

DO*  -  \{DA*  +  DÄ"  +  DC*)  -  ^(i4Ä*  +  ÄC*  +  Ol«) 
und  weil  DS  =  JDO 

D&  =     (D.4*  +  DZ?*  4-  DC*)  -  +  BC*.  +  C/i«) 

In  ähnlicher  Weise  leitet  man  ab 

CS*  =  £j  (CM8  +  t'Z?«  +  CD»)  -  ^  (<4D»  +  D£*  +  ZM») 

BS*  =  ^  (ZM*  +  BC*  +  Z?D«)  -  ^  (AD*  +DC*+  CA*) 

AS*  -  ^  UZ?*  +  40»  + ^D»)  -  1  (£C*  +  CD»  +  DZ*8) 
hieraus  geht  hervor: 
4£H-£^CflP+2>£1  =  i(^'H-DÄ84-DC«-f  ^lßl+Z?C»4-C^4) 

Es  ist  also  die  vierfache  Quadratensumme  der  Verbindungslinien 
des  Schwerpunktes  mit  den  Ecken  gleich  der  Quadratsummc  über 
den  Kanten. 

Es  bestehen  ferner  die  Gleichungen 

2SZt?  ~  SA*  -f  SD*  -  DE*  -  AE*  -  SA*  +  SD*  -  \DA* 

2ÄF*  =  SD*  +  SB*-  \DB* 
2SG*  =  SD*  +  SC*  —  $DC* 
5?Ä7»  ~  SB*  +SA*  -  lAB* 
*2SH*-  SA*+SC*~  \AC* 
'2SK*=>  SB* -{-SC*  -  \BC* 

woraus  folgt 

<l(SE*+S}>*+SG*+SH*+$J*+SK*)  -  3(SA*+SB*+SC*+SD*) 

—  \{DA*+  DB*-{-  DC*+AB*+BC*+CA*) 
=  SA*+SB*+SC*+SD* 
-  1{DA*+DB*+DC*+J  B*+  BC*+CA*) 

Die  achtfache  Quadratensumme  der  Verbindungslinien  des  Schwer- 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


59 


punktcs  mit  den  Kantenmitten  ist  gleich  der  Summe  der  Quadrate 
über  den  Kanten. 

Es  bedarf  wol  kaum  einer  Erwähnung,  dass  die  abgeleiteten  Be- 
ziehungen auch  für  die  Projectionen  der  Strecken  auf  dieselbe  Ebene 
richtig  bleiben. 

Nach  diesen  einleitenden  Betrachtungen  soll  nun  die  eigentliche 
Aufgabe  die  Berechnung  des  Trägheitsmomentes  einer  dreiseitigen 
Pyramide  in  Angriff  genommen  werden.  Enthalte  die  Pyramide  bei 
gleicher  Dichtigkeit  die  Masse  m. 

Das  Trägheitsmoment  der  Pyramide  bezogen  auf  eine  durch  don 
Schwerpunkt  S  gehende  Achse  /»,  wird  gleich  dem  Trägheitsmoment 
der  beiden  Teilpyramiden  und  der  beiden  Prismen  sein,  in  die  ein- 
gangs die  Pyramide  zerlegt  wurde. 

Heisst  in  Bezug  auf  hB  das  Moment  der  gegebenen  Pyramide 
TSy  und  wird  für  dieselbe  Achse  das  Trägheitsmoment  der  den  Ecken 
ABCD  anliegenden  Teilkörper  entsprechend  fa„,  *•»,  fe,  tad  genannt, 
so  besteht 

T,  -  tM  -f  t9h  +  tie  -f  t« 

Die  Trägheitsmomente  tM  und  tsc  sind  als  Trägheitsmomente  von 
halben  Parallelepipeda  für  Achsen,  die  durch  den  Schwerpunkt  S  der 
ganzen  Parallelepipeda  gehen ,  sofort  ihrem  Werte  nach  anzugeben. 

Wird  durch  sa  die  Projection  der  Strecke  SA  auf  eine  zu  h„ 
senkrechte  Ebene  bezeichnet,  und  haben  die  Strecken  die  durch 
kleine  Buchstaben  augegeben  werden,  entsprechende  Bedeutung,  so  ist 

<«*  -  u  (*/t3  +    +  ***  +  8C*} 

Die  Trägheitsmomente  der  Teilpyramiden  an  den  Ecken  B  und 
D  bezogen  auf  h,  nämlich  tgb  und  t,d  sind  gleich  den  Trägheits- 
momenten tb  und  td  dieser  Pyramiden  für  die  durch  B  und  D  pa- 
rallel zu  K  gezogenen  Achsen  h  und  hd,  Heisst  nämlich  das  Mo- 
ment der  Teilpyramide  DEFG  für  die  an  hs  parallele  Achse  /<„  durch 
den  Schwerpunkt  N  dieser  kleinen  Pramide  /„,  so  haben  die  Achsen 
h,  und  hd  von  A„  gleichen  Abstand  u,  weil  ND    XS  ist,  und  es  wird 

Ud  —  Ii  -  *%  +  \*»% 
Analog  zeigt  man  die  Gleichheit  von  f«&  und  fe. 


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60  Reh ft.  ld:  Elementare  fit-rechnung  tier  Trtiyheitsmomente 

Die  Teilpyramiden  an  den  Ecken  Ii  und  D  liegen  zu  der  ganzen 
Pyramide  in  Bezug  auf  die  Ecken  Achsen  h,,  und  h,,  ähnlich,  und 
da  die  Pyramide  ebenfalls  ähnlich  sind,  so  besteht,  wenn  die  Träg- 
heitsmomente der  ganzen  Pyramide  Dir  hb  und  hl{  mit  Tb  und  Td 
bezeichnet  werden 

uud  da  nach  dem  Huyghens'scbcn  Satzo 

Tb   ■■   '/'s  "f-  M  *A2 

7rf  =  7',  -f  m.^2 
so  findet  man  für  das  Trägheitsmoment  der  ganzen  Pyramide 

rs  -  ^M(«»+^»+i^+ik»+«+A»-fw*+ii«+*c»+#d«) 
uud  weil 

2(w'  +     +  ^  +  «*«  +  * + =  .v/*  -f     -f  .v2  -f  .v/1 

=  ^  »»(«»*  +      +  *cs-f-*r/*) 

-  i  m(<*»'  -f-  rf6«  -f  de8  +  aA*  -f-  4c«  -f  cas) 

Hieraus  gehen  die  Sätze  hervor: 

Das  Trägheitsmoment  einer  dreiseitigen  Pyramide  für  eine  be- 
liebige Schwerpunktsachse  ist  gleich 

1)  dem  Producte  aus  der  Masse  in  den  lUtcn  Teil  der  Quadra- 
tensumme der  Projectioneu  der  Transversalen  vom  Schwerpunkt 
nach  den  Mitten  der  Kanten, 

'2)  dem  Producte  aus  der  Masse  in  den  2)ten  Teil  der  Quadra- 
teusumme  der  Projectioneu  der  Transversalen  vom  Schwerpunkte 
nach  den  Ecken, 

3)  dem  Producte  aus  der  Masse  in  den  H()ten  Teil  der  Quadra- 
tensomme  der  Projectionen  der  Kanten, 


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von  Ltmen,  Flachen  und  Körpern.  61 

wenn  die  Projectionen  erfolgen  auf  eine  zu  der  Momentenachse 
senkrechte  Ebene. 

Wegen  der  Relation 

tla*  -f-  db*  +  tfr*  -  3<fo*  -J-  i  (ab*  -f  bc*  -f  <•«*) 

kann  man  auch  schreiben 

Ist  hg  der  Kaute  ZM  parallel,  so  ist 

da  =  0,    de  =  ac,    db  =  ab 

und  es  wird 

Wird  TM  zur  Momeutenachse,  so  ist  das  zugehörige  Trägheits- 
moment 

Für  die  Sehwerpunktstransvcrsale  DO  wird  das  Trägheitsmo- 
ment, da  *d  =  0  und  «e1  —  ^(ai^-j-Äc*-}-«!«)  ist 

F.  =  -^m(flA*-|-Äc*+«i*)  -  *w(oA*  +  &»*+<**) 

Fällt  die  Achse  mit  der  Verbiudungsliuie  der  Mitten  zweier 
Gegenkanten  mit  Fll  zusammen,  so  ist  das  Moment 

j«(*,+V,4- *** + —  £m(se-{-cg*) 

Wird  die  Schwerpunkstransversale  einer  Begrenzungsfläche  DK 
Momenteuachse,  so  ist  das  Trägheitsmoment 

■ 

4|}  m{.\ak :*  -f  3c**  -  ac*  +  3ofc*  +  3W  2  -  aA*) 

=  ^  m  (ü  «/,  +  ^  Ar*  -  «c«  -  ab*  )  -  >g  m  [5  (2of"  +  2o6*  -  fic«) 

+-jAc*-ac*  -a*8   -  ^m(ac*-f  a&*) 

Für  die  zu  A,  parallele  Eckenachse  durch  />  findet  man 


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62  Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 

und  weil 

16*rf*  =  3(rf«*+dÄ»+<fc«)  —  (a£»-|  &c*-fca») 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen  elliptischen 

Kegels. 

Man  zerlege  den  Kegel,  der  bei  gleicher  Dichtigkeit  die  Masse 
m  enthalte,  durch  Achsenschnitte  in  eine  gerade  Anzahl  (»  —  2p) 

gleicher  Ausschnitte  von  der  Masse  —  (Fig.  9). 

Legt  man  durch  den  Schwerpunkt  S  des  Kegels,  der  die  Achse 
nach  dem  Verhältniss  1  :3  teilt,  eine  beliebige  Momentenachse,  so 
ist  für  diese  Achse  das  Trägheitsmoment  des  Kegels  gleich  der  Summe 
der  Trägheitsmomente  der  einzelnen  Ausschnitte.  Heissen  die 
Schwerpunkte  von  zwei  sich  diametral  gegenüberliegenden  Aus- 
schnitten ABXCXD,  A  BtCtD  bezüglich  Pt  und  Ps,  so  sind  die  Träg- 
heitsmomente dieger  Ausschnitte ,  welche  bei  grossem  n  als  schmale 
dreiseitige  Pyramiden  aufgefasst  werden  können,  für  die  durch  P, 
und  1\  zu  ht  parallelen  Achsen  hpi  und  wenn  die  Projectionen 
der  Kanten  auf  eine  zu  h,  senkrechte  Ebene  mit  kleinen  Buchstaben 
bezeichnet  werden 

"  k  n  W  +  ac*  +**  +  b*e*  +  + 

Bezogen  auf  die  Achse  h8  wird  die  Summe  der  Trägheitsmomente 
der  beiden  Ausschnitte,  deren  Grundflächen  B^D  und  B^D  con. 
gruent  sind,  angegeben  durch 

ts,  =  i  ~  [(«*1»+^«)+(ac1»+ac,)»+2a,/»H-261r1*+2clJ«-r-2</Ä1«] 

TO         _  . 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern.  63 

wenn  p,s  und  p2*  die  Abstände  der  Achsen  hPl  und  hp%  von  h,  be- 
zeichnen. 

Heissen  0,  und  Oi  die  Schwerpunkte  der  congruenten  Flächen 
BtCtD  und  ÄsC't/>,  so  teilen  P,  und  die  Strecken  AOt  und  >408 
nach  dem  Verhältniss  l  :  3,  und  weil  auch  DS     \AS  ist,  so  wird 

P1S  =  J01Z)   und   iy>'=  2,0,0 

sein.  Nun  teilen  aber  O,  und  O,  die  gleichen  Schwerpuuktstrans- 
versalen  DGX  DG%  der  congruentnn  Flächen  Bxt\D  und  B%CtD  nach 
dem  Verhältniss  1  :  2,  so  dass 

0XD  =  $Z>G,    und    P,S  -       -  \DGl 

ist  Für  die  Dreiecke  D%C\D)  C\ACS  und  Ä^ß*  bestehen  ferner 
die  Beziehungen 

ADGt*  =  2ßtD*  +  2C1#*  — 
AC*  +  ^Ct*  -  +  2AD* 

AB*  +         -  2B,D*  +  2^ß* 

Beachtet  man,  dass  die  letzten  vier  Gleichungen  auch  für  die  Pro- 
jectionen  bestehen  bleiben,  dass  also  die  Relationen  gelten 

PS  —  V%'  -  \<k\ 

\ad*  —  2V*  +  2c,d*  -  Vi 
<ut*  -f  a^*  —  2c,J*  -f  2rf2 
oä,»  -f-  ai,»  —  2bltfl  -f  2ad« 

so  kann  nunmehr  der  Ausdruck  für      in  die  Form  gebracht  werden 

Für  den  Greozfall  n  —  co  wird 

J,<i  —  </<:,  —  ffy, 

gleich  dem  Radiusrector  r,  der  Projection  des  Halbmessers  des 
Ellipsenausschnittes,  der  als  Grundfläche  zu  dem  betrachteten  Kegcl- 
ausschnitt gehört;  die  Projection  erfolgt  hierbei  auf  eine  zur  Mo- 
mentenachse senkrechte  Ebene. 

Es  nimmt  für  diesen  Grenzfall  t,x  den  Wert  an 


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()4  11*  Ilfeld:  Elementare  Berechuunrj  der  Trägheitsmomtnu- 

3  m  3  m 

"  6  „r'^  +  4(l.■'"', 

Für  die  folgenden  Paare  von  Kegelansschnitten  erhält  man  die 
entsprechenden  Werte  für  die  Trägheitsmomente 

3  m  3  m 

'"-5  .  rJ'+4.)  „'"' 

3  in  3  m 

0  n  40  n 

Durch  Summation  dieser  Gleichuugeu  findet  man  das  doppelte 
Trägheitsmoment  des  Kegels  für  eine  beliebige  Schwerpunkts- 
achse Iis 

2T*  =  l  n  (ri*  +  r*'  +  •  •  •  +  r»*>  +  40  '"  ■  adt 
und  da  auch  hier  wie  bei  der  Ellipse  und  dem  Cylinder 

so  hat  man,  wenn  noch  ad  —  </  gesetzt  wird 

r.=  ^m(p*  +  T»)  +  ^m.d«; 

p  nnd  t  bezeichnen  in  dieser  Formel  die  Projectionen  von  zwei 
coujugirten  Halbachsen  der  GruudHäche,  d  die  Projection  der  Achse 
des  Kegels  auf  ein  zur  Momentenachse  senkrechte  Ebene. 

Geht  die  Achc  durch  den  Schwerpunkt  D  der  Grundfläche,  so  ist 

Für  eine  Achse  durch  die  Spitze  A  ist  das  Trägheitsmoment 

Wird  die  Achse  des  Kegels  zur  Momentenachse,  so  wird  das 
Moment  angegeben  durch 

3 


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von  Linien,  Flächen  und  Körpern. 


65 


welches  für  den  Rotatiooskegel  (r  =  Radios  deB  Groodkreises) 
übergeht  io 

Für  eioen  Dorchmegser  der  Groodfläche  als  Achse  findet  man 
den  Wert  des  Trägheitsmomentes 

T  =  ^m(l*  +  »«)  +  üfn# 

wenn  l  ood  n  die  Abstände  der  Endpookte  conjogirter  Dorchmesser 
der  Groodfläche  von  der  Momentenachse  angeben. 

Für  die  Haoptachsen  (p  ood  q  Haoptachsen)  hat  man  die  Werte 

Tf  =  1^™?  +  n  -  23u ■**  +  !o ^ 

ist  j>  ~  g  =  r,  so  geht  der  elliptische  Kegel  zum  Rotationskegel 
über,  dessen  Trägheitsmoment  in  diesem  Falle  angegeben  wird  durch 


Das  Trägheitsmoment  eines  homogenen 

Ellipsoides 

Man  denke  sich  das  Ellipsoid  (Fig.  10 ) ,  welches  bei  gleicher 
Dichtigkeit  die  Masse  m  enthalten  möge,  dorch  Ebeoeo  durch  deo 
Mittelponkt  in  «  =  3p  (d.  h.  durch  3  teilbar)  unter  sich  gleiche 

tu 

Ausschnitte  von  der  Masse  -  geteilt 

Für  eine  durch  den  Mittelpunkt  (Schwerpunkt  S  des  Ellipsoides 
gehende  Achse,  wird  das  Trägheitsmoment  des  Ellipsoides  gleich  der 
Summe  der  Trägheitsmomente  der  n  einzelnen  Ausschnitte  sein. 
Wird  die  Anzahl  dieser  Ausschnitte  aber  gross  genommen,  so  kann 
jeder  als  eine  schmale  dreiseitige  Pyramide  mit  kleiner  Grundfläche 
angesehen  werden.  Nach  dem  Früheren  wird  aber  das  Trägheits- 
moment einer  dreiseitigen  Pyramide  SABC  für  die  Eckenachse  A,, 
wenn  *a,  «£,  *c,  so  die  Abstände  der  drei  Eckpunkte  ABC  und  des 
Schwerpunktes  O  der  Groodfläche  ABC  von  der  Momentenachse  be- 
zeichnen, oder  wenn  aa,  tb,  w,  so  die  Projectionen  von  SA,  SB,  SC 
und  SO  sind,  angegeben  durch 

Arck.  d.  MatU.  u.  Phys.   2.  Reihe,  Tl.  XVI.  5 


66  Rehfeld:  Elementare  Berechnung  der  Trägheitsmomente 


Wird  die  Anzahl  der  Aasschnitte  des  Ellipsoides  unendlich 
gross,  so  ist  das  Trägheitsmoment  des  ersten  Ausschnittes 

3  m 
-  5  »  '»* 

weil  für  die  Grenze  n  —  oo  die  AbBtände 

8a  =r  sb  —  «  =  to 

gleich  sind  der  Projection  r,  des  Radiusvector  nach  dem  Ober- 
flächen-Element, welches  die  Grundfläche  der  ersten  Teilpyramide 
bildet,  auf  eine  zur  Momentenachse  senkrechte  Ebene. 

Für  die  folgenden  Ellipsoidenausschnitte  erhält  man  in  Bezug 
auf  dieselbe  Achse  h,  entsprechende  Werte 

3  m  . 


3  m  _ 

woraus  man  durch  Addition  das  Trägheitsmoment  T,  des  Ellip- 
soides findet 

Nun  lassen  sich  die  n  Quadrate  der  Projectionen  der  Radien- 
vectoren  des  Ellipsoides  so  anordnen,  dass  jedesmal  die  Projectionen 
von  drei  conjugirten  Halbachsen  zusammenstehen,  und  da  die  Qua- 
dratensumme der  Projectionen  von  drei  conjugirten  Halbachsen  nach 
Salmon-Fiedler  3.  Auflage  1879  Art.  99,  auf  eine  beliebige  Ebene 
constant  *)  ist,  so  hat  man 


*)  Für  das  EUipsoid  ist  ein  ganz  elementarer  Beweis  wol  kaum   zu  er- 
bringen.   Hier  möge  der  Satz  für  die  Kugel  bewiesen  werden.    Es  ntehen  bei 
der  Kugel  die  conjugirten  Halbachsen  (Radien)  senkrecht  zu  einander.  Bildet 
die  Momentcnucbse  hs    mit  einem  bsliebigen  System  conjugirter  Radien  die 
Winkel  aßy,  so  ist 

9t+ct+xt  _  r«(8iu»a-f-sinV+siu*y)  -  3r»-r*(cos8«+cosV-r-COsV) 


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»oh  Linien,  Flächen  und  Körpern.  67 

wenn  p,  ff,  t  die  Projectionen  von  drei  beliebigen  conjngirten  Halb- 
achsen des  gegebenen  Ellipsoides  auf  eine  zu  der  Momentenachse 
h,  senkrechte  Ebene  bezeichnen,  und  es  wird 

T.  -  t»(€i  +«•  +  !•) 

Für  die  Hauptachsen  a,  b,  c  des  Ellipsoides  bat  man  die  Träg- 
heitsmomente 

Tm  =  lm(i*  +  «*) 
^  =  im(«»+o«) 
Tt  -  im(a»-f  6«) 

Das  Trägheitsmoment  für  einen  Durchmesser  der  Kugel  hat  den 
speciellen  Wert 

Tr  —  Imr* 

Fällt  man  um  den  beliebigen  Punkt  P  der  Momente  nach  sc  auf  die  Ebene 
durch  je  xwei  Bedien  die  Lote  PP„  PPt,  PP,  so  besteht,  wenn  5  der 
Mittelpunkt  der  Kugel  ist, 

SP*  -  SP*  +  SPt*  +  SPS* 

woraus  folgt 

sp,*  +  spt*  +  spst 

— 1 — -  sp   1  —  cos*o  +  cosV  +  cos*y  —  1 

so  den 

pi  +  fl«  +  Ts  _  2r» 

ist  und  T$  den  Wert  annimmt 

T$  -  Imr* 


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68 


Sporen  Utber  goniometrisch*  Relationen,  die  bei  der 


III. 


Ueber  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 
Kreisteilung  auftreten. 


Prof.  Dr.  B.  Sporer  in  Ebingen  (Würtemberg.) 


I.     Ueber  gewisse  Functionen . 

Durch  den  Ursprung  eines  rechtwinkligen  Coordinatensystems  sei 
eine  „ungerade  Anzahl  von  n  Geraden  gelegt,  die  den  Vollwinkel  in 
2n  gleiche  Teile  zerlegen."    Deren  Gleichungen  mögen  sein: 

L,  —  xsin«,  —  ycosaj  —  0    wo    a,  —  a  x 


Setzen  wir  in  diese  Gleichungen  die  Coordinaten  eines  beliebigen 
Punktos  ein,  so  stellen  die  sich  ergebenden  Werte  Z,\  Lt',  Ls'  .  .  • 
Ln'  die  Entfernungen  dieses  Punktes  von  den  Geraden  L  dar,  und 
zwar  haben  alle  Paukte  auf  der  einen  Seite  einer  dieser  Geraden 
positive  Entfernungen  und  alle  auf  der  andern  Seite  negative  solche 
Entfernungen,  und  wir  können  gewissermassen  von  einer  positiven 
and  einer  negativen  Seite  dieser  Geraden  reden.   Beschreiben  wir 


(1) 


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Krtüteilung  aufirtttn. 


69 


um  den  Ursprung  einen  Kreis  und  bezeichnen  die  verschiedenen 
Seiten  die  Geraden  L  längs  dieses  Kreises  durch  die  Zeichen  -f 
und  — ,  so  erhalten  wir  die  durch  die  Figur  1  ersichtliche  Anord- 
nung und  es  tritt  also  in  Bezug  auf  diese  Zeicheu  längs  des  Kreises 
eine  gewisse  Symmetrie  auf,  die  wir  als  cyklische  Symmetrie 
bezeichnen  wollen. 

Es  möge  nun  etwa  die  Function 

=»  ZU  —  2(x  sin  a  —  y  cos  a)P  )  W 

gegeben  sein.  Setzen  wir  hier  den  Wert  der  Function  gleich  einer 
Constanten  A,  so  erhalten  wir  die  Gleichung 

F(L)  -  A 

die  im  allgemeinen  eine  Curve  des  pten  Grades  darstellt,  etwa  eine 
Curve  Cr.  Diese  letztere  Curve  hat  aber  offenbar  die  Halbirungs- 
linien  der  Winkel,  die  je  zwei  aufeinanderfolgende  Geraden  L  mit 
einander  bilden,  zu  Symmetrieachsen.  Seien  nämlich  Px  und  P9 
zwei  zu  einer  dieser  Halbirungslinien  symmetrische  Punkte,  so  sind 
die  zu  diesen  Punkten  gehörigen  Werte  F(L)  dieselben,  indem  die 
Entfernungen  dieser  Punkte  von  den  Geraden  L,  abgesehen  von 
einer  Vertauschung  unter  denselben,  gleich  sind  und  auch  mit  den 
Vorzeichen  übereinstimmen.  Ist  p  zudem  gerade,  so  sind  auch  die 
Geraden  L  selbst  solche  Symmetrieachsen,  indem  je  zwei  einer  Ge- 
raden L  symmetrisch  gelegene  Punkte  Pj  und  Ps  von  den  Geraden 
L  ebenfalls  entsprechend  gleiche  Entfernungen  haben,  die  Verschie- 
denheit einzelner  Vorzeichen  aber  ohne  Einfluss  ist. 

Diese  Eigenschaft  beschränkt  sich  aber  keineswegs  auf  das  oben 
gewählte  Beispiel  einer  solchen  Function,  sondern  wir  werden  viel- 
mehr eine  beliebig  grosse  Menge  solcher,  in  den  Werten  L  homo- 
gener Functionen  aufstellen  können,  die  alle  gleich  Constanten  ge- 
setzt im  allgemeinen  Curven  darstellen,  die  n  oder  2n  Symmetrie- 
achsen haben,  je  nachdem  die  Function  von  ungerader  oder  von 
gerader  Ordnung  ist  Eine  solche  Functiou,  die  auf  diese  Eigen- 
schaften führt,  möge  kurz  eine  cyk  Ii  h  Ii  -symmetrische  Function 
der  L  genannt  sein.  In  Bezug  auf  den  Wert  p  haben  wir  weiter 
verschiedene  Fälle  zu  unterscheiden. 

I.  Fall:  p  ungerade  und  <  n. 

Bleiben  wir  bei  dem  obigen  Beispiel.   Die  Gleichung 

F(L)  -  0 


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70 


Sporer:  Utber  goniometrüche  Relationen,  die  bei  der 


ist  dann  von  ungeradem  Grade  und  muss  also  notwendig  einen  re- 
ellen Factor  ax-\-by  enthalten.  Da  das  durch  die  Gleichung  dar- 
gestellte System  von  Geraden  aber  n  Symmetrieachsen  besitzt,  liefert 
die  Gerade  ax-\-by  —  0  wenigstens  weitere  n  — 1  Geraden,  die 
gleichfalls  in  F(L)  —  0  als  Factoren  enthalten  sein  müssten.  Dies 
ist  aber  nicht  möglich,  da  F(L)  nnr  vom  Grade  p  ist  Hieraus  folgt 
aber,  dass  die  Function  F(L)  identisch  verschwinden  muss  ;  oder: 

„Jede  cykli8ch-8ymmetrische  Function  von  ungerader  Ordnung 
„kleiner  als  n  verschwindet  stets  identisch." 

« 

II.  Fall:  n  —  p. 

Ist  dagegen  n  =  p ,  so  wird  es  möglich  sein  solche  n  lineare 
Factoren  zu  erhalten,  die  n  Gerade  mit  n  Symmetrieachsen  dar- 
stellen. Aber  auch  jetzt  noch  werden  diese  Geraden  mit  den  Ge- 
raden L  oder  aber  den  Symmetrieachsen  selbst  zusammenfallen  müssen, 
indem  für  eine  andere  Annahme  einer  solchen  Geraden,  unmittelbar 
2n  solcher  Geraden  aus  den  obigen  Symmetrien  sich  ergeben.  Kehren 
wir  jetzt  zu  unserer  Figur  zurück  und  nehmen  an,  die  Geraden 

ax     by  —  0 

fallen  auf  die  Symmetrieachsen,  so  wären  diese  Geraden  aber 
Asymptoten  der  Curven  F(L)  =  A,  und  aus  ihrer  Eigenschaft  als 
Symmetrieachsen  würde  unmittelbar  folgen,  dass  sie  zugleich  Rück- 
kehrtangenten für  Rüc  kkehrpunkte  auf  der  unendlich  fernen  Geraden 
wären.  Auf  dieser  letzteren  müssten  also  n  solche  Rückkehrpunkte 
liegen,  und  das  ist  unmöglich.   Die  Geraden 

ax  -}-  by  =  0 

müssen  also  notwendig  auf  die  Geraden  L  selbst  fallen,  oder: 

„Jede  cyklisch-symmetrische  Function  vom  Grade  n  zerfallt  in 
„das  mit  einem  constanteu  Factor,  multiplicirte  Product  der  Ge- 
raden L." 

III.  Fall:  p  gerade  und  <  2n. 

Setzen  wir  auch  hier  die  Function  F\L)  —  0,  so  muss  die- 
selbe in  p/a  Factoren  ax*+bxy+ cy*  fallen.  Aus  den  2n  Symmetrien 
folgt  aber,  dass  diese  Factoren  mindestens  in  die  Zahl  n  auftreten 
müssten,  wenn  sie  nicht  die  Form  x'-f-y*  haben.  Da  das  erster e 
nicht  sein  kann  ist  nur  das  zweite  möglich,  aber  dann  ist  die  Glei 
cüuni 


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Kreisteilung  auftreten. 


71 


P 

F(L)  -  a{x*+y*)* 

gültig  und  wir  erhalten: 

„Für  gerade  p  <  2»  ist  jede  cyklisch-symmetrische  Fanction 
,  „der  Ordnung  p  gleich  einer  mit  einer  Constanten  multiplicirten 
,Potenz  von  x*-f-y*,  und  dieselbe  gleich  einer  Constanten  gesetzt 
,stellt  pt  concentrische  Kreise  dar.'* 

IV  Fall:    p  ungerade  und  >n  oder  p  gerade  und 

Ganz  gleicherweise  finden  wir  für  ungerade  p>n,  dass  die 
gleich  null  gesetzte  Function ,  wenn  p  <  2n  ist,  in  die  Geraden  L 
und  eine  Potenz  von  ae'-f-y*  zerfällt.  In  allen  andern  Fällen  aber 
wird  F(L)  —  0  nur  aus  den  Factoren  £,  aus  Gruppen  von  2n 
Factoren  ax  +  by  und  aus  Factoren  «24-f*  bestehen  können.  Wir 
werden  uns  jedoch  auf  die  drei  ersten  Fälle  beschränken. 

Ist  n  gerade,  so  fallen  je  zwei  Geraden  L  aufeinander,  für  un- 
gerade p  tritt  keine  Symmetrie  auf,  aber  wir  werden  doch  auch  hier 
von  F(L)  behaupten  können,  dass  es  oft  verschwindet,  indem  die 
Glieder  sich  dann  paarweise  aufheben.  Ist  dagegen  p  gerade,  so  ist 
die  Zahl  der  Symmetrieachsen  gleich  n  und  wir  erhalten  für  die 
Gültigkeit  des  Satzes  in  Fall  III.  die  Bedingung  p  <  a. 


II.    Gonio  metrische  Gleichungen. 

1)  Möge  das  Zeichen  =  identisch  gleich  null  bedeuten.  Aus  dem 
S  atze  im  ersten  Fall  in  I.  folgt  aber  für  P  =  unmittelbar  die 

Gleichung 

Z(xsin  a  -  y  cos«)2f-H  =0,   lür   2q  +  1  <  n  (3) 

Geben  wir  hier  q  nach  einander  die  Werte  0,  1,  2,  3  .  .  .  und 
setzen  die  Coefficienten  gleich  null,  so  erhalten  wir  aber: 

2iiü  a  —  siü  «,-|-sin  as-}-8in  er,  +  •  •  .  +  sin  a»  —  0 

Zsin»a  -  sin3«1-fsin,c,-|-sin,a3  -f  .  .  .  +  sin'a»  -  0 

Zsin5a  -  sin^oj-r-sin'^-f  8in*as  -f  .  .  .  +  sin6«H  =  0 

2tti7«  -  •in7a1+Bin7«,+ sin7ors  +  .  .  .  +  sin7*«  =  0 

o.  •.  w.  für  Exponenten  <  n.   Ebenso  ist 


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72  Sporer:  Ueber  goniometrisch*  Relationen,  die  bei  der 

2\J0S  o  =  COS  «i  -f-  COS  Cfj  -f-  .    .    .  -j-  COS  trn  —  0  \ 

2Tco83tr  —  cos'ot|  -f-  cos3«,  -{*•••  +  cos'««  —  0  >  (5) 
-Ecos5«  =  COS5ßfi  -f  cos5a3  -f  .   .   .  -f  COS6«»  —  0  ) 

n.  s.  w.  für  Exponenten  <  n. 

Ausser  diesen  Relationen  erhalten  wir  ans  der  Gleichung  z.  B. 
noch: 

^sina'cos««  —  cos'aj  sin'a,  +  cosr«2  sin"  «2  -f  .  .  .      cosr  «»  sin8  «« 

-  0 

WO  r  +  $  =  2q  -{-  1 

also  eine  ungerade  Zahl  <<*  ist.  Ueberhaupt  können  wir  aus 
dem  in  Fall  I.  Bemerkten  schliessen ,  dass  jeder  solche  cyklisch- 
symmetrische  Ausdruck,  der  in  den  Werten  cosa  vom  Grade  r 
und  in  den  Werten  sina  vom  Grade  i  ist,  gleich  null  wird,  wenn 
r-\-s  ungerade  und  <  n  ist. 

2)  Ist  p  gerade  —  2q  und  <C?n>  so  sehen  wir,  dass  z.  B.  die 
Gleichung 

^(jrsinot  —  yCOB«)2*  —  a(xs  -f  yr)l 

gültig  ist,  wobei  a  eine  bestimmte  Constante  ist.  Entwickeln  wir 
beiderseits  nach  dem  binomischen  Satze,  so  erhalten  wir 

«»f-Zain2««-  (2*)«2f-i2;Bin*«-i«  .  cosa  +  (^Ssin2*"2«  .  cos'o 

-.  .  .  ==  •  (*«f +  (*)***- V  +  (g)**"  V  +  ■  •  •) 

und  hieraus  durch  Gleichs  etzung  der  Cocfficienten  rechts  und  links: 

-Ssin2?«  —  a 
2  sin2«-1  o  .  cos  o  —  0 


Zi\v?*-2a  .  cos'«  = 


(6) 


2:8in29-*o  .  cos3«  =  0 

© 


Xsin2?-*«  .  cos4«  =- 


Nun  ist  aber  auch 


O) 


U.  8.  W 


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Kreitttiluny  auftreten.  73 
2:(Bin*a  +  COS*«)?  —  n 

oder  entwickelt: 

^8in29«+      £8in*i~*«  .  cos»«  +        £  si^»-'«  .  cos««  -f  .  .  . 

—  n 

Setzen  wir  aber  hierin  die  in  Gl.  (6)  erhaltenen  Werte  ein,  so 
finden  wir  für  a  den  Wert 

(?)  (?)  (?)  (S) 

Nach  den  Gleichungen  (6)  ist  aber  auch 

(D 

^8in2»-2  ,  costft  =      -  t  n 

Setzen  wir  hierin  für  cos2«  aber  1  — sin1«,  so  erhalten  wir 

Zsiü*9-2a«  -  Zsin**  =  n  .  g>(3  _  1)  -  n  .  <p{q)  -  .  n  .  <p(q) 

und  also: 

2q  —  1 

Es  ist  aber  unmittelbar: 
also 

1  •  3  /n\  1.3.5 

9(2)-^,  9(3) -2^- 6 

und  allgemein 

,  .      1.3.5.  .  .  2q  —  1 

*«>  ~  2.4.6.  ■  .4—  <8> 

Geben  wir  jetzt  q  nach  einander  den  Wert  1,  2,  3,  4,  5  .  .  .  ,  so 
finden  wir  ferner 

sin'«  -  sin^  +  ain»«,  +  sin»«8  +  .  .  .  +  sin»«„  -  \  .  nj  (9) 


1 


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74  Sporer:  Ueber  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 

£sin4«  =  sin4*!  +  sin*«»  -f-  «n4«s  +  •  •  -  +sin4«H      ^  (9 

1 _J 
~2.4*n 

-2" sin6«  —  8in6a,  -\-  sin6«2  -f  sin6«s  -f- .  .  .  -}-  sin6«« 

1.3.5 
"  2  .  4  .  6  '  n 

u.  s  w.    Ebenso  wird 


(10) 


1  13 
^cos2«  —  -2sin»«  =  g  "  n»  ^cos4«  —  -Zsin4a  —        .  n 

u .  s.  w.  für  Exponenten  <  2n. 

3)  Es  ist  auch 
cos"-2«  .  sin8«  =  cos"-2a(l  —  cos*«)  —  cos"-2a  —  cos"« 
cos"-4«  .  sin4«  —  cos""4«  —  (j)cos"  2«  +  cos"« 

cos"-6«  .  sin6«  =  cos"-4«  -  ^  cos"-4«-h  Qcos"-2«  — 
und  allgemein 

cos«»-2*  .  sin2?«  —  cos"-2««  —  (fj  .  cos"-29+2«-f  cos""2»*4« 

—  .  .  .  +  (—  1)1 .  cos"« 

Ist  n  ungerade,  und  geben  wir  «  nach  einander  die  Werte  «, 
<*s,  o8  •  •  •  *n  nnd  addiren,  so  folgt  ans  der  letzten  Gleichung ,  da 
alle  Werte  -Jcos"-2*»  verschwinden  (Gl.  4): 

JTcos— 2*«  .  sin2»«  —  (— l)f  .  2;Cos"«  ] 
Ganz  ebenso  finden  wir  (  (H) 

-?sin"- 4?«  .  cos2»«  «=  (—  1)?  .  Jsih"«  ' 
Weiterhin  ist  aber 

cosn«  =  cos-  -      cos»-»«  .  sin2«  -f-       cos"-4«  .  sin4«  -  .  .  . 

Ist  auch  hier  n  ungerade  und  setzen  wir  wieder  für  a  nacheinander 
die  Werte  «„  «,  .  .  .  und  addiren,  so  folgt  aber,  da  com«,  — 
cosn«,  -  cosn«,  —  .  .  .ist,  mittelst  der  Gleichungen  (11): 


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(12) 


Kreuteüunq  auftreten.  75 

oder  da  der  Ausdruck  in  der  Klammer  |(1  +  1)M  —  2*-1  ist: 

n  .  COS  na  —  2"-1  .  JCOS"« 

Oder  wir  halten 

n  .  COS  t%ct  1 

JC08"a  =  C08H«i  -f-  cos"«,  4-  .  .  .  -f-  cos"«»  —  — ^zr~ 
und  ebenso: 

^  sin"«  —  sin*«,  -|-  sinw«,  +  •  •  •  +  sin"«» 

n~ 1 

n  .  sin  na  2 

Kehren  wir  jetzt  zu  der  Gleichung 

ZL*  =  Z{u  sin  a  —  y  cos  «)n  =  k 
zurück,  wo  *  eine  Constante  ist,  und  entwickeln,  so  erhalten  wir  aber 

«"Xsin"«  —  ^^«»-»y-Esin*-1«  .  cos« 

< 

und  hieraus  durch  Benutzung  der  Gleichungen  (11)  uid  (12): 
2(x  lin«  —  y  cos«)"  =  |x"  —  P£\  x—2  .  y* 

■  /n\  \sinn« 
+  yx"-*.y*-  .  .   .  j.nf-1) 


n— 1 


(13) 


COli  _ 

Nach  dem  Fall  IU.  in  I.  fanden  wir  aber,  dass  £Ln  in  das  mit 
einer  Constanten  i  raultiplicirte  Product  UL  der  Geraden  L  zer- 
fallen rauss,  und  wir  haben  also: 

XX"  =  i  .  DL  (14) 

Hieraus  folgt  aber  zur  Bestimmung  der  Constanten  t,  wenn  wir  auch 
die  Producte  aus  den  Werten  sin  «  resp.  cos*  mit  77 sin«  und  J7cos 
bezeichnen: 


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76  Sporer:  Ueber  goniometrisohe  Ihlatiomen,  die  bei  der 

£sinMa  —  i  .  Z7sin  a   und    -£cos"a  —  e  .  £cosa 
Aus  Gl.  (13)  erhalten  wir  nun  weiter 

n-1 

2         n  .  sin  na 
e  .  ii  sin  a  —  (—  1)        .  -  2n-T" 


_  n  .  COS  na 

€  .  HCOS«  =  2„-l 


(15) 


Nun  ist  aber  auch 

n—1 

n  •   «        /  2        »    sin  2flff 

«  .  /7sm2a  =  (-1)        .  — (16) 

indem  die  Werte  2a  gleichfalls  eine  Reihe  Ton  a  Winkeln  bilden, 
welche  sich  mit  den  einer  Reihe 

'  +  n  '       '  +   »  '      '   '   •  ß  +   » 

decken,  wenn  wir  für  Winkel  >  2w  den  um  2«  torkleinerten  setzen 
Durch  Multiplication  der  Gleichungen  (15)  erhalten  wir  ferner 

n—1 

,    „  .        „  .    „ .    2       n1  .  sin  2no 

2»  .  «'  .  /7sina  .  U  cosa  -  (-  1)        .  —     ^  (17 

«  -  n,   also  mittelst  Gl.  (16): 
=nUL 

n-1 


ii  Sin  a    —  (—1)  ;  M-1 


_  .      COS  na 

n  cosa    =  + 

n-1 

2 

/Itang  a  —  (— 1)        .  tangna  I 


(18) 


Ausserdem  erhalten  wir  noch  die  interessanten  Relationen: 
1    Zsin-a  —  n  .  77sina  —  0  1 
.£cos"a  —  n  .  IZcoia  —  0  ' 
So  ist  z.  B.  für  n  =  3: 


(19) 


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(20) 


Kreisttilung  auftreten.  77 

sin'a-J-sin^a-f  y)+ainS(a+"3^)— 3sina  •  sin("+23*) 

.  -  0 

cosso-f  C083^a-f-  ^-f-C08s^a+y^— 3cobö  .  C08^«-f-2*^ 

•  608  (°+t)  -  0 

Die  Gleichung  2L«  —  * TIL  können  wir  aber  auch  schreiben: 
n— 1 

(-D  2'j^-(«)«.-.V+C>-^-.  .  • 

n  .  /2sina(a:  —  yCOta)  =  n  .  77  COS  a(z  tang  a  —  ar) 

•»*+•  •  ) 

=  -  -2°TV  -  W1  +  -  +  •  •  • ) 

wobei  G„  <7t,  C/3 .  .  .  die  Summen  der  Combinationen  der  ersten, 
zweiten,  dritten,  u.  e.  w.  Classe  der  Werte  cota  und  ebenso  Hu  Ht, 
7/j  die  der  Werte  taug a  sind.  Durch  Gleichsetzung  der  Coefficientcn 
rechts  und  links  erhalten  wir  aber  daraus: 

Gt  —  +  U  jCOtiw   und   Hx  —  ±  tangno 

CD  *-tQ 

^  —  (3) cotnft       H*  -  +  (3)  tansna  f  <20> 

(r'5  —  -f        cot««  u  s.w.  Hb  <~  ±  (5)  tang  na  u.  s.  w. 

4)  Dio  bo  gefundenen  Gleichungen  gestatten  es  uns  wieder  eine 
Menge  neuer  aufzustellen.  Auf  solche  führen  uns  z.  B.  die  Be- 
ziehungen zwischen  den  Coefficieuten  einor  Gleichung  und  den 


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78 


Sporer     Utbtr  goniome Irische   Relationen,  die  bei  der 


Potenzsummen  der  Wurzeln  der  Gleichungen.  Bezeichnen  wir  to 
die  Summen  der  Combi  na  tionen  der  ersten  Gasse  der  Werte  sin« 
oder  cos«  mit  Cp,  so  erhalten  wir  ans  den  Gleichungen  (4)  und  (9): 


c,-o, 

1 

c*  —  rr 

1 

i 

c*  21* 

1  , 

24  •  »(»  -  3) 

c6  =  o, 

°'  -  -  31  * 

?     _/„      j\  /„ 
26  •  n("  —  *)  (n 

—  o; 

Q  ™  "h  4i  • 

1 

ns  •  *("  ~  5)  (W 

-  6)  («  - 

-7) 

^io= -Fj- 

£T© •  n(n  — 6)  (n- 

-7)  («- 

8)(« 

U.  8.  W. 

odor  anch  nmg 

ekehrt  geordnet: 

Cn_2  = 

'  *  1 1 '  2"-* 

n 

.  n  .  (n*  -  1) 

(21) 


C;-7  =  Tf].  g5=i  •  »  •  ("'  -  1)  (nf  -  9)  («»  -  25) 

n.  s.  w. 

Ebenso  erhalten  wir,  wenn  wir  die  Snmmen  der  Combinationeu 
ans  den  Werten  sin1«  oder  cos1«  der  einzelnen  Classen  durch  Du 
Z>9, .  .  .  bezeichnen: 

n      L  L 

D*  ™  ri  •  ?  •  w(2b  ~~ 4)  (2n "~ ö*  '  (23) 


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Kfeitteüung  au/lreten.  79 

Di  "  Ii  •  \i  •  »(2»  ~  5)  (2»  -  6)  (2n  -  7)  *  (23) 

^-rr  V*  • w(2n  - 6) (2n - 7) (2n  - 8)(2n " 9) 

u.   i.  w. 

ist 

Dn-t  -  ö^t2  (24) 


5)  Bezeichnen  wir  ebenso  die  Summen  der  Combinationen  der 

einzelnen  Glas  sc  n  ans  den  Werten  -t^—  nnd  — -   mit  E.,  EL,  EU 

Sin  or         COS  er  n    i»  » 

.  .  .  resp.  F„  F, ,  F3  .  .  . ,  so  erhalten  wir  weiter : 

C_i  n  n 

£i  -  ±  rf^  "  .7B„.   «nd   *i  -  ± 


Hsiu«      sinn«  1  -^cosno 

flsin«        31  sinne  *>     x8! '  cos  na 

£*  =      ^n."0  f  (25) 

«       (n«  -  1)  (n»  -  9) 
*<>  "  1  5  !  '  cos  na 

E«  "Hsina"0     und  u    5-  f- 

6)  Die  Gleichungen  (20)  ermöglichen  nns  es  auch  Formtin  für 
die  Summen  der  Potenzen  der  Tangenten  und  Cotangenten  der  Winkel 
«  aufzustellen.  Durch  die  oben  erwähnten  Newton'schen  Besiehungen 
erhalten  wir: 


Jj  —  Utang«  —  ^tang  no  =  ±  n  .  tang  na   (Euler)  j 

!f«  =  (g)  tAn«,nCf  +  2  Q)  -  u  »tang»  im»  ( 

+  *(n-l)  ) 


(26) 


Jt  —  Ztang*«*  ss 


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80  Sporer:  Ueber  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 

J,  -  2:tang'«  -  ±  ("j'tang'»«  ±  3^)  Q  tangn« 

3  (3)  tan8Ma 

-  ±  «3tang3n«  ±  n(n»  —  l)Ungno 
J<  -  Z  tang*«  -  (*J  taug**«  -f  4^)'  Q  tang*« 

(;)'-<;) 

—  n4tang*na  -f  f,n«(n»  —  1)  langem 

+  W«  -  1)  (»3  +  «  -3)  / 

und  so  weiter.   Ebenso : 

K  —  .2  cot  «  —  -f-  ncot  no  (Euler) 
JT,  -  Xcot*«  -  »*C0t*n«  -f  n(n— 1) 
JT3  -  .Ecot5«  =  n»COtsn«  -|-  „(**  _l)cotn« 
JT4  =  £  COt*«  -  COt4»«  -f  |  n  *(n*  -  1 )  cot'n«  +  $n(n  _  1 ) 

•  (**  4- »  -  3) 

0.     8.  f. 


(26) 


(27) 


7)  Desgleichen  finden  wir  mittelst  der  Gleichungen  (25)  die  Re- 
lationen: 


=  *  isn;  -  sns  (Eö,er> 

1  n» 


3ft  =  £ 


sin*a  ™"  sin*  na 


M  _  2  _J  _«3  1 

8  "*      sin3«  ~  Bin'nct      2     sin  na 

Af  _  £     1     .        n*         ?  n*(n*-  1) 
*         8in*a    "  sin*na     3  sin8r»a 

M  „  £     n&     _  6  n»(n»~  1)       1_  n(»^— 1)J>«_  9) 
6  1=3      sin*na     6    !sinana        24  sinna" 

etc. 

Und  dann 


(28) 


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Kreüteüung  av/trtten.  81 


n 


(29) 


N.  —  2  -  -  =  ±  — —  (Eulcr) 
1  C08  a  C08  na  * 

1  n* 
1  C08*a  eos*»o 

N  -  Z  -±-  -  4-  X  -  ^'^^ 

8  C08s«  ™"  X  cos'na  +  2   COS  na 

„     1  n*  2  n«(nf-l) 

IV.  =   Z«  -         =  — j    s  U.     8.  W. 

COS*«       C08*M«       3  COS*na 

Die  in  den  Gleichungen  (20),  (22),  (25),  (26)  und  (29)  ent- 
haltenen doppelten  Vorzeichen  beziehen  sich  auf  die  Fälle,  in  denen 
ft  =  4/>-f  1  oder  =  4p  — 1  ist 

8)  Zum  Schlüsse  wollen  wir  hier  noch  die  Werte  ableiten,  die 
wir  für  die  Summen  des  Producte  von  je  zwei  aufeinauder  folgenden 
Werten  sina  oder  cos«  aufstellen. 


Wir  haben 
sin 

also: 


/  .  2»     ,  .  2*  \ 

crP  .  sin +  i  =  sinerp  I  sin  ap  .  cos  —  +  sin  -  .  cos«pl 


27  sin  «p  .  sin«p+i  =  278in*orP  .  cos—  -f-  sin—  .  £sin«p  .  co8«p 

Nun  finden  wir  aber  aus  unserem  allgemeinen  Satze,  dass 

-£sin  orpcosofj,  —  0 

und 

2  sin*«p  —  | 

ist,  und  erhalten  also  : 

P=  Zsin«p  .  sinorpfi  =  g  .  cos 
und  ebenso  )  (30) 

Q  =  £  COS  ffp  .  C0S«p  + 1       |  .  cos  — 


III.    Ooniometrische  Relationen  für  gerade  n. 

1)  Wir  haben  bisher  immer  n  als  ungerade  vorausgesetzt.  Ist 
n  gerade,  so  gelten  eine  Reihe  der  entwickelten  Relationen  entweder 
überhaupt  nicht  oder  nicht  mehr  bis  zu  denselben  Grenzen  n  —  l 
resp.  2n— 2,  jenachdem  die  Functionen  von  ungerader  oder  gerader 

Atel».  4.  Math.  ».  Phy..   2.  Beih«,  T.  XVI.  6 


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82 


Sporer:  Ueber  goniomelrüche  Relationen,  die  bei  der 


Ordnung  sind.  Die  Werte  sin«  und  cos a  resp.  ihre  Verbindungen 
treten  zudem  jetzt  paarweise  auf,  und  es  sind  für  Functionen  un- 
gerader Ordnung  diese  Paare  von  entgegengesetzten  Vorzeichen, 
und  wir  werden  aber,  wie  bereits  oben  in  einem  besondern  Falle 
bemerkt  wurde,  die  Gleichungen  als  gültig  auschen  dürfen.  Ist  der 
Grad  der  Function  gerade,  so  werden  wir  um  Constanten  zu  er- 
halten diesen  nicht  grösser  als  n  —  2  annehmen  dürfen,  da  die  Zahl 
der  Symmetrien  in  diesem  Falle  nur  gleich  n  ist.  Es  bietet  auch 
keine  Schwierigkeit  in  jedem  besondern  Falle  diese  Fragen  zu  er- 
ledigen. Anders  ist  es  aber,  wenn  der  Grad  der  Function  der  Werte 
sin«  oder  cos«  gleich  n  ist 

2)  Wir  fanden  z.  B.  für  n  —  7: 

„  .                   .  sin7« 
i7sino  «=*  smo,  .  smo,  .  smo,  .  .  .  8inor7  —  ^- 

lst  »  —  14,  so  zerlegen  wir  die  14  Werte  sin«  iu  zwei  Gruppen 
und  erhalten 


II  sin  a'  —  sin«,  .  siua3  .  sin«5  .  .  .  sinal3 
und 


sin  7oj 


„  .    „  sin7a„  .  sin  7a, 

/7sino"  =  sina*  .  sin«4  .  8inac  .  .  .  sina,4  —  —    2«    +  2° 

Hieraus  folgt  aber: 

_  .  sin*  7a 
27sin«  ■=  2%r- 

und  dann: 

_              cos8 7a 
77cosa=  


und  es  ist  leicht  die  Frage  für  den  Fall,  dass  n  nur  durch  den  ge- 
raden Factor  2  teilbar  ist,  also  die  Form  4p  +  2  hat,  das  Resultat 
zu  geben. 

Ist  n  durch  4  teilbar,  so  gehen  wir  von  der  Zahl  4  selbst  aus. 
Es  ist  dann  leicht  zu  zeigen,  dass 

27  sin  a  —  sina,  .  sina3  .  sin  a3  .  sina4  =  $  .  sin*  2a 

Hieraus  erhalten  wir  durch  Zerlegung  in  drei  Teile  z.  B.  für  n  —  12 
die  Relation: 

I7si»a  —  g4  .  sin^oj  .  sin22a2    sin*  2as  —  ^  •  ain*6a 


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Kreisteiluny  auftreten.  83 

Ist  n  durch  8  teilbar,  so  führt  eine  analoge  Rechnung  zum  Ziel, 
es  ist  dann  für  »  =»  8  selbst : 

i7sina  =      •  8in'3a   u.    s.  f. 

Analoge  Betrachtungen  führen  bei  den  andern  Gleichungen  auf 
entsprechende  Relationen. 


Anwendungen. 

IV.    Aufstellung  weiterer  gonionietrischcr  Gleichungen. 

1)  Die  bisher  gegebenen  Entwicklungen  gestatten  uns  ausser 
den  bereits  gegebenen  noch  eine  Menge  anderer  goniometrischer 
Relationen  anzugehen.  Um  solche  zu  erhalten,  können  wir  wie  folgt 
verfahren.  Wie  wir  sahen,  stellt  eine  cyklisch  symmetrische  Function 
der  Geraden  L  von  gerader  Ordnung  <  2n  immer  eine  mit  einer 
Constanten  multiplicirte  Potenz  von  x*-|-ys  dar  und  verschwindet  für 
ungerade  Ordnungen  <  n  identisch.  Um  diese  Constante  zu  er- 
halten ,  genügt  es  jeweils  einen  einzigen  Coefficienten  in  der  Func- 
tion F(L)  zu  bestimmen.  Ist  dieser  bekannt,  so  resultireu  dann  von 
selbst  für  die  andern  Coefficienten  solche  goniometrische  Gleichun- 
gen. So  erhalten  wir  z.  B.  für  die  Summe  der  Combiuationen  der 
L  die  identischen  Gleichungen: 

c*m  -  -  22  •     +  y*) 

C\L)  =  +  0 

CiL)  -  +  \  j  .  2*  •  «(»  -  3)  [x*  +  srV 

(^(L)  =  0    u.    s.  w. 

Ebenso  erhalten  wir  für  die  Summen  der  Combinationen  aus  den 
Werten  L*  die  Relationen 

C*(£l)  S      •  25  •  "(2n  -  4)  (2n  -  5)  (**  + 

6* 


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*  *  • 

84  Sporer}  Ueber  goniometruche  Relationen,  die  bei  der 

<7»(Z*  )  =  *      *7  .  n(2«  -  5)  (2«  -  6)  (2»  -  7)  (x*  +  y*)* 

u.   s.  f. 

2)  Weit  wichtiger  als  die  hier  angedeuteten  Relationen  sind 
aber  diejenigen,  die  wir  erhalten,  wenn  wir  für  a  in  deu  bereits  ge- 
fundenen besondere  Werte  einsetzen.  So  gehen  die  Gleichungen 
(5;,  (9)  und  (10)  für  o,  =>  0  ohne  Schwierigkeiten  in  die  folgenden 
über: 


n  2«  ,       3«  4»  n— 1 

COSn  -C08-  +COS— -COS— +.    .    .  ±COS—  1t=\ 

(Euler) 

cos5 -  —  cos3— +cos8  —  —  coss-n-+  .  .  .  +COS3  27^r  =1  (  (31) 
cos6"— cnsß^r-f-cosö3f4,r-cos5^+ .  .  .  ±cos6W-^r=i 


n  n    1         n  n      "   '   '  —  2n 

U.    8.  W. 


sin*  -  -f  sin*  Lsin*  \- 


.  ! Ä  i    .  42w  .  .    3tc  .    1 — 1         1.3  n 

sin<-+8,n*-+sin<n  +  .  .  .+sm«  ^  «  -  ÄTi  •  5 


sin«  -  +sin«  —  +sin«3-+  .  .  .  +  sin« 
n    1  n 


i* — 1 
2n 


1.3.5  n 
2.4.6'  2 


U.     8.  f. 


(32) 


COS*"4-COS*^t-fcOS*2n?e4-  .    .    .  +C08*  ^ 


1     n  1 

2'  2  2 


cos4  -  -f-cos*  — -j-cos*  -  +  .  .  .  +COS*  n 


1 .  3    *  _  1 
2.4*2     2  /  (33) 


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C086  ~  +C08*  ~  -f-C086  —  +  .    .    .  +  C086  "  ^  *  j 

~ 2.4.6'  2     i  ) 
etc.,  wobei  die  Exponenten  nicht  n  resp.  2n  erreichen  dürfen. 

3)  Ist  ebenso  o  —  ^,  so  finden  wir : 
",D  3»+8"'  S,+8,D  3r-8,n  3»+8ID  3^  +  •  •  • 


int 


8111 


2n 


.  3n-l 
±  s»n  fo-n  -  0 

3n+8'n,3»+8,n,3»+8,U,3n+8iB,3»  +  -  ■  • 

.       ,3n— 1  1 

+9,n,-6,r«  -ä 

8",63-.+8,n'3»--8m'S.-8,,,'3„+»i'1,^  +  -  •  • 

±  sin8         w  —  0 

8in4rB+8i»i23!+-<43:+8i'><i:+8^T+--- 


.    .  .  3n — 1  1  .  ! 


.  3 

.  n 


*  2»         4«  5»  7« 

008  31.  -C0S  3»  -«»  3n  +C08  3»  +C08  ä!  ~  •  '  • 

3»-l 
±C08-^-  >r  -  0 

.        3n-l  1 

,3n-l 
±COS8-  n  —  0 


8G 


Sporer:  Ueber  goniometriscke  Relationen,  die  bei  der 


C08  3»+C0S  3n+C08  3«+C0B  3n+C°8  3»  +  *  *  ' 

.       .  3n-l  1  •  3 

_|_C08<   _  *  -  -  4 

u.  s.  f.  Die  in  den  Zählern  auftretenden  Zahlen  sind  alle  ton  der 
Form  3pJLl-^ 

Gleicher  Art  erhalten  wir: 


4n 


bn 


In 


.  n 


(34) 


n 


et  = 


.  n  .  5?r 
8,D4n+Sin4« 


Sm4n-Sm  4n+S1D  4n+-  ' 


4n 


±sin 


2n^l 
4n 


=  0 


71  37T 

C08  4n-C08  4n 


In  9> 
•  +  C0S4„+C08      —  - 


bn 


4» 


±  cos 


2n-l 
4n 


-0 


5  ' 


»  4* 

bn  '  bn 


Gn  9«       .  11* 


5» 


.  5»-3 


±  sin  -  , 


10« 


=  0 


n 


An 


bn 


9n 


11* 


os  5n  -  cos  &n  -  cos  5n  +  cos  ^  +  cos  K-  - 


5» 


5n-3 
±  cos  Taw  * 


~0 


«  = 


2n; 

____  • 

5  • 


2n  3n 
8m  5  +  8m  5 


.In       .  8n  .    .  12n 
sin  ^  —  sin  .  — }-  sin  :j  +  .  .  . 


±  sin 


.  5n-l 


10n 


TT  =  0 


2n 


Sn 


C08  5  -C0B  5 


In  .        8*  .  12« 
COS  5  +COS  ö  +C08  -y  - 


•     •  • 


5n~l 

±  cos  l0n  T 


-  0 


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Kreisteilung  auftreten. 


87 


u.  8.  f.  Wir  haben  uns  dabei  auf  die  ersten  Potenzen  der  Werte 
beschränkt;  die  auftretenden  Zähler  haben  die  Form  4p  il,  bp  +1 
und  5p  +2. 

Ist  n  gerade  so  erhalten  wie  ganz  analoge  Gleichungen,  so  finden 
wir  z.  B. 

8ln  i6  +  8,n  iß  ~f- sin*  ;„  —  sn2  .„  =  2 


16 


16 


■in*i6+im«  16-fsin*164- sin*  lß  -  2 
3)  Ganz  gleicher  Art  lassen  sich  aus  den  Summenreihen  für  die 


,  tanger  und  cosa,  solche  Glei- 


Potenzen  der  Werte  ,  — 

siu  o   cos  o 

chungeu  ableiten.    Wir  tindeu  so,  wenu  wir  uns  auch  hier  auf  den 
n 

Wert  "  •=  jj  beschränken : 


1  +  1  1  1   ,      +  A_ 

.  .4*  5»''''—    .  3n-l 


Sin3n  8i"3» 


8,a5„  8,U3™ 


SIU 


6* 


2n_ 
V'3 


1       +     1  + 


n  +  '2n 
sin*         sin* ;  - 

3»  6n 


sin 


3« 


81!)' 


Ö7C 

3« 

1 


Bin3 


3»— 1 

6» 


sin'* 


4na 

3 


sin3 


7t 

3n 


+ 


sin* 


Ä 

3»» 


sin3 

3n 


sin-1 


5*r 
3n 


sin 


n—  1 


8Z- 


3V3 


6« 


V  +         'irr  +      ,4«  +   .  ,5*+*  ' 


sin« 


3« 


sin"1 


3n 


sin*  „  sin* 


3»» 


3n 


+ 


sin' 


3»  — 1 
5h 


4 


8n44-8na 
9 


71 


u.    s.  w. 


(36) 


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88  Sporen  üeber  goniomeirische  Relationen,  die  bei  der 

1_  _      1  1  1 

n  2n~        An*  bn 

-  2n 


1        1  ■+-!-  + 

„j+      bn  +'  *  ' 

COS  5—       COSs-       C08  5-  c08^„ 
3n  on  ön  on 


2n  — 1 

008  HST 


1  +"i 


COS 


TS 

3^ 


2« 


3u 


-+  — 


bn 


""i™   ■     •  * 


cos*  =-     cos"  o       cos»  =- 


3n 


3n 


.3n— 1 

008  ~6n  71 


-  4n« 


1 


w  2?r 
C0S33»  C08*3n 


1    ;+-  1 


.  4«  n       ,  bn 
COS8  ir~      cos*  =— 
3n  3n 


t  3n-l 

•  —  1 


-  7n»+n 


6» 


U.    8.  f. 


n  2n   ,  4?r  1 

tang^-tang3n+tang3^-teng3nH..  .  . 

3«  — 1 

±  taog  -  g~  n  -  »  V3 

tong«^+tBng»^+toiig»^+Uiig«g  +  .  .  . 

-j-tang2  3wgw  1  w  —  4n*  —  n 

teng33n"tong8^_,"tAng33^~tangS^+-    •  • 

±  tang*^6--  n  =  (4n»-n)  V3 

etc. 

n  2rr  ,       4?r        ,5ff  . 

COt  3»  -  COt  3n  +  COt  3»  -  °0t  3n  +     •  • 

^3n-l  n 


Kreisleitung  auftreten.  g9 

-£+«*S+«*t-M*g+.  •  .  *  (39) 

+  cot,__ffM 


±COt»^l*-(-n)  V3 


u.    s  f 

Eine  Schwierigkeit  bei  Aufstellung  dieser  Relationen  tritt  nur 
dann  ein,  wenn  je  eines  der  Glieder  rechts  und  links  die  Form  oo 

annimmt.  Dies  ist  z.  B.  der  Fall  für  2-^,  wenn  o,  =  1  ist 
Wir  erhalten  dann  aber 

z  JL  1     =      n»     _  1 

sin*«     sin*«,     sin*n«,  sin*«,* 

Ersetzen  wir  hier  «  und  na  durch  die  Werte  a  —     und  n«— 
so  erhalten  wir  ohne  Schwierigkeit 


SA  i 

sin*«  sin8 


n»-l 


sin*«,  3 

Da  in  ^sln*«  mit  Ansnahme  der  ausgeschiedenen  Glieder  aber 
alle  andern  paarweise  gleich  sind,  so  folgt  daraus  wieder ; 


sin*^+,"+s^ 


2*      .  ,  3rc     '     "   '    .     „_i  =-6~ 

(Euler)  (40) 


Ganz  ebenso  finden  wir  noch  z.  B. 
1 


sin*  -     sin«  —      nn*  —  sin4  ~= — n 

n  n  n  2n 


n*-j-10n»— 11 

90  J  (41) 


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90  Sporer:  Ueber  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 

tang*  2     tang»  -     tang*  -  tang»    g—  « 

n»-3»f  2 
~  6 

_JL  1  L  .  1  — 

tang4  n     tang*  ^      tang4  —  tang4  n 

»*~20n»4-45n  -26 
90 

Die  Bestimmung  der  Werte,  die  zu  den  Exponenten,  6,  8,  10  u.  s.  w. 
gehören  führt  auf  mehr  umständliche  als  schwierige  Rechnungen. 

Ist  n  gerade,  so  erhalten  wir  ganz  ebenso: 

2«  T   .      'An  T"  '  *   '  ^    .  „n-1  6 


sin2         sin*  —      sin*  sin* 

n  n  n  2« 

(Euler) 

4)  Wie  wir  weiterhin  sehen  ist: 
n— 1 

77siu«  —  (—1)         ^M_,      und    /icoso  =  2«^T 

Geben  wir  auch  hier  o  verschiedene  Werte,  so  resultiren  entspre- 

sin  na, 

chende  Werte.   Ist  o  =  0,  so  wird,  da   8.     1  =  »  ist: 


(Euler)    [  (42) 


sin*    .  sin*      .  sin*       ...  sin*  -       n  —  .  _, 

n  n  n  5?»  SS"  1 


„  n        ,  2n        .3»  .  n —  1  1 

cos*     •  cos*      .  cos*       ...  cos*    9    ■*—«„.  i 


Ist  o  —      so  erhält  man : 


*     .   2»        4*    .   6x  7« 
in  ^  .  sin  3  .  sin  ^  .  sin  ^  .  sin  3  +  .  .  . 


I 


■  3"— J        V3  i 

6«    *  ~   2"  (13) 


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Kreisteihng  auftreten.  91 

n        2n         An        bn        In  .  \  (43) 

COS  g  .  C08°y  .  C08  y  .  COS  y  .  COS  y  -f-  .    .    .  1 

n  — 1 

3n-l  2  1 

i 

u.    s.  f. 


T.    Summirang  reciproker  Potenzreihen. 

Dnrcb  die  Gleichungen  (27)  und  (28)  ist  es  uns  möglich  gemacht, 
eine  Menge  von  Summenformeln  für  Reihen  aufzustellen,  deren  Glie- 
der reciproke  Potenzen  ganzer  Zahlen  sind.  Gehen  wir  etwa  von 
der  Reihe 


~  +      2*  4*  5*+^  .  7«  +  '  "  ' 


sin        sin        sin        sin  sin  — 

n  n  «  n 


aus,  so  erhalten  wir  aus  dieser 


n 

2« 

n 

3» 

3n 

3n 

n 

8,D3n 

^  2* 

sin  =- 
3n 

.  4?r 
8m3» 

1   2n 

•  •   •  ±   7  3n  -  1  ~~  V3 


n  2« 


.  3n— 1  3V3 
sin  -6n  -  « 


Lassen  wir  jetzt  n  in's  Unendliche  wachsen,  so  dürfen  wir  an  Stelle 
der  Sinusse  die  Winkel  setzen  und  erhalten: 


1.1      1      1,1,1      1  2tt 
1  +  2-4-5  +  7  +  8  -10--  '  *  -  3V8  (Euler) 

und  ebenso: 


1  4-1  4.1  4-1  4-1  -L1  4-  1  . 
1%  -r  2«  -r  4s  T  5t  t  ?J  1-  8t  i-  102  "1- 


11       1^      1^   ,  1    ,  1    ,    1  _5V 3  1 

1»  +  2»  "  4»  ~  5»  +  7»     8S  +  10»  ~~  1  '  '  —  87  V3  /  (44) 


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92  Sporen  Ueber  goniometriecke  Relationen,  die  bei  der 

H  -r  2«  "r  44  -r  54  1-  74  f  84  -r  10«  -f  •  •  •  —  729 


1,1      1       11,1  1 

l&  T  25  -  4*  —   55  +  76  +  gS  —  1()6  ~  '    '    '  - 


(Euler) 
17»* 


2906V3 

etc. 

Ganz  ebenso  können  wir  ton  den  Reihen  für  £ «—  ^  ausgehen 

und  erhalten  dann  für  die  ungeraden  Exponenten  die  weiteren 
Reihen: 

11,11,11,1  *r,, 
1  ~  2  +  4  ~  5  +  7  "  8  +  lo  "  '  *     "3^3  (Euler) 


V3 
(Euler) 


(45) 


1  *  1  *  1,1  1  ,  1  J 
1»     2*  "T"  4»     5»     7»     8*  +  19'        '  *  ~  81 

U.     8  f. 


Weiter  erhalten  wir  z.  B.  noch  für  a  «=  T : 

4 


^l  +  I-f  +  J--  •  •  "T  (Leibnitz) 

1+3  =  5-7  +  9--  •  •  =  2y2  (Ealer) 

1    ,  1      1,1,1,  *•      .  % 

-f  1  +  31  +  5t  +  7»  +  91  +  •  •  •  -  3  (Euler) 

1      1,1_  »».p,  . 

Ys  —  3«  t  5»  —  7s  -r-  9s  —  •  •  •  —  32  l^ulen 

1  ,  l     l  1,1, 

1«  T  3»  "  5»  ™  7s  T  93  T  •  •  • 

1       .     1       •     1       ,     1       I     1       ,  n*   /T7    I  % 

1*  +  3*  +  5*  +  7*+  9*  +  *  '     "96  (Eulcr) 

etc. 


Desgleichen  erhalten  wir  solche  Reihen,  wenn  wir  für  u  die  Werte 
b 1  5~  '  6*  1*  "7  '  T'  8  s«tzen-    Dieses  Verfahren  versagt 


(46) 


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KretMteilung  auftreten. 


93 


aber  für  den  Wert  «  —  0.  In  diesem  Falle  müssen  wir  die  bereits 
oben  gefundenen  Grenzwerte  beoutzen  oder  aber  können  wir  die 
sich  ergebenden  Reihen  von  der  Form 

etwa  ans  den  Reihen 

bestimmen.   So  folgt  z.  B.  für 

s  —  fi  H~  2*  4"  5»     4*     '  *  * 

aus  der  Reihe: 

1,1,1,1,1,  4*« 
1*  •  2*     4*     5*      7*  27 


TL   Reihen  in  denen  Binomlaleoeffleienten  auftreten. 

1)  Wir  sind  bereits  oben  auf  die  merkwürdige  Relation  ge- 
b  tonen: 


©' ,  (0* ,  «r .    .  52 


"t"  /0„\  4"  /9«\  4"  •  •  •  + 


p/  2.4.6. 


1.3.3.  .  .  (2p-l) 


Ausser  dieser  lassen  sich  aber  noch  eine  Menge  anderer  solcher 
Beziehungen  zwischen  Binomialcoefficienten  durch  die  oben  gegebe- 
nen goniometri8chen  Formeln  ableiten,  üm  die  obige  Relation  zu 
erhalten,  gingen  wir  von  der  Gleichung 

2:(sin*o  +  coi*«;J»  —  n 
aas.   Gehen  wir  ebenso  Ton  der  Gleichung 

2:(sin'«-f-eos*a)P  .  sitffa  =  £sm*9a  -  1  '*      g  ■  j  2g ~-  .  n 

aus,  so  finden  wir,  da  wir  n  jedenfalls  grösser  als  2p-\-2q  wählen 
können,  aus  der  entwickelten  Gleichung 


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94  Sporer:  (Jeher  goniomeirische  Relationen,  die  bei  der 

«?sin2P+2*-f  (j)  Jsiii2?*2*-2  .  cos*«  +  Q -ZsinöP+2*-4«  .  cosa4-f  ... 

1.3.5.  .  .  2g  —  1 
"     2  .  4  .  6  .  .  •  2/>     *  " 

durch  Einsetzen  der  aus  den  Gl.  (16)  und  den  folgenden  sieb  er- 
gebenden Werten.- 

CV) 

£sin2P+2*  =  /2/>  +  2<A  *  ^(p  +  q) 
\     0  J 

iP~tq) 

£sin2P+«-2«  .  cos2«  =  (ip+2d\  '      +  ^ 

et") 

Zsin2P+69  4«  •  cos4«  =  /2p+       '  ^  +  ^  etc' 

\     4  J 

,    i    ,      1  -3.5.  .  .(2/>+2g-D 
W+«J  -  '2.4.6.  .  .  (2j>  +  2?)  * 

f2q+2)(2g4-4)  .  .  .(2<H-2y) 
~  (25-fl)(2</+3)  •  •  .(2H-2/>-l) 

Wird  insbesondere  p  —  g  genommeu,  so  ist 


(47) 


(2p+2)(2p+4)  ;    •  ;  W 
"(^p+l)(^P+3).  .  .(4p-l) 

2)  Wählen  wir  dagegen  die  Gleichung 

cos  2a  =  cos8«  — sin*« 

so  haben  wir 

2?cosp2«  =  2(cossa  — sin*«)P 

oder 


(48) 


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Kreuteilung  au/trettn,  95 

£eosJ»2«  =  Zco&a-       £cos2/»-2«  .  sins«-f-(*)  Zeos2'-4« 

.  sin4«  —  .  .  . 

Ist  hier  p  ungerade,  so  ergiebt  sich  eine  Reihe,  deren  Glieder 
sich  paarweise  aufheben,  ist  dagegen  p  gerade,  so  finden  wir,  wenn 
wir  anstatt  p  den  Wert  2q  setzen: 

«)■  er  rar. 

(?)  "  (t)  CO 

tp(2q)      (29+2)(2«+4)  •  •  •  IM 


(49) 


9(49)      (2g+l)(2«+8)  .  .  .  (4^-1) 

3;  Es  ist  ferner 

2sin2o  .  cos  2«  =  4  sin  o cos  o  (cos2« —  sin*«)  «=  sin4v 

also: 

2  8in*a  =  4?  ^siuPacosPafcos*«  —  sin*a)P) 

oder: 

~2p  .  .Esin^a  =  £  sin«  .  cosV'a—         .  <£sinP+2a  .  cos«3'"2 

+  (j)  .  2; sin4«  .  cos*?-2«  -  .  .  . 
und  hieraus  für  p  =  2q 

_  <p(Sq)     _1_  _  (2(Z-f-2)(2o-r-4)(2g4-6)  .  .  .  (Sg) 
'v(2q)'  l4*  —  (2g+i)"(2«+8)(2rf+Ä)  •  •  -(8«-l) 

4)  Aus 

cos4«  —  sin4«  =»  (co8Ä«+8ina«)(co82«  — sin8«)  =-  cos  2« 
folgt  desgleichen : 

-£(co84«  -sin*«)*  —  £co8*»2« 

£cos4P«  -        ZcosWa  .  sin4«  +  (£)  2co***-*  .  sin8«  -  .  .  . 

=  Zcos^« 

oder  für  p  —  2q : 


(50) 


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96  Sporer:  Utber  goniometrieche  Relationen,  die  bei  der 

mm  (am, mm 

(?)  "  ©   m  ""    >  « 

_  (4g+2)(4<rt-4)  ♦  •  •(%) 
-  <4fl+l)(4H-3)  .  .  .(8g-l) 

5)  Da 

C082cr  =  1  —  8in,a 

folgt  weiter  aus 

2co&«  =  2*(1  —  sin*«*)* 

2co82'a  -  n  -  Q  Zsin»«  -f  £{sin*«  -  (0  28in6a  +  .  .  . 
oder: 

1_  §  *  (l)  +       (a)  "  2TTT6  (3)  +    '  ' 

1.3.5.  .  .  2p  —  1      1.3.5.  .  .  2p  —  1 
111     2.4.6.  ..2p     "     2.4.6.  ..2p 

Ist  p  gerade  =  2g,  so  erhalten  wir  daraus: 

1     /2g\     1^3  /2g\      1.3.5  /2g\ 

V^"l"2.4\2/     2.4.6\3>/"h'  '  ' 

1.3.5.  .  .(2g  -3)     /  2g  \ 
2  .  4  .  6  .  .  .  (4g  -  2)  *  V2$-l/  ~ 

Ist  dagegen  p  —  2g-f-l,  80  wird 

_  1    /2g-f  1  \  ,  1_L_3    /2«-H\  LlU? 
2'  V    1    /"1"2|J4'  V   2    /  2.4.6 

1.3.5.  .  .(4g +1) 
~~     2.4.6.  .  .4g  +  2 

6)  Aus 

1-f  COS  2a  =  2cos*a 

folgt  analoger  Weise 

£(l-f-cos2a)i'  —  2*2:  cos2*«* 


(52) 


1.3.5.  .  .  (2p  —  1) 


(54) 


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(56) 


Kreisteiluhtj  uuftrtien  Q7 

7)  Desgleichen  giebt  cos2o  =  1  -  2sin*a 

-?cos*2«-  2T(l-28in*«)' 

oder  wenn  wir  das  eine  mal  p  —  2?,  das  andre  mal  —  2g  -f~  1 
setzen : 

,_  1  (2«\  m  1  *  3  W  _  1 -3-5  (2A  _i_ 
1     ilVl/"^  2!  \2/  3!     \37",",  '  * 

1.3.5.  .  .  (ig  —  1) 
2.4.6.  .  .  (4?) 

1  /2<H-1\  1.3  /2g+  1\  1^.3.5  /29+l  \ 
1!  V    1  2!   V    2   )  ~      3!  "  V    3  J 

-f  ...  -  0 

8)  Multipliciren  wir  cos  2«  mit  (1  —  cos  2«)?  und  ebenso  (~2sin*  a 
mit  2*8^«,  so  erhalten  wir 

cos2o(l  — cos2o)^  —  2*8in2Pcr(l  —  2ain*a) 

2*  Vi/ +  2.4  V*/ ^2.  4.  6  V6/+'  *  * 

jl  .  3  .  5  .  .  .  (2p-fl)         1.3.5.  .  .  9y— 1 ) 
"     |IJ,6..,flf)     '        2  .  4  .  6  .  .  .  2p    Ji  (56) 

1.3.5.  .  .  (2p  —  1)       p  1 
p!  *  p+1 

9)  Weitere  solche  Relationen  ergeben  sich  noch  aus 

«-{-iCOS*«  —  a8in*a-{-(a-f  6)C08*« 

So  ist  z.  B. 

l-fcos'a  —  sin'ur  4-2008'« 

also : 

^a-f-cos*«)*  -  ^(sin»o-f2cos,«)P 

und  hieraus: 

1  +  2'  (l )  +  274  (2  )  +  2  .  4  .  6  (3)  +  *  *  • 

1.3.5.  .  .  2p  —  1 


'      2.4.6.  .  .2p 

Arek.  d.  M»U.  a.  Phy..   2.  K.iii«,  T.  XTL 


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98  Sporer:  Uebtr  goniometruch*  Relationen,  die  bei  der 

Ebenso  aus 

1-f  2cos?«  —  sin*« -f- 3  cos*« 


Im  <s>  ©  et) 


(58) 


+  • . 

1.3.5.  .  .  (2p  — 1) 
2.4.6.  .  .  (2p) 

10)  Eine  weitere  Formel  liefert  uns  auch 

sin4«  +  cos*«  —  (sin2« -|- cos1«)*  -  2sin2«cos,a 

-  $(2  — 8in*2«)  -  J(sin»2«  +  2cos*2a) 

Potenziren  wir  mit  p,  so  erhalten  wir  hieraus: 


TO    ©  (?) 

1_.  3  .  5  .  .  .  (4p-l)| 
•     2.4.6.  .  .(4p) 

/p\  ,  1  .  3     1      /p\      1.3.5  1 
=»1-*.J         +  2*'  UJ~  2.4.6*  2> 

•  6)+-  • 

ff)  «)  CT)  (?) 

1.3.5.  .  .  (2p-l) 


(59) 


-iH4.{)fSrJ0+J*{(SH-...|.l 

11)  Zum  Schlüsse  wolleu  wir  noch  eine  Formol  ableiten,  die 
zwar  keine  Binomialcocfticienteu  enthält,  aber  soust  von  Interesse 
ist. 


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Kreisteilung  auftreten.  99 


Wie  wir  sahen,  gelten  die  Gleichungen: 

sin*«« 

77(1— cos2«)  =  2"77sin««  =  2„_2 

COS^t'tt 

77(1  -f  cos  2«)  —  2"  77 cos««  —  -^Zj- 
Hieraus  folgt  aber  durch  Addition: 

77(1  —  cos 2«)  +  77(1  -f-cos2«)  - 

oder: 


1 


d.  h. 

+  41  •  jiirf»— 7)  —  .  .  .  ±        =  22I,_i  j 


(60) 


VII.   Anwendungen  auf  die  Ellipse. 

1)  Eine  Ellipse  möge  durch  die  Gleichungen 

x  «=  acoso,  y^üsina 

gegeben  sein.  Geben  wir  hierin  dem  Winkel  o  nach  und  nach  die 
Werte  a(,  o3>  .  .  .  an,  wo 

.  2(p  — 1) 

«p  —  «H  * 

ist,  so  erhalten  wir  auf  der  Ellipse  die  Ecken  eines  flächengrösiten 
nEcks,  das  ihr  einbeschrieben  ist.  Bezeichnen  wir  weiter  mit  r,, 
rt,  r3  .  .  .  r„  die  Entfernungen  eines  Punktes  P  von  den  Ecken 
dieses  n-Ecks  AlAtAä  .  .  .  An  ,  so  erhalten  wir,  weun  p  und  q  die 
Coordinaten  des  Punktes  P  sind,  die  Gleichung 

r*  —  (|>  —  acos«)*-|- ('/—''  sin«)* 

und  hieraus: 

—  P1 + tfs  +  «*  C08*a  -[-  4*  sin*«  —  2ap  cos  a  —  'ihq  sin  o 

und 

7* 


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100  Sporer:  Utber  gonfornttruch*  Rtlationtn,  dit  bei  der 

2r*  —  n(p*     q%)  -f-  2 (a% COB*a-|-  i'sin^o  —  2ap  cos  a  —  ihq  Bin  «) 
=  n(p»+g»)  +  ^\n  (61) 

Dies  giebt  uns  aber  den  Satz: 

„Ziehen  wir  nach  den  Ecken  eines  beliebigen  fl&chengrössten 
„einer  Ellipse  einbeschriebenen  «-Ecks  AtAtAt.  .  .  An  von  einem 
„beliebigen  Punkte  P  die  Strahlen  PAlt  PAt .  .  .  PAn,  so  ist  die 
„Summe  der  Quadrate  dieser  Strahlen 

PA*  +  PAt*  +  PAJ  +  PAJ 

„constant,  wenn  das  trEck  sich  ändert  oder  aber  der  Punkt  P  auf 
„einem  Kreise  um  den  Mittelpunkt  der  Ellipse  sich  bewegt.  Diese 
„Summe  wird  zudem  ein  Minimum,  wenn  der  Punkt  P  in  den  Mittel- 
punkt der  Ellipse  zu  liegen  kommt  und  zwar  ist  sie  dann  immer 

-  K«1 +  *»>•) 


♦)  Ausserdem  finden  wir  z.  B.  für  fl  achengrOsste  der  Ellipse  einbe- 
schriebene Dteiecke  noch: 

„Die  Summe  der  reeiproken  HOhenquadrate  ist  constent,  nämlich  gleich 


„und  ebenso  ist  die  Summe  der  reeiproken  Biquadrate  der  Höhen 
„nämlich  gleich 

Ebenso  finden  wir  für  die  Summe  der  Quadrate  der  Ecktraasreraalen 
eines  solchen  Dreiecks  nach  den  Seitenmitten  die  constante  Summe 

f  <•»+!») 
und  für  die  Summe  der  Biquadrate  desgleichen 

und  hieraus,  wenn  wir  diese  Summe  mit 

2  p  2  \„  Et*  und  £* 

beliehnen.   In  jedem  Dreieck  ist 

f£t*\*  2t1 


2l 


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Krtisltxlung  auftreten. 


101 


Für  n  =  4  erhalten  wir  den  bekannten  Satz  für  die  Quadrat  - 
summe  conjugirter  Halbmesser,  für  n  —  3  gab  die  Erweiterung 
Jakob  Steiner.  Es  ist  weiterhin  klar,  dass  wir  ausser  der  Summe 
der  Quadrate  irgend  welche  cyklisch-symmetrische  Functionen  der 

n  —  2 

Werte  r*,  für  gerade  n  bis  zum  Grade    ^    und  für  ungerade  n 

bis  zur  Orduung  n — 1  nehmen  dürfen.  Wir  werden  dann  immer 
Constanten  erhalten.  Für  einen  beliebigen  Punkt  P  werden  aber 
die  sich  ergebenden  Summen  keine  einfachen  mehr  und  wir  wollen 
uns  deshalb  daranf  beschränken  einzelne  Fälle  für  den  besoudern 
Umstand,  dass  P  Mittelpunkt  der  Ellipse  ist,  zu  erörtern. 

2)  Bilden  wir  für  den  letztgenannten  Fall  die  Summe  der  2p  ten 
Potenzen  der  r,  so  erhalten  wir 

£PA*p  —  £r**  -  £(a*cos«a  -f-  b*s\n'a)P 

=  a*FJcos»P+  ^a2p-2A»2cos2P-2«8in«a-f-.  .  . 

Setzen  wir  hierin  für  ^cos2?«  etc.  die  früher  gefundenen  Werte 
und  für  g>(p)  zudem  den  Wert  aus  Ol.  (7)  ein,  so  haben  wir  aber. 

„Ziehen  wir  von  dem  Mittelpunkt  einer  Ellipse  nach  den  Ecken 
„eines  einbeschriebenen  flächengrössten  u-Ecks  Strahlen,  so  ist  die 
„Summe  der  2p  ten  Potenzen  dieser  Strahlen  für  2p  <o  oder 
„2p  <  2«,  je  nachdem  n  gerade  oder  ungerade  ist,  constant,  näm- 
„lich  es  ist  diese  Summe  gleich: 

(py  ßy 


(?)  (?)  (?) 


3)  Sei  gleicherweise  eine  Ellipse   gegeben  durch  die  Glei- 

und  ziehen  wir  durch  den  Mittelpunkt  dieser  Ellipse  Strahlen,  welche 
mit  der  x- Achse  die  oft  genannten  Winkel  o  bilden,  so  erhalten  wir, 
wenn  wir  x  —  p  .  cos « ,  y  —  q  .  sin  o  setzten : 


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102 


Sporer:  Uober  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 


1       cos*a  sio8a 

Hieraus  erhalten  wir  ebeuso: 

1  /cos*«  sinV\' 

und  wie  oben: 

„Ziehen  wir  desgleichen  durch  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  n 
„Strahlen,  die  den  Vollwiukcl  in  2«  gleiche  Teile  zerlegen,  so  ist 
„auch  die  Summe  der  2pten  rcciproken  Potenzen  der  n  Halbmesser 
„constant,  wenn  P  die  obigen  Bedingungen  erfüllt,  und  zwar  ist  diese 
„Summe  gleich: 

(")'  (')* 

°2r  +  ßy,'-*  t'+QPya2'-t  »*+••• 


i 


ff)  (i) 


Ist  n  —  4 ,  so  resultirt  daraus  der  bekanute  Satz  über  die 
Summe  der  reciproken  Quadrate  zweier  senkrechten  Ellipsenhalb- 
messer. 

Wir  brauchen  auch  hier  kaum  zu  erwähnen,  dass  wir  uns  hiebei 
nicht  auf  die  genanuteu  Potenzsummeu  zu  beschränken  brauchen. 

4)  Die  zuletzt  erwähnte  Eigenschaft  lässt  sich  auch  auf  die 
Hyperbel  ausdehnen;  sie  gestattet  aber  noch  eine  Erweiterung',  die 
sich  auf  Kegelschnitte  überhaupt  bezieht.  Sei  die  Gleichung  irgend 
eines  Kegelschnitts  gegeben  durch 

Ax*  +  By*  -f  2Cz  +  2Dy  +  E  =  0 

und  legen  wir  durch  den  Coordinateuursprung  eine  Gerade,  welche 
mit  der  «  Achse  den  Winkel  a  bildet,  so  erhalten  wir  für  die  Ab- 
schnitte p,  und  ps,  die  auf  dieser  durch  den  Kegelschnitt  bestimmt 
1,  die  Gleichung: 


Mcos»«-f  ifsin*«)?* -f-  2(Ccos«-f-/)8ino)p-f-  E  =  0 
und  somit 


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Krei$teilun9  auftreten.  103 


1        1  Ccosa  -f  D  8'» n 

P,  +  P,  "  ~  * 

1         i4cos2«  -|-  ^  sin*« 
Pi  •  p*  A< 

Nun  ist  z.  B. 

Pi3^P*3      \fi  PtPi  \Pi  9*J 

Ebenso  ist  allgemein 

p,'  ^  p/    Vpi    pV  ^  p,  ■  p>  Vpi  t  Pi/ 

-  +  p,^  (p,  +  p«)  + 

wo  «i,  a2,  .  .  .  gewisse  coustantc  Grössen  sind. 

Berücksichtigen  wir  aber  das  Allgemeine  über  die  cyklisch-sym- 
metrischeu  Verbindungen  der  Werte  sin«  und  cos«  Gesagte  uud 
geben  wir  jetzt  o  die  vielgenannten  Werte  und  addiren,  so  folgt  un- 
mittelbar, dass  für 


1 


2  (p!>  +  p!0 


entweder  lauter  solche  cyklisch-symmetrische  Functionen  ungeraden 
oder  aber  lauter  von  geradem  Grade  auftreten. 

Daraus  erhalten  aber  z.  B.: 


„Ziebeu  wir  durch  einen  beliebigen  Puukt  P  in  der  Ebene  eines 
„Kegelschnitts  n  Strahlen  ,  welche  den  Vollwinkel  in  2»*  gleiche  Teile 
„zerlegen,  und  bestimmt  der  Kegelschnitt  auf  diesen  Strahlen  der 
„Reihe  nach  die  Punkte  Au  A^  A3  .  .  .  A„H,  so  ist  für  p  >  »  und 
ungerade  alle  mal 

PAxp      PAf       PAf  PAJ 
und  für  p  gerade 

1    j.    1     i     1    _|_    1     +  .  .  .  —  const.*) 
PAf       PAtP       PAf  PAap 


*)  Ausser  diesen  S&tien  lassen  sich  eine  Reihe  andere  Beziehungen  bei 
den  Kegelschnitten  ableiten;  so  s.  B. : 


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104  Sporen  lieber  goniometrisehe  Relationen,  die  bei  der 

Till.   Anwendungen  auf  den  Kreis. 

• 

1)  Ist  einem  Kreise  ein  reguläres  Vieleck  AtAt  .  .  .  An  (Fig.  - 2) 
einbeschrieben  nnd  ziehen  wir  von  einem  beliebigen  Punkte  P  nach 
den  Ecken  dieses  Vielecks  Sehnen,  und  ziehen  wir  ebenso  von  dem 
P  auf  dem  Kreise  diametral  gegenüber  liegenden  Punkte  Px  solche 
Sehnen,  so  teilen  diese  letzteren  den  Vollwinkel  in  2n  gleiche  Teile 
und  bilden  also  mit  einem  festen  durch  l\  gezogenen  Strahl  Winkel 
au  ot, .  .  .  «„.  Ist  PPt  =  2r,  so  werden  aber  die  Werte  PAU 
PAt,  PA3i .  .  .  gleich  2rsin«,,  2rsina„  2rsin  a,,  und  wir  erhalten, 
wenn  wir  das  reguläre  Polygon  sich  auf  dem  Kreise  bewegen 
lassen  z.  B.  aus  den  goniometrischen  Relationen: 

„Ziehen  wir  von  einem  beliebigen  Punkte  P  eines  Kreises  nach 
„den  Ecken  eines  ihm  einbeschriebenen  n  Ecks  Strahlen  PAX ,  PAt. 
„  .  .  . ,  so  ist  die  Summe  der  Potenzen  dieser  Strahlen  mit  ab-' 
„wcchs.  Vorzeichen  gleich  null,  wenn  der  Potenzexponent  <n  an 
„gerade,  und  die  Summe  dieser  Potenzen  gleich  einer  Constanten, 
„wenn  dieser  Exponent  gerade  und  kleiner  als  2»  ist   So  ist  z.  B. 

PA,  —  PAt  +  PA6  —  PA*  +  .  .  .  ±  PAn  -  0 
PI,»—  PAt*+PAs*  —  PAJ+.  .  .  +  ^'  =  0 
PA*  —  PAf  +  PAt*  —  PA4*  +  .  .  .  -f  PAn6  -  0  U.  s.  w. 
PAf  +  PAf  +  PAt*  +  .  •  •  +  i**«  -      •  4r»  =  2»r* 

PAt*  +  PAf  +  PAf  +  .  •  .  +  ^4  =  2^i   w  l6r4"6nr* 

PAt*  +  PAt*  +  PA,*  +  .  .  .  +  PAn*  -  ■  •  •  «4r« 

—  20r»r«  U.  S  f 

2)  Es  dürfte  nicht  ohne  Interesse  sein  von  diesem  Satze  einige 
specielle  Falle  anzuführen: 

1.  Fall,  n  —  2.   „Satz  des  Pythageras". 

2.  Fall,   n  —  3.   „Zieht  man  von  einem  Punkte  einet  Kreises 

„nach  den  Ecken  eines  gleichseitigen  ihm  [einbeschriebenen 
„Dreiecks  Strahlen,  so  ist  der  mittlere  gleich  der  Summe 


„Ist  einer  Ellipse  ein  gleichseitiges  Dreieck  umschrieb™ ,  io  ist  die  Summe 
..der  Quadrate  und  die  Summe  der  Biquadrate  der  Entfernungen  des  Kllipsennait- 
„telpankts  von  den  Seiten  der  Dreiecke  constant,  nämlich  gleich 

?(a«  +  4»)  bzhw.  gleich  t(3a*-f-2aU»-r-8**) 


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KrtitUtilung  av/trtten. 


105 


„beiden  andern.  (Bekannter  el.  Satz.)  Die  Summe  der 
..Quadrate  dieser  Strahlen  ist  dagegen  gleich  6r*  und  die 
„Summe  der  Biquadrate  gleich  18r4. 

3.  Fall  n  =  4.  „Zieht  man  ebenso  von  einem  Punkt  des 
„Umfiangs  des  einem  Quadrat  umschriebenen  Kreises 
„nach  den  Ecken  des  Quadrats  die  vier  Strahlen,  so  ist 
„die  Summe  der  Quadrate,  vierten  und  sechsten  Potenzen 
„dieser  Strahlen  entsprechend  gleich  fir»  24r*,  80r6 
„u.  s.  w." 

3)  Wählen  wir  den  Paukt  P  insbesondere  in  der  Mitte  des 
Bogens  über  einer  Seite  des  n-Ecks  und  ist  n  ungerade,  so  werden 
die  Sehnen  paarweise  gleich,  und  eine  wird  gleich  dem  Durchmesser 
des  Kreises,  und  wir  haben  dann : 

PAt  -  PAt  +  PAS  -  .  .  .  ±  PA  ^=4  -  ±  ^  -  ±  r 

PAt*  -  PAt>  +  PAJ-.  .  .  ±  PAn-x*  -  ±  — -  ±  4r» 

s 

U.     8.  f. 

Fällen  wir  aber  vom  Mittelpunkt  des  Umkreises  Lote  auf  die 
Diagonalen  und  Seiten  des  Polygons,  so  sind  dieselben  entsprechend 
gleich  \PAU  $PAS,  u.  s  w.  und  wir  haben  also: 

„Bezeichnen  wir  die  Entfernungen  der  Seiten  und  Diagonalen 
„eines  regulären  Polygons  von  ungerader  Seitenzahl  vom  Mittel- 
punkt des  Umkreises  ihrer  Grösse  nach  mit  e„  <?,  e3  .  .  .  h-  i 

8 

„so  ist  immer  auch 

8 

„wenn  2j>-f  1  O  und  r  der  Halbmesser  des  Umkreises  ist1*. 

„So  ist  z.  B.  die  Entfernung  der  Seite  des  gleichseitigen  einem 
„Kreise  einbeschriebenen  Dreiecks  vom  Mittelpunkt  «  £r  und  ebenso 
„der  Unterschied  der  Entfernung  der  Seiten  des  Fünfecks  und  der 
„Diagonale  gleich  $r,  und  der  Unterschied  der  Kuben  dieser  zwei 
Entfernungen  ist  gleich  dem  halben  Kubus  des  Halbmessers  des 
„Umkreises4-.  *) 


*)  Auch  hier  lauen  tich  eine  Menge  anderer  Formeln  ableiten,  ist  z.  B. 


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10(5 


Sporer:  Ueber  goniome  irische  Relationen,  du  bei  der 


4)  Beschreiben  wir  weiter  um  den  Mittelpunkt  O  (Fig.  2)  einen 
zu  dem  ersteren  concentrischen  Kreis,  so  schneidet  dieser  die  Strahlen 
PA  in  2n  Punkten  P,  die  wir  der  Reihe  nach  durch  Bu  i*„  B%  . . . 
BH  bezeichnen  wollen.   Es  ist  dann  immer: 

PBX  +  PB«  +  i  -  PA 
PBt  -|-  Pß„+i  —  const. 

Bezeichnen  wir  PBX  und  PBn-i  mit  a  und  t,  so  erhalten  wir 
aber: 

wo  auch  6],  .  .  .  coustante  Werte  sind.  Bezeichnen  wir  aber 
wieder  die  Strahlen  PBX%  fJBs>  PB3,  .  .  .  mit  pj,  —  4-Pi»  •  ■  • 
so  tiudeu  wir  hieraus  uud  aus  1)  : 

».Ziehen  wir  durch  eiuen  beliebigen  Punkt  in  der  Ebene  eines 
„Kreises  n  Strahlen ,  die  den  Vollwinkel  in  2«  gleiche  Teile  zer- 
legen, uud  sind  die  Abschnitte,  die  dieser  Kreis  auf  diesen  Strahlen 
„bestimmt  ft,  e*>  p3     •  .  ,  so  ist  allemal 

Pl2pfi  -  Pj2M  i  +  Ps2pfi         .  .  +  ^„2,4-1  _  o 

Qi'9  +  Qt2q  4-  932q  +  •  •  •  +  P2m2'  —  const. 

„wenn  2^  +  1  <  n  uud  2q  ebenfalls  <  2n  ist". 

Wir  brauchen  kaum  hinzuzufügen,  dass  hier  und  in  1)  an  Stelle 
dieser  Poteuzsummen  andere  cyklisch-symmetrische  Fuuctioueu  treten 
können. 

5)  Siud  ferner  die  Gleichungen 

Lx  =  xsiua,  -  y  COS  er,  — p  =  0 
Ls'  —  xsin«*  —  y  cosa,  —  p  —  0 

«=  xsiuof„  —  ycosor»  —  />  =  0 


der  Halbmesser  eines  Kreises  =  I,  Seite  und  Diagonale  de«  einbeschrii  Denen 
reg.  Fünfecks  x  resp.      so  gelten  die  Gleichungen: 

*»  +  •/»  -5    x*-fy*=15    x«  +  t,*=iO        =      =  175 

Ebenso  erhalten  wir  für  das  reg.  Siebeneck  ,  wenn  x,  y,  x  Seiten  und  Diago- 
nalen sind: 

a-i+yt+ji  _  7    x4  +  yi  +  Ä4  .  21  -  70 

x«  +  j,«+«8  -  245   tf+jV+B«  -  872  3284 

u.   s.  w. 


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Kreisteilung  auftreten. 


107 


gegeben,  so  bilden  die  durch  diese  Gleichungen  dargestellten  Ge- 
raden ein  reguläres  Polygon  von  n  Seiten.  Bilden  wir  aus  diesen 
Grössen  L  aber  dadurch,  dass  ihre  Werte  in  eine  cyklisch-sym- 
metrische  Function  der  L  an  Stelle  der  L  selbst  gesetzt  werden,  so 
werden  in  der  entwickelten  Function  die  Coefticienten  offenbar  auch 
solche  cyklisch-syrametrische  Functionen  der  Werte  sina  und  cos« 
sein  müssen ,  oder  es  wird  für  den  Fall ,  dass  die  Function  von 
kleinerem  als  dem  nten  Grade  ist,  in  eine  solche  von  (x* zer- 
fallen.  So  wird  z.  B. 

JSV*  =  o  (**  +  *')  + »7>8 

Eine  unmittelbare  Folge  aus  diesem  ist  aber  der  Satz: 

„Beschreiben  wir  um  den  Mittelpunkt  eines  beliebigen  regulären 
„Polygons  von  ungerader  Seiteuzahl  L  einen  Kreis  uud  fällen  von 
„eiuem  beliebigen  Punkt  dieses  Kreises  Lote  auf  die  Seiten  des 
„Polygons,  uud  bilden  wir  aus  diesen  Loten  eiue  solche  eykliseh- 
„symmetrische  Function,  vom  Grade  p,  so  ist  der  Wert  der  Function 
„für  alle  Punkte  des  Kreises  constaut,  wenn  nur  p  <  »  bleibt.  So 
„ist  insbesondere  für  jeden  Punkt  dieses  Kreises  auch  die  Summe 
„aller  p  tcn  Potenzen  dieser  Lote  constaut". 

6)  Um  den  Ursprung  des  Coordinatensystem6  möge  weiter  mit 
dem  Halbmesser  eius  ein  'Kreis  beschrieben  sein,  und  von  einem 
Punkt  P  der  x-Achse  mit  der  Abscisse  *  mögen  nach  den  Ecken  A 
eines  dem  Kreise  einbeschriebeneu  »  Ecks  Strahlen  gezogen  sein. 
Es  ist  danu  für  diese  Strahlen  immer  die  Gleichung 

PA9  —  z*  4-  1  —  2* cosa 

gültig,  wo  wir,  um  die  verschiedenen  Längen  PA*  zu  erhalten,  dem 
Werte  a  die  entsprechenden  Werte  o„  cra,  .  .  .  «„  zu  geben  haben. 
Wir  werden  dauu  auch  für  diesen  Fall  eine  Reihe  von  solchen  Rela- 
tionen ableiten  köuneu.  So  werden  wir  z.  B  die  Summe  der  j>ten 
Potenzeu  der  Quadrate  dieser  Entfernungen  bilden  können.  Ist 
p  <  n,  so  erhalten  wir  aber  mittelst  unserer  goniometrischen  Be- 
ziehungen zwischen  Xcosfa  wieder: 

ZW  -  2:((l+**)-2xcos«)P 
oder  : 


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108 


Sporer:  Utber  goniometrische  Relationen,  die  bei  der 


+  1 


ZPA* -»  {&+  gy  «»-»+  g)  *V«  +  .  .  .  +  ij 


Aendern  wir  jetzt  die  z- Achse  oder  mit  andern  Worten  den 
Wert  «, ,  80  beschreibt  der  Punkt  einen  Kreis ,  und  wir  finden  dar- 
aus: 

„Beschreiben  wir  um  den  Mittelpunkt  eines  reg.  Polygons  von 
„ungerader  Seitenzahl  einen  Kreis,  so  ist  die  Summe  der  2pten  Po- 
tenzen der  Entfernungen  irgend  eines  Punktes  dieses  Kreises  von 
„den  Ecken  des  Polygons  constant,  nämlich  gleich 


„wenn  p  <1 ».  und  a  der  Halbmesser  des  Umkreises  des  Polygons 
„6,  der  des  beliebigen  Kreises  ist.  Diese  Summe  bleibt  zudem 
., constant,  wenn  der  eine  Kreis  mit  dem  andern  vertauscht  wird. 
„Hat  das  Polygon  eine  gerade  Seitenzahl,  so  bleibt  der  Satz  mit 
„entsprechenden  Aenderungen  gültig". 

Wir  können  diesen  Satz  ohne  weiteres  auch  für  den  Fall  p  —  n 
ausdehnen,  wollen  dies  jedoch  unterlassen. 

7)  Auch  im  letzteren  Falle  können  wir  an  Stelle  der  Summen 
der  Potenzen  solche  Beziehungen,  für  die  Summen  der  Combinationen 
etwa,  ableiten.  Wir  wollen  uns  dabei  aber  auch  diesmal  auf  das 
Product  dieser  Grössen  PA*  beschränken.   Wir  haben  für  dasselbe 


oder  entwickelt  und  die  Werte  aus  den  Gleichungen  21)  eingesetzt: 


II  PA*  -  I7(**  +  1  -  2*  cosa) 


XlPA*  -  (x'+l)»  -  \-lMß(^+l^+\intn^9)^+iy^* 
~  |  4)  (»  —  5)*«  («»+l)»-4  «f,  .  .  —  2«*"Ucosa 


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I 


Kreisleitung  auftreten.  109 

-f         .  n(l  -  1) 

+**•-<  .  ~  ((»  -  1)  -  2(n  -  2)  +<« ~3)) 

+  c2""Ä  '  in  K«"-lK»-a)  -  3(n-2)(«-3  +  3(n-3)(n-4) 

-(«-4){n-5)| 

+**-8  •  ^{(n-  l)(«-2)(n-3)-4(«-2)(«-3)(i.-4) 

-f  6(r»-3)(n-4)(n— 6)  —  4(n-4)(n  -5)(n  -  6) 

+  (n-5)(n-6)(«-7)l 

-f  .   .   .  —  2*"COBna 

Betrachten  wir  aber  etwa  den  Coefficienten  von  s2"-8,  so  treten 
in  diesen  die  Zahlen  1,  4,  6,  4,  1  als  Factoren  vor  den  Klammer- 
ausdrucken  auf.  Die  Ausdrücke  in  der  Klammer  sind  aber  ihrer- 
seits die  Glieder  einer  arith.  Reihe  der  3ten  Ordnung,  nod  nach 
einem  bekannten  Satze  verschwindet  dann  notwendig  die  Summe. 
Daraus  folgt  aber  das  Theorem  von  Cotes  mit  der  Moi  vre 'sehen 
Erw  eiterung 

IIPA*  —  a>  —  2g"costi«-f  1,  d  h. 

für  o  -  0 

IIPA*  =  (z*  —  1)» 

für  «  —  * 

nPA  =  g»  -f  1 

U-  8  W. 


IX.   Quadratur  der  Fusspunkteneurve  des  Kreises. 

Wie  wir  in  VIII.  5)  sahen,  können  wir  zwischen  den  Loten 
eines  Punktes  auf  die  Seiten  eines  reg.  Polygons  eine  Menge  von 
Relationen  aufstellen,  die  auf  Kreise  als  geometrische  Oerter  für 
den  Punkt  führen.   Bilden  wir  so  etwa  die  Function: 

IV  .  Lj  -f  Li  .  V  -f  V  .  V  +  •  •  •  +  L»'  •  V  -  const. 
so  giebt  uns  die  Entwicklung  dieses  Ort«  aber  die  Gleichung 
a  2it 

(**-f  y%)  .  ^  •  cos  —  -f  nj>*  —  const   siehe  Gl.  30),  oder: 


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110  Sporer:  Ueber  gomometrische  Relationen,  die  beider 

wenn  wir  mit  e,  .  .  .  ««  die  Entfernungen  eines  Punktes  von 

den  Seiten  des  Polygous,  mit 

die  Entfernung  desselben  vom  Mittelpunkt  des  Polygons  bezeich- 
nen, dann  ist  immer: 

Jnp»  +  np*  -  e,  «,  +  *,es  +  «3«4  -f  .  .  .  +  «*.«, 

Verbinden  wir  die  Fusspuukte  der  aufeinander  folgenden  Lote 
auf  die  Seiten  aber  durch  gerade  Linien,  so  erhalten  wir  ein  Polygon 
das  wir  als  Fusspuuktenvieleck  bezeichnen  wollen.    Je  zwei  aufein- 

2  7t 

ander  folgende  Lote  bilden  aber  mit  einander  einen  Winkel  =■ 

R 

und  wir  erhalten  daraus  als  Inhalt  des  Fusspunkteuvielecks  den  Wert 
oder: 

F  —  i"  •  e*  •  sin  —  cos  —  4-  In»*  .  sin  — 

oder: 

F  —  |r  .  sin  4*  .     -4-  inn*  .  sin  — 

Lassen  wir  die  Seitenzahl  des  Vielecks  jetzt  in's  unendliche 
wachsen,  so  können  wir  anstatt  des  Sinus  den  Winkel  selbst  setzen 
und  erhalten  daraus  für  den  „Inhalt  der  Fusspunktencui ve  des 
Kreises  für  einen  beliebigen  Pol,  der  die  Entfernung  q  vom  Kreis- 
mittelpuukt  hat, 

p  ist  hiebei  der  Halbmesser  des  Kreises  geworden". 


Schlussbemcrkungr. 

Die  hier  entwickelten  Relationen  legen  es  nahe  zu  vermuten, 
dass  auch  für  die  regulären  Polyeder  analoge  Beziehungen  gültig 
sein  werden.  Dem  ist  in  der  Tat  so.  Wir  erhalten  z.  B.  wenn  wir 
die  Summen  der  2/>ten  Potenzen  der  Entfernungen  eines  Punktes  P 
von  den  Ecken  A  eines  solchen  Polyeders  mit  Er2?  bezeichnen,, 
z.  B.: 

„Bewegt  sich  der  Punkt  /'  auf  einer  Kugel,  deren  Mittelpunkt 
„mit  dem  Mittelpunkt  eines  reg.  Polyeders  zusammenfällt,  so  ist  für 


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Kretsteilung  auftreten. 


111 


„das  reguläre  Tetraeder  Er*  und  ErA,  für  das  Hexaeder  und  Okta- 
eder Er*,  Er*  und  Er6  und  für  das  Dodekaeder  und  Ikosaeder 
„Xr*,  Er*,  Er*  uud  Er*  je  gleich  einer  Constanten". 

Wie  wir  bei  den  reg.  Polygonen  z.  B.  die  Ecken  durch  con- 
gruente  glcichschenkl.  Dreiecke  abstumpfen  könnten,  ohno  dass  alle 
die  oben  entwickelten  Relationen  für  die  entstandenen  Polygone 
ungültig  werden,  ebenso  könnten  wir  auch  entsprechend  die  Ecken 
dieser  Polyeder  abstumpfen  und  würden  wir  dann  Relationen  er- 
halten. Hoch  wollen  wir  uns  darauf  beschränken  in  beiden  Fällen 
darauf  hingewiesen  zu  haben. 

Stuttgart,  im  März  1897. 


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112       Hoppe:  Eine  neue  Beziehung  zwischen  den  Krümmungen  etc. 


IV. 

Eine  neue  Beziehung  zwischen  den  Krümmungen 
von  Curven  und  Flächen. 

Von 

R.  Hoppe 


Die  Entdeckung  der  Beziehung  zwischen  der  Hauptkrümmung 
der  allgemeinen  konischen  Fläche  und  dem  Krümmungsverhältniss 
einer  ebenso  allgemeinen  Curve ,  welche  Mangeot  in  Soc.  Math,  de 
France  Bull.  XXIV.  p.  98  mitteilt,  ist  wol  von  genügendem  Interesse, 
um  sie  den  Principien  der  analytischen  Geometrie  anzufügen.  Die 
Beziehung  ist  in  den  fuudamentalen  Ausdrücken  beider  Grössen 
unmittelbar  gegeben. 

Die  genannte  Fläche  wird  von  einem  Strahle  in  der  Richtnug 
der  Tangente  der  Curve  erzeugt.  Bezeichnen  fgh,  f'g'h',  Imn  die 
Richtungscos.  der  Tangente,  Hauptnormale,  Binormale,  t  und  9 
den  Krümmungs-  und  Torsionswinkel,  v  den  Bogen  der  Curve,  p, 
und  os  die  Hauptkrümmungsradien  der  Fläche,  u  den  Strahl,  so  sind 
die  Gleichungen  der  Fläche  in  den  Parametern  u,  v: 

woraus  die  Werte  der  Fundamentalgrossen 

«i  =  w  l?  *        dudv  -°» 

8*»-!-.  .  .     /  at\* 


9x  - 


h .  .  .  / 

de*      ~  —  \U$v) 


leicht  folgen.  Hier  ist  p  Richtungscos.  der  Normale  —  l  Da  die 
eine  Hauptkrümmung  null  ist,  so  hat  man: 

1  -  -  4.  L  «=     S  gi    „  1  ?? 
"  Ci      9t  ~  *i9i—f*  "u'Bt 

Diese  Gleichung  spricht  den  Satz  von  Mangeot  aus:  „Der  Haupt- 
krümmungsradius p,  variirt  proportional  dem  Strahle  u,  und  der 
Coefficient  des  Verhältnisses  ist  gleich  dem  Krümmungsverhältniss 
der  Curve.*' 


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Karamata:  Umkreis  und  Berühruna*kr«i*e.  1 13 


V. 


Ein  Beitrag  zu  den  Beziehungen  des  Umkreises 
zu  den  Berührungskreisen  eines  Dreieckes. 


Von 

Konstantin  Karamata. 


Betrachtet  man  den  Umkreis  einos  Dreieckes  ABC  als  Erzeug- 
niss  zweier  congruenten  Strahlenbüschel,  so  kann  man  etwa  die 
Seiten  AC  und  CB  als  ein  Paar  zweier  einander  eindeutig  zuge- 
ordneten Strahlen  annehmen.  Derselbe  Kreis  ist  dann  durch  die 
Gleichungen 

x  +  y  «=  180°  -  fi  (1) 

oder 

x  +  y  =  fi  (2) 

charakterisirt ,  wo  x  und  y  die  veränderlichen  Winkel  der  Dreiecke 
bedeuten,  die  durch  die  Zuordnung  der  Strahlen  eutstehen,  und 
welche  an  dem  gemeinschaftlichen  Strahle  AB  liegen,  u  ist'der  dritte 
Winkel,  welcher  als  Peripheriewinkel, des  Kreises  immer  constant  bleibt. 
Die  erste  Gleichung  bezieht  sich  auf  den  Kreisbogen  oberhalb  der  Sehue 
AB  und  die  zweite  auf  den  Kreisbogen  unterhalb  derselben  Sehne. 
Der  Radius  dieses  Kreises  ist 


wo  a  die  Länge  der  gemeinschaftlichen  Seite  AB  ist. 

ArcU.  d.  Math.  Thy«.    2.  Reihe,  T.  XVI. 


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114 


Kaiamata:  Beziehungen  de*  Umkreiset 


2.  Hälften  wir  sowol  die  inneren  als  auch  die  äusseren  Winkel 
an  der  allen  Dreiecken  des  Umkreises  gemeinschaftlichen  Seite  AB, 
so  geben  die  Durchschnitte  je  vierer  zu  einem  Dreiecke  gehörigen 
Symmetralen  die  Mittelpunkte  der  vier  Berührungskreise,  sodass 
die  Frage  nach  dem  geometrischen  Orte  dieser  Mittelpunkte  entsteht. 
Je  zwei  Symmetralen,  die  zu  einem  Innen-  und  dessen  Aussenwinkel 
gehören,  bilden  zwei  involutorisch  zugeordnete  Strahlen,  die  auf  ein- 
ander senkrecht  stehen,  wodurch  wir  zwei  involutorische  und  con- 
gruente  Strahlenbüschel  mit  dem  Scheitel  in  A  und  B  erhalten.  Die 
eindeutige  Zuordnung  je  eines  Paares  involutorischer  Strahlen  des 
einen  Strahlenbüschels  {A)  einem  anderen  Paare  aus  dem  involuto- 
rischen  Strahlenbüscbcl  aus  B  bestimmt  schon  die  eindeutige  Zu- 
ordnung der  Strahlen  aus  dem  ursprünglichen  8trahlenbüschel  (A) 
und  (£),  deren  Erzeugniss  der  Umkreis  selbst  ist,  dadurch  dass  je 
einen  Strahl  des  ursprünglichen  Strahlenbüschels  ein  Strahlenpaar 
des  involutorischen  Strahlenbüschels  begleitet  Der  geometrische 
Ort  aller  Mittelpunkte  der  vier  Berührungskreise  aller  Dreiecke, 
welche  einem  Umkreise  eingeschrieben  sind  und  eine  Seite  gemein- 
schaftlich haben ,  wird  daher  das  Erzeugniss  zweier  involutorischen 
und  congruenten  Strahlenbüschel  sein.  Dasselbe  ist  im  allgemeinen 
eine  Curve  4.  Ordnung,  welche  in  diesem  Falle,  wie  aus  der  folgen- 
den Specialisirung  hervorgeht,  in  zwei  Kreise  zerfällt 

3.  Diese  Curve  können  wir  auf  Grund  der  Gleichungen  (1) 
und  (2)  untersuchen  und  werden  daher  die  zwei  Fälle,  ob  die  Drei- 
ecke oberhalb  oder  unterhalb  der  gemeinschaftlichen  Seite  in  dem 
Umkreise  liegen,  unterscheiden. 


I.    Die  Dreiecke  oberhalb  der  gemeinschaftlichen 

Seite  AB. 

a)  Die  Symmetralen  der  inneren  Winkel  an  der  Seite  AB  schnei, 
den  sich  im  Punkte  D,  der  ein  Mittelpunkt  eines  Kreises,  welcher 
alle  drei  Seiten  eines  Dreieckes  von  innen  berührt   Der  Winkel 

bei  D  ist  gegeben  durch  ISO0— oder  nach  (l)  durch 

90»+? 

■ 

Dies  aber  findet  für  jedes  Dreieck,  welches  dem  Kreise  K  einge- 


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zu  den  Berührvng$lreiten  eine»  Dreieck».  \\q 

schrieben  ist  uud  oberhalb  AB  liegt ,  statt,  daher  ist  der  geometrische 
Ort  aller  solcher  Punkte  D  oin  Kreisbogen  AB  mit  dem  constauten 

Peripheriewinkel  90°  -f-£  oberhalb  der  Sehne  AB.  Der  Radius  des 
Kreises,  dem  dieser  Kreisbogen  angehört,  ist 


Qi  = 


2cos!* 


Den  Mittelpunkt  und  den  Centriwinkel  dieses  Kreises  A'  erhält 
man,  wenn  man  die  Senkrechte  SP  verlängert ,  bis  sie  den  Kreis  K 
unterhalb  der  Sehne  AB  schneidet.  Der  Durchschnittspunkt  &'  giebt 
den  Mittelpunkt  des  Kreises  A'c'  und 

ASc'  -  Sc'B 

ist  dessen  Radius. 

b)  Es  sei  ZV'  der  Schnittpunkt  der  Symmetrale  des  Aussen- 
winkels  bei  A  mit  der  Symmetrale  des  Innenwinkels  bei  B,  Da  da- 
gegen der  Schnittpunkt  der  Symmetrale  des  Innenwinkels  bei  A  mit 
der  Symmetrale  des  Aussenwinkels  bei  if,  so  geben  dieselben  die 
Mittelpunkte  zweier  Berührungskreise,  welche  eine  der  als  Strahlen 
einander  zugeordneten  Seiten  in  ihrer  Verlängerung,  die  andere 
aussen   berühren.     Der  Winkel   der   Symmetralen   bei    Z>t  ist 

ISO« _  p*£=*  |j    und  der  bei  Da  ist  18(V>  = 

-fy+|J  oder  nach  (1) 

2 

d.  h.  der  Ort  aller  Ba  und  Di  ist  ein  Kreisbogen  mit  dem  Peri- 
pheriewinkel ^oberhalb  der  Sehne  AB,  der  zum  Kreise  AV  mit 
dem  Radius 

a 

*  a 

2  sin  \ 

gehört  Der  Mittelpunkt  dieses  Kreises  ist  der  zweite  Durchschnitts- 
punkt S«"  der  Senkrechten  SP  mit  dem  Kreise  A". 

c)  Die  Symmetralen  beider  Aussenwinkel  an  AB  geben  als 
Durchschnittspunkt  den  Mittelpunkt  Lh  des  Kreises  ,    welcher  die 

8* 


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116  Karamata:  Beziehungen  des  Umkreiset 

gemeinschaftliche  Seite  AB  aussen  berührt  Der  Winkel  bei  Dt  ist 
180^[^  +  ^]oder  nach  (1) 

900  -  \ 

dies  ist  aber  der  Supplementwinkel  von  I.  a.  und  constant,  daher  liegt 
De  am  Kreisbogen,  welcher  dem  von  I.  a.  zum  Kreise  K,'  ergänzt 


II.  Die  Dreiecke  unterhalb  der  gemeinschaftlichen 

Seite  AB. 

a)  Bezeichnet  man  mit  D\  analog  nach  I.  a.,  die  Mittelpunkte  der 
Kreise,  welche  die  Dreiecke,  die  unterhalb  der  Sehne  AB  liegen, 
innerlich  berühren,  so  wird  der  Peripheriewinkel  bei  H  gegeben  sein 

durch  180°-  |*  +     und  dies  ist  nach  (2) 

180° 

Der  Kreisbogen,  an  welchem  die  Scheitel  der  obigen  Peripherie- 
wiukel  liegen,  ist  supplementär  zu  dem  von  I.  b. 

b)  Für  dio  Mittelpunkte  /V  uud  ZV  erhalten  wir,  dass  sie  an 

Kreisbogen  mit  dem  Peripheriewinkel  180°  -  *  "f"*"^"^] 

[180°— y  x\ 
ziehungsweise  180°—  -  g—'+y+J  d.  i.  nach  (1) 


90« 

liegen-,  daher  ist  das  derselbe  Kreisbogen  wie  I.  c. 

c)  Die  Mittelpunkte  De  sind  Scheitel  der  Pcripheriewinkel 
180°— I— 2  1  g-^J  oder  nach  (2) 

2 

d.  h.  der  Kreisbogen  I.  b. 


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tu  den  Berährungsltreiscn  eines  Dreiecks. 


117 


Man  ersieht  aas  dem,  dass  auf  dem  Kreise  AY  die  Mittelpunkte 
A»,  Db,  Da'  und  ZV  und  auf  dem  Kreise  K"  Ai,  £>&,  D  und  ZV 
liegen.  Daraus  folgt,  dass  der  geometrische  Ort  aller  Mittelpunkte 
der  Berührungskreisc  der  einem  Umkreise  eingeschriebener  Drei- 
ecke, welche  eine  gemeinschaftliche  Seite  haben,  zwei  Kreise  sind, 
als  auch  dass  die  Curve  4.  Grades,  welche  als  Erzeug niss  zweier 
congruenten  involutorischen  Strahlenbüschel  erscheint,  in  zwei  Kreise 
zerfällt 

4.  Ebenso  wie  die  Punkte  A  und  B  des  eingeschriebenen  Drei- 
eckes ABC  als  Scheitel  zweier  congruenten  Strahlenbüschel  ange- 
nommen worden  sind,  kann  mau  auch  B  und  C,  als  auch  C  und  A 
als  solche  betrachten;  dem  gemäss  sind  im  ersten  Falle  BC  der 
gemciu8ame  Strahl,  BA  und  AC  dio  einander  zugeordneten  Strahlen, 
im  zweiten  Falle  CA  der  gemeinschaftliche  Strahl  und  CB  und  BA 
die  zugeordneten.  Im  ersten  Falle  erhaiteu  wir,  dass  die  Mittel- 
punkte der  Berühruugskreise  au  den  Kreisen  AY  uud.  AV\  im 
zweiten  Falle  auf  den  Kreisen  AV  und  K"  liegen  müssen,  die  man 
in  Bezug  auf  die  Seite  BC  resp.  CA  ebenso  erhält,  wie  die  Kreise 
Kc  uud  Ke"  in  Bezug  auf  AB\  daher  werden  AY,  Ka",  AV  und  AV 
analoge  geometrische  Ocrter  repräsentiren  wie  dio  Kreise  AY 
und  Kc". 

Nun  betrachten  wir  das  Dreieck  ABC  mit  seinem  Umkreise  A', 
dessen  Mittelpunkt  £  ist,  für  sich  und  fällen  aus  S  Senkrechte  auf  alle 
drei  Seiten,  so  erhalten  wir  sechs  Schnittpunkte  auf  dem  Umkreise 
Sa',  Sa",  Sb,  Sb",  Sb'  und  Sc",  beschreiben  aus  diesen  einzelnen 
Punkten  als  Mittelpunkten  Kreise  mit  Radien,  welche  gleich  dem 
Abstände  des  Mittelpunktes  von  den  Endpunkten  der  Seite,  in  Bezug 
auf  welche  die  dazugehörige  Senkrechte  die  Symmetrale  ist  (SaB  — 
SaC,  Sa'B  —  Sa'C,  Sc' C  —  Sb' A,  Sb"C  =  Sb"A,  Se°A  —  Sc'Bc  und 
Se'C  -  Sa"B),  so  erhalten  wir  sechs  Kreise  AV,  AV\  Kb\  AV,  Kc 
und  Kc\  von  denen  sich  je  vier  in  den  drei  Ecken  des  Drei- 
eckes schneiden  und  je  drei  in  vier  anderen  Punkten  D,  Da%  Db 
und  Dc,  welche  zugleich  auch  die  Mittelpunkte  der  vier  Berührungs- 
kreise des  Dreieckes  sind. 

Dies  ist  leicht  einzusehen  sowol  für  einen  dieser  Punkte,  als 
auch  für  die  anderen.  Nehmen  wir  z.  B.  den  Punkt  D  an,  so  muss 
derselbe  als  Mittelpunkt  der  Berührungskreise ,  welche  die  dem 
Kreise  K  oberhalb  der  gemeinsamen  Seite  AB  eingeschriebenen 
Dreiekc  inuerlich  berühren,  auf  dem  Kreisbogen  AB  des  Kreises  Ke 


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Hg  Karamata:  Beziehungen  des  Umkreises  etc. 

Hegeu ;  aualog  für  dio  Seito  BC  liegt  derselbe  auf  den  Kreisbogen 
BC  des  Kreises  AV,  und  in  Bezug  auf  die  Seite  CA  auf  dem  Kreis- 
bogen CA  des  Kreises  AV-  Für  ein  und  dasselbe  Dreieck  kann 
dieses  nur  dann  stattfinden,  wenn  sich  diese  drei  Kreisbögen  in 
einem  und  demselben  Punkte  D  schneiden. 

Aehnlich  beweist  man,  das«  />«  der  Schnittpunkt  der  Kreise 
AV,  AV'  und  Ke'\  Db  der  Schnittpunkt  der  Kreise  A'a",  AV  und  AV 
Dc  der  Schnittpunkt  der  Kreise  AV',  AV  und  A'c'  ist 


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Chi  zaszczetcaki:  Desargues'  Vti'dienstt  um  die  proj.  Geom.  HP 


VI. 

Desargues'  Verdienste  um  die  Begründung  der 
projectivisehen  Geometrie. 

Von 

Stanislaus  Chrzaszczewski,  stud.  math. 

München. 


Einleitung. 

Wol  nahezu  2000  Jahre  beherrsehten  die  Bücher  des  Euklid, 
Archimedes  und  Apollonius  das  Interesse  der  Geometer,  ohne  dass 
wesentliche  Fortschritte  in  dem  Aufbau  der  Kegelschnittstheorie 
gemacht  worden  wären.  Immer  noch  bot  diese  Wissenschaft  den 
Charakter  einer  speciellen,  immer  noch  fehlte  ihr  der  der  Allge- 
meinheit. Ellipse,  Parabel  und  Hyperbel  wurden  so  behandelt,  als 
ob  sie  nuter  sich  fremdartige  Gebilde  wären. 

Der  erste,  der  eine  Darstellung  der  oben  genannten  Curvcn  von 
einheitlichem  Gesichtspunkt  aus  mit  grossem  Geschick  unternahm, 
ist  Girard  Dcsargues,  indem  bei  ihm  wesentlich  das  eine  Bestreben 
zu  Tage  tritt,  nur  lagengeometrische  Beziehungen,  die  doch  für  jeden 
beliebigen  Kegelschnitt  gelten,  d.  h.  die  projectivisehen  Eigenschaften 
derselben  aufzustellen.  Metrische  Relationen  werden  von  ihm  nur 
ganz  nebenher  gestreift. 

Der  Verfasser  hofft  nun  einen  Beitrag  zur  Kenntniss  der  Ge- 
schichte der  projectivisehen  Geometrie  zu  liefern,  wenn  er  in  der 
vorliegenden  Abhandlung  in  erster  Linie  eine  eingehende  Darstellung 
der  Desargues'schen  Verdienste  gibt,  indem  diese  bisher  in  keinem 


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120 


Ch  r  zn  .<  s  exe  10  ski:  DcsargneS   Verdienste,  um  die 


mathematisch-geschichtlichen  Werke  in  der  ihnen  gebührenden  Weise 
betrachtet  worden  sind.  So  konnte  z.  B  im  2.  Bande  von  Herrn 
Oantors  Vorlesungen,  die  ja  das  ganze  Gebiet  der  Mathematik  um- 
fassen, selbstverständlich  nnr  eine  cursorischc  und  allgemeine  Schil- 
derung der  Desargues'schen  Arbeiten  Raum  finden  und  es  musste 
eine  genauere  Auseinandersetzung  derselben  mit  Recht  einer  Spe- 
cialuntersuchung vorbehalten  bleiben. 

In  den  bekannten  französischen  Arbeiten  von  Chasles,  Poudra 
und  St.  M.  Marie  sind  die  Ausführungen  bezüglich  Desargues  teils 
unvollständig,  teils  auch  nicht  einwandsfrei  dargestellt.  Wieder  an- 
dere Werke  enthalten  zu  wenig,  als  dass  es  auch  nur  annähernd 
möglich  ist,  sich  über  Desargues'  Leistungen  eine  genügende  Vor- 
stellung zu  bilden. 

Somit  bleibt]  jedem,  der  die  in  Frage  stehenden  Verdienste 
Desargues'  um  die  projectivische  Geometrie  kennen  lernen  will,  nur 
die  äusserst  mühsame  Leetüre  der  Originalwerke  desselben  übrig, 
namentlich  des  „Brouillon  projoct."  Volle  zwei  Jahrhunderte  galt 
bekanntlich  dies  merkwürdige  Buch  für  verloren.  Erst  im  Jahre 
1845  fand  Chasles  durch  einen  glücklichen  Zufall  eine  Abschrift 
desselben,  die  im  Jahre  1079  von  De  La  Hire  gefertigt  worden  war. 

Da  es  aber  nicht  Aufgabe  des  Historikers  ist,  die  wissenschaft- 
liche Tätigkeit  einer  hervorragenden  Persönlichkeit  für  sich  allein 
zu  betrachten,  so  müsste  der  Verfasser  auch  die  Bedeutung  Desar- 
gues' und  seiue  Zeit,  sowie  den  Einfluss  seiner  Leistungen  auf  die 
spätere  Entwicklung  der  projectivischen  Geometrie  in's  Auge  fassen. 
Dabei  ergaben  sich  enge  uud  interessante  Beziehungen  zu  Pascal, 
Fermat  und  De  La  Hire. 


Die  vorliegende  Abhandlung  ist  ein  Auszog  der  von  der  allge- 
meinen Abteilung  der  K.  bayr.  technischen  Hochschule  in  München 
1896  mit  vollem  Preis  gekrönten  Arbeit  des  Verfassers  über  De- 
bargues. 


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Begründung  der  projectiviachen  Geometrie. 


121 


§  1. 

Geometrische  Grundgedanken. 

Es  ist  eine  bemerkenswerte  Tatsache ,  dass  bereits  Desargues 
diejenigen  Fundamentalbegriife  ausdrücklich  eingeführt  hat,  die  mau 
heutzutage  "als  die  geometrischen  Grundgebilde  erster  Stufe  be- 
zeichnet 

Wir  fassen  seine  Gedanken  folgendermassen  kurz  zusammen: 

1)  Mehrere  Geraden,  die  alle  durch  einen  festen  Punkt  0  g«heu, 
bildeu  eine  „ordonnance  de  droites,  der  Punkt  O  heisst:  „but  de 
l'ordoonanco."  ') 

Ebenso  bildet  man  eine  Schar  von  Ebenen,  dio  durch  eine  feste 
Gerade  0  gehen,  eine  „ordonnance  de  plans,'"  die  feste  Gerade  0 
heisst:  ,, Aissien  de  l'ordonnance" 

3)  Wenn  durch  verschiedene  Punkte  einer  Geraden  0  eine  Serie 
von  Geraden  hindurchlauft,  so  heisst  jene  Gerade  0,  auf  welcher 
die  verschiedenen  Punkte  „noeuds"  liegen,  „tronc." 

4)  Eine  Schar  von  parallelen  Geraden  ist  als  ein  Strahlenbüschel 
zu  betrachten,  dessen  Centrum  im  Unendlichen  liegt.  Oder:  Einen 
Punkt  0  mit  dem  unendlich  fernen  Punkt  einer  gegebenen  Geraden 
verbinden  heisst:  durch  den  Punkt  0  zu  derselben  eine  Parallele 
legen  ») 

5)  Eine  Schar  von  parallelen  Ebenen  ist  als  ein  Ebenenbüschel 
zu  betrachten,  dessen  Achse  im  Unendlichen  liegt. 

6)  Jede  Gerade  geht  nach  2  Seiten  in  das  Unendliche  und 
schliesst  sich  dort.  Jede  Gerade  kann  als  Kreis  betrachtet  werden, 
dessen  Mittelpunkt  in  das  Unendliche  gerückt  ist 


1)  Vergleiche:  Oeuvres  de  Desargues  par  Poudra  deux  tomea,  Paris  1864. 
Wir  citiren  dieses  Werk  mit  Herrn  Cantor  stets  als  Desargues  L  oder  II. 
Die  Begriffe  finden  sich  in  der  angegebeneu  Weise  auf  Seite  104— 107  erklärt. 

2)  Desargues  I.  png.  205. 

3)  Ebenda.    I.  pag.  107,  108,  224. 

Dass  die  Desargues' eche  Vorstellung  Ober  den  Parallelismus  in  jener  Zeit 
völlig  neu  war.  dürfte  wol  daraus  mr  Genüge  hervorgehen,  dass  sich  Des- 
cartes  in  einem  Briefe  an  Desargues  in  günstigem  Sinne  darüber  äussert,  und 
hätte  ersterer  di  •  Angelegenheit  wol  ignorirt ,  wenn  die  fragliche  Ansicht  be- 
reit* in  der  damaligen  Zeit  üblich  gewesen  wäre.  Lettrci  de  Descartes,  Poudra 
t.  II.  pag  134. 


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122  Chrzaszczewski:  Desargue*    Verdienste  um  die 

Eine  Hauptschwierigkeit  beim  Studium  der  Werke  Desargue6 
besteht  darin,  dass  derselbe  nicht  nur  eine  Reihe  neuer  Begriffe/ 
sondern  auch  eine  Menge  neuer  Bezeichnungen  für  dieselben  einführte, 
die  aber  ebensowenig,  wie  diejenigen  Vietas  sich  forterhielten,  wes- 
halb wir  im  folgenden  nur  die  notwendigsten  anführen  und  gebrau- 
chen werden. 

Weit  wichtiger  ist  es  zu  betonen,  dass  Desargues  die  Tragweite 
der  von  ihm  neu  aufgestellten  Begriffe  vollständig  erfasst  und  mit 
ihnen  zu  operiren  versteht,  indem  er  in  seiner  Involution  durch 
eindeutige  Zuordnung  der  Elemente  einer  Punktreihe  den  Grund- 
gedanken der  projectivischen  Geometrie  zum  ersten  Male  verwirk- 
licht. Seine  Betrachtungsweise  der  Iuvolution  wollen  wir  im  folgen- 
den Paragraphen  nur  insoweit  klarzutegen  versuchen,  als  sie  zum 
Verständniss  der  darauf  aufgebauten  Kegelschnittstheorie  notwen- 
dig ist 

§  2. 

Die  Theorie  der  Involution. 

(a)  Definition  dos  Arbre.*) 

Trägt  man  auf  einer  Geraden,  von  einem  festen  Punkte  0  aus, 
Streckenpaare  (0«,   0at  —  8b,  0*„  Oc  —  dcJ&b,  deren  Producte 
constant  sind,  so  bilden  die  Punkte  a«,  —  bb1  —  ect  einen  Arbro. 

Hieraus  ersieht  man,  dass  Desargues'  Definition  des  Arbre  iden- 
tisch ist  mit  der  heutigen  Bestimmung  der  Involution,  wenn  man 
vom  Involutionsmittelpunkt  0  ausgeht,  welchem  Desargues  den 
Namen:  souche  beilegt 

Dabei  wird  jedoch  von  vornherein  bestimmt,  dass  alle  Strecken* 
paare  Ca,  0at  u.  s.  w.  entweder  nach  verschiedenen  Seiten  oder 
nach  der  gleichen  Seite  von  0  abgetragen  werden.  Darnach  er- 
hält man  beziehungsweise  eiuen  Arbre  mit  eingeschlossen-  oder 
getrennt  liegender  Souche.    In  dem  ersten  Falle  greifen  die  Strecken 


Wenn  man  die  Frage  au  (wirft,  wie  denn  Dcaargues  tu  seiner  so  neuen 
und  fruchtbaren  Anschauung  über  den  Parallclismus  gekommen  ist,  muss  man 
wol  tnr  Beantwortung  derselben  auf  die  Perspective  vom  Jahre  1636  zurück- 
greifen.   Desargues  I.  pag.  80  u.  ff. 

1)  Desargues  I.  pag.  112. 


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Begründung  der  projecliviscken  Geometrie. 


123 


cutsprechender  Punkte  oa,  —  bb1  —  cc,  übereinander,  im  zweiten  Falle 
liegen  sie  getrennt.  ■) 

(b)  Metrische  Relationen  für  die  einzelnen  Strecken 
eines  Arbre. 

Desargues'  Bestreben  geht  nun  dahin,  eine  Gleichung  zu  finden, 
welche  zwischen  den  einzelnen  Entfernungen  der  verschiedenen 
Punkte  eines  Arbre  statthat,  um  den  Punkt  0  (d.  h.  den  Involu- 
tionsmittelpunkt) zu  eliminiren.  Dabei  gewinnt  er  folgende  Glei- 
chungen: 

T    ÜS     5ö     ac,  *) 
L  Oe"0a,-"o1e 

Oa,      Oc,      o,  c, 
Oc       Oa  ""  ac 

Durch  Division  folgt 

y    Oa        ac,  .  ac 
Oa,      a,e,  .  a,c 

und  analog 

Oa         abx  .  ab 
Oa,       a,*,  .  atb 


1)  La  souch«  est  engagee  entre  .  .  .  Desargues  I,  pag;H5,  116. 
La  soache  est  degagöe  entre  ...        „  n  i 

Ies  deax  noeus  de  chacune  des  coaples  aa,  se  trouvent  mcslez  aux  deux 
noeus  des  autres  couples:  bbt — cb,.    Desargues  I.  pag.  116 
les  deux  noeus  de  chacune  des  couples  aat — bb1 — cc,  so  trouvent  des  mcslc/. 
des  deux  noeus  de  chacune  des  autres  couples.    Desargues  I.  pag.  116. 

2)  Beweis: 


Oa,  Oc, 
Uc    ^  Oa 

Oa, 


0«i  "f  «1*1 
Oc-f-ca 


Oa,  4-  a,c, 


 0c_ 

0c-|-  ca 


und  hieraus 


d.  h. 


Oa,  -f-  <»i  <?i  —  Oa,      Oc  -f-  ca  —  0« 


Oa,      a,  c, 
Oc  ac 
ebenso  die  andere  Gleichung. 


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124  Chrzaszctewskt:  Desaryue*'   Verdientte  um  die 

Die  Verglcichung  liefert: 

ab  .  <r£,  ac  .  a<*, 

a,6  .  albl       a^c  .  aJei 

Dadurch  ist  offenbar  der  Arbre  unabhängig  von  der  Soucbc  darge- 
stellt uud  ergibt  sieh  folgende 

(6)  Definition  der  Involution,  unabhängig  vom 
Mittelpunkt. 

Wenn  drei  Punktepaare  aa^  —  bbi  —  ccA  so  auf  einer  Geraden 
liegen,  dass  die  einzelnen  Punkte  gegenseitige  Entfernungen  besitzen, 
die  der  Gleichung  III.  Genüge  leisten,  so  nennt  man  diese  Punkt- 
lage eine  Involution.1)  Vorausgesetzt  bleibt  aber  immernoch 
die  Verteilung  der  Punkte,  wie  sie  unter  «  hervorgehoben  worden 
ist.  Die  daraus  sich  ergebende  strenge  Einteilung  in  zwei  verschie- 
dene Involutionen  fallt  mit  der  modernen  Unterscheidung  einer 
elliptischen  und  hyperbolischen  Involution  völlig  zusam- 
men, und  später  werden  wir  auch  noch  der  parabolischen  be- 
gegnen. Auf  die  Iuvolutioiicn  lasseu  sich  sämtliche  Gesetzo  des 
Arbre,  wie  sie  in  den  Gleichungen  I.  und  II.  niedergelegt  sind,  an- 
wenden. 

Wir  brauchen  kaum  noch  hinzuzufügen,  dass  die  Gleichung  III. 
gouau  dieselbe  ist,  wie  diejenige,  die  heutzutage  die  Involution  durch 
die  Gleichheit  zweier  Doppelverhältnisse  detinirt. 

(d)    Sätze  über  d  ie  Involution. 

1)  Eine  Involution  erscheint  gegeben,  wenn  man  2  Punktepaare, 
aa'  -  cc,  derselben  kennt  ») 

Denn  wenn  0  die  Souche  ist,  so  kann  man  dieselbe  vermittelst 
folgender  Gleichungen  eindeutig  •) 

Oa  aje, 

—  — 1    und    4a  —  Oe  —  ac 
i  c  avc 


1)  Involution  und  Arbre  decken  demnach  denselben  Begriff.  Es  besteht 
zwischen  ih»>en  nur  insofern  ein  formaler  Unterschied,  als  die  Bezeichnung  Arbre 
immer  nur  dann  angewendet  wird,  wenn  die  Strecken  vom  Involutionsmittel- 
punkt ausgezählt  werden. 

2)  Desargues  I.  pag.  121. 

3)  '  .  .Ja  sou eh o  o  est  donnco  de  position  ..."  Desargues  I. 
pag.  121. 


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Begründung  der  projectiviachen  Geometrie. 


125 


2)  Der  Involutionsmittelpunkt  entspricht  dem  unendlich  weiten 
Punkt  der  Punktreihe.  ') 

3)  Bis  hieher  führt  Dcsargues  sejne  Untersuchungen  für  beide 
Involutionen  genieinsam  durch.  Zur  Beantwortung  der  Frage  aber: 
Wo  liegen  diejenigen  Punktepaare  einer  Involution,  die  von  der 
Souche  gleichen  Abstand  haben?  sieht  er  sich  genötigt,  in  der  Unter- 
suchung eine  Trennung  vorzunehmen. 

Bezeichnen  x  und  y  diejenigen  Punkte,  welche  die  verlangte 
Eigenschaft  besitzen,  so  hat  man  im  Falle  der  Punktlage  nach  Figur 

la:   

Ox  =  0y=  VOa  .  Üa, 

(wenn  aa,  ein  gewöhnliches  Punktpaar  vorstellt.) 

Hiebei  betont  Desargues  ganz  scharf,  dass  der  Punkt  x  zwei 
nicht  zusammengehörige  Punkte  bcx ,  der  Punkt  y  die  Puukte  6,  c 
repräsentirt,  uud  bezeichnet  sie  daner  als  uoeu3  möyeus  simples.  *) 
(Siehe  Figur  2a).  Durch  Specialisirung  der  allgemeinen  Involutions- 
gleichung erhält  man  folgende  Relation: 

0|5  ay 
axy  ax 

Der  Fall  nach  Figur  lb  liefert  wiederum 

Ox  —  Oy  —  VOaTÜa 

wobei  Desargues  ausdrücklich  hervorhebt,  dass  x  das  Paar  £>£»,,  y 
das  Paar  «e,  repräsentirt.  Dementsprechend  bezeichnet  er  sie  richtig 
als  „noeus  moyeus  doubles3),  kennt  somit  die  Doppelpunkte 
der  hyperbolischen  Involution.    (Siehe  Figur  2b).) 

Ist  aaj  ein  gewöhnliches  Punktepaar,  so  geht  bei  Einführung 
der  Punkte  xy  in  die  allgemeine  Involutionsbediugung  die  sehr  wichtige 
Relation  hervor: 

ax  a,x 
ay  ~~  aty 

Dieselbe  drückt  'aus,  dass  ein  gewöhnliches  Punkte- 
paar aax    von   den  Punkten  xy,  also  von  den  Doppel- 


1)  Desargues  I.  pag.  1S7, 
S)  Desargues  I.  pag.  123. 
S)  Desargaes  I.  pag.  1S4. 


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126  Ch 


Itii  Demrgues'  Verdienste  um  die 


punkten  harmonisch  getrennt  wird,  was  oben  durchaus  nicht 
der  Fall  war. 

(e)  Die  Vierpunktinvolution.  Indem  Desargues  die  besondere 
Wichtigkeit  des  soeben  behandelton  Falles  anerkennt,  nennt  er  die 
Punktelage  aa,— xy  (Fig.  2  b)  eine  Vierpunktinvolution  und  entwickelt 
eine  Reihe  von  Sätzen ,  die  bei  derselben  statthaben ,  eine  vollstän- 
dige Theorie  der  harmoischen  Punkte.  Als  solche  nennt  er  auch  die 
Punkte  x  und  y  ein  Paar  entsprechende ,  und  bezeichnet  in  der  Er- 
kenntniss,  daas  ay  mit  aat  gleichberechtigt  erscheint,  die  Mitte  p 
von  aa,  als  die  reciproke  Souche  der  Vierpunktinvolution.  Man  hat 
dann  neben 

0*  .  Oy  —  Oa  .  Oa,  —  Ox*  —  Oy* 

auch  noch 

pa  .  jja,  =  px  .  py  ~  pa*  -  pa^ 

Aus  den  sich  hieran  anschliessenden  Sätzen  heben  wir  nur  folgende 
hervor: 

1)  Eine  Vierpunktinvolution  ist  gegeben,  wenn  man  ein  Punkte- 
paar und  den  einen  Punkt  des  anderen  Paares  kennt  ') 

2)  Die  Endpunkte  einer  Strecke  bilden  mit  dem  Mittelpunkt 
derselben  und  dem  unendlich  fernen  Punkt  der  Geraden,  auf  welcher 
sie  liegt,  eine  Vierpunktinvolutiou.  *) 

3)  Hat  man  eine  Vierpunktinvolution  (aa,  —  xy),  deren  Souche  0 
ist,  so  sind  damit  sofort  zwei  neue  allgemeine  Involutionen  gegeben. 
Nämlich 

xy  —  Oa,  mit  Souche  a  und 
xy  — Oa  mit  Souche  ax 

Desargues  bescbliesst  die  Theorie  seiner  Punktinvolution  mit 
einem  Satze,  der  für  später  von  besonderer.Wichtigkeit  ist.  und  des- 
halb angeführt  werden  möge. 

4)  Hat  man  auf  einer  Geraden  drei  Punktepaare  einer  gewöhn- 
lichen Sechspunkt involution  (aa,  -64,  — sowie  ein  weiteres 
Punktepaar  xy,  das  mit  den  beiden  ersten  Paaren  (aat — je 
eine  Vierpunktinvolution  bildet,  so  gilt  dies  auch  bezüglich  des 
letzten  Paares  ccv 


1)  Desargues  I.  pag.  134. 

2)  Desargues  I.  pag.  1S6. 


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Begründung  der  projectivitchen  Geometrie. 


127 


Hieran  scbliesst  sich  eine  ebenso  vollständig  durchgeführte  Be- 
handlung der 

(f)  Strahleninvolution,1)  welche  fol  gen  der  müssen  definirt 
wird :  Laufen  durch  drei  Punktepaare  einer  Involution  drei  Strahlen- 
paare, so  hat  man  eine  Strahleninvolution  (rame  d'un  arbre).  Auf 
diese  Definition  folgt  direct  der  Hauptsatz  von  der  Invarianz 
der  Involution  bei  Protection: 

„Jede  beliebige  Gerade  wird  von  den  6  Strahlen  des  Büschels 
nach  C  Punkten  einer  Involution  geschnitten."») 

Infolge  der  umständlichen  Schreibweise  Desargues'  gestaltet  sich 
der  Beweis  dieses  wichtigen  Satzes,  von  dem  man  sagen  kann,  dass 
er  das  Fundament  der  vorliegenden  Kegelschnittstheorie  ist,  breit 
und  unübersichtlich;  wir  glauben  denselben  deshalb  mitteilen  zu 
müssen,  weil  er  historisch  interessant  ist  und  ein  beredtes  Zeugniss 
von  dem  geometrischen  Scharfsinn  unseres  Mathematikers  ablegt. 

Zunächst  ist  der  Satz  für  den  speciellen  Fall  ohne  weiteres  klar, 
„dass  das  Büschelcentrum  im  Unendlichen  liegt"  d.  h.  wenn  die 
einzelnen  Strahlen  parallel  laufen. 3)  Für  den  allgemeinen  Fall  je- 
doch  ist  folgende  Figur  (Fig.  3)  zu  entwerfen:  Die  Involution 
aax  —  bbx  -  ce,  wird  durch  das  Strahlenbüschel  K  projicirt ,  und  die 
beliebige  Gerade  M  liefert  auf  den  Strahlen  derselben  drei  weitere 
Punktepaare  AAt  —  BBt  —  CC\  ,  von  denen  nachzuweisen  ist,  dass 
sie  eine  Involution  bilden. 

Zum  Beweise  zieht  nun  Desargues  die  Hilfslinie  cCv  welche  auf 
den  Strahlen  bezüglich  der  Punkte  ercr,  — 00,  liefert. 

Nunmehr  wird  auf  die  folgenden  Dreiecke  der  Transversalensatz 
des  Menelaos  angewendet.  Das  Dreieck  eCCt  von  der  Transversale 
KBX  geschnitten,  liefert  die  Gleichung:4) 

B,C      KC  ß,e 
l)  BtCt  ~  Kc  '  ftCi 

Das  nämliche  Dreieck  cCC,  von  KB  geschnitten,  ergibt: 


1)  Desargues  I.  pag.  146,  147. 

2)  Desargues  I.  pag.  147. 

3)  Desargues  I.  147. 

4)  Desargues,  der  diesen  Satz  dem  Ptolem&us  zuschreibt,  da  er  ihn  jeden- 
falls  aus  dem  Almagest  kennt,  wendet  ihn,  den  Griechen  folgend,  beständig  in 
der  obigen  Form,  der  der  zusammengesetzten  Verhältnisse,  an. 


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128 


Chrzaszczew  sk i :  Dt*argues'   VtrdUnne  um  die 


BC       KC  ße 
2J  BC\  ~  Kc  '  ßCx 

1)  und  2)  verbunden,  ergeben: 

Schneidet  man  das  Dreieck  ccxCx  bzhw.  durch  die  Transversalen 
Klx  und  AV/,  so  erhält  man: 

j  /SC,  "  bcx  '  KC\ 

und  hieraus: 

ßc  .  ßjC        bc  .  bxc       / A'c,  \* 

I.  und  II.  verknüpft,  liefern: 

BC  .BtC       (KC  .  K*x\*    bc  .  bxc 
BCX  .  BxCt  ^  \Kc    KcJ  '  bcx  .  Vi 

In  dieser  Gleichung  A.  erscheint  die  Buchstabengruppe  CC1BBl 
besonders  ausgezeichnet.  Durch  Auszeichnung  der  Gruppe  aalAAl 
entsteht  bei  der  Beibehaltung  der  Hülfslinie  eCx  die  Gleichung: 

ß  AC  .  AtC      (KC.Kcx\*      ac  axcx 

ACX  .  AXCX      \Kc  .  ÄXj  /    "  aex  .  axcx 

Indem  nun  nach  Voraussetzung: 


Damit  ist  aber  gemäss  Hauptgleichung  III.  auf  Seite  124  die  Be- 
hauptung bewiesen. 

-  Beachtungswert  scheint  uns  auch  noch  die  Bemerkung  Desargnes'1) 
I)  Deiargues  I.  pag.  151. 


ist,  ergibt  sich  aus  A.  und  B.  die  Beziehung: 

AC  .  AXC      BC  .  B,C 


ACX  .  AXCX      BCX  .  BXCX 


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Begründung  der  project'wischen  Geometrie.  129 

Läuft  die  schneidende  Transversale  M  parallel  zu  einem  der 
projicirenden  Strahlen,  etwa  Aa,  so  schneidet  der  entsprechende  Strahl 
A'o,  die  Gerade  M  in  der  Souche,  der  auf  M  entstehenden  In- 
volution. 

Von  dieser  Behandlung  der  allgemeinen  Sechsstrahleninvolution 
geht  er  nun  auf  die  Theorie  der 

fg)  Vierstrahleninvolution1)  über,  diedadurch  entsteht, 
dass  man  eine  Vierpunktinvolution  (>ta1  —  xy),  also  eine  harmonische 
Punktlage,  von  einem  Centrum  A'aus  projicirt.  Wir  nennen  dieselbe 
heutzutage  ein  harmonisches  Strahlenbttschel.   (Fig.  4  ) 

Von  diesem  Teile  der  Desargues'schen  Untersuchungen  erwähnen 
wir  der  Kürze  halber  nur  die  einzelnen  Sätze,  obgleich  noch  man- 
ches Interessante  bei  der  Beweisführung  zur  Sprache  kommen  könnte. 

Heissen  in  Analogie  mit  dem  Früheren  die  Strahlen  aal  -  iij 
entsprechende,  so  hat  man: 

Läuft  die  Transversale  M  parallel  zu  einem  Strahl  «,,  so  halbirt 
in  der  Vierstrahleninvolutiou  der  entsprechende  a  die  von  den  beiden 
anderen  Strahlen  £  und  r\  auf  ihr  ausgeschnittene  Strecke.  Dieser 
Satz  gilt  auch  umgekehrt.  2) 

Auch  das  Rechtwinkclpaar  einer  Viorstrahleninvolution  findet  Er- 
wähnung in  dem  Satze:  (Fig.  5.) 

Stehen  zwei  entsprechende  Strahlen  aufeinander  senkrecht,  so 
halbirt  jeder  derselben  den  Winkel  zwischen  dem  anderen  Strahlen- 
paar. Auch  wird  die  Umkehrung  angeführt. 

Zieht  man  in  einem  Dreieck  ABC  durch  die  Mitte  M  von  AB 
eine  beliebige  Gerade  MY,  welche  BC  in  Z,  AC  in  Y  trifft,  zieht 
man  ferner  CN\ZX\AB,  so  bilden  AC—  XY  und  MN-YZ  je 
eine  Vierpunktinvolution. 


Mit  diesen  verschiedenartigen  Sätzen  haben  wir  die  Mittel  ge- 
wonnen, um  im  folgenden  Paragraphen  die  eigenartige  Behandlung 
der  Kegelschnitt8theoric  schildern  zu  können,  die  Desargues  ge- 
schaffen hat 


1)  Desargues  I.  pag.  152. 

2)  Man  beachte  die  kühnen  Schlussweiscn  des  De«argues  im  Beweise  für 
die  Umkehrung.    Weil  die  Mitte  m  auf  a  conjagirt  ist  zu  dem  unendlich  fer- 

QO 

nen  Punkte  m,  auf       so  rauss  3/||«,  laufen. 

Arch.  d.  Math.  u.  PbyH.  '2  Reihe,  T.  XVI.  9 


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130 


Chrzaazczewaki:  Desargues'  Verdienste  um  die 


§  3. 

Kesrclschnitttheorie. 

(a)  Definition  des  Kegels.  Der  Kegel  entsteht  durch 
Bewegung  einer  Geraden  G,  die,  stets  durch  einen  festen  Raumpunkt 
S  gehend,  längs  einer  gegebenen  Kreislinie  dahingleitet.  Liegt  S 
im  Unendlichen,  so  entsteht  der  Cylinder,  *)  liegt S  in  der  Ebene 
des  Kreises,  so  erhält  man  einen  Strahlenbüschel. 

(b)  Die  einzelnen  Kegelschnitte.  Eine  Ebene  En ,  die 
durch  die  Spitze  des  Kegels  geht,  trifft  denselben  entweder  in  einem 
Punkte  oder  in  2  Geraden,  die  in  eine  einzige  zusammenfal- 
len, wenn  E0  die  Fläche  berührt.  Jede  andere  Ebene  £  trifft 
den  Kegel  nach  einem  Kegelschnitt.   Und  zwar: 

Läuft  die  Kegeierzeugende  G  während  ihrer  Bewegung  um  den 
Kreis  niemals  parallel  zu  Et  so  erhält  man  eine  im  Endlichen 
sich  schliessende  Schnittfigur2),  die  Ellipse; läuft. (?  während 
der  Bewegung  um  den  Kreis  nur  einmal  parallel  zu  Ey  so  ist  das 
Schnittergebniss  eine  im  Unendlichen  sich  schliessende 
Curve 8),  die  Parabel ;  läuft  U  während  der  Bewegung  um  den  Kreis 
zweimal  parallel  zu  Ey  so  erhält  man  als  Schnittfigur  eine  sich 
im  Unendlichen  in  zwei  congruente,  gegeneinandergekehrte 
Hälften  spaltende  Figur,  die  Hyperbel.4)  Der  Cylinder  wird 
im  allgemeinen  nach  einer  Ellipse  geschnitten. 

Diese  aus  einer  völlig  neuen  Auffassungsweise  entstandenen  Sätze 
charakterisireu  die  drei  Kegelschuittsarten  nach  der  Anzahl  ihrer 
unendlichfernen  Punkte. 

Die  Kegelschnitte  werden  von  je  einer  Geraden  in  höchstens  zwei 
Punkten  geschnitten.  Fallen  dieselben  in  einen  zusammen,  so  be- 
rührt die  Gerade  den  Kegelschnitt. 

Nicht  viel  verschieden  von  dor  oben  geschilderten  Eutstehungs- 


1)  „Le  cylindre  et  le  cone  sont  deux  sougenres  d'un  snrgenre,  ici  nomine 
senuleau  .  .  .  ■  Desargues  I.  pag,  159. 

2)  une  ligne  COttrbe,  laquelle  a  distance  finie  rentre  et  repasse  en  soi- 
mfime.    Desargues  I.  pag.  161, 

3)  „une  ligne  courbe  laquelle  a  distance  infinie  rentre  et  repasse  en 
soi.meme  —  ■  Desargues  I.  pag.  162. 

4)  „une  ligne  courbe,  laquelle  a  distance  infinie  se  mipartit  en  deux 
egales  et  semblHhlcs  moitirs  ..."  Desargues  I.  pag.  Iß2. 


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Begründung  der  projectivitchen  Geometrie.  131 

weise  der  Kegelschnitte  ist  diejenige,  von  welcher  Oldeuburg  in 
einem  Briefe  au  Leibniz  berichtet  ')  Nach  ihm  soll  sich  dieselbe 
in  den  bis  heute  noch  nicht  wieder  aufgefundenen  Lecons  des  Tene- 
bres  von  Desargues  befinden.   Sie  lautet  kurz  zusammengefasst : 

Projicirt  man  vom  Mittelpunkte  einer  Kugel  aus  einen  kleinen 
Kreis  derselben  auf  eine  ihrer  Tangentialebenen,  so  erhält  man  ent- 
weder eine  Ellipse  oder  eine  Parabel  oder  endlich  eino  Hyperbel, 
jenachdem  der  zur  genannten  Ebene  parallele  Hauptkreis  der  Kugel 
den  kleinen  Kreis  nicht  trifft,  denselben  berührt  oder  endlich  in 
zwei  Punkten  schneidet. 

Nach  diesen  einleitenden  Definitionen  der  Kegelschnitte  wendet 
sich  Desargues  zur  Aufstellung  jenes  Hauptsatzes,  der  heute  noch 
seinen  Namen  trägt: 

(c)  Der  Satz  des  Desargues.  Derselbe  wird  folgender- 
massen  ausgesprochen:  Laufen  durch  vier  Punkte  einer  Ebene  drei 
Paare  von  Geraden,  sowie  auch  ein  beliebiger  Kegelschnitt,  so  schneidet 
irgend  eine  Transversale  diese  Figur  nach  vier  Punktepaaren  einer 
Involution. 

Der  Beweis  zerfällt  in  drei  Abteilungen  und  wird  im  wesent- 
lichen mit  Hülfe  des  Trausversalcnsatzes  von  Menelaos  geführt. 
(Fig.  7.) 

Das  Dreieck  ppxf  wird  bzhw.  von  den  Transversalen  ic,  de,  bd 
und  ec  geschnitten,  und  es  ergeben  sich  sofort  folgende  Gleichungen: 


1) 
2) 
3) 
4) 


2_  tteL  ^ 

*Pt  ~  «Fi  bf 

HP  äf_  ep 
HPi  "  dP\  '  *f 

gp^     cf  cp 

9Pi  "  "  «Pi  ■  «/ 

9\P  __  bP  *V 

Ü\V\      hf  '  dP\ 


Durch  Multiplication  der  Gleichungen  1)  und  2) ,  sowie  3)  und 
4)  folgt  unmittelbar: 


1)  Leibnizem  Mathematische  Schriften,  ed.  J.  C.  Gerhardt.  B.  I.  Abt.  I 
pag.  40. 

9* 


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132 


Chrzaszczewski:  Desargues*  Verdienste  um  die 


ipj'.  ilPl      gpt  . 

d. h.  doch  die  drei  Punktepaare  Hj—  ggi—pvi  bilden  eine  Involution1). 

Liegen  nun  die  vier,  ursprünglich  willkürlichen  Punkte:  hctle 
auf  einem  Kreise,  so  folgt  durch  wiederholte  Anwendung  des  Potenz- 
satzes : 

ip  .  itp       cf    df    bp  .  ep        bp   .  ep        lp  .  ltp 
{P\  •  HPi  * "  bf  •  ef  '  cpt  .  dpx    3  cp1  .  ppx  ~~  lPl  .  llPl 

und  daraus: 

ipx  .  itpi      lpt  .  ljpt      gpx  .  gxpv 
Diese  Gleichungen  definiren  die  drei  Involutionen 

(>>\-ui—pPi),   (99i—lli—PPi)   and  (»»i-^i-pp) 

welche  aber  zusammenfallen  müssen ,  weil  sie  je  zwei  Punktepaare 
gemeinsam  haben. 

Um  nun  endlich  den  Satz  für  einen  beliebigen  Kegelschnitt 
nachzuweisen,  bedient  sich  Desargues  der  Methode  der  Pro- 
jection,  die  hier  zum  ersten  Male  auftritt  und  zeigt,  dass 
er  den  Charakter  der  Projectivitat  seiner  Involution  (d.  h.  die  In- 
varianz) vollkommen  richtig  erkannt  hat.  Auch  hebt  er  die  Wich- 
tigkeit und  Verwendbarkeit  dieser  seiner  Methode  ausdrücklich  her- 
vor und  kommt  noch  an  anderer  Stelle  darauf  zu  sprechen.  *) 

Dieser  wichtige  Satz  bildet  nun  für  Desargues  das  Fundament 
zu  einer  vollständigen  Theorie  von 

(d)  Pol  und  Polare,  die  bisher  immer  de  La  Hire  zuge 
schrieben  wurde.   Pol  und  Polare  werden  durch  die  bekannte  har- 
monische Eigenschaft,  die,  wie  wir  schon  wissen,  Desargues  als  die 
Vierpunktinvolution  bezeichnet,  sowol  in  Bezug  auf  ein  Geradenpaar 
als  auch  in  Bezug  auf  einen  Kegelschnitt  definirt. 


1)  Dieier  specielle  Fall  des  Satzes  für  das  Vierseit  ist  bekanntlich  in 
seiner  Umkehrung  bereits  von  Pappus  im  130ten  Satte  des  8.  Baches  der 
Collectiones  math.  angegeben  worden.  Jedoch  tritt  statt  der  obigen  achtglie- 
drigen  Bedingungsgleichung  die  sechsgliedrige  auf. 

2)  Desargues  I.  pag.  176  ff.,  pag. -493. 


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Begründung  der  projectivischen  Geometrie. 


133 


Was  den  Beweis  dafür  anlangt,  dass  die  sämtlichen  harmoni- 
schen Punkte  zum  Pol  /  (bei  Desargues  but  de  l'ordonnance)  bezüg- 
lich der  Schnittpunkte  mit  den  eben  genannten  Figuren  auf  einer 
Geraden,  der  Polaren  des  Punktes  (traversale  d'une  ordonnance 
au  but  f)  liegen,  so  wird  derselbe  zunächst  für  das  Geradenpaar 
(AAt)  geliefert  und  hierauf  vermittelst  des  Desargues'schen  Satzes 
auf  einen  beliebigen  Kegelschnitt  (K)  ausgedehnt.   (Fig  8.) 

Um  die  Polare  des  Punktes  f  in  Bezug  auf  das  Geradenpaar 
(AAt)  zu  construiren,  zieht  Desargues  zwei  beliebige  Strahlen  feb 
und  fdt,  welche  auf  A  und  At  bzhw.  die  Punkte  cd  und  bt  liefern. 
Der  Schnittpunkt  m  der  Diagonalen  ce  und  bd  mit  n ,  dem  gemein- 
samen Punkt  von  A  und  Au  verbunden,  liefert  die  verlangte  Polare.  Die 
Verbindungslinie  fm  schneidet  A  und  At  in  den  Punkten  x  und  y. 

Wendet  man  in  Bezug  auf  das  Dreieck  nry  den  Satz  von  Me- 
nelaos  an,  indem  man  bd  —  cc-dc—bc  bzhw.  als  schneidende  Trans- 
versalen ansieht,  so  hat  man: 

mx  dz  bn 
mya  dn'  by 

mx  ix  cn 
my      cn  '  cy 

fy       dn  '  cy 
fx      cx  bn 


Liegen  aber  hiernach  mf  und  xy  harmonisch,  so  muss  auch  ein  be- 
liebiger Strahl  fk—üj  vier  harmonische  Punkte  liefern. 

Geht  nun  durch  die  vier  Punkte  bzde  ein  ganz  beliebiger  Kegel« 
schnitt,  so  ist  nach  Desargues  die  bereits  construirte  Linie  auch  die 
Polare  in  Bezug  auf  den  Kegelschnitt   Denn  auf  dem  beliebigen 
Strahl  fly  der  den  Kegelschnitt  in  l  und  f,  trifft,  liegt  die  Involution 
99%  ~        deren  Panktepaare  {Ux—g9i)  von  f  und  k  harmo- 


1)  M  nn  erkennt  sehr  leicht,  dass  dieser  bekannte  Satz  ein  speciellcr  Fall 
Ton  dem  unter  lit.  c.  dieses  Paragraphen  gegebenen  Satz«  Ober  das  Vierten  ist. 


cn  by 


Daraus  folgt  unmittelbar: 


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134  Chrzaszcxewski:  Desargues'  Verdienste  um  die 

m 

nisch  getrennt  worden.  Die  beiden  letztgenannten  Punkte  sind  so- 
mit die  Doppelpunkte  obiger  Punktreihe,  so  dass  sie  auch  zum 
Punktepaar  //,  harmonisch  liegen  müssen,  was  aber  zu  beweisen  war. 

Daran  schliesst  sich  sofort  eine  Reihe  von 

(e)  Sätzen  über  Pol  und  Polare,  von  denen  wir  die  wich- 
tigsten hervorheben  wollen: 

1)  Es  findet  sich  der  Hinweis,  dass  die  Linie  mf  (Figur  8) 
Polare  zu  n,  die  Linie  nf  Polare  zu  m  sei.  ,). 

2)  Diejenigen  Geraden,  welche  den  Pol  /  mit  den  Schnittpunkten 
*  und  /  der  Polaren  mit  dem  Kegelschnitt  verbinden,  berühren  den- 
selben. *) 

3)  Die  Pole  der  Geraden  eines  Büschels  liegen  auf  der  Polaren 
seines  Centrums  und  umgekehrt. ») 

4)  Die  Polaren  der  Punkte  einer  Geraden  laufen  durch  den  Pol 
derselben. 4) 

Es  ist  kaum  nötig  darauf  hinzuweisen,  dass  die  beidsn  letztge- 
nannten Sätze  das  Princip  der  reeiproken  Polaren  enthalten. 

5)  Wie  ferner  Desargues  jedem  Punkte  in  der  Ebene  eines 
Kegelschnitts  eine  einzige  Polare  bezüglich  desselben  zuordnet  *) 
und  auch  umgekehrt  jeder  Geraden  nur  einen  Pol,  so  weist  er  auch 

eder  Geraden  eine  ganz  bestimmte  Involution6)  zu, 
nämlich  die  der  Punkte  m  uud  »,  also  die  Involution  der  conjugirten 
Pole.  Lässt  man  n  längs  der  Geraden  ns  variiren,  so  bekommt  man 
immer  andere  und  andere  Lagen  der  Punkte  (m«)  Und  zwar  gilt 
hierüber  folgendes: 

(a)  Jedem  Punkte  f  ausserhalb  eines  Kegelschnitts  gehört  eine 
Polare  zu,  die  den  Kegelschnitt  in  zwei  Punkten  trifft,  und  die  dieser 
gemäss  (5)  zugewieseue  Involution  ist  hyperbolisch7). 


1)  DeBargues  I.  j  ag.  18d. 

2)  Desargues  L  pag.  192. 

3)  Desargues  I.  pag.  191. 

4)  Desargues  1.  pag.  191. 

5)  Desargues  L  pag.  192. 

6)  Desargues  I.  pag.  194,  195. 

7)  „l'arbre  est  d'espece  a  souche  ddgagde."    Desargues  L  pag.  195. 


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Begründung  drr  projeetivischen  Gtomtlrit. 


135 


(ß)  Jedem  Punkte  im  Iunern  eines  Kegelschnitts  gehört  bezüg- 
lich desselben  eine  Polare  zu,  die  denselben  nicht  schneidet ,  und 
die  dieser  gemäss  (5)  zugewiesene  Involution  ist  elliptisch  ') 

y)  Der  Pol  einer  Tangente  des  Kegelschnitts  bezüglich  desselben 
liegt  im  Berührpunkt,  und  die  der  Tangente  gemäss  (5)  zugewiesene 
Involution  ist  parabolisch.*) 

Desargues  hebt  also  die  parabolische  Involution  ausdrücklich  als 
eine  dritte  Anordnung  der  involutorischen  Puuktlage  hervor. 

6)  (Siehe  Figur  9.)  Jeder  Strahl  («jVV'i  •  •  .  )  eines  Strah- 
lenbüschels /  trifft  einen  Kegelschnitt  in  Punkten  (ab,  a'b\  a"b")  so, 
dass  ihre  Verbindungsstrablen  mit  einem  festen  Punkte  p  auf  dem 
Kegelschnitt  eine  Strahleuinvolution  {aß  —  a'ß'  —  a"  ß"  .  .  .  ).bilden3) 
Und  die  Umkohrung: 

7)  (Fig.  9.)  Die  sich  entsprechenden  Strahlen  einer  Involution 
(aß  —  a'ß'  —  a'ß"  .  .  .  ).  deren  Centrum  (p)  auf  einem  Kegelschnitt 
liegen,  schneiden  denselben  in  Punkten:  (ab  —  ab' — a'b"  .  .  .  ), 
deren  Verbindungslinien  stets  durch  einen  festen  Punkt  laufen.4) 

8)  Der  Mittelpunkt  eines  Kegelschnitts  wird  von  Desargues  als 
Pol  der  unendlich  fernen  Geraden  definirt.  5) 

(f)  Ausdehnung  der  Polareu theorie  auf  den  Raum. 
Desargues  begnügt  sich  aber  nicht  damit  eine  vollständige  Polaren- 
theoric  der  Kegelschnitte  zu  entwerfen,  sondern  er  dehnt  die- 
selbe sogar  auf  den  Kaum  aus,  iudem  er  die  Polarebeuo  (plan 


1)  „l'arbrc  est  d'espace  a  souchc  engagcV.    Desargues  I.  pag.  193. 

2)  „Ccpcndant  on  remarquera  qu'entre  les  deux  especes  de  conformation, 
d'arbre,  il  y  en  a  unc  troisietou,  en  la  quelle  chaquo  couple  de  noua 
toujours  un  est  uni  a  la  souohe,  ...  et  celte  espece  de  conformation  d'arbro 
est  mitoyenne  entre  autres  les  deux,  a  souche  engagee  et  a  couebo  ddgagöc". 
Desargues  I.  pag.  194.  195. 

3)  Desargues  I.  pag.  194. 

4)  Die  Sätzo  6)  und  7)  führten  spater,  wieder  neu  gefunden,  zur  Be- 
trachtung der  krummen  involutorischen  Punktreihen. 

5)  „Quand  en  un  plan,  aueun  des  points  d'une  droite  n'y  est  a  distance 
finie,  cette  droite  y  est  a  distance  infinie.  D'autant  qu'en  un  plan  lc  point  nommö 
centre  d'une  coupe  de  rouleau,  n'est  qu'un  cas  d'cntre  les  innombrahles  buts 
d'ordonnance  de  droites,  il  nc  doit  etre  jamais  Id  parle  de  centre  de  coupe 
de  rouleau. u  Wir  glaubten  auf  Grund  dieser  Stelle  (Desargues  I.  pag.  166, 
168)  den  Satz  (8)  in  der  angegebenen  Weise  formuliren  zu  dürfen.  Ver- 
gleiche auch  Des.  I.  pag.  168  ff. 


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136 


Chrzastcxetoski:  Desarr/ues'  Verdienste  um  dte 


traversal  des  droites  d'une  ordonnance)  in  Bezug  auf  eine  Kugel 
nach  Analogie  der  Verbältnisse  in  der  Ebene  definirt 1 )  Ja,  es  wird 
sogar  der  folgende  Satz  deutlich  ausgesprochen:  Bewegen  sich  ver- 
schiedene Geraden,  die  alle  je  einen  festen  Punkt  in  einer  gegebeneu 
Ebene  besitzen,  um  eine  Kugel,  so  sind  die  Ebenen  der  dabei  durch- 
laufenen Berührungskreise  die  Polarebenen  zu  jenen  festen  Punkten; 
überdies  gehen  diese  all©  durch  den  Pol  der  ursprünglich  gegebenen 
Ebene. 

Dazu  fügt  Desargues  nachfolgende  merkwürdige  Stelle: 

„Eine  ähnliche  Eigenschaft  findet  sich  auch  in  Bezug  auf  andere 
Körper,  die  zur  Kugel  in  dem  nämlichen  Verhältniss 
stehen,  wie  die  Ovale  oder  Ellipsen  zum  Kreise,'  aber 
es  wäre  hierüber  zuviel  zu  sagen ,  wenn  man  nichts  dabei  übersehen 
wollte."  *) 

Darin  scheint  zum  mindesten  eine  Vorahnung  der  Collineations- 
verwandtschaft  zwischen  den  Flächen  zweiteu  Grades  uud  der  Kugel 
angedeutet  zu  sein.3) 

(g)  Eine  wichtige  Anwendung,  die  Desargues  von  der 
Polarentheorie  macht ,  und  auf  welche  wir  später  noch  zurückkom- 
men werden,  wollen  wir  hier  nicht  übergehen.  Es  handelt  sich  dar- 
um, den  Mittelpunkt,  ein  paar  coujugirter  Durchmesser,  sowie  auch 
die  Tangenten  und  Asymptoten  eines  Kegelschnitts  zu  ermitteln, 
der  dadurch  entsteht,  dass  eine  gegebene  Kegelfläche  mit  kreisför- 
miger Basis  durch  eine  beliebige  Ebene  K  geschnitten  wird.  Desar- 
gues verfährt  folgendermassen :  Durch  die  Spitze  f  des  Kegels  legt 
er  eine  Hülfsebene  E0  parallel  zu  /•;,  welche  die  Kreisebeue  in  S0 
trifft ,  während  /•;  dieselbe  in  S  schneiden  möge.  Der  Pol  von  -Sy> 
bezüglich  des  Kreises  sei/>,  uud  die  ihr  gemäss  Satz  5  auf  Seite  134 
zugehörige  Involution:  (»m,  m'n'  ;  m"n"  u.  s.  w.)  (Fig.  10a).  Die 
Verbindungslinie  der  Kegelspitze  /'  mit  dem  Pol  p  ist  Achse  eines 


))  Desargues  I.  pag.  214. 

2)  Desargues  I.  124,  215. 

3)  Aehnlich  drückt  sich  Poncelct,  ebenfalls  anschliessend  an  die  Ebene 
in  seinem  Traite  des  propriöte's  projectives  des  figures  t.  1.  pag.  125  aus,  in- 
dem er  sagt:  Uebrigens  lasst  sich  die  Theorie  der  reeiproken  Polaren  ohne 
Mühe  auf  Raumfiguren  ausdehnen  ,  indem  man  den  Kegelschnitt  durch  eine 
beliebige  Fläche  zweiten  Grades  erseut,  ich  trete  aber  nicht  in  den  Gegen- 
stand dieses  Capitels  ein,  das  uns  zu  lange  aufhalten  würde  u.  s.  w.  u.  s.  w. 


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Begründung  der  projectivi*chen  Geometrie. 


137 


Ebencubüschels,  V)  die  auf  der  gegebenen  Ebene  E  den  Mittelpunkt 
des  entsprechenden  Kegelschnitts  ausscheidet;  Ebencnpaaro  des 
Büschels,  welche  durch  zwei  conjugirte  Punkte  der  Involution  auf 
S0  gehen,  schneiden  in  E  ein  Paar  conjugirter  Durchmesser  aus  «), 
deren  Endpunkte  in  der  einfachsten  Weise  bestimmt  werden  können. 
Auch  die  Tangenten  und  Asymptoten,  welch'  letztere  bei  dieser  Ge- 
legenheit wol  zum  ersten  Male  als  Durchmesser  und  Tangenten 
in  den  unendlich  weiten  Punkten  betrachtet  werden,  lassen 
sich  mit  Hülfe  der  construirten  Involution  ermitteln,  wenn  auch  die 
Construction  der  letzteren  Elemente  nicht  besonders  scharf  ange- 
geben ist. 

Um  in  der  gegebenen  Figur  10  a,  die  in  Orthogonalprojectioncn 
den  Vorzug  illustriren  soll,  eiuen  Punkt  des  entstehenden  Kegel- 
schnitts zu  linden,  ziehen  wir  die  Gerade  mj>,  legen  durch  diese  und 
die  Kegelspitze  f  eiue  Ebene,  die  den  Kegel  in  dem  Dreieck  dt-i; 
trifft;  die  Schnittlinie  Mb  derselben  Ebene  mit  der  gegebeneu  Ebcuo 
E  (Spuren  *S  und  T)  muss  parallel  laufen  zu  mf,  welche  doch  in 
der  Hülfsebeno  Kt  (Spuren  S0T0)  liegen  muss;  Mb  schucidet  das 
Dreieck  in  zwei  Punkten  des  gesuchten  Kegelschnitts.  Dieselbe  Cou- 
struetiou  mit  dem  Puukte  «  ausgeführt,  liefert  zwei  neue  Punkte  ac. 
ac  und  bd  sind  zugleich  conjugirte  Durchmesser  des  sich  ergebenden 
Schnittgebildes,  (i  ist  sein  Mittelpunkt. 

Lösen  wir  nun  aus  der  Figur  10 a  die  Figur  10b  heraus,  und 
denken  uns  den  ganzen  Vorgang  in  einer  Ebene  ausgeführt,  so  steht 
eine  Construction  vor  uns,  die  nach  der  bisherigen  Ansicht  von  De 
La  Hire  im  Jahre  1673  in  seinen  Planiconiques  zum  ersten  Malo 
gegeben  wurde  uud  die  Transformation  des  Kreises  in  einen  Kegel- 
schnitt leistet;  dass  De  La  Hire  durch  obigen  Gedankengang  zu 
dieser  gelangt  ist,  dürfte  wol  ausser  allem  Zweifel  sein. 

• 

Die  übrigen  noch  im  Brouillon  enthaltenen  Sätze  aus  der  Kegel- 
schnittstheorie beanspruchen  nicht  das  Interesse,  wie  die  angeführten, 
da  sie  teilweise  kaum  verständlich  gefasst  sind.  Dagegen  wollen  wir 
noch  den  bekannten 


1)  et  Ja  droitc  menee  par  1c  sommet  du  rouleau  et  cc  but  />  (F)  est 
l'cssieu  de  l'ordonnance  de  plan  etc.    Des.  I.  pag.  196. 

J)  Aus  dieser  Construction  lässt  sich  unmittelbar  der  Satz  ablesen,  dass 
die  conjugirten  Durchmesser  eines  Kegelschnitt«  eine  Involution  bilden,  indem 
dieselben,  wie  aus  der  Figur  ersichtlich  ist,  eine  Punktinvolution  projiciren, 
oder  durch  einen  inve-lutorischen  Ebenenbüschel  ausgeschnitten  werden. 


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138  Chrzas  zczew  $ki:  Desaryues'  Verdunste  um  die 


(h)  Satz  über  perspektivisch  liegende  Dreiecke1) 
erwähnen,  welcher  sich  in  der  von  Bosse  herausgegebenen  Perspective 
des  DesargueB  befindet.  Er  lautet:  Wenn  die  Geraden  (siehe  Figur 
11)  HDa,  HEb,  cED,  Iga,  Ifb  ,  abc,  HIL,  DgK,  EfK  sich  irgend 
wie  im  Räume  oder  in  einer  und  derselben  Ebene  gegenseitig  durch- 
schneiden, so  müssen  auch  die  Punkte  cfg  auf  einer  Geraden  liegen. 
Desargues  gibt  zunächst  eiuen  Beweis  für  den  Raum,  wie  er  heute 
noch  allgemein  Üblich  ist;  für  die  Ebene  gelingt  derselbe  durch  drei- 
malige Auwenduug  des  Satzes  vou  Menelaos,  indem  die  Dreiecke 
DHK^  KEH  und  DHE  mit  den  Transversalen  Iga,  hfl  und  abc  ge- 
schnitten werden.    Man  hat  dann: 

gD     aD  IH 
1}    gK  ™  atl  '  IK 

fK     IK  bH 
"}   fK      l  //'  bE 

cD      aD  bH 
'6)    cE  "  all '  bE 

Aus  (1)  und  (2)  folgt: 

gD  f  K  _  aD  bH 
gK  '  fK  Ä  all  '  bE 

und  in  Verbindung  mit  (3)  ergibt  sich: 

ct>__  gD  fH 
cK"  gK'  fK 

oder 

cD  fK  cK 
gD~  gK'  fK 

somit  liegen  nach  der  Umkehrung  des  Satzes  von  Menelaos  die  drei 
Punkte  c,  /,  g  in  einer  Geraden. 

Auch  findet  sich  der  Hinweis,  dass  in  solchen  Fällen,  wo  Sätze 
für  den  Raum  aufgestellt  werden,  dieselben  ohne  weiteres  eine  Deu- 
tung in  der  Ebene  zulassen.  *) 


1)  Desargues  I.  pag.  413. 

2)  ...  et  Ton  peut  discourir  de  leurs  propridte's  sur  l'une  comme  sur 
l'autre,  et  par  ce  moyen  se  pusser  de  cellc  da  relicf  en  lui  substituant  celle 
d'un  seul  plan."    Desargues  I.  pag.  415. 


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Begründung  der  projeclivischen  Geometrie. 


139 


§  4. 
Rückblick. 

Blicken  wir  noch  eiumal  auf  die  geführto  Untersuchung  zurück, 
so  ergeben  sich  folgende  Hauptresultate:  Desargues  baut  bereits  die 
Geometrie  im  wesentlichen  auf  der  Betrachtung  der  Gruudgebilde 
erster  Stufe  auf,  wie  es  nachmals,  unabhängig  von  ihm,  J.  Steiner 
getan  hat.  Wohl  fiudet  er  nicht  die  allgemeine  projectivische  Be- 
ziehung dieser  Grundgebilde,  aber  ersetzt  dieselbe  durch  die  Involu- 
tion, die  er  in  ihrer  vollständigen  Allgemeinheit  erkennt  und  bis  in's 
Detail  behandelt.  Diese  führt  ihn  zu  einer  eingehenden  Behandlung 
der  Polarcntheorie,  ')  die  ihrerseits  auf  den  Satz  vom  Kegelschnitt, 
dem  ein  Vicrseit  eingeschrieben  ist,  gestützt  wird.  Ausserdem  ist 
Desargues  vollständig  vertraut  mit  dem  Begriff  der  Invarianz  geome- 
trischer Eigenschaften  bei  Protection,  und  diese  allein  ermöglicht 
ihm  eine  Behandlung  der  Kegelschnittstheorie,  wie  sie  in  einer  sol- 
chen Allgemeinheit  nie  vor  ihm  gegeben  worden  war.  Dafür  spricht 
auch  eine  Stelle  in  den  Acta  Eruditorum  vom  Jahre  1685  pag.  400, 
welche  lautet:  „Desarguesius  primus  sectiones  conicas  uuiversali 
quadum  ratione  tractare,  ac  propositiones  multas  sie  enuutiare 
coepit,  ut  quaecunque  Sectio  subintelligi  posset," 


§.  5. 

Desargues'  Stellung  in  seiner  Zeit. 

Selten  wol  hat  ein  Gelehrter  so  widersprechende  Beurteilung 
von  Seiten  seiner  Zeitgenossen  erfahren  müssen,  wie  gerade  De- 
sargues. 

Von  den  Grossen  angestaunt  und  bewundert,  ward  er  zu  glei- 
cher Zeit  von  den  mittelraässigen  Mathematikern,  welche  in  ihrer 
conservativeu  Haltuüg  jeder  Neuerung  in  der  Geometrie  feindlich 
gegenüberstanden,  mit  Hass  verfolgt,  mit  Beleidiguugeu  und  Schmähun- 
gen überschüttet,  die  bald  Desargues  jede  Lust  nahmen,  seine  eigen- 
artigen gedankenreichen  Arbeiten  fernerhin  zu  veröffentlichen.  So 


1)  Wir  glauben  im  Vorhergehenden  bestimmt  nachgewiesen  zu  haben, 
dass  Desargues  tatsächlich  der  Schöpfer  der  Polarenthcoric  ist,  die  bisher  dem 
De  La  Hirc  zugeschrieben  wurde.  Vergl.  z.  B.  Dr.  Lehmann;  De  La  Hire 
und  seine  Sectiones  Conicae,  Abhandlung  zum  Jahresbericht  des  Kgl.  Gym- 
nasiums zu  Leipzig  auf  das  Schuljuhr  Ostern  1887  bis  Ostern  1888,  ebenso 
Ostern  1889  bis  1890;  Cantor  B.  III.  pag.  123. 


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140  Chrzaazctewski:  Desargues'  Verdienste  um  die 

erklärt  es  sich  auch,  dass  er  von  dem  Jahre  1644  an  keiiie  Schrift 
mehr  erseheiuen  liess. 

Schon  sein  erstes  Werk,  das  über  die  Perspective  haudelte, 
hatte  alsbald  nach  seiner  Veröffentlichung  gewissen  Leuten  Veran- 
lassung gegeben,  gegen  die  von  Desargues  auf  diesem  Gebiete  ein- 
geführte Neuerung  der  Coordinatenmethode »)  zu  protestiren. 

So  wurden  mehrere  Schriften  verfasst,  die  zum  Teil  den  Namen 
ihres  Urhebers  trugen,  zum  Teil  anonym  herausgegeben  wurdeu. 
Ein  heftiger  Streit  entbrannte  und  wurde  mit  grosser  Leidenschaft 
auf  beiden  Seiten  geführt. 

Als  Beispiel  hierfür  sei  erwähnt,  dass  Desargues  einem  gewissen 
Curabello  die  ungeheure  Summe  von  lOOüOO  Livres  anbot,  falls  es 
ihm  (Desargues)  nicht  gelingen  sollte  nachzuweisen,  dass  der  Inhalt 
der  Curabelle'scheu  Streitschrift  zum  Teil  falsch,  zum  Teil  verleum- 
derisch sei. 

Schliesslich  wurden  dann  alle  gegen  Desargues  erschienenen 
Schmähschriften  in  einem  einzigen  Baude  vereinigt,  der  den  Titel 
trug :  „Abis  eharitable  sur  les  diverses  oeuvres  et  feuilles  volantes  du 
sieur  Üirard  Desargues  Lyonuais  Paris  1642,  chez  Melchior  Taver- 
vier. "  *)  und  heute  zu  den  grossen  Seltenheiten  gehört. 

In  dieser  Sammlung  befindet  sich  auch  der  Brief  eines  gewissen 
Beaugrand,  Sekretär  des  Königs,  der  sich  in  seinem  ersten  Teil  mit 
dem  Brouillon  Desargues',  in  seinem  zweiten  Teile  aber  mit  Studien 
über  den  Schwerpunkt  beschäftigt,  indem  er  an  eine  Arbeit  des 
letzteren  über  Mechanik  anknüpft,  die  dem  Kegelschnitts  werk  bei- 
gegeben war,  heute  aber  nicht  mehr  vorhauden  ist. 

Der  Eindruck,  den  man  nun  beim  Lesen  des  Beaugrand'schen 
Briefes  gewinnt,  ist  der,  dass  es  diesem  Secretär  weniger  darum  zu 


1)  Bekanntlich  beruht  die  Desargacs'sche  Methode,  Gegenstände  per- 
spectirisch  abzubilden  einfach  darin,  dass  die  einzelnen  Ecken  derselben  punkt- 
weise vermittelst  ihrer  Coordinatcn  dargestellt  werden. 

2)  Uns  lag  ein  Exemplar  der  Münchner  Hof-  und  Staatsbibliothek  mit 
der  Signatur:  20.  Arch.  libr.  4"'»  5  vor. 

3)  Als  Beweis  für  Bcaugrands  Unfähigkeit  zur  Beurteilung  mathematischer 
Dinge,  fahren  wir  nur  folgende  Tatsachen  an:  In  dem  oben  bezeichneten  Brief 
zeichnet  er  die  Einführung  der  Doppelpunkte  einer  Involution  für  völlig  über- 
flüssig da  dies  alle  jene  selbst  maehen  können,  die  die  ersten  Element«  des 
Euklid  studirt  haben".  In  seiner  Geostatik  behauptet  der  Sccretar,  dass  das 
Gewicht  einos  Körpers,  der  sich  dem  Erdmittelpunkte  nähert,  abnehmen  müsse. 


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Begründung  der  projectivüchen  Geometrie. 


141 


tun  war  an  dem  Brouillon  sachliche  Kritik  zu  üben,  wozu  er  auch 
keineswegs  die  Fähigkeit  besass,  *)  als  vielmehr  durch  eine  spöttisch 
gehaltene  Bemängelung  der  von  Desargues  allerdings  zahlreich  ein- 
geführten Begriffe,  wie  Souche  oder  Involution,  das  Werk  verächt- 
lieh  zu  machen  und  als  das  Product  eines  nicht  mehr  vollständig 
zurechnungsfähigen  Mannes  hinzustellen.  Aehnlichen  Charakter  tragen 
alle  übrigen  gegen  Desargues  gerichteten  Schmähschriften  an  sich. 

Während  nun  die  wichtigsten  Originalarbeiten  des  grossen  Ge- 
lehrten verloren  gingen  und  erst  nach  langer  Zeit  teilweise  wieder 
aufgefunden  werden  konnten,  haben  sich  diese  Ergüsse  des  Hasses 
und  der  Eifersucht  bis  auf  den  heutigen  Tag  erhalten. 

Und  gerade  sie  haben,  wenn  sie  auch  zu  Desargues's  Lebzeiten 
seinem  Ruhm  manchen  Abbruch  taten,  dazu  beigetragen,  die  Nach- 
welt auf  den  Gelehrten  aufmerksam  zu  machen  und  manche  seiner 
Entdeckungen  zu  überliefern. 

Im  Gegensatze  zu  diesen  unerquicklichen  Anfeindungen,  die 
Desargues  über  sich  ergehen  lassen  musste,  steht  die  wichtige  Tat- 
sache, dass  die  Geistesheroen  jener  Zeit  ihm  ihre  Hochachtung  nach 
jeder  Richtung  hin  bekundeten. 

So  schreibt  z.  B.  Fermat  an  den  P.  Mersenne,  der  bekanntlich 
mit  allen  bedeutenden  französischen  Gelehrten  jener  Epoche  in  Be- 
ziehungen stand: 

„Ich  achte  den  Herrn  Desargues  sehr  und  zwar  deshalb,  weil 
er  der  selbständige  Erfinder  seiner  Kegelscbnittstheorie  ist.  Sein 
Büchlein,  das,  wie  Sie  sagen,  als  Jargon  *)  gilt,  ist  mir  sehr  ver- 
ständlich und  geistreich  erschienen." 

Ein  nicht  minder  günstiges  Zeugniss  stellt  ihm  Carcavy  in  einem 
Briefe  vom  22.  Juni  1656,  der  an  Uuyghens  gerichtet  ist,  aus :  *) 

„Es  ist  wahr,  dass  Desargues  einon  Styl  hat,  der  von  dem  der 
anderen  Geometer  etwas  abweicht.  Da  er  aber  die  Werke  derselben 
nur  wenig  gelesen  hat,  seine  Gedanken  ihm  allein  entsprungen  sind, 
und  er  die  Dinge  allgemeiner  fasst,  wie  die  anderen  Geometer,  so 
muss  man  ihn  entschuldigen  und  aus  dem  wenigen,  das  er  uns  ge- 
geben hat,  Nutzen  ziehen,  der  freilich  ein  grösserer  sein  würde, 
wenn  Desargues  seine  Gedanken  in  anderer  Reihenfolge  entwickelt 
hätte." 


1)  So  drückt  sich  Beaugrand  in  seinem  Briefe  aus. 

2)  Cli.  Henry:  Intermediance  de  Carcavy,  de  Fermat,  Pascal  et  HuyghenB. 
Bull,  di  Bibliographia  et  di  storia,  B.  Boncompagni  tome  17.  S.  330. 


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142  Chrzasteztwiki:  Desargues'  Verdienste  um  die 

Statt  noch  mehr  solcher  Stellen  anzuführen,  weisen  wir  darauf 
bin,  dass  Desargues  mit  dem  berühmten  Philosophen  und  Mathe- 
matiker Descartes  in  inniger  freundschaftlicher  Beziehung  stand,  die 
hauptsächlich  in  der  wissenschaftlichen  Tüchtigkeit  des  ersteren  ihre 
Begründung  hatte.  Auch  versäumt  Descartes  keine  Gelegenheit  diese 
seine  Hochschätzung  Desargues  gegenüber  auszusprechen. *)  Das 
Bewusstsein  der  Wertschätzung  von  Seite  solcher  Männer,  die  wie 
z.  B.  Descartes  nur  äusserst  sparsam*  in  der  Erteilung  von  Lob- 
sprüchen waren,  musste  den  Gelehrten  entschädigen  für  die  vielen 
Angriffe  und  Beleidigungen  anderer. 

Wie  es  bei  neu  auftretenden  Gedanken  immer  geht,  so  waren 
es  eben  nur  wenige,  die  Desargues'  Ideenflug  zu  folgen  vermochten. 
Der  wesentlichste  Grund  hiefür  liegt  wol  in  seinen  Werken  selbst, 
denn  sie  unterscheiden  sich  sowol  im  Stjl  als  auch  im  Inhalt  von 
allen  mathematischen  Schriften  jener  Zeit.' 

Obwol  seit  Vieta  eine  bedeutende  Besserung  der  algebraischen 
Bezeichnung»-  und  Rechnungsweise  eingetreten  war  bediente  sich 
dennoch  Desargues  beständig  derjenigen  der  Alten,  da  er  diese  allein 
kannte.  Auch  Decartes  hat  ihm  diesen  Mangel  vorgehalten,  indem 
er  an  seinen  Freund  schreibt:*) 

„Um  Jhre  Beweise  einfacher  zu  gestalten,  wäre  es  nicht  übel 
angebracht  Termen  und  arithmetische  Rechnungsweisen  anzuwenden, 
sowie  ich  das  in  meiner  Geometrie  gemacht  habe.  Denn  es  gibt 
viel  mehr  Leute,  welche  wissen,  was  Multiplication  ist,  als  solche, 
die  verstehen,  was  ein  zusammengesetztes  Verhältnis«  bedeutet.*4 

Die  Klarheit,  namentlich  des  Kegelschnittswerkes,  wurde  aber 
auch  dadurch  wesentlich  beeinträchtigt,  dass  weder  eine  Einteilung 
nach  Capiteln  vorhanden,  noch  eine  logische  Aufeinanderfolge  in  den 
Entwicklungen  eingehalten  ist. 

Ausserdem  roussten  die  scheinbar  willkürlichen  Definitionen,  wie 
z.  B.  bei  der  Involution,  und  die  nicht  immer  genügend  begründete 
Notwendigkeit  der  Einführung  neuer  Gedanken  und  Betrachtungen 
einen  nicht  sehr  geschulten  Leser  abschrecken. 

Ferner  hatte  zwei  Jahre  vor  dem  Erscheinen  des  Brouillon 
Descartes  seine  Geometrie  herausgegeben,  die  die  Aufmerksamkeit  der 
damaligen  Mathematiker  sehr  bald  von  den  Methoden  ablenkte,  die 


1)  Vergleiche  r..  B.  Descartes'  Briefwechsel. 

2)  Lettre«  de  Descartes,  Edit  Cousin,  pag.  88.  tome  8.  Brief  rom  4.  Ja- 
nuar 1639.    Aehnlich  pag.  214.  tome  8. 


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Begründung  der  projectivischen  Geometrie. 


143 


durch  die  griechischen  Mathematiker  des  goldenen  Zeitalters  ange- 
bahnt und  seit  etwa  zwei  Jahrtausenden  verfolgt  worden  sind. 

Doch  ganz  ohne  fruchtbaren  Einfluss  blieben  Desargue's  neue 
Gedanken  keineswegs.  Vielmehr  befanden  sich  unter  seinen  Schülern 
Männer,  die  nach  ihren  Geisteseigenschaften  befähigt  waren,  die  so 
neuen  Anregungen  ihres  Meisters  aufzunehmen  und  weiter  auszu- 
bilden. Ein  solcher  war  Abraham  Bosse,  der  später  auf  der  Pariser 
Hochschule  die  Perspective  und  den  Steinschnitt  lehrte  und  1666 
lieber  seiner  Professur  entsagte,  als  dass  er  der  Methode  des  Desar- 
gues  abgeschworen  hätte,  wie  das  von  ihm  verlangt  wurde.  Auch 
De  La  Hire,  der  Vater  des  berühmten  Gelehrten  gleichen  Namens, 
von  dem  wir  noch  weiter  unten  sprechen  werden,  befand  sich  im 
Schulerkreis  unseres  Mathematikers.  Der  bedeutendste  unter  allen 
aber  war  Blaise  Pascal  der  Jüngere.  Geboren  im  Jahre  1623,  fand 
er  mit  16  Jahren  jenen  berühmten  Satz,  der  nach  ihm  den  Namen 
trägt. 

Es  unterliegt  keinem  Zweifel,  dass  dieser  Satz  den  Studien  bei 
Desargues  eutsprungen  ist,  indem  Pascal  selbst  sagt, ')  „dass  er,  so- 
weit es  ihm  möglich  war,  versucht  habe,  Desargues  nachzuahmen." 

In  seinem  Essay  pour  los  coniques  finden  wir  die  Definition  des 
Strahlenbüschels  mit  derselben  Bezeichnung  wie  bei  Desargues  (ordre 
de  lignes,  ordonnance  de  lignes)  und  ausserdem  den  Satz  vom  Kegel- 
schnitt dem  ein  Vierseit  eingeschrieben  ist,  aufgeführt.  Ueber  die- 
selbe Schrift  äussert  sich  Decartes  wie  folgt:2) 

„Ich  habe  auch  den  Essay  des  jungen  Pascal  über  die  Kegel- 
schnitte bekommen,  und  bevor  ich  noch  die  Hälfte  desselben  durch- 
gelesen hatte,  erkannte  ich,  dass  Pascal  von  Desargues  gelernt  hat, 
was  er  mir  auch  sofort  einräumte  4 ' 

Auch  hält  er  es  an  einer  anderen  Stelle  für  nicht  glaubwürdig, 
dass  ein  16  jähriger  Jüngling  einen  so  wichtigen  Satz,  wie  der  Sechs- 
ecksatz ist,  habe  finden  können. 

In  der  Tat  ist  es  leicht  möglich,  aus  zwei  Sätzen  des  Desargues 
den  von  Pascal  abzuleiten.  Wir  teilen  diesen  Beweis  mit,  da  viel- 
leicht Pascal  einen  ähnlichen  Weg  eingeschlagen  hat.  (Siehe  Fig.  12.) 

Das  Viorseit  1264  mit  den  Diagonalen  24  und  16  werde  von 
der  Transversale  G  in  den  Punkten  a<ix—bb1  geschnitten.  Eben- 


1)  Essay  pour  les  Coniques  pag.  184.  tome  III. 

2)  Leitre»  de  Descartes  |>ag.  201.  tome  8,  Brief  vom  II.  Juni  IG40. 


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144 


Chrzaszczewski:  Desaryues*  Verdienste  um  die 


dieselbe  trifft  einen  beliebigen  (Kegelschnitt,  der  durch  I,  2,  4,  6 
gelegt  ist,  in  den  Punkten  ccv 

Nun  bilden  aber  die  Paare  aat  —  bbl  —  cc,  eine  Involution ,  die 
wir  von  4  auf  den  Kegelschnitt  projiciren  wollen,  und  erhalten  da- 
durch die  Punktepaare  23  —  56  —  ce,  deren  Verbindungslinien  durch 
einen  einzigen  Punkt  0  auf  G  laufen  müssen.  (Vergl.  Satz  7  auf  Seite 
135.)  Betrachten  wir  in  der  Figur  das  Sechseck  12  3456,  so  schnei- 
den sich  offenbar  seine  Gegenteiten  in  drei  Punkteu  einer  Geraden 
<?,  womit  der  Pascal'sche  Satz  bewiesen  *)  ist. 


Auch  Fermat,  der  wie  wir  schon  sahen,  Desargues'  Bedeutung 
zu  würdigen  wusste,  scheint  sich  eingebend  mit  der  Involution  des- 
selben beschäftigt  zu  haben.  Denn  in  seinem  Nachlasse  befinden 
sich  zwei  specielle  Fälle  des  Satzes  vom  Kegelschnitt  mit  dem  ein- 
geschriebenen Vierseit.  Den  einen  hat  bereits  Herr  Cantor  in  seiner 
Geschichte  der  Mathematik  angeführt  *)  und  bemerkt,  dass  in  ihm  die 
jetzt  gebräuchliche  Defiuition  der  Involution  enthalten  sei,  wenn 
auch  jener  Kunstausdruck  nicht  genannt  und  gebraucht  sei.  *) 

Der  fragliche  Satz  lautet: 

Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  b  eines  Kreises  mit  den 
Endpunkten  m  und  n  einer  Sehne,  so  erhält  man  auf  dem  zu  mn 
parallelen  Durchmesser  ppt  die  Puukte  qrx  und  durch  Annahme  des 
Punktes  e  zwei  weitere  <z,r. 

Dann  besteht  folgende  Beziehung: 


1)  Bekanntlich  ist  dieses  Theorem  bereits  in  den:  Pappi  Alexandrini 
mathematicae  collccüoncs  im  141  und  143  ten  Satz  des  8.  Baches  für  den 
Fall  enthalten,  dass  der  Kegelschnitt  in  ein  Geradenpaar  zerfällt. 

2)  Cantors  Vorlesungen  II.  Band  p.  606  und  pag.  620.  Hierzu  ist  zu 
bemerken,  dass  De*sargues  gerade  jener  allgemeinen  Beziehung  (Gleichung  III 
auf  Seite  124  dieser  Arbeit)  den  Namen  Involution  beilegte,  wahrend  er  mit 
der  Constanx  des  Rechtecks  den  Arbre  definirt. 

3)  Oeuvres  de  Fermnt.    IIcnry-Tancry  B.  I.  pag.  79. 


12  und  45  schneiden  sich  in  a, 
23  und  56  schneiden  sich  in  0 
34  und  61  schneiden  sich  in  4, 


(Fig.  13) 


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Begründung  der  projectwitchen  Geometrü. 


145 


Als  Porisma  wird  der  Satz,  der  allerdings  die  allgemeine  Iu- 
volutionsbedingung  darstellt,  beweislos  angegeben  und  noch  beige- 
fügt, dass  es  unschwer  sei,  denselben  auf  Ellipsen,  Hyperbeln  und 
Gegenschuitte  auszudehnen. 

Diesem  Porisma  geht  ein  anderes  voraus ,  das  ebenfalls  als  spe- 
cieller  Fall  des  allgemeinen  Desargues'schen  Satzes  zu  betrachten  ist, 
was  bisher  noch  nicht  bemerkt  wurde.  *) 

In  einer  Parabel  sei  der  Durchmesser  00,  gezogen.  (S.  Fig.  14). 

Verbindet  man  2  Punkte  M  und  N  mit  zwei  festen  A  und  2?, 
so  erhält  man  auf  dem  Durchmesser  Punktepaare  <ki,  —  M„  welche 
der  folgenden  Relation  genügen: 

Oa  Ob, 

02  ""  Öa,    °der     °ft  '  °ai  ™  Üi  * 

Dies  bedeutet  aber,  dass  0  die  Souche  der  Involution  aal  —  bbi  ist. 
Diese  entspricht  aber  dem  Punkte  0,.  Somit  hätte  man  die  Sechs- 
punktinvolution aa,  -  £6,-00,. 

Wenn  mau  erwägt,  dass  Fermat  Desargues'  Schrift  über  die 
Kegelschnitte  gekauut  hat  und  ihr  auch  seinen  Beifall  nicht  versagte, 
so  ist  die  Vermutung,  dass  er  durch  jenen  auf  dio  obigen  Sätze  ge- 
kommen ist,  keine  unberechtigte.  Unbeschadet  dessen  besteht  neben 
dieser  Anuahme  auch  die  Möglichkeit,  dass  Fermat  bei  seinen  aus- 
gedehnten Studien  über  Apollonius,  hauptsächlich  aber  über  die 
Porismen  des  Euklid ,  selbst  auf  diese  verhältnissmässig  wenig  be- 
deutenden Sätze  stiess. 

Da  sich  aber  die  beiden  Theoreme,  wie  schon  bemerkt,  erst  im 
Nachlasse  des  Fermat  vorgefunden  haben,  *)  so  muss  man  wenigstens 
zugeben,  dass  der  fragliche  Fundamentalsatz  von  Desargues  zuerst 
veröffentlicht  worden  ist.  So  nennt  auch  Pascal,')  der  diesen  Satz 
anführt,  nur  Desargues  als  den  Entdecker  des  Satzes  vom  Kegel- 
schnitt mit  dem  eingeschriebenen  Vierseit. 


1)  Oeuvres  de  Fermat    Ed.  Henry-Tanery  1891.    toue  I.  pag.  79. 

2)  Somit  erst  25  Jahre  nach  dem  Erscheinen  des  Brouillon!  Siehe  auch 
Chasles  Apercu  historique  §  25.  II.  Capitel. 

3)  Oeurcs  completes  de  Pascal:  Ed.  Lihrairie  de  L.  Hachette  et  O, 
Essay  pour  les  Coniquc».    tome  III.  pag.  184. 

Arch.  d.  Math.  u.  Thy«.   2  R«ihe.  T.  XVI.  10 


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14G 


C/irzastrxewski:  Desargue**   Verdien.<.te  um  die 


§  6. 

Kl ii Ii u ss  der  Arbeiten  Deturgrues'  auf  die  Entwicklung  der 
projectlvi.schen  («eoiiietrie  in  späterer  Zeit. 

Da  das  wichtigste  Werk  Desargues',  das  über  die  Kegelschnitte, 
vielleicht  infolge  der  geringen  Auflage  oder  schweren  Lesbarkeit  des- 
selben bald  gänzlich  verschwand,  so  wäre  der  Name  unseres  Ge- 
lehrten als  eines  hervorrageudeu  Geometers  wol  ganz  in  Vergessen- 
heit geraten,  wenn  nicht,  wie  schon  früher  bemerkt,  jene  Schmäh- 
schriften ihn  der  Nachwelt  überliefert  hätten.  Umsoraehr  ist  es  zu 
begrüssen,  dass  der  französische  Mathematiker  Philipp  De  La  Uire, 
der  von  1640—1718  lebte,  ')  im  Jahre  1079  eine  eigenhändige  Ab- 
schrift des  „Brouillou  project"  von  Desargues,  fertigte,  die  dann 
Chasles  nach  weiteren  165  Jahren,  im  Jahre  1845  wieder  auffand. 
Was  De  La  Hire  zu  diesem  eigentümlichen  Verfahren  veranlasste, 
dürfte  kaum  mehr  zu  ermitteln  sein,  dagegen  hat  die  Keuntniss  dieses 
Werkes  unzweifelhaft  Eintiuss  auf  seine  so  berühmt  gewordenen, 
geometrischen  Arbeiten  ausgeübt,  wenn  er  auch  in  einem  seiner  Ab- 
schrift beigegebenen  Briefe  dies  nicht  zum  Ausdruck  bringt.  2)  Mit 
dieser  unserer  Anschauung  stehen  wir  keineswegs  allein,  sondern  es 
findet  sich  bereits  in  den  Acta  Eruditorura  vom  Jahre  1685  auf 
pag.  400  eine  Bemerkung,  welche  bei  Gelegenheit  der  Keceusiou  des 
im  gleichen  Jahre  erschieneneu  Werkes  von  Do  La  Hire:  „Sectiones 
Conicae  in  nov  eni  libros  distributae  (fol.,  Parisiis  1685,  apud  Steph. 
Michallet.)  gemacht  wird,  uud  welche  lautet: 

Cum  nihil  de  bis  Pascalii,  Desarguesii  aut  pauca  sint  edita. 
eo  gratior  fuit  labor  doctissimi  geometrae  Ph.  de  La  Hire,  qui 
vestigiis  istorum  iusistens,  multaque  perpulchraque  de  suo  ad- 
jiciens,  jam  ante  12  anuos  libellum  titulo  Novae  raethodi  sectiones 
couicas  et  cyliudricas  explicaudi  edidit  .  .  .  3) 

Ein  genauer  Vergleich  des  genannteu  Werkes  mit  der  Desargues- 
schen  Schrift  macht,  wie  wir  sehen  werden,  diese  Beeinflussung  un- 
zweifelhaft. 

Nun  hatte  aber  De  La  Hire  bereits  im  Jahre  1673,  also  3  Jahre 
bevor  er  nach  seiner  Augabe  Desargues'  Kegelschnittstheorio  zum 


1)  Vergleiche  hierüber  Cantor  B.  III,  pag.  120  ff. 

2)  Desargue«  I.  png.  231,  232. 

3)  Die«e  Stelle  findet  sich  in  Chasles'  Apercu  historiqne,  deutsche  Aus- 
gabe von  Sohnke  png.  8f>. 


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Bekundung  der  projectivischen  Geometrie. 


147 


ersten  Male  las,  ein  Werk  mit  dem  Titel  „Nouvelle  Methode  en 
Geometrie  pour  les  sections  des  superficies  couiques  et  cylindriques" 
veröffentlicht.  In  derselben  gibt  er  eine  Metbode  an,  um  einen  Kreis 
in  einen  Kegelschnitt  puuktweise  zu  transformiren. 

Fast  genau  dieselbe  Construction  fanden  wir  bei  der  Desargues, 
als  wir  die  von  ihm  gegebenen  Vorschriften  durch  eine  Zeichnung 
veranschaulichten.1)  Der  einzige  Unterschied  besteht  darin,  dass 
Desargues  die  Elemente  des  Kegelschnittes  aus  dem  Grundkreis  des 
Kegels,  also  räumlich  ableitet,  während  De  La  Hire  Kreis  und 
Kegelschnitt  in  einer  und  derselben  Ebono  sich  vorstellt. »)  Aber 
auch  Desargues  hatte  schon,  wie  wir  Seite  138  sahen,  die  Bemer- 
kung gemacht,  dass  derartige  räumliche  Figuren  unmittelbar  in 
der  Ebene  gedeutet  werden  dürfen.  Dieser  Umstand  hindert  je- 
doch nicht,  De  La  Hire's  Worten  betreffs  der  erstmaligen  Leetüre 
dem  Desargues'schen  Kegelschnitte  Glauben  zu  schenken,  denn  er 
kann  die  Kenntniss  von  dieser  Methode  sehr  wol  durch  seinen  Vater 
bekommen  habon,  der  ein  Schüler  Desargues'  war. 

Bei  der  Abfassung  des  schon  citirten  Werkes  vom  Jahre  1685 
kannte  nun  aber  De  La  Hire,  wie  er  selbst  sagt,  den  Brouillon  project, 
und  hat  aus  diesem  unzweifelbaft  den  Gedanken  zur  Aufstellung 
seiner  Polarentheorie  und  zur  Ableitung  der  allgemeinen  Kegel- 
schnittseigenschafteu  aus  dem  Kreise  durch  Raumprojection  geschöpft.1) 

Die  Tragweite  der  Sechspunktinvolution  jedoch  orkannte  er  nicht, 
indem  er  dieselbe  als  unbequem  bezeichnet  uud  nur  die  Vierpunkts- 
involution, die  er  im  Anschluss  an  Pappus  die  harmonische  Teilung 
nenut,  aufgreift.  Aber  schon  Desargues  hatte,  wie  wir  zeigten,  alle 
Eigenschaften  von  Pol  und  Polare  mit  Zuhilfenahme  derselbeu  Punkte- 
lage abgeleitet.  Sein  Standpunkt  war  sicherlich  ein  allgemeinerer 
als  der  des  De  La  Hire,  indem  er  aus  seiner  Sechspunktinvolution 
den  nach  ihm  benannten  Satz  gewann,  der  die  Quelle  so  wichtiger 
Theoreme  wurde,  während  De  La  Hire  bei  seiner  engeren  Auffassung 
dieses  Instrument  vollständig  entbehren  musste. 


1)  Siebe  S.  137  dieser  Arbeit.}  Siehe  auch  Fig.  10b. 

2)  Vergleiche  hierüber  Cantor  B.  III.  pag.  120,  121,  wo  die  Methode 
genauer  auseinander  gesetzt  wird. 

3)  Oldenburg  spricht  in  einem  Briefe  an  Leibniz  mit  Achtung  von  einer 
Desargues'schen  Methode,  womit  jedenfalls  die  Projectionsmetbode  genannt  ist. 
Dieselbe  soll  anch  dem  Pascal*»chen  Werke  zugrunde  gelegen  haben,  welche 
den  Satz  vom  bexagrammum  mysticum  enthalten  hat. 

10* 


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148  Chrzaszczewski:  Dexaryues*  Verdienste  um  die 

Dagegen  muss  dem  letzteren  das  Verdienst  zugesprochen  werden, 
dass  er  einerseits  ans  der  dunklen  Darstellung  Desargue's  die  Wich- 
tigkeit der  Polarentheorie  zu  erkennen  vermochte,  andererseits  die- 
selbe in  überaus  klarer  und  nicht  unselbständiger  Weise  entwickelte. 
Diese  vorzügliche  Darstellungsweise,  die  überhaupt  De  La  Hire's 
Schriften  auszeichnet,  verschaffte  diesem  und  damit  indirect  auch 
Desargues'  Ideen  Einfluss  auf  die  weitere  Entwicklung  der  Geometrie. 

So  verbreitete  sich  die  Kenntniss  der  Polarentheorie  in  England 
durch  das  Schriftcheu  vou  Jacob  Milnes:  Sectionutn  Conicarum  Ele- 
ment^ Oxford  1702,  das  aber  De  La  Hire  als  den  Begründer  der- 
selben bezeichnet.  Athnlich  behandelt  Robert  Simson  im  12teu  Satze 
des  5ten  Buches  ferner  Treatise  on  Conic  Sections  1735  das  Des- 
argues'sche  Theorem,  welches  durch  den  Essay  pour  les  Coniques 
des  Pascal  bekannt  geworden  war.  •)  Geradezu  zum  Fundament 
einer  Arbeit l)  über  die  Kegelschnitte  machte  dieses  Brianchon.  Auch 
reproducirto  Servois 8)  den  Satz  vou  deu  perspectivisch  liegenden 
Dreiecken,  den  auch  Brianchon,  Sturm,  Gergone  und  Poucelet,  welch' 
letzterer  durch  ihn  auf  die  Theorie  vou  den  homologen  Figuren  ge- 
führt wurde,  anwendeten. 

Das  Verdienst,  die  Aufmerksamkeit  der  Mathematiker  auf  Des- 
argues wieder  gelenkt  zu  haben,  gebührt  hauptsächlich  Poucelet. 
Auf  Grund  des  Descart'schen  Briefwechsels  und  des  Briefes  von 
Beaugrand  sieht  er  sich  veranlasst  auf  die  Bedeutung  dieses  Ge- 
lehrten hinzuweisen,  den  er  treffend  den  Monge  seines  Jahrhunderts 
nennt. 4) 

Doch  war  eine  eingehende  Würdigung  der  Verdienste  Desargues 
erst  möglich,  nachdem  Chasles  im  Jahre  1845  die  De  La  Ilire'sche 
Abschrift  des  Brouillon  project  aufgefunden  hatte.  Chasles'  eigene 
Untersuchungen  über  die  Involution,  die  er  in  der  Note  XV  zu  seinem 
Apercu  bistorique  zum  ersten  Mal  veröffentlichte,  sind  jedenfalls 
selbständig  durchgeführt,  indem  das  letztgenannte  Werk  bereits  1837, 
also  8  Jahre  vor  Auffindung  des  Brouillon  project  publicirt  worden 


1)  Pascal:  Essay  pour  les  Coniqnes  pag.  184,  tome  IL 

2)  Brianchon:  „Memoire  sur  les  lignes  da  deuxieme  Ordre.  Paris  1817. 
(Rachclier.) 

3)  Servois:  Solutions  peu  connues  .  .  .  Mets  1805. 

4)  Siehe  die  Einleitung  zu  Poncelct's:  Traite  des  propridtos  projectives 
des  figures. 


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Begründung  der  projectioischen  Geometrie. 


149 


ist  Dagegen  kannte  Chasles  schon  damals,  aas  dem  Briefe 
Beaugrands,  den  Satz  vom  Kegelschnitt  und  dem  eingeschriebenen 
Vierseit,  welcher  ihm  das  Mittel  au  die  Hand  gab,  von  der  involu- 
torischen  Beziehung  zu  dem  allgemeinen  Princip  der  Projectivität 
Oberzugehen.  Chasles  zeigte  nämlich  als  der  Erste,  dass  obenge- 
nanntes Theorem  unmittelbar  den  Satz  ergibt,  dass  zwei  projectivi- 
sche  Strahlenbüschel  einen  Kegelschnitt  erzeugen.  *) 


1)  Chasles:  Apercu  historique,  Deutsch  von  Sohnckc  pag.  349. 

2)  Zu  S.  133  Z.  3  v,  unt.  Desargucs  coustruirt  also  die  Polare  eines 
Punktes  inbemg  auf  einen  Kegelschnitt  in  der  heute  noch  üblichen  Weise. 

3)  Zu  8.  142  Z.  12  v.  unt.  Descartes  meint  offenbar  die  Anwendung 
des  Transversalensntzcs  von  Mcnelaos  in  der  Form  mit  den  zusammgeactxtcn 
Verhältnissen. 


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150     Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  tSrgrenxungscurven. 


III. 

Untersuchungen  und  Lehrsätze  über 
Begrenzungscurven. 

Von 

C.  W.  Meyer, 

Ingenieur  in  Lauchbaramcr. 


§  1. 

Die  folgenden  Untersuchungen  erstrecken  sich  auf  die  Beziehungen 
und  Lehrsätze,  die  sich  ergeben,  wenn  man  auf  dem  rechtwinkligen 
Coordinaten- System  vom  Anfangspunkt  2  Linien  abträgt,  m  auf  der 
Ordinaten-,  n  auf  der  Abscissenachse ;  und  zwischen  beiden  ein  be- 
stimmtes Verhältniss  derart  festsetzt,  dass  man  dasselbe  allgemein 
durch  die  Formel 

m>  -f-  n«  —  S* 

ausdrücken  kann,  worin  -S  eine  gegebene  constante  Länge  ist.  *  ist 
ein  variabler  Exponent,  für  den  wir  successive  alle  erdenklichen 
Werte  einsetzen  können.  Verbindet  man  nun  die  Endpunkte  von  m 
und  n  durch  eine  Gerade,  so  entsteht  ein  rechtwinkliges  Dreieck, 
worin  die  letztere  Hypotenuse  ist. 

Dies  Dreieck  kann  dann  innerhalb  der  durch  die  Formel 

m«  -f-  n'  =  5« 

gegebenen  Grenzen  die  verschiedensten  Formen  annehmen.  Es  be- 
ginnt als  Linie  auf  der  Ordinaten-Achse,  wo  dann 

m  =  5,    n  —  0 


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M?yer:  Untersuchung*»  und  Lehrsätze  über  Begremungncurven.  151 

durchläuft  eine  Symmetrieform  unter  45°,  wo  m  —  n  und  das  Dreieck 
gleichschenklig  ist,  und  eudigt  als  Liuie  auf  der  X  Achse,  wo  n  =  8 
und  m  =>  0.  Denkt  man  sich  uun  alle  diese  Dreiecke  in  unendlich 
uaher  Succession  aufgezeichnet,  so  werden  die  Hypotenusen  derselben 
eine  Continuität  von  Schnittpunkten  miteinander  bilden,  die  einer 
mathematisch  bestimmbaren  Curve  angehören,  die  bei  q  beginnt  und 
in  p  endigt.  Die  Curve  hat  demnach  die  Eigenschaft,  mit  jeder 
solchen  Hypotenuse  einen  Punkt  gemeinsam  zu  haben;  diese  ist 
also  Tangente  an  jene.  In  Folge  dessen  schliesst  die  Curve  den 
gesammten  Raum  ein,  welcher  von  der  Succession  jener  verschiedenen 
Dreiecke  ausgefüllt  wird  und  zwischen  den  Achsen  liegt  Ich  nenne 
sie  deshalb  Begrenzungscnrve. 

Es  leuchtet  ein,  dass  jedem  Grade  der  Gleichung 

m»  -f-  «'  =  8* 

auch  eine  besoudere  Begrcuzuugscurve  entspricht.  Im  Folgenden 
sollen  mehrere  dieser  Curven  bestimmt  und  genauer  untersucht 
werden.    Dabei  wird  sich  ergeben,  dass  der  allgemeinen  Formel 

m'  -f  ii'  —  S' 

(die  wir  Katheten-Formel  oder  -Gleichung  nennen  wollen)  auch  eine 
eben  solche  allgemeine  Formel  der  Begrcnzungscurv6  (Coordinaten- 
Gleichung)  entspricht. 

§  2. 

Es  läge  nahe,  zuerst  den  Expouent  *  —  1  zu  nehmen  und  also 
die  Katheten-Gleichung 

m  -\-  n  —  8 

zu  behandeln.  Allein  das  Weitere  wird  lehren,  dass  man  zweck- 
mässig mit  z  =  2  beginnt ,  wobei  wesentlich  der  Umstand  in's  Ge- 
wicht fällt,  dass  für  den  Fall 

mt  _|_  n*  =  £> 

„dauu  auch  die  Hypotenusen  allor  successiven  Dreiecke  constant  —  S 
sind",  währeud  diese  in  allen  andern  Fällen  in  ihrer  Länge  variiren. 
Hieraus  erhellt  dass  Sf  zwischen  den  Achsen,  mit  seinen  Endpunkten 
auf  diesen  gleitend,  durch  alle  möglichen  Lagen  hindurch  geführt, 
immer  Tangente  an  die  Begrenzungscurve  bleibt.  Da  nun  bekannt 
lieh  bei  der  angegebenen  Bewegung  von  S  jeder  feste  Punkt  dar- 
auf eine  Ellipse  (d.  h  im  ersten  Quadranten  ein  Viertel  derselben) 
beschreibt,  so  lässt  sich  schon  hieraus  schliessen,  dass 


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152     Meyer:  Untersuchungen  und  LehrsäUe  älter  Üegremunyscurven. 

1)  die  Begrenzungscurve  auch  jede  solche  Ellipse  tangirt, 

2)  überhaupt  zwischen  beiden  Curven  mannichfache  Beziehungen 
bestehen  werden. 

Vor  dem  Eintritt  in  die  Untersuchung  noch  2  Bemerkungen: 

Da  im  Laufe  derselben  viele  3te  Wurzeln  vorkommen,  so  habe 

ich  es  praktisch  befunden,  zur  Vereinfachung  der  Schreibweise  die 

dritte  Wurzel  immer  durch  einen  doppelten  Strich  über  dem  Wurzel - 

s_ 

zeichen  auszudrücken;  also  statt  Vac  werde  ich  schreiben  Yx.  Fer- 
ner werde  ich  es  tunlichst  vermeiden,  mich  der  Differential-Rechnung 
zu  bedienen,  um  einerseits  zu  zeigen,  wie  selbst  complicirte  Pro- 
bleme, am  richtigen  Ende  angefasst,  auch  mit  den  gewöhnlichen 
Mitteln  der  Analysis  gelöst  werden  können;  audererseits  das  Nach- 
folgende auch  denen  verständlich  zu  machen,  die  die  Differential- 
Rechnung  nicht  kennen.  Zur  Aufsuchung  der  Maxima  und  Minima 
werde  ich  die  Methode  der  Behandlung  arithmetischer  Proportionen 
(oder  sog.  Ungleichungen)  benutzen,  deren  Wesen  bis  auf  einen 
Puukt  mit  der  Behandlung  der  Gleichungen  völlig  übereinstimmt. 
Dieser  Punkt  ist  der,  dass  die  Vorzeichen  beider  Seiten  nicht  durch 
Division  bzhw.  Multiplication  oder  Radiciren  bzhw.  Potenziren  ge- 
ändert werden  dürfen,  sondern  nur  durch  beiderseitige  Addition  oder 
Subtraction.  Denn  es  ist  z.  B.  —  2>  —  3;  wollte  ich  aber  qua- 
driren,  so  erhielt  ich  4  >  y.  Dagegen  kann  ich  beiderseits  4  ad- 
diren  und  erhalte  2>>  1.  Diese  Manipulation  mit  den  arithmetischen 
Proportionen  enthält  zwar  eigentlich  schon  die  Gruudelemente  des 
Differeutiirens,  ist  aber  ohne  weitere  Erklärung  Jedem  verständlich. 
Will  man  aber  quadriren,  so  muss  man  negative  Grössen  zuerst 
durch  Hinüberschaffen  auf  die  andre  Seite  positiv  machen,  oder  sich 
Gewissheit  verschaffen,  dass  auf  derselben  Seite  noch  ein  grösserer 
positiver  Ausdruck  steht,  der  eineu  positiven  Wert  der  ganzen  Pro- 
portionsseite garantirt  Unter  Beachtung  dieser  Regeln  jedoch  leistet 
das  Verfahren  nahezu  ebensoviel  wie  das  Differentiiren. 


§  3. 

Um  die  Begrenzungscurve  zu  finden,  beachte  man  in  erster  Linie 
den  Umstand,  dass  jeder  Punkt  derselben  in  welchem' sie  eine  Drei- 
ecksbypotenuse  tangirt,  dadurch  charakterisirt  ist,  dass  er  ein  äusser- 
st  er  Punkt  dieser  Hypotenuse  ist.  Das  will  sagen:  Jeder  audre 
Punkt  der  betr.  Hypotenuse  liegt  ausserdem  noch  auf  einer  oder 
mehreren  anders  geneigten. Hypotenusen  5,  die  sich  hier  mit  Ersterer 


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Meyer:    Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzumjscurwen.  J53 

kreuzen.  Dieser  Punkt  jedoch  liegt  auf  keiuer  anderu  mehr, 
sonderu  nur  auf  dieser  einen,  er  ist  ein  Grenzpunkt  für  den 
durch  die  Succession  der  Hypotenusen  gebildeten  Raum.  „Mithin 
ist  hier  für  ein  gewisses  festos  x  das  zugehörige  y  ein  Maximum". 

In  nebenstehender  Figur  ist,  ein  für  alle  Mal,  bei  allen  belie- 
bigen Exponenten  der  Kathetengleichung: 

y  .  n  -f-  m  .  m  ™  m  .  n 

Ferner  ist 

mt      M«  —  S*,    m*  —  S* 

also 

y  .  n  -f-  x  .  V&-n*  -  n  .  Ys* 
(n  —  x)  YS*—  n* 

y  ^  

Soll  nun  0  ein  Punkt  der  Begrenzungscurve  sein,  so  muss  der 
letztere  Ausdruck  ein  Maximum  darstellen;  d  h.  wenn  in  der  durch 
denselben  repräsentirten  Function  von  x  eino  Grösse  variirt  wird* 
so  muss  allemal  y,  d.  h  der  ganze  Wert  des  Ausdrucks  kleiner 
werden.  In  demselben  ist  S  eine  constante  Grösse,  ebenso  hatten 
wir  x  als  unveränderlich  angenommen.  Bleibt  also  nur  n  als  variabel 
übrig,  das  wir  daher  als  n+z  einsetzen.  Dann  muss  folgende  arith- 
metische Proportion  entstehen: 

(n  —  x)  YS*  —  n*       (n  —  x  ±z)  YSr—  "n*^)i  zn  -  z% 
n  »fj 

Wir  können  hier  z  als  so  kleinen  Wert  annehmen ,  dass  n  -  z 
immer  positiv  bleibt;  gleicherweise  bedingt  es  das  rechtwinklige  Drei- 
eck, dass  »  immer  <  S  und  Ys*  —  n*  immer  einen  reellen  Wert 
hat.   Demnach  kann  obige  Proportion  quadrirt  werdeu.   Dann  ist: 

(n  —  x)*(S*  —  n*)       [(n  —  x) *  ±  2z  (n  -  x)  +  »']  Kg  -  n»  +  2  zu  —  z*) 

Für  das  nun  folgende  Verfahren  eine  kurze  Erläuterung.  Es  wird 
sich  zeigen,  dass  beim  Fortschaffen  der  Nenner  und  Auflösen  der 
Klammern  sämtliche  Glieder  auf  beiden  Seiten,  welche  kein  »  als 
Factor  erhalten,  sich  gegenseitig  aufheben.  Die  Uebrigbleibenden 
haben  alle  z  oder  höhere  Potenzen  davon  und  also  kann  durch  z 
dividirt  werden.  Nachher  setzen  wir  z  =  0  und  es  fallen  somit  alle 
Glieder  fort,  welche  im  Anfang  z%  oder  eine  noch  höhere  Potenz 
vou  *  zum  Factor  haben. 


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151      Meyer:  Untersuchuntjen  und  Lehrsätze  über  Betjrenzungscurven. 

Wir  können  uus  mithin  die  ganze  Rechnung  sehr  vereinfachen, 
wenn  wir  dieses  Resultat  vorweg  nehmen  und  alle  Glieder  mit  a* 
und  höher ,  oder  diese  selbst  einfach  weglassen.  Dann  lautet  unsrc 
obige  Gleichung: 

(n-x)*(S*  -  h»)       [(»  -  x)«±2a(i»--g)](S>--tt»T2*») 
n*  ^  n*±2t» 

(«*  ±2zn)(n-  x)*(S*  -  n*)  >  »«[(»  -  x)2  ±  2z  (n  -  *)]  (S»  -  fi*^2«ii) 
±2s«  (n  —  -  n»)  >  ±  2*n* (n  -  *)<;S*  -  «ff  (  2*»*(»i 

dividire  durch  2«(n—  *)« 

±  (n  -  x)  (5«  -  »*)  >  ±  n(S*  -  h8)  X  »*(»  -  *) 

Wenn  nuu  i  =  0  wird,  was  Voraussetzung  war,  so  verschwindet  die 
Ungleichheit  beider  Seiten  und  ebenso  die  doppelten  Vorzeichen  — 
welche  man  behalten  will,  ist  gleichgültig,  weil  sie  sich  jetzt  beliebig 
auf  die  andere  Seite  briugou  lassen. 

Dann  ist  aber 

(»— «)(£*— n*)  -        -w*)— »*(«—*) 

oder 

n*(n-x)=  (S*-  »l)x 
n1  —  xn*  —  »S*x  —  xn* 

oder 

„3  =  53»^  u  „  y^x 
Führen  wir  diesen  Wert  iu  die  obige  Gleichuug  (I)  ein,  so  ist: 

Hier  lässt  sich  durch  V &x  dividireu: 
quadrire: 

^_(V#_V*i}3    oder    V>  =  V~*  -  V**  und 

Vi«  4-  Vy»  =  YS* 


Dies  die  endgültige  Gleichung  der  gesuchten  Begrenzungscurve, 
deren  Formel  von  einer  frappanten  Einfachheit  ist. 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  BeijremumjsCHrvcn.  155 


§  4. 

Wir  suchen  zunächst  deu  eorrelativen  Wort  von  m  auf  der  F- 
Achsc.  Da 

so  ist 

m*  =  S*  -  V&x*  ~  V~S*  (Vs*  -  Vx*)  =  Y&y* 

und  somit 

m  «=  V&'i 

Demnach  vorhalten  sich  m  und  n  wie  V y  und  Vy  oder  mit  andern 
Worten :  „Die  Katheten  auf  den  Achsen  verhalten  sich  wie  die  dritten 
Wurzclu  aus  den  Coordinaten  des  auf  der  Hypotenuse  liegenden 
Punktes  der  Begrenzungscurve."  Ist  diese  Hypotenuse,  wie  ohen 
ausgeführt,  zugleich  Taugente  an  dieselbe,  so  bat  der  Tangentenwinkel 
mit  der  X  Achse  die 

tg  _  _  V»-*  _  _  \h 
Vs*z       f  x 

und  die  Tangentengleichung  müsste  lauten: 

Um  dies  zu  boweisen,  suchen  wir  nunmehr  die  Gleichung  der  Tan- 
geute von  der  Secante  aus  auf.  In  die  allgemeine  Gleichung  einer 
Linie  durch  2  gegebene  Punkte  ist  ein  entsprechender  Wert  einzu- 
führen.  Dies  geschieht  wie  folgt: 

Der  Factor  y' — ■ w  lässt  sich  zerlegen  in 
X|  —  xM 

( V y"i  - Vy»)  (Vy +  YixV»  +  >V) 

Ferner  ist 

oder 
und 


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156      Mrytr:  Unter  tuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungicurven. 


(V*t  -  V*,.)  (Vi,  +  V^h)  (Vjr,  -  Vy»)  )Vy,  +  Vyn) 

Vyj  -  Vi*  _  _  V*i±Vzn 

Vin-V*.  Vit+V** 

Diesen  Wert  führen  wir  in  obige  Formel  ein,  die  dann  lautet: 

(V*.  +  Vx»)  (Vi, 8  -f  Vy,  yn  +  VyT.*) 
(Vy,  +Vy    (( V*,*  +  V*i  *«  +  V*»* 

Nunmehr  lasse  ich  beide  Punkte  der  Secante  zusammenfallen,  so  dass 
xt  =  x„  und  y,  —  y„,  danu  ist 

y-y,  -ß — 7±  (*-*,)=-  V  ,  (*-  *,) 

2  Vy,  .  3  V^  r  *3 

Woraus  erhellt,  dass  die  Hypotenuse  S  in  der  Tat  Tangente 
an  die  Begreuzungscurve  ist. 

Wenn  wir  uns  nun  des  Umstandes  erinnern ,  dass  jeder  Punkt 
auf  der  Hypotenuse  S  bei  Verschiebung  derselben  zwischen  den 
Achsen  eine  Ellipse  beschreibt,  dereu  halbe  Achseusumme  =  S  ist, 
so  wird  klar,  dass  der  obere  Abschnitt  auf  8,  der  durch  den  Punkt 
marquirt  wird,  der  halben  grossen  Achse  a,  der  untere  Abschnitt 
der  halben  kleinen  Achse  b  gleich  sein  muss.  Der  Punkt  0  ist 
mithin  der  Ellipse  uud  Begrenzungscurve  gemeinsam.  Die  Frage 
ist  nur  noch  die:  Welcher  Lage  von  Sy  bzhw.  dadurch  des  Punktes 
0  entspricht  die  durch  o  und  b  bestimmte  Ellipse?  Oder:  welches  ist 
die  Beziehung  zwischen  den  Coordinaten  in  0  und  den  Abschnitten 
a  und  i?  Diese  ergibt  sich  aus  nebenstehender  Figur: 

y1 4-  (h  -  *)•  - 

j,t_t_ya»  (V^-V**/-  6* 

Vy*(Vy»4-  V**)  -  VlV  -  *» 

b  =  W 

ebenso 


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Meyer:  Untersurhunger,  und  Lehrsätze  über  Begrenzung  seurven.  157 

*i+(W_iy)« = a»  -  ** + yi^ys*  -  Vy*)» 

a  -  V  Sx* 

Demnach 


Die  Abschnitte,  in  welche  der  Berührungspunkt  die  Tangente  S 
zerlegt,  verhalten  sich,  wie  die  Quadrate  der  Katheten  auf  den 
Achsen.   Nun  ist  ferner: 

m  :  b  -  V&y  :  V  V  -  V«  :  Vy    J      ,  ,  , 

\     also    m:b  —  b:y 

b  :  y  -  V V  :        =  y«  :  yy  I 

n:a  =  Ysfe  :  y&T*  -  Ys ':  Y~x  \ 

>   also    n:  a  -=  a:  x 

a  :  x  -  V©  :  yx»  -  Ys  :  Vx  > 

Die  Ellipsen- Achsen  sind  also  die  mittleren  Proportionalen  zwischen 
den  Tangenten- Abschnitten  auf  den  Achsen  und  den  betr.  Coordi- 
uaten  des  Berührungspunktes  mit  der  Begrenzungscurve. 

Es  ist  nun  leicht  zu  beweisen,  dass  die  Tangente  an  die  Be- 
grenzungscurve zugleich  in  demselben  Berührungspunkte 
auch  Tangente  an  die  zugehörige  Ellipse  ist;  mithin  der  Berührungs- 
punkt allen  3  Linien  gemeinsam  ist.  Zu  dem  Behüte  bestimmen 
wir  x  und  y  nach  a  und  b    Es  ist 


a  mm  ySx»,     alSO     X3  =  SX* 


ebenso 


aus  welchen  Werten  sich  ferner  ergibt,  dass  die  Quadrate  der  Co- 
ordinaten  sich  verhalten,  wie  die  Kuben  der  Hypotenusen-Abschnitte. 
Auch  gestatten  diese  Formeln,  zu  jeder  Ellipse  den  ihr  zugehörigen 
Bogrenzungspuukt  durch  geometrische  Construction  zu  finden,  indem 


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158      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Bryremungxcurven  . 

S  :  a  mm  a*  :  x1 

Ist  nun  dieser  Punkt  mit  obigen  Coordinaten  zugleich  Ellipsenpunkt 
und  auf  derselben  Tangente  gelegen,  so  müssen  obige  Werte,  in  die 
Gleichung  der  Ellipsen-Tangente  eingesetzt,  dieser  eine  Form  geben, 
dass  deren  Winkel taugente  mit  der  X Achse 


_  -  iß 


ist.   Die  Ellipsentangente  hat  die  Gleichung: 

alyly-\-V%x^x  =  a2b* 
also  mit  obigen  Werten: 


dividire  durch  abYab: 

Setzen  wir  die  Coordinaten  abwechselnd  =  null,  so  erhalten  wir  als 
Abschnitte  auf  den  Achsen 

Die  Winkeltangcnte  ist: 


Daraus  folgt  der  Satz :  Jede  Ellipse  hat  eine  Tangente ,  deren 
Länge  im  Quadranten  gleich  der  Summe  der  Halbachsen  ist.  Dieselbe 
wird  durch  den  Berührungspunkt  in  die  Halbachsen  zerlegt 


§  5. 

Wir  fanden  bei  dieser  Gelegenheit 

m  -  Yb(ä+  b)   und   n  =  Va(a+i) 

mithin 

m*  :  n*  —  b  :  a 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Jehrtalze  über  ßegremungscinven.  159 

d.  h.  die  Quadrate  der  Katheten  verhalten  sich,  wie  die  Achseu  der 
betr.  Ellipse  oder  die  Abschnitte  der  Tangente. 

Nun  ist  aber  leicht  zu  zeigen,  dass  dasselbe  Verhältniss  besteht 
zwischen  den  Katheten  und  den  Abschnitten  der  Hypotenuse,  in 
welche  dieselbe  durch  eine  Senkrechte  vom  Scheitel  des  rechten 
Winkels  zerlegt  wird. 

q  sei  senkrecht  auf  5-,  dann  ist 

m  :  n  =  q  :  r/,    q*  =  c  .  d,    m*  :  ns  —  q*  ■  d* 

also 

m?  :  na  =  r  .  H  :  rf2  =  c  :  d 

Da  oben  war 

To1  :  n*      b  :  a.    also    b  :  a  —  c  :  d    so  ist 
a-f-i  :  a  =-  e-j-W  :  r/,    S  :  a  =  Ä  :  d  oder 

~~&  S 

a  —  d   folglich  auch   *  =  c 

Hieraus  folgt  Dun,  dass  die  Senkrechte  vom  Scheitel  die  Hy- 
potenuse in  dieselben  Abschnitte  a  uud  b  zerlegt,  wie  der  Berührungs- 
punkt der  Tangente  an  die  BegreDzuugscurve ,  nur  in  umgekehrter 
Folge.  Dies  gibt  ein  Mittel  an  die  Hand,  bei  jeder  Lage  von  S  den 
zugehörigen  Puukt  der  Begrenzungscurve  auf  ihr  zu  finden,  iudem 
man  den  durch  die  Senkrechte  vom  Scheitel  entstandenen  oberen 
Abschnitt  am  unteren  Ende  abträgt.  Der  neue  Endpunkt  ist  der 
gesuchte  Punkt  der  Begrenzungscurve. 

Die  Tangente  an  die  Begrenzungscurve  und  an  die  zugehörige 
Ellipse  hat  noch  2  bemerkenswerte  Eigenschaften,  die  allem  An- 
scheine nach  bisher  unbekannt  sind: 

1)  Von  allen  möglichen  Tangenten  an  die  Ellipse  ist  diese, 
welche  gleich  der  Achsensumme  S  ist,  die  kürzeste  zwischen  den 
Schnittpunkten  mit  den  Achsen. 

2)  Von  allen  durch  einen  bestimmten  Punkt  0  gelegten  Hypo- 
tenusen ist  diejenige  die  kürzeste,  welche  der  Lage  des  Punktes 
als  Begrenzungscurvenpunkt  mit  der  Hypotenuse  als  Taugente  ent- 
spricht. 

Beweis  ad  I. 

Wir  leiten  zuerst  aus  der  Gleichung  der  Ellipsentangeute  die 


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1G0      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungsrurven. 

allgemeine  Form  des  Aasdrucks  für  die  Länge  zwischen  den  Achsen 
ab,  indem  wir  x  und  y  abwechselnd  0  setzen. 

o«  o* 

*>*xix  ö        y  —  - »  *  —  Xj 

/o4    .  b* 


Tangenteulänge  =  y  — j  -}- 


Eliminiren  wir  y,  durch  den  aus  der  Ellipsengleichung  gewonnenen 
Ausdruck 

glC-'fi"    so  kommt: 


i/o4    !      ä4.o«  i/o«    .  6« 

Länge  z,  -  \  jjj  +  pgn^  -  •  K  »?  +  jTZ^i 

Dies  muss  also  ein  Minimum  sein  und  der  sich  ergebende  Wert 
muss  x,  als  eine  Function  von  a  und  6  enthalten,  die  dem  oben  für 
den  Fall  der  Begrenzungscurve  abgeleiteten  Werte  gleich  ist  Factor 
a  kann  als  constant  weggelassen  werden,  da  er  auf  die  Verschieden- 
heit der  beiden  Seiten  ohne  Einfluss  ist.  Ebenso  kann,  da  a'  —  »1| 
immer  positiv  bleibt  und  der  Radicand  desgleichen,  das  Wurzel- 
zeichen fortbleiben.   Dann  varüren  wir  x,8  als  xli±z.   Es  eutsteht 

x,«  +  o«-^«  <  *,*±  *  +  ' 
schaffe  die  Nenner  fort: 

o»  (o«  -  x,  »)  (*,«  ±  2)  (o*  -  x, 1 T  2)  -f  6«  x, «  (x, "  ±  z)  (o*  -  x,  *  +  «X 
o* x,»  (o*  —       (a* -x,'T  »J+»1*!1  («*  -       (xi*  ±  *) 
es  bleibt: 

±o«*(o»-x1')»<±  i'x/* 

dividire  durch  «  und  setze  es  dann  =  0 

o» (o« -  x,«)«  -  (4»  x,*) ,    o  (a«  -  x,«)  -  bx*,    as  =  x,«  (a  ±  ft) 


ri  —  a  j/^Xj   w.  z.  b.  w. 


Der  Fall  ■  |/ ^  ^  ist  unmöglich ,  weil  daun  entweder  b  > 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsatze  über  Begrenzungscurven.  \Q\ 

und  der  Wert  imaginär  oder  u  >  b  und  daun  x,  >  a  wäre ,  was  in 
der  Ellipse  nicht  vorkommen  kann. 

Beweis  ad  II. 

Hierfür  suchen  wir  den  allgemeinen  Ausdruck  für  alle  durch 
*\Vi  möglichen  Hypotenusen  und  dann  davon  das  Maximum.   Es  ist* 

ferner 

y,  :  m  —  n  —  x,  :  n 

also 

.  -  -ä"B- 

n— -Xj 

demnach 

H*-ö^P+»*  -  Minim,"n 

Variire  n  als  n±zt  so  rauss  sein: 

yi'("'±2*n)  yi'n« 
(»— *i±*)s  (n— *,)* 

yi * («* ±  2*n)  (n  —  x, )*  ±  2 *n  (n  —  x,)*  >  y,* «8  («  —  x,  ±  «)* 
na±2«ny,*(»-x4)»±2zn(n~x1)4>y1J,±2i(n-fl:I)n*y1« 

dividire  durch  2*n(n-a-,) 
±y1j,(n-x1)±(«-x1/»>±»y1« 
oder  da  z  —  0  und  die  Ungleichheit  wegfällt: 

Nun  ergibt  sich  aus  Fig. "3.: 

tg«  &- 

(für  alle  möglichen  H)  demnach  für  das  kürzeste  H 

welches  wir  oben  als  Tangente  des  Winkels  einer  Tangente  an  die 
gefundene  Begrenzungscurve  ermittelt  hatten.  Folglich  ist  eine  solche 
die  kürzeste  Hypotenuse  durch  ihren  Berührungspunkt.  Dass  diese 
Eigenschaft  für  die  Praxis  häufig  von  Bedeutung  sein  kann,  ist  ohne 
Weiteres  einleuchtend. 

Arch.  4.  Math.  u.  Pbyi.  2.  Reihe,  T.  XVI.  >  I 


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162     Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzung scurven. 

§6. 

Wenn  wir  in  der  Begrenzungscurve  x  —  y  setzen,  so  erhalten  wir 


s 

2V2 


Da  der  betr.  Punkt  auf  einer  Linie  liegen  muss,  die  unter  5°  gegen 
die  Achsen  geneigt  vom  Anfangspunkt  ausgeht,  so  ist  der  Abstand 
vom  Anfangspunkt 

•-y*-a 

Und  da  die  Gleichung  eine  sog.  symmetrische  ist,  d.  h.  x  und  y 
treten  in  genau  derselben  Function  auf,  so  muss  auch  die  Curve 
eine  solche  sein,  die  durch  die  benannte  45°  Linie  in  2  symmetri- 
sche Hälften  geteilt  wird.  Jeder  Punkt  hat  daher  auf  der  andern 
Seite  dieser  Symmetrie-Achse  eineu  ihm  homogenen  Punkt,  mit  den- 
selben, nur  vertauschten  Coordinateu.  Die  Curve  lässt  sich  auch 
auf  die  Symmetrie- Achse  beziehen  und  lautet  dann  die  Gleichung: 

y^y)5  +  y  tfi+y)*  =  V2S* 

Aus  beiden  Gleichuugsformen  geht  hervor,  dass  die  Vorzeichen  von 
x  fund  y  ganz  ohne  Einfluss  sind  (ist  eine  Coordinate  positiv,  die 
andre  negativ,  so  verwandelt  sich  nur  x-\- y  in  x  —  y  und  umgekehrt.) 
Mithin  geht  die  Curve  durch  alle  4  Quadranten. 

Die  Gleichung  der  Normale  ist: 

y— Vx  -  j/y1^  —  *t) 

Setzen  wir  y  «*»  0,  so  ist 

also 


Subnormale  —  yi 


Subtangente  —  n—x1  ~  VxttfS 

demnach 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  riegremuntjicurven.  Jfi3 
Sn  :Stg  =  lA*  :  Yx~xy~*  -  Vy?  :  V*,»  -Ära 


Der  Radiusvector  (Rv)  ist  —  Vx»+y2.  Drücken  wir  x  und  y 
durch  a  und  £  aus,  so  ist 

Ist  x  ~  y,  so  ist  a  —  b,  die  Ellipse  ein  Kreis,  dessen  Radius  —  S/2. 
Dass  dies  der  kürzeste  Rv  ist,  kann  man  leicht  zeigen,  indem  mau 

S  S  _ 

a  —  —  +*   und   £  —  -  -  -f.  2 

setzt.    Dann  ist 

«*  gl  Ä* 

Jfo*  -  j  ±  4  ±  &+«■  -     +«■  -  y  +  3z» 

daher  Jto  >  S/2. 

Da  die  Entfernung  des  Ellipsenbrenupuuktes  vom  Anfangspunkt 

so  ist  ein  Fall  möglich,  wo  e  und  der  Rv  gleich  sind.    Alsdann  ist 

S 

ft  =  «  nnd 

Die  Bedeutung  dieses  Falles  wird  weiter  unteu  zur  Sprache  kommen. 

Man  kann  die  Begrenzongscurve  in  der  Weise  entstanden  denken, 
dass  der  Mittelpunkt  von  S  mit  dem  Radius  5/2  im  Anfangspunkt 
befestigt  und  darum  gedreht  wird,  während  die  Endpunkte  auf  den 
Achsen  vom  betr.  nach  dem  Anfangspunkte  gleiten.  Bestreut  man 
nun  die  Fläche  während  S  noch  an  einer  Achse  anliegt,  mit  einem 


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164      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven. 

feinen  Pulver  oder  Sande,  so  schiebt  <S  auf  seinem  Wege  diesen  genau 
so  weit  zurück,  dass  die  Contur  des  Sandes  in  der  Begrenzscurve 
liegen  bleibt.  In  der  Praxis  beschreibt  z.  B.  der  eine  Arm  des 
Watt'schen  Parallelogramms  einen  Teil  dieser  Curve. 


§  7. 

Wir  fanden  in  §  5.,  dass  auch  die  Senkrechte  vom  Anfangspunkt 
auf  die  Hypotenuse  S  diese  in  2  Abschnitte  a  und  b,  die  Achsen  der 
Ellipse  mit  dem  entsprechenden  Berührungspunkt,  zerlegt  Zu  sehr 
interessanten  Beziehungen  gelangt  man  nun,  wenn  man  alle  diese 
Treffpunkte  von  8  in  seinen  verschiedenen  Lagen  mit  den  bezl.  Senk- 
rechten zu  einer  coutiuuirlichen  Curve  verbindet  und  deren  Gleichung 
aufsucht.  Da  das  Stück  b  am  oberen  Ende  gleich  demselben  unter- 
halb des  Berührungspunktes,  so  ist 

n  —  x,  =  X  und   wi  —  y1  =  K 

Mithin  sind  die  Goordinaten  des  neuen  Punktes 

y  -  V&ii  -  *  -  Vit  '{Ys*-  Vy,2)  =  .vVy, 
Daraus  ergibt  sich  sofort 

x  .  y      Yxt*  .  y,3  =  x^y} 

das  Rechteck  aus  den  Coordinaten  des  Punktes  der  neuen  Curve  ist 
also  gleich  dem  Rechteck  aus  den  Coordinaten  des  Berührungspunktes 
der  Begrenzungscurve  auf  derselben  Hypotenuse  S.  Ferner  ergeben 
obige  Werte: 

x*  -  V*7y7  J  _          ^  __ 

.  [  **  +  *2  ~  YxSySiYySi-  Vx,* 

y*  -  V*!*  i?  1 

letztere  Klammer  ist  =  Ys2 

«,y,  =>  xy  also 

x*  +  y2  ~  V^^y2  oder 
Vs*  +  y«  =  y/Sxy 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Hegrenzungxcurven.  165 


Gleichung  der  gesuchten  Curvc.  Mit  Worten:  Der  Kubus  aus  dem 
Radiusvector  ist  gleich  dem  Parallclcpiped  aus  der  Linie  8  mit  den 
Coordinaten  des  betr.  Punktes. 

Die  hier  gefundene  Curvc,  welche  ich  nach  ihrer  charakteristi- 
schen Form  einfach  Blattcurve  (eigentlich  ist  sie  eine  Schleife) 
nennen  will,  ist  an  sich  keine  neue.  Wol  aber  scheint  ihre  Bedeu- 
tung. Ursprung,  Zusammenhang  mit  Ellipse  und  Bcgrenzungscurvt, 
sowie  ihre  näheren  Eigenschaften  anher  unbekannt  zu  sein.  Man 
findet  sio  bereits  angeführt  in  anderer  Form  in  Lübsen's  Lehrbuch 
der  analytischen  Geometrie  (S.  138)  der  sie  seinerseits  einem  Werke 
von  Cramer  entlehnt  hat,  der  sie  wiederum  aus  Guido  Grandi  (Flo- 
renz 1728;  übernommen.  Wie  lange  ist  demnach  die  Curve  schon 
bekannt,  ohne  dass  man  ihreu  Zusammenhang  mit  der  Ellipse  kannte! 
Denn  wäre  das  der  Fall,  so  fände  sich  in  genanntem  Buche  doch 
wenigstens  eine  Andeutung  davon.  Allein  schon  die  Art,  wie  die 
Blattcurve  bei  Lübsen  mit  Hülfe  ihrer  Polargleichung  discontinuirlicb 
construirt  wird,  —  die  in  gar  keinem  Zusammenhang  mit  obiger 
Herleitung  steht  —  beweist  klar,  dass  er  vou  der  eigentlichen  Be- 
deutung der  Curve  keine  Ahnung  hatte.  Ich  fand  die  Curve  auf  dem 
bezeichneten  Wege,  ehe  ich  Lübsen's  Buch  in  die  Hände  bekam,  der 
sie  übrigens  blos  verwertet,  um  zu  zeigen,  welchen  Nutzen  oft  die 
Verwandlung  einer  Coordinatcngleichung  in  eiue  Polargleichung  für 
die  geometrisch-anschaulische  Constrnctiou  einer  Curve  haben  könne. 
Bei  ihm  erfährt  man  daher  über  die  weiteren  Eigenschaften  der 
Curve  nichts.  Offenbar  ist  doch  meine  discontinuirliche  Construction 
durch  Senkrechte  vom  Scheitel  auf  die  Hypotenusen  S  viel  einfacher, 
als  die  seinigo  mittelst  des  Sinus  des  doppelten  Winkels. 


Um  Irrtümer  zu  vermeiden,  sollen  von  jetzt  ab  die  Coordinaten 
der  Blattcurve  immer  mit  ar,  y,  diejenigen  de»-  Begrenzungscurve  mit 
xy  bezeichnet  werden.  Aus  der  Figur,  wie  aus  obigen  Werten  er- 
gibt sich: 

x8,—  V**  y*  —  y  Vx*y  —  y\  ■  y 

yis—  V«V  —  x  Yx*y  —  xt  .  x 

Demnach  ist  die  Abscisse  die  mittlere  Proportionale  zwischen  ihrer 
Ordinate  und  der  Ordinate  des  zugehörigen  Punktes  der  Begren- 
zungscurve. Für  die  Ordinate  gilt  das  Entsprechende.  Ferner  gelten 
noch  folgende  Beziehungen: 


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1(36      Alryer:  L'ntersucfmiiyen  und  Lehrsätze  über  Beyrenzuwj*curo«n. 

m  —  y  +  y,    n  —  *  -J-  ar,    x  :  x  =  b  :  x  =  y  :  y 
Aus  der  Gleichung  der  Begreuzungscurve  folgt 

(V^  -f  Vy*)?  =  &  mm  x*  f  y*  +  .  V*V  (V^+  >V) 
also 

Är2  —  3  V&x V  •  Daxy  =  xy    und    Vs*;rV  —  **  f  y* 

und  letzteres  das  Quadrat  des  Radiusvectors  der  Blattcurve  (der  mit 
Rvb  bezeichnet  sei),  so  haben  wir  zwischen  den  Radiusvectoren  2er 
zusammengehöriger  Punkte  beider  Curven  die  Beziehuug: 

Bv*  =  S*  —  HR  ob* 

Setzen  wir  in  der  Blattcurvengleicbung  x  =  y,  so  ist 

und  der  Abstand  des  betr.  Punktes  vom  Anfangspunkt  ist  =  «S/2. 

Da  dieser  Punkt  auf  der  Symmetrie-Ach^e  liegt,  so  folgt,  dass 
beide  Curven  diesen  Punkt  gemein  haben,  sich  darin  tangiren,  der 
in  diesem  Falle  allen  4  Linien,  nämlich  auch  dem  Kreise  mit  dem 
Radius  S/2  und  der  Hypotenuse  S  angehört. 

Es  ist  natürlich  leicht,  zu  einem  gegebenen  Punkt  der  Blattcurve 
den  entsprechenden  der  Begreuzungscurve  zu  fiuden  bzhw.  zu  con- 
struiren.  Ebenso  habeu  wir  gesehen,  dass  bei  gegebenem  m  und  n 
oder  gegebener  Ellipse  aus  a  und  b  sogleich  der  zugehörige  Punkt 
der  Begrenzuugscurvc  gefunden  werden  kann.  Anders  aber  steht  es 
mit  der  Aufgabe,  aus  den  gegebenen  Coordinaten  eines  Punktes  der 
Begrcnzung8curve  den  entsprechenden  der  Blattcurve  und  das  zuge- 
hörige 8  zu  ermitteln.  Denn  alle  hier  in  Betracht  kommenden 
Grössen  sind  dritte  Wurzeln  eiuer  Fuuction  von  x  und  y  bzhw.  S, 
die  sich  mit  den  bisherigen  Mitteln  der  Planimetrie  nicht  construiren 
lassen.  Weder  m  noch  »,  noch  die  Subnormale,  noch  auch  a  oder 
b  oder  die  Senkrechte  vom  Scheitel  auf  S  kann  ich  aus  ihren  ge- 
fundenen Formeln  geometrisch  darstellen.  Der  Weg  zur  Lösung 
liegt  in  der  Weitervertolgung  des  Umstaudcs,  dass  die  Radiivectoreu 
an  zusammengehörige  Puukte  beider  Curven  auf  S  gleiche  Abschnitte 
fi  uud  o  vc  erzeugen.  In  Folge  dessen  sind  die  Dreiecke  fri  und 
ovte  congruent  uud  fr  «=  ov.  Verbinde  ich  den  gegebenen  Punkt 
mit  dem  Anfangspunkt,  so  zeigt  die  Figur,  dass  der  gesuchte  Punkt 
der  Blattcurve  auf  der  Peripherie  eines  Uber  qo  errichteten  Halbkreises 
liegen  muss.    Des  Weiteren  wird  dessen  Lage  dadurch  bestimmt, 


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Meyer:    Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungtcurven.  167 


das8  die  Senkrechte  von  diesem  Punkte  auf  die  y-Achse  und  die  Ver- 
bindungslinie desselben  mit  o,  verlängert,  auf  der  y-Achse  ein  Stück 
—  j/j  abschneiden  müssen.  Hierauf  gründet  sich  die  geometrisch- 
constroctive  Auftiuduug  des  zu  o  gehörenden  Blattcurvenpunktes. 
Man  schlägt  über  qo  einen  Halbkreis,  nimmt  dann  yx  auf  die  Ordi- 
naten-Achse  und  errichtet  im  unteren  Endpunkte  von  y,  eine  Senk- 
rechte parallel  zur  X-Achse.  Mittelst  Anlegen  eines  gewöhnl.  hölzer- 
nen Winkels  an  die  ^Y-Achse,  auf  dessen  verticalen  Schenkel  man  yx 
abträgt,  und  dessen  horizontaler  Schenkel  geuügende  Länge  über  o 
hinaus  hat,  lässt  sich  dies  leicht  ausführen.  Man  befestigt  ferner  in 
o  ein  um  diesen  Punkt  drehbares  Lineal,  dessen  nach  unten  ge- 
richtete Kante  durch  o  läuft  und  am  oberen  Endpunkt  von  y,  auf 
der  y-Achse  anliegt  Verschiebt  man  nun  das  hölzerne  Dreieck  der 
y-Acb8e  entlaug  aufwärts,  so  wird  der  horizontale  Schenkel  parallel 
zur  A'-Achse  sich  bewegen,  und  gleichzeitig  wird  das  Lineal  um  o 
drehend,  eine  ständige  geradlinige  Verbindung  zwischen  o  und  dem 
oberen  Endpunkte  von  yx  bilden.  Bald  kommt  dann  der  Moment, 
wo  der  horizontale  Schenkel  des  Dreiecks  und  die  um  o  drehende 
Gerade  einen  Schnittpunkt  mit  einander  bilden,  dieser  rückt  bei  wei- 
terer Fortbewegung  des  Winkels  in  einer  sogleich  zu  bestimmenden 
Curve  weiter  fort,  passirt  o  selbst  und  trifft  endlich  mit  der  Peri- 
pherie des  Halbkreises  zusammen,  wo  dann  der  gesuchte  Punkt  ge- 
funden ist.  Denn  bei  jeder  Lage  dieses  Schnittpunktes  muss  das  an 
der  Y- Achse  entstehende  Dreieck  die  Vertical-Kathete  yx  haben  und 
dem  an  der  AT-Achse  anliegenden  Dreieck  congrueut  sein. 

So  zeigt  die  Figur  einen  solchen  Zwischenpunkt  />;  offenbar  ist 
JuspC^dooh.    Der  Unterschied  zwischen  p  und  dem  gesuchten 

Punkte  besteht  nur  darin,  dass  in  »  die  Verbindungslinie  mit  q  aut 
der  Hypotenuse  senkrecht  steht,  (weil  i  auf  dem  Halbkreise  liegt) 
bei  allen  anderen  Schnittpunkten ,  wie  jedoch  nicht.  Es  ist  nun 
zunächst  von  Interesse,  die  Natur  der  hier  von  den  erwähnten  Schnitt- 
punkten gebildeten  Curve  dopt  kennen  zu  lernen.  Nehmen  wir 
also  p  als  beliebigen  Punkt  derselben  an. 

Es  ist 

sp  —  vh  —  x 

ferner 

vh  :  y,  —  t'Ä  -f  x,  :  y,  -f-  y    oder    x  :  x  -}-  xx  —  yx:  y,  -f-  y 
x  +  x,  :x-y  +  y,  :y, 

ergibt 

«i :  *  —  y  i  yx 

und  somit 

x  .  y  —  x,  .  y, 


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168     Meyer:  Unterauehungen  und  Lehrsätze  über  Begrentungacurven. 

mit  Worten:  „Das  Product  aus  den  Coordioaten  jedes  Punktes  dieser 
„Curve  ist  constant  =  *,yi  "  Demnach  ist  die  Curvc  eine  Hyper- 
bel und  die  Achsen  sind  deren  rechtwinklige  Asymtoten.  Mithin 
haben  wir  durch  obiges  Verfahren  gefunden: 

1)  Eine  continuirliche  Construction  einer  Hyperbel  mit  recht- 
winkligen Asymptoten. 

2)  Eine  Methode,  die  kürzeste  Linie  zwischen  den  Achsen  durch 
einen  Punkt  x,  y,  zu  legen. 

3)  Den  Lehrsatz,  dass  in  einer  Hyperbel  mit  rechtwinkligen 
Asymptoten  jede  durch  dieselbe  gehende  beliebige  Linie  von  der 
Hyperbel  so  geschnitten  wird,  dass  die  ausserhalb  derselben  fallenden 
Stücke  gleich  sind. 

4)  Eine  Methode,  auf  construetivem  Wege  jedes  Prisma  in  einen 
Kubus  gleichen  Inhalts  zu  verwandeln,  bzhw.  dessen  Seite  zu  er- 
halten. 

Das  letztere  Resultat  ist  offenbar  das  Wichtigste,  bedarf  aber 
noch  einer  Erläuterung.  Da  man  jedes  Rechteck  in  ein  Quadrat 
verwandeln  kann,  und  sonach  auch  für  jedes  Prisma  eiues  mit  glei- 
chem Inhalt  und  quadratischer  Grundfläche  sich  herstellen  lässt,  so 
handelt  es  sich  zuletzt  um  die  Möglichkeit,  eine  Linie  zu  finden,  die 
der  Formel  genügt: 

x»  —  a*b 

Da  wir  nun  für  die  Coordinaten  der  Blattcurve  haben: 

x  —  Yxy*    und    y  —  Yx*y 

so  braucht  man  die  beiden  Seiten  des  quadratischen  Prisma's  nur 
als  Coordinaten  eines  Punktes  der  Begrenzungscurve  aufzutragen  und 
erhält  dann  nach  dem  obigen  Verfahren  sogleich  das  gesuchte  *  als 
Abscisse  oder  Ordinate  des  gefundenen  Blattcurvenpunktes,  jenachdem 
man  die  Seite  des  Quadrats  als  Ordinate  oder  Abscisse  aufgetra- 
gen hat 

Wir  werden  später  sehen,  dass  die  Gleichung  der  Blattcurve  in 
verschiedenen  Fällen  treffliche  Dienste  leistet ;  ebenso  aber  auch  das 
zuletzt  demonstrirte  Verfahren. 

§  9. 

Interessant  ist  es,  bei  dieser  Gelegenheit  den  Inhalt  des  Drei- 
ecks zu  untersuchen,  welches  von  den  Radienvectoren  zweier  zusam- 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrrmunnscurven.  169 

mengehöriger  Punkte  beider  Curven  eingeschlossen  wird.  Man  sieht 
sogleich,  dass  dieser  Inhalt  mit  null  anhebt,  wenn  8  auf  der  Achse 
liegt,  allmählich  grösser,  dann  wieder  kleiner  und  bei  der  Symmetrie- 
Lage  von  S,  wo  beide  Radiivectoreu  wieder  zusammenfallen,  abermals 
null  wird.  Es  muss  also  eiu  Maximum  dieses  Inhalts  geben.  Die 
auf  der  Hypotenuse  S  liegende  Kathete  des  Dreiecks  ist 

-  a  _  b  =  yü?  -  y,sy  -  fä  ( Yx*-  V/) 

die  andre  ist  —  V&ry,  somit  Inhalt 

_  Ys**y  (Yz*  -  Yy*)\ 

~~  2 

Ys* 

Da  hier  —  j-  constant  ist,  so  bloibt  dieser  Factor  auf  das  Resultat  der 
Proportion  ohne  Einfluss  und  kann  deshalb  wegfalleu  Es  muss  dem- 
nach von  Y*y  (Yat—Yy*)  das  Maximum  gesucht  werden.  Variiren 
wir  Yx  als  V*  ±  *>  so  haben  wir : 

Yxx  ±  2z  v'ä  -f  Yy*  T  ^  >  x  -  Y& 

»  _    _ 

und  somit  tritt  für  Vy*  eiu:  Y y*  +  '**  Y*-  l>ann  lautet  die  Pro- 
portion : 

Yxy  (Yx*  -  Y?)  >(Yx±  z)  \fVy*  T   Yx  (Yx*  -  V?  ±  Yx) 

qnadrire  jetzt 

Yx*y*{Yx*-Yy*)*  >  (Yx*±2zYx)(Yyt  T  2*  Y  x) 

.  [iV?"->y>  ±  e*  Yx  {Yx*  -  Y?j] 
±  2*  Yxy*  (Yx*  -  Y y*  )8  T  MV?  -  V*")1 

dividirc  durch  2z  (y*«  —  Vy^Vx 

und  erhalte 

o  >  ±  Y?iY**—  Yy*)  T  Yx*(Yx*— Yy*  ±  4  Vy»x* 

setze  =  ---  0,  dann  ist: 

(V -  yy»;  *  -  4  V **  «*   oder     V x»  ~  Vy*  =  2  Vxy 


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170      Mrycr:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzung tcurven. 

ys« 

Dach  dem  unteren  Resultate  ^ 

Vi*  4-  2VxV-j-V7  -  hV*V 

o^+v»'  =  8  y*v  -  ys* 

somit 

V,.+  y,.  _      |  (yi+yi).  _  y>  (,+  yV) 


da 


so  ist 


ys» 


V*  —  yy  = 

V2  Vsl/Y 

Vi 


Ys 


Vs  (Vjt+i+}\     Vs  v-2(V2+il  =  ysl/v'2+i 

"  2VV2  \   V2+1   /  "  2V2  V"V2+1  

y*  "  *  1'  Ti  "      ^ V2(V2+T)-I      2  y 2  Ly  J 


Vä   I/V2-1 

V2»  y^yl^i  " '  «v* 


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Mr  >,'-r:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  hegrenzungscurven  171 

Der  Ro  an  den  zugehörigen  Punkt  der  Blattcurve  ist  unschwer  fest- 
zustellen 


Ys* 

*y  2y-2 


da 
so  ist 

8 

2vl2 

Das  Mittelstück  auf  der  Hypotenuse  ist 

-  a  -6  =  Ys(Y**  —  Yy* 

nach  Obigem 

2V2  j  V2 

Daraus  folgt : 


Das  Maximum  für  den  Iu halt  des  Dreiecks  zwischen  zwei 

S* 

zusammengehörigen  Radiivectoren  beider  Curven  ist  —  w    also  = 

o 

dem  Quadrat  der  Blattcurve  Ra.  Der  Rv  der  Begrcnzuugscurve  ist 
in  diesem  Falle  —  S  y'jj. 

Da  dio  eiue  Kathete  doppelt  so  gross  wie  die  andere,  so  hat 
der  anliegeude  Winkel  an  der  Hypoteuuse  die  tg  =  \  Die  Neigung 
der  Hypotenuse  »S*  gegen  die  .Y-Achse  ist 

Nimmt  man  diesen  Winkel  doppelt,  so  ist 

tK2a  =    2tg-a   =  2 ^  "~2„,  _  2V2-2  = 

i-tg'«     1-2+21/2-1  21/2-2 

d.  h.  also  2o  =  45°  und  die  Neigung  vou  8  beträgt  J  von  einem 
Rechten. 

Die  Construction  des  Falles  ist  hiernach  äusserst  leicht. 

Die  Gleichung  der  Blattcurve  gibt,  nach  der  Cardani 'sehen  For- 
mel aufgelöst  für  Yx*  den  Ausdruck: 


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172       Mrytrx  Untersuchungen  und  Lehrsätze  üher  Beffreiizunffsanven. 


Nun  werden  wir  aber  sogleich  zeigen,  dass  y*  höchstens  =■ ,  uiemals 
IS* 

aber  grösser  als  27  sein  kann,  mithin  ergäbe  die  Formel  nur  für 

diesen  Fall  einen  obendrein  noch  negativen  reellen  Wert,  in  allen 
übrigen  eineu  imaginären.    Selbst  für  erstercu  Fall  wird  der  Wert 

für  x  imaginär,  weil  dann  ix1  uega.tiv  sein  mtisste,  also 

ix  =  i 

Es  würde  uns  souach  schwer  werden,  ohne  Zuhülfenahme  der  höheren 
Mathematik  über  die  weiteren  Eigenschaften  der  Curve  es  zu  er- 
mitteln, wenu  nicht  ihre  Beziehung  zu  den  Coordiuateu  der  Begreu- 
zuugscurve  hierzu  eiu  Mittel  au  die  Hand  gäbe.  Dadurch  aber  sind 
wir  in  der  Lage,  „die  Coordiuateu  der  Erstercu  durch  die  der  Letz- 
teren zu  ersetzen",  damit  zu  operiren  und  nach  erlangtem  Resultat 
wieder  in  jene  überzuführen. 

§  10. 

Ein  Versuch  lehrt  sogleich,  dass  keine  Möglichkeit  besteht,  die 
Gleichung  der  Tangente  an  die  Blattcurve  auf  dem  gewöhulichen 
Wege  der  Secauteugleiehuug  zu  finden,  daher  wir  hier  in  erster  Liuie 
das  oben  erwähnte  Verfahren  anweudeu  müssen.  Hierbei  fällt  sofort 
Eins  auf.  Bei  der  Form  der  Blattcurve  beginnen  nämlich  die  Tan- 
genten, wenn  mau  sie  successiv  um  die  Curve  herumführt ,  im  An- 
fangspunkt und  auf  der  1-Achse,  vollführen  eine  Wendung  von  '/i 
Kreis  und  endigen  wieder  im  Anfangspunkt  jedoch  auf  der  .Y-Achse- 
Dabei  passiren  sie  2  Lagen,  wo  die  Tangente  einmal  mit  der  X, 
einmal  mit  der  y-Aebsc  parallel  läuft  und  die  hierzu  gehörigen 
Punkte  nenne  ich  Culjti mations punkte  der  Curve,  deren  Einer 
im  Maximum  für  y,  der  andere  für  x  repräsentirt.  Diese  müssen 
für  die  Tangenten-Gleichung  von  Bedeutung  sein,  weil  offenbar  vom 
Anfangs-  bis  zum  r-Cultimationspunkte  der  Winkel,  welchen  die 
Tangente  mit  der  .Y-Achse  bildet,  eine  positive  Tangenten-Func- 
tion  hat,  diese  im  y-Culminationspunkte  null  wird,  dann  in  eine 
negative  übergeht  und  im  A'-Culminationspuukt  =p«  wird;  sie 
schlägt  darauf  wieder  in  positiv  um  und  endigt  im  Anfangspunkt 
mit  O.  Dies  wird  die  Taugenten-Gleichung  ausweisen  müssen  uud 
es  könnte  daher  Uberflüssig  scheinen,  die  Culminationspunkte  vorher 
aufzusuchen.   Demnach  wollen  wir,  da  die  Operation  sehr  einfach 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begremungscurven.  173 

ist,  dies  vorher  tun,  weil  wir  dann  bei  Auftreten  des  betr.  Ausdrucks 
in  der  Tangenten-Gleichung  dessen  Bedeutung  sofort  erkennen. 

Es  war 

Vi  =  V*»y 

und  da 

Y2-Y&-Y? 

so  ist 

*,  =  Y&y  -  y 
Hiervon  ist  aber  das  Maximum  zu  sucheu 

YWy  -  y>Ys*rfy  ±  z)  -  y  +  3z  ~Y? 
3*  Yy\>  z'YS*  3  Vy*  =  Vx»  +  VV5  oder 

multiplicirt  mit 


yx4 y*  -=  2  VxV   oder   y2  =  2xa 

Für  den  F-Culminationspunkt  ist  also  y  die  mittlere  Proportionale 
zwischen  x  und  2*.   Da  wir  aber  auch  in  §  8.  gefunden  hatten 


so  ist  offenbar 
und  weil 
so  ist 

und  es  ergibt  sich 


Vi2  =  *i  ■  * 
*,  «=  2x 

n  =»  x,  -f-  • 
n  -=  3x 


n 


Ist  aber  die  Kathete  durch  die  Ordinate  in  Vs  geteilt,  so  muss 
es  auch  die  Hypotenuse  durch  den  Combiantionspunkt  sein;  m. 
r.  W. :  „der  Culminationspunkt  gehört  zu  einem  Punkte  der  Begren- 

2S  S 

zungscurve,  dessen  zugehörige  Ellipse  die  Achsen  hat  y  und  =r  * 

Da  beide  Punkte  symmetrisch  zur  45°  Linie  liegen  müssen,  so  liegt 
für  den  A'-Culmiationspunkt  das  Verhältniss  umgekehrt: 


2y*  -  x». 

Bestimmen  wir  die  Coordinaten  genauer.   Es  war  für  Y- Maximum 


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174      Meyer:  UnlertuchunyeH  und  ls.hr sätu  über  BegrenzungMctirven 


Radiusvector  =  Väx«  «=•  3  V2 


Da  nun  der  betr.  Punkt  der  ßegrenzungscurve  ebenfalls  im  Ab- 
stände ä/3  vom  Endpunkte  der  Hypotenuse  liegt,  so  muss  das  Stück 
zwischen  beiden  Puukten  wiederum  »S/3  sein  und  verhält  sich  mithin 
zum  Ro  der  Blattcurve  wie  1  :  V2  oder  wie  die  Seite  eines  Qua- 
drats zur  Diagonale. 

Der  Ro  der  ßegrenzungscurve  ist  hiernach 


Es  war  für  diesen  Fall 


also  auch 

3Vy*  -  yä»    27  y»  -  S* 
V      y27    y  3       *  ~27    *~*K  27~ 

Also  i» :  «  -»  1  :  y2  und  Inhalt  des  Dreiecks 

S*V2  S* 
™  3  .  2  ™  3y2 

Hier  ist  auch  derselbe  Fall,  wo  die  Entfernung  des  Ellipsen- 
brennpuuktes^vom  Anfangspunkt  gleich  ist  dem  Rv  an  den  Berührungs- 
punkt der  Begrenzungscurve.  Denn 

3S*  S* 

a---26,    also    e*  =  a*-b*  =  4b*-b*-M  -  | -  -  -  und 

V3 

In  diesem  Falle  bilden  beide  Radiivectoren  von  den  Brennpunkten  an 


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Meyer:  Unter auchunqen  und  LehrsStxe  über  Begrenzuny$cutven.  175 


den  Berührungspunkt  0  einen  rechten  Winkel  miteinander.  Die 
unter  4f>°  gegen  beide  Achsen  laufende  Verbindungslinie  der  Culmi- 
nationspunkte  ist 

to_r,)V2-  ^  (2- V2)V2  -  \   ^    =  D 


§  U. 

Gehen  wir  nun  an  die  Aufsuchung  der  Tangentengleichung.  Der 
Weg  hierzu  ist  folgender:  Man  zieht  einen  Radiusvector  und  stellt 
dessen  Gleichung  auf.  Dann  stellt  man  die  Gleichung  einer  zum  Ro 
parallelen  Secante  auf,  dass  dann  eine  zu  beiden  senkrechte  Linie 
und  ermittelt  dadurch  den  allgemeinen  Ausdruck  für  den  Abstand 
zwischen  Ro  und  Secante.  Dieser  Abstand  wird  ein  Maximum,  wenn 
die  Secante  zur  Tangente  wird.  Bei  Aufsuchung  dieses  Maximi  zeigt 
es  sich,  dass  es  damit  gleichbedeutend  ist,  wenn  man  für  den  Ab- 
schnitt />,  welchen  die  Secante  auf  der  A'- Achse  rechts  vom  Anfangs- 
punkte erzeugt,  das  Maximum  aufsucht,  weil  zwischen  A  und  p  ein 
festes  Verhältniss  besteht ,  denn  A  ist  «  p  .  cos  or.  In  der  Figur 
ist 

ferner 

Mithin  ist  die  Ermittlung  von  A  erst  durch  p  möglich  und  es  ist 
daher  nur  von  diesem  das  Maximum  aufzusuchen.   Es  ist 

P  =  —  Maximum. 

V 

Der  Nenner  y  kann,  da  der  Ro  gegebene  cou  staute  Goordinaten  hat, 
für  die  Ermittelung  wegfallen,  und  wir  verwandeln  nunmehr  die  Blatt- 
curvencoordinaten  in  solche  der  Begrenzungscure,  da  sonst  nicht  y 
in  x  übergeführt  werden  kann.   Es  ist 

*yi  —  V*i  y\  *  •  *V  —  V*y*  •  *i*yil 

Hier  kann  Factor  Yxy  als  constaute  Grösso  wiederum  herausgezogen 
werden.    Es  bleibt: 

V«  .  xx  yx* —  Vy  .  xx*yx  —  Maximum. 

Variiren  wir  jetzt  Vx,  als  V*,  ±z,  dann  ist 


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176     Hey  er-.  Unter suchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven. 

T  2*  Va-7 

Wir  haben  also: 

v*w  -  Vj^ri;  oder  y*5F-  Y\  v^v,  > 

VW- 1/|  v^v  >  vw  ±  •  vv  T  2*  v^* 

bringe  die  negativen  Glieder  anf  die  andere  Seite: 

Vi  (V V±2)  V^>  ^Va«  T  »  V%  >  V^ 

quadnre  jetzt 

(y*/±4ai7)  ji^ts  y^) 

aufgelötet 

J/j£  v^  ±  |/ J    y  s  t  [7g  2z,,  vp 

dividire  2z  J/^,   *  =  0 
die  beiden  Seiten  werden  gleich 

Vi yi(2 VyJ-  V*x*)  -  V^7t  {VvT- 2 V^) 

\/yx  yv<2  yy, « -  y»s  -  y^?  cvs?  -  2  y^o 

multiplicire  mit  V^i" 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begremungteurvtn.  \11 

führe  jetzt  die  Coordiuaten  der  Blattcurve  wieder  ein.   Es  ist 

f  x  y 

y 

da  nun  die  Winkeltangente  des  Ro  «  j-  und  die  der  Secante,  weil 

sie  ihm  parallel  ist ,  auch  —  V  sein  muss,  so  ist  letzterer  Ausdruck 

gleich  der  Winkeltangente  der  Tangente  im  Punkte  ar,y,  und  die 
Tangentengleichung  lautet: 

Wir  finden  also  unsere  Erwartung  vollkommen  bestätigt',  dass 
die  charakteristischen  Merkmale  der  Culminationspunkte  in  der  Tau- 
gentengleichung wiederkehren.  Der  Zähler  2a-,*—  y,*  ist  für  den  y- 
Culminationspunkt  bestimmt,  denn  setzen  wir 

(wie  in  §  10.  ermittelt),  so  wird  die  Winkeltangente  —  0,  d.  h.  die 
Tangente  ist  der  X  Achse  parallel.  Der  Nenner  hingegen  bestimmt 
den  X  Culminationspunkt,  denn  sobald 

ist,  wird  die  Winkeltangente  —  »,  d.  h.  die  Tangente  steht  auf  der 
X  Achse  senkrecht. 

Setzt  man  in  obigem  Ausdruck  xt  —  y,,  so  ist  dies  offenbar  der 
Fall  der  Tangente  im  Symmetriepunkt,  und  es  ist 

x' 

tg«- = 

d.  h  die  Tangente  steht  unter  45°  von  links  oben  nach  rechts  unten 
gegen  beide  Achsen  geneigt. 

Arch.  d.  Math.  u.  Pbj*.   2.  Reihe,  T.  XVI.  12 


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178      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurveit. 

Bemerkenswert  ist,  dass,  obwol  die  Blattcurve  mit  den  Achsen 
nur  den  Anfangspunkt  gemein  bat,  dennoch  die  Gleichung  zwei  Werte 
ergiebt,  jenachdem  man  i,  oder  y,  —  0  setzt.  Ist 

y,  -  0 

so  hat  man  Tangente  =  0.  Ist 

xt  —  0 

so  ist  die  Tangente  =  od.  Daraus  folgt,  dass  es  im  Anfangspunkt  2 
Tangenten  giebt  und  zwar  sind  dies  die  Achsen  selbst. 

Sowol  in  der  Tangentengleichung  der  Begrenzungs-  wie  der  Blatt- 
curve kommt  der  Parameter  S  nicht  mehr  vor.  Dies  beweist ,  dass 
alle  derartigen  Curven  untereinander  proportional  sind  und  daher 
keinen  Punkt  gemein  haben  können,  nur  die  Blattcurven  haben  den 
Anfangspunkt  gemein. 

Wir  sind  allerdings  bei  unserem  Aufsuchen  der  Tangentenglei- 
chung von  eiuer  rechts  vom  Ho  liegenden  Secante  ausgegangen. 
Da  aber  die  resultirende  Gleichung  dennoch  allen  Lagen  der  Tan- 
geute Rechnung  trägt,  so  beweist  schon  dies,  dass  das  Ergebniss 
dasselbe  gewesen  wäre,  wenn  wir  die  Secante  links  vom  ho  ange- 
nommen hätten.  Wer  es  übrigens  versucht,  wird  meiue  Behauptung 
bestätigt  finden. 

«  12. 

Wenn  wir  auf  Grund  der  gefundenen  Resultate  nunmehr  die 
Winkel  feststellen,  welche  in  zwei  zusammengehörigen  Punkten  der 
Blatt-  und  der  Begrenzungscurve  zwischen  den  betr.  Radiivectoren 
und  den  Tangenten  an  die  betr.  in  diesen  Punkten  entstehen,  so 
ergiebt  sich  der  auffallende  Umstand,  dass  diese  Winkel  immer 
gleich  sind.  Ermitteln  wir  zuerst  diesen  Winkel  für  die  Begren- 
zungscurve.  Es  ist 

9  =  *  -}-  p 

also 

i-ylA 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenz ungtcurven.  179 

tg d  =  y.Vx  +  r  Vy  .  V*y<V**4-  VP)  Vxy_ 
x\/x—  yVy      y~*  _  yy«     ~  Yd*—Yj* 

Ebenso  haben  wir  bei  der  Blattcurve 

y  ♦„  *  _  f  2z>~y* 
y_  2*'  -  y* 

gy(^-2y»— ggHV)  =    ag^HQ  _  _  «y 

"~  x4  —  2x*y*H-2xy-y*  x«  — y*    ~    *  x*  —  y1 

führen  wir  dies  in  die  Coordinaten  der  Begrenzuugscurve  über,  so  ist 

 ary   Vgy_  Vi» 

also  <5  ■=  d, 

woDach  die  Construction  einer  Tangente  an  die  Blattcnrve  sehr  ein- 
fach ist. 

Wenn  wir  nun  2  symmetrisch  liegende  Radienvectoren  anneh- 
men, so  lasst  sich  der  zwischen  beiden  liegende  Winkel  leicht  be- 
stimmen, da  das  x  —  dem  y  des  andern  Curvenpuuktes  und  umgekehrt 
Es  ist  somit 

1  %  y 

oder,  auf  den  kleineren  Winkel  bezogen 

g»— y1 
"  2xy 

Dies  ist  aber  der  halbe  reciproke  Wert  der  Tangente  des  Winkels 
zwischen  Tangente  und  Rv.   Hieraus  resultirt  erstens  der  Satz: 

Das  Product  der  Tangenten  der  Winkel  zwischen  Ro  und 

If* 


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180     Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzun<jtcurven . 


Tangente  an  die  Curve  und  zwischen  beiden  symmetrischen  Radii- 
vectoren  ist  constant  —  j. 

Zweitens  könnte  man  auf  Grund  dieses  Umstandes  eine  Tangente 
an  einen  gegebenen  Punkt  der  Blattcurve  construiren.  Es  sei  *t 
die  Tangente  im  Punkte  i  an  die  Curve  (Fig.  10).  Dann  finden  wir 
mittelst  des  Zirkels  sogleich  den  zu  ri  gehörigen  Ro.  rk.  Nun 
fällen  wir  von  k  eine  Senkrechte  auf  r»,  verlängern  über  /  hinaus, 
bis  diese  die  Tangente  schneidet  in  q. 

Dann  muss  nach  Obigem  sein 

ql  Ik 

j-. .  rl  =»  £   oder  Ii .  $1  =  2ql  .  U- 

d.  h.  also,  wenn  man  ql  nochmals  verlängert  um  sich  selbst,  sodass 
oq  —  ql,  dann  liegen  die  4  Punkte  o,  /,  kr  r  auf  der  Peripherie 
eines  Kreises,  in  welchem  ei  und  ok  sich  schneidende  Sehnen  sind. 
Da  mir  nun  dieser  Kreis  durch  die  8  Punkte  r,  »,  k  gegeben  ist,  so 
hat  man  nur  die  Senkrechte  kl  zu  fällen,  durch  Verlängerung  den 
Punkt  o  zu  erhalten,  ol  zu  balbiren  und  hat  dann  in  qi  die  gesuchte 
Tangente. 

Die  im  vorigen  §  gefundene  Tangentengleichung  muss,  wie  auf 
der  Hand  liegt,  immer  zusammengehörigen  parallelen  Tangenten 
entsprechen,  mögen  auch  die  Berührungspunkte  wie  natürlich  ver- 
schiedene Coordiuaten  haben.  Denn  zu  jedem  Punkte  links  der 
Symmetrie  Achse  gibt  es  notwendig  einen  rechts  derselben ,  dessen 
Tangente  zur  Tangente  im  Ersteren  parallel  ist.  Es  müsste  also 
sein 

x  x»—  2y*      x,  V-2y,* 

Eine  weitere  Behandlung  dieser  Gleichung  verlangt  indes  vorherige 
Verwandlung  in  die  Coordiuaten  der  Begrenzungscurve  für  xy. 
Dann  ist: 


9  V*8 


 Vx*  (2^-3^)» 

=  V&-Vx*'(Vs*-3+'x*)t 

 4V/,s»x*— 1 2V<STgx*-r-9Vx6  


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungucurven. 

(4  V.v2z«_i2V>y2a:4  4-9Vi«)a.ii(a.14_2yi2)i 
9Va:«[xl*(x1»-2^*)»+yJ«(2*l«-jf1t)«] 

Ich  sotzo  nun 
dann  lautet  die  Gleichung: 

x      0      *  9(c+d)  +       *    9(<+dj  9(e+d) 

[V-C    V  s  9<c+d)  J    3  Vs  *  9V-M«  +  vs  c  o(c+4; 

SM  .V«(4c-f5<i)« 
~"  9(c-f-d)  9\«-H) 

L   *  9(c+d)J      |    x       V>  9(c-f</)  J 

L9«(c-hrf«)         9»(c+*/)«  J 

I  9(<?H-'0         L  9(c+</)J 

3t/     r  16f»+^V/c>H-25rf8-12c'8-33rfg-21^ I 
L  9*(c+d)*  J 

2*(6-j-d)3  lrf  '  9*  '  (^)l-f  2(4C+5rOs-9»(4C+7.i)(c+rO»] 
=  9*(e+ rf)*(4<?+7d— d  =  -  9*(c+d)*(4<*+6d) 
=  ~  93(c^rf)3[9,(c+rf),(4c+6d)-2(4c4-5cij»| 
2S2 

-  -  95^.c7y,[9,(^d)8(2c+3d)-(4c+5d)»] 


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182     Afeycr:    Unirrsuchunytn  und  Lehrsätze  über  Bfgrenzungtcurven 

Setze 
setze 

„r  v^r^+^-^i ,  #[4(*+d)».-*fc]» 

6      2Syrg«(c+rf)»(2r+V)-(4C+4'/)»]  ^(HW  "rfcJ 3 

S»[g»(c-H)»(2c+3d)  -(4c-f-3f/)»]* 

.v*[9»(c-M)»(2c+ar/)~  4H-M^ 

s  4.  ^[9'(g+rf)8(2g-f  3rf)-(4c  f  Srf)»]}  » 
"  9«(c4-ci)«  l^(e4-,/)\2c+3<0-(4c+rv/)»{=»={4(c+r/)'--^}3j 

Um  za  sehen,  ob  der  rechtsseitige  Ausdruck  überhaupt  einen 
positiven  Wert  haben  kann  —  wenn  er  das  nicht  könnte,  wäre  das 
Resultat  imaginär  und  also  die  Lösung  auf  diesem  Wege  unmöglich 
—  nehmen  wir  der  Kürze  halber  einmal  c  —  d  au,  ein  Fall,  der  ein- 
tritt, wenn  die  Tangente  unter  45°  geneigt.  Dann  wird  die  Klammer: 

{9»  .  4c»  .  5c-9V}»-  18«1-*«}5  -  (9»  .  20  .  c»-9V)*— 15"  .  c6 

hier  kann  A6  ausfallen,  da  es  uur  auf  den  anderen  Factor  ankommt, 

'  9*  .  (20-9)«— 15»  -  3«  .  1 1»— 5»  .  3»  =  3*(35  .  Jl*-5») 

=  33(243  .  121—125) 

was  positiv  bleibt;  also  hat  die  Gleichung  eine  richtige  Lösung 

Ä«19«(c+rf)«r  2e+Srf) "  (4c+5rf)»|  ±sV[9*(c+ c/)»(2c-f-4rf( 

,  -  (4  A-f  5rf)3]'-  [4(c+d)»  -  ,fr)5 

r  "  9S"(c+rf)> 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begremungscurven.  183 


,        w  ,  _  V.s*(4c+5«)  YS* 


Klammer  —  f*  gesetzt       =  g*  gesetzt 

-[9»(*+d),(2<.-f-3rf)  -  (4e+5)»] 

+[9l(c-{-rf),(2C-r-3rf)-(4c-f5d)3  J 

Wenn  man  bedenkt,  dass  schon  c  und  </  Grössen  6ten  Grades 
sind,  f  und  g  also  ebenfalls,  so  leuchtet  die  angegebene  Complicirt- 
heit  des  Ausdrucks  ein,  der  allerdings  ja  gestattet ,  wenn  ar, y,  ge- 
geben sind,  den  Punkt  xy  zu  bestimmen,  dessen  Tangente  mit  der 
in  a*,y,  parallel  läuft,  niemals  aber  diese  Bestimmung  auf  Gruud 

irgend  einer  Beziehung  zwischen  x,y,  und  ry  zulässt. 

t 

Die  Verbindungslinie  zwischen  den  Berührungspunkten  zweier 
parallelen  Tangenten  ist  ein  Durchmesser  der  Curve",  dessen 
Länge  sich  auf  Grund  der  vorstehenden  Formel  für  jeden  einzelnen 
Fall  berechnen  lässt. 

Die  allgemeine  Formel  für  diese  Länge  ist  ihrer  Cmplicirtheit 
wegen  zu  irgend  welchen  Operationen  ganz  untauglich  und  müssen 
wir  uns  daher  darauf  beschränken,  einige  specielle  Fälle  zu  unter- 
suchen. 


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184      Meyer:  Untersuchungen  und  I^hrsätze  älter  Beyrenzungscurven. 

Nachdem  wir  die  Culmiuationspunkte.  schou  analysirt,  dereu 
Parallel -Tangente a  die  Achsen  seibat  sind,  ist  wesentlich  der  Fall 
von  Interesse,  wo  die  Tangenten  der  Symmetrie-Achse  parallel  laufen , 
also  unter  45°  gegen  beide  Achsen. 

Dann  ist  tger  =  1  also 

y,(2V-yi*)~*i(V---V) 
yi3 -*i3-2*,  yr 

*i8  +  Vi3  -  2x,  y,(*,        -f  y,) 
dividire  durch 

27a-,sy,3  -  S»*,*y,a 
27x7y,  =  # 

«1*1  -  27 


«i'+yi*-^   )  ('i—  yi),=!l27 


Inhalt  des  zw.  beiden  Ro  einschl.  Dreiecks 


_  V-y,8_  v5  ^ 


Da  beide  Tangenten-Berührungspunkte  offenbar  symmetrisch  liegen, 
so  ist  das  a  des  einen  gleich  dem  y  des  andern  und  umgekehrt. 


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Meffer:  Untersuchungen    und  Uhrtätze  über  Begremunyicurven.  185 


Rv  -  V^|S+V-  ^  V5  +  l+2V7ö  +  5  +  l  -2V5 

.SV12  ,S 
"2V27  = 

Dor  Ro  im  Berührungspunkt  der  45°  Tangente  ist  also  ein 
Drittel  der  Constauten  S  und  verhält  sieh  zum  Ro  der  Culmiuatious- 
punkte  wie  1 :  V2  d.  h.  wie  die  Seite  eiues  Quadrats  zur  Diagonalen. 
Ferner  ist  der  Üurchmosser 


=  /;  =  s 


27 


Dies  war  aber  oben  als  x  des  ^  Culminatiouspunktcs  gefunden 
worden,  mithin  haben  wir  den.'  neuen  Satz  entdeckt,  dass  der 
kleinste  Durehmesser  —  denn  das  ist  Obiger  offenbar  —  gleich 
ist  der  Ordinate  bzhw.  Abscisse  der  Culminationsp unkte. 

Bestimmen  wir  den  zwischen  den  Radiivectoren  an  dieser  Be- 
rührungscurvc  den  45°  Tangenten  liegenden  Winkel.    Es  ist 

wo 

1  ™    2  V27    '      9  =    2  V27 
S*(6-l-2v,5)-Sz(6-2\'5)     iVb  y.5 

180 "    2(y5+i)(V5— "2.4""  2 

Für  den  Culminationspunkt  ist  der  eingeschl.  Winkel 

* 

27       27_  1 
-  •  -  27 

Suchen  wir  noch  zu  obigen  2  Punkten  der  45  Grad-Tangenten 
die  entsprechenden  Punkte  der  Begrenzuugscurve.    Wir  hatten 


also 


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186      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrentungscurven. 


x*  m       5*(  Vb-l )«__        g(6H-2V6)(  V5-fl) 
y  ~  y  -  .V(V5-1)2V27  ""(V5-.l)(V5+l)2V« 

8V27  V27  y 

Ferner 

S(VV6-2) 

1  /2 

/fr  =  v  x'+y*  —  ^'l/rj  =  gleich  3  mal  so  gross  wie  der  kleinste 
Durchmesser  der  Blattcarvc. 

Es  ergeben  sich  nunmehr  lür  den  quäst.  Punkt  der  45°  Tau 
gente  folgende  Eigentümlichkeiten : 

S*  S* 
*  .  9  —  *  ■  V  —  27  x  '  y  "  27 


„  -  y"&*  -  .f  V  <J  -  4V5,    b  -  V^y  =  5  V9+4V6 


3 


in  .  n  = 


5* 

s 


worin  eino  sehr  merkwürdige  Beziehuug  sich  ausdrückt. 


Das  Dreieck,  was  durch  Verbindung  der  Scheitel  der  Ellipse 
entsteht,  ist  also  l/3Tondem  durch  m,  n  und  s  gebildeten;  das  Drei- 
eck aus  den  Coordinaten  x,  y  und  dem  Ro  ist  dann  1/9  des  letzteren. 

i  Wenn  mau  die  Endpunkte  des  kürzesten  Durchmessers  /  h  durch 
zu  den  Achsen  parallele  Linien  mit  dem  auf  der  Symmetrie« Achse 
liegenden  Punkte  k  verbindet,  so  entsteht  das  rechtwinklige  gleich- 
schenklige Dreieck  Ikk  und  in  diesem  sind  die  Katheten 

Ih  S 


V*  V27 

Da  wir  nun  für  den  Culminationspunkt 


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Meyer:  Unlersuehitnyen  und  Lehrsätze  über  Begrenzung.«  urven.       ]  S7 


1    u  2S 
y  bznw.  x  —  77=:  _ 

hatten,  so  ist 

Ich  —  \  og 

d.  h.  die  Tangeute  unter  45°  halbirt  og,  da 

Ebenso  halbirt  c/  die  Linie  or. 

„Demnach  hat  der  kürzeste  Durchmesser  der  Blattcurve  die 
halbo  Länge  der  Diagonale  des  umschriebenen  Quadrats." 

Nach  allem  Obigen  ist  die  geometrische  Construction  der  Cul- 
minationspuukte ,  der  45°  Tangenten  und  des  kürzesten  Durch- 
messers für  eine  gegebene  Blattcurve  äusserst  einfach. 

Nimmt  man  den  zwischen  2  symmetrischen  Radiivectoren  ein- 
geschl.  Winkel  zn  61°  an,  so  muss  das  Dreieck,  welches  durch  Ver- 
bindung der  Peripheriepunkte  entsteht,  notwendig  ein  gleichsei- 
tiges sein.    Zur  Bestimmung  dieses  Falles  setzen  wir  also 


Dann  ist 


x*  —  y*  -2  ^3  .  ry 

x*  —  2xV-fV  -  l**V 

a;«+jr*  -  4xjr  =  VsW2 

64x^3  =  S>/V,        -  ^ 

V&ry  -     =  Vx*+^  =  Ro    (Siehe  Figur  vor.  Seite.) 

Wir  erhalten  also  das  überraschende  Resultat,  dass  das  in  die 
Curve  eingeschriebene  gleichseitige  Dreieck,  welches  mit  einer  Ecke 
im  Anfangspunkt  liegt,  den  4 ton  Teil  der  Constanten  S  zur  Seite 
hat   Bestimmen  wir  nun  die  Coordinaten 

=  16/  (x+y)  "  12  -  4  K  i 

^"32  )  (x-y)  ^  32       *  y="4V2 


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* 


188      Meyer:  UnUr»ucftun<jen   unti  Lehrsätze  über  BegrenziiiKjscurven. 

S(V3-|-1)  fi(V3— 1) 

*  ~      «y  2   '       V  "  8V2 
Die  Puuktc  der  Bejjrenzungscurvc  sind: 

64    yaVx-  V3-1  "        3-1  2  6 


*  =  8  +  12V3  +  18  +  3|/3  =  26+15V3 

^(2+v3l,  ^Jywy*  .-l/^j^ 


tg  des  cingeschl.  Winkels  beider  syram.  Rvcn  =-  26. 


§  13. 

Ein  besonderer  Spceialfall  ist  der,  wenn  die  Verbindungslinie 
zweier  parallelen  Tangenten,  also  ein  Durchmesser  der  Blattcurve, 
parallel  zu  einer  Achse  ist.  Dieser  Specialfall  ist  mit  einem  andern 
identisch.  Nämlich  zu  jedem  x  gehören  2  verschiedene  y  (ausser 
dem  Anfangs-  und  dem  Culminationspunkt),  wie  zu  jedem  y  zwei  x  und 
darum  muss  auch  die  Auflösung  der  Blattcurvengleichung  nach  x 
2  Werte  ergeben,  wie  auch  die  nach  y.  Für  ein  y  hat  also  die 
Blattcurve  2  Schnittpunkte,  deren  Verbindungslinie  gleich  der  Dif- 
ferenz der  zwei  ar,  d.  h.  =  at, — #„  ist  Entsprechend  ist  für  ein  x 
der  verticale  Durchmesser  =  yt  — yt.  Für  obigen  Fall  nun,  wo  die 
Schnittpunkte  für  ein  x  oder  ein  y  zugleich  Berühruugepunkte 
paralleler  Tangeuten  sind,  ist  diese  Differenz  ein  Maximum. 
Denn  vor  dieseu  Schnittpunkten,  d.  h.  wenn  diese  näher  beim  An- 
fangspunkt liegen,  convergiren  die4Tangenten  in  demselben  nach 
dem  Anfangspunkt;  jenseits  dieser  Schnittpunkte  convergiren  sie 
in  entgegengesetzter  Richtung,  mithin  muss  in  beiden  Fällen  der 
Durchmesser  abnehmen. 

Es  ist 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Hegremungscurven.  ]gQ 

Dividire  durch  letztere  Klammer. 
1  2 


V'flV  -  — ^  ciugeführt 


dies  müssto  als  Maximum  behandelt  werden,  zu  welchem  Behufe 
aber  die  Ersetzung  der  einen  Coordinate  durch  die  andere  erforder- 
lich ist  Allein  die  bisher  befolgte  Methode  sowol  als  auch  das 
Differentiiren  liefert  für  diesen  Fall  eine  Gleichung  so  hohen  Grades, 
dass  eine  Auflösung  unmöglich  ist.  Es  muss  daher ,  wie  folgt ,  ver- 
fahren werden: 

Nach  Einführung  der  Begrenzungscurven-Coordinaten  ersetzt 
man  erst  auf  Grund  der  Gleichung 

Vit  +  vv  ~  VS* 
alle  y  durch  x  und  setzt  hiernach 

~Yx  —  z  .  vs 

worin  z  ein  echter  Bruch  ist.  Dann  erhalten  wir  für  den  Durch- 
messer die  Formel: 


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190      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven. 


D  =  S  Vl-z*[z>-  V^j-  V4(1_ss!)3+^(3«^)8-z(3-2^)J 

In  diese  setzt  man  nun  successive  für  z  von  1  ab  fallende  Werte  ein. 


z  — 

D  = 

0,95 

unter  0,2818  8 

0,90 

0,3224033  5 

0,89 

0,324  9398  S 

0,88 

0,325  05  964  5 

9,879 

0,325  70555  S 

*     •     •  * 

2,8785 

0,32569331  S 

0,878 

0,325  680338  S 

Das  Maximum  liegt  also  kurz  vor  oder  hinter  0,32570555  S.  Man 
kann  durch  Uebergchen  auf  die  nächste  Decimalstelle  der  Ein- 
setzungswerte die  Genauigkeit  noch  weiter  treiben,  doch  wird  die 
Rechnung  deshalb  so  ungeheuer  mühevoll,  weil  alsdann  sogar  die 
Mantissen  der  Logarithmen  schon  kleine  Irrtümer  veranlassen,  welche 
das  Resultat  beeinflussen  und  mau  daher  gezwungen  ist,  alle  Opera- 
tionen ohne  Hilfe  der  Logarithmen  auszuführen. 

Begnügt  man  sich  mit  dem  Werte  z  =  0,879,  so  hat  man 

V*  =  0,879 VS   und    y*  -  0,476  821 VS 

Vy*  =  0,227  359 Vs*,    Vx*  =  0,772611  Vs» 

VXyi  =  H  -  0,1998485615,  _  y  .  0,3684114545 

und 

yi  =  0,042  7058985,  -  #  -  0,325705556  5 

tgo  des  Winkels  der  Tangente  mit  der  X  Achse  berechnet  sich 

-  y  2f  tga  -  0,444  698   und   «  =  23°  59'  annähernd. 

Es  inass  also  auch 

sein,  was  ein  Versuch  bestätigt. 


i  -  tg« 


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Meyer:  Untertvchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven.  \C)\ 

§  14. 

Wenn  man  2  symmetrisch  liegende  Hypotenusen  S  construirt, 
und  auf  diese  die  entsprechenden  Senkrechten  vom  Anfangspunkt 
fallt,  so  ergibt  sich  eine  weitere  Eigentümlichkeit,  die  ad  oculos  die 
Polargleichung  der  Blattcurve  demonstrirt,  welche  auf  S  be- 
zogen, lautet: 

Ssin  2a 
Ä»  -  0  2- 

Sie  ergibt  sich  durch  Einsetzen  von 

x  mm  p  cosa,     y  =  psin  a 

Vp*(co8*a-}-8inV)  =  ^Scoso  .  sin«  .  p8 

p  —       .  q*  .  cos  a  .  sin  i 

p3  —  8  .  p*  .  sin  o  .  cos  a,   p  — 


S  .  sin2a 


Es  muss  in  der  Figur  offenbar  Winkel 

sein  ;  ausserdem,  weil  ip  ±  »»,  ist 

viel  —  vip 

also  auch 

rfj»  —  igt 

Verlängern  wir  nun  ip  bis  sie  gf  in  *  trifft,  so  muss  demnach 
in  dem  entstehenden  Dreieck  i»g 

gt  =  iz 

sein,  weil  die  gegenüber  liegenden  Winkel  gleich  siud.  Daraus  folgt 
aber  weiter,  dass  eine  Senkrechte  von  *  auf  ff,  letztere  als  Grund- 
linie halbiren  würde  und  da  diese  Senkrechte  der  X  Achse  parallel 
„So  resultirt,  „dass  auch  die  Hypotenuse  selbst  in  $  halbirt  ist." 
„so  ist  jede  Senkrechte  auf  eine  Hypotenuse  zugleich  in  ihrer  Ver- 
längerung Mittellinie  für  die  zu  jener  symmetrisch  liegenden  Hypo- 
tenuse."  Dann  ist  also 

gs  —      _  *f 

und  isf  ist 

„  2«  =  igf+gU 

Da  nun  in  ±  gf,  so  ist 

im  ip 

und  da 


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192     Meyer:    Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungtcurven. 


,8  -  *f  -  2 


so  haben  wir  unmittelbar: 

in  9*  — 

i  s  S/2 


sin  2«=  .  = 


oder 

8  .  ft 

9=2 s  ° 

wie  oben  entwickelt. 

Der  Punkt  s  liegt  für  alle  Hypotenusen  immer  auf  der  Peri- 
pherie des  mit  »S/2  um  ■  beschriebenen  Kreises.  Wir  haben  hier 
also  die  Begründung  für  die  Lübsen'sche  die  continuirliche  Cou- 
struction  der  Blattcurve  mittelst  deren  Polargleichung;  eine  Begrün- 
dung die  Lübsen  naturgemäss  nicht  liefern  konnte,  weil  ihm  die  Her- 
kunft der  Curve  unbekannt  war. 

Wenn  wir  nun  auch  die  Polargleichung  der  Begrenzungscurve 
aufstellen  wollen,  so  haben  wir  ebenso 

x  =  y  .  coscf,   y  —  q  .  sina 

und 

VV  (VCos*i  +  Vsin^a)  -  V.S2,  mit  3  potenzirt: 
1 

i^os^a+siü9«  +  3V  cos*«  .  sin*«  (  Y  cos*«  +  3Vslü*«)]  = 
da  nun 

Vcos*ä  +  VsTn*«  -  \/* 

und  wir  diesen  Wert  einführen  können,  so  ist  die  Gleichung: 

q*  +  3  V,$Vcos»«  •  sin««"  —  S* 

sin  2« 
cos  «  .  sin«  =  -  2 


also: 

,     1  /  _  .  8411*  2« 


Aus  dieser  und  der  obigen  Gleichung  lässt  sich  nunmehr  eine  dritte 
ableiten,  welche  die  Beziehung  zwischen  den  Radiivectoren  beider 
Curven  mit  demselben  Neigungswinkel  ausdrückt.  Nennen  wir  den 
7»V  der  Begrenzungscurve  /f,  den  der  Blattcurve  r,  so  ist  offenbar: 


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M*yr\  Unteravckungen  und  LehrsäUt  flier  Btgrtnnungteurvtn.  ]93 


7?»  +  3  V/fV*  -  S» 

woraus  sich  bei  einem  gegebenen  JU-  der  andre  finden  lässt.  Am 
leichtesten  ist  dies,  wenn  beide  Radiivectoren  ein  festes  geometri- 
sches Verhältniss  haben.   Z  B.  es  sei 

R  -  2r 

d.  h.  der  R  >■  au  die  Begrenzungscurve  wird  von  der  Blattcurve  hal- 
birt.   Dann  ist: 


V  4+3 

SV4  -_ 

vi+a  div  durch 


V4-j-3  V4+3 

y  V4-1-3 


/  5* 


(V4+3)«  r  Vi+3>» 


«+»  -  *  !/_*_+. 1/. 

kn\.  J.  Milk,  o.  Phj<.  3.  Selk».  T.  XVI.  13 


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194       Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begren 

ändere  diese  Werte  ab,  indem  ich  Zähler  und  Nenner  mit  V2 
multiplicire: 


*+,  -  +      2-  1/  J_ 

^       '  2-r-3V*^2H-3V2r  2+3  V2 

oder  setzen  wir 

2+3V2  _ 
2      -  1 


g  -  w    -V  |/V4-3±V3 

y    v2+3V2F/  -v^— 


tgo  — 


1—  Vi       _  |/2H-3V2  _  J/2+3V2  _x 


V4     f  V4 
V  V4 


Ebenso  ftr  R  —  3r.    Es  ist 
Ä«+3|/-f  =  ^-Ä«(l+<3)   und  R«-—^ 

durch 

Vya-fv-j)'  v3  V(i+v3) 

_  

ry  "  3(Vl +3V3)» 


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Mfj/er:  Unternuchmtytn  und  Lehrtätse  über  Begrei.zuny»curven.  1$5 

-  )  («+»)•  =  ~  (i+  3-^) 


2ry  — 


X  = 


iV~3  (|/*Vi+v8  +  S  +  [/sVi+vS  -  2) 

* 


J/sVi+va  +  2  -  J/sVi+va  -  ü 

j/3  Vff  V3  -f-  2  +  [/ 3^1+^  -  2 


x  3^1+ V 3 +2+ 3  V 1 + V3  -  2  -  2  V  » +9  V  3  -  4 
|  "  3Vi+v3+2-3Vi-}-V3-h-' 


3\/i4-va-  Vs+:V3 
-  2  "  g 


§  15 

Wir  fanden  §  10,  dass  im  Culmtnationspunkte  der  Blattcurve  die 
zugehörige  Hypotenuse  8  in  1/3  ihrer  Länge  geteilt  wird,  und  es  war 

T 

der  entsprechende  Rv  der  Begrenzungscurve  —  j^.     Sucht  man 

nun  den  Fall,  wo  S  in  1/3  der  Länge  geteilt  wird,  so  haben  wir 
unmittelbar: 

und  da  das  zwischen  den  beziehlichen  Punkten  von  S  liegende  Stück 
—  S/2,  so  ist  der  Rv  der  Begrenzungscurve 

-  ^1  - !  * 

13» 


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196     Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven. 

Der  Rv  an  diesen  Punkt  der  Blattcurve  ist  also  gleich  3/4  der  obigen 
Rv  an  die  Begrenzungscurve  für  den  Culminationsfall.    Ferner  ist: 

—     &y  -6T-  ory  

„        S"  .  3V3  (  .       m  S» 

2x*  »3       )  -32(6-3y  3) 

•+f  =  J  [/8(2+V3) 


Sl/3(2-V3) 
y  "  ivl  ty         T  ^2=V3]  und 

,*+y.  _  J  -|*  (14+3  V3) 

SV3V3    (  ,  S* 
2*y  32~"    !  (x-y)  =  32  (U~3V  3) 

Hf  -  4^  ^14  +  3^3 

-472yi4-3V3 
y  "3-^2CVl4  +  3V3±  V14-3V3] 

Diese  Ausdrücke  lassen  sich  vereinfachen,  indem  mau  qnadrirt;  so 
ist  z.  B.: 


* = i^8t14+3^3+u-3v3+lViiE2L] 

169 

-  128  f28+261  -  ~6T    alS0   *  "  "T~ 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven.  197 


»'  "  Sä  [1H-SV8+H-8V3-2  -13]S~-^,   g  -  , 
Entsprechend 

*  =  W  f2+V3+2  |  V32  Vi-*)  -  *  ^  -  *j* 

=  W  [2  + V3+2- V3+2  V^J  =  £^  _  ^? 

1 

5.3  a 

Demnach 

•  2     SV3+S3V3     SV3     _  n 
n  —  x+x»  L-          =  -g-  —  2  Rvbl. 

<S  m 

*»  —  y+f  =  2'  g     siu  des  Neigungswinkels  —  \,  mithin  ist  dieser 

„Neigungswinkel  —  30*  und  wir  finden  den  Satz,  dass  die  Hypote- 
nuse S  unter  30°  von  der  Begrenzuugs-  und  Blattcurve  in  1/4  der 
Länge  geteilt  wird." 

In  diesem  Falle  hat  der  JRp  der  Blattcurve  natürlich  eine  Nei- 
gung von  60°  und  der  ihm  symmetrische  eine  solche  von  309;  beide 
Radiivectoren  der  Blattcurve  teilen  somit  den  rechten  in  3  gleiche 
Teile. 

Die  Blattcurve  hat  noch  einen  besonders  charakteristischen 
Punkt,  den  wir  nuumehr  aufsuchen  wollen.  Es  entsteht  durch  2 
symmetrische  Radiivectoren  und  den  zugehörigen  Durchmesser  alle- 
mal ein  in  die  Curve  eingeschriebenes  gleichschenkliges  Dreieck. 
Wenn  man  von  allen  diesen  Dreiecken ,  die  mit  dem  Inhalt  0  be- 
ginnen und  auf  der  Symmetrie-Achse  wieder  mit  0  endigen  das 
Maximal -Dreieck  sucht,  so  ergeben  sich  eigentümliche  Beziehungen. 
Die  allgemeine  Formel  für  den  Inhalt  dieses  Dreiecks  ist 

~  2 

wovon  wir  jetzt  das  Maximum  suchen  wollen.  Der  Nenner  2  kann 
wegbleiben,  und  dann  führen  wir  wieder  die  Coordinaten  der 
Begrenzungscurve  ein. 


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198      M*yer\  L'nterxuehungen  und  Lehrsätze  übtr  Btgrenzungscurven. 

dir.  durch  *  und  0  gesetzt: 

f   "  '"+*»  j  -  6tVV'6-  '>  -  3V3^3-^ 

H-f  -  b^r3- 

2  L  3  VV3  2  r  3v^* 

*  ^  2  L"   V*V3  J  vereiofadlt  y-  *V  3V3 

x  -  V2 

ü  v  =  5/2  Vi  —  l'/i  kleinsten  Durchm. 
Demnach  ist  J  des  eingeschlossenen  Dreiecki 

— 2^  -  12^6  al8  Maximam 

Die  Tangente  des  eingeschlossenen  Winkels  im  Anfangspunkt  ist 

**~y*  _  S^_6  V6  _ 
~    2*y  —  12  v3S»  Vi 


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Mtytr:  Untersuchungen  und  Lehrtätze  über  Begrenzungtcurven.  199 


d.  h.  die  Hypotenuse  &,  welche  auf  einem  Rv  senkrecht  steht,  wird 
von  der  Verlängerung  des  anderen  so  geschnitten,  dass  das  Stück 
zwischen  beiden  sich  zum  Hv  verhält,  wie  die  Seite  des  Quadrats 
zur  Diagonale.  Es  sind  in  diesem  Falle  die  Coordinaten  des  zuge- 
hörigen Punktes  der  Begrenzungscurve: 


und    Rv-  ^ 


Der  hier  gefundene  Punkt  der  Blattcurve  für  das  Maximal- 
Dreicck,  was  sich  iu  dieselbe  einschreiben  lässt,  hat  nun  auch  die 
weitere  Eigenschaft,  dass  die  iu  den  symmetrisch  liegenden  „Punkten 
an  die  Curve  gezogenen  Tangenten  den  Radiivectoren  beziehlich 
parallel  sind",  d.  h.  dass  Radiivectoren  und  Tangenten  zusammen 
einen  Rhombus  bilden.  Dies  können  wir  auf  Grund  des  §  12 
gefundenen  Umstandes  nachweisseu,  dass  das  Product  der  Tangenten 
der  Winkel  zwischen  symmetrischen  Radienvectoren  und  der  Tan- 
gente an  die  Curve  mit  dem  Rv  coustaut  —  '/»  ist. 

Ist  in  nebenstehender  Figur 

Ig  8 .  tg  E  -  Vi 

so  folgt,  da  wir  tg  E  für  diesen  Fall  =  Vi  ermittelt  hatten ,  dass 
auch 

sein  muss,  d.  h. 

Wkl.  E  -  Wkl,  s 

und  somit  Taugente 

sp  =  Rv  or 

Dasselbe  gilt  natürlich  für  die  symmetrisch  liegende  Taugeute  und 
Rv\  daher  sich  beide  Taugeuten  auf  der  Symmetrie-Achse  schneideu 
müssen.   Der  Abstand  dieses  Punktes  vom  Anfangspunkt  ist 


Die  kleine  Diagonale  dieses  Rhombus  ist 


Wenn 

tg£—  Vs   so  muss    tgd—1,   also   <3  =  45° 


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200      Meyer:  Unter »uchungtn  und  Lehrsätze  über  Begrtnzungscuroen. 

sein.  Dann  ist  aber  auch  der  Winkel  zwischen  S  und  dem  zuge- 
hörigen Rv  der  Begrenznngscnrve  =  45° ,  mithin  ferner  auch  der 
beiden  zusammengehörigen  Radiivectoren  beider  Curven. 


Dann  aber  ist  die  „Tangente  an  die  Blattende  dem  Rv  an  die 
Begrenzuugscnrve  parallel/*  die  symmetrischen  Lagen  desgl.,  und  so- 
mit bilden  beide  Tangenten  und  beide  Radiivectoren  wiederum  einen 
Rhombus,  dessen  Inhalt  sich  wie  folgt,  berehnen  lässt:  Es  ist 


VTy  =  Vi»  -  Vy*,      V  x*  —  V  Xy  -  V 

r 

"  1+V3 


y' 


Der  symmetrische  Rv  hat  also  die  umgekehrte  Tangente  und  die 
Gleichuug 

9  -  *(V5+2) 

l/y     r_      2  »(V5+1) 
Ki-y-V6H.r  2  «  a,so 

.^(10+2v5).,,yMv5±i) 

*  ö  4 

*     2    ~  V(5+l) 


4  r  6V5(V5+1)     *  r  10  V5 

~  ö  r  iü v5  '     2*   "      r  iü vö 


Die  Tangente  muss  also  durch  diesen  Punkt  gehen  und  die 
Winkel-Tangente 


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Meyer:    Untersuchung™  und  Lehrsätze  über  Begremungtcurwen.  201 

l  -  Vb-2 
habeu.   Ihre  Gleichung  lauter  daher: 

Wo  sich  Tangente  und  Ry  trennen,  muss  also 

y  =  3{V5+2) 

sein.  Dies  führen  wir  ein,  um  die  Coordinaten  des  Punktes  zu  er- 
halten: 

^5+,)  =  S^-«V5-2)(.-S^) 
letzterer  Ausdruck  lässt  sich  vereinfachen  als: 


_S    .  1/  V{f>+D+(V-2)*(V-l)-2(>-V)  Vö-l 

9 

=  V10V6  |/vö+l+9V5-10-9+4v'5-4v5+8 


y  —  |  [/"^^■-       des  eingeschl.  Winkels  =  2. 

Dies  sind  die  Coordinaten  des  Schnittpunktes  zwischen  Tangente 
und  Radiusvector. 

Der  Inhalt  des  Dreiecks  zwischen  2  symmetrisch  liegenden 
Linien  ist  nun 


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20 2      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  BajremunysrurveH. 

**-!/* 
2 

also  der  dos  Rhombus  das  Doppelte 

=  -  -  z/2 

bzhw.  weil  hier  y  >  *  muss  es  lauten  y*  —  **.  Mithin 

J=l*{  VS        )   °der  J==4Vb 

Der  erste  Ball  des  Maximal-Dreiceks  iu  der  Blattcurve  ist  leieht 
zu  eoustruiren,  weil  die  Tangente  des  eingeschlossenen  Winkels  am 
Scheitel 

-  Vi 

ist  und  jeder  Ito  Mittellinie  zur  Hypotenuse  5  des  andern  Rv  ist. 
Dann  ist  iu  Figur  18 

PI  1 
op  ~  S  * 

also  das  Verhältniss  von  Seite  und  Diagonale  im  Quadrat.  Dasselbe 
besteht  für  rv  :  vr.  Mithin  verfährt  man  wie  folgt:  Lege  *S  horizontal 
hin  «=»  ett,  schlag  einen  Halbkreis  darüber,  errichte  in  der  Mitte 
von  *S  die  Senkrechte  fg,  ziehe  die  Sehne  ef  und  trag  diese  auf  der 
Seite  cc  nach  oben  ab 

S 

Verbiude  uuu  e  mit  g,  wo  diese  Linie  den  Kreis  trifft,  iu  A, 
verbinde  ich  mit  c  und  </,  so  entspricht  hc  die  Kathete  m,  Arf  der 
Kathete  u  und  die  Senkrechte  auf  ett,  hi  ist  eiuer,  hg  der  audre 
der  gesuchteu  Radiivectoreu. 

Im  zweiten  Fallo  hatten  wir 

E  -  Vi 

die  Constructiou  ist  der  Obigen  ganz  analog,  da  es  nicht  schwer 
hält,  den  betr.  Winkel  von  der  Mitte  von  S  aus  anzulegen. 

§  16. 

Ehe  wir"  weiter  gehen,  wollen  wir  noch  einer  besonderen  Be- 
ziehung der  Begrenzungscurve  zur  Ellipse  Erwähnung  tun.  Der  Rv 
der  Begr.-Curve  ist 


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J/«jf«r:  U»trr»urhumjen  und  Lehrsätze  iiher  Hrgrfnzumjscurven.  203 

dcrjonigo  der  Blattcurvo  für  zusammengehörige  Punkte 
also  Summe  der  Quadrate  der  Radiivectoren 

v'äv  -  «;    Vsy~=  b 

also  „Summe  der  Radiivectoren-Quadrate4 

«I  +  6« 

also  gleich  der  Summe  der  Quadrate  der  Ellipseu-Achscn.  Das  ist 
nun  eine  Eigenschaft  der  sog.  conjugirten  Durchmesser,  und  da 
unser  Ro  an  die  Begrenzungscurvo  ein  Durchmesser  ist,  so  muss 
der  Rv  au  die  Blattcurve  gleich  dem  conjugirten  Durchmesser  sein. 
Ferner  ist  aber  jeuer  conjugirte  Durchmesser  parallel  zur  Tangeute 
im  Endpunkt  des  andern;  somit  muss  der  conjugirte  Durchmesser 
zum  Ro  der  Begrenzungscurvo  parallel  laufen  zur  Hypotenuse  S  uud 
die  Länge  des  Ro  zur  Blattcurve  haben.    Darum  ist 

Wkl.  foh  =  r$o 

und  wenn  b  r  Mittelliuie  au  8  ist,  so  muss,  wenn  wir  auf  diesen 

OC  «=■«/> 

machen,  «  ebenfalls  ein  Puukt  der  Ellipse  sein,  der  dem  Phidpunkt 
des  coujugirteu  Durchmessers  symmetrisch  liegt.  Der  eingeschlossene 
Winkel  zwischen  den  conjugirten  Durchmessern  f'o{xy)  ist  nun 

=  pe(*g)  + 

also 

sin/o(xy)  —  cospo(xy)  —       -  ~~ 

Folglich  ist  das  Product  der  beiden  Rven  mit  dem  sin  des  eingeschl. 
Winkels 


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201      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven. 

Wir  hatten  bisher  nur  eine  (oder  mit  der  Lübsen'schen)  2  dis- 
continnirliche  Constrnction  der  Blatt-  und  Begrenzungscurven  kennen 
gelernt.  In  beifolgender  Figur  wird  jedoch  auch  eine  continuir- 
liche  veranschaulicht.  Es  sei  ab  die  Hypotenuse  R.  Wenn  diese 
im  Mittelpunkte  c  durch  den  Radius 

S/2  =  fle- 
nnt o  fest  verbunden  wird,  so  lässt  sich  oc  um  o  drehen  ,  wodurch 
der  Kreisbogen  mfen  entsteht  und  gleichzeitig  gleitet  a  auf  der  Y- 
Achse,  b  anf  der  ^Y-Achse  entlang,  so  dass  S  alle  Lagen  innerhalb 
der  Bcgrenzuugscurvc  durchläuft  Errichtet  man  auf  ab  in  c  eine 
feste  Senkrechte 

cc  —  5/2 

welche  bei  allen  Lagen  von  S  immer  senkrecht  darauf  bleibt,  und 
ergänzt  die  beiden  Linien  oc  und  et  durch  die  beiden  oj  und  cf 
(beide  —  S/2)  zu  einem  Rhombus,  so  wird  dieser  mit  der  Drehung 
von  T  seinen  Wkl.  a  ändern.  Derselbe  wird  —  wenn  5  auf 
ciuer  Achse  liegt,  und  wird  —  0,  wenn  <S  unter  45°  geneigt  steht; 
immer  muss  of  —  ce  sein  und  somit  senkrecht  aufai  stehen.  Dann 
ist  der  Kreuzuugspunkt  von  «/'und  ab  immer  ein  Punkt  der  Blatt- 
curve.  Nun  bringt  mau  an  diesen  Kreuzungspunkt  d  einen  Stift  an, 
der  auf  beiden  Linien  gleiten  kann  und  dieser  wird  dann,  wenn  ab 
alle  Lagen  durchläuft,  genau  die  Blattcurve  aufzeichueu.  Durch  An- 
ordnung desselben  Rhombus  auf  der  rechten  Seite  vou  ce  und  Ver- 
bindung der  beiden  Ecken  f  und  g  durch  das  Kniegelenk  fhg,  dessen 
Kniepunkt  h  auf  hee  gleiten  kanu,  lässt  es  sich  erreichen,  dass  der 
Abstand  ad  immer  gleich  dem  Abstand  kb  ist  und  somit  ist  der 
Schnittpunkt  von  gi  und  ab  —  k  —  immer  ein  Punkt  der  Begren- 
zungscurve.  Durch  Anbringung  eines  auf  beiden  Linien  gleitenden 
Stiftes  ist  also  auch  hier  die  Möglichkeit  continuirlicher  Aufzeich- 
nung der  Begrenzungscurve  gegeben. 

Uebrigcns  lässt  sich  die  Lubsen'sche  discontinuirlichc  Constrnction 
der  Blattcurve  in  folgender  Weise  sehr  vereinfachen:  Man  teilt  in 
Figur  die  rechte  Hälfte  eines  mitten  auf  der  F-Achse  liegenden 
und  die  AF-Achse  von  oben  berührenden  Kreises  mit  dem  Durch- 
messer —  S/2  in  eine  gerade  Anzahl  gleicher  Bogenitücke 
ein.  Alsdann  verbindet  man  sämtliche  Teilpunkte  von  dem  Viertel- 
kreise bei  1  beginnend  mit  dem  Anfangspunkte  0  durch  Radiivectoren 
und  zieht  zugleich  von  allen  Toilpunkten  die  zur  Y  Achse  parallelen 
Sehnen  II,  211,  3 III  etc.  Die  Winkel  zwischen  2  aufeinander  fol- 
genden Radiivectoren  müssen  demzufolge,  weil  auf  gleichen  Bogen 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven.  205 


stehend  alle  gleich  sein.  Rechnen  wir  nun  nnsreii  Polarwiukel  von 
Ro.  ol  ab,  so  ist  allemal  die  zugehörige  Sehne 

s  •  o 
—  ^  sin  2o 

Denn  wenn  man  z.  B.  vom  Teilpunkt  8  aus  den  Durchmesser  8  c 
zieht,  c  mit  VIII  verbindet  —  cd,  so  ist  der  Winkel 

8c  «  —  2« 

weil  Peripheriewinkel  auf  dem  doppelten  Bogen  wie  a  (841).  Dieser 
Wiukel  hat  den 

Sehne  8  VIII 
Sinus  -  —8jr- 

also 

Sehne  8  VIII  =■  S/2  sin  2a  —  g 

Man  braucht  mithin  nur  dio  zugehörigen  Sehnen  vom  Anfangspunkt 
auf  die  entsprechenden  Radiivectoren  abzutragen,  um  successive  alle 
Punkte  der  Blattcurve  zu  erhalten.  Beim  Radiusvector  1  o  ist  dio 
Sehne  «=  0,  die  Curve  beginnt  also  in  o  und  tangirt  den  Roo\. 
Auf  der  r-Achso  ist  die  Sehne 

=  S/2   also   i  -  S/2 

was  der  Symmetriepunkt  ist.  Auf  diese  Weise  erhält  man,  ohne  den 
Winkel  jedesmal  verdoppeln  zu  müssen,  sofort  unmittelbar  den  betr. 
Radiusvector. 


§  17. 

Nachdem  wir  die  sonstigen  Eigenschaften  der  Begrenzungs-  und 
Blattcurve  ziemlich  gründlich  kennen  gelernt,  rücken  wir  nun  2 
Fragen  näher,  deren  Lösung  schwieriger  scheint:  die  nach  Inhalt 
und  Umfang  der  besagten  2  Curven.  Diese  Probleme  erscheinen  .bei 
Curven  3ten  Grades  besonders  verwickelt  und  ich  gestehe,  dass  ich 
lange  nicht  glaubte,  sie  in  befriedigender  Weise,  namentlich  ohne 
BeihUlfe  der  Integral-Rechnung,  lösen  zu  können.  Dass  dies  mir 
aber  dennoch  und  zwar  auf  merkwürdig  einfache  Weise  geglückt  ist, 
beweisst  nicht  nur,  dass  unermüdliche  Ausdauer  viel  vermag,  son- 
dern auch,  dass  vielleicht  noch  manche  Probleme  nur  an  der  richtigen 
Stelle  angefasst  zu  werden  brauchen,  um  spielend  ihre  Lösung  zu 
finden,  auf  die  solange  nicht  verfallen  zu  sein,  man  sich  nachher 
wundert.  So  ist  es  denn  auch  Lübsen  ganz  entgangen ,  dass  seine 
discoutinuirliche  Contruction  der  Blattcurve  mittelst  deren  Polar- 


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20C)      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begre.izunyscurven. 


gleichuug  den  Schlüssel  enthält  zur  mathematisch  genauen  Bestim- 
mung ihres  Inhalts.  Figur  20  gibt  darüber  Aufschluss,  indem 
wir  nachfolgende  Betrachtung  anstellen. 

Der  Radius  des  Kreises  sei  5/2.    Links  von  der  I- Achse  ist  die 
Blattcurve  eingezeichnet.    Den  Viertelkreisbogen,  in  dem  diese  liegt, 
teilen  wir  in  eine  unendliche  Zahl  unendlich  kleiner  gleicher  Teile 
ein.   Gleichzeitig  teilen  wir  den  Halbkreis  rechts  der  Y- Achse  in 
die  gleiche  Anzahl  gleicher  Teile. 

Diese  Zahl  soll  als  eine  gerade  gelten  und  es  werden  also  die 
Bogenteile  des  Halbkreises  doppelt  so  gross  sein,  wie  die  des  1  t 
Kreises.  Wir  ziehen  nuu  von  den  Teilpuukten  die  mit  der  y-Achse 
parallelen  Sehnen  1—1,  2  -2,  3-3  etc.;  wo  diese  die  A'- Achse  schnei- 
den, verbinden  wir  die  Treffpuukte  a,  b,  c,  </,  c,  /,  g,  h  mit  den  Teil- 
punkteu  8,  7,  6,  5,  4  etc.  und  ziehen  zugleich  die  zur  I'-Achse  pa- 
rallelen Halbsehnen  aa,  bb,  ec  etc.  Nuu  sind  sämtliche  Ceutriwiukel 
des  rechten  Quadrautcn  bei  o  doppelt  so  gross,  wie  die  Centriwinkel 
des  linken  Quadranten,  weil  Bogen  AI  doppelt  so  lang  wie  Bogeu  I 
II  uud  so  fort.   Deshalb  ist  der  Ro  der  Blattcurve  o— 1  gleich  der 

2  o  3  3 

Halbsehne  1-1,  Rvo—2  —  ~w  ,  Rv  o—Z  =    ^~  u.  s  fort. 

Die  Peripheriewiukel  bei  8,  7,  6  .  .  .  sind  aber  gleich  den 
Centriwiukeln  des  linken  Quadranten,  weil  auf  den  doppelten  Bogen 
stehend.  Ferner  ist  Wkl.  axa-l  =  Wkl.  8,  Wkl.  bx  b-G  =-  WM.  7 
etc.,  da  ihre  Schenkel  parallel  siud.  1  a  die  Winkel  8,  7,  6,  5  .  .  . 
auf  gleichen  Bogen  stehend,  alle  gleich  sind,  müssen  es  auch  die 
Winkel  a,a  — 7,  4,4-6,  c,c-5  .  .  .  sein.  Die  Winkel  8  8a,  7  7  a, 
6  6c,  hbd  sind  naturgemäss  gleich  den  Winkeln  bei  8,  7,  6  .  .  . 
und  auch  wiederum  gleich  den  Winkeln  8aa,  7 Ob,  6cc,  woraus  re- 
sultirt,  dass  die  Winkel  8a7--74  6  .  .  .  durch  die  Linien  a«,  —  bbx 

.  .  .  halbirt  werden.    So  sind  denn  auch  die  Winkel  lvil  —  IoIU 

.  .  .gleich  den  Winkeln  axal  —  4,46.  .  .  etc. 

Wenn  nun  die  Teilung  eine  unendlich  kleine  ist,  so  wird  der 
Unterschied  zwischen  den  Linien  a7  und  7»,  sowie  46  und  Gfc  ver- 
schwinden, ebenso  kann  aat  gleich  ik  und  4  4,  gleich  kG  angesehen 
werden;  dasselbe  gilt  aber  für  die  aufeinander  folgeudeu  Dreiecke 
So 7,  7oG,  6 ob  in  der  Blattcurve,  welche  allemal  als  unendlich 
schmale  gleichschenklige  Dreiecke  betrachtet  werden  können,  deren 
Inhalt  sich  durch  das  Quadrat  einer  Seite  mal  dem  halben  eines  des 
eingeschlosseneu  Wiukels  ausdrücken  lässt.    So  ist  J  des  Dreiecks 


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Meyer:  Untertuchunifen  und  Lehrsätze  üher  ßegremungscurven.  207 


8o7  - 


7  o8  .  sin  a 


2 


Der  J  des  Dreiecks  a,a7  ist  gleich  — -  '98mö,  oder  da  «7  =  »7 


Nun  ist  17  nach  der  Lübseu'schen  Construction  =Ev7o,  mithin  J 
von  Dreieck  7 «8  «=  J  von  Dreieck  a,a7;  ebenso  Dreieck  7o6  — 
Dreieck*, 4 6  und  so  fort,  Dreieck  a,a7  ist  jedoch  bei  unendlich 
kleiner  Teilung  =  lj4  des  Kreisstückes  8™ 7,  Dreieck  6, £6  —  l/4 
von  7Ü6  und  so  weiter.  Somit  ist  die  Summe  aller  Dreiecke 
a, a7  —  i, ft6-Cjc5  —  </,<i  4  gleich  V4  des  Viertelkreises  8&A  und  so- 
mit auch  der  Inhalt  der  halben  Blattcurve.  Dann  ist  der  Inhalt  der 
ganzen  Blattcurve  gleich  der  Hälfte  des  Viertelkreises  oder 


Auf  Grund  dieses  Resultats  ist  uuu  auch  die  Ermittlung  des  In- 
halts der  Begreuzungscurve  möglich  und  zwar  in  folgender  Weise. 
Denken  wir  uns  zwei  unendlich  nahe  aufeinander  folgende  Lagen 
zweier  Hypotenusen  S,  z.  B.  de  und  gf.  Dann  kann  der  Schnitt- 
punkt beider  als  Punkt  der  Begrenzungscurve  angesehen  werden.  Der 
ganze  Inhalt  der  Begrenzungscurve  setzt  sich  nun  aus  unendlich  vielen 
Successionen  von  Dreiecken  zusammen,  welche,  wie  gpd  und  fpc 
durch  2  unendlich  nahe  Tangenten  und  die  Achsen  gebildet  werden. 
Die  Summe  dieser  Dreiecke  ergibt  also  den  Inhalt  des  von  den  Achsen 
und  der  Begrenzungscurve  eingeschlossenen  Raumes;  jedoch  ist  zu 
beachten,  dass  jedes  Dreieckspaar  eine  symmetrische  Lage  über  und 
eine  unter  der  Symmetrie-Achse  hat,  der  ganze  Raum  also  von 
den  Dreiecken  2  mal  ausgefüllt  wird  und  mithin  die  Hälfte  von 
deren  Summe  zu  nehmeu  ist. 

Richten  wir  nun  die  Succession  der  Tangenten  so  ein,  dass  der 
eingeschlossene  Winkel  bei  p  immer  derselbe  bleibt,  und  fallen  die 
Seukrechten  von  o  auf  die  Tangenten  —  oi  und  oh  -—so  ist  der 
zwischen  letzteren  eingeschlossene  Winkel  ioh  ebenfalls 


und  da  diese  Senkrechten  Radiivectoren  der  Blattcurve  sind,  so 
schliesst  die  Succession  der  aufeinander  folgenden  Radiivectoren  der 
Blattcurve  immer  den  gleichen  Winkel  ein,  wie  die  Tangenten,  den 


J  =• 


li2 


=  Wkl.  gpd  -  Wkl.  epj 


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208      Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  der  Begrenzungecurven. 

wir  er  nenen  wollen.  Für  2  unendlich  nahe  Tangenten  kann  der 
Längenunterschied  zwischen  gp  und  dp,  sowie  pe  und  pf  als  ver- 
schwindend betrachtet  werden,  desgleichen  auch  für  die  Radiivectoren 
f  t  und  v  h.  Demnach  lässt  sich  der  eines  Dreieckspaares  ausdrücken 
sino 

mit:  ~2~(9P*+pf*)t  doch  können  wir  nach  früherer  Gepflogenheit 
auch  setzen 

a.so  Dreiecke  *"  "  *   °nd  "  =  *' 

-  ^  («,'+ V) 

und  die  Summe  aller  Dreieckspaare  —  2.7  der  Begrenzungscurve 
sinor  . 

=  -^k,+^+««^  +  V-f-««r,-f*«,  •  •  •  aj+hj]  oder 
Dies  lässt  sich  umwandeln  in 

Sämtliche  Summen  (ai+^)-(a„+  bj  .  .  .  etc.  sind  aber  -  S, 
mithin 

S*n  .sin«  sin«. 

J  -4-    ~  ^  [«A-KArW*  •  •  • 

Nun  ist  V^bt  gleich  einem  Ä»  der  Blattcurve,  mithin,  wenn  wir 
2  mit  dem  Wkl.  er  aufeinander  folgende  Rven  haben,  deren  Längen- 
differenz verschwindend  ist,  so  ist  der  Inhalt  zwischen  beiden  Rven 
liegenden  Dreiecks 

sine 

-  a,b4  ~y~ 

uud  so  fort.   Dann  aber  ist  der  Wert  des  gesamten  Ausdrucks: 
sin  er 

gleich  dem  Inhalt  der  Blattcurve,  also 

~  82 

Demnach  haben  wir  jetzt: 


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Meyer;  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrenzunyseurven.  209 


S*  .  n  .  810  O       11  S* 

j  _  l  _ 

Da  nun  «  oin  unendlich  kleiner  Winkel  und  «  eine  unendlich  grosse 
Zahl,  so  haben  wir  nach  Obigem 

n  .  -  90° 

Für  einen  unendlich  kleinen  Winkel  ist  der  sinus  —  dem  Bogen,  also 

n  .  sin  a  —  n  .  arcus  «    und    n    arcus  a  —  * 
Somit  erhalten  wir: 

S*n     8*n      n&  .  3 


./  - 


»        dl  32 


d.  h  „die  Begrenzungscurve  hat  den  dreifachen  Inhalt  der  Blatt- 
curvi  •"  und  erstere  wird  durch  den  mit  »S'/2  um  den  Anfangspunkt 
geschlagenen  Kreis,  die  Symmetrie- Achse  und  die  Blattcurve  in  0 
gleiche  Teile  geteilt. 


§  18. 

Die  Bestimmung  der  Länge  der  Begrenzungscurve  verdanke 
ich  gewissermassen  einem  Zufall,  insofern  ich,  bei  aller  aufgewandten 
Mühe,  doch  nicht  vermuten  konnte,  dass  auf  dem  eingeschlagenen 
Wege  gerade  diese  Frage  eine  so  Uberraschende  Lösung  finden  würde. 
Dieser  Weg  war  der,  dass  ich  den  allgemeinen  Ausdruck  aufsuchte 
für  den  zur  Begrenzungscurve  gehörigen  Krümmungsradius.  Ich 
schlug  dabei  folgendes  Verfahreu  ein.  Nämlich  aus  der  Tangenten- 
gleichung bildete  ich  die  der  Normale  und  suchte  dann  durch 
Variiren  der  Coordinatenwerte  um  eine  unendlich  kleine  Grösse, 
welche  ich  am  Schluss  zu  null  werden  Hess,  den  Schnittpunkt  dieser 
beiden  unendlich  nahe  liegenden  Normalen  zu  bestimmen.  Die  Be- 
handlung war  durchaus  dieselbe,  wie  die  der  oben  gebrauchten  Un- 
gleichungen, nur  haben  wir  in  diesem  Falle  eine  Gleichung  vor 
uns.   Die  Tangentengleichung  war: 

also  Normalen-Gleichung: 

Arch.  d.  Math.  u.  Phy«.   2.  Reihe,  Tl.  XVI.  U 


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210     Meytri  Unttrsuchunqtn  und  tehrsützt  über  Beprenzungscurven. 

Variiren  wir  Va-,  als  V*t±z,  so  ist  für  x,  zu  setzen 
die  entsprechende  Variation  für  V y,  ergibt  sich  s 

also    für         tritt  ein  j/ Vyi*  +  2«  Va-, 
Nun  lautet  die  Gleichung: 


ich  quadrire  jetzt  und  beseitige  die  Nenner. 


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Meyer:    Untersuchungen  und  Lehrtätzt  iibtr  Beyrenzungtcurven.  211 

(vrfi*+ir*i,»-jn)) 

dividire  durch  2»lV"y,*+  V"*,  (x-^-/,] 

y  -  &r,  -j-  x,  =  n  -f  2x„    *  —  «Tj  —  3xj  —  V 

y-yi  -  Vi*  •  3  V^y,*  -  3  vV.v,  -  3y, 
Somit  ist  der  Krümmungsradius 

—  *ä-  3  V*?+y,* 

d.  h.  also:  „der  Krümmungsradius  ist  gleich  dem  dreifachen  Rv  an 
den  zugehörigen  Punkt  der  Blattcurve",  wonach  die  discontiuuirliche 
Construction  der  Krümmungscurve  sehr  leicht  ist.  Suchen  wir  nun 
auch  deren  Gleichung.  Ebenso: 

also  _ 

y  =  y\  +3  yV^i 

und  ebenso 

x  =  a-1  +  3y/rx1y1J' 

*+y  =  r,>  V*»V+3 V/" ii &  +  *  =■  ^ y'+ 
demnach 

oder 


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212      kfeytT'.  Untersuchungen  und  Lehrsätz*  der  hefjrenruny&curven 

\f  &+y)*  -  \f  y?+2\f*\Jt+\f  y\*  ~\f  $»+2^  y," 
oder 

Ferner  ist 

y  =  s^^PW  -  \fyt  ty/V  +3  Y x, » ) 

also 

-  \f  ^,'  +  4^ 

s 

x*  +  y2  =     +  12  V^iV 
also  ferner 

12  VS2xTV  -*-2    y2-  5* 

nach  Obigem  ist  aber 

4  V  *,*«,*  -  V  (x-f«)»  -  S* 
oder 

12  y^V=  3  y  ix+n)*-  \/  &)* 

daraus  resultirt: 


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Mtytr:  LnUrsuchunqtH  und  Uhrsätze  über  Beijrenzunyscurven.  213 


also  endgültige  Gleichung  der  Curve  aller  Krümmnngsmittelpunkte. 

Der  wahre  Charakter  dieser  Cnrve  kommt  jedoch  erst  an's  Licht, 
wenn  wir  des  Achseusystem  um  45°  drehen.  Alsdann  bleibt  x2-{-n} 
als  Quadrat  des  Rv  unverändert;  dagegen  wird  aus  (x-\-n)  nun: 
*V*2  oder  statt  (s-fy)2  tritt  ein  2x2  und  die  Gleichung  lautet: 

,2+^  _  -  3  j/*2*    -  j/*? 

dies  aufgelöst,  ergibt: 

—  &  -  3  j/4W  -  6  yi&j  +  3^2 
umgeformt: 

3,2  -45»— 3  j^lGJM  +3  j/4Ä»     x2  -  (jy^jt  _  yjp 
radicirt : 

j/y=  y  w&jz-  y#  oder 

„Wir  machen  also  die  überraschende  Entdeckung,  dass  die  Curve 
der  Krümmungsmittelpunkte  zur  Begrenzungscurve  wiederum  eine 
Begrenzungscurve  ist,  jedoch  mit  doppeltem  S  als  Tangenten-Con- 
stante." 

In  Figur  22.  sieht  man  die  Begrenzungscurve  nebst  ihrer 
Krümmungscurve  ausgezeichnet,  letztere  nur  für  die  untere  Hälfte. 
Die  Betrachtung  dieser  Figur  führte  mich  sofort  auf  die  Lösung 
der  Frage  nach  der  Länge  der  Begrenzungscurve.  Dazu  genügt 
folgende  Ueberlegung:  Wir  fanden,  dass  der  Krümmungsradius  in 
einem  Punkte  immer  gleich  ist  dem  dreifachen  Ro  des  entsprechen- 
den Punktes  der  Blattcurve.  Also 

ia  —  3»'o,    mr  —  3om,    kb  —  Zvl    u.  8.  tr. 

Denkt  man  sich  nun  den  ganzen  Raum  aiw  in  eine  unendliche  Suc- 
ceuion  gleichschenkliger  Dreiecke  zerlegt,  deren  jedes  einen  unend- 
lich kleinen  Wkl.  o  an  der  Spitze  und  einen  Krümmungsradius  zur 


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214      Meyer:  Untersuchungen  und  /.ch mälze  über  Behren VlH4f*curv*it. 


Seite  hat,  so  wird  sich  die  Begrenzungscurve  ««  aus  lauter  uuend- 
lieh  kleinen  Abständen  zwischen  den  Spitzen  dieser  Dreiecke  zu- 
sammensetzen. „Jeder  solche  Abstand  ist  aber  gleich  der  Längen- 
differenz zweier  aufeinander  folgenden  Krümmungsradien". 

Der  oben  erwähnte  Wkl.  a  zwischen  den  aufeinander  folgenden 
Krümmungsradien  ist  zugleich  der  Winkel  zwischen  den  2  ent- 
sprechenden Radiivectoren  der  Blattcurve,  weil  diese  sowol  wie  die 
Krümmungsradien  auf  derselben  Hypotenuse  »S  je  paarweise  senkrecht 
stehen.  Darum  kann  man  alle  Krümmungsradien  in,  A- /<•,  ud 
n.  s.  w.  als  gleichwertig  betrachten  mit  Radiivectoren  einer  Blatt- 
curve mit  der  Constanteu  35,  den  halben  Quadranten  bei  45°  durch- 
laufend. Die  Radiivectoren  der  Blattcurve  sind  aber,  wie  wir  wissen, 
hinsichtlich  der  Länge  gleich  dem  sinus  des  doppelten  Polarwinkels. 
Wir  haben  somit  die  successiven  Läiigcndifferenzcu ,  aus  welchen 
Bich  unsere  Curve  aw  zusammensetzt,  auszudrücken  durch: 

sin 2«  + (sin 4a  —  sin 2«) -f  (sin 6«  —  siu4«)  -f(sin8a—  sin4o)  .  .  . 
-f  [sin(n  -  2)o  — sin(n-4)«]  -f  [sin  na  —  sin(n  —  2)«] 

Als  Summe  dieser  Reihe  bleibt  offenbar  übrig  sin  n  .  a  =  sin  90* 
=  dem  Radius  des  betr.  Kreises,  welcher  iu  diesem  Falle  3  mal  so 
gross  ist,  wie  der  unserer  ursprünglichen  Blattcurve.  Dieser  war  S/:\ 

3S 

demnach  habcu  wir  als  Länge  der  Curve  nie  den  Wert    ^  und  da 

aw  eine  halbe  Begrenzungscurve  ist,  so  hat  die  ganze  Begreu- 
zuugscurve mit  der  Constanten  die  Länge  —  3S.  Da  nun  alle 
Begrcnzungscurveu  iu  Grösse  etc.  proportional  sein  müssen,  so  haben 
wir  als  Schlussresultat:  Länge  der  Begrenzungscurve  von  der  Formel 


Anmerkung.   Aus  Obigem  ergibt  sich  der  KR  für  den  Sym- 
3«S 

metriepunkt  —  a  für  die  Endpunkte  der  Curve  =  0.  Zwischen 
diesen  liegen  2  Punkte  mit 


für  diese  ist  also  Rn  des  Blattcurvenpuuktes  —  S/3,  was  nach  Obi- 
gem die  Berührungspunkte  der  45°  Tangente  an  die  Blattcurve  sind. 


2 


KR  -  S 


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Mtytr.   Untersuchungen  und  L*hraä/te  über  Beyrenzunyseurotn.  215 


W-\-kR  -  0 

da  muss  auch  die  Cnrve  selbst  endigen,  mithin  hat  die  Begrenzungs- 
curve  jenseits  der  Längen  5  keine  Fortsetzaug. 


§  19. 


Im  folgenden  letzten  Paragrapheu  sollen  noch  3  Nutzanwendungen 
dargelegt  werden,  die  aus  der  Blattcurveugleicbung  gezogen  werden 
köunen;  wobei  ich  gleich  betonen  will,  dass  es  solche  Nutzanwen- 
dungen noch  viele  geben  kann,  die  ich  jetzt  nicht  abue.  Die  erste 
bezieht  sich  auf  dio  Parabel,  deren  Gleichung  ich,  abweichend  von 
der  neueren  Schreibweise,  mit 

-  V 

nach  altem  Styl  beibehalte,  weil  ich  sie  für  entsprechender  erachte. 
Sucht  man  zur  Parabel  den  allgemeinen  Ausdruck  für  die  Coordi- 
uateu  des  Krümmuugsmittelpuuktes,  so  erhält  man 

Vi3 

uud  demuach 


KU  -  |/(x_,12+(jr_Ml)J 


oder 


Wollen  wir  nnu  in  der  Formel  nur  xx  und  yx  haben,  so  müssen  wir 
für  p  den  Wert  ~~  einführen  und  erhalten  dann 


"-(*+g)vV»! 

oder 


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216      M*yr:  Untersuchungen  und  Lehmätte  Otter  heyreMuntfxcnrocn. 


oder 
endlich 

Dies  ist  die  gcnaae  Gleichung  unserer  Blattcurve,  woraus  sich 
also  ergibt,  dass  der  Krümmungsradius  jedes  Punktes  der  Parabel 
zu  dessen  Coordinaten  in  einer  Beziehuug  steht,  ähnlich  wie  die 
Constaute  5  zu  den  Coordinaten  der  Blattcurve.  Das  Wichtigste  ist 
nun,  dass  dies  eiue  s<>hr  einfache,  directe  Construction  des  Krüm- 
mungsradius für  jeden  Punkt  der  Parabel  ermöglicht.  Nämlich:  man 
trägt  C]  2  mal  nach  rechts  ab,  errichtet  y,  senkrecht  im  Endpunkt 
dieser  verdoppelten  Abseisse,  verbiudet  das  obere  Ende  von  y% 
mit  dem  Anfangspunkt  und  errichtet  im  Eudpunkte  dieses  Jtv 
wiederum  eine  Senkrechte.  „Diese  schneidet  die  Achsen,  und  deren 
sich  ergebende  Länge  ist  der  gesuchte  KR  zum  Punkte  xay,  dor 
Parabel.4' 

Dio  zweite  Nutzauwenduug  ergibt  sich  bei  der  Curve  mit  der 
Gleich  uug : 

x*y  -  f 

welche  man  wol  die  Cubus-Hyperbel  nennen  könnte,  indem  die  Glei- 
chung 

xy  =  5» 

die  Hyperbel  2ten  Grades  bezeichnet.  Die  Tangentengleichung 
findet  man  wie  folgt: 


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Meyer:  Unter tue  hu  wjen  und  Lehrsätze  über  Begrenzungscurven.  217 

also  Secantengleichung: 

setzeu  jetzt  beide  Punkte  als  einen,  TangonteDgleichuog : 

r_,1._?^(,_,l)__^'(I_,t) 

y  -y,  —  (•*-*,)   Gleichg.  der  Normale  y— y,  —  x. 

variiren  nun  xt  als  x,  +  «,    y,  -  ^  variirt  ^2±^g^ 


) 


71      2y,  ' '  2y,  "  mf  "T"  2a*      2^*  ~  *,* 


5» 


+       2S»  2 


2 SH(x,*  f  2**t)-\-**A*t*±2**l )-x«(/t!±2«, ) 

=  2SV+^iW±2«,)(x18±3»l»)  =  («,^»^^(«,«±2^,)«,» 

25«x1*±46-6»a.I-fxx17±22xx1«-x1«T2wI' 

-  2SV1»X*xlf ±2«xx1«±3*cx1«— x^q^aVT***! 7 

dividire  durch 

45«  —  Sxxj»  —  4xj6 

35  "  3x,* 

setze 

x  

4(x1»+yi»)   r  ,  _4V+*yi'-3V  jttHV 

x  "        3*,     '         1  *~  3*t  "  3*, 


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218      Meyer:  Untersuchutnjen  und  Lehrsätze  iibtr  BeijreMuntjscurvtn.' 

y    y'  -  2y,       3,,      "  6y, 
und  Krümmungsradius  also 

Diesem  Ausdruck  kann  man  folgende  Form  geben: 

3KR.29l9i  -  ^y^+VY 
oder 


Hier  haben  wir  also  wiederum  eine  Blattcurvengleichung ,  in 
welcher  nur  y,  verdoppelt  ist  und  in  der  3  fachen  KR  die  Stelle  von  5 
einnimmt;  daraus  ergibt  sich,  ähnlich  wie  bei  der  Parabel,  eiue  ein- 
fache Construetiou  des  KR  für  jeden  Punkt  der  Curve.  Man  er- 
richtet senkrecht  im  Endpunkt  der  Abscisse  y,  die  doppelte  Ordi- 
nate y,;  zieht  den  Ro  an  den  erhaltenen  Punkt  und  errichtet  im 
Endpuukt  wiederum  senkrecht  auf  dem  Ro  die  Hypotenuse,  welche 
die  Achsen  schneidet.  „Ihre  Lange  ist  dann  gleich  dem  3  fachen 
Krümmungsradius  des  Punktes  *,y,u.   (Siehe  die  Figur.) 

Für  eine  Hyperbel  mit  rechtwinkligen  Asymptoten  ist  der  Krüm- 
mungsradius   

~  — 

und  da  für  diesen  Fall 

«»  -  2*,*, 

so  haben  wir   

oder  

was  ebenfalls  eine  Blattcurvengleichung  ist  Hier  ergibt  also  die 
Senkrechte  auf  den  Radiusvector  in  dem  betr.  Punkte  der  Hyperbel 


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Meyer:  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Be<jrrmim<jscurven.  OJf) 

sofort  eine  Hypotenuse  gleich  dem  doppelten  KrUmmuugsradius.  Je- 
doch sind  diesfalls  die  Asymptoten  als  Achsen  anzusehen  und  hier- 
auf die  Coordinaten  zu  beziehen.   (Siehe  die  Figur). 

Eine  ganze  Anzahl  von  Werten,  die  sich  bei  Untersuchung  dieser 
und  anderer  Curven  ergeben  und  3  te  Wurzeln  von  einfachen  Zahlen 
enthalten,  würden  sich  mit  den  gewöhnlichen  Mitteln  der  Planimetrie 
nicht  construiren  lassen.  Dagegen  nach  dem  in  §  8  demonstrirteu 
Verfahreu  ist  dies  möglich. 

Die  Untersuchung  weiterer  Curven  von  der  Formel 


wird  später  folgen.  In  Vorstehendem  sollte  nur  der  Beweis  geliefert 
werden,  dass  es  möglich  ist,  Curven  3ten  Grades  auf  einfach  analy- 
tischem Wege  erschöpfend  zu  behandeln  und  so  unsreu  höhereu 
Schulen  zugänglich  zu  machen,  die  sich  bisher  über  die  Kegelschnitte 
nicht  hinauswagen  durften. 

Anmerkung.  Es  sei  hier  gleich  der  Satz  mitgeteilt,  den  bei 
näherer  Untersuchung  Jeder  leicht  bestätigt  finden  wird:  „dass  für 
alle  Curven  in  der  Ebene,  deren  Gleichung  nur  eine  Constanto 
enthält,  der  allgemeine  Ausdruck  für  den  Krümmungsradius  die  Form 
der  Blattcurveugleichung  annimmt,  gleichviel  welchen  Grades  die 
Curve  sei."    Also  lautet  dieser: 


worin  c  der  Exponent  der  Constante,  *  derjenige  von  *,  und  v  der 
von  yx  in  der  Gleichung  der  Curve  ist.  Die  Coefficienten  von  zwei 
Gliedern  geben  also  zusammen  jedesmal  den  Coefficienten  des  drit- 
ten, wie  in  der  Gleichung  die  Exponenten  von  zwei  Gliedern  zu- 
sammen den  des  dritten. 


«*  +  jr*  -  S» 


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220 


MiscelltH. 


VIII. 

Miscellen. 


1. 

Die  Kennzeichen  der  Teilbarkeit  der  Zahlen. 

Bezeichnet  man  die  Einer  einer  Zahl  z  mit  zt  und  die  Zahl  in 
den  Stellen  vor  den  Einern  mit  so  hat  man  i  —  \Ozt-\-zv  Da 
der  Rest  r,  den  z  bei  der  Division  durch  m  giebt,  der  Zahl  con- 
gruent  ist,  so  ist: 

r  —  10sj4"*!  [mod  m] 
Setzt  man  in  diese  Congrueuz  1  =  lOo  (mod  »<],  so  ist  auch 

r  =  10z» -fiO«3!  fmod  mj  und 
r  =  10(a.2  -f~  «2j  [mod  m] 

Wegen  der  Congrucnz  1  =  10«  [mod  m]  ist  m  relative  Prim- 
zahl zu  10.  Der  Rest  10(z, -{-*:,)  kann  also  nur  null  werden,  wenn 
2S  -f-  azl  =0  [mod  m]  ist. 

Die  beiden  Cougruenzen  1  =  10a  [mod  m]  und 

*,-f  «zj  =  0  [mod  »] 

sprechen  also  zusammen  die  Bedingung  aus,  unter  welcher  z  durch 
m  teilbar  ist. 

Die  relativen  Primzahlen  zu  10  haben  in  den  Einern  eine  der 
vier  Zahlen  1,  3,  7,9.  Wenn  man  daher  unter  mt  die  Zahl  der  Stellen 
vor  den  Einern  der  Zahl  m  versteht,  so  lässt  sich  m  darstellen  durch 
eine  der  vier  Formen 

1)  m-10w,-f-l 

2)  m-10m,+3 

3)  m  =  10m,  -f-  7 

4)  m  -  10m,  +  9 


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Afiscellen. 


221 


Der  Congruenz  1  =  10«  [raod  10m,  4-1]  genügt  «  m,, 

denn  10(-»i)  = -(10»,  +  1)  +  1 

Der  Congrnenz  1  ==  10a  [mod  lOm,4-3]  genügt  «  —  3m,  +1, 

denn  (10(3/»,  4-  1)  -  3(10;», +3) +1 

Der  Congruenz  1  =  10«  [mod  10m, -f  7]  genügt  «  —  —  (3m,  4-2, 

denn  10(-3m,-l)=  -3(10«,  -f  7)  +  1 

Der  Congruenz  1  ==  10«  [mod  10m, -f  9]  genügt  «  =  »,  +  1, 

denn  10(^  +  1)  -  (10m, -f-l)-f-l 

Wenn  m,  =  0  gesetzt  wird  aus  1  —  10«  [mod  -f-  1J  für  a  —  0 

1  ==  10«  |mod  4-3]  für  «  —  1 

1  ==  10«  [mod  -f7]  für«  2 

1  =  10«  [mod +9]  für«  -  1 

Aus  der  Congruenz  *t  +  tu  =  0  [mod  «»]  erhält  man 

1)  s4  -f  0  .  zl  =e  0  [mod  lj 

2)  zt  -f-  1  .  z,  =  0  [mod  3] 

3)  *t  -  2  .  »,  =  0  [mod  7] 

4)  4-  1  .  *,  ==  0  [mod  91 

Die  Congruenz  1)  spricht  aus,  dass  jede  Zahl  durch  1  teilbar  ist. 

Die  Congruenz  2)  spricht  aus,  dass  eine  Zahl  durch  3  teilbar 
ist,  wenn  es  die  Zahl  ist,  welche  man  erhält,  wenn  man  zu  der  Zahl 
in  den  Stellen  von  den  Einern  die  Einer  addirt 

72531  E=  7254  -  729  =  81  =  9  [mod  3] 

Die  Congruenz  3)  spricht  aus,  dass  eine  Zahl  durch  7  teilbar 
ist,  wenn  es  die  Zahl  ist,  welche  man  erhält,  wenn  man  von  der 
Zahl  in  den  Stellen  vor  den  Einern  das  Zweifache  der  Einer  sub- 
trahirt 

5313  ==  525  =  42  =  0  [mod  7] 

Die  Congruenz  4)  spricht  aus,  dass  eine  Zahl  durch  9  teilbar 
ist,  welche  man  erhält,  wenn  man  zu  der  Zahl  in  den  Stellen  von 
den  Einern  die  Einer  addirt 

4788  ==  486  =  9  [mod  9] 


Setzt  man  n,  —  1,  so  ist   1)  1  =  10«  [mod  11 J  und  «  —  —  1 

2)  1  =  10«  [mod  13]  und  o  -  4 

3)  1  =  10«  [mod  17]  und  «  =  -  5 

4)  1  ==  10«  [mod  19]  und  «  -  2 


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222 


Mi&cellen. 


Dio  Congruenz    +     =0  [mod  11 J  giebt  also 


1)  H  —  zt  =0  [mod  11] 

2)  zt  +  4r,  ;=  0  [mod  18] 

3)  zt  -  5«,  ==  0  [mod  17] 

4)  2,  +  2°,  ==  0  [mod  19] 


Nach  1)  ist  also  eine  Zahl  durch  11  teilbar,  wenn  es  die  Zahl 
ist,  welche  man  erhält,  wenn  man  von  der  Zahl  iu  den  Stellen  vor 
den  Einern  die  Einer  subtrahirt 


Nach  2)  ist  eine  Zahl  durch  13  teilbar,  wenn  es  die  Zahl  ist, 
welche  man  erhält,  wenn  man  zu  der  Zahl  vor  den  Einern  das  Vier- 
fache der  Einer  addirt. 


Nach  3)  ist  eine  Zahl  durch  17  teilbar,  weun  es  die  Zahl  ist, 
welche  man  erhalt,  wenn  man  von  der  Zahl  iu  den  Stellen  vor  den 
Einern  das  Fünffache  der  Einer  subtrahirt. 


Nach  4)  ist  eine  Zahl  durch  19  teilbar,  wenn  es  dio  Zahl  ist, 
welche  man  erhält,  wenn  mau  zu  der  Zahl  in  den  Stellen  vor  den 
Einern  das  Zweifache  der  Einer  addirt. 

14022  =  140G  ==  152  =  19  =  0  [mod  19 1 


Wenn  /«,  gleich  2  gesetzt  wird,  findet  man 

1)  1  =  10a  [mod  21]  und  «  -  -  2 

2)  1  =  10«  [mod  23]  und  a  =  +  7 

3)  1  ==  10«  [mod  27)  und  a  =  —  8 

4)  1  =  10«  [mod  29]  und  «=  +  5 

Die  Congruenz  ^+sa  =  0  [mod  m]  giebt  also 


58443  =  5841  ==  583  =  55  =  0  [mod  II] 


8125  =  632  =  91  =  13  =  0  [mod  13] 


6341  =  6ü9  =  37  =  0  [mod  17] 


1)  *-2», 

2)  *  + 

3)  z,-8zl 

4)  s  +  8»i 


0  [mod  21] 
0  [mod  23] 
0  [mod  27] 
0  [mod  29] 


Misctlltn. 


Nach  1)  ist  also  eine  Zahl  durch  21  teilbar,  wenn  es  die  Zahl 
ist,  welche  man  erhält,  wenn  man  von  der  Zahl  in  den  Stellen  vor 
den  Einern  das  Zweifache  der  Einer  subtrahirt. 

13734  =  1365  ==  126  ==  0  (mod  21] 

Nach  2)  ist  eine  Zahl  durch  23  teibar,  wenn  es  die  Zahl  ist, 
welche  man  erhält,  wenn  man  zu  der  Zahl  in  den  Stellen  vor  den 
Einern  das  Siebenfache  der  Einer  addirt. 

14651  =5  1472  =  161  =  23  =  0  [mod  23] 

Nach  3)  ist  eine  Zahl  durch  27  teilbar,  wenn  es  die  Zahl  ist, 
welche  man  erhält,  wenn  man  von  der  Zahl  in  den  Stellen  vor  den 
Einern  das  Achtfache  der  Einer  subtrahirt. 

9369  =  861  ==  54  =  27  ==  0  [mod  27J 

Nach  4)  ist  eine  Zahl  durch  29  teilbar,  wenn  es  die  Zahl  ist, 
welche  man  erhält,  wenn  man  zu  der  Zahl  in  den  Stellen  vor  den 
Einern  das  Dreifache  der  Einer  addirt. 

12064  =  12  18  ==  145  =  29  ==  0  [mod  29J 

In  derselben  Weise  kann  man  für  jeden  Modulus  m,  welcher  zu 
10  relative  Primzahl  ist,  das  entsprechende  er  und  damit  das  Kenn- 
zeichen für  die  Teilbarkeit  jeder  Zahl  z  durch  den  Modulus  m  finden. 

Direktor  Dr.  Theodor  Lange. 


2. 

Facultätencoiifrruenzen. 

Für  eine  Reihe  von  anf  einanderfolgenden  Facul täten  und  für 
einen  beliebigen  Modul  m  bestehen  die  folgenden  Congruenzen: 

21 -f  (m  — 2)1! 
3!  +  (m  — 3)2! 

4!  +  (m  -4)3!  I   _  Q  (mod m) 


(»-l)l  +  (m  — fm  -l](m-2)! 


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224 


MitceUen. 


Beispiel : 

m  -  11. 

2!  +9.11  -  11 
31  +  8.2!  —  22 
41  +  7.31  -66 
51  +  6.4!  =  264 
61+5.5!  =1320 
7! +4.  6!  -  6920 
81+3.7!  -  55440 
9:+2.8!  -  443520 
14!  +  1  .  9  !  -  3991680 

Die  entstandenen  Produete  sind  alle  durch  11  teilbar. 


Oldenburg  i.  G.  G.  Speckmann. 


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Weasely.  Anwmdungen  von  Dührimjs  B'ffriß  der  W*rligk*tt,  225 


IX. 

Anwendungen  von  Dühring's  Begriff  der 

Wertigkeit. 

II. 

V.in 

Dr.  K.  Wessely 

Fortsetzung  von  Nr.  XX.  im  X.  Teil 


Jede  algebraische  Gleichung  mit  constanten  Coefficienten  kann 
aufgefasst  werden  als  specicller  Fall  der  Definitions-Gleielmng  einer 
algebraischen  Fanction;  entweder  in  der  Weise,  dass  die  ganzen 
rationalen  Functionen,  welche  die  Coeffieienten  einer  solchen  Defini- 
tions-Gleichung bilden,  nur  das  absolute  Glied  enthalten,  oder  iu  der 
Weise,  dass  diese  Coefficienten  durch  Substitution  eines  bestimmten 
Wertes  für  die  unabhängig  Veränderliche  zu  Constanten  geworden 
sind. 

Entsprechend  dem  durch  die  Riemaun'sche  Fläche  bestimmten 
Zusammenhang  zwischen  den  einzelnen  Zweigen  der  algebraischen 
Function  kann  man  dann  auch  zwischen  den  einzelneu  Lösungen 
einer  numerischen  Gleichung  eine  bestimmte  Reihenfolge  fixirt  den- 
ken, und  unter  Beibehaltung  der  einmal  fixirten  Reihenfolge  mit  dem 
gesamten  Wertecomplex  der  Lösung  in  derselben  Weise  arithme- 
tische Operationen  ausführen,  wie  mit  einer  algebraischen  Function. 

Tatsächlich  ist  ja  auch  eine  irrationale  Zahl  a-f-VA  durch  die 
Bedingung,  einer  quadratischen  Gleichung  mit  rationalen  Coefficienten 
genügen  zu  sollen,  mit  einer  zweiten  irrationalen  Zabl  a  —  \rb  inso- 
fern e  verknüpft,  als  es  unmöglich  ist  eine  solche  Gleichung  zu  bilden, 

Arch.  d.  Math.  u.  Ptays.   2  Reihe,  T.  XVI.  15 


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22t)       WetStly:  Anwendung*»  von  DBhrinp's  Begriff  der 

die  eine  der  beiden  Lösungen  hätte  ohne  die  andere;  das  beisst:  es 
ist  durch  eine  Gleichung: 

x2  —  a 

x  als  zweiwertige,  durch  eine  Gleichung: 

sc»  —  a 

*  als  dreiwertige  Grösse  definirt. 

Jeder  zweiwertige  Coefticient  +\ra   macht  eine  Verbindung 

*  ±  •  V  zo  einer  „irreductiblen",  das  heisst  zu  einer  solchen,  welche 
aus  der  Gleichung 

*  i  V*  ■  9  —  0 

folgern  lässt 

x  —  Oj   y  =  0 
Es  wird  daher  auch  eine  unabhängig  Veränderliche 

*  —  *  i  V*a  .  y 

in  bestimmter  Weise  über  die  Fundamental-Ebene  ausgebreitet  werdeu 
können,  sobald  die  Festsetzung  gemacht  ist,  dass  die  beiden  reellen 
Variablen  x  und  y  zwei  auf  einander  senkrechte  Richtungen  der 
Ebene  darstellen  und  der  zweiwertige  Coefticient  s  <<  uur  dazu 
dient,  ihre  additive  Verbindung  zu  einer  irreductiblen  zu  machen, 
ohne  dass  a  gpeciell  gleich  der  negativen  Einheit  sein  müsste.  Für 
eine  bestimmte  Ausbreitung  der  complexen  Grössen? 

Uber  die  Fundamental-Ebene  ist  also  die  Deutung  der  imaginären 
Einheit  als  .»Richtung"  nicht  erforderlich,  und  das  Rechnen  mit 
complexen  Grössen  kann  in  mancher  Hinsicht  als  specieller  Fall  des 
Rechnens  mit  einem  zweiwertigen  Argument  angesehen  werden,  das 
iu  analoger  Weise  auch  für  ein  drei-  und  mehrwertiges  Argument 
durchgeführt  werden  kann. 

Ist  z.  B.  k  durch  eine  Gleichung 

**  -  m 

als  zweiwertige  Grösse  definirt,  und  ordnet  mau  einem  bestimmten 
Werte  von 

z  =  x  +  ky 

einen  bestimmten  Wert  von 

A«)  -  •  +  *■ 


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Weenely:  Anwendungen  von  DUhring'»  B*oriff  der  Wertigkeit.  ">21 

zu,  and  ebenso  einem  unendlich  benachbarten  Wert  von  ■  einen 
solchen  vou  /(«),  so  folgt  aus 

dass  der  Quotient  ~^  von  </*  unabhängig  wird,  sobald 

a*  "  ä* 

oder: 


dg  +  *8*      h  [a*  + 


"  *  är  + *  a* 


Da      detiuitionsgemäss  einwertig  gleich  a  ist,  folgt  aus 
BU       BV        |ÖF  ar/i 

ay  ~~aSi"+*  töy-fej  = 

dU_a8V  ^  8K  8f/ 
8y  Bx  By    *  Bx 

als  notwendige  uud  wie  man  leicht  übersieht  auch  als  hinreichende 
Bedinguug  dafür,  dass  u-f  kv  eine  Function  von  z  ist,  d.  h.  einen 
Differential  Quotienten  nach  *  besitzt,  der  von  der  Art,  wie  *  ver- 
schwindet ,  unabhängig  ist.   Untersucht  man  aber  das  Yerbältuiss 

entsprechender  Bogen-Elemente:  "Jgnjr^»  »  80  8ibt  die  Rechnung: 

—  (©,+i©1+*-(fi?),+(g)l 

8f/  at;   1  8tr  är/) 


ni       (8LT    BU  .  1  BU  dU\ 


so  dass  im  allgemeinen  das  Verhältuiss  der  Moduln  entsprechender 
Bogenelemente  von  den  Incrementen  nicht  unabhängig  ist.  Nur  in 
dem  speciellen  Falle  a  —  —  1  wird,  wie  man  sieht,  der  Quotient 

ixt+dy*  eine  Function  der  Coordinaten,  oder  die  Abbildung 
ähnlich. 

Verfährt  man  in  ganz  analoger  Weise  mit  einem  dreiwertigen 
Argument 

15» 


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228       Wttsely:  Anwendung^  von  Dühring'x  Begriff- der  Wertigkeit. 


w  «-  x  +  lcy  +  k*z 
wobei  k  durch  die  Gleichung 

als  dreiwertige  Grösse  definirt  sein  soll ,  so  dass  durch  «•  sämtliche 
Punkte  des  Raumes  in  bestimmter  Weise  repräsentirt  werden  kön- 
nen, so  erhält  man,  wie  früher,  als  notwendige  und  hinreichende 
Bedingung  dafür,  dass 

eine  Function  von  w  sei,  aus 

*W  -  t"*  +  %*>  +  &* 

die  Gleichungen: 

By  dz        dz  * 

oder: 

a/*^  i  a/ _  i  a/ 

a«  *~  1:  By~  k*  o- 
hiefür  kann  man  auch  wegen 

Bz^Bx~*~    dx~i~  Bz 

By-By   +  *  By  +  1 
9/  ,  ar  ,  »ir 

a*  =  ar  +  *s  +  *V 


schreiben : 


i  8o  ,i  ar  a»r 

""ib5  a,  +t  sr+s 

Mit  Rücksicht  darauf,  dass  aus 

&  -  a  folgt: 
IX,8  1  h 

ergibt  sich  weiter,  da  man  definitionsgemäss  die  Coefficienten  der 
einzelnen  Potenzen  von  k  einander  gleich  setzen  kann,  für  die  Be- 
dingungsgleichungen die  Form: 


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Wet»elg-.  Änuttndungen  von  Dähring's  Begriff  der  Wertigkeit.  229 


du 

dv 

3n^ 

dx 

BU 

dv 

3y 

"  a*  " 

du 

a  r_ 

d\v 

dz 

Jeder  analytische  Ausdruck,  der  von  x,  y,  i  nur  in  der  Ver- 
bindung x-\-ky\-lßz  abhängt,  lässt  sich  in  bestimmter  Woise  auf 
die  Form  u+kV  +  PW  bringen. 

Denn  aus  einer  Gleichung 

f(x  +  ky  +  lßz)  =  f/-fÄK+tflT 

bestimmen  sich  die  Werte  von  U,  1",  W  in  eindeutiger  Weise,  da 
diese  Gleichung  nichts  anderes  ist,  als  eine  kürzere  Schreibweise  für 
die  drei  linearen  Gleichungen,  die  man  erhält,  wenn  man  für  k  seine 
drei  Werte  klt  fr,  substituirt;  bezeichnet  man  die  entsprechenden 
Werte  von  10  mit  te„  t^,  »r3,  so  folgt  aus 

!f(»t)  -  ü+^V+k^W 
/<»,)  -  U+k,V+kfW 
/(«-.)  -  ü+W+kfW 

3  r  -  VM  +  VA"*)  +  *»•/(«•) 
3  w  =  k-ji^)  +        +  *s  /fo) 

Aus  diesen  Gleichungen  erkennt  man  auch  unmittelbar,  daas  die 
Grössen  C,  F,  W  den  aufgestellten  Bediuguugsgleichungen  genügen, 
so  dass  also  jeder  analytische  Ausdruck  der  nur  von  x-\-ky-\-kh 
abhängt,  auch  als  eine  Function  des  dreiwertigen  Argumentes  zu 
bezeichnen  ist. 

Bildet  man  nun  wieder  den  Quotienteu  der  Moduln  sich  ent- 
sprechender Bogenelemente ,  'so  zeigt  sich  wie  früher,  dass  dieses 
Yerhältniss  im  allgemeinen  für  einen  bestimmten  Punkt  nicht  con- 
stant  ist,  dass  es  aber  in  dem  speciellen  Fall 

*•  =  1   oder  — 1 

für  jede  Function  von  «?  eine  bestimmte  Fläche  gibt,  für  deren 
Pankte  der  erwähnte  Quotient  eiue  Function  der  Coordinateu  ist,  os 


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230      W€'sel9:  Anwendungen  von  Diihring',  Begriff  der  Wertigkeü. 

dass  diese  Fläche  auf  der  ihr  durch  f(xo)  zugeordneten  in  den  klein- 
sten Teilen  ähnlich  abgebildet  wird. 

Man  erhält  nämlich  unter  Benutzung  der  aufgestellten  partiellen 
Differential  Gleichungen : 

+[©,+©,+i(E),J* 
+[©■+©'+(!?)> 

^d9dx  La«  a*  +  ä  37  ar  +  ;  »'  fr"J 

daher  für  iL-3  =  l 

+2U  •  3/  + ay  £-  +  isr-  srjf** 

das  heis  st  für  alle  Werte  ir,  y,     welche  der  Gleichung 

B  U  B  U     BU  B  V      B  U  B  U 
BV  BV  +  BT  dz~  +  BV  Bx  ~e 

genügen,  wird 

dU*+dV*+dW*     fltTf     (i£\*  (9UY 

oder  jede  Function  ?on  z-\-ky+b** 

rt«+lf+JWs)asr  ü+t  V+tßW 

wobei 

k*  =  l 

bildet  die  Fläche,  welche  durch  die  obige  Gleichung  bestimmt  ist, 
auf  der  ihr  entsprechenden  in  den  kleinsten  Teilen  ähnlich  ab. 

Man  kann  die  Gleichung  dieser  Fläche  in  etwas  einfachere  Form 
bringen,  wenn  man  für  u  den  früher  berechneten  Wert  einsetzt. 

Man  erhält  dann: 


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W*s*«lifi  Anwf.nehmyeH  von  Üühring'*  Begriff  der  Wertigkeit.  231 

3x        ^icj    ■    3«^    '  a«^ 

3 9,7 «.  d/Ytrt)  a*,    grfic,)  3»rf    a/(w3)  a«>B 

?y         8w,        3y    '      3>r2    '    ?y    '     cwa     '  By 
und  uiter  Berücksichtigung,  dass 

*k-l.        -»+~-3i     =  ~  tat, 


2 
2 


Dio  aualogen  Relationen  für  die  beiden  übrigen  Posten  geben 
addirt: 

/düdU     BU  BU     BU  Bü\         /BfOrJY     BjiwJ  df(ws) 

y  Vax  äy  +  By  Bz  +  Bs  tis.)  "  d  v  ö«i  /  ~  a«*  *  3u>, 

so  dass  die  Gleichung  der  abzubildenden  Fläche  auch  geschrieben 
werden  kann: 

/a/(«c1)\»==a/-K)  a/o^) 
v  a«-,  /     Bwt  ~  a«-3 

Bezeichnet      die  Umkehrungsfunction  von  /*,  so  dass 

w  «  y(U+k  V+lc*W) 

so  kann  man  die  entsprechende  Fläche  schreiben: 

ra/>(£/+fcH-*»vr)1»  _  a/u^-H^+VtH 

*  ByiU+ksV+VWj 

worin  /"  und  ^  im  Zähler  selbstverständlich  weggelassen  werden 
können. 


Um  hiernach  ein  einfaches  Beispiel  zu  rechnen,  das  durch  die 
Gauss'sche  Abbildungstheorie  leicht  vorificirt  werden  kann,  möge  / 


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232       Weasely:  Anwendungen  von  Dühring'*  Begriff  Ar  Wertnjkeü. 

so  bestimmt  werden,  dass  die  abzubildende  Fläche,  eine  Rotations- 
fläche wird,  deren  Axe  in  die  Richtung  der  früher  defiuirten  >  oder 
1 -f- -f- ^*  fällt,  welche  Richtung  auf  der  Ebene 

senkrecht  steht. 

Die  partiello  Difrcrential-Glcichuug  aller  dieser  Rotationsflächen 
lautet: 

dF  dl»  cF 

(f  " 2)  'fm  +  {i  '  x)  Bz  +  (x  " y)  T*  ° 

Setzt  mau  voraus,  dass  F  die  Form  haben  soll 

Fmm  (VW*_  ?/fo> 

so  erhält  mau,  wenn  der  Kürze  halber 

Bf(w) 

gesetzt  wird,  als  Gleichung  der  Rotationsfläche: 
(y  -  *)  r2qp(«-,)qp'(«j)  —  ffoVM  —  vO'-sto'O«*)! 

woraus  sich  nach  einigen  einfachen  Reductioncn  ergibt: 

Wählt  mau  also  <p  so,  dass 

<p'(tc)  .  («-)  =  wird, 

oder  also 

log  <p{tc)  =  .4  log  tr  -f-  log  C 
<p(tc)  —  C  .  tc* 

worin  6*  und  ^4  Coustaute  bedeuten,  so  ist  die  obige  Gleichuug 
identisch  erfüllt. 

Für  fixe)  folgt  also: 
oder  wenn  ^1  —  —  1 

/(w)  -  log  C*Ä  .  ufi 


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Weasely:  Anwendungen  von  Dührtn-fs  Begriff  der  Wertigkeit.  233 

Speciell 

f{w)  =  «7-1  -  U+bV+&W 
liefert  als  abzubildende  Fläche: 

ipj*  =  ^  tP^  .  Jfg 

oder 

(«+        =  ±(*+^+M(*+*3y-f-M 

indem 

fc,*  =  *-3   und  V-*t 

Dreht  man  das  Coordinatcn-Systom  in  die  Richtung  der  früher 
detinirten  Einheitsvectoren  *, I  durch  die  Transformation 

*+*y+**  -  "Vir"  *  +  -  -  y-6  -  *  +  ^2  * 

worin  die  Coetticienteu  gleich  hoher  Potenzen  von  k  gleich  gesetzt 
werden  können,  so  verwandeln  sich  die  beiden  Flächeugleichuugen, 
da 

3  l  /— 3 


in: 
und 


bedeuten  also  einen  reellen  und  einen  imaginären  Kreiskcgel. 

Für  die  entsprechende  Fläche  ergeben  sich  selbstverständlich 
wtgeu  der  Reciprocität : 

1 

Gleichungen  von  derselben  Form,  so  dass  also  die  Function  -  die 

Kegel  auf  sich  selbst  abbildet,  und  zwar  in  reeiproker  Weise,  indem 
den  Schnittcurven  des  Kreiskegels  im  xyz  Räume  mit  den  Ebenen 

x  -f-  y  + 5  a  c 


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234      Westely:  AntotnHunytn  von  Dühriny'*  Begriff  Her  Wertigkeit. 

die  Schnitte  desselben  Kegels  im  l'VW  Räume  mit  den  Ebenen 


entsprechen. 


Im  allgemeinen  erhält  man  entsprechende  Punkte  durch  die 
Relationen : 

welche  sich  auf  die  früher  angegebene  Weise  durch  directes  Aus- 
rechnen ergeben. 

Eine  conformc  Abbildung  des  reellen  Kegels  auf  die  Ebene  er- 
hält man,  wenn  A  —  —  i  gesetzt  wird,  also  durch 

f(,e)  =  log«>  -  U+kV+k*W 

indem  man  als  abzubildende  Fläche  wieder  erhält: 


während  sich  für  die  entsprechende  Fläche  aus  : 


ergibt: 


x-\-k  g-\-  kh  =>  c 

Xü+V+W) 

U+k  V+ksW 

u't  =  e 


so  dass 
übergeht  in 

oder: 

V-f-  W  =  0 


Entsprechende  Punkte  erhält  man  durch  die  Relationen,  die  sich 
zwischen  xyz  und  ÜVW  aus  den  drei  Gleichungen: 

3f/  —  lOg  WjWjITj 
3  K  =  l0gu-|Wtk«  ur*» 

3  TT —  log  i^ir/j  üb- 
ergeben.   


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Wensely:  Anwendung»  von  DShrintf*  Begriff  der  Wertigkeit.  235 

Um  anf  eine  von  den  bisherigen  Entwicklungen  unabhängige 
Weise  zu  zeigen,  dass  die  einander  in  solcher  Weise  zugeordneten 
Flächen  wirklich  conform  abgebildet  sind,  sollen  noch  beide  Flächen 
mit  je  zwei  Schaaren  sich  rechtwinklig  schneidender  Curven  bedeckt 
werden;  die  Zuordnung  entsprechender  Punkte  durch  die  obigen 
Relationen,  mu&s  dann  in  den  krummlinigen  Coordinaten  ausgedrückt 
Ubergehen  in  eine  Zuordnung  durch  gewöhnliche  complexo  Functionen. 

Bezeichnet  man  die  ueueu  Variablen  für  xyz  mit  6  uud  x  und 
die  neuen  Variablen  für  UVW  mit  0  und  p,  so  lässt  sich  die  Kegel- 


fläche 


w*  —  My/%,    oder   xy  -\-yz-\-  :x  —  0 


darstellen  durch 


x  -  V'h  e 


W       2  V\& 

+  V6  Ä 


sin;. 


cosA  —  Vi  e 


sin  A 


«  -  Vi  t 


cosA  —  V\  e 


sin  A 


und  die  zugeordnete  Ebeuc  darstellen  durch 


U=  0 


31 

V  »  —  Q  COS  J 

IV—  psin  * 

Mit  Rücksicht  darauf,  dass 

3  t/  —  3ö  —  log  u'j^ifj 


9  =  Vv*+W>->!  V^l0glr1^3«,st,+  [logt^V*!« 


und 


»1  -  V  y  •      cosA-f  Vi«   *  sinA  -  f  -^e   3  i 

w8  —  —  T  -j-  •       cosA-J-vJ«    3  sinA=  —  V  -y  «  c 


folgt: 


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236       Wes  se/;,  :  Anwendungen  won  Dühriny's  Ii* griff  der  Wertijktit. 

-  1  log  \  +  3V1  d 

a  -  j  log  y  +  V$8 

Um  noch  p  durch  Ä  und  6  auszudrücken,  kann  man  für  V_T][ 
schreiben    «  ,  so  dass 

V-  5  —  Vi  .  c  und  —  V-  3  -  V  \e 

gesetzt  wird,  woraus  sich  weiter  ergibt: 

und 

\     ü      +  "(-?+») 
•  -v|(-5-H) 

so  dass  zwischen  den  krummlinigen  Coordinatcn  die  Beziehung  be- 
steht: 


2 


a     2  '   3  +  WO+v^ii) 

was  bekanntlich  eine  hinreichende  Bedingung  für  die  Conformität 
der  Abbildung  ist. 

Als  auszuschlicssende  Unstetigkeitsstellen  einer  eindeutigen 
Function  eiues  dreiwertigen  Argumentes  müssen  naturgemäss  alle 
jene  Punkte  angesehen  werden,  in  welchen  einer  der  drei  Func- 

tion8wcrte  unstetig  wird ;  für  die  Function  1  erfüllen  daher  die  Un- 
stctigkeitsstellen  erstens  die  Ebene 

,r,  ^()a/-)-y-}-; 

uud  zweitens  die  Gerade  tr2  —  0  oder  (was  dasselbe  Resultat  liefert) 
ir3  =  0;  nämlich 


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Wesaely:  Anwendungen  von  Dühring'»  Begrif  der  Wertigkeit.  23? 

x  —  y  ~  r 

Dies  sind  zugleich  auch  die  im  endlichen  gelegenen  Unstetig- 
keitsstellen  des  Logarithmus,  wie  man  entweder  aus  den  früher  be- 
rechneten Werton  von  UVW,  oder  auch  aus  der  Definition  des  Lo- 

/die 
* -  erkennt. 

Dass  ein  solches  Integral  einen  „Sinn"  hat,  d.  h.  einen  vom 
Integrationsweg  unabhängigen  Wert  liefert,  fofgt  aus  dem  Satz  von 
Stokes,  nach  welchem  ein  Integral: 

j* adx  -f-  ßdy  -f-  ydz 

das  sich  über  eine  geschlossene  Curve  erstreckt,  stets  ersetzt  werden 
kann  durch  ein  Flächen-Integral: 

f  [{%  ~  $  «  m + G"  - 1)  «.  (-.)+  (ü  -  j=)  «-(«)]  - 

wobei  n  die  Normale  auf  da  bedeutet  und  die  Fläche  vom  Intogra- 
tionsweg  begrenzt  wird. 

Bringt  man  nämlich  das  Linien-Integral 


J*  f  (fr)  die 


zunächst  durch  Ausführung  der  Multiplication : 

( t/-f-  k  I '-{-  *■  I V)  (dx  -f  k  dy  -f  k*dt) 

auf  die  Form : 

J*  t/dx+Wdy+Vdz  +  k  j*  Vdts+  Üäy+Wdn 

+*»  J*  Wdx+Vdy+Udz 

und  verwandelt  dasselbe  hernach  nach  dem  Stokes'schen  Satz  in  ein 
Flächen-Integral,  so  erhält  man  für  den  ersten  Posten,  wo  ÜVW 
an  die  Stelle  von  oßy  treten: 

BV    aW\     .  .    /du  ar> 


f  KD  "  ^ ) cos  (nx) + (&?  ~  ) cos  M 

.  /BW     BU\  1  , 


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238       W**»*tfi  Anwendungen  von  Dührinp's  Begriff  der  Wertigkeit. 

und  für  den  zweiten  und  dritten  Posten  durch  cyklische  Vertauscbung: 

+6cl/-aDco8Hrf<j 

Nach  den  früher  aufgestellten  Relationen  zwischen  den  einzelnen 
partiellep  Differential-Quotienten  verschwindet  jeder  einzelne  Posten 
unter  dem  Integralzeichen,  und  es  wird  daher 

J  f{xc)dw  =  0 

sobald  man  durch  die  geschlossene  Iutegrations-Curve  eine  Fläche 
legen  kann,  die  nur  solche  Punkte  enthält,  für  welche  die  aufge- 
stellten Relationen  zwischen  den  partiellen  Differential-Quotienten 
richtig  sind.' 

Wollte  man  etwa  jene  Stellen,  wo  die  partiellen  Differential- 
Gleichungen  keine  Giltigkeit  haben,  als  „Wirbelraum"  von  f[tc)  be- 
zeichnen, so  kann  man  also  sagen,  ein  Integral 

hat  für  alle  jene  Curven,  die  sich  ohne  einen  Wirbelraum  zu  treffen, 
in  einander  überführen  lassen,  ein  und  denselben  Wert. 

Beispielsweise  wird  das  Integral 

erstreckt  um  irgend  eine  Curve,  welche  die  Gerade 

x  sb  y  —  t 

oder  die  Richtung  i  einschliesst,  ohne  die  Ebene 

*  +  y  +  * -  0 

zu  treffen,  ersetzt  werden  können  durch  dasselbe  Integral  längs  eines 
Kreises,  dessen  Ebene  auf  der  Richtung  i  senkrecht  steht  und 
desseu  Mittelpunkt  in  die  i  Aie  fällt. 


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Weately.  Anwendungen  von  Dühring'*  Begriff  der  Wertigkeit.  2.*>9 

Dreht  man  das  Coordinaten-System  in  die  Richtung  der  j  j  t 
und  führt  Polar-Coordinaten  ein,  80  dass  für  »r  zu  schreiben  ist: 

10  _=  T(/co8<jp-|-(78in(p)   wobei   g  =  ;cosA-f-' sinA 

und  für  dir,  mit  Rücksicht  darauf,  dass  bezüglich  der  Integration  <p 
constant  ist,  geschrieben  werden  kann, 

HiP  =  r  sin  <p       .  dl^ 

so  geht  das  Integral    /         über  in 

IC) 

hn 

*sin  qp(— j  sin  A  -f-  /  cos  A)  dk 


/'sinjp( 


cos  <p  -\-  g  sinqp 

o 

Man  kann  nun  .     -   /    .       auf  die    Form:  UL+jY+lZ 

#COS<p-|~y  81U<p  1  1 

bringen,  indem  man  in  der  Gleichung: 

1      i*cos  tpX  -}-./*  cos  A  sin  y  F-f-  /*  sin  A  sin  <pZ 
4-;/(sinA8in(pF8in^) 

für  h  _  die  Werte  in  Ar  substituirt ,  und  dann  die  Coefficienten 
gleich  hoher  Potenzen  von  k  einander  gleich  setzt,  wodurch  man 
erhält: 

1  2  cos  k  2  sin  k 

Y  .   V    v  — —.   m    .  _____ 

3co8(p'  3  sinqp'  3sin<p 


hierna«h  wird: 


.  2  cosA  2  sin  AI  .  3a 
A+^3sinv  "/'3s-nrVJ  8lD  ^ £U 


der  erste  Posten  unter  dem  Integral  ferschwindet,  weil 

ij  =  il  ~  0 

Ferner  gibt: 

<ty  —  (—  ;'  sin  A  +  l  cosA)  dk 

jcosA  .  <fy  -  (—/cosA  sinA  +>Zcos«A)dA 
/sinA  .  </y  =-(—;  /  sin'A  -f-    coiA  sinA)t/A 

daher: 


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240  Wessely:  Anwendungen  von  Dühring's  Begriff"  der  Werligleit. 
(/cosA  —  lnmX)dg  mm  _  (ß  -f.  /*)sin  A  COS  A  dl  -f  jl  JA 

indem  wie  früher  gezeigt. 

-f  /*  ~  0 

/'  dir 

das  Integral  /  -  geht  also  über  in 


l .  I  j/f .  2*  -  l .  j/§ . 


d.  h.  „es  hat  einen  von  r  und  ?  unabhängigen  Wert." 

Selbstverständlich  muss  man,  wenn  für  fjl  respective  k  seine  drei 
Werte  in  die  letzte  Beziehung  substituirt  werden,  drei  richtige  Glei- 
chungen erhalten 

Der  Ausdruck  unter  dem  Integralzeichen:  .   8111  >  •  ^ —  hat 

B  /  cos  <p  -j-  g  S1U  qp 

für  A-,*-2£3  die  drei  Werte: 

0      (— sir,A  +  V^l  cosA)  JA        (— sinA-  V— 1  cos  A)  rfA 
cosA-f  V—  isinA     5  cosA-V_  1  sin  A 

dem  entsprechen  die  drei  Werte  von  /  .  j/|  n  nämlich 
0;      2*V_i.  __27rV_i 


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Niemann:  Der  Ring  des  Saturn. 


241 


X. 

Der  Ring  des  Saturn. 

Eine  mathematische  Abhandlung. 

Von 

Albert  Niemann, 

Regicrungs-  und  Baurath  a.  D. 


Vorwort 

„Die  Atmosphäre  hat,  nach  den  aas  der  Strahlenbrechung  gezogeneu 
„Schlüssen,  eine  Höbe  von  weniger  als  zehn  geographischen  Meilen.44 
Etwas  andere  Schlüsse  zog  man  aus  der  Erscheinung  der  Stern- 
schnuppen und  Feuerkugeln  ,  deren  plötzliches  Aufleuchten  der  Be- 
rührung mit  unserer  Atmosphäre  zugeschrieben  und  nach  Schätzun- 
gen, so  gut  sie  sich  machen  Hessen,  in  einen  Abstand  von  dreissig 
bis  vierzig  Meilen  oder  von  200  bis  300  km  von  der  Erdoberfläche 
gesetzt  wurde.  Weiter  zu  gehen,  schien  gewagt.  Dass  nun  jemand 
kommt  und  die  Grenze  der  Atmosphäre,  wie  es  in  der  vorliegenden 
Schrift  geschieht,  fast  auf  das  fünf  hundertfache  des  früheren  oder 
auf  das  hundertundzwanzig--  bis  hundertundachtzigfache  des  neueren 
Maasses  hinausrückt,  das  kann  als  Dreistigkeit  angesehen  werden. 
Der  Leser  möge  diese  Dreistigkeit  wolwollend  verzeihen  und  möge 
die  Schrift  mit  freundlichem  Willen  lesen:  er  wird  tinden  dass  sie 
sich  nicht  auf  wenn  und  aber  gegründet ,  sondern  sich  auf  den  be- 
währten und  unanfechtbaren  Gesetzen  der  Massenanziehung  aufgebaut 
hat,  und  zwanglos  an  ihren  Schlüssen  über  den  Ring  des  Saturn 
vorgeschritten  ist. 

Areh.  d.  Math.  u.  Pnys.  2.  Reihe,  T.  XVI.  16 


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242 


Xiemann:  Der  Ring  de«  Satuni. 


I.  Allgemeine  Gleichung. 

SAN  in  Figur  1  sei  ein  Weltkörper,  der  sich  in  »  Secunden 
einmal  am  seine  Achse  dreht.  Durch  die  Centrifugal kraft,  die  sich 
aus  der  Umdrehung  entwickelt,  werden  die  Massenteilchen  der 
Atmosphäre  nach  aussen  gedrängt;  durch  die  Anziehung,  die  der 
Weltkörper  ausübt,  werden  sie  nach  dessen  Mittelpunkt  hingezogen. 
Da  die  Anziehung  mit  dem  Abstände  vom  Weltkörper  abnimmt,  und 
die  Centrifugalkraft  mit  diesem  Abstände  zunimmt,  so  muss  es  eine 
Grenze  FBED  geben,  an  welcher  Anziehung  und  Centrifugalkraft  mit 
einander  im  Gleichgewicht  stehen.  Bis  zu  dieser  Grenze  dehnt  sich, 
wie  hier  abweichend  von  allen  bisherigen  Annahmen  behauptet  wird, 
mit  stetig  abnehmender  Dichte  die  Atmosphäre  aus  und  schliesst 
dort  in  einer  Verdünnung  ab,  die  wir  weder  mit  Luftpumpen  noch 
mit  anderen  Vorrichtungen  erreichen  können  und  die  sich  von  der 
Torricellischen  Leere  kaum  unterscheidet. 

In  E  sei  eine  Masse  w  vorhanden  und  die  Beschleunigung  der 
Fallschwere  in  diesem  Punkte  sei  gleich  y.  Die  Anziehung,  mit  der 
das  Gestirn  die  Masse  oi  nach  dem  Mittelpunkte  C  hinzieht  und  die 
gleich  y(o  ist,  werde  mit  q  bezeichnet.  Sie  zerlegt  sich  in  gsin<p 
parallel  zur  Achse  FD  und  in  9  cos  9  senkrecht  zur  Achse  FD. 

Die  Centrifugalkraft,  die  sich  im  Punkte  E  in  der  Masse  01 
entwickelt,  ist  in  der  Figur  mit  F  bezeichnet  worden  und  ist,  da 
sie  durch  Umdrehung  des  Gestirns  um  die  Achse  FD  entsteht,  senk- 
recht zu  dieser  Achse  gerichtet.  Wenn  mau  also  bestimmen  will, 
wie  weit  der  Punkt  E  in  der  Grenze  der  Atmosphäre  vom  Mittel- 
punkt C  des  Weltkörpers  entfernt  ist,  so  muss  man  die  Gleichung 
ansetzen : 

F  «=•  q  cos  cp 

Bei  der  Umdrehung  um  die  Achse  FD  beschreibt  der  Punkt  E 
mit  der  Tangentialgeschwindigkeit 

2n 

v  EH 

n 

einen  Kreis  vom  Halbmesser  EH.   Danach  ist 


und,  wenn  man  für  v  den  eben  genannten  Wert  einrückt  und  aus 
der  Figur 

EH  —  CE  cos  <p 

entnimmt, 


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»   Niemann:  Der  Ring  de$  Saturn.  243 
P  _  w  f  ~-J  C£C0Sqp 

Setzt  man  dies  gleich  gco8<jp,  d.  h.  nach  dem  Vorhergehenden 

ywcos  <p 

so  erhält  man  nach  Ausscheidung  der  sich  hebenden  Grössen 

— » (£)' 

oder  wenn  man  C£  durch  Ä  bezeichnet 

•  -  •(&)• 

In  diesem  Ausdruck  muss  noch  y  bestimmt  werden.  Es  sei  g  die 
Beschleunigung  der  Fallschwere  im  Aequator  unserer  Erde,  n  der 
Aequatorial-Halbmesser  der  Erde,  A  die  Masse  der  Erde  und  M  mal 
A  die  Masse  des  fremden  Gestirns.  Da  sich  nun  nach  dem  bekannten 
Gesetz  die  durch  die  Beschleunigungen  y  und  g  vertretenen  An- 
ziehungen direct  wie  die  Massen  der  ihnen  zugehörigen  Gestirne 
und  umgekehrt  wie  die  Quadrate  der  Abstände  der  angezogenen 
Masse  von  den  Mittelpunkten  dieser  Gestirne  verhalten,  so  bat  man 
die  Proportion 

(MA  :  A\ 

woraus  sich 

.    **9       ,  /«\* 

v  =  M  -  ce*  oder  y  =  Mg  \R) 

ergiebt.  Durch  Einführung  dieses  Wertes  in  die  vorige  Gleichung 
und  durch  Entwicklung  von  R  erhält  man  schliesslich 

«  =  fagf 

In  diesem  Ausdruck  ist,  wie  der  Deutlichkeit  halber  uoch  ein- 
mal wiederholt  sein  möge,  u  (=  6377,5  km)  der  Aequatorial-Halb- 
messer der  Erde  und  «(  =  9,815  m)  die  Beschleunigung  der  Fall- 
schwere im  Aequator  der  Erde,  die  aber,  wenn  a  in  Kilometern  an- 
genommen wird,  ebenfalls  als  Bruchteil  eines  Kilometers 

(-  0,009816  km) 

angesetzt  werden  muss.  M  und  n  sind  Mausso,  die  dem  fremden 
Gestirn  angehören,  z.  B.  für  den  Saturn  n  =  37767  Secunden  und 
M  =•  92. 

Zufolge  der  vorstehenden  Berechnung  sind  also  die  sämtlichen 
Punkte  der  Linie  FBED  gleich  weit  vom  Mittelpunkt  des  Sterns 

16* 


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244 


Nif  mann:  Der  Ring  des  Salurn. 


entfernt  oder  mit  anderen  Worten:  die  Linie  ist  eine  Kreislinie  und 
das  Gestirn  bildet  mit  seiner  Atmosphäre  trotz  seiner  Umdrehung 
und  trotz  der  Abplattung  des  festen  Teils  eine  genaue  Kugel  vom 
Halbmesser  R. 


II.    Die  Beschleunigung  g. 

In  seinen  logarithmischen  Tafeln  (Ausgabe  1879,  Seite  160) 
giebt  Dr.  E.  F.  August  die  Beschleunigung  der  Pendelschwere  im 
Aequator  der  Erde  gleich  9,781  m  an.  Es  ist  dies  die  Beschleu- 
nigung der  Fallschwere,  vermindert  um  den  Verlust,  der  ihr  aus  der 
Centrifugalkraft  erwächst.  Durch  die  Fallschwere  wird  eine  im 
Aequator  der  Erde  befindliche  Masse  oo  mit  der  Kraft  gm  angezogen. 

cor* 

Die  Centrifugalkraft  der  Masse  <o  ist  aber  —  —  oder,  weil  die  Tan- 

2na  /2n\* 
gential-Geschwindigkeit  v  «*  --   ist,  gleich  toi  ^  \  1. 

Dieselbe  Masse  wird  von  der  Pendelschwere  mit  der  Kraft 
9,781  o)  angezogen  und  dies  muss  gleich 

goa  —  w  l      1  a 


sein,  woraus  man 

a 


-  -  c=y 

,  =  9,781  +  (£)' 


erhält.  Hierin  ist  n  —  86164  Secunden,  die  Zeit  einer  Umdrehung 
der  Erde  um  ihre  Achse  und  a  =  637760)  ra  der  Halbmesser  des 
Erd-Aequators.   Die  Ausrechnung  ergiebt 


( 


?*^\,  =  0,034   und   g  -  9,815  m 


III.   Die  Anziehung  Qsinqp. 

Man  beachte  folgende  drei  Punkte.  Erstens,  dass  die  in  E 
angenommene  Masse  w,  oder,  wie  wir  auch  sagen  können,  das 
Massenteilchen  E  sich  an  der  Grenze  oder,  wenn  mau  will,  auf 
der  Grenze  der  Dunsthülle  befindet;  zweitens,  dass  die  Anziehung 
q  (Figur  1)  in  die  beiden  Seitenanziehungen  qcoscp  und  4 sin?  zer- 
legt, folglich  durch  diese  beiden  Anziehungen  ersetzt  worden  ist; 
drittens,  dass  die  Seitenkraft  q cos <p  und  die  Centrifugalkraft  P  in 


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♦ 


Xiemann.  Der  Ring  des  Saturn.  245 

E  mit  einander  im  Gleichgewicht  stehen ,  sich  also  gegenseitig  auf- 
heben, so  dass  das  Massenteilchen  E  sich  weder  in  der  Richtung 
EH  (Figur  1)  gegen  die  Erdachse  hin,  noch  in  der  Richtung  EP 
nach  aussen  bewegt.  Daun  erkennt  man,  dass  die  Kraft  gsinqp 
übrig  geblieben  ist  und  für  sich  allein,  unabhängig  von  den  Kräften 
</cosqp  und  /'behandelt  werden  kann.  Wir  wollen  sie  Ä'  nennen, 
Figur  2,  also 

q  sin  <p  K 

setzeu  und  in  die  beiden  Aeste  U  in  der  Ricbtnug  des  Halbmessers 
EC  und  T  in  der  Richtung  der  Tangeute  au  den  Meridian  DES 
zerlegen.  Die  Seiteukraft  U  wird,  wie  man  sieht,  durch  den  Wider- 
stand der  Dunstbülle  aufgehoben,  so  dass  die  Seiteukraft 

T  «=  Ä'cos?  —  (/sin  <p  cos  <p 

vollständig  frei  geworden  ist.  Durch  die  Kraft  7' wird  das 
Masscuteilchen  E  läugs  des  Bogens  EB  nach  der  Aequatorebcue  CR, 
also  nach  B  hingeführt 

Die  Geschwindigkeit,  mit  der  dies  geschieht,  ist  bemerkenswert 
uud  soll  zunächst  besprochen  worden.  Sie  geht  infolge  des  anhalten- 
den Einflusses  der  wenn  auch  abnehmenden  Kraft  T  in  eine  be- 
schleunigte über  und  hört  zufolge  der  Massenträgheit  auch  dann 
noch  nicht  auf,  wenn  T  und  q>  =  0  geworden  siud. 

Zur  Beantwortung  der  Frage,  welche  Geschwindigkeit  das  Massen- 
teilchen E  bei  seiner  Ankunft  in  A  erlangt  habe,  nehme  mau  an, 
es  sei  um  den  Bogen  a  bis  G  vorgerückt,  und  seine  Geschwindigkeit 
in  G  sei  gleich  v  geworden.    In  G  ist  die  Kraft 

T  wm  9sin(?  —  a)C0S(qp  —  a) 

Das  Differential  der  Zeit  sei  dt,  das  Differential  des  Bogens  tls  und 
p  die  Beschleunigung,  die  durch  die  Kraft  F  erzeugt  wird.  Dann  ist 

dv  —  pdt   und   vdt  =  ds   also    vdv  =  pds 

Da  wir  nun  die  Beschleunigung  der  Fallschwere,  die  durch  die 
Anziehung  q  in  E  hervorgerufen  wird  und  die  in  jedem  Punkte  des 
Kreisbogens  DEJJF  die  nämliche  ist,  mit  y  bezeichnet  haben,  so  ist 
p:y  =  T\q  und  hieraus  nach  dem  Vorstehenden 

p  =  ysin(<jp  —  «)cos(<p  —  «) 

Auch  ist 

da  —  Rdu 

mitbin 

vdo  =  yR  sin  (9  —  «)  cos  (tp  —  a)d(t  und 
(j*  =  —  yR s'm(f  —  a)2  -j-  Const 


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246 


Nie  mann:  Der  Ring  des  Saturn. 


Da  für  «  =-  6  auch  v  =  0  ist,  so  ist 

Const  =  y  R  s  i  ii  y  *  und 
t>*  «=  yü{  sin  <jp*  —  sin(g>  —  «)*} 

Hierin  ist  die  Geschwindigkeit  gegoben,  die  ein  Massonteilchea  er- 
reicht bat,  wenn  es  von  einem  beliebigen  Punkte  E  aus  um  einen 
Bogen  a  vorgerückt  ist.    Von  Bedeutung  ist  jedoch  nur  die  in  B 
erlangte  Endgeschwindigkeit,  die  sich  ergiebt,  wenn  a  =  q>  geworden 
ist.  .  Sie  ist  _ 

v  —  VgR  sin  <p 

Im  Abschnitt  I.  ist 

Ma1 

Y  =  &  9 

berechnet  worden,  so  dass  man  schliesslich  für  die  Endgeschwindigkeit 
in  B  den  Ausdruck  erhält 


o  asinqp 


Wenn  man  in  dieser  Gleichung  <p  =-  90  Grad  werden  lässt  und 
für  R  den  im  Abschnitt  I.  berechneten  Wert  setzt,  so  erhält  man 
die  Geschwindigkeit,  die  ein  vom  Pol  der  Dunsthülle,  also  von  D 
herankommendes  Massenteilchen  an  der  Aequatorebene  in  B  erlangt 
gleich  s   

v  _  Y  ~  atg— 

In  dieser  Gleichung  ist  wieder  «  =  6377,5  km  der  Aequatorial-Halb- 
messer  der  Erde ;  g  =  9,815  m  (oder  0,009815  km)  die  Beschleuni- 
gung der  Fallschwere  im  Erdaequator ,  wogegen  M  und  »  die  dem 
fremden  Gestirn  angehörigen  Maasse  bezeichnen. 

Dio  Ergebnisse  einer  hiernach  ausgeführten  Zahlenberochnung 
sind  für  drei  vorzugsweise  zu  berücksichtigende  Planeten  in  nach- 
folgender Liste  zusammengestellt  worden. 


Gestirn 


Erde 

Saturn 

Jupiter 


M 

Masse  im  Vcr- 
h&ltniss  zu  der 
Masse  der 
Erde 


Zeit  einer  Uni- 
drehung des 
Gestirns 


Secunden 


1,0 

92,0 
308,0 


-'  i.  i 

37757 
35707 


Halbmesser 
der  Oberfläche 
der  Dunsthülle 

km 


Eudgeschwin* 
digk.  der  Maa- 
sen teilcbeu 
rom  Pol  an 
der  Aequator- 
ebene 

km 


42185 
109868 
158354 


3,1 
18,3 
27,9 


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Nie  mann:  Der  Riny  de*  Saturn. 


247 


Die  für  R  uud  V  angegebenen  Zahlen  müsson  befremden.  Denn 
in  Beziehung  auf  die  Erde  sagen  sie  zum  Beispiel ,  dass  die  Höhe 
ihrer  Atmosphäre  über  ihrer  Oberfläche  nicht  90  oder  200  bis 
300  km,  sondern  42185-6377,5  -  rund  35808  km  beträgt.  Die 
Berechnung  macht  aber,  auch  wenn  das  Ergebniss  noch  so  viel  Er- 
stauen erregt,  Anspruch  auf  volle  Richtigkeit. 


IV.    Die  Tenus  und  unser  Mond. 

Wollte  man  die  Berechnung  auf  die  Venus  anwenden,  die  sich 
angeblich  in  224,7  Tagen  einmal  um  ihre  Achse  dreht,  oder  auf 
unseru  Mond,  bei  dem  auf  eiue  Umdrehung  29,53  Tage  vergehen, 
so  erhielte  man  für  die  Venus 

R  —  1437870  km 

uud  für  den  Mond 

Ii  -  93707  km 

das  heisst,  bis  auf  diese  Abstünde  von  ihren  Mittelpunkten  würden 
die  Atmosphären  dieser  Gestirne  reichen.  Dem  Mond  wird  keine 
Atmosphäre  zugeschriebeu,  die  Venus  dagegen  soll  eine  Atmosphäre 
haben,  jedoch  sie  hat  entweder  keine  Atmosphäre  oder  sie  dreht 
sich  rascher  um,  denn  die  ausserordentliche  Grösse  des  Maasses, 
das  sich  für  R  herausrechnet,  macht  das  Vorhandensein  einer  Dunst- 
hülle  unwahrscheinlich. 

Die  Formel  für  R  zeigt  deutlich,  dass  R  um  so  kleiner  wird 
je  kleiner  n  ist,  je  rascher  also  das  Gestirn  sich  dreht,  und  dass, 
abgesehen  von  der  Masse  JA,  die  Gestirne  ihre  Atmosphäre  um  so 
fester  zusammenhalten,  je  rascher  sie  sich  umdrehen.  Dies  mag 
auffallend  erscheinen,  weil  die  Ceutrifugalkraft,  also  dio  aus  einander 
treibende  Kraft  mit  der  Schnelligkeit  der  Umdrehung  wächst,  aber 
die  Sache  ist  nicht  anders. 


Y.  Die  Entstehung  eines  Ringes. 

Die  Massenteilchen  K  kommen  freilich  nicht  mit  der  im  Ab- 
schnitt III.  angegebenen  Geschwindigkeit  an  der  Aequatorebene  in 
B  an.  Es  treten  ihnen  vielmehr  einige  Störungen  entgegen,  die 
nicht  unbedeutend  sind,  dio  sich  aber  in  keino  Formeln  fassen 
lassen.  Jedes  Massenteilchen  schlägt  zunächst  die  Richtung  der 
Tangente  ET  ein,  es  wird  auch  beim  Hervorquellen  aus  der 
Atmosphäre  so  zu  sagen  aufgeworfen,  nach  kurzem  Lauf  durch  die 


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248 


Niemann:  Der  Ring  des  Saturn 


Anziehung  des  Gestirns  wieder  auf  die  Dunsthülle  gestossen  und  ge- 
zwungen, seinen  Weg  in  ähnlichen  Sprüngen  fortzusetzen  wie  der 
Stein,  der  über  eine  glatte  Wasserflache  geschleudert  wird.  Bei 
jedem  Sprunge  erleidet  es  einen  Aufenthalt.  Ein  anderer  Aufent- 
halt entsteht  dadurch  dass  die  aus  höheren  Breiten  herkommenden, 
schon  zu  grösserer  Geschwindigkeit  angeregten  Massenteilchen  die 
aus  niedrigeren  Breiten  entstammenden  und  deshalb  langsamer  hin- 
ziehenden Massenteilchen  einholen  und  durch  diese  verzögert  wer- 
den. Endlich  entsteht  noch  ein  Aufenthalt  dadurch,  dass  die  Mas- 
senteilchen infolge  der  Umdrehung  des  Gestirns  sich  in  Spiralen  be- 
wegen, mithin  einen  grösseren  Weg  laufen  müsssen ,  als  worauf  dio 
Berechnung  bezogen  worden  ist. 

Nichtsdestoweniger  wird  die  Endgeschwindigkeit  an  der  Aequator- 
ebene  in  B  noch  bedeutend  sein:  das  Heranströmen  der  Massen- 
teilchen würde  sogar  noch  stürmisch  genannt  werden  köuneu,  weuu 
dio  heraneilenden  Luftarten  nicht  fast  gewichtlos  wären.  In  dieser 
Beziehung  nimmt  in  der  Tat  die  Sache  .ein  Aussehen  au,  dass  sich  unsere 
Gedanken  nur  schwer  an  das  Ergebniss  herauwagen,  das  der  Rechen- 
stift herausrechuet.  Wendet  mau  nämlich  das  zwar  für  solcho  ausser- 
ordentlichen Fälle  nicht  ersouuene,  immerhin  aber  hier  nicht  ganz 
abzulehnende  Mariottesche  Gesetz  in  Gemeinschaft  mit  den  Gesetzen 
der  Anziehung  an  uud  setzt  man  die  Dichte  der  Luft  an  der  Ober- 
fläche der  Erde  gleich  Eins,  so  findet  man,  dass  ihre  Dichte  im 
Abstände 

R  —  42185  km 

vom  Mittelpunkt  der  Erde,  also  an  der  Grenze  DEBF  unserer 
Dunsthülle  sich  in  einem  Bruche  darstellt,  dessen  Zähler  gleich 
Eins  und  dessen  Nenuer  eine  Million  auf  die  otwa  fünfzigste  Potenz 
erhoben  ist.  Ungezählte  Billionen  Jahre  müssten  vergehen,  ehe  aus 
der  Oberfläche  der  Dunsthülle,  obgleich  sie  über  zwanzig  tausend  Mil- 
lionen Quadratkilometer  gross  ist,  soviel  Luft  an  der  Aequatorebene 
CB  zusammengeströmt  wäre,  wie  einem  eiuzigen  Kubikmeter  der 
Luft  an  der  Erdoberfläche  entspräche.  Dies  soll  uns  jedoch  nicht 
abschrecken,  den  von  uns  eingeschlagenen  Weg  weiter  zu  verfolgen. 

Die  Massenteilchen  E,  die  an  der  Oberfläche  des  nördlichen  jTeils 
der  Dunsthülle  entspringen,  begegnen  an  der  Aequatorebene  CB  den 
Massenteilchen  von  der  südlichen  Halbkugel.  Die  einen  drängen 
dort  auf  die  andern  und  alle  treten,  da  die  Centrifugalkraft  ihnen 
den  Wiedereintritt  in  die  Atmosphäre  verwehrt,  vor  die  Atmosphäre. 

Solange  die  Massenteilchen  dem  vou  der  Linie  FBD  begrenzten, 
durch  die  Anziehung  das  Gestirns  zusammengehalteneu  Dunstkreise 


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Nie  mann:  Der  Ring  des  Saturn. 


249 


angehörten,  wuchs  ihre  Tangential -Geschwindigkeit  mit  ihrem  Ab- 
stände von  der  Achse  FD,  weil  die  Winkelgeschwindigkeit  dieselbe 
blieb  und  der  zu  durchlaufende  Kreis  immer  grösser  wurde.  Sobald 
hingegen  die  Teilchen  bei  B  aus  dem  Dunstkreise  ausgetreten  sind,  ist 
der  Anziehungskraft  durch  die  ihr  in  B  in  gleicher  Grösse  entgegen- 
tretende Centrifugalkraft  die  Möglichkeit  genommen,  die  Tangential- 
Geschwindigkeit  der  Teilchen  noch  zunehmen  zu  lassen;  sie  behalten 
aber  auf  Grund  der  Trägheit  einerseits  in  der  Richtung  der  Planeteu- 
hahn um  die  Sonne  die  Geschwindigkeit  des  Planeten,  andererseits 
iu  der  Richtung  der  Taugeute  an  den  Aequator  des  Dunstkreises  die 
Rotations-Geschwindigkeit,  die  der  Punkt  ß  bei  der  Umdrehung  des 
Plaueten  um  die  Achse  FD  besitzt.  Sie  können  aber  nicht  der 
Tangente  folgeu,  das  heisst,  sich  nicht  iu  der  Richtung  der  Tangente 
vom  Duustkreise  entfernen,  weil  sie  an  diesen  fortwährend  durch 
die  Anziehung  des  Gestirns  herangezogen  werden.  Sich  wieder  iu 
den  Dunstkreis  einzufügen,  gestaltet  ihnen,  wie  wir  schon  gesagt 
haben,  die  Ceu tri fugal kraft  nicht,  durch  die  sie  vielmehr,  sobald  sie 
den  Duustkreis  berühren,  dauernd  abgestossen  werden.  Es  bleibt 
ihnen  uichts  anderes  übrig,  als  sich  bei  B  ausserhalb  des  Dunst 
kreises  zu  lagern. 

Derselbe  Vorgang,  wie  er  beschrieben  wurde,  vollzieht  sich  in 
allen  Punkten  des  Aequators  der  Dunsthülle  in  seinem  ganzeu  Um- 
fange. Zugleich  strömen  ununterbrochen  andere  Massenteilchen  den 
zuerst  ausgetretenen  nach  und  drängen  diese  von  dem  Dunstkreise  ab 
weiter  nach  Z  hinaus. 

Auf  solche  Weise  eutsteht  um  die  Dunsthülle  ein  Ring  oder 
Wolkenzug  BZ  Figur  3,  der  wegen  der  stetig  in  Wirksamkeit  blei- 
benden Kraft  </sin<r-  in  der  Richtung  parallel  zur  Planeteuachse  ge- 
messen nur  sehr  dünn  seiu  kann  und  dem  iu  Richtuug  der  Aequa- 
torebene  eine  grössere  Ausdehnung  offen  steht. 

Der  Ring  des  Saturn  ist  sichtbar,  der  Ring  der  Erde  nicht 
Wir  sehen  ja  die  Luft  nicht,  in  der  wir  athmen:  um  so  weniger 
köunen  wir  die  Luft  von  dünnster  Dünne  sehen,  die  in  weitem  Ab- 
stände von  uns  den  Ring  um  die  Erde  bildet.  Aber  er  entgeht  uns 
nicht-,  denn  das  Zodiakallicht  ist  unzweifelhaft  sein  Verräter. 

Noch  einiges  andere  von  allgemeiner  Bedeutung  möge  dem 
nächsten  Abschnitt  vorbehalten  und  der  grösseren  Anschaulichkeit 
halber  an  dem  Planeten  dargelegt  werden,  der  merkwürdiger  Weise 
in  unserem  Sonnensystem  allein  die  hier  iu  Behandlung  genommenen 
Eigenschaften  deutlich  wahrnehmen  lässt. 


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250 


Nie  mann:  Der  Rimj  des  Saturn. 


VI.   Der  Ring  des  Saturn. 

In  der  nach  dem  Maassstabe  gezeichneten  Figur  4  ist  der  Saturn 
mit  seinem  Kranze  dargestellt.  Die  stark  punktirte  Kreislinie  K  ist 
dio  rechnungsmässige  Grenze  seiner  Atmosphäre,  also  die  Linie 
DEBF  der  früheren  Figuren.  Wie  kommt  es  danu,  so  lautet  sofort 
die  Frage,  dass  der  Ring,  der  nach  den  Lehren  der  vorigen  Ab- 
schnitte ausserhalb  der  erwähnten  Grenze  liegeu  sollte,  in  diese  hin- 
einragt? Bevor  dies  erklärt  wird,  ist  noch  an  das  zu  erinnern,  was 
man  bisher  über  den  Ring  beobachtet  hat. 

Früher  schrieb  man  der  Kranzscheibe  eine  Dicke  von  etwa  40 
Kilometern  zu,  was  mit  uusercu  Ausführungen  über  die  Kraft  gsing» 
schlecht  übereinstimmt,  In  neuereu  Zeitcu  haben  die  mächtigen 
Fernrohre,  die  man  jetzt  besitzt,  Zweifel  an  den  40  km  erweckt  und 
zu  der  Meinung  geführt,  dass  mehr  als  ein  halbes  Kilometer  Dicke 
nicht  angenommen  werden  könne.  Die  Stärke  einer  Scheibe  zu 
messen,  die  dem  Einen  aus  Duustmassen,  dem  Andern  vielleicht  aus 
Flüssigkeiten  und  dem  Dritten  gar  aus  einem  kreisenden  Schwann 
von  staubwolkeuartigeu  Körperchen  gebildet  zu  sein  scheint  und  die 
mindestens  1190  Millionen  Kilometer  oder  achtmal  so  weit  wie  die 
Sonne  von  uns  entfernt  ist,  also  die  Dicke  einer  Scheibe  zu  bestim- 
men, die  aus  lauter  verschiebbaren  und  in  Bewegung  befindlichen 
Teilchen  besteht  und  die  aus  diesem  Grunde  schwerlich  eine  scharf 
begrenzte  Kante  hat,  das  ist  viel  zu  schwierig,  als  dass  die  Unsicher- 
heit der  bisherigen  Angaben  auffallend  wäre.  Für  nusere  Unter- 
suchungen ist,  wie  wir  sehen  werden,  die  Dicke  der  Scheibe  gleich- 
gültig. 

Selbst  der  grösste  Durchmesser  der  Scheibe,  obgleich  er  als 
eiu  grösseres  Objcct  schärfer  in's  Auge  gefasst  werden  kann,  wird 
verschieden  gross  angegeben,  einmal  271100  km,  dann  von  dem  amerika- 
nischen, im  Jahre  1663  verstorbenen  Astronomen  G.  P.  Bond  278230 
km  und  in  den  neueren  Jahren  von  Barnard  27G368  km.  Diese  Zahl 
sollte  die  zuverlässigste  sein,  denn  sie  gründet  sich  auf  Beobach- 
tungen, die  ihr  Urheber  im  Jahre  1804,  als  die  Sichtbarkeit  des 
Saturn  besonders  günstig  war,  mit  dem  36  zölligen  Refractor  der 
Licksternwarte  ausgeführt  hat.  Der  Unterschied  der  beiden  amerika- 
nischen Zahlen  beträgt  1862  km  und  zeigt  zur  Genüge,  dass  die 
Angaben  über  die  Dicke  der  Scheibe  sich  rein  auf  Schätzung  be- 
schränken müssen. 

Schwer  zu  bekämpfen  ist  dio  herrschend  gewordene  Ansicht, 
dass  der  Kranz  des  Saturn  aus  zwei  um  einandcrliegenden  Ringen  be- 


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Niemann:  Der  Ring  des  Saturn. 


251 


stünde,  die  durch  einen  leeren  Zwischenraum  von  einander  getrennt 
wären.  Im  Anfange  uuseres  Jahrhunderts  hat  man  von  dieser  Tren- 
nung nichts  gemerkt;  der  Astronom  Barnard  stellt  sie  auf  Grund 
seiner  sorgfältigen  Beobachtungen  ebenfalls  in  Frag«  und  will  nur 
etwas  gesehen  haben,  das  ihm  wie  eine  schwache  dunkle  Linie  auf 
dem  Ringe  erschienen  wäre.  In  unserer  Figur  ist  der  Zwischenraum 
den  G  P.  Bond  3230  km  breit  angiebt,  durch  die  Kreise  F  und  G 
angedeutet  werden. 

Wenn  wir  auch  mit  berühmten  Astronomen  in  Widerspruch  ge- 
raten, so  wollen  wir  doch  von  dem  vermeintlichen  Zwischenraum 
abseheu  und  zwar  sowol  weil  der  Astronom  Barnard  Glaubeu  ver- 
dient, als  auch  weil  das  Dasein  einer  leeren  den  Kranz  in  zwei  cou- 
ceutrische  Ringe  spalteuden  Schicht  durch  uusere  Entwicklungen 
widerlegt  wird.  Der  Astronom  Bond  führt  auch  noch  einen  dunkeln, 
iuuersten  Ring  an,  der  in  der  Figur  durch  die  Kreislinien  C  und  D 
eingeschlossen  wird  und  16155  km  Breite  haben  soll.  Zum  Kranze 
des  Saturn  kann  dieser  dunkle  Ring  oder  Raum  nicht  gehören: 
vielleicht  ist  es  dasselbe,  was  Barnard  einen  duuklen  Aepuatorial- 
gürtel  nennt.  Wir  bleiben  bei  dem  Ringe  stehen,  der  bisher  stets 
als  der  eigentliche  Riug  betrachtet  wurde  und  in  der  Figur  durch 
die  Kreislinien  D  und  H  begreuzt  worden  ist. 

Dieser  Ring  dreht  sich  anscheinend  rückläufig  um  den  Planeten 
herum.  Wir  haben  im  vorigen  Abschnitt  gesagt,  dass  und  weshalb 
jedes  Massenteilchen  E,  das  aus  der  Dunsthülle  austräte,  bei  der 
Umdrehuug  um  die  Achse  FD  die  Taugential-Geschwindigkeit  be- 
wahrte, die  in  der  Grenzlinie  DEBF  Figur  3  sich  entwickelt  hätte, 
was  so  gut  für  den  Punkt  Z  gilt,  wie  für  jeden  zwischen  Z  und  Ii 
befindlichen  Punkt.  Da  nun  der  Punkt  Z  in  Beziehung  auf  die  Bar- 
nard'schen  Angaben  um  28316  km  weiter  vom  Mittelpunkt  des  Saturn 
entfernt  ist  als  der  Punkt  so  inuss  Z  mit  der  nämlichen  Ge- 
schwindigkeit auf  die  Secunde,  mit  der  B  den  von  ihm  bei  jeder 
Umdrehung  des  Planeten  mit  dem  Halbmesser  CD  beschriebenen 
Kreis  durchläuft,  eine  um  17800  km  grössere  Kreislinie  durch- 
laufen, was  zur  Folge  hat,  dass  bei  jeder  Umdrehung  des  Saturn 
der  Punkt  Z  sich  um  zwei  Stuuden  und  zweiundvierzig  Minuten 
(2°  42' )  verspätet,  oder  mit  anderen  Worten,  dass  der  Punkt  Z 
zu  einer  Umdrehung  um.  die  Achse  des  Planeten  2°  42'  mehr  ver- 
braucht als  der  -Punkt  //,  oder  der  Planet  selbst.  Ebenso  ist  es 
mit  dem  Punkte  zwischen  Z  und  B  mit  der  Maassgabe ,  dass  mit 
die  Verzögerung  kleiner  wird,  je  näher  der  fragliche  Punkt  bei  B 
liegt.  Auf  diese  Weise  entsteht  der  Eindruck  einer  rückläufigen 
Bewegung  des  Ringes  um  den  Saturn. 


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252  Ntemann:  Dtr  Ring  dt*  Saturn. 

Noch  haben  wir  zu  erwähnen,  dass  die  Ringscheibe  des  Satnrn 
streitig  aussieht.  Als  die  erstcu  Massenteilchen  /-.'  aus  der  Dunst- 
hüllc  austraten,  bildeten  sie  einen  Ring  um  den  Plaucten.  Daun 
folgten  andere  Toile  nach  und  schoben,  da  die  Wirkung  der  Kraft 
qs'uKp  oder  der  Kraft  ?sin<jpcosg>  (Abschnitt  III)  ihnen  nicht  er- 
laubte, sich  neben  dem  ersten  Ringe  zu  lagern,  diesen  weiter  hiuaus 
und  bildeten  für  sich  den  zweiten  Ring.  Darauf  folgte  ein  dritter, 
ein  vierter  und  so  fort  immer  ein  neuer  Ring  nach  dem  andern,  bis 
die  jetzt  bestehende,  durch  den  Kreis  //  Figur  4  gekennzeichnete 
Ausdehnuug  erreicht  worden  war,  deren  Zunahme  ununterbrochen 
statttindet,  für  uus  kurzlebige  Menschen  aber  nicht  wahrnehmbar  ist. 
Hiernach  hätten  wir  also  zu  verstehen  gegeben,  dass  der  Ring  des 
Saturn  aus  lauter  coucentrischen  Ringen  bestünde.  Man  braucht 
dies  jedoch  nicht  wörtlich  zu  nehmen,  sondern  nur  auf  die  soeben 
ausgesprochene  Bemerkuug  zurückzugehen,  dass  die  au  der  Aussen- 
seite  der  Grenze  DEBF  der  Duusthülle  liegenden  Teile  des  Kranzes 
sich  iu  ganz  verschiedeneu  Zeiten  um  die  Planeteuachse  drehen,  je 
nachdem  ihr  Abstand  von  dieser  grösser  oder  kleiner  ist.  Danach 
kann  es  nicht  ausbleiben,  dass  sich,  weuu  es  nicht  schon  von  vorn* 
herein  geschehen  ist,  auch  nachträglich  copccutrische  Ringe  bilden, 
deucn  wir  keiuen  unabänderlichen  Bestaud  zusprechen  wollen,  das 
heisst,  die  wol  hiu  und  wieder  in  eiuauder  verschwimmen  mögeu,  die 
aber  dem  Kranze  des  Planeten  das  erwähnte  streifige  Aussehen  ver- 
schaffen müssen.  Da  der  Ring  durch  die  von  Nordeu  und  von  Süden 
gegen  einander  wirkenden  Kräfte  ^sin  <jp,  durch  die  Anziehuug  des 
Planeten  und  durch  die  Centrifugalkraft  zusammen  gehalten  wird, 
da  er  also  ein  geschlossenes  Ganze  bildet,  so  gehen  die  Drehungen 
der  coneeutrischen  Ringe  um  eiuauder  auch  auf  den  innerhalb  der 
Grenzlinie  DEBF  liegenden  Teil  des  Kranzes  oder  Ringes  über  und 
geben  auch  diesem  ein  streifiges  Ausseheu. 


VII.   Die  Lage  des  Saturnringes 

Es  kommt  schliesslich  darauf  au,  die  Lage  des  Saturnrings  zu 
der  Greuzlinio  DEBF  zu  bestimmen,  also  auch  nachzuweisen,  wes- 
halb sich  der  Ring,  auscheinend  im  Widerspruch  mit  den  Erklärungen 
des  Abschnittes  I,  in  den  Raum  erstreckt,  der  von  der  Grenzlinie 
DEBF  umschlossen  wird.  Wesentlich  hierbei  ist,  dass  der  Ring 
gemäss  dem  Schlusssatz  des  vorigen  Abschnitts  ein  zwar  aus  losen 
Teilen  bestehendes,  aber  doch  in  sich  vereinigtes  Gobilde  darstellt 

Wir  schnoiden  den  Keil  KKHH  Figur  5  aus  dem  Ringe  heraus. 
Seine  Dicke  sei  gleich  eins,  seine  Breite  BB  ebenfalls  gleich  eins. 


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Nie  mann:  Der  Ring  des  Saturn.  253 

C  ist  der  Mittelpunkt  des  Saturn,  AA  seine  Oberfläche,  KK  die 
innere  und  ////  die  äussere  Kante  des  Saturnringes,  BB  die  im  Ab- 
schnitt I  berechnete  Grenzlinie  oder  die  Oberfläche  der  Dunsthülle 
vom  Halbmesser 

R  -  109  868  km 

Die  Centrifugalkraft,  die  sich  in  dem  Stück  BH  entwickelt,  vermehrt 
um  die  in  KB  entwickelte  Centrifugalkraft  muss  mit  der  Anziehung 
die  der  Planet  auf  den  ganzen  Keil  ausübt,  im  Gleichgewicht  stehen. 
Es  soll  Alles  auf  die  Linie  BB  bezogen  werden,  für  welche  wir  die 
Beschleunigung  der  Fallschwero  durch  y  bezeichnet  haben. 

8.  In  dem  Stück  BH  kommt  nach  dem  bisher  gesagten  durch- 
weg dieselbe  Tangential-Geschwindigkeit  v  vor ,  die  dem  der  Grenz- 
linie BB  angehörigen  Punkt  B  bei  der  Umdrehung  um  die  Planeteu- 
achse SN  zu  eigen  geworden  ist.  Da 

BB  =  1 

ist,  so  ist 

und  das  Differential,  das  zugleich  die  Masse  ausdrücken  möge, 

R  y 

Danach  ist  die  Centrifugalkraft 

-  TT'  R+i* 

und  dies  von  0  bis  b  intcgrirt,  ergiebt  die  ganze  Centrifugalkraft 
des  Stückes  BH  gleich  Rb  oder,  weil 


ÜB.  In  Beziehung  auf  das  Stück  KB  könnten  zweierlei  Ansichten 
geltend  gemacht  werden,  entweder  dass  in  diesem  Stück  die  Tan- 
gential-Geschwindigkeit mit  dem  Abstände  vom  Mittelpunkte  des 
Planeten  gerade  so  zuuimmt,  wie  in  dem  übrigen  Räume  innerhalb 
der  Grenzlinie  DEBF,  oder  dass  das  Stück  KB,  dessen  Teile  vor- 
her, solange  sie  an  der  Aussenseite  von  DEBF  lagen,  die  constanto 
Geschwindigkeit  v  hatten,  diese  wie  im  vorigen  Abschnitt  auch  dann 
noch  beibehalten  hat,  nachdem  es  durch  das  Stück  BH  in  den  In- 
nenraura  vou  DEBF  hineingtdrückt  worden  war.  Wahrscheinlich 


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254  Niemann:  Der  Ring  de«  Saturn. 

werden  beide  Geschwindigkeiten  einander  beeinflussen  nnd  fort- 
während mit  einander  kämpfen,  ohne  dass  eine  von  beiden  für  sich 
allein  jemals  die  Herrschaft  zu  behaupten  vermag. 

Die  erste  Ansicht,  wonach  die  Tangential-Geschwindigkeit  ver- 
änderlich ist,  soll  zunächst  in  Rechnung  gezogen  werden.  Für  die 
Masse  ee  ist  der  Umdrehungs-Halbmesser 

=  R  —  d  +  x 

die  Masse 

_  R-d-\-x 
R 

und  die  Centrifugalkraft 

R-d+x  /2*y  (R-d+x)*  (R  -  d  + *)* 

R       \nj     R—d  +  x  R  V«/ 

was  von  0  bis  d  integrirt,  die  Centrifugalkraft  des  Stückes  KB  er- 
gäbe 

-sä®' <**-<* -<n  « 

Wenn  die  zweite  Ansicht  gelten  soll,  so  hat  man  einfach  den 
unter  A  gegebenen  Ausdruck  von  U  bis  d-\-b  zu  integriren  und  er- 
hält in  diesem  Falle  die  Centrifugalkraft  des  Stückes  KU 

'2*V 


(£.  Die  Anziehung  des  Saturn  auf  das  Massenteilchen  BB  =  l 
ist  nach  dem  Früheren  =»  y,  mithin  auf  das  Massenteilchen  ee  gleich 

R  —  d-\-x  R*  R  _ 

was  von  0  bis  d+b  integrirt,  die  ganze  Anziehung,  die  der  Planet 
auf  den  Keil  HK  ausübt,  gleich 

y/eiogÄ--7 

ergiebt.   Nach  Abschnitt  I  ist  aber 

R  -  y  (2;)*    also  f  -  (2*)°  R 

mithin  die  ganze  Anziehung  auf  den  Keil  gleich 

/2*\*     ,    R  +  b 


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Nie  mann:  Der  Ring  des  Saturn. 


255 


Es  ist  also  einmal  31  -f-  ®  =  ß  und  das  andere  Mal  SBiB  —  (£  zu 
setzen.  Im  ersten  Falle  erhält  mau  nach  gehöriger  Auflösung  die 
Gleichung 


b  +  d 
R 


—  log 


ä  + 


R* 


d* 

3ÄS 


(X) 


im  anderen  Falle  die  Gleichung 


Hierin  ist  für  den  Saturn  Ä  =»  109863  der  im  Abschnitt  III. 
angegebene  Halbmesser  seiner  Dunsthülle-,  b-\-d  =  47816  km  nach 
G.  P.  Bond  die  ganze  Breite  kH  des  Ringes;  b  und  d  sind  zu  be- 
rechnen. 

Im  ersten  Falle  ergiebt  die  Zahlenberechnung 

b  -  31271  km   und   </  —  165544  km  im  zweiten  Falle 

b  =  25636  km   und   d  =  22179  km 

Zählt  man  b  zu  R  hinzu,  so  erhält  mau  den  Halbmesser  des  äusseren 
Randes,  und  wenn  man  d  von  R  abzieht,  so  erhält  man  den  Halb- 
messer des  innern  Randes  der  Ringscheibe.  Die  nachstehende  Ueber- 
sicht  giebt  Gelegenheit,  die  Zahlen  der  Berechnungen  und  die  Zahlen 
der  astronomischen  Beobachtungen  unter  sich  mit  einander  bequem 
zu  vergleichen. 


Streifenbreite 


Halbmesser 


Urspung 

der 
Zahlen 

b 

km 

d 
km 

des  äussern 
Randes 

km 

des  innern 
Randes 

km 

G.  P.  Bond 

29247 

18568 

1391 K» 

91300 

Barnard 

28318 

19499 

13S1S4 

90369 

Berechnung 

31271 

16544 

141139 

93324 

Berechnung 

G 

25636 

22179 

135504 

87689 

Mittel  aus 
2)  und  G 

28454 

19361 

138322 

90507 

Nur  die  drei  fettgedruckten  Zahlen  sind  von  den  Astronomen 
angegeben,  und  die  übrigen  Zahlen  danach  und  nach  der  von  G- 
P.  Bond  angegebenen  Kranzbreite  von  48815  km  berechnet  worden. 
Die  letzte  Zeile  der  vorstehenden  Liste  enthält  auch  das  Mittel  aus 


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256 


!  Der  Ring  des  Saturn. 


den  berechneten  Zahlen.  Dass  dieses  Mittel  mit  den  Barnard'schen 
Messungen  nahezu  übereinstimmt,  soll  aber  kein  Beweis  für  die 
Richtigkeit  der  vorausgegangenen  Herleitungen  sein;  denn  wenn 
diese  nicht  an  und  für  sich  richtig  wären,  dann  könnten  ihnen  auch 
keine  Zahlen  dazu  verhelfen.  Die  Angabe  des  Durchschnitts  er- 
schien im  Hinblick  auf  das,  was  vorhin  unter  (33)  über  die  zweierlei 
verschiedenen  Ansichten  gesagt  wurde,  nicht  überflüssig,  sondern  ge- 
radezu geboten. 

Zu  bemerken  ist  noch,  dass  der  Keil  KKUH  unter  der  bestän- 
digen Geschwindigkeit  v  dieselbe  Gentrifugal kraft  ($35)  auch  dann 
liefern  würde  ,  wenn  er,  zwischen  die  verlängerten  Radien  CH  und 
67/  gefasst,  dass  heisst,  von  diesen  Verlängerungen  begrenzt  und  in 
der  Masse  vergrössert,  ganz  ausserhalb  der  Grenzlinie  DB  läge, 
vorausgesetzt,  dass  seine  Höhe  sich  nicht  änderte. 

Anmerkung.  Nicht  unerwähnt  soll  bleiben,  dass  die  Kraft  gsinqp 
oder  die  im  Abschnitt  III.  besprochene  Kraft  </sin<pcos  <p,  in  dem 
Maasse,  wie  sie  an  die  Oberfläche  der  Erde  kommt,  in  dem  beweg- 
lichen Wasser  der  Meere  die  Meeresströmungen  verursacht  und  da- 
durch den  Grund  zu  Ebbe  und  Flut  legt.  Der  Mond  hat  dabei 
die  Aufgabe  übernommen,  durch  seine  Anziehung,  die  nicht  geläug- 
net  werden  soll,  die  in  Bewegung  befindlichen  Massen 
einer  gewissen  Regelung  zu  unterwerfen. 


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Hopp  f.  Vehtr  das  ghichttitiiie  <tc. 


257 


XI. 

Ueber  das  gleichseitige  und  das  HÖhenschnitts- 

Tetraeder. 

Von 

R.  Hoppe. 


§  1.    Allgemeine  Anordnungen. 

Die  Gleichheit  aller  4  Seiten  und  der  Schnitt  aller  4  Höhen  in 
einem  Paukte  sind  2  Eigenschaften,  welche  2  specielle  Classen  von 
Tetraedern  detiniren.  Die  Vereinigung  beider  Eigenschaften  macht 
das  Tetraeder  zu  einem  regelmässigen. 

Die  Untersuchung  vereinfacht  sich  sehr ,  indem  wir  das  ortho- 
gonale Axensystem  so  legen,  dass  die  Anzahl  der  nötigen  Bestim- 
mungsstücke die  kleinste  wird,  nämlich  8.  Sei  eine  Seite  P, PtP^ 
als  beliebiges  Dreieck  angenommen  und  Ebene  der  a-.v,  eine  Kante 
Pt  Pt  Axe  der  a-,  und  Anfang  der  ar^r,  überdies  (mit  Absehen 
vom  Spiegelbild)  z  ausschliesslich  positiv,  also  in  Coordinaten 

Pt  =  (0,  0,  0);    A  =  («,  0,  0);    P,  =      c,  0)  ;    P<~  (*«,  *,  «4) 

(D 

Dann  zeigt  sich,  dass  die  4te  Ecke  durch  a,  b,  c  beim  gleichseitigen 
Tetraeder  eindeutig  bestimmt,  beim  Höhenschnitts-Tetraeder  nur  von 
der  letzten  Höhe  abhängig  ist. 

Das  gegebene  Dreieck  PtP9P3—\ac  sei  stets  bezeichnet 
durch  \d. 

Irch.  d.  M»th.  «.  Vbjn.  8.  Roih».  TL  XTL  17 


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258  Hoppe:  Urber  das  ybichseitit/e 

§  2.    Gleichst Itlgres  Tetraeder. 

Alle  Punkte  /4,  die  der  Bedingung 

PxPtl\  -  ptptpt 

genügen,  liegen  offenbar  auf  einem  Cylinder ,  dessen  Axe  PxPt  ist, 
und  der  durch  P9  geht.  Dies  angewandt  auf  die  2  übrigen  Seiten 
zeigt,  dass  P4  der  Schnittpunkt  dreier  Cylinder  ist,  dessen  Axen 
PtP9  ,  i^P,  und  PxPt  sind,  und  die  bzhw.  durch  Pt ,  Pt  und  Ps 
gehen.   Die  Gleichungen  dieser  Cylinder  sind  bzhw. 


xt    Ti  ~~  ri 


x  —  sc 

y 


-i  **  -     -  +  t  i  a  A% 


wo  y3  die  Kanten  PtPäy  PtPv  PtPs  bezeichnen.    Den  Coor- 

dinatenwerten  zufolge  werden  sie: 


(2) 
(3) 
(4) 


y  o 

Die  letzte  gibt  sogleich: 

+  =!  -  c*  (5) 

die  Differenz  der  2  ersten  : 

«(y  —  c)  {2  ex  +  («  —  26)  y  —  ac]  -f  a  (a  —  26)  «■  —  0  (6) 
nach  Division  durch  n(y—  <•)  mit  Anwendung  der  vorigen  Gleichuug: 

2«  -2(a— Ä)c  =  0 

a-4  -  «  —  h  (7) 
woraus  nach  Einführung  in  Gl.  (3): 


Demuach  ist  für  /*4 


Die  eine  Wurzel  ist  y  —  —  c\  ihr  entspricht  s  =  0.  Das  Tetraeder 


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I 


und  dm*  ll;>h,nsrhnitt*.Tf1rarhr. 


259 


degcnprirt  hier  in  ein  Parallelogramm.  Die  andre,  demnach  alleiu 
gültige  Wurzel  gibt  als  (loordinaten  der  gesuchten  Ecke: 

d  —  t 
c 

■ 

Die  3  Factoren  unter  dem  Quadratwurzelzeichen  entscheiden 
über  folgende  Fälle.  Verschwindet  einer,  so  ist  j  rechtwinklig,  uud 
die  Figur  fällt  wegen  z4  —  0  in  eine  Ebene.  Wird  einer  uegativ, 
so  wird  J  stumpfwinklig  und  das  Tetraeder  imaginär.  Mehr  als 
einer  können  nicht  null  oder  negativ  werden.  Sind  alle  Factoreu 
positiv,  so  ist  d  spitzwinklig,  das  Tetraeder  reell.  Es  resultirt 
demnach: 


Lehrsatz  1.  Alle  Seiten  jedes  gleichseitigen  Tetraeders  sind 
spitzwinklig. 

Lehrsatz  2.  Auf  jedem  spitzwiukligen  Dreieck  als  Seite  lässt 
sich  ein  und  nur  ein  gleichseitiges  Tetraeder  errichten. 

Bemerkung.  Eine  Figurbetrachtuug  zeigt  unmittelbar,  dass  3 
Parallelogramme  nebst  Diagonalen  die  Bedingung  gleichseitiger  Te- 
traeder mit  J  als  Basis  erfüllen,  nämlich  diejenigen,  welche  eiuzelu 
die  3  Seiten  von  d  zur  Diagonale  haben.  Nun  ergibt  die  Elimi- 
nation vou  s  und  x  zwischen  den  Gl.  (1)  (2)  (3)  direct  eine  Glei- 
chung 4.  Grades  für  y,  welche  dann  durch  Division  auf  ersten  Grad 
herabsinkt.  So  verdankt  dio  allcingültige  Lösung  (7)  ihre  Eindeutig- 
keit den  3  genannten  zu  verwerfenden  Lösungen. 


§  3.    Schwerpunkt  des  homogenen  gleichseitigen  Tetraeders. 

Siud  M und  N  die  Schwerpunkte  von  P,Ft,  PtPtk%  und  dem 
Tetraeder,  und  m2,  «3,  *<4,  f,  r,  v  die  Projectioneu  der  Strecken 
J\rt.  J\P.U  I\L,  PxMxP%Hi  auf  einen  vou  Pt  ausgeheuden 

Strahl,  so  ist 

Geht  dann  der  Strahl  in  die  Axen  der  r,  y,  *  über ,  und  mau  setzt 
für  die  u  die  Coordinatenwerte  (1),  so  kommt  bzhw.: 

17* 


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200 


Hopp*:  Ufhtr  da*  ylrirhstihg* 


1-0;    P  =  0j    »-  ^  V|Ä(«-*)[c«-/,(«-A)JJ 

Demnach  sind  die  Coordinaten  des  Schwerpunkts: 

H  VW— -  £))) 

Die  erste  dieser  Gleichungen,  auf  alle  G  Kanten  angewandt,  zeigt, 
dass  die  normal  halbirenden  Ebenen  derselben  sich  im  Schwerpunkt 
schneiden.  Dieser  Schnittpunkt  aber  ist  der  Mittelpunkt  der  um- 
schriebenen Kugel.   Es  folgt: 

Lehrsatz  3.  Der  Schwerpunkt  des  homogenen  gleichseitigen 
Tetraeders  ist  zugleich  der  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel. 

Bemerkung.  Das  Vorstehende  hat  eine  gemeinsame  Eigenschaft 
des  gleichseitigen  Tetraeders  und  des  gleichseitigen  Dreiecks  ergeben . 
Man  könnte  die  Frage  untersuchen,  ob  die  analogen  Gebilde  von 
beliebig  vielen  Dimensionen  sie  besitzen. 


§  4.  HOhenschnittfi-Tetraeder. 

Sei  A*  eine  Normale  auf  der  Dreiecksebene  /I  und  M  ein 
variabler  Punkt,  der  sie  durchläuft.  Dann  beschreibt  die  Gerade 
J\M  eine  Ebene  Q.  Normal  zu  jedem  }\M  gehe  eine  Ebene  E 
durch  Pv  Die  Schnitte  aller  E  sind  offenbar  einander  parallel,  weil 
normal  zu  Q.  Geht  also  einer  durch  P3^  so  gehen  alle  durch  Pt 
und  /J3.  Hiermit  erfüllen  alle  E  die  Bedingung  der  Ebene  einer 
zweiten  Tetraederseite  gegenüber  Piy  deren  Höhenlot  von  Pt  durch 
3/  geht.  Nuu  ist  die  Ebene  d  eine  der  Ebenen  Q,  entsprechend  dem 
Fusspunkt  von  AT;  auch  hier  ist  PtM  normal  zu  Pt  P9.  Angewandt 
auf  alle  3  Seiten  ergibt  sich : 

Lehrsatz  4.  Schneiden  sich  die  Höhen  eines  Tetraeders  in 
einem  Punkte,  so  liegt  der  Fnsspunkt  eiuer  jeden  im  Höbenschnitt 
des  entsprechenden  Seitendreiecks. 


> 


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und  das  Höhenschnitls-  Tetraedtr. 


261 


Damit  anch  der  umgekehrte  Satz  gilt,  ist  noch  die  Bedingung 
zu  erfüllen,  dass  die  3  analogen  Ebenen  E  sich  auf  JS  schneiden. 

Der  Höhenschnitt  des  Dreiecks  A  hat  die  Coordinatcn : 

a—  b 

x=*b;     y  sr  b  —  j    z  =  0 

daher  der  Höhenschnitt  des  Tetraeders: 

s  =  ä  (9) 

wo  A  eine  unbekannte  Strecke  bezeichnet.  Daraus  laesen  sich  die 
Gleichungen  der  übrigen  Höheu  (als  Verbiudungcn  des  Punktes  (9) 
mit  /',,  /',,,  /';)  und  hieraus  wieder  die  der  zn  ihnen  normalen  To- 
traederseiten  berechnen,  nämlich 

&(*  —  a)  -\-b  -  ~h  y  -f-  ht  =  0  } 

I 

+      -  0   \  (10) 

(*     -)  »  +  *;  - 0  ! 

Als  deren  Durchschnitt  ergibt  sich  der  Puukt  #*4  mit  den  Coordinaten 

l  a—b  a  —bf  a  —  b\  , 

«,-ft;    *4  =  A  *4-6  t>Ä-(c-6     c-j  (11) 

Die  letzte  Bedingung  ist  also  von  selbst,  und  sogar  für  willkürliches 
A  erfüllt.   Es  hat  sich  ergeben: 

Lehrsatz  5.  Auf  jedem  Dreieck  als  Seite  lassen  sich  Höhen- 
schuitt8-Tetraeder  errichten. 

Lehrsatz  6.  Ein  Höhenschnitts  Tetraeder  behält  diese  seine 
Eigenschaft,  wenn  die  Höhe  über  einer  unveränderten  Seite  longi- 
tudinal  variirt. 

Lehrsatz  7.  Der  Normalabstand  des  Höhenschuitts  von  einer 
Tetraederseite  variirt,  wenn  diese  unverändert  bleibt,  der  Höhe  um- 
gekehrt proportional. 

§  5.   Gleichseitiges  Ho^enschnitts-Tetraeder. 

Soll  ein  Tetraeder  beide,  in  §  2.  und  §  4.  genannten  Eigen- 
schaften  haben,  so  müssen  (bei  identificirten  Grundflächen  A)  die 


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262  Hoppe:  L'tber  das  gttichseitiqe 

Werte  (10)  und  (11)  gleich  sein.  Die  Werte  von  *"4  und  ergeben 
sofort: 

Dies  genügt  schon,  das  Grnndüreicck  zu  einem  gleichseitigen  zu 
macheu,  und  nach  öl  (11)  zeigt  der  Wert 

zx  -  Via 

dass  das  Tetraeder  regelmässig  ist.  Gl.  (11)  bestätigt  dies  nur 
durch  dcsseu  Mittelpunkt: 

h  -  i  V  \a 

* 

Lehrsatz  8.  Ein  gleichseitiges  Höheusehuitls-Tetraedcr  ist 
stets  regelmässig. 


§  6.   Hcliwerpnnkt  und  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  für 

das  Höhenschiiitls-Tetraeder. 

Nach  der  Formel  , 

w        \(,tt  4-  n;J  -f  «4)  (*) 

sind  die  Coordinaten  des  Scbwe-punkts : 


x0-|(a  +  2ft)  \ 


(12) 


Der  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  wird  bestimmt  als  der 
Schnittpunkt  der  Ebenen,  welche  ö  Kanten  normal  halbiren.  Wir 
wählen  die  Kanten  /»/»,,  /',/%.    Die  Gleichungen  der  Ebenen 

sind: 

.(—!) =o 
»(—*)  +  •('- Ö_0 

(13) 

•-i+-r  a*-*ttJ 

a—b(  a  —  6\  I  a  -  h  f  n—  b\\ 


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und  das  Hühentchnkls  .  Tetraeder.  263 

woraus  als  CoordiDaten  des  Mittelpoukts  der  umschriebenen  Kogel: 
x  —  \a 


(U) 


a  —  b  <.*_-*(«--  b) 


Soll  dieser  mit  dem  Schwerpunkt  zusammenfallen,  so  müssen  die 
Werte  von  x,  y,  z  gleich      y*,  zq  seiu,  demnach  zuerst 

also  das  Grunddreieck  gleichseitig,  und  das  zugehörige  Höhenlot 
muss  auf  dessen  Mittelpunkt  stehen. 

Führt  man  die  gefundenen  Werte  für  a,  c,  x,  y  in  Gl.  (12)  (13) 
ein,  so  kommt: 

also  gemäss  r  «~  cu: 
Dies  ergibt  nach  Gl.  (14): 

U  -  Vi" 

was  einem  regelmässigen  Tetraeder  entspricht. 

Lehrsatz  9.  Ein  Höhenschnitts -Tetraeder,  dessen  Schwer- 
punkt mit  dem  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  zusammen- 
fällt, ist  regelmässig. 


§  7.   Fernere  Eigenschaften  des  gleichseitigen  Tetraeders. 

Seien  die  Kanten  l\P4,  PfP4J  Päl\  bezeichnet  durch  jJ4,  <jJ4, 
g3i.    Dann  ist 

(s.  Gl.  (5)  (7)),  also  analog  auch 

!J\*  ="  01  J    014  —  0s  t    <73»  —  «7s 

Demnach  hat  jede  Seite  des  Tetraeders  ausser  einer  gemeinsamen 
2  gleiche  Kanten  mit  J.   Es  ergibt  sich: 


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264 


Hupp«:  Ueber  da*  gUichneitige 


Lehrsatz  10.  Die  Gegeokanten  eioes  gleichseitigen  Tetra- 
eders sind  einander  gleich. 

Lehrsatz  11.  Sind  alle  Seiten  eines  Tetraeders  einander 
gleich,  so  sind  sie  auch  einander  congrueut. 

Infolge  des  Lehrs.  10.  stellt  sich  die  Spitze  Pt  des  gleichseitigen 
Tetraeders  als  Schuitt  dreier  Kugeln  dar: 

Durch  Subtraction  je  zweier  ihrer  Gleichungen  ergeben  sich  zwei 
lineare  Gleichungen  für  x4  und  yA.  Aus  Gl  (5)  folgt  dann  der 
Wert  von  24,  sämtliche  Coordinaten  in  Uebereinstimmung  mit  §  2., 
eiufacher  hergeleitet,  aber  erst  vermöge  der  Gleichheit  der  Gegen- 
kanten. 


§  8.   Mittelpunkt  und  Radius  der  eingeschriebenen  Kugel  eines 

gleichseitigen  Tetraeders. 

Ist  K  _  ;  y0  v,-!  -,,)  der  Mittelpunkt  der  eingeschriebenen  Kugel, 
so  hat  dieser  gleichen  Normalabstaud  r  von  allen  4  Seiten.  Zu- 
nächst ist  also 

*u  ' 

Legt  man  uuu  6  Ebeneu  durch  K  und  einzeln  durch  alle  Kanten, 
so  wird  das  Tetraeder  iu  4  congrueuto  Tetraeder  =  3  Jr  geteilt. 

Das  Tetraeder  auf  der  Seite  Ptl'J\  ist,  wenn  mau  sich  in  Be- 
treff des  Vorzeichens  durch  das  regelmässige  Tetraeder  leiteu  lässt: 


*8~"if«  x4 — x\  JQ — xi 

*xr  —  -    yi~yt  'Jh—y*  !/o—tfi  1  —  — 
b  *4  «o  |  U  1 


j  b—a  *4— a  x0-a  I 


n 

*4 


0  zx  r0 


o  %  %  i 


Das  Tetraeder  über  r,/W 


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und  das  Höhenschnitts- Tetraeder. 


265 


Afr  —  I  c     yx    y0  \  —  %4*0— z4y0)  -f  K*4*0— *42ö) 

i  o  ^  *o  I 

das  Tetraeder  über  P^P«: 


a    *4  tr# 

0  y4  ft 
0   *4  «o 


'   ausserdem  ist 


111 

0    y4  y0 

1 0   *4  * 

woraus  nach  Addition,  soferu  Jx  —  dt  =■  ^3  =  d: 

JJr  «=»  ac(zA  —  zo)  —  ^(«4  —  r) 
r  =  |s4 


folglich 


Dieselben  Gleichungen  ergeben  auch: 

(a  -f- —  ac  (z4  x0  —  jr4  20)    d.  i. 
a-f  &  =  4^  —  (a  —  6)  oder: 
'0  -  Ja 

— -  -  zAya  -  ;/4  -n  -=  (4y0-.y4)r 


ferner 


-*('-**-r-*) 


Da  die  r0,  y0,  2^  mit  den  Coordinaten  des  Schwerpunkts  Uberein- 
stimmen, so  hat  man  in  Ergänzung  von  Lehrsatz  3: 

Lehrsatz  12.  Der  Schwerpunkt  des  gleichseitigen  Tetraeders 
fällt  zusammen  mit  den  Mittelpunkten  der  um-  und  eingeschriebenen 
Kugel. 


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2ß(>  Hoppe:  L'tber  das  g  I eich  seit  i'y« 

§  9.   Mittelpunkt  und  Radius  der  eingeschriebenen  Kugel  des 

llbheuschnttts-Tetraeders. 

Setzt  man  deu  doppelten  Umfang  eines  beliebigen  Tetraeders 

4+4+4+'  -  V 
so  ist  das  sechsfache  Tetraeder 

Ur  ™  Jz4  —  acz4 

l)ic  Bezeichnung  von  §  b.  sei  beibehalten  uud  nur  die  Gleichheit  der 
Seiten  in  Wegfall  gebracht.  Dann  führt  die  gleiche  Rechnung  wie 
in  §  8.  zu  folgenden  Ergebuisson: 

r„  -  r  ~  v 

*t  jj-       i  »-        1J  c 

Um  aus  diesen  für  beliebiges  Tetraeder  geltenden  Formeln  die  dem 
Höhciisehnitts-Tetraeder  entsprechenden  zu  erhalten,  sind  nur  die  in 
§  6.  angegebenen  Werte 

n  — b             ,  a — b  £  —  bta—b) 
'4  -  *i    If4  =  *         ;    *4  -  *    c,  h  — - 

und  die  Seiteninhalte  einzusetzen.  Letztere,  findet  man  in  bekannter 
Weise  aus  ihren  Projektionen  auf  die  Coordinateuebeneu;  es  ergibt 
sich:   

<*-«»-  n+M— »V) 

§  10    Lage  der  genannten  Centra  des  HühenschnitU-Tetraeders. 

Die  Coordiuatcn  der  3  ersten  Centra  sind,  um  sie  zum  Ver- 
gleich zusammenzustellen: 

Ilöhcnschnitt  K: 

X  -  b  ■     Y=b  a — ;    Z  —  * 
1  c 


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und  das  nöhfnitrhnitls-Tetra'Hf.r. 


267 


Schwerpuukt  K': 

X'  -  "  +  %.     V  =  +±&=$,  Z'  -S-f£  (.  -  » a— *) 
4    '  4c  ich    \  c  ) 

Mittelpunkt  der  umschriebeueu  Kugel  K": 

demuach  zu  relativer  Bestimmung: 

A"  —  A'-o;     Y'—Y^ß;  Z'—Z—y 
A"-A=2«;    Y"—  y—  2ß\    Z"-Z  =  2y 

wo 

n  -  26      a       cH--\\b{a  —  h)  ti-b  c*—b(a  -b) 

■  — 4  i  ß-  -sr— «       4*  —  * 

Die  genannten  ;J  Centra  liegeu  also,  gleichwie  Höheiisehuitt  und 
Umk reis mitt elpunkt  eiues  Dreiecks,  auf  einer  geraden  Linie,  in  glei- 
cher Reihenfolge,  aber  in  succcdircndeu  Abständen,  die  beim  Dreieck 
sich  verhalten  wie  2:1,  beim  Tetraeder  wie  1:1.    Setzt  man 

««  =  «*  +  0t  +  yi 
so  dass  beim  Tetraeder  die  Kichtuugslosiuus  jeuer  geraden  Liuie 

rt    ß    y  et  ß 

.  .  beim  Dreieck  -«  werden,  so  ist  beim  Tetraeder  A*A''  =  x 
xxx  xx 

KK"  -  2x;  K'K"  -  x  beim  Dreieck  AAT'  -  x;  A'A"  -  2  x , 
A"A"'  =  Jx. 

Die  Ausdrücke  für  Inkugel-  und  Inkreismittelpunkt  des  Tetra- 
eders uud  Dreiecks  zeigen  zunächst  die  Aehnlichkeit ,  dass  sie  den 
Umfang  zum  Nenner  uud  einen  aus  den  Seiten  ähnlich  gebildeten 
Zähler  haben;  eine  instruetive  geometrische  Beziehung  kanu  viel- 
leicht noch  entdeckt  werden. 


I  11.   Zur  Determination. 

Der  U  mfang  beider  in  Rede  stehenden  Spccialclassen  vom  Te- 
traeder ist  von  den  vorstehenden  Sätzen  vollständig  euthalteu.  In 
Betreff  der  gleichseitigen  Tetraeder  liegt  die  Determination  unmittel- 
bar zutage.  Es  gibt  geuau  ebcnsoviclo  verschiedene  (d.  h.  weder 
congruentc  noch  symmetrische)  gleichseitige  Tetraeder,  als  es  ver- 
schied ene  spitzwinklige  Dreiecke  gibt. 


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26S 


Hopp*:  ütber  da«  gUichsetiigt 


Auch  das  Gebiet  der  Höheusebnitts-Tetraeder  ist  durch  die  Be- 
stimmung der  Spitze  I\  bezüglich  auf  eine  Gruudseite  schon  absolut 
begrenzt.  Zwar  läset  sich  die  Variation  des  Parameters  A  auf  4 
Parameter  bezüglich  auf  alle  4  Seiten  anwenden.  Da  aber  die 
Variabilität  von  h  bedingt  ist  durch  Unverauderlichkeit  des  Grund- 
dreiecks, so  können  nie  mehr  als  ein  Parameter  zugleich  variiren. 
Hat  man  nun  das  Gebiet  nur  mit  Berücksichtigung  eines  Grunddrei- 
ecks begrenzt,  so  umfasst  letzteres  schon  alle  möglichen  Dreiecke, 
mithin  kann  die  Wahl  eiues  der  3  übrigen  Seiten  zum  Grunddreieck 
keinen  neuen  Fall  ergeben.    Die  Determination  lautet: 

Es  gibt  sovicle  verschiedene  Höhonsehnitts-Tctraeder,  als  es  ver- 
schiedene Dreiecke  (als  Grundflächen)  und  verschiedene  Strecken 
(als  Höben)  gibt. 


§  12.    Gleichseitiges  Tetraeder  einet- schriebe»  in  ein 

Parallel  epipedon. 

Je  2  Gerade  im  Räume  bestimmen  2  parallele  Ebenen,  auf  denen 
sie  liegen.  Um  z.  B.  aus  den  Gleichungen  der  2  Gegenkanten  PtPt 
utid  /y9,  nämlich 

X  —  h       y  —  c  z 
y  *=»  ü;    z  —  Ü  •  und   ;  =  — - 

diese  Ebenen  zu  erhalten,  braucht  mau  nur  mit  der  letzteren  durch 
P,  die  Parallele 

_*   y      b  z 

* 

zu  ziehen;  denu  diese  bildet  mit  der  erstem  die  Wiukelebene. 

*«  jf + (*  —  y«)*  =  o 

mit  der  dann  die  andre  Ebene 

*i{y—  c)  +  (c  —yjz  —  0 

nur  parallel  durch  Ps  zu  nehmen  ist.  Erstere  sei  Ebene  der  neuen 
Coordinaten  XY  (d.  i.  Z  «  0).  Sie  geht  aus  der  xy  Ebene  durch 
Drehung  um  die  Kante  /',/*,  hervor,  so  dass  die  Coordinatenrela- 
tionen  die  Form  haben  müssen: 

z=X\   y  =  Fcosfr  —  Zsinfl;   *  «=  Fsin#-f  Zcostf 


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nnd  da»  HUhfnxrhniU*- Tetraeder, 


260 


und  zwar  bestimmt  sich  der  Drehungswinkel  &  am  einfachsten  aus 
den  Bedingungen  z  —  0,  Zs  •=»  2T4,  woraus  sogleich  mit  Beachtung 
von  Gl.  (5)  folgt: 

y4=»_  rcos20,   c4  —  —  r  sin  2» 

also 

Verfährt  man  ebenso  mit  allen  3  Gegenkantenpaaren,  so  ent- 
stehen 3  Paare  paralleler  Ebenen,  die  ein  Parallelepipedon  begren- 
zen, in  welches  das  Tetraeder  in  dem  Sinne  eingeschrieben  ist,  dass 
seine  6  Kanten  Diagonalen  der  6  Seiten  desselben  bilden.  Seine  4 
Ecken  fallen  in  4  der  8  Ecken  des  Parallelepipedons ,  während  die 
4  übrigeu,  unberührt  vom  Tetraeder,  Eckon  eines  zweiten  Tetra- 
eders  sind,  das  zum  ersten  in  reciproker  Beziehung  gegenseitiger 
Bestimmung  steht. 

Die  3  Höhenlote  des  Parallelepipedons  werden  unmittelbar  im 
Tetraeder  dargestellt  als  Normalverbindungen  der  Gegenkanteu. 
Aus  den  Gleichungen  der  Gegenkanten  PxPt  und  PSP4  ergeben  sich 
zunächst  deren  Xormalebenen 

(«f  - *,) (« -  A)+(to -  *)  (y B)+ (*,  - «,)(.- C)  -  0  (16) 
iKA-^{tf-A')+(M4-nW-#)+(H-*JW-C<)  =-  0  (17) 

bzhw.  für  die  Fusspunkte  (ABC)  und  (A'B'C).  Jeder  dieser  2 
Punkte  muss  aber  auf  beiden  Normalebenen  liegen ;  deingemäss 
muss 

(xt  —  xl)(A'  —  A)  +  .  .  .  =  0  (18) 
(*4  —  9-8)M'  —  A)  -f  .  .  .  -  0  (19) 

und,  damit  jeder  auf  zugehöriger  Kante  liegt, 

A  =  u  =  yi  +  My*— y\)'  •  •  •  (20) 

4'-*s+^<*«-*,);   Ä'-.V3+^-y3),.  •  •  (21) 

sein.  Diese  Werte  in  Gl.  (18)  (19)  eingesetzt  gibt  2  lineare  Glei- 
chungen zur  Bestimmung  von  p  und  und  nach  Gl.  (20)  (21)  von 
A,  B,  C\  A',  B\  C*.  Sind  letztere  festgesetzt,  so  liegen  die  Punkte 
{xyz)  und  (x'y'z'),  welche  die  Gl.  (16)  (17)  befriedigen,  auf  der 


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270 


Hoppe:  f'ehtr  das  qUirhsriliyr  err. 


Schnittlinie  der  2  Normalebenen,  ausgedrückt  durch  Verbindung  bei- 
der Gleichungen.    Der  Normalabstand  ist  danu 

Auch  wird  derselbe  als  Höhe  des  Parallelepipedons  dargestellt  durch 


Die  vorstehenden  Formeln  siud  nur  für  l  Höhenlot  ausgeschrieben, 
zur  Anwendung  auf  die  2  übrigen  bedarf  es  nur  der  Vertauschung 
der  Indices  1,  2,  3,  4. 


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Bück  i ng:  Die  Stilensymmelriegeraden  des  Dreiecks. 


271 


XII. 

Die  Seitensymmetriegeraden  des  Dreiecks; 
als  besonderen  Fall  die  Steiner'sche  Curve  des 

Dreiecks. 

Von 

Dr.  Bücking, 

Oberlehrer  in  Merz. 


Einleitung. 

Nach  dem  bekannten  dualistischen  Gesetz  müssen  den  involutori- 
sehen  Punktsystemen  der  Ebene,  in  denen  die  Punkte  sich  paarweise 
entsprechen,  Strahlensysteme  gegenüberstehen,  in  welchen  die  Geradeu 
involutorisch  zugeordnet  sind.  Zu  diesen  gehört  das  System  der 
Seitensymmetriegeraden;  ich  nenne  2  Geraden  Symmetriegeraden, 
wenn  sie  die  Seiten  eines  A  in  gleich  weit  von  den  Seitenmitten 
entfernten  Punkten  schneiden.  Legt  mau  bei  den  Punktsystemen 
die  speciellen  Punktcoordinaten  (a*,r3a-3)  zu  Grunde,  bei  welchen  die 
Abstände  selbBt,  nicht  bestimmte  Vielfache  derselben  als  Coordinaten 

angesehen  werden,  so  sind  —  $  1  .  1   die  Coord.  des  Winkelgegen- 

xt    *f  x3 

punkte  von  (a*.  ar.^).  Wählt  inau  bei  den  Liniensystemen  als  Linien* 
coordinaten  (i-iVis)  die  Abstände  der  Geraden  von  den  Ecken  des 

Grunddreiecks,  so  sind       1,2,3  und  *  die  Coordinaten  zweier  Seiten- 

symmetriegeraden.  In  diesem  Sinne  stehen  die  Seitensymmetrie- 
geraden den  Winkelgegenpunkten  zur  Seite. 

Die  Geometrie  des  Dreiecks  entfaltet  ihren  grössten  Reiz  in  den 
besonderen  Fällen;  unter  den  Kegelschnitten  z.  B.,  welche  durch  die 
Mittelpunkte  der  Seiten  des  Dreiecks  gehen,  hat  gewiss  der  Kreis 


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272 


liäcking:   Di*  Seitensymmetricgeraden  dt*  Dreirck*. 


von  Feuerbach  die  meisten  und  merkwürdigsten  Eigenschaften.  Alle 
sogenannten  merkwürdigen  Puukte  sind  um  so  wichtiger  für  das 
Dreieck,  je  elementarer  ihr  Zusammenhang  mit  ihm  ist,  z.  B.  können 
sich  die  Brocard'schen  Punkte  nicht  mit  dem  Schwerpunkte  messen. 
Bei  Untersuchungen  über  das  Dreieck  wird  man  also  stets  gezwungen 
sein,  die  Einzelfälle  der  allgemeinen  Sätze  auszubeuten.  Es  wurde 
nicht  immer  die  analytische  Methode  angewandt,  da  sie  in  trimetri- 
schen  Coordinaten  ungeeignet  zur  Untersuchung  von  Winkeln  und 
Massverhältnissen  ist  Die  analytischen  Teile  enthalten  einen 
interessanten  Stoff  für  projectivische  Coordinaten;  der  englische 
Mathematiker  Green  schreibt:  the  question  (die  von  den  normalen 
Symmetriegeraden  umhüllte  Steiner'sche  Curve)  was  proposed  to  me 
some  time  ago  in  conversatiou  by  Dr.  Hirst  as  one  of  some  difticulty 
and  apt  for  tho  exercise  of  the  method  of  trilinear  coordinates.  (The 
geometry  of  the  triangle.  u.  s.  w\,  1865). 

Es  bedeutet  H  den  Höhenschnittpunkt ,  M  den  Mittelpunkt  des 
umgeschriebenen,  O  des  eingeschriebenen  Kreises,  £  deu  Schwer- 
punkt, Dx  Dt  D3  die  Mittelpunkte  der  Seiten  des  Grunddreiecks 
AlAlA*\  ferner  C*  einen  Kegelschnitt,  r*  einen  Strahlenhüschel 
zweiter  Classe,  also  die  Taugentenschaar  eines  Kegelschnitts,  C  "  eine 
Curve  «ter  Ordnung,  F"  einen  Strahlenbüschel  nter  Classe;  Ssg  sei 
die  Abkürzung  für  Seiteusymmetriegerade  ,  Fpl  für  Fusspunktlinie 
Wgp  für  Wiukelgegenpunkt,  Sgp.  für  Seitengegcnpunkt. 


1.  Seitengegenpunkte. 

Die  Punkte  Pund  1\  sind  Seitengegenpunkte  im  Dreieck  AxA%A^y 
wenn  ihre  Verbindungsgeraden  mit  den  Ecken  die  Gegenseiten  des 
Dreiecks  in  gleichweit  von  den  Mittelpunkten  der  Seiteu  entfernten 
Punkten  schneiden,    (s.  Fig.  1.) 

Wenn  die  barycentrischen  Coordinaten  vom  Punkte  P  (d.  h. 
Grössen,  welche  den  Flächen  PAtA^  PA*Ay,  PA%At  proportional 
siud)  —  ply  pfi  ps  sind,  so  sind  diejenigen  von 

P  -  1    1  1 

Pi   Pt  Ps 

die  Coordinaten  beider  Punkte  sind  reeiproke  Werte.  Es  ist  nütz- 
lich, die  barycentrischen  Coordinaten  als  Puuktcoordinaten  für  die 
folgenden  Untersuchungen  zu  verwenden. 

Durchläuft  P  die  Gerade  a,  deren  Gleichung  (in  b.  C.)  ist 


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BQcking:  Die  Setteneymmetriegeraden  de»  Dreiecks. 


273 


so  erhält  man  den  Ort  seines  Seitengegenpunktes,  indem  man  die 
x,  mit  -  vertauscht,  also 

2»  +  *  +  *-0  ^ 

*t        xt  *i 

d.  h.  einen  durch  Au  At,  A3  gehenden  Kegelschnitt. 

Im  allgemeinen  entspricht  einer  O*  eine  C2";  die  Verwandtschaft 
beider  Systeme  ist  eine  quadratisch  involutorische.  (s.  A.  Müller- 
Kempten,  Untersuchungen  über  die  merkwürdigen  Punkte  und  Linien 
des  Dreiecks  1889;  F.  Bücking,  die  Winkelgegenpuukte  des  Drei- 
ecks, Progr.  1892.  Nr.  522.  S.  2). 

Aebnlich  gestalten  sich  die  Formeln  für  die  Liniencoordinaten. 
Der  Punkt  P  mit  den  barycentrischen  Coordinaten  j>„  p*,  p3  hat  die 
Gleichung 

worin  die  £(  die  Abstände  jeder  beliebigen  durch  P  gehenden  Ge- 
raden von  den  Ecken  des  Dreiecks  bedeuten.  Der  Seitengegcupunkt 
von  P  hat  die  Gleichung 

*»  4-  i*  j-  h  _  o 
Vi     Pt  Ps 

Die  Coefticienten  dieser  Gleichungen  sind  also  deu  Punktcoor- 
dinaten  der  durch  die  Gleichungen  dargestellten  Punkte  proportional. 

Jedem  Punkte  der  Ebene  entspricht  ein  bestimmter  Punkt  als 
Seitengegenpunkt ,  mit  Ausnahme  der  Ecken  des  Dreiecks  A1AiAiy 
z.  B.  ist  Ax  als  Gegenpunkt  eines  jeden  auf  .4,,.-!,,  liegenden  Punktes 
zu  betrachten.  Sich  selbst  entsprechende  Punkte  sind  der  Schwer- 
punkt S  und  dio  Schnittpunkte  der  Paralleleu  durch  Av  At  und  A9 
zu  den  Seiten  des  Dreiecks. 


2.  Seitensymmetriegeraden. 

Man  erhält  die  Ssg.  p,  einer  beliebigen  p,  indem  man  auf  den 
Seiten  des  Dreiecks  a^a^A^  die  zu  den  Schnittpunkten  mit  p  in 
Bezug  auf  die  Seitenmitten  symmetrisch  gelegenen  Punkte  aufsucht 
(Fig.  1.)    Die  Gleichungen  von  p  und  p,  sind 

Arch.  4.  Math.  u.  Pbjrs.   2.  Roihe,  T.  XVI.  I8 


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274  Buching:  Die  Seitentymmetriegeraden  des  Dreieck: 


Pl*l  -fPt*S  +  Ps*3  =  0 

1) 

Xj       x,      x$  _  o 
Pi      Pt  Ps 
also  in  Liniencoordinaten 

Ii  :  h  :1s  —  P\  •  P% : 

2) 

111 

V      •    w      «    *>  - —      *     -  -  -  •   

J  Pi     Ps  Ps 

Eine  Gerade  fällt  mit  ihrer  Ssg  zusammen,  wenn 

Pi  -  ±  Ps  =  ±  Pi 

ist.    Dies  giebt  die  4  Geraden 

«i  +  *%  +  **  —  0 

-3-1  +  *l  +  *3  -  0 

ar,  —  x,  +  ars  =  Ü 

*t  +  «t  —  «i  —  o 

Diese  als  Ssg  sich  selbst  entsprechenden  sind  die  x  ferne  Ge- 
raden der  Ebene  uud  die  Seiten  des  Dreiecks  /J,  ps  D3  (s.  Einleitg.). 

Im  System  der  Ssg  entspricht  also  jeder  Geraden  eine  be- 
stimmte andere,  mit  Ausnahme  der  Seiten  des  Dreiecks  .1  :  von 
welchen  jede  ao  viele  entsprechende  Geraden  hat,  nämlich  alle  durch 
den  Gegenpunkt  des  Dreiecks  gehende. 

Wir  wollen  nun  das  Gebilde  betrachten,  das  eine  Gerade  g 
durchläuft,  wenn  ihre  Seitensymmetricuterade  sich  um  einen  Punkt 
dreht.    Der  Puukt  sei  P  uud  seine  Gleichung 

»)  PiSj  +p*U+p%h  =  0 

Dann  müssen  die  Coord.  von  g  nach  2)  notwendig  die  Gleichung 
erfüllen 

f'  +  fS  +  '»  =  o.  odcr 

ti        *i  5s 

4) 

Pi  Ii  'it  +  Pi  la  h  +  Ps  £i  >"*  -  0 

Dies  ist  ein  Strahlenbüschel  zweiter  Classe,  zu  welchem  auch 
die  Seiton  des  Dreiecks  AlA^Afl  eebören.  Wir  wollen  es  kurz  be- 
zeichnen mit  /"(«)  oder  auch,  indem  wir  den  umhüllten  Kegelschnitt 
in's  Auge  fassen,  den  Kegelschuitt  n.    Den  Punkt  P  und  die 


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Bäckiny:  Die  S*iten»ymmetriegeradtn  des  Dreieck*.  275 

wollen  wir  als  „zusammen  gehöreud"  oder  „entsprechend"  bezeich- 
nen,  (s.  Fig.  2.) 

Die  Berührungspunkte  von  n  mit  den  Seiten  des  Dreiecks  findet 
man,  indem  man  schreibt 


Pi  hh  +  U  (P*  *3  +  7>s  h)  —  0 
und  den  Coefficienten  von  |,,  also 

P2Z3  +  P3Z*  =  0 
setzt.    Die  Berührungspunkte  sind  dann 

Pi       Ps  Ps       Pl  Pl  Pt 

Wir  nennen  sie  jtf„  B%,  ß$.  AtB%,  A^B^,  A^B^  schneiden  sich  dann 
im  Punkte 

Pl        Pt  P3 

er  ist  der  Seitengegenpunkt  1\  von  P.  Wir  nennen  ihn  den  Nagel- 
sehen  Punkt  des  Dreiecks  AlAiA3  in  Bezug  auf  n  oder  kurz  den 
N.  P.  von  w,  indem  wir  einen  Nameu,  der  in  gleicher  Bedeutung 
für  den  eingeschriebenen  Kreis  bereits  gebraucht  wird,  verallge- 
meinern. 

Wenn  eine  Gerade  ein  Strahlcnbüschel  n  ter  Classe  T*  durch- 
läuft, so  worden  die  Ssg.  im  allg.  ein  Fin  bildeii.  Denn  ist  die 
Gleichung  der  I* 

so  erhält  man  als  entsprechende  nach  Gl.  2) 

Ol  ii  is) 

welche  nach  Multiplication  mit  ('£,«,  £2M,  Ssn)  vom  2«ten  oder  ge- 
ringeren Grade  ist,  z.  B.  bilden  die  Ssg.  die  Tangenten  eines  dem 

Dreieck  AxAtA%  des  Kegelschnitts  2  a'  =  0  des  Strahlenbüschels 

-1  *S  ?3  L*l  5«  -3         -3  M. 

Jedem  Punkte  P  entspricht,  wie  wir  sahen,  eine  r(n).  Diese 

18* 


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276  Büeking:  DU  StiUMj/mmetriegeraden  des  Dreieck*. 

kann  ancb  in  2  Strahlenbüschel  ausarten.  Setzt  man  in  61.  4)  p,  =  0, 
so  ist  die  r(n)  das  einfache  Strahlenbüschel 

Pi&  +  Ps£i  =  0 

dessen  Mittelpunkt  auf  ASAS  liegt;  hierzu  kommt  das  Strahlenbaschel 
€j  =  0  oder  At.  Jedem  Punkt  einer  Seite  des  Dreiecks  AlA%Ai 
entspricht  also  ein  Punkt  derselben  Seite;  die  sich  entsprechenden 
Punkte  liegen  von  der  Seitenmitte  gleichweit  entfernt.  Sie  fallen 
zusammen  in  den  Seitenmittenpunkten  D, ,  Df  oder  D8  und  in  den 
qo  fernen  Punkten  der  Seiten  des  Dreiecks  d.  h.  jedem  Strahl  eines 
dieser  6  Strahlenbaschel  entspricht  ein  Strahl  desselben  Büschels, 
wie  dies  geometrisch  sofort  einleuchtend  ist.  Die  Zuordnung  [in 
einem  solchen  ist  eine  involutorische  und  die  Ordnungsstrafen 
sind  2  sich  selbst  als  Ssg.  entsprechende  Strahlen.  Parallelen  Geraden 
entsprechen  die  Tangenten  einer  dem  Dreiecke  A^A%AZ  eingeschrie- 
benen Parabel,  denn  da  zu  jenen  auch  die  sich  selbst  entsprechende 
oo  ferne  Gerade  gehört,  so  muss  der  entsprechende  Kegelschnitt  sie 
zur  Tangente  haben.  Einem  oo  fernen  Punkt  P  entspricht  also 
eine  Parabel,  deren  Axe  durch  P  geht.  Also  folgt  auch  umgekehrt, 
dass  die  8sg.  der  Tangenten  einer  dem  Dreieck  AxAtAs  eingeschrie- 
benen Parabel  Durchmesser  eben  derselben  sind.  Im  besonderen 
muss  die  Scheiteltangente  der  Parabel  zu  ihrer  Ssg.  senkrecht  stehen 
und  nur  sie  von  allen  Parabeltangenten  hat  diese  Eigenschaft.  Dar- 
aus folgt  umgekehrt  leicht:  „Die  zueinander  normalen  Seitensymmetrie- 
geraden  sind  die  Scheitel tangenten  der  dem  Dreieck  ^xAtAs  einge- 
schriebenen Parabeln." 

Wenn  durch  P  an  n  Tangenten  gezogen  werden  können,  so  sind 
es  Ssg.  Denn  nennt  man  sie  PU  und  PV,  so  ist  die  Ssg.  von  PU 
erstens  Tangente  an  »,  da  PU  durch  P  geht;  zugleich  muss  sie 
auch  P  enthalten,  da  PU  zur  i'(re)  gehört.  Wenn  also  PU  sich  nicht 
selbst  entspricht,  so  muss  ihre  Ssg.  PK  sein.  Liegt  P  auf  einer  sich 
selbst  entsprechenden  Geraden,  so  fallen  PU  und  Pf  zusammen,  und 
P  ist  ein  Punkt  von  ?r.    Wir  haben  also  den  Satz: 

„Die  Tangenten  von  einem  Punkte  an  dem  zugehörigen  Kegel- 
schnitt sind  Seitensymmetriegeraden." 

Ferner : 

„Durch  jeden  Punkt  der  Ebene  gehen  höchstens  zwei  Ssg.44 
Man  erhält  für  die  durch  P  gehenden  Ssg.  die  Gl. 


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Bück  in?:  Die 


des  Dreieck*. 


277 


Pili  -\-Pth+P*'£s  =  0 


Also 


P\P%- 


also 


k  .  p*—Pi*— &!±  v<*> 


<P  (Pi+Pt+pJi-Pi+Pi+PsHPi—pt+pJiPi+Pt  ~Ps) 

ist.  Sie  sind  also  reell,  wenn  <p>0,  sie  fallen  zusammen  für  <p=0 
und  sind  imaginär  für  <p  <  0.   9  ist  =  0  fQr 


also  nur  iür  die  sich  selbst  entsprechenden  Geraden  (S.  272).  Man  findet 
<p  <  0,  wenn  P  im  Dreieck  £>,£),  D3  oder  in  den  Winkelräumen  der 
Scheitelwinkel  seiner  Winkel  liegt,  sonst  ist  <p  >>  0.  Also  gilt  der 
Satz: 

„Durch  jeden  Punkt,  welcher  nicht  im  Dreieck  D,DSZ>3  oder  in 
den  Winkelräumen  seiner  Scheitelwinkel  liegt,  gehen  zwei  reelle 
Seitensymmetriegeraden." 

Man  findet  sie  für  den  Punkt  P,  indem  man  die  Seitengegen- 
geraden von  Ax  l\  AfP,  A3P  zieht,  durch  ihre  Schnittpunkte  mit  den 
Gegenseiten  des  Dreiecks  einen  dem  Dreieck  eingeschriebenen  Kegel- 
schnitt legt  und  vom  ersten  Punkt  Tangenten  an  ihn  zieht. 

Um  den  Mittelpunkt  von  n  zu  bestimmen,  ziehe  man  durch  P 
die  Parallele  zu  ASAS  und  ihre  Ssg,  deren  Berührungspunkt  C,  mit 
w  auf  ABP  liegen  muss  (s.  Fig.  2.)  B^CX  ist  dann  Durchmesser  von 
*,  für  C,  findet  man  die  Coord. 


*j  :  *t  i  **  =  (Ps  +Pa) :  (Ps+Pi)  I  (Pi  +  Pi) 

Wir  stellen  uns  die  Frage,  ob  P  Mittelpunkt  von  n  sein  kann. 
Es  muss  dann 


Der  Schwerpunkt  8  »Hein  also  ist  der  Mittelpunkt  des  zu  ihm 


±  u  =  ±  h 


also 


Pl  '  Pt  ■  Pi  =  (Pt  +  Ps)  :  (Ps  +Pt)  :  (Pt  +  Pi) 


p  1  =  Pt  =  Pi  seln- 


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278  Bucking:  Die  Seiten  symmetriegeraden  des  Dreieck*. 

gehörenden  Kegelschnitts.  Die  durch  S  gehenden  Ssg  sind  imaginär. 
Man  findet  ihre  Gleichungen  auf  folgende  Weise.  Angenommen  sie 
seien 

Pi*i  +         +/>3*5  =  0 
x»  +  **  4-  x*  =  o 

ri     Vi  Ps 


so  erhält  man  durch  Multiplikation 
Da 

Pi  +  Vi  +  Vs  =  0  und 

1  +1  +  l 

Pi      Vi  Vs 

so  sind  dio  Coefficienteu  der  3  letzten  Glieder  =  —  1,  also 
xi2-h  ***+*32  —  *ü*3  ~  «3*i  —  xix«  =  0  oder 

(»I+«t«l+«t  %)(«!  +  «•  *■  +  «•«•)  =  0 

wenn  ef  und  f3  diu  kubischen  Eiuheitswurzelu  =  -  sind.  Dio 

gesuchten  Ssg  sind  also 

*7  +  *i*t  +  *3*3  -  0 
«I  +*3X2  +  ^X3  =  0 

Wir  fassen  von  den  Curven  die  dem  Dreieck  eingeschriebenen 
Hyperbeln  und  ihre  Asymptoten  in's  Auge  Dem  Schnittpuukt  Jl 
zweier  Tangenten  von  n  entspricht  ein  Kegelschnitt  pj,  welcher  die 
Ssg  der  Tangenten  berührt.  Liisst  mau  die  Tangenton  zusammen- 
fallen, so  entspricht  einem  Punkt  Ii  (Tangente  0  von  t  ein  durch 
P  gehender  die  Ssg  von  /  in  /'  berührender  Kegelschnitt.  Ist  also 
n  eine  Uyperbel,  to  entsprechen  ihren  beiden  <x  fernen  Punkten 
die  dem  Dreieck  AXA^A^  eingeschriebenen,  durch  P  gehenden  Para- 
beln (S.  274).  Wenn  also  umgekehrt  durch  P  solche  Parabelu  ge- 
legt werden  können,  so  ist  rr  eine  Hyperbel;  jenes  findet  statt,  weun 
P  ausserhalb  des  Dreiecks  AtAtAz  oder  der  Flächen  seiner  Scheitel- 
winkel liegt.    So  hat  sich  ergeben: 

,,Üer  zu  einem  Punkte  P  gehörende  Kegelschnitt  n  ist  eine 
Ellipse  oder  Hyperbel,  je  nachdem  P  innerhalb  des  Dreiecks  AtA2As 


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Bückinq:  Die  Seitentymmetriegtraden  des  Dreieck*. 


279 


und  der  Flächen  seiner  Scheitelwinkel  liegt  oder  ausserhalb  der- 
selben; n  ist  eine  Parabel,  wenn  P  eiu  Punkt  der  od  fernon  Ge- 
raden ist.4* 

Da  der  Nagel'sche  Punkt  Pj  von  n  der  Scitengegenpunkt  von 
P  ist  und  die  Ssg  der  qo  fernen  Punkte  auf  der  Steiner'schen  Ellipse  t 
liegen,  so  folgt  :  ,,Dcr  Nagelfeile  Punkt  einer  dem  Dreiecke  einge- 
schriebenen Parabel  liegt  auf  e,  derjenige  einer  Ellipse  innerhalb, 
diejenige  einer  Hyperbel  ausserhalb  vou  f." 

Ist  n  eine  Hyperbel,  u  und  «  ihre  Asymptoten,  ><,  und  u,  deren 
Ssg,  so  sind  u ,  uud  i\  die  Tangenten  in  P  von  2  durch  P  gehenden 
Parabeln.  Da  nun  die  oo  fernen  Puukte  von  n  durch  je  2  diame- 
tral gegenüberliegende  Punkte  harmonisch  getrennt  sind,  so  gilt  dies 
auch  für  die  Taugenten  in  diesen  Punkten,  also  auch  für  deren  Ssg. 
Also  sind  die  Ssg  von  zwei  parallelen  Taugeuten  von  n  im  Büschel 
P  harmouisch  getrennt  durch  u,  und  vv ;  sie  sind  zugleich  Taugenten 
au  eine  dem  Drsieck  eingeschriebeneu  Parabel  (S.  ^74);  die  zuge- 
ordneten Strahlen  des  involutorischen  Büschels  P  sind  demnach  die 
Tangeutenpaare  von  P  au  die  dem  Dreieck  eingeschriebenen  Para- 
beln und  die  Ordnuugsstrahleu  des  Büschels  sind  die  Tangenteu  der 
2  durch  P  selbst  gehendeu  Parabelu.  Zugeordnet  sind  auch  PAX 
und  die  Parallele  durch  P  zu  AtAz.  Uies  führt  zu  einer  Coustruction 
der  Parabeltangenteu  in  P  uud  der  Asymptoten  von  n.  Man  ziehe 
PAU  PAt,  PAZ  uud  die  Parallelen  bxbfa  zu  den  Seiten  durch  P 
und  bestimmt  in  dem  so  erhaltenen  iuvolutorischen  Büschel  P  die 
Ordnungsstrafen  Sie  sind  die  verlangten  Taugenten,  ihre  Seiteu- 
syrametriegeraden  sind  die  Asymptoten  der  P  zugehöreudeu  Hyper- 
bel 7T. 

Für  einen  einzigen  Puukt  der  Ebene  ist  das  Büschel  P  ein 
rechtwinkliges,  nämlich  für  //,  den  Ilühenschnittpunkt  des  Dreiecks 
AlAiAi.  Die  von  //  an  irgend  eine  dem  Dreieck  AlAiAi  eingeschrie- 
bene Parabel  gezogenen  Tangeuten  stehen  also  aufeinander  senk- 
recht, was  den  bekannten  Satz  liefert,  dass  die  Leitlinien  aller  dieser 
Parabeln  sich  in  H  schueideu. 

Liegt  P  aut  dem  Kreise  AlAiA3.  so  ist  das  Büschel  eiu  sym- 
metrisches, denu  bringt  man  es  zum  Schnitt  mit  dem  Kreise,  so  sind 
die  Verbindungslinien  entsprechender  Schnittpunkte  parallel  den 
Wiukelgegengeradeu  von  A^P,  AtP  uud  A3P\  und  wenn  UV  der  zu 
dieser  Richtung  normale  Kreisdurehmesser  ist,  so  sind  PU  uud  PV 
die  Orduuugsstrahlen  und  PU  seukr.  auf  PI'.  Da  PU  und  PF  auch 
die  Tangenteu  der  2  durch  P  gehenden  dem  /i  eingeschriebenen  Pa- 
rabeln sind,  so  schueideu  sich  diese  in  P  uuter  rechten  Winkeln. 


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280 


Bücking:  Die  Seitemj/mmetriegeraden  des  Dreiecks. 


Dieselbe  Zuordnung  der  Strahlen  im  Büschel  P  erhält  man ,  wenn 
man  ans  P  die  Punkte  des  Kreises  und  zugleich  ihre  Winkelgegen- 
punkte projicirt.  (s.  Bücking  a.  a.  0.  p.  10),  PU  und  PV  enthalten 
also  auch  die  Wgp.  von  U  und  V. 

La sst  man  P  den  Kreis  durchlaufen ,  so  erhält  man  eine  Schaar 
von  Ordnungsstrahlen,  sie  sind,  wenn  Oi%  08,  Ot  die  Mittelpunkte 
der  angeschriebenen  Kreise  des  Dreiecks  AxAtA%  bezeichnen,  die 
Fusspunktlinien  des  Dreiecks  OxOsOs  (s.  Bücking  a.  a.  0.  Auf.  31). 
Von  ihnen  berühren  3  den  Kreis  At  As  A3  und  die  dazu  gehörigen 
Normalstrahlen  sind  Durchmesser  (s.  Auf.  30). 

Also  giebt  es  auch  3  dem  Dreieck  At  As  As  eingeschriebene 
Parabeln,  welche  den  Kreis  A^AZAS  berühren,  und  3,  welche  ihn  in 
denselben  Punkten  rechtwinklig  schneiden.  Da  das  Büschel  P  nur 
dann  ein  symmetrisches  ist ,  wenn  P  auf  dem  Kreise  Ax  A3A3  liegt, 
so  muss  also,  wenn  zwei  einem  Dreieck  eingeschriebene  Parabeln 
sich  rechtwinklig  schneiden,  der  Schnittpunkt  auf  dem  Umkreis  des 
Dreiecks  gelegen  sein. 

Die  4  als  Ssg  sich  selbst  entsprechenden  Geraden  bilden  ein 
Vierseit,  dessen  eingeschriebene  Kegelschnitte  mit  den  Ssg  in  enger 
Verbindung  stehen.  Die  Kegelschnitte  sind  die  dem  Dreieck  DlDiDi 
eingeschriebenen  Parabeln,  da  sie  die  gd  ferne  Gerado  berühren; 
je  2  Ssg  des  Dreiecks  AXA%AZ  sind  conjugirt  in  Bezug  auf  alle  diese 
Parabeln.    Denn  die  Gleichung  der  letzteren  ist 


Den  Pol  der  beliebigen  Geraden  —  pi  für  eine  Curve  1  erhält 
man  in  der  Form 

tti  Si  Pi  +  "*hPi  +  «s  UPs  -  0 
und  2  ist  erfüllt,  wenn 


ist,  d.  h.  der  Pol  liegt  auf  der  Seitensymmetriegeraden  von     —  p|. 

Also  enthält  das  dem  Punkte  P  entsprechende  Strahlenbüschel 
r(n)  die  Polaren  von  P  in  Bezug  auf  die  dem  Dreieck  DiDtDs 
eingeschriebenen  Parabeln.  Ist  P  ein  Punkt  einer  solchen  Parabel 
p,  so  ist  seine  Polare  für  p  die  Tangente  t  an  p  in  P.    Da  t  und 


1)  «hfii'  +  'W  +  ^^O 
in  Verbindung  mit  der  Bedingungsgleichung 

2)  «i  +  «3  +  "3  -  0 


Pi  tt  -  Ptio  -  Pi  tz    oder  £, 


1 

P< 


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Bäcking:  Die  SeiUmymmetrugeraden  des  Dreieck*.         *  281 

ihre  Ssg  f(  conjugiert  sind  für  p,  so  muss  /,  auch  durch  P  gehen: 
es  in nss  also  noch  eine  2  te  durch  P  gehende  Parabel  möglich  sein, 
welche  dann  /,  berührt.  Gebt  man  umgekehrt  von  einem  Punkte  P 
aus,  durch  welche  zwei  dem  Dreiecke  eingeschriebene  Parabeln  ge- 
legt werden  können,  so  sind  die  Tangenten  an  6ie  in  P  8sg;  Para- 
beln und  Ssg  durch  C  sind  zu  gleicher  Zeit  reell  oder  imaginär. 

Da  nun  bekannt  ist,  dass  mau  durch  P  nur  danu  Parabeln  jener 
Art  legen  kann,  wenn  von  den  Punkten  PDt  £>aD3  keiner  durch  das 
von  den  3  andern  gebildete  Dreieck  eingeschlossen  wird,  so  kommen 
wir  auf  den  S.  7—8  abgeleiteten  Satz  zurück. 

Die  zwei  durch  P  gebenden  Ssg  bestimmen  nach  dem  Vorher- 
gehenden auch  den  Winkel,  unter  welchem  sich  die  zwei  durch  P 
gehenden  dem  Dreiecke  DtD9Dä  eingeschriebenen  Parabeln  schnei- 
den.  Ist  dieser  1Ä,  so  liegt  P  auf  dem  Kreise  D,  (s.  oben), 
also  liegen  dio  Schnittpunkte  von  je  2  normalen  Ssg  (6  und  6,)  des 
Dreiecks  A1AiAs  auf  dem  Feuerbach'schen  Kreise  des  Dreiecks.  Für 
diejenige  Parabel,  deren  Durchmesser  b  parallel  sind,  muss  b  selbst 
Axe  sein ,  da  von  den  Durchmessern  einer  Parabel  nur  die  Axe  zu 
den  ihr  conjugirten  Geradeu  senkr.  steht.  Dasselbe  gilt  von  bt. 
Also  haben  wir  den  Satz: 

„Die  zu  einander  normalen  Ssg  sind  die  Axen  der  dem  Dreieck 
D^D^  eingeschriebenen  Parabeln.44 

Da  A, . I3  Ssg  eines  jeden  durch  At  gehenden  Strahls  ist  und  das 
gleiche  für  AsAt  und  AtAt  gilt,  so  folgt: 

„Das  Dreieck  AxAtA^  ist  gemeinschaftliches  Poldreieck  aller 
dem  Dreieck  DtD9Ds  eingeschriebenen  Parabeln."  (s.  Stoll  I&93, 
Aufg.  1217  i.  der  Zeitschrf.  f.  math.  u.  naturw.  Unterricht  von  J. 
C.  V.  Hoffmaun.) 

Die  Axe  einer  beliebigen  dem  Dreieck  D1DtD3  eingeschriebenen 
Parabel  wird  von  ihrer  Ssg  unter  rechtem  Winkel  geschnitten.  Da 
nun  je  2  in  Bezug  auf  eine  Parabel  conjugirte  Normalstrahlen  die 
Axe  der  Parabel  in  vom  Brennpunkt  gleich  weit  entfernten  Punkten 
schneiden,  so  wird  also  auf  irgend  einer  Geraden  ft,  deren  Ssg 
auf  ihr  senkrecht  steht  (s.  oben),  von  den  Paaren  der  anderen  zu 
einander  normalen  Seitensymmetriegeraden  Strecken  ausgeschnitten, 
welche  einen  gemeinsamen  Mittelpunkt  besitzen,  nämlich  den  Brenn- 
punkt F  der  dem  Dreieck  DlDiDi  eingeschriebenen  Parabel  mit  der 
Axe  b.   Dem  Punkt  M,  (oder  U)  entspricht  der  Berührungspunkt  T 


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282     '  Bückt* gl  Die  Seitensymmetriegernden  des  Drfiecks. 


derjenigen  Curve,  welche  von  den  zu  einander  normalen  Seitensym- 
metriegeraden  eingehüllt  wird  (Steiuer'sche  Curve  s.  S.  274)  so  dass 
also    VT=FT  ist. 


3.    Nähere  Betrachtung   der  projectivischen 
Zuordnung  des    Strahloubüschels    P   und  des 

zugeordneten  /\^). 

Die  Strahlen  durch  P  uud  ihre  den  Kegelschnitt  n  berührenden 
Ssg  sind  projectivisch  einander  zugeordnet,  da  sie  A«A3,  welche  Tan- 
geute von  n  ist,  in  proj.  Puuktrcihen  schneiden.  Sind  nun  p  und  v 
beliebige  durch  P  gehende  Geraden,  p%  und  vt  ihre  Ssg,  so  sind  im 
vollständigen  Viereck  {pv\  pi»|)  init'den  Gegenseiten  ;>  uud  pt  v  uud 
uud  t>,  auch  das  letzte  Paar  Gegenseiten  (p  uud  px  Ssg. 1  Ueuu 
schucidet  mau  dio  Seiten  des  Vierecks  durch  AtA9,  so  erhält  man 
G  Punkte  einer  Involutiou,  also  liegen  auch  dio  Schuittpuukte  von 
p  uud  pt  mit  A9Aa  gleichweit  vou  den  benachbarten  Ecken  entfernt, 
und  dasselbe  gilt  vou  ^1,^1,  und  AsAt.  Denkt  mau  sich  uuu  v  uud 
t>,  als  feste  Geraden,  p  uud  /),  beweglich,  nämlich  p  sich  selbst  dre- 
hend um  P,  so  bleibt,  weuu  r  durch  P  geht,  r,  Tangeute  von  », 
welche  Lage  auch  p  annimmt.  Also  sind  px  und  r,  die  Taugeuten, 
die  vou  dem  v  durchlaufenden  Punkte  an  n  gezogen  werden, 

woraus  folgt,  dass  jh  uud  r,  iuvolutorisch  georduete  Strahlen  im  Tau- 
geutenpuukt  rJ\n)  siud.  Deshalb  siud  auch  die  Punkte  pxcx  uud  />«?, 
der  festen  Geraden  o,  entsprechende  Punkte  einer  iuvolutoriseben 
Punktreihe,  durch  welche  je  2  Ssg  der  Büschel  P  uud  V(n)  gehen. 
Diese  Reihe  besitzt  Orduuugspunkte,  wenn  v  uud  t  sich  schneiden. 
Den  Schuittpuukteu  von  vt  mit  A?A3,  AaAv  A^  entsprechen  die 
Schnittpunkte  von  vx  mit  den  Geraden  A^P,  A3P.  Es  hat  sich 
also  ergeben: 

a)  P  sei  ein  beliebiger,  nicht  auf  einer  Seite  des  Dreiecks  A , .  i  A  ■ 
liegender  Puukt,  n  der  dazu  gehörige  Kegelschuitt  uud  y,  eine  Tan- 
gente von  n.  Briugt  mau  die  durch  P  gehenden  Strahlen  r  zum 
Durchschnitt  mit  r,  und  zieht  aus  dieseu  Punkten  die  *teu  Tan- 
genten au  Jt,  so  siud  dieso  uud  die  Ssg  r,  der  ersten  iuvoluto- 
risch zugeordnet  im  Taugentenbüschel  T(^).  Die  Involutionsaxe  ist 
die  Ssg  v  vou  r,,  das  Involutious-Ccntrum  also  der  Pol  von  v  für 
TT.  Man  erhält  je  2  Paare  von  Ssg,  wenn  man  von  einem  beliebigen 
Punkte  von  v  die  Tangeuten  /  uud  m  von  n  zieht  und  deren  Schnittpunkte 
auf  v,  mit  P  verbindet  und  »');  t  ist  dann  Ssg  von  m  und  m 
Ssg  von  /. 


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Bäck  in  fj:  Die  Seiten>ifmmftrierjrrniien  den  [heieclcn. 


283 


b)  Jede  Tangente  von  n  wird  durch  die  anderen  Tangenten  und 
deren  Sag  in  den  Punkten  einer  iuvolutorischen  Punktreihe  geschnit- 
ten. In  dieser  sind  auch  zugeorduete  Punkte  (r(*„  s,';  ^,  *3, 
V),  woun  «j  die  Seite  AtA^  und  PAX  bedeutet.  Der  Punkt  wt 
entspricht  dem  Berührungspunkt  von  v  auf  n.  Gehen  von  P  Tan- 
genten an  ?r,  so  schneiden  sie  r,  in  entsprechenden  Punkten.  Be- 
sitzt die  Punktreihe  reelle  Ordnungspunkte,  so  sind  für  jeden  die 
Tangente  von  ihm  au  t  und  die  Verbindungsgerade  mit  P  Ssg. 

c)  Es  gibt  keine  anderen  Strahlen  der  Ebeue,  welche  die  durch 
P  gehenden  Slrahlen  uud  ihre  Ssg  iu  iuvolutorischeu  Puuktreiheu 
schneiden. 

Lässt  man  P  auf  die  x  ferne  Gerade  fallen ,  so  folgt :  jede 
Taugente  einer  dem  Dreieck  AiAtA9  eingeschriebenen  Parabel  wird 
durch  die  Taugeuteu  der  Parabel  uud  den  als  Ssg  diesen  zugeord- 
neten Durchmessern  der  Parabel  iu  einer  symmetrisch-involutorischeu 
Puuktreihe  geschnitten. 

Schneidet  man  die  Strahlen  des  Büschels  /'durch  eine  beliebige 
Gerade  z  und  die  Tangenten  des  zugeordneten  Kegelschnitts  n  durch 
eine  Tangente  u  von  rr,  so  erhalt  mau  zwei  projectivische  Puukt- 
reiheu, welche  ein  neues  Strahlenbüschel  2ter  Classe  bestimmen,  zu 
welchem  auch  x  uud  u  gehören.  Dies  zerfällt,  wenn  die  durch 
den  Punkt  (uz)  gehenden  Ssg  zu  den  Büscheln  P  und  F*  gehören. 
Nimmt  mau  an,  dass  das  F*2  in  die  Büschel  (uz)  und  Q  zerfällt  und 
neuut  man  die  Verbiudungsliuie  des  Punktes  (u.s,  und  des  Schnitt- 
punkts von  z  mit  A^A^  so  erhalt  man  ebenso  wie  bei  der  reci- 
proken  Anleitungen  über  Winkelgegeupunkte  eine  Coufiguratiou  (1 1), 
d.  h.  11  Geraden  und  11  Punkte  iu  der  Lage,  wo  jede  der  11  Ge- 
raden 3  der  11  Punkte  enthält,  uud  durch  jeden  der  Punkte  3  von 
den  Geraden  gehen.  Es  sind  die  11  Geraden  *i      H  \  •i'W/'i 

z  und  u  und  die  11  Punkte  AxAtA%\  l\  Q  und  G  auf  x  und  u  lie- 
gende. Mit  Hülfe  der  Restfigureu  (apjds$)  tiudet  man,  dass  sie  von 
derselben  Art,  wie  die  oben  genauute  ist  und  sich  dem  Martiuctti- 
scheu  Schema 


1      2      3      4   |  5  [  (6)  |   7   j   8    I    9   i  10  l  11 
(«)  I  A3  \  J3  1  (x)  |  Q     («)     (h)  i  (u)      P      A3  (x) 
f  ;  •  |   t   i   ö   )  ß      e       f  ö 


«  i 


I  6 


fügt,  wenn  die  Buchstaben  der  .'ten  Zeile  die  Punkte  unserer  Con- 
figuration,  die  1  to  und  3te  Zeile  die  Abzahlung  uud  die  Restfiguren 
von  Martinetti  bedeuten  *). 

*)  s.  Martinetti,  Ann.  di  niat.  Fr.  Brioscbi,  Serie  II,  tome  XV, 


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284  Bücking:  DU  Se\Un*j/mm€trUgeraden  dt»  Dreieck*. 

4.   Kegelschnitte,  welche  den  Punkten  einer  Geraden 

entsprechen. 

Bewegt  sich  der  Punkt  P 

Pitt  +  P*h  +Psh  —  0 
auf  einer  Geraden  m  mit  den  Coordiuaten 

£i  :  *t :  Is  =  "h  :  m*  :  ™» 

so  sind  die  Coefficienten  der  Gleichung  des  zugehörigen  Kegelschnitts 

n  (S.  5.) 

I)  I      4"^  4"  ^'  =  0  durch  die  liueare  Gleichung  verbunden, 

I  Pt"h  -r-Ptwi  +  Psms  —  " 

Die  Gleichungen  1  bestimmen  eine  Kegclsch  uittschaar,  welche 
aus  den  Kegelschnitten  besteht,  welche  <iio  Seiten  des  Dreiecks 
AxA%Ai  und  die  Gerade 

zu  gemeinschaftlichen  Tangenten  hat;  diese  Gerade  (mc)  ist  die  Ssg 
von  m. 

Zu  den  x  fernen  Punkte  von  m  gehört  die  Parabel  der  Schaar; 
ihre  Axe  ist  zu  m  parallel.   Für  diese  Parabel  ist 

Fl     .  Pi !     ,    Pi   _  0 

+  P*  +  P»  a  o 

Also  ist  ihre  Gleichung 


1     l  1 

ro„  ot,,  m, 
1,    1,  1 


-0    Oder  ^+-^+=^-0 


Der  Nagel'sche  Punkt  von  n  ist 

1      2  1 

'  Pl      Pl  F3 


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Büekiny:  Die  Seiteneymnetriegeraden  de»  Dreiecks.  285 

den  Ort  dieses  Punktes  für  die  Kegelschnitte  der  Schaar  erhält  man, 
wenn  man  seine  Coordioaten  in  die  zweite  Oleichung  von  1)  einsetzt 


2)  -=i  +  2i  +  »_o 

*1       *t  *s 

es  ist  ein  dem  Dreieck  AxA%At  umgeschriebener  Kegelschnitt,  zu- 
gleich die  Seitengegencurve  von  m,  d.  b.  sie  enthält  die  Seitengegen- 
punkte  der  auf  m  liegenden  Punkte. 

Die  zur  *>  fernen  Geraden  gehörende  Kegelschnittschaar  ist 

Pi  +  P  t  +  Ps  —  0 

sie  enthält  die  dem  Dreieck  AtAtAs  eingeschriebenen  Parabeln.  Der 
Ort  ihrer  Nagel'schen  Punkte  ist 

*t  T  **  T  *s 

d.  h.  die  Ellipse  von  Steiner,  welche  die  durch  die  Ecken  des  Drei- 
ecks zu  seinen  Gegenseiten  gezogenen  Parallelen  berührt.  Da  sie 
die  Seitengegenpunkte  der  <x>  fernen  Punkte  der  Ebene  enthält,  „so 
„ist  die  Curve  2  eine  Hyperbel,  Parabel  oder  Ellipse,  je  nachdem  m 
„die  Ellipse  von  Steiner  schneidet,  berührt,  oder  nicht  trifft" 

Wir  wollen  die  Mittelpunkte  der  zur  Geraden  m  gehörenden 
Kegelschnittschaar  (Wa^i)  betrachten.  Der  Mittelpunkt  Pm  des  zum 
Punkte  P 

Pili  f  P*U  +  PsU  -  0 
gehörenden  Kegelschnitts 

hat  die  Coordinaten 

*,:*,:*,=  (Pi+Ps)  :  (p3  +p,)  ♦  (p,  +  Pt) 
Die  Gerade  PmP  hat  dann  die  Gleichung: 

*i  «t  *s 

P\  P*  Ps 

P»  4*  Ps»    Pl  4"  Ps»    Pl  +  Pt 
oder,  nachdem  man  durch  pl+pi-^pi  dividirt  hat: 


=  0 


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286  BÜekings  Die  Seitensymmtirierifraden  des  Dreiecks. 

*i(Ps  —  Pi)  +  **  0*3  —  Pl)+  *sOl  —  Pi)  —  0 

Da  sie  für 

«1  •»  «t  *3 

erfüllt  wird,  so  geht  sie  durch  den  Schwerpaukt  des  Dreiecks.  Dies 
eigiebt  sich  auch  leicht  geometrisch  (Fig.  2).  Denn 

Bx  Dy  —  Dx  C\,  also 

PmDx  par.  C,/;,    und    2PmDl^  C\  Ex  —  yi,  /',    /),  6' :  SAX  =  1  :  2 

also  ist  S  Schwerpuukt  im  Dreieck  AtAsAz  und 

P„,S:SP  =-  1  :  2 

Also  sind  /'  und  1\„  homologe  Punkte  in  den  ähnlich  liegenden 
Dreiecken  AxA*A:i  und  I)xDiD.y  Die  Mittelpunkte  also  der  Kegel- 
schnitte, welche  die  Seiten  des  Dreiecks  AXA^A3  uud  eine  4te  Gerade 
m,  berühren,  liegen  auf  einer  zur  Ssg  m  von  m1  parallelen  Geraden 
m  der  Art,  dass  m  und  m  cntsprech.  Geraden  in  den  Dreiecken 
AxA«A.,t  und  /),/>s#;{  sind. 

Die  Coordiuaten  von  P  seien  xxx^  die  vou  Pm  seien  r^x^' 
dann  folgt  aus 

*i  "  ^2  +  r3   (8.  7)    »•  s.  w. 

*i  ~  —  *i'+*s'-f  *sV     —  *t'-  *f'+*»'  i      —  *i'  4-  >V  —  *$' 

Aus  der  Gleichung  von  m,  nämlich 

*»J  ^1  +  w2  'S  +  OT3       —  0 

folgt  dann  die  für  m'  durch  Einsetzung  jeuer  Werte.    Sie  ist 

(-,''l+f"i+,»3)a,|+(>»|-m2+'"ah+('Bl+'"j-"13)I3  -  0 

Durchläuft  P  eine  beliebige  Curve  rtter  Ordnung,  so  ist  die  Bahn 
des  Mittelpunkts  des  zu  P  gehörenden  Kegelschnitts  ebenfalls  eine 
solche,  welche  zur  ersten  ähnlich  liegt  (Centrum  S,  Verhältniss 
2  :  1)  -,  dagegen  ist  die  Bahn  des  NagePschen  Punkts  eiue  Curve  vom 
2«teu  Grade,  die  AtAtA^  zu  «fachen  Punkton  hat,  nämlich  die 
Seitencurve  der  ersten  (>. 

Wir  wollen  das  Vorhergehende  an  einigen  besonderen  Fülieu 
erläutern.    Der  dem  Dreieck  umgeschriebene  Kreis 

•-!-*+  V+*'_0 

0C,  ST,  STj 

ist  der  Ort  der  XageFsohen  Punkte  der  die  Seiten  des  Dreiecks  uud 
die  Ssg  der  Seitengegengerade  des  Kreises,  also 


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liücking;  Die  Stittnsymmetrirgeraden  dex  Dreitckn.  287 


-KT  ,  «    I    .  *  U 

-r,  *2  «3 

berührenden  Kegelschnitte.  Die  Parabel  dieser  Schaar  hat  die  Glei- 
chung 

+  fe*  + 

ihr  Nagel'ßcher  Punkt  hat  also  die  Coordinaten 

1  1  1 

und  ist  der  Steincr'sehe  Punkt,  da  er  der  Schnittpunkt  des  umge- 
schriebenen Kreises  und  der  Steiner'schen  Ellipse  ist.  Wenn  //j  den 
Seitengegenpunkt  des  Höhensehnittpuukts  H  des  Dreiecks  AlAiA3 
bedeutet,  und  wenn  m  durch  Ht  geht,  so  ist  der  Kegelschnitt 

»*,  ,  »»s     w3  __  ^ 

*"l       *i       *a  ~ 

eine  gleichseitige  Hyperbel,  da  er  H  enthält.  Die  analytische  Be- 
dingung dafür  ist  wjtan^, -f-m^tanyl, -f-m3tani4„  da  z,  =  coM* 

Zieht  man  durch  die  Ecken  des  Dreiecks  A^A2A3  in  beliebiger 
Richtung  Parallele,  welche  die  Gegenseiten  in  Zf,,  Zf2  und  Ä,  treffen, 
so  schneiden  sich  die  Ssg  der  Taugenten  des  Kegelschnitts,  der  in 
diesen  Punkten  berührt,  in  einem  Punkte  der  Steiuer'schen  Ellipse, 
sein  Mittelpunkt  liegt  also  auf  der  Ellipse  f„  welche  die  Seiten  des 
Dreiecks  in  ihren  Mittou  berührt.  Die  Ssg  der  durch  //  gehenden 
Geraden  umhüllen  eine  Ellipse,  welche  mit  dem  umgeschriebenen 
Kreise  den  Mittelpunkt  M  gemein  hat,  denn 

HS  :  SM  =2:1 

Sie  berührt  die  Seiten  in  den  Endpunkten  der  Seitengegengeraden 
der  Höhen.  Die  Ssg  der  Durchmesser  des  Kreises  M  umhüllen  eine 
Ellipse,  die  mit  dem  Feuerbach'schen  Kreise  den  Mittelpunkt  T  ge- 
mein hat,  denn 

MS  :ST  =  2:1 

Diese  beiden  Ellipsen  und  die  eingeschriebene,  zur  Steiner'schen 
ähnlich  liegende  tx  haben  eine  gemeinschaftliche  Taugente  (ausser  den 
Dreiecksseiten),  nämlich  die  Ssg  der  Euler'schen  Geraden  MH,  da 
£8  zu  S  gehört  und  S  auf  MH  liegt.  Die  Parabel  der  zugehörigen 
Kegelschnittschaar  hat  also  MH  zum  Durchmesser,  zum  Brennpunkt 
deu  Tarry'schen  Punkt  A*  (s.  Lieber,  Progr.  134  vom  Fr.  W.  Gymn. 
Stettin  1856  Nr.  94),  ihr  Nagel'scher  Punkt  ist  der  4.  Schnittpunkt 


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288  Bücking:  Die  Seiten^ mmetrügeraden  den  Dreiecks. 

der  Steiner'schen  Ellipse  mit  der  Hyperbel  A1AtAsSHl  and  durch 
ihn  geht  auch  der  Kreisdurchmesser  RMN,  welcher  den  Steiner'schen 
mit  dem  Tarry'schen  Punkte  verbindet.  Der  Grebe'sche  Punkt  K  ist 
bekanntlich  der  Mittelpunkt  der  eingeschriebenen  Ellipse,  welche  die 
Seiten  in  den  Höhenfusspunkten  berührt  „Also  Hegt  der  Ssg.  Hx 
von  H  so  auf  SK,  dass 

HXS  :SK  =  1:2  ist" 
K  und  M  sind  also  auch  Sgp  im  Dreieck  Z>„  Dt%  Z>s,  da 

MS :  8H  =  1 :  J    und   AS-.SH^  1:2 

ist.  Eine  gleichseitige  Hyperbel  At  At  As  enthält  stets  //,  also  ist 
der  Ort  der  Nagerseben  Punkte  einer  Kegelschnittschaar  («j«2#3m') 
eiue  gleichseitige  Hyperbel,  wenn  die  Ssg.  {»o  von  m'  durch  /f„  die 
Mittelpunktsgerade  also  durch  K  gehet.  Zu  jeder  solchen  Schaar  ge- 
hört die  vorher  genannte  Ellipse  um  A". 

Ist  o  der  Mittelpunkt  des  eingeschr.  Kreises,  N  der  Punkt  von 
Nagel  (Schnittpunkt  der  zu  den  Berührungspunkten  laufenden  Trans- 
versale), N'  sein  Sgp,  so  ist  A7'  der  Punkt,  zu  welchem  der  ein- 
geschr. Kreis  gehört  (s.  oben),  also  liegen  N'S  und  O  auf  derselben 
Geraden  uud 

N'S  :  SO  —  2:1 

Dies  fahrt  zu  einer  bemerkenswerten  Folgerung.  Zieht  man  nämlich 
durch  die  Ecken  des  Dreiecks  die  Parallelen  zu  den  Gegenseiteu 
uud  nennt  das  neu  erstandene  Dreieck  At' As' AA\  so  muss  A"  Mit- 
telpunkt des  eingeschriebenen  Kreises  dieses  Dreiecks  sein.  Dasselbe 
gilt  für  die  Mittelpunkte  der  eiugeschriebenen  Kreise  des  Dreiecks 
a].\.,as-  nennt  man  sie  O, ,  Oit  08,  die  zugehörigen  Nagel'schen 
Punkte  A'i,  Nit  A'3  und  deren  Sgp  AT,',  Nt',  Ar3',  so  ist  das  Viereck 
N'N^N^N^  zum  Viereck  OOxOtOi  ähnlich  liegend  mit  S  als 
innere  Aehnlichkeit  und  dem  Verhältnisse  2 : 1.  Die  Punkte  .v 
sind  die  Mittelpunkte  der  4  die  Seiten  des  Dreiecks  Ax'  A%'  A9'  be- 
rührenden Kreise,  so  dass  also  jede  Seite  des  ersten  Vierecks  die 
Winkel  und  Aussenwinkel  des  Dreiecks  A{ '  .4,  '  As'  balbiren.  Der 
Mittelpunkt  des  Kegelschnitts  ferner,  welcher  die  Seiten  des  Drei- 
ecks in  den  Endpunkten  der  durch  0  (Mittelpunkt  des  eingeschr. 
Kr.)  laufender  Transversalen  berührt,  ist  ein  für  das  Dreieck  aus- 
gezeichneter Punkt  (£),  nämlich  der  Schwerpunkt  seiner  Seiten,  da 

OS  :  SL  —  2:1 
sein  muss  (s.  Laisant  Theorie  des  equipollences  p.  123). 


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liär.king:  Die  Seitensyunnetiieijttraden  lies  Dreieck«. 


2*9 


Lüsst  man  den  Nagelneuen  Punkt  eine  beliebige  Gerade  g 
durchlaufen,  so  ist  der  Ort  für  P  ein  durch  j4,>M3  gehender  Kegel- 
schnitt k,  nämlich  die  Seitengegencurve  von  .7,  und  der  Ort  für  die 
Mittelpunkte  PM  der  zugehörigen  Kegelschnitte  ist  der  zu  k  ähnlich  lie- 
gende Kegelschnitt  durch  J5,02/V  Pm  durchläuft  den  Kreis  Z>,DjDs, 
wenn  g  die  Ssg  des  Kreises  AtAtA9  ist. 

In  der  Schaar,  deren  Kegelschnitte  den  Punkten  einer  Geraden 
entsprechen,  müssen  wir  noch  die  zerfallenden  C*  ins  Auge  fassen. 
Wenn  der  Punkt  P  die  Gerade  m  durchläuft,  so  berührt  der 
zugehörige  Kegelschnitt  n  stets  die  Ssg  «»,  von  m.  n  wird  zer- 
fallen, wenn  P  auf  eine  Seite  des  Dreiecks  zu  liegen  kommt.  Denn 

schneiden  m  und  m,  AfÄs  in  C  und  C\  und  fällt  P  auf  C\  so  ent- 
sprechen ihm  die  Strablenbüschel  C\  und  Av  Als  Mittelpunkt 
der  zerfallenden  Curve  muss  also  der  Mittelpunkt  von  AtC\  be- 
trachtet werden,  uud  da  Ati\  Diagonale  ist  im  vollständigen  Vier- 
seit,  gebildet  aus  deu  Seiten  des  Dreiecks  AlAsAa  uud  >«,,  so  ergiebt 
sich,  dass  m'  auch  die  Mittelpunkte  dieses  Vicrseits  enthält,  wie 
bekannt.  Wenn  mau  erwägt,  dass  m>*  uud  m  parallel  und  durch  8 
im  Verhältniss  1  :  2  getrenut  siud,  so  erhält  man:  Die  beliebigen 
Geraden  «^w^  bilden  ein  vollständiges  Vierseit,  dessen  Diagonal, 
mittelpunkte  auf  </,„  liegen  mögeu.  «,'  sei  die  Ssg  von  «4  für  das 
Dreieck  <v<yi:I,  analog  us',  «3',  «4*  und  6j,  S$  S3,  £4  seien  die 
Schwerpunkte  der  von  den  4  Geraden  bestimmten  Dreiecke,  so  dass 
8A  Schwerpunkt  des  Dreiecks  «,«s«a  ist.    Daun  ist 

am  ü  «,'  II  a,'  II      II  a4 

(Richtung  der  Axe  der  zur  Schaar  gehörenden  Parabel)  uud  &4  liegt 
zwischen  «/  und  a*  so,  dass  jede  durch  8^  gehende  Gerade  im  Ver- 
hältniss 2  :  1  geteilt  wird,  analoges  gilt  für  «,',  as',  as'. 

Fasst  man  5  Tangeuten  eines  Kegelschuitts  in's  Auge,  so  ergiebt 
sich:  Die  Geraden  «,a2oaa4«5,  von  denen  keine  3  durch  einen  Punkt 
gehen,  bestimmen  lü  Dreiecke,  deren  Schwerpunkte  wir  mit  tf,t, 
*S,a  u.  8.  w.  bezeichnen  ;  wobei  8lt  der  Schwerpunkt  des  Dreiecks 
asa\a&  sein  soll.  Die  Seitensymmetriegeradeu  von  a,  und  a3  für  das 
Dreieck  «3a4ff4  sollen  sich  in  Al2  schneiden,  wodurch  mau  10  Puukte 
A  erhält.  Dann  sind  die  Zehnecke,  gebildet  aus  den  Punkten  8 
und  /l,  ähnlich  und  ähnlich  liegend;  das  Ceutrum  (äusseres)  ist  der 
Mittelpunkt  des  die  ö  Geraden  berührenden  Kegelschnitts  und  das 
Verhältniss  1  :  3,  so  dass 

MSJt  :  AlAn  =  1:3  ist. 

Arch.  .1.  Math  u.  IMiys.    2.  Keilu-,  T.  XVI.  I  (j 


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290  Bückin g:  Die  Seitentymmetrter/eraden  des  Dreieck*. 

6.   Die  dem  Dreieck  eingeschriebenen  gleichseitigen 

Hyperbeln. 

Nur  dem  stumpfwinkligen  Dreieck  können  gleichs.  Hyperbeln 
eingeschrieben  werden ;  wir  wollen  deshalb  für  das  Folgende  vor- 
aussetzen At  >  90°. 

Die  dem  Dreieck  eingeschriebene  Hyperbel  n  habe  die  Asymp- 
toten u  und  v  und  den  Mittelpunkt  1*'.  Dann  sind  die  Ssg  («|  und 
/•,)  tou  u  uud  v  diejenigen  Geraden  des  zu  n  gehörenden  Strahlen- 
büschels /*,  welche  die  durch  P  gehenden,  eingeschriebenen  Parabeln 
berühren.  Wir  wollen  deshalb  zueist  die  Gleichungen  von  u,  und 
t>,  aufsuchen.  P  habe  die  Coordinaten  pu  />s,  also  die  Hyperbel 
die  Gleichung 

'         U     ?i  h 

Eine  durch  P  gehende,  eingeschriebene  Parabel  habe  die 
Gleichung 

wobei 

m,  -f-  »«s  -f-  "'s  =  0 
sein  muss.   Also  nvuss  sein 

Die  Gleichung  2)  kann  auch  geschrieben  werdeu 

oder 

4)    mt,*,,4"  'Vx^-f-w^'fs4--  'i^maa-ja-j,  — 2»i3m,x3a-, 

Wir  setzen  für  x,  =  />,,  da  4)  durch  P  geht,  und  aus  3)  die 
Werte  für  w, 

-**(£-üft-ö-0  odcr 


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Bückiiitj:  Die  Seitensymmetrietjetaden  d*.<  Dreieckt.  291 

\       §1  -2  -3  / 

Vlj  -C3         *,  r3  T  Ii  V 

Für  die  beiden  durch  P  oder 

6>  Pi^'i  +J»t$f  —  ftSi  —  0 

gehendeu  in  5  enthaltenen  Geraden  wird  die  rechte  Seite  0,  and 
mau  erhält 

d.  h.  sie  sind  die  Tangenton  von  P  an  diesen  eingeschriebenen  Kegel- 
schnitt. Die  Gleichungen  für  «,  und  vx  ergeben  sich,  wenn  mau  aus 
ß)  und  7)  die  Wurzeln  berechnet.  Ihre  Ssg  u  uud  o  müsseu  danu 
die  Wurzeln  sein  von 

«  ?+?+?-<> 

»i  *s 

(s.  Gl.  1))  uud 

»)         (*i+**)Si  +  (f»+ft)«!+(fH+!»i>«l  "  0 

Setzt  mau  die  zweifachen  Wurzelwerte  «=*  g,  uud  q,\  so  erhält 
man  leicht 

10,  * _ -*+]»+'  ,ud 

worin 


ist.  Da  nun  die  Hyperbel  n  eine  gleichseitige  sein  soll,  so  muss 
u  norm.  z.  v  seiu,  oder  ihre  Coordiuateu  die  Gleichuug  erfüllen 

11)    [Cot A^q^qs'  +wqt')  +  COtAtiqsqi  +  qx  qi) 

+  cot  ^3  (9,        &  fc'J  ]  sin  ^  .  sin  il8  .  siu  A% 
=  ^  .  jj'  siuM,  +  <ys<fr'  sin2^,  +  53  .  gs'  sin1  4j 

Aus  10)  folgt  nun 

</s  9«'  _  Pt(|>iH-Pi) 
93  "  93'  "/»s^s-f-Pi) 

ähnlich 

>9» 


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292 


B Urlettig:  Die  Seiteimyrnmetriegeraden  tlet  Dreiecks. 


also 


9»  ?a'  a  Pn(Pt^-Pa) 
9a'  '  <ii'      ;>i(/»i  +Ps) 


5,  .  qt'  :  ^j,  .  </*'  :  g3  .  qs'  v 


 Pl         ,  |  P&  

P%  +^3  +7'i      7>i  + 


Wir  setzen 


9s  •  9;»'  Pi  +  Pa 


also  nach  12) 


—2tpi  r*  

(Pi+PiYipi+p*) 


i 


Nach  Multiplication  mit  -  (pi-\-p}i)(pa~hPi)  •  (Pi  H~f*i)  w*rt^  dann 
aus  11) 

2[cot  A ,      -f  ;>3)  ;>Ä ;>s  -f- cot-ls  (/>3  +  ;>j * />3 p,  -f  cot  ,43 

•  (Pi+P^PtP*]  ■  »in  -^i  •  sin  4,  .  sin^-f-sin'U,/*,  (;js  +  /'i) 

•  (Pt+Pi+*MsAipi(pl  +pi)(pi  +  pa)  +  sin'As(ps+ps) 

•(Ps  +  pJ-O 
welche  zerfällt  in 


und 

13 )  pt* sinM,  -\-p^  sinM* -f  pf  sinM3  +  2(cot  At  piPi 

-j-  cot  A3pA]tt  -j-cot^3p,/'s)co8^,  .  sinJ2  .  sin^j  0 

Iiic  erste  Gleichung  stellt  die  <x  ferne  Gerade  dar,  und  liefert 
die  dem  Dreieck  eingeschriebenen  Parabeln,  welche  hier  nicht  mit- 
gezählt werden  köunen,  also  bleibt  nur  13)  als  Gleichung  für  die 
Puukte  J',  Sie  ist  die  Gleichung  eines  Kreises.  Denn  die  allg. 
Gleichung  eines  Kreises,  nämlich 

14)  («,*  x8  x3  -|-  «,*  xt  x,  -f  rr8*x,  rs )  +  («i  *i  +«t  *3  +  as  ^s) 
geht  in  (13)  über,  wenn  man  II) 


(Pt  +P*  +  />*)  -  0 


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JJäckiny:  Die  Seitensyir.metrieytraden  des  Dreiecks.  293 

setzt  uud  darauf  durch  (—Ar*)  dividirt   Man  erhält: 

15)  —  £*,**,*,'  +  *V(*t+*f+*a>-0 

Die  Radicalaxe  mit  dem  umgeschriebenen  Kreise  ist  die  Gerade 

oder  iu  trimetr ischen  Coordinaten 

Gleichung  lo)  kanu  auch  geschrieben  werden: 

*i 11 +  *sj2 2.«,*,.^^ cos -«i  H-'i^^a-ja-jCos 

+      »8x,  xscos  J3  —  0 

Hieraus  folgt  nun  leicht  die  Gleichung  für  deu  Mittelpunkt  P'  der 
gleichseitigen  Hyperbel  n.  Denn  Gleichuug  (9)  zeigt,  dass  seine 
Coordinaten  sind 

x, :  xa  :  x3  =  (;>s4-/>3>  :  0>3+/>i)  :  (/>i  -f  7>s) 

Also  ist 

/'i  :i>2 :  ?>3  -  (—  *i+*i+*a)  •'  (*i  —  !  (*i        —  *3> 

Man  setze  diese  Werte  in  15)  ein  uud  erhält  nach  einigen  Aeude- 
rungen,  wenn  r  deu  Radius  des  Kreises  A^l^  bedeutet, 

16)  4a«M-tV%*s  +  -  + 

(cot  A}  .  x,  -f-  cot  At  .  x*  +  cot  ^3  •  '3)  —  0 
oder  in  gewöhnlichen  Coordinaten 

16  a)    (*,  xt  x3 + *2x3 x, )  -  (•*,  *,  +  x, 

-f-  «3^3)  (*i  cos  i4|  -j-  sr8  cos  A%  -|"  ^3  cos  A3)  =»  0 

Dieser  Kreis  gehört  zu  dem  Büschel,  welches  der  umgeschriebene 
uud  der  Feuerbach'sche  Kreis  des  Dreiecks  AtAtA:i  bestimmen,  denn 
die  Gl.  des  letzteren,  nämlich 

2(4(*,  x,x3  +  ^x,  4-  s^xj  —  (*,r,  4-^x,  4-  *3x3) 
(COS^lj  .  x,  4-  cos  Jj,  .  x,  4-  cos  4,  .  x3)  —  0 

zeigt,  dass  die  gemeinsame  Radicalaxe  der  3  genannten  Kreise  die 
Gerade 


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294  Büelituj:  Die  SeittWjfmmth-injeraden  des  Dreiecks. 

COS       .  r,  -|-  COS/lj  .  Xo  -f-  COSAz  .  X;,  —  0 

ist  zugleich  die  Axe  der  Homologie,  von  AtAsA3  und  dem  Dreieck 
der  Hübenfusspunktc. 

Die  Gleichung  IG)  unseres  Kreises  (in  barycentrischeu  Coordi- 
naten)  kann  in  die  Form  gebracht  werden 

18)         8  cot  A,  -f-  r22cot  A*  +  X^COMj  =  0 

sie  zeigt,  dass  er  nur  reell  ist,  wenn  eine  der  Coefficienten  negativ 
ist,  also  nur  für  stumpfwinklige  Dreiecke.  In  einem  solcheu  sehueidet 
bekanntlich  der  Fcuerb.  Kreis  den  umgeschriebenen,  und  es  folgt, 
dass  auch  der  neue  Kreis  durch  diese  beideu  Schnittpuukte  geheu 
muss. 

Sein  Mittelpunkt  ist  ein  Puukt  der  Euler'schou  Geraden  und  zwar 
der  Höheuschnittpuukt.  Deuu  setzt  mau  für  den  Puukt  At  seiue 
Coordiuateu  iu  Gl.  16)  und  bezeichnet  die  Potenz  des  Kreises  1(5)  im 
Punkte  At  mit  7>s*  so  ist 

m  .  p^*  =z  —  .<s/<2* .  cos  J2 

anderseits  ist  /V*  gleit h  dem  Product  der  Abschnitte  auf  ge- 
messen von  At  uud  dies  ergiebt  sich  aus  Gl.  in) 

t  #32cot.l2 
cot.l,  -f-cot.l* 

beides  liefert 

m       -  2rsiu.I,  .  sin  At  .  sin  A& 
Setzt  mau  nun  die  Coordinateu  von 

M(Si      rCos  A, ) 

ein,  so  ist  die  Potenz 

mm  r*(l  —  4  cos  At  •  COS-lj  .  cos.l3) 

uud  die  von  H 

—  4rsC08il|  .  cos  .4,  .  cos--!;, 

I»a  uuu 

MU*  =  r»(t-  Heos.l,  .  cos^2  .  cos.43) 
ist,  so  ist  klar,  dass  11  der  Mittelpunkt  des  untersuchten  Kreises  uud 

2r  V  —  cos  Ay  .  cos^2  .  cos.4n 

seiu  Kadius  ist.    Wir  haben  also  den  Satz: 

,,l)ie  Mittelpunkte  der  einem  bei  Ax  stumpfwinkligen  Dreieck 
„AtAfAz  eingeschriebenen  gleichseitigeu  Hyperbeln  liegen  auf  einem 
„um  seinen  HOhenscbnittpunkt  beschriebeneu  Kreise,  der  durch  diu 


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iMckiny:  Ott  SeiUnst/iimttriegtradm  des  Dreucks.  295 

„reellen  Schnittpunkte  des  umgeschriebenen  und  des  Fcuerbach'schcn 
„Kreises  des  Dreiecks  geht  und  dessen  Radius  gleich 

2r  V—  cosjI,  .  cos  ,4*  .  cos^  W 

»Die  Asymptoten  dieser  Hyperbeln  bilden  einen  Strablenbüschel 
6tcr  Classc,  das  die  x  I erneu  Geraden  zur  Doppeltangente  hat. 
Denn  ihre  Coordiuateu  sind  Wurzeln  der  Gl.  b)  und  9),  woraus  folgt 

Da  für  die  pi  die  Gleichung  besteht  18) 

(ft+ftj'cot^.+fps+^^cot^  +  djj+yi^^ot^  -  U 
so  folgt  für  die  Asymptoten 

Aehulich  liegen  die  Brennpunkte  auf  einer  Curve  G  ter  Ordnung. 
Denn  ist  Gl.  «)  die  Gleichung  einer  solchen  Hyperbel  und  ^yx^r^ 
die  Coordiuateu  eines  ihrer  Brennpunkte,  so  ist  />,  proportional 

,ssinA,  x,8m^ 

^sni/l3  1  xtsiUi4;,  r  1 

(s.  Büiking  a.  a.  0.  S.  5).   Setzt  man 

x,  (xj,2 sin2 -t3  +  r32sin2  ^s  +  ^^a si»  A99iuA9ewAt)  «■  »?, 
so  ist  der  Ort  der  Breunpuukte 

9|*8in*/l]  +  ^'siu^-L-f  ^sin*  J3-f-3(%»/aCot^| 
4- 1}3  t}y  cot  At  +    %  cot  A3  )  «=»  0 

Der  umgeschriebene  Kreis  und  der  Kreis  um  //  schneiden  sich 
uuter  einem  Wkl.  <p,  so  dass 

cos2?  =  —  cos  At  cos  A%  cos  ^3 

ist;  setzt  mau  an  die  Stelle  des  umgeschriebenen  Kreises,  den  von 
Feuerbach,  so  erhält  mau 

C082(]P  —  —  ^C0Si4,  COSj42COSj48 

Die  Potenz  uuseres  Kreises  im  Schwerpunkt  ist 

%ld  cot  cot  w 
™  £ I 

wenn 


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296 


Bück  in  y:  DU  Seiten^  mmtlrietf  raden  des  Dreiecks 


J  =  4  At  A,A3 

und  w  den  Broeard'schen  Wiukel  *)  bedeutet. 

Der  Kreis  um  S%  welcher  mit  den  Kreisen  um  M  und  II  zu 
einem  Büschel  gehört,  schueidet  den  Kreis  um  //  in  U  und  V  recht- 
winklig, denn  US  und  Uli  halbireu  den  Winkel  MUF  uud  desseu 
Nebenwinkel.   Alsu  ist  auch 

2  ^cot  (o 
SU*  -  •    9-  ™  sv* 

Endlich  ist  die  Entfernung 

f       1  —  H«* 

wenn 

tr  —  cos  A,  .  cos^v  .  ZOSA3  ist. 

Die  Punkte  U  uud  V  sind  zugleich  Mittelpunkte  von  2  dem 
Dreiecke  umgeschriebenen  und  von  2  ihm  eingeschriebenen  gleich- 
seitigen Hyperbeln.  Zu  ihrer  Construetion  dienen  die  erwähnten 
involutorischen  Büschel;  man  ziehe  US  bis  zum  2tcu  Schnitt- 
punkt Ut  auf  dem  Kreise  A^AsAt%  uud  bestimme  die  Ordnuugs- 
strahleu  von  V  und  Uv  Die  erstereu  sind  die  Asymptoten  der  um- 
geschriebenen, die  Seitensymmetricgeratlen,  die  letzteren  die  Asymp- 
toten der  eingeschriebenen  Hyperbeln. 

Unter  den  dem  stumpfwinkligen  Dreieck  AlA*A.i  eingeschriebe- 
nen gleichseitige!]  Hyperbeln  giebt  es  solche  mit  paarweise  parallelen 
Asymptoteu.  Sind  A*  und  Y  die  x  fernen  Punkte  einer  solchen 
eingeschriebenen  Curve,  so  gehören  zu  ihnen  eingeschriebene  Para- 
beln *  und  jy,  welche  von  den  Seitensymmetriegeraden  der  durch 
A'  und  Y  gehenden  üeradeu  umhüllt  werden,  und  deren  Axeu  durch 
U  und  V  gehen,  also  senkrecht  zu  einander  sind.  Wenn  U  und  V 
in  dem  Winkelraum  des  stumpfen  Winkels  des  Dreiecks  liegen,  so 
schneiden  sich  x  und  y  in  4  Punkten.  Zu  jedem  von  diesen  Punkten 
gehört  eine  eingeschriebene  durch  V  und  V  gehende  Hyperbel,  also 
giebt  es  in  diesem  Falle  4  gleichseitige  Hyperbeln  mit  parallelen 
Asymptoten. 

Jene  Schnittpunkte  sind  Punkte  des  Kreises,  dessen  Gleichung 
45)  ist,  und  die  ihnen  entsprechenden  Punkte  auf  dem  Kreise  16) 
sind  die  Mittelpunkte  der  Hyperbeln.    Liegen  aber  die  Parabeln 


•)  s.  die  BrocardVcton  Gebilde  von  Km  tuen  eh. 


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Banking:  Dh  S'ittnsymmehiftjeratien  dm  Dr«i,ck*. 


in  verschiedenen  Winkelräumen  der  Winkel  At,  At,  A3,  so  schneiden 
sie  sich  überhaupt  nicht.   Also  haben  wir  deu  Satz: 

„Die  in  2  einem  stumpfwinkligen  Dreieck  eingeschriebenen  Para- 
„belu,  deren  Axen  auf  einander  senkrecht  stehen,  schneiden  sich  ent- 
weder nicht,  oder  in  4  Punkten  eines  Kreises,  und  dieser  Kreis 
„ist  für  alle  ein  und  derselbe". 

Mau  kann  beliebig  viele  Paare  solcher  Parabeln  tiuden ,  indem 
mau  von  ihren  Brennpunkten  ausgeht,  die  auf  dem  Kreise  AtAtAs  dia- 
metral gegenüber  liegen.  Sind  A%AJ  und  A.SA.J  Durchmesser  dieses 
Kreises,  so  können  die  Breuupuukte  nur  auf  deu  Bogen  A2AS'  ge- 
legen sein.  Ist  G  ein  solcher  Brennpunkt,  so  geht  die  Axe  a  der 
zu  ihm  gehörenden  Parabel  durch  G  und  den  x  fern  liegenden 
Winkelgcgenpuukte  von  G,  die  Fusspuuktlinic  von  G  für  das  Dreieck 
J,.12.l3  liefert  nuu  die  Scheiteltangente  und  die  Parallele  dazu  durch 
//  die  Leitlinie  l  der  Parabel.  Diejenige  eingeschriebene  Parabel, 
deren  Axe  zu  der  Axe  der  vorhergehenden  senkrecht  steht,  habe 
deu  Breuupuukt  G\  die  Axe  a\  die  Leitlinie  /'  5  dann  ist  G'G 
Kreisdurchmesser,  «  1  l  i  wodurch  diese  Linien  sogleich 
bestimmt  siud. 

Die  Nagcl'schcn  Punkte  der  einem  (stumfwiukligen)  Dreieck 
eingeschriebeneu  gleichseitigen  Hyperbeln  sind  die  Seiteugegeupunkte 
der  Punkte  P  (s.  oben);  man    vertausche  in  Gl.  15)   die  n  mit 

1  und  erhält  als  Ort  für  jene  die  Curve 
oder  in  gewöhnlichen  Coordinatcn 

Diese  Gleichung  rindet  man  bei  Depeue  (1*93  Progr.  177,  Breslau, 
über  die  eiuem  Dreieck'  ein-  und  umgeschriebenen  Kegelschnitte). 
Synthetisch  ist  sie  als  Curve  4  ten  Grades  und  6.  Classe  bereits  von 
Montag  bestimmt  worden.  (1870,  Dissert.  von  C.  Montag,  Breslau, 
Seite  27). 


6.   Gege  nschaaren. 

Unter  einer  Gegenschaar  wollen  wir  eine  Schaar  von  Geraden 
verstehen  der  Art,  dass  die  Seitensymmetriegerade  einer  jeden  wieder 
eine  Gerade  der  Schaar  ist. 


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21)8  Buching:  Die  Seiten  fym metriegeraden  des  Dreiecks. 

Man  erhält  eine  solche,  wenn  man  deu  Punkt  /'eine  beliebige 
Curvo  besehreiben  lässt,  und  für  jedo  Lage  die  2  durch  P  gehende 
Ssg  bestimmt  Die  von  P  durchlaufene  Curve  wollen  wir  die  Leit- 
curve  der  Schaar  nennen. 

1)   Die  Leitourve  sei  die  Gerado  w  mit  deu  Coordinateu 

h  m, 

Die  Coordinateu  der  durch  P  geheudeu  Ssg  seien  '£,'  und  ihr 
Schnittpunkt  also 

■  f.  4,  h  ; 
v  v  ?»' 


Man  setzt  hierin 


•-  /;  y  It  •-  It 
-i        Vi  -3 


*  it  1 
ti  mm 


-  Ü 


und  für  die  j,  der  ersten  Zeile  miy  da  ihr  Schnittpunkt  sich  auf  m 
bewegt.    Mau  erhält  dann  die  Gleichung  Stea  Grades 

i)  mt^w-h^+^hf^-w+^h^-w  -o 

Die  Gegenschaar  also,  deren  Leiteurve  eino  Gerade  ist,  ist  ein 
Strahlenbüschel  3tcr  Classe,  d.  h.  ein  solches,  von  welchem  durch 
einen  Punkt  der  Ebene  höchstens  3,  immer  aber  ein  Strahl  geht. 
Sie  enthält,  da 

der  Gleichung  1)  genügt,  alle  sich  selbst  entsprechenden  Geraden, 
darunter  die  x  ferne  Gerade,  ferner  die  Seiten  des  Dreiecks  AtAfA* 
die  Gerade  m  und  deren  Ssg,  und  die  Berührungspunkte  auf  m  sind 
die  Puukte,  in  denen  m  von  deu  sich  selbst  entsprechenden  Geraden 
geschnitten  wird.  Sie  enthält  endlich  die  Geraden  AtM^  AtM»  A3Afs, 
wenn  die  M  die  Schnittpunkte  von  m  mit  den  Seiten  des  Dreiecks 
AlAsAt  bedeuten. 

Die  Gegenschaar  zerfällt,  weun 

Wlj    —  Wlj, 

allgemeiner,  wenn 

m,2  «  inj    oder   mj*  =  /M;,2   oder   m3z  *»  m,2  ist, 

d.  b.  wenn  m  zu  einer  Dreieckseite  parallel  oder  durch  DtDtD9 
geht  (Schnittpunkte  von  je  2  sich  selbst  entsprechenden  Seiten).  Für 

nit  =  ms 

z.  B.  erhält  man 


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Biickimj:  Die  S,tte>i>y>Hiii,tri>,j?,u<Un  des  Drtitik*.  29(J 

zerfallend  iu 

c'j  =  i2  und 

»«,  (i,  h + w  -  »>  h(h + i«)  -  ü 

Diese       enthält  auch  ArA^  AAAU  D.D6  und  D.ADV 

2)  Die  Leitcurve  sei  eine  Curte  nter  Orduuug,  deren  Glei- 
chung ist 

Wenn  die  durch  V  geheudeu  Ssg  die  Coordiuateu  t, '  und  .!  ,  haben, 
so  ergeben  sich  die  Punkteoordinatcn  ihres  Schnittpunkts  aus 

-\-  z  */  -f-  *  ?  —  U 
M        «s  *•:{ 

also 

x,  :  x,  :  $,  (|f*  —  |3»j  :  i2(i35  —  ^»)  :  ;3(;,2  —  c*a2) 

Durch  Einsetzen  dieser  Werte  wird 

fu{rt)  -  0 
eine  Gleichung  3»  tcn  Grades  iu  gi  . 

Durchläuft  z.  B.  der  Puukt  die  Ellipse  vou  Artzt 

«r,      js  a-, 
so  ist  die  entsprechende       von  der  Form 

?S  -3  -:i  S>1  rl  -2 

Also  hat  sich  ergeben: 

„Duchläuft  ein  Punkt  eine  Curve  «ter  Orduuug,  so  bilden  die 
„durch  ihn  gehenden   Seitens} mmetriegeradeu  im  allgemeinen  ein 
Strahlenbüschel  der  Classe  B»w. 

Eine  andere  Methodo  Gegenschaarcn  zu  erhalteu,  soll  für  die- 
jeuigen  3 ter  Classe  gezeigt  werden.    Die  Gleichung 

P  —    /'IM  4-P^'2  +  /'3^ 

geht  durch  Vertauschung  der  i,  mit  ihren  rcciproken  Werten  .. 
und  Multiplication  der  Gleichung  mit  ^  .     .  ?j  über  in 


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300  Bleking:  Uie  Stitensymmetri'tftraden  dt*  Dreiecks 

Bedeuten  R  und  R\  Q  und  Q'  u.  s.  w.  ebenfalls  solche  Ausdrücke 
uud  c  eine  coustante  Grösse,  so  ist 

1)  cj  .  P .  V  -f  et  .  4  .  Q'  +  c3  .  R  .  W  +  .  .  .  -  0 

die  Gleichung  einer  Gegenschaar  der  3ten  Classe.  Denn  jeder  Sum- 
mand ist  vom  3teu  Grade  und  beim  Einsetzen  der  \  für  die  I,  und 

folgender  Multiplication  mit  £]|»cs  geht  /'  in  u.  s.  w.,  die  Glei- 
chung also  in  sich  selbst  über,  d.  h.  die  Geraden  sind  paarweise 
Symmetriegeraden.  Da  PQ'  für  die  eiu  homogener  Ausdruck 
3teu  Grades  ist  uud  durch  Einsetzen  der  reeiprukeu  Werte  der  £, 
für  die  '•,  selbst  übergeht  in  P'  .  Q,  so  erhält  mau  auch  Gegen- 
Bchaaron  iu  der  Form 

PQ'  ±  P*Q  -  0 

oder  allgemeiner 

2)  Ci(P .  W  ±  P'  .  Q)  -f  0.(11  .  S'  -f  R'S)  +  ...»  0  und 

3)  es(P  ■  Q'  —  P'  .  d)  -f  cs(/e  .  S'  -  R*  .  5)-f  .  .  .  =  0  und 

4)  Cl{P  W  +  P' U)  +  cs(RS' +  R'S)  +  .  .  m  +  7lP.  P'  +  ytQ.Q 

+  -  •  •  •  —  U 

4)  ergiebt  sich  durch  Combination  von  1)  und  2),  ciue  solche  von  1) 
und  3)  giebt  keine  Gegenschaar,  denu  für  3)  ist  uach  Einsetzung 

der  r!   au  Stelle  der      uud  einer  nachfolgenden  Multiplication  mit 

£i*  .  5j*  .  Is*  auch  eine  solche  mit  —  l  erforderlich,  um  die  alte 
Gleichuugsform  wieder  herzustellen.   Also  würde  die  Gleichung 

(PQ'  —  P'  U)  +  PP'  -  0 

übergehen  in 

(PW  -  P  Q)  -  P.  P'  =  0 
also  nicht  in  sich  selbst. 

Die  Gleichungen  1),  2)  und  4)  erscheinen  bei  unserer  Unter- 
suchung in  der  gemeinsamen  Form 

t  w+sa + m+w + + , . iM  _  0 

M,  '  Mg  /I3  ' 

dio  Gleichung  3)  in  der  Form 


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Rürking:  Dir  Seitensymmctritgeraden  (lex  Dreitcls.  30l 


Die  letztere  ist  uns  bereits  bekannt;  ihre  Lcitcurve  ist  eine 
Gerade  (S.  298).  Ehe  wir  I.  untersuchen,  wollen  wir  die  anderen 
Gegenschaaren  3ter  Ciasso  bestimmen  I.  und  II.  stimmen  darin 
überein,  dass  die  Seiten  des  Dreiecks  A^A^A^  zur  Gegenschaar  ge- 
hören. Diese  Bedingung  lassen  wir  fallen.  Angenommen,  die  durch 
Al  gehenden  Strahlen  der  Schaar  wären  verschieden  von  AtAs  und 
AtAs,  dann  müssten  auf  A^Aa  3  Berührungspunkte  liegen,  oder  A^A3 
wäre  ein  3  facher  Strahl  der  T3,  was  unmöglich  ist.  Also  bleibt  uns 
noch  der  Fall,  dass  A2AS  eine  Doppeltangente  und  eine  der  anderen 
Seiten,  etwa  AtA^  eiufacher  Strahl  der  r3  ist.  Dann  ist  die  Glei- 
chung der  Schaar 

h*  •  P  +  U  •  R  —  0,   da  für  g 3  —  0 

die  übrigen  Glieder  Sfj*  als  Factor  haben  müssen.  Infolge  der  Be- 
dingung, dass  die  Schaar  sich  selbst  entspricht,  findet  man  leicht 
R  -  T';  also 

III.  tiP±'U  ■  P'  =  0 

wenn  i  und  h  —  1,  2,  3  sind. 

Diese  Gleichungen  bieten  keiu  besonderes  Interesse,  wol  aber 
die  Gegenschaaren  von  der  Form  I.,  zu  deren  näheren  Untersuchung 
wir  jetzt  gehen  wollen. 

Zur  Gegenschaar 

—  +  --—-  +  -  ^-—+«ftfcfc-o 

gehören  zuerst  die  Seiten  des  Dreiecks  AtA2A&y  dann  die  Verbin- 
dungslinien des  Punktes  =»  «,)  mit  Au  At  und  A^  denu  für 
?,  —  0  ist 

M£  +  fcÄf_0     oder     5, S.      +  =-0 
d.  h.  durch  i4,  geht  ausser         und  ^,^t3  der  Strahl 

Die  für  die  3  Ecken  so  erhaltenen  Strahlen  gehen  durch  den  Punkt 

»i  Ii  +        +  ns*s  =  0 

oder 

x,  :  ara  :  ar3  —  »i,  :  n8  :  »3 
Der  Sgp  von  JY  liefert  die  Berührungspunkte  auf  den  Seiteu  des 


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302  Buching;  Die.  Seitensymmelriegeraden  des  Dreiecks. 

Dreiecks.  Da  die  Ts  die  Seiten  des  vollständigen  Vierecks,  gebildet 
aus  Av  As,  As  und  N  enthält,  so  muss  sie  geschrieben  werden 
könuen 

N .  u  —  i,  .  5,  .  t9  .  v  —  0 

worin 

N  a  "i  ?i  "f"       +  "«»s  'st- 

Man  tindet 

jj  s—  *    £, 

«1  "Ä  »3 

also  ist  n  =  0  der  zum  Punkte  N  gehörende  Kegelschnitt.  Die  Glei- 
chung I  lautet  dann 

(».{,+«,;*  + »Ä)  ^  ni  +      +  ) 

Für 

n,  »,  «3 

zerfällt  also  die  F*  in  das  Strahlenbüschel  N  und  dessen  Ssg,  oder 
die  Tangenten  des  zugehörigen  Kegelschnitts: 

*l  -5 

Wir  betrachten  die  Lcitcurte  der  Gegenschaar  I ,  d.  h.  den  Ort 
der  Schnittpunkte  der  in  der  Schaar  enthaltenen  Ssg.  Schreibt  man 
I.  nach  Division 

,  la      ^3    ,  "ig       f i  j.  £i 

»,  ^       «8  "3 

und  benutzt 

^'3         '  »a's 

so  erhält  man  sofort 


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Büch  in  (j\  Die  Seitenst/mmetneyetathn  des  Dreiecks.  308 

Die  Leitcurve  von  I.  ist  als©  eine  Curvc  3ter  Ordnung;  sie 
geht  durch  die  Mittelpunkte  I)tDsD3  der  Dreiecksseiten,  durch  die 
x  fernen  Punkte  der  Seiten,  durch  die  Schnittpunkte  der  Geraden 
i4,  ZV",  A9  N  und  A3  N  mit  den  Gegenseiten  des  Dreiecks. 

Zerfällt  die  T*  (s.  oben),  so  wird  aus  «) 
oder  nach  einigen  Veränderungeu 

y)      (x,  +  x3  +  ra)  •      (-•*!+ *•*+*»>+  *  ('i  +*t  -  *>] 

(«l+«t+g»)1  ,  _  _  _  0 

  o.     -      _  y 

Die  Leitcurve  schneidet  also  die  Seiten  des  Dreiecks  ausser  in 
den  oo  fernen  Punkten  in  G  Punkten  eines  dem  Dreieck  DtlKD.6 
umgeschriebenen  Kegelschnitts,  die  Gleichung  ist 

n,  n«  n3 

Die  Umformung  von  |3)  kann  auch  so  geschehen,  dass         — ar3, 

allgemein  (x,xar,±x3)  als  Factor  des  ersten  Products  erscheint, 
z.  B. 

t)       (rt  +     -  *f )  H  (—    +  rs  —  r3)  -f-  **  (r,  ~  tc,  -  *3) 

+;fa+%-w]-to-^?,^^-o 

Die  Betrachtung  von  y)  lehrt  uns,  dass  hier  die  Leitcurve  zer- 
fällt, wenn 

«i  +  «*  +  «i  —  0 

ist,  in  die  oo  ferne  Gerade  und  den  Kegelschnitt  ö;  t  aber  und  die 
aualogen  Gleichungen  zeigen,  dass  dies  auch  stattfindet  für 

Q  »,  ±  «2  ±  ns  =  0 

Es  ist 

nl  +  "3  +  »3   —  0 


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304 


BUehing:  Die  Seiteusymmttriegtraden  den  Dreieck», 


die  Bedingung  dafür,  dass  der  Punkt  N  auf  der  x  fernen  Geraden 

**!  +       +  XS 

liegt,  wie  schon  gesagt  wurde-,  der  zugehörige  Kegelschnitt  e  ist 
eine  Parabel,  denn  bringt  man  ihn  zum  Schnitt  mit 

«1  +  «t  +  *9  —  0 
wl  +  "ä  +  "3  =  0 

f*  -  »y - o 

was  zeigt,  dass  die  x  ferne  Gerade  Tangente  uud  iV  ihr  x  ferner 
Punkt  ist. 

Da  ß  der  Ort  der  Schnittpunkte  der  Strahlen  des  Büschels  A 
mit  dem  Ssg  ist,  so  hat  sich  also  ergeben: 

„Die  Strahlen  eines  Büschels  JS'  werden  von  ihren  Seitensym- 
„metriegeraden  in  den  Punkten  einer  Curve  3ter  Ordnung  geschnit- 
zten, welche  zerfällt,  wenu  N  auf  einer  der  sich  selbst  entsprechen- 
den Geraden  liegt,  in  diese  Gerade  und  einen  sie  berührenden 
„Kegelschnitt,  welcher,  dem  von  den  3  anderen  sich  selbst  entspre- 
chenden Geraden  gebildeten  Dreieck  umgeschrieben  ist.  Im  be- 
sonderen werden  parallele  Geraden  von  ihren  Ssg  iu  einer  durch 
„/},£>2A,  gehenden  Parabel  geschnitten,  deren  Axe  den  Geraden 
„parallel  ist,  und  welche  die  von  den  Ssg  umhüllten  Parabel  be- 
rührt." 

Ist  P  ein  beliebiger  Punkt,  v  eine  durch  ihn  gehende  Gerade, 
r,  deren  Ssg,  und  schneidet  die  zum  Punkte  P  gehörende  C*  », 
ausser  im  Punkte  tr,,  noch  in  den  Punkten  S  und  T,  so  sind  die 
£  und  T  die  Ordnungspuukte  der  iuvoluforischeii  Punktreibeo, 
iu  welchen  v%  von  den  Strahlen  des  Büschels  /'  und  deren  Ssg  ge- 
schnitten werdeu. 

Wir  kehren  zu  der  nicht  zerfallenden  Gegenschaar  zurück,  deren 
Gleichung  war 

deren  Leitcurve  ist 


und  setzt 
so  wird 


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Bück  in  ff  :  Die  Sritrtisymmetrifgfrnden  rf«  Drtirrls.  3Q5 

Diese  C»  kann  zerfallen,  ohne  dass  die  r*(v)  zerfällt,  in  einen 
Kegelschnitt  und  eine  Gerade.  Setzt  man  nämlich  die  linke  Seite 
von 

(*i  «11 4-        +  ^«3*  +  6,  x,x3  -f  9.jx3xt  +  83  Xl  rt) 
so  erhält  man 

u  1  ,  1  l  1 

M.---,  «1*1  «A  ^ 

Berechnet  man  ferner  die  Coefficienten  von  a*,*^  nnd  Vr„  so  muss 
sein 

aa*Bi  .  w,  .  ng  —  o,n,  -f-  a»ns 
o,^!    n,    n,  =  o,n,-f-a,na 

woraus  folgt 

o,2  =  03» 

Die  Bedingung  für  das  Zerfallen  der  C*(k)  ist  also 

o,a  =  a,*  =•  o,* 

Wir  nehmen  zuerst 

a\  —  a*  a3 

dann  wird 

8'  - >  -  ..8,  +  -»8,  +  a3  83  =  2  "»"»+"»"■  ±Aa 

Die  Gleichung  *  lautet  dann 

•  - 

T*i  "a 
sie  zerfällt  in 

«1  +  *t  4-  *s  -  0 


und 


5 

Arcli.  d.  Uith.  a.  Phys.   2.  S«iUe,  T.  XVI.  20 


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30(3  Bücking:  Die  Seite  nsy  mme.tt  iegeradtn  de*  Dreieck*. 


Die  letzte  Gleichung  stellt  einen  dem  Dreieck  DlDiDi  umge- 
schriebenen Kegelschnitt  dar.  Die  Gleichung  der  zugehörigen  Gegen- 
schaar ist 

Nt        f       n,       T  n, 

oder 

Sie  enthält  ausser  den  genannten  Strahlen  stets  die  »  ferne  Gerade 
als  Doppeltangente. 

„Es  wird  später  bewiesen  werden ,  dass  die  Aymptoten  der  Hy- 
perbeln eines  Kegelschnittbüsehcls  eine  solche  T*  bilden." 

Die  Leitcurve  der  Gegeuschaar  n  zerfällt,  wenn 

«i  —  ±  «s  —  ±  "3 

ist ;  berücksichtigen  wir  jetzt  auch  noch  die  negativen  Zeichen.  Mit 
den  a,  wechseln  die  In  ihr  Vorzeichen,  während  die  8(  ihre  Zeichen 
behalten.  Die  Folge  davon  ist,  dass  der  Kegelschnitt  k  einem  andern 
der  4  von  den  sich  selbst  entsprechenden  Geraden  gebildeten  Drei- 
ecken umschrieben  sein  muss.  Im  Falle,  dass  er  auch  noch  die 
4 te  sich  selbst  entsprechende  Gerade  berührt,  zerfällt  die  Gegen- 
schaar, was  oben  bereits  besprochen  wurde,  k  kann  ferner  zerfallen 
in  2  Geraden,  so  werden  wir  wieder  auf  Gegenschaaren  geführt, 
deren  Leitcurve  Geraden  sind  und  zwar  auf  einen  besonderen  Fall 
des  allgemeinen. 

Fassen  wir  unsere  Resultate  zusammen: 

Es  giebt  2  Arten  der  Gegenschaaren  3ter  Classe  mit  £<  sym- 
metrischen Gleichungen.  Diejenigen  der  ersten  Art  sind  die  Paare 
von  Ssg,  deren  Schnittpunkte  auf  einer  Geraden  liegen;  zu  der  Ge- 
raden U  —  m/  gehört  die  Gegenschaar 

Die  Gegenschaaren  der  2ten  Art  haben  die  Gleichung 
^i(f.'+V)+^(f1,,  +  5,«)+^(E),+5,')  +  «51f,Es  -  ü 

Es  sind  bei  constanten  n,,  n3,  *,  die  variabelen  t  die  Strahlen- 
büschel 3ter  Classe,  welche  in  den  6  Seiten  eines  vollständigen 


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Bücking:  Die  Seiren- ymmelrietferaden  des  Dreieck*.  307 

Vicrseits  und  in  den  Berührungspunkten  auf  dreien  von  ihnen  über- 
einstimmen. Die  Leitcurve  einer  solchen  7*  ist  eine  C°  mit  der 
Gleichung 

Für  coustante  n«  und  variabeles  c  sind  es  die  C'3  eines  ca  Büschels. 
Die  Gegenschaar  zerfallt  iu  ein  gewöhnliches  Strablenbüschel  A?  und 
deren  Ssg,  also  r*  für 

fj j  Mg  »Ig 

Die  Leitcurve  zerfällt,  wenn 

C     "~  2       ~  n4  ^  n,) 

jst,  in  eine  sich  entsprechende  und  einem  Kegelschnitt,  welcher  dem 
von  den  anderen  sich  selbst  entsprechenden  Geraden  gebildeten 
Dreieck  umgeschrieben  ist.    Die  dazu  gehörige  Gegenschaar  ist 

«i  '»s  «a 

Gegenschaar  und  Leitcurve  zu  gleicher  Zeit,  wenn  N  auf  eine  der 
sich  selbst  entsprechenden  Geraden,  also  auf  der  ao  ferneu  Geraden 
oder  auf  eine  Seite  des  Dreiecks  D1D9D3  liegt.  Die  Gleicbungeu 
sind  dann 

«l'±  »*  ±  «3  —  0 

Besonders  bemerkenswert  von  den  dem  Dreieck  umge- 
schriebenen Kegelschnitten  (Gl.  k  S.  31)  ist  der  Feuerbach'sche 
Kreis,  für  welchen  N  auf  den  Höhenschnitt 


(*  ~  cot 


fallt.   Seine  Gleichung  lautet  also 

x,  cot-4,(—  x,  +  Xg+xs)  -f  x, cot  At (x,  —  Xg-f  x3) 

-f-x3cot^s(x,-|-xf  -x3)  —  0 

und  die  dazu  gehörige  Gegenschaar  ist 

20* 


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308  Bücking:  Die  Seitensymmetriegeraden  des 

ßot^  5,0,  -fc)*  +  cot  A,^- + ootÄ^dh —5t)1  -  o 

Diese  wichtige  Gegenschaar  werden  wir  im  Abschnitt  3  beson- 
ders behandeln. 


7.   Die  Seitensymmetriegeraden  als  Asymptoten  der 
dem  Dreieck  AlA%Ai  umgeschriebenen  Hyperbeln. 

Die  Geraden  p  und  q  mit  ihrem  Ssg  p  und  q'  mögen  darge- 
stellt sein  durch 

2pi*<  — 0\    2fw-0;  =0   und    .£  -  =  0 

Dann  ist 

ein  Kegelschnitt,  welcher  durch  die  Ecken  des  Vierecks  pqp'q'  geht. 
Die  Quadrate  der  Coordiuaten  fallen  weg,  und  seine  Gleichung  ist 


ß)  ***3 


Pt 
Ps 


t5-(S+S)]+^IS+S-ft+Ö] 

+«IÜ-S-(S+Ö]- 

und  ist  also  auch  dem  Dreieck  AlAtÄi  umgeschrieben. 
Ist  nun  9  eine  sich  selbst  entsprechende  Ssg.  also 

so  wird  aus  Gl.  <*) 

(Pi *i  +  Pt  H  +P**»l  (~  +  *  +      -  ('1  ± *s  ± 

d.  h.  die  Geraden  p  und  )>'  sind  Tangenten  des  Kegelschnitts  und 
ihre  BerQhruigssehne  die  Gerade 

*,  ±  xt  ±  ar3  =  0 

Also  haben  wir  den  Satz: 

„Wenn  2  beliebige  Seitensymmetriegeraden  eine  sich  selbst  ent- 
sprechende Gerade  in  den  Punkten  U  und  1'  schneiden,  so  berührt 
„der  Kegelschnitt  AtAtAt  UV  jene  Geraden.44 

Da  es  4  sich  selbst  entsprechende  Ssg  giebt,  so  folgt  durch 
Parallelprojection  allgemein: 


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Bückingi  Die  Seilentymmetriegemdtn  <iV«  Dreieck».  309 

Durch  die  3  Punkte  AlAiA3  können  4  die  festen  Geraden  p 
und  p  berührende  Kegelschnitte  gelegt  werden;  die  Verbindungs- 
linien zusammengehöriger  Berührungspunkte  schneiden  sich  paar- 
weise auf  den  Seiten  des  Dreiecks  AlA2Aa;  es  sind  die  sich  selbst 
entsprechenden  Geraden  in  dem  involutoriseben  Liniensystem,  das 
durch  das  Grunddreieck  Ax  A%A$  und  p  und  p'  als  entsprechende  Ge- 
raden gegeben  ist.  Jene  Kegelschnitte  sind  reell,  wenn  das  Linien- 
system reelle  sich  selbst  entsprechende  Geraden  besitzt. 

Für  die  oo  ferne,  als  Ssg  sich  selbst  zugeordnete  Gerade  folgt 
nun  : 

,.Je  zwei  Seitensymmetriegeraden  siud  die  Asymptoten  einer  dem 
„Dreieck  AiAiA3  umgeschriebeneu  Hyperbel." 

Die  Gleichung  einer  solchen  folgt  aus  ß)  für 

—     —  fli  =  1 

y)   Pt(p%  Ta)*  •  af  *a  +  J>«(7>3  ~  Pi)*  •  *a*i  +  PsiPt  —  —  0 

Umgekehrt  sind  also  die  Asymptoten  einer  dem  Dreieck  .  i  .  .4  _  .  i 
umgeschriebenen  Hyperbel  Ssg  für  das  Dreieck  Ax  A$A&  wie  bekannt. 
Angenommen,  die  Hyperbel  y  ginge  durch  den  Punkt 

N{*t  -  »,) 

wenu  man  dann  y  durch  n,  .  n2  .  n3  dividirt,  so  wird 
*)     Pl  ft-  k)*  +  £  (ft  "  Pi  )8  +  2  (Pi  -  P*)*  -  0 

«j  Hj  7*3 

Vergleicht  man  dies  mit  der  S.  306  gegebenen  Gleichung  einer  Gegon- 
schaar ,  deren  Leitearve  ein  dem  Dreieck  D^D^  umgeschriebener 
Kegelschnitt  war,  so  findet  man  vollständige  Uebereinstimraung. 

Die  Grössen  p,  sind  nämlich  die  Liuieucoordinaten  der  Geraden 
P  und  p' ;  also  gilt  der  Satz : 

„Die  Asymptoten  der  durch  die  festen  Punkte  AtA9As  N  gehen- 
„den  Hyperbeln  bilden  ein  Strahlenbüschel  3ter  Classe  ö.  Die 
„Mittelpuuktscurve  des  Kegelschnittbüschels  ist" 

7J|  n2  «3 

Wir  wollen  jetzt  die  dem  Dreieck  umgeschriebenen  Hyperbeln 
mit  gleichen  Asymptotenwinkeln  untersuchen.  Wird  der  eine  Winkel, 
den  die  Geraden 


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3X0  Buching :  Die  Seilenymmetrieyeraden  de»  Dreieck*. 

und 

bilden,  mit  ß  bezeichnet,  so  ist  bekanntlich, 

"2?  (-.^8i°^?    )  -  2r(WJW. + PlP/) com* 

\6inyl,  sin  v!t8in^s/  KlJl 
positiv  oder  negativ  zu  wählen,  je  nachdem  0  spitz  oder  stumpf  ist. 

Da  hier 

1 

P*  —  «  ' 

ist,  so  erhalt  mau,  wenn 


»ipM.+  siuM.  _ 
8iu  ^,  .  sin  ^,  .  siD  A, 

+(^)H]=£-ä+te-2)+£-£) 

Es  ist  nun 

ü  -  2(001/1,  -1-  cot  At  +  cot  ,43) 
terner  die  rechte  Seite  von  <5 

Ersetzt  mau  die  /j,  als  Liniencoordinaten  der  Geraden,  von  denen 
wir  ausgiugeu,  durch  und  multiplicirt  mit  5,  .  St  .  Ss,  80  er- 
hält man  aus  6  die  Gleichung 

«)  W«s-y  T  taue  .  [cot     .  5,(5,  - 

Der  Winkel  6  muss  hierbei,  ebenso  wie  die  Wkl.  A,  in  einer 
bestimmten  Drehungsrichtung  geraessen  werden,  etwa  im  Sinne  de» 
sich  drehenden  Uhrzeigers.  Dann,  enthält  t  erstens  nach  Voraus- 
setzung alle  Geraden  der  Ebene ,  welche  von  ihren  Ssg  unter  dem 
Wkl.  6  geschuitten  werden,  t  enthält  aber  zweitens  auch  diese 
schneidenden  Geraden.  Für  sie  hat  man  nur  das  entgegengesetzte 
Vorzeichen  zu  wählen ;  denn  wenn  m  eine  Gerade  von  *,  m*  ihre  Ssg, 
uud 


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Bückiny:  Die  Seilensymmetriegeraden  de«  Dreiecks.  311 
mm'  —  ß  ist,    80  ist    mm  —  180°  —  6 

Setzt  man 

180°  -8  =  6' 

so  muss  die  Gleichung  aller  Geraden  m'  die  Form  haben  (wenn  man 
für  den  ersten  Fall  das  obere  Zeicheu  wählt) 

(i*.  ~  U  (**  "  ?s)  (5«  -  5,)  -  tan  6'  .  AS, 5,  E,)  =  0 

oder 

was  sich  bewahrheitet,  wenn  man  in  e  die     durch  *  ersetzt.  Beide 

Gleichungcu  zusammen  repräsentiren  die  gesuchteu  Asymptoten. 
Man  hat  also  den  Satz: 

„Die  Asymptoten  der  dem  Dreieck  AtAtAa  umgeschriebenen 
„Hyperbeln  mit  gleichen  Asymptoteuwiukeln  bilden  im  allgemeinen 
„zwei  Strahleubüschel  3ter  Gasse,  der  Art,  dass  die  beideu  Asymp- 
toten jeder  Hyperbel  entsprechende  Seitensymmetriegeraden  in  den 
„Büscheln  sind." 

Für  0  =  90ft  muss  der  Factor  von  tau  0  in  e  verschwinden,  also 
ist  die  Bedingung  für  die  sich  rechtwinklig  schneidenden  Asymp- 
toten 

cot/!,  .  5,  (S, -*,)*  + coU,  •  M^-SiP  +  cotJ,  •  Mli-St)1  =  0 

es  sind  die  Asymptoten  der  gleichseitigen,  dem  Dreieck  AtAtA3  um- 
geschriebenen Hyperbeln.    Die  Werte 

Ii  =  h  -  * s 

erfüllen  die  Gleichung  und  geben  die  »  ferne  Gerade,  welche,  wie 
bekannt,  als  auf  sich  selbst  senkrecht  betrachtet  werden  kann. 

Die  Mittelpunkte  der  betrachteten  Hyperbeln,  deren  Asymptoten 
gleiche  Winkel  bilden,  liegen  bekanntlich  auf  einer  Curve  4ter  Ord- 
nung (s.  u.  A.  Bücking,  a.  a.  0.  8.  13).  Wir  wollen  mit  Hilfe  des 
Vorhergehenden  die  Gleichung  dieser  C*  ableiten.  Die  Asymptoten 
einer  Hyperbel  seien 

Pi *i+Pixt-\-  2>3*s  -  0 

lh     Pt  Pt 
Daraus  folgen  die  Coordinaten  des  Mittelpunkts 


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312  bückiny:  Die  Seiiensymmetriegeraden  des  Dreiecks. 

*  v  *t :  *a  =  Pi  W  —  Psf) :  PtW  -  Pi ")  m'Pt(Pi*  -  Pt9) 
Man  setze' 

*i  -  ~  Ps') 

und  hat  dann 
ferner  ist 

^  i  P«  —  yia  ~  *»*  ~  *»') 
Ps     Pt  "~  *t*s 

also 

Pt     Ps  <P 


P3       Pi  *S*3 

wenn 
ist,  also 


Demnach  aus  rj 
oder 


Ps 

 5L 

Pt 

Ps 

"»3*1 

Pj 

Pt 

 9. 

Pt 

Pl 

"  *l*t 

zl  •  * t  •  *3  —  Pl  •  Pt  •  /'3  •  <P 

Pj  Pt  Ps  —  — ~* 


Wir  haben  jetzt  die  Mittel  «  umzuformen.  Wenn 

£  pi  xi  «  0 

eine  Gerade  ist,  deren  Linieucoordiuateu  t  genügen,  so  hat  man, 
indem  mau  auf  6  zurückgreift, 

Pi  'Pt*  ~  Ps* )  +P2(P3* — Pi*)  +  Ps(Pi '  -  Pt*) 

Es  ist  aber  T  tau  Ö  [cot  A,  .  p,)p,  —,,')'  +  .  .  .]-„ 


a  _  *i  *t  *s    (*i  +  *t+  ya)  (—  *\  jh  *t  Hr  *3) 
9  's  's 

demnach 

*i+*,  +  *a±tang.  Xl  +  *,  +  *a 

.  [cot  4,  x,  (_  jr,  +     4.  X3)  4-  .  .  .]»o 


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hückiny:  Die  Stilen  >t/mmetriegera<tcn  fies  Dreiecks.  313 

Diese  Gleichung  zerfällt  in 
und 

[cot  As *,  -f  **  +  ^a)  +  •  •  .  J  ±  <pcote  —  0 
setzt  man  den  Wert  von  q>  ein  uud  hebt  aufs  Quadrat,  so  ist 
[Zcot^,  .«■<(—«*  +  */  +  **)P 

+  COt«0(*1+r,+  a-8)(-J-1+r1+T3)(a-1—  *,-f  x3)  .      -f  ar,  —  x3)  -  0 

„Diese  Curve'4ter  Ordnung  enthält  also  die  Mittelpunkte  der  dem 
„Dreieck  AAAtÄ^  umgeschriebenen  Hyperbeln  mit  gleichen  Asymp- 
„totenwinkelu 

Die  Curve  hat  Dlf  Z^,  D3  zu  Doppelpunkten  und  geht  durch 
die  2  x  fernen  imaginären  Kreispunkte. 

Hier  fällt  der  Unterschied  zwischen  0  uud  (180°—  Ö),  welchen 
wir  in  t  uud  #  wahrnahmen,  weg,  wie  zu  erwarten  war. 

Sie  zerfällt  für  0  —  90°  und  wir  kommen  mit 

2: coM,  .  n  .  (—  *i  +  rj +zk)  =  0 

auf  deu  Feuerbach'scheu  Kreis  zurück ;  ferner  treten  für  Ö  =  U° 
statt  der  Curve  die  4  als  Ssg  sich  selbst  entsprechenden  Geraden 
9*  «  ü  auf. 


8.   Normale  Seiteusymmetriegeradeu  oder  die 
F  usspunktliuien  dos  Dreiecks;  die  Curve  von  Steiner. 

Die  Gesamtheit  der  zu  einander  normalen  Ssg  bildet ,  wie  wir 
abgeleitet  haben,  ein  Strahlenbüschel  3ter  Classe,  dessen  Glei- 
chung ist 

cot-ijgjd,  —  V  +  coM,^— y  +  coUallt— W"  =  0 

Durch  jeden  Punkt  der  Ebene  gehen  also  höchstens  3,  wenig- 
stens aber  eine  dieser  Geraden.  Sie  siud  die  Strahlen  einer  Gegen- 
schaar, deren  Leitcurve  der  Feuerbach'sche  Kreis  des  Dreiecks  ist 
mit  der  Gleichung: 

COtA^ti—  x,-f  ars-f  x3)  -f  COtJfffsfa  —  x,-f  *3) 

*QiAzx&*x  -f  x%  —  xs)  —  0 


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314 


Bücking:  Die  Seiteimyrnmetriegeraden  den  Dreiecks. 


d.  b.  der  Schnittpunkt  von  jo  2  aufeinander  senkrecht  stehenden 
Ssg  liegt  auf  dem  Feuerbach'schen  Kreise. 

Diese  Geraden  sind  auch  die  Asymptoten  der  d'ii  Dreieck 
AiAsA;i  umgeschriebenen  gleichseitigen  Hyperbeln,  ferner  die 
Scheiteltangcnteu  der  dem  Dreieck  AXA^AZ  uDd  endlich  die  Axcn 
der  dem  Dreieck  Dx  DtD$  eingeschriebenen  Parabelu.  Auch  sieht 
man  leicht,  dass  sie  die  Fusspunktlinien  oder  Simsongeraden 
des  Dreiecks  AtA^Az  sind;  denn  man  erhält  eine  solche,  wenn 
mau  von  einem  beliebigen  Puukt  /'  des  Kreises  AtAtA3  auf  die 
Dreiecksseiten  die  Lote  fällt  und  deren  Fusspunkte,  die  auf  einer 
Geraden  p  liegen,  verbindet.  Denn  p  ist  nichts  anders  als  die 
Scheiteltangente  der  dem  Dreieck  eingeschriebenen  Parabel  n  mit 
dem  Breunpunkte  r. 

So  sehen  wir,  dass  die  zu  einander  normalen  Ssg  eine  vielseitige 
und  deshalb  wichtige  Rolle  in  der  Geometrie  des  Dreiecks  spielen. 
Viele  Mathematiker  haben  sich  mit  ihnen  beschäftigt,  seitdem  Steiner 
nachgewiesen  hatte,  dass  sie  eine  Curve  der  3.  Gasse  und  4  ter  Ord- 
nung mit  3  Spitzen  (die  sog.  Steiuer'sche  Curve)  umhüllen.  Steiner 
gab  eiue  Reihe  von  Sätzeu  ohue  Beweis  im  53.  Band  von  Crelle's 
Journal.  Schröter  behandelte  im  54.  Band  die  Sache  synthetisch. 
Er  betrachtet  die  Fpl.  als  Verbindungslinien  der  Punkte  des  F. 
Kreises  und  deren  oo  fern  liegenden  Wiukelgegenpunkte  für  das 
Dreieck  1>1DSI)A.  „Durch  einen  Puukt  a  des  Kreises  geht  ein  fester 
Strahl  aax  und  ein  beweglicher  Strahl  ux,  welcher  in  den  x  den 
Kreis  zum  andern  Male  trifft-  Trägt  man  den  Winkel  xna,  an  den 
Schenkel  aoJ  entgegengesetzt  an,  so  dass  der  andere  Schenkel  a^, 
dieselbe  Neigung  zu  aa,  hat,  wie  ar  zu  aa,  uud  zieht  daun  durch 
den  Punkt  x  eine  Parallele  zu  «x,,  so  wird  dieselbe  eine  Curve  3  ter 
Classe  umhüllen,  während  der  Punkt  x  den  Kreis  durchläuft*4.  Vou 
dieser  Definition,  welche  das  Dreieck  I\DtDz  bei  Seite  lässt,  aus- 
gehend, entwickelt  er  in  überaus  klarer  Weise  die  Hauptfragen; 
doch  verallgemeinert  er  das  Problem,  indem  er  au  die  Stelle  des 
Kreises  und  der  x  fernen  Geraden  eine  beliebige  Punktreihe  2 ter 
uud  1  ter  Orduung  setzt. 

8  Jahre  später  (1865)  erhob  sich  unter  englischen  Mathemati- 
kern ein  Wettstreit,  die  Fusspunktlinien  aualytisch  zu  untersuchen. 
Im  7.,  8.  und  9.  Bande  des  Quarterly  Journal  of  pure  and  applied 
Mathematics  rindet  mau  eine  Reihe  von  Aufsätzen  von  Green,  Fer- 
rers, Cayley,  Walton  über  uusere  Geraden.  Green  gab  die  Glei- 
chung der  Fusspunktlinie  des  Punktes  (aßy)  für  das  Dreieck  ABC 
in  trimetrischeu  Coordinaten  (x,  y,  z)  in  der  Form 


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Bückingi  Die  Seite n*yminetr »geraden  des  Dretrck*. 


315 


Zi(l— jO(1-9)+  l)  +  JK»-l)(ir-W  -0 

^worin  JT  — *  .  sin-4  .  taiii4,  A  =  C°^^  und  die  Gleichung  der 

Enveloppo ;  doch  fügt  er  hinzu :  I  am  foreed  to  concludo  for  my  part 
that  the  easicst  method  of  obtaining  tho  desired  eliminant  is  the 
straight-formed  but  unsymmeti  ical  course.  Ferrers  untersuchte  mit 
Hilfe  von  cartesischen  Coordinaten  und  erhält  für  die  Enveloppe 

p  =  }a  sin  3y 

worin  p  das  Lot  vom  Mittelpunkt  des  F.  Kreises  (Radius  —  Ja) 
auf  eine  Fpl,  und  «J>  dereu  Neigungswinkel  zu  einer  festen  Axe  be- 
deuten, Im  8  Band  füllte  Cayley  die  vou  Green  gelassene  Lücke 
und  giebt  mit  Hülfe  Hesse'scher  Formeln  a  symmetrical  method  zur 
Ableitung  der  Taugentialgleichuug  und  der  eingeküllteu  Curve  in 
der  Form 

»)»  recip        ~  DJ  +  •  •  •  I  -  ü 

Dann  bestimmte  er  durch  mühsame  Rechnungen  die  Coefficienteu, 
um  bei  einer  sehr  complicirten  Gleichung  zu  endigen;  s.  auch  den 
Nachtrag  dazu  iu  demselben  Bande  S.  75. 

Im  9ten  Bande  gab  auch  Walton  die  Gleichung  der  eingehüllten 
Curve 

L      M  N 

worin  a  «=  tan^l;  L,  M  und  Ar  homogene  Functionen  2ten  Grades 
in  den  laufenden  Coordinaten  der  Curve  bedeuten. 

Ferrers  (Band  IX,  S.  153j  berechnete  sie  für  das  Dreieck 
\\\  Wt  W'3  (s.  F.  3.)  uud  erhielt 

was  einfacher  geschrieben  werden  kann  als 

1  1,1 

*i*     ***  *$* 

Bezogen  auf  das  Dreieck  mlvtvi  (s.  F.  3.)  als  Grunddreieck  giebt 
iene  Gleichung  vermittelst  der  Substitutionen 

tt-lxS+xJ  +  *s' 
*«  —  *\  +  W  +  H1 
x3  ~   *l  +   V  +  7aV 


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31G  Biicking:  Die  Seitentymmelrieyeraden  des  Dreieck*. 


•  (*i*8+x^3-hf3'!^192(a-|+xi+x3)x1ar,ar3  =  0 

Noch  eine  Gleichung  der  St.  Curve  haben  wir  anzugeben;  man 
hat  gefunden,  dass  die  St.  Curve  eine  nicht  transcendente  Hyper- 
cykloide  ist,  und  als  solche  ist  sie  von  Painjoin,  Serret,  Salmon, 
Eckhardt  und  Kieper  behandelt  worden.  Ihre  Gleichung  ist  nach 
Salmon,  wenn  man  (s.  F.  3)  Out  —  r  setzt  und  Ov,  als  y  Axe  an 
nimmt,  in  rechtw.  Coordinaten 

(^  +  y2)2-8ry3-f  24rr*3,+  18rVS  +  J^  -  27  r* 

So  sehen  wir,  dass  die  Fpl.  und  die  von  ihnen  umhüllte  Stei- 
ner'sche  Curve  vielfach  untersucht  worden  sind;  auch  eine  elemen- 
tare Behandlung  Ii*gt  vor  von  Perlewitz  (Progr.  1890,  Nr.  99, 
Sophiengymnasium  zu  Berlin)  und  hier  rindet  man  auch  auf  der  2. 
Seite  einen  guten  Litteraturnachweis. 

Wir  betrachten  es  noch  als  unsere  Aufgabe  dem  Leser  die  Fuss- 
puuktlinien  iu  ihrer  Gesamtheit  zur  Anschauung  zu  bringen. 

In  sehr  einfacher  Weise  geschieht  dies,  weuu  man  sie,  an  die 
Schröter'sche  Betrachtung  anknüpfend,  als  Verbindungslinien  der 
Puukte  des  Fcuerbach'schen  Kreises  mit  deren  ao  fern  liegeudeu 
Wiukelgegcnpuukten  (f.  d.  Dreieck  DtDtD^  ansieht  Nur  werden 
wir  anstatt  der  ao  fernen  Punkte  ihre  2ten  Schnittpunkte  mit  dem 
Kreise  benutzen  und  hierdurch  eine  Vereinfachung  erzielen.  Ange- 
nommen F  und  Fx  seieu  2  Punkte  des  Kreises,  und  f  und  /,  die 
durch  sie  gehenden  Fusspunktlinien ,  welche  F  und  Fx  mit  deren 
Wiukelgegeupunkteu  verbinden;  dann  ist  der  spitze  Winkel  //,  = 
dem  spitzen  Peripheriewinkel  über  FFt.  Denn  zieht  mau  etwa  DXFX 
uud  DXF  und  durch  l)x  zu  /  und  die  Parallelen,  so  erhält  man 
2  Paare  Wiukelgegeugeraden ,  deren  Winkel  entgegengesetzt  gleich 
sind.  Angenommen  uuu  f  und  /*,  schnitten  den  Kreis  zum  2  teu 
Male  in  G  und  fr,,  so  verbinde  mau  F  mit  Gx.  Da  Wkl.  Gx  — 
Wkl.  so  ist  Wkl.  GFGX  (oder  sein  Supplement)  doppelt  so  gross, 
als  jener,  uud  Bogen  GGX  =-  2  Bogen  FFX  aber  mit  entgegengesetzten 
Drchuugssinn.  Denkt  mau  sich  F  uud  0  den  Bogen  FG  durch- 
laufend, so  werden  sie  in  einem  Punkt  i  ,  zusammenfallen,  so  dass 

L\G  -  2  6^/'  ist. 

Also  können  wir  uns  die  Fusspunktlinien  vorstellen  als  die  Ver- 
bindungslinien zweier  Punkte  des  F.  Kreises,  welche  von  Ut  aus- 
gehend den  Kreis  in  entgegengesetzten  Richtungen  so  durchlaufen, 
dass  die  Geschwindigkeit  des  einen  (G)  doppelt  so  gross  ist,  als  die 


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Buching:  Die  Seitensymmetriegeraden  des  Dreiecks.  317 


des  anderen  (F).  Hieraus  lassen  sich  die  meisten  Sätze  über  unsere 
Geraden  mit  Leichtigkeit  ableiten ;  z.  B.  gehen  durcli  F  noch  2  andere 
Fpl.  FFt  und  FFS,  denn  da  G  deu  Kreis  2  mal  zu  durchlaufen  hat, 
um  alle  Fpl.  zu  liefern,  so  geht  er  2  mal  über  Fund  liefert  2  neue 
Fusspunktlinien,  für  welche  F  jetzt  ein  G  Punkt  ist.  Jene  stehen 
senkrecht  auf  einander,  da  dem  Kreise,  welchen  G  von  einem  Durch- 
gang durch  F  zum  anderen  zu  durchlaufen  hat,  ein  Halbkreis  Fv  F2 
entspricht.  Auch  steht  FG  senkr.  auf  FtFs,  denn  wenn  G  nach 
dem  F  wandert,  so  geht  F  bis  zum  Halbirungspunkt  Fx  von  GFt, 
obcnso  muss  F9  den  anderen  Segmentbogen  FG  halbieren.  Wenn 
F  einmal  den  Kreis  durchläuft,  muss  es  mit  G  ausser  in  Ux  offen- 
bar noch  2  mal  zusammenfallen  ( (  ',  und  U3),  so  dass 

Ut  b\  —  £/s  t/s  =  Ua  Uj  =  120° 

ist.  Es  sind  dies  die  Berührungspunkte  der  Steiner'scheu  Curte  mit 
dem  Kreise.  Jedes  Segment  FG  wird  durch  einen  der  Punkte  V  ge- 
drittelt, z.  B.  auch  die  Bögen  DtHs ,  D%Ht  und  D3HSl  wenn  die  //Punkte 
die  Fusspunkte  der  Höhen  im  Dreieck  AtA*An  bedeuten,  da  die  Höhen 
und  die  Seiten  des  Dreiecks  AjA^A^  zu  den  Fpl.  gehören.  Lässt 
man  zwei  benachbarte  Fpl.  FG  und  JFjtr,  zusammenfallen,  so  muss, 
da  Wkl.  ffi  Wkl.  Gt  ist,  der  Schnittpunkt  T  jener  auch  in  der 
Grenzlage  so  fallen ,  dass  er  von  F  ebenso  weit  entfernt  ist  als  G 
von  F.  T  ist  daun  der  Berührungspunkt  der  Fusspuuktlinie  FG 
mit  der  St.  Curve.  So  könnte  man  in  der  Ableitung  von  bekannten 
Sätzen  fortfahren;  es  sei  nur  darauf  hingewiesen,  dass  die  Aufgabe 
bei  gegebenem  F  Kreise  und  eiuer  Fpl.  die  übrigen  zu  zeichnen 
uud  die  Berührungspunkte  der  umhüllten  Curve  zu  bestimmen,  im 
Gesagten  eine  sehr  einfache  Lösung  findet ;  mau  vergleiche  damit 
die  von  Gremona  gegebeue  (s.  Perlewitz  S.  9). 

Auch  die  Gleichung  von  Ferrers  ergiebt  sich  hier  leicht.  Denn 
nennt  man  L  das  Lot  von  O  auf  FG  und 

Wkl.  FNÜ  —  2^' 

so  ist 

Wkl.  UOS  «  und    Wkl.  FOL  -  8*' 

also 

OL  =  OF  .  cos  V 

Man  nehme  also  OA  senkr.  auf  OF  als  feste  Axe,  setze  OL  —  p 
und  OF=\a  und  nenne  Wkl.  LOA  <=t//;  dann  ist 

^'      ^  =  409   und   p  =  \a  sin  3^ 

Wir  wollen  zum  Schluss  die  Lage  der  3  oben  deönirten  Punkte 
U  zu  den  Punkteu  DxD2Da  feststellen.    Wir  denken  uns  auf  dem 


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318  Buching:  Die  Seite  n*ymmetrie9eraden  das  Dreiecks. 

Bogen  D,D,  den  Punkt  F  (a.  Fig.  4)  und  die  durch  ihn  gehende 
Fpl.  FG,  so  dass 

Oü  —  2UF 

ist  Wir  ziehen  zu  D3D,  die  parallele  Sehne  FN  und  DXN.  Daun 
liegt  der  Wgp.  von  U  <x>  weit  auf  D,iV,  also  ist 

FC?  8  ND, 

Man  setze 

und  die  Wkl.  des  Dreiecks  gleich  «„  «,  und         >  «,).  Dann  ist 

W  -  2tfs  -  2«,  +  3*;    F£7  ~  *  -  2  "'-^ 
Wir  berechnen  UD„  UDS  und  VD3  (d„  d3 

23  -  2a, 

d,  3  — 

_2or1-r-4crt-}-6«3 
02  ~  3 

also  ist  deren  Summe 

-  2(o,  +     +      =  2» 

Donken  wir  uns  nun  im  Kreise  D,D,D5  einen  beliebigen  Radius 
OR  (=»  1)  als  Axe  von  Acquipolleuzen  und  Bogen  HL\  in  der 
Richtung  der  früheren  gemessen,  —  n  gesetzt,  so  ist 

OU=  £«,     OD,  ~  *(<>i+«>,     OD,  —  OD,  -  £<<*•+«»> 

also 

OD,  .  OD,  .  OD,  =  £(rf.+rf2+«ra+3«) 

und  da 

*i  +     +     =  2«   und   fa*  =»  1 

so  ist 

ODt  .  ODt  .  OD,  =>  £3«  —  Ot/s 

also 

s  

Of/  -  VOD,  .  OD,  ."~ÖD, 

Diese  Wurzel  hat  3  Worte,  welche  bekanntlich  um  120°  von  ein- 
ander getrennt  sind,  und  liefert  uns  die  Strecken  OL\,  OU%  und 


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Dücking:  Die  Stitentymmeiritqrraden  den  Dreieck*. 


319 


0U3.    Wir  haben  also  den  Satz:    „Für  jeden  Radius  des  Feuerb. 

„Kreises  als  Axe   von  Aeqnipollenzeu  ergeben   sich   die  Radien 

„nach  dem  Berührungspunkte  der  Steiner'schen  Curve  als  Wurzel- 
s  

„werte  von  VÖn]  .  ODt  .  Öiy\ 

Dieser  Satz  gilt  nicht  allein  für  die  Punkte  />,  sondern  auch 
für  beliebig  viele  andere  Tripel  von  Punkten  des  F.  Kreises,  näm- 
lich den  Seitenmittelpunkten  aller  Dreiecke,  deren  Seiten  und  Höhen 
Fusspunktlinien  sind. 

Da  UG  =  2t/Fist  (s.  d.  Fig.);  so  ist,  wenn  man  die  Axe  der 
Aeqnipollenzeu  nach  OF  legt 

3 

OU  -  Yöa 

Auch  diese  Gleichung  liefert  uns  3  Punkte,  welche  Toilpunkte  der 
in  derselben  Richtung  gemessenen  Bögen  FG ,  FG-\-2n,  FG-\-An 
sind  (s.  diese  Teilung,  schon  angewaudt  bei  van  Schooten  in  seinen 
coment.  zur  geometria  des  Descartes,  Ausgabe  1663,  p.  345  ff.,  de 
cubicarum  aequitionum  resolutione) 

Endlich  folgt  aus 

3  

OU  =  VoDt  .  ODt  70DS 

und 

V- 

ou =  yoG  § 

OG  =  ODx  .  ODt  .  OD3 

gültig  für  die  Axe  OF.  Sie  bestimmt  zum  Punkt  Fden  zugehörigen 
Punkt  G  und  kann  als  Dcfinitionsgleichung  der  Fusspunktlinien 
(/'G')  für  die  Rechnung  in  Aeqnipollenzeu  angesehen  werden. 


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320      Dziobek:  Erweiterung  de*  Gauss' sehen  Pentagramma  mirificum. 


XIII. 

Ueber  eine 
Erweiterung  des  Gauss'schen  Pentagramma 
mirificum  auf  ein  beliebiges  sphärisches  Dreieck. 

Von 

Dr.  Dziobek, 

Professor  in  Charlottcnburg. 


In  einer  »Abhandlung  (gesammelte  Werke,  Bd.  III,  Nachlass 
pag.  481-490)  hat  Gauss  für  ein  gegebenes  rechtwinklig  sphärisches 
Dreieck  ein  Fünfeck  besonderer  Art,  nämlich  ein  solches,  dessen 
fünf  Diagonalen  sämtlich  Quadranten  sind  —  von  ihm  Pentagramma 
mirificum  genannt  —  angegeben,  aus  dessen  Betrachtung  unter  An- 
deren sich  auf  der  Stelle  die  merkwürdigen  Nepor'schen  Analogien 
ergeben.  Der  Versuch,  diese  Figur  so  zu  erweitern,  dass  sie  auf 
irgend  ein  gegebenes  schiefwinkliges  sphärisches  Dreieck  angewendet 
werden  kann,  führt  zwar  zu  einer  grösseren  Zahl  von  Punkten  und 
Linien,  aber  doch  zu  einem  Netz  von  sehr  übersichtlichem  geome- 
trischen Gepräge,  aus  dessen  analytischer  Untersuchung  sich  recht 
eigentümliche  Formeln  für  die  Seiten  und  Winkel  eines  sphärischen 
Dreiecks  ergeben. 

Man  gelangt  hierzu  wie  folgt.  Gegeben  sei  das  sphärische  Drei- 
eck ABC.  Man  construire  das  Polardreieck  A'B'C\  so  dass  A'  Pol 
von  BC\  B'  von  Cvi,  C'  von  AB  ist  (Pol  eines  Kreisbogens  oder 
eines  Kreises  soll  hier  ein  Punkt  heissen,  der  zu  jenem  die  Lage 
von  Pol  zu  Aequator  hat.  Im  übrigen  mag  es  gleichgültig  sein, 
welchen  von  beiden  Polen  man  nimmt,  da  hier  zwei  gegenüberlie- 


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Dziobtlc:  Erweiterung  des  Gauss' sehen  Pentagramwa  mirificum.  321 


gende  Punkte  im  wesentlichen  einander  ersetzen  und  daher  als  ein 
Punkt  angesehen  werden  können).  Die  drei  grössten  Kreise  durch 
AA',  BB\  CC  sind  dann  die  Höhen  sowol  des  Dreiecks  ABC  als 
auch  des  Dreiecks  A'B'C"  und  schneiden  sich  in  einem  Punkte  D% 
Das  gegebene  Dreieck  und  sein  Poldreieck  liegen  daher  perspecti- 
vi8ch  und  befinden  sich  die  drei  Schnittpunkte  EFV  der  Seiten  BC 
und  B'C,  CA  und  CA',  AB  und  A'B'  in  einem  grössten  Kreise. 

Bisher  sind  10  Punkte  ABC,  A'B'CD,  E,  FG  und  10  Kreise 
genannt  worden.  Sie  bilden  eine  in  sich  geschlossene  Figur,  derart, 
dass  durch  jeden  Punkt  drei  Kreise  gehen,  und  auf  jedem  Kreise  drei 
Punkte  liegen.  Ausserdem  ist  diese  Figur  sich  selbst  polar,  da  jedem 
der  zehn  Punkte  einer  der  zehn  Kreise  als  Aequator  entspricht. 
Doch  tritt  ihr  Charakter  fester  hervor  bei  einer  zweckmässigen  Be- 
zeichnung ihrer  Punkte  (und  Kreise).  Hierzu  wählt  man  am  ein- 
fachsten 5  Indices  1,  2,  3,  4,  5  und  giebt  jedem  Punkte  zwei  ln- 
dices,  so  dass  z.  B.  der  Punkt  A  die  Indices  1  und  4  erhalten  und 
von  nun  an  Pu  oder  F41  heissen  möge.  Dann  sollen  die  neuen  Be- 
zeichnungen folgende  werden: 

A       B       C,       A'       &       C"       D       E       E  G 

P«,i      P4,2      /'4,3  P»,2      A.3      A.5      A,3  ftrf 

Die  Indices  sind  so  verteilt,  dass  je  zwei  Punkte  mit  einem  gleichen 
Index,  wie  z.  B.  P2:,  und  /',3  auf  einem  der  zehn  Kreise  liegen.  Auf 
demselben  Kreise  liegt  auch  der  Punkt  P|^.  Er  möge  h.$  oder  1$,a 
genannt  werden  u.  s.  w.,  so  dass  jeder  Kreis  durch  die  drei  Punkte 
geht,  welche  mit  ihm  keinen  Index  gemein  haben. 

Sämtliche  „Diagonalen"  dieser  Figur,  z.  B.  Fi9— Pu  sind  Qua- 
drauten,  und  desgleichen  schneiden  sich  in  jedem  „Diagonalpunkte", 
wie  /,2,  /34  die  beiden  Kreise  senkrecht.  Zählt  mau  diese  15  Kreise 
und  15  Puuktc  noch  hinzu,  so  lassen  sich  in  der  Figur  jetzt  15  sich 
selbst  polare  Dreiecke  namhaft  macheu. 

Unter  den  vielen  merkwürdigen  in  dem  Netz  enthaltenen  Figuren 
möge  hier  nur  noch  eine  besondere  Art  hervorgehoben  werden. 
Stellt  man  5  der  zehu  Punkte     zu  einem  Cyklus  zusammen,  z.  B. 

90  erhält  man  nichts  anderes  als  ein  Gauss'sches  Peutagramma  mi- 
rifieum, da  die  fünf  Diagonalen,  wie  l\i~P&\  sämtlich  Quadranten 
sind.  Solche  Fünfecke,  die  der  Einfachheit  we^en  mit  [1,  2,  3,  4,  5] 
etc.  bezeichnet  werden  mögen,  giebt  es  12,  und  sie  gruppiren  sich 
zu  zwei  und  zwei,  wie  z.  B.  [I,  2,  3,  4,  f>J  und  [1.  3,  5,  2,  4]  der- 

Arch.  d.  M»th.  u.  Phy».   t  Beibe,  T.  XVI.  21 


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322     Dziobtk:  Erweiterung  tifs  Gaumt'xehen  Pentagramma  mirificum. 

art,  dass  die  zehn  Punkte  P  und  die  10  Linien  /  sich  in  nur  je 
einem  als  Ecken  oder  Seiten  finden ,  wobei  überdies  noch  zu  be- 
merken ist,  dass  jedes  der  beiden  Pentagramme  dem  andern  zugleich 
ein-  und  umschrieben  ist. 

In  Folge  der  Symmetrie  leuchtet  auch  ohne  Weiteres  ein,  dass 
dieselbe  Construction ,  welche  von  dem  sphärischen  Dreieck  ii,,, 
^421  ausgegangen,  zu  demselben  Satze  fahren  muss ,  wenn  man 
von  irgend  einem  der  20  sphärischen  Dreiecke  ausgeht,  die  aus  diesem 
durch  Vertauschung  der  Indices  hervorgehen.  Und  es  muss  auch 
möglich  sein,  ihre  Seiten  und  Winkel,  (oder  auch  nur  ihre  Seiten, 
da  zu  jedem  Dreieck  das  Polardreieck  in  der  Figur  vorhanden  ist) 
durch  symmetrische  Formeln  auszudrücken.  Es  erhebt  sich  aber  die 
Frage,  in  welcher  Weise  dies  geschehen  soll? 

Zu  ihrer  Beantwortung  ist  es  sehr  zweckmässig,  das  Netz  anf 
folgende  Weise  auf  den  Raum  hinein  zu  projicireu.  ftan  suche  im 
Haume  fünf  Punkte  Q^QiQiQAQb  auf,  derart,  dass  diu  10  Ver- 
biudungslinieu  dieser  fünf  Punkte  parallel  sind  zu  den  10  durch  die 
Punkte  /'  gehenden  Durchmessern  der  Kugel ,  also  z.  6.  Q4  Qb 
parallel  zum  Durchmesser  nach  1*4^.  Dass  dies  möglich  ist,  ergiebt 
sich  ohne  Weiteres  aus  der  Tatsache,  dass  je  drei  der  Durchmesser 
immer  in  einer  Ebene,  nämlich  der  Ebene  eines  Kreises  /  liegen. 
Auf  die  fünf  Punkte  Q  überträgt  sich  dann  die  Polarität  in  der 
Weise,  dass  die  Verbindungslinie  irgend  zweier,  z.  B.  Q4Q&  sonkrecht 
steht  auf  der  Verbiudungslinie  zweier  anderer,  z.  B.  Qt  also  auch 
seukrecht  steht  auf  der  Ebene  C^,  Q3.  Je  vier  der  fünf  Punkte 
bilden  daher  ein  Tetraeder,  in  dem  die  gegeuüber  liegenden  Kanten 
auf  einander  senkrecht  stehen. 

In  oinem  solchen  Tetraeder  schneiden  sich  aber  dio  vier  Höhen 
in  einem  Punkte,  und  dieser  Punkt  ist  kein  anderer,  als  der  fünfte, 
übrig  bleibende  Punkt. 

So  hat  sich  also  die  Aufgabe  in  eine  andere  verwandelt,  näm- 
lich die  Winkel  der  10  ebenen  Dreiecke  durch  symmetrische  For- 
meln auszudrücken,  und  hierzu  ist  es  wieder  am  besten,  sich  an  die 
Längen  der  10  Verbiudungslinien  Q,  Qs  zu  halten.  Nach  einem  be- 
kannten Satze  sind  in  einem  Tetraeder,  dessen  vier  Höhen  sich  in 
eiuem  Punkte  schneideu,  die  drei  Summen  der  Quadrate  gegenüber 
liegender  Seiten  einander  gleich,  also  z.  B. : 

Qt  Q**  +  Qa  V  -  V  +  0«  <2**  =  Qu2  +  Qn*  <*c- 
Diesen  Gleichungen  wird  genügt,  wenn  man  setzt: 


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JJziobek:  Erweiterung  des  Gauss1  sehen  Pentayramma  mirißcum.  323 

Q,  Q,*  =  «,  +  u, 
Qi  Qs*  -  «i  +  »3 

Qi  QS  =  "i  +  «4 

etc.,  wo  die  fünf  Grössen  u  noch  näher  zu  untersuchen  sind.  Hierzu 
bemerke  mau,  dass  QA  Q&  senkrecht  auf  der  Ebene  Qt  Q2  Qs  steht. 
Der  Durchschnitt  beider  sei  S  und  es  sei 

QtS  -  x 

QbS  -  y 

also  zunächst 

±(*±f)-  V«^T^ 

Andererseits  folgt  sofort  durch  Betrachtung  des  Dreiecks  Q4  Q5  Qj , 
indem  S  der  Fusspunkt  einer  Höhe  ist: 

«*— -  Q4  Qi*  -  Q5  Q11  =  u4  -  u6 
daher  in  der  Verbindung  mit  der  vorigen  Gleichung 

±(*T,)-  ^^5- 

daher 

±.-— *  — 

4-  "5 


x  und  *  sind  die  Höhen  von  Q4  und  Q5  der  beiden  Tetraeder 
GjQsQaQ«  und  OiQ^Q^^k'    ^ie  Inhalte  derselben  verhalten  sich 

daher  wie  ua:u&  oder  wie  —  :  — .   Da  nun  die  algebraische  Summe 

der  Inhalte  der  fünf  Tetraeder  =  0  ist,  so  folgt  hieraus  die  wich- 
tige Gleichung: 

Ml        **«        M3        M4  u5 

Eine  andere  Gleichung  zwischen  den  u  findet  nicht  statt.  Zu 
bemerken  ist  aber,  dass  für  reelle  Punkte  nur  eines  der  u  negativ 
sein  kann. 

Aus  dem  Dreieck  Q,Q»Q3  folgt  sofort: 

ai* 


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324     Dziobek  :  Erweiterung  des  Gauss' sehen  Pentagramma  mirißcum. 

und  ähnlich  für  alle  zwanzig  Winkel.    Hieraus  findet  man 

sin  Qs  Q,  Q3  —  sin  Pl2  P18  —  — — — -       ~ — 


Kehrt  man  endlich  wieder  zu  dem  ursprünglichen  Dreieck  v4/?C 
und  seinem  Polardreieck  A'B'C  zurück,  so  ergeben  sich  schliess- 
lich folgende  eigentümliche  Formeln  für  die  Seite  abc  uod  Winkel 
aßy  eines  sphärischen  Dreiecks. 


sin  a 


sin  b 


COS«  = 


cos  b  — 


cosc 


cos  a 


w5 


COS/3  = 


"5 


«4  CQ8  ^    — «ä 

y»*i+«Ä  •  y«t+«4         y«i+Mr.  •  y«t+ 

* «1«»      11  6 

y«t-f-M4  .  V«3-r-"4 


sin  ff  = 


I' 


 «tM5  

y«.<»H-«4  •  V«|-{-"4 


sin  0 


y«t+«s  •  yMi+Mi 


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Dziobtk:  Erwticrung  des  Ga*»*'»ch*n  Pentagramma  mir>jumm.  325 

II) 


sin*  -  l  Ji8"5.— 


siny  - 


wo  zwischen  den  u  die  Uleichang  I)  stattfindet.  Zu  bemerken  ist 
noch,  dass  man  die  Vorzeichen  der  Wurzeln  im  allgemeinen  beliebig 
annehmen  kann. 


Vertauscht  mau  in  den  Formeln  II)  die  Indices  1,2.  3,  so  bleibt 
mau  in  demselben  Dreieck  und  wechselt  die  Reihenfolge  der  Ecken. 
Vertauscht  mau  die  Indices  4  und  5,  so  geht  man  von  dem  Dreieck 
zu  seinem  Polardreieck  über.  Vertauscht  man  aber  die  Indices  1, 
2,  8,  4,  5  unter  einander  in  irgeud  einer  anderen  Weise,  so  ergeben 
sich  die  Seiten  und  Winkel  eines  anderen  Dreiecks  aus  den  vorhin 
namhaft  gemachten  Gruppen  von  20  Dreiecken. 

Aus  den  Gleichungen  II)  folgen  noch  einige  kleine  Reductionen 

u, :  uj :  U3 :  u4  —  —  cos  a  cos  b  cos  c  -f-  cos*« :  —  cos  a  cos  b  cos  c  -|-  cos*& 

:  —  cos  a  cos  b  cos  c  -f-  cos  c* :  cos  a  cos  b  cos  c 

und  man  kaun  also,  da  eine  der  Grössen  u  beliebig  bleibt,  setzen: 

Uj  —  sin 6  .  sine  .  cosa  .  cosa 
Mg  —  sin*  .  sina  .  cos2>  .  cos/3 
M3  =  sina  .  sin 6  .  cosc  .  cosy 
u4  <=  cosa   cos b  .  cosc 

Andererseits  ergiebt  sich  entsprechend 

»I :  u* :    :  m4  :  w6  =  cosla -f  - cos  a  cos  ß  cos  y :  cos2/3  +  cos  o cos  0  cos  y 

:  cos*y  -j-  cos  a  cos  /?  cos  y :  —  cos  a  cos  ß  cos  y 
=  sin ß  sin  y  cos  a cos a : sin  y  .  sin  a cos  ftcos  ß:  sin  n :  sin  ß  cos  c  cos  y : 

—  cos  acos ß cosy 

Setzt  man  daher  durch  Abkürzung 


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326     Dz  tobt  l:  Erwtittrung  dt»  Gaua$*$chen  Pentagramma  mirifii 

Tr_.  sina     sin*  sine 

sina     sinp  'siny 

so  folgt: 

uj  —  —  ^cosacos/Jcosy 

nnd  daher  zum  Schlass  noch  die  ausserordentlich  merkwürdige 
Gleichung: 


cosaco8  6cosc      sin 6  sine cosa cos  er      sine  sin  acosi  cos  £ 

1  1 

_J_   D  Q 

'  sin  a  sin  6  cos  e  cos  y  ^nosacos^cosy 


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Zahradnik:  Zur  Theorie  der  Lemniskate. 


327 


XIV. 

Zur  Theorie  der  Lemniskate. 

Von 

Dr.  K.  Zahradnik. 


Die  Lemniskate,  deren  Gleichung 

(«,+y*),-2o4(«*-^)  =  o  i) 

ist  bekanntlich  eine  rationale  Cnrve.  Jeder  Kreis,  der  die  Lemnis- 
kate in  realem  Doppelpunkt  berührt,  schueidet  dieselbe  in  7  festen 
Punkten;  der  achte  Schnittpunkt  ist  eindeutig  vom  Halbmesser  « 
des  Kreises  abhängig,  d.  h.  wir  können  den  Halbmesser  als  seinen 
rationalen  Parameter  betrachten  uud  erhalten  so 

2) 


als  Gleichuugen  der  Lemniskate  in  parametrischer  Darstelluug. 

» 

Durch  die  Substitution 

U  mm  at,     O V2  —  C  3) 

gehen  diese  Gleichungen  über  in  lJ 


1 )  Den  Parameter  «  benutzt  Dr. 
Lemniskate  in  rationaler  Behandlung, 
Hermite  xur  Pararaetcrdarstcllung  f4) 
lyse.    Pari«  1873,  pg.  242. 


Em.  Weyr  in  seiner  Abhandlung  .•  Die 
Prag  1875.  Auf  anderem  Wege  kommt 
der  Lemniskate  in  seinem  Cours  d'Ana- 


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328 


Zahradnik:  Zur  Theorie  der  LemnUkaU. 


4) 

f  i  —  <2) 

Setzen  wir  nun  die  Werte  (4)  in  die  Gleichung  eines  Kreises 
ein,  so  erhalten  wir  sofort 

hhhU  -  1  5) 
als  die  Bedinguugsgleicbung  für  die  Lage  von  vier  Punkten  tv  tf, 
/3,  tA  der  Lemniskate  auf  einem  Kreise. 

Setzen  wir 

r,  =  f,  —  <4  —  < 

so  erhalten  wir 

fit,  =  1  6) 

eine  Relation  zwischen  dem  Oseulatiouspunkte  t  des  Krümmungs- 
kreises und  dessen  Durchschnitt  /,  mit  der  Lemniskate. 

Aus  der  Gleichung  (0)  erhellt,  dass  durch  jeden  Punkt  /j  der 
Lemniskate  drei  Krümmungskreise  hindurch  gehen  uud  zwar  ein 
realer  und  zwei  imaginäre.  Die  Parameter  ihrer  Oseulatiouspunkte 
erhalten  wir  als  Wurzeln  der  kubischen  Gleichung 

t>  -  7) 

h 

Aus  dieser  Gleichung  folgt  sogleich,  wenn  wir  ihre  Wurzeln  mit 
t\  t",  f  bezeichnen,  dass  die  drei  Osculatiouspunkto  t\  t'\  f  der 
drei  Krümmungskreise,  welche  durch  den  Punkt  *,  der  Lemniskate 
hindurchgehen,  auf  einem  Kreise  liegen,  was  natürlich  ist,  da  ja 
dieser  Satz  für  den  Kegelschnitt  gilt,  und  somit  auch  für  jede  Curve, 
welche  aus  ihm  durch  Inversion  hervorgeht,  z.  B.  Cardioide,  Lemnis- 
kate, Cissoide. 

Setzen  wir  der  Kürze  wegen 

2ü  =*(*)»  *<*-<«), 

so  folgt  aus  (7) 


somit 


(0i-0,    (*),-0,        =  £  (8) 


M  -  ("Ol  =  o 

für  ft  =  3/,  wo  A  und  n  ganze  positive  Zahlen  sind 


(8') 


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Zahradnik:  Zur  Theorie  der  Lemniskate. 


:J29 


Die  drei  Osculationspunkte  t\  t*%  tm,  welche  dem  Punkte  tt  zu- 
geordnet sind,  nennen  wir  ein  Osculationstripel  oder  Osculations- 
dreieck. 


Schwerpunkt  des  Osculationstripels. 

2.  Es  sei  tj)  der  Schwerpunkt  des  Osculatioustripels l) 
hi  's»  welches  dem  Punkte  /  zugeordnet  ist,  somit  gilt  mit  Rück- 
sicht auf  die  Gleichungen  (8)  und  (8'): 

r  C      U(l-tf)  <(!  +  <') 

9) 

*  D  ä  *   l-j-ö*    w  cT-f- r* 

„Der  einem  Osculationstripel  zugeordnete  Punkt  der  Lemniskate 
„ist  der  Schwerpunkt  dieses  Osculatioustripels.' 


Umkreis  des  Osculationstripels. 
3.   Die  Gleichung  des  Kreises  durch  drei  Punkte  ist 

t*2**1)  I  «s  *  1 1  -  •  I  •f+fÄ,  r.  1 1  +9 1         *■  1 1 

Nun  ist  für  ein  Osculationstripel 

-2C»^  .  {(*,)  + (0,(0») 

wegen  der  Gl.  (8)  und  (8');  ferner  ist 

1-^.11-=^-^ 


r'-f  y»,  *,  1  |  3  


1)  Statt  t',  tn,  tn>  schreiben  wir  im  folgenden  f,,  fsl  tt  und  den  zuge- 
geordneten  Punkt  tx  bezeichnen  wir  einfach  t. 


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330 


Zak  radnik:  Zur  Thtorit  der  famniikalr. 


n(i-f /**) 

WO 

^  -  I  1,  *,  I«  | 

ist,  somit  geht  die  Gleichung  des  Kreises  (10),  wenn  es  ein  Umkreis 
eines  Oscalationstripels  ist,  Ober  in 

oder  mit  Rücksicht  auf  die  Gl.  (8) 

7,=  (lH-/«)x  +  (l-/2^-2cf  =  0  11) 

Der  Umkreis  eines  Osculationstripels  zerfallt  somit  in  zwei  Ge- 
rade, in  die  Gerade  T  und  in  die  unendlich  ferne  Gerade,  da  wegen 

I  *,  *  1 1  =  0 

das  dem  Punkte  t  beigeordnete  Osculationstripel  auf  einer  Geraden 
T  liegt,  welche  den  Punkt  t  selbst  enthält. 

Die  Gerade  T  ist  somit  die  gemeinschaftliche  Sehne  des  realen 
Krüroroungskreises  und  der  Lemniskate.  Beschreibt  der  Punkt  r  die 
Lemniskate,  so  hüllt  die  Gerade  T  die  gleichseitige  Hyperbel 

H  £=  **— **-c»  =  0  13) 
ein,  mit  c  =»  ÖA  als  realer  Halbachse. 


Construction  des  Krümmuugsmittelpunkles. 

4.  Bekanntlich  ist  die  Lemniskate  eine  Fusspunktscurve  dieser 
Hyperbel  für  deu  Mittelpunkt  der  Hyperbel  als  Pol.  Daraus  folgt 
eine  Construction  des  Osculationspunktes  des  realen  Krümmungs- 
kreises,  welcher  durch  den  Punkt  t  hindurchgeht,  auf  welchen  Dr. 

Em.  Weyr  *)  auf  ganz  anderem  Wege  gekommen  ist.    Auf  Ch  er 
richten  wir  im  Punkte  /  eine  Senkrechte.    Ihr  Durchschnitt  mit  der 
Lemniskate  ist  der  verlangte  Punkt  t*. 

Umgekehrt  können  wir  zu  einem  Punkte  t*  der  Lemniskate.  als 
Osculatiouspunkt  genommen,  den  beigeordneten  Punkt  /  finden  als 
Durchschnitt  des  Kreises,  dessen  Durchmesser  Ot*,  mit  der  Lern 


I)  Dr.  Em   Weyr  L  c.  pg.  21. 


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ZahraHnik:  Zur  Theorie  der  /.emntAate. 


33] 


Da  nun  die  Construction  der  Normale  im  Punkte  /  keine  Schwie- 
rigkeiten bereitet,  so  ist  auch  eine  einfache  Construction  des  Krüm- 
mungshalbmessers und  des  Krttmmungsmittelpunktes  in  einem  Punkte 
der  Lemniskate  gegeben. 

Die  Gerade  T  ist  somit  eine  Tangente  der  Hyperbel  H\  ihr  Be- 
rührungspunkt sei  M,  und  t  der  Fusspunkt  iu  Bezug  auf  O  als  Pol. 
Bekanntlich  können  wir  aber  die  Lemniskate  als  eine  Inverse  der 
gleichseitigen  Hyperbel  //  auffassen  mit  O  als  lnversionscentrum  und 
OA  «=  c  als  Halbmesser  des  Inversionskreises. 

Somit  gilt 


Betrachten  wir  die  Lemniskate  als  eine  Fusspunktcurve  der  Hyperbel 
H  mit  O  als  Pol,  so  entspricht  dem  Punkte  M(x,  y)  der  Hyperbel 
der  Punkt  <(|,  r\)  der  Lemniskate;  betrachten  wir  aber  die  Lemnis- 
kate als  Inverse  der  Hyperbel  //  in  Bezug  auf  /  als  Inrersions- 
kreis,  so  entspricht  dem  Punkte  M(r,  y)  der  Punkt  N(t\  tj') 
der  Lemniskate.  Die  Punkte  t,  A'  liegen  symmetrisch  gegen  die 
Jf-Achse.    Es  ist  uämlich 


Ersichtlich  ist  die  Polaro  Pm  des  Punktes  M  in  Bezug  auf 
den  Inversionskreis  r  eine  Tangente  der  Hyperbel  H;  deren  Be- 
rührungspunkt M'  mit  M  zur  Achse  X  symmetrisch  liegt. 

Diese  Eigenschaft  köunen  wir  auch  anders  ausdrücken.  Die 
Hyperbel  H  ist  sich  selbst  polarreciprok  in  Bezug  auf  den  Kreis  T. 


Weitere  Eigenschaft  der  Osculatioustripel. 

5.  Wir  wollen  nun  die  nachstehende  Eigenschaft  der  Oscula- 
tioustripel beweiseu,  nämlich:  „Die  Tangeuten  der  Lemniskate  in 
„den  Punkten  des  Osculationstripels  schneiden  sich  iu  einem  Punkto.'4 

Die  Gleichung  der  Tangente  der  Lemniskate  im  Punkte  /  lautet 


ON  .  OM 


=  c» 


(!-<*)  (l-T-4^  +  f*)y  -  (1-f  t»)  (1  -  M*  +  t*)m  =  4  c/3 


332  Zahradnikx  Zur  Theorie  Her  Lem»i*kale. 

Dio  Tangenten  dreier  Punkte  *„  iiy  /3  der  Lcmniskate  schneiden 
sich  in  einem  Punkte,  wenn 

|  1-|_3,»_3<*_,6     x  __3,i_s<4  +  ,«7  ^(„o 
Nun  ist  diese  Determinante  gleich 

1 1,  —  Sf*  —  r*  -f  f6,  t3  |  —  0 
oder  in  Summanden  zerlegt: 

3  |  l,  i*.  t*  |  1,  t\  <*  |  -h  |  !,  t\  *«  |  -  0  12) 

Ist  nun  <Ä,  t9  ein  Osculatioustripel,  so  gelten  die  Gleichungen  (8)f 
und  in  Folge  dessen  ist  jeder  einzelne  Suinniaud  vou  (12)  gleich 
null,  womit  die  Eigenschaft  der  Osculatioustripel  der  Lemuiskate 
bewiesen  erscheint. 

I>urcb  Inversion  gelangen  wir  zum  nachstehenden  Satze:  ,,t'ie 
„drei  Kreise,  welehe  e:ue  gleichseitige  Hyperbel  in  den  Punkten 
„eines  Osculationstripels  berühren ,  und  durch  den  Mittelpunkt  der 
„Hyperbel  hindurchgehen,  schneiden  sich  in  einem  Puukte". 


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Miscollen 


333 


XV. 

Miscellen. 


l. 

Nachtrag  zu  Nr.  XI.    Ueber  das  gleichseitige  Tetraeder. 

§  13.  Eigenschaft  des  eingeschriebenen  Tetraeders  bezüglich 
auf  das  einhüllende  Parallelepipedon. 

Lehrsatz  13.  Schreibt  man  ein  gleichseitiges  Tetraeder  in 
ein  Parallelepipedon  ein,  so  ist  stets  letzteres  rechtwinklig,  und  um- 
gekehrt 

Beweis.  Nach  Lehrsatz  10.  sind  die  Gegenkanten  des  Tetra- 
eders einander  gleich,  das  sind  die  Diagonalen  der  Gegenseiten  des 
umhüllenden  Parallelepipedons  (s.  §.  12.)  Projicirt  man  diese  Pa- 
rallelogramme in  paralleler  Bewegung  auf  einander,  so  können  die 
genannten  Diagonalen  nicht  auf  einander  fallen ;  denn  wären  sie  vor- 
her parallel  gewesen,  so  hätte  das  Tetraeder  in  einer  Ebene  ge- 
legen. Folglich  werden  sie  die  2  sich  schneidenden  Diagonalen  je 
eines  Parallelogramms,  und  dieses  ist,  weil  sie  einander  gleich  sind, 
ein  Rechteck.  Das  Parallelepipedon  ist  demnach  von  lauter  Recht- 
ecken begrenzt,  also  rechtwinklig,  w.  z.  b.  w. 

Das  Umgekehrte  ergibt  sich  noch  einfacher.  Die  Gegenkanten 
des  Tetraeders  sind  als  Diagonalen  eines  Rechtecks  eiuander  gleich, 
folglich  die  Seiten  des  Tetraders  alle  einander  congruent,  also  gleich. 

Vermöge  dieses  Satzes  erscheinen  Eigenschaften  des  rechtwinkligen 
Parallelepipedons  als  Eigenschaften  des  eingeschriebenen  gleichseitigen 
Tetraeders.   So  sind  namentlich  die  gemeinsamen  Normalen  der  Ge- 

V 
I 

I 


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334 


genkanton  des  Tetraeders,  welche  sich  nach  leichter  Betrachtung  als 
Parallelen  mit  den  Kanten  des  einhüllenden  Parallelepipedons ,  von 
dessen  Mittelpunkt  aus  gezogeu,  darstellen,  ein  System  dreier,  sich 
im  Mittelpunkte  schneidenden  orthogonalen  Geraden.  Der  Mittelpunkt 
des  Parallelepipedons  ist  offenbar  auch  Mittelpunkt  der  ihm  um- 
schriebenen Kugel,  welche,  weil  unter  deren  8  Ecken  4  zur  Be- 
stimmung hinreichen,  auch  dem  Tetraeder  umschrieben  ist.  Aus 
allem  geht  hervor: 

Lehrsatz  14.  Die  gemeinsamen  Normalen  der  Gegenkanten 
eines  gleichseitigen  Tetraeders  schneiden  sich  im  Mittelpunkt  der 
ihm  umschriebeneu  Kugel. 

Seien,  wie  in  §  12,  die  an  I\  anstossenden  Kanten  des  Parallel- 
epipedons Axeu  der  X,  F,  Z,  auf  ihnen 

*~«,  r-p,  Z=y 

die  Kantenlangen.    Dann  sind  die  Ecken  des  Tetraeders: 

P,  53(0,0,0);    PtS=<«,M)i    Z'3=(«,0,y);  ?4S(0,ft7) 
die  Kanteupare: 


p*p9 

9i 

-  Pi  Pi  - 

ffi 

-  P*P*  - 

9s 

letztere,  als  Hypotenusen  durch  die  Katheten  a,  ß,  y  ausgedrückt: 
woraus: 

o„^+«;  ^V+*l-V;  y_^W=tf 

Die  Grössen  a,  ß,  y  drücken  die  normalen  Abstände  der  Gegen- 
kanteu  des  Tetraeders  aus. 

Der  Schnittpunkt  der  gemeinsamen  Normalen  hat  als  Mittel- 
punkt, des  Parallelepipedons  die  Coordinaten: 

Y-iß;  Z~\y 

Ihre  3  orthogonalen  Richtungen  bestimmen  sich  durch  die 
Mittelpunkte  der  Seiten  des  Parallelepipedons,  durch  welche  sie  vom 
Schnitt  aus  gehen,  nämlich  (in  Coordinaten  ausgedrückt) 

(0,       \y\     (|«,0,  ky),  (KIM) 


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Miellen. 


335 


Ihre  Gleichungen  lauten  also: 


III.    A'-i«;  Y~\ß 


R.  Hoppe. 


2. 


l'eber  Primzahlen. 


I. 


Es  lassen  sich  arithmetische  Reihen  zweiter  Ordnung  bilden,  in 
denen  sehr  viele  Zahlen  Primzahlen  sind.  Die  allgemeine  Formel 
zu  solchen  Reihen  ist 


Solche  Reihen  sind  z.  B.  die  folgenden: 

5,  11,  19,  29,  41,  55,  71,  .  .  .(Formel:  x*+bx+  5) 

11.  23,  :?7,  53,  71,  91,  113,  .  .  .  (Formel:  *2  +  llx-f-11) 

23.  47,  73,  101,  131,  163,  197,  .  .  .  (Formel:  x«  +  23z  +  23) 

7,  13.  17,  19,  .  .  .  (Formel-*  —  a2+7a:  +  7) 

13,  37,  59,  79,  97,  113,  127,  .  .  .  (Formel:  -ar*-f-25a:+13) 


Für  die  Anzahl  der  Primzahlen  innerhalb  einer  Grenze  x*  lassen 
sich  zu  bestimmten  Classen  von  Quadratzahlen  arithmetische  Reihen 
bilden.    Es  ist  z.  B. : 


Hh  cu?-\-bx-\-p   (/>  =  Primzahl) 


8 


W 


II. 


Quadratzahlgrenze : 


Auzahl  der  Primzahlen: 


(1  •  2*)* 
(2  .  28)« 
(3  .  2*)* 


6 
18 
34 


336 


Hüotlk*. 


Formel  für  die  Anzahl  der  Primzahleu: 

2p;«  +  10*  +  6 
(x  -  0,  1,  3, .  .  .  ) 

Man  kann  diese  Verbältnisse  auch  so  ausdrücken: 

Quadratzahlgrenze:  (n22)2.  Anzahl  der  Primzahlen:  n(n-}-3) — 1)2 
Bis  zu  der  Quadratzahl  (8  .  2*)*  —  10,  24  und  der  Anzahl  der  Prim- 
zahlen (8.11  —  2)=  174  stimmen  diese  Verhältnisse  genau.  Von 
hier  ab  treten  Abweichungen  ein,  die  aber  auch  von  regelmässiger 
Form  sind  und  die  Bildung  der  weiteren  arithmetischen  Reihen  für 
die  Anzahl  der  Primzahlen  ermöglichen. 

G.  Speckman  n. 

Oldenburg  i.  Gr. 


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Oorkowski:  Schleiermacher  al$  Mathematiker. 


337 


XVI. 

Schleiermacher  als  Mathematiker. 

Ein  Brief  von  ihm  an  don  Rcichsburggrafen  und  Grafen 
Friedrich  Ferdinand  Alexander  zu  Dohna-Schlobitton,  1791. 

Aus  dem  reichsburggräfl.  Dohnaschen  Archive  zn  Schlobitten 

mitgeteilt 

von 

H.  Borkowski-Schlobitten  (Ostpr.) 


Als  Schleiermacher  am  22.  Oktober  1790  als  Erzieher  in  das 
bnrggräh1.  Dohnasche  Haus  zu  Schlobitten  eintrat  gieng  ihm  der  Ruf 
nicht  nur  eines  philosophisch  ausserordentlich  beanlagten  Geistes, 
sondern  der  eines  vortrefflichen  Mathematikers  voraus.  So  fügt  der 
Herr  des  Hauses ,  Burggraf  Friedrich  Alexander ,  der  spätere  Ober- 
marschall des  Königreichs  Preussen  in  einem  Briefe  *)  (5.  Nov.  1790) 
an  seinen  Zweitältesten  Sohn  Wilhelm,  den  späteren  Landhofmeister 
des  Königreichs  Preussen,  (t  1845)  welcher  in  Königsberg  i.  Pr.  stu- 
dierte, der  kurzen  Charakteristik  Schleiermachers:  „Ein  Classischer 
Gesellschafter !  bereidwilliger  Mann,  und  Starker  Lecteur  .  .  .  wozu 
sein  Anstand  kombt"  hinzu:  „Er  ist  stark  in  der  Mathematique". 
Schleiermacher  zeigte  dieses  sowohl  in  dem  Unterrichte  der  Söhne 
des  Hauses,  als  auch  in  dem  Briefwechsel,  den  er  im  folgenden  Jahre 
mit  dem  ältesten  Sohne,  Burggrafen  Friedrich  Ferdinand  Alexander 
zu  Dohna,  dem  spätem  preussischen  Staatsminister,  damals  Referen- 
darius  in  Berlin,  eröffnete. 


1)  Orig.  Arch.  Schlobitten. 
Arch.  d.  Math.  n.  PIijb.   2.  Reihe.  T.  XVI. 


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338  Borkowtki:  Schleiermacher  ah  Mathematiker. 

Leider  ist  von  den  Briefen ,  welche  mathematische  Fragen  be- 
handeln, bisher  nur  der  folgende  gefunden  worden.  Ans  dem  Schlüsse 
desselben  geht  hervor,  dass  andere  dieser  Art  vorangegangen  und 
wahrscheinlich  auch  gefolgt  sind.  Der  vorliegende  Brief,  welcher 
in  dem  vou  J.  L.  Jacobi  herausgegebenen  Briefwechsel:  „Schleier- 
machers Briefe  an  die  Grafen  zu  Dohna"  (Halle  1837)  nicht  ent- 
halten ist,  lautet  folgender  massen1): 


Arithmetik. 

1.   Wesen  der  Arithmetik. 

Arithmetik  und  Geometrie  sind  beides  Wissenschaften,  die  uns 
Lebrsäze  über  die  Verhältnisse  der  Grössen  in  einem  gewissen  Sy- 
stem geben.  Sie  unterscheiden  sich  aber  dadurch,  dass  sich  die 
Geometrie  blos  auf  die  stetigen  Grössen  im  Raum  bezieht 

Anm.  Stetig  nennt  man  eine  Grösse,  die  unserer  sinnlichen 
Anschauung  ein  Ganzes  darbietet,  wie  z.  £.  jede  geometrische  Linie, 
Fläche  und  Körper.  Wir  denken  uns  auch  die  stetige  Grösse,  wenn 
wir  nemlich  keine  Rüksicht  auf  ihre  Materie  nehmen  gar  nicht  als 
aus  Theilen  zusammengesezt,  sondern  als  aus  dem  ganzen  vorhandenen 
Raum  heraus  genommen  und  begränzt.  erst  wenn  wir  sie  haben  denken 
wir  uns  Theile  willkührlich  hinein,  wir  denken  also  hier  die  Theile  nur 
durch  das  Ganze.  Ich  glaube,  dass  ich  Ihnen  das  schon  lezthin  münd- 
lich deutlich  genug  gemacht  habe.  Erlauben  Sie  mir  aber  es  durch  ein 
paar  Beispiele  zu  erläutern.  Indem  ich  einen  Triangel  zeichne,  so  stell 
ich  mir  gar  nicht  die  drei  Linien  als  die  Theile  vor,  aus  denen  er 
zusammengesezt  wäre,  wie  denn  auch  diese  gar  nicht  Theile  der 
Fläche  seyn  können,  sondern  nur  Gränzen ;  dennoch  entsteht  der 
Triangel,  indem  ich  diese  Linien  ziehe,  also  nicht  dadurch,  dass  ich 
eine  kleine  Fläche  als  Theil  hervorbringe  und  dann  immer  mehr 
hinzuBeze,  bis  der  Triangel  fertig  ist  (das  hiesse  ihn  aus  Theilen 
zusammen8ezen)  sondern  die  ganze  Fläche,  die  er  einschliesst  ist 
schon  lange  vorhanden  und  ich  thue  nichts  als  sie  abzusondern.  — 
Wenn  ich  zum  Behuf  irgend  eines  geometrischen  Lehrsazes  in 
einem  Triangel  eine  parallele  mit  seiner  Basis  ziehe ,  so  denke  ich 
mir  die  beiden  Theile  nicht  so,  als  ob  der  Triangel  daraus  ent- 
standen und  zusammengesezt  worden ,  sondern  diese  sind  wiederum 


1)  Orig.  Arch.  Schlobitton. 


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Borkowaki:  Schleiermacher  als  Mathematiker. 


339 


willkflhrlich  aas  dem  Triangel  abgesondert  worden,  eben  so  wie 
vorher  der  Triangel  selbst  ans  dem  ganzen  Raum.  Wenn  man  sagt 
ein  Zirkel  entsteht  wenn  eine  gerade  Linie  Bich  um  einen  festen 
Endpunkt  bewegt,  so  denkt  man  sich  dio  kleinen  Flächenräume, 
welche  entstehn,  wenn  man  die  Bewegung  der  Linie  irgend  wo  an- 
hält gar  nicht  als  die  Theilo  woraus  der  Zirkel  erst  zusammengesezt 
würde,  sondern  der  Bewegung  ist  nur  die  Regel ,  nach  welcher  die 
Gränze  hervorgebracht  und  also  die  Zirkelfläche  abgesondert  werden 
soll. 

Den  Eigenschaften  der  stetigon  Grösse  im  Raum,  welche  man 
die  ausgedehnte  Grösse  nennt  sind  grade  entgegengesezt  die  Eigen- 
schaften der  Zahl,  Grösse  womit  sich  die  Arithmetik  beschäftigt. 

Anm.  Zahl  ist  Vielheit  der  Einheiten,  und  kann  nicht  anders 
erzeugt  werden,  als  indem  wir  uns  in  Gedanken  dio  Einheit  so  oft 
wiederholen  als  die  Aufgabe  fodert.  Hier  ist  die  Einheit  ein  wahrer 
Theil,  eine  jede  neue  Wiederholung  derselben  gibt  uns  einen  Ab- 
schnitt; hier  denken  wir  das  Ganze  nur  durch  die  Theile.  Wenn 
wir  z.  B.  8  denken,  so  können  wir  nicht  umhin,  uns  eine  gewisse  Menge 
Einheiten  vorzustellen,  welche  die  natürlichen  Theile  der  Zahl  sind, 
und  wir  können  uns  den  Begriff  von  der  ganzen  8  nicht  anders 
machen,  als  indem  wir  von  der  eins  aufangen  und  nach  und  nach  durch 
alle  folgenden  Zahlen  heraufsteigen.  —  Sie  könnten  mir  hier  den  Ein- 
wurf machen,  dass  das  auch  bei  den  stetigen  Grössen  im  Raum  der  Fall 
sei,  die  wir  auch  nicht  anders  übersehn  können,  als  indem  wir  mit  dem 
Auge  nach  und  nach  von  einem  Theil  zum  andern  fortgehn.  Das  ist  auch 
genau  genommen  richtig,  allein  es  gibt  doch  noch  zwei  Verschieden- 
heiten und  die  sind  es  eben,  worauf  alles  ankommt.  1.,  sagen  wir 
dennoch  nicht,  dass  die  Grösse  so  entstanden  ist,  sondern  nur 
unsere  Anschauung  derselben,  welches  wol  unterschieden  werden  muss. 
Bei  der  Zahl  hingegen  kann  unser  Anschauen  dieses  Fortschreitens 
von  einer  Einheit  zur  andern  wol  am  Ende  entbehren,  aber  wir 
denken  uns  die  Grösse  selbst  als  so  aus  der  Einheit  entstanden, 
denn  das  ist  ja  der  Begriff  auf  den  wir  alle  Operationen  des  Verstandes 
mit  Zahlen  (d.  h.  alles  Rechnen)  reduciren.  2.,  gehen  wir  bei  der 
geometrischen  Anschauung  durch  jede  unendlich  kleine  Grösse,  die 
in  der  gegebenen  enthalten  ist,  und  können  eben  deswegen  diese 
nicht  als  Theile  ansehn  durch  deren  Zusammensezung  das  Ganze 
entstanden  wäre;  bei  der  Zusammensezung  der  Zahl  hingegen  gehen 
wir  nicht  durch  alle  unendlich  kleine  Theile  woraus  jede  Einheit 
besteht,  sonst  würden  wir  uns  die  Zahl  als  Linie,  als  stetige  Grösse 
denken,  sondern  wir  nehmen  die  Einheit  selbst,  und  durch  diese  be- 
kommen wir  natürliche  Abschnitte,  d.  h.  Theile. 


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340 


Borkowtki:  Schleiermacher  als  Mathematiker. 


Ich  glaube  dass  dies  den  wesentlichen  Unterschied  der  Arith- 
metik von  der  Geometrie  ausmacht  und  um  ihn  in  der  Erklärung  der 
Arithmetik  mit  auszudrücken,  müssen  wir  sie  so  abfassen: 

„Die  Arithmetik  ist  die  Wissenschaft  von  den  Verhältnissen  der 
Zahlen". 

Anm.  1.  Sie  sehn  dass  man  eine  jede  Grösse  in  eine  Zahl 
verwandeln  kann  wenn  man  eine  Einheit  zu  ihrer  Beurtheilung  an- 
nimmt, d.  h.  wenn  man  sie  misst  (denn  eine  angenommene  Einheit 
zur  Beurtheilung  einer  Grösse  die  an  sich  nicht  als  Zahl  erscheint, 
heiBSt  ein  Maass).  Also  können  auch  die  geometrischen  Grössen  als 
Zahlen  angesehen  werden ;  das  geschieht  aber  nicht  in  der  reinen 
Geometrie  (da  wird  nicht  gemessen ,  und  alle  Zahlen  sind  nur  zu- 
fällig) sondern  nur  in  der  sogenannten  angewandten  Geometrie  und 
in  der  Trigonometrie. 

Anm.  2.  Man  theilt  aber  die  ganze  Wissenschaft  von  den  Ver- 
hältnissen der  Zahlen  noch  ab  in  eigentliche  Arithmetik  und 
in  Analysis,  die  Sie  unter  dem  Namen  Algebra  kennen.  Da  wir 
es  (vor  der  Hand)  nur  mit  der  ersten  zu  thun  haben,  so  wäre  es 
gut  auch  den  Unterschied  zwischen  diesen  beiden  zu  kennen.  Den 
besinn  ich  mich  aber  nicht  befriedigend  gefunden  zu  haben.  Doch  bringt 
mich  der  Umstand,  dass  die  Analysis  Uberall  in  Gleichungen  arbeitet  auf 
folgende  Angabe:  Die  eigentliche  Arithmetik  gibt  uns  überall  Data 
um  daraus  Resultate  zu  finden ;  die  Analysis  gibt  uns  Resultate,  um 
daraus  gewisse  Data  die  als  unbestimt  in  ihnen  enthalten  waren  zu 
finden. 


2.  Noch  eine  Vergloichung  der  Arithm.  und  Geometrie. 

In  der  Geometrie  giebt  es  noch  Grössen  von  verschiedener  Art 
und  verschiedener  Würde,  deren  eine  nicht  mit  der  andern  ver- 
wechselt werden,  eine  nicht  in  die  andere  Übergehn  kann,  nämlich 
Linien,  Flächen  und  Körper.  Das  kommt  von  der  Eigenschaft  des 
Raumes  her,  welche  man  seine  dreifache  Ausmessung  nennt.  In  der 
Arithmetik  wo  wir  es  mit  dem  Raum  nicht  zu  thun  haben  ist  auch 
nichts  dergleichen  zu  bemerken;  alle  Zahlen  sind  von  einerlei  Art, 
da  sie  alle  aus  Wiederholungen  der  Einheit  entstanden  sind,  und 
liegen  alle  in  einer  unendlichen  Reihe,  denn  da  es  immer  noch  mög- 
lich ist  zu  einer  Zahl  eine  andere  hinzuzusezen ,  so  ist  keine  Zahl 
an  sich  die  lezte,  und  die  Reihe  derselben  ist  ins  unendliche  un- 
vollendet.  In  dieser  Reihe  hat  eine  jede  Zahl  ihren  festen  Plaz 


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Borkowskix  SchUiermacker  als  Mathematiker.  34 1 

nach  der  Menge  der  Einheiten  die  in  ihr  enthalten  sind,  nnd  alles 
was  wir  mit  den  Zahlen  vornehmen,  geht  innerhalb  dieser  Reihe  vor. 


3.  Von  den  allgemeinen  Verhältnissen  der  Zahlen. 

Dieses  aber  was  wir  mit  den  Zahlen  vornehmen  können,  scheint 
auf  den  ersten  Anblik  nicht  so  recht  viel  zn  seyn;  denn  wenn  wir 
von  dem  Begriff  der  Zahl  als  Menge  der  Einheiten  nnd  des  Zählens 
als  Hervorbringen  der  Zahl  durch  Wiederholung  der  Einheiten  aus- 
gebn,  so  erscheint  uns  kein  anderes  Ycrhältniss  der  Zahlen,  als  dass 
eine  grösser  eine  kleiner  ist  als  die  andre,  eine  aus  mehrern  andere 
aus  wenigem  Wiederholungen  der  Einheit  besteht,  und  wir  finden 
keinen  andern  Punkt  aus  dem  wir  sie  vergleichen  könnten,  als  zu 
sehn  wie  viel  Einheiten  ich  zu  einer  kleineren  hinzusezen,  wie  weit 
ich  in  der  natürlichen  Zahlenreihe  vorwärts  gehn  rauss,  um  eine 
grössere  zu  erlangen,  und  wie  viel  Einheiten  ich  von  der  grössern 
wegnehmen,  wie  weit  ich  in  der  natürlichen  Zahlenreihe  rückwärts 
gehn  muss  um  zu  der  kleinen  zu  gelangen.  Und  so  gäbe  es  keine 
andere  Operation  des  Rechnens  als  1.  zu  einer  Zahl  gewisse  Wieder- 
holungen der  Einheit,  das  heisst  eine  gewisse  audere  Zahl  hinzu- 
sezen und  daraus  eine  dritte  machen:  Zahlen  zusammenfügen,  ad- 
diren  2.  von  einer  Zahl  gewisse  Wiederholungen  der  Einheit,  d.  h. 
eine  gewisse  andere  Zahl  hinwegnehmen,  und  daraus  eine  dritte 
machen:  Zahlen  trennen  subtrahiren. 


4.  Erweiterung. 

Allein  wenn  dieses  auch  alles  ist,  so  werden  wir  doch  bald  sehn, 
dass  es  wenigstens  mehrere  Arten  giebt  zu  addiren  und  zu  subtra- 
hiren. Wenn  man  nemlich  eine  jede  Grösse  als  Einheit  betrachten 
kann,  so  kann  man  auch  eine  jede  schon  zusammengesezte  Zahl  als  Ein- 
heit für  andere  ansehn.  Das  gibt  nun  einen  neuen  Gesichtspunkt 
indem  ich  also  eine  jede  Zahl  nicht  als  nur  aus  der  natürlichen,  son- 
dem  auch  aus  irgend  einer  angenommenen  Einheit  entsprungen  an- 
sehn kann.  Diese  Befugniss  und  die  Reduktion  ihrer  Anwendung 
auf  die  natürliche  Zahlenreihe  ist  der  Grund  aller  übrigen  Opera- 
tionen des  Rechnens;  die  einfachsten  derselben  sind  multipliciren 
und  dividiren.  Ich  kann  nemlich  fragen:  Die  wievielste  Wieder- 
holung der  Einheit,  d.  h.  welche  Zahl  bekomme  ich  wenn  ich  die  12 
als  Einheit  ansehe  und  diese  Einheit  viermal  seze:  Das  ist  multi- 


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342 


Borkowski:  Schleiermacher  als  Mathematiker. 


pliciron.  Ich  kann  ferner  fragen:  Wie  oft  hätte  ich  die  12  wieder- 
holen müssen  indem  ich  die  Eins  48  mal  wiederholte?  Das  ist 
dividiren. 


5.   Von  der  mechanischen  Einrichtung  unseres 

Rechen-Systems. 

Nachdem  wir  so  die  Begriffe  der  vier  einfachsten  Rechnungsarten 
erfunden  haben  aus  denen  alle  übrige  nur  Zusammensezungen  sind, 
so  bitte  ich  Sie  nun  sich  an  das  zu  erinnern,  was  wir  damals  vom 
dekadischen  System  sagten;  von  der  grossen  Erfindung  für  die 
ganze  unendliche  Zahlenreihe  sich  mit  10  Zeichen  zu  begnügen  und 
dafür  die  Zahlen  nach  ihren  Fortschreituugen  in  gewisse  Ordnungen 
zu  theilen,  welche  bei  den  Ziffern  durch  die  Stelle  bezeichnet  werden 
wo  sie  stehn.  Daraus  lässt  sich  sehr  leicht  unser  Verfahren  bei  den 
arithmetischen  Aufgaben  deduciren;  warum  wir  beim  addiren  und 
sub.  die  gegebenen  Zahlen  gleichsam  trennen,  und  successiv  nur  die 
zusammengehörigen  Ordnungen  mit  einander  verbinden  um  zu  rechter 
Zeit  die  kleinern  in  die  grössern  verwandeln  zu  können ,  warum  wir 
beim  multipliciren  jede  Orduung  des  einen  Faktors  einzeln  mit  dem 
andern  verbinden ,  aber  beim  dividiren  umgekehrt  die  höheru  Ord- 
nungen zuerst  eintheilen ,  weil  wir  sie  oft  wenn  die  Einheiten  einer 
Ordnung  nicht  hinreichen  einen  Quotienten  derselben  Ordnung  her- 
vorzubringen in  die  niedrigere  Ordnung  verwandeln  müssen.  Dieses 
ganze  dekadische  System  ist  aber  nicht  notwendig  sondern  bloss 
willkührlich ;  die  Alten  rechneten  nicht  so  und  noch  jetzt  rechnen  viele 
Völker  anders.  Leibniz  erfand  eine  Diadik  wo  er  nur  immer  bis 
2  zahlte  und  nur  diese  beiden  Ziffern  hatte:  0,  1. 


6.   Von  den  Reihen. 

Wenn  wir  wieder  von  der  Idee  ausgebu,  dass  man  nun  eine 
jede  Zahl  als  Einheit  behandeln  kann,  die  beim  Zählen  wiederholt,  so 
eutstehn  aus  einem  solchen  Zählen  mit  einer  angenommenen  Einheit 
andere  Zahlenreihen  als  die  natürliche  (jedoch  müssen  sie  immer  in 
der  natürlichen  enthalten  seyn)  z.  E.  man  fängt  von  der  Eins  an, 
nimmt  aber  die  3  zu  der  Einheit,  welche  immer  wiederholt  wird,  so 
bekommt  man  folgende  Reihe: 

1»).  4.  7.  10.  13.  16.  19.  22.  25.  28.  81.  34 
und  so  fort  bis  ins  unendliche. 


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Borkowski:  SchUiermacher  ah  Mathematiker.  343 

Man  kann  aber  auch  bei  jeder  andern  Zahl  anfangen  und  es 
eben  so  machen: 

2.  5.  8.  11.  14.  17.  20.  23.  26.  29.  32.  35  etc. 

Unter  einer  Zahlen  Reihe  (Progression,  wenn  Sie  sich  vor  dem 
fürchterlichen  Wort  nicht  erschrecken)  versteht  man  eine  Menge  von 
Zahlen  (einerlei  wo  sie  anfangen  und  aufhören J  von  denen  immer 
die  folgende  aus  der  vorigen  nach  einerlei  Gesez  entstanden  ist,  wie 
z.  £.  in  den  obigen  Reihen  dadurch  dass  immer  zu  der  vorigen 
Zahl,  die  3,  die  als  Einheit  galt,  hinzugesezt  ward.  Allein  es  kön- 
nen auch  noch  Reiben  aus  ganz  andern  Gesezen  entstehn.  Z.  E. 
man  kann  bei  einer  Zahl  anfangen  diese  selbst  als  Einheit  ansehn 
und  wiederholen;  dann  aber  wieder  die  Zahl,  welche  daraus  entstand 
als  Einheit  betrachten  und  eben  so  wiederholen.  Ich  meine  auf 
diese  Art: 

2.  4.  8.  16.  32.  64.  128.  256  etc. 

Die  2  ist  hier  als  Einheit  angesehn  und  wiederholt,  daraus  ent- 
stand die  4,  nun  wurde  diese  als  Einheit  angesehn  und  fortgezählt, 
daraus  ontstand  die  8;  nun  wurde  diese  die  Eioheit,  und  so  immer 
fort  nach  dem  nemlichen  Gesez.  Es  ist  auch  nicht  nöthig,  dass 
man  die  angenommene  Einheit  nur  einmal  wiederholt  um  die  nächste 
Zahl  der  Reihe  zu  bekommen,  man  kann  gleich  ein  vielfaches  der- 
selben nehmen,  welches  schon  mehrere  Wiederholungen  derselben  in 
sich  fasst.  Z.  E.  ich  fange  bei  der  2  an,  will  aber  nicht  die  2  nur 
einmal  wiederholen,  sondern  gleich  dreimal:  Daraus  entsteht  nun 
eine  Zahl  diese  wird  als  Einheit  angesehn  und  ebenfalls  nicht  ein- 
mal wiederholt,  sondern  dreimal. 

2.  6.  18.  64.  162.  394.  1092.  3274. 

Sie  sehen  ich  behandle  überall  die  Reihen  als  Arten  zu  zählen 
und  suche  die  Einheiten  auf  nach  denen  man  zählt. 

Die  obigen  Beispiele  geben  aber  2  gauz  verschiedene  Arten  von 
Reihen  an  die  Hand. 

Bei  der  einen  wird  eine  Einheit  gewählt  und  mit  dieser  so  ge- 
zählt wie  mit  der  wahren  Einheit  in  der  natürlichen  Zahlenreihe; 
diese  nennt  mau  zählende  Reihen  (arithmetische  Progressionen). 
Bei  der  andern  wurde  zwar  auch  die  erste  Zahl  bei  der  man  anfing 


1)  Mobs  heiuen:  486.  1458.  4374. 


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344 


Jiorkowxk.i:  Schleiermacher  als  Mathematiker. 


zur  Einheit  gewählt  und  ein  bestirntes  vielfaches  derselben  genom- 
men, aber  dann  eben  diese  nun  erhaltene  Zahl  zur  Einheit  genommen 
und  eben  so  behandelt;  diese  nennt  man  steigende  Reihen  (geome- 
trische Progressionen). 

Sie  sehn  dass  ich  jene  erhalte  wenn  ich  zu  der  lozten  vorhan- 
denen Zahl  die  angenommene  Einheit  ad  dir  e,  diese  hingegen  wenn 
ich  die  lezte  Zahl  die  nun  Einheit  wird  so  oft  nehme,  als  es  das 
angefangene  Gesez  erfodert.  Dieses  so  oft  nohmen  ist  aber  nach 
unserm  oben  gegebenen  Begriff  ein  multipliciren.  Auch  bei  den 
arithmetischen  Reihen  ist  zwar  ein  multipliciren,  aber  nicht  jede« 
Gliedes  aus  dem  nächsten,  sondern  aller  aus  dem  ersten.  Ich  frage 
nomlich:  was  entsteht  für  eine  Zahl  der  natürlichen  Zahlenreihe 
wenn  ich  die  angenommene  Einheit  so  oft  wiederhole,  wenn  ich  sie 
einmal  mehr  wiederhole  u.  s  w.  so  ist  jedes  Glied  des  einmal  eins 
nar  eiue  arithmetische  Progression,  worin  die  Zahl  womit  das  Glied 
anfängt  die  Einheit  ist  z.  E. 

3.  6.  9.  12.  15.  18.  21.  24.  27.  30- 

aber  es  ist  nicht  das  nächste  Glied  aus  der  Multiplikation  mit  dem 
vorigen  entstanden,  sondern  alle  aus  einer  successiven  Multiplikation  des 
ersten.  Ich  hoffe  ich  habe  nun  den  Unterschied  dieser  beiden  Arten 
von  Reihen  hinlänglich  angegeben.  Es  gibt  noch  mehrere  Arten  der- 
selben, die  aber  nicht  von  der  Wichtigkeit  als  diese  beideu  und  be- 
sonders die  geometrische. 


7.   Einige  Beobachtungen  über  diese  Arten  von 

Reihen? 

Man  kann  leicht  bemerken,  dass,  man  mag  eine  arithmetische 
Reibe  anfangen  wo  man  will  und  abbrechen  wo  man  will,  sich  den- 
noch immer  folgeudes  dabei  ereignet:  wenn  man  die  zwei  äussersten 
Glieder  zusammen  addirt  und  so  von  beiden  Seiten  nach  der  Mitte  zu 
fortfährt,  so  geben  alle  diese  Paare  die  nemliche  Summe.  Z.  E. 
in  der  Reihe 

1.  3.  5.  7.  9.  11.  13.  15.  17.  19.  21.  23. 
1+23-24.    3  +  21  =  24.   5  +  19  -  24. 
7  +  17  =  24.    9  +  15-  24  etc. 
Ferner  bei  der  geometrischen  Reihe  wenn  man  die  äussersten 


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Borkowski:  Sckleiermacher  ah  Mathematiker.  345 

Glieder  mit  einander  multiplicirt  and  eben  so  fortfährt,  so  geben 
alle  diese  Paare  einerlei  Produkte.   Z.  E. 

3.  6.  12.  24.  48.  96. 

3  .  96  -  288  .  6  .  48  -  288  .  12  .  24  -  288 

Wenn  diese  beiden  Säze  von  allen  arithmetischen  und  geome- 
trischen Reihen  gälten,  so  könnte  man  daraus  verschiedene  Folge- 
rungen ziehen,  und  da  die  Eigenschaften  der  Reihen  der  Grund  alles 
übrigen  Rechnens  sind,  so  würden  wir  auf  diese  Weise  sehr  weit 
kommen.  Allein  wie  kommen  wir  zu  der  Ueberzeugung  dass  diese  Re- 
sultate eine  solche  nothwendige  Allgemeinheit  haben,  als  sie  als  Lehr- 
säze  haben  müssen?  Denn  wenn  wir  das  auch  au  hundert  und  tausend 
Reihen  wiederholen,  so  kann  uns  immer  der  Zweifel  kommen  dass 
die  individuellen  Eigenschaften  der  Zahlen  die  wir  gewählt  haben 
uns  täuschen,  und  dass  es  doch  welche  geben  könne,  wo  es  nicht 
eintreffen  würde.  Aus  den  Begriffen  der  Zahlen  und  der  Reihen  wir 
mögen  sie  drehu  wie  wir  wollen  können  wir  es  auch  nicht  folgern. 
Wir  müssen  also  ehe  wir  weiter  gehn  uns  erst  ein  Mittel  verschaffen 
zu  beweisen  und  unsern  Beispielen  eben  die  Allgemeinheit  geben, 
welche  die  Beweise  aus  der  Construktion  der  Figuren  uns  in  der 
Geometrie  verschaffen,  und  dazu  werden  Sie  mir  erlauben  Ihnen 
nächstens  den  Schlüssel  zu  geben. 


Sehen  Sie  mein  lieber  Graf,  da  ist  d«ch  wieder  ein  kleines  Frag- 
ment zur  Fortsezung,  aber  es  ist  grösser  als  Sic  denken,  denn  Sie 
werden  nun  leicht  rathen  können,  woraus  alles  heraus  will. 

Inzwischen  will  ich  Ihnen  nicht  bergen  dass  ich  einen  Streich 
gemacht  habe  den  mir  die  Arithmetiker  vielleicht  nicht  vergeben; 
ich  habe  von  Progressionen  gesprochen  und  biu  noch  nicht  bei 
den  Proportionen  eingekehrt;  aber  mein  Ideengang  der  vom  Zählen 
ausging  iiess  es  nicht  anders  zu  und  die  Proportionen  sollen  auch 
nicht  leer  ausgehen. 

Wir  haben  gestern  einen  Königsbergischen  Besuch  gehabt,  aber 
ich  muss  Ihnen  gestehon,  ich  bin  seitdem  ich  ihn  gesehn  nicht  mehr 
ganz  so  empfindlich  gegen  das  was  dieser  Besuch  in  Holland  von 
Ihnen  gesagt  hat,  ich  bin  ein  närrischer  Mensch  aber  ich  stellte  mir 
vor  die  Leute  die  Sie  lobten  müssten  anders  aussehn.   Wie  das 


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346  Borkowiki:  Schleiermacher  als  Mathematiker. 

zugeht  mögen  Sic  sich  selbst  cnträthseln.  Inzwischen  wenn  Sie 
nur  a  laudatis  viris  (die  Damen  nicht  ausgeschlossen)  gelobt  wer- 
den —  lassen  Sie  sich  das  lateinische  SprUchelchen  von  Graf  Wil- 
helm erklären  —  was  können  Sie  denn  dafür,  wenn  es  auch  andere 
thun.  Sie  Renn  mein  Papier  ist  aus  und  meine  Zeit  leider  eben- 
falls also  entschuldigen  Sie 

Ihren 

Schleiermacher. 

Schlobitten  d.  16  Dec.  1791. 


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Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden.  347 


XVII. 

Drei  gegebene  Gerade  im  Kaume  nach  einem 
Dreieck  mit  vorgeschriebenen  Winkeln  zu 

schneiden. 

Von 

Eduard  Salfner. 

Kgl.  Reallchrcr  in  Nürnberg. 


Drei  Gerade  können  im  Räume  drei  Hanptlagen  haben.  Bei  pa- 
ralleler Lage  derselben  geschah  bisher  der  Schnitt  mit  vorgeschriebenen 
Winkeln  nach  einer  von  Gugler  in  seiner  „darstellenden  Geometrie44 
angegebenen  Weise  oder  aber  nach  der  von  Marx  in  seiner  Inaugural- 
Dissertation  »)  mitgeteilten  Construction.  Während  ersterer  den  rein 
geometrischen  Weg  wählt,  erreicht  letzterer  vorerst  das  Ziel  auf 
dem  der  Rechnung,  löst  aber  nachgehends  auch  die  Aufgabe  allge- 
mein construetiv  für  alle  Lagen  der  Geraden  mit  Hilfe  einer  Fläche 
4.  Ordnung.  Eine  streng  geometrische  Lösung  hält  er  für  den  Fall, 
dass  die  Geraden  nicht  parallel  sind,  „für  nicht  mehr  durchführ- 
bar14. Gleichwol  beschäftigte  er  sich  auch  in  dieser  Richtung  mit 
der  vorliegenden  Aufgabe,  ohne  indes  das  Ziel  zu  erreichen;  er 
schliesst  seine  Betrachtungen  mit  den  Worten:  „Praktisch  ausführbar 
dürfte  keine  dieser  Constructionen  sein,  doch  wäre  eine  construetive 
Lösung  auf  diese  Weise  wenigstens  denkbar". 


1)  Marx,  über  eine  Flache  4.  Ordnung  etc.  München,  Kgl.  Hof-  u. 
Univcrtitäta-Buchdmckerei  ron  Dr.  C  Wolf  u.  Sohn,  1880. 


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348  Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  tu  schneiden. 

Der  Verfasser  glaubt  nun  gleichwol  im  Folgenden  durch  Con- 
struetiou  und  anschliessende  Rechnung  auf  einem  von  Marx  nicht 
angedeuteten,  dazu  für  weitere  Kreise  gangbaren  Wege  für  alle  Fälle 
die  Lösung  der  Aufgabe  zu  erreichen.  Dieselben  sollen  in  der  näm- 
lichen Reihenfolge  wie  sie  gefunden  wurden,  vorgeführt  werden. 


L 

Die  drei  Geraden  schneiden  sich  in  einem  Punkte,  eine 
von  ihnen  (A)  steht  senkrecht  auf  den  beiden  andern 

(ß  und  Cj.  (Dreikant.) 

Die  Geraden  B  und  C  sind  in  die  Tafel  Fig.  1.  eins  gelegt1)  und 
bilden  den  beliebigen  Winkel  er.  Die  auf  ihnen  senkrechte  A  gehört  der 
Tafel  zwei  an.  Ist  nun  bc  eine  Seite  des  gesuchten  Schnittes  ierf, 
der  die  Winkel  ß,  y  und  d  haben  soll,  so  ist  Dreieck  bed  bestimmt. 
Dasselbe  wurde  nun  nm  die  Tafel  eins  gedreht,  wodurch  die  zu  bc 
gehörigen  Höhen  dieses  und  des  Dreiecks  abc,  der  Projection  des 
ersteren,  aufeinander  fielen.  Sobald  eines  dieser  Dreiecke  gegeben 
ist,  kann  das  andere  unter  Benutzung  des  geometrischen  Ortes  der 
Scheitel  gleicher  Winkel  über  gegebener  Seite  bc  gefunden  werden. 
Sein  Schnitt  mit  der  gemeinschaftlichen  Höhenrichtung  ist  der  fehlende 
dritte  Eckpunkt. 

Nun  ist  de  die  Hypotenuse  und  ae  die  Höhe  eines  rechtwink- 
ligen Dreiecks,  dessen  zweite  Kathete  angibt,  in  welchem  Abstand 
von  a  auf  A  der  Punkt  d  genommen  werden  muss. 

Construction.  Man  wird  Strecke  bc  beliebig  nehmen,  darüber 
Dreieck  abd3  mit  den  vorgeschriebenen  Winkeln  /*,  y,  d  construiren, 
hierauf  den  Kreis,  den  geometrischen  Ort  für  alle  Scheitel  mit  dem 
Winkel  a  über  6c,  schlagen,  wodurch  der  Schnittpunkt  a  desselben 
mit  der  Höhe  über  bc  erhalten  wird.  (Der  zweite  Schnittpunkt  beider 
bezieht  sich  auf  den  Winkel  180°  o).  Ein  zweiter  Kreis  um  e  mit 
dem  Radius  oi.  gibt  mit  der  senkrechten  A  den  Schnittpunkt  d  über 
und  unter  der  Ebene  BC.  (Spiegelbilder). 

Der  Punkt  d  auf  der  dritten  Kante  (A)  entspricht  der  beliebig 
angenommenen  Seitenlänge  bc.   Soll  aber  der  Schnitt  durch  einen 


1)  Nach  der  Darstellungsmethode  Klinkenfelds,  dessen  Schaler  and  spä- 
terer Assistent  am  Kgl.  Polytechnikum  München  ich  war. 


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Salfntr:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  sehneiden.      •  34g 

andern  Punkt  auf  A  gehen,  so  hat  man  lediglich  durch  ihn  zwei 
Parallele  zu  den  Seiten  des  Dreiecks  bcd  zu  ziehen. 

Für  die  Berechnung. 

Im  Anschluss  an  die  Construction  bezeichne  ich  be  mit  o,,  die 
Strecke  von  e  bis  zur  Sehnenmitte  mit  6lt  dann  sind  die  Coordi- 

naten  des  Kreismittelpunktes  6,  und  daher  die  Kreisglei- 

c hung,  weil  der  Radius  gleich  tt^~  » 

&  sin  er 

und  die  Gleichung  der  durch  e  gehenden  Senkrechten 

9  -  0 

also  ist  für  den  Schnitt 

Das  untere  Zeichen  im  Aasdruck  für  %  gibt  den  2.  Schnittpunkt 
an,  der  jedoch  nicht  gelten  kann  als  Scheitel  eines  Winkels  (I8ü°-a)°. 

Die  Strecke  ad  —  z  ergibt  sich  aus  dem  bei  x  rechtwinkligen 
Dreieck  ead: 

*  —  VexQ—  edS  oder 

Das  doppelte  Vorzeichen  entspricht  den  Spiegelbildern  in  Bezug 
auf  Ebene  2JC. 

II. 

Die  drei  Geraden  bilden  ein  Dreikant,  in  welchem  keine 
Kante  senkrecht  auf  der  gegenüber  liegenden  Seite  steht 

Fig.  2. 

Bezeichnen  wir  wieder  mit  A,  Dy  und  C  die  Kanten  der  körper- 
lichen Ecke,  mit  Ax  die  Projection  von  A  auf  die  Ebene  BC,  die 


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350      •    Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Drtieck  zu  gehneiden 

wir  als  Tafel  eins  nehmen!  bc  sei  abermals  die  beliebig  angenommene 
Seite  des  durch  seine  Winkel  bestimmten  Schnitts  ebd.  Das  durch 
£,  C  und  bc  bestimmte  vorderhand  noch  unbekannte  Dreieck  a,^«?, 
liege  wieder  in  Tafel  eins. 

Nehmen  wir  nun  au,  dass  beim  Umklappen  des  Dreiecks  bed 
um  die  gemeinsame  bc  in  die  gemeinschaftliche  Tafelebene  die  beiden 
zu  bc  gehörigen  Dreieckshöhen  nicht  aufeinander  fallen,  dann  ist 
durch  Seite  bc  und  den  gegenüber  liegenden  Winkel  o  ein  Kreis  (in 
die  Tafel  eins  gelegt)  bestimmt,  auf  dessen  Umfang  der  Scheitel  des 
gesuchten  Dreikants  liegen  muss.  Sowol  der  der  Seite  bc  gegenüber 
liegende  Winkel  «,  als  auch  der  Winkel  (c)  der  Protection  Ax  mit 
Ä,  sind  constante  Winkel,  darum  ist  auch  der  Punkt  /"„  in  welchem 
der  Kreis  um  Sehne  bc  von  der  Projection  Ax  der  dritten  Kante 
geschnitten  wird,  ein  fester  Punkt;  wandert  auch  a  auf  dem  ganzen 
Bogen  über  bc  dahin,  so  ist,  wie  b  uud  c,  bleibend.  —  Ebenso  ist  «, 
ein  Höhenfusspunkt  des  Dreiecks  Acrf,  auf  bc  ein  fester  Punkt,  da 
entsprechende  Höhen  ähnlicher  Dreiecke  die  zugehörigen  Seiten  in 
gleichem  Verhältnisse  teilen ;  gleichzeitig  sind  und  A, ,  die  Schnitt- 
punkte der  Höhe  mit  dem  vorhin  genannten  Kreise,  feste  Punkte. 

Auf  der  um  /,  beweglichen  Sehne  des  Kreises,  der  Projection 
der  dritten  Kante,  muss  natürlich  stets  auch  der  Fusspunkt  dx  des 
gesuchten  driften  Punktes  des  Schnittes  liegen.  Ausserdem  ist  noch 
die  Bedingung  zu  erfüllen,  dass  die  Kante  ad(A)  den  vorgegebenen 
Winkel  dadx  mit  der  Ebene  abc  bilde,  oder,  dass 

ddy  :  adt  —  m  :  n 

(ein  gegebenes  Verhältniss)  sei.  Der  Fusspunkt  </,  muss  aber  auch 
auf  der  Projection  etlx  der  Höhe  des  Dreiecks  bed  liegen.  Dreht 
sich  also  Sehne  afx  um  f%%  bo  ist  ihr  Schnitt  mit  erf3  stets  der  Fuss- 
punkt     einer  Senkrechten,  auf  der 

tldj  _  m'ad\ 

abzutragen  ist. 

Die  Punktreihe  der  d  ist  in  der  Tafel  zwei  Fig.  3.  gezeichnet  Deren 
Schnittpunkt  mit  dem  Kreise  um  e  und  dem  Halbmesser  ed  liefert 
den  gesuchton  Punkt  d,  da  d  zugleich  auf  diesem  Kreise  liegen  muss, 
damit  der  Schnittpunkt  bed  die  Höhe  de  habe. 

Punkt  fx  kann  im  allgemeinen  jeder  Punkt  der  Kreislinie  wer- 
den, o,  wird  aber  stets  auf  der  andern  Seite  von  ed  liegen  müssen, 
da  uf  die  ed  schneiden  muss. 


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Sat/ner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden.  351* 

Fällt  jedoch  Pnnkt  /,  auf  gx  —  was  geschieht ,  wenn  der  zum 
Bogen  bx  gx  gehörige  Peripheriewinkel  —  §  wird  -  so  ist  gxhx  die 
einzige  in  Betracht  kommende  Sehne  des  Kroises,  and  Punkt  hx  ist 
der  gesuchte  Punkt  ax  wie  im  Fall  I.  Während  aber  dort  die  Ge- 
rade A  mit  ed  einen  rechten  Wiukel  einschloss ,  bildet  sie  jetzt  mit 
ihr  einen  vorgeschriebenen  Winkel  tladx. 

Wir  conBtruiren  demnach  unter  beliebiger  Annahme  der  Strecke 
bc  eine  Pyramide,  welche  den  gestellten  Bedingungen  genügt,  in  fol- 
gender Weise: 

Eine  Strecke  bc  wird  heliebig  lang  in  der  Tafel  eins  angenom- 
men, doch  soll  sie  wieder  senkrecht  zur  Tafelkantc  sein.  Hierauf 
construirt  man  den  der  Sehne  bc  und  dem  ihr  gegeuüber  liegenden 
Winkel  a  zukommenden  Kreis  und  legt  bei  einem  beliebigen  Punkte 
a  der  Peripherie  den  Winkel 

bafx  -=  « 

an,  den  die  Projectiou  der  dritten  Kante  A  auf  die  gegenüber  lie- 
gende Seitenfläche  mit  Kante  B  macht,  wodurch  mau  auf  dem 
Kreisumfang  deu  Punkt  /',  erhält,  durch  den  alle  Sehnen  af  gehen 
müssen.  Nachdem  man  noch  durch  e,  den  Höhenfusspunkt  des 
Dreiecks  bcdt  die  Senkrechte  zu  bc  gezogen,  wodurch  Sehne 
higl  erhalten  wird,  kann  man  der  Reihe  nach  die  Punkte  a  des 
Bogens,  der  auf  der  andern  Seite  von  f  mit  Bezug  auf  hxgx  liegt,  mit 
/  verbinden  und  zur  erhaltenen  Schnittpunktreihe  rf,  die  zugehörige 
Punktreihe  d  mit  Hilfe  der  gegebenen  Projection 

cfcf,  :  adx  =.  m:n 

bestimmen.   Die  Höhe  exds  des  mit  bc  und  den  vorgeschriebenen 

Winkeln  gezeichneten  Schnittdreiecks  bed  nimmt  man  als  Radius 

und  zeichnet  iu  Tafel  zwei  um  c  den  Kreis.  Der  Schnitt  desselben 
mit  der  Curve  der  d  löst  die  Aufgabe. 

Nicht  alle  Punkte  des  Kreises  oder  der  Curve  kommen  in  Betracht. 
Verbindet  man  fx  mit  c, ,  so  ist  Schnittpunkt  d"  Grenzpunkt,  da  die 
Punkte  o  auf  Bogen  €tgtht  genommen  Winkel  gleich  180°— o  geben. 
Fällt  rf8  zwischen  hx  und  e,  so  ist  rf3  Grenzpunkt;  fallt  es  auf  /<,, 
oder  darüber  hinaus,  so  ist  hx  Grenze,  weil  sich  darüber  hinaus  die 
beiden  Secauteu  gxhx  und  axfx  schneiden. 

Die  Projection  At  fallt  zwischen  Bt  und  Cu  auf  Bx  (oder  Cx)  oder 
Uber  beide  hinaus,  je  nachdem  der  Flächenwinkel  bei  Bx  (und  C\) 
spitz,  recht  oder  stumpf  ist;  dem  entsprechend  fallt  r\  auf  den  Bogen 
cxgxbx,  auf  bx  (oder  c,),  oder  auf  Bogen  dAbx(dscx). 


352 


Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden. 


Der  durch  einen  andern  auf  A  angegebenen  Punkt  d  gehende 
Schnitt  ergibt  sich  nunmehr  durch  Ziehen  von  Parallelen. 


Zur  Berechnung. 

Wir  fallen  vom  Punkt  /,  auf  die  Projection  der  Höhe  des  Drei- 
ecks bcd  die  Senkrechte  fxO,  nehmen  O  als  Mittelpunkt  des  Coordi- 
natensystems  in  der  Ebene  higid  und  setzen 

Odt  —  x,  ddj  =  y,  Ofx  —  c,  Og  =  p,  hg  —      fdx  =>  v  und  aa\  =  tr 

Die  Gleichungen 

(p  +  x)  (q—p  —  x)  —  vw  .  .  . 

v*  «=  C»-f  X*  ...  2., 

y  :  w  «=  m  :  n  .  .  .3., 
verhelfen  auf  die  Gleichung  der  Curve: 

Diese  Curve  ist  also  von  der  4  Ordnung '). 

Nimmt  man  dazu  die  Gleichung  des  Kreises  mit  dem  Mittel- 
punkt e: 

wo 

<j  —  Oe    und   r  —  </3<?, 
so  entsteht  zur  Berechnung  der  Schnittpunkts-Abscisse 

+  x»  [(*-  2p)»  -  2p(q  -  p)  -  ~  (r*  -  c*  -  •»)] 

+2>2(9~7>)2-"^V-a*)=0 

1)  Sie  weist  ein  max  auf,  welches  durch  die  Gleichung 

x>-K2c'  +  (5-p)]s-c*(<Z-2p)  "  0 
bestimmt  ist.    Diese  Gleichung  »eigt  nur  einen  reellen  Wert  für  x. 


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Salftmr:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden.  353 

Tritt  der  schon  erwähnte  Fall  ein,  dass  /,  und  damit  o  auf  $r, 
fallt,  so  wird 

c  =  p  =  0 

und  die  Gleichung  der  Curve  4.  Ordnung 

n 

q—x  =  y 

m 

also  zur  Geraden  durch  ä,  (wo  wir  die  Gerade  im  neg.  Tafelraum 
vernachlässigen).  Aus  der  Gleichung  4.  Grades  zur  Berechnung 
von  x  wird 

-     -  «•[«*+»•£]  +.4*  -       - 0 

Für  sc2  —  0  erhält  man  den  Punkt  gln  der  mit  4,  und  Cj  ver- 
bunden den  Winkel  18üc  —  a  gibt,  und  für  unseren  Fall  unbrauchbar 
ist.   Die  beiden  übrigen  Werte  sind 


x 


Wird  auch  noch  n  =  0,  d.  h.  steht  A  auf  der  Ebene  BC  senk- 
recht, so  wird  die  Hauptgleichung 

a4  —  2qz*  -f-  x»  5 2  =  0  und 

«1  =0,    (C,  ar  0.    tr,  —  ±  4 

wovon  die  beiden  ersten  Werte  für  den  spitzen  Winkel  a  nicht  ge- 
nommen werden  könuen,  die  beiden  letzten  den  Punkt  A,  bezeichnen, 
wodurch  sich  I.  als  besonderer  Fall  von  II.  erweist. 


III. 

Die  drei  Geraden  sind  parallel  und  bestimmen  ein 

Prisma. 

Die  drei  parallelen  Geraden  sollen  A,  B  und  C  heissen.  Drei- 
eck ahg  ist  ein  senkrechter,  Dreieck  abc  ein  schiefer  Schnitt  der- 
selben. B  und  C  liegen  in  Tafel  eins  und  sind  zugleich  parallel  zur 
Tafelkante.  Die  Spur  der  durch  A  gelegten  Lotebene  eins  schneidet 
die  Dreiecksseite  bc  iu  gleichem  Verhältniss  wie  ^ä,  so  dass  also 

:«A  0  tt*i  1*1*1 

Arcb.  d.  Math.  u.  Phye.   2.  Reihe,  T.  XVI.  23 


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354  Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden. 

Ist  somit  das  Verhältnis*  aigl  i  a, &]  constant,  so  ist  dies  auch  von 
f\  ci         zu  sagen. 

Zieht  man  durch  den  dem  schiefen  Schnitte  angehörigen  Pnnkt 
«  zu  Im-  die  Höhe  «<•,  und  dreht  das  Dreieck  um  jenes  in  die  Ebene 
BC,  so  ist  ose,  die  Projection  von  der  Geraden  aev 

Nehmen  wir  wieder  eine  Strecke  bc  beliebig  als  Seite  eines 
schiefen  Schnittes,  und  sind  aßy  dessen  Winkel,  so  ist  damit  Dreieck 
abc,  mit  ihm  der  Höhenfusspuukt  e,  aber  auch  der  Punkt  /'mittels 
der  eben  angeführten  Proportion  bestimmt. 

Zu  diesem  Drciek  suchen  wir  nun  das  Prisma,  welches  die  ge- 
stellten Forderungen  erfüllt!  Hierzu  bieten  sich  zwei  Wege  dar: 
Man  kann  sich  die  Festlegung  des  Punktes  a  oder  auch  des  Punktes 
gt  (oder  auch  /<,)  zum  Ziel  setzen.  Im  Nachfolgenden  ist  der  erst- 
genannte gewühlt,  weil  er  weitaus  einfacher  ist  und  sich  den  Betrach- 
tungen in  II.  anschliesst. 

Punkt  a  liegt  vorerst  auf  dem  Kreisbogen,  dessen  Mittelpunkt 
e  und  dessen  Kadius  ae  ist,  seine  Projection  eins  ist  die  Senkrechte 
durch  e  zu  ic;  somit  liegt  auch  die  Projection  des  Punktes  <?  stets 
auf  dieser  Senkrechten. 

Die  Verbindungslinie  i\hv  die  Projection  von  A,  gibt  die  Rich- 
tung der  Prismenkanten  an.  Wird  nun  irgend  ein  Punkt  a,  auf 
a8<?,  herausgegriffen,  so  liegt  auf  der  zu  ihr  durch  o,  gebenden  zu 
Ol/,  Senkrechten  Punkt  </,  und  zugleich  auf  der  Parallelen  durch 
zu  ftav  Punkt  a  aber  ist  bestimmt  durch  die  so  gefundene 
Strecke  atgt  und  die  Winkel  des  vorgegebeneu  (schon  genannten) 
Dreiecks  a /*,$,.   Es  sei 

tg«0i«i  —  ™ 

Lässt  mau  so  den  Punkt  die  Gerade  a1e1  durchwandern  und 
Bucht  dazu  die  Punktreihe  der  c,  so  erhält  mau  eine  Curve  4.  Ord- 
nung, deren  Schnitt  mit  dem  bereits  bestimmten  Kreise  den  ge- 
suchten Punkt  a  liefert,  wodurch  dann  auch  das  zur  angenommenen 
Strecke  bc  gehörige  Prisma  bestimmt  ist. 


Construction.  Fig.  5. 

Ueber  der  beliebig  angenommenen  Strecke  bici  zeichnet  man 
ein  Dreieck  blclai  mit  den  vorgeschriebenen  Winkeln  aßy,  zieht  die 
Höhe  zu  bx  r,  und  hat  den  Punkt  ev 


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Saifner.   Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  »chneiden. 


355 


Dann  verschafft  man  sich  einen  Normalschnitt  des"  gegebenen 
Prismas  nnd  findet  mit  Hilfe  der  Proportion 

<hfh  I  «1*1 

den  Punkt  /",  und 

in 

tg^i«,  =  M 

Zur  Verbindungslinie  a,  fx  (wo  «,  ein  beliebiger  Punkt  auf  der 
Projection  ist)  zieht  man  hierauf  durch  <*,  die  Paralleler,^ 
und  durch  a,  die  Senkrechte,  so  erscheint  </,  als  Schnittpunkt.  Con- 
struirt  man 

aai  :  o,<7,  —  m  :  n 

so  ist  das  hichcr  gehörigo  «  bestimmt.  Ebenso  erhält  man  die 
Übrigen  Punkte  der  Reihe. 


Discussion.   Fig.  6. 

Punkt  e  ist  für  »»  =  n  Rückkehrpunkt;  denn  es  fällt  a  mit  g 
und  e  zusammen,  also  ist 

agt  -  0 

und  damit  auch  die  Ordinate  zwei  (y).  Ist  ™  von  1  verschieden,  so 
erhält  man  ähnliche  Curven. 

Von  e  aus  wächst  die  Ordinate  zwei  (y)  gleichzeitig  mit  algl 
auf  beiden  Seiten  von  bc.  Da  aber  die  Länge  gxl  stets  =  <-,/",  ist, 
der  Winkel  f  aber  immer  grösser  wird,  so  wächst  auch  .  wie  die 
Betrachtung  des  rechtwinkligen  Dreiecks  «,</,/  ergibt,  fortwährend, 
bis  die  Katbete 

ai0i  "fi^x 

geworden,  was  für  den  unendlich  entfernten  Punkt  der  Senkrechten 
e,  a,  zutrifft. 

Auf  der  Seite  rechts  von  /j  ct  bekommt  man  einen  eben  solchen 
Curventeil.  Der  negative  Tafelraum  weist  die  gleichen  Curventeile 
auf  wie  der  positive. 

Man  erhält  stets  2  Schnittpunkte  mit  dem  Halbkreis ,  denen  2 
congruente  Prismen  entsprechen. 

Punkt  /,  liegt  (wie  in  II.)  entweder  zwischen  Bt  und  C\,  auf  Bx 
oder  C',,  oder  ausserhalb  derselben,  je  nachdem  die  Flächenwinkel 
an  B  und  C  des  vorgegebenen  Prismas  beide  spitz,  einer  ein  rechter 

23* 


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356  Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  schneiden. 

oder  Stampfer  Winkel  ist.  Als  besonderer  Fall  ist  das  Zusammen- 
fallen des  Punktes  fx  mit  ex  zu  erwähnen,  da  sich  dann  die  Curve 
4.  Ordnung  auf  eine  Gerade  reducirt. 

Zur  Berechnung. 

Bezeichnet  man  mit  Bezug  auf  den  Coordinatenmittelpunkt  «, 
die  Strecke 

axex  -  x,  axa  —  y,  fxex  -  c,  axgx  -  »r,         «  r,  fxcx  =  p 
so  finden  sich  die  Gleichungen 

=  **  +  c* 

l  p  mm  XXV 

y  :  w  =  n» :  n 

woraus  man 
erhält. 

Nimmt  man  hiezu  die  Gleichung  des  Kreises 
**  +  yf       r*    (WO  r  =  ae) 

so  erscheint 
also 

Für  den  erwähnten  besonderen  Fall  ist  c  —  0,  also  wird  aus 
der  Gleichung  der  Curve  4.  Ordnung 

ny  —  Hh  pm 

d.  i.  eine  Gerade  A  parallel  zur  Ebene  HC  oberhalb  und  unterhalb 
derselben. 

Für  x  erhält  man 

*  =  ±  j/r1  -  ™,  P1 

Für  ein  vorgelegtes  ähnliches  Prisma  sind  lediglich  Parallel- 
linien zu  ziehen,  um  auch  hiefür  den  verlaugten  Schnitt  zu  erhalten. 


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Salfner:  Drei  Gerade  nach  einem  Dreieck  zu  achneiden. 


857 


IV.   Fig.  7. 

Nunmehr  unterliegt  es  keiner  Schwierigkeit,  drei  zu  einander 
windschiefe  Gerade  im  Ranme  nach  einem  Dreieck  mit  vorgeschrie- 
benen Winkeln  zu  schneiden. 

Sind  B  und  C  zwei  windschiefe  Gerade  und  a  ein  Punkt  der 
dritten  (A\  so  legt  man  durch  a  und  B  eine  Ebene,  welche  die  C 
im  Punkte  d  schneidet,  D  ist  die  Spur  eins  dieser  Ebene  und  in- 
folge der  Tafelannahme  parallel  zu  B.  Durch  Verbindung  der  Punkte 
a  und  d  erhält  man  den  Schnittpunkt  e  auf  B. 

Ist  nun  abc  das  Schnittdreieck  für  «,  C  und  /> .  welches  die 
vorgeschriebenen  Winkel  «,  0,  y  hat,  so  kann  man  weiter,  weil 

auch  die  Winkel  des  Dreiecks  aA'c  bestimmen,  nach  denen  Dreikant 

rf,c,  f/,a,  und  d^J/  geschnitten  wird. 

Man  verschafft  sich  also  zunächst  das  Dreikant,  bestimmt  die 
Winkel,  nach  denen  dasselbe  zu  schneiden  ist,  und  teilt  ",/,,'  nach 
dem  Verhältniss  aleJ:a1dv  Für  i  die  vorgegebenen  Stücke  a, 
C  und  B  ist  daun  durch  Ziehen  von  Parallelen  die  Lösung  zu  er- 
reichen; dieselbe  ist  auf  II.  zurückgeführt. 


358 


Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkra/t. 


XVIII. 


Die  Bewegung  eines  materiellen  Punktes  unter 
dem  Einflüsse  einer  Centraikraft. 

Von 

Ulrich  Bigler 


Ich  halte  es  nicht  für  überflüssig,  meiner  Arbeit  über  die  Be- 
wcgmig  eines  materiellen  Punktes  uuter  dem  Einflüsse  einer  Ceu 
tralkraft  einige  Bemerkungen  vorauszuschicken.  Der  dem  Aufsatze 
zu  Grunde  gelegte  Gegenstand  gehört  zu  denjenigen  Problemen  der 
Mathematik,  welche  schon  zu  wiederholten  Malen  behandelt  worden 
sind,  und  ich  bin  mir  auch  bewusst,  dass  selbst  ganz  tüchtige  Mathe- 
matiker deuselben  zum  Objecte  ihres  Nachdenkens  gewählt  haben. 
Aber  trotz  dem  sind  die  Studien  über  diesen  Gegenstand  noch  zu 
keinem  Abschlüsse  gelangt,  sondern  die  grosse  Mannigfaltigkeit  in 
der  Aunahme  der  Kraftwirkung  lassen  ihn  als  unerschöpflich  erschei- 
nen. Als  Ursprung  der  Kraft  wird  hier  eine  Masse  M  angenommen, 
deren  Einwirkung  auf  den  materiellen  Punkt  m  durch  nMmf\r) 
dargestellt  wird,  wo  n  ein  proportionaler  Factor  ist,  und  f\r) 
den  DitTerentialquotienten  einer  Function  darstellt,  die  nur  vom 
Leitstrahle  r,  als  der  Verbindungslinie  der  beiden  Massen,  abhängig 
ist.  Ueber  die  Function  f\r)  werden  nun  verschiedene  Annahmen 
gemacht,  um  daraus  die  resultirenden  Bewegungsarten  abzuleiten- 
Wie  viele  der  hier  behandelten  Fälle  schon  untersucht  worden  sind, 
ist  mir  unbekannt;  ich  weiss  daher  nicht,  wie  viel  Neues  der  Auf- 
satz enthalten  wird.  Doch  glaube  ich  annehmen  zu  dürfen,  dass 
der  Leser  die  TTeberzcuguug  bekommen  wird,  der  Verfasser  habe 


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Biglei tl  Bewegung  eine»  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  359 

dabei  einen  selbständigen  Weg  eingeschlagen,  und  die  befolgte  Me- 
thode dürfte  einiges  Interesse  darbieten.  Ich  empfehle  meinen  Col- 
legen  die  im  nachfolgenden  Aufsatze  enthaltenen  Studien  über  die 
Bewegung  eines  materiellen  Punktes  unter  dem  Einflüsse  einer  Cen- 
tralkraft  einer  wolwollenden  Beurteilung. 

Die  Masse  M  sei  Ursprung  einer  Kraft,  welche  auf  den  materi- 
ellen Punkt  m  nach  einem  bestimmten  Geset/.c  anziehend  oder  ab- 
stossend  wirkt  Die  Kraftwirkuug  geschehe  immer  in  der  Richtung 
des  Lcitstrahles  r,  welcher  die  beiden  Massenmittelpunkte  verbindet. 
Dio  Masse  M  wird  als  unbeweglich  angenommen ,  während  sich  der 
Massenpunkt  m  unter  dem  Einflüsse  der  Kraft  frei  bewegen  kann. 
Die  Kraft  selber  wird  definirt  als  eine  Function  der  Massen  M  und 
m  und  des  Leitstrables  r  und  zwar  sei  sie  den  Massen  direct  pro- 
portionirt,  während  die  Abhängigkeit  von  r  durch  eine  Function 
f\r)  dargestellt  werden  soll.  Es  sei  daher  die  wirkende  Kraft  analy- 
tisch durch  den  Ausdruck 

K  -  nMmf'(r) 

dargestellt,  wo  »»  ein  proportionaler  Factor  und  /'(r)  nur  eine  Func- 
tion von  r  ist,  die  als  Differeutialquotient  einer  Function  f(r)  auf- 
gefasst  wird.  Ich  setze  ferner  fest,  dass  eine  positive  Kraft  ab- 
stossend  auf  den  Punkt  m  wirken  soll,  während  eine  neg.  Kraft 
anziehend  wirkt.  Der  Ausgangspunkt  der  Kraft  K  werde  nun  als 
Ursprung  eines  räumlichen,  rechtwinkligen  Coordinatensystems  mit 
den  Axen  (X,  F,  Z)  gewählt  und  dem  Masseupuukte  m  die  Coordi- 
naten  y,  z)  gegeben.  Wird  nun  die  Kraft  K  in  ihre  Compo- 
uenteu  nach  den  drei  Axen  zerlegt,  und  werden  dieselben  resp.  mit 
Py  Q  und  R  bezeichnet,  60  gelten  bekanntlich  die  Gleichungeu: 

Wenn  nun  der  Leitstrahl  r  mit  den  pos.  Axcurichtungen  resp.  die 
Winkel  «,  0,  y  bildet,  so  ist  auch 

P  ~*  Ä'cos«;    Q  =  K  cos/5 ;    R  =  A'cosy 

und  wenn  in  diesen  Gleichungen  für  die  Kraft  K  und  die  Gosinuse 
die  bekannten  Werte  eingesetzt  werden,  so  hat  man 

p  -  n  Mm/'(l)  .  *  ;    P  —  n  Mmf'(t)  .  *-  i 


R  -.nMmf'(r)  .  * 


360         Wyler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  tiner  Centralkrafi 

Die  Verbindung  dieser  Ausdrücke  mit  deu  obigen  führt  nnn  auf  das 
folgende  System  von  Bewegungsgleichungen: 

i) 

2)  >  L 

3)  p-W.; 

Wird  nun  hier  die  erste  Gleichung  mit  y  multiplicirt  und  die 
zweite  mit  x  uud  subtrahirt,  so  erhält  man  die  Gleichung 

d*x 

*  87«  "  x  v  fl  "  0 

Mittelst  ähnlicher  Operationen  au  System  I.  erhält  man  nebst  dieser 
Gleichung  noch  2  andere,  so  üass  das  System  I.  durch  das  folgende 
System  ersetzt  werden  kann. 

2^       4  ö**  - *  5*  °* 0  >  1  • 

Bh  B*x 

Wenn  wir  die  Ableitung  nach  der  Zeit  von  dem  Ausdruck 

*  Xdt 

untersuchon,  so  findet  man,  dass 

B  /  Bx  By\  ctx  88v 
et'  \*'Bl  ~  xBt)  ~  ydt*  ~xBt* 

und  somit  kann  das  System  I'.  durch  das  Folgende  ersetzt  werden: 

B     /  Bx  By\ 


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B igl er:  Bewegung  eines  Punktes  unter  tiner  Centralkrafl. 


361 


Aus  diesen  Gleichungen  erkennt  man  nun ,  dass  die  Ausdrücke 

(Bx  Bx\ 
,Jct~~X  dt)  etc'  von  der  Zeit  1  unabnän8iß  8ind»  somit  durcn 

Constante  dargestellt  werden  können,  die  mit  J,  B  und  C  bezeichnet 
werden  sollen.  Die  Integration  des  System  I".  ergibt  daher  das 
folgende: 


II. 


1) 

2) 
3) 


Bx 
Bt 

By 


By 
dt 

Bz 


yBt  -xBt  ~  A 


zBi~y  Bt"  B 
Bz  Bx 

■S  — Ii  - 6 


Nun  stellen  aber  bekanntlich  die  Determinanten 


dt 

By 
Bt  ' 


.  x 


,  etc. 


y 


die  Projectioneu  der  doppelteu  Flächcngcsehwindigkeit  auf  die  Coor- 
dinatenebenen  dar.  Wird  diese  mit  F  bezeichnet,  so  wird  dieselbe 
durch  die  Gleichung 

F  -  Yä*+ B*+  C* 

bestimmt.  Da  nun  aber  Ä\  B  und  C  constante  Grössen  und  von 
der  Zeit  uuabhängig  sind,  so  gilt  dasselbe  auch  für  F. 

Wir  erhalten  daher  für  einen  materiellen  Punkt,  dor  sich  unter 
dem  Einflüsse  einer  Centraikraft  frei  im  Räume  bewegen  kann,  fol- 
genden Hauptsatz: 

Bewegt  sich  ein  materieller  Punkt  unter  dem  Eiuflusso  einer 
Ccntralkraft  frei  im  Räume,  so  ist  dessen  Flächengeschwindigkeit 
eine  Constante. 


Wenn  daher  der  Radius  r  in  der  Zeiteinheit  die  Fläche  {  .  F 
durchläuft,  so  ist  die  von  ihm  während  der  Zeit  dt  durchlaufene 
Fläche  \  .  F .  dt  und  somit  stellt  F .  /  den  doppelten  Inhalt  des 
Sectors  dar,  der  von  r  in  der  Zeit  t  durchlaufen  wird.  Der  Anfang 
der  Zeit  ist  so  gewählt,  dass  mit  t  —  0  auch  der  Sector  null  wird. 
Die  Integrationsconstante,  welche  hier  /•' .  t  noch  beigesetzt  worden 
müsste,  ist  daher  als  null  angenommen  worden.  Die  Inhalte  der 
Sectoren  sind  somit  mit  der  Zeit  direct  proportional. 


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362 


Bigler:  Bewegung  eine*  Punktes  unter  einer  Centratkraß. 


Dieser  Satz  gilt  natürlich  auch  von  den  Projectionen  dur  Secto- 
ren ;  auch  diese  sind  mit  der  Zeit  proportional  und  können  durch  At, 
Bt  und  Ct  dargestellt  werden.  Wenn  nun  die  Gleichungen  des  Sy- 
stems II.  der  Reihe  nach  mit  z,  x  uud  y  multiplicirt  uud  addirt 
werden,  so  erhält  man  die  bedeutungsvolle  Gleichung 


Das  ist  nun  die  Gleichung  einer  Ebene,  welche  durch  den  Ursprung 
der  Kraft  gelegt  ist,  und  in  welcher  die  Bewegung  dos  materiellen 
Punktes  erfolgt.   Wir  haben  daher  den  ferneren  Satz: 

Die  Bewegung  eines  materiellen  Punktes,  welcher  unter  dem 
Einflüsse  einer  Centraikraft  steht,  erfolgt  in  einer  Ebene,  welche 
durch  den  Ursprung  der  Kraft  gelegt  ist. 

Da  die  in  dieser  Gleichuug  auftretenden  Coefiicienten  A,  B  und  C 
von  der  Zeit  /  unabhängig  sind,  so  ist  auch  die  Lage  dieser  Ebene 
von  der  Zeit  unabhängig. 

Ist  z.  B.  die  Constante  A  —  0,  so  erfolgt  die  Bewegung  in  einer 
Ebene,  welche  durch  die  r-axe  geht ;  sind  A  —  U  und  5  =  0.  so 
erfolgt  die  Bewegung  in  der  Ebene  y  —  0  und  sind  alle  drei  Con- 
stanten gleich  null,  so  erfolgt  die  Bewegung  iu  einer  Geraden,  da 
ja  in  diesem  Falle  auch  F  —  0  ist.  Der  Einfachheit  wegen  wähle 
man  nun  die  Ebene,  iu  welcher  die  Bewegung  des  materiellen  Punktes 
erfolgt,  als  ry-ebeno  eines  neuen  rechtwinkligen  Coordinatensystems 
und  gebe  dem  Punkte  m  die  Coordinaten  («r,  y).   Hier  kann  nun  die 

dx  dy 

doppelte  Flächengeschwindigkeit  durch  y  ^  —  x    dargestellt  werden, 

die  iu  Zukuuft  mit  A  bezeichnet  seiu  soll,  wobei  aber  zu  bemerken  ist, 
dass  dieses  neue  A  im  allg.  nicht  mit  dem  früher  gebrauchten  A 
identisch  ist.    Es  gilt  daher  die  Gleichung 

1.    ydx  —  xdy  =  Adt 

Wir  suchen  nun  weiter  einen  Ausdruck  für  die  Geschwindigkeit 
v  des  Punktes  m  in  seiner  Bahn.   Bekanntlich  siud  die  Ausdrücke 

dx  dy 

dt'  dt  Komponenten  derselben  nach  den  Axeu,  so  dass  v  durch 
die  Gleichung 


bestimmt  wird,  und  unter  v  selber  die  positive  Quadratwurzel  aus  der 
rechten  Seite  verstanden  ist.  Wird  nuu  diese  Gleichung  nach  /  ab- 
geleitet und  durch  2  dividirt,  so  erhält  mau 


Bx  -f-  Cy+At  -  0 


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Iii gler:  Betoeyvny  «MM  Punkte*  unttr  einer  Centrttlkroft. 


m 


1     bv*       Bx     8*x       By  d*y 

Worden  nun  hier  die  zweiten  Abgeleiteten  aas  System  I.  ersetzt  und 
zugleich  in  Berücksichtigung  gezogen,  dass  aus 

r'  -  + 

durch  einmalige  Abloitung  nach  t  die  Relation 

8r         8z  By 

r  Bi"  *8<  +  *  dt 
folgt,  so  erhält  man  die  Gleichung 

2  *  8/  =  (r)  8/ 
Soll  nun  »■  aus  dieser  Gleichung  als  Function  von  r  dargestellt 
werden  können,  so  muss  das  unbestimmte  Integral  J  f'{r)dr  an- 
gebbar sein.  Wir  nehmen  daher  an,  es  sei  /"(r),  wie  schon  im  An- 
fang gesagt  wurde,  das  vollständige  Differeutial  einer  Function  f{r\ 
so  dasss  mau  setzen  kann 

In  diesem  Falle  ist  nun 

2.       -  lnMf(r)  +  B 

wo  B  die  Integrationseonstante  bezeichnet,  und  unter  0  die  pos. 
Wurzel  zu  verstehet!  ist.  Damit  uun  eine  reelle  Bewegung  des  Punk- 
tes m  statt  linde  ist  absolut  notwendig,  dass  der  Ausdruck  unter 
der  Quadratwurzel  positiv  ausfalle,  und  es  sind  daher  nur  solche 
Werte  von  r  zulässig,  welche  (2n  Mf{r)  -f  B)  pos.  machen.  Für 
eine  gegebene  Function  f(r)  ist  aber  auch  B  so  zu  wählen,  dass 
die  pos.  Beschaffenheit  des  genannten  Ausdruckes  längs  der  Weg- 
curvo  erhalten  bleibt.  Ich  suche  ferner  noch  einen  allgemeinen 
Ausdruck  für  dr.  Der  Leitstrahl  r  bilde  mit  der  pos.  Richtung  der 
a-  axo  den  Winkel  w.    Dann  ist 

x  =  r  cos  w ;  y  —  0  sin  w 

Da  nun  bekanntlich  der  Ausdruck  (ydx—xdy)  den  doppelten  Inhalt 
des  Dreiecks  darstellt ,  das  gebildet  wird  von  dem  Wegclement  de 
und  den  Leitstrahlcn  r  und  r,  nach  den  Punkten  y)  und  (*-|-rfa:, 
y+'ty)  und  dieser  Inhalt  auch  durch  r2dw  dargestellt  werden  kann, 


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3t>4         ßigler:  Bewegung  einen  Punkiex  unter  einer  Cenlralkra/t. 

wenn  die  den  Winkel  zwischen  den  Strahlen  r  und  r,  bezeichnot,  so 
bat  man  die  Beziehung 

ydx  —  xdy  —  Adt  —  r*dtr 

Für  das  Wegelement  <fe,  welches  vom  Massenpunkte  m  während  der 
Zeit  dt  mit  der  Geschwindigkeit  v  durchlaufen  wird,  hat  man  den 
Aasdruck 

(«/,)«  =  (<*r)8 +(>•«/«)* 

Da  nuu  aber  auch 

d»  —  vdt 

ist,  so  gilt  die  Gleichung 

(vdt)*  -(rfr)Ä4-M«o)« 

Wird  nuu  in  dieser  Gleichung  für  v*  der  oben  gefundene  Aus- 
druck substituirt  und  ebenfalls  dtr  mittelst  der  Gleichuug 

r*dic  =  Adt 

ersetzt,  so  erhält  man  für  dr  nach  einigen  Umformungen  den  Wert 
3.   (dr)«  -  ((2M  itfjr(r)  +  /*)  -  <ft> 

wo  unter  </r  die  pos.  Quadratwurzel  aus  der  rechten  Seite  verstanden 
ist.  Dass  die  Annahme  A  —  0  eine  geradlinige  Bewegung  bedingt, 
ist  sofort  klar,  da  in  diesem  Falle  die  Flächengeschwiudigkeit  gleich 
null  ist   Wenn  aber  A  —  0  ist,  so  muss  wegen 

Adt  —  r*dtc    auch    div  —  0 

sein,  da  ja  nicht  überall  r  =  0  sein  kann.   Ist  aber 

dw  =  0 

so  muss  ic  —  Constanto  sein,  also  die  Bahn  eine  gerade  Linie 
Wenn  die  Bahn  des  materiellen  Punktes  ein  Kreis  sein  soll,  so 
muss  längs  der  ganzen  Wegcurve 

dr  ^  0 

also  r  «=  Const.  sein.  Damit  dieses  der  Fall  ist,  muss  die  Bedingung 

erfüllt  sein,  das  heisst,  es  muss 
stattfinden.   Da  nun  aber 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


3G5 


2u  Aff(r)  -f  B  —  v% 
ist,  so  kann  die  Bediugung  für  eine  Kreisbewegung  auch  in  der  Form 

■  A% 

dargestellt  werden;  es  muss  also 

A  —  rv 

sein.  Diese  Bedingung  ist  nun  aber  sofort  klar,  wenn  man  sich  daran 
erinnert,  dass  A  die  Flachengeschwindigkeit  und  e  die  Taugential- 
geschwindigkeit  des  Punktes  m  ist.    In  diesem  Falle  ist  dann  auch 

rdw  —  vdt  ss  - ^  dt 
r 

Aus  der  allgemeinen  Gleichung  3.  ergibt  sich  für  das  Zeitelement 
dt  der  Ausdruck 

3'.      dt  = 


\/(2nMf(r)+B)  -  »- 

Für  eine  Kreisbewegung,  bei  welcher  sowol  der  Zähler  als  auch 
der  Nenner  in  diesem  Ausdrucke  verschwindet,  ist  diese  Formel 
nicht  anwendbar.  Ersetzt  man  hier  das  Zeitelement  dt  durch 
r*  dw 

A     so  erhält  man 
4. 


\/(2nMf(r)+li)  -  £ 


eine  Gleichung  die  für  eine  parallellinige  Bewegung  nicht  mehr  an- 
wendbar  ist,  da  in  diesem  Falle  sowol  d«-,  als  auch  A  gleich  uull 
st.  Die  Formeln  3)  und  4)  zeigen  nun  deutlich,  dass  für  eine 
reelle  Bewegung  nicht  nur  (2a  Mf{r)  -f-  B)  pos.  sein  muss,  sondern 

A* 

auch  2*Mf(r)+B— pp.   Es  muss  daher  beständig  2«  Mf{r)  -f  B 

pos.  und  grösser  als  ^  sein. 

Ich  bin  nun  mit  den  allgemeinen  Betrachtungen  beim  Schlüsse 
angelangt  und  gehe  zu  den  spcciellen  Fällen  über. 


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366  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centrnllraft. 


I.   Die  geradlinige  Beweine  eiues  materiellen  Punktes. 

Bedingung:  A  —  0. 
1)    f(r  -  r;    2nAff{r)  -  nMr 
K=nMmr\    g  «=  nMr 

Bei  dieser  speciellen  Annahme  sind  sowol  die  Kraft  als  auch 
die  Beschleunigung  pos.  ;die  Kraft  übt  daher  eine  abstosseude  Wirkuug 
aus.  Wenn  die  Constante  n  noch  durch  «,»  ersetzt  wird,  so  erhält 
man  für  die  Geschwindigkeit  v  den  Ausdruck 

v  -  VMnt*r*+B 

Setzt  man  nun  fest,  dass  in  r-o  die  Geschwindigkeit  null  sei, 
so  wird  die  Constante  B  durch  die  Gleichuug 

0==  \Mnx*a*  +  ~B 
bestimmt,  woraus  folgt,  dass 

B=-n*a*M 

sein  muss.   Es  ist  daher 

v  —  n  .  YÄf .  Yr*  -  a* 

und  mau  erkennt,  dass  eine  reelle  Bewegung  nur  für  r  >  a  statt 
hat.   Wird  hier 

r  -  a  +  f 

gesetzt,  wo  p  neben  der  endlichen  Strecke  a  verschwindend  klein 
sein  soll,  so  kanu  die  Geschwindigkeit  in  diesem  Punkte  annähernd 
durch 

e  =  «,  Y2aM  .  Yq 

dargestellt  werden.  Dieselbe  ist  daher  annähernd  mit  der  Quadrat- 
wurzel aus  dem  Wege  proportional,  nur  einer  hat  die  Proportion 

'  *   V  =  9  '  9i 

Ist  aber  r  sehr  gross,  so  dass  neben  r  die  Grösse  a  vernachlässigt 
werden  kann,  so  ist  in  tiefster  Näherung 

„     n  Y  m  .  r 

In  grosser  Ferne  ist  daher  die  Geschwindigkeit  mit  der  Strecke 
r  direct  proportionirt  und  wird  auf  die  gleiche  Art  unendlich,  wie 
der  zurückgelegte  Weg. 


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ttigler:  Buoegunq  eine*  Punkte»  unter  einer  Centr aücrafi.  $67 

Der  Punkt  P  soll  die  Strecke  a  nach  aussen  begrenzen.  Man 
trage  nun  vom  Punkte  P  aus  auf  dem  Leitstrahle  die  Strecke  A  nach 
aussen  ab  und  untersuche  die  Geschwindigkeit  auf  dem  Wege  h. 
Wenn  nun  die  Wege  a  und  h  noch  so  beschaffen  sind,  dass  der 

Quotient  -  verschwindend  klein  ist,  so  dass  höhere  Potenzen  der- 


selben vernachlässigt  werden  können,  so  lässt  sich  v  annähernd  durch 
die  Gleichung 

p  -  »j  .  V2aAf .  ^ 

darstellen.  Auf  der  Strecke  h  gilt  daher  für  die  Geschwindigkeit 
annähernd  die  Proportion 

,*  ■  t^t  =  Q  :  9t 

Die  Quadrate  der  Geschwindigkeiten  verhalten  sich  wie  die 
durchlaufenen  Wege. 

Das  Zeitelement  dt,  welches  der  materielle  Punkt  m  braucht, 
um  das  Wegelement  dr  zurückzulegen,  wird  nach  Gleichung  (3')  durch 

V 

bestimmt,  eine  Relation,  die  für  eine  geradlinige  Bewegung  sofort 
einleuchtet.    Setzt  mau  nun  in 

rtlt  =  dr 

für  s  den  oben  gefundenen  Wert  ein,  so  folgt 

dr 

Um  diese  Gleichung  zu  integriren  setze  man 

a 


dann  ist 


und  somit 


=  sina 

r 


acOS«  J 
sin*  ^ 


da  .  a 

dt  —  7=  . —  =  —      d  .  tg  ö 

n,  y  M '  sin  «   L 

a 


«i  V  j# .  tg  £ 


daher  ist 


Nun  ist  aber 


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3G8  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

a         sina  a 


2  "  l+cos«  r_^_y,.t_a* 

somit 


Soll  nun  für  r  =  a  auch  «  =  0  sein),  so  muss  C  =  0  angenom- 
men werden,  und  man  erhält  schliesslich  für  die  Zeit  den  Wert 

'-^y*/-10*! — «  ~  ) 

wenn  dieselbe  von  dem  Momente  an  gerechnet  wird,  wo  der  materi- 
elle Punkt  m  seine  Bewegung  beginnt.  Um  die  Zeit  in  der  Nähe 
des  Ausgangspunktes  der  Bewegung  zu  beurteilen,  setze  man 

r  =  a  +  q 

und  nehme  ?  sehr  klein  an.  Weil  unter  dieser  Voraussetzung 
r_J_yr»-a*  l/2o 

— 1 — —  —  annähernd  durch  1  -f-  \  a   dargestellt  werden  kann, 

also  log  ^a"""1*)  durcb  V~a*  80  lä8St  8ich  die  Zeit  iD 
einem  solchen  Punkte  annähernd  durch 


2 


darstellen.  Dieselbe  ist  somit  mit  der  Quadratwurzel  aus  der  kleinen 
Wegstrecke  q  proportional;  hier  gilt  daher  die  Proportion 

Ist  r  sehr  gross,  so  dass  o  neben  r  vernachlässigt  werden  kann, 

r  _[_  yr*  —  a*  2r 
so  ist        — —      annähernd  gleich       und  man  erkennt,  dass  die 
a  a 

Zeit  unendlich  wird  wie  log  r.   Man  untersuche  ferner  die  Zeit  auf 

der  früher  definirton  Wegstrecke  h  und  setze 

r  —  a  +  Q 

wo  der  Quotient  *  für  das  Interwall  0  <  q  <  h  als  verschwindend 

a 

r  _j_  yr*  —  fl* 

klein  betrachtet  werden  kann,   Weil  in  diesem  Falle  

a 

rr  _j_  yr*  _j_  a*\        ,  l/2p 


durch  l+y%  also  los  +  °*)  dorcb  \/' 


ersetzt  wer- 

a 


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B  i giert  Bewegung  eine*  Punkte»  unter  einer  Centraikraft.  369 

den  kann,  so  kann  auf  der  angegebenen  Strecke  A  die  Zeit  annähernd 

durch   

I  /  2aM 

dargestellt  werden.  Dieselbe  ist  daher  mit  der  Quadratwurzel  aus 
dem  durchlaufenen  Wege  proportional. 

2)   f'{r)  r 

K  nMmr-    g  nAfr;    2nMf{r)  =  -  nA/r* 

Da  in  diesem  Falle  der  analytische  Ausdruck  der  Kraft  neg.  ist, 
so  wirkt  dieselbe  anziehend  auf  die  Masse  m  ein.  Ersetzt  man  wie 
früher  die  Constante  n  durch  »,*  und  nimmt  die  Geschwindigkeit  in 
r  =  a  wieder  als  uull  an,  so  erhält  man  für  v  den  Ausdruck 

Diese  Gleichung  offenbart  sofort,  dass  nur  auf  dem  Wege  r  <  a 
eine  reelle  Bewegung  statttindet.  Die  Geschwindigkeit  im  Anfange 
des  Weges  ist  null  und  der  Massenpunkt  kommt  mit  der  Geschwindig- 
keit n,  Vm  .  a  im  Ursprünge  der  Kraft  an.  Die  Endgeschwindig- 
keiten verhalten  sich  daher  wie  die  durchlaufenen  Wege.    Ist  ferner 

r 

a  sehr  gross  und  r  so  beschoffen,  dass  -  verschwindend  klein  ist,  so 

kann  die  Geschwindigkeit  v  für  solche  Punkte  der  Bahn  durch 

w,  Va/.  a  dargestellt  werden,  ist  daher  auf  der  betreffenden  Weg- 
strecke annähernd  constant.  Wenn  daher  der  Massenpunkt  m  aus 
dem  Unendlichen,  wo  seine  Geschwindigkeit  als  null  aufgefasst  wird, 
durch  die  oben  definirte  anziehende  Kraft  in  das  endliche  Gebiet 
gelangt,  so  kann  hier  die  Geschwindigkeit  als  constant  aufgefasst 
werdeu,  welche  auf  dieselbe  Weise  unendlich  wird,  wie  der  durch- 
laufene Weg-  Vom  Punkte  P  aus,  welcher  die  Wegstrecke  a  nach 
aussen  begrenzt,  werde  nach  innen  die  Strecke  h  abgetragen  und  es 
soll  die  Geschwindigkeit  v  auf  diesem  Wegstücke  untersucht  werden. 
Man  setze  daher 

wo  der  Quotient  für  das  Intervall  0  <  rt  <  h  verschwindend  klein 
ist.   Setzt  man  dann  noch  r,  +r  —  Ä,  so  ist  in  tiefster  Näherung 

und  daher 

v  -  n,  Y^RM .  V  r 

Irch.  d.  Math   n.  Phj..    2.  R»  ihe.  T.  XVI.  24 


370         Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

Auf  dem  Wegstücke  h  gilt  daher  annähernd  die  Proportion 

Um  einen  allgemein  gültigen  Ausdruck  für  die  Zeit  t  zu  er 
halten,  setze  mau  wieder 

vdt  =  dr 

und  führe  in  diese  Gleichung  für  0  den  oben  gefundenen  Wert  ein, 
dann  hat  man 

Um  diese  Gleichung  integriren  zu  können,  setze  man 
?•  =  «sin«,    also    dr  —  acosada 
Durch  diese  Substitution  geht  nun  der  obige  Ausdruck  iu  den  andern 

da 

dt  =  

n,  VA/ 

über,  so  dass 

1  V  -f-  C 

gesetzt  werden  kann. 

In  r  =  a  ist  a  —  g .  Wird  nun  der  Anfangspunkt  der  Zeit  so 
gewählt,  dass  mit 

ü  —  0   auch   *  —  0 

ist,  so  muss  die  Constante  C  den  Wert  tJ-  ~-  haben.  Weil  nun 
auch 

« «=  aresin  - 

a 

ist,  so  hat  man  schliesslich,  wonn  noch  die  Zeit  pos.  aufgefasst  wird, 
für  r  den  Wert 


—  — (n  —  2  arc  sin 
2n,  V3/\  «/ 


Die  ganze  Zeit  7',  welche  der  Massenpunkt  braucht,  um  den  Weg 
a  zurückzulegen,  ist  daher  von  a  unabhängig,  also  eine  ConsUnte. 

7t 

die  durch  yiTyl}  darßestellt  wird-    Somit  erreichen  verschiedeoe 

Massenpunkte,  die  in  verschiedenen  Entfernungen  zu  gleicher  Zeit 
ihre  Bewegungen  nach  dem  Kraftmittelpuukte  begiuuen,  in  deraselbeö 


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Ii  ig l er:  Bewegung  eines  Punkte»  unter  einer  Centraikraft.  3?1 

I 

Momente  den  Ursprung  der  Kraft.   Ist  o  unendlich  gross,  so  ist  für 

1         /  "2r\ 

alle  endliche  r  die  Zeit  t  annähernd  gleich  s  7=.  (  n  1.  Iq 

unmittelbarer  Nähe  des  Ausgangspunktes  der  Bewegung,  wo 

r  —  a  —  l 

und  q  sehr  klein  ist  und  2arcsin^  annähernd  durch       —  äj/^-J 

dargestellt  werden  kann,  ist  die  Zeit  t  mit  der  Quadratwurzel  aus 
der  Wegstrecke  proportionirt,  das  heisst,  es  ist  in  tiefster  Näherung 


Um  nun  auch  hier  die  Zeit  t  auf  der  früher  bezeichneten  Weg- 
strecke h  untersuchen  zu  können,  setze  man  wieder 

Wenn  nun  uoch 

r,  4-  r  —  Ä 

t 

gesetzt  und  angenommen  wird,  dass  der  Quotient  R  im  ganzen  Inter- 
valle 0  <  r  <  A  verschwindend  klein  sei,  so  gelten  uäherungsweise 
die  Gleichung 

smo  -  1  -  R  -f  etc. ;    cos  a  —  y  J{  -f  etc. ; 


2a  -  „_2[/^r  +  etc. 

und  daher  kann  t  auf  der  Strecke  h  in  tiefster  Näherung  durch 

 L_  i/2r 

dargestellt  werdeu.  Weil  in  diesem  Falle  die  Beschleunigung  g  an- 
nähernd durch  «i'JUR  und  die  Geschwindigkeit  durch  n,  V2ÄÄ/Vr 
dargestellt  werdeu  kann,  so  ergeben  sich  aus  der  Gleichung  für  die 
Zeit  t  auch  die  nachfolgenden  Näherungswerte 

nJMR  g  v 

r-^V-.i«;     1     2  t  =  2  < 

Um  die  Arbeit  über  die  geradlinige  Bewegung  nicht  übermässig 
auszudehnen,  behandle  ich  bloss  noch  den  Fall,  wo  die  gegebenen 
Massen  nach  dem  Newtou'schen  Gesetze  anziehend  auf  eiuander 


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372  Bigler:  Bewegung  tines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


■ 


wirken,  und  setze  f'{r)  =  —  \.    Man  könnte  selbstredend  für  /  '(r) 

r 

noch  andere  Functionen  von  r  wählen  und  namentlich  auch  solche, 
wo  höhere  Potenzen  von  r  vorkommen.  Da  aber  die  Bestimmung 
der  dabei  auftretenden  Integrale  mehr  als  elementare  Hülfsmittel  er- 
fordert, so  sehe  ich  hier  von  diesen  Fällen  ab  und  gehe  über  zur 
Behandlung  von 

3)   f'(r)  =  -  l 


nMm  nM     n  x  2nM 

K=-  g  =  -  r-2  ;     2nMf(r)  -  — 

Weun  auch  hier  die  im  allgemeinen  Ausdrucke  für  die  Ge- 
schwindigkeit v  auftretende  Constaute  Ii  so  bestimmt  wird,  dass  im 
Puukte  r=a  die  Bewegung  beginnt,  also  dort  v  =  0  annimmt,  so  ist 

und  wir  haben  nur  auf  der  Wegstrecke,  wo  r  <  a  ist,  eine  reelle 
Bewegung.  Wenn  der  Massenpunkt  im  Unendlichen  seine  Bewegung 
nach  dem  Kraftmittelpunkt  beginnt,  so  kann  die  Geschwindigkeit  im 

endlichen  Gebiete  annähernd  durch  y  ^n  \iy  _  dargestellt  werden, 

wo  r  jcweilen  seine  Entfernung  vom  Ursprünge  angibt  Somit  ist 
bei  dieser  Aunahmc;  der  Kraftwirkung  das  Product  vtr  annähernd 
constant.  uud  es  gilt  die  Proportion 

Untersuchen  wir  auch  hier  die  Geschwindigkeit  v  auf  der  Strecke  * 
uud  macheu  dabei  die  gleiche  Voraussetzung  wie  früher,  so  ist  an- 
nähernd 

r  —  ]£+ri  -  R  ~         etc.;      -  =  fl-p;  »  ^  -  Ri  +  etc. 


also 


1       1       Ä  —  r, 

 =    m    +  etc. 

r      a        Ii*  1 


Somit  kann  v  auf  der  Strecke  h  in  tiefster  Näherung  durch 

f  ===     »  Vi 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punkte»  unter  einer  Ctntralkraft.  37.'] 

dargestellt  werden.  Dieselbe  ist  somit  mit  der  Quadratwurzel  aus 
der  durchlaufenen  Wegstrecke  proportional.  Wird  diese  Gleichung 
nach  r  aufgelöst  und  beachtet,  dass  annähernd  der  absolute  Wert 

von  der  Beschleunigung  durch  "Rt  dargestellt  werden  kann,  so  fiudet 

Zur  Bestimmung  der  Zeit  dient  in  diesem  Falle  die  Gleichuug 

Yrdr 


dt  - 


Um  dieselbe  integriren  zu  köuuon,  setze  man 

r  —  asinaa 
tlr  —  2asinoC08«rfa» 


also 
dann  ist 


Weil  ferner 


dt  =   y^a  -  .  2sin2ad« 


2sin8o=  1  — cos  2a 
ist,  so  erhält  mau  für  die  Zeit  /  den  allgemeinen  Ausdruck 

1  ~  v^,.(«-i8in2a)  +  C 

y  2m  m 

Die  Zeit  t  soll  nun  von  dem  Momente  an  gezählt  werden,  wo 
der  Massenpunkt  seine  Bewegung  beginut,  also  im  Punkte  P.  Für 
denselben  ist  aber 

■-i 

und  die  Constaute  C  muss  somit  den  Wert  ~  haben.  Ferner  ist 

2Y2uM 


und 


«  —  aresin  j/-r 


a 

demnach  ist  der  pos.  Wert  von  t  gleich  dem  Ausdrucke 


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374  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centratkraft. 

Die  Zeit,  welche  der  Massenpunkt  m  braucht,  am  die  Strecke  a 
zu  durchlaufen,  wird  gefunden,  indem  in  der  obigen  Gleichung  r  0 
gesetzt  wird.  Wird  dieselbe,  wie  früher,  mit  T  bezeichnet,  so  er- 
hält man  dafür  den  Wert 

a  ya  .  1t 
~  2V2»  M 

Für  verschiedene  Wegeslängen  a  gilt  daher  die  Proportion 

Die  Quadrate  der  Gesamtzeiten  verhalten  sich  daher  wie  die 
Kuben  der  durchlaufenen  Wege.  Ist  a  sehr  gross  und  stellt  r  eine 
endliche  Zahl  dar,  so  kann  die  Zeit  t  in  tiefster  Näherung  durch 

a  Va  .  n  3 
dargestellt  werden,  wird  daher  unendlich  von  der  Form  «\ 

2V2nM 

Zum  Schlüsse  will  ich  noch  die  Zeit  auf  der  Strecke  h  untersuchen. 
x 

Der  Quotient  ^  sei  längs  des  Intervalls  0  <  r  <  h  verschwindend 
klein.   Weil  in  diesem  Falle       ^1  —  Q  und  a  annähernd  durch 

dargestellt  werden  können,  so  kann  auf  der  Strecke  h  die  Zeit  in 
tiefster  Näherung  durch 

dargestellt  werden.   Hier  gilt  daher  die  Proportion 

t%  :  *,*  —  r  :  xx 

das  heisst:  die  Quadrate  der  Zeiten  verhalten  sich  wie  die  durch- 
laufenen Wege. 


II.    Die  kreisförmige  Bewegung  eines  materiellen  Punktes. 

Die  Bedingung  für  eine  kreisförmige  Bewegung  ist 

das  heisst,  der  Leitstrahl  r  muss  von  der  Zeit  unabhängig  sein.  Da- 
mit nun  aber  längs  des  ganzen  Weges 


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Bigler:  Bewegung  eine»  Punktes  unter  einer  Centralkrajt.  375 

dr  -  0 

ist,  muss  offenbar 

2nMf(r)+B-f*=zO 

sein,  wobei  aber  angenommen  wird,  dass  A  von  null  verschieden  sei, 
weil  sonst  keine  reelle  Bewegung  vorhanden  wäre.    Weil  nun  aber 

2nMf{r)  +  B  - 

ist,  so  lässt  sich  die  obige  Bedingung  durch  die  andere 

A  «=*  rv 

wiedergeben,  was  für  eine  Kreisbewegung  sofort  einleuchtet,  da  ja 
A  die  doppelte  Flächengeschwindigkeit  darstellt.    Aus  der  Bedingung 

dr  =  0 

folgt  aus  den  früher  angegebenen  Formeln,  dass  auch 

ds  —  rdic  =  vdt 

sein  muss.   Bei  der  Kreisbewegung  ist  daher  einerseits 
und  andererseits 

A 

v  =>  — 
r 

und  da 


ist,  so  muss  auch  überall  ^  =s  0,  somit  v  —  Constante  sein.  Der 

Massenpunkt  M  durchläuft  daher  unter  dem  EinHusse  einer  Centrai- 
kraft mit  constanter  Geschwindigkeit  die  Kreisbahn  und  eine  Be- 
schleunigung tiudet  nur  in  der  Richtung  der  Normalen  statt,  welche 
ihrem  absoluten  Werte  nach  durch 

9  -  nMf'(r) 

dargestellt  werden  kann.  Wir  suchen  nuu  zuerst  nach  einem  andern 
Ausdrucke  für  die  Beschleunigung  g.  Die  beiden  Punkte  P  und  />, 
mögen  das  Curvenelement  da  abgrenzen;  iu  beiden  ist  die  Ge- 
schwindigkeit v  dieselbe  und  unterscheidet  sich  nur  durch  ihre  Rich- 
tungen. Wird  nun  dieser  Richtungsunterschied  mit  dw  bezeichnet, 
so  ist 

vtlic  =  gdt 

Nun  ist  aber  bekanntlich  auch 


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376         Bigler:  Beieegung  eine«  Punktes  unter  einer  Centralkra/t. 

rdw  —  d*  —  vdt 

somit 

dw  ,       die  v 

r^-ts  also  ge- 
setzt man  diesen  Wert  in  die  Gleichung 


ein,  so  erhält  man  für  die  Normalbeschleunigang  g  schliesslich  den 
Ausdruck 


Nun  sollen  bestimmte  Annahmen  über  die  Kraftwirkung  ge- 
macht werden. 

1)   f(r)  =  -r 
K  —  —  nMmr;    g  =  —  ri  Mr\    2r»  Mf(r)  —  —  n  Afr* 
Die  Geschwindigkeit  v  wird  mittelst  der  Gleichung 

v*  = 

gefunden,  wo  unter  #  der  absolute  Wert  der  Beschleunigung  ver- 
standen ist.    Setzt  man  hier  für  g  obigen  Wert  ein,  so  folgt 

v  —  r.  V  tTÄ?,     also    V-  =  Vn  M 

Für  verschiedene  Massenpunktc  m,  welche  unter  dem  Einflüsse  der- 
selben Masse  M  in  verschiedenen  Abständen  r  den  Kraftursprung 

umkreisen,  ist  daher  der  Quotient  -  eine  Constante ;  daher  gilt  hier 

die  Geschwindigkeiten  verhalten  sich  wie  die  Radien  der  Kreisbahnen. 

Zur  Bestimmung  der  Flächengeschwiudigkeit  A  wende  man  die 
Formel 

A  —  rv 

an  und  setze  für  t>  den  oben  gefundenen  Wert  ein  ;  dann  findet  man 

A  =  r*YnM\       *  -  VnM 

Somit  ist  auch  A  für  alle  materiellen  Punkte  der  verschiedenen  Bah- 
uen  eine  Constante  und  es  gilt  daher  die  Proportion 

A  :  Ax  —  r*  :  rt2 


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Bigler:  Bewegung  einen  Punktes  unter  einer  Centratkraft. 


377 


Die  Fläehengeschwindigkciten  vorhalten  sich  wie  die  Quadrate 
der  Radien. 

Wenn  der  Leitstrahl  r  mit  der  pos.  Richtung  der  *-axe  den 
Winkel  w  bildet,  so  ist 

rdto  mm  vdt 

also 

die  =  VnMdl 

Die  Integration  dieser  Gleichung  ergibt  sofort 

w  —  VnM  .  t 

wenn  die  Zeit  von  dem  Momente  an  gerechnet  wird,  wo  der  mate- 
rielle Punkt  »*  die  x-axe  passirt 

Die  Radien  der  verschiedenen  Hahnen  durchlaufen  daher  in 
gleichen  Zeiträumen  gleiche  Winkel.  Wenn  die  Umlaufszeit  mit  T 
bezeichnet  wird,  so  findet  man  für  dieselbe  deu  Wert 

7  -  /" 

Da  dieser  Ausdruck  vom  Radius  der  Bahn  unabhängig  ist,  so  durch- 
laufen die  verschiedenen  Massenpunkte  in  gleichen  Zeiten  ihre  Bah- 
nen. Dass  für  eiuo  solche  Kraftwirkung  nur  pos.  Werte  von  der  im 
Ausdrucke  für  0  auftretenden  Coustanten  B  in  Betracht  kommen 
können,  ergibt  sich  schon  ans  der  Gleichung 

»■  -  B  -  nMr* 

Ist  einmal  ein  pos.  Wert  von  B  gewählt,  so  gibt  die  Gleichung 

nMr*  =  B-nMr* 
den  Wert  von  r.   Nach  derselben  ist 

1/  B 

und  es  gilt  daher  die  Proportion 

r*  :  r*  -  B  :  Bs 

Setzt  man  diesen  Wert  von  r  in  den  Ausdruck  B—nMr*  ein, 
so  geht  dieser  in  -  über,  ist  daher  pos.,  sobald  B  pos.  ist.  Die 
Constante  B  darf  daher  alle  positiven  Werte  durchlaufen. 


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378  Bigler:  Bewegung  eine*  Punkte*  unter  einer  Centralkraft. 

2)  Ar)=-r' 

Ersetzt  man  das  frühere  n  durch  2|L,  so  hat  man  hier 

K  jnj'J/mr»;     g  \%£ltl*\     2nMf(r)  =  -  n*Mr* 

Nach  der  bekannten  Formel 

erhält  man  für  die  Geschwindigkeit  r  den  Wert 

*-iMH»r»,     also  ,-^r.|^p 

Dividirt  man  daher  »*  durch  r5,  so  ergibt  sich,  dass  dieser  Quotient 
für  alle  materiellen  Punkte,  welche  iu  conceutrischeu  Bahnen  den 
Kraftursprung  umkreisen,  constant  ist,  dass  somit  für  dieses  Be- 
wegungssystem die  Proportion 

tv1 :  v .*  =»  rs  :  r,3 

gilt. 

Die  Quadrate  der  Geschwindigkeiten  verhalten  sich  daher  wie 
dio  Kuben  der  Radien. 

Um  einen  Ausdruck  für  die  Flächengeschwiudigkeit  A  zu  er- 
halten, setze  mau  wieder  A  rv  und  führe  für  v  den  oben  erhalte- 
nen Wert  ein.   Dann  erhalt  man 


A*  -  g  A  =  Wlr»  .  [/  ~ 

Der  Ausdruck  für  .1*  zeigt  uuu  sofort,  dass  der  Quotient  ^ 

für  ein  solches  Bewegungssystem  materieller  Punkte  eine  Constantc 
ist,  und  dass  daher  dio  Proportion 

A*  :  At*  -  rib 

stattfindet. 

Die  Quadrate  der  Flächengeschwindigkeiten  verhalten  sich  wie 
die  fünften  Potenzen  der  Entfernungen. 


Auch  hier  ist 


tltc  =  tlt 
r 


und  wenn  man  für  den  obigen  Wert  einsetzt,  so  erhält  man  für 
die  Winkelgeschwindigkeit  ^  den  Wert 


i 


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ßtgler:  Bewegung  eines  J^nktes  unter  einer  Centralkrafi.  379 

    • 

dw  1  /3n  Mr 

Dieselbe  ist  somit  der  Quadratwurzel  aus  der  Entfernung  proportional. 
Für  den  Centriwinkel  w  erhält  man  hieraus 


ir 


Derselbe  ist  daher  für  dasselbe  Massenteilchen  der  Zeit  proportional, 
nur  für  verschiedene  Massenpunkte,  deren  Bahnen  concentrische 
Kreise  sind,  gilt  für  gleiche  Zeiten  die  Proportion 

Für  die  Umlaufszeit  T  erhält  man  aus  der  Gleichung  für  ic  den 
Wert 

Tss 


tMr 


2 

Aus  dieser  Gleichung  folgt,  dass  rT*  eine  Constaute  ist  und 
8n* 

zwar  gleich  ^  a^..  Daher  gilt  für  ein  solches  Bewegungssystem 
die  Proportion 

2*  :  2iÄ  —  r, :  r 

Bewegen  sich  daher  verschiedene  Massenpunkte  in  concentrischen 
Kreisen  unter  dem  Einflüsse  einer  Centraikraft,  welche  im  direkten, 
quadratischen  Verhältniss  der  Entfernung  wirkt,  so  verhalten  sich  die 
Quadrate  der  Umlaufszeiten,  wie  umgekehrt  die  Radien  ihrer  Bahnen. 

Weil  hier 

ist,  so  können  für  eine  reelle  Bewegung  nur  pos.  Werte  von  D  in 
Betracht  kommen.    Weil  ferner 

A*     3  VA/r3 
so  erhält  man  zur  Bestimmung  von  r  die  Gleichung 

also 

s 


1  /  2B 

r  ~  V  bn^M 


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380  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Ctntralkroft. 

Zwischen  den  B  und  den  zugehörigen  Radien  gilt  daher  die 
Proportion 

r3  :  r, 3  =  B  i  Bj 


S)   f'(r)  =  —  r1 

Man  ersetze  n  durch  2»,4;  dann  gelten  die  Gleichungen 

K  2n*  Mm  r3 ;    g  —  —  2*/  3/r3  j     2nMf(r)  =s  —  «,<  JV/r* 

Die  Tangentialgeschwindigkeit  ?  wird  durch  die  Gleichung  »*  =»  r$ 
bestimmt.    Nach  derselben  ist 

v*  =  2n,4  J/r4;       t;  -  »,*!■*  V23/ 

und  -j  ist  für  das  ganze  Bewegungssystem  eine  Coustantc,  daher 
gilt  die  Proportion 

v  :  t>,  «=»  r*  :  r,* 

Die  Tangentialgcschwiudigkeiten  verhalten  sich  wie  die  Quadrate 
der  iladien. 
Ferner  ist 

A  =  rv  -  n1tr»V23/ 

und  somit  ist  auch  die  Fläcbeugesehwiudigkcit  dividirt  durch  den 
Kubus  der  Eutfernung  eine  Conslante,  die  durch  nl 3  V  23/  dargestellt 
worden  kann.   Es  gilt  daher  die  Proportion 

A*.At  =r3:r,a 

Die  Flächengeschwiudigkeiten  der  Massenpunkte  verhalten  sich 
wie  die  Kuben  der  Entfernungen. 

Um  die  Umlaufszeit  T  zu  erhalten,  setze  man  wieder 

dw     v  A 

dt       r  r* 

v  A 

und  führe  hier  für  -  oder  -2  den  oben  gefundenen  Wert  ein.  Dann 
erhält  man  als  Ausdruck  für  die  Winkelgeschwindigkeit 

£  =  n,»r  V2A, 

Dieselbe  ist  von  der  Zeit  unabhängig,  also  für  dieselbe  Bahu  con- 
stant,  variirt  aber  von  Massenteilchen  zu  Massenteilchen  und  zwar 
nimmt  dieselbe  nach  aussen  in  Verhältniss  der  Radien  zu. 


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B  igt  er:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft  381 

Wird  die  Winkelgeschwindigkeit  mit  o  bezeichnet,  so  gilt  daher 
die  Proportion 

a  :  o,  =  r  :  r, 

Ferner  ist  hier  der  Centriwinkel  w  gleich  dem  Ausdrucke 

somit  für  dasselbe  Massenteilchen  mit  der  Zeit  proportional.  Setzt 
man  nun  in  diesem  Ausdrucke  für  10  den  Wert  2jt,  so  erhalten  wir 
zur  Bestimmung  von  T  die  Gleichung 

T   2«  

und  es  gilt  hier  die  Proportion 

Die  Umlaufszeiten  der  Massenpunkte  verhalten  sich  umgekehrt 
wie  die  Radien. 

Da  die  Flächengeschwindigkeit  ^  für  dieselbe  Bahu  eine  Con- 

stante  ist,  so  lässt  sich  die  Umlaufszeit  auch  finden,  indem  man  den 
doppelten  Inhalt  des  Kreises  durch  A  dividirt,  also  durch  die  Gleichung 

2r*w 

Setzt  man  hier  für  A  den  gefundenen  Wert  ein,  so  erhält  man  für 
T  den  obigen  Ausdruck  wieder.  Dio  Gleichung  zur  Bestimmung  von 
r  lautet  hier : 

2*4* ITH  -  B  —  ntAMr* 

und  somit  ist 


3«/ 

daher  die  Proportion 

r*  ;  rj«  _  B  :Bt 
Wird  z.  B.  für  B  der  Wert  SM  gesetzt,  so  ist  r  —  -  ,  und  somit 
Ä' =  —  2n,  JVfm ;       g  -  -  2»,  M,  V-V^ 


rHV2>f 


4)  /'(r)  —  —  r^i,  wo  p  eine  ganze  Zahl  sein  soll 

Wird  in  diesem  allgemeinen  Falle  der  proportionale  Factor  n 
«4-1 

durch  r -~  —  .  V  +  1  ersetzt,  so  fiudet  man 


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382  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralhaft. 

K  .  »,>+«  Jfmr«;     g  =  -  ^t-1  .       « A/r" ; 

2»  Mf(r)  -  —  V  +1  r"  +1  Af 

uud  daher  ist  die  Geschwindigkeit  0  gleich  dem  Ausdrucke 

ju+l  .... 

r  —  «i    r  •  y  -y  m 


Somit  ist  der  Quotient  fQr  alle  materiellen  Punkte,  welche 

unter  der  oben  angegebenen  Kraftwirkuug  steheu,  eiue  Constante, 
und  daher  gilt  hier  die  Proposition 

„1 :  r,i  mm  rM+l  :rl^+1 

Ist  daher  (h-M)  eine  uugerade  Zahl,  also  (i  eine  gerade,  so 
verhalten  sich  die  Quadrate  der  Geschwindigkeiten  wie  die  ganz- 
zahligen Potenzen  der  Radien.  Ist  aber  (fi-f-l)  eine  gerade  Zahl, 
somit  u  eine  ungerade,  so  verhalten  sich  die  Geschwindigkeiten  wie 
ganzzahligen  Potenzen  der  Radien. 


Zur  Bestimmung  der  Flächengeschwindigkeit  A  benutze  man 
wieder  die  Gleichung  A  =  r»  und  setze  für  v  den  obigen  Wert  ein. 
Man  erhält  so 


und  daher  ist  auch  —^+3  fur  das  8anze  Bewegungssystera  eine  Con- 
staute,  so  dass  hier  die  Proportion 

gilt  Ist  daher  +  eine  ungerade  Zahl,  also  p  eine  gerade,  so 
verhalten  sich  die  Quadrate  der  Flächengeschwindigkeiten  wie  die 
ganzzahligen  Potenzen  der  Radieu.   Ist  aber  eine  gerade 

Zahl,  also  fi  eine  ungerade,  so  verhalten  sich  die  Flächengeschwindig- 
keiten wie  die  ganzzahligen  Potenzen  der  Radien. 


Ferner  ist  die  Winkelgeschwindigkeit  a  gleich  dem  Ausdrucke 


a  —  n,      r  2 


und  für  dieselbe  gilt  die  Proportion 


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Bigler:  Bewegung  eine»  Punkten  unter  einer  Centraikraft. 


383 


,8  • 


Die  Winkelgeschwindigkeit  ist  nur  für  den  Fall  p  -  1  für  das 
ganze  System  eine  Constaute;  im  allgemeinen  verhalten  sich  die 
Quadrate  derselbeu  wie  die  ganzzahligen  Poteuzen  der  Radien.  Wird 
die  Gleichung  für  die  Winkelgeschwindigkeit  iutegrirt  und  soll  mit 
t  —  0  auch  der  Centriwinkel  null  werden,  so  erhält  man 


pH 

I  1 

% 

und  hieraus  ergibt  sich  als  Wert  für  die  Umlaufszeit  T 

2n 


Wird  nun  auf  beiden  Seiten  mit  r  *  multiplicirt,  so  erkennt 
man,  dass  das  Product  T  *  ru_1  für  alle  Kreisbahnen  eine  Constante 
ist,  und  dass  daher  die  Proportion 

gilt 

Ist  1)  eine  ungerade  Zahl,  also  p  eine  gerade,  so  verhalten 
sich  die  Quadrate  der  Umlaufszoiten  wie  umgekehrt  die  ungerad- 
zahligen Poteuzen  der  Radien.  Ist  aber  (p —  1)  eine  gerade  Zahl, 
und  daher  p  eine  ungerade,  so  verhalten  sich  die  Umlaufszeiten  um- 
gekehrt wie  die  ganzzahligen  Potenzen  der  Radien. 

Zur  Bestimmung  der  Radien  r  aus  der  anziehenden  Masse  M 
und  der  Constanten  B  dient  die  Gleichung 

£  =  2nMf(r)  +  B 

Setzt  man  hier  für  A  und  f(r)  die  bekannten  Werte  ein,  so  folgt 

also 

p+1 


2B 


Auch  hier  darf  die  Constante  B  alle  pos.  Werte  durchlaufen  und 
der  Zusammenhang  zwischen  ihr  und  den  Radien  der  Bahnen  wird 
durch  die  Proportion 

r,«+i  .  r(U+i  „  B.B% 

ausgedrückt. 


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384  Bigltr:  Bewegung  eines  Pankleg  unter  einer  Centraikraft. 


5)   f\r)  =  - 1 

n  M  m  v  M 

A  -  -      , .     \       9  =  ~    r  ;      2» Mf{r)  - -2«  Jflogr 

Weil  in  diesem  Falle  die  Geschwindigkeit  0  durch 

v  =  y'nJr 

dargestellt  werden  kann  und  somit  vom  Radius  der  Bahn  unabhängig 
ist,  so  bewegen  sich  alle  Massenpunkte  mit  derselben  Geschwindig- 
keit in  ihren  Bahnen. 

Die  Flächengeschwindigkeit  ist  hier 

A  -  r  V nM 

und  mit  dem  Radius  der  Bahn  direct  proportionirt,  also 

A  :  At  =  r  :  r, 

Für  die  Winkelgeschwindigkeit  ^  =  «  erhalteu  wir  deu  Wert 

a  =  

r 

Dieselbe  ist  daher  mit  dem  Radius  r  umgekehrt  proportionirt,  nimmt 
somit  im  Bewegungssysteme  nach  aussen  im  gleichen  Verhältniss  ab, 
wie  die  Radien  der  Bahnen  zunehmen. 

a  :  o,  =  r,  :  r 

Wird  die  Gleichung  für  die  Winkelgeschwindigkeit  integrirt,  so  folgt 

w  xs   • 

r 

und  somit  ist  hier 

T 

Der  Quotient  ist  daher  für  dieses  System  eine  Constante  und 
man  hat  die  Proportion 

T :  T,  -~  r  :  rk 

Die  Umlaufszeiten  verhalten  sich  wie  die  Radien  der  Bahnen. 
Um  aus  Ii  und  der  Masse  den  Radius  zu  finden,  beachte  man,  dass 


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Bigler:    Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft  385 

A* 

v*  =  —  2«  3/log  r+B  —  r,  —  n3/ 

ist.   Ans  dieser  Gleichung  folgt  nun,  dass 

B—nM        Ii  1 
l0gr  -    2n3/    "  2n31  2 

also 

rÄBe(s*-a)  i8t 


6) 

n3im  «3/  2n  3/ 

A  ^~  i      ff  -  —  r*  i       2nMfKr)  —  — 

Bei  dieser  Kraftwirkung,  die  nach  dem  Newton'schen  Gesetze 
erfolgt,  ist 

nM 
v*~gr  -  - 

uud  man  erkennt  sofort,  dass  hier  das  Product  aus  dem  Quadrate 
der  Geschwindigkeit  uud  dem  Radius  der  Bahn  eine  eonstanto  Grösse 
darstellt  und  gleich  nM  ist.  Zwischen  der  Geschwindigkeit  uud  dem 
Radius  r  existirt  daher  die  Proportion 

Die  Quadrate  der  Geschwindigkeiten  verhalten  sich  umgekehrt 
wie  dio  Radien  der  Bahnen. 

Die  Flächengeschwindigkeit  A  ist  auch  hier  gleich  rv,  also 

A=VnMr 

A% 

und  somit  ist  der  Quotient  -  für  das  ganze  Beweguugssystcm  eine 
Constante;  mithin  gilt  die  Proportion 

AiiA1*=r:r1 

Die  Quadrate  der  Flächongeschwindigkeiten  vcrhalteu  sich  wie 
die  Entfernungen. 

Ferner  ist 

v  ,  YnM 
dw  =    tlt  =  - — -  dt 


r 


..  y  r 


also 

Arcta.  d.  Math,  u.  Phj«  2..  R.ihe,  T.  XVI.  2S 


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386         Biglen  Bewegung  einet  Punktes  unter  einer  Centralkraß. 

tr  —  - — —  .  t 
rYr 

und  für  gleiche  Zeitabschnitte  gilt  die  Proportion 

Die  Quadrate  der  Centriwiukel  verhalten  sich  umgekehrt  wie 
die  Kuben  der  Entfernungen. 

Die  Umlaufszeit  T  wird  durch  die  Gleichung 

2m  Yr 


T  = 


YnM 


bestimmt.  Aus  derselben  erkennt  man,  dass  für  alle  Massenpunkte 
des  Systems  der  Quotient    ,  eine  Constante  ist  und  zwar  gleich 

ii  Xr   Daher  die  Proportion 

Die  Quadrate  der  Umlaufszeiten  verhalten  sich  wie  die  Kuben 
der  Radien. 

Wir  haben  oben  die  Geschwindigkeit  v  durch  Ygr  ausgedrückt. 
Nach  der  bekannten  Formel  ist  aber  auch 

,>=2nM+B 
r  1 

und  man  könnte  meinen,  dass  für  eine  reelle  Bewegung  sowol  pos. 
wie  neg.  Werte  von  B  zulässig  wären.   Da  nun  aber 

+  B  = 
r     1  r 

sein  muss,  so  ist 

nM 
r-~  B 

Da  aber  für  einen  solchen  Wert  von  r  bei  positivem  B  der  Aas- 
druck (*^~-  +IM  neg.  würde,  was  unzulässig  ist,  so  können  nur 

neg.  Werte  von  B  in  Betracht  kommen,  und  da  das  Prodnct  r .  B  für 
das  ganze  System  eine  Constante  ist,  so  gilt  die  Proportion 

r:r1  =  Bl:B 


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Bipler:  Bevxyuny  eine»  Punktet  unter  einer  Centraikraft.  387 


7)  = 

nMm  nM         _    .,  .  nM 

K  g  -  -  ~  ;        2«  Mf{r)  ~  ^ 

In  diesem  Falle  ist 

nM      ,    .  VrTTvf 

y»  =         also   »  —  - ■  - 

r*  r 

uud  das  Prodnct  vr  daher  eine  Coustante,  die  durch  YnM  dargestellt 
wird.   Bei  dieser  Art  der  Bewegung  gilt  daher  die  Proportion 

0  :  r,  =  r,  :  r 

Die  Geschwindigkeiten  verhalten  sich  umgekehrt  wie  die  Radion. 

Die  Flächengeschwindigkeit  A  ist  hier  eine  Constante  und  gleich 

YnM  und  daher  durchlaufen  die  Radien  der  verschiedenen  Bahnen 
in  gleichen  Zeiten  gleiche  Flächenräume.    Ferner  ist 

** = : .« = v"f « 

und  die  Winkelgeschwindigkeiten  verhalten  sich  umgekehrt  wie  die 
Quadrate  der  Radien,  das  heisst,  es  gilt  die  Proportion 

cc ;  c,  =  rt*  :  r8 

Für  die  Centriwinkel  erhalten  wir  durch  Integration  obiger 
Gleichung  den  Ausdruck 

ir  =    -  A~    •  * 
r* 

Dieselben  sind  somit  der  Zeit  direet  und  dem  Quadrat  der  Radien 
umgekehrt  proportional.  Setzt  man  in  der  letzten  Gleichung  für  w 
den  Wert  2»,  so  erhält  man  für  die  Umlaufszeit  T  den  Wert 

2r*n 
~  YnM 
aus  welchem  sich  die  Proportion 

T :  Tx  -  r8:  r,8 

ergibt. 

Die  Umlaufszeiten  verhalten  sich  wie  die  Quadrate  der  Radien 

8)  fW--i 

Hier  soll  (i  eine  pos.,  ganze  Zahl  sein,  welche  ich  mir  grösser 
als  3  denke,  da  die  Fälle  p  —  1,  2,  3  special  behandelt  worden 
sind.    Man  hat 

25» 


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388 


Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  tentralkra/t. 


nMm  nM  2  nM 

i      0--^     2nMf(r)  =  —  .  — , 

Weil     =  gr  ist,  80  folgt 

VnM 
r  2 

Es  ist  daher  das  Product  u.r  2  eine  Constanto  und  zwar  gleich 
der  Quadratwurzel  aus  nM.  Für  dieses  Bewegungssystem  gilt  daher 
die  Proportion 

Ist  nun  —  1)  eine  ungerade  Zahl,  also  p  eine  gerade,  so  ver- 
halten sich  die  Quadrate  der  Geschwindigkeiten  wie  umgekehrt  die 
uugeradzahligen  Potenzen  der  Radien.  Ist  abor  (fi  —  1)  eine  gerade 
Zahl,  somit  p  oine  ungerade,  so  verhalten  sich  die  Geschwindigkeiten 
umgekehrt  wie  die  ganzzahligen  Potenzen  der  Radien. 

Die  Flächeugeschwindigkeit  A  ist  hier 

.  VnM 

r- 

und  demnach  ist  Ä*rv-*  für  das  ganze  Bewegungssystem  eine  Con- 
stanto und  gleich  nM.  Wenn  nun  f  u — 3)  eine  ungerade  Zahl  ist,  somit 
ft  eine  gerade,  so  verhalten  sich  dio  Quadrate  der  Flächengeschwindig- 
keiten umgekehrt  wie  die  ungeradzahligen  Potenzen  der  Radien.  Ist 
aber  (^—3)  eine  gerade  Zahl,  also  fi  eine  ungorade,  so  verhalten  sich 
die  Flächengeschwindigkeiten  umgekehrt  wie  die  ganzzahligen  Po- 
tenzen der  Radien. 

Ferner  ist 

v 

dm  =  -  dt 
r 

und  aus  dieser  Gleichung  folgt  sofort 

Li 
r  2 

und  daher  ist 

^  _  2n.  r  2 
VnM 

und  folglich  gilt  die  Proportion 


!0=  -i,   .  t 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkrafh  389 


Ist  e»,e  ungerade  Zahl,  also  n  eine  gerade,  so  verhalten 

sich  die  Quadrate  der  Umlaufszeiten  wie  die  ungcradzahligen  Po- 
tenzen der  Radien.  Ist  aber  (i  eiue  ungerade  Zahl,  so  verhalten 
sich  die  Umlaufszeiten  wie  die  ganzzahligen  Potenzen  der  Radien. 

Um  schliesslich  einen  allgemeinen  Ausdruck  für  r  zu  erhalten, 
setze  man 


~  V  (i-l  *  B 

ist.   Das  Product  ist  für  das  ganze  Bewegungssystem  eine 

Coustante,  und  man  hat  hier  die  Proportion 

r«-i .  ri/i-i  _  Bj.  B 

Der  für  r  gefundene  Ausdruck  gilt  für  p  —  1  nicht  mehr.  Für 
—  2  würde  der  Ausdruck  unter  dem  Wurzelzeichen  negativ;  da 
aber  r"-1  pos.  verstanden  wird,  so  sind  in  diesem  Falle  nur  nog.  B 
anwendbar.  Für  p.  —  3  wird  die  rechte  Seite  null,  und  erst  für 
p  >  3  erhält  mau  für  r  einen  pos.  Ausdruck,  sobald  auch  B  pos.  ist. 
Damit  überhaupt  eine  reelle  Bewegung  statt  finde,  muss  bekanntlich 
der  Ausdruck  (2nA//*(r)-f-Ä)  einen  pos.  Wert  haben;  es  sind  daher 
keine  Werte  von  r  zulässig,  welche  denselben  neg.  machen  würden. 

Setzen  wir  daher  in  (^~~t  ■        +  BJ  den  oben  für  rf-i  er- 

2 

haltcnen  Wert  ein,  so  geht  derselbo  in  den  andern  -— g  .  B  über, 

und  mau  erkennt  auch  hieraus,  dass  für  >  3  nur  pos.  Werte  von 
B  zulässig  sind. 

In  den  bekannten  Bewegungsgleichungen  des  allgemeinen  Teiles 
meines  Aufsatzes  spielte  die  Constante  A,  welche  die  doppelte  Flächen- 
geschwindigkeit darstellt,  eine  Hauptrolle.  Ihrer  Natur  nach  ist  die- 
selbe eine  reelle,  pos.  Zahl  und  kann  jeden  beliebigen  Wert  auf  der 
pos.  Hälfte  der  Realitätslinie,  null  nicht  ausgeschlossen,  darstellen. 
Dass  der  Fall  4  =  0  längs  des  ganzen  Weges  die  geradlinige  Be- 


Aus  dieser  Gleichung  ergibt  sich  nun,  dass 


nM 


B .  rM-1  =  £  ?  .  nM 


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390  Bigler:  Bewegung  eines  Punktet  unter  einer  Centraikraft. 

wegung  zur  Falle  hat,  ist  im  ersten  Abschuitte  speciell  gezeigt  wor- 
deu.  Was  dr  anbetrifft,  so  kann  dieses  Differential  sowol  pos.  wie 
neg.  sein  und  die  Bedingung,  dass  fortwährend  dr  =  0  sein  soll, 
bringt  die  kreisförmige  Bewegung  hervor.  Da  nuu  in  den  nachfol- 
genden Untersuchungen  die  Bedingungen,  dass  sowol  A  wie  dr  längs 
des  ganzen  Weges  verschwinden  sollen,  fallen  gelassen  werden,  so 
habe  ich  diesen  Fällen  einen  allgemeineren  Charakter  zugeschrieben 
und  sie  unter  dem  Titel  „Allgemeine  Fälle  der  Centralbeweguug" 
zu8ammengefa8st. 


III.    Allgemeine  Fille  der  Centraibewegung. 

1)    Die  wirkende  Kraft  sei  der  Entfernung  der  Massen 

direct  proportional. 

a)    ff-—  nmMr-      f(r)=-r;      f(r)  =  -  i  .  r« 

g  =  —  n  Mr 

Setzt  man  abkürzend  nM  und  versteht  unter  u  die  pos. 

Wurzel  aus  nM,  so  lässt  sich  die  Geschwindigkeit  v  des  Massen- 
punktes m  in  einem  beliebigen  Punkte  der  Bahn  durch  die  Gleichung 

darstellen,  wo  B  die  Integration  sc«  in  staute  bezeichnet.  Damit  nun 
v  für  pos.  Werte  von  r  reell  ausfalle,  ist  absolutes  Erforderniss,  das« 
B  einen  pos.  Wert  habe.  Ist  dieser  einmal  gewählt,  so  ist  der  Leit- 
strahl r  an  die  Bedingung 

fi*r»  <  B 

gebunden,  und  es  muss  somit  (B  —  ptr*)  längs  des  ganzen  Weges 
einen  pos.  Wert  haben.  B  =  0  anzunehmen  ist  unstatthaft.  Nach 
der  im  allg.  Teile  meiner  Arbeit  aufgestellten  Formel  für  den 

Differentialquotienten  ^  erhält  man  hier 

%  =  l-  V-,v+ä^ü 

und  die  Realität  der  Bewegung  erfordert,  dass  der  Ausdruck  unter 
dem  Wurzelzeichen  längs  des  ganzen  Weges  pos.  bleibt  Allerdings 
sind  auch  solche  Werte  von  r  zulässig,  welche  denselben  zu  null 
machen,  und  in  diesen  Puukten  erreicht  r  ein  Maximum  oder  ein 
Minimum.    Im  allgemeinen  aber  muss  r  die  Bedingung 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft 


391 


—  p«r«  + 2fr*-  /1*>  0 
erfüllen.   Wenn  die  Wurzeln  der  Gleichung 

mit  a*  und     bezeichnet  worden,  so  rauss  die  Bedingung 

p>(a*— iJXiJ— *>)  >  0 
erfüllt  sein,  d.  h.  es  muss 

&  <  r*  <  a* 

statt  tiuden.  Die  beiden  Wurzeln  as  uud  6*  müssen  für  eine  reelle 
Bewegung  reell  sein.  Denn  wären  sie  imaginär,  so  müssten  sie 
conjugirt  sein;  daun  aber  wäre  (rs  —  «*)  (*•*  —  b*)  beständig  pos.  uud 
es  Hessen  sich  keine  reellen,  positiven  Werte  von  r  finden,  welche 
/**(«*-  r2)(rs  —  b*)  pos.  machen  würden.  Die  Realität  der  Bewegung 
erfordert  daher  auch  die  Realität  der  beiden  Wurzeln  aa  und  62. 
Nun  ist 

und  da  y  1  reell  ist,  so  muss  B*  >  4f**vla  sein,  also 

2  >  Für  den  Fall  B%  =  4fi*A*  würden  die  beiden  Wurzeln 
«*  und  b*  zusammenfallen  und  der  Ausdruck  für  ^wäro  in  diesem  Falle 

dt  ~  l  ■  V-(^r*-:V"7rH-,l»)  -  +  l  V-ip^-A)* 

was  aber  eine  reelle  Bewegung  ausschliesst.  Die  Annahme  B  =  2p A 
ist  daher  unstatthaft.  Für  dio  beiden  Wurzeln  o*  und  b2  gelten  die 
Gleichungen 

uud  da  i4  und  B  pos.  sind,  so  müssen  es  auch  a*  uud  b%  sein.  Ks 
steht  nun  frei,  a*  >  anzunehmen.  Da  nun  r*  allo  zwischen  a% 
und  liegenden  Werte  annehmen  kann,  so  lässt  sich  der  Leitstrahl 
r  auf  folgende  Weise  als  Function  der  neuen  Variabein  q>  darstellen : 

r«  ~  «»eos»V  +  AWg>  -  «»(1  -  <  *siu»<p)  j      **  -  — 


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392  Biyler;   Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkrafl. 

Da  nun  r2  bei  «*  beginut  and  von  hier  au  bis  b*  beständig  ab 
nimmt,  so  beginnt  die  neue  Variable  bei  0  und  wächst  von  hier  an 
bis  2tc.  Weil 

a2  -  r2  =  a*lc*  sin2  <f> ;       r*  —  b%  —  aH-2  COS2  9 

so  ist  auch 

er 

r .  s-j      f»  a2Är2  siu  cp  COS  9 


und  man  erkennt,  dass  g  nur  da  verschwindet,  wo  sing?  und  cos cp 

verschwinden,  also  in  cp  =*  0,  ^ ,  ?r,    ^  ,  2ji  und  in  diesen  Punkten 

erreicht  somit  r  seine  grössten  und  kleinsten  Werte  und  zwar  existirt 
sowol  für  cp  =  0  als  auch  für  cp  =  n  ein  Maximum,  während  in 

7t  3ts 

cp  —  2  und  ^  Minimum  vorhanden  sind.  Wird  nuo  im  ferneren 
die  Gleichung 

r*  -  a2(l— ifc2sin2<p) 
nach  t  abgeleitet,  so  findet  man 

r      —  —  a'Jfc'Slll  <JP  COS  <p  .  ^ 

und  die  Vergleichung  mit  dem  oben  gefundenen  Ausdrucke  ergibt 

dep 

Die  Ableitung  der  Variabein  cp  nach  t  ist  eine  Constaute  und 
daher  cp  selber  eine  lineare  Functiou  der  Zeit    Die  Integration  ergibt 

cp  —  _  pt  +  V 

ersetzt  man  hier  t  durch  —  t  und  nimmt  die  Integrationsconstantc 
gleich  null  an,  so  hat  man 

<p  -  (At 

Es  ist  daher  erlaubt,  den  Winkel  <p  direct  mit  der  Zeit  pro- 
portional anzunehmen. 

Wir  denkcu  uus  ferner  den  Kraftmittelpunkt  als  Ursprung  eines 
rechtwinkligen  Coordinateusystems  gewählt,  dessen  pos.  a>axe  durch 
das  Aphelium  der  Bahn  geht;  ist  ferner  10  die  wahre  Anomalie  des 
Masseupunktes  m  mit  deu  Coordiuaten  (x,  y),  so  hat  man 

x  =  rcosw;       y  =»  rsin  w 

Da   nun  einerseits  die  doppelte    Flächengeschwindigkeit  des 


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Bigler:  Bewegung  ttnes  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  393 

Massenpunktes  gleich  A  ist,  dieselbe  aber  auch  durch  r2  dargestellt 
werden  kann,  so  hat  mau  die  Gleichung 

dw  A 
dt  ~r* 

Die  Winkelgeschwindigkeit  des  Massenpunktes  ist  dem  Quadrate 
des  Radius  umgekehrt  proportional.    Da  nun 

A  —  pab    und    pdt  =  dtp 
ist,  so  hat  man  auch 

dtp  rf(atgy) 

und  man  darf 

w  =*  arctg  Q  tg        und   tg  w  =  *  tg  <p 

anuehmen.  Bezeichnet  nun  d  einen  proportionalen  Factor,  so  gelten 
daher  folgende  Gloichuugen: 

d  .  sin«?  =  Äsin  <jp;       d .  cos  u>  —  a  cos  q? 

Werden  nun  diese  beiden  Gleichungen  quadrirt  und  addirt,  so 
fiudet  man  d  r.  Für  die  rechtwinkligen  Coordinateu  *,  y  des 
Massenpunktes  erhält  man  daher  die  Werte 

x  —  rcos  to  =■  acos  <p 
y  —  r  sin  «r  =  b  sin  <jp 

und  die  Elimination  von  g>  aus  dieser  Gleichung  fahrt  auf  die  Glei- 
chung der  Wegcurvc  in  rechtwinkligen  Coordinaten  in  der  Form 

a*  +  b*  1 

Die  Bahn  des  materiellen  Punktes  ist  daher  eine  Ellipse,  in 
deren  Mittelpunkte  die  anziehende  Kraft  liegt.  Der  Winkel  <p  heisst 
die  excentrische  Anomalie  und  da  dieselbe  mit  der  Zeit  proportional 
ist,  so  durchläuft  der  entsprechende  Kreispunkt  seine  Bahn  mit 
constanter  Geschwindigkeit 

Wenn  die  Umlaufszeit  mit  T  bezeichnet  wird,  10  erhalten  wir 
für  dieselbe  aus  der  Gleichung  <p  =  pt  den  Wert 


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394         Bigler:  Bewegung  eines  Punktet  unter  tiner  Centralkraft. 

T  —  — 

Dicselbo  ist  daher  von  deu  Halbaxen  der  Ellipse,  also  auch  von  den 
Constanteo  A  und  Ii  unabhängig.  Bewegen  sich  daher  verschiedene 
materielle  Punkte  unter  dem  Einflüsse  derselben  Centralkraft  in 
Ellipsen  um  den  Kraftmittelpunkt,  so  ist  die  Umlaufszeit  für  alle 

eine  constante  Grösse,  die  durch         dargestellt  werden  kann. 

Für  dio  doppelte  Flächengeschwindigkeit  A  hatten  wir  oben  den 
Ausdruck 

A  uab 

erhalten.  Da  nun  nah  deu  Inhalt  ./  der  Ellipse  darstellt,  so  ist  für 
das  ganze  Bewegungssystem  der  Quotient  y  eine  constaute  Grösse 

und  gleich  £  und  es  besteht  daher  die  Proportion 

A  :  Ax  —  J :  Jt 

Dio  Flächengeschwindigkeiteu  der  verschiedenen  materiellen 
Punkte  verhalten  sich  daher  wie  die  Inhalte  der  entsprechenden 
Ellipsen.  \ 

Wenn  der  Inhalt  des  Sectors,  der  vom\radius  vector  in  der  Zeit 
dt  durchlaufen  wird,  mit  dS  bezeichnet  wird)v60  ist 


also 


dS  =  £  dt  =  £  ab  dt 


u 


Diesen  Ausdruck  erhält  man  auch  auf  folgende  Weistf:  die  Länge 
des  Weges,  welchen  der  entsprechende  Kreispunkt  in\  der  Zeit« 
durchläuft,  kann  durch 

aq>  =  aut 

ausgedrückt  werden ;   somit  ist  der  Inhalt  des  Kreissectonk  g,eicD 

b  \ 
Wird  dieser  Ausdruck  noch  mit  -  multiplicirt,  so  erhältNPan 

deu  Inhalt  des  entsprechenden  Ellipsensectors  in  der  Form  X 
Dasselbe  Resultat  erhält  man  auch  wie  folgt: 


Bt 


y 

•i  • 

dt 

«COS-r  .  bB\B(p 
—  HaSllMp  .  U  b  COS  T 


—  (iab 


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Btpler:  Bewegung  eines  l\inktes  unter  einer  Centraikraft.  395 


Wird  nun  dieser  Wert  für  A  mit  dt  multiplicirt  und  von  0  bis  t 
integrirt,  so  erhält  man  wieder  den  bekannteu  Ausdruck  für  den 
doppelten  Inhalt  des  Ellipseusectors.  Für  die  Geschwindigkeit  v 
des  materiellen  Punktes  m  in  seiner  Bahn  hattcu  wir  den  Ausdruck 

erhalten.  Um  dieselbe  als  Function  der  Variabein  <p  darzustellen, 
ersetze  man  r*  und  B  durch  die  bekannten  Ausdrücke  a*(l— fc'sin* q>) 
und  /4*(a* -{-$*).   Dann  ist 

v  =>       .  Y(\  —  £*C08*ijp) 

Dieser  Ausdruck  kann  direct  aus  den  rechtwinkligen  Goordiuatcn 
(x,  y)  des  Massenpunktes  abgeleitet  werden.    Bekauutlich  ist 

und  da 

Bx              .        dtp               .  a 
^  =  -  aaiütp  .   tiasmtp  p  -  .y 

By  Bq>  b 

ö-  -  bcostp  .  ^  -  fiÄcosqp  -  f*  ~  •  * 

so  ist 

+  (t)2=a  ^(«'sin^  +  ^cosV)  -  f*1«»1.  (l-ifc'eOS»?) 

also  wieder   

v  =  pa  .  V(l  —  k*  cos* 

Die  Beschleunigung  g  des  Massenteilchens  ist  im  allgemeinen 
gleich  dem  Quotienten  aus  Kraft  und  Masse  und  in  unserem  Falle 
gleich  —  {tsr,  wenn  die  Richtung  mit  in  Berücksichtigung  gezogen 
wird.  Denselben  Wert  von  g  erhält  man  aber  auch  mittelst  der 
allgem.  Formel   

.  -  VW+  & 

Denn  es  ist 

B*x  .  .  * 


8V 

fr 


—  u*b  sin  tp  —  —  fi2r  .  - 


also  wieder 


-  u« 


Zugleich  erkennt  man  aus  dem  Werte  für  die  2.  Abgeleiteten, 
dass  die  Beschleunigung  nach  dem  Centrum  gerichtet  ist.  Zum 


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396         B  igt  er:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Cenlraücrafl. 


Schlüsse  dieses  Abschnittes  will  ich  noch  den  Wiukel  a  bestimmen, 
den  die  Bcwegungsriehtung  mit  der  *-axe  bildet.  Wenn  vx  und  v9 
die  Geschwindigkeiten  nach  den  Axen  sind,  so  hat  man 


also 


und 


also 


dz 

=>  Vx  =  V  COS  « 


dx 

Bt  sinqp 
cos«  -  V(7^-YW^) 


sino  =» 


=»     =»  t>  sin  o 


3y 

&  6  cos  9 


b)    A'-nmMr;        f\r,  -  r;        /(r)  =  j 
g  =  n  M  r 

Da  üio  Kraft  pos.  angenommen  ist,  so  wirkt  sie  abstossend  auf 
den  materiellen  Puukt  m  ein.    Setzt  man  auch  hier  abkürzend 

so  ist  die  Geschwindigkeit  v  durch  die  Formel 

dargestellt.  Während  im  vorhergehenden  Abschnitte  der  Constanten 
B  nur  die  pos.  Hälfte  der  Realitätsliuie  eingeräumt  werden  könnte, 
so  kanu  sich  hier  dieselbe  auf  der  ganzeu  Kealitätslinie  frei  bewe- 
gen, ohne  einem  Punkte  derselben  ausweichen  zu  müssen.  Ist  ein- 
mal ein  bestimmter  Wert  von  B  gewählt,  so  ist  r  längs  des  ganzen 
Weges  an  die  Bedingung 

gebunden.  Ich  behandle  zuerst  den  Fall,  wo  B  eine  ueg.  Zahl  ist, 
und  ersetze  daher  B  durch  — B' .  wo  fortan  B'  pos.  zu  verstehen 
ist.   Lässt  man  in  der  Folge  bei  B'  den  Accent  wieder  fallen,  so  ist 

D«  ==  U*r*  —  B 

und 


S-5-K(--?*-?) 


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Bigler:  Bewegung  einet  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  397 

es  sind  nur  solche  Werte  von  r  zulässig,  welche  den  Ausdruck 

(jiV-fir*-  A*) 

pos.  oder  null  machen.   Werden  die  Wurzeln  der  Gleichung 

B  A* 
r*  jr1  8-  =  0 

mit  o1  und  i*  bezeichnet,  so  hat  man 


und 

Man  erkennt  aus  diesen  Formeln,  dass  die  beiden  Wurzeln  «* 
und  6*  reelle  Werte  haben,  und  dass  die  eine  positiv  ist,  während 
die  andere  neg.  sein  muss.  Ist  a*  die  pos.  Wurzel,  so  ist  auch 
a*  >  mod.  b*.   Ersetzt  man  4»  durch  —      so  hat  man 


und 


r 

Der  Radius  r  ist  nur  an  die  Bedingung 

r»>a* 

gebunden,  kann  somit  von  a  an  alle  pos.  Werte  durchlaufen.  Setzt 
man  nun 

so  ist 

und  daher  auch 

dr 

Wird  nun  auch  die  Gleichung  für  r*  nach  t  abgeleitet,  so  erhält  man 

r|*  =  a***finy.cof<p  ?J 


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398  Bigler:  Bewegung  eine»  Punktes  unter  einer  Centredkraft. 

und  die  Vergleichung  mit  dorn  vorhergehenden  Werte  ergibt 

dtp 
dt 

also 

v  —  M< 

Die  Yariabele  ?  ist  somit  mit  der  Zeit  direct  proportional. 
Wählt  man  nun  wieder  den  Kraftmittelpunkt  als  Ursprung  eines 
rechtwinkligen  Coordinatensystems,  dessen  pos.  Richtung  der  x-axe 
durch  das  Perihel  der  Wegcurveu,  aUo  durch  den  Punkt  r  =  a  geht, 
ist  ferner  w  die  Anomalie  des  Massenteilchens  mit  den  Coordinateu 
(2,  y),  so  hat  man 

r  — rcosw;       y  =  rt\üW 

und 

Cir      A       p  abl 
dt  =  r*  ~  r* 

Die  Ableitung  von  w  nach  t  verschwindet  nur  in  r  —  a,  und 
hier  hat  somit  w  sein  Maximum  erreicht.  Die  Gurve  hat  somit  eine 
Asymptote,  die  durch  den  Ursprung  geht  und  der  Leitstrahl  r  fällt 
für  unendlich  entfernte  Punkte  mit  derselben  zusammen.  Gauz  analog 
wie  früher  erhält  man  auch  hier 


ä 

die 


(*ta„9„) 


+  (*«-)' 
also 

w  =  arefg^  tatlg 

somit 

b 

tg™  —  -  tang  <p 

Für  9  =  oo  ist  auch  r  «=  oc  und  hier  erreicht  w  sein  Maximum- 
Weil  tangy  für  oo  —  ?  den  Wert  1  hat,  so  wird  dieses  Maximum 
durch  die  Gleichung 

b 

bestimmt,  und  dieser  Ausdruck  ist  somit  die  Gleichung  der  Asymptote. 

Für  die  rechtwiukligen  Coordinaten  des  Massenpunktes  erhält 
man  die  Warte 


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Bigler:   Bewegung  eine»  Punkte*  unter  einer  Centraikraft.  39rJ 

x      rCOSw  —  acofqp 
y  =  r  sin  »/*  =  &  [in  q 
und  die  Elimination  ton  (jo  führt  auf  die  Gleichung 

Die  Wegcurve  ist  somit  eine  Hyperbel,  in  deren  Mittelpunkte 
die  wirkende  Kraft  liegt,  und  deren  Halbaxenquadrato  die  Wurzeln 
a%  und  i*  sind. 

Die  Geschwindigkeit  v  des  materiellen  Punktes  wurde  oben  als 
Function  des  Leitstrahles  r  dargestellt.  Hier  soll  dieselbe  noch  als 
Function  von  <p  ausgedrückt  werden.  Ersetzt  man  in  dem  bekannten 
Ausdrucke  für  t»*  die  Constante  B  durch  ^2(«*  —  &*)  und  r*  durch 
«^(1  -f- A-* fin* <jp),  so  erhält  man  nach  einigen  Umformungen  fürt» 
den  Wert 

»  =  pa  VÖ^cSP?^!) 

Zum  Schlüsse  dieses  Abschnittes  will  ich  noch  mit  eiuigen  Wor- 
ten der  beiden  Fälle  erwähnen,  wo  die  Constante  B  eine  pos.  Zahl 
oder  gleich  0  rst.  Ist  z.  B.  die  Constante  B  gleich  null,  so  fallen 
die  beideu  Wurzeln  «*  nnd  b*  zusammen  und  die  Wegcurve  ist  eine 
gleichseitige  Hyperbel,  deren  Halbaxenquadrat  durch  die  Gleichung 

i-  A 

bestimmt  wird.  Die  Geschwindigkeit  kann  durch  fir  dargestellt  wer- 
den und  ist  dem  radius  vector  direct  proportional.  Die  Flächen- 
geschwindigkeit ist  gleich  jia*  und  da  k*  den  Wert  2  hat,  so  ist 

r  -  a  .  V(l+2fin*  <p) 

Ist  die  Constante  B  eine  pos.  Zahl,  so  muss  infolge  der  Glei- 
chung 

(<!»+&»)  B 

der  absolute  Wert  der  neg.  Wurzel  i2  grösser  sein  als  die  pos. 
Wurzel  a*.    Die  Wegcurve  ist  wieder  eine  Hyperbel  von  der  Form 


«-1      9*  , 

a*  b^ 


wo  aber  b%  >  a*. 


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400  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

2)  Die  wirkende  Kraft  sei  dem  Qnadrate  der  Entfernung 
der  Massen  umgekehrt  proportional. 

(Gesetz  v.  Newton.) 

n  m  M  1  1 

a)    K  =  --ri-;      r(r)--pi  /(r)=r 

nM 

Wenn  abkürzend  /t-  nA/  gesetzt  wird,  so  lässt  sich  nach  der 
allgemeinen  Formel  das  Quadrat  der  Geschwindigkeit  des  Massen- 
punktes m  durch  die  Gleichung 

v*  =  ^  +  B 

ausdrücken.  Die  Realität  der  Bewegung  erfordert  die  Unterschei- 
dung folgender  drei  Falle,  wobei  aber  für  B  das  Unendliche  aus- 
zuschliessen  ist 

1)  B>0 

2)  B  —  0 

3)  £<0 

u 

Ersetzt  man  nun  B  durch  —  -,  wo  a  die  neu»  Integrations- 
constante  bezeichnet,  so  ist 

Mit  Ausnahme  von  0  ist  die  ganze  Realitätslinie  für  a  zugänglich 
Wir  unterscheiden  daher  folgende  drei  Hauptfillle 

1)  «>0 

2)  a<0 

3)  a  =  oo 

Zuerst  kommt  nun  der  Fall  zur  Behandlung,  wo  a  gleich  einer 
pos.,  endlichen  Zahl  ist 

1)  «>0. 

Nach  der  Gleichung  für  t>*  ist  klar,  dass  »  nur  dann  reell  aus- 
fallen kann,  wenn  beständig  2a  grösser  als  r  ist,  wenn  also  l&ugs 
des  Weges  die  Bedingung 

r  <  2a 

erfüllt  bleibt.  Um  die  Grenzen  von  r  noch  näher  bestimmen  zu 
können,  beachte  man,  dass 


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Bigler:  Bewegung  eine»  Punkten  unter  einer  Centraikraft.  401 

nur  dann  reell  ausfallen  kann,  wenn  der  Ausdruck  unter  dem  Wurzel- 
zeichen einen  pos.  Wert  hat.    Es  sind  somit  nur  solche  Werte  von  r 

znlässig,  welche  (r*  -  2ar  -f  ~j  neg.  machen.  Wenn  wir  nun  die 
Wurzeln  der  Gleichung 

mit  «  und  ß  bezeichnen,  so  sind  dieselben  für  eine  reelle  Bewegung 
entschieden  reell  aufzufassen.  Denn  wären  sie  imaginär,  so  müssten 
sie  conjogirt  sein;  dann  aber  wäre  das  Product  (r  —  a)(r-  ß)  für 
reelle  r  beständig  pos.  und  es  Hessen  sich  somit  keine  reellen  Werte 

von  r  finden,  welche  (r*  -  2ar  +  neg.  machen  würden.  Aus 
den  Relationen 

aÄ* 

erkennt  man  aber  auch,  dass  beide  Wurzeln  «  und  ß  pos.  sein 
müssen.   Es  steht  nun  frei,  a  >  ß  anzunehmen.   Dann  ist 

und  r  muss  nun  längs  des  ganzen  Weges  die  Bedingung 

ß<r<« 
erfüllen.   Schon  aus  der  Gleichung 

a  +  0  -  2a 

erkennt  man,  dass  für  a  >  a  die  andere  Wurzel  ß  <  a  sein  muss. 
Nur  wenn  a  =~  a  ist,  muss  auch  /S  =•  n  sein.  Iu  diesem  Falle  wäre 
aber 

dt  ~  r  *  |/-^(r-«)» 

für  reelle  r  beständig  imaginär,  somit  die  Bewegung  selbst  imaginär. 
Dieser  Fall  ist  daher  auszuschliossen.   Im  allgemeinen  ist 


Arch.  d.   Math.  n.  Fhy«.   2.  Reihe.  T.  XVI.  26 


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402         Di  gier:  Bewegung  eines  Punkte»  unter  einer  Centraikraft. 

A% 

und  es  muss  daher     <  1  sein.   Auch  der  Fall  A*  «=  au  ist  aus- 

(IfJL  r 

zuschliessen.   Setzt  man  abkürzend 

au 

also 

A*=au 

so  lassen  sich  die  Wurzeln  a  and  ß  auf  folgende  Weise  darstellen: 

a-aflf  h) 
ß~a(l-k) 

Auch  ist  nach  den  festgesetzten  Bedingungen  k  reell  und  pos.  und 
kleiner  als  1.  Der  Leitstrahl  r  muss  daher  zwischen  den  Werten 
a(l—k)  und  a(l-f-*)  Hegen;  es  ist  daher  angezeigt 

r  =  a(l  —  Acos  <p) 

zu  setzen.   Ich  will  aber  diese  Substitution  noch  deutlicher  herleiten. 

er 

Ersetzt  man  in  dem  Ausdrucke  für  ^  die  Constante  Ä1  durch 
fu»  (!  —  **),  so  erhält  man 


r*  h-1    )  beständig  pos.  sein.  Hier 

ak  (a  \ 

kann  man  nun  r  als  Hypotenuse  und  (  -  —  lj  als  Kathete  eines 


rechtwinkligen  Dreiecks  auffassen,  die  den  Winkel  tp  ei 
Dann  ist 

-  —  1  —       .  COS?>,    also    r  =  a(l  — i'COSf») 


r  r 


1  /aU*      /o  \* 
und  y  --  f  -  -  1  )  ist  die  Länge  der  anderen  Kathete,  kann 


ak 

daher  durch  —  sin  q>  ersetzt  werden.    Daher  ist 

r 

dr     ,/ —  fcsin? 

Der  grösste  Wert,  den  r  annehmen  kann ,  wird  für  ?  =  «  in  der 
Form 

erhalten,  während  der  kleinste  Wert  durch 


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Ii  ig l er  :  Bewegung  einen  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  4()3 

r„  -a(l-*)  -  ß 
dargestellt  werden  kann.    Es  ist  daher 

ri  ~T"rn   

und  somit  ist  die  Constante  a  gleich  dem  arithmetischen  Mittel 
aus  der  grössten  und  kleinsten  Entfernung  des  Massenpunktes  m 
von  der  wirkenden  Kraft  und  ist  als  mittlere  Entfernuug  bekannt. 
In  r  =  a  befindet  sich  der  Punkt  m  im  Aphelium  und  in  r  —  ß 
im  Perihelium  seiner  Bahn.   Wir  beabsichtigen  nun,  die  Differen- 

Br 

tialgleichung  für  ^(  zu  integriren.   Nun  ist  wol  r  eine  bekannte 

Function  von  aber  <p  ist  eine  noch  unbekannte  Function  von  t. 
Man  leite  daher  die  Gleichung 

r  =  a([  —  k-  cos  (p) 

nach  t  ab;  dann  ist 

dr  Bg> 

und  somit  muss 

!r  -  V:  ■  i 

sein.  Man  erkennt  aus  dieser  Darstellung  von-^  ,  ^assdieser  Diffe- 
rentialquotient mit  dem  Radius  der  Bahn  umgekehrt  proportional 
ist  und  längs  des  ganzen  Weges  nirgends  verschwinden  kann.  Löst 
man  die  Gleichung  nach  dt  auf,  so  ist 


.  (1  —  lQO$<p)d(p 


und  die  Integration  dieser  Gleichung  ergibt  die  Zeit  in  Function 
der  Variabele  y.    Man  erhält 

t  =>  j/jj  .  (<p- ksmq>) 

Aus  der  Gleichung 

r  =»  a(l  —k  cosqp) 

ist  einleuchtend1,  dass  der  materielle  Punkt  m  seine  Bahn  einmal 
durchlaufen  hat,  wenn  der  Winkel  y  von  0  an  den  Wert  2rr  er- 
reicht hat.  Wird  daher  die  Umlaufszeit  mit  T  bezeichnet,  so  erhält 
man  dafür  aus  der  Darstellung  für  die  Zeit  t  im  allgemeinen  durch 
Substitution  von  <p  =  2 71  den  Wert 

26* 


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404  Bigler:  Beieegvng  eine»  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

T  -  )/*  .  2* 

Dieselbe  ist  daher  von  der  Masse  des  materiellen  Punktes  m  unab- 

T* 

hängig  nnd  der  Quotient  -j-  für  ein  System  beweglicher  Massen- 
punkte ,  die  sich  unter  dem  Einflüsse  derselben  Kraft  bewegen,  eine 
Constante.   Daher  gilt  hier  die  Proportion 

Die  Quadrate  der  Umlaufszeiten  verhalten  sich  wie  die  Kuben  der 
mittleren  Entfernungen. 

Für  die  doppelte  Flachengeschwindigkeit  Ä  hatten  wir  oben 

gefunden   

A  ~  VVa(l  -  Pj 

Wie  nun  der  doppelte  Inhalt  des  Flächenstückes,  welcher  vom  radius 
vector  in  der  kleinen  Zeit  dt   durchlaufen  wird,  mit  dS  bezeichnet, 

so  ist   

rfS-  Ypa(\-k*)  .  dt 

und  daher   

S  -  VMa(i_*»)  .  t 

Die  Inhalte  der  Sectoren,  welche  vom  radius  vector  durchlaufen 
werden,  sind  somit  mit  der  Zeit  direct  proportional.  Ersetzt  man 
noch  t  durch  die  bekannte  Function      so  hat  man  auch 

8  -  a*  Vi  -  X*  .  (<p  -  k  sin  tp) 
und  setzt  man  hier  <p  =  2«,  so  ist 

der  Inhalt  der  von  der  Wegcurve  eingeschlossenen  Fläche. 

Der  Kraftmittelpunkt  werde  als  Ursprung  eines  rechtwinkligen 
Coordinatensystems  gewählt,  dessen  pos.  Richtung  der  x-Axe  durch 
das  Perihel  der  Wegcurve  geht. 

Bezeichnet  w  die  wahre  Anomalie  und  sind  x  und  y  die  Coor- 
dinaten  des  Massenpunktes  m,  so  hat  man 

x  =  r  cos  w ;  y  =  r  sin  10 

und  es  ist  ganz  allgemein 

dt«  A 
et  r* 


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Di  gier:  Bewegung  eines  Punkte«  unter  einer  Centraikraft.  4Q5 

Der  Differentialquotient  der  wahren  Anomalie  nach  der  Zoit  /  ist 
mit  dem  Quadrat  des  Radius  umgekehrt  proportional.  Ersetzt  man 
nun  r.und  dt  durch  die  bekannten  Functionen  in  <p,  und  setzt  ab- 
kürzend 

so  ist 

du 

dir  —  2  .  -  — 5 
I 

also 

und  daher  auch   

Bezeichnet  daher  d  einen  constanten  Factor,  so  hat  man 

rf.sinj  =  VHM  •  Sin  | 

jp  .   m 

<   fi  .  cos  2  =  V  i  —  k  .  cos  2 

werden  nun  diese  Gleichungen  quadrirt,  so  findet  man  den  Wert 
des  proportionalen  Factors  d  in  der  Form 

(i1  =  1  —  k  cos  f 

Es  ist  daher 

,  <P 
sin  ST 

»in^- Vl+fe.  ~  .... 

V 1  —  *  COS  qp 
<P 

Durch  Anwendung  der  Relationen 

ic  w  ic  ro 

8inio  =  2siu  -  .  cos  ^    und   cos  u>  «=  cos*  9  —  siu1^ 

erhält  man  hieraus  für  sin«?  und  cosw  drei  Werte 

/. — n       8in  V  cosqp  —  k 

s,u  .  -  V i-t» .  r_  t_ ,     COS«,  -  J^j^ 

Die  rechtwinkligen  Coordinatcn  (x,  y)  des  Massenpunktes  m  lassen 
sich  daher  auf  folgende  Weise  in  Functionen  von  <p  darstellen: 


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406         BigUr:  Bewegung  ein««  Punktes  unter  einer  Ccntralkraß. 

r  —  r  COS  w  —  ct(cos  <p  —k) 

y  —  r  sin  u>  —  a  .  Vi  —  k*  .  sin  9 

Dio  Elimination  der  Yariabeln  q>  aus  diessen  Gleichungen  führt  nun 
schliesslich  auf  die  Gleichung  der  Wegcurve  in  rechtwinkligen  Coor- 
dinaten.  Man  hat 

Der  materielle  Punkt  bewegt  sich  somit  in  einer  Ellipse,  in  deren 
Brennpunkte  die  anziehende  Kraft  liegt.  Dio  Halbaxeuquadratc 
werden  durch  a*  und  a«(l-**)  ausgedrückt  und  die  numerische 
Excentricität  wird  durch  die  Gleichung 

bestimmt.   Der  Winkel  <jp  bildet  die  excentrische  Anomalie. 

Ich  will  noch  die  Geschwindigkeit  0  durch  die  excentrische 
Anomalie  9  ausdrücken.    Bekanntlich  ist 


-   (;  -  L) 


ersetzt  man  hier  r  durch  a(l  -  fe  cos  g>),  so  erhält  man  nach  einigen 
Umformungen 


,=4 


/jU       1  -f  i:  COS  OJ 
a      1  —  X:  COS  9 


Im  Perihel  ist 


und  im  Aphelium 


und  daher 


»» -  r  a  '  l  +  k 


v,     1  _+ 

r,       1  —  & 


Den  oben  augegebenen  Ausdruck  für  die  Geschwindigkeit  v  in  Func- 
tion von  <p  erhält  man  auch  auf  folgende  Weise: 

Es  ist 


weil 


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Big! er:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


407 


so  ist 


Bx      Bx     Bq>      By      By  Bq> 

Bt  =  8<p'  Bt  '   Bt  =  Bq>  '  Bf 


Aus  den  Werten  für  die  rechtwinkligen  Coordinaten  (x,  y)  ergibt 
sich  aber 


somit 


Bx  .  By  ,  8 

aT=  -  «-  Sin»;    d<p  =  a  Vi-*».  008» 

'     mau  noch  (  ^  J  durch  (   3  .  


wieder 


,  so  erhält  man 


I 


I  \k      1  -f-  Z:  COS  <p 
a  '  1  —  k  cos  tp 


Für  die  Flächen  geschwindigkeit  -<-l  hatten  wir  den  Wert  vVa.(l— k*) 
erhalten.    Nun  ist  aber  auch 


h 
Bt 


Bx 

~  9Ft~ 


By  By 
Bt'  Bt 


somit 


cos  <p  —  k  .  sin  <p 
—  sin  qp  .  cos  <p 
Btp 


^  =  a»  Vi  —  X:*  .  (1  —  *  cos  <p)  .  ^  -  >V«  .  Vi  —  fc* 


und  der  bekannte  Ausdruck  für  die  Flächengeschwindigkeit  kehrt 
wieder. 

Wir  haben  uns  im  Vorhergehenden  die  Aufgabe  gestellt,  die 
Bahn  eines  Massenpanktes  aufzufinden,  der  sich  unter  dem  Einflüsse 
einer  Kraft  frei  bewegen  kann,  welche  im  directen  Verhältniss  der 
Massen  und  im  umgekehrten  Yerhältniss  der  Entfernung  auf  ihn 
einwirkt,  und  haben  als  speciellen  Fall  eine  Ellipse  gefunden,  mit 
der  anziehenden  Kraft  im  Mittelpunkte.  Ich  will  nun  die  Aufgabe 
umkehren  und  sagen:  Die  Bahn  eines  Massenpunktes,  welcher  sich 
unter  dem  Einflüsse  einer  centralen  Kraft  frei  bewegen  kann,  ist 
eine  Ellipse  mit  den  Halbaxen  a  und  b\  die  Bewegung  findet  ferner 


408  Bigler:  Bewegung  eine*  Punktes  unter  einer  Cetitralkraft 

in  der  Weise  statt,  dass  der  radius  vector  in  gleichen  Zeiten  gleiche 
Flächenräume  durchläuft.  Die  Lage  des  Kraftmittelpunktes  und  die 
Art  und  Weise  ihrer  Einwirkung  auf  den  materiellen  Punkt  soll 
gesucht  werden.  Der  Vollständigkeit  wegen  will  ich  die  Lösung 
dieser  Aufgabe  hier  folgen  lassen. 

Der  Brennpunkt  F  der  Ellipse  mit  den  Halbaxen  a  und  b  werden 
als  Ursprung  eines  rechtwinkligen  Coordinatensystems  gewählt,  dessen 
Axen  mit  denen  der  Ellipse  zusammenfallen  sollen.  Bezeichnet  nun 
wie  früher  u>  die  wahre  und  q>  die  excentrische  Anomalie  des  be- 
weglichen Massenpunktes  (<r,  y),  so  ist 

die  numerische  Excentricität,  und  man  hat 

x  —  o(cos  <p  —  k) ;    y  —  b  sin  y 
Ebenso  kann  der  Inhalt  eines  Sectors,  der  vom  radius  vector  in  der 
Zeit  t  durchlaufen  wird,  durch        —  *  sin  <p)   dargestellt  werden. 

Nach  Voraussetzung  ist  derselbe  nun  mit  der  Zeit  proportional. 
Bezeichnet  daher  n  einen  proportionalen  Factor,  so  hat  man 

n  t=-^(9  —  k  sin  <p) 

Für  <p  =  2n  hat  der  Massonpunkt  m  die  Ellipse  einmal  durchlau- 
fen.  Wird  die  ümlaufszeit  mit  T  bezeichnet,  so  hat  man 

also 

ab  2n 
n  -  2  .  y 

Setzt  man  nun  abkürzend 

f*  —  f 

80  i8t 

pt  —  (<p  -  k  sin  <p) 
und  die  Ableitung  (dieser  Gleichung  nach  <p)  von  /  nach  9  ergibt 

d<P   <*_ 

8t  —  i—kcos9 
Da  nun   

r  —       4-  0»  —  a(l  — k  C08  9) 
ist,  so  bat  man  auch 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punkte*  unter  einer  Centralkraß.  409 

B<p  pa 

Bt~~  r 

Die  Winkelgeschwindigkeit  des  entsprechenden  Kreispunktes  ist  so- 
mit mit  dem  radius  vector  umgekehrt  proportional. 

Bezeichnet  anch  wieder  A  die  doppelte  Flächengeschwindigkeit,  so 
kann  dieselbe  aas  den  rechtwinkligen  Coordinaten  nach  der  Formel 

A  =  x  ct-y  ä 

berechnet  werden.  Da  dasselbe  in  der  vorher  gehenden  Aufgabe  ge- 
schehen ist,  so  will  ich  hier  einen  andern  Weg  einschlagen  und 
setze 

cw 

wo  nun  q-  zu  berechnen  ist  Aus 

x  —  r  COS  w  ==•  a(C0S  q>  —  h) 

folgt  einerseits 

Bx  Br  .  Bio  a(cosw-k)  Br  ,  .  Bw 
Bt  =  cos'r  *  Bt -rBlüw  '  Bt  r  '  Bl"bsiU,pBT 

und  andererseits  ist  auch 

Bx  Btp 

_  Br  ,  B<p  _  -  a*p*S">9  .  afi 
Ersetzt  man  nun  hier  ^  und  g-  resp.  durch  und  — » 

60  erhält  man 

et  r* 

Wird  nun  diese  Gleichung  mit  r1  multiplicirt,  so  folgt 

A  SS  «V  .  Vff-^P) 

Die  Geschwindigkeit  wird  nach  der  Formel 


berechnet.   Nun  ist 


Bx  B<p  a%  u  sin  tp 
Tf-  -as.n^.g,   r  — 


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410  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkraß. 

dx  ,  drp  aÄficos? 

and  daher 


\/l-{-k  cos  <p 
-'"Tl-isin* 


Bezeichnet  wieder  $r  die  Beschleunigung,  und  sind  $r*  und  gy  deren 
Componentcn,  so  hat  man 

gx  =  dfl  rr  •   "  -  ~     r,  .COS» 

fti  =  -  Y*    *   r  "     r*      '  8,n"' 

weil  nun 

9  -  VW1  +  <7.v* 
so  erhält  man  für  die  Beschleunigung  den  Wert 

Aus  den  für  «7*  und  gy  erhaltenen  Ausdrücken  erkennt  man,  dass 
die  Beschleunigung  des  Massenpunktes  m  längs  des  ganzen  Weges 
nach  dem  Brennpuukte  gerichtet  ist.  Da  nun  aber  die  Beschleuui 
gung  auch  die  Richtung  der  Kraft  angibt,  so  ist  klar,  dass  der 
Brennpunkt  /*  auch  als  Sitz  der  Kraft  betrachtet  werden  muss.  Der 
absolute  Wert  derselben  ist  daher 

m  (a*  a* 

Bezeichnet  ferner  M  die  Masse  des  anziehenden  Körpers  und  ist  d 
ein  proportioualer  Factor,  so  hat  man  auch 


7* 


und  man  erkennt,  dass  der  Quotient       für  ein  System  beweglicher 

Massenpunkte  eino  constante  Grösse  ist  Daher  gilt  hier  die  Pro- 
portion 

7*  :  Tx*  -  a* :  a33 

2)    a  <  0. 

Da  hier  die  willkürliche  Constante  a  einen  neg.  Wert  hat ,  so 
ersetze  man  a  durch  (  —  «'),  wo  a  pos.  aufzufassen  ist.  Lässt  man 
bei  a'  den  Accent  wieder  fallen,  so  ist 


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Ii  ig  I er:  Bewegung  einet  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  4\\ 

und   

Die  Wurzeln  der  Gleichung 

ri_L2ar-  —    -  0 

seien  wie  früher  mit  a  und  ß  bezeichnet.  Für  dieselben  ergeben 
sich  die  Werto 

O  (j/i+g+O 

Beido  Wurzeln  sind  reell ;  a  ist  pos.  und  ß  nog.  und  zugleich  ist 
mod.  ß  >  «.   Dasselbe  zeigen  auch  die  Relationen 

«  +   2a;   «  .  0  —  —  — 

Man  ersetze  nun  die  neg.  Wurzel  0  durch  (—  ß')\  zugleich  sei 

Lässt  man  bei  |5'  den  Accent  wieder  weg,  so  hat  man 

«««(Ar- 1);    0  -f  1) 

—  ~  i        0  —  a  =  Sa 


Ferner  ist 


4»  -     .  (**  1) 


ar     1  l/ 


-1.  Y^(r-a((r  +  ß) 


und  daher  muss  beständig  r  >  «  sein.  Um  auch  hier  zu  einer  passen- 
den Substitution  für  die  Variable  r  zu  gelangen,  ersetze  man  im 

Ausdrucke  für  ^  die  Constante  A*  durch  f4a(fc2  —  1).   Weil  dann 


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412         Bigler:  Bewegung  eines  Punkte»  unter  einer  Centralkrafl. 

so  ist  es  aogezeigt,  durch  ?*£?L?  zu  ersetzen.    Dana  ist 

und  r-«(*coff  -1) 

dt  --Vf.«.  — 

Da  der  tiefste  Wort  von  r  gleich  a,  oder  gleich  «(iL—  1)  ist,  so  be- 
ginnt die  neue  Variabio  <p  bei  null  und  durchläuft  von  hier  an  alle 
pos.  Werte.   Aus  der  Gleichung 


folgt  aber  auch,  dass 


ist  und  daher 


r  —  «(fccofgo  —  1) 
9r        ,  e  dq> 

st  =^^v.St 


-  lA- .  »- 

V  a  r 


67 


da 

Die  Winkelgeschwindigkeit  J-  ist  daher  mit  dem  Leitstrahl  umge- 
kehrt proportional.  Für  das  Differential  der  Zeit  erhält  man  nun 
den  Wert 


und  die  Integration  ergibt  sofort 


dt  =•  j/a*  .  (kcos*  -  l)dq> 


Der  Mittelpunkt  der  Kraft  werde  als  Ursprung  eines  rechtwinkb'gen 
Coordinatensystems  gewählt,  dessen  positive  Richtung  der  x-Äxe 
durch  den  Punkt 

(9-0,  r-(*-l)a 

geht.  Für  dio  rechtwinkligen  Coordinaten  (x,  y)  des  Massenpunktes 
hat  man  wieder 

x      r  COS  m>  ;    y  «-  r  sin  io 

Aus  dem  bekannten  Ausdrucke  für  die  doppelte  Flächengeschwin- 
digkoit 

A  =  r*  ö" 

erhält  man   

a*  ~  r* — - 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkrafl.  413 


Ersetzt  man  hier  dt  und  r2  resp.  durch  ya  .  (kco)<p--  l)<i?  und 
a*(fc  cof  g>  —  l)8,  so  erhält  man 

dw  =  Vi  — ifc*  .  5— f~- - . 

COf  <]P  —  1 

und  die  Integration  dieser  Gleichung  führt  auf 

,r  =  2arctg.(|/^.tang  *) 

also 

Bezeichnet  auch  hier  d  einen  constanten  Factor,  so  gelten  die  Glei- 
chungen 

d  .  sin  g  -  yT+*  •  fl»  2 

.  COS  =  =Vk  —  1  .  [CO]  ~ 

Erhebt  man  beido  Gleichungen  in's  Quadrat  und  addirt,  so  folgt 

d  -      cof  v  —  1 


daher  ist 


Bin«  =  Vk  +  1  . 


V(*cof*-l) 


.  ,   «** 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man  nun  mit  Hülfe  der  bekannten 
Relationen 

1  —  cosw  .  ,io  1-fcosw  %w 
 2  8,0  2  5        2   008  2 

wfvjrl  „  fint?  .    C0L*+J  M  cofi  * 
2  '     2  '         2  '  2 

für  sinw  und  cos<p  schliesslich  die  Werte 

cof  q>  -  Jt       .         Vit«"^  1  .  fin  qn 

COS  »r  «     -    .  j      8inw=— r—f  7  — 


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414 


Di  gl  er:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centratkraft. 


Mit  Hülfe  dieser  Ausdrücke  lassen  sich  nun  die  Coordiuateu  des 
Massenpunktes  auf  folgende  Weise  darstellen : 

X  «=  rCOStö  «=  a(cof  (p  —  k) 

y  =  r  sin  w  =  a       —  1  .  fht  q> 

Eliminirt  man  nun  aus  diesen  Gleichungen  die  Variable  <p,  so  er- 
hält  man  die  Gleichung  der  Wegcurve  in  rechtwinkligen  Coordinaten 
in  der  Form 

(x  +  aty  _  .  y\       _  x 

a*  (aYk*  —  1)* 

Wenn  daher  die  ursprüngliche  Constante  a  einen  endlichen,  nega- 
tiven Wert  hat,  so  ist  die  Bahn  des  materiellen  Punktes  eine  Hy- 
perbel, in  deren  pos.  Brennpunkte  der  Mittelpunkt  der  anziehenden 
Kraft  liegt.   Die  Hauptaxe  derselben  ist  gleich  dem  absoluten  Werte 

von  a,  während  die  Nebenaxe  L  durch  a  "Vk*  —  1  bestimmt  wird. 
Die  numerische  Excentricität  ist  gleich  der  positiven  Quadratwurzel 

aus  (\-\~       und  ist  beständig  grösser  als  1.   Für  1  <     <  2  ist 

auch  b  <  a;  ist  aber  k*  =  2,  so  ist  b  —  a  und  die  Hyperbel  geht 
in  eine  gleichseitige  über.   Ist  endlich  k*  >  2,  so  ist  auch  b  >  a. 


3)   a  —  oo. 

Weil  in  diesem  Falle  ^a  als  verschwindend  klein  betrachtet 
werden  kann,  so  nimmt  der  Ausdruck  für  u2  die  Form 


r 


an.  Die  Geschwindigkeit  ist  daher  mit  der  Quadratwurzel  aus  der 
Entfernung  r  umgekehrt  proportional.  Ebenso  erhält  man  für 
dr 

gy,  wenn  dort  a  =  oo  gesetzt  wird,  den  Wert 

Ä* 

und  es  muss  daher  beständig  r  >  ^  -  angenommen  werden ,  wenn 
eine  reelle  Bewegung  entstehen  soll.  Der  tiefste  Wert,  den  r  an- 
nehmen  kann,  ist  -  .   Man  setze  nun 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punkfes  unter  einer  Ctntralkraft.  415 

Die  neue  Variable  q>  wächst  nun  von  0  bis  zum  pos.  Unendlichen 
Die  Substitution  ergibt 

Br  (in  <p 

dt  "  J  '  ~T~ 

Dio  Ableitung  von  r  nach  t  ergibt  aber  auch 

Sr     A*       .     r  8<p 

und  diese  beiden  Ausdrücke  für  g(  führen  auf  den  Wert  von  g-. 
Man  erhält 


89        2,4*        1/  tt 


Die  Ableitung  von  q>  nach  /  ist  somit  mit  der  Quadratwurzel  aus 
der  dritten  Potenz  der  Entfernung  umgekehrt  proportional.  Für  '// 
erhält  man  aus  obiger  Gleichung  den  Wert 

A9 

Nun  ist  bekanntlich 
also  ist  auch 

cof3?  -  ^        +  e-H)  +  3  («f  +  e-f )  ) 
=  23(co!3«p  +  3cojy),| 


und  somit 


dt  =*  gy- , .  (cof  3y  +  3  coj  <p)  d<p 


Dio  Integration  dieser  Gleichung  führt  nun  auf  den  Wert  von  /  in 
der  Form 

A* 

Der  Eraftmittelpunkt  werde  nun  als  Ursprung  eiues  rechtwinkligen 
Coordinatensy8tems  gewählt,  dessen  a>Axe  durch  das  Perihel  der 

Wegcurve,  also  durch  don  Tunkt 

A* 


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41 C         BigUr:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

geht  Wenn  der  Winkel,  den  der  Leitstrahl  r  mit  der  pos.  x-Aie 
bildet,  mit  to  bezeichnet  wird,  so  hat  man 

ztCOBuv,    y  — rsintr 

nnd 

9  &°      .        .  A 
dt         °        =  r* 

Ersetzt  man  wieder  dt  nnd  r*  durch  die  oben  dargestellten  Functionen 
in  9,  so  folgt 

dw  =  — r— 

oder 

.  tonfl  | 
J,o-4  J- 

also 

to  =  4  arctg  (tong^  j 
Ist  r2  wieder  ein  proportionaler  Factor,  so  gelten  die  Gleichungen 


^  -  ftH  2  ;      d.  COS  4  -  COf  2 


r/  .  sin 


und  die  Elimination  von  w  aus  diesen  Gleichungen  führt  auf  den 
Wert  von  d  in  der  Form 

d  =  Vcof  (p 

Daher  ist 

«        fin2        .  COf2 

sin 


4       VcofV      4  Vcofy 

Aus  diesen  Werten  findet  man  ferner 

.  mt      2|"in«  io  1 

sm2-7o\V'    C08  2  =c"5fi, 

fiii  to                1  —  ftn2<p 
sin  to  —     :t    ;     cos  to  —  ss-  — 

und  daher  ist  auch 


r  =  r  COS  »o  =  ^  .  (1  —  ftn2qp) 
y  =  r  sin  »o  «  —  ftH  9 


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Bigler:  Bewegung  tine*  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  417 


Die  Elimination  von  q>  aus  diesen  2  Gleichungen  führt  nun  auf  die 
Gleichung  der  Wegcurve  in  der  Form 


2A*     (A*  \ 


Die  Bahn  des  materiellen  Puuktcs  ist  somit  eine  Parabel,  in  deren 
Brcnnpuukte  die  anziehende  Kraft  liegt.  Der  Parameter  ist  gleich 
2A* 

,  also  mit  dem  Quadrate  der  doppelten  Flächengeschwindigkeit 

A* 

proportional  und  der  Brennpunkt  wird  durch  ^  bestimmt. 

Wir  sind  am  Schlüsse  dieses  Abschnittes  angelangt ,  und  es 
bleibt  jetzt  noch  der  Fall  zu  behandeln  übrig,  wo  die  wirkende 
Kraft  nach  dem  Newton'schen  Gesetze  abstossend  auf  den  beweg- 
lichen Massonpunkt  eiuwirkt. 


lv  nm  M  1  1  nM 

b)    K--V%    ;      r(r)-H5   fr)  =  -  r;  J3 

Setzt  man  auch  hier  abkürzend 

so  erhält  man  nach  der  allgemeinen  Formel  für  die  Geschwindigkeit 
v  den  Ausdruck 

,*  -  -  2"  +  B 

r 

und  man  erkennt,  dass  nur  pos.  Werlo  von  B  in  Betracht  kommen 
köuneu.  Wenn 

a 

gesetzt  wird,  und  für  die  Coustantc  a  das  pos.  Unendliche  ausge- 
schlossen wird,  so  hat  man 


nnd 

Br 
et 


Sind  nun  a  und  ß  die  Wurzeln  der  Gleichung 

r1  -2  a?   —  0 

so  hat  man 

Arch.  d.  Math.  u.  PhjR.   2.  R-ibe,  T.  XVI.  27 


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4]  8  Bigirr:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centralkraß. 

'- •(-^('"+■3) 


und 


ct.ß  —    a  +  «*=»2a 

Beide  Wurzeln  sind  reell;  a  ist  pos.  und  ß  ist  neg.  und  mod.0<a. 
Ersetzt  man  auch  ß  durch  (-£'),  wo  0'  pos.  zu  verstehen  ist  und 
lässt  bei  ß'  den  Accent  wieder  fallen,  so  erhält  mau,  wenn  noch 
abkürzend 

k*  =  1  -f  -- 

gesetzt  wird 

*ß-—\         ct-ß  =  2a 

Für  die  doppelte  FlächengeschwindigkciM  erhält  man  hier  den  Wert 

A*  =  (ia(k*-  1) 
Weil  jetzt   

ist,  so  muss  r  längs  des  ganzen  Weges  die  Bedingung 

r  >  o 

erfüllen.   Ersetzt  man  ^4«  durch  (ia(ks—  1),  so  hat  man  auch 

und  es  scheint  auch  hier  angezeigt,  ^1—  durch  -C  of  <p  zu  er- 
setzen, also 

r  =  „(l+*!cof*) 
anzunehmen.   Der  tiefste  Wert  von  r  liegt  bei 

o  „  a;(A  +  1) 

Die  neue  Variable  <p  beginnt  daher  bei  null  und  durchläuft  von  bier 
an  die  ganze  pos.  Hälfte  der  Realitätslinie.    Mittelst  dieser  Sub 

stitution  geht  nun  ^  in 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punk/es  unter  einer  Cr  utraf kraft.  4.10 


St 


r 


über.   Wird  ferner  die  Gleichung 

(*•  =  «(!+*  co)» 
nach  *  abgeleitet,  so  erhält  mau  auch 

QT 

und  die  Elimination  von  ^  aus  diesen  beiden  Gleichungen  fuhrt  auf 

et        f    a~  r 

Die  Ableitung  von  <p  nach  der  Zeit  t  ist  somit  mit  dem  Radius  um- 
gekehrt proportional.    Weil  nun  auch 


so  führt  die  Integration  dieser  Gleichung  auf  die  Zeit  t  in  Function 
der  Variabein  ?.    Man  hat 


=  y-  •  (9  +  *  flu  <r) 


Der  Mittelpunkt  der  wirkenden  Kraft  werde  wieder  als  Ursprung 
eines  rechtwinkligen  Coordinatensystems  gewählt,  dessen  pos.  Rich- 
tung der  x-Axe  durch  das  Perihel  der  Wegcurve  geht,  wo  also 

r  =  a(\+k)  ist. 

Sind  (*,  y)  die  rechtwinkligen  Coordinaten  des  Massenpunktes 
m  und  ist  ic  der  Winkel,  den  der  Leitstrahl  mit  der  x-Axe  bildet,  so 
hat  man 

x  — *  rC08>r;    y  =  rsinw;    dw  ^r// 

Setzt  man  auch  hier  wieder  für  r  und  dt  die  oben  gefundenen  Werte 
in  q>  oin,  so  folgt 

ihr  -  v^-* -^1  .  — ,  '?^-r- 

1  -f-  *  CO  'f 

Weil 


COftp  -COf»|+ftII*  | 


27» 


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420  Bigler:   Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 

ist,  und  1  durch  co|"22  ersetzt  werden  kann,  so  hat  man 

auch,  wenn  abkürzend 


gesetzt  wird, 
also 

und  somit  ist 


die  =  2  . 


r+ii« 

w  =  2  .  arc  tg  u 


Bezeichnet  </  einen  proportionalen  Factor,  so  gelten  die  Gleichungen 

<l  .  sin     =  V*  -\  .  f i LI         </  .  eos^  -      +  1  •  cof  £ 

und  die  Elimination  von  w  aus  diesen  Gleichungen  führt  auf  den 
Wert  von  </  in  der  Form 


Daher  hat  man 


rf  =  V(*coiV+i) 


w 

sin 


Yk  —  1  . 


fi...T 


2  '  V(X  clM>  +  1) 


folglich  auch 

sm  in  =  ylr—  1  .—  .---t-t;      COSw  =  ,     -    -— . 

Die  rechtwinkligen  Coordinaten  des  Massenpunktes  lassen  sich  daher 
auf  folgende  Weise  als  Functionen  von  q>  darstellen: 

x  mm  a(C0\  qp  -f-  k) ;    y  =  a  \  k-  -  1  .  )in  <p 

die  Gleichung  derWegcurve  in  rechtwinkligen  Coordinaten  ist  daher 


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Bigler:    Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centratkraft.  421 

Die  Bahn  des  materiellen  Puuktes  ist  also  eine  (Ellipse)  Hyperbel 
mit  den  Halbaxen  a  nnd  a\k- — 1,  in  deren  ueg.  Brenupuukte  die 
wirkende  Kraft  liegt.    Die  numerisehc  Exeentricität  k  ist  gleich  der 

pos.  Quadratwurzel  aus      i *^Q)   und  hat  den  Wert  \  2,  wenn 

A  =■  V(ia  ist,  In  diesem  Falle  ist  die  Bahn  eine  gleichseitige  Hy- 
perbel mit  den  Halbaxen  a. 

3)    Die  Kraft  ist  dem  Kubus  der  Entfernung 
umgekehrt  proportional. 

i 

,)       A-=   _  f{r)  _  /•(,.) 

»M 

t  ~  ~  ,.3 

Weuu  auch  hier  abkürzend 

•  — 

gesetzt  wird,  so  lässt  sich  das  Quadrat  der  Geschwindigkeit  durch 
die  Formel  ausdrücken 

*•  ~  J  +  B 

Die  Constaute  //  darf  mit  Ausschluss  des  Unendlichen  die  ganze 
Realitütslinie  durchlaufen.  Es  sind  domuach  folgende  drei  Haupt- 
fälle zu  unterscheiden: 

1)  *>0 

2)  B  —  0 

3)  B  <  0 

Wir  betrachten  zuerst  den  Fall,  wo  B  einen  pos.  Wert  hat. 

1)  ü>0 

Ist  B  eine  pos.  Zahl,  so  existirt  v  für  alle  reellen  Werte  von 
r,  /■  —  u  und  r  x  nicht  ausgeschlossen.  Ist  /•  —  »,  so  darf  mau 
in  tiefster  Näherung  v*  =  B  setzen  und  die  Constaute  II  stellt  so- 
mit das  Quadrat  der  Geschwindigkeit  in  unendlicher  Ferne  dar. 
Für  die  Ableitung  von  r  nach  /  erhält  man  den  Ausdruck 

<V  1     


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422  Bigler:  Bewjyuny  eines  Punktes  unter  einer  Centtalkrafl. 

Da  nun  B  pos.  ist,  so  hängt  die  Realität  von  ^  vendcmWerte 

von  A*)  ab.   Es  ist  daher  angezeigt,  hier  drei  Unterabtei- 

lungen zu  unterscheiden,  je  nachdem  der  Ausdruck  (fi*— A*)  positiv, 
negativ  oder  null  ist. 

dr 

Da  in  diesem  Falle  auch  ^  für  alle  pos.  Werte  von  r  reell 

ausfällt,  so  muss  die  Wegcurve  in's  Unendliche  reichen  und  weil 
für  ein  pos.  dt  auch  dr  pos.  ausfällt,  so  nimmt  mit  wachsender  Zeit 
auch  die  Entfernung  vom  Kraftmittelpunkte  zu.    Im  Unendlichen 

dr 

bekommt  g  annähernd  den  Wert  jfBt  stimmt  also  hier  mit  der 

Geschwindigkeit  v  uberein.  Man  führe  nun  folgende  Abkürzungen 
ein: 


,.2__  .1*  .12 

A*  B 


dann  ist 

A  -  4«;    h*-A*  -  a»A*c» 


Da  im  allgemeinen  durch  ^2«A//*(r)-f  B—  ^-J  ausgedrückt 

dr 

wird,  so  steht  es  frei,  g<  durch  die  negative  Quadratwurzel  an» 
diesem  Ausdrucke  darzustellen  und  also 


8 


anzunehmen.  Ersetzt  man  nun  hier  (ft*  —  A*)  und  ff  durch  die  oben 
angegebenen  Ausdrücke,  so  hat  man 


Wenn  rf/  einen  pos.  Wert  hat,  so  ergibt  diese  Formel  für  dr 
einen  neg.  Wert;  daher  ist  mit  zunehmender  Zeit  der  Leitstrahl  im 
Abnehmen  begriffen.   Man  führe  nun  mittelst  der  Gleichung 

r  =  Wv  ^ 

die  neue  Variable  g>  in  die  Rochnung  ein  Weil  dann  y  +1 
in  cpjg>  übergeht,  so  folgt 


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Biyler:  Bewegung  eines  Paukte  $  anter  einer  Centralkrafl.  423 

a,  =  -  '™)<P 

also 

dr 

dt  .  . 

c  CO)  <JP 

Aus  dem  Ausdrucke  für  r  folgt  aber  auch 

toi  <p  .  tltp 


dr  =  —  ab  . 


fm'* 


Setzt  mau  nuu  diesen  Wert  fUr  dr  in  die  Gleichung  für  dt  ein,  so 
folgt 

ab  dq> 


>lt  = 


c  "  finfqp 


und  man  erkennt  aus  dieser  Gleichung,  dass  mit  wachsender  Zeit 
auch  die  Variabele  <jp  im  Zunehmen  begriffen  ist.  Wenn  <p  von  Ü 
an  bis  zum  pos.  Unendlichen  ansteigt,  sinkt  die  Variabele  r  vom 
pos.  Unendlichen  fortwährend  bis  auf  null  herab.    Nuu  ist  aber 


und  somit 
folglich 


d(p 

d.  cotong  q,  -  -  finV 

=  —      d  .  cotong  o» 

c 

t  ==  —  ?  .  cotangqo  -j-C 


wo  C  die  Intcgrationsconstante  bezeichnet.  Nimmt  man  nun  an, 
dass  mit  <p  =  oo  die  Zeit  /  gleich  null  sein  soll,  *o  muss  die  Con- 

stante  V  den  Wert  —  haben ;  in  diesem  Falle  ist  dann 

c 

t  =  - b  (l  —  cotang  <p) 

c 

Nun  ist  aber 


fing»  —  af\   cos  <p  -  j/l-f -r*  ,   also    cotong  g>  -  \/ atb*  +  1 


somit  bat  man  auch 


ab/       \/  r*  ' 


Für  r  —  0  ist  auch  /  0  und  der  Zeitanfang  liept  somit  im  Ur- 
sprünge.   Für  r  -  .V  ist  annähernd  auch  /  —  -    ,  wird  somit  auf 


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424 


Btyler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  CentralLrnJt. 


dieselbe  Art  unendlich  wie  der  Leitstrahl  r.  Da  der  obige  Ausdruck 
für  t  für  r  ^>  0  bestaudig  neg.  ausfüllt,  so  gibt  diese  Gleichung 
den  neg.  Wert  der  Zeit  au,  welche  der  Körper  m  braucht,  um  vom 
Punkte  r  seiuer  Bahn  nach  dem  Kraftmittelpunkte  als  dem  Ende 
der  Wegcurve  zu  gelangen.   Nehmen  wir  diese  Zeit  pos.  au,  so  ist 


Ferner  ist 
also 


dt 

dw  =  bc  .  t 


Ersetzt  man  wieder  dt  und  r*  durch  die  bekannten  Functionen  in 
<p,  so  folgt 

adw  —  fiep 

also 

<p  =  aw 

Die  Variable  <p  ist  somit  mit  dem  Winkel  w  direct  proportional. 
Um  die  Wegcurve  iu  unendlicher  Ferne  beurteilen  zu  können, 
beachte  man,  dass 

1  dr 
dt  =  —  -  . 


!/<+-£ 


ist.  Setzt  man  nun  diesen  Wert  von  dt  in  die  Gl.  für  dw  ein,  so 
folgt 

dr 

dw  ~—  —  b  .  - 


und  diese  Gleichung  geht  für  r  —od  in  die  andere 

dr 


dw  =  —  b  . 


über,  aus  welcher 

b 


r 


folgt.  Die  bei  dieser  Integration  auftretende  Constante  muss  den 
Wert  null  haben,  weil  für  r  —  <x  der  Winkel  to  annähernd  gleich  null 
sein  muss.  Für  ein  sehr  grosses  r  ist  es  daher  erlaubt,  w  durch 
siiMf  zu  ersetzen  und  da  bekanntlich  rsin>"  den  Abstand  des  Massen- 
punktes von  der  ar-Axe  angibt,  so  hat  man  für  die  Wegcurve  in  un- 
endlicher Ferue  die  Gleichung 


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Biyler:  Be.ivr.yumj  eines  Punkt*  *  unter  einer  Ontrutkra/t. 


425 


r  sm  f  —  b 

Dieselbe  läuft  daherj  in  der  Entfernung1  b  mit  der  x-Axe  parallel 
und  y  b  ist  die  Gleichung  der  Asymptote.  In  unmittelbarer  Nähe 
von  r  —  0  siud  sowol  q>  wie  ir  unendlich  gross;  weil  dann  fiitqp 
annähernd  durch  £tV  dargestellt  werden  kann,  so  nimmt  hier  die 
Gleichung  der  Wegcurvc  die  Form 

i-  —  '2uLa-"" 

an,  hat  daher  Aehnlichkeit  mit  einer  log.  Spirale.  Im  allgemeinen 
aber  hat  die  Gleichung  der  Wegcnrve  die  Form 

»in  a  a 

Setzt  man  hier  der  Reihe  nach  io  —  »,  2rr,  3n\  4»,  so  erhält  man 

dio  Durehsehuittspunkte  dor  Curve;  mit  der  x-Axe   in  de"  Form 

ab  ab  ab  ab  ,  t  2» 

— •       5    ■•  •    4      etc.;  setzt  man  aber  »c  —    ,    -— , 
sin  an;   sin  'lan,    sin  Ja»  sin  4a»  2 

,       ,.    ...  a«5  c'- 

etc.,  so  sehen  die  Werte  von  -,  ete 

sin        sm  —    sm  sm 
»  —  •»  .» 

die  Durchschnittspunkte  auf  der  y-Axe  an.    Ersetzt  mau  ferner  in 

der  Gleichung  für  v1  die  Grössen  us,  r3  und  B  resp.  durch  £V(1-|-«3) 

„■    und  e2,  so  erhält  man  auch 
sinV 

c 
a 


„  mm  -  l/^  1  -j-  «*)  fos  «*MJ  —  1 


Für  einen  sehr  kleineu  Wert  von  »r,  also  iu  sehr  grosser  Ferne, 
kann  daher  dio  Geschwindigkeit  durch  c  dargestellt  werden.  Ist 
dagegen  10  pos.  sehr  gross,  und  der  Massenpunkt  in  der  Nähe  des 
Kraftmittelpunktes,  so  ist  aunäherud 

cyo+«2> 

.  _    - _-_ .  ^ 

wird  somit  uneudlich  von  der  Form  <-/l".  Die  Zeit,  welche  der  Körper 
m  braucht,  um  vom  Punkte  (r,  «')  seiner  Halm  nach  dem  Ursprünge 
zu  gelangen,  kann  nach  Früherem  durch 

ab  , 

t  —      ,  (cotanr  m  1) 

C 

dargestellt  werden.  Wenn  man  h»  r  1  ter  einem  Umlaufe  die  Zeit 
versteht,    welche  der  Körper  m   ji*;  cht,  um   von   einem  Durch- 


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426  Bigirr:  Bewegung  eines  Pkiikfe*  unter  einer  Centrallraft. 

gangspunkte  durch  die  -Axe  bis  zum  entsprechenden  nachfolgenden 
zu  gelangen  und  die  Umlaufszeit  mit  T  bezeichnet,  so  erhält  man 
dafür  den  Ausdruck 

ab 

T  c ■  .  (cotang  n  <jt  —  cotaug  (n  -f-  1)  a<f ) 
Wenn  il*  ein  Element  der  Wegcurvc  bezeichnet,  so  hat  man 


n  uu  ist 


r  b  COj  <vdrp 

rd«  =  ad<P-  fi„  „  •  <•>,     </r  -  -  <.',  ^ - 


und  somit 


<*>"-  fSrV      ■  (.  _  (^»+|T)TofV/ 

Setzt  mau  nun  abkürzend 

k,  _  » 
«»+1 

uud  führt  mittuist  der  Substitution 

"  cös|»> 

die  neue  Variable  in  die  Rechnung  ein,  so  ist 


und  daher 


Ferner  ist 


HH  qp  ety  -  -   s^(m)  ,   also    <l<p  -  ~  ^ 

uud  daher 

Wenn  7  den  Wert  0  hat,  so  ist  u  —  AT  und  für  <p  =  »  ist  u  «=  0. 
Wenn  daher  die  Variable  q>  die  Werte  von  0  bis  zum  pos.  Unend- 
lichen durchläuft,  sinkt  u  fortwährend  von  ä  auf  null  herab.  Zu 
<jPi  gehöre  «, ;  dann  lässt  sich  die  Länge  des  Bogens  vom  Ursprünge 
bis  zum  Punkte  q>y  durch  das  Integral 


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Big/er;  Bewegung  eines   Punktes  unter  einer  Centialkraft.  4li7 


b        P    D-(u)  , 


darstellen,  Bekanntlich  ist  nun  aber 
folglich  auch 


0 


also 


^l^i         A  am 


Der  Inhalt  der  infinitesimalen  Fläche,  welche  der  radius  vector 
in  der  Zeit  dt  durchläuft,  kann  durch 

r*  dw 

dS  —    -  - 

2 

dargestellt  werden.  Ersetzt  man  hier  r*  uud  </«>  durch  die  bekannte 
Functionen  in  <jp,  so  erhält  man 

Wird  nun  durch  —  <i  .  cotang  <p  ersetzt,  so  folgt 

ab* 

,IS  —  —  t)  .  «/*  .  cotang  <p 

und  daher  ist 

TO 


S  =  —  aJ  ^  <? .  cotang  9 


Vi 


-  2  (cütami  g>,  =  l) 


Wird  aber  von  ?,  bis  9,,  integrirt,  wo  <pn  >  <p,  ist,  so  hat  man 


5—   -(cotongy,  -cotrtiigy,,) 


1 

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428  liiylcr:  fhiviijung  eims  fttnkie»  unter  «fmrr  Centralkrafl 

ß)     u-      .1«       0;    .4  u 


In  diesem  Falle  ist 


... 


und 

9t--VB 

Fassen  wir  hier  <h  pos.  auf,  so  muss  </»•  neg.  sein,  und  mau  erkennt 
sc  on  hieraus,  dass  sieh  der  materielle  Punkt  m  mit.  wachsender 
Zeit  dem  Kraftmittelpunkte  nähert.  Die  Integration  obiger  Diffe- 
rentia  gleichung  ergibt 

r  =  -  y  yy  .  t  -f  Coust. 

•  ■ 

Zur  Bestimmung  der  Coustanten  setze  mau  fest,  dass  mit  >•  0  auch 
t  « >  0  sein  soll;  da  unter  dieser  Annahme  die  Coustante  den  Wert 
null  haben  muss,  so  ist 

r      -  yn  .  t 

* 

De  Ziit.  welche  somit  der  materielle  Punkt  m  braucht,  um  vom 
Punl.te  (r,  w)  seiner  Hahn  nach  dem  Kraftmittelpuukte  zu  gelangen, 
ist  dem  radius  vejtor  direct  proportional   und  lässt  sich  durch 

r 

darstellen.    Für  einen  unendlich  fernen  Punkt  der  Bahn  wird 

yn 

dal:  r  die  Zeit  auf  gleiche  VVreise  unendlich  wie  der  Leitstrahl. 

CID 

Die  doppelte  Fläehcugesehwindigkeit  A  ist  auch  hier  r*  ^  .  Da 
al.  r  -1  =  ft  ist,  so  hat  mau 

et  "  r* 

uud  weil  di=  -     .     ist,  so  ist  auch 

in 

dw  —  —        .  , 
\Ji  r« 

Wenn  dr  pos.  ist,  so  muss  '/"•  neg.  sein.  Mit  abnehmendem  r  ist 
daher  der  Winkel  »•  im  Wachsen  begriffen.  Aus  obiger  Gleichung 
folgt,  dass  allgemein 


r 


ist.  Wenn  aber  fttr  r  —  x  der  Winkel  tc  verschwinden  soll ,  so 
muss  die  Constaute  C  als  null  angenommen  werden,  uud  es  ist  daher 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  42*. ) 


u  1 

in  r 

Der  Wiukel  w  ist  daher  mit  dem  reciproken  Werte  des  Radius 
direct  proportional.    Weil  auch 

Vb  ,r 

ist,  so  erkennt  mau,  dass  die  Wegcurvc  vom  Unendlichen  herkom- 
mend spiralförmig  den  Kraftmittelpunkt  umgibt  und  sich  demselben 
in  immer  enger  werdenden  Wiuduugen  stetig  nähert.  Ersetzt  man 
in  dem  Ausdrucke  für  die  Zeit  den  Radius  durch  die  gefundene 
Function  in  w,  so  hat  man  auch 

t~A  1 

Wenn  r  sehr  gross  gewählt  wird,  so  muss  w  sohr  klein  sein  und 
kann  daher  annähernd  durch  sin  v  dargestellt  worden.  Da  nun  aber 
rsinw  den  Abstand  des  materiellen  Punktes  von  der  x-Axe  darstellt, 
welche  mit  g  bezeichnet  werden  soll,  so  lässt  sich  die  Wegcurve  in 
unendlicher  Ferne  durch  die  Gleichung 


darstellen.  Dieselbe  läuft  daher  im  Unendlichen  in  der  Entfernung 
— -  mit  der  x-Axe  parallel.    Wenn  nun  der  materielle  Punkt  vom 

Vb 

Unendlichen  herkommend  sich  spiralförmig  dem  Mittelpunkte  nähert, 
so  findet  der  erste  Durchgang  durch  die  r-Axe  für  «•  =  n  statt,  und 
hier  ist 

A  1 

und 

A  1 


Um  den  neg.  Durchgangspuukt  durch  die  z-Achse  zu  erhalten, 
hat  man  in  der  allgemeinen  Formel  w  durch  ><  .  v  zu  ersetzen.  Für 
diesen  Punkt  hat  mau 

a  i_ 

'"  -  yn  •  n.n 


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4M  Wyler:  l}ev«jun-j  eines  Punkt*»  unter  IttMf  Centralhaft. 

A  1 

-  Ii  '  nlt 

und  aus  dieseu  Werten  folgt,  dass 

ist.   Wenn  ferner 

Dn  —  »„  -f-  rM  1 1    UU(l    7i,  =     —  >*  f2 
bezeichnen,  so  hat  man 


n 


und 


folglich  auch 


2«yß  *  «(»+1) 


/)m+,-(«4-2)(2«+1)*  * 


n 


Das  Wegelement  ds  wird  bekanntlich  durch  die  Gleichung 


ds  -  Vdr*  +  (r^io)» 

bestimmt.  Ersetzt  man  hier  dr  und  r  durch  die  bekannten  Func- 
tionen in  I»,  so  erhält  mau 

A  /—r—m 

und  wenn  ferner  »o  =  fiu  <p  gesetzt  wird,  so  ist 
und  daher 

=  -TmWtd  .  (tp  -  cotctng  <p) 

in 

Die  Länge  der  Wegcurve  vom  Punkte  q>x  bis  zum  Punkte  <pu  lässt 
sich  daher  durch  die  Formel 

i  -  yÄ (<*ii -  vi)  +(wtongVl  -  cotanflyn).) 


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Jjiyler:  ISeweyumj  eines  Punkfes  unter  einer  Centratbaft.  431 

ausdrücken.  Führt  man  hier  die  ursprüngliche  Variable  w  wieder 
in  die  Rechnung  ein,  indem  mau  <p  durch  log(Vl  -\-iv*-±-  tp)  und 

cotang  q>  durch  — ~  —  ersetzt,  so  hat  man 

V/i"  V  Vi  +  'V  +         "i  trn  / 

Der  Inhalt  des  kleiueu  Soctors,  welcher  vom  radius  vector  m  der 
Zeit  dt  durchlaufen  wird,  ist  bekanntlich    '    .    Wird  nun  hier  dw 
u  dr 

durch  -  >  .    „so  erhält  man  dafür  den  Ausdruck 

in 


2Vä   ./  2V// 


Die  Inhalte  der  Sectoren  sind  somit  mit  dem  Leitstrahl  direct  pro- 
portional.   Ersetzt  man  r  durch  V B  .  /,  so  hat  man  auch 

2  2.Ö  10 

Wenn  nun  hier  w  zuerst  durch  »  .  2T  und  dann  durch  (n-fl)  .  2j* 
ersetzt  wird,  so  hat  man 

s  _L_ 

und 

A*  1 

ÄM+1  —  2£  •  («  +  !).  2» 

und  daher  gilt  hier  die  Relation 

Bezeichnet  man  ferner  die  Differenz  (£M  — £Mfi)  mit  J,„  so  folgt 

7  ^  U 
^      4t      '  «(n-fl) 

und  wir  erhalten  zwischen  ./„  und  JH+i  die  Beziehung 


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432         BigUr:  Bewfjit'tg  -ine*  Pmkies  unUr  einer  Ctnlralkraft. 

Weil 

Pr       1  ,  

so  hüngt  die  reelle  oder  imaginäre  Beschaffenheit  der  Bewegung  von 
dem  pos.  Werte  von  A*  —  (i-  ab,  und  es  ist  einleuchtend,  dass  die 

Realität  der  Bewegung  /*  >  ^ —  verlangt  Führt  man  auch  hier 
die  Abkürzungen 

A*  Ii  = 

ein,  so  folgt,  da 
ist,  dass 

?/   ~  C  '  I    1  "  r* 

ist.  Der  tiefste  Wert,  den  r  annehmen  kann,  ist  ab,  und  weil  hier 
dr 

verschwindet,  so  zeigt  derselbe  die  Minimuniseigenschaft  an.  Von 

diesem  Minimum  an  darf  nun  r  fortwährend  wachsen  bis  zum  pos. 

dr 

Unendlichen,  wo  ^  den  Wert  c  erreicht  hat.  Wenn  dt  pos.  auf- 

gefasst  wird,  so  muss  auch  dr  pos.  sein  und  man  erkennt,  dass  mit 
wachsender  Zeit  auch  r  im  Wachsen  begriffen  ist.   Im  Unendlichen 

ab 

ist  r  mit  der  Zeit  direct  proportional.     Da  der  Quotient  -  längs 

des  ganzen  Weges  beständig  kleiner  als  l  sein  muss,  so  erscheint 
es  augezeigt,  denselben  durch  cosqp  zu  ersetzen,  also 

ab 

r  = 

cos<p 

anzunehmen.  Da  »  von  ab  an  alle  pos.  Werte  bis  zum  pos.  Unend- 
lichen durchlaufeu  kann ,  so  wächst  die  neue  Variable  <f  von  —  * 

fortwährend  bis  '0  •  in  q>  =  0  ist  für  r  ein  Minimum  vorhanden. 
Diese  Substitution  ergibt  nun 

rr 

dt  sinv 

Weil  nun  auch 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Ceniralkra/L  433 

ii b  sin  (f.  dtp 

dr   5  

cos  £q> 

ist,  so  folgt 

a  b  dq> 
dt  ss  - 
C  COS*qp 

und  weil 

dtp 

\     -  d  .  tg  (p 
COSz  (p  °  T 


ist,  so  hat  man  schliesslich 


ab 

dt  =      d  .  tg  9 


und  daher  ist  allgemein 


f  —  —    tgqp  4-  tonst. 


Setzt  man  nun  fest,  dasB  mit  9  =  0  auch  t  0  sein  soll,  der  An- 
fangspunkt der  Zeit  also  in  r  =  ab  liege,  so  muss  die  lutegrations- 
constante  gleich  0  seiu  und  mau  hat 


Diese  Formel  drückt  somit  die  Zeit  aus,  welche  der  Massenpunkt  m 
braucht,  um  vom  Punkte  (r,  «/>)  der  Bahn  nach  dem  Puukte  (r=  ab, 
<p  =■  0)  zu  gelangen.   Da  nun 

ist,  so  hat  mau  auch 


für  einen  unendlich  fernen  Punkt  der  Bahn  wird  daher  die  Zeit  auf 
dieselbe  Weise  unendlich  wie  r.  Nun  soll  auch  hier  eine  Relation 
zwischen  y  und  w  aufgestellt  werden.   Bekanntlich  ist 

df      A  1  c 

dt        r*  a     ab  r 

und  weil 

=*  cosV 

öl  ac 

so  hat  man 

Arch.  A.  Math.  u.  Tliys.   2.  Brille,  T.  XVI.  28 


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434  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


adw  —  dtp 

und  es  ist  daher  erlaubt 

anzuuehmen.  Setzt  mau  diesen  Wert  von  <p  in  die  Gl.  für  r  und  / 
ein,  so  hat  man 

ab  ab 

r  —  ™aZ~ni       1  =      .  tg  a» 
COS  aw  c 

n  n 

Da  uuu  <p  alle  Werte  von  —  t}   bis       durchlaufen  kann,  so  durch- 

läuft  der  Winkel  w  von  —  ^  an  alle  reellen  Werte  bis  somit 

bildet  der  Leitstrahl  r,  welcher  die  unendlich  fernen  Punkte  der 
Bahn  mit  dem  Ursprünge  verbindet,  mit  der  pos.  Richtung  der  x-Axe 


den  Winkel         Da  nun 


ist,  uud  A>  u  augeucmmeu  wurde,  so  ist  beständig  a  kleiner  als  1 

71  71  |ti2 

und  somit  ist  grösser  als  .  Ist  z.B.  <i  =  |,alsol  — ^2  =  j, 
somit  j-t  s  £  .  y 3,  so  ist 


r  |  -     ~    .fg  ^ 

cos2 

und  der  radius  vector,  welcher  die  unendlich  fernen  Punkte  der 
Bahn  mit  dem  Ursprünge  verbindet,  bildet  mit  der  x-Axc  den  Wiukel 
TT.  Die  Curvc  läuft  somit  im  Unendlichen  mit  der  x-Axe  parallel. 
Ersetzt  man  oben  in  dem  Ausdrucke  für  u  den  Winkel  w  durch 

2  ~~  ö]  durch  {sina 
ersetzen,  und  daher  ist  für  solche  Curvcnpunkte 

2  ab 
r  ~~  sina 

und  weil  rsina  den  Abstand  von  der  x-Axe  angibt,  so  läuft  die  Weg- 
eurve  im  Unendlichen  in  der  Entfernung  'lab  mit  der  x-Axe  parallel. 
Für  den  Fall  a  —  l  will  ich  uoch  die  Gleichung  der  Wegcurve  in 
rechtwinkligen  Coordiuateu  darstellen.    Bekanntlich  ist 

,    cos  u"              .              '  sin  w 
x  ~>  r cos ic  =  ab  .    ,     y  =  rsuitr  —  ab  .   - 

cos  g  cos.. 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  435 

und  es  bandelt  sich  darum,  ans  diesen  2  Gleichungen  den  Winkel  w 
zu    eliminiren.     Zu    diesem    Zwecke   ersetze    man    siu/r  durch 

2sint)  .  cos  t)   und  costr  durch  ( 1  —  2sin%  l  und  findet  so 

to  y 
8,n2  "  iai, 


C082 —  7  •  V-*fi&) 


quadrirt  man  beide  Gleichungen  und  addirt  sie,  so  erhält  man  nach 
einigen  Umformungen  die  Gleichung 

Um  die  Wegcurve  zu  rcctificiren,  setze  man  wieder 

ds*  -  dr*+(rdu>)* 

ab       a  b  sin  cp  tlcp 
und  ersetze  r,  dr  und  thr  resp.  durch  —  --i    ifo.      'fy>  und 

COS  <p       cos-qp  rt 
um  die  Länge,  des  Curvenelemeutes  durch  die   Variable  y  auszu- 
drücken.   Nach  einigen  Reductiouen  findet  mau 

* = » .  vi  -iF7,')Sta>  .  co;'vv 

Wenn  nun 

sin<p  =»  Sin) 

gesetzt,  so  dnrehäuft  die  neue  Variable  u  die  Werte  vou  0  bis  A" 
während  <p  von  0  bis  auf  ^  ansteigt:  Da  der  Punkt  u  sa  A'  für  die 
Integration  unzugänglich  ist,  so  setze  mau 


du 

0 

und  dieses  Integral  ist  nach  Seite  426 

/S(u)  .  D(u)  \ 

Der  Inhalt  des  Flächenelementes,  welches  vom  radius  vector  dt 
durchlaufen  wird,  ist  bekanntlich  gleich  ABt,  und  da 

ow 

A  =  t*  % 

ist,  so  lässt  »ich  der  Inhalt  auch  durch  wiedergeben.  Ersetzt 


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436         Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Central  kraft. 

man  hier  r*  und  dte  durch  die  bekannten  Functionen  in  g>,  so  hat 
man  für  den  Inhalt  des  Flächenelementes  dS  den  Ausdruck 


2        COS2<p         2  n  r 


r?  6*        </qp         a  fr* 

somit  ist 

'S~  2  •,/      tgv  "  "2  "       ~  T  *  tgatt' 

0 

Ersetzt  man  hier  ab  ig  ate  durch  c/,  so  hat  man  auch 

Dieses  letzte  Resultat  hätte  man  auch  sofort  aus  dem  Ausdrucke 
~s    erhalten,  wenn  man  hier  A  durch  bc  ersetzt  und  von  t  —  0  an 

integrirt  hätte.    Ist  z.  B  «  —     so  ist  der  Inhalt  desjenigen  Flächen- 
fr* 

Stückes,  welches  östlich  der  y  Axe  liegt,  gleich  . 

2)  B  =  0. 

Die  Geschwindigkeit  des  materiellen  Punktes  lässt  sich  hier  durch 

r 

darstellen.  Dieselbe  ist  daher  mit  dem  Radius  umgekehrt  propor- 
tional und  nimmt  im  Unendlichen  den  Wert  null  an.   Weil  ferner 


Br  1 


dt 


ist,  so  scheint  es  angezeigt,  hier  die  beiden  Fälle  zu  unterscheiden, 
wo  (/is  —  A*)  entweder  grösser  oder  gleich  null  ist. 

«)    ^_.4->ü;  (i>A 
Setzt  mau  abkürzend 

so  ist 

also  dl--.rdr 

Ist  r//  pos.,  so  muss  auch  dr  pos.  sein  und  mit  wachsender  Zeit 
ist  somit  auch  der  Radius  im  Wachsen  begriffen.    Die  Ableitung  von 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unUr  einer  Centratkraft. 


437 


r  nach  der  Zeit  verschwindet  nur  für  r  =  x  und  hier  hat  somit  *• 
sein  Maximum  erreicht.  Da  der  Mittelpuukt  für  die  Beweguug  zu- 
gänglich ist,  so  verlege  man  auch  den  Anfangspunkt  der  Zeit  dort- 
hin und  setze 

t  =»  -—  .  rz 
Ja 

Die  Zeit,  welche  der  materielle  Punkt  m  hraueht,  um  vom  Punkte 
(r,  w,  der  Bahn  nach  dem  Kraftmittelpunkte  zu  gelangen,  ist  somit 
dem  Quadrat  des  Radius  direct  proportional.    Ferner  ist 

A  A  dr 

v*  a  r 

und  man  erkennt,  dass  mit  wachsendem  r  auch  ir  im  Wachsen  be- 
griffen ist.    Die  Integration  obiger  Differeutialgeichung  ergibt  nun 

nie  =  logr  -|-  Const. 

Bezeichnet  man  hier  die  willkürliche  Constante  mit  (  —  log;>),  so 
erhält  mau 

r  —  p  .  eau 

als  Gleichung  der  Wegearve:  Die  Bahn  ist  somit  eine  log.  Spirale. 
Irgend  eine  durch  den  Krafturspruug  gezogene  Gerade  schucide  die 
Windungen  der  Spirale  in  den  Punkten  on ,  aM+i,  an\2  etc.  etc., 
deren  Radien  mit  r„.  rw+i,  r»f2,  etc.  bezeichnet  werdeu  sollen.  Der 
Gegenpunkt  von  aM  sei  mit  a„  bezeichnet  und  der  zugehörige  Radius 
mit  r„.  Wird  der  zu  r«  gehörige  Winkel  mit  («  .  2»  +  a)  bezeich- 
net, so  entsprechen  den  Radien  r*fi,  rM|a,  etc.  und  rM,  r„^4,  vM+i, 
etc.  Die  Winkel  ((n-j- i)  .  2^ -f«),  ((«4-2)  .  2*  +  a),  etc., 
((2»  +  l)ff  +  a),  <(2»+3)»  +  a),  etc. 


Nun  ist 


a(u  .  2n-\-a) 


und  aus  diesen  Gleichungen  ergebeu  sich  sofort  die  Relationen 

a  .  2.t 
r«fi  =  *  .  r« 

und 

Es  zeigt  sich  somit,  dass  das  Verhältnis»  zweier  Radien  r„  und 
rw+i  von  n  und  o  unabhängig  ist  und  durch  eine  Constante  darge- 


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438  Bigler:   Bewegung  eine»  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


stellt  werden  kauo.  Daraus  folgt  aber  auch,  dass  rn+\  mittlere 
Proportionale  zwischen  r»  uud  rM+2  ist.  Bezeichnet  mau  ferner  die 
Differenz  der  beiden  Kadien  r«  und  r„fi  mit  bH  uud  neuut  bH  die 
Breite  des  Spiraleuganges,  so  hat  mau  auch 

b»     —  rw  |  ]  —  r„      =  ;>  .  e  .  («  —  1 ) 

a((»+l)  .  2*+ft)  ,«.2* 

a((n+2)  .  2rr-fa)      «  .  2*) 
—  rM+3  —  r„+2  =  p  .  «  •  («  —1) 

folglich  ist 

,  «  •  2* 

und 

bn  •  Ä»i-r2  ==  ftMf  1* 

Das  Verhältnis»  zweier  Breiten  bu  und  //H+i  ist  von  n  und  a  unab- 
hängig und  +  i  ist  mittlere,  geometrische  Proportionale  zwischen 
bM  und  Am +2.  Die  Summe  der  beiden  Radien  rH  und  tm  werden  mit 
dn  bezeichnet.    Dann  ist 

a(»  .  l-f-2-T-f-a)  a  . 


und  man  hat  auch  hier 
und 


«=  <         '        •  ^M 


Es  sei  ferner  7',,  die  Zeit,  welche  der  Massenpunkt  m  braucht, 
um  vom  Punkte  ^+1  der  Bahn  nach  dem  Punkte  r„  zu  gelangen; 
dann  hat  man 

1     t  *v      V1     2<i(n.2»+a),  2a.2?r  ^ 

und 

1     /      o         *    7>*     2n((»+D  •  2«+«) 

2a  .  2n) 
.(€  -1) 

folglich  ist  auch 


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Biijier:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  439 
Tn+i  =  e  .  Tu 

und  daher 

Tu .  r»r2  -  T„+t* 

Her  Quotient  zwischen  zwei  aufeinander  folgenden  Verlaut'szeiteu  T 
ist  daher  für  die  ganze  Spirale  coQStant  und  Y'„+i  ist  auch  hier 
mittlere  Proportion  zwischen  T„  und  7«+2. 

Der  Inhalt  der  Flache  tf,  welch«  vom  ratlius  veetor  in  der  Zeit 
t  durchlaufen  wird,  ist  hier 

A 

8  =  .    .  r* 
4a 

wo  also  mit  /•  —  0  auch  8  =  Ü  angenommen  ist.  Wenn  nun  der 
Iuhalt  der  Fläche,  welche  vom  Leitstrahl  r  in  der  Zeit  T»  durch- 
laufen wird,  mit  SH  bezeichnet  wird,  so  tiudet  mau,  dass 

a  .  4;r 
>>«  t  i  —  «  3* 

und 

Sn  •  'S.**  -  Sn+i* 

ist.   Ersetzt  man  in  dem  bekanuten  Ausdrucke  für  das  Curvenelement 

dw  durch   A  .  flr  so  erhält  man 
n       r  ' 

II 

und  somit  ist 

9  —  .  r 

a 

Bezeichnet  mau  mit  Un  die  Länge  des  Weges  vom  Punkte  »H  ( , 
bis  zum  Puukte  rM,  so  hat  mau  zur  Bestimmung  derselben  die  Glei- 
chung 

V«4  +  ^l*      n(«.:T+«)  .«.2» 
^  =  ^11-*«=      a       •  Pc  •  (c        — !) 

ebenso  findet  man 

tfF+J*     «({(n+1)  .**+«)  ,«.2« 
uud  daher  gelten  auch  hier  dio  Relationen 

Un  .  ü*+s  -  CT«  n* 


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440 


Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


Da  bei  dieser  Wahl  der  willkürlichen  Elcmeute  der  Differential- 
dr 

quotient       längs  des  ganzen  Weges  verschwindet,  und  daher  r 

eine  ton  der  Zeit  unabhängige  Constante  bezeichnet,  so  ist  die  Bahn 
ein  Kreis.  Die  nähere  Betrachtung  dieser  Bewegung  findet  sich  im 
ersten  Teile  meiner  Arbeit. 


3)  U<0 

Weil  hier  B  eine  negative,  reelle  Zahl  darstellt,  so  ersetze  man 
B  durch  —  wo  dann  Bx  pos-  aufzufassen  ist.  Lüsst  man  in  der 
Folge  den  Acceut  wieder  fallen,  so  hat  man 

o*  -  %  -  B 

Sobald  nun  B  einen  von  0  verschiedenen  pos.  Wert  hat,  so  können 
nach  diesem  Ausdrucke  für  die  Geschwindigkeit  keine  unendlich 
grossen  Werte  von  r  in  Betracht  kommen,  uud  die  Wegcurvo  kann 
n  diesem  Falle  das  Unendliche  nicht  erreichen.  Da  im  allgemeinen 
dr 

durch  eine  Quadratwurzel  ausgedrückt  wird,  so  ist  es  erlaubt,  die- 
selbe hier  neg.  aufzufassen  und 


zu  setzen.  Die  Realität  der  Bewegung  erfordert  nun,  dass  (ti*—A*) 
einen  pos.  Wert  habe.   Setzt  man  wieder  abkürzend 


so  folgt 


dr  1 ,\ 


es  ist  daher  absolut  notwendig,  dass  ~  längs  des  ganzen  Weges 

grösser  als  l  sei,  und  diese  Bedingung  wird  nur  dann  erfüllt,  wenn 
r  kleiner  als  ab  ist.   Der  grösste  Wert,  den  r  annehmen  kann,  ist 

ß  — ,  und  da  für  diesen  Wert  dio  Geschwindigkeit  durch  AyB 
dargestellt  werden  kann,  so  ist  durch  die  aufgestellte  Bedingung  für 


v 


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Bigltr:  Bewegung  eines  Funkten  unter  einer  Centraikraft.  441 

r   aueh  die  Realität  von  o  gesichert.    Es   ist    daher  angezeigt, 

ab  durch  cofgt»  zu  ersetzen  und 
r 

ab 

anzunehmen.  Zu  r  =  ab  gehört  g>  =-  Ü  und  zu  r  —  0  gehört  <p  —  oc. 
Die  neue  Variable  <jc-  läuft  dah^r  vou  0  bis  od.  Mittelst  dieser  Sub- 
stitution lässt  sich  nun  die  Ableitung  von  r  nach  der  Zeit  durch 

Br 

Bt  a  —  c  81U  v 

darstellen  und  verschwindet  nur  in  <?  0,  wo  also  für  r  ein  Minimum 
vorhanden  ist.  Im  übrigen  behält  csin<p  längs  des  ganzen  Weges 
für  pos.  Werte  von  <p  seinen  pos.  Wert  bei,  uud  daher  ist  bei  wach- 
sender Zeit  der  radius  vector  im  Abnehmen  begriffen. 

Daher  ist  es  angezeigt,  den  Anfang  der  Zeit  in  den  Punkt  r  *=*ab 
zu  verlegen.    Ersetzt  man  in  der  Gleiehuug 


dr 

dt  =  -•  ; 

0  (in  y 


/       ab  ftn  <P  \ 

<!r  durch         co).  i—fi-pj,  so  folgt 


ab        d(p  ab 
dt  =     -  .      ,        =>       .  d  taug  qp 
c       CO)  »  qp        C  J 

Wird  nnn  diese  Differentialgleichung  von  tp  —  0  an  integrirt,  so  er- 
hält man 

ab  . 
*  =  —  tang  <p 

als  Ausdruck  für  die  Zoit,  welche  der  Massenpunkt  m  nötig  hat, 
um  vom  Punkte  (r,  tp)  der  Bahn  nach  dem  Punkte  (r  —  ab,  <p=>0) 

ab 

zu  gelangen.    Ferner  ist  —  die  Zeit,  welche  der  Körper  vi  braucht, 

um  vom  Punkte  r  =  a  b  an  den  ganzen  spiralfärmigcn  Weg  bis  zum 
Kraftmittclpunktc  zu  durchlaufen.  Wir  suchen  auch  hier  eine  Re- 
lation zwischen  der  Variabein  <p  und  dem  Winkel  w  aufzustellen. 
Bekanntlich  ist  die  doppelte  Flächengeschwindigkeit 


A  -  •* 


und  weil  A  «=  bc  ist,  so  hat  man 


442 


Bigler:  Bewegung  eines  Ihinktes  unter  einer  Ce.ntratkrafi. 


die  =  bc  .  - 

Wenn  hier  dt  pos.  aufgofasst  wird,  so  muss  auch  dw  pos.  sein,  und 
mit  wachsender  Zeit  ist  daher  auch  <r  im  Wachseu  begriffen.  Er- 
setzt man  dt  und  r*  durch  die  Functionen  in  <p,  so  folgt 

a  die  —  d<p 

also 

cur  =  <jp 

wenn  mit  <p  =  0  auch  w  =  0  sein  soll.  Die  Bahn  des  materiellen 
Punktes  wird  daher  durch  die  Gleichung 

ab 

r  =  — f  

CO]  air 

bestimmt,  wo  i<<  der  Winkel  ist,  den  der  Leitstrahl  mit  der  x-Axe 
bildet.  Dieselbe  ist  daher  eine  Spirale,  welche  im  Punkte  ab  der 
ar-Axo  beginnt  und  den  Kraftmittelpunkt  in  immer  enger  werdenden 
pos.  Windungen  umgibt,  um  in  demselben  selbst  zu  endigen.  Wenu 
w  pos.  sehr  gross  ist,  so  darf  man  cofaw  durch  \ea,r  ersetzen  und 
in  unmittelbarer  Nähe  des  Ursprunges  lässt  sich  daher  die  Spirale 
durch 

r  —  2abe-atr 

darstellen.  Dieselbe  hat  hier  Aehnlichke;t  mit  einer  log.  Spirale. 
Da  in  unserer  Rechnung  auch  negative  Werte  von  w  zulässig  sind, 
so  kanu  der  Weg  auch  durch  eine  Spirale  dargestellt  werden,  welche 
vom  Punkte  ab  an  den  Kraftmittelpunkt  in  neg.  Windungen  um- 
gibt.   Das  Wegelement  wird  durch  die  Gleichung 

bestimmt.  Führt  man  hier  an  Stelle  von  r  und  w  die  Variable  <p 
ein,  so  erhält  mau  nach  einigen  Reduktionen  die  Gleichung 

*■  -  cof  „■  •  (-»+    J  cofV)V 
Setzt  man  nun  abkürzend 

  ---  /■* 

1  +  a* 

und  führt  mittelst  der  Substitution 

t  1  C(u) 

die  Variable  u  in  die  Rechnung  ein,  so  hat  man,  weil 


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Bigltr:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Cenlralkrajt. 


443 


ist, 

ds  «  ^  .  D*(u)  rfu 

ist  g>  =  0,  so  muss  u  A'  sein,  und  ist  <p  =  a,  so  ist  »  =  Wenn 
daher  die  Variable  <p  von  0  bis  zum  pos.  Unendlichen  stetig  wächst, 
so  sinkt  u  fortwährend  von  üeui  pos.  Werte  A'  auf  0  herab.  Um  daher 
die  Länge  des  Weges  vorn  Punkte  (r  —  0,  <p  =  »)  bis  zu  einem  be- 
liebigen Punkte  (r,  der  liahu  zu  erhalten,  iutegrire  man  obige 
Gleichung  von  »<  =  0  au  bis  zu  einem  beliebigen  Werte  von  u. 
Man  erhält  so 

M 


—  I - .  /  n*  tc)du  =  k  .  £anu 


Um  die  Länge  des  ganzen  Weges  zu  erhalten,  ersetze  man  die 
obere  Grenze  des  Integrals  durch  A*  und  findet 

ab  t, 
8  ~  .  .  E 
k 

als  Gesamtlänge  der  Spirale. 

Ersetzt  man  in  dem  bekannten  Ausdrucke  ^ fur  das  Fläehen- 

ab  drp 

element  die  Constante  A  durch  b<-  und  Ut  durch      .     ...    ,  so  hat 

c      co)  ■  cp 

man 

ab2 

dS  —         tano  <j> 

als  Inhalt  des  Sectors,  welcher  vom  Radius  in  der  kleinen  Zeit  dt 
durchlaufen  wird.  Integrirt  man  diese  Gleichung  von  q>  =  0  an  bis 
in  einem  beliebigen  Werte  vou  <p,  so  folgt 

S=  -2  tüitg<p 

Der  Inhalt  der  Fläche,  welche  vom  Leitstrahle  auf  seinem  ganzen 

ab2 

Wege  durchlaufen  wird,  kann  daher  durch   ,    ausgedrückt  werden. 


nmM      „        l         ,  .  ,1  nAf 

b)    K  -  -pir  ;    /"(r)  =  /(r)  =  0  -  r, 

Die  Kraft  ist  hier  pos.  angenommen,  und  daher  wirkt  sie  ab- 
stossend  [auf  den  Massenpunkt  m  ein.    Die  Wegearve  wird  somit 


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444  Bigltr :  Bewegung  eines  Punktes  unttr  einer  Centraikraft. 

dem  Kraftmittelpunkte  die  convexe  Seite  zukehren.  Setzt  man  auch 
hier  wieder  abkürzend    (i*  —  n  My  so  ist 

und  es  ist  daher  absolut  notwendig,  dass  B  eine  von  null  verschic- 

u 

dene  pos.  Zahl  sei.    Daun  ist  aber  r  an  die  Bedingung  r  >  ^ ^ 

gebunden.  Das  pos.  Unendliche  ist  daher  für  r  zugänglich.  Ferner 
hat  man 


:  -  Vi"  - 


Setzt  mau  auch  hier  abkürzend 

d!±t* _ „,.  £  =  4,.  a_ 

A*  1     B  ' 

also 

so  hat  man 


Wenn  «laher  pos.  aufgefasst  wird,  so  muss  auch  rfr  pos.  sein,  und 
mit  wachsender  Zeit  ist  daher  auch  r  im  Wachsen  begriffen.  Ferner 

ab 

muss  r  beständig  grösser  als  ab  sein,  damit       kleiner  als  l  aus- 

r 

ab 

falle.   Es  ist  daher  angezeigt,  -  durch  cos  9  zu  ersetzen,  also 

ab 

r  =>  

COS  q> 

anzunehmen.   Da  für  r  auch  neg.  Werte  zulässig  sind,  so  ist  in 
allgemeinen  die  Variable  <p  an  keine  Beschränkuug  gebundeu.  Im 
folgenden  habe  ich  aber  diejenige  Wcgcurve  im  Auge,  welche  inner- 
n  n 

halb  <p  =»  —  und  <p  —  . .  liegt.  Mittelst  dieser  Substitution  er- 
hält  man 

c  Bin  <p 


Weil  aber  auch 

ist,  so  hat  man  auch 

folglich  ist  allgemein 


dt 

ü6fin<p 

rfr  mm  d  m 

COS*<p  T 

elf  =      .  fi  tg  q> 
c 


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Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft.  445 

ab 

<  —  -—  .  tgg»  -f-  CüUSt. 

c 

Soll  nun  aber  der  Anfang  der  Zeit  im  Punkte  (r  —  ab,  ^  ~  0)  der 
Bahn  liegen,  so  muss  die  Constante  gleich  null  sein,  und  in  diesem 
Falle  darf  man 

ab 

-  •  tg <p 

setzen.   Weil  ferner 

dt    dt  l 

=.  A   i  i  -  dop 

rz     r*  abe, 

ist,  so  hat  man  auch 

adtr  —  dtp 

somit 

Die  Gleichung  der  Wegearve  ist  daher 

ab  ab 

r      -----       und    /  =  tg«w 

Die  beiden  Asymptoten,  die  zugleich  durch  den  Ursprung  gehen, 

bilden  einen  Winkel  von  der  von  der  z-Axe  halbirt  wird.  Ferner 
ist 

Ojfl  «  d**+(rdw)'  -  .  (ri-(^2^,cos2«^)f/»rS 

und  somit 

a*b         \/T     a*    -  l "      ~  \ 

cos  w  r  v     ««  cort^j-*° 

Da  nun  hier  a  beständig  grösser  als  1  ist,  so  setze  man  abkürzend 

a*-l 


und  führe  mittelst  der  Substitution 

cosaw  =  S(tt) 
die  neue  Variable  u  in  die  Rechnung  ein.   Weil  dann 

* 

die  =-  —  -  D{u)  du 

ist,  so  hat  man 

iis  =  — ab  .  -       .  r/u 

also 


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44G  Bigler:  Bewegung  eines  Punktes  unter  einer  Centraikraft. 


Nun  ist  aber 
somit 


K 

V 


du\s  )  1  6  S*<«) 


Wird  nun  dieser  Wert  für  iu  den   obigen  Integralausdruek 

substituirt,  so  erhält  mau  schliesslich 

.-«»[«^-(s-Eu^+^r-] 

als  Ausdruck  für  die  Länge  der  Wcgcurve  vom  Punkte  (r  =  «, 
u  =  A")  bis  zum  Punkte  (r,  «),  wo  u  durch  die  Gleichung 

cos  a if  ■=»  s(u) 

bestimmt  wird. 


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Mincellen. 


447 


XIX. 

Miscellen. 


i. 

l'eber  die  Anzahl  der  Primzahlen  innerhalb  einer  beKtlminten 

Grenze. 

Nach  unserer  desfälligen  Notiz  in  diesem  Archiv  ist  die  Anzahl 
der  Primzahlen  innerhalb  einer  Grenze  s*  =•  (4»)*  annähernd  gleich 
2x2  +  10x-fG  0> :  =  0,  1,  2,.  .  .  )•  Ist  nun  die  Grenze  G  nicht 
gleich  einer  Quadratzahl  (4n)*,  so  kann  man  für  x  in  die  Formel 

2z8  +  10  a-+ 6  den  Betrag  yvk  —  1  einführen.    Dann  erhält  man 
für  eine  beliebige  Grenze  G  annähernd  die  Anzahl  der  Primzahlen. 
Beispiel : 

G  -  1000 

1(16°     62'5    1/62,5  -  7,9 

2  •  (6,9)*+  10  .  6,<J  -f  6  -  170,22 

Die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  1000  ist  168,  also  annähernd  170. 

G.  Speckmann. 


2. 

Teber  Primzalilenmeii?eii. 

Zur  Ergänzung  unserer  Notiz  „lieber  Primzahlen14  möchten  wir 
noch  mitteilen,  dass  mau  für  eine  beliebige  Grenze  G  annähernd 


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448  Miellen. 

die  Grenze  der  PrimzahleD  dadurch  bestimmen  kann,  dass  man  in 

I  /  & 

die  Formel  ?3*)-f  ux-f  6  für  x  den  Betrag  y  -  —  1  einführt.  Es 
ist  also  für  jede  beliebige  Grenze  G  die  Anzahl  der  Primzahlen  <<  G 

annähernd  gleich  b-+  öl/ri-S  G.  Speckmann. 


8. 

Formeln  für  Primzahlen. 

Jede  Primzahl  >  3  hat  die  Form  6n  +  l,  und  alle  Primzahlen 
>  3  kommen  deshalb  in  der  Zahlenreihe  6n  +  1  vor.  Die  teilbaren 
Zahlen  der  Reihe  Gw^pi  sind  in  den  Reihen 

1)  „s_f-6«w  ) 

2)  ;,*+2;,-fGH,>  j  (v  ~  Prim*ahl  V0D  der  Form  C"  l) 

und 

4)   £+!p  +  6»/>  }  (>'  =  Primzahl  V0D  dcr  Form  6n+1) 

vorhanden.  Demnach  müssen  die  nach  Streichung  der  teilbaren 
Zahlen  von  der  Form  G»  +  1  übrig  bleibenden  Primzahlen  durch  die 
Formeln 

6)}   ^1+2^6^+2}  (P  "  PrimZahl  V°n  dCr  F°rm  6"~l) 

und 

2  $+*£+ev+*\      "  ™™M       der  Form  6.+« 

dargestellt  werden  können.  Die  Primzahlen,  welche  aus  den  Formeln 
b)  uud  7)  hervorgehen,  haben  nebenbei  auch  die  Form  8»-l,  und 
die  Primzahlen,  welche  aus  den  Formeln  6)  und  8)  hervorgehen,  die 
Form  6»-j-l.  G.  Speckmann. 


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Literarischer  Bericht  LX1 


1 


Litterarischer  Bericht 

LXI. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

History  of  modern  mathematics .  By  David  Eugene  Smith, 
Professor  of  matbematics  in  Michigan-State  Normal  Schoo!.  Re- 
printed  from  „Higher  mathematicsu.  Published  by  John  Willy 
and  sons,  New- York.  Chapman  aud  Hall.  Limited,  London  1896. 
70  S. 

Das  Werk  ist  eine  zeitgemässe  und  verdienstliche  Unternehmung, 
wie  sie  wol  in  gleichem  Sinne  bisher  noch  nicht  in  Angriff  genommen 
worden  ist.  Es  ist  charakteristisch  für  unser  Zeitalter,  dass  die 
Richtungen  der  mathematischen  Forschung  sich  immer  schneller  ver- 
vielfältigt haben,  indem  Zweige  der  Doctrin  immer  neue  Fragen  und 
Probleme  hervorriefen.  Hiernach  erscheint  nun  eine  übersichtliche 
Zusammenstellung  der  gegenwärtigen  Forschungsrichtungen  als  ein 
immer  wachsendes  Bedürfniss.  Mit  gutem  Grunde  beschränkt  sich 
die  vorliegende  Bearbeitung  auf  das  Notwendige  und  beobachtet  die 
grösst  mögliche  Kürze.  Nur  die  Ketten  der  Untersuchungen,  welche 
gemeinsames  Ziel  anstreben,  sind  es,  was  aus  der  Litteratur  zuge- 
zogen wird.  Yon  jeder  solchen  Untersuchungsfolge  wird  der  Ur- 
sprung nach  Autor  und  Jahrzahl  angegeben,  auf  dessen  Schrift  in  Fuss- 
noten verwiesen,  ferner  die  Abzweigungspunkte,  in  denen  verschiedene 
Autoren  eine  Untersuchung  von  eigentümlicher  Seite  angegriffen 
haben,  bemerkt,  auch  der  Standpunkt  der  noch  ungelösten  Frage  ans 

Arch.  d.  Math.  u.  Phy*.   2.  Reibe,  T.  XVI.  | 


2 


Litterarücher  Bericht  LX1. 


Licht  gestellt.  Dagegen  werden  alle  Beiträge,  welche  die  Frage  un- 
verändert bestehen  lassen,  übergangen  und  über  die  Motive  der 
Untersuchungen  keine  Kritik  geübt,  mithin  kein  Unterschied  ge- 
macht, ob  eine  solche  durch  ein  vorhandenes  Problem  gefordert  wird 
oder  nicht,  sondern  allein  als  massgebend  betrachtet,  dass  Viele  der 
eröffneten  Bahn  gefolgt  sind.  IS  Zweige  der  Doctrio  sind  getrennt 
behaudelt.  Mechanik  sowie  alle  weitern  Anwendungen  der  Mathe- 
matik sind  ausgeschlossen.  H. 


Index  operum  Leonardi  Euleri.  Confectus  a  Joanne  G. 
Hagen  s.  j  Directore  speculae  astronomicae  Collegii  Georgiopolitani 
Washington  Ü.  C.   Berlin  1*96.    Felix  L.  Dames.   8Ü  S. 

Es  werden  796  Schriften  von  Euler,  grösstenteils  in  lateinischer 
Sprache,  auch  mauche  in  französischer  aufgeführt,  und  zwar  28 
Bücher.  Die  Gegenstände  der  Abhandlungen  siud:  Zorleguug  der 
Zahlen  in  Summen,  Teilbarkeit  der  Zahlen,  diophautische  Analysis. 
imaginäre  Grössen,  Keinen,  besondere  Reihen,  Brüche,  algebraische 
Gleichungen,  elemetare  Geometrie  ,  analytische  Geometrie,  Differen- 
tialgeometrie, Differentialrechnung,  Integralrechnung ,  bestimmte  Inte- 
grale, Differentialgleichungen,  Variationsrechnung,  Principieu  der 
Mechanik,  Probleme  der  Mechanik,  Hydromechanik  und  Aeromecha- 
uik,  Maschinen  und  Reibung,  Eiasticität,  Schall  und  Musik",  Licht 
und  Wärme,  optische  Instrumente, Magnetismus,  sphärische  Astronomie, 
Sonne  und  Mond,  Planeten  und  Kometen,  Wahrscheinlichkeit,  Philo- 
sophisches. H. 


Beiträge  zur  Geschichte  der  Trigonometrie.  Von  A.  von  Brau- 
müh 1.  Mit  1  Tafel  Nr.  L  Halle  1897.  Wilhelm  Eugelmauu  in 
Leipzig.   4°.    3u  S. 

■ 

Die  vorliegende  Schrift,  welche  auf  selbständiger  Forschung  be- 
ruht und  manche  Unrichtigkeiten  enthüllt,  behandelt  nach  einander 
die  Trigonometrie  der  Griechen,  der  Inder,  der  Araber  und  schliesst 
mit  Johannes  Müller  Regiomoutanus.  Lange  Zeit  bestand  die  Doctrio 
aus  wenigen  Methoden,  Sätzen  und  Formeln,  welche  zur  Lösung 
astronomischer  Aufgaben  in  Auwendung  waren,  eine  Anwenduug  die 
auf  Projection  beruht,  von  den  Griechen  erfunden  ist,  von  denen  sie 
die  Babylonier  gelernt  haben.  Regiomantanus  war  in  Europa  der 
erste,  welcher  die  Trigonometrie  zuerst  zu  einer  Wissenschaft  ge- 
staltet hat.  Erst  viel  später  entdeckte  man,  dass  schon  200  Jahr 
früher  ein  Perser  das  vollständige  System  der  Lehren  aufgestellt 
hat.  H. 


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Literarischer  Bericht  LX1. 


8 


Nassir  Eddin  Tusi  und  Regiomontan.  Von  A.  t.  Braumühl. 
Mit  2  Tafeln  Nr.  II.  und  III.  Halle  1897.  Wilh.  Engelmann,  Leip- 
zig.  4Ü.   37  S. 

Nassir  Eddin  Tusi  ist  der  obengenannte  Perser,  welcher  im  13. 
Jahrhundert  die  vollständige  Trigonometrie,  ebene  und  sphärische, 
lehrte.  Sein  Buch,  besprochen  von  Suter  in  Bibliotheca  Mathematica 
1873  p.  1—8,  ist,  wie  die  erstere  Schrift  von  Braumühl  sagt,  den 
Arabern  nicht  bekannt  gewesen  und  wird  nun  mit  den  Lehren  der 
Araber  im  einzelnen  in  Vergleich  gestellt.  Das  Lehrsystem  lässt 
sich  daraus  nicht  entnehmen;  nach  allem  daraus  Angeführten  ist  es 
kein  so  einfach  gestaltetes  wie  das  heutige.  Im  zwoiten  Teile  der 
Schrift  wird  die  Lehre  des  Regiomoutan  damit  verglichen.  H. 


F.  E.  Neu  mann.  Von  A.  Wangerin.  Sonderabdruck  aus 
dem  Jahresbericht  der  Deutscheu  Mathematiker- Vereinigung  IV. 
1894-5.    Berlin,  Georg  Reimer.    15  S. 

Franz  Ernst  Neumann,  geboren  den  11.  September  1798  in 
Joachimsthal ,  besuchte  von  seinem  9ten  Jahre  an  das  Werder'sche 
Gymnasium  in  Berlin,  studirte  von  1817  an  Theologie  in  Berlin  und 
Jena,  wandte  sich  1819  in  Berlin  den  Naturwissenschaften  zu,  ins- 
besondere der  Mineralogie,  trieb  aber  dabei  privatim  Mathematik, 
hielt  1823  eine  Reihe  von  Vorlesungen  über  seine  neue  Methode  der 
Krystallprojection  vor  einem  ausgewählten  Kreise  von  Zuhörern, 
promovirte  1820,  habilitirte  sich  an  der  Universität  Königsberg,  ward 
1828  ausserordentlicher,  1829  ordentlicher  Professor  daselbst  und 
starb  am  23.  Mai  1893.  Seine  ausgedehnte  und  erfolgreiche  Wirk- 
samkeit ist  bekannt.  Seine  wissenschaftliche  Productivität  ist  nur 
zu  verhäitnissmässig  geringem  Teil  durch  eigene  Publication  zur  Ver- 
breitung gelangt,  im  übrigen  teilte  er  seine  Entdeckungen  bloss  seinen 
Zuhörern  mit.  Gegenwärtig  ist  es  indes  von  Seiten  dieser  im  Werke, 
seine  Vorlesungen  herauszugeben,  und  sind  bis  1895  bereits  7  Be- 
arbeitungen erschienen-,  beteiligt  sind  die  Herren  C.  Pape,  Von 
der  Mtihll,  E.  Dorn,  G.  E.  Meyer  und  A.  Wangerin. 

H. 


Die  Arithmetik  des  Elia  Misrachi.  Ein  Beitrag  zur  Ge- 
schichte der  Mathematik.  Von  Gustav  Wertheim,  Professor  an 
der  Realschule  der  israelitischen  Gemeinde  zu  Frankfurt  a.  M.  Zweite, 
verbesserte  Auflage.   Braunschweig  1896.   Vieweg  uud  Sohn.  68  S. 


4 


LÜUrarüchtr  Bericht  LXL 


Elia  Misrachi  war  von  1495  bis  1626  Oberrabiner  in  Constanti- 
uopcl,  in  der  ersten  Zeit  der  Türkenherrschaft,  wo  die  Sultane  die 
ans  Spanien  vertriebenen  Juden  mit  grosser  Begünstigung  aufnahmen 
nnd  ihnen  hohe  Aemter  verliehen,  nnd  die  Juden  Handwerke,  Künste 
und  Wissenschaften  trieben,  ein  Eifer  freilich,  der  nicht  lange  gedauert 
hat.  Das  in  Rede  stehende  Bnch  ist  eines  seiner  in  hebräischer 
Sprache  verfassten  und  unter  hebräischen  Titeln  aufgeführten  Werke. 
Es  werden  einige  Quellen,  arabische  und  griechische,  genannt,  ans 
denen  seine  Lehre  geschöpft  ist.  Vor  allem  ist  zu  erwähnen,  dass 
er  mit  indischen  Ziffern  schreibt  und  rechnet,  die  Kuli  anwendet, 
nebenbei  manchmal  hebräische  Buchstaben  statt  der  9  Ziffern  schreibt, 
nebenbei  auch  ausser  der  sonst  zugrunde  gelegten  Decimalteilang 
die  Sexagesimalteilung  zur  Approximation  benutzt.  Dagegen  fehlt 
ihm  ganz  der  Begriff  der  negativen  Zahl ;  er  muss  daher  immer  Fälle 
unterscheiden.  Bei  der  Addition  und  Multiplication  werden  auch 
die  arithmetischen  und  geometrischen  Reihen  in  Betracht  gezogen 
und  summitt.  Bei  der  Potenzrechnung  handelt  es  sich  besonders  um 
die  Ausziehung  der  Quadrat-  und  Kubikwurzel;  das  Verfahren  ist 
dem  heutigen  wesentlich  gleich;  zur  Approximation  wird  der  Radi- 
cand  mit  lu2»  multiplicirt.  Auf  die  hiermit  abschliessende  Lehre 
von  der  discreten  Zahl  folgt  nun  in  der  Bedeutung  als  Rechnung 
mit  stetigen  Grössen  die  rechnende  Geometrie  und  Astronomie  ,  das 
ist  dann  nur  die  Rechnung  mit  benannten  Zahlen.  H. 

ün  nouveau  texte  des  trait6s  d'arpentage  et  de  geomelrie 
d'Epaphroditus  et  de  Vitruvius  Rufus  public  d'apres  le 
ms.  latin  13084  de  la  bibliotheque  royale  de  Munich  par  M.  Victor 
Mortet.  Avec  une  introduetion  de  M.  Paul  Tannery.  Tire  des 
notices  et  extraits  des  manuBcrits  de  la  bibliotheque  nationale  et 
autres  bibliotheques.  Tome  XXXV.  2*  partie.  Paris  1896.  C. 
Klincksieck.   4°.   44  S. 

Die  Einleitung  von  Tannery  gibt  Auskauft  aber  die  Quellen, 
nämlich  lückenhaften  Manu  Scripte  aus  dem  Mittelalter,  aus  denen 
Cantor  und  Curtze  den  Text  der  2  genannten  Abhandlungen  Ober 
Feldmessung  und  Geometrie  zusammengestellt  haben.  Diesen  Quellen 
fügt  nun  Mortet  ein  neues,  in  der  Münchener  Bibliothek  gefun- 
denes Manuscript  hinzu  und  gibt  hier  auf  18  Seiten  den  lateinischen 
Text.  Die  eine  Abhandlung  enthält  die  Berechnung  der  Flächen- 
inhalte der  einfachsten  ebenen  Figuren,  die  andre  die  der  Säulen. 

H. 

Hermann  Grassmaun's  gesammelte  mathematische  und  phy- 


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Litterarücher  Bericht  LXI. 


6 


si  kaiische  Werke.  Auf  Veranlassung  der  mathematisch- physikalischen 
Klasse  der  Kgl.  Sächsischen  Gesellschaft  der  Wissenschaften  and 
unter  Mitwirkung  der  Herren  Jakob  Lüroth,  Eduard  Study, 
Justus  Grassmann  der  Jüngere,  Georg  Scheffers  herausge- 
geben von  Friedrich  Engel. 

Ersten  Bandes  erster  Theil:  Die  Ausdehnungslehre  von  1844 
und  die  geometrische  Analyse.  Unter  Mitwirkung  von  Eduard 
Study.  Mit  einem  Bilde  Grassmann's  in  Holzschnitt  und  35  Figuren 
im  Text.   Leipzig  1894.   B.  G  Teubner. 

I.  Band.  II.  Theil:  Die  Ausdehnungslehre  von  1862.  Leipzig 
1896.   B.  G.  Teubner. 

Die  letztere  Ausdehnungslehre  unterscheidet  sich  von  der  er- 
steren  dadurch,  dass  Grassmann  von  vorn  herein  darauf  verzichtet, 
sein  System  unabhängig  von  der  Analysis  zu  entwickeln.  Engel  be- 
zeichnet dies  als  einen  wesentlichen  Fortschritt:  erstere  stehe  auf 
keiner  ganz  sichern  Grundlage;  die  Grundbegriffe,  von  denen  Grass- 
mann ausgehe,  seien  so  altgemein  und  so  inhaltslos,  dass  sie  zum 
Aufbau  eines  wirklichen  Systems  nicht  genügen,  und  Grassmann 
müsse  daher,  um  zu  einem  solchen  Systeme  zu  gelangen,  später  still* 
schweigend  in  seine  Grundbegriffe  viel  mehr  hineinlegen,  als  die  von 
ihm  aufgestellten  Erklärungen  besagen. 

Nun  hat  aber  Grassmann  bei  erstem  Auftreten  auf  jene  Allge- 
meinheit den  grössten  Wert  gelegt  und  es  als  seinen  unterscheiden- 
den didaktischen  Grundgedanken  ausgesprochen:  wenn  irgend  ein 
Punkt  in  der  mathematischen  Doctrin  schwer  zu  verstehen  sei,  so 
sei  nur  der  Ausgangspunkt  der  Doctrin  nicht  allgemein  genug.  Hat 
danu  Grassmaon  in  der  neuen  Bearbeitung  diesen  Grundgedanken 
fallen  lassen,  und  Engel  denselben  verworfen,  d.  h.  nicht  als  un- 
wesentlich beseitigt,  sondern  es  wirklich  einen  Fortschritt  genannt, 
dass  er  aufgegeben  sei,  so  kann  man  doch  gewiss  nicht  umhin  zu 
fragen:  Was  ist  dann  die  unterscheidende  Basis  von  Grassmanns 
Lehre? 

Darüber  sagt  Engel  absolut  nichts.  Alles,  was  er  sagt,  ruft 
dieselbe  Frage  hervor.  Ein  Fortschritt  setzt  doch  ein  Ziel  oder 
wenigstens  eine  Richtung  voraus.  Die  Behauptung,  dass  die  neue 
Lehre  einwandfrei  sei,  ist  gerade  hier  besonders  zweideutig,  denn 
gegen  Inhaltsloses  kann  man  nicht  streiten.  In  der  neuen  Bearbei 
tuog  hat  der  Herausgeber  viele  Unrichtigkeiten  gefunden  und  in 
gegenwärtiger  Ausgabe  berichtigt.   Er  erklärt  die  Irrtümer  für  un- 


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Litterarischer  Bericht  LX1. 


wentlicb.  Auch  hier  muss  man  fragen:  Was  ist  dann  des  Wesent- 
liche von  der  Lehre?  Er  bemerkt,  dass  die  Ausdehuuugslehre  selbst 
in  der  verbesserten  Gestalt  noch  bei  Wenigen  Anerkennung  gefunden 
habe,  und  sorgt  zwar  für  Verbreitung  und  Zogänglichkeit  des  Buches, 
aber  mit  keinem  Worte  dafür,  ihre  Stellung  und  Leistung  in  der 
Wissenschaft  zu  documentiren,  trotz  der  50jährigen  Erfahrung,  dass 
ihr  Vorhandensein  allein  nicht  dazu  geführt  hat 

Der  2.  Teil  hat  die  Abschnitte :  die  wichtigsten  Verknüpfungen 
extensiver  Grössen;  Functionslehre;  Grassmann's  Untersuchungen 
über  das  Pfaff'sche  Problem.  Der  erste  enthält  die  5  Capitel : ;  Ad- 
dition, Subtraction,  Vervielfachung  und  Teilung  extensiver  Grössen ; 
die  Productbildung  im  allgemeinen;  combiuatorisches  Product;  in- 
neres Product;  Anwendungen  auf  die  Geometrie  —  der  zweite  die 
4  Capitel:  Functionen  im  allgemeiuen;  Differentialrechnung;  unend- 
liche Reihen;  Integralrechnung.  H. 


Methode  und  Prineipien. 

Kritik  der  Formel  der  Newton'schen  Gravitations-  Theorie.  Von 
A.  Sinram.   Hamburg  1696.   Lucas  Gräfe  u.  Sillem.   44  S. 

Die  Schrift  ist  ein  neuer  Versuch  die  bestehende  Himmelsmechanik 
zu  stürzen.  Dies  wird  hier  auf  rhetorischem  Wege  in  Augriff  ge- 
nommen, anders  lässt  sich  das  Verfahren  wol  kaum  bezeichnen:  es 
ist  fern  von  aller  wissenschaftlichen  Logik;  so  viel  Schlüsse  vorkom- 
men, sind  die  Argumente  so  voreilig  und  unzureichend  als  möglich. 

Hoppe. 

Demonstration  de  l'axiome  XI.  d'Euclide.  Par  Michel  Fro- 
lov,  Membre  de  la  Societe  Mathematiques  de  France.  Dcuxieme 
edition.    Geneve  1896.   W.  Kundig  et  ffls.   22  S. 

Der  Fehler  des  Beweises  ist  kein  verborgener.  Der  Verfasser 
ist  durch  seine  Figur,  nämlich  die  zu  Theorem  C,  getäuscht ;  welche 
nur  unter  Voraussetzung  der  zu  beweisenden  Thesis  die  der  Be- 
hauptung entsprechende  Lage  der  gezeichneten  Lote  darbietet.  Da 
dieses  Theorem  im  Grunde  mit  den  Parallelensatze  identisch  ist,  so 
konnte  man  gewiss  sein,  den  Feblschluss  darin  zu  finden. 

Hoppe. 


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Litterarißcher  Bericht  LX1. 


7 


Der  Festpunkt  des  Denkens.  Von  H.  Gimler.  Lissa  i.  P. 
1896.    Friedrich  Ebbecke.   22  S. 

Die  Schrift  besteht  ans  46  Urteilen  über  Lebewesen ,  Tätigkeit, 
Gleichgewicht,  Ganzes  und  Teile,  Verständigung,  Ausdehnung  und 
Zusammenziehung,  Druck,  Intensität,  Verhältnisse  , Wahrheiten,  einzeln 
nebst  sogenanntem  Beweis  und  Bestätigung,  zumteil  selbstverständ- 
lich, zumteil  unklar,  und  schliesst  mit  dem  Satze:  Die  Anordnung 
der  Lebowesen  bildet  den  Festpunkt  des  Denkens. 

Hoppe. 


Ein  Deutsches  Testament.  Die  Natur  als  Organismus.  Von 
Hugo  Astl-Leon  hard.    Wien  181)7.   Selbstverlag.    2t>2  S, 

Der  erste  Titel  soll  dem  Gesamtwerk  gelten,  der  zweite  dem 
jetzt  erschieneneu  1.  Teile,  dem  uoch  2  andere  folgen  sollen.  Der 
1.  Teil  besteht  wieder  aus  3  „Büchern"  mit  den  Ueberscbriften:  Das 
antiko  und  moderne  Wissen  und  die  Erkenntnisssätze  der  Wirklich- 
keit; die  Materie  und  ihre  Reiche,  ihre  Entwickelnng  als  Spannung 
und  Entladung;  der  Mensch  und  sein  Geistesleben.  Es  wird  viel 
Gelehrsamkeit  .vorgetragen,  doch  eine  fortschreitende  Entwickelung 
lässt  sich  dariu  nicht  entdecken.  Die  Lösung  der  philosophischen 
Fragen,  vou  der  der  Verfasser  sagt ,  dass  sie  sich  ihm  ohne  Zwang 
und  ohne  Speculation  ergab,  denkt  er  sich  sehr  leicht:  er  stellt  eine 
Formel  auf,  damit  ist's  getan;  ob  sie  klar  ist,  kümmert  ihn  nicht; 
jedenfalls  kann  man  damit  nichts  anfangen.  Hoppe. 


Das  Beharrungsgesetz.  Vou  Paul  Johannesson.  Berlin 
1896.  R.  Gaertner  (Hermann  Heyfclder).  4°.  26  S.  Wissenschaft- 
liche Beilage  zum  Jahresbericht  des  Sophien-Realgymnasiums  in 
Berlin.    Ostern  1896. 

Die  5  Teile  der  Schrift  sind:  Die  Form,  der  Inhalt  des  Be- 
han  ungsgesetzes.  Die  Irrtumquelle  desselben.  Welchen  Wert  hatte 
es?  Seine  Wahrheit  iu  neuer  Form  Gleich  im  Anfang  ist  es  höchst 
brav  gesprochen,  wo  der  Verfasser  sagt:  Es  ist  erklärlich,  wenn 
Newton  als  Schöpfer  der  Himmelsmechanik,  im  Ausdruck  fehlend, 
der  Beharrung  eine  Kraft,  ein  Vermögen  unterlegt;  abir  darüber 
muss  mau  sich  wundern,  dass  noch  heutzutage  viele  Schulbücher 
denselben  Irrtum  lehren.  Charakteristisch  für  den  Gedankengang  iu 
vorliegender  Schrift  ist  es  nun,  dass  sie  ihren  Gegenstand  nicht 
direct  nach  eigenem  Urteil  anfasst,  sondern  Begriff  und  Theorie  als 


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8 


Litteraruchtr  Stricht  LXl. 


heutzutage  geltende  den  Ansichten    von  Schriftstellern  entnimmt, 
genannt  sind:  Lodge,  C.  Nrumann,  Mach,  L.  Weber,  Streintz  — 
und  über  diese  Kritik  übt.    Dadurch  wird  die  an  sich  einfache 
Untersuchung  sehr  in  die  Länge  gezogen,  fremde  und  trennbare 
Fragen  mit  eingemischt  und  immer  grössere  Verwickelungen  ge- 
schaffen.   Doch  hat  dieser  Weg  wenigstens  die  gute  Folge  gehabt, 
dass  der  Verfasser  dadurch   zu  gesteigerter  Gründlichkeit  genötigt 
ward,    dera  gemäss   auch   richtiger   urteilte,   als    es  gewöhnlich 
geschieht,  und  im  Verlaufe  immer  verständlicher  sprach   Es  handelt 
sich  hier  namentlich  um]  die  Natur  menschlicher  Erkenntniss  und 
um  die  Relativität  der  Raumbestimmung  und  Bewegung.   In  Betreff 
der  Erkenntniss  ist,  wenn  auch  nur  zumteil  ausgesprochen,  dem  Ver- 
fasser doch  gewiss  nicht  fremd,  dass  sie  in  der  Unterwerfung  der 
Tatsachen  unter  die  Herrschaft  des  Geistes  besteht,  und  ihre  Mittel, 
nämlich  Begriffe,  Vorstellungsweiscn  und  Theorien,  nach  freier  Wahl 
Tom  Menschen  erzeugt  werden.    Dagegen  zeigt  sich  der  Verfasser 
zu  wenig  orientirt,  indem  er  ohne  weiteres  diese  Freiheit  für  gleich- 
bedeutend mit  Willkür  hält.   Nur  die  überflüssige  Stoffanhäufung 
macht  es  erklärlich,  dass  er  hier  über  dem  Mittel  den  Zweck  ver- 
gisst  und  es  nicht  beachtet,  dass  uns  die  Freiheit  dazu  dient  und 
dienen  soll,  den  grösst  möglichen  Gewinn  an  Erkenntniss  zu  ziehen. 
Dies  zeigt  sich  in  Betreff  der  Relativität  der  Bewegung  und  macht 
hier  die  vorher  gründliche  Logik  wieder  zunichte.   Alle  räumlichen 
Bestimmungen,  sowol  von  Orten  als  von  Bewegungen ,  sind  anfäng- 
lich relativ.    Sie  zu  absoluten  zu  machen,  ist  notwendige  Bedingung 
der  Erkenntniss,  namentlich  der  Dynamik.    Es  hätte  sehr  zur  Klar- 
stellung gedient,  wenn  der  Verfasser  diesen  Umstand  in  voller  All- 
gemeinheit ausgesprochen  hätte.    Im  Einzelnen  findet  er  freilich  An- 
läse auf  ihn  einzugehen;  schon  Newton  erkannte  das  empirische 
Kriterium  der  Drehbewegung;  der  Verfasser  aber  hält  dasselbe  für 
illusorisch,  weil  wir  kein  Kriterium  der  geradlinigen  Bewegnng  be- 
sitzen, und  ist  sehr  schnell  mit  der  Behauptung  fertig,  dass  alle 
räumliche  Bestimmung  auf  Vereinbarung  beruhe,  ohne  sich  nach  den 
notwendigen  Forderungen  der  einzelnen  Theorien  umzusehen.  Zieht 
man  diese  allseitig  in  Betracht;  so  bleibt  der  freien  Vereinbarung 
nur  wenig  (z.  B.  Längen-  und  Zeiteinheit,  erster  Erdmeridian  etc) 
übrig.   Dass  jedenfalls  die  Drehbewegung  (fühlbar  für  den  Menschen 
und  unentbehrlich  für  die  Dynamik,  namentlich  für  die  Theorie  der 
Centraibewegung)  nicht  zu  den  der  Vereinbarung  unterliegenden  Be- 
stimmungen gehört,  sondern  nur  ihre  Epoche,  d.  i.  die  momentane 
Stellung,  ist  offenbar.   Der  Verfasser  leugnet  es,  wol  nur  aus  einem 
gewissen  horror  exceptionis.   Andrerseits  ist  auch  die  Vereinbarung 
nicht  immer  ausreichend,  das  Relative  absolut  zu  fixiren.   Von  den 
3  Raumanordnungen,  der  skopocentrischen,  geocentrischen,  heliocen- 


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Liüerariacker  Bericht  LX1. 


9 


Irischen  kann  keine  die  andern  ersetzen,  somit  vermag  es  auch  keine 
Vereinbarung;  überall  sind  es  scientive  Gesichtspmkte ,  welche  die 
Wahl  der  Axenkreuze  bestimmen.  Der  Verfasser  führt  3  voraus- 
zusetzende Begriffe  auf,  welche  erst  durch  Vereinbarung  zu  bestimmen 
seien,  bevor  man  ein  Beharrungsgesetz  lehren  könne :  die  geradlinige, 
die  gleichmäßige  Bewegung  und  die  Masse.  Dies  ist  insofern  un- 
richtig, als  diese  Begriffe  bis  auf  die  Masseinheiten,  die  hier  gleich- 
gültig sind,  als  Grundlagen  von  Theorien  nicht  abgeändert  werden 
können,  ohne  wenigstens  deren  Einfachheit  preiszugeben.  Hierbei  zu 
verweilen  haben  wir  keinen  Grund,  es  ist  alles  nur  ein  Abschweif, 
auf  den  der  Verfasser  durch  sein  historisches  Verfahren  gelenkt 
worden  ist  Seine^anfangliche,  oben  erwähnte,  Aeusserung  Hess  er- 
warten, dass  er  nicht  daran  denken  würde,  dem  sogenannten  Be- 
harrungsgesetz einen  positiven  Inhalt  zuzuschreiben.  Die  Schrift 
schliesst  mit  der  Frage ,  ob  der  Unterricht  in  der  Mechanik  von 
ihren  Ergebnissen  berührt  werde.  Eine  definitive  Formulirung  des 
Beharrungsgesetzes  gemäss  diesen  Ergebnissen  wird  nicht  aufgestellt, 
es  können  wol  nur  die  3  genannten  Bedingungen  mit  den  Ergeb- 
nissen gemeint  sein;  was  aber  dann  in  der  Ueberschrift  die  „neue 
Form"  des  Satzes  bedeuten  soll,  ist  schwer  zu  erraten.  Dies  gibt 
uns  Anlass  auf  den  Anfang  der  Schrift  zurückzugeben  und  von  dem 
zu  sprechen,  was  sie  im  weiteren  zu  sagen  versäumt  Es  wird  gerügt, 
dass  viele  Lehrer  und  Schriftsteller  eine  Kraft  aller  Körper,  in  ihrer 
Bewegung  zu  .beharren ,  statuiren,  d.  h.  offenbar :  einen  Grund  dafür 
bedürfen,  dass  etwas  sich  nicht  ohne  Grund  ändert.  So  angesehen 
erscheint  allerdings  das  Beharrungsgesetz  als  eine  ganz  überflüssige 
Lehre.  Indessen,  um  es  so  anzusehen,  muss  doch  ein  Wissen  vor- 
ausgehen, das  dem  Unkundigen  fremd  sein  wird,  das  also  die  Schule 
zu  verleihen  verpflichtet  ist:  der  Schüler  muss  erst  lernen  die  Be- 
wegung als  jenes  Etwas  aufzufassen ,  welches  dem  Körper  in  jedem 
Augenblicke  bestimmend  zukommt  und  sich  nicht  ohne  Grund  ändern 
kann.  Der  zu  lernende  Grundsatz  der  Dynamik  lautet:  Momentaner 
Ort  und  momentane  Bewegung  bestimmen  den  momentanen  Zustand 
jedes  Punktes  eines  Körpers.  Ein  Lehrer,  der  ihn  zu  umgehen  sucht, 
umgeht  damit  das  Verständniss  der  Dynamik.  Wer  ihn  kennt,  dem 
ist  der  sogen.  Beharrungssatz  selbstverständlich  und  überflüssig. 
Ihn  Anfängern  deutlich  zu  machen  ,  bedarf  es  keiner  höhern  Doctrin, 
sondern  nur  eine' Auswahl  nahe  liegender  Beispiele  In  vorliegender 
Schrift  steht  er  nicht,  und  das  eben  ist  der  fehlende  Punkt  in  der 
ganzen  Behandlung  des  Gegenstandes.  Hoppe. 

Allgemeine  Untersuchungen  über  das  Newton'sche  Princip  der 
Fernwirkungen  mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  elektrischen  Wir- 


10 


Litterarischer  Bericht  L,X1. 


klingen.  Von  Dr.  C.  Neu  mann,  Professor  der  Mathematik  an  der 
Universität  zu  Leipzig.  Geheimer  Hofrath,  Ordentliches  Mitglied  der 
Kg],  Sächsischen  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  Auswärtiges  Mit- 
glied der  Kgl.  Societät  der  Wissenschaften  zu  Göttingen.  Correspon- 
direndes  Mitglied  der  Kgl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin, 
des  Institute  Lornbardo  und  Akademie  zu  Bologna.  Leipzig  1896. 
B.  G.  Teubner.    292  S. 

Es  möge  genügen  den  Inhalt  der  9  Capitel  anzugeben.  Einlei- 
tende Untersuchungen.  Aus  der  Vorstellung  des  elektrischen  Gleich- 
gewichts entspringende  Scblusafolgeruugen.  Nähere  Bestimmung  des 
Exponentialgesetzcs.  Ueber  die  Eutwickeluug  des  Exponentialge 
setzes  nach  Kugelfunctionen.  Anwendung  des  eingliedrigen  Exponen- 
tialgesetzes  auf  die  Theorie  der  Gravitation  und  auf  die  Theorie 
der  Elektrostatik.  Allgemeine  Untersuchungen  über  die  mehrglie- 
drigen  Exponentialgesetzo.  Ueber  das  Green'sche  Gesetz.  Ueber 
das  Hamilton'sche  Princip  und  das  effectivo  Potential.  Ueber  die 
Integration  der  Differentialgleichung:  Jif>  «=»  ö*t/;  unter  Anwendung 
der  Methode  des  arithmetischen  Mittels.  H. 

Naturphilosophie  als  exaete  Wissenschaft.  Mit  besonderer  Be- 
rücksichtigung der  mathematischen  Physik.  Von  C.  Schmitz- 
Dumont.  Mit  vier  Figureutafelu.  Leipzig  1895.  Duncker  u. 
Humblot.   494  S. 

An  der  Schrift  ist  anzuerkennen,  dass  sie  an  keiuer  Autorität 
haftet,  um  von  ihr  Recht  und  Ausehen  zu  borgen,  sondern  an  den 
Ansichten  der  Gelehrten  wie  an  den  invteerirten  der  Menge  unpar- 
teiisch die  Schwächen  enthüllt.  Dies  verbunden  mit  einer  geschick- 
ten, und  nicht  sophistischen,  sondern  auf  Klarheit  gerichteten  Hand- 
habung der  Sprache  vermag  im  Aufang  die  besten  Hoffnungen  auf 
befriedigende  Lösung  ihrer  Aufgabe  zu  erwecken.  Eigentümlich  an 
ihr  ist,  dass  alle  Auseinandersetzungen  auf  Antithesen  gebaut  werden; 
eine  Antithese  ist  dem  Verfasser  notwendig  für  jedes  Urteil,  und 
wenn  er  eine  solche  aufgegriffen  hat,  mag  sie  auch  bloss  auf  ober- 
flächlichem Eindruck  seiner  Lccturc  beruhen,  so  erscheint  sie  ihm 
als  hinreichende  Rechtfertigung  seiner  Behauptungen  statt  aller  Be- 
gründung. Der  erste  Fall  dieser  Art  bezieht  sich  auf  die  historische 
Philosophie  der  Neuzeit  uud  ist  bestimmend  für  die  Richtung  der 
vorliegenden  Arbeit.  Der  Verfasser  neunt  die  speculative  Philoso- 
phie und  den  Materialismus  die  Pole  der  Philosophie,  gleichsam 
ihren  Geist  und  Leib.  Alle  aufgetretenen  Fehler,  Mängel,  Verirrungen 
und  alles  Mislingcn  sei  nur  Folge  ihrer  Einseitigkeit;  die  Natur- 


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Literarischer  Bericht  LXL  \\ 


Philosophie,  wio  er  das  Wort  verstehe,  müsse  beide  als  einander 
notwendige  Gegensätze  in  sich  voreinigen.  Diese  Vereinigung  ist's» 
was  er  sich  zur  Aufgabe  macht  Die  Abschnitte  des  Buchs  sind  be- 
titelt: Topik  der  Begriffe.  Philosophie  der  mathematischen  Wissen- 
schaften. Physikalische  Erklärung  durch  Hypothesen.  Logischer 
Aufbau  der  Physik.  Die  Aussenwelt  Die  Innenwelt  Körper  und 
Geist.  Die  Reihenfolge  der  Themata  ist  für  die  Beurteilung  bedeu- 
tungslos. Was  zunächst  den  obigon  zu  vereinigenden  Gegensatz  von 
speculativer  Philosophie  und  Materialismus  betrifft,  so  ist  zweierlei 
an  der  Aufstellung  zu  vermissen.  Erstens  werden  beide  jedes  als 
Ganzes  betrachtet,  ohne  doch  das  Spec. irische  zu  nennen,  was  sie 
zum  Ganzen  macht.  Die  Geschichte  bietet  zwei  Reihen  verschieden- 
artiger Erscheinungen  dar,  zwischen  denen  man  mancherlei  Gegen- 
sätze finden  kann.  Unter  diesen  hat  der  Verfasser  nicht  gerade  das 
Beste,  sondern  vorzugsweise  Ausartungen  gewählt,  um  es  anzuführen. 
Da  er  beide  Arten  aeeeptirt  und  aufrecht  halten  will,  so  lag  es  ihm 
als  Philosophen  doch  gewiss  ob,  über  die  zwei  entgegengesetzten 
Grundgedanken  jener  Erscheinungen,  welche  er  im  Sinne  hat,  keineu 
Zweifel  bestehen  zu  lassen.  Zweitens  ist  auch  nichts  darüber  ge- 
sagt, in  welchem  Sinne  der  Verfasser  beide  Arten  von  Philosophie 
zu  vereinigen  denkt  DasTactiscbe  Zawerkegehen  lässt  nur  eine  Halb- 
heit nach  beiden  Seiten  hin  erkennen.  Von  den  schlimmsten  Vor- 
urteilen der  speculativen  Philosopie,  die  längst  durch  dio  Geschicbto 
gerichtet  sind,  bat  er  sich  noch  nicht  frei  gemacht.  Er  hängt  noch 
immer  an  der  Meinung  fest,  dieselbe  sei  berufen  und  notwendig 
dazu  der  materiellen  Forschung  voranzuleuchten  und  sie  vor  Ver- 
irrungen  zu  bewahren  und  verfolgt  noch  immer  die  Chimäre  des  ab- 
soluten Wissens,  sieht  demgeraäss  die  Hypothese  für  einen  Notbehelf 
an.  Auf  diesem  Standpunkte  bleibt  natürlich  die  Bedeutung  induetiver 
Forschung  unverstanden,  und1  so  erscheint  ein  grosser  Teil  des 
Buches,  nämlich  die  3  Abschnitte  über  Mathematik  und  Physik,  als 
Gedanken  eines  Laien  beim  Lesen  gelehrter  Schriften.  Sehen  wir 
aber  von  den  Urteilen  über  dio  auf  festen  Principien  ruhenden 
Wissenschaften  ab,  so  bieten  die  übrigen  4  Abschnitte  Vieles  von 
hinreichendem  Werte  dar  um  Interesse  zu  erwecken.  Die  psychische 
Genesis  wird  ein  wenig  gründlicher  beobachtet,  als  es  gewöhnlich  ge- 
schieht; der  restirende  Mangel  in  dieser  Hinsicht  mag  vielleicht  zum 
weitern  Fortschritt  die  Anregung  geben.  So  ist  z.  B.  die  Willens- 
freiheit, welche  heutzutage  Viele  trotz  dem  Bewusstsein  aus  Vorur- 
teilen leugnen,  anerkannt  und  als  Beweis  die  Fähigkeit  der  Negation 
in  Idee  und  Handlung  (in  der  Tat  das  deutlichste  Indicium)  aufstellt. 
Dagegen  beschränkt  sich  die  psychische  Beobachtung  des  Verfassers 
stets  dabin,  dass  er  in  einem  Dualismus  Halt  macht,  der  sich  bei 
mehr  Gründlichkeit  bald  löseu  würde.    Die  Aussenwelt  erscheint  ihm 


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12 


Litterariacher  Bericht  LXI . 


noch  als  ursprünglich  gegeben  im  Gegensatz  zum  Ich.  Das  leb  hält 
er  nur  für  möglich  im  Gegensatz  zur  andern  Person  u.  ?.  w.  alles 
wahrscheinlich  nur,  weil  für  seine  Logik  die  Antithese  unentbehrlich 
ist,  und  er  deren  Verlust  schon  im  voraus  fürchtet 

Hoppe. 


Logische  Uebungen.  Von  Karl  Strecker,  Doctor  der  Philo- 
sophie. 1.  Heft.  Der  Anfang  der  Geometrie  als  logisches  Uebnngs- 
material,  zugleich  als  Hilfsmittel  für  den  mathematischen  Unterricht. 
Essen  1896.   G.  D.  Baedeker.   61  8. 

Es  wird  erst  die  einfachste  Form  der  Schlüsse  erklärt,  dann 
eine  Reibe  elementarer  Lehrsätze  und  Aufgaben  über  Winkel  und 
Dreiecke  ausgeführt,  deren  Beweise  die  leichtesten  Auwendungen  des 
gezeigten  Schlussverfahrens  darstellen.  H. 


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Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

L1V. 


Geschichte  der  Mathematik  and  Physik. 

Da  Bois-Reymond,  Emil,  Hermann  v.  Helmholtz.  Gedäcbt- 
nissrede.   gr.8*.   (80  S.)    Leipzig,  Veit  &  Co.    2  Mk. 

Fortschritte  der  Elektrotechnik.  8.  Jahrg.  1694.  4.  Hft. 
Berlin,  Springer.   5,60  Mk. 

Fortschritte,  die,  der  Physik  i.  J.  1891.  Dargestellt  y.  d. 
physikal.  Gesellschaft  zu  Berlin.  47.  Jahrg.  3.  Abth.  Kosmische 
Physik.  Red.  t.  Rieh.  Assmann.  gr.8°.  (XL VII,  621  S.)  Brauu- 
schweig,  Vieweg.   26  Mk. 

Goldbeck,  Ernst,  die  Gravitationshypothese  bei  Galilei  n. 
Borelli.   4°.   (31  S.)   Berlin,  Gärtner.   1  Mk. 

Obenranch,  Ferd.  Jos.,  Geschichte  der  darstellenden  u.  pro- 
jektiven Geometrie  mit  besond.  Berücksichtigung  ihrer  Begründung 
in  Frankreich  u.  Deutochland  und  ihrer  wissenschaftlichen  Pflege  in 
Oesterreich.  gr.8°.  (VI,  442  S.  m.  2  Bildn.).  Brünn,  C.  Winiker. 
9  Mk. 

Photographen-Bibliothek,  deutsche.  V.  Bd.  Rohr,  Mor., 
zur  Geschichte  u.  Theorie  des  photographischen  Teleobjectivs  mit 
besonderer  Berücksichtigung  der  durch  die  Art  seiner  Strahlenbe- 
grenzung bedingten  Perspektive.  gr.8°.  (VII»,  41  S.  m.  7  Fig.) 
Weimar,  Photographen-Zeitg.   Kart.  2,50  Mk. 

Poggendorff's  Handwörterbuch  zur  Geschichte  der  exakten 
Wissenschaften    3.  Bd.   8.  u.  9.  Lfg.   Leipzig,  Barth,    ä  3  Mk. 


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Methode  und  Prinefpien. 


Bachfiiauu,  F.,  u.  Rieh.  Kanning,  Methodik  / u  dem  Rechen- 
bach für  höhere  Mädchenschulen.  gr.8°.  (70  S.)  Leipzig,  Freytag. 
80  Pf. 

Bucherer,  Alfr.  H.,  eine  Kritik  der  Nornst'schen  thermody- 
namiseben  Anschauungen.  Eine  Autwort  auf  die  Kritik  meines 
Baches:  Grundzüge  einer  thermodynami.se hon  Theorie  elektrochemi- 
scher Kräfte.   gr.8°.   (31  S.)   Freiberg,  Craz  u.  Gerlach.   60  Pf. 

Grimm,  0.  u.  W.  Kaufmann,  Praxis  des  Rechenunterrichts 
in  der  Volksschule.  gr.8°.  (78  S.)  Hamm,  Breer  &  Tuiemauu.   1  Mk. 

Hollefreund,  Karl,  Anwendung  des  Gauss'schen  Principes 
vom  kleinsten  Zwange.  4°.  (24  S.  m.  2  Taf.)  Berlin,  Gärtner.   1  Mk. 

Lefler,  Methodisches  aus  dem  Unterrichte  in  der  Arithmetik. 
gr.8°.   (25  S.)   Gotha,  Thienemann.   60  Pf. 

Mo«"nik,  Frz.  v.,  der  Rechen-Unterricht  in  der  Volksschule. 
Eine  methodische  Anleitung  für  Volksschullehrer.  6.  Aufl.  gr.8°. 
(238  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Freytag.   Geb.  3  Mk. 

Schleichen,  F.,  Beiträge  zum  Unterricht  in  der  Raumlehre 
mit  besonderer  Berücksichtigung  der  geometrischen  Formenlehre. 
gr.8°.   (28  S.)   Leipzig,  Haacke.    50  Pf. 

Zeh  ml  er,  L.,  die  Mechanik  des  Weltalls  in  ihren  Grundzügen 
dargestellt.   gr.8°.    (VII,  176  S.)   Freiburg,  Mohr.   3  Mk. 

Lehrbücher. 

Bork,  H.,  P.  Crantz,  E.  Haentzsjchel,  mathematischer  Leit- 
faden für  Realschulen.  1.  Tl.:  Planimetrie  u.  Arithmetik.  gr.8°. 
(184  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Dürr'sche  B.   1,80  Mk. 

Haller  v.  Hallerstein,  F.  Baron,  Lehrbuch  der  Elementar- 
Mathematik.  Nach  dem  Lehrpiano  für  das  kgl.  preuss.  Kadetten- 
korps bearb.  v.  Bruno  Hülsen.  1.  Tl.  Pensum  der  Qaarta  u.  Unter- 
Tertia.  6.  Aufl  gr.8°.  (VI,  187  S.  m.  Fig.)  Berlin,  Nauck  &  Co. 
Geb.  2,80  Mk. 

M  ei  sei,  F.,  Leitfaden  für  deu  geometrischen  Unterricht  an 
niederen  u.  mittleren  gewerblichen  Lehranstalten,  gr.b0.  (IV,  28  S.) 
Darmstadt,  Bergsträsscr.   40  Pf. 

Vogel,  J.  G.,  Hilfs-  u.  Wiederholungsbuch  für  den  Unterricht 
in  der  astronomischen  Geographie  an  mittleren  Lehranstalten.  gr.8°. 
(VI,  71  S.  m.  Fig.)   Leipzig,  Deichert.   1,40  Mk. 

Samminngen. 

Bach  mann,  F.  u.  Rieh.  Kanning,  Rechonbuch  für  höhere 
Mädeheuscuuleu.    7  Ufte.   gr.8°.   Leipzig,  Freytag.  Geb.  5,70  Mk. 


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Baur,  Ludw.,  Rechenbuch  i.  Aufgabe«  u.  Auflösungen  f.  Lehrer 
u.  L*hramtszöglinge,  sowie  zum  Selbststudium.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (VI, 
266  S.)   Stuttgart,  Steinkopf.   3,20  Mk. 

Frank,  F.  u.  H.  Martens,  Rechenbuch  für  Gewerbe-  u.  Bau- 
schulen, sowie  für  gewerbliche  Fortbildungsschulen.  2.  Aufl.  gr.89 
(VI,  161  S.  in.  52  Fig.)    Dresden,  Kühtmann    2,40  Mk. 

Gajdeczka,  Jos.,  Maturitäts-Prüfungs-Fragen  aus  der  Physik. 

2.  Aufl.   gr.8°.    (VIII,  194  S.  m.  Fig.)   Wien,  Deuticke.    2  Mk. 

Hart  mann,  Berthold,  Rechenbuch  f.  höhere  u.  mittlere 
Mädchenschulen.  3.  Hft.  Für  das  6.  u  6.  Schuljahr.  gr.8°.  (IV, 
96  S.)   Frankfurt  a/M.,  Kesselring.    Kart.  50  Pf. 

Ueinze  u.  Hübuer,  Rechenbuch  für  Volksschulen  u.  die  un- 
teren Klassen  höherer  Lehranstalten.    Ausg.  C.  in  7  Heften.    2.  u. 

3.  Hft    gr.8°.    Breslau,  Görlich.    45  Pf. 

Költzsch,  A.,  Rechenbuch  'f.  Volks-  u.  Mittelschulen  in  8 
Heften.    1.-7.  Hft.   gr.  8°.   Leipzig,  Merseburger.    1,52  Mk. 

—  dasselbe.    Ergebnisse  u.  methodische   Bemerkungen  dazu. 

3.  -7.  Hft   gr.8°.    Ebd.    1,60  Mk. 

Königbauer,  Joach.,  geometrische  Aufgaben  für  Mittelschulen 
u.  Lehrerbildungsanstalten.  4.  Aufl.  gr.8°.  (33  S.)  Regensburg, 
Habbel.   80  Pf. 

Löser,  J.,  kleiues  Rechenbuch  für  Landwirtschafts-  n  ländliche 
Fortbildungsschulen.  gr.8°.  (IV,  108  S.  m.  70  Abbild.)  Stuttgart, 
Ulmer.   Kart  1,20  Mk. 

—  ,  u.  H.  Zeeb,  Rechenbuch  nebst  populärer  Geometrie,  Phy- 
sik, Mechanik  u.  Laudwirtschaftslehre  mit  vielen  Aufgaben.  7.  Aufl. 
Unter  Mitwirkung  v.  R.  Seifert.  gr.8°.  (XVI,  367  S.  m.  160  Holz- 
schn.)   Ebd.   2,80  Mk.;  Resultate  (76  S.  ra.  7  Holzscbn.)    1,30  Mk. 

Lindau,  Frdr.,  Max  Ber big  u.  Ernst  Schmidt,  Aufgaben- 
sammlung f.  d.  Unterricht  im  Kopfrechnen,  gr.b0.  (100  S.)  Wies- 
baden, Behrend.   Kart  l  Mk. 

Matthiessen,  Ludw.,  Uebungsbuch  f.  d.  Unterricht  in  der 
Arithmetik  u.  Algebra.   Nach  der  Aufgabensammlung  v.  Heis  bearb. 

4.  Aufl.   gr.8°.   (VII,  253  S.)    Köln,  Du  Mont-Schauberg.   2  Mk. 

Maurer,  Aug.,  Maxima  und  Minima.  Aufgaben  für  die  Prima 
höherer  Lehranstalten.  gr.8°.  (V,  50  S.  m.  13  Fig.)  Berlin,  Sprin- 
ger.  Kart.  1,40  Mk. 

Rosenberg,  Karl,  methodisch  geordnete  Sammlung  von  Auf- 
gaben aus  der  Planimetrie  u.  Stereometrie  für  Lehrer-  u.  Lehrer- 
innen-Bildungsanstaltcn ,  sowie  für  andere  gleichgestellte  Lehran- 
stalten. gr.8°.  (III,  159  S.  m.  107  Fig.)  Wien,  Hölder.  Geb.  1,90  Mk. 

Seeländer,  Frdr.,  Rechenbuch  für  kaufmännische,  gewerb- 
liche u.  haus  wirtschaftliche  Mädchen-Fortbildungsschulen  in  Bei- 


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spielen  u.  Aufgaben  2.  Hft.  gr.8°.  (95  S.)  Leipzig,  Dürr'sche  B. 
1,20  Mk. 

Utes  eher,  Otto,  Rechenaufgaben  für  höhere  Schalen.  In  3 
Heften  ,  nach  den  preuss.  Lehrpläneu  v.  1892  bearb.  2.  Aufl.  gr.8°. 
Breslau,  Hirt   1,10  Mk. 


Arnold,  E.,  Constructionstafeln  für  den  Dynamobau.  1.  Tl. 
Gleichstrom-Maschinen.  qu.-gr.Fol.  (55  Taf.  m.  1  Bl.  Text) 
Stuttgart  Enke.   In  Mappe  20  Mk. 

Becker,  E.,  logarithmisch-trigonometrisches  Handbuch  auf  5 
Decimalen.  2.  Ausg.  Lex.  8°.  (XVI,  104  S.)  Leipzig,  Tauchnitz. 
1,20  Mk. 

Fulst,  Otto,  nautische  Tafeln.  Mit  1  Schalttafel  als  Beilage. 
8°.   (IV,  154  u.  4  S.)   Bremen,  Heinsius.   3,50  Mk. 

Gezeiten  tafeln  f.  d.  Jahr  1898.  Hrsg.  v.  Reichsmarine- Amt 
Red.:  Observatorium  zu  Wilhelmshaven.  Mit  14  Blättern  in  Stein- 
druck, enth.  Darstellungen  der  Gezeitenströmungen  in  der  Kordsee, 
im  Engl.  Kanal  u.  der  Irischen  See.  8°.  (XU,  265  S.)  Berlin, 
Mittler.    1,50  Mk. 

Matth i es,  E.,  nautische  Tafeln  für  Nord-  u.  Ostsee,  gr.  6°. 
(UI,  72  S.)   Emden,  Haynel.   Geb.  2,50  Mk. 

Produktentafel,  kleine,  hrsg.  v.  der  trigonometrischen  Ab- 
theilung der  kgl.  preuss.  Laudesaufnahme.  gr.8°.  (4  S.)  Berlin, 
Mittler.    15  Pf. 

Spitzer,  Sim.,  Tabellen  f.  die  Zinses- Zinsen-  u.  Renten-Rech 
nung  mit  Anwendung  derselben  auf  Berechnung  von  Anlehen,  Con- 
•truction  von  Amortisationsplänen  etc.  4.  Aufl.  gr.8°.  (VIII,  513  8.) 
Wien,  Gerold.   15  Mk. 

Taschentafel,  4  stellige  logarithmische.   Hrsg.  v.  d.  trigo- 
nometrischen Abtheilung  der  kgl.  preuss.  Landesaufnahme.  gr.8°. 
6   S )   Berlin,  Mitüer.   30  Pf. 


Behm,  Max.  u.  Herrn.  Dageförde,  die  Praxis  des  kauf- 
männ.  Rechnens  zum  Gebrauche  für  Schule  u.  Kontor.  Hrsg.  im 
Auftrag  des  Kuratoriums  der  kaufmänn.  Fortbildungsschulen  zu  Berlin. 
Auflösungen  f.  den  1.  bis  3.  ThI.  gr.8°.  (46  S.)  Berlin,  Spamer. 
1,50  Mk. 

Big ler,  U-,  ein  Beitrag  zur  Theorie  der  arithmetischen  Reiheo. 
8°.   (36  S.)   Aarau,  Sauerländer.    1  Mk. 


Tabellen. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 


Barkhardt,    Heinr.,     funktionell  theoretische  Vorlosungen. 

1.  Tl.  Auch  unter  d.  Titel:  Einführung  in  die  Theorie  der  analy- 
tischen Funktionen  einer  complexen  Veränderlichen.  Mit  zahlreichen 
Figuren  im  Text.   gr.8°.   (XII,  213  S.)   Leipzig,  Veit  &  Co.  6Mk. 

Daublebsky  v.  Sterneck,  R,  über  einen  Satz  der  additiven 
Zahlentheorie.  gr.8°.   (8  S.)   Wien,  Gerold.   20  Pf. 

Diesen  er,  H.,  die  Arithmetik.  Praktisches  Unterrichtsbuch 
zur  Erlernung  der  4  Rechnnungsarten  mit  ganzen  Zahlen,  gewöhnlichen 
Brüchen  und  Dezimalbrüchen  etc.  Mit  einer  grossen  Zahl  vollständig 
ausgerechneter  praktischer  Beispiele  für  den  Selbstunterricht  und  zum 
Gebrauche  an  Gewerbe-  u.  Fortbildungsschulen.  2.  Aufl.  gr.8°. 
(IV,  64  S.)   Halle,  Hofstetten    1,50  Mk. 

Fricke,  Rod.,  Hauptsätze  der  Differential-  u.  Integralrechnung, 
als  Leitfaden  zum  Gebrauch    bei  Vorlesungen  zusammengestellt. 

2.  Tbl.  gr.8°.  (VIII,  66  S.  m.  15  Fig.)  Braunschweig,  Vieweg. 
1,50  Mk. 

Frischauf,  Jons.,  Vorlesungen  über  Kreis-  u.  Kugel-Functio- 
nen-Reihen.   gr.  8°.   (VI,  60  S )   Leipzig,  Teubner.   2  Mk. 

Fuchs,  L,  zur  Theorie  der  Abel'schen  Functionen.  gr.8°. 
(14  S.)   Berlin,  Reimer.   50  Pf. 

G  o  1  d  s  c  h  m  i  d  t ,  L  u  d  w.,  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung.  Ver- 
such einer  Kritik.   gr.8°.   (VII,  279  S.)   Hamburg,  Voss.   7  Mk. 

Hochstein,  A.,  Arithmetik  u.  Algebra.  1.  Hft:  Lehrsätze  u. 
Uebungsstoff  für  die  Untertertia.  Zunächst  für  Rektoratsschalen 
bearb.   gr.8°.   (56  S.)   Lippstadt,  Harlinghausen.   60  Pf. 

Isenkrahe,  C,  das  Verfahren  der  Funktionswiederholung,  seine 
geometrische  Veranschaulichung  u.  algebraische  Anwendung.  gr.8° 
(113  S.  m.  79  Fig.)   Leipzig,  Teubner.   2,80  Mk. 

Puchberger,  Em  an.,  eine  allgemeinere  Integration  der  Diffe- 
rentialgleichungen. V.  (Suppl.-)Hft  gr.8°.  (30  S.)  Wien,  Gerold. 
1,60  Mk. 

Rogel,  Frz.,  die  Entwicklung  nach  Bernoulli'schon  Functionen. 
gr.8°.   (48  S.)   Prag,  Rivnäc.   72  Pf. 

— ,  Note  zur  Entwicklung  nach  Euler'schen  Functionen.  gr.8°. 
(9  S.)   Ebd.   20  Pf. 

Schüller,  Werner  Jos.,  ausführliches  Lehrbuch  der  Arith- 
metik u.  Algebra  für  höhere  Schulen  u.  Lehrerseminare,  besonders 
zum  Selbstunterr.  2.  um  die  Logarithmen  verm.  Ausg.  gr8°.  (XXV, 
478  S.  m.  54  Fig.)   Leipzig,  Teubner.   2,5ü  Mk. 

Servus,  H.,  Regeln  der  Arithmetik  u.  Algebra  zum  Gebrauche 
an  höheren  Lehranstalten,  sowie  zum  Selbstunterricht.  2.  Tl. :  Ober- 
Sekunda  u.  Prima.    gr.8°.   (III,  235  S.)   Berlin,  Salle.   2,40  Mk. 

8tudni<*ka,  F.  J.,  Beitrag  zur  Theorie  der  Potenz-  u.  Kom- 
binations-Determinanten,  gr  8°.   (20  S.)   Prag,  Rinäf.   24  Pf. 


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Weltzien,  Carl,  üeber  Produkte  o.  Potenzen  von  Determi- 
nanten. 4°.   (23  S.)  Berlin,  Gärtner.   1  Mk. 


Geometrie. 

AugBchun,  W.,  Grnndzüge  der  Geometrie  m.  geometr.  Kon- 
struktion- u.  Rechenaufgaben.  2.  Aufl.  Mit  4  Steindrucktaf.  u. 
AbbUd.  i.  Text.   8°.   (VIII,  125  S.)  Berlin,  Mittler.  Kart.  1,50  Mk. 

Böger,  R.,  die  Geometrie  der  Lage  in  der  Schule,  gr. 8°. 
(47  S.  m.  Fig.)   Hamburg,  Herold.   2,50  Mk. 

Bosse,  L.,  u.  H.  Müller,  Stereometrie  für  Landwirtscbafts- 
schulen.   8°.   (IV,  40  S.  m.  30  Abbild.)   Berlin,  Parey.   50  Pf. 

Falcke,  A.,  Leitfaden  der  Geometrie.  18.  Aufl.  Neu  bearb. 
v.  H.  Röhrs.  gr.8°.  (IV,  102  S.  m.  215  Fig.)  Berlin,  Rentel.  Kart. 
80  Pf. 

Fenkner,  Hugo,  Lehrbuch  d.  Geometrie  f.  d.  mathemat  Unter- 
richt an  höheren  Lehranstalten.  (In  2  Tin.)  1.  Tl.:  Ebene  Geome- 
trie.  3.  Aufl.   gr.8°.   (VIII,  208  S.  m.  Fig.)   Berlin,  Salle.   2  Mk. 

Ganter,  H.,  u.  F.  Rudio,  die  Elemente  der  analytischen 
Geometrie.  Zum  Gebrauch  an  höheren  Lehranstalten,  sowie  zum 
Selbststudium.  1.  Tl.  Die  analytische  Geometrie  der  Ebene.  3.  Aufl. 
gr.8°.   (VII,  176  S.  mit  54  Fig.)   Leipzig,  Teubner.   2,40  Mk. 

Jetter,  die  geometrischen  Oerter  mit  besonderer  Berücksich- 
tigung von  Spiekers  Lehrbuch  u.  Benützung  anderer  Quellen  zusam- 
mengestellt  2.  Aufl.  8°.   (12  S.)   Blaubeuren,  Mangold.   20  Pf. 

Kleinschmidt,  Emerich,  Leitfaden  der  Geometrie  u.  des 
geometrischen  Zeichnens  f.  Mädchen-Bürgerschulen.  2.  Thl.  (n. 
Classe.)  2.  Aufl.  gr.8°.  (III,  60  S.  m.  60  Abbildgn.  u.  2  Taf.) 
Wien,  Hölder.   Geb.  92  Pf. 

Küpper,  Karl,  die  ultraelliptischen  Curven  C*,p>  1.  gr.  8° 

(11  S.)   Prag,  Rivnac.   20  Pf.  P 

Loria,  Gino,  i  poligoni  di  Steiner  nelle  eubiche  razionali. 
Aggiunte  ad  una  memoria  di  Em.  Weyr.  gr.8°.  (4  S.)  Ebd.  10  Pf. 

Richter,  Otto,  die  Berührungskegelschnitte  der  ebenen  Kurven 
4.  Ordnung  mit  2  Doppelpunkten.  Progr.  4#.  (20  S.  m.  2  Taf.) 
Leipzig,  Hinrichs*  Sort.   1,20  Mk. 

Schwering,  Karl  u.  Wilh.  Krimphoff,  Anfangsgründe  der 
ebenen  Geometrie.  Nach  den  neuen  Lehrplänen  bearb.  2.  Aufl. 
gr.8°.   (VIII,  133  S.  m.  151  Fig.)   Freiburg,  Herder.   1,80  Mk. 

Spieker,  T,h.,  Lehrbuch  der  Stereometrie  mit  Uebungs- Auf- 
gaben für  höhere  Lehranstalten.  Mit  in  den  Text  gedr.  Holzscbu. 
2.  Aufl.   gr.  8°.   (IV,  108  S.)   Potsdam,  Stein.   1,60  Mk. 


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Tobel,,  Edw.  v.,  Geometrie  für  Sekundärschulen.  8°.  (126  S.) 
Zürich,  Orell,  Füssli.    Kart  1,30  Mk. 

Zwicky,  M.,  Grundriss  der  Planimetrie  u.  Stereometrie,  nebst 
Uebungsaufgaben.  1.  Tl.:  Planimetrie.  2.  Aufl.  8°.  (V,  94  S.  m. 
Fig.)   Bern,  Schmid  &  Francke.   Kart.  1,50  Mk. 


Trigonometrie. 

Kambly  u.  Röder,  Trigonometrie.  Vollständig  nach  den 
preuss.  Lehrplänen  v.  1892  bearb.  Ausg.  der  Trigonometrie  v.  Kambly. 
Lehraufgabe  der  Ober-Sekunda  und  der  Prima-  Unter  Voranstellung 
der  planimetrischen  Lehraufgabe  der  Ober-Sekunda.  2.  Aufl.  (25. 
der  Kambly'schen  Trigonometrie.)  gr.8°.  (189  S.  m.  Fig.)  Breslau, 
Hirt.    Geb-  2  Mk 

Wotruba,  K  ,  Einleitung  in  die  Trigonometrie.  Für  techn. 
Lehranstalten  u.  zum  Selbstunterrichte.  gr.8°.  (V,  55  S.  m.  4  lith. 
Taf.)   Altenburg,  Bonde.   1,70  Mk. 


Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Ergebnisse  der  Triangulation  der  Schweiz.  Hrsg.  durch  das 
eidgen.  topograph.  Bureau.  2.  u.  3.  Lfg.  (2.  Kanton  Zürich.  — 
3.  Cantono  Ticino.)   gr.4°.   Bern,  Schmid  &  Francke.   ä  4  Mk. 

Jordan,  W,  Handbuch  der  Vermessungskunde.  2.  Bd.  Feld- 
u.  Landmessung.  5.  Aufl.  (In  2  Lfgn.)  1.  Lfg.  gr.8°.  (416  S.  m. 
Fig.)   Stuttgart,  Metzler.   8  Mk. 

Ni vellements-Ergebnisse,  die,  der  trigonometrischen  Ab- 
theilung der  kgl.  preuss.  Landesaufnahme.  4.  5.  u.  8.  Hft.  —  4. 
Schleswig-Holstein  u.  die  Grossherzogthümcr  Mecklenburg.  —  5. 
Schlesien.  —  6.  Prov.  Sachsen  u.  d.  Thüringischen  Länder.  12*. 
Berlin,  Mittler.   Kart,  ä  1  Mk. 

Schmidt,  v.,  die  trigonometrischen  Vorarbeiten  für  die  topo- 
graphische Messtisch- Aufnahme  in  Preussen.  8Ä.  (41  S.);  Ebd. 
Kart.  50  Pf. 

Schubert,  Formulare  zu  Vermessungs-Uebungen.  8°.  (48  S.) 
Neudamm,  Neumann.   80  Pf. 

Trabert,  Wilh  ,  Höhenmessung  mittels  des  Barometers.  gr.8°. 
(8  S.)    Znaim,  Fournier  <fc  Haberler.    20  Pf. 

Weixler,  Adolph,  Ausgleichung  trigonometrischer  Mes- 
sungen nach  der  Methode  der  geometrischen  Oerter.  gr.8*.  (57  S. 
m.  2  Taf.)   Wien,  Lechner.   1  Mk. 


Mechanik. 


Meissner,  0.,  die  Hydraulik  u.  die  hydraulischen  Motoren. 
2.  Aufl.  t.  H.  Hederich  u.  Nowack.  18.  -  22.  Lfg.  gr.8°.  Jena, 
Costenoble.   ä  3  Mk. 

Schmid,  Carl,  Statik  u.  Festigkeitslehre.  Lehrheft  nebst 
fielen  Beispielen,  elementar  bearb.  für  den  Gebrauch  an  der  Schule 
u.  in  der  Praxis.  2.  Aufl.  4°.  (VIII,  102  S.  m.  Abbild,  u.  2  Taf.) 
Stuttgart,  Metzler.   4  Mk. 


Technik. 

Bach,  C,  die  Maschinen-Elemente.  Ihre  Berechnung  u.  Kon- 
struktion mit  Rücksicht  auf  die  neueren  Versuche.  6.  Aufl.  2  Bde. 
Mit  in'  den  Text  gedr.  Abbildgn.',  3  Texttaf.  m.  54  Taf.  Zeichngn. 
Lex.-8°.   (XVIII,  702  u.  29  S.)   Stuttgart,  Bergsträsser.   30  Mk. 

Biblitthek,  polytechnische.  1.  Bd.:  Weiler,  W.,  die  Dy- 
namomaschine. Physikalische  Prinzipien,  Arten,  Teile,  Wechsel- 
wirkung der  Teile  u.  Konstruktion  derselben.  3.  Aufl.  gr.8°.  (XVI, 
199  S.  m.  190  Fig.)   Magdeburg,  Faber.  4  Mk. 

Biscan,  Wilh.,  die  elektrischen  Messinstrumente-  Die  Wissen- 
schaft!. Messinstrumente  u.  Messbehelfe.  gr.8°  (IV,  102  S.  m.  98 
Abbildgn.)   Leipzig,  Leiner.  3  Mk. 

Eder,  Jos.  Maria,  ausführliches  Handbuch  der  Photographie. 
8.  Hft:  Das  Bromsilber- Collodion,  sowie  das  orthochromatische  Col 
lodion  Verfahren  u.  das  Bad-Collodion-Trockenverfahren.     2.  Aufl. 
gr.8°.   (X,  VIH  u.  S.  365  —  595  m.  104  Holzschn.)  Halle,  Knapp. 
2  Mk. 

Erhard,  Thdr.,  Einführung  in  die  Elektrotechnik.  Die  Er- 
zeugung starker  elektr.  Ströme  u.  ihre  Anwendung  zur  Kraftüber- 
tragung.  gr.8°.   (VI,  183  S.  m.  96  Fig.)   Leipzig,  Barth.   4  Mk. 

Hochenegg,  C,  Anordnung  u.  Bemessung  elektr.  Leitungen. 
2.  Aufl.  gr.8°.  (Villi,  214  S.  in.  12  Fig.)  Berlin ,  Springer.  Geb. 
6  Mk. 

Holzmüller,  Gust,  die  Ingenieur-Mathematik  in  elementarer 
Behandlung.  1.  Tl.,  enth.  die  statischen  Momente  u.  Schwerpunkts- 
lagen, die  Trägheits-  u.  Centrifugal-Momente  für  die  wichtigsten 
Querschnitteformen  u.  Körper  der  techn.  Mechanik  in  rechn.  u.  grapn. 
Behandlung  unter  Berücksichtigung  der  Methoden  von  Kehls,  Mohr, 
Culmann,  Land  u.  Reye.  Mit  287  Fig.  u.  zahlreichen  Uebungsauf- 
gaben.  gr.8°.   (XI,  340  S.)   Leipzig,  Teubner.   Geb.  5  Mk. 

Holzt,  A.,  Elektrotechniker.  22.  u.  23.  Hft.  Leipzig,  Schafer. 
ä  75  Pf. 


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Jenisch,  P.,  Haustelegraphic.  Eine  gemeinverständliche  Anlei- 
tung zun  Bau  von  elektrischen  Haustelegraphen-,  Telephon-  u. 
Blitzableiter- Anlagen.  gr.8°.  (VII,  233  S.  m.  312  Abbildgn.)  Berlin, 
Rockenstein.   3  Mk. 

Kapp,  Gisbert,  Dynamomaschinen  für  Gleich-  u.  Wechsel- 
strom u.  Transformatoren.  Deutsch  t.  L.  Holborn  u.  K.  Kahle.  2.. 
Aufl.  gr.8°.  (VIII,  374  S.  m.  165  Fig.)  Berlin,  Springer.  Geb.  8Mk. 

Keck,  Wilh.,  Vorträge  über  Mechanik  als  Grundlage  für  das 
Bau-  u.  Maschinenwesen.  II.  Thl.:  Mechanik  elastisch-fester  u. 
flüssiger  Körper.  gr.8Ä.  (VIII,  367  S.  m.  364  Holzschn.)  Hannover, 
Helwing    12  Mk. 

Lueger's,  0.,  Lexikon  der  Technik.  22.-24.  Abtlg.  StutU 
gart,  Deutsche  Verlagsanst.   ä  5  Mk. 

Meissner,  Geo.,  die  Kraftübertragung  auf  weite  Entfernungen 
u.  die  Konstruktion  der  Triebwerke  u.  Regulatoren.  2.  Aufl.  v.  Jos. 
Krämer.  1.  Lfg.   gr.8°.  (64  S.  m.  5  Taf.)  Jena,  Costenoble.  3  Mk. 

Parseva.l,  A.  v.,  der  Drachen-Ballon.  gr.8°.  (32  S.  m.  Fig.) 
Berlin,  Mayer  &  Müller.    1,50  Mk. 

Rummer  v.  Rummershof,  Adf.,  die  Photogrammetrie  im 
Dienste  der  Militär-Mappierung.  gr.8°.  (32  S.  m.  9  Fig.)  Wien, 
Lechner.    1  Mk. 

Sammlung  elektrotechnischer  Vorträge.  Hrsg.  v.  Ernst  Voit. 
1.  Bd.  3.  Hft.  Feussner,  K.,  die  Ziele  der  neueren  elektrotechni- 
schen Arbeiten  der  physikalisch-technischen  Reichsanstalt,  gr.  8°' 
)S.  115-149  m.  9  Abbild.)   Stuttgart,  Enke.    1  Mk. 

Schulte,  A.,  Wirkungsweise  des  Wassers  im  Laufrade  der  Tur 
biuen.   gr.  4°.    (16  S.  m.  10  Fig.)    Berlin,  Siemens.   80  Pf. 

Thaa,  Geo.  v.,  Anleitung  zum  Gebrauche  des  logarithmischen 
Rechenschiebers  f.  die  Zwecke  des  Technikers.  8°.  (59  S-  m.  Fig.) 
Wien,  Hof-  u.  Staatsdruckere  .   80  Pf.  . 

Thompson,  Silvanns  P.,  die  dynamoclektrischen  Maschinen. 
5.  Aufl.  Uebers.  v.  C.  Grawinkel.  Nach  dem  Tode  des  Ucber- 
setzers  besorgt  v.  K.  Strecker  u.  F.  Vesper.  2  Thle.  gr. 8°. 
(VII,  IX,  790  S.  m.  520  Abbild,  u.  19  Taf.)   Halle,  Knapp.  24  Mk. 

Weiler,  W.,  der  praktische  Elektriker.  Populäre  Anleitung 
zur  Selhstanfertigung  elektrischer  Apparate  u.  zur  Anstellung  zuge- 
höriger Versuche,  nebst  Schlussfolgerungen,  Regeln  und  Gesetzen. 
3.  Aufl.   8°.   (XXXII,  614  S.  m.  466  Fig)  Leipzig,  Schäfer.  8  Mk. 

Wietz,  Hugo,  die  isolierten  elektrischen  Leitungsdrähte  u. 
Kabel.  Ihre  Erzeugung,  Verlegung  u.  Unterhaltung.  Dargestellt  u. 
durch  159  in  den  Text  gedr.  Fig.  erläutert,  gr.  8°.  (VIII,  236  S.) 
Leipzig,  Leiner.   7  Mk 


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Optik,  Akustik  und  ElastlcitÄt. 


Kerber,  Arthur,  Beiträge]  zur  Dioptrik.  3.  Hft.  gr.  8°. 
(16  S.)   Leipzig,  Fock.   50  Pf. 

Röntgen,  W.  C,  weitere  Beobachtungen  über  die  Eigenschaften 
der  X-Strahlen.   gr.8°.   (17  S.  m.  1  Fig.)    Berlin,  Reimer.    1  Mk. 

Tyndall,  John,  der  Schall.  Nach  der  6.  engl.  Aufl.  des  Ori- 
ginals bearb.  v.  A.  v.  Helmholtz  u.  Cl.  Wiedemann.  3  Aufl.  gr.8°. 
(XXII,  548  S.  m.  204  Holzst)   Braunschweig,  Vieweg.   10  Mk. 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Annalen  der  schweizerischen  meteorologischen  Central -Anstalt 
1894.  „Der  schweizerischen  meteorologischen  Beobachtungen"  3i. 
Jahrg.   gr.4°.   Zürich,  Fäsi  u.  Beer.    18  Mk 

Beobachtungen  des  Tiflisser  physikalischen  Observatoriums 
i.  J.  1895.  (Russisch  u.  deutsch.)  gr.4°.  (IV,  XXIX,  198  S,) 
Petersburg,  Eggers.   10  Mk. 

Brenner,  Leo,  Jupiter-Beobachtungen  an  der  Manora-Stern- 
warte  1895—1896.  gr.  4°.  (24  S.  m.  8  Farbendr.  u.  8  Pausen.) 
Wien,  Gerold.   7,60  Mk. 

C  atalog  der  astronomischen  Gesellschaft.  1.  Abth.  C ata log 
der  Sterne  bis  zur  9.  Grösse  zwischen  80°  nördlicheren.  2°  südlicher 
Declination  für  das  Aequinoctium  1875.  9.  Stück:  Graham,  A- 
Catalogue  of  14  464  stars  between  24°  15'  and  30°  57'  of  north 
declination  1855  for  the  epoch  1875  from  observations  made  aecor- 
ding  to  the  programme  of  the  Astronomische  Gesellschaft  at  the 
university  observatory  Cambridges,  England  during  the  years  1872 
to  1896.   gr.4°.    (X,  308  S.)    Leipzig,  Engelmann.    26  Mk. 

Falb's,  Rud.,  neue  Wetter-Prognose  u.  Kalender  der  kritischen 
Tage  f.  1897  Juli-Dez.    16°.   (82  S.)    Berlin,  Steinitz.    1  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.  9.  Lfg.  Breslau,  Tre- 
wendt.    3,60  Mk. 

Hartl,  Hei  in-.,  meteorologische  u.  magnetische  Beobachtungen 
in  Griechenland.  2.  Bericht.  gr.8°.  (32  S.  m.  Fig.  u.  1  Taf.) 
Wien,  Lechner's  Sort.   1  Mk. 

Heinrich,  Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen, 
angestellt  auf  der  landwirtschaftlichen  Versuchsstation  zu  Rostock 
i.  J.  1896.   gr.  8°.   (2  Tab.  u  1  Taf)  Güstrow,  Opitz  &  Co.  50  Pf. 

Jahrbuch,  deutsches  meteorologisches.  Jahrg.  1895.  Me- 
teorologische Beobachtungen  in  Württemberg  i.  J.  1895.  Mittei- 
lungen der  mit  dem  kgl.  statistischen  Landesamt  verbundenen  me- 
teorologischen Zentralstation.   Bearb.  v.  L.  Meyer  unter  Mitwirk.  v. 


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Mack.  Mit  7  Uebersichtskarten.  gr.  4°.  (94  S.)  Stuttgart,  Metz- 
ler. 4,50  Mk. 

Jahres-Bericht  des  Centraibureaus  f.  Meteorologie  u.  Hydro- 
graphie i.  Grosshrzogth.  Baden,  mit  den  Ergebnissen  der  meteoro- 
logischen Beobachtungen  u.  Wasserstandsaufzeichnungen  am  Rhein 
n.  seinen  grösseren  Nebenflüssen  f.  d.  J.  1896.  Mit  e.  Anh.  betr. 
die  Hochwasserkatastrophe  v.  März  1896.  gr.  4°.  (IV.  117  S.  m. 
11  Taf.)   Karlsruhe,  Braun.   6  Mk. 

—  ,  6.,  des  Sonnblick- Vereins  f.  d.  J.  1896.  Lex.-&°.  (40  S. 
m.  2  Abbild,  u.  3  Taf.)    Wien,  Gerold.    3  Mk. 

Ledöchowski,  Jos.,  Graf,  Wetterprognose,  giltig  für  Nieder. 
Österreich,  Theile  v.  Oberösterreich,  Süd  Mähren  u.  Westungarn  für 
d.  Monat  Mai  1897.    12°.    (1  Bl.)    Wien,  Braumüller.    20  Pf. 

Lemke,  H.,  über  die  Mars-  u.  Jupiter-Störungen  des  kleinen 
Planeten  vom  Hebe-Typus.  4°.  (37  8.)  Berlin,  Mayer  &  Müller. 
2  Mk. 

Müller,  G.,  die  Photometrie  der  Gestirne,  gr.  8°.  (X,  556  S. 
m.  81  Fig.)   Leipzig,  Engelmann.    20  Mk. 

Pernter,  J.  M.,  die  Farben  des  Regenbogens  u.  der  weisse 
Regenbogen,   gr.8*.   (101  S.  m.  3  Steintaf.)   Wien,  Gerold.   2  Mk. 

Publikationen  der  astronomischen  Gesellschaft.  XXI.  Gylden, 
Hugo,  Hülfstafeln  zur  Berechnung  der  Hauptungleich heitcn  in  den 
absoluten  Bewegungstheorien  der  kleinen  Planeten.  Unter  Mitwirkung 
v.  S.  Oppenheim  hrsg.   gr.4°.  (LOT,  242  S.)    Leipzig,  Engelmann. 
30  Mk. 

—  des  astrophysikalischen  Observatoriums  zu  Potsdam.  Nr.  35. 
(XI.  Bd.,  2.  Stück.)  Scheiner,  J ,  Ausmessung  des  Orionnebels  nach 
physikalischen  Aufnahmen,  gr.  4°.  (68  S.  m.  2  Pbotograv.)  Ebd. 
4  Mk. 

Schein  er,  J.,  die  Photographie  der  Gestirne.  Mit  1  Taf.  u. 
52  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (V,  382  S.)  Nebst  e.  Atlas  v.  11  Taf.  mit 
texü.  Erlauterungen.   4°.   (6  S.)   Ebd.   21  Mk. 

ServuB,  Herrn.,  Neue  Grundlagen  der  Meteorologie.  4*. 
(24  S.)   Berlin,  Gärtner.    1  Mk. 

Sinram,  A.,  Fragmente  zum  kosmischen  Bewegungsgesetz  (In- 
citation8-Theorie)  u.  zur  Mechanik  des  Himmels,  gr.  8°.  (32  S.) 
Hamburg,  Gräfe  &  Sillem.   1  Mk. 

Stochert,  Carl,  Tafeln  für  die  Vorausberechnung  der  Stern- 
bedeckungen. Mit  2  im  Text  gegeb.  Fig.  u.  1  Diagramm  in  2 
Expln.   gr  4#.   (II,  43  S.)   Hamburg,  Friederichsen.   6  Mk. 

Veröffentlichungen  des  kgl.  preuss.  meteorologischen  In- 
stituts. Hrsg.  durch  Wilh.  v.  Bezold.  Ergebnisse  der  magnet.  Be- 
obachtungen in  Potsdam  i.  J.  1894.  2.  Hft.  gr.  4°.  (44  S.  m.  4 
Taf.)   Berlin,  Asher.  3,60  Mk. 


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Veröffentlichungen  des  kgl.  prcuss.  meteorologischen  In- 
stituts. Hrsg.  durch  Wilh.  v.  Bezold.  Ergebnisse  der  magnet.  Be- 
obachtungen in  Potsdam  i.  J.  1895.  2.  Hft.  gr.  4°.  (43  S.  m.  4 
Taf.)   Berlin,  Asher.   3,50  Mk- 

—  dasselbe.  Ergebnisse  der  Niederschlags-Beobachtungen  i.  J. 
1894.   gr.  4°.   (XL,  206  S.  m.  2  Karten.)   Ebd.   10  Mk. 

—  dasselbe.  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  den  Stationen 
IL  u.  III.  Ordng.  i.  J.  1896,  zugleich  deutsches  meteorologisches 
Jahrbuch  für  1896.  Beobachtungssystem  des  Königreich  Preussen 
u.  benachbarter  Staaten.   2.  Hft.   gr.4°.   (S.  57— 110.)   Ebd.  3  Mk. 

—  dasselbe.  Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen 
in  Potsdam  i.  J.  1895.   gr.4°.  (XII,  119  S.  m.  4  Fig.)  Ebd.  8  Mk. 

Vierteljahrschrift  der  astronomischen  Gesellschaft.  31.  Jahrg. 
4.  Hft.   Leipzig,  Engelmann.    2  Mk. 


Xautik. 

Segel  ha  nd  buch  für  den  Stillen  Ozean.  Mit  e.  Atlas  v.  31 
Karten.  Hrsg.  v.  d.  Direktion  der  deutschen  Seewarte.  Mit  32  in 
den  Text  gedr.  Figuren  u.  9  Steindr.  Taf.  Lex.-8°.  (XII,  916  S.) 
Hamburg.  Friederichsen.   Geb.  36  Mk. 


Physik. 

Abhandlungen,  physikalische,  der  kgl .  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.  Aus  d.  J.  1896.  gr.4°.  (27,  36  u.  66  S.  m. 
6  Taf.)   Berlin,  G.  Reimer.   Kart.  9,50  Mk. 

Albrecht,  Gust,  die  Elektricität.  8°.  (167  S.  m.  38  Abbild.) 
Heilbronn,  Schröder  &  Co.   Geb.   2  Mk. 

Bezold,  Wilh.  v.,  zur  Theorie  des  Erdmagnetismus.  gr.8°. 
(36  S.  m  2  Fig.  u.  2  Taf.)   Berlin,  G.  Reimer.   2  Mk. 

Cellier,  Leon,  Leitungsvermögen  der  schwarzen  Kohle  für 
Wärme  u.' Electricität.  Diss.  gr.8°.  (132  S.)  Zürich,  Speidel. 
3  Mk. 

Cohn,  Emil,  elektrische  Ströme,  10  Vorträge  über  die  pby- 
.  sikalischen  Grundlagen  der  Starkstrom-Technik,  gr.  8°.  (IV,  182  S. 
m.  70  Abbild.)   Leipzig,  Hirzel.   3,60  Mk. 

Do  nie,  Wilh.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  für  Real- 
schulen u  Realgymnasien,  nach  den  minist.  Lehrplänen  bearb.  Ausg. 
A.  Mit  173  in  den  Text  gedruckten  Abbildungen  u.  525  Uebnngs- 
aufgaben.   gr.  8°.   (VIII,  268  S.)   München,  Wolflf.   Geb.  3  Mk. 


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Ebert,  H.,  magnetische  Kraftfelder.  Die  Erscheinungen  des 
Magnetismus ,  Elektromagnetismus  u.  der  Induktion,  dargestellt  auf 
Grund  des  Kraftlinien-Begriffes.  2.  Tl.  Mit  47  Abbild,  im  Text  u- 
auf  einer  Tafel.  gr.8°.  (XVIII  u.  S.  225  —  499.)  Leipzig,  Barth. 
10  Mk. 

Götz,  Hans,  Leitfaden  der  Physik.  Zum  Gebrauch  an  huma- 
nistischen Anstalten.  Mit  180  in  den  Text  gedr.  Figuren  u.  zahl- 
reichen Uebungsaufgaben.  gr.8°.  (VIII,  245  S.)  München,  Franz. 
2,80  Mk. 

II  eil  mann,  G.,  die  Anfänge  der  magnetischen  Beobachtungen 
Lex.-8°.    (27  S.  m.  3  Fig.)   Berlin,  Kühl.    1,50  Mk. 

Kiemen ^ir,  Ign.,  Ueber  magnetische  Nachwirkung,  gr. 8° 
(18  S.  m.  1  Fig.)   Wien,  Gerold.   40  Pf. 

M  ü  1 1  e  r  -  P  o  u  i  1 1  e  t's  Lehrbuch  der  Physik  u.  Meteorologie.  9.  Aufl. 
v.  Leop.  Pfaundler  unter  Mitwirkung  v.  Otto  Lummer.  (In  3  Bdn.) 
Mit  gegen  2000  Holzst.  u.  Taf.  2.  Bd.  1.  Abth.  3.  Lfg.  gr.8°. 
(XX  u.  S.  609—1192.)   Braunschweig,  Vieweg.   9,50  Mk. 

Planck,  Max,  Vorlesungen  über  Thermodynamik i  gr.8°.  (VII, 
248  S.  m.  5  Fig.)   Leipzig,  Veit.    Kart.  7,50  Mk. 

Wallen  tiu,  Ign.  G.,  Lehrbuch  der  Elektricität  u.  des  Magne- 
tismus. Mit  besonderer  Berücksichtigung  der  neueren  Anschauungen 
über  elektrische  Energieverhältnisse  n.  unter  Darstellung  der  den 
Anwendungen  in  der  Elektrotechnik  zugrunde  liegenden  Principien 
gr.ba.    (VIII,  394  S.  m.  230  Holzschn.)    Stuttgart,  Enke.   8  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  kaiserl.  Leopoldinisch-Carolinischen  Aka 
demie  der  Naturforscher.  LXXI.  Bd.  gr.4°.  Leipzig,  Engelmann. 
—  Nr.  1.  Brauumühl,  A.  v.,  Beiträge  zur  Geschichte  der  Trigono- 
metrie. (30  S  m.  1  Taf.)  1,50  Mk.  —  Nr.  3.  Kutta,  W.  M.,  zur 
Geschichte  der  Geometrie  mit  konstanter  Zirkelöffnung.  (33  S.  m- 
3  Taf.)   2,50  Mk. 

Berichte,  mathematische  u.  naturwissenschaftliche,  aus  Ungarn. 
Hrsg.  v.  Roland  Baron  EötYös,  Jul.  König,  Carl  t.  Thau.  Red.  v. 
J.  Fröhlich.  13.  Bd.  2.  Hlfte.  gr.a».  (IV  u.  S.  193—464  m.  Ab- 
bild.)   Budapest,  Akademie  d.  Wissensch.   4  Mk. 

—  der  sächs.  Gesellsch.  d  Wissenschaften.  Math.-physik.  Classe. 
1897.   I.  u  ..II.  Hft.   Leipzig,  Hirzel.  ä  1  Mk. 

Bibliothek,  internationale  wissenschaftliche.  59.  Bd.  Mach, 
Ernst,  die  Mechanik  in  ihrer  Entwickelung  historisch-kritisch  darge- 
stellt. 3.  Aufl.  8°.  (XII,  505  S.  m.  250  Abbild.)  Leipzig,  Brock- 
haus.  8  Mk. 


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Bibliothek;,  photographische.  (Sammluug  kleinerer  photograph. 
Hilfsbüchcr.)  Nr.  5—7.  gr.8«.  Berlin,  G.  Schmidt.  -  5.  Sehuitz- 
Hencke,  D.,  Anleitung  zur  photographischeu  Retouche  u.  zum  Ueber- 
malcn  v.  Photographien.  3.  Aull.  v.  Kopske's  Anleitg.  zum  Retouc hie- 
reu. Mit  2  Lichtdr.-Taf.  u.  21  Fig.  im  Text.  (VIII,  121  S.)  2,50  Mk.  — 
6.  Parzer-Mühlbacher,  Alfr.,  photographische  Aufnahme  u.  Projek- 
tion m.  Röntgenstrahlen  mittels  der  Inöuenz-Elektrisirmaschino  Kiue 
Anleitg.  f.  die  Praxis.  Mit  10  Taf.  nach  Orig.-Aul'uahmen  des  Verf. 
u.  15  Fig.  im  Text.  (V,  47  S.)  1,80  Mk.  —  7.  Haunekc,  Paul,  das 
Celloidinpapicr,  seiue  Herstellung  u.  Verarbeitung.  Mit  besond.  Be- 
rticksicht, der  Anfertig,  v.  Mattpapieren  sowie  des  Platiutouprozesses. 
Mit  IS  Fig.  im  Text.    (VII,  131  S.)   3  Mk. 

Jahresbericht  der  deutschen  Mathematiker-  Vcreiniguu#. 
4.  Bd.  1894-95.  gr.8°.  (V,  XVIII,  546  S.)  Berlin,  G.  Reimer. 
16  Mk. 

—   dass.  5.  Bd.  1896.  l.Hft.  gr.8°.  (94  S.)  Leipzig,  Teubner. 
2,80  Mk. 

Nachrichten  v.  der  kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu 
Göttingen.  Mathcmatisch-physikal.  Klasse,  nebst  gescbäftl.  Mitteilgn. 
1897.  Lex.-8°.    Göttingen,  Uorstmaun.    5  Mk. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  Nr.  86.  u. 
87.  Leipzig,  Engelmanu.  Kart.  —  86.  Faraday,  Mich.,  Experimuu- 
taluntersuchungen  über  Elektricität.  (Aus  den  Philosoph.  Transact.) 
H»-sg.  v.  A.  J.  v.  Oettingen.  III.— V.  Reihe.  1833.  (104  S.  m.  15 
Fig.)  1,6J  Mk.  -  87.  Dasselbe.  VI.-VIII.  Reihe.  1834.  (IbU  S. 
m.  48  Fig.)    2,60  Mk. 

Sitzungsberichte,  Münchener.  Math.  Classe.  1896.  IV.  Hft. 
München,  Franz.    1,20  Mk. 

— ,  Wiener.  Mathem.-naturw.  Classe.  Wien,  Gerold.  1.  Abth. 
105.  Bd.  8.— 10.  Hft.  5  Mk.  —  Abth.  IIa.  105.  Bd.  8.-10.  Hft. 
7  Mk.  —  Abth.  IIb.  105.  Bd.  8.-10.  Hft.  1,60  Mk.  —  Abth.  III. 
105.  Bd.   8.— 10.  Hft.   3  Mk. 

Verhandlungen  der  v.  15.— 21.  X  1896  in  Lausanne  abge- 
haltenen Conferenz  der  permanenten  Commission  der  internationalen 
Erdmessung.  Red.  v.  A.  Hirsch.  Zugleich  mit  den  Berichten  über 
die  Fortschritte  der  Erdmessung  in  den  einzelnen  Ländern  während 
des  letzten  Jahres.  (Deutsch  u.  französ.).  gr.4°  (318  S.  m.  Fig 
u.  13  Taf.  u.  Karten.)   Berlin,  G.  Reimer.   6  Mk. 


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swejes. 


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Lilternrixrhe.r  Bericht  I  X 1 1 


13 


Litterarischer  Bericht 

LXIL 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

The  works  of  Archimeds.  Edited  in  modern  Dotation  witb  in- 
troduetory  chapters  by  T.  L.  Heath,  Sc.  D.  some  time  Feilow  of 
Trinity  College,  Cambridge.  Cambridge  18117.  University  press. 
Londou.  C.  J.  Clay.    Leipzig,  F.  A.  Brockbaus.    Ifr'G  -j-  325  S. 

Dies  Rucli  enthalt  einleitend  in  vielseitigst  umfassender  kriti- 
scher Behandlung  über  Arcbimedes,  sein  Leben,  seine  Geistesrichtung 
und  seine  Werke,  alles,  was  sich  aus  vorhandenen  Daten  ermitteln 
lässt,  dann  die  englische  Uebersetzung  seiner  erhaltenen  Schriften. 
In  gleicher  Weise  bat  der  Verfasser  die  Werke  von  Apollonias  be- 
handelt und  bereits  herausgegeben.  Dem  Urteil  von  Chasles  folgend 
findet  er  in  beiden  den  in  der  Neuzeit  bedeutungsvollen,  hier  schon 
im  Altertum  hervortretenden  Gegensatz,  dass  Apollonius  seine  For- 
schung auf  die  Geometrie  der  Form  und  Lage ,  Archimedes  auf  die 
Geometrie  des  Masses  richtet.  Die  Einleitung  gibt  zuerst  Notizen 
aus  dem  Leben  —  geboren  287  gestorben  213  v.  Chr.  in  Syrakus, 
Sohn  des  Astronomen  Pheidias.  Eine  beträchtliche  Zeit  verlebte 
er  in  Alexandria.  Ausser  Geometrie  und  Arithmetik  trieb  Archi- 
medes auch  Mechanik,  aber  nicht  sowol  in  wissenschaftlichem  Streben, 
sondern  zu  vorliegenden  technischen  Zwecken.  —  Ferner  berichtet 
die  Einleitung  über  Manuscripte,  Hauptausgaben,  verlorene  Werke 
u.  a.  ferner  über  die  Beziehungen  des  Archimedes  zu  seinen  Yor- 

Arch.  d.  Math.  u.  l'hjf»,    2.  Reih«,  T.  XVI.  2 


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14 


Literarischer  Bericht  LXll. 


gängern.  Daun  wird  das  Wesen  seiner  Arithmetik  dargelegt,  dann 
die  Probleme  besprochen,  welche  Apollonius  und  Archimedes  mit 
vivauq  bezeichnen.  Pas  Folgende  betrifft  die  kubischen  Gleichun- 
gen, Anticipationen  der  Integralrechnung  und  die  Terminologie.  — 
Die  übersetzten  Werke  des  Archimedes  sind  folgende:  Ueber  Kugel 
und  Cylinder,  2  Bücher.  Ueber  Konoide  und  Sphäroide.  Ueber 
Spiralen.  Ueber  das  Gleichgewicht  von  Ebenen,  2  Bücher.  Der  Sand- 
rechner,  Quadratur  der  Parabel.  Ueber  schwimmende  Körper,  2 
Bücher,  Buch  der  Lemmata.  Das  Rinderproblem.  Jedes  dieser  13 
Bücher  besteht  aus  einer  Anzahl  Sätze  und  Aufgaben.  H. 

Der  Mathematiker  Jakob  Steiner  von  Utzeusdorf.  Ein 
Lebensbild  und  zugleich  eine  Würdigung  seiner  Leistungeu.  Von 
Dr.  phil.  J.  H.  Graf,  ordentl.  Professor  der  Mathematik  an  der 
Hochschule  in  Bern.  Mit  dem  Portrait  und  dem  Facsimile  eiues 
Briefes  Steiners.   Bern  1897.   K.  J.  Wyss.   54  S . 

Jakob  Steiner,  jüngster  Sohu  des  Landwirts  und  Viehzüchters 
Nikiaus  Steiner  und   Anna  Barbara  geb.   Weber  in  Utzeusdorf 
(im   Tale   der  Emme,  Kanton  Bern)  ist  geboren  am  1«.  März 
1796,  gestorben    lö63.      Er   verliess    in 4  trotz    des  heftigen 
Widerstandes   seiner  Eltern  aus  Lernbegierde   seine  Heimat  und 
gieng  nach  der  Anstalt    Pestalozzi'*  in  Yverdon,   der  ihn  auf- 
nahm, und  wo  er  \\  Jahr  als  Schüler,  dann  noch  einige  Zeit  als 
Lehrer  gewesen  ist.   Von  1818  an  setzte  er  seiue  Studien  in  Heidel- 
berg fort,  wo  er  bei  Prof.  Schweins  höhere  Analysis  hörte,  sich  aber 
später  mit  demselben  tiberwarf  und  dessen  Methode  verspottete.  Von 
1821  bis  1822  war  er  Lehrer  am  Werderschen  Gymnasium  in  Berlin, 
gab  jedoch  die  Stelle   wegen   des   ihm  verhassten,   von  seinem 
Director  eingeführten  Lehrbuchs  auf.   Als  Privatlehrer  in  Berlin 
gewann  er  dann  hohe  Anerkennung  beim  Prinzen  August,  Wilhelm 
von  Humboldt  und  den  hervorragendsten  Familien ,  deren  Söhne  er 
unterrichtete.    1834  ward  er  zum  ausserordentlichen  Professor  an 
der  Universität  und  zum  Mitglied  der  Akademie  ernannt.   Aus  dieser 
Zeit  stammt  der  grösste  und  wichtigste  Teil  seiner  litterarischen  Pro- 
duetivität.  Hervorzuheben  ist  seiu  Umgang  mit  Jacobi,  mit  dem  er  in 
gegenseitig  beeinflussender  Beziehung  stand.  Sein  späteres  Leben  ver- 
brachte er  zum  grosscu  Teil  in  der  Schweiz,  wo  er  mit  Schläfli  dauernd 
wissenschaftlich  verkehrte,  aber  schliesslich  sich  doch  definitiv  von 
ihm  trennte.    Die  vorliegende  Lebensbeschreibung  ist  voll  von  cha- 
rakteristischen Zügen.    Au  allen  erkennt  man  eiue  ganz  eigentüm- 
liche Geistesrichtung.    Er  betrachtet  seiue  Sätze  uicht  als  errungeu, 
uicht  als  hergeleitet  nach  alteu  oder  neuereu  Methoden,  sondern  als 


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Liüerarischer  Bericht  LX11. 


15 


selbstverständlich  sich  darbietend  vermöge  einer  alles  umfassenden 
und  beherrschenden  Raumanschauung.  Deren  immer  weiteres  Vor- 
und  Eindringen  macht  den  ganzen  Fortschritt  seiner  Erkenntuiss 
aus.  So  hat  er  nicht  anfangs,  sondern  erst  später  die  räumlichen 
Gestalten  in  sein  Gebiet  gezogen.  Es  werden  jedoch  auch  Fälle  er- 
wähnt, wo  Steiner  nach  vergeblichem  Suchen  die  Hülfe  anerkennen 
musste,  die  ihm  ,in  analytischer  Deduction  dargeboteu  ward,  was  ihn 
solange  ganz  entmutigte,  bis  es  ihm  gelang,  wenigstens  nachträglich 
seine  Auschauung  dahin  zu  ergänzen,  dass  sie  das  Vermisste  ent- 
hielt H. 


Geschichte  der  darstellenden  und  projectiven  Geometrie  mit  be- 
sonderer Berücksichtigung  ihrer  Begründung  iu  Frankreich  und 
Deutschland  und  ihrer  wissenschaftlichen  Pflege  in  Oesterreich.  Vom 
Professor  Ferdinand  Jos.  Obenrauch.  Brünn  1897.  Carl 
Winiker.   442  S. 

Berücksichtigt  ist  bereits  die  Geschichte  der  darstellenden  und 
projectiven  Geometrie  in  Chr.  Wiener's  Lehrbuch  der  darstellenden 
Geometrie  1864,  wenn  auch  nur  in  gedrängter  Kürze,  ferner  den 
Werken  von  Wilhelm  Fiedler,  H.  Mannheim  und  A.  G.  V.  Peschka. 
Es  ist  unstreitig  ein  höchst  verdienstliches  Werk,  welches  hier  die 
Geschichte  der  beiden  nahe  verwandten  Zweige  der  Geometrie  für 
sich  in  voller  Ausführlichkeit  und  nach  allen  Gesichtspunkten  giebt. 
Das  Buch  besteht  aus  2  Teilen.  Der  erste  handelt  ausschliesslich 
vom  Leben  und  Wirken  Monge's.  Alle  Angaben  über  Anbahnung 
der  darstellenden  Geometrie  von  den  ältesten  Zeiten  an  werden  nur 
im  Laufe  der  Einleitung  gemacht.  Gaspard  Monge,  geboren  am 
10.  Mai  1746  im  burgundischeu  Städtchen  Beaume  im  Departement 
Cöte  d'or,  erfand  die  descriptive  Geometrie,  durfte  aber,  weil  das 
Geniecorps  sie  als  Staatsgeheimniss  betrachtete,  30  Jahre  lang 
nichts  darüber  veröffentlichen.  Erst  1794  ward  nach  Errichtung 
der  ßcole  normale  ihm  gestattet  darüber  öffentliche  Vorträge  zu 
halten.  —  Es  folgt  dann  die  Gründung  der  ßcole  polytechnique,  der 
weitere  Ausbau  der  darstellenden  Geometrie,  in  der  neuern  Geome- 
rie ,  Monge's  Infiuitesimalgeometrie  und  sein  späteres  Leben.  —  Der 
2.  Teil  geht  sehrtweit  auf  die  Vorgeschichte  der  projectiven  Geome 
trie  ein.  Dann  folgt  die  neue  Geometrie  in  den  Werken  von  Car- 
not,  Brianchon,  Poncelet,  Gergonne,  Möbius,  Plücker,  Steiner,  von 
Staudt,  Hesse,  Kummer,  Schröter,  Reye,  Sturm,  Wiener,  Chaslesj 
Brasseur,  de  la  Gournerie,  Mannheim,  Cayley,  Cremona,  Veronese, 
Segre  und  Zeuthen.  H. 


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16 


Litterarischer  Bericht  LX11. 


Methode  und  Principien. 

Die  Wahrscheinlichkeitsrechnung.  Versuch  einer  Kritik.  Von 
Dr.  Ludwig  Goldschmidt,  mathematischem  Revisor  der  L.ebeus- 
versicherungsbank  für  Deutschland  in  Gotha.  Hamburg  und  Leipzig 
1897.   Leopold  Voss.   279  S. 

Der  Titel  des  Buchs  lässt  erwarten,  dass  es  sich  zur  ersten 
und  Hauptaufgabe  machen  würde,  die  unter  der  Praxis  und  vieltci- 
ligen  Anwendung  aufgenommenen,  dunkel  gebliebenen  Elemente  der 
Theorie  einmal  sorgfältig  auf  feste  Begriffe  zu  reduciren.    Das  ge- 
genteilige Streben  tiudet  mau  hier  durchweg  betätigt.   Mit  wol  hun- 
dertmal so  vielen  Worten,  als  hingereicht  hätten,  die  Sache  klar  zu 
stellen,  bestäudig  abschweifend  uud  ohne  sichtliche  Beziehung  zum 
Gegenstände,  wird  auf  den  Eindruck  hingearbeitet,  dass  es  sich  um 
eine  schwierige,  streitige,  der  Logik  fremde  Sache  haudele.  Alle 
exaete  Aussage  wird  mit  Fleiss  gemieden ,  alles ,  wonach  man  des 
Verständnisses  wegen  fragen  muss,  verschwiegen.    Das  Inhal tsver- 
zeichniss  lautet:  Einleitung.  Die  mathematische  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung.   Die  gleich   wahrscheinlichen  Fälle.     Das  Gesetz  der 
grossen  Zahlen;  die  logische  Theorie  und  dieses  Gesetz.    Die  Bayes- 
sche  Regel.    Der  Bernoulli'sche  Satz  und  diese  Regel.  Schlussbe- 
trachtungeu.    Im  Vorwort  nennt  der  Verfasser  einige  Autoren  in 
Beziehung  zur  Wahrscheinlichkeitstheorie:  Kant,  Kries  Lotze,  v. 
Kries,   und  erklärt  sich  tür  oder  wider  deren  Ansichten,  ohne  von 
letzeren  ein  Wort  zu  sagen,  ebenso  gibt  er  an,  dass  Jakob  Bernoulli  das 
Gesetz  der  grossen  Zahlen  bewiesen  habe;  aber  in  dem  63  Seiten 
langen  Artikel  sucht  mau  vergeblich  nach  einer  Aufstellung  dieses 
Gesetzes;  ob  irgendwo  ein  vermeintlicher  Beweis  steht,  entdeckt 
vielleicht  noch  jemand.    Die  ganze  Abfassung   charakterisirt  sich 
durch  eine  heutzutage  ungewöhnliche  Ueberschätzung  der  formalen 
Logik.   Zwar  erkennt  der  Verfasser  au,  dass  sie  unzureichend  sei; 
doch  meint  er  nur  das  Reich  der  Gefühle  mit  dem,  was  sie  nicht 
beherrsche.    Es  ist  aber  überhaupt  die  neue  Wissenschaft  und  For- 
schung, in  der  sie  bereits  bedeutungslos  geworden  ist.    In  so  fern 
ist  es  wol  begreiflich,  dass  die  Versation  im  engen  Gebiete  formaler 
Logik  gegen  sachliche  Erfordernisse  blind  macht,  dass  also,  was 
oben  als  Tendenz  ausgelegt  ward,  sich  vielleicht  durch  zu  grosse 
Bevorzugung  formaler  Logik  erklären  mag. 

Hoppe. 

• 

Der  verjüngte  Magister  Mathescos.  Ein  Beitrag  zur  Sphärik 
und  absoluten  Geometrie.  Voll  Dr.  K.  Traob,  Prof.  a.  D.  Lahr 
1890.    Moritz  Schauenburg    12  S. 


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LitUrari»cher  Bericht  LXll. 


17 


Der  Verfasser  findet,  dass  der  pythagoräisehe  Lohrsatz  in  einigen 
Formen  ausgesprochen  sich  gleichlautend  auf  sphärische  und  absolute 
Geometrie  übertragen  Iässt,  und  hofft  dnreh  gegenwärtige  Mitteilung 
Manchen  für  das  Studium  der  absoluton  Geometrie  zu  gewinnen. 

II. 


Hermann  von  Holmholtz's  Untersuchungen  über  die  Grund- 
lagen der  Mathematik  und  Mechanik.  Von  Dr.  Leo  Kocnigsber- 
ger,  Professor  der  Mathematik  an  der  Universität  zu  Heidelberg. 
Mit  eiuem  Bildniss  Hermann  von  Helmholtz'*.  Leipzig  1896.  B.  G. 
Teubner.    58  S. 

Die  in  vorliegender  Rode  enthaltenen  Untersuchungen  gelten 
nicht  allein  den  bewährten  und  daher,  woran  niemand  zweifelt,  ewig 
dauernden  Grundlagen  jeuer  Wissenschaften,  soudern  zu  noch  grösse- 
rem Teile  den  problematischen  Grundlagen  einiger  Zweige  derselben, 
von  deren  definitiver  Feststellung  wir  gegenwärtig  uoch  weit  ent- 
fernt sind.   In  Betreff  der  erstem  ist  zu  betonen,  dass  das  gesamte 
Zuwerkcgchen  vollkommene  Freiheit  bekundet  von  den  Kaut'schen 
Vorurteilen  des  absoluten  Apriori,  des  Trausscendcntaleu  und  der 
Metaphysik.    Die  gänzliche  Lossagung  würde  noch  entschiedener  au 
den  Tag  treten,  wenn  Helinholtz  nicht,  statt  einer  nutzlosen  Be- 
kämpfung, es  klugerweise  stets  vorgezogen  hätte,  in  respectvoller 
Feme  an  solchen  Lehren  vorüberzugehen.    Wäre  die  Herrschaft  und 
Präoccupatiou  Kant'scher  Irrlehren  nicht  selbst  jetzt  noch  so  gross 
uud  verbreitet,  so  würde  man  die  Forschungswege  von  Helmholtz 
nicht  sowol  für  originell,  sondern  vielmehr  für  natürlich  halten  und 
nicht  auf  Priorität  Gewicht  legen  wollen  in  Ideen,  mit  denen  mau 
längst  vertraut  war,  wenn  man  sie  auch  nicht  mit  gleichem  Erfolge 
verkündigt  hatte.    Dies  hat  erweiternde  Anwendung  auf  ein  Urteil 
von  Koenigsberger.    Ihm  zufolge  untersuchte  Helmholtz  nicht  mathe- 
matische Probleme  um  ihrer  selbst  willeu  mit  Anwendung  auf  die 
Naturwissenschaften  ;  er  holte  sie  sich  vielmehr  aus  der  Beobachtung 
der  Natur  zu  dem  Zwecke,  die  Probleme  der  Natur  mathematisch 
zu  formuliren.    Im  Gegenwärtigen  aber  haudelt  es  sich  nicht  um 
mathematische  Probleme,  sondern  um  philosophische  Fragen  der 
psychischen  Genesis  des  Erkennens.    In  diesen  heisst  es,  nahm  er 
ein  unmittelbares  Interesse.    Auch  hier  ist  es  die  Freiheit  von  Vor- 
urteilen, was  von  Vielen  der  Originalität  der  Entdeckung  zugerechnet 
wird.    Zunächst  ist  es  nicht  neu,  sondern  in  der  Forderung  Bako's 
alle  Begriffe  zn  ihrer  scientiven  Gültigkeit  durch  Erfahrung  zu  be- 
gründen enthalten ,  dass  man  den  Ursprung  der  Grundbegriffe  der 
Mathematik  und  Mechanik,  in  Betreff  des  Raumes,  der  Zeit  und  der 


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18 


Litterarischer  Bericht  LX 11. 


Masse  in  der  Erfahrung  gesucht  hat.   Unterbrochen  und  beiseite 
geschoben  dnreh  Kaut's  unwissenschaftliche,  aber  populäre  Lehre 
vom  Apriori  ward  dann  die  Untersuchung  wieder  aufgenommen  von 
Riemann,  welcher  die  unterschiedlichen  empirischen  Elemente  des 
Raurobegriffs  ermittelte.   Für  ihn  war  das  Problem  ein  mathematisch 
logisches.   Für  Helmholtz  war  die  Aufgabe  vorbehalten  den  exaeten 
Nachweis  der  Erfahrung  durch  präcise  Experimente  zu  geben.  Der 
Anfang  und  das  unmittelbare  Interesse  seiner  Tätigkeit  war  daher 
auf  Beobachtung  der  Sinnesorgane  und  ihrer  Functionen  gerichtet- 
Diese  physiologische  Untersuchung  eröffnete  ihm  die  Bahn  zur  Lö- 
sung der  psychologischen   Aufgabe,  die  Construction  des  dreifach 
orthogonalen,  homogenen  ,  unendlichen,  translocabeln  und  drehbaren 
Raumsystems  und  des  Congruenzbegriffs  von  Seiten  des  erkennenden 
Geistes  zum  Bewusstsnin  zu  führen  und  die  Axiome  der  Geometrie 
in  Betreff  der  Geraden,  der  Ebene,  der  Parallelen  empirisch  zu  be- 
gründen, d.  h.  auf  rein  gegebene  Tatsachen  zurückzuführen.  Die  Lö- 
sung mag  unvollendet,  zum  Teil  bestreitbar  sein,  immer  ist  doch 
Helmholtz  der  erste,  der  sie  ernstlich,  mit  Bewusstsein  der  Erfor- 
dernisse in  Angriff  genommen  hat.    So  gilt  denn  Koenigsberger's 
charakteristische  Bemerkung  nicht  allein  von  mathematischen  Pro- 
blemen, sondern  auch  von  einer  philosophischen  Frage  von  didaktisch 
pädagogischer  Bedeutung  für  den  mathematischen  Schulunterricht. 
—  In  der  Mechanik  handelt  es  sich  um  das  Princip  der  summarisch, 
unveränderlichen  lebeudigen  Kraft,  autieipirt  von  Cartesius  iu 
voller  Allgemeiuheit  für  die  gesamton  Naturvorgänge,  wiewol  bei 
problematisch  bleibendem  Wesen,  begrifflich  exaet  aufgestellt  von 
Leibniz,  nach  Ergänzung  durch  das  Potential  als  Magazin  der 
lebendigen  Kraft  für  Bewegung  fester  Körper  (und  deren  Atome) 
durch  bewiesenen  Lehrsatz  bestimmt  von  Huygens,  ausgedehnt  auf 
die  Wärme  von    Robert  Mayer.    Die  Existenz  dieses  iu  allen 
Naturvorgängen  herrschenden  Gesetzes  ist  also  kein  Gedanke  der 
Neuzeit.   Uebrig  blieb  uud  bleibt  die  Entdeckung  uud  der  Nachweis 
des  unveränderlichen  Elements  in  der  Hydrodynamik,  der  Aerody- 
namik, der  Elektricilät,  des  Magnetismus  uud  dem  Lichte.  Was 
Helmholtz  für  diese  Aufgabe  geleistet  hat,  wird  im  übrigen  Teile  der 
Rede  dargelegt.  H. 


Die  Zahl  und  das  Unendlichkleine.  Von  Dr.  Karl  Goebel- 
Soest   Leipzig  1896.   Gustav  Fock.   47  S. 

Der  Titel  nennt  den  Gegenstand ,  über  den  der  Verfasser  sich 
äussern  will ;  was  er  zu  geben  gedenkt,  sagt  der  Titel  nicht.  Die 


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Litterarischer  Bericht  LX11. 


19 


Anfangsworie  der  Schrift  scheinen  die  Absiebt  zu  verraten  ihn  nicht 
erklären,  sondern  iu  mystisches  Dunkel  hüllen  zu  wollen.  Doch 
fern  von  aller  täuschenden  Kunst  setzt  sie  auseiuander,  was  keinem 
Rechner  unbekannt  ist,  ohne  je  die  Punkte  zu  berühren,  welche  zu 
principiellen  Untersuchungen  Anlass  geben.  Die  ganze  hinzugefügte 
Logik  besteht  im  Gegensatz  des  Allgemeinen  und  Besondern.  Das 
Motiv  der  Schrift  ist  also  aus  ihr  so  wenig  wie  aus  dem  Titel  zu 
ersehen.  Zu  erwähnen  sind  einige  historische  Angaben  betreffend 
Galilei,  Fermat  und  Newton.  Hoppe. 


Kritik  der  exaeten  Forschung.  Von  Friedrich  Ego.  Gedruckt 
auf  Kosten  des  Verfassers.   Leiden  1897.   E.  J.  II  rill.    81  S. 

Kritik  ist  im  ganzen  Buche  nicht  zu  finden;  die  eigentümlichen 
Meinungen  des  Verfassers  werden  stets  imperatorisch  ausgesprochen 
und  nirgends  ein  Versuch  gemacht  sie  dem  Leser  überzeugend  dar- 
zutun. Auch  wird  dies  Verhalten  gar  nicht  verhehlt;  denn  gleich 
im  Anfang  erklärt  der  Verfasser  das  Gemüt  für  den  Grund  aller  Er- 
kenntniss  und  Richter  über  dieselbe  und  äussert  sich  geringschätzig 
über  die  Objectivität  des  Urteils.  Für  richtig  gilt  ihm ,  was  dem 
Ego  zusagt,  der  stets  im  Namen  aller  urteilt.  Da  nun  die  Schrift 
nur  beliebige  Stücke  aus  Doctrinen  bespricht,  die  für  sich  weder 
instruetiv  noch  anziehend  sind,  so  dürfen  wir  sie  wol  für  ganz  un- 
schädlich halten,  nur  berechnet  auf  das  Gemüt  des  Ego  als  einzigen 
Lesers.  Hoppe. 


Introduction  ä  la  geometrie  differentielle  suivant  la  methode  de 
H.  Gras s manu.  |Par  G.  Burali  Forti,  Professeur  ä  l'Academie 
militaire  de  Turin.   Paris  1897.   Gauthier-Villars  et  fils.   165  S. 

„Das  Buch  enthält  eine  kurze  Darleguug  des  geometrischen 
Calculs  nebst  mehreren 'Anwendungen  auf  die  elementare  differentielle 
Geometrie.  Der  geometrische  Calcul  ist  1679  erfunden  von  Leibniz, 
dem  ersten,  der  es  für  bequem  oder  notwendig  hielt,  direct  auf  die 
geometrischen  Elemente  zu  operiren,  während  die  analytische  Geo- 
metrie auf  Zahlen  operirt,  die  eine  indirecte  Beziehung  zu  den  re- 
präsontirten  Elementen  haben/1  Die  Gegenstände  sind:  die  geome- 
trischen Formen,  nämlich  Definitionen  und  Regeln  des  Calculs, 
Vectoren  und  ihre  Producte,  Reduction  der  Formen,  regressive  Pro- 
duete,  Coordinaten;  variable  Formen,  nämlich  Derlvirte,  Linien  und 
Envcloppen,  Regeltiächen ,  Fresnel'schen  Formeln;  Anwendungen, 
nämlich  Helix,  Regelflächen  bezüglich  auf  eine  Curve,  orthogonale 
Trajectorien.  H. 


LitUrariachtr  Bericht  LXI1. 


An  essay  on  the  foundations  ot*  geomctry.  By  Bertrand  A. 
W.  Russell.  M.  A.  Fellow  of  Trinity  College,  Cambridge.  Cam- 
bridge 1897.   University  press.   201  S. 

Die  Abschnitte  des  Buehs  sind  folgende.  Eiuleitung,  unser  Pro- 
blem definirt  durch  seiue  Beziehungen  zur  Logik,  Psychologie  und 
Mathematik.  Geschichte  der  Metageometrie.  Kritischer  Bericht 
über  einige  der  Geometrie  kvorausgeheude  philosophische  Theorien. 
Die  Axiome  der  projectiven  Geometrie,  die  der  metrischen  Geome- 
trie, die  der  Freibeweglichkeit,  das  Axiom  der  Dimensionen,  das 
der  Entfernuug.  Philosophische  Cousequeuzeu  Der  Verfasser  ist 
Anhänger  von  Kaut,  dem  gegenüber  er  wenig  eigenes  Urteil  dar- 
bietet. Er  lässt  es  oft  bei  kurzer  Formutirung  bewenden,  wo  ein- 
gehende Erörterung  erwartet  werden  durfte.  U. 


Die  Gruudlage  der  modernen  Wertlehre:  Daniel  Bernoulli, 
Versuch  einer  neueu  Theorie  der  Wertbestimmung  vou  Glücksfällen. 
Herausgegeben  |von  A.    Pringshcim.     Leipzig  189(».  Duncker 
u.  Humblot.   60  S. 

Daniel  Bernoulli,  Sohn  des  Professors  der  Mathematik  Johann 
Bernoulli,  geboren  1700  in  Groningen,  ward  1725  ^Professor  in 
Petersburg,  1733  Professor  in  Basel,  zunächst  für  Anatomie  und 
Botanik,  später  auch  für  Physik,  und  starb  17tH2.  Die  von  ihm  ver- 
fasste,  1738  von  der  Petersburger  Akademie  herausgegebene  Abhand- 
lung, von  welcher  hier  die  Bede  ist,  hat  den  Titel:  Speeimen  theoriac 
novae  de  mensura  sortis,  auetorc  Daniele  Bernoulli.  Von  ihr  wird 
im  Vorliegenden  eine  deutsche  Uebersct/ung  gegeben  Voraus  geht 
eine  Einleitung,  unterschrieben :  Ludwig  Fick.  Hauptsächlich  in  letz- 
terer tritt  besonders  deutlich  und  autfällig  der  verhängnissvolle  Fehler 
der  Forschung  hervor,  dass  man  nach  Lösung  von  Frageu  sucht 
che  mau  die  Fragen  verstanden  hat.  Seit  .lahrhunderteu  ist  die 
richtige  Wertschätzung  in  Frage,  und  bis  heute  hält  mau  es  für  zu 
umständlich,  und  Fick  denkt  gar  nicht  daran ,  die  Bedeutuugeu  des 
Wortes  aus  den  verschiedenartigen  Bedürfnissen  seiner  Anwendung 
herzuleiten.  Er  betrachtctjioch  immer  das  Wort  als  Vertreter  eines, 
wenn  auch  besseruugsbedürftigeu  Begriffs  und  die  Zuziehung  zu  be- 
rücksichtigender Umstände  als  Fortschritt  und  Berichtigung.  In  der 
Tat  besitzen  wir  auf  gegenwärtigem  Staudpuukt  erst  eine  Vielheit 
von  Begriffen  des  Wertes  gültig  für  die  respectiven  iu's  Auge  ge- 
fassteu  Fälle,  deren  maucho  sich  vielleicht  nachweisbar  vereinigen 
lassen.    Fick  sieht  in  Bernoulli's  Schrift  einen  epochemachenden 


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LUUrarhcher  Bericht  LX1L 


21 


Fortschritt  der  Theorie  des  Wertes  über  die  bisherige,  welche  auf 
objectiver  Grundlage  ruht.  Beruoulli  selbst  legt  nur  Gewicht  dar- 
auf, dass  sciue  Theorie  neu  ist.  Neu  ist  sie  durch  die  Annahme, 
dass  Jeder  seinen  Gewinn  und  Verlust  nach  dessen  Quotienteu  durch 
sein  Vermögen  schätzt  (nach  gleichem  Princip,  wie  später  Fechuer 
die  Grenze  der  Empfind  barkeit  von  Sinnesreizen  als  den  Quotienten 
des  Unterschiedes  durch  den  gesamten  Reiz  mit  Experimenten  nach- 
wies). Aber  ein  Fortschritt  der  Theorie  ist  aus  der  Zuziehung  eines 
subjectiven  Elements  nicht  ersichtlich:  es  sind  eben  nur  andre  Fälle 
iu  Betracht  gezogen,  auf  welche  der  neue  Begriff  des  Wertes  passt 
(sei  es  dass  man  fragt,  ob  oder  bei  wieviel  Einsatz  man  auf  ein  ge- 
botenes Spiel  eingehen  will,  oder  dass  man  mit  der  Spielregel  Gimpel 
zu  fangen  gedenkt  u.  s.  w.)  Auf  die  Fehler,  welchen  dadurch  Kaum 
gegeben  wird,  dass  mau  Bernoulli's  Hypothese  allgemein,  mithin  auch 
au  unpassender  Stelle,  wo  die  Frage  mit  subjectiver  Schätzung  nichts 
zu  tuu  hat,  anwendet,  wollen  wir  nicht  eingehen,  sondern  nur  eiuen 
von  Beruoulli  selbst  begangenen  Fehler  erwähueu,  der  au  einem 
Beispiel  das  Ungenügende  tler  alten  Theorie  zeigen  will.  Er  lässt 
wiederholt  ein  Geldstück  werfen,  so  dass  2  Fälle  gleich  möglich 
sind;  nach  jedem  Wurfe  soll  sich  der  Preis  für  den  glücklichen 
Wurf  vou  <t  au  verdoppeln;  mit  letzterem  endet  das  Spiel.  Er  be- 
hauptet, nach  alter  Theorie  wäre  der  Wert  der  Hoffuuug  offenbar 
unendlich.    Nach  einfacher  Wahrscheinlichkeitsrechnung  ist  derselbe 

-  (2*-1  .  2")  =  )  a 

und  \a  anfangs  einzusetzen.  Um  den  Irrtum  zu  erklären,  könnte  man 
annehmen,  Beruoulli  habe  im  Sinne  gehabt  (wovon  er  uichts  sagt,  wie 
er  überhaupt  vou  veränderlichen  Werten  nie  spricht)  der  Spieler 
habe  natb  dem  mten  unglücklichen  Wurfe  seineu  Anspruch  an  eiuen 
audern  verkauft  (auch  die  Zulüssigkcit  der  Uebertragung  durfte  nicht 
verschwiegen  werden)  Das  Spiel  wäre  dann ,  vorher  um  die  Einheit 
«,  vou  da  au  in  ein  eiu  gleiches  um  die  höhere  Eiuheit 

übergegangen.  Ist  nuu  der  Käufer  keiu  Freund  von  hohem  Glücks- 
spiel, so  kauu  er  sich  mit  dem  ersten  Spieler  auch  auf  einen  niederu 
Preis  c  einigen,  wenn  nämlich  dieser  deu  gewissen  Gewinu  der  Hoff- 
nung dermasseu  vorzieht,  dass  er  gern  ein  Gescheuk  von  a—c  dazu 
verweudet,  die  Uulust  des  Käufer's  zu  überwinden.  So  lassen  sich 
in  der  Tat  subjective  Elemente  beim  Handel  mitwirkend  denken;  nur 
sind  diese  gauz  verschieden  von  den  in  Bernoulli's  Hypothese  vor- 
ausgesetzten. I'as  angeführte  Beispiel  zeigt  weder  einen  Mangel  der 
alten  Theorie  noch  eine  Besserung  durch  die  neue. 

 Hoppe. 


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22 


Litterarischer  Bericht  LXlh 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Lea  mcthodes  nouvellcs  de  la  mecanique  cileste.  Par  H.  Poin- 
eare,  Mombro  de  l'Iustitut,  Professeur  ä  la  Facult«.  Tome  II. 
Mcthodes  de  H.  M.  Newcomb,  Gylden,  Lindstedt  et  Bohliu.  Paris 
1893.   Gauthier- Villars  et  fils.   479  S. 

Der  2.  Band  enthält  folgende  Capitel:  Formelle  Rechnaug,  Me- 
thoden von  Newcomb  und  Lindstedt,  Anwendung  zur  Untersuchung 
der  säculareu  Variationen,  Anwendung  auf  das  Problem  der  3  Kör- 
per, Anwendung  auf  die  Bahneu,  Divergenz  der  Reihen  von  Liiid- 
stedt,  directe  Berechnung  der  Reihen,  anderes  Verfahren  directer 
Rechnung,  Methoden  von  Gylden,  Fälle  linearer  Gleichungen,  Fälle 
nicht  linearer  Gleichungen,  Methoden  von  Bohlin,  Reihen  von  Boh- 
lin,  Ausdehnung  der  Methoden  von  Buhliu.  Die  ueuen  Methoden 
sind  dadurch  charakterisirt,  dass  die  säculaten  Terme  entfernt  wer- 
den, mithin  die  Reiben  nur  periodische  Terme  haben. 

H. 


Anuuaire  pour  Tan  1896,  pour  Tan  1897,  pour  !'an  1898.  Publik 
par  le  Bureau  des  Longitudcs.  Avcc  des  uotices  scientifiques.  Paris. 
Gauthier-Viliars  et  tils. 

La  maisou  ^Gauthier-Viliars  (55,  quai  des  Grands-Augustins) 
vicut  de  publier,  comme  chaque  annee,  PAnnuaire  du  Bureau  des 
Longitudes  pour  1898.  —  Co  petit  volumo  compact  contient  comme 
toujours  une  foule  de  renseignements  scientifiques  qu'on  ne  trouve 
que  lä.  Le  volumo  de  cette  annee  contient  en  outre  les  Xotices 
suivantes:  Sur  la  stabilite  du  Systeme  solaire;  par  M.  U.  Poincare. 

—  Noticc  sur  l'oeuvre  scientifique  de  M.  H.  Fizeau-,  par  M  A.  Cornu 

—  -Sur  quelques  progres  aecomptis  avec  l'aide  de  la  Photographie 
dans  l'etude  de  la  surface  lunaire;  par  MM.  M.  Loewy  et  P.  Puiseux. 

—  Sur  les  travaux  executes  1897  ä  l'observatoire  du  mont  Blanc; 
par  M.  J.  Janssen.  —  Discours  prououees  au  ciuquanteuairc  acade 
mique  de  M.  Faye,  le  25  janvier  1897;  par  MM.  J.  Janssen  et  M. 
Loewy.   In-18  de  VI  -  806  pages,  avec  2  Cartes  magnetiques:  1  fr.  50 
franco  1  fr.  85). 

Gauthier-Villars  et  fils. 


Das  erste  (für  1896).  enthält  als  Anhang  folgende  Aufsätze. 
A.  Cornu:  Dio  Fernkräfte  und  die  Ilodulationen.  —  Die  Arbeiten 
Frcsnel's  in  der  Optik.  —  De  Ber nardieres:  Ueber  die  Con- 
struetion  der  neueu  magnetischen  Karten  des  Globus  unternommen 


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LitUraritcher  Bericht  LA'//. 


23 


unter  der  Dircction  des  Bureau  des  Longitudes.  —  J.  Janssen: 
lieber  eine  dritte  Besteigung  des  Gipfels  des  Montblanc  zum  Observa- 
torium und  dio  während  des  Jahres  1*95  im  Grunde  dieses  Gebirqs 
ausgeführten  Arbeiten.  —  Bernardieres:  Notiz  Über  das  Leben 
und  die  Arbeiten  des  Contreadmirals  Flcuriais.  —  J.  Janssen  und 
F.  Tisserand:  Rede  gehalten  beim  Leichenbegängniss  von  K. 
Drunner.  —  DasAnnuaire  für  1897  gibt  im*Anbang  folgende  Aufsätze. 
F.  Tisserand:  Notiz  über  die  eigene  Bewegung  des  Sonnensystems-  — 
H.  tPoincare:  Die  kathodischen  und  die  Röntgenstrahlen.  —  J. 
Jausseu:  Die  Epochen  in  der  astronomischen  Geschichte  der  Pla- 
neten. —  F.  Tisserand:  Notiz  über  die  4.  Versammlung  des  inter 
nationalen  Comitcs  für  Ausführung  der  photographischen  Karte  des 
Himmels.  —  Notiz  über  die  Arbeiten  der  internationalen  Commissiou 
der  fundamentalen  Sterne.  —  A.  Cornu:  Rede  gehalten  beim  Lei- 
chenbegängniss von  Tisserand.  —  J.  Janssen:  Arbeiten  auf  dem 
Montblanc  1896.  H. 

Aunuaire  de  l'observatoire  de  Montsouri's  pour  l'annec  1896, 
p.  l'a.  1897,  p.  Fa.  1898.  (Analyse  et  travaux  de  1894  Meteorologie). 
—  Cbimie.  -  Micrographie.  —  Applications  ä  Fbygiene.  Paris.  Gau- 
tuicr- Villars.    503  +  664  -f  636  S. 

Dieses  Auuuairo  enthält  ausser  dem  Kalender,  der  Auf-  und 
Untergang  der  Sonne  und  des  Mondes  anzeigt,  viele  tabellarisch 
aufgestellte  physikalische  und  hygienische  Beobachtungsrcsultate  be- 
züglich auf  Paris  und  Frankreich.  H. 


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Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 


LV. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 


Dir  ichlet's,  G.  Lcjeuuo,  Werke  hrsg.  auf  Veraulassg.  der  köuigl. 
preuss.  Akademie  der  Wissenschaften  v.  L.  Krouecker.  Fortgesetzt 
v.  L.  Fuz.  2.  (Schluss)  Bd.  gr.4°.  (X,  422  S.)  Berlin,  G.  Reimer. 
18  Mk. 

Fortschritte  der  Physik,  hrsg.  v.  d.  physikal.  Gesellschaft 
zu  Berlin.  Namensregistcr  nebst  e.  Sach-ErgänzungregiFter  zu  Bd.  XXI 
(1865)  bis  XLIII  (1887)  unter  Berüeksieht.  der  in  den  Bdn.  I-XX 
enthaltenen  Autorennamen.  Bearb.  v.  B.  Schwalbe.  1.  Hälfte.  gr.8°. 
(VII,  G40  S.)    Berlin,  G.  Reimer.    30  Mk. 

— ,  dass.  i.  J.  1*91.  47.  Jahrg.  2.  Abth.  Physik  des  Aethers. 
Red.  v.  Rieh.  Börustein.  gr.8°.  (XLII,  752  S.)  Braunsehweig, 
Vieweg  &  Sohu.  30  Mk.  —  dass.  im  Jahre  18C6.  52.  Jahrg.  Ebd. 
1.  Abth.  Physik  der  Materie.  Red.  v.  Rieh.  Börustein.  gr.8°. 
(LXX,  476  8.)  20Mk.i  3.  Abth.  Kosmische  Physik.  Red.  v.  Rieh. 
Assmann.    (XLV,  531  S.)   gr.8°.   21  Mk. 

Ilaeutschel,  E.,  über  die  verschiedenen  Grundlegungen  in  der 
Trigonometrie.  Eine  historisch-krit.  Studie,  gr.  8°.  (8  S.  m.  1  Fig.) 
Leipzig,  Dürr'scke  Buchh.    4U  Pf. 

Jahrbuch  üb.  die  Fortsehritte  der  Mathematik,  begründet  von 
Carl  Ohrtmauu.  Ilerausg.  von  Emil  Lampe.  26.  Bd.  Jahrg.  1895. 
(In  3  Hftn.)    1.  u.  2.  Hft.   gr.8°.    Berliu,  G.  Reimer.   19,90  Mk. 

Kroneckcr's,  Leop.,  Werke.  Hrsg.  v.  K.  Hcnsel.  2.  Bd. 
gr.  4°.    (VIII,  541  S.)   Leipzig,  Teubuer.   36  Mk. 


Oswald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  Nr.  91. 
Dirichlet,  G.  Lejcunc,  Untersuchung  üb.  verschiedene  Anwendungen 
der  Infinitesimalanalysis  auf  die  Zahlentheorie.  ( 1839—1840).  Deutsch 
hrsg.  v.  II.  Ilaussner.   b°.    (123  S.)    Leipzig,  Engelmann.    2  Mk. 


Methode  und  Principien. 

Danmar,  Win.,  die  Schwere,  ihr  Wesen  u.  Gesetz.  Isaak 
Newton's  Irrtum.  Das  Wesen  des  Stoffs  u.  das  Gesetz  der  Natur. 
Begründung  der  wisseuschaftl.  Metaphysik.  gr.8°.  (VII,  128  S.  m. 
21  Fig.)   Zürich,  Vcrlags-Magaziu.   3  Mk. 

Drude,  P,  über  Fernwirkungen.  gr.8°.  (>'L1X,  18  S.)  Leip- 
zig, Barth.    1  Mk. 

Dyck,  Waith.,  üb.  die  wechselseitigen  Beziehungen  zwischen 
der  reinen  u.  der  angewandten  Mathematik.  Festrede.  gr.8°.  (38  S.) 
München,  Franz'  Verl.    1,20  Mk. 

Heinze,  u.  Hübuer,  Methodik  des  Rechnens.  Lehrer- Ausg. 
des  Rechenbuchs  f.  einfache  Schulverhältnisse  (Ausg.  D),  enth. 
Aufgaben  u.  Auflüsgn.  m.  method.  Auweisgu.  u.  90  meist  ausgeführten 
Lektionen,  gr. 8°.  (XXIX,  160  S.  m.  Fig.)  Breslau,  Goerlich.  1.80  Mk. 

Lippmann,,  Edm.,  Robert  Mayer  u.  das  Gesetz  v.  der  Er- 
hallung der  Kraft.    gr.8°.    (36  S.)    Leipzig,  Pfeffer.    60  Pf. 

Nippoldt,  W.  A.,  die  Eutstehuug  der  Gewitter  u.  die  Prin- 
eipien  des  Zweckes  und  Baues  der  Blitzableiter  m.  e.  Anh.  üb.  die 
Methoden  der  Blitzableiterprüfungen.  gr.bü.  (80  S.  m.  6  Abbildgn.) 
Frankfurt  a./M.    Gebr.  Kuauer.    2  Mk. 

Riecke,  Ed.,  die  Priucipien  der  Physik  u.  der  Kreis  ihrer 
Anwendung.  Lex. -8°.  (40  S.)  Göttingen,  Vandenhoeck  &  Ruprecht. 
30  Pf. 

Seeger,  Organisation  des  Unterrichts  im  Rechnen  u.  in  der 
Arithmetik,   gr.b0.    (III,  45  S.)    Güstrow,  Opitz  &  Co.    5U  Pf. 

Sinram,  A.,  Fragmente  II  zum  kosmischen  Bewegungsgesetz 
(Incitatious  Theorie)  u.  zur  Mechanik  des  Himmels.  (Berichtigungen 
u.  Ergänzungen  der  Fragmeute  v.  I.  V.  1897.)  gr.  8°.  (14  S.)  Ham- 
burg, Gräfe  &  Sil  lern.    40  Pf. 

Streng,  Karl.  Praktische  Anleitung  zur  Behandlung  des 
Rechenunterrichtes  in  der  Volksschule.  2.  Bd.  Das  Rechnen  auf 
der  Mittel-  u.  Oberstufe.  (4.,  bzw.  5.  bis  8.  Schulj ),  die  geometrische 
Formenlehre,  sowie  die  flächen-  u.  Körperbcrechngn.  gr.h°.  (X, 
436  S.  m.  Fig.)    Wien,  Pichler's  W\v.  &  Sohn.    4,60  Mk. 

Wachs,  D.,  die  Kraft.  Eine  physikal.  Studie.  gr.8°.  (lf>  S.) 
Wien,  Breitenstein.   35  Pf. 


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Lehrbücher. 

Bork,  H.,  P.  Crantz,  E.  Haentschel,  Mathematischer  Leit- 
faden f.  Realschulen.  2.  TL:  Trigonometrie  u.  Stereometrie.  gr.8*\ 
(128  S.  m.  2  Fig.)    Leipzig,  Dürr'sche  Buchh.    1,40  Mk. 

Bussler,  Fr.,  die  Elemente  der  Mathematik  für  höhere  Lehr- 
anstalten bearb.  2  Thle.  2.  Aufl.  gr.8°.  (Mit  Fig.)  Dresden, 
Ehlermann.  Geb.  1.  Pensum  f.  die  Mittelklassen  (Quarta  bis 
Untersekunda).  (IV,  151  S.)  1,50  Mk.  —  2.  Pensum  für  Ober- 
klassen (Obersekunda  u.  Prima).   (IV,  234  S.)   2  Mk.  60  Pf. 

Moshammer,  Karl,  Hydromechanik.  Lehrtext  zum  Gebrauche 
an  höheren  Gewerbeschulen  u.  Buch  zum  Selbststudium.  Lex. -8°. 
(73  S.  m.  100  Abbildgn.)   Wien,  Deuticke.   2  Mk. 


Sammlungen. 

Baur,  Ludw.,  Rechenbuch  f.  Lehrer  u.  Lehramtszöglinge.  Re- 
sultate zu  den  Aufgaben  gr.  8°  (20  S )  Stuttgart,  Steinkopf.  40  Pf. 

Bussler,  Fr.,  Mathematisches  Uebungsbuch.  1.  Tl.  Für  den 
Gebrauch  in  den  mittleren  Klassen  höherer  Lehranstalten  (Unter- 
tertia bis  Untersekunda)  zusammengestellt.  2.  Aufl  gr.8°.  (IV, 
88  S.)   Dresden,  Ehlermann.   Geb.  1  Mk. 

Dorn' s  Aufgaben  f.  mündliches  u.  schriftliches  Rechnen.  Ausg. 
C.  f.  höhere  Mädchenschulen.  Nach  den  ministeriellen  Bestimmgu. 
üb.  das  Madchenschulwesen  vom  31.  V.  1894  bearb.  v.  A.  Eisner  u. 
R.  Sendler.  Resultate  zum  2.  —  7.  Hft  gr.b0.  Breslau,  Handel. 
1,30  Mk. 

Fink,  K.,  Sammlung  von  Sätzen  u.  Aufgaben  zur  systemati- 
schen u.  darstellenden  Geometrie  der  Ebene  in  die  Mittelschule. 
3.  Kurs.:  Ueber  die  Abbildgn.  geometr.  Systeme.  4.  Kurs.:  Ein- 
führung in  die  Grundlehreu  der  projektiven  Geometrie.  Als  Hilfs- 
buch f.  die  Schule  bearb.  gr.8°.  (XXIV,  2G8  S.  ra.  12)  Fig.)  Tü- 
bingen, Laupp,   4  Mk. 

Gönnen  wein,  G.,  Rechenbuch.  Stufenmässig  geordnete  Sammig. 
von  Aufgaben  f.  das  5.  u.  6.  Schulj.  Schüler- Ausg.  8»  Stuttgart, 
Lung.   Kart,  ä  35  Pf.;  Lehrerausg.  ä  1,20  Mk. 

Grassmann,  R.,  Aufgaben  zu  den  Gleichungen  1.  Grades  m. 
1  u.  mehreren  Unbekannten.  Enth.  970  Aufgaben.  gr.8°.  (24  S.) 
Stettin,  Grassmann.    10  Pf.;  Auflösgn.   (3)  S.)   Geb.  40  Pf. 

II  aber  er,  Karl,  Rechenbuch  f.  kaufmännische  Fortbildungs- 
schulen u.  einklassige  Handelsschulen  f.  Mädchen.  3  Thle.  gr.8°. 
Wien,  Hölder.   Kart.  2,23  Mk. 

II  eil  er  mann,  K.,  u.  L.  Krümer,  Aufgaben  f.  das  Kopfrech- 


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nen  zum  Gebrauch  f.  Lehrer.  In  3  Hftn.  fUnter-,  Mittel-  u.  Ober- 
Stufe).   2  Aufl.   gr  8°.   Berlin,  Oehmigke's  Verl.   5,60  Mk. 

Hiemes,  Karl  Heinr.,  Rechenbuch  f.  Elementar-  u.  Volks- 
schulen.  gr.8°.   (VI,  117  S.)    Kronstadt,  Zeidner.    Geb.  90  Pf. 

Kleyer,  A.,  Aufgaben-Sammig.  1368-1374.  Hft.  Stuttgart, 
Maier.    ä  25  Pf. 

Klunzinger,  K,  zweimal  1000  Aufgaben  f.  das  mündliche  u. 
schriftliche  Rechnen  zum  Gebrauch  für  Schulaspiranten,  Landexamens- 
kaudidaten,  gehobene  Oberklassen  u.  Fortbildungsschulen.  Schülcr- 
ausg.  4.  Aufl.  8»  (146  S.)  Stuttgart,  Lung.  Kart.  1,40  Mk.fc 
Lehrerausg.  (24 }  S.)   2,80  Mk. 

Küffner,  Ed.  u.  AI.  J.  Ruckert,  Rechenbuch  f.  die  Volks- 
schule, unter  Mitwirkung  erfahrener  Schulmänner.  4.  Lehrerhft. 
Der  Zahlenraum  bis  zu  den  Millionen.  Zweifach  benannte  Zahlen 
m.  decimaler  Einteilg.   8°.   (82  S.)   Würzburg,  Bucher.   80  Pf. 

Lieber,  H.  u.  C.  Müsebeck,  Aufgaben  üb.  kubische  u. 
<ho] »hantische  Gleichungen,  Determinanten  u.  Kettenbrüche,  Kombi- 
nationslehre u.  höhere  Reihen.  gr.8°.  (V,  129  S.)  Berlin,  Simion. 
2,40  Mk. 

Löser,  J.,  praktisches  Rechenbuch  f.  deutsche  Schulen.  4.Uft. 
Jubiläums-Aufl.  Lehrerheft.  8°.  (100  S.  m.  Fig.)  Weinheim, 
Ackermann.    1  Mk. 

Martus,  H.  C.  E.,  mathematische  Aufgaben  zum  Gebrauche  in 
den  obersten  Klassen  höherer  Lehranstalten.  Ans  den  bei  Reife- 
prüfungen an  preuss.  Gymnasien  u.  Realgymnasien  gestellten  Auf 
gaben  ausgewählt  u.  mit  Hinzufügung  der  Ergebnisse  (II.  Tl.)  zu  e. 
Uebungsbuche  vereint.  2  Tie.  gr.8°.  Dresden,  Koch.  1.  Aufgaben. 
10.  Doppelaufl.  (XVI,  194  S.)  3,6i'Mk.;  geb.  4  Mk.  2.  Ergebnisse 
der  Aufgaben  des  I.  Teiles.  9.  u.  10.  Aufl.  (276  S.)  4,80  Mk.; 
geb.  5,20  Mk. 

Quitzow,  W.  A.,  Rechenbuch  f.  Schulen.  Neue  Ausg.,  bearb. 
v.  Thdr.  Wilke.  Lübeck,  Quitzow.  1.  Tl.  Hft.  a— c.  8°.  80  Pf. 
Antworten  zum  1.  Tl.,  Hft.  b.    8°.    (16  S.)   25  Pf. 

Reidt,  Fdr.,  Sammlung  von  Aufgaben  u.  Beispielen  aus  der 
Trigonometrie  u.  Stereometrie.  II.  Tl  :  Stereometrie.  4.  Aufl.  Neu 
bearb.  v.  A.  Much.  gr.80.  (VIII,  194  S.)  Leipzig,  Teubner.  3  Mk. 
—  Resultate  der  Recbnungs-Aufgaben.    (58  S.)    1  Mk. 

Roth,  Rieh.,  landwirtschaftliche  Berechnungen.  Eine  Sammig. 
v.  Aufgaben  f.  den  Unterricht  im  landwirtschaftl.  Rechnen.  Für 
mittlere  u.  niedere  landwirtschaftl.  Schulen  bearb.  gr.fe0.  (VI,  103  S.) 
Chemnitz,  Bülz.   1,20  Mk. 

Sc  ha  e  wen,  P.,  500  Aufgaben  aus  dem  mathematischen  Pensum 
der  Untersekunda.  gr.8*\  (28  S.)  Halle,  Strien.  80  P fg.;  Resultate 
(uur  an  Lehrer.)   (7  S.)    1  Mk. 


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Stahcl's  Sammlung  von  Prüfungsaufgaben  Nr.2.:  Absolutorial- 
aufgaben  in  Bayern.  1.  Hft.  Ducrue,  Jos.,  Aufgaben  aus  der 
Mathematik  u.  Naturwissenschaft',  gegeben  an  "den  humanist.  Gym- 
nasien ,  Rcal-Gymnasien  u.  Realschulen  Bayerns.  Als  Uebungs  - 
stoff  f.  den  Repetitiousunterricht  zusammengestellt.  7.  Aufl.  (Er- 
gänzt  bis  1807.)    12°.    (III,  124  S.)    Würzburg,  Stahel.   1  Mk. 

Vöhringer,  L.,  Rechenschule.  Stufenmässig  geordnete  Bei- 
spielsammlg.  f.  das  mündl.  u.  schriftl.  Rechnen  in  niederen  u.  höheren 
Schulen.  III.  Bdchn.  Das  Rechnen  mit  mehrfach  benannten  ganzen 
Zahlen  im  4.  Schuljahr.  S.  Aufl.  8°.  (VII,  Iii»  S.)  Stuttgart, 
Lung.    Kart.  90  Pf. 

Wenzel,  Karl,  Rechenbuch  f.  kaufmännische  Fortbildungs- 
schulen. Antwortenheft.  1.  u.  2.  Tl.  gr.8°.  (29  Q  40  S.)  Hannover, 
Meyer,    a  60  Pf. 


Tabellen. 

Biscan,  Willi.,  Formeln  u.  Tabellen  f.  den  praktischen  Elektro- 
techniker, llilfs-  u.  Notizbuch.  Mit  Holzsch.  u.  4  Taf.  3.  Aufl. 
12°.    (IV.  130  S.  m.  Notizbuch.)    Leipzig,  Leiner.   Geb.  2  Mk. 

Engelmann,  Th.  W.,  Tafeln  u.  Tabellen  zur  Darstellung  der 
Ergebnisse  spectroskopischcr  u.  spectrophotometrischer  Beobachtungen. 
gr.b0.  (4  S.  m.  2  Tab.  u.  2  färb.  Taf.  in  je  10  Explreu.)  Leipzig, 
Engelmann.  1,80  Mk.;  10  Expl.  oiner  Taf.  ohne  Text  u.  Tab.    1  Mk. 

Hartenstein,  II.,  fünfstellige  logarithmische  u.  trigonometrische 
Tafeln,  f.  d.  Schulgebrauch  hrsg.  gr.b0.  (III,  123  S.)  Leipzig, 
Teubner.    Geb.  1  Mk.  40  Pf. 

Jeliuek,  Laur.,  logarithmische  Tafeln  f.  Gymnasien  u.  Real- 
schulen. 3.  Aufl.  Sammt  Anleitg.  gr.b0  (IV,  157  S.J  WTien,  Piehler's 
Ww,  Sohn.    Geb.  1,50  Mk. 

Müller,  Carl,  Adf,  Multiplikations-Tabellen,  auch  f.  Divi- 
sionen anwendbar.  Bearb.  nach  e.  ncur:n  Anordnung.  gr.8°  (VIII, 
2U1  S.  m.  1  Tab.  auf  Lciuw.-Pap.)  Karlsruhe,  G.  Braun.  Geb.  3Mk. 

Murai,  Heinr.,  Zinseszinsen-,  Einlage-,  Renten-  u.  Amorlisa- 
tions-Tabelleu,  auf  10  Docimalstollcn  berechnet.  Mit  362  ausge- 
arbeiteten Amortisatiousplaueu.  gr.b0.  (157  u.  IV,  344  S.)  Berlin. 
Gesellius.    Geb.  20  Mk. 

Opus  palatinum,  Sinus-  u.  Cosinus-Tafeln  von  10'  z.  10". 
Hrsg.  v.  W.  Jordan,   gr.b0.    (VII,  270  S.)    Hanuover,  Hahn.  7  Mk. 

Person,  Den j.,  Tabellen  zur  Bestimmung  der  Trägheitmomente 
symmetrischer  u.  unsymmetrischer  beliebig  zusammengesetzter  Quer- 
schnitte für  Bauingenieure,;Maschineningnieure  u.  Architeken.  gr.  4°. 
(V,  20  S.  m.  5  Fig.)    Zürich,  Speidel.    2  Mk. 


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Reinhardt,  Karl,  Steuerungstabellen  für  Dampfmaschinen 
mit  Erläuteruugeu  nach  deu  Müller'schen  Schieberdiagrammen  u.  mit 
Berücksichtigung  eiuer  Pieuelstangenlänge  gleich  dem  fünffachen  Kur- 
belradius, sowie  beliebiger  Exzenterstangenlänge  für  einfache  u.  Doppel- 
Schiebesteurgn.  Mit  zahlreichen  Beispielen.  Lex.-8*  (VIII,  Iii  S. 
ni  Fig.)   Berlin,  Springer.   Geb.  6  Mk. 

Sachs,  J.,  Tabelle  der  Elemente  der  regelmässigen  Vielecke, 
gr.fol.   Stuttgart,  Maier.   50  Pf. 

Schmidt,  H.  C,  Zahlenbuch.  Produkte  aller  Zahleu  bis  10U) 
mal  1000.  Ein  Hülfsrechenbuch  das  alle  Multiplicationen  erspart,  u. 
das  übrige  Zahlenrechneu  ausserordentlich  abkürzt.  Entworfen  v. 
C.  Caris.  Lex.-8°.  (VII,  279  S.)  Aschersleben,  Bennewitz.  Geb. 
10  Mk. 

Schülke,  A.,  vierstellige  Logarithmen-Tafeln,  nebst  mathemat., 
physikal.  u.  astronom.  Tabellen  für  den  Scbulgebraucb  'zusammenge- 
stellt.   2.  Aufl.  Lex.-8°.  (IV,  18  S.)  Leipzig,  Teubner.  Kart.  60  Pf. 

Schultz,  E.,  vierstellige  mathematische  Tafeln.  (Ausg  A.)  für 
gewerbliche  Lehranstalten.  2.  Aufl.  gr.8°.  (V,  80  S.)  Nebst  An- 
leitung zum  Gebrauche  der  mathemat.  Tabellen.iu  den  techu.  Kalendern. 
An  25  Beispielen  aus  der  Praxis  erläutert.  2.  Aufl.  16*.  (31  S.) 
Essen,  Baedeker.   Geb.  1,20  Mk. 

—  ,  dass.  (Ausg.  B.)  f.  höhere  Schulen.  2.  Aufl.  gr.8°.  (VIII, 
46  u.  fcO  S.)    Ebd.   Geb.  1  Mk. 

—  ,  mathematische  u.  technische  Tabellen  f.  Handwerker-  u. 
Fortbildungsschulen.  2.  Aufl.  gr.b0.  (VIII,  64  S.)  Ebd.  Geb.  60  Pf. 

—  ,  vierstellige  Logarithmen  der  gewöhnlichen  Zahlen  u.  der 
Winkelfunktionen  zum  Gebrauche  an  Gymnasien.  gr.8e.  (IV,  80  S ) 
Ebd.    Geb.  80  Pf. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Blanke,  W.,  Rechenschule.  2.  Hft.  Das  Rechnen  mit  be- 
nannten Zahlen.  3.  Aufl.  gr.6°.  (IV,  64  S.)  Bremen,  Kaiser. 
Geb.  65  Pf. 

Büttner,  A.,  Kopfrechenschule.  2.  Tl.  Rechenstoffe  f.  die 
Oberstufe  raehrklass.  Schulen,  sowie  f.  Präparandenanstalten  u.  Fort- 
bildungsschulen. 2.  Aufl.  8°.  (110  S.)  Leipzig,  Hirt  &  Sohn. 
Geb.  1,25  Mk. 

Feller,  F.  E.  u.  C.  G.  Odermann,  das  Ganze  der  kaufmän- 
nischen Arithmetik  zum  10.  Male  bearb.  v.  Carl  Gust.  Odermaun. 
17.  Aufl.  gr.8».  (X,  467  S.)  Leipzig,  0.  A.  Schulz  Verl.  4,50  Mk. 
Autlösungen  der  Uebungsaufgaben  (20  S.)   60  Pf. 

Fr  icke,  R.  u.  Fei.  Klein,  Vorlesungen  üb.  d.  Theorie  der 

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automorphen  Fuoctioueu.  1.  Bd.  Die  gruppeutheoret  Grundlagen 
gr.8*.   (XIV,  034  S.  ra.  192  Fig.)   Leipzig,  Teabner.   22  Mk. 

Hintz,  0.,  grosser  Rechenmeister.  Eine  gründliche  Unterweisg. 
in  der  gesamten  Rechenkunst.  Zum  Selbstunterricht,  sowie  zum  Ge- 
brauche in  Fortbildungsschulen  hrsg.  b".  (XI,  515  S.  m.  65  Fig.) 
Berlin,  Friedberg  &  Mode.   3  Mk. 

—  ,  kleiner  Rechenmeister.  Praktische  Unterweisung  in  der 
Rechenkunst.  Zur  gründl.  Selbstbelehrg.  f.  jedermann,  insbesondere  f. 
Gewerbetreibende,  Landwirte, Militärpersonen,  Beamte  etc.  sowie  zum 
Gebrauche  in  Fortbildungsschulen  hrsg.  bu.  (VI,  249  S.)  Ebd. 
1,80  Mk. 

Klein,  F.,  ausgewählte  Kapitel  der  Zahlentheorie  I.  u.  II.  Vor- 
lesung.   4°.    I.  Geh.  im  Wintersemester  1895*96.   Ausgearb.  v.  A. 
Sommerfeld.   (V,  391  autogr.  S.  m.  Fig.)   II.  Geh.  im  Sommer- 
semester 1896.   Ausgearb.  v.  A.  Sommerfeldt  u.  Ph.  Frutwäugier. 
(V,  354  autogr.  S.)   Leipzig,  Teubner.    14,50  Mk. 

Krause,  Mart.,  Theorie  der  doppelperiodischen  Functionen  e. 
veränderlichen  Grösse.  2  (Schluss-)Bd.  gr.8n.  (XII,  306  S.)  Ebd. 
12  Mk. 

Kreibig,  Jos.  Edm.,  Leitfaden  des  kaufmännischen  Rechnens 
f.  zweiklassige  Handelsschulen,  gr.8».  (VI,  287  S.)  Wien,  Hölder. 
Kart.  2,64  Mk. 

Küpper,  Karl,  die  primitiven  u.  unpriraitiven  Specialgruppen 
auf  C,«.   gr.8°.   (14  S.)   Prag,  Rivnai.   2  J  Pf. 

Laska,  W.,  Beitrag  zur  Integration  der  numerischen  Differen- 
tial-Gleichungen.  gr.8°.   (lü  S.)  Ebd.   20  Pf. 

Lercb,  M.,  sur  quelques  formules  concernant  les  fonetions  ellip- 
tiques  et  les  int6grales  Euleriennes.   gr  8°.   (II  S.)   Ebd.    20  Pf. 

Loria,  Gino,  Integrali  Euleriani  e  spirali  siuosoidi.  gr.8. 
(6  S.)   Ebd.   20  Pf. 

Mertens,  F.,  über  Dirichlet's  Beweis  des  Satzes,  dassjede  un- 
begrenzte ganzzahlige  arithmetische  Progression,  deren  Differenz  zu 
ihren  Gliedern  theilerfremd  ist,  unendlich  viele  Primzahlen  enthält. 
gr.8#.   (33  S.)   Wiei,  Gerold's  Sohn.   70  Pf. 

—  ,  über  e.  algebraischen  Satz.   gr.8°.   (9  S.)   Ebd.   30  Pf. 

—  ,  über  e  asymptotischen  Ausdruck-  gr.8°.  (11  S.)  Ebd. 
3n  Pf. 

Pleskot,  Ant,  über  die  Grenzen  der  Wurzeln  e.  Gleichung 
m.  nur  reelleu  Wurzeln,    gr.  ö°.    (tf  S.)    Prag,  Rivmu .   20  Pf. 

Rogel,  Frz.,  combinatorische  Beziehungen  zwischen  Summen 
von  TeÜerpotenzen.   gr.  bü.   (9  S.)   Ebd.    2U  Pf. 

Stolz,  0.,  zwei  Grenzwerte,  v.  welchen  das  obere  Integral  e. 
.  besonderer  Fall  ist.    gr.ö".    (15  S.)    Wieu,  Gerold's  Sohn.   4u  Vi 


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StudniJka,  F  J.,  Neuer  Beitrag  zur  Theorie  der  Potenz-  u. 
Kombinations-Determinanten.   gr.8Ä.   (16  S.)  Prag,  Rivnar  24  Pf. 

Traber,  W.  L.,  Algebra.  Ein  Lehrheft  f.  Lehrer  u.  8ehtiler 
tochn.  n.  gewerb).  Lehranstalten.  Kurz  u.  leicht  fasslich  zusammen- 
gestellt.  2  Thle.   gr.8°.   Giessen,  Baiser.   Geb.  1,80  Mk. 

Würsdörfor,  J.,  Strömungen  aus  dem  Gebiete  des  Rechen- 
unterrichts m.  besonderer  Berücksichtigung  der  „Sachgebiete  des 
Rechnens".  Vortrag.  gr.8°.  (33  S.)  Stuttgart,  Süddeutsche  Ver- 
agsbuchh.    50  Pf. 

Zindler,  Konr,  über  die  Differentiation  mehrfacher  Inte- 
grale nach  e.  Parameter,  v.  dem  auch  die  Grenzen  abhängen.  gr.8° 
(6  S.)    Wien,  Gerold's  Sohu.    20  Pf. 


Geometrie. 

Binder,  Wilh.,  die  Uudulationen  ebener  Curven  t\  (1.  Mit- 
teilg.)   gr.8°.   (28  S.  m.  12  Taf.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   1,40  Mk. 

Dietsch,  Chrph,  Leitfaden  der  darstell.  Geometrie.  Mit  88 
in  den  Text  cingedr.  Fig.  u.  sehr  vielen  Aufgaben.  3.  Aufl.  gr.8°. 
(IV,  152  S.)   Leipzig,  Deichen  Nachf.    2,20  Mk 

Dobriner,  Herrn.,  Leitfaden  der  Geometrie  f.  höhere  Schulen. 
Mit  375  z.  Tl.  färb.  Fig.  gr.K  (XV.  13'J  8.)  Leipzig,  Voigtläu- 
der.    2,4')  Mk. 

Girudt,  Mart.,  Raumlehre  f.  Baugewerbeschulen  u.  verwaudte 
gewerbliche  Lehranstalten.  1.  Tl.:  Lehre  v.  den  ebenen  Figuren 
Mit  276  Fig.  im  Text  u.  227  der  Baupraxis  entlehnten  Aufgaben. 
gr.8°.    (VII,  99  S.)   Leipzig,  Toubn er.    Kart.    2,40  Mk. 

Holl,  W.,  Lehrbuch  der  Geometrie.  Die  Lehre  v.  den  geome- 
trischen Kaumgrüssen  in  geeigneter  Verbindung  mit  Zeichnen  u.  Rech- 
nen. 3.  Aufl.  v.  K.  Holl.  8°.  (IX,  131  u.  76  S.  m.  Fig.).  Stutt- 
gart, Kohlhammer.    Kart  1,80  Mk. 

Kohn,  Gust,  über  räumliche  Poncelet'scbe  Polygone,  gr. 8°. 
(7  S.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   20  Pf. 

Molke,  Roman,  über  diejenigen  Sätze  Jacob  Steiner's,  welche 
seh  auf  die  durch,  e.  Punkt  gehenden  Transversalen  e.  Kurve  »tcr 
Ordnung  bezieben.   gr.8°.   (81  S.)   Breslau,  Schleuer.   1  Mk. 

Pözl,  Wenzelaus,  Elemente  der  darstellenden  Geometrie,  zum 
Schulgebrauch  zusammengestellt.   I  Tl.:  Geradlinige  ebene  Gebilde. 
Neue  [Titel-] Ausg.    gr.8°.    (VI,  60  S.  m.  81  Fig.)   München,  Th. 
Ackermann.   1,20  Mk. 

Pyrkosch,  Rhld.,  über  Poncelet'sche  Dreiecke ,  besonders 
solche,  welche  confocalen  Kegelschnitten  ein-  u.  umgeschrieben  sind. 
gr.8°.    (61  S.  m.  4  Fig.)    Breslau,  Schletter.   80  Pf. 


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Rothe,  Rud.,  Untersuchungen  üb.  die  Theorie  der  isothermeu 
Flächen.    Diss.   gr.4°.   (42  S)    Berlin,  Mayer  &  Müller.    2  Mk. 

Sachs,  J.,  Lehrbuch  der  ebenen  Elementar-Geometrio  { PJaui- 
roetrie).  8.  Tl.:  Die  Anwendung  der  Aehnlichkeit  auf  die  Lehre  vom 
Kreis.  Bearb.  nach  System  Kleyer.  gr.8°.  (VII,  226  S.  m.  136  Fig. 
o.  1  Tab.)   Stutttgart,  Maier.   5  Mk. 

Schlot  ke,  J.,  Lehrbuch  der  darstellen  Geometrie  1.  Tl.. 
Speciclle  darstell.  Geometrie.  Mit  1*3  Fig.  3.  AuH.  gr.8ü.  (IV, 
154  S.)   Dresden.   Kühtmann.   3,60  Mk. 

Tengler,  Frz.,  Construction  der  conjugirten  Durchmesser, 
resp.  Achsen  eiues  Kegelschnittes,  der  einem  gegebenen  Polar  reeiprok 
ist   gr.8°.   (12  S.)   Klagenfurt,  Kleinmayr.   1  Mk. 

Waeisch,  Emil,  über  Flächen  mit  Liouville'schem  Bogeoelc- 
ment   gr.8°.   (6  S.)    Wien,  C.  Gerold's  Sohu.    20  Pf. 

Walter,  Alois,  über  e.  Satz  von  Cbasles  u.  üb.  dessen  Zu- 
sammenhang m.  der  Theorie  der  Momentanaxe.  gr.8y.  (13  S.) 
Leobeu,  Nüsslcr.   1  Mk. 


Trigonometfie. 

Brüklen,  0,  Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie  mit  Bei- 
spielen u.  28t)  Uebungsaufgabeu  f.  höhere  Lehranstalten  u.  zum 
Selbstunterricht.  8°.  (VII,  122  S.  m.  4)  F14.)  Heilbronn, 
Schröder  <fc  Co.    Geb.  1,50  Mk. 


Praktische  tieoiiietrie,  (.rodäsie. 

Dreieckuetz,  das  schweizerische,  (der  internationalen  Erd- 
messung), hrsg.  v.  der  schweizer,  geodät.  Kommission.  7.  Bd. :  Messcr- 
sebmidt,  J.  B.,  Relative  Schwerebestimmuugcn.  1.  Tl.  Im  Auftrage 
ausgeführt  u.  bearb.  gr.4°.  (IV.  216  S.  m.  3  Taf.)  Zürich,  Fäsi  <fc 
Beer.    10  Mk. 

Höhenbestimmungen,  trigonometrische  u.  barometrische, 
(Normalnull-Höhen)  in  Württemberg,  bezogen  auf  deu  einheitlich 
deutschen  Mormalnullpuukt.  Donaukreis.  14.  II  lt.  Oberamtsbez.  Ulm. 
Bearb.  v.  C-  Regelmann.  Hrsg.  v.  dem  k.  Statist.  Landesamt.  gr.b". 
(38  S.)    Stuttgart,  Lindemann.    Kart.  EO  Pf. 

Jordan,  W.,  Handbuch  der  Vermessungskunde.  2.  Bd.:  Feld- 
u.  Land-Messg.  5.  AuH.  Mit  635  Zeichngn.  im  Text.  2.  Lfg.  gr.8°. 
(XII  u.  S.  417-785  u.  Anh.  47  S.)  Stuttgart,  Metzler's  Verl.  8,20  Mk. 
(II.  Bd.  kplt.  16,20  Mk.) 


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LaudcsTriangulation,  die  königl.  preussische.  Hauptdroi- 
ecko.  9.  Thl.  A.  Die  rhoiuiseh-hess.  Dn-ieckskctte.  —  13.  Das  Basis- 
netz bei  Bonn.  -  C.  Das  niederrheiu.  Dreiecksnetz.  Gemessen  u. 
bearb.  v.  der  trigonometr.  Abtheilg.  der  Landesaufnahme.  Mit  o. 
Uebcrsichtstaf.  u.  19  Skizzen.  Lex.  8°.  (XII,  484  S.)  Berlin,  Mitt- 
ler &  Sohn.    Kart.  15  Mk. 

La s k a,  W.,  über  Hauptgleichungen  der  Geodäsie.  gr.8°.  (13  S.) 
Prag,  Rivnä<\    20  Pf. 

Schreiber,  0.  die  konforme  Doppelprojektion  der  trigonome- 
trischen Abtheilg.  der  Landesaufnahme.  Lex.-8°.  flV,  99  S.)  Berlin, 
Mittler  &  Sohu.    Kart.  3  Mk. 

Veröffentlichung  des  königl.  preussischen  geodätischen  In- 
stitutes. Kühnen,  Fr.,  die  Vermessung  der  Grundlinien  bei  Strehlen, 
Berlin  u.  Bonu,  ausgeführt  durch  das  geodät.  Institut.  Unter  Mit- 
wirkung v.  R.  Schumann  bearb.  gr.4°.  (IV,  121  S.  m.  4  Tai.) 
Berlin,  Staukicwicz.   9  Mk. 


Mechanik. 

Bültzmaun,  Ludw.,  Vorlesuugon  üb.  die  Principe  der  Mecha- 
nik. (In  3  Thln  )  I.  Thl.,  enth.  die  Principe,  bei  denen  nicht  Aus- 
drücke nach  der  Zeit  integrirt  werden,  welche  Variationen  der  Coor- 
dinaten  od.  ihrer  Ablcitgn.  nach  der  Zeit  enthaltcu.  gr.8°.  (X, 
241  S.  m.  16  Fig.)    Leipzig,  Barth.    6  Mk. 

Klein,  F.  u.  A.  Sommerfeld,  üher  die  Theorie  des  Krcisols. 
1.  Hft.  Die  kiuemat  u.  kinet  Grundlagen  der  Theorie..  gr.8°. 
(196  S.)    Leipzig,  Teubner.   5,60  Mk. 

Lauensteiu,  K.,  die  graphische  Statik.  Elementares  Lehr- 
buch f.  techn.  Unterrichtsanstalten  u.  zum  Gebrauch  in  der  Praxis. 
4.  Aufl.  gr.8°.  (VI,  235  S.  in.  255  Abbildgu.)  Stuttgart,  Berg- 
strässer.    Geb.  6  Mk. 

Schwartzc,  Thdr.,  neue  Elementar-Mechauik  f.  technische 
Lehranstalten  u.  zum  Selbstunterricht.  Mit.  e.  Vorwort  v.  F.  Reulcaux. 
8°.  (XVI,  359  S.  m.  212  Abbildgn.)  Braunschweig,  Vieweg  <fe  Sohn. 
4,80  Mk . 

Weber's  illustr.  Katechismen.  Nr.  70.  Huber,  Ph.,  Katechis- 
mus der  Mechanik.  6.  Aufl.,  neu  bearb.  v.  Waith.  Laugo.  Mit  196 
iu  den  Text  gedr.  Abbildgn.  (XV,  271  S.)  12°.  Leipzig,  J.  J. 
Weber.    Geb.  3,50  Mk. 

Weisse,  H.,  das  Flug-Gesetz  als  Grundlage  zur  Lösung  des 
Flug-Problems  im  Sinne  des  Buttenstedt'schen  Princips.  Mit  1  Fig.- 
Taf.   gr.fc0.   (45  S.)   Kiel,  Lipsius  &  Tischer.    1  Mk. 


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Wilczynski,  E.  J.,  Hydrodynamische  Untersuchungen  u.  An 
Wendungen  auf  die  Theorie  der  Sonnenrotatiou.  Diss.  gr.8°.    (34  S.) 
Berliu,  Mayer  &  Müller.    2  Mk. 


Technik. 

Auleitung  zum  Bau  elektrischer  Haustelegrapheu-,  Telephou- 
u.  Blitzableiter-Anlagen.  Hrsg.  v.  der  Aktiengesellschaft  Mix  <& 
Genest.  4.  Aufl.  gr.8°.  (XV,  382  S.  m.  528  Abbildgn.)  Berlin, 
Polytechn.  Buchh.    A.  Seydel.   4,5«)  Mk. 

—  ,  praktische,  zur  Aulage  v.  Blitzableitern.  Mit  26  Abbildgu. 
in  Holzschn.    3.  Aufl.   gr.8°.    (44  S.)   Leipzig,  Leiner.   60  Pf. 

Bibliothek,  elektrotechnische.  11.  Bd.  Urbanitzki,  Alf.,  die 
elektrischen  Beleuchtungs-Anlagen  m.  besond.  Berücksiebt,  ihrer 
praktischen  Ausführung.  Mit  113  Abbildgn.  3.  Aufl.  (VIII,  240  S.) 
8°.   Wien,  Hartlebeu.   3  Mk. 

Ency klo paedie  der  Photographie.  27.  —  2V».  HCL  gr.6°. 
Halle ,  Knapp.  27.  Mercator,  G. ,  die  Diapositiv-verfahren.  Prak- 
tische Anleitung  zur  Herstellg.  v.  Fenster-,  Steroscop-  u.  Pro- 
jektionsbilderu  mittels  älterer,  neuerer  u.  neuster  Druckverfahren. 
(V,  93  S.)  2  Mk.  -  28.  Büttner,  0.  u  K.  Müller,  Te  chuik  u.  Vcr- 
werthung  der  Röntgen'schen  Strahlen  im  Dienste  der  ärztlichen 
Praxis  u.  Wissenschaft.  Mit  29  in  den  Text  gedr.  Abbildgu.  u.  5 
Taf.  (V,  146  S.)  3  Mk.  —  29.  David,  Ludw.,  die  Moment-Photo- 
graphie.    Mit  122  Textbilderu.   gr.8».    (VIII,  241  S.)   8  Mk. 

Er  necke,  Erich,  über  elektrische  Welleu  u.  ihre  Anwendung 
zur  Demonstration  der  Telegraphie  ohne  Draht  nach  Marconi.  Ex 
perimentalvortrag.   gr.8.    (»5  S.  m.  12  Abbildgn.)    Berlin,-  Gaert- 
uer.    80  Pf. 

Fortschritte  der  Elektrotechnik.  Berlin,  Spriuger.  9  Jahrg. 
1*95    2.  Hft.   5  Mk    11.  Jahrg.  1897.    1.  Hft.   5,«>0  Mk. 

Gaisbcrg,  S..  Taschenbuch  f.  Monteure  elektrischer  Beleuch- 
tungsanlagen. 14.  Aufl.  12°.  (VIII,  21 '3  S.  m.  Fig.)  München, 
Oldenbourg.    Geb.  2,50  Mk. 

Grossmann,  Ludw.,  die  Mathematik  im  Dienste  der  National- 
ökonomie unter  Rücksichtnahme  auf  die  praktische  Haudhabnng  der 
Disciplincn  der  Finanzwissenschaft  u.  Versicheruugstechnik.  9.  Lfg 
gr.8°.  '(Suppl.-Bd.  VII,  80  S.)  Wien,  (III.  Sofienbrückeng.  14) 
Selbstverlag.   5  Mk. 

Grünwald,  E.,  die  Herstellung  u.  Verwendung  der  Akkumu- 
latoren in  Theorie  u.  Praxis.  Ein  Leitfaden.  2.  Aufl.  12°.  (VI, 
154  S.  m  83  Abbildgn.)   Halle,  Knapp.   3  Mk. 


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Gümbel,  L..  das  Stabilitatsproblem  des  Schiffbaues.  Mit  28 
Textfig.  u.  6  lith.  Taf.  gr.M>   (VI,  49  S.)  Berlin,  Siemens.  2,40 Mk. 

Hart  mann,  Konr.  u.  J.  0.  Knoke,  die  Pumpen.  Berech- 
nung u.  Ausführung  der  f.  die  Förderung  v.  Flüssigkeiten  gebräuchl. 
Maschinen.  2.  Aufl.  gr.8°.  (IX,  666  S.  in.  664  Fig.  u.  6  Taf.) 
Berlin,  Springer.   Geb.  16  Mk. 

Holzt,  A.,  Elektrotechniker.  24.  Hft.  Leipzig,  Schäfer.  75  Pf. 

Jungelaus,  II.  A  ,  Magnetismus' u.  Deviation  der  Compasse. 
2  Aufl.  Anh.dazu,  Ueber  die  Einwirkg.  der  elektr.  Licht-  u.  Kraft- 
übertragungs-Anlagen in  Schiffen  auf  den  Compass.  8°.  (24  S.) 
Bremerhaven,  Schipper    6)  Pf. 

Karmarscb,  Karl,  Handbuch  der  mechanischen  Technologie. 
In  5.  Aufl.  hrsg.  v.  E.  Hartig  6.  Aufl.  hrsg.  v.  Herrn.  Fischer.  14. 
Lfg.,  bearb.  v.  Herrn.  Fischer  u.  Ernst  Müller  gr.8°.  (3.  Bd. 
S.  1151-1296  m  Abbildgn.)   Berlin,  W.  &  S.  Loewenthal.   5  Mk. 

Leweronz,  Ernst,  Hilfsbuch  f.  die  Telegraphen-  u  Fern- 
sprechtechnik. Unter  besonderer  Berücksichtigung  der  Telegraphen- 
u.  Femsprecheinrichtungen  der  deutschen  Rcichs-Post-  u.  Telegra- 
phenverwaltung. Mit  67  in  deu  Text  gedruckten  Abbildungen  u.  4 
farbigen  Tafel u.    8°.   (XI,  134  S.)   Berlin,  Springer.   Geb.  4  Mk. 

Lisegang,  R.  Ed.,  die  Entwicklung  der  Auscopir- Papiere. 
gr.b0.   (60  S.)   Düsseldorf,  Liesegang.    1  Mk. 

Lolling,  Heiko,  Konstruktionsblätter  praktisch  ausgeführter 
Maschinenanlagen,  nebst  erläut.  Text  u.  elementar  gehaltenen  Be- 
rechnung als  Unterlage  f.  prakt.  Ausführgn.  techn.  Lehranstalten  u. 
zum  Selbstunterricht  hrsg.  1.  Tl.  Dampfkessel-  u.  Dampfkesselan- 
lagen. Fol.  (III,  33  S.  m.  16  Taf.  in  Aupeldruck.)  Köln.  Neubner, 
Iu  Mappe  3,60  Mk. 

Lueger's,  0.,  Lex.  d.  Technik.  25.  u.  26.  Abthlg.  Stuttgart, 
Deutsche  Verlags  Anstalt,   ä  5  Mk. 

Luxenberg,  M.,  die  Bogenlicht-Schaltungen  u.  Bogenlampen- 
Gattungen.   2.  Aufl.   gr.8°.    (51  S.   m   4  Taf.)    Leipzig,  Leiner. 

2  50  Mk. 

Meissner,  G-,  Hydraulik.   2.  Aufl.   23.  Lfg.  Jena,  Costenoble. 

3  Mk. 

—  ,  die  Kraftübertragung  auf  weite  Entfernungen  u.  die  Kon- 
struktion der  Triebwerke  u.  Regulatoren.  2.  Aufl.  v.  Jos.  Krämer. 
1.  Bd.   gr  8°    (387  S.  m.  30  Taf.)   Ebd    18  Mk. 

Pechau,  Jos,  Berechnung  der  Leistung  u.  des  Dampfver- 
brauches der  Zweicy linder- Dampfmaschinen  zweistufiger  Expansion. 
gr.8°.   (XV,  289  S.  ra.  14  Fig.  u.  48  Tab.)  Wien,  Deuticke.  8  Mk. 

Rejtö,  Alex.,  die  innere  Reibung  der  festen  Körper  als  Bei- 
trag zur  theoretischen  mech.  Technologie.  Aus  dem  Ung.  übers,  v. 
Karl  Gaul.   gr.8°.   (VII,  111  S.  m.  22  Taf.;  Leipzig,  Felix.   7  Mk. 


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Schciikel,  IIa  im.,  der  überhitzte  Dampf.  Darstellung  seiner 
ausschliessl.  Anweudg.  in  den  gegenwärt,  u.  zukünft,  Dampfbetrieben, 
gr  8°.    (V,  132  S)   Wien,  Spielhagen  &  Schurich.    2,80  Mk. 

Sc  hie  mann,  Max,  Bau  u  Betrieb  elektrischer  Bahnen.  An- 
leitung zu  deren  Projektierg.,  Bau  u.  Betriebsführg.  Strassenbahnen. 
Mit  364  Abbildgn.,  2  photo-litb.  Taf.,  3  Taf.  Diagramme  u.  mehreren 
Fig.-Taf.    2.  AuH.   gr.8ü.    (VIII,  392  S.)   Leipzig,  Leiner.   12  Mk. 

Schmidt,  Geo.,  die  Wirkungsweise,  Berechnung  u.  Konstruktion 
der  Gleichstrom-Dynamomaschinen  u.  Motoren.  Mit  204  Abbildgu., 
33  Taf.  Konstruktionsskizzen  u-  1  Diagrammtaf.  gr.8*\  (VIII,  272  S.) 
Ebd.    8,50  Mk. 

Sicherheitsregelu  f.  elektrische  Hochspanuungs-Anlagen, 
hrsg.  vom  Verband  deutscher  Elektrotechniker.  12°.  (23  S.  m.  Fig.) 
Berlin,  Springer.    Kart  50  Pf. 

Tuma,  Jos.,  eine  Quecksilberluftpumpe.  gr.8°.  (8  8.|  m.  4 
Fig.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   40  Pf. 

Unterrichtsbriefe  d.  Elektrotechnik.  11.— 20.  Hft.  Pots- 
dam, Bonness  <fe  Hachfeld.   ä  60  Pf. 

Vogel,  II.  W,  Handbuch  der  Photographie.  4.  Aufl.  4  Thle., 
enth.  die  photograph.  Chemie,  Optik,  Praxis  u.  Kunstlehro.  III.  TM. 
Die  photograph.  Praxis.  1.  Abtblg. :  Die  photograph.  Arbeitsräume 
u.  Geräte.  Der  photograph.  Negativprozess  in.  Kollodium  u.  Galaline- 
Emulsion.   gr.8°.   (X.  310  S.  207  Illustr.)    Berlin,  Schmidt.    8  Mk 

Voit,  E.  u.  C.  Heinke,  elektrotechnisches  Praktikum.  Hilfs- 
buch f.  Studirende  der  Elektrotechnik.  2.  Tbl.  Heinke,  C,  Wechsel- 
strommessungen u.  magnetische  Mcssungou.  gr.8°.  (XXIII,  20J  S. 
m  148  Fig.)    Leipzig,  Hirzel.   Geb.  8  Mk. 

Was  brauche  ich  zum  PhotographierenV  Leitfaden. 
gr.8°.  (IV,  84  S.  m.  Abbildgn.  u.  1  Taf.)  Düsseldorf,  Liesegang. 
75  Pfg. 

Wiedemann,  Eilh.  u.  Herrn.  Ebert,  Physikalisches  Prakti- 
kum m.  bcsond.  Berücksichtigung  der  physikalisch-chemischen  Me- 
thoden. 3.  Aufl.  gr.8ü.  (XXV,  49.)  S-  m.  316  Holzst)  Braun- 
schweig, Viewcg.   9  Mk. 

Optik,  Akustik  und  KlastieitHt. 

Exner,  Frz.  u.  E.  Ilaschek,  über  die  ultravioletten  Funken- 
spectra  der  Elemente.  Wien,  Gerold's  Sohn.  VII.  Mittheilg.  (enth. 
die  Spectrav.  Pb,  Zu,  Sn,  Cd,  AI,  Mg).  gr.8°.  (15  S.  m.  6  Taf.) 
1,90  Mk.  VIII.  Mittheilg.  (euth.  die  Spectra  v.  le,  Hg,  Bit  Sl>,  C). 
gr.8°.  (20  S.  m.  2  Taf.)  1  Mk.  IX.  Mitth.  (enth.  die  Spectra  v. 
A',  Na,  lia,  lio,  Fe).   gr.8°.    (27  S.  m.  2  Taf.)    1,10  Mk. 


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Lauen  stein,  R.,  die  Festigkeitslehre.  Elementares  Lehrbuch 
f.  den  Schul-  u.  Selbstunterricht,  sowie  zum  Gebrauch  in  der  Praxis, 
nebst  e.  Anh.,  enth.  Tabellen  der  Potenzen,  Wurzeln,  Kreisumfänge 
u.  Kreisinhalte.  4.  Aufl.  gr  8°.  (VI,  153  S.  m.  9  >  Abbildgn.) 
Stuttgart,  Bergsträsser.    3,50  Mk  ;  geh.  4,50  Mk. 

Lommel,  E.,  Theorie  der  Dämmerungsfarbeu.  gr.4°.  (60  S. 
m.  3  Fig.)    München,  G.  Franz's  Verl.   2,5 )  Mk. 

Schweidler,  A,  über  Rotationen  im  homogeruu,  elektrischen 
Felde.   gr.8°.    (7  S.)    Wien,  Gerold's  Sohn.    20  Pf. 


Eni-  und  IlitniiielsKuiide. 

Auleitung  zur  Messung  u.  Aufzeichnung  der  Niederschläge. 
Hrsg.  vom  Königl.  preuss.  meteorologischen  Institut.  3.  Aufl.  Lex. -5° . 
(12  S.  m.  3  Holzschu.)    Berlin,  Asher  &  Co.   60  Pf. 

Beobachtungsergebnisse  der  königl.  Sternwarte  zu  Berlin. 
7.  Hft.  Marcuse,  Adf.,  Photographische  Bestimmungen  der  Polhöhe. 
(39  S.  m.  3  Fig.).   gr.4°.   Berlin,  Dümmler's  Verl.    3  Mk.  tj) 

Bussler,  Fr.,  die  Elemente  der  mathematischen  u.  der  astro- 
nomischen Geographie.  Für  die  Prima  höherer  Lehranstalten  oearb. 
gr.8#.  (VI,  71  S.  m.  24  Fig.  u.  1  Sternkarte.)  Dresden,  EhleVmhh'ti1. 

Geb.  1,50  Mk.  S^Tä 
Cohn,  Berth.,  über  die  Gauss'sche  Methode,  aus  dcnj^AeoDacli)- 
tungeu  dreier  gleicher  Steruhöhcn  die  Höhe,  Zeit  ü!\' Nomone  zu 
finden  n.  praktische  Hilfsmittel  zu  ihrer  Anwendung.  ^hA^'^&S. 
m.  Fig.,  2  Karten  u.  2  Transparenten.)    Strassburg^ItffceV  £  WÜ. 

Ergebnisse  der  Untersuchung  der  HoelA^lekftlttW^ 
deutschen  Rheingebiet.  Auf  Veranlassg.  der  ReichskoMmi  ssiötiW 
Untersuchg.  der  Stromverhültuisse  des  Rheinau! WatfVii^&ßtBü 
Nebenflüsse  u.  auf  Grund  der  v.  de«  WasscrbautfWfci^en'te  '^hefti- 
gebietsstaaten  gelieferten  Aufzeichnuugc  i  ttearb:1  tf-HW.1^?  dem 
Centraibureau  f.  Meteorologie  u.  Hsmi^^^V^&^miAi 
Baden.  III.  Hft.  Die  Anschwcllgu.  im' '  ^Ircld/iill^'^^^lltfidaf  (,im 
Strome  nach  Mass  u.  Zeit  unter  die  Einwirkung  der r'^d)e\ifld8s^ 
Bearb.  von  M.  v.  Tein.  Mit  10  itf. 1  'itffi'  'XiiT^^Ä 'Ver- 
lauf des  Hochwasser  vom  März  -Aiirit'löftV..  .Ti^arrii  Von  ai-.  v:f 
Mit  5  Taf.  F< 
Eschenhi 

des  Erdmagnetismus  v.  B^Ur '  IdelfD^'^^iAj^l&ftS^'liK 8C . 
1  Taf.)   Berlin,  ReimerÄW^ ' **  '  * 
Fritsche,  IL,  ti^cr'  die  Besümmujijf  der ^  ^oerticiente^d^rTrauss- 
schen  allgemeinen  Theorie  des  ßrdmagnetismüs"  f.'lf  J.  fSSf  d? w. 

3* 


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den  Zusammenhang  der  drei  erdmagnetischen  Elemente  untereinan- 
der. gr.80.  (85  autogr.  S.)  St  Petersburg  (Streluiuskaya  ulitzka 
4),  Selbstverlag.  —  Ratzeburg,  Fräulein  Louise  Fritsche.    4  Mk. 

Horn rn,  Thdr.,  der  tägliche  Wärmenmsatz  im  Boden  u.  die 
Wärmestrahlung  zwischen  Himmel  u.  Erde.  gr.4°.  (147  S.  ra.  5 
Abbildgn.  u.  10  lith.  Taf.)   Leipzig,  Engelmann.    10  Mk. 

Jäger,  Gust.,  die  Lösung  der  Mondfrage.  gr.8°.  (III,  59  S. 
m.  1  Taf.)   Stuttgart,  Kohlhammer.   2  Mk. 

Jahrbuch,  deutsches  meteorologisches,  f.  1896.  Beobachtungs- 
system der  meteorolog.  Stationen  I.  Ordnung.  Aachen.  Ergebnisse 
der  meteorolog.  Beobachtgn.  an  der  Station  I.  Ordng.  Aachen  u. 
deren  Nebenstationen  im  J.  1896.  Hrsg.  im  Auftrage  der  Stadtver- 
waltg.  v.  Dir.  P.  Polis.  II.  Jahrg.  gr.4°.  (VI,  74  S.  m.  4  Ab- 
bildgn. u.  1  Taf.)   Karlsruhe,  Braun.   5  Mk. 

König,  Arth.,  die  Abhängigkeit  der  Farben-  n.  Helligkeits- 
gleichungen v.  der  absoluten  Intensität.  gr.8°.  (12  S.)  Berlin, 
G.  Reimer.   50  Pf. 

Mangoidt,  H.,  Beweis  der  Gleichung  £  ~  —  0.  gr.8°. 
(18  S.)   Ebd.    1  Mk. 

Meyer,  Wilh.,  das  Weltgebäude.  Eine  gemeinverständl.  Hirn- 
melskunde.  Mit  etwa  325  Abbildgn.  im  Text,  9  Karten  u.  29  Taf.  in 
Farbendr.  Heliograv-  u.  Holzsch.  (In  14  Hftn.)  1.  Hft.  gr.8. 
(S.  1—48.)   Leipzig,  Bibliograph.  Institut.   1  Mk. 

Publikationen  des  astrophysikalischen  Observatoriums  zu 
Potsdam.  Nr.  36.  XI.  Bd  3.  Stück.  Wilsing,  J.,  Untersuchungen 
üb.  d.  Parallaxe  u.  die  Eigeubewogung  v.  Ol  Cygni  nach  photo- 
graphischen Aufnahmen.  gr.4°.  (59  S.  m.  2  Taf.)  Leipzig,  Engel- 
mann.  4  Mk. 

Soland,  unser  Sonnensystem,  gr.b0.  (59  S.  m.  2  Taf.)  Leip- 
zig, Strauch.   2  Mk. 

Spitaler,  R.,  die  Ursache  der  Breitensch wankungon.  gr.49. 
(19  S.  m.  1  Fig.  u.  1  Karte.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   1,40  Mk. 

Stichternoth,  Alb.,  Untersuchung  über  die  Bahn  des  Cometen 
1822  IV.   gr.4M.   (VI,  64  S.)   Leipzig,  Engelmann.   4  Mk. 

Veröffentlichungen  des  königl.  preuss.  meteorologischen  In- 
stituts. Hrsg.  durch  Wühl.  v.  Bezold.  Ergebnisse  der  Beobachtun- 
gen an  den  Stationen  II.  u.  III.  Ordnung  im  J.  1893,  zugleich  deut- 
sches meteorolog.  Jahrbuch  f.  1893.  Beobachtungssystem  des  Königr. 
Preussen  u.  benachbarter  Staaten.  (1893.  3.  Hft.)  gr  4°.  (XVI  u. 
S.  99-291  m.  1  färb.  Karte.)   Berlin,  Asher  &  Co.   9  Mk. 

—  ,  dass.  Ergebnisse  der  Gewitter-Beobachtungen  in  den  J. 
1892,  1893,  1896.   gr.4°.    (XXI,  57  S.  m.  3  Abbilflgn.)  Ebd.  S  Mk. 


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Vierteljahrsschrift  der  astrom.  Gesellschaft.  32.  Jahrg. 
1.  u.  2.  Hft.   Leipzig,  Engelmann.   ä  2  Mk. 


Nautik. 

Jahrbuch,  nautisches,  od.  Ephemeriden  u.  Taf.  f.d.  J.  1900 
zur  Bestimmung  der  Zeit,  Länge  u.  Breite  zur  See  nach  astronomi- 
schen Beobachtungen.  Hrsg.  vom  Reichsamt  des  Innern.  Unter  Red. 
v.  Dr.  Schräder,  gr  8°.  (XXXII,  276  S.)  Berlin  C.  Heymanu's 
Verl.   Kart.  1,50  Mk. 

—  ,  kleines  nautisches,  f.  1*98.  37.  Jahrg..  Hrsg.  W.  Ludolph 
12#.    (52  S.)   Bremen,  Heinsius.   75  Pf. 

Leitfaden  f.  den  Unterricht  in  der  Navigation.  2.  Aufl.  (X, 
370  S.  m.  132  Abbildgn.  u.  8  Steindr.  Taf.)  Nebst  Anh.:  Nautische 
Rechngn.  4#.  (VIII,  139  S.  m.  Abbildgn.)  Berlin,  Mittler  &  Sohn. 
15,50  Mk.,  Leitfaden  allein  11  Mk.;  Anhang  allein  4  Mk. 

Segelhandbuch  des  Irischen  Kanals.  II.  Tl.  Die  Ostseite. 
Hrsg.  v.  der  Direktion  der  deutschen  Seewarte.  gr.8°.  (XXIX, 
462  S.)   Hamburg,  Friederichsen  &  Co.   Kart.  3  Mk. 


Physik. 

Börner,  H.,  physikalisches  Unterrichts  werk  f.  höhere  Lehran- 
stalten, sowie  zur  Einführung  der  neueren  Physik  in  2  Stufen.  2. 
Stufe:  IV.  Lehrbuch  der  Physik  f.  die  3  oberen  Klassen  der  Real- 
gymnasien u.  Ober- Realschulen,  sowie  zur  Einführg.  in  das  Studium  der 
neueren  Physik.  gr.8°.  2.|Aufl.  (XIII,  488  S.)  ra.  365  Abildgn.  Berlin, 
Weidmann.   Geb.  6  Mk. 

Diesel,  u.  M.  Schröter,  Diesels  rationeller  Wärmemotor. 
2  Vorträge.   (gr.4°.   19  S.  m.  17  Taf.)   Berlin,  Springer.    1,40  Mk. 

Ernst,  Ch.,  eine  Theorie  des  elektrischen  Stromes  auf  Grund 
des  Energieprincipes.  gr.8°.  (64  S.  m.  6  Fig.)  München,  Lüne- 
burg.  2  Mk. 

Ferraris,  G.  u.  R.  Arno:  ein  neues  System  zur  elektrischen 
Vertheilung  der  Energie  mittelst  Wechselströmen.  Uebers.  v.  Carl 
Heim.  2.  Aufl.  gr-8°.  (31  S.  m.  14  Abbildgn.)  Weimar,  Steinert. 
1,35  Mk. 

Götz,  Hans,  Lehrbuch  der  Physik.  Zum  Gebrauche  an  Real- 
schulen u.  verwandten  Lehranstalten.  4.  Aufl.  Mit  291  iu  den  Text 
gedr.  Fig.  u.  zahlreichen  Uebungsaufgaben.  gr.8°.  (VIII,  420  S.) 
München,  Franz'  Verl.   Geb.  4  Mk. 


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Graham,  Will.  P..  über  den  Verlauf  des  PotentialgradienteD 
iu  Geissler'schen  Röhren.  gr.8°.  (32  S.  in.  7  Taf.)  Berlin,  Mayer 
&  Müller.   1,60  Mk. 

Graetz,  L.,  kurzer  Abriss  der  Elektricität.  gr.8°.  (VI,  183  S. 
m.  143  Abbildgn.)   Stuttgart,  Engelhorn.   Geb.  3  Mk. 

Haase,  Hcinr.,  kritische  Betrachtung  üb.  die  Navirische  Bo- 
gentheorie  u.  die  neuere  Elasticitätstheorie  kontinuirlicher  Fach- 
werkstragbögen.  Mit  1  Blatte  graph.  Darstellgu.  gr.8°.  (IV, 
74  S.)  Regensburg.    Bauhof.    1,80  Mk. 

—  ,  das  Grundgesetz  des  Horizontalschubs  versteifter  Tragbögen 
kontinuirlichen  Systems,  statisch-mathematisch  u.  experimentell  nach- 
gewiesen. Mit  Autotyp.  des  Autors  u.  des  Versuchsapparates.  Textfig. 
u.  5  Blättern  graph.  Darstellgn.  nach  Handzeichngu.  des  Autors. 
gr.8».    (VIII,  1U2  S.  m.  Bildnis.)   Ebd.    3  Mk. 

Haschek,  Ed.,  über  galvanische  Polarisation  in  alkoholischen 
Lösungen.   gr.S0.   (tü  S.  m.  1  Fig.)    Wien,  Gerold's  Sohn.   3'»  Pf. 

Janusch ke,  Hans,  das  Princip  der  Erhaltung  der  Energie 
u.  seine  Anwendung  in  der  Naturlehre.  Ein  Hülfsbuch  f.  den  höheren 
Unterricht.  gr.8°.  (X,  455  S.  m.  95  Fig.)  Leipzig,  Teubner.  Geb. 
12  Mk. 

J  au  mann,  G.,  über  die  Interferenz  u.  die  elektrostatische  Ab- 
lenkung der  Kathodenstrahlen.  gr.b°.  (18  S.  m.  8  Fig.)  Wien, 
Gerold's  Sohn.   50  Pf. 

Krauss,  Fritz,  graphische  Kalorimetrie  der  Dampfmaschinen. 
gr.8°.  (VI,  87  S.  m.  24  Fig.  im  Text  u.  auf  1  Taf.)  Berlin,  Spriu- 
ger.   2  Mk. 

Lommel,  E.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  Mit  430  Fig. 
im  Text  u.  1  färb.  Spektraltaf.  4.  Aufl.  gr.8°.  (IX,  558  S.)  Leip- 
zig, Barth.    6,40  Mk. 

Mache,  Heiur.,  Bestimmungen  der  specitischen  Wärme  einiger 
schwer  schmelzbaren  Metalle.  gr.8w.  (4  S.)  Wien,  Gerold's  Sohn« 
10  Pf. 

Mcyn,  Rieh.,  die  absoluten  mechanischen,  calorischen  magne- 
tischen elektrodynamischen  u.  Licht-Maass-Einheiten,  nebst  deren 
Ableitgn.,  wichtigsten  Beziehgn.  n.  Messmethoden,  m.  e.  Anh.  nicht- 
metr.  Maasse,  zum  Gebrauche  f.  Ingenieure,  Techniker,  Lehranstal- 
ten, sowie  f.  e.  gebildetes  Publicum  in  gedrängter  Kürze  bearb.  gr.  16°. 
(VII,  44  S.)   Braunschweig,  Vieweg  &  Sohn.    1  Mk. 

Miller,  Andr.,  tdas  magnetische  Kraftfeld  e.  bipolaren  Stabes 
gr.8°.    (22  S.  m.  1  Fig.)    München,  Kellerer.    1  Mk. 

Pal  lieh,  J.,  über  Verdunstung  aus  e.  offenen  kreisförmigen 
Becken.   gr.8°.    (27  S.  m.  3  Fig.)  Wieu,  Gerold's  Sohn.    60  Pf. 

Reis,  Paul,  Elemente  der  Physik,  Meteorologie  u.  mathema- 
schen  Geographie.    Hilfsbuch  f.  den  Unterricht  an  höheren  Lehr- 


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anstaltcn.  Mit  zahlreichen  Uebungsfragen-  u.  Aufgaben.  6.  Auti. 
v.  Ed.  Penzold.  gr.fc0.  (VIII,  4/17  S.)  Leipzig,  Quandt  &  Händel. 
4,r>0  Mk. 

Schmidt,  K.  E.  F.,  über  dio  Ablenkung  der  Kathodenstrahlen 
durch  elektrische  Schwingungen.  I.  u.  2.  Mittheilg.  gr.*°.  1.  (9  S. 
m.  1  Fig.,  1  Taf.  u.  1  Bl.  Erklärgn.)  —  2.  Grundgesetz  f.  die  Ab- 
lenkung  der  Strahlen.    (21  S.  in.  6  Fig.)  Halle,  Niemeyer,  a  1  Mk. 

Schollmeycr,  G.,  wa9  muss  der  Gebildete  v.  der  Elektrizität 
wissen?  Gemeinverständliche  Belehrung  üb.  die  Kraft  der  Zukunft. 
C.  Aufl.  gr.V.  (III,  96  S.  m.  Abbildgn.)  Neuwied,  Hcuscr's  Verl. 
1,50  Mk. 

Sumpfs,  K.,  Schulphysik.  Methodisches  Lohr- u.  Uebungsbuch 
f.  höhere  Schulen  iu  !i  Lehrstufen.  6.  Aufl.  bearb.  v.  A.  Pabst. 
Mit  512  in  den  Text  gedr.  Abbildgn.  u.  t  Sp  ktraltaf.  iu  Farbendr. 
gr.S».    (VIII,  4*2  S.)    Büdesheim,  Lax.   4,50  Mk. 

Thompson,  Sil  van  us  P.,  Elementare  Vorlesungen  üb.  Elek- 
trizität u.  Magnetismus.  Deuts  h  auf  Grund  der  neuesten  Aufl.  des 
Originals  v.  A.  Himstedt.  2.  Aufl.  gr.  (VIII,  604  S.  m.  283  Ab- 
bildgn.)   Tübingen,  Laupp.    7  Mk. 

Thomson,  J.  J.,  Elemente  der  mathematischen  Theorie  der 
Elektricitüt  u.  des  Magnetismus.  Deutsche  Ausg.  v.  Prof.  Gust 
Wertheim.  gr.b0.  (XIII,  4:4  S.  m.  133  Abbildgn.)  Biaunschwcig, 
Vieweg  <fc  Sohn.    8  Mk. 

Tuma,  Jos.,  ein  Phaseninessapparat  f.  Wechselströme,  gr.b0. 
(5  S.  m.  3  Fig.)    Wien,  Gerold's  Sohn.    30  Pf. 

—  ,  ein  Phaseumcssuistruinent  f.  Wechselströme.  gr.b0.  (IIS. 
m.  3  Fig.)    Ebd.    fO  Pf. 

Vi  olle,  J.,  Lehrbuch  der  Physik.  Deutsch,  v.  E.  Gumlieh, 
W.  Jaeger,  St.  Lindeck.  2.  Tl.;  Akustik  u.  Optik.  2.  Bd.  Geome- 
trische Optik,  gr.b0  (VII,  u.  S.  3-9  —  675  m.  270  Fig.)  Berlin, 
Springer.   8  Mk. 

Warburg,  Emil,  Löhrbach  der  Experimentalphysik  f.  Stu- 
dirende.  Mit  40,j  Orig.-Abbildgn.  im  Text.  3.  Aufl.  gr.b0.  (XX, 
395  S.)   Freiburg  i./Br.,  Mohr.    7  Mk. 

Weiler,  \Y\,  Wörterbuch  der  Elektricitüt  u.  des  Magnetismus 
Mit  vielen  Abbildgn.  (In  ca.  16  Heften.)  1.  u.  t  Hft.  L-X.-80. 
Leipzig,  Schäfer,    ä  75  Pf. 

Wilke,  Artr.,  die  Elektrieität,  ihre  Erzeugung  u.  ihre  Anwen- 
dung. 3.  Aufl.  Mit  IU  Taf.  u.  H28  Ter.t-lllustr.  gr.8°.  (VII,  C37  S.) 
Leipzig,  0.  Spamer.    8,50  Mk. 

Wulf,  Thdr.,  S.  J.,  Beobachtungen  an  geschlossenen  Clark- 
sehen  Normalelemcnten.  gr.b0.  (18  S.  m.  6  Fig.)  Wien,  Gerold's 
Sohn.    60  Pf.  •(, 

WQl  In  er,  Adph.,  Lohrbach  der  Experimentalphysik.   5.  Aufl. 


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3.  Bd.  Die  Lehre  vom  Magnetismus  u.  v.  der  Elektricitat  m.  o. 
Einleitung.  Grundzüge  der  Lehre  vom  Potential.  gr.8°.  (XV, 
1414  S.  m.  341  Abbildgn.  u.  Fig.)    Leipzig,  Teubner.    18  Mk. 


Vermischte  Schriften. 


Berichte  d.  sächs.  Ges.  d.  Wiss.  Mathemat.-phrs.  Gasse.  1897. 
III.    Leipzig,  llirze).    I  Mk. 

Mitteilungen  der  mathematischen  Gesellschaft  in  Hamburg. 
3.  Bd.  7.  Hft.  Red.  v.  Sieveking,  Schröder  u.  Busche,  gr.  *0. 
(S.  273— .517.)   Leipzig,  Teubner.    I  Mk. 

Schcffler,  Herrn.,  vermischte  mathematische  Schriften,  enth. 
1.  Zusätze  zur  Theorie  der  Gleichungen.  2.  Die  quadratische  Zer- 
fälluug  der  Zahleu.  3.  Die  Phöuixzahlen.  gr.b0.  (1ÜJ  S.)  Braun- 
schweig, Wagner.   2  Mk. 

Sitzungsberichte  der  königl.  böhmischen  Gesellschaft  der 
Wissenschaften.  Muthematisch-uaturwisseuschaftl.  Classe.  Jahr«. 
189«.  2  Bde.  Mit  27  Taf.  u.  58  Holzschn.  gr.b0.  (XI,  1»>C4  S.) 
Prag.  Rivua«'.    1:0  Mk. 

—  Münch.,  mathemat.  Classe.  1807.  1.  Hft.  Müuchcn,  Franz* 
Verl.    1,2;)  Mk. 

—  Wiener,  math.-naturw.  Classe.  Wien,  Gerold's  Sohn.  1. 
Abthlg.  H.6.  Bd.  ;.-3.  Hft.  3,^0  Mk.  Abth.  IIa.  106.  Bd.  1.-4. 
Hft.    8,30  Mk.    -  Abth).  IIb.  10G.  Bd.    1.-3.  Ufr.   3,2)  Mk. 

—  ,  dass.  Register  zu  den  Bdn.  IUI. — 105.  XIV.  gr.4°.  (VII, 
141  S.)   Ebd.    l,SO  Mk. 

Veröffeutlichu  ugen  des  königl.  astronomischen  Rechen - 
Instituts  zu  Berlin.  Xr.  Bauschinger,  J.,  Genäherte  Oppositious- 
Ephemerideu  v.  78  klciuen  Planeten  f.  1897  August  bis  December. 
Uuter  Mitwiikg.  mehrerer  Astronomen,  insbesondere  der  Herren 
A.  Berberich  u.  P.  Neudebauer  hrsg.  *°.  (26  S.)  Berlin, 
Dümmler'a  Verl.    1,20  Mk. 


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Teil  XVI.  TaF.  III. 


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Teil  XVI. 


Taf.  IV. 


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Teil  XVI. 


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Litteraritchrr  lirricht  LXUl 


24 


Litterarischer  Bericht 

LXI1I. 


L  e  h  r  b  il  c  h  e  r. 

Die  Elemente  der  Mathematik.  Für  höhere  Lehranstalten  be- 
arbeitet von  Fr.  Bussler,  Professor  am  Sophien  Gymuasium  zu 
Berlin.  Teil  I.  Pensum  für  die  Mittelelassen  i Quarta  bis  Unter- 
secunda).  Zweite,  durchgesehene  Auflage.  —  Teil  II.  Pensum  für 
die  Oberclassen  (Obersecunda  und  Prima).  Zweite  Auflage.  - 
Dresden,  Berlin  1897.    L.  Ehlerroanu.   151+234  S. 

In  Berücksichtigung  wenig  entwickelten  Denkvermögens  der  An- 
fäuger  übertrifft  das  vorliegende  Lehrbuch  wol  jedes  andere.  Die 
Zergliederung  und  Umformung  der  Sätze  geht  so  weit,  dass  nach 
einer  Aussage,  eines  sei  grösser  als  ein  andres,  als  Folgeruug  be- 
sonders ausgesprochen  wird  (§  16):  letzteres  sei  kleiner.    Dies  Ver- 
halten, welches  im  weitem  Verlauf  des  Vortrags  allmählich  in  con- 
ti me  Darstellung  Übergeht,  also  dem  Wachsen  logischer  Fähigkeit 
sehr  wol  Rechnung  trägt,  mag  durch  Erfahrung  des  Verfassers  ge- 
rechtfertigt sein,  wenn  man  auch  die   vielen  selbstverständlichen 
„Folgerungen"  lieber  durch  Fragen  ersetzt  gesehen  hätte.  Wich- 
tiger ist  natürlich  die  Forderung  eines  überall  genauen  Ausdrucks. 
In  dieser  Beziehung  ist  es  uun  auffällig,  dass  zwar  der  Anfang  nichts 
vermissen  lässt,  dass  aber  im  weitem  Fortgang  mehr  und  mehr 
Mängel  und  Nachlässigkeiten   zutage  kommeu,  wo  der  Verfasser 
darauf  zu  rechnen  scheint,  der  Schüler  werde  in  richtiger  Deutung 
der  Worte  seiner  Meinung  entgegenkommen.    Einzelne  Unbestimmt- 
heiten durchzugehen  würde  zu  umständlich  sein;  dagegen  darf  die 
ärgste  Verletzung  didaktischer  Pflicht  nicht   stillschweigend  hin- 
genommen werden.    Die  Lehre  von  den  Parallelen  beginnt  (nach 

Arch.  «1.  Matb.  u.  Phjs.   2.  Reihe,  T.  XVI.  3 


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25 


Litterarischer  Bericht  LXJU. 


euklidischer  Definition)  mit  dem  „Grundsatz":  „Zwei  parallele  Gera- 
den haben  dieselbe  Richtung'*.    Was  ;,Richtung"  heisst,  ist  nirgends 
erklärt.    Auch  ist  es,  wie  leicht  erhellt,  unmöglich  die  Richtungen 
zweier  nuverbuodeueu  Geraden  zu  vergleichen.     Daher   sind  die 
Sätze  über  die  Wiukel,  welche  eine  schneidende  Gerade  mit  2  Geraden 
bildet,  vorausgehend  notwendig,  um  von  den  Richtungen  der  Geraden, 
ihrer  Gleichheit  und  ihrem  Unterschiede  exaete  Begriffe  zu  gewinneu. 
Die  gauze  Parallelentheorie  ist  demnach  auf  ein  Wort  ohne  bekann- 
ten Sinn  gebaut.    Jedor  zu  ihr  gehörige  Beweis  setzt  schon  die 
Theorie  im  ganzen  voraus.    Der  Betrug,  durch  welchen  die  schein- 
bare Begründung  plausibel  gemacht  und  eiu  eingebildetes  Wissen 
erzeugt  wird,  ist  zu  versteckt  um  von  deu  Schülern  durchschaut 
zu  werden.    Zu  diesem  Blendwerk  zu  gleiten  war  nun  überhaupt 
kein  Aulass.    Bekanntlich  lautet  der  Gruudsatz  der  Paralleleutheohe, 
aus  dem  alle  ihre  Sätze  fiiesseu,  iu  einfachster  Form :  Durch  einen 
gegebenen  Puukt  lässt  sich  mit  einer  gegebenen  Geraden  nur  eine 
Parallele  ziehen.    Warum  der  Verfasser  statt  dieses  Satzes  «'inen 
solcheu  gewählt  hat,  der  wegeu  fehlender  Begriffsbestimmung  uicht 
verstanden  werdeu  kauu,  lässt  sich  kaum  anders  erklären  als  durch 
den  Zweck,  der  Verstandescoutrole  von  Seiten  der  Schüler  und  Leser 
zu  entgehen.  —  Im  ganzen  ist  der  Lehrstoff  ungemein  ausgedehnt; 
vou  allen  vorgefundenen  Theorien  liudet  man  Teile  zu  Nutzeu  eifriger 
Mathematiker  unter  deu  Schüleru  dem  Standpunkt  der  Gasse  ent- 
sprechend bearbeitet:  Teile  der  neuern  synthetischen  Geometrie,  der 
Combiuatorik,   der  Reihen,  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  der 
complexen  Zahlen,  der  Ziusesziusrechuuug  u.  a.  m. 

II  o  p  p  e. 


Aufangsgiünde  der  ebenen  Geometrie.    Nach  deu  ueueu  Lehr- 
pläuen  bearbeitet  von  Karl  Schwer  in  g,  Director  des  stiltischen 
Gymnasiums  in   Düren,  und  Wilhelm  K  rim  p  h  o  ff ,  Oberlehrer 
am  Gymuasium  iu   Paderborn.    Zweite  Auflage.    Mit  151  Figuren 
Freiburg  im  Breisgau  1897.    Herder.    13  3  S. 

Besprochen  im  51.  litt.  Bericht,  S.  31. 

Hopp  e. 

Vorschule  der  Geometrie.  Von  Prof.  II.  Köstler.  Achte, ver- 
besserte Auflage.  Mit  47  in  den  Text  gedruckten  Holzschnitten. 
Halle  a.  S.  1897.    Louis  Xebert.    21  S. 

Die  3.  und  die  verbesserte  4.  Auflage  sind  im  F.  litt.  Bericht, 
S.  41  besprochen.  H. 


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Litterarischer  Bericht  LXIII. 


26 


Leitfaden  der  elementaren  Mathematik.  Von  Adolf  Sicken- 
b  orger,  K.  GymnasialprotVssor  und  Reetor  der  Luitpold-Kreisreal- 
schnle  in  München.  Zweiter  Teil:  Planimetrie.  Dritte  Auflage. 
München  18%.    Theodor  Ackermann.    123  S. 

Besprochen  im  51.  (und  25.)  litt.  Bericht,  S.  36. 

H. 

Ebene  Geometrie.  Lehrbuch  mit  systematisch  geordneter  Auf- 
gabensammlung für  Schulen  und  zum  Selbststudium.  Von  Dr.  Georg 
Hecknagel,  Professor  und  Kector  des  K.  Realgymnasium  zu  Augs- 
burg, Mitglied  der  K.  B.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  München. 
Fünfte  Auflage.    München  18%.    Theodor  Ackermann    222  S. 

Die  4.  Auflage  ist  besprochen  im  4(5.  litt.  Bericht,  S.  15. 

Hopp  e. 

Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie.  Zum  Ge- 
brauch beim  Selbstunterricht  und  in  Schulen,  besonders  als  Vor- 
bereitung auf  Geodäsie  und  sphärische  Astronomie  bearbeitet  von 
Dr.  E.  Hammer,  Professor  an  der  K.  Technischen  Hochschule 
Stuttgart.  Zweite,  umgearbeitete  Auflage.  Stuttgart  1897.  J.  B.  Metz- 
ler.   572  S. 

Nach  Aussage  des  Verfassers  soll  das  Buch  nur  ein  Hülfsmittel 
zur  Vorbereitung  auf  die  Geodäsie  und  die  sphärische  Astronomie 
für  Schule  und  Selbstunterricht  sein.  Dies  ausschliesslich  praktische 
Ziel  der  Bearbeitung  darf  man  jedoch  in  keiner  Weise  als  Beschrän- 
kung der  Lehre  in  theoretischer  Beziehung  ansehen.  Obgleich  es 
sich  allerdings  durch  besonders  ausführliche  Behandlung  des  Ver- 
fahrens und  der  Apparate  kund  gibt,  so  wird  das  Lehrgebiet  der 
Trigonometrie  als  Teiles  der  Mathematik  in  gleicher  Gründlichkeit 
und  grösster  Vielseitigkeit  umfasst.  Selbstverständlich  nimmt  hier  die 
Behandlung  keine  Rücksicht  auf  die  Schuleiurichtung  und  die  Stel- 
tung  der  Trigonometrie  im  Pensum;  vielmehr  ist  es  einzige  Sorge, 
die  betreffenden  Lehren,  nahen  und  ferueu  Beziehungen  und  geo- 
metrischen Anwendungen  zu  erschöpfeu.  Da  hierbei  sehr  viele  Ge- 
sichtspunkte massgebend  sind,  so  lässt  sich  nicht  wol  eine  systema- 
tische Ordnung  des  Lehrstoffes  aufstellen.  H. 

Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie  mit  Beispielen  und  280 
Übungsaufgaben  für  höhere  Lehranstalten  und  zum  Selbstunterricht. 
Von  0.  Bürkleu,  Professor  am  kgl.  Realgymuasium  iu  Schw.  Gmünd. 
Mit  10  Figuren.   Heilbronn  a.  N.  1897.    Schröder  u.  Co.    122  S. 

3* 


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27 


Literarischer  Berieht  LX1J1. 


Die  im  Vorwort  ausgesprochenen  didaktischen  Grundsätze  kann 
man  wol  billigen,  doch  lässt  ihre  Ausführung  viel  vermissen.  Dass 
der  Lehrgang  hier  vom  Speciellen  zum  Allgemeinen  fortschreitet, 
ist  in  der  Tat  saehgemäss;  wie  gewöhnlich  wird  mit  dem  rechtwink- 
ligen Dreieck  angefangen,  hieran  schliesst  sich  im  Vorliegenden,  was 
allein  diesem  besonders  zukommt,  das  gleichschenklige  Dreieck  und 
das  regelmässige  Vieleck.    Diesen  Speciali taten  gegenüber  können 
mit  dem  Allgemeinen  nur  (goniometrisch)  die  Functionen  des  all- 
gemeinen, also  variabeln  Winkels,  (trigonometrisch)  das  allgemeine 
Dreieck  gemeint  sein.    Darauf  bezüglich  lässt  das  Lehrbuch  Vieles 
im  Dunkeln.    Die  allgemeinere  Auffassung  wird  nämlich  hier  iu  der 
Anweudung  der  CoordinaUMi  gesehen.    Was  diese  zur  Allgemeinheit 
beitragen  soll,  ist  nirgends  zu  erkennen.    Elementar  geometrische 
Deductioii,  welche  genetische  Betrachtung  nicht  ausschliesst,  liefert 
in  einfachster  Weise  die  gesamte  Theorie.    Zuziehung  der  Coordi- 
naten  hat  für  den  Lernenden  nur  die  vexirende  Wirkung  eines  uu- 
nötigeu  Wechsels  der  Bezeichnungs-  und  Betrachtungsweise.  Die 
Erklärung  des  Eunctionsbegriffes,  dessen  Bedeutung  wesentlich  auf 
geuetiseher  Betrachtung  beruht,  ist  im  Anfang  gegeben,  aber  nur  in 
eiuer  Note,  die  sich,  da  kaum  je  von  Variation  der  Argumente  die 
Rede  ist,  durchweg  der  Betrachtung  entzieht.    Sie  zu  vergessen,  bietet 
besondern  Aulass  der  abweichende,  daher  unzulässige  Gebrauch  des 
Wortes  „Grenzwert"  bezüglich  auf  Periodenabschluss.    Es  wurden 
nämlich  iu  einer  Tabelle  sogen.  Grenzwerte  u.  a.  die  falschen  und 
sinnlosen  Aufstellungen  gemacht:  tg90°  =  +  »i  tg  270°  —  — «  ohue 
jede  Angabe  der  Variationsrichtuug.    Beide  als  Functiouswerte  (die 
natürlich  nicht  existireu)  geschriebene  Augabeu  deuten  nur  auf  vorher- 
gehende uud  nachfolgende  Variation ;  letztere  ist  also  hier  vergessen 
und  die  Vorzeichen  irrigerweise  an  die  Argumente  geknüpft.  Sollte 
also  die  Anwendung  der  Coordiuaten  bei  Winkeln  >  \R  zur  Orieu- 
tirung  dienen,  so  hat  sich  gezeigt,  dass  im  Gegenteil  der  Verfasser 
dadurch  zur  Unklarheit  verführt  worden  ist.    Allerdings  fordert  die 
Coordiuateulehre   Unterscheidung  der  Strecke  vou   der  absoluteu 
Länge,  aber  nicht  sie  allein,  man  braucht  also  uicht  erst  Coordiuaten 
einzuführen,  um  sie  zu  uuterschoideu.  Hoppe. 

Schulphysik  für  die  Gymnasien  nach  Jahrgängen  geordnet.  Von 
Prof.  Dr.  G.  Braudt.  Erster  Teil.  Obertertia:  Mechanik  und 
Wärmelehre.  Untersecunda:  Magnetismus,  Elektricität,  Akustik  und 
Optik.    Zweite  Auflage.    Berlin  Leonhard  Simion.    90  S. 

Besprochen  im  56.  litt.  Bericht,  S.  47.    In  2.  Auflage  ist  die 
Lehre  von  der  Erhaltung  der  Kraft  hinzugekommen. 

Hoppe. 


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Litt erarischer  Bericht  hXUL 


28 


Sammlungen. 

Aufgabeii  über  kubischo  und  diophautissehe  Gleichungen,  Deter- 
minanten und  Kettenbrüehe,  Combinationslehre  uud  höhere  Reihen. 
Herausgegeben  von  Dr.  II.  Lieber,  weil.  Professor  am  Friedricb- 
Wilhelm-Realgymuasium  in  Stettin,  und  C.  Müsebcek,  Oberlehrer 
am  Gymnasium  in  Waren  in  Mecklenburg.  Berlin  1808.  Leonhard 
Simion.    129  S. 

Dem  auf  dem  Titel  angegebenen  Inhalt  ist  weuig  hinzuzufügen. 
Aufgaben  über  die  allgemeine  Theorie  der  algebraischen  Gleichungen 
gehen  den  daselbst  geuaunteu  voraus.  Die  Determinanten  beginnen 
mit  2.  Ordnung  und  steigen  bei  rekurrenter  Bestimmung  durch  Unter- 
(Ictermiuantcu  zu  höhen)  Ordnungen  auf.  Au  die  Combinationslehre 
sehliesst  sich  auch  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung.  Unter  jeder 
Aufgabe  steht  das  Resultat.  Vou  einigen  Aufgaben  ist  die  Lösung 
ausgeführt  oder  auf  den  Weg  *u  ihr  hiugeleitet.  II. 

Die  Aufgaben  aus  der  Elementar-Mathcmatik,  welche  bei  der 
Prüfung  für  das  Lehramt  der  Mathematik  uud  Physik  an  den  k.  bayeri- 
schen humanistischen  und  technischen  Unterrichts-Anstalteu  in  deu 
Jahreu  1873  bis  1893  gestellt  wurden.  Bearbeitet  von  Engelbert 
Sa  i  ler,  k.  Rector  der  Realschule  in  Pirmasens.  München  1£*98. 
Theodor  Ackermann.    107  S. 

Der  1.  Teil  enthält  Aufgaben  aus  der  Planimetrie  über  Gerade 
uud  Kreise,  der  2.  Teil  aus  der  Stereometrie  über  Polyeder,  Kegel, 
Kugeln.  Unter  ihueu  befinden  sich  auch  zu  beweisende  Sätze.  Vou 
allen  siud  die  ausgeführten  Lösungen  nebst  Determination  dazu  ge- 
geben. II. 

Repertorio  di  raatematiche  superiori  (detiuizioui,  forniole,  teoremi, 
ceuni  bibliogratici).  Per  Eruesto  Pascal,  Prof.  ordiario  uella  r. 
uuiversitä  di  Pavia.  I.  Analisi.  Milauo  1898.  Ulrico  Hoepli.  642  S. 

Ueber  den  Inhalt  der  Lehre  wird  hier  im  Zusammenhang  kurz, 
aber  mit  Erklärung  aller  darin  eingeführten  Begriffe  Rechenschaft 
gegeben.  Die  einzelneu  Themata  sind  der  Reihe  nach  folgende. 
Theorie  der  Substitutiousgruppen,  Determinanten,  Reihen,  uuendliche 
Producte,  Kettenbrüche,  algebraische  Gleichungen,  Differentialrechnung, 
Integralrechnung,  Differentialgleichungen,  Functionen  eomplexer 
Variabein,  Functionstheorie  in  Relation  mit  der  Gruppeutheorie, 
Periodieität,  Automorphismus,  algebraische  Functionen  und  Abel'sche 
Integrale,  elliptische  Functionen,  hyperelliptische  und  Abelsche  Fuuc- 


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29 


Litterarischer  Uericht  LXilI. 


tioncn,  spccicllc  Functionen,  analytische  Darstellung  der  Functionen, 
ganze,  rationale  oder  complexc  Zahlen,  algebraisch«  und  trans- 
seendento  Zahlen,  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  analytische  Instra- 
mente und  Apparate.  H. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Lehrbuch  der  Algebra.  Von  Heinrich  Weber,  Professorder 
Mathematik  an  der  Universität  Strassburg.  Zweite  Auflage.  Erster 
Band.    Braunschweig  1898.    Friedrich  Vieweg  und  Sohn.    703  S. 

Die  1.  Auflage  ist  im  54.  litt  Bericht  Seite  21  besprochen.  In 
2.  Auflage  sind  einzelne  Irrtümer  berichtigt.  Eine  wesentliche  Er- 
weiterung hat  die  Theorie  der  Elimination  (Theorem  von  Bezout. 
Elimination  aus  3  Gleichungen)  im  4  Abschnitt  (symmetrische  Func- 
tionen) gefunden.  II. 

Theorie  des  fonetions  algebriqucs  de  deux  variables  iudepen- 
dantes.  Par  Ümilc  Picard,  Membre  de  IM  US  ti  tut,  Professi  ur  a 
l'Universite  de  Paris,  et  Georges  Simart,  Capitainc  de  fregatc, 
Repetiteur  ä  l'ßeole  polytechnique.  Tome  I  Paris  1HU7.  Gauthier 
Villars  et  hls.    244  S. 

Die  Gegenstände  der  einzelnen  Capitel  des  1.  Buchs  sind  fol- 
gende. Vielfache  Integrale  vou  Fnuctiouen  mehrerer  Variabel«. 
Geometrie  der  Lage,  lutegrale  ratioualer  Functionen  von  2  com- 
plexen  Variabein.  Singularitä'eu  einer  algebraischen  Fläche,  Inva- 
rianten eiuer  Fläche  vom  Gesichtspunkt  der  Geometrie  der  Lage 
lutegrale  totaler  Differentiale  1.,  2.,  3.  Gattung.  Doppeliutegrale 
1.  Gattung  und  darauf  bezügliche  Invarianten  Algebraische  Kauin- 
corveu  und  Formel  geeignet  das  Geschlecht  eiuer  Fläche  zu  gebe». 

H. 


Vorlesungen  über.  Kreis-  und  Kugel-Functionen- Rethen.  Von 
Dr.  Johannes  Frischauf,  Professor  au  der  Universität  Graz. 
Leipzig  1897.    B.  G.  Teubuer.    60  S. 

Die  Abschnitte  sind  folgende.  Reihenentwickelung  uach  Kreis- 
funetioueu  (Fouricr'schc  Theorie).  Kugelfunctiouen  einer,  dann  zweier 
Veränderlichen.    Ueihenentwickelung  nach  Kugclfuuctioneu. 

H. 


Literarischer  Beruht  LA' III. 


30 


Einführung  in  die  Theorie  der  analytischen  Functionen  einer 
coiuplexcu  Veränderlichen.  Von  Heinrich  Burkhardt,  Professor 
au  der  Universität  Zürich.  Mit  zahlreichen  Figuren  im  Text.  Leipzig 
1*97.    Veit  u.  Comp.    213  S. 

Die  Abschnitte  sind  folgcude.  Cumplexe  Zahlen  und  ihre  geo- 
metrische Darstellung.  Die  rationalen  Functionen  einer  complexen 
Veränderlichen  und  die  durch  sie  vermittelten  conformen  Abbildun- 
gen. Definitionen  uud  Sätze  aus  der  Theorie  reeller  Veränderlichen 
und  ihrer  Functionen.  Eindeutige  aualytische  Fuuctiouen  einer  com- 
plexen  Veränderlichen.  Mehrdeutige  aualytische  Fuuctioneu  einer 
complexen  Veränderlichen.    Allgemeine  Functionentheorie. 

H. 

Hauptsätze  der  Differential-  und  Integral-Rechnung,  als  Leitfaden 
zürn  Gebrauch  bei  Vorlesungen,  zusammengestellt  von  Dr.  Robert 
Fricke,  Professor  an  der  technischen  Hochschule  zu  ßrauuschweig. 
—  Erster  Teil:  Mit  45  —  Zweiter  Teil:  Mit  15  —  Dritter  Teil: 
Mit  Ü  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Braunseh  weig  1897.  Fried- 
rich Vieweg  und  Sohn.    80  +  66  +  38  S. 

Der  Leitfaden  ist  keine  blosse  Zusammenstellung  von  Haupt- 
sätzen, sondern  gibt  die  vollständige  Lehre  in  Form  und  Umfang, 
wie  es  nach  Erachten  des  Verfassers  für  die  Studirenden  an  tech- 
nischen Hochschulen  geeignet  ist.  Auch  ist  diese  Lehre  hiusichtlieh 
ideell  wissenschaftlicher  Forderungen  grösstenteils  correct.  Wenn 
gleichwol  derselbe  zuvorkommend  einräumt,  dass  er  die  Strenge  nur 
bis  zu  einem  gewissen  Masso  getrieben,  uud  „wol  wisse,  dass  verein- 
zelte Wendungen  dem  scharfen  Urteil  nicht  genehm  erscheinen1* 
würden,  so  ist,  da  die  betreffenden  Punkte  nicht  genannt  sind,  wol 
zu  unterscheiden,  ob  nur  der  Kürze  und  Einfachheit  wegen  auf 
manche  Begründung  oder  Frage  nicht  eingegangen  worden  ist,  oder 
ob  der  Popularität  wegen  irgend  welche  vulgäre  Irrtümer  beibehal- 
ten worden  sind.  Ein  hier  vorkommendes  Beispiel  letzteren  Falles 
ist  die  Einführung  von  oo  als  Ausdruck  eiuer  Grösse  und  als  Grenz- 
wert mit  Berufuug  auf  eine  gemeine  (d.  i.  nachlässige)  Redeweise. 
Iu  solchen  Fällen  bietet  die  Hinweisuug  des  Verfassers  auf  den  Zweck 
ihm  natürlich  keine  „Entschuldigung1';  deriu  das  Vorgehen  dient 
nicht  zur  Erleichterung  des  Lernens,  sondern  ist  eine  unnütze,  ver- 
fehlte Speculatiou.  Im  1.  Teil  wird  nach  der  Lehre  vom  Differeu- 
tiiren  davon  Auwcudung  gemacht  auf  Maxima  und  Minima,  auf  den 
Verlauf  der  Functionen,  auf  die  Aufaugsgründe  der  Integralrechnung; 
danu  folgt  die  Theorie  der  unendlichen  Reihen,  dann  die  Bestim- 
mung der  Quoticutcn  unendlicher  Grössen  und  Besprechung  ähnlicher 


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31 


Littet  artsr  her  Bericht  LX111. 


Aufgaben.  Der  2.  Teil  enthält  folgeude  Capitel:  Complcxe  Zahlen 
und  Functionen  complcxer  Variabein.  Hülfssätze  aus  der  Algebra. 
Weiterführuug  der  Integralrechnung.  Differentiation  und  Integration 
der  Functionen  mehrerer  unabhängigen  Variabelu.  Bestimmung  der 
Maxima  und  Minima  einer  Functiou  mehrerer  Variabelu.  Geome- 
trische Anwendungen  der  Functionen  mehrerer  Variabein.  Der 
3.  Teil  folgende:  Gewöhnliche  Differentialgleichungen  erster,  dann 
höherer  Orduung  mit  2  Variabein.  Andeutungen  über  Differential- 
gleichungen mit  mehr  als  2  Variabelu.  Hoppe. 

Zur  AuHösung  der  allgemeinen  Gleichung  des  dritten  Grades. 
Von  Eduard  Grohmann.    Wien  1895    Alfred  Möhler.    2*2  S. 

In  der  kubischeu  Gleichung 

Ax*+  SÄ**+  3Gfc+D  -  Ü 

wird  gesetzt: 

r  =  BC—AD;      $  -  :  (rt*  -AC);     t  ~  2  (6*  -  HD) 

„       „  ,      Ar —  IU  .  . 

w   —  r*  —  st\        k  ^        ;      <r  positJV 

Dann  ist  für  positives  w*  die  einzige  reelle  Wurzel 

r  w 

«*— ;tJ  tgv;      tgi/>  -  ic 

tg(<P+iU)  -  Vtg>+  IRJ 
für  negatives  «•*  sind  die  3  reellen  Wurzeln 

r  .  w 

■       ;  +  ,  ig(v+ÜMR)i    f  -  0,1,  -  l 

tg  3<y>  -  fc 

H. 

Beiträge  zur  Theorie  der  Gleichungen.     Von  Dr.  Hermann 
Scheffler.    Leipzig  1891.    Friedrich  Foerster.    133  S. 

Die  Schrift  untersucht  allgemeine  Fragen,  die  aus  dem  Problem 
der  Aurlösung  algebraischer  Gleichungen  hervorgehend  bereits  von 
andern  Autoren  behandelt,  jedoch  nach  dem  Urteil  des  Verfassers 
nicht  zum  Abschluss  gebracht  wurden  sind.  H. 

Au  elementary  course  of  infinitesimal  calculus.  By  Horaec 
Lamb,  31  A.,  F.  K  S.,  Professor  of  inathemutics  in  the  Owens 


I 

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Litternristher  Riritht  T.XllI. 


32 


College,  Victoriu  University,  Manchester;  formerly  Fellow  of  Trinity 
College,  Cambridge.  Cambridge  1897.  London:  C.  J.  Clay  and  sous. 
Leipzig  F.  A.  Brockhaus.    Bombay  E.  Seymour  Haie.    616  S. 

Einen  leitenden  Gedankeu  und  Plau  des  Ganzen  gibt  weder  der 
Inhalt  uoch  das  Vorwort  zu  erkennen.  Ausgewählte  Themata  der 
höhern  Analysis,  welche  dem  Verfasser  vorzugsweise  nützlich  für  die 
Ausbildung  der  Studenten  schienen,  macheu  das  gesamte  Werk  aus. 

H- 

Theory  of  groups  of  tinite  Order.  By  W.  Burnside,  M  A., 
F.  Ii.  S.,  lato  Fellow  of  Pombroke  College,  Cambridge;  Professor  of 
mathematics  at  the  Royal  Naval  College,  Greenwich,  Cambridge  1897. 
London  C.  J.  Clay  and  sons.  Leipzig  F.  A.  Brockhaus.  New-York 
the  Macmillau  Company.    1588  S. 

Die  Capitel  sind  folgende:  Substitutionen.  Definition  einer  Gruppe. 
Einfachere  Eigenschaften  eiuer  Gruppe  unabhängig  von  ihrer  Dar- 
stellungswcise.  Abel'sche  Gruppen.  Gruppen,  deren  Ordnungszahlen 
Potenzen  von  Primzahlen  sind.  Sylow's  Theorem.  Compositious- 
reihen  einer  Gruppe.  Substitutionsgruppen:  transitive  und  intians- 
itive  Gruppen.  Primitive  und  imprimitive.  Trausitivität  uud  Primi- 
tivität (Sehlusscigeiischafteu).  Zusammensetzung  eiuer  Gruppe  mit 
sich  selbst.  Graphische  Darstellung.  Gruppen  vom  Geschlecht  U 
und  1.  Cuyley's  Farbengruppen.  Lineare  Gruppe.  Auflösbare  uud 
zusammengesetzte  Gruppen.  II. 

Abel's  theoreme  and  the  allied  tueory  includiug  the  theory  of 
the  theta  funetious.  By  II.  F.  Baker,  M.  A.,  Fellow  and  Lccturer 
of  the  Johns  College,  University  Lecturer  in  mathematics.  Cam- 
bridge 1897.  London  C  J.  Clay  and  sons.  Leipzig  F.  A.  Brock- 
haus.   New-York  the  Macmillan  Company.    684  S 

Das  Werk  enthält  folgende  Abschnitte:  Gegenstand  der  Unter- 
suchung. Die  fundamentalen  Fuuctioneu  einer  Kiemann'schen  Fläche. 
Die  Unendlichkeiten  rationaler  Functionen.  Speciticiruug  eiuer  all- 
gemeinen Form  von  Riemann's  Integralen.  Gewisse  Formen  der 
Fuudamentalgleichuug  der  Kiemann'schen  Fläche.  Geometrische 
Untersuchungen  Coordinirung  eiufacher  Elemente  ;  transsceudeutale 
einförmige  Functionen.  Abel's  Theorem;  Abel's  Differentialgleichun- 
gen. Jacobi's  Inversionsproblem,  lticmann's  Thetafunctioneu ;  all- 
gemeine Theorie.  Der  hyperelliptische  Fall  von  Riemanu's  Theta- 
funetiouen.  Eine  besondere  Form  von  FuudamentalHäche.  Radicalc 
Functionen.    Factorialc  Functionen.    Relationen  zwischen  Producten 


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LiiUrariwher  bendu  LXf/1. 


von  Thetafunctioneu.    Transformation  von  Thetafunctioneu.  Com- 
plexe  Multiplieatiou  von  Thetafunctioneu;  Corrcspoudcnz  von  Punk- 
ten auf  einer  Riemauu'schen  Flüche.    Dcgcuerirte  Abel'sche  Integrale 
Algebraische  Curven  im  Räume,  Matriceu.  H. 

Elements  de  la  theorie  des  fonetions  clliptiques.  Par  Jules 
Tanne ry,  Sous-Directeur  des  Etudcs  scieutitiques  ä  IVEcole  Nor- 
male superieure,  Jules  Molk,  Professeur  a  la  Faculte  des  scieuces 
de  Nancy.  Tome  III.  Caleul  integrale  (Ire  partie).  Theoremes 
generaux.  —  Iuversiou.    Paris  181)8.    Gauthier  Villars  et  tils    ^67  S. 

Die  Gegenstände  sind  folgende:  Allgemeine  Sätze  der  Iutegral- 
rechuung,  nämlich:  Anwendungen  von  Caychy's  Theorem  über  die 
Integrale  einer  Function  einer  imaginären  Variabelu.  Anweuduugen 
der  Formel  der  Zerlegung  iu  einfache  Elemente.  Addition  und 
Multiplieatiou.  Entwicklung  iu  trigonomischc  Reihen.  Integratiou 
doppelt  periodischer  Functionen.  Inversionen,  nämlich :  gegeben  k-  und 
Ut«  Um  gesucht  x  oder  Wj,  ca.».  Iuversiou  der  doppelt  periodischen 
Fuuctioueu,  speciell  2.  Ordnung,  namentlich  der  Fuuctiou  $n. 

H 

Integrationsmöglichkeiten  der  Hatniltou'sehen  partiellen  Diffe- 
reutialgleichuug  mit  diei  Variablen.    Von  Oberlehrer  Dr.  Ernst 
Schultz.    Progr.     Stettin,  Schiller-Realgymnasium.     Ostern  18'J8 
4°.    16  S. 

Es  wird  gezeigt,  dass  bei  der  Harn.  Gleichung 

wo  m  die  Masse,  U  das  Potential,  h  die  Coustaute  bezeichnet,  ein 
Gleichuugssystem  aufgestellt  vverdeu  kann ,  welches  die  Transfor- 
matiousgleichungcn  der  rechtwinkligen  Coordiuaten  in  diejenigeu 
liefert,  in  denen  die  Integration  möglich  ist.  Ausgehend  von  der 
für  einen  angezogeneu  Punkt  geltenden  Differentialgleichung,  mit  Hin- 
zuuahmo  der  Bedingung,  dass  infolge  der  Transformation  eine  Variable 
explicite  iu  der  Differentialgleichung  nicht  vorkommt,  wird  man  bei 
Nachweis  der  Integratiousmöglichkeit  auf  ein  Gleichuugssystem  ge- 
führt, welches  Jacobi  nicht  erwähnt.  H. 

Legons  nouvelles  sur  l'analyse  iufiuitesimalc  et  sur  applications 
geometriques.  Par  M.  Ch.  Meray,  Professeur  ä  la  Faculte  des 
scieuces  de  PUniversite  de  Dijon.    Ouvrage  houorc  d'uue  souscriptiou 


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Litteraritrher  Brrirht  t  XIII. 


du  Ministerc  de  l'instruction  publique.  Quatriömo  partie.  Applications 
geometriques  classiques.    Paris  1898.    Gauthier  Villars  et  fils.  248  S. 

Der  1.  Teil  ist  im  .r>0.  litt.  Bericht,  Seite  21  besprochen.  Der 
4.  Teil  betrifft  geometrische  Auwenduugeu,  nämlich  Rcctificationcn, 
(Quadraturen,  Kubaturen,  Berührungen  im  allgemeinen,  Berührungen 
von  Flächen  und  Linien  mit  Gebilden  1.  Grades,  Euveloppen,  Be- 
rüiiruugeu  zwischen  Kugel,  Kreis  und  gegebeneu  Gebilden,  Uustetig- 
keitscigenschafteii  gewöhnlicher  Flächen.  Berührungen  höherer  Ord- 
nung einer  Linie  mit  dem  Kreise;  Fragen,  die  sich  au  die  Berührung 
%  Ordnung  einer  Fläche  mit  dem  Kreise  und  der  Geraden  knüpfen. 

II  o  p  p  e. 

Beiträge  zur  Zahlenlehre.  Von  G.  Speckmaun.  Oldenburg 
i.  Gr.  1893.    Eschen  u.  Fasting. 

Das  Vorliegende  sind  vermischte  zahlentheoretische  Studien;  die 
eitizeluen  Thema'a  sind  folgende:  Arithmetische  Keinen.  Beweis  des 
Satzes,  davs  jede  unendliche  arithmetische  Reihe,  in  welcher  das 
Aufangsglied  zur  Differenz  relativ  prim  ist,  uuendlich  viele  Prim- 
zahlen enthält  Ermittelung  der  Primzahlen.  Anzahl  der  Primzahlen. 
Factoren  der  Zahlen.  Allgemeines  Verfahren  zur  Prüfuug  einer 
Zahl  Z  auf  ihre  Teilbarkeit  durch  einen  Divisor  n.  Teilbare  Zahlen 
und  Primzahlen.  Productbilduug  und  Teilbarkeit.  Auflösung  der 
Cungruenzeu  2.  Grades.  Besondere  arithmetische  Reihen.  Quadrat« 
zahleu  und  Zerlegung  der  Zahlen  von  der  Form  4«-J-l  in  2  Qua- 
drate. Autiösuug  der  Pell'schen  Gleichuug.  Zur  Potenzrechnuug. 
Auflösung  der  Gleichungen.    Identitäten.  i  11. 

t 

Memorias  de  Real  Academia  de  ciencias  exaetus  fisicas  y  natu- 
rales de  Madrid.  Tomo  XVIII.  Parte  I.  F.  Gomes  Tcixcira. 
Söhre  o  deseiivolvitneuto  das  fuucöos  ein  serie.  Madrid  1897.  Don 
Luis  Aguado.    Kl.  Fol.    110  S. 

Die  Schrift  enthält  Studien  über  die  Taylor'sehe  Reihe  für  reelle, 
dann  für  coniplexe  Variabeln;  in  letzterem  Falle  die  Methode  von 
Cauehy,  dann  die  von  Riemauu,  dann  die  Methoden  von  Laurent, 
von  VVcierstrass  und  Mittag  Lefflcr,  dann  die  Reihen  von  Burmann, 
von  Lagrange  und  die  Verallgemeinerung  der  ersteren.  II. 


Geometrie. 

Vcrzeichniss  der  einfachsten  Vielflache.  Vou  Dr.  Oswald  Her- 
mes, Professor.  Mit  1  Figurentafel.  Berlin  1896.  R.  Gaertner. 
Progr.  Berlin-Kölln.  Gymn.  Ostern  1896.    4ft.    24  S. 


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35  Literarischer  Bericht  LXIJI. 

Beschränkt  und  individualisirt  siud  die  Polyeder  nach  Zahl  und 
Ancinandergrenzeu  der  Flächen,  Kanten,  Ecken  (/",  fe,  c)  (ohne  Rück- 
sicht auf  Mass),  nämlich  beschränkt  auf  4  bis  lü  Seitenflächen  und 
3  kantige  Ecken  Für  nur  3  kantige  Ecken  gibt  der  Eulersche  Satz 
die  Relation: 

/-2-*-«-i-| 

Durcli  die  Flächeuzahl  sind  also  auch  die  Kauten-  und  Eckea/ahl 
bestimmt.  Das  Verzeichniss  führt  1  Vierflaeh,  1  FünfHach,  2  Sechs- 
flache, 5  Siebenflache,  U  Achtflache,  .VJ  Neuuflache  und  289  Zehu- 
flachc  in  Zahlen  fonnulirt  auf.  Zur  Zeichnung  der  Netze  wird  eioe 
Fläche  vou  grösstcr  Eckeuzahl  nebst  den  iu  den  Kanten  anschlies- 
senden Flächen  zu  Grunde  gelegt,  die  übrigen  als  Deckfiguren  über 
denselben  betrachtet.  Die  gesamte  Decktigur  besteht  «iauu  aus 
Gruppeu  von  Kanten.  Die  Zeichnung  auf  der  beigefügten  Tafel 
enthält  nur  dia  4  einfachsten  ganzen  Netze;  statt  der  übrigen  sind 
71  Gruppen  gezeichnet.  H. 

Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.  Von  J.  Schlotke, 
Oberlehrer  der  allgemeinen  Gewerbeschule  zu  Harburg.  IV.  Teil. 
Projeetivisehe  Geometrie.  Mit  22:3  Figuren.  Dresden  1896.  Ger- 
hard Kühtmaun.    177  S. 

Der  II.  und  III.  Teil  siud  im  52.  litt.  Bericht,  Seite  38,  der  erste 
(2.  Aufl.)  im  üösten,  Seite  31  besprochen.  Im  IV.  Teile  kommen 
folgende  Lehrgegenstände  hinzu:  Collincation  (iu  Ebene,  dann  iui 
Räume).  Punktreiheu  uud  Strahlenbüschel.  Deren  Erzeugnisse. 
Doppelelcmcute.  Regelschareu  und  Regclttäcken.  Princip  der  reci- 
proken  Reihen;  Polarfiguren.  H. 


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Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

LVL 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Fortschrit  te  der  Elektrotechnik.  Berlin,  Springer.  9.  Jahrg. 
1895.   5.  Hft.  5  Mk.  -    11.  Jahrg.  1897.    2.  u.  5.  Hft.  ä  5,00  Mk. 

—  die,  der  Physik  i.  J.  1892,  dargestellt  von  der  pbysikal.  Ge- 
sellschaft zu  Berliu.  gr.  8°.  Brauusehweig,  Vieweg.  48.  Jahrg.  1.  Abth. 
Physik  der  Materie.  Red.  v.  Rieh.  Börnstein.  (LXVI,449S)  20 Mk. 
—  3.  Abth.  Kosmische  Physik.  Red.  v.  Rieh.  Assmann.  (L,  597  S.) 
25  Mk.  —  Dass.  i.  J.  1890.  52.  Jahrg.  2.  Abth.  Physik  des  Aethers. 
Red.  v.  Rieh.  Börnstein.    (XLIX,  820  S.)    30  Mk. 

— .  dass.  Namensregister  nebst  e.  Sach-Ergauzungsregister  zu 
Bd.  XXI  (1805)  bis  XLIII  (1887)  unter  Berücksichtig,  der  in  den 
Biln.  I— XX  enthalteneu  Autoreunamen.  Bearb.  v.  B.  Schwalbe. 
2.  Hälfte,  gr.  8».  (IX— XXII  u.  S.  641  -1094.)  Berlin,  G.  Reimer. 
24  Mk. 

Graf,  J.  IL,  der  Mathematiker  Jakob  Steiner  v.  Utzendorf. 
Ein  Lebensbild  u.  zugleich  eine  Würdigung  seiner  Leistungen.  Mit 
dem  Portr.  u.  dem  Facsm.  eines  Briefes  Steiners,  gr.  8°.  (III,  54  S.) 
Bern,  Wyss.    1,20  Mk. 

Häbler,  Thdr.,  über  zwei  Stellen  in  Piatons  Timaius  und  im 
Hauptwerke  von  Coppernicus.  gr.  4°.  (20  S.)  Grimma,  Gensei.  1  Mk. 

Jahrbuch  üb.  die  Fortschritte  der  Mathematik  hrsg.  v.  Emil 
Lampe.  20.  Bd.  Jahrg.  1895.  3.  (Schluss-)  Hft.  gr.  8°.  (LXII 
u.  785—1173.)    Berlin,  G.  Reimer.    11,40  M. 

Jahresbericht  des  physik.  Vereins  zu  Frankfurt  a.  Main  für 
das  Rechnungsjahr  1895/96.  gr.  8°.  (1U)  S.  m.  2  Taf.  u.  0  Tab.) 
Frankfurt/Main,  Alt.   4  Mk. 

Killing,  Willi.,  Karl  Weierstrass.  Rektoratsrede.  gr.  8°. 
(21  S.)    Münster,  Aschendorff.    40  Pf. 


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Lindemann,  Ferd.,  Gedäehtsnisrede  auf  PUil.  Lttdw.  v.  Seidel, 
gr.  4".    (84  S.)    München,  Franz.    3  Mk. 

Poggendorf  f's,  J.  C,  biographisch-litterar isehes  Handwörter- 
buch zur  Geschichte  der  exakten  Wissenschaften,  enth.  Nachweisnn- 
gen  über  Lebensverhältnisse  u.  Leistungen  von  Mathematikern,  Astro- 
nomen, Physikern,  Chemikern,  Mineralogen,  Geologen,Geographeu  u.s.  w. 
aller  Völker  u.  Zeiten.  3.  Bd  (1868 -1 Wl).  Hrsg.  v.  B.  W.  Fed- 
dersen  u.  A.  J.  v.  Oettingeu.  12  — 15.  (Schluss-)  Lfg.  gr.  8°.  Leipzig, 
Barth,    a  3  Mk. 

Methode  und  Principieii. 

Böhme's,  A.,  Anleitung  zum  Unterricht  im  Rcchuen,  ein  nicthod. 
Haudbuch  für  Lehrer  u.  Seminaristen.    (13.  Aufl.)    Umgearbeitet  v 
K.  Scbaeffer.    2.  Tl.:  Das  Bcsondero.    gr.  8°.    (IV  u.  S.  85-383.) 
Berlin,  G.  W.  F.  Müller.   3  Mk. 

Fitzga,  Em  an.,  die  leitenden  Grundsätze  der  natürlichen  Me- 
thode für  den  Elementaruutericht  im  Kechnen  u.  Geometrie,  gr.  8°. 
(XVI,  213  S.)    Wien,  Manz.    2,40  M. 

— ,  die  natürliche  Methode  des  Reehenuuterrichtes  in  der  Volks- 
u.  Bürgerschule.    2  Tille,    gr.  8°.    Wien,  Perles.    i)  Mk. 

Heinke,  C,  die  Grundvorstellungen  über  Elektrizität  u.  deren 
technische  Verwendung.  In  Form  eines  Gespräches  zw.  Laie  u.  Fach- 
mann. 2.  Aufl.  m.  24  Skizzen  u.  Abbildgn.  gr.  8°.  (8 )  S.)  Leipzig, 
Leiner.    1,50  Mk. 

Lay,  W.  A.,  Führer  durch  den  ersten  Rechenunterricht,  oatur- 
gemässes  Lehrverfahren,  gegründet  auf  psycholog.  Versuche  u.  an- 
geschlossen au  die  Entwicklungsgeschichte  des  Re.ehenunterriclils 
gr.  8°.    (VIII,  158  S.  mit  3  Fig.-Taf.)    Karlsruhe,  Nemuich.  2,8!)  Mk 

Rudolph,  IL,  die  Constitutiou  der  Materie  u.  der  Zusammen- 
hang zwiseheu  ponderabler  u.  imponderabler  Materie,  gr.  8°.  (33  S. 
m.  Fig.)    Berlin,  Friedländer.    1  Mk. 

Lehrbücher« 

Gl  aussen,  F.,  Leitfaden  der  Planimetrie,  gr.  8°.  (79  S.  B- 
109  Fig.)    Leipzig,  Hirt  &  Sohn.    1  Mk. 

Zwerger,  Max,  Leitfaden  zum  Unterricht  in  der  elementaren 

Mathematik  mit  einer  Sammlung  v.  Aufgaben.  12.  Aufl.  des  Leit- 
fadens der  Mathematik  v.  Herrn.  Müller.    2.  Abtlg.  Ebene  Geometrie 

Mit  117  Fig.    gr.  8".    (VIII,  158  S.)    München,  Liudauer.   1,60  Mk. 

Sa  m  ml  un  gen. 

Aufgaben  für  mündliches  u.  schriftliches  Rechnen.  4.  Abtlg- 
(G.  u.  7.  Schuljahr  der  Volksschule.)    Schlussrechneu  u.  Anwendung 


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auf  die  Rechenfälle  des  bürgerl.  Lebens.  Lehrerausg.  (Mit  method. 
Andeutungen  u.  Antworten.)  2.  Aufl.  Hrsg.  v.  kathol.  Lelirerverein 
Württembergs,  gr.  8°.   (VIII,  JüG  S.)   Horb,  Christian.  Kart.  3,50  Mk 

—  zum  schriftlichen  Rechnen.  4.  litt.  4.  Abtlg.  (0.  u.  7.  Schul- 
jahr der  Volksschule.)  Schlussrechnen  u.  Anwendung  auf  die  Rochen- 
fällo  des  bürgerl.  Lebens.  Schülerausg.  (Mit  method.  Andeutungen 
u.  Figuren.)  2.  Aufl.  Hrsg.  v.  kathol.  Lelirerverein  Württembergs. 
8".    (103  S.)    Ebd.    Kart.  40  Pf. 

Bock,  Otto,  u.  Rieh.  Schulze,  geometrische  Konstruktious- 
u.  Recheuaufgabeu  f.  Volks-  u.  Fortbildungsschulen.  2  Aufl.  gr.  8°. 
(IV,  51  S.)    Leipzig,  Wunderlich.    40  Pf.;  Lösungen  (36  S)  50  Pf. 

Boh  me's,  A.,  Aufgaben  zum  Koptrechuen.  Ein  lliltsbuch  f. 
Lehrer.  Neubearbeitung  v.  G.  Weidenhammer.  3  Ufte.  gr.  8°. 
Berlin,  G.  W.  F.  Müller.    2,20  Mk. 

Bussler,  Fr.,  mathematisches  Uebungsbuch.  2.  Tl.  Für  deu 
Gebrauch  in  deu  oberen  Klassen  höherer  Lehranstalten  (Obersekunda 
u.  Prima)  zusammengestellt.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (III,  200  S.)  Dresden, 
Ehlermann    Geb.  1,80  Mk. 

Dölp,  II.,  Aufgabeu  zur  Differential-  u.  Integralrechnung,  nebst 
deu  Resultaten  u.  den  zur  Lösuug  nötigeu  theoretischen  Erläuterun- 
gen. 7.  Aufl.  v.  Eug.  Netto,  gr.  8°.  (III,  216  S-J  Giessen,  Ricker. 
Geb.  4  Mk. 

Fäsch,  Frdr.,  Aufgaben  zum  Kopfrechnen  mit  beigefügten  Aut- 
worten zum  Schul-  u.  Privatgebmuehe.  Im  engsteu  Anschluss  au  die 
Aufgaben  zum  Zifferrechuen  für  schweizerische  Volksschulen  bearb. 
u.  hrsg.  II-  Tl.  Das  Rechnen  mit  Sorteu  u.  Brüchen,  Dreisatz-  u. 
Zinsrechnung.  4.  Aufl.  hrsg.  v.  Karl  Führer,  gr.  8°.  (150  S.) 
St.  Gallen,  Fehr.    1,6  )  Mk. 

Fe u kuer,  Hugo,  arithmetische  Aufgaben.  Unter  besonderer 
Berücksichtigung  von  Anwendungen  aus  dem  Gebiete  der  Geometrie, 
Physik  u.  Chemie.  Für  deu  mathematischen  Unterricht  au  höheren 
Lehranstalten  beärb  Ausg.  A.  Vornehmlich  für  den  Gebrauch  in 
Gymnasien,  Realgymnasien  u.  Ober-Realschuleu.  1.  Tl.:  Pensum  der 
Unter-Tertia,  Ober-Tertia  u.  Unter-Seeuuda.  3.  Aufl.  gr.  8°.  (VIII 
258  S.)    ßraunsehweig,  Salle.    2,2  >  Mk. 

— ,  dass.  Ausg.  B.  Vornehmlich  für  deu  Gebrauch  iu  Oklass. 
höheren  u.  mittleren  Lehranstalten,  sowie  in  Seminarieu  u.  gewerbl. 
Fachschulen.    2.  Aufl.    gr.  8°.    (VI,  222  S.)    Ebd.    1,05  Mk. 

Huber,  Otto,  Sammlang  v.  arithmetischen  Aüfgaben  mit  aus- 
geführten Beispielen  für  Fortbildungsschulen,  höhere  Bürgerschulen, 
u.  ähnliche  Lehranstalten,  sowie  auch  für  die  Unterklassen  v.  Mittel- 
schulen.   1.T1.    gr.  8    (V,  TOS.)    München,  Oldeubonrg.   1,15  Mk. 

Kleyer,  A.,  Aufgaben-Sammlung.  1375.-1380.  Ufr.  Stuttgart, 
Maier.    ä  25  Pf. 


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Kloos,  Pet,  praktische  Rechenaufgaben  f.  Waldbauschulen  u 
ähnliche  Lehranstalten.    Gesammelt  u.  methodisch  georduet.  8°. 
(VI,  227  S.)    Kaiserslautern,  Crusius.   Geb.  2,50  Mk. 

Lichtblau,  W.,  u.  B.  Wiese,  Rechenbuch  für  Lehrerseminare 
1.  TL    Für  dio  Unterstufe  der  Seminare,    gr.  8°.    (206  S.)  Breslau, 
Hirt.    1,80  Mk. 

Lühmaun,  F.  v.,  Uebungsbuch  f.  den  Unterricht  in  der  Gonio- 
metrie u.  der  ebenen  Trigonometrie,  gr.  SK  (VJ1I,  81  S.)  Berliu, 
Simion.    1,60  Mk. 

Mai ss,  Ed.,  Aufgabcu  über  Warme  einschliesslich  der  mecha- 
uischen  Wärmetlieoric  u.  der  kinetischeu  Theorie  der  Gase.  Für 
Studiereudc  au  Mittel-  u  Gewerbeschulen  u.  zum  Selbststudium  für 
augeheude  Techuiker,  Physiker  u.  a.  Mit  29  Fig.  i.  Text.  gr.  8°. 
(V,  118  S.)    Wien,  Pichler.    2,40  Mk. 

Nafe,  Em  il,'  Rechenaufgaben  f.  Bürgerschuleu  u.  verwandte 
Lehranstalten.  Ein  Handbuch  f.  Lehrer,  gr.  8°.  (11,  174  S.)  Prag, 
Tempsky.    Geb.  2,40  Mk. 

Ohleuburger,  A.,  u.  J.  Würsdörfer,  Rechenbuch  für  münd- 
liches u.  schriftliches  Rechneu  in  3  Hftu.  Ausg.  B  gr.  8°.  Wies- 
baden, Limbarth.    1,05  Mk. 

Otto,  F.,  Rechenaufgaben  für  höhere  Mädchenschulen.  Auf 
Grund  der  Rechenaufgaben  vou  A.  Büttuer  u.  E.  Kirchhof)"  bearb. 
7  Hfte.    gr.  8°.    Leipzig,  Hirt  tfc  Sohn.    2,20  Mk. 

Roth,  Rieh.,  landwirtschaftliche  Berechnungen.    Eiue  Samni 
hing  vou  Aufgabeu  für  den  Unterricht  im  landwirtschaftlichen  Rech- 
nen. Für  mittlere  u.  niedere  landwirtschaftliche  Schulen  bearb.  (Neue 
[Titel  ]  Ausg.)    gr.  8°.    (IV,  103  S.)    Berlin,  Parey.    1,20  Mk. 

Sailer,  Eugelb.,  die  Aufgaben  aus  der  Elenientar-Mathematik, 
welche  bei  der  Prüfung  für  das  Lehramt  der  Mathematik  u.  Physik 
au  den  kgl.  bayerischen  humanistischen  u.  technischen  Unterriclits- 
anstalten  iu  den  J.  1873— 1893  t  estellt  wurden  gr.  8°.  (111,  17GS. 
m.  143  Fig.)    München,  TJi.  Ackermauu.    3,80  Mk. 

Sickenberger,  Ad  f.,  Uebungsbuch  zur  Algebra.  2.  Abtlg. 
3.  Stufe  der  Rechnungsarten,  quadrat.  Gleichung«  n,  Reihen.  2.  Aufl- 
8Ü.    (III,  128  S.)    Ebd.    Kart.  2  Mk. 

Villicus,  Frz.,  Beispiele  u.  Aufgaben  f.  das  kaufm.  Rechueu 
au  drciclassigen  kaufmännischen  Fortbildungsschulen,  gr.  8°.  (VI, 
189  S.)    Wien,  Pichler.    Kart.  1,80  Mk. 

Wrobel,  E.,  Uebuugsbuch  zur  Arithmetik  u.  Algebra.  Zum 
Gebrauche  an  Gymnasieu,  Realgymnasien  u.  anderen  höheren  Lehr- 
anstalten bearb.  1.  Tl.  Pensum  der  Tertia  u.  Untersekunda.  3.  Aufl 
gr.  8°.    (XII,  320  S.)    Rostock,  Werther.    2,90  Mk. 


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Tabellen. 


Diakow,  G.,  Multiplications-Tabelle.  (In  russ.,  frauzös.  u.  deut- 
scher Sprache.)  qu.4°.  (32  u.  1000  S.)  Petersburg,  Ricker.  Geb.  15  Mk. 

Langcnbeck,  Otto,  Zins-Tabtlle,  entk.  die  Ziusresultate  zu 
20  Zinsfüssen  aus  den  Ziuszahlen  von  1  bis  30'JOOO.  gr.  8°.  (79  S.) 
Berlin,  Haude  &  Speuer.    Geb.  4  Mk. 

Lübing,  E.,  mathematische  Tafeln  für  Markscheider  u.  Berg- 
ingenieure, sowie  zum  Gebrauche  f.  Bergschulen.  Mit  in  den  Text 
gedr.  Fig.  4.  Aufl.  Lex.  8°.  (XLI,  64  S  )  Berlin,  Springer.  Geb.  6  Mk. 

Schultz,  E,  dekadische  Logarithmen  der  Zahlen  1—10000. 
gr.  8°.    (32  S.)    Essen,  Baedeker.    20  Pf. 

Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Anfangsgründe  der  Arithmetik  u.  Trigonometrie.  3.  Aufl. 
8°.  (III,  80  S.  m.  2  Taf.)  Neuwied,  Erzieh.-Anst.  d.  Brüdergemeine. 
Geb.  1,20  Mk. 

Bortke witsch,  L.  v.,  das  Gesetz  der  kleinen  Zahlen,  gr.  8°. 
(VII,  52  S.)   Leipzig,  Teubuer.   2  Mk. 

Gzuber,  Eman.,  Vorlesung  über  Differential-  u.  Integral-Rech- 
nung. 1.  Bd.i  Mit  112  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (XIII,  526  S.)  Ebd. 
Geb.  12  Mk. 

Daublebsky  v.  Sterneck,  K  .  empirische  Untersuchung  über 

*  =  n 

den  Verlauf  der  zahlentheoretischen  Function  a(n)      £  p(x)  im 

Intervalle  von  0  - 150000.  gr.  8°.  (190  S.  m.  1  Taf.)  Wien,  Gerold. 
3,50  Mk. 

Fricke,  Rob.,  Hauptsätze  der  Differential-  u  Integral-Rechnung, 
als  Leitfaden  zum  Gebrauch  bei  Vorlesungen  zusammengestellt. 
3.  (Schluss  )  Thl.  gr.  8°.  (VIII,  38  S.  m.  9  Fig.)  Braunschweig, 
Vieweg.    1  Mk.  'V  ' 

Frobenius,  G-,  über  die  Darstellung  der  endlichen  Gruppen 
durch  lineare  Substitutionen,  gr.  8°.  (22  S.)  Berlin,  G.  Reimer.  1  Mk. 

Fuchs,  L.,  zur  Theorie  der  simultanen  linearen  partiellen 
Differentialgleichungen,   gr.  8°.   (12  S.)   Ebd.   50  Pf. 

Holzinger,  F.  S.,  Lehrbuch  der  politischen  Arithmetik,  für 
höhere  Handelsschulen  u.  zum  Selbstunterr.  bearb.  2.  Aufl.  gr.  8°. 
(IX,  156  S.)   Braunschweig,  Vieweg.   3  Mk. 

Kiepert,  Ludw.,  Grundriss  der  Differential-  u.  Integral-Rech- 
nung. I.  Thl.:  Differential-Rechng.  8.  Aufl.  des  gleichnam.  Leitfadens 
von  Max  Stegmann.  gr.  8°.  (XVIII,  660  S.  m.  160  Fig.)  Hanno- 
ver, Helwing.    12  Mk. 

Koenigsberger,  Leo,  über  die  erweiterte  Laplace-Poinsot'sche 
Potentialgleichung,    gr.  8°.   (9  S.)   Berlin,  G.  Reimer.   50  Pf. 

4 


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Mertens,  F.,  über  eine  zahlentheoretische  Function,  gr.  8°. 
(70  S.)   Wien,  Gerold.   1,10  Mk. 

Molien,  Thdr.,  über  die  Invarianten  der  linearen  Substi- 
tutionsgruppen,  gr.  8°.    (5  S.)   Berliu,  G.  Reimer.   50  Pf. 

Rogel,  Frz.,  Entwicklungen  einiger  zahlentheoretischer  Func- 
tionen in  unendliche  Reihen,   gr.  8°.   (26  S.)   Prag,  Rivuac.    40  Pf. 

— ,  Transformationen  arithmetischer  Reihen,  gr.  8°.  (31  S.) 
Ebd.   40  Pf. 

Ruland,  N.,  praktische  Anleitung  zum  gründlichen  Unterricht 
in  der  Algebra.  Ausführliche  Auflösung  der  in  E.  Heis'  Sammlung 
v.  Beispielen  u.  8.  w.  enthaltenen  Aufgaben.  2.  Tl.  Die  Gleichungen 
u.  Progressionen.  Zum  Selbstunterricht  bestimmt.  7.  Aufl.  bearb. 
v.  Karl  Ruland.   gr.  8°.   (VIII,  571  S.)   Bonn,  Cohen.   7  Mk. 

Schwarz,  H.  A.,  zur  Lehre  von  den  unentwickelten  Functionen, 
gr.  8°.   (7  S.)   Berlin,  G.  Reimer.   50  Pf. 

Ulrich,  Geo.,  ausführliches  Lehrbuch  der  Arithmetik  u.  Algebra 
für  den  Selbstunterricht.  Mit  zahlreichen  Uebungsaufgaben  u.  dazu 
gehörigen  Autlösungen.  8°.  (VII,  400  S.  m.  Fig.)  Berliu,  Aug. 
Schnitze.   3  Mk. 

Weber,  He inr.,  Lehrbuch  der  Algebra.   2.  Aufl.  1.  Bd.  gr.  8°. 
(XV,  703  S.)   Braunschweig,  Vieweg.   10  M. 


Geometrie. 

Degenhardt,  Geo.,  praktische  Geometrie  auf  dem  Gymnasium. 
Progr.  gr.  4°.  (30  S.  m.  1  Abbildg.  u.  4  Taf.)  Frankfurt/M.  Auf- 
farth.    1  Mk. 

Habenicht,  Bodo,  der  Schlüssel  zur  Geometrie,  ein  Buch  für 
Anfänger  oder  Zurückgebliebene  an  allen  Lehranstalten.  12°.  (24  S.) 
Quedlinburg,  Selbstverlag.   80  Pf. 

K Illing,  Wilh.,  Einführung  in  die  Grundlagen  der  Geometrie. 

2.  (Schluss-)  Bd.  Mit  8  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (VI,  361  S.)  Pader- 
born, Schöniugh.    7  Mk. 

Küpper,  C.,  Curventheoretisches.  gr.  8°.  (7  S.)   Prag,  Rivna« 
20  Pf. 

Maennchen,  Phil.,  Die  Transformation  der  trilinearen  ter- 
näreu  Form  in  eine  teilweise  symmetrische,  gr.  8°.  (22  S.)  Leipzig, 
Teubner.   1,20  Mk. 

Martin,  P.,  u.  0.  Schmidt,  Raumlehre  f. Mittelschulen,  Bürger- 
schulen u.  verwandte  Anstalten.    Nach  Formeugemeiuschafteu  bearb 

3.  Hft.  Kulturstätten.  Mit  61  Fig.  gr.  8e.  (VII,  96  S.  m.  1  Tab.) 
Dessau,  Kahle.   70  Pf. 

Sammlung  Göschen.   41.  u.  65.  Bd.   12°.  Leipzig,  Göschen.  - 

/ 


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41-  Mahler,  G.,  ebene  Geometrie.  Mit  115  zweifarb.  Fig.  2.  Aufl. 
(156  S.)  —  65.  Simou,  Max,  analytische  Geometrie  der  Ebene.  Mit 
45  Abbild.    (203  S.)    Geb.  a  80  Pf. 

Schell,  Wilh.,  allgemeine  Theorie  der  Curven  doppelter  Krüm- 
mung in  rein  geometrischer  Darstellung.  Zur  Einführung  iu  das 
Studium  der  Curveutheorie.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (VIII,  163  S.  ra  Fig.) 
Leipzig,  Teubner.    5  Mk. 

Sporer,  ß.,  über  den  Feuerbach'schen  Kreis,  gr.  8°.  (15  S. 
m.  4  Fig.)   Wien,  Gerold.    40  Pf. 

St  ei  uer's  J  ac,  Vorlesungen  übor  synthetische  Geometrie.  2.  Tbl. 
Auch  unter  d.  Titel:  Die  Theorie  der  Kegelschnitte,  gestützt  auf 
projektive  Eigenschaften.  Auf  Grund  v.  Universitätsvorlesungen  u. 
mit  Benutzung  hinterlassener  Mauuskripte  Jac.  Stciner's  bearb.  v. 
Ileinr.  Schröter.    3.  Aufl.,  durchgesehen  v.  Rad.  Sturm.  Mit  103  Fig. 

1.  Text.   gr.  8°.    (XVII,  537  S.)   Leipzig,  Teubner.    14  Mk. 

Tapla,  Thdr.,  Vademecum  der  darstellenden  Geometrie.  Für 
Schüler  gewerblicher  Lehranstalten,  für  Schüler  u.  Absolvcnteu  des 
Gymnasiums,  sowie  für  Praktiker.  Mit  344  Fig.  auf  39  Tafeln,  gr.  16°. 
(XIII,  163  S.)    Wien,  Fromme.    Kart.  5  Mk. 

Tobel,  Edw.  v.,  Geometrie  für  Sekundärschulen.  Weitere  Aus- 
führungen für  die  Hand  des  Lehrers.  8°.  (VII,  100  S.  m.  Fig.) 
Zürich,  Orell-Füssli.   Kart.  1,80  Mk. 

Trigonometrie. 

Hammer,  E.,  Lehrbuch  der  ebenen  u.  sphärischen  Trigono- 
metrie. Zum  Gebrauch  beim  Selbstunterricht  und  in  Schulen,  be- 
sonders als  Vorbereitung  auf  Geodäsie  u.  sphär.  Astronomie  bearb. 

2.  Aufl.  gr.  8°.  (XIV,  572  S.  m.  Fig.  u.  1  Tab.  Stuttgart,  Metzler. 
7,50  Mk. 

• 

Praktische  Geometrie,  Ueodäsie. 

Albrecht,  Th.,  Bericht  über  den  Stand  der  Erforschung  der 
Breitenvariatiou  im  Decbr.  1897.  Mit  1  Taf.  Hrsg.  v.  Centraibureau 
der  internat.  Erdmcssuug.  gr.  4°.  (36  S.)   Berlin,  G.  Reimer.  3  Mk. 

Arbeiten,  astronomische  des  k.  k.  Gradmessungsburcau,  aus- 
geführt unter  der  Leituug  v.  Thdr.  v.  Oppolzer.  Hrsg.  v.  Edm.  Weiss 
u.  Rob.  Schräm.  9.  Bd.  Längenbestimmuugen.  Publicationen  für 
die  iuternat.  Erdmessung,  gr.  4°.  (III,  229  S.)  Prag,  Tompsky.  16  Mk. 

— ,  astronomisch-geodätische,  veröffentlicht  von  der  kgl.  bayer. 
Commission  f.  die  iuternat.  Erdmessung  2.  Hft.  1.  Azimutbostim- 
muugen  auf  den  Stationen  Irschenberg,  Höhensteig,  Kampenwand 
u.  München.    (Sternwarte.)    2.  Neue  Polhöhenbestimmung  auf  der 


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Station  Kampenwaud.  gr.  4°.  (VIII,  176  S.  m.  Fig.)  München, 
Franz.   8,60  Mk. 

Ergebnisse,  die,  der  Triaugulatiou  der  Schweiz.  Hrsg,  durch 
das  cidgen.  topogr.  Bureau.  4.  Lfg.  Kauton  Basel  Stadt  u.  -Land. 
1897.  gr.  4°.  (43  S.  m.  Fig.  u.  1  Karte.)  Bern,  Schmid  &  Fraucke. 
2,50  Mk. 

Fixpunkte,  die,  des  schweizerischen  Praccisionsnivellemonts. 
Les  reperes  du  nivellcmeut  de  precision  de  la  Suisse.  Hrsg.  durch 
das  eidgen.  topogr.  Bureau.    6.  u.  7.  Lfg.    Fol.   Ebd.   k  3,20  Mk. 

Höhencoten  der  noch  nicht  publizierten  Nivellementszüge. 
Hrsg.  v.  eidgen.  topogr.  Bureau.   Fol.   (42  S.)   Ebd.   1,60  Mk. 

Mechanik. 

Finger,  Jos.,  über  das  innere  Virial  eines  elastischen  Körpers, 
gr.  8°.    (17  S.)   Wien,  Gerold.   40  Pf. 

Jäger,  G.,  zur  Frage  des  Widerstandes,  den  bewegte  Körper 
in  Flüssigkeiten  u.  Gasen  erfahren,  gr.  8°.  (9  S.  m.  2  Fig.  Ebd. 
20  Pf. 

Königsberger,  Leo,  über  die  Darstclluug  der  Kraft  in  der 
analytischen  Mechanik,   gr.  8°.   (16  S)   Berlin,  G.  Reimer.    50  Pf. 

— ,  über  das  erweiterte  Princip  der  Erhaltung  der  Flachcu  u. 
dessen  Anwendung  auf  kinetische  Potentiale  1.  Ordng.  gr.  8°.  (11  S.) 
Ebd.   50  Pf. 

— ,  über  die  erweiterte  Laplace'sche  Differentialgleichung  für  die 
allgemeine  Potentialfuuction.    gr.  8°.    (14  S.)    Ebd.   50  Pf. 

Rebber,  Wilb.,  die  Festigkeitslehre  u.  ihre  Auweudung  auf  den 
Maschinenbau.  Elementar  behaudelt  zum  Gebrauch  für  Studierende 
u.  in  der  Praxis.  3.  Aufl.  Hrsg.  v.  L.  Hummel,  gr.  8°.  (XVI. 
476  S.  m.  261  Abbild.)    Mittweida,  Polytechu.  Bhlg.    10,50  Mk. 

Routh,  Edward  John,  die  Dynamik  der  Systeme  starrer 
Körper,  in  2  Bdu.  mit  zahlr.  Beispielen.  Deutsch  v.  Adf.  Sehepp, 
1.  Bd.:  Die  Elemente.  Mit  57  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (XI,  472  S.) 
Leipzig,  Teubner.   Geb.  10  Mk. 

Technik. 

Biscau,  Wilh.,  die  Dyuamomaschine.  Zum  Selbststudium  für 
Mechaniker,  Installateure,  Maschinenschlosser,  Monteure  etc.,  sowie 
als  Anleitung  zur  Selbstanfertigung  von  Dynamomaschinen  leicht  fass- 
lich dargestellt.  6.  Aufl.  Mit  110  Abbild,  u.  Konstruktionszeichnungen. 
grf80.  (V,  128  S.)  Leipzig,  Leiner.  2  Mk. 
. David,  Ludw.,  Rathgeber  f.  Aufäuger  im  Photographieren. 
Handbuch  für  Fortgeschrittene.    Mit  83  Textbildcm  u.  2  Taf.  6.a. 


7.  Aufl.  16.  bis  21.  Taus.  12°.  (X,  202  S.  mit  8  Bl.  Etiketten.) 
Halle,  Knapp.    1,50  Mk. 

Diesen  er,  II.,  praktische  Unterrichtsbüchcr  f.  Bautecbniker. 
I.  Darstellende  Geometrie.  Das  geometrische  Zeichnen.  Die  Pro- 
jektionslehre.  Die  Lehre  vom  Steinschnitt.  Die  Schattenkoustruktion. 
Die  Perspektive  u.  die  Farbenlehre,  leichtfassl.  dargestellt  für  Selbst- 
unterricht u.  Schulgebrauch.  4.  Aufl.  Mit  300  Holzschn.  gr.  8°. 
(VI,  149  S.)    Halle,  Hofstetten    4  Mk. 

Encyklopädie  der  Photographie.  gr.  8n.  Halle,  Kuapp. 
31.  Hft.:  Hühl,  Arth,  v.,  die  Ent  Wickelung  der  photographischen 
Bromsilber-Gelatiueplatte  bei  zweifelhaft  richtiger  Exposition.  (VII, 
61  S.)  2,40  Mk.  -  32.  Heft:  Albert,  Aug.,  der  Lichtdruck  an  der 
Hand-  u.  Schnellpresse  sammt  allen  Nebenarbeiten.  Mit  65  Abbild, 
i.  Text  u.  9  Taf.    (VIII,  192  S.)    7  Mk. 

Foppl,  Aug.,  Vorlesuugeu  über  technische  Mechanik.  3.  Bd. 
Festigkeitslehre.  Mit  70  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (XVI,  472  S.)  Leipzig, 
Tcubuer.    Geb.  12  Mk. 

Goldmann,  Max,  elektrische  Verteiluugsaulageu  (für  Gleich- 
strom), verbunden  mit  Aufgaben  aus  der  Praxis  u.  Anleitungen  zu 
praktischen  Uebuugen.  I.  Hft.  Mit  70  Abbild.  Lex.  8°.  (36  S.) 
Strelitz,  Hitteukofer.    2,70  Mk. 

Grawinkol,  C,  u.  K.  Strecker,  Hilfsbuch  f.  die  Elektro- 
technik. Bearb.  u  hrsg.  v.  K.  Strecker.  5.  Aufl.  M.  361  Fig.  i.  Text, 
gr.  8°.    (X,  696  S.)    Berlin,  Springer.    Geb  10  Mk. 

Hammer,  E.,  der  logarithtnische  Rechenschieber  u.  seiu  Ge- 
brauch. Eine  elementare  Anleitung  zur  Verwendung  des  Instruments 
für  Studireude  u.  Praktiker.  Mit  4  Fig.  i.  Text.  gr.  8°.  (60  S.) 
Stuttgart,  Metzler.    40  Pf. 

Heim,  Carl,  die  Eiurichtuug  elektrischer  Beleuchtungsanlagen 
für  Gleichstrombetrieb.  3  Aufl.  Mit  über  50U  Abbildgn.  (lu  10— 12 
Hftu.)    1.  Hft.   gr.  8°.    (64  S.)    Leipzig,  Leiner.    1  Mk. 

Herzog,  Jos.,  u.  C.  P.  Feld  mann,  Handbuch  der  elektrischen 
Beleuchtung.  Mit  428  Abbild,  gr.  8°.  (XII,  521  S  )  Berlin,  Sprin- 
ger.   Geb.  16  Mk. 

Holst,  A.,  Elektrotechniker.  25/27.  Hft.  Leipzig,  Schäfer, 
ä  75  Pf. 

Kapp,  Gisb.,  Elektromechauische  Konstruktionen.  Eine  Samm- 
luug  von  Konstruktionsbeispieleu  u.  Berechnungen  von  Maschinen  u. 
Apparaten  für  Starkstrom.  Jmp.  4°.  (VIII,  200  S.  m.  54  Fig.  u. 
25  Taf.)    Berlin,  Springer.   Geb.  20  Mk. 

— ,  elektrische  Kraftübertragung.  Eiu  Lehrbuch  für  Elektro- 
techniker. Deutsche  Ausg.  v.  L.  Ilolborn  u  K.  Kahle.  3.  Aufl. 
Mit  zahlreichen  in  den  Text  gedr.  Figuren,  gr.  8°.  (VI,  338  S.) 
Ebd.   Geb.  8  Mk. 


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K rügener.  It.,  die  Hand-Camera  u.  ihre  Anwendung  für  die 
Momcnt-Photographie,  sowie  die  Besehreibung  ihrer  Einrichtung,  der 
einzelnen  Bcslandteile  u.  Anwendung  zu  Hause  u.  auf  Reisen.  8°. 
(VJ,  165  S.  m.  07  Fig.)    Berlin,  G.  Schmidt.   3  Mk. 

Lucger's,  0,  Lexikon  der  Teckuik.  27.-29.  Abtlg.  Stutt- 
gart, D.  Verlagsanstalt,    ä  5  Mk. 

Meissner,  G-,  Hydraulik.  2.  Aufl.  24.  Lfg.  Jena,  Costenoble. 
3  Mk. 

Niethammer,  F.,  Motoren  u.  Hülfsapparate  für  elektrisch 
betriebene  Hcbezeuge.  Imp.  4°.  (29  S.  m.  111  Fig.)  Berlin.  Sprin- 
ger.   2  Mk. 

Offiuger,  II.,  Euglish-Freuch-Italiea-Gcrmftü  techuical  pocket- 
dictiouary.  Part.  H.  The  leadiug  lauguage  being  Euglish.  2.  cd. 
gr.  16°    (230  S.)    Stuttgart,  Meteler.    Geb.  3  Mk. 

Pechau,  Jos.,  Leitfaden  des  Maschinenbaues  für  Vorträge  so- 
wie zum  Selbststudium.  1.  Abth. :  Maschinen  zur  OrtsverUnderuug, 
Pressen  u.  Accumulatoreu.  4.  Aufl.  Mit  125  in  den  Text  gedr. 
Holzscht).  u.  33  Fig.-Taf.  2  Thlo.  gr.  b°.  (VIII,  318  S.)  Wien, 
Deoticke.  9  Mk. 

Pizzig  he  Iii,  G.,  Anleitung  zur  Photographie.  9.  Aufl.  Mit 
lf>6  in  den  Text  gedr.  Abbildgu.  u.  2G  Taf.  12°.  (VIII,  360  S.) 
Halle,  Knapp.    Geb.  3  Mk. 

Kusch,  M.,  Anleitung  zum  Gebrauch  des  Rechenstabes.  Auch 
für  solche,  welche  nur  die  Kenntnisse  der  Volksschule  besitzen,  gr.  6°. 
(19  S.  m.  6  Fig.)    Wicu,  Pichler.    50  Pf. 

Sammlung  elektrotechnischer  Vorträge  hrsg.  v.  Ernst  Voit. 
gr.  h*.  Stuttgart,  Enke.  1.  Bd.,  4.  Hft.  Schoop,  P.,  über  die  Planti- 
Accumulatoren.  Mit  28  Abbild.  (S.  147— 190.)  1  Mk.  —  5.  u.  6.  Hft. : 
lleinke,  C,  die  Hauptbcgriftc  der  Gleich-  u.  Wcchsclstromtcchnik 
unter  Benutzuug  mechanischer  Hilfsvorstelluugeu.  Mit  22  Abbild. 
(S.  191—254.)  2  Mk.  —  7.  u.  8.  Hft.:  Kohlfürst,  die  Benützuug 
einer  u.  derselben  elektrischen  Leitung  für  verschiedene  Betriebe 
unter  besonderer  Berücksichtigung  der  bei  den  Eiseubahuen  vorkom- 
menden einschlägigen  Schwachstrom  Anordnungen.    2  Mk. 

Slaby,  A.,  die  Funkcntelcgraphie.  Mit  22  Abbildgn.  u.  2  Karten, 
gr.  8°.    (IV,  70  S.)    Berlin,  Simion.    2  Mk. 

Toi  hau sen,  Alex.,  Dictiounaire  techuologique  daus  les  langues 
francaise,  anglaise  et  allemande.  Rcvu  par  Louis  Tolhausen.  (Vol.  I.) 
Francais-allemaud-anglais.  4.  öd.  augmeutee  d'un  grand  Supplement. 
8°.    (809  u.  105  S.)    Leipzig,  Tauchnitz.    9,50  Mk. 

Vogel,  E.,  Taschenbuch  der  prakt.  Photographie.  5.  Aufl.  12°. 
(VIII,  287  S.  m.  60  Fig  u.  5  Taf.)   Berlin,  G.  Schmidt.  Geb.  3Mk. 

Wcickert,  A.,  u.  R.  Stolle,  praktisches  Maschineurechnen 
Eine  Zusammenstellung  der  wichtigsten  Erfahruugswerte  aus  der 


allgemeinen  u.  angewandten  Mechanik  in  ihrer  Anwendung  auf  den 
praktischen  Maschinenbau.  Erläutert  durch  zahlreiche  der  Praxis 
entnommene  Beispiele  u.  eingeleitet  durch  eine  leiehtfassl.  Darstel- 
lung der  für  Maschinenbauer  unentbehrlichen  Gesetze  des  allgemeinen 
Buchstabenrechnens.  Mit  über  100  in  den  Text  gedr.  Abbild.  3.  Aufl. 
6.  u.  7.  Taus.  gr.  8°.  (VII,  262  8.)  Berlin,  Polytechn,  Buchhlg. 
3,50  Mk. 

Weiler,  W.,  Wörterbuch  der  Elcktricität.  3.  u.  4.  Hft.  Leipzig, 
Schäfer,   a  75  Pf. 

Weisbach,  Jul.,  Lehrbuch  der  Ingenieur-  u.  Maschinen-Mechanik. 
3.  Tbl.:  Die  Mechanik  der  Zwischen-  u.  Arbeits-Maschinen.  2.  Aufl. 
bearb-  v.  Gust.  Herrmaun.  3.  Abthlg.  Die  Maschinen  zur  Form- 
Veränderung.  14.-16-  Lfg.  gr.  8°.  (S.  1223—1548  m.  Holzst.) 
Braunschweig,  Vieweg.   9  Mk. 

Weitzel,  K.  G.,  Maschinentechniker.  82.-86.  Hft.  Leipzig, 
Schäfer,    ä  75  Pf. 

Zacharias,  Johs.,  transportable  Akkumulatoren.  Anordnung, 
Verwendung,  Leistung,  Behandlung  u.  Prüfuug  derselben.  Mit  69 
Abbild,  im  Text.   gr.  h°.    (VIII,  259  S.)   Berliu,  Löwenthal.    7  Mk. 


Optik,  Akustik  und  ElastieitÄt. 

Boltzmann,  Ludw.,  über  vermeintlich  irreversible  Strahlungs- 
vorgänge.  3.  Mittheilg.   gr.  8°.    (6  S.)   Berlin,  G.  Reimer.   50  Pf. 

Exner,  Frz.,  u.  E.  Haschek,  über  ultraviolette  Funkenspectra 
der  Elemente.  X.  Mittheilg.  (enth.  d.  Spectra  v.  Ca,  Li,  Cr). 
gr.  8°.    (26  S.  m.  2  Taf.)    Wien,  Gerold.    1  Mk. 

Glacebrook,  R,  T.,  das  Licht.  Grundriss  der  Optik  für  Stu- 
dierende u.  Schüler.  Deutsch  v.  E.  Zermelo.  8°.  (VI,  273  S.  ra. 
134  Fig.)    Berlin,  Calvary.    Geb.  3,60  Mk. 

Kayscr,  H.,  über  die  Bogeuspectrcn  der  Elemoute  der  Platiu- 
gruppe.   gr.  4°.    (44  S.)   Berlin,  G.  Reimer.    2,50  Mk. 

Kolacek,  Frz.,  Theorie  der  Fortpflanzung  des  Lichtes  in  ani- 
sotropen Medien  in  induetiver  Darstelluug.  gr.  8°.  (107  S.)  Prag, 
Rivna«-.    1,80  Mk. 

Landolt,  H.,  das  optische  Drehuugsvermögen  organischer  Sub- 
stanzen u.  dessen  praktische  Anwendung,  bearb.  unter  Mitwirkung 
v.  0.  Schönrock,  P.  Liuduer,  F.Schütt,  L.  Berndt,  T.  Posner.  2.  Aufl. 
Mit  eingedr.  Abbild,  gr.  8°.  (XXIII,  655  S.)  Braunschweig,  Vieweg. 
Geb.  18  Mk. 

Mach,  Ludw.,  optische  Untersuchung  der  Luftstrahlen,  gr.  b°. 
(50  S.  m.  26  Fig.  u.  4  Taf.)    Wien,  Gerold.    2,20  Mk. 


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Planck,  Max,  über  irreversible  Strahlungsvorgänge.  3.  Mit- 
theilg.    gr.  8°.    (24  S.)    Berlin,  Reimer.    1  Mk. 

Vogel,  II.  C,  einige  Bemerkungen  über  den  Kirchhoff  'sehen 
Spoctralapparat.   gr.  8°.   (7  S.)   Ebd.  50  Pf. 

Erd-  und  Hinimelskunde. 

B  ebb  er,  W.  J.  van,  dio  Wettervorhersage.  Eine  gemein- 
verständliche prakt.  Auleitung  zur  Wettervorhersage  auf  Grundlage 
der  Zeituugs-Wetter-Karten  u.  Zeitungs-Wetterberichte  für  alle  Berufs- 
arten. Im  Auftrage  der  Direktiou  der  deutschen  Seewarte  bearb. 
Mit  zahlreichen  Beispielen  u.  V2b  Abbild  2.  Auti.  gr.  8°.  (XVI, 
219  S.)   Stuttgart,  Enke.   5  Mk. 

Becker,  E.,  Tafeln  zur  Berechnuug  der  Praecessiou.  gr.  4°. 
(IV,  91  S.)    Karlsruhe,  Braun.   5  Mk. 

Braun,  C,  über  die  Gravitations-Koustante,  die  Masse  u.  mitt- 
lere Dichte  der  Erde  nach  neuereu  experimentellen  Bestimmungen, 
gr.  8°.    (44  S.)   Münster,  Aschendorff.   8U  Pf. 

Breuner,  Leo,  Mars-Beobachtungen  1896—97  auf  der  Manora- 
Sternwarte  in  Lussin  Piccolo.  gr.  4°.  (32  S.  m.  3  Taf.)  Berlin, 
G.  Reimer.   Kart.  3  Mk. 

Spaziergänge  durch  das  Himmelszelt  Astronomische  Plaude- 
reien mit  besonderer  Berücksichtigung  der  Entdeckuugen  der  letzten 
Jahre.  Mit  7  Taf.  u.  23  Textbildern,  gr.  8°.  (VIII,  399  S.)  Leipzig, 
E.  H.  Mayer.   5,50  Mk. 

Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen  im  Systeme 
der  deutschen  Seewarte  für  das  Dezenuium  1886 — 1895.  Hrsg.  v.  d. 
Direktion  der  Seewarte,  gr.  4°.  (VI,  10  S.)  Hamburg,  Friederich- 
sen.   2  Mk. 

Fo erster,  W.,  u.  P.  Lehmann,  die  veränderlichen  Tafelu 
des  astronomischen  u.  chronologischen  Theils  des  preuss.  Normal- 
kalenders f.  It99.  Nebst  e.  allgemeinen  statistischen  Beitrage  von 
E.  Blenck.   gr.  8°.   (V,  202  S.)   Berlin,  Statist.  Bureau.   5  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.  10.  -12.  Lfg.  Breslau, 
Trewendt.   u  3,60  Mk. 

Jahrbuch  der  Astronomie  u.  Geophysik.  Hrsg.  v.  Herrn  J.  Klein. 
8.  Jahrg.  1897.  Mit  5  Taf.  in  Schwarz-  u.  Chromodruck.  gr.  rf. 
(VIII,  370  S.)    Leipzig,  E.  H.  Mayor.    Kart.  7  Mk. 

— ,  Berliner  astronomisches  f.  190)  ra.  Angaben  für  die  Oppo- 
sitionen der  Planeten  (I)— (422)  f.  1898.  Hrsg.  v.  dem  Kgl.  astronom. 
Rechen- Institut  unter  Leitung  v.  J.  Bauschinger.  Der  Sammlung 
Berliner  astronom.  Jahrbücher  125.  Bd.  gr.  8°.  (X,  520  u.  8  S.) 
Berlin,  Düramler.    12  Mk. 

— ,  deutsches  meteorologisches  für  1896.  Beobachtungs-System 


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der  deutschen  Seewarte.  Ergebnisse  dor  mcteorolog.  Beobachtungen 
an  10  Stationen  II.  Ordnung  u.  an  48  Signalstellcn,  sowie  stündl. 
Aufzeichnungen  an  4  Normal-Beobachtungs-Stationen.  XIX.  Jahrg. 
Hrsg.  v.  d.  Direktion  der  Seewarte.  Imp.  4°.  (VIII,  189  S.)  Ham- 
burg, Fricderichsen.    13  Mk. 

Kalender,  astronomischer,  f.  1898   Berechnet  für  den  Meridian 

D.  die  Polhöhe  von  Wien  (16°  2u'  22".  3  =  lh  5m  21" .  49  östl.  Länge 
v.  Greenwich,  4b°l3'55".  4  nördl.  Breite).  Hrsg.  v.  d  k.  k.  Stern- 
warte. Der  ganzen  Reihe  61  Jahrg.;  der  neuen  Folge  17.  Jahrg. 
gr.  8°.    (159.  S.  u.  Tagebuch.)    Wien,  Gerold.   Kart.  2,40  Mk. 

Klein,  Herrn.  J.,  astronomische  Abende.  Allgemeinverständ- 
liche Unterhaltungen  über  Geschichte  u.  Ergebnisse  der  Himmels- 
Erforschung.    4.  Aufl.    gr.  8°.    (XII,  372  S.  m.  5  Taf.)  Leipzig, 

E.  H.  Mayer.   5,50  Mk. 

Krieger,  Joh.  Nep.,  Mond-Atlas,  entworfen  nach  den  Beobach- 
tungen an  der  Pia-Sternwarte  in  Triest.  I.  Bd.  Mit  28  Taf.  u.  An- 
sicht der  Sternwarte,  gr.  4°.  (23  S.  Text  u.  28  Bl.  Pausen.)  Ebd. 
Kart.  12  Mk. 

Mazelle,  Ed.,  tägliche  Periode  des  Niederschlages  in  Triest. 
gr.  8°.   (37  S.)   Wien,  Gerold.   70  Pf. 

Meyer,  M.  Wilh.,  das  Weltgebäude.  Eine  gemeinverständliche 
Himmelskunde.  Mit  287  Abbild,  i.  Text,  JO  Karten  u.  31  Tafeln- 
gr.  8°.    (XII,  677  S.)    Leipzig,  Bibliogr.  Institut.    Geb.  16  Mk. 

Mitteilungen  der  Hamburger  Sternwarte.  No.  3.  Schorr, 
Rieh.,  Bemerkungen  u.  Berichtigungen  zu  Carl  Rümker's  Hamburger 
Sterukatalogen  1836.  0.  u.  1850.  0.  Lex.  8°.  (50  S.)  Hamburg, 
Gräfe  &  Sillem.    3  Mk. 

Mohn,  H.,  Grundzüge  der  Meteorologie.  Die  Lehre  v.  Wind 
u.  Wetter,  nach  den  neuesten  Forschungen  gemeinfasslich  dargostellt. 
Deutsche  Orig.-Ausgabe.  5.  Aufl.  Mit  24  Karten  u.  45  Holzschn. 
gr.  8°.   (XII,  419  S.)   Berlin,  D.  Reimer.    Geb.  6  Mk. 

Neudrucke  von  Schriften  u.  Karten  über  Meteorogie  u.  Erd- 
magnetismus, hrsg.  v.  G.  Hellmann.  No.  10  u.  11.  gr.  4°.  Berlin, 
Asher.  —  10:  Magnetica  rara.    1269-1599.     P.  de  Maricourt 

F.  Falerno.    P.  Nuues.    J.  de  Castro.    G  Hartmann.    M.  Cortea. 

G.  Mcrcator.  R.  Norman.  W.  Borough.  S.  Stevin.  Mit  e.  Ein- 
leitung. 15  Mk.  —  11:  Wiukler,  J.  H.,  B.  Franklin,  T.  F.  Dalibard, 
L.  G.  Le  Monnier,  über  Luftelektricität  1746—1753.  Mit  e.  Ein- 
leitung.  3,50  Mk. 

Oerter,  mittlere,  von  622  Sternen  u.  scheinbaro  Oerter  v.  450 
Sternen,  nebst  ReductioBS-Tafcln  f.  d.  Jahr  1900  u.  e.  Anh.,  enth. 
mittlere  Oerter  v.  303  südl.  Sternen  für  1900  0.  gr.  8°.  Berlin, 
Dümmler.   6  Mk. 

Pieper,  M.,  mathematische  Erdkunde.    Auhang  zu  Sumpfs 

4* 


„Sehulpbysik"  u.  „Grundriss  der  Physik'1.  Mit  12  in  deu  Text  gedr 
Orig.-Holzscho.   gr.  8°.    (40  S.)   Hildesheim,  Lax.    40  Pf. 

Publikationen  der  Sternwarte  des  cidgcnöss.  Polytechnikum* 
zu  Zürich.  Auf  Kosten  der  „Wolfstiftuug  der  eidgeu.  Sternwarte" 
hrsg.  v.  A.  Wolfer.  1.  Bd.  Wolfer,  A.,  Beobachtuugeu  der  Sonneu- 
oberfläehe  in  deu  Jahren  1887-89.  gr.  4°.  (XXVII,  41  S.  m 
15  Taf.)    Zürich,  Schuithess.    12  Mk. 

—  des  astropbysikalischeu  Observatoriums  zu  Potsdam,  gr.  4,J 
Leipzig,  Engelmann.  No.  37.  XI.  Bd.  4.  Stück.  Wilsiug,  J.,  Beob 
achtuugen  veränderlicher  Sterne  in  den  Jahren  1881—1885.    (54  S. 

3  Mk.  —  No.  38.  XI.  Bd.,  5.  Stück:  Müller,  G.,  u.  P.  Kempf,  Unter- 
suchungen über  die  Absorptiuu  des  Stemeulichts  in  der  Erdatmosphäre, 
angestellt  auf  d.  Atua  u.  iu  Catania.    (V,  III,  71  S.  m.  3  Fig.  u.  1  Tafj 

4  Mk. 

Riggenbach,  Alb,  Ergebnisse  7jiihrigcr  Niederschlags -Regi- 
strierungen in  Basel,  gr.  4°.  (18  S.  m.  1  Taf.)  Karlsruhe,  Brauu. 
1,50  Mk. 

Sammlung  populärer  Schriften  der  Gesellschaft  Urania.  No. 46 
u.  49.  gr.  8°.  Berlin,  H.  Paetel.  —  48.  Spies,  P.,  flüssige  Luft  u. 
tiefe  Temperaturen.  (18  S.  m.  3  Fig.)  —  49.  Ule,  Willi,  Falbs 
Theorien  im  Lichte  der  Wisseuschaft.    (16  S.)    ä  60  Pf. 

Schweiger- Lorch euf cid,  A.  v\,  Atlas  der  Himmelskuude. 
15.— 2  \  Lfg.   Wieu,  Hartleben,   ä  1  Mk. 

Thraeu,  A.,  Bestimmung  der  Bahn  des  period.  Kometen  v.  Wolf. 
(Komet  1884  III  u.  1891  II.)  Verbindung  der  Erscheiuuugeu  iu  den 
J.  1884  u.  189:  u.  Vorausbcrechuuug  des  Laufes  des  Kumeteu  für 
die  Erscheinung  im  J.  189*.   gr.  4°    (43  S.)  Wien,  Gerold.  2,6 )  Mk 

Veröffentlichungen  des  hydrographischen  Amtes  der  k.  u.  k. 
Kriegs  Mariue  in  Pola.   No.  1— 4.   Fol.    Wien,  Gerold.    13  Mk. 

—  des  kg),  preuss.  meteorolog.  Instituts.  Hrsg.  durch  Wilh.  v.  Et- 
zold, gr.  4°.  Berliu,  Asher  &  Co.  (1896  II.  Hft.)  Ergebnisse  der 
magnet.  Beobachten,  in  Potsdam  i.  J.  1896  u.  internationale  magnet. 
Simultanbeobachtungen  1896.  (13  u.  XXXIV  S.  in.  5  Taf.)  6  Mk. 
1897  I.  Hft.  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  deu  Statioucu  II.  u 
Hl.  Ordnung  i.  J.  1897,  zugleich  deutsches  meteorolog.  Jahrbuch  t 
1897.  Beobachtuugssystem  des  Königreich  Preussen  u.  benachbarter 
Staaten.   (56  S.)   3  Mk. 

—  des  kgl.  astronomischen  Recheniustituts  zu  Berliu.  No.  6. 
Bauschiuger,  J.,  genäherte  Oppositions-Ephemerideu  v.  45  kleinen 
Plaueteu  f.  1898  Jan.  bis  Aug.  Unter  Mitwirkuug  mehrerer  Astro- 
nomen, insbesondere  der  Herreu  A.  Berberich  u.  G.  Neugebauer 
herausgeg.    4°.    (16  S.)    Berlin,  Dümmler.    1,20  Mk. 

—  der  kgl.  Sternwarte  zu  Bonn.   Hrsg.  v.  Frdr.  Küstuer.  No.  2. 


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KüstikT,  F.,  Untersuchungen  über  die  Eigenbewegung  v.  335  Sternen 
nach  älteren  u.  eigenen  Beobachtungen,  gr.  4°.  (123  S.)  Bonn, 
Cohcu.    7  Mk. 

Wauner,  Stef.,  populäre  Darstelluug  u.  Erklärung  des  Föhus. 
8°.    (25  S.)    Winterthur,  Kiesehke.    60  Pf. 

Zenger,  K.  W.,  die  Meteorologie  der  Sonne  u.  das  Wetter  i.  J. 
1888,  zugleich  Wetterprognose  f.  d.  J.  1898.  gr.  8°.  (XII,  87  S. 
m.  1  Tat.)    Prag,  Rivoar.    2  Mk. 

Nautik. 

Ludolph,  W.,  Leuchtfeuer  u.  Schallsignale  der  Erde  1898. 
27.  Jahrg.  8.  Aufl.  gr.  8°.  (XXIII,  400  S.  u.  Ergäuzungshft.  39  Bl.) 
Bremen,  Heiusins.    Geb.  7,50  Mk. 

Seibt,  Willi.,  der  selbstthätigc  Gezeitenpegel  (System  Seibt- 
Fucss).    gr.  b°.    (8  S.  m.  3  Abbild.)    Bcrliu,  Ernst  &  Sohu.    80  Pf. 

Verzeichnis  der  Leuchtfeuer  aller  Meere.  Hrsg.  v.  Reichs- 
mariueamt.  8  Hfte.  Abgeschlossen  am  1.  XII.  1897.  (Mit  je  1  färb. 
Tat.)    hoch  4°.    Berlin,  Mutier.    6  Mk. 

Physik. 

Aunalen  der  Physik  u  Chemie.  Hrsg.  v.  G.  u.  E.  Wiedemaun. 
Neue  Folge  63.  Bd.  Der  ganzen  Folge  299.  Bd.  1897.  13.  Hit 
(Festschrift  für  Gust.  Wicdemanu  zum  50jähr.  Doctorjubiläum.)  gr.  6°. 
(XVI,  43*5  S.  m.  Fig.)    Leipzig,  Barth.    5  Mk. 

Arbeiten  des  physikalisch-chemischeu  Instituts  der  Universität 
Leipzig  aus  den  J.  1887—1896.  Gesammelt  u.  hrsg.  v.  Wilh.  Ost- 
wald.  4  Bde.   gr.  8°.   Leipzig,  Eugelmann.    36  Mk. 

Benndorf,  Hans,  über  das  Verhalten  rotierender  Isolatoren 
im  Magnetfeld  u.  eine  darauf  bezügliche  Arbeit  A.  Campetti's.  gr.  8°. 
(10  S.)    Wien,  Gerold.    20  Pf. 

Bürkcr,  Karl,  über  die  Erzeugung  u.  physiologische  Wirkung 
schnell  u.  laugsam  verlaufender  maguet.  elektrischer  Ströme,  gr.  8°. 
(27  S.)    Tübingen,  Pietzckcr.    70  Pf. 

Conrad,  P.,  Praeparationen  für  den  Physik-Unterricht  in  Volks 
o.  Mittelschulen.  Mit  Zugrundelegung  von  Individuen.  Nach  Hcrbarl'- 
sclien  Grundsätzen  bearb.    2.  Tl.:  Optik,  Wärme,  Magnetismus  u. 
Elektrizität.    M.  8  Fig.-Taf.   gr.  8°.    (V,  185  S.)    Dresden,  Bleyl  <fe 
Kämmerer.   4  Mk. 

Ernecke,  Erich ,  über  elektrische  Wellen  und  ihro  Anwendung 
zur  Demonstration  der  Telegraphie  ohue  Draht  nach  Marconi.  Ex- 
port meutal  Vortrag.  Mit  12  Abbild.  2.  Abdruck,  gr.  8°.  (15  S.) 
«erlin,  Gä'  tner.    80  Pf. 


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Gold  stein,  E.,  über  die  Structur  des  Kathodcnlicbts  a.  die 
Natur  der  Lenard'seheu  Strahlcu.  gr.  8°.  (10  S.  in.  6  Fig.)  Berlin, 
G.  Reimer.   50  Pf. 

Hentze,  Willy,  analytischo  Berechnung  elektrischer  Leitungen. 
Mit  37  i.  d.  Text  gedruckten  Figuren,  gr.  8°.  (V,  81  S.)  Berlin, 
Springer.    Geb.  3  Mk. 

Hol  hörn,  L.,  über  die  Vertheilung  des  iuducirten  Magnetismus 
im  Cylinder.    gr.  8°.    (10  S.  m.  2  Fig.)    Berlin,  G.  Reimer.   50  Pf. 

Jäger,  G us t.  u.  Stcf.  Moyer,  Bestimmung  der  Maguetisirungs- 
zahlcn  von  Flüssigkeiten  u.  deren  Aeudcruug  mit  der  Temperatur. 
(I.  u.  II.  Mittheilg.)  gr.  8°.  (29  S.  m.  7  Fig.  u.  31  S.  m.  30  Fig.) 
Wien,  Gerold,   ä  80  Pf. 

Klemencic-,  Ign.,  über  die  maguetisebe  Nachwirkung  bei  ver- 
schiedenen Feldstärken,   gr.  8°.    (9  S.)    Wien,  Gerold.    20  Pf. 

Koppc's,  K.,  AufaugsgrUudo  der  Physik  mjt  Eiuschluss  der 
Chemie  u.  mathemat.  Geographie.  21.  Auti.  (der  neuen  Bearbeitung 
2.  Aufl.)  Ausg.  B.  iu  2  Lehrgängen.  Für  höhere  Lehranstalten  nach 
den  preuss.  Lehrplänen  v.  1892  bearb.  v.  A.  Ilusmauu.  2.  Tl.:  üaupt- 
lehrgang.  Mit  31*  in  den  Text  gedruckten  Holzschuitten  u.  1  Stern- 
karte,  gr.  8°.    (X,  472  S.)   Essen,  Baedeker.    Geb.  4,80  M. 

Korn,  Arth.,  eine  Theorie  der  Gravitation  u.  der  elektrischen 
Erscheinungen  auf  Gruudlage  der  Hydrodynamik.  2.  Aufl.  i.'.  Tl. 
Theorie  der  elektrischen  Erscheinungen.  2.  Anselm  Elektromoto- 
rische Wirkuugen.  (Schluss.)  gr.  8°.  (VI  u.  S.  211— 280.)  Berlin, 
Uümmlcr.    1.50  Mk. 

Lchmauu,  0.,  die  elektrischen  Lichterscheinungen  od.  Eut- 
laduugen,  bezeichnet  als  Glimmer,  Büschel,  Fuukeu  u.  Lichtbogeu, 
in  freier  Luft  u.  iu  Yacuumröhren.  gr.  b°.  (VIII,  569  S.  m.  Ab- 
bildgn  u.  10  Taf.)    Halle,  Knapp.    20  Mk. 

Scheel,  Karl,  über  Fernthermometer,  gr.  8°.  (48  S.  m.  9  Ab- 
bild.)  Halle,  Marhold.   1  Mk. 

Schumauu,  Haus,  Einführung  iu  die  neuere  Elcktrizitatslebre 
iu  elementar  raathematischer  Behandlung.  Für  höhere  Schulen  sowie 
zum  Studium  für  angehende  Elektrotechniker.  8°.  (VIII,  J15  S.  m. 
Fig.)    München,  Wolff.   3,20  Mk. 

Schurig,  Ewald,  die  Elektrizität.  Das  Wissensw ürdigste  aus 
dem  Gebiete  der  Elektrizität  für  jedermann  leichtverständlich  dar- 
gestellt. Mit  30  Fig.  i.  Text.  4.  Aufl.  8°.  (III,  72  S.)  Leipzig, 
Möschke.    1,30  Mk. 

Tumlirz,  0.,  die  specitische  Wärrae  des  Wasserdampfes  bei 
coustantem  Drucke,    gr.  8°.    (14  S.  m.  2  Fig.)  Wien,  Gerold.  40  Pf. 

Voigt,  Wold.,  die  fundamentalen  physikalischen  Eigenschaften 
der  Krystalle  iu  elementarer  Darstellung.  Mit  52  Fig.  i.  Text.  gr.8°. 
(VIII,  243  S.)   Leipzig,  Veit  &  Co.   5  Mk. 


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Warburg,  E.,  über  die  Eutstehung  der  Spitzenentladung.  gr.  8°. 
(J  S.)   Berlin,  G.  Reimer.   5Q  Pf. 

Weber,  H^  über  die  Differentialgleichungen  der  elektroly tischen 
Verschiebungen,   gr.  8°.   Ol  S.  m.  2  Fig.)   Ebd.   5Q  Pf. 

Weinstein,  B.,  Physik  u.  Chemie.  Gemeinfassliche  Darstel- 
lung ihrer  Erscheinungen  u.  Lehren.  Mit  M  in  den  Text  gedr.  Fig. 
gr.  8°.   (VIII,  422  S.)   Berlin,  Springer.   4  Mk. 

Zwerger,  Max,  Leitfaden  zum  Unterricht  in  der  Physik.  Nach 
der  Schulordnung  für  die  humanistischen  Gymnasien  Bayerns  bearb. 
Mit  112  in  den  Text  gedr.  Fig.  gr.  8°.  (VIII,  Ufi  S.)  München, 
Liodauer.   2,20  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  kgl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu 
Güttingen.  Mathematisch  physikalische  Klasse.  Neue  Folge.  1.Bd. 
No.  L   Nachtrag,    gr.  4^    Berlin,  Weidmann.   3  Mk. 

—  der  kgl.  süchs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  Mathematisch- 
physikal.  Classe.  24.  Bd.  No.  II:  Wundt,  die  geometrisch-optischen 
Täuschungen.  Mit  Ü5  Texttig.  Lex.  8°.  (S.  53—178.;  —  No.  III: 
Peter,  Bruno,  Beobachtungen  am  sechszölligen  Repsoldschen  Helio- 
meter der  Leipziger  Sternwarte.  II.  Abhdlg.  Mit  2  Texttig.  u.  1  Taf. 
Lex.  8°.    (135  S.)    Leipzig,  Tcubncr.    ä  5  Mk. 

Berichte  der  sächs.  Gesellschaft  der  Wisseusch.  Mathem.- 
phys.  Classe.    18U7.   IV.  gr.  8°.    Leipzig,  Hirzel.    1  Mk. 

—  dass.    1897.    V.  u.  VI.    gr.  8°.    Leipzig,  Teubner.   3  Mk. 
Grosse,  W.,  Unterhaltende  Probleme  u. Spiele  in  mathematischer 

Beleuchtung.  8°.  (V,  252  S.  m.  llii  Fig.  u.  1  Taf.)  Leipzig,  Quaiidt 
&  Händel.    5,20  Mk. 

Sachregister  der  Abhandlungen  u.  Berichte  der  mathem.-phys. 
Classe  der  kgl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  1846—1895. 
Lex.  8°.    (III  u.  S.  G5-184.)    Leipzig,  Tcubuer.    2£0  Mk. 

Sammlung  Göschen.  72^  LL  u.  4L  Bdchcu.  12°.  Leipzig, 
Göschen.  Geb.  ä  £ü  Pf.  TL  Doehlemann,  Karl,  projektive  Geometrie 
in  synthetischer  Behandlung.  Mit  51  Fig.  £102  S.)  -  1_L  Moe- 
bius,"  A.  F.,  Astrouomie,  Grösse,  Bewegung  u.  Entfernung  der  Himmels- 
körper. 0,  Aufl.  v.  Walt.  F.  Wislicenus.  Mit  3fi  Abbildgn.  u.  1  Karte 
des  nördl.  Sternhimmels.  (164  S.)  —  4L  Schubert,  Herrn.,  Arith- 
metik u.  Algebra.    2.  Aufl.    (171  S.) 

Sitzungsberichte,  Münchener.  Mathem.  Classe.  1897.  3.  Hft. 

München,  Franz.   L20  Mk. 

— ,  Wiener.  Mathem.- naturw.  Classe.  Abth.  IIa.  lQiL  Bd. 
.1  u.  iL  Hft.    Wien,  Gerold.    3,60  Mk. 


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Teil  XVI. 


X.  N  i  Em  ann:  2>er  Ririg  des  Saturn. 


Taf.  VI. 


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Teil  XVI. 


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Taf.VII. 


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Sturm,  Ch.,  Lohrbuch  der  Aualysis.  Uobers.  v.  Thdr.  Gross. 
2.  Bd.  Lex.  8°.  (VIII,  351  S.  m.  104  Fig.)  Berlin,  Fischers  tech- 
nolog.  Verl.    7,50  Mk. 

Thomae,  J.,  Elementare  Theorie  der  analytischen  Funktionen 
c.  complexen  Veränderlichen.  2.  Aufl.  gr.  4°.  (VIII,  150  S.  m. 
Holzschn.)    Halle,  L.  Nebert.   9  Mk. 


Geometrie. 

Binder,  Willi.,  die  Indulationcn  ebener  Curvcn  Ca\    gr.  8°. 
(18  S.  m.  4  Taf.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   80  Pf. 

—  ,  die  Tangentenprobleme  der  Kreis-Epicycloide  m.  Doppel- 
punkt.   gr.8°.    (14  S.  m.  2  Taf.)    Ebd.    70  Pf. 

B  Ottger,  Ad  f.,  die  ebene  Geometrie.  Für  den  Unterricht  an 
der  Realschule  bearb.  2.  Aufl.  gr.  8°.  (152  S.  m.  138  Fig.).  Leip- 
zig, Dürr'sche  Buchhl.    Geb.  1,80  Mk. 

Carda,  Karl,  zur  Geometrie  auf  Flächen  constanter  Krüm- 
mung.   gr.8°.    (18  S.  m.  4  Fig.)    Wien,  Gerold.   40  Pf. 

Erl  er,  W.,  die  Elemente  der  Kegelschnitte  in  synthetischer 
Behandlung.  Zum  Gebrauche  in  der  Prima  höherer  Lehraustah  n 
bearb.  Mit  30  Fig.  im  Text.  5.  Aufl.  v.  L.  Huebuer.  gr.8°.  (VI, 
60  S.)    Leipzig,  Teubncr.    Kart.  1,20  Mk. 

Goettler,  Job.,  conforme  Abbildung  e.  v.  confocaleu,  ellipti- 
schen u.  hyperbolischen  Kurven  n  ter  Ordnung  begrenzten  Flächen- 
stückes auf  der  Halbebcne.  gr.8°.  31  S.  m.  3  Taf.)  Passau,  Waid- 
bauer.  1  Mk. 

Henkel,  Ludw.,  Anleitung  zur  Behandl.  planimetrischer  Kon- 
struktionsaufgaben, gr.  8°.  (IV,  20  S.  m.  10  Fig.)  Bielefeld,  Vel- 
hagen  &  Klasing.    Kart.  53  Pf. 

Heun,  Karl,  die  Vektoreu  der  Geschwindigkeit  u.  der  Be- 
schleunigung des  Punktes  u.  der  geraden  Linie.  Progr.  4°.  (28  S.) 
Berlin,  Gaertner.    1  Mk. 

Klug,  Leop.,  dio  Contiguration  des  Pascal'schen  Sechseckes  im 
Allgemeinen  u.  in  4  speciellen  Fällen.  gr.8°.  (132  S.  m.  1  Tab.  u. 
3  Taf.)    Wien,  J.  Eisenstein  &  Co.   3  Mk. 

Lacke  mann,  C,  die  Elemente  der  Geometrie.  Ein  Lehr- 
u.  Uebungsbuch  f.  den  geometr.  Unterricht  an  Gklass.  höheren  Lehr- 
anstalten auf  Grund  der  preuss.  Lehrpläue  v.  1892  bearb.  2.  Tl. 
Trigonometrie  u.  Stereometrie.  3.  Aufl.  gr.  8°.  (G4  S.  m.  23  Fig.) 
Breslau,  Hirt.   Kart.  80  Pf. 

Lesser,  0.,  Einführung  in  den  geometrischen  Unterricht.  gr.8°. 
(18  S.  m.  14  Fig.)    Dortmund,  Köppeu.   40  Pf. 

4** 


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Napravnik,  Frz.,  Geometrie  u.  geometrisches  Zeicheu  f. 
Knabeu-Bttrgerschulcu.  Mit  329  iu  den  Text  gedr  Abbildgn.  u. 
23  Fig.-Taf.  Ausg.  In  1  Bd.  gr.8°.  (VIII,  200  S.)  Wien,  Pichler. 
Geb.  2  Mk. 

Ploner,  Iuuocenz,  0.  F.  M.,  die  Einheit  d.  Kegelschnitte. 
Bozen,  Auer  &  Co.    1  Mk. 

Salmon,  George,  analytische  Geometrie  des  Kaumes  Deutsch 
bearb.  y.  Wilh.  Fiedler.  1.  Tbl.  Die  Elemente  u.  die  Theorie  der 
Flächen  2.  Grades.  4.  Aufl.  gr.  8°.  (XXIV,  44S  S.  m.  Fig.)  Leip- 
zig, Teubner.    8  Mk. 

Schuster,  M.,  Aufgaben  f.  den  Anfaugsuutirricht  iu  der  Geome- 
trie.  gr.8°.    (III,  96  S.)   Oldenburg,  Littmaun.    Geb.  83  Pf. 

Praktische  Geometrie,  Geodäsie. 

Arbeiteu,  die  astronomisch-geodätischen,  des  k.  u.  k.  railitär- 
geographischen  Institutes  in  Wien.  Publicatiou  f.  die  iutematiouale 
Erdmessg.  Hrsg.  v.  dem  k  u.  k.  militär-geograph.  Institute.  gr.4e. 
Wien,  Lechner.    VII  ,  X.,  XI.  Baud.    10  —  ;  10  - ;  16  -  Mk. 

Franke,  J.  H.,  geodätische  Punktkoordiuirung  in  sphärischen 
Kleinsystemeu.  Vergleichende  Entwicklgu.  im  eiuheitl.  Koordinaten- 
system der  bayer.  Laudesvermessg.  gr.  8°.  (VI,  80  S.  m.  I  Karte.) 
München,  Th.  Ackermann.    2,40  Mk. 

Koordinaten  u.  Höhcu  sämmtlicher  v.  d.  trigonometrisebeu 
Abteilung  der  Landesaufnahme  bestimmten  Punkte  im  Reg.-Bez 
Magdeburg.  [Aus:  „Die  Köuigl.  prtuss.  Landes-Triaugulatiou, 
XIV.  Thl.]  Lex.  8".  (IV  u.  S.  395  -527.)  Berlin,  Mittler  *fc  Sol* 
Kart.  2  Mk. 

Kutscher,  H,  Geometrie,  Feldmessen  u.  Nivellircu.  2.  Aufl. 
8°.    (IV,  122  S.  mit  164  Abbildgn).    Berliu,  Parey.    Geb.  1,40  Mk. 

Landes-Triaugulatiou,  die  königl.  preussische.  Abrisse, 
Koordinaten  u.  Höhen  sämmtl.  v.  d.  trigonometr.  Abthcilg.  der  Lau- 
desaufnahme bestimmten  Paukte.  14.  Thl.  Reg.-Bezirk  Magdeburg. 
Hrsg.  v.  der  trigouomet.  Abteiig.  der  Landesaufnahme.  Mit  9  Bei- 
lagen. Lex.  8°.  (VIII,  527  S.)  Berlin,  Mittler  &  Sohn.  Kart. 
10  Mk. 

—  dass.  Hauptdroiecke.  10.  Th.  A.  Der  nördl.  uiederländ. 
Anschluss.  B.  Der  südl.  uiederländ.  Anschluss.  C.  Der  belg.  An- 
schluss.  Gemessen  u.  bearb.  v.  der  trigonometr.  Abtheilg.  der  Lan- 
desaufnahme. Mit  2  Uebersichtsblättern  u.  16  Skizzen.  LfrX.  b°* 
(X,  275  S.)    Ebd.    Kart.  10  Mk. 

Nielsen,  Chr.,  die  Feldmess-  u.  Nivellierkuude  u.  das  Drai- 
nieren.     Für  deu  Uuterrieht  an    landwirtschaftl.  Schulen  bearb. 


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2.  Aufl.  Mit  3  Taf.  u.  lOi  Textabbildgn.  8°.  (VIII,  C 1 2  S.)  Bor- 
Ii  u,  Parey.  Geb.  2  Mk. 

Nivellements-Ergebnisse,  die,  der  trigouomctrischcii  Ab- 
theilung der  Köoigl.  pieussischen  Landes-Aufnahme.  7.  u.  10. — 12. 
Hft.    12°.    Berlin,  Mittler  &  Sohu.    Kart,  a  1  Mk. 

Veröffentlichung  des  königl.  preussischeu  geodätischen  In- 
stitutes. Bestimmungen  v.  Azimuten  im  Harzgebietc  ausgeführt  in 
d.  J.  1887  bis  1891.  Bestimmung  der  Läugendifferenz  Jerxheim- 
Kuiel  mittels  opt.  Signale,  gr.  4°.  (V,.  86  S.  m.  1  Taf.)  Berlin, 
Stank  iewicz.    6  Mk. 

Mechanik. 

Ahl  bor  n,  Fr.,  der  Schwebflug  u.  die  Fallbewegung  ebener 
Tafeln  in  der  Luft.  Ucber  die  Stabilität  der  Flugapparate.  4°. 
(32  u.  51  S.  m.  Fig.  u.  2  Taf. )  Hamburg,  Fricderiehseu  &  Co. 
5  Mk. 

Berg,  Otto,  über  die  Schwingungsdauer  von  Kondensatoront- 
ladungen.    gr.  b°.   (31  S.)    Freiburg  i.  B..  Speyer  &  Kacrner.  1  Mk. 

Laucns  tein,  K,  Leitfaden  der  Mechanik.  Elementares  Lehr- 
buch .f  technische  Mittelschulen  u.  zum  Selbstunterricht.  3.  Aufl. 
gr.  8°.  (VII,  199  S.  m.  191  Abbildgu.)    Stuttgart,  Bergsträsser.  4  Mk. 

Weisstein,  Jos,  die  rationelle  Mechauik.  1.  Bd.  Statik.  — 
Dynamik  des  Puuktes.  gr.  8°.  (XVIII,  350  S.  m  97  Fig.)  Wien, 
Braumüller.    10  Mk. 

Technik. 

Bell,  Louis,  Stromverthciluug  f.  elektrische  Bahnen.  Deutsche 
Bcarbeitg.  v.  Gust.  Rasch,  gr.  8°.  (VII,  262  S.  m.  136  Fig.)  Ber- 
lin, Springer.    Geb.  in  Lciuw.    8  Mk. 

Bibliothek,  pliotographische,  Nr.  9.  u.  10.  gr.8°.  Berlin, 
G.  Schmidt.  -  9.  Schmidt,  Haus,  Fernobjektiv  im  Portrait-,  Archi- 
tekten- u.  Landschaftsfachc.  Mit  10  Taf.  u.  52  Fig.  im  Text.  (VII, 
1:0  S.)  3,60  Mk.  —  10.  Gaedicke,  J.,  der  Gummidruck  (direkter 
Pigmeutdruck).  Eine  Anleitg.  f.  Amateure  u.  Fachphotographen. 
Mit  2  Fig.  im  Text  u.  2  Taf.    (VIII,  79  S.)    ;»,25  Mk. 

Eder,  Jos.  Maria,  ausführliches  Handbuch  der  Photographie. 
2.  Thl.  V.  Aufl.  gr.8°.  (XII,  595  S.  m.  265  Holzschn.)  Halle, 
Kuapp.    12  Mk. 

Eucyklopädie  der  Photographie.  33.  Heft.  Neuhauss,  R.: 
die  Farbenphotographie  nach  Lippmanu'sVcrfahren.  Neue  Unter- 
suchgu.  u.  Ergebnisse,  gr.  8°.  Mit  3  Textbildern  u.  1  Taf.  in  Lichtdr. 
VII.  72  S.)    Ebd.    3  Mk. 


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Fortschritte  d.  Elektrotechnik.  11.  Jahrg.  1897.  4.  lieft. 
Berlin,  Springer,   5,60  Mk. 

Gross,  AI  fr.,  in  Firma  Ferd.  Gross,  die  Dynamomaschine. 
Kurz  gefasste  prakt.  Anicitg.  zur  Selbstanfertigg.  kleiner  Dynamo- 
maschinen u.  Elektromotoren,  nebst  Bescbreibg.  u.  Konstruktions- 
zeichngn.  einiger  Modelle.  Für  Laien  bearb.  gr.  b°.  (36  S.)  Stutt- 
gart, Wittwer.   1  Mk. 

Holzmüller,  Gust.,  die  Ingenieur-Mathematik  in  elementarer 
Behandlung.  2.  Tl.  A.  u.  d.  T.:  das  Potential  u.  seine  Auweodg. 
auf  die  Theorien  der  Gravitation,  des  Magnetismus,  der  Elektri- 
cität,  der  Wärme  u.  der  Hydrodyuamik,  in  elementarer  BehaudJg. 
dargestellt.  Mit  237  Fig.,  zahlreichen  Uebungsbeispielen  u.  e.  Anh. 
üb.  die  Masseinheiteu.  gr.  8°.  (XVII,  440  S.)  Leipzig,  Teubocr. 
Geb.  6  Mk. 

Jahrbuch  f.  Photographie  u.  Reproductious-Technik  f.  d.  J. 
1898.  Hrsg.  v.  Jos.  Maria  Eder.  12.  Jahrg.  Mit  III  Abbildgn.  im 
Texte  u.  30  artist.  Taf    Halle,  Knapp.    8  Mk. 

Kaiserling,  Carl,  Praktikum  der  wissenschaftlichen  Photo- 
graphie. gr.8°.  (XII,  404  S.  m.  193  Abildgn.  u.  4  [1  farb.J  Taf.) 
Berlin.  G.  Schmidt.    8  Mk. 

Meissner,  G.,  Hydraulik.  2.  Aufl.  25.  u.  26.  Lfg.  Jena, 
Costeuoble.    ä  3  Mk. 

—  ,   Kraftübertragung.    2.  Aufl.    7.  u.  8.  Lfg.   Ebd.    ä  3  Mk. 

Neu  haus  s,  Rieh.,  Lehrbuch  der  Mikrophotographie.  Mit  62 
Abbildgn.  in  Holzschu.  u.  3  Taf.  2.  Aufl..  gr.  8°.  (XV,  236  S.) 
Braunschweig,  Bruhu.    8  Mk. 

Pechau,  Jos.,  Leitfaden  des  Maschinenbaues  f.  Vorträge  so- 
wie zum  Selbststudium.  3  Abth.  Werkzeugmaschinen  u.  Transmis* 
siouen.  2.  Aufl.  Mit  21  iu  den  Text  gedr.  Holzschn.  u.  41  Fig- 
Taf.    gr.  8°.    (VIII,  271  S.)    Wien,  Deuticke.    9  Mk. 

Sammlung  elektrotechnischer  Vorträge,  hrsg.  v.  Ernst  Vreit. 
1.  Bd.  9.  Hft.  Feldmann,  C.  P.,  die  elektrischen  Transformations- 
methüdeu.  Mit  31  Abbildgn.  —  Hummel,  G.,  über  Motorelektrici- 
tiitszähler.  Mit  13  Abbildgu.  (S.  321—366)  gr.8°.  Stuttgart. 
Euke.    1  Mk. 

Schmidt,  K.  E.  T,  Experimental-Vorlcsg.  üb.  Elektrotechnik- 
2  —5.  Lfg.    Halle,  Knapp,    a  1  Mk. 

Schoop,  Paul,  Handbuch  der  elektrischen  Accumulatoreu 
auf  Grundlage  der  Erfahrgn.  u.  m.  besond.  Berücksichtg.  der  teebn. 
Herstellg.  gr.  8°.  (X,  514  S.  m.  193  Abbildgn.)  Stuttgart,  Koke. 
12  Mk. 

Weitzel,  Karl  Geo.,  dio  Schulo  des  Maschiuentechuikers. 
10.  IM,    2.  Tl.  -  Pohlhausen,  Aug.,  die  Masehinen-Elimeote.  2. Tl. 


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(IV  u.  S.  355-438  m.  12  Fig.  u.  11  Taf.)  Lex.  8°.  Leipzig,  Schä- 
fer.   3  Mk. 

—   dass.    87.— 90.  (Schluss)-Hft.    Ebd.    ä  50  Pf.) 

Zeitschrift,  deutsche,  f.  Elektrotechnik.  Hrsg.  Arthur  Wilkc. 
5.  Jahrg.  1898.  24  Nrn.  hoch  4°.  Nr.  1.  16  S.  m.  Abbildgn.  Halle, 
Knapp.    Vierteljährlich  2  Mk. 


Optik,  Akustik  und  Elastlcitttt. 

Bach,  C,  Elasticität  u.  Festigkeit.  Die  f.  die  Technik  wich- 
tigsten Sätze  u.  deren  erfahruugsgemäss.  Grundlage.  Mit  in  den 
Text  gedr.  Abbildgn.  u.  18  Taf.  im  Lichtdr.  3.  Aufl.  gr.  8°.  (XIX, 
570  S.)    Berlin,  Springer.    Geb.  in  Leinw.    16  Mk. 

Ed  er,  J.  M.,  u.  E.  Valenta:  die  Spectra  de3  Schwefels,  gr.  4°. 
(55  S.  m.  2  Fig.  u.  3  Taf.)    Wien,  Gerold's  Sohn.    1,10  Mk. 

Exuer,  Frz.,  u.  E.  Haschek,  über  die  ultravioletten  Fun- 
keuspectra  der  Elemeute.  XI.  Mitthing,  (euth.  die  Spectra  v.  Rb, 
C#,  Va).    gr.8°.   (25  S.  in.  2  Taf.)    Ebd.    1,10  Mk. 

Guthjahr,  Wilhm.,  die  Diakanotik  dos  Kreises.  Progr.  4°. 
(28  S.  m.  2  Taf.)   Berlin,  Gaertner.    1  Mk. 

Thompsou,  Silvanus  P.,  über  sichtbares  u.  unsichtbares 
Licht.  Eine  Reihe  v.  Vorlesgn .,  geh.  au  der  Royal-Institutiou  v. 
Gross  Britannieu.  Deutsch  v.  Otto  Lummer.  gr.  8°.  (IX,  229  S.  m. 
ca.  150  Abbildgn.  u.  10  Taf.)    Halle,  Knapp.    9  Mk. 


Erd-  und  Himinelskunde. 

Diesterwegs  populäro  Himmelskunde  u.  mathematische  Geo- 
graphie. Nou  bearb.  von  M.  Milh.  Meyer,  unter  Mitwirkg  v.  B. 
Schwalbe.  19.  Aufl.  Mit  4  Sternkarten,  2  Uebersichtskarten  des 
Planeten  Mars,  e.  farbig  ausgeführten  Darstellg.  e.  Sonneutiusterniss, 
6.  Heliograv.  e.  färb.  Spektral -Taf.,  6  Vollbildern,  97  in  den  Text 
gedr.  Abbildgn,  sowie  dem  Bilduiss  des  Verfassers  in  Kupferstich- 
gr.8°.    (VIII,  428  S.)    Hamburg,  Grand.    7  Mk. 

Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen  im  Systeme 
der  deutschen  Seewarte  f.  das  Dezennium  1886—1895.  Hrsg.  v.  d. 
Direktion  der  Seewarte,  gr.  4°.  (VI,  10  S.)  Hamburg,  Friede- 
richsen  &.  Co.    2  Mk. 

Handwörterbuch  der  Astrouomie.  13.  Lfg.  Breslau,  Tre- 
wendt.    3,60  Mk. 

Heinrich,  Sonnenschein-Dauer  in  Rostock  (landwirtschaftliche 
Versuchs-Station)  [im  J.  1897.   (In  ganzen   u.   hundertste!  Stun- 


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den).  Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen,  angestellt  auf 
der  auf  der  landwirtschaftl.  Versuchsstation  zu  Rostock  im  J.  1*97. 
gr.  8°.    (2  Tab.  u.  1  Taf.)    Güstrow,  Opitz  &  Co.    40  Pf. 

Jahrbuch  des  köuigl.  sächsischen  meteorologischen  Institutes. 
1896.  XIV.  Jahr.  2.  Abtb.  Ergcbuissse  der  meteorologischen  Be- 
obachtungen an  der  Station  I.  Ordnung  Chemnitz  im  J.  lv96.  Hierzu 
2  Taf.  Zugleich  deutsches  meteorolog.  Jahrbuch  f.  1896.  Beobacb- 
tungssytem  des  Köuigr.  Sachsen.  Hrsg.  vou  Paul  Schreiber,  gr.  4°. 
Chemnitz,  M.  Bülz.   (60  S.)   5  Mk. 

Kienast,  Herrn.,  das  Klima  v.  Königsberg  i.  Pr.  I.  Tbl.  Die 
Niederschlagsverhältuissc  der  J.  1848—1897.  Fol.  (64  S.  m.  2  Taf.) 
Königsberg,  Koch.   3  Mk. 

Kogl  gruber,  Ca'jetan,  der  angehende  Astronom  oder  leicht- 
fassliche  Anleitung  zur  Steinkunde.  gr,8°.  (III,  51  S.  m  l  Taf.) 
Graz,  Styria.    85  Pf. 

Li  zuar,  J.,  die  Verteilung  der  erdmagnetischeu  Kraft  in  Oester- 
reich-Ungarn zur  Epoche  1890  0  nach  deu  in  den  J.  1890— 1  «94 
ausgeführten  Messungen.  II.  Tbl.  A.  Die  uormale  Vcrtheilg.  zur 
Epoche  1890'  0.  B.  Die  Slörgu.  u.  d.  störenden  Kräfte  zur  Epoche 
1890  0.  C.  Die  normale  Vcrtheilg.  zur  Epoche  l8üOO.  1».  D'«e 
Störgn.  der  Epoche  1850' 0.  E.  Säculare  Acuderg.  F.  Formel  zur 
Berechng.  der  erdmaguet.  Elemente  f.  e.  beliebige  zwischen  1850 
u.  Ifc90  liegende  Epoche.  gr.4°.  0  6  S.  m.  8  Karten).  Wien,  Gerolds 
Sohn.   7,80  Mk. 

Plassmann,  Jos.,  Himmelskuude.  Versuch  c.  method.  Ein- 
führg.  in  dio  Hauptlchreu  der  Astronomie.  Mit  1  Titelbild  in 
Farbendruck,  216  Illustr.  u.  3  Karten.  gr.8°.  (XVI,  627  S.) 
Freiburg  i.  B.,  Herder.    13  Mk. 

Verhandlungen  der  Konferenz  der  Vorstände  deutscher  me- 
teorologischer Centralstellen  zu  Berlin  vom  13.  bis  17.  X.  1897.  gr.  8°. 
(31  S.  m.  I  Karte.)    Berlin,  Asher  &  Co.    1  Mk. 

Veröffentlichungen  des  königl.  preussischen  mcteorologi- 
Instituts.  Hrsg.  durch  Wilh.  v.  Bezold.  Ergebnisse,  der  Gewitter- Be- 
obachtungen in  deu  J.  i£95  u.  1896  Mit  11  Abbildgn.  im  Text.  gr.  4°. 
(XXIX,  34  S.)    Ebd.   3  Mk. 

—  dass.  Ergebnisse  der  meteorologischen  Beobachtungen  in 
Potsdam  im  J.  1896.  gr.4°.  (XXIV,  119  S.  m.  9  Fig.  u.  1  Taf.i 
Ebd.    9  Mk. 

—  dass.  1897.  2.  Hft.  Ergebnisse  der  Beobachtgn.  au  deu  Sta- 
tionen II.  u.  Ill.Ordnung  im  J.  1897,  zugleich  deutsches  meteorolog. 
Jahrbuch  f.  1897.  Beobachtungssystem  des  Königr.  Preusseu  u.  be- 
nachbarter Staaten,   gr.  4°.   (S.  57-110.)    Ebd.    3  Mk. 

Vierteljahrsschrift  d.  astrjuom    Gesellsch.     32.  Jahrg. 
3.  u.  4.  Hft.  u.  33.  Jahrg.    1.  Hft.   Leipzig,  Eugelmanu.   ä  Mk. 


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Nunt  ik. 


Heyonga,  H.,  Ortsbestimmung  u.  Kowpass-Berichtigung  nach 
neuer  Theorie  unter  Anwendung  v.  :j  verschiedenen  Staudlinicn- 
Sy stemeu  zur  Erweiterung,  Vervollkommnung  u.  Vereinfachung  der 
uautischeu  Astronomie.    Fol.     (IV,    140  S.  m.  Fig.)  Hamburg, 
Eckhardt  &  Messtorff    Geb.  in  Leinw.    10  Mk. 

Sammlung  Göscheu.  84.  Bdchu.  Schulze,  Frz.,  Nautik.  Kurzer 
Abriss  des  täglich  an  Bord  v.  Handelsschiffen  angewandten  Teils  der 
Schiffahrtskuude.  12°.  Mit  56  Abbildgu.  (161  S.)  Leipzig,  Göscheu. 
Geb.  in  Leinw.  80  Pf. 

Physik. 

Abhandlungen,  physikalische,  gr.  4°.  (III,  H  u.  44  S.  m. 
1  Taf.)   Berlin,  Georg  Reimer.   Kart.  4,5C  Mk. 

Blümel,  Aot.,  über  elektrische  Entladungsfiguren  auf  photo- 
graphischen Platteu .  Progr.  4°.  (21  S.  m.  >  Taf.)  Berlin,  Gacrt- 
ner.    1  Mk 

Bott,  Paul,  graphische  Darstellung  elektrischer  Wechsel- 
ströme.   Progr.   4°.    (35  S-)    Ebd.    1  Mk. 

Graetz,  L.,  die  Elektricität  u.  ihre  Anwendungen.  Ein  Lehr- 
u.  Lesebuch.  Mit  490  Abbildgn.  7.  Aufl.  gr.8°.  (XII,  584.  S.) 
Stuttgart,  Engclhorn.    7  Mk. 

Gross,  G.,  dir  mechanische  Wärmetheorie  (Thermodynamik) 
unter  besond.  Berüeksieht.  der  Molekulartheorie  u  der  sich  daraus 
ergebeuden  Erweiterung  des  Anwendungsgebietes  der  Thermodyna- 
mik; nebst  Anweudgn.  auf  Wärmemotoren,  Kältemaschinen  u.  andere 
techu.  Einrichtgn.  Leichtfasslich  behandelt.  1.  Bd  gr.  8°.  (XIII, 
254  S.  m.  47  Abbildgn.)    Jena,  Costcuoble.    8  Mk. 

Hann,  P.,  weitere  Beiträge  zu  den  Grundlagen  f.  e.  Theorie 
der  täglichen  Oscillation  des  Barometers,  gr.  8°.  (79  S.)  Wien, 
Gerold's  Sohn.    1,70  Mk. 

Helmholtz,  H.  v.,  Vorlesungen  üb.  theoretische  Physik.  Hrsg. 
v.  Arth.  König,  Otto  Krigar  Menzel,  Frz.  Richarz,  Carl  Runge. 
I.  Bd.    2  Abth.  u.  III.  Bd.    Lex.  8°.    Leipzig,  J.  A.  Barth.  27  Mk. 

Jäger,  Gust.  u.  Stef.  Mayer,  Bestimmung  der  Magueti- 
sirungszahlen  von  Flüssigkeiten  u.  deren  Aenderung  in  der  Tempe- 
ratur.  gr.8°.    (9  S.  m.  9  Fig.)    Wien.  Gerold.    30  Pf. 

Ke rutler,  Frz.,  die  Möglichkeit  einer  experimentellen  Ent- 
scheidung zwischen  den  verschiedenen  elektrodynamischcu  Grundge- 
setzen. Nachtrag  zu  der  Abhandig:  „Die  elektrodynam.  Grundges. 
u.  das  eigentl.  Elementargesctz".  gr.  8°.  (18  S.)  Budapest  (II), 
Selbstverlag.  50  Pf. 


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9.  Aufl.  v.  Leop,  Pfaudler  unter  TM**  gFarbcndr.  2.  TW.  2.  B<L 
Bdn.)  Mit  2981  Hottft  »•  13  la;-  R  „  2  Abth.  XIV,  768  S.) 
2  Abth.    gr.8°.     (l  Jfcttk  ^g.  1XS.,  u.  . 

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N ernst,  W.,  u.  A.  ScTI^»^eüsc'ba{ten.  Kurzgefaßtes  Lehr- 
matischo  Behandlung  der  NaturlL  mitbesoud.  Berücksicht.  der 
buch  der  Differential- u.  Inte^ralre^^^  pjg.)    München.  Di 

Chemie.    2.  Aufl.   gr.  8°.    (XII,  33iT 
E.  Wolff.   9  Mk.  ^  Gräfte.    Darlegung  n.  ge- 

Neumann,  Carl,  die  elektrischen  ^B^,u  entwickelten  raatbe- 
nauerc  Betrachtung  der  v.  hervorrag.  rhysikc«L)U  Hermann  v.  Hell 
mat.  Theorien.   2.  (Schluss-)Thl.    Ucber  die  angestellten  Unter- 

bolz   in  seinen  älteren  und  neueren  Arbeitern  «Teubner.    14  Mk 
suchungeu.    gr.  8°.    (XXXVII,  462  S.)    Leipzig.  ■  ^hre  Erzeugung  i 

Pfitzner,  H.,  die  elektrischen  Starkströme,  »  ^H.    gr.8°.  (IV, 
Anwendung.    In  leichtfassl.  Weise  dargestellt.    .">.  An  L  2,75 
100  S.  m.  47  Fig.  auf  5  Taf.)    Dresden,  Th.  Jentsch»  fcfiust.,11 

Sammlung  Göschen.  7t'..  u.  77.  Bdchn.  .lä^er,  ■  Lg.)  ^  ^vei 
tische  Physik.    I.  Mechanik  u  Akustik.  (155  S.  m.  Vm  in  Lei 

u.  Wärme.  (156  S.  m.  Fig.)    12°.  Leipzig,  Göschen.  Gel 
ä  80  Pf. 

Schweidler,  E.  R.  v.,  Messungen  an  Flammen  u. 
troden.    gr.  8°.    (9  S.  m.  I  Fig.)    Wien,  Gerold'*  S.    20  Pf 

Weiler,  W.,  Wörterbuch  d  Elektricität.  9  —11.  Hft. 
Schäfer,    ä  75  Pf. 

Weinhold,  Ad  f.,  F.,  Physikalische  Demonstrationen, 
tung  zum  Experimentiren  im  Unterricht  an  Gymnasien,  Realgymnasien? 
Realschulen  u.  Gewerbeschulen.    3.  Aufl.    Mit  4  lith.  Taf.  u.  gegen 
550  in  den  Text  gedr.  Holzschn.    (In  3  Lfgn.)     1.  Lfg.    Lex.  8«. 
(S.  1—240.)    Leipzig,  Quaudt  &  Händel.    8  Mk. 

Wicdcmann,  Gust.,  die  Lehre  v.  der  Elektricität.  2.  Aul 
Zugleich  als  4.  Aufl.  der  Lehre  vom  Galvauismus  u.  Elektromagne- 
tismus. 4.  Bd/gr.8°.  (XIII,  1237  S.  m.  269  Holzst.)  Braunschweig, 
Vieweg.   32  Mk. 

Vermischte  Schriften. 

Abhandlungen  der  königl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften 
zu  Göttingen.  Mathematisch-physikal.  Klasse.  Neue  Folge.  1.  BM 
Nr.  2.  Brendel,  Mart.,  Theorie  der  kleinen  Plaueten.  1.  Tl.  gr.  4*. 
(171  S.)    Berlin,  Weidmann.    16  Mk. 


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Abhandlungen  der  kaiserl.  Leop.-Carol.  deutschen  Akademie 
der  Naturforscher.  71.  Bd.  Nr.  5.  Schilling,  Frdr.,  Geometrisch- 
analytische  Theorie  der  symmetrischen  S-Functionen  m.  e.  einfachen 
Nebenpunkt,  gr.  4".  Mit  2  Taf.  (S.  207— 300).  Leipzig,  W.  Engel- 
mann.   7  Mk. 

-  mathematische,  gr.  4°.  (III,  32  S.  m.  3  Taf. )  Berlin,  G. 
Reimer.    Kart.  3,50  Mk. 

Berichte,  raathematische  u.  naturwissenschaftliche  aus  Ungarn, 
Hrsg.  v.  Roland  Baron  Eötvös,  Jul.  König,  Karl  v.  Than.  Red.  v. 
Aug.  Heller.  14.  Bd.  1895-96.  gr.8°.  (XVI,  437  S.  m.  Fig.) 
Budapest,  Kilian.    8  Mk. 

Hausschat/  des  Wissens..  215.  Ilft.  Maser,  II.,  die  Physik. 
5.  Ilft.  gr.  8°.  (I.  Bd.  S.  145—102)  Neudamm,  Neumann,  a 
30  Pfg. 

Ilullmann,  K.  mathematische  Abhandlungen.  I.  Die  Reihen. 
II.  Die  Dreiteilg.  des  Winkels.  III.  Das  delische  Problem,  gr.  8°. 
(52  S.  m.  Fig.)    München,  J.  A.  Fiusterliu  Ncbf.    1,50  Mk. 

Jahresbericht    der    deutschen    Mathematiker- Vereinigung. 
G.  Bd.    1897.    1.  Hft.    Enth.  dio  Chronik  der  Vereinigung  f.  d.  J. 
lbU7,  sowie  kurze  Berichte  üb.  die  auf  der  Versammlung  in  Braun- 
schweig geh.  Vorträge.    Hrsg.  v.  G.  Hauek  u.  A.  Gutziner.    gr.  8°. 
L    (142  S.)    Leipzig,  Teubner.    4  Mk. 

I  Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  (Nr.  12  u. 
1  96).  —  12.  Kants  allgemeine  Naturgeschichte  u.  Theoriedes  Himmels 
A  ed.  Versuch  v.  derVerfassg.  u.  dem  mechan.  Ursprungo  des  gauzen 
S  \\  «It-ebäudes  nach  Newtonischen  Grundsätzen  abgehandelt  1755. 
jj  Hrsg.  v.  A.  J.  v.  Oeningen.  (Neuo  Aufl.)  8°.  (158  S.)  -  96.  Ncwton's, 
flsir  Isaac,  Optik  od.  Abhandlung  üb.  Spiegelungen,  Brechng.,  Beuggn. 

■  u.  Farben  des  Lichts.    (1704).    Uebers.  u.  hrsg.  v.  William  Abend- 

■  roth.  I.  Buch.  Mit  dem  Bilduiss  v.  Sir  Isaac  Newton  u.  46  Fig. 
r    im  Text.    (132  S.)    8°.    Leipzig,  W.  Eugelmann.    Kart,  ä  2,4'J  Mk. 

Sammlung,  Göschen.  51.  Bdchn.  Bänklen,  0.  Th.,  Formel- 
sammlung u.  Repetitorium  der  Mathematik,  enth.  die  wichtigsten  For- 
meln u.  Lehrsätze  der  Arithmetik,  Algebra,  algebraischen  Analysis, 
ebenen  Geometrie,  Stereometrie,  ebenen  u.  sphär.  Trigonometrie, 
mathemat.  Geographie,  analyt.  Geometrio  der  Ebene  u.  des  Raumes, 
der  Differential-  u.  Integralrechng.  1 2°.  Mit  18  Fig.  2.  Aufl.  (229  S.) 
Leipzig,  Göschen.   80  Pf. 

Schubert,  Herrn.,  mathematische  Mussestunden.  Eine  Sammig. 
v.  Geduldspielen,  Kunststücken  u.  Untcrhaltungsaufgaben  mathemat. 
Natur.  8°.   (V,  286  S.)   Ebd.   Geb.  5  Mk. 

Sitzungsberichte  der  königl.  böhmischen  Gesellschaft  der 
Wissenschaften.   Mathematisch-naturwissenschaftliche  Classe..  Jahrg. 


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18lJ7.  2  Bde.  Mit  43  Taf.  u.  31  Textfig.  (In  böhm.  u.  deutscher 
Sprache),   gr.  8°.   Prag,  Rivntf.   ä  12  Mk. 

Sitzungsberichte,  Münchener.  Mathemat.  Classe.  1893. 
1.  Hft.    München,  Franz'  Verl.    1,20  Mk. 

—  Wiener.  Math.-natur.  Classe  I.  Abthl.  106.  Bd.  8.— 10. 
Hft.    Wien,  Gerold.    1  Mk. 

—  dasselbe.  Abth.  IIa.  106.  Bd.  7.-10.  Hft.  Ebd.  15,70  Mk. 

—  dasselbe.  Abth.  IIb.  106.  Bd.  8.-10.  Hft.  Ebd.  3  Mk. 
Zeitschrift  f.  Math.  n.  Physik,  hrsg.  unter  der  Red.  v.  R 

Mehucke  u.  M.  Cantor.  Supplement  zum  42.  Jahrg.  Der  Supple- 
mente XIII.    gr.  8°.    Leipzig,  Teubner.   8  Mk. 


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Teil  XVI. 


XVH.Salfner:  Schnitt  3  geraden  nach  Dreieck  mit  je<jeb.  Kinkel  ji. 


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Literarischer  Bericht  LX1V. 


36 


Litterarischer  Bericht 

LXIV. 


Methode  und  Principien.1 

Melanges  de  geometrie  euclidienne  et  non  eaclidienne.  Par 
P.  Mansion,  Professour  ä  l'Universite  de  Gand.    38  S. 

Es  werden  Relationen  zwischen  der  enklidschen  ,  lobatschefski- 
schen  und  riemannschen  Geometrie  ans  Licht  gezogen,  deren  zwei 
letztere  sich  dadurch  von  der  euklidschen  unterscheiden,  dass  die 
lobatschefskische  von  den  euklidschen    Axiomen  11.  und  12.  (hier 
genannt  Postulat  5.  und  6.)  nur  das  Axiom  12,  die  ricmannsche  nur 
das  Axiom    11.    aufnimmt.    Voraus    geht   die  Zusammenstellung 
der   Sätze  von    Legendre,   Saccheri,    Lambert,  Taurinus,  Gauss, 
welche  schon    vor  Lobatschefski  die  euklidische  Grenze  in  eukli- 
discher  Geometrie    übersehritten  haben.     In    vorliegender  Aus- 
gabe ist  mit  dieser  Schrift  eine  andere  desselben  Verfassers  ver- 
bunden: „Methode  elementaire  d'cxposition  des  prineipes  de  la  geo- 
metrie  non  euclidiennc"  —  welche  von  der  sphärischen  Geometrie 
aus  auf  die  nichteuklidsche  übergeht.  H. 

Eine  Theorie  der  Gravitation  und  der  elektrischen  Erscheinun- 
gen auf  Grundlage  der  Hydrodynamik.  Von  Dr.  Arthur  Korn, 
Privatdocent  au  der  Universität  München.  Zweite  Auflage.  Berliu 
lr9&    Ferd.  Dümmlcr.    277  S. 

Das  Princip  der  Abfassung  des  Werkes  wird  hier  im  Vorwort 
ausgesprochen    Dass  der  Verfasser  bei  seinen  au  die  Hypothese 

Arcb.  d.  Math.  u.  Phjr«.   2.  "oihe,  T.  XVI.  4 


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37 


Lhttrarischer  Bericht  LXIV. 


gestellteu  Forderungen  über  die  Beziehung  zwischen  Theorie  und 
Hypothese  ohne  Erörteruug  hinweggeht,  ist  freilich  im  Grunde  zu 
lässig,  sofern  diese  Beziehung  als  rein  logische  wol  bekannt  sein 
sollte.    Um  seine  Aufstellung  zu  beurteilen,  köuneu  wir  nicht  umhin 
darauf  einzugehen.    Eine  Theorie  fordert  die  Scheidung  der  eiuzelueo 
Elemente  der  Erscheinungen,  welche  je  einem  Causalgesetz  unter- 
liegen.  Das  Causalgesetz  des  isolirten  Elements  ist  die  Hypothese. 
Der  Verfasser  misst  nuu  „den  Anspruch  der  Hypothesen  auf  Aner- 
kennung" nach  zwei  Eigenschaften:  1)  ihre  formale  Einfachheit,  2) 
ihre  unmittelbare  Anschauung  (Intuition).    Er  verzichtet  gleich  an- 
faugs  auf  exacten  Ausdruck  der  Bedingungen,  ja  er  räumt  sogar,  als 
ob  beide  einauder  beeinträchtigten,  der  zweiten  Forderung  ein  veto 
gegeu  die  erste  ein.    In  der  Tat  entbehren  beide  der  Objectivität. 
Wir  wollen  sie  deshalb  nicht  vcrwerfeu :  sie  stehen  nach  der  hier 
waltenden  Autfassung  nur  an  unrechter  Stelle;  bei  genauer  logischem 
Eingehen  kann  man  sie  wol  in  objcctiv  geltende  und  einauder  nicht 
beeinträchtigende  Forderungen  überführen.    Dass  die  das  Gesetz  aus- 
drückende Function  eiufach  sei,  ist  nicht  uotwendig;  wol  aber 
müssen  die  Erscheinungen  in  ihre  einfachsten  Bestandteile  zerlegt 
werden  (wie  die  Radicale  in  der  Chemie).    So  ist  z.  B.  die  Newton- 
sehe  Fuuctiou  der  Auzichung  in  ihrer  Einfachheit  nicht  genau 
richtig  (die  genauere,  auch  für  kleine  Entfernung  geltende,  wird  noch 
gesucht);  wesentlich  aber  an  der  Newtou'schen  Hypthesc  ist,  dass 
die  Bewegung  aller  starren  Körper  auf  ein  und  dasselbo  Auziehungs- 
gesetz  zweier  Massenpunkte  zurück  geführt  wird.    Diese  Bedinguug 
ist  exaet  und  objcctiv.  —  Auch  die  unmittelbare  Anschauung  können 
wir  nicht  ganz  entbehrlich  machen;  nur  hat  sie  keine  Beziehung 
zum  Causalgesetz,  sondern  beruht  auf  Anticipatiouen  in  den  ele- 
.  mentarsten   Begriffen  von  Kaum  und  Materie,  die  nie  in  Frage 
gestellt  sind.  Von  ihnen  ist  bisher  keine  Hypothese  berührt  worden. 
Dagegen  hat  sich  in  neuster  Zeit  eine  erschreckende  Meuge  Litte- 
ratur  breit  gemannt,  die  im  Namen  angeblich  mangelnder  Intuition, 
insbesondere  gegeu  die  Hypothese  der  Fcrnwirkuug  die  unsinnigsten 
Einwände  erhoben  hat,  und  der  Verfasser  hat,  obgleich  er  die  mei- 
sten Aufstellungen  derart  widerlegt,  jene  Erzeugnisse  unreifer  Ver- 
staudeseutwickeluug  einer  Berücksichtigung  für  wert  gehalten,  indem 
er  doch  in  der  Hauptsache  auch  von  seinem  Standpunkte  damit 
einverstanden  ist,  dass  der  Feruwirkung  die  unmittelbare  Anschauung 
fehle,  dieselbe  also  zu  verwerfen  sei.    Diese  Behauptung  zu  begrün- 
den hat  er  nicht  versucht  und  möchte  auch  unmöglich  sein;  das 
Gegenteil  zeigt  sich  beständig  im  gewöhnlichen  Leben :  im  Gespräche 
z.  B.  erscheint  die  Wirkung  der  Rede  unmittelbar  als  Fernwirkung; 
erst  hinterher  kann  man  nach  de»  vermittelnden  Vorgängen  fragen, 


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LiUtrarucker  Bericht  LXIV. 


38 


die  nicht  einmal  bis  ans  Ende  bekannt  sind.  Begreiflieh  suid  freilieh 
aueh  in  jenen  Dachträglicheo  Erklärungsversuchen  die  plumpsten 
Irrungen  von  Laien  dureh  Befangenheit  in  gedankenloser  Gewohn- 
heit; deuu  es  gibt  auch  Fälle  unentbehrlicher  Vermittelang  zur  Er- 
reichung menschlicher  Zwecke.  Minder  begreiflich  ist  es,  dass  ein 
wissenschaftlicher  Forseher  durch  die  vielen  Aeusserungen  derart 
dazu  vermocht  worden  sei,  das  unerfüllte  Bedürfniss  der  Intuition 
anzuerkennen.  Annehmbarer  ist  vielmehr  die  Vermutung,  dass  der 
Verfasser  den  zahlreichen  Stimmen  nur  beigetreten  ist,  um  zu  Gun  - 
sten  seines  Verlegers  von  der  Menge  etwas  an  Popularität  für  seine 
Hypothese  zu  profitiren.  Dem  Vorstehenden  zufolge  hat  die  Hypo- 
these überhaupt  keiner  subjecten  Forderung  eines  Dilettanten-Publi- 
cums,  sondern  nur  der  einen  objectiven  Bedingung  zu  gcuügen,  dass 
durch  sie  die  anf  eine  beliebige  Epoche  folgenden  Vorgänge  iu 
einem  isolirten  materiellen  System  eindeutig  bestimmt  sind.  Der 
Verfasser  entscheidet  sich  für  die  von  B,erkncs  der  Hydrodynamik 
zugrunde  gelegte  Hypothese,  um  nachzuweisen,  dass  sie  auch  auf  die 
Hert/.'sche  Theorie  der  Elektricität  anwendbar  ist.  Die  Abschnitte 
des  Werkes  sind  folgende:  1.  Teil:  Grundlage  der  Hydrodynamik 
und  Theorie  der  Gravitation:  Bewegung  starrer  Körper  in  einer  ge- 
wöhnlichen Flüssigkeit.  Bewegung  pulsirender  Kugel  in  wirbelloser 
Flüssigkeit,  oscillirende  Kugeln  und  starre  Hinge  in  gewöhnlicher 
Flüssigkeit  ;  2.  Teil;.  Theorie  der  elektrischen  Erscheinungen:  pondero- 
motorische  Wirkungen,  elektrisch  pulsirende  Kugeln,  elektromoto- 
rische Wirkungen;  Theorie  Maxwell's  und  ihre  Einwirkung  auf 
neuere  Theorienbilduugen.  Hoppe. 


Grundziige  der  kinetischen  Naturlchre.  Von  Baron  N.  Del- 
lingshauseu.    Heidelberg  1898.    Carl  Winter.    öliG  S. 

Diese  Bearbeitung  der  Naturlehre  folgt  dem  Gedanken,  dass  die 
Lehre  erst  von  da  an  eine  wissenschaftliche  sei,  wo  sie  alle  Vor- 
gänge als  Bewegungen  eiues  allgemeinen,  unterschiedslosen  Substrats 
darzustellen  vermag.  Die  Gegenstände  der  einz  Inen  Lehren  sind 
folgende:  die  Form  der  innen»  Bewegungen,  der  innere  Arbeitsvorrat 
der  Körper,  die  Energie  der  freien  Bewegungen,  die  äussere  Be- 
wegung der  Körper,  die  Gesetze  des  Stesses,  die  Körper  unter  einem 
Drucke,  die  Sonnenenergie  und  die  innere.  Erdwärme,  die  Schwere 
der  Körper,  die  Zustandsäuderungen  der  Körper,  die  chemischen 
Erscheinungen,  verschiedene  Erscheinungen  (darunter  auch  Licht, 
Elektricität  und  Magnetismus),  die  weitere  Aufgabe  der  Naturlehrc. 

IL 

4* 


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1 


39  Litterarischer  Bericht  LX1Y. 

La  theorie  des  paralleles  dämontrec  rigoureusement.  Essai  sur 
le  livre  Iar  des  Clements  d'  Euclide.  Par  Michel  Frolov.  Paris 
189?.   Carre  et  Naud.   Bale  et  Gcneve.   Georg  et  Co.   46  S. 

Die  Schrift  bietet  viel  Interesse  durch  Vereinigung  der  gesamten 
Litteratur  der  Neuzeit,  welcho  aus  der  Forschung  betreffend  das 
Parallelenproblem  hervorgegangen  ist,  indem  sie  genügeudo  Vertraut- 
heit mit  mathematischer  Logik  bekundet,  um  alle  Forschungswerke 
in  gutem  innern  Zusammenhange  wiederzugeben.    Dies  wird  schon 
in  der  Vorrede  begonneu,  dann  in  der  Einleitung,  dann  in  dem  bis- 
jetzt  erschienenen,  ebene  Geometrie,  erstes  Buch  betitelten  Teile  der 
Schrift  fortgesetzt.    Die  Abschnitte  des  1.  Buches  sind:  geradlinige 
Figuren,  Senkrechte  und  Schiefe,  Dreiecke,   Vielecke.  Summe  der 
Vieleckswinkel,  Parallelen.   Es  enthält  IS  Lehrsätze,   Mit  Lehrsatz 
14.  „Die  Summo  der  Winkel  eines  Dreiecks  kann  nicht  kleiner  als 
2  Kechte  sein"  —  macht  der  Verfasser,  nämlich  durch  Ergänzung 
des  Legendre'schen  Satzes  „Sie  kann  nicht  grösser  sein"  —  einen 
neuen  Versuch  den  Parallelensatz  zu  beweisen.   Da  er  über  seinen 
ersten  Beweisversuch,  dessen  Fehler  im  61.  litt  Bericht  Seite  6  an- 
gezeigt ist ,  sich  nicht  äussert ,  so  mag  die  Kritik  des  neuen  Ver- 
suches vorbehalten  bleiben.  Hoppe. 


Lehrbücher. 

Die  elementare  systematische  und  darstellende  Geometrie  der 
Ebene  in  der  Mittelschule.  Erster  und  zweiter  Curs  für  die  Hand 
des  Lehrers  bearbeitet  von  Dr.  K.  Fink,  Rektor  der  Realanstalt 
zu  Tübingeu.  Mit  10  Figurentafeln  und  £4  Blättern  für  die  dar- 
stellend geometrischen  Uebungen  gezeichnet  von  Reallehrer  Auer  in 
Tübiugen.    Tübingen  1896.    H.  Laupp.    151  S- 

Es  wird  eine  Reihe  von  Lehrstundeu  vorgeführt,  worin  der 
Lehrer  über  einige  vorgezeigte  Modelle  von  Raumgebilden  grössten- 
teils nur  Fragen  an  die  Schüler  richtet,  die  sie  aus  ihrer  Anschauung 
zu  beantworten  haben;  die  daraus  gezogenen  allgemeinen  Urteile 
fügt  er  selbst  einzeln  an.  Von  Beweisen  ist  auch  einmal  die  Rede, 
doch  handelt  es  sich  nur  um  deren  vorgeschriebene  Form.  Im 
1.  Cursus  wird  gezeigt:  die  Elemente  des  Raums;  Richtung,  Dimen- 
sion, Aufgabe  der  Geometrie;  die  elementaren  Mittel  der  Darstellung 
der  mathematischen  Raumgebildc ;  Bewegungsfähigkeit  der  Figuren, 
Distanz,  Winkel,  ideutische  Gebilde,  centrale  und  axiale  Symmetrie , 
parallele  Gerade,  Paralleleubüschel  verschiedener  Richtung;  Ein- 


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Litterarischer  Bericht  LX1V. 


40 


leitung  in  die  Lehre  vom  Dreieck,  Viereck  uud  Vieleck;  Parallcl- 
verschiebung,  Drehung,  Uraklappung  eiuer  Figur;  das  Dreieck;  der 
Kreis;  das  Viereck,  desseu  besondere  Arten,  einfachsten  Flächen- 
Satze,  -Bcreehuuugen  uud  -Verwandlungen,  Verjüngungsmassstab. 
Im  2.  Cursus:  Euklidische  Axiome  und  Beweisformen',  Aufgaben- 
lösung; einige  weitere  Flächensätzc ,  Ausziehen  der  Quadratwurzel 
auf  geometrischem  uud  rechnerischem  Wege ;  ahnliche  Figuren, 
Aehnlichkeitspunkt;  stetige  Teilung,  Sätze  über  gewisse  regel- 
mässige Figuren;  regelmässige  Vielecke  uud  ihre  Berechnung, 
Kreisberechnung;  harmonische  Elemente;  Sätze  des  Menelaus  und 
Ceva,  harmonische  Elemente  am  Viereck  uud  Vielseit,  Aehn- 
liehkeitsaxen  und  Aehuliekeitsecutra  bei  3  Kreisen;  Anwendung  der 
Sätze  des  Menelaus  und  des  Ceva  auf  besondere  Fälle  des  Dreiecks 
und  Vierecks;  Potenz  eines  Punktes  mit  Bezug  auf  einen  Kreis, 
Potenzlinic,  potenzhaltendc  Punkte  zweier  Kreise;  das  Berührungs- 
problem des  Apollonius.  Ziel  des  Unterrichts  scheint  hier  überall 
Bekanntschaft  mit  den  Gegenständen  und  Kesultateu  der  Doctriu  zu 
sein;  alle  Urteile  beruhen  auf  Autorität  des  Lehrers,  auf  exacU 
Schlüsse  wird  nicht  eiugegaugen.i  Die  Selbsttätigkeit  der  Schüler 
liegt  nicht  sowol  in  der  Beantwortung  der  Fragen,  die  ja  stets  durch 
Controlo  des  Lehrers  vor  Irrtum  geschützt  ist,  sondern  im  Zeichnen 
der  Figuren,  wozu  viel  Uebuugsstoff  dargeboten  ist.  Dem  Buche 
voraus  geht  eine  ausführliche  Darlegung  der  Grundsätze  des  Ver- 
fassers, nach  welchen  es  bearbeitet  ist.  Daraus  sei  hervorgehoben, 
dass  die  projective  Geometrie,  schon  ehe  zu  ihr  übergegangeu  wird, 
bei  jeder  Gelegenheit  vorbereitet  werden  soll.  Dazegcn  ist  nirgends 
die  Absicht  ausgesprochen,  noch  zu  rechtfertigen  gesucht,  die  Pflege 
der  mathematischen  Logik  so  geringschätzig  beiseite  zu  lassen,  wie 
es  in  der  Tat  geschieht.  Ein  Anhaug  gibt  die  Geschichte  der  Geome- 
trie. Die  für  die  Hand  des  Schülers  bearbeitete  Sammlung  von 
Aufgaben  ist  im  62.  litt.  Bericht,  Seite  16  besprochen.  Hoppe. 

Ausführliches  Lehrbuch  der  Arithmetik  und  Algebra  für  höhere 
Schulen  und  Lehrerseminare,  besonders  zum  Selbstunterricht.  In 
engster  Verknüpfung  mit  der  Geometrie  zur  Vcrsinnlichung  der  Zahl- 
begritfe,  Theorien,  Operationen,  Lehrsätze  und  Auflösungen  von 
Aufgaben  systematisch  bearbeitet  von  Werner  Jos.  Schüller, 
Seminarlehrer  in  Boppard  am  Ilhein.  Zweite,  um  die  Logarithmen 
vermehrte  Ausgabe.  Mit  54  Figuren  im  Text.  Leipzig  1897.  B. 
G.  Teubuer.   478  S. 

Das  Buch  ist  nach  wissenschaftlichen  Grundsätzen  bearbeitet. 
Diese  sind  Im  Vorwort  besprochen,  jedoch  nur  nach  sehr  oberfläch- 


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41 


Litte, arische,   Bericht  LXIV. 


liehen  Gesichtspunkten   motivirt.    Was  liier  als  Verbesserung  her- 
vorgehoben wird,  weist  auf  ein   von    der    trügerischen  formalen 
Logik  geschaffenes  Vorurteil  hin,  das  nur  einzeln   als  pädagogi- 
scher Miserfolg  beachtet  wird,    während    der   allgemeine  Irrtum 
sieh  noch  immer  behauptet.    Gleichwie  eine  geschlossene  Linie  im 
Kaume  kein  Feld  bestimmt,  solange  dessen  Fläche  nicht  in  exteuso 
bekannt  ist,  so  wird  auch  kein  Begriff  durch  Deüuition  Eigentum 
des  Schülers,  wenn  dieser  nicht  vorher  schon  den  Inhalt  gekanut 
hat.    Hieraus  erklären  sich  genügend  die  vom  Verfasser  nur  er- 
fahruugsmässig  angeführten  Umstände,  denen  er  im  vorliegenden 
Buche  abzuhelfen  denkt,  die  man  aber  auch,  wenn  man  ihren  Grund 
im  Auge  hat,  durch  Handhabung   des  Unterrichts  vermeiden  oder 
unschädlich  machen  kann.    Ks  wird  angeführt,  dass  die  iuduetive 
Methode  das  Lernen  leichter  macht  als  die  deduetive.    Sehr  be- 
greiflich;  deuu  die  deduetive  geht,  im  Allgemeinen  begiuneud  am 
Begriffsinhalte  vorbei,  die  iuduetive  in  seinem  Gebiete  herum.  Die 
iuduetive  liefert  also,   was  die  deduetive  voraussetzt;  ist  aber  der 
Begriff  gewonnen,  und  wird  seiu  Inhalt  im  Bcwusstsciu  erhalten,  so 
ist  der  directe  Erkenntnissweg  der  ausschliesslich  deduetive.  Das 
anfängliche  Bedürfuiss  der  Iuductiou  schwindet  aber  im  Fortgang 
der  Lehre  zu  einem  Minimum  zusammen,  wenn  gemäss  dem  synthe- 
tischen Aufbau  der  Theorie  der  neue  Begriff  immer  seiueu  Inhalt 
im  alten  schon  grösstenteils  vorfindet    Ferner  wird  angeführt,  dass, 
wie  viele  Stimmen  behaupten,  die  Arithmetik  wegen  der  abstracten 
Natur  ihrer  Gegenstände  Schwierigkeit  böte,  „ungeuiessbar"  sei  und 
mit  Unlust  erlernt  würde.  Der  Verfasser  eilt  dem  Umstand  abzuhelfen, 
ohne  zu  fragen,  ob  die  Klage  Grund  hat.    In  der  Tat  wird  uirgeuds 
der  Schüler  unmittelbar  in  das  Gebiet  der  abstracten  Zahl  eingeführt  ; 
denn  in  der  untersten  Gasse,  selbst  der  Gymnasien,  wird  nur  mit 
benannten,  also  concreten  Zahlen  gerechuet.    Der  nachherige  Ueber- 
gang  zur  abstracten  Zahl  aber  vollzieht  sich  ganz  von  selbst  unmerk- 
lich  durch  das  Zählen  und  die  dekadische  Schreibung,  bei  wel- 
cher das  Bewusstseiu  vom  verschiedneu  Werte  der  Einheit  immer 
erhalten  bleibt.    Dass  es  ein  Misgriff  ist,  weun  Manche  eine  angeb- 
liche Schwierigkeit  vornehmlich  der  Arithmetik  in  der  abstracteu 
Natur  ihrer  Gegenstände  Buchen,  erhellt  auch,  wenn  mau  beachtet, 
dass  die  Gegenstände  der  Geometrie  gleicherweise  abstract  sind;  sie 
abstrahirt  vom  Stoffe  wie  die  Arithmetik  von  der  zu  wählenden  Ein- 
heit.   Die  Abstraction  ist  ein  notwendiges  Glied  in  der  EntWickelung 
der  Begriffe  und  bezeichnet  darin  eine  neue  Stufe  ebensowol  in  der 
Geometrie  wie  in  der  Arithmetik.    Im  Vorwort  wird  auf  eine  ganz 
andre  Eigenschaft  der  Geometrie  Gewicht  gelegt,  nämlich  die  soge- 
nannt«' Anschaulichkeit.    Diese  beruht  (was  hier  nicht  ausgespiochen 
ist)  auf  einer  wesentlichen  und  dem  Verständnis  sehr  forderlichen 


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Litterarischer  Btricht  LXIV. 


42 


Transformation.  Ein  System,  welches  ursprünglich  vom  Gedanken 
nur  successiv,  also  in  einer  Zeit  durchlaufen  werden  kann,  lässt  sich 
in  einfachen  Fällen,  durch  räumliche  Darstellung  wiedergeben,  so 
thiss  es  gleichzeitig  im  ganzen  überschaut  wird,  dem  zufolge  die  ent- 
ferntesten Partien  in  ihrer  Beziehung  erkannt  werden  können.  Die 
Ausführung  berücksichtigt  nun  mit  Mass  uud  nach  selbständigem 
Urteil  vorgehend,  unbeirrt  durch  vorgenannte  Stimmen  Unkuudigee, 
die  im  Vorwort  berührten  Punkte.  Die  Methode  ist  nicht  wesentlich 
abweichend  von  der  üblichen;  doch  zeichnet  sich  das  Verfahren  aus 
durch  äusserste  Ausführlichkeit  und  Gründlichkeit  in  den  Priucipieu. 
Zu  erwähnen  ist  besonders  die  Anwenduug  der  Coustruction  zur 
Darstellung  des  Zahlengebiets,  erst  des  reellen  bei  Einführung  der 
Negativen,  später  des  complexeu  bei  Einführung  der  Imagiuäreu. 
Zu  vermeiden  ist  natürlich  der  Schein,  als  wäre  der  Begriff  der 
Negativen  und  der  Imaginären  aus  der  Geometrie  entlehnt,  eine 
Täuschung  die  vielleicht  bisher  von  Anwendung  der  Coustruction 
abgehalten  hat,  aber  bei  vorliegendem  Verfahren  nicht  wol  möglich 
ist.  Die  Abschnitte  des  Buchs  sind  nach  eiuer  Einleitung  und  den 
Rechnungsarten  1.,  2.  und  3.  Stufe  nebst  Inversion  und  Erweiterungen 
des  Zahlbegriffs:  Zahlentheorie,  Proportionen,  Gleichungen  1.  und 
2.  Grades,  Determinanten,  irrationale,  imaginäre,  complcxs  Zahlen. 
Dann  folgen  viele  Ergänzungen,  erst  uuter  diesen  die  Theorie  der 
Logarithmen  als  zweite  Inversion  der  Potenzen.  H. 


Geometrie. 

Die  Elemente  der  analytischen  Geometrie.  Zum  Gebrauch  au 
höheren  Lehranstalten  sowie  zum  Selbststudium.  Mit  zahlreichen 
Uebungsbeispielen.  Erster  Teil.  Die  analytische  Geometrie  der 
Ebene.  Von  Dr.  H.  Ganter,  Professor  an  der  Kautonsschule  in 
Aarau,  und  F.  ltudio,  Professor  am  Polytechnikum  in  Zürich.  Mit 
54  Figuren  im  Text.  Dritte,  verbesserte  Auflage.  Leipzig  1897. 
B.  G.  Teubncr.    176  S. 

Die  2.  Auflage  ist  im  55,  litt-  Bericht,  S  28  besprochen.  Die 
Verbesserung  bezieht  sich  auf  Gruppiruug  und  Präcision  einiger 
Ausdrücke.    Die  rebungsbeispiele  sind  um  31  vermehrt.  H. 

Projectivo  Geometrie  in  synthetischer  Behandlung.  Von  Dr. 
Karl  Dochlemann,  Privatdocent  an  der  Universität  München. 
Mit  57  Figuren.    Leipzig  1898.    G.  J.  Göschen.    162  S. 


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43 


LitUraritcher  Bericht  LXJV. 


Diese  übersichtliche  Behandlung  wird  namentlich  denjenigen , 
welche  sich  nicht  produetiv  mit  projectiver  Geometrie  beschäftigen, 
zur  Kenntnissuahmc  der  Nomenclatur  und  der  Dogmen  willkommen 
sein.  H. 


Mechanik. 


Over  zekero  trillinojeu  van  hoogero  orde  van  abnormale  inten- 
siteit  (relatietrillingeu)  bei  meehauismen  met  meerderc  gradeu  van 
vrijheid,  Door  D.  J.  Körte  weg.  (Verhandlingen  der  Koninkl. 
Ak.  v.  Wet.  te  Amsterdam.  Eerste  sectic.  Deel  V.  No.  8)  Am- 
sterdam 1897.    Johanues  Müller.   4°.    31  S. 

Ein  System  gleichzeitiger  Vibrationcu  wird  durch  eine  nach  Co- 
siuus  der  Perioden  fortschreiteude  Reihensumme  dargestellt.  Es 
werdeu  nun  einzelne  Fälle  berechnet.  Nach  Defiuition,  Auftreten 
uud  Untersuchung  der  Gesetze  der  Intcnsitätserhöbung  der  „Rela- 
tiousschwingungen",  Bedeutung  in  der  Mechanik,  der  Lehre  vom 
Ton  und  Licht  und  Darlegung  der  Ausicht  von  Routh,  dergemäss 
eiue  scharfe  Grenze  bei  Einfiuss  eiuer  Relation  ist,  je  nachdem  die 
absolute  CoeinYientensumme  <  oder  >►  4  ist,  werdeu  3  Arten  von 
Relationsschwingungen  unterschieden,  Relatiousschwingungeu  höben 
Grades.  S1>4;  Erscheinungen  im  Spectrum.  Der  Fall  £j  =  4. 
Der  Fall  5,  =-3;  Pseudo  Summe  und  Pseudo-Octavschwinguug. 
Der  Fall  S,  =  2;  Pseudo-Gleichung.  Reine  Relationsschwingung. 
Aussonderungsmechanismen.  Symmetrische  Mechanismen.  Kugel- 
schwingungeu.  H. 


Ur  theorien  för  de  solida  kropparncs  rörelse.  Af  A.  V.  Bäck- 
lund,  E.  0.  Professor  i  Luud.  Efter  författarens  universitetsföre- 
läsuiugar  tväunc  m.fuader  af  värtermiuen  189^.  Lund,  Oleerupska. 
122  S. 

Die  Gegenstände  der  hier  herausgegebenen  Vorlesungen  siud 
folgende:  Allgemeine  Charaktere  der  Bewegung  fester  Körper.  Ro- 
tatiou  eines  festen  Körpers  um  einen  festen  Punkt  ohne  äussere 
Kräfte.  Unter  Schwere  als  einziger  äussern  Kraft.  Die  die 
Präcession  und  Nutation  bildenden  Bewegungen  auf  den  Taggleich- 
heitslinien und  an  der  Erdaxe.  Rotation  des  Moudes  um  seinen 
Schwerpunkt.  Bewegung  der  Erdpole  infolge  variirender  Massen- 
v<Tteiluug  dar  Erde.  H. 


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Litterarischer  Bericht  LX1  V. 


44 


Do  versnelliugeu  vati  hoogere  orden.  Door  Di.  G.  Schuutcn. 
Verhaudelingeu  der  Kouinkl.  Ak  v.  Wot.  te  Amsterdam.  Eerste 
sectie.  Deel  II.  No.  5.  Amsterdam  18ÜL  Johannes  Muller.  4°. 
26  S. 

Die  Arbeit  schliesst  sich  au  die  Kinematik  von  Somoff  au.  Es 
werden  sehr  ausführlich  die  elementaren  Begriffe  der  Kinematik 
entwickelt  und  benannt,  geometrisch  und  iu  Rcchuungsform  mittelst 
rechtwinkliger  Coordinaten  dargestellt.  Besehli  uuigungsvector  heisst 
die  Strecke  gleich  der  Beschleunigung  eiues  Punktes  eines  Go- 
bildes  iu  tangentialer  Richtung  au  die  Bahn  vom  momentanen 
Punkte  aus  gezogen,  Beschleunigung  nächst  höherer  Ordauug  die 
Beschleunigung  des  Eudpunkts  des  Besehleuniyungsvcctors.  Die 
Längen  ihrer  Urthogonalprojectiouen  Huden  sich  ausgedrückt  in 
höheren  Differentialquotienteu  des  Weges  nach  der  Zeit.  Die  Theorie 
wird  weiter  durchgeführt  iu  Betreff  der  Winkelbeschleunigungcn. 

H. 


Lehrbuch  der  Bewegung  flüssiger  Körper  (Hydrodynamik) 
Erster  Band:  Die  Bewegungserscheinungen  flüssiger  Körper,  welche 
aus  den  Boden-  und  Seitenwänden  von  Gefässen,  sowie  durch  Röhren 
und  Röhrenleitungen  bei  constauter  sowie  veränderlicher  Druckhöhe 
fliessen.  — Zweiter  Baud  :  Erste  Hälfte:  Die  Bewegungserscheiuungen 
iu  Canälen  und  Flüssen.  Mit  431  -  282  Erklärungen,  mehr  als 
300—150  in  den  Text  gedruckten  Figuren  und  einem  Formelvcr- 
zeichuiss  nebst  einer  Sammlung  von  220  —13-4  gelösten  und  unge- 
lösten Aufgaben  mit  deu  Resultaten  der  letztern.  Für  das  Selbst- 
studium und  zum  Gebrauche  an  Lehranstalten  bearbeitet  nach  dem 
System  Kleyer  von  Richard  Klimpert.  Stuttgart  1893.  Julius 
Maier.    364  -f  228  S. 

Dass  Theorie  und  Technik  einander  nicht  entbehreu  köuneu, 
gilt,  wie  in  aller  physikalischen  Forschung,  auch,  uud  iu  besonders 
stark  hervortretender  Weise,  von  der  Hydrodynamik.  Als  Lehr- 
gegenstand zeigt  indes  letztere  manches  Eigentümliche.  Zuuächst 
sind  die  Hypothesen  der  Theorie  noch  keine  feststehenden,  vielmehr 
muss  zu  deren  empirischer  Entscheidung  approximativ  zu  Werke 
gegangen  werden,  um  erst  für  die  einzelnen  zu  untersuchenden  Fälle 
die  überwiegend  wirkenden  Ursachen,  welche  nicht  unter  allen  Um- 
ständen dieselben  sind  (namentlich  im  1.  Buche),  gegenüber  den  an- 
fänglich zu  vernachlässigenden  zu  isoliren.  Ferner  sind  die  mit- 
wirkenden Ursachen  mannigfaltig,  die  Vorgänge  hingegen  zum  Teil 


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15 


/.ifternrtxcher  JJertcht  LXi  Y. 


als  iunerc  der  Beobachtung  entzogen,  während  selbst  die  äusseren 
nur  summarische  Quantitäten  ergeben.    Da  hiernach  die  Forschung 
von  vielen  Seiten  begiunen  muss,  so  kann,  wenn  schon  auf  gegen- 
wärtigem Staudpunkt  eine   Lehre   der   Hydrodynamik  aufgestellt 
werden  soll,  der  Vortrag  schwerlich  ein  pragmatisch  fortschrei- 
tender sein.    Hier  kommt  nun  einmal  die  Kleyer'sehe  Teilung  des 
Vortrags  in  Frage,  Erklärung  und  Antwort  eiuigermassen  zustatten, 
indem,  wo  das  Gauze  noch  keine  sichtliche  Einheit  bildet,  wenig- 
stens die  vielen  Teile  durch  die  jedem  vorangestellte  Frage  einzeln 
unter  einheitlichen  Gesichtspunkten  behandelt  werden.    Die  Haupt- 
abschnitte des  1.  Bandes  sind:  Austiuss  des  Wassers  aus]  Gefässen 
und  durch  Röhren  bei  unveränderlicher  Druckhöhe,  und  zwar  1) 
aus  Gefässeu,  2)  Contraction  des  ausfliesten  len  Strahles,  3)  Aus- 
fluss  durch  Ansalzröhren,  4)  Bewegung  in  Röhren  und  Röhrenlei- 
tungen,  f>)  Hindernisse  in  der  Bewegung  bei  Gewindigkeits-  und 
Richtungsveränderungen ,  dann  AbHuss  bei  veränderter  Druckhöhe 
und  zwar  1),  aus  horizontaler  Bodenöffnuug,  2)  aus  Seitenöffuuugeu ; 
die  des  2.  Bandes,  1.  Hälfte:  Bewegung  des  Wassers  in  Canäleu  und 
Flüssen,  und  zwar  die  dabei  zu  beobachtenden  verschiedenen  Ge- 
schwindigkeiten ,   die  an  rli  essen  den    Gewässern  vorzunehmeudeu 
Messarbeiten,  dann  von  dem  durch  Wasser  ausgeübten  Stosse  und 
Widerstande  uud  zwar  1)  Stoss  des  bewegten  Wassers,  2)  Wider- 
stand des  Wassers  gegen  bewegte  feste  Körper,  3)  Reaction  aus- 
strömender Flüssigkeiten.    In  beiden  Bäudeu  folgeu  noch  Aufgaben 
uud  Formeln.  H. 


Over  de  toepassing  der  quaternionen  op  de  meehaniea  en  de 
natuurkunde.  Door  P.  Molcnbroek,  Verhaudeliugen  der  Koniukl. 
Ak.  van  wet.  te  Amsterdam.  Ferste  sectie.  Deel  II.  No.  3.  Am- 
sterdam 1893.    Johannes  Müller.    38  S. 

Die  Arbeit  betrifft  die  Bcdeutuug  des  Operators  \7,  welcher  bei 
Hamilton  einigemal  vorkommt  und  von  Tait  ausführlich  erklärt  ist. 

H. 


Le  calcul  vectoriel  et  ses  applications  en  geometrie  et  en  meca- 
nique.  Par  G.  Nedelee.  Premier  volumc.  Paris  1897.  Gauthier 
Villars  et  rils.    246  S. 

Das  Buch  behandelt  der  Reihe  nach:  Urspruug  und  Natur  der 
Vectorenrechnung,  allgemeine  Begriffe  von  den  Vectoreu,  Theorie 


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Litter  arischer  lUncht  LXIV. 


46 


der  YtTsoren,  QuatcniiomMm-rsurcnrccInittllg,  vectorielle  Multipli« 
entiou,  vectorielle  Sununation ;  eiste  Begriffe  von  vectorielleu 
Functionen,  Begriffe  von  den  explieiten  Functionen,  vectorielle  Be- 
griffe 1.  Grades,  vectorielle  Theorie  der  Ebene,  vectoriellcs  aubarmo- 
nisches  Verhältuiss.  Bemerkenswert  ist ,  dass  der  Verfasser  in  der 
Einleitung  als  Deouociaut  gegen  die  Hamilton'sche  Lehre  auftritt, 
welche  die  analytische  Geometrie  und  Algebra  in  neuer  Verkleidung 
als  neue  Theorie  aufstellt,  uud  doch  nicht  zeigt,  inwiefern  die  hier 
vorgetragene  Lehre  nicht  in  gleichem  Falle  sei.  H. 


Optik,  Akustik  und  Klasticität. 

Die  Elemente  der  photographiseben  Optik.  Enthaltend  eino 
gemeinverständliche  Darstellung  der  Einrichtung  photographischer 
Liusensysteme,  sowie  Angabe  über  Prüfung  derselben.  Nach  dem 
neuesten  Standpunkt  der  Wissenschaft  und  Praxis  bearbeitet  von 
Dr.  Hugo  Schroeder,  Optiker  und  Mechaniker.  Zugleich  als  Er- 
gänzungsband zu  Vogcl's  Handbuch  der  Photographic.  Mit  85 
Figuren  im  Text.    Berlin  1891.    Ulbert  Oppenheim.    120  S. 

Die  Themata  sind  folgende:  Elemente  der  geometrischen  Optik 
in  Bezug  auf  ihre  Anwendung  auf  photographische  Linsen;  chroma- 
tische oder  Farbenabweichung;  sphärische  Aberration  und  Anomalien 
schiefer  Strahleukegel ;  perspectivische  Anomalien ;  Beugungsaberration  ; 
Lichtstärke ,  Bildfeld  und  Vergrösserungsapparate ;  Untersuchungs- 
methoden der  photographischen  Linsen  und  die  hierzu  dienlichen 
Apparate ;  kurze  Beschreibung  der  bemerkenswertesten  Linsensysteme 
für  Photographie.  H. 

Die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  des  Schalles  in  eiuem  theore- 
tischen Gase.  Bearbeitet  auf  Grund  der  dynamischen  Gastheorie 
vom  k.  u.  k.  Oberstlieutenant  Wilhelm  Sehl  cm  Uli  er.  Prag, 
H.  Domiuicus.    4Ö.    12  S. 

Die  Schrift  enthält  resnltirende  Sätzo  über  Bewegung  von  Gas- 
molecüleu  aus  einer  frühem  Arbeit :  „V  ier  physikalische  Abhand- 
lungen". Dio  zum  Verständniss  jener  Sätze  notwendigen  Data  sind 
nicht  so  weit  mitgeteilt  um  irgend  ein  Urteil  über  dio  Schrift  geben 
zu  können.  II. 


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47  Literarischer  Bericht  LXlV, 

Optique  geometriquc.  6«  memoire.  Genäse,  variete  et  Polari- 
sation axiale  des  faisceaux  de  rayons  lumiueux  ou  calorifique.  —  8* 
memoire.  Complement  aux  proprtetes  polarisatriccs  des  faisceaux 
de  rayons  en  gäneral.  —  Par  M.  l'Abbc  Issaly.  Extrait  des  Me- 
moires  de  la  Soeiete  des  .Sciences  physiques]  et  naturelles  de  Bor- 
deaux.  50  +  42  S. 


Die  erstere  Abhandlung  enthält:  die  Genesis  und  axiale  Polari- 
sation der  optischen  (Malns'sehen)  Strahleubüsehcl ;  die  der  anopti- 
schen  oder  orthogonalen;  geometrische  Anwendung  der  vorgenannten 
Eigenschaften  auf  die  Pseudosphäre  und  Pseudoebene;  Eigenschaften 
der  Doppelreihe  dioptischer,  mittlerer  uud  complemcntarer  Strahleu- 
büschel ;  homographische  Relationen  zwischen  den  Beruh rungsebeueo 
verschiedener  Malu6'scheu  Kegel  und  der  ihnen  entsprechenden 
axialen  Ebenen;  summarische  Erweiterung  alles  Vorhergehenden  auf 
den  Fall  schiefer  Coordiuatcu ;  die  letztere:  chromatische  Polarisation; 
Fall  zweier  reiu  krystallisirter  Lamellen;  Berechnung  des  Falles 
dreier  Lamellen;  Fall  vierer  Litnelleu;  Verallgemeinerung-,  der  Me- 
thode; neue  Eigenschaften  der  Diagonaleu  des  Auswcichungsparalle- 
logramms;  Rückgaug  zu  den  zweiaxigen,  neutralen  Linien  ;  Iüeuti- 
ticiruug  der  optischen  Pole  eines  zweiaxigen  Krystalls  mit  dea  re- 
spectiven  Polen  einer  Normale  uud  ihrer  Antiuormaleu;  Bemerkung 
über  2  besondere  Fälle  bezüglich  auf  die  chromatische  Polarisation 
von  n  reiu  krystallisirtcn  Lamellen.  H- 


Eene  Studie  over  de  theorie  der  magneto-optische  verschijuscleo 
in  verband  met  het  Halleffect.    Door  Dr.  C.  H.  Wind.  Verband!, 
der  Koninkl.  Ak.  vau  Wet.  in  Amsterdam.    Eerste  sectie.    Deel  V. 
No.  3.    Amsterdam  18%.   Johannes  Müller.   91  S. 

Die  Teile  der  Abhandlung  sind:  die  zu  betrachtenden  Erschei- 
nungen, nach  Zeit  und  Ort  periodische  Veränderungen;  die  Max- 
well'schen  Gleichungen  und  Greuzbediugungeu  für  deu  Fall,  dass 
keine  äussere  magnetische  Kraft  besteht;  die  weitere  Verbindung 
zwischen  elektrischem  Strom  und  elektrischer  Kraft,  im  besondern 
für  den  vorgenannten  Fall;  Grundgleichuug  für  den  Fall,  dass  eine 
äussere  magnetische  Kraft  besteht;  Fortpflauzung  ciuer  Lichtbe- 
wegung in  reinem  willkürlichen  Medium  bei  Magnetisiruug  parallel 
der  Einfallsfiäche;  Zurückwerfung  uud  Berechnung  an  der  Grenze 
zweier  Media,  in  deren  einem  das  gebrochene  Licht  sich  bewegt, 
Theorie  des  Kcrreffects;  Vergleichung  der  Theorie  mit  den  Wahr- 
nehmungen des  Kerreffects;    Abweichungen  zwischen  Theorie  "D<^ 


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JJtterarüeher  Berieht  LX1V. 


48 


Wahrnehmung;  Fortpflanzung  einer  Lichtbewegung  in  einem  Medium 
und  Zurückwerfung  gegen  eine  Grenzfläche;  magnetische  Drehung 
der  Polarisationsfläche  in  Dielektrika;  Theorie  von  Drude;  Theorie 
von  Goldhammer;  Auwendung  eines  Symmetrieprincips  auf  Zurück- 
werfung gegen  ein  nicht  magnetisirtes  Metall;  Anwendung  auf  den 
Beginu  der  Gegenseitigkeit;  eine  mögliche  physische  Erklärung  des 
Halleffects  in  Verbindung  mit  der  Theorie  der  Elektricitätsbewegung 
durch  Jouen.  H. 


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Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie, 

LVil. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Cantor,  Mor.,  Vorlesungen  üb.  Geschichte  der  Mathematik, 
3.  (Schluss-)Bd.  Vom  J.  1063  bis  zum  J.  1758..  3.  Abtig.  Die  Zeit 
von  1727  bis  1758.  gr.*°.  (XIV  u.  S.  473— 893  m.  70  Fig.)  Leip- 
zig, Teubner.    12  Mk. 

Engelmann,  Th.  W.,  Gedächtnissrede  auf  Emil  du  Bois-Rey- 
moud.    gr.4°.    (24  S.)    Berlin,  G.  Reimer.    1  Mk. 

Feier,  die,  des  füufzigjährigeu  Bestehens  des  königl.  meteoro- 
logischen Iustitutes  am  16.  X.  1897.  gr.  4°.  (27  S.)  Berlin,  Ashcr 
&  Co.    1  Mk. 

Fortschritte,  die,  der  Physik  im  J.  1892.  48.  Jahrg.  2.  Abth 
Physik  des  Aethers.  Red.  v.  Rieh.  Börnstein.  gr.  8Ü.  (XLIII,  778  S.) 
Braunschweig,  Vieweg.    30  Mk. 

Gross,  Th  ,  Robert  Mayer  u.  Hermann  v.  Heimholte.  Eine  krit. 
Studie,  gr.  b°.  (V,  IV,  174  S.)  Berlin,  Fischer»!  technolog.  Verlag. 
Geb.  4,5ü  Mk. 

Jahrbuch  üb.  die  Fortschritte  der  Mathematik.  Hrsg.  v.  Emil 
Lampe.  27.  Bd.  Jahrg.  lf  96.  1.  Hft.  gr.  8*.  (368  S)  Berlin,  G. 
Reimer,    12  Mk. 

Kind ler,  0.  S.  B.,  die  Zeitmesser  bis  zur)  Erfindung  der  Pen- 
deluhr, hoch  4".  (36  S.  m.  16  Fig.).  Einsidelu,  Benziger  it  Co. 
2  Mk. 

Methode  und  Prlneiplen. 

Göhl  er,  R.,   Decimalzahleu  u.  Brüche  im  Rechenuoterricht 
der  Volksschule,  Skizzen  zur  methodischen  Behandlung  dieser  Zahlen, 
sowie  Aufgaben  f.    das  Kopfrechnen,    gr.  8°.    (IV,   64  S.) 
zig,  Alfr.  Hahn.    1  Mk. 


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Grosse,  W.,  der  Aether  u.  die  Forukräfte.    Mit  besond.  Be- 
rücksicht. der  Wellentelegraphie.    gr.  8°.     (VI,  89  S.  in.  17  Fig.) 
Leipzig,  Quand  &  Händel.    2,25  Mk. 

Lettau,  R.  der  Reeheuuuterricht.  Eine  method.  Anweisg.  in 
schulgemäss.  Behandig.  des  gesamten  Reehenstoffes  m.  zahlreichen 
Uebuugsaufgaben  f.  Seminaristen  u.  Volksschullehrer.  2.  Aufl.  gr.  8°. 
(157  S.)    Leipzig,  E.  Peter.    1,6 J  Mk. 

Sammlungen. 

Harries,  Fr.,  u.  W.  Andermann,  Rechenaufgaben  f.  Fort- 
bildungsschulen. Auf  Grund  der  Yerfüggn.  des  Handelsministers  v. 
5.  VI!.  lt?97.  3.  u.  4.  Stufe.  Schülerheft.    8°.  Hannover,  Ost.   60  Pf. 

—  —  dasselbe,  3.  u.  4  Stufe.  Lchrerheft.  8°.  Ebd.  1,40  Mk. 
Herrigcl,  G.,  u.  A.  Mang,  Rechenbuch  für  die  Oberstufe 

zweiklassiger  Schulen.  Decimalbrüche  u.  gemeine  Brüche,  Schluss- 
Prozent-,  Zius- ,  Rabatt-,  Geschäfts-,  Durchschnitts-,  Mischungs-, 
Teilungs-,  Gesellschaftsrechnungen  und  Ziuseszinsrechnungen.  Raum- 
lehre. 2.  Aufl.  (5.  -  10.  Taus.)  8°.  (96  S.  m.  Fig.)  Heidelberg, 
Groos.   50  Pf. 

Hill  er,  Jul.,  Physikalische  Uebungen  u.  Aufgaben  |im  Anschluss 
an  den  Unterricht.  Progr.  4°.  (18  S.  m.  1  Taf.)  Berlin,*  Gaert- 
ner.    1  Mk. 

Otto,  F.,  Rechenaufgaben  f.  höhere  Mädchenschulen.  Facit- 
buch  zum  3.-7.  Heft.  gr.  8°.  (31,  32,  40,  20  u.  40  S.)  Leipzig, 
Hirt  &  Sohn,    a  35  Pf. 

Richter,  Alb.,  Arithmetische  Aufgaben  f.  Gymnasien,  Real- 
gymnasien u.  Oberrealschulen,  m.  besond.  Berücksicht.  der  Anweudgn. 
gr.  8°.    (X,  149  S.)    Leipzig.  Teubner.    1,40  Mk. 

-  trigonometrische  Aufgaben  f.  Gymnasien,  Realgymnasien  u. 
Oberrealschulen,  m.  besond.  Berücksicht.  der  Anwendgn.  gr.  8°. 
(VIII,  4i  S.  m.  Fig.)    Ebd.    90  Pf. 

Sass',  J.  B.,  Rechenbuch  in  Hcftou.  (>.  Heft.  3.  Aufl.  12°. 
(144  S  m.  Fig.)    Altoua,  Schlüter,    kart.  80  Pf. 

Schröter,  R.,  Rechenbuch  f.  die  oberen  Classen  der  Mittel- 
schulen.   2.  Aufl.    b*.    (7b  S.)    Wittenberg,  Herrose.    60  Pf. 

Villicus,  Frz.,  u.  Edm.  Schiebel.  Rechenbuch  f.  Mädchen- 
Bürgerschulen.  2.  Classe.  gr.8°.  (84  S.)  Wien,  Pichler.  Kart. 
1  Mk. 

Tabellen. 

Fulst,  Otto,  Azimut-Tafel.  Tafel  zur  Bestimmung  des  Azi- 
muts aus  Breite,  Abweichg.  u.  Stundenwinkel.  Lex.  8°.  (25  S.) 
Bremen,  Heiusius.    In  Wachstuch.    Kart.  2,2«)  Mk. 


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Gauss,  F.  G.,  Fünfstellige  vollständige  logaritbmische  u.  trigo- 
nometrische Tafeln.  Zum  Gebrauche  f.  Schule  u.  Praxis  bearb. 
2  Thle.   gr.  b°.   Halle,  Strien.   Geb.  9,2*>  Mk. 

Michael  Herrn..  Amortisationstabellen  zur  Anfertigung  von 
Amucitaten  Tilgungspläneu.  gr.  b°.  (158  S.).  Mannheim,  Hahn  &  Co. 
Kart,  8  Mk. 

Sammlung  Göschen.  81.  Bdchn.  Schubert,  Herrn.,  Vierstel- 
lige Tafeln  u.  Gegeutafelu  f.  logarithmisches  u.  trigonometrisches 
Rechnen,  in  2  Farben  zusammengestellt.  12°.  (128  S.)  Leipzig, 
Göschen.    Geb.  in  Lcinw.   80  Pf. 

Tinguely,  Paul,  Zinstabellen  zur  Berechnung  der  Zinsen 
von  1  bis  100,0-0  Franken  Kapital  zu  23/4,  3,  3'/4,  3'/*  33/4,  4, 
474'  4'/si  4S/4  ön<1  5  %  auf  das  Jahr  zu  360  Tagen  gerechnet.  Mit 
e.  Zcitberechnungs-Tabelle,  e.  Tages-Tabelle  u.  eiuer  Münztabelle. 
gr.8°.    (VII,  26'J  S.)    Bern,  Semminger.    Geb.  6  Mk. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Bachmann,  Paul,  Zahlentheorie.  Versuch  e.  Gesammtdar- 
stellg.  dieser  Wissenschaft  in  ihren  Hauptteilen.  4.  Thl.  A.  u.  d. 
T.:  Die  Arithmetik  >d.  quadrat.  Formen.  1.  Abth.  gr.  8°.  (XVI, 
G68  S.)   Leipzig,  Teubner.    18  Mk. 

Baer,  Karl,  die  Kugelfunction  als  Lösung  e.  Differenzenglei- 
chung.  Progr.  4°.    (25  S.)    Berlin,  Mayer  &  Müller.  1,50  Mk. 

Fuhrmann,  Ar.wed,  Anwendungen  der  Infinitesimalrechnung 
in  den  Naturwissenschaften,  im  Hochbau  u.  in  der  Technik.  Lehr- 
buch u.  Aufgabensammlung.  3.  Tl. :  Bauwissenschaftliche  Anwendgn. 
der  Differentialrcchng.  1.  Hälfte.  ;gr.8°.  (S.  1-180  m.  73  Holz- 
schn.)    Berlin,  Ernst  &  Sohn.    5,50  Mk. 

Schimpf,  Ernst,  zur  Definition  der  Kouvergenz  der  unend- 
lichen Reihen  u.  der  unendlichen  Produkte.  —  Mehrfache  Grenz- 
gleichungeu.  period.  Reihen.  Progr.  4°.  (III,  30  S.)  Berlin,  Mayer  & 
Müller.   1  Mk. 

Schlesinger,  Ludw.,  über  die  Gauss'schei  Theorie  des  arith- 
metisch-geometrischen Mittels  u.  ihre  Beziehungen  zur  Theorie  der 
elliptischen  Modulfuuction.  gr.  b°.  (15  S.)  Berlin,  G.  Reimer. 
50  Pf. 

Sickenberger,  Ad  f.,  u.  C.  W.  Bauschinger,  Leitfaden 
der  kaufmännischen  Arithmetik  u.  systematischen  Buchführung.  Ein 
Auszug  aus  deu  Hauck'schen  Lehr-  u.  Uebungsbüchcm.  gr.  8.  (III, 
188  u.  III  S.)   Nürnberg,  Korn.   Geb.  2,5  J  Mk. 

Stolz,  0.,  zur  Erklärung  der  absolut  convergenten  uneigent- 
lichen Integrale.   gr.8°.    (18  S.)   Wien,  Gerold's  Sohn.   40  Pf. 


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In  zweiter,  volhtKiidip  umgearbeiteter  Auflage  er- 
schien : 

Das 

Lehrbuch 
der  ebenen  u.  sphärischen  Trigonometrie 

zum  Gebrauch  beim  Selbstuntericbt  und  in  Schulen 
besonders  auf  Vorbereitung  auf 

Geodäsie  und  sphärische  Astronomie 

bearb.  von  Prof.  Dr.  E.  Hammer 

an  der  technischen  Hochschule  Stuttgart 

Preis  M.  7,40.  -  Gebund.  Bf  7,90. 

Kinfache  Einrichtung  und  Uebersichtlichkeit  der  Zahlen- 
rechnung mit  vielen  durchgerechneten  Beispielen.  Zahl- 
reiche praktisch-geometrische  Aufgaben  als  specielle  Vor- 
bereitung auf  die  Geodäsie.  Abriss  der  sphärischen  Astro- 
nomie zur  Vorbereitung  auf  die  astrom.  Ortsbestimmung. 

Schulausgabe  (unmittelbar  für  Mittelschulen)  in  Vorberei- 
tung. 

Prospecte  franco. 
Verlag  J.  B.  Metzler,  Suttgart. 


C.  A.  KocITs  VerlajrsburhliaiHllan^  (H.  Ehlers  &  Co.) 

Leipzig  u.  Dresden. 

Mathematische  Aufgaben 

zum  Gebrauche 
in  den 

obersten  Klassen  höherer  Lehranstalten. 

Aus  den 
bei  Keifeprii funtreii 

au  preussischen  Gymuasieu  und  Realgymnasien 
gestellten  Aufgaben  ausgewählt 
und 

mit  Hinzufügung  der  Ergebnisse  (IL  Teil) 
zu  einem  L'ebunjrs buche  vereint 

vuu 

Prof.  H.  C  E.  Marius, 

Direktor  dea  Sophien-Realgymaaaiuma  in  Berlin. 

I.  Teil:  Aufgraben.    10.  Doppel- Auflage.   Geh.  3,60  M..  geb.  4  II 
II.  Teil:  Ergebnisse.   9.  u.  10.  Auflage.   Geh.  4,80  M.,  geh.  5,20  M. 

Soeben  erschienen. 


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1 


C.  A.  Koch'»  Verlagsbuchhandlung  (H.  Ehlers  &  Co.) 

Leipzig  uud  Dresden. 

Lehrbuch 

der 

analytischen  Geometrie. 

I.  Teil :  Lehrbuch  der  analytischen  (urventhf  erif,  Deht 

2  vorausgehenden  Abschuitten,  enthaltend  die  Theorie 
der  linearen  Raunigebilde  uud  die  Kinematik. 

II.  Teil:  Principicn  der  Flachen!  heorir.    2.  Auflage. 

Von 

Dr.  R.  Hoppe, 

rrofeseor  au  itr  Iniwmittt  Berlin. 

Geh.     Preis  ä  1  Mk.  80  Pf. 


I  N  H  A  L  T. 

V.  Ein  Beitrag  zu  de»  Beziehungen  des  Umkreise«  zu  den  Bf- 
iührungskrci»en  eine«  Dreieckes.  Von  Konstantin  Kar»- 
inata   ...  1'3 

VI.  Desarguc«'  Verdienste  um  die  Begründung  der  projocti Tischen 
Geometrie.    Von  Stanislaus  i'hrzaszczcwski     ....  1,5 

VII.  Untersuchungen  und  Lehrsätze  über  Begrcnzungscurven.  Von 

C.  W.  Meyer  ,M 

VIII.  Miscellcn. 

1.  V'.t   Kennzeichen    der  Teilbarkeit  der   Zahlen.  Von 
Theodor  Lange  220 

2.  Faeultätencongi uenzen.    Von  G.  Speckmnnn.  ...  223 


Gr<?if«wald,  jredrnekt  b«i  F.  TT.  Knnike. 


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MAY  171923 


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